0, vendrá dado por
¡ JD2+R6 -2dr. I dr.
CEOE5D CEOE5DfJD2+R61 2
D
r2
(2.77) (2.77)
integral radial radial que que resta resta en (2.77) es elemental por lo que resultado puede puede expresarse La integral elemental por que el resultado expresarse como como
cEoE5 cEoE5
(2.78)
donde tanao lJJ. A la vista vista del resultado expresado vemos que total recibido recibido por por el donde tan
D
22 (~O) (~o )
http://carlos2524.jimdo.com/
LQ LQ, ,
(2.79) (2.79)
Capítulo 2/ El campo electromagnético
37
z
IL
y
(2.72)
@x
o
gente
Figura 2.5 Esquema
de la situación considerada. dicular que parte del centro del detector.
La fuente puntual está colocada
en la perpen-
2.73) e fase
donde Q = 4n serr' (a~) es el ángulo sólido que subtiende el detector desde la fuente y L = CE~E6 . Es particularmente interesante considerar el caso en el que Ro « D de modo que entonces el ángulo sólido puede aproximarse a Q ~
2.74)
po-
R' 7C D
}í =
, ~~a.
Esta aproximación será empleada más adelante.
Suponga ahora que la fuente se desplaza una cantidad a en la dirección del eje Z de modo que se verifica que a « D. Obtenga la expresión del flujo radiante que incide sobre el detector en estas condiciones. A partir de la expresión (2.75) el flujo radiante en la nueva situación vendrá dado por (2.80)
2.75)
siendo {3el ángulo indicado en la Figura 2.6. z
(ver o por
l
.76) o en
y
o
.77) Figura 2.6 Esquema de la situación considerada. La fuente puntual se ha desplazado a respecto a la situación considerada en la Figura 2.5.
una distancia
.78)
A la vista del resultado anterior, cabe esperar que el flujo radiante pueda expresarse de manera similar al obtenido en (2.79) donde ahora Q será sustituido por el nuevo ángulo sólido subtendido Q'. Si
r el
consideramos que D > > Ro podremos estimar el nuevo ángulo sólido como Q' = Á{;3, donde ahora el área de la superficie corresponde a una elipse de semiejes Ro Y Ro cos {3.Teniendo en cuenta además que D = Lcos{3, llegamos a que el ángulo sólido en la nueva situación será Q' = 7CRO¡yOSfJ = Qcos3 {3. Con lo cual teniendo en cuenta las ecuaciones (2.79) y (2.80) llegamos a que el flujo radiante vendrá dado
.79)
http://carlos2524.jimdo.com/
38
Óptica ica Óptica fís física
por por 4
(2.81)) (2.81
Determinar el flujo lunúnoso luminoso si Eo = =2V V1m, = 1 cm y D = = 5 metros metros y la fuente fuente está está enfrentada Determinar 1m, Ro = enfrentada con con el centro centro del del detector. detector.
El flujo luminoso, asociada al flujo radiante que es la magnitud luminoso,
LQ cos coé4 fidxsdys f3dxsdys, , = LQ
(2.83) (2.83)
donde coordenadas donde Xss e Ys Ys son coordenadas coordenadas en el plano plano de la fuente. fuente. Si expresamos expresamos la ecuación ecuación (2.83) (2.83) en coordenadas polares polares tendremos tendremos (2.84) (2.84) Si sumamos sumamos a todos todos los puntos puntos de la fuente fuente se tendrá tendrá
2.13.
(2.85) (2.85)
6')) .. ~
Considere dirección Considere una una carga carga q en el origen origen de coordenadas coordenadas que que ejecuta ejecuta un movimiento movimiento oscilante oscilante en la dirección del eje Z de la fOlIDa emisión de ondas ondas forma z(t) z(t) = Ao cos(wt). cos(wt). Este Este movimiento movimiento acelerado acelerado produce produce emisión electromagnéticas dadas dadas por por electromagnéticas ~ ~ E(r, = E(r, t) t) = ~
B(r, B(r, t) = =
q
11
2
4nEoc 4nEoc r ¡.lo ¡.lO
lilA l ilA
-z --z 4n cr 4ncr
I,
A A
S X S x zz (t)k (t )k, , A A
(t)k (t)k xx ss,,
(2.86) (2.86)
donde de observación. observación. Esta donde tt'I = = t - r / e es el instante instante retardado retardado y ys s es un vector vector unitario unitario en la dirección dirección de Esta es la la conocida ondas". Téngase Téngase conocida exp.resión expresión del campo campo radiado radiado por por un dipolo dipolo oscilante oscilante en la "zona "zona de ondas". en cuenta que hemos hemos cuenta que que en esta esta región región los campos campos radiados radiados cumplen cumplen la relación relación de transversalidad transversalidad que analizado analizado para para ondas ondas planas. planas. r-
5Yer G. Wyszecki nd Edition, (John Wiley Wiley & & Sons, Sons, Wyszecki, , Color Color Science: Science: concepts concepts and and methods, methods, quantitative quantitative data data andformulae, and formulae, 22nd Edition, (John New New York, York, 1982), Caps. Caps. 1 y 2.
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo 2/ 2/ El El campo campo electromagnético electromagnético Capítulo
39
Resolución Resolución (2.81) tada
Expresar por la fuente. Expresar explícitamente explícitamente el campo campo eléctrico eléctrico de las ondas ondas emitidas emitidas por fuente. En primer primer lugar vamos a considerar vector unitario unitario en la dirección lugar vamos considerar la forma forma del vector dirección de observación observación que que está por está dado dado por
nitud el' en
(2.87) (2.87) misma manera evaluaremos la aceleración aceleración de la partícula que vendrá dada por De la misma manera evaluaremos partícula que vendrá dada por
2.82) de a a la noso
2 z" (tI) kr) . z" (t') = = -- w2 Ao cos (wt tcot - kr)
(2.88) (2.88)
01'
Con resta realizar realizar el triple triple producto producto vectorial vectorial indicado resulta Con lo cual cual nos resta indicado en (2.86) (2.86) que que resulta
~ ~ E(r, t) E(r,
22
= -
2
[ xz ~~ yz Aoqw [xz yz ~~ xx2 + y2 y2 ~] ~] Aoqw 2211 + 22 JJ kr) . 2 2 k cos (wt (wt - kr). 47TEOC r r r r 4nEoc
(2.89) (2.89)
que ión nga
Expresar magnético de las ondas por la fuente. Expresar explícitamente explícitamente el campo campo magnético ondas emitidas emitidas por fuente. El campo magnético de las ondas por campo magnético ondas emitidas emitidas está está dado dado por
ente sma ncias ación
2.83) adas
~ ~ H(r, t) H(r, t)
=
1~ ~ -B -B. .
(2.90) (2.90)
C
Realizando magnético se expresa Realizando las operaciones operaciones indicadas indicadas en (2.90) (2.90) llegamos llegamos a que que el campo campo magnético expresa de la siguiente manera siguiente manera
~J
Aoqw ~ x ~J cos(wt Aoqw y ~ = - - [ --1 - 1 + --JJ cos(wt -22 22 22
H(r, t) H(r, t)
r
47TCc 4n
r
kr). kr).
(2.91) (2.91)
Expresar explícitamente explícitamente el vector Poynting asociado asociado a las ondas ondas emitidas emitidas por fuente. Expresar vector de Poynting por la fuente. 2.84)
Teniendo vector de Poynting Poynting y los resultados resultados anteriores lmente Teniendo en cuenta cuenta la definición definición del vector anteriores se llega llega fáci fácilmente a que que (2.92) (2.92) Nótese i s. Nótese que que de la ecuación ecuación (2.92) (2.92) se deduce deduce que que jj> llis. A una radio Ro. Ro. Determinar Determinar el flujo radiante radiante del promedio una distancia distancia D se coloca coloca un detector detector circular circular de radio del promedio temporal del vector área del detector. detector. temporal vector de Poynting Poynting a través través del área En este vector unitario unitario en la dirección este caso caso el vector dirección de observación observación es (2.93) (2.93) Teniendo por Teniendo en cuenta cuenta que que el elemento elemento diferencial diferencial de área área en la superficie superficie del detector detector está está dado dado por dxdzj tendrá que radiante sobre vendrá dado por d xd z] se tendrá que el flujo flujo radiante sobre la superficie superficie del detector detector vendrá dado por
dS dS = (2.94) (2.94)
Igual problema anterior preferible realizar realizar la integral Igual que que en el problema anterior es preferible integral indicada indicada en (2.94) (2.94) en coordenadas coordenadas polares manera que resultado final resulta resulta polares de manera que el resultado 2 4
Sons,
3]
AOq w 2n [ 2 31 - cos ao , 2 x 16n EOC 3
http://carlos2524.jimdo.com/
(2.95) (2.95)
40
Óptica Óptica física
donde tan ( ljg ~ )) es el ángulo por el detector detector desde desde el emisor emisor puntual puntual considerado. considerado. donde ao = = are arctan ángulo subtendido subtendido por Compárese con el obtenido obtenido en (2.79). Compárese este este resultado resultado con (2.79).
2.14.
Considere ondas electromagnéticas electromagnéticas esféricas esféricas situada en el origen. origen. Considere una una fuente fuente de ondas situada en "
Resolución Resolución
Expresar por la fuente, :Sxpresar el campo campo eléctrico eléctrico de las ondas ondas emitidas emitidas por fuente,
Ei, y el. vector de Poynting Poynting asociado, El, el vector asociado,
"" l· l·
De la misma Problema 12 de este Tema, el campo campo eléctrico vendrá dado dado por por misma manera manera que que en el Problema este Tema, eléctrico vendrá
~~
E¡ Ei
Eo
= - cos(wt cos(úJt r
(2.96) (2.96)
kr)u. . kr)u
De manera expresará como como manera que que el vector vector de Poynting Poynting se expresará
~
:Pi =
donde ~l + ~~j donde u urr == ~l
E5 cos2(wt -
CEo -
rr
(2.97) (2.97)
kr)u r ,
+ ~k es un vector vector unitario unitario en la dirección dirección de propagación. propagación.
plano-cilíndrica cuyo Determinar el flujo del A una una distancia distancia D se coloca coloca una una lente lente plano-cilíndrica cuyo diámetro diámetro es 2ro. Determinar promedio temporal temporal del vector que incide sobre la la lente, lente,
u
r= Jx2 +p2. r=Jx2+p2. El elemento viene dado dado por por dS dS = Rsdesdxps, RsdOsdxps, donde elemento diferencial diferencial de superficie superficie sobre sobre el cilindro cilindro viene donde Ps es un vector unitario perpendicular De modo promedio temporal temporal vector unitario perpendicular a la superficie superficie del cilindro. cilindro. De modo que que el flujo del promedio del vector viene dado por vector de Poynting Poynting viene dado por
(2.98) (2.98) donde donde
E
es el ángulo Figura 2.7 para para detalles geometría involucrada). involucrada). ángulo que que forman forman p y Ps (ver (ver Figura detalles sobre sobre la geometría z
(~~-4~+--+----~~--------~~-1~L-~-------.y
Esquema de la situación considerada donde muestra una sección cilindro perFigura 2.7 Esquema situación considerada donde se muestra sección del cilindro pendicular a la generatriz generatriz del mismo. mismo. pendicular
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo 2/ El campo electromagnético
erado.
De la Figura 2.7 se deduce que Asimismo
E
=
ti -
:x = y= p
sen
=
Rs(l
de manera que cos
E
=
sen es sen e - cos es cos e.
- coses),
R, senes,
Jy2 +
(D
+:x)2,
(2.99)
y
é' = -, p
ado,
D+:X
= ---o
cose
(2.96)
+ e)
(es
41
p
De las igualdades obtenidas en (2.99) y sustituyendo en la ecuación (2.98) se obtiene la expresión del integrando. La integral no es analítica por lo que ha de recurrirse al análisis numérico para estimar su valor: si llamamos L a la longitud del cilindro y ea al ángulo subtendido por el borde de la lente respecto al centro de la cara cilíndrica se llega a obtener formalmente (2.100)
(2.97)
donde Q (L, ea) es el ángulo sólido que subtiende la superficie del cilindro que viene dado por
(2.101) del
. De ande
Estimar la diferencia que existe entre el valor de Q(L, ea) y la aproximación de este valor por Qap(L, ea) = 2e~,L. Suponer que D varía entre 1 y5 metros, que R, = 50 mm, L = 50 mrn y ea = it /6. Representar ambas magnitudes frente a la distancia.
Ps es poral
3,-------------------,
2.5
2.98) ).
.
2
o
b E. e
o
•
1.5
0.5
OL-_~_~ 1
1.5
__ 2
~_~_~L__~_~_~ 2.5
3
3.5
4
4.5
5
D(m)
Figura 2.8 Representación gráfica de Q (L, ea) (*) y de Qap(L, la lente y la fuente de ondas esféricas.
ea) (o) en función de la distancia entre
A partir de los resultados mostrados en la Figura 2.8 se deduce que conforme aumenta la distancia, la estimación del ángulo sólido dada por Qap(L, ea) se aproxima al resultado numérico. Este efecto es similar al seguido en el desarrollo de la aproximación efectuada en el Problema 12 de este Tema6. per-
6La estimación numérica la hemos realizado de la siguiente manera: integrando analíticamente x y posteriormente empleando un método numérico de cuadratura.
http://carlos2524.jimdo.com/
la ecuación (2.10 1) en la variable
42
Óptica Óptica física física
2.15.
Considere situada en el origen origen que que emite emite en Aa AO = 600 Considere una una fuente fuente de ondas ondas electromagnéticas electromagnéticas esféricas esféricas situada = 600 nm. nm. Resolución Resolución
E¡, así !p.¡. así como como el vector vector de Poyting, Poyting, ¡Pi.
Expresar el campo campo eléctrico eléctrico de las ondas ondas emitidas emitidas por por la fuente. Expresar fuente.
En este este caso, caso, al igual igual que que en los Problemas Problemas 12 y 14 de este tendrá En este Tema Tema se tendrá ~ ~
Eo Ea
kr)u, E¡ == -- cos(úJt - kr)u, r y
-- = CEoE5- cos 2 (úJt tcot -
:p¡ :Pi
u
2
CEo-
(2.102) (2.102) A A
kr)u kr)u r, r ,
rr rr
;..¡ f.
2 + y2 donde ic;r = 7--¡ + f. Jj + ~k f.k es un vector vector unitario unitario en la dirección dirección de propagación donde propagación y -r -r = JJ xx2 y2 donde (x, (x, y y,, z) son coordenadas respecto al punto punto en el que que se encuentra donde coordenadas respecto encuentra la fuente fuente de radiación. radiación.
+ z2, Z2,
distancia s se coloca coloca una una lente lente convergente convergente de focal foca! f cuyo cuyo diámetro diámetro es 2ra. 2ro. Determinar Determinar el flujo A una una distancia del promedio Poynting que lente,
nr nr22 _ oo __ _
Q Q~~
(2.103) (2.103)
2 '
S S2
incide sobre sobre la lente vendrá dado, dado, por por similitud similitud con el flujo que que incide lente vendrá con la ecuación ecuación (2.78), (2.78), por por ¡II '
2 2 CEO O nro ~ - - - 2- '
E
2
(2.104) (2.104)
s
Suponiendo reflexión en la lente despreciables, expresar expresar el campo campo eléctrico eléctrico Suponiendo que que las pérdidas pérdidas por por reflexión lente son despreciables, de las ondas ondas que que emergen emergen de la lente, lente, Ee. situado en la propia propia lente. lente. Como Como sabemos sabemos En este este caso caso vamos vamos a tomar tomar como como origen origen de coordenadas coordenadas el situado la onda onda refractada refractada convergerá convergerá en un punto punto situado situado en el eje eje óptico óptico que que dista dista de la lente lente s'; s', donde donde se ha de verificar verificar la relación relación de conjugación conjugación 1
1 1 = - , =-, s' l' s' f'
--- - + S S
(2.105) (2.105)
que el medio medio es vacío. vaCÍo. De De esta esta manera manera la onda onda siendo l' f' la focal focal imagen imagen de la lente lente y hemos hemos supuesto supuesto que siendo refractada por por la lente vendrá vendrá dada dada por refractada ~-
Ee Ee
donde rr'' = J Jx2x2 donde lente. de la lente.
(y + z2 + (y
Eo,J"?i Eo~ , =kr )u, )u, ---- - cOS(úJt cos(wt + kr I
r' r'
A A
(2.106) (2 .106)
Implícitamente hemos hemos asumido ss')2. ' )2. Implícitamente asumido que que el eje eje Y coincide coincide con con el eje eje óptico óptico
Suponga ahora ahora que que se desplaza desplaza la lente lente hasta hasta que que la fuente fuente está foco objeto. Suponga está en su foco objeto. Obtener Obtener la expresión expresión campo eléctrico eléctrico de las ondas ondas que que emergen emergen de la lente, lente, El eje óptico del campo óptico coincide coincide con con el eje eje Y.
E!. ir
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo Capítulo 2/ 2/ El El campo campo electromagnético electromagnético 600
En En este este caso caso el haz de radiación radiación que emerge emerge de la lente lente es paralelo paralelo al eje eje óptico óptico de la lente, lente, de manera manera que el campo campo eléctrico eléctrico vendrá vendrá dado dado por que
é, == Eo.Jficos(úJt Eo.,JQcos(wt Ee 0. "l'
por simplicidad simplicidad podemos podemos suponer suponer en lo que que sigue sigue que ú u'l por está está definida definida como como si circ(ro) = [ ~ circ(ro) si
ky)u'circ(ro), , ky)úlcirc(ro)
=
(2.107) (2.107)
j. ecuación (2.107) (2.107) la función función circ(ro) circ(ro) j. En la ecuación
~
.102)
43
x
(a) (a)
(2. 108) (2.108)
(b) (b)
z ujo que
~
A,
~
d/2 d/2
do el de el
Figura 2.9 A2' 2.9 (a) Situación Situación relativa relativa de de la lente lente y el detector detector y (b) Cálculo Cálculo del área área de de solapamiento solapamiento A2'
.103)
Se coloca coloca un detector detector circular circular de radio radio Ro = = ro. Este Este detector detector se puede puede mover mover en la dirección dirección del eje eje Determinar el flujo que que incide incide sobre sobre el detector detector según según la posición posición relativa relativa del detector detector con con respecto respecto Z. Determinar al eje óptico óptico de la lente, lente, g. Representar Representar gráficamente gráficamente el resultado resultado para para Ro = 20 mm. mm.
104)
eo
Para Para determinar determinar el flujo que que incide incide sobre sobre el detector detector en esta esta situación, situación, debemos debemos especificar especificar la separaseparación situación se ilustra ción relativa relativa entre entre los centros centros de la lente lente y del detector, detector, d. Esta Esta situación ilustra en la Figura Figura 2.9a. 2.9a. De manera que para calcular calcular el flujo necesitamos necesitamos computar computar el área área del detector detector sobre sobre la que que incide incide la radiaradiamanera que para ción: ción: esta esta área área es 4 veces veces la del sector sector en blanco blanco mostrado mostrado en la Figura Figura 2.9b. Dado Dado que que el área área del sector sector es A 12 = Al Al + A2 A2 = ~~R1í Y Al Y que que el área área del triángulo triángulo sombreado sombreado es Al De esta A22 = A ¡. esta manera manera el área área de interés interés resulta resulta A = A 12 - Al. Finalmente Finalmente el flujo que que incide incide sobre sobre el detector detector vendrá vendrá dado dado por por
R5
mos a de
105) nda
06)
=1 donde h = 1~~ h donde
JJ R1íR5 --
d22/4. / 4.
(2.109) (2.109)
[2~oJ.
donde e () = arccos arccos [ 2~o Figura 2.10 2.10 se ha representado representado el factor factor de área área de solapamiento solapamiento 4 4A2. donde En la Figura A 2· Nótese que, que, como como cabe cabe esperar, esperar, al alejar alejar el detector detector del eje óptico óptico el flujo captado captado disminuirá disrninuirá notablenotableNótese mente. mente. El interés interés de este este ejemplo ejemplo radica radica en que que nos informa informa no sólo sólo acerca acerca de la radiometrÍa radiometría elemental elemental involucrada, sino que además, además, en el Tema Tema 6 nos será será de gran gran utilidad utilidad para para estudiar estudiar este este efecto efecto en la involucrada, formaciónn de la imagen imagen 7 .. Asimismo Asimismo las nociones nociones elementales elementales de radiometría derivan tienen tienen su formació radiometrÍa que se derivan interés permiten fundamentar fundamentar desde desde un punto punto de vista vista físico, físico, las relaciones relaciones entre entre la iluminación iluminación de interés ya que permiten objeto y la imagen imagen que proporciona proporciona de él un sistema sistema ópticos. ópticos. un objeto
tieo 'n
en la resolución resolución del problema problema se han han obviado obviado los los fenómenos fenómenos de difracción difracción por por la lente: lente: un análisis análisis más más cuicui77Naturalmente Naturalmente en dadoso nos nos permiti permitiría incorporar estos estos detalles, detalles, sin embargo embargo lo que que pretendemos pretendemos ilustrar ilustrar en este problema problema y los anteriores anteriores es la en este dadoso ría incorporar fenomenología básica básica subyacente. subyacente. fenomenología preciso hacer hacer notar notar que que en en este problema y en el anterior, anterior, se ha considerado considerado que que las lentes lentes son son "perfectas", "perfectas", en el 88Asimismo Asimi smo es preciso este problema sentido de que que no introducen introducen aberraciones aberraciones en en el frente frente de onda, onda, lo cual cual constituye constituye obviamente obviamente una simplificación. una simplificación. sentido
http://carlos2524.jimdo.com/
44
Óptica física 1400
1200
1000
800
~ -sr 600
400
200
o o
5
10
Figura 2.10 Representación
gráfica del área de solapamiento, entre los centros de la lente y del detector, d.
separación
4A2, en funció-n de la distancia
de
PROBLEMAS PROPUESTOS ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
2.1.
"
,
Considere una onda plana, lineal mente polarizada que se propaga en la dirección +X en el vacío, El plano de vibración es el Y Z y la dirección de vibración forma un ángulo de 35° con el eje Y. La amplitud del campo es de 0.025 V1m y su frecuencia es de 1.02 GHz. (a) Escribir la expresión del campo eléctrico, E._ (b) Escribir la expresión del campo magnético, H. (e) Escribir la expresión del vector de Poynting, ¡P, y determinar la irradiancia promedio de la onda, 1.
¡II'"
SOLUCIÓN:
(a) E
=
(0,0.025cos35°,0.025sen35°)cos(6.4088
x 109t -21.3628x).
H = CEo(O,-0.025 sen 35°,0.025 cos 35°) cos (6.4088 x 109t - 21.3628x). (e) ¡P = cEoO.0252¡ cos2 (6.4088 x 109t - 21.3628x). 1 = 8.3 x 10-7 (W/m2).
(b)
2.2.
El vector campo eléctrico de una onda electromagnética E(x, t)
=
Eo [sen(kx - wt)j
está dado por
+ cos(kx - wt)k] ,
determinar: (a) (b) (c) (d)
La dirección de propagación, up. El estado de polarizaci~n de la onda. El campo magnético, H. Calcular E . E, jj; . i, E . jj y E 1\ H. Analizar los resultados obtenidos.
SOLUCIÓN:
(a) U p = 1: La onda se propaga en la dirección positiva del eje X. (b) La onda está circularmente polarizada y el sentido de giro es levógiro. (c) H = CEoEo [- cos(kx - wt)j
+ sen(kx
- wt)k].
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo 2// El campo Capítulo 2 campo electromagnético electromagnético
2.3.
45
Una lámpara lámpara consume potencia eléctrica. El 5% transforma en Una consume 100 W de potencia eléctrica. El 5% de la energía energía consumida consumida se transforma energía luminosa que se distribuye distribuye de manera isótropa. Determinar: energía luminosa que manera isótropa. Determinar: (a) La La amplitud metros de la fuente, E6. amplitud del campo campo eléctrico eléctrico a 6 metros fuente, E6. (b) La La amplitud magnética a 6 metros metros de la fuente, B6. amplitud del campo campo de inducción inducción magnética fuente, B6. SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
II (a)
E6 E6
=
10.22 10.22 (V/m). (V/m). (b) B6
= 3.409 3.409
ONDAS ENERGíA TRANSPORTADA TRANSPORTADA POR LAS ONDAS
2.4. a de
xx 10-88 (T). (T).
,. .
II
' .. ".
,. ,."
Considere una fuente isótropa isótropa de ondas ondas esféricas esféricas situada situada en el punto (origen de coordenadas coordenadas en lo que que Considere una fuente punto O (origen sigue). Considerar Considerar que que la región interés carece carece de cargas cargas y corrientes corrientes y que que la amplitud amplitud del del campo campo sigue). región de interés eléctrico emitido emitido a 1 m de la fuente fuente es Ea. Eo. eléctrico Poynting a través esfera de radio R],
2.5. . El
itud
, l.
Considere una fuente de ondas ondas electromagnéticas electromagnéticas esféricas esféricas situada situada en el origen. origen. Considere una fuente campo eléctrico eléctrico de las ondas ondas emitidas emitidas por fuente, E¡. E¡ . (a) Expresar Expresar el campo por l~ fuente, vector de Poynting ondas emitidas, emitidas, :Pi. :p¡. (b) Expresar Expresar el vector Poynting de las ondas (e) A una una distancia distancia f se coloca coloca una lente convergente convergente cuyo cuyo diámetro diámetro es 2ro. Determinar (c) una lente Determinar el flujo del promedio que incide incide sobre
(a)
E¡ (r, t) t) = Ei (f:, -
~o ~() cos(wt cos(wt - kr)[i. kr)u. E E22
(b) :P¡Cl, t) = = CEO ,.~ (b) :PiC; , t) r~ cos22(wt (wt - kr)u,.. kr)u r .
CEoE6 CEO E5 4n ("'0) 2 con (Yo (e)
(d)
2.6.
EeCr, t) EeCi, t)
. (2r (T 2"0o) = alctan arctan T ) ..
= Eocirc(ro)J4n sen?2 (0' ("'2°) = Eocirc(ro) J 4n sen 2°) COS(Wf cos(wt -- ky)j. ky)j.
Un haz láser láser emite emite un pulso onda Aa Cada pulso duración aproximada aproximada pulso de longitud longitud de onda AO = 291 nm. Cada pulso tiene tiene una duración diámetro transversal Considerar que que cada cada pulso energía de 1 ns y el haz láser láser tiene tiene un diámetro transversal de 2 mm. mm. Considerar pulso tiene tiene una una energía de 4 J. Calcularar la extensión extensión espacial espacial del tren de ondas, ondas, L. (a) Calcul Calcular la energía energía por (b) Calcular por unidad unidad de volumen volumen del pulso pulso de luz, Vv. SOLUCIÓN: : SOLUCIÓN
II (a) L = 0.3 m y (b) Vvv = 4.24 4.24 x 2.7.
(J/m33).) . 106 (1/m
Un haz sección circular circular y diámetro diámetro 5 mm tiene está linealmente linealmente haz de luz luz de sección tiene una una potencia potencia de 125 mW, mW, está polarizado dirección del eje eje Z y se propaga dirección del eje eje X. polarizado en la dirección propaga en la dirección X.
http://carlos2524.jimdo.com/
46
Óptica Óptica física física (a) Escribir asociado a la onda, onda, E, así así como como la expresión expresión del vector Escribir la exp!esión exp!esión del campo campo eléctrico eléctrico asociado vector de Poynting, Poynting, :P. (b) El haz incide incide sobre ángulo de 20°, determinar cuantitativamente cuantitativamente la forma forma y el sobre una una pared pared con un ángulo 20°, determinar tamaño tamaño de la región región iluminada iluminada en la pared. pared. (e) Determinar Determinar el flujo del vector vector de Poynting Poynting que (c) que incide incide en el área área iluminada iluminada en la pared, pared,
ij
SOLUCiÓN: SOLUCIÓN: 2 E = 2189.89cos(wt 2189.89cos(wt - kx)k kx)k (V/m). (Y/m). i> ¡P = 1.27324cos 1.27324eos2(wt (a) Ji (wt - kx)i kx)i (W/m (W/m22).). (b) Se trata mm y b = 2.5 2.5 cos cos 20° mrn. mm. trata de una una elipse elipse de semiejes semiejes a = 2.5 mm (e)
2.8.
luz colimado irradiancia I¡ li = 1 mW/m mW/m22 incide incide sobre Un haz de luz colimado de longitud longitud de onda onda Aa = 500 500 nm e irradiancia sobre un ojo reducido mm y n = 4/3. 4/ 3. Se sabe que la retina retina del observador observador reducido con las siguientes siguientes características características r = 5 mm sabe que está está colocada colocada a 25 mm del vértice vértice del dioptrio. dioptrio. (a) Determinar energía,
(a) (b) (e) (c) (d) (e)
¡II""
2.9.
Una V/m y de longitud longitud de onda onda Aa Una onda onda electromagnética electromagnética plana plana de amplitu~ amplitu~ Ea = 10 Y/m (ver Figura Figura 2.11). 2.11). propaga propaga en el vaCÍo vacío en la dirección dirección del vector vector kk (ver
=
500 500 nm se
(a) Escribir campo eléctrico, eléctrico, E, Ji, y magnético, magnético, H, ft, en coordenadas coordenadas cartecarteEscribir las expresiones expresiones completas completas del campo sianas nealmente polarizada perpendicular al plano plano Z Y. sianas si la onda onda está está li linealmente polarizada perpendicular Calcular la irradiancia irradiancia de la onda, onda, 1, y Y la potencia,
1
~
E = 10 cos [1.2566 [1.2566 x E
+ zz sen 30°) 30°) - 3.7699 3.7699 x 101515t]t] l. 15 Rft = 0.02655 0.02655 cos eos [1.2566 [1.2566 x 108 (y (y cos 30° + zz sen 30°) t]t ] 30° ) - 3.7699 3.7699 x 1015 0.13275 (W/m(W/m-2)2 ) y <1:>0
(a)
(y cos 30° 108 (y
0.13275 (W/m(W/m-2).2 ) . (e) h = 0.13275 (d) <1:
http://carlos2524.jimdo.com/
k).
(sen (sen 30° j - cos cos 30° 300 k).
2.
Capítulo 2 / El El campo Capítulo 2/ campo electromagnético electromagnético 47 vector z
a y el
@x @x detector detector
re un
y
ador
Figura 2.11 Esque ma de considerada. Inicialmente Inicialmente el detector-se detector-se coloca coloca perpendicular perpendicular Esquema de la situación situación considerada.
) que o que
n que etina,
vector k. aall vector
2.10.
coloca un tubo tubo de plasma plasma en una cavidad resonante (dos espejos espejos planos Se coloca una cavidad resonante óptica óptica (dos planos de alta alta reflectividad reflectividad Determinar: paralelos paralelos entre entre sí a una una distancia distancia L) L).. Determinar:
(a) La forma que pueden pueden establecerse establecerse en la cavidad. cavidad. forma de las ondas ondas estacionarias estacionarias que (b) La condición cierta frecuencia esté establecida normales de resonancia). resonancia). condición para para que que una una cierta frecuencia esté establecida (frecuencias (frecuencias normales Expresarla longitud de la cavidad. cavidad. Expresarla en términos términos de la longitud 14 (c) que el tubo plasma emite emite luz luz centrada centrada en IJo Hz con un ancho ancho espectral espectral (e) Suponer Suponer que tubo de plasma IJa = 5 xx 1014 Hz 9 .6. IJIJ = = 0.9 x 10 Hz indicado indicado en la Figura .6. IJ es tal que frecuencias que I':l Figura 2.12. 2.12. El valor valor de I':l que todas todas las frecuencias que estén en el intervalo intervalo [IJo [IJa -- I':lIJ, .6.IJ, IJo IJa + I':lIJ] .6.IJ] se verán excitadas por estén verán excitadas por el tubo tubo de plasma plasma y el resonador. resonador. ¿Cuántas frecuencias, frecuencias, N N;v se excitan excitan si L L = = 1.2 m? ¿Cuántas (d) Determinar para el que que sólo excite una una sola Determinar el valor valor de L para sólo se excite sola frecuencia, frecuencia, L l.l.
o que ire de refle-
(a) (a)
(b) (b)
de plasma tubo de tubo plasma / // - -<----~ ' ---'
_L_~\
\_4 \_4 _L_~\
m se
v,
arteFigura 2 . 12 (a) Esquema resonador y el tubo de plasma plasma y (b) Curva de ganancia. ganancia. 2.12 Esquema del resonador tubo de Curva de
da de ado a
SOLUC iÓN: SOLUCiÓN:
(b) Condición ka = mit mn con con m número número natural. natural. Equivalentemente Equivalentemente IJIJmm = m 22cLL . Condición de resonancia: resonancia: ka (c) L¡ = 0.16 (e) N N;u = 7 modos modos (longitudinales) (longitudinales) excitados excitados y (d) L¡ 0.16 (m). (m).
, /6· ción
2.11. 2.11.
Considere lado a cuyas cuyas paredes paredes son metálicas. metálicas. El cubo uniformemente Considere un cubo cubo uniforme uniforme de lado cubo se calienta calienta uniformemente a una temperatura metal son acelerados temperatura T. Como Como consecuencia consecuencia del calentamiento calentamiento los electrones electrones del metal acelerados y emiten radiación en diferentes emiten radiación diferentes frecuencias. frecuencias. (a) Establecer para que que se obtengan obtengan ondas ondas estacionarias dentro de la cavidad, cavidad, teniendo teniendo en Establecer la condición condición para estacionarias dentro cuenta metal el campo campo eléctrico eléctrico ha de anularse. anularse. cuenta que en la superficie superficie del metal er. (b) Establecer permitidas, úJpperEstablecer la condición condición de las frecuencias frecuencias permitidas, (c) por intervalo intervalo de frecuencia unidad de volumen volumen de la (e) Derivar Derivar el número número de ondas ondas estacionarias estacionarias por frecuencia y unidad cavidad, diferentes estados estados de polarización, polarización, N cavidad, teniendo teniendo en cuenta cuenta los diferentes N (úJ). (úJ).
http://carlos2524.jimdo.com/
48
Óptica física física Óptica
Teniendo en cuenta cuenta que que eada cada onda onda estacionaria estacionaria tiene tiene una energía promedio 8 = kT, kT, determinar determinar la (d) Teniendo una energía promedio 8 energía por volumen en cada cada intervalo intervalo espectral espectral PT(úJ) (fórmula de Rayleigh-Jeans). Rayleigh-Jeans). energía por unidad unidad de volumen PT(úJ) (fórmula Buscar bibliografía sobre este este fenómeno fenómeno de radiación radiación del cuerpo cuerpo negro negro que que explique explique por (e) Buscar bibliografía sobre por qué y dónde falla falla el razonamiento razonamiento anterior. anterior. dónde SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
JntnT + n~ donde ni ni, , n2 Y n3 n3 son son números e:: J n~ + n~ n~ donde números naturales naturales positivos positivos.. . (e) (c) f¡ (úJ) (t») = d ~~w) = nL3 7lL3 dúJ, dco, donde donde se ha tenido tenido en cuenta cuenta los los dos posibles estados de polarización posibles estados polarización (b) úJ = (a) y (b) úJ per per = d
~~ú))
úJ2 úJ2
posibles cada modo. modo. posibles para para cada 1 2 2 (d) PT(úJ) = ---húJ kTkT ddco. (d) PT( úJ) = 2 3úJ úJ. n1f e
11
http://carlos2524.jimdo.com/
,
ar la
"
CAPITULO CAPITULO
). ué y
,,
INTERACCION DE LA INTERACCION , RADIACiÓN CON CON LA RADIACION MATERIA MATERIA
ión
consideramos una espacio en la que que no hay cargas ni corrientes, corrientes, las ecuaciones ecuaciones de Maxwell Maxwell Si consideramos una región región del espacio hay cargas admiten soluciones soluciones en forma forma de ondas ondas que que se propagan admiten propagan con la velocidad velocidad de la luz en el vacío. vaCÍo. Así Así pues pues electromagnéticas que se originan originan en unas llegar a afectar afectar a las cargas cargas las perturbaciones perturbaciones electromagnéticas unas regiones regiones pueden pueden llegar que hay otras regiones muy distantes. distantes. Las Las ecuaciones ecuaciones de onda onda que que hemos visto en el Tema Tema 2 admiten admiten hemos visto que hay en otras regiones muy soluciones en forma forma de ondas ondas planas hemos obtenido asimismo la energía energía asociada asociada a la propagación soluciones planas y hemos obtenido asimismo propagación tales ondas. ondas. Sin Sin embargo embargo esto esto no nos nos dice dice cuál es el origen ondas electromagnéticas. electromagnéticas. La teoría de tales origen de las ondas La teoría clásica de la radiación radiación justamente cuenta de este este hecho. hecho. clásica justamente da cuenta
3.1. 3.1.
TEORíA CLÁSICA DE LA RADIACiÓN Las distribuciones distribuciones de cargas, cargas, pCr, t), y corrientes, corrientes, JCr, ICr, t), t), son los los términos fuente que que aparecen aparecen en las Las per, t), términos fuente ecuaciones de Maxwell Maxwell para dar cuenta cuenta del origen electromagnética. Así, disecuaciones para dar origen de la radiación radiación electromagnética. ASÍ, para para unas di stribuciones dadas, ecuaciones de Maxwell Maxwell que que incorporen incorporen estas estas distridistritribuciones dadas, el problema problema consiste consiste en resolver resolver las ecuaciones buciones. De particular caso en el que que las variaciones estas di distribuciones buciones. De particular relevancia relevancia es el caso variaciones temporales temporales de estas stribuciones armónicas. Justamente Justamente el teorema Fourier establece establece que que cualquier cualquier perturbación sintetizarse son armónicas. teorema de Fourier perturbación puede puede sintetizarse términos de funciones funciones armónicas. armónicas. en términos El movimiento movimiento acelerado acelerado de las cargas cargas es en última instancia el origen origen de las ondas ondas electromagnéticas: electromagnéticas: El última instancia acudir al formalismo formalismo del electromagnetismo electromagnetismo y formular formular este este problema los potense puede puede acudir problema en términos términos de los potenciales escalar escalar y vectorial, obtenerse este este resultado ideado por ciales vectorial, o bien, bien, puede puede obtenerse resultado mediante mediante el procedimiento procedimiento ideado por J. Thomson para determinar el campo campo eléctrico eléctrico de una carga eléctrica eléctrica que que ha sido sido acelerada acelerada durante durante un J. Thomson para determinar una carga breve Mediante este este último empleando la ley de Gauss Gauss para campo breve lapso lapso de tiempo", tiempo' . Mediante último procedimiento, procedimiento, y empleando para el campo eléctrico, puede demostrarse que que además además de la componente componente radial campo, conocida conocida por lector que que eléctrico, puede demostrarse radi al del campo, por el lector haya seguido un curso curso de "Física "Física General", General", y que que varía inverso del cuadrado cuadrado de la distancia, distancia, apahaya seguido varía con el inverso rece componente tangencial que varía varía con con el inverso inverso de la distancia. distancia. Esta componente rece una una nueva nueva componente tangencial que Esta última última componente
I \
detalles de este este procedimiento sugerimos que que se consulte consulte el trabajo debido a J. R. Tessman Tessman y J. R. Finne! "Electric c I1Para Para ver ver más más detalles procedimiento sugerimos trabajo debido Finnel "Electri of an accelerating accelerating charge" charge", , Am. 35,523-527 (1967). field of Am. J. Phys. Phys. 35, 523-527 (1967).
http://carlos2524.jimdo.com/
50
"
Óptica física física Óptica
asociada a los campos radiados por por la carga carga acelerada, acelerada, y dada dada su forma forma de variar variar con la distancia distancia es es la asociada campos radiados explica el largo largo alcance alcance de las ondas ondas radiadas. radiadas. la que explica Por otro otro lado lado precisamos precisamos de un modelo modelo de materia, materia, clásico, clásico, que que nos permita permita describir describir cómo cómo interacinteracPor ciona la radiación radiación con con los elementos elementos constitutivos constitutivos de un medio medio material. material. Adoptaremos Adoptaremos el así así llamado llamado ciona "modelo de átomo átomo de Lorentz" Lorentz" que, que, aunque aunque se ha revelado revelado limitado, limitado, da cuenta cuenta de una gran variedad variedad de "modelo fenómenos. En este este modelo modelo la materia materia está está constituida constituida por por átomos átomos y asociaciones asociaciones de átomos. átomos. Cada Cada uno fenómenos. estos átomos átomos a su vez está está constituido constituido por por asociaciones asociaciones de cargas cargas positivas positivas y negativas negativas que de alguna alguna de estos manera enlazan establemente. establemente. Por Por simplicidad simplicidad consideraremos consideraremos que la carga carga negativa negativa está está distribuida distribuida manera se enlazan uniformemente en torno torno al núcleo. esta manera, manera, cuando cuando sobre sobre un átomo átomo incide incide una onda onda electroelectrouniformemente núcleo. De esta magnética de una una frecuencia frecuencia dada, dada, la distribución distribución de carga carga negativa negativa se deformará: deformará: decimos decimos que que el campo campo magnética externo induce dipolar. Este Este momento momento dipolar di polar es oscilante oscilante también también y con la misma misma frecuen frecuen- externo induce un momento momento dipolar. que el campo campo externo, externo, siempre siempre y cuando cuando los campos campos aplicados aplicados sean sean de pequeña pequeña amplitud amplitud comparados comparados cia que campos eléctricos in ter-atómicos e intra-atómicos. intra-atómicos. Si éste éste es el caso caso diremos diremos que que estamos estamos en el con los campos eléctricos inter-atómicos marco óptica lineal. lineal. En razón razón de su naturaleza naturaleza los mecanismos mecanismos de polarización polarización de la materia marco de la óptiea materia puepueagruparse en tres grandes grandes grupos: grupos: polarización polarización electrónica, electrónica, asociada asociada a las las deformaciones deformaciones de las nubes nubes den agruparse electrónicas, iónica, asociada electrónicas, polarización polarización iónica, asociada a los movimientos movimientos relativos relativos entre entre los iones iones que constituyen constituyen las moléculas, y polarización polarización orientacional, orientacional, que que está está relacionada con las rotaciones, rotaciones, libres libres o forzadas, forzadas, de las moléculas, relacionada con moléculas. En lo que sigue sigue nos vamos vamos a centrar centrar en el mecanismo mecanismo de polarización polarización electrónica. electrónica. moléculas. Bajo la acción acción de un campo externo de frecuencia frecuencia w, ev, la nube nube de carga carga electrónica electrónica se deformará. deformará. Si Bajo campo externo cesase este campo campo externo externo debemos debemos de esperar esperar que que la nube nube electrónica electrónica recupere recupere el estado estado inicial inicial al cabo cabo cesase este cierto tiempo: tiempo: esta esta situación situación la podemos podemos modelar modelar mediante mediante el empleo empleo de una una fuerza fuerza restauradora restauradora de un cierto lineal de constante constante ko, de manera manera que que la ecuación ecuación de movimiento movimiento del electrón electrón la podemos podemos escribir escribir como como lineal d22, ¡;
__ kor = + kor
mee d t22 m
L ¡ex!, L Fext ,
(3.1) (3 .1 )
donde la suma suma se extiende extiende a todas todas las fuerzas fuerzas externas. externas. En el caso caso que nos ocupa, ocupa, trataremos trataremos con la ley donde fuerzas de Lorentz Lorentz (ver Tema Tema 2). Si las velocidades velocidades de los electrones electrones son menores menores que que e, entonces entonces la de fuerzas ecuación (3.1) (3.1) puede puede reescribirse reescri birse como ecuación como 2d r -2 2
dt
2~ + evOr wOr ~
q -EE me
qq-Eo cos(evt), -Eo cos(wt), mee m
= =
(3.2) (3.2)
donde E campo eléctrico eléctrico de la fuerza fuerza que que actúa actúa sobre sobre el átomo átomo y wo evo = "¡ko .Jko/ / me es la "frecuencia "frecuencia donde E es el campo natural" de oscilación oscilación del átomo. átomo. En la ecuación ecuación (3.2) (3.2) ¡;, representa representa el desplazamiento desplazamiento de la carga carga respecto respecto natural" situación de equilibrio equilibrio y cumple cumple que que, 11 Eo. Eo. a la situación solución ecuación de movimiento (3.2) se establece establece sin la menor menor dificultad dificultad y nos indica indica que La sol ución de la ecuación movimiento (3.2) carga está está acelerada acelerada bajo bajo la acción acción del campo campo incidente: incidente: la carga
r
_ r
q
= -q
2
1 1
m mee W evo ea o- w
2
-Eo cos(wt) cos(evt)
=
-qroEo cos(evt). qro Eo cos(wt).
(3 .3) (3.3)
Esta aceleración aceleración de la carga carga negativa negativa tiene tiene como como efecto efecto la reemisión reemisión de ondas ondas electromagnéticas. electromagnéticas. Si la Esta distancia entre el lugar lugar donde donde se observa observa el campo campo radiado, radiado, Ro, Y y el punto punto en el que se encuentra encuentra el átomo átomo distancia entre origen) cumple cumple/ 2 que que A A « « Ro, el campo campo radiado radiado viene dado por por la expresión expresión (el origen) viene dado ~ - ~ 1 E(Ro,t) E(Ro, t) ~ ~ -- 4rrEo -
/.Lo ¡.,Lo
B(Ro, t) ~ ~ B(Ro , t) 4rr
s x [s X pl/(tl)] pl/(tl) ] X
2
e Ro
l X [pl/(t ) ) X [pl/(t l
cRo eRo
S]] S
'
(3.4) (3.4)
,
donde 1) jj = qr qr = qrO cos(wt)Eo cos(evt)Eo es el momento momento dipolar dipolar inducido inducido y s es un vector vector unitario unitario en la dirección dirección donde observación. En la ecuación ecuación (3.4), (3.4), las derivadas derivadas una vez realizadas realizadas se evalúan evalúan en el instante instante retardado retardado de observación. esta condición condición se la denomina denomina radiación radiación en la zona ondas. 2 A esta zona de ondas.
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo 3/ Interacción radiación con materia Capítulo 3/ Interacción de de la radiación con la materia iaes eracado d de uno guna uida ctrompo
51
t' = t - Roje, Ro/e , que velocidad finita propagación de la perturbación. Nótese que que da cuenta cuenta de la velocidad finita de propagación perturbación. Nótese que los campos magnética dados transversalidad de las campos eléctrico eléctrico y de inducción inducción magnética dados en (3.4) (3.4) cumplen cumplen la relación relación de transversalidad ondas planas. convencerse de que que si el campo campo excitador excitador es de frecuencia frecuencia w, w, los ondas planas. Adicionalmente Adicionalmente es fácil convencerse campos radiados átomo son de la misma misma frecuencia frecuencia y se propagan campos radiados por por un átomo propagan a la velocidad velocidad de la luz luz en el vacío. vacío. La por un átomo, átomo, PI1l, Pm, se puede determinar computando computando el flujo del vector La potencia potencia media media radiada radiada por puede determinar vector de Poynting superficie esférica esférica resultando Poynting a través través de una una superficie resultando ser (3.5) (3.5)
uen-
ados en el pue-
ubes n las elas
Al que hemos falta incorporar incorporar un hecho importante: dado dado que que el átomo átomo emÜe emite Al modelo modelo que hemos presentado presentado le falta hecho importante: radiación, cesa el campo campo excitador excitador cabe cabe esperar esperar que que el movimiento acabe amortiguándose amortiguándose ya que que no radiación, si cesa movimiento acabe hay fuerza fuerza exterior exterior que que mante!!ga efecto del amortiguamiento mante!;lga el movimiento. movimiento. Este Este efecto amortiguamiento lo podemos podemos modelar modelar como una fuerza de fricción fricción, , Fr, que será será esencialmente esencialmente proporcional forma como una fuerza Fr , que proporcional a la velocidad velo~idad en la forma
dr
-r-.. -rdt dt
(3.6) (3.6)
Esta fuerza ha de incorporarse incorporarse a la ecuación ecuación de movimiento (3.1) con con lo que que queda queda completado completado el Esta nueva nueva fuerza movimiento (3.1) esquema del modelo clásico del átomo. átomo. En particular ecuación (3.3) (3.3) quedaría quedaría ahora ahora como como esquema modelo clásico particular la ecuación
r~
a ley es la
q
r = = --
(3.1) donde y donde
2
m e Wo mewo-w
1
2 w2
+ iyw +IYW
Eo cos(wt), Eocos(wt),
(3.7) (3.7)
= rr j/ me. (3.7) se puede obtener una expresión para dipolar como como m e. A partir partir de (3.7) puede obtener una expresión para el momento momento dipolar p = =qrqr
(3.2)
.
=
a(w)Eo, a(w) Eo,
(3.8)
donde a(w) a(w) es la polarizabilidad atómica. donde polarizabilidad atómica. RADIACiÓN RADIACiÓN
MEDIO MEDIO
RADIACiÓN RADIACiÓN
encia ecto que
(3.3) Si la tomo
¡r
ECUACIONES ECUACIONES DE MAXWELL DEMAXWELL \ radlaclon radiación _ ~ dipolar dlpolar
\\
COLECCiÓN DE COLECCiÓN DE DIPOLOS DIPOLOS SOMETIDOS A SOMETIDOS A RESTRICCIONES (6),) RESTRICCIONES (ro,)
~
~ (3.4)
interpretativo de de la electrodinámica electrodinámica clásica. . Figura 3.1 Esquema Esquema interpretativo clásica
ción dado
Podemos esquema de la interacción interacción de la radiación como Podemos resumir resumir el esquema radiación con la materia materia en un pictograma pictograma como que se representa ondas electromagnéticas están descritas descritas en términos el que representa en la Figura Figura 3.1: las ondas electromagnéticas están términos de las ecuaciones de Maxwell, está modelada átomos que que están están sujetos sujetos a restricciones ecuaciones Maxwell, la materia materia está modelada mediante mediante átomos restricciones (fuerzas recuperadoras lineales). La interacción interacción aparece aparece como como una suerte de acoplo acoplo entre entre la materia (fuerzas recuperadoras lineales). una suerte materia y el campo (interacción (interacción electro-mecánica). electro-mecánica). campo
http://carlos2524.jimdo.com/
52 ,
.,, ,1
3.2. 3.~. ,
Óptica física física Óptica PROCESOS DE ESPARCIMIENTO Y ABSORCiÓN PRO~ESOS
En los sistemas depender del del estado estado de agregación: agregación: en un sistemas materiales materiales las distancias distancias entre entre átomos átomos van a depender sólido son relativamente relativamente estables comparación sólido o en un líquido líquido las distancias distancias entre entre partículas partículas vecinas vecinas son estables en comparación caso de un gas, en el que la agitación agitación térmica térmica tiende tiende a desordenar con el caso desordenar a cada cada instante instante la configuración. configuración. Hemos visto que una onda onda electromagnética electromagnética produce produce ondas ondas de Hemos visto que un átomo átomo aislado aislado cuando cuando es excitado excitado por por una la misma átomos suficientemente suficientemente elevada, elevada, misma frecuencia frecuencia pero pero ¿qué ¿qué ocurre ocurre cuando cuando tenemos tenemos una una colección colección de átomos depender de dos dos cosas: cosas: por por un lado lado de la digamos digamos 1022 átomos/cm átomos/cm 3'?? La respuesta respuesta a esta esta pregunta pregunta va a depender átomos en comparación comparación con con la longitud longitud frec uencia de la onda frecuencia onda incidente incidente y, por por otro, otro, de la distancia distancia entre entre átomos de onda una distancia distancia mayor mayor que que la longitud longitud onda de la radiación radiación incidente. incidente. Si los átomos átomos están están separados separados a una de onda, cada uno de ellos ellos se comportará comportará como como un centro centro que que esparce onda, cada esparce la radiación radiación de acuerdo acuerdo con con (3.4), (3.4), por cada cada centro centro se superponen superponen manera que que en un punto dado de observación observación las ondas ondas reirradiadas de tal manera punto dado reirradiadas por sin correlación fenómeno "interferencial" que cancele cancele la correlación de sus fases fases,, por por lo que que no tiene tiene lugar lugar ningún ningún fenómeno "interferencial" que otro lado, lado, de la ecuación ecuación (3.4) (3.4) radiación en alguna alguna dirección: dirección: de ahí el nombre nombre "esparcimiento". "esparcimiento". Por Por otro radiación se infiere todas direcciones direcciones excepto excepto en la dirección dirección de infiere que un átomo átomo aislado aislado emite emite radiación radiación dipolar dipolar en todas vibración del campo campo excitador, excitador, supuesto supuesto éste éste linealmente polarizado. vibración linealmente polarizado. contemplar el humo humo de Tenemos pueden observar observar al contemplar Tenemos ejemplos ejemplos cotidianos cotidianos de este este esparcimiento esparcimiento que que se pueden un cigarrillo humo hacia hacia un haz haz láser láser veremos veremos cuál cuál cigarrillo lateralmente: lateralmente: en particular particular si dirigimos dirigimos la voluta voluta de humo es el "camino" mismo. En los sólidos sólidos que este efecto efecto del esparcimiento esparcimiento también también "camino" del mismo. que contienen contienen impurezas impurezas este puede puede observarse observarse con facilidad facilidad. .
ondas reirradiadas reirradi adas ondas en fase fase con con la la onda onda en incidente incidente onda incidente
/
.-
\-,
~ ~ ondas ondas reirradiadas reirradiadas oposición de fase fase en oposición
Figura 3.2 Esparcimiento los osciladores osciladores atómicos atómicos inducidos inducidos por por el Esparcimiento coherente coherente de la radiación radiación por por los campo campo excitador excitador en un elemento elemento de de volumen volumen del medio medio. .
ti'
transparencia de algunos algunos medios medios materiales: materiales: Sin embargo, embargo, el esparcimiento esparcimiento no parece parece explicar explicar la transparencia consideremos haz de luz visible visible de sección sección circular circular un consideremos una experiencia experiencia elemental elemental como como iluminar iluminar con con un haz del rayo rayo refractado refractado y no en todas todas direcciones, direcciones, vidrio vidrio de venta. venta. Veremos Veremos que sólo sólo existe existe luz en la dirección dirección del así ya que que en un sólido, sólido, como como el vidrio, vidrio, la como como parece parece inducirse inducirse de lo visto visto anteriormente. anteriormente. Esto Esto es así distancia mucho menor menor que que la longitud longitud de distancia entre entre átomos, átomos, que es del orden orden de unos unos pocos pocos angstroms, angstroms, es mucho onda. ondas en todas todas las direcciones direcciones y el onda. Ciertamente, Ciertamente, cada cada átomo átomo del vidrio vidrio reemite reemite la radiación radiación de ondas radiados por por todos todos los átomos. átomos. Aquí Aquí radica radica la campo eléctrico eléctrico total total será será la suma suma coherente coherente de los campos campos radiados campo diferencia proceso de esparcimiento anteriormente mencionado, mencionado, y este este diferencia fundamental fundamental entre entre el proceso esparcimiento incoherente, incoherente, anteriormente otro en el que que las interferencias interferencias de las ondas ondas radiadas radiadas juega otro juega un papel papel primordial. primordial. En efecto, efecto, las fases fases de las ondas, debido debido a la cercanía cercanía de los emisores emisores atómicos, atómicos, mantienen ondas, mantienen relaciones relaciones de fase estables estables que que dan dan lugar lugar fenómenos de reflexión, reflexión, refracción refracción y absorción. absorción. Para Para convencerse convencerse de ello, a los fenómenos ello, consideremos consideremos un sólido sólido o medio gaseoso gaseoso subdividido subdividido en elementos elementos de volumen volumen en forma ),,/2 como forma de cubos cubos de lado lado ),,/2 como se indica indica en un medio la Figura dirección de propagación propagación de la onda onda Figura 3.2: 3.2: la radiación radiación esparcida esparcida por por dos átomos átomos adyacentes adyacentes en la dirección estará avance de la onda, onda, las las ondas ondas radiadas radiadas por por estará en fase fase,, sin embargo embargo en la dirección dirección perpendicular perpendicular a la de avance
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo Capítulo 3/ 3/ Interacción Interacción de la radiación radiación con la materia materia
/ci?n non. as de ~ada, ~e la itud fitud 3.4), nen le la 3.4)
r
!
f
n de
53
dos átomos átomos vecinos vecinos están están en oposición oposición de fase. Si los elementos elementos de volumen volumen contienen contienen exactamente exactamente el mismo Nótese adicionalmente mismo número número de átomos, átomos, la cancelación cancelación de la onda onda será será total total a 90° 90°.. Nótese adicionalmente que que además además de la proximidad proximidad entre una uniformidad entre los osciladores osciladores atómicos, atómicos, se necesita necesita una uniformidad en la distribución, distribución, así como como la ausencia para que ausencia de fluctuaciones fluctuaciones para que haya haya cancelación. cancelación. A partir partir de lo anterior podemos vislumbrar vislumbrar el origen anterior podemos origen de la onda onda refractada refractada como como resultado resultado de la superposición de la onda por todos perposición onda incidente incidente y las ondas ondas radiadas radiadas por todos los osciladores osciladores atómicos. atómicos. Si tenemos tenemos en cuenta cómo cómo es el campo campo radiado radiado por oscilador individual, individual, empleando empleando las ecuaciones ecuaciones (3.4) (3.4) y (3.7), (3.7), cuenta por un oscilador veremos que que la onda onda radiada radiada tiene tiene la misma misma frecuencia frecuencia del campo campo excitador, excitador, se propaga con una velociveremos propaga con una velocidad igual igual a e pero que no está está en fase con con aquel. aquel. Al superponer superponer las ondas ondas radiadas radiadas por todos los átomos, átomos, dad pero que por todos aparece aparece un desfase desfase neto neto que que se aproxima aproxima a J[JT /2. De esta esta manera manera el campo campo resultante' resultante' será será la superposisuperposición por todos resultante se ción del campo campo incidente incidente y del campo campo radiado radiado por todos los átomos, átomos, con 10 lo cual cual la onda onda resultante retrasa ivalentemente, la velocidad retrasa una una cierta cierta cantidad cantidad respecto respecto de la onda onda incidente incidente y, equ equivalentemente, velocidad de la onda onda resultante es menor pesar de que por cada propague resultante menor que que e, a pesar que las ondas ondas radiadas radiadas por cada átomo átomo individualmente individualmente se propague con justamente el origen refracción. Para medios poco poco con velocidad velocidad e: este este es justamente origen microscópico microscópico del índice índice de refracción. Para medios densos y siguiendo siguiendo a Feynman Feynmarr',3 , podemos obtener una expresión para índicede refracción, refracción, n(w), n(w), que que densos podemos obtener una expresión para el índicede experimenta una onda por la expresión experimenta una onda de frecuencia frecuencia w dentro dentro de un medio medio material material que que viene viene dado dado por expresión
~ode cuál bién
w2
n(w) n(w)
donde donde wpp
=
JJ
Nq 22 Nq22
meEQC meEQC
= 1 + --.!!. ~ 2
1 2
o-
W o
w
2
'.
+ lyW iv co
(3.9) (3 .9)
,
es la frecuencia plasma y N es el número por unidad frecuencia de plasma número de átomos átomos por unidad de volumen. volumen.
Así pues la onda una superposición múltiples ondas Así pues onda refractada refractada es el resultado resultado de una superposición coherente coherente de múltiples ondas que que sólo sólo interfieren constructivamente constructivamente en una una dirección, dirección, que que coincide coincide con con las predicciones óptica geométrica, geornétrica, interfieren predicciones de la óptica a saber, saber, ni n¡ sen e ei = = n ti¡¡ sen e¡. el. Análogamente Análogamente al caso caso de la onda onda refractada, refractada, la onda onda reflejada reflejada se obtendrá obtendrá como como la superposición superposición de las ondas por los átomos hemos ondas radiadas radiadas por átomos del medio medio material material "hacia "hacia atrás". atrás". Un Un análisis análisis similar similar al que que hemos indicado para mostrar que la onda indicado para mostrar el origen origen de la onda onda refractada, refractada, mostraría mostraría que onda reflejada reflejada es el resultado resultado de una una superposición superposición coherente coherente de múltiples múltiples ondas ondas que que sólo sólo interfieren interfieren constructivamente constructivamente en una una dirección, dirección, que coincide coincide con las predicciones predicciones de la óptica óptica geométrica, geométrica, a saber, saber, ei e¡ == eer. . El fenómeno produce cuando fenómeno de la absorción absorción se produce cuando la onda onda que que incide incide sobre sobre el medio medio material material tiene tiene una una frecuencia frecuencia que que es cercana cercana a la frecuencia frecuencia natural natural de los osciladores osciladores atómicos: atómicos: en este este caso caso se dice dice que que éstos por todos todos los éstos entran entran en "resonancia". "resonancia". Puede Puede demostrarse demostrarse que que en este este caso caso las ondas ondas reirradiadas reirradiadas por átomos átomos están están en oposición oposición de fase con con la onda onda incidente, incidente, de modo modo que que el campo campo total total dentro dentro del medio medio se reduce por el campo reduce enormemente: enormemente: la radiación radiación es absorbida absorbida y la energía energía cedida cedida por campo se transforma transforma en otras parte imaginaria otras formas formas de energía. energía. Este Este efecto efecto se manifiesta manifiesta en el hecho hecho de que que la parte imaginaria del índice índice de refracción toma par~ frecuencias refracción toma valores valores apreciables apreciables par~ frecuencias en el entorno entorno de wo; wo; en otros otros términos, términos, la onda onda que que establece dentro dentro del medio medio material material, , Ein, frecuencias cercanas cercanas a Wo es una una onda onda que que se amortigua amortigua se establece Ein , para para frecuencias exponencialmente exponencialmente un nes, , la d de yel a la este las gar do o aen nda por
~ E~, tn ~
Eo e-kOK(w)yei
(wl-kol1r(w)y)
.
(3.10) (3.10)
partir de (3.10) (3.10) se concluye concluye que que la irradiancia irradiancia en el interior interior disminuye disminuye exponencialmente exponencialmente (ley de A partir Lambert-Beer). Lambert-Beer). región de frecuencias frecuencias en el entorno entorno de Wo se denomina denomina habitualmente habitualmente zona zona de dispersión dispersión anómala, anómala, La región tanto que que a las regiones regiones alejadas alejadas de la frecuencia frecuencia de resonancia resonancia se las denomina denomina zonas zonas de dispersión dispersión en tanto normal. En la región dispersión normal normal se puede obtener una expresión más más sencilla sencilla para normal. región de dispersión puede obtener una expresión para la parte parte real índice de refracción refracción de la forma forma del índice (3.11 (3 .11 ) 3Yéase R, R, P. P. Feynman Feynman, , Física, (Addison-Wesley, Wilmington, 1987), 1987), Yol L 3Yéase Física, (Addison-Wes ley, Wilmington,
http://carlos2524.jimdo.com/
54
Óptica Óptica física física
conocida relación deCauchy, relaciones más más generales como relación deCauchy, donde donde A y B son son constantes, constantes, o bien bien relaciones generales que que conocida como incorporan resonancia debida incorporan las longitudes longitudes de onda onda de la resonancia debida a Sellmeier Sellmeier
111 11
B'
1 l'
nr(A)~A ' +
A2
_
A2
(3.12) (3.12)
.
o
Si el material varias frecuencias resonancia, WOj relación (3.9) (3.9) incorporará nuevos términos términos y material tiene tiene varias frecuencias de resonancia, WOj ,la .la relación incorporará nuevos queda queda de la forma forma 2
W = 1 + ......I?.
n(w)
L
2
j
1
2
wOj
2' -
W
.
(3.13) (3.13)
+ ¡YjW
Es notable notable que modelo clási co empleado predice con razonable acuerdo teorías más que el modelo clásico empleado predice con un razonable acuerdo lo que que teorías refracción que una completas proporcionan en lo que completas como como la cuántica cuántica proporcionan que atañe atañe al Índice índice de refracción que experimenta experimenta una onda. onda.
;3.3..
~
I
¡¡
,
REFLEXIÓN y REFRACCiÓN EN MEDIOS ISÓTROPOS
'
;'
'.
Las reflejada y transmitida transmitida por por un medio Las ondas ondas reflejada medio material material aparecen aparecen como como consecuencia consecuencia de la interacción interacción de la onda microscópicos que medio. Si consideramos onda incidente incidente con con los elementos elementos microscópicos que constituyen constituyen el medio. consideramos un punto dado medio dieléctrico, total ET tt)) es la suma punto dado de un medio dieléctrico, el campo campo eléctrico eléctrico totalETU', suma del campo campo incidente, incidente, Eii (r, (r, t), t), y del campo campo radiado dipolos inducidos inducidos en el medio, Ed(r, t). t). Lo anterior anterior no es E radiado por por todos todos los dipolos medio, EdCr, verbalización del principio de superposición. valor del campo punto más que que la verbalización del principio superposición. Si consideramos consideramos el valor campo en un punto de coordenadas total es coordenadas r, el campo campo total
cr,
r,
ETCr, t)
=
Ei (r, t) +
(3. 14) (3.14) todos los álomos átomos todos
donde radiado por por un átomo punto r. En En la expresión donde Ed(;', Ed(;', r, t)t) es el campo campo radiado átomo colocado colocado en;' en;' en el punto expresión (3.14) (3.14) la suma puede reemplazar reemplazar por por una una integral todo el volumen volumen del medio, medio, si consideramos suma se puede integral extendida extendida a todo consideramos que que la distancia problema distancia entre entre átomos átomos es mucho mucho menor menor que que la longitud longitud de onda onda de la radiación radiación incidente. incidente. El El problema formal ulado en (3.14) nombre de Teorema formal form formulado (3.14) se conoce conoce con con nombre Teorema de extinción, extinción, formulado formulado originalmente originalmente por por Ewald y Oseen Ewald Oseen".4 . Si consideramos consideramos que es plana que la onda onda incidente incidente es plana y de frecuencia frecuencia w, muy alejada alejada de las frecuencias frecuencias de resonancia de los átomos, problema planteado pl anteado (ver proporciona una una resonancia átomos, entonces entonces la solución solución del del problema (ver Figura Figura 3.3) 3.3) proporciona relación entre entre la polarizabilidad polarizabilidad electrónica, a(w), y el Índice refracción, n(w) relación electrónica, a(w), Índice de refracción, n(w), , que que experimenta experimenta la onda medio material onda dentro dentro del medio material Na(w) Na(w)
3
(3. 15) (3.15)
La relación relación (3.15) nombre de relación relación de Lorentz-Lorenz; Lorentz-Lorenz, y para para medios medios poco poco densos (3.15) se conoce conoce con con el nombre densos se reduce a la expresión reduce expresión (3.9). (3.9). Asimi smo el citado predice el hecho hecho de que producido por por todos todos los átomos proAsimismo citado Teorema Teorema predice que el campo campo producido átomos produce un a onda incidente pero pero desfasada respecto a ella, por lo tanto tanto duce dos dos ondas: ondas: una onda idéntica idéntica a la onda onda incidente desfasada en n it respecto ella, por cancela hemos convenido refractada que cancela a la onda onda incidente, incidente, y otra otra onda onda que que hemos convenido en llamar llamar la onda onda refractada que cumple cumple la ley de Snell refracción, y cuya velocidad de fase velocidad de las ondas Snell de la refracción, cuya velocidad fase es inferior inferior a la velocidad ondas en el 4Para más detall es pueden pueden con sultarse M. Born Wolf, Principies Principies of Asim ismo son 4Para más detalles consultarse Born & & E. E. Wolf, of Optics, Optics, (Pergamon (Pergamon Press, Press, Oxford, Oxford, 1980). Asimismo son interesantes clarificadores James and P. P. M Milonni, "Microscopic approach approach to reflection, in teresantes los cl arificadores trabajos trabaj os de H. Fearn, Fearn, D. F. Y. Y. James il onni , "Microscopic reflection, transmission, transmi ssion, the Ewald-Oseen theorem", Am. Am. J. 1995), G. C. Realli flection from dielectric materials", materia ls", and the Ewald-Oseen extinction extinction theorem", J. Phys. Phys. 64,986-995 64,986-995 ((1995), Realli, , "Re "Reflection from dielectric 133- 11 36 (1982) mol ecular optics refraction and reflection reflection of Am. J. Phys. Am. Phys. 50, 50, 1 1133-1136 (1982) Y G. G. C. Realli Realli, , "Exact "Exact solutions solutions of of equations equations of of molecular optics for for refraction of an eelectromagnetic lectromagnetic wave wave on infinite dielectric", 1421 - 1424 (1982). on a semiserni-infinite dielectric", J. Opt. Opt. Soc Socoo 72, 72,1421-1424 (1982).
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo radiación con la materia materia Capítulo 3 / Interacción Interacción de la radiación
que
55
z
12)
sy E'.
x
@ ® X
13)
Figura principio, Figura 3.3 3.3 Esquema Esquema del planteamiento planteamiento del teorema teorema de extinción extinción. . La La onda onda incidente, incidente, en principio, puede ZY ), ifl' y una componente puede tener tener una componente componente paralela paralela al plano plano de incidencia incidencia (plano (plano ZY), componente
ET
perpendicular ), E~ perpendicular al plano plano de incidencia incidencia (paralela (paralela al eje X x). i~.. Para Para yy < < O la onda onda experimenta experimenta un índice n¡ y para yy > > O la onda onda experimenta experimenta un índice índice nI. nr.
vacío. Este Este formalismo formalismo nos permite permite establecer relaciones entre amplitudes de las ondas ondas transmitivaCÍo. establecer las relaciones entre las amplitudes transmitidas y reflejadas reflejadas respecto respecto a la onda onda incidente: incidente: estas estas relaciones relaciones se conocen conocen con con el nombre nombre de relaciones relaciones de Fresnei", vienen dadas dadas por por Fresnel 5 , que vienen nI cos e¡ e¡ - n¡ cos e¡ et
rl¡ rr~.1
n¡ cose¡' cose¡' + nI
n.; cose cosel l n¡
.14)
e¡ - nI n¡ cos cos el n¡ cos e¡
= ----------------n¡ n¡ cose¡ cose¡ + n n¡I cos coseer' ' t
14)
ue
2n¡ Zn¡ cose¡ cose¡
tll tll = =
ma
por
de una
la
15) s se
t.1 t~
2n¡ Zn¡ cose¡ cose¡ = ----------------------------e¡ n¡ cos e¡
n¡ cos e e,r + nI
Las expresiones .16) dan punto de vista vista electromagnético conocidos expresiones (3 (3.16) dan cuenta cuenta desde desde el punto electromagnético de hechos hechos conocidos como la reflexión total, en la que se obtiene obtiene que Ir¡¡ I = Ir.1 Ir .í. lI = 1, Y un nuevo nuevo fenómeno como reflexión total, fenómeno que que es el el , se tiene que r ll denominado ángulo polarización: para denominado ángulo de polarización: para un determinado determinado ángulo ángulo de incidencia incidencia e e", tiene que rl¡ = O. p El análisis peculiar: para incidencia El análisis microscópico microscópico revela revela el origen origen de este este comportamiento comportamiento peculiar: para este este ángulo ángulo de incidencia los radiadores con radiadores atómicos atómicos se ponen ponen a oscilar oscilar dentro dentro del medio medio material material en una dirección dirección que que coincide coincide con aquella en la aquella en la que que debería debería de aparecer aparecer el rayo rayo reflejado: reflejado: dado dado que los los átomos átomos no emiten emiten radiación radiación en dirección de oscilac"ión, oscilación, no habrá habrá onda onda reflejada reflejada en este este cas0 cas066. . dirección Otro aspecto relevante tiene que ver con Otro aspecto relevante del análisis análisis anterior anterior tiene con las relaciones relaciones energéticas energéticas involucradas, involucradas, esto es, las fracciones medio matemateesto fracciones de energía energía reflejadas reflejadas y transmitidas transmitidas cuando cuando una una onda onda incide incide desde desde un medio rial a otro elemento de otro medio. medio. Para Para ello ello tengamos tengamos en cuenta cuenta que el flujo de energía energía que incide incide sobre sobre un elemento área área que que separa separa los dos medios medios vendrá vendrá dado dado por por
son ion, als", n of
+ nn¡¡ cose¡ cos e¡
n¡ n¡ cose cos ell
(3. 16) (3.16)
,,
=
f
~~
d S: :p¡,
(3.17) (3.17)
SEn tratamientos usuales condiciones de de 5En los tratamientos usuales de los los textos textos de óptica óptica física física la obtención obtención de estas estas expresiones expresiones hace hace uso uso de las condiciones contorno cos: esta materia a través través contorno de los campos campos electromagnéti electromagnéticos: esta descripción descripción oculta oculta el proceso proceso de interacción interacción de la radiación radiación con con la materia de las llllamadas amadas relaciones de las relaciones constitutivas constitutivas y las condiciones condiciones de frontera frontera que que han de verificar verificar los campos campos electromagnéticos. electromagnéticos. 6para más más detalles detalles véase véase E. Hetch, Hetch, Óptica, Óptica, (Addison (Addison Wesley, Wesley, Madrid, Madrid, 2000). 2000). 6para
http://carlos2524.jimdo.com/
56
Óptica Óptica física física
:p¡ es el vector vector de Poynting onda incidente elemento diferencial diferencial del área área consideraconsideradonde ¡Pi donde Poynting de la onda incidente y dS dS es un elemento da. Parte radiación será reflejada y parte parte será transmitida, por por lo que teniendo en cuenta principio Parte de la radiación será reflejada será transmitida, que teniendo cuenta el principio de conservación podremos igualar igualar la expresión reflejada más más conservación de la energía energía podremos expresión (3.17) (3.17) a los flujos flujos de energía energía reflejada el de la onda onda transmitida transmitida
1111
r'
,,:¡
(3.18) (3.18) Poynting de las ondas ondas reflejada reflejada y transmitida transmitida respectivamente. respectivamente. donde donde :P,. :P,. Y :PI :Pt son son los vectores vectores de Poynting De la expresión llegamos a que que expresión (3.18) (3.18) llegamos RII
+ TII == 1, (3.19) (3.19)
YY R~ +h=l , R~+h=1,
reflectancia y la transmitancia transmitancia respectivamente. respectivamente. Estos Estos coeficientes coeficientes donde donde R Y T hacen hacen mención mención a la reftectancia pueden manera: pueden reescribirse reescribirse de la siguiente siguiente manera: +llt 1111 l,
RII RII
r~ y
= r~
R~ R~
=
ri, (3.20) (3.20)
y
TII TII--
e el
nI cost ntCOS ni ni
2
Ts.> t sY h = cose;(Ji 1111 cos
n¡ nI ni n¡
cos el 2 t~. cos cose;ei
I
1I11
3.4.
MEDIOS ANISÓTROPOS
Los propiedades novedosas novedosas con respecto respecto a los medios medios Los medios medios materiales materiales dieléctricos dieléctricos anisótropos anisótropos exhiben exhiben propiedades isótropos: en particular particular el comportamiento comportamiento depende depende de cómo cómo sea la orientación orientación del campo campo eléctrico eléctrico exciexciisótropos: tador. Esto localización espacial tiene Esto es así en la medida medida en la que que la forma, forma, orientación orientación y localización espacial de los átomos átomos tiene especial relevancia relevancia al considerar considerar la interacción con el campo campo eléctrico. eléctrico. Si se sigue sigue adoptando adoptando el modelo especial interacción con modelo microscópico de este comportamiento en el hecho hecho de átomo buscar el fundamento átomo de Lorentz, Lorentz, podemos podemos buscar fundamento microscópico este comportamiento campo excitador, restauradoras que que ligan ligan los electrones núcleos de que, bajo bajo la acción acción del campo excitador, las fuerzas fuerzas restauradoras electrones a los núcleos dependen de la orientación orientación del campo externo":7 : esta esta situación situación se representa 3.4a. Esto dependen campo extern0 representa en la Figura Figura 3.4a. Esto se traduce hecho de que que la polarizabilidad polarizabilidad atómica atómica dependerá dependerá de la dirección dirección de apliaplitraduce necesariamente necesariamente en el hecho cación del campo campo externo: externo: en este este sentido sentido el momento será, en general, cación momento dipolar dipolar inducido inducido no será, general, paralelo paralelo al campo externo. externo. Cuando Cuando las tres constantes constantes recuperadoras son diferentes dice que campo recuperadoras son diferentes se dice que el medio medio es biáxico, biáxico, mientras iguales y la otra otra es diferente diferente decimos decimos que que el medio medio es uniáxico'". uniáxico 8 . En mientras que cuando cuando dos de ellas ellas son iguales este libro libro nos dedicaremos dedicaremos únicamente eje óptico óptico y a una direcciones este únicamente a los medios medios uniáxicos. uniáxicos. Al eje una de las direcciones denomina en ciertas ciertas ocasiones ocasiones líneas neutras. perpendiculares perpendiculares al mismo mismo se les denomina líneas neutras. Una Índice de refracción refracción que una onda Una consecuencia consecuencia inmediata inmediata de lo anterior anterior es que que el índice que experimente experimente una onda va a depender depender de la orientación orientación del eje eje óptico óptico con con respecto campo externo. externo. En la Figura 3.4b se respecto al campo Figura 3.4b ha representado representado una material anisótropo sobre que incide incide una una onda onda plana plana que que vibra vibra una lámina lámina de un materialanisótropo sobre la que formando respecto al eje La componente componente Ex Ex experimenta Índice de refracción refracción que formando un ángulo ángulo e e con con respecto eje Z. La experimenta un índice que es diferente E z. El modelo modelo de material material diluido diluido propuesto propuesto en (3.9) diferente a la que que experimenta experimenta la componente componente Ez. (3.9) se puede caso teniendo teniendo en cuenta cuenta el hecho hecho de que que las frecuencias resonancia serán puede extender extender a este este caso frecuencias de resonancia serán 7Yéase and M. Antón, "The index index of of refraction refraction in linear linear anisotropic ani sotropic media", media", Eur. J. Phys. Phys. 20,443-451 20,443-451 7Yéase por por ejemplo ejemplo F. F. Carreña Carreño and Antón, "The ((1999). 1999). 88Desde Desde el punto vista de la teoría teoría macroscópica macroscópica de los medios medios di dieléctricos an isótropos, los ejes ejes ópticos ópticos están están relacionados punto de vista eléctricos anisótropos, relacionados medio material. material. con con las propiedades propiedades de simetría simetría del medio
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo 3/ Interacción de la radiación con la materia ~era~ipio más
z
(a)
57
(b)
z E,
y
1.18)
Q
x
'.19)
mtes
Figura 3.4 (a) Modelo de Lorentz para un medio anisótropo: si el campo incidente vibra según el eje X, la constante recuperadora que liga al electrón, kx, es diferente de la que liga al electrón si el campo incidente vibra en otra dirección. Se han señalado las tres constantes recuperadoras principales. (b) Lámina de material anisótropo dobre la que incide una onda plana linealmente polarizada.
diferentes, esto es, en este caso se tendrá ~.20) y nz(úJ)
donde explícitamente ción.
(3.21)
= 1+
Nq2
1
2mefoc2
úJ6z - úJ2 + iyzúJ
,
se ha considerado que las pérdidas por rozamiento dependen también de la direc-
n,
ldios exci~ene ~elo echo ¡leos lo se plio al
n, 1\ I
- - - -r
~
/
I I
n,
I I / 1 I
~
--- ~
I
00,
co,
00
leo,
. En
que 3.9) rán
451 ados
Figura 3.5 Partes reales de los índices de refracción 3.4b.
principales
de la lámina mostrada
en la Figura
A la vista de la ecuación (3.21), vemos que el comportamiento del material al incidir la onda sobre la lámina va a depender de la frecuencia del campo incidente. Imaginemos que la onda incidente tiene una frecuencia úJ2 tal y como se muestra en la Figura 3.5: en este caso la componente Ex de la onda incidente se amortiguará y, eventualmente, será absorbida en el medio; sin embargo la componente E¿ se transmitirá sin atenuación apreciable. En este caso vemos que la lámina se comporta como un polarizador dicroico", que "polariza" radiaciones en el entorno de úJOx. Al eje Z se le denomina eje de transmisión del polarizador. A partir de lo anterior se puede deducir la conocida como ley de Malus que establece que la irradiancia que emerge del polarizador es proporcional al coseno al cuadrado del ángulo que forma la dirección de vibración del campo incidente con el eje de transmisión del polarizador. 9para información más avanzada puede consultarse el trabajo debido a E. H. Land and C. D. West, "Dichroism polarizers", en Colloid Chemistry, Vol. VI, 160-190 (1946).
http://carlos2524.jimdo.com/
and dichroic
58
Óptica Óptica física física
En el caso Figura 3.5, caso de que que la onda onda incidente incidente tenga tenga una una frecuencia frecuencia W¡ W¡ tal y como como se muestra muestra en la Figura ninguna ninguna de las componentes componentes del campo campo incidente incidente se atenuarán atenuarán pero pero en cambio cambio una una de ellas ellas se retrasará retrasará respecto a la otra: decimos decimos entonces entonces que para esa frecuencia frecuencia el material material se comporta comporta como como una lámina respecto para esa una lámina retardadora por retardadora que que introduce introduce un desfase desfase dado dado por
,¡I 1:: .1
=
8
2n -(n z - nx)e .
(3.22) (3.22)
A
este caso Al término término (nzz - nxx)) se le denomina denomina birrefringencia birrefringencia de la muestra. muestra. En este caso decimos decimos que que la lámina lámina altera el estado estado de polarización onda incidente altera polarización de la onda incidente 10: (a) Si 8 = está linealmente linealmente polarizada = 2n M, donde donde M es un número número entero, entero, la radiación radiación emergente emergente está polarizada esencialmente esencialmente en la misma misma dirección dirección que el haz haz incidente. incidente. (b) Si 8 = (2M + l)n, l)n, donde donde M es un número número entero, entero, la radiación radiación emergente emergente está está linealmente linealmente polaripolarizada zada pero pero el plano plano de polarización polarización ha rotado rotado un ángulo ángulo aproximadamente aproximadamente igual igual a 28. 2e. (e) Si 8 = = (2M + + 1) ~, ~, donde donde M es un número número entero, entero, la radiación radiación emergente emergente está está elípticamente elípticamente (c) polarizada, polarizada, y en circunstancias circunstancias especiales especiales puede puede degenerar degenerar en radiación radiación circularmente circularmente polarizada. polarizada. Los Los materiales materiales anisótropos anisótropos se suelen suelen emplear emplear en diferentes diferentes dispositivos dispositivos ópticos ópticos tales tales como como prismas prismas (de Rochon, Rochon, Wollaston, Wollaston, compensadores), compensadores), aprovechando aprovechando el fenómeno fenómeno conocido conocido como como doble doble refracción, refracción, con distintos distintos propósitos. propósitos.
3.5.
III~ j
."
MEDIOS CONDUCTORES CONDUCTORES .
La comprensión comprensión cabal cabal de la interacción interacción de la radiación radiación con con los medios medios conductores conductores tiene tiene que efectuarse efectuarse empleando (teoría semiclásica). electrónico empleando la teoría teoría cuántica cuántica aplicada aplicada a la materia materia (teoría semiclásica). No obstante, obstante, el modelo modelo electrónico de Lorenlz-Drude una visión Lorentz-Drude da una visión razonablemente razonablemente aproximada aproximada de algunos algunos fenómenos. fenómenos. En En este este modelo modelo se considera considera que que en el conductor conductor hay una una colección colección de electrones electrones que que se denominan denominan "libres", "libres", en el sentido sentido de que tienen material [esto tienen cierta cierta libertad libertad de circular circular por por el material [esto equivale equivale a hacer hacer Wo = O en la ecuación ecuación (3.1)]: (3.1)]: en otras otras palabras palabras no hay fuerzas fuerzas restauradoras, restauradoras, pero pero en cambio cambio a la fuerza fuerza de rozamiento rozamiento debida debida a las pérdidas lugar entre pérdidas por por radiación radiación hay que añadir añadir el efecto efecto de las colisiones. colisiones. Estas Estas colisiones colisiones tienen tienen lugar entre los electrones electrones y las vibraciones vibraciones de la red cristalina. cristalina. De De esta esta manera manera la ecuación ecuación (3.1) (3.1) puede puede escribirse escribirse como como
d dr q ~~ d2rr + yc- = - E . -+yc-=-E. 22 dt
dt dt
(3.23) (3.23)
me
Si el campo mueven al azar, sin embargo campo externo externo es nulo, nulo, los electrones electrones se mueven embargo al aplicar aplicar el campo, campo, a este este movimiento azaroso azaroso se le superpone superpone un movimiento movimiento de deriva deriva originado originado por por el campo campo excitador: excitador: esta esta movimiento deriva conductividad. Si además deriva es responsable responsable de la conductividad. además de los electrones electrones libres, libres, el metal metal tiene tiene electrones electrones internos ligados, ligados, la contribución contribución total total al índice Índice de refracción refracción puede puede ponerse ponerse en la forma forma internos Nq2 Nq2 1 Nq2 Nq2 2 = 1+ -- -22 " -- - ~---::---n (w) (w) = - mEoc ~ L.. w22. . - w w22 + iy·w iy·w mEOC2w iycw' mEOC2 w2 + iycw' ) o) ) J
OJ
(3.24) (3.24)
J
Si despreciamos despreciamos la contribución contribución de los electrones electrones ligados, ligados, entonces entonces (3.24) (3.24) se reduce reduce a = 1n22(w) (w)=I-
w2 2 w2
I~I~
lycWW + lyc
,
(3.25) (3.25)
donde si además además consideramos consideramos que el amortiguamiento amortiguamiento es despreciable despreciable tendremos tendremos que donde 2 2
n (w) (w)
2 w wp ~ - 2' ~ 1 1w w
-1.
(3.26) (3 .26)
particular si w < < wpp, , entonces entonces resulta resulta que que el índice Índice de refracción refracción es imaginario imaginario puro, puro, esto esto es, las En particular ondas no se transmitirán transmitirán en el medio, medio, de ahí la alta reftectanci reftectanciaa de estos estos materiales. materiales. ondas ¡OPara más más información información el lector lector puede puede consultar consultar el el trabajo debido a D. A. Holmes, Holmes, "Exact "Exact theory theory of of retardation retardation plates", plates", J. Opt. Opt. IOPara trabajo debido Am. 54,1115-1120 54,1115-1120 (1964). Soco Am. (1964).
http://carlos2524.jimdo.com/
59
Capítulo 3// Interacción Capítulo 3 lnteracción de la radiación radiación con la materia materia
3.5, sará
PROBLEMAS PROBLEMAS RESUELTOS
na "7
3.22)
¿
~
"
;
'"
¡
_
,
TEORíA CLÁSICA CLÁSICA DE LA RADIAGIÓN RADIAGIÓN , .~,
~
3.1.
'
¡
#
En la interacción una onda materia se suele ejercida interacción de una onda electromagnética electromagnética con la materia suele despreciar despreciar la fuerza fuerza ejercida por el campo magnético. Razonar Razonar los motivos motivos por por los que puede ser adecuada. por campo magnético. que esta esta aproximación aproximación puede adecuada. incide una una onda Considere momento dipolar Considere un átomo átomo en el que que el momento dipolar es p = = 10-3030 C/m, Clm, sobre sobre el que que incide onda 14 plana de frecuencia plana frecuencia v = = 3 X 1014 Hz. Resolución Resolución
El campo haz de luz través de la fuerza campo electromagnético electromagnético asociado asociado a un haz luz interacciona interacciona con los electrones electrones a través fuerza Lorentz de Lorentz
smas ción,
F=eE-evpxE. F = -eE-ev x B. p
(3.27) (3.27)
Pero amplitud de la inducción inducción magnética pequeña que que la amplitud amplitud del Pero la amplitud magnética es, en módulo, módulo, e veces veces más más pequeña campo campo eléctrico eléctrico
IBI=@}. IEI = ~.
(3.28) (3.28)
e
Por ello, para velocidades velocidades del electrón tales que término de la fuerza Lorentz Por ello, para electrón tales que Ivpi p I < < e, el segundo segundo término fuerza de Lorentz despreciable. es despreciable. En el caso caso del átomo átomo considerado considerado se tiene que al incidir incidir la onda onda sobre sobre él inducirá inducirá oscilaciones oscilaciones del tiene que electrón en la dirección dirección del campo campo eléctrico. eléctrico. Estas Estas oscilaciones oscilaciones serán serán armónicas armónicas y de la misma frecuencia electrón misma frecuencia que el campo campo incidente, incidente, de manera que la posición cambiará con con el tiempo forma que manera que posición de la partícula, partícula, rp, cambiará tiempo de la forma
bida entre birse
rp == rocos(2Jrvt)u ro cos(2:rrvt)u, ,
(3.29) (3.29)
u
donde u es un vector dirección de vibración campo externo. externo. Por donde vector unitario unitario en la dirección vibración del campo Por lo tanto, tanto, la velocidad velocidad dada por de la partícula partícula vendrá vendrá dada por
.23) este esta ones
vvpp ==
2:rrvrosen(2:rrvt)u. -- 2Jrvrosen(2Jrvt)u.
(3.30) (3.30)
Teniendo en cuenta cuenta el valor dipolar del átomo átomo suministrado, suministrado, podemos estimar el valor Teniendo valor del momento momento dipolar podemos estimar valor de ro que aparece aparece en (3.30) (3.30) y finalmente finalmente el valor valor máximo que es del orden orden de que máximo de la velocidad velocidad de la partícula partícula que
Iv;wxl = 2Jrv!!.. 2:rrvf Iv;wxl =
e
1.6 x 104 mis, mi s,
(3.31) (3.31)
que es una inferior a la de la luz luz en el vacío. que una velocidad velocidad muy muy inferior vacío.
3.2.
Calcular el campo campo radiado grandes distancias distancias por electrón que que oscila oscila con con una frecuencia úJo Wo Calcular radiado a grandes por un electrón una frecuencia 14rad/s 4 x 10 1014 acuerdo a la ecuación ecuación rad/s de acuerdo z(t) = = S x 10-1111 cos(úJot). cos(wot). z(t)
.26)
(3.32) (3.32)
Calcular asimismo asimismo el vector demostrar que que la potencia radiada viene dada por Calcular vector de Poynting Poynting y demostrar potencia radiada viene dada por
, las P
(d V)2 V)2 22 e22 (d
3 = "3 4:rrEOC 4JrEOC3 dt
.Opt.
La carga carga del electrón electrón es e La
= 1.6 x
10-1919 (C) Y EO EO 10-
8.85 = 8.85
X
http://carlos2524.jimdo.com/
(F/m). 10-1212 (F/m).
(3.33) (3 .33)
60
Óptica Óptica física física
Resolución Resolución
Estamos los campos campos en una una región región muy muy lejana Estamos interesados interesados en calcular calcular los lejana del sistema sistema de cargas cargas de tal manera manera que que A A « « R R,, ~ ~ ~ ~ ~ '" 1 E(R, t) t) '" ~ -E(R, - 4n Eo 4nEo
(tI) ]] s x [s x PP11(tI)
~ J.L B(R SeR, , t)t) ~~ ~ ~;
~lI(tl) 11
4n
donde donde t'
=t-
11
2
C R C R
s]],' x S [p[p (t') cR
(3.34) (3.34)
'
X
(3.35) (3.35)
cR
R retardado. Obsérvese región los los campos campos satisfacen R]/c, c, es el instante instante retardado. Obsérvese que que en esta esta región satisfacen que que
cB x s, EE = cS s,
(3 .36) (3.36)
es decir, relación de transversalidad transversalidad de las ondas ondas planas. planas. Aunque Aunque son ondas ondas esféricas, esféricas, su radio radio decir, cumplen cumplen la relación es muy grande pueden asemejar asemejar a ondas ondas planas planas (ver (ver Problema Problema 5 del del Tema Tema 1). grande y localmente localmente se pueden Deberemos calcular pp1111(t') (t') para armónico que Deberemos calcular para el caso caso del movimiento movimiento armónico que se pide. pide. El módulo módulo de la aceleración aceleración del momento momento dipolar dipolar vale:
=-
11(( t ')' ) P P 11
donde PO = -ezo -ezo = --1.6 10-1919 x 5 x 10-1111 l.6 x 10donde El campo dipolo vale vale campo radiado radiado por por el dipolo ~~
E(R,t) = E(R,t) =
(3.37) (3.37)
pOúJo2 cos cos ( úJot ')' ) , pOúJo
=
pOúJ6 sen sen pOúJ6 2
-8 x 10-3030 (C.m). (C.m). -8
~ ee cos(úJot-kR)ue, cos(úJot-kR)ug,
(3.38) (3.38)
4nEoc R 4nEoc
ue
dirección azimutal. que se obtiene obtiene una donde donde ug es un vector vector unitario unitario en la dirección azimutaJ. Obsérvese Obsérvese que una onda onda esférica esférica que oscila dipolo y que que se propaga propaga a la velocidad velocidad c. Sustituyendo valores de las oscila a la frecuencia frecuencia del dipolo Sustituyendo los valores constantes se obtiene obtiene constantes
77 R (44 4 10 t R ee cos cos (
~
~ , t) sen E(R, t) = = 1.28 10- sen E(R l.28 x 10-
11
X
66 ))-
R ue. ug. 1.3 x 10 R
(3.39) (3.39)
El vector vector de Poynting inmediatamente. Poynting se obtiene obtiene inmediatamente.
¡P = cEoE cEoE
. EE Úk Uk,,
(3.40) (3.40)
donde Úk Uk es un vector vector unitario unitario en la dirección dirección del vector onda. Sustituyendo Sustituyendo el valor vector de propagación propagación de la onda. valor donde campo calculado calculado más arriba arriba se llega llega a del campo
¡P
se~: ee cos cos 2 (4 (4 x
= 4.34 x 10= 4.34 10-1717 se~:
2
1014t 1014t -
R)
1.3 x 1066 R) Úk Uk .
(3.41) (3.41)
Teniendo en cuenta cuenta que que el promedio función cos22 es 1/ 1/2, Teniendo promedio temporal temporal de la función 2, el promedio promedio temporal temporal del vector de Poynting Poynting resulta resulta vector ;,; _ -17 serr'2 e e ~~ ;,; _ - 17 sen (3.42) ~Uk. (3.42) :J - 2.17 2. 17 x 10 ----¡¡'2U k . Para calcular calcular la potencia potencia total total radiada exterior por Para radiada al exterior por el dipolo dipolo deberemos deberemos calcular calcular el flujo del vector vector Poynting a través través de una una esfera esfera con con centro centro en el dipolo dipolo y de radio R,, esto esto es, de Poynting radio R p P
=
f
A A
(dv) 2R22seneded
nIon
rrlorre2sen2e(dV)2 e2 sen 2 e
¡P ·dS . dS = Io
IoO
O
.33dIdI
16n22Eoc 16n Eoc R2 R2
(3.43) (3.43)
donde el elemento elemento de área área se ha puesto coordenadas esféricas esféricas y se ha usado que ¡P :P y dS dS donde puesto en coordenadas usado el hecho hecho de que paralelos. En la Figura Figura 3.6 se muestra son paralelos. muestra la geometría geometría del problema. problema. La integral integral es casi casi inmediata inmediata y el resultado final es resultado 2 e (dV)2 (3.44) (3.44) p = = 6n EOC3 EoC3 dt dt
2 (dV)2
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo Capítulo 3/ 3 I Interacción Interacción de la radiación radiación con la materia materia
61
z -+-+ -+-+ Ex8 Ex8
(3.34) (3.35)
que
y
xx
(3.36) u radio
Figura 3.6 3.6 Esquema Esquema para el cálculo cálculo del flujo flujo del vector vector de Poynting Poynting esférica. esférica.
o de la
(3.37)
(3.38) esférica s de las
(3.39)
:P_a través través de una :P_a
superficie superficie
Si se sustituyen promedio temporal, temporal, la potencia potencia promedio promedio sustituyen los valores valores de las las constantes constantes y se realiza realiza el promedio radiada radiada al exterior exterior es (3.45) (P) ) = = 1.8 X 10-1111 (W). (P (3.45)
3.3.
Sobre el dipolo dipolo anterior anterior actúa actúa una una onda onda electromagnética electromagnética polarizada polarizada de frecuencia Sobre frecuencia w y una una amplitud amplitud Eo = 40 V1m. Por el problema problema anterior anterior sabemos sabemos que que un dipolo dipolo acelelerado Eo = V1m. Por acelelerado emite emite energía, energía, por por lo que que movimiento es amortiguado. amortiguado. Supóngase Supóngase que que tal amortiguamiento amortiguamiento se puede su movimiento puede modelar modelar introduciendo introduciendo una fuerza fuerza de rozamiento rozamiento proporcional proporcional a la velocidad velocidad (F (F;r = =v dzf dt), donde = 108suna ydzldt), donde y = s-l. 1 . Resolución Resolución Formular la ecuación ecuación de movimiento movimiento del electrón electrón bajo bajo la acción acción del Formular del campo campo externo externo alternante, alternante, y obtener obtener solución estacionaria estacionaria del movimiento movimiento del electrón. electrón. la solución
(3.40)
dipolo está sometido a tres tres fuerzas fuerzas: : la fuerza fuerza recuperadora, recuperadora, la fuerza El dipolo está sometido fuerza de rozamiento rozamiento y la fuerza fuerza del del campo externo. externo. La aceleración aceleración se podrá podrá escribir escribir como como campo
el valor 22
-d z22z = dt
eEo d z; 2 eEo uot iwl --yy -- -- w Z -- --e , woz --e dt O m mee
(3.46) (3.46)
(3.41) ral del
donde m mee es la masa masa del electrón. electrón. donde solución particular particular de esta esta ecuación ecuación la podemos podemos postular postular de la forma La solución forma i w1 z(t) = = Ae . . z(t) AeiúJ1
(3.47) (3.47)
(3.42) Sustituyendo esta esta expresión expresión en la ecuación ecuación de movimiento movimiento se llega llega sin dificultad Sustituyendo dificultad a que que l vector
eEo eEo
1
z(t) -z(t) = = ----
m w6 -
w22
.
iyw + iyw
'W1 e1W1 ..
(3.48) (3.48)
(3.43)
~
~
:P Y dS ata y el (3.44)
Calcular el campo campo radiado radiado en la zona zona de ondas ondas así como como el vector vector de Poynting. Poynting. Calcular partir de la expresión expresión (3.48) (3.48) podemos podemos calcular calcular la aceleración aceleración del A partir del dipolo dipolo y obtener obtener el campo campo radiado. radiado. En efecto, efecto, éste éste viene viene dado dado por por ~~ ~ ~
~ ~
1
E(Ro, t) t) ~ ~ -- E(Ro, 4n:Eo 4:n:EO
ss x [s x ¡;P 2
Ro e Ro
http://carlos2524.jimdo.com/
/1 /1
(t') ) ]] (t' '
(3.49) (3.49)
62
Ópticafísica Ópticafísica
II~
II~
fI
l' ,
.1
.,(rad w(rad s s')')
." w,
Figura 3.7 3.7 Desfase Desfase a del movimiento movimiento del dipolo dipolo respecto respecto al campo campo incidente incidente en función función de la frecuencia frecuencia de éste.
En nuestro z(t) se llega nuestro caso, caso, despues despues de derivar derivar dos veces veces la expresión expresión de z(t) llega a 2
2 eEo úJ sen8 -~ eEo sen8 E(R,t)=-E(R, t) = - 2 m 4rrEQc úJ - úJ2 47rEoc2RR ( úJ6
6-
+ iyúJ) iyúJ)
e
(iwt-kR)~ (iwt -kR)~ ug. ue
.
(3 .50) (3.50)
Si el número número complejo complejo del denominador denominador lo rescribimos rescribimos en forma forma módulo-argumental, módulo-argumental, se llega llega a eEo eEo úJ2
_ ~
E(R, t) t)
=-- -
sen 8 2
47rEoc R m 4rrEoc
e(iwt-kR - OI) e(iwt-kR-ct)
J(
2 2)2 úJo2 - úJ 2)2
+ Y 22o:úJ 22
_ ~
ue, ug,
(3.51) (3.51)
donde donde = arctan arctan [ atx =
2] ..
/úJ /úJ 2] úJ - úJ o
(3.52) (3.52)
Como puede verse, Como puede verse, el campo campo radiado radiado por por el dipolo dipolo oscila oscila a la misma misma frecuencia frecuencia del campo campo externo externo puede ver en (3.51) que pero desfasado por a que que incide incide sobre sobre él pero desfasado una cantidad cantidad dada dada por que depende, depende, como como se puede (3.51) Y en (3.52), relación entre natural del (3.52), del valor valor del coeficiente coeficiente de amortiguamiento amortiguamiento y de la relación entre la frecuencia frecuencia natural dipolo dipolo y la frecuencia frecuencia del campo campo incidente. incidente. En la Figura Figura 3.7 se muestra muestra cómo cómo cambia cambia el desfase desfase a con con relación a la frecuencia incidente: nótese úJ = úJo el desfase / 2. Por parte, relación frecuencia del campo campo incidente: nótese que que cuando cuando oi desfase es rr tt /2. Por otra otra parte, la amplitud amplitud del campo campo radiado radiado presenta presenta la forma forma de un típica típica curva curva de resonancia, resonancia, esto esto es, la amplitud amplitud se hace hace máxima máxima en un entorno entorno de frecuencias frecuencias próximas próximas a úJo. Esto Esto quiere quiere decir decir que que si la frecuencia frecuencia del del campo campo incidente incidente coincide coincide con la frecuencia frecuencia natural natural del oscilador, oscilador, la amplitud amplitud del campo campo radiado radiado se hace hace máxima. máxima. En la Figura representado el valor m~dulo de la amplitud Figura 3.8 se ha representado valor del m~dulo amplitud de la oscilación, oscilación, lA lA 1,1, en función función de la frecuencia Nótese que frecuencia de excitación excitación del campo campo externo, externo, E f. Nótese que el valor valor máximo máximo de la amplitud amplitud se
JJ
obtiene y2 , Y que obtiene en una frecuencia frecuencia úJ úJlIlClX = úJ6 - y2, que está está ligeramente ligeramente desplazada desplazada respecto respecto a úJo. lIlClX = Una vez conocida puede evaluar Una vez conocida la expresión expresión del campo campo eléctrico, eléctrico, el vector vector de Poynting Poynting se puede evaluar de la misma problema anterior. misma manera manera que en el problema anterior. Obsérvese una forma Obsérvese ahora ahora cómo cómo la irradiancia irradiancia del dipolo dipolo depende depende de una forma algo algo más complicada complicada respecto respecto de la expresión problema anterior: depende de la relación expresión obtenida obtenida en el problema anterior: depende relación entre entre la frecuencia frecuencia del campo campo externo externo y la frecuencia frecuencia natural natural del dipolo. dipolo. Aquellas Aquellas frecuencias frecuencias cercanas cercanas a la frecuencia frecuencia de resonancia resonancia serán serán fuertemente fuertemente esparcidas esparcidas (esparcimiento (esparcimiento resonante). resonante).
3.4.
Desde plano que punto O emergen planas de frecuencia frecuencia úJb úJb = Desde el plano que contiene contiene el punto emergen ondas ondas planas = 3.17 3.17 x IOISrad IOlsrad Ss-I I que se propagan propagan a lo largo largo del eje que eje X y vibran vibran a lo largo largo del del eje Z. Z.
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo 3/ Interacción de la radiación con la materia
63
0.5
0.4
0.3
ro 2« 0.2
0.1
0.0 co (rad
úl.
1
5-
)
la Figura 3.8 Módulo de la amplitud cuencia del campo excitador E I:
del movimiento
efectuado por el dipolo en función
de la fre-
Resolución 50)
Escribir la expresión del campo eléctrico en el punto Q situado a 15 m del punto O (ver Figura 3.9a) en ausencia de lámina L. Consideremos que la fase inicial del campo en O es nula, de esta manera si llamamos del campo eléctrico, la expresión del campo eléctrico en Q está dada por la expresión
51)
ES/(x donde ka =
":!'
= Xq,
=
t)
Eaei(úJbt-kOxq),
Ea
a la amplitud
(3.53)
= 1.0567 x 107 m-1 y Xq = 15 m. (a)
(b)
z
52) mo 51) del
•
011
te, tud del ace ión se la cto po cia
o
Q
x
L
Figura 3.9 (a) Radiación incidente, lámina (L) y punto de observación punto Q en presencia y en ausencia de lámina.
(Q). (b) Ondas que llegan al
Se interpone una lámina isótropa de espesor 15 nm e índice n(wb) = l.37. Escribir la expresión del campo eléctrico en el punto Q para el mismo instante de tiempo que en el caso anterior en el que no había lámina (ignorar los efectos de las reflexiones múltiples). Al interponer la lámina el campo eléctrico se verá alterado: la radiación incidente sobre la lámina producirá una onda reflejada y una transmitida. Estamos interesados en estimar la onda transmitida y hemos de tener en cuenta el hecho de que la onda dentro de la lámina viaja a una velocidad inferior a la de la luz en el vacío, esto es, llegará retrasada respecto a la onda dada por (3.53) en una cantidad .6.t=
ditn. - 1)
,
e
http://carlos2524.jimdo.com/
(3.54)
Óptica física física 64 Óptica
donde di = 15 nm, por por lo que que el retardo retardo vale vale t:.t 6.t = 1.85 l.85 x 10-1717 segundos. segundos. De esta esta manera manera el campo campo donde eléctrico en Q en presencia presencia de la lámina está dado dado por por eléctrico lámina está
j' I ,11,.
Ec/(x Ecl(x
.'
= Xq, t) = tlt2EOei t¡t2Eoei(Wb(t-tlt)-kOxq), Xq, t) (Wb {t-¿:"./ )-kOxq), = O.9756Eoei(Wbt-kOxq-O.0586),
(3.55) (3.55)
donde coeficientes de transmitancia transmitancia en amplitud amplitud en condiciones condiciones de incidencia incidencia normal. normal. donde titI Y t2 son los coeficientes resultados del apartado apartado anterior anterior indicar indicar cuál cuál es el efecto efecto de la lámina lámina sobre sobre la onda. onda. A la vista vista de los resultados A la vista vista de la expresión expresión (3.55) (3.55) vemos vemos que que el efecto efecto de la lámina lámina es el de atenuar atenuar la amplitud amplitud de la ll Esta situación onda en el punto punto Q y además además introducir introducir un retardo retardo!". ilustra en la Figura Figura 3.9b. . Esta situación se ilustra onda
PROCESOS DE ESPARCIMIENTO Y ABSORCiÓN
3.5.
••
Explicar por qué el cristalino cristalino es transparente transparente a las radiaciones visible. Se dice dice que que en el proceso proceso Explicar por qué radiaciones del visible. incipiente de formación formación de una una catarata catarata se reduce reduce la agudeza agudeza visual. visual. Explicar Explicar este este hecho hecho suponiendo suponiendo incipiente que el tamaño tamaño de las regiones regiones de opacificación opacificación así así como como la distancia distancia entre entre ellas ellas es mayor mayor que que las que longitudes de onda onda del visible visible (véase (véase Figura Figura 3.10). 3.10) . longitudes
<
3.10 En la parte izquierda se muestra muestra una micrografía micrografía electrónica electrónica de un cristalino cristalino y en la Figura 3.10 parte izquierda parte izquierda izquierda se muestra muestra una catarata catarata incipiente. incipiente. parte
Resolución Resolución cristalino está está formado formado por por una agregación agregación de sustancias sustancias diferentes: agua, proteinas, proteinas, ...... que que están están El cristalino diferentes: agua, dispuestas espacialmente espacial mente de una una manera manera regular. regular. La La interacción interacción de la radiación radiación visible visible con el cristalino cristalino dispuestas inducir oscilaciones oscilaciones en los electrones electrones de estas estas partículas. partículas. Estas Estas cargas cargas aceleradas aceleradas radian radian ondas ondas elecelecva a inducir tromagnéticas esparcen en todas todas direcciones: direcciones: debido debido al empaquetamiento empaquetamiento regular regular de las las partículas partículas tromagnéticas que se esparcen este proceso proceso de esparcimiento esparcimiento será será de carácter carácter coherente coherente por por lo que las ondas ondas radiadas radiadas sólo sólo producen producen este 11Puede alegarse que que al tratarse tratarse de una una lámina lámina delgada delgada se pueden pueden producir producir interferencias interferencias múltiples. múltiples. Este Este efecto efecto puede puede ser ser imporimpor11 Puede alegarse tante, para para lo cual cual podemos podemos computar computar el el campo campo eléctrico eléctrico teniendo teniendo en cuenta cuenta que que en este este caso caso el el campo campo eléctri eléctrico Q está está dado dado por por co en Q tante, cI (x = EcI = Xq, xli' t) t) = = Eo ~21 ~21 donde 8 (, = = k02nd¡ k02nd[ = = 0.4343. 0.4343. Tras Tras realizar realizar los cómputos cómputos indi indicados expresión ''_.,_'0 eei(Wbt-kOxq), i(Wb t - kOxq) , donde cados en la expresión I-r e I-r
ft
o
anterior se llega llega a que que EcI(x t) = 0.9976Eoei 0.9976Eoei(Wbl-kOxq-O.0105) Vemos que que este este resultado contrasta con con el obtenido obtenido en anterior Ecl(x = Xq, Xq, t) (Wb l - kOxq - O.OI05 ) Vemos resultado contrasta (3.55). Más Más detalles detalles sobre sobre este este último último cómputo cómputo en el Tema Tema 4. (3.55).
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo Capítulo 3/ 3/ Interacción Interacción de de la radiación radiación con con la materia materia
65
interferencia interferencia constructiva constructiva en la dirección dirección en la que se forma forma la imagen imagen que que predice predice la óptica óptica geométrica. geométrica. De esta esta manera manera la imagen imagen de un objeto objeto estará estará contrastada, contrastada, esto esto es, se apreciarán apreciarán nítidamente nítidamente en la retina retina los bordes Naturalmente este bordes de la imagen imagen del objeto. objeto. Naturalmente este proceso proceso de esparcimiento esparcimiento depende depende de la longitud longitud de onda: onda: es conocido conocido que si la frecuencia frecuencia de la onda onda incidente incidente es próxima próxima a las frecuencias frecuencias de resonancia resonancia de un material pues diremos material la onda onda es absorbida absorbida por por el medio, medio, así pues diremos que el cristalino cristalino es transparente transparente para para aquellas aquellas radiaciones radiaciones cuyas cuyas frecuencias frecuencias están están alejadas alejadas de las frecuencias frecuencias de resonancia resonancia de los materiales materiales que lo componen. componen. En el proceso proceso de formación formación de una una catarata catarata se forman forman en las capas capas del cristalino cristalino acumulaciones acumulaciones de 12 proteinas forma de lagos. lagos.l? Estas acumulaciones acumulaciones rompen rompen la estructura estructura regular regular espacial espacial original, original, por por lo proteinas en forma Estas que que estas estas regiones regiones actuarán actuarán como como centros centros dispersores dispersores que que radiarán radiarán las ondas ondas en casi casi todas todas las las direcciones direcciones pero en este proceso de esparcinúento por estos cancelan las ondas pero este caso caso este este proceso esparcimiento por estos centros centros es tal que que no se cancelan ondas en las regiones regiones en las que que geométricamente geométricamente no debería debería haber haber luz; luz; ~sto ~sto producirá producirá una una reducción reducción del contraste contraste imagen, cuyos cuyos bordes bordes serán serán menos menos nítidos nítidos y la consecuente consecuente reducción reducción de la agudeza agudeza visual. visual. Este Este en la imagen, proceso de esparcinúento esparcimiento es de carácter carácter incoherente incoherente y producirá, producirá, una una redistribución redistribución espacial espacial de la luz proceso luz retina tal que que las longitudes longitudes de onda onda más cortas dispersarán más más que las de longitud longitud de onda onda en la retina cortas se dispersarán larga. En la Figura Figura 3.11 se muestra muestra este efecto. . Una Una manera manera de reducir impacto de estos estos lagos lagos es el larga. este efecto reducir el impacto anteponer un filtro delante delante del ojo del del observador que elinúne elimine las radiaciones azules: en este este caso caso los los de anteponer observador que radiaciones azules: centros pero la agudeza centros seguirán seguirán dispersando dispersando pero agudeza visual visual del sujeto sujeto mejorará mejorará notablemente. notablemente. Recuérdese Recuérdese en este punto que potencia esparcida proporcional a la cuarta uencia este punto que la potencia esparcida por por un dipolo dipolo es proporcional cuarta potencia potencia de la frec frecuencia del campo excitador. del campo excitador.
de la
objeto cristalino cristalino
imagen
centros dispersores dispersares
Influencia de de los los centros centros dispersores dispersores localizados localizados en el cristalino cristalino en la formación formación de de la Figura 3.11 Influencia imagen. imagen. Naturalmente cuando el número número de centros centros dispersores dispersores aumenta, aumenta, se producirán producirán múltiples múltiples procesos procesos de Naturalmente cuando esparcimiento incoherente incoherente lo que que reducirá reducirá aún más más el contraste, contraste, llegando llegando a ser tan reducido reducido su valor valor que esparcinúento que puede decirse decirse que que la imagen imagen óptica óptica ha desaparecido. desaparecido. puede ausencia de centros centros dispersores dispersores el aspecto aspecto que que mostraría mostraría la imagen imagen de la Figura Figura 3.11 3.11,, constaría constaría En ausencia esencialmente de una una región región oscurecida, oscurecida, escalada escalada con con los aumentos aumentos laterales, laterales, que que corresponde corresponde con con la esencialmente región oscura objeto, y la región región ilunúnada iluminada que que corresponde corresponde a la región región transparente transparente del objeto objeto+'I3 .. región oscura del objeto,
n la
3.6.
rellena un prisma hueco dé; de ángulo ángulo a = = 60° con con un líquido líquido transparente. transparente. El prisma se ilunúna ilumina Se rellena prisma hueco El prisma con un haz haz colimado colimado de luz luz blaNca blanca de manera manera que que la radiacióN radiación refractada refractada se recoge recoge con con una una lente lente y con coloca una una pantalla plano focal. focal. Se añade añade un colorante colorante poco poco al líquido líquido que que rellena rellena se coloca pantalla en su plano poco a poco Sabiendo que que el colorante colorante tiene tiene una frecuencia de resonancia resonancia en 1..0 = 530 530 nm. nm, Indicar Indicar el prisma. prisma. Sabiendo una frecl'lencia razonadamente qué qué se observará observará en el plano plano focal focal de la lente lente L2 antes de echar echar el colorante colorante y después después razonadamente L2 antes añadirlo. de añadirlo. Figura 3. 3.10 sido tomada tomada de D. Miller Miller & & G. G. Benedek, light scattering, (Charleses C Thomas, Thomas, Springfie Springfield, 12La Figura 10 ha sido Benedek, Intraocular Intraocular light scattering, (Charl ld, 1973). vamos a entrar entrar en en detalles detalles aquí aquí concernientes concernientes a la difracción difracción por del sistema. sistema. Ver más más detalles detalles sobre sobre este último 13No vamos por la pupila pupi la del este último aspecto en el el Tema Tema 6. aspecto
http://carlos2524.jimdo.com/
•
IJ
66 66
Óptica física Óptica física Resolución Resolución Que el líquido líquido con con el que que se rellena sea transparente indica Que rellena el prisma prisma sea transparente para para las radiaciones radiaciones visibles visibles nos indica que no absorberá absorberá apreciablemente apreciablemente en este este rango espectral, o de otra otra manera, frecuencia/s de resoque rango espectral, manera, suls suls frecuencia/s resonancia están alejadas alejadas del rango recordar que que cada cada onda onda de una cierta longitud longitud de onda onda nancia están rango visible. visible. Hemos Hemos de recordar una cierta experimentará un Índice Índice de refracción diferente, n(A), n(A), por que a la salida salida del prisma experimentará refracción diferente, por lo que prisma las distintas distintas radiaciones se habrán diferente. Por diaciones habrán refractado refractado de manera manera diferente. Por lo general, general, en el visible visible se tiene tiene una una región región de dispersión normal este líquido líquido por que dadas dadas dos radiaciones longitudes de onda onda AAlI Y dispersión normal para para este por lo que radiaciones de longitudes y A2 tales tales que Al < A2, que n(AI) n(AI) > > n(A2), n(A2), de esta esta manera focal de la lente lente se observarán observarán que Al < A2, se tendrá tendrá que manera en el plano plano focal dispersadas por diferentes posiciones. Supongamos, por ejemplo, que que se ha las radiaciones radiaciones dispersadas por el prisma prisma en diferentes posiciones. Supongamos, por ejemplo, ha colocado el el prisma que AAf = 550 550 nm llega llega al foco foco de la lente lente L2, colocado prisma de manera manera que L2 , en ese caso caso las radiaciones radiaciones cuyas longitudes longitudes de onda onda sean sean mayores que AAf estarán estarán en la parte superior del plano focal respecto eje parte superior plano focal respecto al eje cuyas mayores que óptico y el resto estarán en la parte focal (véase (véase Figura 3.12). óptico resto estarán parte inferior inferior del plano plano focal Figura 3.12). L, L,
F
L,
s F'
Figura 3.12 3.12 Esquema Esquema de de la radiación radiación dispersada dispersada por por el prisma prisma y observada observada en en el plano plano focal de L2' Figura focal de L2'
Al añadir colorante cuya cuya resonancia está en AO 530 nm ocurrirá ocurrirá que esta radiación radiación y algunas algunas en un añadir el colorante resonancia está Ao = 530 que esta entorno suyo suyo se absorberán absorberán por que en el plano plano focal focal de L2, observará un espectro espectro similar similar al anterior anterior entorno por lo que L2, se observará pero faltando aquellas aquellas radiaciones que han sido absorbidas. absorbidas. La contribución al Índice Índice de refracción pero faltando radiaciones que han sido La contribución refracción por por parte colorante viene dada por expresión siguiente siguientel"14 parte del colorante viene dada por la expresión Nq2 Nq2
n(ev) n(w)
= 1+ -- -
=
2meEo iyev 2meEo ev~ w~ - ev w 22 + iyw
nr(A) nr(A)
in¡(A). + in¡(A).
(3.56) (3.56)
Recordemos que la parte imaginaria del índice índice es la que que da cuenta cuenta de la absorción absorción por Recordemos que parte imaginaria por el medio medio material: material: esta manera suponemos que que IO(A) intensidad incidente incidente para cierta longitud onda, la de esta manera si suponemos loCA) es la intensidad para una una cierta longitud de onda, intensidad emergente emergente para esa radiación puede expresarse expresarse como como intensidad para esa radiación puede 4lfll¡(Á)F 4lf ll¡(!. ) F
Isal(A) ex IsalCA) ex: IO(A)e-loCA)e-A-,-
A- ,
(3.57) (3 .57)
siendo F el espesor espesor de la muestra. aquellas radiaciones experimentarán una fuerte siendo muestra. Así Así aquellas radiaciones próximas próximas a AO Ao experimentarán una fuerte absorción, mientras que aquellas aquellas que que estén estén alejadas alejadas de AO absorción despreciable despreciable absorción, mientras que Ao se refractarán refractarán con una una absorción y serán serán observadas observadas en el plano focal de la lente lente L2. Nótese que al aumentar aumentar la concentración concentración plano focal Nótese de paso paso que colorante, aumentará aumentará proporcionalmente densidad de partículas absorbentes y más intensa intensa será será la del colorante, proporcionalmente la densidad partículas absorbentes absorción. absorción. este experimento experimento en un laboratorio laboratorio la inspección sería en principio fácil de Si se realizase realizase este inspección visual visual no sería principio fácil interpretar ya que que tras diferentes longitudes longitudes de interpretar tras la refracción refracción por por el prisma, prisma, los haces haces de radiación radiación de diferentes onda se solapan solapan parcialmente entre sí, cosa cosa que que no ocurre ocurre cuando cuando se emplea emplea un prisma absortivo en onda parcialmente entre prisma no absortivo que las regiones regiones de resonancia están alejadas alejadas del visible: conocido que que en este este caso caso el prisma el que resonancia están visible: es bien bien conocido prisma permite separar espacialmente espacialmente las las diferentes diferentes componentes componentes espectrales espectrales del haz incidente. En caso de permite separar haz incidente. En el caso que queramos queramos visualizar absorción al adicionar adicionar un colorante, colorante, es preferible empleo de una que visualizar la absorción preferible el empleo una red de difracción que que obvie obvie este este problema solapamiento espacial+'. difracción problema del solapamiento espacial 15 . cual es cierto cierto para concentraciones de la sustancia sustancia adicionada. adicionada. 14Lo cual para bajas bajas concentraciones detalles en el Tema Tema 6. 15Yer más más detalles
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo Capítulo 3/ 3 / Interacción Interacción de la radiación radiación con la materia materia
3.7.
67
Se ilumina ilumina el sistema muestra en la Figura Figura 3.13 una fuente luz blanca. blanca. El recipiente recipiente R P sistema que que se muestra 3.13 con con una fuente de luz RP está lleno eje de transmisión eje X. está lleno de humo humo y el polarizador polarizador lineal lineal Pj Pl tiene tiene su eje transmisión paralelo paralelo al eje
resole onda tas raión de 2 tales hvarán se ha ciones al eje
cámara de humo
s
z
RP
L L
P, P,
LCLC
@x @x
V
Y Y
P,
os
Figura sobre el recipiente que contiene Figura 3.13 3.13 La La radiación radiación emergente emergente de la lente lente incide incide sobre recipiente que contiene el humo. humo. El El observador mira observador mira lateralmente. lateralmente.
Resolución Resolución
Indicar qué procesos intervienen intervienen para para que que el observador mira según vea luz. Indicar qué procesos observador que que mira según el eje eje Z vea La onda lente Le la podemos podemos considerar como una una onda plana que que se propaga propaga en la La onda que que emerge emerge de la lente considerar como onda plana dirección del eje óptico óptico de la lente lente (kpp = j). Podemos Podemos considerar considerar que que esta onda está despolarizada, por por dirección j). esta onda está despolarizada, incidir sobre polarizador lineal lineal emergerá haz linealmente linealmente polarizado polarizado en la dirección lo que que al incidir sobre el polarizador emergerá de éste éste un haz dirección del eje transmisión de PI. recipiente R lleno de pequeñas pequeñas partículas partículas de humo, humo, de manera manera eje de transmisión Pi, El recipiente R P está está lleno que interaccionar la onda partículas de humo humo acelerará re-radiarán ondas que al interaccionar onda con con las partículas acelerará los electrones, electrones, que que re-radiarán ondas en todas direcciones dirección de oscilación X). El campo radiado todas direcciones excepto excepto en la dirección oscilación (que (que es la dirección dirección del eje X). campo radiado a larga larga distancia distancia por por una una de estas partículas vendrá vendrá dado dado por por estas partículas
2;:
en un terior 'n por
(3.56) terial: da, la
3.57) fuerte iable ación erá la cil de es de vo en nsma so de ed de
-~ Ed Ed
=
1 ~ /\ [~ [ S~ 1 2 SS~ /\ 4n Eoc R 4nEQc
/\ /\
~ I/ ]] p- I! (t) P" (t) ,
(3.58) (3.58)
donde s es un vector unitario en la dirección distancia entre entre la partícula partícula emisora emisora donde vector unitario dirección de observación, observación, yy R es la distancia posición de observación. Naturalmente el campo radiado y la posición observación. Naturalmente campo eléctrico eléctrico que que llegue llegue al observador observador será será el radiado por todas todas las partículas partículas del gas. Podemos Podemos considerar considerar que que al tratarse tratarse de un gas, gas, el movimiento movimiento de cada por cada partícula es independiente independiente y que mueven aleatoriamente unas respecto respecto de otras. manera al partícula que se mueven aleatoriamente unas otras. De De esta esta manera evaluar irradiancia total total podremos podremos despreciar los efectos interferencias entre entre las ondas re-radiadas evaluar la irradiancia despreciar los efectos de interferencias ondas re-radiadas por las diferentes partículas, esto trata de una Asimismo no por diferentes partículas, esto es, se trata una suma suma "incoherente" "incoherente" de irradiancias. irradiancias. Asimismo consideraremos radiado por por una una partícula partícula sobre sobre otras adyacentes (esparcimiento consideraremos los efectos efectos del campo campo radiado otras adyacentes (esparcimiento múltiple). múltiple).
Indicar cómo ha de orientar orientar el polarizador polarizador P2 para para anular Indicar cómo ha anular la luz. caso que que nos ocupa, ocupa, llegarán llegarán ondas ondas radiadas radiadas a donde donde se encuentra observador que que vibran vibran en En el caso encuentra el observador partir de (3.58) Por lo tanto, tanto, la dirección dirección del eje X: esto esto es fácil fácil de comprobar comprobar a partir (3.58) suponiendo suponiendo que que s¡¡Z. slIZ. Por si queremos queremos que detecte radiación radiación cuando mira en la dirección dirección del eje colocar que el observador observador no detecte cuando mira eje Z ha de colocar transmisión de P2 paralelo paralelo al eje lente (eje Y). Y). En esta polarizador el eje eje de transmisión eje óptico óptico de la lente esta situación situación tras el polarizador habra radiación. radiación. El experimento propuesto en este problema puede puede realizarse realizarse con con facilidad P2 no habra experimento propuesto este problema facilidad en un laboratorio. laboratorio. gira 90 90°0 el polarizador situación original. original. Indicar polarizador P, Pl respecto respecto a su situación Indicar si se Se retira retira el polarizador polarizador P2 yy se gira observará luz lateralmente. observará luz lateralmente.
http://carlos2524.jimdo.com/
'
.
••
68 Óptica Óptica física física Al estar eje Z, Z, los osciladores osciladores atómicos atómicos vibran vibran en en la estar orientado orientado el polarizador polarizador p¡ P1 en la dirección dirección del eje dirección emite radiación radiación dipolar dipolar eléctrica eléctrica en la zona zona dirección del campo campo externo. externo. Es bien bien sabido sabido que que un átomo átomo no emite de ondas del dipolo dipolo atómico atómico inducido, inducido, de manera manera que que ondas cuando cuando se observa observa en la dirección dirección de oscilación oscilación del en este dirección del eje eje Z: Z : nótese nótese la influencia influencia de la este caso caso el observador observador no verá verá radiación radiación al mü·ar mirar en la dirección dirección dirección de oscilación oscilación del átomo átomo y de la dirección dirección de observación. observación.
3.8.
Sea despreciable) que que se rellena rellena con con fucsina fucsina en Sea un prisma prisma hueco hueco de paredes paredes muy muy delgadas delgadas (espesor (espesor despreciable) disolución 3.14 se muestra dispersión de este este medio. disolución alcohólica. alcohólica. En la Figura Figura 3.14 muestra la curva curva de dispersión medio.
n(ro) n(ro)
R
N
Am Am
Ve
Az. Az. Vio Vio
w ro
Figura 3.14 parte real real del del índice índi ce de de refracción refracción 3.14 Curva Curva de de dispersión dispersión de de la fucsina, fucsina, mostrando mostrando la parte
en función discontinua se se ha señalado señalado la frecuencia frecuencia de de función de de la frecuencia frecuencia del campo campo externo. externo. En discontinua reson a ncia . resonancia. Resolución Resolución
Si se incide describir cómo cómo será será la la distribución distribución angular angular de incide con con luz luz blanca blanca y colimada colimada sobre sobre el prisma, prisma, describir radiación transmitida. transmitida. la radiación Es bien sabido ángulo que depende del índice Índice sabido que que un prisma prisma de un cierto cierto material material desvía desvía los rayos rayos un ángulo que depende de refracción material del prisma incidencia. Al Al tratarse tratarse de una una haz haz de refracción del material prisma así como como del ángulo ángulo de incidencia. luz colimado incidente llegan llegan en las las mismas mismas condiciones condiciones de colimado todas todas las componentes componentes espectrales espectrales del haz haz incidente incidencia incidencia al prisma. prisma. En la Figura real del Índice refracción de la fucsina fucsina en función función de la Figura 3.14 3.14 se muestra muestra la parte parte real índice de refracción frecuencia figura que que a la frecuencia frecuencia que que se especifica especifica frecuencia angular angular del campo campo externo. externo. Se observa observa en dicha dicha figura en el eje de abcisas comportamiento diferente diferente respecto respecto a abcisas la parte parte real del Índice índice de refracción refracción presenta presenta un comportamiento otras regiones del espectro: cual nos indica indica que que a esa esa frecuencia frecuencia otras regiones espectro: disminuye disminuye al aumentar aumentar la frecuencia frecuencia, , lo cual se produce corresponde a una una longitud onda de Aa Aa = = 529.5 529.5 nm (se trata trata de una una región región produce absorción: absorción: esto esto corresponde longitud de onda de dispersión absorción atómica atómica sea estrecha, estrecha, de manera manera que que dispersión anómala). anómala). Es de suponer suponer que la banda banda de absorción las longitudes por el material. material. longitudes de onda onda cercanas cercanas a Aa van a ser absorbidas absorbidas por Teniendo espectrales se desviarán desviarán un ángulo ángulo diferente diferente Teniendo en cuenta cuenta lo antelior anterior las diferentes diferentes componentes componentes espectrales a la salida observará una una banda banda negra negra en torno torno al salida excepto excepto aquellas aquellas que que son absorbidas absorbidas por por la fucsina fucsina (se observará verde longitudes de onda más cortas cortas es menor, menor, verde centrada centrada en Aa). Aa). Teniendo Teniendo en cuenta cuenta que el Índice índice para para las longitudes onda más las componentes menos que las componentes componentes espectrales espectrales del componentes espectrales espectrales próximas próximas al "azul" "azul" se desviarán desviarán menos "rojo". "rojo". Determinar anómala si y = = 1099 S-l. Determinar la e~tensión e~tensión espectral espectral de la región región de dispersión dispersión anómala S-1. Para determinar dispersión anómala computar los puntos puntos de inflexión inflexión de la determinar la región región de dispersión anómala hemos hemos de computar parte verifica que d,:;~w) d,:[~úJ) = O. O. Tras Tras realizar realizar el parte real del Índice índice de refracción refracción w±. w±. Para Para estos estos puntos puntos se verifica cómputo cómputo se llega llega a que los puntos puntos están están dados dados por por w± w± = =
JJ
http://carlos2524.jimdo.com/
w6
Por lo tanto tanto la extensión extensión espectral espectral ± Ywo. Ywa. Por
69
Capítulo de la radiación con la materia Capítulo 3 / Interacción Interacción de radiación con materia
en la la zona era que ia de la
de esta esta región región está está dada dada por por w+ - w_ w_ ~A ~ ~ 1.5 x 1010-1313 metros. metros. ~A
In
3.9.
a en
=
9.99 (rad s-I), que en longitudes longitudes de onda onda equivale equivale a 9.99 x 108 (rad s-I), que
En Un baja densidad densidad (cuya frecuencia de resonancia resonancia está está Un prisma prisma delgado delgado fabr\cado fabricado de vidrio vidrio Crown Crown de baja (cuya frecuencia en la región mayor desviación desviación cuando cuando se ilumina ilumina el prisma prisma región UV UV del espectro), espectro), indicar indicar qué qué color color sufrirá sufrirá mayor con un haz índice en función haz colimado colimado de luz blanca. blanca. Suponer Suponer que que la expresión expresión del del Índice función de la frecuencia frecuencia está está dada dada por por Nq2 Nq2 + __ __ e_ e_
n(w) n(w) = = 1+
11
w5 - w
2mefo 2mefo w5 - w22
+ iyw i y co
.
(3.59) (3.59)
Resolución Resolución
El Índice (3.59). Los Los colores colores extremos extremos del espectro espectro visible visible Índice de refracción refracción está está dado dado-"l6 por por la expresión expresión (3.59). 14 Hz 14 Hz respectivamente. Luego son el violeta 4.3 x 1014 violeta y rojo, rojo, cuyas cuyas frecuencias frecuencias son 7.5 x 1014 Hz Y 4.3 Hz respectivamente. Luego 'ferencia. W 2 - w2 2 - W 2 ' ' de manera . ., dif 1a d 1 que nrojo nrojo < nazul. nazul. R ecor ecord emos emos que que 1Id' eSVlaClOn 1 erenCla > W oo manera que a desviacion rojo rojo > oo azul azul producida por un prisma delgado viene dada por producida por prisma delgado viene dada por ¿¡(W) ~ ~ o(W)
IX IX
[n(w) [n(w) - 1],
(3.60) (3.60)
deduce que que la la desviación desviación para para el rojo, rojo, Orojo menor donde donde IX es el ángulo ángulo del prisma. prisma. De 10 lo anterior anterior se deduce ¿¡rojo,, es menor que para para el azul, azul, Oazul ¿¡azul.. que racción ncia de
3 .10. 3.10. arde líndice haz de ones de
14 Hz Una onda onda electromagnética electromagnética plana plana y monocromática monocromática de frecuencia frecuencia v = 4.5 Una 4.5 X x 1014 Hz se propaga propaga en el vacío en la dirección dirección del eje X. El módulo módulo de la = 92 V/cm vacío la amplitud amplitud del del campo campo eléctrico eléctrico es Eo Eo = V/cm y la onda onda vibra vibra en la dirección dirección Z
Resolución Resolución
Escribir la longitud longitud de onda. onda. Escribir la expresión expresión del campo campo eléctrico eléctrico y calcular calcular la de la pecifica pecto a buencia f región ~ra que
TI
ferente orno al menor, les del
Con campo eléctrico eléctrico viene viene dada dada por por Con los datos datos suministrados, suministrados, la expresión expresión del campo
E E ==
[o, (kox [O, O, 92 cos cos(kox
2n 4 .5 x 101515 t)t) ] ' (V/cm), (V jcm), 2n x 4.5
donde donde ko kü es el módulo módulo del vector vector de propagación. propagación. Dado Dado que que se propaga propaga en el vacío vacío se tiene tiene que que v
(3.61 )
e jA , de donde donde se obtiene obtiene que que Ao Ao = 666.7 666.7 nm. = e/A,
YZ. El Índice índice de refracción refracción del del medio medio Esta plano Y Esta onda onda incide incide sobre sobre una una interfase interfase plana plana paralela paralela al plano Z. El para 1.62. Determinar la expresión expresión del campo campo eléctrico eléctrico dentro dentro del del medio medio para esa esa longitud longitud de onda onda es n = 1.62. Determinar la material. material.
