PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN RESUELVEN CON DOS CONJUNTOS Antes de empezar a resolver resolver problemas con 2 conjuntos conjuntos es importante identificar en un diagrama de ven las diferentes diferentes zonas que se observan: observan:
A
B
A
B
U
U Preferen B
Preferen A
A
A
B
A
U Preferen A O B
U Preferen solo B
B
U
A
B
U Preferen solamente Uno de los conjuntos
B
U
AA
B
No preferen ni A, ni B
B
A
Preferen solo A
U Preferen A y B
B
A
A
B
U No preferen A
U No preferen B
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. (PROCESO) PROBLEMA Nº1: De un grupo de 65 estudiantes: 30 prefieren lenguaje, 0 prefieren matem!tica " 5 prefieren otros cursos# $%u!ntos prefieren matem!tica " lenguaje& a' Trazamos el diagrama de Venn
M
L
b) Se ubican los datos en el diagrama de Venn y se completan las zonas con los valores numéricos que corresponde L = 30
M = 40 40 - X X
30 - X
U 5
c) Se plantean la operación, sumando todas las zonas e igualando al total (Universo)
U
d) Se reducen términos semejantes
//
40 – X + X + 0 – X + ! " #! $40 + 0 + !% – X " #! &! – #! " X '0 " X
0 - . / . / 30 - . / 5 65 15 - . 65 15 - 65 . +0 .
(espuesta a la
'0 estudiantes preferen preferen matem*tica matem*tica y len)uaje
pre)unta ACTIVIDAD: RESUELVE RESUELVE PROBLEMAS DEL NIVEL DE REFORZAMIENTO PROBLEMA N02 PROBLEMA N03 De 50 estudiantes encuestados: 20 s(lo practican f)tbol* +2 practican futbol " nataci(n " +0 no practican ninguno de de estos deportes# $%u!ntos practican nataci(n nataci(n " cu!ntos solo nataci(n& U = 50 N
! 20 10
12
X
20 +12 + X + 10 = 50 42 + X = 50 X = 50 -42 X=8
n un sal(n de +00 alumnos: 65 aprobaron razonamiento matem!tico* 25 aprobaron razonamiento matem!tico " razonamiento verbal " +5 aprobaron solamente razonamiento verbal# $%u!ntos no aprobaron ninguno de los cursos mencionados& U = 100 0 /25 / +5 / . +00
R"M = #5
R"$
0 / . +00
Respuesta: Natación = 12 + X = 12 + 8 = 20 Soo natación = 8
#5-25 25 . +00 0 40
X . 20
15
R!"#!$%: 20 no aprobaron ninguno de los cursos
PROBLEMA N 0&
PROBLEMA N 0'
n una encuesta realizada a +20 personas: 0 leen solamente la revista 4gente* 60 leen solamente la revista 4%aretas " +2 no leen ninguna de estas revistas# $%u!ntos leen ambas revistas&
ntre 1 personas que consumen 7amburguesa se observaron las siguientes preferencias en cuanto al consumo de ma"onesa " 89tc7up: 51 consumen ma"onesa* 5 consumen 89tc7up " +0 no consumen ninguna de estas salsas# $%u!ntos consumen ma"onesa, pero no 89tc7up&
U = 120
R"%
R"& 40 X
#0
R!"#!$%:
12
0 /. / 60 / +2 +20 ++2 / . +20 . +20 ++2 .
U = )' ( = 45
M = 5' 5'-X X
45-X
' , - - &'/ - 10 + 112 / - + 112 , + - 1' R!"#!$%: 51 - . 51 - +5 2
personas leen ambas revistas
10
PROBLEMA N0
PROBLEMA N0
De 300 alumnas que salen al recreo: 0bebieron nca ;ola* 60 bebieron %ola %ola " +0 bebieron ambas bebidas# $%u!ntas alumnas bebieron bebieron s(lo una de estas bebidas&
n una reuni(n de profesores de ciencias: 1 eran de matem!tica* 0 eran solo de f
U= 300 M = )0
( = #0
)0-10 10 #0-10 50 80
U=
>olo una de estas bebidas 0 / 50 +30
M = 4'
! 1 /0 / +
40
4 PROBLEMA N0*
PROBLEMA N0+
n una encuesta realizada a un grupo de deportistas: ++5 practican b!squet* 35 practican b!squet " ajedrez* 0 practican solo ajedrez " +05 no practican b!squet# $A cu!ntos deportistas se encuest(&
Durante el mes de febrero de +, >antiaguito solo desa"uno jugo de naranja "?o jugo de papa"a# >i +2 d
U=
U= 28
* = 115
,
N +2 /3 /. 2
80
35
)0
12
+5 / . 2
3
X
'!
PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN RESUELVEN CON TRES CONJUNTOS @uc7os problemas de la vida cotidiana donde intervienen datos estadean las orquestas A,," %
Brefieren la orquesta A
Brefieren la orquesta
Brefierenla orquesta %
* *
& &
Bref Brefiieren eren las las orq orque uest stas as A, " %
*
&
Brefi refier eren en s(lo (lo " % per pero no no A
*
&
Bref Brefie iere ren n s(l s(lo o A " pero pero no %
*
&
Bref Brefiieren eren s(lo (lo A " % per pero no no
*
&
Brefieren s(lo A
Brefieren s(lo
*
&
*
&
Bref Brefie iere renl nla a orqu orques esta ta , , pero pero no no A
*
Brefieren s(lo una de las tres orquestas
*
&
*
&
Brefieren por lo menos dos orquestas
Brefieren s(lo %
*
Bref Brefie iere renl nla a orqu orques esta ta %, %, pero pero no no A
Brefieren solamente dos orquestas
*
&
Brefieren la orquesta A o pero no la orquesta %
*
&
Bref Brefie iere ren n la orq orque uest sta a %, per pero o no
*
&
Brefieren la orquesta A, pero no
*
&
Bref Brefie iere ren n la orq orque uest sta a o % pero pero no la orquesta A
* * *
Brefieren la orquesta A o % pero no la orquesta
*
&
Co prefieren ninguna de estas tres orquestas
Co prefieren la orquesta A
*
&
*
&
Co prefieren la orquesta
*
&
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS / EJEMPLO MODELO (PROCESO) PROBLEMA Nº1 : n el colegio 4>an Bedro %7anel %7anel de >ullana se se 7an evaluado a +000 estudiantes estudiantes en las !reas !reas de matem!tica, comunicaci(n comunicaci(n " %A* %A* obteni9ndose los siguientes resultados: 60 estudiantes aprobaron comunicaci(n* 320 aprobaron %A* 00 alumnos aprobaron solo comunicaci(n* 50 alumnos aprobaron comunicaci(n " %A, pero no matem!tica* +10 aprobaron %A " @atem!tica, pero no comunicaci(n* 0 alumnos aprobaron matem!tica, comunicaci(n " %A#* >i todos los alumnos aprobaron por lo menos unos de estos cursos: $%u!ntos aprobaron solo %A& $%u!ntos aprobaron solo comunicaci(n " matem!tica& $%u!ntos aprobaron solo matem!tica&
e' r razamos el diagrama de Eenn
M
&
f'
>e ubican los datos en el diagrama de Eenn " se completan las zonas con los valores literales "? o num9ricos seg)n corresponda#
M
& #80 c
& &
.
400
40 1'0 50
a) Se plantean las operaciones operaciones para completar completar las zonas en en blanco
S CTA % 10 &0 '0 320 % 20 320 % 320 , 20
A"98%9 ! 4%$45$67% ; 74#67%76< "9 CTA 8 &00 &0 '0 *0 8 &+0 *0 8 *0 , &+0 8 1+0
S M%$45$67% 7 % 8 &0 10 '0 &00 1000 7 1+0 1+0 0 0 &0 &0 10 '0 &00 1000 7 +10 1000 7 +0
b) !espondemos las interrogantes $%u!ntos aprobaron solo %A& 60 $%u!ntos aprobaron solo comunicaci(n " matem!tica&+0 $%u!ntos aprobaron solo matem!tica&0
ACTIVIDAD: RESUELVE RESUELVE PROBLEMAS DEL NIVEL DE REFORZAMIENTO PROBLEMA N02
PROBLEMA N03
De 60 deportistas se observa que 2 de ellos practican futbol, 26 practican b!squet " 25 practican voleibol* +3 practican practican futbol " b!squet* +0 practican practican b!squet " voleibol* practican futbol " voleibol# >i 6 practican los tres deportes, $%u!ntos no practican ninguno de estos deportes&
n una encuesta realizada a un grupo de +00 estudiantes de un instituto de idioma se obtuvo los siguientes resultados: 2 estudian espa=ol*30 estudian alem!n*2 estudian franc9s* estudian espa=ol " alem!n*+0 estudian espa=ol " franc9s* 5 estudian alem!n " franc9s* 3 estudian los tres idiomas# $%u!ntos estudiantes toman el franc9s como )nico idioma de estudios&
