UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA Facultad de Ingeniería Ingeniería de Petróleo Petróleo Gas Natural Natural y Petroquímica Petroquímica
PERDIDA DE CARGA EN TUBERÍAS
INTRODUCCION En este informe de laboratorio el problema a resolver específicamente es evaluar la perdida de energía que ocasiona un fluido ya sea laminar o turbulento (por la viscosidad) al pasar a través de un tubo que sufre una disminución del área transversal en ciertas partes de su recorrido. El análisis del comportamiento que presentará el fluido puede ser calculado; con errores muy insignificantes. Las pérdidas de carga a lo largo de un conducto de cualquier sección pueden ser locales o de fricción, su evaluación es importante para el manejo de la línea de energía cuya gradiente permite reconocer el flujo en sus regímenes: laminar, transicional o turbulento, dependiendo de su viscosidad. Cuando el fluido es más viscoso habrá mayor resistencia al desplazamiento y por ende mayor fricción con las paredes del conducto, originándose mayores pérdidas de carga; mientras que, si la rugosidad de las paredes es mayor o menor habrá mayores o menores pérdidas de carga. Esta correspondencia de rugosidad-viscosidad ha sido observada por muchos investigadores, dando a la correspondencia entre los números de Reynolds (Re), los parámetros de los valores de altura de rugosidad “k” y los coeficientes de fricción “f” que determinan la calidad de la tubería.
OBJETIVOS
Estudiar en forma sistemática las pérdidas de carga por fricción en tuberías, para lo cual es necesario vincular el coeficiente de fricción de Darcy “f” y el número de Reynolds. Para una tubería de un diámetro determinado se obtendrá una sola curva.
Estudiar las perdidas de cargas debido a los accesorios (singularidades) que se instalan en un tramo de la tubería.
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FUNDAMENTO TEORICO
Pérdida de carga en accesorios Se propusieron diversas fórmulas para el cálculo de diversas pérdidas de carga por frotamiento, cuando los fluidos circulan en curvas, accesorios, etc. Pero el método más sencillo es considerar cada accesorio o válvula como equivalente a una longitud determinada de tubo recto. Esto permite reducirlas pérdidas en los tubos, las válvulas o accesorios aun denominador común: la longitud equivalente del tubo de igual rugosidad relativa. La presencia de llaves de paso, ensanchamientos, codos, estrechamientos, tees, etc. Introduce pérdidas de carga suplementarias en toda instalación, por alterar la dirección del flujo o modificar la velocidad lineal de desplazamiento de algunos filetes de vena fluida. Salvo las pérdidas debidas en los ensanchamientos y estrechamientos, las de los codos, tees y llaves son complicadas de evaluar algebraicamente. El Diagrama de Crane es un nomograma que puede ser útil con tal objeto, se emplea así: supongamos que se quiera saber la pérdida de carga que produce un codo de 45°, de 10 pulg. de diámetro interior. Unimos el punto de estos codos (tercer punto de la escala izquierda, empezando por abajo) con la división 10 de la escala derecha. La recta así trazada corta a la escala central en la división 3,5, lo cual significa que la pérdida de carga producida por dicho codo es la misma que la producen 3,5 m. de la tubería recta de 10 pulg de diámetro interior. Dicha longitud se llama Longitud Equivalente. Las pérdidas de carga debida a los estrechamientos y a los ensanchamientos se pueden conocer también por Crane o algebraicamente:
Donde V2 es la velocidad lineal en la sección más estrecha, K est. es una constante que depende de la relación de áreas (A 2/A1) y que podría encontrarse en Gráficos de Coeficientes de pérdidas de carga o en Tablas de pérdidas adicionales por fricción en accesorios. Los datos indican que la resistencia K tiende a disminuir al incrementarse el tamaño del aditamento o la válvula También se pueden obtener valores aproximados de longitudes equivalentes diámetros multiplicando K por 45 en caso de líquidos similares al agua y por 55 en el caso de gases similares al aire. La mayoría de los valores dados son para aditamentos de rosca stándard y es probable que su precisión tenga un margen del 30%. La diferencia de la pérdida por fricción entre terminales de rosca, con reborde y soldadas son insignificantes. Los fabricantes y usuarios de válvulas, sobre todas las de control, han encontrado que es conveniente expresar
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la capacidad de la válvula mediante un coeficiente de flujo Cv, este coeficiente se relaciona con K por medio de la expresión:
En donde Cv es el coeficiente de flujo en la válvula en gal/mi. de agua a 60°F , que pasa por una caída de presión de válvula de 1 lbf/pulg2 y d es el diámetro interno de la válvula expresada en pulgadas Perdida Cargas En Tuberías En estructuras largas, la perdida por fricción es muy importante, por lo que es un objeto de constante estudio teórico experimental para obtener resultados técnicos aplicables. Es muy importante la diversidad actual de sistemas de transporte de fluidos se componen de tuberías y conductos tienen una extensa aplicación como ser las plantas químicas y refinerías parecen un laberinto en tuberías, lo mismo que pasa con las plantas de producción de energía que contienen múltiples tuberías y conductos para transportar los fluidos que intervienen en los procesos de conversión de energía. Los sistemas de suministro de agua a las ciudades y de saneamiento consisten en muchos kilómetros de tubería. Muchas maquinas están controladas por sistemas hidráulicos donde el fluido de control se transporta en mangueras o tubos. Para realizar el estudio se deberá tomar en cuenta la diferenciación entre los flujos laminares y los turbulentos para lo cual recurriremos al número de Reynolds, a medida que el fluido fluye por un conducto u otro dispositivo, ocurren perdidas de energía debido a la fricción, tales energías traen como resultado una disminución de la presión entre dos puntos del sistema de flujo, es ahí donde parten los cálculos del laboratorio ya que a partir de la diferencia de presión obtenida en el inicio y final de la tubería es que obtendremos el factor de fricción de la tubería, cabe destacar también la importancia de la determinación del liquido y su temperatura ya que la determinación del numero de Reynold variara de acuerdo a la viscosidad del fluido. La importancia de esta radica en que es muy necesario tomar en cuenta las pérdidas de energía por la fricción que se produce entre las paredes de las tuberías o de los diferentes accesorios que conforman determinado equipo, ya que esto se traduce en costos adicionales, y esto debe ser tomado en cuenta, ya que forma una parte esencial de la labor que cada uno de nosotros tendrá como futuros ingenieros de procesos, ya que la fricción ocasionada en la tubería puede dar como resultado daños en la misma, esto sucede por el flujo del fluido; cuando trae en su masa sedimentos que aparte de dañar todo un sistema de tubería de cualquier empresa por efectos de corrosión podría dañar equipos e instrumentos. La importancia del laboratorio implica un buen registro de datos y la determinación de todos los parámetros los cuales determinaran la veracidad de los resultados obtenidos.
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Figura 1. Pérdidas en tuberías y Accesorios. La Teoría De La Capa Limite Esta teoría se aplica precisamente en los fluidos poco viscosos como el aire y el agua. La figura 2.a representa un cuerpo solido sumergido en una corriente de fluido, por ejemplo, un perfil de ala de avión en una corriente de aire. Estudiamos la distribución de velocidades a lo largo de la normal a la superficie en un punto A. Aproximando un tubo de Prant muy cerca al punto A, se mide una velocidad v. macroscópicamente v es la velocidad en el punto A. sin embargo, sabemos que a causa de la viscosidad, la velocidad del flujo en A es 0. Una observación microscópica, representa la figura 1.b, nos revela según los casos, una de las distribuciones de velocidades siguientes, en una película muy fina (capa limite):
Figura 2. a) Perfil de ala de avión sumergido en una corriente de aire. b) Observación Microscópica del punto A. en este entorno infinitesimal del punto A se sienten los efectos de la capa limite
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Si el fluido fuera ideal la Hidrodinámica nos da una distribución de velocidades como al de la curva a.
Si los efectos de la viscosidad son muy apreciables, la distribución de las velocidades es parabólica y se representa en la curva b.
Si los efectos de la viscosidad son muy poco apreciables, la distribución de velocidades es logarítmica y se representa por la curva. La curva c representa un caso intermedio.
La curva d solo diverge de la curva ideal a en una película muy fina (es decir, en un entorno de radio muy pequeño, centésimas de mm) en la normal al contorno en un punto cualquiera A, como en la Fig. 2.a, que agrandando puede verse en la fig 2.b) esta película se denomina la capa limite. El aire y el agua realizan con frecuencia curvas de este tipo.
