Fundamentos Tericos Del Mtodo SingapurDescripción completa
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Obtención del coeficiente de dilatación linealDescripción completa
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formula para realizar una contraccion linealDescripción completa
programacion LinealDescripción completa
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Actividad inicial estudiante 1
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Ejercicios de Programación linealDescripción completa
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Programación Lineal: Método Gráfico Muchas Muchas persona personass clasif clasifica ican n el desarro desarrollo llo de la Programación Lineal (PL) entre los avances científicos más importantes de mediados del siglo XX !n la actualidad es una herramienta com"n #ue ha ahorrado miles o millones de dólares a muchas compa$ías % negocios& inclu%endo industrias medianas en distintos países del mundo ¿Cuál es la natura naturalez leza a de esta esta notabl notable e herrami herramient enta a y qué tipo tipo de proble problemas mas puede puede manejar manejar? ?
!'presado revemente& el tipo más com"n de aplicación aarca el prolema general de asignar recursos limitados entre actividades competitivas de la meor manera posile (es decir& en forma óptima) !ste prolema de asignación puede surgir cuando dea elegi elegirs rse e el nive nivell de ciert ciertas as acti activi vida dades des #ue #ue comp compititen en por por recur recurso soss esca escasos sos para para reali*arlas La variedad de situaciones a las #ue se puede aplicar esta descripción es sin duda mu% grande& % va desde la asignación de instalaciones productivas a los productos& hasta la asignación de los recursos nacionales a las necesidades de un país+ desde la planeación agrícola& hasta el dise$o de una terapia de radiación+ etc ,o ostante& el ingrediente com"n de todas estas situaciones es la necesidad de asignar recursos a las actividades -on frecuencia& seleccionar una alternativa inclu%e satisfacer varios criterios al mismo tiempo Por eemplo& cuando se compra una pie*a de pan se tiene el criterio de frescura& tama$o& tipo (lanco& integral u otro)& costo % reanado o sin reanar .e puede ir un paso más adelante % dividir estos criterios en dos categorías: restricciones % el oetivo Las restricciones son las condiciones #ue dee satisfacer una solución #ue #ue está está ao ao cons consid ider erac ació ión n .i más más de una una alte altern rnat ativ iva a sati satisf sfac acen en toda todass las las restricciones restricciones&& el oetivo se usa para seleccionar seleccionar entre todas las alternativ alternativas as factiles factiles -uando se elige una pie*a de pan& pueden #uererse /00 gr de pan lanco reanado % hech hecho o no antes antes de a%er a%er .i vari varias as marca marcass satis satisfa face cen n esta estass rest restri ricc ccio ione nes& s& pued puede e aplicarse el oetivo de un costo mínimo % escoger las más arata !'iste !'isten n muchos muchos prolem prolemas as admini administr strati ativos vos #ue se austa austan n a este este molde molde de tratar de minimi*ar o ma'imi*ar un oetivo #ue está sueto a una lista de restricciones
un corredor de inversiones& por eemplo& trata de ma'imi*ar el rendimiento sore los fondos invertidos pero las posiles inversiones están restringidas por las le%es % las políticas ancarias 1n hospital dee planear #ue las comidas para los pacientes satisfagan satisfagan ciertas ciertas restriccione restriccioness sore saor& propiedades propiedades nutritivas& nutritivas& tipo % variedad& variedad& al mism mismo o tiem tiempo po #ue #ue se trat trata a de mini minimi mi*ar *ar el cost costo o 1n far faric icant ante& e& al plan planear ear la producción futura& usca un costo mínimo al mismo tiempo cómo cumplir restricciones sore la demanda del producto& la capacidad de producción& los