Tema 4. Respuesta frente a cargas de impacto, rampas, pulsos y arbitrarias
T.4. Respuesta de sistemas de 1 grado de libertad frente frente a cargas de impacto, impacto, en rampa, pulsos y cargas arbitrarias. 4.1 Carga de impacto o en escalón 4.2 Carga en rampa o con variación lineal 4.3 Carga bilineal 4.4 Respuesta frente a pulsos 4.4.1. Pulso rectangular 4.4.2. Pulso senoidal 4.4.3. Pulso triangular 4.4.4. Efecto de la forma del pulso y análisis aproximado para pulsos breves
4.5 Respuesta frente a cargas arbitrarias 4.6 Métodos de cálculo de soluciones de ecuaciones diferenciales
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Tema 4. Respuesta por impacto…
4.1. Cargas de impacto o en escalón
Se plantea en este tema el estudio analítico de la respuesta de una estructura con 1 GDL dinámico, bajo la acción de
distintos tipos de acciones dinámicas, y la obtención de expresiones analíticas válidas para la obtención de la respuesta lineal frente a cargas genéricas.
4.1. Cargas de impacto o en escalón La carga se aplica de forma súbita y se mantiene constante una vez aplicada.
⎧0 p (t ) = ⎨ ⎩ p0
•
t < t 0 t ≥ t 0
Respuesta del sistema no amortiguado:
+ ku = p0 mu
⇒ u (t ) = u H (t ) + u p (t ) = A cos ω nt + Bsenω nt +
p0 K
⎧u (0) = 0 p Suponiendo condiciones iniciales nulas: ⎨ ⇒ u (t ) = 0 (1 − cos ω nt ) K ⎩u (0) = 0 La respuesta dinámica máxima es dos veces la respuesta estática: u 0 = 2 docsity.com
p 0 k
= 2u eo
Tema 4. Respuesta por impacto… •
4.1. Cargas de impacto o en escalón
Respuesta del sistema amortiguado: mu + cu + ku = p 0
⇒ u (t ) = u H (t ) + u p (t ) = e −ξω t ( A cos ω A t + Bsenω A t ) + n
p 0 K
Suponiendo condiciones iniciales nulas: p ⎧u (0) = 0 ξ ⇒ u (t ) = 0 (1 − e −ξω t (cos ω A t + senω A t )) ⎨ 2 ( 0 ) 0 = u K 1 − ξ ⎩ n
El factor de amplificación Rd se reduce respecto al caso no amortiguado, aunque para valores de amortiguamiento alrededor del 5% sigue estando muy próximo a dos. La respuesta estacionaria es la estática.
En la figura aparece la respuesta dinámica normalizada (u(t)/u e0 - t/Tn) para distintos valores del factor de amortiguamiento.
docsity.com Respuesta dinámica frente a cargas de impacto
Tema 4. Respuesta por impacto…
4.2. Carga en rampa o con variación lineal
4.2. Carga en rampa
La carga se incrementa linealmente con el tiempo: p(t ) = p 0
•
t
t ≤ t r
t r
Respuesta dinámica del sistema no amortiguado entre t0 = 0 y tr:
+ ku = p 0 mu
t
⇒ u (t ) = u H (t ) + u p (t ) = A cos ω n t + Bsenω n t +
t r
⎧u (0) = 0 ⇒ Suponiendo condiciones iniciales nulas: ⎨ ⎩u (0) = 0
u (t ) =
El sistema oscila con Tn en torno a la solución estática u e (t ) = La respuesta depende de tr y de respuesta dinámica decrece.
