UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE SAN LUIS POTOSÍ FACULTAD DE INGENIERÍA ÁREA MECÁNICA ELÉCTRICA INGENIERÍA DE CONTROL II
PROYECTO FINAL ALUMNOS: PRIETO ZULETA LAURA MARCELA CERDA MORENO VÍCTOR HUGO KEMP TORRES TOMÁS DE JESÚS
M.I. JORGE RODRÍGUEZ RODRÍGUEZ
SEMESTRE 2017-2018/II
18 DE MAYO DEL 2017
INTRODUCCIÓN
Un sistema de control automático es una interconexión de elementos que forman una configuración denominada sistema, de tal manera que el arreglo resultante es capaz de controlarse por sí mismo (Hernández, 2010). Un sistema o componente del sistema susceptible de ser controlado, al cual se le aplica una señal r(t) a manera de entrada para obtener una respuesta o salida y(t), puede representarse mediante bloques, como se muestra en la figura 1.
Figura 1, La salida del sistema se debe a la interacción de la entrada con el proceso.
En el curso de Ingeniería de Control II, se estudian los temas relacionados al control de sistemas en tiempo discreto, siendo importante ya que actualmente, los controladores digitales son ampliamente utilizados en todo tipo de dispositivos, ya sean aparatos domésticos hasta procesos industriales. La tendencia actual de controlar los sistemas dinámicos de forma digital en lugar de analógica, se debe principalmente a la disponibilidad de computadoras digitales de bajo costo y a las ventajas de trabajar con señales digitales en lugar de señales en tiempo continuo (Ogata, 1996). OBJETIVO
El objetivo de este proyecto consiste en aplicar los conocimientos teóricos adquiridos tanto en el curso como en el laboratorio diseñando un controlador PID aplicado a un motor de CD, para así estabilizar su respuesta, manteniendo una velocidad constante aún con perturbaciones presentes. MATERIAL
Protoboard Motor CD, 5 v Placa programable Arduino® Uno
Sensor óptico de barrera H21A1
Potenciómetro 100 kΩ
Cables tipo Dupont
MARCO TEÓRICO Sistemas de control en tiempo discreto
Una señal en tiempo discreto es una señal definida sólo en valores discretos de tiempo (esto es, aquellos en los que la variable independiente t está cuantificada). En una señal de tiempo discreto, si la amplitud puede adoptar valores en un intervalo continuo, entonces la señal se denomina señal de datos muestreados. Una señal de datos muestreados se puede generar muestreando una señal analógica en valores discretos de tiempo. Ésta es una señal de pulsos modulada en amplitud. La figura 2, muestra una señal de datos muestreados. Una señal digital es una señal en tiempo discreto con amplitud cuantificada. Dicha señal se puede representar mediante una secuencia de números, por ejemplo, en la forma de números binarios. En la práctica, muchas señales digitales se obtienen mediante el muestreo de señales analógicas que después se cuantifican. El uso de un controlador digital requiere de la cuantificación de las señales tanto en amplitud como en tiempo; en el caso de este proyecto, la cuantificación se llevó a cabo con las revoluciones generadas por el motor de CD en un determinad tiempo. En la figura 3 se muestra una señal digital.