Teniendo ecuación (3.61), (3.61), la la componente componente Z del del campo campo Teniendo en cuenta cuenta que que la onda onda incide incide normalmente normalmente yy la ecuación eléctrico eléctrico se puede puede escribir escribir como como de la 'zar el pectral
15 E~ (kx - 2n t), (V j cm) , E~ = 92t 92t"l1 cos cos(kx 2n x 4.5 x 10 1015 t), (V/cm),
(3.62) (3.62)
¡GPor simplicidad correcta en en el caso caso de medios medios con con baja baja densidad, densidad, es válida váli da simplicidad supondremos supondremos que que esta esta expresión, expresión, aproximadamente aproximadamente correcta caso de un medio medio denso denso como como es el caso caso de un vidrio vidrio óptico. en el caso óptico.
http://carlos2524.jimdo.com/
70
Óptica física Óptica física
donde kü Y tI! valor del coeficiente transmitancia en amplitud normal donde k = = 1.62 ko t., es el valor coeficiente de transmitancia amplitud que que en incidencia incidencia normal resulta tI! De esta resulta t" = 0.763. 0.763. De esta manera manera el campo campo de la onda onda transmitida transmitida se escribe escribe
E' El
=
t)] ,
15 O, 70.229 70.229 cos(1.62 cos(1.62 kox (V/cm). [O, O, küx - 2:rr 2n x 4.5 4.5 x 1015 t) ] ' (V/cm).
(3 .63) (3.63)
Nótese que por la ecuación uencia del campo Nótese que la frecuencia frecuencia del campo campo dado dado por ecuación (3.63) (3.63) coincide coincide con la frec frecuencia campo incidente. incidente. Escribir reflejado. Escribir la expresión expresión del campo campo eléctrico eléctrico reflejado. Procedemos igual que hemos de tener tener en cuenta Procedemos igual que en el apartado apartado anterior anterior salvo salvo que que aquí aquí hemos cuenta el coeficiente coeficiente de reflexión reflexión en incidencia normal que 0.237. De De esta incidencia normal que en este este caso caso es rFn.n = --0.237. esta manera manera el campo campo de la onda onda reflejada viene viene dado por reflejada dado por
Er E'
15 = 1.804cos(- kox - 2:rr 2n x 4.5 4.5 x 1015 = [O, [o, O,o, -2 -21.804cos(-kox
t)], t)], (V/cm). (V/cm).
(3.64) (3.64)
Nótese que por la ecuación propaga en la misma misma dirección pero en sentido Nótese que el campo campo dado dado por ecuación (3.64) (3.64) se propaga dirección pero sentido contrario reflejada es la misma misma que contrario que que el campo campo incidente, incidente, que que la frecuencia frecuencia de la onda onda reflejada que la de la onda onda incidente y que reflejada está respecto a la onda incidente que la onda onda reflejada está desfasada desfasada en n n respecto onda incidente. incidente.
3.11.
Un haz de luz natural incide una superficie tranquila (na 4/3) bajo bajo un ángulo Un haz luz natural incide sobre sobre una superficie de agua agua tranquila (na = = 4/3) ángulo tal que que reflejada en la dirección dirección del rayo está completamente completamente polarizada la luz reflejada rayo 1 está polarizada en un plano. plano. Un Un bloque bloque de vidrio de Índice nv = reflejada vidrio índice n.; = 3/2 3/2 está está sumergido sumergido en el agua agua como como se indica indica en la Figura Figura 3.15 3.15.. La La luz reflejada que emerge emerge en la dirección está totalmente polarizada en en un plano. que dirección del rayo rayo 2 está totalmente polarizada plano.
(1) (1)
(2) (2)
n, n.
Figura 3.15 iderados. El 3.15 Esquema Esquema de de la lámina lámina sumergida sumergida en en agua agua y haces haces de de luz cons considerados. El ángu ángulolo Ci cc es es desconocido. desconocido.
Resolución Resolución Determinar ángulo que que forma forma el bloque bloque con con la superficie superficie de agua agua (a). (a). Determinar el ángulo
haz incidente una radiación radiación cuyo polarización es natural natural para para que haz reflejado reflejado Al ser el haz incidente una cuyo estado estado de polarización que el haz esté totalmente ángulo de incidencia incidencia ha de ser el de polarización ángulo de 1 esté totalmente polarizado polarizado en un plano, plano, el ángulo polarización o ángulo Brewster, cual sabemos sabemos que que e/ + + e/ = nit /2, donde el superíndice superíndice 1 se refiere interfase aireaireBrewster, para para el cual /2, donde refiere a la interfase agua. Usando esta expresión expresión y la ley de Snell, Snell, podemos obtener el ángulo ángulo de incidencia incidencia de la relación agua. Usando esta podemos obtener relación tan donde 53.13°. Por similar, para que el haz esté totalmente = '\", de donde = 53.13°. Por un razonamiento razonamiento similar, para que haz 2 esté totalmente polarizado ángulo de incidencia incidencia en la interfase interfase agua-vidrio agua-vidrio ha de ser el de polarización polarización polarizado en un plano, plano, el ángulo donde el superÍndice superíndice 2 hace interfase agua-vidrio. agua-vidrio. Sabemos Sabemos que que la relación este caso caso es donde hace referencia referencia a la interfase relación en este 22 = 48.37°. tan e e2I2 = !!..JL, !!JL, de manera que e 48.37°. Del triángulo rayado figura deduce sencillamente que manera que e Del triángulo rayado en la figura se deduce sencillamente que noa 1 H 1
e/ e/
e/ e/
a
e/ + el -- ntt /2 = e/ /2 =
e/ e/
el,
11.50°. 11.50°.
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo Interacción de la radiación Capítulo 31 3/1nteracción radiación con la materia materia I normal
LC Le
pp
71
La
(3.63) campo
I
_._.~._._.-._._._._._._.e.J.~:·7
s
ficiente la onda
(3.64) 3.16 Esquema Esquema de la situación situación descrita: descrita: S fuente fuente puntual, puntual, Le Le len!e, lente. P polarizador, polarizador, La lámina. lámina. Figura 3.16
sentido la onda Determinar la irradiancia irradiancia del haz haz reflejado reflejado en la dirección dirección del rayo rayo 1. Determinar l.
Para hallar del haz reflejado para la Para hallar la irradiancia irradiancia del reflejado 1 hemos hemos de hacer hacer uso de la fórmula fórmula de Fresnel Fresnel para componente perpendicular. perpendicular. El coeficiente coeficiente de reflexión reflexión resulta resulta r1. = = -0.27. -0.27. De esta esta manera, manera, si llamamos llamamos componente lo a la irradiancia haz incidente, 1= 0.039/0. irradiancia del haz incidente, la irradiancia irradiancia del haz haz 1 resulta resulta ser ser /11 = ri!Jj == 0.03910.
que ue de ejada
.í,
3.12. 3.12.
ri ~
Consideremos una una fuente fuente puntual puntual de radiación visible despolarizada despolarizada que que emite emite en A = = 500 500 nm. Esta Esta Consideremos radiación visible fuente se coloca coloca en el foco objeto objeto de una una lente lente de f = = 100 mm. Tras Tras la lente lente colocamos colocamos un polarizador polarizador fuente lineal ideal ideal cuyo cuyo eje de transmisión transmisión lo podemos podemos girar girar a voluntad plano perpendicular perpendicular al eje lineal voluntad en el plano óptico de la lente. lente. Asimismo dispone de una una lámina lámina de un un material material isótropo isótropo en el que que la radiación óptico Asimismo se dispone la radiación considerada experimenta experimenta un Índice Índice de n = = 1.333 1.333 (ver (ver Fig. 3.16). 3.16). considerada Resolución Resolución Indicar razonadamente razonadamente cómo cómo hay que que colocar colocar el polarizador polarizador y la lámina lámina para para no observar observar radiación radiación Indicar reflejada procedente procedente de la lámina. lámina. Hacer Hacer un un esquema esquema gráfico gráfico para para demostrarlo. demostrarlo. reflejada tratarse de una una fuente fuente puntual puntual colocada colocada en el foco foco objeto objeto de la lente, lente, el haz de radiación radiación que emerge emerge Al tratarse lente podemos considerar que que se propaga propaga en una una dirección dirección paralela paralela al eje óptico óptico de la lente lente (el vector vector de la lente podemos considerar propagación de la onda onda será será k k == [lo, [lo, siendo siendo U Uoo un vector vector unitario unitario en la dirección dirección del eje óptico). óptico). de propagación Según se indica indica en la Figura Figura 3.16 3.16 el plano plano de incidencia incidencia coincide coincide con el plano plano del dibujo. dibujo. Para Para no observar observar Según radiación reflejada reflejada en la lámina lámina hemos hemos de proceder proceder de la siguiente siguiente manera: manera: radiación
2;:
gula el
Colocaremos el eje eje de transmisión transmisión del polarizador que esté esté contenido contenido en el plano plano de (a) Colocaremos polarizador de manera manera que incidencia. incidencia. estas condiciones condiciones giraremos giraremos la lámina lámina hasta hasta conseguir conseguir que que el ángulo ángulo de incidencia incidencia coincida coincida con (b) En estas ángulo de polarización polarización o ángulo ángulo de Brewster. Brewster. En estas estas condiciones condiciones no se observará observará radiación radiación el ángulo reflejada. El ángulo ángulo de incidencia incidencia ha de ser 8p = tan(1.333) = 53.1232 53.123200. . reflejada. tan-I I (1.333) ftejado ulo de e airelación mente
"on ei-2
asoes te que
En la situación situación anterior, anterior, se desplaza desplaza la fuente fuente 2 mm mm hacia hacia abajo abajo con con respecto respecto al eje óptico. óptico. Describir Describir En razonadamente si se observará observará radiación radiación reflejada, reflejada, y en ese ese caso caso estimar estimar la intensidad intensidad de la onda onda razonadamente 2 reflejada sabiendo que que tras el polarizador polarizador la irradiancia irradiancia es de 2 m W / cm crrr'. reflej ada sabiendo . Mediante un trazado trazado de rayos rayos elemental elemental nos damos damos cuenta cuenta que se tendrá tendrá también también un haz colimado colimado Mediante pero ahora ahora su dirección dirección de propagación propagación ha cambiado cambiado un poco, poco, ya que la fuente fuente está está en el plano plano focal pero objeto pero pero no en el foco. El nuevo nuevo vector vector de propagación propagación vendrá vendrá dado dado por por objeto
~ = --2n 2n k-nn = A A
((ACOS A + sen E uA )) A1. COS E U u.¿ .L ," . o
http://carlos2524.jimdo.com/
(3.65) (3.65)
72
Óptica física física Óptica donde tan E = = 160 160Y vector unitario unitario perpendicular perpendicular al eje óptico óptico y contenido contenido en el plano incidonde Y U..L es un vector plano de inciángulo dado dado dencia. dencia. En este este caso caso el haz haz de radiación radiación que emerge emerge de la lente lente incide incide sobre sobre la lámina lámina con con un ángulo por ei = = epp - E == 51.977° 51.977°. . Se observará observará una una fracción fracción de radiación radiación reflejada reflejada ya que que no se incide incide exactapor exactamente en condiciones condiciones de ángulo ángulo de polarización polarización como como en el caso caso anterior. anterior. Podemos Podemos estimar estimar la mente la radiación radiación reflejada calculando calculando el coeficiente coeficiente de reflexión reflexión rrll(ei) = 8.85 x 10-33, , de manera manera que la irradiancia reflejada ll (ei) = irradiancia de la 4 2 4 onda reflejada reflejada será será de 1.566 1.566 x 1O10- mW/cm mW / crrr'.. onda
llljll .1
t1II\
l'
3.13.. 3.13.
Sobre una una lente lente delgada delgada incide incide un haz haz colimado colimado linealmente polarizado de radiación radiación monocromática. monocromática. Sobre linealmente polarizado índice de refracción refracción de la lente lente es n = = 1.54. Si se considera considera incidencia incidencia normal, normal, calcular calcular la El índice la irradiancia irradiancia luz transmitida transmitida respecto respecto de la incidente. incidente. de la la luz Resolución Resolución Llamemos lo a la irradiancia irradiancia del haz incidente, incidente, de manera manera que que teniendo teniendo en cuenta cuenta los coeficientes Llamemos coeficientes de Fresnel, la irradiancia irradiancia del haz emergente será será Fresnel, haz emergente (3.66) (3.66) donde TI Y Y T2 T2 son las transmitancias transmitancias al pasar pasar de aire-lente aire-lente y lente-aire lente-aire respectivamente. respectivamente. Las donde Las transmitantransmitancias pueden pueden ponerse ponerse en función función de los coeficientes coeficientes de transmitancia transrnitancia en amplitud amplitud como como cías
TI
=
n 2 1
n (-- 2--
-ti -ti
1 1
1+ n
--1 ( --2n-
n
Por lo que que finalmente finalmente resulta Por resulta Isal Isal
3.14.
l+n l+n
)2
= 0.9548, 0.9548, =
(3.67) (3.67)
)2)2=
= 0.9548. 0.9548.
0.9116 lo lo.. = 0.9116
Las imágenes imágenes reflejadas superficies anterior anterior y posterior posterior de la córnea córnea y del cristalino cristalino se denoLas reflejadas por por las superficies denominan imágenes imágenes de Purkinje. Purkinje. Si el índice índice de la córnea córnea vale vale nc n¿ = 1.336 1.336 Y el del humor humor acuoso minan acuoso es n¿ = = 1.376, 1.376, calcular calcular la irradiancia irradiancia de las dos primeras primeras imágenes imágenes de Purkinje Purkinje y y la relación relación entre na entre ellas. ellas. Resolución Resolución Supondremos que que incide incide luz luz natural. natural. Su vector vector eléctrico eléctrico formará formará en cada cada instante instante un ángulo Supondremos ángulo a con con el plano de incidencia. incidencia. Este Este ángulo ángulo está está cambiando cambiando aleatoriamente. aleatoriamente. El campo campo eléctrico eléctrico se puede plano puede poner poner como como iwt (3.68) (3.68) jJ;i [lEal cosCa) cos(a) s + IEol lEal sen(a)]3] sen(a) p] e iwt ,, jJ:i = [IEol donde pp y s son son vectores vectores unitarios paralelo y perpendicular perpendicular al plano plano de incidencia incidencia respectivamente. respectivamente. unitarios paralelo donde campo reflejado reflejado en la primera primera cara cara de la córnea córnea se obtendrá obtendrá multiplicando multiplicando cada cada componente componente por El campo por su correspondiente coeficiente coeficiente de reflexión reflexión correspondiente
jJ;r (a) = = [rsIEol [rsIEol cosCa) cos(a) s + rplEol rplEol sen(a) sen(a) jJ;r (a)
iw1. . p] eiwt p]
(3.69) (3.69)
La irradiancia irradiancia está está dada dada por por La (3.70) (3.70) esta expresión expresión a todas todas las orientaciones orientaciones posibles posibles y teniendo teniendo en cuenta cuenta que que < Si promediamos promediamos esta < cos cos22 a a > >=< < serr'2 a > >= llega a sen = 1/2 se llega
I1 = =
1
2
2:2:cEolEol cEolEol
rs2 rs 2 + rrp2 2)) (( --2-2- ..
http://carlos2524.jimdo.com/
p
(3.71) (3.71 )
Capítulo 3/ Interacción Capítulo 3/ Interacción de la radiación radiación con la materia materia
mcidado actaiación de la
73
Para primera imagen Para la primera imagen calculamos calculamos los coeficientes coeficientes de reflexión reflexión nt -ni -ni
rs
= - ----- - =
rp 'p
=-- - = 0.144. 0.144.
ni +ni +ni ni - ni
--0.144, 0.144, (3.72) (3.72)
n¡ +ni +ni nt
Por Por lo tanto, tanto, la irradiancia irradiancia de la primera primera imagen imagen de Purkinge Purkinge vale ica, cia
1
= 2CE oIEoI 2:cEolEol
11 t,
22 + 2)2) 02/o· (( --2-2 - = 0.02I
22's rs
rp
(3 .73) (3.73)
0.
La En este este caso caso se La segunda segunda imagen imagen se produce produce por por la reflexión reflexión en la segunda segunda cara cara de la córnea. córnea. En produce una una tranmisión tranrnisión en la primera primera cara, cara, una una reflexión segunda y una una nueva nueva transmisión produce reflexión en la segunda transmisión en la primera cara. cara. Los coeficientes coeficientes de reflexión reflexión y transmisión transmisión son, son, respectivamente, respectivamente, primera
es de
( t(l t )
s
= ttp((1) l) = ~ ---Zn¡
r,(2) (2)
= _ r,(2) (2) = _ nnIi
1)
3.66)
s
itan-
ni
p
+ nn¡t
n¡ nt
p P
s
2 2 x x 1 1
= 0.856 0.856, , 11 + = + 1.336 1.336 - ni
+ nnii
=
l.376 - 1.336 l.336 1.376 l.376 - 1.336 l.336 1.376
=
-0.015. -0.015.
(3 .74) (3.74)
La transmisión transmisión en la primera primera cara cara del haz reflejado reflejado da los siguientes siguientes coeficientes coeficientes t'(I) s
3.67)
=
t'(1)
p
=~
ni
l.336 2 x 1.336
+ n¡
---= --
1 + 1.336 l.336
=
1.144. 1.144.
(3.75) (3.75)
Las incidentes como como Las amplitudes amplitudes del campo campo transmitido transmitido se pueden pueden expresar expresar en términos términos de los campos campos incidentes sigue: sigue:
(3.76) (3.76)
noes as.
La irradiancia irradiancia transmitida transmitida será será (3 .77) (3.77)
La relación La relación entre entre las irradiancias irradiancias de las dos imágenes imágenes es
el oner
00
Il -11 = 93 .02. 93.02.
hh
3.15. 3.69)
(3.78) (3.78)
Sea vidrio/aire Sea un haz haz de luz luz linealmente linealmente polarizado polarizado que que incide incide sobre sobre una una super.ficie superficie de separación separación vidrio/aire (incidiendo está orientado orientado (incidiendo desde desde el vidrio). vidrio). El ángulo ángulo de incidencia incidencia es de 45° 45° y y el vector vector eléctrico eléctrico está con un azimut plano de incidencia. del vidrio vidrio es de azimut de 30° con con respecto respecto al plano incidencia. El Índice Índice de refracción refracción del = 1.6. n = l.6. Resolución Resolución
3.70)
Escriba Escriba la expresión expresión del campo campo incidente incidente el reflejado reflejado y el transmitido. transmitido.
==<
En la Figura elegido el eje X hacia fuera del del plano plano del Figura 3.17 3.17 se muestra muestra un posible posible esquema esquema donde donde se ha elegido hacia fuera papel. Si elegimos elegimos como como plano plano de incidencia incidencia el plano plano Y Z el vector vector de propagación propagación de la onda incidente papel. onda incidente se puede puede poner poner
.71)
(3.79) (3.79)
http://carlos2524.jimdo.com/
74
Óptica física física Óptica
vector de propagación propagación de la onda onda reflejada reflejada viene viene dado, El vector dado, teniendo teniendo en cuenta cuenta que que eer
~r kk; ~
0 = ei e¡ = 45 45°
2n = -neO, sen45 -neO, sen 45 ° ,,cos45 cos45 °). 2n
o
o
(3.80) (3.80)
AO
aplicar la ley de Snell Snell (l.6sen45° (1.6 sen 45° = et)) se tiene et >> 1I lo cual = 1I sen sene tiene que que sen sene, cual nos indica indica que que se Al aplicar produce el fenómeno fenómeno denominado denominado reflexión reflexión total. Teniendo el = produce Teniendo en cuenta cuenta esto esto podemos podemos escribir escribir cos cos e( 2 sen- el = JI - (1.6 (l.6 sen45o)2 sen45o)2 = iiJO.28 sen J O.28 = 0,529 0,529 ii.. El vector vector de propagación propagación de la onda onda transmitransmitida viene viene dado, dado, teniendo teniendo en cuenta cuenta lo anterior tida anterior
J1 JI
JI -
~ ~
k¡
=
2n coser). . -(O, sen seneé-, t , - COSet) Ao Ao •
(3.81) (3.81)
Teniendo en cuenta cuenta todo anterior el campo Teniendo todo lo anterior campo eléctrico eléctrico incidente incidente se puede puede escribir, escribir, descomponiéndolo descomponiéndolo componente paralela paralela y perpendicular perpendicular al plano siguiente manera plano de incidencia, incidencia, de la siguiente manera (teniendo (teniendo en en su componente cuenta la ecuación ecuación (3.79)) (3.79)) cuenta '(kJ3 '(2"..ti( '(2"./l( - -) ~) v'3 ) ) E'", - Ecos 300 ell'(k ¡'r-úJ¡ E _el T"2 E"'-E cos300e ¡' / -úJt _el T ' 2 Yy-z - Z -úJ¡ - úJl
111 -1
O O
--
Eosen300el l'(k= Eosen300e
,
, E'l.' E'l'
~) ~)
¡'/-ú)/ ¡' / - úJt
OO 22
'
1l l'('(2"./l( 2"..ti ( ) = Eo-e T"2 Eo-e T'2 y-z y-z) +cot -úJ¡ .. 2
(3.82) (3.82) (3.83) (3.83)
Teniendo en cuenta cuenta la ecuación ecuación (3.80) (3.80) la onda será Teniendo onda reflejada reflejada será . EÍtee Eíl
.
E'l. E'l.
=
'(k- -)
-) EOcos300rlle' Eo cos 30° rll el' (k- r·r-úJI r 'r-úJ(
J3 v'3 '('(2"./l( 2"..ti ( ) ) = EoTrllel Eo 2" r ll el T"2 T '2 y-l-z y+z -úJI -úJ¡ ,,
-) ) '(2" ./l( ''(k(k- 1 ,(2" ..ti( ) ) EO sen sen 3000rr .Le' = Eo E0'2rr .Le' l.e l T"2 T'2 y-l-z y+z -úJI , l.el r'r-úJI = E0"2 ,,, r -úJ(
- úJ( ,
(3.84) (3.84) (3.85) (3.85)
donde rll y Y rr.L coeficientes de reflexión 1. son los coeficientes reflexión de la componente componente paralela paralela y perpendicular perpendicular que que vamos vamos a donde calcular a continuación: continuación: calcular
rll
=
r.L r1.
=
nI n¡ cos cos el e¡ n¡ cos e¡ ei - ni nt n¡ cos cos e¡ ei
+ nin¡ cos cos e( el
0.707 O, 529 529 i 0.707 - 1.6 x O, 0.707 0.707
+ 1.6 x 0,529 0, 529 i '
n¡ n, cos e, ni cos cos e¡ ei - nI el
1.6 l.6 x 0.707 0.707 - 0.529 0.529 i
+ n¡ n, cos cos e, el
l.6 x 0.707 1.6 0.707 - 0.529 0.529 i
n ni¡ cos e¡ e¡
,
(3.86) (3.86)
(3.87) (3.87)
observar que a partir partir de las ecuaciones ecuaciones (3 (3.86) que el estado Se puede puede observar .86) y (3.87) (3.87) que estado de fase fase de la onda onda reflejada reflejada i2xO,875 alterado como como consecuencia consecuencia de la reflexión se ha alterado reflexión total total que que ha ha experimentado: experimentado: rll rll = = e-i2xO ,875 y r.L r1. = i2 x O e-i2xO ,437. e,437. z
n,=1,6 n.=1,6
o X X
----------~------------------~y ----------~------------------~y n.=1
3.17 Esquema gráfico gráfico de la onda incidente, la reflejada reflejada y la transmitida. Figura 3 . 17 Esquema onda incidente, transmitida.
http://carlos2524.jimdo.com/
75
Capítulo 3/ Interacción de la radiación con la materia
Finalmente teniendo en cuenta la ecuación (3.81) la onda transmitida se puede escribir de la siguiente manera (3.80)
Eí(
=
r: =
lue se ;e/ =
Eo
cos 300tllei(k,.r-wt)
=
Eo
sen 300t..Lei(k,.r-wI)
=
Eo ~
tlle-koXO.S29zei(koxO.707y-wl),
(3.88)
Eo~t..Le-kOXO.S29Zei(kOXO.707Y-WI).
(3.89)
msmiSe ha de hacer notar que en las ecuaciones (3.88) y (3.89) tanto la componente paralela como la perpendicular presentan un coeficiente de amortiguamiento exponencial, de ahí que a este tipo de ondas se las denomine evanescentes.
t3.81)
Hallar el estado de polarización del haz reflejado. ndolo ~o en
Hemos visto en el apartado anterior que la onda reflejada sufre una alteración de su estado de fase como consecuencia de la reflexión total que experimenta, de manera que la diferencia de fase entre la componente paralela y la perpendicular de la onda reflejada es i5 = 2(0, 875 - ().437) = 0.876 radianes, de modo que el campo reflejado está elípticamente polarizado.
b.82)
Si se coloca un detector a 0.1 ¡..¿mdel vidrio ¿se detectará radiación? Justificar la respuesta. De las ecuaciones (3.88) y (3.89) se deduce que los campos transmitidos se amortiguan exponencialmente. La profundidad de penetración de la onda se puede estimar como la distancia zo a la cual el campo ha disminuido su amplitud en un factor e, o sea, zo = 2n xA3.S29' Vemos que la profundidad de penetración es una fracción de AO de manera que si colocamos un detector a 0.1 ¡..¿mde la superficie de separación la onda evanescente será detectada (siempre y cuando el detector tenga la sensibilidad adecuada). Podemos ver esto si computamos el vector de Poyting para Z < O: vamos a hacerlo para la componente paralela al plano de incidencia, para la cual la inducción magnética está dada por Bt¡ = - ~ fe =
t3.83)
13.84)
- ~Et¡ fe. Por lo cual
!3.85)
r:
el vector de Poynting resulta (3.90)
ros a A partir de la ecuación (3.90) vemos que no habrá flujo de energía en la dirección del eje Z. 8.86)
¿Qué desfase existe entre la componente paralela del haz reflejado y la componente paralela del haz incidente?
~.87)
Hemos visto anteriormente que el haz reflejado experimenta un cambio de fase en la reflexión total, de manera que la componente paralela reflejada experimenta un cambio de fase 2 x 0,875 radianes respecto a la componente paralela incidente.
ejada
rl
=
3.16.
Un haz colimado de radiación natural de irradiancia lo incide sobre el sistema de dos láminas de la Figura 3.18 en condiciones de ángulo de Brewster. Determinar las expresiones de las componentes del campo emergente de la segunda lámina así como el grado de polarización de la radiación emergente V - h-III -
h+/II'
Resolución Nos indican que el haz de radiación natural incide sobre la lámina primera en condiciones de ángulo de Brewster. Sabemos entonces que se verifica que e¡ + el = it /2, de manera que teniendo en cuenta la ley de Snell y la condición anterior llegamos a que se satisface la relación tan e¡ = A partir de los datos que se suministran podemos determinar el ángulo de incidencia que resulta ser de e¡ ~ 32°, en tanto que et = 58°. De manera que el vector de propagación de la onda incidente, ver Figura 3.18, viene dado por
*.
k,
=
2n -(O, sen32 A
°, -cos32 °).
(3.91)
La onda incidente despolarizada tiene una componente paralela al plano de incidencia y otra componente
http://carlos2524.jimdo.com/
76
Óptica Óptica física física
fll,\¡, .¡
Figura 3.18 3.18 Esquema Esquema del haz de radiación radiación despolarizada despolarizada incidente incidente sobre sobre el sistema sistema de doble doble lámina lámina transparente. transparente.
perpendicular por perpendicular dadas dadas respectivamente respectivamente por EIIII = = Eo Ea cos [y(t)] [y(t)] ei(WI-k¡·;:l, ei(WI-k;-i'l, E
(3.92) (3.92)
e: = Ea sen [y(t)] ei(w/-k¡';:l, El.. = Eosen[y(t)]ei(wt - k¡ ';:l,
(3.93) (3.93)
factor que varía donde donde y(t) y(t) es un factor varía aleatoriamente aleatoriamente en el tiempo. tiempo. De De esta esta manera manera la irradiancia irradiancia incidente incidente vendría vendría dada dada por por ¡0=
CE o
«IEII12> + < IE l.. I2»
=
~CEo (E5 +E5),
(3.94) (3.94)
1
donde se ha tenido tenido en cuenta cuenta que el promed~o promedio temporal temporal < < cos cos22(y(t)) >=< sen22(y(t)) >= donde (y(t)) > = < sen (y(t)) > = ~ y que < (wt) > = ~. Teniendo que las caras < cos cos22(wt) >= Teniendo en cuenta cuenta que caras de las láminas láminas son son paralelas paralelas entre entre sí podemos podemos afirmar afirmar que que el haz emergente emergente se propaga propaga en la misma misma dirección dirección que que el haz incidente, incidente, de manera manera que la expresión del expresión del campo campo emergente emergente de la segunda segunda lámina lámina viene viene dado, dado, teniendo teniendo en cuenta cuenta los coeficientes coeficientes de transmitancia transmitancia en amplitud amplitud en ambas ambas caras caras de las láminas, láminas, por por las expresiones expresiones
1.
al Ef¡al E
l
=
(tl¡a\a )2 (tt (ttl)2l )2 cos cos[y(t)]ei(wt-k¡'¡l, [ y(t)]ei (wt - k¡';:l,
(3 .95) (3.95)
(tfl)2 sen [y(t)] ei(w/-k;l'l. l . (tt )2(tfl)2 [y(t ) ] ei(WI-k¡r
(3 .96) (3.96)
Ea (t ll Eo l
EJ:1 Ea (tf'l)2l J.:1 = Eo E
Teniendo .96) junto junto con Teniendo en cuenta cuenta las expresiones expresiones (3.95) (3.95) y (3 (3.96) con la (3.94) (3.94) llegamos llegamos a que que 2 sal _ ~CE 1 ( (al lb ¡sal (t(a»)4 (tC I11 tll1I l)4 E Ea, 1I -= ¡CEO 4 O tll1I o'
)4 (b )4
2
(3 .97) (3.97)
(t(a )4 (r
(3 .98) (3.98)
sal _
~CE (t(al l )4 ¡I .L sal _ ~CE o 1...L 1.. -- 4 O
.L
De manera manera que que resulta resulta un grado grado de polarización polarización V2
=
Is. -111
=
-0.4023. -0.4023.
(3.99) (3.99)
h+11l expresión (3.99) (3.99) nos indica indica que que en el haz emergente emergente de la segunda segunda lámina lámina predomina predomina la componente componente La expresión polarizada paralela paralela al plano plano de incidencia incidencia sobre sobre la componente componente perpendicular! perpendicular'". 7 . polarizada 17Este hecho se debe debe a que que la componente componente reflejada reflejada paralela paralela al plano plano de incidencia incidencia se anula, cual se aprovecha aprovecha como como mecanismo mecanismo 17 Este hecho anu la, lo cual polarización despolarizado. Este polarizadores sido empleado empleado frecuentemente frecuentemente antes antes de tener tener zación de de un haz despolarizado. Este titipo po de polari zadores de pila ha sido de polari disponibles láminas de polaroide polaroide comercial. comercial. Aún Aún en la actuali actualidad siguen usando usando en diferentes diferentes di dispositivos láser. bles las láminas dad se siguen spositivos láser. disponi
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo 33// Interacción radiación con la materia materia Capítulo Interacción de la radiación
77
Podemos grado de de polarización polarización del haz haz emergente emergente de la primera primera lámina lámina Podemos calcular, calcular, aunque aunque no se pida, pida, el grado que que resulta resulta ser
h-- J¡¡111 l.i h++J¡¡ III l.i
-0.21. -0.21.
(3.100) (3.100)
este resultado resultado se concluye concluye que que si colocamos colocamos un número De este número adecuado adecuado de láminas láminas idénticas idénticas podemos podemos I8 obtener un haz emergente con con el grado grado de polarización .• obtener haz emergente polarización deseado deseado 18
3.17.
haz de luz luz linealmente linealmente polarizado polarizado incide sobre la cara Un haz incide normalmente normalmente sobre cara AB de un prisma prisma inmerso inmerso en aire como como se muestra muestra en la Figura Figura 3.19. 3.19. En aire En A el ángulo ángulo es de A A == 120°.
oble
3.92) 3.93) Gente 11,, B B
3.94) que emos ue la
ec
3.19 Haces incidente Figura 3.19 incidente y reflejado reflejado por por el prisma. prisma.
Resolución Resolución
es de
desea que que el haz haz emergente emergente por por la cara cara AC esté ¿Cuál debe ser el azimut Se desea esté circularmente circularmente polarizado. polarizado. ¿Cuál debe ser azimut campo incidente incidente y el índice índice de refracción refracción n del prisma? emergente en relación prisma? Hállese Hállese la intensidad intensidad emergente relación del campo intensidad incidente incidente en la cara cara AB. a la intensidad
3.95)
deseamos que la radiación radiación emergente emergente por Si deseamos por la cara cara AC esté esté circularmente circularmente polarizada, polarizada, ha de alterarse alterarse estado de fase del campo campo incidente: incidente: el estado
3.96)
3.97) .98)
En /1 I1 hay transmisión transmisión del campo campo en condiciones • En condiciones de incidencia incidencia normal, normal , luego luego no se altera altera el el estado estado fase. Los coeficientes de transmisión transmisión para de fase. Los coeficientes para la componente componente paralela paralela y perpendicular perpendicul ar son iguales. iguales. En /2 12 hay reflexión reflexión del campo: campo: de la figura • En figura se infiere infiere que que el ángulo ángulo de incidencia incidencia en este este punto punto es 30°.. de 30° En 13 hay transmisión transmisión del campo campo en condiciones • En condiciones de incidencia incidencia normal, normal, luego luego no se altera altera el estado estado coeficientes de transmisión transmisión para de fase. Los coeficientes para la componente componente paralela paralela y perpendicular perpendicular son iguales. iguales. I: no hay reflexión reflexión total, total, el desfase desfase a lo sumo sumo será será de O óÓ tt salida de la cara Si en h JT , por por lo que que a la salida cara AC se tendría luz luz linealmente linealmente polarizada. polarizada. En cambio cambio si hubiese tendría hubiese reflexión reflexión total, total , el desfase desfase entre entre la componente componente paralela y perpendicular, perpendicular, 8 = = 2(a 2(a - f3), puede permitir f3), puede permitir la obtención obtención de luz lineal, lineal, circular circular o elípticamente elípticamente paralela polarizada. Si deseamos deseamos obtener obtener a la salida salida luz circularmente polarizada. circularmente polarizada, polarizada, se precisa precisa que que 8 = it JT /2. /2 . Además Además amplitudes de la componente componente paralela paralela y perpendicular ser iguales, las amplitudes perpendicular han han de ser iguales, por por 10 lo que que el azimut azimut del campo a la entrada entrada ha de ser JT it /4. campo /4. Recordemos que se verifica verifica la siguiente siguiente relación Recordemos relación
ente
tan(a - f3) tan(a f3 ) ismo tener
tan a - tan f3 = -------'--------'.+tana tanf3f3 1+ tan a tan
(3.101) ) (3.101
preciso notar notar que que en el cálculo cálculo desarroll desarrollado 18Es preciso ado no no hemos hemos tenido tenido en en cuenta cuenta el el efecto efecto de de las reflexiones refl exiones múltiples múltiples que que acontecen acontecen en cada cada lámina lámina y entre entre lám láminas adyacentes. inas adyacentes. en
http://carlos2524.jimdo.com/
78
Óptica Óptica física física yy recordemos recordemos también también que a y f3 f3 vienen vienen determinados determinados por por las relaciones relaciones (ver (ver Problema Problema 3.15) 3.15)
tan a == tan f3 f3
Jsen2 ep -Jsen2 -'--::----2
N2 N2
N2 cos cosepep N
'
Jsen2 N2 Jsen2 ep -- N2
= -'-----'------
(3.102) (3.102)
cos ep
donde ep = 30° 30° es el ángulo ángulo de incidencia incidencia en h h y N = 1/ nn. (n es desconocido desconocido en este este caso). caso). Teniendo Teniendo en donde cuenta las relaciones relaciones (3 (3.101) y (3 (3.102) escribir cuenta .101 ) Y .102) podemos podemos escribir
Jsen 2 ep - N2 cos ep
(3.103) (3. 103)
Sustituyendo cos ep .J3/2 y sen ep == 1/2 1/2 y simplificando simplificando llegamos llegamos a la siguiente siguiente ecuación ecuación Sustituyendo ep == .}3/2
.J3 22 (( l-NN 2) 2' .}3 1/4-N 2' --4+4= 4N + 41 = Jj 1/4 - N 122
donde se obtiene obtiene que que N22 = 1/ 1/66 y finalmente finalmente el Índice Índice buscado De donde buscado es n Las componentes del campo salida se pueden escribir como como Las componentes campo a la salida pueden escribir EII
=
(3.104) (3.104)
= .,/6.
Eocos(n/4)t,;lr1f2t,;3 cos(úJt), Eocos(n/4)t,~lrlf2t,~3 cosuor),
El. == Eo sen(n/4)t~1 cos(wt E.l Eo sen(n /4)t~ 1 /lt~3 /lt~3 cos(úJt
+ nn/2). + /2).
(3.105) (3.105)
Donde t,;1 t,~1 = 0.5797, 0.5797, t,;2 t,~2 1.4202. Al haber total en h I: se verifica verifica que Irlll Irlll Ir1.1= 1l 1.4202. haber reflexión reflexión total Ir.ll Donde desfase entre entre ambas ambas componentes componentes es n n /2. Teniendo en cuenta cuenta los resultados resultados anteriores obtiene y el desfase / 2. Teniendo anteriores se obtiene finalmente que que ¡salida ¡salida //¡en/rada ¡en/rada 0.6778 = 0.6778 finalmente En las mismas mismas condiciones condiciones para índice obtenidos obtenidos en en el apartado apartado anterior, anterior, se apoya apoya para el haz haz incidente incidente y el Índice ahora la cara cara BC BC sobre sobre un medio medio de Índice índice nt. n-, ¿Cuál ¿Cuál debe debe ser ser el valor valor de nf n¡ para que el haz emergente ahora para que haz emergente por cara AC esté esté linealmente linealmente polarizado con el campo campo eléctrico eléctrico perpendicular incidencia? por la cara polarizado con perpendicular al plano plano de incidencia? Hállese este caso caso la relación intensidades. Hállese en este relación de intensidades. desea que que el haz haz a la salida salida de la cara cara AC esté esté linealmente linealmente polarizado vibrando en el plano Si se desea polarizado vibrando plano perpendicular incidencia, en el punto incidir con con el ángulo ángulo de Brewster Brewster (epB), (epB), y perpendicular al plano plano de incidencia, punto l:[2 ha de incidir recordemos verifica la relación n-] n n,. De modo modo que n¡ = .,/6 ../2. que n/ .,/6 tan [zr [n /6] / 6] = .,;2. recordemos que se verifica relación tan epB = nrl componentes del campo campo a la salida salida se pueden escribir como como Las componentes pueden escribir El! = 0, EII =0,
El. E.l
=
Eo sen(n rl t,;3 t,~3cosúor), Eo sen (n /4)t,~1 / 4)t,;1 rl cos(úJt),
(3.106) (3.106)
Donde t,;1 t,;1 = 0.5797, 0.5797, t,;2 = 1.4202, 1.4202, yyen en el punto tiene que r .l 1. 0.5. Teniendo Teniendo en cuenta cuenta los Donde punto [2 se tiene 0.5. resultados anteriores anteriores se obtiene obtiene finalmente finalmente que 0.1695 resultados que ¡salida [ salida / ¡[en/rada en /rada = 0.1695
3.18. 3.18.
Considere una lente biconvexa radios de curvatura curvatura R¡ Rl y R2 que que es iluminada iluminada por por una una onda onda plana plana de Considere una lente biconvexa de radios frecuencia úJ úJ para cual el Índice índice de refracción n (z»).. Si el espesor espesor central central de la lente do,, obtener frecuencia para la cual refracción es n(úJ) lente es do obtener una expresión del campo campo eléctrico eléctrico en el plano que es tangente tangente a la segunda segunda superficie superficie de la la lente una expresión plano PU PU que lente (ver Figura 3.20a). (ver Figura 3.20a). Resolución Resolución Por simplicidad simplicidad vamos vamos a ignorar ignorar en este este problema vectorial de la radiación radiación electromagnética, electromagnética, Por problema la naturaleza naturaleza vectorial esto es, es, emplearemos emplearemos la así denominada denominada aproximación aproximación escalar. escalar. esto Consideremos una onda plana dirección del eje Y que que viene viene dada dada por Consideremos una onda plana que se propaga propaga en la dirección por E(y, t) E(y, t)
=
Eoei(kOY-úJ/). Eoei(kOY - w/).
http://carlos2524.jimdo.com/
(3.107) (3 .107)
Capítulo 3 / Interacción de la radiación con la materia 6,(x,z)
d,
(a)
79
(b)
_11_
1++1
P(x,z
P
(3.102)' endo en
(3.103)
I
r,¡;1
/
I
1,:
(3.105)
~I = 1 jObtiene apoya
gente ncia?
tI plano K1>ú y
1\
PU
I_1
R,
R12_X2_Z2
d"
Figura 3.20 (a) Esquema de la lente biconvexa. fase en la primera parte de la lente.
(b) Geometría para el cálculo de las diferencias de
La onda expresada en (3.107) incide sobre la lente de la Figura 3.20. Si tomamos como origen de coordenadas el punto de intersección del eje óptico con la primera cara de la lente, debemos de encontrar la expresión del campo tras la lente, en el plano P U. Sabemos que en un medio material una onda viaja con una velocidad v f < e, de manera que aparecerá un retardo con respecto a la situación en la que la onda viajase en el vacío. El caso que nos ocupa es tal que este retardo temporal va a depender de la zona del frente de onda que consideremos: así para la zona que es coincidente con el eje óptico el retardo es proporcional al espesor central, mientras que para un punto P que dista del centro de la lente una altura z, el retardo va a ser diferente, toda vez que el espesor de esa región depende de la altura. Si suponemos que la lente tiene simetría de revolución, lo dicho para el punto P vale para todos los puntos de un círculo que distan la misma distancia del centro de la lente. Lo que nos está indicando el razonamiento anterior es que el desfase que va a introducir la lente va a depender de las coordenadas (x, z) de los puntos de la lente de la siguiente manera cjJ(x, z)
= kon(w)/').(x,
z)
+ ko [do
- /').(x, z)],
(3.108)
donde /').(x, z) es la distancia que recorre la onda dentro de la lente tomada en la dirección paralela al eje óptico de la misma 19; asimismo ko es el número de ondas en el vacío. En la expresión (3.108) el primer término da cuenta del camino óptico recorrido dentro de la lente, mientras que el segundo término da cuenta del camino óptico recorrido en aire, En algunos textos, se suele denominar a /').(x, z) juncián espesor. Teniendo en cuenta lo anterior, el campo en el plano P U vendrá dado por
p.106) E.wl(Y,
t) = [1
'nta los
a de tener lente
Iv
,¡
y
(3.104)
I -,
--------i---- -i-- - l---~---
'mtI1li l'
z
:
4n(w) n(w)]2
Eoeikoll(w)do
ei(koll1(w)-I]L'.(x,l)-wl).
+
(3.109)
Nos resta obtener una expresión aproximada de la función espesor. Para ello procederemos de la siguiente manera: adoptaremos el criterio de signos habitualmente empleado en óptica geométrica y dividimos el espacio de la lente en dos partes. La primera de ellas la hemos representado en la Figura 3.20b, de manera que podremos evaluar la contribución a la función espesor para esta parte de la lente. Es fácil convencerse de una simple inspección visual que /').1
(x, z) = dOI
-
(R¡ -
J RT -
x2 - z2) .
(3.110)
nética,
Si consideramos por otro lado que los valores de x y z en la expresión (3.110) son mucho más pequeños que el valor de RI, entonces desarrollando en serie de Taylor podemos ver20 que una buena aproximación
3.107)
20Esta aproximación es lo que se conoce como aproximación parabólica que veremos que reproduce desde el punto de vista de la óptica electromagnética, los resultados conocidos de la óptica geométrica.
19Esto equivale a asumir, en términos de la óptica geométrica, que los rayos no se "doblan".
http://carlos2524.jimdo.com/
80
Óptica física Óptica física
a la ecuación 110) viene viene dada por ecuación (3. (3.110) dada por z) ~
~l(X,
1 x2 dOl
-
----
+
Z2
(3.111) (3.111)
s,
2
Si procedemos procedemos de una manera equivalente parte de la lente lente veremos veremos que una manera equivalente con con la otra otra parte que (3.112) (3.112) Finalmente a partir partir de (3.111) .112) llegamos llegamos a que que Finalmente (3.111) y (3 (3.112) ~(x, z) ~(x,
11
2 2
~ do - 2:(x ~
(1 (1 1) 1)
2 + z) z) R; R; -
R2 R2
(3 .113) (3.113)
'
con lo cual cual la expresión reduce a con expresión (3.109) (3.109) se reduce E Esa/(Y, = sal ( y,) tt) =
4n(w) 4n(w)
[1 [1 +n(w)] +n(w)]
2
E
2
ikon(w)do i(ko x2t/2 -wl) ikon(w)do i( _ko t/ -wt) Oe , O e e x2
(3.114) (3.114)
donde magnitud f está por donde la magnitud está dada dada por
--1 == f
[n(w) - 1] ( - 1 - - 1 ) , [n(w) R¡ R2 R¡ R2
(3.115) (3.115)
que es la conocida conocida expresión expresión de la focal focal de una delgada. que una lente lente delgada. La ecuación una lente lente sobre una onda onda electromagnética incidente. En En La ecuación (3.114) (3.114) da cuenta cuenta del efecto efecto de una sobre una electromagnética incidente. el término término de la focal incorpora de una una manera manera natural natural la dispersión dispersión que que está está asociada que el retardo retardo foca! se incorpora asociada a que función de la longitud es función longitud de onda, onda, responsable responsable último último de las llamadas llamadas aberraciones aberraciones cromáticas. cromáticas. AsillÚsmo la ecuación uno de los los puntos puntos de partida partida de las las técnicas técnicas de análisis formación Asimismo ecuación (3.114) (3.114) es uno análisis de formación de la imagen-l. imagen21 .
Se sustituye lente delgada por un prisma plisma de ángulo a . Utilizando Utilizando la técnica técnica desarrollada sustituye la lente delgada por ángulo a. desarrollada en el apartado deterllÚnar la la expresión campo eléctlico plisma en el plano plano PP U apartado anterior anterior determinar expresión del campo eléctrico que que emerge emerge del prisma U suponiendo éste éste delgado (ver Figura 3.21a). suponiendo delgado (ver Figura 3.21a). (a) (a)
z
(b) (b)
PU
z, z,
z, lo a
· · · I· · ·· ~-: ······I·······~-: zz
:
y
x,
x, x,
@x @x
Figura onda plana. (b) Geometría Geometría para la deterdeterFigura 3.21 3.21 (a) (a) Esquema Esquema del prisma prisma iluminado iluminado con una onda minación sobre una onda onda esférica. esférica . minación del efecto efecto del prisma prisma sobre
La expresión onda plana plana que que incide incide sobre prisma está está dada dada por por la ecuación ecuación (3.107). Para evaevaLa expresión de la onda sobre el prisma (3.107). Para luar el efecto prisma procederemos procederemos como primera aproximación, luar efecto del prisma como anteliormente anteriormente y supondremos, supondremos, en primera aproximación, 21Para más más detalles detalles el el lector lector interesado interesado puede puede consultar consultar la obra obra de de J. W. Goodrnan, Goodman, Introduction Inlroduclion lo Fourier Fourier Oplies Hill , 21Para Optics, , (McGraw (McGraw Hill, New York, York , 1968). New 1968).
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo Interacción de la radiación radiación con la materia Capítulo 31 3/1nteracción materia
81 81
que prisma consiste retrasar el frente una magnitud magnitud que proporque el efecto efecto del prisma consiste solamente solamente en retrasar frente de onda onda en en una que es proporcional recorrido en cada parte: dentro prisma y fuera prisma hasta hasta el plano cional al camino camino óptico óptico recorrido cada parte: dentro del prisma fuera del prisma plano PP U U de la Figura Figura 3.21a. De esta manera, el camino prisma para para la parte parte del frente 3.21a. De esta manera, camino óptico óptico recorrido recorrido dentro dentro del prisma frente de ondas una altura respecto a la base base del prisma, prisma, vendrá vendrá dado por n[1 mientras que ondas que que incide incide a una altura z respecto dado por nl, , mientras que fuera fuera del prisma prisma hasta hasta el plano plano PU PU lo llamaremos tenemos en cuenta llamaremos [2 [2.. Si tenemos cuenta que que b
a- z
(3.116) (3.116)
a
entonces el camino camino óptico óptico total, ,6,.,vendrá dado por entonces total, ,6., vendrá dado por ,6,. = = n(w)[1 n(w)[1 ,6.
+ [2[2..
(3.117) (3.117)
Por tanto la transmitancia transmitancia en campo prisma vendrá vendrá dada por Por lo tanto campo eléctrico eléctrico del prisma dada por (3 .11 8) (3.118) La expresión puede reescribir reescribir como La expresión (3.118) (3.118) se puede como (3.119) (3.119) donde hemos subsumido los términos fase constantes constantes en
Se ilumina prisma por por una una fuente puntual de ondas muestra en la Figura Figura ilumina el prisma fuente puntual ondas esféricas esféricas tal y como como se muestra 3.21b. Determinar cuál prisma teniendo teniendo en cuenta resultados precedentes precedentes teniendo teniendo 3.21 b. Determinar cuál es el efecto efecto del del prisma cuenta los los resultados en cuenta mucho mayor mayor que laterales del prisma. prisma. cuenta que que YO es mucho que las dimensiones dimensiones laterales plano XI XI Z l. Para ello primer lugar vamos a expresar En primer lugar vamos expresar el campo campo eléctrico eléctrico de la onda onda esférica esférica en en el plano l. Para ello baste tener tener en cuenta baste cuenta que que ikr» Ep = -Eo eikrp , =-e , rp
Jj xfxf +
(3.120) (3.120)
« podemos « YO YO y que que Iz lz 1I « « YO, yo, entonces entonces podemos obtener una expresión más elemental para rr p (aproximación parabólica) de la forma 2~o (xf obtener una expresión más elemental para (aproximación parabólica) forma rr p ~~ YO yO + 2~o (xf + donde donde rr p = =
Y5 YÓ
+ zT· zT·
Si tenemos tenemos en en cuenta cuenta que que IXII IXII
zT ). De De esta manera la expresión puede reescribirse reescribirse de la forma zT)' esta manera expresión (3.120) (3.120) puede forma Ep
~ Eo ik ik~(x?+zf) ~ ~ e ikyo .l'Oeik2~'0(xf+zf) ·O • ~
-e
e·
(3. 12 1)) (3.121
.
YO
Para conocer prisma hemos hemos de multiplicar multiplicar la transmitancia transmitancia del prisma, prisma, dada por la ecuación Para conocer el efecto efecto del del prisma dada por ecuación (3. 119), por por la expresión 1) con lo cual prisma vendrá vendrá dado por (3.119), expresión (3.12 (3.121) cual el campo campo tras el prisma dado por k [ll (w) - ll llana E~ t2ei
(3.122) (3.122)
YO
La expresión (3.122) (3.122) se puede sintetizar de la forma forma La expresión puede sintetizar 2 2Z2 Z2
El lp
~ ~ ~ ~
El.e E'e O O
X + ik (X + -~-,_I_[Il(w)-lllanaZI ik ~ - [Il(w) -¡llana z l ))
-.\0 .\0
••
(3.123) (3.123)
Nos falta ahora ahora interpretar interpretar el resultado obtenido en (3.123): ello volvamos situación original original Nos falta resultado obtenido (3.123): para para ello volvamos a la situación planteada en la Figura Figura 3.21 una nueva nueva situación puntual se ha ha desplanteada 3.21bb yY consideremos consideremos una situación en la que que la fuente fuente puntual plazado una una cantidad zo respecto respecto al origen punto plazado cantidad zo origen de coordenadas. coordenadas. En este este caso caso el campo campo eléctrico eléctrico en un punto P del plano plano Xl X I Z 11 vendrá vendrá dado por dado por
(3. 124) (3.124)
http://carlos2524.jimdo.com/
82
Óptica Óptica física física
donde + + (ZI - ZO)2. Si desarrollamos donde r~ ZO)2. desarrollamos en serie serie como como antes antes veremos veremos que el campo campo eléctrico eléctrico en esta esta nueva nueva situación situación puede puede reescribirse reescribirse como como
Jx? yó (z¡ -
r~
(3.125) (3.125) resultado obtenido Ahora Ahora estamos estamos en condiciones condiciones de interpretar interpretar el resultado obtenido en (3.123) (3.123) ya que si comparamos comparamos la fase vemos que fase de la citada citada ecuación ecuación con con la fase fase de la ecuación ecuación (3.125) (3.125) vemos que ha de verificarse verificarse que que zo = yo(n(úJ) yo(n(w) - 1) tana. tan «. Si además además el prisma prisma es delgado delgado se llega llega finalmente finalmente a que que zo ~ ~ yo(n(úJ) yo(n(w) - l)a l )« , resultado resultado que coincide coincide con las predicciones predicciones de la óptica óptica geométrica. geométrica. Una Una vez más el efecto efecto dispersivo dispersivo está está incluido incluido en la dependencia dependencia con con la frecuencia frecuencia del Índice Índice de refracción refracción. .
MEDIOS ANISÓTROPOS
3.19. 3.19.
1
"
(ti'
¡
-~
•
¡ j
,
'pte
Un haz luz polarizado haz de luz polarizado elípticamente elípticamente viene viene dado dado por por
E(z, t) = E(z, = lEo 1Ea cos(kz cos(kz - wt) wt)
+ j Ea Eo cos(kz cos(kz -
wt cot
+ rrx /4),
(3. 126) (3.126)
pasa a través través de un polarizador polarizador lineal cuyo eje eje de transmisión transmisión está está inclinado inclinado 45° 45° en el plano plano XY. y pasa lineal cuyo XY . Encontrar Encontrar una una expresión expresión para para el haz haz emergente, emergente, describir describir su estado estado de polarización polarización y determinar determinar su irradiancia. irradiancia.
Resolución Resolución
Para proyectar ambas Para obtener obtener la amplitud amplitud de campo campo eléctrico eléctrico transmitido transmitido por por el polarizador polarizador hemos hemos de proyectar ambas componentes resultando componentes del campo campo incidente incidente en la dirección dirección del eje de transmisión transmisión del polarizador polarizador resultando
Esa! (z, t) Esal t) = = [Eo [Eo cos 45° 45° cos(k cos(kz z - wt) wt)
+ Ea Eo sen 45° 45° cos(k cos(kz z -
wt coi
+ rrit //4)] 4)] u uoo,,
(3 .127) (3.127)
u
donde donde uoo es un vector vector unitario unitario en la dirección dirección del eje de transmisión transmisión del polarizador. polarizador. Vemos Vemos que se tratará tratará de una onda onda linealmente linealmente polarizada polarizada que que vibra vibra a 45° 45° del eje X. Dado Dado que se trata trata de dos ondas ondas de la misma misma frecuencia frecuencia y desfasadas desfasadas rr n //44 entre entre sí podemos podemos reescribir reescribir la expresión expresión (3.127) (3.127) como como
E.
= ET ET cos(kz cos(kz -
úJt cot
+ ep) 1) u uoo, ,
(3.128) (3.128)
+ (Eo 45° sen 45° 4) y ep (Ea sen 45°)2 45°)2 + 2EÓ cos cos45° 45° cos(rr cosór //4) 1es la fase de la vibravibra../2/2 o ../2/2 o sea, ep ción resultante resultante que que resulta resulta tan ep 1= 1+../2/2' 1= 22.5 22.5 ° . Para Para determinar determinar su irradiancia irradiancia hemos hemos de
donde donde ET
=
(Eo (Ea cos45o)2 cos45o)2
proceder proceder de la siguiente siguiente manera manera CEO
2
- ET 2
3.20. 3.20.
CEO 22 22 -E E-1.707. - 1.707. 2 oo 4
(3.129) (3.129)
Describa ocurre a un haz luz no polarizada Describa lo que que le ocurre haz de luz polarizada que que incide incide sobre sobre un material material anisótropo anisótropo con con el óptico orientado orientado según según se muestra muestra en la Figura Figura 3.22. 3.22. Comente Comente si se produce doble refracción, refracción, si eje óptico produce o no doble introduce retardo retardo entre entre las componentes luz y discuta discuta la polarización polarización de las ondas refractadas. se introduce componentes de la luz ondas refractadas. ¿Qué para construir ¿Qué orientaciones orientaciones usaría usaría para construir una una lámina lámina de cuarto cuarto de onda? onda? Resolución Resolución Vamos a analizar analizar con detenimiento detenimiento cómo cómo la onda onda incidente incidente es alterada alterada al interaccionar interaccionar con con los diferentes diferentes Vamos medios. La onda onda incidente incidente podemos podemos expresarla expresarla de la forma forma medios. Ei!le (y, , Ei!le (y
t) t)
(Eox cos epI 11 + Eo sen epk) 1k) ei(wI-kOY), ei(wl-kOY), = (Eox Eozz sen
http://carlos2524.jimdo.com/
(3.130) (3.130)
Capítulo radiación con la materia Capítulo 3/ 3/ Interacción Interacción de la radiación materia
o
8.0. e.o.
(b1) (b1)
z
L L,,
5) os
83
,
, , ,, I
, , , , , , , I, l ' I, I, I,
(b2) (b2)
----1 ----1.~
-
8.0. 8.0.
--------------- - -- - - - - - - - - -
"
,
,
\8.0.
(b3) (b3)
o
(b4) (b4)
• 88.0. .0.
3.22 Radiación Radiación despolarizada despolarizada incidiendo incidiendo sobre sobre diferentes materialess anisótropos. anisótropos. "e.o." Figura 3.22 diferentes materiale"e. o." indica la dirección dirección del eje óptico. óptico. indica
a
donde
(a) (a)
2~.----------_. e
o
o
o 3.23 Radiación Radiación despolarizada despolarizada incidiendo incidiendo un material material anisótropo anisótropo con el eje óptico óptico form formando Figura 3.23 ando cierto ángulo con respecto respecto a la cara de tallado tallado. . (a) Campo Campo radiado radiado por por un dipolo dipolo inducido inducido en la un cie rto ángulo dirección X por por la componente componente Eox produce, junto campos radiados radiados por por los demás demás dipolos, di polos, dirección Eox produce, junto con los campos onda ordinaria ordinaria cuya dirección dirección de propagación propagación no cambia. cambia. (b) Campo Campo radiado radiado por por un dipolo dipolo la onda excitado por por la componente componente Eo que produce, produce, junto los campos campos radiados radiados por por los demás demás dipolos, dipolos, excitado Eozz que junto con los onda extraordinaria. la onda extraordinaria. 22Entendemos hay dobl doblee refracción refracción cuando cuando se produzcan dos haces haces refractados que se propaguen dentro del del medio medio en en 22 Entendemos que que hay prod uzcan dos refractados que propaguen dentro direcciones di ferentes. iones diferentes, ' direcc
http://carlos2524.jimdo.com/
84 Óptica Óptica física física 3.21.
Considérese el siguiente siguiente campo campo eléctrico eléctrico que que se propaga propaga en el vacío vacío E = = 3 cos(1.04791 cos(1.04791 XX 1077zz -- wtConsidérese wt7 7 rr / 4)1 + /4)], donde direcciones ti /4)1 + 7/2 7/2 cos(1.04791 cos(1.04791 Xx 10 zz -- wt - rr Tr/4)], donde 1 y ]i son vectores vectores unitarios unitarios en las direcciones respectivamente. X e Y respectivamente.
Resolución Resolución Determinar su estado estado de polarización. polarización. Este Este campo campo incide incide normalmente normalmente sobre sobre una una lámina lámina retardadora Determinar retardadora cuyo eje ordinario ordinario es paralelo paralelo al eje X X y cuyo cuyo eje eje extraordinario extraordinario es paralelo paralelo al eje eje Y, como como se indica cuyo indica en en la Figura Figura 3.24. 3.24. y n.= n.= 1.557
E,
z E.
Figura 3.24 sobre la que ndose en en la 3.24 Esquema Esquema de de la lámina lámina sobre que incide incide el campo campo eléctrico eléctrico propagá propagándose dirección dirección del del eje eje Z.
I
••
En el sistema tiene componentes según los los sistema de referencia referencia de la Figura Figura 3.24, 3.24, el campo campo eléctrico eléctrico sólo sólo tiene componentes según eje Z. Z. ejes ejes X e Y. Y. Este Este campo campo se propaga propaga según según el eje Z. Llamemos Llamemos k k al vector vector unitario unitario según según el eje puede De acuerdo acuerdo con con la expresión expresión del campo campo que que se suministra, suministra, el vector vector de propagación, propagación, k, se puede expresar de la siguiente siguiente manera manera expresar ~
kk
=
2Tr~A 7~ 2rr 7A -kk = 1.04791 1.04791 x 10 k. k. A A
(3.131) (3.131)
Para determinar determinar el estado estado de polarización polarización de la onda onda incidente, incidente, hallamos hallamos el desfase, desfase, 8, que Para que resulta res ulta ser ser O. Por Por lo tanto, tanto, se trata trata de luz luz linealmente linealmente polarizada azimut está 8 = 8y - 8x = O. polarizada cuyo cuyo azimut está dado dado por por tan:" I C~2 C~2)) == 49.39° 49.39 respecto respecto al eje X. ee == tan0
Hallar el campo campo eléctrico eléctrico y el estado estado de polarización polarización del campo campo que que emerge emerge de la lámina. lámina. Hallar Cada componente componente del campo campo incidente incidente sobre sobre la lámina lámina se retarda retarda de acuerdo acuerdo a los Índices Índices de refracción Cada refracción correspondientes direcciones. direcciones. de las correspondientes El estado estado de fase fase de la componente componente X del campo campo a la salida salida es
8x
it rr 4
2Tr 2rr d. (no - 1) d. A
= - - +-
(3.132) (3.132)
El estado estado de fase fase de la componente componente Y del del campo campo a la salida salida es ic rr = -- -8y = 4 y
2Tr
+ -2rr A A
Por lo tanto tanto el desfase desfase a la salida salida es 8 = = 8yy - 8x = = Por
(n - 1) d. e
2;r (n (nee 2;:
http://carlos2524.jimdo.com/
no) d = = -3 -3.14157, sea, 8 ~ no) .14157, o sea, ~ +it -rr.,
(3.133) (3.133)
Capítulo 3/ 3/ Interacción Interacción de la radiación radiación con la materia materia Capítulo
85
La amplitud amplitud de la componente componente X del campo campo a la salida salida es La
¡-
nes Asa A ~a
'd ¡un I 1
x
aa
= 3tOtO 3t~t~ = A B
2 3---- -3 1 + no no
Zn¿ 2no --- - 1 + no no
= 2.857, 2.857
(3.134) (3.l34)
'
donde t~ coeficientes de transmisión amplitud para componente sobre sobre el eje eje ordinario ordinario donde t~ Y Y tt~ transmisión en amplitud para la componente B son los coeficientes interfases aire-lámina aire-lámina y lámina-aire lámina-aire respectivamente. respectivamente. en las interfases La amplitud amplitud de la componente componente Y del campo campo a la salida salida es La
ora en
Zn¿ 7 2 2ne -- - = = 3.329, 3.329, -- --- - 2 1 + ne ti¿ 1 + ne n.¿
(3.135) (3 .1 35)
donde t~ YY tÉ tB son los coeficientes coeficientes de transmisión amplitud para componente sobre sobre el eje extraordi extraordi- transmisión en amplitud para la componente donde nario interfases aire-lámina aire-lámina y lámina-aire lámina-aire respectivamente. respectivamente. nario en las interfases De lo anterior anterior se infiere infiere que campo a la salida salida está está linealmente linealmente polarizado cuyo azimut azimut está está dado dado polarizado cuyo que el campo ?3
por-23 por
() = - arctan es arc t an s
-
_ Asalida AslIlida ---y As~lida Asalida x
= - 49 49.36. .36 .
La expresión expresión del campo campo a la salida salida está está dada dada por La por
EE = 2.857 2.857 cos [1.04791 [1.04791 1077 (z + n noo d) d) -
wt wt
JT /4] / 4]
n¿ d) + ned)
wt wt
JT /4] j. 1T/4] j.
3.329 cos [[1.04791 107 (z 3.329cos 1.0479110
1T
1+ (3.136) (3.136)
Hallar campo eléctrico eléctrico a la salida salida y el estado estado de polarización cuenta las Hallar el campo polarización del mismo mismo teniendo teniendo en cuenta múltiples que se producen interfases de la la lámina lámina múltiples reflexiones reflexiones que producen en las interfases obtenido en la ecuación ecuación (3.l36) (3.136) sólo sólo tiene cuenta las ondas ondas transmitidas las interinterEl resultado resultado obtenido tiene en cuenta transmitidas en las fases aire-lámina aire-lámina y lámina-aire. lámina-aire. En este este caso caso estamos estamos interesados interesados en computar computar el campo campo eléctrico eléctrico a la fases salida teniendo cuenta las sucesivas sucesivas reflexiones en el interior interior de la lámi lámina En este este caso caso salida teniendo en cuenta reflexiones en na birrefringente. birrefringente. En se tendrá/" tendrá24 ..
en la
n los
sal
uede
.131)
2;:
donde donde 000 = 2noodd cos 000 y expresión final expresión
a ser por
oe
Ex
=
3
sal Ey
=
3
1-
r¿'
;úJI
,
(3.137) (3. 137)
1 - r; ion 2 -'8 e , l-ree'e
(3.138) (3.138)
l-roe
o. 2;: 2ned O", 2ned cos O
EE = 2.8992cos [[l.04791 = 2.8992cos l.04791
'o e
2 -'8
Tras realizar los cálculos cálculos indicados indicados se llega Tras realizar los llega a la
wt - 0.0466] 0.0466] 1 + 107 zz -- wt
2.8998 cos [l. [1.04791 107 zZ -- wt wt - 0.0465] 0.0465] 2.8998 0479110
J,J,
(3.139) (3.139)
ción con lo que que el desfase desfase entre entre ambas ambas componentes componentes a la salida salida es o o = --0.001 O rad. Compárese el con 0.001 ::::::; ~ O rad. Compárese resultado obtenido en este este apartado apartado con el obtenido obtenido en el apartado apartado anterior. anterior. resultado obtenido 132)
133)
3.22. 3.22.
Un luz no polarizada irradiancia 1; secuencia de dos polarizadores Un haz de luz polarizada de irradiancia Ii pasa pasa a través través de una una secuencia polarizadores lineales perfectos. ¿Cuál debe debe ser su orientación orientación relativa emergente debe debe tener irradiancia haz emergente tener una una irradiancia lineales perfectos. ¿Cuál relativa si el haz (b)I;/4? de (a) 1;/2, I¡/2 , (b)I¡/4? 23Nótese el signo signo menos en el azimut azimut debido debido al desfase desfase de de 7r JT. . Naturalmente, lámina anisótropa anisótropa considerada considerada se se comporta comporta 23 Nótese el menos en Naturalmente, la lámina para esta longitud longitud de onda onda casi casi como como un rotar: estrictamente esto esto no es es así así como como acabamos acabamos de de ver que e y es son son liligeramente para esta rotor: estrictamente ver ya que geramente diferentes en en valor absoluto. valor absoluto. diferentes 24Yéanse los Temas Temas 4 y 5. 24Yéanse los problemas problemas de los
e es
http://carlos2524.jimdo.com/
86
Óptica física Óptica física
Resolución Resolución ignoramos la radiación suponer que que detrás detrás del del primer Si ignoramos radiación reflejada reflejada por por los polarizadores, polarizadores, podemos podemos suponer primer polaripolarizador la radiación transmitida tiene tiene una irradiancia igual está polarizada mente en la dirección dirección zador radiación transmitida una irradiancia igual a y está polarizada lineal linealmente llamamos a ex al ángulo ángulo relativo entre los ejes ejes de transmidel eje de transmisión transmisión del primer primer polarizador. polarizador. Si llamamos relativo entre transmisión de ambos ambos polarizadores, entonces la irradiancia irradiancia del haz emergente del segundo segundo polarizador está dada dada sión polarizadores, entonces haz emergente polarizador está por por
t
Ip2 =
Ii 2 "2 cos a .
(3.140) (3.140)
t
Así, deseamos obtener obtener a la salida salida del segundo segundo polarizador irradiancia igual igual a colocar Así, si deseamos polarizador una una irradiancia se han de colocar ambos polarizadores con sus ejes ejes de transmisión ex = = O°. En cambio cambio para que la irradiancia irradiancia a ambos polarizadores con transmisión paralelos paralelos a para que la salida el ángulo ha de ser salida sea sea ángulo ha ser aex = 45°, 45°, de acuerdo acuerdo con con la expresión expresión (3.140). (3.140).
*
t
3.23. 3.23.
cubo de arista arista a = = 11 cm, cuyos cuyos índices índices de refracción = 1.6584, 1.6584, l1y ny = = 1.4864, 1.4864, refracción son nx = Se tiene tiene un cubo 1.6584 para longitud de onda onda de A.A = 589 nm. Analizar efecto de .este material sobre el = 1.6584 para una una longitud Analizar el efecto material sobre estado de polarización incidente de la citada citada longitud longitud de onda. onda. estado polarización de un haz haz incidente nzz I1
Resolución Resolución Incide un haz linealmente polarizado que se propaga según el eje eje Z y vibra según el eje X. Incide haz linealmente polarizado que propaga según vibra según este caso caso el campo campo incidente incidente puede escribirse como como En este puede escribirse E~'c E~nc
=
cos(wt - kz), Ea cos(wt k z),
(3.141) (3.141)
y el campo campo a la salida salida será será al Esxxsal
x UX = t/l E a cos(wt t[1 tt22 E cos ( cot /Ix
/Ix
kkzZ
+o < .) ) Ux, x ,
(3.142) (3.142)
donde t;IX y t;X t;X son los coeficientes coeficientes de transmitancia amplitud en ambas ambas caras caras en condiciones condiciones de donde transmitancia en amplitud incidencia normal (que se calculan calculan usando Ox = 2~ nx nxa.a . Por Por lo tanto, salida el campo campo eléctrico eléctrico tanto, a la salida incidencia normal (que usando I1nxx)) yY ox está orientado orientado igual igual que que a la entrada, entrada, esto esto es, es, se tiene campo linealmente está tiene un campo linealmente polarizado. polarizado.
2;
Incide un haz lineal mente polarizado que se propaga según el eje eje Z y vibra vibra a 45° 45° del eje X. Incide haz linealmente polarizado que propaga según este caso caso el campo campo incidente incidente puede escribirse como como En este puede escribirse E~'c E~' c E~lc E~¡ C
45° cos(wt cos(wt = Ea Ea cos 45° sen45° cos(wt = Ea Ea sen 45° cos(wt
kz), kz),
(3.143) (3.143)
kz), kz),
(3.144) (3.144)
+ ox), ox), k.; kz + 8Oy), y) ,
(3.145) (3.145)
y el campo campo a la salida salida será será E~nc E~nc
= t;l, Ea cos 45° t;'X t;X t;X Ea 45° cos(wt cos(wt -
E~:'C t;Y Ea 45° cos(wt cos(wt E;:' C == t;"t;/Y t;r Ea sen 45°
kz kz
(3.146) (3.146)
donde t;'X t;'X y t;X t;X son los coeficientes coeficientes de transmitancia amplitud en ambas ambas caras caras en condiciones condiciones de donde transmitancia en amplitud incidencia normal componente Ex (que se calculan calculan usando coeficientes incidencia normal para para la componente Ex (que usando nxx),), t;'Y yY t;Y son los coeficientes de transmitancia amplitud en ambas ambas caras caras en condiciones condiciones de incidencia incidencia normal componente transmitancia en amplitud normal para para la componente Ey (que se calculan calculan usando Ox que ambas ambas componentes componentes están están Ey (que usando nny), y), O x = 2; 2~ I1nxa Y o)' = 2)~ 2)~ l1nya. manera que y a. De manera x a yo)' desfasadas a la salida salida en en la cantidad cantidad o o= = 2~ a ain, y),). Sustituyendo Sustituyendo los valores suministrados se obtiene obtiene desfasadas (l1 x -- n y valores suministrados que el campo campo a la salida salida está está elípticamente elípticamente polarizado que o o = 2][(2920 2][(2920 + 0.2037). 0.2037). que polarizado ya que
t? t;Y
2;
3.24. 3.24.
Un haz longitud de onda onda A.A linealmente linealmente polarizado dirección Y incide incide haz de luz monocromática monocromática de longitud polarizado en la dirección sobre una lámina retardadora. La lámina lámina se gira gira de tal manera que su eje eje rápido índice l1e n.¿ forma forma sobre una lámina retardadora. La manera que rápido de Índice un ángulo ángulo de 30° con con el eje Y. El espesor espesor de la lámina lámina es e y el índice índice del eje lento lento 110 no ¿Cuáles ¿Cuáles son amplitudes de las componentes componentes del campo campo emergente emergente en términos amplitud Ea campo las amplitudes términos de la amplitud Ea del campo incidente? Estudiar Estudiar el estado estado de polarización emergente y la intensidad intensidad transmitida función incidente? polarización del haz haz emergente transmitida en función del retardo. retardo.
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo 3/ Interacción de la radiación con la materia
87
Resolución La expresión del campo eléctrico de la onda estará dada por
iolari:cción nsmiídada
e, = Eoei(kz-úJl),
(3.147)
siendo z la dirección de propagación de la onda. Este campo puede descomponerse sobre el eje rápido y lento de la lámina retardadora de la siguiente manera
U40)
blocar ncia a
E¿
=
E¿
=
en sus proyecciones
Ea cos 300 ei(kz-úJt), Ea sen 300 ei (kz-úJI) ,
(3.148) (3.149)
de manera que a la salida de la lámina se tendrá Ee
64, el
= __2_~Eocos300ei(kz-úJt+8e), 1
(3.150)
+ n.; 1 + n¿
(3.151) donde De
=
2;: en¿ y Do
=
2;: en
Así pues, a partir de las expresiones (3.150) y (3.151) vemos que
s.
2;:
ambas componentes estarán desfasadas en una cantidad D = De - Do = etn¿ - no). valor del desfase la radiación emergente tendrá diferentes estados de polarización:
Dependiendo del
(a) así por ejemplo si D = Zmit , donde m es un número entero, se tendrá radiación lineal mente polarizada a un ángulo ligeramente diferente de 300, ya que las amplitudes de las ondas (3.150) y (3.151) son diferentes. (b) si D = (2m + l)n, donde m es un número entero, se tendrá radiación linealmente polarizada a un ángulo ligeramente diferente de -30°, ya que las amplitudes de las ondas en (3.150) y (3.151) son diferentes: en este caso se dice que la lámina rota el plano de polarización de la radiación incidente. (c) para cualquier otro valor de D la radiación emergente estará elípticamente polarizada.
i.J41)
1.142)
es de ctrico
La irradiancia de la onda emergente será I.wl =
CEoE6 = --
d43)
2
,,144)
~s de ntes ente stán tiene
2)
2
0)2
[( ----cos30 2ne 1 + n.¿ 1 + n;
+
(2 +
----sen30 Zn¿ 1 no 1 + no
0)2]
.
(3.152)
Nótese que al haber tenido en cuenta los coeficientes de transmitancia en amplitud para las ondas (3.150) y (3.151), la irradiancia a la salida es menor que la incidente .
. 145) .146)
CEo (2IEel + IEol 2
3.25.
Se dispone de dos polarizadores P; y P2 dispuestos tal y como se indica en la Figura 3.25a. Este sistema se ilumina con luz blanca. Entre los dos polarizadores se introduce una cinta de celofán a 45° del eje X. En la pantalla se observa una banda de luz amarilla (A = 550 nm) coincidente con la posición de la tira de celofán tal y como se indica en la Figura 3.25b. Explicar el fenómeno considerando el celofán como una lámina retardadora. Si se mueve el polarizador P2 para colocar su eje de transmisión paralelo al de p¡ ¿qué se observará en la pantalla? Resolución
ide a on po ión
Si el polarizador PJ se ilumina con luz blanca, del primer polarizador emergerá luz lineal mente polarizada vibrando en la dirección vertical. Al incidir este haz de luz sobre el segundo polarizador P2 la radiación emergente de éste, de acuerdo con la ley de Malus, será 1P2
lo
2
lo
2
= - cos () - cos 90° = O. 2
2
http://carlos2524.jimdo.com/
(3.153)
88 Óptica Óptica física Polarizador Polarizador P1 P1
(a) (a)
(b)
y Polarizador Polarizador P2 P2
luz amarilla
Pantalla de Pantalla de observación observación
x
z ejes de de ejes transmisión transmisión
i
región de región de
oscuridad oscuridad
Figura 3.25 Disposición de los elementos polarizadores y la lámina Aspecto de 3.25 (a) Disposición elementos polarizadores lámina de celofán. celofán. (b) Aspecto
la pantalla polarizadores están pantalla de observación observación cuando cuando los polarizadores están cruzados. cruzados. Suponemos polarizadores son perfectos para para todas todas las longitudes haz de luz luz incidente Suponemos que que los polarizadores son perfectos longitudes de onda onda del haz incidente y no consideramos pérdidas por por reflexión reflexión ni las reflexiones reflexiones múltiples. múltiples. consideramos las pérdidas pantalla una una zona zona iluminada Al introducir introducir la lámina lámina de celofán celofán a 45° 45° se observa observa en la pantalla iluminada que que se correscorresponde posición que Este hecho hecho se debe ponde con con la posición que ocupa ocupa la lámina lámina de celofán. celofán. Este debe a que que la lámina lámina actúa actúa como como una lámina retardadora, de manera manera que para cada haz emergente una lámina retardadora, que para cada longitud longitud de onda onda del haz emergente de PI P, introduce introduce un desfase paralela al eje desfase diferente diferente entre entre la componente componente paralela eje ordinario ordinario y el extraordinario extraordinario del campo campo incidente; incidente; de manera tendrán radiaciones radiaciones elípticamente polarizadas. Si el desfase manera que que en general general a la salida salida se tendrán elípticamente polarizadas. desfase introintroducido fuese fuese cualquiera, cualquiera, otras otras radiaciones saldrían también también elípticamente elípticamente polarizadas polarizadas y serían serían ducido radiaciones próximas próximas saldrían visibles. Como Como sólo sólo se ve luz amarilla 550 nm, este comportamiento comportamiento se podría explicar suponienamarilla de xA = 550 nm , este podría explicar suponienvisibles. celofán actúa actúa como como una una lámina lámina ),,/2 amarillo. De esta forma, forma, el plano do que el celofán A/2 para para el amarillo. De esta plano de polarización polarización de incidente amarilla amarilla rotará ángulo de 45° respecto ejes de la lámina. lámina. El haz color la luz incidente rotará un ángulo respecto de uno de los ejes haz de color amarillo emergente emergente de la lámina lámina de celo, celo, y sólo sólo él, incidirá sobre el segundo segundo polarizador amarillo incidirá sobre polari zador vibrando vibrando de manera paralela paralela a su eje eje de transmisión que se transmitirá íntegramente (despreciamos (despreciamos la radiación manera transmisión por por lo que transmitirá íntegramente radiación reflejada por por Pú Pi). reflejada ahora se gira gira P2, P2, el eje eje éste éste es paralelo P" por que la radiación amarilla no pasará. Si ahora paralelo al de PI, por lo que radiación amarilla pasará. Sin embargo el resto incidente, que que emergen emergen del celofán celofán elípticamente elípticamente polarizadas, embargo resto de las radiaciones radiaciones del haz haz incidente, polarizadas, transmiten parcialmente obstante sobre sobre la pantalla distribución de luz se transmiten parcialmente por por P2. P2. No obstante pantalla no se verá verá una una distribución blanca, ya que que al absorber absorber P2 la radiación amarilla, las las componentes componentes azul azul y roja incidente blanca, radiación amarilla, roja de la radiación radiación incidente predominarán y se verá una banda azul (en la mi misma que antes antes se observaba observaba la radiación predominarán verá una banda de luz azul sma zona zona en la que radiación amarilla) rodeada rodeada de un fondo fondo blanco. amarilla) blanco.
3.26.
Determinar la composición composición de la radiación que atraviesa atraviesa sucesivamente sucesivamente una lámina de media onda, Determinar radiación que una lámina media onda, lámina de cuarto cuarto de onda onda y un polarizador lineal. Se sabe sabe que que al girar una lámina polarizador lineal. girar el polarizador polarizador 60° respecto respecto posición en la que que se tiene irradiancia transmitida, intensidad detectada detectada tras a la posición tiene un máximo máximo de irradiancia transmitida, la intensidad tras polarizador se reduce 1/3 de la irradiancia irradiancia máxima. suprimir las láminas láminas retardadoras máxima. Al suprimir retardadoras no se el polatizador reduce a 1/3 observa variación variación de la intensidad detectada al girar girar el polarizador. . observa intensidad detectada polarizador. Resolución Resolución Vamos utilizar la información información suministrada: suministrada: sabemos sabemos que que al suprimir suprimir las láminas láminas retardadoras Vamos a utilizar retardadoras no se detecta variación variación de irradiancia irradiancia tras el polarizador. sugiere que que la radiación incidente detecta polarizador. Este Este hecho hecho nos sugiere radiación incidente puede estar estar completamente completamente despolarizada despolarizada (luz (luz natural). luz natural colocar las láminas, láminas, éstas éstas puede natural). De De ser luz natural al colocar alteran el estado estado de polarización luz natural, observarían variaciones no alteran polarización de la luz natural, por por lo que que no se observarían variaciones de la irradiancia como se indica indica en el enunciado, enunciado, por que concluimos concluimos que que no puede luz irradi ancia tal y como por lo que puede tratarse tratat'se de luz natural. natural. Podríamos pensar que se trata circular, ya que al suprimir suprimir las láminas, láminas, y girar girar el polarizador Podríamos pensar que trata de luz circular, ya que polat'izador no observaría variación irradiancia. Veamos esto es posible: colocar las las láminas láminas el efecto efecto de se observaría variación de la irradiancia. Veamos si esto posible: al colocar
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo 3/ Interacción de la radiación con la materia
89
ambas es transformar la luz circular en luz lineal vibrando a un cierto ángulo eo. Cuando el polarizador lineal se oriente al ángulo eo se obtendrá un máximo de la irradiancia que llamaremos Imax. Asimismo sabemos que a 60° de eo la intensidad se reduce a 1/3 de la irradiancia máxima por lo que tendría que verificarse que 1 (e = 60°) = Imax cós2 60° = 1/4Imax, o sea que 1/3 = 1/410 cual es absurdo, de lo que concluimos que no se trata de luz circular. Finalmente podríamos pensar que se trata de una mezcla de luz circular, de irradiancia le, Yluz natural, de irradiancia IN. Veamos si esto es posible: al atravesar el sistema la irradiancia debida a la luz natural se reduce a IN /2 y la irradiancia debida a la luz circular vendría dada por le(e) = le cos2 e, siendo e el ángulo formado por el eje de transmisión del polarizador respecto a eo. En este caso se debería verificar que
"31ll1lax o de
=
IN 2 ° 2 + lecos 60 .
(3.154)
Además la mezcla de ambos tipos de luz ha de ser tal que IN + le = 1 en tanto por ciento. De la ecuación (3.154) se obtiene que IN = Icl4. Operando finalmente se llega a que el 80 % de la radiación incidente es luz circular y el 20 % es luz natural+'.
ente rresomo ce un ente; ntroerían nienn de color o de ción
3.27.
Se dispone de una lámina de un material anisótropo uniáxico como se describe en la Figura 3.26 con el eje óptico paralelo al eje X. Sobre ella incide una radiación monocromática (A = 590 nm) lineal mente polarizada vibrando a 45° del plano de incidencia (que en este caso coincide con el del dibujo). Sabemos que nz = 1.543 Y nx = 1.519 son los índices de refracción que experimentan las ondas que vibran paralelas al eje Z y al eje X respectivamente. Resolución Escribir la expresión del campo eléctrico incidente. Podemos descomponer el campo eléctrico de la onda incidente en la componente paralela al plano de incidencia y en la componente perpendicular, dadas respectivamente por E 450 i(últ-k).¡:) E~il1e(~) I1 r, t = .O cos e u 11 ' A
. Sin adas, e luz ente
(3.155)
En la expresión (3.155) kl denota el vector de propagación de la onda incidente dado por ~ kl
2:rr =T
(
A)
cos 30° j - sen 30° k
,
r
se
(3.156)
u
es el vector de posición fuera de la lámina y a la izquierda de ella, y 11 es un vector unitario en la dirección de vibración del campo eléctrico ¿(¡"e dado por ti 11 = sen 30° j + cos 30° k. Escribir la expresión del campo eléctrico dentro de la lámina. La onda que vibra paralela al plano de incidencia experimenta el Índice n¿ en tanto que la onda que vibra perpendicular al plano de incidencia experimenta el índice nx por lo que las ondas dentro del medio vendrán dadas por (ll 450 i(úJt-k/z·¡:) Al E~il1(~) 11 r , t = tll E O cos e u 11 '
E~il1(~)
.l. r , t
o de
(ll
= t.l.E
O sen
(3.157)
450 i(úJt-ktx'¡:)A el,
25En la resolución del problema no hemos considerado la reflexión de los haces de luz en los diferentes elementos considerados, ya que no se suministran datos sobre sus características ópticas.
http://carlos2524.jimdo.com/
90
Óptica física física Óptica
z
y
~m I
e=50 urn 1 e=50
3.26 Radiación Radiación incidiendo incidiendo sobre sobre la lámina lámina birrefring"ente. birrefrinqente. Figura 3.26
donde k klz1Z y k i; vectores de propagación propagación de ambas ambas ondas ondas dados dados por por donde lx son los vectores
(3.158) (3.158)
kklxlx =
x 2n'Anx (cosexJ (cosexJ - senexk) senexk) . 2JT'A,n
Naturalmente se verifica verifica que que sen 30° 30° == nzz sen ezz y sen 30° 30° == nx n ¿ sen ex. ex. Naturalmente Determinar la expresión expresión del campo campo eléctrico eléctrico fuera lámina. Determinar fuera de la lámina. Teniendo en cuenta cuenta el resultado resultado antelior anterior podemos escribir Teniendo podemos escribir (1) (2) (2)E sal (~)). E 450 ii(wt-k).¡:+OIl) (WI-k).r+OIl ) u 111, EE~~sal(~ O cos 111 1 r, t = tlll tllll O e 1, A A
(3.159) (3.159)
(1)) (2) (2)E sal (~) (1 E 450 ii(wl-k).r+O.L)A (WI- k).r+oJ..) EE~~sal(~) .L rr,, t = = t~ L tt~ O sen el, ~ ~ O e l, A
2;
2;
donde 811 811= nzdz z y 88~~ = nxdx x son las fases fases de cada cada una una de las ondas. ondas. Asimismo Asimismo d d¿z y d d¿ donde nzd nxd x son los espesores efectivos efectivos que recorren recorren las ondas ondas dentro dentro del medio, medio, que que pueden estimarse teniendo teniendo en cuenta cuenta la espesores pueden estimarse Snell de la refracción refracción ley de Snell
52.85 ¡tm, 52.85 {Lm, (3.160) (3.160) d
d¿
il)t i
2 Además se tiene tiene que que tlil)tli2) ) Además l l
50 x 10-6
52.95 ¡tm. {Lill. 52.95 = -co-s-e-x = -Jri=-=(s=e=n=30=0=/=n=x)=;;:2 0.9708 Y t~)tf) t~)tf) = 0.9389 0.9389 = 0.9708
Indicar el estado estado de polarización polarización de la radiación radiación emergente. Indicar emergente. Como hemos hemos visto visto entre entre las ondas ondas emergentes emergentes hay un retardo retardo relativo relativo dado dado por 8 Como 2n( --1.8924) por lo que que la onda onda emergente emergente está está elípticamente elípticamente polarizada. polarizada. 2JT( 1.8924) rad, por
ti 3.28. 3.28.
Entre dos polarizadores polarizadores cruzados cruzados se colocan colocan varias varias capas capas de celo celo orientadas orientadas paralelamente paralelamente entre entre sí y Entre con sus ejes ejes ópticos ópticos a 45° de los ejes de transmisión transmisión de los polarizadores. polarizadores. Un haz haz de luz luz blanca blanca incide incide con sobre el primer polarizador. Se ha medido medido la irradiancia irradiancia de la luz luz emergente emergente del segundo segundo polarizador polarizador sobre primer polarizador. función de la longitud longitud de onda onda y se ha ha representado representado en la Figura Figura 3.27. en función
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo Capítulo 3/ 3 / Interacción Interacción de la radiación radiación con la materia materia
91
Resolución Resolución Interpretar la presencia presencia de los minimos del espectro espectro medido medido y representado Interpretar mínimos de irradiancia irradiancia del representado en la Figura Figura 3.27. 3.27. ,----------------------...., 1.0 , - - - - -- - - - - - - - - --
oo
- - - --...,
L -_ _~ L-__ ~ _ ___~ ~ _ _ _~ ~ _ ___~ ~ _ _ _~ ~ _ ___~ ~
400
450
500
550
600
650
700
),,(nm) 1. (n m)
.158)
Figura 3.27 Transmitancia, en el eje de ordenadas, polarizadores 3.27 Transmitancia, ordenadas, de las capas capas de celos celos entre entre dos dos polarizadores cruzados cruzados .
Figura (3.28) (3.28) se representa esquema del dispositivo. dispositivo. El eje eje de transmisión En la Figura representa un esquema transmisión del primer primer polaripolarizador se tomará tomará en la dirección dirección O Y. Por ello, el eje de transmisión segundo polarizador estará situado situado zador Por ello, transmisión del segundo polarizador estará dirección O X. Sobre Sobre el primer p¡ el campo campo en la dirección primer polarizador polarizador incide incide luz luz blanca. blanca. Después Después de su paso paso por por Pj salida se podrá escribir como como a la salida podrá escribir eje eje de de
transmisión transmisión
y
'. @/)/) @
.159)
x
y
,
/
". " ¡¡
-_._..-- -----_._. --_ . ''.::'::"::~' -- -- -_ . _.
n los la la ,
d!_ -_ dj_
campo campo elípticamente el ípticamente polarizado polarizado
j¡
.160)
Figura 3.28 3.28 Esquema dispositivo experimental. experimental. Figura Esquema del dispositivo
El El
y
de
= O'U O.uxx + Ea Ea cos(úJt cos(wt
(3.161) (3.161)
kz)u y. - kz)u y.
Los ejes ejes de la lámina lámina están están rotados ángulo e e respecto ejes originales originales elegidos. elegidos. En nuestro Los rotados un ángulo respecto de los ejes nuestro caso el ángulo ángulo se particularizará e == 4500. . caso particularizará para para e Para mayor mayor comodidad comodidad referiremos campo incidente incidente en la lámina lámina a un nuevo sistema de ejes ejes dedePara referiremos el campo nuevo sistema terminado por ejes ordinario ordinario y extraordinario extraordinario de la lámina lámina retardadora. este caso caso no hay que terminado por los ejes retardadora. En En este hay más más que proyectar el campo campo resultante direcciones ordinaria ordinaria y extraordinaria. extraordinaria. Se obtiene obtiene proyectar resultante tras el polarizador polarizador en las direcciones campo dado dado por un campo por
or
EE;n = ueEa ueEa cos e e cOS(úJt cos(wt in =
kz) kz)
uoEa sen e cos(úJt + uoEa cos(wt -
http://carlos2524.jimdo.com/
é
kz). kz).
(3.162) (3.162)
92
Óptica física Óptica física
Ahora se puede puede ver ver claramente acción de la lámina. lámina. En efecto, efecto, el campo campo que que vibra vibra en la dirección dirección del del Ahora claramente la acción eje (no - l)d/c /').too = (no l)d / c mientras mientras que que el campo campo que que vibra vibra en la eje ordinario ordinario se retrasa retrasa un tiempo tiempo dado dado por por /').t dirección del eje eje extraordinario extraordinario tendrá tendrá un retraso retraso (respecto (respecto a la situación que no hubiera hubiera lámina) lámina) que que dirección situación en que vale = (nee - l)d/c será vale /').t /').tee = I)d / c . El retraso retraso temporal temporal relativo relativo entre entre ambas ambas componentes componentes será (3.163) (3.163) diferencia de fase fase entre entre ambas ambas componentes componentes será lámina, de espesor espesor d A la salida salida de la lámina, d,, la diferencia será (3.164) (3.164) La salida de la lámina será La expresión expresión del campo campo a la salida lámina será
E
e
ueEo cos cos e cos(wt cos(wt - kz kz Eout = ueEo out =
+ 8) + uoEo uoEo sen e cos(wt e cos(wt
kz) . kz).
(3 .165) (3.165)
Este campo campo es el que que incidirá incidirá en el segundo Detrás del mismo, mismo, sólo componente del campo campo Este segundo polarizador. polarizador. Detrás sólo la componente incidente en la dirección dirección del eje O X se transmitirá. transmitirá. Como Como puede Figura 3.28, vectores ee incidente puede verse verse en la Figura 3.28, los vectores respecto de los ejes ejes primarios primarios U¿'"ixx yY yy serán yU Uoo respecto serán
uu
uu
U Ux sene + uy cos e, uee== --uxsene+uycose,
(3.166) (3.166)
=U Uxx cose Uyy sene. sen é'. cose + u
(3.167) (3.167)
Uoo U
E
Por lo tanto, tanto, sustituyendo estas expresiones expresiones en el campo campo Eollt (3.165) Y reteniendo reteniendo sólo componente x Por sustituyendo estas sólo la componente out (3.165) se llega llega a que que el campo campo emergente emergente del segundo polarizador es (se ha supuesto que no hay hay pérdidas pérdidas por por segundo polarizador supuesto que reflexión en ninguno ninguno de los elementos) elementos) : reflexión
E
final E final
=
e
e [-
cos 8 [- cos(wt cos(wt - kz kz Eo sen é' cos
+ 8) + cos(wt cos(wt -
u
kz)] ux.. kz)]
(3.168) (3.168)
La salida será será proporcional Poynting. Si, para simplisimpliSi , para La irradiancia irradiancia a la salida proporcional al promedio promedio temporal temporal del vector vector de Poynting. ficar las expresiones, expresiones, se toma toma z = O polarizador, O a la salida salida del segundo segundo polarizador, I final ¡final
= cos e cos(wt = CEO < < [[- Eo sen e 8 cos 8 cos(wt
+ 8) + Eo sen e8 cos cos e cos(wt)]2 8 cos(wt)]2
> > .
(3.169) (3.169)
Teniendo en cuenta cuenta que que < wt > cos22 cot wt > 1/ 2, y que que < wt cos cos t»t wt > llega, después después Teniendo < sen22 cot >= =< < cos >= = 1/2, < sen t»t >= =O O se llega, unas cuantas cuantas operaciones, operaciones, a la siguiente expresión: de unas siguiente expresión: Ifinal Ifinal
=
CEO
2
2
SEo é] . SEo sen 28 2e [1 [1 - cos cos8].
(3.170) (3.170)
e
nuestro caso caso 8 = por lo que que la intensidad intensidad transmitida transmitida será En nuestro = 4500 por será Ifin al Ifinal
.
CEO 2 = -Ea SEo[1 [1 8
- cos cos8] é]
lo [1 = -"4 [1 4
cos8] cos é}..
(3.171 )
Obsérvese que que la intensidad intensidad transmitida transmitida depende depende del valor valor del desfase desfase introducido introducido por por la lámina lámina a las Obsérvese diferentes longitudes longitudes de onda onda presentes presentes en la radiación radiación incidente. incidente. diferentes La será mínima La irradiancia irradiancia será minima cuando cuando = O, (3.172) (3.172) 11 - cos cos8 = é
decir, si es decir, 8
2mn.. = Zmit
(3 .173) (3.173)
este caso caso la lámina lámina retardadora retardadora introduce introduce un retardo retardo de un número número entero entero de longitudes longitudes de onda. onda. El En este campo a la salida encontrará en el mismo mismo estado estado de polarización polarización que que a la entrada, entrada, esto esto es, lineal linealmente campo salida se encontrará mente polarizado en la dirección dirección del del eje eje O Y. Por ello, no pasará pasará a través través del segundo polarizador. El hecho hecho polarizado Por ello, segundo polarizador. que los mínimos mínimos no sean estrictamente nulos nulos se debe debe a que que el grado grado de extinción extinción de los polarizadores polarizadores de que sean estrictamente depende de la longitud longitud de onda, onda, entre otras razones razones (la extinción extinción no es completa). este caso caso se dice dice que que depende entre otras completa). En este
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo 3/ Interacción de la radiación con la materia
r-
In del
93
la lámina actúa como lámina de onda completa para las longitudes de onda que verifiquen la condición (3.173).
len la que
Estime para qué longitudes de onda actúa como una lámina A/2 Los máximos de irradiancia se obtendrán cuando el campo emergente de la lámina salga polarizado en la dirección del segundo polarizador. Para ello, la dirección de vibración del campo emergente en la lámina habrá tenido que girar 90°. Esto ocurrirá para aquellas longitudes de onda para las que la lámina actúa como una A/2, dado que el campo incidente formaba 45° con los ejes de la lámina. A este hecho se puede llegar sin más que exigir que la intensidad transmitida dada por la expresión (3.171) se haga máxima. Ello ocurre para aquellas longitudes de onda a las cuales se tiene que
163)
164)
8 = (2m
+ l)n.
(3.174)
Si sustituimos el valor de 8 en función del espesor de la lámina y de la birrefringencia,
165)
se llega a que (3.175)
mpo s tie
Suponiendo que la birrefringencia del material es independiente de la longitud de onda y que el espesor es d = 3.3 mm ¿podría estimar la birrefringencia a partir de los resultados experimentales?
166) 167)
Para un espesor fijo de la lámina y un valor de la diferencia de índices constante, los máximos o los mínimos de la irradiancia transmitida ocurrirán para diferentes valores de A, esto es, diferentes valores de m. Entre dos valores consecutivos de mínima irradiancia se tendrá:
tex por
(3.176) 168)
y I(no - ne)ld
pli-
=
(m - I)A2.
(3.177)
=
(3.178)
Restando ambas expresiones se llega a que
---
169)
520
520 - 475
ués
11.55 ~ 12.
Sustituyendo en la ecuación (3.176) los valores de m y del espesor, d = 3.3, mm se llega a que I(no - ne)1 = 0.0017.
(3.179)
70)
3.29. 71)
Un haz de luz blanca polarizada lineal mente incide perpendicularmente sobre una placa de cuarzo de espesor 0.865 mm, cortada paralelamente al eje óptico. El azimut del campo eléctrico es de 45°. Los Índices principales de refracción del cuarzo son no = 1.5533 y ne = 1.5442 (no consideramos la variación de ne y no con la longitud de onda).
las Resolución 72)
¿Qué longitudes de onda comprendidas entre 600 y 700 nm emergen de la lámina polarizadas linealmente?
73)
Las componentes del campo a la entrada de la lámina se pueden escribir
El nte
En"
ha res que
=
Eocos(n/4)cos(wt),
Ene = Eo sen(n/4)
cos(wt).
(3.180)
El campo Eno es la proyección del campo incidente sobre la dirección de la lámina en la que ésta presenta un Índice 110' El campo Ene es la proyección del campo incidente sobre la dirección de la lámina en
http://carlos2524.jimdo.com/
94
Óptica física física Óptica ésta presenta presenta un Índice índice neo neo Dado Dado que que ambos ambos índices Índices son diferentes, diferentes, a la salida salida de la lámina lámina las la que ésta componentes de los campos campos se pueden pueden escribir escribir como como componentes
, I
111 1
knod), + knod), En = = Eo Ea sen(n/4) sen(n/4) cos(wt cos(wt + kned), kned), Ene
En = Eo Ea cos(n/4) cos(n/4) cos(wt cos(wt Eno o =
(3.181) (3.181)
e
siendo d el espesor espesor de la lámina lámina y k el número número de ondas. ondas. En la expresión expresión (3.181) (3.181) no se ha tenido siendo tenido en cuenta los factores factores de transmitancia transmitancia por simplicidad. simplicidad. cuenta ecuación (3.181) (3.181) se puede puede reescribir reescribir como La ecuación como Eno = = Eocos(n/4)cos(wt), Ea cos(n /4) cos(wt), Eno Ene == Ea sen(n /4) cos [wt [wt Ene Eo sen(n/4)
ktn¿e + k(n
(3.182) (3.182)
no)d] , no)d],
2;:
de manera dln manera que entre entre ambas ambas componentes componentes hay un desfase desfase a la salida salida dado dado por por 8 == dlnee - nol. nol. radiaciones que que emergerán emergerán de la lámina lámina linealmente linealmente polarizadas polarizadas serán serán aquellas que se Las radiaciones aquellas en las que verifique que el desfase des fase 8 sea sea un múltiplo múltiplo entero entero de n (8 = = mn), mn), esto esto es, verifique 66
7.8715 x 10102 x 7.8715 -------------= -------------m
A = A
(3.183) (3.183)
Sustituyendo en la ecuación ecuación (3.183) (3.183) vemos vemos que que los valores valores de m que que proporcionan proporcionan longitudes longitudes de onda onda en Sustituyendo intervalo especificado especificado son un número número finito (ver (ver Tabla Tabla 3.1). el intervalo
m 23 24 25 26
A (nm) (nm) A 684.4 684.4 655.9 655.9 629.7 629.7 605.5 605.5
Tabla 3.1 Valores Valores del número número entero entero m y longitudes longitudes de de onda onda que que emergen emergen linealmente linealmente polarizadas. polarizadas. Tabla
¿Qué longitudes longitudes de onda onda emergen emergen polarizadas polarizadas circularmente? circularmente? ¿Qué Para que que emergan emergan circularmente circularmente polarizadas verificarse que el desfase desfase entre entre las dos componentes componentes Para polarizadas ha de verificarse campo a la salida salida de la lámina [ver ecuación ecuación (3.182)] (3.182)] sea un múltiplo múltiplo impar impar de n n/2, cual se del campo lámina [ver / 2, con lo cual tiene tiene 7.8715 x 10-66 4 x 7.8715
A= A = --------------------------2m
+1
(3.184) (3.184)
También se precisa precisa en este este caso caso que que las amplitudes amplitudes de ambas ambas componentes componentes sean sean iguales: azimut También iguales: al ser el azimut esta condición condición sé verifica verifica si consideramos consideramos que los coeficientes coeficientes de transmitancia transmitancia en amplitud amplitud para para de nit //4, 4, esta dirección del eje ordinario ordinario y extraordinario extraordinario son prácticamente prácticamente coincidentes coincidentes entre entre sí26.. Sustituyendo Sustituyendo la dirección ecuación (3.184) (3.184) vemos vemos que los valores valores de m que proporcionan proporcionan longitudes longitudes de onda onda en el intervalo intervalo en la ecuación especificado son' son' un número número finito (ver (ver Tabla Tabla 3.2). especificado m 22 23 24 25
A (nm) (nm) A 699.7 699.7 669.9 669.9 642.5 642.5 617.3 617.3
Tabla 3.2 3.2 Valores Valores del del número número entero entero m y longitudes longitudes de de onda onda que que emergen emergen circularmente circularmente polarizapolarizaTabla das. das. realiza el cómputo cómputo de los coeficientes coeficientes de transmitancia transmitancia en amplitud amplitud para para la componente componente ordinaria ordinaria y extraordinaria extraordinaria se 26Si se realiza observa que que difieren difieren en la cuarta cuarta cifra cifra decimal. decimal. observa
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo de la radiación Capítulo 3/ 3/ Interacción Interacción de radiación con con la materia materia
las
emergente de la lámina lámina pasa analizador cuyo cuyo eje eje de transmisión Si el haz emergente pasa a través través de un analizador transmisión es perpendicular perpendicular al plano incidente ¿Qué longitudes de onda onda faltan haz transmitido transmitido plano de vibración vibración de la radiación radiación incidente ¿Qué longitudes faltan en el haz por por este este analizador? analizador?
81)
que emergen emergen linealmente linealmente polarizadas desfase proporcional Las radiaciones radiaciones que polarizadas de la lámina lámina tienen tienen un desfase proporcional a n. lámina se comporta una lámina lámina de media media onda onda para para esas it . En el caso caso de que 8 = (2m + l)n l)n la lámina comporta como como una esas radiaciones, por por el analizador. analizador. En el caso que 8 = Zmr: 2mn la lámina lámina no radiaciones, por lo que pasan pasan sin atenuarse atenuarse por caso de que introduce lámina vibra vibra en la misma dirección que que introduce un desfase desfase efectivo efectivo por por lo que que el campo campo a la salida salida de la lámina misma dirección el campo nm y A2 = 605.5 nm). campo incidente incidente y por por lo tanto tanto se extinguen extinguen (Al (Al = 655.9 655.9 nm 605.5 nm). Las radiaciones polarizadas de la lámina lámina pasan pasan atenuándose atenuándose por por el polapoI aradiaciones que emergen emergen circularmente circularmente polarizadas rizador. El resto resto de las radiaciones radiaciones emergen emergen de la lámina elípticamente y se atenúan atenúan al pasar rizador. lámina polarizadas polarizadas elípticamente pasar por por el analizador. analizador.
en
82)
se
83)
en
as.
tes se
95
3.30. 3.30.
quiere obtener obtener experimentalmente experimentalmente el espesor espesor de una Se quiere una lámina lámina plano-paralela plano-paralela de un material material birrefrinbirrefringente cuyos cuyos índices Índices de refracción refracción son son n¿ = 1.56 1.56 Y no gente ne = no == 1.48. Para Para ello ello se monta monta un un polariscopio polariscopio consistente que produce produce un un haz haz colimado, un polarizador polarizador p¡ PI con consistente en una una fuente fuente de luz blanca blanca que colimado, un con su eje de transmisión en la dirección dirección vertical vertical y un polarizador con su eje de transmisión transmisión en la misma misma direcdirectransmisión polarizador P2 con ción que que PI. p¡. Detrás Detrás de este este polarizador polarizador se sitúa sitúa una 600 líneas/mm. líneas/mm. La ción una red red de difracción difracción de 600 La lámina lámina coloca entre entre los dos polarizadores polarizadores con con sus ejes ejes neutros eje del primer se coloca neutros a 45° 45° respecto respecto al eje primer polarizador polarizador (ver m se observa observa una una distribución distribución de irradiancia irradiancia de color (ver Figura Figura 3.29). 3.29). En una una pantalla pantalla situada situada a 2 m color azul en el centro centro y dos espectros espectros idénticos idénticos coloreados coloreados situados situados a ambos ambos lados lados del centro. centro. En azul En los dos espectros negras situadas respectivamente. espectros se observan observan dos bandas bandas negras situadas a 75.7 75.7 cm y 67.1 67.1 cm cm del del centro centro respectivamente. Razonar Razonar sobre sobre la veracidad veracidad o falsedad falsedad de las siguientes siguientes afirmaciones: afirmaciones: (a) La porque el primer plimer polarizador polarizador absorbe parte de la luz luz amarilla La luz se ve azul en el centro centro porque absorbe parte amarilla procedente de la lánúna. lámina. procedente primer polarizador polarizador no absorbe, absorbe, sino sino que absorbe. (b) El primer que es la lámina lámina la que que absorbe. (e) El segundo segundo polarizador polarizador absorbe absorbe toda amarilla y sólo sólo queda componente azul. azul. (c) toda la radiación radiación amarilla queda la componente difracción la responsable responsable de este este fenómeno fenómeno ya (d) Es la red red de difracción ya que que no se absorbe absorbe ningún ningún color color como como prueban los espectros espectros coloreados coloreados que lo prueban que aparecen aparecen en en la la pantalla. pantalla. ¿De los resultados resultados del experimento experimento se puede puede inferir (e) ¿De inferir que que la lámina lámina actúa actúa como como una una lámina lámina de media onda onda para para 500 500 nm? nm? media Calcule el espesor espesor de la lámina. lámina. (f) Calcule
y
lámina birrefrin)
y red
84) ut ara
I
.:
: /n"
do alo
-~ di3.29 Esquema Esquema del dispositivo dispositivo experimental pantalla de pantalla se Figura 3.29 experimental y pantalla de observación. observación. En la pantalla se han indicado indicado las las líneas líneas "desaparecidas" "desaparecidas" en los órdenes ±l. han en los órdenes de de difracción difracción ±l.
zaResolución Resolución se
En la Figura Figura 3.29 se representa representa un esquema esquema del dispositivo. eje de transmisión En dispositivo. El eje transmisión del primer primer polarizador polarizador tomará en la dirección dirección O Y. Por Por ello, ello, el eje segundo polarizador situado se tomará eje de transmisión transmisión del segundo polarizador estará estará situado
http://carlos2524.jimdo.com/
96 Óptica Óptica física física también primer polarizador polarizador incide blanca. Después Después de su paso paso por por PI también en la dirección dirección O Y. Sobre Sobre el primer incide luz blanca. P, el campo polarizado y estarán presentes todas campo a la salida salida estará estará linealmente linealmente polarizado estarán presentes todas las longitudes longitudes de onda. onda. supone que que la lámina lámina es transparente transparente a todas radiaciones, por que el efecto efecto de la lámina lámina sobre sobre Se supone todas las radiaciones, por lo que linealmente polarizado será introducir introducir un desfase desfase entre entre la componente componente del campo campo el haz haz policromático policromático linealmente polarizado será incidente paralela a cada uno de los ejes neutros de la lámina. para cada incidente paralela cada uno ejes neutros lámina. Este Este desfase desfase será será diferente diferente para cada una una de las componentes radiación emergente componentes monocromáticas monocromáticas que que componen componen el haz de luz incidente. incidente. La La radiación emergente de la lámina polarizador27 . Como polarizador tiene lámina incidirá incidirá en el segundo segundo polarizador/". Como el segundo segundo polarizador tiene su eje eje de transmisión transmisión en la dirección por efecto dirección del eje eje O Y, aquellas aquellas componentes componentes monocromáticas monocromáticas que que por efecto de la lámina lámina estén estén lineallinealmente polarizadas perpendicularmente perpendicularmente a la dirección por el segundo polarizador y mente polarizadas dirección O Y, serán serán absorbidas absorbidas por segundo polarizador no pasarán. Obsérvese que que para que esto esto suceda, suceda, dada dada la orientación orientación de la lámina lámina retardadora 45°, el pasarán. Obsérvese para que retardadora a 45°, plano de polarización polarización de estas una plano estas radiaciones radiaciones habrá habrá debido debido girar girar 90°, 90°, esto esto es, la lámina lámina actuaría actuaría como como una lámina / 2 para para estas pués, estas radiaciones estarían haz emerlámina 1.. A/2 estas radiaciones. radiaciones. Así Así pués, estas radiaciones estarian ausentes ausentes al incidir incidir el haz emergente polarizador sobre parte, la red red de difracción gente del segundo segundo polarizador sobre la red de difracción. difracción. Por Por su parte, difracción descompondrá descompondrá espectralmente presente en el haz haz espectralmente la radiación radiación incidente. incidente. Por Por efecto efecto de la difracción, difracción, cada cada componente componente presente que incide incide sobre sobre la red se desviará, desviará, en un orden orden de difracción difracción dado, dado, un ángulo ángulo .diferente, dado por que diferente, dado por la 28 :: ecuación red28 ecuación de la red kA,, (3.185) (3.185) d sen == kA
e é
donde paso de la red donde d es el paso red y k el orden orden de difracción. difracción. En nuestro nuestro problema, problema, se analizan analizan el orden orden O O y el orden orden l1.. En el orden orden O O aparecen aparecen confundidos confundidos todos todos los colores presentes en el haz haz incidente que el ángulo colores presentes incidente sobre sobre la red, red, ya que ángulo de difracción difracción en orden orden O O es el mismo mismo para todas radiaciones. El hecho hecho de que tono azulado para todas las radiaciones. que tenga tenga un tono azulado indicaría indicaría que que algunas algunas componentes componentes amarillo-verdosas están están ausentes. ausentes. En efecto, efecto, en orden orden 1 se pone esta ausencia ausencia con con la amarillo-verdosas pone de manifiesto manifiesto esta presencia de dos proyectado sobre pantalla. Estás presencia dos líneas líneas negras negras en el espectro espectro proyectado sobre la pantalla. Estás líneas líneas corresponderán corresponderán a radiaciones cuyas onda se pueden inmediatamente aplicando radiaciones cuyas longitudes longitudes de onda pueden calcular calcular inmediatamente aplicando la ecuación ecuación (3.185), (3.185), dado dado que que los ángulos ángulos de difracción difracción se obtienen obtienen de los datos datos suministrados: suministrados:
de donde donde el
I ••
=
tan el
67.1 67.1 e, = ---, -, 200 200
(3.186) (3.186)
75.7 75.7 tane2 tane2 = = 200' 200'
(3.187) (3.187)
18 .54° , y 18.54°,
de donde red tiene donde e e22 = 20.73°: 20.73°: Como Como la red tiene 600 600 l/mm, l/mm, aplicando aplicando la ecuación ecuación de la red se obtiene obtiene
1 ° 600 600 sen 18.54 18.54
= Al = 530.1 nm, 530.1 nm,
(3. I 88) (3.188)
1 ° 600 600 sen 20.73 20.73
= 1..2 A2 = 589.9 589.9 nm.
(3.189) (3.189)
y
Estas pasan el segundo polarizador porque perpendiEstas son las longitudes longitudes de onda onda que que no pasan segundo polarizador porque inciden inciden vibrando vibrando perpendiculannente polarizador. Para culannente a él: son absorbidas absorbidas por por el polarizador. Para estás estás longitudes longitudes de onda, onda, y sólo sólo para para estas, estas, la lámina una lámina lámina 1../2 para 500 lámina actúa actúa como como una lámina 1../2. A/2. Por Por lo tanto, tanto, la lámina lámina no es una una lámina A/2 para 500 nm. Calcularemos para qué Calcularemos ahora ahora el espesor espesor de la lámina. lámina. Como Como sabemos sabemos con certeza certeza para qué longitudes longitudes de onda retardadora actúa una lámina / 2, conocemos para esas radiaciones el desfase onda la lámina lámina retardadora actúa como como una lámina 1.. A/2, conocemos que que para esas radiaciones desfase introducido rr , esto introducido es un múltiplo múltiplo impar impar de tt esto es
~:j
8
= klne klne
- nole nole
=
(2m
+ l)rr, l)rr,
(3.190) (3.190)
donde puede ser precisamente O donde m puede ser cualquier cualquier número número entero, entero, no precisamente O ó l. Para Para este este valor valor (m = O) obtendríobtendríamos la lámina lámina más más delgada delgada pero, sabemos el valor valor de m. Sin embargo embargo sabemos sabemos que que si para amos pero, a priori, priori, no sabemos para la
: li
27Un poJarizador, polari zador, en efecto, polariza como vulgarmente, lo cual ca que una de las las componentes efecto, polariza como se dice dice vulgarmente, cual signifi significa que una componentes del campo campo incidente incidente vibra perpendicularmente perpendicularmente al eje transmi sión del polarizador) polari zador) es absorbida por éste. sobre sobre él (aquella (aquella que que vibra eje de de transmisión absorbida por éste. 28 Para más más detalles 28Para detalles véase véase el Tema Tema 6. 6.
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo 3/ Interacción de la radiación con la materia
radiación Al el valor de m es m la ecuación (3.190) se obtiene:
Pl el
sobre impo a una de la 5n en nealdar y 50, el ) una :mer-
ismo entes en la rán a 185),
1186)
187)
A2
el valor de
+
ma
= mI
1)
2 2
-
1. Por ell029
,
utilizando
Al,
(3.191)
A2.
(3.192)
(2ml - 1)
De estas dos ecuaciones se obtiene el valor de m 1 : (3.193) Sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones (3.191) ó (3.192) se obtiene el espesor e 0.06¡.;.,m.
Ihaz or la
IS los
entonces para
(2ml
mdrá
.185)
= mI,
97
3.31.
=
Una lámina de cuarzo de caras plano-paralelas, tallada paralelamente a su eje óptico se sitúa entre dos polarizadores con sus ejes de transmisión paralelos y formando un ángulo de 45° con uno de los ejes de la lámina. Se hace incidir sobre este sistema un haz colimado de luz blanca. (a) Calcular las expresiones de la amplitud y de la intensidad de la onda transmitida en función de la diferencia de fase 4> = 2n(ny - nx)ejAo donde e es el espesor de la lámina (e = 2 mm),
AO= 545
nm, ny =
1.553
y rtx =
1.544.
(b) Se apilan N = 8 sistemas como el anterior de espesores sucesivos e, 2e, 4e, 2N-le. Todos los polarizadores son paralelos entre ellos. Ignorando la absorción de las láminas, determinar la intensidad de la onda transmitida en función de 4>. Demostrar que este sistema puede ser utilizado como un filtro. Resolución Considérese el sistema de la Figura 3.30. El haz de luz blanca incide sobre el primer polarizador por lo que tras él tendremos luz linealmente polarizada vibrando a 45° del eje vertical. Sea Eo la amplitud del campo emergente del primer polarizador que se propaga según el eje Z y cuya frecuencia es w. El campo
1188)
1189)
s de fase z 90) dría la ente
Figura 3.30 Esquema de la situación descrita: Pl polarizador, P2 polarizador con su eje paralelo al primero y formando ambos un ángulo de 45° respecto a las líneas neutras de la lámina. 29En la resolución del problema hay que hacer notar que hacemos la aproximación ambas longitudes de onda no va a cambiar apreciablemente.
http://carlos2524.jimdo.com/
de considerar que el índice de refracción para
98
Óptica Óptica física física incide sobre sobre la lámina lámina lo podemos podemos descomponer descomponer en una una componente componente vertical vertical Ey otra horizontal horizontal Ex que incide E y y otra Ex dadas dadas por por i (w[-k z) , Ey = Eo cos 45° eei(wl-kz), s, = Eocos45°
Ex = Eo sen45° ei(wt-kz), Ex = Eo sen 45° ei(wt-kz),
(3.194) (3.194)
Ex con donde donde ambas ambas componentes componentes se encuentran encuentran en fase. El retardo retardo de la componente componente Ex con respecto respecto a la propagación en el vaCÍo vacío al atravesar atravesar la lámina lámina de espesor espesor e es !':.t St¿ = e(n e(nxx - l) l)jc, tanto que el retardo retardo propagación jc, en tanto x = que adquiere adquiere la componente componente Ey = e(n e(nyy - l) 1)jc, por lo tanto tanto a la salida salida de la lámina lámina el campo campo que E y es l:!,.t !':.tyy = j c, por eléctrico eléctrico emergente emergente vendrá vendrá dado dado por por
Esal = __ 2_~Eocos450 ei(w(t+L'.ly)-kz) E sal = __ 2_~Eocos45°ei(W([+f,ty ) -kZ) 1 + nnyy 1 + nnyy y , sal = 0 ei _ _2_~Eo sen 45° (w(t+f,tx) - kz) Esal = __ 2_~Eo sen45 ei(w(t+L'.tx)-kz) x n.¿ 1 + nnxx 1 + nx '
(3.195) (3.195)
si, por simplicidad, consideramos consideramos que que la transmitancia transmitancia es la unidad, unidad, podemos eliminar los coeficientes coeficientes de podemos eliIIÜnar por simplicidad, Fresnel, por lo que el campo transmitido puede reescribirse como Fresnel, por que campo transmitido puede reescribirse como Esal ~ E E sal ~
".t
y
Esal ~ E E sal ~ x
.j2 ei(wt-kz) ei(wt-kz) .Ji
oo 2
'
.j2 ei(w[ ei(wl-kz+
oo 2
(3.196) (3.196)
'
i~
donde 1> 1J = = w(!':.t w(l:!,.tyy --l:!,.t = i~ (n (nyy - nnx)e. Hay que que hacer hacer notar notar que que el estado estado de polarización polarización de la onda onda donde !':.tx)x ) = x )e. Hay emergente emergente en general general ha cambiado cambiado ya que que ambas ambas componentes, componentes, que que estaban estaban en fase fase a la entrada, entrada, ecuación ecuación (3.194), están están desfasadas desfasadas en una una cantidad cantidad 1> 1J a la salida. salida. Nótese, además, que que este este cambio cambio depende depende de (3.194), Nótese, además, longitud de onda onda del campo campo incidente. incidente. longitud Vamos analizar con con mayor mayor detenimiento detenimiento el cambio cambio del estado estado de polarización: polarización: Vamos a analizar (a) Si 8 = = 2Mn 2Mn 1a radiación radiación emergente emergente está está linealmente linealmente polarizada polarizada y su azimut azimut no ha cambiado cambiado (podríamos (podríamos hablar hablar de una una lámina lámina de onda onda completa). completa). linealmente polarizada (b) Si 8 = = (2M (2M + + l)n l)n la radiación radiación emergente emergente está estálinealmente polarizada y su azimut azimut ahora ahora es esa/ida esalida ~ ~ -45°. A efectos efectos prácticos prácticos la lámina lámina cambia cambia el plano plano de vibración vibración del campo campo eléctrico, eléctrico, de ahí ahí que -45°. que para aquellas se diga diga que la lámina lámina actúa actúa como como un rotor rotor para aquellas longitudes longitudes de onda onda que verifican verifican la citada citada condición condición (o también también lámina lámina de media media onda). onda). (e) Si 8 = = (2M ++ I)!f, l)!f, la radiación radiación emergente emergente estará estará circularmente circularmente polarizada. polarizada. (c) El campo incide sobre polarizador. Este campo emergente emergente de la lámina lámina incide sobre el segundo segundo polarizador. Este sólo sólo dejará dejará pasar pasar la componente paralelamente al eje de transmisión transmisión del segundo polarizador. Por componente del campo campo que que vibra vibra paralelamente segundo polarizador. Por lo tanto, 196) sobre tanto, deberemos deberemos proyectar proyectar cada cada una una de las componentes componentes del campo campo dado dado por por (3. (3.196) sobre la dirección dirección del eje de transmisión transmisión del segundo segundo polarizador. polarizador. Si p es un vector vector unitario unitario en la dirección dirección del eje de transmisión del polarizador, polarizador, el campo campo transmitido transmitido se podrá poner como como transmisión podrá poner
uu
~
E~T = = decir es decir
(.j2 cos45° EO cos45° + + (.Ji O 2 ET = = ~o ~o
ET
uu
'''')'( -.j2 45° e'''' e' w[EO sen45° e'''' cot= kk Zz )) p, '''')'( 2 sen O .Ji r.
ei
(3.197) (3.197)
(3.198) (3.198)
irradiancia del haz transmitido vendrá dada dada por por La irradiancia transmitido vendrá ,
2 10 l1 t, = 2CEOIETI = 2(l+cos1». 2' (1 + cos1J). l¡=2CEOI ETI =
(3.199) (3.199)
,,1 "!tI!1
Por otra otra parte, parte, podemos podemos definir definir la transmitancia transmitancia en amplitud amplitud del dispositivo dispositivo como como Por tI
=
ET ET Eo Eo
.",) .",) 21 ( 1 + e'''' e'''' . =2
http://carlos2524.jimdo.com/
(3.200) (3.200)
Capítulo Capítulo 3/ 3/ Interacción lnteracción de la radiación radiación con la materia materia
99
Si en lugar lugar del dispositivo dispositivo considerado, considerado, la lámina lámina birrefringente birrefringente tuviera tuviera un espesor espesor 2e, 2e, las transmitancia transmitancia vendría dada dada por por la una una expresión expresión similar similar pero pero el defase defase sería sería el doble, doble, es decir, decir, vendría (3.201) (3.201)
94) i la rdo
Si tenemos la transmitancia tenemos una una lámina lámina de espesor espesor 2(N-l)e, 2(N-l)e, transmitancia será será
npo
(3.202) (3.202) - l e, la transmitancia Si se apilan api1an N sistemas sistemas de espesores espesores sucesivos sucesivos e, e, 2e, 2e, 4e 4e .. ... ' 0 ' 2N 2N-le, transmitancia del dispositivo dispositivo será será el producto producto de las transmitancias. transmitancias. Para Para ver ver la ley de recurrencia recurrencia vamos vamos a analizar analizar los casos casos N = 1, N = 2y 2y N = 3. Para Para N = 1 se tiene tiene ¡de
(3.203) (3.203) Para Para N
= 2 se tiene tiene (3.204) (3.204)
Para N = = 3 se tiene tiene Para
~6)
(3.205) (3.205) Ida
es decir decir
lón Ide
tt
~ = t1t1 tt22t3t 3 = ~ ~ ~
(1 + e 4> + e i eir/>
i3r/> ei3 4>
i7 + eei4i4r/>4> + eei5i5r/>4> + eei6i6r/>4> + eei7r/» 4» .
(3.206) (3.206)
Es fácil fácil obtener obtener la ley de recurrencia recurrencia para para N ~o
(3.207) (3.207) i Los términos términos entre entre paréntesis paréntesis representan representan la suma suma de una una progresión progresión geométrica geométrica de razón razón eeir/> valor 4> y su valor Los resulta resulta i2N 1 1 1 -_ eei2Nr/> 1 4> (3.208) (3.208) eir/> . t = 2NN 1 _ ei4>
la 110
irradiancia transmitida transmitida por por el conjunto conjunto de N sistemas sistemas será será La irradiancia
~n
~e (3.209) (3.209) La transmitancia transmitancia del dispositivo dispositivo está está representada representada en la Figura Figura 3.31 para para un conjunto conjunto de radiaciones radiaciones La diferentes: nótese nótese que a pesar pesar de que que cada cada una una de las láminas láminas es transparente, transparente, el conjunto conjunto de ellas ellas y diferentes: sistema de polarizadores polarizadores permite permite obtener obtener una una alta alta selectividad selectividad espectral, espectral, esto esto es, podemos podemos seleccionar seleccionar el sistema algunas longitudes longitudes de onda para las cuales cuales la transmitancia transmitancia es máxima. máxima. En el detalle detalle de la figura figura se aprecia aprecia algunas onda para cómo varía transmitancia en torno torno a una una de las líneas líneas espectrales espectrales transmitidas transmitidas en condición condición de máximo. cómo varía la transmitancia máximo. Teniendo en cuenta cuenta lo anterior anterior la transmitancia transmitancia para para Ao Aa cuando cuando se apilan apilan 8 láminas láminas es T8 == 4.21 X 10-55. . Teniendo
3.32.
Considere un medio medio material material semi-infinito semi-infinito como como el que que se muestra muestra en la Figura Figura 3.32 3.32 de tal modo que Considere modo que para yy < < O ~e se considera considera que es el vaCÍo vacío y que para para yy > > O está está compuesto compuesto por por un medio medio material material para anisótropo uniáxico uniáxico cuyo cuyo eje óptico óptico forma forma un ángulo ángulo f3 fJ con con el eje Z. Sobre Sobre este este medio medio incide incide nornoranisótropo malmente una una onda onda plana plana cuya cuya frecuencia frecuencia úJ úJ está está alejada alejada de las resonancias resonancias electrónicas electrónicas del del material. material. malmente Teniendo en cuenta cuenta que el elcampo eléctrico total total en un punto punto del medio medio material material es la la superposición superposición de Teniendo Campo eléctrico
http://carlos2524.jimdo.com/
100
Óptica física 1.0
'00]
0.8
~0.5
0.1
545
¡.(nm)
546
0.6 cc .....
0.4
0.2
0.0
I
I
520
I
540
530
550
560
·570
J..(nm)
Figura 3.31 Transmitancia del filtro para N = 8. En el recuadro interior pliación para visual izar mejor la anchura de cada línea.
se- ha realizado una am-
la onda incidente y las ondas radiadas por todos los átomos del medio material, o sea
f
I:
"", ""
...,...,
E (r, t) = Einc(r,
t)
+ --
1
4:rrEO
V x {V x
[..., .., P(r,
],
t - R/c)/ R }dV ,
(3.210)
a
y
f
I:
-,...,
...,...,
B (r, t) = Binc(r,
f.1.0
t)
+-
4:rr
V
x
P(;",t+R/c) R
, dV,
(3.211)
a
donde o- es una superficie esférica centrada en el punto ;. de radio E y :E representa la frontera del medio material, determinar la expresión de las ondas refractada y reflejada, así como las expresiones de los vectores de Poynting asociados. Resolución En las condiciones especificadas, la onda incidente puede expresarse como
E
u
-
lile -
(éncu
Ox
x
+
Eincu Oz
Z
) ei(kOY-úJt)
,
(3.212)
u
donde x y z son vectores unitarios en las direcciones de los ejes X y Z respectivamente, y ko es el número de ondas de la onda incidente. La onda incidente inducirá dipolos oscilantes de manera que en el sistema de referencia X¿ Ya Za, la ecuación de movimiento de los electrones vendrá dada por
+.Yx Xa +q E'xae =i cot , F Ya = - u Ya +.Yx Ya +q E' YlIe =i cot , Fz<, = - Uz Za + yz ¿ +q E~ e-iúJl, FXa
= - u¿ x¿ ¿
(3.213)
ea
donde E~I (E~lI' E~a' E~) es el campo eléctrico que actúa sobre un dipolo: este campo está dado en términos del campo incidente y de los campos re-radiados por el resto de átomos del medio. En la ecuación (3.213) hemos despreciado la parte magnética de la fuerza de Lorentz ya que asumimos que las velocidades que adquieren las cargas móviles, esencialmente los electrones, son mucho menores que c. Por generalidad hemos incluido en (3.213) dos constantes de rozamiento diferentes, lo cual requiere un comentario adicional: es bien conocído" que una estimación clásica de la constante 30Yéase por ejemplo la elegante deducción debida a J. D. Jackson, Classical electrodynamics
http://carlos2524.jimdo.com/
(Wiley, New York, 1999).
Capítulo Capítulo 3/ 3/ Interacción Interacción de la radiación radiación con la materia materia
101
l. z
z,
''"" x=x, x=x,
arnFigura 3.32 3.32 Esquema Esquema de la onda plana que incide incide normalmente normalmente sobre sobre un medio medio anisótropo anisótropo semisemi-
infinito. infinito. El El eje óptico óptico del material material forma forma un ángulo ángulo f3 con el eje Z. Se ha señalado señalado asimismo asimismo el sistema propio de ejes XaYaZa. XaYaZ a . sistema propio de rozamiento Ff. Esta rozamiento se obtiene obtiene computando computando el trabajo trabajo realizado realizado por por esta esta fuerza, fuerza, F Esta fuerza fuerza se introduce introduce clásicamente para tener clásicamente para tener en cuenta cuenta la potencia pote!}cia radiante radiante emitida emitida por por un dipolo. dipolo. Si se considera considera que que el dipolo dipolo oscila por oscila en una una cierta cierta dirección, dirección, digamos digamos O, O, entonces entonces la fuerza fuerza de fricción fricción está está dada dada por ~~ r¡ Ff
=
e2 ---3 -3
A A
(3 .214) (3.214)
v O.
6lfE,OC 6lfE.OC
Si el movimiento periódico en el tiempo, movimiento del dipolo dipolo es casi periódico tiempo, o sea, r(t) r(t) ecuación ecuación (3.214) (3.214) puede puede aproximarse aproximarse por por
-yv -yv
Ff ~
:12)
r
x a (t) (t)
=
qExl 1 qExl '. lúJ1 II e" 2 e-lúJ1 4lfEome 2 , 2' · lfEOme W¡ W¡ - W + lyxW lyxW
Ya ( t )
=
1 El q El YlI -iúJI y" +i to: 2 2 . e , 4lfEome Yxw 4lfEome w¡ w¡ - w + 1 1YxW
z (t) = Za(t)=
El El 1 '. lúJ1, q ZlI e-lúJ1 Za 44lfEome 2 2· , 2 lfEome W w~2 - w + tyzw iyzw
13) a
u-
ho lo te
(3.215) (3.215)
En el caso caso que nos ocupa ocupa de un medio medio anisótropo, anisótropo, la deducción deducción de la fuerza fuerza de fricción fricción se hace hace de una manera manera similar similar y el resultado, resultado, en el caso caso de medios medios uniáxicos, uniáxicos, reproduce reproduce el hecho hecho de que hay hay dos una constantes constantes de amortiguamiento amortiguamiento diferentes. diferentes. La solución .213) está solución estacionaria estacionaria de la ecuación ecuación (3 (3.213) está dada dada por por
~el el
en
O.
ro cos(wot)O, entonces cos(wot)O, entonces la
(3 .216) (3.216)
wr
donde ux/me y w~ w~ = uz/m uz/me. e . donde = ux/me Teniendo puede expresarse Teniendo en cuenta cuenta la ecuación ecuación (3.216), (3.216), el momento momento dipolar dipolar de un átomo átomo puede expresarse como como ~ El ~ El P == OIl. al. xauxa P Xli U Xa A A
al. + OIl.
El II El 01 11 EZll yauy" +aIIEZauza, YlI U)'lI + U ZlI ' A A
A A
(3.217) (3.217)
donde principales del átomo donde OIl. al. Y 0111 all son son las polarizabilidades polarizabilidades principales átomo que pueden pueden deducirse deducirse de la ecuación ecuación (3.217), (3.217).
http://carlos2524.jimdo.com/
102 Óptica Óptica física física Consideremos Figura 3.32: Consideremos la componente componente X del campo campo incidente incidente de la Figura 3.32: este este campo campo inducirá inducirá en cada cada átomo por lo tanto tanto el campo radiado por por estos átomo un dipolo dipolo en la dirección dirección del eje X, por campo radiado estos átomos átomos se supersuperpondrá con para producir producir la extinción pondrá con la componente componente X de la onda onda incidente incidente para extinción de la onda onda incidente, incidente, la onda onda refractada y la onda reflejada: este es justamente el resultado que demostraremos más adelante refractada onda reflejada: este justamente resultado que demostraremos adelante y que que 31 de la ecuación .210). Llamaremos por motivos motivos que veremos. se infiere infiere31 ecuación (3 (3.210). Llamaremos a esta esta onda onda onda onda ordinaria ordinaria por que veremos. Análogamente la componente Análogamente componente Z del campo campo incidente, incidente, de acuerdo acuerdo con la ecuación ecuación (3.213), (3.213), inducirá inducirá un momento polar que tendrá dos componentes PYa y PZa partir de la ecuación momento di dipolar que tendrá componentes PYa PZa'' Es obvio obvio a partir ecuación (3.216) (3.216) que que resonancia de ambas PYa y PZa' Pz" , del momento momento dipolar las frecuencias frecuencias de resonancia ambas componentes, componentes, PYa dipolar son diferentes, diferentes, de modo que re-radiados por por ambas modo que los campos campos re-radiados ambas componentes componentes no estarán estarán en fase entre entre sí: la superposición superposición de la onda junto con las ondas re-radiadas producirá producirá de nuevo una una onda onda incidente incidente junto ondas re-radiadas de nuevo onda que que cancela cancela la onda onda incidente, reflejada. Llamaremos incidente, la onda onda refractada refractada y la onda onda reflejada. Llamaremos a esta esta onda onda onda onda extraordinaria extraordinaria debido debido a su "extraño" microscópico de la doble refracción en cristales. "extraño" comportamiento. comportamiento. Este Este es el fundamento fundamento microscópico doble refracción cristales. Para determinar determinar la forma forma de las ondas ondas reflejada considerar que que el medio Para reflejada y transmitida transmitida vamos vamos a considerar medio material, que ocupa ocupa el semiespacio semiespacio yy > > O, O, está está formado formado por distribución continua continua de átomos, átomos, esto esto es, es, terial, que por una una distribución que número de átomos por unidad unidad de volumen volumen es N, Asimismo Asimismo podemos podemos que el medio medio es denso denso y que que el número átomos por considerar media entre menor que considerar que, que, aunque aunque los los átomos átomos son entidades entidades discretas, discretas, la distancia distancia media entre ellos eIJos es menor que la longitud radiación incidente, modo que longitud de onda onda de la radiación incidente, de modo que la expresión expresión (3.210) (3.210) es correcta, correcta, de lo contrario contrario hab¡ía que reemplazar la integral volumen por por una una triple triple suma todos los átomos. habría que reemplazar integral de volumen suma extendida extendida a todos átomos. En otros otros términos, la ecuación hecho de que punto r no es otra términos, ecuación (3.210) (3.210) expresa expresa el hecho que el campo campo eléctrico eléctrico en el punto otra cosa cosa que que la superposición radiado por por todos todos los átomos En la superposición del campo campo incidente incidente y del campo campo radiado átomos localizados localizados en ecuación vector P polarización que puede escribirse ecuación (3.210) (3.210) el vector P es la densidad densidad de polarización que en este este caso caso puede escribirse como como
Iv..
r
rr',/.
