Ress, P. K., Sparks, F. W. y Sparks R. (1991). Álgebra. México: McGraw-Hill. Pp. 382-390.
Paul K. Rees Profesor de Matemáticas Louisiana State U niversity Fred. W. Sparks Profesor de Matemáticas Texas Tech University Charles Sparks Rees Profesor de Matemáticas University of New Orleans Traducción: Carlos Manuel Sánchez Trujillo Licenciado en Ciencias Físicas ITESM · ., t'ecmca: · R evision
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Alejandro Rosas Snell Ingeniero en Comunicaciones y Electrónii!la,r,Nst~f:?, IPN ¡ t..\"l\
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ÁLGEBRA Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cu alquier medio, sin autorización escrita del editor. DERECHOS RESERVADOS © 1991, respecto a la primera edición en español por McGRAW-HILLIINTERAMERICANA DE MÉXICO, S. A. de C. V. Atlácomulco 499-501, Fracc. Ind. San Andrés Atoto 53500 Naucalpan de Juárez, Edo. de México Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial, Reg. Núm. 1890 ISBN 968-422-939-9 Traducido de la décima edición en inglés de COLLEGE ALGEBRA Copyright © MCMXC, by McGraw-Hill, Inc., U. S. A .
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ISBN 0-07-051741-X 1234567890
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Se
tirOnJ6~ ejemplares
ING-91
9087654321 Printed in Mexico
Prefacio ix
CAPÍTULO 1 El sistema de los números reales 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
Los números reales Propiedades de los números reales 15 Exponentes enteros positivos 22 Combinación de expresiones algebraicas Términos básicos 31
27
2.1 Operaciones fundamentales con los polinomios 35 2.2 Productos especiales 44 2.3 Factorización: factores comunes y binomios especiales 2.4 Factores de trinomios 55 2.5 Factorización ~dicional 60 2.6 Términos básicos 63
50
CAPÍTULO 3 Fracciones 65 3.1 Fracciones equivalentes y el principio fundamental 3.2 Multiplicación y división de fracciones 72 3.3 Adición y sustracción de fracciones 77
65
'I T
vi
Col}.t~Ldo
-: 3.4 Fracciones complejas 83 3.5 Términos básicos 88
4.1 4.2 4.3 4.4
Exponentes enteros 91 Radicales 99 Exponentes racionales 110 Términos básicos 115
EcuaciQnes y desigualdades lineales y cuadráticas 121 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9
Ecuaciones lineales 121 Aplicaciones 129 Números complejos 143 Ecuaciones cuadráticas 149 Ecuaciones que dan por resultado ecuaciones cuadráticas !58 Aplicaciones 163 Desigualdades 169 Ecuaciones y desigualdades en las que intervienen valores absolutos Términos básicos 181
CA:PÍTUI.:O 6 Gráficas y funciones 185
6.1 El sistema de coordenadas cartesianas 6.2 Gráficas 192 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7
Introducción a las cónicas 200 Simetría y traslación de las gráficas Funciones 192 La gráfica de una función 223 Funciones lineales 230 6.8 Funciones inversas 240 6.9 Variación 247 6.10 Términos básicos 255
185
205
177
Contenido
CAPÍTULO 7 :;, Funciones polinomiales y racionales 259
C UCEI
---~--~-
i,1 7.2 7.3 7.4 7.S 7.6 7. 7 7.8 7.9
CAPÍTULO 8
Funciones cuadráticas 260 Gráficas de funciones polinomiales 270 Teoremas del residuo y del factor 279 Ceros de polinomios 286 Localización de los ceros reales 293 Ceros racionales 300 Aproximaciones y ceros exactos 307 Gráficas de funciones racionales 313 Términos básicos 322
Funciones exponenciales "'. y logarítmicas 325 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6
Funciones exponenciales 325 Funciones logarítmicas 334 El número e: ex y In x 342 Logaritmos comunes y sus aplicaciones 352 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 361 Términos básicos 365
CAPÍTULO 9 Sistemas de ecuaciones y sistemas ~- de desigualdades 369 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6
Sistemas de ecuaciones lineales 369 Sistemas de ecuaciones no lineales 382 Fracciones parciales 393 Sistemas de desigualdades 400 Programación lineal 407 Términos básicos 413
CAPÍTULO 10 Matrices y determinantes 417 !l!
