Solusi Osn Matematika Provinsi 2011-2014

PRESTASI

OSN

DISUSUN OLEH

E. SIMBOLON (081 22 28 21 25 )

e51mb.blogspot.com [email protected]

IMO

SOLUSI

OLIMPIADE MATEMATIKA TK PROVINSI 2011

Disusun oleh : E. SIMBOLON

Pembahasan O OS SP SMP Tahun 2011 :

E. SIMBOLON

Pembahasan OSP Tahun 2011 Tingkat SMP

Pembahasan O OS SP SMP Tahun 2011 :

E. SIMBOLON

Pembahasan OSP Tahun 2011 Tingkat SMP Bidang Matematika

Bagian A : Soal Isian Singkat 1. Jika x adalah jumlah 99 bilangan ganjil terkecil yang lebih besar dari 2011 dan y adalah jumlah 99 bilangan genap terkecil yang lebih besar dari 6, maka x + y =

···

Jawaban Jaw aban : 219483

Karena x = 2013 + 2015 +

· · · + 2207 + 2209

2013 + 2209 2209 99 2 = 2111 99 =

·

·

dan y = 8 + 10 +

· · · + 202 + 204

8 + 204 99 2 = 106 99 =

·

·

Jadi, x + y = 2111 99 + 106 99

· = 2217 · 99

= 2217(100 = 221700

− 1)

− 2217 = 219483

2. Jika f adalah fungsi sehingga f (xy) = f (x

···

·

− y) dan f (6) = 1, maka f (−2) − f (4) =

Jawa Ja waban ban : 0

Berdasarkan sifat fungsi f diperoleh, f ( 2) = f (2 ( 1)) = f (2 + 1) = f (3)

−

·−

(1)

www.e51mb.blogspot.com ( E. SIMBOLON )

1

Pembahasan

Pembahasan

dan f (4) = f (4 1) = f (4

·

− 1) = f (3)

(2 )

Berdasark Berdasarkan an pers.(1) dan pers.(2) didapat f ( 2) = f (4), sehingga f ( 2) f (4) = 0

−

− − 3. Jika bilangan bulat x dan y dibagi 4 maka bersisa 3. Jika bilangan x − 3y dibagi 4 maka bersisa . . . Jawa Ja waban ban : 2 Alternatif 1

Karena x

≡3

( mod 4) dan y x

Jadi, x

≡ 3

( mod mod 4) mak maka

− 3y ≡ 3 − 3 · 3 ( mod 4) ≡ −6 ( mod 4) ≡ 2 ( mod 4)

− 3y jika dibagi 4 bersisa 2.

Alternatif 2

Misal, x = 4a + 3 dan y = 4b + 3 sehingga kita peroleh, x

Jadi, x

− 3y = 4a + 3 − 12b − 9 = 4a − 12b − 6 = 4(a − 3b − 2) + 2

− 3y jika dibagi 4 bersisa 2.

4. Perhat Perhatik ikan an gambar gambar berikut. berikut. Suatu Suatu lingk lingkaran aran berjari berjari - jari 2 satuan satuan berpu b erpusat sat di Suatu tu persegi persegi memil memilik ikii titi titik k sudut sudut di A dan satu titik sudut yang lain di A. Sua lingkaran. lingkaran. Di dalam persegi tersebut terdapat lingkaran lingkaran yang menyinggung menyinggung keemkeempat sisi persegi. p ersegi. Di dalam lingkaran lingkaran terdapat persegi p ersegi yang keempat keempat titik sudutnya berada berada di lingk lingkaran aran tersebut. tersebut. Di dalam dalam persegi persegi ini tedapat tedapat lingk lingkaran aran yang menymenyinggung keempat sisi persegi. Luas daerah yang diarsir sama dengan . . .

A

Jawaban : 3

−

3 4

π


2

Pembahasan

Pembahasan

Fokuskan perhatian pada bagian persegi saja, yaitu sebagai berikut

area I

area IV

area II

area III Misal, lingkaran besar berjari - jari R dan lingkaran yang kecil berjari - jari r . Maka 1 1 diperoleh R = 2 dan r = . Perhat Perhatik ikan an pula luas area I = luas luas area II = luas 2 2 area III = luas area IV. Sedang luas area I yaitu

√

1 1 π R2 R2 4 2 1 1 1 = ( π 2 ) 4 2 2 1 1 = ( π 1) 4 2

luas luas area area I =

· · − · · − · · −

Oleh karena itu, luas yang yang diarsi diarsirr = 2 =2

1 1 4 ( π 1) π 4 2 1 1 π + 1 π 2 4 3 π 4

− ·

− · =3−

· − − ·

1

2

2

− ·

5. Banyak bilangan tiga digit(angka) yang terdiri dari angka - angka 0, 2, 3, 5, 7, 8 yang lebih dari 243 dan kurang dari 780 adalah . . . Jawa Ja waban ban : 120

Kita bagi menjadi tiga kasus, I. Ratusan : angka 2 Pulu Pu luha han n : ada ada 3 kemun emungk gkin inan an yaitu aitu 5, 7 atau atau 8 Satua Satuan n : keke-66 angk angkaa yang yang terse tersedi diaa bisa bisa dipa dipak kai Jadi, untuk kasus I ada 1 x 3 x 6 = 18 kemungkinan. II. Ratusan Pulu Pu luha han n

: angka 7 : ada 5 kemun emungk gkin inan an yaitu aitu 0, 2, 3, 5 atau atau 7 www.e51mb.blogspot.com ( E. SIMBOLON )

3

Pembahasan

Pembahasan

Satua Satuan n : keke-66 angk angkaa yang yang terse tersedi diaa bisa bisa dipa dipak kai Jadi, untuk kasus II ada 1 x 5 x 6 = 30 kemungkinan. III III. Ra Ratus tusan : an anggka 3 atau tau 5 Puluh Puluhan an : keke-66 angk angka yang terse tersedi diaa bisa bisa dipak dipakai ai Satua Satuan n : keke-66 angk angkaa yang yang terse tersedi diaa bisa bisa dipa dipak kai Jadi, untuk kasus III ada 2 x 6 x 6 = 72 kemungkinan. Dari ketiga kasus di atas maka banyak bilangan tiga digit yang lebih dari 243 tetapi kurang dari 780 ada 18 + 30 + 72 = 120 bilangan. 6. Diketahui Budi adalah seorang siswa laki - laki dan Wati adalah seorang siswa perempuan perempuan.. Saat ini mereka mereka dudu duduk k di kelas kelas IX pada suatu sekolah. sekolah. Merek Mereka menmen3 catat banyak banyak siswa kelas IX di sekolah mereka. mereka. Wati mencatat 20 dari total siswa di kelas IX adalah laki - laki. Sedangkan menurut catatan Budi, 17 dari total siswa di kelas kelas IX selain selain dirin dirinya ya adalah adalah laki - laki. laki. Banya Banyak k siswa siswa laki - laki laki kelas kelas IX di sekolah mereka adalah . . . Jawa Ja waban ban : 18

Misal, banyak siswa laki - laki adalah L dan banyak siswa perempuan adalah P . Maka kita dapat, 3 ( P + L) = L 17L 3P = 0 (3) 20 dan 1 ( P + L 1) = L 1 6L P = 6 (4) 7 Dari pers.(3) dan pers.(4) diperoleh L = 18

⇔

−

− ⇔

−

−

7. Diketahui luas persegi ABCD adalah 25 m2 . Jika E , F dan G masing - masing adalah titik tengah AB , AD dan C D seperti pada gambar berikut, maka luas trapesium BHFE adalah adalah . . . m 2 G

D

C

H F

A

E

B

125 16 Untuk mempermudah bagilah persegi tadi menjadi seperti di bawah ini, Jawaban :


4

Pembahasan

Pembahasan

D

C H I

F

E

A

B

Terlihat bahwa persegi ABCD terdiri dari 16 segitiga siku - siku yang kongruen. 5 125 2 Sehingga luas trapesium BHFE adalah adalah x 25 = m 16 16 8. Tiga bilangan a,b,c dipilih sehingga ketika setiap bilangan ditambahkan ke rata rata dua bilangan lainnya maka berturut - turut hasilnya adalah 80, 90 dan 100. Rata - rata dari a, a, b, c adalah . . . Jawa Ja waban ban : 45

Dari keterangan pada soal diperoleh, a+

b + c

= 80

⇔

2a + b + c = 160

(5)

= 90

⇔

a + 2 b + c = 180

(6)

= 100 a + b + 2 c = 200 2 Jumlahkan ketiga persamaan di atas, maka didapat

(7)

dan b +

serta c +

2 a + c

2 a + b

⇔

4a + 4b + 4c = 540 yang berarti

a + b + c

3

= 45

9. Sebuah bilangan bilangan bulat diambil diambil secara acak dari x 5 x 10, x bilangan bulat . Peluang bahwa x adalah penyelesaia penyelesaian n pertidaksamaan pertidaksamaan x2 3x 2 adalah . . . 1 Jawaban : 4 Ruang sampelnya adalah bilangan bulat dari 5 sampai 10, jadi n(S ) = 16. 16. PerPerhatikan pula, agar x2 3x terdeﬁnisi haruslah x2 3x 0 x(x 3) 0.

{ | − ≤√ ≤ − ≤

−

√ −

Jadi x

− ≥

}

⇔

− ≥

≤ 0 atau x ≥ 3.

