para convertir del lenguaje cotidiano a expresiones algebraicas
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Actividad Álgebra SuperiorDescripción completa
Descripción: Ejercicio Sobre Expresiones Algebraicas
Breve explicación de las exprsiones algebraicasDescripción completa
ute
Descripción: matematica basica uapa
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Descripción: Problemas resueltos de expresiones algebraicas 2º ESO
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J. Rodr´ıguez ıguez S. A. Astorga M.
2.7 2.7
79
Raci Racion onal aliz izac aci´ i´ on de expresiones algebraicas on
2.7.1 2.7.1
Racio Raciona naliz lizaci aci´ o on ´n del denominador de expresiones algebraicas
Dada una expresi´on on algebraica cuyo denominador involucra radicales, se llama racionalizaci´on on del denominador de dicha expresi´on on al proceso por el cual se determina otra expresi´on algebraica que no involucra radicales en el denominador y que es equivalente a la expresi´on on algebraica dada. Nota:
En algunas expresiones algebraicas que involucran radicales se puede racionalizar el numerador o el denominador de dichas expresiones, seg´un un sea el caso y el objetivo que se desea alcanzar. El concepto y los procedimientos que se usan para racionalizar el numerador y el denominador de expresiones algebraicas son an´alogas, alogas, por est´a raz´ on on en este texto, nos dedicaremos a racionalizar ´unicamente unicamente el denominador de expresiones algebraicas. El estudiante podr´a generalizar el concepto y los procedimientos requeridos para racionalizar el numerador de expresiones algebraicas. Caso I
Expresiones algebraicas que se racionalizan aplicando la siguiente propiedad: Si a
√ ∈ IR, n ∈ IN , n ≥ 2 y √ a ∈ IR entonces a n
n
n
= a
Ejemplo 56
En cada una de las siguientes expresiones, racionalice el denominador y simplifique el resultado.
a.)
√ 5
d.)
x −4 √ x−2
10
b.)
2
Soluci´ on on
e.)
√ 15 5
32
2x2
√ 7
5 x3
c.)
−√ 3 3
2 64
3 − 1 x
f.) 2
5
(3x
2
− 1)
80 Expresiones Algebraicas a.)
5 10
√
=
=
= =
√ √ · √ 10 10 √ 5 10 √ 10 √ 5 10
b.)
3
2 64
=
=
5 10 10 10 2
=
√ −3 3
√
−3√ 2·6 6 √ 3 −√ · √ 6
=
5
√ 5
√ 15
x2
√ x−−42
3
2
3
62
=
3
2
√ 5
= 5 33
√ x − 2 4 − √ x − 2 · √ x − 2 x − 4 √ x − 2 (x − 2) √ (x − 2) (x + 2) x − 2 x−2 √ (x + 2) x − 2 x2
2
=
2
=
3
2
2
Por lo que: 2
2
√ x −4 √ = ( x + 2) x − 2 x−2
24
Por lo que:
−√ 3 3
3
5 33
=
√ −3√ 6 12 6 √ −3 6 12 · 6 √ − 6 3
5
3
5
3
3
3
15 33 3
Por lo que:
d.)
·
3
=
5
10 2
2 63 6
12 6
2
5
5
√
3
5
=
3
=
32
=
=
√
=
5
2
5 = 10
−√ 3
√
√ √ · √ 3 3 3 √ 15 3 √ 3 √ 15
5
Por lo que:
c.)
15
2 64
− =
√ 3
62 24
81
J. Rodr´ıguez S. A. Astorga M.
2
e.)
√ 2x √ · √ x 5 x x √ 2x x √ 5 x √ 2
2x
=
√ 7
5 x3
7
3
2
=
2x
4
7
4
3x
− 1 2 (3x − 1)
f.)
2
5
7
7
=
− 1)
(3x
x
√
(3x
=
2x x4 5
2x2 7
5 x3
5
(3x
2x x4 5
− 1)
5
(3x
3
(3x
− 1)
2
5
2
5
=
(3x
2
En cada una de las siguientes expresiones racionalice el denominador y simplifique el resultado. 1.)
−√ 27
3.)
√ 21
5.)
2.)
√ 26x −− 43x
4.)
3x − 3 √ 2 x −1
6.)