10.1 Propiedades de las matrices 417 10.2 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 428 10.3 Determinantes de órdenes dos y tres 437
r'
TD
viii
Conte nido
. ''
10.4 10.5 10.6 10.7
Propiedades de los determinantes 443 Regla de Cramer 454 Inversa de una matriz <:uadrada 463 Términos básicos 470
11.1 11.2 11.3 11 .4 11.5
Sucesiones aritméticas 475 Sucesiones geométricas 486 Series geométricas infinitas 493 Interés compuesto y rédito 498 Términos básicos 505
12.1 lnduccion matemática 12.2 Permutaciones 516
12.3 Combinaciones 523 12.4 El teorema del binomio 12.5 Probabilidad 533 12.6 Términos básicos 540
509
527
13.1 Parábolas
543 13.2 Elipses 550 13.3 Hipérbolas 558 13.4 Términos básicos
566
567 1 Interpolación, tablas y calculadoras 567 11 Tablas 572 1 Logaritmos comunes 572 2 ex, e-x y In X 574 3 Valor acumulado: (1 + 1)n 575 Apéndice
(1
+
l)n - 1
4 Monto de una anualidad: ,____- -"---- ¡
Respuestas a problemas selectos Índice 521
577
576
382
9 Sistemas
d~<
ecuaciones
~·
sistemas de desigualdades
Si un sistema de ecuaciones incluye por lo menos una ecuación no lineal, se le llama sistema no lineal. No obstante que un sistema de ecuaciones lineales sólo puede tener una, ninguna o un número infinito de soluciones, un sistema no lineal no es tan simple. Puede tener, por ejemplo, ninguna, una, dos, tres o cuatro soluciones. Se invita al lector a que dibuje un círculo y una parábola que muestren cada uno de estos cinco casos. Sugerencia: véase e l problema 65 del ejercicio 9.2. Es posible que algunas ecuaciones tengan soluciones complejas, pero como no se pueden representar en las gráficas no las utilizaremos. A menudo es posible resolver los sistemas no lineales empleando eliminación, sustitución o métodos gráficos. A veces es útil una combinación de sustitución y eliminación mediante suma o resta. Cada solución debe comprobarse en cada una de las ecuaciones dadas. En esta sección todas las ecuaciones que aparecen en cada sistema son un caso especial de la ecuación general de segundo grado A~
+ Bxy + el + Dx + Ey = F
Veremos cómo resolver ciertos tipos de estos sistemas. Una gráfica bien hecha ayuda a determinar cuántas soluciones hay, en caso de que hayan, y aproximadamente cuáles son. Es útil recordar las siguientes for-> mas estándar de las gráficas:
Ax2 + ey2 = F Ax2 - el = F xy = F y = ax2 + bx +e x =al+ by+ e ax +by+ e= O
Elipse si A > O, e > O y F > O Hipérbola si A > O, e > O y F ~O Hipérbola si F ~ O Parábola si a ~ O Parábola si a ~ O Línea recta a menos que a = b = O
Las traslaciones hacia la izquierda, derecha, arriba o abajo pueden añadir o quitar términos lineales de las formas estándar anteriores.
Eliminación por adición y sustracción Dos ecuaciones del tipo Ax2 + Cy 2
=F
EJEMPLO 1
En la ecuación 9.1 se empleó la eliminación para resolver un par de ecuaciones lineales. Se puede aplicar el mismo procedimiento a dos ecuaciones de la forma Ax2 + ey2 = F , donde A y C pueden ser positivas o negativas, cada una por separado. Encuentre la solución del sistema de ecuaciones
Elipse
2x?- + 3/
Hipérbola
3~-
21
(1)
4y = 23
(2)
= 2
383
9.2 Sistemas de ecuaciones no lineales y
GURA 9.5
Solución
De manera arbitraria elt:gimos y como la variable a eliminar, y procedemos así: 8x2 + 12y 2 = 84
la ecuación (1) se multiplica por 4
(3)
9x2
la ecuación (2) se multiplica por 3
(4)
-
12y2 = 69
Ahora se suman las ecuaciones (3) y (4): 17x2 = 153
se suman (3) y (4) se divide entre 17
X=
±3
se resuelve para x
Luego se sustituye x por 3 o por - 3 en (!) y se resuelve para y: 18
+ 3y2
= 21
3y 2 = 3 y2
=
1
se suma - 18 a cada lado
de donde
y= ±1
Por tanto, las soluciones son (3, 1), (3 , - 1), (-3, l) y (- 3, - !). COMPROBACIÓN
Si en las dos ecuaciones dadas x y y se sustituyen por 3 y 1, respectivamente, entonces 18 +3= 21
de(1)
27 - 4 = 23
de (2)
Las otras soluciones se pueden comprobar en forma similar. En la figura 9.5 se muestran las gráficas de las dos ecuaciones y las coordenadas de sus puntos de intersección. La gráfica de + 3y2 = 21 es una elipse, y la gráfica de 3x2 - 4/ = 23 ,es una hipérbola, estando el centro de cada una en el origen.
az
Se pueden resolver dos ecuaciones del tipo Ax2 + C/ + Dx = F empleando el método de eliminación para eliminar el término y~. Esto dará una ecuación cuadrática en x, cuyas soluciones reales se determinan con facilidad. Los valores de y se calculan luego a partir de cualquiera de las ecuaciones originales.
