polinomios_exercicios + GABARITO

EXERCÍCIOS SOBRE POLINÔMIOS 1) Encontre as raízes dos polinômios abaixo. a) P( x ) = x 2

+ 2x − 8

b) G( x ) = x 3

− 2x 2 + x

c) F( x ) = x 2

− 3x + 2

2) Divida o polinômio P(x) pelo polinômio D(x) e apresente o resultado na forma

P ( x ) = D( x ) ⋅ Q( x ) + R ( x ) onde R(x) é o resto e Q(x) é o quociente. a) P( x ) = x 3

+ 2x 2 − 4 x + 1 e D( x) = x − 1

b) P( x ) = x 4

− 3x2 − 4

c) P( x ) = x 3

− x 2 + 3x − 2

d) P( x ) = x 4

+ x3 − 2

e D( x) = x + 2 e D( x) = x 2

e D( x) = x 2

− 2x + 3

−x+5

3) Utilize produtos notáveis para expandir as expressões abaixo. a) ( x + 1 )2

2

b) ( a + 5 )2 c) ( a2 + 1 )2

k)

s)

 x + s       2 3  

l)

(a2 – b2 )2

t)

( 2c + 3d)3

m)

 a − 1        2  

n)

(a − 3ab )

d) ( 3y + 2 )2

f)

u) (2 – x)3

2

2

e)

3

 x − y       2 3  

 x + y       2 4  

( 2a + 10 )2

3

v) (a2 – 2)3 2 2

g) ( x2 + y2 ) 2

o) (2+m) (2-m)

h) ( 2xy + 5 )2

p)

2

i)

(2–s)

  j)

(2m – n )2

 c d   c d    +   −    3 2   3 2  

q) ( 1 – 3v) (1 + 3v) r) ( 1 + a )3

4) Fatore (ao máximo) os polinômios abaixo. a) x 2 z − 2x 3 z 2 b) 20 zx 2 c)

− 12x 2 t 2 + 20 xyz − 12xyt 2 + 5zy 2 − 3t 2 y 2

(x + y )2 − 2(x + y )(5z + c) + (5z + c)2

d) 9x 2 e)

− 5x 2 zy + 3x 2 z 2

+ 63 x + 3 12

4

(9x 2 + 1)2 − 12x (9x 2 + 1) + 36x 2

3

w)

 1 − s       2  

x) (3m – 2n )3 y) (2m –b) (2m + b) 3

z)

 a + 4      3    

6x 3n

f)

+ x 2n

a 2x 2 g) 16

− 3abxy + 36b 2 y 2

5) Simplifique as expressões abaixo utilizando as operações necessárias.

+y x − −y x +y x + −y x

x x x x

a)

−y +y −y +y

c)

.

2x

2

+ 2y

−x2

a 2b 2

2

1 a

xy

+

÷

bx a2

+x2

1

3 ab d) 1 b −1 + b

  x x 2x 2 4 x 2 y 2   x2 −y2    + + +  x − y x + y x 2 + y 2 x 4 − y 4  . 4x 2    

b)

a2

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE POLINÔMIOS 1) a) x = - 4 e x = 2 2) a) Q( x ) = x 2 b) Q( x ) = x 3

b) x = 0 e x = 1 (raiz dupla)

+ 3x − 1 ; R ( x ) = 0

x3

portanto,

− 2x 2 + x − 2 ; R( x ) = 0 portanto,

c) Q( x ) = x + 1; R ( x ) = 2x − 5 portanto, d) Q( x ) = x 2  x

4

+

 x

3

+ 2x − 3 ; R( x ) = −13 x + 13

x3

c)x = 1 e x = 2

+ 2 x 2 − 4x + 1 = (x − 1)(x 2 + 3 x − 1) + 0

x4

− 3 x 2 − 4 = (x + 2) x 3 − 2x 2 + x − 2 + 0

− x2 + 3x − 2 =

x2

− 2x + 3 (x + 1) + 2x − 5

portanto,

− 2 = ( − + 5 )( + 2 − 3 ) − 13 + 13  x

2

 x

 x

2

 x

x

3) a) x2 + 2x + 1 b) a2 + 10a + 25 c) a4 + 2 a2 + 1

l)

d) 9y2 + 12y + 4 2

x e) 4 f)

