Contenido EJERCICIO EJERCICIO 1: ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN.......... SUSTRACCIÓN............................. .................................................. ............................... 2 EJERCICIO EJERCICIO 2: MULTIPLICACIÓN..... MULTIPLICACIÓN......................... ....................................... ................................................. .............................. 4 EJERCICIO EJERCICIO 3 DIVISIÓN.............................. DIVISIÓN.................................................. ........................................ ..................................... ................. 5 EJERCICIO EJERCICIO 4 OPERACIONES OPERACIONES FUNDAMENT FUNDAMENTALES............. ALES................................. ..................................... ................. 6 EJERCICIO EJERCICIO 5 BINOMIOS Y MULTINOMIOS........... MULTINOMIOS............................... .............................................. ..........................10 10 EJERCICIO EJERCICIO 6 FACTORIZACIÓN................... ACTORIZACIÓN....................................... ........................................ .................................. .............. 12 EJERCICIO EJERCICIO : FACTORIZACIÓN ACTORIZACIÓN DE BINOMIOS............................. BINOMIOS.................................................. ..................... 14 EJERCICIO EJERCICIO !: FACTORIZACIÓN ACTORIZACIÓN POR A"RUPACIÓN........... A"RUPACIÓN........................................... ................................ 16 EJERCICIO EJERCICIO #: PRODUCTOS NOTABLES NOTABLES Y FACTORIZACIÓN............................... ACTORIZACIÓN...............................1 1 E$%&'('() E$%&'('() 10: CONVERSIÓN Y REDUCCIÓN DE FRACCIONES................. FRACCIONES............................ ...........21 21 EJERCICIO EJERCICIO 11: MULTIPLICACIÓN MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES..................... FRACCIONES........................23 ...23 EJERCICIO EJERCICIO 12: REDUCCIÓN DE FRACCIONES............................................. FRACCIONES.................................................. .....25 25 EJERCICIO EJERCICIO 13: REDUCCIÓN DE FRACCIONES COMPLEJAS................... COMPLEJAS............................... ............2 2 EJERCICIO EJERCICIO 14 OPERACIONES OPERACIONES CON FRACCIONES.................................... FRACCIONES............................................. .........2! 2! EJERCICIO EJERCICIO 15: RESOLUCIÓN DE ECUACIONES...................................... ECUACIONES................................................ .......... 32 EJERCICIO 16: RESOLUCION DE PROBLEMAS MEDIANTE EL USO DE ECUACIONES ..................................... ......................................................... ........................................ ........................................ ....................................... ......................... ...... 34 EJERCICIO 20: RESOLUCIÓN "R*FICA "R*FICA DE ECUACIONES DE DOS INCÓ"NITAS 3# EJERCICIO EJERCICIO 21: RESOLUCIÓN AL"EBRAICA AL"EBRAICA DE ECUACIONES....................... ECUACIONES.............. ............. ....3# 3# EJERCICIO 22: RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON TRES INCÓ"NITAS...........41 EJERCICIO EJERCICIO 23: PROBLEMAS RELACIONADOS RELACIONADOS CON ECUACIONES ECUACIONES SIMULT SIMULTANEAS. 43 EJERCICIO EJERCICIO 24: DETERMINANTES............. DETERMINANTES................................. ....................................... ................................... .................. 4 EJERCICIO EJERCICIO 32 ECUACIONES DE SE"UNDO SE"UNDO "RADO...................... "RADO.................................... ................... .....4! 4! EJERCICIO 33: SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SE"UNDO "RADO COMPLETANDO COMPLETANDO CUADRADO.............. CUADRADO.................................. ......................................................... ......................................... ....50 50 EJERCICIO EJERCICIO 34: EMPLEO DE LA FÓRMULA DE SE"UNDO "RADO............ "RADO................... .........52 ..52 EJERCICIO EJERCICIO 35: REDUCCIÓN DE ECUACIONES A LA FORMA CUADR*TICA... CUADR*TICA...... .....54 ..54 EJERCICIO 36: SOLUCIÓN DE ECUACIONES +UE COMPRENDEN RADICALES...56 EJERCICIO 3: PROBLEMAS +UE CONDUCEN A ECUACIONES DE SE"UNDO "RADO..............................................................................................................5 EJERCICIO EJERCICIO 40: SOLUCIÓN "R*FICA "R*FICA DE PARES PARES DE ECUACIONES............... ECUACIONES.......... ........... ......60 60 1
EJERCICIO EJERCICIO 41: SOLUCIÓN SOLUCIÓN AL"EBRAICA AL"EBRAICA DE ECUACIONES...................... ECUACIONES................................61 ..........61 EJERCICIO 42: ECUACIONES SIMULT*NEAS DE SE"UNDO "RADO..................62 EJERCICIO EJERCICIO 62: SOLUCIÓN SOLUCIÓN DE DESI"UALDADES................ DESI"UALDADES..................................... .............................. .........63 63 EJERCICIO EJERCICIO 63: E,PRESIONES E,PONENCIALES E,PONENCIALES Y LO"ARITMICAS.................. LO"ARITMICAS...................65 .65 EJERCICIO EJERCICIO 64: LO"ARITMOS LO"ARITMOS DE N-MEROS.................................................... N-MEROS........................................... ......... 6 EJERCICIO 65: OBTENCIÓN DE N-MEROS A PARTIR DE SUS LO"ARITMOS.....6 EJERCICIO EJERCICIO 66: OPERACIONES OPERACIONES NUMRICAS CON LO"ARITMOS........................6 LO"ARITMOS........................6 EJERCICIO EJERCICIO 6!: ECUACIONES ECUACIONES LO"ARITMICAS........... LO"ARITMICAS............................... ........................................0 ....................0
EJERCICIO 1: ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN //. #10 1. 3 + 5 −2
2.
S). 6 3. 5−2 −1
S). 4 4. 7− 2−3
S). 2 5. 11− 6−2 + 1
S). 2
S). 4
S). −7 !. 2−3 −12 + 1
.
13−2 −1−3
S). 7 #.
7 + (−2 ) +(−3 )
6.
1 + 6− 3
13−14 + 2−8
S). −12
−(−9 ) 10. 16− (−5 ) −(−
S). 2
S). 30
11. 22 +(−2 )−(+3 )
12. 19−( + 3 )−(+8 )
S). 17
S). 8
13. 4 −(−1 ) +(−2 )
−(−9 ) 14. 16− (−5 ) −(−
S). 3
S). 30
−(−12) 15. −13 + (−5 ) −(−
16. 23− (−7 )+(−21)
S). −6 1. 9 a −2 a−3 a
S). 9
S). 4 a
S). 3 b
1!. 10 b−3 b − 4 b
2
12 x + 2 x −7 x 1#. 12 x
20. 2 x −5 x − 8 x
S). 7 x 21. 5 a +2 b −7 a− b
S). −11 x 12 y + 3 a −5 y − a 22. 12 y
S). b −2 a 23. 7 x +3 x −2 y − 8 y
S). 7 y + 2 a 24. 7 p + 8 q − p + q
10 x −10 y 10 y S). 10 x
S). 6 p + 9 q
E'&%% 7 87 9% 7 %/&%()% % ) /&);%87 25 7 32 25. 2 x − y + 3 z 26. 5 w + 3 t −8 u 2. 4 r −3 u− 6 t 4 x −3 y + 2 z
2 w + t −6 u
3 r + 5 u + 2 t
S). 6 x −4 y + 5 z
S). 7 w + 4 t −14 u
S). 7 r + 2 u− 4 t
2!. 2 p −3 a + 4 r −6 p + 4 a −5 r
2#. 2 s + 3 i− 4 m 3 s −2 i + 3 m
30. 8 t −5 u + 7 b −4 t −3 u− 3 b
S). −4 p + a −r
−4 s − 5 i S). s − 4 i−m
31. 4 s + 2 a + y 6 s − 4 y
−5 s −7 a + 2 y 5 s −5 a − y
−8 u −4 b S). 4 t −16 u
32. 6 r + 3e-2 d 3 r −5 e
−5 r + 4e-5 d S). 4 r + 2e-7 d
E'&%% 7 87 9% 7 %/&%()% % ) /&);%87 33 7 36 33. 2 s −3 a + 4 w , 2 w + 2 a −3 s , 5 a −2 w S). 4 a− s + 4 w 34. 2 b +5 u + 7 t , 2 t −4 u −4 b , 2 u −6 b S). −8 b + 9 t + 3 u 35. 4 n−3 a + 6 t ,−3 t + 2 a−5 n , 3 a −4 n + 3 t S). 2 a−5 n + 6 t 36. 2 b− 4 u + 2 s , 9 s −3 u−5 b , 6 u −2 s S). −3 b + 9 s −u R%% 7 %<97 %/&%(= 9% 7 /&(8%&7 % ) /&);%87 3 7 4! 3
3!. 24 −10
3#. −17
S). 12
S). 34
S). −23
40. −13 −17
41. 2 a−t a + t
42. 3 h + 2 e 2 h +3 e
S). 4
S). a −2 t 44. 2 a−5 h
S). h −e 45. 2 s + 3 a + 5 y
3. 25 13
43. 5 a−3 s
−2 a −2 s
6
−3 a + 2 h
s + 3 a −2 y
S). 7 a −s
S). 5 a−7 h
S). s + 7 y
46. 5 m−3 a + 2 n −3 m + 2 a −n
4. 5 y + 2e+8 s 2 y + 2e-3s
4!. −3 t + 4 a + 7 g −2 t −3 a + 5 g
S). 8 m−5 a + 3 n
S). 3 y + 11 s
S). −t +7 a + 2 g
E'&%% ) >7)&% 9% 7 %/&%()% % ) /&);%87 4# 7 56? )879) 7 %&7 ') ) >7)&% 8&(') (9('79). 4#. 2 x −3 y + 4 z ; x =2, y =−3, z =1 S). 17 50. 5 x +2 y −3 z ; x =4, y =2, z =−3 S). 33 1
2
3
51. 4 x −3 y + 5 z ; x = 2 , y = 3 , z = 5 S). 3 52.
6 x + 5 y −2 z ; x =
−1
3 , y = , z =−2 3 5
S). 5 53. a + 2|a|−|b|; a =−3, b =2 S). 1 54. 2 a−|a|−3 b ; a= 4, b=−3 S). 13 55. |a|+ a−|b|; a =−2,b =1 4
S). −1 56. |a|−2 a −3|b|;a =−3, b =−2 S). 3 E(8@%% ) @8;)) 9% 7<&/7'(= % 7 %/&%()% 9% ) /&);%87 5 7 6! ')8;@%% ) &8() %8%$7%. 5. 2 x −( 3 x − y )+( 2 x + y ) S). x + 2 y 5!. 3 a− ( 2 b −3 c ) +(2 a −c ) S). 5 a− 2b + 2c 5#. 4 b−( 3 a −2 c )−( 2 b −3 c ) S). −3 a + 2b +5 c 60. 5 c + ( 4 a−2 b ) −(2 a −2b −c ) S). 2 a + 6 c 61. 2 a−[ y −( 2 a + 3 y )− y ] S). 4 a +3 y 62. 4 s −[ 2 s −( 3 s −t ) + 2 t ] S). 5 s −3 t 63. 2 b−[ 5 a−( 2 a −3 b )− a ] S). −2 a −b 64. 5 s −[2 t + ( 3 s −4 t )− s ] S). 3 s + 2t 65. 2 a− {2 a−[ 2 a −( 2 a−b )−b ]−b }−b S). 0 66. 4 x −{3 y + [ 4 x − ( 3 y −4 x )− 3 y ]−4 x }−3 y S). 0 6. 3 x −{2 x + [3 x −2 y − (5 x − 4 y )−2 x ] −5 y } S). 5 x + 3 y 5
6!. 7 y +{ 3 y −[ 5 x − y −( 3 x −2 y ) − y ]−2 x } S). 10 y −4 x
EJERCICIO 2: MULTIPLICACIÓN R%%S/7& //. 134 E%'%% 7 )/%&7'()% (9('797 % ) /&);%87 1.
2
3
a a
2.
5 S). a
4.
5
3.
9 S). a
5
2
b b
5.
7 S). b
.
4
a a
!.
2
4 S). b
( 3 a2 )( 2 a3)
6.
( 2 x 3 )( 4 x 5 )
8 S). 8 x
5 S). 6 a
( 3 y 3)( 2 y 2)
2
b b
( 5 b4 )( 4 b 5 )
#.
( 2 a3 b2)( 3 a4 b3 )
5 S). 6 y
9 S). 20 b
7 5 S). 6 a b
3 5 2 4 10. ( 4 a b )( 2 a b )
7 4 2 3 11. ( 3 x y )( 5 x y )
2 3 4 12. ( 5 x y )( 7 x y )
5 9 S). 8 a b
9 7 S). 15 x y
3 7 S). 35 x y
2 3 2 2 3 2 a b 3 a c b c ) ( )( )( 13.
2 3 2 5 a 3 b c 2 a c ( )( )( ) 14.
2 3 2 2 x y 3 x z ( )( ) 15.
4 5 4 S). 6 a b c 16.
3 5 S). 30 b a c
2 3 3 S). 6 z x y
2
3
2
2
(3 x y )( 2 x z )( 4 y z ) 3
3
S). 24 x y z
3
2 1. ( x )
3 1!. ( y )
6 S). x
6 S). y
4 1#. ( a )
5
2 20. ( a )
20 S). a
8 S). a 2
4
2
3
2 3 21. ( 2 a b )
6 9 S). 8 a b 4
3 4 22. ( 3 a b )
3 23. ( 5 x y )
4 3 24. ( 4 x y )
6 8 S). 9 a b
12 4 S). 625 x y
4
16 12 S). 256 x y
E(8@%% ) @8;)) 9% 7<&/7'(= % 7 %/&%()% 9% ) /&);%87 ')8;@%% ) &8() %8%$7%. 25. a ( 2 a− b )−2 b ( a −b ) + ab (a + 3 ) 2 2 2 S). 2 a +2 b + a b
26. 2 x ( x + 2 y )− 3 y ( 2 x − y ) + xy (2− y )
6
2 2 2 S). 2 x − x y + 3 y 2 2 2. xy ( x − 3 y ) − x ( y − 3 x ) − y ( x − y ) 2 2 2 S). 3 x −4 x y + y 2 2 2 2!. a ( a −b ) + b ( ab−b )−a ( a− 2b ) 2 2 S). 2 a b−b 2 2 2#. 2 x −3 x [ 2 x − y ( x −2 y )− y ] 2 2 2 S). 3 y x −3 x y −4 x 3 30. 8 a −2a [ b−2 a ( b −2 a )− b ] 2 S). 4 a b 2 31. 2 a [ 3 a− b (3 a−b )−3 a −b ] 2 S). −6 a b 2 32. 3 x [ 4 a −2 x ( a− x ) −3 a ( x +2 a ) + 6 a + 5 ax ] 3 S). 6 x +12 ax
E'&%% % /&)9') 9% '797 /7&%$7 9% %/&%()% 2 x + 3 y , 3 y − x 33. a + 2 b , 2 a− b 34. 2 2 S). 2 a + 3 ab− 2 b
2 2 S). 9 y + 3 xy −2 x
35. 4 x −a , 2 x + 3 a ¿
36. 2 a + 5 b , 3 a− 4 b
2 2 S). 8 x + 10 ax − 3 a
2 2 S). 6 a + 7 ab −20 b
2 2 3. a + 2 b , a −3 ab− b ¿
2 2 3!. 2 a−b , a −2 ab −b
3 2 2 3 S). a −a b−7 a b −2 b
3 2 3 S). 2 a −5 a b + b
2 2 3#. 3 x −2 y , 2 x − 5 xy − y
2 2 40. 2 x −5 y , 2 x − xy + y
3 2 2 3 S). 6 x −19 x y + 7 x y + 2 y
3 2 2 3 S). 4 x −12 x y + 7 x y −5 y
2 2 2 2 41. x − xy − y , x + xy + y
2 2 2 2 42. x −2 xy − y , x + 3 xy + 2 y
4 2 2 3 4 S). x − x y −2 x y − y
4 3 2 2 3 4 S). x + x y −5 x y −7 x y − 2 y
3 2 43. a −a + 1, a + a −2
3 2 2 44. x + x − x + 1, x + x −1
5 4 3 S). a + a −3 a + 3 a−2
5 4 3 2 S). x + 2 x − x − x + 2 x −1
EJERCICIO 3 DIVISIÓN R%%S/7& // 16 E%'%% 7 9(>(()% (9('797 7
1.
5
x 2 x
2.
5 S). x
5.
8 x
8
2 x
2
2
6.
3
9 x
9
3 x
3
5
a c 2 ac
2
5
15 x y z 3
5 x y z
2 3 S). 3 x y z
4.
.
3 S). t
10 x
10
!.
5
5 x
5 S). 2 x
9
6
t 6 t
6 x
6
3 x
3
3 S). 2 x
7
5
3
a b 10. a3 b5
x y 11. x y 6
t w 12. t 4 w 2
2 4 S). a b
5 S). x y
S). tw
7
4
9
w 5 w
3 S). w
6 S). 3 x
S). ac 13.
3.
2 S). y
6 S). 4 x
#.
8
y 3 y
14.
9
8
6
5
3
18 a b c 6a b c
3 3 2 S). 3 a b c
5
15.
7
24 a b c 6
6ab c
5
4 4 S). 4 a b c
9
3
7
24 a b c
16. 18 a2 b3 c 2 4
S).
4ab c 3
E>%% '797 &7''(= 7 7 /)%'(7 (9('797
( )
3 2
17.
x 4 y
1!.
6
S).
x 8 y
( )
3 3
S)
3 x 2 y
27 x
y
6
( )
2 4
1#.
2 x 3 3 x
9
S).
81 x
D(>@97% 7 /&(8%&7 %/&%(= %&% 7 %<97 21.
2 x
2
−7 x + 6, x −2
S). 2 x −3 2 22. 2 a −a −15,2 a + 5
S). a −3 2 2 23. 2 a −3 ab −2 b ? 2 a + b
S). a −2 b !
20.
( ) 5 x 2 4 y
3
3
16 4
4
S).
125 x 6 64 y
2
2 2 24. 2 a + 5 ay −3 y , a + 3 y
S). 2 a− y 3 2 2 25. 2 y −7 y + 9 y −3, y −3 y + 3
S). 2 y −1 3 2 2 26. 3 y − y + 7 y + 6, y − y + 3
S). 3 y + 2 3 2 2. 2 y −9 y + 11 y −6, y −3 2 S). 2 y −3 y + 2 3 2 2!. 5 y −14 y + 9 y −2, y − 2 2 S). 5 y −4 y + 1 4 3 2 2#. y + 3 y −3 y + 1, y + y −1 2 S). y + 2 y −1 4 3 2 2 30. x −5 x + 10 x − 11 x + 3, x −2 x + 3 2 S). x −3 x + 1 4 2 3 2 31. t −t + 7 t + 2, t −2 t + 3 t + 1
S). t + 2 4 3 2 32. 2 w −9 w + 7 w + 7 w −3, w −3 3 2 S). 2 w − 3 w −2 w + 1 3 2 2 2 2 33. 2 x − 6 x − 3 x y + 9 xy − x y + 3 y , x −3 2 2 S). 2 x −3 x y − y 3 2 2 2 2 2 2 34. 2 x + x − 4 x y −2 xy +10 x y + 5 y , x −2 xy + 5 y
S). 2 x + 1 4 3 2 3 2 35. x − 4 x + x + 7 x −2, x −2 x −3 x + 1
S). x −2 4 3 2 36. 6 x −7 x −15 x + 2 x + 2, 3 x + 1
#
3 2 S). 2 x − 3 x − 4 x + 2
E'&%% % ')'(%% % &%(9) &%7% 7 9(>(9(& 7 /&(8%&7 %/&%(= %&% 7 %<97 3.
2 x
3
− x 2−8 x −2 2 x + 3
2 S). ')'(%% x −2 x −1 &%(9) 1
3!.
3 x
3
−5 x 2−3 x −1 2 x − x − 1
S). C)'(%% 3 x −2 &%(9) −2 x −3 3#.
4 x
3
−9 x 2 + 14 x −5 4 x −1
2 S). C)'(%% x −2 x + 3 &%(9) −2
40.
3 x
3
−5 x 2−7 x −3 2 x −3 x + 1
S). C)'(%% 3 x + 4 &%(9) 2 x −7
EJERCICIO 4 OPERACIONES FUNDAMENTALES E%'%% 7 )/%&7'()% (9('797 % ) /&);%87 120 1. 6 −10 + 1 2. 8 −7−6 + 1 S). −3 3. 14 −6 + 9 −11
S). −4 4. −5 + 15−6 −8
S). 6
S). −4
5.
3 + (−2 )−(−5 )
S). 6 .
−11−(−17 ) +(−5 )
6.
9 −(−8 )−11
S). 6 !.
−(−6 )+ (−3 ) −(+7 )
S). 1 #. −4 + 7 −8
S). −4
S). −5
S). −19
11. 7− 2−5 +(−2 )
12. 13−7 −7 −13−(−4 )
10. −7 −8 +(−4 )
10
S). −2
S). −10
13. 2 x +3 x − 4 x
14. 5 a−7 a−2 a
S). x
S). −4 a
15. 2 b−5 b −7 b
16. 9 y −6 y + 2 y
S). −10 b 1. a −3 b−5 a + 6 b
S). 5 y 1!. 5 x −2 y −3 x − y
S). 3 b− 4 a
S). 2 x −3 y
1#. −4 x −7 y + 2 x + 5 y
20. 7 x − y + x −5 y − 4 x + 2 y
S). −2 x −2 y
S). 4 x −4 y
E'&%% % >7)& 9% 7 %/&%()% % ) /&);%87 2132? ( b =3 c =−2 21. 2 a−b −c
22. 3 a + b + c
S). −3
S). −2
23. 4 a + 2 b−3 c
24. −a + b + 2 c
S). 8
S). 0
25. 2 ( a−b )−3 ( b + c )
26. 2 (3 a + b )− 5 (a −b + c )
S). −11
S). 30
2. 3 ( 2 a−b )−4 ( a −2 c )
2!. 5 ( a− b )− 4 ( b + 4 c )
S). −27
S). 0
2#. |a −b|+|2 b− c|−|c| S). 10 30. |2 a− c|−|3 a −b|+|b −c| S). −1 31. |a + b− c|+|2 a−b −c|−|a| S). 6 32. |a −b −2 c|−|2 a + b− c|−|b| 11
a =−1 ?
S). −6 33.E'&%% 7 87 9% )9) ) 8%&) /&(8) 8%)&% %
12 .
S). 28 34.E'&%% % /&)9') 9% )9) ) 8%&) /&(8) 8%)&% %
8 .
S). 210 35.A<&<%% 7 87 9% )9) ) 8%&) /&(8) 8%)&% % # 7 7 87 9% )9) ) 8%&) /&(8) ')8/&%9(9) %&% 12 1!. S). 47 36.R%% 7 87 9% )9) ) 8%&) /&(8) ')8/&%9(9) %&% 16 24 9% 7 87 9% )9) ) 8%&) /&(8) ')8/&%9(9) %&% 2! 32. S). 1 E'&%% 7 87 9% 7 %/&%()% % ) /&);%87 3 7 40 3. 2 a−b −3 c , a + 5 b −2 c , 3 a− 2b + 4 c S). 6 a + 2 b −c 3!. x + y −5 z , 2 x −3 y − z ,−3 x − y + 4 z S). −3 y −2 z 3#. 3 a− 2 b − 4 c , 2 a + 3 b + c , 4 a −b + 5 c S). 9 a + 2 c 40. 5 t + 2 u− s , 3 u− t + 2 s ,6 s −2 t −4 u S). 7 s + 2 t + u R%% 7 %<97 %/&%(= 9% 7 /&(8%&7 % ) /&);%87 41 7 44 41. 3 a− b + 2 c , a −3 b −4 c S). 2 a + 2 b + 6 c 42. 2 x + y −5 z , 3 x + 5 y −2 z S). − x − 4 y −3 z 43. 5 a− 4 b −2 d , 2 a −4 b−2 c ¿ S). 3 a +2 c −2 d 44. 2 a−3 b − 4 c ,3 a + 2b −5 c S). c −5 b −a E%'%% 7 )/%&7'()% (9('797 % ) /&);%87 45 7 52 2 45. 2 a ( ab ) + b ( 3 ab )−a ( 3 b )−2 ab ( b ) 2 2 S). a b −a b 2 2 2 2 2 2 46. 3 x ( x y ) −2 xy ( x y ) + 5 x y ( x )− 2 x y ( xy ) 3 2 S). 4 x y 2 2 2 2 4. 3 a b ( ab ) + 5 a b ( b ) −4 ab ( a b ) −2 ab ( 3 ab ) 2 3 2 2 S). 4 a b −6 a b
12
2 2 2 4!. 4 ab ( 3 a c )−5 a b ( ac )−7 a c ( ab ) + 2 abc ( 3 ac ) 2 2 S). 6 a b c 4
4#.
