Física II - Licenciaturas Física, Matemática – FCIEN-Udelar
Curso 2011
REPARTIDO N°1 Ejercicio 1.- Todos los objetos que nos rodean cotidianamente son eléctricamente neutros. Esto no
nos permite apreciar el alcance y la magnitud de la fuerza electrostática. Para poner de manifiesto esto realice realice el siguiente siguiente cálculo. cálculo. Determine Determine la fuerza electrost electrostátic ática a entre dos personas de 70 kg ubicadas a un metro si se quita a cada una el 0,01% de sus electrones. Ayuda: suponga que las pers person onas as está están n com compues puesta tas s por por agua gua (Pes Peso mol molecul ecula ar 18 g/mo g/mol) l) y utili tilice ce la rela relaci ción ón masa en gramos N = , donde donde N representa el número de partículas (moléculas de agua) y N A el N A peso molecular número de Avogadro.
= k
La fuerza de repulsión valdrá: F 12
q1 q 2 r 12, 2
N = N A
6,022
× 10 23 moléculas 70.000 g
=
2,342×1027 moléculas g 18 mol -4 -19 Carga de cada persona q = 0,01%N e =(1,00×10 )( 1,602×10 )( 2,342×1027)= ) 3,752×104 C Moléculas de agua de la persona: pe rsona:
= k
F 12
q1 q 2 r 12, 2
= (8,988 ×10 ) 9
mol
(3,752 ×10 4 )(3,752 ×10 4 ) 1
2
= 1,27×1019 N
El peso de la Tierra es de 5,86×10 25 N y el de la Luna 7,22×1023 N , por lo que si en lugar de ser haber sido 0,01% los electrones quitados a cada molécula, se hubiese quitado el 1%, la fuerza sería 1,27×1023 N (del orden del peso de la Luna)
Ejercicio Ejercicio 2.-
(R.H.K (R.H.K 27.3) En el trayecto de
retorno de un rayo típico (véase la figura) fluye una un a corri corrien ente te de 2,5 2,5 ×10 ×104A dura durant nte e 20 µs. µs. ¿Cuánta carga se transfiere en este proceso?.
I =
∆Q ⇒ ∆Q = I ∆t = (2,5×104A) (205×10-6s)= 0,50 C ∆t
Ejercicio 3.- (R.H.K 27.3) ¿Qué cantidades iguales de carga positiva tendrían que ponerse sobre
la Tierra Tierra y sobre sobre la Luna Luna para para neu neutra traliz lizar ar su atracc atracción ión gravit gravitato atoria ria? ? ¿Neces ¿Necesita ita usted usted conoc conocer er la distancia a la Luna para resolver este problema? Fuerza gravitatoria F G
=G
Fuerza electrostática F E
M T . M L
= k
Igualando ambas fuerzas: G q
=
(de atracción)
d 2 qT .q L d 2
= k
M T . M L d 2
q2 d 2
= k
(de repulsión si la carga es del mismo signo)
q2
⇒q=
d 2
GM T . M L k
(6,673 ×10 −11 N .m 2 / kg 2 )(5,98 ×10 24 kg ).(7,36 ×10 22 kg )
Repartido Nº 1
(8,988 ×10 ) N .m 9
2
/ C
2
=
5,72×1013C
1
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Ejercicio 4.- (R.H.K 28.4) En el experimento de Millikan, una gota de 1,64 µm de radio y 0,851g/cm 3 de densidad se encuentra en equilibrio cuando se aplica un campo eléctrico de 1,92 × 10 5 N/C. Determine la carga en la gota, en términos de la carga de un electrón.
Densidad ρ = 0,851g/cm3 = 851 kg/m3 Hay equilibrio entre el peso de la gota y la fuerza eléctrica: mg = F E= qE ⇒ q = La masa de la gota vale m
q
=
4π R 3 ρ g 3 E
=
= ρ V =
4 3
mg E
π R 3 ρ
4π (1,64 ×10 −6 ) 3 (851) (9,8) 3(1,92 ×10 5 )
=8,03×10-19 C =
5e
Ejercicio 5.- (R.H.K- 27.7) Tres partículas cargadas se encuentran en una línea recta y están separadas por una distancia d como se muestra en la figura. Las cargas q1 y q2 se mantienen fijas. La carga q3, la cual puede moverse libremente, está en equilibrio bajo la acción de las fuerzas eléctricas. Halle q1 en términos de q2.