384
9 Sistemas de ecuac iones y s istemas de desigualdades
EJEMPLO 2
Res uelva el sistema de ecuaciones
x2
Elipse
2
2x
Hipérbola
Solución
Se eliminarán los términos en
+ 2y2 -
8x = 2
(5)
Si + 4x = 3
(6)
-
i
+ 1ó/ - 40x = 1O 4x - 10/ + 8x = 6
5x2
la ecuación (5) se multiplica por 5
2
la ecuac ión (6) se multiplica por 2
Sumando esta s ecuaciones se o bt iene
9x2
9x
2
-
-
32t - 16 = O
(x - 4)(9x
x =4
32x = 16
y
+ 4) =
se resta 16 de cada lado
O
se factoriza
X= - ~
soluciones de x
Si en la ecuación (5) se sustituye x por 4, se o btiene
16 + 2/ - 32 = 2
2y2 = 18
l=9
S in em_ba rgo, si en la ecuació n (5) se sustituye x por lo cual da
y= ±3
-~
lo que se obtiene es
l =-H
la cual no da soluciones reales de y , P or tanto, las soluciones son (4, 3)
Eliminación d e una de las variables
y
(4, - 3)
y cada una satisface las dos ecuaciones originales. E n la figura 9.6 se muestran las gráficas de las ecuaciones (5) y (6) junto con las coordenad as de sus puntos d e intersección. Obsérvese q ue si se completa el cuadrad o la ecuación (5) se puede reescribir como (x - 4) 2 + 2y2 = 18 y la ecuación (6) se p uede reescribir como 2(x + 1)2 - 5y2 = 5. Con estas formas es fácil determinar los centros y las intersecciones. E n el ejemplo 2 se han resuelto dos ecuaciones del tipo Ax 2 + C/ + Dx = F elimi nando el término y2 y resolviendo una ecuación cuadrática en x. Para resolver dos ecuaciones d el t ipo Ax 2 + C/ + Ey = F se pro cede en forma similar a la d el ejemplo 2; es d ecir, se elimina el término x 2 para obtener una ecuación cuadrática en y . Si se tienen dos ecuacio nes de la forma Ax2 + Bxy + Dx = F se puede obtener una ecuación cuadrática en x elimina ndo el término xy. Con dos ecuaciones del tipo Bxy + C/ + Ey = F al eliminar el término xy se obtiene una ecuación cuadrática en y. En los cuatro casos se usa suma o resta para eliminar x o y, y luego
Se resuelve la ecuación resultante con una variable y
Se usa cada solución real en cualquiera de las ecuaciones originales
385
9.2 Siste mas de ecuaciones no lineales y
x 2 ~ 2y 2 -
Bx
=2
o (x - 4¡2 '
o
2y2 = 18
2(x - 1)2
- 5,v 2 = 5 --~--~~----------;---+-H-r------+------~r--------------- x
GURA 9.6
Eliminación por sustitución En un sistema de dos ecuaciones con dos variables, si una de las ecuaciones se puede resolver para una de las variables, por ejemplo y, en términos de la otra variable, digamos x, entonces y se puede eliminar sustituyendo en la otra ecuación. Así se obtiene una ecuación con la variable x y que se puede inten tar resolver. Con cada solución de x se hallan los valo res correspondientes de y mediante sustitución.
EJEMPLO 3
Resuelva el sistema de ecuaciones x
+ 2/ = 54
(7)
2r- y = - 9
(8)
2
usando el método de sustitución.