Esta capa limite tiene un espesor muy pequeño, del orden de micras o mm, según el caso; en ella se hacen intensamente los efectos de la viscosidad y razonamiento, aunque η sea pequeño solo tiene importancia en una fina – capa limite – y es llamado rozamiento pelicular o rozamiento de superficie.
Fuera de esta película prácticamente infinitesimal, un líquido poco viscoso, como el aire y el agua. Se comporta como un fluido ideal; fuera de esta capa límite se pueden aplicar todos los métodos matemáticos y experimentales.
Regímenes de circulación de los fluidos a.
Régimen laminar: Las capas de fluido se desplazan paralelamente a sí mismas. El movimiento en estere gimen es ordenado, estatificado; el flujo se mueve como clasificado en capas que no se mezclan entre sí, Así el fluido no se desplaza como un cilindro, que desliza en el interior de la tubería estacionaria de sección circular, sino, como se representa en la fig. 3, en forma de tubos concéntricos cilíndricos que deslizan unos con relación a los otros como los tubos de un telescopio. El tubo exterior de fluido queda adherido siempre a la tubería, su velocidad es cero. La velocidad de desplazamiento del filamento interior de sección circular infinitesimal es máxima.
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Un ejemplo de régimen lamiar podría ser de un fluido my viscoso, por ejemplo aceite, moviéndose a velocidad no muy grande por una tubería de pequeño diámetro y de sección constante, en régimen permanente. El fluido no se desplaza con velocidad constate en toda la sección de la tubería, como hemos supuesto hasta ahora, sino que lo hace en forma de tubos concéntricos cilíndricos que deslizan unos con relación a otros como los tubos de una telescopio (figura 4.a). Si representamos mediante un gráfico la distribución de velocidades en régimen laminar en una tubería de sección circular, nos encontramos con una distribución parabólica, figura 4.b.
Figura 4. Régimen de flujo laminar
La velocidad es cero en los puntos de contacto con la tubería y va aumentando hasta el centro donde alcanza el valor máximo. La distribución es simétrica respecto al eje de la tubería. Si se representa la componente de velocidad en la dirección del eje de la tubería, en función del tiempo, en un flujo laminar estacionario, se obtiene una línea recta horizontal (figura 5).
Figura 5. Componente de velocidad en la dirección del eje de la tubería.
b.
Régimen Turbulento Las capas de fluido se desplazan entremezclándose. Es el tipo de derrame que se da prácticamente en la totalidad de los casos de circulación de agua en las instalaciones de calefacción y A.C.S. Es caótico; es así que las partículas se mueven desordenadamente y las trayectorias de las partículas se entrecruzan formando pequeños remolinos aperiódicos. La fig. 6. a representa pequeños trozos de trayectoria de muchos partículas correspondientes a un mismo espacio breve de tiempo, y la fig. 6.b representa la trayectoria de de una sola
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partícula durante un periodo más largo de tiempo. Como se ve la velocidad fluctúa continuamente en cada punto.
Por el contrario, en régimen turbulento el movimiento de las partículas fluidas es caótico. Por ejemplo, supongamos un fluido poco viscoso, como el agua, moviéndose a gran velocidad en una tubería de gran diámetro y de sección constante, en régimen permanente. Las partículas se mueven desordenadamente y las trayectorias de las partículas se entrecruzan formando pequeños remolinos. Si representamos segmentos de trayectorias de muchas partículas correspondientes a un mismo espacio breve de tiempo, se puede observar los movimientos caóticos (Figura 7).
Figura 7. Régimen de flujo turbulento
El numero de Reynolds
Es un parámetro adimensional. Se sabe que un número de Re 2.000 Régimen Laminar Reynolds grande implica un 2.000
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Reynolds aun más elevados. El numero critico de Reynolds superior es, pues, indeterminado. Cuando el número de Reynolds menor o igual a 2000 la corriente era necesariamente laminar. Es decir, si se producía alguna perturbación la turbulencia inicial quedaba en seguida amortiguada por la viscosidad y no se desarrollaba jamás un flujo turbulento: Re=2000 es el número critico inferior de Reynolds. Re se calcula con la siguiente ecuación:
̇ Perdidas primarias y secundarias en conductos cerrados o tuberías
El término de pérdidas de carga en las tuberías pertenece a la práctica diaria del ingeniero instalador y proyectista, en los sistemas de flujo de gasolina, fuel, aceites lubricantes, etc.; en los sistemas de refrigeración y aire acondicionado, redes de suministro de agua, etc.; en los sistemas de aspiración e impulsión de las bombas, etc.
