Taller 5 Fundamentos de Mecanica Sebastian Hernández 11 de Septiembre del 2016
Preguntas 1. Para mover sobre el piso un mueble de 200 kg con velocidad constante, se le aplica horizontalmente una fuerza de 500 N. ¿Cuánto vale la fuerza que ejerce el piso sobre el mueble oponiéndose a su movimiento? Si queremos mover el mueble con aceleración constante de 1.00 m/ s2, ¿cuánta fuerza debemos aplicarle? Si se tiene velocidad constante, se dice que: X− →
Fx = 0
→ P−
Fx = 0
500N + Ff = 0 Ff = −500N Si se quiere mover con aceleración constante: → P− Fx = ma 1
500N + Ff = 200kg · 1m/s2 Ff = 200N − 500N Ff = −300N 2. Un objeto de 20 kg se cuelga de un resorte al que sólo alcanza a deformar 5.0 cm pues una mesa colocada debajo del resorte hace que el objeto se detenga. Determine las fuerzas ejercidas sobre el objeto por la mesa y por el resorte si este tiene una constante elástica de 1 × 103 N/m Ya que el sistema esta en equilibrio X− →
Fy = 0
Por lo que, según la ley de Hooke: Fe = −kx
Fe = −(−0,05m) · 1 × 103 N/m Fe = 50N W = −20kg · 9,8m/s2 Fe + W + Fm = 0 50N − 196N + Fm = 0 Fm = 146 3. Para apagar un incendio forestal un helicóptero vuela a velocidad constante y lleva un recipiente con agua, colgando de una cuerda que forma un ángulo de 10.0 con la vertical. Cuando regresa con el recipiente desocupado y a la misma velocidad anterior, la cuerda forma un ángulo 2
de 45.0 con la vertical. Si la masa del recipiente es de 500 kg, ¿cuánto vale la fuerza resistiva de arrastre del aire sobre el recipiente? ¿Qué cantidad de agua transporta? Ya que el sistema esta en equilibrio X− →
Fx = 0
θ = 10◦ α = 45◦ W1 = ma + mr W2 = mr = 500kg Fa + W1 senθ = 0 Fa + W2 senα = 0 Fa = 500kg · 9,8m/s2 · sen10◦ Fa = 850,88N F a + (ma + mr )gsenθ = F a + mr gsenα (ma gsenθ + mr gcosθ) = (mr senα) mr gsenθ − mr gsenα = −ma gsenθ mr g(senθ − senα) = −ma gsenθ
ma = −
mr (senθ − senα) senθ
ma = −
500kg(sen10◦ − sen45◦ ) sen10◦
ma = 1536,03kg
ρagua = 1kg/m3 =
ma Vagua
Vagua = 1536,03m3 3
4. Cuando un niño se pesa usando una báscula de resorte en el interior de un ascensor en reposo, la báscula indica 300 N. ¿Cuál será el peso indicado por la báscula cuando el ascensor acelera hacia arriba a 3.00 m/s2? ¿Y cuando sube a velocidad constante de 6.00 m/s? ¿Y luego cuando frena a 3.00 m/s2? ¿Y cuando acelera hacia abajo a 3.00 m/s2? ¿Y cuando baja a velocidad constante de 6.00 m/s? ¿Y finalmente cuando frena a 3.00 m/s2, para retornar a la posición inicial? Cuando acelera hacia arriba a 3,00m/s2 : m = 300N/9,8m/s2 m = 30,61kg Fres − W = ma Despreciando la masa de los resortes de la bascula Fres − mg = ma Fres = ma + mg Fres = m(a + g) Fres = 30,61kg(3m/s2 + 9,8m/s2 ) Fres = 391,81N Cuando sube a velocidad constante: Fres = m(a + g)
a=0
Fres = mg Fres = 300N Cuando frena subiendo a 3,00m/s2 : a = −3,00m/s2
Fres = m(a + g) Fres = 30,61kg(−3m/s2 + 9,8m/s2 ) Fres = 208,15N
4
Cuando baja a velocidad constante: Fres = m(a + g)
a=0
Fres = mg Fres = 300N Cuando frena bajando a 3,00m/s2 : a = 3,00m/s2
Fres = m(a + g) Fres = 30,61kg(3m/s2 + 9,8m/s2 ) Fres = 391,81N
5. Determine el valor de la fuerza centrípeta en el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra. ¿Cuál es el origen de esta fuerza? El origen de esta fuerza es la atracción gravitacional entre la tierra y la luna, la gravedad evita que la luna salga disparada y hace que la luna establezca una orbita en torno a la tierra. Fc = mac V2 Fc = m r Fc = Fg mM Fg = G 2 r Fg = Fc = 6,674 × 10−11
