Soal Dan Solusi Tes 2 Pelatihan Astronomi (19 Maret 2011)

Kantor: LPIK-Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha No.15 Bandung 40132 Telp 022-2501006. Fax.022-7321010, http://www.astrojay.com Science Store: Pusat Belanja Balubur, Lt.2 Blok A-7 Jl. Taman Sari, Bandung 40132

SOAL TES PELATIHAN PERSIAPAN OLIMPIADE SAINS DI SMA PRIBADI BANDUNG SOAL TES II 19 MARET 2011 WAKTU = 3 JAM 1. Perhatikan Gambar 1. Lingkaran berpusat di 𝑂 memiliki radius 10 cm. Tali busur 𝐴𝐵 sama panjangnya dengan tali busur 𝐶𝐷, yaitu 16 cm. Kedua tali busur tersebut tegak lurus terhadap garis 𝑋𝑌. Tentukan: a. panjang 𝑀𝑁! b. panjang 𝑀𝑌! c. luas segitiga 𝐶𝑀𝐷! Gambar 1

Gambar 2

2. Perhatikan Gambar 2. Lingkaran berpusat di 𝑂1 dan 𝑂2 memiliki perbandingan radius 𝑟1 ∶ 𝑟2 = 5 ∶ 2. 𝐴𝑇 merupakan garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran. Jika diketahui 𝑟1 = 5 cm dan 𝑂1 𝑂2 = 9 cm, tentukan: a. panjang 𝑂1 𝑇! b. panjang 𝐴𝐵! c. panjang 𝐴𝑇!

3. Perhatikan Gambar 3. Telah diperoleh citra sabit Bulan menggunakan kamera SKYnyx 2.1 yang terpasang di teleskop pembias berdiameter 5 inci pada 18 April 2010 oleh Malcolm Park. Bila pada saat pemotretan jarak sudut Bulan– Matahari sebagaimana teramati dari Bumi sebesar 500 34’ 10”, hitungah luas sabit Bulan! 4. Seperti manusia, astronom Venus menggunakan metoda yang sama untuk mendefinisikan paralaks dan parsek (pc). Tetapi mengukurnya dalam satuan yang berbeda (disesuai dengan jarak Venus dan kondisi fisik mereka). Sebagai contoh jarak Sirius = 19,6 vpc (venusial parsec). a. Jelaskan system satuan sudut yang digunakan astronom Venus! (jarak Venus-Matahari =0,723 AU Gambar 3 SOAL TES II

HALAMAN 1

b. Hitung paralaks horizontal (diurnal) Matahari jika diamati dari Venus (jari-jari Venus = 6052 km) dan nyatakan dalam “vau” (venusial angular unit) .Catatan: penduduk Venus memiliki 2 tangan dan 7 buah jari di tiap tangan. Diketahui: paralaks Sirius dari Bumi = 0”,379. Paralaks horisontal Matahari jika diamati dari Bumi =

𝑅𝐵 𝑎𝐵

Matahari-Bumi.

(dalam satuan radian), 𝑅𝐵 = jari-jari Bumi dan 𝑎𝐵 = jarak

5. Untuk sebuah awan molekular antar bintang yang berbentuk bola seragam, diberikan: • Energi potensial gravitasi: 𝟑 𝑮𝑴𝟐 𝑬𝒑 = 𝟓 𝑹 • Energi kinetik: 𝟑𝑴 𝑬𝒌 = 𝒌𝑻 𝟐𝒎 Awan molekular antar bintang akan mulai mulai mengerut untuk memulai proses pembentukan bintang jika 𝐸𝑝 ≥ 𝐸𝑘. Dari informasi yang diberikan buktikan bahwa massa minimum sebuah awan molekular antar bintang agar terjadi proses kondensasi (dikenal sebagai massa Jeans) adalah: 𝟒𝝅 𝟑 MJ = 𝑹 𝝆 𝟑 𝑱 Dengan: 𝜌 = densitas awan molekular 𝑅𝐽 = jari-jari Jeans Petunjuk: Cari dahulu perumusan untuk menghitung jari-jari Jeans. 𝟏𝟓 𝟏/𝟐

Catatan: � � 𝟖𝝅

= 𝟎, 𝟕𝟕, sebagai pendekatan akan dibulatkan menjadi 1.

