Física II - Licenciaturas Física, Matemática – FCIEN-Udelar
Curso 2011
Repartido 3 – Potencial y energía electrostática Ejercicio 1.- (R.H.K 30.4
Las Las carg cargas as most mostra rada dass en la igu igura ra está están n i!a i!ass en el es"acio# es"acio# $etermine $etermine el %alor de la distancia distancia x de modo &ue la energía "otencial el'ctrica del sistema sea cero#
(a) * t'rminos de interacci+n, uno "or cada "ar de cargas# Numerando las cargas desde la i&uierda, ) siendo &i el %alor asoluto de la carga i. U 12
=
q1 q 2
U 13
4πε 0 d
U / U12U1*U2* / 0
⇒
q1q 2 d
−
q1 q3 (d + x )
q1 q 2 dx + q1 q 2 x 2
x = x =
x
=
x
=
−
⇒ U =
q 2 q3 x
=−
q1 q 2 4πε 0 d
=0
q1 q3
U 23
4πε 0 (d + x)
−
q1 q 3 4πε 0 (d + x)
−
q 2 q3 4πε 0 x
=
1 4πε 0
=−
q 2 q3 4πε 0 x
q q q q q1q 2 − 1 3 − 2 3 =0 (d + x) x d
⇒ q1q 2 x(d + x) − q1q 3 dx − q 2 q 3 d ( d + x) = 0
− q1 q 3 dx − q 2 q 3 d 2 − q 2 q 3 dx = 0 ⇒
− (q1q 2 − q1 q 3 − q 2 q 3 )d ±
( q1 q 2
+ q1q 2 x 2 + (q1q 2 − q1q 3 − q 2 q3 )dx − q 2 q3 d 2 = 0
− q1q 3 − q 2 q 3 ) 2 d 2 − 4q1q 2 (− q 2 q 3 d 2 )
2q1 q 2
− (q1 q 2 − q1 q 3 − q 2 q3 )d ±
( q1q 2
− q1 q3 − q 2 q 3 ) 2 d 2 + 4q1 q 2 q 2 q 3 d 2
2q1 q 2 (381,24 × 10 −18 ) d ±
/
(145343,9376 × 10 −36 )d 2 + (579373,056 × 10 −36 )d 2
(877,2 × 10 − ) (381,24 × 10 −18 ) d ± (851,303115 × 10 −18 ) d (877,2 × 10 −18 ) 18
1,4051d = 20,5143 cm
/ − 0,53587 d = −7,8237 cm
El %alor uscado es la raí "ositi%a. ! "1#40$1d " %0#$ c& Ejercicio %.- $os cargas "untuales "ositi%as de %alores Q ) 2Q están se"aradas una distancia 2 D#
Considere el e!e x como la recta &ue "asa "or las dos cargas, con Q en el origen ) 2Q en x / / 2D# a (alle una e"resi+n "ara el "otencial electroestático en el e!e x , en unci+n de x # 3e coloca una "artícula con carga q en el e!e x # 4ealice un os&ue!o de la energía "otencial de la carga seg5n su signo#
a 6otencial de una carga "untual.
V ( r )
=
q 4πε 0 r
q
donde r es la distancia de & al "unto
considerado V ( x) =
Q 4πε 0 x
+
2Q 4πε 0 2 D
− x
7se 8an tomado %alores asolutos "or&ue las distancias deen
ser 90 / Q 2 D − x + 2 x x 2 D − x 4πε 0 x 4πε 0 2 D − x 2 D − x 4πε 0 U/ &: como la e"resi+n de : es siem"re "ositi%a, el signo de U de"ende del signo de &# La unci+n es continua sal%o en los "untos donde se sit5an las cargas 7/0 ) /2$ donde la energía tiende a ; V ( x) =
Q
+
2Q
Q 1 / 4πε 0 x +
2
1
Física II - Licenciaturas Física, Matemática – FCIEN-Udelar
Curso 2011
Ejercicio 3.- Una esera de core aislada de <,00 cm de radio está a un "otencial de =00 V # >Cuántos
electrones se 8an eliminado del core "ara ele%ar el "otencial de la esera a este %alor? >@u' racci+n de los átomos de core están ioniados? >$+nde se localian esos iones?