Como q3 está en equilibrio, las fuerzas debido a q 1 y q2 (sobre q3) deben ser iguales y opuestas. q1q 3 q 2 q3 q1 q 3 q 2 q3 q1 = − k F1,3 + F2,3 = 0 ⇒ k 2 = −k 2 ⇒ k ⇒ = −q 2 ⇒ q1 = −4q 2 r 1,3 r 2,3 (2d ) 2 d 2 4 Ejercicio 6.- Suponga tres cargas como en la figura del ejercicio anterior. Las caras q1 y q3 son positivas e iguales. a) Si q2 es negativa, ¿Está en equilibrio?, Si q2 es positiva, ¿Está en equilibrio? b) ¿El equilib equilibrio rio es estable estable o inestabl inestable? e? Consider Considere e que q2 se puede mover en cualquier dirección. c) Si q2 está confinada a moverse sobre la recta que une las tres cargas, ¿qué tipo de equilibrio tiene?
Primeramente veamos en qué posiciones q2 puede estar en equilibrio. Como la fuerza coulombiana entre dos cargas eléctricas es central (la dirección de la misma es según la recta que une las 2 cargas), para que F12 y F32 se puedan anular, las tres cargas deben estar alineadas, de lo contrario no hay equilibrio. El punto de equilibrio, será por tanto el punto medio del segmento que une a las cargas q 1 y q3. Si q2 puede moverse en cualquier dirección, el equilibrio no puede ser estable, como se verá en los análisis siguientes. Supongamos que q2 está restringida a moverse en la mediatriz (perpendicular que pasa por el punto medio). Si q2 es positiva, las fuerzas entre las cargas son repulsivas. Si desplazo a q 2 en sentido de la mediatriz, la fuerza neta tiende a alejarla, por lo que en este caso el equilibrio es inestable. Si q2 es negativa, y se restringe a moverse sobre la mediatriz, entonces el equilibrio es estable (la fuerza neta es de restauración). r estauración). Supongamos que q2 se restringe a moverse en la dirección de la recta de las cargas. Si es positiva (fuerzas entre las cargas de repulsión), y la acerco hacia q 3 (disminuye su distancia con respecto a la de q 1), prima la fuerza que ejerce q 3 sobre la que ejerce q1, entonces la fuerza neta será hacia la izquierda (fuerza de restauración). Si por el contrario q 2 es negativa (fuerzas entre las cargas de atracción) atracción) y la muevo hacia hacia la derecha (la acerco a q3), prima la fuerza que ejerce esa carga, por tanto la atrae y la sigue alejando del punto de equilibrio. Nota: De acuerdo al teorema de Earnshaw (se probará más adelante, luego de ver la ley Gauss): en una región en la que hay un campo eléctrico creado por cargas fijas, ningún punto es de equilibrio estable, excepto sobre una de las cargas creadoras del campo).
Repartido Nº 1
2
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Ejercicio 7.- (R.H.K. 27.16 y18) Dos diminutas bolas semejantes de masa m están colgando de hilos de seda de longitud L y portan cargas iguales q como en la figura. Suponga que θ es tan pequeño pequeño que tan tan θ puede puede ser reemplaz reemplazado ado por su igual igual aproximado, sen θ. 1
2 3 a) Para esta aproximación demuestre que, para el equilibrio, que x = q L 2πε 0 mg en donde x es la separación entre las bolas. Si L = 122 cm, m= 11,2g, y x =4,70 =4,70 cm, ¿cuál es el valor de q? b) Suponga ahora que cada bola está perdiendo carga a razón de 1,20 nC/s. ¿Con qué velocidad relativa instantánea (= dx/dt ) se acercan entre sí las bolas inicialmente?
