REMAT - Apontamentos (2008«-»2009)

Licenciatura em Engenharia Civil RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Elementos de apoio Aulas Práticas Bruno Costa Manuel Trigo Neves Miguel Ladeira Paulo Guedes Novembro 2008

LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Exercícios propostos – Índices

0. Revisões geometria de massas ............................................................................................................4 Problema 1..........................................................................................................................4 Problema 2..........................................................................................................................6 1. ESFORÇO AXIAL ......................................................................................................................................7 1.1. Noção de tensão e extensão ................................................................................................7 1.2. Lei de Hooke.............................................................................................................................7 1.3. Contracção lateral. Coeficiente de Poisson. ....................................................................8 1.4. Dimensionamento por tensões de segurança .................................................................8 1.5. Barras constituídas por dois materiais - Homogeneização .........................................8 Problema 1..........................................................................................................................10 Problema 2..........................................................................................................................10 Problema 3..........................................................................................................................11 Problema 4..........................................................................................................................11 Problema 5..........................................................................................................................11 Problema 6..........................................................................................................................12 Problema 7..........................................................................................................................12 Problema 8..........................................................................................................................13 Problema 9..........................................................................................................................13 Problema 10 .......................................................................................................................14 Problema 11 .......................................................................................................................14 Problema 12 .......................................................................................................................14 Problema 14 .......................................................................................................................15 Problema 15 .......................................................................................................................16 Problema 16 .......................................................................................................................16 Problema 17 .......................................................................................................................17 2. FLEXÃO PLANA ........................................................................................................................................18 Problema 1..........................................................................................................................18 Problema 2..........................................................................................................................19 Problema 3..........................................................................................................................20 3. TORÇÃO......................................................................................................................................................21 Problema 1..........................................................................................................................21 Problema 2..........................................................................................................................21 4. DEFORMAÇÃO DE VIGAS SUJEITAS A FLEXÃO PLANA ...............................................................22 4.1. Método da integração da elástica .......................................................................................22 4.2. Método da viga conjugada ou dos pesos elásticos .......................................................23 Problema 1..........................................................................................................................24 Problema 2..........................................................................................................................26 Problema 3..........................................................................................................................27 Problema 4..........................................................................................................................28 Problema 5..........................................................................................................................31 Problema 6..........................................................................................................................32 Problema 7..........................................................................................................................33 5. TEORIA DA ELASTICIDADE ...................................................................................................................34 Problema 1..........................................................................................................................34 Problema 2..........................................................................................................................34 Problema 3..........................................................................................................................34 Problema 4..........................................................................................................................34 Problema 5..........................................................................................................................37 Problema 6..........................................................................................................................37 Problema 7..........................................................................................................................37 Problema 8..........................................................................................................................38 Problema 9..........................................................................................................................39 6. FLEXÃO DESVIADA..................................................................................................................................40 2/64

LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Exercícios propostos – Índices

Problema 1..........................................................................................................................40 Problema 2..........................................................................................................................41 Problema 3..........................................................................................................................43 Problema 4..........................................................................................................................43 Problema 5..........................................................................................................................43 7. FLEXÃO COMPOSTA ...............................................................................................................................44 7.1. Tensões normais em flexão composta..............................................................................44 7.2. Equação do eixo neutro ........................................................................................................45 Problema 1..........................................................................................................................46 Problema 2..........................................................................................................................47 Problema 3..........................................................................................................................47 Problema 4..........................................................................................................................48 Problema 5..........................................................................................................................48 8. NÚCLEO CENTRAL ..................................................................................................................................52 Problema 1..........................................................................................................................52 Problema 2..........................................................................................................................53 Problema 3..........................................................................................................................53 Problema 4..........................................................................................................................54 9. ENCURVADURA ........................................................................................................................................58 9.1. Problema de Euler...................................................................................................................58 9.2. Comprimento de encurvadura .............................................................................................58 8.2.1. Barras isoladas.......................................................................................................58 9.2.2. Barras de estruturas trianguladas planas .......................................................59 9.3. Esbelteza ...................................................................................................................................59 9.4. Curvas de projecto de acordo com R.E.A.E. ....................................................................59 9.5. Verificação da segurança em relação ao estado limite de encurvadura por varejamento......................................................................................................................................61 9.6. Dimensionamento tendo em conta a encurvadura por varejamento.........................61 Problema 1..........................................................................................................................62 Problema 2..........................................................................................................................62 Problema 3..........................................................................................................................62 Problema 4..........................................................................................................................63 Problema 5..........................................................................................................................63 Problema 6..........................................................................................................................63 Problema 7..........................................................................................................................64 Problema 8..........................................................................................................................64

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LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Exercícios propostos 0 – Revisões geometria de massas

0. Revisões geometria de massas Problema 1 Considere a secção transversal recta representada na Figura 1. Determine as características mecânicas da secção.

5 cm

5 cm

5 cm 5 cm 5 cm 15 cm

Figura 1 Resolução A = 0.05 ⋅ 0.25 + 0.05 ⋅ 0.05 + 0.05 ⋅ 0.10 = 0.02 m 2 ( 0.05 ⋅ 0.25 ) ⋅ 0.025 + ( 0.05 ⋅ 0.05 ) ⋅ 0.075 + ( 0.05 ⋅ 0.10 ) ⋅ 0.125 ' ' = = 0.05625 m x G 0.02 ( 0.05 ⋅ 0.25 ) ⋅ 0.125 + ( 0.05 ⋅ 0.05 ) ⋅ 0.025 + ( 0.05 ⋅ 0.10 ) ⋅ 0.05 ' ' = = 0.09375 m y G 0.02

0.05 ⋅ 0.25 3 I x ' = + 0.05 ⋅ 0.25 ⋅ ( 0.125 − 0.09375 ) 2 + 12 0.05 ⋅ 0.05 3 + + 0.05 ⋅ 0.05 ⋅ ( 0.025 − 0.09375 ) 2 + 12 0.05 ⋅ 0.10 3 + + 0.05 ⋅ 0.10 ⋅ ( 0.05 − 0.09375 ) 2 = 10338 .54E − 8 m 4 12 0.25 ⋅ 0.05 3 + 0.05 ⋅ 0.25 ⋅ ( 0.025 − 0.05625 ) 2 + I y ' = 12 0.05 ⋅ 0.05 3 + + 0.05 ⋅ 0.05 ⋅ ( 0.075 − 0.05625 ) 2 + 12 0.10 ⋅ 0.05 3 + + 0.05 ⋅ 0.10 ⋅ ( 0.125 − 0.05625 ) 2 = 4088 .54E − 8 m 4 12 I x ' y ' = 0.05 ⋅ 0.25 ⋅ ( 0.125 − 0.09375 ) ⋅ ( 0.025 − 0.05625 ) + + 0.05 ⋅ 0.05 ⋅ ( 0.025 − 0.09375 ) ⋅ ( 0.075 − 0.05625 ) + + 0.05 ⋅ 0.10 ⋅ ( 0.05 − 0.09375 ) ⋅ ( 0.125 − 0.05625 ) = −3046 .88E − 8 m 4

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tg ( 2α α ) =

2 ⋅ I x ' y '

=

2 ⋅ ( −3046 .88E − 8 ) = −0.975 ⇒ α α = −22.14º 10338 .54E − 8 − 4088 .54E − 8

I x ' − I y ' I x ' + I y ' I x ' − I y ' 4 + I x = cos (2α α ) + I x ' y ' ⋅ sen (2α α ) = 11578 .07E − 8 m

2

I y =

I x ' + I y '

2

2

−

I x ' − I y '

2

4 cos (2α α ) − I x ' y ' ⋅ sen (2α α ) = 2849 .02E − 8 m

5.625 cm x'' x'

G -22.14°

y'' 15.625 cm

x y

y'

Figura 2

x'

Ix'

Ix'y'

x

Iy'

y y' Figura 3 5/64


Problema 2 Considere as secções transversais rectas representadas nas Figuras 4 e 5. Determine as características mecânicas das secções.

25.80 cm

x 60 cm 54.20 cm

A = 0.39 m 2 I x = 0 .03102 m 4

I y = 0 .00938 m 4

26.86°

G

x' 30 cm

30 cm

40 cm y

y'

Figura 4

10.00 cm

10.00 cm 15.00 cm

10.00 cm A = 0 .065 m 2 I x = 3.45766 E − 4 m 4 I y = 8.89250 E − 4 m 4

10.00 cm

G x'

-19.78º

11.15 cm

10.00 cm

x

15.58 cm y

y'

Figura 5

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LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Exercícios propostos 1 – Esforço axial

1. ESFORÇO AXIAL 1.1. Noção de tensão e extensão N (kN ) - Esforço axial; A m 2

- Área da secção transversal recta;

∆L (m ) - Variação de comprimento.

Tensão

σ σ =

L

L

N    = N = Pa ; kPa ; MPa   2 A  m  

∆L

Extensão

ε ε =

∆L (a dim ensional ) L

N

Figura 6 1.2. Lei de Hooke   E  N 2 = Pa ; kN 2 = kPa ; MPa ; GPa  - Módulo de elasticidade ou módulo de Young m    m

Lei de Hooke

σ σ = ε ε ⋅ E =

σ σ = ε ε ⋅ E

N N N ⋅ L ∆L ⇒ ⇒ ∆L = - Expressão da variação de comprimento de uma barra de ⋅ E = A L A E ⋅ A

secção constante sujeita a um esforço axial constante.

∆L =

N ⋅ L + α α ⋅ ∆t ⋅ L - Expressão da variação de comprimento de uma barra de secção constante sujeita à E ⋅ A

actuação simultânea de um esforço axial constante e de uma variação de temperatura.

