Separata de Aritmetica Con Ejercicios

ARITMETICA

ACADEMIA PREUNIVERSITARI PREUNIVERSITARIA A

contrario “no conjunto.

1. NOCION DE CONJUNTO CONJUNTO

{c, i, e, s}

B

{2,6,8,9,10}

C

{Losdepartamentos del Perú}

A) INCLUSION: Se dice que B está incluido en el conjunto A, si todos los elementos de B pertenecen al conjunto conjunto A. Esta denotado por (B A) . Se lee: B esta incluido en A B esta contenido en A B es subconjunto de A

Ejemplo:

Un conjunto esta determinado por extensión cuando se observa todos y cada uno de los elementos del conjunto, enumerándolos o indicándolos en forma sobre entendida: Ej.:

B

{1,4,9,16,25,36}

C

{a, e, i, o, u}

Sea:

A

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

B

{3, 4, 5} 1

A

3 6

B

4

5

2

Luego (B Pero (A

B) Por comprensión: Un conjunto esta determinado por comprensión cuando sus elementos se caracterizan mediante una propiedad o característica común. Ej.: De los ejemplos anteriores A

{ x / x

N

x

B

{ x2 / x

C

{ x / x es un a vocal}

N

x

A) B)

Observación: Todo conjunto esta incluido en si mismo. Todo conjunto es subconjunto de si mismo El conjunto vacío esta incluido en todo to do conjunto Sea n(A) el número de elementos del d el conjunto A, entonces: 

4} 6}

OJO:

No todo conjunto de puede expresar por comprensión y extensión a la vez.

En general: Conjunto

dicho

4. RELACION ENTRE CONJUNTOS CONJUNTOS

A) Por extensión:

{1,2,3,4}

a

La relación de pertenencia se da entre un elemento y un conjunto sabiendo que un elemento puede tener forma de conjunto.

2. DETERMINACION DE CONJUNTOS CONJUNTOS

A

( )

OJO:

Un conjunto es la reunión, colección o agrupación de objetos que tienen características similares. A estos objetos se les denomina ELEMENTOS de un conjunto. Para simbolizar conjuntos se emplean las letras mayúsculas A, mayúsculas A, B, C,… y sus elementos separados por coma o punto y coma, y encerrados entre llaves, por ejemplo: A

pertenece”

Número de subconjuntos forma del del

Caracteris ticas

elemento

nº subconjuto s de A

(propiedade s)

Número de subconjuntos propios

3. RELACION DE PERTENENCIA: PERTENENCIA: Un elemento pertenece a un conjunto si forma parte de el. Además se dice que pertenece ( ) a dicho conjunto, en caso

Prof. F. Alberto Quispe Ayala

2 n( A )

nº subconjuto s propios de A

1

2 n( A )

1

ARITMETICA


B) Conjuntos iguales: Dos conjuntos son

conjuntos, simbolizado por la letra U. No existe un conjunto universal absoluto.

iguales (=) si tienen los mismos elementos sin importar el orden.

A

B

A

B

B

D) Conjunto Potencia o conjunto de partes: Conjunto formado por todos los

A

subconjunto que es posible formar con un conjunto dado. Simbolizado por P(A); que es potencia del conjunto A. Ej.: Sea A {a, b, c} entonces los subconjuntos de A son: {a}, {b}, {c}, {a;b}, {a; c}, {b; {b; c}, {a;b; c},

C) Conjuntos diferentes: Dos conjuntos son diferentes si uno de ellos por lo menos tiene un elemento que no posee el otro.

A

B

D) Conjuntos

A

B

B

A OJO:

comparables: comparables:

Dos conjuntos son comparables sólo cuando uno de ellos esta incluido en el otro. A B B A.

El conjunto vació es subconjunto de todo conjunto

Entonces P(A) = { {a}; {b}; {c}; {a; {a; b}; {a; {a; c}; {b; c}; c}; {a; {a; b; c}; c}; }

Luego el número de elementos del conjunto potencia de A es:

E) Conjuntos disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen ningún elemento en común.

n[P(A)] =# subconjunt os de A = 2n(A)

F) Conjuntos equivalentes: Dos conjunto son equivalentes cuando tienen misma cantidad de elementos. A

B

n(A)

7. REPRESENTACIÓN REPRESENTACIÓN GRAFICA DE CONJUNTOS: Los conjuntos se pueden

la

graficar por medio de: A. Diagrama de Venn-Euler Venn-Euler B. Diagrama de Lewis-Carroll C. Diagrama Sagital

n(B)

5. CLASES DE CONJUNTOS: CONJUNTOS:

8. CONJUNTOS DE NÚMEROS: Veamos el

A) Conjunto finito: Es aquel cuya cantidad

siguiente grafico:

de elementos es limitada; es decir se puede contar desde el primero hasta el último.

B) Conjunto Infinito: Cuyo número de

Imaginarios

elementos es ilimitado. Irracionales

6. CONJUNTOS ESPECIALES: ESPECIALES:

Fraccionarios

A) Conjunto Nulo o vacío: Conjunto que no tiene elementos. Este conjunto tiene la particularidad de ser subconjunto de todo conjunto

Negativos Cero (0)

Donde:

B) Conjunto Unitario: También llamado

Conjunto de los números complejos Conjunto de los números reales Conjunto de los números racionales Conjunto de los números enteros Conjunto de los números naturales

Singleton, es aquel que tiene un solo elemento.

C) Conjunto Universal (U): Es aquel conjunto que contiene todos los demás


Positivos

2

ARITMETICA


9. OPERACIONES ENTRE ENTRE CONJUNTOS A) Unión ( AUB ): La unión de dos

{x / x

A

x

(A  B)  (A  C)

A  (B  C)

(A  B)  (A  C)

☟

conjuntos A y B es el conjunto formado por la agrupación de todos los elementos de A con todos los elementos de B.

AUB

A  (B  C)

☟

DE ABSORCION: A  ( A  B)

A

A  ( A  B)

A

☟ ☟

B}

A  ( A' B)

AUB

A  ( A' B)

A B

☟

B

A

☟

C) Diferencia (A-B): La diferencia de dos conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A pero no a B. Simbólicamente se define:

U

Propiedades: AUB

BUA

A

( AUB )

B

( AUB )

AUA

A

AU

A

A B

{x / x

A

x B

A

U

B) Intersección: (A  B) La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a los dos conjuntos a la vez. (Elementos comunes a ambos). Simbólicamente se define:

A B

{x / x

A

A

x

Propiedades: A B B A ( A B) A ( A B)

B}

D) Diferencia

A

Simétrica:

( AΔB ):

La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o B pero no a ambos. Simbólicamente se define:

B

Propiedades:

AΔB

{x / x

(A  B)

x

B A

A B

A

A B

B

( A  B)

B

( A B)  ( A  B)

U

A B

( A  B) A  A

A

B

A U

PROPIEDADES PROPIEDADES COMPLEMENTARIAS COMPLEMENTARIAS :

Propiedades:

DISTRIBUTIVAS: Prof. F. Alberto Quispe Ayala

B}

AΔB

3

BΔA

(A  B)}

ARITMETICA


( A  B)

( AΔB) Si A  B

AΔB

El cardinal de un conjunto es el número de elementos que tiene dicho conjunto: n( ) 0 n( A B) n( A) n(B) n( A B) n( A B C) n( A) n(B) n(C)

☟

A B

AΔA AΔ

A

E) Complemento de un conjunto (A’),( A C ): Conjunto cuyos elementos pertenecen al universo pero no al conjunto A. Simbólicamente se define: AC {x / x U x A}

10.

U

A  A' ( A' )' (

11.

A

)' U

A U

( A  B)'

A' B'

☟ ☟

C)

n(B

C)

n( A

B

PRODUCTO CARTESIANO: Dados

{(a; b) / a

A

b

n(AxB)=n(A).n(B)

1. Dado

A={1;3;5;…;13;15} B={2;4;6…;12;14}

el siguiente conjunto: A={1;2;{2;a};{2;1;b}}. A={1;2;{2;a};{2;1;b}}. Señale cuál de las siguientes proposiciones es verdadera:

C={1;2;5;6;9;10;13;14} Determinar [(B' ΔC)

a) {1;2} A b) {2;a} A c) {2} A d) {{2;1;b}} A e) {a;b} A

a) b) {1;2;3} c) {4;8;12} d) {13;14;15} e) {1;15}

Solución:

a) {1;2} A Falso. b) {2;a} A Falso c) {2} A Falso d) {{2;1;b}} A Verdadero e) {a;b} A Falso

Solución:

2. Dados los conjuntos: U={1;2;3;…;14;15}


C)

PAR ORDENADO: Es un conjunto que

AxB

PROPIEDADES PROPIEDADES COMPLEMENTARIAS: COMPLEMENTARIAS:

A' B'

n( A

dos conjuntos A y B diferentes del vacío, se denomina producto cartesiano de A y B (AxB), en ese orden, al conjunto formado por todos los pares ordenados (a;b) tal que las primeras componentes pertenecen al conjunto A y las segundas componentes al conjunto B. Simbólicamente se define:

(U)'

( A  B)'

B)

tiene dos elementos (no necesariamente diferentes), en la cual interesa el orden de estos, llamados también componentes. Se denota (a;b)

Propiedades: A  A'

n( A

4

A]'

B}

ARITMETICA

ACADEMIA PREUNIVERSITARIA

La suma de todos los valores debe ser 47, entonces sumando tenemos: 2 1 3 12 3 15 9 x 47 45 x 47 x 2

Del gráfico podemos deducir que: [(B' ΔC) A]' {4;8;12}

3. Dados: A={2;2;3;3;4;4} y B={1;2;3;5;6;7} Se dice que A y B son: a) Disjuntos b) Equivalentes c) Comparables d) Iguales e) diferentes

5. Si el conjunto A{a+b; a+2b-3; 12 } es unitario, calcular (a+3b) a) 12 d) 20

b) 16 e) 17

c) 18

Solución:

Como el conjunto es unitario se cumple: Solución:

a b

A={2;3;4} y B={1;2;3;5;6;7} No son disjuntos, porque tienen intersección de elementos. No son equivalentes porque B tiene más elementos que A. No son comparables porque uno no contiene al otro. No son iguales porque no tienen los mismos elementos. Son diferentes ya que hay por lo menos un elemento de A que no pertenece a B

12 .......... ......... (α)

También

a 2b 3 a b b 3 Luego en

α:

a

9

No piden: a 3b 9 3.3 a 3b 18

4. En un salón de clases de 47 alumnos se

6. Se hizo una encuesta a 160 alumnos de la

sabe que 30 les gusta Matemática, a 20 les gusta Lenguaje y a 25 les gusta Ingles. A 14 les gusta Matemática y Lenguaje, a 13 Matemática e Ingles y a 15 les gusta Lenguaje e Ingles. Si a 12 alumnos les gusta los 3 cursos. ¿A cuantos alumnos no les gusta ninguno de los cursos mencionados?

academia CIES sobre la preferencia de 4 cursos: Aritmética, algebra, física y química, obteniéndose los siguientes datos: Ninguno que prefiere física simpatiza con química. 22 sólo con aritmética 20 sólo con álgebra. 20 sólo con física. 20 con aritmética y química, pero no álgebra. 6 sólo con física y álgebra. 4 con aritmética y física. 24 con química y álgebra 28 solo química. ¿Cuántos prefieren sólo aritmética y álgebra, si a todos por lo menos les gusta un curso?

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

Solución:

Reemplazando las letras obtenemos: L=20

M=30 2 3 15 12 x 3 1 9

I=25

a) 1 d) 14

47

b) 12 e) 16

Solución:


5

c) 13

ARITMETICA


Graficamos de la siguiente manera:

Varones

Damas

n a

n b

F 20 A

Al 6

4 X

22

NO BAILAN

20

Según los datos del problema y el grafico:

24

20

BAILAN

28

a 2(2n) a 4n 2 b 2 b .(n 4n) n a 5 5

Q

4 6 22 20 20 24 20 28 x 160 x 16 los conjuntos: A {e, m, p,r , s, a,i, o} , B {s, c, b, m,p} , C{r , m, n, s, p, t, a} ¿Cuántos elementos tiene el conjunto potencia de D?. Sabiendo que: D {(AUB ) C}U( A  B  C) b) 256 e) 512

2n a b 104 2n 4n 2n 104 n 13 Por lo tanto: a b 4n 2n

c) 334

Entonces:

{(AUB ) C}U( A  B  C) {e, i, o, c, b}U{m, p, s} {e, i, o, c, b, m, p, s} 8

n[p(D)]

6.13

28

256

a) 13 d) 43

8. En un momento dado de una fiesta se observo que el número de varones que no bailaban era el doble del número de personas que estaban bailando y además el número de damas que no bailaban es al número de varones como 2 es a 5. Si en total asistieron 104 personas. ¿Cuántas personas no bailaban?

b) 23 e) 53

c) 33

Solución: B

A 3

2 8

2

5 4

7 2

a) 14 d) 24

b) 78 e) 56

78

acerca de la preferencia por las marcas de lapiceros A, B o C, obteniéndose los siguientes resultados. 2 no prefieren ni A ni B ni C. 2 prefieren A, B y C 7 solo prefieren C 5 solo prefieren B 16 prefieren B o C pero no A 10 prefieren A y C 10 prefieren A pero no B 3 prefieren A y B pero no C ¿Cuánto vale x?

