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Matemática 11º

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Introdução

O desenvolvimento tecnológico e o aumento da competitividade faz com que a tom de decisões, na maioria das vezes, se fundamente na análise das diversas situaçõe tendo como objectivos, por exemplo, obter o lucro máximo ou então minimizar as despesas e desperdícios. A complexidade destes processos de optimização, muitas das vezes é grande, atendendo ao elevado modo de variáveis e ás limitações/restrições das mesmas.

Em termos matemáticos, a resolução destes problemas conduz obrigatoriamente sistemas de equações e inequações com elevado número de variáveis, sendo necess o recurso a sistemas informáticos e processos computacionais.

O desenvolvimento tecnológico faz com que estes processos se tornem mais rápid com mais capacidades, proporcionando um aprofundamento e ampliação do conhecimento matemático nesta área. You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.

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Breve história

A programação linear surgiu como um dos mais importantes ramos da program matemática com uma vasta aplicação prática. Inovações da última metade do s passado fizeram com que os algoritmos de programação linear sejam eficien favoráveis para a resolução de uma larga variedade de problemas envolvendo que de decisão em vários domínios. Por exemplo: no planeamento da distribuição e pro de produtos, no planeamento de curto prazo em aproveitamento hidroeléctricos decisões ligadas às políticas macroeconómicas e macroeconómicas de governaçã países, na utilização como sub rotinas para suporte de tarefas especificas em có de programação não linear. Ainda, são aspectos positivos a considerar o fac programação linear ser uma teoria de optimização significativamente complet existirem códigos para computadores podendo suportar problemas de muito g dimensão. O problema de optimizar uma função linear sujeita a restrições lineares teve origem com os estudos de Fourier sobre sistemas lineares de inequações em 182 entanto, só em 1939 Kantorovich faz notar a importância prática destes probl tendo criado um algoritmo para a sua solução. O problema de optimizar uma função linear sujeita a restrições lineares tem o seu com George Dantzig na décadaYou're de 1940, formulou o problema das dietas como um Reading a Preview problema de mistura de componentes. Dantzig não só formula o problema de Unlock full access with a free trial. programação linear, mas também cria o Algoritmo do Simplex para a sua solução e 1947. Ainda em 1947, Koopmans mostra que a programação linear é um modelo Download With Free Trial apropriado para a análise da teoria económica clássica. Em 1975, a Academia Real de Ciência atribuiu o prémio Nobel da Ciência em Econo Kantorovich e Koopmans pelas a suas contribuições para a teoria da alocaçã recursos, considerando a contribuição de Dantzig mais no âmbito matemático havendo prémio para o ramo científico da matemática, não atribuiu prémio a Da No entanto, Dantizg permanecerá para a história da construção da programação como um dos arquitectos fundamentais.



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Problema 9

Um comercienate vai comprar dois tipos de calculadoras gráficas – Grafix2007 qu custa 80€ e Grafix2007 Plus que lhe custa 120€. Pretende investir, no máximo, 10.000€ e na loja apenas tem lugar para 100 calculadoras. Quanto ao preço de venda, decidiu que acrescentaria 25% e 20%, respectivamente, ao custo da compra de Grafix2007 e da Grafix2007 Plus . Nestas condições, quantas calculadoras de cada tipo deve comprar o comerciante ter o lucro máximo?

Para a resolução deste problema adoptamos a seguinte estratégia: 1. Identificação das variáveis; 2. Definição da função objectivo; 3. Tradução, em termos de inequações as restrições das variáveis; 4. Representação geométrica das restrições; 5. Interpretação da situação no contexto do problema; You're Reading a Preview 6. Apresentação de uma conclusão Unlock full access with a free trial.

Criamos uma tabela para uma melhor síntese de dados:

Definição das variáveis:


― Calculadora gráfica Grafix2007; y ― Calculadora gráfica Grafix2007 Plus

x

Quantidade

Master yourGrafix2007 semester with Scribd x y Plus & The NewGrafix2007 York Times Special offer for students: Only $4.99/month.

Função objectivo:

Preço de fábrica

Preço de loja 

80 xupFree 100 Read Foron 30this Days Sign to vote titlex (80*0.25+80) 

120 y 144 y (120*0.20+120 Useful   Not useful Cancel anytime.