3
5a b 2
a b
5
−
12a b
4
3
5
15 a b
2
+
3
6
4
6
4
3
33 x y − 0 3 3 x y
2
4
16 a y − 5 3 8 a y
3
6a b
3
5ab
2 2 S). 6 a b 7
30 x y 18 x y 50. 6 x 5 y 2 − 3 x 4 y 3
5
7
3
5
28 x y z + 3 6 7 x y
0
2 S). 3 x y 5
36 x y 20 x y 51. 12 x 2 y 4 + 5 xy 3 2 S). −4 x y 4
18 a y 52. 9 a3 y
3
27 a y − 2 3a y
6
5
2 S). −9 a y
E(8@%% ) @8;)) 9% 7<&/7'(= ')8;@%% ) &8() %8%$7% % ) /&);%87 53 7 6 53. 2 ( a + 2 b−3 c ) −3 ( 2 a− 3b + 2 c ) S). −4 a + 13 b −12 c
(3 a + 2 b −2 c ) 54. 5 ( 2 a − 4 b −c )−4 ¿ S). 3 c −2 a −28 b 55. 7 (−3 a + 2b −5 c )−5 (−4 a + 3b −6 c ) S). −a−b −5 c 56. 3 ( 5 a−7 b + 3 c )−4 ( 4 a −5 b + 2 c ) S). c −b −a 5. 4 a−5 [ a−2 ( 2 b−3 c )− 2 b ] S). −a + 30 b− 30 c 5!. 2 r −2 {4 r −2 [ s −t + 4 ( r − s + 2 t )−3 r ]+ 2 s } 13
S). 28 t −2r −16 s 2 5#. 33 x −3 { x −2 x [ x −7 ( x −2 ) −3 ]+ 2 }−60 x 2 S). −3 x + 3 x −6 2 2 2 2 60. 4 x − {[ 2 x −2 x ( x −3 y + 1 )−3 x +3 y ]− [ 3 y ( 2 x −2 y + 1 )+ 6 y ] + 2 x } 2 S). 7 x
61. ( x − y )( x −3 y ) 2 2 S). x −4 xy + 3 y
62. ( x + 2 y )( x + 3 y ) 2 2 S). x + 5 xy + 6 y
63. ( 2 x − y )( x + 3 y ) 2 2 S). 2 x + 5 xy −3 y
64. ( 3 x − y )( x + 2 y ) 2 2 S). 3 x + 5 xy −2 y
65. ( a + 2 x −3 y )( a −2 x + 3 y ) 2 2 2 S). a − 9 y + 12 xy − 4 x
66. ( 2 a− x + y )( a −3 x − y ) 2 2 2 S). 3 x −2 xy −7 ax −ay − y + 2 a
6. ( 3 a −b + c )( a −2b + c ) 2 2 2 S). 3 a −7 ab + 4 ac + 2 b −3 bc + c
6!. ( a + 2 b + 3 c )( a −2 b−3 c ) 2 2 2 S). a − 4 b −12 bc −9 c 2 2 2 2 6#. ( a −b − ab )( a + b + ab ) 4 2 2 3 4 S). a −a b −2 a b −b 2 3 4 6 2 3 4 6 0. ( 2 x y + x + y )( 2 x y − x − y ) 8 4 6 12 S). − x + 2 x y − y
14
3 2 4 2 3 2 4 2 1. ( a + a b + a + b )( a + a b −a −b ) 8 6 2 4 4 S). −a + a + a b − b 2 2 2 2 2. ( x + xy + y −2)( x − xy + y + 2 ) 4 2 2 4 S). x + x y + 4 xy + y − 4
3. ( a + b ) ( a−2 b ) −a + b ( a + 2b )−a (a −3) S). 2 a 4. ( 2 a + b ) a −b + 2 a −b ( a −b ) −2 a (a + 1 ) 2 S). b − b
5. 3 x − y (2 x + y )−( 3 x − y ) 2 x + y +( 3 x −1)( 2 x + y ) 2 S). 3 xy + x − y 2 6. ( 3 x − y ) 2 x − y −3 x + y ( 2 x + y ) + 3 x −1 (2 x + y ) 2 S). 6 x −2 x − y
D(>@97% 7 /&(8%&7 %/&%(= %&% 7 %<97 % ) /&);%87 7 !! 2 2 . 6 a + ab −b , 2 a + b S). 3 a− b 2 2 !. 3 a −5 ab −2 b , a−2 b
S). 3 a + b 2 2 #. 6 x + xy − y , 2 x + y
S). 3 x − y 2 2 !0. 10 x − 19 xy + 6 y , 2 x −3 y
S). 5 x −2 y 3 3 !1. a + b , a + b 2 2 S). a − ab + b 3 2 2 3 !2. a −4 a b + 4 a b −3 b , a −3 b 2 2 S). a − ab + b
15
3 2 2 3 !3. 2 x + x y −3 x y + y ,2 x − y 2 2 S). x + x y − y 3 2 2 3 !4. 2 x + 7 x y + 4 x y − 3 y , 2 x + 3 y 2 2 S). x + 2 xy − y 2 2 2 !5. a + 2 ab + b −c , a + b −c
S). a + b + c 2 2 2 !6. 4 a −9 b + 6 bc −c , 2 a −3 b + c
S). 2 a + 3 b −c 2 2 2 !. 9 a − x + 4 xy − 4 y ,3 a − x + 2 y
S). x −2 y + 3 a 2 2 2 !!. 25 x −a + 6 at −9 t , 5 x + a −3 t
S). 5 x + 3 t −a E%'%% 7 )/%&7'()% (9('797 ')8;@%% ) &8() %8%$7% % ) /&);%87 !# 7 #2 2 2 5 4 4 5 2 2 !#. xy ( − x y + x y ) +[ ( x y − x y ) ÷ ( x y ) ]
S). 0 3 2 2 2 5 6 6 5 2 #0. x y ( x y −2 x y ) −[ ( x y −3 x y ) ÷ ( x y ) ] 5 3 S). x y 2 3 2 2 6 6 5 7 2 3 #1. 2 a b ( 3 a b−5 a b ) −[ ( 6 a b −11 a b ) ÷ ( a b ) ] 3 4 S). a b 2 2 3 3 2 5 4 7 4 6 6 2 3 #2. 3 a b c ( 2 a b c −5 ab c ) −[ ( 7 a b c −17 a b c ) ÷ ( a b c ) ] 2 3 5 3 3 4 S). 2 a c b −a b c
EJERCICIO !INOMIOS Y MULTINOMIOS //. 223 E')&7& ) /&)9') (9('79) % ) /&);%87 1 7 #2 1. ( x + 2)( x + 3 ) 2. ( b + 1 ) ( b + 1 )
16
2 S). x + 5 x + 6
3.
2 S). b + 2 b +1
( 3 y + 1)( y + 2 )
4.
2 S). 3 y + 7 y + 2
5.
2 S). 2 x + 5 x + 2
( 3 x −1)( x + 2 )
6.
2 S). 3 x +5 x −2
.
( x −3 )( 2 x + 1 )
2 S). 2 x −5 x −3
( 4 b + a )( b + 2)
!.
2 S). 4 b + 9 b + 2 a
#.
(2 x + 1 )( x + 2)
(3 c −2 )( 2 c + 3)
2 S). 6 c + 5 c −6
( 7 x −1 )( x + 2 )
10. ( 3 a −2)( 2 a + 3 )
2 S). 7 x + 13 x −2
2 S). 6 a + 5 a −6
11. ( 8 m−5 )( 2 m + 4 )
12. (5 h + 3 )( 4 h−5 )
2 S). 16 m +22 m−20
2 S). 20 h −13 h −15
13. ( 4 a−7 )( 5 a + 2)
14. ( 2 r + 2 s )( 3 r + 3 s )
2 S). 20 a −27 a−14
2 2 S). 6 r + 12 rs + 6 s
15. ( 7 j −5)( 3 j + 2)
16. (8 a + 3 c )( a + 5 c )
2 S). 21 j − j −10
2 2 S). 8 a + 43 ac + 15 c
1. ( 2 m−3 n )( 4 m−2 n )
1!. ( 12 x −3 y )( 6 x −5 y )
2 2 S). 8 m −16 mn+ 6 n
2 2 S). 72 x −78 xy + 15 y
( 2 c −7 d ) 1#. ( 6 c −3 d )¿
20. (3 r −5 y )( 2 r −7 y ) 2 2 S). 35 y −31 ry + 6 r
2 2 S). 12 c −48 cd + 21 d
( 7 j + 2 k )
21. ( 2 w + 7 z )( 3 w −2 z )
22. (5 j −3 k ) ¿
2 2 S). 6 w + 17 wz− 14 z
2 2 S). 35 j −11 jk −6 k
23. ( 10 x −5 y )( 5 x + 2 y )
24. (7 a + 6 b )( 9 a− 8 b)
2 2 S). 50 x − 5 xy −10 y
2 2 S). 63 a −2 ab −48 b
2 25. ( x + 2 y )
2 26. ( 2 x − 3 )
1
2 2. ( a +3 b )
2 2 S). x + 4 xy + 4 y
2 S). 4 x −12 x + 9
2 2 S). a + 6 ab + 9 b
2 3 x 2 ( + ) 2!.
2 3 1 ( − ) a 2#.
2 3 2 ( − ) m n 30.
2 S). 9 x +12 x + 4
2 S). 9 a − 6 a + 1
2 2 S). 9 m −12 mn+ 4 n
2 31. ( 3 m−4 n )
2 32. ( 6 a −4 b )
2 33. ( 2 a−3 b )
2 2 S). 9 m −24 mn + 16 n
2 2 S). 36 a − 48 ab + 16 b
2 2 S). 4 a −12 ab + 9 b
2 34. ( 2 x + 5 y )
2 35. ( 4 r −3 s )
2 36. ( 5 h + 3 k )
2 2 S). 4 x + 20 xy + 25 y
2 2 S). 16 r −24 rs + 9 s
2 2 S). 25 h + 30 hk + 9 k
2 3. ( 4 u −2 v )
2 3!. ( 2 j + 7 k )
2 3#. ( 6 z −5 w )
2 2 S). 16 u −16 uv + 4 v
2 2 S). 4 j + 28 jk + 49 k
2 2 S). 36 z −60 wz + 25 w
2 40. ( 3 a + 2 b )
41. (7 + 2 )( 7 −2)
42. ( 18 )( 22)
2 2 S). 9 a + 12 ab + 4 b
2 2 S). 7 −7 × 2+ 7 × 2−2 =45
S). ( 20−2 ) ( 20 + 2 ) =396
43. ( 24 )( 36 )
44. (25 )( 35 )
45. ( x + 3)( x −3 )
S). 864
S). 875
2 S). x −9
46. ( x + 9 )( x −9 )
4. ( m +n )( m−n )
2 S). x −81
2 2 S). m −n
4!. ( a + b)( a− b )
4#. ( x + 3 y )( x −3 y )
2 2 S). a − b
2 2 S). x −9 y
50. ( a +5 b )( a−5 b )
51. (5 x + y )( 5 x − y )
2 2 S). a − 25 b
2 2 S). 25 x − y
52. ( 3 c + d )( 3 c −d )
53. (3 a + 2 b )( 3 a −2b )
2 2 S). 9 c −d
2 2 S). 9 a − 4 b
54. ( 2 x + 3 z )( 2 x −3 z )
55. ( 7 y + 4 c )( 7 y −4 c )
2 2 S). 4 x − 9 z
2 2 S). 49 y −16 c
56. ( 4 x + 5 w )( 4 x −5 w )
3 3 5. ( 2 a + 2 b )( 2 a −2 b )
2 2 S). 16 x −25 w
1!
6 2 S). 4 a − 4 b 2 2 5!. ( 2 x + y )( 2 x − y )
2 3 2 3 5#. (3 b + 6 c )( 3 b −6 c )
4 2 S). 4 x − y
4 6 S). 9 b −36 c
4 2 4 2 60. ( 5 b + 3 x )( 5 b −3 x ) 8 4 S). 25 b − 9 x
61.
( )( ) x y x y + − 3 5 3 5 2
(
)(
2
3
m 2n + 3 5 4
65.
2
) 3
m 2n − 3 5
64.
(
6
( )( ) y 3 y 3 + − 5 x 5 x
66.
(
2
6. S).
(
x
2
)(
2
−
)(
2n − 3
y − 25
2
2
2n + 3
2m 4
4
4
8
2
)(
2 m + 3 5m
2m 4
2
2
)
2 m − 3 5m
4
)
m 4 − 9 25 m2
S).
5a y + x 2 b 25 a
)
4
y 9 − 2 25 x
S).
)(
m 4n − 4 9
S).
3 x y − 4 5
2
9 x 16
S).
m 4n − 9 25
S).
(
2
x y − 9 25
S). 63.
62.
3 x y + 4 5
y
5a y − x 2 b
)
6!.
2
(
2
3a b
5 x + 4 y
4
S).
2
4b
9a b
2
−
)(
2
3a b
25 x
2
16 y
2
−
5 x 4 y
)
2 ( ) x y z + + 6#.
2 ( ) a b c + − 0.
2 2 2 S). x + y ++ z + 2 xy + 2 xz + 2 yz
2 2 2 S). a + b + c + 2 ab −2 ac −2 bc
2 1. ( r + s− t )
2 2. ( m−n + t )
2 2 2 S). r + s + t + 2 rs−2 rt −2 st
2 2 2 S). m + n + t −2 mn + 2 mt −2 nt
2 3. ( a −b + 3 c )
2 4. ( x −3 y − z )
2 2 2 S). a + b + 9 c −2 ab + 6 ac −6 bc
2 2 2 S). x + 9 y + z −6 xy −2 xz + 6 yz
1#
2
2
2 5. ( x −2 x + 5 )
2 6. ( 2 a −3 a + 1 )
4 2 3 S). x + 14 x + 25− 4 x −20 x
4 3 2 S). 4 a −12 a + 13 a −6 a + 1
2 . ( x −2 y + z −3 r ) 2 2 2 2 S). x + 4 y + z + 9 r −4 xy + 2 xz − 6 rx −4 yz + 12ry −6 rz 2 !. ( 2 x + 3 y − 4 z −2 w ) 2 2 2 2 S). 4 x + 9 y +16 z + 4 w + 12 xy −16 xz −8 wx −24 yz −12 wy + 16 wz
3 2 #. ( m + m −2 m + 1 )
2
6 5 4 3 2 S). m + 2 m − 3 m −2 m + 6 m −4 m +1 3 2 !0. ( 2 x − x + 4 x −3 )
2
6 5 4 3 2 S). 4 x −4 x +17 x −20 x + 22 x − 24 x + 9
!1. [ 2 ( a + b ) −3 ] [ 3 ( a + b ) + 2 ] 2 2 S). 6 a + 12 ab + 6 b −5 a −5 b−6
!2. [ 5 ( 2 a −b )+ 3 ] [ 3 ( 2 a −b )− 7 ] 2 2 S). 60 a −60 ab + 15 b −52 a + 26 b −21
!3. ( 3 ( 4 a− c ) + 5 )( 4 ( 4 a− c ) −5) 2 2 S). 192 a −96 ac + 12 c + 20 a−5 c − 25
!4. [ 3 ( 2 y + 3 b )+ 7 ] [ 7 (2 y + 3 b ) −7 ] 2 2 S). 84 y + 252 by + 56 y + 189 b + 84 b −49
!5.
[ ( x −2 ) + x ] [ ( x −2 ) − x ] 2
2
4 2 S). x −5 x + 4
!6.
[ ( a +3 )−a ] [ ( a +3 ) + a ] 2
2
4 2 S). a + 5 a + 9
!.
[ ( 3 b +c ) −3 bc ] [( 3 b + c )+ 3 bc ] 2
2
2
2
20
4 2 2 4 S). 9 b −3 b c + c
!!.
[ ( 3 u +9 v ) −9 uv ] [ ( 3 u + 9 v ) +9 uv ] 2
2
2
2
4 2 2 4 S). 9 u −27 u v + 81 v
!#.
[ ( m +m ) +( m +1 ) ] [ ( m +m )−( m +1 ) ] 3
2
3
2
6 4 2 S). m + m − m −1
#0.
[ ( a −a ) + ( a − 3 ) ] [ ( a − a ) −( a −3 ) ] 3
2
3
2
6 4 2 S). a −3 a + 7 a −9
#1.
[ ( 3 b −b ) +( b −2 b ) ] [ ( 3 b −b )−( b −2 b ) ] 4
3
2
4
3
2
8 6 5 4 2 S). 9 b −b −2 b − 4 b + b
#2.
[ ( 2 m + m ) −( m + a ) ] [ ( 2 m + m ) + ( m + a ) ] 5
3
4
5
3
4
10 8 6 4 2 S). 4 m + 3 m + m −2 a m − a
EJERCICIO " FACTORI#ACIÓN //. 26 F7')&@%% 7 %/&%()% (<(%%: 1.
xz + xy − x
2
2.
S). x ( z + y − x ) 3.
2
3 m n −6 mn
2
+ 9 m3 n2
4.
( x + y ) 2 z + ( x + y ) 4 z 2
6.
3
2
2
3
3
( 2 m−n ) 3 r + ( 2 m− n ) 4 s −(2 m−n )( 4 t −s )
( 6 a −3 b ) ( a + b )+ (6 a−3 b ) ( a + 2 b )−( 6 a− 3 b)( 2 a + b )
S). 6 b ( 2 a− b )
21
3
2 a b + 8 a b −12 a b
( a + b ) ( a− b ) + ( a + b ) b
S). a ( a + b )
S). (2 m−n )( 3 r + 5 s − 4 t ) !.
+ 2 xy −6 x y 2
2 2 S). 2 a b ( a + 4 b−6 ab )
S). 2 z ( x + y ) ( 2 z + 1 ) .
2
2 S). 2 x ( 2 x + y −3 y )
2 S). 3 mn ( m− 2 n + 3 m n )
5.
4 x
2
− x 2
2 2 10. a − b
2 2 11. x −9 y
S). ( m− x ) ( x + m )
S). ( a −b ) ( a + b )
S). ( x −3 y ) ( x + 3 y )
2 2 12. m −16 n
2 2 13. 36 x −4 y
2 2 14. 4 m −n
S). ( m − 4 n ) ( m+ 4 n )
S). 4 ( 3 x + y )( 3 x − y )
S). ( 2 m−n ) ( 2m + n )
2 2 15. a − 64 b
2 2 16. c − 49 d
2 2 1. 9 r −25 s
S). ( a −8 b ) ( a +8 b )
S). ( c −7 d ) ( c +7 d )
S). ( 3 r −5 s ) ( 3 r + 5 s )
2 2 1!. 4 b −16 d
2 2 1#. 9 h −25 k
2 2 20. 36 a − 49 y
S). 4 ( b + 2 d )( b −2 d )
S). ( 3 h−5 k ) ( 3 h + 5 k )
S). ( 6 a −7 y ) ( 7 y + 6 a )
4 6 21. 16 x − 4 y
8 2 22. 25 m −36 n
6 4 23. 64 x − 49 y
2 3 2 3 S). 4 ( 2 x + y )( 2 x − y )
S).
m
#.
8 6 24. 81 h −16 k
( 9 h 4− 4 k 3 ) ( 9 h 4 +4 k 3 )
S).
(
8
5 y − 6
4
)(
9 x 7
8
)
5 y + 6
4
4 8 30. 25 a −b
S).
(
3r 4
2
)(
2s − 5
2
( 5 a2− b4 ) ( 5 a 2+ b4 )
S).
(
4
3h 10
3r 4
)( 3
5 k − 4
( 8 x 3−7 y 2 ) ( 8 x3 +7 y 2 )
16 8 64 6 26. 25 m − 36 n 2
) 2
2s + 5
S).
(
4
3
m n 16 + 5 3
)(
4
3h 10
) 3
5 k + 4
16 4 31. 49 c −25 c 4 6 6 S). c ( 7 c −5 )( 7 c + 5 )
S).
3
)
( x 3− y 2 ) ( x 3+ y 2)
16 12 32. 144 m −625 n S)
( 12 m8 −25 n6 ) ( 12 m8 + 25 n 6 )
2 33. x + 4 x + 4
2 2 34. m + 2 mn + n
2 35. a + 4 a + 4
2 S). ( x + 2 )
2 S). ( m+ n )
2 S). ( a +2 )
2 36. z + 10 z + 25
2 3. 9 h + 6 h + 1
2 3!. 4 k + 4 k + 1
2 ( ) z 5 + S).
2 ( ) h 3 1 + S).
2 ( ) 2 k 1 + S).
2 3#. 25 s −10 s + 1
2 40. 49 m −14 m + 1
2 2 41. 9 x + 12 xy + 4 y
2 S). ( 5 s −1 )
2 S). ( 7 m −1 )
2 S). ( 3 x + 2 y )
22
4
m n − 5 3
6 4 2#. x − y
9 8 25 6 2!. 100 h − 16 k
S). 9 x 7
S).
9 4 4 4 25. 16 r − 25 s
S). 81 16 25 8 2. 49 x − 36 y
( 5 m 4− 6 n ) ( 5 m 4 + 6 n )
2 2 42. 16 a + 24 ab + 9 b 2 4 3 ( + ) a b S).
S).
2
S).
4 (3 m + 4 n ) 2
c 1 1 − 45. 16 2 + c 2
m 46. 4
( ) c 1 − 4 c
2 2 43. 36 m + 96 mn+ 64 n
2
S).
(
+
3m n
2
m 3 + 2 n2
+
S).
(
n
2
2
)
2
2
S).
( ) x y − 5 2
2
2 2 4#. 9 h −12 hk + 4 k
)
2
2 S). ( 3 h−2 k )
6 3 2 4 51. 36 x + 60 x y + 25 y
( 5 a4 −3 b5 )2
S).
16 8 6 12 52. 81 c −126 c d + 49 d
S).
16 ( 2 r + s )
x xy y 4. 25 − 5 + 4
4
8 4 5 10 50. 25 a − 30 a b + 9 b
S).
S).
9
9 2 4 4 2 a + ac + c 4!. 25 5 9 3 2 a + c 5 3
2
2 2 44. 64 r + 64 rs + 16 s
( 6 x 3+ 5 y2 ) 2
2 53. x + 4 x + 3
S). ( x + 1 ) ( x + 3 )
( 9 c 8−7 d6 )2
2 54. 5 y + 6 y + 1
2 55. 9 m + 10 m + 1
2 56. 5 b + 7 b + 2
S). ( y + 1 ) ( 5 y +1 )
S). ( m+ 1 ) ( 9 m + 1 )
S). ( b +1 ) ( 5 b + 2 )
2 5. 3 c −11 c + 6
2 5!. 5 x −28 x + 15
2 5#. 6 x −11 x + 5
S). ( c −3 ) ( 3 c −2 )
S). ( x −5 ) ( 5 x −3 )
S). ( x −1 ) ( 6 x −5 )
2 60. 4 x −11 x + 7
2 61. 3 y + y −2
2 62. 5 x −3 x − 2
S). ( x −1 ) ( 4 x −7 )
S). ( 3 y −2 ) ( y + 1 )
S). ( x −1 ) (5 x + 2 )
2 63. 7 h + 4 h−3
2 64. 5 p + 2 p− 3
2 65. 6 r + 19 r −7
S). ( 7 h−3 ) ( h + 1 )
S). ( 5 p −3 ) ( p + 1 )
S). ( 3 r −1 ) ( 2 r + 7 )
2 66. 6 y + 3 y −3
2 6. 9 a − 12 a −5
2 6!. 9 m + 62 m−7
S). 3 ( 2 y −1 ) ( y + 1 )
S). ( 3 a−5 ) ( 3 a + 1 )
S). ( 9 m−1 ) ( m+ 7 )
2 2 6#. 5 x + 20 xy + 15 y
2 2 0. 3 a + 26 ab + 16 b
S). 5 ( x + y )( x + 3 y )
S). ( a + 8b )( 3 a + 2 b )
2 2 1. 12 u −16 uv + 5 v
2 2 2. 21 r −38 rs+ 5 s
23
S). (2 u− v )( 6 u −5 v )
S). ( 3 r −5 s )( 7 r − s )
2 2 3. 6 h + 29 hk − 5 k
2 2 4. 3 c + cd − 4 d
S). (h + 5 k )( 6 h −k )
S). ( c − d )( 3 c + 4 d )
2 2 5. 5 a + 13 ab −6 b
2 2 6. 3 x + 4 xy −15 y
S). (a + 3 b )( 5 a −2 b )
S). ( x + 3 y )( 3 x −5 y )
2 2 . 8 p −20 pq + 8 q
2 2 !. 15 y + 19 yz + 6 z
S). 4 ( p−2 q )( 2 p− q )
S). ( 3 y + 2 z )( 5 y + 3 z )
2 2 #. 12 b −31 bc + 9 c
2 2 !0. 9 u + 21 uv + 12 v
S). (3 b −c )( 4 b −9 c )
S). 3 (u + v )( 3 u + 4 v )
2 2 !1. 18 a + 19 ab −12b
2 2 !2. 14 x + 13 xy −12 y
S). (2 a + 3 b )( 9 a −4 b )
S). ( 2 x + 3 y )( 7 x −4 y )
2 2 !3. 18 h + 21 hk −15 k
2 2 !4. 24 c + 26 cd −15 d
S). 3 (2 h− k )( 3 h + 5 k )
S). ( 2 c + 3 d )( 12 c −5 d )
4 3 2 !5. 12 a + 13 a −35 a
5 4 3 !6. 18 x + 6 x −24 x
2 S). a ( 3 a + 7 )( 4 a −5 )
3 S). 6 x ( x −1 ) ( 3 x + 4 )
6 3 2 4 !. 9 x −3 x y −6 y
4 6 2 3 !!. 15 x y + 26 x y −21
3 2 3 2 S). 3 ( x − y )( 3 x + 2 y )
2 3 2 3 S). ( 3 x y + 7 )( 5 x y −3 )
8 6 4 3 !#. 27 a b + 3 a b − 24
10 8 5 4 #0. 15 x y + 14 x y −32
4 3 4 3 S). 3 ( 9 a b − 8)( a b + 1 )
5 4 5 4 S). ( 15 x y −16 )( x y + 2 )
6 3 5 10 #1. 15 a −11 a b −12 b
12 6 4 8 #2. 25 a −75 a b −16 b
3 5 3 5 S). (3 a − 4 b )( 5 a + 3 b )
6 4 6 4 S). ( 5 a + b )( 5 a −16 b )
2 2 #3. ( x + y ) − z
2 2 #4. ( m−3 n ) − 9 z
S). ( x + y − z ) ( x + y + z )
S). ( m−3 n −3 z ) ( m−3 n + 3 z )
2 2 #5. ( 2 a + b ) −16 c
2 2 #6. ( 5 h−3 j ) −9 k
S). ( 2 a + b −4 c ) ( 2 a + b + 4 c )
S). ( 5 h−3 j−3 k ) ( 5 h−3 j + 3 k )
24
2 2 #. 36 x −( y + 3 z )
2 #!. 49 −( 3 a− b )
S). ( 6 x − y −3 z ) ( 6 x + y + 3 z )
S). ( 7− 3 a + b ) ( 7 + 3 a −b )
2 2 ##. 64 a −( 3 b− 2 c )
100.
S). ( 8 a −3 b + 2 c ) ( 8 a + 3 b−2 c )
S). ( 9 p−3 q + 2r ) ( 9 p + 3 q −2 r )
( m−3 n )2− ( y −5 z )2
101.
102.
S). ( m −3 n + y −5 z ) ( m −3 n − y + 5 z )
2
−( 3 q − 2 r ) 2
( 5 a−3 b )2−( 3 m− 4 n )2
S). ( 5 a−3 b + 3 m−4 n ) (5 a −3 b −3 m+ 4 n )
( 3 r −5 s )2−( 9 t +5 u )2
103.
81 p
104.
S). ( 3 r −5 s− 9 t −5u ) ( 3 r − 5 s + 9 t + 5 u )
( 8 a + 6 b )2−( 3 c + 9 d )2
S). ( 8 a + 6 b −3 c − 9 d ) ( 8 a + 6 b + 3 c + 9 d )
EJERCICIO $: FACTORI#ACIÓN DE !INOMIOS /. 2# F7')&@'%% 7 %/&%()% (<(%% 3 3 3 3 1. c −d 2. m −n
3.
2 2 S). (c − d )( c +cd + d )
2 2 S). ( a + b)( a − ab + b )
4.
3
r +s
3
2 2 S). ( r + s )( r −rs + s )
2 2 S). ( m −n )( m + mn + n )
5.
c
3
−27 d 3
6.
2 2 S). ( c −3 d )( c + 3 cd + 9 d )
3
a +b
j
3
3
− 8 k 3
2 2 S). ( j −2 k )( j + 2 jk + 4 k )
3 3 . m + 27 k S).
(m + 3 k )( m2−3 km + 9 k 2 ) !.
x
3
+ 64 y 3
#.
