tema 03 medidas de resumen -INGENIERIA CIVIL 2011 y ejercicios propuestos+

Docente:Ms. Selene Yengle Yengle Del Castillo Cas tillo 1 TEMA 03:MEDIDAS DE RESUMEN

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ESCUELA INGENIERIA CIVIL

CAPITULO III MEDIDAS DE RESUMEN INTRODUCC INTRODUCCIÓN. IÓN. Son valores numéricos que sirven para caracterizar un conjunto de datos; es decir, que nos permiten describir el comportamiento de los datos. Se clasifcan en medid medidas as de Tendenc endencia ia Centr Central, al, medid medidas as de posici posición, ón, medid medidas as de Disper Dispersió sión n y medidas de orma.

3.1. 3.1. MEDIDA MEDIDAS S DE TENDEN TENDENCIA CIA CENTRA CENTRAL. L. Son medidas de resumen que nos indican alred alreded edor or de qué qué valor valor se a!ru a!rupa pan n o conc concen entr tran an los los dato datos. s. Son Son medi medida das s de Tendencia Tendencia Central o Centralidad" la #edia $ritmética, la #ediana, la #oda, la #edia %eométrica.

3.1.1. Media Ar A ritmética. Cono Conoci cida da tamb tambié ién n como como promedio o simpleme simplemente nte media, se defne defne como el cociente cociente de la suma de los datos datos y el tama&o tama&o de la X , X , X ,..., X n muestra. Sean los datos 1 2 3 la media aritmética se denota con X y se defne como" X 1 + X 2 + X 3 + ... + X n X =

n

o, utilizando el si!no de suma" n

∑ X i X =

i =1

n #edia muestral" , órmula para datos no a!rupados o sin tabular '() Donde" n* +umero total de datos o tama&o de la muestra. N

∑ X i µ =

#edia poblacional"

i =1

N

, donde +*tama&o de la población

Calcule la media de los si!uientes conjuntos de datos" $" (, (-, /, (/, (, (0 1 " ((.0, (.2, (3., (2.4, (.4, (0.4, (3.2, (4.3 Dados los si!uientes datos" /, 3, , 4, 0, /, /, /, , , /, 3, 4, 0, /, 3, su media aritmética es" X = X = X =

X =

/

20 + 24 + 22 + 25 + 28 + 20 + 20 + 20 + 22 + 22 + 20 + 24 + 25 + 28 + 20 + 24 16 20 + 20 + 20 + 20 + 20 + 20 + 22 + 22 + 22 + 24 + 24 + 24 + 25 + 25 + 28 + 28

16 20(6) + 22(3) + 24(3) + 25(2) + 28(2) 16 120 + 66 + 72 + 50 + 56 16

') =

364 16

= 22.75

5l numerador de ') se puede disponer en una tabla como" 6i 7 i 6if 2 (/   22

Docente:Ms. Selene Yengle Del Castillo 2 TEMA 03:MEDIDAS DE RESUMEN

3 4

 -  4/ 0  Total (2

-


42 23

8uede utilizarse cuando los datos se repiten la 7órmula" k

∑ X i f i X =

i =1

n

órmula para Datos $!rupados o también llamados

tabulados ') 9a 7órmula ') también puede utilizarse cuando los datos est:n a!rupados en una distribución de 7recuencias, siendo los 6 i los puntos medios de los intervalos. Dada la distribución de 7recuencias" ntervalos 7 i 6i (/<(2 ( (2< ( (= <0 (4 4 0<3 (/ ( 3<3/ 4 4/ $plicando la 7órmula ') X =

1208 50

7 i ( (4 (/ 4 4/

6if =( 3-4 (/ (04 (/0

= 24.16

Calcule la media aritmética de" 'a) 6i 7 i 'b) ntervalos ( 3 -<( ( 2 (<(= (3 (=<4 (4 ( 4<( (2 (/ (<-

Casos Prcticos!

7i ( (4 (/ 4

() Con los datos del cap>tulo de or!anización de datos correspondientes a los pesos de los recién nacidos, se tiene que la suma de los 34 datos no tabulados es (3-.-2 ?!. 5ntonces la media aritmética de los pesos de los recién nacidos es" X =

147.76 45

= 3.28 Kg .

nterpretación" 5l peso promedio de los bebes recién nacidos en estudio es de .0 ?!.  ) 9 o s p e so s d e s e i s a m i ! o s s o n " 0 3 , = ( , -  , 2 0 , 0 - y - 0 @! . A a l l a r el peso medio. nterpretación" 5l peso medio de los ami!os en estudio es de 0/ ?!. ) 5l pro7esor de la materia de estad>stica desea conocer el promedio de las notas fnales de los (/ alumnos de la clase. 9as notas de l os alumnos son" ,

,(

,3

3,/

,4

,/

,4

,0

3,

3,/


-


BCu:l es el promedio de notas de los alumnos de la clase

SOLUCIÓN

$plicando la 7órmula para datos no a!rupados tenemos" Cabe anotar que en el ejemplo estamos ablando de una población correspondiente a todos los alumnos de la clase '(/ alumnos en total). 5l promedio de las notas es de ,3-. #odifquemos la primera nota por /,/ y calculemos nuevamente la media aritmética. 5n este caso la media pasa de ,3- a ,(4. 5sta variación notoria se debió a que la media aritmética es sensible a los valores eEtremos cuando tratamos con pocos datos. 5l /,/ es una nota at>pica comparada con las dem:s, que est:n ubicadas entre ,/ y 3,.

