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Distribución Normal
1. Las calificaciones de un examen estándar de ingreso a una Universidad están normalmente distribuidas con media de 78 y varianza de 36. a. Cuál es la probabilidad de que una persona que presente dicho examen alcance calificaciones superiores a 72 (Rta: 0,1587 ) b. Suponga que los estudiantes que alcanzan el 10% más alto de esta distribución reciben una calificación de A. Cuál es la calificación mínima que el estudiante debe recibir para ganar la calificación de A. (Rta: 85,68) 2. Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal con media 100 y desviación típica 15. a. Determinar el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95 y 110. (Rta: 37,81%) b. ¿Qué intervalo centrado en 100 contiene al 95% de la población? (Rta: (70,6129,4)) c. En una población de 2500 individuos ¿cuántos individuos se esperan que tengan un coeficiente superior a 125? (Rta: 119 individuos) 3. La empresa Toby Truck determina que, en una base anual, la distancia recorrida por camión se distribuye normalmente con una media de 50.000 km y una desviación estándar de 12.000 km. a. Qué proporción de camiones se espera que recorra entre 34.000 y 50.000 km en el año. (Rta. 40,88%) b. Qué porcentaje de camiones espera que recorran por debajo de 30.000 km en el año. ( Rta. 4.78%) c. Cuantas millas habrán sido recorrídas por al menos el 80% de los camiones. (Rta. 39.900 km) 4. Un análisis estadístico de las llamadas de larga distancia realizadas desde la oficina de una corporación indica que la duración de esas llamadas se distribuye normalmente con una media de 240 segundos y una desviación estándar de 40 segundos a. Cuál es la probabilidad de que una llamada ayuda durado menos de 180 segundos.? (Rta. 0.0668) b. Cuál es la probabilidad de que una llamada específica haya durado entre 180 y 300 segundos? (Rta. 0.8664) c. Cuál es la probabilidad que la llamada hayan durado más de dos 260 segundos? (Rta. 0.3085) d. Cuál es la duración de una llamada en particular si sólo el 1% de todas las llamadas son más cortas (Rta. 146,95 minutos) 5. Un productor de jugo de naranja compra todas sus naranjas de un gran cultivador. La cantidad de jugo exprimido de cada una de esas naranjas se distribuye aproximadamente de forma normal con una media de 4.7 onzas y una desviación estándar de 0.4 onzas. a. Cuál es la probabilidad de que una naranja elegida aleatoriamente contenga entre 4.7 y 5.0 onzas. (Rta. 0,2734)
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b. Cuál es la probabilidad de que una naranja elegida aleatoriamente contenga más de 5.5 onzas. (Rta. 0.0228) c. El 77% de las naranjas contendrán por lo menos cuántas onzas de jugo (Rta. 5 onzas) Teorema del Límite Central
6. El tiempo en que el cajero de un banco atiende a un cliente es una variable aleatoria con media µ=3.2 minutos y una desviación estándar !=1.6 minutos. Si se observa una muestra aleatoria de 64 clientes, encuentre la probabilidad de que su tiempo medio con el cajero sea: a. como lo máximo 2.7 minutos. b. más de 3.5 minutos. c. al menos 3.2 minutos, pero menos de 3.4 minutos. 7. Hay 40 estudiantes en un curso de estadística básica. Con base en los años de experiencia el profesor sabe que el tiempo para calificar un examen seleccionado al azar es una variable aleatoria con valor esperado de 6 minutos y desviación estándar de 6 minutos. a. Si los tiempos para calificar son independientes y el profesor empieza a calificar a las 6:50 pm y lo hace en forma continua. Cual es la probabilidad de que termine de calificar antes de que empiecen las noticias de las 11:00 pm por TV? b. Si la sección deportiva empieza a las 11:10 pm. Cual es la probabilidad de que se pierda parte de esa sección, si espera hasta terminar para encender el televisor? Distribución binomial aproximada usando la normal
8. En una encuesta de 1002 individuos, 701 dijeron que habían votado en una elección presidencial reciente (según datos del ICR Research Group). Los registros de votos indican que el 61% de los votantes potenciales realmente votaron. Dado que el 61% de los votantes potenciales realmente votaron, calcule la probabilidad de que entre 1002 votantes potenciales seleccionados al azar, al menos 701 hayan votado realmente. ¿Qué sugiere el resultado? 9. El cobro por los anuncios en un programa de televisión se basa en el número de televidentes, el cual se mide por medio del índice de audiencia. El índice de audiencia es un porcentaje de la población de 110 millones de hogares con televisor. El programa de televisión 60 Minutes de la CBS recientemente tuvo una audiencia del 7.8%, lo que indica que el 7.8% de los hogares estaban sintonizando ese programa. Un anunciante realiza una encuesta independiente de 100 hogares y descubre que sólo 4 de ellos estaban sintonizando 60 Minutes . Suponiendo que la audiencia de 7.8 es correcta, calcule la probabilidad de encuestar de manera aleatoria 100 hogares y encontrar que 4 o menos están sintonizando 60 Minutes . ¿El resultado sugiere que la audiencia de 7.8% es demasiado alta? ¿El anunciante tiene bases para reclamar un reembolso argumentando que el tamaño de la audiencia se exageró?
