Solución a los ejercicios propuestos en el módulo C – 1
1.-En el punto B de la viga AB hay aplicadas dos fuerzas. a)Escriba cada fuerza en forma vectorial unitaria b)Determine la fuerza resultante en forma vectorial, luego determine su magnitud y dirección.
SOLUCION
Llamando F1 a la fuerza de 3 kN y F2 a la fuerza de 2 kN, procedemos procedemos a escribir cada una en forma vectorial unitaria: → F1 = sen 60o • 3 kN i - cos 60o • 3 kN j → F1 = 2,59 kN i - 1,5 kN j → F2 = - sen 40o • 2 kN i - cos 40o • 2 kN j → F1 = - 1,28 kN i - 1,53 kN j → → → R = F1 + F2 = → R = 2,59 kN i - 1,5 kN j + - 1,28 kN i - 1,53 kN j → R = 1,31 kN i - 3,03 kN j Magnitud R = √ (1,31)2 + ( 3,03 )2 R = 3,3 kN Dirección tg α = 3,03 / 1,31 = 2,31 → α = 66,5o Resultante: 3,3 kN, 293,5o con el eje x positivo medido en sentido antihorario
1.-En el punto B de la viga AB hay aplicadas dos fuerzas. a)Escriba cada fuerza en forma vectorial unitaria b)Determine la fuerza resultante en forma vectorial, luego determine su magnitud y dirección.
SOLUCION
Llamando F1 a la fuerza de 3 kN y F2 a la fuerza de 2 kN, procedemos procedemos a escribir cada una en forma vectorial unitaria: → F1 = sen 60o • 3 kN i - cos 60o • 3 kN j → F1 = 2,59 kN i - 1,5 kN j → F2 = - sen 40o • 2 kN i - cos 40o • 2 kN j → F1 = - 1,28 kN i - 1,53 kN j → → → R = F1 + F2 = → R = 2,59 kN i - 1,5 kN j + - 1,28 kN i - 1,53 kN j → R = 1,31 kN i - 3,03 kN j Magnitud R = √ (1,31)2 + ( 3,03 )2 R = 3,3 kN Dirección tg α = 3,03 / 1,31 = 2,31 → α = 66,5o Resultante: 3,3 kN, 293,5o con el eje x positivo medido en sentido antihorario
2.-Sabiendo que la tensión en el cable BC es de 725 N, determine la fuerza resultante en forma vectorial unitaria de las tres fuerzas que actúan en B, luego determine su magnitud y dirección.
SOLUCION Llamando F1 a la fuerza de 500 500 N, F2 a la fuerza de 780 N, F3 a la fuerza de 725 N (la tensión en el cable) procedemos a escribir cada una en forma vectorial unitaria: → F1 = - sen 37o • 500 N i - cos 37o • 500 N j → F1 = - 300,9 N i - 399,3 N j → F2 = sen 67o • 780 N i - cos 67o • 780 N j → F2 = 717,9 N i - 304,7 N j → F3 = - cos 44o • 725 N i + sen 44o • 725 N j → F3 = - 521,5 N i + 503,6 N j
→ R = → R = → R =
→ → → F1 + F2 + F3 - 300,9 N i - 399,3 N j + 717,9 N i - 304,7 N j + - 521,5 N i + 503,6 N j - 104,5 N i - 200,4 N j
Magnitud: R = √ ( - 104,5) 2 + ( - 200,4) 200,4)2 R = 226,0 N Dirección: tg α = 200,4 / 104,5 = 1,91
α = 62,4o Resultante: 226,0 N, 242,4o con el eje x positivo medido en sentido antihorario
3.-Cuatro fuerzas actúan sobre sobre el perno A. Determine la fuera resultante resultante en forma vectorial unitaria. Luego determine su magnitud y dirección.
SOLUCION
→ F1 = cos 30o • 150 150 N i + sen 30o • 150 N j → F1 = 129,9 N i + 75 N j → F2 = - sen 20o • 80 80 N i + cos 20o • 80 N j → F2 = - 27,36 N i + 75,1 N j → F3 = - 110 N j → F4 = cos 15o • 100 N i - sen 15o • 100 N j → F4 = 96,5 N i - 25,8 N j → → → → → R = F1 + F2 + F3 + F4 → R = 129,9 N i + 75 N j - 27,36 N i + 75,1 N j + - 110 N j + 96,5 N i - 25,8 N j → R = 199,0 N i + 14,3 N j Magnitud: R =
√ ( 199,0 )2 + ( 14,3 )2 = 199,5 199,5 N
Dirección: tg α = 14,3 / 199,0 = 0,071
α = 4,1o Resultante: 199,5 N, 4,1 o con el eje x positivo positivo medido en sentido antihorario
4.-Dos remolcadores arrastran una canoa. Si la resultante de las fuerzas ejercidas por los remolcadores tiene magnitud 25 kN dirigida según el eje de la canoa, determine la fuerza en cada cable.
SOLUCION Expresamos cada fuerza desconocida R1 y R2 en forma vectorial unitaria: → R1 = cos 30o • R1 i + sen 30o • R1 j → R1 = 0,86 • R1 i + 0,5 • R1 j → R2 = cos 45o • R2 i - sen 45o • R2 j → R2 = 0,70 • R2 i - 0,70 • R2 j → → → R = R1 + R2 …………..( ∗ ) Si la resultante de las fuerzas tiene dirección a lo largo del eje de la canoa, tiene solo componente en el eje x, es decir: → R = 25 kN i + 0 kN j Reemplazando en ( ∗ ), se tiene: 25 kN i + 0 kN j = 0,86 • R1 i + 0,5 • R1 j +
0,70 • R2 i - 0,70 • R2 j
Para que se cumpla esta igualdad, los elementos correspondiente deben ser iguales, es decir: 25 kN = 0,86 R1 + 0,70 R2 0 kN = 0,5 R1 - 0,70 R2 Resolviendo el sistema se obtiene: R1 = 18,38 kN R2 = 13,13 kN
5.-En el sistema de unidades británico, la fuerza se mide en libras ( lb ) , y 1,0 lb es el peso de un objeto cuya masa es 0,454 kg. Por lo tanto 1,0 lb es aproximadamente igual a 4,45 N. a)¿Cuál es el peso en newtons de un saco de azúcar de 5,0 lb ? b)Si una manzana pesa 1 N , ¿cuál es su peso en libras ? c)¿Cuál es la masa en kg de un boxeador que pesa 120 lb? SOLUCION Estos problemas se resuelven haciendo simplemente proporciones: a) 1,0 lb 5,0 lb
= =
4,45 N x
⇒
x = 22,25 N
b) 1,0 lb x
= =
4,45 N 1N
⇒
x = 0,22 lb
c) 1,0 lb 120 lb
= =
0,454 kg x
⇒
x = 54,48 kg
6.-Entre las propiedades que presenta la materia es conveniente mencionar la idea de densidad . Esto indica la masa por unidad de volumen de una sustancia y es característico de ella, a una temperatura y presión. Considerando que la densidad del hierro es d Hi = 7800 kg/m3 , determine cuánto pesa una barra cilíndrica de hierro de 2 cm ( 0,02 m ) de diámetro y 50 cm ( 0,5 m ) de longitud? Recuerde que el volumen de un tubo cilíndrico es el producto del área de la base ( π • (diámetro)2 / 4 ) y la altura. SOLUCION El peso ( P ) de la barra es P = m g ; con g = 9,8 N/kg y m la masa del cilindro de hierro La masa m la calculamos considerando la expresión d = m / V
⇒ m = d • V
Con V = ¼ π • D2 • h = ¼ • 3,14 • ( 0,02 )2 • 0,5 = 1,57 • 10-4 m3 Reemplazando: m = 7800 kg/m3 • 1,57 • 10-4 m3 Luego:
P = m g = 1,22 kg 9,8 N/kg
⇒
m = 1,22 kg
⇒ P = 12,0 N
7.- En cada una de las figuras, dibuje y defina las fuerzas que actúan sobre el objeto mencionado.
a)Un cohete moviéndose bajo la acción de la gravedad.
b)Un bloque sobre una mesa
c)Un saco de cemento sostenido por una cuerda
d) Una persona empuja una bolita sobre una mesa áspera empezando a moverse. Al llegar al borde de la mesa cae bajo la acción de la gravedad. Dibuje las fuerzas sobre la bolita: a)cuando se mueve en la mesa, b)cuando cae libremente.
e)En la figura A esta fijo a la pared mediante una cuerda. El bloque B es tirado mediante otra cuerda hacia la derecha y las superficies de los cuerpos A y B son ásperas , al igual que entre el suelo y B. Dibuje y defina las fuerzas que actúan en A y en B.