√ −

(8)

Selain Selain itu, itu, dari pertidak pertidaksama samaan an x2 3x 2 kuadratkan kedua ruas sehingga didapat x 2 3x 4 atau equivalen dengan x 2 3x 4 0 (x 4)(x + 1) 0,

− ≤

≤ − − ≤


⇔

−

≤

5

Pembahasan

Pembahasan

sehingga

−1 ≤ x ≤ 4

(9)

Berdasarkan (8) dan (9) serta fakta bahwa x bulat maka nilai x yang memenuhi adalah 1, 0, 3 dan 4. Jadi peluang terambil x adalah penyelesaian pertidaksamaan 4 1 = x2 3x 2 ialah 16 4

√ − − ≤

3 10. Misal n suatu bilangan asli dan x adalah bilangan bilangan riil positif. Jika Jika 2 x + − x 2 , maka nilai sama dengan . . . x + 14 n

n

2

−2 = 0

n

Jawa Ja waban ban : 4

√

Misal, ( x) = t maka persamaan n

2x +

3

n

x−

n

2

−2=0

equivalen dengan 2t2 + 3 x

−2=0 ⇔

(2t

− 1)(t + 2) = 0 √ Jadi, t = atau t = −2. Akan tetapi karena t = ( x) > 0 tidak mungkin t = −2, √ sehingga sehingga haruslah haruslah t = . Karena ( x) = t = maka x = . Oleh karena itu 1

n

2

1

1

n

2

n

2

2 x + n

1 4

=

2 1 + 4

1

1

4

=4

4

Bagian B : Soal Uraian 1. Saat Saat ini ini umur umur Agus Agus dan dan umur umur Fauzan auzan kurang kurang dari dari 100 100 tahun tahun.. Jik Jika umur umur Agus Agus dan Umur Fauzan ditulis secara berurutan, maka diperoleh suatu bilangan empat digit(angka) yang merupakan kuadrat sempurna. Dua puluh tiga tahun kemudian, jika jika umur mereka ditulis dengan cara yang sama, maka diperoleh bilangan empat digit lain yang juga merupakan kuadrat sempurna. Jika umur mereka diasumsikan bilangan bulat positif, berapa umur mereka sekarang? Jawaban :

Misal umur Agus 10a + b dan umur Fauzan 10c + d dengan 1 a, b, c, d adalah bilangan bulat. Maka kita peroleh serta a, 1000a + 100b + 10 c + d = m 2

≤ a, c ≤ 9, 0 ≤ b, d ≤ 9 (10)

untuk suatu bilangan bulat positif m. Setelah dua puluh tiga tahun, umur Agus adalah 10(a +2)+(b +3) sedangkan umur www.e51mb.blogspot.com ( E. SIMBOLON )

6

Pembahasan

Pembahasan

Fauzan ialah 10(c + 2) + (d + 3) sehingga diperoleh, 1000(a + 2) + 100(b + 3) + 10(c + 2) + (d + 3) = n 2

(11)

untuk suatu bilangan bulat positif n. Dengan mengurangkan pers.(11) dengan pers.(10) diperoleh n2

−m

2

= 2323

atau (n

− m)(n + m) = 23 · 101 (n + m) didapat n − m = 23 dan n + m = 101. 101.

karena (n m) < Denga engan n menyelesaikan kedua persamaan linier ini diperoleh m = 39 sehingga m2 = 1521. Jadi, umur Agus sekarang adalah 15 tahun, sedangkan umur Fauzan sekarang adalah 21 tahun.

−

2. Pada sebuah segiempat ABCD , sudut AB C , dan sudut DAC adalah sudut - sudut D AC adalah siku - siku. Jika Jika keliling keliling segiempat ABCD adalah 64 cm, keliling ABC adalah 34 cm dan keliling ACD AC D adalah 60 cm, berapakah luas segiempat ABCD ? Jawaban :

Misal panjang AB = p , BC = q , C D = r, DA = s dan AC = t. Gambar Gambar ilustrasi ilustrasi dari soal adalah sebagai berikut C r D t

q

s

A

p

B

Berdasarkan keterangan pada soal diperoleh a + b + c + d = 64

(12)

a + b + t = 24

(13)

c + d + t = 60

(14)


7

Pembahasan

Pembahasan

Jumlahkan pers.(13) dan pers.(14) sehingga didapat a + b + c + d + 2 t = 84

(15)

karena a + b + c + d = 64 maka t = 10. Substitusikan nilai t = 10 ke pers.(13) dan pers.(14) sehingga didapat a + b = 14 dan c + d = 50. Pada ABC berlaku a2 + b 2 = 102, padahal kita punya (a + b )2 = a2 + 2 ab + b 2 sehingga sehingga diperoleh 142 = 102 + 2ab ab = 48



⇔

Selain itu, pada

ACD AC D berlaku c2

2

−d

karena c + d = 50 berarti c

= 102

⇔

(c + d)(c

− d) = 100

− d = 2. Dari persamaan c + d = 50 c

− d = 2

diperoleh d = 24. Oleh karena itu, Luas ABCD = luas luas ABC + luas luas 1 1 ab + = 10d 2 2 1 1 = 48 + 240 2 2 = 24 + 120



· ·

ACD AC D

· ·

= 144 Jadi, luas segiempat ABCD adalah 144 cm2 . 3. Diketahui bilangan bulat positif n memiliki sifat - sifat berikut : 2 membagi n, 3 membagi n + 1, 4 membagi n + 2, 5 membagi n + 3, 6 membagi n + 4, 7 membagi n + 5 dan 8 membagi n + 6. Bilanga Bilangan n bulat bulat positif positif pertama yang yang memiliki sifat - sifat ini adalah 2. Tentukan entukan bilangan bulat positif p ositif kelima kelima yang memenuhi sifat- sifat di atas! Jawaban :

Kita ketahui bahwa Jika n + k

≡ 0

mo d (k + 2) maka n

≡2

mo d (k + 2)

Dari sini diperoleh, www.e51mb.blogspot.com ( E. SIMBOLON )

8

Pembahasan

Pembahasan

• 3 membagi n + 1 equivalen dengan n bersisa 2 jika dibagi 3 • 4 membagi n + 2 equivalen dengan n bersisa 2 jika dibagi 4 • 5 membagi n + 3 equivalen dengan n bersisa 2 jika dibagi 5 • 6 membagi n + 4 equivalen dengan n bersisa 2 jika dibagi 6 • 7 membagi n + 5 equivalen dengan n bersisa 2 jika dibagi 7 • 8 membagi n + 6 equivalen dengan n bersisa 2 jika dibagi 8 Sehingga bisa ditulis n = t + 2 dengan t adalah adalah kelipat kelipatan an 3, 4, 5, 6, 7, 8. Karena Karena (3, 4, 5, 6, 7, 8) = 840 maka n = 840k + 2. Sehingga Sehingga bilangan bulat bulat positif ke-5 ke-5 KP K (3 yang memenuhi sifat - sifat pada soal adalah 3362 yaitu saat k = 4. 4. Tiga garis lurus l 1, l2 , dan l 3 mempunyai gradien berturut - turut 3, 4, dan 5. Ketiga garis tersebut memotong sumbu-Y di titik yang sama. Jika jumlah absis titik potong 47 masing - masing garis dengan sumbu-X adalah , tentukan persamaan garis l1 60 Jawaban :

Misal ketiga garis tersebut memotong sumbu-Y di titik (0, c) maka persamaan garis l1 adalah y = 3x + c

−c

yang berarti garis l1 memotong sumbu-X di titik ( ). 3 Persamaan garis l2 yaitu y = 4x + c

−c

yang berarti garis l2 memotong sumbu-X di titik ( ). 4 Sedangkan persamaan garis l3 ialah y = 5x + c

yang berarti garis l3 memotong sumbu-X di titik (

− 5c ).

47 Karena jumlah absis titik potong masing - masing garis dengan sumbu-X adalah 60 berarti 47 c c c = 3 4 5 60 47c 47 atau dengan kata lain = sehingga c = 1. Jadi, persamaan garis l 1 adalah 60 60 y = 3x 1.

− − −

−

−

−

5. Data akhir suatu kompetisi yang diikuti oleh tiga tim sepakbola, masing - masing tim saling berhadapan, dituliskan pada tabel berikut,


9

Pembahasan

Pembahasan

Tim

Menang Kalah

Seri

Gol(Memasukkan - Kemasukan)

Elang

1

0

1

5

2

Garuda

1

0

1

4

3

Merpati

0

2

0

3

7

Berapa skor pertandingan antara Tim Garuda melawan Tim Merpati? Jawaban :

Berdasark Berdasarkan an data hasil pertandingan diperoleh bahwa hasil pertandi p ertandingan ngan tim Elang vs tim Garuda berakhir seri. Karena gol kemasukan dari tim Elang adalah 2, maka hanya ada tiga kemungkinan yaitu I. Skor Skor pertandinga pertandingan n Elang vs Garuda Garuda adalah adalah 0 : 0 Berarti Berarti hasil hasil pertandingan pertandingan Elang Elang vs Merpati Merpati adalah adalah 5 : 2. Hal ini berakiba berakibatt hasil pertandingan Garuda vs Merpati adalah 4 : 3. Tetapi ini tidak mungkin sebab gol kemasukan dari Merpati hanya 7. II. Skor Skor pertandinga pertandingan n Elang vs Garuda Garuda adalah adalah 1 : 1 Berarti Berarti hasil hasil pertandingan pertandingan Elang Elang vs Merpati Merpati adalah adalah 4 : 1. Hal ini berakiba berakibatt hasil hasil pertandi pertandinga ngan n Garu Garuda da vs Merpa Merpati ti adalah adalah 3 : 2. Skor Skor yang yang demi demiki kian an memenuhi kondisi pada soal III. Skor Skor pertandinga pertandingan n Elang vs Garuda Garuda adalah adalah 2 : 2 Berarti Berarti hasil hasil pertandingan pertandingan Elang Elang vs Merpati Merpati adalah adalah 3 : 0. Hal ini berakiba berakibatt hasil hasil pertandi pertandinga ngan n Garu Garuda da vs Merpat Merpatii adalah adalah 4 : 3. Tetapi etapi hal ini tidak tidak mungkin sebab gol memasukkan dari Garuda hanya 4. Jadi, hanya kasus II yang mungkin terjadi, dengan skor pertandingan antara Tim Garuda melawan Tim Merpati adalah 3 : 2 untuk kemenangan Garuda.