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10. Experimento de hibridación de Mendel. Cuando Mendel realizó sus famosos experimentos de hibridación, utilizó plantas de guisantes con vainas verdes y vainas amarillas. Uno de los experimentos implicó una cruza de guisantes, de manera que se esperaba que el 25% (o 145) de los 580 vástagos de guisantes tuvieran vainas amarillas. En vez de ob- tener 145 plantas de guisantes con vainas amarillas, obtuvo 152. Suponiendo que el por- centaje del 25% de Mendel es correcto, estime la probabilidad de obtener al menos 152 plantas de guisantes con vainas amarillas entre los 580 vástagos de guisantes. ¿Existe una fuerte evidencia que sugiera que la probabilidad del 25% de Mendel es incorrecta? Intervalos de Confianza Para la media con conocido
11. Una empresa de material eléctrico fabrica bombillas de luz que tienen una duración aproximadamente normal, con una desviación estándar de 40 horas. Si una muestra de 30 bombillas tiene una duración promedio de 780 horas, encuentre un intervalo de confianza de 96% para la media de la población de todas las bombillas que produce esta empresa. 12. El gerente de una tienda de artículos para pintar quiere estimar la cantidad real de pintura contenida en lata de un galón compradas a un proveedor conocido a nivel Nacional. Se sabe, a partir de las especificaciones del fabricante, que la desviación estándar de la cantidad de pintura es igual a 0.02 galones. Se selecciona una muestra aleatoria 50 latas y la media muestral de la cantidad de pintura contenida en una lata es de 0.995 por galón. Construya una estimación del intervalo de confianza del 99% de la media poblacional de la cantidad de pintura contenida en las latas de un galón. 13. El dueño de un restaurante que sirve comida rápida desea establecer un intervalo para la cantidad promedio de dinero que gastan sus clientes. En un estudio realizado previamente se obtuvo que la desviación estándar poblacional era de $7.200. Se tomó una muestra de 60 clientes y se obtuvo que la cantidad gastada en promedio fue de $25.800. Construya un intervalo de confianza con un nivel de confianza del 90% para la cantidad de dinero gastado por los clientes en dicho restaurante. Para la media con
desconocido (Se conoce S)
14. Las estaturas de una muestra aleatoria de 50 estudiantes hombres de una universidad muestra una media de 174.5 cm y una desviación estándar de 6.9 cm. Construya un intervalo de confianza con un nivel de confianza el 98% para la estatura media de todos los estudiantes de la universidad. 15. Una empresa aseguradora vende un seguro de vida, cuyo proceso de aprobación consiste en suscribir, lo que incluye revisar la solicitud, realizar un control del centro de formación médica, realizar posibles peticiones para información médica adicional y exámenes médicos, y una fase de compilación de la póliza, donde las páginas de la póliza se generan y se envían para su entrega. Para la empresa, la capacidad de entrega oportuna de las pólizas aprobadas a los clientes es esencial para la rentabilidad
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de este servicio. Se seleccionó una muestra aleatoria 27 pólizas aprobadas durante el periodo de un mes ,el tiempo promedio de procesamiento de dichas pólizas fue de 43,9 días y la desviación estándar muestral fue de 25.3 dias. Construya una estimación del intervalo de confianza del 95% de la media del tiempo de procesamiento. 16. En un laboratorio clínico se está desarrollando un proyecto para reducir el tiempo de procesamiento de las pruebas. Después de incorporar cambios al proceso, el equipo de mejoramiento de calidad recolectó una muestra de 50 tiempos de procesamiento. En esta muestra, la media del tiempo de procesamiento fue de 32 horas con una desviación estándar muestral de 9 horas. Construya un intervalo de confianza con un nivel de confianza del 92% para la media poblacional del tiempo de procesamiento de las pruebas. Para la proporcion poblacional