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1.3. Contracção lateral. Coeficiente de Poisson. ε ε l - Extensão longitudinal; ε ε t - Extensão transversal; ν ν - Coeficiente de Poisson (adimensional).

ε ε t = −ν ν ⋅ ε ε l

∆ V = ( ε ε l + ε ε t , x + ε ε t , y ) = ε ε l ⋅ ( 1 − 2ν ν ) V i

1.4. Dimensionamento por tensões de segurança Nos elementos sujeitos a esforço axial, sem que haja risco de varejamento no caso de barras comprimidas, a verificação de segurança consiste em satisfazer a condição: σ σ Sd ≤ σ σ Rd

No caso de barras rectas sujeitas a esforços axiais simples, o valor de cálculo da tensão actuante é definido pela expressão: σ σ Sd =

N Sd A

N Sd - valor de cálculo do esforço normal actuante, determinado tendo em conta as combinações de acções e A

os coeficientes de segurança; - área da secção transversal da barra;

1.5. Barras constituídas por dois materiais - Homogeneização Considerando que os dois materiais , 1 e 2 , se encontram ligados de forma a ser impossível qualquer movimento relativo entre eles, teremos:

∆L =

N 1 ⋅ L N 2 ⋅ L A E ⇔ N 1 = N 2 1 ⋅ 1 = E 1 ⋅ A1 E 2 ⋅ A2 A2 E 2

L

1 2

designando m =

E 1 E 2

∆L

- coeficiente de homogeneização em material 2 ;

N Figura 7 8/64


obtém-se N 1 + N 2 = N  N = N A1 ⋅ m ⇔ 2  1 A2

 N 2   N  1

  A1

⋅ 

  A2

= N 2



⋅ m + 1 = N



A1 A2

que permite determinar o esforço axial em cada material;

⋅ m

N  σ 2 = σ ( A2 + m ⋅ A1 ) que permite determinar a tensão normal em cada material.  σ σ 1 = m ⋅ σ σ 2

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Problema 1 Considere a barra de aço com secção transversal variável, representada na Figura 8. Determine: a) O diagrama de esforços axiais axiais na barra; b) Os deslocamentos dos pontos B , C e D considerando: i. só o carregamento representado na figura. ii. além do carregamento representado uma variação uniforme de temperatura de -15 ºC. c) Determine qual a variação de temperatura que aplicada à barra anula o deslocamento do nó D , para as condições da alínea b) i. d) Determine qual deve ser o valor da força F 1 que anula o deslocamento do nó D , para as condições da alínea b) ii.

A

3.00 m

B 150 kN 2.00 m

C 1.00 m

100 kN

D

F1=200 kN Figura 8 Dados: E aço aço = 200 GPa 2

AAB = 15 cm

α =

-5

-1

1.2E ºC 2

2

ABC = 10 cm

ACD = 5 cm

Problema 2 Considere a barra de aço com secção transversal variável, representada na Figura 9. Determine: a) O diagrama de esforços axiais axiais na barra; b) Os deslocamentos dos pontos B , C e D considerando: i. só o carregamento representado na figura. ii. além do carregamento representado uma variação uniforme de temperatura de +20 ºC. c) Determine qual a variação de temperatura que aplicada à barra anula o deslocamento do nó D , para as condições da alínea b) i. d) Determine qual deve ser o valor da força F 1 que anula o deslocamento do nó D , para as condições da alínea b) ii.

A 2.00 m

B

100 kN 2.00 m

F1=250 kN

C

2.00 m

D 80 kN Figura 9

Dados: E aço aço = 200 GPa 2

AAC = 15 cm

α =

-5

-1

1.2E ºC 2

ACD = 5 cm

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Problema 3 Considere a estrutura representada na Figura 10 constituída por barras circulares de aço F e e 360 : a) Dimensione a barra AC ; b) Determine a posição final do nó C .

A

B

Dados: E aço aço = 206 GPa

σ rd =

235 MPa

C

0.80

100 kN Figura 10 Problema 4 Considere a estrutura representada na Figura 11 em que se considera a barra BCD infinitamente rígida. O tirante AC é realizado por uma barra cuja secção transversal tem a área de 5 cm2. Determine a posição final do nó D, supondo a estrutura solicitada pela força indicada e considerando a actuação simultânea de uma variação uniforme de temperatura na barra AC de 35 ºC.

D 100 kN A

1.00 m

C 2.00 m

B

Dados: E aço aço = 206 GPa

α =

-5

-1

1.2E ºC

3.00 m

Figura 11 Problema 5 Considere a estrutura representada na Figura 12. a) Dimensione as barras AB e BC , admitindo que não existem problemas de instabilidade na barra comprimida; b) Determine os deslocamentos do nó B .

150 kN C

B

3.00 m

Dados: Barra AB (cobre): E cobre cobre = 115 GPa

σ rd rd =

120 MPa

σ rd =

235 MPa

A

Barra BC (aço): E aço aço = 206 GPa

4.00 m

Figura 12 11/64


Problema 6 Considere a estrutura representada na Figura 13. Admitindo que as barras ABC e DE são infinitamente rígidas calcule: a) o deslocamento do nó C ; b) as variações da área da secção transversal e do volume da barra AD .

A

150 kN

B

C

3.00 m

D

E

4.00 m

4.00 m

Figura 13 Dados: Barra AD :

2

E AD AD = 200 GPa

AAD = 5x3 cm

Barra BD :

ν =

0.3

2

E BD BD = 100 GPa

ABD = 20 cm

Problema 7 Considere a estrutura representada na Figura 14. a) Dimensione as barras AB e BC para o estado limite último de resistência ( considere γS = 1.5) admitindo que não existem problemas de instabilidade na barra comprimida; b) Determine os deslocamentos do nó B .

150 kN

Dados:

400 kN

Barra AB (cobre): E cobre cobre = 115 GPa

σ rd =

120 MPa

σ rd =

235 MPa

C

B

Barra BC (aço): E aço aço = 206 GPa

3.00 m

A

4.00 m

4.00 m

Figura 14

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Problema 8 Considere a estrutura representada na Figura 15. Admitindo que a barra OBC é infinitamente rígida calcule: a) a posição da carga rolante ( d ) que provoca um deslocamento de 1,2 cm no nó C ; b) as variações da área da secção transversal e do volume da barra AB para a posição da carga determinada na alínea anterior.

A d (m)

3.00 m

O

B

200 kN

C

Dados: E AB AB = 200 GPa ν = 0.3

2

AAB = 5x3 cm

2.00 m

4.00 m

Figura 15 Problema 9 Considere a estrutura representada na Figura 16. Admitindo que a barra ABCD é infinitamente rígida calcule o deslocamento do nó D .

E cobre cobre = 120 GPa

Barra EB (aço): E aço aço = 200 GPa

1.50 m

F

Dados: Barra FC (cobre):

D 15 kN

C 2

AFC = 8 cm

2.50 m

4.00 m

E B

2

AEB = 5 cm

3.00 m

A 2.00 m

Figura 16

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Problema 10 Considere a viga rígida estrutura representada na Figura 17, suspensa por um cabo de aço e outro de cobre. Determine em que condições a viga ficará na posição horizontal.

A

C

L (m)

Dados:

a/2 (m)

Barra AB (aço): E aço aço = 210 GPa

10 kN

B

Barra CD (cobre):

D

E cobre cobre = 115 GPa

a (m)

Figura 17 Problema 11 Considere a viga rígida estrutura representada na Figura 18, suspensa por três cabos, sendo um de aço (EF ) e os outros de cobre. Considerando que todos os cabos apresentam uma secção com 0,60 cm2 e que a viga se mantém na posição horizontal, determine: a) os esforços nos cabos; 3.00 m b) as tensões que se instalam nos cabos considerando a actuação simultânea de uma variação uniforme de temperatura de +5 ºC.

A

E

3.00 m

B

C

3.00 m

F

D

Dados: Barra EF (aço): E aço aço = 206 GPa

α aço =

-5

Barras AB e CD (cobre): E cobre cobre = 115 GPa

-1

1.2E ºC

α cobre =

-5

20 kN -1

1.6E ºC

Figura 18 Problema 12 Considere a estrutura representada na Figura 19 e sabendo que a secção transversal da barra ABCD apresenta uma área de 3,5 cm2. determine: a) as reacções nos apoios A e B ; b) a tensão instalada no tramo BC .

A

B

C

90 kN 2.00 m

D

180 kN 3.00 m

4.00 m

Figura 19 14/64


Problema 13 Considere a estrutura representada na Figura 20. Para a solicitação indicada determine os deslocamentos do nó C .

A

Dados:

2.00 m

Barras AB e CD (aço): E aço aço = 206 GPa

2

Aaço = 5 cm

B

Barra BC (cobre): E cobre cobre = 115 GPa

50 kN

2

0.80 m

Acobre = 8 cm

C

30 kN

1.20 m

D Figura 20

Problema 14 Considere a estrutura representada na Figura 21 constituída por uma barra composta por dois materiais ligados de forma a ser impossível qualquer movimento relativo entre eles. Para a solicitação indicada determine: a) as tensões instaladas em cada material; b) o deslocamento do nó B .