Figura 2, Señal cuantificada en tiempo continuo
Figura 3. Señal digital
Motores CD
El motor de corriente continua (denominado también motor de corriente directa, motor CC o motor DC por las iniciales en inglés direct current ) es una máquina que convierte energía eléctrica en mecánica, provocando un movimiento rotatorio, gracias a la acción de un campo magnético. En la figura 4 se muestran las partes principales de un motor de CD. Figura 4, Motor de CD. Un motor de corriente continua se compone principalmente de dos partes. El estator da soporte mecánico al aparato y contiene los polos de la máquina, que pueden ser o bien devanados de hilo de cobre sobre un núcleo de hierro,
o imanes permanentes. El rotor es generalmente de forma cilíndrica, también devanado y con núcleo, alimentado con corriente directa a través de delgas, que están en contacto alternante con escobillas fijas (también llamadas carbones). Es posible controlar la velocidad y el par de estos motores utilizando técnicas de control de motores de corriente continua, de las cuales una de éstas técnicas se convierte en el objetivo de este proyecto. Sensor óptico de barrera:
Un sensor fotoeléctrico o fotocélula es un dispositivo electrónico que responde al cambio en la intensidad de la luz. Estos sensores requieren de un componente emisor que genera la luz, y un componente receptor que percibe la luz generada por el emisor. Todos los diferentes modos de sensado se basan en este principio de funcionamiento. Están diseñados especialmente para la detección, clasificación y posicionado de objetos; la detección de formas, colores y diferencias de superficie, incluso bajo condiciones ambientales extremas. Figura 5, Sensor H21A1
Control Proporcional-I ntegr al-Derivativo (PI D)
Se dice que un control es de tipo proporcional-integral-derivativo cuando la salida del controlador v(t) es proporcional al error e(t), sumado a una cantidad proporcional a la integral del error e(t) más una cantidad proporcional a la derivada el error e(t): v(t) =
e(t) +
∫
Un control PID contiene las mejores características de un controlador proporcionalderivativo y un controlador proporcional-integral, las cualaes son las siguientes:
El amortiguamiento se reduce Decrece el tiempo de elevación El máximo pico de sobreimpulso se reduce Se mejora el margen de ganacia y el margen de fase El error en estado estable mejora por el incremento del tipo de sistema
DESARROLLO Muestreo de datos del motor de CD
La realización de este proyecto comienza con el armado en protoboard del circuito electrónico para el sensado y conteo de las revoluciones del motor de CD. Este circuito fue comunicado a través de un Arduino® Uno, en donde fueron programados dos códigos (mostrados dentro del anexo A), para muestrear los datos y para el control PID respectivamente. Dentro de la tabla 1, aparecen los datos muestreados de la velocidad del motor de CD en diferentes tiempos, desde que arranca hasta que desacelera.
Tabla 1,Valores muestreados de las revoluciones del motor en intervalos de 100 ms.
Con los datos anteriores se graficó su respuesta.
MUESTRA DE DATOS 80 70 60
69
70
700
800
70
70
70
69
69
69
69
55
50
44
M40 P R
30
30 20 10 0
10
13
16
200
300
0 0
100
400
500
600
900 1000 1100 1200 1300 1400 1500
Tiempo (ms) Figura6, Respuesta en Revoluciones por segundo contra tiempo en milisegundos.
Tabulación de revoluciones por minuto de acuerdo a la variacion de voltaje en la alimentacion del motor
Tabla 2, . Relación voltaje/revoluciones por minuto del motor. v: volts
Rev x min: revoluciones por minuto
F unción de transferencia de la planta (motor de CD)
La función de transferencia de nuestra planta, se obtuvo a través del método de mínimos cuadrados. Para éste método, se dará una entrada al motor y se observará el comportamiento a la salida. Las matrices que se obtuvieron a través de la implementación del método de mínimos cuadrados en el software MATLAB®, son las mostradas en la tabla 2. Tabla 2. Matrices generadas por el método de mínimos cuadrados dentro de MATLAB®.
Mediante el uso del código de mínimos cuadrados es posible obtener la función de trasferencia, raíces, polos y finalmente la visualización grafica de estos, todo esto a partir de los valores muestreados en lazo abierto, se presenta a continuación el código en particular para este caso utilizado. equiz=[ -10,0,1,0 -13,-10,1,1 -16,-13,1,1 -30,-16,1,1 -44,-30,1,1 -55,-44,1,1 -69,-55,1,1 -70,-69,1,1 -70,-70,1,1 -70,-70,1,1 -70,-70,1,1 -69,-70,1,1 -69,-69,1,1 -69,-69,1,1 -69,-69,1,1 -70,-69,1,1
] Y=[ 13 16 30 44 55 69 70 70 70 70 69 69 69 69 70 70] theta=((equiz'*equiz)^-1)*(equiz'*Y) num=[theta(3) theta(4)] den=[1 theta(1) theta(2)] T=0.1; Gz=tf(num,den,T) step(Gz) hold on Gs=tf([-90.01 1465], [1 6.984 21.27]) step(Gs)
Figura 7, Respuesta en tiempo continuo contra respuesta en tiempo discreto.
