Probabilidad a priori En inferencia estadística Bayesiana Bayesiana,, una distribución de probabilidad a priori de una cantidad p desconocida, es la distribución de probabilidad que expresa alguna incertidumbre acerca de p antes de tomar en cuenta los "datos". Aplicando el Teorema de Bayes, Aplicando Bayes , la probabilidad a priori se multiplica por la verosimilitud verosimilitud,, al normalizar se obtiene la distribución de probabilidad a posteriori , la cual es la l a probabilidad de la distribución condicional dados los datos. Los parámetros de las distribuciones a priori son llamados hiperparámetros , para distinguirlos de los parámetros del modelo. Por ejemplo, si se está usando una distribución beta para modelar la distribución del parámetro p, entonces:
p es un parámetro de una distribución Bernoulli, y α y y β son parámetros de la distribución a priori (distribución beta), y por lo
tanto hiperparámetros
Probabilidad a posteriori En estadística Bayesiana, Bayesiana, la probabilidad a posteriori de un evento aleatorio es la probabilidad condicional que es asignada después de que la evidencia es tomada en cuenta.
Definición[editar ] Teniendo la creencia a priori de que la función de distribución de probabilidad es que una observación como
con la verosimilitud
y de
, la probabilidad a posteriori es definida
.
Ejemplo[editar ] Supongamos que un colegio mixto donde el 60% de los estudiantes son chicos y el 40% son chicas. Las chicas llevan pantalón o falda en probabilidades iguales; los chicos siempre llevan pantalones. Un observador ve desde lejos a un estudiante aleatorio; lo único que puede distinguir el observador es que el o la estudiante lleva pantalones. ¿Cuál es la probabilidad de que sea una chica? La respuesta correcta se puede hallar usando el Teorema de Bayes. El evento A es que el estudiante observado sea una chica, mientras que el evento B es que el estudiante observado lleva pantalones. Para hallar P( A|B), primero necesitamos saber:
A), o la probabilidad de que el estudiante sea una chica a pesar de cualquier otra P( A
información. Ya que el observador ve un estudiante aleatorio, y dado que todos los estudiantes tienen la misma probabilidad de ser observados, y el porcentaje de chicas entre los estudiantes es el 40%, esta probabilidad es 0,4.
P( A'), o la probabilidad de que el estudiante observado sea un chico a pesar de cualquier otra información ( A' es el complementario del evento A). Esto es el 60%, o 0,6.
P(B |A), o la probabilidad de que el estudiante que lleva pantalones sea una chica. Como tienen la misma probabilidad de llevar falda o pantalones, esto es 0,5.
P(B |A'), o la probabilidad de que el estudiante que lleva pantalones sea un chico. Esto es 1.
P(B), o la probabilidad de que un estudiante (aleatorio) lleve pantalones a pesar de cualquier otra información. Dado que P( B) = P(B |A)P( A) + P(B |A')P( A'), esto es0,5×0,4 + 1×0,6 = 0,8.
Dados todos estos datos, la probabilidad de que el observador haya visto a una chica habiendo observado que lleva pantalones puede ser calculada sustituyendo estos valores en la fórmula:
Probabilidad Subjetiva Se basan en la creencias e ideas en que se realiza la evaluación de las probabilidades y se define como en aquella que un evento asigna el individuo basandose en la evidencia disponible (el individuo asigna la probabilidad en base a su experiencia).
La probabilidad subjetiva puede tener forma de frecuencia relativa de ocurrencia anterior o simplemente puede consistir en una conjetura inteligente N.
Para clarificar lo antes dicho un ejemplo muy común es el pronostico del tiempo, muchos individuos como nosotros realizamos una predicción personal de como seran las condiciones climaticas para el dia, basadas mas en nuestra experiencia personal pero que muchas veces sustentamos en experiencia de eventos pasados.
La asiganación de probabilidad subjetiva se dan generalmente cuando los eventos ocurren solo 1 vez y a lo máximo unas cuantas veces mas.
Sin embargo en las organizaciones a pesar de que es comun tomar desiciones en base a la probabilidad subjetiva la mayoria de las veces esta se respalda con datos futuros estadisticos.
PROBABILIDAD OBJETIVA Aquella que se determina tomando como base algún criterio experimental uobjetivo ajeno al sujeto deci-sor, como el cociente entre el número de casos favorables y número de casos posibles o el límite de una frecuencia relativa. Incluso en estos casos la determinación de la probabilidad entraña un cierto grado de subjetividad. Por ejemplo, cuando al lanzar un dado se le atribuye a la cara seis 1/6 de probabilidad se está suponiendo implícitamente que el dado está perfectamente construido.
