3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5.
Expresiones Algebraicas Signos de Agrupación Operaciones entre Expresiones Algebraicas Productos notables vs. Factorización. Fracciones algebraicas
3.1. 3.1. EXPR EXPRES ESIO ION N ALGEB LGEBRA RAIC ICA A: Es el resultado de combinar mediante sumas y restas términos algebraicos. Según el número de términos las expresiones expresiones algebraicas son:
2a 4 3
2 z 3 x
2
5 y
5
→
Un término
→
Monomio
−
6 y
→
Dos términos
→
Binomio
−
2x + 1
→
Tres términos
→
Trinomio
→
Cuatro o más términos
−
3 y
4
+
2 y − 7 y
7
→
Polinomio
TÉRMINO ALGEBRAICO: Es la combinación entre un número y una letra, a las cuales se les conoce como coeficientes y parte literal. En esta unión se distinguen las siguientes partes:
− 10 Signo
m
4
Exponente Variable(s)
Coeficiente
Cuando un término no va precedido precedido de signo negativo negativo este se asume como positivo. positivo. El coeficiente es un número real. En el caso de que una cantidad no vaya precedida de un coeficiente numérico se sobreentiende que el coeficiente es la unidad. La parte literal la constituyen constituyen las variables que son letras del alfabeto, alfabeto, cada una de las variables acompañada de un exponente exponente que nos indican el grado grado literal o absoluto del término. El grado de un término con respecto a una letra es el exponente de dicha letra. Así, por ejemplo el término x3y2z, es de tercer grado con respecto a x, de segundo grado con respecto a y y de primer grado con respecto a x.
GRADO DE UNA EXPRESION ALGEBRAICA: El grado de una expresión algebraica algebraica puede absoluto y con relación a una variable.
GRADO ABSOLUTO DE UN TÉRMINO: Es la suma de los exponentes de las variables que conforman el término algebraico.
Ejemplo: 3
5m n
2
→
y 4
Quinto grado.
+
xy 3
−
x 2 y 2
+
x 3 y − x 4
→
Cuarto
grado.
GRADO CON RELACION A UNA VARIABLE: Es el mayor exponente que tiene una variable en la expresión algebraica. Ejemplo:
2 x 4 y 3 y
+
7 x 5 y Es de quinto grado con respecto a x y de tercer grado con respecto a
CLASES DE TERMINOS SEMEJANTES Términos algebraicos homogéneos: Son aquellos términos algebraicos que tienen el mismo grado absoluto
Términos algebraicos heterogéneos: Son aquellos términos algebraicos que NO tienen el mismo grado absoluto Ejemplos: 9bd
y
Son términos homogéneos pues 5+1= 6 y 4+2=6
y
Son términos heterogéneos pues 1+1=2 y 7+1=8
De acuerdo a la forma que tiene la parte literal, los términos algebraicos pueden clasificarse como:
Término entero: Es aquel término que no tiene denominador literal. Ejemplo:
−
9 xy 2
Término fraccionario: Es aquel término algebraico que tiene denominador literal. Ejemplo:
Término racional: Es aquel término algebraico que no tiene radicales. Ejemplo:
Término irracional: Es aquel término algebraico que no tiene radicales.
Ejemplo:
,
TERMINOS SEMEJANTES:
Los términos algebraicos son semejantes, si poseen la misma parte literal y cada una de las variables de dicha parte literal tiene el mismo exponente en cada término. Ejemplo:
2 x, x 5 2 −
Son términos semejantes.
3
3
y z ,− 2 y z ;
8a
m +1
n, 5a
y
m +1
Son términos semejantes.
n
Son términos semejantes. No son términos semejantes.