3
27 u
−125 v 3
2 2 S). ( x + 4 y )( x −4 xy + 16 y )
2 2 S). ( 3 u−5 v )( 9 u + 15 uv +25 v )
3 3 10. 64 p −125 q
3 3 11. 8 x + 216 y
2 2 S). ( 4 p −5 q )( 16 p + 20 pq + 25 q )
2 2 S). 8 ( x + 3 y )( x − 3 xy + 9 y )
3 3 12. 64 m + 8 n
6 3 13. m b −27
2 2 S). 8 ( 2 m + n )( 4 m −2mn + n )
2 4 2 2 S). ( m b −3 )( m b + 3 m b + 9 )
9 6 14. 343 x k −125
15 12 15. 27 a b + 216
3 2 6 4 3 2 S). (7 x k −5 )( 49 x k + 35 x k + 25)
5 4 10 8 5 4 S). 27 ( a b + 2 )( a b −2 a b + 4 )
25
12 6 16. 125 u d + 64
4 4 1. m − n
2 4 4 8 2 4 S). (5 d u + 4 )( 25 d u −20 d u + 16 )
2 2 S). (m + n )( m−n )( m + n )
4 4 1!. x − y
4 1#. a −81
2 2 S). ( x + y )( x − y )( x + y )
2 S). ( a −3 )( a + 3 )( a + 9)
4 20. c −16
6 6 21. a −b
2 S). ( c −2 )( c + 2 )( c + 4 )
2 2 2 2 S). (a + b)( a− b )( a + ab + b )( a −ab + b )
6 22. y + 729
6 23. 64 m −1
2 4 2 S). ( y + 9 )( y −9 y + 81)
2 2 S). ( 2 m −1)( 2 m + 1 )( 4 m −2 m + 1)( 4 m + 2 m+ 1 )
8 24. c −1
6 6 25. m − s
2 4 S). (c −1 )( c + 1 )( c + 1 )( c + 1 )
2 2 2 2 S). (m + s )( m −s )( s + ms + m )( s −ms + m )
8 4 26. p − s
12 6 2. p + q
2 2 4 2 S). ( p + s )( p −s )( p + s )
4 2 8 4 2 4 S). ( p + q )( p − p q + q )
16 16 2!. a − b
12 12 2#. h +k
2 2 4 4 8 8 S). (a + b)( a− b )( a + b )( a + b )( a + b )
4 4 8 4 4 8 S). (h + k )( h −h k + k )
27 30. 125 a −1 9 18 9 S). ( 5 a −1)( 25 a + 5 a + 1 ) 7 7 31. x − y 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6 S). ( x − y )( x + x y + x y + x y + x y + x y + y ) 5 5 32. a + y 4 3 2 2 3 4 S). ( y + a )( y −a y + a y −a y + a ) 12 12 33. m −n 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 S). ( m +n )( m −n )( m + n )( m + mn+ n )( m −mn + n )( m −m n + n ) 14 14 34. p −q 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6 S).. ( p + q )( p −q )( p + p q + p q + p q + p q + p q + q )( p − p q + p q − p q + p q − p q + q ) 9 9 35. a + y
26
2 2 6 3 3 6 S). (a + y )( a −ay + y )( a − a y + y ) 15 15 36. b − c 2 2 4 3 2 2 3 4 8 7 5 3 4 4 3 5 7 8 S). ( b −c )( b +bc + c )( b + b c + b c + b c + c )( b −b c + b c −b c + b c −b c + c ) 3 3. ( a −b ) −1 2 2 S). (a −b −1)( a −2 ab + b + a− b + 1) 3 3!. ( m + n ) + 8 2 2 S). ( m + n + 2 )( m + 2mn−2 m + n − 2n + 4 ) 3 3#. ( 3 x − y ) + 27 2 2 S). ( 3 x − y + 3 )( 9 x −6 xy ∓ y 9 x + 3 y + 9 ) 3 40. ( 5 r −2 s ) −64 2 2 S). ( 5 r −2 s − 4 )( 25 r + r 20− 20rs + 4 s −8 s + 16 ) 3 41. 8 −( 3 b−2 c ) 2 2 S). (2−3 b + 2 c )( 9 b + 6 b + 4 c −12 bc − 4 c + 4 ) 3 42. 125 + ( x − y ) 2 2 S). ( 5 + x − y )( 25− 5 x + 5 y + x −2 xy + y ) 12 2 43. a −( a −1 )
3
4 2 8 6 2 S). ( a −a + 1 )( a + a − 2a + 1 ) 3
44. x + ( m −1 ) 9
3
3 3 6 3 3 3 6 3 S). ( x + m −1)( x + x −m x + m − 2m + 1 )
EJERCICIO %: FACTORI#ACIÓN POR A&RUPACIÓN /.31 F7')&@'%% 7 %/&%()% 9% ) /&);%87 1 7 40 %8/%79) % 8)9) 9% F7')&(7'(= /)& A<&/7'(= 1. mn + m + n +1 2. ab +3 a + b + 3 S). (m + 1)( n +1)
S). (a +1 )( b + 3 ) 2
3.
uv + 5 v + 2u + 10
4.
S). (u + 5 )( v + 2 ) 5.
S). ( x + 1)( x − y )
rs + 6 s −r −6
6.
S). (r + 6 )( s −1) .
2 x
2
2
c −3 cd + c − 3 d
S). (c +1)( c −3 d )
+ 6 xy −5 x −15 y
!.
2
2 h + 6 h−5 hk −15 k
S). (h + 3 )( 2 h− 5 k )
S). ( x + 3 y )( 2 x −5 ) #.
2
x + x − xy − y
mc + cn + dm+ dn
2 10. ab −b + ac − cb
S). (c + d )( m + n )
S). (a −b )( b + c )
11. 6 ut −10 st + 3 ur −5 rs
2 12. 6 xy −15 y + 2 xz −5 yz
S). ( 3 u−5 s )( 2 t + r )
S). (3 y + z )( 2 x −5 y )
2 13. 10 h −15 hk −4 hj + 6 jk
2 14. 6 a − 3 ab−36 ac + 18 cb
S). (2 h−3 k )( 5 h −2 j )
S). 3 ( a −6 c )( 2 a−b )
2 15. 21 r −9 rs + 35 rz−15 zs
2 16. 4 m −5 mn+ 8 mp −10 np
S). (7 r −3 s )( 5 z + 3 r )
S). (m + 2 p )( 4 m −5 n )
2 1. x − xy + xz − x + y − z
2 1!. m −mn−mp + m− n− p
S). ( x −1 )( x − y + z )
S). (m + 1)( m−n− p )
2 1#. h −3 hk −hj− ph + 3 pk + pj
S). (h −3 k − j )( h− p ) 3 2 2 20. 8 r −16 r s −12 rt −6 r + 12 rs + 9 t 2 S). ( 4 r −3 )( 2 r − 4 rs−3 t ) 2 2 21. a − b − a−b
2 2 22. u − v −u + v
S). (a + b)( a− b−1 )
S). (u− v )( u + v −1)
2 2 23. h −2 hk + k −hj + kj
2 2 24. a + 2 ab + b −ac − bc
S). (h −k − j )( h− k )
S). (a + b)( a + b −c )
3 3 2 2 25. m + n −m −2 mn−n
2 2 3 3 26. r + 2 rs+ s −r − s
2 2 S). (m + n )( m −mn + n − m−n )
2 2 S). (r + s )( r + s −r + rs−s )
2!
2 2 3 3 2. 2 a −ab −b −8 a −b
3 3 2 2 2!. 8 y − x + x −4 y
2 2 S). (2 a + b )( a −b −4 a + 2 ab− b )
2 2 S). (2 y − x )( x + 2 xy − x + 4 y −2 y )
2 2 2#. x −4 y + 16 y −16
2 2 2 30. u + 10 uv + 25 v −4 t
S). ( x + 2 y −4 )( x −2 y + 4 )
S). (u +5 v + 2 t )( u + 5 v −2 t )
2 2 2 31. 9 a − b + 4 bd −4 d
2 2 2 32. 16 h −24 hd −k + 9 d
S). (3 a −b + 2 d )( 3 a + b −2 d )
S). (3 d − 4 h + k )( 3 d −4 h− k )
2 2 2 2 33. m −6 mn + 9 n − 4 p − 8 pz − 4 z
S). (m−3 n + 2 p + 2 z )( m−3 n −2 p −2 z ) 2 2 2 2 34. 25 r −10 rs + s −t + 4 tu− 4 u
S). (5 r − s + t −2 u )( 5 r − s −t + 2u ) 2 2 2 2 35. 9 x + 24 xy + 16 y − z −6 zt −9 t
S). (3 x + 4 y + z + 3 t )( 3 x + 4 y − z −3 t ) 2 2 2 2 36. 9 a − 6 ab + b −c + 4 cd −4 d
S). (3 a −b− c + 2d )( 3 a −b + c − 2d ) 2 2 3. a − 4 ab + 2 ac +3 b −2 cb
S). (a −b )( a −3 b + 2 c ) 2 2 3!. x −4 xy − xz + 3 y + yz
S). ( x − y )( x −3 y − z ) 2 2 3#. 6 ms− 6 m + 13 mn− 4 sn −6 n
S). (2 s −2 m+ 3 n)( 3 m− 2 n ) 2 2 40. 25 jk −15 j + 13 jh −5 hk −2 h
S). (5 j − h)( 2h −3 j + 5 k ) F7')&@'%% 7 %/&%()% 9% ) /&);%87 41 7 52 %8/%79) % 8)9) 9% T&()8() R%9'(;% 7 7 D(%&%'(7 9% D) C79&79). 4 2 4 2 41. x +4 x + 16 42. a −19 a +25 2 2 S). ( x + 2 x + 4 )( x − 2 x + 4 )
2 2 S). ( a −3 a−5 )( a + 3 a−5 )
2#
4 2 43. m + 3 m + 4
4 2 44. r −10 r + 9
2 2 S). (m + m+ 2)( m −m + 2 )
S). (r − 3)( r −1 )( r + 1)( r + 3)
4 45. c + 4
4 2 2 4 46. a + 2 a b + 9 b
2 2 S). ( c −2 c + 2)( c + 2 c + 2 )
S).
4 2 2 4 4. x +7 x y + 16 y
4 2 2 4 4!. m −14 m n + 25 n
S).
( x 2+ xy + 4 y 2 ) ( x 2− xy +4 y 2)
S).
4 2 2 4 4#. 4 c −16 c d + 9 d
S).
( m2−2 mn−5 n2 ) ( m2+ 2 mn− 5 n2 )
4 2 2 4 50. 9 u + 15 u v + 16 v
( 2 c 2−2 cd −3 d 2 ) ( 2 c 2+2 cd −3 d 2)
S).
4 2 2 4 51. 36 a − 40 a b + 9 b
S).
( a2 −2 ab +3 b2 ) ( a2 +2 ab +3 b 2 )
( 3 u2−3 uv +4 v 2 ) ( 3 u2+ 3 uv + 4 v2 )
4 2 2 4 52. 4 x −41 x y + 64 y
( 6 a2 −2 ab−3 b 2 )( 6 a2 +2 ab−3 b 2 )
S).
( 2 x2 −3 xy −8 y 2 )( 2 x 2 +3 xy −8 y 2 )
EJERCICIO ': PRODUCTOS NOTA!LES Y FACTORI#ACIÓN //. 312 S( %%'7& 7 )/%&7'(= 9%7797 9% 8(/('7'(= %'&%% ) /&)9') 9% ) /&);%87 1 7 60. 1. ( 2 a + 1 )( a + 3 ) 2. (3 x + 1 )( x + 2) 3. ( 4 c + d )( c + 3 d ) 2 S). 2 a + 7 a + 3
4.
( 2 m+ n)( m+ 3 n )
2 2 S). 2 m + 7 mn + 3 n
.
( 2 h−3 k )( 3 h −5 k )
2 2 S). 6 h −19 hk + 15 k
2 S). 3 x + 7 x + 2
5.
2 2 S). 4 c + 13 cd + 3 d
(5 s −3 t )( 2 s− 4 t )
2 2 S). 10 s −26 st + 12 t
!.
( 2 j −5 k )( 3 j −k )
2 2 S). 6 j −17 jk + 5 k
6.
(7 a −5 b )( 3 a−2 b )
2 2 S). 21 a −29 ab + 10 b
#.
( 3 s −2 t )( 4 s + 5 t )
2 2 S). 12 s + 7 st −10 t
10. ( 7 a −2 b)( 3 a + 5 b )
11. (4 t + 2 u )( 7 t −3 u)
2 2 S). 21 a + 29 ab−10 b
2 2 S). 28 t + 2 tu−6 u
12. ( 2 u + 5 v )( 6 u−2 v )
13. (3 x −7 y )( 8 x + 3 y )
2 2 S). 12 u + 26 uv −10 v
2 2 S). 24 x −47 xy −21 y
14. ( 5 c + 7 d )( 4 c − 3 d )
15. (3 a + 9 b )( 5 a −7 b )
2 2 S). 20 c + 13 cd −21 d
2 2 S). 15 a + 24 ab −63 b
16. ( 5 s + 10 t )( 3 s −6 t )
1. (6 h −9 k )( 4 h + 3 k ) 30
2 2 S). 15 s −60 t
2 2 S). 24 h −18 hk −27 k
1!. ( 7 x + 12 y )( 4 x −3 y )
1#. (7 c + 2 d )( 5 c −11 d )
2 2 S). 28 x + 27 xy −36 y
2 2 S). 35 c −67 cd − 22 d
20. ( 9 t −8 u )( 13 t −5u )
21. ( m + 5 )( m−5 )
2 2 S). 117 t −149 tu + 40 u
2 S). m −25
22. ( b +3 )( b −3 )
23. (3 x −1)( 3 x + 1 )
2 S). b − 9
2 S). 9 x −1
24. ( 5 s + 1)( 5 s −1)
25. ( 3 x + y )( 3 x − y )
2 S). 25 s −1
2 2 S). 9 x − y
26. ( 2 t + s )( 2 t −s )
2. (3 a + 2 b )( 3 a −2b )
2 2 S). 4 t − s
2 2 S). 9 a − 4 b
2!. ( 3 c −5 d )( 3 c + 5 d )
2#. ( 4 a−3 b )( 4 a + 3 b)
2 2 S). 9 c −25 d
2 2 S). 16 a − 9 b
30. ( 6 h + 5 k )( 6 h −5 k )
31. (7 m + 5 n)( 7 m−5 n )
2 2 S). 36 h −25 k
2 2 S). 49 m −25 n
32. ( 8 p + 5 q )( 8 p−5 q )
2 33. ( m+ 3 n )
2 2 S). 64 p −25 q
2 2 S). m + 6 mn+ 9 n
2 34. ( 3 r − s )
2 35. ( 6 p + 5 q )
2 2 S). 9 r −6 rs + s
2 2 S). 36 p + 60 pq + 25 q
2 36. ( 7 h−3 k )
3.
2
2
S). 49 h −42 hk + 9 k
(
1 x + 2 y 3
)
2
2
x 4 xy 2 4 + + y S). 9 3
3!.
(
2 5 a− b 5 2 2
S).
4a 25
)
2
3#.
2 25 b + −2 ab +
S).
4
31
(
5 4 r + s 4 5 25 r 16
2
)
2
16 s + 2 rs+ 25
2
40.
(
2 5 u − v 5 4 2
S).
4u 25
)
2
2
2 3 41. ( 3 a − 2 b )
25 v −uv + 16
3 2 42. ( 2 x −3 y )
4 2 3 6 S). 9 a −12 a b + 4 b
2
2
5 2 43. ( 6 p + 5 q )
6 3 2 4 S). 4 x −12 x y + 9 y
2
10 5 2 4 S). 36 p + 60 p q + 25 q
2 4 2 44. ( 9 a b −5 c )
45. [ ( x + y )+ z ] [ ( x + y ) − z ]
4 8 2 4 2 4 S). 81 a b −90 a b c + 25 c
2 2 2 S). x + 2 xy + y − z
46. ( a + b + c )( a + b −c )
4. (m + n− 3 p )( m + n + 3 p )
2 2 2 S). a + 2 ab + b −c
2 2 2 S). m + 2mn + n −9 p
4!. ( a +3 b −2 c )( a + 3 b + 2 c )
4#. ( x −2 y + 5 z )( x + 2 y + 5 z )
2 2 2 S). a + 6 ab + 9 b − 4 c
2 2 2 S). x + 10 xz + 25 z −4 y
50. ( 3 r −2 s + 4 t )( 3 r + 2 s + 4 t )
51. (h −3 k − j )( h +3 k + j )
2 2 2 S). 9 r + 24 rt + 16 t −4 s
2 2 2 S). h − 9 k −6 jk − j
52. ( 2 x −3 y −5 z )( 3 x + 3 y + 5 z )
2 53. ( r + s + t )
2 2 2 S). 6 x −3 xy −5 xz −9 y −30 yz − 25 z
2 2 2 S). r + s + t + 2 rs + 2 rt + 2 st
2 54. ( x − y + z )
2 55. ( a +b −3 c )
2 2 2 S). x + y + z −2 xy + 2 xz −2 yz
2 2 2 S). a + b + 9 c + 2 ab −6 ac −6 bc
2
2 56. ( 3 x − y −2 z ) 2 2 2 S). 9 x + y + 4 z −6 xy −12 xz + 4 yz 2 5. ( m+ 3 b + c + 2 d ) 2 2 2 2 S). m + 9 b + c + 4 d + 6 bm + 2 cm + 4 dm+ 6 bc + 12 bd + 4 cd 2 3 2 3 2 ( ) m m m + − − 5!.
2 3 2 2r 3 4 ( ) r r − − + 5#.
6 5 4 3 2 S). m + 6 m + 7 m −10 m −11 m + 4 m+ 4
6 5 4 3 2 S). r − 4 r −2 r + 20 r −7 r − 24 r + 16
2 4 2 ( ) h h h 3 2 4 − + − 60. 8 6 5 4 3 2 S). 9 h −12 h + 6 h −20 h − 4 h + 17 h −8 h + 16
32
F7')&@%% 7 %/&%()% (<(%%: 2 61. 6 a − 12 ab −18 ac
2 2 62. 2 m n +6 m n +8 mns
S). 6 a ( a−2 b −3 c )
S). 2 mn( m + 3 n + 4 s )
2 3 2 63. 9 xyz−18 x tz + 27 x z
5 4 3 64. 3 a −12 a −9 a
2 S). 9 xz ( y −2 tx + 3 x z )
3 2 S). 3 a ( a − 4 a −3 )
2 3 3 2 65. 16 x y + 20 x y + 28 xy
3 3 2 2 66. 10 p q −20 p q + 25 p q
2 2 S). 4 xy ( 4 x y + 5 x y + 7 )
2 2 S). 5 pq ( 2 p q −4 p + 5 q )
2 2 2 2 6. 12 m n −8 m np− 20 m n p
2 2 2 2 6!. 3 x y −12 x yz + 18 x y z
S). 4 mn (3 mn − 2 mp −5 np )
S). 3 xy ( xy − 4 xz + 6 yz )
2 6#. x −16
2 0. a − 9
2 2 1. 9 u −36 b
S). ( x + 4 )( x − 4 )
S). ( a −3 ) ( a + 3 )
S). 9 ( u−2 b ) ( u + 2 b )
2 2 2. 81 m −25 n
4 2 3. 27 b − 48 c
6 4 4. 12 a −27 b
S). ( 9 m−5 n ) ( 9 m + 5 n )
2 2 S). 3 (3 b + 4 c )( 3 b − 4 c )
3 2 3 2 S). 3 ( 2 a + 3 b )( 2 a −3 b )
3 3 5. 45 c d −80 c d
5 7 6. 81 x y − 49 x y S).
2 2 . 16 a + 8 ab + b
S). 5 cd ( 3 c + 4 d )( 3 c − 4 d )
xy (9 x
2
2 S). ( 4 a + b )
+ 7 y3 )( 9 x 2−7 y 3 )
2 2 !. 25 x −10 xy + y
2 2 #. 16 u + 8 uv + v
2 S). ( 5 x − y )
2 S). ( 4 u + v )
2 2 !0. 49 r −126 rs + 81 s
6 3 2 4 !1. 36 h − 24 h k + 4 k
2 S). ( 7 r − 9 s )
3 2 S). 4 ( 3 h −k )
4 2 4 8 !2. 25 a −30 a b + 9 b
2 5 10 !3. 49 x + 56 x y +16 y
S).
2
( 5 a2−3 b 4 )2
S).
( 7 x + 4 y 5 )2
8 4 3 6 !4. 25 b − 20 b c + 4 c
2 !5. x −8 x + 15
4 3 2 ( ) b c 5 2 − S).
S). ( x −3 )( x −5 )
2 !6. y + 5 y + 6
2 !. m + m−6
2 !!. h − h−20
S). ( y + 2 )( y + 3)
S). (m−2 )( m + 3 )
S). ( h + 4 )( h −5 )
33
2 2 !#. 6 x − xy −2 y
2 2 #0. 10 r + 13 rt −3 t
2 2 #1. 6 a + 10 ab −4 b
S). (2 x + y )( 3 x −2 y )
S). (2 r + 3 t )( 5 r −t )
S). 2 (a + 2 b )( 3 a −b )
2 2 #2. 4 b − 4 bc −15 c
3 3 #3. x + y
3 3 #4. a −b
S). (2 b + 3 c )( 2 b −5 c )
2 2 S). ( x + y ) ( x − xy + y )
2 2 S). ( a −b ) ( a + ab + b )
3 3 27 x + y #5. 27 x
6 #6. 8 + y
3 3 #. 64 a + 8 b
2 2 S). ( 3 x + y ) ( 9 x −3 xy + y )
S).
6 #!. 27 a + 1
6 ##. 8 + y
S). 101.
( 3 a2 +1 ) ( 9 a 4−3 a 2+ 1 )
S).
( y 2 + 2 ) ( y 4 −2 y 2 + 4 )
xyz + 2 zy −3 xz −6 z
2
−4 b2− m−2 b
4 x
2
4
4
2 2 S). ( m+ n ) ( m −n ) ( m + n )
112. S). 114.
4
c −d
9
S). 11!.
8 x
9
110.
4
2
111.
2
8
113.
4
z −16 w
4
S).
2 S). ( a + 3 ) ( a −3 ) ( a + 9 )
2 2 ( z + 2 w ) ( z z −2 w ) ( z + 4 w ) 6
x −1
2 2 S). ( x +1 ) ( x −1 ) ( x + x + 1 ) ( x − x + 1 )
115. S).
−b6
11.
( 2 x3 −b2 ) ( 4 x6 +2 b 2 x 3+ b4 ) 7
2
a −81
9
a −b
2
S). ( a −2 b )( ab + a + 2 b )
2 2 6 3 3 6 S). ( a + b ) ( a −ab + b ) ( a −a b + b )
116.
3
a − 4 b + a b−2 a b
10!.
( c +d 2 ) ( c − d2 ) ( c2 + d 4 ) a +b
3
a −8 b + a −2 b
2 2 S). ( a −2 b ) ( a + 2 ab + 4 b + 1 )
− y 2+ 8 x 3− y 3
m −n
2
106.
2 2 S). ( 2 x − y ) ( 2 x + y + 4 x + 2 xy + y )
10#.
( m3−3 n 4 ) ( m6+ 3 m3 n4 + 9 n8 )
S). ( r − s + t )( x + y )
S). (2 b + m )( m−2 b−1 ) 10.
−27 n12
S). c (a + b )( b−3 ) rx − sx + tx + yr − ys + yt 104.
( bx −cy + dx + cx −by − dy )
m
S).
9
acb + b c −3 ac −3 bc
102.
S). (b + c + d )( x − y ) 105.
m
100.
( 2 + y 2 ) ( 4 −2 y 2 + y 4 )
S). z ( x +2 )( y −3) 103.
2 2 S). 8 ( 2 a + b ) ( 4 a − 2 ab + b )
x
12
− y 6
( x x 2+ y )( x 2− y )( x 4+ x2 y + y 2 ) ( x 4− x 2 y + y 2) 5
x + y
5
4 3 2 2 3 4 x − x y + x y − x y + y ) S). ( x + y ) ( x
7
34
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6 S). ( a −b ) ( a + a b + a b + a b + a b + a b + b )
11#.
14
u −v
14
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6 S). ( u + v ) ( u −v ) ( u + u v + u v + u v + u v + u v + v ) ( u −u v + u v − u v + u v − u v + v )
120.
10
a −1
4 3 2 4 3 2 S). ( a + 1 ) ( a −1 ) ( a + a + a + a + 1 ) ( a − a + a −a + 1 )
121. S). 123. S). 124. S). 126. S). 12!. S). 130.
4
2
a + 5 a +9
122.
( a2 + a +3 ) ( a2 −a +3 ) 9c
4
S). 136.
S).
( x x 2+ x + 2 ) ( x 2− x +2 )
125.
a −20 a b + 4 b
( 3 c 2+ c + 1 )( 3 c2 −c+ 1 ) 4m
4
+ 3 m2 n2 + n 4
( 2 m2+ mn+n 2) ( 2 m2−mn + n2 ) 4 x
4
S).
+ 11 x 2 y 2+ 9 y 4
12.
( 2 x2 + xy + 3 y 2 ) ( 2 x 2− xy +3 y 2 ) 16 x
4
S).
−28 x 2 y 2 +9 y 4
12#.
( 4 x2 +2 xy −3 y 2 ) ( 4 x 2− 2 xy − 3 y 2 ) 3
2
3
x + x − y − y
3
a
2
131. S).
+ a 2+ 2 ab −3 b2 −b3
4r
4
133.
135.
( 2 r 2 + r + 2 s ) ( 2 r 2 −r − 2 s ) 3
2
3
2
2
4
( a2 + 4 ab −2 b2 ) ( a2− 4 ab −2 b2 ) 4
2
2
4 b −21 b c + 9 c
4
( 2 b2 +3 bc −3 c 2 ) ( 2 b 2−3 bc −3 c 2 ) 2
2
m −m−n −n
6
4
2
a + 3 a + 6 a +8
( a2 +2 ) ( a4 +a 2+ 4 ) 9 −c
2
+ 4 cd −4 d 2
S). ( 3− c + 2 d )( 3 + c −2 d )
− r 2−4 rs−4 s 2
a −9 b −27 b + a
4
S). ( m + n )( m−n −1)
2 2 S). ( a −b ) ( a + 3 b + a +ab + b )
134.
2
+ 5 c 2 +1
2 2 S). ( x − y ) ( x + xy + y + x + y )
132.
4
x + 3 x + 4
2
2
2
x −a − 6 xy + 2 ab + 9 y −b
2
S). ( x −3 y − a + b )( x −3 y + a −b )
2
2 2 S). ( a −3 b ) ( a + a + 3 ab + 3 b + 9 b )
35
E(e)*i*io 1+: CONVERSIÓN Y REDUCCIÓN DE FRACCIONES R%%S/7&? /G<(7 36 C)>(&7% 7 &7''()% 9% ) /&);%87 1 H 24 % &7''()% %(>7%% ') 9%)8(79)& %7 7 %<97 %/&%(= 9797 % '797 /&);%87 3 x − 2 y 2 y y − x − 1. y −2 ? 2. x − y ?
−3 S). 2 − y 3. S). 5.
S).
− a −3 b + c , c + b−2 a 2 a − b− c a −3 b + c −2 a + c + b a , ab b
S). 6.
2
S).
a ab 2
#.
ab ,b ab 2
S).
4.
c , cd d 2
S).
c cd 3 x
10. x
2
3
b b
S). x
x −2 2 13. x − 3 , x −9
.
,x
S).
2 y − x y − x
−2 a −b−3 c , a−2 b −c −a + 2 b + c 2 a − b −3 c a− 2 b − c
a , st t as st 2a
11. a S).
S).
,a
2
2 a
2
S).
a +2 2 15. a−5 , a −25
a+1 2 16. a−2 , a − 4
2
S).
+ 7 a + 10 2 a −25
( a +2 ) ( a−1 ) 1. ( a +3 ) ( a−1 ) , a + 3 S).
a +2 a +3
12. s 2 t
x − 5 2 14. x + 1 , x −1
2
x −6 x + 5 2
x −1
2
S).
a
+3 a +2 2 a −4
( a + 5 ) ( 2 a −1 ) 1!. ( a + 5 ) ( a−2 ) , a −2 S).
36
2 a −1 a −2
bu ku 5 st
S).
x + x −6 S). x 2−9
a
!.
b , ku k
5 s
,s
( x −3 ) ( x −1 ) 1#. ( x −1 )( x + 3 ) , x + 3
( 2 x −5 ) ( 4 x −1 ) 20. ( x −4 )( 2 x −5 ) , x −4
x − 3 S). x + 3
S).
x − 3 2 21. x −2 , x −3 x + 2
x + 2 2 22. x − 4 , x −3 x −4
2
4 x −1 x − 4
2
− 4 x + 3 S). x 2−3 x + 2
S). x 2−3 x − 4
( 2 x −1 ) 2 23. (3 x + 2 ) , 3 x + 5 x + 2
2 x −3 2 , 3 x + x −2 24. 3 x −2
x
x
2
2
S).
2 x + x − 1 2 3 x + 5 x + 2
+ 3 x + 2
S).
