Separata de Circuitos Electricos II

Separata de Circuitos Eléctricos II

Dr. Abel Argumé Sotomayor

Borrador

UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA

SEPARATAS DE: CIRCUITOS ELÉCTRICOS II

Dr. ABEL ARGUMÉ SOTOMAYOR

2017



Borrador

INDICE CAPITULO

I

- Ondas sinusoidales. - Potencias en circuitos R, L y C. - Valores medios y eficaces. - Instrumentación - Clasificación - Circuitos: Recortadores y Sujetadores - Amplificadores operacionales - Problemas resueltos. CAPITULO II

- Potencias en circuitos R-L, R-C y R-L-C. - Impedancia compleja y notación fasorial - Algebra vectorial - Impedancia - Admitancia - Triángulo de potencias. - Factor de potencia - Potencia compleja - La transmisión expresada como un número complejo. - Constante de transmisión – Atenuación - Desplazamiento. - Problemas resueltos. CAPITULO III

- Análisis de circuitos senoidales trifásicos - Método de corrientes de mallas - Impedancia de entrada y transferencia - Admitancia de entrada y transferencia - Método de voltaje de nodos - Teoremas: Thevenin-Norton-Superposición-Compensación-Máxima potencia de transferencia - Problemas resueltos. CAPITULO IV

- Corrección del factor de potencia. - Eficiencia (n) máquinas de corriente alterna.



Borrador

INDICE CAPITULO

I

- Ondas sinusoidales. - Potencias en circuitos R, L y C. - Valores medios y eficaces. - Instrumentación - Clasificación - Circuitos: Recortadores y Sujetadores - Amplificadores operacionales - Problemas resueltos. CAPITULO II

- Potencias en circuitos R-L, R-C y R-L-C. - Impedancia compleja y notación fasorial - Algebra vectorial - Impedancia - Admitancia - Triángulo de potencias. - Factor de potencia - Potencia compleja - La transmisión expresada como un número complejo. - Constante de transmisión – Atenuación - Desplazamiento. - Problemas resueltos. CAPITULO III

- Análisis de circuitos senoidales trifásicos - Método de corrientes de mallas - Impedancia de entrada y transferencia - Admitancia de entrada y transferencia - Método de voltaje de nodos - Teoremas: Thevenin-Norton-Superposición-Compensación-Máxima potencia de transferencia - Problemas resueltos. CAPITULO IV

- Corrección del factor de potencia. - Eficiencia (n) máquinas de corriente alterna.



Borrador - Problemas resueltos. PROBLEMAS PROPUESTOS

CAPITULO I ONDAS SINUSOIDALES CORRIENTE ALTERNA: Como su nombre lo indica, es aquella en la cual las magnitudes de sus valores son alternativamente positiva y negativa. GENERACION DE LA CORRIENTE ALTERNA: Se ALTERNA: Se genera de dos formas: a) El campo magnético constante y el conductor en movimiento, la tensión está dada par la siguiente Ecuación: Voltios

×××10−

Dónde: B = Inducción Magnética (Gauss). L = Longitud del conductor (cm).

N

V = Velocidad de giro del conductor (cm/seg).

b) Elcampo magnético variable en el tiempo y el conductor estacionario.

NOMENCLATURA

Valor instantáneo: Es instantáneo: Es la magnitud de la forma de onda en cualquier instante de tiempo (dado por el punto 1 y 2).



Borrador Valor Pico: Es el valor máximo de la curva (dado por el valor A). Periodo(T):Es el intervalo de tiempo entre dos picos Sucesivas. Velocidad angular ( ω): Es un ciclo completo que comprende a2π radianes. Frecuencia: Es el número de ciclos por segundo. f = ω /2π -Fase:(Definido por AIEE).-Es la fracción de periododuranteel cual el tiempo ó correspondiente ángulo de tiempo (wt) ha avanzado a partir de un panto de referencia.

el

Un modo de establecer el adelanto de una onda con respecto a otra, es que el máximo positivo de la onda delantera se produce antes que el máximo positivo de la onda retrasada, teniendo como referencia el eje do coordenadas en el mismo sentido del tiempo.

E1 está adelantado respecto a E2 un ángulo θ grados.

REPRESENTACION DE ONDAS SINUSOIDALES MEDIANTE VECTORES Los vectores o rectos rotadas utilizadaspararepresentarcantidadesvariables enfunción del tiempo sedenominan fasores.

EXPRESIONES COMPLEJAS PARA LA CORRIENTE Y VOLTAJE 1) Las cantidades complejas se usarán para representar voltajes y corrientes alternas, una cantidad compleja indicara con su magnitud la cantidad de voltaje o corriente y con su ángulo la fase o argumento (de voltaje- corriente). 2) En un circuito que contiene elementos conectados en serie el voltaje y la corriente se relacionan por la impedancia compleja, y un circuito con elementos en paralelo con la admitancia compleja.



Borrador 3) Con estas cantidades complejas (Impedancia y Admitancia), y las relaciones de voltaje y corriente, el análisis de los circuitosde corriente alterna es similar al de corriente continua. Sea el siguiente fasor:

ELEMENTOS PASIVOS Estos elementospueden disipar energía o almacenar energía según; sea una resistencia, una inductancia o una capacitancia. a) Las resistencias disipan energía (calor), por efecto Joule. b) La inductancia almacena energía, debido al campo magnético. c) La capacitancia almacena energía, debido al campo eléctrico. En la práctica no existen elementos puros, en cada elemento estos se comportan muchas veces de las tres formas simultáneamente.

POTENCIA INSTANTANEA P(t) = V(t) . i(t) POTENCIA MEDIA

ENERGÍA

 1   ∙      ∙  

REPRESENTACION DE VOLTAJE Y CORRIENTE POR MEDIO DE ONDAS SINUSOIDALES



Borrador RESISTENCIA:

Energía disipada:

Si:

   ∙ ∙  ∙   ∙   ∙ 

Por lo tanto, la diferencia de potencial en bornes de un elemento resistivo está en fase con la corriente que circula per él (I en fase con V).

INDUCTANCIA

Energía almacenada

∙   ∙∙ 12 



Borrador Si

  ⟹ ∙   90

Por lo tanto, la diferencia de potencial en bornes de un elemento inductivo está adelantada respecto de la corriente que circula por él, un ángulo de 90° ( V adelanta a I). CAPACITANCIA

Energía almacenada

Si V(t) = EmSen(ωt)

∙∙∙  12 ∙ →

i(t) = -Em (ωC).Cos(ωt) = Em (ωC).Sen(ωt+90°)

Por lo tanto, la diferencia de potencial en bornes de un elemento capacitivo está atrasada respecto de la corriente que circula por él, un ángulo de 90° ( V está atrasada respecto de I).

POTENCIA EN RESISTENCIAS, INDUCTANCIAS Y CAPACITANCIAS Es unode los parámetros más importantes en la electricidad y puede tener valores positivos(+) y negativos (-), una potencia positiva significa una transferencia de energía de la fuente a la red, mientras que una potencia negativa (-), corresponde a una energía de la red a la fuente. RAMA R:


Borrador

RAMA L:

RAMA C:




Borrador VALORES MEDIDS Y EFICACES Valor Medio: Se define como la suma aritmética de todos los valores divididos entre el número de valores usados para determinar su valor medio. Si se trate de una onda sinusoidal se hallará solamente el valor medio de la comba (+) o (-).

 1  .      T = Período

Valor Eficaz: Está dado por:

⁄  1        Nota: En vez de la variable t, la variable puede ser ωt.

Ejemplo: Hallar el valor medio y eficaz de V(t) = Emáx.Sen (ωt) Solución El período de Sen (ωt) es T = 2π

El período de Sen2 (ωt) es T = π

⁄    1     ⁄   = 1     ⁄   ⁄           12     ⁄      2   ×|   2 2     0.707  2 √ ⁄    = 1 1  2         ∙    |    ⁄  2       2 

FACTOR DE CRESTA (Fc): Es la relación entre el valor máximo y el valor eficaz (rms) de la onda.


Borrador


  

FACTOR DE FORMA (Ff): Es la relación entre el valor eficaz y el valor medio de la onda, este factor no nos da la característica (la forma) de la onda, más si nos puede dar en comparación con otra onda, si es más o menos aplanada.

     1 ∙    2 √  2 ∙  √ 42 1.11  1√  ∙2  √ 21.4142

Hallando el Ff y Fc para la onda sinusoidal, se tiene:

Formulas:

Donde:

Nota: Si una onda es descompuesta en series de fourier, se tiene: V(t) = Ao + A1.Cos(ωt+α1) + a2.Cos(2ωt+α2) + … + An.Cos(nωt+αn) + … + B1.Sen(ωt+β1) +

B2.Sen(2ωt+β2) + … + Bn.Sen(nωt+βn) Entonces el valor eficaz (rms) de V(t) será :



Borrador (Vrms)2 = (Ao)2 + 1/2 . [(A1) 2 + (A2)2 + … + (An)2 + … + (B1)2 + (B2)2 + … + (Bn)2] + … + [A1.B1.Sen(β1α1) + A2. B2.Sen( β2-α2) + … + An.Bn.Sen(βn-αn)] Si α = β = 0, (n = 1, 2. 3, …, n) Entonces: (Vrms)2 = (Ao)2 + 1/2 . [(A1)2 + (A2)2 + … + (An)2 + (B1)2 + (B2)2 + … + (Bn)2]

INSTRUMENTACION CLASIFICACION DE LOS INSTRUMENTOS ELECTRICOS DE MEDIDA 1) Según la clase de precisión: a) Instrumentos patrones: -Patrones primarios

0.01 - 0.1

-Patrones secundarios

0.2 - 0.5

- Patrones de trabajo

0.5 - 1.0

b) Instrumentos de trabajo

0.5 - 1.0

c) Instrumentos portátiles

1.5

d) InstrumentosIndustriales

2.0-2.5

2) Según el principio de funcionamiento: a) Bobina móvil (de imán fijo) - Mide valores medios de tensiones y corrientes. - Utilizados en corriente continua b) Hierro móvil (de bobina fija) - Mide valores eficaces de tensiones y corrientes. -Utilizados en corriente alterna c) Bobina móvil con rectificador -Mide valores medios y eficaces de tensiones y corrientes. - Utilizados en corriente alterna y continua. d) Efecto dinámico: 1.a) Wattimetro: Detecta la potencia media de un sistema, es decir la potencia activa dado en vatios.



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w = V.I.Cosф ф = Angulo entre la tensión ycorriente (dado por el factorde potencia cos ф de

la carga) 2.b) Contador de Energía: Son utilizados para determinar la energía (KWH) consumida por usuarios domésticos, comerciales, comunes, industriales, uso general, etc. e) Instrumentos eléctricos -Osciloscopio de rayos catódicos (ORC): Mide los valores instantáneos, tiene alta impedancia. - Digitales: Son utilizados para la medición de las corrientes, tensiones, resistencias, capacitancias, etc. Estos instrumentos tienen una alta sensibilidad y cuyo error en las mediciones es mucho menor que los instrumentos analógicos. Diodo:Es un semiconductor que conduce la corriente en un solo sentido. Símbolo:

RECTIFICADOR CONTROLADOR DE SILICIO (SCR) (Tiristores): Es un rectificador construido de material de silicio tercer terminal para fines de control, denominado compuerta. El tiristor es controlado por los disparos producidos a través de la compuerta, en el cual el tiristor empieza a conducir a partir de un ángulo α. Símbolo:



Borrador

α = Angulo de conducción (ángulo de disparo)

RECORTADORES Y SUJETADORES Los recortadores y sujetadores son circuitos formadores de onda, cada uno realiza la función que indica su nombre. La salida de los circuitos recortadores parece como si una porción de la señal de entrada hubiera sido recortada. Los circuitos sujetadores simplemente sujetan la forma de ondaa un nivel de c.c. diferente. Recortadores: Todo circuito recortador requiere de dos componentes fundamentales, un diodo y una resistencia. Una batería de c.c. sin embargo se utiliza frecuentemente. Intercambiando simplemente la posición de los diversos elementos y cambiando la magnitud de la batería de c.c. la forma de onda de salida puede recortarse a niveles diferentes. En estos circuitos es útil considerar instantes particulares de señales de entrada que varían en el tiempo para determinar el estado del diodo (considerado ideal). Se debe mantener presente que en cualquier instante de tiempo una señal variable puede reemplazarse por una fuente de c.c. del mismovalor. Sujetadores: Todo circuito sujetador debe tener como mínimo tres elementos: un diodo, un condensador y una resistencia. Este circuito también puede alimentarse por una batería de c.c. Las magnitudes de R y C pueden elegirse de tal manera que la constante de tiempo τ = RC sea suficientem ente grande para garantizar que el voltaje a través del condensador no cambie significativamente durante el intervalo de tiempo (es decir que τ >> T/2), determinado por la entrada y, tanto R

como C afectan la forma de onda de salida. Para fines prácticos se supondrá que el condensador se descargará en aproximadamente 5τ. En estos circuitos es ventajoso considerar primero que

el diodo se encuentra polarizado directamente.

AMPL IFICADORES OPERACIONALES El amplificador operacional (OPAMP) es un amplificador de alta ganancia, acoplado directamente, al que sele agrega una realimentación para contralar la característica de respuesta. Se emplea para realizar una amplia variedad de funciones lineales (y también algunas



Borrador no lineales) y normalmente se conoce por el nombre de circuito integrado lineal básico (o más corrientemente analógico). En la Fig. A se puede ver el diagrama y el circuito equivalente de un OPAMP, gran número de amplificadores tienen aplicadas tensiones tanto al terminal inversor como al no inversor. Normalmente todos los OPAMP tienen un solo terminal de salida, por lo que puede considerarse que el otro terminal está conectado a tierra. Amplificador Operacional Ideal: El amplificador operacional ideal tiene las siguientes características: I. Resistencia de entrada Ri = ∞ 2. Resistencia de salida Ro = 0 3. Ganancia de tensión Av = - ∞ 4. Ancho de banda = ∞ 5. Equilibrio perfecto: Vo = 0 cuando V1 = V2 6. Ausencia de desviación en las características con la temperatura.

a) Amplificador operacional básico;

b) Circuito equivalente

 

A baja frecuencia ( i = 2 – 1). La ganancia a circuito abierto es Av y la ganancia en carga es AV.

RECORTADORES SIMPLES SERIE

POSITIVO Vi

NEGATIVO Vi

+ Vi

-

R

Vi

+

+

Vo

Vi

-

-

+ R

Vo

-



Borrador RECORTADORES SERIE POLARIZADO Vi

Vi

+

Vi

+

V R

Vi

-

+

+ V R

Vo

Vi

-

-

-

+

+

+

Vo

Vi

-

-

V

Vo

V Vi

Vi

+ R

Vi

-

Vi

V

V R

Vo

-

RECORTADORES PARALELO SIMPLES Vi

Vi

+

+

+

Vo

Vi

Vo

-

-

-

R

Vi

Vi

-

+

R

RECORTADORES PARALELO POLARIZADOS Vi

Vi

+

Vi

+

R

+

+

R

V Vo

Vi V

-

V

-

-

Vi

-

Vi

+

R

Vi V

-

+

+

Vo

Vi

-

-

V

Vi

+

R

+

V1 > V2 V

Vo

Vi

-

V1

V

Vi

Vi

SUJETADORES

Vo

Vi

V2

-

+

R

Vo V

-


Borrador

Circuitos sujetadores ( 5τ = 5RC >> T/2)




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PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 1 Un motor de elevador toma 20 amperios durante 15seg. La potencia se suspende enseguida durante 45 segundos, después de lo cual el ciclo se repite. Si la corriente de plena carga, del motor es de 12 amp., ¿Se sobrecalentará al continuar este ciclo? ¿Cuál es la cor riente continua equivalente que dará el mismo promediode calentamiento? SOLUCION Según el enunciado se tiene:

IN = 12 Amp. (corriente de plena carga del motor o corriente nominal). Hallando la corriente eficaz rms que circulara por el motor (durante T=60 seg.): T = Periodo



Borrador

Por lo tanto, el motorno se sobrecalentará, pues la corriente durante el ciclo de T=60 seg. Es menor que la corriente de plena carga del motor. La corriente continua que dará el mismo promedio de calentamiento será:

PROBLEMA 2:

  1 1       20 5 . 60  

Un motor toma 50 amperios durante 10 seg., después de lo cual la potencia se suspende por 20 seg. Toma en seguida 60 amperios durante 5 seg., después de lo cual la potencia se suspende durante 1 minuto. ¿Cuál tendrá que ser la corriente de plena carga, para que el motor no se sobrecaliente? SOLUCION:

La corriente de plena carga, para que el motor no se sobrecaliente estará dada por la corriente eficaz en el ciclo (T = 95), dado por:

Entonces: I eficaz = I rms = IN = 21.27 Amp.



Borrador PROBLEMA 3: a) ¿Cuál es el valor medio de la corriente pulsante mostrada en la fig.1? b) ¿Cuál es el valor eficaz?

SOLUCION (Del grafico T=2seg.) a)

   ∫   Si se toma como origen la mitad del ciclo mostrado, en el cual se nota que la onda es simétrica, por lo que:

I prom = 50 x 0.2 + 15 x 0.5 + 10 x 0.3

Entonces:

I prom = 20.5 Amp. b)



Borrador Entonces:

I eficaz = 25.35 Amp.

PROBLEMA 4 a. Si la corriente pulsante mostrada en la fig 1. (del problema anterior) fluye a través de un amperímetro de c-d, conectado en serie con uno de c-a ¿Cuál será la lectura de cada instrumento, suponiendo una perfecta calibración de los instrumentos? b. Si la resistencia del circuito es constante (la corriente, pulsante es producida por un voltaje pulsante), ¿Cuál de las dos lecturas anteriores debe ser empleada para determinar la potencia por medio de la fórmula I 2.R? SOLUCIÓN a. EI problema anterior: Amperímetro c-d = 20.5 Amp. (Lee valores medios) Amperímetro c-a = 25.35 Amp. (Lee valores eficaces) b. La lectura empleada para determinar la potencia por medio de i2R, será la leída por el instrumento de corriente alterna. PROBLEMA 5: a. Si la corriente mostrada en la Fig.1, fluye a través de una resistencia de 5Ω, ¿Cuántos Julios de energía térmica son producidos en cada ciclo? ¿Qué número de calorías? b. Que potencia es disipada en la resistencia anterior, durante un número entero de ciclos. SOLUCIÓN a. (Del problema 3) la energía está dada por:

   1    ∙   ∙   ∫   Pero:V(t) = R.i(t), entonces

…………………………………………………………..…………….….. (1)

R = 5Ω (Dato).

Del problema 3 parte (b) se tiene:

∫  642.6225×642.6225×21285.245 (2) en (1):

E = 6426.225 Julios 1 caloría ------- 4.1868 Julios X calorías ------- 6426.225 Julios Entonces x calorías = 6426.225/4.1868 = 1534.88 Cal.

