Luz Polarizada
A. Patiño
luz Polarizada Alberto Patiño Vanegas Vanegas Grupo de Óptica Moderna Universidad de Pamplona 2007
Luz Polarizada
Contenido
1. Rep Repres resent entaci ación ón de de estad estados os de de polarizac polarización. ión. 2. Po Pola lari riza zado dore res. s. 3. Rep Repres resent entaci ación ón de disp disposi ositiv tivos os polarizad polarizadores ores. .
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1. Represent 1.Repr esentación ación de estados estados de polarización Concepto de Polarización
Polarización de cualquier tipo de onda
Comportamiento en el tiempo de cualquiera de los vectores de campo asociado a esa onda observado en un punto fijo del espacio.
Para las ondas de luz E, D, H, B
Vector de campo eléctrico E
Describen completamente su naturaleza electromagnética Se escoge para definir el estado de polarización de las ondas de luz .
Cuando la luz interactúa con la materia, la fuerza sobre los electrones por el campo eléctrico es mucho más grande que la ejercida por el campo magnético.
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Polarización de una onda luminosa monocromática plana Consideremos una onda plana propagándose en la dirección del eje z de un sistema de coordenadas cartesiano ortogonal y a mano derecha xyz. El campo eléctrico se puede considerar separadamente como la suma de dos campos perpendiculares que se propagan en la dirección normal al plano xy que los contiene: r
E ( z , t ) = E x ( z , t )eˆ x + E y ( z , t )eˆ y E x
= A x cos( wt − kz − ϕ x )
E y
= A y cos( wt − kz − ϕ y )
Cambiando el origen del tiempo se introduce un retardo de fase E y respecto a E x :
E x
= A x cos( wt − kz ) ϕ = ϕ y
− ϕ x
E y
= A y cos( wt − kz −
de
)
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...Elipse de polarización Escogiendo un punto cualquiera del espacio, tenemos:
E x (t ) = A x cos wt
E y (t ) = A y cos( wt − ϕ )
Que son las ecuaciones paramétricas de la elipse: 2 x 2 x
E A
+
2 y
E
2 y
A
−
2 cos ϕ E x E y A x A y
= sen 2ϕ
Elipse de polarización polarización
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...Polarización elíptica La punta del vector de campo eléctrico de la onda de luz en un punto fijo del espacio, rota periódicamente en el plano xy trazando una elipse. La ecuación de la elipse muestra que la polarización elíptica es el estado más general de polarización de cualquier campo óptico estrictamente monocromático. Completa especificación de la polarización elíptica
1. La orie orient ntac ació ión, n, form formaa y sen sentitido do de rota rotaci ción ón de la elip elipse se.. 2.
El tamaño de la elipse.
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Parámetros geométricos que describen la elipse de polarización y
• El azimut ψ.
−
1 2
Y
π ≤ ψ ≤
1 2
a
b
X
ψ
A y
η
π
• La elipticidad e. e=
x
b
−1 ≤ e ≤ 1
a
A x
• Polarización derecha . si rota en el sentido del reloj cuando se mira en a dirección contraria a la propagación. e=−
b
• Polarización izquierda . si rota en el sentido contrario del reloj. • La amplitud A .
1
A = (a
2
+ b2 ) 2
e=
a b
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Relación entre ( A x , A y , ϕ ) y ( a , b , xy
Rotación
ψ
XY I ≡ A
• Amplitud Amplitud invariant invariantee ante ante la rotación rotación
2
= A x2 + A y2 = a 2 + b 2 (A) 2
• Reemplazan Reemplazando do en la ecuació ecuación n canónica canónica de la elipse elipse las ecuaciones de transformación
2
sen ϕ (
cos2 ψ a
2
2
+
sen ψ b
2
2
2 x +
) E
2
sen ϕ (
sen ψ a
2
+
E X a
2
2
+
2
A x
2 x +
E
1 2
A y
2 y +
E
E Y b
2
=
1
⎡ E X ⎤ ⎡cosψ senψ ⎤ ⎡ E x ⎤ ⎢ E ⎥ = ⎢− senψ cosψ ⎥ ⎢ E ⎥ ⎦ ⎣ y ⎦ ⎣ Y ⎦ ⎣
cos2 ψ b
2
) E y2 + 2 E x E y sen2ϕ cosψ senψ (
Comparando con la elipse de polarización:
1
)
2 E x E y ( −
cos ϕ A x A y
)
=
2
sen ϕ
1 a
2
−
1 b
2 ) = sen ϕ 2
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...Relación entre ( A x , A y , ϕ ) y ( a , b , sen 2ϕ (
cos 2 ψ
+
a2 2
2
sen ϕ (
sen ψ a
2
+
sen 2ψ b2
cos 2 ψ
sen 2ϕ cos ψ sen ψ ( 2
sen 2ϕ =
(B) + (C)
Dividiendo (1) por
a b 2
b
2
1 a2
)
=
)
−
=
1 b
1
)
(B)
A x2
1 (C)
A y2
) 2
= −
cos ϕ A x A y
(D)
2 2
A x A y
I
(1)
sen(2η ) = sen(2γ ) senϕ
2 Donde
Como
tan γ =
A y
tan η = ±
A x
sen(2γ ) > 0
b a
(3)
(η ángulo de elipticidad)
η da el sentido de recorrido de ϕ
(2)
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...Relación entre ( A x , A y , ϕ ) y (1) en (D) Utilizando (A) y (3)
(5) en (4)
sen(2ψ ) =
a
2
2 A x Ay cos ϕ a
2
−b
(a, b, ) (4)
2
− b 2 = ( I 2 − 4 A x2 A y2 sen 2ϕ )1/ 2
sen(2ψ ) =
2 A x A y cos ϕ ( I 2 − 4 A x2 A y2 sen 2φ )1/ 2
Igual Igualmen mente te hacien haciendo do (B) - (C) 2
cos(2ψ ) =
A x
− A y2
( I 2 − 4 A x2 A y2 sen 2φ )1/ 2
(5)
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...Relación entre ( A x , A y , ϕ ) y
(a, b, )
CONCUSIÓN:
a b
2
2
= =
I 2 + ( I 2 − 4 A x2 A y2 sen2ϕ )1/ 2
2
− I 2 + ( I 2 − 4 A x2 A y2 sen2ϕ )1/ 2
tan(2ψ ) =
e
2 2 A x A y cos ϕ
= tan η = ±
2
A x
b a
− A y2
Ejes propios de la elipse de polarización conociendo las amplitudes de las componentes del campo eléctrico y eléctrico y el desfase relativo entre ellas. Inclinación de la elipse de polarización conociendo las amplitudes de las componentes del campo eléctrico y el desfase relativo entre ellas.