N m2 5, 972 × 1024 kg · 7, 349 × 1022 kg kg 2 (384400000m)2
Fc = 1,98 × 1020 N 6. ¿Cuánto vale el coeficiente de fricción cinética para el movimiento del mueble del ejercicio 1? Ff = −300N Ff = µmg 5
µ=
Ff mg
µ=
300N 1960m/s2
µ = 0,153 7. Calcule las mínimas distancias requeridas para frenar un automóvil que se mueve a 20 m/s por una carretera horizontal, si los coeficientes de fricción entre las llantas y el piso son µs = 0,6 y µk = 0,3 . Considere primero el caso en que las llantas casi deslizan y luego el caso en que las llantas se bloquean desde el comienzo de la frenada hasta cuando se detiene el vehículo. En el caso es que las llantas casi se deslizan, se usa el coeficiente de fricción estática: af = µ s g af = 0,6 · 9,8m/s2 af = −5,88m/s2 v = vo − at 0 = 20m/s − 5,88m/s2 (t)
t=
20m/s 5,88m/s2
t = 3,4s 1 x = vo t − at2 2 1 x = 20 · 3,4 − 5,88m/s2 (3,4s)2 2 6
x = 34,01m En el caso en que las llantas se bloquean desde el comienzo de la frenada, se usa el coeficiente de fricción cinética: af = µ k g af = 0,3 · 9,8m/s2 af = −2,94m/s2 v = vo − at 0 = 20m/s − 2,94/s2 (t)
t=
20m/s 2,94m/s2
t = 6,8s 1 x = vo t − at2 2 1 x = 20 · 6,8 − 2,94m/s2 (6,8s)2 2 x = 68,03m
8. Cuál es la máxima velocidad a la que el auto del ejercicio anterior puede tomar una curva de 25 m de radio, en la misma carretera, sin deslizar sobre ella? Se toma el coeficiente de fricción estática, ya que no deslizan. − P→ F = 0 Fc − Ff = 0 Fc = Ff 2 mv
r
= mµg
7
v 2 = µgr √ v = µgr v=
q
0,6 · 9,8m/s2 · 25m
v = 12,12m/s 9. Cuando la carretera del ejercicio 7 está húmeda, µs se reduce a 0.1. Calcule la mínima distancia necesaria ahora para frenar y detener el automóvil que se mueve a 20 m/s. Tomando en cuenta que las llantas casi deslizan: af = µ s g af = 0,1 · 9,8m/s2 af = 0,98m/s2 v = vo − at 0 = 20m/s − 0,98m/s2 (t)
t=
20m/s 0,98m/s2
t = 20,41s 1 x = vo t − at2 2 1 x = 20 · 20,41 − 0,98m/s2 (20,41s)2 2 x = 204,08m
10. Considere el automóvil del ejercicio 7, que va a 20 m/s y frena sin deslizar. Detrás del mismo va otro auto a 25 m/s, cuyo conductor ve las luces rojas de frenado y tarda 0.2 s en aplicar los frenos, luego de lo
8
cual se detiene también sin deslizar. Calcule la mínima distancia que debe haber entre los dos autos cuando el delantero comienza a frenar, de manera que el trasero no lo golpee. Suponga que las aceleraciones son constantes y que µs = 0.6 para los dos autos. Distancia de frenado del automóvil 1, ya calculada: x = 34,01m Distancia de frenado del automóvil 2: af = −5,88m/s2 v = vo − at 0 = 25m/s − 5,88m/s2 (t)
t=
20m/s 5,88m/s2
t = 4,25s 1 x = vo t − at2 2 1 x = 25 · 4,25 − 5,88m/s2 (4,25s)2 2 x = 53,15m Distancia de frenado total=53,15m + 25m/s(0,2s) = 58.15m Con las 2 distancias de frenado calculadas, se calcula la mínima distancia entre los carros para que no se golpeen, esta es la diferencia entre sus distancias de frenado, ya que el carro 2 necesita esa diferencia para completar su frenado sin golpear el otro carro x = 58,15m − 34,01m x = 24,14m 11. Para poner en movimiento una caja que está inicialmente en reposo so9