a) En equilibrio, la sumatoria de fuerzas es nula. x: Tsin θ = FE T
⇒ tg θ =
y: Tcos θ = mg
θ
F E mg
Por hipótesis tg θ ≈ θ ≈ sin θ = FE F E
x
3
=
=
kq x
2
⇒
2
x
2 L
=
kq
2
q L
2πε 0 mg
⇒q
=
2 L 1
1
2
mgx
x
2
2 3 ⇒ x =2kq L mg
2πε 0 mgx 3
L
⇒
=
2π (8,854 ×10 −12 )(11,2 ×10 −3 )(9,8)(0,0470) 3
mg
q 2 L 3 x = 2πε 0 mg
1,22
=
q= 2,28×10-8 C 1
1
3 2 −13 dq 2 x −13 dq 2 x dq 3 2 3 ⇒ dx = L = q = q q 2 2 3 3 3q dt dt mg dt dt π ε mg 2 π ε 3 0 0 q
b) x = dx dt
=
L
2 x dq 3q dt
=
2
0,0470
3 2,28 ×10
−8
(1,20 ×10 −9 )
= 1,65×10-3 m/s
Ejercicio 8.- (R.H.K. 28. 8) Halle el campo eléctrico (módulo dirección y sentido) en el centro del cuadrado de la figura. Suponga que q=11,8nC y a = 5,20 cm. Sugerencia: Coloque su sistema de referencia en una posición conveniente.
El campo que crea la carga +2q tiene la misma dirección y sentido contrario al que crea la carga +q. Además su módulo es el doble. Análogamente sucede con las cargas -2q y –q. Por tanto la configuración resulta, como se muestra en la figura, además sus módulos son iguales. El campo resultante será por tanto en la dirección vertical (según el versor ˆ ). j La distancia d de cada una de las cargas al centro del cuadrado vale 2
2d
=a
2
⇒
2
d
=
a
2
2
El módulo del campo que crea la carga +q vale: E 0 ET= E+q + E-2q + E+2q + E-q = (E-2q ET= 2E0(sen 45º j) =
4 kq a2
2 2
j=
=
kq
=
2kq
d 2 a2 + E+2q)/2 = E 0((cos 45º i + sen 45º j) +(-cos 45º i +sen45º j))
2
2 kq a
2
−9
2 (11,8 ×10 ) ˆ q ˆ j= j =1,11 j= 2πε 0 a 2 2π (8,854 ×10 −12 ) (0,0520) 2 2
×103 N/C j
Repartido Nº 1
3
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Ejercicio 9.- (R.H.K. 28. 11) a) En la figura de la izquierda, considere un punto a una distancia z desde el centro de un dipolo a lo largo de su eje. Demu Demues estr tre e que, que, para para valo valore res s gran grande des s de z, el camp campo o eléc eléctr tric ico o está está dado dado por por p 1 E ( z ) = 2πε 0 z 3 b) Compare con el campo en un punto de la bisectriz perpendicular c) ¿Cuál es la dirección de E?
kq 1 ˆ 1 k ( −q ) ˆ = kq k k + − 2 2 2 2 ( z + a ) ( z + a ) ( z − a ) ( z − a )
a) E( z ) = E +q ( z ) + E −q ( z ) =
1 1 kq − E( z ) = 2 2 2 z a a − + 1 1 z z
−2 −2 ˆ kq a a ˆ = − − + 1 1 k k 2 z z z m(m + 1) 2 m(m + 1)(m + 2) 3 −m = 1 mu + u u Desarrollo en serie de: (1 ± u ) 2!
3!
+ ...
con
u
Para nuestro caso: (1 − u )
−2
(1 + u )
= 1 + 2u +
−2
= 1 − 2u +
6 2 6
2
u2
+
u2
−
24
u3
+ ... = 1 + 2u + 3u 2 + 4u 3 + .
u3
+ ... = 1 − 2u + 3u 2 − 4u 3 + .