10

SOLUSI



Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2012

Solusi

BAGIAN PERTAMA 1. Volume silinder = 20 cm 3. Tinggi silinder = t = 5 cm 2

2

SMP/MTs


Solusi

SMP/MTs

BAGIAN PERTAMA 1. Volume silinder = 20 cm 3. Tinggi silinder = t = 5 cm 20 = πr2 ⋅ t = 5πr2 2 2 πr = 4 cm Luas pemukaan bola terbesar jika jari-jari bola juga r, yaitu = 4 πr2 = 16 cm 2. Jadi, Luas pemukaan bola terbesar = 16 cm2.

2. Misalkan ketiga bilangan tersebut adalah a, b dan d an c. a + b + c = 19 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1) (a − 1) : (b − 1) = 1 : 3 3a − 3 = b − 1 3a = b + 2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2) (b + 3) : (c + 3) = 5 : 6 6b + 18 = 5c + 15 5c = 6b + 3 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (3) Dari persamaan (1) didapat 15a + 15b + 15c = 285 5(b + 2) + 15b + 3(6b + 3) = 285 38b = 266 sehingga b = 7 Maka a = 3 dan c = 9 Selisih bilangan terbesar dan terkecil = 9 − 3 = 6 Selisih bilangan terbesar dan terkecil = 6

3. 1 +

1 4

+

1 + ( 14 + 1+

1

1+

1

4

4

1 9

1

+ 1

16

+

1

(1 +

16

4

Jadi,

1 9

1 36 1

+

a + ( 19 + +

1

+

9

1 36

1

+

49

⋅⋅⋅)

+ ( 19 +

+

1 16

⋅⋅⋅)

1

1

+

+

25

25

25

+

+

+

1 49 1 49

+

+

+ 1

⋅⋅⋅ = 1

+

49

+ ( 19 +

25

⋅⋅⋅)

⋅⋅⋅ =

25

1

a +

⋅⋅⋅)

+

49

1

=a

+

⋅⋅⋅)

=a

=a 3 4

a

1.

4. Lima belas bilangan prima pertama adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 dan 47. Jumlah dua bilangan yang menghasikan bilangan ganjil haruslah merupakan penjumlahan bilangan ganjil dan genap. Bilangan prima genap hanya ada satu yaitu 2. Pasangan bilangan prima dengan jumlah juga merupakan bilangan prima adalah (2,3), (2,5), (2,11), (2,17), (2,29) dan (2,41) yang banyaknya ada 6. Banyaknya cara memilih 2 dari 15 kartu = 15C2. 2 Peluang kejadian = 6/15C2 = 35 Jadi, peluang terambilnya 2 kartu dengan jumlah merupakan bilangan p rima =

www.e51mb.blogspot.com // [email protected] / E. SIMBOLON

Solusi


5. Misalkan AC dan BM berpotongan di N.

2 35

.

2

SMP/MTs


Solusi

SMP/MTs

5. Misalkan AC dan BM berpotongan di N.

= s o. Karena ∠ANM = 90 o maka Karena r = MB = MD maka ∠CAD

∠BPA

= 90o

∠CPD

=

− ∠MBD

∠BPA

Jadi,

= 45 o +

= 45o +

∠CPD

= 90o − so sehingga ∠BMD = 90 o + so o ∆BMD sama kaki sehingga ∠MBD = ∠MDB = 45

∠AMB

1

= 45 o +

2

1 2

−

1 2

so

so

so 1 2

so

6. Urutan dari bilangan 35421 adalah 3x4x3x2x1 = 72 Tiga bilangan yang menempati urutan berikutnya adalah 41235, 41253, 41325. Jadi, bilangan yang menempati urutan ke-75 adalah 41325.

7. 1 + k habis dibagi 3 maka k = 3a + 2 dengan a ∈ N. 1 + 2k habis dibagi 5. Di antara 5b, 5b + 1, 5b + 2, ⋅⋅⋅, 5b + 4 yang memenuhi hal di atas adalah k = 5b + 2 dengan b ∈N. Karena 5 dan 3 relatif prima maka k = 3 ⋅ 5m + 2 = 15m + 2 de dengan ngan m ∈ N 1 + 8k habis dibagi 7. Di antara 7c, 7c + 1, 7c + 2, ⋅⋅⋅, 7c + 6 yang memenuhi hal di atas adalah k = 7c + 6 dengan c ∈ N Karena k = 15m + 2 maka nilai k yang mungkin memenuhi adalah 2, 17, 32, 47, 62, 77, ⋅⋅⋅ Karena k = 7c + 6 maka nilai k yang mungkin memenuhi adalah 6, 13, 20, 27, 34, 41, 48, 55, 62, 69, ⋅⋅⋅ Bilangan terkecil yang memenuhi keduanya adalah 62. Karena FPB(15, 7) = 1 maka k = 105p + 62 deng an p ∈ N. Jadi, nilai terkecil yang memenuhi adalah k = 62. Jadi, nilai terkecil untuk k adalah 62. 8. p = 2010 2 + 2011 2 q = 2012 2 + 2013 2 2x2 + 2(x + 1) 2 − 1 = 4x 2 + 4x + 1 = (2x + 1) 2 2p − 1 = 2 ⋅ 20102 + 2 ⋅ 20112 − 1 = (2 ⋅ 2010 + 1) 2 = 4021 2 2q − 1 = 2 ⋅ 20122 + 2 ⋅ 20132 − 1 = (2 ⋅ 2012 + 1) 2 = 4025 2 1 − 2(p + q) + 4pq = (2p − 1)(2q − 1) = 4021 2 ⋅ 40252

( p + q ) + 4 pq = 4021 ⋅ 4025 = 16184525 Jadi, 1 − 2( p + q ) + 4 pq = 16.184.525

1− 2


Solusi


9. 4x2 − 7x − 1 = 0 memiliki akar-akar a dan b. b. 2 1 4a − 7a − 1 = 0 sehingga 4a − 7 = a 4b2 − 7b − 1 = 0 sehingga 4b

− 7

=

1

b

3

SMP/MTs


Solusi

SMP/MTs

9. 4x2 − 7x − 1 = 0 memiliki akar-akar a dan b. b. 2 4a − 7a − 1 = 0 sehingga 4a − 7 = a1 4b2 − 7b − 1 = 0 sehingga 4b

3a

2

4b − 7

−

+

=

1

b

7

a+b= ab =

− 7

4 1 4

3b

2

4 a −7

Jadi,

21 = 3a2b + 3b2a = 3ab(a + b) = 3 ⋅ (− 14 ) ⋅ ( 74 ) = − 16 .

3a

2

4b − 7

+

3b

2

4 a −7

=

21

− 16

10. Misalkan panjang sisi persegi = x cm.

Misalkan titik G pada AE sehingga FG ⊥ AE. Maka FG = 1 cm. Karena [ADE] = 13 [ABCD] maka DE = 23 x cm. CF =

( x )

2

2 3

+ x

2

=

x 3

13

Karena AE sejajar FC dan AF FG 1 3

=

∠AGF

=

∠CBF

= 90 o maka

∆AFG

sebangun dengan

∆BCF.

CF BC

x ⋅ x = 1

x=

cm.

⋅

x 3

13

13 cm

Jadi, luas persegi adalah 13 cm2.


Solusi


BAGIAN KEDUA 1. 2x + 3x − 4x + 6x − 9x = 1 Alternatif 1 : 2

2

4

SMP/MTs

Solusi


SMP/MTs

BAGIAN KEDUA 1. 2x + 3x − 4x + 6x − 9x = 1 Alternatif 1 : Misalkan 2x = a dan 3 x = b maka 4 x = a2 ; 6x = ab dan 9 x = b2. a + b − a2 + ab − b2 = 1 2a2 + 2b2 − 2ab − 2a − 2b + 2 = 0 (a − 1)2 + (b − 1)2 + (a − b)2 = 0 Karena bilangan kuadrat tidak mungkin negatif maka a = b = 1 2x = 3x = 1 Penyelesaian yang memenuhi hanya jika x = 0 Alternatif 2 : 4x + 9x − 6x − 2x − 3x + 1 = 0 (2x − 1)2 + (3x − 1)2 = (2x − 1)(3x − 1) Karena (2x − 1)(3x − 1) tidak mungkin negatif untuk suatu nilai x real maka (2x − 1)2 + (3x − 1)2 = (2x − 1)(3x − 1) ≤ 2 (2x − 1)(3x − 1) (2x − 1)2 + (3x − 1)2 − 2 (2x − 1)(3x − 1) ≤ 0 Mengingat bahwa a 2 + b2 ≤ 2ab dipenuhi oleh (a − b)2 ≤ 0 maka (2x − 3x)2 ≤ 0 Karena bilangan kuadrat tidak mungkin negatif maka 2 x − 3x = 0 2x = 3x

( ) x = 1 2 3

Penyelesaian yang memenuhi hanya jika x = 0 Jadi, nilai x real yang memenuhi adalah x = 0.