17. Millones de estadounidenses organiza sus planes de viaje en Internet. En una encuesta reciente, se reportó que el 77% de los encuestados compra boletos de avión en Internet. Suponga que la encuesta se basó en mil sujetos que respondieron. Construya una estimación del intervalo de confianza del 95% para la proporción poblacional de estadounidenses que compra boletos de avión en Internet. 18. Una empresa telefónica desea estimar la proporción de hogares en los que se contrataría una línea telefónica adicional. Se seleccionó una muestra aleatoria de 500 hogares. Los resultados indican que a un costo reducido, 135 de los hogares contratarían una línea telefónica adicional. Construya un intervalo con un nivel de confianza del 90% para la proporción poblacional de hogares que contratarían una línea telefónica adicional 19. El departamento de recursos humanos de una empresa de cosméticos realizó una encuesta entre las mujeres trabajadoras. De 1000 mujeres encuestadas, El 55% pensaba que las empresas deberían reservar los puestos durante seis meses o menos para aquellas con permiso de maternidad. Construya un intervalo de confianza del 95% para la proporción de mujeres que creen que las empresas deberían reservar los puestos durante seis meses o menos para aquellas con permiso de maternidad. Determinación del tamaño de la muestra para estudios sobre la media
20. Se planea llevar a cabo una encuesta para determinar el tiempo medio que ven televisión los ejecutivos corporativos. Una encuesta piloto indicó que el tiempo medio por semana es de 12 horas, con una desviación estándar de tres horas. Se desea calcular el tiempo medio que ven televisión con un margen de error de un cuarto de hora. Utilizando un nivel de confianza del 95%, a. Determine el tamaño de la muestra de ejecutivos que debe entrevistarse. b. Suponga que los ejecutivos de una gran compañía son 700. ¿Cuántos ejecutivos deberían encuestarse para hacer el estudio?
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21. Un procesador de zanahorias corta las hojas, lava las zanahorias y las inserta en un paquete. En una caja se guardan 20 paquetes para enviarse. Para controlar el peso de las cajas se revisaron unas cuantas. El peso medio fue de 20.4 libras libras y la desviación estándar de 0.5 libras. ¿Cuántas cajas debe tener la muestra para conseguir con un nivel de confianza del 90%, que la media de la muestra no difiera de la media de la población en más de 0.2 libras? Determinación del tamaño de la muestra para estudios sobre la proporción
22. Suponga que el presidente de Estados Unidos desea un cálculo de la proporción de la población que apoya su actual política relacionada con la revisión del sistema de seguridad social. El presidente quiere que el cálculo tenga un margen de error de máximo 4% de la proporción real. Suponga un nivel de confianza del 92%.determine el tamaño de la muestra suponiendo que la proporción que apoya la actual política es de 0.6 De qué tamaño debe ser la muestra si no hubiera disponible ningún estimador de la proporción que apoya la actual política? 23. Las encuestas anteriores revelan que 30% de los turistas que van a Las Vegas a jugar durante el fin de semana gasta más de 1000 dólares. La gerencia desea actualizar este porcentaje. El nuevo estudio utilizará un nivel de confianza del 90%. El margen de error será de máximo 1% de la proporción de la población. a. ¿Cuál es el tamaño necesario de la muestra? b. La gerencia indicó que el tamaño de la muestra determinado es demasiado grande. ¿Qué se puede hacer para reducir la muestra? con base en su sugerencia, vuelva a calcular el tamaño de la muestra. c. Si el estudio se centrará solamente en un hotel que recibe 500 huéspedes cada fin de semana. Calcule nuevamente el tamaño de la muestra. Pruebas de Hipótesis Para la media con conocido
24. Un fabricante de chocolates utilizan máquinas para empacar los dulces conforme pasan por una línea de llenado. A pesar de que los paquetes están etiquetados con un contenido de 8 onzas, la empresa quiere que tengan 8.17 onzas, de tal manera que virtualmente ninguno los paquetes tenga menos de ocho onzas. De forma periódica se selecciona una muestra de 50 paquetes y si se encuentran evidencia de que la cantidad media suministrada es distinta de 8.17, se detiene el proceso de empacado. Suponga que la cantidad media abastecida en una muestra particular de 50 paquetes es de 8.159 onzas. La desviación estándar poblacional es de 0.05. Existe evidencia de que la cantidad media poblacional es diferente de 8.17 utilice un nivel de significancia de 0.05. 25. El Gerente de producción de una fábrica de telas necesita determinar si una máquina recién adquirida está produciendo cierto tipo específico de tela de acuerdo con las especificaciones de la empresa, las cuales señalan que debe tener una resistencia a la ruptura de 70 libras y una desviación estándar de 3.5 libras. Una muestra 49 pedazos de tela reveló una resistencia muestral media a la ruptura de 69.1 libras. Existe evidencia
