Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes elipses. 1 ecuación 2 ecuación 3 ecuación 4 ecuación 2 Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes elipses. 1 ecuación 2 ecuación 3 ecuación 4 ecuación 3 Halla la ecuación de la elipse conociendo: 1 puntos 2 puntos 3 puntos 4 puntos 4 Escribe la ecuación reducida de la elipse que pasa por el punto (2, 1) y cuyo eje menor mide 4. 5 La distancia focal de una elipse es 4. Un punto de la elipse dista de sus focos 2 y 6, respectivamente. respectivamente. Calcular la ecuación reducida de dicha elipse. 6 Escribe la ecuación reducida de la elipse que pasa por los puntos:puntos 7 Hallar las coordenadas del punto medio de la cuerda que intercepta la recta: x + 2y − 1 = 0 en la elipse de ecuación: x2 + 2y2 = 3. 8 Determina la ecuación reducida de un elipse cuya distancia focal es número y el área del rectángulo construidos sobre los ejes 80 u2.
Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes elipses.
1
1
2
3
4
Las distancias desde un punto de la elipse hasta cada uno de los focos se llaman radios vectores correspondientes a dicho punto. Para simplificar los cálculos, se supondrá inicialmente una elipse cuyo centro es el origen de coordenadas y cuyos focos se encuentran en el eje de abscisas. Así los focos serán F (c, 0) y F '' (-c , 0) y los ejes de la elipse son los ejes de coordenadas.
Cálculo de los radios vectores Dado un punto P(x, y) de una elipse centrada en el origen y con focos en F (c, 0) y F' (-c, 0) se tiene:
Demostración:
Si el punto pertenece a la elipse, ha de ser:
Operando:
Elementos de la elipse
Focos Son los puntos fijos F y F'. Eje focal Es la recta que pasa por los focos. Eje secundario Es la mediatriz del segmento FF'. Centro Es el punto de intersección de los ejes. Radios vectores Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF' .
Distancia focal Es el segmento de longitud 2c , c es el valor de la semidistancia focal . Vértices Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'. Eje mayor Es el segmento del semieje mayor.
de longitud 2a, a es el valor
Eje menor Es el segmento del semieje menor.
de longitud 2b , b es el valor
Ejes de simetría Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor. Centro de simetría Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.
Ecuaciones de la elipse
Ecuación reducida de la elipse Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son:
F' (-c,0) y F(c,0 ) Cu alquie r punto de la elipse cumpl e:
Esta expresión da lugar a:
Realizando las operaciones llegamos a:
Ejemplo Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos: F'(-3,0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.
S emi eje ma yor
S emi di s tan cia foc al
S emi eje me nor
E cua ció n re d uc i da
E xc e ntri
cida d
Ecuación reducida de eje vertical de la elipse
Si el eje principa l está en el de ordenad as s e obtendrá la siguiente ecuación :
Las coordena das de los focos son: F'(0, -c) y F(o, c) Ejemplo Dada la ecuación reducida de la elipse , hallar las coordenadas de los vértices de los focos y la excentricidad.
Ecuación de la elipse Si el centro de la elipse C(x 0 ,y 0 ) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(X 0 +c, y 0 ) y F'(X 0 -c, y 0 ). Y la ecuación de la elipse será:
Al quitar denominadores y desarrollar obtiene, en general, una ecuación de la forma:
Donde A y B tienen el mismo signo .
Ejemplos
se
Hallar la ecuación de la elipse de foco F(7, 2), de vértice A(9, 2) y de centro C(4, 2).
Dada la elipse de ecuación hallar su centro, semiejes, vértices y focos.
Ecuación de eje vertical de la elipse
,
Si el centro de la elipse C(x 0 ,y 0 ) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas F(X 0 , y+c) y F'(X 0 , y 0 -c). Y la ecuación de la elipse será:
Elementos de la elipse
Focos Son los puntos fijos F y F'. Eje focal Es la recta que pasa por los focos. Eje secundario Es la mediatriz del segmento FF'. Centro
Es el punto de intersección de los ejes. Radios vectores Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF' . Distancia focal Es el segmento de longitud 2c , c es el valor de la semidistancia focal . Vértices Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'. Eje mayor Es el segmento del semieje mayor.
de longitud 2a, a es el valor
Eje menor Es el segmento del semieje menor.