………………. (2)



Borrador b. La potencia disipada por la resistencia será: P = (i eficaz) 2.R = (25.35)2.5 = 3213.113 W. PROBLEMA 6 La corriente de un tríodo que trabaja como oscilador toma la forma general mostrada en la fig. Nº 2.

a) ¿Cuál es la frecuencia ilustrada en la fig. Nº 2? b) ¿Cuál es el valor medio de la corriente pulsante? c) Demo Demo Demo DemoDemo Demo Demo Demo Demo Demo Demo Demo Demo Demo Demo Demo DemoDemo NOTA: La corriente durante los primeros 2x10-4 segundos mostrados en la fig.Nº 2, puede ser representada por la ecuación: i = 2 x 10-4 xt amperios. Utilice la simetría. SOLUCIÓN a) De la fig.

T = 12x10-4 seg

 1 10     12 833.3−

b) Tomando el origen de coordenadas de la siguiente forma:

Entonces:



Borrador Nota: Los límites de la integral deberán multiplicarse por 10 -4 y aplicando simetría se obtiene:

c)

  ∫−..   

Nota: Idem al anterior, los límites hay que multiplicarles por: 10-4 ,

Entonces:

I2 eficaz = (1/6).[8 + 64/6] = 3.111 I eficaz = 1.764 Amp. PROBLEMA 7



Borrador Una corriente en un circuito comienza en cero y aumenta linealmente hasta que alcanza un valor de 12 amp. A continuación cae hasta cero en un tiempo despreciable y repite el ciclo. ¿Qué lectura daráen este circuito un amperímetro de c-a? SOLUCIÓN Según el enunciado:

El amperímetro leerá:

  ∫    ×

, si x es despreciable (x → 0)

Entonces:

(ver figura)

Luego reemplazando:

PROBLEMA 8 Una corriente comienza abruptamente en 10 amp., disminuye linealmente hasta cero y a continuación repite el ciclo. Encuentre el valor rms sin cambiar la orientación de la onda.



Borrador

 10 ×10  10 ∙ 1010 × 1    1 10  30     1003 . 5.7735 .

Entonces:

→

PROBLEMA 9

Encuentre el valor rms de una corriente, en función del radio δ, cuyos valores instantáneos hacen semicírculos del radio δ, arriba y abajo del eje de las x.

SOLUCION Según el enunciado:

Entonces:

Evaluando se obtiene que:

  23 ∙ . PROBLEMA 10



Borrador Una corriente tiene un lazo positivo que hace un semicírculo de 1 amp. de radio y el diámetro de este semicírculo queda sobre el eje de las X. Si mediante la adición de una corriente constante de 1 amp. la corriente resultante queda representada por el semicírculo con su diámetro elevado 1 amp. sobre el eje de las x, determine el valor rms (raíz cuadrada media) de la corriente resultante. SOLUCION Según el enunciado:

Entonces:

⟹

Irms = 1.8 Amp.

PROBLEMA11: Calcule el factor de forma de la onda de corriente del problema 7. SOLUCION El factor de forma está dado por:

      1 1 12 6             ∙∙  ∙  6 .

Delproblema 7se tiene:

También:



Borrador I rms = 6.93 Amp Entonces:

 6.6.9030 1.155

PROBLEMA12: Encuentre el valor rms de:

e = 100sen(wt) + 60sen(5wt+30°) voltios por integración SOLUCION e = 100sen(wt) + 60sen(5wt+30°)

Delasfórmulasdadasenteoría

Entonces:

PROBLEMA 13

:

100 ∙ 12 ∙cos0060 ∙ 12 cos0  10√ 68 20√ 17 .

A continuación se muestra una red activa alimentando una carga resistiva con 0 < θ < π de

acuerdo a la potencia que se desee transmitir a la carga. Si el amperímetro ideal de corriente continua detecta 30 Amp., calcular: a) El valor de θ. b) La Potencia media consumida por la resistencia.


Borrador c) Si θ = π/2, Pmed = ? d) I eficaz a plena carga. SOLUCION a) Según el dato y de la fig. se tiene: (T = π) i (DC) = 30 Entonces:

Entonces:

θ = Arcos (0.5) = 60° = π/3

b) P media = i 2eficaz x R Hallando la i eficaz:

Por lo tanto: i eficaz = 39.85 Amp Entonces: P media = (39.85)2 x 5 = 7940 W c) Si θ = π/2 Entonces:




Borrador

Por lo tanto: I ef. = 10 Amp. Entonces: P media = (10) 2 x 5 = 500 W d) I eficaz a plena carga se da cuando θ = 0° , T = π Entonces:

Entonces:

I eficaz = 44.43 Amp.

PROBLEMA 14 En la red mostrada: V1(t) = Asen(wt) V2(t) = Asen(wt-120) V3(t) = Asen(wt+120) Determine: a) Forma de onda de V y A. b) Lectura de V y A. SOLUCION a) Cada diodo conduce la corriente durante 120°, puesto que en esos periodos cada una de las tensiones V1 ó V2 ó V3 es mayor que las otras dos tensiones. PROBLEMA 16: Se tiene una inductancia de 3 Hr. por el cual circula una corriente como se muestra en la fig. Determinar la lectura que indicara un voltímetro conectado en los bornes de la inductancia cuando es: a) Voltímetro de bobina móvil.


Borrador b) Volt. de hierro móvil.

SOLUCION Se sabe que:

    ,   3 

y de la fig. se obtiene que:

a) Voltímetro de bobina móvil (indica valor medio)

b) Voltímetro de hierro móvil (indica valor eficaz)

V2 efic. = 15 Entonces:




Borrador V efic. = 3.87 voltios PROBLENA 17 a) Si V(t) = 20Sen 2ωt + 10Sen4ωt + 220 e i(t) = 20 Sen22ωt - 10Cos22ωt + 4Cos2ωt Hallar los valores medios y eficaces. SOLUCION Aplicando las formulas (06) dadas en teoría se tiene:

Asimismo con la fórmula (pare valores rms) dada en teoría se obtiene:

Para hallar el valor medio de i(t), primeramente a éste lo reducimos:



Borrador b) Del problema (a) hallar la potencia media y el factor de la forma y de cresta (de la tensión).

Al multiplicar dentro de la integral y aplicar las formulas (06) se obtiene:

NOTA: Los demástérminos en la integral son ceros.

PROBLE1A 18 Hallar el valor eficaz y medio de: V(t) = 20 – 10Sen(ωt-30°) + 10Cos(2ωt+60°) SOLUCION

Entonces:

PROBLEMA 19



Borrador Encuentre el valor medio y el valor efectivo (rms) de la salida Vo para las entradas que se muestran en la fig. adjunta.

SOLUCION Para Vi ≤ 15, Vo = 0

(01 OFF)

Para Vi > 15, Vo = Vi – 15 (01 ON)

Por ser un rectificador de media onda, obteniéndose:

Para a) Vi = 30*Senωt

Vo = Vi -15 <αl, α2>, α2 = π - α1

Calculo de α1 = wt (esto cuando Vi = 15), entonces: 15 = 30senα1

==> α1 = 30°, α2 = 150°,

T=π



Borrador

PROBLEMA 20 En el siguiente circuito sujetador, halle la salida Vo y el valor efectivo (rms).

SOLUCION Para Vi = 5v

(D → ON)

Para Vi = -10v (D → OFF)

=>

Vo = 0 (Vc = 5v (C se carga a Vi))

=>

Vo = Vi – Vc (Ver fig.)

Para Vi (+) el condensador se carga rápidamente, luego el condensador se descarga en el tiempo t = 5τ (aprox.), puesto que t = 5τ = 50ms es mayor que T = 1ms, entonces el valor de Vo será de

-15 v. (la tensión en el condensador no cambia apreciablemente de valor, puesto que la entrada Vi permanece en -15v. por solo 0.5ms (T/2), siendo este mucho menor que 5τ).

Del gráfico:



Borrador

 + .   10   1 ∙    225| 225|.....

PROBLEMA 21

En el siguiente circuito hallar el valor eficaz de V1 y V2, para las entradas Vi y Vx mostradas a continuación.

SOLUCION Según teoría: a) V1 = Vi(4/2) = 2Vi T = 2 seg.

b) Para hallar V2, se tiene: Primera entrada V1, entonces:

   2  1 1 

  2  Ω   1 

Reemplazando los valores de R y C e integrando para los intervalos <0-1> y <1-2>seg. Se obtiene: Para t <0-1>,

V2’ = 10t,

t1 = 0 T = 2 seg.

Para t <1-2>,

V2’ = -10t+10, t1 = 1



Borrador Para la entrada Vx, análogo al anterior, se tiene:

 1 2′′    

  1Ω   1

Integrando Vx, se obtiene la siguiente figura:

Lasalida V2 estará dado por: V2 = V2’+V2’’, obteniéndose:

CAPITULO II POTENCIAS EN CIRCUITOS R-L, R-C, R-L-C a) CIRCUITO R-L:



Borrador

i(t) = ImSen(ωt) V(t) = VR(t) + VL(t) V(t) = i.R + L(di/dt)

V(t) = R.ImSen(ωt) + ωL.ImCos(ωt) ………………………. (1) Si:

⟹

V(t) = Asen(ωt + ф)

V(t) = ASen(wt).Cosф + ACos(wt).Senф ………...(2)

Ф = ángulo de fase entre V e i

De (1) y (2): ACosф = R.Im R. Im …………………………………………… …………………………………………… ..……………. (3)

ASenф = wL.Im ………………………………… …………………………………………… ………… ..…..…….. (4) Obteniéndose al dividir (4) y (3)

ωL = XL, llamada reactancia inductiva.

∅ 

ω = 2πf (rad/seg)

De (3) y (4):

ωL      ∅ ∅ ∙ ∙     ∙   ∅ A2 = Im2R2 + Im2

2

A = Im

Entonces:

Donde: ф = arctg (ωL/R)

A ωL, se le conoce come reactancia inductiva, donde la corriente está retrasada respecto de la tensión. b) CIRCUITO R-C:



Borrador

V(t) = Im.RSen(ωt) – Im(1/ωC)Cos(ωt) ………………………. (1) Entonces V(t) se puede expresar como: V(t) = ASen(wt-ф) V(t) = ASen(wt).Cosф – Acos(ωt).Senф ……………………. (2) De (1) y (2): Im.R = ACosф ………………………….…………………..(3) Im.(1/ωC) = ASenф …………………………………….. (4)

De (3) y (4): Tg ф = 1/RwC

=>

ф = Arctg (1/RwC)

Y elevando al cuadrado (3) y (4):

 ∙  1⁄ ∙  1⁄ ∙∅

Entonces:

V(t) = ASen(wt-ф)

Donde:

ф = Arctg (1/RwC)

c) CIRCUITO R-L-C: Si: i(t) = ImSen(wt) V(t) = VR(t) + VL(t) + VC(t) V(t) = Im.RSenwt + Im.wL-Coswt - (1/wc).Im.Coswt V(t) = Im.RSenωt + (ωL- 1/ωC).ImCos(ωt) Entonces: V(t) puede expresarse como: V(t) = Asen(ωt+ф)

⁄  ∙∅ ∙  1



Borrador Donde:

⁄  ∅−

Ф = ángulo de la impedancia total

En el caso de tratarse de un circuito R-L-C (como es el caso), a la expresión

  1 ⁄

se le llama Impedancia Z, el cual es un tipo especial de función donde se

relaciona la tensión y la corriente; la función de impedanciadebe indicar también el ángulo de desfase entre las ondas de Tensión y corriente. Entonces:

⁄  ∅    1 POTENCIA INSTANTANEA a) CIRCUITO R-L Se tiene que: i(t) =Im.Sen(ωt) V(t) = Vm.Sen(wt+ф) Donde:

⟹

∙   ωtф.ImSenωt  Vm Senωt.Cosф  Cosωt.Senф.Senωt.Im ωt.Cosф  Vm.Im.Cosωt.Senωt.Senф  ∙2  12∅ ∙2  2∅   ∙2  12.∅

P(t) = V(t).i(t) = VmSen(

= Vm.Im.Sen2

A la expresión:

Se le conoce como; Potencia Activa Instantánea, la cual se encuentra afectada per el cosф, y a la que está afectada con el senф es la Potencia Reactiva Instantánea.

LasunidadesenlasquesemidelapotenciaactivasonlosVATIOS(W), ylasdepotenciareactiva son los VOL-AMPERE-REACTIVOS (VAR) y de la potencia total es VOL-AMPERE (VA) (potencia aparente).



Borrador

b) CIRCUITO R-C Si:

i(t) = ImSen(wt)

Y

V(t) = Vm.Sen(wt-ф)

Entonces: P(t) = V(t).i(t) = Vm.Sen(wt - ф) Im.Sen(wt) P(t) = Vm.lm.(Senwt.Cosф - Coswt.Senф)Senwt P(t) = Vm.lm.Sen2wt.Cosф - Vm.Im.Coswt.Senwt.Senф

 ∙2  12∅ ∙2  2∅

c) CIRCUITO L-C: Si:

i(t) = Im.Sen(wt) V(t) = (wt - 1/wC). Im. Cos(wt)

Donde:

Vm = (wt - 1/wC). Im

Entonces:

P(t) = V(t).i(t)

  1 ( )∙ 2 ∙2 .2 2



Borrador

El gráfico de potencia para un circuito R-L-C es idéntico que la gráfica de un circuito L-C, siempre que (wL > (1/ Wc)), con la diferencia que las combas negativas (-) de la curva de P es más pequeña. EJERCICIO Se tiene un circuito en paralelo, el cual es alimentado por una fuerza electromotriz (fem) alterna de 50 Hertz, el cual alimenta a un tostador de 10 Ω de resistencia y a un reactorR-L (ambos colocados en paralelo), si las potencias medias disipadas en el tostador y reactor son de 250 y 50 vatios respectivamente y si la corriente en el reactor es 2 Amp. a) Determinar el valor eficaz de la fem aplicada. b) Parámetros del reactor (R e L) c) Si el reactor es alimentado con una onda sinusoidal de f = 60 ciclos/seg. ¿Cambiarán los parámetrosdel reactor? SOLUCION

a) V = ? PR = (IR)2.R = 50

⟹

PT = (I1)2 x 10 =250 Entonces:

R = 12.5

⟹

I1 = 5

V = I1 x (10) = 50 v.

b) R = 12.5 L=? Como: I(t) = Imsen(wt)



Borrador

De donde:

(wL = XL)

∙   ∙∅

V = V eficaz = I eficaz. (R 2+(wL)2)1/2 Otra manera V = IR x Z = I x (R-L) x (R2 + (wL)2)1/2

…….…………….. (1)

V = 2 x ((12.5)2 + (2π x 50L)2)1/2 = 50 Entonces:

L = 0.0689 Hr

c) R' = R (este valor no cambia, pues no depende de la frecuencia) El valor de L hallado tampoco cambia, pues el valor que cambia es de la reactancia inductiva XL que depende de f. XL’ = 2πf’.L

f’ = 60

⟹

XL’ = 25.97 Ω

El parámetro que cambia es la corriente por R-L, siendo éste: 50 = I(R-L) x [(12.5)2 + (25.97)2]1/2 De donde:

I(R-L) = 1.735 Amp.

PROBLEMA 1 Un voltaje V = 200sen377t voltios es impreso en una capacitancia pura de 530.5μF. Determinar, cuál será el valor de la energía acumulada en el condensador cuando la corriente es cero. SOLUCION V(t) = 200sen377t

  377∙∙200377 ω μ  ∫   ∫ ∙  i = 40Sen(377t+90) = 40Cos377 = 377

C = 530.5 F

Se sabe que:

………………. (1)

Según el enunciado se pide la energía c uando la corriente es cero, esto ocurre cuando wt=π/2 ,

entonces:



Borrador (2) en (1):

Por lo tanto: E = 10.61 joule PROBLEMA 2 Un elemento resistivo de 30 ohmios es conectado en serie con una bobina inductiva, cuya autoinductancia es de 50 milihenrios y la resistencia óhmica de 4.5 ohmios. Un voltaje V = 100cos377t voltios es conectado al circuito en serie. a) Encuentre el valor de la ecuación de i b) Encuentre el valor de la ecuación de P c) De la ecuación de la potencia activa, en función del tiempo, utilizando coeficientes numéricos ¿Cuál es el valor medio de la potencia activa instantánea? d) Delafórmuladelosvoltamperiosreactivos,enfuncióndeltiempo,utilizandocoeficientes numéricos ¿Cuál eselvalor medio de la potenciareactiva instantánea? e) ¿Cuál es la reactancia de la rama, en ohmios? SOLUCIÓN



Borrador

A = [(2232)2 + (1.22)2]1/2 = 2.544

Donde:

Ф = Arctg (1.22/2.232) = 28.66°

Por lo tanto la ecuación de i(t) es: i(t) = 2.544 Cos(377t-28.66°) NOTA: Este resultado se puede comprobar hallando el valor de total = R + jXL y dividiendo al valor de V = (100/√2)Ι0°, resultando:



= 1.8 Ι-28.65°

Compruebelo.

⟹

i(t) = 1.8 x √2 (Cos377t-28.65°)

También la ecuación de i(t) puede hallarse de la siguiente forma: Como la fig. mostrada es un circuito R-L, la corriente i(t) está atrasada un ángulo ф° respecto de la tensión V(t) (ver teoría), Donde: ф = ArcTg(wL/R) = Arctg((377 x 0.05)/34.5) = 28.65°

Para un circuito R-L (valores máximos) se tiene: Vm = Im (R 2 + (wL)2)1/2 → →

i(t) = Im Cos(wt-ф)

  +  √ .+. Im = 2.544 Amp.

Por lo tanto: i(t) = 2.544 x Cos(377t - 28.65°) Amp. b)

P(t) = V(t).i(t) = 100Cos377t (2.544Cos(377t-28.66))



Borrador P(t) = 100 x (2.54/2)(Cos(754t - 28.66) + Cos(28.66)) ………………..................

(1)

P(t) = 111.6 + 127.2 Cos(754t - 28.66) c) Desarrollando el Cos(754t-28.66) y agrupando la ecuación (1) anterior, se tiene: P(t) = [127.2(1+Cos754t)Cos28.66]+[(127.2Sen754t) x Sen28.66] De donde: P activs inst. = 127.2(1 + Cos754t) Cos28.66 = 111.6 + 111.6 Cos754t ……………………………………………

(2)

P reactiva inst. = 127Sen754t x Sen28.66 = 61 Sen754t ………………………………………………..………… (3)

 1    111.  6111.6754 

Aplicando las fórmulas dadas en la teoría, se obtiene:

P activa (media) = 111.6 vatios (T = π y w = 377 rad/seg) d) De c) la potencia reactiva instantánea es: P reactiva inst. = 61 Sen754t Tomando la comba positiva, se obtiene:

⁄   2     61 754   ⁄   2 2×61 2     61 2   × 2 ⁄  2/π x 61  38.85 VAR

La potencia reactiva consumida por XL será 61VAR

e) La reactancia inductiva es: XL = wL = 377 x 0.05 = 18.85 Ω

CAPITULO III IMPEDANCIA COMPLEJA Y NOTACION FASORIAL Son elementos de un circuito qua se pueden expresar mediante una impedancia compleja Z, la cual se puede situar sobre el diagrama de un circuito.



Borrador





1 = R + jXL



2 = R - jXC

Como la impedancia es un número complejo, ésta es representada como un punto en el diagrama anterior. DESFASE EN CIRCUITOS R, L, y C, Circuito R:



, en fase.

Circuito L:

Tipo de carga L:

ф = 90°

R-L:

ф < 90°

Circuito C: Tipo de carga C:

ф = 90°

C-R:

ф < 90°

Una rama inductiva, es aquella que cuenta con una resistencia R y una inductancia L y una rama capacitiva es aquella que cuenta con una resistencia R y una capacitancia C.