Propiedades! (. 9a media aritmética es el centro de !ravedad o punto de equilibrio de un conjunto de observaciones. . 8ara un conjunto de observaciones la media es Fnica. . Si un valor se modifca entonces la media cambia de valor. 3. Si la media sustituye a cada observación, la suma total no cambia. 4. 9a suma de las desviaciones de las observaciones con respecto al promedio es i!ual a cero. n

n

i =1

i =1

∑ ( X i − X ) = ∑ X i − n X = n X − n X = 0 2. 9a suma de los cuadros de las desviaciones de las observaciones con respecto a la media es m>nima" 2

n

∑ ( X i − X )

n

2

≤ ∑ ( X i − c ) , donde c ∈ R

i =1

i =1

-. Si a cada observación se le suma al!ebraicamente una constante, la media queda sumada al!ebraicamente en esa constante. 'ver tabla) Y = X + c

0. Si a cada observación se le multiplica por una constante, la media queda multiplicada por la constante. 'ver tabla) =. Si G * a6 Hb; entonces W = a X + b . (e! ta"la ) i

i

Ta"#a $propiedades %&' ( )* 8ropiedad -

8ropiedad 0

8ropiedad =

+

,-+c

/-d +

0 - a + "

6( 6

I( * E( H c I * E H c

z( * d E( J * d E

G( * a 6( Hb G * a 6 Hb

. . .

. . .

. . .

. . .

6n

In * En H c

Jn * d En

Gn * a 6n Hb

X

y=x+c

z=d x

w=ax+b

Eemp#o 9os si!uientes datos corresponden a los in!resos mensuales de 3 personas" 4/, 44, 4(0 y 4. De ellos se obtiene X * 4(.4. Supon!a que a partir del


-


si!uiente mes estas personas recibir:n un aumento del /K pero se les descontara, por el aporte a su !remio, una suma de 0 unidades monetarias 'um), BCu:l es el nuevo in!reso promedio de estas 3 personas Solución Sean" 6 * n!reso anterior, I * +uevo in!reso I* '6 H /. 6) L 0 I * (. 6 L 0 5ntonces utilizando la propiedad = " Y = (. X < 0 * 2(-.0 um Desventaja de la media aritmética queda 7uertemente a7ectada por valores eEtremos.

Eemp#o 9os si!uientes datos corresponden a los in!resos mensuales de dos !rupos de personas" %rupo n!reso X $ 4 4 4( 4 4(.4 / 4 0 1 4 4 4( 0// =/.-4 / 4 0 / +ótese que en el !rupo $ el promedio similar a los 3 valores por lo tanto los datos representan apropiadamente mientras que en el !rupo 1 eso no ocurre.

3.1.2. Mediaa Mediaa para datos o a4r5pados o tam"ié para datos a4r5pados si iter6a#os de c#ase.

Calcule la mediana de los si!uientes datos" $" 4, -, =, ((, (n*4 #e*= 1" 0, (/, ((, (, (4, (2 n*2 #e*'((H()M*( C" (, -, 0, (/, , 4, =, (4 c" ,4,-,0,=,(/,(,(4 n*0 #e*'0H=)M*0.4 9a mediana es el valor que se encuentra en el centro de un conjunto ordenado de datos. $s>, para obtener la mediana de un conjunto de datos, previamente debe ordenarse los datos de menor a mayor. 9ue!o de"e determiarse e# n +1

#54ar que ocupa la mediana calculando

2 . Si el nFmero de datos es impar

la mediana es el dato que se encuentra en el centro y, si el nFmero de datos es par, la mediana es el promedio de los dos valores que est:n en el centro. Calcule la mediana para los si!uientes datos" $" 0, 4, , =, (, -, (2, 3, (/ 1" (, (/, 0, 4, =, ((, (3, -,(4, ( C" 6i 3 2 0 (/ ( (3 7 i  4 0 2 3  •

Mediaa para datos a4r5pados e iter6a#os . 8ara el c:lculo de la mediana se procede de la si!uiente manera" a) Se obtienen las 7recuencias absolutas acumuladas 'i) b) Se identifca el intervalo que contiene a la mediana. n +1 2

5l intervalo de la mediana es el

intervalo que tiene como 7recuencia n +1 acumulada a i, la 7recuencia acumulada menor tal que  i N 2


-


( LRI + A

n +1 2

− F i −1 )

f i c) Se utiliza la 7órmula" #e * Donde 9O" es el l>mite real in7erior del intervalo mediano. $" la amplitud del intervalo mediano. i<( " 7recuencia acumulada del intervalo que antecede al intervalo mediano. 7 i " es la 7recuencia simple del intervalo mediano. 5jemplo" ntervalos 7 i i -<( (<(= ( / i<( (=<4 (4 4 * i 4<( (/ 34 (<4 4/ n +1 2

=

50 + 1 2

= 25.5

"#sca en las $!ec#encias a"sol#tas ac#%#la&as Como 4 es la 7recuencia absoluta acumulada menor tal que 4 N 4.4, el intervalo que contiene a la mediana es el intervalo (=
" 9O * (=, $ * 2, i<( * / y 7 i * (4. 9a mediana es" (25.5 − 20) 15 #e * (= H 2 * (= H . #e * (. Si!nifca que el 4/K de los datos son menores que (. y el otro 4/K de los datos son mayores que (.

