Problema del trompo simétrico sometido a una fuerza Samuel Martín Gutiérrez 3 de abril de 2011
El problema propuesto consiste en plantear las ecuaciones de movimiento de un trompo simétrico que gira anclado a un carro de masa m que se mueve sometido a una fuerza F situada en la dirección Y pero de valor desconocido.
En esta figura los ejes X , Y , Z son fijos y los f 1, f 2 , f 3 móviles. A la hora de trabajar con vectores, se proyectarán sobre los ejes f 1 , f 2 , f 3 , que realizan los movimientos de precesión y nutación con el trompo, pero no el de spin; es decir, girarán los ángulos Φ y θ pero no el Ψ.
1
Las coordenadas que se van a utilizar son los ángulos de Euler para los movimientos de rotación y el desplazamiento en la coordenada Y para el de traslación. Como la fuerza F es desconocida y el uso de la Lagrangiana está restringido a sistemas sobre los que actúan fuerzas procedentes de potenciales generalizados, en este caso no se puede utilizar. Para encontrar las ecuaciones de movimiento se utilizará entonces la ecuación [Sym68]: d dt
1.
∂T ∂ q˙k
−
∂T = Qk qk
(1)
Cálculo de T
La energía cinética T se puede descomponer en la energía de rotación del trompo, la de traslación de su centro de masas y la de traslación del carro.
1.1.
Cálculo de la energía cinética de rotación
La energía cinética de rotación del trompo es: T =
1 ω [I ] ω 2
(2)
ω es el vector velocidad angular e [I ] el tensor de inercia. Para Donde ω en los ejes poder utilizar el tensor de inercia diagonal, se debe proyectar principales de inercia, que son precisamente f 1 , f 2 , f 3 . Los momentos I 1 e I 2 son iguales, por lo que se denominará I 1 a ambos. ˙ está situado en El vector θ˙ se encuentra en la dirección f ˆ1. El vector Ψ ˙ se halla contenido en el plano f 2 , f 3 y girado la dirección f ˆ3 . En cuanto a Φ, un ángulo (90 − θ) respecto a f 2 , por lo que sus proyecciones sobre f 2 y f 3 serán: ˆ2 + Φcos ˆ3 ˙ = Φsin ˙ ˙ Φ θf θ f
(3)
ˆ1 + Φsin ˆ2 + (Ψ ˆ3 ˙ ˙ + Φcos ˙ ω = θ˙f θf θ )f
(4)
ω queda: Finalmente
2
Y la energía cinética de rotación: T rot =
1.2.
I 1 ˙2 I 3 ˙ ˙ θ )2 (θ + Φ˙ 2 sin2 θ) + (Ψ + Φcos
2
2
(5)
Cálculo de la energía cinética de traslación
La energía cinética del centro de masas del trompo es: T cm =
1 M |vG |2 2
(6)
Donde vG es la velocidad del centro de masas respecto a un sistema de ˆ y la de referencia inercial; es decir, la suma de la velocidad del carro Y ˙ Y ˙ + h∧ω . rotación: v G = Y ˙ debe ser proyectada en los ejes f i para poder sumarla con La vecocidad Y h ∧ ω: ˙ = Y ˙ [sinΦf ˆ1 + cosΦ cos θf ˆ2 + cos Φ sin θf ˆ3 ] Y
(7)
ˆ1 − θh ˙ f ˆ2 , v G queda: ˙ h∧ω = hΦsin θ f Entonces, como
ˆ1 + (Y ˙ cosΦcos θ − hθ˙)f ˆ2 − Y ˙ cosΦsin θf ˆ3 ˙ sin Φ + hΦsin ˙ v G = (Y θ)f
(8)
Tras calcular |vG |2 y operar se obtiene T cm :
T cm =
M ˙ 2 ˙ θ − θ˙ cosΦcos θ )] [Y + h2(θ˙2 + Φ˙ 2 sin2 θ) + 2 hY ˙ (ΦsinΦsin
2
(9)
Encuanto a la energía cinética del carro: T m =
1 ˙2 m Y 2
La energía cinética total será la suma de (5), (10) y (9):
3
(10)
T =
I 1 ˙2 I 3 ˙ ˙ θ )2 + (θ + Φ˙ 2 sin2 θ) + (Ψ + Φcos
2
2 M ˙ θ − θ˙ cosΦcos θ )]+ + [Y ˙ 2 + h2 (θ˙2 + Φ˙ 2 sin2 θ) + 2 hY ˙ (ΦsinΦsin 2 1 + m Y ˙ 2 2 (11)
2.