Elipticidad conociendo los ejes propios de la elipse
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...Casos particulares POLARIZACIÓN LINEAL Caso
Ecuación
A x
E y
A y
=0
⎧0 ϕ = ⎨ ⎩π
= A y
A y
E x
=±
E x
= ± E y
A x
Ejes propios a = A x
A = A x
=0
⎧0 ϕ = ⎨ ⎩π
A x
Amplitud
E y A = A
2 x
A =
+
b=0 2 y
A
2 A x
a = A x b=0 a = I b=0
Elipticidad Inclinación
e=0
e=0
e=0
⎧0 ψ = ⎨ ⎩π / 2 ψ = ±
1 2
tan
−1
ψ = ±
La polarización lineal es un caso particular de la polarización elíptica cuando la elipticidad es cero.
2 A x A y A x2 − A y2
π 4
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...Casos particulares POLARIZACIÓN CIRCULAR Caso ϕ =
Ecuación
Amplitud
Ejes propios
π
2 A x = A y ϕ = −
+ E = A
2
2A
a=b= A
Derecha
E x + E y
= A2
2A
a=b= A
e = −1
= A E
2
= A
e =1
2 y
2 x
π
2 A x = A y
Elipticidad
2
Izquierda
Inclinación
indefinida
Indefinida
La polarización circular es un caso particular de la polarización elíptica cuando la elipticidad es ± 1
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Representación de estados de polarización A. ESFERA DE POINCARE 1892, H. Poincar Poincaréé propuso propuso la tripleta: tripleta:
I
z
Intensidad de la onda V
ψ Angulo de inclinación de la elipse η Angulo de elipticidad I = A
2 x
+ A
2 y
ψ = (e x , e X ) )
2η
Q
)
tan η = ±
b a
x
2ψ
U
y
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...Esfera de poincaré
Cada punto (Q,U,V ) sobre la esfera representa un estado de polarización de una onda de intensidad I dada por: 2
I
= Q 2 + U 2 + V 2
Donde las coordenadas cartesianas del punto (Q,U,V) sobre la esfera de azimut 2ψ y latitud 2η son:
Q = I cos(2η ) cos(2 ) U = I cos(2η ) sen( 2ψ ) V = Isen(2ψ )
donde,
sen(2η ) =
2 A x Ay senϕ I
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...casos particulares Se considera la intensidad normalizada: Caso
Elipticidad
2η = 0
2η = ±
e=0
π
e = ±1
2
0
<
2η
<
π
−
π
<
2η
<
2
0 < e <1
2 0
−1 < e < 0
2
I
=1
Vector de Poincaré
⎡cos(2ψ )⎤ ⎢cos(2ψ )⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎡0⎤ ⎢0⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ± 1⎥⎦ ⎡cos(2η ) cos(2ψ )⎤ ⎢cos(2η ) sen(2ψ ) ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ sen( 2ψ
Estado Polarización lineal a un ángulo Polarización circular (+) derecha (-) izquierda Polarización elíptica (+) derecha (-) izquierda
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casos particulares (esfera Poincaré) z
y
x
Puntos diametralmente opuestos representan pares de polarizaciones ortogonales
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B.Parámetros de Stokes En 1852 G. G. Stokes introduce los parámetros ( I, Q, U, V ) para caracterizar el estado de polarización de una onda.
Q = I cos(2η ) cos(2ψ ) = A x
2
− A y2
U = I cos(2η ) sen(2ψ ) = 2 A x A y cos ϕ V = Isen(2ψ ) = 2 A x A y senϕ
Determinación de los parámetros de Stokes.