El "otencial creado "or una esera 7"ara "untos eteriores es el mismo &ue crea una carga "untual con la misma carga colocada en su centro# Q 4π (8,854 × 10 −12 )(0,06)(500) 4πε 0 RV V ( R ) = / ⇒ Q = 4πε 0 RV ( R) = Ne ⇒ N = 4πε 0 R (1,602 × 10 −19 ) e / 2,0AB1010 Masa at+mica del Cu / <2,D2D=D2 u#m#a densidad del Cu. ρCu/ A,D2010* gm* 1 u#m#a# / 1,<<110-2G g 4
Masa de la esera de core. mCu /
3
π R 3 ρ Cu /
4 3
π (0,06)
3
(8920) = 8,0706 g
(8,0706)kg u.m.a kg − 62,929592 1,661 × 10 27 átomos u.m.a
N5mero de átomos de la esera. N aCu/
= 7,7212 × 10 25
átomos número de iones número de átomos
=
2,084 × 1010 7,7212 × 10
= 2,699 × 10 −16
25
2,G10-1< ionesátomos
Los iones se localian sore la su"ericie# Ejercicio 4.- (R.H.K 30.$3
Considere dos eseras conductoras, 1 ) 2, teniendo la segunda el dole del diámetro de la "rimera ) se"aradas "or una gran distancia# La esera más "e&ueHa tiene inicialmente una carga "ositi%a q ) la más grande está inicialmente sin carga# 3e conectan a8ora las eseras con un alamre delgado ) largo# a >C+mo se relacionan los "otenciales inales V 1 ) V 2 de las eseras? (alle las cargas inales q1 ) q2 sore las eseras en t'rminos de q#
42 / 2 41
inicialmente. &10 / &
&20 / 0
a l conectarse amas eseras, &uedan al mismo "otencial V 1 F =
q1 F
= V 2 F =
4πε 0 R1
q 2 F 4πε 0 R2
demás como &2F &1F / &
q 2 F
=
q1 F
⇒ &2F / 2&1F
4πε 0 (2 R1 )
=
q 3
q 2 F
=
: 1F / :2F
2q
= V 2 F =
V 1 F
3
q 12πε 0 R1
Ejercicio $.- (R.H.K 30.11
Una "artícula de carga q se mantiene en una "osici+n i!a en un "unto 6 ) una segunda "artícula de masa m, &ue tiene la misma carga q, se mantiene inicialmente en re"oso a una distancia r 1 de 6# Luego se suelta la segunda "artícula ) es re"elida "or la "rimera# $etermine su %elocidad en el instante en &ue se encuentre a una distancia r 2 de 6# 3ea q / *,1 JC, m / 1A mg, r 1 / 0,D0 mm ) r 2 / 2,= mm#
El sistema es conser%ati%o# q(V 1
v=
− V 2 ) =
2q(V 1
mv 2 2
− V 2 )
m
=
U 1
+ K 1 = U 2 + K 2
qV 1
+ 0 = qV 2 +
mv 2 2
⇒
q q − 4 4 r πε 0 r πε 1 0 2 =
2q
m
1 1 − r 1 r 2 =
2q 2
4πε 0 m
2q 2 ( r 2
− r 1 )
4πε 0 mr 1r 2
2
Física II - Licenciaturas Física, Matemática – FCIEN-Udelar
v
q 2 ( r 2
=
− r 1 )
=
2πε 0 mr 1 r 2
Curso 2011