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de que la máquina no está cumpliendo con las especificaciones del fabricante en cuanto la resistencia media a la ruptura. Utilice un nivel de significancia de 0.01. 26. La división de inspectores del departamento de pesos y medidas está interesada en determinar si en las botellas de 2 litros procesadas en la planta embotelladora local, perteneciente a una reconocida empresa, se ha colocado la cantidad apropiada de bebida gaseosa. La embotelladora informó a la división de inspectores que la desviación estándar de las botellas de 2 litros es de 0.05. Una muestra aleatoria conformada por 100 botellas de 2 litros, tomada de la planta embotelladora, señala una media muestral de 1.99 litros. Con un nivel de significancia 0.05, ¿existe evidencia que la cantidad medianas botellas es distinta de 2 litros? Para la media con
desconocido 27. En un artículo del USA Today (19 de junio de 2002) se afirmó que la media de una visita
típica al supermercado es de 22 minutos. Suponiendo que se pretende probar dicha afirmación, usted selecciona una muestra de 50 compradores en el supermercado local. El tiempo de compras medio para la muestra de 50 compradores fue de 25.36 minutos, con una desviación estándar muestral de 7.24 minutos. Utilizando un nivel de significancia de 0.10 ¿existen evidencias de que el tiempo de compras medio del supermercado local es distinto al valor de 22 minutos que se afirma? 28. Una máquina expendedora de gaseosas fue diseñada para descargar en promedio siete onzas de líquido por vaso. En una prueba de la máquina, 10 vasos de líquido se sacaron de la maquina y se midieron. La media y la desviación estándar de las 10 mediciones fueron 7.1 onzas y 0.12 onzas respectivamente. Utilizando un nivel de significancia de 0.10 ¿Estos datos presentan suficiente evidencia para indicar que la descarga media difiere de siete onzas? 29. Las políticas de una sucursal bancaria especifican que sus cajeros automáticos deben contener efectivo suficiente para satisfacer a los clientes que hacen retiros durante todo el fin de semana. La aceptación del cliente depende de que tales servicios satisfagan sus necesidades. En esta sucursal la cantidad media poblacional de dinero retirado el cajero automático por transacción durante el fin de semana es de $160.000. Suponga que en una muestra de 36 transacciones, se descubre que la cantidad media muestral de dinero retirado es de $172.000, con una desviación estándar de $30.000. Utilizando un nivel de significancia 0.05, ¿existen evidencias para creer que la cantidad media poblacional retirada es mayor a $160.000?. Para la proporción
30. Uno de los principales desafíos que enfrentan los comercializadores por Internet es su capacidad para convertir a los visitantes en compradores. Esto se mide mediante la tasa de conversión, que es el porcentaje de visitantes que compra algo al visitar el sitio. Un artículo reciente informó que la tasa de conversión de una famosa empresa fue del 10.1%. Se seleccionó una muestra aleatoria 200 visitantes a este sitio de los cuales 24 visitantes realizaron una compra. Elaborar una prueba de hipótesis con un nivel de
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significancia 0.05 y responder si existe evidencia de un aumento en la tasa de conversión de dicha página. 31. Actualmente, las mujeres profesionales están renunciando a la maternidad, ante las limitantes de tiempo que implica su desarrollo profesional. Aún así, muchas mujeres todavía encuentran la manera de ascender en la escala corporativa y dedicar tiempo para tener hijos. Una encuesta realizada a 187 mujeres profesionales asistentes a un evento, reveló que 133 tenía por lo menos 1 hijo. Suponga que el grupo de 187 mujeres es una muestra de una población compuesta por todas las mujeres ejecutivas exitosas. Con un nivel de significancia 0.05, es posible afirmar que más de la mitad todas las mujeres ejecutivas exitosas tienen hijos? 32. Si la producción diaria de una máquina en una fábrica produce más de un 10% de artículos defectuosos, es necesario reparar la máquina. Se tomó una muestra aleatoria de 120 piezas de la producción del día, la cual contiene 18 piezas defectuosas. Utilizando un nivel de significancia de 0.01 determine si la máquina debe entrar a proceso de reparación. Pruebas de Hipótesis Chi Cuadrado – Prueba de Independencia