REDUCCION DE TERMINOS SEMEJANTES: Se llama reducción de términos semejantes a la operación de convertir los términos semejantes en un solo término, mediante la adición o sustracción de los mismos. Presentándose los siguientes casos: a. Para reducir términos semejantes que tengan igual signo se suman los coeficientes colocando a la suma el mismo signo que tienen todos los términos y a continuación se escribe la parte literal. Ejemplo:
b. Para reducir términos semejantes que tengan distintos signos se restan los coeficientes colocando a la diferencia el signo del mayor y a continuación se escribe la parte literal Ejemplo:
c. Para reducir varios términos semejantes que tengan distintos signos se reducen todos los términos positivos a un solo término y todos los términos negativos a un solo término y se restan los coeficientes de los términos así obtenidos colocando a la diferencia el signo del mayor y a continuación se escribe la parte literal. Ejemplo: 9a − 3a + 5a − 11a = 14a − 24a = −10a − 81 x + 19 y − 30 z + 16 y + 80 x + 2 x − 25 y
=
x + 10 y − 30 z
CLASES DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Si una expresión algebraica está formada por un solo término algebraico se denomina monomio. Ejemplo: 5a
3
Si una expresión algebraica está formada por dos o más términos llama polinomio. En los casos que el polinomio tenga dos términos se le da el nombre de binomio y si tiene tres términos el de trinomio. 3
2
a b−a b
Ejemplos:
4
2 y
2
+
−
ab
3xy
2
3
−
+
b
4
9
→
Polinomio
→
Trinomio
11 x − 7 y →
Binomio
Un polinomio puede ser:
Entero: Cuando ninguno de sus términos algebraicos tiene factor literal. Ejemplos 2 y
4
−
3 xy 2 + 9 , 11 x − 7 y
Fraccionario: Cuando alguno de sus términos algebraicos
tiene
literales en el
denominador.
x
−
Ejemplo: a
y+3
Racional: Cuando sus términos algebraico no contiene radicales. Ejemplo:
−
9 x 8 − 6 x 3 + 8 x 2 − x + 25
Irracional: Cuando sus términos algebraico contiene radicales. x Ejemplo:
+
3
2 x 3
Homogéneo: Cuando todos sus términos algebraicos tienen el mismo grado absoluto. x 4
Ejemplo:
+
2 x 2 y 2
−
y4
Heterogéneo: Cuando sus términos algebraicos no tienen el mismo grado absoluto. Ejemplo:
x 2
+
2 x 3 y 2
−
y5
Completo con respecto a una variable: Es aquel polinomio que tiene todos los exponentes sucesivos de dicha variable, desde el exponente más alto al más bajo. Ejemplo:
8 x 5 − 2 x4 − 3 x3 − 2 x2
+
3x
−
3
Es completo con relación a la letra x, porque contiene todos los exponentes sucesivos de x desde el más alto que es 5 hasta el más bajo 0.
Ordenado (con respecto a una letra): Es aquel polinomio en el cual los exponentes de una letra escogida van aumentando (orden ascendente o creciente) o disminuyendo (orden descendente o decreciente), no importa que falten términos. Ejemplo:
8 x 5 x
2
−
−
2 x 4
x
3
+
−
3 x 3
5 x
4
−
−
2 x 2
5x
+
3x
−
3
Ordenado en forma decreciente.
7
Ordenado en forma creciente.
3.2. SIGNOS DE AGRUPACION: Los signos de agrupación son símbolos que ayudan a operacionalizar expresiones, a comprender que operación se debe desarrollar en el algebra y específicamente al trabajo con términos semejantes. Esto signos ha saber son:
( )
Paréntesis
[ ]
Corchetes
{ }
Llaves
Para resolver operaciones entre expresiones algebraicas, utilizando signos de agrupación, se deben tener en cuenta algunas consideraciones a saber: Si el signo de agrupación esta antecedido con un signo positivo (+), el signo de agrupación se elimina multiplicando los signos que contengan los términos que están dentro de él, con el signo externo. Ejemplo:
4 + [ 5m − 3n + 4mn ]
=
4 + 5m − 3n + 4mn
Si el signo de agrupación esta antecedido con un signo negativo (-), el signo de agrupación se elimina multiplicando los signos que contengan los términos que están dentro de él, con el signo externo, obteniendo el cambio de operación de cada expresión. Ejemplo:
4 − [ 5m − 3n + 4mn ]
=
4 − 5m + 3n − 4mn
Si el signo de agrupación esta antecedido por un número, el signo de agrupación se elimina multiplicando el número real con cada término que están dentro de él. Ejemplo:
4[ 5m − 3n + 4mn]
=
20m − 12n + 16mn
NOTA: Existen expresiones donde combinan varios signos de agrupación, los cuales se solucionan, comenzando a resolver desde el signo más interno, hasta llegar al externo, teniendo en cuenta la ley de los signos en cada operación básica.
Ejemplo:
4m − { 5m − [ 3n + ( 4m + 5n ) ] − 5n}
Eliminamos
4m − { 5m − [ 3n + 4m + 5n] − 5n}
Eliminamos
4m − { 5m − 3n + 4m + 5n − 5n}
Eliminamos
4m − 5m − 3n + 4m + 5n − 5n
Reducimos términos semejantes
( ) [ ] { }
3m − 3n
VALOR NUMERICO DE UNA EXPRESION ALGEBRAICA: El valor numérico de una expresión algebraica se obtiene de reemplazar cada una de las variables por valores numéricos dados, luego se efectúa las operaciones indicadas en el ejercicio planteado. Ejemplo: Calcular el valor numérico de la siguiente expresión si m = 2 , n a.