+

xy 4

y + 16

− xy + 3

y2 9

a4 – 2a2b 2 + b4

m) a

2

1 −a + 4

n) a 6 − 6a 4b 2 + 9a 2b 4

s) t)

25 4 – 4s + s 2 2 4m – 4mn + n2

p)

c 9

+x

2

s 4

+

xs 2 6

+

s3 27

8c 3 + 36c 2d + 54cd2 + 27d3

v) a6 – 6 a4 + 12 a2 – 8 w)

1 3 − s 8 4

+ 3s 2 − s 3 2

x) 27m 3-54m2n+36mn2-8n3

o) 4-m2 2

x3 8

u) 8 – 12x + 6x2 – x3

4 a2 +40a + 100

h) 4x2y2 + 20xy +

  j)

x2 4

2

g) x4 + 2x2y2 + y4

i)

k)

−d

2

4

q) 1 – 9v2 r) 1 + 3 a + 3 a2 + a3

y) 4m 2 – b2 z)

1 3 a 27

+ 4 a 2 + 16a + 64 3

4) a) x2z(1 – 2xz – 5y + 3z)

   

d) 9 x +

b) (2 x + y )2 (5 z − 3t 2 )

1    1     x +   3    4  

f) x 2n (6 x n + 1) 2

 ax − 6by   g)      4  

e) (3x − 1) 4

c) (x + y − 5z − c )2 5)a) x x x x

+y −x −y x + y +x −y x

−y +y −y +y

2x 2

.

+ 2y 2 xy

2(x 2 + y 2) xy 2( x 2 + y 2 ) 4 xy

+ y )2 − (x − y )2 = (x + y2 )( x − y ) 2 (x + y ) + (x − y ) ( x + y )( x − y ) (x

2(x 2 + y 2 ) . xy

=

x 2 + 2xy x 2 + 2xy

+ y 2 − x 2 + 2xy − y + y 2 + x 2 − 2xy + y

=4

.

b) x4 – y4 = (x2 – y2 ). (x2 +y2) = ( x+y).(x-y). (x2 +y2) (

x x

=(

=(

=(

c)

−y x (x

x4

+

x x

+y

+

+y )(x 2

+

2x 2 x2

+

y2)

y

+ 2

−y4

x2

−y 2 = 2

4x

)(x

− y ) + 4x

+ x 2 y 2 + x 3y + xy 3 + x 4 + x 2y 2 − x 3y − xy 3 + 2x 4 − 2x x2 +y 2

+ 4x 2y 2 ). 1 = x2+y2 4x 2 − x2

a 2b 2

1 a

x4

).

+ x (x − y )(x 2 + y 2 ) + 2x 2(x + y (x + y )(x − y )(x 2 + y 2 )

4x 4

a2

4x 2y 2

+

÷

bx a2

b3

1

ab 3 d) 1 b −1 + b

+ x2

=

=

x

a2

− b +1 b

2

−x 2

a 2b 2

+1

ab 3 b2

4x 2 (x 2 + y 2 )

=

b3

+y

.

a2

+1

ab 3

2

.

4x 2

+x 2 bx

.

1

=

2 2

y

y

+

).

−x4

a 2b 3x

−b +1

+ 1)(b 2 − b + 1) b + 1 = = 2 ab 2 (b 2 − b + 1) ab (b

(x

+y

4x 2y 2

=1

a4

b b2

2 2

)(x

4x 2 ).

1 4x 2

−y ) =

=

2

2(x 2 + y 2) . 2 xy

=