Los parámetros se aplican igualmente a la luz polarizada, parcialmente polarizada y no polarizada. Proporciona el método más sencillo de superponer dos haces incoherentes. 2 2 2 2 • para un haz ha z completa co mpletamente mente polarizado polariz ado = + + I Q U V ⎡ I ⎤
⎢Q ⎥ ⎢ ⎥ ⎢U ⎥ ⎢ ⎥ ⎣V ⎦
• Para un haz haz parcialme parcialmente nte polariza polarizado do
(Q 2 + U 2 + V 2 )1/ 2 I
2
I
> Q 2 + U 2 + V 2
Grado de polarización
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...Parámetros de Stokes(algunos casos) ⎡1 ⎤ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 ⎦ ⎡1 ⎤ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 ⎦ ⎡1 ⎤ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣− 1⎦
No polarizado
Polarización lineal a 45º
Polarización circular izquierda
⎡1 ⎤ ⎢1 ⎥ ⎢ ⎥ Polarización ⎢0⎥ lineal ⎢ ⎥ horizontal ⎣0 ⎦
⎡1⎤ ⎢− 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢0⎥ ⎢ ⎥ ⎣0⎦
⎡1⎤ ⎢0⎥ ⎢ ⎥ ⎢− 1⎥ ⎢ ⎥ ⎣0⎦
⎡1 ⎤ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣1 ⎦
Polarización lineal a -45º
Polarización lineal vertical
Polarización circular derecha
Los valores de Q, U, V comprendidos en [-1,1]. Q preferencia por polarización horizontal. U preferencia por polarización a +45º. V preferencia por polarización circular.
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...Parámetros de Stokes(aplicaciones) Combinación de dos haces incoherentes • Inte Intens nsid idad ad 4. 4. ⎡1 ⎤ ⎡3⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎢1 ⎥ ⎢0⎥ ⎢1 / 4 ⎥ • Grado Grado de polari polarizac zación ión del del 70%. ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ = 4⎢ ⎥ Resultado • V es cerca cercano no a +1, aprox aproxima imació ciónn ⎢0 ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ polarización circular y derecha. 0 3 3 / 4 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ • U positiv positivo, o, La elips elipsee es más más horizontal que vertical. lineal circular horizontal derecha
⎡1⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎢1⎥ ⎢− 1⎥ ⎢0⎥ ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ = 2⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 ⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎣0 ⎦ Lineal horizontal
Lineal vertical
• Haz Haz no pola polariz rizad ado. o. Resultado
• si fuese fuesenn cohere coherente ntess con con la misma fase, resultaría un haz polarizado lineal a 45º.
Los vectores de Stokes solo pueden sumarse cuando los haces son incoherentes.
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c.Vectores de Jones Podemos escribir las componentes perpendiculares del campo eléctrico así: E x
= Re{Λ x exp(wt )}
Donde,
E x
Λ x = A x exp(iϕ x ) Λ y = A y exp(iϕ y )
= Re Λ y exp(wt ) Envolventes complejas
El estado de polarización de una onda se puede determinar a través de las envolventes complejas:
⎡Λ x ⎤ ⎡ A x ⎤ J = ⎢ ⎥ = ⎢ iϕ ⎥ Λ ⎣ y ⎦ ⎢⎣ A y e ⎥⎦ donde
ϕ = ϕ y
− ϕ x
Vector de Jones
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...Vectores de Jones Dado el vector de Jones
⎡Λ x ⎤ J = ⎢ ⎥ ⎣Λ y ⎦
Se puede determinar de la onda: 2 • In Inte tens nsid idad ad tota totall I = Λ x
de un estado de polarización,
+ Λ y
2
• Estado de polarización comparando las magnitudes de los elementos complejos del vector y analizando el valor y signo de la fase del segundo elemento del vector. • Or Orie ient ntac ació iónn tan(2ψ ) =
• Ej Ejes es pr prop opio ioss 2 Re 2
Λ x Λ y
Λ x − Λ y
2
a2 b
2
= =
2
I
[ − 4Λ (imagΛ) + I 2
]
2 1/ 2
2 x
2
[ − 4Λ (imagΛ) − I + I 2
2
2 x
2
]
2 1/ 2
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...casos particulares(vectores Jones) Se considera la intensidad normalizada:
Vector de Jones
⎡cosψ ⎤ ⎢ senψ ⎥ ⎣ ⎦ 1 ⎤ 1 ⎡ ⎢ ± i π ⎥ 2 ⎢e 2 ⎥ ⎣ ⎦
2
I
=1 Estado
Polarización lineal a un ángulo
Polarización circular (+) derecha (-) izquierda
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Polarizaciones ortogonales Sean
⎡Λ1 x ⎤ J 1 = ⎢ ⎥ Λ ⎣ 1 y ⎦
⎡Λ 2 x ⎤ J 2 = ⎢ ⎥ Λ ⎣ 2 y ⎦
dos vectores de Jones que representan estados de polarización con intensidad normalizada. Estos estados de polarización son ortogonales si el producto interno entre ellos es cero.
