FUNDAÇÃO EDUCACIONAL UNIFICADA CAMPOGRANDENSE (FEUC) FACULDADES INTEGRADAS CAMPO-GRANDENSES (FIC) COORDENAÇÃO DE MATEMÁTICA Estrada da Caroba, 685, Campo-Grande/RJ - Tel: 3408-8450 Sites: www.feuc.br , www.sites.google.com/site/FEUCmat
E N A D E 2011 MATEMÁTICA LICENCIATURA
QUESTÕES RESOLVIDAS 1
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INTRODUÇ ÃO
Estamos apresentando a resolução da prova do ENADE, pelos Professores Alzir Fourny Marinhos e Rodrigo Neves Figueiredo dos Santos, aplicada em 2011 para os cursos de Licenciatura em Matemática. Este trabalho tem o objetivo de aproximar alunos e professores das Faculdades Integradas Campo-Grandenses ao Projeto ENADE 2014. Reconhecemos que fazemos um trabalho de qualidade. Isto fica determinado pela nota 3,0 no ENADE 2008 e ENADE 2011. Mas, necessariamente, ao pensarmos que temos a necessidade de expandirmos nossos conhecimentos estaremos no caminho progressivo. Esperamos que, alunos e professores, possam colaborar informando sobre possíveis erros que por ventura tenhamos cometido. A digitação foi realizada pelo Professor Alzir Fourny F ourny Marinhos. Dedicamos este trabalho aos alunos do Curso de Licenciatura em Matemática das Faculdades Integradas Campo-Grandenses. Alzir Fourny Marinhos E-mail:
[email protected] Rodrigo Neves Figueiredo dos Santos E-mail :
[email protected]
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RESOLUÇÃO: Em Ax = b, A representa uma matriz formada pelos coeficientes do sistema, x representa a matriz das variáveis e b a matriz dos termos independentes. Para nosso caso, b = 0 (sistema homogênio) e determinado. Apenas a solução (0, 0, 0, . . .). Veja, como exemplo, o sistema homogênio determinado. Apenas com a solução (0, 0, 0): 6x = 0 2x + 5y = 0 3x – 3y + 7z = 0 4x + y – 2z = 0
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0 6 0 0 x 0 0 2 5 Representamos Ax = b como . y 3 3 7 0 4 1 2 z 0 As colunas da matriz A são linearmente independentes pois x( 6, 2, 3, 4) + y(0, 5, -3, 1) + z(0, 0, 7, -2) = (0, 0, 0,0) tem como solução apenas x=0, y=0 e z=0, chamada solução trivial . Para que a solução seja trivial as colunas da matriz A devem ser linearmente independentes. i ndependentes. Veja que em 6x = 0 temos x = 0; se x = 0 temos em 2x + 5y = 0 o valor de y = 0; em 3x – 3y +7z = 0 temos x = 0, y = 0 e z = 0. Então para 4x + y – 2z = 0 teremos também x = 0, y = 0 e z = 0. Se existirem escalares x, y, z nem todos nulos, os vetores são linearmente dependentes. Análise da afirmação I: As colunas da matriz matriz A são linearmente dependentes – Falso. Análise da afirmação II: O sistema de equações lineares Ax = b tem infinitas soluções – Falso. Tem uma única solução (dado na questão). Análise da afirmação III: Se m > n, então a matriz A tem m-n linhas que são combinações lineares de n linhas – Verdadeiro. Quando m (número de linhas ou equações) menor que n (número de colunas ou incógnitas) o sistema será sempre indeterminado. Quando m (número de linhas ou equações) maior que n (número de colunas ou incógnitas) tiver solução única, haverá m - n equações que são combinações lineares de n linhas. Veja, no sistema dado como exemplo, que 4x + y – 2z = 0 tem a mesma solução das outras equações, com x = 0, y = 0 e z = 0, sendo então uma equação equivalente às outras. Logo será uma uma combinação linear das outras três. três. Tem 1 linha (m – n linhas) como combinação linear de 3 linhas (n linhas). Se tivermos cinco linhas (m) e duas colunas (n) significa que teremos duas variáveis e teremos duas equações para encontrarmos a solução trivial. Teremos três linhas (m – n linhas) como combinação linear de duas linhas (n linhas). Análise da afirmação afirmação IV: A quantidade de equações do sistema sistema Ax = b é maior ou igual à quantidade de incógnitas - Verdadeiro. m (número de linhas ou equações) maior ou igual à n (número de colunas ou incógnitas) é uma condição para que o sistema homogênio tenha solução única 4
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RESOLUÇÃO: Note que dividindo
todos os termos de
nn e e
n! n
nn ne e
por n positivo
mantêm-se a desigualdade.
