SISTEMAS NO LINEALES: MÉTODO DE NEWMARK En esta sección, el método de Newmark descrito con anterioridad para los sistemas lineales se extiende a los sistemas no lineales. Recuerde que este método determina la solución en el tiempo i + 1 a partir de la condición de equilibrio en el tiempo i + 1; es decir, la ecuación (5.1.4) para sistemas no lineales. Como la fuerza restauradora ( fS )i +1 +1 es una función implícita no lineal de la incógnita ui +1, +1, este método requiere
la realización de iteraciones. Esto es típico de los métodos implícitos. Resulta instructivo desarrollar primero la iteración con el método de Newton-Raphson para el análisis estático de un sistema no lineal de 1GDL.
Iteración de Newmark En el análisis dinámico la meta es determinar las cantidades de respuestas
+ , ú+ , ű+ en el tiempo i+1 que satisface la ecuación, que puede escribirse como. ˆ ˆ 1 = 1 (1) Donde:
ˆ 1 = ‥ 1 ˙ 1 1
(2)
Si se incluyen la inercia y las fuerzas de amortiguamiento en la definición de la “fuerza restauradora” f ˆS , la ecuación del análisis dinámico (1) tiene la misma forma que la ecuación del análisis estático. Por lo tanto, es posible adaptar la expansión de la serie de Taylor para la ecuación (2) a la ecuación (1), interpretar ( f ˆ s)i +1 +1 como una función de ui +1 +1 y descartar los términos de segundo orden y órdenes superiores para obtener una ecuación análoga a la ecuación de Newton.
+ + ≅ ∆ = 1 + +
(3)
Donde:
+ + ∆ = + +
(4)
Si se diferencia la ecuación (2) en el desplazamiento conocido
̈ ̇ =
da: +
(5)
Donde las derivadas en términos de la inercia y el amortiguamiento en el lado derecho pueden determinarse a partir de las ecuaciones de Newton, las cuales se derivan de la ecuación de Newmark:
̈ = ∆
̇ = ∆
(6)
Si se juntan las dos ecuaciones anteriores y se recuerda la definición de la rigidez tangente, resulta:
()+ = = ()+ ∆ ∆
(7)
Con la definición anterior, la ecuación puede escribirse como:
≡ ( ) ()+ ∆ = 1 + +
(8)
Al sustituir las ecuaciones del análisis lineal, en la ecuación (2), para después combinarla con el lado derecho de la ecuación (8) , se obtiene la siguiente expresión para la fuerza residual:
[ ]( ) [ ()+ = 1 + + ∆ ∆ ∆ 1]̇ [ 1 ∆ 1]̈
(9)
Observe que la ecuación linealizada (8) para la (j-esima) iteración del análisis dinámico es similar en forma a la correspondiente ecuación del Newmark Lineal del análisis estático, sin embargo, existe una diferencia importante en las dos ecuaciones por lo que ahora se incluyen los términos de amortiguamiento e inercia tanto en la rigidez tangente
, como en la fuerza residual . Los términos primero, cuarto y
quinto del lado derecho de la ecuación (9) no con de una iteración a la siguiente. Los términos segundo y tercero deben actualizarse con cada nueva estimación del desplazamiento durante la iteración. La ecuación lineal (8) proporciona la base para el método de la iteración de Newton Raphson, que se resume en el paso 3.0 . una vez que se determina
+ , el resto de
calculo procede como para los sistemas lineales, en particular
+ + ̇
se
determinan a partir de las ecuaciones lineales respectivamente.
Casos especiales:
-
= , = 4 Método de la aceleración lineal = , = Método de la aceleración promedio
Pasos para realizar el método de Newmark 1. Cálculos iniciales: a. Determinación del estado ( fS) 0 y (kT ) 0. b. c. d.
̈ 0 = − ̈− Selecciones ∆. 1 = ∆ ∆ ;2 = ∆ 1 ;3 = 1 ∆ 1
2. Calculo para cada instante de tiempo i=0,1,2,…
= , = , = = 1 , + + + ̂+ = + 1 2̇ 3̈
a. Inicialice b.