AUB {e,i, o, a, r , c,b, m, s,p} ( AUB ) C {e,i, o, c, b} A  B  C {m, p, s}

n(D)

6n

9. Se entrevistó a un grupo de x personas

Solución:

D D D

2n

Pero:

7. Dados

a) 128 d) 424

b

C

c) 38

X X

Solución:

Hacemos el siguiente grafico:

2 3 4 5 2 2 8 7 33

10. Se tienen tres conjuntos A, B y C cuyos números además


U

6

cardinales se

son consecutivos, sabe que:

ARITMETICA


n[P( A)] n[P(B)] n[P(C)] 448 . Hallar el número de elementos que puede tener como máximo el conjunto potencia de AUBUC . a) 2 21 d) 5 21

b) 3 21 e) 6 21

Luego: n[P( A)]

x 1 ; n(C)

2 x , n[P(B)]

x

2

2 x 1 , n[P(C)]

2x

n( AUBUC ) n( AUBUC ) n( AUBUC )

2

R / 2x

C= {x R / x a) B d) AC  B

1

x2 } ,

B=

1} .Determinar ( A b) C(A) c) e) A A

3. Si

{x / x

N

B)

y C

C

A  B

x

2

2

2

90 a b c) 8

n[P( AUBUC )]

2n( AUBUC)

n[P( AUBUC )]

2 21

c) U

7. Si A {x N / x 3 x 4} , hallar número de elementos de P(A) a) 0 b) 2 c) 6 d) 5 e) 1

60} y

el

8. De tres estaciones de radio A; B y C que pueden ser recibidas en una ciudad de 300 familias, se obtuvo la información siguiente:

)] ; si:

A {(a, b) / a b a) 3 b) 4 d) 2 e) 1

n( A) n(B) n(C) 6 7 8 21

(A c  B c  C c ) a) b) {1} d) { 2; 2 } e) N.A.

B {n 1 / n n A} , hallar la suma de los elemento del conjunto B a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 4. Hallar n[P( A 

26 6

6. Dados los conjuntos 2 2 U {x / x 1 0 x 2 0} , A {Naturales que estánen U} , B {Irracionales que estánen U} y C {Enteros que estánen U} . Hallar

1. Si A {a; b; 1; 2; {1}} , hallar el número de elementos de P(A) a) 7 b) 8 c) 32 d) 13 e) 31 A= {x

448 448

Nos piden el máximo número de elementos del potencia de AUBUC , es decir A, B y C deben ser disjuntos, entonces:

Por dato

2. Si

2x 2x 1 2x 2 2 x (1 2 2 2 )

c) 4 21

Por dato

x , n(B)

448

2x x

Solución:

n( A)

n[P( A)] n[P(B)] n[P(C)]

a, b Z}

1800 familias escuchan A.

☟

1700 familias escuchan B.

☟

1200 familias escuchan C.

☟

5. El A {x N / x

igual a: a) {1; 3} d) {1; 3; 6}

1250 familias escuchan A y B.

conjunto x 2 8 4}  {x N / x

x 2 3 3}

☟

700 familias escuchan A y C.

es

☟

600 familias escuchan B y C.

b) {-3; 1; 3} e) {1}


☟

c) {1; 6}

200 familias escuchan A; B y C. ¿Cuál es el número de familias que no escuchan a A pero escuchan B o C? a) 1200 b) 600 c) 650 ☟

7

ARITMETICA


d) 400

e) 550

estos deportes. ¿Cuántos practican natación y cuantos solo natación? a) 32 y 20 b) 12 y 8 c)8 y 4 d) 20 y 8 e) 30 y 12

9. Durante todos los días del mes de Julio, Susana escuchaba música o veía televisión. Si escuchaba música 21 noches y veía televisión 15 noches. ¿Cuántas noches escuchaba música y veía televisión? a) 3 b) 6 c) 4 d) 5 e) 10

11. En una reunión de profesores de ciencias: 47 enseñan matemática, 40 enseñan sólo física y 4 no enseñan ninguno de estos cursos. ¿Cuántos profesores integraban la reunión? a) 83 b) 70 c) 100 d) 91 e) 87

10. De 50 estudiantes encuestados: 20 practican solo fútbol, 12 practican fútbol y natación, y 10 no practican ninguno de

BA SE

SISTEMA

CIFRAS DISPONIBLES

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 20

Binario Ternario Cuaternari o Quinario Senario Eptal Octal Notario Decimal Undecimal Duodecima l Vigesimal.

0,1 0,1,2 0,1,2,3 0,1,2,3,4 0,1,2,3,4,5 0,1,2,3,4,5,6 0,1,2,3,4,5,6,7 0,1,2,3,4,5,6,7,8 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B ,..(19)



formar la unidad colectiva del orden inmediato superior. abcd(n) donde “n” es la base del numeral 

naturales inclusive el cero, que siempre son menores que la base en la cual son empleados o utilizados. abcd(n) a n ; b n ; c n ; d n

2. PRINCIPALES NUMERACION:





1. PRINCIPIOS

4. DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO:

DEL ORDEN: Toda cifra en el numeral tiene un orden, por convención se enumera de derecha a izquierda.

Es expresarlo como la suma de los valores relativos da cada una de las cifras de dicho número. Sea: N abc... xyz (n) ; 

ORDEN 5

3

7

5 1 2 3 4 5



(UNIDADES) (DECENAS) (CENTENAS) (MILLAR) (UNIDAD DE MILLAR)

m cifras

Descomponiendo tiene: N anm 1 bnm 2

DE LA BASE: Es un numeral referencial que nos indica como se agrupan las unidades de un orden cualquiera para


DE

Número cuyas cifras equidistantes de los extremos son iguales Se leen igual por ambos lados. Ej. 44, 343, 67876, etc. En general: aa ; aba ; abba ; anitalaval atina ; etc.

cuyo objetivo consiste en expresar y escribir los números. Es decir que es un conjunto de reglas y principios para representar cualquier cantidad.

1

SISTEMAS

3. NÚMERO CAPICÚA:

NUMERACIÓN es la parte de la aritmética



DE LAS CIFRAS: Las cifras son números

Ej. 3123( 4 ) 8

3x 43

polinómicamente

cnm

3

1x42

..... yn1 2x 4 3

z

se

ARITMETICA


5. DESCOMPOSICIÓN EN BLOQUES:

Se convierte por medio de las divisiones sucesivas

Se llamara “bloque” a un grupo de cifras. Ej. Convertir 329 al sistema quinario: Por divisiones sucesivas:

Ej: Descompongamos abcd(n) en bloques: ab(n) .n2

abcd(n)

329 30

cd(n)

6. PROPIEDADES:

29 25 4

El mayor numeral de “x” cifras de base “n”.



(n 1)...( n 1) (n) nx   

329

1

x cifras



1a 1a

n 

xa

2304(5 )

1a

El primer paso, es convertir de base “n” a base 10

☟

x veces

1m 1n

5 13 5 10 2 3

C) CASO 3: De base “n” a base “m” donde n m 10 .

(n ) 



5 65 65 0

m n ... 

1p

p

a

El segundo paso, es convertir el número obtenido a base “m”.

☟

(a)

7. CONVERSION DE DIFERENTES BASES:

NÚMEROS

A

DESCOMPOSICION POLINÓMICA

BASE n

A) CASO 1: De base “n” a base 10

DIVISIONES SUCESIVAS

BASE 10

DIVISIONES SUCESIVAS

BASE m

DESCOMPOSICION POLINÓMICA

Tenemos dos formas de conversión:

8. REGLAS PRÁCTICAS:

Por descomposición polinómica.

☟

Por método de Ruffini

☟



Ej. Convertir 321( 5) al sistema decimal:

CIFRA < BASE

Por descomposición polinómica: 321(5 ) 3X52 2X5 1

321( 5)

Todas las cifras son menores que la base:



Si un número se expresa en dos sistemas distintos, se cumple que:

86

Por método de Ruffini:

3 5 3

2 15 17

321( 5)

1 85 86

BASE MENOR

A NÚMERO MENOR

BASE MAYOR

9. CONVERSION DE SISTEMAS EN LOS NÚMEROS MENORES QUE LA UNIDAD: A) CASO 1: De base “n” a base 10

86

0, abcd(n)

B) CASO 2: De base 10 a base “n” Prof. F. Alberto Quispe Ayala

A NÚMERO MAYOR

9

an

1

bn

2

cn

3

dn

4

ARITMETICA


Ej: Convertir

0,32( 4) 0,32( 4 ) 0,32( 4 )

0,32( 4)

0,32( 4) a

Ej. Expresar 10011101(2) a base 8

base 10

3x4

1

3

2

Vemos que 8 de 3 cifras

4 3

42 2

Base 2: 10011101 (2 )

2x 4

2



2

4 16 0,875

Dado el número en base n k de cada cifra se obtiene k cifras al convertirse a base n:

0,390625x4 = 1,5625 0,5625x4 = 2,25 0,25x4 = 1,00 0,390625 0,121( 4)

Ej. Convertir: 235(8) a base 2 3 2 5    011 010 101

10.CONVERSIÓN DE DECIMAL A FRACCION EN DIFERENTES SISTEMAS

235(8) 10011101( 2)

Número decimal exacto:

☟

12.TABLA DE NUMERACIÓN

abc (n) 1000(n)

Número decimal periódico puro:

☟

abc (n) (n 1)(n 1)(n 1) (n)

Número decimal periódico mixto:

☟

0, abcdedede ... (n)

5

B) DE BASE nk A BASE n:

Ej. Convertir: 0,390625 a base 4 Se multiplica solo la parte decimal

0, abcabcabc... (n)

3

Base 8: 235( 8)

B) CASO 2: De base 10 a base n

0, abc (n)

23 ; se separa en grupo

abcde (n)

abc (n)

(n 1)(n 1)000(n)

11.CASOS ESPECIALES DE CONVERSIÓN: A) DE BASE n A BASE nk : Dado el número en base “n” se le separa en grupos de k cifras a partir de la derecha


10

ARITMETICA

E S A L C a r 1 E S A L C a d 2 E S A L C a r 3 E S A L C a t 4


º 1

unidad

n º e 2 d r o º 3

centena

º 4

unidad

decena

n º e 5 d r o º 6

centena

º 7

unidad

unidad

decena

n º e 8 d r o º 9

de millar

decena

De millón

centena

º 0 1

unidad

º n e 1 d 1 r o º 2 1

E S A L C a t 5

º 3 1 º n e 4 d 1 r o º 5 1

E S A L C a t 6

º 6 1 n º e 7 d 1 r o º 8 1

E S A L C a m 7

º 9 1 º n e 0 d 2 r o º 1 2

E S A L C a v 8

º 2 2 º n e 3 d r 2 o º 4 2

o d s o e i r n e o P l l i o m d 2

centena unidad decena

De billón

centena unidad De millar de billón

decena

o d s o e i r n e o P l l r i e b 3

centena unidad decena

De trillón

centena unidad De millar de trillón

decena

o d s o e i r n e o P l l i r o t t 4

centena

122 6

1. Calcular

De millar de millon

decena

o d r a o l i i r l e m P e r e D 1

240 5

120 5

Reemplazando los valores obtenidos en la expresión inicial tenemos:

y expresarlo

como un número en base 3. a) 12002 b) 21002 c) 10201 d) 10210 e) 20012

122 6

120 5

15

100

Expresamos a 100 en base 3:

Llevamos ambos números del numerador y el denominador al sistema decimal: 2 122 6 16 2 6 2 50 25

50 70 35

120 5

Solución:

240 5

240 5

2 2

45

0

70

25

0

35


100 9 10 9 1

11

3 33 3 3 11 3 9 3 2 0

3 3 3 3 1 0

ARITMETICA


100

5. Hallar: b a . Si ab a(a b)

10201 3

a) 4 d) 7

2. En

un sistema de base “x” se tiene: 63 - 27 35 La base “x” es igual a: a) 10 b) 2 c) 9 d) 8 e) 5

Por Desc. Polin. ab a(a b) 10a b a(a b) 9a (a b) a(a b) 9a a(a b) (a b) 3.3.a (a b)(a 1) Por identificación de factores: a 1 3 a 4 3a a b b 2a b 8 Nos piden: b a 8 4 4

Se tiene:

27 x

35 x

Por descomposición polinómica:

6x

3

2x

7

3x

c) 6

Solución:

Solución:

63 x

b) 5 e) 10

5

x=9

6. Si: aaaaa(k )

3. Se tiene un número de 2 cifras, si se

a) 4 d) 7

agrega un 2 a la izquierda del número se convierte en un número igual a 5 veces el número original. Hallar la suma de las cifras de dicho número. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 10

242 . Hallar (a+k) b) 5 c) 6 e) 10

Solución:

Se tiene:

aaaaa(k ) a 11111(k )

Solución:

242 242

Por Desc. Polin. a(k 4 k 3 k 2 k 1 1) 2.121 Por identificación de factores: a 2 y k 3 Nos piden: a k 2 3 5

2ab 5ab 200 ab 5ab 200 4ab 50 ab La suma de cifras es: 5+0=5

4. El número a76b es igual a 338 veces la

7. Hallar a+b. Si a4b (8)

suma de sus cifras, entonces a+b vale: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 10

a) 4 d) 7

b) 8 e) 10

ba2 (13) c) 6

Solución: Solución:

a76b 388(a 7 6 b) 1000a 700 60 b 388(a b 13) 1000a 700 60 b 388a 388b 388.13 612a 387b 4284 / 9 68a 43b 476 7 a 7 y b a b 7

6 2 a 6 yb 2 a b 6 2 8

0 0


Descomponiendo polinomicamente: a.82 4.8 b b.13 2 a.13 2 64a 32 b 169b 13a 2 51a 30 168b 17a 10 56b

12

ARITMETICA

8. Si: aa 1a


828 . Hallar a.

b0b



Por Desc. Polin. 101b b 4 2b 3 100b b 4 2b 3 Simplificando 100 b 3 2b 2 100 b(b 2 2b

a 1 a veces

a) 4 d) 7

b) 5 e) 10

c) 9

Solución:

aa

1a

828 

   a veces

Por propiedad:

(n+2), el número 148 (n)

aa 828 Por Desc. Polin. a(10 a 2 ) a 828 (10 a2 )

a(10 a 2

1)

a) 412 d) 732

9. Si b0b 12110(b) . Hallar “b”. b) 5 e) 10

b) 154 e) 104

c) 564

Solución:

9.92

a(a 2 11) 9(9 2 11) Por identificación de factores: a 9

a) 4 d) 7

b 1)

10. Como se expresa en el sistema de base

828

a .a )

b2 b b2

4.5 2 b(b 1) 2 Por identificación de factores: b 4

1a10

aa (10

12110(b)

148(n)

n2

4n 8

148(n)

n2

4n 4

148(n)

1(n 2) 2

148(n)

104(n

4

0(n 2)

4

2)

c) 6

Solución:

1. Convertir

3. Convertir:

a.

3645(7) a

base 8

a.

0,323( 4) a

base 10

b.

1236(8) a

base 5

b.

0,354(6) a

base 10

c.

345(6) a

c.

0,768(9) a

base 10

d.

3211(4) a

d.

0,112(3) a

base 10

e.

1001110(2) a

0,534 a

f.

34243(5) a

e. f. g. h.

base 4 base 7 base 7

base 6

2. Convertir: a.

1001110(2) a

base 16

b.

10430(5) a

c.

2431(6) a

base 36

d.

978(36) a

base 6

e.

6565( 49) a

f.

1001110(2) a

4. Si xp ( y)

base 25

de “x” a) 6 d) 7

base 7

py( x

2)

x+y+p=24, hallar el valor b) 4 e) 8

c) 3

5. Durante una fiesta a la que asistieron xy

base 32


base 3 0,232 a base 5 0,765 a base 7 0,989 a base 2

hombres y yx mujeres, en un momento 13

ARITMETICA


dado el número de hombres que no bailan, es de (2x-y) y el número de mujeres que no bailan es la suma de las cifras del total de las mismas. Hallar el número de asistentes a) 88 b) 154 c) 77 d) 99 e) 165 6. Hallar

e+d,

cba( 6) a) 5 d) 8

ade(8)

7. Si (a

abc(6)

si b) 6 e) 9

4)a(a

a) 4 d) 7

211(8)

a) 1

8. Efectuar 34334(5 )

42144 (5 )

a) 314431 (5 )

b) 224431 (5 )

c) 214431 (5 )

d) 314134 (5 )

y

a) 12 d) 18

c) 32

d) 63

e) N. A.

c) 7 12.

abc(n)

Si

c+n=12

cc (n2 ) ,

y

n 20c nn , calcular la suma de las cifras de cba (n) en base 10 a) 12 b) 11 c) 8 d) 14 e) 15

c) 6

32343( 5)

13. El mayor numeral de 3 cifras en base “n” excede al de la base (n-3) en 513 unidades. Hallar el valor de “n” a) 10 b) 13 c) 9 d) 8 e) 7

e) 214331 (5 ) 9. x(x 1)7 (n)

b) 8

an

11. Un niño nace en 19ab y cumple “b” años en el año 19ba . Hallar su edad en el año 2010 a) 11 b) 16 c) 18 d) 21 e) 36

4) (6) xyyz ( 4) , hallar x+y+z b) 5 e) 9

Hallar a n , n(n 1)n( 8)

10.

(x 1)x8 (9) Si, hallar n+x b) 14 e) 20

c) 16

Al estudiar los números, se observa que determinados valores se modifican según la aplicación que se les da, este proceso origina un valor final que reemplaza a los iniciales. Esto ocurre en un conjunto de números señalado debidamente. Se conoce con el nombre de cuatro operaciones a una parte de la aritmética que comprende el estudio de las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división, en el conjunto de los números naturales y luego por extensión en el conjunto de números enteros. Una operación aritmética será:

directa y uno de los números que intervino en dicha operación, se halla el otro numero.

1. ADICION: Operación

que tiene por finalidad reunir varias cantidades en una sola. S

n sumandos

Donde “S” es la suma total

2. RESTA O SUSTRACCION: Operación inversa a la suma. Minuendo

DIRECTA: O

de composición, cuando señalados dos números cualesquiera, se obtiene un tercer número como único resultado de dicha operación.

M – S = D Sustraendo

PROPIEDADES:

INVERSA: O de descomposición, cuando conocido el resultado de una operación


a1 a2 a3 a 4 ... an       



14

M+S+D=2M

Diferencia

ARITMETICA




abc cba

Si:

mnp , Se cumple que:

PROPIEDADES:

n=9 y m+p=9 3. MULTIPLICACIÓN:

Operación donde dada dos cantidades multiplicando y multiplicador, se halla una tercera llamada producto.



r+R=d



El residuo máximo es una unidad menos que el divisor

r max

A x B = P 

Donde:

A es el multiplicando B es el multiplicador P es el producto

1

El residuo mínimo en cualquier división inexacta es 1

r min

4. DIVISION: En una división se identifican los siguientes elementos: divisor, cociente y residuo

d

1

5. COMPLEMENTO ARITMÉTICO DE UN NÚMERO NATURAL:

dividendo,

Es lo que le falta a este para ser igual a la unidad del orden inmediato superior de su cifra de mayor orden:

D d q r

10m

C.A.(abc... xyz) 

abc... xyz

m cifras

Donde

D: Dividendo d: divisor q: cociente r: residuo

OTRO MÉTODO: Para hallar el complemento aritmético del mayor orden de un número, se restan las cifras de nueves y la última cifra significativa de 10. Si hay ceros al final, estos permanecen en el complemento.

ALGORITMO DE EUCLIDES: A la división también la podemos siguiente forma:

expresar

de

la

D = d x q + r

C.A.(ab... yz )    m cifras

CLASES DE DIVISION: 

DIVISION EXACTA: Cuando el residuo

C.A.(abc(8) )

D=d.q r=0

POR DEFECTO:

b n

☟

a

donde: 0
m

7 7

☟

donde 0

0

(valor de la base 1)

7. SUMAS NOTABLES:

POR EXCESO: D=d. (q+1)-R

mnp(8) ; c

Se cumple: c p 8 (valor de la base)

DIVISION INEXACTA

D=d.q+r

m cifras

6. COMPLEMENTO ARITMÉTICO SISTEMAS DIFERENTES DE 10:

es cero



(9 a)(9 b)...( 9 y)(10 z)         

15

EN

ARITMETICA


Sea: t 1 , t 2 , t 3 ,..., t n   

una

☟

progresión

n ter min os

S

☟

aritmética, entonces la suma será: S

S

☟

t1

t2

t3

...

tn

1 2   3 ...  n 

☟

1 3 5... (2n 1)     

3

3

n(n 1)

3

1 3  ...   n 2  

t n ).n

2

2

n sumandos

8. CONTEO DE CIFRAS:

2 Para calcular la cantidad de cifras usadas en una serie de números del 1 hasta N se usa la formula siguiente:

n(n 1)

n sumandos

S

(t 1

3

2

CF1

n2

(N 1)k 11 ... 11 

N

k cifras

n sumandos

Donde k es la cantidad de cifras que tiene S

☟

2 4 6 ...  2 n   

N

n(n 1)

n sumandos

S

☟

2 2 1 32  ...  n2 2   

n(n 1)(2n 1) 6

n sumandos

1.

Juana acude al mercado llevando a vender cierto número de naranjas. Al primer cliente le vende la sexta parte de lo que tiene y al segundo los 4/5 de los que le queda. Si aún le quedan 20 naranjas. ¿Cuántas tenía inicialmente? a) 100 d) 180

b) 125 e) 120

2.

c) 130

x= 2 y; 7

5 x

también

x

6

6

4 5 ( x) 5 6

1 5 ( x) 5 6

y=x+45, Reemplazando: 2

Según datos:

y= y+45→y=63, 7

1 5 ( x) 5 6

20

c) 81

Gaste=x No gasté=y

Le vende Le queda

Al 2do cliente

b) 72 e) 180

Solución:

Sea x= # de naranjas iniciales

1

de lo que no gasté y aún me 7 queda S/.45 más de lo que gasté. ¿Cuánto tenía? a) 27 d) 108

Solución:

Al 1er cliente

2

Gaste los

x

de donde

120

Tenía:


16

x=18 x+y=63+18=81

ARITMETICA

3.


Hallar un número que excede en 23, en tanto que es excedido por 39. a) 30 d) 29

b) 31 e) 28

x

c) 32

Solución:

y

5x

2y

55

2x

2y

36

5x

2y

55

7x

0 x

x-23=39-x

2x=62

En una granja hay 30 animales, entre gallinas y conejos. Si se contó 74 patas en total. ¿Cuántas más son las gallinas respecto al número de conejos? a) 7 d) 17

b) 13 e) 12

91 13; y

5

x=31 6.

4.

18

En una jaula donde hay conejos y gallinas pueden contarse 132 cabezas y 420 patas. ¿Cuántos animales hay de cada clase? a) 10 y 25 d) 13 y 22

c) 16

b) 54 y 78 c) 98 y 34 e)200 y 32

Solución: Solución:

#Conejos: x #Gallinas: y

#Gallinas:x, con 2 patas #Conejos:y, con 4 patas

x Entonces:

4x

x

y

2x 2x 0

74

2y 4y

2y

60 y

7; x

23

2x

0

7.

Trinidad juega al tiro al blanco, con la condición de que por cada tiro que acierte recibirá 5 soles y pagará 2 soles por cada uno de los que falle. Después de 18 tiros ha recibido 55 soles. ¿Cuántos tiros acertó? b) 12 e) 9

420 156

78; y

54

Con 450 litros de vino se llenan 580 botellas de 5/7 y 5/6 litros de capacidad. ¿Cuántas botellas de 5/7 litros hay? a) 300 d) 140

b) 280 e) 120

c) 288

Solución:

c) 13

Sean: x= # de botellas de 5/7 litros de capacidad

Solución:

y= # de botellas de 5/6 litros de capacidad

Acierta: x, recibe +5 soles. No acierta: y, pierde -2 soles

Del enunciado: x 5 7


264

Hay 78 conejos y 54 gallinas.

x-y=23-7=16

a) 5 d) 7

2y x

420

2y

4x

74 14

132

2y

2x

30

4y

2x

5.

y

17

x

y 5 6

580 y

450

ARITMETICA


Solución:

x y 580 1 1 x y 90 7 6 x 6x

y

Del dato:

Las posibilidades son:

3780

100.1=100  m+n=100+1=101 50.2=100  m+n=50+2=52 25.4=100  m+n=25+4=29 5.20=100  m+n=5+20=25

Sumando ambos miembros: 7y

6x

7y

x 8.

7(580) 3780

280

Entonces: m+n no puede ser 50.

x

10. Hallar la cantidad de paginas que tiene un libro sabiendo que para enumerar sus ultimas 26 paginas se emplearon la misma cantidad de tipos que se empleo en las primeras 25 hojas.

280.

120 personas viajan en un tren cuya tarifa es 86 soles en primera clase y 50 soles en segunda clase. Si se llega a recaudar 8952 soles. ¿Cuántas personas viajaban en primera clase? a) 48 d) 36

b) 60 e) 84

a) 2215 d) 1350

c) 72

b) 1012 e) 1429

c) 1014

Solución:

25 hojas son 50 páginas, entonces por simple inspección se han usado 91 cifras.