Cálculo de las fuerzas generalizadas
Las fuerzas que actúan son la gravedad y la fuerza F , que actúa siguiendo la coordenada Y . La gravedad procede del potencial V = M gh cos θ. De aquí se deduce que en las coordenadas Φ y Ψ no existen fuerzas generalidas:
Qθ = −
∂V = M gh sin θ ∂θ
QΦ =0
(12)
QΨ =0 QY =F
3.
Parciales de T Parciales respecto a qk : ∂T ˙ ˙ 2 + Φ˙ 2 cos θ)+ θ (Ψ =I 1Φ˙ 2 sin θ cos θ − I 3 Φsin ∂θ ˙ θ + θ˙ cosΦsin θ )] + M [h2 Φ˙ 2 sin θ cos θ + hY ˙ (ΦsinΦcos
(13)
∂T ˙ θ + θ˙ sinΦcos θ ) = M hY ˙ (ΦcosΦsin ∂ Φ
(14)
∂T =0 ∂ Ψ
(15)
∂T =0 ∂Y
(16)
4
Parciales respecto a q˙k y derivadas de éstas respecto al tiempo: ∂T ∂ θ˙
˙ 1 + hM [hθ˙ − Y ˙ cosΦcos θ] = θI
(17)
d ∂T ¨ 1 + hM [hθ¨ − Y ¨ cosΦcos θ + Y ˙ ΦsinΦcos ˙ ˙ θ˙ cosΦsin θ] (18) θ + Y = θI dt ∂ θ˙
∂T
˙ ∂ Φ
2 2 ˙ ˙ + Φ) ˙ + hM [hΦsin ˙ ˙ sinΦsin θ] θ + I 3 cos θ (Ψ θ + Y = I 1 Φsin
(19)
d ∂T ¨ 2 θ + 2Φ˙ θ˙ sin θ cos θ) + I 3[cos θ(Ψ ¨ + Φcos ¨ ˙ ˙ + Φcos ˙ θ − θ˙Φsin θ ) − θ˙ sin θ (Ψ θ )]+ =I 1(Φsin ˙ dt ∂ Φ ¨ 2 θ + 2hΦ˙ θ˙ sin θ cos θ + Y ¨ sinΦsin θ + Y ˙ ΦcosΦsin ˙ ˙ θ˙ sinΦcos θ] + hM [hΦsin θ + Y
(20) ∂T
˙ Ψ
˙ + Φcos ˙ θ) = I 3 (Ψ
d ∂T ¨ + Φcos ¨ ˙ θ˙ sin θ) = I 3 (Ψ θ−Φ ˙ dt ∂ Ψ ∂T
˙ ∂ Y
˙ = m Y ˙ + M [Y ˙ + h(ΦsinΦsin θ − θ˙ cosΦcos θ )]
(21)
(22)
(23)
d ∂T ¨ ¨ ˙ 2 cosΦsin θ + Φ˙ θ˙ sinΦcos θ− θ+Φ =Y (m + M ) + M (hΦsinΦsin ˙ dt ∂ Y ˙ θ + θ˙2 cosΦsin θ) − θ¨ cosΦcos θ + θ˙ΦsinΦcos
(24)
4.
Ecuaciones de movimiento
Finalmente las cuatro ecuaciones de movimiento se pueden escribir utilizando la ecuación (1): 5
¨ cosΦcos θ − Y ˙ ΦsinΦcos ˙ ˙ θ˙ cosΦsin θ]− θ¨(M h2 + I 1 ) − M h[Y θ − Y ˙ + Φcos ˙ ˙ (ΦsinΦcos ˙ θ )sin θ − M hY θ + θ˙ cosΦsin θ ) = −(M h2 + I 1)Φ˙ 2 sin θ cos θ + I 3 (Ψ = M gh sin θ (25) ¨ 2 θ + 2Φ˙ θ˙ sin θ cos θ) + I 3 cos θ(Ψ ¨ + Φcos ¨ ˙ θ˙ sin θ)− θ−Φ (M h2 + I 1 )(Φsin ˙ + Φcos ˙ ˙ (ΦcosΦsin ˙ θ ) − M hY θ + θ˙ sinΦcos θ ) = 0 −I 3 θ˙ sin θ(Ψ (26) ¨ + Φcos ¨ ˙ θ˙ sin θ) = 0 I 3 (Ψ θΦ
(27)
¨ (m + M ) + M h[sin Φ sin θΦ ¨ + cos Φ sin θ(Φ˙ + θ˙2 ) + 2 Φ˙ θ˙ sinΦcos θ − θ¨ cosΦcos θ] = F Y
(28)
Referencias [Sym68] Keith R. Symon.
Mecánica .
Aguilar, 1968.
6
