Lista 5 de CF368 - Eletromagnetismo I Fabio Iareke 14 de outubro de 2013
Exerc´ Exerc´ıcios propostos prop ostos pelo p elo prof. Ricardo Luiz Viana fpr.br>, retirados de [1]. c˜oes oes (Solu¸c˜ c˜aaoorlv ) foram ’baseadas’ na resolu¸c˜ cao ˜ao do professor. Obs.: Resolu¸c˜
Cap´ ıtul ıt ulo o 7 7-1 A taxa m´axima axima de corrente de um fio de cobre de ´area area reta de 2 mm 2 ´e de 20 A. (a) Qual a densidade de corrente que corresponde em A/m2 ? (b) Supondo Supondo que que cada atomo a´tomo de cobre contribui com um el´ e l´etron etron de condu¸ c ondu¸c˜ c˜ao, ao, calcule a velocidade de deslocamento eletrˆonica onica correspondente pondente a essa densidade densidade de corrente. corrente. (N´ umero umero de Avogadro: N 0 = 6, 02 × 103 atomos ´atomos por 3 mol; peso atˆ omico omico do cobre: 63, 63 , 5; densidade do cobre: 8, 8, 92 g/cm .) (c) Use a condutividade observada observada para calcular o tempo m´ edio edio de colis˜ao ao para um el´etron etron no cobre. Solu¸ c˜ cao a ˜orlv :
(a) J = (b) 1 mol V =
−
I 20 = = 10 7 A/m2 − 3 2 A 2 × (10 )
µ = 63 63,, 59 − N 0 = 6, 02 × 1023 el´ el´etro et rons ns
µ = 7, 7 , 12 cm3 ρm J = N ev
⇒
N =
⇒
v =
N 0 = 8, 45 el´etron et rons/ s/m m3 V
J = 7, 39 × 10−4 m/s Ne
(c) g =
N e2 τ 1 = m η
⇒
τ = 2, 2 , 52 × 10−10 s
7-2 A condutividade condutividade da agua a´gua do mar ´e de aproximadamente aproximadamente 4, 3 (Ωm)−1 . (a) Encontre Encontre a densidade de corrente num recipiente de 1 cm de comprimento, com se¸c˜ c˜ao ao reta de 1 cm2 de area, ´area, quando 3 V forem aplicados. (b) Calcule a velocidade m´edia edia de deslocamento, deslo camento, supondo que a concentra¸c˜ cao a˜o de ´ıons ıon s ´e de 2 por po r cento. cento . Solu¸ c˜ cao a ˜orlv :
(a) E = J = gE = gE =
∆ϕ l
g ∆ϕ = 1290 A/m2 l 1
(b) portadores
Na+ Cl−
q = +e → N + q = −e → N −
N + = N − = N v− = J
v+ ≈ −
N i q ivi = N + q +v+ + N − q −v−
≈
2eNv
i
N = 0, 02N ´agua
N a´gua = 2N H + N O = 3, 52 × 1028 mol´eculas/m 3 v =
J = 5, 72 × 10−6 m/s 2eN
7-3 Duas placas paralelas de metal, planas e infinitas, est˜ ao separadas por uma distˆancia d. O espa¸co entre as placas ´e preenchido por dois meios condutores, sendo a interface entre os meios um plano que ´e paralelo `as placas met´alicas. O primeiro meio (condutividade g1 , permissividade 1 ) tem a espessura a e o segundo (condutividade g 2 , permissividade 2 ) ´e de espessura d − a. As placas met´ alicas se mantˆem a potenciais ϕ1 e ϕ1 , respectivamente. No estado estacion´ario, qual o potencial da interface que separa os dois meios e qual a densidade superficial de carga nesta interface? 7-4 Um sistema de cargas e correntes est´ a completamente contido no interior do volume fixo V . O momento de dipolo da distribui¸c˜ao de carga-corrente (veja a Se¸c˜ao 2-9) ´e definido por
p
r ρ dV ,
V
onde r ´e o vetor posi¸ca˜o a partir de uma origem fixa. Prove que
d J J dV = p dt V
(Sugest˜ ao: Prove primeiro a identidade
V
J J dV =
· n r J ˆ dS −
S
r
J dV ∇ · J
V
e observe que J se anula sobre a superf´ıcie S.) 7-6 Um capacitor de placas paralelas ´e preenchido com um material de constante diel´etrica K e condutividade g. Ele est´ a carregado com uma carga inicial Q. (a) Demonstre que a carga deixa as placas como uma fun¸ca˜o exponencial do tempo. (b) Demonstre que a produ¸c˜ao total de calor por efeito Joule ´e igual `a energia eletrost´atica armazenada inicialmente. (c) Qual ser´a a constante de tempo para a descarga se o material for ´oxido de sil´ıcio? (Veja as Tabelas 4-1 e 7-1.) Solu¸ ca ˜orlv :