2 x − x −3 2 3 x + x −2
R%9'7% 7 8@(87 %/&%(= 7 %/&%()% (<(%% 2
2
x −3 x + 2 25. x 2 + x −2
x + 4 x + 3 26. x 2 + x −6
x − 2 S). x + 2
x + 1 S). x − 2
2
2
+ x −1 2 2. 2 x + 5 x − 3
−11 x +6 2!. 3 x + 4 x − 4
x + 1 S). x + 3
x − 3 S). x + 2
( 2 a −b ) ( a 2−3 ab + 2 b2 ) 2#. ( 2 a 2+ ab− b2 ) ( a−2 b )
( 2 a 2+ 7 ab +6 b 2) ( a −b ) 30. ( 2 a2 + ab −3 b2 ) ( 2 a + b )
2 x
S).
a−b a +b
( 2 x −5 y ) ( x 2+ 3 xy + 2 y 2 ) 31. ( 2 x 2−3 xy −5 y 2 ) ( 2 x − y ) S).
x + 2 y 2 x − y
3 x
2
¿
S).
a+2 b 2 a+b
( 2 x −3 y ) ( 3 x2− 8 xy + 4 y 2 ) 32. ( 2 x 2−7 xy + 6 y 2 ) (2 x + 3 y ) S).
3
3 x −2 y 2 x + 3 y
ax − ay + bx −by 33. 2 ax − by −ay +2 bx
S).
x − y 2 x − y
S).
sx + 2 sy −tx −2 ty 35. 2 sx+ 4 sy +tx + 2 ty
S).
s− t 2 s + t 3
3
x − y 2 x − y
2 as − at − 4 cs + 2 ct 36. as −2 at − 2 cs +4 ct
S).
t −2 s 2 t − s
+ y 3 3!. x 2− y 2
a −b 3. a2−b 2
x
2
a + ab + b a+ b
S).
ax + 2 bx −2 by −ay 34. 2 ax − ay + 4 bx −2 by
2
S).
x
2
− xy + y 2 x − y
− y 4 3#. x 2− y 2
− y 6 40. x 3 − y 3
2 2 S). x + y
3 3 S). x + y
x
41.
x
4
3
4
x
+ 4 x 2 + 16 3 x + 8
6
2
4
2
2
6
b −d 42. b4 −d 4 4
x + 2 x + 4 S). x + 2 x + x y + y 6 6 43. x − y
6
S). 4
1
b
+ b 2 d 2 +d 4 2 2 b +d
2
a + ab + b 3 3 44. a −b
2
1
S). x 2− y 2
S).
( 2 x −5 ) x −3 45. ( x −1 ) ( x −3 )
( 3 x −5 ) x −2 46. ( x − 2 ) ( 3 x −5 )
S).
2 x + 1 x −1
x −3 4. ( 2 x −5 ) x −3
S).
1 2 x + 1
S).
a−b
3 x + 1 3 x −5
( x −4 ) ( x + 2 ) 4!. ( 5 x −19 ) x − 4 S). 3!
x + 2 5 x + 1
( x + 1 ) ( 2 x −1 ) 4#. x ( x + 1 ) + ( x + 2 ) x + 1 S).
2 x −1 2 x + 1
( x + 4 ) x 51. x ( x + 4 )+ ( x + 5 ) x + 4 S).
x 2 x + 1
( x + 2 ) ( x + 3 ) 50. x ( x + 2 )+ ( x + 3 ) x + 2 S).
x + 3 2 x + 1
x +3 52. x ( x + 3 )+ ( x + 4 ) x + 3
S).
3#
1 2 x + 1
EJERCICIO 11: MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES //. 401 E%'%% 7 8(/('7'()% 9(>(()% (9('797 % ) /&);%87 (<(%% &%9'7% % &%79) 7 8@(87 %/&%(=. 2
1. S).
3a b 2a b
×
2
5a
2
2b
2
S).
S).
3
3
28 ab c 15 7 a x
2
3
3a x
S).
3
5
4.
2
S).
14 a x
6.
3
9a x
S). 2
2
2
4
4 z
2
!. S).
3
7 ab 6 a c 15 ab × ÷ 2 2 2 2bc 21 a b 3 bc ac 5 2
2
a −2 b a +3 b × 13. 2 a + 6 b 3 a −6 b
S).
2
40 a x 39 0
5 a x t 2
2 a x t
3
÷
10 a xt 2
3 2
6 a x t
3 x 2 0
2
2
15 a b t 6 a bt ÷ 2 3 2 2 14 a b t 21 a b t 15 a
2 3
4 b t
2
2
2
5 x 2 z
3
2
4
3
3
4
26 x y 6 y z 8 x y × ÷ 12. 15 x 2 z 65 x2 y 3 25 x 6 z3
2
5a b 11 c
1 6
4
18 x y 14 x y 24 y z × ÷ 2 2 10. 7 yz 3 x z 5 x z
S).
3
3
5 a x t 8 a x t × 0 3 2 3 3 ax t 13 a x t
3
9 x y z 18 x y z ÷ 0 3 3 14 x y z 21 x y z 3 y
5
2
3
÷
10 y
2
8 a c 7 b c 22 b c 11. 14 a b2 × 6 a c 2 ÷ 15 a b3
S).
2
7 x y 3 x y · 3 3 5 2 x y 5 x y
2
3 x 2a
2
#.
2.
4 a b c 7 a b c × 2 0 4 2 2 5a b c 3ab c
3
.
3
S).
2
5.
2
3
3a b
3
S).
2
21
2
3.
3
5 a b
3
S).
y z 2 x
a−3 b 3 a + 6 b 14. a + 2 b × 2 a−6 b
S). 40
3 2
4 x −8 y ax + ay × 15. bx + by 3 x −6 y
S).
2 x − 6 a 2 x + 4 y 16. ax + 2 ay × bx −3 ba
4a 3b
S).
2
2
x − 9 1. x + 4 ÷ ( 2 x − 6 )
S).
x −16 1!. 2 x + 5 ÷ (3 x −12 )
x + 3 2 ( x + 4 )
S). 2
x −1 1#. ( x −3 x + 2 ) ÷ x 2
x ( x −2 ) S). x + 1 2
x + x −12 20. ( x + 5 x + 4 )÷ x −3 2
S). x + 1 21. S). 22.
3 a ( a−2 b ) 2b
2
3
b ( a + 2 b ) 12 ab × × 2 2 6a a −4 b2
3 a −6 b b 2 x ( 3 x −2 y )
2
×
3 y 2
6 y ( 3 x + 2 y ) 5 x 2
2
×
10 x y 9 x 2−4 y 2
S). 8 y (3 x −2 y ) 2
2
2 5 x ( 2 x + 5 y ) 3 y (2 x −5 y ) 6 y × × 23. 9 y 4 x 2−25 y 2 2 x ( 2 x + 5 y ) 2 S). 5 x y 3
24.
7 a ( a− 4 b ) 6 b2
2
0
3
×
10 a b
a2−16 b2
×
3 a b ( a + 4 b ) 5 ( a− 4 b )
4 2 S). 7 a b 2
4 ab
2
a −3 a a b −2 ab a × ÷ 2 25. b2−2 b b ( a+ 3) a −9
41
x + 4 3 ( 2 x + 5 )
S). ab x + 3 x x y 2−2 xy 26. y 2−2 y × 4 x 2−9 ÷ 2 xy −3 y 2 x
2
S). xy 2. S).
2 x − x
2
2
2
2
3
x y + x y 2 x × ÷ 2 2 ( 2+ x ) y 4 − x y + y
y 2
2 2 −a 3 a b ( 9−6 b + b ) 3 a −ab ÷ 2 2!. 3 b −b 2 × 2 ab + b 4 a −1
2a
2
2 S). 3 a b 2 x + 5 x + 6 −5 x + 1 2#. 3 x 2−10 x + 3 × 2 x2 + 3 x −2
6 x
2
x + 3
S). x − 3 2
2
x − x −6 6 x + x −1 × 2 30. 2 x + 5 x + 2 3 x 2−7 x + 2 x − 3
S). x −2
+ x −3 2 x 2+ 11 x + 5 31. x 2 + 4 x −5 × 2 x 2+ 7 x + 6 2 x
S).
2
2 x + 1 x +2 2
2
6 x −5 x −6 6 x − x −2 × 2 32. 6 x − x −2 6 x 2−11 x −10
S).
2 x −3 2 x −5
+ xy −6 y 2 x 2−2 xy −3 y 2 x + y 33. x 2−2 xy −3 y 2 × x 2−3 xy + 2 y 2 × x + 3 y x
2
42
x + y S). x − y 2
2
2
2
r +3 rs + 2 s r − 4 rs + 3 s r −s × × 2 2 34. r 2−2 rs−3 s 2 r +2 s r −s r− s r +s
S).
2
2
2
2
a + ab −6 b 4 a − 4 ab + b a+b × × 35. a2 + 4 ab + 3 b2 2 a2− 5 ab + 2 b2 2 a− b
S). 1 2
2
2
2
s − 4 st + 4 t 4 s + 4 st −3 t 2 s + t 36. 2 s2− st −6 t 2 × s 2−3 st + 2 t 2 × 2 s− t
S).
2 s + t s− t 2
2
a + 3 a + 2 a + 6 a + 9 a + 3 × 2 ÷ 2 3. a −1 a + 3 a + 2 a −1 a +3 a +1
S).
2
2
b +6 b +9 b −4 b + 3 × ÷ 2 2 3!. b + b− 2 b + 5 b + 6 b −1
b−2 b +2
S).
+ r −12 r 2−6 r +8 r − 2 3#. r 2−2 r −3 × r 2+ 6 r + 8 ÷ r + 1 r
2
r −4 r +2
S).
2
2 s −4 s +5 + 2 s −3 × ÷ 40. s 2−4 s + 4 s 2+ s −2 s −2
s
S).
s+ 3 s+ 5
( x − 2 ) x −3 x2 −1 ( x + 2 ) × 41. x − 2 ( x + 2 ) x + 1 43
S). x −3
( x − 4 ) x + 3 ( x −1 ) x −2 × 2 42. x −3 x − 4 ( x −1 ) ( x + 1)( x −1 ) S). x −2
( x − 3 ) x − 4 ( x −1 ) x −2 43. ( x − 4 ) x + 4 × ( x −3 ) x + 2 ( x − 4 ) ( x + 1 )2 S). ( x −1 ) ( x −2 )2 ( 2 x −1 ) x −1 ( 2 x −1 ) x −3 44. 4 ( x −1 ) x −3 × ( x −3 ) x +2 x + 1
S). x − 2
( s −2 ) s −3 s ( s + 3 ) −2 ( s + 3 ) s + 1 × ÷ 2 45. ( s −2 ) ( s −3 ) s −3 s −9 S). 1
( 2 a +3 ) a+ 1 ( a + 1 ) a −2 2 a + 1 × ÷ 46. ( 2 a + 3 ) ( a+ 1 ) a ( a + 1 ) + 2 ( a + 1 ) 2 a + 3 S).
a−1 a +1
( 3 a − 4 ) a −4 ( a −2 ) a +1 a −1 × 4. ( a− 4 ) a + 4 ( 3 a− 4 ) ( 3 a + 2 ) ÷ a −2 S).
a −1 3 a−4
( a−1 ) a −2 ( a−2 ) a −3 a + 1 4!. ( a− 2 ) a + 1 × ( a −3 ) a− 4 ÷ a −1 2
S).
−5 a + 6 a −5 a + 4 a
2
EJERCICIO 12: REDUCCIÓN DE FRACCIONES //. 456 44
E ) /&);%87 1 7 ! ')>(&7% 7 &7''(= % 7 %(>7%% ') 9%)8(79)& %7 7 %/&%(= % 7/7&%'% 7 7 9%&%'7 % '797 /&);%87. 2a , 3 bc 3b
1. S).
2.
2 ac 3 bc
S).
5 aw 2 ,6a y 2 y
3.
4.
2
S).
S). 6.
( x −2 )( x + 2) S). ( x −1 ) ( x + 2 )
S).
2
S).
2 bx 3 , 21 a bx 7a 2
6 a b x
2
3
21 a bx
x + 3 , ( 2 x −1 )( x −3 ) 2 x −1 2
2 x − y 2 2 , 3 x −5 xy −2 y 3 x + y
.
3 xz 5 yz
2
15 a wy 2 6a y
x − 2 , ( x −1 )( x + 2) x −1
5.
3 x , 5 yz 5 y
!.
2
x −9 (2 x −1)( x −3 ) 2 x + 3 y 2 2 , 3 x + xy −2 y 3 x −2 y 2
2 x −5 xy + 2 y 2 2 3 x −5 xy −2 y
S).
2
2 x + 5 xy + 3 y 2 2 3 x + xy −2 y
E ) /&);%87 # 7 16 %'&%% % MCM 9% ) 9%)8(79)&% &%9'7% %<) 7 &7''()% 7 ')$) %(>7%% % %<7 % MCM ')8) 9%)8(79)& ')8. 3a
2b c , , 10. 5 b c2 a2 c 3 b 3 a
5 a 2 ac 7 ab , , 2 c 3 b c2 6 b2 c
#.
2
S).
3
15 a b c 4 abc 7 abc , 2 2 , 2 2 2 2 6b c 6b c 6b c 2a
11. 3 b 2 c
, 3
3b
S).
5c 2 5 a c 7 ab
2
3
2
2
2
3
105 a b c
, 3
3
63 b c 2
2
2
105 a b c
, 3
75 ab c
4
2
,
30 b c 2
3
2
15 a b c
2
2
S).
4 3
3
2
2
3
27 a c d
36 ab c d
2
,
8b c
,
5ac 2
3
3
15 a b c
2
2 2 ( x + 4 ) 3 x ( x −4 ) x , 2 , 2 2 x −16 x −16 x −16
1
, 2
2
2
,
3
14. ( x − 2 ) x 2−4 x + 2 S).
45
3
2
3
36 ab c d
105 a b c
3 x x , , 2 13. x − 4 x + 4 x −16 2
3
15 a b c
2
70 a b c
2
2
3 ac 2 bc 5 ab , , 12. 4 bd 9 a d 3 12 c 2 d
,
S).
S).
9a b
,
2
2
2
3
15 a b d
36 ab c d
x + 2
2 ( x −2 )
,
,
3 ( x −2 )
2
( x − 2 )2 ( x + 2 ) ( x −2 )2 ( x + 2 ) ( x −2 )2 ( x +2 ) a −b a +b a+ 2b , , 15. ( a +b ) ( a + 2 b ) ( a −b ) ( a + 2 b ) ( a −b ) ( a + b )
(a −b )( a −b ) ( a +b )( a + b ) ( a + 2 b )( a + 2b ) , , S). ( a + b ) ( a−b ) ( a + 2 b ) ( a + b ) ( a −b ) ( a + 2 b ) ( a −b ) ( a + b ) ( a + 2 b ) x − y x + 2 y 2 x + y , , 16. ( x +2 y ) ( 2 x + y ) ( x − y ) ( 2 x + y ) ( x − y )( x + 2 y )
( x − y )( x − y ) ( x + 2 y )( x + 2 y ) ( 2 x + y )( 2 x + y ) , , S). ( x + 2 y ) ( 2 x + y ) ( x − y ) ( x + 2 y ) ( 2 x + y )( x − y ) ( x + 2 y ) ( 2 x + y ) ( x − y ) E%'%% 7 )/%&7'()% (9('797 % ) /&);%87 (<(%% (8/(@%% ) &%79) 2
4
1
1
1. 5 + 15 + 3 S). 1
S).
3 1 5 1#. 4 − 6 + 12
S). 3 y
5 z
S).
2
+ 63 y 2−75 z2
23. 3 b c 2
−
3
S).
3
S).
105 xyz
a
2b 9ac
2
+
5c 18 a b
3
1
2
24. 2 y z
3
−
3 y 3
0
4
3
4 x z
4
S).
2 r −3 t
−20 ab + 24 c 2 30 a bc
2
3
+
3
7b
26. 5 a − 4 b + 20 ab 2
8 rs −6 st −2 rt + 3 t 12 rst
S).
46
5 z 6 x y
3
2
6 x y −9 y z +10 x z 3 3 3 12 x y z 2
25. 3 t − 2 r − 12 rs S).
45 a
x
2
6 a c −4 a b + 5 b c 2 2 2 18 a b c 2
2 9
3a 2b 4c − + 22. 2 bc 3 abc 5 a2 b
21. 3 yz + 5 xz − 7 xy 70 x
4 3
1 5 13 20. 3 − 6 + 18
S). 1 2 x
1 2
1!. 2 + 6 + 3
3 3 − 4a 4b
4
2 3 6 y − x − + 2. 7 x 14 y 28 xy
S).
1 1 − 2 x 4 y
8
2
a−2 b a
S). 1
−
x −1 4 x − 2 x ( x + 2 ) x ( x − 4 )
x + 1 x ( x + 2 )
x −2
S). x 2− x
2
a− b 2
a + 2 ab
1 1 −3 y 2 36. ( 9 x2− y 2) y + 3 x − y − 3 x + y 9 x
S).
2
1 y
10 1 5 + − 3. ( 2 r −3 s ) ( 2 r + s ) ( 2 r + s ) ( r + s ) (2 r −3 s ) ( r + s )
S).
2
1 2 x + 1 − − 34. x 2−1 x ( x −1 ) x ( x 2−1 )
2
S).
1 x 3 x
1 2 −ab − + 2 35. a ( a − 4 b ) a −2 b a 10 b
r+ s r
2 3 2 − − 32. x 3 x + 2 x ( 3 x + 2 )
S).
33. x 2− 4 S).
2
s s 2 rs−r + − 30. r r − s ( r − s ) r
S).
1 3−2 x 1 − + 31. x 2 x −1 x ( 2 x −1 )
2 x
1
S). 15 x − 3 y
a −b b b − − 2#. a a +b a ( a + b )
S).
3 2 5 x + 7 y − 2!. 5 x 7 y − 105 xy
2 ( 2 r + s ) ( 2 r −3 s )
1 1 3 + − 3!. ( r − s ) ( 2r −s ) ( r −2 s ) ( r −s ) ( r −2 s ) ( 2 r − s )
S). 0
4
3 2 2 + − 3#. ( x − 2 y ) ( x + y ) ( x −2 y ) ( x − y ) ( x + y ) ( x − y )
S).
3 ( x − y ) ( x −2 y )
10 5 2 − − 40. ( 3 x − y ) ( x − y ) ( 3 x − y ) ( 2 x − y ) ( 2 x − y ) ( x − y )
S).
3 ( x − y ) ( 2 x − y )
9 a +8 b 5a 16 b − + 2 41. ( 3 a −2 b ) ( a + 4 b ) ( 3 a −2 b ) ( a− 4 b ) a −16 b 2
S).
4 3 a −2 b 3
3
2
2 a + 54 b 8 ab −19 b + 42. ( 2 a −b ) ( a + 3 b ) 2 a −b
S).
− a −b
ab 2 a −b 2
4 xy + 4 y 15 xy 4 x + y 43. ( 2 x − y ) ( 2 x − 3 y ) − ( x + 3 y ) ( 2 x −3 y ) + 2 x − y
S).
2 x + y x + 3 y 2
x −3 xy 3 xy 4 xy + − 44. ( x + y ) ( x −2 y ) ( x − y ) ( x − 2 y ) ( x + y ) ( x − y ) x S). x + y 2r
45. r −s 2
S).
2
−
4 rs 2
−
r− s
( r + s ) ( r − s ) ( r + s )2
1
r+ s y + z
+
x + z
+
x + y
46. x 2− xz − xy + yz y 2− yz − xy + xz xz − yz − x 2+ xy S).
x + y ( x − y ) ( z − y )
4!
3
2
2
2
x + y x + y 2 x 2 y 4. x 4 + x 2 y 2+ y 4 + x 3 + y 3 − x 2 + xy + y 2 − x 3− y 3 2 y ( x
+ y 2 ) S). ( x3 + y 3 ) ( y 3− x 3 ) 3
2
+ x −1 x 2− x −1 4!. x 4 + x 2 + 1 + x 2− x + 1 − x 2+ x + 1 4
x
2
4 ( x + 1 )
S). x 2 + x + 1
EJERCICIO 13: REDUCCIÓN DE FRACCIONES COMPLEJAS //. 4!# R%9'7% 7 &7''()% (8/% 7 &7''()% ')8/%$7 (<(%% 1 3 1 2− 3 1+
1.
S).
5.
4 5 1 2− x 1 x
S). 2 x −1
#.
3 2 1− + 2 x x 1 2 − x x 2
S). x −1
12.
7 3 2 − + 2 x x 3 2 2+ − 2 x x
1 2 1 2− 2
2.
S).
6.
S).
3.
7 3
S).
1 4− 2 x 1 2+ x
.
2 x −1 x
10.
S). 1 2 1− − 2 x x 1 1 + x x 2
S). x −2 1−
13.
1 7 1 3− 5 5+
3+
4.
90 49
2
!.
S). x + 1
+ x + 1 x
2 a −3 b b 1+ a −3 b
2
1 2 1+ − 2 x x 11. 5 6 1+ + 2 x x x − 1 x + 3
2b a− b 14. a + b 2− a− b 1−
S). 1 4#
1 x 1 1− x
x −
S). b
11 12
S).
1 1− 3 x 1 1− x x
5 9 2 2+ 3
3−
x − 3 S). x + 2
S).
15.
x + 3 y x + y y 1+ x − y
S).
2 ( x − y ) x + y
16.
3b a −2 b a 1+ a −b
S).
a− b a−2 b
3−
x + 2−
2 ( a −3 b ) 2 a −3 b
2+
2
1.
x
S). x − 2
8a 2 a −1 4 2a + 3 + 2 a −1
2 a −1 +
x −1 1!. 2 x − 1− x + 2
1#.
x + 2 S). x − 1
S). 1
20.
−. ICI 14 !"#$CI%"& 2 2 x + 3 3 x + 1− 2 x + 1
x −
S).
S).
x −1 x −1 24. 2 x −1 3 x − x + 2 3 x +
x + 2
a−
25.
x + y
S). 2
26.
( a −1 ) 2
2
S). x + xy + y 2
2!.
S).
+
3 x −2 x −1 1+
a −1 2
+
1
x − y
2
1 a −1
1
xy + 2 y 1+ 2 2 x − y
x −2 2 x −1
S). ( a −2 ) ( a−1 )
S). x + 1
2.
3 x +
x −
x − 1 S). x + 3
2 x + 1 2 x + 3
x −5 x −1 23. 5 x − 3 x −2
4 x −3 2 x − 1 22. x −3 2 x − x − 2
x 1 − 2 x + 1 21. x 2 x + 3 + 2 x + 1
x + 1 x −1 2 x − x −1
x + 1 +
S). 1
3 x −2 y 2 x + 3 y 2 x + 3 y +1 3 x −2 y
3+
4b a −b 8 ab
a
2
−b2
a +b 3 a −b a −1 b
2#. a − 2+ 2 b b 1+ a
1 2 x + 3 y
50
S).
a+b a +2 b
1
2−
x −1 y 30. 2 3 − y x 1+ + 1 x y
31.
S).
x + y S). x − y
1
b
a−
3
a
1−
x + y x
a +b b 1+ a−b
32. 1 −
x +
b ( b− a ) a
3
y
2
x − y
1
S).
( x + y ) y 2
EJERCICIO 14 OPERACIONES CON FRACCIONES //. 4#? 501 E ) /&);%87 1 7 12 ')>(&7% 7 &7''(= % 7 %(>7%% ') 9%)8(79)& %7 7 %/&%(= % 7/7&%'% 7 7 9%&%'7 9% '797 /&);%87. E>(% /&%%7& % &%79) % )&87 9% 7')&%. 1. S). 5.
2 , 10 5 4 10
S).
2 ab 2 , 3 ab c c 2
S). .
2.
x −1 2 , x −4 x − 2 2
S).
2 x −3 2 , 2 x −7 x + 6 x − 2 2
−12 x + 9 2 2 x −7 x + 6
4 x
9 21
3. S).
x −3 3 , x +1 11. x − x + 1 2
6.
4.
2 3
S).
4 x y z
3
2
,5 x y z 4
S). !.
20 x y
2
2
3
5 x y z
36 , 8 24 12 8
3
x − 4 2 , x −9 x + 3 2
x −7 x + 12 2 S). x −9 3 x −1 2 10. x + 3 , 3 x + 10 x + 3 2
−1 S). 3 x + 10 x + 3 9 x 2
2 x + 1
12. x + x + 1 2
2
x −2 x −3 3 S). x + 1
6 ,3 9
2
2
6a b c 2 3 ab c
x + x −2 S). x 2−4
#.
3 , 21 7
S).
4
2
, x + x + 1
− x 2+ x + 1 4 2 x + x + 1
2 x
3
R%9'7% 7 8@(87 %/&%(= 7 &7''()% 9% ) /&);%87 13 7 26 51
2
2
x −3 x + 2 13. x 2+ x −6
2 x + 5 x − 3 14. 2 x 2 + 7 x + 3
x − 1 S). x + 3
S).
( 2 a −b ) ( a 2−3 ab + 2 b2 ) 15. ( a + 2 b ) ( 2 a2−3 ab + b2 )
( a−3 b ) ( a2+ 5 ab +6 b2 ) 16. ( a 2−ab −6 b2 ) ( a + b )
S).
a−2 b a +2 b
S).
ab +ay − bx − xy 1. ab− ay −bx + xy
S).
b + y b− y
S).
2
2
20. 2
6
2 2 S). a − b
23.
S).
( 2 x + 3 ) x − 5 ( 2 x +3 ) ( x −1 ) 2 x + 5 2 x + 3
S).
S).
2
a − 2 a + 4 a −8 2 a −2a+ 4
3 x + 1 3 x − 4
x −3 24. ( 2 x −5 ) x −3
S).
2 x −3 2 x −1
( 2 x −1 ) ( x −2 ) 26. ( 2 x −1 ) x −2 (2 x −1 )− 2 ( x −2 ) S).
3
( 3 x + 7 ) x + 2 22. ( 3 x − 4 ) ( x + 2 )
( 2 x −3 ) ( x + 3 ) 25. ( 2 x −3 ) x + 2 ( 2 x −3 ) + 4 x + 3 S).
−16 a +8
a
3
−b 6 21. a4 + a2 b 2+ b4 a
y −2 x 2 y − x 4
a+ b a + ab + b
a +3 b a +b
2 ax − 4 bx + 2 by −ay 1!. ax −2 ay −2 bx + 4 by
S).
−b 2 1#. a3−b 3 a
2 x −1 2 x + 1
2 x −1 2 x −3
52
1 2 x + 1
E%'%% 7 8(/('7'()% 9(>(()% (9('797 % ) /&);%87 2 750. 2
3
2
2
2 a b 7 a b 2. 21 a b 3 × 6 a2 b3 2
S).
3
x y S). 2
a 3 9b 3
4
2
S).
3
5
S). 2
3
2
6 ax 7 b x 15 a x × 2 31. 14 b x 3 a 3 x 3 ÷ 35 a0 b
5
S).
5
x −3 y x + 3 y × 33. 2 x + 6 y 3 x −9 y
S).
1 6
36.
a +2 3 ( x + 3 ) 2 x ( x − 3 y )
2
×
3 y 2
y ( x + 3 y ) 4 x 2 y 2
3
×
18 x y x2 −9 y 2
3 x ( x − 3 y )
y
2
2
5 s ( 2t + 3 )
3!.
8 t ( 3 t + 2 )
2
×
6 ( 2 t −3 ) 7 s 3 t 2
0
×
14 s t 15 ( 4 t −9 ) 2
2
1
S).
4
3
2
12 s t −10 s t −12 s t 2
2
2
2
3
0
2
3
3 4 x
2
− 4 x + 3 x 2− 9 ÷ 2 x x + 2 x
x −1 S). ( x + 2 ) ( x + 3 )
2
S).
3
c y 3 35 a
S).
2
3.
4
a + 2 x 3 a + 9 x 34. a + 3 x × 4 a + 8 x
a −4 35. x +3 ÷ (3 a−6 )
S).
3
2 x y 3
2
7b
3 a x
2
10 a y 7 w x 35 ax × ÷ 3 32. 14 ax 15 a y 21c 2 y
2
S).