PROBLEMA N0&
PROBLEMA N0'
De un grupo de 5 personas se observa lo siguiente: personas leen solo el 4comercio*+6 personas leen solo la 4rep)blica*20 personas leen solo el 4eFpreso*1 personas leen el 4comercio " 4la rep)blica* personas leen el 4comercio " 4eFpreso* 3 personas leen la 4rep)blica ,el eFpreso " 4comercio*2 personas no leen ninguno de estos diarios# $%u!ntas personas leen el 4eFpreso&
De un grupo de estudiantes que llevan por lo menos uno de los tres cursos que se indican, se sabe que: 10 estudian ingl9s*0 estudian qu
PROBLEMA N0
PROBLEMA N0
Gna encuesta realizada entre 2 madres de familia arrojo el siguiente resultado: 3 saben costura*1 saben reposter
De +5 lectores de revistas: 1 leen revista 4A*53 leen revista 4*65 leen revista 4%* +5 leen la revista 4A " 4*+3 leen la revista 4 " 4%*5 leen las revistas 4A, 4 " 4%*+1 leen las revistas A " %# $%u!ntos leen la revista A, pero no la revista &
PROBLEMA N0*
PROBLEMA N0+
n un campeonato de atletismo inter escolar participaron 25 personas entre p)blico " atletas# odos odos los atletas recibieron medallas distribuidas de las siguientes maneras: 5 reciben medalla de oro* 60 reciben medalla de plata* +30 reciben medalla de bronce* 0 reciben medalla de oro " plata* 25 reciben medalla de plata " bronce* 65 reciben medalla de oro " bronce* 20 reciben las tres medallas# $Hu9 cantidad de personas estuvieron como espectadores&
De 00 alumnos, se sabe con certeza que: ++0 estudian matem!tica* 20 estudian geograf
PROCESO DE DESARROLLO (TALLER) (TALLER) PROBLEMA 02:
#0 !=24
* = 2#
a = 8
3
' #
. = )
4 " a + & + # + 4 " a + '# 4 – '# " a "a
# " - + & + # + 4 # " - + '& # – '& " ."-
! " c + + # + 4 ! " c + ' ! – ' " c ' " c
4 X + + & + # + + . + 4 + ' " #0 X + 4. " #0 X " #0 / 4.
X
c=12
$ = 25
PROBLEMA 03: 100 = 28
= 30 5
a
'
3
.
2
c ! = 42
a + ! + + & " a + '! " a " / '! a " '
- + ! + + " 0 - + '0 " 0 - " 0 – '0 - " 0
c + & + + " 4 c + ' " 4 c " 4 / ' c " 0
PROBLEMA 0&: 5) &
R 4
8
5
3
1#
. 2
20
+ 4 + + ! + '# + 0 + - + " !. ! + - " !. - " !. / ! -"' een e1preso2 + ! + 0 + + ! + 0 + ' .
PROBLEMA 0': X = '0
= 40 20
a 15
5
.
a + 0 + ! + '! " &0 a + 40 " &0 a " &0 / 40 a " 0
- + 0 + ! + '0 " 40 - + ! " 40 - " 40 / ! -"!
10 0 + 0 + ! + '! + ! + '0 + '0 " N3 alumnos en total .!
c M = 40
c + '! + ! + '0 " 40 c + 0 " 40 c " 40 / 0 c " '0
PROBLEMA 0: 82 & = 43
R = 4' 8
a
1'
11
.
1)
+ '' + '. + - " 4& + - " 4& - " 4& / -".
= 58
PROBLEMA 0: 185 = 4'
* = 53 10
a
5 12
.
a + '0 + ! + ' " 4& a + & " 4& a " 4& / & a " 0 6u*ntos leen la re7ista A, pero no la re7ista B8 a + ' " 0 + ' "
8
c & = #5
'& + '' + '. + c " ! 4& + c " ! c " ! / 4& c " ''
u*ntas amas de casa sa-en s5lo una de las tres especialidades especialidades & + . + ''" &
X
&
a + + '' + '& " 4 a + # " 4 a " 4 / # a"&
PROBLEMA 0*" 285 , + M = )5 a = 10
45
20 20
a + 0 + 0 + 4! " .! M, = #0 a + ! " .! a " .! / ! . = 15 a " '0
- + 0 + 0 + ! " #0 - + 4! " #0 - " #0 / 4! - " '!
c + 4! + 0 + ! " '0 c + &0 " '0 c "'0 / &0 c " #0
5
c M* = 130
A9:9A;2 '0 + 0 + 0 + 4! + #0 + ! + '! '&! PUB<O2 ''0
PROBLEMA 0+: 400 O-ser7amos los =ue estudian por lo menos dos cursos mencionados % = 240 40 + 40 + '0 + #0" '!0
M = 110 40
a 10
40
.
#0
& L = 1)0