FORMAS DE EXPRESAR UN FASOR a) Forma Binomica: b) Forma Polar:

Donde:



= X + jY Z = rΙф

r=

√     



Borrador c) Forma Exponencial: d) Forma Trigonométrica:



= re jθ = r(cosθ + jsenθ)

      ∙1 2!  3! ⋯         ∙1  ⋯  ⋯

2! 4!

De donde:



3! 5!

= r.(cosθ + jsenθ)

TRANSFORMADA DE VOLTAJE Supóngase que la corriente i = Im.Cos(wt) es producida por el voltaje V = Vm.Cos(wt+ф), entonces; V se puede expresar como:

V  Real Vm.Cosωtф

V = Real (Vm.e

jωtф) = Real (Vm.ejф.ejωt)

V = Vm.e jф.Real (e jωt) Si

Vm.e jф = √2.V

Entonces:

 √  ∅

(transf. de voltaje) ALGEBRA VECTORIAL

SUMA DE FASORES: La suma de dos fasoresA y B estánrepresentados por el paralelogramo formado por ambos vectores.

 

Sean y los fasores, entonces:



Borrador SUSTRACCION DE FASORES: La sustracción de dos fasores se realiza haciendo girar el fasor a sustraer un ángulo de 180° y luego sumarlo al otro fasor. Para hacer girar un fasor 180° se multiplica a este por j 2.

 

= A|α° = a1 + ja2 = B|β° = b1 + jb2

   

Si = -

→ = a1 + ja2 – (b1 + jb2)



= (a1 - b1) + j(a2 - b2)

PRODUCTO DE DOS FASORES:La multiplicación de dos fasores es un tercer fasor que tiene como módulo al producto de los módulos de los dos fasores y como argumento o fase la suma de los argumentos de dichos fasores.



Si: : = A|α° y

 



 

= B|β° → . en forma cartesiana será:

. = (a1 + ja2) x (b1 + jb2) = (a1.b1 – a2.b2) + j(a1.b2 + b1.a2)

Asimismo en forma polar A.B estará dado por:

  .

= A|α° x B|β° = A.B|α+β

DIVISION DE FASORES: La división de dos fasores, es otro fasor, cuyo módulo es la división de los módulos de ambos fasores y como argumento la diferencia de fases de tales fasores. Si:



= A|α° y

Entonces:



= B|β°

     



Borrador

POTENCIA DE UN FASOR: Si:





= A|α° y

Entonces:

= B|β°

 .   . .  .  .  . 

Luego:

=

RAIZ DE UN FASOR: Si:



= A|α°

Entonces:



( )1/n = A1/n|(α + 2Kπ)/n Donde:

k = 0, 1, 2, …, (n – 1)

Si n = 3, entonces k = 0, 1, 2 (3 valores raíces) LOGARITMO DE UN FASOR: Si:



= A|α° = A.e jα

Entonces:

 

Ln ( ) = Ln (A.e jα) = Ln (A) + Ln (e jα) Ln ( ) = Ln (A) + jα LA TRANSMISION EXPRESADA COMO UN NUMERO COMPLEJO

La transmisión producida por un generador en una estación, cuyo efecto general (de corriente, tensión o potencia), es la recepción en una estación receptora (ver fig.). En las redes de comunicación de baja potencia, la variación de la magnitud y fase de la corriente del recepto respecto al valor óptino a ser obtenido, se debe a las dos causas siguientes:



Borrador a) A que R2 de la fig. mostrada no es igual a la resistencia RI del generador, pues esta última resulta determinada por las características del generador.



b) La resistencia entre el generador 1 dela estación generadora (o emisora) y a la resistencia R2 de la estación receptora.

La red puede ser; un filtro selectivo (puede seleccionar las frecuencias), transformador, atenuador o amplificador, etc. Más adelante se podrá comprobar que la máxima transmisión de potencia de E1 a R2 se dará cuando:

1 11

En estas condiciones de operación se dice que la resistenciadel generador(R1), iguala o equilibra la impedancia orientada hacia laderecha (puntos 11’)

1 211 11  1

              11′ 1.  1        22′ 2.2 ⁄ )   (1(2.⁄2)(121   11  1 2).2

La razón de potencias que entran y salen de la red sujetas a la condición 1/ 1 = R1, estará dada por:

Entonces:



 ⁄ 11′ 2 (1 ) 22′  1.2.2 …………………. 

Definiendo a T como la impedancia de transferencia o impedancia de transmisión de E1 a R2 bajo cualquier condición de operación, como:

 

T = 1/ 2 ……………………………………. (β)

Al reemplazar (β) en (α), en el cual la potencia que entra a los terminales 11’ y la que sale por 22’ son iguales, resultando:



Borrador

 ó2√ 1.2

SiparavaloresfijosdeR1y R2, toda la potencia que entra por 11' saldrá por 22', si la red interpuesta está dada por:

12 2√ 1.2 ⁄ 1.2 2ó12√ (⁄2√ 1.2) ⁄2√ 1.2 ………………. . 1 2ó . 12 . 2

Por lo que es preferible medir la corriente dada por , tanto en módulo como en fase, en la que la constante de transmisión (τ) está definida como:

α = atenuación β = desplazamiento de tase



2(óptimo) = I2|0°

ATENUACION (α):

 

cuando 1 = E1|0°



2(general) = 2/ 2

De la ecuación anterior (1) se tiene:

La atenuación en éste caso es una medida logarítmica inversa, de la potencia absorbida por R2 bajo condiciones generales de operación, con respecto a la recibida por R2, bajocondiciones óptimasde operación.Asíα muestra el cambio de magnitudentrelasseñales de entrada y salida y sellamaapropiadamentelafunción de atenuación (es en general una función de la frecuencia). Un α grande corresponde a una gran pérdida de fuerza de la señal de la red. También:



Borrador Entonces:

DESPLAZAMIENTO DE FASE ( β): La diferencia de fase entre las señales de entrada y salida es β, y β se llama función de fase.

Se tiene que:

2ó 2 2ó.ó 2  

θ° (óptimo) = fase de 2 (ópt.) θ° (general) = fase de 2(gen.)

5 i:



1 = E 1|0°

Entonces:

2ó.° 2

β = [θ° (ópt.) - θ° (gen.)] x (π/180) rad.

TRIANGULO DE POTENCIAS CIRCUITO R-L: La componente activa (vatios) estará en fase con la tensión y la componente reactiva en cuadratura (a 90°), al multiplicar el triángulo de las corrientes por la tensión se obtendrá el triángulo de potencias para una carga inductiva.



Borrador Donde: P: Potencia activa (WATTS) Q: Potencia reactiva (VAR) S = Potencia aparente (VA) La potencia reactiva por convención la tomaremos por debajo de la horizontal. CIRCUITO R-C: Análogamente que para un circuito R-L, se tienen los siguientes triángulos:

FACTOR DE POTENCIA (f.p.) El término Cosф se conoce como factor de potencia, sin embargo diremos que para una carga

inductiva este tiene un factor de potencia en retraso y para una carga capacitiva un factor de potencia en adelanto. El factor de potencia (f.p.) está definido como:

El ángulo ф no puede ser mayor de ±90°, por lo que

la potencia activa siempre será positiva.

POTENCIA COMPLEJA

Los 3 lados del triángulo de potencias; potencia aparente (S), potencia activa (P) y la potencia reactiva (Q) son hallados del producto de la tensión por el complejo conjugado de la corriente:



Borrador

Si:

Entonces:



También si:

= P ± jQ

Un ángulo de fase en adelanto implica una potencia reactiva en adelanto (capacitivo), un ángulo de fase en retraso implica una potencia reactiva en retraso (inductivo). ECUACIONES PARA HALLAR EL TRIANGULO DE POTENCIAS Potencia Activa:

 ∗

P = V.I.cosф = Real ( . ) = (VR)2/R = I2 R Potencia Reactiva:

 ∗

Q = V.I.senф = Imaginario ( . ) = (Vx)2/x X = puede ser XL o XC Potencia Aparente:

 ∗

S = V.I = I2 |Z| = Módulo de ( . ) Donde: Z = lmpedancia total (Ω ) Θ = Arctg (±Q /P)

P = P. Activa está dada en Vatios (W) Q = P. Reactiva dada en Volt-Amper-Reactiva (VAR) S = P. Aparente dada en Volt-Ampere (VA)

CIRCUITOS SERIE Y PARALELO IMPEDANCIAS La razón entre el fasor de voltaje V y el fasor de corriente I se define como impedancia Z { medida en Ohmios).



Borrador La impedancia Z es un número complejo, pero no un fasor. IMPEDANCIA EN SERIE

                    = 1 + 2 + 3 +...+ N = =

→

1+

2

3+…+

n

eq = ( 1 + 2 + 3 +....+ n)

eq = 1 + 2 + … + n

IMPEDANCIA EN PARALELO

1  11  21 ⋯ 1 1.2  12

Para dos impedancias:

DIAGRAMA FASORIAL DE TENSIONES Sea el circuito serie mostrado en la fig. C. Si:



= I|0°

Entonces:



1 = V1|ф

Además:



   

2 = V2|-θ

= 1 + 2 + 3

3 = V3|90°



Borrador



ADMITANCIA ( ) Se definen coma la reciproca de la impedancia:

 

= 1/ = G - jB

G = Conductancia B = Susceptancia

ADMITANCIA EN PARALELO (Ver fig.B)

12⋯ 1  11  21 ⋯ 1

ADMITANCIA EN SERIE (Ver fig. A)

DIVISOR DE VOLTAJE

 

Si se tiene el siguiente circuito en serie 1, 2, … n:

   

De (a) → n = . n …………………………………………… (1) De (b) →

=

/ eq …………………………………………. (2)

  

(2) en (1), se obtiene; n = ( / eq). n



Borrador

  

Ó

Entonces, la razón de tensiones es proporcionalala razón de sus impedancias.

    n=(

/ eq).

DIVISOR DE CORRIENTE Si se tiene:

De la Fig. anterior:

   

De (a): n = . n.…………………………………………. (1) De (b): = . eq …………………………………………. (2)

       

Reemplazando (2) en (1);

n = ( / eq). n ó

Por lo tanto, las corrientes son proporcionales a las admitancias e inversamente proporcional a las impedancias.

  ∙ DIAGORAMA FASORIAL DE CORRIENTES







De la fig (a) (para 3 ramas), y 1 = Z1|0, 2 = Z2|ф, 3 = Z3|-θ y V = V|-90, se tiene que:

   

T= 1+ 2+1 3+ 4

Diagrama fasorial:



Borrador

  

1 = I1|-90° 2 = I2|-90°-ф 3 = I3|-90°+θ

CONEXIONES EQUIVALENTES ESTRELLA-DELTA Y VICEVERSA Delta-Estrella

Estrella-Delta:

1∙3  123 1∙2  123 2∙3  123

∙ ∙ 1 ∙ 2 3   

PROBLEMA 1:

Un elemento resistivo de 20 Ω, una bobina inductiva de L=300mH,RL=10Ω y un C=50μF de capacitahcia,están conectadas en serie paraformar una rama R LC. Un V=100sen(157t) voltios es aplicado a la rama RLC. a) ¿Cuál es Z? b) Escriba la expresiónde I, utilizando coeficientes numéricos. c) Escriba la expresióndeP, utilizandocoeficientes numéricos y exprese todas las funciones trigonométricas con exponentes no superiores a la unidad. d) Cuál es el valor medio de la potencia entregada a la rama. e) Cuál es el valor máximo de losVAR.



Borrador f)

Escriba la expresión de lacaída de voltaje a travésdelelemento resistivo de 20 Ω en funcióndeltiempo,utilizando coeficientes numéricos. g) Escriba la expresión de la potencia instantánea entregada al resistor de 20Ω, en función del tiempo, utilizando coeficientes numéricos. SOLUCION W = 157 rad/seg XL = WL = 157(0.3H) = 47.1Ω XC = 1/WC = 1/[157(50 x 10-6)] =127.39Ω

   

RLC = 10 + j(XL – XC) = 47.1 – j80.29 RLC = 93.09|-59.6° T = 20 + [10 + j(XL - XC)] T = 30 – j80.29Ω a)

b)

  °   .√ −.0.82596.51°  → it T = 30 - j80.3 = 85.72|-69.51°

= 0.825 x √2 x Sen(157t+69.51) = 1.167Sen(157t+69.51°)

c) P(t) = i(t) x V(t), ф = -69.51°

(adelantado) P(t) = 100 x 1.167.Sen(157t).Sen(157t+69.51)

Utilizando; sen(wt+ф) = Senwt.Cosф + Coswt.Senф y operando se obtiene:

P(t)=20.42 - 20.42 Cos 314t+54.66Sen314t ………………. (1) Pm Pot. Reactiva Inst.

d)

∙ ∙∅   ∫...100∙ ∅   21.167 ∙69.5120.42 . ∙ ∙∅54.66 

e) De (1): También:

Qmáx. = 54.66 VAR

Q = Pm·Tg(69.51) =

f) V(R = 20) = 20 X i(t) = 23.34Sen(157t + 69.51) g) PR(t) = V(R=20)·i(t) = (23.34Sen(157t+69.51))·(1.167Sen(157t+69.51)) PR(t) = 13.62(1 – Cos(314t+139.02)) W. PROBLEMA Nº2



Borrador Un elemento resistivo de 151 ohmios es conectado en serie con un condensador de 4 microfaradios de capacitancia. Un voltaje senoidal de 500 ciclos, cuyo valor máximo es de 15 voltios energiza la rama RC. a) De la expresión correspondiente al voltaje de suministro, escogiendo el origen t=0 en el punto de máximo voltaje positivo. b) Evalúe totalmente Zrc. c) Encuentre el valor de la fórmula de i. d) Evalué la fórmula de P que corresponde al producto delvoltaje y la corriente utilizados, y exprese todos los términos trigonométricos con exponentes no mayores de la unidad. SOLUCION w = 2πf w = 2π(500)

W = 3141.59 W = 3142

a) Según el enunciado V(t) = Vmax . cos wt = 15 cos wt b) Xc = 1/(WC) = 79.57Ω = 79.6Ω Z = 151 – j79.6 = 170.7|-27.8° Ω c)

⟹  ⁄√     .−. 0.06227.8° √ 2 tθ θ  27.8° I = x 0.062 xCos (3142 x t + 27.8°) I = 0.088·Cos(3142·t + 27.8°)

d) P = V·I = Vm·Coswt·Im·Cos(w· P = Vm·Im·Coswt·[Coswt·Cosθ–Senwt·Senθ]

P = Vm·Im·Cos2·wt·Cosθ–Vm·Im·Senwt·Coswt·Senθ Operando se obtiene:

 ∙2  ∙ ∙2  ∙2∙ ∙2  ∙2∙ Pot. Media

Potencia Activa Instantánea

Pot. Reactiva Inst.

Entonces: P = (15·Cos3142t)(0.127·Cos3142t+27.8)

 ∙. ∙27.8 ∙. ∙2∙314227.8 15∙02.088 3142∙2∙27.8



Borrador

⟹

P = 0.584 + 0.584·Cos6284t – 0.308·Sen6284t

PROBLEMA Nº 3 Los parámetros de la figura son:

  

1 = R1 + jXL1 = 10 + j30 2 = R2 + jXL2 = 5 + j10 3 = R3 + jXC3 = 4 – j16

a) Encuentre I1, I2, I3 y V23 en forma compleja polar, utilizando el voltaje 100|0° voltios

como eje de referencia. b) Dibuje un diagrama fasorial completo de los anteriores voltajes y corrientes. c) Encuentre la potencia de entrada en vatios y vares de todo el circuito. SOLUCION

   1863.4∙16.575.96 15.966.1517.0521.15°  11.510416      ..°° 2.2554.35°   ∙  ∙2. 2 554.35 ∙17.0521.15 38.3633.20°   2 2  38.11.3618633.3.42°0° 3.4396.60°  3 3  38.16.35675.33.926°0° 2.3242.76°  ≬  ≬ 1054.3554.35° 1 = 10 + j30 = 31.62|71.56° 2 = 5 + j10 = 11.18|63.4°

3 = 4 – j16 = 16.5|-75.96°

T = 1 + ab = 25.9 + j36.16 = 44.47|54.35° a)

Entonces:

ca = · 1 = 2.25|-54.35 · 31.62|71.56 = 71.145|17.21°

Ф =

b) Diagrama fasorial

INDUCTIVO



Borrador

c) P = V · I · Cos ф Entonces: P = 130.14 watt

Q = V · I1 · Senф

S = V · I1

Q = 182.83 VAR

S = 225 VA

PROBLEMA 4 Elvoltaje aplicado a dos ramas paralelas es 40|80°voltios.Lacorrienteque pasa por la rama 1es5|30°amperiosylaquepasa por la rama 2 es (-6 + j8) amperios. Encuentre la potencia activa P y los volt-amperios reactivos suministrados a la combinación en paralelo, por el métododeconjugados. Nota.-Compruebe los resultados, comparándolos con VI SOLUCION Sea el circuito:

Por el método del conjugado se tiene:

  

1 = V · I1 1 =40|80 · 5|-30 = 200|50 1 = 128.5 + j 153.2

P1 = 128.5 watts Q · 1 = 153.2 Entonces:

  

2 = V ·I2 2 =40|80 · -10|53.13 2 = 273.46-291.92

P2 = 273.46 Q · 2 = -291.92 VAR



Borrador S1 = 200 VA

y

S2 = 400 VA

Porlotanto: Pt = P1 + P2 = 128.5 + 273.46 = 401.96 watt Q · t = Q · 1 + Q · 2 = 153.2-291.92 = -138.72 VAR St =

  ∙  401.96 138.72

  

= 425.22 VA

t = 425.22|Arctg(-138.72/401.96) = 425.22|-19° VA

Comprobando los resultados: = 1+ 2=10.63|+99°

Entonces: = · * = 40|80 · 10.631|-99 = 425.22|-19V A

PROBLEMA 5: Encuentre todas las raíces posibles de:

SOLUCION Operando dentro del radical:

Entonces las tres raíces son: A1 = 5|7°

(k = 0)

A2 = 5|127°

(k = 1)

A3 = 5|247°

(k = 2)

PROBLEMA 6 La impedancia característica de un filtro de sección “T" es:

   1∙  21⁄4



Borrador



 

Endonde 1esla impedancia total del brazo en serie y 2 eslaimpedancia en paralelo de la secciónfiltrante. Si 1 = 30|86° Ω y 2 = 10|90° Ω, encuentre ot segúnladefinicióndada.





SOLUCION

PROBLEMA 7 En el circuito que se muestra R1 = 200 Ω, R2 = 20000 Ω y V2 = (0.1|114.6°)E1. Encuentrelaatenuacióny el desplazamiento de fase que se producen por lacombinación deldesequilibriode R1 y R2yla red interpuesta.