Solución:

Sea: x= # de personas que viajan en primera clase

Es decir que en las 26 últimas páginas se han usado 91 cifras. Sea m la cantidad de paginas de a cifras y

y= # de personas que viajan en segunda clase Del enunciado:

9.

m.n=100

580

7y

7x

m.n =10

x y 120

y 120 x.......... ..(1)

86x 50y 8592

43x 25y 4296........( 2)

Sea n la cantidad de paginas de a+1 cifras Entonces

m n

26 y

Reemplazando (1) en (2):

a.m (a 1)n

43x 43x

De este ultimo:

25(120 x) 4296 3000 25x 4296 18x 1296 x 72

am an n a(m n) n

Si m y n son enteros positivos y m.n =10, ¿cuál de los siguientes números no puede ser un valor de m+n?

Pero m n

a) 25 d) 50

26a n

b) 52 e) 29


Entonces:

c) 101

18

91

91

91 91 26

ARITMETICA


Dando valores adecuados:

a

3; n

13

m

Entonces el libro tiene 1012 páginas

13

Luego n=13 es la cantidad de páginas de a+1=4 cifras, como son las últimas. Serían: 1000, 1001, …, 1012 (última página).

1. La diferencia de dos números es 305. Si al mayor le quitamos 20 y al menor le aumentamos 85, la nueva diferencia es: a) 350 b) 200 c) 240 d) 180 e) 879

En el siguiente año bisiesto la edad del padre fue 5 veces la edad de su hijo. Hallar la suma de las cifras de la edad del padre en el año 2006. a) 4 b) 8 c) 9 d) 11 e) 12

2. La suma del minuendo, sustraendo y diferencia de una sustracción es 19456 y el minuendo es el cuádruplo del sustraendo. Hallar el sustraendo. a) 2432 b) 1216 c) 3648 d) 608 e) 398

8. Se arrojan 3 dados: al doble de lo que salió en el primero se le suma 8 puntos y todo se multiplica por 5. Al resultado se le suma lo que salió en el segundo dado y todo se multiplica por 10, y a lo obtenido se le suma lo que salió en el tercer dado obteniéndose al final 856 puntos. Hallar la suma del puntaje obtenido por los tres dados. a) 8 b) 12 c) 14 d) 15 e) 18

3. Hallar el mayor número entero que al dividirlo entre 70 se obtengan un cociente que es la raíz cuadrada del resto. a) 602 b) 632 c) 532 d) 624 e) 1 4. La diferencia de dos números es 832, su cociente es 17 y el residuo es el más grande posible. Hallar la suma de los números. a) 881 b) 993 c) 934 d) 890 e) 930

9. Entre dos personas tienen 284 soles. Si una de ellas diera 76 soles a la otra las dos tendrían igual cantidad de dinero. ¿Cuánto dinero tuvo cada uno inicialmente? a) 60 y 136 b) 60 y 212 c) 66 y 142 d) 66 y 218 e) 208 y 284

5. La suma de dos números es 74 y su cociente es 9, dando un residuo de 4. ¿Cuál es el número menor? a) 9 b) 8 c) 5 d) 7 e) 6

10.Hallar a) 0,60 d) 1,0

6. El cociente de una división entera es 11 y el resto es 39. Hallar el dividendo si es menor que 500. Dar como respuesta el número de soluciones posibles a) 1 b) 4 c) 3 d) 5 e) 2

1 1 1 1     .... 2 6 18 54

b) 0,70 e) 

c) 0,75

11.Una persona concurre a un hipódromo a apostar a la carrera de caballos. En cada carrera que acierta gana S/. 250,00 y si no acierta pierde S/. 150,00. Después de 24 carreras, su capital ha aumentado en S/. 3200,00. ¿Cuántas carreras acertó? a) 7 b) 14 c) 17 d) 18 e) 21

7. En el primer año bisiesto de la década de los 90 la edad de un padre era ac años(a>c) y la de su hijo era “a” años.


S 

19

ARITMETICA


DIVISIBILIDAD: 

A

Parte de la teoría de los números que estudia las condiciones que debe cumplir un número entero para ser dividido exactamente entre otros.

B.k

r

ó

A

B r

Se dice que un número B (módulo) es divisor o divide a A cuando esta contenido un número entero y exacto de veces.

1. Divisor :

4. Principios de la divisibilidad

Se denomina divisor de un número, a cualquier valor que lo divide exactamente mediante una división entera.

















Ejemplo:



Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6,12





.



Divisores de 15: 1, 3, 5,15







k.



( )n



(

2. Divisibilidad de un número: 

Un número entero A es divisible entre otro entero B (módulo), si al dividir A entre B resulta una división exacta (cociente entero y residuo cero).



o

o

a)(

o

b)...(

o

z)

a.b.... z o

 El

cero (0) siempre es múltiplo de todo entero positivo.





Un número entero negativo puede ser múltiplo de un número entero positivo.

Si N

a.b.c

N

a.b.c

a

 N

N

MCM( a; b)

b

3. Multiplicidad de números: Se dice que un número entero es múltiplo de otro entero positivo llamado modulo, si el primero es el resultado de multiplicar el segundo por otro factor entero.

 a r

 N



Si A es múltiplo de B lo representaremos como:

A=KB donde K={…,-2,-1,0,1,2…}

 b r

N

 MCM( a; b)

r

Si a una cantidad “n” se le multiplica por una fracción irreducible y el resultado es un número entero, entonces “n” es el múltiplo del denominador. Sea



A

B (Notación de Leibnitz)

n, m

Si un número entero no es divisible entre cierto modulo (divisor), se puede representar como un múltiplo del modulo más cierto residuo por defecto:


Si a b 20

Z y f

a (fracción irreducible). b o

.n

m

n

b

ARITMETICA




Es divisible por 2 n si sus “n” ultimas cifra son ceros o forman un número que sea divisible por 2 n

Principio de Arquímedes: Dados dos números enteros cuyo producto es divisible por un cierto modulo, si uno de tales números no admite divisores comunes con el modulo, aparte de la unidad, entonces el otro número será divisible por dicho modulo. Ej.: o



Un número es divisible por 5 cuando termina en cifra 5 o cero 

o

Si 5a

7

a

Si 21a

35

o

3a

o

5

a

5 

 Todo

número es múltiplo de la base en la cual esta escrito mas la última cifra abcd(n)

a.n3

abcd(n)

n n n d

o

b.n2

o

c.n

Divisibilidad por 3 o 9: Un número es divisible por 3 o 9 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3 o 9 respectivamente.

d

o

o

o

o

abcd(n)

Divisibilidad por 5 n : Es divisible por 5 n si sus “n” ultimas cifras son ceros o forman un número que sea divisible por 5 n

7

o

Divisibilidad por 5:

Si abcd

3 entonces a b c

Si abcd

9 entonces a b c

d

3

d

9

n d o

o

5. Divisibilidad aplicada al Binomio de Newton o



(a r )k



o

a r k

si

k

Cuando la diferencia entre la suma de sus cifras de orden impar con la suma de las cifras de orden par deberá ser cero o múltiplo de 11.

Z

o

o



(a r )k

a r k o

Divisibilidad por 11:

k es par

o k

a r

Ej.: Si abcdefg

k es impar

o

6. Criterios de divisibilidad:

a b c d e f g

o

a

Divisibilidad por 2: 

Un número es divisible por dos cuando termina en cifra par o cero 

c

e

g (b d f )

11

0

Divisibilidad por 7: Cuando la suma algebraica del producto de sus cifras (de derecha a izquierda) por 1,3,2,-1,-3,-2,1,3,2,-1… respectivamente, deberá ser 0 ó múltiplo de 7.

Divisibilidad por 2n :


11

1 1 1 1 1 1 1

Conjunto de reglas que aplicadas a las cifras de un numeral nos permite anticipar entre que cantidades es divisible dicho numeral. 

11

21

ARITMETICA


o

a b c d e f g h

7

Respectivamente:

1 3 2 3 1 2 3 1     

o

abcdefgh

o

a

3b

(2c

3d

e)

2f

3g

h

99

7 o



a b c d e f g

Divisibilidad por 13

99

1 10 1 10 1 10 1 Cuando la suma algebraica del producto de sus cifras (de derecha a izquierda) por 1,-3-4,-1,3,4,1,… respectivamente, deberá ser múltiplo de 13.



a 10b c 10d e 10f g

99

7. RESTOS POTENCIALES:

o

abcdefgh

13

Son todos los residuos que dejan las potencias sucesivas enteras y positivas de un número N (diferente de cero) al ser divididos entre otro “m” (modulo).

o

a b c d e f g h

13

3 14 3 14 31    

Potencias Resultados en Restos sucesivas función de “m” potenciales

 h



(3g

4 f

e)

3d

4c

b

3a

N0

13

m 1

Divisibilidad por 33 Y 99:

r 1

o

1

Cuando la suma algebraica del producto de sus cifras (de derecha a izquierda) por 1 y 10 respectivamente, deberá ser múltiplo de 33 o 99.

N

m r 1

N2

m r 2

3

m r 3

o

r 2

o

N

r 3

o

m r 4

N4

o

abcdefgh

1

o

r 4

33 o

a b c d e f g

33

1 10 1 10 1 10 1 

a 10b c 10d e 10f g

33

1. N ab , es un número de 2 cifras si “a” es el doble de “b”, entonces “N” es simultáneamente múltiplo de:

N

2b b

2b

10

b

21b

3 7b

ο

N

3 ο

N

a) 11 y 3 b) 3 y 5 c) 2 y 4 d) 3 y 9 e) 3 y 7



2. Si: abba

Solución:

Planteamos que:


7

a) 9 d) 17 22

45 . Calcular: a+2b. b) 7 e) 6

c) 13

ARITMETICA


Cuando no se conoce algún criterio de divisibilidad lo podemos resolver descomponiendo:

Solución: 

abba

abba Criterio del 9:

45





9 y abba

5



6a03 17 Descomponiendo en bloque:



a b b

a



9 

2a

2b

6003 a00

17

(17 2) 100a

17



9 …………( α )



También:



2



a=5 (ya que no puede ser abba 5 cero) Reemplazando en ( α ):



(17 2)a

17 

2a

17 2 

a 17 1 a 1



2(5)+2b= 9

2b=18-10 b=4 Nos piden: a+2b=5+2(4)=13.



5. El número de la forma: 8ab432 Hallar a-b

3. Un cerrajero cuenta las llaves que tiene por decenas, por docenas y de a quince en cada caso le sobran 7 llaves, la cantidad exacta de llaves que tiene es mayor que 500 y menor que 600. ¿Cuántas llaves tenía el cerrajero? a) 599 d) 547

b) 587 e) 531

a) -9 d) 17

99 .

b) -7 c) -6 e) 6

Solución:

c) 573

Aplicando el criterio del 99 

8 a b 4 3 2

99

Solución:

10 1 10 1 10 1

Sea el número de llaves igual a x, entonces según los datos: 

x



10 7 , x



10.8 a 10b Ordenando



12 7 , x

15 7

4 10.3 2



x



10b

MCM(10;12;15) 7

a

80 32

99 



ba 116

x 60 7 Según datos: 500 x 600

99





ba 99 17

99 

ba



500 500

99

60 7 600 540 7 600 x 547

99 17

ba 82 Entonces: b 8 y a 2 a b 2 8 6



4. Se conoce que: 6a03 a) 9 d) 17

17 . Hallar a.

b) 1 e) 6

6. Al convertir 479423 al sistema de base 3. ¿Cuáles son las 2 ultimas cifras?. Dar la suma.

c) 13

a) 3 d) 11

Solución:

Solución:


23

b) 7 e) 2

c) 4

ARITMETICA


479423 ab... xyz (3) Por descomposición en bloques: 479423 ab... x ( 3) .3 2 yz (3)

o

o

3

4 144

48



479423 9

4

2

3

o

5

Se tiene que los múltiplos de 3 o 4 pero no de 5 son: 144+48+96=288



7

24

72

9 yz ( 3)

Aplicando el criterio del 9 4

12

36

96

9 yz ( 3) 

29

9 yz ( 3 )





9 2

9 yz ( 3)

8. Al dividir un número formado por 26 cifras “a” seguida de 26 cifras “4” entre 7, el resto fue 5. Hallar a:

Entonces: 2

yz ( 3)

02(3)

yz (3)

a) 4 d) 1

b) 7 e) 6

Solución:

y 0yz 2 y z 0 2 2

El número es de la forma: 

7. ¿Cuántos de los números de 1 a 720 son múltiplos de 3 o múltiplos de 4 pero no de 5?

aaa ...aaa ... 444     444

b) 742 e) 625

7 5

26 cif

26 cif .



aaa ... aa4444 ... 4   

a) 945 d) 288

c) 13

24 cif .

c) 413

3 cif .

