TD 22 Corrigé - Loi E-S Pour Les Réducteurs Et Multiplicateurs de Vitesse à Train Épicycloïdal

TD 22 corrigé - Loi E-S pour les réducteurs et multiplicateurs de vitesse à train épicycloïdal

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CORRIGÉ EXERCICE 1 : DIFFÉRENTES CONFIGURATIONS D’UN TRAIN ÉPICYCLOÏDAL. .............................. 1 CORRIGÉ EXERCICE 2 : TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX DE TYPE IV. ................................................................. 2 Exemple 2.1 : Poulies Redex. ......................................................................................................... 2 Exemple 2.2 : Boîtier de commande de raboteuse. ........................................................................ 3

CORRIGÉ EXERCICE 3 : TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX DE TYPE III. .................................................................. 4 Exemple 3.1 : Réducteurs ATV. ...................................................................................................... 4

CORRIGÉ EXERCICE 4 : TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX DE TYPE I. .................................................................... 5 Exemple 4.1 : Treuil-Palan de pont roulant. .................................................................................... 5 Exemple 4.2 : Réducteur à 2 vitesses. ............................................................................................ 9

Vous devez être capable de déterminer la loi E/S en vitesse de trains épicycloïdaux selon 2 méthodes différentes :  par la cinématique graphique (voir exercice du treuil-palan),  à l’aide de la relation de Willis.

Corrigé Exercice 1 : DIFFÉRENTES CONFIGURATIONS D’UN

TRAIN ÉPICYCLOÏDAL. Question 1 : Reprendre le train de type II du cours et compléter les tableaux suivants, représentant les différentes configurations possibles de ce train. Caractéristique du train épicycloïdal Satellite

2

Porte Planétaire Planétaire satellite A B

4

1

3

Relation de Willis

1/0  .3/0     1 .4/0  0

Raison de base du train



1/0 3/0  0 4/0

z z  ( 1)1. 2' . 3 z1 z2''

Utilisation possible Pièce Pièce de Pièce d’entrée sortie fixe/bâti 0

Relation de Willis simplifiée avec e et s, et en tenant compte de la pièce qui est fixe

Rapport de transmission : i 

e /0

1

3

4

e /0  .s /0  0

1

4

3

e /0     1 .s /0  0

3

1

4

s /0  .e/0  0

3

4

1

.e /0     1 .s /0  0

i 

e /0

4

1

3

s /0     1 .e /0  0

i 

e /0

4

3

1

.s /0     1 .e /0  0

i 

e /0

4, 3

1

MPSI-PCSI

i  i 

s /0

e /0 s /0

i 

s /0

s /0 s /0

s /0



 1 

e /0

s /0

e /0



1 



 1 



1 1 



  1

s /0  .e1/0     1 .e2/0  0

Sciences Industrielles pour l’Ingénieur

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Corrigé Exercice 2 : TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX DE TYPE IV. Exemple 2.1 : Poulies Redex. (Selon le concours École de l’Air filière PSI 2004)

5

6

10

24 31

Satellite Porte satellite 1er cas : on choisit Planétaire A Planétaire B

6, 10 5 2ème cas : on choisit Planétaire A Planétaire B

31 24

24 31

Train épicycloïdal (de raison de base 1 ) :

Train épicycloïdal (de raison de base  2 ) :

31/0  1.24/0   1  1 .5/0  0

24/0  2 .31/0   2  1 .5/0  0

avec 1 

31/0

z z  ( 1)2 . 6 . 24  1,17 24/0  0 z31 z10 5/0

Utilisation : D'où :

24 fixe par rapport à 0,

s /0   1  1 .e /0  0 e /0 s /0



5 est l'entrée e

avec 2 

24/0

z z  ( 1)2 . 10 . 31  0,856 31/0  0 z24 z6 5/0

et 31 la sortie s D'où :

1  5,9 1  1

(5=e et 31=s)

2 .s /0   2  1 .e /0  0 e /0 s /0



2 2  1

 5,9

On retrouve bien le même rapport de réduction dans les 2 cas. Ainsi le choix du planétaire A ou B n’a pas d’importance dans la relation de Willis.