de longitud 2b , b es el valor
Ejes de simetría Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor. Centro de simetría
Arquímedes obtiene una elipse comprimiento una circunferencia en una dirección. Entonces Arquímedes dedujo el área de una elipse como una generalización del área del círculo. Una elipse tiene dos ejes de simetría que llamamos el eje mayor y el eje menor. Una elipse se puede definir como el lugar geométrico de los puntos P tales que la suma de las distancias desde P a dos puntos fijos F1 y F2 (l lamados focos) es constante. Estos dos focos están en el eje mayor a la misma distancia desde el centro de la elipse. En esta página podemos ver (intuitivamente) como el enfoque de Arquímedes coincide con esta definición de una elipse. Podemos usar el teorema de Pitágoreas para calcular la posición de estos dos focos.
A partir de la definición, un punto P en la elipse verifica: Una circunferencia es un caso especial de una elipse (cuando a = b). En este caso, los dos focos s on el mismo punto: el centro de la circunferencia.
Es el lugar geométrico de lo s puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
1 Focos: Son los puntos fijos F y F'. 2 Eje focal: Es la recta que pasa por los focos. 3 Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'. 4 Centro: Es el punto de intersección de los ejes. 5 Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'. 6 Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal. 7 Vértices: Son l os punto s de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'. 8 Eje mayor: Es el segmento longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.
de
9 Eje menor:Es el segmento longitud 2b, b es el valor del semieje menor.
de
10 Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.
ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE Ecuación de la elipse vertical con centro fuera del origen. Si el centro de la elipse se encuentra fuera del origen del plano y su eje focal es paralelo al eje x, se obtiene la siguiente ecuación: (x - h)2 /a2 + (y - k)2/b2 = 1
Los elementos de la elipse son: Centro: (h,k) Vértices: V(h+a,k), V'(h-a,k) Focos: F(h+c,k), F'(h-c,k) Vértices del eje menor: B(h,k+b) B'(h,k-b) Excentricidad: c/a LR: 2b2/a Ecuación de una elipse vertical Si una elipse tiene su eje principal vertical, su ecuación viene dada por:
Los vértices son los puntos ( x 0 ± b, y 0) y ( x 0, y 0 ± a) y los focos son ( x 0, y 0 ± c ). Reducir la ecuación 4 x 2 + 9y 2 - 8 x + 18y - 23 = 0. Si se trata de una elipse, hallar su centro, sus focos y sus vértices. Resolución:
· Se agrupan los términos en x 2 con los términos en x y los términos en y 2 con los términos en y : (4 x 2 - 8 x ) + (9y 2 + 18y ) - 23 = 0 · Se saca factor común, en cada paréntesis, el coeficiente del término de segundo grado: 4( x 2 - 2 x ) + 9 (y 2 + 2y ) - 23 = 0 · Se opera en cada paréntesis hasta obtener un cuadrado perfecto: x 2 - 2 x = x 2 - 2 x + 1 - 1 = ( x - 1)2 - 1 y 2 + 2y = y 2 + 2y + 1 - 1 = (y + 1)2 - 1
· La ecuación se puede escribir: 4[( x-1)2 - 1] + 9[( y + 1)2 - 1] - 23 = 0 4( x - 1)2 + 9( y +1)2 = 36 · Se divide entre 36:
· Centro de la elipse: (1, -1) · Focos: Para hallar los focos hay que observar que éstos se hallan en una recta horizontal que contiene al centro y a distancia c del mismo. Basta pues con sumar y restar c a la abscisa del centro. Los focos son · Los vértices se obtienen sumando y restando a las coordenadas del centro los semiejes de la elipse: (1 ± 3, -1), lo que da los puntos (4, -1) y (-2, -1) (1, -1 ± 2), lo que da los puntos (1, 1) y (1, -3) http://www.sectormatematica.cl/contenidos/elipec.htm
ECUACIÓN ESTÁNDAR DE LA ELIPSE Desarrollando esta ecuación, se obtiene: b2 x 2 - 2b2 x 0 x + b2 x 02 + a2y 2 - 2a2 y 0y + a2y 02 - a2b2 = 0,
Que se puede poner en la forma: Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0, donde A y B son del mismo signo.
La ecuación de una elipse centrada en el origen y con focos en F (c, 0) y F'' (-c, 0) es