inventarios& el nivel de empleados % la tecnología La PL se ha aplicado con é'ito a estos % otros prolemas La PL es una técnica determinista& no inclu%e proailidades % utili*a un modelo mate matemá mátitico co para para descr descri iir ir el prol prolem ema a !l ade adetitivo vo line lineal al sign signifific ica a #ue #ue todas todas las las funciones matemáticas del modelo deen ser funciones lineales !n este caso& la palara programación no se refiere a programación en computadoras+ en esencia es un sinónimo de planeación 2sí& la PL trata la planeación de las actividades para obtener un resultado óptimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada (se!n el modelo" entre todas las opciones de solución 2un#ue la asignación de
recursos a las actividades es la aplicación más frecuente& la PL tiene muchas otras posiilidades 3e hecho& cual#uier prolema cu%o modelo matemático se auste al formato general del modelo de PL es un prolema de PL
Supuestos de la programación lineal. !'iste un n"mero de suposiciones reali*adas en cada modelo La utilidad de un modelo está directamente relacionada con la realidad de los supuestos !l primer supuesto tiene #ue ver con la forma lineal de las funciones 4a #ue el oetivo es lineal& la contriución al oetivo de cual#uier decisión es proporcional al valor de la variale de decisión Producir dos veces más de producto producirá dos veces más de ganacia& contratando el dole de páginas en las revistas dolará el costo relacionado con las revistas !s una Suposición de Proporción. 2demás& la contriución de una variale a la función oetivo es independiente de los valores de las otras variales La ganancia con una computadora ,oteoo5 es
de 6/0&78000& independientemente de cuantas computadoras 3es5top se producen !ste es un Supuesto de Adición. 2nálogamente& %a #ue cada restricción es lineal& la contriución de cada variale al lado i*#uierdo de cada restricción es proporcional al valor de la variale e independiente de los valores de cual#uier ora variale !stas suposiciones son astante restrictivas 9eremos& sin emargo& #ue ser claros % precisos en la formulación del modelo puede a%udar a manear situaciones #ue parecen en un comien*o como leanos a estos supuestos !l siguiente supuesto es la Suposición de ser Divisible !s posile tomar una fracción de cual#uier variale Por eemplo& en un prolema de mar5eting& #ué significa comprar ;7 avisos en la televisión< !s posile #ue la suposición de ser divisile sea insatisfecha en este eemplo = puede ser #ue tales unidades de ;7 avisos correspondan a &;;;7 minutos de avisos& en cu%o caso redondeando la solución serían &;;7 minutos con una mínima duda #ue esté cercana a la solución óptima .i la suposición de divisile no es válida& entonces se usará la técnica de Programación Lineal !ntera La "ltima suposición es el Supuesto de Certeza La Programación Lineal no permite incertidumre en los valores .erá difícil #ue un prolema cumpla con todas las suposiciones de manera e'acta Pero esto no negará la factiilidad de uso del modelo 1n modelo puede ser a"n "til aun#ue difiera de la realidad& si se es consistente con los re#uerimientos más estrictos dentro del modelo % se tiene claras sus limitaciones al interpretar los resultados !'isten limitaciones prácticas para el uso de la PL 1na se relaciona con los cálculos !n general se necesita una computadora 3esafortunadamente& las calculadoras& aun las programales& son poco "tiles& puesto #ue la PL tiene necesidad de gran cantidad de memoria o almacenamiento .i no se tiene acceso a una
computadora& se estará limitado a prolemas mu% sencillos La otra limitación se refiere al costo de formular un prolema de PL !n teoría& podría usarse PL& por eemplo& para hacer las compras semanales de aarrotes .in emargo& sería necesario conocer todas las compras posiles #ue pueden reali*arse (éstas serían las variales)& además de cada restricción como saor& n"mero de comidas& vitaminas % proteínas !s ovio #ue el costo de otener todos estos datos e'cede lo #ue se podría ahorrar si se hicieran las compras óptimas 2ntes de emprender una aplicación de PL& dee considerarse la disponiilidad % el costo de los datos necesarios