2. Misalkan susunan angka sebagai berikut.

Karena pasangan bilangan dengan jumlah 14 hanya ada 2 yaitu (6, 8) dan (5, 9) serta pencerminan dari suatu susunan angka-angka juga memenuhi maka akan ada 2 kasus. Kasus 1, jika A = 9 dan D = 5 • Jelas bahwa C = 8 dan G = 6 atau C = 6 dan G = 8. Kemungkinan nilai (E, H) adalah (2, 7) atau (7, 2). Maka ada 2 sub kasus. Sub Kasus 1, yaitu jika E = 2 dan H = 7 • Maka B + F = 12 sehingga tidak ada pasangan (B, F) yang memenuhi. Sub Kasus 2, yaitu jika E = 7 dan H = 2 • Maka B + F = 7 sehingga B = 3 dan F = 4 atau B = 4 dan F = 3. Jika F = 4 maka G + I = 10. Tidak ada nilai G dan I yang memenuhi. Jika F = 3 maka G + I = 11. Tidak ada nilai G dan I yang memenuhi.


Solusi


5

SMP/MTs

Jadi, tidak ada susunan yang memenuhi jika A = 9 dan D = 5. Kasus 2, jika A = 5 dan D = 9 • Jelas bahwa C = 8 dan G = 6 atau C = 6 dan G = 8. Kemungkinan nilai (E, H) adalah (1, 4) atau (4, 1) atau (2, 3) atau (3, 2). Maka ada 4 sub kasus.


Solusi

SMP/MTs

Jadi, tidak ada susunan yang memenuhi jika A = 9 dan D = 5. Kasus 2, jika A = 5 dan D = 9 • Jelas bahwa C = 8 dan G = 6 atau C = 6 dan G = 8. Kemungkinan nilai (E, H) adalah (1, 4) atau (4, 1) atau (2, 3) atau (3, 2). Maka ada 4 sub kasus. Sub Kasus 1, yaitu jika E = 1 dan H = 4 • Maka B + F = 13 sehingga tidak ada pasangan (B, F) yang memenuhi. Sub Kasus 2, yaitu jika E = 4 dan H = 1 • Maka B + F = 10 sehingga B = 3 dan F = 7 atau B = 7 dan F = 3. Jika F = 7 maka G + I = 7 yang mungkin dipenuhi hanya jika I = 1. Tetapi H = 1. Tidak ada yang memenuhi. Jika F = 3 maka G + I = 11 yang mungkin dipenuhi hanya jika I = 5. Tetapi H = A. Tidak ada yang memenuhi. Sub Kasus 3, yaitu jika E = 2 dan H = 3 • Maka B + F = 12 sehingga tidak ada pasangan (B, F) yang memenuhi. Sub Kasus 4, yaitu jika E = 3 dan H = 2 • Maka B + F = 11 sehingga B = 7 dan F = 4 atau B = 4 dan F = 7. Jika F = 4 maka G + I = 10. Tidak ada nilai G dan I yang memenuhi. Jika F = 7 maka G + I = 11 yang dipenuhi oleh I = 5 dan G = 6. Maka, susunan yang memenuhi adalah A = 5, B = 4, C = 8, D = 9, E = 3, F = 7, G = 6, H = 2 dan I = 5 serta pencerminannya. ∴ Jadi, kemungkinan semua susunan kesembilan angka tersebut ada 2 yaitu :

3. [ADC] : [ABC] = 14 : 25. Misalkan titik E pada AB sehingga CE tegak lurus AB.

Karena ∆ADC dan ∆ABC memiliki tinggi yang sama maka perbandingan luas dapat dinyatakan sebagai perbandingan alas.


Solusi


Maka AD : AB = 14 : 25 sehingga AD = 14 cm. [ABC] = 12 AC ⋅ BC = 12 AB ⋅ CE 15 ⋅ 20 = 25 ⋅ CE CE = 12 cm. Karena AC = 15 cm dan CE = 12 cm serta

∆AEC

siku-siku di E maka AE = 9 cm.

6

SMP/MTs


Solusi

SMP/MTs

Maka AD : AB = 14 : 25 sehingga AD = 14 cm. [ABC] = 12 AC ⋅ BC = 12 AB ⋅ CE 15 ⋅ 20 = 25 ⋅ CE CE = 12 cm. Karena AC = 15 cm dan CE = 12 cm serta ED = AD − AE = 5 cm. Karena CE = 12 cm dan ED = 5 cm serta ∴ Jadi, panjang CD = 13 cm.

∆AEC

∆CDE

siku-siku di E maka AE = 9 cm.

siku-siku di E maka CD = 13 cm.

4. Misalkan

a menyatakan banyaknya anak laki-laki. b menyatakan banyaknya anak perempuan. x menyatakan banyaknya penduduk dewasa laki-laki. y menyatakan banyaknya penduduk dewasa perempuan. a + b + x + y < 10000 a + b = 12 (x + y) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1) 10 a= y=

11 10

b

115 100

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

x

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

(2) (3)

Subtitusikan persamaan (2) dan (3) ke (1) didapat 21 215 b = 12 ⋅ 100 x 10 10 b=

860 700

x

a+b+x+y=

11 10

⋅

860 700

x+

860 700

x+x+

115 100

x=

946+ 860+ 805 700

x=

473 100

x

Karena a + b + x + y bulat maka x kelipatan 100. Agar a + b + x + y maksimal dan < 10000 maka nilai x yang memenuhi adalah 2100. 473 a + b + x + y maksimal = 100 2100 = 9933 yang yang didapat jika a = 2838, 2838, b = 2580 dan y = 2415. ⋅ 2100 ∴

Jadi, jumlah terbesar yang mungkin dari penduduk kota tersebut adalah adalah 9933.

5. 20! = 2 a ⋅ 3b ⋅ 5c ⋅ 7d ⋅ 11e ⋅ 13f ⋅ 17g ⋅ 19h dengan a, b, c, d, e, f, g, h ∈ N Misalkan himpunan H = {2 a, 3b, 5c, 7d, 11e, 13f , 17g, 19h}. Misalkan juga bilangan rasional X dengan X, Y ∈ N memenuhi X ⋅ Y = 20!. Y Agar

X Y

dalam bentuk yang paling sederhana maka X dan Y keduanya tidak memiliki faktor prima

yang sama. Maka haruslah X dan Y masing-masing adalah hasil kali dari 0 atau beberapa anggota H dan memenuhi syarat X ⋅ Y = 20!. Misalkan perkalian dari semua elemen pada himpunan kosong = 1 maka banyaknya kemungkinan nilai X sama dengan banyaknya himpunan bagian dari H, yaitu 2 8 = 256. Dari seluruh kemungkinan nilai X selalu terdapat sepasang bilangan di antara yaitu a dan b dengan a < b dan memenuhi a ⋅ b = 20!. Karena ba < 1 dan ba > 1 maka hanya separuh dari semua kemungkinan nilai X sehingga X < 1. Y Maka banyaknya kemungkinan bilangan rasioanl positif kurang dari 1 yang memenuhi = 128. ∴ Jadi, banyaknya kemungkinan bilangan rasional positif kurang dari 1 yang memenuhi = 128.


SOLUSI

7

SOLUSI

OLIMPIADE MATEMATIKA TK PROVINSI 2013 2013


www. e51mb.blogspot.com // E. SIMBOLON

SOAL DAN PEMBAHASAN OSN MATEMATIKA SMP 2013 SMP 2013 TINGKAT TINGKAT PROVINSI


SOAL DAN PEMBAHASAN OSN MATEMATIKA SMP 2013 SMP 2013 TINGKAT TINGKAT PROVINSI (BAGIAN A : ISIAN SINGKAT)

BAGIAN A : ISIAN SINGKAT 1.

 . Jika dibuat lingkaran yang berpusat di titik  , maka luas daerah di dalam lingkaran dan di luar

Diketahui segitiga sama sisi dengan panjang sisi tengah salah satu sisi segitiga dengan jari-jari segitiga adalah

 

Pembahasan :

Diketahui :

                                             . Perhatikan    :         √                         √            ( (     )                                          √             √      √       √    √     √       √       Jadi luas daerah di dalam lingkaran dan di luar segitiga adalah    √    www.e51mb.blogspot.com ( E. SIMBOLON)

1


2.

Rata-rata nilai dari 25 siswa adalah 40. Jika selisih rata-rata rata-rata nilai 5 siswa terendah dan 20 siswa sisanya sisanya adalah 25, maka nilai rata-rata 5 siswa terendah adalah ... Pembahasan : Misal :

̅̅                    ̅  ̅̅                   ̅ 

Diketahui :

 ̅̅          ̅̅   ̅̅    ̅  ̅    ̅̅                                                  Jadi nilai rata-rata 5 siswa terendah adalah

3.