SOLUCION: Se sabe que la constante de transmisión ( τ) está dada por:

Donde:

Pero:

⟹

2ó……………… 1 2 2ó 2√ 11∙  2  2∙√ 200∙120000 2ó 40001 1 ..° 10∙2114.6°

(dato)

2 (general) = 0.0025 · V2|-114.6° ……………………………………. (2)

También:



Borrador







2 = (general) = 2 (actual) = 2/R2 = V2/20000 ………………………. (3)

(2) y (3) en (1)

PROBLEMA 8



Enla fig. del problema anterior R1 = 200 Ω, R2=20000 Ω, 2= 1/4000amp. Encuentra la atenuación y el desplazamiento de fase e que son producidos por la combinación del desequilibriode R1 y R2 y la red interpuesta. SOLUCION Del enunciado y gráfico del problema anterior.

También:

De donde:

Por lo tanto: Α = 0 nepers y β = 0 rad.

PROBLEMA 9: Unaecuación útil en el análisisdecircuitos de filtroeslasiguiente:

Si:





1 = 25.14|-90° Ω y 2 = 795|90° Ω determine el valor de α y β.

SOLUCION



Borrador

Entonces:

Por lo tanto:

Sea

Hallando D = C ):

2Ln(

Por lo tanto; de (5) y (6): α + jβ = - j (10 .2 · (π/180)) → α = 0 decibeles y β = -0.178 radianes = -10.2 grad.

Como α=0,esto indica que la resistencia de la fuente generadora(estación,emisora) es igual a la resistencia en la carga (estación receptora). PROBLEMA 10 Un voltaje de V=-150 sen377t voltios, se aplica a un determinado elemento de un circuito y se encuentra, por medio de análisis oscilográfico, que tiene i=10cos377t amperios. Haga un diagrama de las ondas V e i. Encuentre la naturaleza del circuito.



Borrador SOLUCION V(t) = -150·Sen377t = 150·Sen(-377t) = 150·Cos(377t+90) (w = 377 rad/seg) Además: i(t) = 10 Cos377t

Ondas de tensión y corriente:

PROBLEMA 11 Una resistencia de 10 Ω Si es conectado en serie con un condensador de 303 μF . Si la caída de voltaje a través del condensador es de 150 ·Sen(220t - 60°) voltios, encuentre la ecuación en función del tiempo de la caída de voltaje a través de todo el circuito en serie. Encuentre también la expresión de la corriente en cualquier tiempo t. SOLUCION Si VC(t) = 150Sen(220t-60°) V w=220 Aplicando el divisor de tensión se tiene:



Borrador Pasando a fasores R-jXC y operando se obtiene:



= 127.48|-26.31

La corriente estará dado por:

También i(t) se puede hallar como:

Por lo tanto:

PROBLEMA 12 Un voltaje de V =282.8·Sen500tvoltiosseaplica a uncircuito en seriey se encuentra quela corriente resultante esi(t) = 5.656·Sen(500t - 36.87°) amperios. Se sabe que un elemento de esta combinación en serie as un condensador que tiene una capacitancia de 100 μF. Determine las magnitudes de los otros elementos en serie. SOLUCION Del enunciado:

W = 500 rad/seg

 282.√ 28 0°   5.√ 6256 36.87°

Sea el siguiente circuito: Z = R + jX X = XL – XC ………………………… (1)



Borrador

Pero:

PROBLEMA 13 Un voltaje de V=141.42Cos(500t-20) se aplica a un circuitoserieconformado por una inductancia de 20mHr y otros elementos,porellos circulauna corriente de i = 1.4142sen(500t-60).Determinar los otros elementos en serie. SOLUCION Si V= 141.42Cos(500-20),entoncesla corriente i deberá expresarse enla misma función trigonométrica de V (o viceversa), por lo que transformando i setendrá:

En

forma fasorial:

Como la parte imaginarla esnegativa, esto da a entender que ademas de la inductancia existira una capacitancia,porloque: ( Xc > XL ). 64.28 - j76.6 = R + j(XL - XC) →

R= 64.28

XL - XC = -76.6 ……………………. . (3)



Borrador XL = WL = 500·0.02 = 10 Ω……………………………………….. ..(4) Entonces (4) en (3): XC = 10 + 76.6 = 86.6 Ω →

C = (1/[w·XC]) = (1/1500·86.6) = 23 μF .

PROBLEMA 14 El cociente de dos; fasores es imaginario puro,el modulo del dividendo es el doble del divisor, su suma es real y vale cinco. Determinar los fasores. SOLUCION Sean los fasores A y B tales que cumplen:

    



= A |θ ……………. (1) / = ±(A/B) j ..... (3)

= B |ф …………….. (2)

A = 2B …………..…… (4)

+ = 5 + j 0 ……. (5)

(4) en(3):

 

/ = ±2j ………..… (6)

 

(1), (2) y (4) en (6): →

/ = 2 |θ-ф = ±2j = 2|±90

θ - ф = ± 90 ………..…………… (7)

(4), (1) y (2) en (5): 2B |θ + B |ф = 5 = B·[2Cosθ + Cosф + j(2Senθ + Sen ф) = 5 + j0 De donde: B.(2cosθ + Cosф) = 5 ………….. (8)

2Senθ + Sen ф = 0…………..(9)

(7) en (9): 2sen( ф ± 90) + sen ф = 0 → ± 2cosф + sen ф = 0 Por lo tanto: Tg ф = - (±2) → ф = -Arctg(±2) = -(±63.435°) ………………………………. (10) (10) en (7):

θ = ±26.565° …………………………… (11)

(11) en (8):

B = 2.236

Por lo tanto:





= 4.47|±26.565°y = 2.236|±63.435°



Borrador PROBLEMA 15 En elcircuito mostrado se tiene dos amperimetros A1 yA2.Si estos amperímetros sonintercambiados hallar los valores que miden.

e(t)= 20·Sen5Wt f= 60 Hz.

SOLUCION: Al intercambiar los amperimetros, A2 leerá el valor medio dio y A1 el valoreficaz de lacorriente que circula por dichas ramas.Comose tienedos tiposde fuentes (una alterna y laotracontinua),por lo que se utilizará el método de superposición: En A.C.: e(t) = 20sen5wt f=60 Hz. W=2 πf = 377 rad/seg

    44∙ 44 1.13181.87° = (20/√2)|0°

  



ab = 2 + (j4-j6) + cd = 3.7944|-55.3°

Por la tanto:

A = / ab = 3.727|55.3°

∙ 0.74471.57°   ⟹ 2 44 1∙ 44 43 4.2163.43°  

i1(t) = 5.953 Sen(5wt + 63.43)

I1(prom) = (2 /π)·5.953 = 3.79 Amp. En DC (corriente continua), se tiene:



Borrador

→

I1 ' = 0 e

I2'= 0

Por lo tanto, en el circuito original. A1 = I1 + I1' = 3.79 + 0 = 3.79 Amp. A2 = I2 + I2' = 0.744 + 0 = 0.744 Amp. PROBLEMA 16 En el circuito de la fig. se representa una impedancia en la que |V1|y |1| deben ser cantidades constantes, sin embargo el factor depotencia de la carga es variable en todo el rango, y la caída de tensión es 6% de |V1|. a) Obtener el mínimo y máximo valor de Vi y especifique el cosф de la carga. b) De los fasores de Vi y V1 cuando el ángulo entre i y 1 es de 3°, asimismo hallar la variación de .





SOLUCION a) Como Zc es todo el rango, entonces ф debe variar .entre -90° y +90° por lo que si:



V1 = V|0 → ' = 1/[ '|-90]= I|90° (Dato |Z| = cte., pues V1 y I = cte.) , → para ф = 90°:

   

" = I|-90

También: L = 3R + j4R = 5R|53.13° L'= L·I'= 5RI|143.13°

Diagrama fasorial:

 

L" = L· " = 5RI|-36.87°

variable

en



Borrador

Además del enunciado y diagrama se obtiene:



| L| = 0.06



| 1| = 0.06·V1 =5RI

Vi = V1 + VL

→ VL(para Vi máx.) = 5RI|0° = 0.06·V1|0°

YVi máx. = V1|0 + V. 06V1|0° = 1.060·V1|0° Por lo tanto: θ2 = 0°

     

→ = [ L/ L] = [0.06·V1/(5R|53.13°)] = 0.012[V1/R]|-53.13°

Z|ф = 1/ = [R/0.012]|+53.13° Por lo tanto, el f.p. de la carga será cos(53.13) = 0.6 Inductivo También: i min. = V1|0° + 0.06·V1|143.13° = 0.9527·V1|2.166° Por lo tanto: θ1 = 2.166° →

= L/ L = [0.06V1|143.13°/(5R|53.13°)] = 0.012[V1/R]|90°

Z| ф= 1/ = [R/0.012]|-90° Por lo tanto el f.p. de la carga será cos90 = 0Capacitivo b) De la fig. anterior y el enunciado; |θ1| o |θ2| puedeserigual a 3° y β1, β2 deben ser menoresde 180°,VL' y VL" no serán colineales y por la ley de senosse tiene :

12  ′2

 0.061 23°

→ β2 = ArSen(Senθ2/0.06) = ArSen0.872 = 60.7°

Y β2= 180 - β2 = 119.3°, Sen60.7 = → α2 = 180 – 3 - 60.7 = 116.3° α1 = 180 – 3 - 119.3 = 57.7°

Sen119.3 = 0.872



Borrador Por lo tanto:

     

i2 = V1|0+ 0.06V1|180-57.7= 0.969V1|+3° i1 = V1|0 + 0.06V1|-(180-116.3)=1.028V1|-3°

La corriente I será: 1 = L'/ L = I|180-α1 -53.13 =I|69.17° 2 = L"/ L = I|180- α2-53.13 = I|10.57°

PROBLEMA 17 En el circuito de la fig. adjunta, la carga es una impedanciainductiva que consume unapotencia de 383 VAR, hallar: a) La corriente en forma polar entregada por la fuente. b) Los valores de Rc, Xc y R.

SOLUCION



a) Sea ac = V|0= 30·5|0= 150|0° V. Coma la carga es inductiva, entonces la corrientepor esa rama estará atrasada con respecto a la tensión Vac. Diagrama fasorial: Por

la ley de cosenos: (90)2=(75)2+(150)2-2·75·150·Cosф

De

donde: ф = Arcos(0.89) = 27.13°

Por la ley de senos:

75  90∅ ⟹  0.3799      

→

ab = 75|-27.13°y bc = 90|22.33°

→

bc = ab = ab/R = |-27.13

∴ 22.33°

(I = 75/R) ……………………….. (1)



Borrador Según el enunciado:



P(reactiva en la carga) = 3.83 VAR = Real( bc· bc *) → 393 = Real (90I|22.33+27.13) = 90·I·Cos49.46

De donde:

 



I = 6.55 Amp. → ac = 6.55|-27.13° ……………………………. (2) (R=30) = 5|0°

(RC, XC) = 4|Arcos0.85 = 4|31.79° (carga capacitiva)

→

  



T = (RC·C) + (R=30) + ac = IT = 4|31.79° + 5|0° + 6.55|-27.13° = 14.26|3.54° Amp.

b) RC - jXC = ac/ (RC, XC) =(150/4)|0-31.79=31.87 – J19.75 Por lo tanto:

RC = 31.87yXC = 19.75 → C = 134.3 μF . De (1) y (2): R = 75/6.55 = 11.45 Ω. PROBLEMA 18 Un motor1 ф puede ser representado po r un circuito R-L, este opera normalmente a una tensión de 220v. Si el motor observe una corriente de 50 Amp. desfasado 65° respecto de la tensión Vm. Determinar el valor adecuado de un condensador de manera que el motor funciona correctamente, si la impedancia de la línea es L = 2R|53..13°, donde Rsea el máximo valor posible y la tensión de entrada es 110v. 60Hz.



SOLUCION El condensador debe ser conectado en serie con el motor para asípoder elevar la tensión(debido a la caída de tensión en la línea o red) y obtener en bornes del dicho motor 220 voltios.

 

ZL = · L = (2R|53.13°) (50|-65°) = 100R|-11.87°

Diagrama fasorial:



Borrador

Además se cumple que: VXC es perpendicular a I(para el caso también VXC es perpendicular a V.) Del gráfico: 220·Cos65 + VZL·Cos53.13 = V = 110 → VZL = 28.32 = 100·R ………………….. (1)

También:

∴

R = 0.284 Ω

220Sen65 +VZLSen53.13 = VXC …. .. (2) (1) en (2) y operando con el valor de R hallado, se obtiene: VXC = 222.08 = I·XC = 50·XC →XC = 4.44 Ω Por lo tanto: C = (1/[377·4.44])=597.2 μF . Por otro lado:

 

M = M/ = (220|0)/(50|-65) = 1.859 + j3.987 = RL + jXL

Entonces:

RL = 1.859 Ω yXL = 3.987 Ω, de donde: L = (3.987/(2·π· 60))=10.57 mHr. La potencia consumida por el motor será: P = I2·R = (50)2·41.859=4.65 KW. PROBLEMA 19 Silas lecturas de losamperímetros A1, A2 y A3 sonde10 Amp.c/u. Evaluar: a) b) c) d)

Lectura de A4. El valor de la fuente Factor de potencia del sistema. Diagrama fasorial.





Borrador SOLUCION Como el amperímetro A3 tiene una resistencia cero (idealmente) entonces, la corriente medida por éste es el que circula por la impedancia 1|45°



Sea A = V|0° La reactancia capacitiva escortocircuitadaalconectarel amperímetro A3.

de

1Ω

11∅    ° 90  2 190 1090°3 145 1045°      →

= 10 |ф (dato)

→ V = 10 v. y ф = -90° → 1 = 10|90°Amp.

También:

4 = 1 + 2 + 3 = 10|-90 + 10|90 + 1 0|45 = 10|45

→

= A + I4·(1|45) = 10|0 + 10|90 = 14.142|45°

Por lo tanto:

a) La lectura de A4 será de 10 Amp. b)E = 14.142 voltios.

∢∢

c) ф = E - I4 = 45 - 45 = 0° , entonces: f.p. =Cos ф = 1 d) Diagramafasorial:

PROBLEMA 20 Analice la puesta en paralelo de dos alternadores reales mediante el método de las lámparas. Determine los desfases entre los generadores, para: a) V = 41 v.

b) V = 70.7 v. c) V = 100 v.



Borrador



= 0.5|70°

SOLUCION El circuitoequivalente circuitoequiva lente asociado alas

impedanciasyresistencias impedanciasyresist encias es:

Donde

   = 1- 2

X = 2·V|α

Diagrama fasorial:

V1 = V2 = 100

Dato de las 50 W. V = 220 → R = V 2/P = (250) 2/50= 1250 Ω

a) Para V = 41 v.

∴

lámparas; P = v. 2R = 2500 Ω

VX = 2·41 = 82 v.



En la Fig. aplicando divisor de tensión, con X = VX|α:

→



2 21 21 70 7 0     21 ∙ ⟹    ∙ 2  217070

= 2·41 |α° · 1.00014|0.216° = 82.011|0.216+α V.

En el diagrama fasorial, aplicando ley de cosenos: (V1)2 + (V2) 2 - 2·V1·V2·Cosф = E2 De donde:

(|V1| y |V2| = 100)

Cos ф = 0.6637 → ф = 48.92°

b) Para V = 70.71 v. Análogo a a) se tiene:

VX = 2·70.71 = 141.42 v.



Borrador



= 141.42|0.216+α°

Por la ley de cosenos se obtiene: Cosф = 0.00001927

→ ф = 90°

c) ParaV = 100 v.

VX = 2·100 = 200 v.

→ E = 200.028|0.216+α

Por la ley de cosenos se obtiene: Cos ф ≈ -1

→ ф = 180°

PROBLEMA 21



En la siguiente red se sabe que: a· b = (Ro) 2

Determinar:



a) 2/ 1 b) Si el desfase entre 2 y 1 es ф, determine la frecuencia del generador.

 

SOLUCION

Del circuito mostrado se puede notar que se tiene un puente Wheastone, en el que, entre los puntos D y B no existe corriente o estan al mismo potencial, entonces:

  

AD· BC = a· b = (Ro) 2

Ro Por lo tanto:

Ro



Borrador

Entonces:

De donde:



b) Sea a = Ra + jXa, entonces: entonces:

21   ⁄2

 

Según dato, el desfase 2 y 1 es ф, entonces:

Entonces la frecuencia del generador está dado por: f = [((Ra + Ro))·Tg ф]/[2π·La]Hz.





Si a es capacitiva a= Ra -jXa, f estará dado por: f = [(Ra + Ro) ·Tgф] · [1/(2πC)] PROBLEMA 22 En el circuito mostrado, evaluar: a) Pérdida de potencia en la línea (R + jX) b) f.p. del sistema, y c) Diagrama fasorial. DATOS:

 

| | = 10·| 1|



Borrador X = 2R



| | = 5.724·I·R

θ = 30°

SOLUCION Diagrama fasorial:

Del gráfico se tiene: I·Cos30° = IT·Cos θ ……………………………….. (1) También: (I·Sen30 - I1)2 + (I·Cos30)2 = (IT)2 …………………….………….. (2) Según dato; I1 = I/10 reemplazando en (2): I2·(0.4)2 + (√3/2)2) = (IT) 2 → IT = 0.954·I ………………….………………. (3) (3) en (1): Cos θ = (Cos30)/0.954 = 0.908 → θ =24.79°



T = IT|-24.79°

a) La pérdida de potencia activa en R+jX está dado por: P = (IT) 2·R = 0.91·I 2·R



b) Cálculo de la caída de tensión ab:



= R + j X = (R 2 + X 2)1/2 |ф

ф = ArcTg(X/R)

→ ф = ArcTg(2R/R) = 63.43°

(según dato X = 2R)

→ Z = √ 5·R|63.43°

Segúndato:

  

= 5.724·I·R = 5.724·(lT/0.954)·R = 6·R·IT

→

 √ 538.64°

ab = V|0°+ T· = 6R·IT+ √5R·IT|63.43°-24.79°

ab = R·IT·(6 +

= 7.871·R·IT|10.21° v.

c) El factor de potencia del sistema estará dado por:



Borrador Β =

∢ ∢ ab -

T = 10.21 - (-24.79) = 35 °

→ f.p. = Cos35° = 0.82 Inductivo

PROBLEMA 23 Cuando se aplica 220v. en los extremos delos bornes ab del circuito mostrado, determinar: a) Elvalor de Rpara que las corrientes enlasramasparalelas sean ortogonales. b) La tensión en los bornes c-d. c) La corriente 2.



SOLUCION

Según condición: θ – (- ф) = 90° (condición de ortogonalidad) θ = 32 – α

Entonces:

-ф = -(ArcTg(5/R) + α)



Borrador





= 5.44|35.385= 4.435 + j3.15 → T = 2 + j4 +

Por lo tanto:





 5.44294353. 35.385 15 220∙ 244. 8 3 5. 3 85   1196. 9.61945.58 124.4212.61°° ⟹ 12.61° 2 124.5.89642 5812.6121.10270.61° . cd = 220·[ / T]

c) Reemplazando los valores hallados en la parte a:

PROBLEMA 24

Encuentre la pura reactancia o las reactancias X en la fig.quedará al factor de potencia del conjunto un valor de 0.707.

SOLUCION



Borrador Hallando la impedancia equivalente de la rama en paralelo:

Además se tiene que:

  

a’b’ = a’a + ab = Z|±45°

45° = Arcos(0.707)

Primer caso: Sea:

jX = jXL = XL|90°

Entonces: Segundo caso: Sea:





a’b’1 = XL |90 + ab = Z1|45°

jX = -jXC = XC|-90

Entonces:





a’b’2 = XC |-90 + ab = Z2|-45°

Diagrama fasorial:

Del gráfico (Ley de senos): a) b)

.  . .  .