2.2. Formulación de modelos de Programación Lineal. 2un#ue se ponga en duda& la parte más difícil de PL es reconocer cuándo ésta puede aplicarse % formular el prolema matemáticamente 1na ve* hecha esa parte& resolver el prolema casi siempre es fácil Para formular un prolema en forma matemática& deen e'presarse afirmaciones lógicas en términos matemáticos !sto se reali*a cuando se resuelven “prolemas halados” al estudiar un curso de álgera 2lgo mu% parecido sucede a#uí al formular las restricciones Por eemplo& considérese la siguiente afirmación: A usa > horas por unidad % B usa horas por unidad .i deen usarse todas las /00 horas disponiles& la restricción será: >2 ? @ A /00 .in emargo& en la ma%oría de las situaciones de negocios& no es oligatorio #ue se usen todos los recursos (en este caso& horas de mano de ora) Más ien la limitación es #ue se use& cuando mucho& lo #ue se tiene disponile Para este caso& la afirmación anterior puede escriirse como una desigualdad: >2 ? @ /00 Para #ue sea aceptale para PL& cada restricción dee ser una suma de variales con e'ponente / Los cuadrados& las raíces cuadradas& etc no son
aceptales& ni tampoco los productos de variales 2demás& la forma estándar para una restricción pone a todas las variales del lado i*#uierdo % sólo una constante positiva o cero del lado derecho !sto puede re#uerir alg"n reacomodo de los términos .i& por eemplo& la restricción es #ue A dee ser por los menos el dole de B& esto puede escriirse como: 2 @
ó
2 @ 0
,ótese #ue pueden moverse términos de un lado a otro de las desigualdades como si fuera un signo de igualdad Pero al multiplicar una desigualdad por / & el sentido de esta desigualdad se invierte Puede ser necesario hacer esto para #ue los coeficientes del lado derecho sean positivos Por eemplo& si se #uiere #ue A sea por lo menos tan grande como @ & entonces: 2 @ ó 2 @ por "ltimo @ 2 1na nota final sore desigualdades: es sencillo convertir una desigualdad en una ecuación Bodo lo #ue se tiene #ue hacer es agregar (o restar) una variale e'tra Por eemplo: @ 2
es lo mismo #ue
@ 2 + S A
en donde S representa la diferencia& o la holgura& entre @ 2 % S se llama variable de holura Por otro lado& se restaría una variable de superávit en el caso siguiente:
2 @ 0
es lo mismo #ue
2 @ S A 0
2lgunos métodos de solución (como el Método .ímple') % la ma%oría de los programas de computadora (como el MathProg& #ue viene en el =C-ourseDare& #ue acompa$a al liro “Entroducción a la Envestigación de =peraciones” de los autores Fillier % Lieerman) re#uieren #ue todas las desigualdades se conviertan en igualdades
La metodología de PL re#uiere #ue todas las variales sean positivas o cero& es decir& no negativas Para la ma%oría de los prolemas esto es real& no se #uerría una solución #ue diga: prod"*canse menos dos caas o contrátense menos cuatro personas Mientras #ue no e'iste un límite en el n"mero de restricciones #ue puede tener un prolema de PL& sólo puede haber un objetivo La forma matemática del oetivo se llama función objetivo 3ee llevar consigo el ma'imi*ar o minimi*ar alguna medida numérica Podría ser ma'imi*ar el rendimiento& la ganancia& la contriución marginal o los contactos con los clientes Podría ser minimi*ar el costo& el n"mero de empleados o el material de desperdicio -on frecuencia el oetivo es evidente al oservar el prolema -omo el valor de la función oetivo no se conoce hasta #ue se resuelve el prolema& se usa la letra Z para representarlo La función oetivo tendrá& entonces& la forma: Ma'imi*ar
A H2 ? ;@ó
Minimi*ar
A '/ ? 8'
Se analiza una aplicación para ilustrar el formato de los problemas de Programación Lineal. Planeación de la fuerza de trabajo.