6. Perkirakan kala hidup Matahari jika diketahui luminositas Matahari saat ini = 3,96×1033 erg, dan 0,007 dari massa proton (massa proton = 1,673×10-24 kg) di inti Matahari diubah menjadi energi. Catatan: massa inti Matahari adalah 10% dari massa total Matahari (1,99×1030 kg) dan kecepatan cahaya = 2,998×108 m/detik. 7. Sebuah bintang deklinasi = 380 43’ dan asensio rekta = 14h 30m, paralaks = 0”,124, memiliki besar gerak sejati dalam arah asensio rekta (µα) = 0s,0164 dan gerak sejati dalam arah deklinasi (µδ) = 0”,284. Kecepatan radial bintang = -14 km/s (bintang mendekati pengamat) dan magnitudo semu bintang = 0,14. Hitunglah: a. Proper motion bintang (µ) b. Kecepatan transeversal bintang (𝑉𝑡) c. Kecepatan 3D bintang (𝑉) d. Paralaks bintang saat mencapai posisi terdekat ke Matahari e. Waktu yang dibutuhkan mencapai posisi terdekat keMatahari f. Magnitudo semu bintang saat di posisi terdekat ke Matahari Diberikan: • µα cos δ = µ sin θ • µδ = µ cos θ

SOAL TES II

HALAMAN 2

8. From the curve for binary eclipsing stars, determine the qualitative elements of the eclipse; i.e. the duration, whether the eclipse is complete, partial or annular, whether the intensity of the satellite (companion star) is significant fraction of the intensity of the principal star, and how great are the dimensions of both stars in comparison with the radii of their relative orbits

9. Assume that the orbit is circular, the orbital inclination angle is 90o, and the two stars have the same radius. a. Cite a property of the light curve that is consistent with a circular orbit. b. How is the shape of the primary eclipse consistent with the fact that the two stars have the same radius? c. Find the radius of either star in units of the orbital separation. d. What is the difference in depths between the primary and secondary minima? e. Use the answer to part (d) to compute the relative luminosities of the two stars. f. Is there any evidence for the reflection effect by the less luminous star?

SOAL TES II

HALAMAN 3

SOLUSI: 1. Jawab: (i) Karena XY merupakan sumbu simetri, maka AM = MB = CN = CD = 8 cm Dari dalil Pythagoras: (OM)2 = (OA)2 – (AM)2, diperoleh OM = 6 cm Karena AB = CD (menurut soal), maka ON = OM = 6 cm Dengan demikian, MN = OM + ON = 12 cm (ii) (iii) 2. Jawab: (i)

MY = OM + OY = 16 cm Luas segitiga CMD = ½ x Alas x Tinggi = ½ x CD x MN = 96 cm2

Tinjau segitiga-segitiga O1AT dan O2BT. Dari sifat kongruen diperoleh: O 2B O 2T = O 1 B ( O 2 T + O 1O 2 ) 2 x = 5 ( x + 9)

Diselesaikan untuk x, diperoleh x = O2T = 6 cm sehingga O1T = O1O2 + O2T = 15 cm (ii)

Buat garis sejajar AB dengan memanfaatkan pusat O2. Anggap garis tersebut memotong O1A di titik E. Namai garis itu sebagai O2E. Artinya, AB = O2E. Dari dalil Pythagoras: (O2E)2 = (O1O2)2 – (O1E)2, diperoleh O2E = AB = 6√2 cm