 

Dalam sebuah kotak terdapat beberapa bola dengan empat macam warna yakni : biru, merah, kuning dan putih. Paling sedikit terdapat 10 bola untuk masing-masing warna. Bola diambil satu demi satu dari dalam kotak tersebut secara acak tanpa pengembalian. Banyak pengambilan yang harus dilakukan untuk memastikan mendapatkan 6 bola dengan warna sama adalah ... Pembahasan : Diketahui :

                     

Dengan menggunakan Pigeon menggunakan Pigeon Hole Principle (Prinsip Principle (Prinsip Sangkar Burung) , bisa diperolah pernyataan : Jika diambil 21 bola dengan 4 warna yang berbeda, maka paling tidak terdapat 6 bola yang sewarna. Jadi banyak pengambilan yang harus dilakukan untuk memastikan mendapatkan 6 bola dengan warna sama adalah 4.

     , maka nilai    Jika  

Pembahasan :

      www.e51mb.blogspot.com ( E. SIMBOLON)

2


       

              Jadi nilai   5.

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan di bawah adalah ...

    Pembahasan : Pertidaksamaan

   harus memenuhi : 

Syarat I :

                Syarat II :

      () )       ( ) )                                          

             {|  } }

Pertidaksamaan

   harus memenuhi syarat I dan syarat s yarat II, sehingga : 

Jadi himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah

6.

{|    } 

                     , 

Jika nilai maka nilai adalah ...

www.e51mb.blogspot.com ( E. SIMBOLON)

3


Pembahasan :

                                                                                                                 Selanjutnya :

7.

                                                Jadi nilai  adalah    Sebuah drum berbentuk tabung yang berjari-jari   dan berisi air setinggi   (gunakan   ).  Seorang tukang pasang ubin memasukkan 110 buah ubin keramik ke dalam drum sehingga tinggi permukaan air bertambah  . Jika permukaan setiap ubin keramik berukuran     , berapakah tebal ubin keramik tersebut? Pembahasan : Diketahui :

                                    

8.

                                       Jadi tebal ubin keramik tersebut adalah    Diketahui  bilangan bulat positif. Jika  ditambah angka-angka pembentuknya menghasilkan 313, maka semua nilai  yang mungkin adalah ... www.e51mb.blogspot.com ( E. SIMBOLON)

4


Pembahasan :

       289 295 296 305 310

19 16 17 8 4

308 311 313 313 314



Jadi semua nilai yang mungkin adalah 9.

     

  dengan   {| |                       } dan   {  |                }. Banyak anggota himpunan    adalah ... Diketahui dua buah himpunan dan

Pembahasan :

{| |        {    } Mencari anggota  :   {  |                      }  {                           }                    Mencari anggota  :          {   {    } }            : Untuk         {     } Dengan demikian jelas bahwa :    Sehingga :

{| |        {    }              Jadi banyak anggota himpunan    adalah   www.e51mb.blogspot.com ( E. SIMBOLON)

5


10. Tim Sepakbola terdiri atas 25 orang, masing-masing masing-masing diberi kaos bernomor 1 sampai dengan 25. Banyak cara memilih tiga pemain secara acak dengan syarat jumlah nomor kaos mereka habis dibagi tiga adalah ... Pembahasan : Hal yang perlu diperhatikan dalam pemilihan tiga pemain secara acak tersebut : 1. Tidak memperhatikan memperhatikan urutan pemilihan 2. Tiga pemain yang dipilih, jumlah nomor kaosnya harus bisa dibagi tiga {dengan demikian kemungkinan jumlahnya : 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75} 3. Karena hanya ada satu kaos dari nomor 1 sampai 25, jadi tidak boleh ada nomor yang sama. Jumlah nomor kaos 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60 63 66 69 72 75 Jumlah

Banyak penyusunan 0 1 3 7 12 19 27 37 48 59 66 71 72 71 66 59 48 37 27 19 12 7 3 1 0 772

Jadi banyak cara memilih tiga pemain secara acak dengan syarat jumlah nomor kaos mereka habis dibagi tiga adalah

 

www.e51mb.blogspot.com ( E. SIMBOLON)

6

Pembahasan Soal Uraian Uraian OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2013 E. SIMBOLON

B. SOAL URAIAN

1.

Suatu yayasan menyumbangkan 144 buku ke 4 sekolah. Banyak buku yang diterima untuk setiap sekolah tidak sama. Selisih buku yang diterima sekolah A dan B adalah 16. Selisih buku yang diterima sekolah B dan C adalah 12. Selisih buku yang diterima sekolah C dan D adalah 8. Sekolah A menerima buku paling sedikit dibandingkan dengan yang titerima sekolah lain. Jika sekolah D menerima buku 2 kali lebih banyak dari pada buku yang diterima sekolah A, tentukan banyak buku yang yang diterima masing-masing sekolah. Pembahasan: dari soal diketahui sebagai berikut;

 sekolah A  sekolah B  Suatu yayasan menyumbangkan 144 buku   sekolah C  sekolah D

Selisihnya 16 Selisihnya 12 Selisihnya 8

Sekolah A menerima buku paling sedikit dibandingkan dengan yang titerima sekolah lain, sehingga  B – A = A = 16 sekolah D menerima buku 2 kali lebih banyak dari pada buku yang diterima sekolah A A sehingga sehingga  D D = = 2 A Dari uraian diatas terdapat 4 kemungkinan yang terbentuk, yaitu; Kemungkinan 1: B – A = A = 16 ..... 1) C – B = B = 12 ..... 12 ..... 2) C – B = B = 12 Persaman 2) dan 3), diperolah D – C C = = 8 D – C C = = 8 ..... 3) D – B = B = 20 ..... 4) Persamaan 4) dan 1), diperoleh D – B = B = 20 B – A = A = 16 D – A = A = 36, ....karena D ....karena D = = 2 A A,, maka A maka A = = 36 sehingga D sehingga D = = 72, B 72, B = = 52, dan C = = 64 Karena A + B + C + D = 224 224 dan dan 224 224 > > 144 , maka kemungkinan ini Tidak M eme menuh nuh i Kemungkinan 2: B – A = A = 16 ..... 1) B – C C = = 12 ..... 12 ..... 2) Persaman 2) dan 3), diperolah C – D = D = 8 ..... 3)

B – C C = = 12 C – D = D = 8 B – D = D = 20 ..... 4)

Persamaan 4) dan 1), diperoleh B – D = D = 20 B – A = A = 16 A – D = D = 4 karena D = 2 A, maka A = – 4 4 , hal ini tidak mungkin terjadi, sehingga sehingga Tidak M eme menuh nuh i Kemungkinan 3: B – A = A = 16 ..... 1) B – C C = = 12 ..... 12 ..... 2) D – C C = = 8 ..... 3)

B – C C = = 12 Persaman 2) dan 3), diperolah D – C C = = 8 B – D = D = 4 ..... 4) www.e51mb.blogspot.com

Persamaan 4) dan 1), diperoleh

1

Persamaan 4) dan 1), diperoleh B – D = D = 4 B – A = A = 16 A – D = D = – 12, 12, ....karena D ....karena D = = 2 A A,, maka A maka A = = 12 sehingga D sehingga D = = 24, B 24, B = = 28, dan C = = 16 Karena A + B + C + D = 80 80 dan dan 80 < 144 , maka kemungkinan ini Tidak M eme menuh nuh i Kemungkinan 4: B – A = A = 16 ..... 1) 12 ..... 2) C – B = B = 12 .....

C – B = B = 12 C – D = D = 8 D – B = B = 4 ..... 4)

Persaman 2) dan 3), diperolah C – D = D = 8 ..... 3) Persamaan 4) dan 1), diperoleh D – B = B = 4 B – A = A = 16

D – A = A = 20, ....karena D ....karena D = = 2 A A,, maka A maka A = = 20 sehingga D sehingga D = = 40, B 40, B = = 36, dan C = = 48 Karena A + B + C + D = 144 , maka kemungkinan ini yang M eme menuh nuh i Jadi, banyak buku yang diterima masing-masing sekolah adalah Sekolah A = 20 buku, Sekolah B = = 36 buku, Sekolah C = = 48 buku, dan Sekolah D = = 40 buku

2.