nn e ne n
e e
n
n
n! n
n! n
n
nn ne ne ne e
Vamos avaliar por parte:
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lim lim
1-
1
1
en
e
n
e 1
lim
2-
e
e
1
e 1
1
n n .e n
n
e0
1
n
e
1 1 en 1. n e e e
lim n n . lim
1 1
1 en . Veja que lim n 1 e lim n n e e n
Pelo teorema do confronto: n
lim lim
n
e e
1
e
lim lim
n
lim
n
lim lim n
n! n
n
n
Logo
n
n! n
n! n
lim lim
n
n
ne e
1
e
1
e
RESPOSTA: B
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RESOLUÇÃO: Para o grupo de permutações S3 temos seis elementos: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ; f 1 ; f 2 ; f 3 ; f 4 ; f 0 e 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 1 2 3 f 5 3 2 1
Deter Deter min ar
1 2 3 1 2 3 0 . 1 3 2 3 2 1
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1 leva ao 3 e 3 leva ao 2. Logo 1 leva ao 2. 2 leva ao 2 e 2 leva ao 3. Logo 2 leva ao 3. 3 leva ao 1 e 1 leva ao 1. Logo 1 leva ao 1. Daí: 1 2 3 1 0 1 3 2 3 RESPOSTA: B
2 2
3
= 1
1 2 3 2 3 1
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RESOLUÇÃO: Na figura I, o semicírculo formado pelo contorno de A1 tem diâmetro r (O lado do hexágono inscrito na circunferência é igual ao raio da circunferência). 2
1
r 2 r ( ) Área do semicírculo semicírculo acima = 2 2 8
Na figura II o semicírculo formado pelo contorno de A 2 tem diâmetro r
2
. O lado
do quadrado inscrito na circunferência de raio r é igual a r 2 .
Área do semicírculo semicírculo acima =
1 2
(
r 2 2
2
) 2
r
4
Se ligarmos os extremos de cada lúnula ao centro O, considerando o segmento que é lado tanto do hexágono regular em I como do quadrado em II, obteremos dois triângulos.
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No caso da figura I será um triângulo equilátero de lado r que é o lado do hexágono regular inscrito. A altura do triângulo e também apótema do hexágono é A área do triângulo é
r .
r
r 3 . 2
3 2
=
2
r 2
3. 4
No caso da figura II será um triângulo retângulo isósceles de catetos r e hipotenusa r 2
r 2 (lado do quadrado inscrito). A altura do triângulo é r 2 .
A área área do triângulo é
r 2 2
2
2
.
r 2 .
2
Se ligarmos os extremos de cada lúnula ao centro O, considerando o arco da circunferência de raio r, obteremos dois setores circulares. 2
No caso da figura I o setor circular tem área igual a r
60
0
360 2
No caso da figura II o setor circular tem área é igual a r
0
=
90 0 360 0
r 2
.
6
=
r 2
4
.
Com os resultados acima podemos calcular as áreas A 1 e A2 (área das lúnulas): 2
A1 =
r
8
r 2 3 4
2
r
4
(6 3 )r
2
24
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2
A2=
r
4
r 2 2
2
r
4
r 2 2
Agora vamos determinar a razão entre as áreas A 1 e A2 . (6 3 )r
2
24 2 r
6 3 12
2 6 3 12
é irracional.
A razão entre as áreas A 1 e A2 das lúnulas L1 e L2 não é um número número racional. Veja que A1 e A2 não são representadas da forma . q, onde q é racional. RESPOSTA: E
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RESOLUÇÃO: Análise dos itens. O item I é falso. Na equação Z4 = 1 temos quatro soluções. Veja que temos as soluções reais 1 e -1. As outras duas soluções são complexas.
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As quatro soluções estão distribuídas num quadrado ABCD inscrito numa circunferência de raio 1 com uma diferença de 90 0. O quadrado tem vértices em 1 (ponto D) e -1 (ponto (ponto B) no eixo real e tem vértices i (ponto A) e –i (ponto C) no eixo imaginário (no Sistema Sistema Argand-Gauss).
A diagonal do quadrado vale 2 e é igual a L 2 . Logo D = L 2=L
2
2 eL=
2 2
2.
Veja que as soluções de Z 4 = 1 são os vértices de um quadrado de lado
2
e não 2.