(3,1 × 10 −6 ) 2 ( 2,5 − 0,90) × 10 −3 /2<12,*G −12 −6 −3 −3 2π (8,854 × 10 )(18 × 10 )( 2,5 × 10 )( 0,90 × 10 )
ms
'"%#)103&*s
Ejercicio .- Un "rot+n es dis"arado contra un n5cleo de oro 7"or el e!e x &ue está i!o en el origen de
coordenadas# No 8a) otras cargas el'ctricas "resentes# La %elocidad inicial del "rot+n, le!os del n5cleo de oro, es %0 / 1,010G ms, su masa es m" / 1,G10-2G g ) su carga el'ctrica %ale e / 1,<10-1D C# La carga del n5cleo de oro es GD e# 3u"oniendo &ue el n5cleo sigue i!o en el origen durante todo el "roceso >cuán cerca llega el "rot+n al n5cleo antes de "arar ) comenar de ale!arse? $es"recie las dimensiones del n5cleo#
El "rot+n con%ertirá su energía cin'tica en energía "otencial el'ctrica, lo &ue determinará el máimo acercamiento al n5cleo de oro# 3e su"one &ue la energía "otencial el'ctrica inicial es nula 7esta mu) ale!ado ) llega con energía cin'tica nula 7máimo acercamiento q1q 2 4πε 0 r r =
=
mv
2
⇒
2
79e
79e
2
4πε 0 r
=
mpv
2
2
⇒ r =
2 79e
2πε 0 m p v
2
/
(
)2 )(
79 1,602 × 10 −19 2π 8,854 × 10 −12 1,7 × 10 − 27 1,0 × 10 7
(
)(
)
2
/
2
2πε 0 m p v 2
/2,1BB10-1* m
Ejercicio +.- Una distriuci+n es'rica de carga de radio r con carga
total -q se sit5a conc'ntricamente dentro de un cascar+n es'rico de carga de radio R con carga total q# $esde el eterior de esta distriuci+n de carga se en%ía un electr+n con %elocidad % en direcci+n radial 8acia el centro de la distriuci+n de carga# >Cuál dee ser la %elocidad mínima %min "ara &ue el electr+n, atra%esando el cascar+n de carga "or un "e&ueHo oriicio "racticado en 'l, llegue a la distriuci+n es'rica central?
6ara no tener "rolemas de notaci+n llamaremos al radio de la distriuci+n es'rica interior 41 741 corres"onde a r 6otencial del sistema en r/ 4 :7r/4 / 0 7:7r "ara r 94 es el corres"ondiente al &ue crea una carga "untual, "ero con %alor @/-&&/0 6ara 41 K r K 4
el cam"o %ale r
V (r )
− V ( R ) = −
∫
E.dl
R
V ( r ) =
q 4πε 0
r
=−
∫ 4
R
E (r ) =
q
πε 0 r
2
q 2
4πε 0 r
dr ⇒
dirigido radialmente 8acia el centro
V ( r ) − 0 = −
q 4πε 0 r
+−
q 4πε 0 R
⇒
− 1 + 1 r R
La energía "otencial el'ctrica &ue tendrá el electr+n en la esera interior será. U7r /-e:7r Igualando a la energía cin'tica inicial.