( J 1 , J 2 ) = Λ1 x Λ*2 x + Λ1 y Λ*2 y = 0 ejemplo:
⎡1 ⎤ ⎢ i π ⎥ J 1 = 2 ⎢e 2 ⎥ ⎣ ⎦ 1 ⎤ 1 ⎡ ⎢ − i π ⎥ J 2 = 2 ⎢e 2 ⎥ ⎣ ⎦
Condición de ortonormalidad
1
Son ortogonales
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Expansión de una polarización arbitraria en polarizaciones ortogonales J →
J 1 , J 2
Polarización arbitraria
→
Polarizaciones ortogonales
J = α 1 J 1 Donde, ejemplo:
α 1
⎡ cos ψ ⎤ i ψ e = ⎢ sen ψ ⎥ ⎣ ⎦
+ α 2 J 2
= ( J , J 1 ) 1 2
y
⎡1 ⎤ ⎢ i π ⎥ + e − iψ ⎢⎣ e 2 ⎥⎦
Expansión de J
α 2
1 2
= ( J , J 2 ) ⎡ 1 ⎤ ⎢ − i π ⎥ ⎢⎣ e 2 ⎥⎦
Polarización lineal como la suma de dos polarizaciones circulares
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2. Polarizadores Producción Luz polarizada
Polarizador
1.
Prod roducir luz luz po polar lariza izada ord ordiinaria ria.
2.
Dividirla en en do dos componentes polarizadas ortogonales.
3.
Elim limina inar una de las comp ompone onente.
Artefacto que divide la luz no polarizada en dos componentes y descarta una (divisor y selector)
•Absorción •Reflexión •Refracción •Dispersión • Estruc Estructura turall interna interna • Obli Oblicu cuid idad ad • Ar Arma madu dura ra • Visión Visión del haz haz inci inciden dente te
Métodos para resolver un haz en componentes polarizadas Asimetrías claves para el proceso de polarización.
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A. Polarizadores dicroicos dicroicos (Asimetría de absorción) • Pola Polarizad rizador or de de rejilla rejilla de alamb alambre re Ex Ey
Ey produce corriente es los alambres que absorben su energía. Ex
Ex no produce corrientes y atraviesa libremente.
Dificultad:
Solución:
Diámetro y separación de los alambres deben ser pequeños comparados con la longitud de onda de luz
G.R. Bird y M. Parrish (1963) evaporaron metal en los canales de una red de difracción transparente de 50.000 líneas/pul
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...Polarizadores dicroicos • La la lami minna H (E. H. Land 1938) Es una versión química de la rejilla de alambre. Moléculas polimerías largas y delgadas que contienen muchos átomos de yodo se alinean paralelamente una a otra y, debido a la conductividad de los átomos de yodo, se absorbe fuertemente la componente de la vibración eléctrica paralela a la la alineación. Y la perpendicular pasa a través de ella con poca absorción.
Especificaciones: Condición ideal transmite el 50% de la luz incidente d i o r a l o P
HN-38
transmite alrededor del 38% de la luz incidente
HN-32
transmite alrededor del 32% de la luz incidente
HN-22
transmite alrededor del 22% de la luz incidente
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...Polarizadores dicroicos . . . La lamina H Rendimiento: Se mide por la fracción de la componente deseada ( k 1) y no deseada (k 2 ) que se transmite. Estas fracciones depende de la longitud de onda de la luz y difieren por casi seis ordenes de magnitud.
• La la lami minna J (E. H. Land 1928) Primer polarizador de lamina en el mundo. Utiliza cristales reales (millones). (millones). El El cristal cristal individual individual es dicroico, dicroico, absorbe absorbe la luz luz en diferentes diferentes grados grados depe dependi ndiend endoo de la la direcc dirección ión de de vibrac vibración. ión. Land Land escog escogió ió lo cristales de Herapatita por manifestar gran dicroísmo. Una larga hoja de plástico que contiene millones de cristales de herapatita alineados mecánicamente, actúa como un solo cristal de gran longitud y anchura y de poco espesor (0.0005 pulgadas) y proporciona una buena relación entre la gran absorción de la componente que no se desea y la alta transmisión de la componente que se desea. Defecto: cristales de diámetro mayor que una longitud de onda de luz, disipaban la luz. Impedimento para cierta aplicaciones.
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...Polarizadores dicroicos • La la lami minna K (Land y H.G. Rogers 1939) Esta hecha de alcohol polivinilico como la H. Pero, en lugar de añadir los átomos a la hoja, se le quitan. Utilizando cloruro de hidrogeno como catalizador y un horno a alta temperatura se le quitan 2N átomos de hidrogeno y N átomos de oxigeno, dejando un tipo diferente de molécula polímera llamada polivinileno polivinileno.. Para alinearlas se estira en una sola dirección. Es superior a la lámina H en que puede aguantar una alta temperatura sin descomponerse.
• La la lami mina na HR Se hace combinando las técnicas utilizadas para hacer la lamina K y la H. Es superior en cuanto permite gran absorción y resulta un buen polarizador cerca del infrarrojo.