O item II é verdadeiro. IZI = 1. Como IZI =
2 2 x y temos x y = 1 e x2 + y2 = 1, que é uma circunferência de 2
2
raio 1. O item III é falso. Z = x + iy onde Re(Z) = x e Im (Z) = y. Logo Re(Z) + Im(Z) = 1. x + y = 1 e y = 1 – x. A reta y = -x + 1 tem coeficiente angular -1.
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Observação: Nesta questão é colocado que o coeficiente angular é é correto. O ângulo
3 4
rad, que não
3
é a inclinação da reta e é dado por arc tg -1, correspondendo 4 ao ângulo que gera o coeficiente angular –1. RESPOSTA: B
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RESOLUÇÃO: O trabalho realizado ao longo de uma curva C (sentido horário) de uma partícula é dado pela pela integral de linha T =
F ( x, y)dr . C
Como as derivadas parciais de F ( x, y) y i x j são contínuas, suaves e iguais
temos F M i N j onde M = - y e N = x e
M y
0
e
M x
0
(iguais ).
O campo é conservativo e podemos usar o teorema de Green que afirma:
C
L
T F ( x, y)dr
(
M N )dA (1 (1)dA 2 dA 2 dA x y L L L .
2 L (área do lago). Logo T = 2L e L =
T . 2
Como a área complementar complementar ao lago é
T 2
, temos P - L =
T 2
.
Para P (área total do parque) temos: P= P=
T 2 T 2
+L +
T 2
P=T Resposta: A
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RESOLUÇÃO: Seja x o preço da tabela. (x + 20% x) = 1320 (x + 0,2x) = 1320 x (1 + 0,2) = 1320 1,2 . x = 1320 x=
1320 1,2
x = 1100
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I – Entrada de 25%, resta 75% em 5 vezes. Cada parcela será II – Entrada de 60%, resta 40% em 8 vezes. Cada parcela será
0,75.1100 5
165
0,40 .1100 8
55
RESPOSTA: A
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RESOLUÇÃO: P(x) = M(x) - 0,006 x2 + 0,8 x + 14 = 0,004 x 2 + 0,9 x + 8 0,01 x2 + 0,1 x – 6 = 0 x2 + 10 x – 600 = 0
x
10 100 4.1.600 2
10 2500 2
10 50 2
x 20
RESPOSTA: C
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RESOLUÇÃO: Devemos observar as regiões entre o gráfico da função y = x4 – 5 x2 + 4 e o eixo x. Fazendo y = x2 y 2 – 5 y + 4 = 0 y
5
25 16 2
53 2
y1 4 y 2 1 Daí : x 4 2 x 1 1
O gráfico da função f(x) = x4 – 5 x2 + 4 é:
+
-2
+ -1
1
+ 2
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Observar que a região entre 0 e 1 está acima do eixo x e a região entre 1 e 2 está abaixo do eixo x. Isso é possível atribuindo valores para x e verificando os sinais das imagens. Para x = Para x =
1 2 3 2
temos y =
45 16
temos y =
0
35 16
0
Integrando: 1
2
5 x 5 x x x 4 x) ( 4 x) A f ( x)dx f ( x)dx ( 5 3 5 3 0 1 0 1 1
2
5
3
5
3
1 5 1 5 32 40 ( 4) ( 8) ( 4) 5 3 5 3 5 3 3 25 60 96 200 200 120 120 3 25 60 38 16 38 38 22 60 ( ) ( ) ua. 15 15 3 15 15 15 15 15 15 RESPOSTA: D
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RESOLUÇÃO: Item A V = x3 então x = 3 V 2V = y3, então y = x y
3 3
V 2V
1 3
2
3
2V
; Não é racional.
Item B
x R 2 y 2 R
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x y
R
2
2 R
R 2
; É racional.
Item C x R
2
y 2 R
x y
R
2
2 R
R
2
; Não é racional.
Item D x 2 R y 2 R x y
2 R
; Não é racional.
2 R
Item E
x
2l
y l x y
2l
l
2 ; Não é racional.
Resposta: B
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RESOLUÇÃO: B(t) = 9 t – 2.3t + 3 9t – 2.3t + 3 > 6 (3t)2 – 2.3t + 3 > 6 x = 3t x2 – 2x + 3 > 6 x2 – 2x – 3 > 0 x2 – 2x – 3 = 0 tem -1 e 3 como raízes. Veja o gráfico da função f(x) = x2 – 2x – 3
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+
+ -1
-
3
x < -1 (não serve). Veja: 3t < -1 não tem solução para t. Para x > 3: 3t > 3 t>1 RESPOSTA: A
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RESOLUÇÃO: IFalso Seja a = 3, b = 5 e c = 7. a divide (b + c) e a não divide b; a não divide c. IIVerdadeiro Se mdc(a, b) = 1, eles não tem fatores primos em comum pois são primos entre si, daí a não dividir b. Logo como a divide bc e a não divide b, então a tem que dividir c. IIIFalso Seja a = 6 (não primo), b = 4 e c = 9. a divide b.c, pois b.c = 4.9 = 36 e 6 divide 36, mas a não divide b (6 não divide 4) e a não divide c (6 não divide 9).