Figura 8, Polos y ceros de la panta
Figura 9, Raíces de la planta.
El sistema cuenta con los siguientes polos y ceros en la función de trasferencia Ceros = 0 22.9980
Polos = 0.6735 + 0.2092i 0.6735 - 0.2092i Funcion de transferencia de la planata en S
Funcion de transferencia de la planata en Z
Tiempo de muestra: 0.1 segundos Después de haber obtenido la función de transferencia de la planta a través del método de mínimos cuadrados, se procede a obtener el controlador PID utilizando el diseño de asignación de polos. La función de transferencia del controlador, es la siguiente:
= = − (z)
Figura x. Diagrama de bloques del sistema en lazo cerrado.
Si el método que se va a utilizar para obtener la función de transferencia del controlador es el diseño por asignación de polos, se tienen qué considerar tres variables principales, que son: ζ:
factor de amortiguamiento ;
del sistema
: tiempo de asentamiento ; : frecuencia natural
=, =., Error entrada escalón=0, Error rampa unitaria=0.1 =∗ζ =∗. = 6.666 Z, = −... Cos6.666√ 10.60.1± JSen6.666√ 1 0.60.1 Z, = 0.6703180.8611188±J 0.50377 Z, = 0.57722± J0.3407 Proponiendo: = . ,
Proponer :
+… + Mz = −.+. −.−.
z0.57722 J0.3407 z0.57722J0.3407 = z 1.15444z 0.47304 z 1.15444z0.47304z− = 11.15444z− 0.47304 z− Para que sea causal = 0 Lo siguiente es encontrarle los valores a y − bz− b z Mz = 11.15444z− 0.47304 z− Para el error de estado estable
= 1 − = lim → 1 1 1 = lim → ó: = − 1 = → lim [ 1 ] 1 = 0 0 = lim → 11
1 = 11.15444 0.47304 = 1 = 1 1.154440.47304 b1 b2 = 0.318596 ó : −
Tz 1Mz = 1 Esz = → lim z1 z1 kv T TMz = 1 Esz = → z1 z1 kv dMz |→ = 1 dz Tkv dMz | → = bz 1.15444z0. 4 7304b 1 5444 zb2z1. z 1.15444z0.473042 dz b1(0.3186) (b1 b2)(0.84556 ) =1 (0.3186) 0.52696b 0.84556b = 0.101505 ∗ 1 0.52696b 0.84556b = 0.101505 ó 2
Sistema de ecuaciones
= 0.318596 0.52696b 0. =84556b = 0.101505 0.52695
Resolviendo
Ecuación 1 y 2
= 0.208356
= =0.0.525764 52695 0.208356 0. = z 1.15444z0.47304 1 = 1 4974[ 0. 52955 0.208356 ] = 10.1.833470.0. 4709 2.07405 0.681396
2695 0.918158 0.54276043 0.103636 = 0.50. 4709 11.6218 18.5303 7.37952 Los sistemas en tiempo discreto, los cuales involucran señales de datos muestreados o señales digitales y posiblemente señales en tiempo continuo, también se pueden describir mediante ecuaciones en diferencias después de la apropiada discretización de las señales en tiempo continuo. Obteniendo las ecuaciones en diferencia de nuestro controlador se obtiene:
Gcz = UEzz = Dc UEzz Uz = 0.52695 0.918158 0.54276043 0.103636z33 Ez 0.4709 11.6218 18.5303 7.37952 z Uz = 0.526950.918158−− 0.54276043−− 0.103636− − Ez 0.470911.6218 18.5303 7.37952 Uz = [ba ba z1 ba z2 ba z3] Ez[bb z2 bb z1 bb]Uz UkT = ab ekT ba ekT T ba ekT 2T ba ekT3T bb μkT T bb μ kT 2T ba μkT 3T UkT = 24. 1.119ekT1. 9 497ekTT 1. 1 526ekT2T0. 2 2ekT3T 69μkTT39.5808 μ kT 2T15.671μkT3T