Una teoría de mayor aplicación y muy sostenida es la basada en la frecuencia relativa. Puede atribuirse a este punto de vista el adelanto registrado en la aplicación de la probabilidad en la Física, la Astronomía, la Biología, las Ciencias Sociales y los negocios. Esta teoría está estrechamente relacionada con el punto de vista expresado por Aristóteles: “lo probable es aquello que ocurre diariamente”. Notamos a través de gran cantidad de observaciones acumuladas con los diversos juegos de azar una forma general de regularidad que permitió establecer una teoría. Supongamos que efectuamos una serie de n repeticiones del experimento E, intentando mantener constantes las condiciones pertinentes. Sea f el número de repeticiones en las que se presenta el suceso A, de forma que en las restantes n – f no se presentará. Obtendremos así una serie de frecuencias relativas para n1, n2 ….
Estas frecuencias relativas diferirán poco entre sí cuando las ni sean grandes y tenderán a acumularse en la proximidad de un valor fijo. Debemos señalar que la estabilidad, a la larga, de las frecuencias relativas se aplica a una amplia clase de experimentos aleatorios, de los que el juego de azar constituye un caso en particular, casi insignificante.
Para establecer una descripción matemática sencilla de la conducta de las frecuencias relativas para grandes valores de n, vamos a postular la existencia de un nro. p que es el nro. al cuál tiende f r, es decir, la frecuencia relativa del suceso en estudio. Este número se llamará probabilidad del suceso A en relación con el experimento aleatorio E. La frecuencia relativa f r se considerará entonces como una medida experimental de la probabilidad y diremos: “De acuerdo con el concepto empírico de la estabilidad de las razones frecuenciales cabe esperar
que,
para
grandes
valores
de
n,
la
razón
frecuencial observada
sea
aproximadamente igual a p que se llamará probabilidad del suceso en estudio”. Estaremos entonces “ estimando” el valor de una probabilidad desconocida por medio de un estudio de la conducta de las frecuencias relativas del hecho o suceso correspondiente. La aplicación de esta definición está relacionada con un experimento aleatorio que puede ser repetido varias veces en condiciones uniformes. Naturalmente, la repetición real será en ocasiones difícil o incluso imposible de realizar, por ejemplo, debido a los costos prohibitivos de experimentación, pero bastará con que sea concebible una repetición en condiciones uniformes. Pensaste cuando tirás muchas, muchas veces una moneda ¿cúal es la probabilidad de que salga cara? ¿Aplicaste esta definición? ¿Por qué?. Discutilo en grupos y analizá la explicación con tu profesora.
Frecuencia relativa y probabilidad La definición moderna de probabilidad basada en la axiomática de Kolmogorov (presentada anteriormente) es relativamente reciente. Históricamente hubo otros intentos previos de definir el escurridizo concepto de probabilidad, descartados por diferentes razones. Sin embargo conviene destacar aquí algunas ideas que aparecen en la antigua definición basada en la frecuencia relativa, ya que permiten intuir algunas profundas propiedades de la probabilidad. Recordemos antes que si en un experimento que se ha repetido n veces un
determinado suceso A se ha observado en k de estas repeticiones, la frecuencia relativa f r del suceso A es: f r = k /n El interés por la frecuencia relativa y su relación con el concepto de probabilidad aparece a lo largo de los siglos XVIII a XX al observar el comportamiento de numerosas repeticiones de experimentos reales. A título de ejemplo de un experimento de este tipo, supongamos que se dispone de una moneda ideal perfectamente equilibrada. Aplicando directamente la regla de Laplace resulta claro que el suceso A = obtener cara tiene probabilidad: p(A) = 1/2 = 0,5 En el cuadro siguiente se simula por ordenador el comportamiento de la frecuencia relativa del suceso A = obtener cara. El cuadro inicia la simulación con el lanzamiento consecutivo de la moneda veinte veces, calculando la frecuencia relativa de cara y comparándolo con la p(A) = 0.5. Aunque no es imposible que coincidan, la mayoría de veces f r será diferente. El lector puede manipular el cuadro para observar qué ocurre con rachas entre n = 1 y n = 1000 lanzamientos. También puede empezarse una nueva racha de lanzamientos con el botón
Probabilidad La probabilidad es un método por el cual se obtiene la frecuencia de un acontecimiento determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, las ciencias y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecánica subyacente discreta de sistemas complejos, por lo tanto es la rama de las matemáticas que estudia, mide o determina a los experimentos o fenómenos aleatorios.