6 24
6
Desarrollando hasta el término de u2, resulta: kq
E( z )
=
E( z )
=
z 2
2 a −2 a −2 kq a a 2 a a k ˆ = ˆ = 1 − − 1 + k 1 + 2 + 3 − 1 − 2 + 3 z z z 2 z z z z
p 2( 2qa ) ˆ kq a ˆ 4kqa ˆ ˆ k 4 = = k k k = 3 2 3 3 2πε 0 z 4πε 0 z z z z
b) Según la figura que se muestra
E( x )
E +q
= E +q ( x ) +E −q ( x ) = −2 E +q
=
E( x )
kq
=
r 2
= −2
kq
(a
cosθ =
+ x 2 )
2
kq
(a
2
+ x
a 2
)
ˆ cos θ k
a2
+ x 2
ˆ k
a r
=
a a2
2kaq
=−
3
+ x 2
ˆ k
( a 2 + x 2 ) 2 3
E( x )
2 kaq
=−
a x 2 1 + x
2
3
2
ˆ k
=−
2kaq x
3
− 2 2 a 1 + ˆ x k − 2kaq k ˆ − ≈ = 3
x
p 4πε 0 x
3
ˆ k
Ejercicio 10.- (R.H.K. 28. 13) Un tipo de cuadripolo eléctrico esta formado por cuatro cargas colocadas en los vértices de un cuadrado de lado lado 2a. El punto P se encuen encuentra tra a una distan distancia cia x del centro centro del cuadri cuadripol polo o en una línea paralela paralela a los lados del cuadra cuadrado do como como se muestra en la figura. Para x >> >>a, demuestre que el campo eléctrico en P está dado, aproximadamente, por
Repartido Nº 1
4
<1
m
>0
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E ( x)
=
Curso 2011
2
3( 2qa ) 2πε 0 x
. Sugerencia: considere el cuadripolo como dos dipolos.
4
Consideremos a las dos cargas de la derecha como el dipolo 1 que apunta hacia arriba (situado a una distancia x-a), y las dos cargas de la izquierda como el dipolo 2 que apunta hacia abajo y a una distancia x+a. p
ˆ k
= E1 + E 2 = −
ET
a −3 a −3 1 − − 1 + k ˆ =− 3 4πε 0 x x x
4πε 0 ( x − a )
3
+
p
E T
4πε 0 ( x + a )
3
ˆ k =
=−
1 ˆ 1 k − ( x − a ) 3 ( x + a ) 3
p 4πε 0
p
Desarrollando hasta el primer orden: ET
ET
a −3 a −3 p p a 1 + 3 a − 1 − 3 a 1 − − 1 + k ˆ ˆ ˆ 6 k k =− − = − ≈ 3 3 3 4πε 0 x 4πε 0 x x x 4πε 0 x x x x p
=
(2 ) a − qa 3 k ˆ 3 = 2πε 0 x x
(
)
3 2qa 2 ˆ − k 4 2πε 0 x
E T
(
)
3 2qa 2 ˆ =− k 2πε 0 x 4
varilla a no conduc conductor tora a de Ejercici Ejercicio o 11.- (R.H.K. 28. 31) Una varill longit longitud ud finita finita L cont contie iene ne una una carg carga a tota totall q, distr distribu ibuida ida uniformemente a lo largo de ella. a) Demuestre que E en el punto P sobre la bisectriz perpendicular en la figura está dado por
E ( y )
q
=
( + 2
2πε 0 y L
1 2 2 4 y
)
b) Intente repetir el cálculo para un punto P’ cualquiera.
Consideremos un elemento de carga dq situado a una distancia x’ del origen (situado en el punto de medio de la varilla) dq = λdx’
d E( y ) y
r
dq
=
r
x ' = −
r
=
ˆ
i
kdq
r
r 3
ˆ
j
+y
x ' 2 +y 2
d E( y )
k λ dx '
=
(− x' ˆi + y jˆ)
3
( x' 2 + y 2 ) 2
x’ L / 2
E x
=
∫
dE x
− L / 2
L / 2
=
∫
− k λ x ' dx '
(
− L / 2 x ' 2 + y 2
3
=0
ya que el
)2
integrando es una función impar y se integra entre –L/2 y +L/2.