!l gerente de personal de ILa Bortuga 9elo*& .2 de -9J& está anali*ando la necesidad de mano de ora semi calificada durante los pró'imos seis meses .e lleva / mes adiestrar a una persona nueva 3urante este período de entrenamiento un traaador regular& unto con uno en adiestramiento (aprendi*)& producen el e#uivalente a lo #ue producen / traaadores regulares .e paga 680000 mensuales a #uien está en entrenamiento& mientras #ue los traaadores regulares ganan 6K0000 mensuales La rotación de personal entre los traaadores regulares es astante alta& del /0 mensual
!l gerente de personal dee decidir cuántas personas necesita
contratar cada mes para adiestramiento !n seguida se da el n"mero de meses homre necesarios Bamién se desea tener una fuer*a de traao regular de //0 al principio de ulio !n cuanto al /N de enero& ha% 8K empleados regulares Meses-hombre requeridos Mes !nero ;0 Oerero 80 Mar*o ;0
Mes 2ril Ma%o unio
Meses-hombre reueridos K0 70 /00
!ste prolema tiene un aspecto dinámico& %a #ue la fuer*a de traao en cual#uier mes depende de la fuer*a de traao regular % en adiestramiento del mes anterior Para cual#uier mes& el n"mero total de meseshomre disponiles se puede e'presar como sigue: Meseshomre disponiles: Ci ? 02i en donde:
Ci A n"mero de traaadores regulares al principio del mes 2i A n"mero de aprendices contratados en el mes
!ntonces los re#uerimientos de cada mes pueden e'presarse por las restricciones: enero ferero mar*o aril ma%o unio ulio (principio)
3eido a la rotación& el /0 de los traaadores regulares se van cada mes 2sí& el n"mero de traaadores regulares disponiles& por eemplo& al principio de ferero sería: C A 0QC / ? 2/
!n la misma forma& pueden escriirse las ecuaciones para el n"mero de traaadores disponiles al principio de cada mes: enero ferero mar*o aril ma%o unio ulio
!l oetivo gloal del gerente de personal es minimi*ar el costo La función oetivo es: Minimi*ar: A K00(C/ ? C ? C> ? CH ? C8 ? C;) ? 800(2/ ? 2 ? 2> ? 2H ? 28 ? 2;) 2hora se tiene el prolema en el formato general de PL con /> variales % /H restricciones Los tomadores de decisiones en las empresas estalecen criterios #ue dee cumplir una solución %& después& uscan esa solución !n PL& los criterios se e'presan como restricciones .e e'ploran las soluciones posiles % se usa la función oetivo para elegir la meor de entre a#uellas #ue cumplen con los criterios La PL se denomina técnica de optimi*ación& pero optimi*a sólo dentro de los límites de las restricciones !n realidad es un método de satisfacción de criterios
Forma est!ndar de los modelos de Programación Lineal. .upóngase #ue e'iste cual#uier n"mero (digamos m) de recursos limitados de cual#uier tipo& #ue se pueden asignar entre cual#uier n"mero (digamos n) de actividades competitivas de cual#uier clase !ti#uétense los recursos con n"meros (/& & & m) al igual #ue las actividades (/& & & n) .ea ' (una variale de decisión) el nivel de la actividad j & para j A /& & & n& % sea Z la medida de efectividad gloal seleccionada .ea c el incremento #ue resulta en Z por cada incremento unitario en ' (para j A /& & & n) 2hora sea i la cantidad disponile del recurso i (para i A /& & & m) Por "ltimo defínase a i como la cantidad de recurso i #ue consume cada unidad de
la actividad j (para i A /& & & m % j A /& & & n) .e puede formular el modelo matemático para el prolema general de asignar recursos a actividades !n particular& este modelo consiste en elegir valores de ' /& '& & ' n para: Ma'imi*ar A c/'/ ? c' ? ? c n'n& sueto a las restricciones: a//'/ ? a/' ? ? a /n'n ≤ / a/'/ ? a' ? ? a n'n ≤
am/'/ ? am' ? ? a mn'n ≤ m '/ ≥ 0&
%
' ≥0& & ' n ≥ 0
Rsta se llamará nuestra forma estándar (por#ue algunos liros de te'to adoptan otras formas) para el prolema de PL -ual#uier situación cu%a formulación matemática se auste a este modelo es un prolema de PL !n este momento se puede resumir la terminología #ue usaremos para los modelos de PL La función #ue se desea ma'imi*ar& c /'/ ? c' ? ? c n'n& se llama función objetivo Por lo general& se hace referencia a las limitaciones como restricciones Las primeras m restricciones (a#uellas con una función del tipo a i/'/ ?