4
8 x y 6 x y ÷ 2 30. 14 x y 7 x 2 y2
13 x y 26 x y 2#. 17 x y 0 ÷ 51 x y 2 3 x y 2
3
15 x y 14 x y 2!. 12 x 0 y × 35 x 3 y
2
x −5 x a x +3 ax ax 3#. a2 +3 a × x2 −25 ÷ 2 ax + 10 a
53
S). 2 x 40. S).
3 x + x
2
2
2
2
3
b x −b x 3 x × ÷ 2 2 6 −2 x 9− x b −b 2 3 2
2
6 x − x −1 2 x + x −3 × 2 41. 4 x + 4 x −3 3 x2 + 7 x + 2
x − 1 S). x + 1 2
2
6 x − 17 x + 5 4 x −11 x −3 42. 2 x 2−11 x + 15 × 3 x 2+ 11 x −4
S).
4 x + 1 x + 4 2
+ 10 ab + 3 b2 4 a2 + 12 ab + 9 b 2 2 a−b 43. 2 a2 + 5 ab −3 b2 × 6 a2 + 11ab + 3 b2 × a + 3 b 3a
S).
2 a+ 3b a +3 b
+ ab−2 b 2 2 a2 + 5 ab −3 b2 a + b 44. 2 a 2+ 7 ab + 3 b2 × a2+ 3 ab + 2 b2 × 2 a −b a
S).
2
a −b 2 a+ b 2
2
2 x + x −3 6 x − 7 x − 3 2 x + 3 45. 2 x 2− x −3 × x 2+ 2 x −3 ÷ x + 3
S).
3 x + 1 x + 1
2 4 x −1 2 x −1 −5 x + 2 × ÷ 2 2 46. 2 x + 5 x + 2 3 x −7 x + 2 3 x −1
2 x
S).
2
2 x −1 x + 2
a ( a−1 ) −4 ( a−1 ) + 2 4. ( a − 1 ) ( a− 2 )
54
S).
a−3 a−1
(2 x −5 ) x +3 4!. ( 2 x −5 ) ( x −1 ) S).
2 x −3 2 x −5
( x − 3 ) 3 x + 1 ( x + 5 ) ( x − 1 ) 6 x −1 ( x + 3 ) × 4#. ( 3 x + 1 ) ( x −3 ) ( x −1 ) ( 3 x −5 ) S).
2 x −3 x −3
( x +1 ) 2 x +1 ( x −5 ) ( x + 1 ) 2 x + 5 ( x + 1 ) ÷ 50. ( x −3 ) x + 2 ( x −3 ) ( x +1 ) x − 3 S). x −2
E ) /&);%87 51 7 54 &%9'7% 7 ')$) 9% &7''()% 9797 7 )&) ')$) %(>7%% ') 9%)8(79)& %7 % MCM. 2
2
2b 5 ba 3 a c 51. 3 a , 2 cb , 7 a 2 b 2
S).
2
3 xy 4 w 2 x y , , 52. 4 w 3 xy 6 x 2 y w3 3
3
28 a b c 105 a b 18 a c , , 2 2 2 42 a bc 42 a bc 42 a bc
3
S).
2
2
4
2
9 x y w 16 x w 4 x y , , 2 3 2 3 2 3 12 x y w 12 x y w 12 x y w
x + y x + 2 y x −3 y , , 53. ( x +2 y ) ( x −3 y ) ( x + y ) ( x −3 y ) ( x + y ) ( x + 2 y )
( x + y )2 ( x + 2 y )2 ( x −3 y )2 S). ( x + y ) ( x + 2 y ) ( x −3 y ) , ( x + y ) ( x + 2 y ) ( x −3 y ) , ( x + y ) ( x + 2 y ) ( x −3 y ) 2r − s 2 s− r s+3 r , , 54. ( 2 s− r ) ( s + 3 r ) ( 2 r − s ) ( s +3 r ) ( 2r −s ) ( 2 s −4 )
( 2 r − s )2 ( 2 s − r )2 ( s + 3 r )2 S). ( 2 s− r ) ( s + 3 r ) ( 2 r − s ) , ( 2 s −r ) ( s + 3 r ) ( 2 r −s ) , (2 s− r ) ( s + 3 r ) ( 2 r − s ) E%'%% 7 87 (9('797 % ) /&);%87 55 7 66 (8/(@%% % &%79) 7 8@(87 %/&%(=. 2 3 1 55. 7 + 5 − 2
3 1 5 56. 8 − 3 + 6
55
S).
27 70
S).
2a
3b
c
3a
5. 5 bc − 4 ac + 2 ab S).
8a
2
5!. 2 b c 2
−15 b2 + 10 c 2
−
2b 3ac
2
3
S).
20 abc
3 1 6 y −3 x − − 5#. 5 x 2 y 10 xy
S).
7 8
+
3c 2
5a b 3
3
45 a c −20 a b + 18 b c 2 2 2 30 a b c
2 3 8 y −11 x − − 60. 3 x 4 y 12 xy
−1
S).
5 y
1 6 y
3 2−3 x 1− 2 x − + 61. x 3 x −1 x ( 3 x −1 )
x +3 7 x + 5 + 62. x 2−1 x ( x −1 ) x ( x 2−1 )
x + 2 S). x
x + 2 S). x 2− x
2 x
−
1 4 4 + − 63. ( x − y ) ( x −2 y ) ( x − y )( x + 3 y ) ( x −2 y ) ( x + 3 y ) 1
S). x 2 + xy −6 y 2 1 1 2 − + 64. ( x + y ) ( x + 2 y ) ( x + 2 y ) ( x + 3 y ) ( x + y ) ( x + 3 y )
S).
2 ( x + y ) ( x +2 y )
x − y x −2 y 6 xy + + 65. ( 2 x + y ) ( x −3 y ) (2 x − y ) ( x −3 y ) ( 2 x + y ) ( 2 x − y ) ( x −3 y )
S).
1 x − 3 y 5 x + y
66. 4 x − y 2
S).
2
+
5 x −3 y 2
2 x
+ 5 xy + 2 y
2
−
3 x + 3 y 2 x
2
+ 3 xy − 2 y 2
−9 xy + 2 y 2 3 2 2 3 4 x + 8 x y − x y −2 y 9 x
2
S(8/(@%% 7 &7''()% ')8/%$7 (<(%%
56
3 5 6. 1 3+ 4
2 3 6!. 3 4− 5
2+
S).
5+
4 5
S).
3 2− x 0. 1 2+ x
S).
1.
2 x −3 2 x + 1
S).
4 1− 2 x 3. 4 4 3− − 2 x x
S).
6.
1 2 − x x 2
2+
5 2 + x x 2
x −1 2 x + 1 x + 3 +
2
x −2 x −3 2 S). x −4
x + 3 +
.
5
x − y 3 2 #. − x y 1+ + 1 y x
( x + y ) (3 x − 4 y ) S). ( y − x ) ( 2 x −3 y )
1
!.
x
y x ( x − y )
EJERCICIO 1: RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
5
2 x −1 x −4 1
S).
//. 5!
3
x −4 5. 3 x − 4 + 2 x −1
y − x !0. y − x y 1− y + x
S).
3 9 − x x 2
2 x −1 +
S).
x + 5 11 x − 7 + x + 5
1+
2+
x − 2
x + 4 S). x − 6
y
2.
7 6 2 − + 2 x x
S). x + 3
x −2 4. 5 x − 2+ x + 3
4
x −2 1 x + 3 + x + 1
3−
S). 3 x +2
x + 3 S). x − 2
x +2 3 x + 2 x + 1−
6#.
5 3 1+
2 x 1 x
3+
1 2 x −5 y 3 x + y 2 x −5 y +1 3 x + y
+
1 2 x −5 y
D%8&%%? 8%9(7% ('(= 9(&%'7? % % 8%&) 979) 7 7 9%&%'7 % ) /&);%87 1 7 12 % 7 &7@ 9% 7 %'7'(= /&)/%7 % '797 /&);%87. 1. 3 x −2=2 x + 1,3 2. 9 x −2=12 x + 4,− 2 1 3
3.
6 x + 3=18 x −1,
5.
3 x − 4 2 x −1 −1 − = ,6 4 3 6
.
2 x + 1 x 18 x −24 3 , + = 4 3 2 2
#.
mx + na−nx = ma,a
a− x b x −2 a 11. b + a = a , b + a
3 4
4.
20 x + 5 =29− 12 x ,
6.
2 x − 4 x + 3 + = x −5, −15 2 4
!.
3 x + 2 5 2 , + 1= x + 1 3 6 x − 2
10.
a x −b =2 a x − a− b ,
2
2
1 a
ax + b 1− x 1 , 1= − 12. b + x b + x a
R%>7% 7 %'7'()% 9% ) /&);%87 13 7 2 13. 4 x = x + 9 14. 7 x + 2=3 x + 14 S). x =3 S). x =3 15. 9 x −4 =3 x −16 S). x =−2
16. 7 x −2=2 x + 1
1. 3 x −2=5 x + 6 S). x =−4
1!. 7 x −5= 4 + 4 x
1#. 3 x −3=2 −7 x S).
x =
3
S). x = 5
S). x =3 20. 7− 4 x = x − 3 S). x =2
1 2
21. 2 ( x + 1 )− ( x −1 )=0
22. 3 ( 3 x −1 )+ 4 ( 9 −5 x )=0
S). x =−3
S). x =3
23. 6 ( 4 x −7 )−5 ( 2 x + 5 )=3
24. 4 (3 x −1 ) =−7 (−2 x + 3 )+ 5
S). x =5
S). x =6
25.
2
(
1 1 x − 2 4
S). x =6
)
1 = ( 3 x −7 ) 2
26.
4
(
3 1 x − 4 2
S). x =12 5!
)
1 2
− ( 4 x + 12 ) =4
2.
3
(
)
2 1 3 x + − ( 2 x + 18 )=−4 3 6 4
2!.
6
(
2 1 x + 3 3
) ( +8
1 3 x − 4 4
)=
S). x =18
S). x =8
2 3 1 5 x − + x = x − 2#. 3 4 4 4
3 2 1 4 10 x − − x = x − 30. 2 3 3 3 3
S). x =6
S). x =16
5
7
2
2
5
5
7
2
1
8
31. 6 x + 9 − 3 x = 9 x − 9
32. 6 x − 9 x + 3 = 4 x − 9
S). x =24
S). x =8
3 1 x −5= x − 4 33. 5 2
2 1 x −3 = x − 1 34. 3 2
S). x =10
S). x =12
1 2 4 x 1 = x − + 35. 5 3 3
5 3 5 x 1= x − − 36. 7 4 4
S). x =5
S). x =7
b ax + =bx + 1 3. a
3!. a ( x −1 )=b ( a− x )− a
S).
x =
1 a
3#. a ( x −2 )− b ( x −1 )=b −a
ab
S). x = a + b 40. a ( x −2 )= b ( x + 1 )− a a + b a− b
a = x S). a− b
S).
2 x + 1 =3 x −16 41. 3
4 x + 6 =12− 3 x 42. 6
S). x =7
S). x =3
3 x + 5 =2 x −6 43. 5
3 x −2 1 3 = x − + 44. 4 2
S). x =5
S). x =12
45.
2 x −3 3 x 4 +4= − 3 2
S). x =6
46.
x =
3 x + 5 2 x − 3 − =3 4 3
S). x =9 5#
5 x + 4
x + 4 5 2 x − 2 4. 2 − 6 = 3
2 x −1 3 x −2 −11 − = 4!. 3 4 12
S). x =11 4 x + 3 3 x + 1 + =2 x −1 49.
S). x =13
6
Sol.
51.
Sol.
4
x =3
Sol.
6 x − 5 4 x −1 1 + =3 x − 3 3 6
5 x + 7 x −1 2 − = x − 6 4 3
x =
2
cx + d 4 dx −cd c − = 54. d c
a b
cd = x S). c+ 2d
rx sx 55. s − r =r − s
S).
52.
x =5
x =2
bx + a bx − a + =2 53. a b
S).
50.
5 x −2 4 x + 2 + =2 x −3 6 9
x =
2 2 56. p + p x = q x −q
S).
rs r +s
x =
1 q − p
x − 3 x − 2 5. x + 2 = x +8
x + 2 x + 4 5!. x − 2 = x −1
S). x =4 2 x −5 3 x −4 5#. 4 x −1 = 6 x + 9
S). x =6
S). x =7
S). x =8
4
6 x − 8 2 x −3 60. 9 x + 8 = 3 x + 2
3
61. x − 3 − x −1 =10 /( ( x −3 ) ( x −1 ) ) S). x =5 2
+
3
62. x + 1 x − 4
=
10 ( x + 1 ) ( x − 4 )
S). x =3 3
−
2
63. x − 4 x −3
=
6
( x 2−7 x +12 )
60
S). x =7 5
3
−
=
5
64. x − 4 x −5 x 2−9 x + 20 S). x =9 6 −6 = 65. x + 4 2 x + 3 2 x 2 + 11 x + 12 4
+
S). x =−3 2
66. x − 2
−
3 6 = 2 2 x −3 2 x −7 x + 6
S). x =6 5
6. x + 5
+
6 −9 = 2 2 x + 5 2 x + 15 x + 25
S). x =−4 3 5 3 − = 2 6!. 2 x −1 4 x − 2 8 x −8 x + 2
S). x =2 3
6#. x + 3
−
2 6 = 2 x −5 3 x −13
S). x =3 3 1 2 − = 0. 3 x −5 2 x −3 4 x −7
S). x =2 4
5
3
1. 2 x −3 + 5 x −11 = x − 5 S). x =2 4 3 −1 − = 2. 3 x −1 2 x −1 6 x −5
S). x =1 D%8&%% % 7 %'7'()% 9% ) /&);%87 3 7 !0 ) (%% )'(= 2 x − 4 2 3 x −7 5 + 3+ 4= = 3. x −3 4. x − 4 x −3 x − 4
61
3
1
=
−
1
1
5. x − 4 x −2 x + 1 2
1
−
=
7
6. x − 3 x + 2 x − x −6 2
2
x −1 x x −1 x −2 x −1 . x − 2 + x −3 = x −3 + ( x −2 ) ( x −3 ) 2
x + 3 x + 1 x + 3 x −3 x −8 !. x + 1 + x −3 = x −3 + ( x −3 ) ( x + 1 ) 2
x + 1 x x + 1 x −1 + = + #. x − 1 x + 2 x + 2 ( x −1 ) ( x + 2 ) x − 2 x −2 2 x x −2 + = + !0. x + 2 x + 1 x + 2 ( x + 1 ) ( x + 2 )
R%>7% 7 %'7'()% 9% ) /&);%87 !1 7 #2 /7&7 7 %&7 (9('797 7 7 9%&%'7. !1. S).
m=
3
n− a
a =n−
3 ( d+ b) ,b 1 = !2. 2 +d
,a
3 m
S).
)r −a = & ,r !3. r −1
S).
r=
1 2 = + & vt at , a !4. 2
&− a & −)
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S).
16. x −2 y =5
1. 3 x − y =7
1!. 5 x −15 y =10
12 x − 4 y =24
3 x + 4 y = 4
S).
(
14 11 ,− 5 10
)
1#. 3 x −5 y =5
( ) 2,
1 5
22. 2 x −3 y =1
,
5
)
x −3 y =3
S). N) (%% X(')(%%
20. 4 x + 2 y =2
21. 4 x + 5 y = 4
3 x − y =0
S).
( ) 1 3 , 5 5
3 x −10 y =−8
S).
23. 4 x −3 y =0
8 x −12 y =4
S).
25. 3 x −4 y =12
26. 2 x + 3 y = 6
( ) 3 2 , 10 5
3 x −2=0
6#
( ) 0,
4 5
24. 2 x + 4 y =1
6 x −2 y =1
S). I(7 X9%/%9(%%
4 y − 8 =0
5
S). N) (%% X(')(%%
x + 5 y =3
S).
(
−6 8
6 x −3 y =−6
S).
(− ) 7 3 , 10 5
2. 3 x −5 y =0 2 x + 4 =0
S).
( ) 20 ,2 3
S).
( ) 2 14 , 3 9
S).
(
−2,−
6 5
)
2!. 3 x +2 y = 0 3 y −6 =0
S).
(
−4 , 2 3
)
EJERCICIO 21: RESOLUCIÓN AL&E!RAICA DE ECUACIONES //. #23 R%>7% ) /7&% 9% %'7'()% 9% ) /&);%87 1 7 16 /)& % 8)9) 9% 79('(= ) &7''(=. 1. x + 2 y =8 2. 2 x + 26 =−6 3. 2 x −3 y =−4 2 x + y =7
S). ( 2,3 ) 4.
3 x +3 y =−3
x −3 y =5
S). (−16, −7 ) 5.
4 x + y =5
S). ( 2,−3 ) .
24 x −12 y =−24
2 x + 3 y =3
3 x + y =5
S). ( 1,2 ) 6.
5 x −3 y =19
3 x −2 y =11
S). ( 3,−1 ) !.
3 x +2 y =−17
4 x + 5 y =−7
S). ( 2,−3 )
2 x + 9 y =8
#.
3 x + 10 y = 5
4 x + 2 y =6
2 x +3 y =7
( )
S). (−3, −4 )
S). (−5, 2 )
10. 4 x + 3 y =10
11. 4 x + 3 y = 4
12. 4 x + 10 y =1
6 x + 9 y =21
8 x + 9 y =3
8 x + 15 y =0
S).
( ) 3 4 , 2 3
2 1 x + 13. 3 2 y =6 1 x + y =7 2
S).
(
S).
9 5 ,− 4 3
)
14. 2 x −2 y =−6
S).
0
3 2 , 4 5
5 x + 4 y =−7
S).
S). ( 6, 4 )
(− )
15. 5 x −4 y =−13
3 x + 3 y =−9
S). (−3, 0 )
1 ,2 2
(− ) 2,
3 4
1 1 x − y =0 16. 2 3
x +
2 y =8 3
S). ( 4, 6 ) R%>7% ) /7&% 9% %'7'()% 9% ) /&);%87 1 7 32 /)& % 8)9) 9% ('(=. 1. 3 x +2 y =−4 1!. 4 x −8 y =−4 1#. 5 x −7 y =17 4 x + 9 y =1 2 x + 3 y =12 x + 9 y =−7 S). (−2,1 )
S). ( 3,2 )
S). ( 2,−1 )
20. 8 x + 3 y =30
21. 7 x + 6 y =−8
22. 4 x + 5 y =−17
6 x −2 y =14
3 x + 3 y =−6
2 x −3 y =19
S). ( 3,2 )
S). ( 4, −6 )
S). ( 2,−5 )
23. 6 x + 2 y =12 4 x −3 y =34
24. 3 x −2 y =−29 4 x −3 y =−41
25. x + 4 y =4 3 x +6 y =7
S). ( 4, −6 )
S). (−5, 7 )
26. 3 x +2 y =7 6 x −4 y =2
2. 3 x + 3 y =6 4 x −2 y =−1
S).
( ) 4 3 , 3 2
S).
S).
( ) 1 3 , 2 2
5 30. 2 x + 3 y =20
x −6 y =−3
3 x + 2 y =16
S). ( 3,1 )
5
1
2!. 6 x + 8 y =10 9 x −4 y =3 S).
2 1 5 x + y = 2#. 3 2 2
S). ( 2,5 )
19
x + 5 y =−2
1
( ) 2 3 , 3 4
2 3 5 x+ y = 31. 3 4 6 6 x −3 y =1
S).
32. 3 x + 4 y = 4
( ) 2 5 , 3 6
( ) 1 2 , 2 3
S). ( 3,−1 ) R%>7% /)& '7(%& 8)9) ) /7&% 9% %'7'()% 9% ) /&);%87 33 7 4!. x + 3 y x −1 x x − y 1 + = 33. 34. 2 − 6 = 2 4 6 12 x + 4 y =2
S). (−2,1 ) 35.
x + 2 y 2 x − y 9 + = 2 4 2
x + 3 y =−1
S). ( 2,−1 ) x + y 36. 2 x + y + 4 = 6
2 x + y =8
6 x − y =3
S). ( 3,2 )
S). ( 1,3 )
4 x −3 y + 3 3. x + y −2 =5
2 x + 3 y −1 3!. 2 x − y + 2 =2
x + 2 y =1
x + 2 y =11
S). (−3, 2 ) , x + y + 2
3#. x − 2 y + 1 =2
S). ( 5,3 ) , 2 x + 2 y + 8
40. 3 x + 4 y + 1 = 3
x + 3 y =16
2 x + 3 y =1
S). ( 10,2 )
S). ( 5,−3 ) ,
4 x −2 y x + 2 y 5 − = 41. 3 2 6
3 x − y 2 x + y 53 + = 42. 3 2 6
3 x + y 2 x + y −1 − = 3 2 6
x + y x + y 24 + = 3 5 5
S). ( 3,1 )
S). ( 4, 5 )
3 x − 4 y 2 x −3 y 7 − = 43. 3 5 15
3 x + y 3 x − 5 y − =10 44. 7 2
2 x − y x + 5 y 23 + = 2 3 6
x + y 7 x − y + =8 2 4
S). ( 2,1 )
S). ( 3,5 )
45. bx +ay = a + b
2 46. 2 ax + by =2 a
2
3 bx −2 ay =3 a −2 b
S).
x + y =3 a −b
( )
S). ( a −b , 2 a )
a b , , b a
4!. abx −by =b −1
2 2 4. ax +by = a + b 2
2
2
a x + b y =a b + a b
( ) 2
S).
2
( ) 1 1 , a b
2
b a , a b
S).
R%>7% /7&7
2
a x + b y =a + b
2
1 x /7&7
1 y ? 9%/ /7&7
x /7&7
y ? 7
%'7'()% 9% ) /&);%87 4# 7 56. 1 1 −7 50. x + y = 12
1 1 4#. x + y =7
2 1 −11 + = x y 12
3 2 + =16 x y
S)
(
1 1 x = , y = 2 5
)
2 1 52. x − y =1
S).
x
6
1 1 , y= 3 5
5 1 23 + = x y 12
S). ( x =−3, y =−4 ) 9 5 53. x + y =−1
2 1 + =11 x y
(=
2 3 −3 51. x − y = 2
S).
5
55. x − y =3 9 20 + =−1 x y
S). ( x =3, y =−5 )
S).
( =− x
3, y =
3 2
)
5 2 − =−16 x y 5 2
)
S).
10 9
56. x + y =1 5 6 − =−3 x y
S). ( x =−5, y =3 )
# a I a " I a= = # = " #I 5.S( ? 9%8&%% % # + #a I − I a
3
x 4, y =
2 3 54. x + y =5
3 10 − =−5 x y
)
(=
( =− x
1 1 , y= 2 3
)
EJERCICIO 22: RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON TRES INCÓ&NITAS R%>7% 7 %'7'()% (<(%% /7&7 x , y z . 1.
x + y −2 z =8
3 x +6 y − z =−1
3 x + y + 2 z =6
2 x + 4 y + z =6
x + 2 y −6 z =−7
2 x + y −4 z =−9
x + 3 y + 8 z = 4
3 x + y + 2 z =13
3 x + 4 y + z =20
S). ( 4, −5,3 ) 6.
5 x −2 y + 3 z =−4
x + y + 2 z =−3
3 x +3 y + 8 z =−11
2 x +2 y + z =9
2 x − y −4 z =−11
3 x −2 y +3 z =25
S). (−4,−5, 2 ) !.
3 x −2 y + 6 z =−15
2 x −4 y + 2 z =14
2 x +3 y −2 z =33
x − y − z =−4
5 x −4 y + 3 z = 8
S). ( 3,1,6) #.
4.
x − y + z =12
S). ( 3,4,−5 ) .
S). (−3,2,4 )
x − y −2 z =6
S). ( 5,−3, 1 ) 5.
x + 3 y + z = 7
2 x − y + z =3
S). ( 3,1, −2 ) 3.
2.
6 x + 3 y + 4 z =30 5 x −2 y −3 z =5
S). ( 7,3, −5 ) 10. 5 x +2 y −3 z =−25 3 x + y + 4 z =7
x + 2 y − z =−11
2 x +3 y +2 z =16
S). ( 3,− 4,6 )
S). (−5,6,4 )
11. 3 x −2 y −3 z =−6 5 x +3 y −4 z =33
12. 7 x +3 y −5 z =21 2 x + 4 y + 2 z =16
3 x −2 y + z =14
3 x −5 y −6 z =−5
S). ( 7,6,5)
S). ( 4,1,2 )
13. 5 x +3 y + 12 z =7
14. 3 x +2 y + 4 z =6 4
S).
5 x −3 y + 6 z =2
6 x −5 y −6 z =−3
20 x −9 y −18 z =3
9 x + 6 y −16 z =−3
(
3 2 1 , , 5 3 6
)
S).
15. 5 x + y + z = 3
S).
)
16. 2 x +3 y + 7 z =3 3 x +2 y +8 z =3
3 x + 5 y − z =2
5 x −4 y −20 z =−2
(
1 1 1 , , 2 6 3
)
S).
(−
5 3 7 , , 6 4 8
)
1#. 2 x +3 y + 3 z =10
(
2 1 1 , , 5 2 10
)
1!. 3 x +2 y +8 z =3 6 x −3 y + 2 z =6
9 x + 6 y + 8 z =4
S).
2 1 3 , , 3 2 4
7 x − y + 2 z =4
1. 3 x +5 y + 2 z =3 3 x − y −2 z =−5
S).
(
9 x − y + 6 z =8
S).
(
2 1 1 , − , 3 2 4
)
20. 6 x + 3 y + 4 z =14
6 x −6 y + z =−10
5 x +2 y + 6 z =16
−4 x + 3 y + 2 z =12
3 x −6 y + 2 z =2
(
−3 4 5 , , 4 3 2
)
21. x + 4 z =3 y + 3 z =9
S).
(
5 2 7 , , 6 3 4
)
22. 2 x +3 y =−5 2 x −4 y + 3 z =28
2 x +5 y −5 z =−5
3 x + y + 4 z =19
S). (−5,3,2 )
S). ( 2,−3, 4 )
23. 2 x + y =18 2 y + 2 z =−2
24. 5 x + 4 y =10 3 x −4 y + 2 z =6
3 x −2 y −5 z =38
8 y + z =7
5
S). ( 7,4,−5 )
S).
(
3 5 , ,2 2 8
)
25. x + 3 z =−3
26. x −3 y =−1
2 y − z =12
3 y − z =−9
2 x − y =1
x −4 y =1
S). ( 3,5, −2 )
S). (−7, −2,3 )
2. 2 x + z =2
2!. 2 x + 3 y = 9
S).