7 5

24 cif

Criterio de divisibilidad del 7 24 cif . cif 24 cif .    3    

Solución: o

o

3

4

a a a a... a a a a 4 4 4 4 4...4 4 4 .

o





# (3)

720

231





240

a 2a 12

3   720 4 : 4,8,12,..., 720 # (4) 180 4   720 5 : 5,10,15,..., 720 # (5) 144 5   720 12 : 12,24,36,..., 720 # (12) 60 12   720 15 : 15,30,45,..., 720 # (15) 48 15   720 20 : 20,40,60,..., 720 # (20) 36 20   720 60 : 60,120,180,..., 720 # (60) 12 60 Ubicando los datos en el grafico:


   

Los grupos de 24 se eliminan, entonces queda:

5

3 : 3,6,9,..., 720

7 5

.

12 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 



4

7 5



16 a 16 a a

7 5 7 5 4

9. El número de la forma aa0bbc al ser dividido entre 4, 9 y 25 deja como residuo 2, 4 y 7 respectivamente. Hallar a: a) 6 d) 7

b) 7 e) 2

Solución: 

aa0bbc 24

4 2

c) 1

ARITMETICA


Criterio del 99



aa0bbc

9 4



4 a 2 3 b 4 5



aa0bbc 25 7 Hacemos las siguientes conversiones: aa0bbc





4 80 2

4 82



aa0bbc Entonces:

1 10 1 10 1 10 1 

4 10a 2 30 b



25 75

7

25 82

40 5

99 

10a b 81 99 

aa0bbc



ab ab a

MCM(4,25) 82 

aa0bbc

100 82

Luego:

99 81 18 1y b 8

Remplazando:

bc 82 Reemplazando:



4123845 7 r Criterio del 7



aa0882 9 4 Criterio de divisibilidad del 9



41 2 3 84 5



a

99

a 0 8 8 2

9 4

7 r



2a

9 4

1 231 2 3 1



a a

 



9 2 2



4 2 6 3 16 12 5 

10.Sabiendo que el número de la forma: 4a23b45 es divisible entre 99. ¿Cuál será el residuo de dividir dicho número entre 7? a) 9 d) 17

b) 5 e) 6

7 r

21 5 

7 r 

7 5 7 r r 5

c) 13

Solución:

1. Hallar un número capicúa de 4 cifras que sea múltiplo de 105

d) 10

e) 30 

a) 7557 d) 5335

b) 5775 e) 5555

c) 3553

2. Hallar le residuo de dividir 2 2n entre 9, para n natural. a) 1 d) 0

b) 2 e) 3

4. Si 2ab53b a) 20 d) 10

15n 1

c) 4

b) 15


b) 81 e) 30

c) 56

5. Hallar “a+b”, sabiendo que el número a1ba es múltiplo de 63. a) 4 d) 10

3. Cual es la suma de las cifras que debe sustituir al 2 y 3 del número 52103, para que sea divisible por 72? a) 12

56 , hallar “a.b”

b) 6

c) 8 e) 7



6. Si abc “a+b+c”

c) 17 25

11, cba





8 , acb

9,

hallar

ARITMETICA


a) 17 d) 20

b) 18 e) 21

c) 19 11. En el sistema de base 7 la cifra de las unidades del número 145725 es:

7. Cuantos múltiplos de 2 y múltiplos de 7 pero no de 15 hay entre 45000 y 120000? a) 5357 d) 5000

b) 3571 e) 3750

a) 2 d) 5

b) 2 e) N.A.

12. Si el número 21019 se escribe en base 7. ¿En que cifra termina? a) 2 d) 6

c) 3

b) 8

b) 4 e) 8

c) 5

13. Cual es el resto de dividir A.B entre 5, si: A=4848…48(200 cifras) y B=8484…84(300 cifras)

9. Si el numeral 5a04 es múltiplo de 7, hallar el valor de a 2 a) 4 d) 16

c) 4

c) 5337

8. Cuantos múltiplos de 13 que terminan en 5, hay entre 800 y 1000? a) 1 d) 4

b) 3 e) 1

a) 6 d) 3

c) 12

b) 5 e) 2

c) 4

e) 18 14. Cuantos múltiplos de 11 existen en la siguiente sucesión: 103, 104, 105, …, 4095



10. Si 1aa1bb máximo a) 8 d) 23

9

a

y

b) 17

b , hallar a+b

a) 360 d) 363

c) 15

b) 361 c) 362 e) 364

e) 91

1. NUMERO PRIMO O PRIMO ABSOLUTO:

Es cuando un conjunto de dos o más números admiten como único divisor común a la unidad. Ej.: 4 y 9, 8 y 15, etc.

Son números que admiten únicamente dos divisores, siendo estos la unidad y el mismo.

NOTAS:

Ej.: 2, 3, 5, 7, etc. 

2. NÚMERO COMPUESTO:



3. LA CANTIDAD DE DIVISORES DE UN NÚMERO COMPUESTO N ES:

mayor

que

3

CD primos

Algunos números primos descubiertos por matemáticos son: Lucas: 2 127 1 que tiene 39 cifras

 Algo

probablemente cierto, pero aun no demostrable: Todo número par, es la suma de los números primos

1

n

Fermat: 22 

4. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI (PESI):

26

1

Formulas del calculo de números primos: n 2 n 41 valida únicamente para n


primo

siempre es de la forma 6 1 : lo contrario no siempre se cumple.

Ej.: 4, 6, 8, 10, 12,…etc.

CD compuestos

número

o

Son números que admiten más de dos divisores.

CD N

Todo

Z y n

40

ARITMETICA




5. REGLA PARA DETERMINAR SI UN NÚMERO ES PRIMO O NO:

SD(N)

Se extrae la raíz cuadrada aproximadamente del numeral dado y aplicando la multiplicidad por cada uno de los números primos menores o iguales a dicha aproximación:





DE

LA

Suma de las inversas de los divisores de un número:

N Ψ(N)

SD(N) N

NÚMERO

O

1 1 1 . 1 . 1 A B C

Se llama MCD de un conjunto de dos o más números enteros positivos, al entero que cumple dos condiciones:  

10.

7. DIVISORES DE UN NUMERO “N”



Cantidad de divisores de un número:

Es un divisor común de todos Es el mayor posible

DETERMINACIÓN DEL MCD Por descomposición Canónica: El MCD es igual al producto de los factores primos comunes elevados a los menores exponentes posibles. Ej.: Sea A 22.32.5 y B 23.3.52 Entonces MCD 22.3.5

Es igual al producto de los exponentes de sus factores primos previamente aumentados en la unidad.

(α 1)(β 1)(λ 1)....


N. 1

Aα .Bβ .Cλ ...

9. MÁXIMO COMÚN DIVISOR

Aα .Bβ .Cλ ...

A, B, C;…; Factores primos α, β, λ , ... ; Exponentes

CD(N)

NCD(N)

que vimos en

Ej.: Descomponer en sus factores primos el número 360. 360 23.32.5



Producto de los divisores de un número:

Es la cantidad de números enteros positivos menores que un número dado y primos con él. Sea el número N descompuesto canónicamente

Sea “N” un número mayor que 1, entonces dicho número lo podemos expresar de la siguiente manera:

Donde:

A

1 Bβ 1 1 Cλ 1 1 . . ..... 1 B 1 C 1

8. INDICADOR DE UN FUNCIÓN DE EULER

OJO:

N

1

SID(N)

“Todo entero positivo mayor que uno, se puede descomponer como el producto de factores primos diferentes entre si, elevados a ciertos exponentes, esta descomposición es única.” Llamada también “DESCOMPOSICION CANONICA”

No confundir con la sistema de numeración.

Aα

PD(N)

Ej.: ¿El número 139 es primo?

6. TEOREMA FUNDAMENTAL ARITMÉTICA:

Suma de divisores de un número

27

ARITMETICA




Por simultáneamente:

descomposición Ej.: Hallar el MCD de 24, 18, 30

13.

El MCD es el producto de los factores comunes extraídos a los números hasta que sean PESI.”Se busca solo los factores comunes”. Ej.: Hallar el MCD de 12 y 18 



PROPIEDADES DEL MCD Y MCM: Si A y B son PESI, entonces:

MCD(A,B)=1

Algoritmo de Euclides o Divisiones sucesivas:



Si A y B son PESI, entonces:

MCM(A,B)=A.B Es un procedimiento que se utiliza para calcular el MCD de solo 2 números. Su desarrollo se fundamenta en la teoría de la división.

q 1 q2 q 3 q4 q 5

A B r 1 r 2 r 3 r 4 r 1 r 2 r 3 r 4 r 5 MCD( A;B)

11.

r 4



MCM( A; B).MCD( A; B)

cocientes



A Kα y B Kβ Donde: α y β son primos entre si (PESI). Entonces:

residuos

r 2

r 3 .q 4

r 4

MCD( A; B)

K

B

r 1 .q 2

r 2

MCM( A; B)

K.α.β

A

B.q1

r 1

MCM( A,B) entonces:

 Sea

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

MCD( A,B) entonces:

 Sea

entonces 

22.32.5 y B

MCM

2 3.3 2.5 2

Por simultáneamente:

MCM(p, q) y MCD (C,D)

q,

MCD(p, q)

un conjunto de enteros positivos se reemplazan dos o más de ellos por su MCD o su MCM; entonces el MCD o el MCM del conjunto de dichos enteros no es alterado. Es decir: MCD( A; B; C)

23.3.52

MCD( A; B; C; D) MCM( A; B; C)

descomposición

MCM( A; B; C; D)

14.

El MCM es el producto de los factores comunes multiplicados con los respectivos PESI.


q,

 Si

El MCM es igual al producto de los factores primos comunes elevados a los mayores exponentes posibles.

A

p

MCD( A, B, C,D)

Por descomposición Canónica:

Sea

p y MCM(C, D)

MCM( A,B, C,D)

DETERMINACIÓN DE MCM

Ej.:

A.B

 Sea

Se llama MCM de un conjunto de dos o más números enteros positivos, al entero que cumple dos condiciones:  Es un múltiplo de todos  Es el menor posible

12.

El producto de dos enteros positivos siempre es igual al producto de su MCM y el MCD. Es decir:



28

MCD(MCD( A; B); MCD(B; C)) MCD[ MCD( A; B); MCD(C; D)] MCM(MCM( A; B); MCM(B; C )) MCM[ MCM( A; B ); MCM(C; D)]

CASOS ESPECIALES: MCD(a;a+b)=MCD(a;b)

ARITMETICA








MCM(An; Bn; Cn)

n.MCM(A; B; C)



MCD(

A B C ; ; ) n n n

MCD( A; B; C)



MCM(

A B C ; ; ) n n n

MCM( A; B; C)



MCD(pk

Si a y b son primos entre si entonces

MCD(a+b; a-b)= 1 ó 2

MCD(a,b)=MCD(a b;m), m=MCM(a,b) Donde MCD(a,b,a+b)=

a.b(a b) d2

MCD(An; Bn; Cn)

b) 7 e) 10

c) 8

3. Hallar x si: N

Luego aplicamos la formula para la cantidad de divisones: CD(24)

(3 1)(1 1)

CD(24)

8

a) 6 d) 9

b) 2 e) 10

c) 8

Entonces: CD(N) 40 40 20 4.5

12 x

Descomponiendo N (2 2.3) x 2 2x .3 x CD(N) (2x 1)(x 1) CD P 2

De ambos

1

3.2.2 x .3 4 x 2 x 1.3 4 x 1

(x (x 2(x (x (x

1 1)(4x 1 1) 2)(4x 2) 2)(2x 1) 2)(2x 1) 2)(2x 1)

x

2

4. Si N 13k 2 13k , tiene compuestos. Hallar “k”

Reemplazando:


c) 2

Identificando factores: x 2 4 y 2x 1 5

Se sabe:

CD C

6.162 x tiene 40 divisores: b) 7 e) 10

N N

Solución:

CD P

2 63 1 66 11.6

Descomponiendo canónicamente: N 3.2.(2.3 4 ) x

2. Si 12 tiene 63 divisores compuestos. Calcule x

CD(N)

1

Solución:

x

N

pMCD (k;h)

1)

Identificando factores: x 1 6 x 5

Descomponiendo canónicamente: 24 2 3.3

Sea

1; ph

(2x 1)(x 1) (2x 1)(x 1) (2x 1)(x 1)

Solución:

a) 6 d) 9

n

n.MCD(A; B; C)

1. ¿Cuántos divisores tiene 24? a) 6 d) 9

n

,

d=MCD(a,b)

Donde 



29

75

divisores

ARITMETICA


a) 4 d) 9

b) 7 e) 10

igual longitud. ¿Cuántos de estos rollos como mínimo se podrán obtener en total?

c) 8

a) 6 d) 9

Solución:

N N N

13k 2 13k 13k .132 13k 13k (132 1)

N N

13k .168 13k .2 3.3.7

CD C

Sea L la longitud de los rollos de tela que se cortan. L es divisor de 2442, 2772, 3300 L es el mayor posible, ya que nos piden la mínima cantidad Entonces: L MCD(2442,2772,3300) L 66