Repartido Nº 1
5
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L / 2
E y
=
L / 2
∫
∫
=
dE y
(
− L / 2 x ' 2 + y 2
− L / 2
L / 2
k λ ydx '
)
3
par) Usando la siguiente expresión:
E y
E y
x' x ' 2 + y 2
= 2 1 λ 4πε 0 y
L / 2
=
∫
2
L
∫
=
− L / 2
E x
= k λ −
+ 4 y
E x
=
λ 4πε 0
1
+ y 2
=
L / 2
∫
dE y
=
2
x − L / 2
= k λ y
∫
x + L / 2
E y
E y
L + y 2 2 2
+ y 2 ) 2
∫ (
(u
2
+ y 2 ) 2
λ 4πε 0 y
+ 4 y 2 q
∫
3 2 2 a
2
x + L / 2
∫ (
= k λ
3
+ y 2 ) 2
x − L / 2
+ y 2 ) 2
=λ y
∫
x − L / 2
E = λ x 2πε 0
L / 2
∫
(u
3
(
3
2
+ y 2 ) 2
=
=λ y 2 y
u
3
u2
1
=−
udu
2
2
+ a2
=
+ y 2 ) 2
=
1 1 − 2 2 ( 2 x + L) 2 + 4 y 2 ( 2 x − L ) + 4 y
dx'
− L / 2 ( x − x') 2
(du)
+4y
(u + )
u ( − du ) u2
udu
1 1 = k λ − + 2 2 x + L + y 2 x − L + y 2 2 2
= k λ y
ˆ j 2
2πε 0 y L
ˆ +y j
x + L / 2
x + L x − L 2 = k λ y2 2 − 2 y L 2 x − L + y 2 x + + y 2 2 2 =
+ 4 y
= k λ
x + L / 2
3
)
+
(ya que el integrando es
y 2 2
=
2
x − L / 2
3
( −du)
y 2 L2
E
r =( x − x ' ) ˆ i
k λ ydx'
(
x
2
L
λ L 2πε 0 y L
− L / 2 ( x − x') 2
− L / 2
E y
∫
2
= 2k λ y
2 2 + − 2 2 ( 2 x + L ) 2 + 4 y 2 ( 2 x − L ) + 4 y
L / 2
E y
x − L / 2
2
=
3
x + L / 2
0
=
3
a2 u2 + a2
)
2
k λ ( x − x ' ) dx '
(
3
dx '
u
=
2
y
− L / 2 ( x − x ') 2
u2
+
3 2 2 a
= 2k λ y
L
L / 2
dE x
2
)
∫ ( '
λ y = 2k λ
L
0
b) Para un punto P cualquiera¸
E x
∫ (u
du
L / 2
= 2k λ y 2 y
(
− L / 2 x ' 2 + y 2
2
L / 2
dx '
∫
= k λ y
Curso 2011
=
+ y 2 ) 2 x + L / 2
u u
2
+ y 2
x − L / 2
2 x + L 2 x − L k λ 2 2 − 2 2 y 2 x − L + y 2 2 x + L + y 2 2 2
( 2 x + L ) ( 2 x − L ) − 2 2 ( 2 x − L ) 2 + 4 y 2 ( 2 x + L ) + 4 y
cargas puntuales puntuales positivas positivas Ejercici Ejercicio o 12.- (R.H.K. (R.H.K. 27. 19) Dos cargas iguales q se mantienen separadas por una distancia fija 2 a. Una carga puntual de prueba se localiza en un plano que es normal a la línea que une a estas cargas y a la mitad entre ellas.
Repartido Nº 1
6
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Determine el radio r del círculo en este plano para el cual la fuerza sobre la partícula de prueba tiene un valor máximo.