A

1 2

Dados:

3.50 m

2

E 1 = 70 GPa

A1= 9 cm

E 2 2 =210 GPa

A2 = 2 cm

2

B 100 kN Figura 21

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Problema 15 Na estrutura representada na Figura 22 a barra ADE supõe-se infinitamente rígida. Além do carregamento indicado considere que a barra BD está sujeita a uma variação de temperatura de +50 ºC. Considere que a escora EC é constituída por um tubo de aço com 100 cm de diâmetro exterior e 5 cm de espessura, preenchido integralmente por betão. Determine: a) as reacções de apoio; b) as tensões instaladas nos materiais que compõem a barra EC ; c) verifique a segurança do tirante BD ( considere γS = 1.5). B Barra BD (aço): 20 mm E aço aço = 200 GPa -5 -1 α aço = 10E ºC f yd yd = 200 MPa

4.00 m

Φ=

5.00 m

40 kN/m 5.00 m

Barra EF (aço/betão): E aço aço = 200 GPa E betão betão = 20 GPa

A

D

E

90 cm

betão aço

3.00 m

100 cm

C

Figura 22

E Problema 16 Na estrutura representada na Figura 23 a barra ACDF supõe-se infinitamente rígida. Além do carregamento indicado considere que a barra EF está sujeita a uma variação de temperatura de +15 ºC. Considere que a escora DB é constituída em 100 kN.m betão armado. Determine: a) as reacções de apoio; b) as tensões instaladas nos materiais que compõem a barra EF ; C

3.00 m

D

200 kN

Barra EF (aço): Φ=

20 mm E aço aço = 200 GPa -5 -1 α aço = 10E ºC

F 50 kN/m

3.00 m

4Ø12

20 cm

A

20 cm

Barra DB (aço/betão):

B

E aço aço = 200 GPa E betão betão = 20 GPa 2.00 m

2.00 m

1.50 m

Figura 23 16/64


Problema 17 Na estrutura representada na Figura 24 a barra ABC supõe-se infinitamente rígida. Considere que a escora AD é constituída em betão armado. Determine: a) as reacções de apoio; b) o deslocamento vertical do nó B ; c) as tensões instaladas nos materiais que compõem a barra AD ;

E

Barra EB (aço): Φ=

32 mm E aço aço = 200 GPa

2.00 m

C

Barra AD (aço/betão):

B

E aço aço = 200 GPa E betão betão = 30 GPa 4.00 m

6Ø16

25 cm

200 kN/m A 1.50 m

3.00 m

D 3.00 m

Figura 24

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LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Exercícios propostos 2 – Flexão Plana

2. FLEXÃO PLANA Problema 1 Considere a viga da Figura 25, sujeita ao carregamento aí indicado. Desenhe os diagramas de esforços transversos e momentos flectores. Considerando que a viga será realizada com uma peça cuja secção transversal é a indicada na Figura 26 responda às seguintes questões. a) Determine a tensão normal máxima que se instala na viga; viga; b) Sabendo que o material que constitui o perfil é o aço Fe360 (σRd = 235 MPa), e que o factor de segurança a empregar nas verificações de segurança é 1.5 ( γ = 1.5), comente o resultado da alínea anterior; c) Caso a secção não seja capaz de suportar os esforços de flexão instalados, calcule o reforço da alma do perfil para que tal deixe de acontecer, e indique no alçado da viga em que áreas o colocaria. d) Proceda de forma idêntica à alínea alínea anterior, mas agora supondo supondo que o reforço é realizado por adição de chapas nos banzos do perfil; e) Supondo ainda que o perfil não possui suficiente capacidade resistente à flexão para as as solicitações aplicadas, e admitindo a possibilidade de se poder incrementar a altura da alma do perfil, determine qual o valor mínimo que seria necessário para verificar a segurança; f) Verifique a segurança em relações relações às tensões tangenciais tangenciais de corte admitindo uma tensão tangencial resistente de τRd = 135 MPa; g) Suponha que o carregamento indicado se encontra subavaliado em 100%, ou seja a viga irá estar na realidade solicitada com o dobro da carga. Indique que tipo de reforço seria mais eficaz, dimensione-o e localize no alçado as áreas onde deverá ser aplicado. h) Considerando que a viga será realizada realizada com uma peça cuja secção transversal é a indicada na Figura 27 27 determine as tensão normal máxima e a tensão tangencial máxima que se instala na viga. 30 kN/m 8 kN

15 kN.m

A

B C 4.20 m

1.40 m

Figura 25 74 mm

74 mm 12 mm

160 mm

12 mm

160 mm 6 mm

6 mm

12 mm

Figura 26

12 mm

Figura 27 18/64


Problema 2 Considere a estrutura da Figura 28, sujeita ao carregamento aí indicado. Admitindo que a barra ABCD é infinitamente rígida: a) Desenhe os diagramas de esforços transversos e momentos flectores, supondo os elementos EB e FC com igual secção e constituídos pelo mesmo material; b) Dimensione as barras EB e FC , adoptando como material o aço Fe360 ( σRd = 235 MPa) e para factor de segurança o valor 1.5 (γ = 1.5). Considere como secção: i. cantoneira de abas iguais; ii. perfil UNP; iii. varão; c) Determine o alongamento da barra FC , considerando para módulo de Young do material E = 200GPa, e uma secção constituída por: i. uma cantoneira de abas iguais; ii. um perfil UNP; iii. um varão; d) Dimensione a viga ABCD , tendo como base a verificação da segurança à flexão, e admitindo os seguintes perfis: i. IPE; ii. IPN; iii. HEB; Discuta qual das soluções é a mais económica; e) Para cada um dos perfis obtidos na alínea anterior, determine determine qual a tensão tangencial de corte máxima que se instalaria. Verifique a segurança ao corte para cada um dos casos ( τRd = 135 MPa); f) Por razões de novas condições de utilização, suponha que o carregamento da viga é incrementado em 50%. Indique, separadamente, quais os reforços a adoptar para respeitar a segurança ao corte e flexão, e localize sobre o alçado as áreas a intervencionar.

E

F

6.00 m

50 kN

A

B

C D

100 kN/m

2.0 m

3.0 m

1.0 m

Figura 28 19/64


Problema 3 Considere a viga da Figura 29, sujeita ao carregamento aí indicado. Desenhe os diagramas de esforços transversos e momentos flectores. Considere que a viga será realizada com uma peça cuja secção transversal é a indicada na Figura 30 e que o seu material constituinte apresenta os seguintes valores resistentes de cálculo para as tensões normais de compressão e de tracção: σRd,+ = 15 MPa e σRd,- = 30 MPa. a) Verifique a segurança da da viga sobre os apoios. Considere que o factor de segurança a empregar nas verificações de segurança é 1.5 (γ = 1.5); b) Verifique a segurança da viga a meio vão; c) Determine qual deve deve ser o valor resistente de cálculo para tensões tangenciais tangenciais do material de forma a ser garantida a verificação da segurança.

2 0 kN

50 kN

A

B

20 kN

C

2.00 m

D

2.80 m

2.80 m

E

2.00 m

Figura 29 10 cm

10 cm

10 cm

10 cm 6 cm

18 cm

Figura 30

20/64

LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Exercícios propostos 3 – Torção

3. TORÇÃO Problema 1 Dada a estrutura representada na Figura 31, solicitada por uma força vertical de 100 kN, determine: a) O diagrama diagrama de tensões tangenciais na secção A produzido pelos momentos torsores considerando uma secção transversal recta rectangular de 30 x 40 cm² ; b) O diagrama diagrama de tensões tangenciais na secção A produzido pelos momentos torsores considerando uma secção transversal recta circular cheia com 30 cm de diâmetro; c) O diagrama diagrama de tensões tangenciais na secção A produzido pelos momentos torsores considerando uma secção transversal recta circular oca com 30 cm de diâmetro exterior e 5 cm de espessura; Figura 31 Dados: G (módulo de elasticidade transversal) = 80 GPa

Problema 2 Considere a barra de secção variável ( AB secção cheia e BCD secção tubular representada na Figura 32. A barra encontra-se encastrada numa das extremidades e sujeita aos momentos torsores indicados. a) Determine a rotação na secção A; b) Determine a rotação na secção A admitindo que a barra AB apresenta secção rectangular de 30 x 60 mm² ; c) Pretendendo-se reduzir a metade a rotação na secção A à custa da substituição da barra AB por um tubo com o mesmo diâmetro exterior do tubo BCD , calcule qual deve ser a sua espessura.

3.00 m

2.00 m

2.00 m

100 mm

esp. 5 mm

50 mm

40 kN.m A

100 kN.m B

50 kN.m C

D

Figura 32 Dados: G (módulo de elasticidade transversal) = 80 GPa

21/64

LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Exercícios propostos 4 – Deformação de vigas sujeitas a flexão plana

4. DEFORMAÇÃO DE VIGAS SUJEITAS A FLEXÃO PLANA 4.1. Método da integração da elástica Uma barra prismática submetida a flexão pura assume como deformada um arco de circunferência. Em regime elástico, a curvatura da superfície neutra pode ser expressa por

1 ρ ρ ρ ρ

=−

M ( z ) EI

Sendo M o momento flector, E o módulo de elasticidade do material que compõem a peça e I o momento de inércia da secção transversal relativamente ao eixo neutro. Sabendo que a curvatura de uma curva plana num ponto de coordenadas (x,y) é dada por 1

=

ρ ρ ρ ρ

y ' '

(1 + ( y ' ) 2 )

3

2

e considerando que 1 + ( y' ) 2 ≅ 1 podemos escrever que 1 ρ ρ ρ ρ

= y ' ' ⇔ y ' ' = −

M (z ) EI

sendo esta equação designada por equação diferencial da elástica e o produto EI designado por rigidez à flexão da barra. Integrando resulta z M

y ' = − ∫ ∫ 0

( z )

EI

dz + C 1

z z M

y = − ∫∫ ∫ ∫ 00

sendo que y ' = dy

dz

( z )

EI

dz +C 1z + C 2

= tgθ ≅ θ ( z ) rad .