5jercicio. Calcule la mediana de los datos de la distribución" ntervalos 7 i <(( 4 ((<(= (=<0 -<4 ( 4<3 (3<4( (/

3.1.3. Moda Moda para datos o a4r5pados o tam"ié para datos a4r5pados si iter6a#os . Cu:l es la moda en los si!uientes conjuntos de datos" $ " , 4, -, 4, 0, 4, , 4 #o*4 Distribución unimodal 1" 4, 4, , 3, -, -, -, 0, 4 #o*4 y Distribución bimodal C" 4, , -, =, 0, (, (, (( +o eEiste moda Qué es moda 9a moda es el dato que m:s se repite. 5s el dato que tiene mayor 7recuencia. Cu:l es la moda en la distribución" 6i 3 2 0 (/ ( (3 7 i  4 ( 2 3  #o*0 porque tiene la mayor 7recuencia absoluta simple.

Moda e datos a4r5pados e iter6a#os " ntervalos <(( ((<(=

7 i 4 -


-


(=<0 -<4 (*f<( 4<3 (-*f 3<4( (/*7iH( 8ara allar la moda se procede as>" a)Se determina el intervalo que contiene a la moda' intervalo de mayor 7recuencia) b)Se aplica la 7órmula" ∆1

∆1 = f i − f i −1

y

#o * 9O H $ ' ∆ 2 = f i − f i +1

∆1 + ∆ 2

)

donde

f la 7recuencia simple del intervalo modal, i −1 la 7recuencia simple del f intervalo que precede al modal, y i +1 la 7recuencia simple del intervalo que si!ue al modal. 8ara el ejemplo, el intervalo modal es 4

f i

5jercicio. Aalle la moda de" ntervalos 7 i (< (4 (-<  0 < (4 -<   < (-< 3 (

3.1.7. Media aritmética poderada 9a media ponderada de un conjunto de observaciones 6 (. 6. 6. ... 6@ pesos o ponderaciones R (. R. R. ... R@ esta dada por"

con

k

∑ xi wi x p =

i =1 k

=

x1 w1 + x 2 w2 + ... + x k wk

∑ wi

w1 + w2 + ... + wk

i =1

9a media ponderada se usa en aquellos casos en donde las observaciones no tienen la misma importancia dentro de una población o muestra.

Eemp#o

5n una frma se tiene la si!uiente in7ormación en u.m. +Fmero de Oemuneració Car!o trabajadores n diaria de 'Ri) cMu 'Ei) $sesores (4 4 e7es 4 34 ( -/ 5specialista 9a remuneración promedio por d>a ser:" k

∑ xi wi x p =

i =1 k

∑ wi i =1

Eemp#o

=

25(15) + 45(5) + 70(1) 15 + 5 + 1

=

670 21

= 31.'05


-


9os si!uientes datos corresponden a las observaciones de la variable nFmero de partos que a tenido la madre. Tabla de 7recuencias + de partos recuencia recuencia recuencia 'Ei) absoluta + de relativa porcentual madres 'Ri) (

(



(2



((

3



4



Tota l

34

/. /. 4 /. 3 /./ /./ (./ /

4 3 (/ /

5l nFmero de partos promedio de las madres ser:" k

∑ xi wi x p =

i =1 k

∑ wi

=

1(12) + 2(16) + 3(11) + 4(3) + 5(3) 12 + 16 + 11 + 3 + 3

=

104 45

= 2.3111

i =1

5n este ejemplo, las 7recuencias absolutas '7 () acen las veces de las ponderaciones 'R()

Caso partic5#ar

x , x ,..., x k Si 1 2 son las medias de ? !rupos de valores y cada !rupo tiene tama&o n1, n2……., nk respectivamente, entonces la media de los n * n1, H n2 H….H nk , datos es" k

∑ ni xi x p =

i =1 k

∑ ni i =1

3.1.8.

Media 4eométrica. 5s la ra>z n<ésima de las observaciones positivas" 6 (.

6. 6. ... 6n, es decir" X g * n X 1 X 2 ... X n $s> la media !eométrica de 3, 2, 0, (/ es" X g * 4 4 x6 x8 x10 * 2.2 5jercicio. Aallar la media !eométrica de" , 4, -, =, ((. 5ste promedio se usa para elaborar nFmeros >ndices y para calcular tasas promedio de variación.

Des6etaas!