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Assim, as restrições das variáveis são:

≥0 e

≥ 0 ; o nº de máquinas nunca pode ser negativo;

•

x

•

Preço de fábrica

y

80x + 120y ≤ 10.000; porque o máximo de dinheiro que o comerciante pret investir é de 10.000€; •

Quantidade de máquinas x

+ y ≤ 100 ; porque a loja tem apenas lugar para 100 máquinas;

Estas restrições das variáveis x e y podem ser apresentadas através de um sistem inequações do 1º grau. Assim, temos: ⎧ x ≥ 0 ⎪ y ≥ 0 ⎪ ⎨ ⎪80x + 120y ≤ 10000 ⎪⎩x + y ≤ 1000 You're Reading a Preview Esta conjunção de condições pode ser representada graficamente. Unlock full access with a free trial.

Optamos por mostrar uma restrição de cada vez para uma melhor interpretação d problema. Download With Free Trial •

Restrição referente ao preço de fábrica:

80

x


+ 120

y

≤ 10000 Read Free Foron 30this Days Sign up to vote title

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Restrição referente à quantidade de máquinas: x y ≤ 100 +

You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.

Junção gráfica das restrições: Download With Free Trial ⎧ x ≥ 0 ⎪ y ≥ 0 ⎪ ⎨ ⎪80x + 120y ≤ 10000 ⎪⎩x + y ≤ 1000



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Para saber qual a melhor condição para um lucro máximo substituem-se as incógnit função objectivo pelas respectivas coordenadas dos pontos vértices da região admissível. Função objectivo:

L= 100 x + 144y 1. Em relação ao vértice A (10.000/120, 0): L= 100 (0) + 144 (10.000/120) ⇔ ⇔ L= 12.000€

2. Em relação ao vértice B (50, 50): L= 100 (50) + 144 (50) ⇔ ⇔ L= 5000+7200 ⇔ You're Reading a Preview ⇔ L= 12.200€ Unlock full access with a free trial.

3. Em relação ao vértice C (100,0);


L= 100 (100) + 144 (0) ⇔ ⇔ L= 10.000€

X

Y

L= 100 x + 144y

Master your semester with Scribd 0 Times10.000/120 & The New York 50 50 Special offer for students: Only $4.99/month.

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Resolução deste problema com uma máquina calculadora gráfica 1. No menu devemos escolher a opção

GRAPH :


2. De seguida devemos introduzir as inequações: Download With Free Trial



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3. Depois de introduzir as inequações resolvidas em relação a Y devemos escolher a opção DRAW… aparecerão então desenhados os gráficos no

You're Reading a Preview

full accessquadrante, with a free trial.isto porque só queremos valo 4. Para que apareça sóUnlock o primeiro positivos, temos que primir Shift+ V-Window em que aparecerá o seguin Download With Freeinequações Trial visor. Não havendo modo de escrever em relação a x, a rest x ≥ 0 não aparecerá. Uma maneira de remediar este problema é no Xmi inserir o valor 0:



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5. Para saber qual a melhor condição para obter o lucro máximo, devemos descobrir os pontos de intercepção entre as rectas definidas pelas inequações. Então, com o gráfico no visor, devemos primir: • G-SOLV • ISCT; e depois escolher as rectas para descobrir a intercepção entre elas;





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Conclusão

Este trabalho tinha como objectivo mostrar as utilidades da programação linear n a-dia e depois da finalização deste, conseguimos perceber a importância que a Programação linear tem.

Conseguimos perceber que é um método multi-funções que nos permite a resoluçã muitos tipos de problemas, desde económicos a militar entre outros, permitindo maximização dos lucros ou minimização das despesas.

Conseguimos atingir o objectivo deste trabalho que era o de enriquecimento de aprendizagens e sem dúvida alguma ajudou-nos na realização de futuros trabalhos





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Bibliografia Para a realização deste trabalho tivemos o auxílio de várias fontes: • • • • •

Espaço 11 ― Belmiro Costa, Lurdes do Céu Resende, Ermelinda Rodrigues; XeqMat 11 ― Volume 1―Francelino Gomes, Cristina Viegas, Yolanda Lima; pwp.net.ipl.pt/deea.isel/jsousa; Activa Multimédia, Matemática Vol. II; turmaxis.no.sapo.pt





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