v
=
eq 2πε 0 me
1 − 1 = r R
− eq 1 1 1 − + = me v 2 4πε 0 r R 2
eq ( R − r ) 2πε 0 m e rR
*
Física II - Licenciaturas Física, Matemática – FCIEN-Udelar
Curso 2011
Ejercicio ,.- (R.H.K 30.3
$ie aHos antes de &ue Einstein "ulicara su teoría de la relati%idad, ## 8om"son "ro"uso &ue el electr+n estaa constituido "or "e&ueHas "artes ) &ue su masa se deía a la interacci+n el'ctrica de las "artes# demás, sugiri+ &ue la energía era igual a mc2# (aga un cálculo a"roimado de la masa del electr+n de la siguiente manera. 3u"onga &ue el electr+n está com"uesto de tres "artes id'nticas, las cuales se traen desde el ininito ) se colocan en los %'rtices de un triángulo e&uilátero &ue tiene lados iguales al radio clásico del electr+n. r / 2,A210-1= m# "artir de esto. a (alle la energía "otencial el'ctrica total de este arreglo# $i%ida entre c2 ) com"are su resultado con el de la masa ace"tada "ara el electr+n 7m e / D,1110-*1 kg# El resultado me!ora si se su"onen más "artes 78o) en día se "iensa &ue el electr+n es una sola "artícula indi%isile#
a Energía del sistema U / U12U1*U2* / 6ara nuestro caso & 1/&2/&*/e* e
q1 q 2 4πε 0 r 12
+
q1q 3 4πε 0 r 13
+
q 2 q3 4πε 0 r 23
r12/r1*/r2*/r ) cada uno de los sumandos es igual a
2
36πε 0 r e2
U / *
e2
36πε 0 r
/ 12πε
0 r
/
(1,602 × 10 −19 ) 2
(
12π (8,854 × 10 −12 ) 2,82 × 10 −15
) /2,G2<=10
"
-1B
e2 12πε 0 r
"%#+3)10-14
m=
U c
2
=
2,7265 × 10 −14 ( 2,998 × 10 ) 8
2
= 3,03 × 10 −31 kg
7del mismo orden
Ejercicio /.- (R.H.K 30.14
En el rectángulo mostrado en la igura, los lados tienen una longitud de =,0 cm ) 1= cm, q1 / - =,0 µ C ) q2 / 2,0 µ C# a >Cuáles son los "otenciales el'ctricos en la es&uina ) en la es&uina ? >Cuánto traa!o eterno se re&uiere "ara mo%er a una tercera carga q3 / *,0 µ C desde 8asta , a lo largo de una diagonal del rectángulo? c En este "roceso, >se con%ierte el traa!o eterno en energía "otencial electrostática o %ice%ersa? E"li&ue# a
V
=
q1 4πε 0 l
+
q q = k 1 + 2 = 4πε 0 a l a q1
( − 5,0 × 10 −6 ) ( 2,0 × 10 −6 ) 15,0 × 10 −2 + 5,0 × 10 −2 = =DD1G :
(8,9876 × 109 )
"#0)104
q q V = k 1 + 2 = a l
(8,9876 × 10
6or deinici+n V $ − V = Ext
! $ −
9
(− 5,0 × 10 −6 ) ( 2,0 × 10 −6 ) -GGAD0A : ) 5,0 × 10 −2 + 15,0 × 10 −2 =
! E"# − $ q0
7sin im"ortar el camino entonces.
2"-+#,)10$
! $ Ext −
= q3 (V − V $ ) =
= q3 (V − V $ ) = (3,0 × 10 −6 )(6,0 × 10 4 − (−7,8 × 10 5 )) = 2,=1<= / 2,=
c El agente eterno lle%a &* desde un "unto de menor "otencial a otro de ma)or "otencial, "or lo &ue el traa!o eterno se con%ierte en energía "otencial electrostática#
B
Física II - Licenciaturas Física, Matemática – FCIEN-Udelar
Curso 2011
Ejercicio 10.- (R.H.K 30.40
l mo%erse un electr+n desde 8asta a lo largo de una línea del cam"o el'ctrico ilustrado en la igura, se realia sore 'ste un traa!o de *,DB10-1D # >Cuáles son las dierencias de "otencial el'ctrico a V B O V A, V C O V A ) c V C O V B? ! E"# − $
6or deinici+n. V $ − V =
q0
=−
! E − $ q0
En este caso &0 / -e ) el traa!o lo realia el cam"o E
! E − $
el'ctrico ⇒
= e(V $ − V ) / *,DB10-1D # ⇒
V $
− V =
! − $ e
=
3,94 × 10
−19
1,602 × 10
−19
= 2,B=D:
a :-:/ 2,B<: Como :C / : ⇒ :C-:/ 2,B<: c :C-:/ 0 Ejercicio 11.- (R.H.K 30.3
La igura muestra, de canto, una lámina ininita de densidad de carga "ositi%a P# a >Cuánto traa!o realia el cam"o el'ctrico de la lámina cuando una "e&ueHa carga de "ruea "ositi%a q0 se lle%a desde una "osici+n inicial, sore la lámina, 8asta una "osici+n inal, uicada a una distancia "er"endicular z de la lámina? Use el resultado de 7a "ara demostrar &ue el "otencial el'ctrico de una lámina ininita de carga "uede escriirse como. :/ :0 – 7P 2Q0 $onde :0 es el "otencial en la su"ericie de la lámina#
a
raa!o
&ue
%
E ! &lano − &
=
∫ q
0 E.dl
= q0
0
E
! &lano− &
= q0
σ
2ε 0
σ
q 0σ
∫ d% = 2 0
ε 0
E
−
! &lano− & q0
= V 0 −
ˆ .d% k ˆ k
ε 0
0
%
el
cam"o
el'ctrico.