3 y −2 z =22
4 x −2 z =−2
2 x − y =13
4 y + 3 z = 25
(
)
13 , 0,−11 2
S). ( 3,1,7 )
2#.S( "= I x ( # x + # ) ? "= I a ( # a+ # ) ? "= I# ? 9%8)&7& %
( )
# x =
I − I x I x I − I a I a
EJERCICIO 23: PRO!LEMAS RELACIONADOS CON ECUACIONES SIMULTANEAS REES H SPARS PG<(7 100 R%>7% ) /&);%87 (<(%% (&)9'(%9) 8G 9% 7 >7&(7;%. 1: D) %&87) ')8/&7&)? 7 /7&% (<7%? &%'%/)& 9% %%>((= ') ')) 9% K2200.00. E %&87) 87)& (>(&(= % %7 )/%&7'(= 7 8(79 9% 7)&&) % %&87) 8%)& 7 9) %&'%&7 /7&% 9% ) ). D%/ 9% 7;%& %%'79) 7 ')8/&7 )97>@7 &%@7 %&% ) 9) K1600.00 9% 7)&&). D%%&8@%% 7 '7(979 7)&&797 /)& '797 )? /&%>(7 7 7 ')8/&7. S). %&87) 87)&? K2?000 %&87) 8%)&? K1?!00. 2: E )'7(= 9% 9@7 9% 7%) %9(7% 7/&)>%'= /7&7 (& 7 )<7& /7%&)? %9) >((%9) /)& 9(%&%% '78(). E >(7$% 9% &%<&%) % 4 (=8%&) 8G ')&) % 7 8(79 9% >(7$% 9% (97. E &%')&&(9) )7? (97 &%<&%)? % 9% 6! (=8%&). D%%&8@%% 7 9(7'(7 &%')&&(97 % '797 &78). S). 4! 8? 20 8. 3: T)8G /7<= 7 R('7&9) K300.00 /)& ')'%/) 9% 79%9). D%/ 9% %%'79) % /7<) T)8G %@7 7 K25.00 8G % 7 (7 /7&% 9% )7 9% 6
R('7&9). S( $) )7(7;7 K625.00? 'G) %@7 '797 ) 7% 9% /7<) Sol. Tomás $425, Ricardo $200
4: U '(979)& )'7()7 9% 7)8=>(% ');&7 50 '%7>) /)& )&7 /)& 7)8=>(? 7% 9% 8%9(7)'%? 5 '%7>) 9%/ 9% 8%9(7)'%. D&7% '(%&) (%8/) <7= K10.50. E 8%&) 9% )&7 % &7;7$= 7% 9% 8%9(7)'% % % 'G9&/%? 8%) 7 )&7? 9% 7 % &7;7$= 9%/ 9% 8%9(7)'%. D%%&8@%% % 8%&) 9% )&7 &7;7$79) % '797 /%&@)9). 5: E <%&%% 9% 7 (;&%&@7 %(87;7 (<&%) 9% K400.00 % 7 >%7 9% /87? K5.00 '797 7? G/('%? K2.50 '797 ). D%/ 9% 7;%& >%9(9) 7 8(79 9% 7 /87 7 '7&7 /7&% 9% ) G/('% &%9'% % /&%'() 9% 7 /&(8%&7 7 K4.50 % 9% ) %<9) 7 K2.25. E% &%87%% % /&)9'% (<&%) 9% K202.50. CG7 /87 'G) G/('% >%9(= % )7 Sol. 60 plumas, 40 lápices
6: L7 ')%'7 9% 7. C& R)$7 % 7 %'%7 /&(87&(7 % 9% K45.00. S( 7;@7 650 (Q) '797 ) 7/)&= 7 8)%97 9% '(') '%7>) ) 7 9% 9(% '%7>) %'&%% 'G7 8)%97 9% '797 >7)& ;) % 7 ')%'7. Sol. 300 distintivos, 250 calcomanias.
: A '(%&7 '(979 (797 % 7 (7 % &7/)&7 9(7&(78%% /&)8%9() 9% 50 ;)7 9% ')&&%/)9%'(7? 7'(9)% /7&% 9% &%')&&(9) % '78(= /7&% % %('=/%&). E '797 >(7$% % '78(= &7/)&7 10 ;)7 % %('=/%&) 6. E %('=/%&) %%'7 >(7$% 8G % % 9);% 9% >(7$% 9% '78(= CG) >(7$% %%'7 '797 ) 7 9@7 Sol. Helicóptero 5 camión 2.
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10: C7&) %/%&7;7 /7<7& K#00.00 /)& /7& 9% ;()'7&% 7 &79() 9% &7()&%. M%9(7% 7 %%''(= '(979)7 /9) 7)&&7& 7 )'7>7 /7&% 9% ')) %(879) 9% ) ;()'7&% 7 9'(87 /7&% 9% ')) %(879) 9% 7 &79()? )<&79) ') %) 7)&&) 9% K100.00. CG) %/%&7;7 <77& (('(78%% % '797 7&@') Sol. "inoculares $ 400.00 Radio $500.
11: D) %9(7% >(%&) (<&%) 9% K6#0.00 /)& ')'%/) 9% >%7 9% 9'% 7 &7= 9% K1.50 % /7%% 9% %'% 7 &7= 9% K1.00 7 ;)7. O&(<(78%% 7;@7 <779) K40.50? /7<79) % /7%% 9% 9'% 7 K1.00 '797 ) 7 ;)7 9% %'% 7 K0.50 '797 7. CG) /7%% 9% 9'% 'G7 ;)7 9% %'% >%9(%&) Sol. 250 pa#uetes de dulces, 35 %olsas de nueces.
12: U7 /%&)7 &%7 7 '77 9% /&)/(%979 9&7% %>% 8%% &%'(;% % /7<) 9% &%7 7 '7(979 % % K50.00 8%)& % % 10 /)& '(%) 9% ')) 9% 7 '77. L%<)? 9&7% )&) 9)'% 8%%? 7 ) 7&<) 9% ) '7% 7
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15: U /()) >%7 1410 (=8%&) 7'(7 % )&% %<) &%<&%7 7 /) 9% /7&(97. D&7% )9) % >(7$% )/= >(%) 9% )&% ') >%)'(979 ')7%. D%%&8@%% 7 >%)'(979 9% 7>(=? &%7(>7 7 7(&% 7 >%)'(979 9% >(%)? 7;(%9) % % % >(7$% 9% (97 %8/%= '7&) )&7 >%(('7&) 8() % % >(7$% 9% &%<&%) 7 =) '7&) )&7. Sol. 32 ()H, 5 ()H *336.4! ()H, 6.022 ()H+
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2
2 9 )&7. E
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1
1 4 )&7. CG) (%8/) % )87&@7 7 '797
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2 3
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22: A('(7 B%7&( &7;7$7&) $7 '(') )&7? )<&79) &%7(7& % %% (%8/) 7 8(79 9% &7;7$) % /%7;7 /&%%7& % 7 %/)('(=. L7 7&9% (<(%% A('(7 &7;7$= )7 9&7% 9) )&7? %<) % % (= B%7&( $7 %&8(7&) % '7&) )&7 8G. CG) (%8/) % ;(%&7 )879) 7 '797 7 7'%& )7 %% &7;7$) Sol. 20 Hr.
23: P)& ')'%/) 9% &7/)&% 7<%% >(7$%&) % ((7 /&)/() 7) %G 7)&(79) 7 '7&<7& 7 ')8/7Q@7 K1.00 /)& (=8%&)? 8G K3.50 9(7&() /)& <7) <%%&7%. C(%&) 8% /&%%7 7 '%7 % ';&% 78;) <7) /)& >7)& 9% K1?040.00. E '7&<) /)& % 8%&) 9% (=8%&) &%')&&(9) % K456.00 8%)& % % '7&<) /)& <7) <%%&7%. D%%&8@%% % 8%&) 9 (=8%&) &%')&&(9) % 8%&) 9% 9@7 7@ &7;7$79). Sol.. 20 das, 214 (m.
24: U7 /%&)7 %>@7 340 ()<&78) 9% 8%&'7'@7 9% N%>7 Y)& 7 B)) 364 ()<&78) 9% N%>7 Y)& 7 F(79%7. L7 7&(7 % 78;) '7) % 7 8(87? 14 '%7>) /)& ()<&78) /)& '797 100 (=8%&). L7 7'&7 (8/)&= K40.00 78/7&7 )7 9% 525 (=8%&). + 7 %$) %97 N%>7 Y)& 9% B)) N%>7 Y)& 9% F(79%7 25: A('(7 <7= K410.00 % >%(9)? /7& 9% 7/7) ;)). E ')) ')8;(79) 9% ;)) 7/7) % K10.00 87)& % % ')) 9% >%(9). E ')) ')8;(79) 9% >%(9) ;)) % K0.00 8%)& % % 9);% 9% ')) 9% ) 7/7). CG) (8/)&7 '797 7&@') Sol. vestido $200.00 apatos $60.00 %olso $50.00.
26: E 77&() /&)8%9() 9% "(%&8)? R);%&) J7? % 9% K!20.00. E 77&() /&)8%9() 9% R);%&) "(%&8) % 9% K!00.00. E 77&() /&)8%9() 9% "(%&8) J7 % 9% K!10.00. D%%&8@%% % 77&() 8%7 9% '797 ). Sol. Ro%erto $'40.00 uillermo $!60.00 uan $'60.00.
2: U7 )&<7(7'(= 7<&/7 7 7)'(79) % &% '7%<)&@7 ;7')? 7% 787&(). E )7 9% 7)'(79) % 2!5. E 8%&) ')8;(79) 9% 787&() 7% % 87)& % 15 (979% % % 9);% 9% 8%&) 9% ;7'). E 8%&) ')8;(79) 9% ;7') 7% % 87)& % 45 (979% #
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2!. U7 %<)'(7'(= 9%9('797 7 7 >%7 9% 7)8=>(% &%'(;(= 30 (979%. E /&%'() /7&7 ) (/) %9G % $= % K6?500.00? /7&7 ) (/) ')>%&(;% % K5?000.00 /7&7 ) (/) '78()%7 % K!?000.00. E >%9%9)& %/%&7;7 %%& (<&%) ;&) 9% K2?1!5?000.00 % % (<&%) /)& 7 >%7 9% %97% %'%9(%&7 % K15?500.00 7 (<&%) /)& 7 >%7 9% '78()%7. CG7 (979% 9% '797 (/) &%'(;(= 2#: U7 7)'(7'(= %9(7( &%'&%7(>7 <7= K3?025.00 % 7 ')8/&7 9% 650 7&@') /7&7 9%/ >%9%&) % 7 %7. L) 7&@') (9('79) /&%'() %&): &78(%% 9% )&%? K.50 ()% ') %%97? K0.50 ;79%&)7? K6.00. D%/ 9% >%9%& )9) ) 7&@')? 8%) 10 &78(%% 25 ()%? % >) (<&%) ;&) 9% K40!.50. L) /&%'() 9% >%7 %&): &78(%% 9% )&%? K10.00 ()% ') %%97? K2.50 ;79%&)7? K.50. D%%&8@%% % 8%&) 9% 7&@') 9% '797 (/) ')8/&79) (('(78%%. Sol. 50 ramilletes, 200 listones, 300 %anderolas.
30: T&% $=>%%? T%)9)&)? R789) J7? 7')&97&) /)%& 7 '7/7 9% '%&7 ') %) 97& &% 7 7). E /&(8%& 9@7? &7;7$79) %&% ) &%? %&8(7&) % 7) 9% T%)9)&) %
1
1 2 )&7. E %<9) 9@7 T%)9)&) 79= 7
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2
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3 5
Hr.
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!0
EJERCICIO 24: DETERMINANTES D%7&&=%% ) 9%%&8(7% 9% ) /&);%87 1 7 16. 2 1 3 1 4 −3 1. 2. 3. 4 3 5 2 2 5
4.
S). 2
S). 2
[ ]
[ ]
S). 1
[− − ] 4 3
5.
6 2
S). 10 4 1 4
4 5 2
13.
[
[− − ] 5 4
3 8
10.
4 2 1
2 3 5
−2 8 5 −5
3 3
]
S). 178
14.
4 5 8
S). 214
7 9 8 11
1 5 −4
4 3
6 2 4
15.
[
3 2 −3
]
6 8 12
1 3 7
11 −5 2
S). 390
[−− − ] 8 3
12.
[
2 1 −4
] [
2 x −3 y =7
S). ( 3,2 )
S). ( 2,−1 )
1#. 4 x + y + 1= 0 3 x +2 y =3
20. 4 x + 3 y =−2 x − y + 4 = 0
S). (−1, 3 )
S). (−2,2 )
21. x + 6 y =6
22. 2 x + y =3 6 x −2 y =−1
2 x −2 y −5=0
S).
( ) 3,
1 2
23. 4 x + 2 y =1
S).
( ) 1 ,2 2
24. 6 x − y =1 !1
6 7
0 −3 2 5 3 1
S). −59 16. 3 −1 5
− 4 −7 6 −3 −2 −2
S). 210
R%>7% /)& 8%9() 9% 9%%&8(7% ) (<(%% (%87 9% %'7'()%. 1. 2 x − y =4 1!. 3 x + y =5 3 x −4 y =1
]
S). −74
S). 5 11.
−2
[
!.
S). −61
[ ] 3 7 1
[ ]
.
[ ] [ 3 5 0
S). −69
S). 46
6 −4 3
6.
]
S). 26
S). 28
[ ] 1 2 3
#.
[
−2 3 −4 5
]
]
4 x −3 y =1
S).
3 x − y + 1=0
( ) 1 , 0 4
S).
( ) 2 ,3 3
25. 2 x −2 y =−2 a x + y =a + 2 b
26. 3 bx −2 ay =ab
S). ( b , a + b )
S). ( a , b )
2. 2 x + y =3 a−b
2!. 2 x + 2 y =2 b x + 3 y =b + 2 a
2
ax +by = a + b
2
2
S). ( a −b , a + b )
S). ( b −a , a )
2#. 3 x −2 y − z =1 2 x +3 y − z =4
30. 3 x −2 y + 4 z =1 4 x + y −5 z =2
x − y + 2 z =7
2 x −3 y + z =−6
S). ( 2,1,3)
S). ( 1,3,1 )
31. 3 x +5 y + 2 z =2 4 x + 2 y −3 z =−1
32. 2 x −3 y + z =3 3 x −3 y + z =0
2 x − y + 5 z + 11=0
4 x + y + 5 z −1= 0
S). (−2,2,− 1 )
S). (−3, −2, 3 )
33. 2 x −3 y + z =0 2 x +3 y − z −2=0
34. 3 x + 2 y + 4 z =5 6 x + 3 y −2 z =2
4 x + 3 y + 2 x =3
S).
(
1 , 0,−1 2
)
S).
3 x −4 y + 8 z =5
S).
35. 3 x + 4 y − 6 z =−3
(
1 1 3 , , 3 2 4
)
36. x + y + 2 z =2
x + y + z =0
x −3 y + 4 z =2
3 x + y + 3 z =1
3 x − y + 6 z =5
(
2 1 5 , − , 9 2 18
3. 2 x − y =4
2
2 abx + 3 a y =5 a b
)
S).
(
3 1 1 , , 4 4 2
3!. x − z =1 !2
)
2 y − z =2
2 y + z =0
3 x −2 z −5=0
x + 4 y =−1
S). ( 3,2,2)
S). ( 3,−1, 2 )
3#. x −2 y + 1=0 3 x + 2 z =9
40. 3 x + 2 y =3 x − z =1
3 y − 4 z =6
y + z =1
S). ( 3,2,0 )
S). (−1,3,−2 )
41. x − y + z =2 a 3 x + y − z =2 a
42. 2 x − y + 2 z = 0 x + y + z =3 a
2 x −3 y −2 z =5 b
4 x −2 y + 3 z =b
S). ( a ,− b , a− b )
S). ( a + b , 2 a , −b )
43. x + 2 y + z =5 a 3 x − y + 3 z =a
44. x − y − z = a + 2 b 2 x −3 y − z =0
2 x − y + 3 z =2 b
S). ( a −2 b , 2 a , 2 b )
3 x −3 y − z =3 a
S). ( 3 a , 2a + b ,−3 b )
EJERCICIO 32 ECUACIONES DE SE&UNDO &RADO R%%S/7& //. 1423 R%>7% 7 %'7'()% (8/% 9% 2\ <&79) 2 2 1. 4 x − 49= 0 2. 9 x −25= 0
−7 7
−5 5
S). x = 2 , 2 3.
16 x
2
S). x = 3 , 3
−81=0
4.
−9 9 = x , S). 4 4 5.
5 x
2
3 x
2
2
−1 = 0
−1 1 = x , S). 8 8
−45 =0
6.
S). x =−3,3 .
64 x
6 x
2
−24 =0
S). x =−2,2
−48 =0
!.
S). x =−4,4
2 x
2
− 8=0
S). x =−2,2
!3
#.
3 x
2
2 10. 5 x −4 =0
−25=0
5 √ 3 5 √ 3 x , = − S). 3 3
2 √ 5 2 √ 5 x , = − S). 5 5
2 11. 4 x − 8=0
2 12. 6 x −27 =0
S). x =√ 2 ,−√ 2
3 √ 2 3 √ 2 S). x = 2 ,− 2
2 13. x + 9=0
2 14. 3 x + 12= 0
S). x =3 i, −3 i
S). x =2 i, −2i
2 15. 2 x + 8 =0
2 16. 5 x + 20 =0
S). x =2 i, −2 i
S). x =2 i, −2 i
2 1. 9 x + 16 =0
2 1!. 6 x + 32 =0
4
4
4 √ 3 i 4 √ 3 i ,− 3 3
S). x = 3 i , − 3 i
S). x =
2 1#. x + 3 =0
2 20. 5 x + 15 =0
S). x =√ 3 ,−√ 3 i
S). x =√ 3 i,− √ 3 i
R%>7% 7 (<(%% %'7'()% /)& % 8)9) 9% 7')&(7'(= 2 2 21. x −2 x −3=0 22. x + x − 6=0 S). x =−1,3
S). x =−3,2
2 23. x + 4 x =5
2 24. x −2 x =8
S). x =−5,1
S). x =−2,4
2 25. x + 3 x −10 =0
2 26. x + 6 =5 x
S). x =−5,2
S). x =2,3
2 2. x + 4 x =0
2 2!. x + 8 x + 15 =0
S). x =0,− 4
S). x =−5,−3
2 2#. 2 x + 3 x =9
2 30. 3 x −2=5 x
S).
x =−3,
3 2
S).
2 31. 2 x + 3 x =0
x =
−1 3
,2
2 32. 4 x − 9 x + 2 =0
!4
S).
x =0,−
3 2
1 x = , 2 S). 4
2 33. 3 x + 10 x −8 =0
2 34. 4 x + 3 x =0
2 x 4, =− S). 3
S).
2 35. 4 x − 9=9 x
2 36. 5 x + 16 x −16 =0
S).
x =
−3 4
S).
2 3!. 6 x + 4 x =0
−4 3 3
,
3 4
4 x 4, =− S). 5
,3
2 3. 6 x =12 + x
x =
x =0,−
2 x 0,− = S). 3
2
2 3#. 4 x + 4 x −15= 0
2 40. 8 x −15=2 x
−5 3
−5 3
S). x = 2 , 2
S). x = 4 , 2
2 41. 12 x + 12=25 x
2 42. 10 x + 21 x + 9=0
3 4 x , = S). 4 3
−3 3 x ,− = S). 2 5
2 43. 12 x + 6 =17 x
2 44. 12 x −6 x = 0
2 3 x , = S). 3 4
1 x 0, = S). 2
2 45. 15 x = 8 + 2 x
2 46. 14 x + 9 x =18
−2 4 x , = S). 3 5
−3 6 x , = S). 2 7
2 4. 10 x − 2 x = 0
2 4!. 12 x =15 + 11 x
−3 5
1 x 0, = S). 5
S).
2 4#. 30 x − x −20= 0
2 50. 24 x −2 x =15
−4 5 = x , S). 5 6
−3 5 = x . S). 4 6
2 51. 25 x −30 x =0
2 52. 35 x + 2 x =24
!5
x =
4
,
3
S).
6 5
x =0,
S).
2 53. 48 x + 58 x + 15 =0
S).
x =
−5 6
S).
7
,
5
5 7 x , = S). 6 6
2 55. 32 x + 18 x =0
x =0,−
−6 4
2 54. 36 x + 35 =72 x
3 8
,−
x =
2 56. 60 x + x =10
−5 2 x , = S). 12 5
9 16
2 5. 94 x − 48= 45 x
2 5!. 35=54 x + 72 x
8 6 x = , S). 9 5
−7 5 x , = S). 6 12
2 5#. 35−69 x =54 x
2 60. 56 x −63=62 x
−5 7
−9 7
S). x = 3 , 18
S). x = 14 , 4
2 2 61. x −cx −6 c =0
2 2 62. 6 x + 5 bx = 6 b
S). x =−2 c , 3 c
S).
2 2 2 63. 2 p x + pqx −15 q =0
S).
p
,
2
3
2 2 64. 4 a x +abx − 3 b =0
−3 q 5 q ,
−3 b 2 b
S).
2 p
x =
−b 3 b a
,
4a
2 65. 2 x + mx −2 nx −mn=0
2 66. x + x − 6=0
m x n , = − S). 2
S). x =−3,2
2 2 2 2 2 6. 2 c x + x −2 c d x − d =0
2 6!. x −2 x =8
2
S).
x =d ,−
S). x =−2,4
1 2
2c
EJERCICIO 33: SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SE&UNDO &RADO COMPLETANDO CUADRADO /G<(7 14! 2 1. x −2 x −15=0
2.
!6
2
x −5 x −24 =0
S). x =−3,5 3.
S). x =−3,8
2
x + 7 x =18
4.
S). x =−9,2 5.
2 x
2
S). x =−3,12
− x −3=0
6.
2 x
2
S). x = 3 , 1
−3 x −14 = 0
!.
6 x
2
2
3 x
−15= 4 x
−5 S). x = 3 ,3
7
S). x =−2, 2 #.
2
3 x + x − 4 =0
−4
3
S). x =−1, 2 .
2
x −36= 9 x
2 10. 16 x + 10 x −9 =0
− x =15 −3 5
S). x = 2 , 3
−9 1 S). x = 8 , 2
2 11. 7 x + 12 =10 x
2 12. 8 x + 2 x −15 =0
−4 3
−3 5
S). x = 5 , 2
S). x = 2 , 4
2 13. x −6 x =18
2 14. x −4 x =3
S). x =3 −3 √ 3 , 3 + 3 √ 3
S). x =2− √ 7 , 2 + √ 7
2 15. x −8 x =8
2 16. x −10 x + 5 =0
S). x =4 −2 √ 6 , 4 + 2 √ 6
S). x =5− 2 √ 5 , 5 + 2 √ 5
2 1. x + 5 =5 x
2 1!. x −3 x + 1 =0
S). x =
5−√ 5 5 +√ 5 , 2 2
S). x =
2 1#. x + 7 x + 9 =0
S). x =
2 20. x −3=− x
−7 −√ 13 −7 + √ 13 ,
2
S). x =
2
2 21. 4 x + 8 x =1
−1 −√ 13 −1 + √ 13 2
,
2 22. 9 x −2=18 x
√ √ S). x =−1− 2 ,−1 + 2 5
3−√ 5 3 + √ 5 , 2 2
5
x =1−
!
√ 11 , 1 + √ 11 3
3
2
2 23. 4 x + 4 x =5
S). x =
−1 −√ 6 2
2 24. 9 x + 9 x = 1
, x=
−1 + √ 6
√ √ S). x = 2 − 6 ,− 2 + 6 −1
2
2 25. 3 x −2=2 x
S). x =
1−√ 7 1 + √ 7 , 3 3
S). x =
4 −√ 10 4 + √ 10 , 3 3
S). x =
,
S). x =
10
2 31. 4 x + 7 x + 2=0
S). x =
,
3−√ 10 3 + √ 10 , 2 2
5−√ 13 5 + √ 13 , 6 6
2 32. 5 x =11 x −5
−7 −√ 17 −7 + √ 17 8
3−√ 15 3 + √ 15 , 2 2
2 30. 3 x + 1= 5 x
−9 −√ 21 −9 + √ 21 10
S). x =
8
11− √ 21 11 + √ 21 , 10 10
2 33. x −4 x + 5 =0
2 34. x + 10 =6 x
S). x =2−i , 2+ i
S). x =3 −i, 3 + i
2 35. x =2 x −5
2 36. 10 x −29= x
S). x =1−2 i ,1 + 2 i
S). x =5− 2i ,5 + 2i
2 3. 2 x + 10 x + 13 =0
2 3!. 9 x + 12 x =−5
5 1 −5 1 = − − + i x i , S). 2 2 2 2
S).
2 3#. 9 x + 5 =6 x
2 40. 2 x + 6 x + 5=0
x =
−2 1 2 1 − i ,− + i 3
3
S).
2 41. 2 x + 6 x =−7
2 42. 3 x =9 x −7
−3 −√ 5 i −3 + √ 5 i 2
,
x =
3 3
3 1 −3 1 − i ,− + i
1 2 1 2 x = − i , + i S). 3 3 3 3
S). x =
13
2 2!. 1 + 12 x − 4 x =0
2 2#. 5 x +9 x + 3= 0
S). x =
1
2 26. 6 x + 3=2 x
2 2. 3 x =8 x −2
S). x =
13
2
2
2 2
√ √ S). x = 2 − 6 , 2 + 6 3
2
!!
3i 3
3i
2 43. 2 x + 15 =10 x
S). x =
2 44. 3 x =6 x −5
5−√ 5 i 5 + √ 5 i , 2 2
√ √ S). x =1− 3 ,1 + 3 6i
2 45. 3 x + 3 =5 x
S). x =
2 46. x −1=5 x
5−√ 11i 5 + √ 11i , 6 6
S). x =
2 4. 4 x + 1=3 x
S). x =
6i
1−√ 19i 1+ √ 19 i , 10 10
2 4!. 3 + 6 x −7 x =0
3−√ 7 i 3 + √ 7 i , 8 8
S). x =
7− √ 23 i 7 + √ 23 i , 12 12
2 2 4#. x −ab −a = bx
2 2 50. x + ab−2 b =( a− b ) x
S).
S).
b− √ 4 a + 4 ab + b b + √ 4 a + 4 ab + b x = , 2 2 2
2
2
2
ab− 3 √ a b ab + 3 √ a b , S). x = 2 2 2
2
S).
2
55. a x
2
−a + b a
2
S).
x =
56. a x
−b + 1 2 a
2
2 2 2 54. a b x −b −a =b x
,1
,
2
3a a + 4 ab + 4 b 3 a a + 4 ab x = , + b− √ + b + √ 2 2 2 2
+ ( ab− a ) x =2 + 2b
S). x =
2
2
2 53. a x =a + b−bx
x =
2
2 2 52. x + 2 a =( 2 b + 3 a ) x −2 ab
2 2 2 51. x =2 a b + abx 2
a− b− √ a −6 ab + 9 b a −b + √ a −6 ab + 9 x = , 2 2
2
+ b2−2 a b2 =( b− ab ) x
S). x =
a
2 5. ( a −b ) x =2 bx + 4 a
a +b 1 ,− ab b
b ( 1−2 a ) ,b a
2 2 5!. 6 x + ( b−2 a ) x =b + ab
a +b b ,− 3 2
2a x , −2 = S). a− b
S).
2 2 2 2 5#. a x −b =2 ab + 2 a x
2 2 2 2 2 60. ( a −b ) x −4 abx + b =a
S).
x =
2a + b b ,− a a
x =
b− a a + b x , = S). a + b a− b
!#
2
C7'%%? %8/%79) &% 9%'(87%? 7 &7@'% 9% 7 (<(%% %'7'()% 2 2 61. x =8 + 4 x 62. x −7= 2 x S). x 4 −1.464,5.464
S). x 4 3.828,−1.828
2 63. x −8 x −16 =0
2 64. 10 x −1= x
S). x 4 −1.656,9.656
S). x 4 0.101, 9.898
2 65. 2 x − 6 x −1=0
2 66. 3 x −6 x =1
S). x 4 −0.158,3.158
S). x 4 −0.154,2.154
2 6. 3 x + 5 =9 x
2 6!. 1 + 3 x =2 x
S). x 4 0.736, 2.263
S). x 4 1.780,− 0.280
2 6#. 3 x + 4 x −2= 0
2 0. 2 x =−7 x − 4
S). x 4 0.387,− 1.720
S). x 4 −2.780,−0.719
2 1. 5 x + 8 x + 2=0
2 2. 7 x + 8 x −1 =0
S). x 4 −1.289,−0.310
S). x 4 0.113,−1.256
EJERCICIO 34: EMPLEO DE LA FÓRMULA DE SE&UNDO &RADO //. 14#50 R%>7% 7 %'7'()% 9% ) /&);%87 160 8%9(7% % ) 9% 7 =&87 9% 7 %'7'(= 9% %<9) <&79). 1.
2
x + x =12
2.
S). x =−4, 3 3.
