STATISTI ČKA OBRADA REZULTATA MERENJA
Pod merenjem se podrazumeva nalaženje brojnog odnosa veli čine koja se meri prema jednom usvojenoj jedinici. Bitna karakteristika karakteristika merenja su kvaliteti kvaliteti merenja: istinitost (ta čnost), preciznost (oštrina), osetljivost (senzitivnost), vernost (repetabilnost) i pouzdanost (reproduktivnost). Istinitost ili ta č nost nost merenja predstavlja najve će postignuto približavanje stvarnoj vrednosti merene veli čine. Za vrednost najbližu stvarnoj uzima se srednja vrednost velikog broja merenja od strane više istraživa ča u više laboratorija i koriš ćenjem više metoda. Preciznost Preciznost merenja ili instrumenta definisana je kao veli čina odstupanja pojedina čnih rezultata od srednje vrednosti. Kvantitativna mera preciznosti je standardna devijacija (SD), s, koja se koristi kao mera preciznosti metode odre đivanja, ili relativna standardna devijacija (RSD). Najpreciznije merenje ne mora da bude potpuno ta čno, ali svako ta čno merenje mora imati dovoljnu preciznost.
Srednja vrednost N merenja :
gde je: xi – pojedina čno merenje; N- broj merenja. Standardna devijacija srednje vrednosti, s definiše se slede ćom formulom (koristite kalkulator (ili excel: STDEV) da dobijete s):
Relativna standardna devijacija ili koeficijent varijacije (KV) izražava se u procentima i definiše se kao odnos standardne devijacije i srednje vrednosti pomnožen sa 100 %:
Slika 1. Predstavljanje preciznosti i ta čnosti
Osetljivost instrumenta, metode ili merenja uopšte data je promenom indikatorskog parametra sa promenom mernog parametra. Oslikava reagovanje pri promeni vrednosti veli čine koja se meri. Vernost ili repetabilnost je osobina da pri višestrukom ponavljanju merenja jednog istraživača na istom instrumentu i istom metodom daje što približnije rezultate. Merilo je ispravnosti instrumenta i uslova rada.
Pouzdanost ili reproduktivnost ukazuje da se pri višestruko ponovljenim serijama merenja postižu što približniji rezultati čak i pri promeni istraživača, uslova rada, instrumenta i metode. Nepouzdanost obi čno ukazuje na postojanje grubih grešaka.
Svaki rezultat merenja mora se posmatrati kao interval u kome se nalazi merena vrednost. Odstupanje rezultata merenja od ta čne vrednosti naziva se greška merenja. Greške se dele na grube, sistematske i slu čajne. Grube greške se ne razmatraju u teoriji grešaka.
Sistematske greške nastaju usled jednog ili više faktora koji deluju na takav na čin da se prakti čno ne menjaju tokom eksperimenta i na isti na čin ulaze u rezultat. Izvori ovakvih grešaka su: 1. Greške u vezi sa spoljašnjom okolinom, 2. Instrumentalne greške zbog neispravnosti aparature, 3. Greške usled neta čnosti baždarenih konstanti pribora i približne ta čnosti univerzalnih konstanti, 4. Greške uslovljene individualnim svojstvima eksperimentatora, 5. Greške unete metodom zbog približnosti teorijskih odnosa koji povezuju veli čine opažene eksperimentom sa veli činama koje su od interesa. U mnogim slučajevima ove greške se mogu delimi čno ili potpuno otkloniti. Sluč ajne greške postoje pri svim merenjima i nastaju kao rezultat manjeg ili ve ćeg broja uzroka i faktora, čiji se intenzitet i smer dejstva menjaju u toku merenja. Zbog svoje prirode posmatraju se kao slu čajne veli čine i tretiraju teorijom statistike i verovatno će.