Fuerzas que actúan en B f A→B : fuerza de roce ejercida por A sobre B f SUELO→B : fuerza de roce ejercida por el suelo sobre B N A→B : normal ejercida por el cuerpo A sobre B NSUELO→B :normal ejercida por el suelo sobre B
Fuerzas que actúan en A
NB→ A : normal ejercida por B sobre A f B→ A : fuerza de roce ejercida por B sobre A
En este ejercicio las fuerzas f B→ A y f A→B son de igual magnitud y dirección, distinto sentido y actúan en cuerpos diferentes, porque son ejercidas por los mismos personajes, al igual que las fuerzas N A→B y NB→ A .
f ) Un bloque sube por un plano inclinado áspero mediante una cuerda accionada por un motor. Dibuje y defina las fuerzas sobre el bloque.
N : fuerza ejercida por la superficie del plano sobre el bloque (normal) f : fuerza de roce ejercida por la superficie del plano sobre el bloque. T : fuerza ejercida por la cuerda sobre el bloque P . peso del objeto
g) Pedro empuja al cuerpo A que está en contacto con B, y ambos sobre una superficie áspera (suelo). Suponga que los dos cuerpos se mueven. Dibuje y defina las fuerzas sobre A y B.
Fuerzas que actúan en A
N : fuerza normal ejercida por el suelo sobre A FB→ A : fuerza de contacto ejercida por B sobre A f SUELO→ A : fuerza de roce ejercida por la superficie sobre A F : fuerza ejercida por pedro sobre A
Fuerzas que actúan en B
N1 : fuerza normal ejercida por el suelo sobre B F A→B : fuerza de contacto ejercida por A sobre B P1 : peso del cuerpo B f SUELO→B : fuerza de roce ejercida por la superficie sobre B
Solución a los ejercicios propuestos en el módulo C – 2
1.-En la figura, el bloque A pesa 4 N y el bloque B pesa 8 N. El coeficiente de roce cinético entre todas las superficies es 0,25. Calcule la fuerza P necesaria para arrastrar el bloque B hacia la izquierda a velocidad constante si: a) A descansa sobre B y se mueve con él b) A se mantiene en reposo c) A y B están unidos por una cuerda ideal que pasa por una polea sin roce
SOLUCION En la situación ( a ) los cuerpos se mueven juntos hacia la derecha, es decir no hay desplazamiento relativo entre la superficie de contacto de A y B luego entre ellos no hay fuerza de roce. Como los cuerpos se mueven con velocidad constante, la resultante de fuerzas verticales y horizontales sobre cada uno se hace igual a cero.
Fuerzas sobre A : NB → A : normal ejercida por B sobre A P A : peso del cuerpo A = 4 N Como sólo actúan fuerzas verticales en A : Σ FY = 0 NB → A - P A = 0 → NB → A = 4 N
Fuerzas sobre B : N A → B : normal ejercida por A sobre B PB : peso del cuerpo B = 8 N NSUELO →B : normal ejercida por el suelo sobre B P : fuerza ejercida f : roce cinético ejercido por el suelo sobre B (se dibuja hacia la derecha porque B se mueve a la izquierda)
Σ FY = 0 → Luego:
NSUELO →B - N A → B - PB = 0
, pero N A → B = NB → A (acción y reacción)
NSUELO →B = 4 N + 8 N → NSUELO →B = 12 N
La fuerza de roce ejercida por el suelo sobre B es: f = uc • NSUELO →B = 0,25 • 12 N = 3 N
Σ F X = 0 → P - f
=
0
⇒
P = 3N
En la situación ( b ) , al mantenerse A sujeto por la cuerda y moverse B, existe desplazamiento relativo entre ellos, luego existe fuerza de roce cinético entre la superficie de contacto de A y de B. Entonces A se mueve hacia la derecha en relación a B y B lo hace a la izquierda en relación a A. Como los cuerpos se mueven con velocidad constante, la resultante de fuerzas verticales y horizontales sobre cada uno se hace igual a cero.
Fuerzas sobre A : NB → A : normal ejercida por B sobre A P A : peso del cuerpo A = 4 N T : tensión en la cuerda f B → A : roce cinético ejercido por B sobre A, actúa en A y se dibuja hacia la izquierda ( A se mueve a la derecha respecto B).
Σ F Y = 0 →
NB → A - P A = 0 → NB → A = 4 N
Σ F X = 0 →
T - f B → A = 0 →
f B → A = uc • NB → A = 0,25 • 4 N = 1 N
T = 1 N
Fuerzas sobre B : N A → B : normal ejercida por A sobre B PB : peso del cuerpo B = 8 N NSUELO →B : normal ejercida por el suelo sobre B P : fuerza ejercida f SUELO → B : roce cinético ejercido por el suelo sobre B, se dibuja hacia la derecha porque B se mueve hacia la izquierda f A → B : roce cinético ejercido por A sobre B, actúa en B y se dibuja a la derecha ( B se mueve hacia la izquierda)
Σ FY = 0 → Luego:
NSUELO →B - N A → B - PB = 0
, pero N A → B = NB → A (acción y reacción)
NSUELO →B = 4 N + 8 N → NSUELO →B = 12 N
Σ F X = 0 → P - f A → B - f SUELO → B = 0 , pero f A → B = f B → A = 1 N (acción y reacción ) La fuerza de roce ejercida por el suelo sobre B es: f = uc • NSUELO →B = 0,25 • 12 N = 3 N Luego, reemplazando
P - 1N - 3N = 0
⇒
P = 4N
En la situación ( c ) , al mover B a la izquierda, A se mueve a la derecha. La tensión en la cuerda es la misma en todos los puntos porque se trata de una misma cuerda. Al existir movimiento relativo entre A y B se manifiesta una fuerza de roce entre las superficies de contacto de A y B. Como los cuerpos se mueven con velocidad constante, la resultante de fuerzas verticales y horizontales sobre cada uno se hace igual a cero.
Fuerzas sobre A : NB → A : normal ejercida por B sobre A P A : peso del cuerpo A = 4 N T : tensión en la cuerda f B → A : roce cinético ejercido por B sobre A
Σ F Y = 0 →
NB → A - P A = 0 → NB → A = 4 N
Σ F X = 0 →
T - f B → A = 0 →
f B → A = uc • NB → A = 0,25 • 4 N = 1 N
T = 1 N
Fuerzas sobre B : N A → B : normal ejercida por A sobre B PB : peso del cuerpo B = 8 N NSUELO →B : normal ejercida por el suelo sobre B P : fuerza ejercida f SUELO → B : roce cinético ejercido por el suelo sobre B (su valor es 3 N ) f A → B : roce cinético ejercido por A sobre B T : Tensión en la cuerda = 1 N
Σ FY = 0 → Luego:
NSUELO →B - N A → B - PB = 0
, pero N A → B = NB → A (acción y reacción)
NSUELO →B = 4 N + 8 N → NSUELO →B = 12 N
Σ F X = 0 → P - f A → B - f SUELO → B - T = 0 , P - 1N - 3N -1N = 0 P = 5 N
pero f A → B = f B → A = 1 N (acción y reacción )
2.-El bloque A de peso w desliza hacia abajo a velocidad constante sobre un plano inclinado S cuya pendiente es 37 o , mientras que la tabla B, también de peso w descansa sobre la parte superior de A. La tabla está unida mediante una cuerda al punto más alto del plano. a)Dibuje todas las fuerzas que actúan en A b)Si el coeficiente de roce cinético entre las superficies A y B y entre S y A es el mismo, determine su valor.
SOLUCION Al deslizar A hacia abajo, se produce un movimiento relativo entre la superficie de A y de B dando lugar a fuerzas de roce entre ambas superficies. Los dos cuerpos se mueven con velocidad constante, luego la fuerza resultante sobre cada uno de ell os debe ser igual a cero.
Fuerzas que actúan sobre B N A → B : normal ejercida por la superficie de A sobre B PB : peso del cuerpo B = w T : tensión en la cuerda f A → B : fuerza de roce ejercida por A sobre B (se dibuja hacia abajo del plano porque B se mueve hacia arriba del plano en relación a A).
Cuando un cuerpo se mueve a lo l argo de un plano inclinado, se traza un sistema de ejes, de modo que uno ( x ) es paralelo al plano y el otro ( y ) es perpendicular al plano. En general consideraremos dirección positiva aquella hacia donde se mueve el objeto.
