UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
CURSO:
TEORÍA DE CAMPOS C AMPOS ELECTROMAGNÉTICOS
PROFESOR: Mg. JORGE JORGE MONTAÑO MONTAÑO PISFIL
PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE CAMPO ELECTROSTÁTICO EN MEDIOS DIELÉCTRICOS Problema Nº 1 Un capacitor de placas paralelas tiene sus placas en x 0 y en x d , y el espacio entre las placas está lleno de un material no homogéneo con permitividad
2d 0 ( x d )
. Si la placa en x d se
mantiene a 0 cuando está a tierra la placa en x 0 , encuentre:
a) La intensidad de campo eléctrico E
b) La polarización P c) La densidad superficial de carga de polarización Pol
2, 5mm y cada placa tiene un área de 200 cm 2. Desprecie el efecto de d) La capacitancia cuando d 2,5 borde.
Resolución Según el enunciado la figura es la que se muestra a continuación. y Por condición:
2d 0 ( x d )
Como se observa en la figura, se trata de un capacitor plano con dieléctrico, y con una de sus placas conectada a tierra.
0
E
0
x
d
d
0
Sabemos que: - En un capacitor capacito r plano el campo eléctrico sólo existe en su interior, es decir en la región comprendida entre las placas del capacitor.
-
El campo eléctrico E está dirigido de la placa de mayor potencial eléctrico hacia la placa de menor
potencial. Por lo tanto, en nuestro caso el campo vectorial E está dirigido hacia la izquierda.
-
La magnitud de E en las cercanías de un conductor, cualesquiera que sea, viene dada por:
E
Donde es la densidad superficial de carga de una las placas conductoras del capacitor.
a) Cálc u lo d e E (in tens idad de cam po elé ctr ic o)
Tal como se explicó, en este caso el campo vectorial E está dirigido hacia la izquierda (de la placa de mayor potencial hacia la placa de menor potencial), por lo tanto se cumple:
E E( a x ) Luego:
E
a x
( x d ) ax . . . (1) Reemplazando queda: E 2d 0 ( x d )
2d 0
Para hallar
“
”
utilizo la ecuación que relaciona la diferencia de potencial con la intensidad de
campo eléctrico E . Es decir:
a
a b E d b
Reemplazo
a 0 , b 0 y el valor de E hallado en la ecuación (1). Luego despejo , tal
como se indica a continuación.
0 2d 0
d
0
3d 2 ( x d )dx 2d 0 2
40 0 3d
Reemplazando “ ” en la ecuación (1) y simplificando obtenemos:
E
2 0 ( x d ) 2
3d
ax
* Del resultado hallado se concluye que el valor del campo vectorial E varía dependiendo de la posición x, alcanzando su valor máximo en la posición x d , y su valor mínimo en la posición
x 0 .
b ) Cálc u lo d e P (vector po larización)
Se sabe que: P (
0 ) E
Reemplazando E y obtenemos:
P
20 0 (d x) 3d 2
ax
En la figura mostrada a continuación se observa al dieléctrico polarizado. Las cargas polarizadas en el dieléctrico tienen signo positivo en la posición x
0 y signo negativo en la posición x d ,
por lo tanto el vector polarización P está dirigido hacia la izquierda.
-
+
-
+ +
P
-
+
-
+
-
+
c) Cálc u lo d e Pol (densidad s uperficial de carga de polarización )
Se sabe que:
pol P n
* Para x 0 :
n a x
* Para x d :
n a x
Pol
20 0 3d
Pol 0
d ) Cálculo de “C” (capacitancia del capacitor plano) La capacitancia se define por: C
Q ab
Reemplazando los valores de la carga eléctrica Q y de la diferencia de potencial
ab entre las
Placas del capacitor plano, tenemos:
C
A 4 0 A 0 3d
C 94,4 pF
Problema Nº 2 Dos esferas conductoras concéntricas con radios de 3 y 5 cm, tienen la región entre ellas rellena de un dieléctrico homogéneo para el cual r 5 . Si el potencial de la esfera interior es 100 V mientras que la del exterior es de -100 V, determine: a) El potencial eléctrico ( r )
b) La intensidad de campo eléctrico E ( r ) c) El valor de r para el cual 0 d) La carga Q sobre la esfera interior e) La capacitancia entre las dos esferas
Resolución Según el enunciado la figura es:
b
Datos:
a 3cm 0, 03m
r 5
a
b 5cm 0, 05m
a
a 100V
b 100V
b
a) Cálc u lo d el p ot en ci al elé ct ri c o ( r )
b a
d S
Por ley de Gauss en dieléctricos:
E
D d S Q LIBRE
r
S
r 1
D(4 r 2 ) Q
D
Q 4 r 2
Luego:
r 2
Q
E
Superficie Gaussiana
4 0 r r 2
E
Q 20 0 r 2
ar ; a r b
Para conocer el valor del campo eléctrico E
necesito conocer Q (carga libre encerrada por la
superficie gaussiana = carga de la esfera conductora de radio 3 cm). Esta carga Q la hallo aplicando la ecuación que relaciona el potencial con el campo eléctrico: a
a b E d , Donde: d d r b 0,03
200V
Q
20 0 r 2 0,05
Q 300 0
ad r r dr ar
Reemplazando la carga Q tenemos que el campo eléctrico E es: E
15 r 2
ar
Luego, el potencial ( r ) viene dado por: E d r Es decir:
( r )
* Si r 0,03m
15 15 C dr r2 r
( r 0,03 m) 100V
15 0,03m
C
15 400 V r
( r )
C 400V
b) Cálcu lo de l a in tens idad de cam po elé ctr ic o E ( r )
Ya se halló en a) que la intensidad de campo eléctrico es igual a: E ( r )
V a r r 2 m
15
Otra forma de hallar E ( r ) es aplicando gradiente de potencial. Es decir: E ( r )
( r )
Para ello calculo el gradiente de potencial en coordenadas esféricas y luego lo reemplazo en la
ecuación anterior, obteniendo que el campo eléctrico E ( r ) es igual a:
E ( r )
V a r r 2 m
15
c) Cálc u lo d e r para el cual 0
15 400 V . r
Se halló que el potencial eléctrico es igual a ( r )
Igualando a cero esta ecuación y despejando r obtengo que:
r 0,0375 m 3,75 cm f) Cálc u lo d e la car g a elé ct ri ca Q sobr e la esfera interior Para calcular la carga eléctrica Q sobre la esfera conductora interior, utilizo:
Q
dA S
Donde:
15 75 0 C 0 (5) 2 ar ar 2 2 r m r
0 r E n dA r 2 sen d d
Reemplazando la densidad superficial de carga σ y el diferencial de área dA, tenemos que la carga eléctrica Q queda expresada por: 2
Q
0 0
75 0 2
r
Q 300 0 8,34 nC
r 2 sen d d
e) Cálcu lo de la c apacitanc ia entre las do s esferas La capacitancia se define por C ¨
Q
; donde:
a b 200V
Reemplazando el valor de la carga eléctrica y de la diferencia de potencial, tenemos:
C
8,34 nC 200 V
41,7 pF
Problema Nº 3 Supóngase que se tienen dos conductores cilíndricos coaxiales, el interior de radio a y el exterior de radio b , y los dos de longitud infinita. Se supondrá una distribución de carga sobra la superficie exterior del conductor interior. En la región entre los conductores existe un dieléctrico de permitividad ε. Calcule la energía almacenada en el campo electrostático de una sección del cable coaxial, o el capacitor, de longitud L .
Resolución Según el enunciado, la figura correspondiente es la que se muestra a continuación.
ε
σ
b S.G
ρ
a
L Para calcular la energía almacenada “ W E
en el campo electrostático de una sección del cable
”
coaxial, de longitud L, aplico la ecuación siguiente:
W E
1
2 V
0 E 2 dV . . . (1)
Para hallar “E ” (magnitud de la intensidad de campo eléctrico) aplico la ley de Gauss en presencia de dieléctricos y la relación: E D / .
D d S Q
libre
S
Resolviendo la integral cerrada de superficie y reemplazando el valor de la carga neta libre encerrada
A, A 2 aL ), tenemos que:
por la superficie gaussiana ( Q Libre
D (2 L) ( 2 aL)
D
a
Luego, la magnitud de la intensidad del campo eléctrico “E ” es igual a:
E
D
E
a
Reemplazando este valor de “E ” y el diferencial de volumen “ dV ” en coordenadas cilíndricas ( dV d d dz ), tenemos:
W E
Evaluando la integral, obtenemos:
1
b
2a
0
2
a 0 ( d d dz )
2 L
2 a 2 L W E Ln (b / a)
Problema Nº 4 Una esfera metálica de radio a se encuentra aislada y almacena una carga eléctrica + Q . Suponga que sin descargar la esfera, ésta se recubre con una capa de espesor e de un dieléctrico de permitividad . Determine la energía electrostática almacenada en el sistema.
Resolución Según el enunciado, la figura correspondiente es la que se muestra a continuación. En la figura observamos que todo el espacio queda dividido en tres regiones: Primera región: r a (Interior de la esfera)
+Q
Segunda región: a r a e (En el dieléctrico)
Tercera región: r a e (Fuera del dieléctrico)
e
Por lo tanto, la energía electrostática almacenada en el sistema estará dada por:
a
W E ( SISTEMA) W E ( 2 da Re gión) W E (3ra Re gión) . . . (1) * En la primera región no hay energía electrostática almacenada porque no hay campo eléctrico.
Dieléctrico
Para calcular la energía electrostática en cada región utilizo la ecuación: W E
1
E 2 0
2
dV , para ello
V
primero hallo “E ” (magnitud del campo eléctrico) en dichas regiones utilizando la ley de Gauss y la relación E D / . Por ley de Gauss:
d S
S
Calculando la integral cerrada de superficie, reemplazando Qlibre Q , y despejando “D”, tenemos:
D
+Q
D d S Qlibre
r
D
Q 4 r 2
Vectorialmente, tenemos:
a
D Superficie Gaussiana
La intensidad de campo eléctrico E viene dada por: E
4 r 2
D
Q
a r , para cualquier “r ”.
D
0 r
Primera región ( r a ): E 0 (Porque no hay carga neta libre encerrada por la superficie Gaussiana)
Segunda región ( a r a e ): E
Tercera región ( r a e ): E
Q 4 r 2
Q 4 0 r 2
a r
a r
Reemplazando la magnitud de estos campos eléctricos hallo la energía en cada región de la ecuación 1. El resultado obtenido es:
W E ( Sistema)
Q2e 8 a (a e)
Q2 8 0 (a e)