P(r,w) =hE~Q(r,úJ)uXa =~J.. E~a(r,w)uXa +hE~Jr,úJ)uYa +hE~Jr,w)uYa +~IIE~a(r,úJ)uZa' + ~IIE~a(r,w)uZa' Per,úJ) I~
I
sistema de referencia Ya Z¿a de la Figura 3.32, donde donde en el sistema referencia X¿ XaYaZ Figura 3.32, (3.218) puede reescribirse matricial como (3.218) puede reescribirse en forma forma matricial como
tL ~J..
= N al.. ynd = N all' La ecuación ecuación = NaJ.. ynd ~II ~II = Nall'
r:
ti
(r, úJ) ) E~a (r, úJ)
I
(3.218) (3.218)
(3.2 19) (3.219)
,
E~a (r, úJ) j
•
XaYa I\X a Ya I\ ZaZ a
manera compacta (r, w) =~ E~ (r , w) o de manera compacta como como P Per, úJ) =~ E~(r, úJ).. Para operar cómodamente, cómodamente, vamos referir la densidad densidad de polarización sistema de referencia Para operar vamos a referir polarización al sistema referencia X Y Z /\
mediante la matriz matriz de transformación, transformación, M, una rotación rotación de ángulo mediante M, que que corresponde corresponde a una ángulo X. Esta matriz está por X. Esta matriz está dada dada por O O
M= (~
cos fJ CO~f3 - sen fJ f3
senfJ se~f3). f3 cos fJ De esta manera manera la ecuación ecuación (3.219) (3.219) puede puede reescribirse como De esta reescribirse como O
/\xyz /\XYZ
~
P(r, úJ) w) P(r,
=~ =~
E'(r, E'(r, úJ), w),
donde donde
fJf3 alrededor alrededor del eje
)
(3.220) (3.220)
/\xy z /\/\ --11 /\X"YaZa /\X"YaZa /\ /\xyz ~ =M M. ~ =M ~. M.
s :
/\xY Z /\xYZ
en el sistema referencia X Y Z se obtiene realizar las pertinentes pertinentes La expresión expresión de ~ sistema de referencia obtiene después después de realizar operaciones resultando operaciones resultando /\xy z /\xyz
~ = ~
(h (h
O O
O
fJ + ~II ~II sen22 f3 fJ (h - ~ II ) cos fJ sen fJ h cos cos?2 f3 O O h O O Ch ~ II) cos f3 fJ sen f3 fJ ~II cos 2 fJ + h sen 2 fJ (h -- ~II)
O O
~~3
~22 ~22
~~3 )
~23 ~23
~33 ~33
,
(3.221) (3.221)
de manera polarización queda manera que que la densidad densidad de polarización queda
r,«, = ~l..E~(r, Px (r , úJ) w) = hE~(r, úJ), w), = ~22E;, + ~23E~(r, ~22E~ + ~23 E~(r , úJ), w), ~23E~ + ~33E~(r, ~33 E~(r , úJ). w). Pz(r Pz(r, , w) úJ) = ~23E~
Py(r, úJ) Py (r , w)
31Para detalles puede consultarse and E. Wolf, cit., Secc Sección 31 Para más más detalles puede consu ltarse M. Born Born and Wolf, op. cit., ión 2.4 2.4 y Apéndice Apéndice V. V.
http://carlos2524.jimdo.com/
(3.222) (3.222)
Capítulo de la radiación con la materia Capítulo 3/ 3/ Interacción Interacción de radiación con materia
cada peronda
que mos. á un
que s, de ición onda ido a s. ma-
Buscaremos Buscaremos soluciones soluciones para para
103
P P de la forma forma P(r , úJ) = = RPoeiCkT·r-wl), PCi,0) O eiCkT·r-wI) ,
(3.223) (3.223)
de tal manera (3.210), ésta ésta sea autoconsistente, de modo modo que manera que cuando cuando son introducidas introducidas en la ecuación ecuación (3.210), sea autoconsistente, kT z). Es preciso preciso notar notar que que la solución propuesta en permita permita la determinación determinación de Po y kT kT = = (kTx, (kTx, kTy, kt», kTz). solución propuesta (3 .223) es de la misma (3.223) misma frecuencia frecuencia que el campo campo incidente. incidente. 32 : Para proceder a resolver el problema planteado emplearemos la siguiente relación 'é: Para proceder resolver problema planteado emplearemos siguiente relación
~
:E L
f
f~ :E L
~ Q(r')G(R)dV' 'V x 'V x QCi')G(R)dV'
=
'V x 'V x
~ ~ 8n Q(r'), ~ Q (r') , Q(r')G(R)dV' 3 QCi ' )G(R)dV ' - 3
(3.224) (3.224)
a
a a
donde propaga en el vacío. vacío. Teniendo Teniendo en cuenta cuenta lo anterior, anterior, la donde G(R) G(R) representa representa una una onda onda esférica esférica que que se propaga ecuación (3.210) (3.210) puede puede reescribirse reescribirse como como ecuación
o es,
(3.225) (3.225) donde obviamente la dependencia dependencia temporal temporal ha sido sido eliminada. donde obviamente eliminada. Para continuar continuar hemos hemos de evaluar evaluar la siguiente siguiente integral integral Para
-
¿; :E
11 =
218)
.
ikoR ee,koR ikT eeikT·;:I ·;: ' __ _ _ dV' dV' f R ''
f
(3.226) (3.226)
a
ción
para lo cual cual procederemos procederemos de la siguiente siguiente manera: manera: emplearemos siguiente representación para emplearemos la siguiente representación de una una onda onda esférica en términos términos de ondas ondas planas planas esférica
eikoR
219)
-- - = -
2n22 2n
R
YZ
f
1 f
eik·Cr-r') eik·Cr-r') dVk -----0--dVk ---=-- 2 2 kk - k5 - ie iE'
(3.227) (3 .227)
donde dVk dVk = = dkxdkydk dkxdkydkz z es el elemento elemento diferencial diferencial de volumen volumen en el espacio espacio de momentos, momentos, y tras tras donde finalizar el cálculo cálculo tomaremos tomaremos el límite límite E --+ -+ O. O. De De esta (3.226) queda finalizar esta manera manera la integral integral de la ecuación ecuación (3.226) queda como como
1 eje
1 1 = -2n 2
220)
f
b
a
.
I
I
I
e'{CkTx-kx)X +CkTy-ky)Y +CkTz-kz)z } dx' dy' d z' dk dk dk ei Ckxx +kyy+kzz ) - -- - ---::---- - - x y z k2 - k2 , o - l·E
(3.228) (3.228)
bien o bien al
1
=
-I-fdk _1_ 2n22 2n
f
f
00 00
dk dk dk f dk dk x y zZ
f
00 00
dx'ei(kTX-kx)X' dx' ei CkTX- kx)x' f
--00 00
dz'eiCkTZ-kzjz' d z' eiCkTZ-kzlz'
-00 -00
ntes
f
00 00
f dy' dy' ei(kTr eiCkTrky)yl ky)y'
221)
O O
Las integrales integrales Las
o
a l1 y a2 ai pueden pueden escribirse escribirse en términos términos de las distribuciones a distribuciones f, de Dirac Dirac3333: :
al
222)
(3.229) (3.229)
= 2nf,(kTx 2no(kTx - kxx),), =
= 2nf,(kTz 2no(kTz - kzz)·)· a2 =
(3.230) (3.230)
32Ver Born & & Wolf, Wolf, op. cit. 32 Ver Born 33Para detalles véase véase por por ejemplo ejemplo el el libro libro de L. Schwartz, Schwartz, Métodos Selec33 Para más detalles Métodos matemáticos matemáticos para para las las ciencias ciencias físicas, físicas, (Madrid, (Madrid , Selecciones Científicas, Científicas, 1969). 1969). ciones
http://carlos2524.jimdo.com/
104
Óptica Óptica física física
La ecuación (3.230) (3.230) expresa expresa el hecho que las ondas ondas re-radiadas átomos interfieren interfieren constructiconstructiLa ecuación hecho de que re-radiadas por por los los átomos vamente solamente en una cierta dirección. dirección. La integral a3 calcularse de la manera siguiente vamente solamente una cierta La integral a 3 puede puede calcularse manera siguiente
(3.231) (3.231)
Es preciso preciso notar notar que que al llevar llevar a cabo cabo la integración integración en (3.231), (3.231), la contribución contribución de los átomos átomos situados situados en 34 el infinito infinito se considera considera despreciable despreciableé". . De esta puede ponerse ponerse como De esta manera manera la ecuación ecuación (3.229) (3.229) puede como
00
f
dk;
-00
kTy
1 _
eikyy
2
ky kTx
2
+ kTz + ky2 -
2
ko -
(3.232) (3.232)
.' lE
medio material, material, esto para Ya estamos estamos en condiciones condiciones de evaluar evaluar la expresión expresión (3.225): (3.225): dentro dentro del medio esto es para puede determinar técnicas de integración plano complej y > > O, O, la integral integral 1 se puede determinar empleando empleando las técnicas integración en el plano complejo+ 0 35 resultando finalmente resultando finalmente que que (3.233) (3.233) donde = (kTx donde T T está está definido definido como como T T= (kTx, , q, q, kTz)' kTz)' q Si definimos vector definimos • el vector
ee ==
\7 x (\7 -4 1J4 V (V x JfEo Jr Eo
=
JJ
k5 k~ - (k}x (k}x
+ k}z), k} ), A = , ~Jr YY B = Z II'J(I'J-kT'J) ' J(I'J -kT'J ) 4 4
~Jf
,
24Jrkk ' ' kk24Jf 22 T T-- o o
vemos que Po l) l) entonces entonces vemos que (3 .234) (3.234)
todos los dipolos medio para para yy > FinalEsta ecuación nos proporciona proporciona los campos radiados por por todos Esta ecuación nos campos radiados dipolos del medio > O. O. Finalmente llegamos resultado mente llegamos al resultado (3.235) (3.235) La consistencia requiere que miembros de la ecuacion La consistencia de la ecuación ecuación (3.235) (3.235) requiere que ambos ambos miembros ecuación se anulen anulen simultásimultáneamente. Los resultados resultados que muy interesantes: neamente. Los que se infieren infieren de esta esta condición condición son muy interesantes: (a) La La consistencia .235) requiere requiere necesariamente necesariamente que cumpla la consistencia del lado lado derecho derecho de la ecuación ecuación (3 (3.235) que se cumpla condición por lo que ha de ser condición T T = ko, por que entonces entonces ha ser que que q = ko. (b) Para Para las componentes parte izquierda componentes Y y Z del campo campo eléctrico eléctrico dado dado en la parte izquierda de la ecuación ecuación (3.235), (3.235), dentro medio ha ha de verificarse verificarse que dentro del medio que (3.236) (3.236)
(3.237) (3.237) Por otra parte, la onda medio tiene tiene un número número de ondas relación Por otra parte, onda dentro dentro del medio ondas tal que que cumple cumple la relación kT = kTy ko , donde refracción que De modo modo que kt» = nf3 nfiko, donde nf3 nfi es el índice índice de refracción que experimenta experimenta la onda. onda. De que las 34 y éase R. P. P. Feynman, Feynman, op. cit. 34Yéase 35Puede por ejemplo texto debido N. Levinson Lev inson yy R. R. M. Redheffer, Redheffer, Curso variable compleja, Barce35PlIede consultarse consultarse por ejemplo el texto debido a N. Curso de variable compleja, (Reverté, (Reverté, Barcelona, lona, 1990).
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo materia Capítulo 3/ 3/ Interacción Interacción de de la radiación radiación con con la materia ucti-
105
ecuaciones (3 (3.236) (3.237) pueden pueden reescribirse reescribirse como como ecuaciones .236) Y (3.237)
~ n~n~
Eby + [11 + 1 ] s23 s23Eby [ ~ - n1n~ 1]
.231)
(~ - n~n~ n1n~ 1) 1) S33J S33] Ebz (~ Ebz == O,
(3.238) (3.238)
Y Y
[[11 +
os en
~S22 Ebz == O.O. ~S22J] Ebyy+ GS22J [~S22J Ebz
(3.239) (3.239)
Para que existan existan soluciones soluciones no nulas para el campo campo eléctrico eléctrico el determinante que podemos podemos formar Para nulas para determinante que formar .239) ha de ser nulo, a partir las ecuaciones partir de las ecuaciones (3.238) (3.238) y (3 (3.239) nulo, lo cual cual conduce, conduce, tras tras unos unos cálculos cálculos tediosos tediosos, , a que que se ha de verificar verificar la relación relación
5f
(S22S33-- si3) S~3) + 5f ~~ (S22S33 1 + ~S22 ~S22
.232)
para ej035
.233)
La ecuación ecuación (3.240) (3.240) es una una relación relación entre entre el índice índice de refracción refracción que experimenta experimenta la onda onda dentro dentro junto con el ángulo del medio medio y los parámetros parámetros microscópicos microscópicos que que caracterizan caracterizan el material, material, Sil Sil y S.l, h,junto ángulo que justamente que forma forma el eje óptico óptico con con el eje Z. La peculiaridad peculiaridad de la ecuación ecuación (3.240) (3.240) estriba estriba justamente en que f3: si el material isótropo que aparezca aparezca en la expresión expresión del índice índice de refracción refracción el ángulo ángulo f3: material fuese fuese isótropo esta .240) está esta dependencia dependencia no aparece. aparece. Por Por otro otro lado, lado, la expresión expresión (3 (3.240) está puesta puesta en la forma forma de la ecuación de Lorentz-Lorenz: Lorentz-Lorenz: similar similar a la expresión expresión (3.15) (3.15) para para medios medios isótropos. isótropos. En efecto efecto si ecuación f3 = = O entonces entonces la ecuación ecuación (3.240) (3.240) se reduce reduce a
n; n~
.234)
mientras mientras que que si f3
1
+2
ultá-
35),
236)
237) ción e las
arce-
3' 3'
S h.l 3
(3.241) (3.241)
(3.242) (3.242)
En este este sentido sentido a no y ne n¿ los denominaremos denominaremos índices índices de refracción refracción de la onda onda ordinaria ordinaria y extraorextraordinaria dinaria respectivamente. respectivamente . (c) Para .235) obtenemos Para la componente componente X dada dada en la parte parte izquierda izquierda de la ecuación ecuación (3 (3.235) obtenemos la siguiente siguiente relación relación II
la la
Sil Sil
= Jrit //22 entonces reduce a entonces la relación relación (3.240) (3.240) se reduce
inal-
.235)
(3.240) (3.240)
Eox
2 E ox + --h hEox II
3Eo
1 - ---eTx -éJTx = = O. 4Jr Eo 4lfEO
(3.243) (3.243)
Siguiendo Siguiendo un procedimiento procedimiento análogo análogo al anterior, anterior, llegamos llegamos a obtener obtener una una relación relación entre entre el índice índice de refracción refracción que experimenta experimenta la componente componente X de la onda onda y los los parámetros parámetros microscópicos microscópicos dada dada por por n~ - 1 n~ n22o + +22
S..L S .l
3 ' 3'
(3.244) (3.244)
que que de nuevo nuevo está está escrita escrita en la forma forma de Lorentz-Lorenz. Lorentz-Lorenz, Es preciso incidente está preciso notar notar que de todo todo lo anterior anterior se infiere infiere que si la frecuencia frecuencia del campo campo incidente está alejada de las resonancias medio material alejada resonancias electrónicas, electrónicas, esto esto es, W¡ Wl « « W y W3 « « ww,, el medio material será será esenesencialmente cialmente transparente, transparente, por por lo que que no exhibirá exhibirá atenuación atenuación apreciable apreciable la onda onda dentro dentro del medio medio al propagarse. propagarse. (d) Lo que expresa por los expresa la parte parte derecha derecha de la ecuación ecuación (3.235) (3.235) es que que parte parte de las ondas ondas radiadas radiadas por átomos átomos se invierte invierte en cancelar cancelar la onda onda incidente, incidente, de ahí que que se hable hable del teorema teorema de extinción. extinción. A partir partir de la parte parte derecha derecha de la citada citada ecuación ecuación podemos podemos determinar determinar las amplitudes amplitudes de los campos campos
http://carlos2524.jimdo.com/
106
Óptica Óptica física física
locales por locales que vienen vienen dadas dadas por II
EOx
= 2(n 2(noo -
E El l
-
_ _
Oy Oy -
EOIZ =
1 ;nc inc 1)-E l)-Eox ox '
(3.245) (3.245)
hh
-l3~23 32~23
22 2(n(3 (3 2(nf3 - 1)(n 1)(n f3
1 + ~~22 ~~22
+ 2) EELnC .
3(n~ 3(n~ - 1)
LnC
(3.246) (3.246)
oz ' Oz
2(n(3 (32 + 2) . 2(nf3 - 1)(n 1)(n2f3 LnC LnC E E 3(n~ O z . 3(n~ - 1) Oz
(3.247) (3.247)
Las ecuaciones amplitudes de las ondas ondas refractadas. refractadas. ecuaciones (3.245)-(3.247) (3.245)-(3.247) nos van a permitir permitir determinar determinar las amplitudes Para del campo campo local local previamente previamente calcalPara ello necesitamos necesitamos determinar determinar el campo campo macroscópico, macroscópico, que que difiere difiere del culado. uno dado dado están están polarizados polarizados como como culado. Recordemos Recordemos que los átomos átomos o moléculas moléculas que que están están cerca cerca de uno consecuencia eléctrico que que actúa actúa sobre sobre un átomo átomo es la consecuencia de los campos campos presentes, presentes, de manera manera que el campo campo eléctrico campo interno interno puede puede estimarseé" estimarse36 suma suma del campo campo macroscópico, macroscópico, (E (EMM),) , y del campo campo interno, interno, (E;) (Ei). . El campo computando menos el campo campo debido debido a aqueaquecomputando la diferencia diferencia entre entre el campo campo debido debido a los átomos átomos próximos próximos menos están suficientemente suficientemente itlejados; itlejados; estos estos últimos últimos pueden pueden considerarse considerarse como llos que están como el campo campo debido debido a un dado por por continuo continuo con una una polarizacón polarizacón P. Por Por lo tanto tanto el campo campo interno interno está está dado -+ -> 1 ~ E¡ = = -PP E; -+
3Eo
-+ ->
+ E prox prox. .
(3.248) (3.248)
El cómputo pr ox requiere distancias inter-atómicas inter-atómicas o inter-moleinter-molecómputo de E E prox requiere un conocimiento conocimiento detallado detallado de las distancias culares. una primera vamos a considerar Eprox prox ~~ O. Teniendo Teniendo en cuenta cuenta las culares. Como Como una primera aproximación aproximación vamos considerar que que E consideraciones siguiente ecuación ecuación consideraciones previamente previamente enunciadas enunciadas llegamos llegamos a que que se satisface satisface la siguiente
(3 .249) (3.249)
I •
Si tenemos tenemos en cuenta cuenta que que P P, x
=
macroscópico para para la la onda onda ordinaria ordinaria vendrá vendrá dado dado por por E;, el campo campo macroscópico
EO~.l EO~.L E ~,
(3.250) (3.250) mientras mientras que que para para la onda onda extraordinaria extraordinaria se obtiene obtiene
E Ey
2 ~23(n~ ;nc ;(k n y-wt) y-wt ) ~23(n~ + 2) inc i(k = e oO/JfJ = - -)E Eoz e , 9 Oz ' (3 + 1) . 9 (n (nf3 1) (11 + 3~22 ~~22
(3.251) (3.251)
EM z
= __2_EinCei(konfJy-wt) nf3 + 1 Oz
(3 .252) (3.252)
M
y
(2)
novedoso de la onda onda extraordinaria extraordinaria estriba estriba en el hecho hecho de que Lo novedoso que aunque aunque la onda onda incidente incidente tiene tiene componente componente en la dirección dirección del del eje eje Y. componente Z Z,, dentro dentro del medio medio se establece establece una una onda onda que tiene tiene componente Nos este esquema, magnética que que viene viene dada dada por por (3.211). (3.211). Nos falta falta para para completar completar este esquema, determinar determinar la inducción inducción magnética De hecho, llevado a cabo cabo se llega llega a que que la ecuaecuahecho, siguiendo siguiendo un procedimiento procedimiento similar similar al anteriormente anteriormente llevado 36 Yéase por 36Yéase por ejemplo ejemplo el texto texto debido debido a J. J. D. Jackson, Jackson, opto opto cit. cit.
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo 3/ 3/ Interacción Interacción de la radiación radiación con la materia materia Capítulo
107
ción (3.211) (3.211) puede puede reescribirse reescribirse como como ción ~,~ ~,~ (r, t) t) B (r,
~~ ~~ Binc(r, t) t) Binc(r,
= =
L :. :. L
J-to /J.-o
+ -v 4n 4n
x
jPU:"t+R/C) jPcr"t+R/C)
R
dV dV
,,
(J (5
~ ~ B· .(r t) t) = BincCr, lI1C,
.
¡ ko· lko· 4nEoc nEOC
jj ~ L. L.
__ _ ee-lúJ/V - _ 1W1V x 4
~
ik ik R R
·k 'k-- -r-/t e oo
1 T'" P. Poe o el T·r
-- -
R R
dV'. dV'.
(3.253) (3.253)
(J (5
Evidentemente la integral integral que aparece aparece en la ecuación (3.253) es la que Evidentemente ecuación (3.253) que previamente previamente hemos hemos determinado, determinado, manera que el campo campo de inducción inducción magnética magnética radiado radiado por por los de manera los átomos átomos del medio medio está está dado dado por por
das. cal-
K~
mo
iko --iko = - -V 4nEoc 4nEoc
la e36 ueun
[~] x [~] Po 1 ,
(3.254) (3 .254)
bien o bien (3.255) (3.255) En el caso que nos ocupa ocupa ahora, ahora, la autoconsistencia autoconsistencia en la (3.253) requiere caso que la ecuación ecuación (3.253) requiere que que
48) (3.256) (3.256) le-
derecho de la ecuación ecuación (3.256) (3.256) expresa expresa el hecho hecho de la cancelación El lado lado derecho cancelación del campo campo de inducción inducción magnética incidente. incidente. Por Por lo tanto tanto el campo campo local local magnético magnético vendrá magnética vendrá dado dado por por
las
,
B¿
H' = Bx H=x
(3.257) (3.257)
J-to /J.-o
,
B¿ Bz
zz
J-to /J.-o
H=H=49)
(3.258) (3.258)
donde hemos hemos considerado considerado que que el medio medio es no magnético, magnético, o en otras M = 0, O, por por lo tanto tanto el donde otras palabras palabras que que M campo local local magnético magnético coincide coincide con el campo campo magnético magnético macroscópico. campo macroscópico. Vamos a determinar determinar las direcciones direcciones de propagación propagación de la energía energía dentro Vamos dentro del del medio medio material, material, para para lo tenemos que determinar determinar los los correspondientes correspondientes vectores vectores de Poynting j> = cual tenemos Poynting dados dados por por:P = :R. :R. ( este modo modo para para la onda onda ordinaria ordinaria se tendrá tendrá De este .¡:;o :J;,:;
-_=
CEO CEO
E)jj;) x:R. x:R. ( ¡¡). H).
IEinc 4noo 2 IEincI2 Ox onoy - on úJt ) lJ~,. OxI2 cos cos 2 (k onoy (no + 1) (no . A
(3.259) (3.259)
mientras que que para para la onda onda extraordinaria extraordinaria resulta resulta mientras
~~
1)
:J>e=CEO :Pe = CEO
4n,8. 4nfl' (nfl (n,8
2IEO';cl 2IEO';CI
1) + 1)
2( 2 2( j-j-9 (11 (nfl,8 9
~23(n~+2) ~23(n~+2) ((
1) 1 + ~~22 + 1) ~~22
A) 22
~) )k (konflY-úJt). )k cos cos (kon ,8y -úJt).
(3.260) (3.260)
2) Cabe destacar destacar de lo anterior anterior que aunque aunque en ambos ambos casos casos los frentes Cabe frentes de ondas ondas son planos planos y se propagan propagan dirección del eje Y, sin embargo embargo la dirección dirección de propagación propagación de la energía en la dirección energía en el caso caso de la onda onda extraordinaria no coincide coincide con la dirección dirección de propagación propagación de los frentes extraordinaria frentes de onda, onda, cosa cosa que que sí le ocurre ocurre a onda ordinaria. ordinaria. De ahí que que la onda onda ordinaria ordinaria sea transversal, transversal, mientras la onda mientras que que la onda onda extraordinaria extraordinaria no lo ~ ~ ~ M . M sea o, lo que que es lo rrusmo, kr lEe, donde E¿ = (0, Ey .E; ). mIsmo, kT donde E e E y ,Ez Estos resultados cabía cabía esperarlos esperarlos teniendo teniendo en cuenta cuenta la discusión Estos resultados discusión inicial inicial de este este problema. problema. Cabe Cabe notar notar adicional mente que del resultado resultado del teorema teorema de extinción extinción se infieren también los coeficientes Fresnel adicionalmente infieren también coeficientes de Fresnel cuenta de las relaciones relaciones en ampl amplitud campos refractados que dan cuenta itud de los campos refractados respecto respecto al campo campo incidente. incidente. Así
ne
~
1).
a-
\
~
~
http://carlos2524.jimdo.com/
108
Óptica física mismo a partir de las ecuaciones (3.259) y (3.259) se infieren elemental mente la transmitancia para la onda ordinaria, To, Yextraordinaria, Te, que resultan T¿
=
Te
=
4no
(1
+ no)2'
(1
+ n,8)2
(3.261)
4n,8
(3.262)
.
Mientras que en un medio isótrapo en condiciones de incidencia normal la transmitancia para la componente paralela y perpendicular al plano de incidencia son iguales, en un medio anisótrapo esto no ocurre, salvo en el caso de que f3 = tt /2. A continuación vamos a derivar las expresiones para los campos reflejados. Para ello basta tener en cuenta que estos campos se propagan en el semiespacio y < O, por lo que ahora se tendrá
f [~ L;
~I
~
E (r, t)
=
~
Einc(r,
-e-
t)
+
1 --v x V 4nEo
X
P(r
~I
, t - R/c)/R
]
dV I ,
(3.263)
u
~
donde ahora conocemos el valor de P dentro del medio material (para y > O). La última parte de la ecuación (3.263) nos proporciona las ondas reflejadas
iR = iR/kwr =
_1_V
O
4nEo
[po
x V x
1] .
(3.264)
Nótese que ahora el valor de la integral 1 difiere del previamente calculado en (3.233), puesto que el valor de la ecuación (3.232) ha de calcularse para y < O. Si empleamos las técnicas de integración en el plano complejo, se llega finalmente a que 1=
2n q(kTy
+ q)
ei(kTxx-qy+kTZZ),
(3.265)
por lo que kR = (O, -ko, O), donde se han tenido en cuenta los resultados anteriormente obtenidos. Las amplitudes de las ondas se obtienen realizando las operaciones indicadas en (3.264) y finalmente se llega a que E R x
1 ElIlC. el '( - k oy-wt
= 110 --- no
+1
)
Ox
(3.266)
'
n « __-1 Eincel(-kOy-wt) ER = _JJ 1
11,8+
Z
(3.267)
Oz
El campo magnético se evalúa siguiendo un procedimiento similar y se obtiene finalmente (3.268) (3.269) De manera que los vectores de Poynting de las ondas reflejadas se obtienen inmediatamente
_
u 0-
_
u e-
:~
-
CEO
-
CE
(no - 1)2 ?
(no
+ 1)-
tne -
1)2
JJ
0(11,8+1)202
inc 2
2
I EOx I cos ( .
IEmcl
2
k
Oy
2
+
cos (k y+wt)j. O
) ~
tot j,
~
(3.270) (3.271 )
De nuevo se recuperan los resultados relativos a los coeficientes de Fresnel y las reflectancias para ambas componentes del campo incidente.
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo Interacción de la radiación Capítulo 31 3/1nteracción radiación con la materia materia
109
Del análisis análisis anterior anterior obtenemos obtenemos los los mismos que en el caso caso de que que empleemos empleemos la teoría mismos resultados resultados que teoría macroscópica 37 bien conocido por otro otro lado principio de Huygens Huygens modificado modificado con macroscópica ". . Es bien conocido por lado que que empleando empleando el principio con la idea puede calcular posición en el espacio idea de la interferencia interferencia de las ondas ondas esféricas esféricas secundarias, secundarias, se puede calcular la posición espacio de una instante de tiempo conoce la perturbación en un instante instante anterior. anterior. La perturbación en La teoría teoría una perturbación perturbación en un instante tiempo si se conoce debida a Huygens explicar la doble doble refracción considerando que que las ondas ondas secundari secundariasas de la luz debida Huygens permite permite explicar refracción considerando elipsoidales en un medio medio anisótropo, anisótropo, aunque aunque esta esta teoría considera en ningún que las son elipsoidales teoría no considera ningún momento momento que fuentes reales entidades atómicas. atómicas. fuentes reales de radiación radiación son las entidades
la
61) 62) 0-
e,
en
3.33. 3.33. 3)
Una plana linealmente linealmente polarizada longitud de onda onda A = = 633 nm nm y cuya cuya intensidad intensidad es de Una onda onda plana polarizada de longitud mW incide normalmente sobre una lámina cuyo cuyo espesor espesor es de 1 cm. La La lámina lámina es de un material normalmente sobre una lámina material 1m W jcm / cm2 2 incide isótropo absorbente absorbente tal que que la onda onda experimenta experimenta un Índice Índice de refracción refracción de n = = 1.6 - 0.000025 0.000025 ii.. isótropo Determinar intensidad de la onda onda a la salida. salida. Determinar la intensidad Resolución Resolución
la
onda a la entrada entrada vendrá dada por por La onda vendrá dada
2") 2" ) e= = Eoe' E inc = Eoe'.( wwt-¡:x f- yX ,,
4)
(3.272) (3.272)
donde hemos elegido el eje XX en la dirección dirección de propagación, onda en el vacío vaCÍo de la donde hemos elegido propagación, y AA es la longitud longitud de onda onda. Dentro campo vendrá dado por onda. Dentro del medio medio el campo vendrá dado por
or o
(3.273) (3.273) 5)
siendo n el Índice Índice de refracción que experimenta experimenta la onda onda dentro dentro del medio. onda a la salida salida siendo refracción que medio. Finalmente Finalmente la onda podrá computarse como como podrá computarse
as ga
(3.274) (3.274) donde nn,r Y ni son son la parte imaginaria del Índice Índice de refracción espesor donde parte real real e imaginaria refracción respectivamente respectivamente y do es el espesor material3838. . De esta manera irradiancia a la salida salida será será del material De esta manera la irradiancia
6) ¡sal
= c~o E5It(l)t(2)12
e-~nido
=
¡inclt(l)t(2)12
e-~l1ido.
(3.275) (3 .275 )
7) Realizando cálculos resulta finalmente ¡sal ¡sal Realizando los cálculos resulta finalmente salida se ha considerablemente. salida ha reducido reducido considerablemente.
3.34. 3.34.
8) 9)
=
6.27 6.27
X
10-33 mW 10mW jcm / cm22
.
Vemos que la irradiancia Vemos que in'adiancia a la
(nv = = 1.5) con con una capa capa delgada delgada de metal cuyo índice índice de refracción vidrio BK7 BK7 (nv metal cuyo refracción viene viene Se recubre recubre un vidrio dado por 3.6 - 1.25i. 1.25i. Dibujar función del del espesor espesor de la dado por n = 3.6 Dibujar la transmitancia transmitancia del vidrio vidrio recubierto recubierto en función capa de metal. Sabiendo que que la longitud longitud de onda onda de la radiación incidente es AO AO = 500 500 nm estimar capa metal. Sabiendo radiación incidente nm estimar espesor que que debe debe tener capa de metal metal para que se transmita irradiancia el espesor tener la capa para que transmita una una milésima milésima parte parte de la irradiancia incidente. incidente.
Resolución Resolución
O)
Consideremos la onda onda incidente incidente de la forma forma Consideremos inc( E Einc( x zz,, t )
1)
¡
'( 2IT kA -) = EE 'i(wt-~k.r) oe wf-y:-o·r,, = oe
(3.276) (3 .276)
37 En la que vector desplazamiento, de:,plazamiento, D, microscópico de la interacción interacción 37En que se emplea emplea el el denominado denominado vector D, en en el que que se subsume subsume eell contenido contenido microscópico en eell vector vector polarización. polari zación. 38En la resolución ignoramos las múltiples que se producen lámina. 38En reso lución ignoramos múltiples reflexiones refl ex iones que producen en la lámina.
http://carlos2524.jimdo.com/
110
Óptica Óptica física física
manera que que la onda onda dentro dentro del medio medio vendrá vendrá dada dada por por de manera '(
med( mede )) Ex Z, t
2JTn
k' -)
(I)E i(wt_2J:"í(.¡:) wt - -¡:- ·r = t (I)E Oe oo oe 2JT3 ~ 1. 25z (w t_2rr3 .6 z) 1) 1) -~1.25z (wt_ .6z) = t ( Eoe e A O, Eoe )'0 Aa, 1
(3.277) (3.277)
donde t(J) t(l) es el coeficiente coeficiente de transmitancia transmitancia en amplitud amplitud de la interfase interfase aire-metal. aire-metal. Si llamamos llamamos t(2) donde {(2) al coeficiente de transmitancia transmitancia en amplitud amplitud de la interfase interfase metal-BK7 metal-BK7 el campo campo eléctrico eléctrico dentro dentro del vidrio coeficiente vidrio BK7 será será BK7 med( mede ) Ex E Z, t
25 ( 2rr 1.5 ) 25 2JT zz wt - -)z e wt--)-z 'o'o.
2rr 1I 2JT
(2)E -¡:-.. = t (1) t (2)E oe -¡:oo
(3.278) (3.278)
.
.
De manera manera que la irradiancia irradiancia de la onda onda dentro dentro del vidrio vidrio BK7 BK7 vendrá vendrá dada dada por por De E2e-~1.25z, 12E2e~ 1.25Z, 2
¡med(z) )cx ex: ¡med(z
1 1
4n (l+n)(n+nv) v) (l+n)(n+n
(3.279) (3.279)
1
O O
transmitancia''?39 será y la transmitancia será T
¡med ¡med ¡¡inc ine
=
=
4n
11
(l (l
n)(n + nv) + n)(n
22
-'!!!.1.25z - '!!!. 1.25z
11
e
Aa AO
(3.280) (3.280)
•
dibujamos la curva curva correspondiente correspondiente a la transrnitancia transmitancia dada dada por por (3.280) (3.280) en función función del espesor espesor de la Si dibujamos capa vemos vemos que que se trata trata de una una exponencial exponencial decreciente. decreciente. En la Figura Figura 3.33 3.33 se muestra esta curva. curva. Si la muestra esta capa 0.4.-----------------------, 0.4 ,---------------------,
2
3
(m) x 10" 10" z (m)x
3.33 Transmitancia Transmitancia de una capa de metal metal en función función del espesor espesor zz depositada depositada sobre sobre el Figura 3.33 vidrio BK7. vidrio
intensidad intensidad se reduce reduce a una una milésima milésima de la incidente, incidente, se tendrá tendrá que lO~O lO~O donde se tiene tiene que zo donde
3.35.
0.204 ¡Lm. ¡Lm. = 0.204
4n
I+n )(n+n v) I((I+n)(n+nu)
II e --~1.25zo ~ 1. 25zo d ,e e o ,
quiere comunicar comunicar la Tierra Tierra con con la Luna Luna utilizando utilizando señales señales electromagnéticas. electromagnéticas. densidad Se quiere Si la densidad electrónica de la ionosfera ionosfera es N = = 105 cmcm-3,3 , calcular calcular la frecuencia frecuencia máxima máxima que que se puede utilizar. electrónica puede utilizar. ¿Se transmitirá transmitirá la onda onda de la frecuencia frecuencia calculada calculada más arriba arriba a través través de una fina capa capa de metal metal de 1 ¿Se 22 mmm de espesor espesor si la densidad densidad electrónica electrónica de éste éste es de N = = 1022 m-3?3 ? mm Resolución Resolución índice de refracción refracción de un material material dieléctrico dieléctrico con con una una sola sola resonancia resonancia se puede puede poner poner como como El índice
n 2(w) (w)
Ne Ne22
----;:---~--.22 = 1 + ----::-----. meEO m eEO
w6 - w
iyww + iy
resolución problema ignora ignoramos efectos de las reflex reflexiones múltiples en en la capa capa delgada delgada de metal. metal. 39En la reso lución del problema mos los efectos iones múltiples
http://carlos2524.jimdo.com/
(3.281 )
Capítulo Interacción de Capítulo 3/ 3/lnteracción de la radiación radiación con con la materia materia
111
En el caso metal o de un medio primera aproximación caso de un metal medio conductor, conductor, en general, general, podremos podremos suponer suponer en primera aproximación que ligaque los electrones electrones pueden pueden moverse moverse sobre sobre largas largas distancias distancias sin colisionar colisionar y además además no se encuentran encuentran ligados: son electrones = O; de esta esta electrones cuasilibres. cuasilibres. Por Por ello ello podremos podremos suponer suponer en la expresión expresión anterior anterior que que ú)o wo = manera la expresión expresión (3.281) (3.281) se puede puede poner poner como como manera
7)
1,
2
al io
n (ú) (w)
22
Ne
1
Ne = 1+ - - -1 - = ----m eEo --(w)2 (ú)2 meEo
donde donde 8) Ú)p
=
ú)~ w~
1- -. .
(3.282) (3.282)
ú)2 w2
¡g e2
--
(3.283) (3.283)
meEo'
conoce con con el nombre nombre de frecuencia De (3.283) (3.283) se sigue sigue que que si ú) ea > > Ú)p wp el Índice se conoce frecuencia de plasma. plasma. De índice de de refracción es positivo positivo y la onda onda podrá podrá propagarse propagarse en el medio medio conductor. conductor. En caso caso contrario, contrario, esto refracción esto es, si ea < < Ú)p, wp, el índice Índice de refracción refracción es imaginario imaginario puro puro y no se podrá podrá propagar propagar la onda. onda. ú) caso de la ionosfera, ionosfera, deberemos deberemos calcular calcular en primer primer lugar lugar la frecuencia frecuencia de plasma. plasma. En este En el caso este caso, caso, 101Im-3,3 , con lo que que N == 101Im-
9)
O) wp Ú)p
la la
=
11 (1.6 19)2 (1.6 XX 10-19 1011 )2 12 x 9.1 X 1010-3131 8.8 x 10-12
----;-;::----~ = 1.7 x 107 rad/ radjs.s. - - - = - - ----::-:- =
(3.284) (3 .284)
Este valor valor representa representa la frecuencia frecuencia mínima mínima que puede propagar propagar a través través de la ionosfera. ionosfera. Este que se puede caso de un metal, metal, al ser mucho mucho más denso, denso, la frecuencia frecuencia de plasma plasma será será también también mucho En el caso mucho más 22 elevada. En efecto, efecto, para m frecuencia de plasma plasma vale m-- 3, la frecuencia elevada. para N = 1022 )
22 ((xx 1.6 X 10-19 19)2 1022 )2 12 31 12 108.8 x 10- x 9.1 x 10-
5.6 = 5.6
x 10
12 12 radjs. rad/s.
(3.285) (3.285)
Así pues, pues, la frecuencia frecuencia calculada calculada anteriormente anteriormente es mucho mucho menor menor que la correspondiente correspondiente a AO, AO, por Así por lo que que esta última no se propagará. Obsérvese que la frecuencia calculada pertenece a la región del infrarrojo lo esta última propagará. Obsérvese frecuencia calculada pertenece región infrarrojo Jo que explica explica la fuerte fuerte reflectancia reflectancia de los metales en el infrarrojo y en el visible. metales infrarrojo visible.
PROBLEMAS PROPUESTOS PROPUESTOS PROBLEMAS el
de
1)
CLÁSICA DE LA RADIACiÓN RADIACiÓN TEORíA CLÁSICA
3.1.
Escribir la expresión expresión de una una onda onda plana plana que que se propaga propaga en la dirección dirección del eje eje X y vibra vibra en la dirección Escribir dirección 15 Hz cuya frecuencia frecuencia es 1015 amplitud 0.3 V/m. V/m. del eje Z, cuya Hz y de amplitud Determinar el campo campo magnético, magnético, H. (a) Determinar R. Determinar la irradiancia, irradiancia, I. l. (b) Determinar (e) Este Este haz incide incide sobre sobre un átomo átomo que que está está colocado colocado en el origen origen de coordenadas. coordenadas. Suponer Suponer que (c) que el electrón más más externo externo es afectado afectado por por el campo campo incidente. Determinar en la región región de ondas electrón incidente. Determinar ondas cómo cómo campo radiado radiado por por el átomo átomo en aproximación aproximación dipolar dipolar en las direcciones direcciones X, Y Y Z, Z, en un punto es el campo punto dista R del origen origen de coordenadas. coordenadas. que dista Suponga ahora ahora que el campo campo incidente incidente sobre sobre el átomo átomo está está circularmente circularmente polarizado. polarizado. Determinar (d) Suponga Determinar estado de polarización polarización del campo campo eléctrico eléctrico radiado radiado por por el átomo átomo en la dirección dirección del eje el estado eje Z. Z. 15 rad/s, Suponga que la frecuencia frecuencia del campo campo incidente incidente es de 4.5 x 1015 rad/s, que que el átomo átomo tiene (e) Suponga tiene una una frecuencia de resonancia resonancia para para AO = = 200 200 nm y que que la amplitud amplitud del campo campo incidente incidente es de 1033 frecuencia V/m. Determine Determine la potencia potencia media media emitida emitida por por el átomo, átomo, Pm,, cuando cuando sobre sobre él incide incide este V/m. este campo. campo. 22 2
Suponga que que puede estimar la vida vida media media del átomo átomo mediante mediante la expresión expresión y = = Suponga puede estimar
http://carlos2524.jimdo.com/
úJo 3. úJ" 3. 1fEOJnec lfEOJn eC
6 e
112
Óptica Óptica física física SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
f¡ = -cEoEocos(wt kx)j. (a) f¡ = -cEoEo cos(wt - kx)j. 4 1.19 X (b) /1 = 1.19 X 10-4 WmWm-22. . w2 po w2po
A A
w2 po w2po
A A
= -4 4 2R cos(wt cos(wt - kR)k. kR)k. Ey =4---Z-R COS(Wf - kR)k kR)k Y Y E¿ = O. (e) Ex Ex = 2R Ey = 4 2R cos(wt Ez = 7rEoc 7rEoc 7rEoc 7r Eoc _
w2PO W2POy
(d) E¿ - 4-+R 4---Z-R cos(wt cos(wt - kR)k. kR)k. (d) Ez = 7rEoC 7rEoC
(e) P/IZ PII1 = = 4.85 4.85
3.2.
A A
X
2 1 W. 1010-21
Una onda plana está especificada (en el sistema por la siguiente Una onda electromagnética electromagnética plana está especificada sistema MKS) MKS) por siguiente expresión expresión
= = 10 1022 cos [n [n(3(3 x E y = O, Ey O,
Ex Ex
t)],t)] , (V1m)
14 1066zz - 9 x 1014
E¿ =0. E z =0.
(a) (b) (e) (c)
Determinar Determinar la longitud longitud de onda, onda, frecuencia frecuencia y velocidad velocidad de fase. Calcular el vector de Poynting y la irradiancia onda. Calcular vector Poynting irradiancia de la onda. Dibujar en un sistema sistema de ejes, ejes, la variación variación espacial espacial del campo campo eléctrico eléctrico en un instante instante fijo indicando indicando Dibujar donde la amplitud amplitud del campo campo se hace hace nula. nula. Calcular Calcular la posición estos puntos puntos respecto respecto los puntos puntos donde posición de estos origen. del origen. Indicar las unidades todas las magnitudes magnitudes calculadas. calculadas. Indicar unidades de todas SOLUCIÓN: SOLUCIÓN: 14 Hz, Vf = = 0.666 0.666 ¡Lm, ¡Lm, v\! = = 4.5 X 10 1014 1088 mis. mis. (a) AA. = Hz, vf = 3 x 10 j5 = c~o100 (Wm-22).). 1 = 13.275 13.275 WmWm-22. . (b) ¡P c~o 10022kk (Wm-
3.3.
haz de luz se propaga través de un medio medio de índice índice n = 1.5. Si la amplitud amplitud del haz haz dentro dentro del medio medio Un haz propaga a través 12 V/m. ¿cuál ¿cuál es la irradiancia irradiancia 1 de la onda? onda? (EO (EO = 8.85 8.85 X 10-12 F/m). F/m). es de 100 V/m. SOLUCIÓN: SOLUC IÓN:
1/ 11== 3.4.
19.91 Wm -22. . 19.91Wm-
1I
material denso denso y homogéneo homogéneo está está constituido constituido por por osciladores osciladores atómicos atómicos cuya cuya frecuencia frecuencia de Un medio medio material resonancia Una onda onda electromagnética electromagnética armónica armónica de frecuencia frecuencia w « « wo Wo incide incide perpendicularmente resonancia es wo. Una perpendicularmente sobre este este medio medio material. material. Indique Indique cuál cuál de las siguientes siguientes afirmaciones afirmaciones es verdadera: verdadera: sobre medio es transparente transparente para radiación incidente incidente y la onda onda esparcida esparcida por medio material material en (a) El medio para la radiación por el medio dirección de incidencia incidencia oscila oscila en fase fase con con la onda onda incidente. incidente. la dirección El medio medio es opaco opaco para para la radiación radiación incidente incidente y la onda onda esparcida por el medio medio material material en la (b) El esparcida por dirección de incidencia incidencia oscila oscila en fase fase con con la onda onda incidente. incidente. dirección (e) El medio medio es transparente transparente para para la radiación radiación incidente incidente y la onda onda esparcida esparcida por por el medio medio material material en (c) dirección de incidencia incidencia no oscila oscila en fase con con la onda onda incidente. incidente. la dirección medio es opaco opaco para radiación incidente incidente y la onda onda esparcida esparcida por medio material material en la (d) El medio para la radiación por el medio dirección de incidencia incidencia oscila oscila en oposición oposición de fase fase con con la onda onda incidente. incidente. dirección transparente para radiación incidente incidente y la onda onda esparcida esparcida por medio material material en (e) El medio medio es transparente para la radiación por el medio dirección de incidencia incidencia oscila oscila en oposición oposición de fase con con la onda onda incidente. incidente. la dirección SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
solución correcta correcta es la (c)· (c)·11 1I La solución
3.5. 3 .5.
expresión de una una onda onda electromagnética electromagnética plana linealmente polarizada polarizada que que se propaga en el vacío vacío a lo La expresión plana linealmente propaga en largo del eje X y cuyo cuyo campo campo vibra vibra a 35° 35° del ej ejee Z, Z, está está dada dada por expresión: largo por la expresión: cos(35°) cos(k cos(kz z - wt)k wt)k + Eo sen(35°) cos(k cos(kz z - wt)] wt)] (a) E E = Eo cos(35°) Eo sen(35°) cos(35°) cos(kx cos(kx - wt)k wt)k + Eo sen(35°) cos(kx cos(kx - wt)] wt)] (b) E E == Eo cos(35°) Eo sen(35°)
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo radiación con materia Capítulo 3/ 3/ Interacción Interacción de de la radiación con la materia (c) (e) E = = Ea Eo sen(35°) sen(35°) cos(kx cos(kx (d) E = = Eo cos(35°) cos(35°) cos(kx cos(kx (e) E = = Eo Eo cos(35°) cos(35°) cos(kz cos(kz (f) E = = Eo sen(35°) sen(35°) cos(kz cos(kz -
úJt)k Eo cos(35°) wt)k + Eo cos(35°) cos(kx cos(kx úJt)j Eo sen (35° ) cos(kx wt)j + Eo sen(35°) cos(kx úJt)k Eo sen(35°) wt)k + Eo sen(35°) cos(kz cos(kz úJt)k Ea cos(35°) wt)k + Eo cos(35°) cos(kz cos(kz -
113
úJt)j wt)j úJt)k wt)k úJt)j wt)j úJt)j wt)j
SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
I La La solución solución correcta correcta es la (b). I
3.6.
Considere representa una una onda Considere la siguiente siguiente expresión expresión que que representa onda electromagnética. electromagnética. E
=
Eo cos(kz Ea cos(k Eo cos(kz - úJt)i wt)i- - Eo cos(kzz - úJt)j wt)j (V 1m). 1m).
Indicar polarización: Indicar cuál es su estado estado de polarización: (a) La onda polarizada. onda está está circularmente circularmente polarizada. (b) La onda polarizada a -45° onda está está linealmente linealmente polarizada -45° del eje eje X. (c) polarizada. (e) La onda onda está está elípticamente elípticamente polarizada. (d) La onda onda corresponde corresponde a luz luz natural. natural. (e) La onda polarizada a +45° onda está está linealmente linealmente polarizada +45° del eje eje X. (f) La onda onda está está despolarizada. des polarizada.
ando pecto
SOLUCIÓ SOLUCIÓN:N:
II La La solución solución correcta correcta es la (b). I 3.7.
edio
Se dispone rellena de vapor vapor de sodio. La presión presión de dispone de una una celdilla celdilla cerrada cerrada de 10 cm crn 3' de volumen volumen que que se rellena sodio. La temperatura es de 70° C. Suponga uno de los átomos puede la celdilla Pascales y la temperatura celdilla es de 10 1.3 Pascales Suponga que que cada cada uno átomos lo puede 30 C/m, considerar Lorentz en el que momento dipolar considerar como como un átomo átomo de Lorentz que el momento dipolar es Po = 8 x 10- 30 C/m, y que que emite emite radiación centrada nm. Si la celdilla promedio 1 W de potencia potencia radiante, radiación centrada en 589 nm. celdilla emite emite en promedio radiante, determinar determinar la potencia media por cada P,~1' así número de átomos potencia media emitida emitida por cada átomo, átomo, P,~I' así como como el número átomos que que emiten emiten simultáneamente, simultáneamente, Na. Obtener Obtener la fracción fracción de átomos átomos que que emiten emiten con con respecto átomos en la celdilla, celdilla, Fe. Considere Na. respecto al total total de átomos Fe. Considere todo momento momento que que el gas puede como ideal enumere las aproximaciones aproximaciones realizadas. en todo puede tratarse tratarse como ideal y enumere realizadas. SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
P,~, 1.4899 x 1010-1212 W. N P,~, = 1.4899 Na a
= 6.71
X
lO" Y Fe lO"
= 3.13 3.13
x 10-66. .
ia de ente PROCESOS DE ESPARCIMIENTO ESPARCIMIENTO Y ABSORCiÓN PROCESOS ABSORCiÓN
3.8.
constituido por átomos distribuidos distribuidos de forma forma desordenada desordenada y con con una densidad tal que que la distancia distancia Un gas constituido por átomos una densidad media entre entre átomos átomos es de ed 11 ~~ 0.1 mm ilumina con una onda plana linealmente media mm se ilumina una onda plana monocromática monocromática linealmente polarizada. La longitud longitud de onda onda de la radiación = 500 500 nm, se propaga dirección positiva polarizada. radiación es A A. = propaga en la dirección positiva del eje y y su dirección dirección de polarización eje X (ver (ver Figura 3.34). La que emerge emerge del gas polarización es paralela paralela al eje Figura 3.34). La radiación radiación que observa en los puntos puntos A, B, e yy D situados situados en los planos focales de dos lentes lentes de focales cuyos planos focales focales Ir y I~ cuyos se observa ópticos están están situados situados paralela dirección del haz incidente. Determine ejes ópticos paralela y perpendicularmente perpendicularmente a la dirección haz incidente. Determine a cuáles de estos estos puntos llega luz proced ente del gas. Responda distancia media cuáles puntos llega proced ente Responda a la misma misma pregunta pregunta si la distancia media entre átomos átomos es de ed2 e.n ~~ 0.01 ¡Lm. entre Justificar las respuestas elegidas. Justificar respuestas elegidas. SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
Caso ecll: edl: A, By Caso ed2: ed2: A. II (a) Caso By D. (b) Caso o a lo
3.9.
sabe que en el proceso desarrollo de una catarata la agudeza agudeza visual sujeto disminuye disminuye como como conconSe sabe proceso de desarrollo una catarata visual del sujeto secuencia del esparcimiento esparcimiento de la radiación. 3.35 se muestran espectros de transmitancia secuencia radiación. En En la Figura Figura 3.35 muestran los espectros transmitancia filtros en función función de la longitud longitud de onda. onda. Indicar Indicar en la propia figura cuál de los filtros elegiría elegiría de varios varios filtros propia figura objeto de reducir reducir el efecto efecto del esparcimiento. esparcimiento. con objeto
http://carlos2524.jimdo.com/
114
Óptica Óptica física física
z
,I
z B B
.....1.... .....
...................... ~ .... m.m .. h.mhmhL
~
~
. .......... y .. 7S,············· 7S,"
I
GAS
z
F',
RP
--O---t!-=-C-- y
F', --D---t!-=-C-F',
Figura 3.34 lateral. 3.34 Esquema Esquema del dispositivo dispositivo considerado considerado para observar observar el esparcimiento esparcimiento lateral. T(%) T(%)
T(%) T(%)
(A) (A)
100
io 10
T(%) T(%)
(B) (B)
100
\ / \J,"~,"~
~-----~400
),,(nm) A(nm)
T(%) T(%)
10
800
400
T(%) T(%)
(O) (D)
10 "
11
800
)" A (nm) (nm)
100 100
~!
(C) (C)
100
400
),,(nm) A (nm)
800
(E) (E)
100
~
400
,-(nm) ),,(nm)
400
800
800
),,(nm) A(nm)
Figura 3.35 3.35 Transmitancia Transmitancia espectral espectral de los filtros filtros considerados, considerados.
SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
II La solución solución conecta conecta es (B). (B). I 3.10.
Una con unas unas moléculas moléculas Una lente lente oftálmica oftálmica de material material orgánico orgánico ha sido sido dopada dopada en su proceso proceso de fabricación fabricación con de colorante material resultante resultante se colorante que que presenta presenta una una resonancia resonancia en el visible. visible. El Índice Índice de refracción refracción del material muestra muestra en la Figura Figura 3.36 3.36 y el espesor espesor medio medio de la lente lente es de 2 mm. mm. ¿De qué qué color color aparecerá aparecerá la luz transmitida por la lente? lente? (a) ¿De transmitida por esta lente lente la utiliza utiliza una una persona presenta una catarata catarata incipiente, incipiente, ¿podría ¿podría mejorar (b) Si esta persona que presenta mejorar el concontraste de las imágnes imágnes que se forman forman en su retina? retina? Razonar Razonar la respuesta respuesta teniendo teniendo en cuenta traste cuenta que que la irradiancia emitida emitida por por un dipolo dipolo viene viene dada dada por por irradiancia
SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
tonalidad amarillo-rojizo. amarillo-rojizo. (b) Mejora Mejora el contraste contraste con el filtro filtro.. (a) De tonalidad
3.11.
prisma delgado delgado fabricado fabricado con vidrio vidrio Crown, Crown, cuya cuya frecuencia frecuencia de resonancia resonancia está está en la región En un prisma región UVC UVC espectro, indicar indicar qué qué color color sufrirá sufrirá mayor mayor desviación desviación cuando cuando se ilumina ilumina el prisma prisma con del espectro, con un haz haz colimado colimado de luz blanca. blanca. Suponer Suponer que que la expresión expresión del Índice Índice de refracción refracción en función función de la frecuencia frecuencia está está dada dada por por n(úJ) = = 11 + n(úJ)
N Nq2 q2
-- -
2
o --
2meEO 2m eEO úJo
http://carlos2524.jimdo.com/
úJ2 úJ2
i y co + iyúJ
.
Capítulo Capítulo 3/ 3/ Interacción Interacción de la radiación radiación con la materia materia
115
Para fabricación de vidrios vidrios de alto Índice Índice (tipo (tipo ftint) flint),, se introduce introduce en el material material óxidos óxidos de plomo. plomo. La Para la fabricación adición adición de estos estos óxidos óxidos introduce introduce una una nueva nueva frecuencia frecuencia de resonancia resonancia que que está está en la región región UVA, esto esto es, cerca Teniendo en cuenta indique cuál cerca del visible. visible. Teniendo cuenta lo anterior, anterior, indique cuál de los dos dos vidrios vidrios suministra suministra una mayor mayor protección protección al ultravioleta. ultravioleta. SOLUCIÓN SOLUCIÓN: :
(a) Mayor Mayor desviación desviación para para radiaciones radiaciones azules. azules. (b) El vidrio vidrio flint.
3.12. 3.12.
La rodopsina rodopsina es una una sustancia sustancia que se encuentra encuentra en el segmento segmento interno interno de un fotorreceptor. fotorreceptor. Se ha deterdeterminado que que el índice índice de refracción refracción para para una una concentración concentración de 3.5 x 10-33 moles/l moles/l de esta esta sustancia, sustancia, viene viene minado dado dado por por
al.
donde f s = 0.5, donde no no = 1.400, 1.400, fs 0.5, úJo úJo corresponde corresponde a una una longitud longitud de onda onda de 500 500 nm y y = 3.76 3.76 x 10-88 s. (a) Determinar AM, Y Determinar los los valores valores de las longitudes longitudes de onda onda en los que se alcanza alcanza un máximo, máximo, AM, Y un mínimo, mínimo, Am de la parte parte real real del índice índice de refracción. refracción. (b) Determinar variación de índice Determinar la variación índice de refracción refracción entre entre las longitudes longitudes de onda onda anteriormente anteriormente calculacalculadas. (c) (e) Dibujar Dibujar en una gráfica gráfica la parte parte real real e imaginaria imaginaria del índice Índice de refracción. refracción. Relacione Relacione la curva curva de absorción absorción con con las propiedades propiedades de sensibilidad sensibilidad espectral espectral de un observador observador humano. humano. SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
559nm II (a) AM AM = 559 nm y Am = 456 456 nm. (b) t:,.n /::;.n = 8.4 8.4 x
3.13.
10-44. .
II
Dos transmisión que Dos cremas cremas protectoras protectoras de la radiación radiación solar solar tienen tienen los esp'ectros espectros de transmisión que se muestran muestran en la Figura Figura 3.37. 3.37. Indicar Indicar cuál cuál de ellas ellas permite permite un bronceado bronceado más más intenso intenso en las mismas mismas condiciones condiciones de exposición exposición a la luz solar. SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
II La crema crema (A). I 3.14. 3.14. éculas te se
Es bien una tonalidad bien conocido conocido que en el atardecer, atardecer, el Sol presenta presenta una tonalidad rojiza. rojiza. Indique Indique cuál cuál de las siguientes siguientes afirmaciones afirmaciones es correcta: correcta: (a) Las Las componentes componentes del espectro espectro visible visible de corta corta longitud longitud de onda onda de la radiación radiación emitida emitida por por el Sol son fuertemente fuertemente absorbidas absorbidas por por la atmósfera. atmósfera. n ,--------------------------------------, n
Iconque la
n, n, "
uve imado dapor
3.93 3.93
44.38 .38
4.83 4.83
OJ X X
15 15
10 rad/s
Figura 3.36 3.36 Indice Indice de refracción refracción del material material empleado empleado para fabricar fabricar la lente. lente.
http://carlos2524.jimdo.com/
116
Óptica física 1.0 (A)
0.5 1-
0.0 0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.5 A (urn)
0.6
0.7
A(~m)
1.0 (B)
0.5 1-
0.0 0.2
0.3
0.4
Figura 3.37 Espectros de transmitancia
de dos cremas bronceadoras.
(b) La atmósfera es básicamente transparente a las radiaciones de corta longitud de onda del espectro visible emitidas por el Sol. (e) Las componentes del espectro visible de larga longitud de onda son esparcidas débilmente por la atmósfera. (d) Las componentes del espectro visible correspondientes a la región de los azules son esparcidas, pero las correspondientes a la región de los verdes y los rojos no son esparcidas.
~'
SOLUCIÓN:
iii
I La correcta
es la (c).
I
I• ~E:FL.E.XI9Ny REFRACCiÓN EN MEDIOS ISÓTROPOS
3.15.
El campo eléctrico de una onda plana armónica viene dado por la expresión
Ez (a) (b) (e) (d)
=
lOcos
[n
15
x 10
(t -
0.:5JJ
(V/m).
Determinar la dirección de propagación de la onda. La frecuencia y la longitud de onda. La velocidad de fase de la onda. La irradiancia promedio de la misma.
SOLUCIÓN:
kp =
x 108(1, O, O) (m-I).
3x~.65
10 Hz y A = 390 nm. La velocidad de fase de la onda es v f La irradiancia promedio es 1 = lJ
= ~x
15
=
cEt E5
¡¡, • ~I
3.16.
1.95 x 108 mis. = 0.204 (W/m2).
Una lente oftálmica está hecha con un vidrio tal que para A Determinar la fracción de energía que transmite la lente, T . SOLUCIÓN:
I T = 0.917. I http://carlos2524.jimdo.com/
530 nm se tiene que n(A)
1.52.
Capítulo 3 Capítulo 3// Interacción Interacción de de la radiación radiación con con la materia materia
3.17.
117
Un haz sobre una lámina haz plano plano de radiación radiación monocromática monocromática despolarizada despolarizada incide incide desde desde el aire aire sobre lámina planoplanoparalela radiación reflejada ina está paralela de vidrio vidrio de Índice Índice 1.6. Razonar Razonar si la radiación reflejada en la segunda segunda cara cara de la lám lámina está linealmente polarizada polarizada o no cuando cuando el ángulo ángulo de incidencia incidencia en la primera primera cara cara es de 57 57.99°. .99°. linealmente SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
efecto: esto esto es así dado dado que el ángulo ángulo de incidencia incidencia es el ángulo ángulo de polarización polarización en la primera primera En efecto: interfase. cuenta que en esas condiciones condiciones se verifica verifica que e¡ + el = 'f, 't, se concluye concluye que la interfase. Teniendo Teniendo en cuenta afirmación es correcta. correcta. afirmación
3.18. 3.18.
Considere un ojo reducido reducido de las siguientes siguientes características características rree = 5.7 mm mm y ni n' = 1.334. 1.334. Se acopla acopla a este este Considere lente de contacto contacto tal que que ni ni = = 1.67. Indicar Indicar cuál cuál es la transmitancia, transmitancia, T, al acoplar acoplar la lente lente de ojo una lente contacto alojo alojo cuando cuando incide incide normalmente normalmente un haz haz de luz luz linealmente linealmente polarizado polarizado en el plano plano de incidencia. incidencia. contacto Indique las las hipótesis hipótesis realizadas. realizadas. Indique SOLUCIÓN:N: SOLUCIÓ
0.9253. I[ I[ T = 0.9253.
3.19. etro
Considere un ojo reducido las siguientes características re = 5.4 5.4 mm y nn'I = 1.332. 1.332. Sobre Sobre él incide Considere reducido de las siguientes características incide una onda plana Iinealmente polarizada polarizada en el plano plano de incidencia incidencia cuya cuya ilTadiancia irradiancia es 0.5 mW Determine onda plana linealmente mW /cm22. . Determine irradiancia reflejada, reflejada, Ir. la irradiancia Ir. SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
II IrIr ~~ 10 ¡tW/cm j.LW/cm22. . I
r la das,
3.20.
Una onda onda plana Iinealmente polarizada polarizada incide incide sobre sobre la superficie superficie de separación separación de dos medios medios materiales materiales Una plana linealmente tales que r~ .L = .Jü.T3 y rll = 0.2. 0.2. Determinar Determinar el azimut azimut de la onda onda incidente, incidente, a, o , para para que la onda onda reflejada reflejada tales esté linealmente lineal mente polarizada polarizada a 45° del plano plano de incidencia. incidencia. esté SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
3.21.
Considere unos unos prismáticos prismáticos 60 x 12 que que se han han diseñado diseñado de forma forma que el objetivo objetivo y el ocular ocular son lentes Considere lentes bicóncavas cuyos cuyos Índices índices son nob nob = 1.53 y n oe para A = 550 550 nm nm.. Entre Entre ambos ambos elementos elementos bicóncavas oe = 1.42 para colocan dos prismas prismas de pOlTO porro tales tales que que np np = 1.65. l.65. Teniendo Teniendo en cuenta cuenta incidencia incidencia normal normal sobre sobre se colocan los elementos elementos considerados considerados y que que en el interior interior de los los prismas prismas se produce produce reflexión reflexión total, total, estimar estimar la los transmitancia (T) (T) de este este sistema sistema óptico. óptico. transmitancia SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
I[ T 3.22. 3.22.
Una onda onda plana Iinealmente polarizada polarizada (Aa (Aa = 500 500 nm) en el plano plano de incidencia incidencia incide incide sobre sobre un semicisemiciUna plana linealmente lindro de vidrio vidrio de radio radio R = 1 metro metro tal que que n(Aa) n(Aa) = 1.45, 1.45, que se apoya sobre el suelo. Determinar la lindro apoya sobre suelo. Determinar distancia, x, desde el centro centro del cilindro cilindro hasta hasta una franja franja oscura oscura paralela paralela a la generatriz generatriz del cilindro cilindro que que distancia, x, desde observa en el suelo. suelo. Indicar Indicar los motivos motivos por por los que que aparece aparece esta esta franja franja oscura. oscura. se observa SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
3.23.
52.
= 0.671. 0.67l. I[ =
2.32 metros. metros. II Ix[x = 2.32
irradiancia máxima máxima que puede puede recibir recibir la córnea córnea para para no producir producir daños daños oculares oculares es 1 == 0.003 0.003 Wcm Wcm--2. 2 . La irradiancia sobre un ojo incide incide un haz haz colimado colimado procedente procedente de un puntero puntero láser láser cuyo cuyo haz tiene tiene una extensión extensión rad radial Si sobre ial determinar cuál ha de ser la potencia potencia máxima, máxima, P Pmax , láser para que resulte peligroso. de 2 mm, determinar , de ese láser para que no resulte peligroso. max anterior se concentra concentra en un área área del orden orden de 1010-1111 m22, , determinar determinar la Si tras refractarse refractarse en el ojo el haz anterior irradiancia en la retina, retina, Ireh Iret, considerando considerando un modelo modelo de ojo reducido reducido con nojo no)o = 1.37 y tener tener en cuenta cuenta irradiancia pérdidas por por reflexión. reflexión. las pérdidas SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
3.8 X II Pmax Plllax = 3.8
= 37.09 37.09 x 106 W m-22. . 10-44 W. Ire! Ir e! =
http://carlos2524.jimdo.com/
118
Óptica física
3.24.
i. I
Un haz láser colimado de potencia P = 10 mW y longitud de onda AO = 632.8 nm, ilumina un sistema formado por dos lentes delgadas convergentes que están hechas del mismo material para el que n(Ao) = 1.58. Ambas lentes constituyen un sistema afocal. La primera lente tiene una focal de I( = 200 mm y la segunda j~ = 10 mm. El haz láser ilumina toda la sección de la lente de entrada que tiene un diámetro de 20 mm. Teniendo en cuenta las pérdidas por reflexión en las lentes, determinar la irradiancia del haz transmitido, I¡. SOLUCIÓN:
3.25.
Sobre una lámina plano-paralela de un material que tiene una densidad óptica D = 3 (donde D = -log T) incide un haz de luz cuya irradiancia es 1 mWm-2. Determinar la irradiancia del haz transmitidO,I¡. SOLUCIÓN:
3.26.
Un haz de luz circularmente polarizado que se propaga en la dirección del eje Z incide perpendicularmente desde el aire sobre un conjunto de tres láminas superpuestas de Índices n¡ = 1.3, n: = 1.7 Y ns = 1.4. Determine las amplitudes de las componentes del campo eléctrico emergente, Ex Y Ey. SOLUCIÓN:
I Ex = 0.9643Eo 3.27.
cos(wt - kz) y E y
= 0.9643Eo
cos(wt - kz
+ n /2). I
Un observador mira a través de un polarizador lineal la luz del Sol reflejada por el agua de una piscina (n ~ 1.33) bajo un ángulo ep con la normal a la superficie del agua, que coincide con el ángulo de polarización. El polarizador lo sitúa de tal manera que el haz incide sobre él perpendicularmente. Calcular el ángulo e que debe formar el eje de transmisión del polarizador con la vertical para que la irradiancia transmitida se reduzca en un 50%. SOLUCIÓN:
3.28.
Una onda electromagnética plana de frecuencia v = 1014 Hz y amplitud Eo = 5 V/m, que vibra en la dirección del eje Y, incide perpendicularmente sobre una lámina de caras plano-paralelas y de Índice de refracción n = 1.62 (ver Figura 3.38). Escribir la expresión del campo eléctrico en los puntos A y B en el mismo instante de tiempo, teniendo en cuenta las pérdidas por reflexión y considerando que el espesor de la lámina es de 1 mm. No tenga en cuenta los efectos de difracción por los bordes de la lámina. ,, ,, , ,,
,,, ,
,, ,,
,, ,
y
,, ,
B
1\
••
í '\
l"- V ,, ,,, ,,
,, ,, ,, ,
A
x
d
Figura 3.38 Esquema de la onda incidente sobre la lámina y puntos de observación
http://carlos2524.jimdo.com/
A y B.
Capítulo 3/ 3/ Interacción Interacción de de la radiación radiación con con la materia materia Capítulo sistema (Ao) = mmyla iámetro del haz
119
SOLUCIÓN: : SOLUCIÓN ~------------------------~-------------------------------. I'-E-~B - =- x-1O- 1-4t)j -t)-j-C(V/m) -Y-/m-)-y-i; - A-=-4-.-7-12-co-s-C2 1O-1-4t-t -+-1-.3 - 3- n- )-j- C -Y-/m - ).---' = 55-co-s-C-2n cos(2n x 1014 y = 4.712cos(2n- n-xx 1014 1.33n)j (V/m).
Es
EA
,. MEDIOS ANISÓTROPOS ANISÓTROPOS MEDIOS
3.29. eD = smiti-
+
.
.
. '. .
~ . '..':.
t, ',
t
'1
~" j jj "
...
ii
~ ~
j
determinado con con el auxilio auxilio de un osciloscopio osciloscopio el tiempo tiempo entre entre dos mínimos mínimos consecutivos consecutivos de intenintenSe ha determinado sidad al hacer hacer girar girar el eje de un motor motor que que lleva lleva acoplado acoplado un polarizador polarizador lineal lineal resultando resultando ser 40 40 ± 2 ms. sidad Delante del detector detector de radiación radiación se ha colocado colocado un polarizador polarizador lineal. lineal. Determinar Determinar la frecuencia frecuencia angular angular Delante que gi gira Q,, así así como como el error error que que se comete, comete, .0.Q. .6.Q. a la que ra el eje, Q SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
s-I l y .0.Q .6.Q = = 4 rad Ss-l.l . II Q == 79 rad s-
dicularl.7y
3.30.
Un haz haz de luz despolarizado despolarizado cuya cuya irradiancia irradiancia es de 1 mW/cm incide sobre sobre un polarizador polarizador cuyo cuyo eje de Un mW/cm22 incide 00 transmisión está está a +30 +30 de la vertical. vertical. Tras él se coloca coloca un segundo segundo polarizador polarizador cuyo cuyo eje de transmisión transmisión transmisión está a +45 +4500 de la vertical. vertical. Considerando Considerando que que los los polarizadores polarizadores son "perfectos", "perfectos", en el sentido sentido de que que está despreciamos la radiación radiación reflejada, reflejada, determine determine la irradiancia irradiancia que que emerge emerge de este este sistema, sistema, lle. despreciamos e. SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
piscina gulo de aIcular diancia
3.31.
Una onda onda plana plana linealmente linealmente polarizada polarizada que que se propaga propaga en la dirección dirección del eje Z, de amplitud amplitud 12 12 Y/m V/m y Una longitud de onda onda Ao = = 547 547 nm, nm, incide incide perpendicularmente perpendicularmente sobre sobre una una lámina lámina retardadora retardadora A/8. A/8. Los ejes longitud neutros de la lámina lámina están están orientados orientados en las direcciones direcciones X e Y de un sistema sistema de ejes cartesiano. cartesiano. Escribir Escribir neutros expresión de una onda incidente incidente que que emergerá emergerá linealmente Iinealmente polarizada polarizada tras atravesar atravesar la lámina. lámina. la expresión una onda SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
II Ex == a en la dicede y B en spesor
3.32. 3.32.
12cos(últ = Ez = O. 12cosCwt - kkz), z), Ey Ey = Ez =
II
El celo celo es un material material birrefringente birrefringente con dos líneas líneas neutras neutras perpendiculares perpendiculares entre entre sí. Los índices índices de refracción principales principales son son no = = 1.544 1.544 Y ne = = 1.553. 1.553. La lámina lámina de celo celo tiene tiene un espesor espesor de 1 mm. refracción Esta lámina lámina se coloca coloca entre entre dos polarizadores polarizadores cuyos cuyos ejes ejes de transmisión transmisión son son paralelos paralelos entre sí, de modo modo Esta entre sÍ, ordinario de la lámina lámina está está a 4500 del eje de transmisión transmisión del primer primer polarizador. polarizador. El sistema es que el eje ordinario El sistema iluminado con con luz blanca, blanca, y tras el segundo segundo polarizador polarizador se coloca coloca una una red de difracción. difracción. En una pantalla pantalla iluminado observan que que desaparecen desaparecen algunas algunas longitudes longitudes de onda onda entre entre 600 700 nm. Determine Determine cuáles cuáles son y a se observan 600 y 700 qué se debe debe su desaparición. desaparición. qué SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
II A11 ~~ 667 nm y A2 nm. I A2 ~ ~ 620 620 nm. 3.33. 3.33.
En el plano plano focal focal objeto objeto de una una lente lente se coloca coloca una una fuente fuente puntual puntual de radiación radiación monocromática monocromática (A (A = = 470 470 En nm).. La irradiancia irradiancia del haz que emerge emerge de la lente lente es de 1 m mWmlente se coloca coloca un polarizador polarizador nm) Wm-2.2. Tras la lente lineal ideal cuyo eje de transmisión transmisión está está en la dirección dirección vertical, vertical, y detrás detrás de este este se coloca coloca otro otro polari polarizador lineal ideal cuyo zador similar cuyo eje de transmisión transmisión está está colocado colocado inicialmente inicialmente en la dirección dirección horizontal horizontal (los polarizadores polarizadores similar cuyo dice que están están cruzados). cruzados). Un Un observador observador mira mira en la dirección dirección del eje óptico. óptico. Si consideramos consideramos que que la se dice pupila del observador observador es de
B.
http://carlos2524.jimdo.com/
120
Óptica física
3.34.
Se ilumina con un haz colimado mono cromático un sistema formado por dos polarizadores cuyos ejes de transmisión son perpendiculares entre sí. Tras los polarizadores se coloca una pantalla sobre la que se realizan observaciones. Entre ambos polarizadores se coloca un material A en una posición fija y en la pantalla se observa que no aparece luz. ¿Se puede concluir que el material A es isótropo? ¿Qué operaciones habría que realizar para confirmar o desmentir que el material es isótropo? SOLUCIÓN:
(a) No. (b) Habría que girar el material y analizar si aparece o no radiación en la pantalla: si no aparece en ninguna posición de giro radiación en la pantalla podríamos concluir que efectivamente se trata de un material isótropo.
3.35.
La luz natural procedente de un diodo LED (emisor cuasi-monocromático) se hace pasar por dos polarizadores cuyos ejes de transmisión son paralelos entre sí. Entre ambos polarizadores se inserta una lámina de un cierto espesor y se observa que en una pantalla colocada tras el segundo polarizador no aparece radiación. ¿Se puede concluir que la lámina es de un material anisótropo? En caso afirmativo, ¿de qué tipo de lámina se trata? SOLUCIÓN:
(a) Sí. (b) Se trataría de una lámina de media onda cuyas líneas neutras están a 45° del eje de transmisión de los polarizadores.
3.36.
¡II
illll
Se tiene una lámina plano-paralela de un material anisótropo uniáxico con sus caras paralelas al eje óptico. Los Índices de refracción en las direcciones de las líneas neutras, que suponemos que son las direcciones O X Y O Y, se muestran en la Figura 3.39. (a) Si sobre el material incide una radiación despolarizada de frecuencia W¡ que se propaga en la dirección del eje Z ¿qué espesor mínimo debe de tener el material para que el haz emergente de la lámina esté lineal mente polarizado? NOTA: una onda se considerará extinguida cuando al pasar por el material, su irradiancia se reduce a 1/1000 de la irradiancia incidente. (b) ¿Para qué banda de longitudes de onda actuaría como un polarizador? Para el espesor que se ha determinado en el apartado anterior ¿se polarizarían por igual todas las frecuencias? (e) Si se ilumina con un haz colimado de luz blanca, indique de qué color sería vista la lámina por transmisión. n, r--~-~-----'
n,. 2.3x 10'
1.658L
.
'-'
I 00,
ro,
00 X
1015 rad/s
3.9300'4.83
15
00
x 10
rad/s
n. 15
=4.38
x 10
=3.67
x 1015 rad/s
001
1.486
rad/s
-----002
00,
ro,
Figura 3.39 Curvas de dependencia la lámina considerada.
00 X
1015 rad/s
de los índices de refracción en función de la frecuencia para
SOLUCIÓN: (a) e ~ 1 mm.
(b) La banda de absorción es [390,479]
nm.
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo 3/lnteracción Capítulo 3/ Interacción de de la radiación radiación con con la materia materia yos ejes la que 'n fija y ? ¿Qué
121
(e) La radiación radiación transmitida transmitida tendrá tendrá un aspecto aspecto amarillo-rojizo. amarillo-rojizo. (c)
3.37.
parece ata de
Considere dos dos láminas láminas de cuarto cuarto de onda onda y de media Considere media onda onda cuyas cuyas líneas líneas neutras neutras son paralelas paralelas y fijas. fijas . Entre Entre ambas se coloca coloca un polarizador polarizador lineal lineal que gira gira a una una velocidad Q. Si sobre sobre este sistema incide ambas velocidad angular angular S1. este sistema incide un linealrnente polarizado polarizado a 45° con respecto respecto a las líneas haz de luz linealmente líneas neutras neutras de las láminas láminas y de irradiancia irradiancia lo, determine el estado estado de polarización polarización y la irradiancia irradiancia emergente, determine emergente, le, l e, despreciando despreciando las pérdidas pérdidas por por reflexión reflexión diferentes elementos. elementos. en los diferentes SOLUCIÓN: SOLUCiÓN: ,,------------------------------------------------------------------, - - -- - - -- - - - - - - -- - - ------------ - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - - - , Polarización lineal lineal y el plano plano de polarización Q. le = 10 10/2. Polarización polarización gira gira con con velocidad velocidad angular angular S1. le = / 2.
3.38.
campo linealmente lineal mente polarizado polarizado de amplitud amplitud Ea = 5 V /1j1 Un campo /fJ1 que que se propaga propaga en la dirección dirección del eje eje Y, incide sobre una lámina lámina de media media onda onda tal y como como se indica incide sobre indica en la la Figura Figura 3.40. 3.40. Obtener Obtener la expresión expresión del campo que que emerge emerge tras la lámina lámina y dibujar dibujar en el gráfico campo gráfico la orientación orientación del campo campo en los distintos distintos puntos puntos indicados, tomando como origen origen del eje Y Y la propia propia lámina O segundos. segundos. tomando como lámina para para t = O indicados, z Líneas Líneas neutras neutras
E~
óptico. cciones
x y=rr/4 k y=n/2k y=rr/2k y=n/k y=rr/k y=3n/2k y=37r/2k
y
3.40 Situación Situación considerada considerada: : el campo campo incidente Figura 3.40 incidente vibra vibra a 30° del eje eje X. Los índices índices de de refracrefracción de de la lámina lámina son son nx = 1.334 Y I1I1ZZ = 1.337 1.337.. ción
na por
SOLUCIÓN: SOLUCiÓN: E~al E~al
MEDIOS CONDUCTORES CONDUCTORES MEDIOS
3.39.
4.24 cos(wt cos(wt = 4.24
kz) (V/m). (V/m). E~al kz) E1al
=
-2.45 cos(wt cos(wt - kz) -2.45 k z) (V/m). (V/m).
.
tienen dos láminas láminas de espesor espesor 1 mm mm de dos materiales materiales tales nI = 4.7 n2 = l.6 l.6 - 7i Se tienen tales que que 111 4.7 - 4i Y 112 para A = = 500 500 nm. nm. Si ambas ambas láminas láminas se iluminan iluminan con longitud de onda para con una una onda onda plana plana de la longitud onda citada citada en condiciones de incidencia incidencia normal, normal, determinar determinar cuál cuál de ellas condiciones ellas transmite transmite más más radiación. radiación. SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
La lámina lámina con índice nI· II La con índice nI· II
3.40. ia para
Para una una radiación radiación de 500 500 nm, el índice índice de refracción refracción que Para que presenta presenta el germanio germanio es n == 3.45 3.45 - l.39i. 1.39i. Determinar la reflectancia reflectancia bajo bajo incidencia incidencia normal, normal, R, Determinar R, de una una lámina lámina de germanio germanio y el desfase desfase de la onda onda reflejada respecto a la incidente, incidente, a, para para la componente componente paralela reflejada respecto paralela al plano plano de incidencia. incidencia. SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
IR = 0.365. 0.365. a = -12.23°. IR -12.23°. II 3.41. 3.41.
depositado una una capa capa de 28 nm de un metal metal sobre sobre el casco Se ha depositado casco de un astronauta. astronauta. La La parte parte real real y la imaginaria del Índice Índice de refracción refracción de dicho dicho metal metal se muestran imaginaria muestran en la Figura Figura 3.4l. 3.41.
http://carlos2524.jimdo.com/
122
Óptica física
numéricamente que que la radiación radiación visible visible llega llega alojo alojo del astronauta astronauta pero pero no así la radiación (a) Justifique Justifique numéricamente radiación infrarroja. infrarroja. (b) ¿Pasaría ¿Pasaría la radiación radiación visible visible en el caso caso de que que la capa capa de metal metal fuera fuera de 1 mm de espesor? espesor?
•
6.0 // //
"
---- --
_-_ o --_.
// //
4.0
n,
I
, I"
n,
I / /
// I/
2.0
//
n, /
"
/ /
1.0 1.0
"
--L L--___ _
400 400
-'---_ _ -'--_ -'---___----'. ---L __ _ _ ---'-
500
600
700
_
--'-_ __ L- __
800 800
L -_ --'---' -'---__ _--.L.l
900
). ).
x 10" 10" m
1000 1000
Figura 3.41 Parte real, n« continua), e imaginaria, imaginaria, nI n ¡ (en discontinua), discontinua). del índice de refracción refracción nR (en continua), de un metal en función función de la longitud longitud de onda onda.. SOLUCIÓN: SOLUCIÓN: ~I
•;1
(a) Para Para A = = 500 500 nm, nm, la transmitancia transmitancia es T ~ ~ 0.75 0.75.. Para Para A = = 900 900 nm, nm, la transmitancia transmitancia es T ~ ~ 0.101. 0.10 l. que para para A = = 500 500 nm, la transmitancia transmitancia es T ~ ~ O. O. (b) No, No, ya que
11:1
1
•
1
1 1 11
http://carlos2524.jimdo.com/
adiación
# #
CAPITULO CAPITULO ,,
FENOMENOS FENOMENOS INTERFERENCIALES INTERFERENCIALES
fracción
En este superponen en una una cierta cierta región región este Tema Tema se abordan abordan situaciones situaciones en las que que dos o más más haces haces de luz luz se superponen del espacio. dar lugar lugar a interferencias, interferencias, es decir, decir, espacio. En determinadas determinadas circunstancias, circunstancias, esta esta superposición superposición puede puede dar a una brillantes y oscuras oscuras que que se denomina denomina una redistribución redistribución espacial espacial de la irradiancia irradiancia en forma forma de franjas franjas brillantes diagrama diagrama interferencial. interferencial. Como Tema 1, la ecuación ecuación que que gobierna gobierna la prop}gacijn prop}gacijn de una Como se vió en el Tema una onda onda electromagnética electromagnética en un medio lineal, homogéneo E2 son soluciones soluciones de la ecuación ecuación de medio lineal, homogéneo e isótropo, isótropo, es lineal, lineal, esto esto es, si E¡ E1 y Y E2 onda onda (4.1) (4.1)
entonces E = El + E2 es también Así pues, pues, en la región región del espacio espacio entonces el campo campo E también una una solución solución de la ecuación. ecuación. Así donde podremos aplicar aplicar esta esta propiedad propiedad de donde solapen solapen espacialmente espacial mente dos o más campos campos electromagnéticos electromagnéticos podremos las soluciones soluciones particulares particulares y construir construir el vector vector resultante resultante de la superposición. superposición.
Supongamos dadas por por Supongamos que se superponen superponen dos ondas ondas planas planas monocromáticas monocromáticas dadas EICi, EICr, t) t)
=
EOI:R - S I )] UI, EOI:R [ei(wt [ei(WI-SI)] UI,
[e
i (W¡ - S2)] U2, E2(r, E2Cr, t) t) == E02:R E02:R [ei(W¡-S2)] íh
(4.2) (4.2)
donde respectivas de las ondas ondas en un punto punto donde 8¡ 81 = k¡ kl . r¡rl + rfJ¡ rfJl y 82 = k2 k2 .. r2 ;2 + rfJ2 rfJ2 representan representan las fases fases respectivas del espacio direcciones de osci lación lación de los espacio donde donde se superponen, superponen, y U U 11 Y U2 U2 son vectores vectores unitarios unitarios en las direcciones campos. campos. La irradiancia irradiancia del campo campo resultante resultante vendrá vendrá dada dada por por el promedio promedio temporal La temporal del vector vector de Poynting, Poynting, es decir: decir: (4.3)
Los haces mientras mientras que que el tercer tercer Los dos primeros primeros sumandos sumandos representan representan las irradiancias irradiancias de cada cada uno uno de los haces sumando es un término término de interferencia. interferencia. La primera primera consecuencia consecuencia es que sumando que si los campos campos están están polarizados polarizados ortogonalmente ortogonalmente entonces entonces El' El' E2 = O Y no hay interferencia. interferencia.
http://carlos2524.jimdo.com/
124
Óptica física Óptica física
Llevando temporales indicados indicados en (4.3) obtiene Llevando a cabo cabo los promedios promedios temporales (4.3) se obtiene
+h h + 2u] U2 j/;Y; cos O, 2uI . u2jI;i; coso,
1J = = 1] JI
(4.4) (4.4)
donde o o == 02 - 01 o] es el desfase desfase relativo donde relativo de las dos ondas. ~mdas . campos vibran vibran en la misma = 1, Y la irradiancia Si los dos campos misma dirección, dirección, U~I u J .• UU~2 2 = irradiancia oscila oscila entre entre los valores valores 4
4
lmax Jmax
=
(JI; + .fJ,;) (JI; ~)
2 ,
(4.5) (4.5) lmin
=
(JI; _ .fJ,;)
2
Una magnitud magnitud importante importante que Una que caracteriza caracteriza al diagrama diagrama interferencia interferencia es el contraste contraste o visibilidad, visibilidad, C, definido como como definido
e ==
lmax J max -
+
Jmax lmax
lmin Jmin .
(4.6)
Jmi ll lmin
Figura 4.1 se muestra muestra la distribución función del defase En la Figura distribución de irradiancia irradiancia en función defase
oo para para dos valores valores de c.
" ,-....-....C=0.2
" ,-"'-"'C=0 .2
1,
1
-."
C =1 C=1
OL---~~----~Ú----- __ __~ WL____~ OL---~~----~ú-----
oo
~
10
5
15
______~ ~
20
Distribución de irradiancia irradiancia en función interferencia de dos Figura 4.1 Distribución función del desfase desfase en la interferencia dos ondas ondas monocromáticas. monocromáticas.
ondas monocromáticas monocromáticas son una fuentes Las ondas una idealización. idealización. En En general general las emisiones emisiones producidas producidas por por las fuentes tienen una una cierta cierta duración duración temporal, será del de luz tienen temporal, St ot,, y por por ello ello la longitud longitud espacial espacial de los los pulsos, pulsos, le, le, será orden de cot cOt(véase Figura 4.2). duración temporal orden (véase la Figura 4.2). Por Por otra otra parte, parte, la duración temporal del pulso pulso de luz luz está está relacionada relacionada anchura espectral, espectral, .6.úJ, /sco, mediante con la anchura mediante 2rr 2rr
Ot=-. ot = - .
(4.7)
/:).úJ .6.úJ
Por lo tanto tanto la longitud pulso se podrá Por longitud del pulso podrá poner poner como como 2rr 2rr
)..22 )..
.6.úJ
.6.)"
le = c - = -. = c= -. /:).úJ /:).)..
(4.8)
forma cualitativa cualitativa se puede puede comprender De forma comprender que que cuando cuando el pulso pulso se divide divide en dos en un interferómetro, interferómetro, si diferencia de camino camino óptico óptico es superior superior a la longitud le, los pulsos superpondrán temporalmente la diferencia longitud le, pulsos no se superpondrán temporalmente podrán interferir. interferir. A la longitud longitud le se la denomina longitud de coherencia. y no podrán denomina longitud coherencia. Por ejemplo, ejemplo, una fuente fuente que que emita Por emita en todo todo el espectro espectro visible, visible, tendrá tendrá una una longitud longitud de coherencia coherencia )..2 )..2
le
0.552 0.552
~ 1 ¡Lm. = .6.)" /:).)..~ --¡u03 ~
(4.9)
Por ello, ello, con luz visible visible sólo sólo es posible interferencias cuando Por posible observar observar interferencias cuando el dispositivo dispositivo interferométrico interferométrico introduce diferencias diferencias de camino camino menores ejemplo en películas introduce menores que que 1 ¡Lm, por por ejemplo películas delgadas. delgadas. estabilizados pueden pueden tener Los láseres láseres estabilizados tener longitudes longitudes de coherencia coherencia de varias varias decenas decenas de metros. metros.
http://carlos2524.jimdo.com/
I
Capítulo 4/ Fenómenos ,
,,-
./Í E(t"x)
V'
\~
, , ,
res
125
,
r r
(4.4) E(w)
interferenciales
, ,
t
'.
(4.5) Figura 4.2 Anchura espectral,
!'::,w, y
longitud de coherencia,
le.
d, e, 4.2. (4.6)
c.
INTERFERENCIAS DE DOBLE HAZ Para que el fenómeno interferencial sea observable, la coherencia espacial y temporal entre los dos campos que interfieren debe ser suficiente para que el promedio (
(El . E2) ) durante
el tiempo de integración
del detector (ojo humano u otro tipo de detector físico) no sea nulo. En general si en un punto del espacio se superponen dos campos producidos por fuentes de luz distintas, el grado de correlación entre estas emisiones será muy pequeño y la interferencia no será observable. Para conseguir suficiente correlación se utiliza una única fuente y algún dispositivo óptico que divida la emisión inicial en dos. A estos dispositivos se les denomina inierferámetros. Se suelen clasificar en dos grandes grupos: l. Interferómetros 2. Interferómetros
de división del frente de onda. de división de amplitud del haz incidente.
En la Figura 4.3 se muestran algunos ejemplos que se analizarán posteriormente
en los problemas.
ndas
entes á del
nada (4.7)
(4.8) o, si ente
(4.9) trieo
,
,
..
Figura 4.3 Configuraciones
de diferentes
dispositivos
interferométricos.
Para abordar cualquier problema de interferencias es necesario obtener la diferencia de fase introducida por el interferómetro en cuestión, lo cual suele involucrar algo de óptica geométrica. Analizaremos brevemente por su simplicidad el interferómetro de Young con dos configuraciones de la situación de la pantalla de observación. Este interferómetro consiste en una fuente principal, S, que consideraremos monocromática, que emite ondas esféricas hacia una pantalla que contiene dos rendijas situadas simétricamente respecto a la rendija o fuente principal. Consideremos el sistema de dos rendijas separadas una distancia a de la Figura 4.4, que son iluminadas por la luz procedente de una fuente casi puntual S de radiación monocromática de longitud de onda A. A una cierta distancia D, tal que D » a, del plano que contiene a la doble rendija, se coloca una pantalla sobre la que se realizan observaciones.
http://carlos2524.jimdo.com/
126 Óptica Óptica física física (a (a))
p
s-~==
s-~==
(e)
x x
(b)
D
Figura 4.4 R2 son son las las rendijas rendijas que que están están separasepára4.4 (a) Esquema Esquema del experimento experimento de Young: Young: R¡ R1 y R2 das plana del esquema esquema das una una distancia distancia a. Las observaciones observaciones se se realizan realizan en la pantalla. pantalla. (b) Sección Sección plana experimental. experimental. (c) Diagrama Diagrama interferencial interferencial observado observado en en la pantalla. pantalla.
El campo por la superposición superposición coherente coherente de las campo eléctrico eléctrico en el punto punto P de la pantalla pantalla vendrá vendrá dado dado por ondas procedentes de ambas ondas procedentes ambas rendijas rendijas Eo eeii(úJl (úJt-krl) Eo - krl)
+ Eo Eo e' e' (úJI-kr2) (úJl - kr2)
r¡ r,
(4.10) (4.10)
r2 ri
La distribución punto P de la pantalla pantalla vendrá vendrá dada dada por por la siguiente siguiente distribución de irradiancia irradiancia que se observa observa en un punto expresión expresión Ip(x)
ex IEol
2(12" + 2"1 + - 1 r,
r2
r,r2
cos [k(r2 - rl)]
)
.
(4.11 )
Vemos en la expresión expresión (4.11) que la irradiancia irradiancia en el punto producidas Vemos punto P es la suma suma de las irradiancias irradiancias producidas que depende depende de la diferencia diferencia de por cada punto P más un término cada una de las rendijas rendijas en el punto término interferencial interferencial que carnino 2), de las ondas Podemos computar computar esta esta diferencia diferencia a camino óptico, óptico, (r¡ (r, -- rr2), ondas procedentes procedentes de cada cada rendija. rendija. Podemos patir D, z) y las de las rendijas rendijas R, R ¡ YY R2 R2 patir del teorema teorema de Pitágoras. Pitágoras. Las coordenadas coordenadas del punto punto P son (x (x, , D, vienen esta forma forma se tiene tiene que que vienen dadas dadas por por (a/2, (a/2, O, O) Y Y (-a/2, (-a/2, O, O) respectivamente. respectivamente. De De esta
r?r, == (xx _- ~) 2:a)2 2
2
(
+ DD2 + Z2 z 2 ,,
~r
r1== (x+~r r1 (x + +D2+ + D + Z2. 2
(4.1 2) (4.12)
Z2.
Por Por otra otra parte, parte, 2 r 2 - r¡2
+ + r2 1'2
donde donde hemos hemos hecho hecho la aproximación aproximación r¡ r, (4.11), la irradiancia irradiancia en el punto punto P queda queda
~ ~
Ip(x) ex IE ol2 [[~ 1 Ip(x) Eol2 r,2 r¡
ax
r22-r, ax + r¡) -- ~ r1) = = ----, , (4.13) (4.13) 1'2 + r, D r2 r¡ D 2D Por lo tanto, tanto, sustituyendo 2D, , ya que la D » » a. Por sustituyendo en
r2-r¡ r2-rl r2 - r¡ --(r2 1', = = ----(r2 ri r, r2 r¡
+~ ax) ] -; + _1_ _1_ cos cos (k ax)] r2 ri
1'11'2 r¡r2
D D
.
(4.14)
El tercer pantalla. En En efecto, efecto, en un tercer término término en la ecuación ecuación (4.14) (4.14) es el que modula modula la irradiancia irradiancia en la pantalla. punto punto P P de la pantalla pantalla habrá habrá un máximo máximo si se verifica verifica (4.15)
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo 4/ Fenómenos
interferenciales
127
esto es, ax
kV = Zmi:
donde m
=
O, ±l,
(4.16)
±2 ...
Los máximos ocurren en los puntos Xm
AD =m-,
(4.17)
a
y son una sucesión de franjas paralelas al eje Z y equidistantes.
La distancia que hay entre dos máximos o mínimos de interferencia, In1, se denomina interfranja y su valor es
AD
(4.18)
1"1 =-. a
Obsérvese en la Figura 4.4 que la diferencia de camino óptico puede computarse también como (rl -r2) = 6. Y que se verifica que sen e = e = por lo que se llega al mismo resultado que en la ecuación (4.13). Asimismo cabe esperar que si 6. = A, en el punto P se tendrá un máximo de interferencia (que se denomina máximo interferencial de orden 1), dado que ambas ondas llegan a ese punto retrasadas un periodo completo, esto es, están en fase. Para un punto Q más alejado del eje, y por lo tanto distinto del punto P, se tendrá un nuevo máximo de interferencia cuando 6. = 2A (máximo interferencial de orden 2). Obsérvese que en el centro de la pantalla, que está situado simétricamente respecto a las dos rendijas, la diferencia de camino óptico es nula, por lo que habrá también un máximo de interferencia que se denomina máximo interferencial de orden O.
%~
aa
as
O)
15,
te D
,~ 1) as de aa R2
!~
~! a
~
Figura 4.5 Distribución de irradiancia en la pantalla de observación en la interferencia de dos ondas monocromáticas cuando la pantalla de observación se coloca perpendicular a la línea que une las dos fuentes.
12) Si la pantalla estuviera colocada en un plano perpendicular, tal como se indica en la Figura 4.5, en lugar de franjas rectilíneas se obtendrían franjas circulares concéntricas con la línea que une las fuentes. En efecto, en un punto P de la pantalla la diferencia de fase estaría dada por 13) en
14)
(5
= ka cos e :::::: ka
( 1 -:2e2)
s> ) :::::: k ( a - 2D2
Las franjas brillantes aparecen en los puntos de la pantalla tales que (5 puntos de la pantalla que distan del centro una distancia rm dada por
un
.
=
(4.19)
2mn. Ello ocurre en los
(4.20)
.15)
http://carlos2524.jimdo.com/
.. . ,
128 4.3.
Óptica física Óptica física
INTERFERENCIAS DE MÚLTIPLES ONDAS interferómetros que que trabajan trabajan dividiendo dividiendo la amplitud, amplitud, se suelen suelen producir En los interferómetros producir más de dos haces haces por por lo que múltiples ondas. Vamos a desarrollar que la superposición superposición involucra involucra a múltiples ondas. Vamos desarrollar el simple simple caso caso de las interferencias interferencias producidas lámina planoparalela que nos servirá, servirá, además, además, como como ejemplo ejemplo de interferencia interferencia por producidas por por una una lámina planoparalela que por división división de amplitud. amplitud. refracción nv rodeada de aire. Sobre Supongamos una lámina planoparalela de espesor Supongamos una lámina planoparalela espesor e e Índice Índice de refracción nv rodeada Sobre ella incide un haz con un cierto ángulo de incidencia ei. En el interior de la lámina se producen reflexiones reflexiones ella incide haz con cierto ángulo incidencia interior lámina producen múltiples por por lo que todas estas parciales tal como múltiples que el campo campo transmitido transmitido será será la superposición superposición de todas estas ondas ondas parciales como se muestra muestra en en la Figura Figura 4.6.
aire aire
n,
aire
4.6 Esquema Esquema de las sucesivas sucesivas ondas ondas transmitidas transmitidas en la lámi lámina. Figura 4.6 na .
Nótese que entre entre dos dos de ellas ellas adyacentes adyacentes existe existe una diferencia de fase, 8, que que depende depende del espesor espesor de Nótese que una diferencia capa, del índice índice de refracción como del ángulo ángulo de incidencia, incidencia, dada dada por la capa, refracción así como por
2n = -2en coseett.. 8= 2en v v cos
(4.21) (4.2 1)
A A
esta manera denotamos por por Eo cPo la amplitud amplitud de la onda onda incidente incidente y su fase fase respectivamente, De esta manera si denotamos Eo Y ePo respectivamente, la onda transmitida resultante está dada dada por onda transmitida resultante está por (4.22)
que puede como que puede reescribirse reescribirse como (4.23)
De esta esta manera intensidad de la onda onda transmitida será De manera la intensidad transmitida será
h h = lo
1 2
1 + (l~2)2 (l~2)2 sen (8/2) sen22(8/2)
.
(4.24)
Los máximos tendrán lugar lugar cuando cuando Los máximos de la transmitancia transmitancia tendrán
2n -2envcoset =2mn. -2envcose¡ =2mn. AA
(4.25)
Figura 4.7 4.7 se representa frente a la diferencia diferencia de fase para dos valores En la Figura representa la transmitancia transmitancia frente para dos valores de la ref1ectancia. Obsérvese Obsérvese cómo cómo cambia cambia el contraste contraste y la anchura anchura de los los máximos máximos al cambiar cambiar la reflectancia, flectancia. reflectancia,
http://carlos2524.jimdo.com/
I
Capítulo Capítulo 4/ 4/ Fenómenos Fenómenos interferenciales interferenciales 1.0
""
" " ..•.
"
-
-
.;
129
..•.
" ""
"
T
..J\
.J \
oo \\. oo
10
Figura Figura 4.7 4.7 Transmitancia Transmitancia en una lámina lámina plano plano paralela paralela en función función del desfase: desfase: en continua continua para r22 == 0.9 0.9 Y en discontinua discontinua para r22 = = 0.04. 0.04.
lámina. En una R = = rr2,2 , de las caras caras de la lámina. una cavidad cavidad láser láser en la que que la reflectancia reflectancia puede puede tomar tomar valores valores del orden orden R = 0.99, 0.99, los máximos máximos de transmitancia transmitancia son muy muy estrechos estrechos espectralmente espectralmente hablando. hablando. Estos Estos máximos máximos representan representan los posibles posibles "modos" "modos" que que pueden pueden amplificarse amplificarse dentro dentro de la cavidad. cavidad. Análogamente Análogamente se puede puede analizar analizar la luz reflejada. reflejada. Si suponemos suponemos que que la lámina lámina no es absorbente absorbente para para longitud de onda onda considerada, considerada, se ha de verificar verificar que que la longitud (4.26) (4.26)
diagrama interferencial interferencial obtenido obtenido por por reflexión reflexión es complementario complementario del obtenido obtenido por por transmisión. transmisión. El diagrama de
PROBLEMAS PROBLEMAS RESUELTOS 1)
la
4.1. 2)
Figura 4.8a 4.8a se muestran muestran dos ondas ondas planas planas de igual igual amplitud amplitud linealmente linealmente polarizadas polarizadas que que vibran vibran . En la Figura en el plano plano Y Z Z y que que se propagan propagan en las direcciones direcciones kl k¡ y k2. La frecuencia frecuencia angular angular de ambas ambas ondas ondas es
de
úJ
= = 3.5 x 10 15 radjs. radjs.
Resolución Resolución 3)
Escribir Escribir la expresión expresión de los los campos campos e1échicos eléctricos asociados asociados a cada cada onda. onda. El campo campo eléctrico eléctrico asociado asociado a
4)
EE1I viene viene dado dado por por ~ ~
[i (úJt-k¡.r)] (úJt-k¡.r)] Úl, [i Úl,
El El (r, t) t) =:R =:R Eoe Eoe
(4.27) (4.27)
donde donde :R :R denota denota la parte parte real real de la expresión expresión entre entre corchetes corchetes y el vector vector de propagación propagación está está dado dado por por 2][ [ [ O A] ~~ 2][ O kl cos(300)j , k¡ = = T T cos(300)j - sen(30)k sen(30)k
(4.28) (4.28)
yÚ Ú II es un vector vector unitario unitario en la dirección dirección de vibración vibración del campo campo dado dado por por
(4.29) (4.29)
http://carlos2524.jimdo.com/
130 Óptica Óptica física física Asimismo campo eléctrico eléctrico asociado asociado a Asimismo el campo
por E2 viene viene dado dado por (4.30) (4.30)
donde propagación está por donde el vector vector de propagación está dado dado por
-~ = 2n [[cos(200) =T T cos(200)j j k2
O A A]] , O + sen(20)k sen(20)k
(4.31) (4.31)
y U2 [i2 es un vector unitario en la dirección por vector unitario dirección de vibración vibración del campo campo dado dado por
(4.32) (4.32)
(a) (a)
(b) (b)
z
n n,,
y
xX ®.,
u,
Figura 4.8 haces de polarizados en en el plano plano Y 4.8 (a) Dos Dos haces de radiación radiación polarizados Y Z en en las las direcciones direcciones y U2 y propagándose en pantalla colocada propagándose en las direcciones direcciones k, y k2 k2.. (b) Distribución Distribución de de irradiancia irradiancia en en la pantalla colocada en en ·el plano XZ. XZ . -el plano
Determinar plano yy Determinar la irradiancia irradiancia en el plano
= O.
Consideremos punto P situado p , O, zz pp )),, en ese punto punto la Consideremos un punto situado en el plano plano X XZ Z de coordenadas coordenadas rpp = = (x p, irradiancia promedio vendrá por irradiancia promedio vendrá dada dada por 1p = CEO( (El
+ E2)
2
2
E~ Eo
CEo- CEo
)
22
?
E~ 2 Ea 2A A CEo+ cEoEoU'· CEoEou, . U2 COSOp cos é»,, + CEo + 22 A
A
(4.33) (4.33)
punto P considerado viene dada por donde donde op op es la diferencia diferencia de fase entre entre ambas ambas ondas ondas en el punto considerado y que viene dada por op op
=
~- --k2k2 -~)) ·rp -~ ·rp ( k,
Zn [ [(0)])Zp 2n ] .. = T T -(sen30 sen30 o +sen20 +sen20 O Zp
(4.34) (4.34)
Nótese que para un punto punto P arbitrario plano de la pantalla pantalla sólo Nótese que la diferencia diferencia de fase para arbitrario que que esté esté en el plano sólo depende depende de la coordenada z, de esta puntos de la pantalla pantalla que coordenada z, esta manera manera todos todos aquellos aquellos puntos que tengan tengan la misma misma coordenada coordenada palabras, la distribución ancia consistirá zz tendrán tendrán el mismo mismo estado estado interferencial. interferencial. En otras otras palabras, distribución de irradi irradiancia consistirá en una colección brillantes y oscuras Figura 4.8b). una colección de franjas franjas brillantes oscuras alternadas alternadas que que son paralelas paralelas al eje X (ver (ver Figura 4.8b). Hallar el contraste contraste del diagrama diagrama intelferencial interferencial así como como la interfranja. interfranja. Hallar contraste del diagrama diagrama interferencial interferencial se determina determina mediante mediante la expresión expresión El contraste
e == I 1max Imax c=
I
1max Imax
-- 1mil1 Imi/1
+ IImmil1 i/1
http://carlos2524.jimdo.com/
II ,'
(4.35) (4.35)
Capítulo 4/ Fenómenos Fenómenos interferenciales interferenciales Capítulo 4/
131
siendo intensidad en aquellos aquellos puntos puntos en los que que la condición condición de interferencia interferencia es constructiva constructiva siendo IImax max la intensidad m) e IImin la intensidad intensidad en aquellos aquellos puntos puntos en los los que que la condición condición de interferencia interferencia es destructiva destructiva (8 = 2rr m) l) rr). Teniendo Teniendo en cuenta cuenta la expresión expresión (4.33) (4.33) y la definición definición (4.35) (4.35) llegamos llegamos a que que (8 = (2m (2m + l)rr). O)
(4.36) (4.36) Por otro otro lado lado a partir partir de la expresión expresión (4.34), (4.34), podemos podemós determinar determinar la interfranja interfranja sin más que que tener tener en Por sin más cuenta que que la posición posición del máximo interferencial interferencial de orden orden m viene viene dada dada por por cuenta del máximo 1) Zm
=
AA
sen 30° + sen 20°
(4.37) (4.37)
m, m,
que la interfranja interfranja será de manera manera que será 2) Inl Inl
Zm+1 = Zm+1
-
Zm
sen 30° + sen 20° 20°
0.6396¡;.,m. 0.6396¡;.,m.
(4.38) (4.38)
Determinar ser el grano grano mínimo Determinar cuál cuál ha ha de ser mínimo de la película pelicula que que se coloca coloca en el plano plano yy registre registre correctamente correctamente el diagrama diagrama interferencial, interferencial.
=O O para para que que se
Si deseamos deseamos registrar registrar correctamente correctamente el diagrama diagrama interferencial, interferencial, hemos hemos de colocar colocar una una película película cuyo cuyo grano sea que nos permita permita registrar registrar el diagrama diagrama interferencial interferencial que que se produce produce como como consecuencia consecuencia de la grano sea tal que interferencia de las ondas ondas (4.27) (4.27) y (4.30). (4.30). Para Para ello ello debe debe registrar registrar un máximo máximo interferencial interferencial y su mínimo mínimo interferencia adyacente, para para que que la interfranja interfranja producida producida sea grabada. Teniendo Teniendo en cuenta cuenta el valor valor de la interfranja interfranja adyacente, sea grabada. dado dado en la expresión expresión (4.38) (4.38) estimamos estimamos que que el grano grano ha ha de ser, al menos, menos, la mitad mitad de ese ese valor. Determinar el promedio promedio espacial espacial de la distribución irradiancia. Determinar distribución de irradiancia. Hemos visto visto en los apartados apartados anteriores anteriores que que como como consecuencia consecuencia de la interferencia interferencia de las dos ondas ondas se Hemos produce una una redistribución redistribución espacial espacial de la energía. energía. La La magnitud magnitud característica característica de cambio cambio de la distribución distribución produce interfranja, de manera manera que que para para determinar determinar el promedio promedio espacial espacial de esa esa distribución distribución de irradiancia irradiancia es la interfranja, emplearemos la expresión expresión emplearemos
y
en
(I -1 (Ipr) = pr ) = Inl Inl
1
1nl 1111 22 //
(4.39) (4.39)
ddzIp, zl »,
-1 - Inl/ 111/22
está dado dado en la ecuación ecuación (4.33). (4.33). Las Las integrales integrales que que hay hay que que hacer hacer para para evaluar evaluar (4.39) donde lIp» está donde (4.39) son inmediatas y arrojan arrojan el siguiente resultado inmediatas siguiente resultado
la
(4.40) (4.40) 33)
esto es la irradiancia irradiancia promedio promedio es la suma suma de las irradiancias irradiancias correspondientes correspondientes a cada cada uno uno de los haces haces esto empleados. empleados.
4.2. 34)
Un haz haz de luz luz IDonocromáticode longitud de de onda onda AO ilumina una doble doble rendija Young dando dando Un monocromático de longitud ilumina una rendija de Young origen separación de 5.6 mm origen a un diagrama d!agrama interferencial interferencial con con una una separación de 5.6 mm entre entre bandas bandas oscuras oscuras consecutivas. consecutivas. La separación entre entre el plano La separación plano de de pantalla pantalla y el el que que contiene contiene las las franjas franjas es de D = 10 m ID yY las las fuentes fuentes secundarias están separadas a = 1 mm, secundarias están separadas
=
nde ada en
I
Resolución Resolución Calcular onda de la incidente. Calcular la longitud longitud de de onda la radiación l<.tlH<.t'~lU'll incidente.
En un un punto punto P de la pantalla pantalla de observación, observación, situado una distancia distancia x del eje eje que que es normal normal al plano plano En situado a una doble rendija, rendija, la distribución distribución de campo campo eléctrico eléctrico será de la doble será (4.41 )
35)
http://carlos2524.jimdo.com/
132
Óptica física
Si consideramos que la amplitud de las ondas procedentes de ambas rendijas es igual, la irradiancia en el punto P se obtiene a partir de la ecuación (4.41) resultando
= 210 [1 + cos(op)],
Ip
donde
op
(4.42)
es la diferencia de fase en el punto P para los rayos procedentes de ambas rendijas (4.43)
donde hemos supuesto que x « D. En aquellos puntos en los que la diferencia de camino óptico sea múltiplo de AOse tendrá un máximo, esto es, los máximos estarán en aquellas posiciones tales que AoD
Xm
(4.44)
= --m. a
En el centro, o sea, en la intersección del eje normal al plano de la doble rendija y.la pantalla, se tiene que rl = ri, de manera que las ondas están en fase y se tiene un máximo, que se denomina máximo central de interferencia. La interfranja, Inl> esto es la distancia entre dos máximos consecutivos, viene dada por Inl = Xm+1
A partir de la expresión (4.45) podemos determinar
resulta AO= 5.6
X
AoD
-x",
(4.45)
= --
a
la longitud de onda de la radiación empleada que
10-7 m.
Dibujar la irradiancia frente a la posición en la pantalla. En la Figura 4.9a se muestra la irradiancia en función de la posición del punto P: nótese que en los mínimos de interferencia se tiene que la irradiancia es nula, de esta manera el contraste del diagrama interferencial, que se puede determinar a partir de la ecuación (4.42), resulta e = Imllx-lm~1l = l. IlI/lIx+//1/11l
(a)
4
(b)
n
n
n
4
fI
3
Figura 4.9 (a) Distribución filtro de densidad.
n
ti
ti
3
""'"2
o
1\
""'"2
-10
o
de irradiancia
o
~
10
-10
o
en el plano de la pantalla.
"
y
10
(b) Cuando se interpone
el
Si frente a uno de los orificios se coloca un filtro de densidad que reduce la irradiancia transmitida en un 10 por ciento, dibujar de nuevo la irradiacia en la pantalla en función de la posición. Supongamos que el filtro se coloca tras la rendija 2. Si llamamos E02 a la amplitud de campo eléctrico que se tendría en ausencia de filtro, tras colocar el filtro la amplitud será E62 = .Jü.9 E02. En este caso la irradiancia en un punto P del plano de la pantalla se puede expresar como (4.46)
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo 4/ Fenómenos
interferenciales
133
Nótese que en los mínimos interferenciales la irradiancia no es nula, por lo que el contraste del diagrama interferencial ya no es la unidad como en el caso anterior sino que resulta e = 0.9986. En la Figura 4.9b se muestra la distribución de irradiancia en este caso considerado.
4.3.
Una fuente puntual emite ondas de frecuencia angular ú)c = 4.35 x 1015rad S-1 e ilumina una lente de diámetro 1J = 20 mm y focal j' = 100 mm. La lente se parte por la mitad y ambas mitades se separan 2 mm entre sí. En el espacio entre ambas mitades se coloca una pantalla opaca. Tras la lente se coloca una pantalla a 4 m de la lente (ver Figura 4.10). La fuente está a 150 mm de la lente.
a
P
F·
F
Y.
L'
e
x
~
4
s'
D
Figura 4.10 Trazado de rayos en el caso de la lente y fuente consideradas.
La zona central entre
las dos partes de la lente se obstruye con una pantalla opaca. Resolución a
Describir qué se observa en la pantalla. Realizar un trazado de rayos que demuestre sus afirmaciones. Consideremos la parte superior de la lente: un rayo como el 1 que pase por el punto nodal no se desvía e intersectará en la pantalla a una altura y f dada por la relación Yf = Isl~.:IOOO. Si consideramos un rayo como el 2 resulta que intersectará en la pantalla en la parte inferior: es preciso notar que tras la refracción por la lente ambos rayos intersectan a una distancia s ', Y separada del eje óptico en una distancia d tal y como se muestra en la Figura 4.10. Naturalmente el valor de s I se infiere de la relación de conjugación entre objeto e imagen 1
1
-- + S
s'
1
(4.47)
=-.
I'
Asimismo puede deducirse de la geometría del experimento que d
=
Isl+s' I. Tras realizar los cálculos [s]
correspondientes llegamos a que s' = 300 rnm y que d = 3 rnm. Si realizamos el trazado de rayos correspondiente a la parte inferior de la lente llegamos a un resultado parecido; en definitiva, el dispositivo propuesto produce dos imágenes reales S, Y S2 separadas entre sí una distancia de 6 mm, Nótese que la longitud de onda de la radiación es A = 0.433 ¡.Lm. el
o la
6)
Determinar en qué región de la pantalla, si la hay, se observan interferencias. la interfranja.
En ese caso, determinar
De los resultados del apartado anterior se concluye que este dispositivo es equivalente al de la doble rendija de Young, por lo que en la región de solapamiento de los haces de radiación procedentes de S, y S2 se producirán interferencias que dan lugar a franjas equidistantes una cantidad l.« = ;~ = 0.267 mrn, donde D = 4000 - s'. La región de solapamiento de ambos haces corresponde a la región delimitada por y f Y - Y f en la que ambos haces solapan. El hecho de que la lente considerada carezca de aberraciones es fundamental puesto que independientemente del rayo considerado, esto es, independientemente de la altura del rayo con respecto al eje óptico, los rayos refractados por la lente van al mismo punto del plano imagen.
http://carlos2524.jimdo.com/
134 134
Óptica física Óptica física
Determinar el número número de franjas franjas oscuras oscuras que que se observan observan en la pantalla. Determinar pantalla. geometría mostrada Figura 4.10 deduce que que Isl:;~+D I~I' donde resulta que De la geometría mostrada en la Figura 4.10 se deduce Is l;;~+D I ~' I ' de donde resulta que y f = 27.67 27.67 mm. Por Por lo tanto parte superior superior se observarán observarán N, franjas oscuras. oscuras. Por Por YI tanto en la parte N s = Y¡Y¡ff ~~ 103 franjas '1' simetría, en en la parte inferior se observarán observarán el mismo franjas oscuras. oscuras. simetría, parte inferior mismo número número de franjas 111
4.4.
Dos rendijas de Young Young situadas plano opaco una distancia Dos rendijas situadas en un plano opaco P y separadas separadas una distancia a están están iluminadas iluminadas por la luz que que proviene fuente puntual radiación monocromática (A = = 0.5 ¡.Lm) l.Lm) situada situada en el por proviene de una una fuente puntual de radiación monocromática (A plano focal de una lente convergente convergente (ver (ver Figura 4.11). Se considera considera que que la anchura plano focal una lente Figura 4.11). anchura de las rendijas, rendijas, b que b « « a. es tal que x Pantalla Pantalla
oo
Trazado de rayos rayos correspondiente correspondiente situación considerada considerada. . Se han dibujado dibujado dos dos Figura 4.11 Trazado a la situación rayos que que corresponden corresponden a dos dos direcciones direcciones de propagación propagación de las ondas ondas que que llegan llegan al punto punto Q Q de rayos pantalla de observación. observación. la pantalla
Resolución Resolución Describir el diagrama diagrama interferencial interferencial producido situada a una distancia D D» » a. Calcular Calcular Describir producido en una una pantalla pantalla situada una distancia orden interferencial interferencial en el centro centro de la pantalla con el eje óptico. óptico. Suponer Suponer que que a = 1 mm el orden pantalla coincidente coincidente con mm yD=lm. yD=lm. observación, situado situado a una distancia x del eje óptico, óptico, la distribución distribución En un punto punto Q de la pantalla pantalla de observación, una distancia campo eléctrico eléctrico será será del campo
EE Q (x , t)t) = /R/R [E[ E 01,Bsen(¡3) sen(,B) eiCwt -krl l ] + /R sen(,B) eiCWC - krz) ] /R [E [ E 02 sen(¡3) ,B ¡3 ¡3 ,, Q
,
ei(WI-krl)]
01
02
ei(WC-kr2)]
(4.48) (4.48)
donde,B¡3 = = ][b~en() siendo b la anchura anchura de las las rendijas caso de considerar considerar rendijas suficientemente donde ][b~en 11 , siendo rendijas l.l. En el caso rendijas suficientemente estrechas podemos aproximar el término se'i,B) ---+ ---+ 1, de manera que la ecuación ecuación (4.48) (4.48) puede escribirse estrechas podemos aproximar término sen?) manera que puede escribirse como como E Q (x, t) t) ~ ei(wt-kr ] il ] EQ(x, ~ /R [ Eo] EOl ei(wt -ilkr
i (wt-kr 2)] 2 ) ] + /R [ EE0202eei(wt-kr
.
(4.49) (4.49)
La inadiancia irradiancia en el punto obtiene a partir ecuación (4.49) (4.49) y resulta ser La punto Q se obtiene partir de la ecuación resulta ser /I Q Q
/01 + 102 /02 + 2)101/02 2.)/01/02 cosCo), costé), = 101
(4.50) (4.50)
donde o o es la diferencia diferencia de fase en el punto ambas rendijas, que suposupodonde punto Q para para los rayos rayos procedentes procedentes de ambas rendijas, que niendo que que x « « D se puede expresar de la siguiente siguiente manera niendo puede expresar manera 2rr
-(r2 r¡) 00== T(r2 -- r¡)
A
= =
2rr 2rr 2rr xx a -t:,.d -T f.. d ~ ~ T15' A A D
el Tema influencia de de la anchura anchura de las las rendijas sobre el diagrama diagrama interferencia!. interferencia!. I En el Tema 6 veremos veremos la influencia rendijas sobre
http://carlos2524.jimdo.com/
(4.51) (4.5 1)
Capítulo interferenciales Capítulo 4/ 4/ Fenómenos Fenómenos interferenciales
135
Podemos procedentes de cada cada rendija rendija son iguales iguales Podemos considerar considerar que la amplitud amplitud de los campos campos eléctricos eléctricos procedentes (lo (/011 = 102 = lo) lo) por por lo que que la ecuación ecuación (4.50) (4.50) puede puede escribirse escribirse como como IQ = 2/0 [1 = 2/0 [1 + cos(8)]. cos(o)].
(4.52) (4.52)
aquellos puntos puntos en los que la diferencia diferencia de camino camino óptico óptico sea sea múltiplo múltiplo de 'Ase En aquellos 'A se tendrá tendrá un máximo. máximo. Esto Esto es, los máximos máximos estarán estarán en aquellas aquellas posiciones posiciones tales tales que que
=
'AD
(4.53) (4.53) --m. m. a centro, o sea, en el eje óptico óptico se tiene tiene que que rl rl = = r2 ri de manera manera que las ondas ondas están En el centro, están en fase fase y se tiene tiene máximo, que es el de orden orden interferencial interferencial m = O. La interfranja, interfranja, que que es la distancia máximos un máximo, distancia entre entre dos máximos consecutivos, viene viene dada dada por por IIlItnr = J..:; = 0.5 0.5 mm. Esto Esto es, es, la intefranja intefranja es constante consecutivos, constante y no depende depende del orden interferencia!. interferencial, orden Dado que que el desfase desfase sólo sólo depende depende de la coordenada coordenada x en el plano plano de la pantalla, Dado pantalla, todos todos los los puntos puntos de ésta con el mi mismo valor de la coordenada coordenada x tendrán tendrán el mismo mismo estado estado interferencia!. interferencial. De ésta smo valor De esta esta manera manera el diagrama interferencial interferencial consta consta de franjas franjas paralelas paralelas entre entre sí y equidistantes equidistantes una In ! que que hemos hemos diagrama una distancia distancia In! calculado anteri anteriormente. Estas franjas franjas son perpendiculares perpendiculares al plano dibujo. calculado orment~. Estas plano del dibujo. Xm m
A:;
Sii la fuente fuente puntual desplaza verticalmente verticalmente del eje óptico óptico de la lente lente una una distancia S puntual se desplaza distancia Yf y f ¿Cambia ¿Cambia el orden interferencial interferencial en el centro? centro? Si es así así calcular calcular su valor. ¿Y el valor valor de la orden la interfranja? interfranja? este caso caso la situación situación a considerar considerar es la representada representada en la Figura Figura 4.12. 4.12. En este xx Pantalla Pantalla
dos de
I
-y~il
r· e -----_ .
ar
~i----l=-------:::::::====:¡
~; f
~---- --- -
: ·----1
Ox
'r
oD
ción
.48)
4.12 Trazado Trazado de rayos rayos correspondiente correspondiente al desplazamiento desplazamiento de la fuente yf Figura 4.12 fuente en una cantidad cantidad Yf respecto al eje óptico óptico de la lente. lente. Se ha señalado señalado la diferencia diferencia de camino camino óptico óptico adicional respecto adicion al t::. t:, del haz incide sobre sobre la doble doble rend rendija ij a.. de luz que incide
irse
Obsérvese que que ahora ahora de la lente lente emergen emergen rayos rayos paralelos paralelos pero pero no al eje eje óptico óptico como anterior Obsérvese como en el caso caso anterior que la diferencia diferencia de camino camino óptico óptico entre entre la luz luz procedente procedente de ambas ambas rendijas rendijas en el punto por lo que punto Q vendrá vendrá dada por dada por
.49)
27r (xa (xa ) 8= -2n -+t. 0=-+~ 'A D. . 'A D '
ente
(4.54) (4.54)
donde t. ~ se puede puede computar computar teniendo teniendo en cuenta cuenta el desplazamiento desplazamiento de la fuente fuente respecto I» donde respecto al eje eje óptico, óptico, y f' Y el valor valor de focal de la lente: ~ Y lente: t. .50) upo-
.51)
=
siendo a sen e, siendo
ee
tan --11
el).
Obviamente la posición Obviamente posición de los
máximos de interferencia interferencia será en este este caso caso máximos XII! XII!
=
D
[m'A'A - a sen(e)] sen(e)]-. - . [m a
(4.55) (4.55)
Por lo que que el orden orden interferencial interferencial m = = O desplazará hacia hacia abajo, abajo, con respecto O se desplazará respecto al eje eje óptico, óptico, en la Por cantidad cantidad Xo Xo
= -
sen(8) D = sen(e)
http://carlos2524.jimdo.com/
(4.56) (4.56)
136
Óptica física
En cualquier caso la interfranja del diagrama interferencial permanece invariable. Suponga que se abre una tercera rendija de Young situada en el centro del plano opaco. Calcular la distribución de irradiancia a la que da lugar esta configuración. En el caso considerado a un punto Q de la pantalla de observación puede llegar radiación procedente de las tres rendijas. De manera que el campo eléctrico en el punto Q vendrá dado por EQ(x, t) =:R. [Eoei(úJl-krd
+ Eoei(úJl-kr2) + Eoei(úJl-kr3)],
(4.57)
con lo cual la irradiancia en ese punto se obtiene de la manera habitual hallando el cuadrado del campo eléctrico total, que viene dado por (hemos supuesto como en casos anteriores que las amplitudes de los campos son iguales entre sí) 1Q
= 310 + 210 COS(013) + 210 COS(023) + 210 COS(013),
(4.58)
donde o 13 es el desfase entre las ondas procedentes de la primera y tercera rendija; 023 es el desfase entre las ondas procedentes de la segunda y tercera rendija y 012 es el desfase entre-las ondas procedentes de la primera y segunda rendija. Es fácil ver que 012 = 023 ~ 2;r x';:{2 y 013 ~ 2;r X¡; (donde como antes, suponemos que x « D). Teniendo en cuenta lo anterior podemos escribir la ecuación (4.58) de la siguiente manera 1Q = 10 [3
+ 4 COS(012) + 2 cos(013)]
En la Figura 4.13a se muestra el perfil de irradiancia correspondiente (a)
(4.59)
.
a la interferencia de la luz pro-
(b)
4
f\
A
A
f\
8
6 ...2
...22
4
A
A
I \
I \
2
V
O
\
IJ
\
O -1
-1
Figura 4.13 (a) Distribución en el caso de tres rendijas.
de irradiancia en el caso de dos rendijas. (b) Distribución
de irradiancia
cedente de dos rendijas, mientras que en la Figura 4.13b se muestra el perfil de irradiancia para el caso correspondiente a 3 rendijas: nótese que aparecen máximos totales de irradiancia en aquellos puntos en los que las tres ondas están en fase, y máximos parciales o secundarios de irradiancia.
4.5.
I
La Figura 4.14a muestra el esquema de interferencia por reflexión y transmisión en una lámina de caras plano-paralelas. Suponiendo que los coeficientes de reflexión son muy bajos (1' « 1 y r 1« 1) justifique razonadamente cuál de los diagramas de interferencia de la Figura 4.14b corresponde a la interferencia de las ondas reflejadas y cuál al de las ondas transmitidas. Téngase en cuenta la interferencia de los rayos que se muestran en la Figura 4.14a. Resolución Si llamamos Eo a la amplitud de la onda incidente, los dos primeros haces reflejados tendrán las siguientes amplitudes R,
=
R2
= tt'rlEo,
rEo,
http://carlos2524.jimdo.com/
(4.60)
Capítulo 4/ Fenómenos Capítulo 4/ Fenómenos interferenciales interferenciales
137
diferencia de marcha entre ambos ambos será será /:)., = 2nd 2nd cos(8/). expresión (4.60) (4.60) ocurre y la diferencia marcha entre /:).r = cos(e¡). En la expresión ocurre que que o bien bien r < O, por que las las ondas ondas reflejadas reflejadas tendrían tendrían un desfase < O Y r' > > O, O, o bien bien r > > O Y r' < < O, por lo que desfase adicional adicional de nJT entre hacer interferir ondas en el plano plano focal, manera que entre ellas. ellas. La La lente lente lo que permite permite es hacer interferir ambas ambas ondas focal, de manera que la irradiancia irradiancia obtenida obtenida será
(4.61) (4.61) 7) (b1) (b1)
po os 8) se les
(b2 ) (b2)
ro-
Figura 4.14 que ilumina que 4.14 (a) Esquema Esquema del haz de luz que ilumina una lámina lámina plano-paralela plano-paralela y haces haces de luz que se consideran que se miden consideran para obtener obtener las interferencias. interferencias. (b) Gráficas Gráficas de las irradiancias irradiancias que miden en los planos planos focales foca les de las lentes lentes empleadas. empleadas.
Los dos primeros tendrán las siguientes amplitudes primeros haces haces transmitidos transmitidos tendrán siguientes amplitudes T TII
'Eo, = tt a'e«
T2 = = tt tt'(r')2 Ea, T2 ' (r ' )2E o,
(4.62) (4.62)
cia
y la diferencia diferencia de marcha marcha entre entre ambos ambos será será /:)./ 2nd cos(e¡). cos(8¡). La /:).¡ = 2nd La lente lente lo que que permite permite es hacer hacer interferir inteIferir ambas ondas en el plano focal, de manera que la irradiancia obtenida será ambas ondas plano focal, manera que irradiancia obtenida será
aso
(4.63) (4.63)
en
e 1)
a la
Tanto las amplitudes amplitudes de los haces haces transmitidos transmitidos como iguales. Además Tanto como la de los los haces haces reflejados reflejados no son iguales. Además a partir de las ecuaciones ecuaciones (4.61) (4.61) y (4.63) (4.63) podemos determinar el contraste contraste de ambos ambos diagramas diagramas interfereninterferenpartir podemos determinar ciales. De las fig figuras observa que que el contraste uras se observa contraste del del diagrama diagrama interferencial interferencial es diferente diferente en ambos, ambos, de ciales. manera que, que, basta basta determinar determinar cuál cuál de los dos diagramas manera diagramas interferenciales inteIferenciales es el de mayor mayor contraste. contraste. En el primer caso caso el contraste contraste viene viene dado dado por primer por
r = C, C =
les
.60)
4rr'tt' 4rr' tt '
2r2 + 2tt'(r')2 2tt'(r')2 II 2r2
2rr' II ~~ II (r')2 2rr' II » 0 << 1, (r')2 + r2 r 2 »0
(4.64) (4.64)
donde se ha tenido tenido en cuenta cuenta la relación relación tt' tt ' = 1 - r22 y que ser los coeficientes donde que 1 - r22 ~~ 1, al ser coeficientes de reflexión reflexión reducidos como como se indica indica en el enunciado. enunciado. En el caso caso de las ondas ondas transmitidas transmitidas se tiene tiene reducidos
~
C¡l = = 1 1 2(r')2 C 2(r')2 41 41 ~ 1 + (r (r ') ') 1
2(r')2 > 0 0«« 1. 1. 2(r ') 2 >
http://carlos2524.jimdo.com/
(4.65) (4.65)
" •.
138
Óptica Óptica física
De vemos que primera de ellas mayor contraste contraste De las ecuaciones ecuaciones (4.64) (4.64) y (4.65) (4.65) vemos que la primera ellas es la que que proporciona proporciona un mayor en el diagrama toda vez que que la dependencia dependencia funcional contraste con los coeficientes coeficientes diagrama interferencial, interferencial, toda funcional en el contraste de reflexión tipo funcional numerador y el denominador, denominador, cosa cosa que que no ocurre ocurre en el reflexión es del mismo mismo tipo funcional en el numerador caso Por lo tanto, tanto, el perfil perfil de irradiancia irradiancia que que se muestra muestra en la Figura 4.14b 1 caso de las ondas ondas transmitidas. transmitidas. Por Figura 4.l4b corresponde observadas por por reflexión, reflexión, mientras que el perfil perfil de irradiancia irradiancia que que se corresponde a las interferencias interferencias observadas mientras que muestra 4.14b2 corresponde corresponde a la interferencia ondas transmitidas. transmitidas. muestra en la Figura Figura 4.14b2 interferencia de las ondas
4.6.