ai' ? ? a in'n& #ue representa el consumo total del recurso i ) recien el nomre de restricciones funcionales 3e manera parecida& las restricciones '
≥
0 se llaman
restricciones de no neatividad Las variales ' son las variables de decisión Las
constantes de entrada& a i& i& c & recien el nomre de parámetros del modelo
"tras #ormas de modelos de Programación Lineal.
!s conveniente agregar #ue el modelo anterior no se austa a la forma natural de algunos prolemas de programación lineal Las otras formas le#timas son las siguientes: / Minimi*ar en lugar de ma'imi*ar la función oetivo: Minimi*ar A c /'/ ? c' ? ? c n'n& 2lgunas restricciones funcionales con desigualdad en el sentido ma%or o igual: ai/'/ ? ai' ? ? a in'n& ≥ i& para algunos valores de i & > 2lgunas restricciones funcionales en forma de ecuación: ai/'/ ? ai' ? ? a in'n& A i& para algunos valores de i & H Las variales de decisión sin la restricción de no negatividad: ' no restringida en signo para algunos valores de j -ual#uier prolema #ue inclu%a una& varias o todas estas formas del modelo anterior tamién se clasifica como un prolema de PL& siempre % cuando éstas sean las !nicas formas nuevas introducidas Puede ser #ue la interpretación #ue se ha dado de asignación de recursos limitados entre actividades que compiten no se apli#ue& pero independientemente de la interpretación o el conte'to& lo "nico #ue se necesita es #ue la formulación matemática del prolema se auste a las formas permitidas .e verá #ue estas otras cuatro formas legales se pueden reescriir en una forma e#uivalente para #ue se auste al modelo #ue se presentó !ntonces& todo prolema de PL se puede poner en nuestra forma estándar si se desea
Solución $r!#ica de Modelos Lineales con dos %ariables. Para la solución gráfica de programas lineales con dos variales& lo #ue se tiene #ue hacer es tra*ar un ee de coordenadas cartesianas& para graficar las desigualdades dadas por el prolema& después encontrar el Srea de .oluciones Oactiles % proceder a graficar la función oetivo para conocer el valor óptimo (ma'imi*ar o minimi*ar) #ue será la solución del prolema
Ejemplo: Problema de mezcla de productos.
1n faricante está tratando de decidir sore las cantidades de producción para dos artículos: mesas % sillas .e cuenta con Q; unidades de material % con 7 horas de mano de ora -ada mesa re#uiere / unidades de material % ; horas de mano de ora Por otra parte& las sillas usan K unidades de material cada una % re#uieren / horas de mano de ora por silla !l margen de contriución es el mismo para las mesas #ue para las sillas: 6800 por unidad !l faricante prometió construir por lo menos dos mesas Paso 1: formulación del problema.