(. 5sta basada en todas las observaciones, por lo que se ve a7ectada por los valores eEtremos. Sin embar!o, da menos pasos a los valores eEtremadamente !randes que el que da la media aritmética. . +o puede determinarse cuando al!uno de los datos es ne!ativo. . Toma el valor de cero cuando al!uno de los datos es i!ual a cero.

Eemp#o


-


Supon!a que la población en una ciudad aumentó de /// a /0// en el periodo de (==2 al /// como se indica a continuación. Aalle la tasa media de crecimiento. $&o 8oblaci ón (== /// 2 (== 4// (== 4// 0 (== 0/// = // /0// /

So#5ci9! $&o

8oblación

Tasa de cambio '$&o base" (==2) (==2 /// << (==4// (./20 (==0 4// (./- (=== 0/// (.((( /// /0// (.(// 9a tasa promedio de crecimiento es (/0.0K * 0.0K por a&o

3.1.: Media arm9ica 9a media armónica de UnV observaciones di7erentes de cero 6 (. 6. 6. ... 6n esta dada por el reciproco de la media aritmética simple de los rec>procos de las observaciones. 1 n n x A = = n = n 1 1 1 1 1 1 + + ... + ∑ ∑ x1 x 2 x n n i =1 xi i =1 x i 5ste promedio se usa para promediar razones que tienen unidades tales como @ilómetros por ora, costo por paciente, miles de soles por @ilo, etc. Cuando la unidad de valor constante o unidad de evaluación es i!ual a la unidad del numerador de una razón, se usa la media armónica, y si es i!ual a la unidad del denominador se usa la media aritmética simple.

Des6etaas!

(. 5sta basada en todas las observaciones, por lo que se ve a7ectada por valores eEtremos. Da a los valores eEtremadamente !randes un peso menor al que le da la media !eométrica, mientras que a los valores peque&os les da un peso mayor al dado por la media aritmética y media !eométrica. . +o puede determinarse cuando al!uno de los datos es cero.

Eemp#o

Wn auto recorre los primeros / ?m. a razón de / ?m.M, y los / ?m. si!uientes a razón de 2/ ?m.M. Determine la velocidad media durante todo el trayecto. n 2 x A = n = = 40 %* 1 1 1 ∑ x 30 + 60 i =1 i Solución" Explicación adicional: $ primera vista mucos pensar>an que la velocidad media seria i!ual a"

Docente:Ms. Selene Yengle Del Castillo ' TEMA 03:MEDIDAS DE RESUMEN

x =

-


30 + 60

= 45 Km  h 2 8ero, al recordar que la velocidad media es defnida como la distancia total recorrida dividida entre el tiempo !astado en el trayecto, es 7:cil notar que el resultado anterior es incorrecto. e 20 2 = h t = = 30 3 v $ la razón de / ?m. M el auto !astó" '3/ minutos) en recorrer los primeros /?m. e 20 1 = h t = = v 60 3 $ razón de 2/ ?mM, !astó" '/ minutos) en recorrer los si!uientes / ?m. 5ntonces, el carro recorrió un total de e * 3/?m. en t * 3/ H / * 2/ e 40 = 40 Km  h v= = 1 t minutos * ( ora a una velocidad media de .

3.2.

MEDIDAS DE POSICIÓN

5stas medidas, llamadas también C5ati#es, dividen a un conjunto de datos ordenados en !rupos i!uales. 5ntre estas medidas tenemos a los cuartiles, a los deciles y a los percentiles.

CUANTILES PARA DATOS SIN A;RUPAR O TAM
5l cuartil Qi , es el valor que ocupa el lu!ar

i ( n + 1) 4

donde i * (, , . 5n

todo caso, realizamos una interpolación, para obtener el cuartil. 5jemplo Datos" (, 0, 4, /, 4, , (2, , (/, (4, -, (( Q * Datos ordenados" , 4, -, 0, (/, ((, (, (4, (2, /, , 4 9u!ar que ocupa el Q"

( + )

3 12 1 4

n*(

* =.-4

5s un valor que est: entre el dato que se encuentra en el lu!ar = y el dato que se encuentra en el lu!ar (/. Q3 * (2 H /.-4 ' /< (2)


-


Q3 * (2 H  * (= Si!nifca que el -4K de los datos son menores que (= y el 4K de los datos son mayores que (=.

3.2.2. DECILES

Son nueve valores D (, D, Z, D = que dividen a un conjunto ordenado de datos en diez !rupos i!uales. BQué si!nifca D  BQué si!nifca D2

3.2.3. PERCENTILES Son == valores 8 (, 8, Z, 8== que dividen a un conjunto ordenado de datos en (// !rupos i!uales. BQué si!nifca 8/ BQué si!nifca el 8 0/ 8odemos notar que el Q * #e, Q * 8-4 , Q( * 84, 84/ * D4 * #e CUANTILES PARA DATOS A;RUPADOS EN INTER=ALOS. Aallando percentiles, allamos también los deciles y cuartiles. 8ara allar los percentiles se!uimos el procedimiento si!uiente" 8ara allar el percentil 8r () [btenemos las 7recuencias absolutas acumuladas.