Un dispositivo rendija de Young Young se ilumina ilumina con con una una fuente primaria de radiación radiación de longitud longitud dispositivo de doble doble rendija fuente primaria de onda una distancia mm del plano plano que onda 0.5 p.m, ¡Lm, cuya cuya forma forma es circular circular y está está a una distancia de 150 mm que contiene contiene la doble rendija. rendija. La La distancia distancia entre entre ambas ambas rendijas 0.2 mm está situada situada doble rendijas es de 0.2 mm y la pantalla pantalla de observación observación está a 1500 mm. Resolución Resolución Determinar la interfranja interfranja del diagrama Detenl1inar diagrama interferencia!. interferencia!. Consideremos un punto fuente primaria (xpp, , zp) zp) tal y como Consideremos punto de la fuente primaria de coordenadas coordenadas P = (x como se indica indica en Figura 4.15. Consideraremos que este punto emergen ondas esféricas que ambas rendijas. la Figura 4.15. Consideraremos que de este punto emergen ondas esféricas que iluminan iluminan ambas rendijas. radiación difractada difractada por ambas rendijas La radiación por ambas rendijas proporcionará proporcionará en la pantalla pantalla una una distribución distribución de irradiancia irradiancia dada por por22 dada
IS = ete [1 + cos(k~~) ] '
(4.66) (4.66)
donde ~~ Él.Q = rl rl + rOl - (r2 + r02) es la diferencia diferencia de marcha entre los rayos que llegan Q = donde marcha entre rayos que llegan al punto punto Q (x", So So + SI, SI, Z Z ") ") de la pantalla fuente. Por conveniencia posterior vamos a (x", pantalla procedentes procedentes del punto punto P de la fuente. Por conveniencia posterior vamos expresar las coordenadas coordenadas del punto = (p cos e, 8, p sen e) 8)],], de manera que si llamamos expresar punto P en polares polares [P [P = manera que llamamos A A puntos homólogos homólogos de la doble que y B a dos puntos doble rendija, rendija, se tendrá tendrá que Él. ~
p
Q Q
~ ~
dp cos(8) dp cos(e) So
dx" dx" ++ SI '
(4.67) (4.67)
donde d es la separación separación entre entre los puntos ecuación (4.67) (4.67) Yy de la (4.66) (4.66) vemos donde puntos A y B. A partir partir de la ecuación vemos que que para primaria, la irradiancia irradiancia en el punto punto Q sólo x" para un punto punto fijo P P de la fuente fuente primaria, sólo depende depende de la coordenada coordenada x" punto de observación: observación: como era de esperar esperar el lugar que la irradiancia del punto como era lugar geométrico geométrico de los puntos puntos en los que irradiancia constante corresponde corresponde a franjas franjas equidistantes equidistantes paralelas eje Z". adicional mente que que el cones constante paralelas al eje Z ". Nótese Nótese adicionalmente contraste del diagrama diagrama interferencial interferencial es la unidad sólo consideramos consideramos la radiación punto traste unidad si sólo radiación procedente procedente de un punto fuente. de la fuente.
z-
z
z
A
r,r, r, B B
Q Q
roo r"
-._._._._._._._._._._._._._._._._._.----------------------------------- ._._._ ____o_o..•
y
xx'
x ss,,
4.15 Esquema Esquema de la fuente primaria Sp que que ilumina ilumina la doble rendija y pantalla pantalla de observaFigura 4.15 fuente primaria doble rendija observación. ción. 2En la resolución resolución del problema secundarias tienen 2En problema vamos vamos a considerar considerar que que las las rendijas rendijas secundarias tienen una una anchura anchura despreciable. desprec iable_
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo 4/ 4/ Fenómenos Capítulo Fenómenos interferenciales interferenciales
139
DeterllÚnar la visibilidad visibilidad del diagrama Describir cómo Determinar diagrama interferencial. interferencial. Describir cómo se modificaría modificaría la distribución distribución de irradiancia pantalla si reducimos reducimos paulatinamente paulatinamente el diámetro primaria desde irradiancia en la pantalla diámetro de la fuente fuente primaria desde 0.1 mm 0.05 mm. a 0.05 hemos visto visto cómo En el apartado apartado anterior anterior hemos cómo es la distribución distribución de irradiancia irradiancia que que se observaría observaría en la pantalla considerando único punto punto de la fuente primaria. Cabe preguntarse cómo hecho de pantalla considerando un único fuente primaria. Cabe preguntarse cómo afecta afecta el e! hecho que primaria sea extensa: podemos ver cualitativamente partir de la ecuación que la fuente fuente primaria extensa: podemos cualitativamente a partir ecuación (4.67) (4.67) que que para para otro punto distinto primaria se tendría tendría un resultado resultado similar para el punto punto P considerado, otro punto distinto de la fuente fuente primaria similar que que para considerado, salvo habría un término término de fase diferente justamente d,epende posición del punto punto P. salvo que que habría diferente que que justamente depende de la posición P. Si conconsideramos puntos de la fuente primaria emiten radiación incoherente incoherente entre vemos sideramos que que los diferentes diferentes puntos fuente primaria emiten radiación entre sí, vemos que irradiancia total total en el punto punto Q se obtendría más que todos que la irradiancia obtendría sin más que sumar sumar las contribuciones contribuciones debidas debidas a todos los puntos puntos de la fuente pues de una suma puesto que punto de fuente (se trata trata pues suma incoherente incoherente puesto que se considera considera que que cada cada punto la fuente primaria emite emite de modo modo independiente respecto a los demás). fuente primaria independiente respecto demás). Cabe Cabe esperar esperar entonces entonces que que el resultado unidad, dado sultado de la suma suma proporcione proporcione un contraste contraste inferior inferior a la unidad, dado que que las posiciones posiciones espaciales espaciales de los máximos interferencia para P dependen dependen de cuál cuál sea ese ese punto interferencia máximos de interferencia para un punto punto P punto (los mínimos minimos de interferencia nulos porque porque se "rellenarán" radiación procedente procedente de otros puntos de la fuente primaria). no serán serán nulos "rellenarán" con radiación otros puntos fuente primaria). total en el punto punto Q vendrá vendrá dada por En efecto efecto la intensidad intensidad total dada por en as.
f
cm
dS dS
[1 + COS(k~~)] COS(k~~)] .
(4.68) (4.68)
Areafuellte Ar eaf uente
Tras realizar la integral integral indicada Tras realizar indicada en (4.68) (4.68) se llega llega a que que 3' 66)
IQ(x") = IQ(x") = ete' cte' sa sA
[
1+
~ ~
(k~) ,, (k--:;-) dx"" dx
JI -kdR) 11 ((kdR)
cos
]
(4.69) (4.69)
donde Bessel de orden donde JI 1j (z) (z) es la función función de Bessel orden uno. Vemos a partir partir de (4.69) primaria no sea puntual puntual se traduce traduce en que Vemos (4.69) que que el e! efecto efecto de que que la fuente fuente primaria que aparece un término que modula diagrama interferencia!. interferencia!. De hecho diagrama interfeinterfeaparece término que modula la visibilidad visibilidad del diagrama hecho el diagrama rencial puede puede desaparecer, nulo, cuando verifica que k~oR = radio de rencial desaparecer, contraste contraste nulo, cuando se verifica que k~oR = 3.83, 3.83, esto esto es, cuando cuando el radio
67)
Re == 32~3 32~3 ~o ~o ,. la fuente primaria sea Re fuente primaria Naturalmente al disllÚnuir tamaño de la fuente fuente primaria primaria aumentará Naturalmente disminuir el tamaño aumentará el contraste contraste del de! diagrama diagrama interfeinterferencial : en efecto, radio de la fuente primaria es 0.1 mm mm el contraste rencial: efecto, cuando cuando el radio fuente primaria contraste del diagrama diagrama interferencial interferencial es 0.3439, mientras que radio es de 0.05 mm el contraste 0.3439, mientras que cuando cuando el radio 0.05 mm contraste obtenido obtenido es 0.4574. 0.4574. Por contrario si modificamos fuente primaria que R > Re, Re, entonces entonces el Por el contrario modificamos el radio radio de la fuente primaria de modo modo que R > factor hace negativo negativo lo que que nos está una situación típica de inversión confactor de contraste contraste se hace está indicando indicando una situación típica inversión de conmáximos de interferencia teníamos mínimos mínimos traste: en el diagrama diagrama interferencial interferencial aparecen aparecen máximos interferencia donde donde antes antes teníamos de interferencia. interferencia.
que
x" cia onnto
4.7.
Se Presnel) de primera primera superficie cuales es fijo y el otro Se dispone dispone de dos dos espejos espejos (espejos (espejos de Presnel) superficie uno uno de los cuales otro puede girar (a variable). fuente puntual que ellÚte emite en 550 550 nm ilumina puede hacerse hacerse girar variable). Una Una fuente puntual de radiación radiación S que nm ilullÚna ambos una distancia una distancia vértice de unión unión ambos espejos, espejos, está está situada situada a una distancia h del del espejo espejo móvil móvil y a una distancia R del del vértice de ambos muestra en la Figura Figura 4.16. 4.16. ambos espejos espejos (A) (A) como como se muestra Resolución Resolución
.r
Se coloca una lente(f' = mm) cuyo pasa por por el extremo Figura 4.16. 4.16. Sabiendo coloca una lente = 150 mm) cuyo eje óptico óptico pasa extremo A de la Figura Sabiendo que h = = 20 mm = 200 distancia del vértice lente al vértice ambos espejos espejos que mm yy R = 200 mm mm la distancia vértice de la lente vértice de unión unión de ambos es de 300 mm Y y que dónde habría habría que 300 111111 que el ángulo ángulo entre entre espejos espejos es de a = = 0.500, , deterllÚnar determinar dónde que colocar colocar la pantalla localizar la/s imágen/es imágen/es real/es pantalla para para localizar real/es producida/s producida/s de la fuente fuente real real S. a3para reali zar la integral integral indicada indicada en (4.68) (4.68) basta basta expresar coseno en la forma exponencial compleja las propiedades propiedades 3para realizar expresar el el coseno forma exponencial compleja y emplear emplear las de las funciones de Bessel Bessel de de primera primera clase. clase. funciones de
http://carlos2524.jimdo.com/
Óptica física 140 Óptica
s
s, Figura 4.16 por una fuente puntual S. realizado un trazado 4.16 Espejos Espejos de Fresnel iluminados iluminados por fuente puntual S. Se ha realizado trazado de rayos rayos indicativo proceso de interferencias. indicativo para ilustrar ilustrar el proceso interferencias. (1)
S
s,
4.17 Trazado Trazado de rayos determinar la localización localización de las imágenes imágenes reales Figura 4.17 rayos para determinar reales que proporproporciona la lente lente auxiliar. auxiliar. ciona
En la Figura rayos en el que proporciona de Figura 4.16 se muestra muestra el trazado trazado de rayos que se observa observa que que cada cada espejo espejo proporciona la fue nte S una una imagen virtual. La localización por fuente imagen virtual. localización de la fuente fuente real S viene viene dada dada por S
=
[-R cos(a [-R cosCa
+ (3), R sen sen(a O] (a + (3), O]
respecto al sistema referencia que vértice común respecto sistema de referencia que tiene tiene su origen origen en el vértice común de ambos ambos espejos. espejos. De esta esta manera la imagen manera imagen que que da el espejo espejo 1 estará estará localizada localizada en SI SI = [[-R R cos(f3 - a), a), R sen(f3 - a) a),, O], O], en tanto (a + (3) tanto que que la imagen imagen que que da el espejo espejo 2 estará estará situada situada en S2 = [[- R cosCa costo + (3) (3),, - R sen sen(a (3),, O]. O]. Por Por lo tanto, tanto, si consideramos que el espejo espejo 1 puede puede variar variar su ángulo consideramos que que el espejo espejo 2 es el fijo y que ángulo a, la imagen imagen SI cambiará cambiará de posición girar el espejo espejo en en tanto que la imagen SI posición al girar tanto que imagen S2 permanecerá permanecerá en el mismo mismo lugar. De esta manera manera a partir fuente de luz podemos obtener con con este este sistema dispositivo equivalente equivalente al esta partir de una una fuente podemos obtener sistema un dispositivo de Young Young en el que que la distancia distancia entre entre las fuentes fuentes se puede cambiar a voluntad. Téngase en cuenta cuenta además, además, puede cambiar voluntad. Téngase separación entre entre las imágenes imágenes proporcionadas espejos" está está dada dada por 2R sen a = que la separación proporcionadas por por los espejos4 por d = 2R 3.4906 mm. Teniendo en cuenta cuenta que que sen f3 f3 = h / R llegamos llegamos a que que SI = (-199.1644, (-199.1644, 18.2628, 18.2628, O) O) y que que 3.4906 mm. Teniendo (-198.8154, -21.7359, O). O). S2 = (198.8154, -21.7359, lente auxiliar auxiliar formará formará de ambas ambas fue fuentes imágenes reales. Dado que que el eje óptico óptico de la lente lente La lente ntes dos imágenes reales. Dado pasa que proporciona lente de ambas ambas fuentes fuentes no estarán estarán en el mismo como imágenes que proporciona la lente mismo plano plano como pasa por por A las imágenes puede fácilmente en la Figura Figura 4.17. puede verse verse fácilmente 40tnlmanera computar esta esta distancia distancia es es calcu calcular longitud del segmento segmento S SII S2. 40tra manera de computar lar la longitud S2.
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo Capítulo 4/ 4/ Fenómenos Fenómenos interferenciales interferenciales
141
¿Qué tendría tendría que que hacer hacer para para formar formar la la imagen imagen de de ambas ambas fuentes fuentes en en el el mismo mismo plano plano de de la la pantalla? pantalla? Una Una ¿Qué vez vez que que consiga consiga esto, esto, describir describir qué qué se se observará observará en en un un plano plano perpendicular perpendicular al eje eje óptico óptico de de la la lente lente yy situado aa Do Do = = 3900 3900 mm mm de de ella. ella. situado
"'1
I
Para lo siguiente: siguiente: reorienreorienPara conseguir conseguir que que ambas ambas imágenes imágenes estén estén en en el mismo mismo plano plano podemos podemos hacer hacer lo tamos tamos la la lente lente de de manera manera que que su eje eje óptico óptico pase pase por por AA yy por por la la bisectriz bisectriz del del segmento segmento que que une une las las dos dos fuentes fuentes S, SI yy S2 con con lo lo cual cual si colocamos colocamos la la pantalla pantalla adecuadamente adecuadamente formaremos formaremos las las imágenes imágenes en en el mismo mismo plano. plano. Para Para ello ello podemos podemos usar usar la la relación relación entre entre planos planos conjugados: conjugados: -l/s - l/s + + l/si l/s' = = u¡'. l/f'. En En este este caso caso s = -300 -300 - R R cosa cosa = -499.9924 -499.9924 mm, mm, con con lo lo cual cual resulta resulta Si s' = 214.2871 214.2871 mm. mm . Asimismo Asimismo la separación separación entre entre las las imágenes imágenes reales reales será, será, teniendo teniendo en en cuenta cuenta los los aumentos aumentos laterales, laterales, d, dr = 1.496 1.496 mm. mm. Finalmente Finalmente en en el plano plano de de la la pantalla pantalla se se observarán observarán las las interferencias interferencias producidas producidas por por las las fuentes fuentes reales reales S r( yYS~. S;. La La distancia distancia característica característica del diagrama diagrama interferencia interferencia está está dada dada por por la la interfranja interfranja que que en este este caso caso , 1 Ae Do -si ) 12319 será mm. • sera ¡nI 111 = = A(DZ,~S d,. ') = =l.2319 . mm. La La versatilidad versatilidad de de este este dispositivo dispositivo consiste consiste en que que nos nos permite permite modificar modificar la la interfranja interfranja del del diagrama diagrama entre los los dos dos espejos, espejos, de de manera manera que que la la distancia distancia interferencial: para para ello ello basta basta con con modificar modificar el ángulo ángulo a entre interferencial: entre las las imágenes imágenes virtuales virtuales que que proporcionan proporcionan ambos ambos espejos espejos puede puede alterarse, alterarse, y consecuentemente consecuentemente se entre alteraría la la interfranja. interfranja. El inconveniente inconveniente que que tiene tiene este este sistema sistema para para producir producir diagramas diagramas interferenciales interferenciales en alteraría los que que la interfranja interfranja puede puede cambiarse cambiarse accionando accionando uno uno de de los espejos, espejos, estriba estriba en el hecho hecho de de que que al variar variar los la distancia distancia entre entre las las fuentes, fuentes, la posición posición del máximo máximo de de interferencia interferencia de de orden orden OOcambia cambia de de posición posición en el plano plano de de la pantalla. pantalla. Esto Esto lo podemos podemos visualizar visualizar mediante mediante la lente lente auxiliar auxiliar ya ya que que si orientamos orientamos la lente lente y la pantalla pantalla de de manera manera que que las las dos dos fuentes fuentes están están enfocadas enfocadas en la pantalla pantalla y a continuación continuación modificamos modificamos el ángulo ángu lo a entre entre los espejos, espejos, veremos veremos que que una una de de las imágenes imágenes sigue sigue enfocada, enfocada, la la que que proporciona proporciona el espejo espejo (2), mientras mientras que que la otra otra se desenfoca desenfoca paulatinamente, paulatinamente, la que que proporciona proporciona el espejo espejo (1). (1). (2),
ado
-\
I
4.8.
Una Una onda onda plana plana monocromática monocromática incide incide sobre sobre la la cara cara plana plana de de una una lámina lámina una una de de cuyas cuyas mitades mitades está está tallada tallada en forma forma de de prisma prisma tal tal como como se indica indica en la Figura Figura 4.18. 4.18. El ángulo ángulo del prisma prisma es de de 6° yy su índice 1.45. Considerar onda de índice de refracción refracción es n = = 1.45. Considerar que que la longitud longitud de de onda de la radiación radiación incidente incidente es de A= = sOOnm. 500 nm. A
Resolución Resolución
Escribir la expresión expresión de las ondas refractadas por por cada parte de de la lámina. Escribir ondas refractadas cada parte lámina.
por-
Consideremos por simplicidad incidente vibra vibra en el eje X, X, de manera manera que Consideremos por simplicidad que que la onda onda incidente que la expresión expresión de viene dada dada por por la onda onda incidente incidente viene a de
1
(4.70) (4.70)
Teniendo parte superior Teniendo en cuenta cuenta la ley de Snell Snell en ambas ambas caras caras de la parte superior de la lámina, lámina, así como como los coeficoefieo) y t(1)) vendrá dadaS por cientes cientes de Fresnel Fresnel correspondientes correspondientes (t (t(O) t(1»), , la onda onda emergente emergente vendrá dada ' por esta , en
(4.71)) (4.71
Por
2:
r
donde kI = 2~ (O, vector de posición. donde k, (O, 1, O) O) es el vector vector de propagación propagación y r = (x, (x , y, z) z) es el vector posición. Análogamente Análogamente la onda parte inferior viene dada onda procedente procedente de la parte inferior de la lámina lámina viene dada por por (4.72) (4.72)
que ente amo
j
2:
donde k2 k2 = 2~ (O, (O, cos {3, vector de propagación propagación y {3 81 -a - a = 2.718°. 2.7180. Así pues, pues, las ondas ondas donde f3 , + sen {3)es f3) es el vector f3 = (JI planas emergentes de ambas ambas partes partes de la lámina lámina producirán producirán interferencias interferencias en las regiones regiones del espacio espacio en planas emergentes produzca solapamiento solapamiento de ambos ambos haces haces de radiación. radiación. Esta Esta región región de solapamiento solapamiento depende depende las que se produzca distancia a la que coloquemos coloquemos la pantalla pantalla (aunque (aunque no explícitamente), explícitamente), del tamaño tamaño de cada cada parte parte de de la distancia 5rgnorando ex iones múltiples. STgnorando los efectos efectos de las refl reflexiones múltiples.
http://carlos2524.jimdo.com/
fJ·
•• _
142
Óptica física Óptica física
lámina, a, y del ángulo ángulo de desviación desviación del prisma f3. Nótese que t.~0) 0.816, t.~I) 1.184 Y que que la lámina, prisma {J. Nótese que t.~O) = 0.816, t.~ I ) = = 1.184 O trOJ Asimismo es preciso preciso notar notar que haz de radiación radiación incidente haz ) = 0.816, 0.816, t¡(I) t¡CI) = l.187. 1.187. Asimismo que al ser el haz incidente un haz plano, los haces emergentes" 6 serán serán planos que virtualmente infinito: véase Figura planos por por lo que virtualmente provienen provienen del infinito: véase la Figura plano, los haces emergentes 4.18 en la que que se muestra muestra la región cual se producen interferencias. 4.18 región en la cual producen interferencias.
t/
pantalla de de pantalla observación observación
~tz ~tz
~.:~mm_~_~- - - - ~- --:, , -J$rl~-~----~/-:'. ~
y
a '
0=90 cm cm D=90
4.18 Diagrama del experimento experimento propuesto propuesto. . Se ha sombreado sombreado la región región en la que que solapan solapan Figura 4 . 18 Diagrama ambos haces de radiación. radiación. ambos
sitúa una distancia D D= = 90 cm cm de la lámina. lámina. Calcular Calcular la distribución distribución de irradiancia irradiancia Se sitúa una pantalla pantalla a una una distancia interfranja. Indicar Indicar el número franjas brillantes que se observarán observarán en la pantalla pantalla y el valor valor de la interfranja. número total total de franjas brillantes que de la lámina lámina es de 2a = = 50 mm. en si el tamaño tamaño de I
I
I
distribución de irradiancia irradiancia que que se observa observa en la pantalla describre de la siguiente siguiente manera manera La distribución pantalla se describre CEO CEO 22 = TO.9934EOx, TO.9934EOx, para > Zmax yy Z < < 25 25,, l¡pan! pant = parazz > CEO 22 CEO ¡pant = TEOx TEOx (1.962 lpanl (l.962
Ipant lpanl
=
°°
1.8716cos8), cuando :s zZ :s Zmax + l.8716cos<5), cuando Zmax,,
CEO CEO 22 TO.9686EOx, para > Zmin TO.9686EOx' para z > Zmin
(4.73) (4.73)
YYZ < < O.
2;:
donde 8<5 = (k2 -kl) -kl)'Y '; = 2;r sen({J)z. sen(f3)z. Nótese que la diferencia diferencia de fase fase entre entre ambas ambas ondas ondas sólo sólo depende depende de donde Nótese que coordenada ZZ del punto cuestión sobre sobre la pantalla, que se tendrá interferencia constructiva constructiva la coordenada punto en cuestión pantalla, de manera manera que tendrá interferencia solapamiento de ambas ambas ondas ondas cuando cuando 8<5 = 2mn:, Zm.n , lo cual cual conduce conduce a que que la posición en la región región de solapamiento posición de los máximos interferencia venga dada por condición máximos de interferencia venga dada por la condición m
ZZ
°° :s z"
AA
= ----m, = --m, sen({J) sen(f3)
(4.74) (4.74)
:s
Zmax. esta manera concluye que que la interfranja, interfranja, es constante constante.'7 y de valor Zmax. De esta manera se concluye valor Inl In! = se~.B = 2.636 2.636 ¡Lm. Para Para estimar estimar el número franjas brillantes interferencia observables observables se~fJ = número de franjas brillantes o máximos máximos de interferencia situada a D = 90 cm, cm, hemos calcular Zmax = = 90 tan {J f3 = = 4.2726 4.2726 cm. Por Por tanto en la pantalla pantalla situada D = hemos de calcular tanto el número franjas brillantes será N = _la ~~ 4742, 4742, ya que que a < < Zl11ax (!).. número de franjas brillantes será Zmax (!) donde donde
zm
111 111
Suponga que que la fuente fuente de luz está a 16 mm lámina y que que el espesor espesor de la lámina lámina es Suponga luz es puntual puntual y está mm de la lámina = 4 mm. Describa que que se observará observará en la la pantalla. e= mm. Describa pantalla. situación: es fácil fácil convencerse convencerse mediante En la Figura Figura 4.19a 4.19a se muestra muestra la nueva nueva situación: mediante un trazado trazado de rayos rayos (ver Figura que la situación situación descrita descrita puede asimilarse a dos fuentes cuyas (ver Figura 4.19b) 4.19b) que puede asimilarse fuentes puntuales puntuales virtuales virtuales cuyas 6Esto es cierto cierto si se ignoran ignoran los efectos efectos de difracción difracción por por los lámina, lo cual cual es una aproximación, como como 6Esto los bordes bordes de la lámina, una buena buena aproximación, veremos el Tema Tema 6. veremos en el que la interfranja interfranja es independ independiente con tal que que ambos ambos haces de radiación radiación solapen. solapen. 77Nótese Nótese que iente de D con haces de
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo 4/ Fenómenos interferenciales
que haz igura
(a)
143
(b)
z
i
---d=16 mm
"
Figura 4.19 (a) Esquema de la situación planteada con fuente puntual S. (b) Trazado de rayos en aproximación paraxial.
coordenadas respecto a un sistema de ejes situado en la pantalla serían S( = (O, -916 + /ss, O), S~ = (O, -916, b..z), donde b..s = d(l y b..z = dtan[(n -I)a]. Es obvio por lo tanto, que en un punto Q de la pantalla de coordenadas (x , 0, zQ) puede llegar radiación procedente de S{ y S~ que, al ser radiaciones coherentes, pueden dar interferencias observables. Este problema es asimilable al de una doble rendija de Young. De esta manera la diferencia de camino óptico en el punto Q vendrá dada por
*)
-,-
apan
--,-
b..=SIQ-S2Q
= rl-r2
= (r¡-r2)---.
rl +vz
(4.75)
rl +r2
Podemos estimar b.. siguiendo el procedimiento habitual por lo que resulta cia (b..S)2 - (b..Z)2 - 2 x 916 x b..s
án
+ 2b..zzQ
2 x 916
(4.76)
Se sustituye la fuente puntual monocromática por una fuente de radiación que contiene todas las radiaciones del visible. Determinar la localización en la pantalla de la franja acromática, En este caso para cada longitud de onda los máximos y mínimos de interferencia aparecerán en diferentes localizaciones espaciales. Ahora bien resulta que cuando b.. = 0, para cualquier longitud de onda ocurre que se tiene un máximo de interfencia. La coordenada de ese punto en la pantalla está dada por la condición
4.73)
2 x 916 x b..s + (b..Z)2 - (b..s)2
dede ctiva e los
ZQ
4.9. 4.74) 111I = ables lo el
-
2b..z
1.8768 (mm).
(4.77)
Considere dos ond}s pl~nas con el mismo estado de polarización que se propagan en dos direcciones especificadas por k¡ y k2 como en la Figura 4.8a, salvo que el campo eléctrico vibra en la dirección del eje X. El diagrama interferencial se observa en una pantalla situada en el plano X Z. Las ondas son tales que sus longitudes de onda son A ¡ = 670 nm y A2 = 590 nm. Considere que el diagrama de interferencia se mide con un detector cuyo tiempo de integración es Ti = 10-9 segundos. Resolución
a es
Describir la forma de la distribución de irradiancia que se observa en la pantalla. El campo eléctrico para las ondas que proceden de una de las rendijas vendrá dado por
rayos cuyas . como
El (r,
t)
=
EOI
COS
(úJ¡t -
kl . r)
1,
(4.78)
y el campo eléctrico asociado a las ondas que proceden de la otra rendija vendrá dado por E2 (r, t)
=
E02
cos (úJ2t - k2 .
http://carlos2524.jimdo.com/
r) l.
(4.79)
144 144
Óptica física Óptica física
De esta manera la inadiancia pantalla vendrá vendrá dada por esta manera irradiancia instantánea instantánea en la pantalla dada por l¡(r, litr, t) t)
;~ t)t) J2 J2 = CEO E2(r, CEO [ [ ElEl~ (r, t)t) + E2(r,
(4.80) (4.80)
La expresión puede ponerse ponerse explícitamente expresión (4.80) (4.80) puede explícitamente como como
r) + EE52 02 cos
2 ( 2 cos -~) . r t) = = CEO CEO [[ EOI COS2 (wlt wlt - kl ll¡(r, ¡(r, t) E51 kl 2EoI cos COS (W¡t (W¡t - 1' k¡1 .. 2EoI
2
r) ++
22 ( -~) . r úJ2t (w k2 2t - k2
(W2t r) E02 E02 cos (w2t
k2 k2·.
r) JJ ..
(4.81) (4.81)
Naturalmente la inadiancia promedio Naturalmente irradiancia instantánea instantánea no es detectable, detectable, sino sino que que en su lugar lugar se emplea emplea su promedio temporal que se determina determina mediante expresión temporal que mediante la expresión (I(r) (I(r))=-)
= -1
lo
Ti
T¡ T¡ O o
l¡(r, t)dt. l¡(r,t)dt.
(4.82) (4.82)
La expresión puede expresar manera expresión (4.82) (4.82) se puede expresar de la siguiente siguiente manera (4.83) (4.83) donde viene dado por donde 11122 viene dado por (4.84) (4.84) Si tenemos tenemos en cuenta cuenta que que cos A cos B se realiza realiza fácilmente fácilmente quedando quedando (112) 2EOI E02 (11 2) = = 2EOI E02
=~ ~ [cos(A [cosCA
- B) B)
CEOCEO sen(.6.wT¡ --- sen(/').wT; [ 2T¡ 2T¡.6.w /').w
+ cosCA cos(A + B) B)],], la integral integral de la ecuación ecuación (4.84) (4.84) CEO CEO Al] 8) sen(wT¡ + 8) + 2T;w sen(wT¡ + 8) 2T¡w A
--A A
donde donde .6.w /').w
= WI
8
- W2,
I
w W == W¡ + W2, W2,
8
= (k¡ - k2) .
=
...,.
-;
(kl +k2)
r, -+
/
]
,
(4.85) (4.85)
(4.86) (4.86)
-r .
El primer primer término término en (4.85) (4.85) depende depende de la diferencia diferencia de frecuencias frecuencias entre entre las dos ondas ondas que que estamos estamos considerando, mientras que punto considerando, mientras que el segundo segundo depende depende de la suma suma de las frecuencias frecuencias. . Consideremos Consideremos un punto en el que que 8 = = O, O, entonces entonces se tiene tiene que que sen(.6.wT¡) sen(/'). wT¡) /').wT;
-----.6.wT¡ - - - = 1.77
x 10
--66
.
(4.87) (4.87)
1.65 x 10- 77. .
(4.88) (4.88)
para el otro término se tendrá tendrá En tanto tanto que que para otro término sen(wT¡) sen(wT¡)
--,---- -,----
sa.
wT¡
= -
De los resultados resultados obtenidos modulación que obtenidos en (4.87) (4.87) y (4.88) (4.88) llegamos llegamos a la conclusión conclusión de que que la modulación que se obtiene del diagrama diagrama interferencial interferencial al emplear emplear dos dos longitudes longitudes de onda onda tan dispares dispares es prácticamente obtiene prácticamente inapreciab le. Esto sólo se tendrán tendrán interferencias medida en que preciable. Esto era era de esperar, esperar, ya que que sólo interferencias observables observables en la medida que /').wT¡ ~~ 2][ palabras, cuando nos proporcione proporcione .6.wT¡ Zn , o en otras otras palabras, cuando la anchura anchura espectral espectral que que estamos estamos considerando considerando nos un tiempo tiempo de coherencia coherencia adecuado. adecuado. Por tanto, podemos podemos concluir plano X Z no Por lo tanto, concluir que la distribución distribución de irradiancia irradiancia que que se observa observa en el plano contiene una redistribución redistribución de la energía, ~ O, contiene esencialmente esencialmente una energía, (112 (ll2)) ~ O, como como la que que se aprecia aprecia en el caso caso de considerar radiaciones radiaciones con con longitudes longitudes de onda onda iguales (ver Problema Problema l1 de este este Tema) Tema). . considerar iguales (ver
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo 4/ Fenómenos Capítulo 4/ Fenómenos interferenciales interferenciales
.80)
145
Imagine una fuente puntual que que emite emite las dos radiaciones radiaciones monocromáticas monocromáticas Imagine ahora ahora que que se dispone dispone de una fuente puntual anteriormente ilumina una doble rendija rendija cuya cuya distancia distancia es a = nUll. El anteriormente consideradas. consideradas. Esta Esta fuente fuente ilumina una doble = 1 mrn. diagrama interferencial interferencial se observa observa en una situada en un que dista dista D = 1.5 metros diagrama una pantalla pantalla situada un plano plano que metros del plano Determinar si hay hay regiones regiones de la la pantalla pantalla en las que que la irradiancia irradiancia plano que contiene contiene a la doble doble rendija. rendija. Determinar es nula. Cada radiación radiación contribuirá contribuirá al campo pantalla de observación observación de Cada campo eléctrico eléctrico en un punto punto dado dado P de la pantalla coordenadas (x p, p, O, z p ), ), de modo modo que será coordenadas que el campo campo eléctrico eléctrico total total será
(4.89) (4.89)
.81) edio
donde el superíndice superíndice hace hace referencia referencia a que donde que proviene proviene de la rendija rendija 1 ó 2 respectivamente. respectivamente. Hemos Hemos visto visto apartado anterior anterior que que dos dos longitudes longitudes de onda significativamente no interfieren en el apaItado onda que que difieren difieren significativamente interfi eren de una una manera estable, estable, de modo modo que la irradiancia irradiancia promedio vendrá dada dada por por manera promedio en el punto punto P vendrá
+ h(AI) 12()q) + 2JI¡(AI)h(AI) 2}1¡ (A\)h(AI) COS8(AI) COSO(AI) + II h(A2) + 2J 2} I1 II (A2)h(A2) COS 8(A2), O(A2), -. I1 (A2) + h(A2) (A2)h(A2) cos
Ip Ip = = II I1 (Al) (Al)
.82)
(4.90) (4.90)
2:
.83)
.84) .84)
donde O(A) 8(A) == 2: aH' GJ{ . Lo que expresa expresa la ecuación (4.90) es el hecho ecuación (4.90) hecho de que que la distribución distribución de irradiancia irradiancia donde suma incoherente incoherente de las distribuciones distribuciones de irradiancia es la suma irradiancia producidas producidas para para cada cada radiación. radiación. La radiación radiación longitud de onda onda A produce un sistema sistema de franjas franjas equidistantes equidistantes paralelas eje X de longitud AI1 produce paralelas al eje X y cuya cuya interfranja interfranja es radiación de longitud sistema de franjas franjas eq equidistantes 1I'~I ,;/ == AA~D, ~D, mientras mientras que la radiación longitud de onda onda A2 A2 produce produce un un sistema uidi stantes paralelas adicional cuya cuya interfranja 1';1 paralel as al eje X adicional interfranja es diferente diferente 1 ,;/ == A~D. A~D. Para obtener obtener un mínimo mínimo de irradiancia irradiancia total que se Para total hemos hemos de encontrar encontrar la posición posición en la pantalla pantalla en en la que tenga simultáneamente simultáneamente la condición condición de interferencia tenga interferenci a destructiva destructiva para para la radiación radiación de longitud longitud de onda onda Al A\ misma condición condición para para la radiación radiación de longitud esto es, encontrar encontrar los números enteros m números enteros Y la misma longitud de onda onda A2, esto que satisfagan satisfagan simultáneamente simultáneamente las ecuaciones y /l que ecuaciones
(2m .85)
AID A\D
2/ + 1 2m 2m + 1
A2 A2
mos unto
.87)
,
(4.91)) (4.91
que puede puede expresarse expresarse como como que
~ ~= .86)
A2D A2D
1)(2/ 1)-, +1 ) - = (2/ + 1) 2a 2a
=
1.13559. 1.13559.
(4.92) (4.92)
Resolviendo la ecuación ecuación (4.92) (4.92) llegamos ejemplo, m = 30 Y l/ = 34 de manera Resolviendo llegamos a que, que, por por ejemplo, manera que que en Z = 30.6525 30.6525 se tiene tiene un mínimo mínimo de irradiancia supuesto no es el único ocurre Z irradiancia total. total. Por Por supuesto único punto punto en el que que ocurre esta situación, situación, tendríamos tendríamos que seguir seguir buscando soluciones de (4.92). esta buscando soluciones (4.92). sustituye esta esta fuente fuente de luz por espectro continuo emisión que Se sustituye por una una que que tiene tiene un un espectro continuo de emisión que va desde desde 590] nm de modo modo que la amplitud amplitud del espectro espectro de emisión emisión es uniforme. [670, 590] uniforme. Determinar Determinar la visivisibilidad gel diagrama diagrama interferencial. interferencial. bilidad <;lel Esta parte parte es una extensión extensión del apartado anterior. Esta del apartado anterior. Si consideramos consideramos una una radiación radiación monocromática monocromática número de ondas ondas k que que pertenece pertenece al intervalo emisión de la fuente, fuente, la distribución de número intervalo espectral espectral de emisión di stribución de irradiancia produce esta esta radiación radiación en un punto irradiancia que produce punto P P de la pantalla pantalla vendrá vendrá dada dada por por
.88) e se ma-
que
Ip(k) Ip(k)
= 2Io(k) 2/o(k) [l + cos8(k)], cos o(k )] ,
(4.93) (4.93)
donde o8 (k) (k) = k aH' GJ{ = k B. B. Hemos Hemos visto apartados anteriores donde visto en los apartados anteriores que que las diferentes diferentes radiaciones radiaciones pueden pueden considerarse incoherentes incoherentes entre entre sí, de manera considerarse manera que que la irradiancia irradiancia total total en el punto punto P puede puede considerarse considerarse que será será la suma suma incoherente incoherente de las contribuciones que contribuciones de las diferentes diferentes radiaciones radiaciones con con números números de onda onda comprendidos entre entre (ko - ~k t;,k,, ko + t;,k), espectro. En otras comprendidos ~k ) , donde donde ko es el número número de ondas ondas central central del espectro. otras palabras, tendremos tendremos que que palabras,
1t;k
kO+ kO+~k
Ip Ip
=
t;.k
I1k kk0-2 0-2
dk2Io(k)[1 +coso(k) dk2Io(k)[1 +cos8(k)]. ].
http://carlos2524.jimdo.com/
(4.94) (4.94)
. •
r'
146
Óptica física física Óptica
Como el espectro espectro de emisión emisión es uniforme tiene que que lo(k) la(k) = = lo lo,, de manera manera que las integrales integrales indicadas indicadas Como uniforme se tiene (4.94) se realizan realizan sin la mayor mayor dificultad dificultad resultando resultando finalmente finalmente en (4.94)
[1 +
I pp = = 2/06.k 2/a6.k [1
6.~B)
(4.95) (4.95)
senc ( 6.~B) cos(koB) cos(kaB) ] . senc
Por lo tanto tanto la visibilidad visibilidad del diagrama diagrama interferencial interferencial viene viene dada dada por por Por (4.96) (4.96)
4.10.
Un haz haz colimado colimado de luz luz polarizada polarizada a 45 00 del eje eje X cuya cuya longitud longitud de onda onda es A = = 0.5 ¡Lm ¡.¿milumina Un ilumina una doble rendija rendija de Young. Young. El haz haz se propaga propaga en la dirección dirección del eje eje Y. Delante Delante de una una de las rendijas rendijas se doble coloca una una lámina lámina bilTefringente birrefringente de espesor espesor e = = 0.2083 0.2083 mm, uno de cuyos cuyos ejes ejes neutros neutros (el ordinario) ordinario) coloca paralelo al eje X X y se tiene tiene que que noCA) noCA) = = 1.4523 1.4523 Y = 1.4535. 1.4535. es paralelo y ne(A) /teCA) = Resolución Resolución Determinar interfranja del diagrama diagrama inteIferencial interferencial que que se observa observa en una una pantalla pantalla colocada colocada a una Determinar la interfranja una distancia de D = = 1 m del plano plano que que contiene contiene a la doble doble rendija. rendija. La separación separación entre entre las rendijas rendijas es de distancia =0.5mm. a =0.5mm. primer lugar lugar vamos vamos a escribir escribir la expresión expresión del campo campo incidente incidente sobre sobre el dispositivo dispositivo en un sistema sistema En primer ejes cartesiano: cartesiano: el eje eje X lo tomamos tomamos en el plano plano perpendicular perpendicular a la dirección dirección de las rendijas. rendijas. De esta esta de ejes manera tendremos tendremos manera E; cos(wt - ky), ky), El = = Ea Eo cos 45 00 cos(wt (4.97) (4.97) E1 = = Eo sen 45 00 cos(wt cos(wt - ky ky).). Justamente este este será campo que incide incide sobre sobre la rendija rendija 1. 1. Delante Delante de la rendija rendija 2 se ha colocado colocado una Justamente será el campo lámina birrefringente birrefringente de modo modo que que el campo campo que emerge emerge de la lámina lámina será será lámina Zn¿ 2 2 2no Ex = = ----Eocos45° ----Eocos45° cos(wt - kky), cos(wt y ), no 11+110 1 + no + no
Zn¿ 2 2 2ne E7 =----Eo sen45° cos(wt cos(wt - ky Ez = - - -Eo sen45° n¿ 1 + ne n¿ 1 + ne
(4.98) (4.98)
0 + oa), 0),
2;:
donde 0a 00 = = (no (110 - ne)d l1e)d es la diferencia diferencia de fase que introduce introduce la lámina, lámina, que resulta resulta ser oa oa == rrit .. De donde modo que que el haz haz emergente emergente de la lámina lámina ha rotado rotado su plano plano de polarización. modo polarización. Dado que que hemos hemos descompuesto descompuesto el haz haz incidente incidente en sus componentes componentes en planos planos de vibración vibración perpendiperpendiDado culares entre entre sí, tras difractarse difractarse por por las rendijas rendijas se tendrá tendrá que que la componente componente El interfiere interfiere solamente solamente con culares E;, mientras que que E~ interfiere solamente este modo modo la irradiancia irradiancia en un punto punto P plano E;;, mientras Ei interfiere solamente con E;. E;. De este P del plano pantalla será será de la pantalla
El
2) 1)/1 IP}coso 11 + /¡ + 2) cos o+
= 1; IIp(x) p (x) =
Izl Izl + donde donde
/¡ 2)11li I} cos(o + rr), rr), /i + 2) ti cosCo
(4.99) (4.99)
~ X¡; Tras realizar cálculos indicados indicados en (4.99) (4.99) llegamos llegamos a que que oo == 2;: x; .. Tras realizar los cálculos = IIp(x) p(x) =
;~a2
[1.93298 + 1.1473 1.1473 ;~02 E5 [1.93298
interfranja que se tiene pantalla vendrá vendrá dada dada por por Il,« = 1 mm. La interfranja tiene en la pantalla nl =
http://carlos2524.jimdo.com/
4
x 10-4 cos
o] ..
(4.100) (4.100)
Capítulo 4/ Fenómenos interferenciales
das
Determine la visibilidad del diagrama interferencial. dad?
¿Puede conseguirse que el contraste sea la uni-
A partir de la expresión (4.100) se puede determinar de una manera inmediata el contraste que resulta ser e = 7.62 x 10-5, que es tan pequeño que podemos afirmar que de la inspección visual del interferograma se concluiría que no hay tal y que la irradiancia es esencialmente uniforme. Variando el ángulo de polarización del haz que incide sobre el sistema podría cambiarse la visibilidad, ejercicio que dejamos al lector. El contraste no será nunca igual a la unidad ya que parte de la luz que entra por la rendija que tiene antepuesta la lámina es reflejada por la lámina. En todo caso si orientamos la lámina de modo que su eje ordinario esté orientado a 450 del eje X, o sea, paralelo a la dirección de vibración del campo eléctrico incidente, el campo emergente de la lámina vibra en la misma dirección. De esta manera tendríamos que
.95)
.96)
a se o)
El
=
Eo cos(úJt - ky)u, (4.101)
y ~2
E
=
2 2no ----Eocos(úJt 1 + no 1 + 110
~ - ky)u,
u
donde es un vector unitario en la dirección de oscilación del campo incidente. A partir de la expresión (4.101) podemos concluir que la irradiancia en un punto P de la pantalla será
a de
=
'p(x) ema esta
CEO
-2
2D
2
Eo [1
+ 0.9331 + 2 x
por lo que el contraste en este caso será el máximo posible
4.11. .97)
147
(4.102)
0.966 coso],
e = 0.9994.
Una fuente puntual que emite ondas de longitud de onda)." = 0.6328 /Lm ilumina una doble rendija cuya distancia entre rendijas es a = 4.5 mm. En un plano situado a D = 2 metros del plano de la doble rendija se observa el diagrama interferencial.
una
x Pantalla
.98)
a
~-g,jJ
~
Detector
Q
~/·.r.·
T
De
D
ndicon ano
Figura 4.20 Esquema de la situación planteada con una fuente puntual S que ilumina la doble rendija. En la pantalla de observación se emplea un detector de área finita para medir la irradiancia.
Resolución .99)
00)
Determinar la forma de la distribución de irradiancia en el plano de observación así como la distancia que hay entre dos mínimos de irradiancia adyacentes. Como es sabido la distribución de irradiancia consiste en una colección de franjas paralelas y equidistantes entre sí a una distancia dada por la interfranja, 'nI' La distribución de irradiancia puede expresarse como l p (x) =
'1 +
Li
+ 2¡¡;J;
cos
http://carlos2524.jimdo.com/
o p (x),
(4.103)
148 Óptica física donde donde 2n xa 2n: xa op(x) -o 8p(x) = =--o "A D D "A
(4.104) (4.104)
partir de (4.104) (4.104) y teni teniendo cuenta la condición condición de interferencia interferencia constructiva, m con A partir endo en cuenta constructiva, 8o = = Zit 2n:m con m un número entero, entero, podemos podemos concluir concluir que la interfranja interfranja viene viene determinada determinada por número por "AD
lull lu
=-
a
=
(4.105) (4.105)
0.281 mm. 0.281 mm.
Para medir experimentalmente la distribución distribución de irradiancia irradiancia se emplea Para medir expelimentalmente emplea un detector detector de área área cuadracuadrafabricado con elementos elementos semiconductores serniconductores que que es sensible da fabricado sensible a la radiación radiación empleada. empleada. La La señal señal que que suministra el detector detector es convenientemente convenientemente amplificada amplificada mediante mediante un sencillo sencillo circuito suministra circuito electrónico electrónico que que proporciona una una diferencia diferencia de potencial potencial a la salida salida que que puede puede llevarse proporciona llevarse a un un voltímetro. voltímetro. Delante Delante del detector se ha colocado colocado una pupila pupila cuadrada cuadrada de lado lado Xo = 0.1 mm suponemos que que tector mm (ver (ver Figura Figura 4.20). 4.20). Si suponemos diferencia de potencial potencial es proporcional proporcional a la irradiancia irradiancia que que recibe la diferencia recibe el detector, detector, determinar determinar el contraste contraste diagrama interferencial interferencial medido medido con este este dispositivo. dispositivo. del diagrama incide sobre sobre el detector detector se determina determina a partir partir de la expresión El flujo que incide expresión
XO/2 ¡XO/2 XO/2 f XO/2
= ¡f -xo/2/ 2 -xo
--xo/2 xo/ 2
dxd.;z [/1 [/, dxd
h + 2~COS8p(x)J. + 12 2~COSOP(x)J.
(4.106) (4.106)
suponemos que que la irradiancia irradiancia directa directa que que proporciona proporciona cada cada rendija Si suponemos rendija no depende depende de la posición, posición, de modo modo 1, -¡ f=. 11 1, (x (x, , z) z),, entonces entonces la evaluación evaluación de la integral integral doble doble en (4.106) que 11 (4. 106) es directa, directa, y el resultado resultado es (4.107) (4.107) donde B B donde
=
22;:: %. (a) (a)
:::fCS:Z:\Z'\1 f/:\Z:\Z"'I -0.1
O
0.1
(b) (b)
(mm) x (mm)
(e) (e)
(a) Distribución Distribución de irradiancia irradiancia normalizada. normalizada. (b) Distribución flujo que Figura 4.21 (a) Distribución normalizada normal izada de flujo mide e ell detector detector para D = = 2 m. (e) (e) Distribución Distribución norma normalizada mide lizada de flujo flujo que mide mide el detector detector para D= 1 1m m.. D=
Figura 4.21a 4.21a se muestra muestra el perfil perfil de la distribución distribución de irradiancia: En la Figura irradiancia: nótese nótese que que al considerar considerar que que 1, = /z, h, los mínimos de irradiancia irradiancia son nulos. nulos. En la Figura Figura 4.21b 11 los mínimos 4.21b se muestra muestra el perfil perfil de flujo que que se determinaría experimentalmente experimentalmente cuando cuando D = = 2 m: obsérvese obsérvese que determinaría que aunque aunque la distancia distancia entre entre dos máximos máximos interferencia es la misma misma que que en la Figura Figura 4.2Ia, 4.21a, los mínimos mínimos que serían nulos; de interferencia que se obtendrían obtendrían no serían nulos; esta esta es consecuencia inmediata inmediata del hecho hecho de que el detector detector tiene tiene un área muestra la consecuencia área finita. finita. En En la la Figura Figura 4.21c 4.21c se muestra caso de determinar determinar el flujo con con el detector detector en un plano plano situado situado a una = 1 metro el caso una distancia distancia D = metro del del plano plano
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo 4/ Fenómenos Fenómenos interferencia interferencia les Capítulo 4/
de la doble rendija. Se reproduce doble rendija. reproduce la situación situación anterior, anterior, con el añadido añadido de que ahora ahora la interfranja interfranja resulta resulta ¡ni próxima al tamaño l.u = 0.1406 0.1406 mm, mm, de ahí que al ser muy próxima tamaño del detector, detector, los mínimos mínimos de irradiancia irradiancia sean menos pronunciados que en el caso caso anterior. anterior. menos pronunciados que
.104) In un
149
4.12. 4.12.
una lente. En la Considere haz plano plano de radiación radiación monocromática Considere un haz monocromática A A = 0.6 0.6 t-Lm t-Lm que que incide incide sobre sobre una lente. En parte superior prisma delgado ex = parte superior de la lente lente y delante delante de ella ella se coloca coloca un prisma delgado de ángulo ángulo a = 4° tal que que el Índice refracción es n(A) Índice de refracción n(A) = = 1.481 1.481 (ver (ver Figura Figura 4.22). 4.22) .
.105)
zz dra-
Pantalla Pantalla
que que de-
que ste
.106) modo
Figura 4.22 4.22 Esquema Esquema de la situación situación planteada planteada con un haz colimado colimado que incide incide sobre sobre la lente lente y en la parte parte superior superior se coloca coloca un prisma prisma delgado. delgado.
.107)
Resolución Resolución
Escribir plano Escribir la expresión expresión de las las ondas ondas que que inciden inciden sobre sobre la la lente. lente. Determinar Determinar qué se observará observará en el plano focal focal de la lente lente si JI f' = 100 mm. mm. Supongamos Supongamos que que la onda onda vibra vibra en la dirección dirección del eje X de la Figura Figura 4.22. 4.22. La expresión expresión de la parte parte de la onda que incide parte inferior por onda que incide en la parte inferior de la lente lente está está dada dada por Einf Einf
=
Eo cos(wt Ea cos(wt - ky)t, ky)t,
(4.108) (4.108)
mientras que para la onda prisma e incide mientras que para onda que emerge emerge del prisma incide en la lenteS lente'' se tendrá tendrá
E = Eotl Eotl t2 ti cos(wt cos(wt -
Esup sup
kl kl . ;)1, ;)1,
(4.109) (4.109)
donde propagación de la onda tras la refracción refracción por por el prisma. prisma. Teniendo donde k¡ es el vector vector de propagación onda tras Teniendo en cuenta cuenta que el prisma prisma es delgado puede considerar delgado se puede considerar que que (4.110) (4.110)
o que
para
donde 8 8pr = ex a(n ángulo de desviación desviación del prisma. donde (n - 1), es el ángulo prisma. pr = Ambos por la lente Ambos haces haces de radiación radiación tras refractarse refractarse por lente irán irán a dar dar respectivamente respectivamente al foco foco (para (para el haz inferior) punto del plano plano focal99 que dista inferior) y en un punto dista YO = JI f' tan 88prpr = 3.359 3.359 mm mm del foco foco de la lente lente (para el haz haz superior). superior). En la Figura Figura 4.22 4.22 se ha realizado realizado un diagrama diagrama esquemático esquemático del trazado trazado de rayos rayos (para involucrado. involucrado. coloca una observación a una distancia D =1 = 1 metro metro del del plano focal de la lente. DeterSe coloca una pantalla pantalla de observación una distancia plano focal lente. Determinar forma de la la distribución distribución de irradiancia irradiancia así así como como la interfranja interfranja del del diagrama diagrama interferencia!. interferencial. minar la forma 8Despreciamos por los bordes del prisma. prisma. 8Despreciamos los efectos efectos de difracción difracción por los bordes 9Esto es una aproximación para considerar los los efectos efectos de difracción difracción por lente. Ver más detalles sobre sobre este este aspecto aspecto en 9Esto una aproximación para no considerar por la lente. más detalles en el Tema 6. Tema
http://carlos2524.jimdo.com/
150
Óptica Óptica física física
Atendiendo región sombreada Figura 4.22 vemos que que la región región de solapamiento espacial de sombreada de la Figura 4.22 vemos solapamiento espacial Atendiendo a la región ambos que se ha indicado indicado en la pantalla. pantalla. En esa esa región región de solapamiento interfeambos haces haces es la que solapamiento tendremos tendremos interferencias que obtendríamos obtendríamos en un experimento doble rendija rendija con con separación rencias cuya cuya interfranja interfranja es la que experimento de doble separación entre entre rendijas distancia hasta hasta el plano plano de observación observación DD = 1 metro, metro, o sea, sea, rendijas a = YO Y Y distancia AD AD
[nI = InI = -
4.13. 4.13.
= = 0.188mm. ü.188mm.
a
(4.11 1) (4.111)
Considere puntuales de radiación radiación monocromática monocromática (A = 0.514 ¡.¿m) que que están están separadas una Considere dos fuentes fuentes puntuales ü.514/.tm) separadas una distancia ellas. En la dirección dirección perpendicular perpendicular a la recta recta en la que que están están ambas ambas fuentes, coloca distancia d entre entre ellas. fuentes, se coloca una plano focal imagen de la lente lente se coloca coloca una una pantalla pantalla de observación observación (ver una lente lente de focal focal JI f' y en en el plano focal imagen (ver Figura Figura 4.23a). 4.23a). zz
(a) Panlalla Pantalla
._. _._. _. _._ '-'-'-'-'-'-',
(b) (b)
F" F"
. ... y
Figura 4.23 situación planteada fuentes puntuales 4.23 (a) Esquema Esquema de la situación planteada con con dos dos fuentes puntuales de radiación radiación cohecohefocal de la lente. rentes rentes.. (b) Distribución Distribución de irradiancia irradiancia en el plano plano focal lente.
Resolución Resolución Determinar la forma forma de la distribución Determinar distribución de irradiancia irradiancia en el plano plano de la pantalla pantalla de observación. observación. Consideremos la expresión fuente SI SI que forma que son de la forma Consideremos expresión de las las ondas ondas esféricas esféricas que que emite emite la fuente E¡l E
Eo Eo
=-
r¡ rl
cos(wt - krl). kr¡). cos(wt
(4.112) (4.112)
Análogamente la expresión expresión para fuente S2 vendrán Análogamente para las ondas ondas que que provienen provienen de la fuente vendrán dadas dadas por por
Eo
E2 = -
cos(wt - kr2)·
(4.113) (4.113)
r2
Para conocer conocer qué se observará colocada en el plano focal de la lente Para observará en la pantalla pantalla colocada plano focal lente procederemos procederemos de la siguiente manera: (normal por superficie de onda, superficie R2 (normal por lo tanto tanto a la superficie onda, o superficie siguiente manera: consideremos consideremos el rayo rayo R2 fase constante) constante) que forma un ángulo ángulo e e con eje óptico fuente S2. de fase que forma con el eje óptico de la lente lente yy que que proviene proviene de la fuente S2 . 'Consideremos asimismo asimismo un rayo forme el mismo ángulo con eje óptico 'Consideremos rayo que que forme mismo ángulo con el eje óptico pero pero que que proviene proviene de la fuente SI SI. . Si desde desde S2 trazamos R2 esta esta recta fuente trazamos una una perpendicular perpendicular al rayo rayo R2 recta corta corta el rayo rayo que que proviene proviene de S¡ en un punto punto que que llamaremos que al ser ser ambos ambos rayos SI llamaremos P P (no representado representado en la Figura Figura 4.23a). 4.23a). Nótese Nótese que rayos paralelos, irán a parar parar al mismo mismo punto focal de la lente. adelante los dos paralelos, punto del plano plano focal lente. Desde Desde P P en adelante dos rayos rayos considerados recorren recorren el mismo manera que considerados mismo camino camino óptico, óptico, de manera que la única única diferencia diferencia de marcha marcha entre entre los rayos es justamente segmento PS P SI. camino óptico dos rayos justamente la longitud longitud del segmento I . Este Este camino óptico no es más más que que PS¡I = = d cose, cose, PS
donde hemos hemos considerado considerado que sistema está está inmerso aire. donde que el sistema inmerso en aire.
http://carlos2524.jimdo.com/
(4.114) (4.114)
Capítulo Capítulo 4/ 4/ Fenómenos Fenómenos interferenciales interferencia les de erfentre
Así pues pues en el punto punto al que que vayan vayan ambos ambos rayos, Así rayos, cuya cuya coordenada coordenada Zp Z p en el plano plano focal dependerá dependerá ángulo e, se tendrá tendrá condición condición de interferencia interferencia constructiva, situación intermedia del ángulo constructiva, destructiva destructiva o una una situación intermedia dependiendo del valor valor de PSI. P SI. Esto Esto es así dependiendo así ya que que la diferencia diferencia de camino camino óptico óptico se traduce traduce en una una diferencia de fase para para las ondas ondas refractadas refractadas por será diferencia por la lente lente que que será 2n 8= = -dcose. -dcose. AA
111)
na a er
151
(4.115) (4.115)
particular si 8 = 2mn Zmst se tendrá tendrá condición condición de interferencia interferencia constructiva constructiva en el punto punto de coordenadas coordenadas En particular z», Hasta ahora ahora sólo sólo sabemos sabemos lo que ocurre ocurre para forman un ángulo e con zp. Hasta para dos dos rayos rayos que que forman ángulo e con el eje eje óptico, óptico, precisamos conocer conocer cómo cómo es la forma forma del diagrama precisamos diagrama interferencial, interferencial. Para Para ello ello basta basta con con considerar considerar que que el cono de rayos rayos que que forma forma un ángulo ángulo e e con con el eje cono eje óptico óptico de la lente lente y que que emergen emergen de ambas ambas fuentes fuentes irán irán a parar a puntos puntos del plano plano focal focal que que distan distan del foco p describiendo parar foco la misma misma distancia distancia Zzp describiendo una una circunferencia circunferencia centrada en el foco foco de la lente, lente, por por lo tanto tanto para será el mismo; centrada para todos todos estos estos rayos rayos el estado estado interferencial interferencial será mi smo ; otras palabras, palabras, en el plano plano focal de la lente anillos concéntricos, en otras lente se observarán observarán una una colección colección de anillos concéntlicos, con respecto óptico, brillantes brillantes (máximos (máximos de interferencia) oscuros (mínimos (mínimos de interferencia). respecto al eje óptico, interferencia) y oscuros interferencia). La expresión de la irradiancia irradiancia en el plano plano focal foca! vendrá dada por expresión vendrá dada por I (e) [(e)
= 2/00 2[00 + cos cos 8),
(4.116) (4.116)
donde 8 viene viene dado dado por por (4.115), (4.115), y donde donde hemos supuesto implícitamente hemos supuesto implícitamente que que la irradiancia irradiancia que que proprodonde ducirían ambas ambas fuentes fuentes por por separado separado es esencialmente esencialmente la misma. ducirían misma. La La distribución distribución de irradiancia irradiancia que que se observa en el plano plano focal focal de la lente lente se ha representado observa representado en 4.23b. 4.23b. Determinar el orden orden interferencial interferencial que que se obtiene Determinar obtiene en el foco foco imagen imagen de la lente lente en el caso caso de que que 0.26728 mm. mrn. Determinar Determinar asimismo asimismo la interfranja d = 0.26728 interfranja del diagrama diagrama interferencial, interferencial.
ohe-
tenemos en cuenta cuenta la expresión expresión (4.114) (4.114) vemos =d = = Si tenemos vemos que que la diferencia diferencia de camino camino óptico óptico es PSI PS I = mA, es un múltiplo múltiplo entero entero de la longitud longitud de onda: 520. Por tanto en el foco mA, onda: m m = 520. Por lo tanto foco de la lente lente se tiene tiene un máximo interferencia. máximo de interferencia. Para determinar determinar la interfranja interfranja del diagrama diagrama interferencial Para interferencial basta basta determinar determinar explícitamente explícitamente la posición posición máximo interferencial orden m teniendo teniendo en cuenta = Zn m, por por lo que del máximo interferencial de orden cuenta que que 8 = 2nm, que se tiene tiene que que
y.
zp = ff'' tane anu = ::~ )1- (:A Z~l) (m)
=
t
II
(4.117) (4.117)
manera la interfranja interfranja será será De esta esta manera 112) [Ilit /ll
113)
de la
(111+1) (111 + 1)
= Zp =zp
(172) (m )
--zp' Zp
.
(4.118) (4. 11 8)
Teniendo en cuenta cuenta (4.117) (4.117) vemos fácilmente que Teniendo vemos fácilmente que la interfranja interfranja depende depende del orden orden interferencial interferencial consiconsiderado o, lo que que es lo mismo, mismo, la interfranja interfranja no es constante. derado constante. Esto Esto se manifiesta manifiesta justamente justamente en el hecho hecho que conforme conforme nos alejamos alejamos del eje eje óptico óptico la distancia de que distancia entre entre dos dos máximos máximos adyacentes adyacentes disminuye: disminuye: los máximos tienden tienden a aproximarse aproximarse en la periferia periferia del campo máximos campo de observación. observación. Otra Otra manera manera de ver esto esto de un modo matemático matemático consiste consiste en tomar tomar el límite límite de la expresión ser cero. modo expresión (4.118) (4.118) para para m -+ 00 00 que que resulta resulta ser cero. Imagine que que mediante mediante alguna alguna suerte suerte de dispositivo Imagine dispositivo podemos podemos desplazar desplazar muy muy lentamente lentamente una una de las fuentes, S¡, SJ, hacia hacia la otra otra que que permanece permanece fija, S2: o sea, hacemos fuentes, hacemos disminuir disminuir el valor valor de d. Describa Describa qué qué observará en el foco foco imagen imagen de la lente. lente. se observará
ayos ayos e los
Imaginemos por por un momento momento que se parte parte de una situación en la que Imaginemos una situación que d lente se tiene tiene un máximo máximo de interferencia, interferencia, esto lente esto es, do
.114)
= mOA, mOA,
= do y tal que que en el foco foco de la (4.119) (4.119)
donde mo 1110 es el orden orden interferencial interferencial correspondiente. correspondiente. Si acercamos S2 la distancia donde acercamos lentamente lentamente SI a S2 distancia entre entre fuentes disminuye, disminuye, por que la condición condición de interferencia las fuentes por lo que interferencia constructiva constructiva en el foco foco cambiará, cambiará, esto esto es, es,
http://carlos2524.jimdo.com/
ti •.•.
152
Óptica física Óptica física
irradiancia disminuirá. disminuirá. Eventualmente Eventualmente puede puede ocurrir ocurrir que que disminuyamos disminuyamos la distancia distancia hasta hasta di < la irradiancia < do hasta que que de nuevo nuevo se tenga tenga condición condición de interferencia interferencia constructiva, constructiva, por por lo que que ahora hasta ahora (4.120) (4.120)
di =mI A, =mIA,
l. En otras otras palabras, palabras, al acercar una fuente otra donde necesariamente necesariamente ha de ser que que mi donde mi = mo - l. acercar una fuente a la otra observaremos que que por por el foco lente van "desapareciendo" máximos y mínimos mínimos de interferencia. interferencia. Lo observaremos foco de la lente "desapareciendo" máximos que ocurre ocurre para para el foco trasladarse sin más más a cualquier cualquier otro otro punto punto del plano plano focal imagen : los que foco puede puede trasladarse focal imagen: anillos se irán moviendo foco hasta finalmente anillos moviendo hacia hacia el foco hasta desaparecer. desaparecer. Si fin almente ocurriese ocurriese que que d = 0, resulta resulta que que todo el plano plano focal tendría una una iluminación iluminación uniforme, uniforme, ya que que esto esto equivale equivale a tener tener una una única única fuente fuente en todo focal se tendría cuya cuya irradiancia irradiancia es el doble doble de la de una una de ellas. ellas.
INTERFERENCIAS DE DOBLE HAZ
4.14. 4.14.
.'.
~.
'~:.
U n haz haz divergente divergente de radiación radiación monocromática monocromática de longitud longitud de onda onda AA = ilumina un dispositivo dispositivo Un = 589 589 nm ilumina formado dos láminas plano-paralelas de vidrio, vidlio, de espesor muy elevado que entre una formado por por dos láminas plano-paralelas espesor muy elevado y que entre sí forman forman una cuña de ángulo desconocido. Entre Entre las láminas láminas se introduce introduce un líquido liquido de Índice Índice n = 1.48. Las Las cuña ángulo a desconocido. intelferencias producidas producidas se observan por reflexión reflexión y han han sido reproducidas en la Figura Figura 4.24b 4.24b con interferencias observan por sido reproducidas con aumento unidad . aumento unidad. Resolución Resolución
Obténgase ángulo que que forman entre sí las láminas. láminas. Obténgase el ángulo forman entre (a) (a)
(b) (b)
1
~
~
Figura 4.24 4.24 (a) Esquema dispositivo. (b) Diagrama observado por por reflexión Esquema del dispositivo. Diagrama interferencial interferencial observado reflexión en una cuña cuña de ángulo ángulo a ex desconocido. desconocido.
La luz luz reflejada reflejada en la primera primera lámina lámina interferirá interferirá con con la reflejada reflejada por por la segunda cara. Debido Debido a que que el La segunda cara. espesor capa de líquido líquido es variable variable y la incidencia normal , la condición mínimo de interferencia interferencia espesor de la capa incidencia normal, condición de mínimo se podrá podrá poner poner como como
+ I)A. I) A.
2nd 2nd = = (2m (2m
(4.121) (4.121)
lugar geométrico geométrico de los los puntos puntos de la lámina lámina superior que están están en el mismo mismo estado estado interferencial interferencial ASÍ, el lugar superior que será una recta recta (todos puntos están están a la misma misma altura altura de la lámina lámina inferior). inferior). De De la Figura Figura 4.24b 4.24b será una (todos esos esos puntos podemos estimar estimar la separación entre dos mínimos mínimos consecutivos consecutivos que que es del orden orden de 2 mm. De De la figura podemos separación entre figura se obtienen ecuaciones: obtienen las siguientes siguientes ecuaciones:
+ I)A, I)A , = (2m (2m + 3)A, 3)A,
2nd] Znd, = = (2m (2m Znd¿ 2nd2
sena sena = =
d2 d: - di
x
(4.122) (4.122) A
= = --
nx
= rnrad . = 0.18 0.18 mrad.
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo Fenómenos interferencia les Cap ítulo 4/ 4 / Fenóm enos interfere nciales
do
120) otra
ilumina la cuña cuña con con un haz colimado, indicar indicar cómo cómo es el diagrama diagrama de interferencia interferencia que que se obserobserSi se ilumina haz colimado, haz incide primera cara un ángulo ángulo de 30° y que vibra en vará. Suponer Suponer que que el haz incide sobre sobre la primera cara con con un que el campo campo vibra en la dirección del eje eje X. Suponer que que se trata cuña anterior. anterior. dirección X . Suponer trata de la misma misma cuña
una onda plana, de modo modo que reflejada en En este este caso caso la onda onda que que incide incide sobre sobre la cuña cuña es una onda plana, que la luz reflejada cara de la cuña cuña y la luz reflejada segunda cara cara interferirán interferirán entre entre sí en la región la primera primera cara reflejada en la segunda región de solapamiento haces. Un trazado trazado de rayos rayos elemental muestra que una pantalla pantalla solapamiento de ambos ambos haces. elemental muestra que si colocamos colocamos una paralela cara de la cuña cuña (ver (ver Figura Figura 4.25a) 4.25a) y el haz incidente incidente tiene apertura cPl, paralela a la primera primera cara tiene una una apertura ePI , en la pantalla observarán dos círculos círculos luminosos luminosos que que corresponden corresponden a las radiaciones caras pantalla se observarán radiaciones reflejadas reflejadas por por las caras cuña. En la Figura problema similar similar trata pues pues de un problema de la cuña. Figura 4.25b 4.25b se muestra muestra una una vista vista de la pantalla!". pantalla lO . Se trata este Tema. Tema. Si elegimos elegimos el sistema sistema de ejes ejes mostrado al tratado tratado en el Problema Problema l1 de este mostrado en la Figura Figura 4.25a, 4. 25a, entonces el vector propagación de la onda onda reflejada cara está está dado dado por expresión entonces vector de propagación reflejada en la primera primera cara por la expresión ~¡ -1
kr k,.
vo na
153
=
2rr 2rr -(O, e¡, cos ei e¡),), (O, sen ei, AA
(4.1 23) (4.123)
donde incidencia del haz sobre vector de propagación propagación de la onda reflejada donde ei e¡ es el ángulo ángulo de incidencia sobre la cuña. cuña. El vector onda reflejada segunda cara cara estará estará dado dado por en la segunda por
as
-~22
k,. kr
011
=
2rr 2rr (O, sen e!·, -(O, sene!" COSej), .' COSej), ., AA
(4.124) (4.124)
donde refración en el punto punto F donde el eI es el ángulo ángulo de refración F. . Es elemental elemental deducir deducir que que el ángulo ángulo de incidencia incidencia en F está relacionado ángulo de refracción forma está relacionado con el ángulo refracción en A de la forma (4.125) (4.1 25) De este este modo cuenta la ecuación ecuación (4.125) (4.125) y la ley de Snell Snell de la refracción expresar modo teniendo teniendo en cuenta refracción podemos podemos expresar el términos del ángulo incidencia e Así pues el campo eléctrico asociado a . el en términos ángulo a y del ángulo ángulo de incidencia e¡. Así pues campo eléctrico asociado la onda onda i
(a) (a)
(b) (b)
n en
ue el encia
.121) ncial .24b gura
Figura 4.25 4.25 (a) Esquema Esquema de dell dispositivo dispositivo. . (b) Diagrama Diagrama interferencial interferencial observado observado por por reflexión reflexión en una cuña de ángulo escon ocido . ángulo ex d desconocido.
reflejada en la primera primera cara vendrá dado por reflejada cara vendrá dado por ~ (~) (- ) E- Ir, ¡ r, t
E i¡(wt-k,l.;:) (wt-k,l ,¡:) = rl r¡ ae ae 1, 1, A A
(4.126) (4.126)
De la misma misma forma donde E Eaa es la amplitud amplitud del campo campo eléctrico eléctrico incidente. incidente. De forma el campo campo eléctrico eléctrico asociado asociado a donde onda reflejada reflejada en la segunda segunda cara cara vendrá dado por la onda vendrá dado por (4.127) (4.127)
.122)
IO Este dispositivo iría por por ejemplo para colimar haz de luz luz ya que, primera parte parte ¡OEste dispositivo serv serviría ejemplo para colimar un haz que. partiendo partiendo de la situación situación considerada considerada en la primera ll egar, aproximando lente, a obtener haz colirnado. co limado. De De modo modo que aproximando la fuente fuente al al foco foco de de la lente, obtener un haz que observando observando las del problema, problema, podríamos podríamo, llegar, interferencias obtener un haz colimado con con alto alto grado interfe renci as podemos podemos obtener haz colimado grado de precisión, precisión.
http://carlos2524.jimdo.com/
154
Óptica física Óptica física
De esta esta forma, forma, la irradiancia irradiancia en la pantalla cualquier punto que los haces solapen estará estará dada dada por pantalla en cualquier punto en el que haces solapen por
Ip
=
1)
+ h - 2JIJ;. cos(op) ,
(4.128) (4.128)
r, siendo siendo r r = (x(x rp , y p,p, O) el vector considerado e = (k} - k,l) k,)) . r, vector de posición posición del punto punto P considerado cEorfE6/2 cEotfr'it'iE6/21as irradiancias de ambas ambas ondas ondas respectivamente. Teniendo en = cEorf E6 /2 e hI: = cEotf r?:ti E6 /2 las irradiancias respectivamente. Teniendo cuenta que que op 8p = 2;: (sen (sene!e! - sene¡)yp, sene¡)yp, y a la vista ecuación (4.128) (4.128) llegamos llegamos a la conclusión conclusión cuenta vista de la ecuación
donde o 8 pp donde 11 1)
que el diagrama diagrama interferencial está constituido constituido por franjas oscuras oscuras y brillantes cuya de que interferencial está por franjas brillantes paralelas paralelas al eje X cuya separación está está dada dada por Inr = sen(8 sen(IJJ)~Sen(lJi)' cuenta la relación hecho de que que J )~Sen(8i)' Si tenemos tenemos en cuenta relación (4.125) (4.125) yYel hecho separación por ¡nt ángulo pequeño, podemos considerar considerar que que la interfranja interfranja está está dada dada por a es un ángulo pequeño, podemos por AA
¡1m nt ~ ~
4.15. 4.15.
••
Zrux cos(ert) ) 2na cos(e
(4.129) (4.129)
interferómetro de Michelson cuyos brazos están separados separados de la lámina lámina divisora divisora de haz, Se tiene tiene un interferómetro Michelson cuyos brazos están haz, BS, distancias t) [1 = = 10 m y l2 l2 = = 10.000023 10.000023 m (ver (ver Figura BS, a unas unas distancias Figura 4.26). 4.26).
P",
···-··'······:f
•
:,p'\F~r '""0" " ~e
2d..
imagen
virtual
r\ '~~, """"! L
!
¡
= 1.1785 1.1785 mm. = mm.
11'
P,
Imagen virtual
0
!:
P¿ii- :.
:c
~¡e
..
o
lenteL ,
F
Q
4.26 lnterferómetro Interferómetro de de Michelson Michelson ilumin iluminado con una una fuente extensa. Traza Trazado de rayos rayos Figura 4.26 ado con fuente extensa. do de esquemático. esquemático.
Resolución Resolución Determinar forma del del diagrama diagrama interferencial interferencial que que se observarán observarán en el plano focal de la lente lente L. Determinar la forma plano focal interferómetro de Michelson Michelson es un ejemplo ejemplo de dispositivo dispositivo interferencial división de amplitud. amplitud. El interferómetro interferencial por por división Figura 4.26 4.26 presenta esquema del mismo. caso, la luz luz procedente punto de la La Figura presenta un esquema mismo. En nuestro nuestro caso, procedente de un punto fuente como como el PI incide sobre sobre el divisor divisor de haz luz es dividido dividido en dos mediante este fuente Pj incide haz BB S. Este Este haz de luz mediante este elemento que semitransparente y está está colocado colocado a 45° 45° respecto dirección horizontal. elemento que es semitransparente respecto de la dirección horizontal. Los Los haces haces reflejado dirigen hacia dos espejos espejos de primera superficie situados situados perpendicularmente reflejado y transmitido transmitido se dirigen hacia dos primera superficie perpendicularmente entre sí, E j1 Y E E22 respectivamente. figura, el haz espejo E 1) se transmite espejo entre respectivamente. En la figura, haz reflejado reflejado por por el espejo transmite por por el espejo semi transparente mientras que el haz reflejado espejo E2 es reflejado Estos dos haces semitransparente mientras que reflejado por por el espejo reflejado en BS. B S. Estos haces se propagan dirección de observación observación produciendo diagrama interferencial interferencial si las condiciones condiciones de propagan en la dirección produciendo un diagrama alineamiento de los espejos espejos son las adecuadas: ello los dos espejos espejos deben deben de estar estar a 90° 900 el uno del alineamiento adecuadas: para para ello otro (así (así la lámina lámina B S estará estará orientada orientada a 45° 45° respecto ambos espejos). espejos). otro respecto a ambos
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo 4/ Fenómenos Capítulo 4/ Fenómenos interferenciales interferenciales
dapor 4.128) rada e do en lusión cuya de que
4.129)
155
puede simplificar haces que El análisis análisis del fenómeno fenómeno interferencial interferencial se puede simplificar si se considera considera que que los haces que llegan llegan colocada en el plano focal de la lente, fuentes virtuales luz que que se a la pantalla pantalla colocada plano focal lente, proceden proceden de dos fuentes virtuales de luz corresponden vituales que punto de la fuente proporcionan los espejos: corresponden con con las las imágenes imágenes vituales que de cada cada punto fuente proporcionan espejos: el esquema representado en la Figura Figura 4.26. 4.26. En efecto, punto PI rayo con esquema está está representado efecto, si del punto PI de la fuente fuente se emite emite un rayo una cierta inclinación, e, este rayo, después reflejarse en los diferentes rayos que una cierta inclinación, este rayo, después de reflejarse diferentes espejos, espejos, generará generará dos rayos que parecen provenir provenir de las imágenes imágenes que producen los espejos. parecen y que producen espejos. imágenes P;' y P; P; será 2d . De De este Si Si la distancia distancia entre entre los espejos espejos es d, la separación separación entre entre las imágenes será de 2d. este modo si la pantalla pantalla de observación paralela al espejo Y ambos perpendiculares entre modo observación es paralela espejo El, El, Y ambos espejos espejos son perpendiculares entre sí, los rayos rayos procedentes procedentes de emergerán paralelos entre ndo un ángulo respecto de la y emergerán paralelos entre sí forma formando ángulo e e respecto línea OC. Estos haces haces se recogen recogen con una lente pantalla de observación. línea OC. Estos con una lente de focal focal f' en la pantalla observación. En este este sentido sentido los haces haces que provienen virtualmente virtualmente de estos puntos y que paralelos entre mismo punto punto del que provienen estos puntos que son paralelos entre sí van al mismo plano focal Problema 13 de este plano focal (véase (véase el Problema este Tema). Tema). punto Q cualquiera pantalla, situado una distancia rm del centro rayos consideEn un punto cualquiera de la pantalla, situado a una distancia r.« centro O, O, los los rayos considerados llegan llegan con una diferencia marcha de rados diferencia de marcha
P;' P; P;
P;' P; P;
t:,. t:,.
haz,
= 2d cose. 2d cose.
(4.130) (4. 130)
El defase introducido introducido por por el interferómetro será El defase inteJierómetro será 8(5
2kd cose, = 2kd cose,
(4.131) (4.131)
donde número de onda radiación en el medio nuestro caso donde k es el número onda de la radiación medio existente existente entre entre los espejos, espejos, que que en nuestro caso es el aire. aire. Si el defase defase es tal que que
e = 2m 2mn, m = O, 1, 2, 2, ... it , donde donde m ...
(5 = 2kd 2kd cos e .5
,
(4.132) (4.132)
habrá un mínimo mínimo de interferencia. rayos que que salgan puntos diferentes en el punto punto Q Q habrá interferencia. Otros Otros rayos salgan de puntos diferentes de la fuente fuente pero que que incidan incidan con con la misma misma inclinación inclinación sobre mismo punto. punto. El fenómeno pero sobre los espejos espejos convergerán convergerán en el mismo fenómeno tiene simetría revolución respecto respecto del eje OC. De esta interferencial estará tiene simetría de revolución OC. De esta forma forma el diagrama diagrama interferencial estará formado formado por anillos an illos brillantes brillantes y oscuros radio de estos puede calcular fácilmente. En por oscuros concéntricos. concéntricos. El radio estos anillos anillos se puede calcular fácilmente. efecto, el haz haz de rayos rayos convergerá punto Q situado plano focal lente y la distancia rlll efecto, el convergerá en el punto situado en el plano focal de la lente distancia rm valdrá valdrá (4.133) r.» = f' i" tan e e :::::::: t'o. (4.133) rlll = : : : f'e. Por otra parte, teniendo teniendo en cuenta y que para ángu los pequeños pequeños se puede puede desarrollar Por otra parte, cuenta la ecuación ecuación (4.132) (4.132) Y que para ángulos desarrollar el cose cose como como
ee22
cose::::::: 1 - --, , cose::::::: 2
(4. 134) (4.134)
r lll es la expresión expresión de rm rayos rl/1 rm
=f
, ~ ,~ ''121 2 - dd''
(4 .1 35) (4.135)
donde donde In es el orden orden interferencial interferencial del anillo. anillo. Esta situación reproduce para para cualquier cualquier punto rayos que Esta situación se reproduce punto de la fuente fuente extensa extensa del que que consideremos consideremos rayos que respecto a la horizontal. emergen emergen formando formando un ángulo ángulo e e respecto horizontal. Razonar si se observarán blanca. (b) Luz Luz Razonar observarán interferencias interferencias con con las siguientes siguientes fuentes fuentes de luz: (a) Luz Luz blanca. procedente lámpara de sodio sodio (A. 589.0 ± 0.6 0.6 nrn). (e) Un láser láser de He-Ne 632.8 ± 1010-5 procedente de una una lámpara (A. = 589.0 nm). (c) He-Ne (A. (A. = 632.8 nm). 11m).
espejo ces se nes de no del
Si el interferómetro Michelson es iluminado una fuente monocromática (ondas longitud interferómetro de Michelson iluminado con una fuente monocromática (ondas con longitud de coherencia infinita), se producen producen interferencias interferencias al superponer provienen de uno de los coherencia infinita), superponer las ondas ondas que que provienen brazos con provienen del otro mismo punto punto de la fuente radiabrazos con las ondas ondas que que provienen otro y que que proceden proceden de un mismo fuente de radiación ilumina el interferómetro: por tanto tanto ambas tienen la misma misma frecuencia, mismo estado ción que que ilumina interferómetro: por ambas ondas ondas tienen frecuencia, el mismo estado de polarización polarización y mantienen mantienen una relación relación de fase tiempo. De De esta manera cualquiera fase constante constante en el tiempo. esta manera cualquiera que brazos del interferómetro interferómetro siempre que sea la diferencia diferencia de caminos caminos ópticos ópticos entre entre los dos brazos siempre se observarán observarán interferencias. interferencias.
http://carlos2524.jimdo.com/
Óptica física física 156 Óptica E,
ss
E,
------------------------------~
- - - ------- -- - --------- -- ------ ~
Diagrama Diagrama
interferencial interferencial
Figura 4.27 e. 4.27 Interferómetro Interferómetro de de Michelson Michelson iluminado iluminado con con una una fuente fuente de de longitud longitud de de coherencia coherencia L le. A la salida s. salida los los pulsos pulsos se se solapan solapa n sólo sólo en en la región región L Is.
En el caso monocromática, la no monocromaticidad caso de que que la fuente fuente de radiación radiación no sea monocrornática, monocromaticidad de la fuente fuente equivale afirmar que la longitud longitud de coherencia coherencia es finita: esto esto es, es, la anchura anchura espectral espectral D.A D.J... de la fue fuente equ ivale a afirmar nte de radiación radiación restringirá restringirá la diferencia diferencia de caminos caminos ópticos ópticos permisible permisible para para seguir seguir observando observando interferencias. interferencias. Recordemos Recordemos que que la longitud longitud de coherencia coherencia se define define como como le le = = cT eTee, , siendo siendo Te el tiempo tiempo de coherencia, coherencia, que Ahora que que está está relacionado relacionado con la anchura anchura espectral espectral en frecuencias frecuencias, , D. D.v,v, según según Te ex Ahora bien dado dado que e/J..., entonces D.v por lo tanto tanto la longitud coherencia se puede puede estimar estimar que sea del v = c/ A, entonces D.v = fJD.J..., fJ D. A, por longitud de coherencia
dv' dv'
orden de le = ~~ ~:.. Esto Esto equivale equivale a suponer, suponer, de manera manera simplificada, simplificada, que la fuente fuente de luz em emite pulsos orden ite pulsos cuya cuya longitud longitud es le, de manera manera que estos estos pulsos pulsos al recombinarse recombinarse solaparán solaparán temporalmente temporalmente de manera manera parcial (sólo parcial (sólo un tramo tramo ls) ls) Y en el caso caso de que la diferencia diferencia de caminos caminos ópticos ópticos supere supere la longitud longitud de coherenc ia, no habrá habrá interferencias coherencia, habrá solapamiento solapamiento por por lo que no habrá interferencias observables observables (ver (ver Figura Figura 4.27), 4.27), esto esto es, si ls L, = = 2(12 - 1) l 1) > > le, no se observarán observarán interferencias. interferencias. De esta esta manera, manera, vamos vamos a evaluar evaluar la longitud longitud de coherencia coherencia de las diferentes diferentes fuentes fuentes que se emplean: emplean: podemos tomar tomar como como tal a una fuente fuente que que emite emite desde desde A) J... I = = 380 nm nrn hasta • Fuente Fuente de luz blanca: podemos hasta J...2 = 830 830 nm. nrn. De esta esta manera, manera, la estimación estimación de la longitud longitud de coherencia coherencia nos proporciona proporciona un A2 valor / 450 nm = 0.32 valor de le le ~ ~ 380 38022/450 0.32 ¡Lm. Ji-m. Dado Dado que que la diferencia diferencia de caminos caminos ópticos ópticos es de D. = 2(12 interferencias. 2(12 - 1) 11) = 46 ¡Lm Ji-m,, se concluye concluye que no se observarán observarán interferencias. • Lámpara Lámpara de sodio: sodio: en este este caso caso la estimación estimación de la longitud longitud de coherencia coherencia proporciona proporciona un valor valor de 578.2 ¡Lm, Ji-m, por que se concluye concluye que sí se observarán observarán interferencias interferencias estables. estables. le = 578.2 por lo que • Láser Láser de He-Ne: He-Ne: en este proporciona un valor este caso caso la estimación estimación de la longitud longitud de coherencia coherencia proporciona valor de le le = 40.04 40.04 m, por por lo que se concluye concluye que que sí se observarán observarán interferenci interferenciasas estables. estables.
De las estimaciones anteriores se pone coherencia que muestran estimaciones anteriores pone de manifiesto manifiesto la gran gran coherencia muestran las fuentes fuentes de radiación láser láser sobre radiación sobre las fuentes fuentes convencionales. convencionales. Se introduce introduce una lámina lámina plano-paralela plano-paralela delante delante del del espejo espejo E El ) inicialmente inicialmente paralela paralela al espejo. espejo. Se comienza a girar girar la láIlÚna lámina con con un IlÚcromético micromético muy muy despacio. despacio. Explicar Explicar razonadamente razonadamente los cambios cambios que que mienza se observan justificando matemáticamente observan en el diagrama diagrama interferencial interferencial justificando matemáticamente las respuestas. respuestas. Como Como sabemos sabemos el sistema sistema de la Figura Figura 4.26 4.26 puede puede analizarse analizarse mediante mediante las diferencias diferencias de marcha marcha entre los rayos rayos procedentes entre procedentes de las imágenes imágenes que dan ambos ambos espejos espejos de cada cada uno de los puntos puntos de la fu ente. Estas fuente. Estas imágenes imágenes están están en línea línea y si la separación separación entre entre los espejos espejos es d d,, la separación separación entre entre las imágenes es 2d imágenes 2d.. Al introducir introducir una lámina lámina en uno de los brazos brazos 10 lo que ocurre ocurre puede puede seguirse seguirse analizando analizando en en este este esquema esquema sin más más que que tener tener en cuenta cuenta que que una de las imágenes imágenes se va a desplazar desplazar respecto respecto a la otra bien conocido geométrica que el efecto lámina plano-paralela otra (es bien conocido del curso curso de Óptica Óptica geométrica efecto de una lámina plano-paralela es el de introducir introducir un desplazamiento desplazamiento lateral): lateral): de esta esta manera manera al girar girar lentamente lentamente la lámina lámina acercaremos acercaremos o alejaremos alejaremos ambas ambas imágenes imágenes virtuales virtuales entre entre sí por por 10 lo que que alteraremos alteraremos la diferencia diferencia de marcha marcha entre entre los
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo Capítulo 4/ 4/ Fenómenos Fenómenos interferenciales interferenciales
157
rayos por rayos que virtualmente virtualmente provienen provienen de esas esas imágenes, imágenes, lo cual cual se traduce traduce en que desparecerán desparecerán anillos anillos por centro del diagrama diagrama interferencial interferencial o aparecerán aparecerán anillos anillos dependiendo dependiendo del sentido sentido de giro giro de la lámina el centro lámina plano-paralela considerada. considerada. plano-paralela
4.16.
Calcular el IlÚnimo mínimo espesor espesor que que debe debe tener tener una una película película transparente transparente de índice índice de refracción refracción 1.455, 1.455, si Calcular debe producir producir un IlÚnimo mínimo al reflejar reflejar la luz de 500 500 mll nm bajo bajo iluminación iluminación normal, normal, rodeada rodeada de aire ¿Qué ¿Qué se debe longitud de onda onda se reflejaría reflejaría con un mínimo mínimo a 30°? 300? longitud
Resolución Resolución cia
le.
Para ada es la resultante Para estimar estimar el espesor espesor de la capa capa hemos hemos de tener tener en cuenta cuenta que la onda onda reflej reflejada resultante de la superposición superposición de las ondas ondas que experimentan experimentan sucesivas sucesivas reflexiones reflexiones parciales, parciales, tal y como como se muestra muestra en la Figura Nótese que entre una diferencia Figura 4.28. 4.28. Nótese entre dos de ellas ellas adyacentes adyacentes existe existe una diferencia de fase, fase, 8, que que depende depende del
fuente nte de ncias. encia,
aire
anera tud de ). esto
capa,
.I
n,
·1
lean: aire aire
hasta na un 8.=
Figura 4.28 4.28 Esquema Esquema de las sucesivas sucesivas ondas ondas reflejadas reflejadas para que la superposición superposición de todas todas ellas proporcione proporcione un mínimo mínimo de reflectancia. reflectancia.
lar de
refracción así como espesor espesor de la capa, capa, del índice índice de refracción como del ángulo ángulo de incidencia, incidencia, dada dada por por
lar de tes de
8
=
2n 2n
(4.136) (4.136)
cose¡, , --2en 2en v v coser A A
y en °. De esta en el el caso caso que que nos ocupa ocupa resulta resulta que que e e,r == O O°. esta manera manera si denotamos denotamos por por Eo y Y epo c/Jo la amplitud amplitud de la onda por onda incidente incidente y su fase fase respectivamente, respectivamente, la onda onda transmitida transmitida resultante resultante está está dada dada por
coque archa de la tre las izando to a la a es el mas o
tre los
(4. 137) (4.137) puede reescribirse reescribirse como como que puede E-E T -
1 - r2 O
7
."
(4.138) (4.138)
.,e 1'YO .
1 - r+e=»
De esta esta manera manera la intensidad intensidad de la onda onda transmitida transmitida será será
h = lloo Ir
1l
11+ +
??
4r((l_r2)2 l - r 2)2
o/ 2)) sen 2 (o0/2
http://carlos2524.jimdo.com/
••
(4.139) (4 .139)
158
Óptica Óptica física física
Si suponemos onda considerada considerada se ha de verificar verificar que que suponemos que la lámina lámina no es absorbente absorbente para para la longitud longitud de onda (4.140) (4.140)
2;
Para n ,, o lo que que es lo mismo mismo 2en v = Para obtener obtener un mínimo mínimo de la radiación radiación reflejada reflejada ha de ser que que 8/2 8/2 = it Zen¿ = 2n de donde donde el espesor espesor ha de ser, al menos, menos, eo = = A/(2nv) 2n A/ (2n v) == 0.17182 0.17182 ¡¡,m. En ación que que se reflejaría reflejaría con con un mínimo mínimo ha de ser ser En el caso caso de considerar considerar la incidencia incidencia a 30°, la radi radiación tal qu~ donde hemos hemos supuesto Índice es el el qu~ Al Al = 2eonv 2eonv cos e, = 2eonvJ1 2eonvJI - sen,~ro sen,~ro = 469.55 469.55 nm, nm, donde supuesto que que el Índice mismo mismo que para para la otra otra longitud longitud de onda. onda.
4.17. 4.17.
Sobre capas delgadas delgadas de de material material dieléctrico dieléctrico de índices índices Sobre una una lente lente de índice índice n3 = 1.5 se depositan depositan dos capas 112 = = 1.6. Los espesores de las capas capas son Ao/4111 Y Ao/2112 1.7 Y 112 Los espesores Ao/2112 respectivamente. respectivamente. El orden orden de las capas bicapa es antirreflectante antirreflectante para para la la radiación radiación capas es el indicado indicado en la Figura Figura 4.29. 4.29. Razonar Razonar si esta esta bicapa
11] = = 111 Ao·
r,
r, r,
jj n ;;1.7 n,;; 1.7
1..j4n, )..j4n ,
1
n,=1 n,=1.6.6
n,=1.5 substrato substrato
Figura 4.29 substrato: ha de tenerse tenerse en en cuenta cuenta que que el 4.29 Esquema Esquema de de la bicapa bicapa depositada depositada sobre sobre el substrato: ha de trazado de la situación situación real en la que que rl, trazado de de rayos rayos indicado indicado es es solamente solamente un pictograma pictograma ilustrativo ilustrativo de real en rl, r2 ri Y Y r3 rs son son colineales colineales con con el rayo rayo ro· ro-
Resolución Resolución
Para lámina es o no antirreflejante deberemos analizar analizar los defases defases introduintroduPara analizar analizar cualitativamente cualitativamente si la lámina antirreflejante deberemos cidos rayos consecutivos consecutivos que que se reflejan reflejan en una cidos por por las dos capas. capas. Como Como es sabido, sabido, ·el el defase defase entre entre dos dos rayos lámina normal , por por lámina planoparalela planoparalela viene viene dado, dado, en en condiciones condiciones de incidencia incidencia normal,
4n 4n
8= = -neo -l1e.
AO
(4.141) (4.141)
Según / 411 1, produce un defase 81 = it n para para la longitud longitud Según esto, esto, la primera primera capa, capa, que tiene tiene un espesor espesor e = Ao Ao/411 1, produce defase 8] de onda smo, la segunda Ao/2n2 introduce introduce un defase defase 82 82 = Zn 2n . onda Ao. Asimi Asimismo, segunda capa, capa, que que tiene tiene un espesor espesor e = Ao/2112 Además primer rayo rayo reflejado reflej ado en la primera primera Además de este este defase defase producido producido por una una diferencia diferencia de recorrido, recorrido, el primer cara que las las reflexiones reflexiones en la interfase interfase entre entre la cara pasa pasa de un medio medio de Índice Índice menor menor a otro mayor, mayor, mientras mientras que primera capa y la segunda, segunda, y entre segunda y el substrato substrato ocurren otro de primera capa entre la segunda ocurren de medios medios de mayor mayor Índice Índice a otro menor onal de n respecto respecto de los otros otros dos rayos. rayos. menor Índice. Índice. Por Por lo tanto, tanto, el primer primer rayo rayo lleva un defase defase adici adicional Así Así pues, pues, los defases defases de los rayos rayos serán serán • rayo rayo 1 8 8]1 = 80 + + nn , • rayo rayo 2 82 = = 80 + n, n, • rayo rayo 1 83 = = 80 + 3n.
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo interferencia les Capítulo 4/ 4/ Fenómenos Fenómenos interferencia
que 140)
v-
e ser
159
Por Ao. Por lo tanto tanto las tres tres ondas ondas están están en fase y la lámina lámina reflejará reflejará fuertemente fuertemente la longitud longitud de onda onda Ao.
4.18. 4.18.
Un interferómetro por una interferómetro de Fabry-Perot Fabry-Perot está está formado formado por una celdilla celdilla cerrada cerrada dos de cuyas cuyas caras caras han sido sido espejadas espejadas de manera manera que la la reflectancia reflectancia de estas estas caras caras es R = 0.9. 0.9. Se ilumina ilumina este este sistema sistema con con la radiación puntual y monocromática monocromática CA radiación procedente procedente de una una fuente fuente puntual (A = = 531 nm) nm) que está está colocada colocada en el plano focal plano focal de la lente lente Ll. Ls; La La celdilla celdilla se ha rellenado rellenado de un material material cuyo cuyo índice Índice es n = = 1.52. La prepresión puede cambiarse sión del gas en la celdilla celdilla puede cambiarse actuando actuando sobre sobre un manómetro manómetro regulador. regulador. Este Este dispositivo dispositivo muestra en la Figura Figura 4.30a. 4.30a. se muestra
es el
Resolución Resolución ces de ión
Calcular Calcular la fracción fracción de la intensidad intensidad incidente incidente que que medirá medirá el detector detector colocado colocado en el plano plano focal de la lente lente L2. En este puntual es colimado por la lente por lo que este caso, caso, el haz que sale sale de la fuente fuente puntual colimado por lente por que incide incide en el interferómetro a 0°. El haz por la segunda interferómetro haz emergente emergente es focalizado focalizado por segunda lente lente en su foco foco imagen. imagen. (al (al ,/ ./
L,
,/ ./ ,/ ./ ,/ ./ ,/ ./
.
,/ ./
// ...._--_. _ -- -- -_._._-_._._.-.----_.' _·_· _' -· _·- 0- ' - -- -- II
,/ ./ ,/ ./
,/ ./
D D
JJ T
u u
(b) (b)
ue el
Figura 4.30 4.30 (a) Interferómetro Interferómetro de Fabry-Perot. Fabry-Perot. (b) Curva de transmisión transmisión en función función de o. 8.
Como Como se sabe, sabe, la intensidad intensidad transmitida transmitida frente frente a la incidente incidente en un Fabry-Perot Fabry-Perot lineal lineal no absorbente absorbente viene viene dada dada por por la expresión expresión
t, l¡
odu-
I¡ Ii
una
(4.142) (4.142)
sen?2 ~' 1 + F sen ~2 '
donde donde /)/) = = 4IT 4rr nd nd cos e/A e/A es el defase defase entre entre dos haces haces consecutivos. consecutivos. En nuestro nuestro caso, caso, e e == sustituyendo los valores sustituyendo valores se obtiene obtiene un defase defase .141) gitud 2][.
3597153.17rad = /)/)= = 3597153.17rad
(2rr) x 572504, 572504,71. (2IT) 71.
o, por lo que o, por (4.143) (4.143)
Obsérvese que que el defase defase no es un número número entero entero de veces veces 2IT 2rr por que no estaremos estaremos en un máximo máximo por lo que Obsérvese transmisión. . Para llegar al máximo máximo de orden orden 572505 572505 hace hace falta falta que la fase se incremente 0.29 x de transmisión Para llegar incremente en 0.29 2rr.. Este Este incremento incremento puede aumentando la longitud longitud de la cavidad cavidad o aumentando aumentando el Índice Índice 2IT puede producirse producirse aumentando refracción del gas gas que hay en la celdilla celdilla (se tratará tratará más adelante adelante esta esta cuestión). cuestión). Ahora necesitamos de refracción Ahora necesitamos calcular el coeficiente coeficiente de fineza, fineza, F calcular
F
4R -----::=---=(l - R)2 R)2 4R
4 x 0.9 (l ( 1 - 0.9)2
-----::-
=
360. --~ =360.
Sustituyendo los valores valores de /)/) y F F se obtiene obtiene que II I¡ /I¡ = 4.3 x 10-33. . Sustituyendo / Ii =
http://carlos2524.jimdo.com/
(4.144) (4.144)
160
Óptica Óptica física física
Razonar cualitativamente cualitativamente qué qué oculTirá ocurrirá con la intensidad intensidad transmitida transmitida si se aumenta Razonar aumenta la presión presión del gas gas contenido en la celdilla. celdilla. contenido aumentar la presión presión del gas que que hay en el interior interior de la celdilla celdilla aumentará aumentará el Índice Índice de refracción refracción Al aumentar por lo que que la diferencia diferencia de fase 8 tambien tambien aumentará. aumentará. Esto Esto trae trae como por como consecuencia consecuencia un cambio cambio en las condiciones de interferencia interferencia en la cavidad cavidad por que la transmitancia transmitancia podrá condiciones por lo que podrá pasar pasar de máximo máximo a mínimo mínimo según el valor valor del cambio cambio de fase inducido inducido por el cambio cambio de presión. según presión. No vale vale pues, pues, decir decir que que si 8 aumenta, tambien tambien lo hace hace sen22 8/2 8/2 y por por lo tanto tanto la transmitancia transmitancia disminuye. aumenta, disminuye. Esto Esto sería sería cierto cierto sólo sólo en el intervalo máximo a un mínimo: mínimo: véase véase la Figura Figura 4.30b. 4.30b. Podemos intervalo que va de un máximo Podemos suponer suponer que que F no cambia cambia apreciablemente al variar variar n. apreciablemente Estimar cuánto cuánto ha de cambiar cambiar el Índice Índice del material material para para que que se obtenga Estimar obtenga un valor valor de la la intensidad intensidad máximo. máximo. Podemos calcular ahora cantidad que tiene tiene que cambiar cambiar el Índice Podemos calcular ahora la cantidad Índice de refracción refracción para para obtener obtener un máximo en transmisión. transmisión. Hemos Hemos visto visto en el apartado apartado (a) que que el aumento máximo aumento de fase fase necesario necesario para para tener tener la cavidad en resonancia resonancia (interferencia (interferencia constructiva) constructiva) era de 0.29 0.29 x Zn cavidad 2n.. Este Este cambio cambio de fase fase es debido debido al cambio de Índice, Índice, manteniéndose manteniéndose constantes constantes el resto magnitudes. Así cambio resto de las magnitudes. Así pues, pues,
4n 4n ,0,.8= -(,0,. -(,0,.n)d ,0,.8 n)d A A
= 0.29 0.29
x Zn 2n,,
(4.145) (4.145)
donde de donde ,0,.n== 7.69 7.69 x 10-7.. ,0,.n
(4.146) (4. 146)
que, en efecto, efecto, el cambio cambio de n es tan pequeño pequeño que considerar considerar que buena Vemos que, que FF no cambia cambia es una una buena aproxi mación. mación. aproxi
4.19.
tiene una una cavidad cavidad tipo tipo Fabry-Perot Fabry-Perot de longitud longitud L L formada formada por por dos espejos espejos de la misma misma reflectancia reflectancia Se tiene En el interior interior de la cavidad, cavidad, llenándola llenándola toda, toda, se encuentra encuentra un medio R. En medio material material dieléctrico dieléctrico e isótropo, isótropo, caracterizado por por un Índice Índice de refracción refracción n. n. Un haz haz monocromático monocromático de longitud caractelizado longitud de onda onda A incide incide sobre sobre caras formando formando un ángulo ángulo ei. una de las caras ei . Resolución Resolución Calcular la intensidad intensidad en un punto punto en el interior interior de la cavidad. cavidad. Estimar Estimar la Calcular la intensidad intensidad en condiciones condiciones de resonancia para para R = = 0.9. resonancia Este problema problema se puede abordar suponiendo suponiendo que que en el interior interior de la cavidad Este puede abordar cavidad se produce produce una una onda onda esestacionaria y estableciendo las condiciones de contorno adecuadas. Nosotros vamos a explicitar el tacionaria estableciendo condiciones contorno adecuadas . Nosotros vamos explicitar el cálculo cálculo situándonos en un punto punto o plano plano arbitrario arbitrario dentro dentro de la cavidad cavidad y superponiendo situándonos superponi endo las las sucesivas sucesivas ondas ondas que que se producen producen por por las reflexiones reflexiones múltiples. múltiples. Se ganará ganará así así en comprensión comprensión del fenómeno interferencial fenómeno interferencial que que tiene lugar lugar dentro dentro de la cavidad. cavidad. Así pues, pues, si consideramos consideramos el plano plano que tiene que dista dista una una distancia distancia ZZ de la pripri mera cara cara de la cavidad, cavidad, se puede puede considerar considerar que el campo campo total total es la superposición mera superposición de todos todos los campos campos viajan hacia hacia adelante adelante más los campos campos que viajan viajan en sentido sentido contrario. que viajan contrario. Si consideramos consideramos que que están están lineal mente polarizados, polarizados, podemos podemos tratarlos tratarlos como como escalares, linealmente escalares, es decir decir EB(Z), , + EB(Z)
ET(Z) = = EF(Z) EF(Z) ET(Z)
(4.147) (4. 147)
donde E F (z) representa representa el campo campo total hacia hacia la derecha derecha y E B (z) el campo campo total total que que se propaga propaga hacia hacia la donde izquierda. izqu ierda. Para el primero primero se tiene tiene Para (4.148) (4.148) o bien bien _
EF(Z) = - tEoe tEoe EF(Z)
ik.;z ik
·
1 28' ·0 ' 2 el 1 - r el
http://carlos2524.jimdo.com/
(4.149) (4.149)
interferenciales Capítulo 4/ Capítulo 4/ Fenómenos Fenómenos interferenciales
§4
~§
L: ' ,¡
~.
n
161
~
o ~:"
.•. "........... "...."..........._.._-_._- .-----.--}-----.-.-.. -.~
~
-;;····· ................... . . ......................., i.................... ~ /' './ , /'
I
~/'ó ~
n
5)
6)
.;/
,, :> ~
::
la al
A[l=rtEoe~l
-----+- :
~
/'
~
\
de las las sucesivas sucesivas ondas ondas reflejadas en un punto interior de de la cavidad. cavidad. Figura 4.31 4.31 Esquema Esquema de reflejadas en punto interior donde 8 = = 2kL diferencia de fase fase entre entre dos dos ondas ondas consecutivas. consecutivas. donde 2kL es la diferencia Por otro otro lado, lado, un razonamiento análogo permite calcular el campo campo total que viaja Por razonamiento análogo permite calcular total que viaja hacia hacia la izquierda. izquierda. efecto, si nos situamos situamos en la segunda segunda cara cara de la cavidad, cavidad, la amplitud amplitud del campo campo reflejado inmediataEn efecto, reflejado inmediatamente en esa esa cara cara en la primera será mente primera reflexión reflexión será AB
= rt EoeikL,
(4.150) (4.150)
que el valor campo en el plano que dista dista ZZ de la primera cara será será por lo que valor del campo plano que primera cara ABe-ik(z-L) Ase - ik(z - L) .
(4.151) (4.151)
sucesivas ondas ondas se obtienen obtienen fácilmente fácilmente sin más añadir el factor factor de fase que que va adquiriendo adquiriendo cada cada Las sucesivas más que que añadir ellas al propagarse una distancia distancia 2L campo total será una de ellas propagarse una 2L en una una ida y vuelta. vuelta. Por Por lo tanto tanto el campo total E Bs será (4.152) (4.152) Realizando suma se llega llega a que que zando la suma Reali (4.153) (4. 153)
ue ue
nos
án
campo total será El campo total será ET(Z)
=
EF(Z)
la
t Eoei k.: 28 1 - r e'
[
1
+ re2/(kL-
r t.
-
]
.
(4.154) (4.154)
irradiancia se obtiene obtiene calculando calculando el cuadrado cuadrado del módulo amplitud, esto es, La irradiancia módulo de la amplitud, esto es, ol2 2 [1 + 2r cos (2kL - 2z) + r2] t22EIEoI [1+2rcos(2kL 2z )+r2] IET(Z)I = 1 - 2 r cos u< + r 4 IET(Z)I = 1-2rcos8+r 2
7)
+ EB(Z) =
1
(4.155) (4.155)
puede observar observar que que la irradiancia cavidad depende depende de la posición, Se puede irradiancia en el interior interior de la cavidad posición, z. Podemos Podemos estimar la intensidad intensidad media llevando a cabo cabo el promedio espacial. Así, estimar media en el interior interior llevando promedio espacial. Así, si L > > A, el promedio espacial espacial de cos (2kL (2kL - 2z) cero, por que la intensidad le se podrá como promedio 2z) es cero, por lo que intensidad media media le podrá poner poner como 1++ R lo 1 sen-2 ~ 1 - R 1 + F sen ~.
(4.156) (4. 156)
Este resultado que demuestra demuestra que, que, dependiendo dependiendo de las condiciones condiciones de interfeinterfeEste resultado es muy muy importante importante ya que renci a, la intensidad puede ser muy grande, varios órdenes magnitud por por rencia, intensidad en el interior interior de la cavidad cavidad puede ser muy grande, varios órdenes de magnitud
http://carlos2524.jimdo.com/
Óptica fís física 162 Óptica ica encima de la intensidad intensidad incidente. incidente. En efecto, efecto, para para el caso caso numérico numérico considerado, considerado, en resonancia resonancia se tendrá tendrá encima = 2mrr Zmtt y entonces entonces que 8 =
4R
0.9 4 x 0.9 (1 - 0.9)2 0.9)2
F = ------=F=--~
------;:- = = ---:-----;c
R)2 (l -- R)2
360 360
(4.157) (4.157)
'
por lo que la intensidad cavidad, según según el resultado resultado obtenido obtenido en (4.156), (4.156), será será por intensidad en la cavidad,
=
le
l+R 1+ R ---lo- lo 1- R R 1-
=
10. 1910. 19
(4.158) (4.158)
.
Por otro otro lado, lado, en condiciones condiciones de interferencia interferencia destructiva destructiva se ha de cumplir que 8 == (2m + l)rr l)rr por por lo que que Por cumplir que
le
R lo 1+ R -- -----lo 1-R1+F l-Rl+F
=
0.0510.. = 0.0510
(4.159) (4.159)
Supóngase que que el material material que que llena llena la cavidad cavidad es no lineal lineal en en el sentido sentido de que que su índice índice de refracción refracción Supóngase depende de la intensidad intensidad de la forma forma n = = no + +n2 1,donde n2representa índice no Jilineal que se mide mide depende n2 1, donde n2 representa un índice neal que e la desviación desviación en radianes radianes de la fase fase respecto respecto de la condición condición de resonancia resonancia a intensidad intensidad en cm22/W. fW. Sea e nula. Calcular Calcular la intensidad intensidad transmitida transmitida por esa cavidad en función función de la intensidad intensidad incidente incidente para nula. esa cavidad para 0.9, n2 = 3.5 x 10-44 cm22/W, 514 nm, L = 1 mm. R = 0.9, fW, A = 514 Este problema problema obligaría obligaría a plantear cálculo de la transmitancia transmitancia de la cavidad cavidad imponiendo imponiendo condiciones Este plantear el cálculo condiciones contorno no lineales, lineales, lo cual complica complica el problema problema más alla alla de lo que que prentendemos prentendemos en este este momento. momento. de contorno Para ver la importancia importancia del fenómeno fenómeno nuevo nuevo al introducir introducir un material material no lineal, lineal, asumiremos asumiremos como como válida, válida, Para primera ap' aproximación, expresión obtenida obtenida en la introdución introdución teórica. teórica. La intensidad intensidad transmitida transmitida por por en primera roximación, la expresión cavidad en función función de la intensidad intensidad incidente incidente se vio que se podía podía expresar expresar como como la cavidad IT IT
=
lo lo
1 sen?2 §.Q. 1 + F sen 2
(4.160) (4.160)
,
donde 8 = 2konL 2konL siendo siendo L la longitud longitud de la cavidad cavidad y n el índice índice del medio medio material. material. En el caso caso que que nos donde ocupa índice de refracción refracción dependerá dependerá de la intensidad intensidad en el interior interior de la cavidad cavidad le de manera manera que que ocupa el índice n = no no + 1121e. n2le. Por Por lo tanto, tanto, la diferencia diferencia de fase entre entre dos haces haces consecutivos consecutivos será será 11 (4.161) (4.161) Nos dicen dicen que que a intensidad nula la desintonización desintonización de la cavidad cavidad vale e. Por Por lo tanto, tanto, Nos intensidad nula 8(0) 8(0)
2koLno = = 2koLno
Zmit 211m
e.
(4.162) (4.162)
Por lo tanto, tanto, 8(le) 8(lc) se puede puede reescribir reescribir como como Por
8(le) = 2mrr -
e +.-2rrAL-112 1C.
(4.163) (4.163)
2 Teniendo en cuenta cuenta que que sen22(mrr +a) = sen2 a a,, la intensidad intensidad transmitida transmitida por por la cavidad cavidad (4.160) (4.160) se podrá podrá (mrr + a) = Teniendo poner como poner como
/y = lo lo Ir
1
sen?2 [2Jr~2 [2Jr~2L l1 + F sen L le -
ee /12J 2]
.
(4.164) (4.164)
Por otra otra parte, parte, según según (4.156) (4.156) la intensidad intensidad dentro dentro de la cavidad cavidad depende depende de la intensidad intensidad transmitida transmitida Por 1+ R = Ir /y--. le = - -. 11 - R
http://carlos2524.jimdo.com/
(4.165) (4.165)
Capítulo 4/ Fenómenos interferenciales
163
0.010
drá
0.008 ro
;g
57)
E so e
0.006
~ "O
'"
"O
.~
0.004
~
158)
0.002
que
0.000 0.0
0.5
1.0
1.5
Intensidad
159)
2.0
2.5
3.0
incidente
Figura 4.32 Intensidad transmitida por una cavidad Fabry-Perot no lineal. ón de ad a
Si introducimos el valor de le en la ecuación (4.164) se llega a que lo = Ir [ 1 + F sen
2(2nn2Ll+R -A- 1 _ R Ir -
e /2 )]
.
(4.166)
Se puede observar que existe una relación no lineal entre la intensidad incidente y la transmitida. En particular si, en primera aproximación tomamos el primer término del desarrollo del seno, se observa que aparece una ecuación cúbica en ly que puede presentar tres raices reales para una intensidad incidente dada. En la Figura 4.32 se representa la respuesta estacionaria de la cavidad para los valores indicados. El ejemplo analizado consitituye un ejemplo de dispositivo biestable desde el punto de vista óptico. 160) nos
que
4.20.
Se tiene una cavidad tipo Fabry-Perot de longitud L formada por dos espejos de la misma reflectancia R. En el interior de la cavidad, Ilenándola toda, se encuentra un material caracterizado por un índice de refracción complejo n = nR - ini . Un haz monocromático de longitud de onda A incide sobre una de las caras formando un ángulo el. Resolución
161)
Calcular las expresiones de los campos transmitidos por la cavidad. En la Figura 4.6 se representa la situación física. Tal como se demostró en la introducción teórica, la diferencia de fase <5entre dos ondas adyacentes viene dada por
162)
2n <5= -2Ln A
.163)
cos
(4.167)
é¿
De esta manera si denotamos por Eo y c/Jo la amplitud de la onda incidente y su fase respectivamente, onda transmitida resultante está dada por
la
El = Eott' eiq,°e-kLenf , odrá
. 164)
E2
=
Eott' r2eiq,0e-3kLenf ei8,
E3
=
Eott'r4eiq,oe-SkLenfei28
donde Le
.165)
(4.168) ...
L
= --, cos é,
(4.169)
es la longitud efectiva que recorre un rayo de una a otra cara de la cavidad. Obsérvese cómo al haber un índice complejo, y por lo tanto absorción en el medio, la onda incidente va disminuyendo en amplitud a
http://carlos2524.jimdo.com/
164
Óptica física física Óptica
medida que que avanza avanza dentro dentro de él. Si por por el contrario, contrario, se tratara tratara de una una cavidad cavidad con con ganancia, ganancia, como como en un medida láser, la onda onda se amplificaría. amplificaría. láser, Determinar la transmitancia transmitancia del dispositivo dispositivo indicando indicando el valor valor del coeficiente coeficiente de fineza. fineza. Determinar La onda transmitida transmitida será será la superposición superposición coherente coherente de todas todas las ondas, ondas, es decir decir La onda (4.170) (4.170) definimos el coeficiente coeficiente de absorción absorción lineal lineal a como como Si definimos
kn¡ (Y=-, a= ,
(4.171) (4.171)
2
intensidad de la onda onda transmitida transmitida será será proporcional la intensidad proporcional a ET ET 11
22,
11
,
decir es decir (4.172) (4.172)
observar que que si a = O, O, la expresión expresión obtenida obtenida se reduce reduce a la ya conocida conocida para caso de una una Se puede puede observar para el caso cavidad Fabry-Perot. Fabry-Perot. En el caso caso general, general, el coeficiente coeficiente de fineza fineza se puede escribir como como cavidad puede escribir (4.173) (4.173) donde R¿ representa una una reflectancia reflectancia efectiva efectiva modificada por la absorción. absorción. Ra representa modificada por donde Por otra otra parte, parte, la condición interferencia constructiva constructiva queda inalterada: Por condición de interferencia queda inalterada:
2n -2Lnv coset cos é, = = 2mn. -2Lnv AA
(4.174) (4.174)
Supóngase que que el material material que que llena llena la cavidad cavidad de longitud L = 1 mm, mm, es un polímero polímero dopado dopado con Supóngase longitud L moléculas de colorante colorante que que absorbe absorbe la radiación radiación de un láser láser de Argón Argón (A = 514)nm. 514)nm. El coeficiente coeficiente moléculas de absorción absorción lineal lineal vale vale a = 5.62 cm-l. cm-l. Debido Debido a la absorción absorción el material material se calienta calienta y su índice índice de = 5.62 refracción varía varía con con la temperatura temperatura n = no + ~~,0.T donde ~~ representa el coeficiente coeficiente termo-óptico termo-óptico refracción ~~ ,0. T,, donde ~; representa material, cuyo cuyo valor valor es 4.2 4.2 xxl 100-44 K-l. K-l. El material material presenta una conductividad conductividad térmica térmica K K = = 0.135 0.135 del matelial, presenta una W/mK. Calcular Calcular la intensidad intensidad transmitida transmitida por por esa esa cavidad cavidad en función función de la intensidad intensidad incidente incidente para para W/mK. 0.85. El El radio radio del haz haz láser láser incidente incidente es ro ro = 1 rnm. R = 0.85. mm. En este este caso caso deberemos, deberemos, en primer primer lugar, lugar, calcular calcular la variación variación de temperatura temperatura inducida inducida por por el proceso proceso En absorción del del material. material. Debido Debido a que la cavidad cavidad es muy delgada en la dirección dirección de propagación, propagación, de absorción muy delgada supondremos que el flujo de calor calor tiene tiene lugar lugar radialmente. radialmente. De esta esta manera manera la ecuación ecuación del calor calor se puede puede supondremos escribir como como escribir K
a2 T(r, z)
ar 2
,-2
--;:2 " a l/ oe '6o, ,
= -
(4.175) (4.175)
condiciones de contorno contorno T(r, T(r, O) O) == T(r, T(r, L) == To To,, esto esto es, no hay flujo de calor calor en la dirección dirección de con las condiciones propagación. En En este este caso, caso, la variación variación de temperatura temperatura en la dirección dirección radial, radial, se puede puede escribir escribir como: como: propagación. ,0.T(r) = = ,0.T(r)
aa/oró lorJ
-----
-
K
(4.176) (4.1 76)
Por lo tanto, tanto, el el índice índice de refracción refracción toma toma la forma forma Por
n
= no -
(aTan) arK
2
O
lo
http://carlos2524.jimdo.com/
(4.177) (4.177)
Capítulo Capítulo 4/ 4/ Fenómenos Fenómenos interferencia interferencia les
165
donde donde (4.178)
1)
.
:;::::. "'-
> >
2)
0.00 0.00
a
0.02 0.02
:::>
0.04 0.04
0.06 .10 0.06 0.08 0.08 00.10 Intensidad Intensidad incidente incidente
0.12 0.12
0. 14 0.14
0.16
Figura 4.33 coefi4.33 Intensidad Intensidad transmitida transmitida por por una cavidad cavidad Fabry-Perot Fabry-Perot rellena rellena con un material material con coeficiente -óptico apreciable ciente termo termo-óptico apreciable en función función de la intensidad intensidad incidente. incidente.
3)
Así este problema que el material material se calienta, calienta, cambia cambia Así pues pues este problema se reduce reduce al anterior. anterior. En este este caso, caso, debido debido a que diferencia de fase fase entre entre dos haces haces índice de refracción refracción con el cambio cambio de la temperatura temperatura y por por lo tanto tanto la diferencia el índice consecutivos. sintonizada, podremos podremos llevarla llevarla consecutivos. De esta esta manera, manera, si inicialmente inicialmente la cavidad cavidad no se encuentra encuentra sintonizada, resonancia variando variando la intensidad intensidad incidente. incidente. El sistema sistema pasará pasará de un estado a resonancia estado de muy muy baja baja transmitancia transmitancia otro de alta alta transmitancia. transmitancia. En efecto, efecto, la diferencia diferencia de fase es a otro
4)
8
2konL = = 2konL
2ko [no 2ko
n210] L. + n2lo] L.
(4.179) (4.179)
Introduciendo Introduciendo este valor valor en la ecuación ecuación (4.172), (4.172), se tiene tiene (4.180) (4.180) Por otro otro lado, lado, la intensidad intensidad dentro dentro de la cavidad cavidad se puede puede poner poner como como Por
1+ R le == h--, /y--, 1- R
(4.181) (4.181)
por intensidad transmitida. por lo que existe existe una una relación relación no lineal entre entre la intensidad intensidad incidente incidente y la intensidad transmitida. Si se representa gráfica parecida parecida a la mostrada mostrada en la representa la intensidad intensidad transmitida transmitida frente frente a la incidente incidente se tiene tiene una una gráfica Figura Figura 4.33. 4.33.
4.21. de
Para determinar determinar el Índice Índice no lineal 1ineal de un material material como como los tratados en los problemas Para los tratados problemas anteriores anteriores se lleva lleva indica en la la Figura 4.34a. En En él un haz haz de cabo un experimento experimento intederométrico interferométrico tal como como el que que se indica Figura 4.34a. a cabo láser de Ar+ Ar" (A = 514 514 nm) ilumina ilumina una celda celda que gue contiene contiene el colorante, colorante, este este haz haz induce induce un cambio cambio un láser lineal en el índice índice de refracción. refracción. A su vez, la celda celda está está instalada instalada en el brazo no lineal brazo de un un interferómetro intelierómetro tipo Mach-Zenhder Mach-Zenhder iluminado iluminado con un láser láser de He-Ne He-Ne de tal manera manera que interferencial que el diagrama diagrama interferencial de tipo recoge con una una CCD CCD dando dando un diagrama diagrama como como el que se muestra muestra en la Figura se recoge Figura 4.34b. 4.34b. Explicar Explicar la la aparición una expresión expresión que que relacione relacione el aparición de la depresión depresión central central del sistema sistema de franjas franjas y encontrar encontrar una corrimiento de franjas franjas con con el Índice Índice no lineal lineal del medio medio materiaL material. Suponga Suponga que que la la celdilla celdilla tiene tiene una una corrimiento longitud longitud d = = 1 cm.
http://carlos2524.jimdo.com/
166
Óptica Óptica física física
(b1)lt 1t!
Láser Láser
Ar
(a) (al
b1l
(b2).
E, E,
BS BS
~
i
(
Láser He-Ne He-Ne
l
(b2
•
Pantalla Pantalla
(b3) (b3l~ ~ BS BS
. •• . + +""
Figura 4.34 4.34 (a) Interferómetro Interferómetro de Mach-Zenhder Mach-Zenhder para la medida medida del índice índice no 1ineal de un material. material. Diagramas Diagramas interferenciales interferenciales obtenidos obtenidos para diferentes diferentes intensidades intensidades del láser láser de Ar+ Ar+: : (b1) para 1 = O Y (b3) para 1 = = 0.66 W/cm W/cm22. . La foto foto se ha reproducido reproducido con con aumento aumento unidad. unidad.
Resolución Resolución láser de Argon Argon induce induce un comportamiento comportamiento no lineal lineal en el material. material. Supongamos Supongamos que que el Índice Índice del El láser material material es del tipo tipo n11 = no + n2/ 1121.. Como Como el haz del láser láser es gaussiano, gaussiano, la intensidad intensidad es mayor mayor en el centro centro del haz que en los bordes bordes del mismo, mismo, por lo que el índice índice de refracción refracción será será mayor mayor en el centro centro (supuesto (supuesto n2 112 > > O). O). Por Por ello cuando cuando el haz haz de He-Ne He-Ne pasa pasa por por el material, material, el camino camino óptico óptico que que recorre recorre la parte parte central central será será muy muy diferente diferente del camino camino óptico óptico que que recorre recorre la parte parte exterior exterior del haz: cabe cabe precisar precisar que que el láser láser de He-Ne He-Ne tiene tiene una frecuencia frecuencia muy muy alejada alejada de la región región de absorción absorción del material material que rellena rellena la celdilla. lugar geométrico celdilla. Las franjas franjas en la pantalla pantalla constituyen constituyen el lugar geométrico de los puntos puntos donde donde la diferencia diferencia de camino una franja camino entre entre los haces haces que que interfieren interfieren es constante. constante. Si nos fijamos fijamos en una franja particular, particular, como como los rayos rayos centrales centrales del láser láser de He-Ne He-Ne recorren recorren más camino camino óptico, óptico, la zona zona central central de la franja franja estará estará desplazada desplazada una una cierta cierta cantidad cantidad ~y L-.y respecto respecto de la zona zona externa externa tal como como se muestra muestra en la Figura Figura 4.34b. 4.34b. Ese Ese desplazamiento desplazamiento será será proporcional proporcional a la diferencia diferencia de fase fase que que existe existe entre entre los rayos rayos centrales centrales y los marginales, marginales, que que en nuestro nuestro caso caso es
fod
8(L) y , z; y , z; 8(L) = = fod [n(x [n(x, , y, z: l) -- n(x I1(X,, y, z: O)]dz O)]dz = = n2/d, n2ld,
(4.182) (4.182)
siendo siendo d el espesor espesor de la muestra. muestra. Para calcular calcular la relación relación entre entre el desplazamiento desplazamiento en la pantalla pantalla 8y 8y y el cambio cambio de camino camino óptico óptico ~(L) L-.(L) Para basta cambio en el camino basta recordar recordar que un cambio camino óptico óptico de una longitud longitud de onda, onda, da lugar lugar a un desplazamiento desplazamiento en la pantalla pantalla de una una interfranja interfranja i. i, Por Por lo tanto, tanto, se cumplirá cumplirá
L-.yy ~
(4.183) (4.183)
por tanto se tendrá por lo tanto tendrá (4.184) (4.184) Teniendo en cuenta cuenta lo anterior, anterior, podemos podemos determinar determinar el valor valor de ii y ~y L-.y a partir partir de la Figura Figura 4.34b, 4.34b, de Teniendo manera manera que finalmente finalmente se tiene tiene
0.514 0.514 x 1010-33 x 3 n2=-- -- -112 = 2 x 10 x 0.66 0.66
http://carlos2524.jimdo.com/
(4.185) (4.185)
Capítulo interferencia les Capítu lo 4/ 4/ Fenómenos Fenómenos interferenciales
167
PROBLEMAS PROBLEMAS PROPUESTOS PROPUESTOS ,INTERFERENCIA DE 0.05 ONDAS '#
4.1.
1
f,:"',
I
'
¡,
,
~I
:~"
11
Se ilumina ilumina una doble doble rendija rendija cuya cuya distancia distancia d es desconocida desconocida con dos fuentes fuentes de radiación radiación que emiten emiten en A == 514 514 nm y de manera manera incoherente incoherente entre entre sÍ. sí, Ambas Ambas fuentes fuentes están están separadas separadas entre entre sí a una una distancia distancia de 1l cm cm con respecto respecto a la línea línea que es perpendicular perpendicular al punto punto medio medio entre entre ambas ambas rendijas. rendijas. Así mismo mismo la separación las fuentes separación entre entre las fuentes y el plano plano de las rendijas rendijas es de 0.8 m. Determinar Determinar qué qué distancia distancia mínima mínima tiene que en una pantalla tiene que que haber haber entre entre las rendijas rendijas para para que pantalla situada situada a 3 m del plano plano que que contiene contiene a la doble doble rendija, nulo. rendija, el contraste contraste del diagrama diagrama interferencial interferencial sea sea nulo. SOLUCiÓN: SOLUCiÓN:
Id Id = 0.0411 0.0411 mm. mm. I 4.2.
Se coloca puntual de ondas coloca una fuente fuente puntual ondas esféricas esféricas de longitud longitud de onda onda A A = 560 560 nm a una una altura altura de h = 2 mm de un espejo espejo plano. plano. En una una pantalla pantalla colocada colocada en el otro otro extremo extremo del espejo espejo se observa observa un diagrama diagrama interferencial. Determine Determine gráficamente gráficamente el origen origen del diagrama diagrama interferencia!. interferencial. Si la distancia entre la interferencia!. distancia entre fuente y la pantalla pantalla es de 2 m, determine determine cuál cuál es la interfranja interfranja del mismo, mismo, 1m. In/. fuente SOLUCiÓN: SOLUCiÓN:
lIl /nI == 0.28 0.28 mm. mm. II nl
4.3.
ilumina una doble doble rendija Young con una onda onda de radiación radiación cuasimonocromática cuasimonocromática centrada centrada en AO = = Se ilumina rendija de Young 500 nm. La distancia distancia entre entre rendijas rendijas es de 1 mm mm y el diagrama diagrama de interferencia interferencia se observa observa en un plano plano 500 situado a una una distancia distancia de 1 m del plano plano de la doble doble rendija. rendija. Se ha determinado determinado experimentalmente experimentalmente que situado diagrama interferencia interferencia es observable observable en una extensión extensión espacial espacial de 8 mm. mm. Determine Determine la longitud longitud de el diagrama coherencia de la fuente fuente de luz empleada, empleada, le, Le, y la anchura espectral de la misma, misma, /').v (Hz). coherencia anchura espectral /').v (Hz). SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
¡le fLm y /').V Ile = 4 J1.m /').v = 7.5 4.4.
13 1013 Hz.
II
Una doble doble rendija rendija de Young Young se ilumina ilumina con con una fuente fuente que que emite emite en 400 400 nm y tiene tiene una anchura anchura espectral espectral Una nm. Las rendijas rendijas están están separadas separadas 1 mm y el diagrama diagrama interferencial interferencial se recoge recoge en una pantalla de 20 nm. una pantalla situada a 2 m. situada Estimar la longitud longitud de coherencia coherencia de la fuente, fuente, le. (a) Estimar Calcular el tamaño tamaño máximo máximo del diagrama diagrama interferencial, interferencial, L. (b) Calcular SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
10II (a) le = 8 x 10X
4.5.
X
33
nm. (b) L nm.
= 32 mm.
Una doble rendija rendija de Young Young cuya cuya separación separación es de 1.8 mm se ilumina ilumina con con una una radiación radiación de AO = = 546 546 nm nm.. Una doble Encontrar la separación separación de las franjas, franjas, 11//' In/. (a) Encontrar Frente a una de las rendijas rendijas se sitúa sitúa una cámara cámara de aire aire (na (na = 1.000275) 1.000275) y longitud longitud 16 mm. Se (b) Frente comienza a reemplazar reemplazar el aire por por un gas de tal manera manera que el diagrama diagrama interferencial interferencial se desplaza desplaza comienza franjas. Calcular el Índice Índice del gas, ng(Ao). ng(Ao). 14 franj as. Calcular SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
II (a)
4.6.
In/ In/
= 0.33 0.33
mm. (b) ng(AO) ngCAo)
=
1.000753. l.000753.
tiene el montaje montaje de la Figura Figura 4.35 en el que una doble rendija rendija de Young Young es iluminada por la luz que Se tiene una doble iluminada por proviene de una rendija rendija primaria primaria de anchura anchura lL iluminada iluminada por por una lámpara lámpara de descarga descarga que que emite emite luz de proviene longitud de onda onda A. La anchura anchura de las rendijas rendijas es b y están están separadas separadas una distancia distancia a. El plano plano que que longitud contiene a las rendijas está separado separado de la rendija rendija primaria primaria una una cantidad cantidad r y la pantalla pantalla de observación observación se contiene rendijas está
http://carlos2524.jimdo.com/
168
Óptica física Óptica fisica y
Pantalla Pantalla
r r 0-- ~---------. ------_.---------~1- ---11-----. 11--.------.---------_.-----
Lu Lu ~
~¡. ~~,
~
Ti
T D D
Figura 4.35 4.35 Esquema Esquema del dispositivo dispositivo considerado considerado en el que muestran muestran la rendija rendija primaria primaria y las secu nda rias. secundarias.
encuentra una distancia rendijas. Calcular intensidad en un punto punto de la pantalla pantalla situado encuentra a una distancia D de las rendijas. Calcular la intensidad situado a pantalla. una altura una altura y del centro centro de la pantalla. SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
1
4.7.
sena (2nDY)] )2)2 [[ 1 + -a-cos (2nDY)] ,
senf3 f3 2/0011 (sen -f3= 2/ -f3-
I
sena -a- cos
~ ~
,
donde donde
nby itby f3 AD f3 == 'AD
y
nal tt al
a--a= - -Ar- .o Ar
Michelson, la separación espejos En un interferómetro interferómetro de Michelson, separación entre entre los espejos espejos es d. Si se desplaza desplaza uno de los espejos con la ayuda tornillo micra micrométrico, mueven hacia hacia el centro. ayuda de un tornillo métrico, las franjas franjas se mueven centro. Se observa observa que que si se ha desplazado pasado 600 longitud de onda desplazado el espejo espejo 6.3 x 1010-44 m, por por el centro centro han pasado 600 franjas. franjas. Calcular Calcular la longitud onda de la radiación radiación empleada, empleada, 'A. A. SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
I'A lA
4.8.
420 nm. I = 420
Mach-Zehnder como Figura 4.36 4.36 se ilumina ilumina con un haz colimado Un dispositivo dispositivo Mach-Zehnder como el que que se ilustra ilustra en la Figura colimado despolarizado, brazos se despolarizado, de longitud longitud de onda onda 'A. A. Los caminos caminos ópticos ópticos son simétricos. simétricos. En uno de los brazos introduce una una lente imagen en una introduce lente delgada delgada de focal focal f.f. A una distancia distancia D del foco foco de la lente lente se capta capta la imagen pantalla. Calcular la expresión expresión de la irradiancia irradiancia en el pantalla. pantalla. Calcular pantalla. SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
onda plana onda esférica. esférica . Se produce produce la interferencia interferencia de una una onda plana con una una onda
••
INTERFERENCIAS DE MÚLTIPLES MÚLTIPLES ONDAS ONDAS INTERFERENCIAS
4.9.