 9.27Ω

entonces

XC = 3.107 Ω

Por lo tanto:

 

a'b'1=8.92|45° a'b'2 =8.92|-45°

PROBLEMA 25 Una rama con un condensador tiene una razón de X a R de 5, es puesta en paralelo con una impedancia constante en 4 Ω de resistencia y 3 Ω de reactancia inductiva. El factor de potencia del circuito resultante es 0.8 adelantado. Encuentre el valor del condensador en μ faradios, si la frecuencia es de 60 Hz.



Borrador SOLUCION Según el enunciado se tiene: Sea:

a

    ∙∅ ∙∅

-

I

-

-

I1

= V|0°

I2

ab = Z|-ф

R

4

Entonces:

_ V j3

Según el enunciado el ángulo ф es positivo (en

adelanto) cuyo valor es: Ф = -Arcos0.8 = -36.87

Entonces:

  



b

ab = Z|-36.87°

ab = (1/Z)|36.87° 1 = 4 + j3 = 5|36.87° 2 = Z2|-θ°

entonces:

donde: X/R = 5 dato



1 = 0.2|-36.87°

Z2 = (R2 + X2)1/2 y θ = Arctg (X/R) = Arctg5 = 78.69°

Por lo tanto:





2 = Z2|78.69 y 2 = (1/Z2)|78.69° = Z’’ |78.69°

  

Diagrama fasorial de admitancias: ( ab = 1 + 2) Entonces: β = 180° - 36.87° - 78.69° β = 64.44° α = 78.69° - 36.87° = 41.82°

|Y1| = 0.2 W = 377 rad/seg.

Del gráfico anterior:

Entonces:

|2|

|1|   2∙36. 8 7 |2|

= 0.2·(sen73.74/sen41.82) = 0.288

-jX



Borrador Como

|2|  0.288 =

Entonces: Z2 = 3.472 = (R 2 + X 2)1/2 Además:

X = 5R entonces

3.472 = R·(1 + 25)1/2

Por lo tanto: R = 0.681 y X = 5R = 3.405 = 1/wC Entonces: C = 779 μF.

PROBLEMA 26 En el circuito mostrado: R = 20Ω

X1 = 200Ω

R1 = 10KΩ

X = 1KΩ

A = 1/senα

α = Arctg X1/R

Determine la lectura de w, si su escala está determinada por el factor A. SOLUCION Utilizando el thevenin equivalente entre a y b, tenemos: La rama RC se encuentra en serie a la otra rama.

Reemplazando valores: Zth = 39.99|-1.05°



Borrador

2200° 0.2288.85°    201000         1ℎ∙ + R = ·R = 4.4|88.95°

X = -I·jX = 219.95|-1.05°

Entonces:

th = a – b = R - VX = 219.99|177.8°

Por lo tanto:

reemplazando valores se obtiene:

VX1 = 4.384|267.8° Además:

0 ° ∗    220 2260° 1060° ∢ ∢ Por lo tanto: el vatímetro leerá: W = A·(VX1·I'·Cosф)

ф=

VX1 - I'= 327.80°

Α = Arctg(X1/R) = Arctg(200/20) = 84.29° → A = 1/sen α = 1.005

Por lo tanto: W = 1.005·4.384·10·cos(327.80) W = 37.284 w. PROBLEMA 27 Para medir potencia reactiva de una carga 1 ф se utiliza un vatímetro conectado como se indica en la figura. Se conoce los valores de X = 100 Ω y Rp = 5000Ω del circuito voltimétrico. Sedesea determinar los valores de R y C de manera que elerror debidoaldesfasaje de la corriente IP sea e = 0.01 para una carga con Cos ф = 0.8 inductivo se sabe adicionalmente que: e = δ|Tg ф| para una carga inductiva (δ en radianes). δ: Angulo de Ip respecto de Vab.

SOLUCION

     

|Xc| = R, RC = (V|0° /(R-JXc) = V|0°/(R √2|-45°) = (V/R√2|45°) →

 

Aa = RC*R = (V/√2)|+451, Ab = RC*(-JXC) = (V/2)|-45°

ab = RC*jXC – R* RC = (V/√2)|-45°- (V/2)|45° = V|-90°



Borrador Construyendo el diagrama fasorial con:

  

Aa, Ab, ab = V|-90° , V = V|0°

Cálculo de la corriente Ip: Hallando el Thevenin equivalente entre a y b.

  ∙  ℎ ∙ ∙   2∙  ∙90°90° ℎ2∙  ℎ2∙ √ −−°° 2 45° ℎ90° ℎ   90°  ℎ    Haciendo; = R+Rp + J(Xp-R) = Z |θ

Luego p = (V/Z)|-(90+0) de la fig. 1: p = lp|-(90-δ) Luego θ = δ → Tg θ = Tg(- δ) = (Xp –R)/(R+Rp) = (100 –R)/(R+5000) …………………… (1) Como e = δ| Tgθ| , Reemplazando e= 0.01 y el valor de ф se obtiene;

 ..   ..  

…………………………. (2)

(2) en (1)

Tg(-(1/75)) = -1.333*10-2 = (100-R)/(R+5000), despejando -1.333*10-2 *R - 66.67 = 100 - R → R = 168.92 Ω Como |Xc| = R

→

C =(1/WR) = [1/(377*168.92)] = 15.703pF.

PROBLEMA N28 Se requiere diseñar un cosfimetro logométrico que tengan 2 bobinas móviles exactamente iguales y de impedancia despreciable. Se desea que el instrumento tenga 90° de amplitud de escala y que mida factores de potencia entre 0.4 inductivo y 0.4 capacitivo a 60 Hz; Determinar: a) La resistencia enserie con una de las bobinasteniendo enla otra una inductancia de 5 Henrios. b) Impedancia del circuito del voltímetrico. c) Las deflexiones angulares del sistema móvil para factores de potencia 0.95, 0.90, 0.85. Sisesabeque la expresión de deflexión de los cosfimetros logométricos está dado por: Tg θ= [R/XL]*Tgф



Borrador Ф = Angulo del f.p.

θ = Deflexión del instrumento

SOLUCION a) Según el enunciado y gráfico para θ = 45°, se tiene: Ф = cos -1 (0.4) = 66.42° → Tg45° = [R/XL]Tg66.42° ………………….. (1) Como XL = 2π*60*5 = 600π

 ∙66.4452 822.66 Ω ∗   ≈0   + ∗ 753.9823.58°  ..+  822.60066 ∙∅ Despejando XL de (1):

b) La impedancia del circuito voltimétrico será: , luego:

c) Cálculo de θ para cosф = 0.95, 0.90, 0.85

Cosф°

ф°

Tgф°

Tgθ°

θ°

0.85

37.78

0.619

0.269

15.06

0.90

25.84

0.484

0.211

11.91

0.95

18.19

0.328

0.143

8.13

PROBLEMA 29 Para un campo giratorio de un sincronoscopio se toma una delastensiones de línea de 220 v, de la red y se conforma un sistema monofásico de bobinas en serie con elementos R, L y C (un elemento en cada bobina). Si la corrienteque debe circularenlasbobinas es de 1 Amp. y se conectan resistenciasadicionalesRLyRC en las ramas reactivas, determinar los valores de R,L,RLyRC, si se tiene que C = 17.6 μF y f = 50 Hz y ademáslasbobinas son iguales y de impedancia despreciable. Mostrar las conexiones de los elementos y las polaridades instantáneas de las tensiones inducidas en las bobinas. Nota: Las corrientes en las ramas R-L y R-C, estarándesfasadas60°respecto de la corrienteen la rama R, de manera quela tensión en la rama R sea V|0° e iguales a las otras ramas. SOLUCION



Borrador Delacondicióndelproblema: IR=1|0°AMP IL=1|60°AMP IC=1|60°AMP

   

Para que | L| = | C| → | L| = | C| O RL 2 + XL 2 = RC2 + XC 2 …………………… (α ) De la nota y diagrama fasorial: Tg(60°) = [XL/RL] = √3 ………………….… (β) → RL = [2π*50*L]/ √3 …………………….. (1)

También: Tg(60°) = [XC/RC] = √3 ………………….. .( δ) → R C = [X C/√ 3] =[1/(2 π*50*17.6*10*√ 3)]

XC = 180.86 Ω

RC = 104.4184 Ω

De ( β), (δ) en ( α) se obtiene que: RL = RC = 104.4184 Ω, de manera que también: XC = XL = [1/WC] = WL →L = [XC/W] = 0.576 Hr. Como la tensión en la rama resistiva R, es igual que en las otras ramas, entonces: |VR| = IC*(|104.4184 - J180.86|) = 1*208.84 = 208.84 V. También:VR = IR*R = 208.84, de donde: R = 208.84 Ω

CAPITULO IV ANALISIS DE CIRCUITOS SENOIDALES MONOFASICOS

Análisis de Redes A continuación se darán los métodos de resolución de circuitos que contienen impedancias y varias fuentes de tensión, para lo cual se utilizarán; el método de corrientes de mallas y el método de voltajesde nodos. Método de Corrientes de Mallas Al utilizar este método, primeramente se deberá seleccionar lascorrientes que circularán en cada malla. En lugar de encontrar tantas corrientes diferentes como ramas haya,se



Borrador encontraránsolamente tantas corrientes diferentes como lazos o mallas independientes existan.

↑: Voltaje impulsor, supuesto positivo ( ↑

Aplicando la 2da. Ley de Kirchhoff:

≡

±).

Malla 1:

                                  0 1 1  0  ∙   0  2   3 2            1 – 1. A - ( 1 - 2). D = 0 ……………………. (1)

Malla 2:

- 2. B - ( 2 - 3). G - ( 2- 1). D = 0 …….… (2)

Malla 3:

- 3. C - ( 3 - 2). C - 2 = 0 ……………………. (3)

De (1), (2) Y (3) se obtiene: 1 = ( A + D). 1 - D. 2

0 = - D. 1 + ( B + D + G). 2 – G. 3 - 2 = - G. 2 + ( C + G). 3 En forma matricial:

| |·| |=| |

Donde:

Todaslas iies igual a la Σ de todaslasimpedancias recorridas por la corriente mallai(impedancias propias de la malla i).

i de la

Todaslas ijes igual a la Σ delasimpedanciascomunesrecorridas par la corriente i de la mallai ypor la corriente j de la malla j. La(s) impedancia(s) ij será negativa (-), si la corriente itiene sentido contrario que la corriente j (estascorrientescirculan porla(s) impedancia (s)),y tendrá signo positivo si las corrientes i y j tienen el mismo sentido (dirección).



Borrador Impedancia de Entrada y Transferencia Sea la siguiente red:

Entonces:

  

   

entrada(r) = r = r/ r =| |/∆ rr

Donde:

| | = Es la matriz de impedancia. ∆ rr = Es el cofactor de la matriz

También:



Donde:

 



   

transferencia (rs) = rs = r/ s =| |/∆ rs

∆ rs = Es el cofactor de la matriz

COFACTOR

.



.



∆ rs = (-1) r+s ·| rs|





Lamatriz | rs|sehalla eliminando la filarylacolumna s de la matriz . ADMITANCIA DE ENTRADA Y TRANSFERENCIA Del circuito anterior se tiene:

 

   

entrada(r) = r = r/ r =| |/∆ rr

Donde

| | = Es la matriz de impedancia. ∆Yrr = Es el cofactor de la matriz Y.

También:



   

Ytransferencia(rs) = rs = r/ s =| |/∆ rs

Donde:

Yrs = Es el cofactor de la matriz Y.



Borrador



 11⁄⁄ 123 2 1 []25 ∙ 2 245 2  1 [][]∙[] [][]− ∙[] []1121 1222

Lamatriz | rs| se halla eliminando la fila r y la columna sdela matriz . En forma matricial:

Donde:

De donde:

La matriz de admitancia será:

Donde:

 

ii = I admitanciaspropiasconectadasalnodo ij=-I admitancias de acoplamiento conectadasentre el nodo i y el nodo j.



La matriz [ ] es siempre simétrica.



El signo delamatriz [ ] será tal que: (+) = Si el voltaje impulsorvahaciaelnodo i o j. (-) = Sielvoltajeimpulsorsale

delnodo i o j.

VOLTAJE EN UN NODO DE SUPERPOSICION Sise tiene una red arbitraria de "n ” fuentes y n-1 voltajes denodos a hallar, en el cual se puede aplicar el principio de superposición para determinar un voltaje en cualquier nodo,que es obtenido mediante la adición de los voltajes producidos en esenodoporlas diversas corrientes entrantes o salientes (al nodo), que actúan una a la vez.Ver la fig. siguiente:

K = Rama kaesima de la red. →

  



k = k’I1 + k’’I2 + … + kn- (I(n-1))



Borrador Nota: I(n-1) = Significa que la tensión Vk n- es hallada cuando actúa solamente la fuente Vn.

11, ⋯  .1 1,  .2 2, ⋯   .  . , PUENTE WHEATSTONE

    Si:

3* 4 = 2* 5 entonces:

A = B e = 0

CORRIENTE EN UNA RAMA POR SUPERPOSICION

Se tiene una red arbitraria de “n” fuentes y “n” corrientes ahallar, en el cual se puede aplicar el principio de superposición (para una corriente específica a hallar),actuando solamente una fuente a la vez (independiente). Ver fig.

K = Rama kaesimade la red. Entonces:

  



k = k'(V1) + k''(V2) +… + kn(Vn)

Nota:

(Vn) = Significa que la corriente Ikn es hallada cuando actúa solamente la fuente Vn.



Borrador

11, ⋯  .1 1,  .2 2, ⋯   .  . , METODO DE VOLTAJES DE NODOS Las impedancias son reemplazadas ahora por las admitancias, en la que una red de "n" nodos se toma un nodo de referencia y en los n -1 restantes se requieren ecuaciones de voltajes de nodos. Sea elsiguientecircuitoquesemuestraa continuación:

El circuito tiene: Nº Nodos = n = 3 Nº Mallas = l = 3 Por lo tanto se aplicará el método de voltajes de nodos pues las ecuaciones de nodos son n1 = 2, tomando un nodo como referencia (el nodo inferior). Por la 1ª ley de Kirchhoff: NODO 1: NODO 2:

− − −      0 − − −      0

……………… (1) ……………... (2)

Ordenando las ecuaciones (1) y (2) se obtiene:

1∙11  21  31 2∙21  1  11 1∙21 2∙21  41  51  5  25 TEOREMAS

TEOREMA DE THEVENIN: En cualquier circuito de 2 terminales formadospor impedancias (tambiénpuedenencontrarse varias fuentes), en la que la corriente enuna impedancia L





Borrador



conectadaen los terminales de salida ab es igual a la que circularíaen la misma L si éstase encontrara conectada en serie con: a) Una fuente simple igual a la que se mide a circuito abierto en los terminales mencionados. b) Una eq cuya magnitud y argumento es la que presenta el circuito en los terminales de salida con todas las fuentes de tensión cortocircuitadas y con las fuentes de corriente en circuito abierto.



Sea:

  3 ∙     ℎ13 1∙3 2  13

En circuito abierto la tensión mn = ab; entonces:



La eq será:

Por lo tanto, el circuito equivalente thevenin será el que se muestra:

TEOREMA DENORTON: Este teorema establece que en cualquier circuito lineal bilateral con terminales de salida ab, puede sustituirse por una fuente de corriente I en paralelo conuna impedancia eq, la fuente (equivalente Norton), es la corriente en un cortocircuito aplicado a los terminales ab del circuito lineal; la impedancia eq es la impedancia de entrada del circuito, en los terminales ab cuando se hacen CEROS todas las fuentes de tensión.





Sea el circuito de la fig. A, el cual ahora es representado como:





Borrador



Hallando la corriente N, para lo cual se cortocircuita los terminales ab, resultando:

+ ∙ ∙ 1  +  ′′ ……………………………3 ………………………… (1)

……………….. (2)

(2) y (3) en (1):

 1∙3 2  13

3 ∙′′ 23

Hallando eq vista de los terminales ab:

TEOREMA DE SUPERPOSICION: En una red de impedancias alimentadas por dos o más fuentes, la corriente en cualquiera de las impedancias o la tensión sobre cualquiera de las mismas es igual a la sumatoria de las tensiones ocurrentes sobre los terminales de la impedancia, suponiendo que cada fuente actúa independientemente de las demás, y está aplicada a su turno en forma individual, mientras que las otras fuentes se hacen ceros y son reemplazadas en cada caso por sus impedancias internas, por lo que se tiene:

Si las fuentes anteriores actúan todas a la vez, se obtiene lo siguiente:



Borrador

TEOREMA DE RECIPROCIDAD: En todo circuito formado con impedancias lineales y bilaterales, en el que un voltaje aplicado a una rama de red, produce una cierta corriente en cualquier otra rama de la red, el mismo voltaje aplicado a la 2da rama producirá la misma corriente en la 1ra. rama. Cabe resaltar que las corrientes en las otras ramas son modificados, excepto en la ramaen la cual se hace el cambio de la fuente , y por lo que ahora debe circular la corriente .

















Si ahora la red tiene una fuente única de corriente (en lugar de ), el teorema implica que el voltaje que resulta en los terminales mn (Vmn) debido a la fuente en ab, será la misma tensión Vmn en los terminales ab cuando la fuente de corriente I se cambia (se conecta) a los terminales mn.

   

TEOREMA DE COMPENSACION: Deacuerdoaesteteorema, si una impedancia que lleva una corriente , esta sereemplazapor una fuentede voltaje de compensación dado por C = · , permaneciendo todas las corrientes y voltajes en la red sin cambio. La polaridad de C puede coincidir con la del voltaje de fasor a través de .



   

Cuando este teorema se combina con el teorema de superposición para redes lineales bilaterales, se obtiene el siguiente teorema llamado “Teorema de compensación”: “Si la impedancia



de cualquier rama se cambia por δ , el incremento de la corriente I en

esa rama es el que producirá una fuente de voltaje C = δ introducida en la misma rama, con polaridad opuesta a la corriente original (las corrientes en las otras ramas también sufrirán un incremento)”.

Según el teorema de compensación:



Borrador

TEOREMA DE MAXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA: Este teorema determina la impedancia de la carga que permitirá transferir a ésta la máxima potencia, desde algún dispositivo generador (fuente), que tiene un voltaje generado g.



Sea el circuito siguiente:

R = Ri (Resist. Interna del generador) + Resist. de la línea (RL) X = Xi (Reactancia interna del generador) + Reactancia de la línea (XL) Del circuito:

            ∙    ∙  

La potencia en RL está dada por:

Para derivar sólo una vez, hacemos: XL = K.RL

K = const.

Entonces:

∙  +++    0

………………(1)

Para obtener P(RL) máx, se obtiene de:



Borrador De donde se obtiene que: RL = [(R2 + X2)/(1 + K2)]1/2 …………… (2) Ahora (2) en (1):

 ∴   ∙+++   0 ±     á.  4  ·∗ = R + jX

L = RL + jXL

…………. (3)

Hallando el valor K de (3), para el cual P(RL) es máximo, se tiene:

Despejando K:

…………………………. (4)

(4) en (3): Tomando

para que P(RL) sea máximo.