ωn:
p 0
(
t
K t r
−
p 0 t K t r
senω n t ) ω n t r
p 0 t k t r
si el tiempo de aplicación de la carga o la
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Respuesta no amortiguada para t /T = 2.5
ωn
del sistema son altos, la
Tema 4. Respuesta por impacto…
4.3. Carga bilineal
4.3. Carga bilineal
Carga escalón con aplicación en rampa:
⎧ t ⎪ p 0 p (t ) = ⎨ t r ⎪ p ⎩ 0
t ≤ t r t ≥ t r
Se estudia la respuesta dinámica de un sistema no amortiguado y que parte del reposo. •
•
p 0
t
u (t ) =
Fase 2: t ≥ t r
u (t ) = A cos ω n t + Bsenω n t +
(
K t r
−
senω n t ) ω n t r
Fase 1: t ≤ t r
p 0 K
p 0 senω n t r p 0 senω n t r ⎧ ⎧ u t A ( ) ( 1 ) = − = − r ⎪ ⎪ K K ω n t r ω n t r ⎪ ⎪ ⇒ ⎨ Con condiciones iniciales: ⎨ ⎪u (t ) = p 0 ( 1 − cos ω n t r ) ⎪ B = p 0 (cos ω n t r − 1) r ⎪⎩ ⎪⎩ K t r K ω n t r ω n t r
Luego:
u (t ) =
⎤ p 0 ⎡ 1 [(1 − cos ω n t r )]sen(ω n (t − t r )) − sen(ω n t r )·cos(ω n (t − t r ))⎥ ⎢1 + K ⎣ ω n t r ⎦
Manipulando la expresión anterior se obtiene: u (t ) =
⎤ p0 ⎡ 1 [senω n t − sen(ω n (t − t r ))]⎥ ⎢1 − K ⎣ ω n t r docsity.com ⎦
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4.3. Carga bilineal
4.3. Carga bilineal Comparando las soluciones estáticas y dinámicas en el tiempo de los dos tramos, para distintos valores del ratio t r /Tn, se observa que la respuesta dinámica es función de t/T n puesto que
ωn
t = 2πt/ Tn.
De las gráficas se deduce:
El sistema oscila con T n
Si
t r T n
→ 0 (estructuras muy flexibles) el sistema se comporta
como si sufriera una carga de impacto.
Si
t r T n
→ ∞ (estructuras muy rígidas) el comportamiento es
cuasiestático
Si la velocidad es nula al acabar la rampa u (t r ) = 0 , el sistema no oscila posteriormente.
Respuesta no amortiguada estática y dinámica frente a cargas bilineales
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Tema 4. Respuesta por impacto…
4.3. Carga bilineal
4.3. Carga bilineal
•
El valor máximo de las deformaciones se produce durante la parte de carga constante t ≥ t r , y vale: u (t ) max = u 0 =
•
El factor de amplificación dinámica es:
p 0 ⎡ 1 ⎢1 + K ⎣ ω n t r
Rd =
u0 ue 0
⎤
( senω n t r ) 2 + (1 − cos ω n t r ) 2 ⎥
⎦
sen(π
= 1+ π
t r T n
)
t r T n
En el espectro se observa que:
≤
Si t r
> 3T n → Rd ≈ 1 (estructuras muy rígidas o cargas lentas)
Si
Espectro de respuesta para cargas bilineales
T n
Si t r
t r T n
4
→ Rd ≈ 2 (estructuras flexibles o cargas rápidas)
= 1,2,3... → Rd = 1 (la estructura no oscila)
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Tema 4. Respuesta por impacto…
4.4. Repuesta frente a pulsos
4.4. Respuesta frente a pulsos
Se trata de cargas con una duración breve, producidas generalmente por ondas de presión de aire debidas a explosiones.
La respuesta estructural en este caso no alcanza el estacionario, y tiene dos fases: una inicial de vibración forzada y otra posterior de vibración libre. El amortiguamiento es despreciable por la rapidez de la carga, pero son muy importantes las condiciones iniciales.
La respuesta se puede obtener mediante los métodos clásicos de resolución de EDO, mediante la integral de convolución, o descomponiendo el pulso en suma de funciones simples de las que se conoce su solución.