Equivale a determinar el R para el cual el campo total debido a las dos cargas es máximo. Las componentes horizontales del campo se cancelan entre sí. El campo total resultante es:
= 2 E y j
E T
= 2 E y =
E T
dE T dR
dE T dR
2
kq 2
r
sin θ = 2
kq R r 2 r
= 2kq
R 3
r
= 2kq
R
R
2
+a
2
= 2kq
3
R
( R
2
+
3 2 2 a
)
1 2 2 3 3 2 2 2 2 1 2 2 2 ( R + a ) 2 − R ( R + a ) 2 ( 2 R ) 2 2 2 ( ) ( ( ) ) + + − − 3 2 R a R a R a R = 2kq 2 = 2kq = 2kq 3 3 2 2 2 2 3 ( R + a ) ( R + a ) ( R 2 + a 2 ) 2
= 0 ⇔ ( a − 2 R ) = 0 ⇔ R = ± 2
2
a2 2
=±
2 2
a
Ejercicio 13.- (R.H.K. 28. 46) Un electrón está limitado a moverse a lo largo del eje del anillo de carga. Demuestre que el electrón puede realizar oscilaciones pequeñas, cuando pasa por el centro del anillo, con una
frecuencia dada de ω =
eq 4πε 0 mR 3
Para Para que el electr electrón ón realic realice e pequeñ pequeñas as oscila oscilacio ciones nes en un M.A.S. debe verificar la ecuación del oscilador armónico: 2 + ω x x
(o una constante)
=0
Calculemos el campo que crea un anillo de carga. Por Por la sime simetr tría ía del del prob proble lema ma,, la comp compon onen ente te de dE perpendicular al eje del anillo (dE ⊥ ) se anula, como se muestra en la segunda figura. E
= E ˆi = E x ˆi =
r = a
E
2
2
+ x =
R
2
= E ˆi = E x ˆi =
Repartido Nº 1
∫ dE ˆ =∫ dE cos x i
+ x = ( R + x 2
2
2
)
ˆ i θ
1 2
kdq x ˆ i 2 r
∫ dE ˆi = ∫ dE cosθ ˆi = ∫ r x
kxdq ˆ i
∫ r
=
3
kx(λ Rd ϕ ) ˆ i 3 r
∫
=
q Rd ϕ ) 2π R ˆi =
kx(
∫
=
3
r
7
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q Rd ϕ ) 2π R ˆi =
kx(
E
E
=
=
∫
∫
3
r
kxq ˆ i
3
r
kxqd ϕ ˆ i 2π r 3
qx
=
(
)
3
kxq ˆ = i 2π r 3
Curso 2011
2π
∫
d ϕ =
0
kxq ˆ 2π iϕ 0 2π r 3
=
kxq ˆ i 3 r
ˆi
4πε 0 R 2 + x 2 2 Sobre el electrón, electrón, al apartarlo apartarlo del centro del anillo, anillo, experimentará experimentará una fuerza de restauració restauración n que tiende a llevarlo nuevamente. Haciendo x<<1. =−eE =−eE ( x →o)ˆi qx ˆi E( x → 0) = por lo que la ecuación de movimiento resulta 3 4πε 0 R F
m x
=−
eq 4πε 0 R
x 3
+ x
⇒
eq 4πε 0 mR 3
x
=0
eq
⇒ ω =
4πε 0 mR 3
Ejercicio 14.- Considere un aro de material plástico de radio R tal que, una carga q1 positiva está distribuida uniformemente en una mitad del aro, mientras que en la otra mitad se distribuye otra carga q2 también positiva (q2 ≠ q1) también uniforme. a) Calcule Calcule el vector vector campo eléctri eléctrico co en un punto sobre sobre el eje perpendic perpendicular ular al plano plano del anillo anillo que pasa por por su centro (eje de simetría). b) Se col coloc oca a una una carg carga a - q sobre el eje del anillo, a una distancia z =l de su plano. Calcule el trabajo que debe realizar un agente externo para mover la carga sobre el eje hasta z =0 =0 y dejarla ahí en reposo. ¿En qué dirección y sentido tiene que actuar la fuerza externa para que este movimiento sea posible? c) ¿Cuá ¿Cuáll serí sería a la fuerza fuerza exte extern rna a de módulo módulo mínimo mínimo nece necesa sari ria a para para que al libe libera rarr la carga carga en z =l , su movimiento sea sobre el eje? ¿En qué sentido se movería?