2m 3 n 2
b.
=
3 , p
=
6
4m + 3n + 2 p
Para resolver estas expresiones, se sustituyen cada variable por los valores dados. a.
4m + 3n + 2 p
2m 3 n 2 =
=
2( 2) ( 3)
4( 2 ) + 3( 3)
3
+
2( 6)
2
= =
144
b:
29
3.3. OPERACIONES ENTRE EXPRESIONES ALGEBRAICAS SUMA O ADICION: Es la operación entre expresiones algebraicas donde se reducen términos semejantes en una sola expresión.
SUMA ENTRE MONOMIOS: Para sumar dos monomios deben tener la misma parte literal, en la solución se mantiene ésta y se suman los coeficientes cuando son semejantes o dejando indicada la operación si no son semejantes.. Ejemplo: a. Sumar 5a,−7b,8c,−5 z
Escribiendo los términos en forma de adición tenemos: 5a + ( − 7b ) + 8c + ( − 5 z ) Eliminamos paréntesis y como no hay términos semejantes la respuesta es: 5a − 7b + 8c − 5 z
b. Sumar Escribiendo los términos en forma aditiva tenemos: a + ( − 3b) + ( − 8c ) + 4b + ( − a ) + 7c Eliminamos paréntesis nos queda: a
−3b −8c + 4b − a + 7c
a;−3b,−8c,4b,−a,7c
b
Reduciendo términos semejantes la respuesta es:
−c
SUMA ENTRE POLINOMIOS: Dos o más polinomios se suman agrupando términos de uno y otro; y simplificando los monomios semejantes. Ejemplo: a.
9 x
Sumar
− 6 x + 4 x
2
− 5x
3
4
− 3 x + 7 x
2
x 2
− 2;
+
5 x − 8 x
3
+
6;
− 7.
Lo primero que haremos es escribir los polinomios en forma de adición:
(9 x 3 − 3 x + 7 x 2 − 2) + ( x 2 + 5 x − 8 x 3 + 6 ) + ( − 6 x + 4 x 2 − 5 x 3 − 7 ) Eliminamos paréntesis: 9 x 3 − 3 x + 7 x 2 − 2 + x 2 + 5 x − 8 x 3 + 6 − 6 x + 4 x 2 − 5 x 3 − 7 Reducimos términos semejantes de mayor a menor grado: 3 2 − 4 x + 12 x − 4 x − 3
RESTA O SUSTRACCION: Es la operación que consiste en encontrar la diferencia que hay entre dos términos. Al primer término se le denomina minuendo y al segundo término sustraendo.
RESTA ENTRE MONOMIOS: Para la resta nos darán dos monomios como mínimo , el minuendo (Primer monomio) se escribe primero y el sustraendo (Segundo monomio) se escribe en seguida con su respectivo signo, y se resuelven los coeficientes dejando la misma parte literal cuando son semejantes o dejando indicada la operación si no son semejantes. Ejemplo: a.
De 2a restar 3b
b.
Restar − 11a m de
3
2
por tanto, −
5a 3 m 2
por tanto,
2a − 3b −5
a 3m 2 3
a m
Eliminamos paréntesis:
−5
Reduciendo términos semejantes:
6a m
3
2
(
a3m2 )
− − 11
3
a m
+ 11
2
2
RESTA ENTRE POLINOMIOS: A los términos del minuendo se le resta los términos del sustraendo, así que se escribe primero polinomio y luego el segundo polinomio con signo contrario para luego reducir términos semejantes si los hay. Ejemplo: a.
De x
2
+
y 2
−
3 xy restar
−
y 2
+
3 x 2
−
4 xy
Escribimos el primer polinomio y luego el segundo: ( x 2 + y 2 − 3 xy ) − ( − y 2 + 3 x 2 − 4 xy ) Destruyendo paréntesis: x 2 + y 2 − 3 xy + y 2 − 3 x 2 + 4 xy
b.
Restar m
2
−
n2
−
3mn de
2 x
−
Reduciendo términos semejantes: −
5m 2
−
n2
+
2
+
xy + 2 y
2
6mn
Escribimos primero el polinomio y luego el segundo polinomio: ( − 5m 2 − n 2 + 6mn) − ( m 2 − n 2 − 3mn) Destruyendo paréntesis: Reduciendo términos semejantes:
m
−5 −6
m
2
2
−
n
2
+
mn
+9
6mn − m
2
+
n
2
+
3mn