(iii) AT = AB + BT Dari dalil Pythagoras: (BT)2 = (O2T)2 – (O2B) 2, diperoleh BT = 4√2 cm Sehingga, AT = 10√2 cm 3. Jawab: Anggap orbit Bulan berbentuk lingkaran, sehingga ukuran sudut Bulan senantiasa sama Nyatakan luas sabit Bulan sebagai Ls: 1 Ls =πr 2 ( 1 − cose ) , 2

dengan r menyatakan radius Bulan dan e sudut elongasi

Diselesaikan untuk nilai r = 15’ = ¼ derajat, diperoleh luas sabit Ls = 0,036 derajat persegi Luas sabit dalam citra Bulan di atas sebesar ~ 4% dari luas Bulan purnama  Bila cuaca mendukung, dapat diamati! 4. Jawab: Paralaks Sirius dari Bumi = 0”,379, maka jarak Sirius = 2,64 pc = 206265×2,64 AU = 5,44×105 AU. Nilai tersebut sama dengan 19,6 vpc maka: 1 vpc = 206265 AU / 0”,379 = 5,44×105 AU / 19,6 = 2,78×104 AU. Jarak 2,78×104 AU sama dengan 2,78×104 AU / 0,723 AU = 3,84×104 semi-major axis orbit Venus.

SOAL TES II

HALAMAN 4

Karena jumlah total jari Venusian = 14 buah, maka secara logika, Venusian menggunakan system bilangan tetradecimal (bilangan basis 14), maka kita harus mencari nilai dari 𝑙𝑜𝑔14(3,84 × 104 ) yaitu : 𝑙𝑜𝑔14 (38400) =

(Secara tepat 144 = 38416).

ln(38400) = 3,996 ≈ 4 ln(14)

Maka Venusian menggunakan besaran sudut dalam radian(rad). Satuan yang sama dengan 10-2 radian (Bumi) = 14-2 radian (Venusial) Ingat untuk di Bumi : 1 derajat =

𝜋

180

radian = 0,017 ≈ 0,02 radian (orde per-seratus radian) 𝜋

1 detik busur = radian = 4,85×10-6 radian (orde per- sejuta radian). Artinya 180×60×60 dengan jarak-Bumi-Matahari (semi-major axis orbit) = 150 juta km = 1 AU, jarak bintang = 1 pc jika paralaks bintang = 1”. Maka untuk Venusian, orde yang hampir sama dengan per-sejuta radian (bumi) adalah 14-4. Satuan 14-4 radian yang digunakan untuk mendefinisikan satuan Venusial parsec. Maka Venusial parsec = nominal 14-4 radian. b. Maka besar paralaks horizontal Matahari menurut satuan sudut venusial adalah 𝑝𝑉 (𝑀𝑎𝑡𝑎ℎ𝑎𝑟𝑖 ) =

𝑝𝑉 (𝑀𝑎𝑡𝑎ℎ𝑎𝑟𝑖 ) =

𝑅𝑉𝑒𝑛𝑢𝑠 6052 𝑘𝑚 = = 5,5933 × 10−4 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 𝑎𝑉𝑒𝑛𝑢𝑠 108200000 𝑘𝑚

5,5933×10−5 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 14−4 radian

= 2,1487

satuan sudut Venusial

Jika kita ubah ke system bilangan tetradecimal sebagai berikut: Ingat dalam system bilangan decimal : 2,1487 = 2 + 1×10-1 + 4×10-2 + 8×10-3 + 7×10-4 Maka dalam system bilangan tetradesimal, misal dituliskan M, NOPQ = M+ N×14-1 + O×14-2 + P×14-3 + Q×10-4, maka: M = (2,1487) = 2 ; N = (2,1487 - M) / 14-1) = 2 ; O = (2,1487 - (M) - (N×14-1)) / 14-2) =1 P = (2,1487 - (M) - (N×14-1) - (O×14-2)) / 14-3) =2 Q = (2,1487 - (M) - (N×14-1) - (O×14-2)) – (P×14-3/ 14-4) = 0 Maka 2,1487 dalam system bilangan decimal = 2,2120 dalam system bilangan tetradesimal.