33. Un estudio de la cantidad de violencia en televisión en lo que respecta a la edad del televidente dio los resultados que se muestran en la siguiente tabla, para 81 personas. Cada una de las personas del estudio fue clasificada, de acuerdo con los hábitos de ver televisión de la persona, como que ve poca violencia o mucha violencia. Con un nivel de significancia de 0.05 determine si ver violencia depende o no de la edad del televidente. Edad Ve 16-34 35-54 55 y más Poca Violencia 8 12 21 Mucha Violencia 18 15 7 34. En una universidad se está estudiando la implementación de una nueva política de estacionamientos dentro de la universidad. Se llevó a cabo una encuesta dentro de los estudiantes, profesores y personal administrativo con respecto a si estaban a favor o si se oponían a dicha política. Los resultados se presentan en la siguiente tabla. Probar con un nivel de significancia del 0.025 si la actitud ante la nueva política es independiente de la condición de estudiante profesor o empleado de la administración. Condición Opinión Estudiante Profesor Administración A favor 252 107 43 Se opone 139 81 40 35. De acuerdo con un estudio llevado a cabo, la mayoría de las personas piensan que son buenos conductores. Los datos de la tabla siguiente muestran las opiniones según el género. Pruebe con un nivel de significancia de 0.05 si la opinión de sí mismo como conductor es independiente del género.
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Opinión de si mismo como conductor Excelente Bueno Regular 43 48 9 44 53 3
Género Hombre Mujer Regresión Lineal
36. El propietario de una empresa de mudanzas en la ciudad generalmente pide al subgerente más experimentado que prediga el número total de horas de trabajo para realizar una mudanza. Éste enfoque ha probado ya su utilidad, pero el dueño quiere desarrollar un método más preciso para predecir las horas de trabajo usando la cantidad de pies cúbicos por mudanza. En un esfuerzo preliminar para desarrollar un método más preciso, se han recolectado datos de 36 mudanzas en las que el origen y el destino se encontraban dentro de la ciudad, y el tiempo de viaje era una parte insignificante de las horas trabajadas. En la siguiente tabla se presentan los datos. !"#$% "# %('$ ",'"$ "$ & "* "" %%'"$ $* %" (+')$ #*
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Para que puedan desarrollar este punto en Excel los datos se incluyen también en el archivo MOVING.XLS. a. Construya un diagrama de dispersión, ¿que se puede afirmar? b. Suponiendo una relación lineal, utilice utilice el método de los mínimos cuadrados para encontrar los coeficientes de la regresión b 0 y b1 c. Interprete el significado de la pendiente b 1 en este problema. d. Prediga la media de horas de trabajo para una mudanza de 500 pies cúbicos 37. Una gran casa de envíos por correo considera que existe una relación lineal entre el peso el correo que recibe y el número de ordenes que debe llenar. Desea investigar la relación para predecir el número de órdenes con base en el peso del correo. Desde una perspectiva operacional, conocer el número de ordenes ayudará a la planeación del proceso de llenar órdenes. Se seleccionó una muestra 25 embarques de correo dentro de un rango de 200 a 700 libras. Los resultados son los siguientes. ')%" *)+ ,(-#$%. "%, "+( "() "*(
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Para que puedan desarrollar este punto en Excel los datos se incluyen también en el archivo MAIL.XLS. a. Construya un diagrama de dispersión, ¿que se puede afirmar? b. Suponiendo una relación lineal, utilice utilice el método de los mínimos cuadrados para encontrar los coeficientes de la regresión b 0 y b1 c. Interprete el significado de la pendiente b 1 en este problema. d. Prediga la media del número de órdenes si el peso del correo es de 500 libras 38. Al propietario de una cadena de tiendas de helados le gustaría estudiar el efecto de la temperatura atmosférica en las ventas durante la temporada de verano. Se seleccionó una muestra de 21 días consecutivos los datos se presentan a continuación. Para que puedan desarrollar este punto en Excel los datos se incluyen también en el archivo ICECREAM.XLS. a. Construya un diagrama de dispersión, ¿que se puede afirmar? b. Suponiendo una relación lineal, utilice utilice el método de los mínimos cuadrados para encontrar los coeficientes de la regresión b 0 y b1 c. Interprete el significado de la pendiente b 1 en este problema. d. Prediga las ventas para un día en que la temperatura sea de 83ºF 4)56)#$78#$ ,( )* )( )$ +* +" +$
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