Entonces la transferencia de potencia será máxima si se cumple que: RL = R

XL = -X

=

CASOS PARTICULARES:

a) Carga resistiva (RL) variable:

Entonces para que se de la máxima potencia de transferencia en RL, se debe cumplir que: RL = (R2 + X 2)1/2 b) Carga con reactancia fija y resistencia variable:



Borrador Entonces para que se de la máxima transferencia de potencia en la carga se debe cumplir que: RL = (R2 + (X+XL)2)1/2 c) Carga variable y factor de potencia constante:

 

L = ZL·Cosф + jZL·Ssenф

L = RL + jXL

Por lo tanto para transferir la máxima potencia a dicha carga se debe cumplir que: ZL = (R 2 + X 2)1/2 PROBLEMA 1 Hallar la corriente en la impedancia 2 + j3

SOLUCION El problema se puede atacar de dos maneras: a) Método de las corrientes de mallas: Puesto que el circuito tiene tres mallas, se formarán 3 ecuaciones:

      

Malla 1:

30|30° = 1(5+j5) – 2(j5) …………………………. (1)

Malla 2:

0 = - 1(j5) + 2(2+j3+6+j5) – 3(6) …….………. (2)

Malla 3:

-20|0° = - 2(6) + 3(4+j6) …………………………… (3)

De (1), (2) y (3) se formara la siguiente matriz:



El cual resolviendo para 2 se obtiene:



Borrador



2 = 1.738|40.03°

OBSERVACION: Si se hubiese pedido la corriente I1 o I3, el circuito dado puede transformarse para así poder obtener menos ecuaciones y por consiguiente la matriz también será de menor orden. Si se transforma la rama central (en delta) a un circuito en estrella (Y), y sumando los lados laterales de la estrella a las ramas de las mallas (1) y (2) se obtendrá el siguiente circuito:

Formando ahora dos ecuaciones de mallas:

 

Formando el determinante 2x2, se puede hallar 1 e 2.



En este caso como nos piden la corriente 2, el circuito no puede ser reducido, por consiguiente se formarán tres ecuaciones en el cual actuara una fuente a la vez y luego las respuestas halladas se sumaran.



Actuando la fuente 1 = 30|0 :

NOTA: Las matrices mostradas anteriormente se pueden obtener directamente (ver teoría). Formando las dos ecuaciones de mallas:





30|0 = 1’·(5 + j5) – 2’·j5

  

0 = - 1·j5 + 2’·(j5 + 2 + j3 + 12/5) De donde 2’ será:



Borrador

5  5 30 0    5 0 2  55 5   62.15039893.056 2.4046.44° 5  8 

Actuando la fuente 2 = 20|0°:

Formando las dos ecuaciones de mallas:

     10 20 0  0 2  10 6 60   88.1120 1. 3 61  38. 5 6° 84 3 8. 5 6 6 11.8527.64    ⁄123 ⁄ ⁄ 15 123  1 302000⁄⁄541⁄5 123  ⁄ ⁄ 2 1⁄4 1⁄6 123 65 0.0.2677415556.2231 4.9031.18  1  0.557550.6 0.277456.31  0.28862.72 17.01431.54 0.277456.31 0.615522 0. 5 575 6   0. 2 774 5 2 0.28862.72  4.0.42478852.62.7732 15.449.99°    20|0 = 1·(10) – 2’’· 6

0 = - 1 ’’·6 + 2 ’’·(2 + j3 + 6 + 3.53|45) De donde 2’’ será:

Entonces:

2 = 2’ + 2’’ = 1.733 |40.165°

b) Utilizando el método de voltajes de nodos, tomando referencia el nodo e3, se tiene:

De donde:

Entonces:

2 = ( 1 – 2)/(2 + j3) = 6.261|96.48/3.605|56.304 = 1.736|40.17 v.



Borrador



Por lo tanto hemos comprobado el valor de 2 aplicando los diferentes métodos. PROBLEMA 2

Resolver el problema anterior utilizando las impedancias de transferencia. SOLUCION Del grafico anterior, se tiene que Utilizando superposición:



1 = 30|0.

 12 12  ∆12 ⟹ 21∙ ∆12 ………………..1 5 5  5 0  05 86 8 1016 6∙303010∙8∙5∙225 623.9483.56° ………………………………………2 1205 610505090° …………………..3    1   1 2  2  ∆12 ……………………..4 1 2200°2 2 ………………….5 10 6 0 60 86 8 555693.9483.56°………… 6 12 06 55542.4345° …………………….7    a) Actuando la fuente del lado derecho (con 2=0)

Para las corrientes asignadas en el circuito, se tiene:

(2) y (3) en (1):

2 = 2.40|6.44° (debido a V1)

b) Actuando ahora la fuente del lado izquierdo (con 1=0)

Además:

Debido a que la matriz de impedancias ha sufrido solamente modificación (cambio de lugar) de sus elementos, enton ces se cumple que |Z’| = |Z|.

(5), (6) y (7) en (4):

2 = - 2’ = 1.36 |41.44°

De (a) y (b):

2 = 2.40|6.44° +1.36|41.44° =1.73|40.20°



Borrador Este valor está muy cerca al hallado en el problema an terior, pues estos errores son debidos a los redondeos realizados. PROBLEMA 3



En la red mostrada, hallar la relación 1/ 2:

SOLUCION Aplicando las admitancias de transferencias, se tiene:

 12 ∆12  21 … ……………………1  1,1 ∆11  11 … …………………2 ÷ 12  ∆11 ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ 1 5 12 1 4 1 4 ⟹  1⁄4 1⁄4 110⁄ 15⁄ ∆12 0.60.732548° 0.4030.229.5 74° ⟹ ∆110.40329.74° ∆120.25 ⟹ 12  0.4030.2529.74° 1.61229.74° (1) (2):

Nota: Si en el circuito mostrado a continuación se pediría que se halle la corriente i , entonces las corrientes de mallas pueden escogerse de la forma mostrada en la fig. (ésta se elige de manera que la corriente a hallar éste sola, es decir que no existen más de doscorrientes que circulen por dicha rama. La única condición necesaria es que algún elemento no deja de ser recorrido por algunas de las corrientes escogidas. PROBLEMA 4



Borrador Calcúlese lx en la red de fuente única. Demuéstrese el teorema de reciprocidad mediante el intercambio de posiciones de la fuente e Ix.

SOLUCION Transformando la rama central (∆) a estrella, tenemos:

2 . 5  55∙ 7.55 1.9611.3° 3° 15.3312.54° 10045°∙1.961.911.6311.105   15.7.303712.45°54° 2.16857.54° ⟹  55

Por divisor de tensión:

Por el teorema de reciprocidad:

Procediendo en forma análoga a lo anterior se tiene:

 2.0764.76° 24.06834.06° ′′ 2.15357.5° ⟹  105

De donde debido a los redondeos realizados obtenemos la misma corriente que en el caso anterior. PROBLEMA 5



Borrador Obténgase el fasor de voltaje Vab, demuéstrese el teorema de reciprocidad por la transposición de la fuente de corriente a la rama ab y calcúlese el voltaje a través de la impedancia 3+j4. SOLUCION

 ∙++ 1.94329.055° 3494329.0553.83170.59° 2129 0∙34101. 5 2.6354.64° 2∙522 Por divisor de corriente:

De la fig.:

Entonces:

 

ab = ·(2+j2) = 7.42|99.64°

El teorema de reciprocidad indica que la tensión Vx (para el caso Vab) hallada en un elemento o en una rama será la misma que se halle en bornes donde se encontraba la fuente de corriente I, cuando éste se cambie en paralelo al elemento o a la rama enla cual se determinó Vab. Entonces:

 5∙22 72 1.94329.055°  1290°∙ 1.15.94366279.2.055°4 1.48846.51°  1290°∙ 514

Por divisor de corriente:

 

X = ’·(3 + j4) = 7.44|99.44°

Porlo tanto hemos comprobado el teorema de reciprocidad para fuentes de corriente. PROBLEMA 6



Borrador En la fig. el resistor de 3 Ω se cambia a 4 Ω, como se muestra en la fig. b. Úsese el teorema de compensación y obténgase el cambio en la corriente SIT.

SOLUCION De la fig. a:

 500° 10 34∙5 345 11.1213° ⟹ 4.49613°…………………..1  ∙ 5  500 10 44 445 11.3513.66°       De la fig. b:

→ T = IT = 4.405|-13.66° …………………. (2)

De (1) y (2):

S T = ( T + S T) – T = 4.405|-13.66° - 4.496|-13° = 0.104|-163.85° Según el teorema de compensación, el circuito será:

De la fig. a:

Por divisor de corriente:



Borrador

5 0.106195.7°0.106164.25° ∙ 105

Por lo tanto dentro de los errores del redondeo se obtiene el mismo valor de SIT. PROBLEMA 7 Si en el Laboratorio se tiene elsiguientecircuito.Determinar la frecuencia del generador para que la salida Vo desfase -90° de la tensión de entrada. Calcular además:

             1    0 2   2   3∙∙1  ∙1  2∙  3 | o|/| 1| = K|90° SOLUCION A:

se le conoce como la función de transferencia (ganancia).

Formando dos ecuaciones de mallas:

1 = (R - jXC)· 1 - R· 2 ………………………. (1)

0 = -R· 1 + (2R – jXC)· 2 ……………………. (2)

XC = ((2 πfC) -1 )

Hallando 2:

Además:

Según el enunciado:

a) Puesto que la resistencia es siempre positiva, entonces R = XC.



Borrador

b) Del enunciado se tiene que Imag( anteriormente), se obtiene:

 o/

1) = jK, reemplazando R = XC (obtenido

PROBLEMA 8 En la red Vo desfasa 180° de V1. a) Diseñe la frecuencia para que cumpla con el desfase dado. b) Determine K = | o/ 1|



SOLUCION

Formando las tres ecuaciones de mallas, que se muestran a continuación:



  

1 = (R+Z)· 1 - R· 2 + 0· 3

0 = -R·I1 + (2R+Z)·I2 - R·I3 0 = 0 - R·I2 + (2R+Z)·I3 Hallando I3:

  1    2 0  1∙ 0  0 3      0  ∙  ∙  2   ∙  2  0 2   2 3 +∙+ + á: 3∙3   5 8 55∙1  ±8  10  3   Si:

= R’ ± jX entonces:

Sea:

A

 ∙1 ± ⟹ 1  ∙   ±  180°  Por lo tanto se debe cumplir que: Imag ( o/ 1) = 0 entonces:

B



Borrador

±   0 8  10  3  0 

→ X·[X 2 – (8R 2 + 10RR’ + 3(R’)2)] = 0

Como X no puede ser cero ( no es resistivo), entonces: X = [(8R 2 + 10RR’ + 3(R’) 2)]1/2

Nota: El valor hallado de X dependerá de los valores que tomen las resistencias R y R', paraquecumpla con el desfase dado. a1) De lo anterior si: X = 2 πf L (inductivo), entonces: f = = [(8R 2 + 10RR’ + 3(R’)2)] 1/2 /2πL a2) Si X = (2πfC)-1 (capacitivo)

f = [(8R 2 + 10RR’ + 3(R’) 2)] 1/2 ·2πC]-1

Entonces: b) Además:



Real ( o/ 1) = -K Entonces:

 .+ 



Como el valor de X hallado hace cero la parte imaginaría, entonces B = 0, obteniéndose entonces:

De donde:

  10 3′ ∙      5 8558   3542 15 

K = R/[35·R + 42R 2R’ + 15R(R’)2 – (R’)]

CAPITULO V CORRECCION DELFACTOR DE POTENCIA En la mayoría de industrias, la carga es altamente inductiva; por lo que el factor de potencia del conjunto es bajo, el cual deberá de corregirse a un factor de potencia alto (cercano a la UNIDAD (1)), con la finalidad de reducir la energía consumida por la carga inductiva, esta se consigue instalando un banco de condensadores. En una línea de distribución un factor alto de potencia trae como consecuencia una disminución en la corriente, por lo que la pérdidade potencia disminuye. 



Muchos aparatos conectados a una fuente no sólo requieren, de potencia activa, sino también de potencia reactiva. Muchos transformadores son mantenidos (en funcionamiento), debido a la potencia reactiva.



Borrador 

Las inductancias en serie de las líneas de transmisión implica consumo de energía reactiva. Los reactores, filamentos, lámparas y todo circuito inductivo requiereunaciertapotencia reactiva para trabajar.

La potencia reactiva puede ser generado por compensadores rotatorios o capacitores. COMPENSADORES ROTATORIOS 





Generadores Síncronos.- Esta produce potencia reactiva a un costo relativamente bajo, pero a expensas de que se produzca también una potencia activa. Este se utiliza generalmente para generadores que se encuentran situados en el mismo lugar. Condensadores Síncronos.- Son situados en un cierto punto de los alimentadores para suministrar potencia. Tienen un costo inicial alto y sus pérdidas también lo son, y son utilizados cuando los efectos de regulación son grandes tanto de voltaje y estabilización. Motores Síncronos.- Pueden ser sobreexcitados para producir potencia reactiva.

Si tenemos:

Por ejemplo si se instala un banco de condensadores de potencia Q', se tiene:

MOTOR: Máquina rotativa que transforma la energía eléctrica energía mecánica (la potencia de salida se da en el eje (parte móvil).

 ∙100  ∙100 % 



Borrador α(%) = (Ps/PN) ·100

Donde: Ps = Potencia de salida (trabajo) en el eje del motor (o transf) PN = Potencia Nominal del motor (o transformador). Cuando la máquina (motor o transf.) trabaja a plena carga α =1, siendo la potencia de salida igual a la potencia nominal. Si el motor trabaja a un porcentaje de plena carga ( α), entonces la potencia en el eje estará dado por: Ps = α·P( HP) α = porcentaje de plena carga (de la potencia nominal).

También: Pe = V·I·Cosф

(potencia de entrada)

Ps = n·V·I·Cos ф = n·Pe

(potencia de salida) ó

1 HP = 746 W.

∙ 7 46    ..∅ ∙∙∅ .

1CV = 736 W

Para algún porcentaje α de carga, se tiene:

EJEMPLO

∙746 .  ∙∙∙∅

Un transformador de potencia nominal 25 KVA alimenta a una carga de 12 Kw a un factor de potencia f.p.=0.6 atrasado. ¿Qué porcentaje de la potencia del transformador representa esta carga? ¿Cuántos Kw adicional (de carga), pueden agregarse a éste f.p. de la unidad antes que el transformador exceda los KVA de placa? SOLUCION Datos: P = 12 Kw f.p = 0.6

Cos ф = 0.6 ф = 53° Tgф = Q/P Q = P·Tgф

De la fig. S = P/ Cosф = 12 kw/0.6 = 20 KVA



Borrador α = % p. carga (20/25)·100 = 80%

Si el trafo llegara a consumir por encima de los 25 KVA éste se estaría sobrecargando. b) Como piden que se instale un elemento de tal manera que consuma potencia activa, por lo que el elemento a instalarse será una carga resistiva.

Del enunciado: S' = 25 KVA P = 12kw

S' = 25 KVA

Q = P·tgф = 15.9 KVAR

Del gráfico: (S')2 = (12 + P')2 + Q2 (25)2 = (12 + P')2 + (15.9)2 → P = 7.21 Kw (pot. adicional con lo cual el transformador no llegará a sobrecargarse).

PROBLEMA 1 Un motor 1ф de 15HP, 220v. 60 Hz, f.p = 0.72 y eficiencia 0.93 trabaja al 76% de plena carga.

Determinar la impedancia a conectar en bornes del motor para que la corriente total disminuya 12% y el f.p aumente 15.5%. SOLUCION 1er. Caso f. p = 0.72 p = 10 KW α = 76% (% p.c)

n = 0.93 f.p. en atraso

De los datos:

. 220∙10∙746∙ ∙∅ . 220∙7460∙0.903∙.706.72 .  57.73 .



Borrador ф = Arcos (0.72) = 43.95°

Por lo tanto:



= 57.73 |-43.95°

2do. Caso: f’.p = 115% f.p

→

.  . ∙0.720.8316

I’ = 98% I = 56.575 Amp. ф’ = Arcos0.8316 ф = 33.74°

Por lo tanto:



' = 56. 575|-33.74°

Diagrama fasorial:

PROBLEMA 2 Se necesita 700Kw a 2200 voltios, 60 Hz y factor de potencia 0.8 inductivo en los extremos de una línea 1ф de 12 Km.; siendo los parámetros por conductor de la línea que transporta la energía RL = 0.16 Ω/km y XL = 0.23 Ω/km. Determinar:

a) La tensión y el factor de potencia de la planta de generación de energía. b) El rendimiento del transporte. SOLUCION Sea el sig. Circuito:



Borrador

a) De los datos:

700,0000.8 397.730 .  ∅  2200∙ → I = 397.73|-36.87° con V = 2200|0° → V1 = 2(RL + jXL)·I + 2200 |0°

V1 = 6.72|55.18° · [397.73|-36.87°] + 2200|0° V1 = 2672.74|18.31° + 2200|0° = 4811.26|10° Por lo tanto la tensión de la planta de generaciónes 4811.26 voltios. También: θ =

∢ ∢ 1-

= 10 -(-36.87) = 46.87°

Por lo tanto:

≈

f.p (planta) = cos(46.87) = 0.684 0.68 inductivo b) EI rendimiento del transporte de la energía está dado por:

  ó ∙100 %   P carga = 700 Kw

P generación = V·I·cosθ = 4811.26 · 397.73 · 0.68 = 1301.236 Kw Reemplazando se obtiene: n% = 53.80% PROBLEMA 3 Un motor de 200 HP, cos ф = 0.8, eficiencia 0.9 frecuencia 60 Hz es alimentado por un generador de 2.30 Kv que entrega en los bornes (a-b) 160.2 Kw. Para la condición dada obtenga el fasor "S" en los bornes (a-b), los HP que contenga el motor, así como la tensión de operación del motor y el % de plena carpa.



Borrador

SOLUCION Se tiene que:

   

L = 0.8 + j(2π·60·0.00398) = 1.7|62°



m = Zm |ф

T = L + m = (0.8+Rm) + j(1.5+Xm) ф = Arcos(0.8) = 36.87° Rm = Zm.cosф

Xm = Zm.sen ф

La potencia de 160.2 Kw es consumida por las resistencias de (0.8 + Rm), por lo que:

   160,200 ∙0.8 0.8  2300  36. 8  160,200 0.836.∙80.8 ∙ 1.536.8

Operando se obtiene:

(Zm) 2 – 23.34·Zm – 23.53 = 0 Resultando:

Zm1 = 24.308

Zm2 = -0.968

Como Zm no puede ser nunca negativo, entonces:



Por lo tanto:

m = 24.308|36.87°

   ⟹  25.2300⌊86308.°4 88.9438.4°   ∗      ∙1. . ∙2116∙88.94∙36.8  ∙100  ∙ 1 0093% %  T = L + m = 25.86|38.4°

a) = · = 2300·88.94|38.4° = 204562|38.4° VA

b) 1 = m· = (24.308|36.8°) · (88.94|-38.4°) = 2162|-1.6° V. c)

P(HP) = 185.58 HP = 186 HP d)

PROBLEMA 4

(potencia de trabajo)



Borrador Dos motores 1ф s están conectados en paralelo, a través de una fuente de suministro de 110 v. y 60 Hz. El motor 1 es del tipo de inducción de fase dividida; que toma una corriente retrasada y el motor 2 es el tipo condensador, que toma una corriente adelantada. Utilizando los datos siguientes, determine la potencia total, la corriente combinada de la línea y el factor de potencia resultante de los motores operando en paralelo. MOTOR

SALIDA EN

EFICIENCIA

FACTOR DE

CABALLOS

n(%)

POTENCIA

(Ps)

f.p = cosф

1

1/3

60

0.7 (retrasado)

2

½

75

0.95 (adelantado)

SOLUCION

Se sabe que:

  ⟹   ×746 

ф1 = Arcos(0.7)=+45.57 (atrasado) -Inductivo

ф2 =Arcos(0.95)=-18.19 (adelanto)- Capacitivo

MOTOR 1 Según los datos anteriormente setiene:

11⁄30. ×60746414.4 .