%
∫ 2
ˆ .k ˆ) = q 0 (k
∫ 2
σ
0
ε 0
d% =
%
6or deinici+n V $ − V = − V ( % ) = V 0
realia
%
! E − $ q0
σ
2ε 0
⇒
E ! &lano − &
q0
= V &lano − V ( & ) = V 0 − V ( % )
%
=
Física II - Licenciaturas Física, Matemática – FCIEN-Udelar
Curso 2011
Ejercicio 1%.- (R.H.K 30.$0
Una carga "or unidad de longitud λ está distriuida uniormemente a lo largo de un segmento de línea recta de longitud L# a $etermine el "otencial 7eligiendo &ue sea cero en el ininito en un "unto P a una distancia y de un etremo del segmento cargado ) en línea con 'l 7%'ase la igura# Use el resultado de 7a "ara calcular la com"onente del cam"o el'ctrico en 6 en la direcci+n y 7a lo largo de la línea# c $etermine la com"onente del cam"o el'ctrico en 6 en una direcci+n "er"endicular a la línea recta#
a
)
dV (r ) =
kdq r
consideremos un d& / λd) situado a una distancia )# La distancia r 7del d& al "unto de oser%aci+n 6 %ale
6
r = ( + ' 0
)0
− '
(
V ( & ) =
k λ d'
∫ ( ( + ' 0
0
− ' )
(
∫ ( ( + ' 0
:76/ − k λ (n( ( ( + ' 0 − ' ) ) d&
(− d')
/ − k λ
( 0
0
− ' )
= −k λ (n( ( ( + ' 0 − () − ( ( + + ' 0 ) )
' 0 ( + ' 0 λ (n k = + ( ' ' 0 0
:76/ − k λ (n
' = ' − (
V ( ' ) = k λ (n
E '
=−
λ
4πε 0
E '
=−
' − ( ( ' − () − ' λ =− 2 4πε 0 ' ( ' − ()
V ( ' )
=
λ
4πε 0
' ' − (
(n
' ∂V ∂ λ ' (n / − λ ∂ = − (n 4πε 0 ∂ ' − ' ( ∂ ' ∂ ' 4πε 0 ' − (
− ( = ( ' )( ' − ()
λ
(
4πε 0 ' ( '
− ()
E '
=
( λ 4πε 0 ' ( ' − ()
c E /0 7aun&ue no se "uede determinar mediante deri%aci+n )a &ue se necesita saer el %alor del "otencial en un entorno, ) no solamente en un "unto#
<
Física II - Licenciaturas Física, Matemática – FCIEN-Udelar
Curso 2011
Ejercicio 13.- (R.H.K 30.$1
Una %arilla de longitud L tiene una distriuci+n de carga "or unidad de longitud dada "or λ / R x , donde R es una constante# Ssta se encuentra a lo largo del e!e x con uno de sus etremos en el origen 7 x / 0, tal como se muestra en la igura# a 3i se considera &ue el "otencial electrostático en el ininito es cero, encuentre V en el "unto 6 sore el e!e y. $etermine la com"onente %ertical, E), del cam"o el'ctrico en P a "artir del resultado de la "arte 7a 7"uede com"roarse tami'n "or cálculo directo# c >6or &u' no "uede determinarse E, la com"onente 8oriontal del cam"o el'ctrico en P , usando el resultado de la "arte 7a? d > &u' distancia de la %arilla, a lo largo del e!e y , el "otencial es igual a la mitad del %alor en el etremo i&uierdo de la %arilla?