5
73
3
2
−√ 15 3
2 35
2
4 − 3
(x
x2 2
− 1)
Caso II
Expresiones algebraicas que se racionalizan aplicando la siguiente propiedad: 2
∈ IR, b ∈ IR, entonces se cumple que: ( a − b) (a + b) = a − b
2
Ejemplo 57
En cada una de las siguientes expresiones racionalice el denominador y simplifique el resultado. a.)
√ x + √ x + 1 √ x − √ x + 1 · √ x + √ x + 1 √ √ 3 x + x + 1 √ x − √ x + 1√ x + √ x + 1 √ √ 3 x + x + 1 √ √ ( x) − x + 1 √ √ 3 x + x + 1 x − (x + 1) √ √ 3 x + x + 1 x−x−1 √ √ 3 x + x + 1 −1 √ −3 √ x + x + 1 3
2
Por lo que:
√ √ x − 3√ x + 1 = −3 √ x + x + 1
2
J. Rodr´ıguez S. A. Astorga M. Ejercicios 27
En cada una de las siguientes expresiones racionalice el denominador y simplifique el resultado. 4
1.)
√
2.)
1−x √ √ 2x + 3− 5
13
−
√
7
3.)
√ −118
5.)
2 2 5+3 7
4.)
11 2x 3 2 x + 1
6.)
x2 16y x + 4 y
3 + 11
− √ −
√
√
− √
Caso III
Expresiones algebraicas que se racionalizan aplicando alguna de las siguientes propiedades: Si a
∈ IR, b ∈ IR, entonces se cumple que:
) ( + )
i.) (a ii.
− b)
a
b
a2 + ab + b2 = a 3 a2
− ab + b
2
=
−b
3
a 3 + b3
Ejemplo 58
En cada una de las siguientes expresiones racionalice el denominador y simplifique el resultado. a.)
− x = (5 + x) 4 + 2 √ x + 3 + √ x + 3 √ 2 − x + 3 25
3
2
3
3
Nota: para racionalizar este tipo de expresiones debe tenerse claro la propiedad que se debe aplicar en cada caso, observese por ejemplo que la propiedad ( i) se us´o en los ejemplos (b), (c), (e) y (f ), y que la propiedad (ii) se us´o en los ejemplos (a) y (d). Ejercicios 28
En cada una de las siguientes expresiones racionalice el denominador y simplifique el resultado. 1.)
√ 4 √ 3 − 11
3.)
2.)
y √ xx + √ + y
4.)
3
3
3
3
√ −3 3
7+2
16 + 250x 2+5 x
√ 3
5.)
−26√ 3− 5
6.)
38x − 108 √ √ 2 x − 3 x + 2
3
3
3
A continuaci´on racionalizaremos algunas expresiones en las cuales se combinan los m´etodos estudiados anteriormente.
J. Rodr´ıguez S. A. Astorga M.
Ejemplo 59
En cada una de las siguientes expresiones racionalice el denominador y simplifique el resultado. a.)
√ √ · √ · √ √ 2−3 y (2) + 2 · 3 y + (3 y) −2 2 − 3 √ y 4 + 6 √ y + (3 √ y) √ (2) − (3 y ) 2
y
(2) + 2 3 y + 3 y 2
3
3
3
3
2 −−23√ y = 3
3
3
3
2
3
3
3
y
3
8
y
− 27y
Por lo que:
2 − 3√ 4 + 6 √ + (3 √ )
−2
3
√ √ √ −2 2 − 3 4 + 6 + (3 ) 3
=
y
√ 2−3 y
3
=
3
3
y
3
8
− 27y
y
3
y
2
3
y
2
2
2
J. Rodr´ıguez S. A. Astorga M.
c.)
x4
2
2
− x y√ √ x √ x− y 3
=
√ − x y √ x √ x − √ y · √ x x x − x y √ x √ √ √ x x− y x − x y √ x √ x − √ y x x − x y √ x √ x + √ y √ x − √ y · √ x + √ y x x − x y √ x √ x + √ y √ √ y x ( x) − x − x y √ x √ x + √ y x (x − y ) √ √ √ x (x + y ) x x + y x (x − y) √ √ √ x (x − y ) (x + y ) x x + y x (x − y ) √ √ √ x (x + y ) x x + y x4