Σ F X = 0 → ( 1 ) Σ F Y = 0 → ( 2 )
T - f A → B - w • sen 37 o = 0 N A → B
- w • cos 37o = 0
Fuerzas que actúan sobre A NB → A : normal ejercida por B sobre A P A : peso del cuerpo A =
w
f B → A : fuerza de roce ejercida por B sobre A f S → A : fuerza de roce ejercida por la superficie del plano sobre A. N S → A : normal ejercida por la superficie del plano sobre A
Planteando las ecuaciones de equilibrio para el cuerpo A se tiene:
Σ F X = 0 → ( 3 )
w • sen 37o - f S
Σ F Y = 0 → ( 4 )
→ A
- f B → A
NS → A - NB → A - w • cos 37 o
= 0 = 0
De la ecuación ( 2 ) se tiene : N A → B =- w • cos 37o , se reemplaza en ( 4 ): NS → A - NB → A - w • cos 37 o
En la ecuación ( 3 ), se tiene: Con
fS
→ A
= uc • NS → A
f B → A = uc • NB → A
Reemplazando en ( 3 ): :
= 0 → NS → A = 2 w • cos 37 o
w • sen 37 o - f S
→ fS →
→ A
→ A
- f B → A
= 0
= uc • 2 w • cos 37 o
f B → A = uc • w • cos 37o
w • sen 37o - uc • 2 w • cos 37 o - uc • w • cos 37o = 0 uc = sen 37 / 3 cos37 = tg 37o / 3 = 0,25
3.-Hay que bajar una caja fuerte de 2000 N a velocidad constante por una rampa de 4m de longitud, desde un camión de 2 m de altura. a)Si el coeficiente de roce cinético entre la caja y la rampa es 0,3, ¿habrá que empujar o retener la caja? b)¿Qué fuerza paralela a la rampa se necesita? SOLUCION La caja debe bajar con velocidad constante a l o largo del plano, luego la fuerza resultante sobre ella a lo largo del plano ( x ) y perpendicular al plano ( y ) debe ser igual a cero. El peso de la caja ( 2000 N ), se descompone en una componente paralela al plano ( P X ) y otra perpendicular al plano ( P Y ): Py = 2000 N • cos 30 o = 1732 N Px = 2000 N • sen 30 o = 1000 N
En la dirección perpendicular al plano, existen dos fuerzas : la normal ( N ) ejercida por la superficie del plano sobre la caja y la componente P Y del peso:
Σ FY = 0 → N - Py = 0 → N = 1732 N
A lo largo del plano actúan, PX , la componente del peso paralela al plano y la fuerza de roce ( f ) : La fuerza de roce f = uc • N = 0,3 • 1732 N = 520 N Como PX es mayor que la fuerza de roce, el bloque bajaría cada vez más rápido, luego para que lo haga con velocidad constante, debe aplicarse una fuerza paralela al plano hacia arriba, tal que sumada con la fuerza de roce equilibre la componente P X :
Σ FX = 0 → PX F = 480 N
= F + f → 1000 N = F + 520 N
4.-La figura muestra un bloque que pesa 50 N en equilibrio sostenido por las cuerdas que se indican. Calcule la tensión en cada una de las cuerdas, es decir T1, T2, T3. SOLUCION Como el sistema se encuentra en equilibrio, la suma de fuerzas en cada punto de él debe ser cero.
Consideremos las fuerzas sobre el bloque: T1 . fuerza ejercida por la cuerda sobre el bloque hacia arriba P = 50 N : fuerza ejercida por la tierra sobre el bloque
T1
Como las fuerzas actúan en la dirección vertical:
Σ F Y = 0 → T1 - 50 N = 0 → T1 = 50 N
P = 50 N
Considere ahora el punto de unión de las t res cuerdas, como éste está en reposo, la fuerza resultante sobre él es cero:
Fuerzas en el nudo: T2 : ejercida por la cuerda ( 2 ) T3 : ejercida por la cuerda ( 3 )
Σ F Y = 0 → T3 • sen 40 o - 50 N = 0 T3 = 78,12 N
Σ F X = 0 → - T3 • cos 40 o + T2 T2 = 78,12 N • cos 40 o T2 = 59,37 N
= 0
5.-Un embalaje de 250 kg se suspende en equilibrio de los distintos polipastos que se muestran en la figura. Hallar la tensión en la cuerda para cada caso.
SOLUCION Los sistemas mecánicos como poleas o combinación de ellas (polipastos) actúan en equilibrio. Se debe tener presente que para una misma cuerda, la tensión en todos los puntos de ella es la misma. Para resolver este ejercicio se debe tener presente: a)Una polea simple ( fija ) es tan sólo una palanca cuyo brazo de palanca de entrada es igual a su brazo de palanca de salida. A partir del principio de equilibrio, la fuerza de entrada es igual a la fuerza de salida . Fi = W La única ventaja de este dispositivo es que ofrece la posibilidad de cambiar la dirección de la fuerza de entrada. b)Una polea móvil (simple) Observe que al moverse en equilibrio, la suma de las fuerzas a cada lado de la cuerda debe ser igual al peso del objeto. 2 Fi = Fo = W por tanto , Fi = Fo / 2 = W / 2
Este método se aplica generalmente a problemas que incluyen poleas móviles, ya que esto permite asociar MI con el número de cordones que soportan la polea móvil. Calcule la fuerza F i , para equilibrar el sistema ( polipasto ) . En la figura, se observa que : 4 Fi = Fo → F i = W / 4 Observe que la polea más alta sirve únicamente para cambiar la dirección de la fuerza de entrada. La misma MI resultaría si se aplicara hacia arriba Fi en el punto "a".
Para los sistemas que muestra el ejercicio, debemos considerar el número de cuerdas que sostiene la carga:
Sólo dos cuerdas sostienen la carga 2 T = 2500 N → T = 1250 N
Sólo dos cuerdas sostienen la carga, luego: 2 T = 2500 N → T = 1250 N La polea de arriba cambia la dirección de la fuerza no su valor, por lo tanto como se trata de la misma cuerda, la tensión que equilibra es 1250 N
En este caso, tres cuerdas sostienen la carga, como se trata en realidad de una sola cuerda, la tensión es la misma: 3 T = 2500 N → T = 833 N
Igual que en el ejercicio anterior, tres cuerdas sostiene la carga, entonces: 3 T = 2500 N → T = 833 N
6.-El polipasto de la figura soporta la carga de 160 kg. Sabiendo que B = 20 o , determine la fuerza P que debe ejercerse en el extremo libre de la cuerda para mantener el equilibrio.
SOLUCION Aislando la polea y dibujando las fuerzas sobre ella se tiene: Considerando como sistema de referencia el plano xy, al estar el conjunto en equilibrio, debemos escribir:
Σ Fx = 0 ,
Σ Fy = 0
Σ Fx = 0 → - P cos α + cos 70 T + cos 70 T = 0 - P cos α + 2 cos 70 T
= 0
Σ Fy = 0 → P sen α + sen 70 T + sen 70 T - 1600 = 0 P sen α + 2 sen 70 T = 1600 Pero como se trata de una misma cuerda, entonces P = T = F ,entonces: - F cos α + 2 cos 70 F
= 0
→
F sen α + 2 sen 70 F = 1600 →
- F cos α + 2 • 0,34 F
= 0
→ α = 47o
F sen α + 2 • 0,93 F = 1600 → F = 617,7 N
7.-La corredera A está unida a una carga de 250 N y puede deslizar a lo largo de una barra horizontal sin roce. Determine el valor de la fuerza P necesaria para mantener la corredera en equilibrio cuando x = 115 mm.
SOLUCION
La tensión del cable equilibra los 250 N del bloque, podemos obtener el ángulo que en la figura está marcado por 77 o con el valor de 500 mm y 115 mm tg –1 ( 500 / 115 ) = 77o La corredera se mueve en equilibrio, cuando P = 250 cos 77 → P = 56,23 N
8.-Los dos bloques de la figura parten del reposo. No hay rozamiento en el plano ni en las poleas, y las masas de éstas se suponen despreciable. Determine la aceleración de los bloques y la tensión en cada cuerda.