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Exemple 2.2 : Boîtier de commande de raboteuse.

8 Moteur 2 9B

9C

10

11

13

Moteur 1

Sortie

Question 1 : Déterminer, en fonction des nombres de dents des roues dentées, la relation entre e1/0 , e2/0 et s /0 .

Train épicycloïdal :

8/0

Satellite Porte satellite Planétaire A Planétaire B

 ( 1)1.

Train simple :

13/0

Utilisation :

10  e1

D'où :

9 13 10 11

10/0  .11/0     1 .13/0  0  z z avec   10/0  ( 1)2 . 9B . 11 11/0  0 z10 z9C 13/0

z13 z8

8  e2

11  s

z z   z  z  z e1/0   9B . 11  .s /0   9B . 11  1 .   8  .e2/0  0  z10 z9C   z10 z9C   z13 

Question 2 : Déterminer, après avoir formulé l’hypothèse qui convient, la relation entre les zi liée aux conditions géométriques de montage des roues dentées. Pour le train épicycloïdal : R10  R9B  R11  R9C  z10  z9B  z11  z9C

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Si et seulement si les modules des 2 engrenages sont égaux, car d=m ;z

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Corrigé Exercice 3 : TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX DE TYPE III. Exemple 3.1 : Réducteurs ATV.

Voir exemple donné dans le cours (page 24) pour le schéma cinématique et le calcul...

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Corrigé Exercice 4 : TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX DE TYPE I. Exemple 4.1 : Treuil-Palan de pont roulant. Étude analytique du réducteur seul (sans la partie frein).

Question 1 : Compléter le repère des pièces dans le tableau décrivant les 2 trains épicycloïdaux (droite et gauche).

Train Train épicycloïdal 1 épicycloïdal 2 Satellite

2

5

Porte satellite

4

7

Planétaire A

1

4

Planétaire B

10d (droite)

10g (gauche)

10g 5

22

10d 2 25

7 4 1

23

Tambour (qui était non représenté sur le plan ci-dessus)

Emplacement du câble

Question 2 : Déterminer la condition géométrique de montage qui relie les z i . D10d  D1  2.D2 Pour le 1er train épicycloïdal : (pour pouvoir engrener ensemble, il faut m10d  m1  m2 ) Pour le 2ème train épicycloïdal :

D10g  D4  2.D5



z10d  z1  2.z2



z10g  z4  2.z5

(pour pouvoir engrener ensemble, il faut m10g  m4  m5 )

Question 3 : Indiquer les repères des pièces matérialisant l’entrée et la sortie du système. Pièce d’entrée : arbre 1 Pièce de sortie : arbre 7 MPSI-PCSI


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Question 4 : Déterminer littéralement, en fonction des nombres de dents, le rapport de transmission. Train épicycloïdal 1 (de raison de base 1 ) :

1/0  1.10d /0   1  1 .4/0  0

1 

avec

1/0

z z z  ( 1)1. 10d . 2  10d 10d /0  0 z2 z1 z1 4/0

Train épicycloïdal 2 (de raison de base  2 ) : 4/0  2 .10g /0   2  1 .7/0  0

Utilisation : 10d /0  10g /0  0  1/0  e /0   7/0  s /0

2 

avec

4/0 10g /0

 ( 1)1. 28/0 0

z10g z5 z10g .  z5 z4 z4

(10d et 10g solidaires du bâti).