!l primer paso para resolver el prolema es e'presarlo en términos matemáticos en el formato general de PL T-uál es el oetivo< !s ma'imi*ar la contriución a la ganancia -ada unidad de mesas o sillas producidas contriuirá con 68 en la ganancia 2sí las dos alternativas son la producción de mesas % la producción de sillas 2hora puede escriirse la función oetivo: Ma'imi*ar A 8'/ ? 8' en donde:
'/ A n"mero de mesas producidas ' A n"mero de sillas producidas
T-uáles son las restricciones o limitaciones del prolema< !'isten tres restricciones Primero& el material está limitado a Q; unidades -ada mesa se lleva / unidades de material % cada silla usa K unidades La primera restricción es& entonces: /'/ ? K' ≤ Q; La segunda restricción es el total de horas de mano de ora 1na mesa se lleva ; horas& una silla / horas % se dispone de un total de 7 horas 2sí: ;'/ ? /' ≤ 7
!'iste una limitación más !l faricante prometió producir por lo menos dos mesas !sto puede e'presarse como: '/ ≥ Por "ltimo& las restricciones de no negatividad son: '/ ≥ 0& ' ≥ 0 Poniendo todo unto el modelo se tiene: Ma'imi*ar
!l siguiente paso en el método gráfico es diuar todas las restricciones en una gráfica !sto puede hacerse en cual#uier orden Por conveniencia se comen*ará con las restricciones de no negatividad Rstas se muestran en la siguiente figura:
!n esta gráfica& una solución se representaría por un punto con coordenadas ' / (mesas) % ' (sillas) Las coordenadas representarían las cantidades de cada artículo #ue se deen producir !l cuadrante superior derecho se llama $eión %actible puesto #ue es el "nico cuadrante en #ue pueden estar las soluciones Los otros tres cuadrantes no son factiles& %a #ue re#uerirían la producción de cantidades negativas de mesas o de sillas o de amas La siguiente restricción es '/
≥
La manera más sencilla de diuar las restricciones
de recursos es en dos pasos: (/) convertir una desigualdad en una ecuación % graficar la ecuación % () somrear el área apropiada arria % aao de la línea #ue resulta en el paso / -onvertir una igualdad en una ecuación a#uí significa ignorar la parte de Ima%or #ueJ o Imenor #ueJ de la restricción 2sí& en el eemplo& ' / ≥ se convierte en ' / A !sta ecuación está tra*ada en la siguiente figura:
-ual#uier punto en la línea ' / A satisface la ecuación .in emargo& la restricción es más amplia& %a #ue cual#uier punto ' / U tamién la cumplirá !sto inclu%e todos los puntos #ue están a la derecha de la línea ' / A !ntonces& la región factile inclu%e todos los valores de ' / que están sobre o a la derecha de la l#nea '/ A La limitación sore las horas de mano de ora es la siguiente restricción -omo antes& primero se convierte en una ecuación: ;' / ? /' A 7 Puede graficarse esta línea si se encuentran dos puntos sore ella !l par de puntos más sencillos de locali*ar son las intersecciones con los ees X / % X Para encontrar la intersección con el ee X se hace '/ A 0 La ecuación se reduce& entonces& a: /' A 7 ' A ; La intersección con el ee X / se encuentra haciendo ' A 0 2sí: ;'/ A 7 '/ A / !stos dos puntos % la línea #ue los une se muestran en la siguiente figura:
-ual#uier punto #ue está sobre o abajo de esta línea cumplirá con la restricción -ual#uier punto arria de esta línea re#uerirá más de 7 horas de mano de ora % no es aceptale !n la siguiente figura se comina esta restricción con la anterior !n la región factile& amas restricciones se cumplen
La "ltima restricción es la de material .iguiendo el procedimiento anterior& primero se encuentran las intersecciones para la igualdad Rstas son ' / A 0& ' A / % ' / A K& ' A0 .e locali*an los dos puntos en la gráfica+ se tra*a la línea& % como la restricción es del tipo menor o igual #ue& se somrea el área #ue está aao de la línea !l resultado se muestra en la siguiente figura:
-ual#uier solución #ue esté en la frontera o dentro del área somreada cumplirá con todas las restricciones 2hora se utili*ará la función oetivo para seleccionar la solución óptima Paso ": obtención de la solución óptima: l#neas de indiferencia.