SOLUCION El sistema se mueve de modo que B baja y A se mueve a la derecha. Dibujando las fuerzas que actúan en cada bloque, se tiene:
BLOQUE A : T : tensión en la cuerda W A : atracción de la tierra W A = 100 kg • 10 N/kg W A = 1000 N N A : normal ejercida por la superficie sobre A hacia arriba Eje y :
Σ F = 0 ⇒ N - W A = 0 ⇒ N = W A = 1000 N
Eje x :
Σ F = m • a ⇒ T = m A • a A
⇒ T = 100 aA ( ∗ )
BLOQUE B T1 : tensión en la cuerda WB : atracción de la tierra WB = 300 kg • 10 N/kg WB = 3000 N Eje y : Σ F = m • a ⇒ 3000 - T1 = m B • aB ⇒ 3000 - T1 = 300 aB ( ∗∗ )
POLEA C Las fuerzas que actúa sobre la polea son T : a ambos lados de la polea hacia arriba (es la misma cuerda) T1 : tensión en la cuerda que sostiene el bloque B hacia abajo. La polea se traslada verticalmente: Eje y : Σ F = m • a ⇒ T1 - 2 T = mP • aP , pero al tener la polea masa despreciable ( mP = 0 )
⇒ T1 - 2T = 0 ⇒ T1 = 2 T ( ∗ ∗ ∗ ) Juntando las ecuaciones ( ∗ ) , ( ∗ ∗ ) , ( ∗ ∗ ∗ )
T = 100 aA 3000 - T1 = 300 aB T1 = 2 T Se tienen tres ecuaciones y 4 incógnitas, luego falta una ecuación:
Observe lo siguiente, si el bloque A se mueve una distancia L , entonces en el mismo tiempo B se mueve una distancia L / 2 , es decir la aceleración de A es dos veces la aceleración de B:
aA = 2 aB
( ∗ ∗ ∗ ∗ )
Combinando estas 4 ecuaciones, se obtienen los valores de : aB = 4,28 m/s2 T1 = 1712 N
, a A = 8,57 m/s2 , T = 856 N
,
9.-Los bloques A , B , C de masas m A = 1,0 kg , mB = 2,0 kg , mC = 3,0 kg están apoyados sobre una superficie horizontal sin fricción. Una fuerza horizontal de magnitud F = 15 N actúa sobre el bloque A , empujando el sistema. a)Determine la aceleración del sistema de bloques b)Determine La fuerza que ejerce B sobre C ( F BC ) y la fuerza que ejerce A sobre B ( F AB )
SOLUCION Ya sabemos que las fuerzas interna no influyen en la aceleración del sistema (fuerzas internas son aquí , las que se ejercen los bloques entre sí ; A sobre B , B sobre A , B sobre C , C sobre B ) , por lo tanto la resultante de fuerzas externas sobre el sistema es F : a = R / m, siendo R = F = 15 N y m = m A + mB + mC = 6,0 kg → a = 2,5 m/s2 La dirección y sentido de a , son los de F . Bajo la acción de la fuerza F que actúa directamente en A ,este bloque empuja a B que a su vez empuja a C. En la figura (b) se muestra el bloque C que se supone aislado de los demás y la fuerza FBC , que ejerce B sobre C. Es evidente que FBC es una fuerza interna y que por acción y reacción , una fuerza F CB igual y contraria a F BC es ejercida por C sobre B ( c ). Para calcular FBC , se aplica la segunda ley de Newton al cuerpo C solamente ( b ) . Como este bloque pertenece al sistema se desplaza con aceleración a = 2,5 m/s 2 , por lo tanto . FBC = mC • a = 3,0 • 2,5 = 7,5 N Para calcular F AB , se aplica la segunda ley de Newton al cuerpo B solamente ( c ) . Como este bloque pertenece al sistema se desplaza con aceleración a = 2,5 m/s 2 , por lo tanto . F AB - FBC = mB • a → F AB - 7,5 = 2,0 • 2,5 → F AB = 12,5 N
10.-La cuña que se muestra en la figura se está moviendo sobre una superficie horizontal con una aceleración de 2 m/s 2 . Un bloque de 5 kg reposa sobre la cuña y está atado por una cuerda ligera en A . No existe fricción entre la cuña y el bloque. a)¿Cuál es la tensión en la cuerda? b)¿Qué fuerza normal ejerce la cuña sobre el bloque? c)Compare las respuestas de (a) y (b) cuando la cuña está en reposo.
SOLUCION Dibujamos las fuerzas que actúan sobre el bloque: N : normal ejercida por la superficie de la cuña sobre el bloque P = m • g = 5 • 10 = 50 N , peso del bloque T : tensión de la cuerda Los ejes x e y se trazan de forma horizontal y vertical:
Σ F Y = 0 → ( 1 )
N cos 30 + T sen 30 - 50 = 0
Σ F X = m • a → ( 2 )
- N sen 30 + T cos 30 = 5 • 2
Combinando ( 1 ) y ( 2 ) se tiene el sistema: 0,86 N + 0,5 T
=
50
- 0,5 N + 0,86 T = 10 Resolviendo el sistema, se tiene T = 13,8 N ; N 50,1 N Si la cuña se encuentra en reposo, entonces, se tiene:
Σ F Y = 0 → ( 1 ) Σ F X = 0
N cos 30 + T sen 30 - 50 = 0
→ (2)
- N sen 30 + T cos 30 = 0
Combinando las ecuaciones se tiene: 0,86 N + 0,5 T = 50 - 0,5 N + 0,86 T
= 0
Resolviendo el sistema, se tiene T = 25,5 N ; N = 43,8 N
11.-Los tres bloques de la figura están conectados por medio de cuerdas ligeras que pasan sobre las poleas sin fricción. La aceleración del sistema es de 2 m/s 2 hacia la izquierda y las superficies son ásperas. Determine : a)Las tensiones en las cuerdas b)El coeficiente de roce cinético entre los bloques y las superficies (suponga que u es el mismo para ambos bloques). SOLUCION
Fuerzas en el bloque de 10 kg: P = m • g = 10 • 10 = 100 N , peso del cuerpo T1 : tensión en la cuerda
Σ F Y = m • a 100 - T1 = 10 • 2 → T1 = 80 N Fuerzas en el bloque de 5 kg: P = m • g = 5 • 10 = 50 N , peso del cuerpo T1 : tensión en la cuerda 1 T2 : tensión en la cuerda 2 fuerza de roce ejercida por la superficie f : sobre el cuerpo ( f = uc N ) N: normal ejercida por la superficie sobre el bloque
Σ F Y = 0 → N - 50 N = 0 → N = 50 N Σ F x = m • a → T1 - f - T2 = 5 • 2 (1)
80 - 50 uc - T2 = 10
Fuerzas en el bloque de 3 kg: P = m • g = 3 • 10 = 30 N , peso del cuerpo Px = 30 sen 25 = 12,6 N Py = 30 cos 25 = 27,1 N T2 : tensión en la cuerda 2 fuerza de roce ejercida por la superficie f : sobre el cuerpo ( f = uc N ) N: normal ejercida por la superficie sobre el bloque
Σ F Y = 0 → N - Py = 0 → N = 27,1 N Σ F x = m • a → T2 - f - Px = 3 • 2 (2)
T2 - 27,1 uc - 12,6 = 6
Combinando ( 1 ) y ( 2 ) se tiene: 80 - 50 uc - T2 = 10 T2 - 27,1 uc - 12,6 = 6 Resolviendo el sistema se tiene: T2 = 36,6 N ; uc = 0,66
12.-Dos cuerpos de masas m 1 = 2,1 kg y m2 = 2,0 kg están unidos por un cordón que pasa por una polea. Los cuerpos inicialmente en reposo son soltados desde la misma altura. Considere despreciable las fricciones y las masas del cordón y de la polea. a)Determine la magnitud , dirección y sentido de las aceleraciones a1 y a2 de las masas m1 y m2 . b)¿Cuál es la magnitud de la tensión en la cuerda que une los bloques.
SOLUCION Como m1 es mayor que m2, supongamos que el sistema se mueve de modo que m1 baja y m2 sube. La aceleración con que baja m1 es igual en magnitud a la aceleración con que sube m2, La tensión en ambos lados de la cuerda es la misma ( se trata de una misma cuerda)
Fuerzas en m1: P1 = m1 • g = 2,1 • 10 = 21 N , ejercida por la Tierra sobre m1 T : tensión en la cuerda que sujeta m1 dirigida hacia arriba En este caso las fuerzas son verticales y considerando sentido positivo hacia abajo, se t iene:
Σ F = m • a → P1 - T = m1 • a → ( 1 )
21 - T = 2,1 • a
Fuerzas en m2: P2 = m2 • g = 2,0 • 10 = 20 N , ejercida por la Tierra sobre m2 T : tensión en la cuerda que sujeta m1 dirigida hacia arriba En este caso las fuerzas son verticales y considerando sentido positivo hacia arriba, se tiene:
Σ F = m • a → T - P2 = m2 • a → ( 2 )
T - 20 = 2,0 • a
Combinando el sistema formado por ( 1 ) y ( 2 ): 21 - T = 2,1 • a T - 20 = 2,0 • a 1 = 4,1 • a
→
a = 0,24 m/s2
, reemplazando este valor en ( 1 )
21 - T = 2,1 • a → 21 - T = 2,1 • 0,24 → T = 20,49 N El cuerpo m1 baja con aceleración de 0,24 m/s 2 y el cuerpo m2 sube con la misma aceleración en magnitud. La tensión en ambos lados de la cuerda es 20,49 N
13.-Dos cuerpos A y B de masas m A = 2,0 kg y mB = 3,0 kg unidos por un cordón de masa despreciable, se deslizan sin fricción a lo largo de una rampa inclinada. a)¿Cuál es la aceleración del sistema constituido por A y por B? b)¿Cuál es el valor de la tensión en la cuerda que une los cuerpos?