~ ~
.>~ _ ~. ,;', ","~~d <
""-.~~-;..:
dispone de un haz colimado colimado de luz blanca filtros:: uno ellos, FI, F¡, es un material Se dispone blanca y de dos filtros uno de ellos, material plástico plástico transparente dopado con un colorante colorante y el otro, otro, F2, consta consta de un substrato substrato de vidrio sobre transparente dopado vidrio transparente transparente sobre
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo 4/ 4/ Fenómenos Fenómenos interferenciales interferenciales Capítulo
169
BS
y
Pantalla Pantalla
D
las
Figura 4.36 4.36 Esquema Esquema del interferómetro interferómetro de Mach-Zehnder. Mach-Zehnder. La La lente se inserta inserta en uno de los brazos Figura interferómetro. . del interferómetro
oa
el que que se han depositado depositado varias capas delgadas. delgadas. Cuando Cuando la luz ilumina ilumina perpendicularmente ambos filtros varias capas perpendicularmente ambos filtros observa que que la tonalidad tonalidad de la radiación radiación transmitida transmitida por ambos filtros filtros es la misma. distinguir un se observa por ambos misma. Para Para distinguir otro se ilumina cada uno de ellos ellos con el haz de luz blanca observa la luz transmitida filtro de otro ilumina cada blanca y se observa transmitida a la par que se varía ángulo de incidencia. incidencia. Indicar Indicar cuál de las siguientes siguientes afirmaciones afirmaciones es cierta. cierta. Descartar Descartar par que varía el ángulo razonadamente qué las otras otras afirmaciones afirmaciones son incolTectas. incorrectas. razonadamente por por qué tonalidad de la luz luz transmitida transmitida por F¡ cambia cambia notablemente ángulo de (a) La tonalidad por el filtro FI notablemente al variar variar el ángulo incidencia caso de F2 no lo hace. incidencia y en el caso hace. casos se observarán observarán cambios cambios en la tonalidad luz transmitida. (b) En ninguno ninguno de los dos casos tonalidad de la luz transmitida. (e) La tonalidad F¡I no cambia cambia notablemente variar el ángulo ángulo de (c) tonalidad de la luz transmitida transmitida por el filtro F notablemente al variar incidencia caso de F2 lo hace apareciendo otros otros colores. colores. incidencia y en el caso hace drásticamente drásticamente apareciendo casos se observarán observarán cambios cambios en la tonalidad (d) En ninguno ninguno de los dos casos tonalidad de la luz transmitida transmitida pero pero sí en reflejada. la reflejada. absorben las radiaciones cuyas longitudes longitudes de onda onda no se observan observan en la luz transmi(e) Los Los dos filtros absorben radiaciones cuyas transmi tida. Los filtros filtran filtran algunas algunas longitudes longitudes de onda onda pero efecto no depende depende del ángulo ángulo de incidencia. incidencia. (f) Los pero su efecto
ejos e ha a de
SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
La respuesta correcta es la (c). II II La respuesta COlTecta ado s se
4.10.
una
Sobre un substrato substrato de vidrio cuya dispersión dispersión espectral espectral es despreciable despreciable se ilumina ilumina con una Sobre vidrio cuya una radiación radiación monocromática longitud de onda onda AO = = 580 580 nm. El substrato substrato es de un material que ns ns(Ao) = 1.8. Sobre Sobre nocromática de longitud material tal que (AO) = este substrato substrato se deposita deposita una una capa capa delgada delgada de MgF2 tal que que nc(Ao) nc(Ao) = = 1.38 de tal manera que el espesor espesor este manera que esta capa capa es el menor que el sistema sistema presente incidencia de esta menor posible posible para para que presente una una reflectancia reflectancia mínima mínima bajo bajo incidencia normal. ¿Para qué qué longitud longitud de onda, onda, AAl, ¡, presenta este sistema sistema una incide a 45°? 45°? normal. ¿Para presenta este una reflectancia reflectancia mínima mínima si se incide SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
A¡ I Al
4.11.
Determinar la separación, separación, e, entre entre los espejos espejos de un interferómetro interferómetro de Fabry-Perot Fabry-Perot para que se puedan Determinar para que puedan resolver espectral mente en el máximo central dos radiaciones que difieren difieren entre entre sí f..A = 10- 22 nm si una resolver espectralmente máximo central radiaciones que f..A = una está centrada centrada en 569 nrn, cuenta que que el coeficiente coeficiente de reflexión de las dos radiaciones radiaciones está nm, teniendo teniendo en cuenta reflexión de los espejos es r = 0.95. espejos 0.95. SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
stico obre
4.12.
= 490 490 nm. I =
le 529 mm. mm. I e = 0. 0.529
I
Para dism disminuir lente oftálmica oftálmica de Índice Índice (ni (ni = = 1.523), 1.523), se recubre ésta con una Para inuir la luz reflejada refl ej ada por por una lente recubre ésta monocapa de f1uo f1uoruro = 1.38). 1.38). Calcular Calcular el porcentaje monocapa ruro de magnesio magnesio (n.ll·· = porcentaje de luz reflejada. reflejada.
http://carlos2524.jimdo.com/
170 Óptica Óptica física física SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
IIR/
4.13. 4.13.
lo = 0.016.
I
Las láminas láminas de un interferómetro 0.99 interferómetro de Fabry-Perot Fabry-Perot tienen tienen un coeficiente coeficiente de reflexión reflexión r 0.99 y están están separadas 1I mm. Calcular: separadas mm. Calcular: fineza, :F. (a) La fineza, intervalo espectral espectral mínimo mínimo resoluble, t:,.Am. (b) El poder poder de resolución, resolución, :R, y el intervalo resoluble, f"..A m . separación mínima que tendría tendría que que haber haber entre entre las láminas láminas necesarias necesarias para (c) La separación mínima que para poder poder resolver resolver la emisión del doblete doblete del sodio sodio Al 589 nm y A2 = 589.6 589.6 nm. emisión Al = 589 SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
(a) :F = II (a):F
4.14. 4.14.
(b) :R 156. (b):R
156m. = 156m.
t:,.Am f"..A m
=
1.1 x 10- 3 nm. (c) d d 1.1
=
p,m. 1.8 fl,m.
Un interferómetro interferómetro de Fabry-Perot Fabry-Perot está está formado formado por láminas de reflectancia = 0.95 0.95 separadas separadas por dos láminas reflectancia R = entre sí una distancia d = = 1.4 cm. El espacio espacio comprendido comprendido entre entre las láminas láminas es aire. Como Como fuente fuente de entre una distancia iluminación se emplea emplea una una que tiene tiene forma forma circular circular de radio radio 4 mm que está está colocada colocada en el plano focal iluminación plano focal objeto de una lente lente L 1I de focal focal JI 11 = 125 mm mm y que que emite emite radiación radiación monocromática monocromática de longitud longitud de objeto onda A = 0.6 0.6 fl,m. p,m. Tras Tras el interferómetro interferómetro se coloca coloca una lente L2 cuya cuya focal focal imagen imagen es 1~ mm. una lente J~ = 150 mm. onda Determinar el orden orden interferencial interferencial del máximo, máximo, m me, que se observa observa más foco imagen imagen de la e, que más próximo próximo al foco Determinar lente L2, así como como el número anillos, N, que se observan observan en el plano focal de L2. L2, así número de anillos, N, que plano focal L 2. lente SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
46666, N = 4. 4. II II me = 46666,
http://carlos2524.jimdo.com/
CAPÍTULO CAPÍTULO 'n
APLICACIONES DE LAS APLICACIONES INTERFERENCIAS INTERFERENCIAS
la
as
la
este Tema Tema vamos vamos a plantear plantear algunos algunos problemas problemas que tienen tienen que que ver En este ver con con aplicaciones aplicaciones de la interfeinterferornetría a la obtención obtención de parámetros parámetros de interés interés tales tales como como radios radios de curvatura, rometrÍa curvatura, espesores espesores de láminas láminas delgadas, diseño diseño de materiales materiales antirref1ejantes, antirreflejantes, etc. delgadas, general, un experimento experimento interferencial suministra un patrón patrón de franjas interferencial suministra franjas que que nos ~os da da información información En general, diferencia de fase, D(n, Stn, d, d., A, A, e), e), que introduce introduce la configuración configuración óptica de la diferencia óptica bajo bajo estudio. estudio. Como Como quiera quiera que tal diferencia diferencia de fase depende depende en general general de los Índices Índices de refracción, refracción, los espesores que espesores de los medios medios por los que que se propagan propagan las ondas, ondas, de la longitud onda y de factores factores geométricos por longitud de onda geométricos de la configuración configuración óptica, contenida contenida en la variable variable e, si conocemos conocemos algunas algunas de estas estas variables, variables, podemos óptica, podemos evaluar evaluar las restantes restantes partir de uno o varios varios interferogramas. interferogramas. Con el desarrollo desarrollo de los computadores computadores junto a partir junto con con los dispositivos dispositivos que permiten permiten digitalizar digitalizar la imagen imagen del interferograma, interferograma, el análisis análisis del mismo que mismo se puede puede llevar llevar a cabo cabo con con precisión y rapidez rapidez lo que que ha conferido conferido a la interferometría interferometría un papel papel esencial precisión esencial como como técnica técnica metrológica metrológica de gran precisión. precisión. No pretendemos pretendemos ser exhaustivos, exhaustivos, ni mucho mucho menos, menos, en la presentación presentación de las aplicaciones gran aplicaciones interferencias: hemos hemos preferido preferido seleccionar seleccionar algunas algunas aplicaciones aplicaciones que de las interferencias: que consideramos consideramos relevantes relevantes en los campos campos de la óptica óptica tecnológica tecnológica y de la óptica óptica fisiológica. fisiológica.
5.1.
ALGUNAS APLICACIONES APLICACIONES DE INTERÉS ALGUNAS Hay diferentes diferentes métodos métodos interferenciales interferenciales que que permiten permiten medir medir parámetros parámetros de una focal,, Hay una lente lente tales tales como como su focal radios de curvatura curvatura o las aberraciones aberraciones que que presenta. presenta. Como Como caso caso particular sus radios particular vamos vamos a estudiar estudiar franjas franjas de igual espesor espesor que se producen producen en el espacio espacio comprendido comprendido entre entre una una lente igual lente y un calibre calibre plano, plano, para para obtener obtener información sobre sobre el estado estado de la superficie superficie de la lente: lente: grado grado de esfericidad, esfericidad, por información por ejemplo. ejemplo. Esta Esta técnica técnica conocida como como los "anillos "anillos de Newton". Newton". Se trata trata de una una técnica técnica sencilla, mente es conocida sencilla, precisa precisa y conceptual conceptualmente elemental que aparece aparece descrita descrita en todos todos los libros libros de texto. texto. Normalmente Normalmente los diseñadores elemental diseñadores de lentes lentes indican la calidad calidad de la misma misma en términos términos del número número de anillos anillos que indican que aparecen aparecen cuando cuando se compara compara con con superficie de un calibre calibre que sirve sirve de referencia: referencia: así en las lentes lentes de baja baja calidad la superficie calidad suelen suelen aparecer aparecer unas unas cuantas franjas, franjas, lo cual cual nos indica indica lo que se aleja aleja la superficie superficie bajo bajo test cuantas test de la superficie superficie calibrada. calibrada. La La precisión de esta esta técnica técnica es del orden orden de A/ A/2, suficiente para para lentes precisión 2, lo cual es suficiente lentes oftálmicas, oftálmicas, dada dada la tolerancia tolerancia sistema visual. visual. del sistema disposición habitual habitual para para observar observar los anillos anillos de Newton Newton se representa La disposición representa en la Figura Figura 5.la. S.la. La La luz luz procedente de una fuente fuente láser láser se hace hace pasar pasar por por un objetivo objetivo de microscopio microscopio y por por un filtro espacial. espacial. El procedente
http://carlos2524.jimdo.com/
172
Óptica Óptica física (a) (a)
fuente láser fuente láser
(b) (b)
m'"o ~o ~
microscopio
~
l\ A
cal ibre calibre
~:'5<-~ ~:5<-~
J J
/I
divisor de de haz divisor haz
(e)
ti • •-• ••
Figura 5.1 (a) Dispositivo Aspecto Dispositivo experimental experimental para la observación observación de los anillos anillos de Newton. Newton. (b) Aspecto del diagrama diagrama interferencial interferencial obtenido obtenido para una lente lente esférica esférica y para una lente lente esfera-cilíndrica. esfera-cilíndrica.
mediante un divisor reflejada sobre lente bajo bajo haz es colimado colimado y mediante divisor de haz, se envía envía la luz reflejada sobre la superficie superficie de la lente estudio. Entre la lente lente y el calibre plano se forma una capa variable: nótese nótese que estudio. Entre calibre plano forma una capa de espesor espesor variable: que en el el caso caso representado en la Figura medida que nos diri gimos representado Figura 5.la, 5.la, el espesor espesor de la capa capa de aire aire va aumentando aumentando a medida que nos dirigimos hacia el borde borde de la lente. lente. Los Los haces haces reflejados reflejados en la cara más próxima próxima al calibre calibre y por por el calibre mismo hacia cara más calibre mismo dan lugar igual espesor. próxima a la normal, normal, la diferencia lugar a franjas franjas de igual espesor. Si asumimos asumimos incidencia incidencia próxima diferencia de camino camino óptico entre entre un rayo que se refleja cara cóncava cóncava de la lente lente y otro otro que que se refleja calibre es óptico rayo que refleja en la cara refleja en el calibre t:,.
/'<,.
= 2nd. 2nd.
(5.1 )
manera la diferencia De esta esta manera diferencia de fase entre entre las las dos ondas ondas será será 8/5
t"
" (.
=
2n -2nd -2nd +n. AA
(5 .2) (5.2)
n adicional: haz reflejado reflejado Nótese que Nótese que en la ecuación ecuación (5.2) se ha añadido añadido un factor factor n adicional: esto esto se debe debe a que que el haz en la primera primera cara hace de vidrio vidrio a aire refleja en el calibre hace de aire vidrio, de modo modo cara lo hace aire y el que que se refleja calibre lo hace aire a vidrio, que reflexión tendrán tendrán diferente La forma que los coeficientes coeficientes de reflexión diferente signo, signo, de ahí el cambio cambio adicional adicional de fase. La forma del diagrama puntos del espacio diagrama interferencial interferencial dependerá dependerá de cómo cómo sea el lugar lugar geométrico geométrico de los los puntos espacio en los que que la lámina tiene un espesor Figura 5.1b-c muestra el aspecto lámina de aire aire tiene espesor constante. constante. En la Figura 5.lb-c se muestra aspecto de los diagramas diagramas interferenciales interferenciales que que se obtienen obtienen cuando cuando la lente lente que que se apoya apoya es esférica esférica y cuando cuando la lente lente que que se apoya apoya esfero-cilíndrica respectivamente. es esfera-cilíndrica respectivamente. proceso de medida realizar previamente previamente una una calibración medida meEl proceso medida consiste consiste en realizar calibración del sistema sistema de medida diante radio conocido. microscopio con visor micrométrico micrométrico o captando diante lentes lentes de radio conocido. Con Con el auxilio auxilio de un microscopio con visor captando el interferograma una CCD, pueden obtener radios interferograma con con una CCD, se pueden obtener los aumentos aumentos laterales laterales del sistema sistema así como como los radios de los anillos. Del ajuste puede inferir inferir el radio radio o los los radios radios de curvatura anillos. Del ajuste experimental experimental de los datos datos se puede curvatura de superficie bajo la superficie bajo test! test l .. Presentamos asimismo proceso físico por el que puede grabar reconstruir un Presentamos asimismo en esta esta sección sección el proceso físico por que se puede grabar y reconstruir holograma: aunque presentación es intencionadamente hologramas planos, planos, nos nos permite permite ilusholograma: aunque la presentación intencionadamente limitada limitada a hologramas ilustrar las posibilidades posibilidades que técnica de registro registro de las interferencias películas trar que ofrece ofrece esta esta técnica interferencias cuando cuando se emplean emplean películas fotográficas resolución. fotográficas de alta alta resolución.
.. Fue Le Grand primer autor hizo notar notar la importancia proyectar franjas Young Fue Grand en 1935 el primer autor que que hizo importancia de proyectar franjas de Young en la retina retina para para determinar visual eliminando determinar la agudeza agudeza visual eliminando o minimizando minimizando factores factores ópticos ópticos inherentes inherentes a I Más Más detalles detall es sobre implementación y medida medida de lentes lentes oftálmi cas puede puede encontrarse lllueca el al., al .• "The use of Newton 's sobre la implementación oftálmicas encontrarse en en C. C.lllueca "The use of Newton's sing ophthalmi len ses", Ophthal, Physiol. Opt. 1998). rings for rings for characteri characterising ophthalmic c lenses", Ophthal, Physiol. Opt. 18360-37 18360-371 1 ((1998).
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo 5/ Aplicaciones
cto
i
5.1)
5.2) iado
ada del que mas oya
1
173
las superficies oculares tales como los errores refractivos, las aberraciones, o el esparcimiento de los medios oculares. Sin embargo, no fue hasta los años 60 cuando se comenzó a aplicar los resultados del análisis de Fourier, circunscrito al campo de la ingeniería óptica y electrónica, al estudio de la visión espacial. El trabajo de Campbell y Green/ fue el primero que permitió llevar a cabo medidas sistemáticas sobre los umbrales de detección neural. Posteriormente se fueron desarrollando instrumentos comerciales para la medida de la agudeza en sujetos con opacidades para los que los test usuales, que involucran la formación de la imagen de un objeto (test de Snellen), no podían ser aplicados. Así Lotmar ' desarrolló un sistema que produce franjas de interferencia con luz blanca, versátil y robusto que, en diferentes configuraciones, pasó de la investigación básica al gabinete clínico. Asimismo estas ténicas han permitido mostrar diferente fenomenología tal como la presencia de submuestreo espacial o "aliasing?", discriminar el diferente papel que juegan en la resolución el tamaño y distribución de fotorreceptores ', etc ... Por otra parte, cabe añadir que el desarrollo de dispositivos electrónicos para captar imágenes (dispositivos de carga acoplada o CCD's) junto con la posibilidad de almacenar y tratar la información, ha permitido aplicar con éxito todo el arsenal de la teoría difraccional de la imagen al análisis de la calidad de la imagen retiniana mediante oftalmoscopía de doble paso", Es posible que estas técnicas, todavía en el laboratorio de investigación,' se extiendan a la clínica opto métrica al tiempo que tendrán una influencia decisiva en la elaboración de nuevos tests para el análisis de la visión. En este Tema estudiaremos la aplicación de las franjas de interferencia en estudios de resolución espacial, en particular en la determinación de la agudeza visual. Tradicionalmente se ha venido considerando que el factor más determinante para la visión es la óptica del ojo, esto es, la refracción de los rayos de luz a través de las diferentes superficies oculares. Así, la optometría se ha ocupado fundamentalmente de corregir o mejorar estas características refractivas mediante elementos ópticos como lentes y prismas. Sin embargo, es bien conocido que la formación de la imagen óptica es sólo la primera etapa de un fenómeno mucho más complejo que involucra un proceso de detección neural y de transducción de la señal al cerebro para su interpretación. Entre el sistema óptico del ojo y el cerebro se sitúa un sistema nervioso que puede estar sujeto también a disfunciones que, en último término, limitarán la visión. Un parámetro utilizado en la práctica optométrica para la determinación de las capacidades de resolución de un ojo es la agudeza visual. La agudeza visual es una medida de la "capacidad" del sistema visual para discriminar los detalles presentes en un objeto. Usualmente se determina presentando al paciente una serie de objetos que varían en tamaño y/o en distancia de observación. Dependiendo del tipo de tareas que debe llevar a cabo el sistema visual, se utilizan diferentes tipos de objetos y definiciones. De una manera general, el mínimo ángulo úJ subtendido desde el punto nodal del ojo por dos puntos o líneas justo para ser resueltas define la capacidad del ojo para ver los diferentes detalles del objeto. Si co se da en minutos de arco, la agudeza visual A Vres se define como AVres
meo el dios a de
de las interferencias
1
= -. co
(5.3)
El ángulo co se denomina ángulo mínimo de resolución o M A R. Así, dos personas con ángulos io = r y co = 2', tendrán agudezas de 1 y 1/2 respectivamente. En notación decimal serán de 1.0 y 0.5. Dependiendo del tipo de objeto que se presenta al paciente (ver Figura 5.2) se tienen diferentes tipos de agudeza. Si el objeto es una línea, úJ será el ángulo sub tendido por ésta. En el caso de una red de líneas claras y oscuras del mismo grosor y separación, se toma el ángulo de una de las líneas. En el caso de una letra, se toma la anchura angular del limbo y se habla de agudeza de reconocimiento, agudeza de letra. En la práctica optométrica es usual la utilización del test de Snellen (ver Figura 5.3). Consiste en una carta de letras de diferente tamaño en la que los limbo s de cada una de ellas en una misma fila subtiende l'
r un ilusulas '\
2F. W. Campbell and D. G. Green, "Optical and retinal factors affecting visual resolution", J. Physiol. 181576-593
es a ton's
(1965).
3W. Lotrnar, "Apparatus for the measurement of retinal visual acuity by moiré fringes",lnvest. Optthalmol. Vis. Sci. 19393-400 (1980). 4D. R. Williams, "Aliasing in human foveal visión", Vis. Res. 2S 195-205 (1985). 5L. N. Thibos et al., "Retina! limits to the detection and resolution of gratings", J. Opt. Soco Am. A 41524·1529 (1987). 6Aunque la bibliografía sobre este tema es muy extensa, sin menoscabo de nadie, puede consultarse el trabajo debido a J. Santamaría et al. "Determination of the point spread function of human eyes using a hybrid optical-digital method", J. Opt. Soco Am. A 4 1109-1114 (1987).
http://carlos2524.jimdo.com/
174 Óptica Óptica física (a) (a)
(b) (b)
(e) (e)
(d) (d)
E
·0 ·0
5.2 Agudeza Figura 5.2 Agudeza visual. visual. Diferentes Diferentes tipos tipos de objetos. objetos. (a) (a) línea negra; negra; (b) red: (e) (e) letra; letra; (d) anillo anillo de Landolt. Landolt.
que la subtienden S' 5' de arco. son a unas unas distancias distancias especificadas, especificadas, mientras mientras que la altura altura y anchura anchura subtienden arco. Las Las distancias distancias son 60,30,21, 12,9 YY 6 metros separación angular 60,30,21, 15, 12,9 metros respectivamente. respectivamente. La La separación angular de de l'l ' se toma toma como como valor valor de normalización. normalización.
A
e E GLN GLN P RT5 RT5 P VZBD4 VZBD4 UYACEGL2 UYACEGL2
~<\
~:=====--If> d,
~~
C::::f===---.,f>
..
.•
d d
5.3 Carta de Snellen Snellen. . Figura 5.3
En la medida medida de esta sitúa a d = 6 m, esta agudeza, agudeza, el paciente paciente se sitúa m, con con lo que que los los factores factores de acomodación acomodación prácticamente situación, el paciente prácticamente se eliminan. eliminan. En esta esta situación, paciente determina determina la fila de letras letras que que es capaz capaz de reconocer. agudeza visual visual se determina determina comparando comparando el ángulo ángulo úY subtendido por úJ subtendido por el limbo limbo de la letra letra reconocer. La La agudeza de esa úYss : esa fila con con el valor valor estándar estándar úJ úY h/d d r úJss h/ds s l' AV=-=-=-=-. AV=-=-=-= - . ea h/d d, úY úJ h/d ds úJ
..
'
""
#1 11 1,
(5.4) (5.4)
Así, Así, una una persona persona que que a 6 metros metros es capaz capaz de reconocer reconocer las letras letras de la última última fila, cuyo cuyo limbo limbo preciprecisamente subtiende subtiende un ángulo una agudeza 6/66 ó 1 en notación samente ángulo de l'l ' a 6 metros, metros, tendrá tendrá una agudeza 6/ notación decimal. decimal. Si otra otra persona anterior, tendrá 6/9 ó 0.7 sucesivamente. persona se detiene detiene en la fila anterior, tendrá una una agudeza agudeza de 6/9 0.7 y así así sucesivamente. Las Las propiedades propiedades de las interferencias interferencias producidas producidas por por dos fuentes fuentes coherentes coherentes nos permiten permiten diseñar diseñar un experimento experimento que que elimine elimine o minimice minimice la influencia influencia de la parte parte óptica óptica del ojo ojo en la determinación determinación de la agudeza agudeza visual. visual. Para Para verlo verlo recordaremos recordaremos brevemente brevemente el experimento experimento de Young: Young: en la Figura Figura 4.4 4.4 se muestra muestra la configuración configuración típica típica de un interferómetro intetferómetro de doble doble rendija. rendija. En sendas rendijas En la pantalla, pantalla, las ondas ondas procedentes procedentes de sendas rendijas interferirán interferirán dando dando lugar lugar a una una redistribución redistribución espacial pantalla donde espacial de la irradiancia. irradiancia. En aquellos aquellos puntos puntos de la pantalla donde las ondas ondas \leguen lleguen en fase, fase, esto esto es, con una diferencia con una diferencia de camino camino óptico óptico múltiplo múltiplo de un número número entero entero de longitudes longitudes de de onda, onda, tendrá tendrá lugar lugar
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo Aplicaciones de las interferencias Capítulo 5/ 5/ Aplicaciones interferencias
175
máximo de interferencia. múltiplo semientero, tendrá lugar un máximo interferencia. Si tal diferencia diferencia de camino camino óptico óptico es un múltiplo semi entero, tendrá lugar mínimo de interferencia. Recordemos que irradiancia en el punto punto P venía venía dada por (4.11), un mínimo interferencia. Recordemos que la irradiancia dada por (4.11), que que podemos reescribirla reescribirla como podemos como 1
=
I, l¡
(II + 12) h) [1 [1 + C cos o] o] ,, +h h + 2J 2J 11I I I:h cos oo = (JI
donde I¡ cada una ondas que que interfieren, interfieren, donde Ji son las intensidades intensidades de cada una de las ondas ondas en el punto contraste definido definido como como ondas punto P P y C es el contraste
2v'IJl2 2v'IJl2
C=--. C= - -. 11 +h +h II
(5.5) (5.5)
diferencia de fase entre entre las oo es la diferencia
(5.6) (5 .6)
Por otra otra parte, diferencia de fase en P se puede obtener muy fácilmente a partir Por parte, la diferencia puede obtener muy fácilmente partir de la Figura Figura 4.4 4.4 resultando resultando illo
2n
2n ax
2](
2](
op op = Tasene = To T15' '
(5.7)
siendo x la coordenada coordenada del punto centro del interferograma. interferograma. siendo punto P P respecto respecto del centro La angular y espacial espacial de los los puntos donde tiene lugar un máximo interfeLa posición posición angular puntos de la pantalla pantalla donde tiene lugar máximo de interferencia dada respectivamente rencia vendrá vendrá dada respectivamente por por
í
on
de
J...
"A een¡m = m-, m-, a
J...D "AD X =m-. Xm m =m-. a
(5.8)
yla separación angular angular entre entre dos franjas franjas consecutivas consecutivas será será y 'la separación J... "A
e =-. e-a
ión
de
.,
(5.9)
En la pantalla obtendrá una distribución sinusoidal sinusoidal de irradiancia irradiancia que que oscila oscila entre entre los valores (I Il + pantalla se obtendrá una distribución valores (J (1 + C) C) Y (JI (J l + h) (1- C). C). Obsérvese Obsérvese que intensidades de las fuentes fuentes son son iguales, iguales, el contraste contraste será será h) (1 que si las intensidades estrictamente nulos. otra parte, cambiando la relación entre las intensidades intensidades se mínimos, estrictamente nulos. Por Por otra parte, cambiando relación entre C = 1 Y los mínimos, puede contraste de las franjas franjas entre entre O O y 1 mientras que cambiando cambiando el espaciado espaciado entre entre las fuentes fuentes puede variar variar el contraste mientras que frecuencia espacial espacial y angular angular del patrón interferencia\. se puede puede variar variar la frecuencia patrón interferencia\. Otro punto importante para nosotros es que que las las franjas franjas se encuentran encuentran en todo espacio entre entre las Otro punto importante para nosotros todo el espacio fuentes y la pantalla. importancia decisiva decisiva como enseguida. fuentes pantalla. Este Este hecho hecho tendrá tendrá importancia como veremos veremos enseguida. Estamos ya en disposición disposición de proyectar proyectar franjas analizar las consecuencias consecuencias que que se derivan derivan Estamos franjas en el ojo y analizar efecto, si conseguimos conseguimos introducir introducir dos fuentes fuentes coherentes coherentes en en la de las propiedades propiedades de las mismas. mismas. En efecto, pupila del ojo, más concretamente concretamente en el punto imagen, estas estas fuentes fuentes generarán generarán un patrón patrón de franjas franjas pupila punto nodal nodal imagen, sinusoidal en la retina. consecuencias se extraen: extraen: sinusoidal retina. Dos Dos primeras primeras consecuencias franjas no se verán afectadas por (retina) en lo que que a focalización focalización de • Las Las franjas verán afectadas por la posición posición de la pantalla pantalla (retina) las mismas dado que que hay franjas franjas en todos fuentes las mismas se refiere, refiere, dado todos los planos planos paralelos paralelos al plano plano de las fuentes coherentes. coherentes. opacidades, el contraste contraste de estas estas franjas franjas será será muy elevado, prácticamente • Si no hay opacidades, muy elevado, prácticamente l. caso de que que la intensidad intensidad de una fuentes se vea amortiguada, por ejemplo al pasar • En En el caso una de las fuentes vea amortiguada, por ejemplo pasar por por un zona opaca, digamos digamos en un factor factor 1/100, 1/100, el contraste contraste sería sería C = 0.2, 0.2, suficiente suficiente para estimular la zona opaca, para estimular retina. retina. Los montajes ópticos ópticos para cabo la formación formación de dos fuen fuentes Los montajes para llevar llevar a cabo tes puntuales puntuales en el plano plano nodal nodal del ojo esquematizaremos mediante fuente puntual coherente son variados variados y los esquematizaremos mediante el montaje montaje de la Figura Figura 5.4. 5.4. Una Una fuente puntual coherente calima mediante lente Le. colimado ilumina ilumina una que produce órdenes de se colima mediante la lente Le. El haz haz colimado una red red sinusoidal sinusoidal que produce dos órdenes difracción simétricos simétricos 7.. En el plano foco de la lente lente Lm sitúa un diafragma diafragma de campo campo difracción plano de la red y en foco Lm se sitúa que es conjugado conjugado de la retina. esta forma forma la iluminación iluminación de la misma que retina. De De esta misma será será uniforme. uniforme. Los Los haces haces planos planos
ión es, gar
más detalles detalles sobre sobre este este aspecto aspecto véase 77Para Para más véase eell Tema Tema 6.
\
http://carlos2524.jimdo.com/
176
Óptica ica Óptica fis fisica
~ 1 ~ u~
L. L.
~
~
.__ ----1u~ -_ _ ____-----tu
F F'
F
Figura 5.4 Young para 5.4 Esquema Esquema de de un interferómetro interferómetro de de Young para producir producir franja franjas s de de interferencia interferencia en en la retina. retina.
emergentes plano focal de la lente Lm simétricamente emergentes de la red de fase sinusoidal sinusoidal convergerán convergerán en el plano lente Lm simétricamente al eje óptico. para el ojo que finalmente formará óptico. Estas Estas fuentes fuentes de luz actuarán actuarán como como objetos objetos virtuales virtuales para que finalmente formará dos fuentes imágenes imágenes reales reales en su interior. interior. Ya tenemos tenemos dos fuentes fuentes coherentes coherentes en el interior interior del ojo. Estas Estas fuentes producirán franjas Este tipo producirán franjas de interferencia interferencia en el espacio espacio hasta hasta la retina. retina. Este tipo de iÍuminación iluminación se denomina denomina iluminación Maxwelliana. iluminación Maxwelliana. Dado posición de las fuentes puede medir partir del Dado que que la posición fuentes dentro dentro del ojo no es crítica, crítica, se puede medir la agudeza agudeza a partir ángulo por dos franjas ángulo mínimo mínimo subtendido subtendido por franjas consecutivas consecutivas que se encuentran encuentran en el límite límite de resolución. resolución. Este Este ángulo puede variar hasta que percibir el ángulo se puede variar cambiando cambiando la separación separación de las fuentes fuentes hasta que el observador observador deja deja de percibir patrón de franjas. patrón franjas. En este este momento, momento, la agudeza agudeza visual visual será será A V AV
= _ l' =
e' /2 e' /2
2' )..(/-<111) 180x60 ).(/-<1,,) 180x60
a (111 171) (1Il1ll)
][ n
x 103
) 0.58 a a (mm 111.111. .• = 0.58 "A. (J.Lm) A(fLm)
(5.10) (5.10)
Para una longitud longitud de onda onda de "A.A = 0.632 0.632 fLm, J.Lm, una separación de las fuentes fuentes en el plano una separación plano nodal del ojo Para ].1 mm mrn daría daría una agudeza visual visual AA V = ll.. Obsérvese Obsérvese que que para para una "A.A = 0.58 0.58 fLm, J.Lm, la agudeza agudeza de a = ].1 una agudeza vendría dada dada por valor de la separación separación entre entre las fuentes fuentes en mm. 111.111.. vendría por el valor Este cálculo cálculo sencillo sencillo nos revela revela una interesante del interferómetro: interferómetro: dado dado que que la separación separación Este una propiedad propiedad interesante entre las fuentes fuentes secundarias secundarias es menor menor que que I mm, el optometrista optometrista puede manipular la orientación orientación del entre puede manipular dispositivo para dejar pasar fuentes por intersticios entre entre dos opacidades opacidades y sortear sortear así el efecto efecto dispositivo para dejar pasar las fuentes por los intersticios de una una catarata. catarata. Este Este análisis análisis puede ser de importancia importancia para evaluar la capacidad capacidad de resolución resolución de la puede ser para evaluar retina en un estadio estadio pre-operatorio. Por otra otra parte, dado que que el contraste contraste de las franjas franjas es muy alto, se pre-operatorio. Por parte, dado retina pueden utilizar bajos niveles de potencia del láser de tal manera que los niveles iluminancia estén estén pueden utilizar bajos niveles potencia láser manera que niveles de iluminancia varios órdenes de magnitud por debajo del umbral de daño. Los aspectos y detalles del interferómetro varios órdenes magnitud por debajo umbral daño. Los aspectos detalles interferómetro lo dejamos para ejercicio de aplicación. aplicación. dejamos para un ejercicio
·"5~3.·.MONOCAPAS y MULTICAPAS u;¡;.p
~~{,
""
Una de las aplicaciones aplicaciones más interesantes interesantes de las interferencias interferencias múltiples múltiples producidas láminas delgadas delgadas Una producidas en láminas consiste en realizar realizar recubrimientos recubrimientos mono mono o multicapa multicapa sobre sobre un substrato substrato dieléctrico di eléctrico para obtener una consiste para obtener una reflectancia deseada. Así Así por ejemplo, se puede anular la reflectancia reflectancia o transmitancia transmitancia deseada. por ejemplo, puede anular reflectancia para para una una o más longitudes de onda, onda, atenuar atenuar la reflectancia determinada banda espectral o, por contrario, longitudes reflectancia para para una una determinada banda espectral por el contrario, conseguir una alta reflectancia ciento. conseguir una muy alta reflectancia próxima próxima al 99 por por ciento. aplicación de tratamientos antirreflejantes en el campo campo de la óptica óptica convencional convencional permitió, La aplicación tratamientos antirreflejantes permitió, por por ejemplo, el desarrollo desarrollo de objetivos objetivos fotográficos fotográficos de un gran gran número número de lentes lentes que corregían corregían las aberraciones aberraciones ejemplo, tiempo que que no perdían reflexión en cada cada una una de las interfases. desarrollo de espejos espejos fríos fríos,, que que al tiempo perdían luz por por reflexión interfases. El desarrollo reflejan el infrarrojo infrarrojo o materiales materiales antitérrnicos, antitérmicos, como como los que se colocan colocan en la fuentes fuentes de proyección no reflejan proyección que no transmiten transmiten el infrarrojo, infrarrojo, evitando evitando así el quemado quemado de la película diapositiva, etc ... que película o diapositiva, campo de la óptica óptica oftálmica, oftálmica, los tratamientos tratamientos antirreflejantes antirreflejantes han proliferado mucho desde desde los En el campo proliferado mucho años 80 hasta hasta aquí. aquí. La necesidad necesidad de evitar reflejos proviene hecho de que que al utilizar gafa sin años evitar reflejos proviene del hecho utilizar una una gafa tratamiento llegan llegan a la retina espúreos que que producen deslumbramientos imágenes parásitas: tratamiento retina reflejos reflejos espúreos producen desl umbramientos e imágenes parás itas: en Figura 5.5 se muestran muestran algunos algunos de ellos. ellos. la Figura
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo Aplicaciones de las interferencias Capítulo 5/ 5/ Aplicaciones interferencias Refl exión frontal frontal Reflexión
177 177
Reflexión corneal Reflexión corneal
-5é(o ~o Reflexión Reflexión inversa inversa
Reflexión Reflexión interna interna
~o
la
ea! dos les
Figura 5.5 tratamiento . 5.5 Iluminación Iluminación directa directa y parásita parásita producida producida por una lente sin tratamiento.
na
10)
ojo eza ión del
por nes que ión los sin : en
Otras radiaciones que que pueden pueden alterar Otras veces veces surge surge la necesidad necesidad de filtrar filtrar determinadas determinadas radiaciones alterar los medios medios ocuoculares precisa evitar lares en determindas determindas patologías patologías o cuando cuando se precisa evitar el esparcimiento esparcimiento en caso caso de cataratas, cataratas, etc. etc. En un primer lentes masivas, masivas, es decir, decir, materiales materiales de vidrio vidrio óptico óptico u primer momento, momento, ello llevó llevó al desarrollo desarrollo de lentes orgánico pigmento que que absorben absorben determinada parte del espectro. espectro. Sin orgánico dopados dopados con óxidos óxidos o moléculas moléculas pigmento determinada parte embargo, obtienen un buen buen funcionamiento, funcionamiento, dado dado que que la transmitancia transmitancia no es embargo, no siempre siempre estos estos procesos procesos obtienen uniforme quiere eliminar parte del espectro mucho la transparencia transparencia general. general. uniforme y, si se quiere eliminar alguna alguna parte espectro se disminuye disminuye mucho Sabemos propaga en un medio medio material máterial de Índice Índice n, incide incide en otro otro Sabemos que cuando cuando un haz de luz que que se propaga Índice ni, la amplitud onda reflejada reflejada viene viene determinada determinada por por los medio medio dielécrico dielécrico y no absorbente, absorbente, de Índice amplitud de la onda coeficientes coeficientes de reflexión reflexión de Fresnel: Fresnel: rrllll r.l r1-
n' cos cos e¡ cos e{ n' e¡ - n cos el
- n' cos e¡ e¡ + n cos e{ el ', n cos e¡ -- n' n' cose cos e{l ncose¡
=
11 n
cos e¡ cos e¡
+ n' cos cos e{ + el
.
(5. 11 ) (5.11 (5. 12) (5.12)
Así índice 11n = 1.5, el coeficiente coeficiente de reflexión reflexión vale, vale, Así por ejemplo ejemplo para para incidencia incidencia normal normal en aire-vidrio aire-vidrio de índice en módulo, reflejada será proporcional al cuadrado cuadrado de la amplitud, módulo, Ir Irll = 0.2. 0.2. La irradiancia irradiancia reflejada será proporcional amplitud, esto esto es (0.2)2 (0.2)2 o lo que es lo mismo, mismo, el 4 por irradiancia incidente. incidente. Esto Esto es lo que por ciento ciento de la irradiancia que ocurre ocurre cuando cuando un haz de más precisos precisos deberíamos deberíamos sumar sumar las irradiancias irradiancias de' de ' luz se refleja refleja en el vidrio vidrio de una una ventana. ventana. Si fueramos fuéramos más las reflexiones producen en la capa capa plano-paralela: plano-paralel a: normalmente normalmente una una lámina lámina de vidrio vidrio reflexiones múltiples múltiples que se producen de ventana milímetros y la longitud longitud de coherencia coherencia de la luz del sod io es de ventana tiene tiene un espesor espesor de varios varios milímetros sodio unas micras. interferencia y la intensidad intensidad total total será debida a la mieras. Por Por ello no se producirán producirán efectos efectos de interferencia será debida superposición haces reflejados, esto es, la suma irradiancias. Por Por ello ello no superposición incoherente incoherente de todos todos los haces reflejados, esto suma de las irradiancias. diferirá primeros haces, haces, lo que que da un 8 por por ciento. ci ento. diferirá mucho mucho de la suma suma de las irradiancias irradiancias de los dos primeros Las cosas cuando sobre capa de vidrio vidrio se deposita deposita una una capa capa de material material cosas cambian cambian notablemente notablemente cuando sobre la capa dieléctrico primer lugar, lugar, para para que que las ondas ondas puedan puedan interferir dieléctrico de Índice índice y espesor espesor apropiados: apropiados: en primer interferir (espesores (espesores de unas micras) en oposición Por ejemplo, micras) y después, después, para para lograr lograr que que interfieran interfieran en fase o en oposición de fase. Por ejemplo, supongamos reducir la reflectancia reflectancia del vidrio ventana recubriéndolo recubriéndolo supongamos que que estamos estamos interesados interesados en reducir vidrio de la ventana con una fina capa F2) cuyo cuyo índice, índice, en el visible visible es aproximadamente aproximadamente 1.38. capa de fluoruro f1uoruro de magnesio magnesia (M (M g F2) diferencia con el caso caso en el que que no hay recubrimiento recubrimiento En la Figura Figura S.6b 5.6b se muestra muestra cualitativamente cualitativamente la diferencia (Figura (Figura S.6a). 5.6a). Supongamos, óptico, nd, nd, de la capa capa de fluoruro )"/4n. La La amplitud amplitud de la Supongamos, además, además, que el espesor espesor óptico, f1uoruro es )"/4n. onda 0.16 y la amplitud onda reflejada reflejada en la superficie vidrio onda reflejada reflejada en la capa capa de fluoruro f1uoruro es 0.16 amplitud de la onda superficie de vidrio es 0.042. Pero la onda vidrio se retrasa, retrasa, respecto onda que que se refleja refleja en 0.042. Pero onda reflejada reflejada en la superficie superficie de vidrio respecto de la onda primera capa, capa, una distancia distancia 2n x ),,/4 = = ),,/2, o lo que diferencia de fase fase entre la primera que es lo mismo, mismo, la diferencia entre las ondas ondas destructivamente. Por Por lo tanto, tanto, la amplitud amplitud de la onda onda resultante resultante reflejadas reflejadas es n: n : las dos ondas ondas interfieren interfieren destructivamente. es 0. 16 - 0.042 = 0.118. reflejada es de 0.014/0 por ciento ciento de la irradiancia irradiancia 0.16 0.042 = 0.118. La intensidad intensidad reflejada 0.014/0, , un 1.4 por
http://carlos2524.jimdo.com/
178
Óptica física (b)
(a) onda incidente
ª "O
5 1\ 4 \ 3 2 \ 1
~O
"'-1-2 -3 -4 -5
1\ I \
I I ~/\ ;1
\
, ,
I
V'\
V'\
'1
1\ I \
\
Ionda
I I
, I reflejada, I
V
aire
, , ,
5 4
1\
,
'1
\1
V
ª
"O
1_ -2
ro_
11
, I \J
vidrio
3 2
I ~O 1
'\./
,
onda incidente
onda transmitida
ondas transmitidas
,, , .,/.:"- , , .,~ vr, ,, r / , ,\
1\ I \
1\ I ,
1
1
'\...../\7
\1
-3 -4 aire \ -5
1\
,
'-../1
I
/
\ 1
ondas , I reflejadas\
I
I
capa MgF,
\1
\1
Figura 5.6 (a) Reflectancia en una interfase dieléctrica. (r = 0.2). (b) Reflectancia en una superficie recubierta con una monocapa de fluoruro de magnesia con espesor óptico igual a un cuarto de onda de la luz incidente. La reflectancia se reduce debido a que las dos ondas reflejadas se superponen en oposición de fase.
incidente frente a un 4 por ciento en ausencia de capa dieléctrica. reducido notablemente respecto a la que presentaba inicialmente.
Obsérvese que la reflectancia se ha
Esta reflectancia mínima se produce para una determinada longitud de onda. Para longitudes de onda más cortas, la reflectancia crece, ya que la diferencia de fase crece. Llegará un momento en el que, para el espesor dado, existirá una longitud de onda para la cual el defase sea de 2][ y las ondas reflejadas se superpongan en fase. En este caso la reflectancia presentará un máximo y tendremos, para esa nueva longitud de onda, una estructura dieléctrica de alta reflectancia. En el caso anterior, la amplitud total de la onda reflejada (debido sólo a las dos reflexiones) será la suma de las amplitudes, 0.16 + 0.048 = 0.202. Para las longitudes de onda intermedias entre estas dos, la reflectancia cae entre los dos valores obtenidos. Como se comprende pues, la longitud de onda para la cual la reflectancia se hace mínima depende del espesor de la capa dieléctrica de fluoruro. Por ejemplo, si el espesor óptico es ),,/4 para la región verde del espectro visible, la reflectancia será mínima en esa región. El vidrio con este tratamiento aparecerá púrpura ya que reflejará la región azul y roja del espectro. Este tratamiento se utiliza en las lentes para fotografía en blanco y negro. Para fotografía en color, la capa de fluoruro es más delgada, de tal manera que la reflectancia es mínima para el azul. Estos recubrimientos reflejan una luz ámbar. En la Figura 5.7 se muestra la reflectancia en función de la longitud de onda para una lente con y sin tratamiento. 0.07 (a)
0.06 0.05 ro
'g
0.04
'i" i3
0.03
~ o
o::
0.02 (e)
0.01
P":" .•.. :
,:
0.00 300
400
500
600
700
800
),(nm)
('
, 1 ,11
"
Figura 5.7 Reflectancia en una lente sin tratamiento (a) y con tratamiento monocapa (b) y bicapa (e). Obsérvese cómo disminuye la reflectancia cuando se recubre la lente, en general para todo el espectro. En el caso de monocapa existe una única longitud de onda, A = 500 nm, para la cual la reflectancia es mínima. En el caso bicapa, hay dos longitudes de onda en las que la reflectancia se hace mínima además de bajar considerablemente en toda la región del visible. Estas curvas son teóricas.
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo Aplicaciones de de las Capítulo 5/ 5/ Aplicaciones las interferencias interferencias
179
Nos podríamos nula para para alguna alguna longitud longitud de onda. onda. Desde Desde podríamos preguntar preguntar si es posible posible obtener obtener reflectancia reflectancia nula luego posible sumando interfieran destructivarnente, destructivamente, sus sus amplituamplituluego no sería sería posible sumando sólo sólo dos ondas ondas ya que, que, aunque aunque interfieran des son diferentes. producen muchas muchas más reflexiones. reflexiones. diferentes. Sin embargo, embargo, la realidad realidad es que que en la monocapa monocapa se producen Si sumáramos estarían en fase fase entre entre sí y en oposición oposición de sumáramos todas todas las ondas ondas reflejadas reflejadas internamente, internamente, éstas éstas estarían fase con la primera, puede obtener obtener una una condición condición para para que que primera, que es la de mayor mayor amplitud. amplitud. En ese caso caso se puede reflectancia sea sea nula. Para Para verlo verlo de manera manera cualitativa, cualitativa, considérese considérese la Figura la reflectancia Figura 5.8. 5.8. Ahora Ahora hay hay que que tener tener poco de cuidado cuidado respecto respecto de las diferencias diferencias de fase dado dado que un poco que no sólo sólo se producen producen por por diferencia diferencia de camino recorrido, sino que también también hay que tener tener en cuenta cuenta que camino recorrido, sino que cuando cuando se pasa pasa de un medio medio de menor menor Índice a otro otro de mayor mayor índice Índice el coeficiente coeficiente de reflexión hace negativo índice reflexión se hace negativo y se produce produce un cambio cambio de fase fase adicional de rr tt . adicional
!1
n
N
va la 2. s.
e=1J4ncos6, e=1J4ncos6,
substrato
5.8 Reflectancia Reflectancia en en una una superficie superficie recubierta recubierta con con una una monocapa monocapa de magnesio Figura 5.8 de fluoruro fluoruro de de magnesio con espesor espesor óptico óptico igual igual a un cuarto cuarto de de onda onda de de la luz incidente. incidente. con .
el de rá a ra .7
Esto hace hace que que la segunda segunda onda onda reflejada siguientes estén Esto reflejada y las siguientes estén en fase fase entre entre sí y en oposición oposición de fase fase primera. Por Por lo tanto, tanto, si la amplitud amplitud de la primera primera onda onda reflejada reflejada es igual igual a la amplitud amplitud de la onda onda con la primera. resultante de sumar sumar todas todas las demás, demás, la interferencia interferencia será será destructiva destructiva y estrictamente resultante estrictamente nula. nula. La condición condición que se obtiene obtiene para para esta esta anulación anulación se puede puede expresar expresar en términos términos de los Índices que índices de los medios medios y resulta resulta n- N nn+N n+N
l-n l-n n' 1 + n'
(5.13) (5.13)
donde se obtiene obtiene la condición condición n = = v'N. -JiIi. de donde tratamiento anterior anterior se puede puede generalizar generalizar a agrupaciones agrupaciones de multicapas El tratamiento multicapas de diferentes diferentes espesores espesores e Índices que que pueden pueden proporcionar proporcionar unas características características de reflectancia índices reflectancia determinadas. determinadas. Así Así por por ejemplo, ejemplo, se puede conseguir conseguir espejos espejos dieléctricos dieléctricos de muy alta reflectancia, reflectancia, filtros puede filtros pasabanda pasabanda tales tales como como los los denominadenominaespejos fríos que no reflejan reflejan el infrarrojo infrarrojo o materiales materiales que que hacen hacen lo contrario: visible y dos espejos fríos que contrario: dejan dejan pasar pasar el el visible reflejan infrarrojo como corno los filtros calóricos calóricos que se usan en los sistemas reflejan el infrarrojo sistemas de iluminación. iluminación. pueden conseguir conseguir igualmente igualmente tratamientos tratamientos que que producen producen una alta Se pueden alta reflectancia. reflectancia. Así Así por por ejemplo, ejemplo, Figura 5.9 se muestra muestra una disposición disposición de 5 capas capas de índices en la Figura índices alternantes alternantes y espesor espesor óptico óptico A/2ni A/2ni respectivamente. respectivamente. Cualitativamente, analizando analizando los cambios cambios de fase que tienen tienen lugar Cualitativamente, lugar en las interfases interfases y las diferencias diferencias camino óptico, óptico, se puede puede concluir concluir que la lámina lámina presentará presentará alta longitud de onda de camino alta reflectancia reflectancia para para una longitud onda considerada 8. considerada tratamiento matemático matemático de las multicapas multicapas no difiere difiere esencialmente esencialmente del 88EI El tratamiento del caso caso de una una rnonocapa: monocapa: imponiendo imponiendo la conservación co nservación componentes tangenciales tangenciales de los cam campos en las intelfases interfases se puede puede obtener definir una una matriz matriz de las componentes pos en obtener una una relación relac ión recurrente recurrente y definir para cada cada di disposición capas y obtener, obtener, por por multiplicación multiplicación sucesiva, sucesiva, la reflectancia reflectancia del conjunto. sposición en capas conjunto. Para Para detalles detalles del cálculo cálcul o puede puede para consultarse A. F. F. Heavens Optical properties of thin solidji!ms solid films (Dover (Dover Publications, 1955). Heavens Oplica! properties ofthin Publications, New New York, York, 1955). consultarse
1
http://carlos2524.jimdo.com/
180 Óptica física r:!
r:!
r:!
'"
-er ~ -e
¿ O!. '"
" ::!
¿
r:!
e'
r:!
O!.
e' O!.
.e
r:!
5. 5. 3. 4 3. 4 rt
n
é
Figura 5.9 Idea cualitativa
de un recubrimiento
de alta reflectancia.
PROBLEMAS RESUELTOS ~~AS
5.1.
.~PLlCACIONES DE INTERÉS
.
Una lente plano-convexa L está en contacto por su cara esférica, de radio de curvatura R desconocido, con una lámina plana de vidrio G. El radio de apertura de la cara plana es y = l cm (ver Figura 5. lOa). El sistema está iluminado por una fuente monocromática colimada bajo incidencia próxima a la normal. Por reflexión se observa el fenómeno interferencial producido por la lámina de aire de espesor variable que hay entre la lente y la lámina plana.
26 (a)
6
+
24
(b)
22
+
20
"E
18 E .:;; 16
+
14
+
12 L G
10 R
+
8 O
2
3
4
5
6
k
Figura 5.10 (a) Esquema del dispositivo empleado.(b) radio de los anillos, x2, frente al orden interferencial, k.
Representación
gráfica del cuadrado
del
Resolución
Si la longitud de onda utilizada es 1..0 = 0.5890 ¡tm en el vacío, calcular el radio del primer anillo oscuro y el número máximo de aniJIos observables. Para eJIo emplear la Figura 5.10b donde se ha representado el cuadrado del radio de los anillos frente al orden interferencial obteniéndose el ajuste lineal de la figura. El sistema propuesto es un típico montaje de anillos de Newton obtenidos cuando se hace incidir un haz bajo incidencia normal sobre la cara plana de la lente. Entre la cara esférica y el plano del calibre
http://carlos2524.jimdo.com/
r
Capítulo Capítulo 5/ 5/ Aplicaciones Aplicaciones de de las las interferencias interferenc ias
181
hay hay una una fina fina capa capa de de aire aire cuyo cuyo espesor espesor varía varía desde desde el centro centro a los los extremos extremos de de la la lente. lente. Un Un rayo rayo tal tal como rl se se refleja refleja en en la la cara cara interior interior esférica esférica yy vuelve vuelve a salir salir (rD. (rD. Otra Otra parte parte de de este este rayo rayo (ver (ver Figura Figura como el 1'1 5.11) 5. 11) se se refracta, refracta, se refleja refleja en la la superficie superficie plana plana y emerge emerge de de nuevo nuevo hacia hacia arriba arriba despues despues de de refractarse refractarse dos (r~). Como Como el radio radio de de curvatura, curvatura, R, R, de de la la lente lente LL es es grande, grande, los los ángulos ángulos de de incidencia incidencia yy dos veces veces (r~). refracción son son muy muy pequeños pequeños por por lo lo que que los los rayos rayos se se encontrarán encontrarán sobre sobre la la lámina lámina de de aire ai re (al prolongarlos prolongarlos refracción virtualmente). virtualmente). En En efecto, efecto , nótese nótese que que en en la la parte parte derecha derecha de de la la Figura Figura 5.11 5.11 se se ha ha ampliado ampli ado una una de de las las zonas de la la lente lente para para así así visualizar visualizar mejor mejor el trazado trazado de de rayos. rayos. En En particular, particular, se se ha ha mostrado mostrado además además en en zonas r~ (que (que están están en en discontinua) discontinua) provienen provienen de de un la parte parte ampliada ampliada cómo cómo la prolongación prolongación de de los los rayos rayos 1'; yy r~ la punto, que que hemos hemos denominado denominado S, S, que que es virtual. virtual. Dado Dado que que 1'r;; y r~ no son son paralelos paralelos para para poder poder observar observar punto, justamente la región región del espacio espacio de de la interferencia interferencia deberemos deberemos de de emplear emplear un un sistema sistema óptico óptico que que enfoque enfoque justamente la di spositivo producirá producirá que provienen provienen virtualmente virtualmente ambos ambos rayos: rayos : este este ejemplo ejemplo nos nos muestra muestra cómo cómo este este dispositivo la que franjas de de interferencia interferencia que que están están localizadas localizadas espacialmente', espacialmente 9 . franjas En estas estas condiciones, condiciones, la la diferencia diferencia de de camino camino óptico óptico entre entre los los dos dos rayos rayos 1'; y r~ r~ será será En
r;
r;
~= = 2IJ 2/J = = 2d. 2d.
(5.14) (5.14)
Es Es necesario necesario añadir añadir una una cantidad cantidad suplementaria suplementaria de ),,/2 ),,/2 debido debido a que que se produce produce un cambio cambio de fase fase de it n entre los haces haces que que se reflejan refl ejan en condiciones condiciones de vidrio-aire vidrio-aire y aire-vidrio aire-vidrio (fórmulas (fórmul as de Fresnel). Fresnel). De De esta esta entre forma, la diferencia diferencia de fase fase es forma, (5.15) (5.1 S) 8= = k2d k2d +n. +n.
Por otra otra parte, parte, de la la Figura Figura 5.11, 5.11 , aplicando aplicando el teorema teorema de Pitágoras, Pitágoras, se obtiene obtiene el el valor valor del espesor espesor de la Por e r',
r,
R R .'.
'Jt:----=.. L. ---J
.
5.11 Trazado de rayos rayos para computar la di diferencia caminos ópticos. ópticos. e es es eell ce centro Figura 5 . 11 Trazado para computar ferencia de caminos ntro de curvatura de de la cara cara esférica esférica y R el radio radio de de cu curvatura. rl indica indica la dirección dirección de de uno uno de de los rayos rayos curvatura rvatu ra. rl incidentes; son los rayos rayos reflejados reflejados en la cara cara esférica esférica y en en el cali calibre, respectivamente. incidentes; y r~ son bre, respectivamente.
r; r~
capa de aire en cada cada punto, términos del radio radio de curvatura curvatura de la lente lente y de la di distancia medida capa punto, d, en términos stancia x, medida desde el centro, centro, o punto contacto entre entre L y G, a un punto punto cualquiera cualquiera del diagrama diagrama interferenc interferencial: ial: desde punto de contacto el (5.16) (5.16)
de donde donde X2 x2 d=-. d= - . 2R 2R
(5.17)7) (5.1
Sustituyendo en (5.15) (5.15) y aplicando aplicando las condiciones condiciones de interferencia interferencia destructiva, destructiva, esto es, las ondas ondas en Sustituyendo oposición de fase, fase, [8 = = (2m + + l)n], l)n], se llega llega a que el mínimo mínimo interferencial interferencial de orden orden m di dista punto sta del punto oposición 9Recuérdense por ejempl ejemploo los proble problemas del Tema Tema 4 donde donde hemos hemos anali analizado experimento de Young en los que vimos vimos cómo cómo 9Rec uérdense por mas del zado eell experimento podíamos observar observar franjas franjas de interferencia interferencia independendientemente independendientemente distancia frontal l de la panta pantalla con respec respectoto al plano plano que que podíamos de la di stancia fronta lla con conti ene a las fuentes. contiene fuentes.
http://carlos2524.jimdo.com/
182 Óptica ica Óptica fís física contacto entre entre el calibre calibre y la cara cara esférica esférica de la lente lente una una distancia, distancia, x"', dada por por de contacto X m , dada Xm m
=
JmAOR. JmAoR.
(5.18) (5.18)
Para el primer primer anillo anillo oscuro oscuro (m = = 1) se tendrá tendrá que que dista dista del centro centro del del diagrama diagrama interferencial interferencial Para Xl = = XI
JRAo. JRAo.
(5.19) (5. 19)
radio de apertura apertura de la lente lente es y = 1 cm, el radio radio del máximo máximo anillo anillo observable, observable, cuyo cuyo orden orden Si el radio interferencial, M, es tal que XM decir intelferencial, XM :s y, y, es decir
MAoR
:s i ·
(5.20) (5.20)
Figura 5.lOb 5.lOb podemos podemos deducir deducir que que la pendiente pendiente de la recta recta es del orden orden de m ~ ~ tan 47° = 1.072 1.072 De la Figura Esta pendiente, pendiente, determinada determinada midiendo midiendo sobre sobre la gráfica gráfica citada, citada, se puede puede identificar identificar con la pendiente pendiente mm22.. Esta predicha teóricamente teóricamente [ver [ver ecuación ecuación (5.18)] (5.18)] que resulta resulta ser AoR, por lo que que estimamos estimamos que que R = 1.82 1.82 predicha AoR, por partir de este este dato dato podemos podemos deducir deducir que el radio radio del primer primer anillo anillo oscuro oscuro es XI = 1.035 mm. Así Así m. A partir Xl = mismo el máximo número de anillos anillos observables observables es M = 93. mismo máximo número todo este este análisis análisis que hemos hemos venido venido realizando cabe explicitar explicitar también también el hecho hecho siguiente: siguiente: las En todo realizando cabe interferencias son observables observables de tanto tanto en cuanto cuanto la fuente fuente de luz empleada empleada sea sea monocromática monocromática (lo cual intelferencias idealización). Así Así pues, pues, ha de tenerse tenerse en cuenta cuenta que una una de las condiciones condiciones restrictivas es una idealización). restrictivas para para observar interferencias estables estriba estriba en el hecho hecho de que que las diferencias diferencias de camino camino óptico óptico involucradas involucradas observar interferencias estables (A) no excedan excedan a la longitud longitud de coherencia coherencia (lc) de la fuente fuente empleada, empleada, esto esto es, ~ ll. < < lc. l., (~) En realidad, fuente de luz luz es una lámpara lámpara de sodio sodio que emite emite en d· dos longitudes de onda onda que que se realidad, la fuente os longitudes supondrán de la misma misma intensidad intensidad y que que en el vacío vacío valen valen Al = 0.5890 0.5890 J1.m tLm y A2 A2 = 0.5896 0.5896 J1.m. tLm. supondrán ¿Se modifica modifica el fenómeno fenómeno observado? observado? El radio radio de los anillos anillos oscuros mide mediante mediante un visor visor ¿Se oscuros se mide micrométrico tLm de precisión. precisión. Determinar Determinar si podrán podrán medirse medirse experimentalmente experimentalmente los radios radios de micrométrico de 5 J1.m anillos de cada cada diagrama diagrama interferencia!. interferencial. los anillos considerar que la fuente fuente emite emite dos radiaciones radiaciones de longitudes longitudes de onda onda AO AOY cada una de ellas ellas da Al considerar Y Al, cada lugar a un sistema sistema de anillos anillos distinto: distinto: los radios radios de los anillos anillos oscuros oscuros para para cada cada longitud longitud de onda onda vienen vienen lugar dados, de acuerdo acuerdo con con (5.18), (5.18), por por dados, ~ 1) - ~ xmm((1)- ymAoR, ymAoR ,
(2)_
Xm
-
~ ymA IR.
(5.21 )
separación entre entre dos anillos anillos del mismo mismo orden orden interferencial interferencial es mayor mayor es el orden. orden. Para Para La separación mayor cuanto cuanto mayor primer orden orden interferencial interferencial se tiene tiene que x;2) x;2) - xi xii)i ) = 0.89 0.89 J1.m tLm yen y en este este caso caso los dos anillos anillos no podrán podrán el primer discernirse experimentalmente. experi mentalmente. discernirse Teniendo en cuenta cuenta las características características espectrales espectral es de la fuente fuente podemos podemos obtener obtener una estimación de la Teniendo una estimación longitud de coherencia coherencia de la misma misma como como longitud (5.22) (5.22)
,¿" L
donde TTcc = e tiempo de coherencia coherencia de la fuente fuente. . Así pues pues tendremos tendremos que que le = 578.2 578.2 J1.m. tLm. Nótese Nótese donde es el tiempo apartado anterior anterior vimos vimos que para para una una de las longitudes longitudes de onda onda empleadas empleadas se observarían observarían 93 que en el apartado anillos. Veamos Veamos si esto esto es así para para el caso caso de iluminar iluminar con la fuente fuente más más realista considera el doblete doblete anillos. realista que considera sodio: la diferencia diferencia de camino camino óptico óptico para para el anillo anillo de orden orden 93 resulta resulta ser ~93 ll.93 = 2d93 = X~j X~3 del sodio: = 93Ao = 54.8 54.8 J1.m. tLm. Este Este valor menor o igual le, lo cual evidentemente evidentemente se verifica verifica para para el caso caso 93Ao valor ha de ser menor igual que lc, considerado. considerado. separa la lente lente una distancia distancia zo, ¿cómo ¿cómo se modifica modifica el sistema sistema de anillos anillos producido producido por por la radiación radiación Se separa AO= = 0.5890 0.5890 J1.m? tLm? de AO
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo 5/ Aplicaciones
2;:
·19)
Xm(ZO)
rden
.072 ente 1.82 Así . las cual para das
se m.
or de
183
Finalmente al alejar la lente de la superficie plana se introduce una diferencia de marcha adicional entre los rayos que se reflejan en la lente y en la superficie plana ,6,ad = 2zo. Se seguirán observando un diagrama interferencial formado por CÍrculos oscuros concéntricos pero la distancia entre dos adyacentes habrá disminuido ya que en este caso se tiene una diferencia de fase adicional Oad = ,6,ad. De hecho en este caso la posición del radio del anillo oscuro de orden m está dada por la expresión
.18)
.20)
de las interferencias
En cualquier caso se ha de tener que ,6,
5.2.
=
J(mAo - 2zo)R.
= 2d + 2zo
< le, para que las interferencias
(5.23) sean observables.
Se dispone de un calibre plano sobre el que se coloca una lente plano-cilíndrica de radio R desconocido. Se ilumina el sistema con una haz de luz colimado cuya longitud de onda es A = 589 nm y se observa la luz reflejada. Suponer que el índice de refracción que experimenta la onda dentro del calibre es ti¿ y que dentro de la lente plano-cilíndrica es ni. Resolución Describir la forma del diagrama interferencial cuando en la región II se coloca un material transparente tal que la onda incidente experimenta un Índice de refracción n', Suponer que n' < n¿ y que ni > n', Supongamos que se ilumina el sistema con un haz de luz colimado y que se observa la luz reflejada (ver Figura 5.12): el observador apreciará, como resultado de la interferencia de la luz reflejada en el calibre plano y la reflejada en la cara circular de la lente plano-cilíndrica, un diagrama interferencia!. Vamos a analizar la forma de este diagrama de interferencias: entre la cara circular de la lente y el calibre se forma una lámina cuyo espesor varía conforme nos alejamos de la generatriz del cilindro que se apoya sobre el calibre. De esta manera tendremos en cuenta que, la diferencia de fase entre la luz reflejada por la cara circular de la lente (que consideramos que incide normalmente) y sobre la superficie del calibre, viene dada por Oregion 1 = 2d + it (hemos supuesto que el medio es aire). En la expresión anterior el factor it adicional proviene de la reflexión en el calibre (nc < naire)' Por lo tanto en todos aquellos puntos en los que o sea constante el estado interferencial será el mismo, es decir, el lugar geométrico de los puntos del espacio en los que la diferencia de fase es constante serán líneas rectas paralelas a la generatriz del cilindro. En el centro del diagrama se observará un mínimo y a ambos lados se observarán franjas paralelas a la generatriz del cilindro. Ahora bien, en la región 1 el índice de refracción de la lámina de espesor variable es el del aire, en tanto que en la región 11se ha introducido un medio cuyo índice de refracción es n', Por lo tanto, en la región 11ocurre lo mismo que en la región 1 salvo que la separación entre franjas consecutivas es menor, ya que ahora Oregion 11 = Zn' d + n . Nótese que en esta región también hay un término de fase adicional de it dadas las condiciones que se verifican entre los índices de refracción; en efecto, el rayo reflejado en la cara curva de la lente no incorpora un cambio de fase de it ya que ni > n'; mientras que el rayo reflejado en el calibre incorpora un cambio de fase de it ya que n' < n., Teniendo en cuenta las consideraciones anteriores la distancia del mínimo interferencia] de orden L respecto a la generatriz será 1 = RLA, siendo R el radio del cilindro, en tanto que el mínimo
2;:
s da nen
.21)
Para rán e la
2;:
-r:
.22) tese
.J
de orden M en la región II viene dado por x;;giOn 11 = J R M A/ n', La interfranja no es constante: así la interfranja disminuye al aumentar el orden interferencial tanto en la región 1, donde se tendrá que ¡regionl = XL+l - XL = .JR)..(.JL+T - .JL), como en la región TI, donde la interfranja está dada por
= XM+l - XM = J RA/n'(.J M + 1 - -JM). Como hemos visto la interfranja en ambos lados de la generatriz del cilindro no es constante, lo cual significa que si observamos el aspecto del diagrama interferencial podremos comprobar que conforme nos alejamos de la generatriz del cilindro, que está en contacto con el calibre, las franjas tienden a "juntarse" y, eventualmente, no podrán ser observadas si la interfranja es tan pequeña que no puedan resolverse espacial mente con el sistema de observación empleado 10. ¡regio/7 11
IOYeremos en el Tema 6 exactamente qué queremos decir con esto de la resolución espacial.
http://carlos2524.jimdo.com/
Óptica física 184 Óptica
distancia del centro centro del diagrama diagrama interferencial interferencial al mínimo orden 32 en la región mm, La distancia minimo de orden región 1 es 17 mm, mientras que en la región orden 27 está está situado situado a 13.6 mm. mientras región II II el mínimo minimo de orden mm. Determinar Determinar el radio radio de curvatura y el índice índice de refracción curvatura refracción del medio medio colocado colocado en la región región Il. Teniendo en cuenta cuenta las ecuaciones ecuaciones anteriores, anteriores, para interferencial de orden orden Teniendo para la región región 1 el rrururno mll1lmO interferencial está situado situado en == .j RAL, donde substituyendo substituyendo obtenemos obtenemos que que R = 15.33 m. SustituyenSustituyenL = 32 está RAL, de donde = 15.33 este valor valor en la condición AM / n', do este condición de mínimo mínimo interferencial interferencial de orden orden M M = 27 en la región región Il, xjj x jj = .J RRAM obtiene que n' n' = = 1.318. 1.318. se obtiene
xL
.J
región I región
5.12 Esquema Esquema de la lente lente plano-cilíndrica apoyada sobre sobre el calibre calibre plano. Figura 5.12 plano-cilíndrica apoyada plano. En En la región región I el espacio entre entre el calibre calibre y la lente lente está relleno espacio entre entre el calibre calibre y la espacio relleno de aire y en la región región 1111el espacio la lente líquido de índice nI. lente está relleno relleno de un líquido índice n',
5.3. 5.3.
Una lámina lámina de vidrio caras paralelas, espesor e e Índice índice n se ilumina fuente puntual Una vidrio de caras paralelas, de espesor ilumina por por una una fuente puntual O situada a una distancia distancia el situada a una distancia D ella, está está iluminada iluminada por situada d > > e. Una Una pantalla pantalla situada una distancia D de ella, por la reflejada de la cara cara anterior anterior y posterior lámina. La fuente emite emite una radiación radiación monocromática luz reflejada posterior de la lámina. La fuente monocromática longitud de onda onda Ao incide con con ángulos ángulos pequeños pequeños sobre sobre la lámina. lámina. de longitud Ao e incide Resolución Resolución Calcular la diferencia diferencia de camino camino en un punto función de D, D, el, el, e. Describir cualitaCalcular punto P de la pantalla pantalla en función Describir cualitativamente los fenómenos fenómenos interferenciales interferenciales que que se observarán. observarán. tivamente situación que describe el problema está representada 5.l3. Al punto punto P de la pantalla problema está representada en la Figura Figura 5.13. pantalla La situación que describe llegan dos rayos rayos procedentes cara de la lámina lámina mientras que el otro otro se llegan procedentes de O. Uno Uno se refleja refleja en la primera primera cara mientras que refracta dentro dentro de la lámina, lámina, se refleja cara inferior inferior y se refracta primera cara. cara. Por refracta refleja en la cara refracta de nuevo nuevo en la primera Por lo tanto, en P los rayos con una diferencia diferencia de camino camino que que puede dar lugar lugar a que que interfieran. interfieran. tanto, rayos llegan llegan con puede dar diferencia de camino camino óptico óptico vendrá dada por por La diferencia vendrá dada 11=2nAB-2MI. !1=2nAB-2MI.
(5.24) (5 .24)
otra parte, parte, de la figura figura se tienen siguientes relaciones: Por otra tienen las siguientes relaciones:
e
AB=--, AB = --,
cos f3 (3 Al = e tan f3, Al = (3 ,
sena01 sen
=
(5.25) (5.25)
MI MI -
--o
-o
Al Al
partir de estas estas relaciones obtener los los valores MIJ en términos A partir relaciones podemos podemos obtener valores de AB AB y M términos de las variables variables medimedi bles del problema, problema, esto esto es, del espesor espesor de la muestra, distancia a la pantalla. bies muestra, el Índice Índice de refracción refracción y la distancia pantalla. efecto, sustituyendo sustituyendo en (5.24), (5.24), se obtiene obtiene En efecto,
e 11 = = 2n-!1 2n - - - 2e 2e tan f3 (3 sen a. 01. cos f3 cos (3
http://carlos2524.jimdo.com/
(5.26) (5.26)
Capítulo Aplicaciones de las interferencias Capítulo 5/ 5/ Aplicaciones interferencias Pantalla
185
p P
Figura Figura 5.13 5.13 Diagrama Diagrama de la situación situación experimental. experimental. El El haz de luz emerge-de ernerqe de O y los haces refleja· reflejados en la lámina lámina llegan llegan a la pantalla pantalla de observación. observación.
ni el yla
o
llega a = n sen {J, f3, se llega
Teniendo en cuenta cuenta que que en 1 se verifica Teniendo verifica la ley de la refracción refracción sen a
2en ) e 2 L'l = 2n--- - sen se Il" {J L'l 2n - - - f3 = 2necos{J. 2necosf3. cos {Jf3 cos {Jf3
(5.27) (5.27)
Si estamos rayos que muestra formando pequeños ángulos, punto estamos observando observando rayos que inciden inciden sobre sobre la muestra formando pequeños ángulos, o sea que que el punto A entonces L'l L'lse puede como A es próximo próximo al punto punto S, entonces puede poner poner como
rla
ica L'l = 2necos{J L'l 2necosf3
= 2ne
2
aa
sen? sen --21- -2n
(a (a 2
:::::: 2ne ::::::
1-
2 )) -22 ..
2n
(5.28) (5.28)
pantalla: Ahora sólo queda queda expresar expresar el ángulo ángulo a en función función de la distancia distancia a la pantalla: Ahora sólo ~ ~
y
(5.29) (5.29)
a-2d+D+ a2d , D , talla ro se or lo
donde posición del punto punto P de la pantalla. pantalla. donde y es la coordenada coordenada que que fija la posición La rayos provocada provocada por por esta La diferencia diferencia de fase entre entre estos estos dos rayos esta diferencia diferencia de camino camino será será
y2) y2) ..
2n (( 11(5:::::: -2ne -2ne 15:::::: Ao Ao 2n22 (2d .24)
+ D)2 D)2
(5 .30) (5.30)
hay que produce en la reflexión reflexión de aire-vidrio vidrio-aire A esta esta diferencia diferencia de fase hay que añadirle añadirle la que que se produce aire-vidrio y de vidrio-aire que radianes. Por Por lo tanto, tanto, la diferencia total es que es n tt radianes. diferencia de fase total
y2) + n . y2)
(( 1 2n :::::: -2ne -2ne 1 -15(5 :::::: Ao Ao 2n22 (2d Los mínimos se obtendrán Los mínimos obtendrán cuando cuando 15(5 Ym
=
=
(2m (2m
+ D)2 D)2
(5.31) (5.31)
+ l)n l)n, , es decir decir
(2d + D)
JJ
mAo) n (2ne - mAo) e ', e
(5.32) (5.32)
por lo tanto, lugar geométrico geométrico de los puntos que presentan diferencia de camino camino por tanto, el lugar puntos de la pantalla pantalla que presentan la misma misma diferencia óptico círculos centrados centrados sobre sobre la recta óptico son círculos recta que que parte parte de O y es perpendicular perpendicular a la muestra. muestra. = 00, 00, expresar expresar llaa diferencia diferencia de camino camino en fllnCÍón función de e, n y {Jf3 (ángulo (ángulo de refracción la lámina, lámina, Si D = refracción en la asociado al ángulo ángulo de incidencia) incidencia) sin suponer suponer el ángulo ángulo de incidencia asociado incidencia pequeño. pequeño.
http://carlos2524.jimdo.com/
186
Óptica física física Óptica
o
r·
B
5.14 Haces de luz reflejados reflejados cuando cuando la fuente fuente está en el infinito infinito (D Figura 5.14 indicado dos dos de las múltiples múltiples ondas ondas reflejadas reflejadas. . indicado
Sólo se han (0). Sólo
00, los rayos rayos que llegan llegan a P son paralelos entre sí. En este este caso, caso, de la Figura Figura S S.14 obtiene Si D = 00, paralelos entre .14 se obtiene que la diferencia diferencia de camino camino óptico óptico será, será, sin ninguna ninguna aproximación, aproximación, que
t:,.
2n A B = 2nAB
A D AD
2ne cos (3. = 2necosf3.
(5.33) (5.33)
este caso caso para observar la interferencia interferencia de las ondas ondas reflejadas reflejadas necesitaremos necesitaremos emplear emplear una una lente lente que En este para observar focalice las mismas mismas para para observar observar los anillos anillos interferenciales. interferenciales. También También se puede puede observar observar el diagrama diagrama focalice interferencial sin el empleo empleo de la lente: lente: si el haz haz incidente incidente está está colimado colimado y tiene tiene una cierta cierta extensión extensión interferencial espacial, observaremos observaremos en la pantalla que los haces reflejados solapan solapan parcialmente parcialmente y dan lugar lugar a interfeinterfeespacial, pantalla que haces reflejados rencias salvo salvo que en este este caso caso no se producirían producirían anillos. anillos. Se dice dice que que se ha introducido introducido un desplazamiento desplazamiento rencias lateral o "lateral "lateral shear" shear" de los haces. haces. El dispositivo dispositivo mostrado mostrado en la Figura Figura 5.13 tiene tiene un interés tecnológico lateral interés tecnológico evidente: el punto punto O puede puede ser la idealización idealización de una una fuente fuente de luz láser láser que que se quiere quiere colimar. colimar. Inicialevidente: Inicialmente el punto punto O estaría estaría alejado alejado del foco objeto objeto de la lente. lente colimadora colimadora se coloca coloca la lámina lámina lente. Si tras la lente mente plano-paralela, los haces de luz que provendrían de O' y O" producirían interferencias en la pantalla plano-paralela, los haces provendrían producirían interferencias pantalla de observación. Si acercamos el punto O al foco objeto de la lente los puntos O' y O" se alejan cada vez observación. acercamos punto objeto lente puntos alejan cada más de la lámina lámina y justamente cuando el punto O esté en el foco de la lente las ondas que provendrían justamente cuando punto esté lente ondas que provendrían de O' y O" serían serían esencialmente esencialmente planas, planas, por por lo que que si observamos observamos la evolución evolución del diagrama diagrama interferencial interferencial en la pantalla pantalla podemos podemos colimar colimar con con gran gran precisión precisión el haz de luz. Si 2ne 2ne es un múltiplo múltiplo de Ao AO,, ¿cuál ¿cuál es la irradíancia irradiancia en el centro centro de la pantalla? pantalla? Sí Teniendo cuenta el cambio cambio de fase de nit radianes radianes que que ocurre ocurre en la reflexión, reflexión, la diferencia diferencia total de Teniendo en cuenta fase es 4n 4n -necos(3 (5.34) (5.34) 8[)= = -necosf3 + ntt . Ao 2ne = mAo mAo,, en el centro centro del diagrama diagrama interferencial interferencial se tendrá tendrá que que 8 [) = (2m + I)n l)n, , es decir, decir, las ondas ondas Si 2ne interfieren destructivamente destructivamente en el centro, centro, por lo que que se observará observará un anillo anillooscuro. interfieren oscuro.
Si e
1.5, ¿qué ¿qué se observa observa al iluminar iluminar con luz blanca? blanca? = 3 mm y n = 1.5,
Para los valores valores considerados, considerados, t:,. :::: 2 x 1.5 x 3 = = 9 mm. Este Este valor grande comparado comparado con Para valor es muy grande longitud de coherencia coherencia fe· le de la luz blanca blanca dada dada por por la longitud
"
";¡ f':· ~I"
1 1
e
A2
55022
~ :::: ::::-- - = =~ t:,.A s: -300 300
1 ¡,Lm. l/-LITI.
f
Por lo tanto, tanto, en este este caso caso no habrá habrá interferencias interferencias observables. observables. Por
http://carlos2524.jimdo.com/
(5.35) (5.35)
Capítulo 5/ 5/ Aplicaciones Aplicaciones de de las interferencias interferencias Capítulo
5.4.
187
Figura 5.15 5.15 se muestran muestran dos ondas ondas planas planas d~ d~ ig~al ig~al amplitud linealmente polarizadas polarizadas que que vibran vibran En la Figura amplitud linealmente propagan en las direcciones direcciones k¡ k] y k2. La frecuencia frecuencia angular angular de ambas ambas ondas ondas es de en el eje X y que que se propagan úJ = = 3.5 X 10'5 10'5 radjs radjs y la amplitud amplitud de una ellas es 10 veces veces menor menor que que la de la otra. w una de ellas Resolución Resolución Escribir la expresión expresión de los campos campos eléctricos eléctricos asociados asociados a cada cada onda. onda. Escribir Este problema problema es similar similar en su planteamiento planteamiento al 1I del Tema Tema 4. De esta esta manera manera el campo campo eléctrico eléctrico Este asociado a E, E, viene viene dado dado por por asociado E-, (-) r, t = E ae i(wr-k¡·;l 1,
(5.36) (5.36)
donde el el vector vector de propagación propagación está está dado dado por por donde
~
n
k,
2n 2n T =T
[ cos(300) a A A]] . cos(300)j j - sen(30)k sen(30)k
(5.37) (5.37)
Así mismo mismo el campo campo eléctrico eléctrico asociado asociado a E2 E2 viene viene dado dado por por Así ne
Ea i (úJt- k2°¡:) 1 - (-) E 2 r , t = -10 e '
(5.38) (5 .38)
A
3)
donde el vector vector de propagación está dado dado por por propagación está donde
ue
2n [ cos(200)j - = = 2n cos(200)j k2
T T
a
A]] . a A sen(20)k + sen(20)k
(5.39) (5.39)
ón e-
z
lo
ea alna de ez de ial
@ ®
y
x X
de 4)
~igura 5.15 5.15 Dos haces haces de de radiación radiación polarizados polarizados en eje eje X X y propagándose propagándose en las direcciones direcciones ~igura en
k, y k,
k2·
as Determinar la irradiancia irradiancia en el plano plano y = O. O. Si se coloca coloca una película película fotográfica fotográfica de alta alta resolución resolución Determinar (2800 líneas/mm) líneas/mm) determinar determinar si, exponiendo exponiendo adecuadamente, adecuadamente, se podrá podrá registrar registrar el diagrama diagrama interfereninterferen(2800 cia!. on
sobre la placa placa vendrá vendrá dada dada por por La irradiancia irradiancia que incide incide sobre ?
le ex Ea2
5)
2
E5 + -Ea E5 + -Eü 100
5
[-
-
-J -J
- - k,) ~ .r . k,) cos [ (k2
(5.40) (5.40)
Para poder poder registrar registrar adecuadamente adecuadamente el diagrama diagrama interferencial interferencial es necesario necesario que que el inverso inverso de la interfranja interfranja Para diagrama interferencial interferencial (o periodo periodo espacial espacial de las franjas) franjas) sea, como como mínimo, mínimo, el doble doble que que el periodo periodo del diagrama
http://carlos2524.jimdo.com/
188
Óptica física física Óptica
que puede puede registrar. Teniendo en cuenta cuenta los datos datos que que nos suministran suministran vemos que la espacial máximo espacial máximo que registrar. Teniendo vemos que interfranja, IInl dada por interfranja, viene dada por nl, , viene
1111111 =
AA
= + sen 30°
sen 20
0 0
que el periodo franjas es p de manera manera que periodo de las franjas puede registrar diagrama interferencia!. interferencial. puede registrar el diagrama
=
_,1 _,1 ~~ 111
0.639 tLm tLm, , 0.639
(5.411) (5.4
líneas/mm. De manera que la película elegida 1564 líneas/mm. manera que película elegida
La película apartado anterior anterior es expuesta expuesta y procesada que la transmitancia amplitud La película del apartado procesada de manera manera que transmitancia en amplitud irradiancia registrada durante la iluminación iluminación de los haces incidentes. de la película película es proporcional proporcional a la irradiancia registrada durante haces incidentes. lugar original original y se ilumina ilumina con con la onda onda El, El, analizar analizar cómo cómo es/son es/son la/s Si se reposiciona reposiciona la película película en su lugar onda/s transmitida/s onda/s transmitida/s por por la película. película. 11, la transmitancia amplitud, t, puede escribirse como como Al ser ser procesada procesada la película película 11, transmitancia en amplitud, puede escribirse
(5.42) (5.42) donde las constantes constantes a y f3 dependen de las condiciones condiciones de revelado > O. O. donde f3 dependen revelado y ~ > lugar original original e iluminar iluminar con la onda onda El, campo eléctrico eléctrico transmitido Al reposicionar reposicionar la placa placa en su lugar El, el campo transmitido dado por por la placa placa vendrá vendrá dado por •.•..•
.....
--o
.....
-
-
_
_
f3El/e, El = = tEI tEI = = aEI aEI - f3El/e, l'
(5.43) (5.43)
primer término (5.43) corresponde corresponde a una onda que que se propaga dirección que que la onda onda el primer término en (5.43) una onda propaga en la misma misma dirección incidente (El) (E 1) Yy cuya cuya amplitud amplitud está está modificada factor a. analizar el segundo segundo término incidente modificada por por el factor a . Para Para analizar término vamos vamos cuya expresión expresión está está dada dada en (5.40) (5.40), , de la manera siguiente e, cuya man-era siguiente a reescribir reescribir el término término lle, (5.44) (5.44) donde Eü complejo conjudado conjudado de Eo. De esta esta manera interpretación del segundo segundo término E~ es el complejo manera la interpretación término en donde (5.43) es más directa ya que está dado por (5.43) directa que está dado por
22 .'.( . (WI - k:~) k 1'1 E_ r ~) 1 1 X [E --f3f3E E22 + _0_ _0 Eoe' el Lúl O oO 100 r-:
EoE* .(k2 - - l)'" - kl)'"k- l)-r-) EoE* -)] ] l.(k2k- l)·r- + ee-¡(k2+ __ _ _oo ( e (k2-k .. l
10 lO
(5.45) (5.45)
(5.45) vemos que los dos primeros ondas que que se propagan A la luz de la ecuación ecuación (5.45) vemos que primeros términos términos reproducen reproducen ondas propagan dirección de la onda onda incidente incidente y con con amplitudes amplitudes escaladas escaladas en la mangitud en la dirección mangitud f3. f3. Ahora Ahora bien, bien, los dos últimos términos términos en la ecuación ecuación (5.45) (5.45) proporcionan ondas que que vienen dadas por últimos proporcionan dos ondas vienen dadas por f3 lE 1 12E i(wl-k?¡:), f3 lE 2E oe i(WI -k?¡:) A -10 O -- 1, O oe t,
l - k2 ).¡:]¡. -LI 2)'/']¡. -~IEoI A WI-l-k(2k EoI2 2 EEooAWI-(2k 10
(5.46) (5.46) (5.47) (5.47)
onda dada (5.46) es una escalada en amplitud onda E2 que que se propaga propaga en el mismo La onda dada por por (5.46) una réplica réplica escalada amplitud de la onda mismo sentido que que la onda onda original original empleada empleada durante durante el registro; este sentido sentido se dice dice que que la onda onda reconstruida sentido registro; en este recon struida onda del "objeto" "objeto". . Mientras que la onda onda dada dada por (5.47) es una onda onda que que se propaga dirección es la onda Mientras que por (5.47) propaga en una una dirección completamente diferente diferente de todas consideradas hasta ahora. completamente todas las consideradas hasta ahora. Resumiendo que en virtud durante la reconstrucción Resumiendo vemos vemos que virtud del proceso proceso de registro registro y de procesado, procesado, durante reconstrucción se producen varias ondas: la particularidad fenómeno es que que iluminando iluminando la película sólo una de las producen varias ondas: particularidad del fenómeno película con sólo ondas empleadas empleadas en la fase de registro, otra onda onda que que se empleó. empleó. ondas registro, se reproduce reproduce la otra anterior ya procesa~a iluminada con la onda onda Ef = = Eü/( WI+kl·¡:). Esta La película película anterior procesa~a y reposicionada reposicionada es iluminada E~ei(WI+kl'¡:). Esta onda es la onda onda conjugada cómo es/son es/son la/s la/s onda/s onda/s transmitida/s onda conjugada de E l. Analizar Analizar cómo transmitida/s por por la película. película. I1 Se dice dice entonces entonces que 11 que se ha registrado regi strado un holograma holograma de de amplitud. alllplitud.
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo 5/ 5/ Aplicaciones interferencias Capítulo Apl icaciones de las interferencias
e la
analizamos que antes antes las ondas ondas transmitidas que Si anali zamos de la misma misma manera manera que transmitidas por por la película, película, veremos veremos que aparecen ondas ondas que que se propagan dirección que que la onda onda incidente otras dos dos ondas ondas dadas dadas por aparecen propagan en la misma mi sma dirección incidente y otras por i -~IE 12 2E ei(wt+k2';:)¡ -~ 10 IE o E o (wt+k2·;:li ,
.41) gida d es. a/s
.42)
itido .43)
189
a
10
1
a
(5.48) (5.48)
,
EoA
- ~ Ea Eol22 EaA
wt-(kz-2kil·;: wt-(kz-2kil· ;: Jz. (5.49) (5.49) 10 En este este caso dada por (5.48) que que es una escalada en amplitud amplitud de la onda onda caso la onda onda de interés interés es la dada por (5.48) una réplica réplica escalada original empleada empleada en el registro que se propaga sentido contrario contrario a aquella. aquella. En este este sentido sentido original registro pero pero que propaga en sentido se dice dice que que se ha reconstruido reconstruido la onda onda conjugada conjugada del del objeto. objeto. De De nuevo nuevo destacar destacar que que en el proceso proceso de reconstrucción sólo se ha empleado empleado una onda. reconstrucción sólo una onda. -
~
1
1
1
Jz.
elimina la placa por otra esté expuesta. Consideramos ahora ahora la situación situación en Se elimina placa y se reemplaza reemplaza por otra que que no esté expuesta. Consideramos la que sustituyen por fuentes de ondas que las ondas ondas planas planas se sustituyen por dos dos fuentes ondas esféricas: esféricas: una una de ellas ellas está está colocada colocada en (O, (O, -y], (O, -Y2, con respecto sistema de ejes ejes situado situado en la propia - YI , -Z]) - ZI) Y Y la otra otra en (O, -Y2, -Z2) - Z2) con respecto a un sistema propia placa. Como en el caso caso anterioremente anterioremente considerado, considerado, la frecuencia frecuencia de las, ondas es la misma. las. ondas misma. Las placa. Como distancias Y y] I e Y2 son son mucho que las dimensiones dimensiones de la placa. expresiones de los distancias mucho mayores mayores que placa. Escribir Escribir las expresiones los campos eléctricos eléctricos de ambas ambas ondas ondas y determinar determinar la irradiancia sobre la placa. que la relación campos irradiancia sobre placa. Suponer Suponer que relación amplitudes de los campos eléctricos eléctricos de ambas ambas ondas ondas es 1 : 10 como como en el caso caso anteriormente anteriormente de amplitudes los campos considerado . considerado. En este caso caso la onda dada por En este onda E] E 1 viene viene dada por
nda os
EE1] (r (r , t) t) = Ea Ea ei(wt-krilíi ei(wt - krilíi 1, l.
(5.50) (5.50)
r] rl
mientras por mientras que que la onda onda E2 E2 vendrá vendrá dada dada por
EE2,2(r, t)t) =
.44) o en
.45)
Ea (WI--krkr 2) 2l íi Eo eii (wt
lOr2 lOr2
(5.51) (5.51)
2, 2,
donde k k = Ik21 Ik21 Ik]1 l según según las condiciones condiciones consideradas consideradas y r] son los donde Ikl r l YY ri r2 son los módulos módulos de los vectores vectores como origen origen de coordenadas coordenadas uno situado situado en el plano que contiene contiene la película, de posición. posición. Si tomamos tomamos como plano que película,
JJ
JJ
yi
2 + Y¡ 2 + entonces r] x Y¡ + (Z (z + Z])2 x (z + Z2)2. cuenta que que las entonces rl = x2 Z 1) 2 YY r: r2 = x2 + (Z Z2)2. Si tenemos tenemos en cuenta coordenadas Y y] I e Y2 son son mayores considerar la siguiente siguiente coordenadas mayores que que las coordenadas coordenadas x e yy en la placa, placa, podemos podemos considerar aproximación ]2 aproximac ión 12
agan dos
(5.52) (5.52)
.46) (5.53) (5 .53) .47) La irradiancia dada por irradiancia vendrá vendrá dada por smo uida ción n se e las
sta
E6 EÓ
1 ex: ex 2 - 7 r] r¡
E6 EaEa EÓ 7 + 2 EaEa --22--(u] +-- ( u l A A
100r2 100r2"
lOr]r2 10 rl r2
A A
(5.54) (5.54)
U2) cos [k (r] l - r2)]· . U2) [k (r r2)]·
En este este caso caso particular adquiere una formaa simplificada simplificada dadas condiciones particular el término término interferencial interferencial adquiere una form dadas las condiciones que se produce en las que produce la interferencia. interferencia. En particular particular es fácil demostrar demostrar que que este este término término está está dado dado por por 2 2 22n n Z] Z2 ZI y]I -Y2+-- Y Y2+- A [[ 2y] 2Y2 A 2YI 2Y2
2
+ + xx2
+ z2z2 (~(~ 2
y] I Y
~) + (~ (~ _ Z2) Z2) zz]]
_ ~) Y2
y] I Y
.
Y2
12Hemos visto Óptica geométrica. 12Hemos visto en en el el Tema Tema 3 que que esto esto corresponde corresponde justamente justamente a la la aproximación aproximación paraxial paraxial de de la Óptica geométrica.
http://carlos2524.jimdo.com/
(5.55) (5.55)
190 Óptica Óptica física A partir partir de (5.55) producido consta (5.55) vemos vemos que el diagrama diagrama interferenci interferencialal producido consta de un término término lineal lineal en la fase, un término término cuadrático cuadrático y dos dos términos términos de fase fase constantes constantes (fase (fase global global que que no altera altera la estructura estructura fase, del diagrama por ejemplo, tiene el experimento diagrama interferencial). interferencial). Así Así por ejemplo, si YI Y¡ = Y2 = YO YO se tiene experimento de Young cuya cuya interfranja, por interfranja, IIn¡, vendrá dada dada por n l , vendrá YO YO 1111 =A--. Inl =A---. Z¡ + Z2 Z2 ZI
(5.56) (5.56)
La importancia importancia del término término cuadrático cuadrático de fase la veremos veremos más más adelante. adelante. Una vez expuesta expuesta y procesada adecuadamente la película reposiciona en su lugar lugar original. original. Se coloca coloca U na vez procesada adecuadamente película se reposiciona fuente de ondas ondas esféricas esféricas de la misma misma frec frecuencia que la empleada empleada en la etapa etapa de registro registro situada situada una fuente uencia que (O, Y3 Y3,, Z3) (ver Figura Figura 5. 5.16). Determinar la forma forma de las ondas ondas reconstruidas reconstruidas en (O, Z3 ) (ver 16). Determinar
....E, --------------~~-------------+y --------------~~-------------+y 11,'
@ X x ®
1111 -1 I~
Figura 5.16 procesada. En 5.16 Situación Situación espacial espacial de la fuente fuente de ondas ondas que ilumina ilumina la placa procesada. En disco ntinua se han señalado procedentes de las fuentes continua señalado las ondas ondas procedentes fuentes que se emplearon emplearon en la etapa de grabación. grabación.
E3 viene por En este este caso caso la onda onda E3 viene dada dada por
E3e;, E3(r, t) t)
=
i (úJ l-kr 3)U3, Eo Eo e ei(WI-kr3)Ü3, r3
(5.57) (5.57)
j
2 + Y~ donde Y~ + (z - Z3)2. Z3)2 . Si consideramos, donde r3 = xx2 consideramos, como como en el caso caso anterior, anterior, que la distancia distancia Y3 es mucho película entonces podemos hacer mucho mayor mayor que que las las dimensiones dimensiones de la película entonces podemos hacer la aproximación aproximación
(5.58) (5.58) De esta reproducidas por por la película película tendremos propagan De esta manera manera al considerar considerar las las ondas ondas reproducidas tendremos términos términos que que se propagan en por en la dirección dirección de la onda onda incidente incidente escalados escalados en amplitud amplitud y otros otros términos términos de interés interés dados dados por ii(WI-kr3+;¡') ~ 2 f3 (~ I . u2) ~ )IE 12E --10 ;OUI U¡ ·U2 I EoI O Eoe oe (úJl-kr 3 +
(5.59) (5.59)
y
f3 (~(~
UI ---- - - u)
10
,.
(5.60) (5.60)
En este por este caso caso la onda onda de interés interés es la dada dada por por (5.59) (5.59) cuya cuya fase fase viene viene dada dada por
_.!: 1/ '
2 ~~ 2 )IE 12E ~ ) IE O (úJl- kr 3-
2 k [x
+ Z2 2
(~ YI
_ ~ _ ~)] Y2 Y3
+k
http://carlos2524.jimdo.com/
(~ YI
_ Z2 Y2
+ Z3) Y3
z.
(5.61 )
Capítulo de las Capítulo 5/ 5/ Aplicaciones Aplicaciones de las interferencias interferencias n la
191
Pantalla Pantalla de de observación
tura cuya
4==•.
.56)
~' ~ --
Z
--z$ z, ....--
--- ---
@ X @x - zm.,~
--
~~.------------------------~----~y
ea da
-z.
0=30 0=30 cm
Figura 5.17 que solapan solapan 5.17 Diagrama Diagrama del experimento experimento propuesto. propuesto. Se Se ha sombreado sombreado la región región en la que ambos ambos haces haces de de radiación radiación. .
Nótese que que el término término de fase fase cuadrático cuadrático conesponde corresponde al de una onda que que procede punto cuya Nótese una onda procede de un punto cuya coordenada y' y' viene viene dada dada por por coordenada
yl )/'
(5.62) (5.62)
y¡ )/1
)/2 Y2
)/3 Y3
ecuación (5.62) puede reescribirse reescribirse como como La ecuación (5.62) puede
1
1
1
1
1
Y3 )/3
yl y'
yYI ¡
Y2 )/2
f" f"
-+-=---+ - =- - disa de
(5.63) (5.63)
recuerda la forma forma de la rel relación conjuganción entre entre un objeto objeto y su imagen imagen que que recuerda ación de conjuganción que se obtiene obtiene en óptica óptica geométrica en la aproximación aproximación paraxial. paraxial. En particular particular vemos que si Y3 )/3 = = 00 reconsgeométrica vemos que 00 entonces entonces la onda onda reconstruida va al foco de la "lente" "lente" holográfica holográfica que que hemos hemos construido. construido. Análogamente Análogamente puede truida puede determinarse determinarse la coordenada z' de la onda onda reconstruida reconstruida empleando empleando el término término de fase fase lineal. lineal. coordenada Zl
.57) INTERFERENCIAS EN LA RETINA RETINA INTERFERENCIAS '3
es
5.5. .58)
Una onda onda plana plana monocromática monocromática incide incide sobre sobre la cara cara plana plana de un biprisma biprisma de Fresnel Una Fresnel tal como como se indica indica Figura 5.17. 5.17. El ángulo ángulo del biprisma biprisma es de 4° y su índice índice de refracción refracción es n = en la Figura = 1.5. Considerar Considerar que que longitud de onda onda de la radiación radiación incidente incidente es de A A = = 500 500 nm y que la onda onda incidente mente la longitud incidente está está lineal linealmente polarizada perpendicular perpendicular al plano plano del dibujo. dibujo. polarizada
agan Resolución Resolución Escribir la expresión expresión de las ondas ondas refractadas refractadas por por cada cada parte parte del biprisma. biprisma. Escribir onda incidente vibra en el eje X y su expresión expresión viene viene dada dada por por La onda incidente vibra ill c = = E Ox.ei(ú)t.ei(wt-~ ~ y) y) Einc x .
(5.64) (5.64)
Teniendo en cuenta cuenta la ley de Snell Snell en cambas cambas caras caras del prisma prisma superior, superior, así Teniendo así como como los coeficientes coeficientes de Fresnel correspondientes correspondientes [t [t(O) t(I)], onda emergente emergente vendrá dada por por (O) y t(1)], la onda vendrá dada Fresnel .61) (5.65) (5.65)
http://carlos2524.jimdo.com/
192
Óptica física física Óptica
2;:
donde kl kl = (O, (O, cos f3, (x, y, donde f3 , - sen f3) f3) es el vector vector de propagación propagación y ¡:¡: = (x, y, z) es es el vector vector de de posición. posición. 0 0 Nótese que f3 = a a'' - a ~ ~ (n (n - l)a l)« = 2 ,, donde Nótese que donde a' a ' es es el ángulo ángulo de refracción. refracción. Análogamente Análogamente la onda onda procedente de la parte parte inferior inferior del biprisma biprisma viene procedente viene dada dada por por (5.66) (5.66)
2;:
donde k2 k2 (O,, cos f3, donde (O f3 , + sen f3) f3) es el vector vector de propagación. propagación. Así Así pues, pues, las ondas ondas planas planas emergentes emergentes ambas partes partes del biprisma biprisma producirán producirán interferencias de ambas inteIferencias en la región región del espacio espacio en la que que se produzca produzca solapamiento de ambos ambos haces haces de radiación. radiación. Esta región de solapamiento solapamiento depende solapamiento Esta región depende de la distancia distancia a la que coloquemos coloquemos la pantalla pantalla (aunque (aunque no explícitamente), que explícitamente), del tamaño tamaño de cada cada parte parte del biprisma, biprisma, a, a , y del ángulo de desviación desviación del prisma prisma f3. Nótese que tCI) ) = 1.2015. 1.2015. Asimismo f3 . Nótese que t(O) t (O) = 0.8 0.8 YY t(l Asimismo es preciso preciso notar notar ángulo haz de radiación radiación incidente incidente un haz que al ser el haz haz plano plano los haces haces emergentes emergentes serán serán planos planos 13 por por lo que que virtualmente provienen provienen del infinito: infinito: véase virtualmente véase la Figura Figura 5.17 5.17 en la que que se muestra muestra la región región en en la cual cual se producen interferencias interferencias 14. 14. producen sitúa una una pantalla pantalla a una una distancia distancia D = = 30 cm Se sitúa cm del del biprisma. biprisma. Calcular Calcular la distribución distribución de irradiancia irradiancia pantalla yel yel valor valor de la intelfranja. interfranja. Indicar en la pantalla Indicar el número número total total de franjas franjas brillantes brillantes que que se observarán. observarán. irradiancia que que se observa siguiente manera manera La distribución distribución de irradiancia observa en la pantalla pantalla se describre describre de la siguiente CEO ( (O) (1 (1))2 _ CEO ) )2 2 . . 1pant-T Eox,paJaZ>Zmaxyz
CEO ( (O) (1 (1))2 CEO )) 2
t
T
rr
t
2 EOx Eox
(2
8) , cuando + 2 cos 8) cuando
::S Z ::S ::S Zma x, - Zmax Znwx ::S Zmax,
(5.67) (5.67)
2;:
donde 8 = (k2 (k2 -- kl) kl) .. = 2 sen(f3) sen(f3)z.z. Nótese fase entre entre ambas ambas ondas sólo donde Nótese que que la diferencia diferencia de fase ondas sólo cuestión sobre pantalla, de manera manera que que se tendrá tendrá interferencia interferencia depende depende de la coordenada coordenada ZZ del punto punto en cuestión sobre la pantalla, constructiva en la región región de solapamiento solapamiento de ambas constructiva ambas ondas ondas cuando cuando 8 = Zm.n 2111Jr,, lo cual conduce conduce a que que la posición de los máximos máximos de inteIferencia interferencia venga posición venga dada dada por por la condición condición zl1I zm
.
=
AA ---m ---111, 2 sen sen f3 '
(5.68) (5.68)
m donde Iz [z'" Zl1lax· De esta esta manera manera se concluye interfranja es constante+ = donde II ::S Zl1la x· De concluye que que la interfranja constante 15 y de valor valor In/ I nl = 2s;n 2 s:n fJfJ = 7.16 ¡.Lm. Para Para estimar estimar el número número de franjas 7.16 franjas brillantes brillantes o máximos máximos de interferencia interferencia observables observables en la pantalla situada situada a D D = 30 cm, cm, hemos hemos de calcular pantalla calcul ar Zmax Zmax = 2 - D tan f3 = 0.9524 0.9524 cm. cm. Por Por tanto, tanto , el número número franjas brillantes brillantes será será N N = 22Zmax/ figura se saca saca que 1.047 de franjas z nwx / In/ In l ~~ 2660. 2660. De De la figura que z, Zs = D tan f3 = -Z¡ - Z¡ = 1.047 cm.
sustituye la fuente radiación colimada colimada por Se sustituye fuente de radiación por una una fuente fuente puntual puntual que que emite emite radiación radiación cuya cuya longitud longitud onda es A A = 520 520 nm que que dista dista do do = 60 mm de onda mm del del biprisma. biprisma. Describir Describir qué qué se observará observará en la pantalla pantalla situada a 90 cm cm del biprisma. biprisma. En En el caso situada caso de que que se observen observen interferencias interferencias determinar determinar la interfranja. interfranja. Mediante un sencillo sencillo trazado trazado de rayos rayos podemos Mediante podemos comprobar comprobar que que cada cada parte parte del biprisma biprisma proporciona proporciona una imagen imagen virtual virtual que, que, en el caso caso de que distancia de la fuente fuente S al biprisma sea lo suficientemente suficientemente una que la distancia biprisma sea grande, podemos podemos considerar considerar que que está que la fuente 5.18 se muestra grande, está en el mismo mismo plano plano que fuente real. real. En la Figura Figura 5.18 muestra el trazado de rayos rayos por ambas partes partes del biprisma es. Contrazado por ambas biprisma mostrando mostrando la localización localización de las imágenes imágenes virtual virtuales. Considerando pues aproximación paraxial paraxial podemos entre ambas ambas fuentes fuentes virtuales siderando pues la aproximación podemos determinar determinar la distancia distancia entre virtuales como como S{S~ 2dotan(f3) = 4.1905mm, S {S~ ~ ~ 2do tan(f3) = 4.1905 mm,
(5.69) (5.69)
donde f3 = = (n (n-l)a. Consideremos un punto (x, O, z) (tomando - l )a . Consideremos punto PP de la pantalla pantalla de coordenadas coordenadas (x, (tomando el origen origen donde propia pantalla): pantalla): a este punto punto ll llegará en la propia egará radiación radiación procedente procedente de las fuentes fuentes virtuales virtuales S { y S~. S~ . Así Así pues pues 13Esto cierto si se ignoran ignoran los efectos efectos de di fracción por 13 Esto es cierto difracción por los bordes bordes del del prisma, pri sma, lo cual cual es una un a buena buena aproximación. aprox imación. 14Nótese la similitud similitud con con el Problema Problema 1 del del Tema Tema 4. 4. 14Nótese 15Nótese que que la in interfranja independiente de 15Nótese terfranja es independiente de D con con tal tal de de que que ambos ambos haces haces de radiación radi ación solapen. solapen.
http://carlos2524.jimdo.com/
193
Capítulo Capítulo 5/ 5/ Aplicaciones Aplicaciones de las las interferencias interferencias n.
da
la situación puede asimilarse Young. En estas situación puede asimilarse al conocido conocido experimento experimento de Young. estas condiciones condiciones la diferencia diferencia de viene dada dada por fase en el punto punto P viene por 2][ Sr S~z
2][
op = - A
6) es ea la el ar ue se
(r¡ - r2)
(5.70) (5.70)
~- -
A
DI '
donde donde DI D' = do + d¡ di = 960 960 mm. Dado Dado que que la diferencia diferencia de fase sólo sólo depende depende de la coordenada coordenada z, el diagrama por franjas franjas paralelas paralelas al eje X que que están diagrama interferencial interferencial observado observado está está constituido constituido por están equiespaciadas. equiespaciadas. De este este modo modo la interfranja interfranja será será IlIt Int
= AD//S(S~ A D '/ SrS~
(5 .71) (5.71)
0.1191 0.1191 mm.
Pantalla Pantalla de de observación
~z
~z
y
7) lo ia la
+-____d~o____~~.4-----------d,d~,________--.
5.18 Trazado Trazado de de rayos iluminar el biprisma de Fresnel Fresnel con con una fuente puntual. Se ha Figura 5.18 rayos al iluminar biprisma de una fuente puntual. Se señalado S~. señalado la localización localización de de las fuentes fuentes virtuales virtuales S; S~ y S;.
8)
Se coloca una lente cuya focal imagen biprisma. Determinar coloca una lente cuya imagen es de ff' I = 135 mm rnm a 900 900 mm mm del biprisma. Determinar la posición proporciona esta posición de las imágenes imágenes reales reales que que proporciona esta lente lente de la fuente fuente de radiación. radiación. Es bien bien conocido formará de las conocido que que la lente lente formará las dos fuentes fuentes virtuales virtuales S{ y S~, dos imágenes imágenes que que en posición de las imágenes hemos de tener relación: este reales. Para este caso caso son reales. Para calcular calcular la posición imágenes hemos tener en cuenta cuenta la relación: =..!. ~ Como s = -960 -960 mm mm se obtiene obtiene que s I,== 157.09 157.09 mm. Así mismo mismo teniendo teniendo en cuenta cuenta que ~s ¡ + f, = )11,.,. Como mm. Así ,s aumento lateral lateral está está dado dado por I,B1 = 1~ 1 = 0.1636, 0.1636, las imágenes imágenes reales reales estarán estarán separadas separadas una distancia el aumento por 1,8 una distancia 1
1 ~
1
0.6855 mm. Sisi S,2 = 0.6855
nes
9)
en es
En la situación plano focal situación anterior anterior se coloca coloca un ojo ojo de un observador observador en el plano focal de la lente. lente. Describir Describir qué observará en la retina retina del sujeto. sujeto. Si asimilamos asimilamos el ojo del observador observador como dioptrio de radio radio se observará como un dioptrio rs refracción para para esa rs = = 5.2 5.2 mm mm y que el índice índice de refracción esa longitud longitud de onda onda es de l.334. l.334. Determinar Determinar la interfranja que que se produce produce en la retina observador que que está está situada situada a 22 mm dioptrio. interfranja retina del observador mm del vértice vértice del dioptrio. Hemos tener en cuenta resultados del apartado mostramos que nos proproHemos de tener cuenta los los resultados apartado anterior anterior donde donde mostramos que la lente lente nos porcionaba dos imágenes reales de la fuente biprisma. Estos haces de luz se refractarán refractarán porcionaba imágenes reales fuente S que que ilumina ilumina el biprisma. Estos haces a través través del ojo del observador proporcionarán dos nuevas nuevas imágenes, también reales, reales, de manera manera observador y nos proporcionarán imágenes, también que retina del observador producirán interferencias producidas por por estas últimas. Naturalmente Naturalmente que en la retina observador se producirán interferencias producidas estas últimas. vemos que Young. En Figura 5.19 vemos que estas estas interferencias interferencias obedecen obedecen al esquema esquema del experimento experimento de Young. En la Figura 5.19 se muestra el trazado rayos correspondiente. muestra trazado de rayos correspondiente. Teniendo en cuenta cuenta el invariante invariante de Abbe Abbe para dioptrio-''l6 de radio radio rs rs y que que s = 157.09 157.09 - 135, 135, se Teniendo para el dioptrio llega a que que S~jo 12.18 mm mm y que los aumentos aumentos laterales laterales del dioptrio dioptrio son ,Boja 0.4133. Así Así llega S~j o = 12.18 ,8ojo = ::~;= ::~; = 0.4133. 16Nótese modelo reducido reducido de resolución del problema problema corresponde 16Nótese que que el modelo de ojo ojo adoptado adoptado en la resolución corresponde al al de de un observador observador miope. miope.
http://carlos2524.jimdo.com/
,IP
194
Óptica física la distancia entre las imágenes de las fuentes que proporciona el dioptrio será da mm. Finalmente la expresión de la interfranja en la retina vendrá dada por A(22 - s', ) ¡retina nt
_ -
nd¿
OJO
=
0.0135 mm.
= S) S,?:{3ojo =
0.2833
(5.72)
Nótese que en el cálculo de la interfranja en la retina hemos de considerar el valor de la longitud de onda de la radiación dentro del medio material. do
d, F'
F
dioptrio
H'
S', S
~
S',
S',
Figura 5.19 Trazado de rayos con la lente auxiliar. En la parte inferior, detalle de las fuentes de Young secundarias localizadas dentro del ojo del observador que producen interferencias en la retina.
¿Podría estimarse con este dispositivo la distancia media entre conos? Indicar razonadamente cómo lo haría. Si observamos el hilo conductor del problema veremos que la interfranja del diagrama interferencial observado en la retina del observador viene determinado por la distancia entre imágenes y la distancia entre el plano que contiene estas imágenes y la retina. Estas magnitudes pueden cambiarse sin más que alejar o acercar el biprisma de la fuente de radiación S. De esta manera podremos conseguir hacer que la interfranja cambie. ¿Qué ocurrirá si hacemos que entre dos conos adyacentes haya exactamente una franja oscura? En ese caso el observador verá un fondo en el que no se distinguen los máximos y mínimos de interfencia 17. De esta manera si variamos la interfranja podremos estimar la distancia media entre los conos de un observador real, tomando las debidas precauciones en cuanto a la potencia de la fuente de luz empleada, que por lo general suele ser un láser. Si acoplamos el biprisma a un rotador, podemos realizar el mismo experimento para determinar la distancia media entre receptores en la dirección deseada.
5.6.
Consideremos el prisma de la Figura 5.20 sobre el que incide una onda plana lineal mente polarizada a 450 del eje X. Este prisma está fabricado de un material anisótropo cuyos índices de refracción son nx = 1.658 y nz = 1.486 y su ángulo es 3°. Suponer que la longitud de onda de la radiación incidente es de A = 0.5 I-tm. Resolución En cierto sentido este problema es una continuación del anterior con el añadido de que nos permitirá analizar algunos aspectos que allí no se contemplaron. Escribir la expresión de la onda incidente sobre el prisma así como de la/s onda/s refractada/s por el prisma. 17 Esto es lo que se conoce con el nombre de submuestreo
espacial de la señal.
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo 5/ Aplicaciones de las interferencias Capítulo 5/ Aplicaciones interferencias
2833
195
Dado vendrá dada dada por por Dado que que la onda onda incidente incidente es plana plana su expresión expresión vendrá Einc = = Einc
Eo (COS45°¡ (COS4S0¡ + sen4S0k) sen 45°k)
(5.73) (S.73)
ei(WI-ky). ei(áJl-ky) .
5.72)
onda a
(J.
(J. a
Figura 5.20 sobre un prisma anisótropo. 5.20 Haz Haz de luz linealmente lineal mente polarizado polarizado que incide incide sobre prisma de material material anisótropo. Se ha indicado onda emergente emergente que que vibra vibra en la dirección dirección del eje indicado la dirección dirección de propagación propagación de la onda dibujar la que emerge simplificar el dibujo. dibujo. X y se ha obviado obviado dibujar emerge vibrando vibrando en el plano plano Y Y Z para simplificar
lo
Para hecho de que que hay hay dos, dos, hemos hemos de tener tener en Para computar computar la expresión expresión de las ondas ondas emergentes, emergentes, y el hecho cuenta este modo modo la componente componente del campo campo incidente incidente que que cuenta el hecho hecho de que el material material es anisótropo: anisótropo: de este vibra experimenta dentro dentro del material material un Índice Índice de refracción refracción nxx,, en tanto tanto que que la componente componente vibra en el eje X experimenta campo incidente incidente que que vibra largo del eje Z experimenta.un del campo vibra a lo largo experimenta.un Índice Índice diferente diferente del del anterior, anterior, nzz. . Queda Queda pues claro claro que que del prisma prisma emergen emergen dos ondas ondas cuyos cuyos estados pues estados de polarización polarización son perpendiculares perpendiculares entre entre sí propagan en direcciones direcciones diferentes. diferentes. Así Así para y que se propagan para la la componente componente que que emerge emerge vibrando vibrando en la dirección dirección tendrá que del eje X se tendrá (S.74) (5 .74)
que r que
una
donde k) k) es el vector vector de propagación propagación de la onda onda que Snell, y donde que se obtiene obtiene sin más que que aplicar aplicar la ley de Snell, coeficientes de transmitancia transmitancia en amplitud (~ y tl" son los coeficientes amplitud de la componente componente considerada. considerada. El vector vector de propagación de esta esta onda onda queda queda explícitamente explícitamente como propagación como
t; t;
~~ 2n ( cosexJ A) , k) = =T T k) cosexJ - senexk senexkA)
(S.7S) (5.75)
donde ex = e: e: - aO'. = 1.98 1.98°0 Y donde donde se ha de cumplir cumplir que donde que nnx¿ sen 3° 30 = sen e:. e: . Procediendo análogamente análogamente con la componente componente que Procediendo que vibra vibra en en el eje Z se llega llega a que que k2·¡:) u, E~al = = Eo sen sen4S0tl E~al 45°tl t; eii(wt(wtk-2")u,
da
(S.76) (5.76)
donde u u es un vector vector unitario unitario perpendicular perpendicular a k2 k2 y el vector donde vector de propagación propagación está está dado dado por por Zn ( ~~ 2n =T T k2 = COSe z} - senezk senezkA) .
(S.77) (5.77)
manera similar similar al caso caso anterior anterior se tiene ezz = ee¡ztZ -O'. 1.46°0 YY donde 30°0 De manera tiene e -a = 1.46 donde se ha de cumplir cumplir que que nzz sen 30 Para evitar evitar complicar complicar innecesariamente innecesariamente la resolución supondremos que sen Para resolución supondremos que tt;1t; tl" ~~ tlt} ti == t.,r ·
eer.r.
r el
ti t
=
Tras el prisma prisma se coloca coloca un polarizador polarizador lineal lineal (ideal) (ideal) cuyo ángulo Tras cuyo eje eje de transmisión transmisión está está orientado orientado a un ángulo respecto al eje X. Determinar Determinar la expresión expresión del campo aO'. respecto campo eléctrico eléctrico tras el polarizador. polarizador. Teniendo en cuenta cuenta la orientación orientación del polarizador polarizador se tendrá Teniendo tendrá que que el campo campo emergente emergente viene viene dado dado por por 2.¡:) ) 2';:») E~al ~ ~ (Eot (Eotrr cos450 cos4So cosa cos O'. ei(wt ei(WI-kl';:) Eotrr sen sen4So sen O'. eii(wt-k E~al - k l ·¡:) + Eot 45° sena (wt-k
http://carlos2524.jimdo.com/
u
u aa, ,
(S.78) (5.78)
196
Óptica física física Óptica
uu
donde vector unitario unitario en la dirección dirección del eje de transmisión transmisión del polarizador. polarizador. donde aa es un vector partir de la expresión expresión (S.78) (5.78) vemos vemos que el campo campo emergente emergente del pol polarizador consta de dos dos ondas ondas A partir arizador consta diferentes direcciones direcciones pero pero con con el mismo mismo estado estado de polarización polarización y cuyas cuyas amplitudes amplitudes que se propagan propagan en diferentes relativas dependen dependen del ángulo ángulo a. relativas Tras el polarizador polarizador anterior anterior se coloca coloca una una lente lente cuyo cuyo eje óptico óptico es paralelo paralelo al eje Y que que capta capta la Tras radiación emergente emergente del prisma. prisma. Describir Describir qué qué se observará observará en el plano plano focal focal de la lente lente (J' (f' = = 100 radiación mm). distancia D = = 1.S 1.5 m de la lente lente se coloca coloca una pantalla pantalla describir describir qué se observará observará en la mm). A una distancia pantalla. pantalla. Las ondas dadas dadas en la expresión expresión (S.78) (5.78) convergerán convergerán en diferentes diferentes puntos puntos del plano plano focal, focal, son son de la Las ondas misma frecuencia frecuencia y tienen tienen el mismo mismo estado estado de polarización polarización de manera manera que cabe cabe esperar esperar que que en en la pantalla pantalla misma produzca interferencia interferencia de ambas ambas ondas: ondas: se trata trata de una una variante variante del experimento experimento de Young Young en el que que se produzca fuentes secundarias secundarias se producen producen con con el auxilio auxilio del prisma, prisma, el polarizador polarizador y la lente lente convergente. convergente. las fuentes primer lugar lugar vamos calcular a qué puntos 18 18 del plano plano focal focal de !a !a lente lente van ambas ambas ondas. ondas. El En primer vamos a calcular qué puntos impacto de la onda onda que que entró entró a la lente lente propagándose propagándose en la dirección dirección kl k, est~ en el punto punto del plano plano impacto focal de coordenada coordenada ZI ZI = 100tane IOütan é',x = 3.4S7 3.457 mm, mm, y el impacto impacto de la otra otra onda onda está está localizado localizado en focal Z2 = 100 tan e ezz = 2.S49 2.549 mm. mm. Z2 pantalla se observarán observarán' las interferencias interferencias de las fuentes fuentes anteriormente anteriormente consideradas: consideradas: la irradiancia irradiancia En la pantalla pantalla vendrá vendrá dada dada por por en la pantalla E22 I ex __ ..::0_-::45° cos22 a o cos22 4So f')2 (D - /,)2 EoEo + 2 EoEo (D - f')
(D -
J')
2
+
E22
O
f')2 (D - /,)2
45° sen22 a sen22 4So
cos 4So 45° sen 4So 45° cos a sen a cos :5í5 p, p,
(5.79) (S.79)
~=í~
donde :5í5 pp = = 2~ 2~ ~=í~ Z Z p, p- donde donde Zz pp es la coordenada coordenada Z Z de un punto punto arbitrario arbitrario de la pantalla pantalla de observación. observación. donde Por otro otro lado lado la interfranja interfranja a que dan lugar lugar es extremadamente extremadamente pequeña pequeña Por II nl nI
=
"A(D - 1') f') "A.(D Zl - Z2 ZI Z2
0.7706mm. = 0.7706 mm.
(5.80) (S.80)
gira el eje eje de de transmisión transmisión de polarizador polarizador describir describir cómo cómo se altera, altera, si lo hace, hace, la distribución distribución de Si se gira pantalla. luz en la pantalla. este problema, problema, no es tanto tanto el hecho hecho de que la interfranja interfranja sea reducida reducida sino sino que que el Lo interesante interesante de este contraste del diagrama diagrama interferencial, interferencial, e, que viene viene dado dado por por contraste
e=
II max .. mox -- IInun nun
II
m ax 1 Imox
+ Imill Imil!
I=
sen(2a), sen(2a),
1
(5.81 (S .8 1))
decir, que que el contraste contraste dependa dependa de la orientación orientación del eje de transmisión transmisión del polarizador. polarizador. De hecho hecho el es decir, contraste puede puede variarse variarse entre entre O O y l. l. Lo cual cual no ocurría ocurría en el caso caso analizado analizado en el problema problema anterior anterior en el contraste que el contraste contraste no podía podía alterarse alterarse al emplear emplear el biprisma biprisma isótropo. isótropo. que Dejamos al lector lector como como ejercicio, ejercicio, analizar analizar el caso caso de cómo cómo conseguir conseguir regular regular la distancia distancia entre entre las dos dos Dejamos fuentes reales reales y, por por lo tanto, tanto, cambiar cambiar la interfranja interfranja en la pantalla pantalla de observación, observación, empleando empleando un prisma prisma fuentes delgado anisótropo. anisótropo. delgado
MONOCAPAS y MULTICAPAS
5.7.
'"
~
¡
'$'
¡lli
n,'
«,
i
'
Sobre un medio medio de índice índice N se deposita deposita una una lámina lámina delgada delgada de caras caras plano-paralelas, plano-paralelas, índice índice n yespeyespeSobre d.. sor d vamos a considerar considerar aquí aquí los efectos efectos de difracción por el el prisma, prisma, ni por por la lente, lente, lo que que complicaría complicaría innecesariamente 18No vamos difracción ni por innecesariamente la resolución del problema. problema. resolución
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo Aplicaciones de las interferencias interferencias Capítulo 5 5// Aplicaciones
197
Resolución Resolución as es
Calcular reflexión en las las superficies las reflectancias reflectancias resCalcular los los coeficientes coeficientes de reflexión superficies de separación separación así así como como las pectivas. pectivas. Sabemos propaga en un medio medio material materi al de índice índice n incide Sabemos que que cuando cuando un haz de lu luzz que que se propaga incide en en otro otro medio dielécrico reflejada viene viene determinada medio dielécrico y no absorbente, absorbente, de índice índice ni, la amplitud amplitud de la onda onda reflejada determinada por los coeficientes reflexión de Fresnel: coeficientes de reflexión Fresnel:
e¡ -- n cos el n' cos ei I = n' cos cos ei e¡ + n cos el ' n cos ei e¡ -- n' cos cos el r \. = .. rs = . n cos ei e¡ + n' cos el
(5.82) (5.82)
rto1 la lla ue El
(5.83) (5.83)
En el caso ¡9 de la f
o
~
~ 9)
A· ' :
.
,
..
, 'c'
: 8, "
'no
.~" " B N
O)
e el
1)
el el
Figura 5.21 Lámina Lámina antirreflejante antirreflejante iluminada iluminada por una onda plana. Se han indicado indicado algunas algunas de las ondas reflejadas y transmitidas. transmitidas. ondas reflejadas
n - l1 1+ n '
1- n ri rl--r ¡=-- , - l+n 1 +n'
r2 r:
nn-N -N
= ---, ---, n+N n+N
(5.84) (5.84)
reflexión del medio medio de índice medio de Índice donde donde r¡ rl,, r; r; y r2 r: son son los los coeficientes coeficientes de reflexión índice 1 sobre sobre el medio Índice n n,, del medio de índice medio de índice medio de índice del medio índice n sobre sobre el medio Índice 1 y del medio medio de índice índice n sobre sobre el medio Índice N, respectivamente. Como puede apreciar, valores relativos relativos respectivamente. Como se puede apreciar, r¡ rl < < O, r; > > y el signo signo de r2 r: depende depende de los valores de n y N. También puede calcular reflectancias y transmitancias transmitancias en cada una de las También se puede calcular las las reflectancias cada una las interfases: interfases:
r;
R¡
2
'2
= r¡ = r¡ =
1- n
( l
+n)
2
'
(5.85) (5.85) (5.86) (5.86)
Se ilumina ilumi na el dispositivo normal por por una radiación monocromática monocromática de longitud dispositivo en incidenci incidenciaa normal una radiación longitud de onda onda A. Calcular medio de Índice A. Calcular la intensidad intensidad transmitida transmitida en el medio índice N N.. Vamos a realizar realizar un cálculo vál ida para para cualquier Vamos cálculo detallado detallado de la situación situación descrita, descrita, válida cualquier ángulo ángulo de inciinciello, considérese considérese la Figura dencia. dencia. Para Para ello, Figura 5.21 5.21 donde donde n < < N. Denominaremos Denominaremos r¡ rl,, r; r; y r2 r: a los los coeficientes coeficientes e la
19En la Figura Figura 5.2 para una una mejor mejor visualización visuali zación espacial. 5.211 se ha indicado indicado el caso caso (ji e¡ f. t= O para espacial.
http://carlos2524.jimdo.com/
198
Óptica física Óptica física
de reflexión reflexión aire-capa, respectivamente y ti, aire-capa, capa-aire, capa-aire, y capa-substrato, capa-substrato, respectivamente ti, t; y t2 t: a los coeficientes coeficientes de transmisión respectivos. Obsérvese que rl = y esto se cumple para cualquier ángulo transmisión respectivos. Obsérvese que rl = esto cumple para cualquier ángulo de incidencia. incidencia. Análogamente coeficientes de transmisión incidenciaa normal Análogamente para para los coeficientes transmisión en incidenci normal se tiene tiene
-r;
2 tl--t l--+n' - 1 +n'
,/ 2n --- - t +n' ' 1 - 1 +n
t2 ti
=
2n
(5.87) (5.87)
--o ---o
n+N n+N
Por otra parte, ángulos de incidencia incidencia distintos distintos de cero, cero, se tienen tienen las las siguientes siguientes relaciones conserPor otra parte, para para ángulos relaciones de conservación energía: vación de la energía: 2
= r11 1=
+
n cose; cose; 2 ti' ti' cos eé'¡l
1= =
/2 '2 r] r]
cose]
é¡ '2 + ncos ti cose/ cose'
/2
2
1 = r2
+
N
1 1
COSe3 2
/
cose l
12 .
(5.88) (5.88)
Calcularemos el campo campo total que es más fácil de coinputar computar que que el reflejado, aplicando la Calcularemos total transmitido, transmitido, que más fácil reflejado, y aplicando conservación de la energía, energía, obtendremos obtendremos lo que que buscamos, esto es la reflectancia. conservación buscamos, esto reflectancia. De De la Figura Figura 5.21 se obtiene que que el campo campo total transmitido será la suma suma de las infinitas infinitas ondas ondas que que se transmiten: obtiene transmitido será transmiten: Er
=
E otlt2
'i8 + E otlt2rlr2e
+ E otlt2 (')2 rlr2
e i28
+"',
(5.89) (5.89)
donde 8 es el desfase desfase entre entre dos rayos consecutivos producido producido por diferencia de camino camino óptico óptico exclusiexclusidonde rayos consecutivos por la diferencia vamente, esto es, es, vamente, esto ,4n ,/ / 4n (5.90) (5.90) 8 = k2ndcose] k2ndcose] = --ndcose ndcose l• 1• AA
La suma (5.89) (5.89) se puede como La suma puede poner poner como ET = t2 = E otl otlt2
r2e is + ('r r2 r2 [1 + rl'/lr2e i8
(/
11
)2 e i28
....] . + ...
(5.91) (5.9 1)
La suma entre entre corchetes corchetes representa suma de una geométrica de razón La suma representa la suma una progresión progresión geométrica razón r; r2ei8, por por lo tanto tanto (5.92) (5.92) cuadrado de esta esta amplitud amplitud será será proporcional dirección normal El módulo módulo al cuadrado proporcional a la irradiancia irradiancia en la dirección normal al haz transmitido: transmitido: (5.93) (5.93) Establecer condiciones de reflectancia Calcular los valores valores correspondientes correspondientes de Ir y la Establecer las condiciones reflectancia mínima. mínima. Calcular reflectancia dispositivo. Compararlo Compararlo con con la reflectancia que se tendría Rm del dispositivo. reflectancia Ro que tendría si no 'estuviera estuviera la reflectancia Rm capa de índice n. Calcular Calcular el valor que Rm sea cero. cero. capa índice n. valor de n para para que Rm sea Por otra parte, parte, teniendo cuenta (5.88), (5.88), se obtiene obtiene fácilmente fácilmente que que Por otra teniendo en cuenta
(ti t2)2
=
(1 -
(1 -
r?) (1 - r1) r1) , cos eell (1 - r?) COSe3 N COSe3
(5.94) (5.94)
por que a partir (5.93), la transmitancia por lo que partir de (5.93), transrnitancia valdrá valdrá
N COSe3 IET I2 T=---
cose]
IEol2
(5.95) (5.95)
absorción, la reflectancia Si no hay hay absorción, reflectancia valdrá valdrá (5.96) (5.96) Hemos obtenido una expresión general general para substrato dieléctrico dieléctrico Hemos obtenido una expresión para la transmitancia transmitancia y la reflectancia reflectancia de un substrato índice N N,, recubierto con una índice n y espesor espesor d. recubierto con una monocapa monocapa de índice de Índice
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo 5/ Aplicaciones
de las interferencias
199
En el caso de incidencia normal, se tiene
de cia.
4n
0= k2nd = -nd.
(5.97)
A
La reflectancia será mínima cuando la transmitancia sea máxima. Dado que r; r2 < O, la transmitancia será máxima si coso = -1, (5.98)
.87) ser-
es decir
4n
Tnd 88)
=
(2m + 1) it ; donde m
= 0,1,2,
(5.99)
...
Fijados A y n, esta condición se cumple para espesores dm de la monocapa dados por
o la 1 se
dm =
A
A
4n
2n
-+m-.
(5.100)
La intensidad transmitida y reflejada vienen dadas por .89)
T =
r?)
(1 -
usi-
rD
(1 -
(l
+ r; r2)2
=
1- T
(5.101)
y
.90)
Rm
=
(5.102)
En el caso de que no se hubiese depositado la capa, la reflectanciaRo .91) Ro
=
1- T
lo
Deterrninar el valor de
.92)
n
=
vendría dada por
1 (NN + 1)2
y de d que anulan R", para los valores N
(5.103)
=
1.50 Y A = 0.5890
/-Lm .
Como puede verse/", la reflectancia se anula para n = ..;N. En este caso, la lámina colocada encima del substrato actúa como una lámina antirreflejante. Para los valores numéricos considerados, podemos obtener el espesor y el Índice del material:
haz
n=
.93)
.JT5
= 1.225,
(5.104) d la la
donde m es el orden interferencial. (5.104)
5.8. .94)
=
(0.120
+ 0.240m) /-Lm,
Naturalmente el espesor no es único como se aprecia en la ecuación
Analizar, contabilizando el desfase relativo de las diferentes ondas emergentes, si el dispostivo multicapa de la Figura 5.22 corresponde a una multicapa de alta reflectancia o a una multicapa antirreflejante . Datos: los espesores de las capas son A/4nH YA/4nL, siendo nH > n t.. Suponer incidencia normal (en la figura se representa incidencia oblicua para una mejor visualización) y que nsubs¡ra¡o > nt.. Resolución
.95)
.96) trico
Para analizar si se trata de una multicapa reflectante o antirreflectante, hemos de analizar el estado de fase de los diferentes rayos tras las sucesivas reflexiones y transmisiones. Para analizar el estado de fase hemos de tener en cuenta los posibles cambios de fase en las reflexiones así como la diferencia de camino óptico debida al recorrido en las diferentes capas. En la Figura 5.22 se han numerado los rayos emergentes y vamos a calcular el desfase entre ellos. Recordemos que se trata de incidencia normal por lo que la diferencia de fase será (llamemos 00 a la fase de la onda incidente): 20Esta condición es muy restrictiva desde el punto de vista práctico/tecnológico cumplan estrictamente esta condición.
http://carlos2524.jimdo.com/
puesto que no es fácil obtener materiales que
I1
l' I
200
Óptica física física Óptica r, r,
Yt'i"/~Yt:f'/
n"
....../<~::/ .
•
/ \ \J'//:: \\j . ••
•
\// .....
.::••••••••••••••• :•••• r••••
.
.......
....
.'"