1

Luego:

Reemplazando los datos: 16(k 1) 4 75 1 16(k 1) 80 k 4

# ped.(1º ) # ped.(2º )

5. Cuantos ceros debe tener: N 2000... 00 para que el resultado tenga 56 divisores. a) 6 d) 9

b) 7 e) 10

# ped.(3º )

c) 8

2442 37 66 2772 42 66 3300 66

50

El mínimo número de rollos es

37+42+50=129

Solución:

N

c) 8

Solución:

Entonces: CD(N) (k 1)(3 1)(1 1)(1 1) CD(N) 16(k 1) Se sabe que: CD(N) CD P

b) 7 e) 10

7. El cociente de dos números es igual a su MCD. Si su MCM es igual a 81. El menor de dichos números es:

2000 ... 00    n ceros

N

a) 6 d) 9

2.10n 2.(2.5)n 2n 1.5 n CD(N) (n 1 1)(n 1) 56 (n 2)(n 1) 8.7 (n 2)(n 1)

Planteando se tiene: A MCD( A,B) ………….(1) B MCM( A;B) 81 …………..(2)

6

A y B se pueden expresar como: A d.α y B d.β

6. Se tienen 3 rollos de tela que miden 2442m. 2772m, y 3300m de longitud. Se quiere sacar rollos más pequeños todos de


c) 8

Solución:

Identificando factores: 8 n 2y7 n 1 De ambos n

b) 7 e) 10

Entonces según las propiedades en (1) se tiene:

30

ARITMETICA


dα dβ

d

9. Dos números naturales son entre si como 5 es a 9. Si su MCM es 945. ¿Cuánto vale el menor de dichos números?

dβ …..(3)

α

Por otro lado en (2): MCM( A; B) 81 dαβ 81

a) 6 d) 9

b) 7 e) 10

c) 8

Solución:

Reemplazando en (3) d.d.β.β 81 2

(dβ) dβ B

A B

81 9 9 , el menor.

b) 7 e) 10

El menor es A

612

11 3

α β

a) 6 d) 9

11 3

b) 7 e) 10

Luego: MCM( A, B)

3n.2 2n 3n.2 2n n

Luego A dα 18.11 198 B dβ 18.3 54


21.5

Descomponiendo A y B: A 3n.4 2 3n.2 4 B 3 2.4 n 3 2.2 2n

Reemplazando en ( Δ ) d(1 αβ) 612 d(1 11.3) 612 d 18

198 54

dα

Solución:

Como 11 y 3 son Pesi se deduce que: α 11 y β 3

Nos piden: A B

β

105

10. Dados A 3n.4 2 , B 3 2.4 n .Hallar “n” sabiendo que el MCM de A y B es 1728 y “n” es mayor que 2.

Entonces: d dαβ 612 d(1 αβ) 612 ……….( Δ )

dα dβ

5 9

α

Reemplazando ( Δ ) d.5.9 945 d 21

c) 8

MCD( A,B) MCM( A,B)

5 9

Por otro lado: MCM( A,B) 945 d.α.β 945

Solución:

Por otro lado: A 11 B 3

dα dβ

Como 5 y 9 son Pesi se deduce que: α 5 y β 9 ……….( Δ )

8. La suma del MCD con MCM de dos números es 612. Si la razón de los números es 11/3. Hallar la suma de los números. a) 6 d) 9

5 9

252

31

3n.2 2n 1728 3 3.26 3

c) 8

ARITMETICA


1. Cuantos divisores de 820 son divisibles entre 4 a) 3 d) 6

b) 5 e) 4

7. Si el MCD(A;B)=24 y el MCM(A;B)=130, ¿Cuántos divisores tendrá AxB?

c) 2

a) 32 d) 36

2. Hallar el número de divisores compuestos de 2020 a) 320 d) 840

b) 820 e) 885

c) 858

b) 49 e) 12

a) 10 d) 18

b) 487 e) 465

a) 165 d) 180

a) 300 d) 330

c) 9

b) 18 e) 15

f

a) 0 d) 4

numerador

b

deno min ador


b) 310 e) 341

c) 319

b) 1 e) 2

c) 3

12. Hallar “K”, MCD(210K;300K;420K)=1200

c) 21

a

c) 128

11. ¿Cuántos de los siguientes números son primos absolutos en base 7? 13(7) ; 31(7) ; 61(7) ; 25( 7)

6. El MCM de 2541 y un número “N” es 99099 y se sabe que “N” tiene 24 divisores. Hallar la suma de las cifras de “N”. a) 29 d) 17

b) 150 e) 120

10. Sean A y B dos números que tienen los mismos divisores primos, sabiendo que A tiene 35 divisores y B tiene 39 divisores. ¿Cuántos divisores tendrá el MCD( A 5 ;B5 ) ?

c) 865

b) 8 e) 4

c) 12

c) 36

5. ¿Cuántos ceros se debe poner a la derecha del 9 para que el resultado tenga 239 divisores compuestos? a) 6 d) 5

b) 13 e) 15

9. Si A 4010.2114 , B 605.353 , A 804.142 , calcular el número de divisores de MCD(A;B;C)

4. El número 4m 1.6m 1.72m posee 70 divisores que son múltiplos de 2 pero no de 8. ¿Cuántos de sus divisores son múltiplos de 21? a) 254 d) 216

c) 16

8. Los números M y N tienen 9 y 10 divisores respectivamente. Si ambos tienen los mismos divisores primos ¿Cual es el menor valor que puede tomar el MCD(M;N)?

3. Hallar un número entero N, sabiendo que admite solo 2 divisores primos y que el número de divisores es 6 y la suma de dichos divisores es 28. a) 10 d) 14

b) 40 e) 81

a) 6 d) 90

b) 5

c) 40 e) 30

1. CLASIFICACIÓN: Se puede clasificar: 

32

Po r co m par ación d e sus té rm in os :

si

ARITMETICA


Fracciones propias: Son aquellas

Fracciones

homogéneas:

Fracciones

heterogéneas:

Son aquellas cuyos denominadores son 5 14 4 iguales. Ej. , , , etc 13 13 13

☟

☟

cuyo valor es menor que uno o también aquella en la que el numerador es menor que el a 1 denominador es decir: b 3 2 7 Ej.: , , , etc. 5 7 13

Son aquellas cuyos denominadores son 5 14 4 diferentes. Ej.: , , , etc 10 15 11

☟

Fracciones impropias: Son aquellas

☟

cuyo valor es mayor que uno, o también, aquella en la que el numerador es mayor que el a 1 denominador, es decir: b 4 9 15 Ej.: , , , etc. 3 7 13



Por la relación de los d ivisores de su s té rm in o s

Fracciones

reductibles:

Fracciones

irreductibles:

Son aquellas fracciones donde numerador y denominador se pueden simplificar. 5 1 25 Ej.: , etc 10 2 50

☟

Fracciones iguales a la unidad:

☟

Son aquellas cuyo valor es igual a la unidad, o también en la que el numerador y el denominador son a 1 iguales, es decir: b 4 9 13 Ej.: , , , etc. 4 9 13 

☟

aquellas fracciones donde términos son PESI. 3 14 4 , , , etc 10 13 17

NOTA: Se llama fracción equivalente, cuando una fracción tiene el mismo valor que la otra pero sus términos son diferentes: 5 1 Ej.: 10 2 

Por su denominador:

Fracciones ordinarias o comunes:

☟

Son aquellas cuyo denominador es diferente a una potencia de 10. Es a decir ; si: b 10n , n N b 5 14 4 Ej.: , , , etc 17 3 7

Fracciones

Se llama número mixto, a aquel que tiene parte entera y parte fraccionaria. 3 2 7 , etc. Ej.: 4 , 1 , 3 5 7 13 

Decimales:

Son aquellas cuyo denominador es una a potencia de 10. Es decir: ; b b 10 n , n N 5 14 4 Ej.: , , , etc 10 100 1000

☟



Por la comparación denominadores:


Son los

de

2. MCD Y MCM FRACCIONARIOS: 



los

33

DE

NÚMEROS

El MCD de varias fracciones irreductibles es igual al MCD de los numeradores entre el MCM de los denominadores. El MCM de varias fracciones irreductibles es igual al MCM de los

ARITMETICA




numeradores entre el MCD de los denominadores.

3. NÚMERO

DECIMAL:

Representación lineal de una fracción. Consta de dos partes: parte entera y parte decimal. Ej.: 14,356 14 , 356 

Números

0, abc



Ej: 0,35

4. CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS DECIMALES:



35

7

100

20

abc 1000

Números decimales inexactos:

Número decimal exacto: Cuando tiene Periódico puro: La fracción esta

un número limitado de cifras. Ej.: 0,2; 0,356; etc. 

exactos:

La fracción será igual al número formado por las cifras decimales divididos entre la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales.

parte entera parte decimal



decimales

☟

dada por el número formado por las cifras del periodo divido entre tantos nueves como cifras tenga el periodo. abc 0, abcabc... 999 36 12 4 Ej: 0,363636... 99 33 11

Número decimal inexacto: Cuando tiene un número ilimitado de cifras. Ej.: 0,333…; 0,324444… Los números decimales inexactos pueden ser:

Periódico mixto: La fracción esta

Periódico puro: Cuando el periodo

☟

☟

dada por el número formado por todas las cifras de la parte decimal menos la parte no periódica entre tantos nueves como cifras tenga el periodo seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte no periódica. abc a 0, abcbcbc... 990 Ej: 205 20 185 37 0,205555... 900 900 180

empieza inmediatamente después de la coma decimal.  Ej.: 0,3333... 0,3 0,8787...

Periódico mixto: Cuando el periodo

☟

empieza de una cifra (o grupo) después de la coma decimal. Ej.: 0,3424242… 0,45366666…

5. CONVERSIÓN FRACCIÓN :

DE

DECIMALES

A

m: # mujeres x=total de personas

7 de un curso son varones. ¿Cuál es 12 el número de alumnos del curso, si en él hay 15 mujeres?

1. Los

a) 23 d) 25

b) 36 e) 30

Entonces:

h m

c) 20

7 x 12

Solución:

Sea: h: # hombres


34

x

15

x

15

5 x 12

ARITMETICA

x


36

2 3 1

2.

5

0,5

El valor de la expresión 3

12

a) 0,666… d) 0,25

b) 0,36 e) 0,3

3

0,5

c) 0,6

5

1

1

5

6 9 10

7

9

3

2 7

9

18 7

18 7

12

12

7x18

12 2 3

a) d)

  a 0,6;b 0,6; c 0,06; d la ordenación correcta es:

de lo que no

de lo que no perdí,

1

1

b)

8 2

e)

5

1

c)

4 2

1 3

7

Gasté + No gaste=g+ng=1 Perdí + No Perdí=p+np=ng Regalé +No Regalé=r+nr=np Me queda=nr

Solución:

Del problema se tiene que:

 0,06

 0,6

0,6

d

c

a

b

1

2

4. ¿Qué fracción de sea igual a los

3

3

le falta a

5

b)

3 3

e)

7

9

para que

menos de los

de la tercera parte de 1

5

10 3

1 2 2

3 4

p= np;

r= nr

3

4

Entonces:

g+ng=1

más

?

p+np= c)

1

1

g= ng; 2

d)

2

Solución:

0,6060... ,

a) b
a)

3

1

de lo que no regalé. 4 ¿Qué parte del total aún me queda?

 0,6

3. Si

0, 60

1

gasté y luego perdí enseguida regalé

7 12 7x12

3

5. Del dinero que tenía gasté

Solución:

1

9 1

x

9 es:

7

2

x

2

=

5

9

1 2

3

ng+ng=1

2

1

3

3

np+np=

2

ng=1

2

4

3

3

np=

ng= 2 3

2 3

np

1 2

r+nr=

1

1

2

4

nr+nr=

1

5

2

4

nr=

1 2

nr=

2 5

Solución:

2 x 3

5 9

2 7 1 10 5 4 3 3

2 x 3

5 9

7 9


Me queda:

2 5

del total.

6. Dos tercios de los profesores de un colegio son mujeres, 12 de los profesores

35

ARITMETICA


varones son solteros, mientras que los

Solución:

3

5 de los mismos son casados. ¿Cuál es el número de docentes?

a) 80 d) 70

b) 90 e) 50

1

1

2 1

2 1

c) 60

F

1 1

Varones

3 1

12

5 3

1

x

3 2

Mujeres

3

Total

x

2 2

2

3 4

2

3 1

3

Solteros Casados Total

2

3 1

2

Solución:

3

3

2

2 3

3 1 2

17 F

x

2

4 17

2

3

11

4

4

3

x F

2,75

Del cuadro tenemos que:

12+

3 1 5 3

1

x= x

9. Hallar: E

x=90

3

a) 7,52 d) 8,97

7. Hallar una fracción equivalente 0,222… cuyo numerador está comprendido entre 15 y 35 y su denominador entre 50 y 75. a) d)

16

b)

72 8

e)

27

2

c)

9 10

0,222...