posibilidad Una manera alternativa de expresar la ocurrencia o no de un evento. Las posibilidades en favor de un evento se definen como el número de resultados favorables dividido por el número de resultados d esfavorables. De manera similar, las posibilidades en contra de un evento se definen como el número de resultados desfavorables dividido por el número de resultados favorables. La probabilidad puede considerarse como una relación de parte/todo, lo cual se emplea para describir la ocurrencia o no de un evento. Las posibilidades pueden considerarse como una relación parte/parte. La siguiente fórmula se p uede emplear para convertir una probabilidad en posibilidades. posibilidades = probabilidad/(1 - probabilidad) Probabilidad y Posibilidad viernes, 02 de junio de 2006
Existe una diferencia marcada entre lo que es la posibili dad y la probabilidad, aunque habitualmente se manejan estos dos términos como si significaran lo mismo. Evento: Es uno o más de los posibles resultados de hacer algo.
Probabilidad: En un proceso aleatorio, razón entre el número de casos favorables y el número de casos posibles.
Es decir, la probabilidad es una razón, cociente o división de 2 números, la cantidad de casos favorables dividido por el número de casos posibles. Por lo tanto, la probabilidad siempre la expresamos con un número o cantidad decimal con valore entre cero y uno. Tener una probabilidad de cero significa que algo nunca va a suceder; una probabilidad de uno indica que algo va a suceder siempre. Además la probabilidad es comparable, o lo que es lo mismo, podemos decir que un evento A ocurra es mas o menos probable que ocurra otro evento B.
Posibilidad: Aptitud, potencia u ocasión para ser, existir o suceder algo.
Es decir, algo o es posible o imposible y no lo expresamos nunca con ningún valor, número o cantidad. No podemos decir que un evento A es más posible que ocurra que otro evento B.
Independencia (probabilidad) En teoría de probabilidades, se dice que dos sucesos aleatorios son independientes entre sí cuando la probabilidad de cada uno de ellos no está influida porque el otro suceso ocurra o no, es decir, cuando ambos sucesos no están relacionados.
Definición formal[editar ] Dos sucesos son independientes si la probabilidad de que ocurran ambos simultáneamente es igual al producto de las probabilidades de que ocurra cada uno de ellos, es decir, si
Motivación de la definición [editar ] Sean y dos sucesos tales que , intuitivamente A es independiente de B si la probabilidad de A condicionada por B es igual a la probabilidad de A. Es decir si:
De la propia definición de probabilidad condicionada:
se deduce que
y dado
que
deducimos trivialmente
que
.
Si el suceso A es independiente del suceso B, automáticamente el suceso B es independiente de A.
Propiedades[editar ] La independencia de sucesos es algo muy importante para la estadística y es condición necesaria en multitud de teoremas. Por ejemplo, una de las primeras propiedades que se deriva de la definición de sucesos independientes es que si dos sucesos son independientes entre sí, la probabilidad de la intersección es igual al producto de las probabilidades.
Sucesos dependientes Dos sucesos , A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B.
Extraer
dos
cartas
de
una
baraja,
sin
reposición,
son sucesos dependientes .
Sucesos independientes Dos sucesos , A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B.
Al lazar dos dados los resultados son independientes .
Eventos mutuamente excluyentes y no excluyentes Eventos mutuamente excluyentes y no excluyentes Eventos mutuamente excluyentes y eventos no excluyentes Dos o más eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos, si no pueden ocurrir simultáneamente. Es decir, la ocurrencia de un evento impide automáticamente la ocurrencia del otro evento (o eventos). Dos o más eventos son no excluyentes, o conjuntos, cuando es posible que ocurran ambos. Esto no indica que necesariamente deban ocurrir estos eventos en forma simultánea. La regla de la Adición expresa que: la probabilidad de ocurrencia de al menos dos sucesos A y B es igual a: P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) Si A y B son mutuamente excluyente: P(A o B) = P(A) + P(B)
P(A y B)
Si A y B son no excluyentes Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento AP (B) = probabilidad de ocurrencia del evento BP(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultanea de los eventos A y B Eventos Independientes Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.