Solución
La gráfica de x 2 + 2l = 54 es una elipse co n cent ro en el origen e intersecciones (±3\16, O) y (0, ±3V3\ mientras que la gráfica de 2x - y = -9 es una línea recta con pendiente 2 e intersección y igual a 9. En la figura 9. 7 se aprecia que deben haber d os soluciones. Es fácil resolver la ecuación (8) para y y obtener
y=2x+9
(9)
Sustituyendo en la ecuación (7) se obtiene
.? + 2(2x + x2 x
w = 54
+ 2(4.? + 36x + 8 1) 2
2
+ 8x + 72x +
162 = 54
9.? + 72x + 108 x2 (x X=
-6
= 54
=
o
+ 8x + 12 = O
+ 6)(x + 2) o
= O
X=
-2
se desarrolla el c uad rado de 2x + 9 se multiplica po r 2 se combinan términos semejantes se divide en¡re 9 se faclor iza
386
9 Siste mHs de ecuac iones y sistemas de desigualdades y
x 2 + 2y 2 = 54 2x - y = - 9
FIGURA 9.7
Ahora se emplea y = 2x + 9 con x = - 6 y luego con x = -2: y = 2(-6) + 9 = - 12 + 9 = - 3
para x = - 6
y =2(- 2)+9= -4 + 9 = 5
parax= - 2
En consecuencia, las soluciones del sistema son (-6, -3) y (-2, 5). Estas solu· ciones se deben comprobar en las ecuaciones originales.
EJEMPLO 4
Resuelva este sistema de ecuaciones por sustitución:
Hipérbola
xy = 6
(10)
=3
(11)
5x - 6y
Línea recta
Solución Cualquiera de las ecuaciones se puede resolver con facilidad para cualquiera de las variables, por lo que arbitrariamente elegimos resolver la ecuación (10) para y. Además, de la misma ecuación (10) se infiere que ni x ni y pueden ser cero. 6
(12)
y=-
x
se sustituye en (11)
5x2 2
5x
-
-
36 = 3x
ambos lados se multiplican por x
3x - 36 = O
se sustrae 3x
(x - 3)(5x + 12) =O x= 3
X
se factoriz a
= - .1} ,)
soluciones de x
387
9.2 Sistemas de ecuaciones no lineales y
Sx - 6y = 3
FIGURA 9.8
Usando x
3 en la ecuación (12) se obtiene
6 3
y=-= 2 y usando x =
-lf- en la ecuación (12) se ve que
y=~=-6-= 6(-5)= - 5 -lf
X
12
2
Las soluciones de las ecuaciones e oiginales son (3, 2)
+ Dx +
EJEMPLO 5
y
y satisfacen cada una de las ecuaciones; véase la figura 9.8 . La gráfica de (10) es una hipérbola cuyas asíntotas son los ejes x y y. La gráfica (11 ) es una línea recta con intersección x igual a ~ e intersección y igual a-!. Si cada una de las ecuaciones dadas es d el tipo Ax2 + A/ + Dx + Ey = F , entonces se pueden eliminar los dos términos de segu ndo grado por suma o resta y obtener una ecuación lineal en x y y . Luego, esta ecuación se puede resolver junto con una de las ecuacio nes dadas por sustit ución, como se verá en el ejemplo 5 que sigue. Las gráficas son círcul os ya que los coeficientes de x~ y f son iguales. Resuelva el sistema de ecuaciones
3x2 + 3/ + x - 2y = 20 2
2x + 2/
+ Sx + 3y = 9
(13}
(14)
388
9 Sistemas de ecuaciones y sistemas de d esigualdades
6x2 + 6y2 + 2x - 4y = 6x2 + 6/ + 15x + 9y = - 13x - 13y = y=
Solución
40 27 13 -x - 1
la ecuación (13) se multiplica por 2 la ecuación (14) se multiplica por 3 se resta se resuelve para y
(15}
Al sustituir esto en la ecuación (14) se obtiene 2x2
+ 2(-x2
2x
1)2
+ 5x +
3(-x- 1) = 9
+ 2x + 4x + 2 + 5x - 3x - 3 = 9 4x2 + 6x - 1O = O 2
2x2 (2x
+ 3x -
+ 5)(x -
5= O 1) = O
se multiplica se combinan términos semejantes se divide entre 2 factorización
De la última ecuación se tiene que x = -1 o bien x = l. Los valores de y correspondientes se determinan a partir de (15), y = - x - 1. y= -1-1 = - 2 y = -( - 1) - 1 =
x se sustituye por 1 ~
x se sustituye por - ~
En consecuencia, las soluciones son ( 1, - 2) y ( -t ~), que pueden y deben ser comprobadas en las ecuaciones originales. Las gráficas de los dos círculos se muestran en la figura 9.9. Si x = 1 se hubiese empleado en la ecuación (13) en vez de en la ecuación (15), lo que se habría obtenido sería 3 + 3y2 + 1 - 2y = 20 o bien
3/ - 2y - 16 = O
Esto implica que O= (3y- 8)(y + 2), de donde y= tonces por qué se debe
~o
y = -2. Se ve claro en-
Comprobar cada solución en l.?s dos ecuaciones dadas
ya que en este caso (1, ~) satisface la ecuación (13) pero no la ecuación (14). A veces una gráfica ayuda a ver que no existen soluciones. Esto se logra de manera más fácil si se emplean las formas estándar de las gráficas. y
4
2.t· 2
FIGURA 9.9
•·
2y 2
+
5x • 3y
=
9
-4
389
9.2 Sistemas de ecuaciones no lineales y
•
FIGURA 9.10
EJEMPLO 6
Muestre con la ayuda de gráficas que el sistema y
no tiene soluciones.