2 9

4

 0,916

9

45

2 x8 9 x8

b) 8,65 e) N. A.

 3,6 16 72

E

3

825

11

900

900

12

6 9

3

2

11

3

3

11

11

12

3

2 1 F

2 1 3 1

1

E

2 1 3 1

E

3 1

11

2

11

2 3 11

2 3

a) d)

2,8 2,75

b) e)

2,25 2,57

c)

2,5

E Prof. F. Alberto Quispe Ayala

36

9.11

33

4.3

4

8,25

2

3 11 2 3

2

E

2

3 2 11

2

c) 8,77

916 91

8. Simplificar: 1

3,666 

Solución:

Solución:

 0,2

0,91666

2

9 4 8 3

ARITMETICA


1

10. Calcular el valor de x 21 2

21 6

21 12

2

21  20

a) 17 d) 18

21

b) 20 e) N.A.

21 6

21 12

6

,

1 1 1 , ....., y (x 1)x 20 x(x 1)

( 21 20

21



20 ....()

x2

x

1

21 (1

c) 24

Solución:

21 2

1

Como una suma de fracciones parciales:

20

x2

x

,

2

1

1

1

1

2

6

12

20

Factorizamos “ 21

1 2

1 6

1 12

x  x

1 20

1



1

x 1

x

2

1

1

2

3

)

(

)

(

1 x

1

1

3

4

1 x

) 1

) 

20

Entonces simplificando: 21 1

1 x

1

20

20

x2

x

(

1

Factorizando “ 21 “ de la ecuación () : 21

)

x

20

“ , luego :



1 x(x 1)

20 ....(1)

Escribamos la ecuación (1) teniendo en cuenta el penúltimo sumando: 21

1

1

1

1

2

6

12

20



1 (x

1)x

1 x(x

1)

20

Escribamos cada uno de las fracciones:

1. Si los radios de una sucesión de círculos son 1, ½, 1/8, cm. La suma de las áreas de tales círculos será: a) 0,75πcm2 b) 4,08πcm2 c) 1,333...πcm2 d) 2πcm2 e) 2,075πcm2

a) 1458 litros c) 1653 litros e) 1576 litros

3. Restar 1/3 de 1/2; 1/4 de 1/3 y 1/5 de 1/4; sumar las diferencias, multiplicar las mismas; dividir la suma por el producto; hallar la tercera parte del cociente y extraer la raíz cuadrada del resultado. Entonces se obtiene una cantidad que con denominador 11 genera una fracción: a) D. exacta b) Entera c) P. Pura d) P mixta e) Impura

2. Se derriten tres pedazos de hielos tales que el volumen del segundo es los 3/7 del volumen del primero y los 6/13 del volumen del tercero. Si la diferencia entre los volúmenes de los dos últimos trozos es de 50 decímetros cúbicos y si el agua se dilata en 1/9 de su volumen al congelarse. ¿Cuántos litros de agua se obtendrá en esta operación?


b) 1528 litros d) 1485 litros

37

ARITMETICA


4. A y B pueden hacer una obra en tres días, B y C en 4 y A con C en 5 días, ¿En cuantos días puede hacerla A trabajando solo? 1 8

a) 8 Días

b) 7

d) 10 días e) 10

5. Resolver: S a) 1 d) 0,4

10

17

16

días

6 7

7,272727... 63,636363...

equivale a la cantidad de fluido que una llave desaloja de un tonel en una hora. Y los 1/140 del MCM(A;B) equivale a la cantidad de fluido, que otra llave llena el tonel en media hora. Si ambas llaves se abren sincrónicamente, pasado 3 horas que parte del tonel es ocupado por fluido a) 1/2 b) 2/3 c) 3/10 d) 4/5 e) 4/11

22222 77777

c) 3/4 e) 0,8

los

 o, ab

números

b

5

y

6

5a 6 . Hallar la cifra del periodo que 18

7. Calcular 1

1

9. Sea A7/9 y B=14/15. Los 3 del MCD(A;B)

resulta al sumarlos. a) 3 b) 6 d) 4 e) 7

S

días c) 6

días

b) 1/2

6. Dados  o, ba

1

1

8. El periodo de una fracción de denominador 11 es de dos cifras que se diferencian en 5 unidades, hallar la suma de los términos de dicha fracción, si es la menor posible. a) 14 b) 17 c) 15 d) 13 e) 12

c) 5

el

valor

1

1

1

1

2

2x3

3x 4

4 x5

a) 1,75 d) 1,87

...

b) 1,99 e) 1,57

10. Hallar la fracción propia irreducible, sabiendo que una fracción equivalente a la suma de las fracciones de numerador la unidad y denominador los términos de la fracción, tiene como producto de términos 1890. Dar como respuesta la suma de sus términos. a) 15 b) 10 c) 17 d) 12 e) 7

de 1

99x100

c) 1,89

1. RAZONES:

antecedente con sec uente

Es la comparación matemática de dos cantidades. Es decir es el resultado de compara dos cantidades por medio de una diferencia o por medio de un cociente.

Raz ón g eo m é tr ic a

2. PROPORCIONES: Es la igualdad de dos razones. Es decir, es la comparación de dos razones iguales ya sean aritméticas o geométricas.

TIPOS: RAZON ARITMETICA:

3. PROPORCION ARITMETICA:

☟

Es la razón por diferencia

a – c =r

Es la igualdad de dos razones aritméticas dadas, sabiendo que:

Antecedente – Consecuente = Razón

a-b=r y c-d=r Entonces la proporción aritmética será:

RAZON GEOMETRICA:

☟

Es la razón por cociente.

a b

a-b=c-d

k


Donde: a y d : extremos b y c : medios 38

ARITMETICA


a y c : antecedentes b y d : consecuentes

Donde: b : media proporcional o geométrica a, c: tercera proporcional

4. TIPOS DE PROPORCIÓN ARITMÉTICA: P.A. CONTINUA:

P.G. DISCRETA:

☟

☟

Los términos medios son iguales.

Cuando todos los diferentes. Es decir:

a-b=b-c Donde: b : Media aritmética o diferencial c : tercera diferencial

Donde:

a

c

b

d

términos

son

d: cuarta proporcional

7. PROPIEDADES DE LA PROPORCIÓN GEOMÉTRICA

P. A. DISCRETA:

☟

Los cuatro términos son diferentes. Si :

a-b=c-d Donde:

a

c

b

d

es una proporción geométrica.

Entonces:

d : cuarta diferencial de a, b y c

a ☟

5. PROPORCION GEOMETRICA:

k y a b

c d

☟

k

☟

a y d: extremos b y c : medios a y c : antecedentes b y d : consecuentes

b

c

d

a

b

c

d

P.G. CONTINUA:

b

c


medios

c d

c

a

c

b

d

a

c

b

d

a

c

a

c

b

d

b

d

8. SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES

☟

b

c

a

☟

PROPORCIÓN

d

b

☟

a

c

a

Donde:

Cuando los términos iguales. Es decir:

b

a

☟

d

d d

a

c

6. TIPOS DE GEOMÉTRICA:

c

b a

Es la igualdad de dos razones geométricas dadas sabiendo que:

a b

b

Es la igualdad de dos o más razones geométricas. Sea:

son

a1 b1 39

k;

a2 b2

k;....;

an bn

k;

ARITMETICA


a1.a2 .a3 ..... an

kn

☟

Entonces:

b1.b2 .b3 ..... bn

a1

a2

a3

a4

b1

b2

b3

b4

an

...

bn

n

k

a1

☟

b

n 1

a2

n

b2

n

a3

n

b3

n

... ...

an

n

bn

n

kn

Donde:

a1, a2 , a3 ,... an : Antecedentes b1, b2 , b3 ,...bn : Consecuentes K= constante de proporcionalidad Se cumple que: a1

a2

a3

...

an

b1

b2

b3

...

bn

☟

k

La regla de tres puede ser: Simple o compuesta.

A

C

B

x

1. REGLA DE TRES SIMPLE: Intervienen tres cantidades conocidas (datos) y una desconocida (incógnita). Puede ser Directa o inversa. 

Ax=BC

x

R3S DIRECTA: Es el desarrollo de magnitudes que son proporcionales.

comparar 2 directamente



Aplicando la definición de magnitud directamente proporcional. A

C

B

x

x

A

R3S INVERSA: Es el resultado de magnitudes que son proporcionales

Método 1:

BC

comparar 2 inversamente

Método 1: Aplicando la definición de inversamente proporcional.

BC

magnitud

A A.B

Método 2: Una vez planteado el problema la multiplicación será en aspa.

C.x

x

AB C

Método 2: Una vez planteado el problema la multiplicación será en sentido paralelo.


40

ARITMETICA


A

C

B

x

El valor de la incógnita esta dado por un quebrado donde el numerador es el producto de los términos que tiene (+) y el denominador es el producto de los términos que tienen (-) Método 2: “De las rayas”

AC=Bx

x

AC B

Las magnitudes se pueden clasificar en 3 partes:

MÉTODO PRÁCTICO:

1º Causa o acción:

Si las cantidades proporcionales van de más a más o de menos a menos, la regla es directa; si van de menos a más o de más a menos, la regla es inversa.

Realizadores de la obra o acción condiciones que tiene para realizarla.

Ej: Obreros, maquinas, animales, habilidad, esfuerzo, rendimiento, etc.

Si es R3SD; se multiplican los datos en aspa y se dividen entre otro dato.

2º Circunstancias:

Si es R3SI; se multiplican los datos del

Condiciones en el tiempo para realizarla.

supuesto y se dividen entre el otro dato del problema

Ej.: días horas diarias, raciones diarias, etc.

2. REGLA DE TRES COMPUESTA:

3º Efecto:

Es cuando al dar una serie de “n” valores correspondientes a “n” magnitudes y una segunda serie de “n-1” valores correspondientes a las magnitudes mencionadas. La finalidad de la regla de 3 compuesta es determinar el valor desconocido de la segunda serie de valores.

La obra en, si lo realizado y los inconvenientes o condiciones que pone el medio para la realización del trabajo. Ej. Las medidas de la obra, dificultades, resistencia del medio, etc. acción

Método 1: “Ley de los signos”

Serie 1 Hombres Animales Maquinas Serie 2 Habilidad

Se colocan los datos de manera que los valores pertenecientes a una misma magnitud estén en una misma columna. Se compara la magnitud donde se encuentra la incógnita con las demás magnitudes con el siguiente resultado

circunstancia

efecto

Días Rapidez características h/d, raciones

Trabajo realizado Medida de la obra dificultades

Finalmente, se igualan los productos de los valores que se encuentran en una misma raya.

Si son directamente proporcionales: arriba (-) y abajo (+)

☟

3. RELACIÓN ENTRE LAS MAGNITUDES MÁS CONOCIDAS:

Si son inversamente proporcionales: arriba (+) y abajo (-)

☟

Nº de obreros

DP

obra

Nº de obreros

IP

eficiencia

Nº de obreros

IP

días

☟ ☟ ☟


y

41

ARITMETICA


Nº de obreros

IP

horas diarias

Velocidad

IP

tiempo

Nº de obreros

DP

dificultad

Nº de dientes

IP

nº de vueltas

Obra

DP

días

Obra

DP

horas por día

☟ ☟ ☟ ☟ ☟ ☟

1.

Repartir 720 proporcionalmente a 2, 3 y 4. Uno de los números es a) 315 d) 335

b) 320 e) 340

1 k 6 1 k 9 1 k 12

c) 330

Solución:

Sea k la constante de proporcionalidad entonces:

2k 3k

3.

4k 720 9k 720 k 80

2.

2.80 160 3.80 240 4.80 320

b) 320 e) 180

b) 89 e) 106

c) 99

Solución:

A B

Repartir 780 inversamente proporcional a los números 6, 9,12. Uno de los números es: a) 115 d) 135

La relación entre dos números es de 11 a 14. Si a uno de ellos se le suma 33 y al otro se le suma 60, entonces ambos resultados serian iguales. Hallar el menor de los números a) 79 d) 126

Entonces las cantidades serán:

2k 3k 4k

1 .2160 360 6 1 .2160 240 9 1 .2160 180 12

11k 14k

La mayor cantidad se le suma al menor que es A, entonces:

c) 330

A 60 B 33 11k 60 14k 33

Solución:

Resolviendo 1 1 1 k k k 780 6 9 12 6k 4k 3k 780 36 k 2160

k El menor es

A

Entonces las cantidades serán:


9

42

11k

11.9

99

ARITMETICA

4.


La suma de 4 términos de una proporción geométrica continua es 405. Hallar la diferencia de sus extremos a) 315 d) 335

b 2 .b 2 b c

c

a.c

405

b2

c2

b

15

a.c

225

25c

9

225 c

3

Por lo tanto

a

5.92

75

Nos piden:

a 2b c

Identificando factores: 6.