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IVVerdadeiro Se a divide b significa que todos os fatores primos de a também estão em b. Mas, se mdc (b, c) =1 é porque b e c não tem nenhum fator primo em comum e logo nenhum comum em a e c. Daí mdc (a, c) =1. RESPOSTA: D
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x 3 3
11 x 2 117 x 124
A ' ( x ) x 2 22 x 117
x2 – 22 x + 117 = 0 tem raízes 9 e 13. 2
Sinal da derivada, isto é, da função A’(x) = x – 22 x + 117: Sinal de A’(x)
+
crescente
9
decrescente
+ 13
crescente
Veja que A(x) representa a arrecadação mensal que é crescente até o nono mês, a partir daí decrescendo até o décimo terceiro mês e a seguir retomando o crescimento. RESPOSTA: D
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RESOLUÇÃO: ux = f’(x – 4y) . 1 + g’(x + 4y) . 1 uxx = f” ( x – 4y) . 1 + g” (x + 4y) . 1 uxx = f” ( x – 4y) + g” (x + 4y) uy = f’(x – 4y) . (-4) + g’(x + 4y) . 4 uyy = f” ( x – 4y) . 16 + g” (x + 4y) . 16 uyy = 16 [ f” (x – 4y) + g” (x + 4y)] uyy = 16 uxx
u yy u xx
16
RESPOSTA: E
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RESOLUÇÃO: 2a = 30 ; a = 15 2c = 50; c = 25 c2 = a2 + b2 252 = 152 + b2 625 = 225 + b2 b = 20 Vejamos a primeira afirmativa: A diretriz de um foco é a reta perpendicular ao eixo focal que está a uma distância a2
do centro.
c
Como o foco F 1 = (-25, 0) a reta diretriz será x x
15
a2 c
.
2
.
25
Daí x = - 9 e x + 9 =0. Afirmativa verdadeira. Vejamos a segunda afirmativa: x 2
a2 x 2 15
2
y 2 b2
1
y2 20
2
1
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y2 400
1 . A afirmativa é verdadeira.
RESPOSTA: A
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em que sen
AC AB
e a curva y
interceptará BD num ponto (formando um triângulo B CA, retângulo em C). O item D está errado pois quando diminuímos
temos sen
AC AB
, onde AC e AB
são fixos, e neste caso AC intercepta BD em dois pontos. O item E está correto pois quando aumentamos
temos sen
AC AB
, onde AC e
AB são fixos, e neste caso AC não intercepta BD. RESPOSTA: Os itens C e E estão corretos.
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RESOLUÇÃO: I) Verdadeira pois é a definição de derivada parcial em relação a x. II) Verdadeira, pois é a definição de derivada implícita com regra da cadeia ( só vale pois F(x, y, z) = 0). III) Falso. Tome F(x, y, z) = 0; x + y = z = 0. x = - y – z; y = - x – z; z = - x – y;
x y y z z x
x y z
.
.