SOAL TES II

HALAMAN 5

5. Jawab:

𝑀

3 𝐺𝑀2 3𝑀 ≥ 𝑘𝑇 5 𝑅 2𝑚

𝑅

Substitusi (2) ke (1) diperoleh

𝟏𝟓 𝟏/𝟐

� � 𝟖𝝅

Ingat 𝜌 =

𝑀 𝑉

≥

5 𝑘𝑇

=

𝑅= �

2 𝐺𝑚

𝑀

(1)

(4/3)𝜋𝑅3

(2)

15𝑘𝑇 8𝜋𝐺𝑚𝜌

= 𝟎, 𝟕𝟕, sebagai pendekatan akan dibulatkan menjadi 1 𝑘𝑇

𝑅≈ � ≡ 𝑅𝐽 𝐺𝑚𝜌

(3)

Persamaan (3) disebut jari-jari Jeans yaitu jari-jari pada batas antara daerah yang diikat oleh gravitasi dan yang tidak. Maka massa Jeans diperoleh dengan mengingat 𝑀 = 𝜌𝑉, dengan 𝑉 =

dibuktikan bahwa

MJ =

Catatan:

𝟒𝝅 𝟑 𝑹 𝝆 𝟑 𝑱

4𝜋𝑅𝐽 3 3

, maka dapat

𝜌

Persamaan (3) bisa dituliskan dalam terminology kerapatan partikel per satuan massa (𝑛 = ) 𝑚 sebagai berikut:

6. Jawab:

𝑅𝐽 ≈ �

𝑘𝑇 𝐺𝑚2 𝑛

𝐸 = 0,007 × 0,1 × 𝑀𝑚𝑎𝑡𝑎ℎ𝑎𝑟𝑖 × 𝑐 2 = 1,25 × 1044 J 𝐸

𝑡 = = 3,16 × 1017 detik = 1×1010 tahun 𝐿 Usia Matahari = 10 milyar tahun.

SOAL TES II

HALAMAN 6

7. Jawab Dari data yang diberikan dalam soal dan kedua persamaan berikut • µα cos δ = µ sin θ • µδ = µ cos θ

µα = 0s, 0164 = 0”, 246

a. Dapat diperoleh bahwa tan 𝜃 = Maka µ = 0”,343

𝜇𝛼 cos 𝛿 𝜇𝛿

- 𝜃 = 340 3′

b. Vt = (4,74 ×μ) / p = 13,1 km/s c. V = �𝑉𝑟 2 + 𝑉𝑡 2 = 19,2 km/s Lihat Gambar berikut:

d. Dari gambar diperoleh bahwa 𝐬𝐢𝐧 𝜷 =

𝑽𝒕 𝑽

-𝜷 = 𝟒𝟑𝟎 𝟓′

(#)

Karena kecepatan radial bintang – 14 km/s , maka bintang bergerak menuju pengamat. Bintang akan berada pada jarak terdekat ke Matahari pada posisi D. 𝑑1 𝑑 Dengan mengingat bahwa p = 1/d dan p1 = 1/d1, maka p1 = p/sinβ sin 𝛽 =

Dari persamaan (#), maka p1 = (0,124×19,2) / 13,1 = 0”,182

e. Waktu bintang mencapai jarak terdekat ke Matahari adalah t = jarak AD / V = (d×Vt)/V2 = (1/p)×(Vt/V2) = 0,306 pc km-1 s-1 = 300009 tahun dari pengamatan pertama kali. f. Magnitudo semu saat di posisi terdekat adalah m1 = m +5 ×log (p/p1) = 0,14 + 5 × log(0,124/0,182) = -0,69

SOAL TES II

HALAMAN 7

8. Jawab:

9. Jawab

SOAL TES II

HALAMAN 8