S). x =−7,6
2
x =2 x + 35
4.
S). x =−5,7 5.
2 x
2
S).
5 x
2
− 42=5 x
6. S).
=18 + x
x =
−9 5
2
x + 3 x −54 =0
S). x =−9, 6
−7 = x ,6 S). 2 .
2
x + x − 42= 0
!.
2
3 x
+ 8 x =35
x =−5, 7 x
2
7 3
+ 4 x −20 =0
10 x 2, =− S). 7
,2
#0
#. S).
42 x
2
x =
2 10. 48 x + 32=35
− x −30= 0
−5 6 6
,
S).
7
x =
−1 1 4
,
4
2 11. 36 x =13 x + 30
2 12. 63 + 62 x =56 x
−3 10 x , = S). 4 9
−9 7 x , = S). 14 4
2 13. x −10 x + 5 =0
2 14. x −2=8 x
S). x =5− 2 √ 5 , 2 √ 5 +5
S). x =4 −3 √ 2 ,3 √ 2 + 4
2 15. x =12− 4
2 16. x −6 x =11
S). x =2 √ 2 , −2 √ 2
S). x =3 −2 √ 5 , 2 √ 5 + 3
2 1. x + 7 x + 1= 0
2 1!. x + 11 x + 29 =0
S). x =
−7 −3 √ 5 −7 + 3 √ 5 2
,
S). x =
2
2 1#. x + 9=9 x
S). x =
9−3 √ 5 9 + 3 √ 5 , 2 2
S). x =
2 24. 9 x −18 x −23= 0
−3 √ 2−3 3 √ 2−3 ,
4 √ 2 4 √ 2 S). x =1− 3 ,1 + 3
2
2 25. 5 x =11 x −5
S). x =
2 26. 7 x −12 x − 4 =0
−2
11− √ 21 11 + √ 21 , 10 10
S). x = 7 , 2
2 2. 8 x −9 =12 x
S). x =
15−3 √ 5 15 + 3 √ 5 , 2 2
1 −1 2 ,− + √ 2 = − x √ S). 3 3
5−√ 41 5 + √ 41 , 8 8
2
2
2 22. 9 x =17− 6 x
2 23. 4 x + 12 x =9
S). x =
2
2 20. x =15 x −45
2 21. 4 x −5 x −1 =0
S). x =
−11−√ 5 , −11−√ 5
2 2!. 6 x −12 x + 5 =0
3−3 √ 3 3 + 3 √ 3 , 4 4
√ 6 , 1 + √ 6 x 1 = − S). 6 6
#1
2 2#. 11 x =1−8 x
S). x =
2 30. 12 x + 4=15 x
−4 −3 √ 3 −4 + 3 √ 3 11
,
2 4 √ 6 2 4 √ 6 S). x = 5 − 15 , 5 + 15
11
2 31. 14 x −16 x =7
2 32. 13 x − 14 x −2=0
4 9 √ 2 4 9 √ 2 S). x = 7 − 14 , 7 + 14
S). x =
2 33. x + 13 =6 x
2 34. x −12 x + 45=0
S). x =3 −2i ,3 + 2i
S). x =6 −3 i, 6 + 3 i
2 35. x =8 x −20
2 36. x −14 x + 50=0
S). x =4 −2 i , 4 + 2 i
S). x =7 −i, 7 + i
2 3. 2 x + 14 x + 25= 0
2 3!. 2 x =2 x −1
−7 1
7 1
7−5 √ 3 7 + 5 √ 3 , 13 13
1
1
1 1
S). x = 2 − 2 i ,− 2 + 2 i
S). x = 2 − 2 i , 2 + 2 i
2 3#. 9 x + 5 =6 x
2 40. 2 x + 6 x + 5=0
1 2 1 2 = − i , + i x S). 3 3 3 3
3 1 −3 1 = − − + i x i , S). 2 2 2 2
2 41. 4 x = 6 x −3
2 42. 5 x + 4 x + 2=0
S). x =
3−√ 3 i 3 + √ 3 i , 4 4
S). x =
2 43. 8 x −6 =3 x
S). x =
4 −√ 2 i 4 + √ 2 i , 3 3
S). x =
3−√ 5 i 3 + √ 5 i , 7 7
S). x =
5−√ 2 i 5 + √ 2 i , 3 3
,
−4 −√ 6 i −4 + √ 6 i 11
,
11
2 4!. 13 x = 12 x −3
−−7 √ 11i −7 + √ 11i 12
5
2 46. 11 x + 8 x + 2= 0
2 4. 12 x + 14 x =−5
S). x =
5
2 44. 3 x + 9 =10 x
2 45. 7 x −6 x =−2
S). x =
−2 −√ 6 i , −2+ √ 6 i
S). x =
12
#2
6− √ 3 i 6 + √ 3 i , 13 13
2 2 4#. x + ab− a =−bx
2 50. x −( a −b ) x =ab
S). x =−a , a− b
S). x =a , −b
2 51. x + 2 ax − 2ab =bx
2 2 2 52. x + a −b =2 ax
S). x =−2 a ,b
S). x =a −b , a + b
2 53. m x −nx =m+ n
2 2 2 54. p x − px =q + q
S).
x =
m+ n , −1 m
S).
S).
−c + d c
2 -
S).
g
S). x = g , − 2 -
,1
2 2 2 5. ( u −1 ) x + 2 u x + 4 =0
x =
q + 1 q ,− p p
2 2 2 56. 2 -g x −( 4 - − g ) x =2 -g
2 55. cx + dx =c + d
x =
x =
2 2 2 2 5!. r x −2 r x + r =9
r −3 r + 3
2
S). x = r , r
, −2 2 1 −u
2 2 2 5#. w x −2 wx + 4 v =4 v
2 2 60. a b x =2 ax + 4 b + 4
2 v 2 −2 v w
S). x = w ,
S). x =
2( b+ 1) 2 ,− ab a
-%% 7 =&87 9% 7 %'7'(= 9% %<9) <&79) /7&7 %%'7& 7 )/%&7'()% % % &%(%&% % ) /&);%87 616! 2 2 61.R%)>%& y − x + 5 x + y −6= 0 /7&7 y % &8() 9% x S). y =2 − x , x −3 2 2 62.R%)>%& y + 2 y − x −4 x − 3=0 /7&7 y % &8() 9% x
S). y =− x −3, x + 1 2 2 63.R%)>%& x −7 y − y −3 x −10 =0 /7&7 x % &8() 9% y
S). x =− y −2, y + 5 2 2 64.R%)>%& x −4 y −2 x −12 y − 8=0 /7&7 x % &8() 9% y
S). x =−2 y −2,2 y + 4 2 2 65.R%)>%& 2 y + 9 x − y −2 x −10 =0 /7&7 y % &8() 9% x
#3
S).
y =
5−2 x , x −2 2
2 2 66.R%)>%& 3 x −2 y + 10 x + 8− 3 y =0 /7&7 y % &8() 9% x
S).
y =
3 x + 4 ,− x −2 3
2 2 6.R%)>%& 5 y −5 x + 8 y −2 x + 3 =0 /7&7 x % &8() 9% y
S). x =
5 y + 3 ,− y −1 5
2 2 6!.R%)>%& 12 y + 16 y − 3 x + 2 x + 5 =0 /7&7 x % &8() 9% y
S). x =
6 y + 5 , −2 y −1 3
R%>7% 7 %'7'()% 9% ) /&);%87 6# 7 !0 %8/%79) 7 =&87 9% 7 %'7'(= 9% %<9) <&79) %'&%% 7 &7@'% ') &% '(&7 9%'(87%. 2 6#. 2 x − 4 x + 1=0
2 0. 3 x −4 x =1
S). x =0.292, 1.70
S). x =−0.215,1.54
2 1. 3 x =5 + 6 x
2 2. 3 x + 3 =8 x
S). x =−0.632,2.63
S). x =0.451, 2.21
2 3. 5 x −4 x − 4 =0
2 4. 6 x −1=7 x
S). x =−0.579,1.37
S). x =0.226, 0.630
2 5. 7 x −10 x −1=0
2 6. 8 x −6 x =3
S). x =1.52,−0.0938
S). x =−0.343,1.09
2 . 13 x = 4 x +4
2 !. 6 x + 1=14 x
S). x =−0.421,0.729
S). x =0.556,− 0.128
2 #. 8 x =15 x −1
2 !0. 11 x + 2 =10 x
S). x =0.637,− 0.104
S). x =0.612, 0.297
EJERCICIO 3: REDUCCIÓN DE ECUACIONES A LA FORMA CUADR,TICA //. 1523 #4
R%9'7% 7 7 )&87 '79&G('7 7 (<(%% %'7'()% &%>7% /7&7 x . 1.
x
4
−20 x 2 + 64 =0
2.
S). x =−2,2, −4, 4 3.
9 x
4
=37 x 2− 4
4
x + 12=7 x
4.
10 x
2
2
6.
4
4
−13 x 2+ 1=0
12 x
2
−27 = x 4
S). x =√ 3 ,−√ 3 ,−3, 3
= x 4+ 24
!.
S). x =−2,2, √ 6 ,− √ 6 #.
36 x
−1 1 1 1 x , ,− , = S). 3 3 2 2
S). x =√ 3 ,−√ 3 ,−2, 2 .
2
S). x =−2,2, −6,6
−1 1 x , , −2, 2 = S). 3 3 5.
4
x + 144 =40 x
4 x
4
−17 x 2=−18
3 3 2 ,−√ 2 ,− , = x √ S). 2 2
2
4 2 10. x + 6 x −27 =0
x = x + 20
S). x =2 i, −2i , √ 5 , −√ 5
S). x =3 i, −3 i, √ 3 ,−√ 3
4 2 11. x + 2 x = 8
4 2 12. x =2 x + 24
S). x =2 i, −2 i , √ 2 ,− √ 2
S). x =2 i, −2 i , √ 6 , −√ 6
4 2 13. 8 x + 14 x =9
4 2 14. 6 x =12 − x
3 3 √ 2 √ 2 x i , i , , = − − S). 2 2 2 2
√ 6 i , − √ 6 i , 2 √ 3 ,− 2 √ 3 x = S). 2 2 3 3
4 2 15. 2 x =30 −4 x
2 4 16. 9 x + 10 =9 x
S). x =√ 5 i ,− √ 5 i , √ 3 ,− √ 3
√ 6 i √ 6 i √ 15 √ 15 S). x = 3 , − 3 . 3 ,− 3
−2 −1 1. 2 x = x +3
−2 −1 1!. 3 x =4 x + 4
2 x 1, =− S). 3
−3 1 x , = S). 2 2
−2 −1 1#. 6 x =6 −5 x
−1 20. 15 x −2=12 + 11 x
−2 3 = x , S). 3 2
S). x =
6 3 21. 27 x + 8=35 x
6 3 22. x −9 x =−8
#5
7− √ 214 7 + √ 214 , 15 15
2 x = , 1 S). 3
S. x =1, 2
6 3 23. 8 x =19 x + 27
6 3 24. x + 216=35 x
3 x 1, =− S). 2
S). x =2, 3
2
2 2 25. ( x + 6 ) −17 ( x +6 ) + 70=0
S). x =−1,1,− 2,2 2
2 2 26. ( 2 x −5 ) =39 + 10 (2 x −5 )
S). x =−1,1,− 3,3 2 2 ( ) x 3 8 − + 76 =23 (3 x 2−8 ) 2.
S). x =−2,2, −3,3 2
2 2 2!. ( 4 x + 3 ) =11 ( 4 x + 3 ) −28
−1 1
S). x = 2 , 2 , −1,1 2 2 ( ) + + 72 =18 ( x 2+ x ) x x 2#.
S). x =2,3,−4, −3 2
2 2 30. ( x + 3 x ) = 14 ( x + 3 x ) −40
S). x =1,2,−5,− 4 2
2 2 31. ( 2 x + 3 x ) −9 =8 ( 2 x + 3 x )
1 3 x =−1,−3,− , S). 2 2 2
2 2 32. ( 3 x + 5 x ) −10 ( 3 x + 5 x ) =24
2 4 x =−1,−3,− , S). 3 3 2
2 2 33. ( x + 3 x ) − 3 ( x + 3 x )= 4
√ 5 − 3 , √ 5 − 3 x 4,1, =− − S). 2 2 2 2
#6
2
2 2 34. ( x − x ) =3 ( x − x )−2
S). x =− 1,2,
1 −√ 5 1 + √ 5 , 2 2
2 2 ( ) 2 5 − − 3=2 (2 x 2−5 x ) x x 35.
1 5 −√ 17 5 + √ 17 , 4 4
S). x =3,− 2 , 2
2 2 36. ( 2 x −3 x ) =3 ( 2 x −3 x )−2
1 3 − √ 17 3 + √ 17 2, x , , = − S). 2 4 4
3.
(−) x 1 x =
S). 3!.
2
x
+ 4 =5
(−) x
x 1
4 3
( ) − ( −+ )+ = x + 2 x −1
2
5
x 2 x 1
6 0
5 x = , 4 S). 2
3#.
( ) ( )− 2
2 x −1 x + 2
=4
2 x −1 x + 2
3
S). x =−7,3 40.
(
x =
S). 41.
x +2 1−2 x
(
)( 2
+
x +2 1−2 x
)=
2
−1 4 ,
3
3
) ( )
2 x −1 x +1 +2 =3 x + 1 2 x −1
S<%&%'(7 %7
S). x =1, 2 42.
2
( )( )
x −2 3 − x + −3 =0 x −2 3− x
7 5 x = , S). 3 2
#
z =
x +1 2 x −1 ? %)'%
1 2 x −1 = z x + 1
43.
3
( ) ( 2 x −1 x + 3
+2
)
x +3 =5 2 x −1
9
S). x = 4 , 4 44.
2
(
)
(
x− 1 2 x + 3 =1 + 3 2 x + 3 x −1
)
−11 2 x ,− = S). 4 3 45. 2 x + 1− 5 √ 2 x + 1 + 6 =0 3 x ,4 = S). 2
46. 2 x + 6 =4 √ 2 x +3 S<%&%'(7? 7QG97% −3 7 '797 8(%8;&) 9% 7 %'7'(= %<) z =√ 2 x + 2 S). x =−1,3 4. 6 x −1=5 √ 3 x −2 17 1, = x S). 12
( ) √ x −2
x −2
4!. 3 1− x −4 1− x + 1 =0 S).
x =
19 3 , 10 2
EJERCICIO 3": SOLUCIÓN DE ECUACIONES -UE COMPRENDEN RADICALES //. 1556 1. S). 3.
√ x +6 =√ 4 x −2 x =
2.
8 3
S).
√ x −1=√ 2 x −6
4.
S). x =5
S). #!
√ x + 1 =√ 6 x − 3 x =
4 5
√ x + 3 =√ 3 x −2 x =
5 2
5.
√ x +11−√ 2 x − 3=0
6.
S). x =10
3 = x S). 2
.
√ 6− x +√ x + 2=0
!.
S). N) 7 )'(= #.
√ 3 x +6 =√ 4 x − 4
√ 2 x +7 =√ 3 x −2
S). x =9
√ x2− 3 x +5 =√ 2 x −1
2 10. √ x + 4 x + 1 −√ 2 x + 4 = 0
S). x =2, 3
S). x =−3,1
2 11. √ x + 4 x −8 =√ 3 x + 12
2 12. √ x + 3 x −3 −√ 6 x + 7 =0
S). x =−5, 4
S). x =−2,5
13. 2 x =√ 2 x + 5 + 1
14. 3 x =√ 10−2 x + 7
S). x =2
S). x =3
15. 2 x −√ 7 x + 1= 4
16. √ 9 x + 1 − x =1
S). x =5
S). x =0, 7
2 1. √ 4 x + 2 x + 7 + 4 x =5
2 1!. √ 2 x + 5 x + 4 −1=2 x
1 = x S). 2
3 = x S). 2
2 1#. 4 −3 x =√ 6 x + 5 x − 2
2 20. √ 3 x + 8 x + 1−3 x =1
2
1
S). x = 3
S). x =0, 3
21. 2 x + 3 −√ x + 1 =1
22. √ 3 x + 1= 2+ √ x −1
S).
x =−1,−
S). x =1,5
3 4
23. √ 5 x −1 −√ x + 6 =3
24. √ 3 x + 1− 2=√ 2 x −7
S). x =10
S). x =8,16
25. √ 5 x + 1− √ 3 x −5 =√ x + 1 S). x =3 26. √ 3 x + 4 + √ 2 x + 6 =√ x + 10 ##
S). x =−1 2. √ 6 x −5− √ 2 x −1=√ 2 x −6 S). x =5 2!. √ x −6 + √ 2 x + 2 =√ 3 x + 4 S). x =7 2#. √ 7 x + 8 =√ 3 x + 1 + √ x +1 S). x =8 30. √ 10 x − 4 −√ 3 x −3= √ 2 x + 1 S). x =4 31. √ 9 x + 7 −√ 5 x −1=√ 3 x −2 S). x =2 32. √ 4 x + 5− √ 3 x + 1=√ 3 x −2 S). x =1 2 2 33. √ x − x + 3 −√ x −3 x + 4 =1
S). x =3 2 2 34. √ x + x −5 −√ x −3 x − 1=2
S). x =5 2 2 35. √ x − 5 x + 2− √ x −6 x + 2=1
S). x =7 2 2 36. √ x − 2 x + 1− √ x −4 x −9 =2
−5 = x ,9 S). 3
√ 2 x −3 −2 =1 3. √ 3 x −2− 3
√ 3 x +1+ 3 =2 3!. √ x + 1 + 1
S). x =2, 6
S). x =0, 8
√ 4 x + 5 +4 =3 3#. √ 3 x + 1−1
√ 3 x +3 + 2 =2 40. √ 2 x + 3−1 100
S). x =5
S). x =11
2 2 41. √ ax + 2a =√ 3 ax + 3 a −a
2 2 42. √ 2 bx + 3 b =√ bx +b + b
S). x =2 a
S). x =−b , 3 b
2 2 43. √ 4 c −5 cx =2 c + √ 2 c + cx
2 2 44. √ 3 px + p −√ px − p =2 p
S). x =−c
S). x = p ,5 p
EJERCICIO 3$: PRO!LEMAS -UE CONDUCEN A ECUACIONES DE SE&UNDO &RADO PG<(7 15! 1: E'&%% 9) %%&) ')%'(>) ') /&)9') %'%97 7 87 % 41 (979%. S). ?! 2: L7 9(%&%'(7 %&% % '79&79) 9% 8%&) /)((>) % /) 9% 9(') 8%&) % 16 (979%. E'&%% % 8%&). S). ! 3: E 9@<() 9% 7 9%'%7 9% '(%&) 8%&) % 9) (979% 87)& % % 9@<() 9% 7 (979% 79%8G 7 87 9% '79&79) 9% 78;) 9@<() % 52. E'&%% % 8%&). S). 64 4: E'&%% 8%&) %<7(>) 7 % 7 87 9% '79&79) ') % @/) 9% 8(8) 8%&) %7 (<7 7 6. S). −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
101
25 12 . E'&%% % 8%&).
S).
3 4 , 4 3
12: L7 9(%&%'(7 9% 9) 8%&) % 6? 7 87 9% &%'@/&)') %
5 8
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177 3 √ 177 + 2
2 ? 7')
177 3 √ 177 − 2
2
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1 8(7.
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103
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EJERCICIO 4+: SOLUCIÓN &R,FICA DE PARES DE ECUACIONES //. 16 C)&7% 7 <&G'7 9% 7 %'7'()% 9% ) /&);%87 1 7 32 1. 2 x − y =3 2. 3 x + y =7 3. x + 4 y =6 2 2 2 2 4. 3 x +2 y =7 5. x + y =9 6. x + y =36 .
2
2
x + y =25
!.
2
2
x + y =64
#.
2
2
x + 4 y = 4
2 2 10. x + 9 y =9
2 2 11. 4 x + 9 y =36
2 2 12. 16 x + 25 y = 400
2 2 13. 16 x + y = 16
2 2 25 x + y = 25 14. 25 x
2 2 15. 25 x + 4 y =100
104
2 2 16. 16 x + 9 y =144
2 2 1. x −4 y =4
2 2 1!. x −9 y =9
2 2 1#. 4 x − 9 y =36
2 2 20. 16 x −25 y =400
2 2 21. 16 x − y =16
2 2 22. 25 x − y =25
2 2 23. 25 x −4 y = 100
2 2 24. 16 x −9 y =144
2 25. y = 4 x
2 26. y =−8 x
2 2. y −2 y − 4 x =3
2 2!. y + 4 y + 4 x =0
2 2#. x = y
2 30. x =−4 y
2 31. x −6 x −9 y = 0
2 32. x + 8 x + 4 y + 8= 0
C)&7% 7 <&G'7 9% '797 ) 9% ) /7&% 9% %'7'()% 9% ) /&);%87 9% 33 7 4!? ((79) % '797 '7) % 8(8) (%87 9% '))&9%797? %@8%% 7 '))&9%797 9% ) /) 9% (%&%''(=. 2 2 2 2 2 33. x + y =9 34. y = 4 x 35. 4 x + 9 y =36 y −2 x =2
S).
(0.5,3) , (−2.1,−2.2 ) 2 2 36. 4 x − y =4
2 y = x + 1
y =3 x
y =2 x + 1
S). ( 0,0 ) , (0.4,1.3 )
S). (0.5,2) , (−1.4,−1.8 )
2 2 3. x + y =11
2 3!. y =8 x
2
2
y =−4 x
x =4 y
S). (−1,0 ) , ( 1.1,1.0)
S). (−1.7,2.6 ) , (−1.7,−2.6 )
S). ( 0, 0 ), ( 5,6.3 )
2 3#. x =−2 y
2 40. x =6 y
2 2 41. x + y =9
2
2
x + 3 y =3
S).
(1.1,−0.7 ) , (−1.1,−0.7 ) 2
2
42. x + y =4
2
S). ( 8.5,12 ) , (−8.5,12)
2 2 43. x + y =1
2
x =4 y
S).
(1.7,0.7), (−1.7,0.7) 2 2 45. 4 x + 9 y =36 2
2
x + y =3
S). S( )'(=
2
2
y −2 x =4
4 x
2
S). S( )'(= 2 2 44. x + y =7
4 x
2
+ y = 4
S). ( 1, 0) , (−1, 0 ) 2 2 46. x + 4 y = 4
− y 2=3
(−1.4,2.2), (−1.4, −2.2) 2 2 4. 4 x + y = 4
2
105
2
S) ( 1.4,2.2 ) , ( 1.4,−2.2 ) ,
2
y = 4 x −4
S). (1.1,0.7 ), (1.1, −0.7 )
2
x + y =5
2
x + 4 y = 4
S).
( 0.8,0.8 ) , ( 0.8, −0.8 ) ,
(−0.8,0.8 ) , (−0.8,−0.8 ) 2 2 4!. 9 x + y =9 2
2
y − 4 x =4
S). (0.6,2.3) , (0.6, −2.3 ) , (−0.6,2.3 ) , (−0.6,−2.3 )
EJERCICIO 41: SOLUCIÓN AL&E!RAICA DE ECUACIONES //. 1!01 R%>7%? /7&7 x /7&7 y ) (<(%% /7&% 9% %'7'()% (8G%7. 2 2 2 1. y = 4 x 2. x =9 y 3. y =2 x x + y =3
x − y =2
S). ( 9,−6 ) , ( 1, 2 ) 4.
2
y = x
S). ( 3,1 ) , ( 6, 4 ) 5.
y + 2 x =1
( )
4 x
2
+ 4 y 2= 5
S). (−1, −2 ) , ( 2, 1 ) !.
2 x =2 y + 1
S).
(− − ) ( ) 1 1 , 1 , 1, 2 2
S).
13
)
2 2 13. 5 x − y =1
y = x + 1
S).
(
2
+ 9 y 2 =10
( − ) (− ) 1 1 39 , 1 , , 3 111 37
S).
( )( ) 1 1 1 1 , , , 2 3 2 3
2 2 14. x − y =3
)
2 2 16. 25 y −9 x =8
S). ( 2,−1 ) 2 1. y =2− 2 x
106
2
(
−6 17 2,−3 ) , ( , S). 5 5 #.
2
)
2
x + 4 y = 4 y = x −2
(
6
4
S). ( 2, 0 ) , 5 , − 5
)
2 2 12. 9 x + 16 y =2
3 x =−4 y
S).
(
)(
1 1 ,− , 3 4
−1 1 3
2 2 15. 4 x − 9 y =−3
y = x −3
−1 1 ( ) , , 1, 2 2
2
2
x + y =13 2 x + y =1
2 x +3 y =2
−12 15 ( ) , , 0,3 13
9 x
2 2 11. 4 x + 9 y =2
y =2 x + 3
(
6.
6 x + y =1
2 2 10. 9 x + y =9
S).
2
S). ( 0, 0 ) , ( 2, 2 )
y = x −1
1 1 1,−1 ) , , ( S). 4 2
.
2
x + y =5
y = x
3 y =2 x + 1
S).
( ) 1 2 , 2 3
2 1!. x =−3 −2 y
,
4
)
5 y =3 x + 2
S).
( ) 1 3 , 3 5
2 2 1#. x + y =6
x + y =4
S). ( 2 + i, 2−i ) ,
(2−i , 2+ i ) 2 2 22. 2 x + y =15
x + y =3
S). ( 1 + √ 3 , 2 −√ 3 )
( 1−√ 3 , 2+ √ 3 ) 2 25. x −2 x + y =3
2 x + y =2
S). ( 2− √ 5 ,− 2+ 2 √ 5 )
( 2 +√ 5 ,−2− 2 √ 5 ) 2 2 2. y − x −2 y + 6 x =11
x + y =2
x + y =1
S). ( 1 + i, 1−i ) ?
S). (1 + 2 i ,− 2 i) , ( 1 −2 i , 2 i )
(1−i ,1 + i ) 2 2 20. y − x =10
2 2 21. x + y =4
3 y −2 x =5
x + y =0
S). (−√ 2 , √ 2 ) , ( √ 2 ,− √ 2 )
S). ( 2−3 i ,3 −2i )
( 2 +3 i , 3 + 2 i ) 2 2 23. 2 y −3 x = 1
2 2 24. x −2 y =3
x − y =−1
x − y =1
S). ( 2− √ 5 , 3− √ 5 )
S). ( 2−i ,1 −i ) ?
( 2 + i, 1 +i )
( 2 +√ 5 ,3 + √ 5 ) 2 2 26. x + y + 4 =4 x
x + y =2
S). ( 2, 0 ) , ( 2, 0 ) 2 2 2!. x + y −4 x −2 y =−1
x −2 y =1
x + y =3
S). ( 3−2 i ,1 −i ) , ( 3 + 2 i, 1 + i )
S). ( √ 2+ 2,1 −√ 2 ) , ( 2− √ 2 , √ 2+ 1 )
2 2 2#. x − xy −2 y = 4
2 2 30. 2 x + xy − y =9
x − y =2
S). ( 2, 0 ) , ( 3, 1 ) 2 2 31. 2 x − xy − y =20
− x + 3 y =1 S).
(
−41 20
,−
)
7 , ( 2, 1 ) 20
2 2 32. 2 x −5 xy + 2 y =5
2 x + y =4
2 x − y =1
S). ( 3,−2 )
S). (−1, −3 )
2 2 2 33. x − y =2 ab −b
2 2 2 34. y − 4 x =4 ab + b
10
x − y = b
y −2 x =b
S). (a , a −b )
S). (a , 2 a + b )
2 2 2 2 2 2 35. b x + a y = a + b
2 2 2 2 36. a x −b y =4 ab
bx +ay = a + b
ax −by =2 b
( )
a b 1,1 ) , , ( S). b a
S).