→ Q 1 = P1·tgф1 = 422.82 VAR

MOTOR 2

21⁄20. ×95746497.3 .

→ Q2 = P2 ·tgф2 = -163.46 VAR

También:



Borrador

  ∗   ±∅1         / ..°° = · =

Entonces:

1 = 592.06|45.57° VA

Total =

2 = 523.51|-18.19° VA

1 + 2 = 947.95|15.87° VA

Total = V.IT →

IT = 9.48|-15.87° Por lo tanto:

f.p = cos15.88 = 0.962 = 0.962 retrasado PROBLEMA 5 En la red mostrada: a) Calcular el valor de Z|- θ, para que el motor trabaje a plena carga. b) Si se quiere mejorar el factor de potencia del motor a 0.9. Hallar X.

El valor de Z debe ser lo más grande posible. SOLUCION a)

 ∙∙∙∅ 10.60 .      

→ m = 10.60|- ф = 10.60|-60°

Donde además: (Im = I)

m = 380|0° y ZL = 1|53.13°

→

ZL = m· L = 10.60|-6.87°

Y Z = m·Z|-θ = 10.60·Z|-(60+θ) ……………….. (α) Diagrama Fasorial:



Borrador

Del gráfico: 380·cosα + 10.6·cos(α-6.87) = 380 ……………………….. (1)

380·senα + 10.6·sen(α-6.87) = VZ …………………..….. (2) De (1) despejando α: α = Arcos(1-0.0278947cos(α-6.87))

La ecuación anterior es resuelto aplicando el método de punto fijo (ver apuntes de métodos numéricos), resultando: α = 13.520 ……………………….. (3)

(3) en (2): VZ = 90.065 V. = 10.60·Z → Z = 8.50

Hallando el ángulo θ: α - 6.87 = 6.65

60+ θ = 360 - (90-6.65) - (90-6.87) - 90 →θ = 43.52 Por lo tanto:



= 8.5|43.52°

b) Potencia consumida por el motor:

ф = 60°

 40∙746  29840 0.85 35105.9 

El nuevo ф' será: ф' = Arcos(0.9) = 25.84°

La nueva potencia reactiva será Q" reducida al colocar la capacitancia, por lo que del gráfico se tiene: Q" = P ·Tg(25.84) = 17001.10 VAR



Borrador → Q ' = Q - Q" = 43804.10 VAR =(380)2/XC

Por lo tanto: XC = 3. 296 Ω PROBLEMA 6 El esquema muestra un motor 1 ф de"PHP", eficiencia “n” frecuencia "f", factor de potencia cos ф y tensión "Vo". Trace el diagrama fasorial que muestra la tensión considerando que el f.p. en los bornes a-b es 100%.

SOLUCION:

 i,

oylacaída detensión en la línea,



Sea la tensión del motor: o= V0|0° W =2πf Im = Im|- ф

(ф : f.de potencia en el motor)

Además: P = n·Vo·Im·cosф(en el motor)

746∙  ⟹  ∙   ∙  ∅ ∙  ∙  ∅  90°   90° También:

DIAGRAMA FASORIAL

IX = WC·Vo|90° Según dato: θ =

∢ ∢

Vi - IT = 0

→entonces: cosθ = 1 = 100%

PROBLEMA 7 La fig.muestra la red de alimentación de un motor de inducción, cuyas características son: Potencia "N" H.P f = 60Hz eficiencia 96% y f.p igual a 65.48%.Si Va'b' adelanta 2° a la tensiónde carga determine: a) VC

b) Vi

c) Zab d) potencia del motor.



Borrador



Dato: | a'b'| = 2.3 Kv.

SOLUCION a) Sea



C = VC|0°

→ Va"b" = 2.3|2° KV (según dato)

Puesto que un motor es una carga inductiva R - L, entonces I está atrasado respecto de Vc: I = I|-31.26°

(f.p. = 0.854 → ф = 31.26°)

DIAGRAMA FASORIAL

   −.   

⇒ 101.74  2.3

De donde: I = [101.74/0.604] = 168.44 Amp. También:

        ..−..°° 13.8834.64°11.427.88 0. 9 6∙ 2 236. 0 9∙ 1 68. 4 4∙ 8 548  ∙∙∙∅  746 746 C = a’b’ - ZL = 2300|2° - 101.74|52.09 = 2236.09|0°

b)

i = a’b’ + (0.4j) = 2300|2 + (0.4·168.44)|90°-31.26°

Vi = 2337.63|3.38° c)

V.

d) La potencia del motor será: (n = 0.96)

N(HP) = 414.32 HP = 414 HP



Borrador PROBLEMA 8: La carga mecánica de una planta industrial es de 1500 HP, ésta es impulsada por un conjunto de motores monofásicos de eficiencia promedio 74.6% y f.p. de 60% en atrazo, f=60 Hz y voltaje 2300 V. Con el fin de mejorar el factor de potencia se instala un motor síncrono subexitado de f.p. 0.707. Diga Ud, cuantos KVA debe entregar este motor para que el nuevo factor de potencia sea 90% atrasado. SOLUCION: En un motor síncrono sub-excitado la corriente se encuentra adelantado respecto de la tensión, entonces se tendrá que:

Según el enunciado y de los ángulos hallados de las corrientes se tienen:

∢

I1 =-53.13°

∢

I2 = 45 °

DIAGRAMA FASORIAL

∢

IT = Arcos(0.90) = -25.84°(dato del nuevo f.p en atraso)

Del gráfico:

170.84  227.29 ⟹ 2527.6 . ⟹ 527.645°

Los KVA que absorbe el motor síncrono es:

 

= · 2 = 2300·527.6|-45 = 1’213,480|-45° 1

Porlo tanto el motor síncrono deberá entregar 1213.48 KVA. PROBLEMA 9 Una carga de 750 HP debe ser impulsada por motores 1 фs de inducción, iguales, de eficiencia igual a 90%, 60Hz, 80% en adelanto, 440 V. Obtenga Ud. el elemento necesario para que el factor de potencia sea corregido a 90% en atraso. SOLUCION



Borrador Para corregir el f. p. debemos instalar un condensador en paralelo al motor, como sigue: Ps = 750 HP n = 0.9, f.p = 0.8 (adelanto) → ф = 36.87

f = 60 Hz





Sea = 440|0° → = I|36.87° De (1):

 ×100…………… 1 % 

P = Pentrada = (Psalida/n) = (750·746)/0.9 = 621,666.67 W.

  0.750∙ 7 46 ⟹  746∙∙∙∅ 9∙440∙0.8 1766.10 . Del gráfico de abajo tenemos:

Q = P*Tag( ф) = 466251.74 VAR.

El nuevo f.p. es 0.9en atraso → ф’ = -25.84° Del diagrama fasorial: Tgф’ = Q' /P → Q ' = P·Tgф' = 621666.67·Tg(25.84) = 302401.6VAR → Q "+ Q' = =768653.34VAR

Esta potencia reactiva debe ser absorbida por una reactancia inductiva, cuyo valor deberá ser: Q" = [V 2/X] = X = [v 2/Q"] =(440)2/76853.34) = 0.2518Ω → X = 2πfL= 0.2518 → L = 0. 2518/(2π· 60) = 0.668 mhr

PROBLEMA 10 Setiene un grupo de lámparas que consume 47.6 Kw., además una carga de f.p = 0.66 en atraso consumiendo 64.4 Kw y un motor síncrono de f.p. = 0.71 en adelanto, si el factor de



Borrador potencia del conjunto conectados en paralelo es 0.87 en atraso, hallar los KVA del motor síncrono. SOLUCION Según el enunciado:

Se sabe que:

  ∅∑∑   .∅ ∅0.87 ∅29.54°

Para las lámparas: (f.p. unitario) P1 = 47.6 Kw

Q1 = 0 KVAR f.p. = 1 θ 1 = 0°

Para la carga inductiva: (f.p. en atraso) θ 2 = Arcos(0.66) = 48.7°

P2 = 64.4 Kw. Q2 = P2·tgθ2 = 73.31 KVAR Para el motor síncrono: (f.p. en adelanto) θ 3 = Arcos(0.87) = -44.765°

P3 = X

Q3 = P3*Tg(θ3) = -X*0.992

Reemplazando lo hallado en:

  073. 3 10. 4 42 ∅ ∑∑   47.664.4 24.540.5667 

Despejando X de la ecuación anterior, se obtiene:

P3= X = 6.313 KWy Q3 = -6.263 → T=6.313 - j6.263 =8.893|44.77° KVA

Tambiénlos valores hallados de X y ST se pueden hallar gráficamente, de la siguiente forma:



Borrador Del gráfico:



9 92∙  29.54 73.47.3610. 64.4  :

X = 6.313y T = 8.893|44.77° KVA

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Hallar la variación de la tensión entre a y b al variar C y su diagrama fasorial.

2. Hallar el valor de R y V, si la frecuencia es 60 Hz.

3. Hallar las corrientes y Tensiones (fasorialmente) en el siguiente circuito, si la potencia enla rama R-L es de 400 watts. 4. Hallarelvalormedio y eficaz de: i(t) = 20Senwt + 100 - 30Coswt + 20Sen2wt + 10Sen3wt 5. Hallarelvalor medio y eficaz de: a) i(t)) = 10 – 5Senwt + 3Cos2wt + 2Sen2wt - 3Cos3wt b) V(t) = 100 + 4Sen2wt + 3Cos 2wt + 3Sen4wt c) p(t) = V(t).i(t) 6. Hallar la forma de onda de la corriente y tensión en la resistencia R. Además determinar el valor medio y eficaz.



Borrador

7. En la figura del problema Nº14, hallar la forma de onda de tensión y corriente si los amperímetros; uno de corriente continua y otro de alterna es conectada en serie con la resistencia R, hallar la lectura de los instrumentos. 8. Si en el problema anterior los diodos D1 ,D2 y D son cambiados por tiristores T1, T2 y T3 cuyo ángulo de conducción es 60°, hallar el Irms y I promedio, Vrms yVdc en la resistencia R. 9. Si la figura del problema Nº 10 (cap. I) cuya excitación es exafásico del valor máximo A y desfasados c/u 60°. Hallar la forma de onda de corriente y tensión en la resistencia R. Asimismo los valores eficaces y medio. 10. Hallar el valor medio y rms de:

11. Si la forma de onda de una fase de un motor de inducción trifásico tiene la forma del problema anterior figura d, con la diferencia que el máximo valor es 150 A-V y 150 A-V, además cada 15° aumenta 25 A-V hasta llegar al máximo valor, para luego disminuir en 25 A-V (cada 15°). Hallar el valor rms y la vdc de la f.m.m. 12. Del problema anterior hallar el valor rms y medio si la forma de onda de la f.m.m es de media onda. 13. Hallar la forma de onda, el valor medio y eficaz de:



Borrador

Para a) y b) las entradas se muestran en c), donde V1 = Vi.

Las señales de entrada e1 y e2, son las dadas en elproblema 10 b) y el problema 16 (fig. 16 .1) respectivamente. 14. Determine Ud. el valor medio y rms Vo de las Figs. mostradas en teoría de los recortadores, siendo Vmáx. de Vi igual a 30 v., el valor de V = 15 v. y R= 10 K Ω (también cuando V1=30 y V2=20 v.) 15. Determine los valores medio y rms de Vo en las Figs. Mostradas en teoría (sujetadores), para valores de V=50 v, V1= 10 v, C=0.1 μF, R=100 KΩ. 16. Para la red mostrada, determine los valores medio y rms de la salida Vo, para las entradas que se muestran.



Borrador 17. Para las señales de entrada en el circuito que se muestra, hallar los valores medio y rms de la salida Vo. Suponga que el diodo es ideal.

La señal de entrada es la dada en la fig. 16.2 (problema 16)

18. El producto de dos fasores es real, uno es el triple del otro y su diferencia vale a 2|30°. Determinar los fasores. 19. Se cuenta con una lámpara resistiva de 6 voltios y 20 mA., nominales al cual se le quiere hacer trabajar con una red de 220 v, 60 cps. Diseñe el valor del o los elementos necesarios para que dicha lámpara trabaje con sus datos nominales.



20.Determinar la frecuencia del generador para que la salida Vo desfase -90° a 1 en la fig. del problema Nº 7 (cap. IV) si los valores de R son cambiados por los valores de C. 21. Si en la fig. del problema Nº 7 (cap. IV) se aumenta una rama C-R. Determinar la frecuencia del generador y la función detransferencia si la salida o desfase 90° de la tensión de entrada.





22. Si en el problema Nº8 (cap. IV) representa una inductancia de valor L y se intercambian las posiciones de y R, hallar la frecuencia del generador y la función de transferencia | o|/| 1| = K si la salida o desfasa a la tensión de entrada en:

 

a) -90°, b) -180°.

 

23. En el laboratorio de Circuitos eléctricos II se tiene una resistencia de 10 Ω y una impedancia Z (inductiva). Si los tres voltímetros (ver fig.) indican; V1 = 171, V2 = 100 y V3 = 80v. Determinar: a) Lectura del vatímetro b) Valor de y f.p.





24. Sí la resistencia y la impedancia del problema anteriores conectada en paralelo, midiéndose con 3 Amperímetros IR = 2Am. IZ= 1.5 amp. y I total = 2.9 Amp. Determinar el valorde y la lectura del vatímetro.





Borrador 25. En la figura se muestra una red activa alimentando a un motor de inducción (R-L), R = 5 Ω y L = 22.971mhr. Si se conoce la forma de onda de V(t), w = 377rad/seg, donde es posible variar el ángulo α entre 0° y π/2 (onda completa) de acuerdo a la potencia media que se desee suministrar al motor, se conoce cuando α = 0 la potencia media suministrada es 605 vatios. Se pide: a) Valor máximo de V(t). b) Si w = 314 rad/seg en qué % cambia el valor máximo de V(t)y la potencia media cuando: α = 0, α = π/6. 26. La intensidad de corriente que circula por una resistencia de 2 Ω tiene la forma de onda de la figura con un valor máximo de 5Amp., la potencia media disipada por la resistencia es de 20vatios. Hallar el ángulo desconocido θ.

27. Un reactor (Rx, Lx) opera normalmente cuando la tensión aplicada es 110v., eficaces, el ángulo de desfasaje entre V-I es 60° y su potencia media disipada es 500 vatios. Se dispone de una fuente de 220v. eficaces (w= 337 rad/seg) y se desea que el reactor opere normalmente, enseriando una resistencia R y alimentando al conjunto con la mencionada tensión Hallar: a) Los parámetros del motor. b) Elvalor adecuado de R. 28. En lafig. Z = 1|45°0'yel ángulo de desfase entre los generadores G1 y G2 son: a) 30°, b) 90° y c) 180°. Hallar la tensión que mediría un voltímetro conectado en una de las lámparas incandescentes. La tensión de los generadores es 220 voltios, 60Hz. ¿Cuándo los generadores se conectarán en paralelo? 29. Se tiene dos motores 1фs ig uales conectados en paralelo de 15 HF, 380V. 60 Hz. f.p. = 0.85, n=0.92 y trabaja al 90% de plena car ga. Determinar la impedancia a conectar en bornes del motor para que la corriente total disminuya en 15 % y el f.p aumente en 25%.



Borrador 30. Se tiene una planta de generación 1 ф el cual debe de transportar la energía a una planta industrial cuya tensión nominal de sus equipos es de 440 V. y se dispone de un transformador de 10/0.44 KV, 315 KVA, el cual está trabajando al 80% de su plena carga (considere al transformador ideal), si la línea tiene 5 Km de longitud, siendo los parámetros del conductor RL= 0.16 Ω/KmyXL=0.23 Ω/ Km. Determine: a) La tensión y f.p. de la planta. b) El rendimiento del transporte. c) La caída de tensión desde la planta hasta la Industria. d) Como podría reducir Ud. la caída de tensión. 31. En una casa doméstica se tiene una carga R-C (R=5XC), por el cual circula una corriente de 0.22 Amp., si está conectada a un tomacorriente doble conjuntamente con una plancha eléctrica de 1000 wattscuya corriente por la plancha es de 4.545Amp. Determinar: El valor eficaz de la tensión aplicada y los parámetros R-C.

           ∙       √      √ 

32. Si: = 2 + j4, = 20|30°y = 4 -j3, hallar: a) = + – b)

Rpta. 15.32 + j17 = 14.65|4.48°

= √D

c) = d)

= Ln ( )

e) = Ln(

f) J = Ln({[Ln( + )]+( - )·e j30° }/(

)

33. Un motor monofásico puede ser representado por un circuito R-L, si éste puede operar con 220 V. ± 5% y a valores nominales el motor absorbe 6.0 Amp. desfasados 60° respecto de la tensión en bornes. Hallar el condensador o condensadores que debe conectarse si la tensión de entrada es 110 V. y se disponen de 20 condensadores de 15 μF c/u. Además determinar la potencia media consumida por el motor. 34. Un voltaje de V= 311.13Cos314t es aplicado a una inductancia de 20 mHr. Determinar cuál será el valor de la energía acumulada cuando la corriente cruce de nuevo por cero. Dibuje el diagrama de v(t), i(t) y P(t). 35. Se tiene un generador que genera 220 V. eficaces (onda senoidal) cuya línea tiene R = 0.2 Ω y L = 0.01Hr. (por conductor), si es conectado a una carga capacitiva de RC =10 Ω y C = 100 μF., f = 50 Hz. Hallar: a) La ecuación de v e i. b) La potencia instantánea. c) Potencia activa y reactiva instantánea y su valor medio. 36. Una onda rectangular de valor pico a pico de 20 voltios y periodo 20 ms es aplicado a una inductancia de 30 mh. De Ud: a) La ecuación de i(t) (utilize serie de fourier).



Borrador b) La ecuación de p(t). c) Grafique cada una de las ondas.

   



37. En el circuito mostrado del problema Nº 7 (cap.III) R2 =10000 Ω y 2 = (0.5|120°) 1, si la constante de transmisión es τ = 4.605 - j2.0944. Determinar la resistencia R1. 38. En la figura del problema anterior si R1 = 300 Ω y la tensión en los terminales 11' es 10.V|30° y la carga vista desde estos terminales es 300|0° y 2 = 10. 1. Hallar la constante de transmisión iR2 = 30000 Ω. Además determine 1. 39. Si en el problema anterior R1 = 200 y α = 5.2983, Hallar R2.