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Descomposición de pulsos en funciones básicas
Tema 4. Respuesta por impacto…
4.4. Repuesta frente a pulsos
4.4.1 Pulso rectangular
⎧ p 0 mu + ku = p (t ) = ⎨ ⎩0
t ≤ t d t ≥ t d
con u (0) = u (0) = 0
•
•
p 0
Fase 1: t ≤ t d Vibración forzada
u (t ) =
Fase 2: t ≥ t d Vibración libre
u (t ) = A cos
K
(1 − cos ω n t ) n
t + Bsen
n
t
p 0 ⎧ ⎪⎪u (t d ) = K (1 − cos ω n t d ) Con condiciones iniciales: ⎨ ⎪u (t ) = p 0 ω senω t n n d ⎪⎩ d K
Luego:
u (t ) = u (t d ) cos(ω n (t − t d )) +
Sustituyendo y operando:
u (t ) ue 0
u (t d )
ω n
= 2 sen(
sen(ω n (t − t d ))
π t d T n
⎡
t
⎣
T n
) sen ⎢2π (
−
t d ⎤ )⎥ 2T n ⎦
t ≥ t d
La respuesta dinámica es función de t d/Tn y varía fuertemente en función de la duración del pulso. En ningún caso la respuesta dinámica es similar a la estática.
El sistema oscila con T n, y si t d/Tn = 1, 2, 3 … la velocidad y el desplazamiento son nulos al acabar la docsity.com rampa y el sistema no oscila posteriormente.
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4.4. Repuesta frente a pulsos
4.4.1 Pulso rectangular
En las figuras siguientes aparecen las soluciones estáticas y dinámicas en el tiempo de los dos tramos, para distintos valores del ratio t d/Tn.
Respuesta no amortiguada estática y dinámica frente a pulsos rectangulares
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Tema 4. Respuesta por impacto…
4.4. Repuesta frente a pulsos
4.4.1 Pulso rectangular Para calcular el espectro de respuesta del pulso se estudian los máximos en cada fase y se calcula el máximo
total.
•
t d t d 1 ⎧ si − ≤ 1 cos( 2 π ) ⎪ 2 T n T n u ⎪ Vibración forzada Rd = 0 = ⎨ t d u e0 ⎪ 1 si ≥ 2 ⎪⎩ T n 2
•
⎡ u (t ) ⎤ t Vibración libre u0 = u (td ) + ⎢ d ⎥ ⇒ u0 = 2ue 0 sen (π d ) ⇒ Tn ⎣ ω n ⎦
2
2
Respuesta máxima en cada una de las fases
Rd = 2 sen (π
td T n
)
Espectro de respuesta del pulso rectangular
Con el espectro de respuesta, el movimiento máximo de una estructura de periodo natural T n se calcula como:
u 0 = u e 0 Rd =
p 0 K
Rd
La fuerza estática equivalente que sufre la estructura se calcula como:
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F e 0 = Ku 0 = p 0 Rd
Tema 4. Respuesta por impacto… 4.4.2 Pulso senoidal
4.4. Repuesta frente a pulsos t ⎧ ⎪ p0 sen(π t ) t ≤ t d + ku = p (t ) = ⎨ mu d ⎪ 0 t ≥ t d ⎩ con u (0) = u (0) = 0
El planteamiento del análisis es similar al caso anterior, se estudia la respuesta en vibración forzada y libre, considerándose además dentro de cada fase los casos: ω = ωn y ω ≠ ωn.
En las figuras siguientes aparece la respuesta máxima en cada fase y el espectro de respuesta total.
Respuesta máxima en cada una de las fases
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Tema 4. Respuesta por impacto…
4.4. Repuesta frente a pulsos
4.4.2 Pulso senoidal
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Espectro de respuesta del pulso senoidal
Tema 4. Respuesta por impacto…
4.4. Repuesta frente a pulsos
4.4.3 Pulso triangular
El planteamiento del análisis es similar al caso anterior, se estudia la respuesta en vibración forzada y libre. En las figuras siguientes aparece la respuesta máxima en cada fase y el espectro de respuesta total.
Respuesta máxima en cada una de las fases
docsity.com Espectro de respuesta del pulso triangular
Tema 4. Respuesta por impacto…
4.4. Repuesta frente a pulsos
4.4.4 Efecto de la forma del pulso y análisis aproximado para pulsos breves En la figura siguiente se presentan de forma combinada los espectros de respuesta para los tres pulsos
anteriores, suponiendo el mismo valor p 0 de amplitud máxima de la carga. Si la duración del pulso t d es mayor que T n/2 el desplazamiento máximo se produce durante la
aplicación del pulso e influye notablemente su forma. Para valores grandes de t d/Tn la respuesta depende de la velocidad de aplicación de la carga, siendo
máxima en el caso rectangular y mínima en el triangular.