2* dentifcamos el intervalo del percentil. Calculamos"

nr

100

) $plicamos la 7órmula" nr

8r * 9O H $ '

100

− F i−

1

¿

fi Donde 9O es el l>mite in7erior verdadero del intervalo del percentil nr i<( es la 7recuencia acumulada inmediata menor que 100

7 i " es 7recuencia simple del intervalo del percentil $" la amplitud del intervalo. 5jemplo" Dada la distribución de 7recuencias obtener el 8ercentil 3/. ntervalos 7i i /<0 0 0<4 ( / 2<3 (4 4 33<4( / 44 4<4= (- 2/<2= 0( 20<-4  03 dentifcamos intervalo de 8 3/ 40 x 84 *.2 100

5l intervalo del percentil 3/ es 2<3 83/ * 4.4 H 0'

33.6

−20

15

¿

83/ * 4.4 H -.4 83/ * 3.-4 5l 3/K de los datos son menores que 3.-4 y el 2/K de los datos son mayores que 3.-4. Calcule el decil 3.

3.3. MEDIDAS DE DISPERSIÓN $ y 1 son dos conjuntos de datos" $" (( ((= ( ((0 ((0.4 ((.4 1" =/.4 (3=.4 (// (3/ =4.4 (33.4


-


Calcule la media para los dos conjuntos. 5n un solo se!mento construya el dia!rama de puntos para ambos conjuntos. 9as medidas de dispersión miden la diseminación, el !rado de esparcimiento de los puntos. También se llaman medidas de variabilidad.. 9os puntos del conjunto 1 tienen mayor diseminación que los puntos del conjunto $. 5ntre las medidas de dispersión tenemos a las si!uientes" ..(. Ra4o. 9lamado también recorrido o alcance, es la di7erencia entre el dato mayor y el dato menor" Oan!o * 6mayor < 6menor Calcule los ran!os de los conjuntos $ y 1.

3.3.2.=aria>a. =aria>a para datos o a4r5pados! Si a cada uno de los datos del conjunto $ le restamos la media obtenemos las desviaciones de los datos con respecto a su media. 5stas desviaciones son" (

<(



<

<(.4

(.4

BCu:l es la suma de estas desviaciones BCu:les son los cuadrados de estas desviaciones Sume los cuadrados de las desviaciones y divida la suma por el nFmero de datos menos uno. 5l resultado obtenido se llama varianza de la muestra y se denota con S. 1 + 1 + 4 + 4 + 2.25 + 2.25 S 2 = 5 * .= Calcule la varianza de los datos del conjunto 1. 9as desviaciones se denotan"

X i − X

. BCu:ntas son estas

9a 7órmula para la varianza de la muestra es" ( X i − X ) 2 ∑ 2 S = n −1 $l elevar al cuadrado las di7erencias y distribuyendo la sumatoria, se obtiene una 7órmula de mayor uso en la pr:ctica" 2

∑ X

2 i

S =

−

(∑ X i ) 2 n

n −1

8ara obtener la varianza de los datos del conjunto $" 2

6i (( ((= ( ((0 ((0.4 ((.4 -/./

X i

(323( (3(2( (3003 (=3 (3/3.4 (3-2.4 023(3.4


-


9a varianza es" 86414.5 −

(720) 2

S =

86414.5 − 86400

6

2

5

5

*



S * .= Calcule la varianza para los datos del conjunto 1. Cómo se calcula la varianza para datos agrupados en una distribución de frecuencias?

=aria>a para datos a4r5pados e 5a distri"5ci9 de ?rec5ecias 9a 7órmula que se utiliza es" (∑ X i f i ) 2 2 ∑ X i f i − 2 n S = n −1 donde 6i son puntos medios de los intervalos. 5jemplo. Dada la distribución de 7recuencias" ntervalos 
7 i

6i 4 0 ( ((/

2/ 664'2 −

7 i (4  ( = 32/

6if 4 0 ( ((/ (02/

X 2i f i

4 34 (/4 (4-4 (03 3 3/ (3= 22 4043-/ /=/ 223=

(1860) 2

664'2 − 57660 5' 5' * (3=.2= 9a desventaja de la varianza es que est: eEpresada en el cuadrado de las unidades; es decir, si los datos est:n dados en metros la varianza est: dada en m o si los datos est:n dados en se!undos la varianza est: dada en se!undos . 2

S =

60

=

... La des6iaci9 estdar. 9lamada también desviación t>pica, es la ra>z cuadrada de la varianza. Se la denota con S. 9a desviación est:ndar, a di7erencia de la varianza, se eEpresa en las unidades de los datos. 8ara los datos a!rupados, del ejemplo, su desviación est:ndar es" S*

14'.6' * (.

3.3.7. E# coe@ciete de 6ariaci9. 5s una medida relativa de dispersión y se defne como" S

x100 + X C.\. * 5Epresa qué porcentaje de la media es la desviación est:ndar.

5jemplos, el coefciente de variación para el conjunto $ es" 1.70

C.\. * 120

x100+ = 1.42+

9a desviación est:ndar es el (.3K de la media.