40. En la figura del problema anterior que condición debe existir para que se cumpla: |E1| = 10|V2| y τ = 5.4161 + j1.5708. 41. En la fig. del problema Nº 37, si R1 = 30 Ω y la tensión en los terminales 22' (ver teoría) es 100|30° y la carga visto desde estos terminales es 500X|0°, 2 = 0.02 1. Hallar la



constante de transmisión τ.



42. Un motor de jaula de ardilla 1 ф, 380 v. 5HP, 60 Hz. f.p. = 0.85 y eficiencia 0.92, trabaja a plena carga. Determinar la impedancia que debe de conectarse de manera que el motor funcione adecuadamente Vlínea = 220 v), obteniéndose además que la corriente total disminuye en 8.02% y el f. p aumente 8.72%. 43. La fábrica MITCHEL cuenta con 20 motores 1фs de 10 HP c/u 220v iguales de f.p = 0.85, n= 0.90, f=60 Hz que trabajan al 90% de plena carga, si además cuenta con 40 lámparas fluorescentes de 40 W. de f.p = 0.9. Si la Empresa ELECTROSUR S.A no cobra el consumo de la potencia reactiva, cuando este es menor o igual que la tercera parte del consumo total de la Energía. Determinar usted el valor máximo de un banco de condensadores que deberá colocarse de manera que la fábrica no pague por el consumo de la energía reactiva. 44. En una planta Industrial, se tiene 3 cargas conectadas en paralelo, una carga es un grupo de motores 1ф s de potencia aparente S, y f.p. = Cos ф, la otra carga es capacitiva de f.p = cosф y una potencia aparente de 2000 VA, la otra es una carga resis tiva de 100Ω. Si la tensión de alimentación es de 380v.y el consumo total es de T = 3844 -j600. Hallar el valor S y ф. Rpta: S = 1000 y ф = 36.87°



45. Se tiene una línea cuyos parámetros son R1 = 1.20 Ω/km, X = 0.8 Ω/km. Esta línea debe alimentarse a un motor trifásico de 220 v, 5HP, f.p = 0.85, n = 0.92, que debe trabajar a plena carga. Si existe una subestación transformadora cuya tensión nominal es 220 v con una longitud de 0.05 km hasta un tablero de control, y de este tablero al motor existe 0.02 km. Determine usted el condensador máximo y mínimo necesario que debe instalarse en el punto que se encuentra el tablero, si se sabe que el motor puede trabajar dentro del ±1.05 % de la tensión nominal. 46. En el siguiente circuito:



Borrador

Determine: a) El equivalente Norton y Thevenin entre a y b b) Los elementos que debe conectarse en ab para que se transfiera la máxima potencia a dicha carga. 47. En el problema anterior con ab en corto circuito de 10r y compruebe mediante el teorema de reciprocidad con el cambio de la fuente de 110|0°. 49. En el problema anterior si en ab se conecta una reactancia de J5, Halle la corriente por tal reactancia. a) Compruebe el resultado utilizando el teorema de compensación. b) Si en ab se conecta una carga R + J10. Halle R para máxima potencia de transferencia. c) Si en ab se conecta una cargaZ|30° , Halle transferencia a esta carga.



para transmitir la máxima potencia de

49. Analice la siguiente red:

Donde todos los condensadores son de 10 μF ( sug. puente wheaston) ye(t) = 24 Sen 2(wt + 10) Determinar: a) Lectura de: A1, A2, W. b) Onda de i(t) 50. En la figura:



Borrador

Determinar a) Solución completa de i(t). b) Lectura de V. c) Desfasaje del voltaje de la bobina respecto a la función “e”. 51. Analice la siguiente red:

Si e(t) = 12 + 12 sen(wt+15°), se sabe que la "carga no lineal ” absorbe una corriente cuya forma es: i(t) = (2/11)Sen(3wt+30) - (12/7) + (9/37)Cos(wt+10) - (l/3)Cos2wt+ (2/9)Senθ + (3/97)Senwt. Determinar: a) Lectura de A1, W, A2. b) Potencia media del sistema. 52. Conteste con fundamento: a) Como construiría Ud. un miliAmperímetro de escalas (AC); 50 y 100 mA si se tiene un Amperímetro de 3 Amp. b) ¿Cuánto marca V?



Borrador c) En la siguiente red:

d) Que es régimen permanente en DC y AC. 53. En la siguiente red:

a) Solución completa de v(t). b) Lectura de cada uno de los instrumentos A1, A2, V. Sugerencia: Utilice puente Whestone en cadena, la solución transitoria y estado estable y superposición. 54.



Borrador En régimen permanente (instrumentos ideales}, calcular: a) A1, A2, V, W. b) Forma de ondade i (t) 55. En la siguiente red:

i(t) = 2 + (3/π)Sen(wt-15) + (15/6π)Cos(2wt-30) +Sen2θ + (1/98)Sen(4wt). Calcular Lecturas de: W, V, Potencia media delsistema. 56. a)

b) Si le piden hacer mediciones en su antena ¿Qué instrumentos usa?. c) Que son ondas Poliarmonicas. Explique d)Si Ud. usa un motor con bobinas "saturadas ” qu e ocurre con la máquina. 57. Un elemento resistivo de 20 ohmios, una bo bina de 350 mHr, y un condensador de 45 μF , están conectados en serie y excitados por una tensión: V(t) = 180 Sen (377t-37°). Determinar: a) La expresión de la potencia instantánea. b) Graficar las expresiones de tensión, corriente y potencia en función del tiempo. 58. En la figura se muestra dos impedancias en paralelo y la forma de las ondas de tensión y las corrientes 1 y 2.

 



Borrador





Hallar laimpedancia 1, 2 y la corriente total t que suministra la fuente.

59. En el rectificador:

siguiente

circuito

puente

A y B son Amperímetros de hierro móvil, C es un amperímetro de bobina móvil. Hallar las lecturas de los instrumentos, sabiendo que la fuente de entrada suministra la siguiente tensión: V(t) = 10 + 20 √2Sen(wt).R = 10ohmios.

60. Dado el siguiente circuito. Se sabe que la corriente por el condensador es Ic(t) =5 √2Sen(wt+60). Hallar la corriente que lee el amperímetro y la tensión aplicada al circuito. A es un amperímetro de bobina móvil. R = 50 ohmios. C = 16 μ F. L = 1 Hr 61. En el circuito, la corriente media en el diodo durante un ciclo completo es:

á ∫103777 

Donde es = 10 Sen377t, E = 7vR + R s = I Ω. Calcular la carga entregada a la batería en 1 hora.



Borrador 62. En el circuito de la figura Calcular: a) La tensión y la corriente continua en la carga. b) La tensión continua a través del diodo. c) Potencia total que disipa R. d) Escribir las ecuaciones de regular.

63. Si Vi se aplica al circuito mostrado. Calcular y dibujar Vo(t).

64. En el circuito de la figura se conoce: VR = 4 v., ein = 30 voltios pico apico f = 5 kHz. Determinar la amplitud y la forma de onda de salida. Suponer Rd = 1 Ω, Rs = 50 K Ω, Vd = 275 mv. 65. Demostrar que en el Circuito con filtro: VL/Vm = 1 - [( π·IL·Rs) /(√ 2Vm)]2

66. En el circuito mostrado las señales E1 y E2 tienen la forma de onda que se muestran. a) Si Z es una bobina de 1 mH. Calcule las lecturas de los instrumentos. b) Si Z es una red paralela "R-C" de 1 K Ω y 10 μF respectivamente. Evalúe las lecturas de los instrumentos.



Borrador c) Que potencia disipará Z si ésta es una resistencia de 10 Ω.

67. En el siguiente circuito " Tanque ”

Si v(t) = -5 + 2Sen(3wt-10°) + 3Sen(5wt-25°) Calcule: a) Potencia instantánea de todo el "Sistema Tanque ”. b) Lectura de "W" y "V". c) Lectura de A y A1 68. Se observa en pantalla de un O.R.C, la señal del generador:

Si lectura de A2 es de 10 mA. a) Halle el valor de c/u de las bobinas si estas son iguales. b) Lectura de A1 y V. c) Potencia media del sistema.



Borrador 69. Justifique sus respuestas: a) Si en un sistema eléctrico monofásico la potencia es igual P(t) = (1/2)·Vm·Im[Cos θ Cos(2wt+ θ)]. Cuánto valela potencia media. b) Si en el problema se colocan condensadores en lugar de las bobinas. ¿Qué ocurre en la potencia instantánea? c) Si Ud. Sintoniza una señal de F.M (100 MHz) tipo sinusoidal y lo amplifica en un circuito lineal que tiene 50 veces su valor. ¿Qué ocurre con el valor eficaz de la señal original? ¿Qué variación sufre la frecuencia? d) Hallar las lecturas de A1 y A2. e) Si A2 = 2.5 Amp., A3 = 1.5 Amp. Hallar la lectura A1.

70. En la siguiente red: R1 = R2 = 50 Ω; R3 = 100 Ω. C = 127.32 μF . Si el voltaje de alimentación es de 100 voltios frecuencia variable se desea: a) Calcular el valor de la frecuencia para que 1 y 2 estén en fase.

   

b) Idem. que a), pero que adelante 90° a 1.



2

C) Calculo de 2 en ambos casos. 71. En la siguiente red:





Si A1 marca el 90% de | | y A2 marca el 95% de | |. Empleando claro diagrama fasorial. Calcule: a) I1, I2



Borrador b) f.p del sistema c) X1, X2 72. En el siguiente esquema: i = 5 √2 Sen(wt+π/2), R = X/3. Emplee "solo" diagrama fasorial y calcule: a) R, X

 

b) Ángulo entre 2 y 1 73. Conteste: (No palabree. . .) a) Que haría para que su calculadora de 10 k Ω, f.p = cos 15°, 2 pilas secas, trabaje con la red de línea, sin usar transformador. b) Explique el método de las Lámparas para poner en paralelo dos generadores. c)

74. A continuación, se muestra el siguiente circuito: Si todos los instrumentos son ideales, con las siguientes lecturas: V = 380 v, A = 15 Amp., V1 = 150v A1 = 2.5 Amp. Y V2 = 220v. Si el desfasaje entre V y A es de 30° (en atraso), calcular:

 

a) , X y 2 b) Diagrama fasorial. 75. Diseñe un circuito, que trabaje 1KHz, con la siguiente configuración: Si el ángulo de desfasaje entre Vo y Vi es de 90° adelanto. Demuestre que: a) C= 1/2π μF. b) Función de transferencia (1/3)j.

 o/

i =



Borrador 76. En el siguiente circuito: Si V1 es el voltaje de un generador de 20 voltios, con frecuencia variable, (de audio 20 Hz a 10 KHz).Compruebe que: a) Lectura del voltímetro V=10 es decir el rango de voltaje cuando varíe C. b) Para f = 10KHz y C = 20μF, Cual es el desfasaje de V. c) Diagrama fasorial. 77. Conteste con fundamento: a) ¿Por qué un sistema se denomina 1 ф (monofásico)? b) Si unfoco de 115v 40Watt, debe trabajar con 230 voltios, que reactor inductivo se debe instalar para hacer funcionar el foco. X = ……… c) Qué importancia tiene el ángulo de factor de potencia. d) Se puede operar "fasores" con diferente FASES y diferentes FRECUENCIAS. Explique. 78. Analice la siguiente red con, un claro diagrama fasorial:



La potencia total entregada por la fuete es de 1424.64 VA. La potencia absorbida por 1 es 696.2W. y de 675W. por 2. Evaluar: a) E

 

b) 1 y 2 c) f.p. del sistema. 79.





Borrador



Las bobinas son de 2 Hr, los condensadores son de 3.5178 F. El generador 2 es de 110voltios 60 Hz, los demás generadores son de 60 Hz. Evalúe: a) Voltajes de fases de los generadores de G1, G2. b) Lectura de W, Fusible F c) Diagrama fasorial. 80. En el siguiente problema el condensador es de 364.93 VAR, un motor de 2HP, 75 % =n, f.p = 86.6%, 220 v.

a) Calcule X, para que el f.p del generador se igual a 1. b) Potencia del generador para "a". c) Si f.p = 0.92 del generador, calcule X. 81. a) Con el switch abierto, calcule la frecuencia del generador para que Vo desfase 90° de Vi. b) Idéntico a lo anterior con switch cerrado.

82. Grafique variación de la lectura del voltímetro. C= 100 μF

83. Si θ es capacitivo, hallar Zequ. (ab).



Borrador 84. Para el circuito mostrado se desea diseñar los parámetros RC de tal manera que la tensión entre sus bornes de a y b sea iguales a la tensión de entrada (Vo). Se sabe que el f.p de la rama R-L es 0.8.

85. Desde un generador cuya tensión nominal es de 300 voltios, es utilizada para alimentar a un motor de 20HP, 300 V, f.p =0.8 y eficiencia 0.9 a plena carga através de un conductor monofásico de (0.25 + j 0.75) ohms. a) Es posible alimentar al motor desde el generador. Si la respuesta es afirmativa recomiende lo que debe hacerse. b) Si se pudiese regular la tensión del generador cual sería la mínima magnitud de tensión que permitirá la operación óptima del motor. Justifique. 86. A un circuito serie RC, se conecta un reactancia X = 15 Ω en serie. Al conjunto se aplica una señal de 120 V y 60 Hz, el f.p es 36.87 en los bornes de la asociación RCX y 63.6 V en la resistencia R. Se pide evaluar los parámetros R y C. 87. Dos generadores G1 y G2 alimentan a una carga conformada por un condensador y un motor de 40 HP, 2400V, f.p = 0.8 y eficiencia 96%, la misma que opera el 80% de plena carga. La corriente que genera G1 es de 10 Amp. Y retrasa 35° respecto de su tensión; la corriente que genera G2 retrasa 12° respecto a la corriente de G1. Ambos generadores suministran 40 Amp. a la carga. Determine Δ sabiendo que es positivo y menor que la un idad. 88. Un generador monofásico mediante líneas de transmisión alimentan a un motor de inducción M. El generador trabaja a 2.4 KV, debido a la línea de transmisión su magnitud disminuye en un 3%. El motor trabaja a 2,4 Kv, 5H.P, f.p 0.8, eficiencia 86% y a plena carga. Para que el motor funcione bajo las especificaciones mencionadas, es necesario poner un elemento reáctivo (C ó L). Determinar: a) La potencia eléctrica que consume el motor b) El factor de potencia. c) El módulo de C ó L. 89. Un generador A.C de 220V, está alimentando al circuito que se muestra en la figura; cuando el interruptor "S" está abierto, hallar: a) El desfasaje entre la tensión y corriente de entrada:

Rpt. = 28°



Borrador b) La impedancia del circuito: c) El diagrama fasorial de tensiones y corrientes. Se desea mejorar el factor de potencia del circuito a 0.9, para ello se cierra el interruptor S. d) Cuál es la magnitud de C. Rpt. 4.97 μF . 90. Un generador monofásico mediante líneas de transmisión alimenta a dos motores de inducción M1 y M2. El generador trabaja a 2.4Kv, f.p. 0.85 y suministra 90Kw en sus bornes: M1: 60HP, n= 80%, f.p = 0.8, V1 M2: 50HP, n = 74.6%, f.p = 0.6, V2 y trabaja a plena carga. Se cumple que V1 = V2 y V1 esta adelantada respecto a V2, se pide: a) A qué porcentaje de plena carga está trabajando M1. Rpt. 56.5% b) El desfasaje entre V1 y V2. Rpt. 73.8° c) Los KVAR del condensador. Rpt. 63.23 KVAR 91. Un motor de inducción monofásico, consume una corriente de 25.8 Amp en condiciones nominales. Si la eficiencia en condición nominal es 80%, determine: a) La capacitancia de un condensador conectado en paralelo con el motor, para que se mejore el factor de potencia total a 0.98 en atraso. b) La corriente total entregada al circuito, después de instalado el condensador. 92. Para determinar el factor de potencia en atraso de una carga Z se arma el circuito de la figura1, en el que R es una resistencia patrón. Si las lecturas de los amperímetros A1 A2 y A3 son 8.5 y 5 y 4 amperios respectivamente, determine el factor de potencia de la carga. 93. Una impedancia con factor de potencia 0.5 en adelantado, está conectado en paralelo con una carga que toma 10 KW con factor de potencia 0.6427 en atraso determinar para la condición de minina corriente total: a) Los KVA totales entregados al circuito.



Borrador b) El factor de potencia total. Sugerencia. Utilice diagrama fasorial y perpendicularidad. 94.Una red lineal que contiene una o más fuentes senoidales, operando a 2 Krad/seg. tiene dos terminales accesibles, a y b. Cuando una resistencia de 50 ohms, un condensador de 2.5 μF y una bobina de 50 mH se colocan independientemente entre los terminales, la tensión Vab en 25, 100 y 50 voltios respectivamente. Determinar: a) La impedancia con factor de potencia 0.8 en atraso en módulo y ángulo a conectar en los terminales, para que en ella se transfiera la máxima potencia. b) La máxima potencia transferida. 95. En el circuito que se muestra, la fuente genera una tensión de 440 V. El potencial en "a" es 400 V., la corriente I3 esta adelantada 15 grados respecto al potencial en "a". Se pide: a) El diagrama fasorial de tensiones y corrientes. b) La lectura del voltímetro. c) Las magnitudes de X1 y X2 El módulo de la corriente total es de 30 amperios. 96. Un generador esta alimentado a una carga inductiva " ". Si el generador (tiene comportamiento inductivo) tiene un factor de potencia fijo igual a 0.8. ¿El circuito en mención funcionará?



Explique. De ser negativa su respuesta, Cuál debe ser la magnitud y tipo y carga a adicionar. 97. Dado el circuito mostrado en la figura y sabiendo que la corriente de la fuente esta en fase con la tensión de la carga . Hallar "C". Utilice diagrama fasorial.



98. La fuente dé tensión del circuito eléctrico adjunto tiene una magnitud igual a "V", los motores M1 y M2 trabajan con una tensión igual al del generador. Sabiendo que V2 esta atrasada 16° respecto a V1, además: M1: 50Hp, f.p = 0.8, eficiencia 85% y trabaja a 74.76% de plena carga. V1. M2: 80H.P, f.p = 0.8, n = 90% y trabaja a 50% de plena carga. V2 Se pide:



Borrador a) Hacer el diagrama fasorial de tensiones y corrientes. b) Calcular la potencia eléctrica que consume cada motor. c) Hallar los módulos de X1 y X. d) Calcular el factor de potencia del generador. e) Determinar la magnitud de la tensión del generador. ZL = 2 + j3 Ω , Z1 = 1 + j 1 Ω, Z2 = 1 + j2 Ω 99. Dada la siguiente forma de onda. Calcular su valor eficaz y promedio.

100. En el circuito mostrado se tiene dos instrumentos instalados donde A = 0 Amp, A1 = 5Amp. Ambos son de hierro móvil, R1 = 30 Ω R2 = 10 Ω, L = 40 mH. Hallar las magnitudes de Cx y Rx, y la diferencia de potencial entre A y B. R3 = 20 Ω.

101. En la red adjunta se puede apreciar un interruptor "S". Cuando está en"1", I = 10 Amperios eficaces, cuando está en "2" atrasa a o en 40°. Mediante esta prueba se desea obtener la señal de corriente que entrega la fuente cuando S está en "2". L = 20 mH, f = 100 Hz.





Separata de Circuitos Electricos II

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