Las pérdidas de carga en las tuberías son de dos clases: A. Las perdidas primarias, son las pérdidas de superficie en el contacto del fluido con la tubería (capa limite), rozamiento de unas capas de fluido con otras (régimen laminar) o de las partículas de fluido entre si (régimen turbulento). Tiene lugar en flujo uniforme, por tanto principalmente en los tramos de tubería de sección constante (fig. 9).
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Suponiendo una tubería horizontal de diámetro constante D (fig. 9) por la que circula un fluido cualquiera, cuya velocidad media en la tubería es v. La energía en el punto (sección) 2 será igual a la energía en el punto 1 menso la energía perdida (perdida de carga) entre los puntos 1 y 2, es decir se cumple la Ec. De Bernoulli con pérdidas, que expresada en alturas equivalentes será:
En el caso particular del ejemplo: Z1= Z2 (tubería horizontal) y v 1 = v2 (sección transversal constante). Luego
Donde Hrp1 – 2 – perdidas primarias entre 1 y 2.
Ecuación general de las perdidas primarias: Ecuación de Darcy- Weisbach:
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Esta fórmula es de uso universal en el mundo entero en los libros y formularios de hidráulica. Las tablas, curvas, ábacos y monogramas sirven solo para obtener el coeficiente λ, que llevado a la ecuación de Darcy - Weisbach nos da la carga de la perdida primaria.
Factor λ Se sabe que si el Re es menor a 2100, es decir de régimen laminar este se calcula: ECUACION DE POUSEUILLE
[Coeficiente λ, flujo laminar, tubería lisa y rugosa] Y si el caso es que Re es mayor a 2100, es decir de régimen turbulento, va a depender de de Re y además de la Rugosidad relativa: K,
Donde:
D: es el diámetro de la tubería Una vez determinados estos factores (Re y K) se emplea el diagrama de Moody (Figura 16) para poder determinar este factor λ. B. Las perdidas secundarias Son las pérdidas de forma, que tienen lugar en las transiciones (estrechamientos o expansiones de la corriente), codos, válvulas, y en toda clase de accesorios de tubería (fig. 8).Se definen como las pérdidas de forma, que tienen lugar en las transiciones (estrechamientos o expansiones de la corriente), codos, válvulas y en toda clase de accesorios de tubería. Se conocen también como pérdidas menores (hl), las pérdidas de cabeza de un sistema ocasionadas por cambios de dirección del flujo, juntas, codos, válvulas y en general todo tipo de accesorios que acompañan la tubería. Sin embargo en ocasiones pueden alcanzar valores más altos que las pérdidas por fricción, sobre todo en tramos cortos con gran cantidad de accesorios. Las pérdidas menores se calculan experimentalmente y son directamente proporcionales al cuadrado de la velocidad del fluido, dependiendo además de un
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factor de corrección K propio de cada accesorio; y que está dado experimentalmente por el fabricante del mismo y depende, básicamente de las dimensiones. Otra forma común de expresar las pérdidas menores, es hacerlo mediante longitudes equivalentes de tubería, para lo cual se recurre al uso de nomogramas; teniendo como datos de entrada el diámetro interior de tubería y el factor k. La longitud equivalente se suma a la longitud del ducto y se utiliza la ecuación de Darcy – Weisbach. En este caso se aplica la ecuación de Bernoulli entre dos puntos entre los cuales existen distintos accesorios de tubería. El factor ∆h se dividirá entonces en dos: hf (pérdidas primarias) y he (pérdidas secundarias), ocasionadas por los accesorios de las tuberías.
Cálculo de he: Aplicamos la ecuación: he = K (v2/2g) Donde v es la velocidad antes del accesorio y K es un coeficiente determinado experimentalmente. Este coeficiente es necesario excepto en el caso debido a una expansión brusca de la tubería. En este caso:
he = v2/2g Siempre que el diámetro de la tubería sea despreciable frente al ensanchamiento de la misma. Las pérdidas menores también pueden expresarse en términos de longitud equivalente, que es la longitud de tubo que haría falta para ocasionar una pérdida de carga similar a la que ocasiona el accesorio de la tubería.