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B. Polarizadores de reflexión (Asimetría de oblicuidad) • Reflexión en la frontera plana entre entre dos dieléctricos (Malus (Malus 1808) Se examina la reflexión y refracción de una onda monocromática plana de polarización arbitraria incidiendo en la frontera plana entre dos dieléctricos (lineales, homogéneos, isotópicos, no dispersivos y no magnéticos) de índices de refracción n 1 y n2. k 3 θ3
θ1
x y
x y
x
k 2 y
k1 n1
n 2
θ2
z
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...Polarizadores de reflexión •... Reflexión en la frontera plana entre dos dieléctricos De las condiciones de frontera, las relaciones entre las magnitudes del campo eléctrico y el magnético y las leyes de reflexión y de Snell, se obtienen las relaciones entre las componentes del campo eléctrico de las tres ondas (incidente, reflejada y transmitida). Los cálculos algebraicos se pueden reducir observado que los modos normales son ondas linealmente polarizadas a lo largo del eje x y del eje y. S modo x-polarizado
Polarización TE
P modo y-polarizado
Polarización TM
= E 2 x t y E 1 y = E 2 y t x E 1 x
= E 3 x r y E 1 y = E 3 y r x E 1 x
t x , t y
Reflectancia de amplitud
r x , r y
Transmitancía de amplitud
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...Polarizadores de reflexión •... Reflexión en la frontera plana entre dos dieléctricos Aplicando las condiciones de frontera a las polarizaciones TE y TM separadamente resulta:
r x t x r y t y
=
n1 cos θ 1 − n2 cos θ 2 n1 cos θ 1 + n2 cos θ 2
= 1 + r x =
n2 cos θ 1 − n1 cos θ 2 n2 cosθ 1 + n1 cosθ 2
= 1 − r y
Ecuaciones de Fresnel (Polarización TE)
Ecuaciones de Fresnel (Polarización TM)
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...Polarizadores de reflexión • Anál Análisis isis de de la pola polarizació rizaciónn TM (r y ) El coeficiente de reflexión es real. Decrece desde un valor positivo a una incidencia normal y desvanece hasta un ángulo θ 1 = θ B
− n1 θ 1 = 0 ⇒ r y = n2 + n1 n2
θ 1
= θ B = tan
−1
n2 n1
Angulo de Brewster o de polarización
⇒ r y = 0
Positivo (incidencia normal) La componente polarizada TM no se refleja. La onda reflejada esta polarizada a lo largo del eje x. La onda transmitida también esta polarizada pero en un grado menor
Los polarizadores de reflexión pueden usarse en cualquier intervalo del espectro, pero no cumplen adecuadamente ya que los valores de k 1 no son suficientemente grandes y los de k 2 no son suficientemente pequeños.
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...Polarizadores de reflexión • eje jem mplo Un polarizador de reflexión puede ser una placa de vidrio montada oblicuamente en forma adecuada en un haz de luz no polarizado. Cuando se monta la placa perpendicular al haz no hay polarización; todas las componentes de la luz se transmiten con igual eficiencia (cerca 92%) y el haz transmitido esta no polarizado. Cerca del 8% se refleja y también esta no polarizado. Cuando la placa esta inclinada de modo que la asimetría del proceso de reflexión queda destruida, el haz transmitido queda parcialmente polarizado y el haz reflejado aun más. Las formas de polarización de los dos haces son ortogonales. Caso particular: particular: Cuando Cuando un haz haz de luz incide incide a 56.3º 56.3º de la normal normal en una placa de vidrio cuyo índice de refracción es de 1.5, la placa divide el haz en dos componentes una reflejada y la otra transmitida, vibrando, respectivamente, perpendicular y paralela al plano determinado por los tres haces. El haz reflejado tiene una polarización del 100%. El haz transmitido también se polariza pero en un grado menor.
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C. Polarizadores de doble refracción (Asimetría de refracción) La polarización polarización se descubrió descubrió con aparatos aparatos que poseían poseían asimetría asimetría de refracción por Huygens (1690) con el estudio del cristal de calcita. Principales hechos de la óptica de cristales: • cuando se dirige un haz de luz a un cristal de doble refracción uniaxial, se halla generalmente que en el interior del cristal hay dos haces que son invariables en su carácter. • Generalmente Generalmente uno de los los haces tiene tiene una dirección dirección de energía energía oblicua que perpendicular a los frentes de onda. • los dos haces haces tienen diferente diferentess velocidades velocidades de propagació propagación. n. • Casi siempre diferentes direcciones de propagación. • cada cada haz esta esta 100% 100% polariz polarizado ado.. • Las dos formas de polarizació polarizaciónn son ortogona ortogonales. les.