Para encontrar la solución óptima& se grafica la función oetivo en la misma gráfica de las restricciones La función oetivo en este prolema es A 8' / ? 8' -omo todavía no se conoce el má'imo valor factile de & no puede tra*arse el óptimo de la función oetivo ,o ostante& es posile suponer algunos valores para % graficar las líneas resultantes !n la siguiente figura se muestran las líneas para A 8 % A 80:
Las líneas de este tipo se llaman l#neas de indiferencia & por#ue cual#uier punto sore una línea dada da la misma ganancia total ,ótese #ue la distancia perpendicular del origen a la línea aumenta al aumentar el valor de Bamién& todas las líneas de
indiferencia son paralelas entre sí !stas propiedades gráficas pueden usarse para resolver el prolema !n la siguiente figura& se ilustran todas las restricciones % las dos líneas de indiferencia supuestas !n la gráfica puede oservarse #ue la línea de indiferencia para A 80 está completamente fuera de la región factile Para A 8& parte de la línea cae dentro de la región factile Por tanto& e'iste alguna cominación de ' / % ' #ue satisface todas las restricciones % da una ganancia total de 68 Por inspección& puede oservarse #ue ha% ganancias más altas #ue son factiles
Emaginando #ue la línea de indiferencia A 8 se mueve hacia la línea A 80& de las propiedades de la gráfica #ue se hicieron notar antes& el punto óptimo estará sore la línea de indiferencia más leana al origen pero #ue todavía to#ue la región factile !sto se muestra en la siguiente figura:
-on el punto óptimo locali*ado gráficamente& la "nica tarea #ue #ueda es encontrar las coordenadas del punto ,ótese #ue el punto óptimo está en la intersección de las líneas de restricción para materiales % horas de mano de ora Las coordenadas de este punto se pueden encontrar resolviendo el sistema de ecuaciones #ue forman estas dos restricciones utili*ando cual#uiera de los métodos de solución (suma % resta& sustitución o igualación) Las coordenadas de este punto resultan ser (;& >) La sustitución de este punto en la función oetivo da la ganancia má'ima: A 8(;) ? 8(>) A 6H8 $esumen del m%todo r!fico.
Para resolver gráficamente prolemas de programación lineal: / !'présense los datos del prolema como una función oetivo % restricciones Grafí#uese cada restricción > Localícese la solución óptima
&so del m'todo gr!#ico para minimi(ación. -onsideremos un Prolema de PL en el cual el oetivo es minimi*ar costos La solución del prolema de minimi*ación sigue el mismo procedimiento #ue la de prolemas de ma'imi*ación La "nica diferencia es #ue ahora se #uiere el menor valor posile para la función oetivo .upóngase #ue se tiene el siguiente prolema: Ejemplo: Problema de dieta.
1n comprador está tratando de seleccionar la cominación más arata de dos alimentos& #ue dee cumplir con ciertas necesidades diarias de vitaminas Los re#uerimientos vitamínicos son por lo menos H0 unidades de vitamina V& 80 unidades de vitamina X % HQ unidades de vitamina 4 -ada on*a del alimento 2 proporciona H unidades de vitamina V& /0 unidades de vitamina X % 7 unidades de vitamina 4+ cada
on*a del alimento @ proporciona /0 unidades de V& 8 unidades de X % 7 unidades de 4 !l alimento 2 cuesta 8 pesosW5ilogramo % el alimento @ cuesta K pesosW5ilogramo Paso 1: formulación del problema.