Cálculo de la longitud equivalente . f(Le/D).(v2/2_g)=Kv2/2g Donde K puede referirse a una sola pérdida o a la suma de varias pérdidas. Al despejar llegamos a la expresión definitiva de la longitud equivalente:
Le =K D / f
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En el caso general, la perdida de cargas secundarias la calcularemos con la siguiente fórmula:
Donde: : Suma total de pérdidas primarias y secundarias : Coeficiente de pérdidas del diagrama de Moody Longitud Total de los tramos rectos de Tuberías ∑ : Suma de todas las longitudes equivalentes a los accesorios diversos Velocidad media en la tubería. Si la tubería cambia de posición se aplicará la
ecuación de continuidad como ya se ha advertido. Como podemos observar es casi la misma fórmula que se emplea para las perdidas primarias la diferencia son las longitudes equivalentes. Estas se determinaran, con la ayuda de un monograma.
PROCEDIMIENTO 1) Se hace circular el agua a través de las tuberías elegidas para el experimento, en conjunto. Para verificar el buen f uncionamiento de los medidores de presión se debe aplicar una carga estática al equipo, cuando no exista flujo los piezómetros deberán marcar la misma carga además lo que también se procuro fue tener las tubitos que registran la altura piezometrica limpias y sin ninguna burbuja por ello se realizó una purgación desconectando y volviéndolo a conectar.
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2) Medir el caudal en la tubería con el limnimetro y utilizar las tablas proporcionadas para ciertas medidas.
Limnimetro
Tablas
3) Hacer las mediciones de nivel en los piezómetros.
Piezómetros conectados en los puntos a medir la carga y la forma de la singularidad, el área se reduce luego aumenta.
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Medición de la carga en los piezometros
4) Cambiar el caudal, abriendo gradualmente la válvula compuerta instalada al final de la tubería y repetir 6 veces para asegurar buenos resultados.
5) Medir la temperatura del agua, se utilizará un t ermómetro digital.
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6) Finalmente se paso los datos a una tabla.
CALCULOS Y RESULTADOS De los datos obtenidos en el laboratorio hallamos los caudales el cual se puede calcular en el vertedero o con el contador volumétrico. En el vertedero, el caudal se calcula según la tabla para interpolar datos de alturas y volúmenes. VERTEDERO
Nivel Piezométrico
Ensayo
p/
Nro.
+ z
ALTURA
CAUDAL
TABLA
TABLA
N°
1 cm
2 cm
3 cm
4 cm
5 cm
6 cm
H1 mm
H2 mm
H mm
Q1 Lt/s
Q2 Lt/s
Q Lt/s
1
221.8
221.2
221.1
203.2
218.8
217.9
125
126
125.4
1.87
1.91
1.886
2
211.2
209.8
209.7
151.3
201.5
199.6
159
160
159.6
3.41
3.46
3.440
3
202.3
200.1
199.8
106.5
187.3
183.5
176
177
176.4
4.39
4.45
4.414
4
195.4
192.4
192.3
71.4
175.9
171.5
186
187
186.3
5.05
5.11
5.068
5
188.3
184.3
184.1
32.9
163.8
158.4
195
196
195.2
5.69
5.76
5.704
182.5
178.5
178
4.7
154.3
148.7
200
201
200.6
6.05
6.13
6.098
6
Datos: Para la tubería: Diámetro de la tubería 1-2;2-3; 5-6 = 8 cm Diámetro Pequeño en el punto 4 = 5 cm Longitud de la tubería 1-2=1.97m, 2-3=0.424m; 5-6 = 2.00m
Para el agua: Viscosidad cinemática ( ) a 18ºC = 1.054E-06 m2/seg
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Otros:
VELOCIDADES PARA CADA LECTURA m/s
Velocidad media (V) = Caudal / área
Nº Reynolds = V. D /
1,2, 3 ,5 y 6
4
0.375
0.961
0.684
1.752
0.878
2.248
1.008
2.581
1.135
2.905
1.213
3.106
De los datos obtenidos del laboratorio determinar para cada juego de datos:
El número de Reynolds:
REYNOLDS
Nª Reynolds = V. D / V = Q/A
PUNTOS 1,2,3,5Y6
D = 0.08 m. A=5.0265 x 10-3 m2 2
= 1.054E-06 m /seg
PUNTO 4
1
28478.70216
45565.9235
2
51944.18633
83110.6981
3
66651.63909
106642.623
4
76527.07452
122443.319
5
86130.70897
137809.134
6
92080.13031
147328.208
La pérdida de carga por fricción:
Se tomará en cuenta las dos tuberías (1-2 ;23y 5-6 ) para determinar las pérdidas de carga por fricción, según: hf
1-2
=P1 / - P2 /
hf
2-3
hf
5-6 =P5 /
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=P2 / - P3 / - P6 /
N°
hf 1-2 (cm)
hf 2-3 (cm)
hf 5-6 (cm)
1
0.60
0.10
0.90
2
1.40
0.10
1.90
3
2.20
0.30
3.80
4
3.00
0.10
4.40
5
4.00
0.20
5.40
6
4.00
0.50
5.60
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El coeficiente de fricción “f”:
Se tomará las tuberías 1-2 y 5-6, ya que presentan las mismas características (L = 2m, D = 0.08m), por lo tanto los valores de “f” que se obtenga, se promediarán.