Solución
La gráfica de la primera ecuación es un círculo de radio 2 con centro en el origen. La segunda ecuación es la de una parábola que se abre hacia abajo, estando su punto máximo en (0, 6). En la figura 9.10 se ve que no se intersecan. Si se emplea el método de soluCión por sustitución se obtienen valores complejos de x.
EJEMPLO 7
El rendimiento anual de cierta inversión es 480 dólares. Si el principal se incrementase 2000 dólares y la tasa de interés disminuyese !,el ingreso anual aumentaría 70 dólares. Determine el valor del principal y la tasa de interés.
Solución Si el principal es P y la tasa de interés es
r, entonces
Pr = 480 (P
+ 2000)(r - 0.005)
dado
= 550
dado
La primera ecuación se puede resolver para cualquiera de las variables y luego sustituir, pero esto daría lugar a expresiones fraccionarias. En vez de eso, multiplicando los factores de la segunda ecuación se obtiene Pr
+ 2000r - 0.005P - 10
=
550
Sustituyendo Pr por 480 de la primera ecuación se llega a 480 + 2000r - 0 .005P - 10 = 550
2000r - 0.005P = 80
se combinan términos
9 Sistemas de ecuac iones y sistemas de desigualdades
400 OOOr - P = 16 000
se multiplica por 200
P = 400 OOOr - 16 000
Al sustituir esto en Pr
= 480
se resuelve para P
se ve que
(400 OOOr - 16 OOO)r = 480 400
ooo? -
16
JO 000r2
ooor -
-
480
=o
ecuaciones equivalentes
400r - 12 =O
se divide entre 40
2500? - 1OOr - 3 = O
se divide entre 4
Empleando la fórmula cuadrática, r=
V (-1 00)2 -
- ( - lOO) ±
4(2500)( - 3)
2(2500) 100 ±V IO 000
+ 30 000
100 ± 200 5000
5000
El valor positivo es r = 300/ 5000 = 0.06, y el principal es P = 480/ 0.06
Resu elva los problemas 1 a 12 empleando el método de eliminación. 2 2. l. x2 + l = 1 x + /=2 2x2 + 3y2 = 2 + 4l = 1 3. x 2 + 4y2 = 5 4. 9r + 4l = 12 9x2 - y 2 = 8 x 2 -9y2 = - 77 2 S. x + l + 2x = 9 + 4y2 + 3x = 14 6. x 2 + l - 4x = - 2
3r
r
9x2
+ l + 18x = 136 + 4y2 - 17y = 21
4x 2
-
9x2 7.
8.
16x 2
-
9x2
+
y 2 - 2y = 1 9y2 - 1Oy = O 4y 2 + 12y = 1
Sugerencia: en los problemas 9 a 12 utilice eliminac ión con los términos l'Y· 9. x 2 + xy + 4x = - 4 3x2 - 2xy + x = 4 10. x 2 - xy + 5x = 4 2x2 - 3xy + 1Ox = - 2
11. 12.
=
8000.
2x2 + 3xy +
X = - 2 3x2 - 2xy + 4x = l x 2 + 4xy- 7x = 10
x 2 +3xy-6x =7
Utilice sustitución para calcular las soluciones reales de los siguientes sistemas de ecuaciones: 13.
x- 2y
r - 2y
= -5 2
15.
l -
17.
r- 6xy = - 20
X
20.
9r + 5l = 1
2x = - 2
16.
x2
18.
x2
+ 2y = 7
2l -
X -
19.
14.
= - 23
3x - 2y = 1 - 6y = 13
X -
3y = -4
X
2
2y = 5 2xy + y2 = 9 +X- y=4 -
12xy + 2y = - 72 2y2 + 6y 2x - 12xy + l = -36
x
2
2
-
X= 2
l + 3y 2x2 + i = 9 xy = 2
22.
+ 2xy +
24.
X =
21. 23.
x2
xy = - 5
2y2 = 17
2x2 +
3y2
= 29
xy = 3
x 2 - 6xy 2xy = 3
+ 4/
=1