La meta en este prolema es encontrar la manera menos costosa para satisfacer las necesidades vitamínicas Las dos alternativas disponiles son los alimentos 2 % @ Matemáticamente la función oetivo es: Minimi*ar A 82 ? K@ Las restricciones son los re#uerimientos mínimos de las tres vitaminas Rstas se muestran enseguida: Cestricciones: H2 ? /0@ ≥ H0 vitamina V /02 ? 8@ ≥ 80 vitamina X 72 ? 7@ ≥ HQ vitamina 4 2 ≥ 0& @ ≥ 0 no negatividad Paso 2: r!fica de las restricciones.
!l procedimiento para graficar es el mismo #ue se usó antes: (/) graficar cada ecuación de restricción+ () graficar el área apropiada Para la primera restricción la
ecuación es H2 ? /0@ A H0 Las dos intersecciones con los ees son (0&H) % (/0&0) !sta línea se muestra en la siguiente figura:
La restricción pide H0 unidades o más de la vitamina V -ual#uier punto #ue esté arriba de la línea de restricción será factile % todos los puntos #ue #uedan aao de
esa línea serán aceptales !n la siguiente figura se muestra la región factile:
3espués se grafica la restricción para la vitamina X La ecuación /02 ? 8@ A 80 tiene intersecciones con los ees en (0&/0) % (8&0) !n la siguiente figura se ilustran las restricciones para las vitaminas V % X ,ótese #ue las soluciones #ue #uedan en las áreas a o b no son factiles& %a #ue #uedarían aao de las líneas de restricción
2l agregar la tercera restricción& este segundo paso #ueda terminado& como se muestra en la siguiente figura:
Paso ": localización de la solución óptima.
!n la siguiente figura se muestra la frontera e'trema más dos líneas de indiferencia& las de A H0 pesos % A ;0 pesos La frontera e'trema está formada por los puntos a& &
c % d& puesto #ue éstos son los puntos de intersección factiles más cercanos al origen
Gráficamente& el oetivo de minimi*ar el valor de significa austar una línea de indiferencia tan cerca del origen como sea posile !n la figura anterior puede oservarse #ue e'isten muchas soluciones posiles para A ;0& pero ninguna para A H0 Emaginando mover la línea A ;0 hacia el origen& el "ltimo punto de contacto con la frontera e'trema será el punto !ntonces& el punto es la solución óptima !n la figura anterior se oserva #ue el punto es la intersección de dos líneas: (/) H2 ? /0@ A H0 () 72 ? 7@ A HQ Cesolviendo el sistema de ecuaciones:
Multiplí#uese la ecuación (/) por 7: Multiplí#uese la ecuación () por H:
(>)
K2 ? 70@ A K0 (H) K2 K@ A /Q;
H@ A KH @A .ustit"%ase en la ecuación (/):
H2 ? /0() A H0 2A 8
La solución menos costosa es 5 kilogramos de alimento A y 2 kilogramos de alimento B. El costo total de esta combinación es
A 82 ? K@ A 8(8) ? K() A 8 ? /; A H/ pesos .i se usa el método de pruea % error para locali*ar la solución óptima& se deen encontrar las coordenadas de los puntos a& b& c & % d .e dee calcular después el valor de la función oetivo para cada punto 2 continuación se muestran los resultados de este procedimiento: Resultados de prueba y error Punto a b c d
Coordenadas 2 A /0& @ A 0 2 A 8& @ A 2 A>& @ A H 2 A 0& @ A /0
Z = 5A + 8B 80 H/ menor H7 K0
-2.=. !.P!-E2L!.
M)ltiples soluciones. Ma'imi*ar sueta a
A
>'/ '/
?
'
' >'/ ? ' '/ ≥ 0& ' ≥ 0
≤ ≤ ≤
H / /K
*inguna solución #actible. Ma'imi*ar sueta a
A
>'/ ? ' /WH0'/ ? /W;0' /W80'/ ? /W80'
≤ ≤
/ /
'/ '/ ≥ 0&
≥
' ' ≥ 0
≥
>0 0
rea o ,egión de Soluciones Factibles no Acotada. Ma'imi*ar sueta a