22/64


4.2. Método da viga conjugada ou dos pesos elásticos

Viga Real

Viga Conjugada pk

p (kN/m)

+

+ z

z

+

T (kN)

+

Tk

-

-

M (kN.m)

Mk

+

+ Figura 33

K p (z) =

M (z) EI

K K y ' (z) = T (z) y (z) = M (z)

Condições fronteira

Viga Real

Viga Conjugada

θ θ ≠

0 y = 0

T K ≠ 0 M K = 0

θ θ =

0 y = 0

T K = 0 M K = 0

θ θ ≠ 0 y ≠ 0

T K ≠ 0 M K ≠ 0

θ θ e = θ θ d

T e K = T e K M K = 0

y = 0 θ θ e ≠ θ θ d

y ≠ 0

T e K ≠ T e K M K ≠ 0

Figura 34 23/64


100 kN

Problema 1 Dada a estrutura representada na Figura 35, solicitada por uma força vertical de 100 kN, determine pela integração da equação diferencial 3.00 m da elástica: i) Os deslocamentos angular e linear da secção C. ii) O deslocamento linear máximo no troço AB.

A

B 5.00 m

C

2.00 m

D

Figura 35 Dados: E (módulo de elasticidade) = 30 GPa 2 Secção 30x60 cm

Resolução

M (kN.m)

200 kN.m

-

i)

-

A

B z1

C z2

5.00 m

2.00 m

D Figura 36 Tramo AB

Tramo BC

M ( z 1 ) = −40z 1

M ( z 2 ) = −200 + 100 z 2

'' = 40z EI y AB 1 ' 2 EI y AB = 20z 1 + C 1

EI y AB = 20 / 3z 13 + C 1z 1 + C 2

'' = −100 z + 200 EI y BC 2 ' 2 EI y BC = −50z 2 + 200 z 2 + C 3

EI y BC = −50 / 3z 23 + 100 z 22 + C 3 z 2 + C 4

Condições fronteira EI y AB ( z 1 = 0) = 0 EI y AB ( z 1 = 5) = 0 EI y BC (z 2 = 0) = 0 ' ( z ' EI y AB 1 = 5) = EI y AB (z 1 = 5)

⇒

C 1 = −500 / 3 C 2 = 0 C 3 = 1000 / 3 C 4 = 0

1000 1 )× = 3,29 × 10 − 3 rad EI 3 50 3 2 1000 × 2) × 1 = 5 ,76 × 10 − 3 m = 5 ,76 mm y c = ( − × 2 + 100 × 2 + EI 3 3

2 θ θ c = ( − 50 × 2 + 200 × 2 +

24/64


ii) y máx [A; B ]

y máx ⇒ θ θ = 0

500 3 500 5 θ θ = 0 ⇒ 20 z 12 − = 0 ⇒ z = 3 3 2 [EI .θ θ ]AB = 20 z 1 −

(2,887 m )

3

 5  5 20  500 5  − EI y ( z = )= ×  ⋅  3  3 3 3 3   

=

− 320 ,75 ⇒ y = − 1,98mm

25/64


Problema 2 Dada a estrutura representada na Figura 37, parcialmente solicitada por uma carga distribuída de 50 kN/m, determine pela integração da equação diferencial da elástica os deslocamentos angular e linear da secção C. Esboce a deformada da estrutura.

50 kN/m

A

B 5.0 m

C 2.0 m

Figura 37 Dados:

2

EI = 162 MNm

Resolução

M (kN.m)

A z1

B

+ +

C z2

156.25 kN.m 5.0 m

2.0 m

Figura 38 Tramo AB

Tramo BC

M (z 1 ) = 125 z 1 − 25 z 12 '' = 25 z 2 − 125 z EI y AB 1 1 ' 3 EI y AB = 25 / 3z 1 − 125 / 2z 12 + C 1 EI y AB = 25 / 12 z 14 − 125 / 6z 13 + C 1z 1 + C 2

M (z 2 ) = 0

'' = 0 EI y BC

' = C 3 EI y BC

EI y BC = C 3 z 2 + C 4

Condições fronteira EI y AB (z 1 = 0) = 0 EI y AB (z 1 = 5) = 0 EI y BC (z 2 = 0) = 0 ' ' EI y AB (z 1 = 5) = EI y BC (z 2 = 0)

⇒

C 1 = 3125 / 12 C 2 = 0 C 3 = −3125 / 12 C 4 = 0

θ θ C = − 1 .608 E − 3 rad

y C = − 3.215 E − 3 m

26/64


10 kN/m

Problema 3 Dada a estrutura representada na Figura 39, solicitada por uma carga distribuída de 10 kN/m, determine pela integração da equação diferencial da elástica os deslocamentos angular e linear da secção B. Esboce a deformada da estrutura.

A

B

2.00 m

C 4.00 m

Figura 39 Dados:

2

EI = 162 MNm

Resolução

M (kN.m) 60 kN.m

-

B

A

C

+ z1

z2

2.00 m

20 kN.m

4.00 m Figura 40

Tramo AB

Tramo BC

M ( z 1 ) = −60 + 40 z 1 − 5z 12 ' = 60 − 40 z 1 + 5 z 12 EI y ' AB 5 EI y ' AB = C 1 + 60 z 1 − 20z 12 + z 13 3

M ( z 2 ) = 20 z 2 − 5 z 22

EI y AB = C 2 + C 1z 1 + 30 z 12 −

' = −20 z 2 + 5z 22 EI y ' BC

5 3 z 3 2 10 3 5 4 EI y BC = C 4 + C 3 z 2 − z + z 3 2 12 2 EI y ' BC = C 3 − 10 z 22 +

20 3 5 4 z + z 3 1 12 1

Condições fronteira EI y ' AB ( z 1 = 0 ) = 0 EI y AB ( z 1 = 0 ) = 0 EI y BC ( z 2 = 4 ) = 0 EI y AB ( z 1 = 2 ) = EI y BC ( z 2 = 0 )

⇒

C 1 = 0 C 2 = 0 C 3 = 25 / 3 C 4 = 220 / 3

AB θ θ B = 3.29 E −

4 rad BC θ θ B = 0 .5143 E − 4 rad y B = 4.53 E − 4 m

27/64


Problema 4 Resolva os problemas 1, 2 e 3 aplicando o conceito de viga conjugada. Resolução 4.1-

200 kN.m/EI

A

B

K R A =

K M C =

C

500 3EI

K R C =

2800 3EI

1600 3EI

Figura 41

1000 3EI

500 3EI

A

1600 3EI

+

T K = θ θ

-

B

C

2.89 m Figura 42

M K = y

320 .75

-

EI

A

B 2.89 m

C

+

2800 3EI

Figura 43

28/64


4.2-

156.25 kN.m/EI

K M C = K R A =

3125 12EI

B

A

C

K R C =

3125 12 EI

B

-

Figura 44 T K = θ θ

+

3125 12EI

-

A

C

3125 12EI

2.50 m Figura 45

3125 6EI

M K = y

A

+

+

B

C

78125 192EI Figura 46

29/64

3125 6EI


4.3-

60 kN.m/EI

B A

C

5 kN.m/EI

20 kN.m/EI 45

K R B =

K R C =

EI

45 EI

Figura 47

T K = θ θ

160 3EI

+ A

25 3EI

-

B

1.00 m

C 45 EI

Figura 48

B

M K = y

A

+ 220 3EI

+

C

315 4EI

1.00 m

Figura 49 30/64


Problema 5 Dada a estrutura representada na Figura 50, determine: i. Os deslocamentos angular e linear da secção E; ii. O valor da força horizontal a aplicar na secção E para que o deslocamento linear da secção A seja nulo. 50 kN/m E

50 kN.m

1.00 m A

B

C

2.00 m

4.00 m

D 2.00 m

Figura 50 Dados:

2

EI = 162 MNm

Resolução

M (kN.m)

i)

E

50 kN.m

B

A

1.00 m

-

2.00 m

+ 100 kN.m 4.00 m

C

D

2.00 m

Figura 51 C M ( z )

t CB = − ∫ ∫

B

EI

dz z 2 = −

1  1 2  1   2  800   × 100 × 4 × 2 − × 50 × 4 × × 4  = −   2 3  EI  EI   3  3 

y C = y B + θ θ B LBC + t CB ⇔ 0 = 0 + θ θ B × 4 −

θ θ C − θ θ B = −

θ θD − θ θ C = −

C M ( z )

∫ ∫B

D M ( z )

∫ ∫C

θ θE − θ θ D = −

EI

EI

dz ⇔ θ θ C −

EI

1  1  1 − 100   200   2 θ C =   = −  × 100 × 4 − × 50 × 4  ⇒ θ EI  EI  EI 2   3   3 − 100   100  θ D =  = 0 ⇒ θ EI   EI 

dz ⇔ θ θD − −

E M ( z )

∫ ∫D

1  1   800   200  θ B =   ⇒ θ   EI  EI   3   3 

− 100   100  θ E =  = 0 ⇒ θ EI   EI 

dz ⇔ θ θE − −

31/64


D M ( z )

t DC = − ∫ ∫

C

EI

dz z 2 = 0

CD CD = y C + θ y D θ C LCD + t DC ⇔ y D = 0 + − E M ( z )

t ED = − ∫ ∫

D

EI

100 EI

×2+ 0 =

−200 EI

dz z 2 = 0

DE =0 y D DE DE DE = y D + θ y E θ D LDE + t ED ⇔ y E = 0 + −

100 EI

× 1+ 0 =

−100 EI

Problema 6 Dada a estrutura representada na Figura 52, solicitada por uma carga concentrada de 100 kN na secção H, determine: i) Os deslocamentos angular e linear da secção H; ii) Os deslocamentos angular e linear da secção F; iii) O valor da força vertical a aplicar na secção E para que o deslocamento linear da secção B seja nulo. iv) O valor do momento a aplicar a meio da barra BC para que o deslocamento linear da secção F seja nulo. 100 kN G

H E

F

1.00 m 1.00 m

A

B 2.00 m

C 3.00 m

D

1.00 1.00 m 1.00 1.00 m

1.00 m

Figura 52 Dados:

2

EI = 162 MNm

32/64


Problema 7 Dada a estrutura representada na Figura 53, solicitada somente pela carga uniformemente distribuída, determine: i) A configuração da deformada; ii) Os deslocamentos angulares e o deslocamento linear da secção C; iii) O valor e sentido da força vertical a aplicar na secção a meio do tramo AB para que, com a solicitação indicada na figura, o deslocamento linear da secção C seja nulo. 10 kN/m

A

B 4.00 m

D

C

1.00 m

4.00 m

E

1.00 m

F

4.00 m

Figura 53 Dados:

2

EI = 500 MNm

33/64

LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Exercícios propostos 5 – Teoria da Elasticidade

5. TEORIA DA ELASTICIDADE Problema 1 Sendo o estado de tensão num ponto definido pelo tensor das tensões T , determine: a) A tensão resultante numa faceta cuja normal está orientada segundo o eixo dos xx. b) A tensão normal a essa faceta.