Gauss-ova raspodela Ako sistematske i instrumentalne greške svedemo na najmanju mogu ću meru ukupna greška rezultata je odre đena slučajnom greškom. Usled ponavljanja merenja,veliki broj puta, dobijamo male razlike u rezultatima usled slučajnih fluktuacija u okolini (temperature, pritiska, ...). Ako sada te rezultate svrstamo u grupe bliskih vrednosti i ako se broj merenja u svakoj grupi nanese na ordinatu, a merne vrednosti grupa na apscisu, dobija se histogram. Ako bi broj merenja bio beskona čno veliki, a rezultati svrstavani u beskona čno uske grupe, dobili bismo raspodelu rezultata po Gausovoj krivoj (kriva normalne raspodele). Kriva je simetri čna oko srednje vrednosti beskona čno velikog broja merenja. Broj merenja sa manjim
odstupanjem je veći od broja merenja sa ve ćim odstupanjem. Udaljenost svake ta čke od srednje vrednosti naziva se standardnom devijacijom, s.
68 % svih rezultata se nalazi u intervalu x ± 1s 95.5 % svih rezultata se nalazi u intervalu x ± 2s 99.7 % svih rezultata se nalazi u intervalu x ± 3s
Pomoću Gausove raspodele nalazimo verovatno ću da se rezultati merenja na đu u nekom simetri čnom intervalu oko srednje vrednosti. Dobija se integracijom funkcije koja opisuje Gausovu raspodelu na intervalu –a do a. Gausova raspodela se koristi za broj merenja ve ći od 30.
Slika 2. Gausian – matemati čka kriva koja opisuje simetri čnu ili normalnu raspodelu
X i R kontrolne karte Kontrolna karta je prezentacija podataka u kojoj su kontrolne vrednosti postavljene u odnosu na seriju uzoraka ili vreme. Kontrolna karta ima: •
Centralnu liniju (predstavlja srednju vrednost svih merenja);
•
Gornja i donja granica upozorenja (definiše interval u kojem je 95.5 % verovatno će da će se naći kontrolna vrednost);
•
Gornja i donja granica akcije (definiše interval u kojem se o čekuje najve ći broj (99.7 %) kontrolnih vrednosti).
Slika 3. Kontrolna karta X-karta (kontrolna karta srednje vrednosti) – analiza istog uzorka u svakoj seriji, i predstavljanje rezultata (ili srednje vrednosti rezultata) u odnosu na vreme ili na broj uzorka. Kontrolna vrednost je srednja vrednost koja definiše centralnu liniju. Za konstruisanje X karte neophodni su: 1. 20 početnih rezultata 2. Srednja vrednost 20 rezultata (ili o čekivana srednja vrednost) 3. Standardna devijacija 20 rezultata (s) Izračunati 2s kao i 3s •
Centralna linija (CL) = srednja vrednost, ili o čekivana srednja vrednost
•
Granica upozorenja = CL ± 2s
•
Granica akcije = CL ± 3s
Slika 4. X kontrolna karta R-karta (za ponovljivost merenja) – analiza istog uzorka 2 ili više puta u svakoj seriji (uslovi ponovljivosti) da bi se potom opseg predstavio grafi čki u odnosu n vreme. Kontrolna vrednost predstavlja stoga opseg rezultata kontrolnog uzorka (srednja vrednost svih razlika merenja u dve serije). Za konstruisanje R karti neophodni su: 1. 2. 3. 4. 5.
Najmanje 20 rezultata Srednja vrednost opsega (R sr) Centralna linija = R sr Gornja granica akcije = D 4 * Centralna linija Donja granica akcije = D 3 = 0 (bazna linija je na x-osi)
Konstanta D4 = 3.27 (za 2 ponavljanja)
Slika 5. R kontrolna karta
Primer: Grupa uzoraka 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Podaci za X kartu:
CL – 496.8 s- 7.5 Granica upozorenja =496.8 � 15 Granica akcije = 496.8 ± 22.5
x1 491 497 498 492 498 510 506 492 491 497
x2 493 497 501 485 493 505 512 487 488 503
R=| x1-x2| 2 0 3 7 5 5 6 5 3 6
Podaci za R kartu:
Rsr = 3.9 Gornja granica akcije = 3.27 * 3.9 = 12.75 Donja granica akcije = D 3 = 0 (bazna linija je na x-osi)