.......:':'
substrato substrato
n,
5.22 Trazado Trazado de rayos rayos que experimentan experimentan sucesivas sucesivas reflexiones Sólo se Figura 5.22 reflexiones en una multicapa. multicapa. Sólo han indicado indicado algunos algunos de los rayos rayos para ilustrar ilustrar el proceso. proceso.
r,: la fase de esta esta onda onda será será o o == 00 + rr; zr; el factorzr (a) r¡: factor 'rr es debido debido a la reflexión reflexión entre entre aire aire y la capa capa de índice I1H. nu . índice esta onda onda será será o o = 00 + (camino (b) rr2: 2: la fase de esta (camino óptico óptico recorrido recorrido dentro dentro de la lámina lámina de índice Índice 11H H)= nH Hespesar capa l. El factor 11 ) = 00 + 2 2: 11 es pesar capa factor 2 se debe debe a que que la recorre recorre dos veces. veces. Por Por lo tanto, tanto, o=oo+n. o=oo+rr.
2:
l.
esta onda onda será será o o = 00 + (camino (c) rrs: 3: la fase de esta (camino óptico óptico recorrido recorrido dentro dentro de la lámina lámina de índice Índice 11 H )+ (camino (camino óptico óptico recorrido recorrido en la ámina ámina de índice capas ¡ + 11 Índice N d d + nrr = 00 + 2 2: 1111H es es pesar pesar capa pesar capa2 capa-i + rr it . El factor factor 2 se debe 2 2: 1111LLes es pesar debe a que que las recorre recorre dos veces. veces. El factor factor nrr se debe debe a la reflexión entre entre la capa capa 2 y la capa capa 3. Por Por lo tanto o = 00 00 + nrr + nrr + nrr = 00 00 + 3n. tanto o 3rr. reflexión Siguiendo un razonamiento razonamiento simjJar similar al anterior anterior se obtiene Siguiendo obtiene que: que: r4:: o o = 00 + 3rr. 3n. (d) r4 o = 00 00 + 5rr. Sit . s: o (e) rrs: o == 00 + 5rr. Stt . (f) rr6: ó: o o = 00 00 + 7rr 7it . (g) rri:7 : o
2:
2:
Tengamos ahora ahora en cuenta cuenta el hecho hecho de que que rl Y r: Tengamos r2 están están en fase, rz r 3 Y r4 están están en fase fase entre entre sí y ambas ambas están desfasadas desfasadas 2rr 2n respecto r, y rri.2. El rayo r7 están respecto a r¡ El rayo r 7 está está desfasado desfasado 2n 2rr respecto respecto a rs Y re. r6· Asimismo Asimismo rs r s Y r6 ró están en fase entre entre sí y ambas ambas están están desfasadas desfasadas 2n respecto a rs están 2rr respecto r 3 Y r4, r 4 , por por lo que que todas todas estas estas ondas ondas están están condiciones de interferencia interferencia constructiva, constructiva, por en condiciones por lo tanto tanto se concluye concluye que que se trata trata de una multicapa multicapa de reflectancia. alta reflectancia.
PROBLEMAS PROPUESTOS PROPUESTOS PROBLEMAS ALGUNAS APLICACIONES APLICACIONES DE INTERÉS ALGUNA~
5.1.
.
Determinar la longitud longitud de coherencia, coherencia, lc, lc, de una Determinar una fuente fuente LED LED que que emite emite en en 650 650 nm con con una una anchura anchura de empleando un dispositivo dispositivo de anillos anillos de Newton 15 nm empleando Newton con con el auxilio auxilio de un calibre calibre plano plano y una una lente lente bicóncava uno de cuyos cuyos radios radios es R¡ R, = = 35 mm. ¿Cuántos serían observables, bicóncava ¿Cuántos anillos anillos serían observables, Nobs? NoIJS ? SOLUCIÓN: S OL UC iÓN:
Ilc ¡lc
28.2 ¡Lm, Nobs = 28.2/Lm, Nobs = 43 43 anillos anillos oscuros. oscuros. II
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo 5/ Aplicaciones
5.2.
de las interferencias
201
Se emplea un haz de luz colimado de radiación monocromática (A = 589.0 nm) para iluminar una lente esférica uno de cuyos radios de curvatura es RI = 3 m. Esta cara esférica de la lente se apoya sobre una superficie plana cuyo Índice de refracción es nc(A) = 1.52. La lente se ha construido empleando un material tal que ni (A) = 1.6. Las franjas de interferencia que se producen en el espacio entre el calibre plano y la cara esférica se observan por reflexión. Determinar de una manera aproximada cuál es el contraste del diagrama de interferencia, c. SOLUCiÓN:
le 5.3.
I
= 0.829.
Se observan por reflexión las franjas correspondientes a los anillos de Newton que se forman al iluminar con un haz colimado una lente plano-convexa de radio RI = 5 metros que se apoya en una lente convexa cuyo radio de curvatura es R2 = 20 metros. Ambas superficies esféricas están en contacto entre sí. (a) Determinar el radio del sexto anillo, rs, teniendo en cuenta que la longitud de onda de la radiación incidente es A = 614 nm. (b) Si se emplea una fuente de luz que emite en A = 589 nm y A = 614 nm, determinar a qué distancia del centro del diagrama interferencial, xo, se tiene una visibilidad nula del diagrama de interferencia.
se
{le
SOLUCIÓN:
I (a) r6 = 4.96
mm. (b) Xo
=
15.54 mm.
I
ce lo,
5.4.
ce
+
En un dispositivo de anillos de Newton, se ilumina una lente plano-convexa con luz de sodio (A = 589.3 nm) en condiciones de incidencia normal. El radio del segundo anillo oscuro mide 0.302 cm y el del anillo 22 mide 0.864 cm. Calcular el radio de curvatura de la superficie convexa. SOLUCiÓN:
la
I R = 69.5 5.5.
cm.
I
En un dispositivo de anillos de Newton, se ilumina una lente plano-cóncava de Índice n con luz de longitud de onda A = 589.3 nm en condiciones de incidencia normal según se indica en la Figura 5.23. El diámetro de apertura de la lente es D y el radio de curvatura de la cara cóncava es R. Encontrar la condición que satisfacen los radios de los anillos oscuros en función de D, R y A.
as /"6
án {le
o
CALIBRE
e Figura 5.23 Geometría
SOLUCiÓN:
para la observación
de anillos de Newton en una lente plano-cóncava.
r--------------------------------------------------------------,
La distancia desde el centro al anillo oscuro de orden m es
http://carlos2524.jimdo.com/
X~,
=
Pl- -
mAR.
202
Óptica física Óptica física
5.6.
La estrella Betelguese encuentra en la constelación constelación de Orión Orión a una distancia de 1.2 x 101515 km de la La estrella Betelguese se encuentra una distancia Tierra. Para determinar el diámetro diámetro de la estrella estelar como como el de la Figura Tierra. Para determinar estrella se utiliza utiliza un interferómetro interferómetro estelar Figura 5.24. La distancia distancia le le entre entre los espejos espejos exteriores exteriores se puede con precisión. que proviene 5.24. puede variar variar con precisión. La La luz luz que proviene de la estrella, se refleja espejos y posteriormente dos rendijas separadas una estrella, refleja en los espejos posteriormente pasa pasa a través través de dos rendijas de Young Young separadas una distancia a y una lente. El diagrama interferencial interferencial se observa observa en el plano focal de la lente. distancia una lente. El diagrama plano focal lente. Partiendo Partiendo de una distanciaa le le muy aumentando paulatinamente paulatinamente hasta = 308 308 cm. cm. En este momento una distanci muy pequeña pequeña se va aumentando hasta le = En este momento las franjas desaparecen. desaparecen. Calcular Calcular el diámetro estrella.a. franjas diámetro de la estrell
1 1 l.l.
5.24 Montaje Montaje del interferómetro interferómetro estelar estelar de Michelson Michelson. . Figura 5.24
SOLUCiÓN: SOLUCiÓN:
II D = 2.7 2.7 x
108 km.
I
MONOCAPAS V MULTICAPAS MULTICAPAS MONOCAPAS
5.7.
diseñado una focal J' t' = 100 mm empleando empleando un material que para Se ha diseñado una lente lente biconvexa biconvexa de focal material tal que para una radiación 0.555 ¡tm ¡tm se tiene que nL n t: (A) (A) = 1.55. Con Con objeto objeto de reducir radiación de A = 0.555 tiene que reducir en lo posible posible las pérdidas pérdidas por eligen dos dos materiales que nI (A) = 1.62 YY /12 (A) (A) = = 1.48, con los que que por reflexión reflexión se eligen materiales transparentes transparentes tales tales que n i (A) = 1.62 1.48, con depositar sobre sobre las dos caras caras de la lente lente monocapas espesor mínimo que, en incidencia incidencia se van a depositar las dos monocapas de espesor mínimo para para que, normal, qué material emplearse para cara de la normal , la reflectancia reflectancia sea mínima. mínima. Determinar Determinar qué material ha de emplearse para la primera primera cara lente y cuál cuál para segunda, así como como los espesores espesores de ambas ambas capas. capas. lente para la segunda, SOLUCiÓN: SOLUCiÓN:
El material con Índice segunda cara cara con con material con Índice /11 /11 para para la segunda primera cara con con e2 ei = = 93.75 93.75 nm. primera cara
5.8.
el l = = e
85.65 nm y el material 85.65 material con Índice Índice
/12
para para la
con una capa de material dieléctrico cuyo cuyo Índice Se recubre recubre un vidrio vidrio de Índice Índice /1 /1 = = 1.5 con una capa material dieléctrico Índice en el visible visible es = 2.5. este modo desea aumentar aumentar la reflectancia Calcular el mínimo espesor e de la N = 2.5. De De este modo se desea reflectancia del vidrio. vidrio. Calcular mínimo espesor capa de dieléctrico dieléctrico y la reflectancia obtiene para 550 nm. capa refl ectanci a R que que se obtiene para A = 550 SOLUCIÓN: SOLUC iÓN:
le le
= 0.055 0.055 ¡tm. ¡tm.
R R
= 0.38. 0.38. II
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo Capítulo 5/ 5/ Aplicaciones Aplicaciones de las interferencias interferencias
la fa la
na de as
5.9.
203
Sobre substrato de silicio dos capas, capas, una una de ZnS ZnS (n II = 2.2) 2.2) Y la otra otra Sobre un substrato silicio de índice Índice n = 3.3 se depositan depositan dos M g F2 (/12 = 1.35), 1.35), por por este orden, para para producir producir una una reflectancia mínima para para A = 1.8 ¡Lm. este orden, reflectancia mínima fLm. Calcular Calcular de M espesor de las láminas láminas y la reflectancia reflectancia en incidencia incidencia normal, normal, R. el espesor SOLUCiÓN: SOLU CiÓN: el II el
4.Jc... = 0.33 0.33 fLm, ¡Lm, e2 e2 = = 4~ ni
A A -2 -2n2 n2
= 0.40 0.40 ¡Lm, fLm,
R
= 0.008. 0.008.
na as
ue ia la
a
!I 1
es la
!I, ti
I http://carlos2524.jimdo.com/
http://carlos2524.jimdo.com/
# #
CAPITULO CAPITULO ,,
DIFRACCION DIFRACCION
El concepto interferencia desarrollado desarrollado en los los dos Temas Temas anteriores anteriores involucra involucra la superposición superposición de un concepto de interferencia número una de las cuales cuales tiene tiene su amplitud número finito de ondas, ondas, cada cada una amplitud y fase fase definidas. definidas. Cuando Cuando un haz de luz interacciona una apertura, perturbación resultante resultante se debe interacciona con con un objeto objeto tal como como una apertura, la perturbación debe a las contribuciones contribuciones infinitesimales partes del frente una fase y amplitud infinitesimales de las diferentes diferentes partes frente de onda onda cada cada una con con una amplitud infinitesimal infinitesimal correspondiente. teoría escalar manera de calcular punto correspondiente. La teoría escalar de la difracción difracción establece establece la manera calcular el campo campo en un punto pi tras difractarse por una una apertura. p' difractarse por apertura. En efecto, efecto, considérese considérese la Figura Figura 6.1. La apertura apertura difractante difractante se encuentra plano X punto fuente plano Xo XoZo punto de observac ión, P', pi, encuentra en el plano X Z. Z. El punto fuente se encuentra encuentra en el plano Zo y el punto observación, l . en el plano plano XpZ XpZ El campo resultante en el punto pi se puede poner como . campo resultante punto P' puede poner camal pp z
z,
APERTURA APERTURA
/
/
/
p/ Y, Y,
R
1
··· 0···· x
x,
Figura 6.1 Difracción través de una apertura: punto P se difractan Difracción a través apertura: las ondas ondas que emanan emanan del punto difractan en la apertura yen plano XpZ XpZ liza la distribución resultante. apertura y en el plano analiza distribución de campo campo eléctrico eléctrico resultante. p p se ana
E(pl) E(P')
.1
,wt = Ce ce'?'
A A
T(x, T(x, z)E(x, z)E(x, z)
ee-ik(R+R') - ik(R+R') RR' dA, RR' dA,
(6.1) (6.1)
(x, z) es la transmitancia transmitancia en amplitud proporcional a la amplitud donde donde T T(x, amplitud de la apertura, apertura, C es un factor factor proporcional amplitud de la onda incidente que, en general, onda incidente general, no es necesario necesario especificar, especificar, y A es el área área de la apertura. apertura. Las Las distancias distancias
I 11
1M. Born Wolf, op. cit. Born and and E. Wolf, cit.
http://carlos2524.jimdo.com/
206
Óptica Óptica física física R Y R'' se pueden las coordenadas coordenadas espaciales como: pueden expresar expresar en función función de las espaciales como:
(6.2) (6.2) (6.3) (6.3)
Si D Y xO)2 y también» también » (z - ZO)2, ZO )2 , se puede puede llevar llevar a cabo cabo un desarrollo desarrollo en potencias potencias de Y D Dpp » (x (x - xO)2 . las expresiones expresiones anteriores anteriores de forma forma que que R ~ D [(x(X - xO)2 xO)2 R~ D + + [ 2D 2D
(z -- ZO)2] (z ZO )2 ]
+ -2-D+ 2D
(6.4) (6.4)
',
y
R
~~ D
Pp -
p
(Zp_Z)2]Z)2 ] (Xp _X )2 (Zp"':""":"'_--'--+ [(Xp_X)2 + -'---'-----'-2D 2 2D 2D'D ' p
(6.S) (6.S)
p
con lo que la expresión expresión (6.1 (6.1)) queda queda E(x p , zp ) =
el
f¡
T(x, z )E(x, z )e
( x 2+z2\) - ik ~
2 D"
.
~ xx +zz e D " (p ,,) d x d z,
(6.6) (6.6)
apertura
donde en e C II hemos hemos englobado englobado factores factores de fase globales. abertura, globales. Si llamamos llamamos a al tamaño tamaño máximo máximo de la abertura, donde 2 . entonces el valor valor del término fase como N. En caso de que « 1, entonces término cuadrático cuadrático de fase como mucho mucho vale vale >..' A'bb p == N. En el caso que N « p
.t t,• (x2 +z2) (x2+z2)
entonces podemos podemos realizar realizar la siguiente siguiente aproximación: aproximación: e-lk--m¡;que la expresión expresión (6.6) (6.6) entonces e -l k~ ~ ~ 1, de manera manera que queda como como queda E(x E(xp,p , Zp) zp )
= el Cl
f ¡1
T(x, , z)E(x, T(x z )E(x, z)e z )e
}}
g (xxp +zz p) (xxp+zZp) dxdz d x d z.. p
(6.7) (6.7)
apertura apertur a
Como puede puede verse, verse, en esta esta aproximación, aproximación, denominada denominada aproximación campo difractado difractado Como aproximación de Fraunhofer, Fraunhofer, el campo por la abertura abertura es proporcional proporcional a la transformada función T(x, T (x, z) E (x, z). por transformada de Fourier Fourier de la función E(x, z) . A N se le denomina número número de Fresnel. denomina Fresnel.
6.1. 6.1.
PIFRACCIÓN POR POR ABERTURAS DE GEOMETRíA SENCILLA PIFRACCIÓN integral (6.7) (6.7) se puede analíticamente en algunos algunos casos son la La integral puede calcular calcular analíticamente casos de interés. interés. Los Los más más usuales usuales son apertura rectangular rectangular y la apertura apertura apertura circular. circular. Daremos Daremos los los resultados resultados dejando dejando el desarrollo desarrollo matemático matemático para para ejercicios. En el caso altura muy los ejercicios. caso de una una rendija rendij a de anchura anchura b y altura muy grande grande comparada comparada con b, la irradiancia irradiancia punto P P de una una pantalla coordenadas (D, (D, e) e) respecto centro de la rendija, en un punto pantalla de coordenadas respecto al centro rendija, viene viene dada, dada, en la región de Fraunhofer, Fraunhofer, por región por (6.8) (6 .8)
.."
~
donde fJ fJestá está definido definido como como donde
r. , , ,
tt lrbb
" ,, ~
,
sen e e sen
fJ==-fJ == - - AA
(6.9) (6.9)
geometría involucrada involucrada se muestra 6.2a. En estas estas condiciones condiciones se tiene que si D La geometría muestra en la Figura Figura 6.2a. tiene que D > > x, x, entonces sen sen e e ~~ tan ee == 75' Por expresión de fJ dado por ecuación (6.9) (6.9) puede aproximarse entonces Por lo tanto, tanto, la expresión fJ dado por la ecuación puede aproximarse por por tt bx lrbx
15.
I.l ~I ~,'l't f\ I ~
.
fJ~ fJ ~ AD' AD'
siendo x la distancia distancia del punto considerado al eje X siendo punto considerado X..
http://carlos2524.jimdo.com/
(6.10) (6 .10)
Capítulo 6/ 6/ Difracción Difracción Capítulo
207
De esta manera se obtendrán esta manera obtendrán mínimos mínimos de difracción difracción cuando cuando 1(13 / (f3) ) = O. O. Esto Esto ocurre ocurre en aquellas aquellas posiciones en las que 13 sea un múltiplo entero de n: 13 = mn, con m = ± 1 ± 2, ... posiciones que f3 múltiplo entero n : f3 m it , con 2, ... , ya que en el caso caso 111 = = O se tiene tiene un máximo máximo denominado denominado máximo máximo central central de difracción. difraccián. de m Teniendo posición del mínimo Teniendo en cuenta cuenta la condición condición de mínimo mínimo y la ecuación ecuación (6.10) (6.10) la posición mínimo de orden orden m 111 está dada por está dada por J...D
6.2) (6.3)
(6.11) (6.11)
s de x
(a) (a)
(b) (b) I(x) I(x)
(6.4) 1.0.-------,¡:----, 1.0.-------¡;¡-- - - ,
0.8
e:80.6 0.6 ~
~ 004 04
(6.S)
00.2 .2 0.0 '---...<'::::>.L_----"~_ _J 0.0 t....--....<-::::...L._----'"~~-J oo 27t 2" kb/2 kb/2 sen(0) sen(())
plano de observación
Figura 6.2 6.2 (a (a)) Difracción Difracción a través través de de una una rendija rendija. . (b) Perfil de de irradiancia irradiancia en en la pantalla. pantalla.
6.6) ura,
DIFRACCiÓN DIFRACCiÓN POR POR UNA UNA ABERTURA ABERTURA CIRCULAR CIRCULAR
6.6) 6.7) tado se le
1
Si la apertura apertura tiene tiene forma forma circular, circular, el diagrama diagrama de difracción difracción que se observa observa consiste consiste en una serie serie de franjas integral de difracción puede expresar franjas circulares circulares concéntricas. concéntricas. En este este caso, caso, la integral difracción se puede expresar en términos términos de funciones de Bessel. Bessel. las funciones El fenómeno rendija, de hecho fenómeno es similar similar al de una rendija, hecho podríamos podríamos considerar considerar la abertura abertura circular circular como como una colección punto dado colección de rendijas rendijas de longitud longitud variable variable que rellenan rellenan toda toda la abertura. abertura. En un punto dado de la pantalla, la irradiancia pantalla, irradiancia resultante resultante se obtiene obtiene mediante mediante la suma suma coherente coherente de las contribuciones contribuciones de cada cada una de las rendijas Esto da lugar rendijas elementales. elementales. Esto lugar a que que la expresión expresión de la irradiancia irradiancia sea ligeramente ligeramente distinta distinta de la expresión expresión (6.8) (6.8) y viene viene dada dada por por Ice) I(e)
= =
2'!J1 1(ka sen
e))2 ,
/(0) (2'iJ (kaSene))2, 1(0) ( ka sen é' ka
e
(6.12) (6.12)
donde radio de la abertura donde a es el radio abertura circular, circular, e e la posición posición angular angular del punto punto de observación observación en la pantalla pantalla !J ¡I representa respecto respecto al centro centro de la abertura abertura y k = 2n 2n / J...A es el número número de ondas. ondas. En la expresión expresión (6.12) (6.12) ''iJ representa la función figura de Airy. Airy. función de Bessel Bessel de primera primera cIase clase de orden orden 1. La expresión expresión (6.12) (6. I2) recibe recibe el nombre nombre de figura En la Figura abertura circular junto con Figura 6.3 se muestra muestra la distribución distribución de irradiancia irradiancia producida producida por por una una abertura circular junto la gráfica primer mínimo gráfica de la función función (6.12). (6.12). El primer mínimo de irradiancia irradiancia (primer (primer anillo anillo oscuro) oscuro) se obtiene obtiene cuando cuando ka sen sen ee 6.8)
.10)
(6.13) (6.13)
Si la distancia distancia desde desde la abertura abertura a la pantalla pantalla de observación observación es considerablemente considerablemente mayor mayor que el el radio radio del primer anillo podemos aproximar por el ángulo. primer anillo oscuro, oscuro, podemos aproximar en la ecuación ecuación (6.13) (6.13) el seno seno por ángulo. De esta esta manera manera el ángulo subtendido subtendido por anillo está está dado dado por ángulo por el primer primer anillo por
6.9) x, arse
= 3.83. 3.83.
3.83 J...A 3.83 ee~-~ - = n 2a
n
1
2a
A. J...
1.22-, , 1.22Da Da
(6.14) (6.14)
donde Da = = 2a es el diámetro diámetro de la abertura abertura circular. circular. El radio radio del primer primer anillo anillo será donde será rl r¡
AD J...D = 1.22-, , = 1.22-
Da Da
donde D es la distancia distancia entre entre la apertura apertura y la pantalla pantalla de observación. observación. donde
http://carlos2524.jimdo.com/
(6.15) (6.15)
208 Óptica física (a)
(b)
1(0)/1(0) 1.0 0.8 0.6
B
0.4 0.2 0.0 3.83 ka sen(0)
Figura 6.3 (a) Diagrama de difracción de una abertura a lo largo la línea AB de la figura de Airy .
•
)
-,.'
•
•
circular. (b) Representación
de la intensidad
..
La difracción tiene consecuencias importantes en el proceso de la formación de la imagen y, en particular, impone ciertos límites a la "capacidad" de resolución espacial de los sistemas ópticos. En efecto, la imagen de dos puntos espacialmente separados en el plano objeto y que emiten radiación incoherentemente entre sí, estará representada en el plano imagen, no por otros dos puntos, tal como predice la óptica geométrica en ausencia de aberraciones, sino por dos figuras de Airy debido a la difracción por la pupila del sistema . Si la separación angular en el plano objeto de los dos puntos va disminuyendo, llegará un momento en el que las correspondientes figuras de difracción solaparán espacialmente en el plano imagen, haciendo imposible su reconocimiento. Esto impone un límite a la resolución espacial de cualquier sistema óptico. Existen diferentes criterios para determinar este Iímite/. Nosotros emplearemos el criterio de Rayleigh, según el cual el ángulo mínimo de resolución, emilt> tiene lugar cuando el máximo de la figura de Airy de uno de los puntos coincide con el primer mínimo de la figura de Airy del otro punto (véase Figura 6.4).
(a)
s,
s, (b)
r---.
(e)
Figura 6.4 (a) Esquema
(c) Imágenes
de la resolución espacial de un sistema en el límite de resolución espacial.
De acuerdo con lo anterior, el ángulo
emill
óptico. (b) Imágenes
resueltas
y
vendrá dado por (6.14).
emin
A = 1.22-.
Da
2Yéase el libro de E. Hetch op. cit .• págs. 472-474.
http://carlos2524.jimdo.com/
(6.16)
Capítulo 6/ 6/ Difracción Difracción Capítulo 6.3. 6.3.
ad
DI FRACCiÓN EN ESTRUCTURAS ESTRUCTURAS PERiÓDICAS PERiÓDICAS DIFRACCiÓN
"
función transmitancia transmitancia T(x T(x, , z) función periódica, periódica, la integral difracción en aproximación aproximación Si la función z) es una función integral de difracción Fraunhofer se puede expresar en términos términos de la integral integral de uno de los elementos elementos de la estructura, estructura, de Fraunhofer puede expresar modulado término de fase. El El caso caso más importante importante de estructura constituyen las las redes modulado por por un término estructura periódica periódica lo constituyen difracción de amplitud Estos dispositivos dispositivos tienen tienen multitud multitud de aplicaciones, aplicaciones, destacando destacando su de difracción amplitud y/o de fase. Estos papel como elementos elementos para análisis espectral. espectral. papel como para el análisis Analizaremos brevemente brevemente el caso caso de una red de amplitud. amplitud. Es una una placa placa de material material transparente transparente en el Analizaremos grabado, bien por medios medios mecánicos por medios ópticos, un determinado determinado número número de líneas líneas que se han grabado, bien por mecánicos o por medios ópticos, anchura, equiespaciadas equiespaciadas una distancia d. Cuando Cuando un haz haz de luz de longitud longitud de onda onda A ilumina ilumina la de igual igual anchura, una distancia red, tal y como como se muestra muestra en la Figura Figura 6.5, 6.5, la irradiancia irradiancia en un punto pantalla caracterizado caracterizado por red, punto de la pantalla por un ángulo observación, e, e, está está dada dada por ángu lo de observación, por 1= lo lo [[Sen(nbSene/A)]2 1= Sen(nbSen e / A) ] 2 [[Sen(nNdsene/A)]2, Sen(nNdsene / A) ] 2 , nbsene/A sen(ndsene/A) nbsene/A sen(ndsene/A)
en
do eo. gh,
de ).
209 209
(6.17) (6.17)
siendo b la anchura anchura de las rendijas rendijas individuales, individuales, N el número número total de rendijas rendijas y E = O°. O". siendo A efectos efectos teóricos teóricos la red de difracción di fracción se puede puede tratar tratar como como si se dispusiese dispusiese de N N fuentes fuentes de luz, luz, una por cada cada rendija. rendija. El primer término de la ecuación ecuación (6.17) (6.17) es la irradiancia irradiancia resultante resultante de la difracc difracción primer término ión por producida cada una las N rendijas, rendijas, mientras mientras que que el segundo segundo término término se debe debe a la interferencia interferencia de la producida por por cada una de las cada una ellas con todas todas las demás. demás. La irradiancia irradiancia total total observada observada es el producto producto de luz procedente procedente de cada una de ellas ambas contribuciones. contribuciones. Si el número número de rendijas rendijas es grande grande y el haz haz de luz incide incide con un ángulo ángulo E sobre sobre la ambas red, lo que que observaremos observaremos son una una serie serie de franjas franjas brillantes brillantes que corresponden corresponden a los máximos máximos principales principales red, diagrama de interferencia, vienen dados dados por por la condición condición del diagrama intederencia, que vienen
d(sen d(senee - sen E) e ) = mA, InA,
m In = O, ± ±I,1, ±2 ±2 ... ... ,
(6.18) (6.18)
donde el valor valor de In determina determina el orden orden de difracción difracción 3'. . En el caso caso de incidencia incidencia normal, normal, donde ecuación (6.18) (6.18) se reduce reduce a ecuación dsene=mA, A, dsene=m
1n=0,±1,±2 ... m=0 , ±I , ±2 ...
E
0 , la = 00°,
(6.19) (6.19)
Red Red Pantalla Pantalla
o o
orden 1 orden
O O orden ord en O
orden -1 -1 orden
6.5 Diagrama esquemático del haz haz incidente incidente y los haces haces difractados difractados por red de de difracción. difracción. Figura 6.5 Diagrama esquemático por la red
y
6)
Cuando sobre sobre la red de difracción difracción incide incide un haz de luz policromático compuesto por diversas longitulongitupolicromático compuesto por diversas Cuando onda, para para cada cada valor valor de m In (orden (orden de difracción) difracción) se obtiene obtiene un máximo máximo de difracción. difracción. La ecuación ecuación des de onda, (6.18) nos indica orden de difracción difracción, , cada cada longitud longitud de onda onda presentará presentará su máximo máximo de di(6.18) indica que, que, fijado el orden fracción en un ángulo ángulo diferente, diferente, esto esto es, e e = e(A). e(A). De este este modo modo empleando empleando la red podemos podemos separar separar fracción espacialmente las las longitudes longitudes de onda onda que componen componen el espectro espectro de la radiación radiación que incide incide sobre sobre ella. espacialmente debería hablarse hablarse de orden orden in/elferencial interferencial puesto que proviene proviene de la superposición superposición coherente coherente de la lu luzz procedente 33Propiamente Propiamente debería puesto que procedente cada rendija. rendija. de cada
http://carlos2524.jimdo.com/
210 210 Óptica Óptica física física 6.4.
TEORíA TEORíA DIFRACCIONA~ DIFRACCIONA~ DE DE LA LA IMAGEN IM~GEN~ ~
~ su~
,~:q '¡::~,
d~¡, ,~[1,
La óptica formación de la imagen imagen mediante modelo de rayos. rayos . Según óptica geométrica geométrica permite permite explicar explicar la formación mediante el modelo Según este modelo, punto objeto haz de rayos rayos emergente emergente este modelo, de cada cada punto objeto salen salen rayos rayos en todas todas las direcciones. direcciones. De cada cada haz de cada sistema formará escalada del objeto. objeto. Sin cada punto punto del objeto, objeto, el sistema formará una imagen imagen que será será una una réplica réplica escalada embargo, pasar por por los bordes bordes de las embargo, sabemos sabemos que la luz es una una onda onda electromagnética electromagnética y que que se difracta difracta al pasar distribución de luz. Si la luz que que proviene proviene del del objeto lentes forma que lentes de tal forma que la imagen imagen de un punto punto es una distribución objeto tiene plano imagen imagen tiene suficiente suficiente coherencia coherencia espacial, espacial, las ondas ondas difractadas difractadas por por el mismo mismo interferirán interferirán en el plano dando puede quedar quedar alterada alterada dando lugar lugar a una imagen imagen que ya no será será una una réplica réplica exacta exacta del objeto objeto e incluso incluso puede considerablemente. El primero mejorar las considerablemente. primero en estudiar estudiar estas estas cuestiones cuestiones fue E. E. Abbe Abbe cuando cuando intentaba intentaba mejorar imágenes proporcionadas proporcionadas por por los microscopios. microscopios. En efecto, efecto, los objetos objetos observados observados en un microscopio imágenes microscopio pueden considerarse como objetos objetos que que radian radian son de pequeñas por lo que pequeñas dimensiones dimensiones por que al ser iluminados iluminados pueden considerarse como ondas grandemente ondas con gran coherencia coherencia espacial. espacial. Abbe Abbe observó observó que la naturaleza naturaleza de la imagen imagen dependía dependía grandemente de cómo que, en algunos algunos cómo se iluminara iluminara el objeto, objeto, de los desalineamientos desalineamientos de los diferentes diferentes elementos elementos y que, casos, Así, actuando actuando casos, podía podía alterarse alterarse de una una manera manera inexplicable inexplicable desde desde un punto punto de vista vista geométrico. geométrico. Así, sobre con extrema extrema nitidez nitidez los sobre el plano plano focal focal del objetivo objetivo con rendijas rendijas u otros otros filtros filtros se podían podían observar observar con bordes como la posibilidad posibilidad bordes de objetos, objetos, escasamente escasamente visibles visibles de otra otra manera. manera. Estas Estas y otras otras observaciones, observaciones, como de visualizar explicar el proceso proceso de visual izar objetos objetos transparentes transparentes sin necesidad necesidad de tintarlos, tintarlos, le llevó llevó a intentar intentar explicar formación que hemos formación de la imagen imagen teniendo teniendo en cuenta cuenta el hecho hecho de que, que, debido debido a esa esa coherencia coherencia a la que hemos aludido, tipo de interferencia interferencia que explicara aludido, se debía debía producir producir algún algún tipo explicara tales tales observaciones. observaciones. Brevemente Abbe. Para Para ello ello consiconsiBrevemente describiremos describiremos a continuación continuación las ideas ideas centrales centrales de la teoría teoría de Abbe. deraremos que es iluminada iluminada deraremos el sistema sistema de la Figura Figura 6.6. 6.6. Como Como objeto objeto tomaremos tomaremos una red de difracción difracción que
1,.: ~"
t (
plano plano objeto objeto
plan planoo
plano plano focal focal
imagen imagen
+~~ ,,
\ \ \ \ \\\ ""\\\
~
{ ( ( ((1 f((((I
·ij}}H»IIIIII·HI-lmH_if~mlllll(ü({IH .H}}H»IIIIII·HI-lmH_{f~mIIIIIW({I+ ...... ::. (((Idti ".
1
: : :::!/, ///(/ ,( ..
14
4
(( (1
,
1: ~I_: _~; ~
f'
~;
f'
_s''s
----~I
Figura Abbe de la formación imagen con iluminación iluminación coherente. Figu ra 6.6 Teoría de Abbe formac ión de la imagen coherente.
por onda plana plana paralela eje óptico. óptico. Como Como sabemos, sabemos, la red difracta difracta la onda onda incidente paralela al eje incidente en diferentes diferentes por una onda ondas planas de diferentes amplitudes y con orientaciones dadas por la ecuación de la red ondas pl anas diferentes amplitudes con orientaciones dadas por ecuación red
psen8 InA , psen8m111 == InA,
. ,. ",, ,,
~: ~'
:
r. ~ ,
:'
"
,
:
donde p es el paso paso de la red, red, 8 es el ángulo ángulo que que forma forma el haz difractado difractado con la normal donde normal a la red, In In es orden de difracción difracción y A A es la longitud longitud de onda onda de la radiación radiación empleada. empleada. Los Los tres haces haces difractados difractados el orden representan en la Figura Figura 6.6 corresponden corresponden al los órdenes órdenes O, O, 11 y -1 respectivamente, respectivamente, pero que se representan pero la red produce, en principio, principio, infinitos infinitos órdenes órdenes aunque aunque de amplitudes amplitudes cada cada vez más pequeñas. pequeñas. Abbe produce, Abbe consideró consideró el proceso de formación formación de la imagen imagen en dos fases. fases. En primer primer lugar lugar cada cada onda onda plana plana que proceso que emerge emerge del objeto objeto convergerá en un punt0 punto"4 del plano imagen: el orden orden O lo hará hará en el foco, foco, mientras mientras que convergerá plano focal imagen: que los demás demás lo harán en puntos puntos del plano plano focal focal situados situados a una una distancia distancia del foco dada dada por por harán
~
,t: :
Ym
r
11,
,
:it:
,,1 '
I!
I
::
(6.20) (6.20)
donde donde
= .tI r tan 8
811/, 111 ,
(6.21) (6.21)
.tI t' es la focal focal imagen imagen de la lente.
4En realidad, realidad, si se tiene tiene en en cuenta cuenta el tamaño tamaño finito de la red y de la lente, lente, en en eell plano plano focal imagen no se tendrá 4En foc al imagen tendrá un punto pun to sino sino difracción que, que, en ausencia aberraciones, cOITesponderá corresponderá aproximadamente aproximadamente a la mancha mancha de Airy. una fifigura gura de difracción ausencia de aberraciones, Airy.
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo 6/ Capítulo 6/ Difracción Difracción
ún nte Sin las eto en da las pio ian nte
211
Así serie de fuentes fuentes coherentes coherentes de radiación radiación que que envían envían luz Así pues, pues, en el plano plano focal focal imagen imagen tenemos tenemos una una serie hacia Young, sólo que ahora ahora hay más de dos fuentes, fuentes , hacia la pantalla pantalla tal como como ocurría ocurría en una experiencia experiencia de Young, sólo que tantas fuentes secundarias interferirán en la pantalla pantalla tantas como como capte capte la apertura apertura de la lente. lente. Estas Estas fuentes secundarias de luz interferirán produciendo la imagen imagen del objeto. objeto. Dejamos cálculos analíticos-'. produciendo Dejamos los cálculos analíticos 5 . Una cosas y que que nos va a sugerir idea del Una idea idea importante importante que ha surgido surgido de esta esta manera manera de ver las cosas sugerir la idea filtrado una serie fuentes secundarias que representan representan filtrado óptico óptico es la siguiente: siguiente: en el plano plano focal focal aparecen aparecen una serie de fuentes secundarias que los diferentes este caso caso una una red), esto esto es, el el espectro espectro del del objeto. objeto . diferentes órdenes órdenes de difracción difracción del objeto objeto (en este Aquí radica radica una de las consecuenc consecuencias importantes de la teoría AquÍ ias más importantes teoría de Abbe Abbe y es que, que, si alteramos alteramos la composición del espectro espectro en el plano plano focal focal,, modificaremos modificaremos la estructura composición estructura de la imagen. imagen. Una Una manera manera drástica plano focal, focal , todos todos los órdenes órdenes menos menos el central central drástica de darse darse cuenta cuenta de ello ello consiste consiste en cortar, cortar, en el plano mediante haz divergente divergente hacia hacia la pantalla pantalla y por por lo mediante un diafragma diafragma iris: en este este caso caso sólo sólo tendremos tendremos un haz tanto, estructura del objeto. objeto. El orden orden O O contribuye contribuye a la tanto, se obtendrá obtendrá una iluminación iluminación uniforme uniforme pero pero no la estructura irradiancia objeto. irradiancia pero pero no lleva lleva información información de la estructura estructura del objeto. Supongamos que tapamos el orden central y dejamos pasar sólo orden + 1I Y-l. Y -1. En este este caso, caso, en Supongamos tapamos orden central dejamos pasar sólo el orden cuya separación la pantalla pantalla tendremos tendremos un sistema sistema de franjas franjas de Young Young cuya separación vale 'A.D "AD
ss=-, = -,
(6.22) (6.22)
YI YI
donde -1 en el plano plano focal focal imagen imagen y D == Si Si donde )' YI1 es la separación separación entre entre el orden orden + 1 Y el orden orden -1 distancia distancia entre entre el plano plano imagen imagen y el plano plano focal focal imagen. imagen.
-
flJ' es la
(a)
(b)
• tes 6.7 Ejemplo Ejemplo de filtrado filtrado en amplitud. amplitud. De izquierda se tiene: Figura 6.7 izquierda a derecha derecha se tiene: imagen imagen original, original, filtro filtro empleado e imagen imagen final obtenida. obtenida. (a) filtro filtro de de pasa-baja empleado pasa-baja y (b) filtro filtro de de pasa-alta. pasa-alta .
Este resultado resultado no concuerda concuerda con el previsto por la teoría sistema de franjas Este previsto por teoría geométrica. geométrica. Se obtiene obtiene un sistema franjas cuya separación separación no es consistente consistente con la prevista prevista por aumento lateral sistema: no representa, por cuya por el aumento lateral del sistema: representa, por tanto, al objeto. objeto. De hecho, hecho, para para obtener obtener una réplica lo tanto, réplica del objeto objeto deberemos deberemos hacer hacer interferir interferir todas todas las fuentes secundarias. secundarias. Pero esto no es posible posible debido debido al tamaño suerte, los órdenes fuentes Pero esto tamaño finito finito de la lente. lente. Por Por suerte, órdenes difracción elevados elevados llevan llevan muy poca poca energía energía y contribuyen de difracción contribuyen muy muy poco poco a la formación formación de la imagen. imagen. ello, si la lente lente deja deja pasar pasar un cierto cierto número número de órdenes, órdenes, se obtendrá obtendrá una una réplica réplica del objeto objeto aunque aunque Por ello, resolución menor. Dicho Dicho en otros otros términos, términos, el espectro con una resolución espectro de Fourier Fourier lleva lleva la información información de la estructura del objeto: objeto: el orden orden O lleva información sobre la irradiancia, sobre las diferentes estructura información sobre irradiancia, y los demás demás sobre diferentes estructuras. Cuanto Cuanto más alto es el orden orden de difracción, difracción, la onda estructuras. onda provendrá provendrá de zonas zonas muy muy pequeñas pequeñas del objeto, de mucho mucho detalle. detalle. Nótese Nótese que que el tamaño tamaño finito objeto, finito de la lente lente limita limita los órdenes órdenes altos, altos, por por lo que que en la imagen perderemos perderemos detalles detalles finos objeto. Así Así pues, imagen finos del objeto. pues, si alteramos alteramos el espectro espectro de difracción difracción del objeto objeto ino
5Ellector interesado puede consultar consultar en en la obra obra clásica clásica de SEllector interesado los puede de J. W. W. Goodman, Goodman, op. cit.
http://carlos2524.jimdo.com/
i,
212
Óptica física en el plano de Fourier, bien en amplitud o en fase o en ambos, se modificará la distribución de irradiancia en el plano imagen. Como ejemplo en la Figura 6.7 se muestran las consecuencias de llevar un filtrado óptico de amplitud sobre el espectro de dos fotografías. Todo lo dicho lleva a considerar un objeto como una superposición de redes de amplitud y/o fase de diferente paso y orientación tal como se muestra en la Figura 6.8. Actuando sobre su espectro modificaremos la información que procede del objeto debido a determinadas redes que lo componen.
Figura 6.8 Un objeto puede considerarse
como formado por redes de diferente paso y orientación.
PROBLEMAS RESUELTOS •
••
6.1.
• Se ilumina una lente con un haz colimado procedente de una fuente monocromática emitiendo en A. = 500 nm. La focal de la lente es F = 126 cm. La distribución de irradiancia en el plano focal es fotografiada y reproducida en la Figura 6.9a con un aumento lateral de [J' = 76. Estimar la forma y el tamaño de la lente.
(a)
(b) I(e)/I(O)
A
B
3.83 0.5
j o
-5
o
ka sine
5
Figura 6.9 Distribución
de irradiancia en el plano focal de la lente considerada iluminada con un haz plano. A la derecha se muestra el perfil de irradiancia, a lo largo de la línea AS y que ha sido normalizado a la unidad, de la función de Airy. El primer mínimo se encuentra en z = ka sen e = 3.83. Resolución
El diagrama de difracción que se muestra en la Figura 6.9a, es la típica distribución de irradiancia de Airy. Corresponde a la difracción en campo lejano producida por una abertura circular. Podemos estimar el diámetro de la misma si conocemos la anchura del máximo central. En la Figura 6.9b se ha representado la variación de la irradiancia a lo largo de la línea A B, por lo que la posición del primer mínimo se obtiene cuando ka sen
e = 3.83,
http://carlos2524.jimdo.com/
(6.23)
Capítulo Capítulo 6 6// Difracción Difracción
213
siendo siendo a el radio radio de la abertura abertura de la lente. lente. La posición posición angular angular del mínimo mínimo sobre sobre el plano plano focal de la lente lente es tal que que
aneia litud
tan8:::::sen8= tan 8 ::::: sen8 se de ifica-
x
i'' = JI'
(6.24) (6.24)
siendo irradiancia se puede siendo x la semianchura semianchura del máximo. máximo. Así Así pues, pues, la condición condición del primer primer mínimo mínimo de irradiancia puede poner poner como como
2n x --aa- == 3.83. 3.83.
(6.25) (6.25)
fl JI
A A
Xl ~ / 2 mm. Ha De la Figura De Figura 6.9a 6.9a se puede puede estimar estimar que que el el radio radio del máximo máximo central central es de x' ~ 23 23/2 Ha de tenerse tenerse en en cuenta que el valor valor de x que que aparece aparece en la ecuación ecuación (6.25) (6.25) está está relacionado relacionado con con x' mediante el aumento aumento cuenta Xl mediante Al" J A( lateral:: x = ]r. De este este modo modo el diámetro diámetro de la lente lente es 2a = 2 x 1.22 1.22-:;:--.8 5.08 mm. lateral --:;:- .8 = 5.08
'F' .f
ción.
6.2. 6.2.
Estimar la anchura anchura de una una rendija rendija que produce produce el diagrama diagrama de difracción Figura 6.10 6.10 Estimar difracción reproducido reproducido en la Figura con aumento aumento lateral lateral unidad unidad y que que ha sido obtenido obtenido a una distancia distancia D D = 1.80 1.80 m de la rendija. rendija. La luz con hasido procede de un láser láser de He-Ne He-Ne emitiendo emitiendo a una una longitud longitud de onda onda de A ~ ~ 633 run. nm. procede
1(9)/1(0) 1 (9)/1(0)
en les yel
oo -5
oo
5
e
ka/Z sin 9 ka /2 sin
6.10 Distribución Distribución de irradiancia irradiancia en la pantalla pantalla de observación observación producida producida por por una rendija rendija Figura 6.10 iluminada. A la derecha derecha se muestra muestra el perfil perfil de irradiancia, irradiancia, a lo largo largo de la línea AS que ha sido sido iluminada. A B y que normalizado a la unidad, unidad, de la función función senc senc/.2 . normalizado
Resolución Resolución Una rendij rendijaa iluminada iluminada con luz luz monocromática monocromática bajo incidencia normal produce, produce, en una pantall pantallaa alejada, alejada, Una bajo incidencia normal una distribución de irradiancia irradiancia dada dada por por una distribución (6.26) (6.26)
n un
sido 3.83.
ia de timar tado
tiene
Los mínimos de irradiancia irradiancia se obtienen obtienen para para un valor valor de.8 de .8 = = !11n mst donde .8 = = ka ka/2 sen 8, siendo siendo a la Los mínimos donde.8 / 2sen8, anchura de la rendija. rendija. De De esta esta forma, forma, la posición posición angular angular del primer mínimo (teniendo (teniendo en cuenta cuenta que la anchura primer mínimo distanciaa a la pantalla pantalla es muy ~rande ~rande comparada comparada con x) x) viene viene dada dada por por distanci x sen 8 ::::: :::::tan 8::::: D. D' sen tan 8:::::
nuestro caso caso la mitad mitad de la anchura anchura del máximo central, x, orden de 21/2 21/2 mm. mrn. Sustituyendo Sustituyendo x , es del orden En nuestro máximo central, este valor valor en la condición condición de mínimo mínimo se llega que la anchura anchura de la rendija rendija vale este llega a que
DA DA
6.23)
(6.27) (6.27)
a = = -a x
~ ~
108.5 J1.m. 108.5f.1-m.
http://carlos2524.jimdo.com/
(6.28) (6.28)
214 Óptica Óptica física física
6.3.
Se tiene tiene una una fuente puntual que A = 0.5 J-Lm. fuente puntual que emite emite ondas ondas esféricas esféricas de longitud longitud de onda onda A ¡km. Esta Esta fuente fuente está una distancia mm y de focal está colocada colocada a una distancia de 220 220 mm de una una lente lente de diámetro diámetro cP
Lente L1
F
, , , ,,
P, --
-
----
F'
1
, , ,, , ---- -- -------------, --- , , , , , , ,
, ----------, , ,
, ,
r
P',
I I
Figura 6.11 puntual de Se han han 6.11 Esquema Esquema de de la fuente fuente puntual de luz: la lente lente y el diagragma diagragma están están alineados. alineados. Se
indicado algunos ángulos ángulos de de interés interés (ver (ver texto). cado algunos texto) . indi
Resolución 1'1':'"
> ", t I
'"
'f" _.,ii,
Delante Delante de la lente lente y a 120 mm de ella ella se coloca coloca un diafragma diafragma circular circular de diámetro diámetro cP
tol¡'
(6.29) (6.29)
vista del resultado resultado obtenido A la vista obtenido en (6,29) (6.29) concluimos concluimos que que el elemento elemento que que es diafragma diafragma de campo campo es la lente D. Así Así mismo mismo la lente pupila de entrada pupila de salida. lente ya que que eL < < e eD. lente es pupila entrada y pupila salida. plano imagen En estas estas condiciones, condiciones, en el plano imagen se tendrá tendrá una distribución distribución de irradiancia irradiancia en torno torno al punto punto imagen paraxial dada por la distribución imagen paraxial dada por distribución de Airy, suponiendo suponiendo que la lente lente carece carece de aberraciones. aberraciones. La anchura máximo de difracción por anchura angular angular del máximo difracción vendrá vendrá dada dada por
el =
AA
1.221.22
=
--5 5 1.22 x 10 10 rad, l.22
(6.30) (6.30)
donde tamaño de la pupila pupila de salida. manera la anchura lineal del primer primer máximo máximo de donde cpps
,
1.22--s¡, qq,¡ = 1. 22 - - s ¡,
cpps
(6.31 )
donde s~ se determina relación de conjugación imagen dada por donde s~ determina a partir partir de la relación conjugación entre entre objeto objeto e imagen dada por 17. n
17.' n'
17.' n'
s¡ s¡
s;s;
, f' ,f'
-+- = -. --+=-. En el caso mm. caso que que nos ocupa ocupa se tiene tiene que que q q¡¡ = = 7.89 7.89 x 10- 44 mm.
http://carlos2524.jimdo.com/
(6.32) (6.32)
Capítulo 6/ 6/ Difracción Difracción Capítulo
te en
215
aleja la fuente fuente puntual distancia 520 mm mm de la lente. lente. Hallar forma y tamaño tamaño angular angular de Se aleja puntual hasta hasta una una distancia Hallar la forma distribución de irradiancia irradiancia que que se observa observa en en el plano imagen. la distribución plano imagen. caso que que nos ocupa, ocupa, resulta que la situación situación cambia cambia con respecto apartado anterior: anterior: en efecto, efecto, En el caso resulta que respecto al apartado computamos los ángulos ángulos que que subtienden subtienden los elementos elementos con respecto fuente tendrá que que si computamos respecto a la fue nte de luz se tendrá
(6.33)
= tan~ ¡
8D
[ rpD ] 21s2 1
=
1.79° .
En este este caso caso se tiene tiene que el diafragma diafragma limita limita más más que la lente, lente, de modo modo que es el diafragma diafragma el que hace hace diafragma de apertura apertura y pupila entrada. La La pupila salida estará estará situada situada en s~s de diafragma pupila de entrada. pupila de salida s~s = 85.7 mm. 0.714, vemos que que el tamaño = II ;;~:;~ II = ~~'6 ~~'6 = 0.7 14, vemos tamaño de la
Determinando los aumentos aumentos laterales laterales del sistema, sistema, f3 Determinando pupila salida será será CP~s pupila de salida rp~s dada por dada por
han
f3CPPE = = f3rpPE
ell 8/1
anchura angular angular del máximo máximo de difracción difracción vendrá vendrá 17.85 mm. La anchura
=
AA
1.22l.22-
rpps CPPS
5 rad, 3.42 x 101O~5
=
(6.34)
y por tanto la anchura anchura lineal lineal del máximo máximo de difracción difracción será será por lo tanto m q2
de
=
AA
II
1.22-s2 2 1.22-s
rpps CPPS
=
~3 -3
2.213 x 10 2.2l3
(6.35)
mm,
..
donde s~ determina empleando empleando la relación conjugación (6.32) para actual del objeto. objeto. donde s~ se determina relación de conjugación para la posición posición actual
del ulos e
c.
Comparar el brillo brillo relativo entre las imágenes que que se han obtenido en los dos casos casos anteriores. anteriores. Comparar relativo entre las imágenes han obtenido Para estimar estimar el brillo entre las imágenes, imágenes, debemos debemos de estimar estimar en primer lugar el flujo de brillo relativo relativo entre primer lugar Para energía que capta capta el sistema sistema óptico óptico en ambas ambas situaciones: situaciones: para ello es importante importante saber saber qué elemento elemento energía para ello hace entrada (PE), (PE), pues este limitará limitará la cantidad cantidad de energía energía que que captamos captamos para formar la hace de pupila pupila de entrada pues este para formar imagen . imagen. caso vimos que la PE era era la lente, lente, por que siguiendo siguiendo los pasos Problema 12 del En el primer primer caso vimos que por lo que pasos del Problema Tema 2 vemos vemos que que el flujo que que capta capta el sistema sistema óptico óptico podrá como Tema podrá ponerse ponerse como
.29)
es la
=
CEO
2
TEor.l TEor2l' ¡,
(6.36)
donde r21 ángulo sólido sólido que subtiende sub tiende la PE con respecto respecto al objeto. objeto. Podemos Podemos aproximar aproximar este este ángulo ángulo donde r.l ¡ es el ángulo =0.0406. r.l ¡ ~ ~ AI('ea)~E Ar(ea)~E = 0.0406. aar21 SI segundo caso caso tendremos tendremos que el flujo vendrá vendrá limitado limitado por diafragma que que hace PE: En el segundo por el diafragma hace de PE:
unto . La
.30)
=
CEO
2
-E0r22, TEor.l2, 2'
(6.37)
n ~ ~ AreapE AreapE - O 00307 d on d e "0°2 0°2 ~ )2 ~ (s2(s2~120 ¡ 20)2 --. . . Vemos entonces entonces que en el segundo segundo caso caso el flujo de energía energía que capta capta la lente lente es menor menor que en el Vemos primero. Por otro otro lado lado si consideramos consideramos que que la transmitancia transmitancia de la lente lente en ambos ambos casos casos va a tomar primero. Por tomar valores valores similares, podemos concluir que que la imagen imagen en el primer caso va a ser más brillante segundo. El similares, podemos concluir primer caso brillante que en el segundo. cociente entre entre los ángulos ángulos sólidos sólidos nos dirá dirá en qué proporción: imagen en el primer caso es unas trece cociente proporción: la imagen primer caso unas trece veces brillante que veces más brillante que en el segundo segundo caso. caso.
o de
6.4.
ilumina con con un haz luz monocromático (A = 500 nm) linealmente polarizado cuyo azimut Se ilumina haz de luz monocromático (A nm) linealmente polarizado cuyo azimut es de respecto al eje X, el dispositivo dispositivo de doble doble rendija rendija de la Figura Figura 6.12. Delante Delante de la rendija rendija R¡ se ha 45° respecto ha colocado un polarizador (p¡) cuyo cuyo eje de transmisión Delante de la rendija rendija R2 colocado polarizador (p¡) transmisión es paralelo paralelo al eje X. Delante R2 se ha colocado un polarizador (P2) cuyo cuyo eje de transmisión transmisión es perpendicular X. ha colocado polarizador (P2) perpendicular al eje X.
http://carlos2524.jimdo.com/
;",
"
~
216 216
Óptica física física Óptica Resolución Resolución
e
Describir el diagrama diagrama de irradiancia irradiancia en la pantalla pantalla colocada colocada a l1 m del sistema sistema de doble doble rendija. rendija. Describir Tras el polarizador polarizador PI, PI, el campo campo eléctrico eléctrico está está polari polarizado paralelo al eje X, mientras mientras que tras el polapolaTras zado paralelo campo eléctrico eléctrico está está polarizado polarizado perpendicular perpendicular al eje X. X. La luz luz que llega a RI RI ha atravesado atravesado ririzador zador P2 el campo que llega polarizador PI. PI. La luz luz que llega llega a R2 ha atravesado atravesado el polarizador polarizador P2. Asumimos Asumimos que la difracción difracción en el polarizador los bordes haces, bordes de los polarizadores polarizadores es despreciable. despreciable. Asumimos Asumimos así mismo mismo que tras difractarse difractarse ambos ambos haces, S..';ISS estados_de estados_ de polarización p~arización ~e ~e mantienen, mantienen, por por lo que que en la pantal~a pantal!a se obtiene obtiene un campo campo eléctrico eléctrico total S..':I E/o/alal = = El El + E2, E2, donde donde El El es el campo campo difractado difractado por por RI RI y E2 es el campo campo difractado difractado por por R2. R2. La Elol irradiancia en la pantalla pantalla entonces entonces es irradiancia (6.38) (6.38) donde· denota denota el producto producto escalar. escalar. Como Como E Ell y E2 E2 vibran vibran en direcciones direcciones perpendicul perpendiculares entre sí E Ell .. donde· ares entre E2 == O, O, de modo modo que 11/I ~ ~ IE lE]j 122 + IE2e IE2e ~ ~ 1I1I + /z, h o sea, sea, no hay hay interfere!lcia interferencia entre entre los campos campos E2 difractados por por las rendijas rendijas RI y R2. Figura 6.12 6.12 se muestra muestra la distribución distribución de ilTadi irradiancia. RI Y R2. En la Figura ancia. En difractados discontinua y a trazos aparecen los los diagramas diagramas de difracción difracción correspondientes correspondientes a cada cada una rendijas. discontinua trazos aparecen una de las rendijas. continua aparece aparece el diagrama diagrama total total de irradiancia irradiancia que se observaría. observaría. En continua Describir qué se observará observará en la pantalla pantalla si se gira gira el polarizador polarizador PI. Así mismo mismo hallar hallar la posición posición PI. Así Describir núnimo total total de irradiancia próximo al punto punto O cuando cuando los ejes ejes de transmisión transmisión de ambos ambos del núnimo irradiancia más próximo polarizadores están están paralelos. paralelos. Anchura Anchura de las rendijas mm. Distancia Distancia entre entre las rendijas rendijas 0.5 mm. mrn. polarizadores rendijas 0.1 mm.
Cuando arizador PI, Ej y E2 ya no son perpendiculares Cuando se gira gira el pol polarizador PI, entonces entonces El perpendiculares y, por por tanto, tanto, el término término interferencial en la ecuación ecuación (6.38) (6.38) no se anula, anula, por por lo que que hay una una redistribución redistribución de energía energía en la pantalla. pantalla. interferencial visibilidad dependerá dependerá del angulo angulo girado, girado, de manera manera que que será será nula nula si los los polarizadores polarizadores son perpendicuLa visibilidad perpendiculares unidad si son paralelos. paralelos. lares e igual igual a la unidad estar ambos ambos polarizadores polarizadores paralelos paralelos hay interferencia interferencia entre entre los campos campos difractados difractados por por ambas ambas renrenAl estar dijas. Recordemos Recordemos que en este este caso, caso, la distribución distribución de irradiancia irradiancia en la pantalla pantalla en un punto como el S, dijas. punto como está dada dada por por (ver Figura Figura 6.13) 6.13) está 1"
=
serr'2 fJ fJ 2 sen llo~ o cos y, y,
-----¡¡¡-
(6.39) (6.39)
donde fJ fJ = :rr/ sene sen e y y = :rrAd sene sen e,, siendo siendo b = 0.1 0.1 mm y d = 0.5 0.5 mm. Como Como b < < d, Y y varía varía más más donde rápidamente que que fJ fJ al aumentar aumentar e e,, de manera manera que que el primer primer mínimo mínimo se obtendrá obtendrá cuando cuando cos cos''2 y = O. O. Esto Esto rápidamente ocurre cuando cuando y = (2k + 1)][/ l)n /2, siendo k un número entero. Como Como d « «D yb « « D (D ocurre 2, siendo número entero. (D = 1 m) se
A~500 A~ 500
x
nm
~~
P,
II
----~X' ----~ X '
s
............ .. .. . ..... lB........ . ..
o
1:_,_ _ _ ___1_m_ __ __ _~.
- -- : P, ----: P.~_·
1_m
~.
6.12 Esquema Esquema de de la doble doble rendija rendija sobre sobre la que que incide incide un haz haz de de luz linealmente linealmente polarizado polarizado Figura 6.12 eje X x.. a 45° del eje
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo 6/ Difracción
217
2.0
1.6
1.2
r""
1/ 1\ ./
0.8
!/ !I
04
0.0 -0.02
-0.01
0.01
0.02
x 6.13 Distribución Distribución de irradiancia irradiancia en la pantalla pantalla de observación. observación. En discontinua puntos Figura 6.13 discontinua y con puntos distribuciones correspondientes correspondientes a R¡ R¡ y R2 por por separado separado y en continua continua la irradiancia irradiancia totallt total z-.. las distribuciones
puede aproximar seno por por la tangente. tangente. De esta esta manera manera el mínimo mínimo interferencial interferencial de orden puede aproximar el seno orden k se sitúa sitúa en
Xk
=
'AD -(2k
2d
+ 1),
primer mínimo mínimo ocurre ocurre para para k = O Y está está situado situado en Xo y el primer total total de irradiancia irradiancia en Xo = = -0.5 -0.5 mm.
6.5.
(6.39)
a más . Esto m) se
= 0.5 mm.
(6.40) (6.40) Análogamente habría Análogamente habría otro otro mínimo mínimo .
Considere una una abertura abertura de forma forma triángular triángular tal que que la altura altura del triángulo triángulo es a =:2' Considere =;2' mm mm y el el ángulo ángulo del del vértice es e e = 20°. Esta Esta abertura abertura es iluminada iluminada por por una una onda onda plana plana de longitud longitud de onda vértice onda A'A = 0.520 0.520 Determinar la forma forma del diagrama diagrama de difracción difracción en una una pan:talla pantalla colocada colocada a 1 m de la .nm. Determinar la abertura abertura difractante. difractante. Resolución Resolución 6.14 se muestra muestra un esquema esquema de la geometría geometría considerada. considerada. Para Para determinar En la Figura Figura 6.14 determinar la forma forma del del diagrama de difracción difracción procederemos procederemos de la siguiente siguiente manera: manera: podemos podemos considerar considerar la abertura diagrama abertura como como una una "suma" de rendijas rendijas infinitamente infinitamente delgadas, delgadas, de anchura anchura dx dx y altura altura variable variable zo. zo.Cada "suma" Cada una una de estas estas rendijas rendijas elementales produce diagrama de difracción difracción que que viene viene dado dado por por elementales produce un diagrama EA senf3z iiot " EA senf3z iúJt E(x = --zo--e E (x ,,z) z) = zo - - e , D f3z D
(6.41) (6.41)
donde donde lf ZO
f3z
=T
z'
(6.42) (6.42)
D'
preciso notar notar que la expresión expresión dada dada por por (6.41) (6.41) está está referida referida a un sistema sistema de ejes Es preciso ejes centrado centrado en la propia propia rendija, por por lo que para para expresarlo expresarlo respecto respecto al sistema sistema de ejes empleado empleado en la Figura rendija, Figura 6.14 6.14 hemos hemos de realizar una una traslación traslación de ejes. realizar esta manera manera la contribución contribución de una rendija infinitesimal infinitesimal al campo campo eléctrico De esta una rendija eléctrico en el punto punto PP de coordenadas (x', (x', z') z') será será coordenadas " ) " dE(x, dE( x zz)
,
rizado
=
E Asen f3z iúJt icot i(kxx+kzll i (kxx+kz 11)) zodx, EA senf3z d ----e- - e e e Zo x
D D
f3z
t.
'
(6.43) (6.43)
donde kx kx = 2~ 2~ ~ ~ Y kzz = 2~ 2~ Por lo tanto, tanto, el campo campo total total en ese ese punto punto de la pantalla donde Por pantalla de observación observación obtendrá integrando expresión (6.43) (6.43) a todas todas las rendijas rendijas infinitesimales infinitesimales de anchura dx y altura altura Zo, Zo, se obtendrá integrando la expresión anchura dx
http://carlos2524.jimdo.com/
218 218
Óptica Óptica física física
,.
z
,
~
z· z'
./
,, ,
"~
:
/
L./a ,Ir
x' x'
/ : j~: ¡
. x
y=y' y=y'
,
X'
Figura 6.14 6.14 Geometría Geometría para determinar determinar el diagrama diagrama de difracción difracción por por una abertura abertura triangular, triangular. Se ha señalado señalado una rendija rendija de altura altura 20 que dista dista del origen origen una distancia distancia x.
esto esto es,
¡G/2
1 d sen s, ' ' ') ') EA i cot ¡a 2 d i(k,x+1Ianerx+alk:) EA iúJI 1 E( E( x, x, z z == x --f3z ei(k,x+1 Ianerx+alk,) ZOex -ee x--e ZOGX, , DD -a/2 f3z -a12 f3z
(6.44) (6.44)
donde donde se ha tenido tenido en cuenta cuenta el hecho hecho de que zo dado dado en la expresión expresión (6.42) (6.42) puede puede determinarse determinarse sin más que tener ángulo tener en cuenta cuenta la ecuación ecuación de la recta recta que contiene contiene a la hipotenusa hipotenusa del tri triángulo zo =
l1
2" tan e e (x + a). a).
(6.45) (6.45)
Cabe f3 z que hemos indicado Cabe hacer hacer notar notar que que este este valor valor de zo zo ha de emplearse emplearse en la expresión expresión de f3z que hemos indicado más arriba. arriba. Cuando Cuando se realiza realiza la integral integral (6.44) (6.44) nos queda queda
h] h]
EAA[I¡ " EAA[ll E(x,z)= lTZ' 2i --2i2i E(x,z)= nz'
'
(6.46) (6.46)
donde 12 vienen donde l¡ e h vienen dados dados por por I¡I¡
tan sen tan ek. et:,-:--, sen a = ae ii la 4 - 4' '
12
a
ae = ae
i la la tan tan 2
ek.---,-,-Asen sen ~ ~ '
(6.47) (6.47)
f3
donde donde finalmente finalmente se consideran consideran aa = =
(k(k + kkzz ~~ tan ee)) ~~', xx
~~ == (k (kxx + kkzz ~~ tan ee)) ~.~'
(6.48) (6.48)
Naturalmente, Naturalmente, la irradiancia irradiancia en el punto punto P se obtendrá obtendrá inmediatamente inmediatamente a partir partir del campo. campo. En la Figura zada a la Figura 6.15 se muestra muestra una representación representación tridimensional tridimensional de la irradiancia, irradiancia, que ha sido sido normali normalizada unidad, indicado: nótese unidad, en el plano plano indicado: nótese la asimetría asimetría de la distribución distribución de irradiancia. irradiancia.
6.6. 6.6.
Se quiere quiere diseñar diseñar una una lente lente biconvexa biconvexa con con un material material para para el que que se conoce conoce que los índices Índices de refracrefracción para para AC AC = 656.3 656.3 nm, nm, AD 589.3 nm y AF 546.1 nm, son respectivamente respectivamente n(Ac) n(Ac) = 1.515, 1.515, ción AD = 589.3 AF = 546.1 n(AD) = 1.518 Y n(AF) n(AF) = 1.523. 1.523. La focal focal paraxial paraxial para para la longitud longitud de onda onda AD f~ = 100 n(AD) AD ha de ser de f~ mm.
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo 6/ 6/ Difracción Capítulo Difracción
219 219
(a) (a)
11
Se
Figura 6.15 condiciones de difracción difracción 6.15 Distribución Distribución de irradiancia irradiancia en el plano plano de observación observación en condiciones Fraunhofer: (a) vista vista tridimensional tridimensional y (b) vista vista superior mapa de nivel. nivel. de Fraunhofer: superior o mapa
.44) ás
Resolución Resolución Sabiendo que que el diámetro diámetro de la lente lente es de 1J = = 50 mm mm y que que la lente Sabiendo lente es delgada, delgada, determinar determinar las focales focales F . Determinar que se obtiene obtiene en el plano plano focal focal para para AC AC Y A AF. Determinar la extensión extensión de la distribución distribución de irradiancia irradiancia que cuando cuando se ilumina ilumina con con una onda onda plana plana de longitud longitud de onda onda AD. AD.
.45)
Es bien inmersa en aire, aire, la potencia potencia de la lente lente bien conocid0 conocid066 que si consideramos consideramos la lente lente como como delgada delgada e inmersa viene viene dada dada por por
más
_1 = (n _~], _1 -mi fb -_ 't"mi't' = 'n Do - 1) [~RI - ~]R2 ,
-l)[_1
fb -
.46)
(6.49) (6.49)
donde R R lI Y Y R2 son los radios radios de curvatura curvatura de los dioptrios dioptrios anterior anterior y posterior donde posterior que que constituyen constituyen la lente. lente. En caso que nos ocupa ocupa emplearemos emplearemos nD n o en la ecuación ecuación (6.49) (6.49) para el caso para determinar determinar el valor valor de L = =
["* -- ~2 [*
~2 ]
resulta ser L = 19.305 19.305 m-l. m-l. De esta esta manera manera empleando empleando la ecuación que resulta ecuación (6.49) (6.49) podemos podemos determinar determinar las focales para para las otras otras dos radiaciones radiaciones que resultan resultan focales .47)
f~ == 100.58 100.58 mm, f~ (6.50) (6.50)
y
f~ f~
.48)
99.044 mm. = 99.044
vista de lo cual cual se infiere infiere que que la aberración aberración cromática cramática longitudinal longitudinal es AC A la vista AC L = = 1.539 1.539 mm. distribución de irradiancia irradiancia que se obtendrá obtendrá en el plano plano focal La distribución focal será será la mancha mancha de Airy Airy cuyo cuyo tamaño tamaño lineal vendrá dado dado por lineal vendrá 1.438 {Lm. 1.438 ¡Lm.
(6.51 )
n la
a la
c5,
mantiene la posición posición de la pantalla pantalla de observación observación en el plano Si se mantiene plano focal focal paraxial paraxial para para AD, AD, determinar determinar extensión espacial espacial de las distribuciones distribuciones de irradiancia irradiancia que que se obtienen A F. la extensión obtienen para para las radiaciones radiaciones AC AC YY A Debido a que los materiales materiales con los que se construyen construyen las lentes Debido lentes son en general general dispersivos dispersivos (el Índice Índice depende de la longitud longitud de onda), onda), para para otras otras radiaciones radiaciones diferentes de refracción refracción depende diferentes de AD, AD, la focal paraxial paraxial diferente como como hemos hemos visto. visto. Este Este resultado resultado es conocido conocido por es diferente por todo todo aquel aquel que que haya haya seguido seguido un curso curso
00 Casas. Óptica, Óptica. (Librería (Librería General, General, Zaragoza, Zaragoza, 1994), 1994), Cap. Cap. 2. 6Yer J. Casas,
http://carlos2524.jimdo.com/
220
Óptica Óptica física (a)
6.16 Distribuciones Distribuciones de campo campo eléctrico Figura 6.16 eléctrico que que se obtienen obtienen en la pantalla pantalla colocada colocada en F~ para para planos que iluminan iluminan la lente: lente: (a) AF, haces planos A.F , (b) AD A.D Y Y (e) (c) AC' A.c .
elemental de óptica óptica geométrica. geométrica. La principal principal novedad elemental novedad estriba estriba en este este caso caso en la estimación estimación de la región región iluminada en la pantalla: pantalla: a partir iluminada partir de la ecuación ecuación (6.50) (6.50) vemos vemos que que las radiaciones radiaciones correspondientes correspondientes a AC AC AF están están desenfocadas des enfocadas al colocar colocar la pantalla focal imagen y AF pantalla en el plano plano focal imagen para para AD. AD. Podemos Podemos estimar esti mar la aberración de onda onda"7 correspondiente correspondiente a este este desenfoque desenfoque mediante mediante la expresión expresión aberración 22
W
= nh
2
~J'
[~- ~J , Ro zz
[~
(6.52) (6.52)
donde Ro es el radio radio de una una esfera esfera centrada centrada en el punto donde punto imagen, imagen, zz es la posición posición actual actual de la pantalla pantalla de observación y h es la altura altura respecto respecto al eje observación eje óptico óptico del rayo rayo considerado. considerado . El El valor valor de la aberración aberración de onda onda será diferente diferente para AC Y para para AF. AF. Es interesante interesante computar será para AC computar el valor valor de este este desenfoque desenfoque en términos términos de la longitud de onda, onda, resultando resultando longitud
Wc
8c=oc=AC
-27.58, -27 .58, (6.53) (6.53)
Yy WF
OF = -
= 55.23.
AF
indica el resultado resultado expresado expresado en (6.53) (6.53) es que produce desfases desfases Lo que nos indica que el desenfoque desenfoque en en ambos ambos casos casos produce entre los rayos rayos que que pasan pasan por por el centro centro de la lente entre lente y el borde borde de la lente lente que que van a contribuir contribuir a ensanchar ensanchar la distribución distribución de irradiancia irradiancia en el plano plano donde donde se encuentra encuentra la pantalla. pantalla. Para Para estimar estimar el tamaño tamaño de estas estas distribuciones podemos podemos recurrir recurrir a calcular calcular la aberración 4J/2, / 2, distribuciones aberración de rayo rayo para para el rayo rayo de borde, borde, en el que que hh = 1J resultando resultando
/ f~ f~ awc awc - -~xc == ---
~xC
1
ax ax
// 1J2 4J2 [[ 1 1
1] 1
fC4 f~ fc-;¡ f~ -- f~ f~ ,, (6.54) (6.54)
Y ~xF
/
f;· aWF
= --1
ax
realizar los cálculos cálculos indicados indicados en (6.54) Tras realizar (6.54) se llega llega finalmente finalmente a que que ~xé: ~xc = 0.146 0.146 mm y ~x~ ~x~ = 0.239 0.239 Estos resultados resultados contrastan contrastan notablemente notablemente con 6.16 se han mm. Estos con el obtenido obtenido en (6.51). (6.51). En la Figura Figura 6.16 representado las distribuciones distribuciones de campo campo eléctrico representado eléctrico que que se obtienen obtienen en la pantalla pantalla para para los los tres tres casos casos considerados. considerados. 7Yéase por por eje ejemplo Y. N. Mahajan Mahajan Aberra/ion Aberration theory 1991),), Caps. 7Yéase mplo Y. theory made made simple, simple, (SPIE, (S PIE, Washington, Washington , 1991 Caps. 1I y 8.
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo Difracción 221 Capítulo 6 6/I Difracción En todo todo el cálculo hemos obviado naturalmente la aberración tiene la lente. cálculo anterior anterior hemos obviado naturalmente aberración esférica esférica que que tiene lente.
6.7.
Determinar una abertura rectangular de lados L,1 YY L2 que iluminada Determinar el diagrama diagrama de difracción difracción de una abertura rectangular lados L que es iluminada por haz colimado normal (ver Figura 6.17a). por un haz colimado en condiciones condiciones de incidencia incidencia normal (ver Figura 6.17a). Considerar Considerar el régimen régimen de difracción Fraunhofer en una una pantalla pantalla colocada una distancia D del plano que difracción de Fraunhofer colocada a una distancia D del plano que contiene contiene la abertura. abertura.
(a) (a)
(b) (b)
zz
.....•••••• ~.ldo ra L, L,
~
L,
:~
'n
e la
6.17 (a) Esquema de la abertura abertura rectangular. con una Figura 6.17 Esquema de rectangular. (b) Abertura Abertura rectangular rectangular con una porción porción opaca: se se ha señalado señalado el área área efectiva efectiva S, SI (ver (ver texto detalles). opaca: texto para para más más detalles).
11 Resolución Resolución 2)
de da la
Para obtener obtener el diagrama diagrama de difracción difracción en el régimen procederemos como como en el Problema Para régimen de Fraunhofer Fraunhofer procederemos Problema 5 este Tema: Tema: allí allí descompusimos descompusimos la abertura abertura en una colección de rendijas entre sí de anchura anchura dx de este una colección rendijas paralelas paralelas entre dx una cierta cierta altura altura que que era era variable. caso que que nos ocupa ocupa las rendijas anchura y una variable. En el caso rendijas tendrán tendrán todas todas la misma misma anchura dx y la misma altura L2. Cada una estas rendijas elementales produce diagrama de difracción difracción que que dx misma altura L2 . Cada una de estas rendijas elementales produce un diagrama viene dado dado por viene por EA " EA senf3z sen,Bz ion iwl E(x = ----e- - e E(x z) z)= D f3z , D,Bz '
(6.55) (6.55)
donde donde 3) (6.56) (6.56) es ar las 2,
x' y z'Z' son coordenadas coordenadas en el plano observación. Es preciso que la expresión expresión dada dada por (6.55) y x' plano de observación. preciso notar notar que por (6.55) está referida sistema de ejes ejes centrado centrado en la propia que para expresarlo respecto está referida a un sistema propia rendija, rendija, por por lo que para expresarlo respecto al sistema de ejes ejes empleado empleado en la Figura 6.17 hemos ejes. sistema Figura 6.l7 hemos de realizar realizar una una traslación traslación de ejes. De esta esta manera contribución de una infinitesimal al campo campo eléctrico eléctrico en el punto De manera la contribución una rendija rendija infinitesimal punto P P de coordenadas (x (x',' , z') observación será será coordenadas z' ) en el plano plano de observación (6.57) (6.57)
4)
39 an os
2;: %.
donde k; Por campo total obtendrá donde kx = Por lo tanto, tanto, el campo total en ese punto punto de la pantalla pantalla de observación observación se obtendrá integrando la expresión expresión (6.57) (6.57) a todas infinitesimales de anchura anchura dx altura zo, esto es, integrando todas las rendijas rendij as infinitesimales dx y altura zo, esto
f
Ll/2 E AL fL¡/2 sen (./ R ') = ' ') AL ze iwl d x--e', z ¡k,·x ik,·x E(' X,z =- E( x,z 2e iWI x - -fJf-'ze ' , D -Ll/2/2 , Bz f3z D -L¡
(6.58) (6.58)
tras realizar integral indicada indicada en (6.58) (6.58) llegamos que tras realizar la integral llegamos a que " E(x 7) ,~
=
EA -L2Lle D
icot sen f3z sen f3x ---f3z f3x'
http://carlos2524.jimdo.com/
(6.59) (6.59)
222
Óptica física Óptica física por donde (3.t donde fJx viene viene dado dado por fJx ~ ;::,; (3x
T x' T
][ ic L L x' D' D'
(6.60)
partir de (6.59) (6.59) se puede puede determinar determinar inmediatamente inmediatamente la irradiancia irradiancia para cualquier punto pantalla A partir para cualquier punto de la pantalla de observación. para esta observación. En la Figura Figura 6.18a 6.18a se muestra muestra la distribución distribución de campo campo eléctrico eléctrico para esta abertura abertura rectangular. rectangular. Podríamos haber haber llegado llegado al mismo mismo resultado expresado en (6.59) (6.59) si nos apercibimos apercibimos de que Podríamos resultado expresado que en el régimen de difracción di fracción de Fraunhofer Fraunhofer la distribución distribución de campo campo eléctrico eléctrico en el plano observación I'égimen plano de observac ión se puede determinar a partir transformada de Fourier Fourier de la función función de la pupila, Puu (x, (x, y). y). De esta esta puede determinar partir de la transformada pupila, P manera podríamos emplear los métodos métodos que hemos visto en el Tema Tema 1. l. manera podríamos emplear hemos visto este caso caso la función función pupila especificada por por En este pupila vendría vendría especificada L I¡ L I¡ L2 L2 L2 L2 E A SI. - ""2 _
( P (x, uti
~:
(6.61 ) (6.61)
abertura anterior anterior se le superpone superpone un cuadrado cuadrado obscuro obscuro de lado lado do centrado centrado respecto la abertura abertura A la abertura respecto a la rectangular (ver (ver Figura Figura 6.17b). 6.17b). Determinar condiciones de iluminación iluminación anteriores anteriores cómo cómo cambia, cambia, rectangular Determinar en en las condiciones diagrama de difracción difracción en una una pantalla pantalla colocada colocada a una distancia distancia D del plano plano que que contiene contiene si lo hace, hace, el diagrama abertura. la abertura. (b) (b)
(a)) (a
6.18 (a) Distribución Distribución de de campo campo eléctrico eléctrico normalizada normalizada en en el plano plano de de observación observación de de una una Figura 6.18
abertura rectangular. rectangular. (b) Distribución Distribución de de campo campo eléctrico eléctrico normalizada normalizada en en el plano plano de de observación observación abertura de una una abertura abertura rectangular rectangular con con una una obstrucción obstrucción central. central. de Para determinar, determinar, en este este caso, caso, el diagrama diagrama de difracción difracción de la abertura abertura obstruida obstruida podemos Para podemos proceder proceder como hemos hemos hecho hecho antes antes teniendo teniendo en cuenta cuenta que que en torno torno a la región región de obstrucción obstrucción las rendijas rendijas tienen tienen como altura diferente diferente del resto resto de la abertura, abertura, o bien, emplear el llamado llamado teorema teorema de de altura bien, podemos podemos proceder proceder a emplear Babinet. esencia de este este teorema teorema es la de sustraer sustraer la región región de la obstrucción obstrucción de la región región total: total: en Babinet. La esencia efecto, podemos podemos considerar considerar que la abertura abertura no obstruida obstruida de la Figura Figura 6.17a 6.17a como como la suma suma de la parte parte no efecto, obstruida, SI, de la Figura Figura 6.17b 6.17b más la parte parte obstruida obstruida de esta esta figura, figura, S2, pero pero siendo siendo transparente. transparente. Dado Dado obstruida, proceso de difracción difracción consiste consiste en una integral integral a la región región total apertura podemos expresar el que el proceso total de la apertura podemos expresar campo en un punto punto de la pantalla pantalla para para la abertura abertura no obstruida obstruida como como campo E . E(x', z') = = ~el{"l ~e,wI E(x' ,z') D
.. fLI /2dx f L2/2ddze,(k,rx+k:zl. fL2/2 dx ze, (k.r x+k: z).
fL¡/2
-L¡/2/ 2 -LI
Ahora bien la expresión expresión (6.62) (6.62) puede puede reescribirse reescribirse como como Ahora E(x', = ;; E(x', z') z') =
iw1 eiw1
ESi (x', ES I(x',
(1(1ti
(6.62) (6.62)
--L2I2 L 2I2
dxdzei(kxx+kzzl dxdzeiCkxx+k:z) +
1t2
dXdzei(kxX+kzZl) )) dXdzei(kxX+kzZ
z') + Es Es2(x', 2 (x' , z').
(6.63) (6.63)
Por otro lado esta esta expresión expresión la hemos hemos evaluado evaluado en (6 (6.59). observamos la forma forma de la abertura abertura obstruida obstruida .59). Si observamos Por otro lado Figura 6.17b, 6.17b, veremos veremos que justamente sólo contribuye contribuye la región región que hemos hemos llamado llamado SI, por por lo tanto tanto de la Figura justamente sólo diagrama de difracción difracción de la abertura abertura obstruida obstruida puede puede computarse computarse como como el diagrama Es¡(x', = E(x', EsI(x', z') z' ) = E(x', z') z' ) - Es Es2(x', (x', z'), z' ), 2
http://carlos2524.jimdo.com/
(6.64) (6.64)
223
Capítulo Capítulo 6 I Difracción Difracción
donde donde ES E 522 (x' (x', , z' z')) corresponde corresponde al diagrama diagrama de difracción difracción producido producido por por una abertura abertura cuadrada cuadrada de lado do que que no está está obstruida. obstruida. Este Este campo campo se puede puede evaluar evaluar de forma forma similar similar a como como hemos hemos hecho hecho en el apartado apartado anterior. anterior. El campo campo debido debido a 52 S2 viene viene dado dado por por (6.65) (6.65) donde donde se tiene tiene que {J' ~ ndo { A
Z
,
{J ~--
y
D'
x
ndo x' A D'
(6.66) (6.66)
En la Figura para esta Figura 6.18b 6.18b se muestra muestra la distribución distribución de campo campo eléctrico eléctrico para esta abertura abertura rectangular rectangular con obstrucción obstrucción central central cuadrada. cuadrada.
6.8.
láser de He-Ne He-Ne en continuo continuo tiene tiene una potencia potencia de salida salida de 5 mW. El ~az haz a la salida salida tiene tiene una una Un láser distribución distribución de amplitud amplitud de campo campo eléctrico eléctrico que es gausiana. gausiana. Se considera considera que que el diámetro diámetro efectivo efectivo
Resolución Resolución
Determinar Determinar el campo campo eléctrico eléctrico en el centro centro del haz. ¿Cuál ¿Cuál sería sería el campo campo eléctrico eléctrico asociado asociado a este este haz láser si consideraramos que la distribución de amplitud es uniforme en toda la extensión espacial láser consideraramos que distribución amplitud uniforme toda extensión espacial del mismo? mismo? Como Como nos indican, indican, la amplitud amplitud de campo campo eléctrico eléctrico del haz que suponemos suponemos se propaga propaga en la dirección dirección del ' del eje Y vendrá vendrá dada dada por por ,.2
E(y, E(y, t) t)
=
Eoe - ky) j, j, Eoe -~~ ei(wt ei(wt-ky)
(6.67) (6.67)
2 + Z2. donde ro = = rp //22 = = l mm, mm, y r = = .Jxx2 Z2. El promedio promedio temporal temporal del vector vector de Poynting Poynting asociado asociado a esta esta donde onda vendrá dado onda plana plana inhomogénea inhomogénea vendrá dado por por .J
/"22
__
< :P :P > > <
r CEO -2 CEO -2, ., _E2E 2 e rO} /"ij}~ _ ~ 2 O ' O
=
(6.68) (6.68)
donde donde j nos indica indica la dirección dirección de propagación propagación de la energía energía que hemos hemos tomado tomado anteriormente anteriormente según según el eje Y. Por P, puede Por otro otro lado lado la potencia potencia total del láser, láser, P, puede estimarse estimarse si truncamos truncamos el haz para para valores valores de r > > ro, esto esto es, es, P =
f
< <
·dS = ¡P >> ·dS
f
¡P I< < :P
> Idxdz.z . > Idxd
(6.69) (6.69)
La integral integral indicada indicada en (6.69) (6.69) se puede puede realizar realizar más fácilmente fácilmente si pasamos pasamos a coordenadas coordenadas polares polares en el plano plano perpendicular perpendicular a la dirección dirección de propagación. propagación. De esta esta manera manera (6.69) (6.69) se puede puede expresar expresar como como P
=
27r CE CE loro 10 27r --2¿ 2¿ r drdrpe r5/"5 ~E5 dr dibe O O
.......Q E5 2 O O
(6.70) (6.70)
radial también La integral integral angular angular es inmediata inmediata y la integral integral radial también lo es, por lo que el resultado resultado final será será a o
P
=
2
CEO
2
E 2 2n rO (1 _ e- 2 ). O
4
(6.71) (6.71)
Finalmente Finalmente de la ecuación ecuación (6.71) (6.71) podemos podemos determinar determinar el valor valor de Eo que resulta resulta ser Eo Eo == 1.67 x 103 (V1m). /rn),
http://carlos2524.jimdo.com/
224 224 Óptica Óptica física física En el caso uniforme la ecuación caso de que que la amplitud amplitud del campo campo fuese fuese uniforme ecuación (6.67) (6.67) se escribiría escribiría como como E(y, , t) t) = = Eoei Eoei(wl-ky) E(y (wl - ky ) i, j,
(6.72) (6.72)
y la ecuación ecuación (6.71) (6.71) quedaría quedaría como como CEO
2
P = -EOrrrO' 2
2
(6.73) (6.73)
En este este caso caso la amplitud amplitud de campo campo eléctrico eléctrico sería sería Eo = = 1.09 x 103 (V/m). (V/m). Vemos Vemos que que de esta esta manera manera si ignoramos ignoramos el aspecto aspecto transversal transversal de un haz láser láser estamos estamos subestimando subestimando el valor valor del campo campo eléctrico eléctrico en el eje.
Determine una pantalla pantalla situada una distancia D, sin tener Determine el diagrama diagrama de difracción difracción de Frawmofer Fraunhofer en una situada a una distancia D, tener en cuenta la divergencia una abertura cuenta los efectos efectos asociados asociados a la divergencia del haz, haz, cuando cuando este este haz haz ilumina ilumina una abertura circular circular de radio radio R¡ = = 3 mm. mm. Si ignoramos haz, entonces ignoramos como como nos indican indican los efectos efectos de la divergencia divergencia del haz, entonces el diagrama diagrama de difracdifracción puede obtenerse mediante la expresión ción de Fraunhofer Fraunhofer puede obtenerse mediante expresión
(6.74) (6.74) lo
La integral puede expresar polares en el plano plano de la integral asociada asociada al área área S de la abertura abertura se puede expresar en coordenadas coordenadas polares apertura plano de observación, que resulta resulta apertura (con prima) prima) y en el plano observación, de manera manera que
I I
(6.75) (6.75) La integral La integral angular angular en (6.75) (6.75) es inmediata inmediata y resulta resulta
lo1
R1 1 I --E(p, cjJ) = = -e -eiW1iW1 2rr2rr Eo p' dp' e E(p, rjJ) p' dp' D oo R
p,z. /2 -
rJ r~
. kpp' kpp' ff,o(--). ff,o( - - ). D
(6.76) (6.76)
La integral por realizar integral que que resta resta por realizar en (6.76) (6.76) no es analítica. analítica. Sin embargo, embargo, dado dado que que la amplitud amplitud de la onda disminuye rápidamente alejamos del centro podemos onda inhomogénea inhomogénea disminuye rápidamente conforme conforme nos alejamos centro de la apertura, apertura, podemos superior en (6.76) por +00, reemplazar el límite reemplazar límite de integración integración superior (6.76) por +00, de modo modo que que el resultado resultado que que se obtiene obtiene sí es analítico analítico y resulta resulta (6.77) (6.77) resultado que que expresa expresa (6.77) (6.77) indica indica que que la distribución distribución de campo campo eléctrico eléctrico en el plano observación El resultado plano de observación sigue un esquema esquema de distribución distribución transversal transversal que que también también es gausiano. gausiano. sigue
6.9.
Sobre un dispositivo dispositivo de doble doble rendija rendija de Young Young cuya cuya anchura anchura es despreciable despreciable incide incide una una radiación radiación Sobre monocromática de 500 500 nm. La La distancia distancia entre entre las rendijas rendijas es de 0.9 0.9 mm. El diagrama diagrama interferencial interferencial monocromática situada a 0.5 m del plano doble rendija. rendija. Por Por detrás detrás de (P) situada plano de la doble se recoge recoge en una una pantalla pantalla traslúcida traslúcida (P) pantalla una persona situada a 2 m de la pantalla observa la la imagen imagen del diagrama diagrama interferencial interferencial (ver (ver la pantalla persona situada pantalla observa Figura 6.19). 6.19). Considerar Considerar que que la la pupila observador es de 4 mm. mm. pupila del observador Figura
http://carlos2524.jimdo.com/
225
Capítulo Capítulo 6/ 6/ Difracción Difracción pantalla traslúcida traslucida (P) (P) pantalla
1 ~ 1 -~-j[------------------------------------------------------~ I Id --1-----------------------------------------------------[>
--T
I
T+-----~~~----,.·l'.~------I 1I,J'v,---vv'-------+ D=0.5 D=0.5 m m
¡\ 11
H
L=2 L=2 m
Figura 6.19 6.19 Esquema Esquema del del dispositivo dispositivo de de doble doble rendija, rendija, pantalla pantalla traslúcida traslúcida y observador. observador.
Resolución Resolución
¿¿Verá Verá el observador observador el sistema sistema de franjas franjas resuelto? resuelto? Sobre la pantalla pantalla traslúcida traslúcida aparecerá aparecerá un diagrama diagrama interferencial interferencial constituido constituido por por franjas franjas claras claras y osSobre curas. curas. La separación separación entre entre dos franjas franjas consecutivas consecutivas será:
t,y t-y
a
).."AD D
=d - = = = d
500 500 x 10- 66 x 0.5 0.5 ~ 0.28 0.28mm. 0.9 x 10mm. 3 3 0.9 x 10-
(6.78) (6.78)
El observador observador podrá podrá resolver resolver esta esta separación separación si el ángulo ángulo subtendido subtendido por por dos franjas franjas consecutivas, consecutivas, 8 8 ¡1 ~ ~ 4 4 ~ = 1.4 X 10- rad, es mayor mayor o igual igual que que el límite límite de resolución debido a la difracción di fracción y que viene viene ~ resolución debido dado por dado por 1.22)" 1.22"A 8R= -8R=--
1.525 X x 10- 44 rad. 1.525 rad .
(6.79) (6.79)
cPojo 10jo
A la vista vista de los resultados resultados anteriores anteriores concluimos concluimos que que el observador observador no los verá verá resueltos resueltos espacialmente. espacialmente.
a e
n
¿Qué consecuencias consecuencias tendría tendría sobre sobre la percepción percepción del diagrama diagrama interferencial interferencia! si se reduce reduce la separación separación ¿Qué entre respuesta. . entre rendijas rendijas a 0.65 mm? mm? Justificar Justificar la respuesta.
Si la distancia distancia entre entre las rendijas rendijas se reduce, reduce, la interfranja interfranja aumenta aumenta con lo que que también también lo hace hace el ángulo por la ángulo subtendido subtendido entre entre dos franjas franjas desde desde el ojo. Esto Esto se deduce deduce del valor valor de la interfranja interfranja dado dado por ecuación nuestro caso, para una distancia entre ecuación (6.78). (6.78). En nuestro caso, el nuevo nuevo ángulo ángulo 8¡ 81 para una distancia entre las rendijas rendijas de 0.65 0.65 mm 81 = = 1.9 X x 10- 44 rad. Como Como este este ángulo ángulo es mayor mayor que que el ángulo ángulo mínimo calculado es 8¡ mínimo de resolución resolución calculado anteriormente, verá resuelto anteriormente, el observador observador verá resuelto espacialmente espacial mente el diagrama diagrama interferencial interferencial en estas estas condiciones. condiciones. consecuencias tendría tendría sobre sobre la percepción percepción del diagrama diagrama interferencial interferencial si se cambia cambia la longitud longitud de ¿¿Qué Qué consecuencias onda de la fuente fuente que que ilumina ilumina la doble doble rendija? rendija? onda
-----~-~---
Obsérvese que si se cambia cambia la longitud longitud de onda onda de la luz que que ilumina ilumina las rendijas, rendijas, cambiará cambiará el esObsérvese paciado haciéndose haciéndose más grande grande ya que la interfranja interfranja es proporcional proporcional a)... a "A. Pero Pero lo mismo mismo ocurre ocurre con la paciado resolución espacial espacial del ojo. ojo. Por Por lo tanto, tanto, no cambiará cambiará nada nada en lo que que atañe atañe a la resolución resolución del sistema sistema de resolución franjas. Osea,8¡ O sea, 81 = ~f yy8R 8R = 1~:JoA, 1~:JoA,ddemodoqueestaránresueltassi8¡ e modo que estarán resueltas si 81 > > 8R,osea 8R, o sea franjas.
~f
"AD 1.22"A )..D 1.22)" >----- > -aL 10jo' aL cPojo' y simplificando simplificando se observa observa que que la desigualdad desigualdad anterior anterior no depende depende de la longitud longitud de onda. onda.
http://carlos2524.jimdo.com/
(6.80) (6.80)
226
Óptica ica Óptica fís física
Considere Considere que que la pupila pupila del observador observador está está en la parte parte frontal frontal de la córnea córnea y que que su diámetro diámetro es de cfJo = 3 mm. rnm. Se sabe sabe que que un observador observador completamente completamente adaptado adaptado puede puede detectar detectar un flujo luminoluminoepa como mínimo mínimo de
~ (2nct,) y) = / ¡[ + hI: + 2jIJ; y) .. 2y /1 I: cos (~; AD Y
/ (x, (x, y)
(6.81) (6.81)
Nos indican indican que que el 60% 60% de la irradiancia irradiancia es difundida difundida hacia hacia adelante, adelante, por por lo que que podemos podemos suponer suponer que que la exitancia Mv, vendrá exitancia de la pantalla, pantalla, Mv, vendrá dada dada por por
(6.82) (6.82)
M¿ = t/(x, t/(x, y), Mv = y),
donde donde t = 0.6. 0.6. Por Por otro otro lado lado al poder poder considerar considerar la pantalla pantalla como como un emisor emisor lambertian0 lambertiano'',8 , su radiancia, radiancia, L, L, vendrá vendrá dada dada por por Mv L(x, y) = = -Mv L(x,y) n ti
=
t/(x t/(x, , y) y). n
(6.83) (6.83)
Consideremos Consideremos que que el eje óptico óptico del ojo del observador observador está está alineado alineado con un punto punto P del diagrama diagrama interferencia que se puede puede observar pantalla, tal que la radiancia interferencia observar en la pantalla, radiancia de un elemento elemento infinitesimal infinitesimal de área y), entonces área en torno torno a este este punto punto es L p (x, (x, y), entonces el flujo radiante radiante que capta capta la pupila pupila del observador observador vendrá vendrá dado dado por por cfJp(x, , y) = Lp(x, y)QAplIp , , epp(x y) = Lp(x , y)QA plIp
(6.84) (6.84)
donde pupila desde donde Q es el ángulo ángulo sólido sólido que que subtiende subtiende la pupila desde el punto punto P y A pup área de la pupila pupila del pup es el área observador. El flujo luminoso luminoso que incide incide vendrá vendrá dado dado por por observador.
= 683V(A)epp 683 V (A)cfJp lúmenes, lúmenes,
(6.85) (6.85)
luminosidad estándar longitud de onda donde donde V (A) (A) es el valor valor de la curva curva de luminosidad estándar para para la longitud onda de interés. interés. La imagen pi. Si en el punto imagen del punto punto P caerá caerá en una región región de la retina retina P'. punto P = (x, (x, yo) Yo) hay un mínimo mínimo de interferencia pues de buscar buscar las punto P' p i (x, interferencia el flujo que que capta capta será será nulo. nulo. Hemos Hemos pues las coordenadas coordenadas de un punto (x, Yl) YI) tal que el flujo que que capte capte la pupila pupila procedente procedente de ese punto punto sea superior superior al flujo luminoso luminoso umbral. umbral. En otras otras palabras palabras resolver resolver la inecuación inecuación (6.86) (6.86) para para determinar determinar la coordenada coordenada de Yl. YI. Tras Tras resolver resolver numéricamente numéricamente la inecuación inecuación (6.86) (6.86) llegamos llegamos a la conclusión por lo conclusión de que)'1 que YI = = 0.139 0.139 mm. Recordemos Recordemos que que la interfranja interfranja era era del orden orden de 0.28 0.28 mm, mm, por que a la vista vista de los resultados resultados podemos podemos concluir concluir que que el observador observador verá verá los mínimos mínimos ensanchados ensanchados una magnitud magnitud notable. notable.
6.10.
Dos Dos puntos puntos emisores emisores de radiación radiación monocromática monocromática (A (A = = 500 500 nm) e incoherentes incoherentes entre entre sí (PI (p[ y P2) P2) se encuentran situados situados simétricamente simétricamente respecto respecto al eje óptico óptico de la lente lente convergente convergente L L[ 1 de la Figura Figura 6.20 6.20 encuentran (f' == 200 200 mm). rrun). La distancia entre entre ambos ambos puntos 0.05 mm mm y la distancia distancia entre entre el plano plano que que (J' La distancia puntos es de 0.05 contiene los puntos lente es de 600 600 mm. rnm. Delante Delante de la lente lente y pegado pegado a ella ella se ha colocado colocado un contiene puntos y la lente diafragma circular circular de diámetro diámetro variable. variable. diafragma
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo Capítulo 6/ 6/ Difracción Difracción
>~r'
227
diafragma diafragma
>~r' P,
F'
,
JJ ___ _____ __
P,
P;
1)
Figura 6.20 proce6.20 Esquema de la situación situación experimental experimental considerada. considerada. La La radiación radiación incoherente incoherente procedente lente-diafragma. dente de P PII y P2 se difracta difracta a través través del sistema sistema lente-diafragma.
la
Resolución Resolución 2)
Determinar resueltas Determinar si en el plano plano imagen, imagen, las imágenes imágenes que da la lente lente de ambos ambos puntos puntos aparecen aparecen o no resueltas espacialmente espacialmente cuando cuando el diámetro diámetro de1 del diafragma diafragma es de 4 mm. mm.
a,
La imagen teniendo imagen paraxial paraxial de ambos ambos puntos puntos se localiza localiza en s' s' = = 300 300 mm mrn desde desde la lente. lente. Asimismo Asimismo teniendo en cuenta dada por por 1y' = cuenta la relación relación de aumentos, aumentos, la separación separación entre entre ambos ambos puntos puntos en la imagen imagen viene viene dada 1y'11 = 3)
0.025 mm. 1¡3ly = II ~~ II y = 0.025
Como distribución de Como es sabido sabido la imagen imagen que da una una lente lente de un punto punto emisor emisor de radiación radiación es una una distribución irradiancia Airy": irradiancia en el plano plano imagen imagen que que no es puntual, puntual, sino una una distribución distribución de irradiancia irradiancia o "mancha "mancha de Airy": esto radiación esto se debe debe al tamaño tamaño finito de la lente-o lente- o del diafragma diafragma que produce produce una redistribución redistribución de la radiación en torno imagen. De De esta esta torno al punto punto en el que, según según las predicciones predicciones de la óptica óptica geométrica, geométrica, se localiza loc~liza la imagen. manera plano manera para para cada cada uno de los puntos puntos considerados considerados tendremos tendremos dos distribuciones distribuciones de irradiancia irradiancia en el plano imagen, imagen, de tal manera manera que que el campo campo eléctrico eléctrico en el plano plano imagen imagen viene viene dado dado por por (6.87) (6.87) De esta incoheesta manera manera la irradiancia irradiancia en el plano plano imagen, imagen, teniendo teniendo en cuenta cuenta que que los puntos puntos emisores emisores son incoherentes entre entre sí por producirán interferencias interferencias observables, observables, vendrá vendrá dada dada por por rentes por lo que no producirán 5) Itotal
o '1) as
6) la lo na
e
= 11
+ i-.
(6.88) (6.88)
siendo TI 11 e h I: las distribuciones distribuciones de irradiancia irradiancia debidas debidas a cada puntos considerados. considerados. siendo cada uno de los puntos Para tamaño de la Para ver ver si ambos ambos puntos puntos aparecen aparecen resueltos resueltos en el plano plano imagen imagen debemos debemos determinar determinar el tamaño mancha viene dado dado por por mancha de Airy Airy de los puntos. puntos. El tamaño tamaño angular angular de la mancha mancha de cada cada uno de los puntos puntos viene 1.22~, de manera manera que el tamaño tamaño lineal lineal será Xa = = es' = = 0.046 0.046 mm (esta (esta es la anchura anchura del ee == 1.22~, será Xa del máximo máximo central central de difracción difracción en la situación situación considerada). considerada). A la vista ambos puntos aparecen vista de los resultados resultados obtenidos obtenidos concluimos concluimos que las imágenes imágenes de ambos puntos no aparecen resueltas en el plano plano imagen. imagen. resueltas En la figura figura 6.21a 6.21a se muestra muestra la distribución distribución de irradiancia irradiancia obtenida obtenida en este este caso. caso.
Describir del diafragma diafragma Describir qué se observará observará en el plano plano imagen imagen, cuando cuando se varía varía lentamente lentamente el tamaño tamaño del hasta hasta obtener obtener un diámetro diámetro de éste éste de 12 mm. mm. Conforme se cambia cambia el tamaño tamaño del diafragma, diafragma, las distribuciones distribuciones de irradiancia Conforme irradiancia de ambos ambos puntos puntos se estrechando, o sea, su extensión extensión espacial espacial se reduce reduce y en la situación situación final, cp = 12 mm, van estrechando, mm, se tiene tiene que que el tamaño lineal lineal de la mancha mancha de cada cada uno uno de los puntos puntos es Xa Xa = 0.015 0.015 por por lo que finalmente finalmente ambos tamaño ambos puntos puntos observarán resueltos resueltos espacialmente. espacialmente. se observarán 8Para más detalles detalles sobre sobre las magnitudes magnitudes radiométricas radiométricas puede puede consultarse consultarse M. V. V. Klein Klein y T. E. Furtak Furtak Optics Optics (John s, 8Para (John Wiley Wiley & & Son Sons, New York, 1986), 1986), Cap. Cap. 4. New
http://carlos2524.jimdo.com/
228
Óptica ísica Óptica ffísica
(b) (b)
Figura 6.21 (a) Di stribución de en el plano cuando el diámetro diámetro del del diafragma diafragma Distribución de irradiancia irradiancia en plano imagen imagen cuando es iancia para cjJ = es cjJ cp == 4 mm mm. . (b) Distribució Distribución n de de irrad irradiancia para cp = 12 12 mm mm. .
En la Figura irradiancia obtenida obtenida en este este caso. caso. Compárese Compárese este Figura 6.21b 6.21 b se muestra muestra la distribución distribución de irradiancia este resultado resultado con el obtenido obtenido en el apartado apartado anterior. anterior.
6.11.
anteojo astronómico astronómico está está formado formado por por un objetivo = 80 cm cm y una Un anteojo objetivo de apertura apertura a = una distancia distancia focal focal f{ == 16 m, y un ocular angular M del del anteojo anteojo viene viene dado dado por por la f[ ocular de focal focal f~ f~ == 2 cm. cm. El aumento aumento angular conocida f{ //f~. f~. La pupila que es la la imagen imagen del objetivo objetivo a través través conocida expresión expresión M = = -- f[ pupila de salida salida se supone supone que del ocular. ojo del observador observador (ver (ver Figura Figura 6.22). ocular. En En esta esta posición posición es donde donde se sitúa sitúa el ojo 6.22).
F·,
objetivo objetivo
1 1 ps
PE
6.22 Esquema Esquema de dell anteojo anteojo astronómico. astronómico. Se ha indicado indicado el trazado rayos para para determinar Figura 6.22 Se ha trazado de de rayos determinar posición de de la pup pupila de sa salida. la posición il a de lida.
Resolución Resolución Calcular, en segundos segundos de arco, arco, el diámetro diámetro angular angular de la Calcular, la mancha mancha de d.ifracción difracción de una una estrella estrella que que emite emite 0.54 ¡;.,m ¡Lm en el plano plano focal focal imagen imagen del del objetivo en A.A.= 0.54 objetivo (esta (esta estrella estrella está está alineada alineada con con el el eje eje óptico). óptico). rayos procedente procedente de la estrella estrella iluminará iluminará el objetivo imagen. plano focal focal imagen. El haz de rayos objetivo y convergerá convergerá en su plano este plano plano el radio radio angular angular /'f..8 mancha de difracción En este :,.e de la mancha difracción vendrá vendrá dado dado por por 1.22A.
f..8 = --- - = = b.e
D
8.23 8.23
X X
10-77 rad 10rad ~~ 0.169" 0.169" rad. rad .
(6.89) (6.89)
dirige ahora ahora el anteojo anteojo hacia hacia una una estrella binaria (tal separación estrella binaria (tal que que sus dos dos componentes componentes tienen tienen una una separación Se dirige angular de y = = 0. 0.28" segundos de arco. ¿Podrá ¿Podrá separar separar este angular 28" segundos este anteojo anteojo las imágenes imágenes de las las dos estrellas? estrellas? Considerar que que el haz haz de luz luz que que envía envía la segunda segunda estrella misma luminosidad Considerar estrella es de la misma luminosidad y emite emite un haz haz rayos paralelos paralelos ligeramente ligeramente inclinado inclinado un ángulo ángulo y respecto haz que de rayos respecto del haz que emite emite su estrella estrella compañera. compañera.
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo Capítulo 6/ 6/ Difracción Difracción
229 229
Debido a que emitirá un que se trata trata de una estrella estrella binaria, binaria, la segunda segunda componente componente del del sistema sistema estelar estelar emitirá Debido haz de luz que Figura 6.22). 6.22). haz que llegará llegará al anteojo anteojo formando formando un cierto cierto ángulo ángulo respecto respecto al primero primero (véase (véase la Figura Estas haces es Estas dos componentes componentes de la estrella estrella serán serán resueltas resueltas por por el anteojo anteojo si el ángulo ángulo que que forman forman sus haces mayor que que el ángu ángulo mínimo de resolución resolución dador dador por criterio de Rayleigh Rayleigh t:,.8,n t:,.em mayor lo mínimo por el criterio 1.22)" " 1.22A t:,.e=--¡¡-é:::::0.169 MJ = -¡¡- é::::: 0.169 rad.
(6.90) (6.90)
Como > t:,.e t:,.8l11 este Como el ángulo ángulo que que forman forman los haces haces de las dos componentes componentes de la estrella estrella es y = = 0.28" 0.28" > m, , este anteojo anteojo resolverá resolverá las dos componentes componentes de la estrella estrella binaria. binaria. Si se sitúa que su sitúa el ojo ojo de un observador observador en la posición posición de la pupila pupila de salida salida del anteojo anteojo y se admite admite que poder separador separador angular angular es de 6 x 10-44 radianes, radianes, calcuhir calcular el diámetro diámetro mínimo mínimo del objetivo objetivo para poder para que que el resolución angular angular del anteojo. anteojo. ojo no limite limite la resolución primer lugar lugar calcularemos calcularemos la posición posición de la pupila pupila de salida. salida. En este este caso caso está claro que En primer está claro que será será la imagen del objetivo objetivo a través través del ocular. ocular. Por Por ello, ello, se tendrá tendrá imagen
a
1 e
(6.91) (6.91)
Ir
-(f( + iD -(f{
Si s'
I~'
decir, es decir, 1 -:;; s' - --1602 1602
1
(6.92) (6.92)
2' 2'
donde, s' Si = = 2.0025 2.0025 cm. de donde, tamaño de la pupila pupila de salida, salida, d será: será: El tamaño
2 1602 1602
d:::.:;--x80=0.lcm. d~-x80=0.lcm.
.
(6.93) (6.93)
Como se ve, la pupila pupila de salida salida está está casi casi en el foco foco imagen imagen del ocular ocular y tiene tiene un diámetro diámetro de 1 1 mm. En Como esta posición posición se sitúa sitúa el ojo. Como Como hemos hemos visto visto en el apartado apartado anterior, anterior, el ángulo ángulo mínimo mínimo de resolución esta resolución anteojo, en el espacio espacio objeto objeto es del anteojo, 1.22).. 1.22A t:,.em --, - , (6.94) t:,.8 (6.94) m = a donde a es el diámetro diámetro del objetivo. objetivo. Ahora Ahora bien, esto quiere quiere decir decir que que los haces haces que indicen en el objetivo donde bien, esto que indicen objetivo este ángulo ángulo emergerán emergerán del anteojo anteojo con un ángulo con este ángulo (6.95) (6.95) este ángulo ángulo entran entran los haces haces en el ojo si se sitúa sitúa en la posición posición de la pupila pupila de salida salida del Con este del anteojo. anteojo. En estas circunstancias, circunstancias, el valor valor que que debe debe tomar tomar el diámetro diámetro del objetivo objetivo a para para que que el ojo no limite estas limite el el poder poder resolución del anteojo anteojo debe debe ser tal que que de resolución
ar
I( I{ t:,.em== ,t:,.e > 6 x 10 10-t:,.8", ,t:,.8 ll1 m > II
12 2 1
4 .
rad. lado
(6.96) (6.96)
Despejando a se obtiene, obtiene, a = = 87.8 87.8 cm . Despejando n.
6.12. 6.12. 9)
Un modelo modelo de ojo teórico teórico reducido reducido está está formado formado de la siguiente siguiente manera: manera: el radio radio de la la córnea Un córnea es 5.6 5.6 111my el índice índice de humor humor acuoso acuoso es n = = 1.33. 1.33. La La pupila pupila del del ojo está está situada situada a 5.6 mm mm del mm del vértice vértice de córnea y tiene tiene un diámetro diámetro de 4 mm. mrn, La La radiación radiación empleada empleada está está colimada colirnada y tiene tiene una la córnea una longitud longitud de onda de 555 nm. onda Resolución Resolución Calcular el tamaño tamaño de la mancha mancha de Airy Airy en la retina retina y cornpararla tamaño medio medio de un fotorreCalcular compararla con el tamaño fotorreceptor (2 J-Lm). Jim). ceptor
http://carlos2524.jimdo.com/
230 230 Óptica Óptica física física El tamaño tamaño de la mancha mancha de difracción difracción debida debida a una una abertura abertura circular circular se define define en el enunciado enunciado como como el dado mancha de Airy dado por la posición posición del primer primer mínimo mínimo del disco disco de Airy. Esta Esta mancha Airy se obtiene obtiene sobre sobre la retina retina al focalizar focalizar mediante mediante los medios medios oculares oculares del ojo (córnea (córnea y cristalino) cristalino) los haces haces de luz procedente procedente del objeto objeto situado situado en el infinito infinito y que que proporciona proporciona una una imagen imagen no puntual puntual sobre sobre el foco del sistema sistema completo. completo. (a) (al
(b) (bl
Plano Plano de de la retina retina
r,
n=1
n·=1.33 n'=1 .33
Figura 6.23 6.23 (a) Geometría iderar la resolución Geometría para para cons considerar resolución espacia espacial l en eell ojo ojo reducido. reducido. (b) DistribuDistribución junto con ción de de irradiancia irradiancia en la retina retina junto con el mosaico mosaico de de fotorreceptores. fotorreceptores.
Podemos Podemos estimar estimar el valor valor de la focal focal del ojo empleando empleando el invariante invariante de Abbe Abbe del dioptrio dioptrio - .;, ~ +? = = /lR ' por por lo que resulta resulta J I I' ~ ~22.57 22.57 mm. En el caso caso del ojo la apertura apertura es el iris del ojo. Cuando Cuando se analiza analiza el paso paso de la luz a través través del ojo mucho más útil considerar considerar la posición posición y el tamaño tamaño de la pupila pupila de entrada entrada del sistema. sistema. Los Los haces haces de es mucho luz están limitados por Figura 6.23a. están limitados por la pupila pupila de entrada entrada como como puede puede apreciarse apreciarse en la Figura 6.23a. De modo modo que que el tamaño tamaño de la pupila pupila de entrada entrada verifica verifica la relación relación /IR)1,
cPp CPP
cP
JI f'
l' -
(6.97) (6.97)
r'
de modo modo que que CPp cPp = 5.32 5.32 mm. Debido Debido a la forma forma circular circular de la pupila pupila de entrada entrada se obtiene obtiene que que la distribución distribución de irradiancia irradiancia en condiciones condiciones de Fraunhoffer Fraunhoffer tiene tiene el primer primer mínimo núnimo situado situado a una una distancia distancia angular angular con con respecto respecto al eje del sistema sistema (perpendicular (perpendicular al plano plano de la pupila) pupila) dado dado por por 8v ev
1.22A 22Aao I.
=---,- - , ncpp ncPp
(6.98) (6.98)
lo cual cual permite permite calcular calcular la posición posición del primer primer mínimo mínimo de difracción difracción sobre sobre el plano plano retiniano retiniano como como
~ 8v ev J f' I == 2.16¡.¿m. 2. 16 ¡.¡.m. qv ~
(6.99) (6.99)
Este Este valor valor debe debe ser igualo igualo inferior inferior al tamaño tamaño de los fotoneceptores fotorreceptores que que según según el enunciado enunciado es r = = 2 ¡.¿m. ¡.¡.m. En la Figura Figura 6.23b 6.23b se muestra muestra la distribución distribución de irradiancia irradiancia conocida conocida como como "mancha "mancha de Airy" Airy" que se produce produce en la retina, retina, superpuesto superpuesto con con el mosaico mosaico de fotorreceptores: fotorreceptores: en este este caso caso se ve que que la anchura anchura de la mancha mancha es mayor mayor que que el tamaño tamaño de un fotorreceptor fotorreceptor 10 lo cual cual muestra muestra una una situación situación no ideal ideal en el sentido sentido de que no se aprovecha aprovecha totalmente totalmente la resolución resolución espacial espacial retineana. retineana. Podríamos Podríamos estimar estimar también también el tamaño tamaño angular angular y lineal lineal de la distribución distribución de luz en la retina retina a partir partir de difracción a través través de la abertura abertura real: en este este caso caso se tendría tendría que que desde desde el centro centro del dioptrio dioptrio el angula angula la difracción subtendido difracción está subtendido por el primer primer mínimo mínimo de difracción está dado dado por por
Aa
eD == 1.22-. 1.22-. 8D
ncp ncP
(6.100) (6.100)
Nótese Nótese que el ángulo ángulo subtendido sub tendido por por el primer primer mínimo mínimo de difracción difracción en este este caso caso difiere difiere del dado dado por por la expre'sión expresión (6.98) (6.98) que que está está calculado calculado desde desde el vértice vértice del dioptrio. dioptrio. Sin embargo, embargo, a partir partir de (6.100) (6.100) llegamos tamaño lineal lineal del primer primer mínimo mínimo de difracción difracción resulta resulta llegamos a que el tamaño qD ao ~ ~ 8Dj eDf' l == 2.16 2.16 ¡.¿m. ¡.¡.m.
http://carlos2524.jimdo.com/
(6.101) (6.101)
Capítulo Capítulo 6/ 6/ Difracción Difracción 231 mael retina te del pleta.
A la vista vista de estos resultados vemos vemos que, tamaño angular angular es diferente por los dos A estos resultados que, aunque aunque el tamaño diferente al computarlo computarlo por dos métodos, el tamaño tamaño lineal primer mínimo mínimo de difracción mism0 9 . métodos, lineal del primer difracción es el mismo". Si dos puntos luminosos máxima distancia podrán alejar dos puntos luminosos están están separados separados 1 mm, calcular calcular la máxima distancia a que que se podrán alejar del para que viéndose separados. del ojo ojo para que sigan sigan viéndose separados. Para pueden estar juntos dos puntos puntos de modo modo que resueltos espacialmente Para determinar determinar cuánto cuánto pueden estar de juntos que sean sean resueltos espacialmente emplearemos el criterio criterio de Rayleigh: Rayleigh: dado dado que que la imagen imagen de un punto cuya extensión extensión emplearemos punto es una una mancha mancha cuya angular está está determinada determinada por longitud de onda, onda, si dos puntos emisores de angular por el tamaño tamaño de la pupila pupila y la longitud puntos emisores radiación 10 en el espacio espacio objeto objeto están están suficientemente suficientemente próximos, dos distribuciones distribuciones radiación próximos, en la retina retina se tendrán tendrán dos irradiancia que que se llegarán llegarán a superponer. superponer. En este este sentido, sentido, el criterio criterio de Rayleigh establece que que en las de irradiancia Rayleigh establece imágenes estarán estarán resueltas centros de las correspondientes correspondientes distribuciones distribuciones de irradianci irradianciaa subtienden subtienden imágenes resueltas si los centros entre sí un ángulo ángulo dado dado por ecuación (6.100). (6.100). Para Para determinar determinar a qué qué distancia distancia del vértice dioptrio entre por la ecuación vértice del dioptrio están justamente consideremos la Figura 6.24, y téngase cuenta que que el centro centro del los puntos puntos están justamente resueltos, resueltos, consideremos Figura 6.24, téngase en cuenta dioptrio es el punto sistema. De este modo que dioptrio punto nodal nodal del sistema. De este modo se ha de verificar verificar que PI,mode Plano de la retina
tribu-
T$,· T$
el ojo es de que el
II
n=1 n=1
n'=1.33 n'=1.33
6.24 Geometría Geometría para determinar el mínimo espacial. Desde Desde los los puntos emisores Figura 6.24 para determinar mínimo resoluble resoluble espacial. puntos emisores se consideran consideran aquellos aquellos rayos que pasan en centro centro del dioptrio dioptrio. . se rayos que pasan por por en
(6.97) yy cia en je del
(6.98)
IsIsll + r
-
y
-sS +
2J.im.
que se ura de entido ir de angula
6.100) do por 6.100)
6.101)
(6.102) (6.102)
donde se obtiene obtiene inmediatamente inmediatamente que que Is [sI = = I.~to de donde I .~to - r ~~ 7851.4 mm. Otra manera acceder a determinar determinar la distancia distancia de separación separación consiste consiste en considerar considerar que que el ángulo ángulo Otra manera de acceder que subtienden subtienden los puntos 8v, computado computado desde desde el vértice vértice del dioptrio, dioptrio, ha de verificar que puntos en retina retina ev, verificar la ley de Snell, de modo que eo 80 = = nev n8v (ver (ver Figura Figura 6.25). 6.25). En En este este caso caso se tiene tiene Snell, modo que
(6.99)
l.22A 22Aoo l. nc/J n
AA
=nI22= n 1.22 - - , . nc/Jp'
n
(6.103) (6.103)
cual se tiene que s = -7857 -7857 mm. Nótese que ambos ambos resultados difieren ligeramente ligeramente y que el con lo cual tiene que Nótese que resultados difieren mínimo angular es eo 80 = 1.22 1.22;p = 26.3". 26.3". mínimo resoluble resoluble angular cualquier caso caso en la determinación determinación de la resolución espacial se han realizado serie de aproaproEn cualquier resolución espacial realizado una una serie ximaciones que vamos considerar a continuación. continuación. En efecto, efecto, consideremos consideremos un único objeto puntual ximaciones que vamos a considerar único objeto puntual colocado a una distancia s = = --7857 dioptrio (que (que es la que que hemos determinado una distancia 7857 mrn mm del vértice vértice del dioptrio hemos determinado colocado anteriormente). En este este caso caso la imagen imagen predicha óptica geométrica geométrica en aproximación aproximación paraxial anteriormente). predicha por por la óptica paraxial se determina empleando empleando el invariante invariante de Abbe, que resulta que s' 22.62 mm. Recordemos que que la determina Abbe, por por lo que resulta que s' ~~ 22.62 mm. Recordemos focal del dioptrio dioptrio es J' I' = 22.57 mm. Esto significa significa que que si la retina está en el foco foco del focal mm. Esto retina del ojo reducido reducido está dioptrio, entonces entonces la imagen imagen del punto está desenfocada. desenfocada. Podemos Podemos determinar determinar geométricamente geométricamente la región dioptrio, punto está región retina iluminada iluminada (ver (ver Figura Figura 6.26), 6.26), a partir cual tenemos que el radio zona iluminada, iluminada, re, re, de la retina partir de la cual tenemos que radio de la zona verifica verifica la relación relación
;p
re re
c/J/2
s' f' s' - J'
s' - r s'
(6.104) (6.104)
9Sin embargo, el procedimiento empleado para calcularar el el tamaño angular de la mancha empleando la ec ecuación (6.100) 9S in embargo, procedimiento empleado para calcul tamaño angular man cha de Airy Airy empleando uac ión (6.100) supone necesariamente que se desprecia desprecia la curvatura curvatura de la onda onda refractada dioptrio y que que llega llega al diafragma. diafragma. por el dioptrio supone necesariamente que refractada por IOSe supone supone que que ambos ambos puntos emiten incoherente entre entre sí. lOSe puntos em iten radiación radiación incoherente
http://carlos2524.jimdo.com/
232
Óptica física Óptica física Plano Plano de de la retina retina
n=1
6.25 Geometría Geometría para para determinar determinar el mínimo mínimo resoluble resoluble espacial. espacial. En este este caso caso consideramos consideramos Figura 6.25 los vértice del los rayos rayos que que parten parten de de los los puntos puntos emisores emisores y que que se se inciden inciden en en el vértice del dioptrio. dioptrio.
partir de esta resulta que mm. Este resultado contrasta notablemente con A partir esta ecuación ecuación resulta que re re = = 8.23 8.23 x 10- 33 mm. Este resultado contrasta" l l notablemente con 3 3 mm. el radio radio lineal mancha de Airy Airy que lineal de la mancha que era era de 2.16 x 1010- mm. Plano de n·=1.33 n·=1.33
n=1
la retina
s,
o
¡.
~
~
O' O'
, , , , , s'
:
II·~-------------------------'·:·~-----------------------'·I ~ ~I Figura 6.26 .Geometría para 6.26.Geometría para determinar determinar la influencia influencia del del desenfoque desenfoque en en el mínimo mínimo resoluble resoluble esespacial. traza los pacial. Desde Desde el punto punto emisor emisor se se traza los rayos rayos que que pasan pasan por por los los bordes bordes del del diafragma diafragma y que que apuntan apuntan a los los bordes bordes de de la pupila pupila de de entrada. entrada.
Veamos esto más detalle rayo que Veamos esto con más detalle (recordemos (recordemos el Problema Problema 5 del Tema Tema 1). Consideremos Consideremos el rayo que llega paralelo al eje óptico borde de la pupila pupila de entrada: recorren diferentes diferentes llega paralelo óptico y el que que llega llega al borde entrada: ambos ambos recorren caminos vamos a denominar Así mismo mismo tras refractarse refractarse ambos caminos ópticos ópticos que que vamos denominar s y l. Así ambos recorrerán recorrerán caminos caminos ópticos podemos denominar interesados en computar ópticos diferentes diferentes que que podemos denominar nl' ni' y ns': ns': dado dado que que estamos estamos interesados computar el efecto efecto del desenfoque hasta el plano plano de la retina. retina. Estos Estos caminos pueden expresarse desenfoque la longitud longitud l' se computa computa hasta caminos pueden expresarse en términos términos de la altura rayos en el dioptrio, radio altura de corte corte de los rayos dioptrio, las distancias distancias objeto objeto e imagen, imagen, el radio medios involucrados. De esta manera podemos podemos computar término de del dioptrío dioptrio y los índices Índices de los medios involucrados. De esta manera computar el término teoría de la óptica resulta para para el rayo rayo de borde borde desenfoque, desenfoque, W, empleando empleando la teoría óptica geométrica geornétrica'?12 que que resulta W
= n cfJ; c/J; [~ [~ __ ~]~] ,, 2
Ro
zz
(6.105)
donde cfJs c/Js es el diámetro diámetro de la pupila salida, que que en este este caso caso es el propio diafragma, z es la posición pupila de salida, propio diafragma, posición donde en la que está la retina retina y Ro es el radio radio de curvatura punto imagen que está curvatura de una una esfera esfera centrada centrada en el punto imagen y que que pasa por por el centro pasa centro de la pupila pupila de salida. salida. Esta Esta diferencia diferencia de camino camino óptico óptico adicional adicional nos indica indica que que a la hora qué región difracción hemos incorporarla hora de buscar buscar en qué región de la retina retina se tiene tiene el primer primer mínimo mínimo de difracción hemos de incorporarla al término rayo tal y como término de fase. Si evaluamos evaluamos la aberración aberración de rayo como hicimos hicimos en el Problema Problema 6 veremos veremos que que el tamaño estimación que hemos hecho hecho más arriba tamaño de esta esta aberración aberración equivale equivale a la estimación que hemos arriba re. re. De esta manera el ángulo región iluminada retina es De esta manera ángulo que que subtiende subtiende la región iluminada en retina
re re ed ==-8d f" f"
(6.106)
adoptamos ahora ahora el criterio criterio de resolución similar al de Airy, resulta que el ángulo ángulo subtendido subtendido por dos Si adoptamos resolución similar resulta que por dos puntos en el espacio 8d está por puntos espacio objeto objeto 8 e0o = !s !s deberá deberá cumplir cumplir la ley de Snell Snell 8 e0o = n8d ned,, donde donde ed está dado dado por 11 Claramente se aprecia proviene de considerar eto, situado una distancia nita de la lente, 11Claramente aprecia que que esta esta discrepancia discrepancia proviene considerar que que el obj objeto, situado a una distancia fifinita 'ente, está está en el el infinito. en infinito. 12Yéase por ejemplo V. V. N. cit. 12Yéase por ejemplo N. Mahajan Mahajan op. eit.
http://carlos2524.jimdo.com/
\..
Capítulo Capítulo 6/ 6/ Difracción Difracción
233
I
!¡ I
la ecuación puntos ha de ser mm, resultado resultado ecuación (6.106). (6.106). De De esta esta manera manera la separación separación entre entre los puntos ser de y = = 3.82 3.82 mm, que contrasta discrepancias, están contrasta notablemente notablemente con la estimación estimación anterior. anterior. El origen origen de estas estas discrepancias, están asociadas asociadas también al modelo modelo simplificado simplificado de ojo acomodar, también ojo que que hemos hemos escogido, escogido, ya que que no tiene tiene posibilidad posibilidad de acomodar, esto que estén distancias finitas ojo. esto es, es, de enfocar enfocar en retina retina objetos objetos que estén a distancias finitas del ojo. Comparar Comparar el poder poder de resolución resolución teórico, teórico, en en segundos segundos de arco, arco, del ojo anterior, anterior, el anteojo anteojo construido construido por Galileo Monte-Palomar (5000 mm de apertura). Galileo (25 nun mm de apertura) apertura) y el telescopio telescopio de Monte-Palomar (5000 mm apertura). Considerar Considerar como longitud de onda como radiación radiación incidente incidente la que que tiene tiene longitud onda A = 555 nm. En términos tiene que que la resolución resolución angular propuestos 13 términos del criterio criterio de Rayleigh Rayleigh se tiene angular de los sistemas sistemas propuestos J3 para una radiación dada en segundos segundos de arco arco por por para una radiación de A = 555 nm está está dada
os
ojo ojo 26.3 26.3""
on
anteojo anteojo G 5.6 5.6""
telescopio MP MP telescopio 0.03 " 0.03"
donde tecnológico de los los instrumentos instrumentos 'ópticos desde la época donde se aprecia aprecia claramente claramente el desarrollo desarrollo tecnológico 'ópticos desde época de l4 . Galileo!". Galileo Un objetivo por un conjunto conjunto de lentes lentes con imagen JI = 86 mm. mm. Como Como objetivo fotográfico fotográfico está está formado formado por con focal focal imagen l' = es sabido ~ , siendo siendo D el diámetro diámetro de apeltura del sistema. sabido el número número de apertura apertura se define define como como N = = ~, apertura del sistema. Se coloca plano focal coloca una una película película fotográfica fotográfica en el plano focal del sistema. sistema.
6.13.
es-
ue
ue
Resolución Resolución I
Suponga continua, en el sentido que no limita limita la Suponga en Plimer primer lugar lugar que que la emulsión emulsión fotográfica fotográfica es continua, sentido de que resolución. diafragma N = 16, determinar determinar para para dos dos objetos objetos situados resolución. Si se coloca coloca un númerO número de diafragma situados a 5 m del objetivo mínima para para que que puedan puedan resolverse resolverse si se emplea radiación objetivo cuál cuál ha ha de ser ser su separación separación mínima emplea una una radiación .6 ¡.Lm. cuya cuya longitud longitud de onda onda es de A = =0 0.6 use.
La pupila modo que debido a la difracdifracpupila de la cámara cámara fotográfica fotográfica la supondremos supondremos de forma forma circular, circular, de modo que debido ción tendremos que punto está una cantidad cantidad dada dada por por ción tendremos que la imagen imagen de un punto está ensanchada ensanchada angularmente angularmente una se dio de
05) ión
e = 1.22-.A
D
(6.107) (6.107)
Si queremos 5 metros metros de la cámara resueltos, el ángulo queremos que que dos dos puntos puntos situados situados a s = = --5 cámara estén estén resueltos, ángulo que que deben deben de subtender mayor al dado dado en (6.107). Este ángulo podemos especificar subtender ha de ser al menos menos igual igual o mayor (6.107). Este ángulo lo podemos especificar en en términos de su separación, separación, 1l fl.y¡, 1 y está está dado y¡ , y la distancia distancia Is 1 dado por por términos
e ~
() o
fl.Yl llYl
~-
Isl' Isl'
(6.108) (6.108)
Teniendo en cuenta cuenta (6.107) (6.107) y (6.108) (6.108) llegamos separación entre entre ambos ambos puntos Teniendo llegamos a que que la distancia distancia de separación puntos ha de mayor o igual que llYl fl.YI = 0.68 0.68 mm. mm. ser mayor igual que
06) dos por está
En realidad realidad la emulsión emulsión fotográfica fotográfica tiene estructura granular En ti.ene una una estructura granular de granos granos muy muy finos de diámetro diámetro = 5 5 ¡.Lm {[m.. Calcular Calcular para para dos objetos objetos situados situados a s = = -5 -5 m de la cámara, ser su separaseparag = cámara, cuál cuál ha ha de ser ción espacial espacial mínima mínima para para que que aparezcan aparezcan resueltos ción resueltos en la imagen. imagen. No No tenga tenga en cuenta cuenta los efectos efectos de difracción. difracción. Para más más detalles detalles sobre sobre el sistema sistema de los los telescopios II 3Para telescopios véase véase el el Problema Problema 11 de este este Tema. Tema. 14Naturalmente la resolución resolución de los instrumentos instrumentos astronómicos 14Naturalmente astronómicos ha ha ido incrementándose incrementándose notablemente, notablemente, si bien bien ha ha de tenerse tenerse en en cuenta que que la resolución resolución instrumental instrumental es inferior inferior a la predicha cuenta predicha teóricamente teóricamente toda toda vez vez que que las las condiciones condiciones atmosféricas atmosféri cas influyen influyen notablemente en la formación formación de la imagen imagen en en estos justamente para para ello ello se han han desarrollado desarroll ado técnicas técnicas relativas relati vas al al tratamiento tratami ento tabl emente en estos sistemas: sistemas: justamente imágenes obtenidas obtenidas así así como elementos ópticos como elementos ópticos que que permiten permiten compensar compensar los frentes frentes de de onda onda mediante medi ante técnicas técnicas adaptativas. adaptati vas. de las imágenes
http://carlos2524.jimdo.com/
234 234 Óptica Óptica física física Si consideramos imagen de cada consideramos que la imagen imagen está está enfocada, enfocada, bastaría bastaría con que la imagen cada uno uno de los puntos puntos que queremos queremos resolver resolver espacialmente espacialmente se enfoque enfoque en dos granos granos contiguos. contiguos. Si suponemos suponemos que los granos granos están empaquetados, empaquetados, entonces entonces el ángulo ángulo que que subtienden subtienden dos granos granos adyacentes adyacentes es están
e~~ e~~
(6.109) (6.109)
l'
gg
llegamos a que De modo modo que que si tenemos tenemos en cuenta cuenta (6.108) (6.108) y (6.109) (6.109) llegamos que en esta esta situación situación la distancia distancia de separación separación entre entre ambos ambos puntos puntos ha de ser mayor mayor o igual igual que que ~Yl ~YI = = 0.29 0.29 mm. El número número de diafragma diafragma de la película película puede puede variarse variarse entre entre N N = = 2 y N N = = 22. ¿Cuál ¿Cuál ha de ser el mínimo mínimo valor valor de N que se puede puede emplear emplear para para que que el efecto efecto de la difracción difracción sea sea notorio notorio en la imagen imagen registrada? final registrada? este caso caso las magnitudes magnitudes a tener tener en cuenta cuenta son tanto tanto el tamaño tamaño del mínimo difracción como como el En este mínimo de difracción ángulo que subtienden subtienden dos granos granos adyacentes: adyacentes: esto esto es, hemos hemos de tener cuenta las expresiones expresiones (6.107) (6.107) Y ángulo tener en cuenta (6.109). Igualando Igualando ambas ambas podemos podemos obtener obtener el valor valor de D por por debajo debajo del cual cual los efectos efectos de difracción difracción son (6.109). importantes. Tras Tras operar operar se tiene tiene que Dl1lin Dl1lil/ lo cual corresponde corresponde a un valor valor de Nmill Nmil/ = 6.7. importantes. = 12.81 mm, 10 pues si colocamos colocamos N N < < Nmin Nmin el factor factor limitador Iimitador en el registro registro de fotografías fotografías será será el grano grano de la Así pues película. película.