Satu set kartu remi/bridge remi/bridge terdiri terdiri dari 52 lembar. Diambil 5 lembar kartu secara acak. Tentukan peluang terambil 2 kartu warna merah m erah dan 3 kartu warna hitam, yang di antaranya terdapat tepat 1 kartu King kartu King . Pembahasan: Ruang sampel = 52C 5 = 2598960

(K©, 1©)

3 hitam

36C 3 =

7140

(K©, 1¨)

3 hitam

36C 3 =

7140

(K©, 2©)

3 hitam

36C 3 =

7140

(K©, 2¨)

3 hitam

36C 3 =

7140

(K©, 3©)

3 hitam

36C 3 =

7140

(K©, 3¨)

3 hitam

36C 3 =

7140

(K©, 4©)

3 hitam

36C 3 =

7140

(K©, 4¨)

3 hitam

36C 3 =

7140

(K©, 5©)

3 hitam

36C 3 =

7140

(K©, 5¨)

3 hitam

36C 3 =

7140

(K©, 6©)

3 hitam

36C 3 =

7140

(K©, 6¨)

3 hitam

36C 3 =

7140

(K©, 7©)

3 hitam

36C 3 =

7140

(K©, 7¨)

3 hitam

36C 3 =

7140

(K©, 8©)

3 hitam

36C 3 =

7140

(K©, 8¨)

3 hitam

36C 3 =

7140

(K©, 9©)

3 hitam

36C 3 =

7140

(K©, 9¨)

3 hitam

36C 3 =

7140

(K©, 10©)

3 hitam

36C 3 =

7140

(K©, 10¨)

3 hitam

36C 3 =

7140

(K©, J©)

3 hitam

36C 3 =

7140

(K©, J¨)

3 hitam

36C 3 =

7140

(K©, Q©)

3 hitam

36C 3 =

7140

(K©, Q¨)

3 hitam

36C 3 =

7140

Jamlah kemungkinan = 2 x 24 x 36C 3 = 2 x 24 x 7140 = 342720 Jadi, Peluang terambil 2 kartu warna merah dan 3 kartu warnu hitam, yang diantaranya terdapat epat 1 kartu King =

2 x 24 x 52

36

C5

C3

=

342720 2598960

=

www.e51mb.blogspot.com

3.

28560 x 12 28560 x 91

=

12 91

2

Misalkan 10 lingkaran yang berjari-jari 1 cm cm dimasukkan dalam lingkaran berjari-jari R cm

3.

Misalkan 10 lingkaran yang berjari-jari 1 cm cm dimasukkan dalam lingkaran berjari-jari R cm, cm, seperti gambar berikut. Tentukan R

Pembahasan: Perhatikan gambar berikut! R

C Q

P

D

A

B

Dari soal diketahui panjang AP panjang AP = = 1 cm cm,, sehingga panjang PR PR = = RQ RQ = = 2 cm Perhatikan  PQR PQR!!  PQR adalah segitiga sama kaki dan besar besar sudut RPQ = 450 serta besar sudut RQP = 450. Dengan demikian  PQR adalah segitiga siku-siku di titik titik R R 2 2 2 2 2 2  PQ = 2 + 2 PQ = = PR PR + + RQ RQ 2

 PQ

= 8

 PQ

=2

 PQ PQ = = AD AD = = DB DB = =

2

 Sehingga

2

2

cm

didapat panjang AB panjang AB = = 4

2

cm

Perhatikan  PQR PQR dengan dengan  ABC ! Keduanya adalah sebangun, sehingga diperoleh AC PR



AB



PQ



2

 4   2

AC  2

=  AC =

AC



4 2 2 2

2 

C

  2 

4 cm

Jadi, panjang jari-jari R adalah 4 cm

Perhatikan ilustrasi gambar disamping! disamping! Bahwa jari-jari R sama dengan 2 kali kali lingkaran kecil ” “


4.

A

D

B

3

Gunakan delapan bilangan prima yang berbeda dan kurang dari 25 untuk melengkapi persegi ajaib aj aib

4.

Gunakan delapan bilangan prima yang berbeda dan kurang dari 25 untuk melengkapi persegi ajaib aj aib di bawah, sehingga setiap kotak di dalam persegi terisi oleh satu bilangan prima serta jumlah bilangan pada setiap baris dan setiap kolom selalu sama. 47 37 29

53

41

61

59

31

Pembahasan: Misalkan kedelapan bilangan prima yang kuran dari 25 adalah a, b, c, d, e, f, g, dan h

a

b

47

53

c

37

41

d

29

61

f

e

59

h

g

31

a + b + 47 + 53 = a + c + 29 + 59 12  b – c = – 12 karena b dan c bilangan prima, maka yang mungkin untuk nilai b dan c adalah b 11

c 23

b – c c – 12 12

b + 37 + 61 + h = c + 37 + 41 + d b – c = c = (d (d – h) h) – 20 20 – 12 12 = (d (d – h) h) – 20 20 maka d – h = h = 8 karena d dan dan h bilangan prima, maka yang mungkin untuk nilai d dan dan h adalah d 13

h 5

d – h h 8

53 + d + e + 31 = 59 + h + + g g + + 31 d – – h = ( g g – – e) + 6 8 = ( g g – e) e) + 6 maka g maka g – e = e = 2 karena g karena g dan dan e bilangan prima, maka yang mungkin untuk nilai g nilai g dan dan e adalah g 19

e 17

g – e e 2

a + b + 47 + 53 = b + 37 + 61 + h

a – h = h = – 2  Karena h = 5 maka nilai a = 3 + 17 = b + 37 + 61 + h  29 + 61 + f +  Karena nilai b = 11 dan h = 5 maka nilai f nilai f = = 7 

Jadi, kelengkapan tabelnya adalah a = = 3

b = = 11

47

53

=23 c =23

37

41

= 13 d =

29

61

f = 7

= 17 e =

59

h = = 5

g = = 19

31


5.

Didefinisikan

⟦⟧

adalah bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan dengan x

4

5.

Didefinisikan

⟦⟧ 

adalah bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan dengan x. x.

Sebagai contoh: dan

  

= 2, karena 2 ≤

= 8, tentukan nilai dari

5 2

< 3, jika x jika x dan dan y y adalah adalah bilangan real dengan

    

√ 

= 10

Pembahasan: Jika =10, maka nilai x nilai x yang yang mungkin memenuhi: 100 ≤ x x < < 121

√    

= 8, maka nilai nilai y y yang yang mungkin memenuhi: 1024 ≤ y y < < 1296

Untuk nilai kemungkinan terkecil kita ambil x ambil x = = 100 dan y dan y = = 1024 maka nilai dari

      √    √    ⟦⟧ ⟧ √   ⟦⟧

:

=

= = =

=5 Untuk nilai kemungkinan terbesar kita ambil x ambil x = = 121 dan y dan y = = 1296 maka nilai dari

      √    √    ⟦⟧ √   ⟦⟧ ⟧

:

=

= = =

=6 Jadi, nilai dari

    

= 5


5

SOLUSI



SOAL DAN PEMBAHASAN OSN MATEMATIKA SMP 2014 TINGKAT PROVINSI BAGIAN A : SOAL ISIAN SINGKAT

SOAL DAN PEMBAHASAN OSN MATEMATIKA SMP 2014 TINGKAT PROVINSI BAGIAN A : SOAL ISIAN SINGKAT

BAGIAN A : SOAL ISIAN SINGKAT

1.

Diketahui  dan  adalah bilangan bulat positif. Salah satu solusi dari 20 + 14 = 2014 adalah

,  = (100,1) 100,1). Salah satu solusi yang lain adalah … Pembahasan :

20 + 14 = 2014

10 + 7 = 1007

(     2)

10 = 1007 − 7

 10 = 1007 − 7 ,  10     ,     , 7       7,   = 11, 11, 21, 21, 31, 31, 41, 41, 51, 51, …   = 11 →

10 = 1007 − 7

10 = 1007 − 7 .11 10 = 1007 − 77 10 = 930

= 93 →  ,  = (93, 93, 11) 11)  = 930 10

 = 21 →

10 = 1007 − 7

10 = 1007 − 7 .21 10 = 1007 − 147 10 = 860

 = 860 = 86 → ,  = 86, 86, 21 10  = 31 →

10 = 1007 − 7

10 = 1007 − 7 .31 10 = 1007 − 217 10 = 790

= 79 →  ,  = 79, 79, 31  = 790 10

 = 41 →

10 = 1007 − 7

10 = 1007 − 7 .41 10 = 1007 − 287 10 = 720

 = 720 = 72 → ,  = 72, 72, 41 10

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP 2014 Tingkat Provinsi /


Page 1

 = 51 →

10 = 1007 − 7

10 = 1007 − 7 .51 10 = 1007 − 357 10 = 650

 = 650 = 65 → ,  = 65, 65, 51 10  = 61 →

10 = 1007 − 7

10 = 1007 − 7 .61 10 = 1007 − 427 10 = 580

 = 580 = 58 → ,  = 58, 58, 61 10  = 71 →

10 = 1007 − 7

10 = 1007 − 7 .71 10 = 1007 − 497 10 = 510

= 51 → ,  = 51, 51, 71  = 510 10

 = 81 →

10 = 1007 − 7

10 = 1007 − 7 .81 10 = 1007 − 567 10 = 440

= 44 → ,  = 44, 44, 81  = 440 10

 = 91 →

10 = 1007 − 7

10 = 1007 − 7 .91 10 = 1007 − 637 10 = 370

= 37 → ,  = 37, 37, 91  = 370 10

 = 101 →

10 = 1007 007 − 7

10 = 1007 − 7 .101 10 = 1007 − 707 10 = 300

= 30 → ,  = (30,101 (30,101))  = 300 10

 = 111 →

10 = 1007 007 − 7

10 = 1007 − 7 .111 10 = 1007 − 777 10 = 230

= 23 → ,  = 23, 23, 111 111  = 230 10



Page 2

 = 121 →

10 = 1007 007 − 7

10 = 1007 − 7 .121 10 = 1007 − 847 10 = 160

 = 160 = 16 → ,  = (16,121 (16,121)) 10  = 131 →

10 = 1007 007 − 7

10 = 1007 − 7 .131 10 = 1007 − 917 10 = 90

90  = 10 = 9 →  ,  = 9, 131 131

 = 141 →

10 = 1007 007 − 7

10 = 1007 − 7 .141 10 = 1007 − 987 10 = 20

 = 20 = 2 →  ,  = 2, 141 141 10  = 151 →

10 = 1007 007 − 7

10 = 1007 − 7 .151 10 = 1007 − 1057 10 = −50

(       )

       {93,11, 86 86,, 21, 79 79,, 31, 72 72,, 41, 65 65,, 51, 58,61, 51,71, 44 44,, 81, 37 37,, 91, 30, 101, (2 (23, 3, 11 111) 1) 16, 121, 9, 13 131 1, 2, 14 141 1} (        ,      )

2.