SOLUCION
Fuerzas que actúan en m A : N A : normal ejercida por la superficie del plano sobre A P A = m A • g = 2,0 • 10 = 20 N , ejercida por la tierra sobre m A. Esta se descompone en una paralela al plano ( P AX ) y otra perpendicular al plano ( P AY ) P AX = 20 • sen 30o = 10 N P AY = 20 • cos 30o = 16,0 N T : tensión en la cuerda, actúa paralela al plano hacia arriba En dirección perpendicular al plano no hay movimiento, luego :
Σ F Y = 0 → N A - P AY = 0
→ N A - 16,0 N = 0
→
N A = 16,0 N
En dirección paralela al plano y considerando dirección positiva en el sentido del movimiento:
Σ F x = m A • a → P AX - T = 2,0 • a
→ (1)
10 - T = 2,0 • a
Fuerzas que actúan en m B : NB : normal ejercida por la superficie del plano sobre B PB = mB • g = 3,0 • 10 = 30 N , ejercida por la tierra sobre mB. Esta se descompone en una paralela al plano ( PBX ) y otra perpendicular al plano ( PBY ) PBX = 30 • sen 30o = 15 N PBY = 30 • cos 30o = 24,0 N T : tensión en la cuerda, actúa paralela al plano hacia abajo En dirección perpendicular al plano no hay movimiento, luego : Σ F Y = 0 → NB - PBY = 0 → NB - 24,0 N = 0
→
NB = 24,0 N
En dirección paralela al plano y considerando dirección positiva en el sentido del movimiento: Σ F x = mB • a → PBX + T = 3,0 • a → ( 2 ) 15 + T = 3,0 • a Combinando las ecuaciones ( 1 ) y ( 2 ) , se tiene: 10 - T = 2,0 • a 15 + T = 3,0 • a
Resolviendo se tiene: a = 5 m/s2
→ T = 0N
14.-Responda el ejercicio anterior , suponiendo que los coeficientes de roce cinético entre la superficie y los bloques es u A = 0,1 y u B = 0,4. SOLUCION Básicamente es el mismo ejercicio anterior, solo que se incorpora una fuerza paralela al plano y opuesta al sentido de movimiento: la fuerza de roce en el cuerpo A y en B.
Fuerzas que actúan en m A : N A : normal ejercida por la superficie del plano sobre A P A = m A • g = 2,0 • 10 = 20 N , ejercida por la tierra sobre m A. Esta se descompone en una paralela al plano ( P AX ) y otra perpendicular al plano ( P AY ) P AX = 20 • sen 30o = 10 N P AY = 20 • cos 30o = 16,0 N T : tensión en la cuerda, actúa paralela al plano hacia arriba f A : fuerza de roce en A
( f A = ucA • N A = 0,1 • 16 = 1,6 N )
En dirección perpendicular al plano no hay movimiento, luego : Σ F Y = 0 → N A - P AY = 0 → N A - 16,0 N = 0 →
N A = 16,0 N
En dirección paralela al plano y considerando dirección positiva en el sentido del movimiento: f = 2,0 • a Σ F x = m A • a → P AX - T - A → ( 1 ) 10 - T - 1,6 = 2,0 • a
Fuerzas que actúan en m B : NB : normal ejercida por la superficie del plano sobre B PB = mB • g = 3,0 • 10 = 30 N , ejercida por la tierra sobre mB. Esta se descompone en una paralela al plano ( PBX ) y otra perpendicular al plano ( PBY ) PBX = 30 • sen 30o = 15 N PBY = 30 • cos 30o = 24,0 N T : tensión en la cuerda, actúa paralela al plano hacia abajo f B : fuerza de roce en BA
( f B = ucB • NB = 0,4 • 24 = 9,6 N )
En dirección perpendicular al plano no hay movimiento, luego : Σ F Y = 0 → → NB - 24,0 N = 0 NB - PBY = 0
→
NB = 24,0 N
En dirección paralela al plano y considerando dirección positiva en el sentido del movimiento: Σ F x = mB • a → PBX + T - f B = 3,0 • a → ( 2 ) 15 + T - 9,6 = 3,0 • a Combinando las ecuaciones ( 1 ) y ( 2 ) , se tiene: 10 - T - 1,6 = 2,0 • a 15 + T - 9,6 = 3,0 • a
Resolviendo se tiene: a = 2,76 m/s2 →
T = 2,88 N
15.-La figura muestra tres cuerpos de masas m 1 = 3 kg , m2 = 2 kg , m3 = 1 kg , apoyados sobre una superficie horizontal sin roce. Las tensiones máximas que los cordones AB y CD pueden soportar , sin romperse, son, respectivamente iguales a 10 N y 30 N . Los cuerpos se encuentran inicialmente en reposo y en un instante dado , una persona aplica al conjunto una fuerza F = 30 N. ¿Cuál sería la magnitud de la aceleración de cada cuerpo ?
SOLUCION Considerando el conjunto como un sistema ( un solo cuerpo) , la aceleración que debiera adquirir es: aCONJ. = F RESULT. / MTOTAL , la fuerza resultante externa es F = 30 N aCONJ. = 30 N / 6 kg = 5 m/s2
Considerando el cuerpo de masa m1, en estas condiciones, la tensión en la cuerda sería:
Σ F = m1 • a → T = 3 • 5 = 15 N En estas condiciones la tensión en la cuerda que tira de m1 es 15 N, pero como puede resistir sólo 10 N, ella se corta.
Para la tensión que une los cuerpos m3 y m2 , se tiene:
Σ F = (m3 + m2 ) • a → T = 5 • 5 = 25 N Como la tensión en esta parte de la cuerda puede resistir hasta 30 N, en este caso no hay problema.
Entonces, cuando se tira con la fuerza externa F = 30 N del conjunto de cuerpos, la cuerda que une m3 y m2 se corta quedando el sistema formado por m2 y m1:
Σ F = (m2 + m1 ) • a → 30 = 3 • a a = 10 m/s2 Luego a3 = 0 m/s2 , a1 = a2 = 10 m/s2
16.-Una cuerda con densidad lineal (masa por unidad de longitud ) igual a 0,4 kg/m y una longitud total de 5,0 m pasa por una pequeña polea sin fricción como muestra la figura. a)En el instante mostrado en la figura , determine la magnitud de la aceleración de la cuerda b)Conforme la cuerda cae, pasando por la polea , su aceleración, ¿aumenta, disminuye o no se modifica? c)¿En que situación la aceleración de la cuerda será máxima y cuál es este valor máximo? SOLUCION Masa total de la cuerda : 0,4 kg / m • 5 m = 2,0 kg En el instante mostrado en la figura, el peso a ambos lados de la cuerda es: La masa de la cuerda del lado izquierdo es 0,4 kg/m • 2 m = 0,8 kg Entonces el peso de esa porción es: Pizq = m • g → Pizq = 0,8 • 10 = 8 N La masa de la cuerda del lado derecho es 0,4 kg/m • 3 m = 1,2 kg Entonces el peso de esa porción es: Pder = m • g → Pder = 1,2 • 10 = 12 N La aceleración de la cuerda es la fuerza resultante externa dividida por la masa total de ella: a = F res. / mtot. → a = ( 12 – 8 ) / 2,0 = 2,0 m/s2 La porción izquierda sube con aceleración de 2 m/s 2 y la porción derecha baja con la misma aceleración. A medida que la cuerda va cayendo, la aceleración que tiene va aumentando, por ejemplo suponga que en un instante posterior, la porción derecha tiene longitud de 4 m, y la porción izquierda de 1 m: La masa de la cuerda del lado izquierdo es 0,4 kg/m • 1 m = 0,4 kg Entonces el peso de esa porción es: Pizq = m • g → Pizq = 0,4 • 10 = 4 N La masa de la cuerda del lado derecho es 0,4 kg/m • 4 m = 1,6 kg Entonces el peso de esa porción es: Pder = m • g → Pder = 1,6 • 10 = 16 N La aceleración de la cuerda es la fuerza resultante externa dividida por la masa total de ella: a = F res. / mtot. → a = ( 16 – 4 ) / 2,0 = 6,0 m/s2 La porción izquierda sube con aceleración de 6 m/s 2 y la porción derecha baja con la misma aceleración. Cuando la cuerda pasa completamente por la polea, es decir cae libremente tiene su aceleración máxima, que es la aceleración de gravedad 10 m/s 2 .