Espectros de respuesta de los tres pulsos estudiados docsity.com
Tema 4. Respuesta por impacto…
4.4. Repuesta frente a pulsos
4.4.4 Efecto de la forma del pulso y análisis aproximado para pulsos breves Si el pulso es breve: t d/Tn < 1/2, la respuesta máxima se produce durante la fase de vibración libre y
esta controlada por la integral temporal del pulso (el impulso). Considerando el caso límite con t d/Tn → 0, el pulso es muy breve comparado con el periodo natural
de la estructura, tratándose de un impulso puro: t d
∫
I = p(t )dt 0
Una fuerza impulsiva se caracteriza por actuar en un tiempo muy breve, con una integral temporal
finita. El impulso unitario centrado en t = τ se define matemáticamente mediante la función Delta de Dirac δ(t-τ).
Impulso unitario Si una fuerza p actúa sobre un cuerpo de masa m la variación del momento lineal es igual a la carga
aplicada, e integrando en el tiempo el impulso es igual a la variación de momento lineal: d dt
t 2
(mu ) = p
⇒ p = mu ⇒
∫ p(t )dt = m(u t 1
2
− u1 ) = m∆u docsity.com
Tema 4. Respuesta por impacto…
4.4. Repuesta frente a pulsos
4.4.4 Efecto de la forma del pulso y análisis aproximado para pulsos breves
Si consideramos un sistema de 1GDL sobre el que actúa un impulso unitario, el amortiguador y el muelle no tienen tiempo de responder a la excitación en el instante en el que se aplica, luego el impulso produce sobre la masa m unas condiciones iniciales: 1 ⎧ ⎪u (τ ) = m ⎨ ⎪⎩u (τ ) = 0
La respuesta de un sistema de 1GDL en vibración libre con las condiciones iniciales anteriores, y en los casos amortiguado y sin amortiguar, se denomina función de respuesta del impulso unitario h(t-τ ): 1 ⎧ Sistema no amortiguad o h ( t τ ) u ( t ) sen[ω n (t − τ )] t ≥ τ − ≡ = ⎪ mω n ⎪ ⎨ 1 −ξω ( t −τ ) ⎪Sistema amortiguad o h(t − τ ) ≡ u (t ) = e sen[ω A (t − τ )] t ≥ τ ⎪⎩ mω A n
Impulso unitario
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4.4. Repuesta frente a pulsos
4.4.4 Efecto de la forma del pulso y análisis aproximado para pulsos breves
Si se considera un impulso de valor I y aplicado en τ = 0, la respuesta no amortiguada del sistema de un grado de libertad es:
⎡ 1
⎤
u (t ) = I ⎢
⎣ mω n
senω nt ⎥
⎦
La máxima deformación es proporcional a la magnitud del impulso y vale: u0 =
I mω n
=
I 2π k T n
Luego la máxima deformación debida a cada uno de los pulsos anteriores vale:
⎧ u0 t ⇒ = 2π d ⎪ pulso rectangular I = p0t d ue 0 T n ⎪ ⎪ 2 u0 t = 4 d I = p0t d ⇒ ⎨ pulso senoidal π ue 0 T n ⎪ ⎪ u0 t = π d ⎪ pulso triangular I = p0t d / 2 ⇒ ue 0 T n ⎩
Las soluciones de impulso puro son exactas en el caso límite t d/Tn = 0, en el rango 0 < t d/Tn < ¼, siguen siendo válidas y proporcionan un límite superior de la solución real. docsity.com
Tema 4. Respuesta por impacto…
4.4. Repuesta frente a pulsos
4.4.4 Efecto de la forma del pulso y análisis aproximado para pulsos breves Si td/Tn < ¼, la máxima deformación depende del área del pulso y es independiente de su forma.