Par conséquent : Train épicycloïdal 1 donne : e /0   1  1 .4/0  0 Train épicycloïdal 2 donne : 4/0   2  1 .s /0  0 D’où : e /0   1  1 .  2  1 .s /0  0

e /0 s /0

  z   z10g   1  1 .  2  1   10d  1 .   1    z1   z4 

e /0



s /0



( z1  z10d )( z4  z10g ) z1.z4

Question 5 : Compléter le tableau page précédente indiquant le nombre de dents, le module et les diamètres primitifs des différents pignons ou couronnes.

Pignon arbré 1

Nombre Diamètre Module de dents primitif 21 2 42

Pignon rapporté 2

51

2

102

Couronne 10d

123

2

246

Pignon arbré 4

23

3

69

Pignon rapporté 5

34

3

102

Couronne 10g

91

3

273

 m10d  m1  m2 On a Di  mi  zi et   m10g  m4  m5

Question 6 : En déduire la valeur numérique du rapport de réduction du système. A.N. :

e /0 s /0

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 34


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Étude graphique du réducteur seul (sans la partie frein). Question 7 : Identifier les solides en mouvement quelconque. En déduire les positions des CIR qui seront nécessaires lors de l’utilisation d’une méthode graphique. Solides en mouvement quelconque : Les satellites 2 et 5. On aura certainement besoin d’utiliser : I2/0  D et I5/0  G (tout point de RSG est un CIR).

Question 8 : Imaginer et mettre en œuvre une démarche pour déterminer graphiquement (dans la position du système décrite sur la figure) le vecteur vitesse du centre F de la roue 5 par rapport au bâti 0 : VF5/0 . (Justifier les différentes étapes de la construction).

 I5/0   VE5/0  VE4/0

VF7/0  VF5/0

 A   VC4/0  VC2/0

 I2/0   VB2/0  VB1/0

NB : 10d = 10g = 0 le bâti. 1) Tout point de roulement sans glissement est un Centre Instantané de Rotation donc :

B  I2/1 D  I2/0 E  I5/4 G  I5/0

2) En utilisant la composition des vecteurs vitesses au point B, on obtient VB2/0  VB2/1  VB1/0  VB1/0 (car, comme B  I2/1 , on a VB2/1  0 ). 3) Connaissant I2/0 et VB2/0 , on détermine VC2/0 par la répartition linéaire des vitesses. 4) En utilisant la composition des vecteurs vitesses au point C, on obtient VC4/0  VC4/2  VC2/0  VC2/0 (car, comme C centre de la rotation de 4/2, on a VC4/2  0 ). 5) Connaissant A et VC4/0 , on détermine VE4/0  VE5/0 par la répartition linéaire des vitesses. 6) Connaissant I5/0 et VE5/0 , on détermine VF5/0  VF7/0 par la répartition linéaire des vitesses.

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Question 9 : Justifier que VF5/0  VF7/0 . En déduire, en utilisant les propriétés du théorème de Thalès (proportionnalité des côtés dans les triangles de répartition linéaire des vecteurs vitesse), la relation entre VF7/0 , VB1/0 , R1 , R2 et R4 . En utilisant la composition des vecteurs vitesses au point F, on obtient VF7/0  VF7/5  VF5/0  VF5/0 (car, comme F est le centre de la rotation du mouvement de 5/7, on a VF7/5  0 ). D’après le théorème de Thalès, on a successivement : VF5/0 VE5/0



R5 2.R5

d’où



VE4/0

1 2

VC4/0

VF5/0 VE5/0

.

VE4/0

VC2/0

.