(a) A l Q = C ∆ϕ
C = 0 k
J = gE
→
2
I g∆ϕ = A l
I = −
dq ∆ϕ gA q = gA = dt l l C
dq g Aq l g =− =− q dt 0 k A l 0 k
dq q =− q 0 k
dt
∴
q (t) = Qe−gt/
0
k
(b) U (eletrost´atico) = U (calor) R = dU l P = = RI 2 = dt gA
l gA
dq dt
por efeito Joule
2
lQ2 g 2 dU = gA20 k 2
l = gA
Qge−gt/ − 0 k
e−2gt/
0
0
k
2
k
∴
lQ2 U = 2A0 k (c) τ = 381 s 7-7 Duas longas cascas cil´ındricas met´alicas (raios r1 e r2 com r2 > r1 ) est˜ ao dispostas coaxialmente. As placas s˜ao mantidas a uma diferen¸ca de potencial ∆ϕ. (a) A regi˜ao entre as cascas = gE , para calcular a ´e preenchida com um meio de condutividade g. Use a lei de Ohm, J corrente el´etrica entre comprimentos unit´arios das cascas. (b) Se a regi˜ao entre as cascas for preenchida com um meio n˜ao condutor de permissividade , a capacidade do sistema poder´a ser calculada a partir da defini¸ca˜o C = Q/∆ϕ. Demonstre explicitamente para esta geometria que o produto da resistˆ encia por unidade de comprimento pela capacidade por unidade de comprimento = /g. 7-8 A resistˆencia `as fugas de um cabo isolante de borracha ´e medida da seguinte maneira: um comprimento l do cabo isolado ´e imerso numa solu¸c˜ao de ´agua e sal, uma diferen¸ca de potencial ´e aplicada entre o cabo condutor e a solu¸ca˜o, e a corrente resultante no cabo ´e medida. Num caso particular, 3 m de cabo est˜ao imersos na solu¸c˜ao; com 200 volts entre o cabo condutor e a solu¸ca˜o, a corrente medida ´e de 2 × 10−9 A. A espessura do isolamento ´e igual ao raio do condutor central. Qual a resistividade do isolamento? Solu¸ ca ˜orlv :
b − a = a
∴
b = 2a
dados do problema
C =
q ∆ϕ
· n D ˆ da = q
D(2πr)L = q D = E q E = 2πrL 3
b
∆ϕ =
· dr = E
a
g
R =
b
a
dr r
ln 2 ln 2 R = = g 2π L g2πL
∴
∆ϕ I
2πL 2πL = ln(b/a) ln 2
C = RC =
q 2πL
∆ϕ ln 2 = I g2πL
→ ∴
g =
ln(2)I 2πL∆ϕ
7-9 Um longo fio de cobre de raio a ´e esticado paralelamente a uma placa infinita de cobre e a uma distˆ ancia h desta. A regi˜ao que est´a acima da placa e circundando o fio ´e preenchida com um meio de condutividade g. Demonstre que a resistˆencia el´etrica entre os dois eletrodos de cobre, por unidade de comprimento do fio, ´e dada por 1 R = cosh−1 2πg
h a
.
7-10 Uma esfera isotr´opica, homogˆenea, de condutividade g est´ a sujeita a um potencial ϕ 0 cos θ em todos os pontos de sua superf´ıcie. Aqui, θ ´e o ˆangulo polar usual medido em rela¸ca˜o a um eixo que passa pelo centro da esfera. Determine a densidade de corrente J em todos os pontos, no interior da esfera. 7-11 Dois eletrodos cil´ındricos de cobre, de raio a, est˜ao orientados normalmente para um disco de sil´ıcio de espessura s e est˜ao separados axialmente pela distˆancia b. Os eletrodos est˜ao imersos no disco at´e a profundidade s; em outras palavras, atravessam completamente o disco. As dimens˜ oes laterais do disco s˜ao grandes comparadas com b e podem ser consideradas infinitas. Tomando a condutividade do sil´ıcio como g, encontre a corrente entre os eletrodos quando sua diferen¸ca de potencial for ∆ϕ.
Referˆ encias [1] John R. Reitz, Frederick J. Milford, Robert W. Christy Fundamentos da Teoria Eletromagn´etica 3a edi¸c˜ao, Editora Campus Ltda. Rio de Janeiro
4