1 3 1 T = 3 2 2 1 2 1

Problema 2 Sendo o estado de tensão num ponto definido pelo tensor das tensões T , determine pelo método analítico as tensões principais e as direcções principais de tensão.

7 2 0 T = 2 6 − 2 0 −2 5

Problema 3 Sendo o estado de tensão num ponto definido pelo tensor das tensões T , determine pelo método gráfico e pelo método analítico: a) As tensões principais e as respectivas orientações; b) A tensão máxima de corte. Problema 4 Para o estado plano de tensões indicado na Figura 54 determine: a) Os planos principais e as respectivas tensões principais; b) A tensão máxima de corte e respectiva tensão normal.

T =

2 1 1 1

50 MPa 40 MPa 10 MPa

Figura 54 Resolução σ σ y = −10 MPa

50 MPa τ τ yz = −40 MPa σ σ z =

d) tg 2θ θ P =

2τ τ yz σ σ y − σ σ z

σ σ y + σ σ z

=

2 x − 40 ⇒ θ θ P = 26.57º − 10 − 50

σ σ y − σ σ z

cos( 2θ θ ) + τ τ yz sen ( 2θ θ ) = 2 2 − 10 + 50 − 10 − 50 cos( 53.14 ) − 40sen ( 53.14 ) = −30 MPa = σ = + σ 2 2 2

σ σ ( θ θ ) =

+

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σ σ y − σ σ z

sen (2θ θ ) + τ τ yz cos(2θ θ ) = 2 − 10 − 50 sen (53.14) − 40 cos(53.14) = 0 MPa (OK ! ) =− 2

τ τ (θ θ ) = −

σ σ y + σ σ z = σ σ 1+ σ σ 2 ⇒ σ σ 1 = 70 Mpa

n 2 = (cos θ θ P ; sen θ θ P ) = (0.894 ; 0.447) r

n 1 = (− sen θ θ P ; cos θ θ P ) = ( −0.447 ; 0.894 ) r

1

2

= 70 MPa

=-30 MPa

26.56°

Figura 55 e)

tg 2θ θ C = −

σ σ y − σ σ z

2τ τ yz

=−

σ σ (θ − 10 − 50 θ =θ θC ) = 20 MPa θ C = −18.43º ⇒ ⇒ θ τ τ (θ 2 * −40 θ =θ θC ) = −50 MPa

= 20 MPa

z

= 20 MPa

y

= -50 MPa

yz

-18.43

Figura 56

35/64


Resolução gráfica – círculo de Mohr (MPa)

B

n2

-50

PIF

40

2θP

σ2

-10

θP

20

n1

50

σ1

θC

σ(MPa)

-40

PIN

A

-50

Figura 57 σ σ médio =

σ σ y + σ σ z

2

=

20 MPa

2

σ y − σ σ z    σ 2  + τ R =  τ yz = 50 MPa  2    σ σ 1 = σ σ médio + R =

70 MPa

σ σ 2 = σ σ médio − R = −30 MPa

36/64


Problema 5 Uma barra de aço de secção transversal recta 2.0x5.0 cm ² está submetida a um esforço axial de tracção de 100 kN. a) Trace o círculo de Mohr representativo representativo do estado de tensão; b) Determine os planos principais principais e as respectivas tensões principais; principais; c) Determine a tensão tangencial tangencial máxima e os planos planos onde ocorrem; d) Determine as facetas em que σ e τ são numericamente iguais. Problema 6 Para o estado plano de tensões indicado na figura Figura 58 determine a deformação de um quadrado de 2.0x2.0 cm ², ², orientado de acordo com a Figura 59. 2.00 cm 30.00° 30 MPa 20 MPa 100 MPa

Figura 58

2.00 cm

Figura 59

Dados: E = 200 GPa

ν =0.3 =0.3

Problema 7 As arestas de um paralelepípedo recto rectangular medem 2.0x1.6x2.8 cm ³. ³. As suas faces estão submetidas às forças indicadas na Figura 60. Determine a variação de volume e as dimensões finais do paralelepípedo.

x

8 kN

2.80

z

7 kN

Dados: E = 200 GPa

9 kN

ν =0.3 =0.3 2.00

1.60 y

Figura 60 Resolução − 9 .0 = − 20 .09 MPa 1.6 x 2.8E − 4 − 8 .0 σ = − 25 .00 MPa σ y = 1.6 x 2.0E − 4 7 .0 σ = 12 .50 MPa σ z = 2.0 x 2.8E − 4 σ σ x =

37/64


σ σ x

σ σ y

σ σ z

= − 0 .0817 E − 3 E E σ σ σ σ ε − ν ε y = ν x − ν ν z = − 0 .11362 E − 3 E E E σ σ y σ σ σ σ ε = 0.13014 E − 3 ε z = z − ν ν x − ν ν E E E ε ε x =

E σ σ y

− ν ν

− ν ν

L x ,f = L x ,i ( 1 + ε ε x ) = 1.998366 E − 2 m L y ,f = L y ,i ( 1 + ε ε y ) = 2.799682 E − 2 m L z ,f = L z ,i ( 1 + ε ε z ) = 1.600208 E − 2 m V i = L x ,i x L y ,i x L z ,i = 8.96 E − 6 m 3 V f = L x ,i ( 1 + ε ε x ) x L y ,i ( 1 + ε ε y ) x L z ,i ( 1 + ε ε z ) ≅ V i ( 1 + ε ε x + ε ε y + ε ε z ) = 8.9594 E − 6 m 3 ∆ V = ( ε ε x + ε ε y + ε ε z ) = −0 .06518 E − 3 V i

Problema 8 Num arame de aço com 5 m de comprimento e 5 mm de diâmetro, sujeito a um esforço axial de tracção, mediu-se: ∆V = + 2.28mm 3

∆l = +0.3mm

Determine o coeficiente de Poisson do aço. Resolução

ε ε x =

σ σ x

E σ σ y

− ν ν

σ σ y

− ν ν

σ σ z

=

σ σ x

E E E σ σ σ σ σ σ ε − ν ε y = ν x − ν ν z = −ν ν x = −ν ν ⋅ ε ε x E E E E σ σ y σ σ σ σ σ σ ε = − ν ε z = z − ν ν x − ν ν ν x = −ν ν ⋅ ε ε x E E E E V i = 5π π (.0025 2 ) = 9.82 E − 5 m 3 ε ε x =

0.3E − 3 = 6 E − 5 5

∆ V = ( ε ε x + ε ε y + ε ε z ) ⇔ V i

2.28 E − 9 = ε ε x ⋅ ( 1 − 2ν ν ) ⇒ ν ν = 0 .307 9.82 E − 5 m 3

38/64


Problema 9 Para a viga representada na Figura 61 determine como evoluem as direcções principais e as respectivas tensões nos pontos A e B, indicados na secção transversal, ao longo do seu desenvolvimento. 10 kN/m A

0.1m 0.6 m

B 4.0 m

0.1m 1.0 m 0.3 m

Figura 61

39/64

LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Exercícios propostos 6 – Flexão Desviada

6. FLEXÃO DESVIADA

10 mm

Problema 1 Considere a secção em U representada na Figura 62 sob a acção de um momento flector de 5 kNm , com a direcção e sentido indicados. Para essa solicitação determine as tensões normais máximas instaladas na secção.

M 30.00° x 100 mm

G

y 10 mm 10 mm

50 mm

Figura 62 Resolução

My

m 2

A = 0.0022 I x = 4.47333E − 6 m 4

x

G Mx

I y = 0.70924 E − 6 m 4

60.00 mm

y

18.64 mm Figura 63 M y M x = −4.33 kNm M − 4.33 − 2.50 x = y + x σ = x y + M = 2.50 kNm ⇒ σ I x I y 4.47333E − 6 0.70924E − 6  y − e.n.

A

Equação eixo neutro → σ σ = 0 ⇔ y = −3.642 x x

G

y B

Figura 64 σ A = 123768 kPa  A(− .01864 ; − 0.06) ⇒ σ  σ B = −203882 kPa B (.04136 ; 0.06) ⇒ σ

40/64


5 cm

Problema 2 Considere a secção representada na Figura 65 sob a acção de um momento flector de 160 kNm, com a direcção e sentido indicados. a) Para essa solicitação solicitação determine as tensões normais máximas instaladas na secção. b) Determine qual deve ser a orientação do do plano de solicitação para que o eixo neutro passe no vértice T.