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...Polarizadores de doble refracción
Las intensidades y las fases pueden variar pero las direcciones de vibración son invariables. Los dos haces se reducen a uno cuando la luz atraviesa el cristal en la dirección única llamada eje óptico. óptico. La velocidad normal de un haz refractado depende solamente solamente de la dirección de vibración del haz. No de la dirección perpendicular a la onda ni de la dirección del rayo. Uno de los haces refractados dentro de un cristal uniaxial siempre tiene la misma velocidad (Haz (Haz ordinario) ordinario) y al índice de refracción en esa dirección se le llama ind indic icee ord ordin inari arioo no. La otra velocidad normal varia, pues depende de la vibración perpendicular de vibración y al mayor valor del índice de refracción en esa dirección se le llama índice extraordinario n e. A estos índices se les llama índices principales mayor y menor. menor . A la diferencia se le llama birrefringencia:
∆n =
ne
− no
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...Polarizador de Glan Foucault Problema: Cualquier superficie lisa de calcita es un polarizador. Dentro del cristal viajan en direcciones ligeramente diferentes y emergen en lugares apenas distantes uno del otro con direcciones de vibración mutuamente perpendiculares. A menos que el haz incidente sea muy delgado o que el cristal sea muy grade, los dos haces que emergen pueden superponerse bastante. En la región de superposición no hay polarización ya que las dos formas ortogonales se suman sin ninguna relación de fase sistemática. Solución: Polarizador de Glan y Foulcault Se utilizan dos piezas de calcita, cada una se divide en una sección triangular (forma de prisma) con un ángulo ápice de aproximadamente 38.5º. Cada uno se ha cortado de modo que el eje geométrico del prisma sea paralelo al eje óptico. Las dos piezas se unen de modo que solo quede una delgadísima capa de aire entre las respectivas hipotenusas. Cuando un haz delgado de luz incide normalmente a la cara del prisma, uno de los dos haces transmitidos se refleja y se absorbe en una una cara pintada de negro. El otro continua para incidir en el otro prisma emergiendo paralelo a la dirección inicial con grado de polarización prácticamente el 100%
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...Polarizador de Glan-Thompson Trabaja adecuadamente en una escala espectral muy amplia ya que la calcita es transparente desde cerca de 2300A en el ultravioleta a cerca de 5 micrones en el infrarrojo. Pero, solo trabaja adecuadamente cuando el haz incidente choca perpendicularmente con la cara de entrada y no tiene rayos con ángulos mayores de 7º.
Polarizado Polar izadorr de Glan – Thom Thompson pson
Se consigue pegando los dos prismas del polarizador de Glan – Foucault eliminando la pequeña capa de aire. Tiene una aceptancia que excede los 7º, pero la pegadura que se utiliza es generalmente opaca a la luz ultravioleta.
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D. Retardadores Son convertidores de forma de polarización. Proceso: se divide el haz incidente en dos componentes, cambia la fase Proceso: fase del uno en relación con la del otro y los vuelve a combinar. Retardador típico: típico: haz incidente polarizado linealmente horizontal sobre una placa de calcita con su eje óptico paralelo al plano de la placa. Retardancia: diferencia de fase relativa que sufren los dos haces al Retardancia: atravesar la calcita. La retardancia de una placa depende de su birrefringencia.
δ =
d ∆n
∆n
birrefringencia
d
Espesor de la placa
λ
Longitud de onda de la luz
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3. Descripción de dispositivos de polarización Propósito: conocer dos cosas de la luz que emerge de uno o más polarizadores o retardadores: la forma de polarización y la intensidad relativa a la del haz incidente. Características de un polarizador • Trasmitancias principales: principales: Relación entre la intensidad del haz emergente respecto al incidente.
k 1 k 2
Trasmitancia máxima al situar de cierta forma el polarizador en un haz polarizado linealmente (eje de transmisión). Trasmitancia mínima al situar de cierta forma el polarizador en un haz polarizado linealmente (eje de absorción).
Caso ideal
k 1
=1
k 2
=0
Los ejes de transmisión y absorción son ortogonales. Las trasmitancias principales para un polarizador típico varían ligeramente con la longitud de onda.
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Dispositivos de polarización • Orient Orientación ación de un polariz polarizador ador lineal se .indica por su acimut (ángulo θ) de su eje de transmisión medido a partir de un eje de referencia escogido. Ley de Malus (1908) Relación para encontrar la trasmitancia de intensidad T de un polarizador al colocarlo en un haz polarizado linealmente de amplitud Ai formando un ángulo con su eje de transmisión.
k1
• Tramita Tramitanci nciaa de Amplitu Amplitudd
At = Ai k 1 cosθ + Ai k 2 senθ k 2 Polarizador Haz incidente Polarizado lineal
• Tramita Tramitanci nciaa de intens intensidad idad
T = At
2
= Ai2 k 1 cos 2 θ + Ai2 k 2 sen 2θ
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Dispositivos de polarización • vectores característicos: característicos : son las formas de polarización del haz incidente incidente que no no se alteran alteran al insertar insertar el polarizado polarizadorr en el haz con una cierta orientación. Para cualquier polarizador pueden hallarse dos formas de polarización con esta propiedad. El vector propio asociado a la tramitancia característica mayor se le llama vector característico mayor y al otro vector característico menor. menor .
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A. Esfera de poincarè poincarè de dispositivos de polarización esfer eraa de Poin Poinca caré ré es un un natu natural ral para para los los reta retard rdad adore ores. s. • La esf Proporciona un método rápido para hallar el efecto de cualquier retardador sobre cualquier haz monocromático de luz completamente polarizada. El efecto se halla marcando el punto P que indica la forma de polarización del haz incidente y el punto R que designa el vector característico rápido del retardador y trazando el arco apropiado. El eje del arco es es el radio vector vector que parte parte del centro centro de la esfera esfera al punto R. El punto inicial del arco es el punto P. La longitud del arco en grados es la retardancia y la respuesta es el punto P´’.