17.-En el sistema mostrado en la figura, suponga que m A = 4 kg , mB = 4 kg , mC = 2 kg. Considere despreciable las fuerzas de fricción y las masas de los cordones de las poleas y de los dinamómetros. Determine : a)La magnitud, dirección y sentido de la aceleración de cada uno de los bloques? b)Las lecturas de los dinamómetros SOLUCION Como m A es mayor que m B , y no hay roce en B , podemos asumir que el conjunto se moverá con A descendiendo, B moviéndose a la izquierda y C subiendo. Todos los cuerpos se mueven con aceleración de igual magnitud.
Fuerzas que actúan en A: P A = m A • g = 4 • 10 = 40 N T : tensión en la cuerda En este caso las fuerzas actúan en dirección vertical y considerando sentido positivo hacia donde se mueve A, se tiene: Σ F Y = m A • a → P A - T = m A • a → (1) 40 - T = 4 • a
Fuerzas que actúan en C: PC = mC • g = 2 • 10 = 20 N T1 : tensión en la cuerda En este caso las fuerzas actúan en dirección vertical, considerando sentido positivo hacia donde se mueve C , se tiene: Σ F Y = mC • a → T1 - PC = mC • a → ( 2 ) T1 - 20 = 2 • a
Fuerzas que actúan en B: PB = mB • g = 4 • 10 = 40 N N : normal ejercida por la superficie sobre B T : tensión en la cuerda ( la medida del dinamómetro D1) T1 : tensión en la cuerda ( la medida del dinamómetro D2) En este caso las fuerzas actúan en dirección vertical ( no hay movimiento) y horizontal. Considerando sentido positivo hacia donde se mueve B , se tiene: Σ F Y = 0 → N - PB = 0 → N = 40 N Σ F X = mB • a → T - T1 = mB • a → ( 3 ) T - T1 = 4 • a Combinando las ecuaciones ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) , se tiene: (1) 40 - T = 4 • a (2) T1 - 20 = 2 • a (3) T - T1 = 4 • a La aceleración del conjunto es 2 m/s 2 ; D1 = T = 32 N ;
D2 = T1 = 24 N
18.-Un bloque se desliza hacia debajo de un plano inclinado a 30 o con aceleración constante. El bloque parte del reposo desde arriba y recorre 18 m hasta abajo, en donde su rapidez es 3 m/s. Determine: a)La aceleración del bloque b)El coeficiente de roce cinético entre el bloque y la superficie del plano SOLUCION Considerando dirección positiva en el sentido del movimiento del objeto ( hacia abajo) y al tratarse de un movimiento con aceleración constante, ocupamos la expresión: ( vf ) 2 = ( vo ) 2 + 2 •a • d ( 3 ) 2 = ( 0 ) 2 + 2 •a • 18 a = 0,25 m/s 2
Para calcular el coeficiente de roce entre el bloque y la superficie debe dibujar las fuerzas que actúan sobre el bloque (suponga que el bloque tiene masa m) : N : normal ejercida por la superficie sobre el bloque f : fuerza de roce ejercida por la superficie sobre el bloque ( f = u • N ) P : Peso del cuerpo ( p = m • g ) Px
= m g sen 30o
Py
= m g cos 30o
Σ Fy = 0
→ N - Py = 0 → N - m g cos 30o = 0 → N = m g cos 30o
Σ Fx = m • a
→ Px - f = m • a
m g sen 30 o - f
=
m•a
m g sen 30o - u • m g cos 30o u =
m g sen 30o - m • a m g cos 30 o
u = 10 • 0,5 - 0,25 10 • 0,86 u = 0,55
=
, pero f = u • N = u • m g cos 30o m • a
19.-Se observa que un bloque de masa m se desliza hacia abajo, con velocidad constante cuando se suelta en un plano inclinado cuyo ángulo de i nclinación es θ. La fuerza de fricción cinética que el plano ejerce en el bloque es : a) cero b) mg c) mg senθ d) mg tgθ e) mg cos θ
SOLUCION Las fuerzas que actúan sobre el bloque son: N : normal ejercida por la superficie sobre el bloque P = m g ; ejercida por la tierra sobre el bloque f : fuerza de roce ejercida por la superficie sobre el bloque
Como el bloque se mueve con velocidad constante la suma de las fuerza en la dirección perpendicular al plano ( y ) y en dirección paralela al plano ( x ) debe ser igual a cero:
Σ FY = 0 → N - m g cos θ = 0 N = m g cos θ Σ FX = 0 → m g sen θ - f = 0 f = m g sen θ Alternativa correcta ( c )
20.-Un auto tiene freno en las 4 ruedas y se mueve en un plano horizontal con velocidad de magnitud vo . En determinado momento los frenos se aplican de modo que detienen las 4 ruedas y el auto recorre hasta detenerse una distancia D en un intervalo T . No se considera el efecto del aire y el coeficiente de fricción entre las l lantas y el suelo se mantiene constante. Si , en el momento de frenar , la velocidad tuviera magnitud 2 v o , la distancia recorrida y el tiempo de recorrido hasta que el auto se detuviera serían, respectivamente, iguales a : a) 2 D y 2 T b) D y T c) 4 D y 2 T d) 2 D y 4 T e) 4 D y 4 T SOLUCION Cuando el auto frena la fuerza resultante que lo detiene es la fricción ( roce): Luego la aceleración es: a = f / m → a = - u c • N / m Pero la normal ( N ) es igual al peso del auto ( m g ): a = - uc • m g
/ m
→ a = - uc • g
Ocupando las ecuaciones de la cinemática, para la velocidad y desplazamiento se tiene: v = vo + a • t
→ 0 = vo - a • T → T = vo / a
D = vo • t + a • t2 / 2
→ T
= vo / uc • g
→ D = vo • T + uc • g • T2 / 2
Expresiones para el tiempo ( T ) en detenerse y la distancia recorrida ( D ), cuando el auto viaja con velocidad inicial vo . Si el auto viaja con velocidad 2 v o ( el doble de la velocidad inicial ): La aceleración es: a = f / m → a = - u c • N / m ( no cambia ) La normal ( N ) es igual al peso del auto ( m g ): a = - uc • m g
/ m
→ a = - uc • g
Ocupando las ecuaciones de la cinemática, para la velocidad y desplazamiento se tiene: v = vo + a • t
→ 0 = 2 vo - a • T´ → T´
= 2 vo / a
→ T´ = 2 ( vo / uc • g)
El tiempo ahora en detenerse ( T´ ) , es ahora dos veces el anterior T´ = 2 T D´ = vo • t + a • t2 / 2
→ D´ = 2 vo • T´ + uc • g • ( T´ ) 2 / 2
D´ = 2 vo • 2 T + uc • g • ( 2 T ) 2 / 2
= 4 vo • T + 4 uc • g • T 2 / 2
D´ = 4 ( vo • T + uc • g • T2 / 2 ) → D´ = 4 D , la distancia hasta detenerse es ahora 4 veces mayor.
21.-En la plataforma de un vagón se colocan cajas cuyo coeficiente de fricción estático con el piso es 0,4 . Si el vagón avanza a 72 km/h , la menor distancia que el tren puede recorrer hasta detenerse sin que las cajas se deslicen es de : a) b) c) d) e)
20 m 35 m 50 m 80 m N. Anteriores
SOLUCION Fuerzas que actúan sobre la caja: N : normal ejercida por el piso P : Peso de la caja ( m • g ) f : fuerza de roce, que acelera el bloque en relación al piso del vagón. f
= m • a
En la dirección vertical, se tiene:
ΣFy = 0 → N - m g = 0 → N = m g Como el bloque no debe deslizar, el roce entre él y el piso es del tipo estático, luego: f
≤ f max
m • a
≤
→
f
≤
u•N ,
pero
→ amax = 0,4 • 10 = 4 m/s2 , en sentido negativo al movimiento del vagón.