Si se considera la respuesta de una estructura de un grado de libertad frente a los pulsos estudiados, cuando su área es la misma, se obtienen los resultados de la gráfica siguiente.
Espectros de respuesta de los tres pulsos con igual área A diferencia del caso de vibraciones armónicas, la influencia del amortiguamiento en la respuesta de
estructuras sometidas a pulsos es baja. El motivo es que en el caso armónico el amortiguamiento actuaba durante una serie de ciclos completos transitorios, hasta que se alcanzaba el estado estacionario, disipando elevadas cantidades de energía en esos ciclos previos. Sin embargo, en el caso de los pulsos el sistema no tiene que atravesar un estacionario, por lo que la disipación de energía es mucho menor. docsity.com
Tema 4. Respuesta por impacto…
4.4. Repuesta frente a pulsos
4.4.4 Efecto de la forma del pulso y análisis aproximado para pulsos breves
En la figura siguiente se presenta el espectro de respuesta para un pulso senoidal y diferentes valores del factor de amortiguación, calculado mediante métodos numéricos, observándose que la respuesta máxima para valores del factor de amortiguación inferiores al 10% se reduce como máximo un 12 %.
Espectro de respuesta del pulso senoidal para distintos valores del factor de amortiguación docsity.com
Tema 4. Respuesta por impacto…
4.5. Respuesta frente a cargas arbitrarias
4.5 Respuesta frente a cargas arbitrarias
El calculo de la respuesta frente a un impulso unitario con la función h(t-τ ) permite calcular la respuesta de una estructura lineal frente a cargas arbitrarias en el tiempo si se consideran como una secuencia infinitesimal de impulsos cortos. La respuesta del sistema dinámico lineal frente al impulso p(τ )d τ aplicado en el instante τ es: du (t )
= [ p(τ )d τ ]h(t − τ )
t > τ
La respuesta en un instante t será la suma de las respuestas a todos los impulsos anteriores: t
u (t )
= ∫ p (τ )h(t − τ )d τ 0
Significado físico de la integral de convolución
La integral anterior se denomina convolución o integral de Duhamel.
Sólo es válida en el caso de problemas lineales, debido a que esta basada en el uso del principio de superposición.
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integral
de
Tema 4. Respuesta por impacto…
4.5. Respuesta frente a cargas arbitrarias
4.5 Respuesta frente a cargas arbitrarias
Particularizando la expresión calculada en el apartado 4.4 de la función h(t-τ ) en la expresión de la integral de Duhamel, se obtiene: t ⎧ 1 = Sistema no amortiguad o u ( t ) p(τ )sen[ω n (t − τ )]d τ ⎪ ∫ m ω ⎪ n 0 ⎨ t 1 −ξω ( t −τ ) ⎪Sistema amortiguad o u (t ) = p(τ )e sen[ω A (t − τ )]d τ ∫ ⎪ m ω A 0 ⎩ n
En las integrales anteriores se han supuesto condiciones iniciales nulas, si fueran no nulas es necesario añadir a la integral la repuesta en vibración libre de un sistema de un grado de libertad frente a esas condiciones iniciales.
Ejemplo: Cálculo de la respuesta de un SDOF frente a una carga de impacto de valor p0, con
condiciones iniciales de reposo. u (t )
=
p0 mω n
p0 ⎡ cos[ω n (t − τ )]⎤
t
∫ sen[ω (t − τ )]d τ = mω n
0
n
⎢ ⎣
ω n
t
p
0 ⎥ = k (1 − cos ω nt ) ⎦0
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Tema 4. Respuesta por impacto…
4.6. Métodos de solución de ED
4.6 Métodos de obtención de soluciones de ecuaciones diferenciales •
Soluciones clásicas
•
Integral de Duhamel
•
Métodos de transformación:
•
•
Transformada de Laplace
•
Transformada de Fourier
Métodos numéricos
Los métodos de transformación convierten los sistemas de ecuaciones diferenciales en
sistemas de ecuaciones algebraicas. Los métodos clásicos, la integral de Duhamel y los métodos de transformación sólo son
aplicables a estructuras lineales. Los métodos numéricos de integración paso a paso son válidos en problemas lineales y no lineales.
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