bre una superficie horizontal, es necesario empujarla horizontalmente con una fuerza de 100 N. Luego, para moverla con velocidad constante, se necesita una fuerza de 70 N. Si la caja tiene una masa de 20 kg, ¿cuánto valen los coeficientes µs y µk ? Para sacarla del reposo: Fa − Ff s = 0 Fa = µs mg
µs =
Fa mg
µs =
100N 20kg · 9,8m/s2
µs = 0,51 Con velocidad constante: Fa − Ff k = 0 Fa = µk mg
µk =
Fa mg
µk =
70N 20kg · 9,8m/s2
µk = 0,36
12. Para los bloques unidos por una cuerda en el ejercicio del taller anterior, utilice los siguientes valores: m1 = 10 kg, m2 = 20 kg, F = 100 N 10
y µk = 0,2 . Este último valor indica que ahora sí tenemos en cuenta la fricción entre los bloques y la mesa. Halle la aceleración del sistema y la tensión de la cuerda. → P− Fx = 0 F − Ff 1 − Ff 2 = (m1 + m2 )a F − µm1 g − µm2 g = (m1 + m2 )a
a=
F − µm1 g − µm2 g m1 + m2
a=
100N − 19,6N − 39,2N 30kg
a = 1,37m/s2 La tensión de la cuerda seria igual a la fuerza aplicada, menos la fricción del segundo bloque, por lo que seria: 100N − 39,2N = 60,8N T = 60,8N 13. Una fuerza F de 90 N mantiene quieto un bloque de 3.0 kg contra una pared vertical, como se ve en la Figura. ¿Cuánto vale la fuerza de fricción que la pared ejerce sobre el bloque? ¿Cuál es el valor mínimo de F para que el bloque no deslice si µs = 0,5? → P− Fy = 0 Ff y − W = 0 µF = mg
µ=
mg F 11
µ=
3kg · 9,8m/s2 90N
µ = 0,33 Ff = 0,33 · 90N = 29,4N El valor mínimo de F, es el cual la Ff = W , por lo cual : µF = mg
F =
mg µ
F =
3kg · 9,8m/s2 0,5
F = 58N
14. Cuando el cilindro giratorio de un parque de diversiones gira suficientemente rápido alrededor de su eje, las personas que están dentro se mantienen unidas a la pared gracias a las fuerzas de rozamiento, de manera que el piso puede quitarse sin que las personas caigan, como se muestra en la Figura. ¿Cuál debe ser la mínima frecuencia de giro, en vueltas por minuto, para que lo anterior suceda en un cilindro de 5.00 m de radio, si el coeficiente de fricción estática entre las personas y la pared es de 0.5? Fc = Ff c ma 2
= µ mg
v = µg r v 2 = µrg 12
v= v=
√ q
µrg 0,5 · 5m · 9,8m/s2
v = 4,95m/s
f=
v 2πr
f=
4,95m/s 2π5m
f = 0,16H = 9,45vueltas/min
15. Calcule el ángulo de peralte de una carretera, de manera que un automóvil que se mueva a 20 m/s pueda tomar con seguridad una curva de 25 m de radio, aunque no hubiera rozamiento entre las llantas y la carretera.
Hay un ángulo por lo que: 13
X− →
Fx = ma
X− →
Fy = 0
→ P−
Fx = mac 0
>= m N senθ + FF
N senθ = m
v2 r
v2 r
→ P−
Fy = 0
N cosθ − W = 0 N cosθ = mg
N
mg cosθ
mgsenθ
cosθ gtanθ =
= m
v2 r
v2 r
tanθ =
v2 rg
tanθ =
(20m/s)2 25m · 9,8m/s2
θ = 58,51◦
14
16. En el átomo de hidrógeno el electrón gira alrededor del protón en una órbita de 5,3 × 10−11 m de radio, debido a una fuerza atractiva de 8,2 × 10−8 N . Calcule la frecuencia de giro, en vueltas por segundo o Hertz. Fc = mac
Fc = m
V2 r
s
v= v 2πr f=
f=
Fc r m √ Fc r =√ m2πr √ Fc r √ 2πr m √ 8,2 × 10−8 N · 5,3 × 10−11 m √ 9,109 × 10−31 kg · 5,3 × 10−11 m · 2 · π
f = 6,56 × 1015 H 17. ¿Cuál debe ser la velocidad mínima de un balde con agua en la parte superior de un círculo vertical de 0.80 m de radio, descrito por el balde, de modo que el agua no salga del mismo? Primero, se aclara que lo que no permite que caiga el agua no es la "fuerza centrifuga"que anule la gravedad, sino que es la acción de la inercia, que hace que el agua se mueva en direccion del movimiento, pero como hay paredes que evitan que el agua se escape para este sentido, el agua se queda dentro de la cubeta. Haciendo el diagrama de cuerpo libre se tiene que: 15