5 cm 5 cm

T

5 cm

M

5 cm

x' G

15 cm

y' Figura 65

5.625 cm

Resolução a) A = 0.02 m 2 I x ' = 10338 .54E − 8 m 4

Mx

I y ' = 4088 .54E − 8 m 4

I x ' y ' = −3046.88E − 8 m 4 α α = −22.14º m 4

My

x'

G -22.14°

15.625 cm

x

I x = 11578.07E − 8 I y = 2849 .02E − 8 m 4

y

y'

Figura 66 M y M x = 148 .203 kNm M x 148.203 60.30 y + x = y + x σ = M = 60.30 kNm ⇒ σ 11578.07E − 8 2849.02E − 8 I x I y  y

e.n.

B G

Equação eixo neutro → σ σ = 0 ⇔ y = −1.6535 x

x A y Figura 67 41/64


x ' A = −0.00625m x A = x ' A cos α α α − y ' Asen α = 0.0531m ⇒ ⇒ σ σ A = 303.9 MPa  ' ' ' y A = 0.15625m y A = x Asen α α + y A cos α α = 0.1471m

x ' B = −0.05625m x B = x ' B cos α α α − y ' B sen α = −0.0874m ⇒ ⇒ σ σB = −265.8 MPa  '  y B = −0.09375m y B = x ' B sen α α + y ' B cos α α = −0.0656m

Resolução alternativa

e.n.

a)

x' x

y e.s.

y'

Figura 68

e.s.

e.n.

b)

T x' x

y y' Figura 69 42/64


Problema 3 Considere a secção em L representada na Figura 70 sob a acção de um momento flector de 7.50 kNm, com a direcção e sentido indicados. Para essa solicitação determine as tensões normais máximas instaladas na secção.

10 cm M

x'

G

30 cm y' 30 cm

10 cm

Figura 70 Problema 4 A estrutura representada na Figura 71 será realizada por uma peça cuja secção transversal apresenta a geometria indicada. a) Determine o valor máximo que a carga p pode assumir garantindo a estabilidade da estrutura, sabendo que o seu material constitutivo apresenta as seguintes tensões resistentes a esforços normais: −

σ σ rd = 150 kPa

p kN/m

2.00 m

2.00 m

6.00 m

+

60 cm

σ σ rd = 100 kPa

b) Para o valor da carga p definido definido na alínea a) determine a tensão tangencial máxima.

30 cm

30 cm

40 cm

Figura 71 Problema 5 Admita que a secção transversal recta de uma viga solicitada à flexão apresenta a geometria indicada na Figura 72. Sendo o carregamento vertical e baricêntrico, e valendo o momento flector actuante 200 kNm , e o esforço transverso 50 kN , ambos positivos, determine no ponto P as tensões principais e as respectivas direcções.

10 cm

20 cm

P

20 cm

30 cm

60 cm

40 cm 20 cm Figura 72

43/64

LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Exercícios propostos 7 – Flexão Composta

7. FLEXÃO COMPOSTA Uma secção transversal recta (S.T.R.) de uma barra diz-se submetida à flexão composta quando nela actuarem simultaneamente esforços axiais e momentos flectores. Se o momento flector tiver a direcção de um dos eixos principais centrais de inércia, a secção encontra-se submetida a flexão composta plana. Se o momento flector tiver direcção diferente da dos eixos principais centrais de inércia, a secção encontra-se submetida a flexão composta desviada.

N , M x 

 Flexão composta plana

N , M y  

N , M x , M y }Flexão composta desviada

7.1. Tensões normais em flexão composta As tensões normais instaladas numa S.T.R. sujeita a flexão composta desviada são obtidas pela equação [1]. σ σ =

-

x+

G

Mx+

x0

[1]

P : Centro de pressão My+ : Produz tracções do lado dos x+ Mx+ : Produz tracções do lado dos y+ x e y : eixos principais centrais de inércia (e.p.c.i.)

y0

My+

M y N M x y + x + A I x I y

P +

+ y+

Figura 73

M y   x 0 = N ⋅ x 0 N N ⋅ y 0 N ⇒ σ y + x + σ =  A I x I y  y 0 = M x  N

44/64

[2]


7.2. Equação do eixo neutro O eixo neutro é o lugar geométrico dos pontos do plano de uma S.T.R. em que a tensão normal é nula. A equação do eixo neutro obtém-se igualando a zero a equação [2],

σ σ =

N ⋅ x 0 N N ⋅ y 0 y + x = 0 + A I x I y

⇒

1 A

+

y 0 x y + 0 x = 0 I x I y

[3]

como

 2 I y i y = A ⇒ 1 + y 0 y + x 0 x = 0  2 2 I 2 i x i y i x = x  A

[4]

2  i x ∗  x = 0 ⇒ y = y = − y 0   2 i y  ∗  y = 0 ⇒ x = x = − x 0 

[5]

45/64


Problema 1 Um pilar com a secção transversal representada na Figura 74 encontra-se submetido à acção de uma força de compressão de 1500 kN aplicada no ponto P. Determine as tensões nos vértices da secção e a posição do eixo neutro.

0.80 m C

B 0.20 m

G

1.80 m

x

P

D

A 4.80 m

y Figura 74 Resolução

M

My A = 8.64 m 2 I x = 2.3328 m 4

C

2 0.27 m 2 i x = I y = 16.5888 m 4 2 = 1.92 m 2 i y

B G

90.00°

Mx

D

x

P A

y Figura 75

M y M x = N ⋅ y 0 = −1500 ⋅ 0.2 = −300 kNm − 300 − 1200 N M x − 1500 y + x = y + x + + σ = M = N ⋅ x = −1500 ⋅ 0.8 = −1200 kNm ⇒ σ A I I . . . 8 64 2 3328 16 5888 0 y x y  x ( m ) y ( m )

σ σ ( kPa )

2.40 0.90 − 462 .96 B 2.40 − 0.90 − 231.48 115.74 C − 2.40 − 0.90 D − 2.40 0.90 − 115.74 A

Equação eixo neutro → σ σ =

−1500 −300 −1200 y + x = 0 ⇔ −173.611 − 128.6 ⋅ y − 72.338 ⋅ x = + 8.64 2.3328 16.5888

ou em alternativa Equação eixo neutro →

y x 0.2 0.8 y + x = 0 ⇔ 1 − 0.741 ⋅ y − 0.417 ⋅ x = 0 1 + 20 y + 20 x = 0 ⇔ 1 + 0.27 1.92 i x i y

46/64

0


e.n. C

2  i x 0.27 ∗  x = 0 ⇒ y = y = − =− = −1.35 m y 0 0.2   2 i y 1.92  ∗ 0 = = = − = − = −2.40 m ⇒ y x x  0 8 x . 0 

B y*=-1.35 m G

x

x*=-2.40 m D

A

y Figura 76 F1=500 kN

Problema 2 Considere o pilar de secção constante, constituído por um material resistente de igual forma a compressões e tracções, sujeito às cargas F1 e F2, indicadas na Figura 77. Para a secção A-A’, localizada a meia altura do pilar, calcule: a) As tensões nos vértices A, B, B, C e D; b) A posição do eixo neutro.

F2=100 kN B

B

B'

1.50 m

C

A'

F2

G

0.30 m

A

A

D 0.40 m

1.50 m

y Secção B-B'

Figura 77 300 kN 5 kN/m Problema 3 Considere o pilar representado na Figura 78 sujeito à acção de uma força vertical de 300 kN aplicada no ponto P e a uma carga distribuída horizontal de 5 kN/m, aplicada segundo um plano vertical que contém o eixo dos xx . A secção transversal da peça é quadrada e oca e apresenta as dimensões indicadas na figura. a) Determine as tensões nos vértices exteriores da secção da base do pilar. b) Determine a posição do eixo neutro na secção da base do pilar.

4.00 m

0.05 m

0.05 m

D

C

P 0.20 m

F1

G A

x B

0.20 m y

Figura 78 47/64

x


Problema 4 Considere o pilar representado na Figura 79. Sabendo que o eixo de solicitação é horizontal e baricêntrico, determine: a) As tensões nos vértices da secção do pilar pilar na secção da base do pilar. b) Na secção da base do pilar pilar determine no ponto P as tensões principais e as respectivas direcções.

F1=10 kN F2=15 kN

2.00 m

60.00°

2.00 m

A 0.20 m

B P 0.10 m

0.80 m F1 0.20 m

F

F2 C

E

D 0.60 m

0.20 m

0.20 m

Figura 79

Problema 5 Admita que a secção transversal recta de uma viga solicitada à flexão apresenta a geometria indicada na Figura 80. Sendo o carregamento vertical e baricêntrico determine: a) as tensões principais e as respectivas direcções no ponto P sabendo que a secção está sujeita aos seguintes esforços M = −150 kN .m

N = −60 kN

10 cm

15 cm

10 cm

T 10 cm

10 cm

G

T = −200 kN

M x'

U 10 cm

b) Na mesma STR da alínea anterior determine qual deve ser o ponto de aplicação da resultante para que o eixo neutro passe nos vértices “T ” e “U ”. ”.