VC4/0

VC2/0

R4 R1  R2 

VB2/0

VB2/0



R2 2.R2



1 2

R4 1 1 . . 2 R1  R2 2

R4 1 . . VB2/0 4 R1  R2

VF5/0 

donc



Question 10 : En déduire, en fonction de R1 , R2 , R4 et R5 , le rapport de transmission. Les mouvements de 1/0 et 7/0 sont des mouvements de rotation d’axe (AA’), donc :

VF7/0  7/0 .A ' F  7/0 .(R4  R5 ) VB1/0  1/0 .AB  1/0 .R1 En remarquant que les deux vecteurs vitesses VF7/0 et VB1/0 ont même sens, on obtient le rapport de transmission : 1/0 4.(R4  R5 )(R1  R2 ) R4 1   7/0 .(R4  R5 )  . .1/0 .R1 4 R1  R2 7/0 R4 .R1

Question 11 : Retrouver, à l’aide du résultat de la question 2, le rapport de transmission en fonction du nombre de dents. Comme R10d  R1  2.R2 et R10g  R4  2.R5

On a :

1/0 7/0

1/0 7/0





4.(R4 

R10g  R4 2

)(R1 

(voir question 2)

R10d  R1 2

)

R4 .R1



2.R4  R10g  R4



R4 .R1

(R4  R10g )(R1  R10d )

4.(

1/0 7/0

R1.R4 1/0 7/0 



)(

2.R1  R10d  R1 2

)

R4 .R1

(R1  R10d )(R4  R10g )

C'est-à-dire en fonction du nombre de dents :

2



(D1  D10d )(D4  D10g ) D1.D4

(m1.z1  m1.z10d )(m2 .z4  m2 .z10g ) m1.z1.m2 .z4

( z1  z10d )( z4  z10g ) z1.z4

On retrouve bien le même rapport de transmission qu’avec la relation de Willis (question 4). MPSI-PCSI


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Exemple 4.2 : Réducteur à 2 vitesses. Question 1 : Déterminer la vitesse de rotation de l’arbre de sortie 1 en fonctionnement « Petite Vitesse », puis en fonctionnement « Grande Vitesse ».

Entrée Petite vitesse

8

34

13 25

36

37 28 Sortie

MPSI-PCSI

17

Entrée Grande vitesse

19


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Satellite Porte satellite Planétaire A Planétaire B

Train épicycloïdal 1 37 17 19 25

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Train épicycloïdal 2 36 28 17 8

Train épicycloïdal 1 (de raison de base 1 ) :

19/0  1.25/0   1  1 .17/0  0

avec

1 

19/0

z z 83  ( 1)1. 25 . 37   4,37 25/0  0 z37 z19 19 17/0

Train épicycloïdal 2 (de raison de base  2 ) :

17/0  2 .8/0   2  1 .28/0  0

avec

 z z 79 2  17/0  ( 1)1. 8 . 36   4,65 8/0  0 z36 z17 17 28/0

Réducteur roue 13 et vis sans fin 34 : 34/0 z 41   13    41 (plus ou moins, selon que la vis ait un pas à droite ou à gauche) 13/0 z34 1

Utilisation : On a 19/0  18/0 , 28/0  1/0 et De plus 8/0  0 (8 solidaire du bâti).

25/0  13/0

(pièces solidaires entre elles)

Par conséquent :

 Train épicycloïdal 1 donne : 18/0  1. 34/0   1  1 .17/0  0 41 Train épicycloïdal 2 donne : 17/0   2  1 .1/0  0  D’où 18/0  1. 34/0   1  1 .  2  1 .1/0  0 41 34/0   1 1/0  18/0  1.  41   1  1 .  2  1 

1/0  0,033.(18/0  0,107.34/0 )

Fonctionnement en petite vitesse ( 18/0  0 et 34/0  1500tr / min )  1/0  5,3tr / min Fonctionnement en grande vitesse ( 18/0  34/0  1500tr / min )  1/0  44,2tr / min ou 54,8tr / min

NB : si on choisit de prendre : -0,107, on trouve 1/0  5,3tr / min (petite vitesse) et 1/0  44,2tr / min (grande vitesse) +0,107, on trouve 1/0  5,3tr / min (petite vitesse) et 1/0  54,8tr / min (grande vitesse) Comme les 2 vitesses sont dans le même sens, les solutions sont : 1/0  5,3tr / min (petite vitesse) et 1/0  54,8tr / min (grande vitesse)

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