x z x
1 1 1
= (-1).(-1).(-1) = -1
RESPOSTA: C
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RESOLUÇÃO O Currículo ou plano de ensino é definido como um modelo que tem uma função social (educação de uma sociedade) e que se desdobra conforme os seguintes valores sociais: - Valores sociais inerentes ao processo educativo, como o meio social em que está inserido o currículo e o ensino com significado para os estudantes levando-os às transformações sociais. - Valores sociais que estabeleçam uma relação entre ensino e pesquisa visando o desenvolvimento profissional docente. Veja que o desenvolvimento profissional docente é uma transformação social. Veja, também, que o currículo não pode ser uma determinação do Estado ou da Escola, não viabilizando intervenções. RESPOSTA: D
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RESOLUÇÃO: O planejamento, desenvolvimento e avaliação são formados por tarefas ou funções didáticas em que o professor tem que ser capaz de ter: - conhecimento dos conteúdos da disciplina que leciona, bem como capacidade de abordá-los de modo contextualizado. Não basta ter somente o domínio do conteúdo abordado no livro didático adotado e sim, de forma muito muito mais ampla, do conteúdo conteúdo da disciplina. Ser capaz de explanar o conteúdo sem estar engessado ao livro didático. - domínio de diferentes métodos e procedimentos de ensino e capacidade de escolhê-los conforme a natureza dos temas a serem tratados e as características dos estudantes. 36
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Veja que o domínio de técnicas de elaboração de provas objetivas não reflete conhecimentos e domínios esperados pelo professor no conteúdo da disciplina. RESPOSTA: B
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RESOLUÇÃO: Traçando linhas horizontais em 20 anos e 60 anos verificamos, nos gráficos, que as populações aumentam nesta faixa etária e decrescem na faixa etária entre 0 e 20 anos, nos próximos 30 anos. Isso não significa, a priori, que haja a necessidade do ensino na modalidade de Jovens e Adultos em larga l arga escala. RESPOSTA: D
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RESOLUÇÃO: O uso do computador para favorecer o processo ensino aprendizagem deve ser feito com atividades que tenham uma problemática com significado para os alunos e que alcancem os objetivos de ensino e aprendizagem previamente definidos. Com autonomia, os alunos devem desenvolver as atividades fazendo conjecturas, conclusões e discutindo-as. O planejamento para favorecer o ensino e aprendizagem no laboratório de informática não deve ser para o estudo dos conteúdos dados em sala ou apresentados nos livros didáticos e sim como um laboratório laboratório de pesquisa em que os os estudantes possam fazer suas descobertas entendendo de forma significativa o que foi dado em sala como conteúdo. RESPOSTA: A
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RESOLUÇÃO: O professor ao ensinar um conteúdo deve saber o seu significado, o porquê está ensinando aquele conteúdo e conhecer suas aplicações. Todo processo do ensinar deve ser refletido e desenvolvido a partir de uma prática social. Devemos saber qual conhecimento deve ser ensinado na escola atendendo seu contexto social, possibilitando a compreensão e o seu uso para promover a transformação social. RESPOSTA: D
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RESOLUÇÃO: Ao escolher os algarismos 0, 3, 5 e 7 devemos fazer em duas etapas: -Terminando por zero temos, pelo princípio multiplicativo, 3 x 2 x 1= 6 (números com algarismos diferentes). - terminando por 3, 5 ou 7 temos, pelo princípio multiplicativo, 2 x 2 x 3 = 12 (números com algarismos diferentes). A resposta deve ser 6 + 12 = 18. Ao escolher 2, 4, 7 e 8 temos 4 x 3 x 2 = 24 (números com algarismos diferentes). Ao escolher 3, 4, 5 e 6 temos 4 x 4 x 4 = 64 (números com algarismos repetidos). Ao escolher 1, 2, 3, 4 temos 4 x 4 x 4 = 64 (números com algarismos repetidos). RESPOSTA: D
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RESOLUÇÃO: O ensino de matemática para o público de jovens e adultos deve ter características e modalidades adequadas às suas necessidades e disponibilidades. O ensino de matemática deve ser significativo, devendo ser apresentado conforme o contexto e o sujeito social. A relevância deve ser buscada a partir de situações cotidianas promovendo a concepção da relevância do conhecimento matemático. Linguagem matemática, notações matemáticas e visão científica não devem ser priorizadas no Ensino de Jovens e Adultos. RESPOSTA: C
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RESOLUÇÃO: A Linearidade na organização do currículo de matemática impõe uma sequência de conteúdos em que os alunos desenvolvem em cadeia. Não significa, por exemplo, que não possamos estar falando de números racionais (frações) quando estamos ensinando números naturais. As crianças veem frações e números naturais juntos em seus contextos diários. Demos um exemplo em que a estrutura de números necessariamente não não tem conexão e hierarquia como apresentado apresentado no currículo. A afirmação que os conteúdos matemáticos são dispostos dos mais simples para os mais difíceis e que cada novo assunto pode ser assimilado pelo aluno é falso. Necessariamente para resolver equações a partir do segundo grau, os alunos devem conhecer o conjunto dos números complexos, não significando que o seu entendimento seja mais fácil do que resolver uma equação com raízes complexas. RESPOSTA : E 48
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RESOLUÇÃO: O jogo, como produção de aprendizagem matemática de forma lúdica, busca a exploração de conceitos e procedimentos matemáticos, análise de dados e interpretação de soluções. Através de abstrações pode testar, validar e socializar o seu aprendizado matemático. Esquemas de ação são caminhos lógicos a serem seguidos para que possamos alcançar um objetivo. RESPOSTA: D
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AS QUESTÕES DISCURSIVAS TEM AS RESPOSTAS DADAS PELO INEP.
RESOLUÇÃO:
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RESOLUÇÃO:
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RESOLUÇÃO:
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