P S

R

y'

Figura 80

48/64


Resolução a)

A = 0.065 m 2 I x = 3.45766 E − 4 m 4 2 = 0.53195 E − 2 m 2 i x I y = 8.89250 E − 4 m 4 2 = 1.36808 E − 2 m 2 i y

My

M

G 11.15cm

x'

Mx

-19.78º

P

x S

R 15.58 cm

y

y'

Figura 81 M x = −141.15 kN .m M = −150 kN .m ⇒  M y = −50.76 kN .m

x ' P = −0.10577m x P = x ' P cos α α α − y ' P sen α = −0.0787m ⇒  ' y P = 0.06154m y P = x ' P sen α α + y ' P cos α α = 0.0937m σ σ =

M y N M x − 60 − 141.15 − 50.76 + 0.0937 + y + x = ( −0.0787 ) = −34681 .33 kPa + 8.89250 E − 4 A I x I y .065 3.45766 E − 4

 T x = 67.682 kN  T y = 188 .200 kN

T = −200 kN ⇒ 

G P

x

y

Figura 82 49/64


T y = 188.200 kN  3 T y S x 188 .200 ⋅ 7.3884E − 4 S x = 7.3884 E − 4 m = = 2001 .84 kPa ⇒ =  τ τ 4 yz I x b x 3.45766E − 4 ⋅ 0.20089 I x = 3.45766E − 4 m b x = 0.20089 m 

G P

x

y

Figura 83 T x = 67.682 kN S = 30.0765E − 4 m 3 T x S y 67.682 ⋅ 30.0765E − 4  y ⇒τ = = 1139.51 kPa =  4 τ xz I y b y 8.89250E − 4 ⋅ 0.20089 I y = 8.89250E − 4 m b y = 0.20089 m  2

2

τ τ P = τ τ xz + τ τ yz = 2303.44 kPa

tg 2θ θ P =

2τ τ yz σ σ y − σ σ z

σ σ y + σ σ z

=

2 ⋅ ( −2303 .44 ) ⇒ θ θ P = −3.783º 0 − ( −34681 .33 )

σ σ y − σ σ z

cos( 2θ θ ) + τ τ yz sen ( 2θ θ ) ⇒ 2 0 − 34681.33 0 − ( −34681.33 ) σ + cos( −7.566 ) + ( −2303 .44 ) sen ( −7.566 ) = 152.32 MPa = σ σ ( θ σ 1 θ = −3.783º ) = 2 2 0 − 34681 .33 0 − ( −34681.33 ) cos( 172.434 ) + ( −2303.44 ) sen ( 172 .434 ) = −34833 .65 MPa = σ σ + σ ( θ σ 2 θ = −3.783º +90º ) = 2 2 σ σ ( θ θ ) =

2

+

50/64


b) e y e Equação do eixo neutro : 0 = 1 + 2 y + 2x x i x i y

' ' ' x T α α − y T sen α = −0.11626m = −0.05577m  x T = x T cos α ⇒  ' ' ' y T = −0.18846m y T = x T sen α α + y T cos α α = −0.15847m

' ' ' x U sen α α − y S α = 0.09258m = 0.09423m  x S = x S cos α ⇒  ' ' α + y ' S cos α α = −0.02103m y U = 0.01154m y S = x S sen α

e y  e x ( −0.15847 ) + ( −0.11626 ) e = −0.1099m 0 = 1+ x 0 1 .53195E − 2 .36808E − 2 ⇒  e y e x 0 = 1+ e y = 0.0649m ( −0.02103 ) + ( 0.09258 )  0.53195E − 2 1.36808E − 2

51/64

LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Exercícios propostos 8 – Núcleo Central

8. NÚCLEO CENTRAL Problema 1 Determine o núcleo central das seguintes secções:

1.00 m 4.00 m

0.50 m

P

4.00 m

1.00 m

0.30 m

0.50 m

1.00 m 3.00 m

1.20 m 0.60 m

P

1.20 m

1.00 m 1.00 m

0.50 m

0.50 m

0.50 m

1.20 m

1.20 m

1.20 m

1.20 m

Figura 84 Resolução 1.4

1.20 m

A = 5.76 m 2 I x = 1.5552 m 4 2 0.27 m 2 i x = I y = 8.9856

G

m 4

1.20 m

0.90 m

x

2 = 1.56 m 2 i y

1.20 m

1.20 m

1.20 m

y

1.20 m

Figura 85

(Q 3 Q 4 ) ⇒ V 3 (0.000 0.180)

Q4

Q3

(Q 2 Q 3 ) ⇒ V 2 (− 0.578 0.100) (Q 3 Q 4 ) ⇒ V 3 (0.000 0.180)

Q5

V1 V2 V3

(Q 4 Q 5 ) ⇒ V 4 (0.578 0.100) (Q 5 Q 6 ) ⇒ V 5 (0.743 − 0.129) (Q 6 Q 1 ) ⇒ V 6 (0.000 − 0.300)

V6

Q6

Q2

V5 V4

x Q1

y Figura 86 52/64


Q4

Resolução alternativa 1.4

∗

∗

Q3 q 5

q6

x 0 ( m ) y 0 ( m ) x ( m ) y ( m ) Q 1 Q 2 Q 3 Q 4

− 3.092

3.566 0.995 − 1.714 2.889 4.041 − 1.064 − 1.512 3.522 − 3.934 − 0.873 1.554 1.387 − 2.459 − 4.408 1.251

Q2 q 4

Q5

x

q1

q3 Q6

Q1

y

q2

Figura 87 Problema 2 Para uma força de compressão de 3000 kN a actuar no ponto P das secções iii e iv do exercício 1, determine o eixo neutro e as tensões normais máximas instaladas. e.n.

Problema 3 a) Determine o núcleo central da secção representada na Figura 88; b) Determine o ponto de aplicação do sistema actuante na secção para que o eixo neutro esteja na posição indicada na figura.

0.80 m

0.20 m

0.60 m

0.20 m

0.20 m

Figura 88 Resolução a)

A = 0.36 m 2 I x ' = 3.142E − 2 m 4 I y ' = 2.076E − 2 m 4

I x ' y ' = −0.889E − 2 m 4 α α = −29.53º I x = 3.646E − 2 m 4

x' G

-29.55 0.322 m

2 0.10128 m 2 i x = I x = 1.572E − 2 m 4 2 = 0.04367 m 2 i y

x y 0.589 m y'

Figura 89 53/64


Q5

Q4 q2 q3

x 0 ( m )

y 0 ( m )

x ∗ ( m )

y ∗ ( m )

0.571 0.124 − 0.177 0.077 − 0.085 − 1.308 Q 2 0.516 Q 3 0.418 − 0.097 − 0.105 1.049 Q 4 − 0.151 − 0.694 0.290 0.146 0.170 Q 5 − 0.325 − 0.595 0.134 0.097 − 0.255 Q 6 − 0.452 0.397 Q 1

− 0.354

q4

Q6

Q3 x

q5

Q1

y

Q2

q1

q6

Figura 90 b) y 0 x 0   1 + 2 y Q 1 + 2 x Q 1 = 0 i x i y  ⇒  y 0 x 0 1 + y Q 5 + x Q 5 = 0 2 2  i x i y 

y 0 x 0  1 + 0.10128 ⋅ 0.571 + 0.04367 ⋅ −0.354 = 0 ⇒  y 0 x 0 1 + ⋅ −0.595 + ⋅ −0.325 = 0  0.10128 0.04367

Problema 4 Considere a secção transversal recta representada na Figura 91. Nos pontos A e B estão aplicadas forças de compressão paralelas ao eixo longitudinal da peça com o valor de 200 kN. Determine o menor valor da força a aplicar em C de modo a que só existam tensões de compressão em qualquer ponto da secção.

 x 0 = 0.1285 m   y 0 = 0.0074 m

A

1.00 m

B

1.00 m 3.00 m C 1.00 m

6.00 m 1.00 m

1.50 m 1.50 m

Figura 91

54/64


Resolução A = 32.0 m 2 I x = 60.25 m 4

2 1.883 m 2 i x = I y = 297.46 m 4

G

20.8º x

3.88 m

2 = 9.296 m 2 i y

y 6.31 m

Figura 92

Q4 x 0 ( m ) Q 1 Q 2 Q 3 Q 4 Q 5

Q3

2.019 3.378 4.824 2.313 2.693 − 3.296 − 6.655 0.255 − 5.945 2.124

− 4.60

− 0.56

− 1.93

− 0.81

− 3.45

0.57 − 7.39 − 0.89

1.40 1.56

q5

q1

y 0 ( m ) x ∗ ( m ) y ∗ ( m )

q4

q2 Q5

x

q3 Q1

y

Q2

Figura 93

DE = 0.57 m

A

D

EC = 4.91m

B

E 4.91

400 ⋅ DE = F C ⋅ EC ⇒ F C = 46.44 kN

0.57 C Figura 94

55/64


Problema 5 Considere a secção transversal recta representada na Figura 95. Nos pontos A e B estão aplicadas forças de compressão paralelas ao eixo longitudinal da peça com o valor de 150 kN. Determine o menor valor da força a aplicar em C de modo a que só existam tensões de compressão em qualquer ponto da secção.

1.00 m

C

2.00 m

2.00 m

2.00 m

2.00 m A

4.00 m

B 2.00 m

2.00 m

4.00 m

1.00 m

1.00 m

Figura 95 Resolução A = 40.0 m 2 I x = 244.5 m 4

x

2 = 6.112 m 2 i x I y = 123.0 m 4

2 3.075 m 2 i y =

G

4.5400°

3.80 m

2.80 m

y

Figura 96 Q4

Q3 q1

x 0 ( m ) y 0 ( m ) x ∗ ( m ) y ∗ ( m )

3.566 0.995 − 1.714 Q 2 2.889 4.041 − 1.064 − 1.512 Q 3 3.522 − 3.934 − 0.873 1.554 1.387 Q 4 − 2.459 − 4.408 1.251 Q 1

− 3.092

q4

q2 Q1

x

q3 y

Q2

Figura 97 56/64


C

4.36

DE = 0.74 m EC = 4.36m

300 ⋅ DE = F C ⋅ EC ⇒ F C = 50.92kN

E

A

B

D 0.74

Figura 98

57/64

LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Exercícios propostos 9 – Encurvadura

9. ENCURVADURA 9.1. Problema de Euler

P

Barra ideal: - Perfeitamente rectilínea; - Secção constante; - Material homogéneo; - Carga P centrada; - Sem defeitos de fabrico. L

Carga crítica de Euler: Carga mínima que provoca instabilidade na forma rectilínea da barra (Regime elástico).