-


Calcule el coefciente de variación para los datos de la distribución de 7recuencias. 5l coefciente de variación sirve para comparar la dispersión dos o m:s conjuntos de datos que tienen di7erentes unidades de medidas. También sirve para comparar la dispersión de dos o m:s conjuntos de datos que diferen en media aritmética. 5jemplo" Dados los conjuntos de datos" $ " 24, 20, -/, 23, 2/ 1" -, =, 4, , (/ que son los pesos, en @ilo!ramos, de un conjunto de personas adultas y de un conjunto de ni&os, respectivamente. 5n qué conjunto ay mayor di spersión. 9as medias de los conjuntos son X A = 65.4kg y X B = 6.8kg y las desviaciones est:ndar S A = 3.85kg y S B = 2.86kg , respectivamente. De acuerdo a las desviaciones est:ndar podemos estar tentados a afrmar que en el conjunto $ ay mayor dispersión que en el conjunto 1, Sin embar!o, los coefcientes de variación nos permiten dar una respuesta correcta a la pre!unta. 2.86 3.85 x100+ = 42.06+ x100+ = 5.8'+ C.\.$ * 65.4 y C.\.1 * 6.8

3.7.MEDIDAS DE ORMA Sirven para describir las de7ormaciones orizontales o verticales de una distribución de los datos. Tenemos a las medidas de asimetr>a y de apuntamiento.

3.7.1.MEDIDAS DE ASIMETRIA 5stas medidas describen las de7ormaciones orizontales. 8ara este propósito se utiliza el coefciente de asimetr>a. ´ − M d ) 3 ( X A s = S Si A s N /, la distribución tiene asimetr>a positiva; Si A s * /, la distribución es simétrica; Si A s P /, la distribución tiene asimetr>a ne!ativa

3.7.2.MEDIDAS DE APUNTAMIENTB Describen las de7ormaciones verticales. Con este propósito se utiliza el coefciente de apuntamiento. ´ )4 ( X i− X −3 A p= 4 nS Si A p < 0 , la distribución es platicFrtica; Si A p * / , la distribución es mesocFrtica;

∑


Si

-


A p N /, la distribución es leptocFrtica

EERCICIOS PROPUESTOS (. 5ncuentre la #edia $ritmética de las edades de los alumnos del \ ciclo de $dministración del nstituto Superior Tecnoló!ico Trujillo. 9as cuales son" /, -, -, 3/, =, 3=, (,  e nterprete su resultado. . 9os datos representan los sueldos de los trabajadores $dministrativas del Aospital Carrión" 0//, ((//, -4/, (//, (///, (0// soles. Aalle el sueldo promedio e interprete. . 9a nota m>nima para aprobar una asi!natura es ((. Si un estudiante obtiene las notas" (, /0, =.4, (.4, 0.4, (/, ((.4, (3 en los trabajos mensuales de la asi!natura en cuestión. B5l estudiante 7ue aprobado. 3. Dada la si!uiente distribución"

6i f

( 

 3

 -

3 

4 

Determinar e interpretar la media, mediana y moda 4. Wna empresa desea investi!ar el !rado de conocimientos que posee su personal. 8ara llevar acabo una capacitación. 8ara dica investi!ación se tomo un eEamen escrito a todo el personal que arrojo los si!uientes resultados"

8untuación

+ de empleados /</ =3 /<4/ (3/ 4/<-/ (2/ -/<=/ =0 =/<(// 0 Nota! si #a media es - 8B p5tos o a"r capacitaci9. Aallar la media aritmetica y si ser: necesario la capacitación en di ca empresa. 2. 9as lon!itudes, en minutos, que (/ pacientes esperan en el consultorio de un doctor antes de recibir el tratamiento se re!istraron como si!ue" 4, ((, =, 4, (/, (4, 2, (/, 4 y (/. 5ncuentre" a) 9a media b) la mediana c) la moda d) el ran!o e) 9a varianza 7) la desviación est:ndar !) el coefciente de variación. -. 9os si!uientes datos muestran la cantidad de 7os7atos por car!a de lavado, en !ramos, para una muestra aleatoria de diversos tipos de deter!entes que se usan de acuerdo con las instrucciones prescritas" 30, 3-, 3, 3, 3(, 3, (, /, =, =, =, 2. 8ara los datos de 7os7atos dados, encuentre" a) 9a media aritmética b) la mediana c) la moda d) el ran!o e) la desviación est:ndar 7) el coefciente de variación. 0. 9as duraciones en miles de oras de un !rupo de eco !ra7os son" Duración + de eco !ra7os L2 2 L (/ ( (/ L (3 (0