a Consideremos un d&/ λd situado a una distancia del origen# El "unto 6 70,) está a una distancia r de d&, dado "or. r = x 2 + ' 2 (
∫ x
V ( & ) =
0
K
V ( ' ) =
(
k λ dx
4πε 0
2
∫ x
= kK
+ ' 2
xdx
0
2
+ ' 2
1 2
K 4πε 0
E '
=
K 4πε 0
+
1 −
2 xdx
∫ x 0
2
+ ' 2
=
kK
x
2
+ ' 2 1
2
( 0
=
K 4πε 0
2
(
+ ' 2 −
'
2
E '
=−
∂V ∂ K = − ∂ ' ∂ ' 4πε 0
(2
K ∂ − + ' 2 − ' / 4 ∂ ' πε 0
(2
+ ' 2 − ' /
− 1
2 '
(2
2
(
+ ' 2 − '
2
(
−
=
kK
'2
'
+ ' 2
(2
c E no "uede determinarse "or&ue el "unto 6 no es un "unto gen'rico, tiene ascisa /0, "or tanto no a"arece e"lícitamente en la e"resi+n de :# K(
d :7)/0/ 4πε 0 1 K( 2 2
(
4
/ 4πε 0 4πε 0 K
2
(
( = + ' 2 − ' ⇒ 2
+ (' + ' 2 = (2 + ' 2 ⇒
' =
2
(
+ '
2
( − ' ⇒ + ' = 2
2
( ( + ' ⇒ + ' = (2 + ' 2 2 2
2
3 ( 4
G
Física II - Licenciaturas Física, Matemática – FCIEN-Udelar
Curso 2011
Ejercicio 14.- (E!a&en gosto %010
a Considere un anillo uniormemente cargado de radio R ) carga Q# $eterminar el "otencial el'ctrico &ue crea dic8o anillo a una distancia del centro del mismo# Considere &ue el "otencial en el ininito es nulo# $iscuta el resultado otenido "ara x /0 ) x 99R# En los "untos x= -L ) x=+L se sit5an dos anillos como los anteriores 7uniormemente cargados con carga Q con un radio R=L, de modo &ue cada anillo está centrado sore el e!e x ) localiados en "lanos "er"endiculares al mismo# Considere una "artícula de masa m ) carga "ositi%a q &ue está restringida a mo%erse a lo largo del e!e x , como se muestra en la igura# $eterminar el "otencial el'ctrico entre los anillos en unci+n de x , "ara –L < x < L# c $emostrar &ue en esa regi+n el "otencial tiene un etremo relati%o "ara x /0# $etermine &u' ti"o de etremo es 7mínimo + máimo ) e%al5elo# d $etermine el %alor del "otencial V 7 x "ara x<
a 6otencial del anillo. 3ea Q
V
=
kdq
∫ r
=
0
V ( x
V ( x
k
Q
dq = r ∫
kQ r
0
= 0) =
kQ 0 + R
2
→ ∞) = lim x →∞
=
1 4πε 0
kQ
= x
2
+ R2
kQ R
kQ
= lim x →∞
kQ x
= 0 7como el de una carga "untual
+ R 6otencial total es la su"er"osici+n del "otencial &ue crea el anillo i&uierdo con el del anillo x
2
2
V ( x)
derec8o. V ( x)
c
=
dV dx
kQ
( x + ( ) 2 + (2
+
kQ
( x + ( ) 2 + (2
+
kQ
( x − ( ) 2 + (2
kQ
( x − ( ) 2 + (2
kQ kQ = + dx ( x + ( ) 2 + (2 ( x − ( ) 2 + (2 d
