Problemas TD 01

TD-01 Tema 2 (Ley de Gauss) Problema 1: La carga mostrada en la figura se encuentra en el centro de un cubo mayo de arista 2L y e un vertice de un cubo menor de arista 2L y e un vertice de cubo menor de arista L. Llamaremos E al campo electrico producido por esta carga. a) Utilizando argumentos de simetría determine el flujo de E a través de cada cara del cubo mayor. b) Ahora determine el flujo eléctrico eléctrico que atraviesa cada cara del cubo menor Solución a) Para calcular cuánto vale el flujo eléctrico a través de una cara del cubo, primero se calcula el flujo eléctrico a través del cubo en su totalidad; para ello se usa la ley de Gauss, tomando la superficie del cubo como superficie gaussiana. Debido a la simetría de la configuración (todas las caras del cubo equidistan de la carga). Se concluye que:

q

 Cubo  

0

entonces, para una cara:

1 q

 Cara  6 

0

b) Antes de analizar el caso de la carga en el vértice, se analiza el caso en el que la carga está ubicada sobre una cara del cubo ; allí se observa que la mitad de las líneas de Campo Eléctrico no atraviesan ninguna cara del cubo, por lo tanto el flujo eléctrico a través del cubo es la mitad del total. Si ubicamos la carga en una arista , el flujo eléctrico es del total. Entonces cuando ubicamos la carga en un vértice se obtiene del flujo eléctrico total. 

Para calcular el flujo a través de cada cara en el caso de la carga en el vértice, observar que sobre tres caras el flujo es nulo, mientras que sobre las otras tres

será el mismo y valdrá equivalentes.

sobre cada una puesto que las tres son

Problema 2 Una esfera de 2cm de radio y con centro en el origen tiene una carga de 8C uniformenete distribuida en su volumen. Halle el campo electrico que produce en los puntos con coordenadas cartesianas P1=(1,0,-1)cm y P2=(0,2,2)cm.



Campo eléctrico para un punto en el interior de la esfera. ∮

( )

Para nuestro caso



(

)(

)

y

Campo eléctrico para un punto en el exterior de la esfera

( √

)

√

Problema 3 Un cilindro no conductor de longitud infinita y radio R tiene carga distribuida uniformemente en su interior, siendo  su densidad longitudinal de carga. a) Calcule la densidad volumétrica de carga D del cilindro b) Usando la ley de Gauss halle el campo electrico en cualquier punto del espacio

a)

b) ∮ ∮

√

Problema 4 La figura muestra una esfera cargada de radio R y centro o con un hueco esférico en su interior de radio b. El centro del agujero tiene vector posición a respecto al punto O. La densidad volumétrica de carga de la esfera es constante y vale D para todos los puntos en el interior de la esfera salvo en el agujero. Halle el campo electrico que se produce en un punto que se encuentre en el agujero y posea vector posición r (simplifique la expresión obtenida) Ayuda: Una superposición y el hecho de que una esfera maciza, homogénea, de radio R carga Q y centro en el origen produce un campo electrico igual a : E 

qr 4 0 R 3

Supongamos que la cavidad es una esfera de signo negativo. Por lo tanto el campo total en un punto situado dentro de la cavidad es la superposición del campo creado por la esfera de radio R y por la esfera de radio b que es la cavidad. Sabemos y tenemos que el campo E en el punto p debido a la esfera de radio R, es:

Y el campo E’ creado por la cavidad en el mismo punto es:

Por el principio de la superposición: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Operando

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