5 k

8

Nos piden a

c

ck 2

c

a

c

5.8 2

5

a

c

315

108

b) 14 días d) 13 días

Solución:

Del enunciado: I) Carlos hace el trabajo en 20 días, entonces: en un día hace 1/20 del trabajo II) Por regla de tres:

b) 210 c) 150 e) 165

Luisa: 3/5 trabajo 1 trabajo

Solución:

Sea la P.G.C.:


75 2.15 3

Carlos hace un trabajo en 20 días y Luisa hace los 3/5 del mismo trabajo en 36 días. Si trabajan los dos juntos, ¿en qué tiempo harán todo el trabajo? a) 10 días c) 20 días e) 15 días

En una proporción geométrica continua el producto de sus cuatro términos es 50625. Si uno de los extremos es 25 veces el otro, hallar la suma de sus términos. a) 84 d) 108

15 2

ac

25.c.c

a 2b c 405 ck 2ck c 405 2 c(k 2k 1) 405

5.

50625

Luego:

2

k 1 9

b4

50625

Reemplazando en el dato

c

50625

Otro dato del problema: a

En una P.G.C. se cumple: a ck 2 b ck

c(k 1) 2

b 2 …..(1)

Entonces en (1):

k

Por dato: a 2b c

b

a.c

Reemplazando (1) en el dato:

Solución:

a b

b

Dato: a.b 2 .c

b) 320 c) 330 e) 340

Sea la P.G.C.:

a

Entonces: x=60 dias.

43

36 días x

ARITMETICA


Luego Luisa hace el trabajo en 60 días, entonces: en un día hace 1/60 del trabajo III)

a) 10 d) 15

Carlos y Luisa lo hacen en d días, entonces: en un día harán 1/d del trabajo

b) 12 e) 6

Solución:

obreros Por lo tanto: 1 d d

7.

15

20 60 20x60

x

12

20

60

15dias

x.12 9.

x

10

b) 6

c) 8

e) 16

Solución:

Velocidad

Peso del agua=peso de la botella llena peso de la botella vacía Peso del agua=1200gr-400gr Peso del contenido del agua

Pero en el caso del agua: Volumen en litros = peso en Kg………..(2)

Volumen del cont. de una botella=0,8 litros.

90

n

120

n 2

a) 405 d) 408

Por regla de tres: 0,8 litros 320 litros

b) 406 c) 407 e) 400

Solución:

H/d I.P. Consumo

400 botellas

Una cuadrilla de 8 obreros hace una obra en 15 días. ¿Con cuantos obreros se hará la misma obra en 12 días?


Tiempo

10. Trabajando 10 horas diarias durante 15 días, 5 hornos consumen 50 toneladas de carbón. ¿Cuántas toneladas serán necesarias para mantener trabajando 9 horas diaria durante 85 días, 3 hornos mas?

De (1) y (2):

1x320 0,8

I.P.

90.n 120(n 2) n 8

800gr=0,8Kg………….(1)

8.

8.15

Un móvil a una velocidad de 90km/h, emplea “n” horas para recorrer un trayecto, pero si aumenta su velocidad a 120km/h, empleara dos horas menos. Hallar “n” a) 10 d) 7

c) 450

Solución:

x

dias

8

b) 350 e) 300

1 botella x botellas

I.P.

1

1

Una botella vacía pesa 400 gramos y llena de agua pesa 1200 gramos. ¿Cuántas botellas semejantes serán necesarias para vaciar en ellas el contenido de un barril de 320 litros? a) 250 d) 400

c) 8

I.P hornos D.P.

10

15

5

50

9

85

8

x

10.15.5.x 44

días

9.85.8.50

ARITMETICA


x

408

1. Dos cantidades son proporcionales a 1,41 y

añadir para que la obra se termine en 8 días? a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 12

1,73 respectivamente. Hallar la cantidad mayor, si su suma es 6,28. a) 3,38 b) 3,40 c) 3,42 d) 3,44 e) 3,46

8. Un jardinero siembra un terreno de 8

2. La relación entre dos números es de 11 a

metros de lado en 5 días. ¿Cuánto tiempo se demorara en sembrar otro terreno cuadrado de 16 metros de lado? a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 11

14. Si a uno de ellos se le suma 33 y al otro se le suma 60, entonces ambos resultados serian iguales. Hallar el menor de los números a) 79 b) 89 c) 99 d) 126 e) 106

9. Un ganadero tiene 640 corderos que puede alimentar durante 65 días. ¿Cuántos corderos debe vender, si quiere alimentar su rebaño por 15 días mas dando la misma ración? a) 200 b) 180 c) 150 d) 130 e) 120

3. En una proporción geométrica de razón 7/8, la suma de los términos es 585 y la diferencia de los consecuentes es 56. Hallar el mayor de los antecedentes. a) 151 b) 161 c) 171 d) 131 e) 121

10.

Veinte obreros trabajan en una obra 5 horas al día y deben terminarla en 15 días. Al cabo de 10 días, han hecho solo la mitad y para cumplir con el plazo fijado se contratan 5 obreros más y todo el personal camia el número de horas de trabajo diarias. ¿Cuál es el nuevo número de horas de trabajo por día? a) 5 b) 8 c) 10 d) 7 e) 9

4. Tres números están en relación de 4; 5 y 8 respectivamente. Hallar el número menor, si la suma de los números es 170. a) 40 b) 50 c) 80 d) 30 e) 15

5. Hallar la tercera proporcional entre la media proporcional de 9 y 16 proporcional de 10; 15 y 14. a) 38 b) 36,75 d) 34,25 e) 32,5

y

la

cuarta

c) 40

11.

En 48 días, 15 obreros, han hecho 1/5 de una obra que les fue encomendada. ¿Cuántos días empleara otra cuadrilla de 24 obreros triplemente hábiles en terminar la obra? a) 30 b) 40 c) 50 d) 60 e) 72

6. En

una serie razones geométricas equivalentes, los antecedentes son 2; 3; 7 y 11. Si el producto de sus consecuentes es 37422, hallar la suma de los consecuentes. a) 60 b) 59 c) 63 d) 69 e) 72

7. Una obra puede ser hecha por 20 obreros en 14 días. ¿Cuántos obreros hay que mayor que el menor de ellos y menor que el mayor de ellos. Dadas las siguientes cantidades:

PROMEDIOS

Es un valor representativo de otras varias cantidades que tiene la característica de ser

a 1 , a 2 , a 3 ,... a n


45

ARITMETICA

Donde:


queremos determinar el promedio de todos en conjunto, aplicamos el promedio aritmético ponderado.

a 1 : Menor cantidad a n : Mayor cantidad

Se llama promedio P referencial y cumple:

a1

a una cantidad

P

P

an

MEDIA ARITMETICA (Ma): Es aquel

a1

a2

a3

...

an

n

n3

...mamnm

... nm

ma 2 : Promedio aritmético del segundo grupo Y así sucesivamente; también n1 : Número de elementos del primer grupo

P

n 2 : Número de elementos del segundo grupo.

Para dos números a y b: a

Ma

b

Es decir el número de elementos del grupo correspondiente.

2

MEDIA GEOMETRICA (Mg): Es aquel

PROPIEDADES

promedio que proviene de la raíz enésima del producto de n cantidades.

 Ma,

Mg

n

Mg y Mh los promedios de n números; entonces siempre se cumple:

a1.a2 .a3 ..... an

Ma

Para 2 números a y b:

Mh

dos números y hallando su Ma y Mh siempre:

a.b

AxB=MaxMh

MEDIA ARMONICA.(Mh): Es la inversa de la media aritmética de las inversas de las n cantidades dadas. Mh

Mg

 Sean

Mg 

n1 n2

ma3n3

ma 1 : Promedio aritmético del primer grupo

promedio que provienen de la suma de n cantidades divididas entre n.



ma2n2

Donde:

TIPOS: 

ma1n1

1

1

n 1

a1

a2

a3

 Se

cumple:

Mg ...

1

MaxMh

 La

diferencia entre la media aritmética y la media geométrica de 2 números A y B esta dado por:

an

Para 2 números a y b: Mh 

Ma

2ab a

b

PROMEDIO PONDERADO (P). Promedio

4(Ma

B)2 Mg)

PORCENTAJES

de promedios, es cuando tenemos el promedio aritmética de dos o mas grupos y


Mg

(A

46

ARITMETICA


Llamado también tanto por ciento. Se dice así, a una determinada cantidad con relación a 100 unidades. La regla del tanto por ciento es una aplicación de la regla de tres simple directa.

Au

A1

A2

A1xA2 100

%

OJO:

NOTACION: Sea: 5%

5

100  5% indica que de cada 100 unidades se consideran 5.  Una cantidad total representa el 100%  Una cantidad aumentada en el 10% representa el 110%  Una cantidad disminuida en un 10 % representa 90%

APLICACIONES COMERCIALES: PV

PC GB

GB

GN

PF

PV D

☟ ☟

APLICACIONES:

☟

G

En caso de pérdida se cumple:

☟

DESCUENTOS SUCESIVOS:

☟

Cuando a una cantidad se le aplica mas de un descuento, los cuales equivalen a un descuento único que se obtiene de la siguiente forma: Du

D1

D2

D1xD2 100

PV

Donde: PC=Precio de costo PV=Precio de venta PF=Precio fijado GB=Ganancia bruta D=Descuento o rebaja GN=Ganancia Neta G=Ganancia

%

AUMENTOS SUCESIVOS:

☟

Cuando una cantidad se le aplica más de un aumento, los cuales equivalen a un aumento único, que se obtiene de la siguiente forma:

1. En un departamento de control de calidad de un producto se consideran tres defectos A, B y C como los más importantes. Se analizan 200 productos con el siguiente resultado: 58 productos presentan el defecto A 72 productos presentan el defecto B 80 productos presentan el defecto C 100 productos presentan exactamente un defecto 10 productos presentan exactamente tres defectos. ¿Cuántos productos presentan exactamente dos defectos? a) 20

b) 60


PC perdida

d) 40

e) 26

2. Hallar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: - Si n(A)=2 y n(B)=3, entonces el numero máximo de elementos de C P( A) P(B) es 12. - Si A {n2 1 / n Z, 1 n 1} entonces n(A)=3 - Si A B φ , entonces A φ B φ a) VFF d) VVF

c) 73 47

b) FFF e) VVV

c) FVF

ARITMETICA

3. Si

[(A

A


B

DC )

y

A  D

BC ]

a) A  B d) {}

[B





Simplificar: a) 9 d) 6

( A D)]

b) A e) D  B

b) 8 e) NA

c) 7

c) B



18. El numero de la forma: aaa a  ...  

9 2,

40 cifras

4. ¿Cuantos elementos tiene A {φ; {1;2;3}} ? a) 0 d) 3

b) 1

hallar “a”

el conjunto

a) 8 d) 3

c) 2

e) 4

5. Dado el conjunto A subconjunto tiene A? a) 4 d) 8

a) 12 d) 9

c) 2

b) 2123

d) 249 

e) 105

a) 12 d) 9 21.

x2

P(a) si P(x)

x

2)

2

b) 2 e) 7

calcular 22. y

Siendo

m n m

una

n

n m

fracción

impropia

1,28787878... , hallar

a) 269 d) 279

23.

339 , hallar el valor de “x+y+z” c) 4

56 , hallar a+b


0, bababa...

1,444...

a-b=5. Hallar “ a 2 b 2 ” b) 96 e) 104

c) 97

Si a un numero racional

a) 5/4 d) 7/6



17. Sabiendo 4ab58a

Si 0, ababab...

c) 17

A

, menor que B 1, se le aumenta una unidad, el numerador queda aumentado en 6 unidades. Si el numerador y denominador difieren en una A unidad, calcular el numero B

b) 299 c) 379 e) 369

b) 3 e) 6

b) 15 e) 21

a) 45 d) 98

c) 3

15. Pasar 234 (n) al sistema de base “n-1”

a) 2 d) 5

e) NA

a) 12 d) 19

c) 5

(a 1)(a)(a 1)(a)(a 1) 2 ( a

16. Si xyzy ( 6)

c) 10

“m+n” b) 4 e) 9

a) 1 d) 5

b) 11

irreducible y

Hallar m-n

14. Si N

c) 10

e) NA

c)101102 

13. Si 400803(m) 300034342(n) y m+n=14,

a) 6 d) 8

b) 11

20. ¿Cuantos números entre 200 y 1800 son divisibles entre 3 y 5 pero no entre 8?

12. ¿Cuál de las siguientes expresiones dadas en sistemas de numeración distintos representa el número mayor? a) 435

c) 5

19. ¿Cuantos de los números de 1 al 180 son múltiplos de 3 y 4 pero no de 7?

{1; {2;3};4} ?Cuantos

b) 1 e) N.A.

b) 4 e) 2

48

b) 6/7 e) 4/5

c) 5/6

Separata de Aritmetica Con Ejercicios

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