Jika  dan  merupakan bilangan real yang memenuhi

adalah …

 2 +  2 = 1 , maka nilai terbesar dari perkalian  dan 

Pembahasan :

   2 + 2 = 1 ,            ∶ =    ∶ 2 + 2 = 1 2 + 2 = 1 2 2 = 1  2 = 12 .  = 12 .  = 12          12 Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP 2014 Tingkat Provinsi /


Page 3

3.

Sebuah lingkaran berada dalam seperempat lingkaran besar, seperti pada gambar disamping. Jika jari-jari lingkaran besar = 8 satuan, maka

luas daerah yang diarsir adalah …

Pembahasan :

     ∶

→

→

    ∶  =  =  =  = 8  ∠ = 902 = 45 ∠ = ∠ = 90  360  −90 270  ∠ = ∠ = 360 −∠ = = = 135 2 2 2     ∶  =  =  =  =  =   =  −  = 8 −      −     ∶ 2 2 2  +  =   2 +  2 = 8 − 2 2 2 = 64 − 16 +  2 2 2 −  2 + 16 − 6 4 = 0 2 + 16 − 6 4 = 0 1,2 = − ±2 −4 2

16 −4 .1 .−64 1,2 = −16± 16 2 .1 2

256+256 1,2 = −16± 256+256 2 256 .2 1,2 = −16± 2256  2 1,2 = −16±16 2 1,2 = −8 ± 8 2

→

 = −8 − 8 2 

       



 = −8 + 8 2     

    −     ∶ 1   = 2 .   .  1 = .  .  2 1 = . −8 + 8 2 . −8 + 8 2 2 Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP 2014 Tingkat Provinsi /


Page 4

= =

1 2 1 2

. 64 − 128 2 + 1 2 8 . 192 − 128 2

= 96 − 64 2

       ∶     = 135 .  .  2 360  2 3 = .  . −8 + 8 2 8 3 = .  . 64 − 128 2 + 1 2 8 8 3 = .  . 192 − 128 2 8 = 72 − 48 2         ∶ 45  2    = 360  .  .  1 = .  . 82 8 1 = .  .64 8 = 8 

=   

−   −    = 8 − 96 − 64 2 − 72 − 48 2  = 8 − 9 6 + 6 4 2 − 72 + 48 2  = 48 2  − 64 + 64 2 − 96 = 48 2 − 64 + 64 2 − 96

      48 2 − 64 + 64 2 − 96  4.

Jumlah 1007 bilangan bulat positif berbeda adalah 1023076. Dimana tidak ada satupun dari bilangan-bilangan bilangan-bil angan

tersebut yang lebih besar dari 2014. Minimal banyaknya bilangan ganjil pada deret bilangan tersebut adalah …

Pembahasan :

      ,               ,    ∶ 1006

2 + 4 + 6 + ⋯ + 2012 2012 +  2013 = 

1006   1007 

1 

2

. 2 + 2012 + 2013 2013

 

= 503 503 . 2014 2014 + 2013 2013 = 1013 101304 042 2 + 2013 2013 = 1015 1015055 055 1023076 − 1015 101505 055 5 = 8021 8021

    ,    8021             , Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP 2014 Tingkat Provinsi /


Page 5

               2014,     ∶ 8021 +  2 − 2011 + 4 − 2009 + 6− 2007 + 8− 2005 + 10 = 19 









        ∶ 1001 1 2 + 1 4 + 1 6 + ⋯ + 2012 2012 +  19 + 2005 + 2007 + 2009 + 2011 + 2013 =  . 12 + 2012 + 1006 10064 4 2  1001   6    1007 

=

1001 2

. 2024 2024 + 1006 10064 4

= 1013 101301 012 2 + 1006 10064 4 = 1023 1023076 076

          6 5.

Terdapat bilangan ribuan dengan jumlah angka-angkanya 8. Contoh bilangan ini adalah 1232. Bilangan yang

memenuhi sifat ini ada sebanyak …

Pembahasan :

     ∶    

  

8

0

0

0

1

7

1

0

0

2.

6

2

0

0

2.

6

1

1

0

5

3

0

0

5

2

1

0

3 .3! = 3 .6 = 18

5

1

1

1

1+

4

4

0

0

4

3

1

0

4

2

2

0

4

2

1

1

3

3

2

0

3

3

1

1

3! 2! .1! 3!

= 2 .3 = 6

= 2 .3 = 6 2! .1! 3! + 3! 3! = 3 + 6 = 9 2! .1! 3! 2. = 2 .3 = 6 2! .1!

3! 2! .1!

3! 2! .1!

=1+3=4

=3

3 .3! = 3 .6 = 18 3! 2! .1! 4! 2! .1! 3! +

+ 3! 3! = 3 + 6 = 9 = 12 3!

2! .1!

4! 2! .2!

=6+3=9

=6



Page 6

3

2

2

1

2

2

2

2

4! 2! .1!

= 12

1

  

120

        120 6.

Misalkan ABCD adalah suatu daerah trapezium sedemikian sehingga perpanjangan sisi AD dan perpanjangan sisi BC berpotongan di titik E. Diketahui panjang AB = 18 , CD = 30 dan tinggi trapezium tersebut adalah 8. Jika F dan G masing- masing adalah titik tengah AD dan BC, maka luas segitiga EFG adalah … Pembahasan :

     ∶

→

    ∶  = 18  = 30  = 8  =  = 4  =   =      ∶  =  =   =   =  + 4  =  + 8      ∶ + .    =  . +  .30+ .18  + 48  = 2 =

= 24



Page 7

  ,  ,    ∶   =   −   1 1 1 .  .  = .  .  − .  +   .  2 2 2 1 1 1 .24 .  + 4 = .30 .  + 8 − . 2 4 + 3 0 .4 2 2 2 1 12 .  + 4 = 15 .  + 8 − . 54 .4 2 12 + 48 = 15 + 120 − 108 12 + 48 = 15 + 12 48 − 12 = 15 − 12 3 6 = 3 36 = 3 12 =   = 12 →  =  + 4 = 12 1 2 + 4 = 16   = 12 .  .  1

= .24 .16 .16 2

= 192

     192 7.

Diketahui dua persamaan berikut : 2

 +

+

Nilai

6

−

= 2 dan

4

9 −  + − = −1

  yang memenuhi dua persamaan tersebut adalah …

Pembahasan :

    ∶ 2

 +

+

6

− = 2

4

9

 + − − = −1

… 1 … 2

 1: 2

+

6

 + − = 2 2 .− +6 . +   +  .− −  = 2 2− 2 +6 +6 =2  2 − 2 8  +4  2 − 2 = 2 8 + 4 = 2 .  2 −  2 

4 + 2 =  2 −  2

… 3

(     2)



Page 8

 2: 4 9  + − − = −1 4 .− −9 . +   +  .− −  = −1 4 − 4 − 9− 9 = −1  − −5− 13  − = −1 −5 − 13 = −1 .  2 − 2  −5 − 13 = − 2 +  2 … 4 2

2

2

2

  3   4: 4 + 2 =  2 −  2 −5 − 13 = − 2 +  2 − − 11 = 0 −11 =  −11 =    = −11          − 11 8.

Jika  dan  bilangan bulat ganjil serta

 >  maka banyak bilangan bulat diantara 2 dan  adalah …

Pembahasan :

         −  − 1      2    2 −  − 1 9.

Fungsi  dari himpunan  dikatakan satu-satu jika untuk setiap dengan 1 , 2 ∈  dengan 1  = 2  berlaku 1 = 2 . Jika  = {9,6,3,2,1} dan  = {1,2,3,4,5,6} , maka fungsi berbeda dari  ke  yang merupakan satu-satu dan setiap bilangan anggota  tidak dikaitkan dengan faktornya di  ada sebanyak … Pembahasan :

              ∶ Anggota Himpunan Y 1 9

X a n 6 t o a g n 3 g u n p m 2 A i H

2

√ √

3

4

5

6

√ √ √

√ √ √

√

Banyak cara pemasangan 4 2

√

4 4

1

5 Banyak fungsi yang terbentuk

4 .2 .2 .4 .4 .4 .4 .5 .5 = 640 640

                                 640 Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP 2014 Tingkat Provinsi /


Page 9

10. Indah dan Nian bermain lempar dadu secara bergantian dimulai dengan lemparan pertama giliran Indah. Seseorang akan memenangkan permainan jika ia mendapatkan mata dadu 1 tetapi lawannya tidak mendapatkan mata dadu 2 atau 3 pada lemparan sebelumnya. Peluang Indah pada giliran yang ketiga melempar (lemparan

kelima) akan menang adalah …

Pembahasan :

      ,           .           , , , ,          1, 2,3,  4,5,6

          



   