a) El campo del anillo lo consideramos como la suma de una componente según la dirección del eje del anillo (z) (E ||) y otra perpendicular a dicho eje (E ⊥, paralelo al 0xy) E = E + E E = E||k Consideraremos que la mitad superior tiene la carga q 1 y la inferior q2 (q1> q2) A su vez E || = E||1+ E||2 kdq1 z kzdq1 = 3 Análogamente a lo visto en el ejercicio anterior: dE ||1= dE1 cosθ = r 2 r r q q q dq1 = λ 1 Rd ϕ = 1 Rd ϕ = 1 d ϕ dq 2 = 2 d ϕ r = R 2 + z 2 π R π π E||= E||=
kzdq1
kzdq 2
∫ r +∫ r 3
kz
π r 3
(q ϕ 1
3
π 0
Repartido Nº 1
kzdq1
kzdq 2
∫ r +∫ r
=
+ q 2 ϕ π 2π ) =
3
kz π r 3
3
=
kz r 3
π
q1
kz
2π
q2
kz q1
∫ π d ϕ + r ∫ π d ϕ = r 3
π
0
( q1 (π − 0) + q 2 (2π − π ) ) =
3
kz r 3
π
π
kz q 2
∫ d ϕ + r
3
0
( q1 + q 2 )
8
π
2π
∫ d ϕ =
π
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Curso 2011
( q1 + q 2 ) z E||=
(
4π ε 0 R
2
+
z
2
)
3 2
q1 se extiende desde ϕ = 0 a ϕ = π.
kdq1 R
dE⊥1= dE1.sinθ =
kRdq1
=
que tiene dirección radial, pero por simetría la componente x 3 r r r (dE⊥.cosϕ) se anula, y solo aporta la componente según la dirección y (dE ⊥.sinϕ). Además un elemento simétrico de q2, tendrá una componente que se opondrá al correspondiente a q 1, por tanto deberemos integrar entre 0 y π la siguiente expresión q q kR 1 − 2 sin ϕ d ϕ kR(dq1 − dq 2 ) sin ϕ kR( q1 − q 2 ) π π sin ϕ d ϕ = = r 3 r 3 π r 3 π
E⊥=
kR ( q1
∫
2
− q2 )
sin ϕ d ϕ =
3
π r
0
kR( q1 − q 2 ) E⊥=
r 3
2 R
( 2) =
(
π r
4π ε 0 π R
4πε 0 R
2
+
z
2
2
z
+
2
∫ sin ϕ d ϕ =
kR( q1
π r
π
( − cos ϕ ) 0 =
kR ( q1
− q2 )
π r 3
( − cos π + cos 0 )
R( q1 − q 2 )
=
2
2π
2
− q2 ) 3
0
3
)
π
ε 0
( R
2
+
z
2
)
(si q 1> q2 entonces E = -E⊥ j)
3 2
( q1 − q 2 ) R
( q1 + q 2 ) z E=
3
( q1 − q 2 )
(
π
− q2 )
kR( q1
)
k-
3
2π
2
2
ε 0
( R
2
+
z
2
)
3
j
2
b) El desplazamiento será según la dirección z, por lo que la fuerza perpendicular a esta dirección será nulo (sólo importará la fuerza según el versor k). Ante la acción del campo campo del anillo, la carga -q experimentará una fuerza de origen eléctrico que que la acelerará en el sentido –k (por ser la carga negativa). Por tanto para que la carga no se acelere, el agente externo debe realizar una fuerza igual y contraria a la de origen eléctrico (es decir igual a qE k). Como el desplazamiento va desde z=l a z= 0 (en dirección –k), y la fuerza del agente externo es según +k, el trabajo efectuado por el agente externo es negativo. ˆ ).( −dz k ˆ ) = −qE dz = F.d s = ( qE ll k ll
dW
0
( q1 + q 2 ) z
∫ q
W =
(
)
dz =
3
q ( q1 + q 2 ) 4πε 0
0
∫ ( R
2
)
+ z
2
−
3 2 zdz
=