2 2 P cr = π π EI / Le

Figura 99 9.2. Comprimento de encurvadura De acordo com o art.º 48 do REAE:

8.2.1. Barras isoladas

L

Le = L

Le = 2L

Le = L

Le = 0.5L

Le = 0.7L

Figura 100

58/64


9.2.2. Barras de estruturas trianguladas planas Artº 13.1 – Os elementos principais das estruturas planas devem, quanto possível, ter secções simétricas em relação ao plano médio dessas estruturas. Nas estruturas trianguladas deve ainda procurar-se que os elementos concorrentes numa ligação fiquem dispostos de modo que os seus eixos concorram num ponto (nó). Artº 48. d) No caso de estruturas trianguladas planas cuja geometria satisfaça ao indicado no art.º 13, pode considerar-se, em geral, para comprimento de encurvadura das barras no plano da estrutura, 0.8 do seu comprimento teórico. Para comprimento de encurvadura das barras no plano normal ao plano da estrutura pode considerar-se o comprimento teórico das barras; no caso do banzo comprimido de vigas trianguladas, será considerado o comprimento entre os nós efectivamente contraventados. 9.3. Esbelteza

λ , é dado pela O coeficiente de esbelteza, λ relação entre o comprimento de encurvadura da barra e o raio de giração da secção transversal da barra em relação ao eixo perpendicular ao plano de encurvadura considerado.

x

Le ,x  λ x = λ i y   Le ,y λ λ y =  i x

G y

Figura 101 9.4. Curvas de projecto de acordo com R.E.A.E.

σ σ σ y ( MPa ) σ σ p ( MPa )

Fe 360 Fe 430 Fe 510

235 275 355

188 220 284

σy σp

Regime plástico

o c i t s á l e e m i g e R

Figura 102

ε 59/64


2 E / λ 2 λ

π σ σ cr = π

λ λ p = Fe 360 Fe 430 Fe 510

σrd σy

π π 2 E / σ σ p

E = 206GPa

λ λ p ( MPa ) σ σ p / 1.8 ( MPa ) 105 104.4

96 85

122.2 157.8 Quadro 1

Regime plástico

R e c t a a d e T R e g i e t m m e ma e l a y e r s t to o - p l á s t t i ic o

/1.8 σp /1.8 H p i é ér r b b o o l l e d e e E u l le e r r R e g gi i m e m e l l á ás s t t i i c c o o

20

λp

λ 180

Figura 103

σ Coeficient e de esbelteza λ λ Coeficient e de encurvadur a ϕ ϕ σ rd ( MPa ) λ ϕ σ λ ≤ 20 ϕ = 1 σ rd = 235 Fe 360 20 ≤ λ ϕ σ λ ≤ 105 ϕ = 1.1328 − 0.00664 λ λ σ rd = 266.208 − 1.5604 λ λ 2 2 λ ϕ σ λ ≥ 105 ϕ = 4802 / λ λ σ rd = 1128470 / λ λ

Coeficient e de esbelteza λ λ Coeficient e de encurvadur a ϕ ϕ Fe 430

λ λ ≤

20

20 ≤ λ λ ≤ 96 λ λ ≥ 96

ϕ ϕ = 1 ϕ ϕ = 1.1460 − 0.00730λ λ 2 ϕ ϕ = 4103 / λ λ

Coeficient e de esbelteza λ λ Coeficient e de encurvadur a ϕ ϕ Fe 510

λ λ ≤

20

20 ≤ λ λ ≤ 85 λ λ ≥ 85

ϕ ϕ = 1 ϕ ϕ = 1.1723 − 0.00862 λ λ 2 ϕ ϕ = 3179 / λ λ

σ σ rd ( MPa )

275 σ σ rd = 315.15 − 2.0075 λ λ 2 σ σ rd = 1128325 / λ λ σ σ rd =

σ σ rd ( MPa )

355 σ σ rd = 416.166 − 3.0601λ λ 2 σ σ rd = 1128545 / λ λ σ σ rd =

Quadro 2 60/64


9.5. Verificação da segurança em relação ao estado limite de encurvadura por varejamento Artº 42.1 – Nos elementos sujeitos a esforços de compressão em que haja risco de varejamento a verificação de segurança consiste em satisfazer a condição:

σ σ Sd ≤ σ σ Rd Artº 42.2 – No caso de barras rectas sujeitas a esforços simples de compressão, o valor de cálculo da tensão actuante é definido pela expressão:

σ σ Sd =

N Sd A ⋅ ϕ ϕ

N Sd - valor de cálculo do esforço normal actuante, determinado tendo em conta as combinações de acções e A ϕ ϕ

os coeficientes de segurança; - área da secção transversal da barra; - coeficiente de encurvadura dependente do coeficiente de esbelteza da barra, λ λ , cujos valores são definidos no Quadro 2.

9.6. Dimensionamento tendo em conta a encurvadura por varejamento 1 - Pré-dimensinamento ϕ = 0.5 Arbitrado  ϕ N Sd  N Sd ⇒ A1 ≥= → Consultar tabelas e escolher perfil  ≤ σ ⋅ 0.5 σ Sd = A ⋅ ϕ σ Rd σ σ σ Rd ϕ

2 – Verificação da segurança Le , x  λ λ =  x i y  ⇒ λ λ máx = máx ( λ λ x ; λ λ y ) ⇒ ϕ ϕ = f (λ λ máx )  Le ,y λ = λ y i x

σ ≅ σ → ( OK ) Sd σ Rd N Sd σ σ σ σ Sd = A ⋅ ϕ σ ≤ σ σ Rd → Escolher perfil inf erior ϕ  Sd σ Sd ≥ σ σ Rd → Escolher perfil sup erior σ

Critério de aceleração da convergência do processo iterativo: A2 ≥=

σ σ Sd A → Consultar tabelas e escolher perfil 1 σ σ Rd

3 – Repetir o passo 2

61/64


Nk= 175 kN

Problema 1 Verifique a estabilidade do pilar representado na Figura 104 constituído por dois UNP 100 em Fe 360. Considere que as condições de apoio são idênticas nas duas direcções. 2.00 m

2 UNP 100

Figura 104

Nk= 400 kN

Problema 2 Verifique a estabilidade do pilar representado na Figura 105 constituído por dois UNP 100 em Fe 360. Considere que as condições de apoio são idênticas nas duas direcções. 2.00 m

2 UNP 100

Figura 105

Problema 3 Considere o pilar representado na Figura 106 constituído por três IPE 400 em Fe 360, dispostos conforme indicado. Determine o valor máximo da carga coMPatível com a segurança da barra. Considere que as condições de apoio são idênticas nas duas direcções.

Nrd= ?

5.50 m

3 IPE 400

Figura 106 62/64


Problema 4 Verifique a estabilidade da barra EC da estrutura da Figura 107 supondo-a constituída por dois UNP 80 em Fe 360 e por travessas de contraventamento afastadas de 1 m, sabendo que o nó C está travado na direcção perpendicular ao plano da estrutura. As acções estão indicadas com os seus valores de cálculo.

50 kN/m 100 kN A

100 kN B

C

2.0 m

5.0 m

D 2.0 m

3.00 m

2 UNP 80 E

5 cm

Figura 107

Nsd= 5200 kN

Problema 5 Dimensione o pilar representado na Figura 108 com perfis da série HEA em Fe 360, considerando-o impedido de varejar na direcção de menor inércia.

10.00 m

Figura 108 Problema 6 Dimensione o pilar BC constituído por um perfil metálico da série HEB em Fe 360. Considere o perfil na posição mais favorável, sabendo que o nó B está travado na direcção perpendicular ao plano da estrutura. As acções estão indicadas com os seus valores característicos.

50 kN/m

300 kN

A

B 4.0 m

2.0 m 4.00 m

C

Figura 109 63/64


Problema 7 a) Verifique a estabilidade estabilidade do banzo banzo superior sabendo que a zona mais esforçada esforçada está submetida a um esforço de compressão de Nsd = 400 kN. b) Verifique a estabilidade estabilidade dos montantes sabendo que o montante mais esforçado está submetido a um esforço de compressão de Nsd = 160 kN. Considere que os nós C, D, E, F, G e H estão contraventados. As duplas barras serão realizadas com perfis metálicos de Fe 360, encontrando-se devidamente solidarizadas. P/2

P

P

C

P

P

D

P

P

E

P

P

F

P

P/2

G

H

2.00 m

A

B 2.0 m

2.0 m

2.0 m

2.0 m

2.0 m

2.0 m

2 L 100x100x10 - Banzo superior

2.0 m

2.0 m

2.0 m

2.0 m

2 L 70x70x7 - Montantes

Figura 110 Problema 8 Considere a estrutura triangulada plana representada, realizada em Fe 360. Os nós C e E estão travados na direcção normal ao plano da estrutura. Dimensione as barras AB e BC com duas cantoneiras colocadas a par conforme representado da Figura 111, sabendo que de metro a metro existe uma travessa ou presilha de ligação entre as cantoneiras, já devidamente dimensionada. D 1.50 m E 1.50 m A

C

B

100 kN 4.0 m

12 mm

50 kN 4.0 m

Figura 111 64/64

REMAT - Apontamentos (2008«-»2009)

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