3. Para cada iteración j=1,2.3,… a.
1 ()+ = ̂+ + +
b. Verifique la convergencia; si los criterios ed aceptación no se cumplen, realice los pasos 3.3-3.7 , de lo contrario, omita estos pasos y vaya al paso 4.0 c. d. e.
1 () = + + ∆ = ()+ /() + + + = + ∆
f. Determinación del estado
+ + + + reemplace j por j+1 y
repita los pasos 3.1-3.6 , indique el valor final como ui+1. 4. Cálculos de la velocidad y la aceleración
a. b.
̇ 1 = ∆ 1 1 ̇ ∆ 1 ̈ ̈ 1 = ∆ 1 ∆ ̇ 1̇
5. Repetición para el siguiente paso. Reemplace i por i+1 y aplique los pasos 2.04.0 para el siguiente paso de tiempo.
ESPECTRO DE RESPUESTA Y DISEÑO Los espectros de respuesta fueron inicialmente propuestos por Biot en el año 1932 y luego desarrollados por Housner, Newmark y muchos otros investigadores. Actualmente, el concepto de espectro de respuesta es una importante herramienta de la dinámica estructural, de gran utilidad en el área del diseño sismorresistente. En forma general, podemos definir espectro como un gráfico de la respuesta máxima (expresada en términos de desplazamiento, velocidad, aceleración, o cualquier otro parámetro de interés) que produce una acción dinámica determinada en una estructura u oscilador de un grado de libertad . En estos gráficos, se representa en abscisas el periodo propio de la estructura (o la frecuencia) y en ordenadas la respuesta máxima calculada para distintos factores de amortiguamiento . El concepto de los espectros comenzó a gestarse gracias a una idea Kyoji Suyehiro, Director del Instituto de Investigaciones de la Universidad de Tokyo, quien en 1920 ideó un instrumento de medición formado por 6 péndulos con diferentes periodos de vibración, con el objeto registrar la respuesta de los mismos ante la ocurrencia de un terremoto. Unos años después, Hugo Benioff publicó un artículo en el que proponía un instrumento similar al de Suyehiro, destinado a medir el desplazamiento registrado por diferentes péndulos con los cuales se podría determinar el valor máximo de respuesta y construir una curva (lo que hoy conocemos como espectro de desplazamiento elástico) cuya área sería un parámetro indicador de la destructividad del terremoto. Finalmente, fue Maurice Biot en el Instituto Tecnológico de California, quien propuso formalmente la idea de espectros de respuesta elástica. Para explicar en forma conceptual el procedimiento de construcción de un espectro de respuesta consideremos una serie de estructuras de un grado de libertad u
osciladores simples con diferentes periodos de vibración, T, y con igual factor de amortiguamiento. Si sometemos todos estos osciladores a la acción de un mismo terremoto (utilizando un registro de aceleraciones, üg(t)), cada uno de ellos exhibirá una respuesta diferente, la cual puede representarse, por ejemplo, a través de la historia de desplazamientos, u(t). Una vez que hemos calculado la respuesta de los osciladores es posible determinar el máximo (en valor absoluto, dado que el signo no tiene importancia ) de cada uno de ellos y volcarlos en un gráfico en función del periodo de vibración, para obtener así un espectro de respuesta. Es decir, que la respuesta máxima de cada oscilador con periodo T representa un punto del espectro. La importancia de los espectros en el diseño de estructuras radica en el hecho de que estos gráficos condensan la compleja respuesta dinámica en un parámetro clave: los valores de respuesta máxima, que son usualmente los requeridos por el diseñador para el cálculo de estructuras. Debemos aclarar, sin embargo, que los espectros de respuesta omiten información importante dado que los efectos del terremoto sobre la estructura dependen no solo de la respuesta máxima sino también de la duración del movimiento y del número de ciclos con demanda significativa de desplazamientos.