La distancia que puede recorrer sin que deslice es: =
= m • a
u • m • g
a ≤ u • g
( vf )2
f
( v0 )2
400 / 2 • 4 = d
+ 2 • a • d = 50 m
v f = 0 m/s ,
v0 = 72 km/h = 20 m/s
22.-En la figura , el coeficiente de roce cinético entre los bloques de 2 kg y 3 kg es 0,3. La superficie horizontal y las poleas no tiene roce y las masas se liberan a partir del reposo. a)Dibuje los diagramas de cuerpo libre para cada cuerpo b)Calcule la aceleración de cada bloque c)Determine las tensiones en las cuerdas SOLUCION Al soltar el sistema desde el reposo , el bloque de 2 kg se mueve a la izquierda, el de 3 kg a la derecha y el de 10 kg desciende. Los tres cuerpos se mueven del mismo modo, es decir tienen igual aceleración ( magnitud). Fuerzas en el bloque de 2 kg: T1 : tensión en la cuerda N3 → 2 : normal ejercida por el bloque de 3 kg hacia arriba P = m • g = 2 • 10 = 20 N f 3 → 2 : fuerza de roce ejercida por la superficie Del bloque 3 sobre 2 ( f 3 → 2 = uc • N3 → 2 = 0,3 • 20 = 6 N )
Σ F y = 0 → N3 → 2 - 20 N = 0 → N3 → 2 = 20 N Σ F x = m • a → ( 1 )
T1 - 6
= 2 • a
Fuerzas en el bloque de 3 kg: T1 : tensión en la cuerda N2 → 3 : normal ejercida por el bloque de 2 kg hacia abajo (N 2 → 3 = N3 → 2 = 20 N ) P = m • g = 3 • 10 = 30 N f 2 → 3 : fuerza de roce ejercida por la superficie del bloque 2 sobre 3 ( f 2 → 3 = f 3 → 2 = 6 N ) N : normal ejercida por la superficie sobre el bloque T2 : tensión ejercida por la cuerda 2
Σ F y = 0 → N - N2 → 3 - 30 N = 0 → N - 20 - 30 = 0 → N = 50 N Σ F x = m • a →
T2 - f 2 → 3 - T1
= 3 • a
→ (2)
Fuerzas en el bloque de 10 kg: T2 : tensión en la cuerda P = m • g = 10 • 10 = 100 N
Σ F y = m • a → ( 3 )
100 - T2 = 10 • a
Combinando las ecuaciones ( 1 ) T1 - 6 = 2 • a → T1 = 2 • a + 6 (2) T2 - 6 - T1 = 3 • a → ( 3) 100 - T2 = 10 • a → T2 = 100 - 10 • a Se tiene: a = 5,8 m/s 2 ; T1 = 17,7 N ; T2 = 42 N
T2 - 6 - T1
= 3 • a
23.-Un niño desea alcanzar una manzana en un árbol sin trepar por él. Sentado en un columpio conectado a una cuerda que pasa por una polea sin fricción jala el extremo suelto de la cuerda con una fuerza tal que el medidor de fuerzas marca 250 N. El peso del niño es 320 N y el columpio pesa 160 N. a)Dibuje diagrama de cuerpo libre para el niño y el columpio considerados como sistemas separados. b)Muestre que la aceleración del sistema es hacia arriba y encuentre su valor c)Determine la fuerza que el niño ejerce sobre el columpio SOLUCION
Fuerzas que actúan sobre el columpio: La tensión en la cuerda que sujeta el Medidor de fuerzas: 250 N El peso del columpio : 160 N
(a)
La fuerza que ejerce el niño sobre el columpio hacia abajo: N
Fuerzas que actúan sobre el niño La fuerza que ejerce el asiento sobre el niño hacia arriba: N La fuerza que ejerce la cuerda sobre la mano del niño hacia arriba: 250 N El peso del niño: 320 N
Fuerzas que actúan sobre el sistema niño - columpio La fuerza ejercida por la cuerda que sostiene el columpio: 250 N La fuerza ejercida por la cuerda sobre la mano del niño: 250 N El peso del conjunto niño + columpio: 320 N + 160 N = 480 N La aceleración del conjunto niño – columpio es igual a la fuerza resultante sobre el conjunto dividido por la masa del conjunto: a = FRESULTANTE / Masa
→ a = (250 + 250 – 480) : ( 480:10) = 0,41 m/s2
La fuerza que ejerce el niño sobre el columpio es la que aparece en la figura ( a ) con N. Como el columpio se mueve hacia arriba con la misma aceleración del conjunto ( 0,41 m/s 2 ): a = FRESULTANTE / ( Masa del columpio) 6,56 = 90 – N → N = 83,4 N
→
0,41 = (250 – N – 160 ) / ( 160:10)
24.-Un bloque de 2,0 kg se sitúa sobre la parte superior de un bloque de 5,0 kg. El coeficiente de fricción cinética entre el bloque de 5,0 kg y la superficie es 0,2. Una fuerza horizontal F se aplica al bloque de 5,0 kg: a)Dibuje un diagrama de cuerpo libre para cada bloque ¿Qué fuerza acelera el cuerpo de 2,0 kg? b)Calcule la magnitud de la fuerza necesaria para jalar ambos bloques hacia la derecha con una aceleración de 3,0 m/s2 . c)Encuentre el coeficiente mínimo de fricción estática entre los bloques, tal que el de 2,0 kg no se deslice menos de una aceleración de 3,0 m/s 2 . SOLUCION
Fuerzas que actúan en A: El peso del cuerpo A : 20 N La fuerza normal que ejerce B sobre A hacia arriba: NB→ A f E (B→ A) : fuerza de roce estática ejercida por B sobre A
Fuerzas que actúan en B: El peso del bloque B:
50 N
La fuerza normal que el suelo ejerce sobre B: NSUELO→B La fuerza de roce estática que ejerce A sobre B : f E ( A→B) La fuerza de roce cinética que ejerce el suelo sobre B : f C ( SUELO→B) La fuerza ejercida por el agente externo: F La fuerza normal que ejerce A sobre B hacia abajo: N A→B Son pares de fuerza acción y reacción: N A→B fuerzas tienen igual magnitud.
y
NB→ A
;
f E (B→ A) y f E ( A→B) ; estas
En el bloque A, al no haber movimiento en la dirección vertical, se tiene: NB→ A = 20 N = N A→B
La fricción estática entre los dos bloques acelera al bloque superior ( f E (B→ A) ) Aplicando la ecuación Σ F = m • a a cada bloque se tiene: Bloque A: Σ F = m A • a → f E (B→ A) = m A • a
→ f E (B→ A) = 2 • 3 = 6 N
Bloque B: Σ F = mB • a → F - f E ( A→B) - f C ( SUELO→B) = mB • a f C ( SUELO→B) = uC • NSUELO→B , con NSUELO→B = N A→B + 50 = 20 + 50 = 70 N f C ( SUELO→B) = 0,2 • 70 = 14,0 N ;
f E (B→ A) = f E ( A→B) = 6 N
F - f E ( A→B) - f C ( SUELO→B) = mB • a → F - 6 - 14 = 5 • 3 De f E (B→ A) = m A • a
→ uE • NB→ A = m A • a
→ F = 35 N
→ uE • 20 = 2 • 3 → uE = 0,3
25.- a) Una piedra de masa 0,5 kg está colgada en equilibrio , en el extremo de un cordel como muestra la figura (a). Cuál es el valor de la tensión T del cordel? b)Suponga que la piedra se haga oscilar como muestra la figura (b). Al pasar por el punto más bajo de la trayectoria, tiene una velocidad de 2 m/s , calcular la tensión en la cuerda , considere que la longitud del hilo es 1,0 m.
SOLUCION Cuando la piedra está en equilibrio ( a ), las fuerzas que actúan en ella son: La atracción de la Tierra: P = m g = 0,5 • 10 = 5,0 N La tensión en la cuerda T Al estar en equilibrio : Σ F = 0 ( vertical) T - P = 0 → T = P = 5,0 N Si la piedra se hace oscilar de modo que describe una circunferencia, entonces debe existir una fuerza resultante ( FCENTRÍPETA ) dirigida hacia el centro de la trayectoria: Las fuerzas que actúan sobre la piedra: La tensión en la cuerda T La atracción de la Tierra: P = m g = 0,5 • 10 = 5,0 N Para que exista una resultante hacia el centro de la trayectoria, T debe ser mayor que P: FCENTRÍPETA = pero aC =
T - P =
m • aC
,
m • v2 / R
Luego: T - P =
m • v2 / R
T - 5,0 = 0,5 • ( 2 )2 / 1,0 T = 7,0 N
26.-Un auto de masa m ,está describiendo una curva de radio R y centro C con una rapidez v . Para hacer que el auto tenga más seguridad al describir esa curva los ingenieros construyen la pista de modo que la parte externa sea mas alta. Siendo θ el ángulo de elevación dado a la pista, vamos a determinar el valor de este ángulo para que el auto logre hacer la curva incluso en ausencia total de fricción . a)Dibuje, en la figura, las componentes vertical NV y horizontal NH de la reacción normal N de la pista sobre el auto. b)Exprese la magnitud de la componente horizontal NH en función de mg y de θ . c)Usando el valor de la respuesta anterior, muestre que el valor de θ está dado por tg θ = v2 / g R d)Suponga que un auto formula 1 con una rapidez de 72 km/h , estuviera describiendo una curva de radio R = 125 m. Imagine que la pista se encuentra totalmente cubierta de aceite (sin fricción) y determine cuál debería ser el valor de su inclinación θ para que el auto logre describir la curva normalmente. Considere g = 10 m/s 2 .
