1. Paraboloida eliptik Persamaan permukaan paraboloida eliptik yang berpusat di titik o (0, 0, 0) adalah: +
= , a, b, c > 0
Jejak permukaan pada bidang XOY:
= , parabol
Jejak permukaan pada bidang XOZ:
=
parabol
Jejak permukaan pada bidang z = k, k > 0: +
= > 0, elips
Grafik permukaan paraboloida eliptik yaitu: Z
Y X 2. Paraboloida hiperbolik Persamaan permukaan paraboloida hiperbolik yang berpusat di titik o (0, 0, 0) adalah: -
= , a, b, c > 0
Jejak permukaan pada bidang XOY:
-
= 0,
= 0, sepasang garis
lurus. Jejak permukaan pada bidang z = k > 0:
-
=
Jejak permukaan pada bidang z = k < 0:
-
=-
Jejak pada bidang YOZ: -
= , parabol
hiperbol
, hiperbol
Jejak pada bidang XOZ:
= , parabol
Grafik permukaannya:
Parabola LOKUS DARI TITIK P yang bergerak pada suatu bidang sedemikian rupa sehingga jaraknya dari suatu garis tetap (fixed line) pada bidang dan jaraknya dari suatu titik tetap (fixed point) pada bidang, yang tidak terletak pada garis, adalah sama disebut parabola. Titik tetap pada F disebut fokus, dan garis tetap d disebut direktris dari parabola. Garis FD melalui fokus tegaklurus terhadap direktris disebut sumbu parabola. Sumbu memotong parabola pada titik V, titik tengah FD, yang disebut verteks. Ruas garis yang menghubungkan dua titik yang berbeda pada parabola disebut tali busur (chord). Tali busur (BB’) yang melalui fokus disebut tali busur fokus (focal chord), sedangkan FB dan FB’ masing-masing disebut jari-jari fokus (focal radii) dari B dan B’. Lihat gambar PERSAMAAN PARABOLA memiliki bentuk yang paling sederhana (tereduksi) jika verteksnya berada di titik asal dan sumbunya berimpit dengan salah satu sumbu koordinat. Jika verteksnya berada di titik asal dan sumbu berimpit dengan sumbu x, persamaan parabolanya adalah y2 = 4px Maka fokus berada di F (p, 0) dan persamaan direktriksnya adalah d : x = -p. Jika p > 0, parabola terbuka ke kanan; jika p < 0, parabola akan terbuka ke kiri. Lihat gambar Bila verteks berada di titik asal dan sumbu berimpi dengan sumbu y, persamaan parabolanya adalah X2 = 4py Maka fokus berada di F(0, p) dan persamaan direktriksnya adalah d : y = -p. Jika p > 0, parabola terbuka ke atas; jika p < 0, parabola akan terbuka ke bawah. Lihat gambar Dalam setiap kasus, jarak dari direktriks ke verteks dan jarak dari verteks ke fokus sama dengan p. (beberapa penulis mendefinisikan p > 0 dan membandingkan empat kasus y2 =
4px, y2 = -4px, x2 = 4py, x2 = -4py. Penulis lain menamakan fokus F(1/2p,0) dan direktriks d : x = 1/2p dan menghasilkan y2 = 2px, dan seterusnya). PERSAMAAN PARABOLA memiliki bentuk semi-tereduksi (semireduced) (y – k)2 = 4p(x – h) Atau (x – h)2 = 4p(y – k) Jika verteksnya berada di titik (h,k) dan sumbunya sejajar, masing-masing, tehadap sumbu x atau ke sumbu y. Jarak antara direktriks dan verteks serta jarak antara verteks dan fokus sama seperti yang diberikan pada bagian atas. CONTOH 1. Gambarkan lokus dan carilah koordinat dari verteks dsn fokus, dan persamaandari sumbu dan direktriks dari parabola y2 – 6y + 8x + 41 = 0 Jawab Pertama kita tulis persamaan ini dalam bentuk (y – 3)2 = -8 (x + 4) Dan perhatikan bahwa, karena 4p = -8, parabola terbuka ke kiri. Verteks terletak di V(-4, 3), kita gambar pada sumbu melalui V sejajar dengan sumbu x. Dalam menentukan fokus, kita bergerak dari verteks ke kiri (parabola terbuka ke kiri) di sepanjang sumbu dengan jarak p = 2 ke titik F(-6, 3). Dalam menentukan direktriks, kita bergerak dari verteks ke kanan (menjauhi fokus) disepnjang sumbu dengan jarak p = 2 ke titik D (-2, 3). Direktriks melalui D san saling tegaklurus dengan sumbu; maka persamaannya adalah x + 2 = 0. Dengan menggunakan titik F (-6, 3), jika x = -6 terletak pada parabola maka (y – 3)2 = -8(-6 + 4) dan y = 7 atau -1. Maka p1(-6, -1) dan p2(-6, 7) terletak pada parabola. Lihat gambar.