DI FRACCiÓN POR ESTRUCTURAS ESTRUCTURAS PERIÓ~ICAS PERiÓDICAS,. DIFRACCiÓN
6.14.
o
o
quiere realizar realizar una red de difracción difracción holográfica holográfica de 1000 líneas/mm líneas/mm haciendo haciendo incidir incidir sobre sobre una Se quiere una red película fotográfica, fotográfica, dos haces haces coherentes coherentes provinientes provinientes de un mismo mismo láser láser de He-Ne He-Ne (A. (A.= 632.8 nm) película = 632.8 nm) inclinado un cierto cierto ángulo ángulo uno respecto otro. Calcular Calcular el ángulo ángulo que deben deben formar formar los haces. haces. inclinado respecto del otro. Resolución Resolución Esencialmente el el problema problema planteado planteado es idéntico Problema 1 del Tema Tema 4 así como como al Problema Problema 4 del Esencialmente idéntico al Problema Tema 5: recuérdese recuérdese que allí dos haces haces colimados colimados coherentes coherentes entre entre sí y con el mismo mismo estado estado de polarización polarización Tema hacían interferir interferir y se observaba observaba el diagrama diagrama interferencial interferencial en ún un plano. plano. Para Para registrar registrar la red holográfica se hacían holográfica basta colocar colocar en la región región de solapamiento solapamiento una una placa placa fotográfica fotográfica de alta resolución (grano (grano pequeño) pequeño) tal basta alta resolución convenientemente expuesta expuesta y procesada procesada en el laboratorio laboratorio nos permite permite registrar registrar la red de difracción. difracción. que convenientemente elegimos una geometría geometría de registro registro simétrica simétrica respecto respecto al eje Y (véase (véase Figura Figura 4.8), 4.8), esto esto es, que que los dos Si elegimos haces formen formen el mismo mismo ángulo ángulo respecto entonces la interfranja interfranja del diagrama diagrama interferencial interferencial será será haces respecto al eje eje Y, entonces 1 1/./ 11./
A.A. ---- - 2 sen f3 '
(6.110) (6.110)
donde f3 es el ángulo ángulo que que forman forman los haces haces con el eje Y. Y. La inversa inversa de la interfranja interfranja nos daría daría el el número número donde líneas por milímetro interés por lo que resulta que el ángulo ángulo f3 ha de ser de 18.45 18.4500. • Nótese Nótese que que si de líneas milímetro de interés resulta que haces de luz se polarizan polarizan en la dirección dirección del eje X, entonces entonces el diagrama diagrama interferencial grabado tendrá tendrá los haces interferencial grabado contraste unidad unidad 15. 15 . contraste
6.15.
En la Figura 6.27 se muestra muestra un monocromador monocromador de red. La red posee posee las las características características siguientes: siguientes: Figura 6.27 número de trazos trazos por por milímetro milímetro 600 600 y tiene tiene un total total de 10000 10000 trazos. trazos. La lente lente convergente convergente L L 11 permite permite número iluminar la red con con la luz blanca blanca procedente procedente de la fuente fuente S. La La lente lente Lo cuya cuya distancia focal imagen imagen es iluminar distancia focal metro tiene tiene su eje óptico óptico normal normal a la red. Su foco foco se encuentra encuentra en el centro centro O de la rendija rendija R. de un metro Este punto punto sirve sirve de origen origen en la dirección dirección Y en el plano plano de F~. F~. Este
15En la práctica práctica se hace hace que que uno uno de los haces haces de luz, luz, llamado llamado haz haz de referencia, referencia, tenga tenga una una irradiancia irradiancia del del orden orden de 10 veces veces 15 superior a la del otro otro haz, denominado denominado haz haz del del objeto. objeto. superior
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo 6/ 6/ Difracción Difracción Capítulo
235
red red
\
F'o
, ,
Lente Lo Lente Lo
, ,
\;/0 ~;/o
IX' v v
---------- ---1 ---- -----------------1-------\-- --------- ----\---------------
,,'"
S S
,,
1 1,, ,
<, ,,/ // '"
/~' /~'
el y n
Figura fuente Figura 6.27 6.27 Esquema Esquema gráfico gráfico de de la situación situación experimental experimental descrita: descrita: la luz procedente procedente de de la fuente ilumina focal de L,. La ilumina la rendija rendija primaria primaria que que está está colocada colocada en en el plano plano focal de L,. La radiación radiación que que emerge emerge de de Lo colecta focal esta esta lente lente incide incide sobre sobre la red red de de difracción difracción y la lente lente Lo colecta la luz difractada. difractada. En el plano plano focal Lo se seleccionar la longitud de de Lo se coloca coloca una una rendija rendija que que permite permite seleccionar longitud de de onda onda de de interés. interés.
7. la
Resolución Resolución
¿Qué valor debe para obtener máximo principal principal de ¿Qué valor debe tener tener el ángulo ángulo de incidencia incidencia sobre sobre la red para obtener en O el máximo orden para una una longitud longitnd de onda AO = orden 2 para onda de Aa = 0.6 0.6 fLm? fLm? Para punto O para para Aa AO = paralelo Para que que el orden orden m In = = 2 esté esté en el punto = 0.6 0.6 fLm, fLm, el haz debe debe emerger emerger de la red paralelo al eje óptico lente, de manera manera que Aplicando la ecuación óptico de la lente, que el ángulo ángulo de difracción difracción es e e == O°. O". Aplicando ecuación de la red [senté') - sen(E)] senrs)] == hAo, hAo, d [sen(e)
(6.111) (6.111)
donde donde h es el orden orden interferencial interferencial y E el ángulo ángulo de incidencia incidencia (desconocido). (desconocido). En la configuración configuración de la Figura habitual, la única única posibilidad posibilidad consiste Figura 6.27 6.27 y siguiendo siguiendo el criterio criterio de signos signos habitual, consiste en que que el orden orden interferencial problema se podría hacer igual pero entonces interferencial sea m In = = --22 (el problema podría hacer igual con con m In = = 2 pero entonces la fuente fuente debería debería estar respecto al eje óptico). manera, si sustituimos estar colocada colocada especularmente especularmente respecto óptico). De esta esta manera, sustituimos en la ecuación ecuación (6.] 11) se obtiene que sen(E) sents) = = 2~o = 2X~·J6xO~0-3. Por lo tanto, = 46.05448°. 46.05448°. (6.111) obtiene que 2~o = 2X ~·J6xO~0-3 . Por tanto, E = á
En las condiciones condiciones antedores anteriores ¿dónde ¿dónde se encuentra encuentra el punto donde se forma forma el máximo orden -2 -2 En punto donde máximo de orden para otra longitud de onda A ligeramente diferente de Aa? para otra longitud onda ligeramente diferente AO?
O)
Conocido el ángulo ángulo de incidencia, incidencia, se puede calcular el ángulo ángulo de difracción difracción de cualquier cualquier orden orden ememConocido puede calcular pleando ecuación (6.1 (6.111). orden m In = = --22 se tendrá pleando la ecuación 11). En particular, particular, para para orden tendrá
ro si ..l
sen[e_2(A)]
=
2A
2(Ao - A) d .
-d+sen(E)=
(6.112) (6.112)
v
altura en el eje eje Y Y del plano focal de Lo dada por (ver Figura Figura 6.27) 6.27) La altura plano focal Lo vendrá vendrá dada por (ver Y-2(A) = Y-2 (A) =
II
f tan
[[
] ]
e-2(A) = e2(A) =
I 2(AO - A) -------;=====~ f -------¡==:=== = ====;¡: 22 I
J .j
1 es
dd
2(Ao - A) [2(Ao -- A)]2 A)f -- [2(AO
(6.113) (6.113)
Fa de anchura anchura 1 1= = 0.1 mm deja pasar longitudes de onda onda comprendidas comprendidas La rendija rendija Fo mm deja pasar las radiaciones radiaciones de longitudes entre Aa + /:o,.A/2.Calcular anchura espectral espectral /:o,.A que pasa Calcular el entre AO - /:o,.A/2 /:o,.A /2 Y Aa AO + /:o,.A / 2. Calcular la anchura /:o,.A que pasa por por la rendija. rendija. Calcular poder instrumento y compararlo compararlo con con el poder difracción. poder de resolución resolución de todo todo el instrumento poder resolutivo resolutivo de la red de difracción. Por el centro centro de la rendija longitud de onda onda Aa 0.6 fLm. fLm. Por Por la parte superior entrará entrará una rendija pasará pasará la longitud AO = 0.6 parte superior una Por longitud de onda onda As limitada limitada por ángulo que que subtiende subtiende el borde superior con con respecto óptico longitud por el ángulo borde superior respecto al eje óptico
http://carlos2524.jimdo.com/
I i I
Óptica física física 236 Óptica
-1 [2.~J.
tantan I [2j,1]. satisfacer que que satisfacer
es e. = 1
Luego la longitud rendija por por su parte parte superior Luego longitud de onda onda que que entrará entrará en la rendija superior ha de
d [sen(e [sen(ess) ) - sen(E)] sen(E)]
= -
2As, 2As ,
(6.114) (6.114)
donde resulta resulta A.I· 599.96 nm. longitud de onda onda que que entrará entrará por inferior de As = 599.96 nm . Análogamente Análogamente la longitud por el borde borde inferior de donde rendija ha de satisfacer satisfacer la rendija d[sen(e¡) -sen(E)] -sen(E)] d[sen(e¡)
donde e¡ e¡ donde
obtiene A¡ = --eses y se obtiene A¡ =
=
-2A¡, -2A¡,
600.042 nm. De donde /'-,.A 600.042 De donde /'ü = As - A¡
poder resolutivo resolutivo de todo instrumento es todo el instrumento poder
II~~l. ~~ l .
ltodo odo ell,nslrum enlo el instrument o
(6.115) (6.115)
=
0.082 nm. Por 0.082 Por lo tanto tanto el
~ J317, 'J317, en tanto tanto que que el poder poder resolutivo resolutivo
difracción sería sería II ~~ de la red de difracción ~~ II = 20000. 20000. red r ed estos resultados concluye que que la rendija limita considerablemente considerablemente la resolución A la luz de de estos resultados se concluye rendija limita resolución espectral del dispositivo. dispositivo. espectral
6.16.
Para resolver resolver las dos emisiones emisiones amarillas amarillas del sodio, sodio, de longitudes longitudes de onda onda Al Para A1 = = 0.5890 0.5890 ¡Lm y A2 A2 = = 0.5896 ¡Lm se ilumina ilumina una difracción con con un colimado procedente lámpara de sodio. 0.5896 una red red de difracción un haz haz colimado procedente de una una lámpara sodio. orden 2 difractado difractado se recoge lente de focal focal f I¡ = = 50 50 cm montada sobre el brazo montada sobre brazo móvil móvil de El orden recoge con una una lente un gon goniórnetro. La longitud longitud total iómetro. La total de la red es de 2 cm. Resolución Resolución ¿Cuál debe debe ser el número Iíneas/mm de la red para que sean sean resueltas espectralmente? ¿Cuál número mínimo mínimo de líneas/mm para que resueltas espectralmente? Para que se resuelvan ambas radiaciones espectralmente en orden orden 2, se ha de cumplir cumplir que que Para resuelvan ambas radiaciones espectralmente AA /'). A
=2N = = 2Lnl, -/'-,.A =2N 2Lnl
'
(6.116) (6.116)
donde L = 2 xX 1010-2 2 (m) Y ni es el número líneas por longitud. Por elegir número de líneas por unidad unidad de longitud. Por lo tanto tanto se ha de elegir donde una red cuyo cuyo paso sea p = .1.. = 40.75 ¡Lm.. paso sea J.. 40.75 ¡Lm ni Calcular, en el plano observación, la distancia distancia que que separa separa las dos dos "rayas" "rayas" espectrales espectrales si se emplea emplea Calcular, plano de observación, una red, red, de paso iluminada sobre sobre una extensión de 2 cm. una paso 2 ¡Lm, iluminada una extensión suponemos que que el orden orden cero cero difractado difractado por foco imagen entonces la Si suponemos por la red va al foco imagen de la lente, lente, entonces localización del orden orden 2 está está prescrito ecuación de la red (d (d sen e e = 2A), que Al 2A), de modo modo que Al se localización prescrito por por la ecuación localiza a una una distancia distancia del eje eje óptico óptico de la lente lente dada dada por el = 364.4202 364.4202 mm y la otra otra localiza por z 1 = ff' I tan el radiación se localiza localiza a una distancia Z2 e2 = 364.9891 364.9891 mm eje óptico. óptico. radiación una distancia Z2 = f II tan e2 mm del eje
6.17.
Considere el dispositivo dispositivo de la Figura 6.28 en el que que se muestra cuya base cuyo ángulo ángulo Considere Figura 6.28 muestra un prisma ptisma cuya base es b, cuyo vértice es el el, , cuya cuya altura altura es h y lado Sobre el prisma incide normalmente sobre la interfase interfase en el vértice lado zo. zo. Sobre prisma incide normalmente sobre ABB un haz haz de radiación longitud de onda onda A. La ocupada por A radiación monocromática monocromática de longitud La región región no ocupada por el prisma prisma es opaca a la radiación radiación incidente. incidente. opaca Resolución Resolución Escribir la expresión expresión de la onda onda que que incide incide sobre sobre el prisma. Esclibir prisma. Dado que que hemos empleando la formulación formulación escalar escalar en en los problemas difracción, especifiespeci~Dado hemos venido venido empleando problemas de difracción, caremos el campo campo eléctrico eléctrico de la onda onda incidente incidente como como una onda escalar escalar que que se propaga dirección kk11 una onda propaga en la dirección caremos especificada por especificada por (6.117) (6.117)
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo 6/ Difracción Capítulo 6/ Difracción z
14)
de
1
237
Pantalla Pantalla
~ :-1-- -~~:I--+---I' BI~ Z
-'-y '
15) ~I
el ivo
y
BI~
j
®x ®x
ión Figura 6.28 gráfico de la situación situación experimental experimental descrita: descrita: el haz plano incidente sobre sobre 6.28 Esquema Esquema gráfico plano incidente difractado y el diagrama diagrama de difracción difracción es observado observado en la pantalla. el prisma prisma es difractado pantalla.
esta manera manera la onda onda incidente incidente sobre prisma vendrá vendrá dada dada por por De esta sobre el prisma
e
o - E ei(wt-k¡or) E, E me lonc oO ei(wt-k¡or) .•
(6.118) (6.118)
Escribir la expresión onda en el plano plano Z X de la Figura Figura 6.28, dentro del prisma. Téngase Escribir expresión de la onda 6.28, o sea, sea, dentro prisma. Téngase en cuenta que que el índice índice de refracción refracción que la onda onda es n(A). en cuenta que experimenta experimenta la n(A).
16)
-\
Si llamamos llamamos t1 al coeficiente coeficiente de transmitancia transmitancia en amplitud amplitud para para el campo campo eléctrico, eléctrico, el campo campo eléctrico eléctrico plano X Z viene viene dado dado por por en el plano E
xz = to.I E Oe i (wl-k 2o r)e- i 4>°TI(x , z) ,
(6.119) (6.119)
glf
a la se tra
donde factor de fase que frente de onda donde 4J0 4Jo es un factor que tendrá tendrá en cuenta cuenta el hecho hecho de que que cada cada fracción fracción del frente onda recorre recorre camino óptico óptico diferente diferente dentro dentro del prisma prisma hasta hasta llegar llegar al plano plano X Z, Z, y k2 es el vector vector de propagación propagación un camino onda dentro dentro del prisma prisma que que vendrá vendrá dado dado por por de la onda
(6.120) (6.120) prisma y viene viene dada dada por por La función La función TI (x, (x, z) especifica especifica la abertura abertura del prisma TI (x, (x, z)
=
11 si -Zo <
1 1
2
-
oo
--
2
2
-
-
O en el resto. resto. Oen
o e
Así mismo mismo el factor Así factor de fase
4Jo 4J0
2' 2'
(6.121) (6.121)
viene dado dado por por viene
4Jo 4J0
=
2n
-n(A) Sen(e1) zo/2]. -n(A) sen(8¡) [z - zo/2]. AA
(6.1 22) (6.122)
Estimar eléctrico difractado Estimar en aproximación aproximación de Fraunhofer Fraunhofer el campo campo eléctrico difractado que que se obtendrá obtendrá en la pantalla pantalla de observación. Analizar el resultado obtenido. observación. Analizar resultado obtenido. Para Para obtener obtener el campo campo difractado difractado previamente previamente expresaremos expresaremos el campo campo eléctrico eléctrico inmediatamente inmediatamente detrás detrás de la cara cara del prisma prisma paralela paralela al eje Z, que que viene viene dado dado por por 17)
Elxz
= t 1t2 E Oe i (wt - k 3 °¡: )e- i 4>°TI(x , z) ,
http://carlos2524.jimdo.com/
(6.123) (6.1 23)
238 238
Óptica Óptica física física
donde amplitud y k3 k3 es el vector vector de propagación propagación de la onda donde (2 t2 es el coeficiente coeficiente de transmitancia transmitancia en amplitud onda en aire tras la refracción. puede determinar más que refracción. Este Este vector vector se puede determinar sin más que aplicar aplicar la ley de Snell Snell (n(A) (n(A) sen 81 el = = seneú sen 8ú Ahora evaluar el campo campo difractado difractado en aproximación aproximación de Fraunhofer. Fraunhofer. Para Para Ahora estamos estamos en condiciones condiciones de evaluar pantalla de observación observación tal que que ello consideremos ejes cartesiano, cartesiano, (X'YZ consideremos un sistema sistema de ejes (X'YZ/), ' ), situado situado en la pantalla X' campo difractado por una una abertura rectangular que incorpora un X' 11 X Y z' 11 Z. Se trata trata de evaluar evaluar el campo difractado por abertura rectangular que incorpora término manera el campo campo en la pantalla pantalla vendrá vendrá dado dado por por término de fase fase 1Jo 1Jo = 1Jo(z). 1Jo(z). De esta esta manera
e . ¡h/2 .k"D(n f" /2¡ZO/2 f O/2dxdx dd ze' k +zz 2rr +zz )e-ITIZ(A)SenO¡Z, ze '.D(xX )e- · T"(A)sen O¡z,
. Ep(x', D D,, z') Z') = = _e/M Ep(x', _e e'úJT D
Z
.1
I
.2rr
I
(6.124) (6. 124)
-11 / 2 -zo/2 - zo/ 2 -h/2
donde en la constante constante e se han incorporado incorporado los fase que La integral donde los términos términos de fase que se arrastran. arrastran. La integral doble doble a la región de la abertura abertura se puede puede reali realizar sencillamente resultando región zar sencillamente resultando
l
(z'
)]
,I ,le· = c· ZO(ZlD-n(A)se~el (khx ) ) zosenc Ep(x,D,z)= De,w/hsenc 2D Ep(x,D,z) D e'úJlhsenc (khX' 2D ZOsenc [[ k ZO D-n(A)se~81 )] .
2 2
(6. 125) (6.125)
Si llllamamos amamos 82 difracción medidos medidos en las direcciones direcciones de los ejes Z' y X' X ' respecrespece2 y 8exx a los ángulos ángulos de difracción ejes Z' tivamente, tivamente, entonces entonces sene2 senexx, , de modo modo que (6.125) se puede = sen 82 Y y ~ = sen8 que la ecuación ecuación (6.125) puede reescribir reescribir de manera compacta compacta como como manera
t
i
eD e iwt¡ iúJI¡1Z0 E p ('D E x, = -e senc f3x senc senc f3zz,. x', D, z Z'')) = n o senc D
(6.126) (6. 126)
donde donde f3x
=
f3z =
n
-h A
senex,
(6.127) (6.127)
Tr
iZO [sen 82 -
n(A) sen8JJ .
Nótese principal de difracción difracción cuando cuando f3z f3 z = O: esto ocurre cuando cuando sen Nótese que que se tendrá tendrá el máximo máximo principal = O: esto ocurre sen 82 e2 -= O que refracción , como otro lado lado cabría cabría esperar. esperar. que no es sino sino la ley de Snell Snell de la refracción, como por por otro No obstante región iluminada iluminada que que predice predice la óptica óptica geométrica geométrica aparece aparece una una obstante en las proximidades proximidades de la región redistribución espacial como como consecuencia consecuencia de la difracción. difracción. redi stribución espacial
n(A) n(A) sen sen 81 el
Determinar la resolución espectral de este este instrumento resolución espectral instrumento teniendo teniendo en cuenta cuenta los los resultados resultados anteriores. anteriores. Determinar Considerar para para ello que que sobre sobre el prisma inciden dos ondas planas de longitudes A y ondas planas longitudes de onda onda próximas próximas A Considerar prisma inciden A A + D-A. s».
Para instrumento, debemos debemos de aplicar mismo criterio criterio que que en el Para obtener obtener la resolución resolución espectral espectral del instrumento, aplicar el mismo caso ello hemos hemos de estimar primer mínimo mínimo del diagrama caso de la red de difracción. difracción. Para Para ello estimar el primer diagrama de difracción difracción que que viene viene dado dado por por la condición condición f3z
= nTr ,
(6.128) (6.128)
cual se infiere infiere que de lo cual AA
sene2 sen éi = = -. sen 82 - n(A) n(A) sen81 - . zo zo
(6.129) (6.129)
ecuación (6.129) (6.129) especifica especifica para ángulo de difracción, e2, se anula anula el campo La ecuación para qué qué valor valor del ángulo difracción, 82, campo para para la radiación de longitud longitud de onda onda A. Llamaremos este ángulo ángulo e~. Llamaremos a este 8~ . La La condición condición de resolución resolución consiste consiste en radiación que la otra otra radiación radiación tenga tenga un máximo ese ángulo. ángulo. Además que máximo a ese Además hemos hemos de tener tener en cuenta cuenta que que el Índice Índice de refracción refracción depende depende de la longitud longitud de onda, Snell, se onda, por por lo que que si tomamos tomamos incrementos incrementos en la ley de Snell, tendrá tendrá
(6.130) (6.130)
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo Capítulo 6/ 6/ Difracción Difracción
239
Teniendo Teniendo en cuenta cuenta las ecuaciones ecuaciones (6.129) (6.129) y (6.130) (6.130) se llega llega finalmente finalmente a que que
en
:R
ara
AIt:.A A I = lI t,.A =
dn dn zo senel sen el d dAA
=
dn dn
(6.131) (6.131)
d ): b dA'
ue Considere que que el prisma que para que n(A ni). 1) = 1.59825 1.59825 Considere prisma es de un material material tal que para Al = 486.1 486.1 nm se tiene tiene que Y que que para = 298.8 que n(A2) n(A2) = = 1.6087. 1.6087. Así la base Y para A2 = 298.8 nm nm se tiene tiene que Así mismo mismo la base del prisma prisma es de 75 ilumina el prisma con la luz luz procedente lámpara de sodio sodio de baja baja presión que se mm. Se ilumina prisma con procedente de una una lámpara presión a la que antepone un filtro color de modo que del filtro sólo sólo emerge emerge el doblete doblete del sodio sodio (Ae/1 (Ae/1 = = 589.0 589.0 nm y antepone filtro de color modo que Ad2 = = 589.6 589.6 nm). Determinar espectral mente dicho dicho doblete. doblete. Ad2 Determinar si se podrá podrá resolver resolver espectralmente
un
4)
lugar, a partir datos suministrados suministrados acerca acerca del material estimar la dependendependenEn primer primer lugar, partir de los datos material podemos podemos estimar índice de refracción con la longitud longitud de onda onda de dicho dicho material empleando la relación relación de Cauchy Cauchy cia del índice refracción con material empleando
la
B n(A) = =A+ +-::¡. n(A) A2 '
(6.132) (6. 132)
A-
Empleando los datos datos suministrados, suministrados, podemos determinar las constantes constantes A A y B en la ecuación ecuación (6. (6.132) que Empleando podemos determinar 132) que resultan AA = 1.5919 1.5919 YY B = 1.4996 1.4996 x 10-1515 m22. . resultan Teniendo en cuenta cuenta el resultado anterior y el el expresado expresado en (6.131) (6.131) tendremos lado que que la resoTeniendo resultado anterior tendremos por por un lado resolución espectral espectral del prisma dada por por :Rpp = = 1100.8. 1100.8. De que la longitud longitud de onda onda discernible discernible lución prisma viene viene dada De modo modo que Adl sería sería A' ~ nm.. Del resultado anterior se infiere infiere que que doblete doblete amarillo amarillo del del sodio de Adl ~ Adl Ad l + t,.A t:.A == 589.54 589.54 nm resultado anterior sod io estaría resuelto. no estaría resuelto.
6.18. 27)
dispone de un haz colimado de radiación = 400 que incide incide sobre sobre una lente lente Se dispone haz colimado radiación monocromática monocromática (A CA = 400 nm) nm) que diámetro
z~O) z ;O)
= O O (donde (donde intersecta intersecta el eje eje óptico óptico a =
rpp
pantalla). Es preciso que para que p la pantalla). preciso notar notar que para el rayo rayo 2 se verifica verifica que pantalla está está dado dado por z~O) pantalla por z~O)
y
=
(O) (O)
=
z~ que el impacto impacto en la z~ , por por lo que
-35 mm. Análogamente -35 Análogamente para para el rayo rayo 3 se tiene tiene z~O) z~O)
= 35 mm.
Determinar los impactos impactos en la pantalla orden uno 1,2 YY 3. Determinar pantalla del orden uno de los rayos rayos 1,2 n el
Para determinar determinar los impactos orden 1 1 hemos cuenta la ecuación ecuación de la red: Para impactos del orden hemos de tener tener en cuenta
que
p [sen(e) [senté') - sen(E)] sen(E)]
28)
siendo E el ángulo ángulo de incidencia incidencia sobre sobre la red y siendo
ee el
= A, A,
ángulo de difracción. difracción. En el caso caso del rayo ángulo rayo l1 el
ángulo de incidencia que el orden orden 1 se localiza ángulo incidencia es 0° por por lo que localiza en el punto punto
ei
l
la
=
[arcSin( ~) ] 1000 tan [arcSin(~)
arcsin [Al ei''))= arcsin [Al p + sin(E2)], y E2 =
40.032 mm. Para donde rayo 2 se tendrá tendrá Z~I) Z~I ) = 1000 tan tanei ') ) donde 40.032 Para el rayo arctan [
29)
Z~l) Z; I )
p
sin(E2)],
E2
= 75.19 75.19 mm.
Determinar los impactos impactos en la pantalla del orden orden -1 -1 de los 1,2 yY 3. Determinar pantalla del los rayos rayos 1,2
en
ice , se
Procediendo del mismo modo que que en apartado anterior anterior llegamos llegamos a que que Z~-I) Procediendo mismo modo en el apartado z; - 1) = --75.19 -5.021515 mm. 75 . 19 mm y Z~-I) Z~- I ) = -5.02
mm , --40.032 40.032 mm,
Z~-I)I ) Z~-
anteriores, dibujar dibujar qué qué se observará observará en la pantalla. ¿En alguna alguna región A la vista vista de los resultados resultados anteriores, pantalla. ¿En región de la pantalla se observan observan interferencias? interferencias? pantalla
30) i
http://carlos2524.jimdo.com/
240
Óptica Óptica física física
Si realizásemos trazado de rayos rayos en los órdenes todos los rayos que lente realizásemos el trazado órdenes O, O, 1 Y -1 -1 de todos los rayos que entran entran a la lente a diferentes impactos de esos rayos en la pantalla. pantalla. En los dos diferentes alturas alturas del eje eje óptico óptico obtendríamos obtendríamos los impactos esos rayos apartados han determinado determinado los los impactos impactos del rayo rayo central los rayos rayos de borde borde de la lente, lente, apartados anteriores anteriores se han central y los por lo que en la pantalla pantalla se observará una región región iluminada iluminada correspondiente correspondiente al orden orden O que que tendrá tendrá su observará una ex tensión desde hasta Z~O), z~O), otra región iluminada por el orden extensión desde z~O) z~O) hasta otra región iluminada por orden 1 cuya cuya extensión extensión comprende comprende desde desde
Z~I región iluminada Z~- l ) hasta hasta Z~I)) hasta hasta Z~I Z~I)) y otra otra región iluminada correspondiente correspondiente al orden orden -1 -1 cuya cuya extensión extensión es desde desde Z~-l) Z~ - 1) . El resultado resultado se muestra muestra en la Figura Figura 6.29b, ha abatido pantalla P. Nótese Nótese por por ejemplo Z~-I). 6.29b, donde donde se ha abatido la pantalla ejemplo (b) (b)
(a) (a)
p
F' 2
,, ,,, ,, ,
z," ~ ~Z l(O)
------~-------------,
- -----~- - - -- - --- - -- - l.:?(1)
,, , ,,
,
z,.'
Z;.(O)
/'
Figura 6.29 sobre la lente focal imagen 6.29 (a) Haz plano plano que que incide incide sobre lente en cuyo cuyo plano plano focal imagen se coloca coloca la red. diagrama de impactos (b) Ilustración Ilustración del diagrama impactos que que se observaría observaría en la pantalla pantalla colocada colocada a 1 m de la red de difracción. difracción.
que por el orden orden O hay hay también también rayos rayos que proceden del orden por lo que que en la región región iluminada iluminada por que proceden orden 1, por que en esa región pueden producirse producirse interferencias. interferencias. Lo mismo mismo ocurre parte inferior región de solapamiento solapamiento pueden ocurre en la parte inferior de la fifigura gura en la que parcialmente el orden lente no presenta presenta que solapan solapan parcialmente orden O y el orden orden -l. -l. No obstante obstante dado dado que que la lente aberraciones, las regiones regiones de solapamiento tendrá el mismo mismo estado interferencial, o máximo máximo o aberraciones, en las solapamiento se tendrá estado interferencial, mínimo De paso paso nótese nótese que los haces haces de rayos rayos del orden los órdenes mínimo de interferencia. interferencia. De que los orden O y de los órdenes 1 y --1 1 provienen mismo punto punto (el foco imagen de la lente). lente). provienen todos todos del mismo foco imagen
(b) (b)
(a) (a)
Red de Red de difracción difracción orden 1 orden
o, 0,
orden orden O O
,'1
11
."
h,
6.30 (a) Haz plano plano que que incide incide sobre lente. Red colocada colocada fuera imagen.(b) IlusilusFigura 6.30 sobre la lente. fuera del foco foco imagen.(b) tración del diagrama diagrama de impactos impactos que que se observaría observaría en la pantalla pantalla. . tración
situación anterior anterior se saca saca de foco foco la lente lente 2 mm. cómo se altera altera la situación situación anterior. anterior. En la situación mm. Indicar Indicar cómo realizásemos un trazado similar al que que hemos anteriormente llegamos Si realizásemos trazado de rayos rayos similar hemos realizado realizado anteriormente llegamos a una una situación similar similar a la mostrada 6.29b excepto excepto en el hecho que ahora ahora los los haces rayos situación mostrada en la Figura Figura 6.29b hecho de que haces de rayos situación se muestra 6.30a, en la que que se aprecia aprecia no provienen provienen del mismo mismo punto. punto. Esta Esta nueva nueva situación muestra en la Figura Figura 6.30a,
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo Capítulo 6/ 6/ Difracción Difracción nte os te, su de
241
que viene que el orden orden O del haz haz de luz proviene proviene del foco foco (punto (punto O) mientras mientras que que el orden orden 1I del haz de luz viene punto fuera fuera de foco foco (punto (punto 01). O,). Vemos Vemos entonces entonces que que en la región región en la que que solapen solapen los haces haces de de un punto luz se producirán fuentes: en este trata de una producirán interferencias interferencias de la luz luz que que proviene proviene de ambas ambas fuentes: este sentido sentido se trata situación situación equivalente equivalente a la del experimento experimento de Young por por lo que que cabe cabe esperar esperar que se observarán observarán franjas franjas de interferencia interferencia equiespaciadas equiespaciadas tal y como como se muestra muestra en la Figura Figura 6.30b. 6.30b.
sta lo
(a) (a)
(b) (b)
Figura .31 (a) Ilustración Figura 6 6.31 Ilustración del diagrama diagrama de impactos impactos que se observaría observaría en la pantalla pantalla con la red en foco.(b) foco.(b) Fuera de foco, foco, cuando cuando el tamaño tamaño del diafragma diafragma es tal que intervienen intervienen rayos rayos no paraxiales. paraxiales. d.
ed Considere Considere ahora ahora que que la lente lente presenta presenta una pequeña pequeña aberración aberración esférica. esférica. ¿Cómo ¿Cómo se altera, altera, si lo hace, hace, la distribución distribución de la luz en la pantalla pantalla cuando cuando la red está está en foco? foco? ¿Y cuando cuando se aleja aleja del foco foco 2 mm? mm?
en la ola o -1
Consideremos Consideremos primero primero el caso caso en el que la red está está en el foco: para para un rayo rayo como como el 1 la situación situación sería sería similar similar a la que ya hemos hemos visto visto anteriormente. anteriormente. Pero Pero la novedad novedad resulta resulta para para un rayo rayo como como el 2 o el 3 para óptico tras para los que ahora ahora se tiene tiene un resultado resultado diferente: diferente: dado dado que son son rayos rayos alejados alejados del eje óptico refractarse refractarse en la lente lente intersectarán intersectarán con el eje óptico óptico no en el foco foco paraxial paraxial sino sino antes, antes, por por lo que que el comportamiento comportamiento de estos estos rayos rayos es similar similar al que que hemos hemos visto visto en el caso caso anterior. anterior. Así pues pues para para un rayo que respecto al eje óptico, producirá una fuente que está está alejado alejado una altura altura h 11 con respecto óptico, tras difractarse difractarse por por la red se producirá fuente virtual virtual localizada localizada en puntos puntos alejados alejados del eje cuya cuya localización localización depende depende de h (aberración (aberración esférica esférica de la lente). lente). De esta esta manera manera en la región región de solapamiento solapamiento de los haces haces en la pantalla pantalla se tendrán tendrán interferencias interferencias "curvadas" "curvadas", . Esta Esta situación situación se muestra muestra en la Figura Figura 6.31a. 6.31a. Para Para en caso caso de que que la red red esté esté fuera fuera de foco foco,, un análisis análisis similar similar conduce conduce a obtener obtener un diagrama diagrama interferencial Figura 6.30b interferencial en la zona zona de solapamiento solapamiento que será será una situación situación parecida parecida a la mostrada mostrada en la Figura 6.30b pero pero con la curvatura curvatura añadida añadida por por la presencia presencia de la aberración aberración esférica. esférica.
j 6.19.
s-
Resolución Resolución
1 oa os cia
O líneas líneas por Un Un haz haz plano plano (A = = 500 500 nm) jncide incide sobre sobre una una red de difracción difracción de ]10 por milímetro. milímetro. El orden orden cero cero se bloquea bloquea de manera manera que que sobre sobre una una lente lente de focal J' f' == 50 mm mm situada situada a continuación continuación y cuyo cuyo eje óptico óptico es normal normal a la red, sólo sólo entran entran los órdenes Y -1. -1. Además Además el orden orden + 1 se amortigua amortigua eje órdenes +1 Y mediante un filtro de densidad densidad de manera manera que que su intensidad reduce al/lOO a 1/100 siendo siendo 1 la intensidad intensidad mediante intensidad se reduce orden -1. -1. La distribución recoge sobre sobre una pantalla pantalla traslúcida traslúcida situada situada a 1110 del orden disttibución de irradiancia irradiancia se recoge 10 cm lente. de la lente.
Describir la distribución distribución de irradiancia sobre la pantalla pantalla indicando indicando el valor valor de la interfranja. interfranja. Describir irradiancia sobre Sobre la lente inciden sendos sendos haces haces colimados colimados inclinados inclinados respecto respecto al eje óptico, óptico, por por lo que que la lente lente Sobre lente inciden focalizará estos estos haces haces en dos puntos puntos del plano plano focal imagen imagen que se obtienen obtienen sin más más que que trazar trazar un rayo focalizará auxiliar paralelo paralelo a cada cada uno de los haces haces y que pase pase por por el centro centro de la lente. lente. En el plano plano focal focal se obtendrán obtendrán auxiliar luminosos que que actuarán actuarán como como dos fuentes fuentes de Young. dos puntos puntos luminosos
http://carlos2524.jimdo.com/
242
Óptica Óptica física física (a)
-.
1'=50 1'=50 mm mm Red Red
(b) Pantalla Pantalla
C. 1.0 1.0
0.8
..---.:.-. ---+- #t -------- -
0.6 0.4
0.2 110em : 110em
2
3
4
5
free( free( lin/mm) lin/mm)
Figu ra 6.32 Figura 6.32 (a)Esquema (a)Esquema del dispositivo dispositivo empleado. empleado. El El orden orden O es bloqueado bloqueado por por la pantalla pantalla Po colocada colocada delante delante de la lente.(b) lente.(b) Contraste Contraste umbral umbral detectable detectable por por un observador observador en función función de la ffrecuencia recuencia espacial espacial del estímulo estímulo. .
Si llamamos llamamos cumplirá cumplirá que
el
al ángulo ángulo que forma forma el orden orden
+ 1 con el eje óptico, óptico, a partir partir de la ecuación ecuación de la red se
sen é¡ == Á A,, d senel
(6.1 33) (6.133)
de donde donde sen é',
500 500
10-66 3 =5 5 x 1010-, , = 0.1 X X
----- --
(6.134) (6.134)
es decir decir el el == 0.29° 0.29°. . Por otra parte, / 2 a la distancia otra fuente otra parte, si llamamos llamamos a a/2 distancia de una una de las fuentes fuentes al eje eje (la otra fuente está está situada situada simétricamente), se tendrá tendrá simétricamente), a/2 a/2 tan eé¡l = (6.135) (6.135) tan
y!" '
de donde donde a = = 2f' 2f' tan el = = 0.5 0.5 mm mm..
(6.1 36) (6.136)
Estas fuentes que están están separadas separadas una di distancia coherentes entre entre sí por lo que en la pantalla pantalla Estas dos fuentes stancia a, son coherentes situada a una distancia distancia D = 1100 - 50 = 1050 mm rnrn se obtendrán obtendrán franjas franjas de interferencia. interferencia. La interfranja interfranja situada i vendrá vendrá dada dada por por ÁD 500 . AD 500 x 10-66 X 1050 (6.137) (6.1 37) 1 = = = 1.05mm. 1.05 mm. a 0.5 ¿Se verán verán resueltas resueltas las franjas franjas por por un observador observador situado situado a 50 cm cm de la pantalla pantalla cuya cuya pupila pupila tiene tiene un ¿Se diámetro de 2 mm? mm? Téngase Téngase en cuenta cuenta que que la Figura Figura 6.32b 6.32b indica indica el contraste contraste umbral umbral, , el/, el!, necesario necesario diámetro para ser ser detectado detectado por por la retina retina un patrón patrón de franjas franjas en función función de la frecuencia frecuencia espacial espacial del objeto objeto (en para líneas por por milímetro) milímetro) ¿Serán ¿Serán detectadas detectadas estas estas franjas? franjas? líneas El situado a 50 cm de la pantalla pantalla traslúcida traslúcida mira mira el patrón patrón de franjas. franjas. Desde Desde la pupil pupilaa del ojo, el el El ojo situado ángulo ex a subtendido subtendido por por dos dos franjas franjas consecutivas consecutivas es ángulo p ~I III ;:1
a ex
1.05 -- - = 2.1 =1.05 500 500
x 10-
3
rad.
(6.138) (6.138)
:1 "
Para ver si el ojo resuel resuelve estas franjas franjas deberemos deberemos comparar comparar el ángulo ángulo obtenido obtenido con el ángulo ángulo mínimo mínimo de Para ve estas resolución resolución 500 xX 10-66 -4 A 500 -4 1.22- = \.22 1.22 3.05 x 10 rad. (6.139) ele/ll11 = 1.22= 3.05 (6.139) D D
2
Como ex a > > el/1, ell1, el sistema sistema de franjas franjas se verá verá resuelto resuelto a esa esa distancia. distancia. Sin Sin embargo, embargo, debido debido a que las Como fuentes tienen tienen diferente diferente intensidad, intensidad, el contraste contraste de las franjas franjas será será menor menor que que la unidad unidad. . Nos dan la curva curva fuentes Nos dan
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo Difracción Capítulo 6/ 6/ Difracción
243
l6 . En del contraste umbral en función En nuestro nuestro caso, caso, la frecuencia contraste umbral función de la frecuencia frecuencia espacial espacial del objeto objeto!". frecuencia espacial espacial v del sistema sistema de franjas franjas es
vv
1 I
= -:-= -:- =
,
(6.140) (6.140)
0.95 líneas/mm. 0.95 líneas/mm.
1 1
El contraste franjas es contraste C de las franjas
2..JT1l2 2,JTJJ2
C = -C=--= 1I I1
+h h
=
21.Jl/100 21.J 1/ 100
101 / 100 101/100
(6.14l) (6.141)
=0.2. =0.2.
En la Figura vemos que que para para esta contraste umbral umbral necesario necesario es del orden orden de 0.4, Figura 6.32b 6.32b vemos esta frecuencia frecuencia el contraste 0.4, esto tenemos en el patrón patrón de franjas. franjas. Por Por lo tanto tanto no serán detectadas por por la retina, retina, esto es, mayor mayor que el que que tenemos serán detectadas a pesar resueltas. pesar de que estén estén espacialmente espacial mente resueltas.
o la
6.20.
COlUO las redes redes de difracdifracLos colores colores que que producen producen los discos discos compactos compactos se deben deben a que que se comportan comportan COlUO ción dado compone de una una serie tal y como como se indica indica en la Figura Figura 6.33a. dado que que sU su estructura estructura se compone serie de surcos surcos tal 6.33a. la separación almenas consecutivas consecutivas es d. d. separación entre entre dos almenas
(a) (a)
Pared Pared
(b) (b)
E o -e -e
a
5) 114cm
6)
la
6.33 (a) Esquema Esquema de estructura del disco experimental para Figura 6.33 de la estructura disco compacto. compacto. (b) Disposición Disposición experimental para medida del paso paso de de la red forma el disco la medida red que que forma disco compacto. compacto.
Resolución Resolución
eo
Demostrar que un haz que sobre una ángulo ea respecto Demostrar que incide incide sobre una porción porción del disco disco con un ángulo respecto de la normal normal a la superficie superficie del disco disco se comporta como una red de paso d. comporta como una paso haces que que se reflejan reflejan en cada Los haces cada una de las almenas almenas recorren recorren diferente diferente camino camino óptico óptico por por lo que que interferirán contructivamente contructivamente sólo sólo en algunas Según la Figura 6.33a, la diferencia interferirán algunas direcciones. direcciones. Según Figura 6.33a, diferencia de camino camino óptico entre entre los haces haces que almenas adyacentes adyacentes será será óptico que se reflejan reflejan en dos almenas el
8)
BC ADD BC - A
= dsene d sen e --
dsenea. d sen ea.
(6.142) (6.142)
esta diferencia diferencia de camino camino es un múltiplo sólo estos estos dos haces, sino todos Si esta múltiplo de la longitud longitud de onda, onda, no sólo haces, sino todos los reflejados sucesivas almenas, reflej ados por las sucesivas almenas , estarán estarán en fase fase e interferirán interferirán constructivamente: constructivamente: d sen e e -- eld sen ea ea = m"J.... m"A.
(6.143) (6.143)
obtienen la misma misma ecuación este caso funciona por Se obtienen ecuación que que caracteriza caracteriza una red de difracción. difracción . En este caso la red funciona por reflexión. . Si incide incide luz blanca sobre el disco, ángulos, reflexión blanca sobre disco, cada cada color color producirá producirá haces haces difractados difractados en diferentes diferentes ángulos, dando lugar lugar a la aparición aparición de un espectro espectro coloreado. dando coloreado. 16EI inverso inverso de la interfranja interfranja en la la pantalla. pantalla. 16EI
http://carlos2524.jimdo.com/
d'"11'
e!:'
244 Óptica física 244 Óptica física
:lI 'l
Supóngase que se sitúa el disco disco a 114 cm de de la pared pared y se ilumina ilumina con un láser láser de He-Ne He-Ne de longitud Supóngase que sitúa el 114 cm longitud onda A = = 632.8 nm. Sobre pared se observan observan dos impactos impactos a 27 cm cm y 144 cm cm de la horizontal horizontal de onda 632.8 nm. Sobre la pared respectivamente. separación entre respectivamente. Calcular Calcular la separación entre las almenas almenas del disco disco compacto. compacto.
t
Los impactos impactos en la pared pared corresponden corresponden al orden orden cero cero y al orden orden uno. A partir partir de su localización localización Los podemos determinar determinar los ángulos ángulos ao y al. al. A partir partir de la Figura Figura 6.33b tiene podemos 6.33b se tiene 27 tanao = = -, - , tanao 114
y
144 tana] -, tan «¡ = = l14' 114
(6.144) (6.144)
de donde 51.4°. Por donde ao = 13.2° 13.2° yal yal = 51.4°. Por otra otra parte, parte, es inmediato inmediato comprobar comprobar que que
= 90° 90° - ao = = 76.8°, 76.8°, eo = YY = 90° 90° - al al = = 38.6°. 38.6°. el =
(6.145) (6.145)
d [sen 38.6 76.8] = = 0.6328, 0.6328 , 38.6 - sen sen 76.8]
(6.146) (6.146)
Aplicando (6.143) Aplicando la ecuación ecuación (6.143)
de donde 1.80 /-Lm. donde d = = 1.80 fl,m . Como puede apreciarse la separación pequeña comparada comparada con con la longitud longitud de onda onda Como puede apreciarse separación es suficientemente suficientemente pequeña visible como como para para que que la difracción difracción sea apreciable. del visible sea apreciable.
t"lm'li·""-..:;n:¡"",~..
-\<:> ..
~~lºlfRACC,IONAl DE LA IMAG~N.
6.21.
.
.
Se dispone una transparencia transparencia con con 1500 rendijas de anchura anchura 0.001 0.001 mm mm yy distancia distancia entre entre dos adyacendispone de una 1500 rendijas adyacenmm. Esta Esta transparencia transparencia se ilumina ilumina con una una onda onda plana plana (A (A = = 520 fhm). Tras Tras la trasparencia trasparencia tes de 0.01 mm. 520/-Lm). se coloca coloca una una lente lente cuya cuya focal focal es f' JI = =150 mm y cuyo cuyo diámetro diámetro es de 4> if> = = 15 mm. mm. La La distancia distancia de 150 mm separación entre la transparencia transparencia y la lente lente es de de 800 mm. separación entre 800 mrn. Resolución Resolución Determinar Determinar la localización localización y tamaño tamaño de la imagen imagen que que predice predice la óptica óptica geométrica. geométrica.
Como es bien bien conocido conocido la localización localización de la imagen imagen está está determinada determinada en la aproximación aproximación paraxial paraxial por por Como lentes la ecuación ecuación de las lentes 1 1
1
1
--+= -. --+=-. s Si JI s
Si
f'
(6.147) (6.147)
partir de la ecuación ecuación (6.147) (6.147) determinamos determinamos la distancia distancia de la lente lente al plano plano imagen así como como los auauA partir imagen así mentos laterales, laterales, resultando Si = = 184.62 mm y f3f3 = = -0.2308. mentos resultando Si 184.62 mm -0.2308. Determinar el ángulo ángulo de difracción difracción en primer primer orden orden de la transparencia. transparencia. Determinar La transparencia transparencia se puede puede considerar considerar como como una una red de difracción difracción de paso paso p = = 10 ¡.Lm. partir /-Lm. A partir ecuación de la red en condiciones condiciones de incidencia incidencia normal normal calculamos calculamos el ángulo ángulo de difracción difracción eell de la ecuación arcsin(Aj p) p) = = 2.9807°. 2.9807°. arcsin(Aj Determinar qué qué se observará observará en el plano plano focal partir de este este resultado resultado deducir deducir qué qué se Determinar focal de la lente. lente. A partir observará en el plano plano imagen. imagen. observará primer lugar lugar es evidente evidente que que el orden orden no difractado difractado u orden orden cero cero se localizará localizará exactamente exactamente en En primer foco de la lente. lente. Debemos Debemos determinar determinar si alguno alguno de los haces haces difractados difractados por por la red entrará entrará por por el foco lente. En el apartado apartado anterior anterior hemos hemos calculado calculado el ángulo ángulo al que que se difracta difracta el orden orden 1 y debemos debemos la lente.
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo Capítulo 6/ 6/ Difracción Difracción (a) (a)
tud tal
245
(b) (b)
F
ción
144) ,/
8, s
s
Figura 6.34 transparencia iluminada 6.34 (a) (a) Ondas Ondas difractadas difractadas por por una transparencia iluminada por por una radiación. radiación. Lente formadora madora de imagen imagen y plano plano imagen.(b) imagen.(b) Distribución Distribución de irradiancia irradiancia en el plano plano imagen. imagen.
145)
comparar resultado obtenido resulta comparar el resultado obtenido con con el ángulo ángulo que que subtiende subtiende la lente lente desde desde el objeto objeto (red) (red) que que resulta arctan ((
146)
onda
Determinar imagen se verán verán resueltas dos rendijas adyacentes yy comparar comparar este este resultado Determinar si en el plano plano imagen resueltas dos rendijas adyacentes resultado con el del del apaltado apartado anterior. anterior. con
cia de
Podemos estimar el ángulo ángulo que que subtienden subtienden dos consecutivas de la red (objeto) (objeto) respecto dos rendijas rendijas consecutivas respecto del Podemos estimar punto lente 8r = arctan arctan (?) = 7.16 7.16 x 1O-4 1O-4rad comparado con con la resolución resolución espacial espacial de la punto nodal nodal de la lente rad y compararlo lente dada dada por conocido criterio criterio de Airy 8re = 1. 1.22"A¡ cP = 4.22 Este resultado, aparentemente lente por el conocido Airy ere 22"A¡ eP 4.22 X 10-55. . Este resultado, aparentemente contradictorio con con el del apartado apartado anterior, anterior, realmente efecto, en el apartado apartado anterior anterior hemos contradictorio realmente no lo es: en efecto, hemos obtenido la distribución distribución de luz como como consecuencia consecuencia de la difracción difracción del haz incidente incidente en la red, su propaobtenido propagación hasta lente y luego luego hasta imagen. Este Este proceso coherente, en tanto que gación hasta la lente hasta el plano plano imagen. proceso es de naturaleza naturaleza coherente, tanto que criterio de Airy que hemos empleando está está basado incoherente, en el criterio Airy que hemos venido venido empleando basado en un proceso proceso de naturaleza naturaleza incoherente, que implícitamente implícitamente se suponía suponía que que la luz procedente adyacentes no interfiere. interfiere. el que procedente de dos rendijas rendijas adyacentes Vemos que la resolución espacial está está íntimamente íntimamente ligada ligada al tamaño detalle de Vemos que resolución espacial tamaño finito de las lentes lentes y al detalle objetos (frecuencia (frecuencia espacial). espacial). los objetos
e
por
147) au-
6.22. 6.22.
Consideremos una onda plana longitud de onda onda 500 500 nm que incide incide perpendicularmente sobre una Consideremos una onda plana de longitud nm que perpendicularmente sobre red de difracción difracción de paso anchura de rendija Tras la red coloca una lente de focal focal I'. paso p y anchura rendija b. Tras red se coloca una lente fl. La distancia entre entre la red lente es s (ver (ver Figura 6.35). distancia red y la lente Figura 6.35).
artir [=
se e en
por mas
Resolución Resolución Describir forma de los haces difractados por En particular analizar el efecto efecto que que tiene Describir la forma haces de luz difractados por la red. red. En particular analizar tiene lente, eP, cP, en relación diferentes haces difractados por suponer que que el tamaño tamaño finito de la la lente, relación a los diferentes haces difractados por la red, suponer la región iluminada incidente tiene circular de diámetro diámetro eP cP.. Determinar la región de la red red il uminada por por el haz haz incidente tiene un tamaño tamafto circular Determinar para líneas/mm, JI l' = 100 mm, mm, s = -550 cuántos órdenes órdenes de para una una red red de 100 líneas/mm, -550 nnn mm yy 4> = 50 mm, mm, cuántos difracción capta capta la lente. lente. difracción
http://carlos2524.jimdo.com/
246
Óptica Óptica física física red paso p red de de paso
\ haz haz de de luz luz incidente
Lente Lente
F
______ Lo~_: , , , , ,,
F'
pantalla de de pantalla observación observación
,
,,, ,, ,, ,, ,,
_
___ ____ _ J J __ ___ _ __ _ _
, , ,
, , , ,, ,
, , , , ,
• s' s'
6.35 Esquema del dispositivo dispositivo considerado: considerado: el haz plano plano incide incide sobre sobre la red de difracción. Figura 6 .35 Esquema difracción. indicado las posiciones posiciones de los elementos elementos cardinales cardinales del sistema. sistema, Se han indicado
primer lugar lugar vamos vamos a escribir escribir la expresión expresión de la onda onda que incide incide sobre sobre la red que que viene viene dada En primer dada por por Einc
in c
=
Eoei(wl-ky), Eoei(wl-ky),
(6,148) (6.148)
tener donde donde implícitamente implícitamente hemos hemos supuesto supuesto que que el eje óptico óptico de la lente lente es paralelo paralelo al eje Y, Y hemos hemos de tener en mente mente que el haz incidente ar de diámetro incidente tiene tiene una sección sección circul circular diámetro
= mA, m.s ; =
(6.149) (6.149)
siendo m el orden orden de difracción. difracción. siendo Con objeto problema, podemos los órdenes órdenes objeto de no complicar complicar en exceso exceso la resolución resolución del problema, podemos considerar considerar que que los difractados central de difractados tendrán tendrán secciones secciones circulares circulares de diámetro diámetro
(!,)
con respecto = 5.19°. (6. 149) respecto a la parte parte superior superior de la lente lente es eob" eobs = tantan-' ' 5.19°. Aplicando Aplicando la ecuación ecuación (6.149) hecho se tiene tiene vemos vemos que para para Iml > > I los órdenes órdenes de difracción difracción ya no son captados captados por por la lente. lente. De hecho e, e, = 2.87°. 2.87°. Para cada orden captada por para ello ello basta basta Para cada orden de difracción difracción la fracción fracción de haz que es captada por la lente lente es menor: menor: para menor (véase (véase tener tener en cuenta cuenta que que la región región de solapamiento solapamiento del haz difractado difractado con la lente lente es cada cada vez menor para para ello ello la similitud similitud con el Problema Problema 15 del Tema Tema 2). 2). E Enn efecto, efecto, la forma forma del haz de luz del orden orden cero cero en plano de la lente lente es circular circular en tanto tanto que que la forma forma del haz de luz luz correspondiente correspondiente al orden orden uno el plano uno en el plano plano lente es elíptica elíptica con semiejes semiejes
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo 6/ Difracción
red de paso
\ haz de luz incidente
----
il
Lente
______ Lúe _ ~ , ,
_
.•• , x
.•.
$12
p
247
~;
002
"1
, , , , ,
S,
+--->-
ión.
or 148)
Figura 6.36 Esquema para la determinación del área de solapamiento entre los haces correspondientes al orden O y al orden l. En la parte abatida se ha representado el orden cero que ilumina toda la lente y el orden uno que ilumina parcialmente la lente (ver texto para más detalles).
tal que son perpendiculares al eje óptico, de modo que la ecuación del CÍrculo correspondiente y la de la elipse correspondiente al orden I vienen dadas por
al orden O
ener 2
x con-
149)
enes
l de red, este las e la o de por tado
(x - d)2 -----=-+-=1 (R cos el)2
i
+
=
2
R
(6.150)
,
y2 (6.151 )
R2
donde R =
red
149)
(6.152)
lene
mientras que el flujo de energía que capta la lente del orden 1, <1>1, vendrá dado por 2
oen lana ado ar el dela Para Xy
<1>1 ex: Ea senc
2
f3 A.ml,
(6.153)
lf/
donde f3 = sen el. Estos haces se concentrarán en el plano focal17: puede suponerse que la región en la que se concentran es básicamente el área del primer mínimo de la función de Airy. Estas áreas serán Afa = n rJo, donde r fa = f' 1.22~ para el orden O y Af 1 = tt rJ l' donde r f 1 = f' 1.22 4>~,,1 para 17EI cómputo completo de la distribución correspondiente ción.
al orden 1 es lo suficientemente
http://carlos2524.jimdo.com/
complejo para proceder a una estima-
248
Óptica física física Óptica
el orden podemos suponer una estimación tamaño de la pupila pupi la orden 1, donde donde podemos suponer que que 1>sol ~~ 2(R 2(R - xpp),), es una estimación del tamaño efectiva para este haz de orden efectiva para este haz orden 1. l. Analice diagrama interferencial interferencial que que se obtiene obtiene en una colocada a una cierta distancia, distancia, Analice el diagrama una pantalla pantalla colocada una cierta particular estudie mismo. D > > f' de la lente. lente. En En particular estudie la interfranja interfranja y el contraste contraste del mismo.
permitir estimar una pantalla pantalla colocada una cierta El El cálcul cálculoo anterior anterior nos va a permitir estimar qué qué se observará observará en una colocada a una cierta distancia: podemos considerar partir de las tres tres ondas distancia: podemos considerar que que a partir ondas correspondientes correspondientes a los órdenes órdenes O, O, 1 Y -1 -1, , se producirán interferencias pantalla siempre haya solapamiento haces. Así Así la interferencia producirán interferencias en la pantalla siempre que que haya solapamiento de los haces. interferencia dos ondas . del orden orden O O con el orden orden 1 es equivalente equivalente al experimento experimento de Young Young de dos ondas con diferentes diferentes amplitudes: amplitudes: las amplitudes podemos estimar partir de (6.152)-(6.153) valores de A Aro y A(J. An. Así Así amplitudes las podemos estimar a partir (6.152)-(6.153) y de los valores /0 Y tendremos tendremos foco foco
= Ea Eo
2]] 1/2 1/2 n(1)/2) 2 n(N2)
,
(6.154) (6.154)
AA ] 1/ 1/22 foco _ E et=: - EO osen/--, sen f3 [ ~
(6 .155) (6.155)
Eo Ea
EI
-
[
AfO AfO p.
~
A/I Af l
para las amplitudes amplitudes en el foco para foco de las ondas ondas correspondientes correspondientes al orden orden cero cero y al orden orden uno uno respectivamente. respectivamente. La interfranja interfranja de la interferencia vendrá dada dada por /01 = A(Da~f'). Dado que que las amamLa interferencia en la pantalla pantalla vendrá por 101 A(Da~f'). Dado plitudes ondas son diferentes, diferentes, el contraste contraste del diagrama diagrama interferencial interferencial será será menor plitudes de las ondas menor de la unidad. unidad. Naturalmente interfiere con con la onda onda correspondiente correspondiente al orden orden -1, -1, que que da un resultado resultado Naturalmente el orden orden O también también interfiere similar anterior. simi lar al anterior. tendrán interferencias por las ondas l y el --11 cuya Finalmente, Finalmente, se tendrán interferencias producidas producidas por ondas del orden orden 1 cuya interfranja interfranja 11 - 1 = estas interferencias unidad. /1-1 = A(D22-f'). -f')· En En este este caso caso el contraste contraste de estas interferencias es la unidad. al al Dados que que los máximos diferentes interferencias interferencias están están localizadas localizadas en diferentes diferentes Dados máximos y los mínimos mínimos de las diferentes posiciones el contraste contraste global global tenderá tenderá a disminuir disminuirl818 : : en en efecto, efecto, los máximos las interfeinterfemáximos de las posiciones de la pantalla, pantalla, el rencias del orden orden l1 con el -1 -1 caen caen en los mínimos interferencias del orden orden O O con el 1 y del O O con con mínimos de las interferencias rencias del el -1. Las interferencias intelferencias de las que ven imos hablando habl ando serán para cualquier posición de la panpanque venimos serán observables observables para cualquier posición haces que misma. tall a con tal de que talla que los haces que intervienen intervienen solapen solapen entre entre sí en la misma.
Idee procedimiento gráfico para determinar, partir de los resultados resultados del Idee un procedimiento gráfico para determinar, a partir del apartado apartado anterior, anterior, la localización que proporciona proporciona la lente lente del red de difracción). localización de la "imagen" "imagen" que del objeto objeto (en este este caso caso la red difracción). puede considerarse Estudie el intervalo Estudie intervalo espacial espacial en el cual cual puede considerarse que que la imagen imagen está está "enfocada". "enfocada". Compare Compare los resultados resultados obtenidos con los predichos predichos por relación de conjugación que obtenidos con por la relación conjugación entre entre objeto objeto e imagen imagen que conoce conoce de Óptica Óptica Geométrica. Geométrica. Como hemos apartado anterior, las interferencias interferencias que que se producen entre los distintos Como hemos visto visto en el apartado anterior, las producen entre los distintos órdenes pueden observarse en una que los haces solapen espacialmente espacialmente. . Ahora bien, órdenes pueden observarse una pantalla pantalla con tal de que haces solapen Ahora bien, correspondiente a los haces haces difractados difractados en cada cada orden orden y los prolonsi realizamos realizamos un trazado trazado de rayos rayos correspondiente prolongamos más allá allá del plano focal imagen, imagen, podemos que existe existe una una región que el solapamiento solapamiento gamos plano focal podemos ver que región en la que de los tres haces haces es máximo: máximo: esa justamente la localización plano "imagen" esa es justamente localización del plano "imagen" que que predice predice la óptica óptica proporciona la teoría teoría electromagnética geométrica. geométrica. El añadido añadido fundamental fundamental que que proporciona electromagnética consiste consiste en indicarnos indicamos cómo tamaño finito de las lentes cómo el tamaño lentes y las frecuencias frecuencias espaciales espaciales involucradas involucradas de los objetos, objetos, la red en este este caso, caso, degradan degradan la imagen imagen final final obtenida obtenida (el contraste contraste es menor menor que que uno) uno) y eventualmente eventualmente puede puede ocurrir ocurrir similitud como como hemos apartado anterior. anterior. En la Figura Figura 6.37 6.37 se muestra que no tenga tenga ninguna ninguna similitud hemos visto visto en el apartado muestra este trazado que además además se indica indica una "plano de mejor imagen" en el una región región en torno torno al "plano mejor imagen" este trazado de rayos rayos en el que que podríamos decir que que la imagen imagen sigue sigue estando estando enfocada. enfocada. que podríamos decir seguimos el hilo conductor, a pesar aproximaciones encontrar la razón física en la que que descansa descansa 18Si seguimos hilo conductor, pesar de las aproxim acio nes realizadas, realizadas, podemos podemos encontrar razón física el proceso de form formación imagen que, que, en en el lenguaje lenguaje refinado Óptica de Fourier, Fourier, se denomina denominafitnción transferencia refi nado de la Óptica fimción de tran sferencia el proceso de ac ión de la imagen modulacián o MTF. Cabe recordar aquí que que en determinación de de la MTF autocorrelación de de la función de modulación MTF. Cabe recordar aquí en la determinación MTF justamente justamente se hace hace la autocorrelación fu nción pupila: esto no es más que el el hecho computar las fracciones fracciones de energía energía captadas captadas por cada frecuencia frecuencia espacial espacial del más que hecho de computar por la lente lente para para cada pupil a: esto objeto. objeto.
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo 6/ Difracción red de paso
ila
p
\
a, ______
249
F'
Ir••...........................
~.•.•.•.•.•.•
haz de luz incidente
...•........
,-::-------
----
/
/
/
54) Figura 6.37 Esquema para determinar la región donde se encuentra la imagen del objeto teniendo en cuenta los haces difractados que son captados por la lente.
55) nte. amad. ado
6.23.
Un haz plano monocromático incide perpendicularmente en una red de difraccíón de 100 líneas/mm (ver Figura 6.38). A la salida de la red se bloquea el orden cero de tal manera que sobre una lente de focal l' = 10 cm situada a 15 cm de la red sólo inciden los órdenes + 1 Y-1. La longitud de onda de la radiación empleada es A = 0.5 ¡.UN.
nja
red
\
ntes rfecon
Pantalla de observación
haz de luz incidente
D
ntos ien, lon-
Figura 6.38 Esquema del dispositivo considerado. El haz plano incide sobre la red de difracción. La distribución de luz que capta la lente se observa en la pantalla.
Resolución Describir con detalle lo que se observaría sobre una pantalla situada en el plano focal de la lente. ¿Sería esta la imagen de la red? rrir stra n el
A la salida de la red se obtienen haces de radiación que se propagan en diferentes direcciones: estas direcciones están dadas por la condición de interferencia constructiva, también conocida como ecuación de la red d senré') = mk ;
ansa encia ción al del
(6.156)
donde d es la distancia entre dos rendijas adyacentes de la red de difracción (en el caso considerado = 1/100 mm), e es el ángulo de difracción y m es el orden interferencia!. Tal y como nos indican el orden O es bloqueado, por lo que sobre la lente sólo inciden la radiación que se propaga en la dirección
d
http://carlos2524.jimdo.com/
1
l
250
Óptica Óptica física física
de los órdenes órdenes + 1 Y Y -1. -1. Ambos Ambos haces haces de radiación radiación irán a puntos puntos 19 del plano plano focal simétricos simétricos respecto respecto óptico y situados situados a una una distancia X+II = = f' f'tan(e+l) ::::::f' f'sen(e+l) f'~ ~ Y y X X_I = --f'~f' ~ del eje óptico distancia X+ tan(8+ 1) :::::: sen(8+ 1) == f' _I = respectivamente. En el caso _I = 0.5 cm respectivamente. respectivamente. caso considerado considerado X+ 11 = = 10 x 0.05 0.05 = = 0.5 cm cm y X X_I = --0.5 respectivamente. Naturalmente que que en el plano plano focal focal no estaría estaría la imagen imagen de la red, red, baste baste para para ello recordar recordar que que en la Naturalmente aproximación aproximación paraxialla paraxial la imagen imagen de un objeto objeto situado situado a distancia distancia finita finita de una una lente, lente, s, se localiza localiza en una posición posición tal, Si, Si, que obedece obedece la relación relación 1
1
--+ -Si --+s
1 = -, =-,
(6.157)
f' I'
y en el caso caso considerado considerado Si = = 30 cm. desplaza ahora ahora la pantalla pantalla hasta hasta la situación situación donde donde la lente lente formaría formaría la imagen imagen de la red red.. Se forman forman Se desplaza franjas: calcular calcular su espaciado. espaciado. ¿Se ¿Se correspondetía correspondería con con la imagen imagen de la red? red? (téngase (téngase en cuenta cuenta la franjas: relación de aumentos aumentos para para discutir discutir esta esta cuestión). cuestión). relación
Al desplazar desplazar la pantalla pantalla de observación observación al plano plano donde donde se formaría formaría la imagen imagen paraxial paraxial del objeto objeto (que (que en en este este caso caso es una una red de difracción), difracción), nos dicen dicen que que se observan observan franjas. franjas. En efecto, efecto, estas estas franjas franjas se deben deben a la interferencia apartado anterior interferencia entre entre la radiación radiación del orden orden + 1 Y Y del orden orden -1 -1 que hemos hemos visto visto en el apartado anterior que se localizaban localizaban simétricamente simétricamente en el plano plano focal focal respecto respecto del eje óptico. óptico. Podemos Podemos entonces entonces considerar considerar que Young, en el que que los dos puntos puntos donde donde se focaliza focaliza la radiación radiación se comportan comportan como como un dispositivo dispositivo de Young, que la separación + I - X _I = 1 separación entre entre las fuentes fuentes es g g =X X+I X_I l cm, cm, y la distancia distancia entre entre el plano plano de las fuentes fuentes y el plano plano de observación observación (plano (plano de la imagen imagen paraxial) paraxial) es D f = Is Is'' - f'l f'l = 20 cm cm.. Teniendo en en cuenta cuenta lo 10 anterior, anterior, la intelfranj interfranjaa obtenida obtenida es In/ L« Teniendo
=
A A
D// = 10 ¡.¿m. ¡,¿m. Recordando Recordando que los D
aumentos laterales laterales de la lente lente están están dados dados por por f3 = = ~ ~ = = --2,2, en el plano plano imagen imagen se debería debería tener tener una aumentos imagen de la red tal que que la separación separación entre entre dos rendijas rendijas adyacentes adyacentes fuese fuese de 1f3ld 1f3ld = = 20 ¡.¿m. ¡,¿m. Acabamos imagen Acabamos obtener el periodo periodo de las interferencias interferencias entre entre el orden orden + 1I Y y el -1 -1 que que es mucho mucho menor, menor, por por lo 10 que de obtener podemos uir que tiene la imagen podemos concl concluir que en el plano plano imagen imagen no se tiene imagen de la red. 20. Red Red
\
Pantalla de de Pantalla observación observación
.............................. .. . haz haz de de luz luz incidente incidente
''-. - . -0_.
-'................ -'-''. "-'- '-
.............. ..............
...............
''-. - .
...................... ...............
Figura 6.39 6.39 Trazado Trazado de rayos rayos hasta hasta el plano plano focal focal de la lente lente donde donde se ha colocado colocado la pantalla pantalla de observación observación. .
¿Serían observables observables estas estas franjas franjas por por un ojo humano humano situado situado detrás detrás de la pantalla cm de distancia? distancia? ¿Serían pantalla a 20 cm
~o
ángulo subtendido subtendido por por dos dos fra franjas adyacentes para para el observador observador está está dado dado por 8 eojo El ángulo njas adyacentes = 0 jo = ~o 5 5 rad, en tanto ángulo que que determina determina el límite límite de resolución resolución angular angular dado dado por por el criterio criterio de 5 XX 10- rad, tanto que el ángulo 19Estrictamente hablando hablando no son puntos puntos en el plano plano focal focal sino sino que que se trata trata de las manchas manchas de Airy Airy para para ambos ambos órdenes. órdenes. Con Con 19Estrictamente objeto de no co complicar en exceso exceso la resolución resolución podemos podemos suponer suponer que que el tamaño tamaño de la mancha mancha de Airy Airy para para ambos ambos órdenes órdenes de objeto mpli car en siderarlos como ntos. difracc ión es suficientemente difracción suficientemente pequeño pequeño de manera manera que que podemos podemos despreciar despreciar su extensión extensión espacial espacial y con considerarlos como pu puntos. filtrado óptico. 20La 20La operación operación de bloqueo bloqueo del del orden orden cero cero de la red cae cae dentro dentro de lo que que se denomina denomina filtrado óptico. Vemos Vemos de esta esta manera manera que que esta ltrado altera c~ del esta operación operación de fifiltrado altera considerablemente considerablemente la imagen imagen final obtenida obtenida en en el sentido sentido de que que no es una una répli réplic~ del objeto. objeto.
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo 61 Difracción eto
Rayleigh está dado por ()R = 1.22~ = l.22 °45XX]~~~6= 1,525 X lO-4 rad. De manera que el observador no las vería resueltas (hemos supuesto que la pupila del observador es de 4 0101).
f'~ nte. n la
Responder a las preguntas anteriores si se desbloquea el orden cero y se bloquea el orden
157)
(que ben rior erar que yel los
+ l.
En este caso la distancia entre los puntos en el plano focal es g = 0.5 cm, por lo que la interfranja en el plano imagen será ¡nI = 20 ¡Lm. En este caso observamos que la interferencia entre el orden cero y el orden -1 produce franjas de Young con un periodo idéntico a la separación entre rendijas adyacentes de la red que que predice la óptica geométrica. En este caso el ángulo subtendido por las franjas para el observador está dado por ()ojo = 1 X lO-4 por lo que siguen sin ser resueltas por el observador.
una
an la
251
6.24.
Se forma, en iluminación coherente, la imagen real de un 9bjeto real uniclimensional con la ayuda de una lente convergente de focal f. Este objeto se caracteriza por una transmitancia compleja t (x) de longitud total a cuyo módulo se representa en la Figura 6.40. La parte central, de longitud, E, tiene una transmitancia compleja ei1>o con
=
tI (x)
+ i
donde t] (x) y t] (x) son transmitancias que se han de determinar. Calcular la distribución de intensidad en el plano focal de la lente.
una mas que
It(x)1
I~
~I
Figura 6.40 Módulo de la transmitancia
A la vista del módulo de la función t(x),
x
del objeto de fase.
ésta se puede poner como (6.158)
a de
ia?
,_ o de Con es de que
donde t] (x) Y t2(X) corresponden a las transmitancias de dos rendijas de anchuras a y E, respectivamente. Si la fase
= [ti (x) - t2(X)]
+ [1 -
i
+ i
(6.159)
En aproximaxión de Fraunhofer, la amplitud del campo en un punto del plano focal de la lente de coordenada x f respecto del eje óptico será la superposición de los campos radiados por rendijas infinitesimales de anchura dx. Ef(xf)
=
¡
012
-0/2
t¡(x)e
ikxxJ J dx
+
¡E/2 -E/2
http://carlos2524.jimdo.com/
ikxxJ
i
/ dx.
(6.160)
252
Óptica física
Estas integrales son las habituales para el caso de una rendija y arrojan dos funciones senc: E¡(x¡)
= a
sen(nua)
+
n ua
senfrr ze )
(6.161)
iifJOE--nUE
X{
donde u = AJ' La irradiancia en el plano focal será el modulo al cuadrado de la función anterior, es decir, 1¡(U)
= a 2 [sen(nua)]2
2 [ Sen(nUE)]2 + ifJ = o E nUE
tt ua
11
+h
(6.162)
Obsérvese que la irradiancia es simplemente la suma de las irradiancias de los campos producidos por la rendija grande, de anchura a y el campo producido por la rendija pequeña, dado que la luz que pasa por ésta última experimenta un defase de it /2 [véase la expresión (6.161)] que anula el factor de interferencia entre ambas ondas. En la Figura 6.41 se muestra el perfil de irradiancia de cada término por separado en función de la variable u. En esta figura se puede observar que la anchura del máximo central
1.0
ti ...----
.-,.
1,
0.8
::>
i. .~ 0.6
/1,
o e
'"
'O ~
OA ./
0.2
,.
.-
,.
,.
,.
-,
"-
" "-
,. "
"
" "-
OL-~~----~----~~~-L~~~----~------~--~ o A
-10
-5
tI (x)
10
5
Figura 6.41 Irradiancia producida
que produce la transmitancia
\A
por cada una de las transmitancias.
vale !'!XI¡
V = 2-,
(6.163)
a
mientras que la anchura del máximo que produce la transmitancia iifJt2(X)
vale (6.164)
Se coloca en el plano foca1, un obstáculo opaco de geometría rectangular de longitud 2A/a y de gran dimensión siguiendo el eje OY. ¿Qué se observa en el plano imagen? Si ahora se coloca en el plano focal una pantalla vertical de anchura 2A/a, todo el máximo central producido por la transmitancia tI (x) es interceptado. Como a > > E en el plano imagen tendremos la irradiancia producida por iifJOt2(X), esto es h¡(u)
2 [ Sen(nUE)]2
(6.165)
~ ifJo E--nUE
Obsérvese que de esta manera la irradiancia es mucho menor que antes y además es proproporcional a la fase del objeto ifJ6' Se ha transformado una variación de fase en una variación en intensidad. El objeto de fase se hará visible. Este proceso se denomina filtrado en campo oscuro. Se reemplaza el obstáculo por una lámina de fase que introduce un defase de el plano imagen?
http://carlos2524.jimdo.com/
it /2.
¿Qué se observa en
Capítulo 6/ 6/ Difracción Difracción Capítulo
253
Si en lugar transparente de la misma misma anchura pero que lugar de un objeto objeto opaco opaco se sitúa sitúa un objeto objeto transparente anchura pero que introduce introduce procedente de la rendija rendija ti pantalla tendremos tendremos la superposición un defase defase de n n //22 al campo campo procedente ti (x), (x), en la pantalla superposición transforma en coherente coherente de los dos campos campos en fase. fase. El campo campo dado dado en (6.161) (6.161) se transforma
1)
E¡(x¡) Ef(xf)
=e
irr/2 irr/2 sen(nua) sen(nua)
a
nua n ua
.
sen(nuE)
. sen(nuE) I
,
(6.166) (6.166)
Sen(nUE)]2 2 [ Sen(nUE)]2
(6.167) (6.167)
por que la irradiancia irradiancia será será por lo que 2) I¡(u) = aa I f(U) = os e e
[sen(nua)]2 ] 2 sen(nua) senórus) 2 [sen(nua) sen(nua) sen(nUE) 2
Podemos despreciar despreciar el término con eP5
1¡(u) f (u) ~ ~ tti i (u) (u)22 + + 2ePotl 2
al
(6.168) (6.168)
Ahora irradiancia es proporcional
6.25. 6.25.
Una difracción de 90 líneas líneas por milímetro es iluminada iluminada por haz colimado colimado de radiación por ·milímetro por un haz radiación Una red red de difracción monocromática longitud de onda onda A = 0.6/Lm. 0.6 ¡Lm. Tras Tras la red distancia de 100 mm mm se coloca coloca monocromática de longitud red y a una una distancia lente de diámetro diámetro eP
d sen Bm 3)
mk, , dondem dondem = O, = mA
±l, , ±2, ±2, ..... . , ±1
donde d d = do X 1010-33 metros, B es el ángulo ángulo de difracción difracción y m el orden orden de difracción. difracción. donde metros, es el paso paso de la red, red, B Procediendo como como en problemas anteriores, el ángulo ángulo que que subtiende subtiende la parte inferior de la red respecto Procediendo problemas anteriores, parte inferior respecto
[![!]]
al la
(6.169) (6.169)
[?go ]]
al borde borde superior viene dado por Bobs = tan-" I = tan-I I = superior de la lente lente viene dado por = ran = tan= 26.57°. 26.57°. Este Este ángulo ángulo como sabemos sabemos es el que limitará los los haces que capte capte la lente lente y que que provienen red. De esta esta manera manera que limitará haces que provienen de la red. como teniendo en cuenta cuenta la ecuación ecuación (6. (6.169) determinar el valor orden interferencia] interferencia! m 169) podemos podemos determinar valor máximo máximo del orden teniendo que corresponde corresponde al haz que ya no es captado captado por lente. El resultado arroja 1m 1mI :s :S 8, o sea, que que la lente lente que haz que por la lente. resultado arroja capta el orden orden cero cero y 16 órdenes órdenes de difracción. difracción. capta Asumiendo que los haces difractados por considerarse como como ondas ondas planas cuya direcdirecAsumiendo que haces difractados por la red pueden pueden considerarse planas cuya ción de propagación queda especificada especificada en en términos términos de] del ángulo ángulo de difracción, difracción, Bm, focal de ción propagación queda Bm, en el plano plano focal 21. En la lente lente se observarán observarán 17 "puntos" "puntos" iluminados ilurninados+". En particular orden cero cero irá al foco foco de la lente lente y los particular el orden órdenes positivos irán a puntos focal dados órdenes positivos y negativos negativos irán puntos del plano plano focal dados por por Ym Ym
= rj' tan Bm ~~ f' senBBm mf'!:.. j' sen ~. m = m!,
S)
d
(6.170) (6.170) , !
la de
Determinar qué qué tipo objeto emplearía emplearía en el plano focal como como "filtro" "filtro" para que en el plano plano imagen imagen Determinar tipo de objeto plano focal para que obtenga una distribución distribución uniforme uniforme de luz luz de intensidad intensidad máxima. se obtenga máxima. 11
Para que que en el plano imagen, o sea, el plano que según según la óptica óptica geométrica geométrica la lente lente forma forma la Para plano imagen, plano en el que imagen de la red, distribución de luz luz uniforme colocar un filtro opaco opaco en el plano imagen red, tengamos tengamos una una distribución uniforme hemos hemos de colocar plano
1:
I
1
21En otros problemas anteriores hemos especificado el el siginificado siginificado de estos estos ""puntos". 21 En otros problemas anteriores hemos especificado puntos".
http://carlos2524.jimdo.com/
254
,•
'I~ ¡,
'¡I"I'¡q:
Óptica ica Óptica fís física 22 focal que menos uno de ellos focal22 que elimine elimine todos todos los órdenes órdenes de difracción difracción que que captó captó la lente lente menos ellos (tendrá (tendrá que que tener pequeña abertura radio menor tener una pequeña abertura circular circular de radio menor que 4.05 4.05 mm que que es la distancia distancia entre entre el orden orden cero cero y el orden irradiancia colocaremos orden uno en el plano plano focal). focal). Si queremos queremos que que la imagen imagen final tenga tenga la máxima máxima irradiancia colocaremos el filtro justamente justamente de modo modo que que sólo sólo permita permita el paso paso del orden orden O, O, o haz haz no difractado, difractado, que que es el que más energía contiene. contiene. energía
Se sustituye sustituye la fuente fuente de luz colimada colimada por por una una fuente fuente de la misma misma longitud longitud de onda onda que que emite emite ondas ondas esféricas. fuente está esféricas. Esta Esta fuente está situada situada a 150 mm mm de la red. Determinar Determinar la posición posición del plano plano de filtrado filtrado: : el plano en el que que colocaría colocaría el filtro que permite permite alterar alterar la distribución distribución de luz luz en la imagen que da la lente lente plano imagen que de la red. Determinar Determinar el tamaño tamaño del filtro que que colocaría colocaría para para obtener obtener en la pantalla pantalla una una distribución distribución de luz uniforme uniforme de máxima máxima irradiancia. irradiancia. En este este caso caso las condiciones condiciones de iluminación iluminación cambian cambian con con respecto respecto a la situación situación anterior: anterior: al ser el haz de luz que red emergerán que incide incide sobre sobre la red un haz divergente, divergente, de la red emergerán diferentes diferentes haces haces de luz también también divergentes: divergentes: el orden orden cero cero o haz haz no difractado difractado provendrá provendrá de la fuente fuente de iluminación iluminación y los órdenes órdenes superiores superiores provendrán provendrán virtualmente virtualmente de otros otros puntos puntos que que están están colocados colocados en el plano plano de la fuente. fuente. Un esquema esquema de lo que que estamos estamos diciendo diciendo puede puede verse verse en la Figura Figura 6.42. 6.42. red red de de paso paso d
FU
\\
F F
PR PR
F'
Figura 6.42 re una red 6.42 Esquema Esquema de un haz de luz divergente divergente que que incide incide sob sobre red.. Se ha indicado indicado el p lano image plano imagenn de la red y el plano plano imagen imagen de la fuente fuente de luz que que ilumina ilumina la red.
En efecto, efecto, para para cada cada rayo rayo del haz haz que que incide incide sobre sobre la red ha de tenerse tenerse en cuenta cuenta que que la ecuación ecuación de interferencia incorporar la inclinación inclinación del rayo interferencia constructiva constructiva ha de incorporar rayo respecto respecto a la normal normal a la red (recuérdese (recuérdese I 69) se el procedimiento procedimiento seguido seguido en el Problema Problema 18 de este este Tema). Tema). De esta esta manera manera la ecuación ecuación (6. (6.169) escribirá escribirá de manera manera más general general como como
d(sene d(senemm
-
senE) sen s) = = mA, mt«, dondem dondem == O, ±l, ±l, ±2, ±2, .. ... . ,
(6 .171) ' (6.171)'
donde donde E E es el ángulo ángulo de incidencia incidencia sobre sobre la red, que que para para cada cada rayo rayo es diferente. diferente. En particular particular si conconsideramos sideramos el rayo rayo de orden orden 11 que que corresponde corresponde al rayo rayo incidente incidente O O y lo prolongamos prolongamos virtualmente virtualmente hasta hasta fuente real el plano plano que contiene contiene la fuente real,, podemos podemos determinar determinar la separación separación entre entre la fuente fuente real S y la fuente fuente virtual virtual SI. SI. La distancia distancia entre entre S y SI vendrá vendrá dada dada por por (6 .172) (6.172) donde rayo O. De la ecuación . 172) se donde e}O) e}O) es el ángulo ángulo de difracción difracción de orden orden 1 para para el rayo ecuación (6.171) (6.171) y la (6 (6.172) infiere infiere que 8.1 mm. 22 En este ltra en el 22En este sentido sentido se dice dice que que se fifiltra el plano plano de Fourier. Fourier.
http://carlos2524.jimdo.com/
(6.173) (6.173)
Capítulo 6/ Difracción ue
255
Si procedemos de manera similar para cada orden veremos que podemos sustituir el problema por una colección de fuentes virtuales que iluminan la lente: así el haz correspondiente al orden In tiene una dirección central de propagación que viene dada por el orden de difracción del rayo O para ese orden el~?). Si queremos alterar la distribución de luz en el plano imagen de la red, P R, procederemos de la siguiente manera: localizaremos el plano imagen, F U, que contiene a las imágenes reales del plano que contiene a las fuentes que anteriormente hemos determinado. En ese plano F U colocaremos los filtros adecuados para alterar la distribución de luz en el plano imagen de la red. La posición de dicho plano FU vendrá dada por la relación de conjugación
e e
1
1
1
sI
sí
1"
--+-=ser luz los te.
(6.174)
donde sI = So + SI = -250 mm, de manera que sí = 107.14 mm. De esta manera la separación entre la imagen de S, SI, y la de SI, S;, vendrá dada por
= ..1... sl'l so-A
SISI I
donde
I~ I =
I
SI
3.47mm,
(6.175)
d
l,ss I = 0.42856 es el aumento lateral.
Finalmente para que en el plano imagen de la red tengamos una distribución uniforme de luz hemos de eliminar todos los órdenes que hay en el plano FU excepto el orden cero: para ello colocaremos un filtro opaco de forma circular cuyo radio sea inferior a 3.47 mm. Nótese que el filtro que hemos de emplear en este caso tiene un tamaño menor que el filtro que debíamos colocar en el caso de iluminación colimada (ver apartado anterior). Esta situación puede cambiar sin más que acercar la red hacia la lente y la fuente real de luz que ilumina la red también hacia la lente, consiguiendo de este modo que los aumentos laterales, ,ss, sean mayores que la unidad y entonces el tamaño del filtro a emplear pueda ser mayor. Vemos pues que la ventaja principal de filtrar con un haz de luz divergente es que permite acceder a tamaños de los filtros que son mayores o menores de los que se emplearían filtrando en el plano focal. el
6.26. de ese ) se
71)
Se tiene una lente delgada de focal f y diámetro muy grande de tal manera que despreciaremos los efectos de difracción por el borde de la misma. A una distancia s > > f de la lente se sitúa una red de difracción de paso d, anchura de las rendijas a y tamaño infinito. Esta red se ilumina con un haz plano procedente de un láser de He-Ne de longitud de onda A.
(a)
(b)
onasta nte
R(y)
Red
\
L ~'
Plano imagen
Haz incidente d
72) ) se
a +---+ s'
73) Figura 6.43 (a) Transmitancia
de una red de amplitud de paso d y anchura de cada rendija a. (b) Órdenes de difracción producidos por la red y la acción de la lente sobre ellos.
http://carlos2524.jimdo.com/
256
Óptica física Óptica física
Resolución Resolución Calcular el desarrollo desarrollo de Fourier función que que representa objeto. Calcular Fourier de la función representa al objeto. Intentamos en este este problema las ideas ideas centrales centrales de la teoría considerar Intentamos problema mostrar mostrar las teoría de Abbe. Abbe.2323 Podemos Podemos considerar difracción como como un objeto objeto cuya cuya transmitancia dirección del eje Y, con con periodo la red de difracción transmitancia es periódica periódica en la dirección periodo Como sabemos sabemos por función periódica admite un desarrollo desarrollo en serie serie de d. Como por el teorema teorema de Fourier, Fourier, toda toda función periódica admite Fourier, esto es, es, de funciones funciones armónicas armónicas de frecuencias frecuencias que que son múltiplo frecuencia fundamental. fundamental. Fourier, esto múltiplo de la frecuencia En particular particular si f(y) función periódica que verifica condiciones de Dirichlet: En f(y) es una una función periódica de periodo periodo d tal que verifica las condiciones Dirichlet: sobre su periodo, - f(y) f( y ) es univaluada univaluada sobre periodo, d. -- ff((y) y ) tiene tiene un número número finito de máximos máximos y mínimos. mínimos. (y) tiene discontinuidades. -- ff(y) tiene un número número finito de discontinuidades. (y) Id yy es finita finita sobre sobre un periodo, IIff (y) periodo, 24 24 entonces existe existe una serie de Fourier Fourier que converge converge a ff(y)(y) dada dada por que por entonces una serie
-- JJ
f(y) f(y)
ao
n2ny n2ny y y (n2n ,, -db (n2n -d-)
L
aO (Xl [ ) )] 2 + CXl [ aancos -d+bnsen ) ll sen ( -d- ] =2 + ll cos ( +
(6.176) (6.l76)
/1.=1 n= 1
donde donde
2 Jo
(2nn)
[d f(y) ann = = d f(y) cos (2nn) dd dy, d2 lo[d dy , n = = 0,1,2, 0,1,2, ... ... ,
(6.177) (6.177)
y b« b"
(2:n)
[d f(y) (2nn) ~2 fod =d Jo f( y ) sen d
n = 1,2, 1,2, ... ...
(6.178) (6. 178)
ddyy ,, n
La función función que que representa está representada Figura 6.43a. 6.43a. En nuestro caso se trata La representa a la red está representada en la Figura nuestro caso trata de una una función par, esto es R (y) (y) = R ((-- y), que b b.; O. Deberemos calcular los coeficientes coeficientes anll:: y), por por lo que Deberemos calcular función par, esto ll = O. _2 a" -_ -2 a" d
[l[1
(2nn)
O O
(2nn)
¡d ]_2asen(,,~a) / cos (2nn) + id cos (2nn) -- - d dyy ] -_2asen(n~a mra --- - ddyy + cos mr a ) '' a d- a/2 a d ( d-al2 (ff
a2 a12
ya que que R(y) esos intervalos intervalos y cero cero en el resto. R (y) = 1 en esos resto. definimos la función función Si definimos sen(nx) . sen(nx) senc(x) == senc(x) == ,
(6.180) (6.180)
nnxx
entonces, a a.,ll toma forma entonces, toma la forma
(6.179) (6. l79)
a" == 2; (n~). 2; senc senc (n~).
(6. 181 ) (6.181)
Por sustituyendo este expresión general general (6. (6.176), función que que representa Por lo tanto, tanto, sustituyendo este resultado resultado en la expresión 176), la función representa la forma del objeto se puede escribir como forma objeto puede escribir como
2a2a L -;¡senc( 2a2a na) na) (n2ny)y ) (n2n dsenc( -;¡ d cos - d - .
R(y) R(y) = = -;¡ d+ +
oo 00
-d-
.
(6.182) (6. 182)
n=\ 11=1
definimos la frec frecuencia espacial de la red, como Si definimos uencia espacial red, kk-,r , como
kkrr
2n2n
== --;¡ , ==--;¡,
(6.183) (6. 183)
queda definitivamente definitivamente como como la función función R(y) R(y) queda R(y) R(y)
=
2; + ff ~ ~ e;) senc senc
2; +
[einkrY + ee-inkryJ [ ei"k r Y + illkry J .
(6.184) (6. 184)
,,,,=1 =1 23No aquí un cálcu cálculolo detallado detallado basado integral de difracción difracción para accesibles las las ideas ideas centrales centrales de la 23 No haremos haremos aquí basado en la integral para hacer hacer más más accesibles teoría cálculoo más el siguiente siguiente problema. teoría de Abbe. Abbe. Dejaremos Dejaremos el cálcul más riguroso riguroso para para el problema. 24Se consultar of Formulas and Tables, Tables, Schaum' Schaurn's s Seri Series, 24 Se puede puede consu Itar Murray Murray R. R. Spiegel, Spiegel, Mathematical Mathematical Handbook Handbook of Formulas and es, McGraw-Hill, McGraw-H i 11 , 1971
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo 6/ Difracción Capítulo 6/ Difracción
257
Desde vista estrictamente Desde un punto punto de vista estrictamente matemático, matemático, nótese nótese que que la forma forma de la red es reproducida reproducida mediante mediante esta los términos esta función función sólo sólo si se suman suman todos todos los términos de la serie serie o al menos menos un número número muy muy elevado elevado de ellos. ellos. Los Los términos términos de altas altas frecuencias frecuencias espaciales espaciales son responsables responsables de que que aparezcan aparezcan los los bordes bordes muy muy nítidos. nítidos. Si elimináramos elimináramos estos estos términos términos de la expresión expresión anterior, anterior, y dibujáramos dibujáramos la curva, curva, perderíamos perderíamos definición definición de los bordes. bordes.
o e
Calcular por la red focal de la lente. Calcular la expresión expresión del campo campo total total difractado difractado por red en el plano plano focal lente. Si la red se ilumina ilumina con con una una onda onda plana plana que que incide incide perpendicularmente perpendicularmente a la misma, misma, sabemos sabemos que que la produce una una serie serie de órdenes órdenes difractados difractados sólo sólo en en determinadas determinadas direcciones direcciones dadas dadas por por la ecuación ecuación de red produce la red: sen e == mA. ms: d sen (6. 185) (6.185) é
Las amplitudes amplitudes de estos estos órdenes órdenes de difracción difracción vienen vienen dadas dadas por por la expresión expresión Las En¡ =b Em =b
sen(mna sen(mnajd)jd) . mnajd mnajd
(6.186) (6.186)
Figura 6.43b 6.43b se muestran muestran algunos algunos órdenes órdenes que emergen emergen de la red red y la acción lente sobre sobre ellos. ellos. En la Figura acción de la lente lente está está suficientemente suficientemente alejada, alejada, sobre sobre ella ella incidirán incidirán un conjunto conjunto de ondas ondas planas planas con con diferentes diferentes Si la lente ángulos de tal manera manera que que si ignoramos ignoramos la difracción difracción a través través de la lente, lente, cada cada una de ellas ellas se focalizará focalizará ángulos en un punto punto Xmm dador dador por por fA fA (6. 187) (6.187) ftane ~ x", = ftane ~ m---¡¡. m---¡¡.
a
Así Así pues, pues, en el plano plano focal focal de la lente lente tenemos tenemos un conjunto conjunto de fuentes fuentes puntuales puntuales coherentes coherentes que reenvían reenvían luz hacia hacia el plano plano imagen. imagen. Es importante importante señalar señalar aquí aquí que que las amplitudes amplitudes de estas estas fuentes fuentes se corresponden corresponden con los coeficientes coeficientes del desarrollo desarrollo de Fourier Fourier de la función función R (y) (y) que que representa representa al objeto, objeto, esto esto es, a la red. Por Por lo tanto, tanto, en el plano plano focal focal está está representado representado el contenido contenido espectral espectral de la red objeto. objeto. Por plano de Fourier. Fourier. En el lenguaje Por ello ello a este este plano plano se le suele suele denominar denominar plano lenguaje de la teoría teoría de Fourier, Fourier, cada cada orden orden de difracción difracción es portador portador de una una cierta cierta información información de la estructura estructura del objeto. objeto. Si mediante mediante algún algún tipo tipo de diafragma diafragma modificamos modificamos o eliminamos eliminamos algunos algunos de los los órdenes órdenes de difracción, difracción, perderemos perderemos información información del objeto. objeto. Calcular la distribución distribución de irradiancia irradiancia que que se produce produce por por la superposición superposición de todas todas las fuentes fuentes conteniconteniCalcular plano focal focal de la lente lente en una una pantalla pantalla situada situada a una distancia D del foco foco de la lente. lente. Analizar Analizar das en el plano una distancia el caso caso en el que la pantalla pantalla se encuentra encuentra a la distancia distancia de la lente lente predicha predicha por por la óptica óptica geométrica. geométrica.
1)
la
Como Como las fuentes fuentes puntuales puntuales son coherentes, coherentes, en la pantalla pantalla tendrá tendrá lugar lugar la interferencia interferencia de las mismas. mismas. problema se reduce reduce a un experimento experimento de Young Young con con múltiples múltiples fuentes. fuentes. Si nos situamos situamos en un punto punto El problema pl pantalla tal como como se indica indica en la Figura Figura 6.43b, 6.43b, la amplitud amplitud del campo campo en la pantall pantallaa será será la pi de la pantalla superposición de todas todas las ondas. ondas. Tendremos Tendremos que que tener tener en cuenta cuenta los los defases defases relativos relativos entre entre ellas. ellas. Si superposición elegimos orden cero cero para para medir medir las diferencias diferencias de fase, la diferencia diferencia entre entre la onda onda de orden orden m y la de elegimos el orden orden orden cero cero se tendrá tendrá 2n 2n 2n xmx xmxl l 2n m Xx'l 8 ---- ------(6.188) (6.188) m A D D '" A d Dj!" D j!" El campo p i será campo total total en el punto punto pl será E(xl) E(x
l )
=
Ea Ea
e2i8 + .. + E¡e E¡ei8i8 + E2 E2e2i8 ....
+ E_leE_¡ei8- i8 + E_2eE_2 e2i8 - 2i8 + ...
(6.189) (6.189)
óptica geométrica geométrica predice predice que que la imagen imagen de un objeto objeto está está situada situada en un plano plano a una di distancia La óptica stancia dada por por dada la 71
1 Si
s
f
http://carlos2524.jimdo.com/
SSii
(6.190) (6.190)
258
Óptica física Óptica distancia D D vale D D= = s' Si -- f. Por ello En ese caso, la distancia D S'-- ff D s' ------M f =- - f - =-M ,
f
f
(6. 191) (6.191)
'
representa representa el aumento aumento lateral lateral del sistema. sistema. Sustituyendo Sustituyendo este resultado resultado en la ecuación ecuación (6.189), (6.189), el campo campo pantalla es total en la pantalla l E(x) =
00
b,"", . ¡ 2il"l1l x' EOd L Eme l I M .
+
(6.192) (6.192)
-00
Este resultado resultado es importante. importante. Si comparamos comparamos esta esta expresión, expresión, que representa representa el campo campo en la pantalla, pantalla, con Este función R(x) R(x) de la red, red, vemos vemos que es la misma misma salvo salvo un factor factor de escala, escala, es decir, la función
,
xX
(6. 193) (6.193)
E(x) E(x') = = R(-). R( -). M M
Por lo tanto, tanto, en el plano plano imagen imagen tendremos tendremos una una fiel reproducción reproducción del objeto objeto salvo salvo que estará estará aumentado aumentado Por disminuido en tamaño. tamaño. o disminuido
6.27.
Un Un haz haz plano plano monocromático monocromático de longitud longitud de onda onda A A incide incide sobre sobre un objeto objeto que presenta presenta una una amplitud amplitud de transmisión transmisión t(xo t(xo, , Yo). YO). El objeto objeto se encuentrá encuentrá pegado pegado a la cara cara de una una lente lente delgada delgada de focal focal imagen imagen f. Demostrar Demostrar que que la distribución distribución de amplitud amplitud del campo campo transmitido transmitido por lente en el plano plano focal es por la lente proporcional la transformada transformada de Fourier Fourier de t(xo t(xo, , Yo) YO).. proporcional a la situación física física está está representada representada en la Figura Figura 6.44. 6.44. La situación Y, Y,
Y, Y,
t(l<,. y,) y,) t(J<,. Plano focal
x,x,
x,x,
Figura 6.44 6.44 Acción Acción de de una una lente lente sobre sobre el espectro espectro de de un un objeto. objeto . Objeto Objeto pegado pegado a la lente. lente. Figura
Resolución Resolución Comenzaremos Comenzaremos por por calcular calcular la la amplitud amplitud de transmitancia transmitancia inmediatamente inmediatamente después después de la la lente. lente. Como Como se vió en el el Problema Problema 18 del del Tema Tema 3, la la acción acción de de la la lente lente es es introducir introducir una una fase fase cuadrática cuadrática a la la onda onda y vió cambiar cambiar la curvatura curvatura del del frente frente de de onda: onda:
(6. 194) (6.194) donde donde XI, XI , Yt YI son son coordenadas coordenadas cartesianas cartesianas en en el plano plano de la la lente. lente. El El campo campo difractado difractado en en un punto punto del del plano plano focal focal imagen imagen (x (x If, YYf) f ) vendrá vendrá dado dado por: por: E(x
f , Yf
)
ikf
= e.'f lA
f foo -00
dx d
t'(x
1 YI O
1, YI
http://carlos2524.jimdo.com/
)e i i¡ [(X¡ - XI) 2+(Y¡ - YI )2]
,
(6.195) (6.195)
Difracción Capítulo 6/ 6/ Difracción Capítulo decir es decir E()x f, E (Y [> Yf) f
f
kf ff fooOO '2)) '.J....[( '.!s... [(. . _,)2 eeiikf . kj, ((,2XI+YI .2 '2 _.XI )2++Y/(YI - YI '2}'XI+YI YI )2J 12 2I XI t(O d X¡ Y¡t( O X¡, Y¡ Y¡) e X¡ d Y¡ e .
-.-= -.
k
IAf IAf
/2/
x¡
X{
259
(6.196) (6.196)
-00 -00
Desarrollando binomios se llega llega sin dificultal dificultal a la siguiente siguiente expresión expresión Desarrollando los binomios E(Xf, Etx «, Yf) Yf)
ikf ikf i.!s...(x2+/)ffOO -i!..(xx'+ k( 2+ 2)ffOO :k (YIY/)) . lj = eiAfel. 2J YI/ -00 2} XI / -00 dx¡dy¡to(x¡ dx¡dy¡to(x¡, , YI)eYI)e / xlxr I J +YIYI
sr
(6.197) (6.197)
vista del resultado resultado se ve que, que, salvo salvo el factor factor de fase que que está está fuera fuera de la integral, integral, el campo campo en el plano plano A la vista focal objeto objeto es la transformada transformada de Fourier Fourier de la amplitud amplitud objeto objeto en los los puntos frecuencias espaciales espaciales focal puntos de frecuencias
on
I, = Yf YflA!· Ir = xflA! xf/A! y !y / AJ· irradiancia en el plano La irradiancia plano focal es
3)
1
[(xf, Yf Yf) ) = =--2IF y¡)] ] [(xf, ? IF [to(X¡, [to(X¡ , Y¡) (Af)(A!)
??
1-,
(6.198) (6.198)
do
donde F [to (X¡ (X¡,, YI) y¡)]] representará ahora en adelante adelante la transformada transformada de Fourier Fourier de to (X¡, y¡). donde representará de ahora y¡). d n
6.28. 6.28.
Un haz mono cromático de longitud longitud de onda onda AA incide incide sobre sobre un objeto objeto que que presenta amplitud presenta una una amplitud Un haz plano plano monocromático t(xo, yo). objeto se encuentra encuentra a una distancia s a la izquierda izquierda de la lente lente delgada delgada de de transmisión transmisión t(xo, yo). El objeto una distancia focal imagen imagen f. Demostrar Demostrar que distribución de amplitud amplitud del campo campo transmitido transmitido por lente en el focal que la distribución por la lente plano transformada de Fourier Fourier de t(xo t (xo,, YO) YO) y calcular calcular las condiciones condiciones bajo plano focal es proporcional proporcional a la transformada bajo cuales esta esta distribución distribución es estrictamente estrictamente la transformada transformada de Fourier Fourier del objeto. las cuales obj~to. Resolución Resolución La situación situación física física es muy muy parecida muestra en la Figura Figura 6.44, 6.44, excepto excepto que ahora ahora el objeto objeto no La parecida a la que se muestra está pegado lente sino sino a una distancia finita, de modo modo que hay que que calcular calcular la propagación desde el está pegado a la lente una distancia propagación desde objeto hasta hasta la lente. campo en el plano cara anterior anterior de la lente lente se podrá poner como como objeto lente. El campo plano de la cara podrá poner (6.199) (6.199)
campo inmediatemente inmediatemente detrás detrás de la lente lente será será El campo Eó(X¡, , y¡) Eó(X¡ y¡)
=
ii kk
2 +y2) (x2+y2) (x
Eo(x¡, 2f Eo(x¡, y¡)e y¡)e 2J
II
(6.200) (6.200)
ll. .
Propagaremos ahora ahora hasta focal imagen: imagen: Propagaremos hasta el plano plano focal E()XI> E Yf) Xf( ,Y f
se
f f oo foo
.
. 2J kk [( [(. .xI-XI )2 + (YI-YI )2J . )2 '(I ( XI-XI Y/-YI )2J ) ''2f d x¡ d Y¡ Y¡ E O O xi, Y¡ e x¡, Y¡ .
(6.201) (6.201)
-00 -00
Sustituyendo el valor valor de (6.200) (6.200) en (6.201) (6.201) y realizando realizando los binornios llega a Sustituyendo binomios se llega
ay E(xf, Yf)
94)
ikf ikf e Af ¡IAf
= -.-.--
ikf 2+2 )ffOO = eiAfel.k( 2J XI Yr -00 dx¡dy¡Eo(x¡,
.k () xlxI+YtYI .
y¡)e - l j
(6.202) (6.202)
Sustituyendo el valor valor de (6.199) (6.199) en (6.202) (6.202) se llega llega a la siguiente siguiente expresión expresión Sustituyendo
del
(6.203) (6.203)
95)
http://carlos2524.jimdo.com/
260 260 Óptica Óptica física física Reordenando Reordenando esta esta integral integral se puede puede poner poner de la forma forma
(6.204) (6.204)
Si realizamos realizamos el cambio cambio XI - Xo Xo XI
= u,
YI YI - YO YO = vv,,
(6.205) (6.205)
(6.204) se puede puede reescribir reescribir como como la integral integral (6.204)
(6.206) (6.206) Reordenando Reordenando los términos términos para para llevar llevar a cabo cabo separadamente separadamente las dos integrales, integrales, se tiene tiene
(6.207) (6.207)
La integral integral en u y v se puede puede realizar realizar sin dificultad dificultad y arroja arroja el resultado resultado I
.'
(6.208) (6.208)
Finalmente, (6.207) se llega Finalmente, sustituyendo sustituyendo este este resultado resultado en la integral integral (6.207) llega al siguiente siguiente resultado resultado E(xJ, YJ E(Xf' Yf) )
=
(2+ 2)[1
s]flf Loo ( >O to(xo , yo)dxodYoeOO
eik(f+s) i1·k..L ( xX2+y2 eik(f+s) y )[I_ -- l. ] ¡A22 fs fs e 21 2¡ f ¡f rj
-00 to(xo, yo)dxodYoe-
x + ) X 7 o 1¡ YOYj YOY! ,
i1..k() k (x X
o
(6.209) (6.209)
es decir decir E(xJ, YJ) E(xf' Yf)
=
2+ 2+ 2)[1 s] s]
ei k(f+s) . k ( eik(f+s) ¡A22 fs fs e'2J xI el2J x¡
--7:F 7 :F [to(xo [to(xo, , YO)]. yo)].
YI Y¡
(6.210) (6.210)
Salvo Salvo el factor factor de fase, vemos vemos que que en el plano plano focal focal de la lente lente se obtiene obtiene una una amplitud amplitud proporcional proporcional a la transformada ar transformada de Fourier Fourier de la amplitud amplitud objeto. objeto. No obstante, obstante, este este cálculo cálculo revela revela la posibilidad posibilidad de anul anular el factor factor de fase global global si situamos situamos el objeto objeto en el foco foco objeto objeto de la lente. lente. En efecto, efecto, el factor factor de fase desaparece si desaparece s 1O (6.211) (6.211) 1- -- ==0
f
'
esto esto es s = = f.f.
6.29.
: 'J."
I':l
Una rendija de tamaño tamaño conocido conocido b se encuentra encuentra a una una cierta cierta distancia distancia s de una una lente cuya focal se Una rendija lente cuya quiere obtener. obtener. Para Para ello ello se ilumina ilumina la rendija rendija con con el haz colimado colimado de un láser láser de longitud longitud de onda onda A. A. quiere Sobre el plano plano focal focal de la lente lente aparece aparece el espectro espectro de la rendija. rendija. Con Con la ayuda ayuda de un microscopio microscopio con con Sobre retículo se mide mide la distancia distancia entre entre In m minimos, mínimos, resultando resultando ser fu. l'..x. retículo
Resolución Resolución
Calcular Calcular la focal focal de la lente lente en términos términos del desplazamiento desplazamiento f'"x, l'..x, A y Y de la anchura anchura de la rendija rendija b.
http://carlos2524.jimdo.com/
261
Capítulo 6 J f Difracción Difracción Capítulo
Según el problema problema anterior, anterior, en el plano plano focal focal de la lente, lente, la amplitud amplitud del campo campo viene dada por por Según viene dada E (x (x f ' Yf) f) E
=
s] (2 2)[1 --- s]
ik(f +s ) 11..k(.2 k X eik(f+s) e x +y 21 1 iiAA2 f s e 21 1
f
i:
Jj
to(xo, Yo)dxodYoe yo)dxodyoe -=ii tt(XOXI+YüY}). to(xo, (XOX¡+YüYI ).
(6.212) (6.212)
irradiancia será proporcional proporcional al módulo módulo al cuadrado cuadrado de la amplitud, amplitud, esto esto es La irradiancia (6.213) (6.213) nuestro caso, caso, la amplitud amplitud de transmisión transmisión de la rendija rendija es En nuestro to(Xo, YO) to(Xo , YO)
= { ~~
-bj2j 2 < < Xo < > b bj2. JxJ j2.
(6.214) 14) (6.2
Por lo tanto, tanto, Por 2
b/2. . k .. k b/2 e-I/YOXIdYo! e-l/xoxJ e-' /YOXf d Yo! e-, /xoxI -00 -bf2 -00 -bJ2 1 1 1 1 00
[(Xf,Yf)=C! [(X f,Yf) = C !
(6.215) (6.215)
resultado de cada una de las integrales integrales es inmediato: inmediato: El resultado cada una 2
Yf) [e-itXOXJ]b/2 Yf) [e -itXOX/ ] b/2 [(xf -ii [(xf, , Yf) Yf) ~ ~ C 8 ( Af Af -i!xf xf f --b/2 b/2
(6.216) (6.216)
decir es decir [(x f, Yf)
=C
Yf
8 ( Af ) 1
2
2 2 nbxf b senc ( )
V
.
(6.217) (6.217)
1
Los mínimos mínimos de la irradiancia irradiancia ocurren cuando Los ocurren cuando n bx¡ nbxf V V
= Inn mst , In = = 1, 1,2, ... = 2, ...
(6.218) (6.218)
Por lo tanto, tanto, la separación separación entre entre In mínimos, mínimos, ll ~x,x, será será Por fA fA
t:
llx In--¡; , ~X = =r
(6.219) 19) (6.2
donde se obtiene obtiene la focal focal de la lente lente sin más más que que despejar despejar f de la anterior anterior ecuación: ecuación: de donde b~x bllx
f=-· f= InA·
(6.220) (6.220)
ventaja del del método método propuesto propuesto en el apartado apartado anterior anterior respecto respecto a métodos métodos convencionales convencionales basados basados La ventaja localización del foco de la lente, lente, radica que estos estos últimos últimos son muy muy sensibles sensibles al grado grado de en la localización radica en que colimación del haz incidente incidente sobre sobre la lente lente mientras mientras que que el primero Demostrar este hecho. hecho. colimación primero no lo es. Demostrar Figura 6.45 se muestra muestra el montaje montaje que puede puede servir servir para para implementar implementar los dos métodos. métodos. En En la Figura En efecto, en el caso convencional, la luz del láser láser se colima calima con con la lente lente Le Este haz haz incide incide efecto, caso convencional, Le de focal j~. Este sobre la lente problema que que lo convergerá convergerá en su foco. Pero Pero si el haz incidente incidente es ligeramente ligeramente divergente divergente sobre lente problema convergente se producirá producirá un error error en la localización localización del foco por lo tanto tanto en la medida medida de la distancia distancia o convergente foco y por fecal. Demostraremos Demostraremos a continuación continuación que que la separación separación de los mínimos mínimos en el plano plano de mejor mejor imagen focal. imagen no
http://carlos2524.jimdo.com/
262
Óptica física física Óptica F',
L,
.•.....••..•...•.......... ,,'
6.45 Medida Medida de la distancia distancia focal focal de una lente lente a través través del espectro espectro de Fourier Fourier de una Figura 6.45 rendija de tamaño tamaño conocido. conocido. rendija
..,
t!:) I¡"
cambia apreciablemente apreciablemente aunque aunque el haz que que incida incida sobre sobre la rendija rendija sea divergente. divergente. Supongamos Supongamos que cambia que la fuente de luz se separa separa una cantidad cantidad /::,.) /:).1 del foco de la lente lente colimadora. colimadora. De esta esta manera manera sobre fuente sobre la rendija rendija incidirá un haz divergente divergente que que parece parece provenir provenir de un punto punto virtual virtual situado situado a una distancia incidirá distancia L de la lente lente obtiene sin más que aplicar aplicar la ecuación ecuación de las lentes lentes que se obtiene
1 -(fe - /::,.)) /:).1) -(fe
1
)
I )
L L
(6.221) (6.221)
decir es decir
f [2 L::::::_ L::::::_f(2.
.
(6.222) (6.222)
/:).1 /::,.)
esta manera, manera, sobre sobre la rendija una onda onda divergente divergente cuya cuya expresión expresión se podrá De esta rendija incide incide una podrá aproximar aproximar por por (6.223) (6.223)
amplitud de transmisión transmisión en el plano plano de la rendija rendija será será proporcional proporcional a La amplitud tb(xo, tb(xo, YO) YO)
2) ..kL kL . k ((2 ? 2) = to(xo, +YQ . to(xo, Yo)e Yo)e ' e/U e'u Xii Xo+Yo l
(6.224) (6.224)
Por lo tanto, tanto, el campo campo en el plano plano de Fourier Fourier vendrá dado, según según vimos vimos en el problema problema anterior, Por vendrá dado, anterior, por por
r-
E(x f' Y Y f) j) E(x
fb/2 d dxi, = C ¡b/2 xo
--b/2 b/2
foo loo
ir. (X5+Y~) ]
7
dyo yo)ei i fL(X5+Y5)] e e --ii f (XQX (xox ¡+YOy¡), d yo [[to(x to(xo,o , yo)e /+YQY/ ) ,
(6.225) (6.225)
-00
en donde donde hemos hemos englobado englobado en la constante constante C todos todos los términos términos residuales residuales de fase. en integral en la variable variable YO YO es sencilla sencilla y da La integral (6.226) (6.226)
integral en Xo Xo es más laboriosa. laboriosa. Para Para poder poder tener tener resultados resultados analíticos desarrollaremos la exponenLa integral analíticos desarrollaremos exponencial cuadrática serie, habida habida cuenta cuenta que f < < D, ya que el haz haz está está casi casi colimado. colimado. En este cial cuadrática en serie, este caso caso la exponencial se puede puede poner poner como como exponencial (6.227) (6.227)
Sustituido este este valor valor en la integral integral en la variable variable Xo se llega llega a Sustituido I. k kDD
2
E(xj,yj)=Ce-'2j2Y¡ E(xj,Yj)=Ce2j2 Y¡
fb/2 ¡b/2
dxoto(xo, Yo) dxoto(XO,yo)
--b/2 b/2
http://carlos2524.jimdo.com/
[kll-i-x [ k5 x5]] e-ly . ¡. . e-'YXOXXQX/ - ik
L L
(6.228) (6.228)
Capítulo 6/ 6/ Difracción Difracción Capítulo
263
Denominaremos integral Denominaremos 1 a la integral bb PP
f
= 1=
2
·k ·k
-l-X l-X
x
dxoto(xo, Yo)xOe yo)xoe . II o o dxotO(XO,
(6.229) (6.229)
ll..
-bj2 -bj2
Esta integral integral inmediata. inmediata. El resultado resultado es Esta integral se puede puede realizar realizar por por partes partes y se reduce reduce a una una integral
3
3
1
= -b
4
(X
(X
senc (xrrbsenc (xrrbsenc rrb - f ) - -2b2 senc rrb - f ) Af Af Af ec Af
donde donde
+ -2b2 cos ( rrbrrb -x f ec
)
Af Af
'
kxo kxo
ec--- - f'f '
(6.230) (6.230)
(6.231) (6.231)
Sustituyendo (6.230) (6.230) en (6.228) (6.228) se obtiene obtiene Sustituyendo E(xf' Yf) ) E(xI' YI
= bsenc(rrbu)bsenc (rrbu)2 2 [( 2x - f2) bAf22 [( rr b 22 f2) senc(rrbu) 2- rr 22 senc(rrbu)-2cos(rrbu), i bAf2 - 2cos(rrbu) ] , 4rr Dx If A f 4rrDx
donde donde u
==
xf. xf.
(6.232) (6.232)
(6.233) (6.233)
Af Af
irradiancia será será proporcional cuadrado del campo, campo, es decir, decir, La irradiancia proporcional al módulo módulo al cuadrado
1
senc22 (rrbu) (rrbu) + p2 = a22 senc
[q2 senc22 (rrbu) (rrbu) - 4q senc senc (rrbu) (rrbu) cos (rrbu) (rrbu) [q 2 senc
(rrbu) J. J. + 4 cos (rrbu)
(6.234) (6.234)
Para focal de f = 50 cm, una anchura b = 0.48 0.48 mm 632.8 nm, se puede puede estimar estimar cada cada una anchura mm y A = 632.8 Para una una focal uno que aparecen aparecen en la ecuación ecuación (6.234). (6.234). Si tomamos como unidad uno de los términos términos que tomamos como unidad el primer primer término, término, restantes son del orden orden de 1010-5,, 10-55 Y 10-99 respectivamente. queda demostrado demostrado la escasa escasa respectivamente. Luego Luego queda los restantes influencia de la colimación colimación del haz posición de los mínimos, que vendrán determinados por ceros influencia haz en la posición mínimos, que vendrán determinados por los ceros del primer primer término. término.
6.30. 6.30.
Una cámara oscura oscura está está formada caja celTada cerrada con con un Olificio orificio pequeño cuyo radio Una cámara formada por por una una caja pequeño cuyo radio es a. El objeto está está a una distancia s y la pantalla donde se sitúa sitúa la película está a una distancia SI del orificio. orificio. objeto una distancia pantalla donde película está una distancia El sitema sitema se muestra 6.46. Encontrar óptimo que que ha orificio para muestra en la Figura Figura 6.46. Encontrar el tamaño tamaño óptimo ha de tener tener el orificio para una una distancia objeto objeto dada, dada, en función función de la longitud onda y de la distancia distancia SI. s'. distancia longitud de onda
--j~------------rrBB)})} -------------- ----- -----------{ ~ --- --- -------ll..
s
s'
6.46 Esquema Esquema de una cámara cámara oscura oscura. . Figura 6.46
Resolución Resolución Bajo aproximación de Fresnel, campo en el plano dado por Bajo la aproximación Fresnel, el campo plano de la pantalla pantalla vendrá vendrá dado por II
II
E(x ,y) E(x ,y)
Eo = -, -. i): lA
f1 . orificio ori f icio
eik(s+s' -i ~ [! +J,. ](x2+y2) eik(s+s') ) -i~[!+J,](x2+y2) II
ss ss
e
http://carlos2524.jimdo.com/
-
s
s
dxdy dxdy, ,
(6.235) (6.235)
264
Óptica Óptica física física donde (x', , y') son coordenadas (x, , y) son coordenadonde (Xl y') son coordenadas cartesianas cartesianas en el plano plano donde donde se coloca coloca la película película y (x y) son coordenadas cartesianas radio de cartesianas en el plano plano que que contiene contiene el orificio. orificio. Nótese Nótese que que hemos hemos considerado considerado constante constante el radio los sobre la los frentes frentes de onda onda esféricos esféricos sobre la región región del del orificio. orificio. Si pasamos pasamos a coordenadas coordenadas polares polares en el plano plano del del orificio orificio se tendrá tendrá
e,
x = = r cose, cos
(6.236) (6.236) y = = r sen sen e . é.
Por Por lo tanto, tanto, la integral integral (6.235) (6.235) se puede puede poner poner como como I
I
E (x (x , y ) = =
ik(s+sl) Eoe Eoeik(s+sl) .. lASS lASSI I
102:n: loa 102n: loa e e OO
.
1 ]] r 22 . k [1-+-1 22 s Si rrdrde. dr d.G .
(6.237) (6.237)
(n Fe)Fe)
(6.238) (6.238)
k -[-[-
OO
Esta siguiente resultado: arroja el siguiente resultado: Esta integral integral es inmediata inmediata y arroja I
-in:
2Eoeik(s+sl). 2Eoeik(s+sl ) e-t:n:FF:cl/2 2 sen e e sen + Si) Si)
I
E(x =. . E (xl, , yl) y )= leS leS t :)
,
~
donde donde
__ 2
,
FeFe es el número número de Fresnel Fresnel definido definido como como
)'
I I
I • ¡;
.'
,f:J
'if
(6.239) (6.239) / 2leAs) y F2 = aa22/C/(As siendo FI As/). ). siendo F I = aa2 leAs) La intensidad en el plano será proporcional La intensidad plano imagen imagen será proporcional al cuadrado cuadrado de la amplitud, amplitud, esto esto es, I
_ _
1 (s ) -
41 (n --- Fe) 41 EEol2 ol2 2 sen 22 (n F-e) . (s + Si) Si) 2
(6.240) (6.240)
Para Para calcular calcular el radio radio óptimo, óptimo, deberemos deberemos encontrar encontrar el valor valor de a que que haga haga la intensidad intensidad máxima. máxima. Por Por lo tanto haremos (d (d 1 (Si) (Si) I ds') ds / ) = O: O: tanto haremos
(nFe) + e
) 2FI sen (nF-2-22FI
(n Fe) = o.
(Fe - FI) 2 n Fe F e (Fe FI) cos (nFe) 2
it
(6.241) (6.241)
Esta soluciones analíticas Esta ecuación ecuación no tiene tiene soluciones analíticas por por lo que que vamos vamos a realizar realizar algunas algunas aproximaciaciones aproximaciaciones razorazonables. l. F e ::::= 1. nables. La La máxima máxima intensidad intensidad en el eje ocurre ocurre en en la región región de difracción difracción de Fresnel Fresnel por por lo que que Fe Por sen xx ::::= xx Por lo tanto tanto podemos podemos hacer hacer sen
3
"ir y cos "iicos xx
::::= 1, con con lo que que la condición condición (6.241) (6.241) queda: queda:
12
Fe::::= Fe::::= -2-· - 2- · n n FI
(6.242) (6.242)
sustituimos los valores Si sustituimos valores de F¡ Fi dados dados más más arriba arriba se obtiene obtiene una una interesante interesante relación relación entre entre la distancia distancia objeto objeto y la distancia distancia imagen imagen (ambos (ambos en valor valor absoluto): absoluto): 1
1
A
12
-+------+ -s -- - -a22 Si n? Si n 2 FI '
(6.243) (6.243)
que similar a la de una que representa representa una una ecuación ecuación similar una lente lente delgada delgada pero pero con con una una focal focal que que depende depende de la posición posición del objeto. objeto.
http://carlos2524.jimdo.com/
I
265
Capítulo 6/ 6/ Difracción Difracción Capítulo
PROBLEMAS PROPUESTOS PROPUESTOS PROBLEMAS
e o
'OIFRACCIÓN ABERTURAS DE GEOMETRíA GEOMETRíA SENCILLA DIFRACCiÓN POR ABERTURAS SENCILLA , '" "' "D" ¡;
6.1.
-
"
-
I
¡!: j
ilumina una una lente lente con un haz haz colimado colimado de longitud longitud de onda onda A = = 500 500 nm. El diámetro diámetro de la lente lente es Se ilumina mm. En el plano plano focal focal de la lente lente se observa observa que el diámetro diámetro del primer primer anillo anillo de difracción difracción es de de 4 mm. ¡Lm. Calcular Calcular la focal focal de la lente, lente, f'. 7.6 fLm. j '. SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
24.9 mm. mrn. II • • II f'j ' ~ ~ 24.9
6.2.
Una rendija rendija de 2.125 2.125 fLm ¡Lm se ilumina condiciones de incidencia normal con una radiación radiación monomonoUna ilumina en condiciones incidencia normal cromática de longitud longitud de onda onda AA = = 550 550 nm. Calcular Calcular la anchura anchura angular angular del máximo máximo central central de dicromática fracción, eo, ea, y la irradiancia irradiancia a 22.5° 22.5° del eje, 11, si la irradiancia irradiancia en el centro diagrama de difracción difracción es centro del diagrama fracción, Wm-22. . de 2 WmSOLUCIÓN: : SOLUCIÓN
6.3.
distribución de irradiancia irradiancia producida producida por por una una rendija rendija de anchura anchura a en un plano plano separado separado de ella ella una La distribución una
se;~
distancia viene dada dada en aproximación aproximación de Fraunhoffer Fraunhoffer por = lo se;~ f3 ,, donde donde (3 = X-a e es di stancia D viene por 1((3) I (f3) = f3 = I-a sen e, y e ángulo de difracción difracción que que forma forma la rendija rendija con con el punto punto de observación observación en la pantalla. pantalla. Se colocan colocan dos el ángulo rendijas separadas separadas una distancia distancia d entre entre ellas ellas y de una ellas emerge emerge radiación radiación con una una irradiancia irradiancia 1/ 1/44 rendijas una de ellas respecto a la que que emerge emerge de la otra. La longitud longitud de onda onda de la radiación = 514 514 nm. con respecto radiación empleada emplea~a es A = Calcular el contraste, contraste, C e,, entre entre los máximos máximos y mínimos mínimos dentro dentro del máximo máximo principal principal de difracción. difracción. (a) Calcular Calcular la separación separación de las rendijas, rendijas, d, sabiendo sabiendo que la intefranja intefranja que que se ha medido medido en el máximo máximo (b) Calcular central de difracción difracción es de 0.25 0.25 mm mrn y que el plano está separado separado una distancia de 2 central plano de la pantalla pantalla está una distancia con respecto respecto al plano las dos rendijas. rendijas. m con plano de las SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
(a) e =0.8y(b)d = 0.8 Y (b) d =4.112mm· = 4.112 mrn. 1 lI (a)C
6.4. 1)
distribución irradiancia en campo campo lejano lejano producida producida por rendijas iluminadas por una radiación radiación La di stribución de irradiancia por dos rendijas iluminadas por monocromática de longitud longitud de onda onda 547 nm nm aparece aparece en el plano focal de una lente de focal focal f' = = 80 80 cm. monocromática plano focal una lente Esta distribución distribución se muestra muestra en la Figura 6.47. Calcular Calcular el tamaño tamaño de cada cada rendija, rendija, a, yy la separación separación Esta Figura 6.47. entre ellas, ellas, b. Téngase Téngase presente presente que la foto ha sido sido ampliada ampliada en un factor factor 25 con con respecto respecto al original. original. entre SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
6.5.
Considere una doble doble rendija rendija en la que la separación separación entre entre rendijas rendijas es el triple triple que que la anchura anchura de cada cada una Considere ellas. Determinar Determinar la intensidad intensidad del máximo máximo interferencial interferencial de orden orden 6, h h,, en el diagrama diagrama de difracción difracción de ellas. producido. producido. SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
ia
0.0125 mm y (b) b = = 0.146 0.146 mm. II II (a) a == 0.0125
jlG =0. = O. I I Ih
I
¡ I
l'! I
3)
I
RESOLUCiÓN ESPACIAL ESPACIAL RESOLUCiÓN la
6.6.
1:
procedente de dos estrellas estrellas (A (A = = 550 550 nm) pasa través de una una lente lente de focal focal f' = = 100 mm mrn y La luz procedente pasa a través diámetro D D desconocido. desconocido. En el plano focal de la lente lente se fotografía fotografía la imagen imagen obteniéndose obteniéndose sendas sendas de diámetro plano focal
http://carlos2524.jimdo.com/
1:
266 266 Óptica Óptica física física
Figura 6.47 tomada en el plano plano focal 6.47 Fotografía Fotografía tomada focal de la lente lente de observación observación de la distribución distribución de
irradiancia producida por por la doble irradiancia producida doble rendija. rendija. utilizado manchas de Airy Airy que tangentes tal y como muestra en la Figura manchas que son tangentes como se muestra Figura 6.48. 6.48. El aumento aumento lateral lateral utilizado de la foto que muestra en la imagen lente, D, que se muestra imagen es de 350. Estimar Estimar el diámetro diámetro de la lente, D, yy la separación separación angular angular 8 eEE de las estrellas. estrellas.
Figura 6.48 tomada en el plano plano focal 6.48 Fotografía Fotografía tomada focal de la lente lente de observación observación que enfoca enfoca las dos
estrellas estrellas de interés. interés. SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
II DD ~~ 3.91 mm mm y 8E l.714 x eE ~~ 1.714 6.7.
1010-44. .
I
gato en condiciones condiciones de iluminación iluminación diurna diurna tiene forma de una La pupila pupila del ojo de un gato tiene forma una rendija rendija de 1 mm de anchura. mínima separación puntos para para que resueltos por por el gato anchura. Determinar Determinar la mínima separación angular angular 8 egg de dos puntos que sean sean resueltos gato considerando A. = 550 550 nm. considerando SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
II 8egg ~~ 6.8.
1.89'. l.89'.
II
Un haz colimado colimado de radiación = 600 600 nm) incide incide perpendicularmente sobre un ojo reducido cuyo radio radiación (A. = perpendicularmente sobre reducido cuyo radio curvatura es rr = 5.7 5.7 mm índice de refracción n¿ = l.367 1.367.. Calcular Calcular el tamaño angular de la mancha de curvatura mm e índice refracción nc tamaño angular mancha de Airy en la retina retina en condiciones F, considerando tamaño de la pupila pupila es condiciones de visión visión fotópica, fotópica, eF, considerando que que el tamaño rpp = 4 mrn, mm, yy en visión visión escotópica, tamaño de la pupila pupila es rpp escotópica, 8E, eE, considerando considerando que que el tamaño rpp = 7 mm.
e
• '~II
I,:a
SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
II eF Y 8E = 15.8" eF = 27.5" 27.5" yeE 15.8" I http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo 6/ 6/ Difracción Difracción Capítulo
6.9. i
267
Determinar la región región de interferencias pantalla traslúcida traslúcida del sistema sistema de la Figura Figura 6.49, 6.49, teniendo teniendo en en Determinar interferencias en la pantalla cuenta que a = 1.5°, I1v I1v = 1.6, A = 550 550 nm y f' t ' = -100 -100 mm. mm. La pantalla está situada situada a 1I m de la cuenta que C( pantalla está lente. La La distancia distancia de la fuente fuente al biprisma biprisma es do = 160 mm mm y del biprisma biprisma a la lente lente de di = 90 mm. rnrn. lente. Determinar la interfranja interfranja en la pantalla, pantalla, IIn/. Determinar n /. diagrama interferencial interferencial es observado observado a 3 m de la pantalla pantalla por por un unaa persona persona cuya cuya pupila pupila es de El diagrama mm, Determinar Determinar si verá verá resueltas resueltas las franjas franjas de interferencia. interferencia. cp = 4 mm.
p p
,s
~
.. ~
...
.
........••
.4----------. dd,,
d,
.------_~ .--------+~
•. 4-----.
6.49 Esquema del dispositivo dispositivo empleado: empleado: el sistema sistema formado formado por el biprisma biprisma y la lente Figura 6.49 produce en la pantalla pantalla una distribución distribución de irradiancia irradiancia similar similar al obtenido obtenido en el experimento experimento de produce Young. SOLUCIÓN: SOLUCIÓN: = 0.41 mm. mm. El observador observador no verá verá resueltas resueltas el sistema sistema de franjas. franjas. 11,,/ 11 / =
6.10.
emplea una una lente lente cilíndrica cilíndrica de diámetro diámetro 2r y focal focal f' t' para para formar formar la imagen imagen de dos puntos puntos separados separados Se emplea una distancia YO entre entre sí que emiten emiten radiación radiación de longitud longitud de onda onda A A de manera manera incoherente incoherente entre entre sí. una distancia Determinar empleando empleando el criterio criterio de Sparrow Sparrow+'25 cuál cuál ha de ser separación mínima mínima YO para ambos Determinar ser la separación para que ambos puntos estén estén resueltos resueltos espacialmente focal imagen. imagen. puntos espacialmente en el plano plano focal SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
I YO =
2.606\6 Af'. 7[ 2r
I
os
6.11.
Dos estrellas estrellas tienen una separación separación angular angular de 50 x 10-77 radianes. radianes. Calcular Calcular el diámetro diámetro mínimo, mínimo, D, que Dos tienen una tener el objetivo objetivo del anteojo anteojo terrestre terrestre que permite permite resolver resolver las las dos estrellas estrellas en el plano plano focal del ha de tener objetivo. Considérese Considérese que estrellas emiten emiten en A = 500 500 nm. objetivo. que las estrellas SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
ID ID == 12.2 12.2 cm. I
de lo
6.12.
Supóngase en el ejemplo ejemplo anterior anterior que se sitúa sitúa el ojo del observador observador en la pupila pupila de salida salida del telescopio. telescopio. Supóngase considera que tienen tienen una pupila de 7 mm. Si la focal del objetivo objetivo es 100 cm, calcular calcular la focal El ojo se considera una pupila del ocular, ocular, j~c f;c' ' para que las estrellas estrellas sean sean resueltas por el observador. observador. para que resueltas por SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
f~c = 5.7 cm. cm. II II f;c
¡ iI I
I
io ha es
6.13.
Consideremos dos haces haces de radiación radiación planos planos cuyas cuyas longitudes longitudes de onda onda son Al A\ = 520 520 nm y A2 A2 = 720 720 nm, Consideremos inciden sobre una lente lente cuya cuya focal focal imagen imagen es f' = 100 mm mrn y cuyo cuyo diámetro diámetro es de cp = 8 mm. Ambos Ambos que inciden sobre una haces forman forman entre entre sí un pequeño pequeño ángulo ángulo c(. a. Describir Describir la distribución irradiancia que se observará observará en haces distribución de irradiancia 25EI 25EI criterio criterio de Sparrow Sparrow establece establece que que dos dos puntos puntos están están resueltos resueltos espacialmente espacial mente cuando cuando total en en el el plano plano imagen: imagen: esto esto es, es, se trata trata de de un punto punto de ensill ensilladura. total ad ura.
http://carlos2524.jimdo.com/
a:~~) 2
x
aax/ (2
) = = O, siendo siendo I (x) (x) la irradiancia irradiancia
! l'
1
268
Óptica física física Óptica lente y determinar determinar cuál cuál ha de ser ser el valor valor mínimo mínimo de a para que no se produzca focal de la lente el plano plano focal para que produzca solapamiento de las distribuciones distribuciones de irradiancia. irradiancia. Razonar Razonar sobre sobre las hipótesis implícitas y explícitas explícitas solapamiento hipótesis implícitas realizadas. realizadas. SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
I Ci la
22.65". II = 22.65".
dispone de dos prismáticos formatos Razonar sobre sobre la resolución espacial de 6.14. . Se dispone prismáticos de fo rmatos 7 x 56 y 12 x 60. Razonar resolución espacial ambos instrumentos instrumentos ópticos ópticos y determinar determinar cuál cuál permitirá observación cómoda para observador en en ambos permitirá una una observaci ón cómoda para un observador condiciones diurna. condiciones de iluminación iluminación diurna.