= V ) ( x) + V D ( x) =
−2( x + ( ) kQ / 2 2 2 ( x + () + (
(
)
3 2
−2( x − ( )
+ kQ
(
2 ( x − ( )
2
+
3 2 2 (
)
( x + ( ) ( x − ( ) dV ( 0 + ( ) ( 0 − ( ) = −kQ + ⇒ ( x = 0) = −kQ + 3 3 3 3 dx dx 2 2 2 2 2 2 2 2 (( x + ( ) + ( ) 2 (( x − () + ( ) 2 (( 0 + ( ) + ( ) 2 (( 0 − ( ) + ( ) 2 ( dV ( − ( x = 0) = −kQ = 0 78a) un etremo relati%o 3 dx 2 32 2 2 ( 2 ( ) ( 2 ( ) 2 d V d ( x + ( ) ( x − ( ) = − + kQ 3 3 dx dx 2 2 2 2 2 (( x + ( ) + ( ) 2 (( x − ( ) + ( ) 2 3 1 3 1 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x ( ( x ( x ( ( 2 ( x ( ) x ( ( x ( x ( ( 2 ( x ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) + + − + + + + − + − − − + − 2 d V 2 2 = −kQ + 2 3 3 dx (( x + ( ) 2 + (2 ) (( x − ( ) 2 + (2 ) dV
A
Física II - Licenciaturas Física, Matemática – FCIEN-Udelar
Curso 2011
− 3( x + () 2 − 3( x − () 2 1 1 = − + + + kQ 5 5 3 3 dx 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (( x + () + ( ) 2 (( x − ( ) + ( ) 2 (( x + ( ) + ( ) 2 (( x − ( ) + ( ) 2 2 2 3( x + () 2 3( x − ( ) 1 1 d V kQ = + − − 2 5 5 3 3 dx 2 2 2 2 2 2 2 2 (( x + () + ( ) 2 (( x − () + ( ) 2 (( x + () + ( ) 2 (( x − () + ( ) 2 2 2 3( 0 + ( ) 2 3( 0 − ( ) d V 1 1 ( x = 0) = kQ + − − 2 5 5 3 3 dx 2 2 2 2 2 2 2 2 (( 0 + () + ( ) 2 (( 0 − ( ) + ( ) 2 (( 0 + () + ( ) 2 (( 0 − ( ) + ( ) 2 2 2 3 ( 6 ( kQ 6 d 2V 2 3 (2 1 1 2 kQ + − − = − ( x = 0) = kQ − / 3 5 3 dx 2 ( (2 (2 ) 52 ( 2 (2 ) 52 ( 2 (2 ) 32 ( 2 (2 ) 32 ( 2 (2 ) 52 (2 (2 ) 32 ( ) ( ) 2 2 2 2 d 2V
d 2V
( x = 0) =
dx 2 V (0)
=
3 2kQ 1 kQ − 1 = = 3 3 2 3 2 2 (3 3 ( 2 ) ( 2) 2 ( ( 2) 2 ( 2kQ
kQ
kQ
+
( 0 + ( ) 2 + (2
( 0 − ( ) 2 + (2
d Usando el desarrollo de a)lor. V ( x) V ( x )
≅ V (0) + ≅
2 kQ (
dV (0) dx
+
x +
kQ 3
2
dx
2
2 (2
V ( x)
2
1 d V (0)
kQ
=
x
2
=
+
2 kQ
(
>0 "or lo tanto 8a) un mínimo
kQ
=
2 (2
= V (0) + +0+
=
2kQ 2 (
dV (0) dx 1
2 kQ
=
( 2
x +
kQ 3
2 2 2 (
1 d V (0) 2
x
dx
2
x
2
+ ...
2
x2
4 2 (
6or lo tanto la energía "otencial electrostática será.
U ( x )
= qV ( x ) ≅
2 kqQ (
+
kqQ 3
4 2 (
x2
Esto "uede inter"retarse como &ue q descriirá un M##3#, similar a la de un resorte de constante elástica
k ' =
kqQ 2 2 (3
e nálogamente a un resorte.
ω
=
k ' m
=
kqQ 3
2 2 m(
D