(+
a b a −b , a b
)
EJERCICIO 42: ECUACIONES SIMULT,NEAS DE SE&UNDO &RADO /. 1!4 R%>7% ) (<(%% /7&% 9% %'7'()% 2 2 1. x + 3 y =7 2 2 x + 2 y =3 2. 2 2
− y =7
2 x
2
S). ( 2,1 ) , ( 2,−1 ) ? X
−2, 1 ¿ ,
3 x
2
3 x
−5 y 2 =3
2
(−4,−3 )
2 x
+ 4 y 2=9
2
+ 8 y 2=14
S).
(
−2,−
(−) 2,
1 , 2
+ 3 y 2= 4
8 x
2
+ 5 y 2=7
1 , 1 2
2
3 x
2
1 ,1 , 2
(−4, 3 ) ,
.
4 x
1 1 ,1 , , 1 2 2
S). ( 4, 3 ) , ( 4,−3 ) ?
−2,
2
+ 9 y 2=19
2
2
x + 18 y =11
)( )
1 , 2
2 x
!.
1 , 2
S).
( )( )( ) ( ) −3,− 3,
1 , 3
−3,
1 3
10!
2
+ 2 y 2=17
2
2
S). ( 3,2 ) , ( 3,−2 ) ? (−3, 2 ) ,
(−3,−2 )
)( −) ? S). ( − ( ) − ( −)
2
x −3 y =−11
x
x −2 y =1
S). ( 1,1 ) , ( 1,−1 ) ?
5. 4.
− y 2=2
(−1, 1 ) , (−1,1 )
(−2,−1 )
3.
1 1 , 3,− , 3 3
6.
9 x
2
+ y 2 =2 2
18 x
+ 3 y 2=5
− − − ( ) ( ) S). ( −) ( ) 1 , 1 , 3
1 ,1 , 3
1 , 1 , 3 1 ,1 3
#.
2 x
2
+ 3 y 2=7
2
+ 2 y 2=8
3 x
S). (−√ 2 , −1 ) , (−√ 2 , 1 ) ,
( √ 2 ,−1 ) ,
( √ 2 , 1 )
( ) 2,
1 2
2 2 10. 2 x + 5 y =17 2
2 2 11. 5 x −6 y =3
+ 2 y 2=9
3 x
2
3 x
S). (−1,−√ 3 ) , ( −1, √ 3 ) ,
( 1,−√ 3 ) ,
2 2 12. 2 x −3 y = 1
+ 4 y 2=17
4 x
S). (−√ 3 , −√ 2 ) , (−√ 3 , √ 2 ) ,
( √ 3 ,−√ 2 ) ,
( 1, √ 3 )
2
−5 y 2=5
S). (−√ 5 , −√ 3 ) , (−√ 5 , √ 3 ) ) . ,
( √ 5 ,−√ 3 ) , ( √ 5 , √ 3 )
(√ 3 , √ 2 )
2 2 14. 3 x + y + 2 y =9 2 2 13. x − y + 3 x =7
2 x
2
2 x
+ 3 y 2−6 x =5
(
2,−√ 3 ¿ , ( 2, √ 3) , (−2.6,2i √ 2.01 ) , (−2.6,−2i √ 2.0
2 2 15. 3 x − y + 2 y = 6 2
(−√
155 12 ,− 7 7
)?
)
2 2 16. 2 x + 3 y + 8 x =3
+ 3 y 2−7 y = 2
2
2
5 x + 2 y + 6 x =5
S).
S).
(
( √ 2 ,2 ) , (−√ 2 , 2 ) , −√ 223 , 11
)(
3 , 11
√ 223 , 11
3 11
)
2 2 1. 4 x + 3 y −3 y =2 2
(
−√ 62 , 17
−
2
(
)(
9 √ 197 i 9 √ 197 i , , ,− 11 11 11 11
2 2 1!. 6 x + 5 y + 2 x =3 2
5 x
)(
)
5 √ 62 ,− 5 , ( i , 2 ) , (−i, 2 ) , 17 17 17
2 2 1#. 2 x + 3 y −7 y = 2
8 x
(−1,−√ 3 ) , ( −1, √ 3 ) ,
−2 y 2 + 5 y =−1
3 x
S).
+ 3 y 2+ 3 y =10
√ 155 12 S). ( √ 2 ,1 ) , (−√ 2 , 1 ) , 7 ,− 7
S). X
2 x
2
+ 3 y 2− 4 x =−2
(
)(
19 √ 457 i 19 √ 457 i i , i , , , ,− 1, 1, ( ) ( − ) S). 7 7 7 7 2 2 20. 3 x −4 y − 8 x =4
+ 5 y 2− 9 y =2
2
5 x
S).
+ 2 y 2−7 x =2
S).
(
( √ 2 i ,3 ) , (−√ 2 i , 3 ) , √ 6 i ,− 2 7
7
) ( −√ ,
6i 2 ,− 7 7
)
2 21. x + 2 xy − x = 4
2 x
2
(
( 2, √ 2 i ) , ( 2, −√ 2 i ) , −4 , √ 53i 13
2 22. x + 3 xy + 3 x =−8 2
− xy + 3 x =3
3 x + xy + x =8
10#
13
) (− ,
4 √ 53 i ,− 13 13
)
)
)
( ) 1
S). (1, 2) , −2, 2
S). (2,−3 ) , (−2,1 )
2 23. y + xy + 2 y =6
2 y
2
2 24. 3 y + 2 xy − y =−2
− xy + 2 y =1
(
−47 7 3,1 ) , ( ,− S). 21 3
2 y
)
2
− xy + 2 y =2
S). (2.95,−0.79 ) , (−2.82,0.36 )
2 25. x + xy −3 x =−2
2 x
2
2 26. x −4 xy + 2 x =−2 2
−3 xy − x =−4
3 x
−4 xy −2 x =−6
S). (1 + i , 1 ) , ( 1−i, 1 )
S). (1 + i, 1 ), ( 1−i , 1 )
2 2. y −2 xy =−2
2 2!. y − 4 xy + 2 y =−5
−3 y 2 + 5 xy + y =6
2 y
S). ( 1,1 + i ) , (1,1 −i)
2
−3 xy − y =−10
S). (1,1 + 2 i ) , (1, 1−2 i) 1 2 2 2 30. 5 x + 7 y =7
3 2 2 2 2#. 5 x + 3 y =5
1 2 1 2 x − y =3 3 7
2 2 1 2 x − y =1 5 3
S). ( √ 15 , √ 14 ) , ( √ 15 ,− √ 14 ) , (−√ 15 , √ 14 ) ,
S).
( √ 5 , √ 3 ) , ( √ 5 ,−√ 3 ) , (−√ 5 , √ 3 ) , (−√ 5 ,−√ 3 ) 1 2 1 2 31. 3 x + 2 y = 6
(−√ 15 , −√ 14 ) 1 2 1 2 32. 2 x + 5 y =5
2 2 1 2 x + y =6 3 4
1 2 1 2 x − y =−3 3 2
S). ( √ 6 , 2 √ 2 ) , ( √ 6 ,−2 √ 2 ) , (−√ 6 ,2 √ 2 ) ,
S). ( √ 6 , √ 10 ) , ( √ 6 ,− √ 10 ) , (−√ 6 , √ 10 ) ,
(−√ 6 ,−2 √ 2 )
(−√ 6 ,−√ 10 )
EJERCICIO "2: SOLUCIÓN DE DESI&UALDADES //. 2645 R%>7% <&G'78%% 7 9%(<7979% 9% ) /&);%87 1 7 16 1. 3 x −1 > x −2 2. 4 x + 3 > x +7 110
S). 3. S). 5.
x >
−1 2
2 x + 4 <− x + 9
x <
5 3
2 x −1< 4 x −3
S). x > 1 . S). #.
1− x > 3 x −5
x <
3 2
2
x −3 x < 1
S). 4.
x >
4 3
5 x + 2 < 2 x −5
−7 < x S). 3 6.
3 x + 5 < 7 x −1 3
S). x > 2 !.
3−2 x > 2 x −5
S). x < 2 2 10. x −6 < 2 x
S). −0.30 < x < 3.30
S). −1.6 < x < 3.6
2 11. x >−3 x + 8
2 12. x + 6 > 6 x
S). x <− 4.7, x > 1.7
S). x < 1.2, x > 4.7
3 2 13. x + 5 > x + 5 x
3 2 14. x −2 x + 2 > x
S). −2.2 < x < 1, x > 2.2
S). −1.4 < x < 1, x > 1.4
3 2 15. x − x < 2−2 x
3 2 16. x −2 x < 3 x −6
S). x <−2, −1< x < 1
S). x <−1.7,1.7 < x < 2
R%>7% 7<%;&7('78%% 7 9%(<7979% 9% ) /&);%87 1 7 56 1. x + 1> 3 1!. x + 5 > 1 S). x > 2 S). x >− 4 1#. x −1 < 1 S). x < 2
20. x −3 <−4 S). x <−1
21. 3 x −1 < x + 3 S). x < 2
22. 4 x −5 < x −2 S). x < 1
23. 5 x +2 > 3 x + 3
24. 6 x −3 > 4 x −6
1 > x S). 2
−3 > x S). 2
111
25. 2 x +7 > 3 x + 5 S). x < 2
S).
2. −2 x + 1 < x + 3 S). 2#.
x >
26. 3 x −5 > 7 x + 2
−2
x <
−7 4
2!. − x + 2 < 3 x −7 9 x > S). 4
3
x + 1 2 x −1 + 1> 3 2
30.
x + 3 x −1 −2 > 4 3
S). x >−1
S). x <−11
3 x −2 2 x −1 1< − 31. 2 4
2 x −1 x −2 1− < 32. 3 5
S).
x <
S). x < 2
7 4
33. ( x −1 ) (2 x +1 ) < 0 S). 35.
S).
−1 2
2
< x < 1
S). x < 3 , x > 2
( 2 x −3 )( 3 x + 2 )> 0 x <
−2 3
, x>
34. ( x −2 ) (−3 x + 2 ) < 0
3 2
36. ( 5 x −4 ) ( 4 x −1 ) > 0 1 4 x < , x > S). 4 5
2 3. 3 x −5 x + 2 > 0
2 3!. −2 x −5 x + 3 > 0
2 x < , x > 1 S). 3
S). −3 < x < 2
2 3#. −6 x + x + 2 < 0
2 40. 2 x + x −3 < 0
−1
1
2
−3
S). x < 2 , x > 3
S).
41. ( x −1 ) ( x −2 ) ( 2 x + 1 )< 0
42. ( 2 x − 3 ) ( x +1 ) ( x −2 ) < 0
−1 x , 1 < x < 2 < S). 2
S).
43. ( 2 x − 5 ) ( x +1 ) (−3 x + 2 ) > 0 S).
2 5 < x < , x <−1 3 2
112
2
< x < 1
3 < x < 2, x <−1 2
44. ( 3 x −7 ) ( x +3 ) ( x − 4 ) > 0 7
S). −3 < x < 3 , x > 4 45. | x −1|< 2
46.
S). −1 < x < 3
S). −3 < x <−1
4. | x −3|> 1
4!. | x − 4|< 2
S). x < 2, x > 4
S). 2 < x < 6
4#. |2 x −5|< 1
50. |3 x −1|< 3
S). 2 < x < 3
S).
51. |−2 x + 1|< 4 S).
−3 2
< x <
|( x + 2 )|<1
−2 3
< x <
4 3
52. |−5 x + 3|< 2
5 2
S).
1 < x < 1 5
53. |2 x −1|> 3
54. |3 x + 1|> 8
S). x <−1, x > 2
7 x 3, x > <− S). 3
55. |5 x + 3|> 2
56. |2 x −3|> 3
S).
x <−1, x >
−1 5
S). x < 0, x > 3
E'&%% ) >7)&% &%7% 9% x /7&7 ) '7% 7 (<(%% %/&%()% &%/&%%7 8%&) &%7%. 2 2 2 2 5. √ x − a , a > 0 5!. √ − x −a ,area) S). x > a , x <−a
S). S( )'(=
2 2 5#. √ a − x , a < 0
2 2 60. √ x + a ,area)
S). a < x <−a
S). −5< x < 5
√ x −3 61. √ x + 2
√ x −1 62. √ x + 3
S). x <−2, x > 3
S). x > 1, x <−3
113
63.
√
x −3 x + 1
64.
S). x > 3, x <−1
√
x −2 x + 2
S). x <−2, x > 2
EJERCICIO "3: E.PRESIONES E.PONENCIALES Y LO&ARITMICAS //. 26! M%9(7% % ) 9% 7 %'7'(= logb % = *
⟺
*
b = % ? %/&%% % )&87
%/)%'(7 7 /&)/)('()% 9% ) /&);%87 1 7 20. 1. log3 9= 2 2. log6 36= 2 2 S). 3 = 9
3.
2 S). 6 =36
log2 8=3
4.
3 S). 2 =8
5.
4 S). 2 =16
1 =−2 4
log2
1
. S). #.
−3
4
1 64
log4 32=
5 2
4 3
S). 27 =81 13.
4
−4
5
1 =−4 625
=
1 625
log16 8=
3 4
S). 16 =8
4 3
log 1
10.
log5
3 4
S). 4 =32 log27 81=
!. S).
5 2
11.
1 =−3 27
−3 S). 3 = 27
1 =−3 64
=
6.
log3
1
−2 S). 2 = 4
log4
log2 16= 4
1 3 = 8 2
12.
log64 16=
2 3
2 3
S). 64 =16 14.
114
log
8 27
4 2 = 9 3
S). 15. S).
() 1 4
3 2
1 = 8
S).
243 5 = 32 2
log 9 4
() 9 4
5 2
16.
243 = 32
S).
6 1. loga a =3
1!.
2 3 ( ) =a6 a S).
1#. S).
2
3
2 3 3
S).
2 3
=
log
1 64
( ) 1 64
1 6
20.
( a ) =a
S).
2
M%9(7% % ) 9% 7 %'7'(= logb % = *
⟺
log a a
1 3
=
( a ) =a loga a
6
1 2
=6
1 6 3
4
4 9
1 1 = 2 6
2
2
loga a
( )= 2 3
8 27
=
2
3 2
3 4 2
( a ) = a6 *
b = % ? %/&%% % )&87
)<7&@8('7 7 /&)/)('()% 9% ) /&);%87 1# 7 36. 2 4 5 21. 7 = 49 22. 3 =81 23. 2 =32 S). log7 49 =2 3 24. 5 =125
S). log3 81= 4
S). log2 32=5
1 2
1 4
25. 25 =5
S). log5 125=3 S). 2 3
2
30. S).
33.
=
log 3
1 9
S).
3
=9
34.
() 1 8
S).
log 2
32.
( )
−1 3
=2
log 1 2= 8
−1
( ) 9 16
2
1 4
1
3
31.
1 =−2 9
S).
log 16 2=
−4 2#. 2 = 16
S). log32 8= 5
−2
( ) 1 27
1 2
2!. 32 =8
S). log27 9= 3 −2
log25 5 = 3 5
2. 27 = 9
3
26. 16 =2
−1 3
4 = 3
115
S). 35.
1 25
1 =−4 16
−1 2
=5
log 1 5 = 25
−3
( ) 16 81
4
=
−1 2
27 8
S). 36. S).
log
( ) 1 64
9=
1 27
−2 3
S).
log 9 16
4 −1 = 3 2
S).
27 −3 = 8 4 81
log 16
−5 6
=32
log 1 32= 64
−5 6
E'&%% ) >7)&% 9% ) )<7&(8) 9% ) /&);%87 3 7 56. 3. log8 64 3!. log5 25 3#. log4 16 S). 2
S). 2
S). 2
40. log10 100
41. log2 64
42. log4 64
S). 2
S). 6
S). 3
43. log5 625
44. log 10 10000
45. log225 15
S). 4
S). 4
46. log121 11
4. log144 12
4!. log625 25
1 2
1 2
1 2
S).
S).
4#. log343 7 S).
1 3
S).
1 3
S).
50. log 243 3 S).
52. log1000 10
S).
1 5
S). 8
53. logb b
b
3 5
4
6
S).
56. log b b
1 7
54. logb b
2
6
55.
51. log128 2
S). 4
log b
1 2
2 3
1 2
5 6
S). 10 S).
3 5
E'&%% ) >7)&% 9% 7 (%&7% (9('797 % ) /&);%87 5 7 2 5. log6 n =3
5!. log4 n =4
5#. log2 n= 8
S). n =216
S). n =256
S). n =256
116
60. log 3 n=5
61. logb 49 =2
62. logb 125=3
S). n =243
S). b =7
S). b =5
63. logb 27 =3
64. logb 1000=3
S).
b =3
b =10
S). 1
65.
logb 9 =
1 2
S). b =81 1
1
66. logb 3= 4
6. logb 6 = 3
6!. logb 5= 4
S). b =81
S). b =216
S). b =625
6#.
logb 4 =
2 3
0.
S). b =8 2.
log b 125=
logb 27 =
3 4
S). b =81
1.
logb 16 =
4 5
S). b =32
3 4
S). b =625
EJERCICIO "4: LO&ARITMOS DE N/MEROS G%% ) )<7&(8) ')8% 9% ) 8%&) 9% ) /&);%87 1 7 16. 1. 47 2. 2.9 3. 27.6 4. 3.98 S). 1.672
S). 0.462
S). 1.441
S). 0.6
5. 986.3
6. 67.49
. 7.321
!. 1066
S). 2.994
S). 1.829
S). 0.865
S). 3.028
#. 219.57 S). 2.342
10. 0.596 S). −0.225
11. 0.089 S). −1.051
12. 0.634 S). −0.198
13. 0.0715 S). −1.146
14. 0.0039 S). −2.409
15. 0.00016 S). −3.795
16. 65000 S). 4.813
EJERCICIO ": O!TENCIÓN DE N/MEROS A PARTIR DE SUS LO&ARITMOS //. 25 E'&%% % >7)& 9% % ( log % %G 979) % ) /&);%87 1 7 16 1. 2.7505 2. 3.9043 3. −0.6459 S). 562.989
S). 8022.32 11
S). 0.226
−1.3915
4. 1.9375
5. 5.4133
6.
S). 86.596
S). 259000.141 !. −0.0026
S). 0.041
S). 0.9940 11. −4.0701
S). 6.361
S). 365.006 13. −3.3391
S). 0.0000851
S). 47599.238
14. 2.9058
15. 3.4440
S). 0.000457
S). 805.008
S). 2785.48
. 2.3962 S). 249 10. 2.5623
#. 0.8035 12. 4.6776
16. 0.8482 1.S). 7.05
EJERCICIO "": OPERACIONES NUM0RICAS CON LO&ARITMOS //. 2!23 E8/%79) )<7&(8) %%'%% 7 )/%&7'()% (9('797 % ) /&);%87 1 7 4!. 1. ( 29.1 ) ( 3.06 ) (0.143 ) 2. ( 5.11 ) (0.603 )( 1.79 ) S). 12.733 3.
( 9.98 ) ( 0.426 ) ( 0.715 )
S). 3.039 5.
( 0.693 ) ( 0.0451 ) (0.00917 )
S). 0.00028 .
( 0.00991 ) ( 0.491 )( 0.829 )
S). 0.004 #.
( 69.3 ) ( 1.14 ) 10.1
S). 7.821 11.
( 701 ) ( 0.223 ) 8.05
S). 19.419
S). 5.515 4.
( 88.3 ) (0.113 )( 10.7)
S). 106.763 6.
( 0.0935 ) ( 0.614 )( 1.12 )
S). 0.0643 !.
(0.0113 )( 0.0217 )( 0.901)
S). 0.00022 10.
( 5.18 ) ( 6.65 ) 0.992
S). 34.724 12.
( 6.11 ) ( 0.0352 ) 88.1
S). 0.002
11!
15.3 13. ( 5.14 ) ( 0.761 )
0.665 14. ( 20.9 ) ( 3.11)
S). 3.912
S). 0.01
80.5 15. ( 392 ) ( 0.616 )
1.01 16. ( 49.5 ) ( 3.18 )
S). 0.333
S). 0.006
1. √ 496
1!. √ 61.5
S). 7.916
S). 7.842
1#. √ 0.801 4
20. √ ( 3.03 )
S). 0.946
S). 2.094
√
(
3
21.
3
( 1.46 ) ( 26.8 ) ( 2.01 ) ( 3.15 )
22.
( 56.9 ) ( 0.917 ) (3.98 ) ( 2.64 )
S). 2.485
S). 24.66
√
√[
23.
3
( 77.6 ) ( 66.5 ) ( 44.3 ) ( 33.2 )
S). 1.52
24.
2
)
( 7.11 ) ( 0.695 ) ( 93.4 ) ( 8.15 )
S). 0.006
25. √ 6.16 √ 81.2
26. √ 2.75 √ 93.9
S). 10.747
S). 13.6
2. √ 77.1 √ 1.41
2!. √ 0.915 √ 0.112
S). 9.846
S). 0.327
√ 615 3 2#. √ 401
3 71.7 √ 30. √ 36.2
S). 3.362
S). 0.690
3
3
2 3
215 31. ( 16.2 ) √ 41.1
S).
0.345
6 33. ( 10.66 )
3
4
457
32. √ 228 √ 16.5 3
S). 18.416 34. √ 0.1495 3
S). 0.531 11#
2
]
2
S). 1467382.13 35. √ 0.1081 4
36. √ (71.43 )
S). 0.573
S). 17.216
1.906
√ 62.41
3
3. √ 23.41
3!.
S). 0.393
S). 0.779
√ 375.6 3 3#. √ 64.51
40.
S). 4.83
2
10.14
( 681.4 ) ( 469.1 )
2 3 3 4
S). 0.768
( 21.71 ) ( 28.65 ) 41. ( 396.4 ) (1.401 )
( 791.5 ) ( 9.653 ) 42. ( 6.171 ) ( 32.41 )
S). 1.12
S). 38.201
( 11.41 ) (2.864 ) 43. ( 396.5 ) ( 22.88 )
( 46.91 ) ( 3.905 ) 44. ( 571.8 ) ( 0.6606 )
S). 0.004
S). 0.485
√
[
45.
( 673.3)( 2.151) (64.44 )2
46.
( 0.6717 ) ( 81.41 ) 3 9015 √
S). 0.590
S). 6.903
√
√
4.
3
( 0.03154 )2 √ 2675 (10.11)
4!.
]
2
( 0.3151 ) √ 6194 ( 6356 ) ( 1.753)3
S). 0.0269
S). 0.012
M%9(7% % ) 9% ) %)&%87 %9(79) %/&%% 7 '()% 9% ) /&);%87 4# 7 56 ')8) 87 ) 9%%&%'(7 9% )<7&(8) 9% /&(8%&7 /)%'(7 9% '7(979%. 4#.
y = log
3
cx x −3
cx 50. y = log x + 1
x −3
S).
S). y = logc + 3 log x − log ( x + 1 )
(¿) y = log c + log x − log ¿
120
23 51. y = log c x √ x + 3
52.
1 y = log c + 2log x + log ( x + 3 ) S). 3
c ( x + y )
z =log
√ x + y ( x −2 y )c
1 z = log ( x + y )−c log ( x −2 y ) S). 2
3
2
c x y
3
54. z =log ( x + y )2
53. z =log √ x − y
S). z =log c + 2log x + 3 log y − 2log ( x + y )
1
S). z =log c + 3log ( x + y )− 2 log ( x − y ) c √ x 3
2
y c
55. z =log x ( x − y )3
56. z =log x 2 3√ y −3 x
2 S). z =log c − 3 log x − 3log ( x − y )
S). 1 z =2log y + log c −2log x − log ( y −3 x ) 3
M%9(7% % ) 9% ) %)&%87 %9(79) %/&%% 7 '()% 9% ) /&);%87 (<(%% ')8) )<7&(8) 9% /&)9')? ')'(%% ) /)%'(7. 5. log c + log x S). log cx 5!. log c + 2log x − log ( x −1 ) 2
S).
cx log x −1
5#. log c − log x + 3log ( x + 1 ) S).
c ( x + 1 ) log x
3
60. 2log c −3log x c
2
S). log x 3 1 1 log ( x − y )− log c 61. 2 3
S).
log
√ x − y 3 c √
1 2log c − log ( x −2 y ) 62. 2
121
c
2
S). log √ x −2 y 63. 2log x −3log c + log ( 2 x + y ) 2
S). log
x ( 2 x + y ) c
3
1 1 3log y + log ( x −c )− log ( x + y −c ) 64. 4 3
y √ x −c 34
3 S). log √ x + y − c
EJERCICIO "%: ECUACIONES LO&ARITMICAS /. 2! R%>7% /7&7 x ) /7&7 n 7 %'7'()% 9% ) /&);%87 1 7 12 1.
x
y =2 e
2.
S). x =ln y − ln 2 3.
a x ln = S). y
−bx
y=e
S). x =
4.
−ln ( y )
S). .
b
r y= a
6. S).
n =logr ( ay ) y =2 ( c + r )
n
!.
S). n =logc +r y −log c +r 2 #.
− 2 x
y =3 e
S). x =
n
5.
− x
y=a e
y = ln ( x + √ x
2
−1 )
2 y
10. y = ln √ ( x −2)( x + 1 ) 2 y
y = ar
n+ 1
n =logr
( )− y a
y =3 ( c + r )
1
−n
S). n =logc +r 3 −logc + r y
e +1 S). x = 2 e y
1−√ 4 e x = S). 2
ln 3− ln y 2
+ 9 , 1 + √ 4 e2 y + 9 2
122
√
x + 2
11. y = ln 2− x 2 y
−2 x = 2 y S). e +1 2e
12. y = ln [ x +√ ( x −1 ) ( x + 2 ) ] 2 y
e + 2 x = y S). 2e + 1
R%>7% 7 %'7'()% 9% ) /&);%87 13 7 32 x 3 x −1 13. 4 = 64= 4 14. 7 =343 S). x =3
S). x =4
2 x − 1 15. 3 =27
3 x −2 16. 5 =625
S). x =2
S). x =2
−2 x 3 x
1. e
e
2
x + 1
=e 4
1!. 2
S). x =4 2
x
1#. 5
−3
=22 x
S). x =1
=5 2 x
x
20. 4
2
+ 3 x
=4 4
S). x =−1
S). x =−4, 1
x 21. ( 195 ) = 2.68
x 22. ( 3.02 ) = 0.00739
S). x =0.187
S). x =−4.44
x 23. ( 53.7 ) =6.95
x 24. ( 87.1 ) = 0.0163
S). x =0.487
S). x =−0.922
25. log6 3 + log6 ( x +6 )= 2 S). x =6 26. log 4 8 + log4 ( x +5 )=3 S). x =3 2. log 12 4 + log 12( x + 6 )= 2 S). x =30 2!. log 8 16 + log 8( x −2)= 2 123
S). x =6 2#. log3 ( x + 2 )−log3 ( x −6 ) =2 S). x =7 30. log 5 ( 3 x + 7 )− log5 ( x −5 ) =2 S). x =6 2 31. log2 ( x −3 x + 6 )− log2 ( x −1 )=2
S). x =2, 5 32. log6 ( x
2
+ 2 x + 15 )− log6 ( x + 2 )=1
S). x =1, 3 R%>7% ) (<(%% /7&% 9% %'7'()% (8G%7 x − y 2 x− y =3 33. 2 =5 34. 9 x + 2 y =3
6 x + 2 y =5
S). (2.547,0.226)
( ) 3 7 , 5 10
S).
2 x −3 y =32 35. 2
x + 2 y 36. 4 =64
x + 2 y =6
2 x +5 y =5
S). (4,1 )
S). (0.016,0.572)
x−3 y 3. 10 =3
x − y x 3!. 8 =3
log2 x −log y =1
x −3
y
8 =2
S). ( 1.1929,0.2386)
S). (−7.22,−3.41)
3#. log x + log y =4 log2 x −log5 y =1
x − y 3 40. e = e x + 2 y
e
S). (500,20 )
S).
124
(
=2
1 1 ln 2 + 2, ln 2−1 3 3
)