1

1

2,3

1

2,3

1 1 2 1 2 4 . . . . = 6 6 6 6 6 7776

1

1

2,3

2,3

1,2,34,5,6

1 1 2 2 6 24 . . . . = 6 6 6 6 6 7776

1

1

2,3

4,5,6

1,2,34,5,6

1 1 2 3 6 36 . . . . = 6 6 6 6 6 7776

1

4,5,6

1

2,3

1,2,34,5,6

1 3 1 2 6 36 . . . . = 6 6 6 6 6 7776

1

4,5,6

2,3

1

2,3

1 3 2 1 2 12 . . . . = 6 6 6 6 6 7776

1

4,5,6

2,3

2,3

1,2,34,5,6

1 3 2 2 6 72 . . . . = 6 6 6 6 6 7776

1

4,5,6

2,3

4,5,6

1,2,34,5,6

1 3 2 3 6 108 . . . . = 6 6 6 6 6 7776

1

4,5,6

4,5,6

1

2,3

1 3 3 1 2 18 . . . . = 6 6 6 6 6 7776

1

4,5,6

4,5,6

2,3

1,2,34,5,6

1 3 3 2 6 108 . . . . = 6 6 6 6 6 7776

1

4,5,6

4,5,6

4,5,6

1,2,34,5,6

1 3 3 3 6 162 . . . . = 6 6 6 6 6 7776

  =





4+24+36+36+12+72+108+18+108+162 7776

=

580 7776

=

145 1944

             145  1944

Soal dan Pembahasan OSN Matematika Matematika SMP SMP 2014 Tingkat Provinsi Provinsi / Page 10


SOAL DAN PEMBAHASAN OSN MATEMATIKA SMP 2014 TINGKAT PROVINSI BAGIAN B : SOAL URAIAN

BAGIAN B : SOAL URAIAN

1.



Temukan semua bilangan real yang memenuhi persamaan

 2 −  > 2

Pembahasan :

 2 −  > 2 2− >2 2− >4 2−4> −2 >   < −2 ∶ 2− ≥0 2≥ ≤2 ∶ 2

2.

     < −2 , ∈  Diketahui jumlah  buah bilangan bulat positif ganjil berurutan adalah 5929. Tentukan  terkecil yang mungkin. Pembahasan :

 5929     ,  5929          ,        , ∶     5929    = 1976 1976,3 ,33 3 3 5929    = 1185 1185,8 ,8 5 5929 8 41 + 843 + 845 + 847 + 849 + 851 + 853 = 5929 = 847 7

7

      7 Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP 2014 Tingkat Provinsi /


Page 1

3.

     

    

Diberikan kerangka limas dengan alasnya adalah daerah segitiga siku-siku . Diketahui sisi sikusikunya adalah dan dengan panjang tegak lurus dengan = 3 dan panjang = 4 , rusuk bidang , dan panjang terdapat titik sehingga sebuah bola dengan = 6 . Jika pada rusuk sebagai diameternya menyinggung bidang alas , hitung jari-jari bola tersebut.

   



Pembahasan :

  ∶ →

→

∶  =  3  = 4  = 6  =  =  =     =      ∶  =   +   =   3 + 4  =  3 + 16  =  1919  =  1919     ∶  =    +   =   1919 + 6  =  1919 + 36  =  5555  =  5555    ∶  = −  =  5555 −  2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2



Page 2

         ∶   =   =   5555− 6   5555

 5555 .  = 6 .  5555 −   5555  = 6 5555  − 6  5555  + 6 = 6 5555   5 5 + 6 = 6 5555   =     =     =    .   −−   =     − −   =  − −   = −−    =  −            2

2

2

6 55 55 2 55+6 55+6

6 55 55

55+6 55+6

55 55 6

6 55 55

55+6 55+6

55 55 6

6 55 55 .

55 55 6

2

55 55

6 .55 .

36 55 55 2

55 55

330

62

62

36 55 55

55 36

330 36 55 55 19

4.

−  

330 36 55 55 19

Sebuah kode rahasia terdiri dari dua huruf dan satu bilangan antara 100 dan 600. Aturan yang harus dipenuhi adalah sebagai berikut. (i)

Semua angka dan huruf harus saling berbeda,

(ii) Jika tiga angka membentuk bilangan genap maka kedua huruf yang dipilih adalah huruf vocal, (iii) Jika tiga angka membentuk bilangan ganjil maka kedua huruf yang dipilih adalah huruf konsonan. Tentukan banyak kode rahasia yang mungkin dibuat. Pembahasan :

             (  ) ,              ,      3 , ∶  ,  ,    



Page 3

  ∶                ,                  1 1 0   3 3 2   5 5 4   7 6   9 8 5 − 1 =4 5  − 1=4  5    3 5        = 5 .4.4 .3.3 .4.4 .5.5 = 12 1200 00          1 0 0   3 2 2   5 4 4   6 6   8 8 5 − 1 =4 5  − 1=4  5    3 5        = 5 .4.4 .3.3 .5.5 .4.4 = 12 1200 00          2 1 0   4 3 2   5 4   7 6   9 8 5 − 1 =4 5 − 1 =4  5   2 5        = 5 .4.4 .2.2 .5.5 .4.4 = 80 800 0                       

                      

                      



Page 4

         2 0 0   4 2 2   4 4   6 6   8 8 5 − 1 =4 5 − 1 = 4 5− 2 = 3  5      2         = 5 .4.4 .2.2 .4.4 .3.3 = 48 480 0                       

  ∶                ,                  1 1 1   3 3 3   5 5 5 ⋮ ⋮ 7 7   9 9 − 1 =20 5  − 1=4 5  − 2=3  21 21     3         = 21 .2.200 .3.3 .4.4 .3.3 = 15 1512 120 0          1 0 1   3 2 3   5 4 5 ⋮ ⋮ 6 7   8 9 − 1 =20 5  − 1=4  21 21   3 5        = 21 .2.200 .3.3 .5.5 .4.4 = 25 2520 200 0                       

                      



Page 5

         2 1 1   4 3 3   5 5 ⋮ ⋮ 7 7   9 9 − 1 =20 5 − 1 = 4  21 21   2 5        = 21 .2.200 .2.2 .5.5 .4.4 = 16 1680 800 0          2 0 1   4 2 3   4 5 ⋮ ⋮ 6 7   8 9 − 1 =20 5 − 1 =4  21 21  2 5        = 21 .2.200 .2.2 .4.4 .5.5 = 16 1680 800 0                       

                      

     = 1200 + 1200 + 480 + 800 + 15120 + 25200 + 16800 + 16800 = 7760 77600 0

   3   ,   ,  = 3 .776 .77600 00 = 2328 232800 00 5.

        232800 Untuk  bilangan real, dirumuskan suatu fungsi   =  2

2+4

Maka hitunglah hasil penjumlahan berikut

    +     + ⋯ +     1

2

2013

2014

2014

2014

Pembahasan :

∶ =     ∶ 1

2014



Page 6

 = 3

2

=2

2014 3 2014

⋮ 2011

=

2014 2012

=

2014 2013

=

2014

−

=

−

=

−

=

2014 3 2014

2014 2 2014

2014 1 2014

− − −

2014 2014 2014 2014 2014 2014

1

2

2+4

2014 1 2014

2

2

2014

2+4 2

3

2

2014

2+4 3

2011

2

−

=

−

=

2014

2+4 1 3

2012

2

2014

2+4 1 2

2013

2

2+4 1

2014

3

=1

2

 ∶     =   =      =  2 =      =  3 =  ⋮     =  1 − 3 =     =  1 − 2 =     =  1 −  = 2014

− = 1− = 1−

3 2014

−

=

2014 2 2014 1 2014

− 3 = 1 − 2 =1− =1

2 41 2+ 3 4



2 41

2+ 2 4 2 41 4

2+





=

=

=

2

 

2 .4 3 +4 43

2

 

2 .4 2 +4 42

2

 

2 .4 +4 4

2 .4 3

=



2 .4 2

=







2 .4 +4

=



  

2 . 4 3 +2 2 .42

=

2 .4 2 +4



2 .4 3

=

2 .4 3 +4

2 .4

=





  

2 . 4 2 +2

2 .4



 

2 . 4 +2

=

4



=

=



4 +2

4 3





4 3 +2 42





4 2 +2

=



4

2+4

=

=

4 3



2+4 3 42



2+4 2

 



∶     +     +     + ⋯ +    + ⋯ +     +     +     =

=

=

1

2

3

2014

2014

2014

2



+

2+4 

+

2+4

2



2 2+4 2

4



2+4 



+

+

2 2+4 3

2 2+4 2





+

+



2012 =1006 2



2013

2014

2014

2014

2014

 

42



2+4 2



+





1007

4 3

2014

2+4 3

2 2+4 3



+

43



2+4 3

+



+

42



2+4 2



+

4



2+4



⋯ +    1007 2014

 

⋯ +    1007 2014

 

⋯ +     1007

= 1+1+1+ 1006

2012

 

 2+42 2+43 + + + 2+4  2+4 2 2+4 3



2011

⋯ +    + ⋯ +

2012

2+ 4

1007

2014

 

     = 1006 +     1007

= 1006 +

2014

1 2



Page 7

2

= 1006 +

1

2+4 2

= 1006 + = 1006 + = 1006 + = 1006 =

2 2+2 2 4 1 2

1 2

2013 2

     +     + ⋯ +     = 1

2

2013

2013

2014

2014

2014

2



Page 8

Solusi Osn Matematika Provinsi 2011-2014

Recommend Documents