→ P−
Fx = ma
T + mg = m(
T = m(
v2 ) r
v2 ) − mg r
v2 T = m( − g) r Para que el agua no se salga, la fuerza centrípeta tiene que ser mayor o igual al peso del agua, para que la inercia anule su movimiento, para que sea la menor velocidad, la T tiene que tender a 0 (la cuerda casi suelta sin tensionarse), esto debido a que cuando esto sucede se logra que la Fc sea igual al peso, la condición necesaria para que no se caiga. T =0
m(
v2 − g) = 0 r
v2 =g r v 2 = rg √ v = rg v=
q
9,8m/s2 · 0,8m
v = 2, 8m/s 18. Cuando un niño de 30.0 kg se mece en un columpio soportado por 2 16
cadenas, la tensión en cada una de éstas es de 250 N en el punto más bajo de su trayectoria. Si cada cadena mide 2.50 m de largo y despreciamos la masa del asiento, ¿cuál es la velocidad del niño en el punto más bajo? ¿Cuánto vale allí la fuerza del asiento sobre el niño? En el punto mas bajo: 2 · 250N − mg = mac 500N − mg v2 = m r r(500N − mg) = v2 m s
r(500N − mg) m
s
2,5m(500N − 30kg · 9,8m/s2 ) 30kg
v=
v=
v = 4,143m/s La fuerza del asiento sobre el niño seria igual a la suma de las 2 tensiones de las cuerdas en ese punto mas bajo, lo que serian 500N. 19. Un paracaidista de 70 kg (incluido el paracaídas) cae con una velocidad constante de 5.0 m/s poco después de que se abre el paracaídas. Si la fuerza resistiva de arrastre del aire se expresa como Farr = βv 2 , halle el valor de β para este caso. Antes de abrir el paracaídas el paracaidista cae a 60 m/s; si la apertura fuera instantánea, ¿cuánto valdría la fuerza inicial sobre el paracaidista? ¿Qué ventajas tiene el que la apertura tarde algunos segundos en completarse? Farr = βv 2 − W = 0 17
β=
mg v2
β=
70kg · 9,8m/s2 (5m/s)2
β = 27,44kg/m Si el paracaídas se abre instantáneamente: 60m/s − 5m/s = −55m/s2 1 Farr − W = ma
a=
βv 2 − mg = ma
β=
m(a − g) v2
β=
70kg(−55m/s2 − 9,8m/s2 ) (60m/s)2
β = 1,26kg/m
Farr = 1,26kg/m · (60m/s)2 Farr = 4536N Es importante que el paracaídas no se abra instantáneamente porque el paracaidista se lastimaría, al de golpe ser sometido a una fuerza de 4536N, esta fuerza aplicada en un instante de tiempo probablemente lo mataría ya que es demasiada fuerza en muy poco tiempo. 20. Un niño está sentado sobre el piso de un carrusel que da una vuelta 18
completa cada 10.0 s. Si el niño tiene una masa de 40.0 kg y está sentado a 2.00 m del centro del carrusel, ¿cuánto valen la aceleración del niño y la fuerza horizontal de fricción que actúa sobre él? ¿Cuánto vale el coeficiente de fricción µs mínimo necesario para evitar que el niño deslice sobre el carrusel? T = 10s
v=
2πr T
v=
2π · 2m 10s
p = 2πr
v = 1,26m/s
ac =
v2 r
ac =
(1,26m/s)2 2m
ac = 0,79m/s2 Fc = mac Fc = 40kg · 0,79m/s2 Fc = 31,6 Para el coeficiente de fricción mínimo, Ff = Fc , por lo que: = c Ff = µ mg ma
µg = ac
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µ=
ac g
µ = 0,08 21. Un vehículo acelera a 2,0m/s2 de manera constante. Del techo del vehículo cuelga una masa de 0.20 kg suspendida de una cuerda. Halle los valores del ángulo que la cuerda forma con la vertical y de la tensión de la cuerda. → P− Fx = 0 → P− Fy = 0 T senθ − ma = 0 T cosθ − mg = 0 mg T = cosθ mg senθ = ma cosθ mgtanθ
= ma
tanθ =
a g
tanθ = 0,204 θ = 11,53◦
T =
mg cosθ
T =
0,2kg · 9,8m/s2 cos11,53◦ 20
T = 2N
21