TIPOS DE ESPECTRO
Como mencionamos anteriormente, el concepto de espectro ha ganado una amplia aceptación como herramienta de la dinámica estructural. Es por ello que se han desarrollado varios tipos de espectros, los cuales presentan características diferentes y se utilizan con distintos objetivos. En particular analizaremos tres de los e spectros más comunes:
Espectros de respuesta elástica: representan parámetros de respuesta máxima para un terremoto determinado y usualmente incluyen varias curvas que consideran distintos factores de amortiguamiento. Se utilizan fundamentalmente para estudiar las características del terremoto y su efecto sobre las estructuras. Las curvas de los espectros de respuesta presentan variaciones bruscas, con numerosos picos y valles, que resultan de la complejidad del registro de aceleraciones del terremoto.
Espectros de respuesta inelástica: son similares a los anteriores pero en este caso se supone que el oscilador de un grado de libertad exhibe comportamiento no-lineal, es decir que la estructura puede experimentar deformaciones en rango plástico por acción del terremoto. Este tipo de espectros son muy importantes en el diseño sismorresistente, dado que por razones prácticas y económicas la mayoría de las construcciones se diseñan bajo la hipótesis que incursionarán en campo plástico. Como ejemplo, podemos mencionar los espectros de ductilidad (recordemos que ductilidad de desplazamientos es la relación entre el desplazamiento máximo que experimenta la estructura y el desplazamiento de fluencia). Estos espectros representan la ductilidad requerida por un terremoto dado en función del periodo de vibración de la estructura y se grafican usualmente para distintos niveles de resistencia. También, se construyen espectros de aceleración, desplazamiento de fluencia o desplazamiento último de sistemas inelásticos, en donde se consideran distintos niveles de ductilidad o distintos tipos de comportamiento histerético1 de la estructura, como se indica en la Figura 2.
Espectros de diseño: las construcciones no pueden diseñarse para resistir un terremoto en particular en una zona dada, puesto que el próximo terremoto probablemente presentará características diferentes.
Por lo tanto, los espectros de respuesta elástica o inelástica, descriptos previamente, no pueden utilizarse para el diseño sismorresistente. Por esta razón, el diseño o verificación de las construcciones sismorresistentes se realiza a partir de espectros que son suavizados (no tienen variaciones bruscas) y que consideran el efecto de varios terremotos, es decir que representan una envolvente de los espectros de respuesta de los terremotos típicos de una zona. Los espectros de diseño se obtienen generalmente mediante procedimientos estadísticos, cuya descripción detallada escapa al alcance de este trabajo. Es muy importante que distingamos entre espectros de respuesta, que se obtienen para un terremoto dado, y espectros de diseño, los cuales se aplican al cálculo y verificación de estructuras y representan la sismicidad probable del lugar.
FACTOR DE AMORTIGUAMIENTO. En general, todo cuerpo en movimiento tiende a disminuir con el tiempo. La razón de esta disminución está asociada con una pérdida de la energía presente en el sistema. Esta pérdida de energía es producida por fuerzas de amortiguamiento o fricción que actúan sobre el sistema. La energía, ya sea cinética o potencial, se transforma en otras formas de energía tales como calor o ruido. Amortiguamiento viscoso Un cuerpo que se encuentra en movimiento dentro de un fluido tiende a perder energía cinética debido a que la viscosidad del fluido se opone al movimiento. Esta pérdida de energía cinética está directamente asociada con la velocidad del movimiento. La descripción matemática del fenómeno de amortiguamiento viscoso es la siguiente:
= ̇ Donde:
:fuerza del amortiguador (en escritura inglesa es FD damped force) c: coeficiente del amortiguador
̇ : Velocidad relativa entre los dos extremos del amortiguador
En general se representa por medio del diagrama de la figura (a), como los amortiguadores utilizados en los automóviles, los cuales son amortiguadores viscosos, pues producen un efecto de amortiguamiento al forzar el paso de un fluido viscoso a través de unos orificios en el émbolo de un pistón de acción doble.