Aplicaremos la ecuación de Darcy:
2
h f = f . L . V D 2g
N°
hcf1-2 (cm)
hcf5-6 (cm)
delta (cm)
hcfprom (cm)
hcf (m)
1
0.60
0.9
0.30
0.75
0.0075
0.0418
2
1.4
1.9
0.50
1.65
0.0165
0.0276
3
2.2
3.8
1.60
3.00
0.0300
0.0305
4
3.00
4.4
1.40
3.70
0.0370
0.0286
5
4.00
5.4
1.40
4.70
0.0470
0.0286
6
4
5.6
1.60
4.80
0.0480
0.0256
El coeficiente de pérdida local “k”:
N°
coeficiente de friccion f (adimen)
3 (cm)
4 (cm)
1
221.1
203.2
2
209.7
3
hcl3-4 (cm)
hcf (m)
K( ∑ Perdidas
17.90
0.139
2.959
151.3
58.40
0.451
2.886
199.8
106.5
93.30
0.715
2.775
4
192.3
71.4
120.90
0.921
2.713
5
184.1
32.9
151.20
1.148
2.668
6
178
4.7
173.30
1.316
2.678
Locales)
El coeficiente “C” de Chezy:
Se sabe que:
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c
8 g
f
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N°
coeficiente de friccion f (adimen)
C(C de Chezy)
1
0.0418
43.3252
2
0.0276
53.2777
3
0.0305
50.6992
4
0.0286
52.4161
5
0.0286
52.3431
6
0.0256
55.3727
Esfuerzo de corte en las paredes de la tuberia
0
RS
= 9810 x 0.02 x hf / L
Vh = Distribución de velocidades V* = Velocidad de corte ;
V *
gRS
0 = esfuerzo de corte sobre las paredes
S = hf / L R = d0/4 = 0.02 m L 1-2 y L 3-4 = 2 m; L 2-3=0.43m agua = 9810 N/m
3
g = 9.81m/seg2 X = Constante de turbulencia (de VON KARMAN) =0.4 (para fluidos limpios sin sedimentos)
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Calculo de la velocidad de corte
C(Hazen y William)
V*(m/seg)
V max
ζ (N/m2)
106.022
0.027
0.477
0.734
126.333
0.040
0.836
1.614
117.381
0.054
1.082
2.934
120.344
0.060
1.235
3.619
119.033
0.068
1.390
4.597
125.817
0.069
1.471
4.695
CONCLUSIONES
Se aplicó el principio de Bernoulli en la determinación de la pérdida de carga de una instalación mediante tuberías y accesorios. El cual este método es sencillo para la determinación e carga de un sistema.
Se aplicó la ecuación de Darcy-Weisbach para la instalación de las pérdidas de carga. Observando la importancia que resulta ser la ecuación de Darcy-Weisbach para determinar las perdidas primarias, e incluso las secundarias.
Se relacionó el efecto de la variación del caudal con las pérdidas de carga.
BIBLIOGRAFIA
MOTT R. (1996). “MECÁNICA DE FLUIDOS APLICADA”. 4ª Edición. Editorial Prentice Hall Latinoamericana. México.
MERLE C. POTTER "MECÁNICA DE FLUIDOS". 3ª Ediciion. Editorial Thomson. Mexico
Mecánica de Fluidos
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