Hendra Gunawan Seme Se messte terr II 20 2013 13 20 2014 14 19 Maret 2014
10.1‐2 Parabola Eli s dan dan Hi er erbo bola la 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 11.1 Sistem Koordinat Cartesius di R3 . ‐
,
,
11.5 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva 11.6 Garis dan Garis Singgung di Ruang
3/19/2014
(c) Hendra Gunawan
2
.
dan 12.1 Fungsi Dua (atau Lebih) Peubah
3/19/2014
(c) Hendra Gunawan
3
MA1201 MATEMATIKA 2A
•
Menggambar permukaan di ruang
3/19/2014
(c) Hendra Gunawan
4
z
Ingat persamaan bola yang ber‐ pusat di P(a,b,c) dan berjari‐ jari R:
( x a )
2
( y b)
2
( z c)
an persamaan umum
2
2
2
R ,
x
:
ang 2
y
z
2
O
Se erti a a rafikn a?
y
x 3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
5
Lebih umum daripada bola, kita mempunyai persamaan elipsoida: 2
2
2
2
2
2
p q r er a an a p = q = r , ma a persamaan di atas menjadi
( x a )
2
3/19/2014
( z c)
2
1.
P
x 2
r , yang merupakan persamaan bola.
( y b)
2
z
(c) Hendra Gunawan
6
permukaan di ruang. Secara umum, grafik persamaan F(x,y,z) = C meru akan ermukaan di ruan . Namun, tidak semua persamaan mudah digambar grafiknya.
3/19/2014
(c) Hendra Gunawan
7
z
Grafik persamaan
z
x
2 2
y
2 2
merupakan paraboloida eliptik .
y
Sementara itu, grafik persamaan
z
x 2 a
2
x
2
b
2
. 3/19/2014
(c) Hendra Gunawan
Seperti apa bentuknya? 8
Grafik ersamaan x2 + 2 = 1 z R merupakan silinder lingkaran yang se a ar den an sumbu‐z.
z sin y ,
z
y
x 0? Seperti apa bentuknya?
3/19/2014
(c) Hendra Gunawan
9
x
2
y
2
z
2
z
1
a c merupakan hiperboloida satu .
Irisannya dengan: ‐ ang z= e ps ‐bidang‐xz hiperbola ‐bidang‐yz hiperbola 3/19/2014
(c) Hendra Gunawan
y x
10
z
x
2
y
2
z
2
1
a c merupakan hiperboloida dua .
Irisannya dengan: ‐ ang‐xy per o a ‐bidang x=k elips, titik, Ǿ ‐bidang‐yz himp. kosong 3/19/2014
(c) Hendra Gunawan
y x
11
z
Grafik persamaan
z
2
x
2 2
y
2 2
berbentuk kerucut eliptik gan a .
3/19/2014
(c) Hendra Gunawan
y x
12
z
1 x
2
2
.
Gambarlah grafiknya. Permukaan apakah itu?
3/19/2014
(c) Hendra Gunawan
13
MA1201 MATEMATIKA 2A
12.1 FUNGSI DUA ATAU LEBIH PEUBAH •
Menentukan daerah asal dan menggambar
•
Menentukan kurva ketinggian dan meng‐
3/19/2014
(c) Hendra Gunawan
14
Setelah mempelajari fungsi satu peubah, baik yang bernilai skalar maupun yang bernilai vektor, sekarang kita akan mempelajari fungsi dengan dua (atau lebih) peubah. Seba ai contoh foto atau citra 2D merupakan fungsi dua peubah. Demikian u a suhu T ada suatu keping datar. 3/19/2014
(c) Hendra Gunawan
T(x,y) 15
x,y
secara khusus fungsi dua , yakni fungsi f yang memetakan , daerah D di R2 ke suatu = , .
3/19/2014
(c) Hendra Gunawan
f
=
,
16
, sedangkan himpunan {z = f (x,y)|(x,y) .
D}
Bila tidak dinyatakan secara spesifik, maka terbesar dari R2 yang membuat f terdefinisi. e aga conto , aera asa x,y = x y adalah semua titik (x,y) dengan y ≠ 0. 3/19/2014
(c) Hendra Gunawan
17
1 x Tentukan daerah asal x dan gambarlah daerah tsb pada R2.
3/19/2014
(c) Hendra Gunawan
2
2
18
dengan persamaan z = f(x,y), , , menggambar grafiknya, yaitu {(x,y,z) | z = f(x,y), (x,y) ruang
3/19/2014
z = f(x,y) := x2 + y2 z
D}
.
y
(c) Hendra Gunawan
19
Sketsalah rafik fun si persamaan
an diberikan den an 2
,
3/19/2014
(c) Hendra Gunawan
2
20
Kadang kita dapat mempelajari Contoh: z = f(x,y) := x + y fungsi dua peubah f melalui z kurva‐kurva ketinggian‐nya, yakni kurva‐kurva perpotongan permukaan z = f(x,y) dengan z=k bidang z = k. Bila kita gambar kurva‐kurva ketinggian ini pada bidang R2, maka akan kita peroleh peta kontur f . 3/19/2014
(c) Hendra Gunawan
y
x Kurva ketinggian: x2 + y2 = k bila k ≥ 0
21
Contoh: Kadang kita dapat mempelajari ,
fungsi dua peubah f melalui kurva‐kurva ketinggian‐nya, yakni kurva‐kurva perpotongan permukaan z = f(x,y) dengan bidang z = k. Bila kita gambar kurva‐kurva ketinggian ini pada bidang R2, maka akan kita peroleh peta kontur f . 3/19/2014
(c) Hendra Gunawan
2
2
z
z=k x Peta kontur
y
x 22
z = f (x,y) := xy, untuk ketinggian k = ‐2, ‐1, 0, , .
3/19/2014
(c) Hendra Gunawan
23