El amortiguamiento viscoso se presta para una descripción matemática simple que permite resolver las ecuaciones diferenciales de movimiento de un sistema dinámico sin mayor problema, se muestra una estructura idealizada con amortiguamiento viscoso (figura).
Amortiguamiento de Coulomb Corresponde al fenómeno físico de fricción entre superficies secas. La fuerza de fricción es igual al producto de la fuerza normal a la superficie N, y el coeficiente de fricción, μ.
Se supone que el amortiguamiento de Coulomb es independiente de la velocidad del movimiento, una vez este se inicia. Siempre se opone al movimiento, por lo tanto tiene el signo contrario al de la velocidad. Su tratamiento matemático no puede realizarse por medio de funciones continuas, debido a que depende del signo de la velocidad, lo que introduce complejidad a la solución. Algunos coeficientes de amortiguamiento recomendados por Newmark y Hall, para estructuras:
> 1800/ ; ξ = 2% 5% Suelo firme > 600/ ; ξ = 5% 7% Suelo blando < 600/ ; ξ = 7% 10% Roca
EJERCICIO APLICATIVO: Para una estructura determinada, se procederá a calcular la respuesta de desplazamientos, velocidad y aceleración mediante el método de Newmark , usando los parámetros anteriormente descritos. Para un suelo firme con desplazamientos y velocidades iniciales en punto cero.
Datos: Rigidez : K=10 Masa : M=0.25 Factor de amortiguamiento: Desplazamiento inicial : d=0
ξ = 5%
Velocidad inicial: v=0 Periodo natural:
√ /
Parámetros de NEWMARK
1 = 20 = 12 ° = 20 = 0.1 Se procede a ingresar datos y continuar con el cálculo iterativo de los resultados obtenidos:
Los resultados obtenidos son:
Tiempo
Fuerza Desplazamiento
Velocidad
Aceleracion
0
0
0.0000
0.0000
0.0000
0.1
5
0.0094
0.9389
18.7788
0.2
8.6602
0.2000
3.0954
24.3503
0.3
10
0.6249
4.8993
11.7285
0.4
8.6603
1.1604
4.7554
-14.6074
0.5
5
1.5489
1.8951
-42.5984
0.6
0
1.5177
-3.1323
-57.9490
0.7
0
0.9278
-7.6217
-31.8389
0.8
0
0.0247
-8.9802
4.6684
0.9
0
-0.8337
-6.8848
37.2401
1
0
-1.3277
-2.3288
53.8784
1.1
0
-1.2935
2.8294
49.2867
1.2
0
-0.7755
6.6167
26.4586
1.3
0
0.0028
7.6925
-4.9422
1.4
0
0.7335
5.8149
-32.6099
1.5
0
1.1450
1.8656
-46.3762
1.6
0
1.1019
-2.5483
-41.9019
1.7
0
0.6476
-5.7413
-21.9577
1.8
0
-0.0229
-6.5871
5.0411
1.9
0
-0.6446
-4.9084
28.5328
2
0
-0.9871
-1.4866
39.9041
Como se observa tenemos los resultados para la estructura de manera gráfica:
Referencias bibliográficas:
-
Francisco crisafulli Elbio (2002). “guía de estudio Espectros de respuesta y Diseño” universidad nacional de Cuyo.
-
Oscar Garcia ,(2008) para blog Academia.edu material educativo. https://www.academia.edu/20845872/3._ESPECTROS_DE_RESPUEST A
-
Jorge Meneses Loja, Jorge Alva Hurtado (1986) , “estimación del espectro elástico de diseño y coeficiente sísmico para Lima”, articulo científico presentado en facultad de ingenierías “universidad Nacional de Ingenierías”
-
Anil K. Chopra (2014) “dinámica de estructuras” cuarta edición. Pearson education ,Mexico.
-
Eder Keith Paz (2012) “procedimiento de cálculo para elaboración de espectros sísmicos para el diseño sismo resistente de estructuras” , trabajo de graduación presentada para “universidad de san Carlos de Guatemala” .facultad de ingenierías, Guatemala.