SOLUCION Las fuerzas que actúan sobre el auto son: La fuerza normal ejercida por la pista sobre el auto: N La atracción de la Tierra : P = m g La fuerza centrípeta que logra hacer al auto describir la curva es la componente de la fuerza normal N dirigida al centro de la trayectoria: N sen θ = m v2 / R La otra componente de la fuerza normal equilibra el peso del auto: N cos θ = m g (no hay movimiento en esta dirección) Combinando estas dos expresiones, se tiene: tg θ = v2 / R • g Si v = 180 km/h = 180 : 3,6 m/s = 50 m/s , R = 50 m tg θ = v2 / R • g
→ tg θ = ( 50 )2 / 50 • 10 tg θ = 5 θ = 79 o
27.-Un auto de masa m = 1500 kg avanza por una carretera a 36 km/h , pasa por una loma cuyo radio , en el punto más alto , vale R = 50 m. Considerando g = 10 m/s2 : a)Calcule la compresión vertical que el auto está ejerciendo sobre el suelo al pasar por aquél punto. b)Compare el valor de esa compresión con el peso del auto .
SOLUCION Las fuerzas que actúan sobre el auto son: La atracción ejercida por la Tierra: P = m g P = 1500 • 10 = 15000 N La fuerza ejercida por la superficie de la carretera hacia arriba ( normal ) N Al describir una circunferencia debe existir una fuerza resultante dirigida hacia el centro de la trayectoria ( FCENTRÍPETA ). Para que la FCENTRÍPETA apunte al centro de la trayectoria el Peso del vehículo ( P ) debe ser mayor que la reacción de la fuerza normal ( N ). FCENTRÍPETA = m • v2 / R P - N = m • v2 / R
con P = m g
Luego N = m g - m • v2 / R N = 1500 • 10 - 1500 • ( 10 )2 / 50 N = 12000 N N es la fuerza ejercida por el suelo sobre el auto, N´ es la fuerza ejercida por el auto sobre el suelo (fuerza de compresión). Como f orman un par de fuerzas acción y reacción, tienen igual magnitud, luego: N = N´ = 12000 N , menor que el peso del auto P = 15000 N
28.-Un juego mecánico de un parque de diversiones consta de un gran cilindro vertical que gira alrededor de su eje lo suficientemente rápido como para que cualquier persona que se encuentre dentro de él se mantenga pegada contra la pared cuando se le quita el piso. El coeficiente de fricción estática entre la persona y la pared es u s y el radio del cilindro es R. a)Demuestre que el período máximo de revolución necesario para evitar que la persona caiga es T = ( 4 π2 R us / g ) 1/2 b)Obtenga un valor numérico para T si R = 4 m y us = 0,4 ¿Cuántas revoluciones por minuto efectúa el cilindro?
SOLUCION Las fuerzas que actúan sobre la persona son: N : normal ejercida hacia el centro por la superficie del cilindro f : fuerza de roce estática ejercida por la pared del cilindro ( f = u • N ) P : atracción de la Tierra, suponiendo de masa m, se tiene P = m g En la dirección vertical no hay movimiento: (1)
f = P → u • N = m g → N = m g / u
En la dirección horizontal, N es la fuerza centrípeta: (2)
N = m • v2 / R
Reemplazando ( 1 ) en ( 2 ) se tiene: N = m • v2 / R → m g / u = m • v2 / R pero v = 2 π R / T, luego m g / u = m • (2 π R / T )2 / R m g / u = m • 4 π2 R2 / T2 • R T = √ 4 π2 R u / g Reemplazando los valores dados se tiene: T = √ 4 • (3,14) 2 • 4 • 0,4 / 10 → T = 2,51 seg (tiempo en dar una vuelta. Como tarda 2,52 seg en dar 1 vuelta, entonces en 1 minuto = 60 seg dará: 2.51 seg ------ 1 vuelta 60 seg -------- x → x = 24 vueltas
29.-Una bola de 100 gr se desliza libremente en una cuerda de 0,8 m de longitud. Los extremos de la cuerda están atados a una varilla vertical en los puntos A y B , los cuáles están a una distancia de 0,4 m. Cuando la varilla gira , BC es horizontal e igual a o,3 m. a)¿Cuál es la tensión en la cuerda b)¿Cuál es la rapidez de la bola en C?
SOLUCION Las fuerza que actúan sobre la bola son: La atracción de la Tierra: P = 0,1 • 10 = 1,0 N
P=mg
La tensión en la cuerda T AC La tensión en la cuerda T BC Trazando un sistema de ejes coordenados y definiendo el ángulo θ para descomponer T AC se tiene: ( 1 ) T AC sen θ = m g ( no hay movimiento en la vertical) (2)
T AC cos θ + TBC = m • v2 / R (fuerza centrípeta )
sen θ = 0,4 / 0,5 = 0,8 cos θ = 0,3 / 0,5 = 0,6 Reemplazando en ( 1 ) T AC • 0,8 = 0,1 • 10
→ T AC = 1,25 N
Conociendo el valor de T AC se reemplaza en ( 2 ) para obtener v : Considere que T AC T AC cos θ + TBC
= TBC = T = 1,25 N (se trata de la misma cuerda) = m • v2 / R
1,25 • 0,6 + 1,25 = 0,1 • v2 / 0,3 v = 2,45 m/s
30.-Un lanzador arroja una pelota de 0,145 kg y pasa a un bateador a 40,2 m/s. Encuentre la fuerza resistiva que actúa sobre la pelota a esta rapidez. Considere que la densidad del aire es ρ = 1,29 kg/m3 y el área de la superficie de la esfera es 4,2 x 10 -3 m2 .
SOLUCION Primero se debe determinar el coeficiente de arrastre D, a partir de la expresión: vT = √ ( 2 mg / D ρ A )
→
D = ( 2 m g ) / ( ( vT )2 ρ A )
D = ( 2 • 0,145 • 10 ) / ( ( 43 )2 • 1,29 • 4,2 • 10-3 ) D = 2,9 / ( 10,01 ) = 0,289 (el coeficiente de arrastre no tiene unidad de medida) La fuerza resistiva es: R = ½ • D • ρ • A • v2 R = ½ • 0,289 • 1,29 • 4,2 • 10-3 • ( 40,2 )2 R = 1,26 N
31.-Suponga que el valor de la resistencia del aire sobre una gota de lluvia que cae , está dada por f = k v , siendo k = 1,0 x 10-4 N seg / m . La masa de la gota es m = 0,1 gr y considere g = 10 m/s2 : a)¿Cuál es el valor de la aceleración de caída de la gota, en el instante en que su velocidad es v = 3,0 m/s? b)¿Y en el instante en que v = 8,0 m/s ? c)¿Cuál es el valor de la velocidad terminal de la gota? SOLUCION Considere primero el momento en que la gota empieza su movimiento ( v = 0 ). La única fuerza que actúa sobre ella es la atracción de la Tierra, es decir su peso: P = m • g , luego: FRESULT. = m • a m • g = m • a a = g ( en ese momento la aceleración de la gota es igual al valor de la aceleración de gravedad , es decir 10 m/s 2 ) . Una vez la gota empieza a caer su velocidad aumenta, cuando alcanza el valor de 3,0 m/s, la fuerza de resistencia del aire es : f = k • v = 1,0 • 10-4 N seg / m • 3,0 m/s = 3,0 • 10-4 N El peso de la gota es: P = m • g = 0,1 • 10-3 kg • 10 m/s2 = 1,0 • 10-3 N La fuerza resultante es : P - f = m • a 1,0 • 10-3 N - 3,0 • 10-4 N = 0,1 • 10-3 kg • a a = 7 m/s2 Si la velocidad de la gota es 8,0 m/s, la fuerza de resistencia del aire es : f = k • v = 1,0 • 10-4 N seg / m • 8,0 m/s = 8,0 • 10-4 N El peso de la gota es: P = m • g = 0,1 • 10-3 kg • 10 m/s2 = 1,0 • 10-3 N La fuerza resultante es : P - f = m • a 1,0 • 10-3 N - 8,0 • 10-4 N = 0,1 • 10-3 kg • a a = 2 m/s2 La velocidad terminal de la gota se logra cuando la fuerza de resistencia del aire ( f ) es igual al peso de la gota ( P ) : f = P → k • v = m g → v = m g / k Es decir : v = 0,1 • 10-3 kg • 10 / 1,0 • 10-4 v = 10 m/s Luego que la gota alcanza esta velocidad su movimiento es rectilíneo uniforme.