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Esfera Esfe ra de po poi inc ncar arè è de di disp spos osit iti ivo vos s de polarización Ejemplo. Efecto de un retardador de media onda (90º) Haz emergente elíptico a izquierda
p’
retardancia
δ P 45º
R
Haz incidente lineal 45º
Vector característico principal lineal a 22.5º
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B. Matrices de Jones de dispositivos de polarización
Onda plana polarización arbitraria
⎡Λ1 x ⎤ ⎢Λ ⎥ ⎣ 1 y ⎦
SISTEMA OPTICO LINEAL
⎡T 11T 12 ⎤ ⎢T T ⎥ ⎣ 21 22 ⎦
⎡T 11 T 12 ⎤ ⎡Λ1 x ⎤ ⎡Λ 2 x ⎤ ⎢T T ⎥ ⎢Λ ⎥ = ⎢Λ ⎥ ⎣ 21 22 ⎦ ⎣ 1 y ⎦ ⎣ 2 y ⎦ TJ 1
Onda plana polarización alterada
⎡Λ 2 x ⎤ ⎢Λ ⎥ ⎣ 2 y ⎦
Relación lineal que todo dispositivo de polarización óptica debe cumplir
= J2
Matriz de Jones que describe el sistema óptico. Determina el cambio en la intensidad y en el estado de polarización de la onda incidente.
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Matrices de Jones • Polarizador lineal
⎡0 1 ⎢0 ⎣
⎤ ⎥ 0 1⎦ 0
ejemplos
⎡0 ⎢0 ⎣
⎡Λ x ⎤ ⎡Λ x ⎤ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ 1⎦ ⎣Λ y ⎦ ⎣0 ⎦
Polarizada a lo largo del eje x
⎡1 ⎢0 ⎣
0⎤
⎡Λ x ⎤ ⎡Λ x ⎤ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ 0⎦ ⎣Λ y ⎦ ⎣0 ⎦
Polarizada a lo largo del eje y
0⎤
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...Matrices de Jones • Retardador de onda
⎡1 ⎢0 ⎣
⎤ iϕ ⎥ e ⎦ 0
• retardador de cuarto de onda
⎡1 ⎢0 ⎣
ϕ = −
⎤ ⎡1⎤ ⎡1 ⎤ ⎢ − i π ⎥ π ⎥ = −i 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ e 2 ⎥⎦ e ⎦ ⎣1⎦
⎡1 0 ⎤⎡1⎤ ⎢0 − 1⎥⎢1⎥ = ⎦⎣ ⎦ ⎣
⎡1⎤ ⎢ − 1⎥ ⎣ ⎦
2
⎡1 ⎢0 ⎣
0
• retardador media de onda
π
ϕ
=
⎤⎡ 1 π ⎥ ⎢ π −i i e 2 ⎥⎦ ⎢ e 2 ⎣
0
⎤ ⎥ ⎥⎦
⎡1⎤ = ⎢⎥ ⎣1⎦
π
1 ⎡ 1 ⎡ ⎤ 0 1 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ π ⎤⎥ ⎢0 −1⎥⎦ ⎢ e i π 2 ⎥ ⎢ e − i 2 ⎥ ⎣ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
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...Matrices de Jones
• Rotador de polarización
⎡cos θ − senθ ⎤ ⎢ senθ cos θ ⎥ ⎣ ⎦
ejemplo
⎡cos θ − senθ ⎤ ⎡cos ψ ⎤ ⎡cos(ψ + θ ) ⎤ ⎢ senθ cos θ ⎥ ⎢ ψ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣sen ⎦ ⎣sen(ψ + θ )⎦
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...Matrices de Jones
• Dispositivos de polarización en cascada
T1 J 1
= J2 T2 T1J 1
Ejemplo
⎤ ⎡1 π ⎥ ⎢0 e−i 2 ⎥ ⎢0 ⎦⎣ ⎣
⎡1
T2 J 2
0
= J3
= J2
⎤ π ⎥ −i e 2 ⎥⎦
0
Retarda Retardadore doress de ¼ de onda onda con ejes rápidos paralelos
⎡1 0 ⎤ ⎢0 −1⎥⎦ ⎣ Retard Retardador ador de ½ onda
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Transformación de coordenadas y’
y
J, T ⇒
En el sistema xy
J′, T′ ⇒
En el sistema x’y’
x’ θ
x
⎡ cosθ R(θ ) = ⎢ ⎣− senθ
senθ ⎤
⎥
cosθ ⎦
Matriz de Transformación
J ′ = R (θ ) J J = R (−θ ) J ′ T ′ = R (θ )TR (−θ )
′ (θ ) T = R (−θ )T R
Ecuaciones de Transformación
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...Transformación de coordenadas Ejemplo: Polarizador lineal con el eje de transmisión a un ángulo y θ
x
⎡1 0⎤ Polarizador lineal en el eje x’ T′ = ⎢ ⎥ ⎣0 0 ⎦ ⎡cosθ − senθ ⎤ ⎡1 0⎤ ⎡ cosθ T=⎢ ⎥ ⎢0 0⎥ ⎢− senθ sen θ cos θ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎡ cos 2 θ T=⎢ ⎣ senθ cosθ
senθ cosθ ⎤ sen 2θ
con el eje x.