-


(3 L (0  (0 L  (3  L 2 2 8ara estos datos calcule" a) 9os puntos medios de los intervalos b) 9a media c) 9a mediana d) 9a moda e) 9a varianza 7) 9a desviación est:ndar !) 5l coefciente de variación ) 9os cuartiles, D3 , 84 , 800 =. 8ara los datos del ejercicio 0, obten!a" a) 9a distribución de 7recuencias porcentuales b) 9a distribución de 7recuencias porcentuales acumuladas c) Construya un isto!rama para la distribución de 7recuencias de a) d) Construya una ojiva con la distribución de 7recuencias dada en b) (/.9os si!uientes datos son precios 'en soles) de renta mensual para una muestra de (/ departamentos sin amoblar en el centro de una ciudad !rande, y una muestra de (/ departamentos sin amoblar de la peri7eria. Centro de la ciudad" =44 (/// =04 =0/ =3/ =-4 =24 === (3- (((= 8eri7eria" -4/ -44 -4 -/4 2=3 -4 2=/ -34 4-4 0// a) 8ara cada conjunto de datos calcule" la media, desviación est:ndar y coefciente de variación. b) Qué puede decirse acerca de los departamentos sin amoblar que rentan en el centro de la ciudad y en la peri7eria Compare las rentas de las dos :reas. ((.9os si!uientes datos representan muestras de / problemas que reportaron los clientes en dos ofcinas di7erentes de una compa&>a tele7ónica, y el tiempo, que tomó resolverlos 'en minutos) Tiempo para resolver problemas en la central  (.30 (.-4 /.-0 .04 o.4 (.2/ 3.(4 .=- (.30 .(/ (./ /.4 /.= (.2/ /.0/ (./4 2. .= 4.34 /.= Tiempo para resolver problemas en la central  -.44 .-4 /.(/ (.(/ /.2/ /.4 ./ .(/ /.40 3./ .-4 /.24 (.= /.2/ (.4 3. /./0 (.30 (.24 /.- 8ara cada una de las ofcinas de la central tele7ónica" a) Calcule" #edia aritmética, ran!o, desviación est:ndar y coefciente de variación. b) Con base en los resultados del inciso c) B5Eisten di7erencias entre las dos ofcinas (.9a si!uiente muestra representa las edades de 4 personas sometidas a un an:lisis de pre7erencias para un estudio de mercado" 4 (= ( 4 33 /  0  (0 / (= =  2 3 0 = ( ( (0 (/ Calcular e interpretar la media aritmética y determinar la varianza. (.Calcular la varianza de las si!uientes cantidades medidas en metros" , , 3, 3, 4 (3.9os si!uientes datos son las califcaciones reportadas por el pro7esor"

Ca#i@caci oes

+ $lumnos

/<( < 3<4

( ( 


2<0<= (/<(( (<( (3<(4

-


/ 4 3 2 (/

Aallar la desviación est:ndar. (4.9os datos si!uientes corresponden al tiempo en se!. necesario para procesar 4 trabajos en una C8W" /./ /.-4 (.(- (.2( .4= /.(4 /.0 (. (.=3 ./- /.(= /.= (.0 ./( .4 /.3- /.=2 (.3/ .(2 .-2 /.-( (.(2 (.4= .3( 3.-4 \amos a calcular distintas medidas de centralización y a comentarlas.

1:.

5n una Wniversidad que o7rece un pro!rama de post!rado especializado en manejo de desecos peli!rosos. 8ara planifcar 7uturos cambios, se izo una encuesta para determinar los antecedentes y objetivos de los  estudiantes que actualmente est:n inscritos en el pro!rama 'uente" ournal o7 8ro7essional ssues in 5n!ineerin!, abril de (==/). 9a !r:fca circular muestra un des!lose de las licenciaturas que cursaron los  estudiantes. nterprete la !r:fca. Trans7orme este !r:fco en un !r:fco de barras donde se muestren las 7recuencias absolutas.

(-.BQué 7orma tiene las distribuciones descritas por las si!uientes medidas de tendencia central" a. #edia * 32, #ediana * 3, #oda * =. b. #edia * ,(, #ediana * ,(, #oda * ,(. c. #edia * (/4, #ediana * ((/, #oda * ((4. (0. Determine si las si!uientes aseveraciones son verdaderas ó 7alsas. Wna aseveración verdadera tiene que ser siempre verdadera. a. 5l ran!o entre cuartiles es la mitad del ran!o. b. 5l promedio est: siempre entre el primer y tercer cuartil. c. 9a mediana est: siempre entre el primer y tercer cuartil. d. 9a desviación est:ndar de una distribución simétrica es siempre i!ual al ran!o entre cuartiles. e. 5l promedio de una distribución simétrica es siempre i!ual a la mediana. (=. Wn 8ro7esor le entre!a las notas en el primer control y les dice que el promedio 7ue de 4,-. Si usted obtuvo un 2," a. B8uede su nota ser la m:Eima b. B8uede ser que el 4/K de los estudiantes tuvieron mejor nota que usted c. Si adem:s el 8ro7esor da la desviación est:ndar, BCon cu:l se sentir>a mejor" con una desviación est:ndar de /,2 ó con una de (,( 5Eplique.