l 4πε 0 R + z 2 Para calcular esta primitiva hacemos: u= R 2+z2 ⇒ du = 2z dz l
∫ ( R + z ) 2
W
=
W =
2
q( q1
−
2
2
3 2 zdz
+ q2 )
4πε 0
=
∫
u
3 2
∫ ( R
2
du 2
0
+ z
2
)
−
=
1 2
3 2 zdz
=
l
+ q 2 ) − 1 + 4πε 0 R
q( q1
−
1
R 2
+ l 2
∫
u
−
3 2 du
=
1 u 2
+ q 2 ) − 4πε 0
−
1 2
1 − 2
= −u
−
1 2
=−
1
R 2
+ z 2
0
q ( q1
1 R
2
+ z 2
= q( q1 + q 2 ) − 1 + 4πε 0 l R
1 R
2
+ l 2
c) La fuerza mínima que debe hacer el agente externo para empezar el movimiento es qE(z=l). Ejercicio 15.- (R.H.K. 28. 47) Un electrón es proyectado
Repartido Nº 1
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Curso 2011
como en la figura con una velocidad de v o = 5,83×106 m/s y a un ángulo de θ =39,0º; E =1870 =1870 N/C (dirigido hacia arriba), d = 1,97 cm, y L=6,20 cm. ¿Golpeará el electrón a cualquiera de las placas? Si golpea a una placa, ¿a cuál de ellas golpeará y a qué distancia del extremo izquierdo?
Las fuerzas que actuarán sobre el electrón son el peso (mg hacia abajo) y la debida al campo eléctrico (eE también hacia abajo, pues el campo es hacia arriba pero la carga es negativa). mg + eE e e = g + E ≈ E (debido a la diferencia de órdenes) ma = mg +eE ⇒ a = m m m Movimiento del proyectil x (t )
= v0 cosθ t
y (t )
a
= v 0 sin θ t −
t* instante en que alcanza la altura máxima: t * =
v 0 sin θ a
=
2
mv 0 sin θ
2
v sin θ a v0 sin θ = y (t *) = v0 sin θ 0 − = a 2 a
Altura máxima: y max
y max
=
2
mv 0 sin 2 θ 2eE
=
(9,109 × 10 −31 )(5,83 × 10 6 ) 2 sin 2 (39,0) 2(1,602 × 10 −19 ) / 1870)
⇒ ymax > d choca con la placa superior
t = 2
1 2v0 sin θ a
d = v 0 sin θ t −
a 2
t 2
eE 2
v 0 sin
2
θ
2a
= 2,14×10
-2
t 2 ⇒
t 2
−
2
=
mv0 sin
2
θ
2eE
m > d= 1,97×10-2 m
2v 0 sin θ a
t +
2d a
=0
2 2 2d 1 2mv0 sin θ 2md 2v0 sin θ 2mv0 sin θ ± = ± − 4 − 4 a eE eE 2 a eE
Debo tomar el menor de los dos…
t = 2
1 2mv0 sin θ eE
2 2mv0 sin θ 2md − = 8,9987×10-9 s − 4 eE eE
Distancia de impacto: impacto: x*= x(t)= x(t)= v0 cos θ t = 4,0771×10-2 m Distancia de impacto: impacto: x*= 4,08×10 4,08×10-2 m
Ejercicio 16.- (R.H.K. 28. 52) Suponga Suponga un dipolo eléctrico en un campo campo eléctrico eléctrico uniforme. Las
dos cargas del dipolo están unidas por una varilla rígida y de masa despreciable comparada con las masas de las cargas. Determine la frecuencia de las pequeñas oscilaciones del dipolo en función de su momento dipolar p, su inercia rotacional I , y la magnitud del campo eléctrico E . Segunda cardinal:
I θ
=τ =−p ×E
⇒
I θ
=− pE sin
Para pequeñas oscilaciones sin θ ≈ θ = − θ
pE θ I
Repartido Nº 1
2 ⇒ ω =
pE I
⇒ f =
1 2π
pE I
10