⎥ ⎦
senθ ⎤
⎥
cos θ ⎦
Ecuación de transformación
Polarizador lineal a un ángulo
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Modos normales Los modos normales de un sistema de polarización son los estados de polarización que no cambian cuando la onda es transmitida a través del sistema. Estos estados tienen vectores de Jones que satisfacen:
TJ
= µ J
Vectores propios(modos normales)
Valores propios
Cada sistema de polarización tiene solamente dos modos normales independientes. TJ1 = µ 1J1 TJ 2 = µ 2 J 2 si T es Hermitica sus modos normales son ortogonales. * T12 = T21 ⇒ (J 1 , J 2 ) = 0
Los modos normales pueden ser usados como una base en una expansión. J = α J + α J
1
1
2
2
Si se conocen los valores propios de un dispositivo y la expansión del estado de polarización de entrada, se puede hallar su respuesta fácilmente: TJ = T(α 1 J 1 + α 2 J 2 ) = α 1TJ 1 + α 2 TJ 2 = α 1µ 1 J 1 + α 2µ 2 J 2
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...Modos normales Ejemplo: Modos normales de un polarizador lineal.
TJ Polarizador lineal
= µ J
Modos normales
Valores propios
• Calculo Calculo de los los valore valoress propios propios
(T − µ I )J = 0
det(T − µ I ) = 0
µ 1 µ 2
=0 =1
• Calculo Calculo de los los modos modos norma normales les Para µ 0 = 1
TJ
Con la condición de normalización
JJ
*
=1
⎡cosθ ⎤ J 1 = ⎢ ⎥ sen θ ⎣ ⎦
⎡ Λ x ⎤ J = ⎢ ⎥ Λ tan θ ⎣ x ⎦
=1 Λ x = ± cosθ
⎡− cosθ ⎤ J 2 = ⎢ ⎥ − sen θ ⎣ ⎦
Modos normales de un polarizador lineal
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C. Matrices de Muller de dispositivos de polarización • Calc Calculo ulo de Muller Muller (1930 (1930-19 -1940) 40) . Emplea los vectores vectores de Stokes Stokes para representar representar el haz haz incident incidentee y matrices 4x4 para los polarizadores o retardadores.
⎡ ABDE ⎤ ⎢ FGHI ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ JKLM ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ NOPQ ⎦ polarizador
⎡ I 1 ⎤ ⎡ I 2 ⎤ ⎢Q ⎥ ⎢Q ⎥ ⎢ 1⎥ = ⎢ 2 ⎥ ⎢U 1 ⎥ ⎢U 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣V 1 ⎦ ⎣V 2 ⎦
Haz incidente
Haz emergente
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...Matrices de Muller
ORIGEN DE LAS MATRICES. MATRICES . Las matrices de Muller tienen una fundamentación fenomenológica, es decir , provienen del experimento. Se basan en la relación lineal entre los haces incidentes y emergentes. El experimento muestra que en todas las circunstanc circunstancias ias normales normales cada propieda propiedadd del haz haz emergente emergente depende depende de las primeras potencias de las propiedades del haz incidente. Entonces, se puede escribir un conjunto de cuatro ecuaciones lineales que relacione las propiedades de los haces. En cada ecuación intervienen cuatro constantes. Debido a la relación lineal, se obtienen las mismas 16 constantes independientemente de la forma de polarización del haz incidente.
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...Matrices de Muller • EJ EJEM EMPL PLO O. Efecto de un polarizador
⎡ 0 .5 ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 .5 ⎢ ⎣ 0
0
−
0 .5 0 ⎤
0
0
0
0 .5
0
0
⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎦ 0
Polarizador ideal con eje de transmisión a –45º
⎡6 ⎤ ⎡ 2 ⎤ ⎢3 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢2⎥ ⎢− 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 0 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Haz incidente Haz emergente 100% parcialmente polarizado polarizado linealmente a elípticamente derecho 45º
Luz Polarizada
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...Matrices de Muller • EJ EJEM EMPL PLO O. Efecto de un retardador
⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0
0
0
0
0
0
1
1
0
⎤ − 1 ⎥⎥ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎦ 0
Placa lineal de cuarto de onda (retardador de 90º) con eje rápido a 45º
⎡6 ⎤ ⎡ 6 ⎤ ⎢ 3 ⎥ ⎢ − 1⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢2⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣1 ⎦ ⎣ 3 ⎦
Efecto del retardador: intercambiar posición y cambiar signo.
Haz incidente Haz emergente parcialmente polarizado parcialmente polarizado elípticamente derecho preferencia polarización circular
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Importancia de la luz polarizada La polarización juega un papel importante en la interacción de la luz con la materia:
la cantidad de luz reflejada en la frontera entre dos materiales depende del estado de polarización de la onda incidente.
La cantidad de luz absorbida por ciertos materiales es dependiente de la polarización.
Luz dispersada desde la materia es generalmente sensible a la polarización.
El índice de refracción de materiales anisotrópicos depende de la polarización.
El índice de refracción de materiales anisotrópicos depende de la polarización. Ondas con diferentes polarizaciones atravesaran a diferentes velocidades y experimentaran diferentes cambios de fase y la elipse de polarización es modificada a medida que la onda avanza.
Los materiales ópticamente activos tienen la habilidad natural de rotar el plano de la luz polarizada linealmente. Cuando se organizan en ciertas configuraciones, cristales líquidos actúan como rotadores de polarización.