-


/. Wn estudio encontró que los estudiantes ombres de una Wniversidad pesaban en promedio 22 @ilos con una desviación est:ndar de = @ilos. 9as mujeres pesaban en promedio 44 @ilos, con una desviación est:ndar de = @ilos. a. 8uede decir si el estudiante de m:s peso es BWn ombre ó una mujer 5Eplique. b. 5ncuentre el promedio y la desviación est:ndar en libras ' ( @! * , libras). c. Si juntamos los ombres y las mujeres, la desviación est:ndar ser:" B#enor que, mayor que ó i!ual a = (. 9os estudiantes de Sociales siempre manifestan que tienen mayor difcultad en los cursos que involucre el tratamiento de c:lculos matem:ticos, es por ello que se realizó una medición de la memoria en estudiantes de primer a&o de la carrera. 9a eEperiencia consistió en eEponer (/ palabras y (/ nFmeros ante los estudiantes durante (/ se!undos. Después de cuatro d>as de clases, se pidió a los alumnos que recordaran las palabras y nFmeros que se ab>an mostrados previamente, re!istr:ndose los si!uientes resultados"

a. 5n término medio, BQué cantidad de palabras y nFmeros recuerdan los estudiantes b. BCu:l es la cantidad de palabras y de nFmeros que recuerdan con mayor 7recuencia c. Determine la mediana de ambos casos. nterprete sus resultados. d. B5n cu:l de los dos !rupos se recopiló una in7ormación m:s omo!énea . Dos 8ro7esores '$ y 1) est:n interesados en estudiar los :bitos de sue&o de los estudiantes en sus clases. $mbos pro7esores re!istran el tiempo 'en minutos) que demoran en quedarse dormidos sus alumnos desde que empieza la clase. 5l !r:fco si!uiente muestra los tiempos que demoran en quedarse dormidos los alumnos del pro7esor $.


-


a. BCu:l es el valor aproEimado de las medidas de dispersión del tiempo del 8ro7esor $ b. BQué porcentaje de alumnos se queda dormido antes de los (3 minutos con el 8ro7esor $ ustifque. c. 9os datos del 8ro7esor 1 son los si!uientes" (/,4 ((, ((,= (,/ (, (, (,4 (,- (,3 (,(,0 (3, (3,0 (4,( (4, (2,- (2,0 (0,0 /,0 Construya un dia!rama de caja 'junto al dia!rama de caja del pro7esor $) correspondiente a los tiempos en que se quedan dormidos l os alumnos en la clase del 8ro7esor 1 y compare ambos !rupos respecto de la variable en estudio.

DIA;RAMA DE TALLO , FOAS $ continuación mostramos un dia!rama de tallo y ojas para la variable Talla.  (. ] 320 2 (.3 ] 32( (.4 ] (30=  (.2 ] 3442-00== '=) (.- ] /3334200 (0 (.0 ] ///3= ( (.= ] //342200=  ./ ] / 5l recorrido de la variable se a dividido en 0 partes 'los tallos), que vienen representados por los valores (., (.3, (.4, etc. 9os valores que le si!uen, tras la l>nea vertical, son las ojas que corresponden a cada tallo. $s> en el primer tallo tenemos las ojas 3, 2, 0. 5sta rama corresponde a los datos m:s peque&os de la variable talla (.3, (.2, (.0. 9a 7recuencia acumulada de cada rama esta especifcada a su izquierda. $s> la 7recuencia de la primera rama es , la de la se!unda también es , pero la acumulada es 2. 5n este caso la acumulación de las 7recuencias se ace por ambos lados de la tabla asta lle!ar al tallo que contiene a la mediana. 5ste tallo contiene = elementos como est: indicado entre paréntesis. 5sta representación tiene la ventaja de que superpone una tabla de 7recuencias y una representación !r:fca dada por la 7orma que toman los nFmeros, y que es similar al isto!rama de 7recuencias. $dem:s

Docente:Ms. Selene Yengle Del Castillo 1' TEMA 03:MEDIDAS DE RESUMEN

-


no ay pérdida de in7ormación, ya que se puede reconstruir todos los datos de la variable primitiva contenida en la muestra a partir de esta representación.

;RGICA DE CAA ,
9as dos l>neas orizontales se llaman 1i!otes y se eEtienden a dereca e izquierda de la Caja. 5l bi!ote de la izquierda comienza por el dato m:s peque&o que dista del primer cuartil menos que (.4 veces el ran!o intercuart>lico 'distancia entre el primer y tercer cuartil). 5n este caso corresponde al valor (.3 5l bi!ote de la dereca acaba en el mayor valor de la variable talla que diste del tercer cuartil menos que (.4 veces el ran!o intercuart>lico. Corresponde en este caso al valor mayor de la variable talla que es ./. $ veces ay valores de la variable que sobresalen de los bi!otes. 5stos valores se clasifcan como valores at>picos '[utliers). 9as tablas y las !r:fcas pretenden ordenar y clarifcar la in7ormación contenida en la muestra. 5n los casos tratados, eEcepto en el caso del dia!rama de tallo y ojas, siempre se ace perdiendo parte de in7ormación. 5n el si!uiente apartado se dar:n al!unos defniciones que pretenden reducir la in7ormación contenida en la muestra de una 7orma aFn m:s dr:stica" a sólo unos cuantos valores, los par:metros estad>sticos de la muestra. 5ntre ellos destacamos las medidas de posición y las de dispersión.

tema 03 medidas de resumen -INGENIERIA CIVIL 2011 y ejercicios propuestos+

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