6.15.
debe de ser el diámetro diámetro mínimo observar un sistema sistema de estrellas estrellas ¿¿Cuál Cuál debe mínimo de un telescopio, telescopio, D, D , para para poder poder observar doble gigantes rojas sabiendo que ambas ambas estrellas estrellas están están separadas separadas angularmente angularmente 1 segundo segundo de arco? arco? dobl e de gigantes rojas sabiendo SOLUCIÓN: : SOLUCIÓN
II D 6.16.
~ 0.151 ~ 0.151 metros. metros.
I
Figura 6.50 6.50 se muestran dos puntos delante del objetivo objetivo de un microscopio. apertura de la lente lente En la Figura muestran dos puntos delante microscopio. La apertura objeto se suele suele colocar colocar muy muy cerca cerca del foco objetivo. Demostrar Demostrar que que la altura altura mínima /'::,.x que que es D. El objeto foco del objetivo. mÍnima!::"x puede objetivo, satisface satisface con mucha mucha aproximación aproximación la condición condición de Abbe Abbe puede resolver resolver el objetivo, /'::,.x !::,.X
=
AA
----o - - o
2 sen aa 2sen
Plano imagen imagen Plano
F
Figura 6.50 microscopio. 6.50 Resolución Resolución espacial espacial en en un microscopio.
6.17.
laboratorioo se ha realizado siguiente experiencia: experiencia: se ha colocado un papel papel en en la pared en el que que En el laboratori realizado la siguiente ha colocado pared en dibujado dos líneas líneas verticales espaciadas una distancia de 5 mm. observador situado situado a 15m 15 m se han dibujado verticales espaciadas una distancia mm . Un observador comienza a caminar caminar hasta que es capaz distinguir con nitidez líneas verticales del papel papel comienza hasta que capaz de distinguir nitidez las dos líneas verticales y se detiene en ese ese momento, momento, resultando resultando que que la distancia distancia entre entre el observador observador y el papel 9.85 m. Explicar Explicar detiene papel es de 9.85 espacial del observador observador los fenómenos fenómenos involucrados involucrados en la percepción en términos términos de la resolución resolución espacial percepción de las líneas velticales verticales y determinar determinar la agudeza agudeza visual observador, A V. dos líneas visual del observador, SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
1.15. II II AA V == 1.15.
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo Capítulo 6 6/ / Difracción Difracción
6.18.
le
269
Se dispone y se Se dispone de de dos dos espectroscopios espectroscopios se desea desea saber saber cuál cuál de de ellos ellos tendrá tendrá mayo mayor r resolución resolución espectral espectral para para el del sodio el doblete doblete amarillo amarillo del sodio (Al (Al = 589 589 nm nm y A2 A2 = 589.6 589.6 nm). nm). (a) U n interferómetro de cuy (a) Un interferómetro de Fabry-Perot Fabry-Perot cuyaa distancia distancia entre entre espejos espejos es es de de 1 cm cm siendo siendo el el coeficiente coeficiente de de reflexión de de los espejos r = 0.9. 0.9. Suponer Suponer que que se emplea emplea el orden interferencial interferencial central. reflexión los espejos el orden central. (b) na red (b) U Una red de de difracción difracción de de 300 300 líneas líneas por por milímetro milímetro y 29 29 milímetros milímetros de de longitud longitud operando operando en en primer primer orden. orden.
í
SOLUCiÓN: SOLUCiÓN:
Aunque de mayor reso lución espectral Aunque el el interferómetro interferómetro de Fabry Fabry tiene tiene mayor resolución espectral que que la la red, red, eell rango rango espectral espectral libre ntre las resolver libre del del Fabry Fabry es es más más pequeño pequeño que que la la diferencia diferencia eentre las longitudes longitudes de de onda onda que que se se quieren quieren resolver empl ear la red espectralmente. Por lo espectral mente. Por lo tanto tanto es es preferible preferible emplear red de de difracción difracción, .
6.19. 1
e e
Una red de año de líneas por Si Una red de difracción difracción tiene tiene un tam tamaño de 4 mm rnm y 100 100 líneas por milímetro. milímetro. Si se se ilumina ilumina con con un haz haz colimado de lámpara de colimado de de luz luz procedente procedente de un unaa lámpara de sodio sodio que que emite emite en en dos dos longitudes longitudes de de onda onda Al Al = 589 589.0.0 nm en primer primer orde nm, , y A2 A2 = = 589.6 589.6 nm, nrn, ¿podrán ¿podrán resolverse resolverse estas estas líneas líneas de de emisión emisión con con esta esta red red en orden?n? ¿Y ¿Y en en tercer tercer orden? orden? SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
-'¡
No se No se resuelven resuelven eenn primer primer orden orden pero pero sí sí en en tercer tercer orden. orden.
6.20. í
Una red de difracción difracción cuadrada cuadrada de de lado lado L = 10 rnm periodo d = 5 ¡.¿m ¡.;.,m es es iluminada iluminada en en su su centro centro Una red de mm y periodo por un haz colimado colimado de de diámetro diámetro cP c/J = 2 mm rnrn. . Determinar Determinar su poder poder de de re resolución orden 2, 2, :R :R.,, para para eell por un haz su olució n eenn orden haz haz incidente incidente y determinar determinar si si resuelve resuelve o no no dos dos líneas líneas espectrales espectrales separadas separadas un intervalo intervalo !::,.A !::"A = 0.5 0.5 nm nrn y centradas eenn A A. = 600 600 nm, centradas nm. SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
:R. ~ ~ 800. 800. NO. II :R NO. II
6.21. !
~.
Dos están Dos láminas láminas plano-paralelas plano-paralelas están muy muy cerca cerca una una de de otra otra dejando dejando entre entre ambas ambas una una capa capa de de aire aire muy muy delgada (ver (ver Figura 6.51). Se iluminan iluminan las láminas con con una una radi radiación policromática en incidencia incidencia normal. normal. delgada Figura 6.5 1). Se las láminas ació n policromática en La la primera la segunda ide La lu luzz reflejada reflejada en en la la segunda segunda cara cara de de la primera lámina lámina yen y en la la primera primera cara cara de de la segunda lámin lámina a inc incide sobre una una red de difracción difracción de de 500 500 líneas/mm. líneas/mm. En En el el espectro espectro de de primer primer orden orden y a 11.5 1l.5°0 de de la normal a la sobre red de la normal a una ngitud de nda desco nocida26 . red de red se se observa observa la desaparición desaparición de un color color correspondiente correspondiente una lo longitud de o onda desconocida/". (a) radiación desaparecida, Ao (a) Calcul Calcularar cuál cuál es es la la longitud longitud de de onda onda de de la radiación desaparecida, AO.. (b) (b) Calcular Calcular e ell espesor espesor mínimo mínimo de de la capa capa de de aire aire entre entre las las láminas, láminas, el/l. e/I/'
j
e
Red Red
1 1 1 2
11.5'
1 I
I
J
~
e~
13c:
<1> <1> 0.'0
'" ~ o C1>
Esquema del haz haz de de luz luz que que incid incide e sobre sobre la lám lámina es difractado difractado por la red. red. Figura 6.51 Esquema del in a y es por SOLUCiÓN: SOLUC IÓN:
A.o II Aü
398.7.7 nm. nm. = 398
elll elJl
=
199.3 nm. nm. 199.3
I
26EI trazado trazado de de rayos rayos que que se ha realizado realizado es es indicativo indicativo del del proceso proceso que que ocurre: ocurre: natu naturalmente los rayos rayos 2 y 3 son colin colineales con el el 26EI ra ll11 ente los eal es con rayo l. l. rayo
http://carlos2524.jimdo.com/
270
Óptica física Óptica física
6.22.
Se dispone transparencias: TI que tiene cuatro rendijas cuya dispone de dos transparencias: que tiene cuatro rendijas cuya anchura anchura es de 0.Ú1 0.Ú1 mm siendo siendo la distancia rendijas de 0.1 mm, y otra tiene siete rendijas cuya distancia entre entre rendijas otra T2 que que tiene siete rendijas cuya anchura anchura y separación separación es idéntica transparencia TTII con una una radiación radiación cuya 400 nm y se observa idéntica a la anterior. anterior. Se ilumina ilumina la transparencia cuya A = 400 observa la distribución pantalla situada plano que transparencia. distribución de inoadianci irradianciaa en una pantalla situada a 3 m del del plano que contiene contiene a la transparencia. (a) Indicar posición del primer primer máximo máximo desaparecido posición de un Indicar la posición desaparecido (esto (esto ocurre ocurre cuando cuando en la posición máximo de interferencia mínimo de difracción). máximo interferencia ocurre ocurre un mínimo difracción). (b) Se sabe punto QI pantalla hay un máximo máximo de interferencia. transsabe que que en en el punto Q I de la pantalla interferencia. Si se sustituye sustituye la transparencia TI por por la T2 indicar razonadamente si en el punto punto Q produce algún parencia indicar razonadamente Q II se produce algún cambio cambio observable. observable. SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
(a)
6.23.
Zd Zd
= 120.0961 mm y (b) la irradiancia unas tres veces. veces. 120.0961 mm irradiancia aumenta aumenta unas
Teniendo resultados obtenidos Problema 17 de este Teniendo en cuenta cuenta los los resultados obtenidos en el Problema este Tema, Tema, obtenga obtenga y analice analice la forma forma del diagrama una red red de difracción por transmisión transmisión tal y como diagrama de difracción difracción de una difracción "blazé" "blazé" que que opera opera por como se muestra en la Figura Figura 6.S2. incidencia es normal normal por por la cara pl ana de la red de difracción. muestra 6.52. Considere Considere que que la incidencia cara plana difracción. z Pantalla Pantalla
--+ n~ n~
,..-f n=1 n=1
.~
n=1
~ ~'"
:~. '.~ I,~
xi; , ~'~t~d---------------- ~ 'jd
-----.----1 - - - - J - - - - -¡ ~~;
I I
~~---------------
--..
y
y
, í,
tf" ~
~, 'i \
..
,
@ X X
¡..........;. ~ , a , ''-''
6.52 Esquema Esquema del haz de luz que que incide incide sobre sobre la red blazé blazé que que opera opera por por transmisión. Figura 6.52 transmisión . ángulo de blazé blazé de la red y d es el periodo periodo de la red red.. es el ángulo yel
eB
SOLUCIÓN: SOLUCiÓN:
campo en un punto (x' D, z') El campo punto P de la pantalla pantalla es E p (x' D, z') re;' sen é' y f3z = re: (sen e2 n sene ). n:{' sen e f3z n:{! e2 - n seneBB ).
6.24.
Cd e i(wt-kR ) ei(wt-kR) R R
senc(f3 ) sen(Na) donde sen(Na) donde ZZ
sen(a)' sen(a)'
(X (X
difracción de 3 mm longitud que que es iluminada iluminada en incidencia incidencia normal dos Se tiene tiene una una red de difracción mm de longitud normal por por dos radiaciones longitudes de onda onda Al 615.4 nm y A2 = 616.0 616.0 nm, radiaciones de longitudes Al = 6]S.4 nm. líneas por NL,L , que que deberá deberá tener que se pueda (a) Hallar Hallar el número número de líneas por milímetro, milímetro, N tener la red red para para que pueda resolver resolver espectral mente estas estas dos longitudes longitudes de onda onda en segundo segundo orden orden de difracción. difracción. Determinar espectralmente Determjnar el paso paso de la red, red, d. qué posiciones focal de una lente de J' f' = 250 observarán estas estas radiaciones. (b) En qué posiciones del plano plano focal una lente 2S0 mrn mm se observarán radiaciones. SOLUCIÓN: SOLUCIÓN: 1 ''1
6.25.
(-a)-N-L-=-17-1-y-d-=-5-.S-5-p,-m-. -(b-)-y-(A-I-)-=-26-.-46-m-m-e-y-(A-2-) -=-26-.-4S-m-m-. (-a)-N-L -=- 17-1-y-d- =- S-.S-S- p,- m - .-(b -)-y-(A-¡-)-=- 26-.-46- m-m-e- y- (-A-2)-= - 2-6-.4-S-m- m -·-'11
dispone de una 5000 líneas líneas por Calcular el poder dispersivo en segundo segundo orden orden del espectro espectro Se dispone una red red de SOOO por cm. Calcular poder dispersivo visible. visible. SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
11.5 x 103 rad/mm. 11.s rad/mm. 1
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo 6/ Difracción
6.26.
do es la
271
Calcular el número mínimo de líneas necesarias para que en segundo orden, una red resuelva el doblete del sodio Al = 589 nm y Al = 589.6 nm. SOLUCIÓN:
1494
líneas.
1
un
6.27.
sle. 1
a se ón.
Un haz de luz blanca (400 - 700) nm, incide normalmente sobre una red de difracción de de 5000 líneas por cm. A continuación, una lente de 1 m de focal recoge la luz que emerge de la red. Calcular el tamaño del primer orden de difracción en el plano focal de la lente. SOLUCiÓN:
117 cm. I
j TEORíA DIFRACCIONAL DE LA IMAGEN
6.28.
El pez gato Plecostomus tiene una pupila circular del orden de 2 mm que es transparente. En condiciones nocturnas este pez puede mantener la pupila abierta en tanto que una parte de la zona central puede obscurecerse hasta en un 90% con respecto a la situación de transparencia. Determine la influencia del obscurecimiento de la zona central en la visión de este animal teniendo en cuenta que la razón entre el área de la zona obscurecida y el área total es de 0.25. SOLUCIÓN:
.-------------------------------------------------------------~
Emplee el teorema de Babinet y los resultados obtenidos en el Problema 7 de este Tema.
dos ver
aso
1
s.
1,
tro
http://carlos2524.jimdo.com/
http://carlos2524.jimdo.com/
~ ~
CAPITULO CAPITULO ,,
INTRODUCCION INTRODUCCION A LA ,, ,, TEORIA DE LA TEORIA CUANTICA CUANTICA ,, RADIACION RADIACION
La teoría radiación des ano lIada en el Tema Tema 3 permite permite explicar razonablemente gran gran parte parte arro lIada explicar razonablemente teoría clásica clásica de la radiación de la fenomenología interacción entre radiación y la materia. materia. A comienzos comienzos del siglo fenomenología que que aparece aparece en la interacción entre la radiación siglo XX, el paradigma paradigma electromagnético electromagnético parecía explicar la totalidad fenómenos ópticos. Como XX, parecía poder poder explicar totalidad de los fenómenos ópticos. Como ocurre tenido lugar lugar una una revolución revolución científica, científica, el nuevo nuevo paradigma paradigma que que nace, nace, explica ocurre siempre siempre que ha tenido explica situasituaciones hasta entonces pero plantea plantea nuevos nuevos interrogantes. interrogantes. Los Los científicos científicos trabajan trabajan dentro dentro del ciones hasta entonces desconocidas desconocidas pero paradigma tales problemas. problemas. paradigma en la resolución resolución de tales Dos eran líneas de investigación investigación que que se abrían con la noción noción de la luz como como onda eran las principales principales líneas abrían con onda electromagnética: necesidad de explicar propiedades del medio medio en el cual producía tal electromagnética: una una era era la necesidad explicar las propiedades cual se producía vibración una elevada problema del éter) éter) y otra otra no menos menos importante, importante, la elaboración vibración de una elevada frecuencia frecuencia (el problema elaboración de una teoría La potencia potencia matemática matemática de las ecuaciones Maxwell llevó llevó a pensar pensar a los físicos una teoría de la materia. materia. La ecuaciones de Maxwell físicos de comienzo una solución solución definitiva definitiva a ambos problemas en el marco marco de tales tales ecuaciones. comienzo de siglo siglo en una ambos problemas ecuaciones. Y aunque Lorentz), estos problemas motivaron motivaron senaunque se hicieron hicieron notables notables avances avances (teoría (teoría electrónica electrónica de Lorentz), estos dos problemas sendas crisis nuevos paradigmas: paradigmas: el relativista relativista y el cuántico. crisis y dieron dieron lugar lugar a la aparición aparición de dos nuevos cuántico. En efecto, efecto, los problemas problemas relacionados medio material material (el éter luminoso) que soportaba las ondas relacionados con el medio éter luminoso) que soportaba ondas electroelectromagnéticas realizados por por A. Michelson Michelson y E. W. Morley MOl'ley que magnéticas dieron dieron lugar lugar a un conjunto conjunto de experimentos experimentos realizados que mostraban inventaron hipótesis hipótesis auxiliares mostraban la ausencia ausencia de efectos efectos esperados esperados por por la influencia influencia del éter. Se inventaron auxiliares obviaran las dificultades dificultades tales como la contracción contracción Fitzgeral-Lorentz entre otros. otros. que obviaran tales como Fitzgeral-Lorentz entre Una solución solución novedosa novedosa a tales que no afectaba afectaba a la forma forma de Una tales problemas problemas vino vino de la mano mano de A. Einstein Einstein que ecuaciones de MaxwelI MaxwelI pero que las completaba completaba introduciendo onda autosustentada autosustentada capaz capaz las ecuaciones pero que introduciendo la idea idea de onda propagarse en el vacío. vacío. Las consecuencias de su teoría quedaban ahí ahí sino sino que que suponían suponían una de propagarse Las consecuencias teoría no se quedaban modificación radical radical de las ideas sobre el espacio, espacio, el tiempo, energía y la simultaneidad, simultaneidad, así como modificación ideas sobre tiempo, la energía como la introducción de un concepto concepto profundo fructífero: : el de la covariancia covariancia de las leyes físicas. La nueva introducción profundo y fructífero leyes físicas. nueva virelativista permitía permitía interpretar satisfactoriamente el efecto efecto Doppler, aberración estelar, estelar, fenómenos fenómenos sión relativista interpretar satisfactoriamente Doppler, la aberración ópticos de cuerpos cuerpos en movimiento, ópticos movimiento, etc. segunda línea línea de investigación centrada sobre sobre la teoría La segunda investigación centrada teoría de la materia, materia, en particular, particular, el problema problema emisión de luz por por los cuerpos cuerpos incandescentes gases excitados, excitados, supuso supuso el golpe definitivo, de la emisión incandescentes o por por gases golpe definitivo,
http://carlos2524.jimdo.com/
274
Óptica física desde un punto de vista conceptual, a la teoría electromagnética clásica y de paso, la vuelta a una idea corpuscular sobre la luz. En efecto, a partir de las ecuaciones de Maxwell se podía obtener la radiación emitida por una carga acelerada. De esta forma cabía pensar que la radiación emitida por un cuerpo macroscópico en equilibrio térmico se debía a los campos emitidos por las cargas que los componen. Todos los intentos basados en la teoría clásica llevaron a una expresión que daba una repartición de la energía emitida por un cuerpo negro en equilibrio térmico del tipo E(v)
=
87T v2 -3-kT, e
(7.1)
donde E(v) representa la energía por unidad de volumen e intervalo obtiene de la densidad de modos del campo electromagnético en la a cada modo que, desde el punto de vista clásico, viene dada por el kT. Sin embargo, este resultado no se corresponde con las mediciones cuerpo negro que se representan en la Figura 7.la. (a)
E (A)
de frecuencia. Esta expresión se cavidad y de la energía asociada principio de equipartición y vale experimentales de la emisión del
(b)
I I
E.
N.
I
E,
N,
I I
E,
N,
E.
N,
E,
N,
E,
N,
E,
N,
E,
N,
I
I
I I I I I 500
1000
1500
2000
A (n m)
Figura 7.1 (a) La naturaleza cuántica de la radiación se reconoció en la explicación de Max Planck de la distribución espectral de un cuerpo negro a una temperatura dada. La teoría clásica (curva en discontinua), predice una radiación de intensidad infinita para radiaciones de corta longitud de onda. La hipótesis de los cuantos de radiación permite explicar la forma experimental de la emisión. (b) Niveles de energía de los osciladores.
La hipótesis de Planck I consistió en suponer las paredes del cuerpo negro constituidas por osciladores que intercambian energía con la radiación no de manera continua sino sólo en pequeñas cantidades múltiplos de hv, siendo v la frecuencia del oscilador y del modo de la radiación y h una constante. De esta manera dos estados contiguos de energía accesibles por el sistema estarán separados una cantidad 17v. Si suponemos que N¡ es el número de osciladores que se encuentran en el estado de enegía E¡ y admitimos que este número viene dado por la distribución de Boltzmann, tal como se indica en la Figura 7.1 b, la energía del sistema será (7.2) Como (7.3) la ecuación (7.2) se podrá poner como (7.4) I Para un seguimiento del razonamiento Edilorial, Madrid, 1985).
de Planck se puede consultar la obra de T. S. Khun La teoría del cuerpo negro, (Alianza
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo radiación Introducción a la teoría teoría cuántica cuántica de la radiación Capítulo 7 / Introducción
275
La eenergía nergía media media E será será
ET + NI NI + +N N22 + + ... ... ' +
E = ------------------------------No
es decir decir a
E
(7 .5 ) (7.5)
h\) hv
= ---;---'-,,,-, --/,,-,---
(7.6) (7.6)
IT - 1 erF
por la densidad densidad La densidad densidad de energía energía por por intervalo intervalo de frecuencia frecuencia se obtendrá obtendrá multiplicando multiplicando esta esta cantidad cantidad por de modos modos obteniéndose obteniéndose una expresión expresión que concuerda concuerda pelfectamente perfectamente con con los datos datos experimentales: experimentales: e a e
E(\)) E(v)
=
8][ h 3\) 3 8nhv 3---3
e
1
hv --,-"v----
(7.7)
.
1
erF eIT
El desarrollo energía que que desarrollo de este programa programa llevó llevó a Max Max Planck Planck a introducir introducir la hipótesis hipótesis de los cuantos cuantos de energía más sorprensorprenexplicaba medidas experimentales sobre la emisión explicaba las medidas experimentales sobre emisión del cuerpo cuerpo negro. negro. La consecuencia consecuencia más mpletamente extraña fenómenos de dente dente de esta esta nueva nueva hipótesis hipótesis era era co completamente extraña a la física física clásica, clásica, a saber, saber, que que los fenómenos sión y absorción emi emisión absorción de radiación radiación son son de naturaleza naturaleza esencialmente esencialmente discontinua. discontinua .
• •
•
En respecto de las teorías clásicas al al extenextenEn la misma misma línea, línea, el propio propio Einstein Einstein ahondaría ahondaría más la distancia distancia respecto teorías clásicas sis del efecto campo electroelectroder esta propia radiación. esta discontinuidad discontinuidad a la propia radiación. En su análi análisis efecto fotoeléctrico, fotoeléctrico, el campo magnético del campo campo o fotones. fotones. magnético deja deja de ser ser un fenómeno fenómeno continuo continuo y aparece aparece compuesto compuesto de granulaciones granulaciones del Para radiación , Para ver hasta hasta qué qué punto punto los nuevos nuevos experimentos experimentos ponían ponían en entredicho entredicho la teoría teoría clásica clásica de la radiación, presentaremos C uando se ilumina ilumina presentaremos muy brevemente brevemente algunos algunos aspectos aspectos relevantes relevantes del efecto efecto fotoeléctrico. fotoeléctrico. Cuando circun sla superficie superficie de un metal metal como como el Zn, Zn, Rb, Rb, K, K, etc, con una radiación radiación ultravioleta, ultravioleta, en determinadas determinadas circunstancias muestra el el montaj tancias se puede puede observar observar la emisión emisión de electrones electrones (jótoelectrones). (jótoelectrones). En En la Figura Figura 7.2 se muestra montajee experimental. Uno Uno de los electrodos electrodos es iluminado iluminado por por una radiación radiación de frecuencia frecuencia \J. u, La intensidad intensidad de la experimental. rad iación es 1. Los electrones frenar mediante mediante una una batería batería que que radiación l. Los electrones arrancados arrancados del metal se pueden pueden acelerar acelerar o frenar k
a d la
(a) (a)
(b)
fotones folones A
-.
C e
ip i,
----...
...-
fotoelectrones fotoelectrones
..._------21 _------21
ra v,
v
2)
3)
4) za
Figura 7.2 (b) Relación potencial de 7.2 (a) (a) Montaje Montaje experimental experimental del efecto efecto fotoeléctrico. fotoeléctrico. Relación entre entre el potencial frenado frenado y la frecuencia frecuencia de la radiación radiación incidente. incidente.
sumini stra un voltaje podemos resumir resumir suministra voltaje V. Los hechos hechos experimentales experimentales más relevantes relevantes del fenómeno fenómeno los podemos en los siguientes: siguientes: l. La emisión emisión de fotoelectrones fotoelectrones depende depende de la frec frecuencia radiación incidente. uencia de la radiación incide nte. De De hecho, hecho, existe existe una frecuencia frecuencia umbral, umbral, \Jo, vo, por por debajo debajo de la cual cual no se produce produce emisión emisión fotoelectrónica fotoelectrónica cualquiera cualquiera radiación incidente. Esta frecuencia frecuencia es característica característica de cada que sea la intensidad intensidad de la radiación incidente. Esta cada metal. metal.
http://carlos2524.jimdo.com/
276 276 Óptica Óptica física física 2. La La emisión emisión de electrones electrones es casi casi instantánea. instantánea. 3. Existe Existe un potencia potencia de frenado Vo que frenado V = - Va que detiene detiene la emisión emisión de fotoelectrones fotoelectrones que que es indepenindependiente diente de [. l. Desde un punto punto de vista vista clásico, puede intentar Desde clásico, la emisión emisión de electrones electrones se puede intentar explicar explicar asumiendo asumiendo que que los metales disponen metales disponen de electrones electrones cuasilibres cuasilibres que que al absorber absorber energía energía de la radiación radiación incidente incidente escapan escapan del metal. que debe debe salvar salvar un electrón electrón para escapar de la red representa el potencial potencial que para escapar red metálica, metálica, y los metal. Si
•
Jj
,1 ,
I~
!
ir 11
(7.8) electrones necesitan misma energía energía
(7.10) (7.10)
Queda explicado explicado por qué Vo Va no depende depende de la intensidad intensidad de la radiación. Queda por qué radiación.
7.3.>•. , ESp,ECTROS MODELO ATÓMICO ATÓMICO DE BOHR. 7.3 ES~ECTROS ATÓMICOS. ATÓMICOS. MODELO l
.'
~"
,
,
Paralelamente experiencias con con el efecto efecto fotoeléctrico fotoeléctrico y la idea idea de los fotones, fotones, el estudio estudio de los Paralelamente a las experiencias espectros de absorción absorción y de emisión emisión de los átomos átomos puso esta naturaleza discontinua espectros puso de manifiesto manifiesto también también esta naturaleza discontinua fenómenos de intercambio intercambio energético. energético. En efecto, efecto, cuando cuando se analizaban analizaban los espectros espectros de gases gases como como de los fenómenos hidrógeno, mercurio, etc, a través difracción, aparecían aparecían líneas líneas finas claramente separadas separadas unas unas hidrógeno, mercurio, través de redes redes de difracción, finas claramente otras, es decir, decir, los átomos átomos emiten emiten a frecuencias frecuencias muy determinadas. determinadas. Este interpretó admitiendo admitiendo de otras, Este hecho hecho se interpretó que la energía energía del átomo átomo está está cuantificada cuantificada de tal manera que sólo sólo puede ciertos valores discretos, , que manera que puede tomar tomar ciertos valores discretos E¡,, con i = 1,2,3, 1,2,3, ... ... De esta forma, forma, la emisión emisión o absorción absorción de un fotón fotón se acompaña acompaña de un salto salto de E¡ De esta energía de una valor otro E j de tal manera que la conservación conservación de la energía energía implica implica que que energía valor E¡ a otro manera que (7.11) (7.11)
,
111 11 '··11 1:111
','"
"
Bohr idea de órbitas órbitas electrónicas electrónicas permitidas dentro del átomo átomo de hidrógeno, suerte que que el Bohr incorporó incorporó la idea permitidas dentro hidrógeno, de suerte electrón podría ocupar estas estas órbitas órbitas cuantificadas. cuantificadas. El modelo ingenuo de Bohr, Sornrnerfeld, electrón podría ocupar modelo ingenuo Bohr, refinado refinado por por Sommerfeld, permitió explicar con mucha espectros de átomos átomos de tipo permitió explicar mucha precisión precisión los espectros tipo hidrogenoideo. hidrogenoideo. Por este mismo 1923, L. de Broglie emitió una caracter cuántico cuántico que que Broglie emitió una nueva nueva hipótesis hipótesis de caracter Por este mismo tiempo, tiempo, en 1923, permitía explicar las experiencias experiencias de difracción electrones, entre entre otras. otras. La idea es que que no sólo sólo los permitía explicar difracción de electrones, La idea
http://carlos2524.jimdo.com/
I
L ~epenue los an del y los Basta te, se nergía rande, r otra nsidad rende, n una estaba cia del anera,
Capítulo teoría cuántica Capítulo 7 / Introducción Introducción a la teoría cuántica de la radiación radiación
fotones presentar un aspecto todo corpúsculo material también. también. La La longitud fotones pueden pueden presentar aspecto ondulatorio, ondulatorio, todo corpúsculo material longitud de onda onda partícula en movimiento movimiento viene viene dada asociada asociada a una una partícula dada por por h
(7.12) (7.12)
A= --, , A= P P
siendo movimiento. Esta hipótesis fue confirmada posteriormente, en 1927, por los siendo p su cantidad cantidad de movimiento. Esta hipótesis confirmada posteriormente, 1927, por experimentos Davison y Germer. Germer. experimentos de difracción difracción de electrones electrones de Davison
Todas ideas primeras primeras dieron dieron lugar lugar al desarrollo desarrollo formai teoría cuántica cuántica de la radiación radiación y de Todas estas estas ideas formai de la teoría la materia materia de la mano mano de los trabajos trabajos de Schrodinger Heisenberg y Dirac, Dirac, entre muy Schrodinger y Heisenberg entre otros. otros. De De forma forma muy esquemática resaltaremos algunas de las ideas ideas centrales centrales de la mecánica cuántica: esquemática resaltaremos algunas mecánica cuántica: ha de ser por el de estado Este estado - El concepto trayectoria ha concepto de trayectoria ser sustituido sustituido por estado dependiente dependiente del del tiempo. tiempo. Este estado toda la información posible sobre está por una una función está definido definido por función de onda, onda, 1j¡(r 1jJel,, t), t), que que contiene contiene toda información posible sobre el sistema. sistema. una amplitud probabilidad de presencia presencia de la partícula, partícula, de tal - La función función 1j¡ 1jJel, t) t) se interpreta interpreta como como una amplitud de probabilidad probabilidad de encontrar partícula en un volumen volumen d33 viene viene manera manera que que en el instante instante t, la probabilidad encontrar a la partícula dada por dada por (7.13) (7.13)
cr,
(7.8) nergía
(7.9) o una icular placa ue (7.10)
277
r,r,
supuesta la función función 1j¡ 1jJnormalizada. supuesta normalizada. . partícula sometida potencial, - La La ecuación ecuación que que gobierna gobierna la evolución evolución de la función función de onda onda de la partícula sometida a un potencial, V (r, (r, t), t), es la ecuación ecuación de Schrodinger Schrodinger : 2 ~ n2 2 ~ --\7 1jJ(r, t) t) - \7 1j¡(r, 2m
+
~ ~
~ ~
Ver, t)1j¡(r, t)1jJ(r, t) t) Ver,
a1jJ(l, t) t) iJ1j¡(r,
in--= in---'----
iJt at
(7.14) (7.14)
En el caso potencial sea tiempo, esta puede simplificar. caso de que que el potencial sea escalar escalar e independiente independiente del tiempo, esta ecuación ecuación se puede simplificar. En efecto, efecto, si 1jJ(r, t) t) = cjJ(r)x(t), cjJ(r)x(t), (7.15) 1j¡(r, (7.15) la ecuación ecuación (7.14) (7.14) queda queda in dx(t) dx(t) in ---=x(t) xO)
dt dt
22 2]
1
cjJ(r) cjJ~)
[ ---\7 -n \7 2] cjJ(r) 2m
+ Ver). Ver). +
(7.16) (7.16)
Como vemos, vemos, el primer sólo depende depende de t mientras que el segundo segundo sólo sólo depende depende de r por que Como primer miembro miembro sólo mientras que por lo que igualaremos una constante tomaremos como igualaremos ambos ambos a una constante que que tomaremos como hv hv = = nw. núJ. in dx(t) dx(t) in - - - - =nw ----= núJ xx (t) (t) dt dt 2
- 1 [ __ _n n_ \722 ] cjJ(r) cjJ(r) 2m
Ver) + Ver)
= nw. hco . =
(7.17) (7.17)
(7.18) (7.18)
La primera primera de ellas ellas da como como solución solución (7.11)
que el erfeld, co que 'lo los
(7.19) (7.19)
mientras que que la función función cjJ (r) se obtiene obtiene a partir solución de la ecuación ecuación de Schrodinger Schrodinger indepenindepenmientras cjJ (r) partir de la solución diente del tiempo: tiempo: diente
n22 n
2cjJ(r) ---\7 -\72cjJ(r) 2m
+
V(r)cjJ(r) V(r)cjJ(r)
núJcjJ(r). = nwcjJ(r).
http://carlos2524.jimdo.com/
(7.20) (7.20)
278
Óptica Óptica física física desarrollo de la electrodinámica electrodinámica cuántica cuántica ha dado dado lugar lugar a un conocimiento conocimiento más profundo profundo de la El desarrollo naturaleza Los fenómenos fenómenos de emisión emisión espontánea espontánea y estimulada, estimulada, propuestos manera fenofenonaturaleza de la luz. Los propuestos de manera menológica por Einstein, Einstein, se explican partir de primeros primeros principios principios y han dado una excitante menológica por explican a partir dado lugar lugar a una excitante fenomenología por su importancia fenomenología entre entre las que que la emisión emisión LÁSER LÁSER ocupa ocupa un lugar lugar destacado, destacado, no sólo sólo por importancia desde punto de vista por sus enormes posibilidades de aplicación práctica. AcAcdesde un punto vista fundamental fundamental, , sino sino por enormes posibilidades aplicación práctica. tualmente, los fenomenos squeezing, la dinámica lineal, los estados tualmente, fenómenos de squeezing, dinámica no lineal, estados de desorden, desorden, son campos campos de investigación interés teórico investigación de la Óptica Óptica de gran gran interés teórico y experimental. experimental.
PROBLEMAS PROBLEMAS RESUELTOS RESUELTOS LA _RADIACIÓ!'l RADIACiÓN DEL CUE~POJ\lEGRO CUERPO NEGRO ~_
7.1. 7 .1.
*
A
~
~
__ .
"',,:c«
H .' j
~l.
;;r; t
"
-. ,«
7 ' "'«
•
Dada una cavidad paralelepípedo y paredes paredes perfectamente perfectamente conductoras Dada una cavidad en forma forma de paralelepípedo conductoras (ver (ver Figura Figura 7.3a), 7.3a), en cuyo cuyo interior interior se encuentra encuentra un campo campo electromagnético, electromagnético, calcular calcular la densidad densidad de modos modos del campo. campo. Resolución Resolución podrán existir impondrá Dentro de la cavidad Dentro cavidad sólo sólo podrán existir aquellas aquellas ondas ondas que interfieran interfieran constructivamente. constructivamente, Ello Ello impondrá unas condiciones posibles valores condición para condiciones para para los posibles valores de la frecuencia. frecuencia. En efecto, efecto, la condición para que las ondas ondas que viajan una de las direcciones viajan a 10 lo largo largo de la cavidad cavidad en cada cada una direcciones O X, O Y, O Z interfieran interfieran constructivamente constructivamente es kxLx x lf , kxLx = =m Inxlr, kyL kyLy y
=m ylf, Inylr,
(7.21 )
kkzLz zL z = zlf . =m Inzlr.
Así pues, los posibles posibles valores Así pues, valores del del vector vector de onda onda k
=
(k por los valores (kxx, , kyy, , kzz)) vienen vienen determinados determinados por valores (b) (b)
m,
x
fl)
m, m,
/L. ;~
m, m.
Figura puntos Figura 7.3 7.3 (a) Cavidad Cavidad rectangular rectangular y ondas ondas que que se se establecen establecen en el interior. interior. (b) Densidad Densidad de de puntos
en el espacio espacio M. M. que toman toman los números (lnxx, , myy, , m Inzz, , a) a), , donde donde a es un número, número, que puede tomar dos valores, que indica que números (m puede tomar dos valores, que indica cada uno de los dos estados estados de polarización que puede tomar el campo. campo. cada polarización que puede tomar ópticos, las dimensiones dimensiones de la cavidad cavidad generalmente generalmente son muy grandes comparadas En los problemas problemas ópticos, grandes comparadas longitud de onda onda de la radiación contenida en ella. ella. Por Por ello, ello, los posibles Inxx, , m In y, Inzz con la longitud radiación contenida posibles valores valores de m y, m forman casi un continuo. continuo. De esta esta forma, forma, un modo modo del campo campo en una dirección dada dada estará estará representado representado forman una dirección por espacio (m (mx,x , 111 myy, , m Inzz),), tal como como se representa Figura 7.3b. El número por un punto punto en el espacio representa en la Figura número de modos modos contiene el elemento elemento de volumen volumen del espacio espacio !VI con con dm¡ dm¡ > > O es que contiene dZ dZ
= 2dm 2dlnxdln = ydlnyzdm z . x dm
http://carlos2524.jimdo.com/
(7.22) (7.22)
Capítulo Capítulo 7 / Introducción Introducción a la teoría teoría cuántica cuántica de la radiación radiación
f--
279
de la fenoitante aneia
Teniendo en cuenta cuenta las identidades identidades de (7.21) (7.21) la expresión expresión anterior anterior se puede escribir como como Teniendo puede escribir
. Ae-
posibles estados polarización de cada donde el factor factor 2 da cuenta cuenta de los dos dos posibles estados de polarización cada modo. modo. Como Como el vector vector k k donde de la onda onda ha de satisfacer satisfacer
(7.23) (7.23)
os de
2
2
kk ==
úJ 2 -2 -2 = = k kx
e
k2 2 k2 + ky k1' + "
77' '
(7.24) (7.24)
se tendrá tendrá que que (7.25) (7.25) Sustituyendo este este valor valor en (7.23) (7.23) se obtiene obtiene la densidad densidad de modos modos gm Sustituyendo gm Ja),
(7.26) (7.26)
po.
ondrá asque mente
7.2. 7.2.
Admitiendo posibles de energía puede tener por la Admitiendo que que los niveles niveles posibles energía que que puede tener un oscilador oscilador están están separados separados por cantidad número de ocupación cantidad h \J Y Y que que el número ocupación de cada cada nivel nivel obedece obedece a la ley de distribución distribución de Boltzmann, Boltzmann, (7.27) (7.27)
(7.21)
valores
por intervalo por un cuerpo calcular la densidad densidad de energía energía por intervalo de frecuencia frecuencia emitida emitida por cuerpo negro negro a la temperatura temperatura calcular T. Resolución Resolución
La hipótesis paredes del cuerpo por osciladores La hipótesis de Planck Planck22 consistió consistió en suponer suponer las paredes cuerpo negro negro constituidas constituidas por osciladores que intercambian energía energía con con la radiación radiación no de manera manera continua continua sino sino sólo sólo en pequeñas cantidades múltiplo múltiplo de intercambian pequeñas cantidades \J, siendo siendo \J la frecuencia frecuencia del oscilador oscilador y del modo modo de la radiación radiación y h una constante. De esta esta manera manera dos h \J, una constante. estados contiguos contiguos de energía energía accesibles accesibles por sistema estarán estarán separados separados una cantidad h \J. J). Si suponemos suponemos estados por el sistema una cantidad que Ni número de osciladores osciladores que que se encuentran encuentran en el estado estado de eilegía enegía E¡ admitimos que que este este que Ni es el número Ei y admitimos número viene viene dado dado por por la distribución distribución de Boltzmann, Boltzmann, tal como como se indica indica en la Figura Figura 7.1 b, la energía energía del número sistema será será sistema (7 .28) (7.28) Como Como (7.29) (7.29)
ecuación (7.28) (7.28) se podrá como la ecuación podrá poner poner como puntos
indica aradas /11.1" Inz
(7.30) (7.30) La energía energía media media E será será
ET E= ------------E= - - -- - -No
... + NNII + N2 + ...
hu
llamamos x == e-u, e-u, la ecuación ecuación anterior anterior se puede como sigue sigue Si llamamos puede poner poner como
sentado modos
(7.22)
(7.31 ) (7.31
(7.32) (7.32) 2Para iento de Planck puede consultar 2Para un seguimiento seguimiento del razonam razonamiento Planck se puede consultar la obra obra de T. S. Khun Khun {JI'op. cit.
http://carlos2524.jimdo.com/
280
Óptica física física Óptica 2 + xX33 + ... llamamos SI SI (x (x)) = 1 + x + xX2 ... y S2(X) = 1l + 2x + 3x22 + .. .", se tiene tiene que que Si llamamos hvxS2(x) hVXS2(X) ET E------E- - - - -NT (x) - NT SI (x) .
(7.33) (7 .33)
Por otra otra parte parte de la observación observación de S 1I (x) (x) y S2 S2 (x) (x) se tiene tiene Por (7.34) (7 .34) . Pero Pero la suma SI se obtiene obtiene fácilmente: fácilmente: suma SI
ll
(7.35) (7.35)
SI(X) = --,- , SI (x ) = l -x 1-x por lo que a partir partir de (7.34) (7.34) se obtiene obtiene S2(X) por
l1
S2(X) ==
(l - xx)) (1
(7.36) (7 .36)
2 ·.
Sustituyendo los valores valores de SI (x) (x) y S2(X) en (7.33) (7.33) se llega llega a que que Sustituyendo E
hv hv
= =tr:":
(7.37) (7.37)
---,-/¡ v--
lI
IT eIT 1
multiplicamos este resultado por por la densidad densidad de modos modos por por unidad unidad de volumen intervalo de frecuencia frecuencia Si multiplicamos este resultado volumen e intervalo que encontramos encontramos en el problema problema anterior, anterior, obtenemos obtenemos el resultado resultado pedido: pedido: que
~"
E(v) = = E(v)
8nhv3 3 8nhv
1l
--3-3-
e
/¡v /¡v
'
eIT eIT
(7.38) (7.38)
1
representa la ley de Planck. Planck. que representa
7.3.
Expresar la ley de Planck Planck en términos términos de la densidad densidad de energía energía en función función de la longitud longitud de onda. onda. Expresar Resolución Resolución Planck establece establece que la densidad densidad de energía energía que emite un cuerpo cuerpo negro negro a la frec frecuencia viene La ley de Planck que emite uencia v viene dada por por dada 8nhv3 3 8nhv 1 (v) = =--3=ti=": E (v) -3 - ---;-/¡v-eIT - I1 e eIT
(7.39) (7.39)
Para obtener obtener la densidad densidad de energía energía por por intervalo intervalo de longitud longitud de onda onda basta basta darse darse cuenta cuenta que que la energía energía Para contenida en el intervalo intervalo dv dv debe debe ser ser igual igual a la energía contenida en el intervalo intervalo correspondi correspondiente contenida energía contenida ente de longitudes de onda onda dA, es decir, longitudes decir, E(v)dv == E(A)dA E(A)dA, , E(v)dv
(7.40) (7 AO)
dv dv -E(v)-. - . -E(v) dA
(7.41) (7 Al)
e ---dA. - 2 d A. A2 A
(7.42) (7A2)
por lo 10 tanto tanto por E(A) E(A) Como v Como
=
e/A, se tiene tiene = e/A, dv dv - = dA d A
'11 1I a::1"
I! II
Por lo tanto, tanto, sustituyendo sustituyendo (7.39) (7.39) Y (7 (7.42) (7.41) tiene Por A2) en (7 Al) se tiene E (A) E(A)
8n he 8n
= ---:;-s ---:;-s r; /1.
1 ----;/¡ -cIu:
e
e AkT Ak T -
http://carlos2524.jimdo.com/
(7.43) (7 A3)
-
1
Capítulo Capítulo 7 / Introducción Introducción a la teoría teoría cuántica cuántica de de la radiación radiación
281 281
E (Al
3)
,,- ,
, ,T=1 650
//
,'-
II I I I I I I II
4)
'-
'- , '- , '-
""
II I II II
5)
I I
--
/
oo
2
33
4
5
Figura 7.4 Densidad de T 7.4 Densidad de energía energía por por intervalo intervalo de de longitud longitud de de onda onda para para dos dos temperaturas: temperaturas: (en discontinua) discontinua) y T = 1440 (en continua). continua).
= 1650
En En la Figura Figura 7.4 se representa representa la densidad densidad de energía energía por unidad unidad de longitud longitud de onda onda para para dos dos temperaturas temperaturas distintas del cuerpo negro. distintas cuerpo negro. cia
7.4. 38)
Obtener Obtener la ley de desplazamiento desplazamiento de Wien Wien a partir partir de la ley de Planck. Planck. Resolución Resolución Partiremos de la expresión expresión obtenida obtenida en el problema problema anterior: anterior: Partiremos 8nhe 8nhe
1
--'5---;-¡'('-= --:;-s ~
E(A) E(J..)
A. A.
AkTT e Ak
-
(7.44) (7.44)
l1
realizamos el cambio cambio de variable Si realizamos variable
he x=-x =-- AkT' AkT'
ene
(7.45) (7.45)
expresión (7.44) (7.44) se puede puede poner poner como como la expresión .39) (7.46) (7.46) rgía
de
Para calcular para para qué qué longitud longitud de onda onda tiene tiene lugar máximo de emisión emisión basta basta calcular calcular los extremos extremos de Para calcular lugar el máximo función E(x): E(x): la función
.40)
dE(x) dE(x) --=0 - =0 dx dx '
(7.47) (7.47)
5e-xx+x-5=0, 5e+x-5=0,
(7.48) (7.48)
decir es decir .41) cuya solución solución es x = = 4.9651. 4.9651. Por lo tanto tanto cuya he he
-
.42)
AkT AkT
Teniendo en cuenta cuenta que h Teniendo Wien Wien .43)
=
6.6256 6.6256
AT = J.. T =
X X
4.9651. = 4.9651.
10-3434 J.s y que que k 10-
he 4.9651 k x 4.9651
(7.49) (7.49) 1.3805 x 10-2323 JlC Jk-1, ' , se obtiene obtiene la ley de 1.3805
=
2.8978 = 2.8978
mK. x 10-33 mK.
http://carlos2524.jimdo.com/
(7.50) (7 .50)
282
Óptica física física Óptica
7.5.
Obtener Obtener la ley de Stefan-Boltzmann Stefan-Boltzmann a partir partir de la ley de Planck. Planck. En otras otras palabras, palabras, determinar determinar la energía todas las radiaciones energía total total emitida emitida a todas radiaciones de las diferentes diferentes longitudes longitudes de onda. onda. Resolución Resolución La ley de Stefan-Boltzmann Stefan-Boltzmann establece establece que la energía energía total total emitida emitida por por un cuerpo cuerpo negro negro en equilibrio equilibrio térmico térmico a la temperatura temperatura T es proporcional proporcional a la cuarta cuarta potencia potencia de la temperatura. temperatura. Esta Esta ley se obtuvo obtuvo experimentalmente. experimentalmente. Después Después de la teoría teoría de Planck, Planck, esta esta ley se puede puede deducir deducir con con facilidad. facilidad. En efecto, efecto, la energía energía total total no es otra otra cosa cosa que 00 0000 87Th v33dv dv 8nh (7.51) (7.51) ET = E(v)dv 3 hhv' v · E(v)dv = -3 o e O eIT o e O eIT - 1
100 1
11
Si hacemos hacemos el cambio cambio
hv hv «r ': -- kT
xx"=·= -
(7.52) (7.52)
la integral integral (7.51) (7.51) toma toma la forma forma
(kT)4 roo
33 ET == 87Th 8n h (kT)4 {OO x dx dx c3 h Jo eX eX -- 1 I
(7.53) (7.53)
10
La integral integral se puede puede realizar realizar numéricamente numéricamente y el resultado resultado es
1
x3dx x3dx = 6.4938. 6.4938. --- - = eX eX -- 1
0000
O O
(7.54 (7.54))
Por tanto, la energía energía total total valdrá valdrá Por lo tanto, Er Er
donde donde a
7.6.
= 7.5643 7.5643
(kT)4
8nh (kT)4 87Th 6.4938 -x 6.4938 e h
=
-3 3
4
aT 4 , = aT
(7.55) (7.55)
x 10k-44. . 10-1616 J mm-33 k-
Suponiendo que el cuerpo cuerpo humano humano se comportase comportase como como un cuerpo cuerpo negro, negro, calcular calcular la longitud longitud de onda onda Suponiendo para energía emitida para la cual cual la densidad densidad de energía emitida es máxima. máxima.
Resolución Resolución La temperatura cuerpo humano temperatura absoluta absoluta del cuerpo humano será será T
= 36 + 273 = 309 K.
(7.56) (7.56)
Aplicando la ley de Wien Wien deducida deducida en el Problema Problema 2, se tiene tiene Aplicando "AT
2.8978 = 2.8978
x 1010-33 mK, mK,
(7.57) (7.57)
es decir decir "A= "A
7.7.
2.8978 x 10-33 2.8978 309
9.4 x = 9.4
10
-6
e: 9.4 9.4 ¡,Lm. {Lm. m :::::
(7.58) (7.58)
Suponiendo que que el Sol se comportase comportase como como un cuerpo cuerpo negro, negro, y asumiendo asumiendo que que presente presente un máximo máximo de Suponiendo emisión en "A "A= = 550 550 nm, estimar la temperatura temperatura de la superficie superficie del Sol. emisión nm, estimar Resolución Resolución Aplicando de nuevo nuevo la ley de Wien tiene Aplicando Wien se tiene =2 2.8978 mK, , "AT = .8978 x 10-33 mK
(7.59) (7 .59)
decir es decir T
=
2.8978 x 10-33 2.8978 -0-.5-5-x-l-0--: -0- .-5 5-x-1"""'0---;606:--
http://carlos2524.jimdo.com/
5269 K. 5269
(7.60) (7.60)
Capítulo Capítulo 7 / Introducción Introducción a la teoría teoría cuántica cuántica de de la radiación radiación
283
EL EFECTO EFECTO FOTOELÉCTRICO FOTOELÉCTRICO
7.8.
a
Un haz monocromático monocromático cuya cuya longitud longitud de onda onda es A A = = 0.053 0.053 nm nm incide incide sobre sobre un material material que que presenta presenta una una energía energía de arranque arranque de 2.4 2.4 eY. La La irradiancia irradiancia del haz haz es de 4 x 1010-99 WmWm-2.2 . Calcular Calcular el número número de fotoelectrones fotoelectrones emitidos emitidos por por unidad unidad de tiempo tiempo y unidad unidad de superficie. superficie. Resolución Resolución
Se trata trata aquí aquí de analizar analizar el efecto efecto fotoeléctrico fotoeléctrico producido producido cuando cuando un haz de radiación radiación incide incide sobre sobre un metal. este caso caso la interacción interacción ocurre ocurre entre entre cada cada electrón electrón y cada cada fotón fotón incidente, incidente, de tal manera manera que metal. En este energía de este este último invierte en dotar dotar al electrón electrón de la energía energía mínima escape, cp, más más energía energía la energía último se invierte mínima de escape, cinética. impone cinética. La conservación conservación de la energía energía aplicada aplicada a cada cada suceso suceso individual individual impone (7.61) (7.61) donde donde Te Te es la energía energía cinética cinética adquirida adquirida por por el electrón. electrón. Si Te Te > > O, entonces entonces el electrón electrón escapará escapará del metal. manera que cada cada electrón electrón que sale sale del metal metal lleva lleva una una energía energía cinética cinética dada dada por por metal. De manera T
= hh1Jv - cp.
(7.62) (7.62)
La energía energía del del fotón fotón incidente incidente es he
E
T= =T
34 x 3 8 6.62 x 106.62 10-34 X 10 5 X 10-77
= 3.97 3.97
-1 -199
x 10
JJ
2.48eV, == 2.48eV,
(7.63) (7.63)
por lo que por
T
2.48 = 2.48
2
=
1.48eV. 1.48eV.
(7.64) (7.64)
Así pues pues cada cada electrón electrón que emerge emerge del metal metal se lleva energía del haz haz incidente incidente igual igual a 1.48 eeV. Por lo Así lleva una energía V. Por tanto, el número número de electrones electrones por por segundo segundo y metro metro cuadrado cuadrado será será tanto,
N
7.9.
1
l.26 X X = - = 1.26
T
10 . 1010
(7.65) (7.65)
intensidad mínima mínima que que puede puede detectar detectar el ojo es del orden orden de 1010-1414 W/cm W/cm22. . Calcular Calcular el número número de La intensidad fotones por por segundo segundo que que pasan pasan a través través de la pupila pupila de un ojo ojo cuyo cuyo diámetro diámetro es de 4 mm, mm, asumiendo asumiendo fotones longitud de onda onda típica típica de A A = = 0.55 0.55 JLm. una longitud Resolución Resolución energía que que por por unidad unidad de tiempo tiempo pasa pasa a través través de la pupila pupila es La energía P
=
11A, Ar
=
2 2 2 Wmm-2rrr 10-1616 Wmmrrr
=
12.5 x 10-1616 W.
(7.66) (7.66)
Por otra parte, energía de un fotón fotón de A A = = 0.55 0.55 JLm es Por otra parte, la energía E ¡ = hv h1J El
9)
e
hA = 6.6256 6.6256 = h;:
34
8
3 x 108 0.55 X x 10-66 0.55
= 3.6
x 10-
19 19
J.
(7.67) (7 .67)
esta manera, manera, el número número de fotones fotones por por segundo, segundo, ni, n I> se obtendrá obtendrá dividiendo dividiendo la potencia potencia que incide De esta incide en entre la energía energía de un fotón: el ojo entre P
12.5
E¡ El
3.6
n¡=-= ni = -- = O)
x 10-
X X X X
10-1616 10-1919
http://carlos2524.jimdo.com/
3472. 3472.
(7.68) (7.68)
284
Óptica física
ESPECTROS ATÓMICOS. MODELO ATÓMICO DE BOHR
7.10.
"'
{~"::'
~,
.:~'
Sobre un cristal de cloruro sódico se dirige un haz de neutrones térmicos en equilibrio con la materia a temperatura ambiente. Se observa un máximo de difracción a un ángulo de el = 20°. Calcular la separación entre los planos atómicos del cristal, Datos: m¿ = 1.6748 x JO-27 kg, T = 298 K Y k = 1.3805 X 10-23 J K. Resolución Se trata de un problema de difracción. De acuerdo con el postulado de De Broglie, toda partícula lleva asociada una onda cuya longitud de onda viene dada por h
A=
(7.69)
-, P
donde h es la constante de Planck y p es la cantidad de movimiento de la partícula. En el caso de neutrones térmicos podemos asociar una energía por grado de libertad igual a 3/2KT, esto es .
-
p2
Zm¿
=
3 (7.70)
-kT. 2
Por lo tanto, la longitud de onda de estos neutrones térmicos es: A
= ~ y
h
6,6256
=
3mnkT
4.5
x
X
10-34
10-
=
24
1,45 x 10
-10
m,
(7.71)
Se puede observar que la longitud de onda obtenida es del orden de los Angstrons, es decir, la distancia entre átomos en muchos cristales. Por ello, cuando se bombardea una muestra muy fina de un cristal con estas partículas aparece de forma natural la difracción, ya que los tamaños de las rendijas inter-aiámicas son del orden de la A asociada al movimiento de tales partículas.
o·
··0 ....,o
0~O ,~!" : "
,,
A
O
O
O
O
O
O
B
O
O
O
O
O
O
O
O
O
.....
:~ O
Figura 7.5 Difracción de neutrones en un cristal. La distancia entre planos atómicos es d.
En la Figura 7,5 se muestran algunos planos atómicos de un cristal regular tal como el cloruro sódico. Las ondas dispersadas por dos átomos correspondientes a dos planos atómicos estará en fase si 2kollda A B
= 2kondad
sen
e = 2111 tt ,
(7.72)
es decir 2d sen é' = 111A.
(7,73)
En nuestro caso se tiene d
=
1,45 X 10-10 2 sen 200
-10
=
2.1 x 10
http://carlos2524.jimdo.com/
m.
(7.74)
Capítulo 7 / Introducción Introducción aa la teoría radiación Capítulo teoría cuántica cuántica de de la radiación
7.11.
285 285
Sobre una una lámina lámina delgada delgada de un metal dirige un haz Sobre metal se dirige haz de rayos rayos X de longitud longitud de onda onda A = 0.02 0.02 dispersada se observa observa a 90° 90° y 60° de nm. La La radiación radiación dispersada de la radiación radiación incidente. incidente. Calcular Calcular los los picos picos de frecuencia que que se detectan. detectan. frecuencia Resolución Resolución trata de analizar analizar el efecto efecto Compton Compton producido producido cuando cuando un haz sobre una Se trata haz de fotones fotones incide incide sobre una muestra muestra metálica. Como Como resultado colisión entre entre el fo fotón metálica. resultado de la colisión tón y un electrón electrón libre libre del metal, metal, se produce produce una una dispersión del fotón fotón incidente incidente y un cambio cambio en la longitud longitud de onda dispersión onda del mismo. mismo. En la Figura Figura 7.6 7.6 se muestra muestra situación. Denominaremos Denominaremos por por E y E E'' las energías energías del fotón la situación. fotón incidente incidente y dispersado, dispersado, por por pp y pilas pilos
ct:.
E') fotón fotón dispersado dispersado
fotón incidente incidente fotón
7.6 Diagrama Diagrama del del efecto Figura 7.6 efecto Compton. Compton .
momentos del fotón fotón incidente dispersado respectivamente respectivamente y por momentos incidente y dispersado por Pe el momento momento del electrón electrón del metal. metal. choque elástico elástico impone impone la conservación conservación de la cantidad cantidad de movimiento sistema y de la energía El choque movimiento del del sistema energía del mismo, decir, mi smo, es decir, (7.75) (7.75)
p+O=Pe+P', p+O=Pe +P ',
+ mec2 mec2 = E' E' + + cJ~m-~-c-2-+-p-r E+ cJr;n-~-c-2-+-p-r
(7.76) (7 .76)
Pe de (7.75) (7.75) se tiene tiene Si despejamos despejamos Pe (7.77) (7.77) Teniendo en cuenta cuenta que la relación relación entre entre la energía energía del fotón Teniendo fotón y su momento momento es E = pc, pc, ya que que su masa masa nula, la expresión expresión anterior anterior se puede puede reescribir reescribir como en reposo reposo es nula, como
P;P; =
E22 2 2" cC
,2 ,2
E
+ --2cC2
-
EE' EE ' 2.. 2 -2-cos8 - cose .. C c2
(7.78) (7.78)
Por otro otro lado, lado, de la ecuación ecuación (7.76) (7.76) se puede puede obtener obtener el valor Por valor de Pe: Pe: (E-E'+me )2 C2 )2 2 (E - E' C2 +me p; = Pe 2 cC
-
2 me' m e'
(7.79) (7.79)
Igualando expresiones (7.78) (7.78) y Y (7.79) (7.79) se llega llega a Igualando las expresiones
1 1 1 ----=-(I-cos8). - - = - ( l-cose). E' m~ E' E m~
(7.80) (7.80)
tiene en cuenta cuenta que E = hC hC/A, expresión anterior anterior se puede sigue Si se tiene / A, la expresión puede poner poner como como sigue II h (l - cose). cos 8) . A - A= (1m-e meC
http://carlos2524.jimdo.com/
(7.81) (7.81)
286
Óptica física Óptica física Esta expresión expresión relaciona longitud de la onda onda dispersada dispersada en función función de la longitud longitud de onda onda incidente incidente y Esta relaciona la longitud ángulo de dispersión. dispersión. En nuestro caso, para e = 60° 60° se tiene del ángulo nuestro caso, para e tiene
(1 -
A' 0.02 x 1010-99 = = 2.42 2.42 x 10-1212 (1 - cos COS600), A' - 0.02 60°) ,
(7.82) (7.82)
donde A~O 0.02 + 0.0012 0.0012 = 0.0212 0.0212 nm. de donde A~O = 0.02 Realizando los mismos cálculos para e = 90° 90° se obtiene obtiene A~O 0.02 + 0.0024 0.0024 Realizando mismos cálculos para e A~O = 0.02
7.12.
0.0204 nm. = 0.0204
ionosfera, la radiación que provienen capaz de disociar disociar las moléculas En la ionosfera, radiación ultravioleta ultravioleta que provienen del Sol es capaz moléculas de 02. La longitud longitud de onda onda de los fotones fotones de esta esta radiación del orden orden de A = 180 nm. Estimar Estimar la 02. radiación es del energía que que mantiene 02. energía mantiene unida unida a la molécula molécula de 02. Resolución Resolución energía de los fotones fotones ultravioleta La energía ultravioleta de A == 180 nm es E
7.13. 7.13.
e
6.6256 = hh-- = 6.6256 AA
X
10-3434
3 x 108 9 180 x 10-
=
1.104 1.l04
X
8
10-1 1 J.
(7.83) (7 .83)
Supóngase que que el electrón electrón en un átomo de hidrógeno sigue una órbita circular circular de radio Supóngase un átomo hidrógeno sigue una órbita radio r en torno torno al núcleo. electrón de carga carga e .y esta órbita órbita en interacción interacción culombiana culombiana con el núcleo. El electrón y masa masa me se mueve mueve en esta núcleo. Si se admite admite el postulado Broglie y se asume asume que que la órbita órbita permita ondas estacionarias, estacionarias, permita ondas núcleo. postulado de De Broglie calcular la separación separación entre entre los sucesivos sucesivos niveles energía de este este átomo. átomo. calcular niveles de energía Resolución Resolución Figura 7.7 se muestra situación que que se describe describe en el enunciado: enunciado: la fuerza fuerza de interacción interacción entre entre el En la Figura muestra la situación
7.7 Cuantificación de las las órbitas órbitas de de un electrón electrón en en torno torno al núcleo. núcleo. Modelo Modelo cualitativo. cualitativo. Figura 7.7 Cuantificación de
electrón y el núcleo como electrón núcleo se puede puede poner poner como (7.84) (7.84) equilibrio, esta esta fuerza fuerza se igualará igualará a la fuerza fuerza "centrífuga" "centrífuga" En equilibrio, (7.85) (7.85) Por otra otra parte, estado estacionario estacionario podemos asumir que que es posible que la onda onda asociada asociada al electrón electrón Por parte, en un estado podemos asumir posible que estacionaria, por por lo que que la longitud longitud de la onda onda (o de la órbita) órbita) será será un número número entero entero de longitudes longitudes de sea estacionaria, onda: onda: 2nr=nA. 2nr = nA.
http://carlos2524.jimdo.com/
(7.86) (7.86)
Capítulo 7 / Introducción y
a la teoría cuántica de la radiación
287
Esta longitud de onda está relacionada con la cantidad de movimiento del electrón a través de la ley de De Broglie
2)
h
= -.
mev
(7.87)
A
De estas dos últimas ecuaciones se obtiene h
mevr=n-.
(7.88)
2JC
Eliminando v a partir de las ecuaciones (7.88) y (7.85), se obtiene
=
r
donde ao es el radio de la primera (n de Bohr que viene dado por
=
n2h2Eo
n2
Ze2JCme
= Zao,
(7.89)
1) órbita de un átomo de hidrógeno (Z
=
1) Y se denomina radio
3) ao
h2EO
=
= 5.29
-2--
e -n m;
_11
x 10
(7.90)
m.
Podemos ahora calcular la energía total del electrón en una órbita dada. En efecto, la energía total será la suma de la energía cinética más la energía potencial: 1
ET
= 2:mev
2
(7.91)
- -4JC-E-o-r
Despejando v2 de (7.85) y sustituyendo el valor obtenido en (7.91), se tiene el ET
1 Ze2
Ze2
= ---
- --
24JCEor
4JCEor
1 Ze2 ----o
=
24JCEor
(7.92)
El radio de la órbita está cuantizado según hemos visto en (7.89) por lo que la energía total del electrón estará también cuantizada. Sustituyendo el valor de r en (7.92) se obtiene E
_ _
z ém 2
8
Tn -
e
2h2
1 n
EO
(7.93)
2·
Vemos que la energía del electrón depende de l/n2. Sólo puede estar en unas determinadas órbitas caracterizadas por el valor de n. Sustituyendo los valores de la carga y masa del electrón y de la constante de Planck, obtenemos una expresión muy útil para calcular los niveles de energía de átomos de número atómico Z, ETn
84)
7.14. 85)
ón de
86)
=-
2.18
X
1O-18Z2
(7.94)
J.
2 11
Estimar la energía de excitación del átomo de hidrógeno y la energía de ionización. Resolución La energía de excitación se define como la energía que hay que suministrar al átomo para que el electrón pase del estado fundamental (n = 1) al primer estado excitado (n = 2). Por lo tanto, teniendo en cuenta la expresión de la energía obtenida en el problema anterior se tiene ET2
-
ETI
=
-2.18
.
x 10-
18 (
212
-
1) = 12
http://carlos2524.jimdo.com/
1.63 x 10- 18 J.
(7.95)
288
Óptica física
Es usual expresar este resultado en eV, ET2 - ETl
=
(7.96)
1O.2eV.
Si el electrón volviera al estado fundamental por emisión espontánea, la longitud de onda de la radiación emitida sería
he
ET2 - ETl =
T'
(7.97)
de donde se obtiene inmediatamente A = 121.9 nm. Esta radiación cae en la zona ultravioleta del espectro electromagnético. Por otra parte, la energía de ionización se define como la energía que es necesario comunicar al átomo para arrancarle su electrón. En este caso nI = 1 Y n final = 00, por lo que la expresión anterior queda
Eco - ETl
7.15.
=
x 10-
-2.18
18 ( 00 1
-]2 1 )
=
13.6eV.
(7.98)
Calcular las líneas de espectro de emisión del hidrógeno que caen dentro del espectro visible.
Resolución En la Figura 7.8 se representan las diferentes transiciones que pueden tener lugar en un átomo de hidrógeno dentro del modelo elemental que venimos desarrollando. n=5 n=4 •••
1
•••
•••
n=3
Paschen n=2
Balmer
n=1 Lyman
Figura 7.8 Transiciones entre los niveles de energía del átomo de hidrógeno.
Vimos en el problema anterior que la longitud de onda de la transición entre el estado fundamental y el primer estado excitado caía en el ultravioleta. Por lo tanto, las transiciones al estado fundamental desde niveles de energía más altos, se alejarán todavía más del espectro visible. Las transiciones que caen en el visible corresponden a la que se denomina serie de Balmer que tienen lugar entre el primer nivel excitado y otros niveles. Por lo tanto, deberemos calcular En - E2. Según la expresión (7.94) se tendrá E -E2=-2.18xlO
-18
(
1 ) =-he 22 An2
1 --n2
n
'
(7.99)
de donde
he An2
=
2.18 x 10-18
(....!.. n2
http://carlos2524.jimdo.com/
-
1..) 22
(7.100)
Capítulo Capítulo 7 / Introducción Introducción a la teoría teoría cuántica cuántica de de la radiación radiación Tomando Tomando los los valores valores de n
= 3, 3,4,4, ... ... , se obtiene obtiene A32
hhce
= = 2.18 2.18
A42
=
he hc 18 xx 1010-1818 22 •. 18
o A62
(;b -- ~) ~) (;&
= = 486 486 nm,
~)
= 434 434 nm, nm, (..!..52 -- ..!..) ..!..) (..!.. 2 22 2
52
he hc
= 2.18 2.18
o
= = 656nm, 656nm,
-
he hc
= =
2.18 x 10-1818 2.18 A52
(tz - ~)
x 10-1818 (~
n
7,16.
289 289
(~
x 10-1818 (~
-
-dz)) ~
= 410 410 nm.
La teoría teoría cuántica cuántica establece establece que el momento momento angular angular de una una partícula partícula también también está está cuantificado cuantificado y, en vienen el caso caso de un electrón electrón en tomo tomo al núcleo, núcleo, los los valores valores que que puede puede adquirir adquirir el momento momento angular angular L vienen dados por por L L = mñ mñ donde donde m = -l· -l···.. + l. l. Supongamos Supongamos que que un átomo átomo de hidrógeno hidrógeno se somete somete a un dados un campo Demostrar que niveles de campo magnético magnético intenso intenso B. Demostrar que el primer primer nivel nivel excitado excitado se desdobla desdobla en tres tres niveles energía y calcular calcular su separación. separación. Se realiza realiza el experimento experimento y se mide mide una una separación separación de 1.12 1.12 x 1010 energía para un campo campo de IBI IBI == 0.4 Teslas. Teslas. Calcular Calcular la relación relación carga-masa carga-masa del electrón. electrón. Hz, para Resolución Resolución Sabemos por por la teoría teoría clásica clásica del electromagnetismo electromagnetismo que los campos campos magnéticos magnéticos actúan actúan sobre sobre cargas Sabemos cargas en movimiento campo movimiento o corrientes corrientes eléctricas. eléctricas. Cabe Cabe esperar esperar que si sobre sobre un átomo átomo de hidrógeno hidrógeno actúa actúa un campo magnético, se produzca produzca una una interacción interacción entre entre éste éste y el electrón electrón en movimiento. movimiento. Esta Esta interacción interacción puede magnético, puede modificar modelo modificar los niveles niveles de energía energía del átomo. átomo. En efecto, efecto, vamos vamos a desarrollar desarrollar en este este problema problema un modelo muy sencillo sencillo que da cuenta cuenta de algunos algunos aspectos aspectos experimentales experimentales de la interacción tales como como el muy interacción tales el desdobladesdoblamiento supongamos miento de niveles niveles de energía energía conocido conocido como como efecto efecto Zeeman. Zeeman. Considérese Considérese la Figura Figura 7.9a: 7.9a: supongamos (a) (a)
..
....•.
B
(b) (b)
m=+1 m=+1
-----<~ ....
n=2 - - - - - .¡,;.::--._-n=2
hv.
y e el o
9)
..
n=1----n= 1-----
~
m=O m=O m=-1
hv, hv.
M,, M
Figura 7.9 (a) Análisis Análisis elemental elemental del efecto efecto Zeeman Zeeman. . Se Se considera considera que que el electrón electrón gira Figura gira a una una velocidad angular angular w ea constante constante en torno torno al núcleo núcleo. . (b) Efecto Efecto Zeeman Zeeman en un átomo átomo de de Hidrógeno. velocidad Hidrógeno. primer nivel excitado se se desdobla desdobla en tres tres niveles niveles de de energía. energía. El primer nivel excitado
que se aplica aplica un campo campo magnético magnético estático estático cuya cuya direcci<;ín, direcci<;ín, para para simplificar simplificar el problema, problema, es perpendicular perpendicular que plano de la órbita. órbita. El momento momento angular angular del electrón electrón L se podrá podrá poner poner como como al plano (7.101) (7.101) En nuestro nuestro caso caso el módulo este vector vector vale vale En módulo de este rm¿». . L = rmev
http://carlos2524.jimdo.com/
(7.102) (7.102)
290 290
Óptica ica Óptica fís física
Por el Problema Problema 11 11 de este este tema tema sabemos sabemos que que esta esta cantidad cantidad esta esta cuantizada: cuantizada: Por
h L = ev = L = rm rni¿» =n n-,- , 2rr 2n
(7.\03) (7.103)
con n = 1, 2, ... ... En términos términos de la velocidad velocidad angular angular w, co, la expresión expresión anterior anterior se puede puede reescribir reescribir como como L
h m seo = n --. = r 2 mew
2n 2rr
(7.104) (7.104)
o
Analicemos ahora ahora la interacción interacción con con el campo campo magnético. magnético. Podemos Podemos asimilar asimilar al electrón electrón en movimienmovimienAnalicemos con una pequeña pequeña corriente corriente cuya cuya intensidad intensidad será será to con
ee
=- =
1
T
Esta corriente corriente circular circular genera genera un momento momento magnético, magnético, Esta por su área, área, A: por ~
Me
A
=
1 AUm
=-
eúJ ew ---o - o 2n 2rr
(7.105) JOS) (7.
Me, que vendrá vendrá dado dado por por la intensidad circuito Me, que intensidad del circuito
eúJ
2n n r
2
A
Um
=
eúJr
2
=r> A
(7.106) (7.106)
donde üm unitario en la dirección dirección de Me. En nuestro nuestro caso caso coincide coincide con con la dirección dirección de B, vector unitario B, donde mes un vector esto es, es, perpendicular perpendicular al plano plano de la órbita. órbita. Si sustituimos sustituimos el valor valor de rr22úJ obtenido en (7.104) (7.104) en la esto w obtenido ecuación (7.106) (7.106) se obtiene obtiene que el momento momento magnético magnético está cuantificado: ecuación está cuantificado:
- = --n-en n-e Zm¿' 2me'
(7.107) (7.107)
M
·
,~
donde donde
n = h/2rr. h/2n. La energía energía que que adquiere adquiere el momento momento magnético magnético en el seno seno del campo campo B es n EB EB
=
-~ -~ = n en n--B-- B = n/LBB, n/LBB, 2me 2me
(7.108) (7 .108)
-Me' ' B -Me
donde /LB se denomina denomina magnetón magnetán de Bohr viene dado dado por donde Bohr y viene por
/LB /hB
=
en 2me 2me
=
34 1.602 x JO10-1919 x 1.0545 1.0545 x 1010-34 1.602 9.1 X 1010-3131 2 x 9.1
-24 -24
9.28 = 9.28
x 10
__1)
JT
.
(7.109) (7.109)
Por lo tanto tanto Por (7.110) (7.110) donde In In puede puede tomar tomar valores, valores, para para un nivel nivel de energía energía dado dado n, desde desde m In = --nn hasta hasta m In = +n. +n. donde caso de un átomo átomo de hidrógeno, hidrógeno, la estructura estructura de los dos primeros primeros niveles niveles de energía energía se modifica En el caso modifica seno de un campo campo magnético magnético tal y como como se muestra muestra en la Figura Figura 7.9b. Ahora Ahora aparecerán aparecerán tres en el seno transiciones al fundamental. fundamental. La diferencia diferencia de frecuencias frecuencias entre entre la más alta alta y más baja baja es transiciones
(7.111 ) por \0 lo tanto tanto por 2/LBB 2/LBB e B v+-v =--=-v+ - v = - -=-Zn ' h me 2rr'
(7.112) (7.112)
donde se puede relación carga-masa carga-masa del electrón: electrón: de donde puede obtener obtener la relación
e
1O
1O
4nx1.12x10 x 1.12 x 10 -4rr -- -- = -----= 1.75 0.8 0.8
http://carlos2524.jimdo.com/
.
x 10
11 ))
1
KgKg" C. C.
(7.113) (7.113)
L
Capítulo 7 / Introducción
291
a la teoría cuántica de la radiación
103) mo
7.17.
Considérese el movimiento de un electrón en un metal despreciando las interacciones con los iones positivos del mismo. Como el metal tienen unos límites espaciales finitos, el electrón se puede mover en una región entre x = O Yx = L. Aplicando la ecuación de Schrodinger,
104) en-
(7.114)
105)
donde E es la energía total del electrón y V (x) la energía potencial del mismo, calcular los posibles estados de energía.
uito
Resolución El potencial al que está sometido el electrón está representado en la Figura 7.1 Oa. En este caso la ecuación (a)
106)
(b)
v=oo
e B, n la
(e)
v=oo n=3
107)
n=2
v=o n=1 x=o
108)
x=L
x=o
Figura 7.10 (a) Electrón en un potencial de paredes infinitas. partir de la ecuación de Schródinqer, (e) Funciones de onda.
.109)
x=L
(b) Niveles de energía obtenidos
a
que hay que resolver es sencilla. En efecto, en la región O < x < L, V (x) = O por lo que se tendrá (7.115)
.110)
Probamos como solución una función del tipo 1jf(x) = efix.
ifica tres
(7. 116)
Sustituyendo esta solución en la ecuación diferencial se tendrá que cumplir 2
.1 I 1)
2mE
f3
+ fi:l
f3
= ±i fi:l'
= O,
(7.117)
es decir, .112)
J2mE
(7.118)
La solución general de la ecuación será una combinación lineal de las posibles solueiones: 1jf(x) = Aeikx
.113)
+ BAe-ikx,
(7.119)
con (7.120)
http://carlos2524.jimdo.com/
292
Óptica física física Óptica Ahora impondremos impondremos las condiciones condiciones de contorno contorno del problema. problema. La partícula partícula está está obligada obligada a moverse moverse en Ahora intervalo O <
O, = O,
es decir decir A
O, + B = O,
ikL AeikL Ae
+
ikLikL = B eBe=
O.
(7.121) (7. 121 )
El sistema sistema (7.121) (7.121) tiene tiene solución solución si kL kL
ntt , = mr,
(7 .122) (7.122)
es decir decir
J2mE J2mE ---¡;;:¡- LL =_- n rr , ---¡;;:2
rr ,
(7. 123) (7.123)
o lo que es lo mismo: mismo: (7.124) (7.124)
Las energías adquirir el electrón energías posibles posibles que que puede puede adquirir electrón están están cuantizadas. cuantizadas. Vemos Vemos pues, pues, cómo cómo a partir partir de la ecuación de Schrodinger, Schrodinger, la cuantificación cuantificación de la energía energía aparece aparece de forma forma natural. Figura 7.1 Ob Ob ecuación natural. En la Figura se representan representan los los diferentes diferentes niveles niveles de energía energía que puede puede adquirir adquirir el electrón electrón en la caja caja de potencial potencial unidimensional. unidimensional. Podemos Podemos obtener obtener las funciones funciones de onda. onda. Según Según la solución solución (7.119) (7.119) se tiene tiene 1f¡(x) 1f¡(x)
ikx = Ae Ae ikx
-
ikx AeAe- i kx
Csenkx. = Csenkx.
(7.125) (7. 125)
constante e se puede puede calcular calcular imponiendo imponiendo la condición condición de que que la probabilidad probabilidad de encontrar encontrar a la La constante partícula partícula entre entre x = O Y x = L L debe debe ser 1, es decir decir (7.126) (7. 126)
de donde donde
ICI =
ff· ff·
(7.127) (7.127)
funciones de onda onda se pueden escribir como como Las funciones pueden escribir
1f¡(x) 1f¡(x)
7.18. 7.18.
=
ff
senkx. . senkx
(7 .1 28) (7.128)
Estimar los órdenes órdenes de magnitud magnitud de sistema sistema atómicos, atómicos, moleculares moleculares y sólidos sólidos a partir partir del modelo modelo de Estimar .caja de potencial potencial de paredes paredes infinitas infinitas desarrollado desarrollado en el problema anterior, .caja problema antelior. Resolución Resolución
El problema manifiesto problema planteado planteado anteriormente anteriormente es un problema problema académico académico pero pero que que permite permite poner poner de manifiesto cómo Además, como cómo aparece aparece la cuantificación cuantificación de la energía. energía. Además, como vamos vamos a ver en este este problema, problema, permite permite también magnitud de las energías también estimar estimar los órdenes órdenes de magnitud energías de sistemas sistemas cuánticos cuánticos más complejos. complejos.
http://carlos2524.jimdo.com/
"
Capítulo cuántica de de la radiación radiación teoría cuántica Capítulo 7 / Introducción Introducción a la teoría
293
Según energía de la partícula partícula de masa masa m en un pozo pozo Según la ecuación ecuación (7.124), (7.124), la energía energía de los niveles niveles de energía potencial de longitud longitud L es de potencial (7.129) (7.129) Para constante de Planck, Planck, esta esta Para electrones, electrones, una vez sustituidos sustituidos los valores valores de la masa masa del electrón electrón y de la constante expresión expresión se puede puede poner poner como como n2
E 11 = 3 .77 x 10-19 -L2' eV
(7.130) (7.130)
donde donde L está está especificado especificado en metros metros. . Electrones Electrones en un átomo átomo Los electrones electrones en los átomos átomos se mueven mueven sometidos sometidos a la acción acción de la interacción Los inter~cción culombiana culombiana con el núcleo. potencial cuadrado, cuadrado, núcleo. La forma forma de este este potencial potencial se muestra muestra en la Figura Figura 7.11. 7.11. Obviamente Obviamente no es un potencial V(r) V(r)
E, V(r)", 1/r' V( r) oc 1/r'
E,
E,
~I L=2a,
Niveles de de energía energía de de un electrón electrón en un átomo átomo asimilando Figura 7.11 Niveles asimilando el potencial potencial culombiano culombiano de interacción de un pozo pozo de de potencial potencial de de barrera barrera infinita. infinita. de interacción al de pero si asumimos asumimos una longitud longitud media L= = 0.316 0.316 nm, nm, las energías energías para para los dos dos primeros primeros niveles niveles son pero media L El El
3.78eV, = 3.78eV,
E22 E
(2)2EE¡ ¡ = 15.12eV. 15.12eV. = (2)2
(7.131) (7.131)
La diferencia diferencia de energía energía es de E E22 - E El ¡ = 11.34 11.34 eeV resolviera la ecuación Schródinger con V Si se resolviera ecuación de Schrodinger con el potencial culombiano verdadero, sin duda mucho más difícil, se obtendría un valor de 13.6 eV Como potencial culombiano verdadero, duda mucho difícil, obtendría valor eV Como se ve el orden orden de magnitud magnitud es más más que aproximado. aproximado. Hay Hay una diferencia diferencia adicional y es que según adicional que según el modelo modelo 22 mientras que en realidad lo hace como 1/ n22. de potencial potencial cuadrado la energía variaría proporcional a n . cuadrado energía variaría proporcional mientras que realidad hace como Para números números cuánticos elevados la discrepancia discrepancia se hará hará notar notar más. más. Para cuánticos elevados Electrones en una cadena cadena lineal. lineal. Electrones moléculas orgánicas orgánicas conjugadas conjugadas están están formadas por enlaces enlaces simples La moléculas formadas por simples y dobles dobles alternantes. alternantes. Muchas Muchas estas moléculas moléculas presentan presentan bandas bandas de absorción absorción en el ultravioleta. ultravioleta. Considérese de estas Considérese la molécula molécula de 1,3 butadieno que se muestra muestra en la Figura Figura 7.12a. 7.l2a. Los electrones electrones de los enlaces butadieno enlaces dobles dobles no están están localizados localizados átomo de carbono carbono sino que pueden moverse sobre sobre la extensión extensión de varios pueden moverse varios átomos. átomos. Estos Estos electrones electrones en el átomo deslocalizados denominan electrones electrones n:. tt . En el caso caso que que nos ocupa ocupa hay cuatro deslocal izados se denominan cuatro electrones electrones n n: que que se mueven sobre sobre una extensión extensión de L L = 0.58 0.58 nm. Obsérvese Obsérvese que que en realidad realidad el pozo pozo de potencial potencial dista d ista mueven mucho cuadrado ya que la presencia presencia de iones iones modifica modifica la forma mucho de ser cuadrado forma del potencial potencial dando dando lugar lugar a una una
http://carlos2524.jimdo.com/
294
Óptica Óptica física física
H"
H"
(a) (a)
H/ H
(b) (b)
==
==
cC=CHCH 14
/H
CH= C C CH
0.58 nm
~ I " HH ~I"
V(x) V(x)
x=O x=O
x= L x=L
Figu ra 7 . 12 (a) Esquema Esquema de molecula 1,3-butadieno. t ipo ti J[ s pueden mover Figura 7.12 de la molecula 1,3-butadieno. Los electrones electrones de de tipo see pueden mover a lo largo largo de u na long itud de nm . (b) Esquema Esquema del potencial potencial que J[ de una longitud de 0.58 0.58 nm. que confina confina -a -a los los electron electronese s tt
eenn la molécula. mo lécula. Obsérvese mente distinto pozo de potencial cuadrado por lo que Obsérvese que que es es ligera ligeramente distinto aall pozo de potencial cuadrado, , por que cabe valor real rea l de nergía con lor estimado, pero no no en cabe espera esperar r discrepancias discrepancias del valor de la eenergía con el va valor estimado, pero en eell orde ordenn de magn itud . de magnitud. I
..5
muestra en Figura 7. 12b. Si aplicamos aplicamos la expresión estructura parecida a la que estructura parecida que se muestra en la Figura 7.12b. expresión de las energías energías del del pozo cuadrado se obtiene obtiene pozo cuadrado E¡ E¡ E2 E2
E3 E3
= = = =
1.l2eV, 1.l 2eV, (2)2E¡ (2)2 .48eV, E ¡ == 44.48eV,
(3)2E (3)2E¡ ¡
=
(7. 132) (7.132)
lO.08 eV. 10.08eV.
En la Figura Figura 7 .13a, representan los estados molécula 1,3-butadieno En .13a, se representan estados fundamental fundamental y excitado excitado de la molécula 1,3-butadieno según según el modelo modelo de pozo pozo de potencial potencial cuadrado. fundamental de la molécula molécula es aquel cuadrado. El estado estado fundamental aquel en en el que los electrones niveles más más baj os de energía principi o de exclusión electrones J[7r están están ocupando ocupando los niveles bajos energía de acuerdo acuerdo al principio exclusión de Pauli. En En la Figura Figura 7 .13b muestra el estado molécula en el que ocupa el Pauli. .13b se muestra estado excitado excitado de la molécula que un electrón electrón que que ocupa tón y pasa pasa a ocupar nivel de energía E3. nivel 2 absorbe absorbe un fo fotón ocupar el nivel energía E3. (a) (a)
(b) (b)
E.
--+--hV ~
E,
hv
E, E,
~ ~
--++t~
-t-~~-t~
--++t~
E,-t-li--t~ E,
Figura 7 . 13 Niveles Niveles de mo lecul a 11,3-butadieno ,3-butad ie no segú m odelo dé pozo de pote nci a l 7.13 de energ energíaía de de la molecula segúnn el modelo dé pozo de potencial cuadrado Estado fundamenta molécu la con con los los eelectrones lectrones tiJ[ ocupando niveles más más cuadrado. . (a) Estado fundamental l de de la molécula ocupando los los niveles bajos de nergía . (b) Estado Estado excitado molécu la . bajos de eenergía. excitado de de la molécula.
La longitud transición vendrá vendrá dada dada por por La longitud de onda onda de esta esta transición 'A(E2 -+ 'A(E2 --+ E3) E 3)
=
he
E 3 - E2 E2 E3
he
=-
SE ¡ 5E¡
= 221.5 22 1.5 nm.
(7 . 133) (7.133)
'A = 2 17 nm, nm, lo cual muestra la buena buena estimación valor real real de esta El valor esta transición transición es de 'A = 217 cual muestra estimación obtenida obtenida en (7. 133). Téngase notable simplificación potencial respecto respecto del real. No obstante (7.133). Téngase en en cuenta cuenta la notable simplificación del potencial del real. obstante el orden orden de magnitud magn itud sigue válido . sigue siendo siendo válido.
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo 7 / Introducción Introducción a la teoría teoría cuántica cuántica de la radiación radiación Capítulo
295
Electrones Electrones en un sólido. sólido. En un sólido sólido hay del orden orden de to 1023 átomos/cm átomos/cm 3'. . Por Por ejemplo, ejemplo, en un cristal cristal de sodio sodio hay del orden orden 22 3 = 2.65 2.65 XX 10 átomos/cm''. Debido a la presencia presencia periódica periódica de los iones iones en un cristal, cristal, lo que que Nv = to átomos/ cm . Debido de N; niveles de energía energía aislados aislados en un átomo átomo se desdoblan desdoblan en tantos tantos niveles niveles como como átomos, átomos, dando dando lugar son niveles lugar bandas de energía. energía. La Figura Figura 7.14 7.14 muestra muestra la estructura estructura de bandas bandas de un cristal unidimensional de a bandas cristal unidimensional átomos de sodio. sodio. En este este caso, caso, el número número de átomos átomos en L = 1 cm sería sería de átomos Energíaía Energ
~ ___________________________________ . ¡3PP
~
~ ~
35
V(x) V(x)
2p 2p
25
iones
7.14 Potencial Potencial periódico periódico de un electrón electrón en un cristal cristal semi-infinito semi-infinito de sodio. sodio. Figura 7.14
N
=
' /3 Nv'/3
= 2.98 2.98
x 1077 átomos/cm. átomos/cm.
(7.134) (7.134)
cada nivel de energía energía se acomodarían acomodarían 2 electrones electrones de acuerdo acuerdo al principio principio de exclusión exclusión de Pauli. En cada Pauli. Por Por tanto, el número número cuántico cuántico n del nivel más alto ocupado ocupado sería sería lo tanto, (7.135) (7.135) La diferencia diferencia de energía energía entre entre los dos niveles niveles más más altos altos ocupados ocupados sería sería AE -'>E 1/ 1/
I 1/1/ -
2 = [[ n 2 -
22
2JJ 11 h2 (n - 1) 2 --2 8mL 8mL
= (2n -
22
7
h 1)--2 = 1.12 x to1)--2 10- 7 eVo 8mL 8mL
(7.136) (7.136)
Este valor Este valor nos indica indica lo próximos próximos que que están están los niveles niveles de energía energía en un cristal cristal en comparación comparación con lo que sucede sucede en un átomo átomo o en una molécula molécula y la utilidad utilidad del modelo modelo simple simple empleado. empleado.
7.19. 7.19.
Considérese N¡ y N2 átomos Considérese un conjunto conjunto de átomos átomos de dos niveles niveles de energías energías El El y E2 E2,, ocupados ocupados por por NI átomos respectivamente. La La densidad densidad de energía energía a la frecuencia frecuencia v = = (E2 (E2 - E,)/Ii p(v). Debido Debido a la respectivamente. E,)/ñ es p(v). presencia de esta esta radiación radiación se producen producen absorciones absorciones estimuladas estimuladas con probabilidad probabilidad B12P(v)NI. B12P (v) N i- Así Así presencia mismo la probabilidad probabilidad de emisión emisión espontánea espontánea es proporcional proporcional al número número de átomos átomos en el nivel nivel superior superior mismo A12N,. A12 N I . Resolución Resolución
Demostrar Demostrar que que si sólo se consideran consideran estos estos dos procesos, procesos, en equilibrio equilibrio con con la radiación, radiación, la densidad densidad de energía no obedece obedece a la ley de Planck. Planck. Asumir Asumir que que la población población de un nivel sigue sigue la estadística estadística de energía Boltzmann. Boltzmann. Supongamos Supongamos el sistema sistema de dos niveles niveles de la Figura Figura 7.15a. 7.15a. Cuando Cuando un haz de radiación radiación de densidad densidad de energía niveles, los procesos energía p(v) p(v) incide incide sobre sobre el medio medio material material que que contiene contiene N átomos átomos de dos niveles, procesos que que tienen lugar tienen lugar son los siguientes: siguientes:
http://carlos2524.jimdo.com/
296
Óptica física (a)
(b)
hv
~
•
•
I I I I I I I
t
I I I I I I I
•••
Figura 7.15 Procesos de (a) absorción estimulada
-v.
(b) emisión espontánea.
Absorción estimulada: el átomo absorbe un fotón de energía h v del haz incidente y pasa a ocupar un estado excitado. La energía del fotón ha de ser tal que (7.137)
E2-E¡=hv,
donde h = 6.63 X 10-34 Js, es la constante de Planck y v la frecuencia del fotón incidente. El haz sale del medio activo con menos energía de la que tenía inicialmente. La probabilidad por unidad de tiempo de que este proceso tenga lugar es proporcional a la densidad de energía del haz incidente y al número de átomos que se encuentran en el nivel fundamental. La velocidad con la que se despuebla el nivel fundamental debido a este proceso será: dN¡
-
dt
=
(7.138)
-Bp(v)N¡.
Emisión espontánea: en la mayoría de los materiales, el tiempo que permanece el electrón en el estado excitado es muy corto, del orden de 10-8 s, de manera que el electrón decae al nivel fundamental espontáneamente emitiendo un fotón de energía E f = E2 - E¡ = hv . La probabilidad de que tenga lugar este proceso es proporcional al número de átomos en el nivel excitado, por lo que la velocidad con la que varía la población del nivel fundamental debido a este proceso más la absorción estimulada se podrá poner como: dNI
-
=
dt
AN2 - Bp(v)NI·
(7.139)
Estos dos procesos se dan en equilibrio, por ejemplo, en una lámpara de descarga de sodio mientras está encendida. Si sólo existen estos dos procesos, la densidad de energía del campo en equilibrio térmico con el medio material no se satisface la ley de Planck. En efecto, si admitimos que la distribución de átomos en el nivel fundamental y excitado a una temperatura T está dada por la distribución de Maxwell-Boltzman, entonces se tiene que N2
_.!l.!!..
- =e NI
(7.140)
KT
'
donde K es la constante de Boltzman. Si tenemos en cuenta la ecuación (7.139) y que en equilibrio térmico d N 1/ dt = O, se llega enseguida a que la densidad de energía del campo es p(v)
A N2 NI
=B
A
-J¡v
= Be
KT
,
(7.141)
que no se corresponde con la distribución de Plank, la cual viene dada por
p ( v)
=
2nhc2
1
-----:;-S.!l.!!.. 1\.
e
KT
-
http://carlos2524.jimdo.com/
1
.
(7.142)
.~
Capítulo teoría cuántica cuántica de la radiación Capítulo 7 / Introducción Introducción a la teoría radiación
297 297
Demostrar que exista exista emisión emisión estimulada estimulada con con una una probabilidad probabilidad seDemostrar que que si se asume asume la posibilidad posibilidad de que mejante probabilidad de absorción, llegaría, en en equilibrio, equilibrio, a una distribución mejante a la probabilidad absorción, B12P B12P((v)N¡, V)NI, se llegaría, una ley de distribución compatible con la ley de Planck Planck siempre siempre que que se dé una compatible una cierta cierta relación relación entre entre los coeficientes coeficientes A y B. Si en el átomo arriba se admite admite la la posibilidad posibilidad de emisión emisión estimulada, estimulada, al átomo de dos niveles niveles considerado considerado más más arriba interaccionar con la radiación radiación podría podría decaer decaer al fundamental fundamental emitiendo emitiendo el interaccionar un electrón electrón en el estado estado excitado excitado con correspondiente fotón del haz haz incidente. incidente. De esta esta manera, manera, la velocidad velocidad correspondiente fotón fotón que se añadiría añadiría en fase con con el fotón cambia la población población del estado estado fundamental con la que cambia fundamental será será ahora ahora dNI dNI dt
-dt = equilibrio térmico térmico se tendrá tendrá dNI dNI I[dt En equilibrio dt
AN? + Bp(v)N2 Bp(v)N2 - Bp(v)N¡. Bp(v)N¡. AN2 -
(7.143)
= O, es decir, decir,
ar un
A
p(v) =
A
N2
BN I -
(7.144)
N2
7.137)
Teniendo Teniendo en cuenta cuenta que te. El d por el haz con la
(7.145)
se llega llega finalmente finalmente a que que p(v) p(v)
=
A -B -B
1 hu hv
ek'f e IT -
(7.146)
.
1
Esta cociente Al B satisface Esta relación relación coincide coincide con la obtenida obtenida por Plack Plack si el cociente satisface A
(7.147)
B
Calcular para transiciones transiciones entre entre niveles niveles Calcular el cociente cociente N21 N21 Nl N¡ a temperatura temperatura ambiente ambiente (T (T = 300 K) para rotacionales (t:,.E (f:...E = 2 x 10-44 eV), vibracionales vibracionales (t:,.E (f:...E = 5 x 10(f:...E = 2 eV). 10-22 eV) eV) y electrónicas electrónicas (t:,.E eV). rotacionales Comentar ambiente exista exista inversión población (N2 NI) Y y Comentar la posibilidad posibilidad de que que a temperatura temperatura ambiente inversión de población (N2 > > NI) amplificación de un haz haz incidente incidente al pasar pasar por por un medio amplificación medio con con inversión inversión de población. población. En equilibrio cociente entre entre la población población de los los niveles niveles de energía energía viene viene equilibrio térmico térmico a la temperatura temperatura T, el cociente dado dado por por N2 hv N2 hu - == e-U e-k! (7.148) (7.148) NI NI
entras
donde k = 1.3805 JKJK-I I es la constante constante de Boltzman. Boltzman. Si tenemos donde tenemos en cuenta cuenta que que 1 eV e V = 1.602 x 10-1919 cociente pedido pedido para para cada cada una de las transiciones transiciones es J, el cociente
medio en el
N2 = e NI
-
"'Ex 1.60xx 10-1919 "' E x 1.60 1.3SxlO 23x300 1.3SxlO 23 x 300
(7.149)
decir es decir ilibrio
N21 -N21 NII N
.141)
.l42)
..
.,
0.9962, = 0.9962, rol rol
l l, N21 1 =0.14xlO, N2 =0.14 xlON¡ NI vib »ib
34 . N21 = N21. = 2.6 x 10-34 . NI ele NI ele
puede verse verse que que a temperatura temperatura ambiente ambiente muchos Por lo tanto tanto puede muchos de los niveles niveles rotacionales rotacionales están están poblapoblaniveles vibracionales empiezan a tener tener algo dos. Los niveles vibracionales empiezan algo de población población en el nivel excitado. excitado. En cambio, cambio, a temperatura ambiente, ambiente, la población población de un nivel electrónico temperatura electrónico excitado excitado es prácticamente prácticamente cero cero en equilibrio equilibrio térmico. térmico. puede comprender comprender que exista exista la posibilidad posibilidad de que Se puede que un haz haz de radiación radiación se amplifique amplifique al al pasar pasar a través de un conjunto conjunto de átomos átomos de dos niveles niveles si fuéramos través fuéramos capaces capaces de tener tener a la mayoría mayoría de los átomos átomos en excitado. Así, los fenómenos fenómenos de emisión emisión estimulada el nivel excitado. estimulada podrían podrían dominar, dominar, con con lo que que el haz haz incidente incidente
http://carlos2524.jimdo.com/
298 298
Óptica física Óptica física
se iría iría cargando pasar por por el medio. medio. Ahora bien, como cargando de fotones fotones al pasar Ahora bien, como se iría iría poblando poblando el nivel inferior, inferior, aparecería nuevo la absorción trata, por por lo aparecería de nuevo absorción estimulada estimulada de fotones fotones que que impediría impediría la amplificación. amplificación. Se trata, tanto, mediante el mantenimiento mantenimiento de algún tanto, de "ganar" "ganar" a la absorción' absorción mediante algún tipo tipo de bombeo bombeo que que mantenga mantenga la inversión población (N2 NI > > por ejemplo, temperatura ambiente N2 1 NI NI = 10-3434, , lo inversión de población (N2 - NI > O) O) ya que, que, por ejemplo, a temperatura ambiente N2/ que indica indica que que casi todos átomos se encuentran encuentran en el nivel fundamental. Existen Existen diferentes diferentes métodos que todos los átomos nivel fundamental. métodos de bombeo. bombeo. El más más usual usual consiste medio activo. consiste en establecer establecer una descarga descarga en el medio activo. En la Figura Figura 7.16 7.16 se describen las fases fases de la acción acción láser. láser. describen (a) (a)
..,..,..,..,..,..,..,
.. ....WJ..
(e) (e)
'f'f'f'f'f'f'f
•••••••••• •••••••••• •••••••••• •••••••••• •••••••••• ••••••••••
~ ~
~. m· ••• •••
(b) (b)
~
•••• • ••••
(d) (d)
w···~·· w···~·· ·~···W·· w:...•. ~ .. W···~··
Haz láser láser Haz
7.16 Descripción Descripción de la acción acción láser. (a) Medio Medio activo activo bombeado bombeado para producir producir inversión inversión de Figura 7.16 población. (b) Emisiones Emisiones espontáneas. espontáneas. (c) (c) Interacción Interacción de algunas algunas emisiones emisiones espontáneas espontáneas con otros otros población. átomos produciendo produciendo emisiones emisiones estimuladas. estimuladas. (d) Generación Generación de una onda onda amplificada amplificada que emerge emerge átomos por el espejo espejo parcialmente parcialmente transparente. por transparente.
7.20.
vida de un electrón electrón en el estado estado excitado excitado de un átomo de dos dos niveles, estimar Si Tr es el tiempo tiempo de vida un átomo niveles, estimar el valor que tenga lugar una emisión espontánea espontánea de tal valor de la probabilidad probabllidad por por unidad unidad de tiempo tiempo en el que tenga lugar una emisión átomo sabiendo que la densidad densidad de modos cavidad de volumen V donde donde se encuentra encuentra el átomo átomo átomo sabiendo que modos de la cavidad volumen V viene dada por por viene dada (7.150) (7.150)
Resolución Resolución Al decaer decaer al estado estado fundamental fundamental por emisión espontánea espontánea el átomo átomo emite emite un fotón fotón a uno los posibles por emisión uno de los posibles modos cavidad. Si Tr es el tiempo que tarda caer al fundamental fundamental, , la probabilidad que se modos de la cavidad. tiempo que tarda en caer probabilidad P de que produzca emisión espontánea espontánea será será proporcional T , es decir, decir, li T, produzca una una emisión proporcional a 1/
l1
P-P --
(7.151) (7. 151 )
T
Como esta esta emisión emisión se realiza cualquiera de los modos, que la emisión emisión tenga tenga Como realiza a uno uno cualquiera modos, la probabilidad probabilidad W de que lugar a un modo obtendrá dividiendo dividiendo por ellos gil! gm (v) (v) V, es decir, decir, lugar modo predeterminado predeterminado se obtendrá por el número número total total de ellos
P gm(v) gm(v) V
W=--W = - - -
7.21. 7.21.
1
--
3 c3
T 87TVv2~v r 8JTVV2~V
S
--11
..
(7.152) (7.152)
Considérese una una cavidad cavidad de tipo Fabry-Perot que que contiene contiene N N átomos átomos de dos niveles energías El El Considérese tipo Fabry-Perot niveles de energías yY E2. Sean Nlj(t) ocupación de los niveles del átomo átomo j. Consideremos E2. Sean Nlj(t) y N2j(t) N2j(t) los números números de ocupación niveles del j. Consideremos que en la cavidad cavidad sólo sólo se propaga campo y sea sea n(t) n(t) el número número de fotones fotones de ese ese modo que propaga un modo modo del campo modo campo en el instante instante t. Sea Sea rl2 rl2 la velocidad velocidad de bombeo desde el nivel nivel 1 al 2: 2: este este proceso del campo bombeo desde proceso se realiza, por ejemplo, bombeando elevado el cual cual decae decae muy realiza, por ejemplo, bombeando a un nivel nivel más más elevado muy rápidamente rápidamente al nivel 2 por Los procesos absorción, emisión emisión estimulada, estimulada, emisión emisión espontánea espontánea y por procesos procesos no radiativos. radiativos. Los procesos de absorción, bombeo, cambiarán la población población de los niveles energía o sus sus números números de ocupación ocupación con con el tiempo bombeo, cambiarán niveles de energía tiempo función del número fotones en la cavidad. cavidad. A su vez cavidad tiene ejemplo, y en función número de fotones vez la cavidad tiene pérdidas, pérdidas, por por ejemplo,
http://carlos2524.jimdo.com/
L .,
Capítulo 7 /Introduccíón
rr lo
a la teoría cuántica de la radiación
299
debido a la transmisión a través de los espejos. Asumiremos que el ritmo al que la cavidad pierde fotones por transmisión es -Kn, siendo n el número de fotones en la cavidad y K una constante con dimensiones de s-l.
a la , lo dos 6 se
Resolución Calcular las ecuaciones de evolución de los números de ocupación del átomo j-ésimo. En la Figura 7.17 se representan las diferentes contribuciones a la población del nivel de un átomo. Si N2j es el número de ocupación del nivel excitado del átomo i, la velocidad con la que se despuebla el
PAu,adOS emisión
N,
I
WN2
de
.-
I I I I I I I I I
Wn N,
t
N,
ros
espontánea
I I I I I I I I I I
I I I I I I I I I I
Wn N2
t
rge
Figura 7.17 Transiciones
en un átomo de dos niveles.
nivel debido a la emisión estimulada es ar al o
(7.153) La emisión espontánea también despuebla el nivel y lo hace a una velocidad dada por (7.154)
O) Además, el nivel se puebla debido a la absorción estimulada:
(7.155)
bles e se
Por otra parte, para que la emisión láser se mantenga existe un bombeo externo que continuamente puebla el nivel excitado a una velocidad rl2. Ello significa que el nivel excitado recibe una contribución externa que vale:
51) "
(7.1 56)
nga r;
Teniendo en cuenta todos estos procesos, la evolución temporal de la población del nivel excitado se podrá poner como sigue:
52)
dN2' J dt
__
, l.
Tt -..
(7.157)
Un razonamiento similar permitiría obtener la evolución de la población del nivel fundamental. Reagrupando términos se puede escribir sin dificultad la evolución temporal de los números de ocupación del nivel excitado y fundamental: dN2"
o,
= r¡2N¡ J" + W NI J.n - W N2"J - W N2"n. J
= rl2Nlj
- WN2j
- Wn (N2j - Nlj),
dNlj
(7.158) (7.159)
dt
http://carlos2524.jimdo.com/
~ e
e
300 300
Óptica Óptica física física
!1
N
= = L L
Si se define define la inversión inversión total total D como como D
(N2) NI}), para (N2j - N] j), encontrar encontrar la ecuación ecuación de evolución evolución para
}=1
D.
J l
En hemos asumido por átomo. En todo todo momento momento hemos asumido que que hay hay un electrón electrón por átomo. Por Por lo tanto tanto se cumple cumple
J
••
i
(7. 160) (7.160) Si sumamos una de otra sumamos las las ecuaciones ecuaciones (7.158) (7.158) y Y (7.159) (7.159) sobre sobre todos todos los átomos, átomos, restamos restamos una otra y tenemos tenemos nición de D junto junto con una ecuación para la en en cuenta cuenta la defi definición con la condición condición (7.160) (7.160), , se llega llega fácilmente fácilmente a una ecuación para diferencia población entre diferencia de población entre el estado estado excitado excitado y el fundamental fundamental dD
D- Do Do D----2WDn - - - 2WDn T
dt donde donde
Do D o ==
rrl2 l2 - W rl22 + W rl
(7.161) (7.16 1)
(7.162) (7.162)
N, , N
y
l 1 W, W , --=rI2+ =rI2+ T
(7.163) (7.163)
total de átomos. átomos. y N N es el número número total Encontrar la evolución evolución del número número de fotones fotones en la cavidad. cavidad. Encontrar Cada vez que que un átomo átomo se desexcita desexcita por emisión estimulada, añade un fotón fotón a la sión espontánea espontánea o estimul ada, se añade Cada por emi cavidad. Lo contrario contrario OClllTe ocurre cuando cuando se produce absorción estimulada. estimulada. Además, Además, como como las paredes cavidad. produce una una absorción paredes de cavidad dejan dejan pasar fotones al exterior, exterior, hemos hemos de incorporar incorporar estas estas pérdidas, englobadas en el fac factor la cavidad pasar fotones pérdidas, englobadas tor K. NÚ es el número ocupación del nivel excitado del átomo átomo j,j , la velocidad velocidad con con la que que se añaden añaden Si NÚ número de ocupación nivel excitado fotones cavidad debido debido a la emisión emisión estimulada estimulada es foto nes a la cavidad j=N }=N
L WN2} n ,
(7.164) (7 .164)
WN2jn,
j=l }=I
donde la suma suma se extiende extiende a todos todos los átomos. átomos. La emisión emisión espontánea espontánea también también añade añade fotones fotones y lo hace hace a donde un ritmo dado por ritmo dado por j=N j=N
L WN2j .
(7.165) (7.165)
WN2j.
j=1 j= 1
Además, desaparecen desaparecen fotones fotones debido debido a la absoción absoción estimulada: estimulada: Además, j=N j=N
L WNljn. w n.¡«.
(7.166) (7 .166)
j=] j=J
Por otra otra parte, cavidad envía envía fotones fotones al exterior exterior al ritmo ritmo -K Krln,, el número fotones de la cavidad cavidad Por parte, si la cavidad número de fotones evoluciona con con el tiempo tiempo de la sigui siguiente forma: evoluciona ente forma: -r
j=N j=N d " dn" dt = -Kn L W (N2j N l j) n =n -Kn + L (N2j - Nlj)
j=N j=N
+ "L"L
j=1 l=s
W N2j N2j .
(7.167) (7.1 67)
}j=l =I
Teniendo en cuenta cuenta la definición definición de D D,, la ecuación ecuación anterior anterior se puede como Teniendo puede reescribir reescribir como dn dn
-ddtt =
-Kn/1 -K
fo1a I to1a
WN + DWn DWn + WN 2 2
http://carlos2524.jimdo.com/
•
(7.168) (7 .168)
Capítulo 7 / Introducción
a la teoría cuántica de la radiación
301
Podemos expresar este resultado en términos de la intensidad de un haz que incide sobre una sección S del medio material. Si por simplicidad despreciamos la emisión espontánea y multiplicamos los dos miembros de la ecuación (7.168) por hv] S, se tendrá
ara
hvdn hvn -~ -(-K+DW). Sdt S 160)
(7.169)
Si 1 =:= nh vf S, la ecuación anterior se puede poner como
mas
dI -=I(-K+DW) dt
a la
(7.170)
Si en el tiempo dt, la radiación recorre en el medio una distancia dz; se tendrá dt = dz]c, con lo que la ecuación anterior puede reescribirse como
161)
dI
- = I
162)
(-K
dz
+ DW) -.
(7.171)
e
Integrando esta ecuación en un pequeño intervalo que permita suponer D constante, se tiene (7.172)
163) donde -K+DW a=:=
a la
(7.173)
c
Si a < O, habrá ganancia, esto es, el haz se amplificará al recorrer la distancia
Z.
s de Determinar la condición umbral para que tenga lugar la emisión láser.
r K.
aden
Si en la ecuación (7.168) despreciamos el último término, que suele ser mucho menor que la emisión estimulada, existirá acción láser si dn f dt > O, es decir, si se cumple (7.174)
DWn > «n .
164)
Sustituyendo el valor de W calculado en el problema anterior, se llega a la condición umbral para que se produzca emisión láser:
ce a
(N2 - NI) c3
-,
Sr rr Vv2f..v
165)
>
A la luz de este resultado se obtienen algunas conclusiones satisfaga la desigualdad anterior es conveniente que:
-,
interesantes.
En efecto, para que se
• las pérdidas de la cavidad sean bajas, o lo que es lo mismo, el tiempo de vida del fotón en la cavidad, Y]«, ha de ser largo. • La anchura espectral de la transición atómica, f.. v, debe ser pequeña lo que implica seleccionar adecuadamente los medios materiales y minimizar los procesos que dan lugar a ensanchamientos de la línea como el efecto Doppler, colisiones, etc. • La inversión de población debe ser lo más grande posible, lo que necesita el conocimiento y la optimización de los procesos de bombeo.
166) ~(
idad
7.22. 167)
(7.175)
K.
Sea una cavidad láser de longitud L cuyos espejos presentan una reflectancia R. Si se admite que las únicas pérdidas que tienen lugar en la cavidad son las debidas a la absorción y a las pérdidas por transmisión a través de los espejos, calcular el coeficiente K.
-~ Resolución 168)
Supongamos que sobre una cavidad que contiene un medio activo, incide un campo electromagnético. Se trata de averiguar cómo decrece el campo en la cavidad debido a pérdidas por transmisión si, de repente,
http://carlos2524.jimdo.com/
302
Óptica física Óptica física R R
R R
••••••• •••••••••••••••••
I
•••••••••••• ~ ~ ••••••• •••••••••••••••••
J
7.18 Cavidad Cavidad láser de longitud longitud L: se muestra muestra el medio medio activo activo y se indica indica la radiación radiación Figura 7.18 estimulada. . estimulada
campo incidente incidente se apaga. apaga. Como Como es lógico lógico en cada cada reflexión, cada pared energía al exterior exterior el campo reflexión, en cada pared se vierte vierte energía por lo que que el campo campo en el interior interior de la cavidad cavidad irá disminuyendo disminuyendo con el tiempo. tiempo. En la Figura 7.18 se representa situación física. física. Tal como como vimos Tema 4, 4, la diferencia diferencia de fase En Figura 7.18 representa la situación vimos en el Tema dos ondas ondas adyacentes adyacentes viene viene dada dada por 8i5entre entre dos por 2n -2Lncoset. t 8i5 = -2Lncose AA
(7.176) (7.176)
.
De esta manera denotamos por amplitud de la onda onda incidente, incidente, la onda onda transmitida está Eo la amplitud transmitida resultante resultante está De esta manera si denotamos por Eo dada por dada por El E2 E2
= =
Eott'e-kLenl, Eott'e - k Lel1t
,
Eott'r2e-3kLel1lei8, Eot t ' r2e- 3k Lel1lei 8,
(7.177) (7.177)
i28 .. E33 = = Eott'r4e-SkLel1l ... . , E Eot t' r 4 e-5kLell l ei28
donde donde
L L Le= --, - , L e = cos é, coser
(7.l78) (7.178)
longitud efectiva efectiva que que recorre otra cara cara de la cavidad. cavidad. Obsérvese Obsérvese cómo cómo al haber es la longitud reCOlTe un rayo rayo de una una a la otra haber un índice índice complejo, complejo, y por absorción en el medio, onda incidente incidente va disminuyendo disminuyendo en amplitud amplitud por lo tanto tanto absorción medi o, la onda que avanza avanza dentro dentro de él. Si por contrario, se tratara una cavidad cavidad con con ganancia, ganancia, como a medida medida que por el contrario, tratara de una como en en un láser, la onda onda se amplificaría. amplificaría. láser, El campo campo transmitido será la superposición superposición coherente coherente de todas ondas, es decir, decir, transmitido será todas las ondas, (7.179) (7. 179) definimos el coeficiente coeficiente de absorción absorción lineal lineal a como como Si definimos
a == 'Ikn 2kn¡¡ .,
(7.180) (7.180)
(7.181) (7.181) La intensidad intensidad de la onda onda transmitida será proporcional ET La transmitida será proporcional a IET 1
22,
1 1
,
decir es decir (7.182) (7.1 82)
donde donde
Fa
==
4r2e-aLe (l _ r2e-aLe)2
http://carlos2524.jimdo.com/
(7.183) (7.183)
Capítulo Capítulo 7 7// Introducción Introducción a la teoría teoría cuántica cuántica de de la radiación radiación
303
donde = Re-aLe representa una reftectancia reflectancia efectiva efectiva modificada modificada por por la absorción. absorción. donde R¿ R,:x = Re - aLe representa Vayamos ahora ahora a lo que nos interesa. interesa. Para Para ello, ello, supongamos supongamos que primera cara cara de la cavidad Vayamos que en la primera cavidad y en instante --tT esto es, el tiempo tiempo que un rayo rayo tarda tarda en recorrer recorrer el camino camino hasta hasta el segundo segundo espejo, espejo, un instante tT = L]», L/v, esto "apaga" el campo campo incidente. obvio que en instantes instantes t > >O O el campo campo transmitido transmitido no vendrá vendrá dado dado por se "apaga" incidente. Es obvio expresión (7.181) (7.181) ya que la primera primera onda onda o varias varias de ellas ellas habrán habrán salido salido de la cavidad. cavidad. Después Después de un la expresión tiempo tiempo
=
2Le e .2L , v
(7.184) (7.184)
ttjj = J J-,
campo transmitido transmitido será será el campo ión
E~ = tt' Eoe-~Le E~ = Eoe- ~ Le
00
L (Re (Re-aLeei8)P L -a Leei8)P
(7.185) (7.185)
p=j p =j
Realizando la suma, suma, que que ahora ahora empieza empieza en la onda onda p == j,j , se tiene tiene Realizando
IOf
ase
a
E 'T
(Re-aL eei8) j
= tt ' E Oe - -2 L e 1 -
(7.186) (7. 186)
'8'
L
R e-a ee l
intensidad se obtiene obtiene sin más que que calcular calcular el módulo módulo al cuadrado cuadrado de la expresión expresión anterior: anterior: La intensidad
76)
t:T -_ [Oe -a -aLeLe
[
stá
1
_
tt ' )2 (tt')2
[
T -
Oe
R2j R2j a
2
8 .
(l - Ra) sen?2 :1'2 (1 Ra) 1 + Fa sen
(7.187) (7.187)
comparamos la expresión expresión obtenida obtenida con con el campo campo transmitido transmitido cuando cuando se superponen superponen todas todas las ondas ondas Si comparamos ecuación (7.182) (7.182)],], se puede ver que [[ver ver ecuación puede ver 77) [~
=
h(O)R~j
=
2
IV
h(O)R a 2 Le
(7.188) (7.188)
,
donde hemos hemos realizado realizado la sustitución sustitución 'j 'j = tv tv / (2L (2Le)'e ). donde asumimos un decaimiento decaimiento exponencial exponencial en la intensidad intensidad del tipo tipo Si asumimos
78)
[~ [~ =
ber tud
h(O)e-f;; f;; . h(O)e-
(7.189) (7.189)
Comparando expresiones (7.188) (7.188) y (7.189), (7.189), se llega llega finalmente finalmente a que que Comparando las expresiones
un
Le Le 1 to=-----= - - - -- a l.¿e v InR InR - aL
(7.190) (7 .1 90)
Para un láser láser de He-Ne He-Ne con con R 0.99 tiene que to = 500 500 ns, mientras mientras que que para para un Para R = 0. 99 y Le L e = 1.5 m se tiene láser de semiconductor, semiconductor, valores valores típicos típicos pueden pueden ser ser R = 0.5 y Le 1.5mm , por ps. En En láser L e = 1.5mm por lo que to = 7 ps. ambos casos casos hemos estimado estos estos valores valores con con v ~ ~ c. c. Nótese que K = ambos hemos estimado Nótese que
79)
t.
80)
81)
7.23.
Demostrar que que en una una cavidad cavidad láser láser la fineza fineza es superior superior a una una cavidad cavidad normal donde no hay hay inversión. inversión. Demostrar normal donde Resolución Resolución Según el problema problema anterior, anterior, la intensidad intensidad dentro dentro de la cavidad cavidad se puede estimar de acuerdo acuerdo a la expresión expresión Según puede estimar (7.182) (7.182) (7.191 ) (7.191)
82) donde donde
(7.192) (7.192)
83)
http://carlos2524.jimdo.com/
304 304
Óptica Óptica física física
Los máximos máximos ocurren ocurren cuando cuando
4nv 4nv 88=--L = --Le = 2mn. e=2mn. e
(7 .193) (7.193)
La anchura mitad de altura, anchura del máximo máximo a mitad altura, se obtiene obtiene a partir partir de la ecuación ecuación (7.191):
1
I
-
•
2
(7.194)
!.
1 + Fa sen22 ~
.
suponemos que que sen 8 ::::: :::::: obtiene Si suponemos 8 se obtiene
(7.195) es decir decir 2
8± 8±
(7.196)
rD ' 117'
",Fa ",Fa
de donde donde /),8 /::,8
=
4
(7.197)
117. rD .
-rr:
",Fa
Teniendo cuenta (7.193), se puede calcular la anchura anchura en frecuencias frecuencias Ten iendo en cuenta puede calcular
(7.198) puede observar, observar, que que si hay ganancia esto es si a < < O, o lo que que es lo mismo, mismo, inversión inversión Se puede ganancia en el medio, medio, esto positiva",3 , la anchura anchura espectral espectral disminuye disminuye notablemente. notablemente. de población población positiva
7.24.
tiempo de vida vida de un estimar la anchura anchura espectral espectral de la transición ausencia Si el tiempo un nivel nivel es r = 10- 88 s, estimar transición en ausencia otros procesos procesos a partir partir del principio incertidumbre. de otros principio de incertidumbre. Resolución Resolución principio de incertidumbre incertidumbre posición-impulso que El principio posición-impulso establece establece que
(7.199) momento de un fotón fotón se puede escribir como como El momento puede escribir hv hv
(7.200) (7 .200)
p=-, p= - ,
e
donde de donde h/).v h/::,v
/).p=-. /::'p = - -
e
.
otra parte, parte, en un tiempo fotón recorre recorre una distancia tu Por otra tiempo r el fotón una distancia /::' X ecuación (7.199), se obtiene obtiene ecuación /).V /::, v h =-, h-cr = - , 2n e
(7.201) (7 .201)
=
cr. Llevando estos resultados cr. Llevando estos resultados a la
(7.202)
'Tal co como definido en el el problema > O si significa absorción. textos siguen siguen este este criterio. 'Tal mo se ha defi ni do en prob lema anterior, anteri or, la cantidad cantidad a > gnifica absorc ión. No No todos todos los textos criterio.
http://carlos2524.jimdo.com/
Capítulo 7 / Introducción
b-
a la teoría cuántica de la radiación
305
es decir ~t
~v
~3) !
1 1
= --
2n
=
16 x 106Hz
=
16Mhz.
(7.203)
T
Esta anchura se denomina anchura natural de la transición.
I
7.25. I
La anchura natural de una transición aumenta notablemente debido al efecto Doppler, En este caso, debido a que el átomo está en movimiento, la frecuencia de la radiación emitida dependerá de la velocidad con la que éste se desplaza:
I
(7.204)
~4)
[5)
Si la distribución de moléculas con velocidades comprendidas entre v y v + dv obedece a la estadística de Boltzmann, calcular el ensanchamiento en frecuencia de la radiación emitida por el conjunto de átomos. Aplicar el resultado obtenido al caso del Ne: m = 20 u.m.a., Vo = 4.74 x 1014 Hz, k = 1.38 x 10-23 y T = 120°.
f6)
Resolución
7)
1.
En el cálculo del problema anterior se ha considerado que el átomo, al emitir la radiación, se encontraba en reposo. Deberemos incorporar en la teoría desarrollada el hecho de que los átomos en un gas se mueven debido a la agitación térmica. En este caso, el conocido efecto Doppler nos indica que la frecuencia de la radiación emitida por el átomo en movimiento a lo largo de un cierto eje, que podemos tomar como el eje X, sufre un desplazamiento dado por (7.204). Este hecho contribuirá a que aparezca una anchura adicional distinta de la natural y de la inducida por las colisiones. Para calcular la contribución del efecto Doppler a la anchura de la emisión, aplicaremos la estadística clásica de Maxwell-Boltzman al gas de moléculas (ver Figura 7.19a). Como se sabe, el número de moléculas de masa m que a la temperatura T tiene velocidades comprendidas entre Vx y Vx + du¿ es
ón (a)
a
0.9 0.7
(b)
'
1 \
\
1
\
I(v)
\
9)
O)
\
la
\
)(
,,
v,
v,
Figura 7.19 (a) Distribución de Maxwell-Boltzman de velocidades en las moléculas de un gas a dos temperaturas diferentes, siendo T2 > TI' (b) Perfil de emisión lorentziano (-) y el debido al ensanchamiento Doppler (--).
dN 1)
\
1
\
0.1
\
1
\
0.3
\
.1
\ T,
=
~
N
Y -;¡;;j(f e_2
Imv~
--¡('f
du¿ .
(7.205)
Despejando la velocidad de (7.204) Y derivando se tiene, dv 'dv¿= c-. Vo
(7.206)
Sustituyendo (7.204) y (7.206) en (7.205) se llega a 2)
(7.207)
io.
http://carlos2524.jimdo.com/
306 306
Óptica física Óptica física
Si todos todos los átomos total emitida proporcional al número número de ellos, átomos son idénticos, idénticos, la intensidad intensidad total emitida será será proporcional ellos, asumiendo relaciones de fase estables miendo que que emiten emiten incoherentemente incoherentemente entre entre sí, esto esto es, es, no hay relaciones estables entre entre las emiemisiones Por ello tenemos que siones de los diferentes diferentes átomos átomos del gas. Por ello tenemos que
(7.208) (7.208) Si definimos definimos las constantes constantes
¡--;n-c
lo
== V ;¡;¡Kf va '
(7.209) (7.209)
== Vo J2KT , vaJ2KT
(7.210) (7.210)
y
t.v t.v
m
e
entonces entonces la expresión expresión (7.208) (7.208) queda queda
dI dI
=
lo ee-
(v-vO)2 (V-VO)2 zc.v2Z
2"v
dv dv
=
I(v)dv , I(v)dv,
(7.211) (7.211)
donde una gaussiana. donde 1 I (v) (v) es la forma forma de la linea linea de emisión emisión o "perfil", "perfil", que que en este este caso caso es una gaussiana. esta línea línea a mitad altura se representa El perfil perfil de esta mitad de altura representa en la Figura Figura 7 .19b yY vale vale
J
rr=: va J2KT 2K T ~ = -Vo --, = 2vln2t.v 2vln2t.v -,
(7.212) (7.212)
t.v 22 r;-;::; aJ2KT t.v ~AO J2KT -Aa = 2v In2In2--.- . = -AO e e M
(7.213) (7.213)
t.VD
e
m
o en longitudes longitudes de onda, onda, t.A
A
M Para el caso Neon la anchura por ensanchamiento Doppler es t.VD Para caso del Neon anchura espectral espectral por ensanchamiento Doppler puede verse esta anchura anchura es muy superior superior a la anchura anchura natural. puede verse esta natural.
7.26.
e
e
1300 MHz. Como 1300 MHz. Como
Un láser de He-Ne formado por por una cavidad misma presentan presentan Un láser de He-Ne está está formado cavidad de L = = 20 cm. cm. Los Los espejos espejos de la misma una reflectancia reftectancia de 0.99. transición láser niveles 3s y 2p 2p con una una longitud una 0.99. La La transición láser ocurre ocurre entre entre los niveles longitud de onda onda tiempo de vida vida del nivel nivel excitado mecanismo más más A= = 632.8 632.8 nm. El tiempo excitado es r = = 10-7 s. Se supone supone que que el mecanismo importante por efecto importante de ensanchamiento ensanchamiento de la emisión emisión ocurre ocurre por efecto Doppler. Doppler.
3s 3s 2s 2s
0.6328 ~m 0.6328 urn
2p 2p
1s
Figura Figura 7.20 7.20 Estructura Estructura de niveles niveles del Ne.
Resolución Resolución Calcular el tiempo fotón en la cavidad cavidad Calcular tiempo de vida vida del fotón
fo
Y la constante constante de amortiguamiento amortiguamiento del campo campo
http://carlos2524.jimdo.com/
K. K.
Capítulo teoría cuántica cuántica de la radiación Capítulo 7 / Introducción Introducción a la teoría radiación
307 307
Las pérdidas la obtención obtención de ttoo pérdidas en la cavidad cavidad las podemos podemos calcular calcular a partir partir de la o. to
=-
Le Le elnR cIn R
=-
3
X
0.2 0.2 IOlO lOlO X lnO.99 lnO.99
6.6 = 6.6
-8
10
X
s.
(7.214) (7.214)
La constante constante de amortiguamiento amortiguamiento del campo campo en la cavidad cavidad es (7.215) (7.215)
Calcular D y la inversión por intervalo intervalo de frecuencia. frecuencia. La La masa masa de Calcular la anchura anchura Doppler Doppler de la emisión emisión Ll ~ vVD inversión por los átomos átomos de Ne Ne es m = = 20.18 20.18 uam. uam. una distribución distribución de velocidades velocidades de las Según Según vimos vimos en el problema problema anterior, anterior, la inversión inversión debido debido a una moléculas en la cavidad se puede poner como moléculas cavidad puede poner como
(7.216) (7.216) del intervalo intervalo de frecuencia frecuencia \! v y\!+ y v + Ll v. donde donde Ll ~ N2 es el número número de átomos átomos en el nivel 2 que emiten emiten dentro dentro del ~ u, La anchura problema anterior: anterior: anchura de esta esta distribución distribución es bien bien conocida conocida y se calculó calculó en el problema LlVD ~\!D
7.212) l
7.213)
2\!o j2KTln2 j2KTln2 = -2vo =
m
e
(7.217) (7.217)
1300Mhz. 1300Mhz.
Determinar al ~\!D LlVD ,, la ganaricia ganan'cia umbral umbral y el bombeo bombeo Determinar la ganancia ganancia por por intervalo intervalo de frecuencia frecuencia a vv = = al umbral. umbral. Por Por otra otra parte, parte, la ganancia ganancia por por intervalo intervalo de frecuencia frecuencia es
Como
a a vv=-= =-=
(7.218) (7.218)
~\! Llv
ntan nda más
Sustituyendo Sustituyendo N2 N2 - NI NI por por el valor valor obtenido obtenido en (7.216) (7.216) se llega llega a
(7.219) (7.219) Figura 7.21 se representa representa la ganancia ganancia por por intervalo intervalo de frecuencia. En la Figura frecuencia. La La ganancia ganancia umbral umbral se determina determina como se ha comentado comentado en los problemas problemas anteriores anteriores sin más como más que que imponer imponer que que la ganancia ganancia sea sea mayor mayor que que pérdidas: las pérdidas: aumbral = = aumbral v
W(N2 - NI) NI) W(N2
e
K
(7.220) (7.220)
>>e
donde de donde aumbral aumbral
1 1
= L In R =
1 1
20 lnO.99 1nO.99 = =5
X
10
-4 - 4
_1 - 1
cm . . cm
(7.221) (7.221)
bombeo umbral umbral se puede puede obtener obtener a partir partir de la expresión expresión (7.175), El bombeo (7.175), (N2 - NI)
V caso que nos ocupa ocupa v En el caso llega a llega
K.
= elA. c j); = = 4.741 4.741 =
X
(7.222) (7.222)
Sustituyendo todos 1014 s. Sustituyendo todos los valores valores ya conocidos conocidos se
14)2 10-77 (4.741 (4.741 x 1014 1300 x 106 x 1.5 x 107 8rr x 10)2 x 1300 10 )3 lOlO (3 x 10
http://carlos2524.jimdo.com/
(7.223) (7.223)
308 308
Óptica física Óptica
n ,.
v,
Ganancia por frecuencia para un láser ensanchamiento Figura 7.21 Ganancia por intervalo intervalo de frecuencia láser de He-Ne con ensanchamiento Doppler. Doppler.
decir la inversión ser mayor átomos/cm 3'. . es decir inversión por por unidad unidad de volumen volumen ha de ser mayor o igual igual que que 4 x 108 átomos/cm Calcular las frecuencias de los posibles que pueden oscilar en la cavidad cavidad y los posibles modos Calcular las frecuencias posibles modos modos que pueden oscilar los posibles modos pueden ser ser amplificados. amplificados. que pueden
La condición resonancia en la cavidad cavidad de longitud longitud L bien conocida condición de resonancia L es bien conocida 2rrv
--L =mrr, - L =mrr, e
(7.224) (7 .224)
e v=m-. v=m-. 2L 2L
(7.225) (7.225)
donde de donde
Estas son las frecuencia frecuencia de los modos que pueden cavidad. La separación entre entre dos dos Estas modos posibles posibles que pueden resonar resonar en la cavidad. La separación modos será modos será JO 3 x lO 1010 = 750MHz. = 750 MHz. x 20 x 20
e
,0, Vlll v odos I t.. os -= -2L -= 2 2L 2 1II0C
(7.226) (7.226)
número de modos que caben caben dentro dentro del perfil emisión que, anchura de El número modos que perfil de emisión que, como como vimos, vimos, tienen tienen una anchura Mhz, es 1300 Mhz,
t.. Vmodos
nuestro caso caso la frecuencia frecuencia del láser está en torno En nuestro láser está torno a v interferencial será será interferencial /no 1110
= =
(7.227) (7.227)
±1=3 ±1=3 4.741 4.741
X
14 Hz, por que el orden orden 1014 por lo que
2L 2L v- - :::::: ::::::: 632134. v 632134. e
(7.228) (7.228)
manera que que los modos que caen caen dentro dentro de la curva curva de ganancia ganancia son son (ver (ver Figura De manera modos que Figura 77.21) .21) /no --11 1110 /no 1110 /no + 1 I !no
14 4.70997 Hz, 4.70997 X 1014 Hz, 14 14 vmo = 4.741005 x Hz, = 4.741005 X 10 Hz, mo 14 Vmo+1 Hz. Vlll o+ 1 = = 4.741012 4.741012 X 1014 Hz.
V1710-1 Vmo - I
= =
http://carlos2524.jimdo.com/
(7.229) (7.229)
Capítulo 7 / Introducción
a la teoría cuántica de la radiación
309
PROBLEMAS PROPUESTOS 7.1.
Calcular las energías de los fotones de las siguientes radiaciones: A = 600 nm, ultravioleta A = 300 nm, rayos X A = 0.3 nm.
infrarrojo:
A
0.3 mrn, visible:
SOLUCIÓN:
Infrarrojo: 6.62 x 10-22 J, visible: 3.31 x 10-19 J, ultravioleta: 6.62 x 10-19 J, rayos X: 6.62 x 10-16 J.
.
7.2.
miento \.
Se ha medido la diferencia de potencial en un nervio óptico producida cuando un fotón de 3 eV es absorbido por un cono. La capacidad del nervio es de 10-9 F. Calcular (a) la carga y la energía electrostática adquirida. SOLUCIÓ
1Q = 7 X modos
1O-J1C. (b) E
= 2.5
x 10-12
J·I
't.
• • • 7.3. (7.224)
•
Un haz de radiación de longitud de onda A = 0.15 nm incide sobre un cristal cúbico cuyos planos atómicos están separados una distancia d = 0.4 nm. Calcular el ángulo del primer orden de difracción. SOLUCIÓN:
(7.225)
7.4.
ntredos
(7.226)
En una serie de experimentos llevados a cabo a principios de los años 40, Selig Hetch y otros determinaron que, al iluminar la retina de un observador a 20° de la fóvea con una radiación centrada en 510 nm, la energía mínima incidente sobre la córnea del observador que se requería para producir un efecto visual era de 3.34 x 10-17 J. Determinar cuál es el número de fotones, nI, que incidía sobre la pupila del observador. ¿Coincidiría este valor con el número de fotones que llegarían a la retina? En caso negativo, indique los fenómenos que a su juicio estén involucrados para producir tal disminución. SOLUCIÓN:
¡nI
chura de
(7.227) el orden
=
85.
NO.¡
.
.
ESPECTROS ATÓMICOS. MODELO ATÓMICO DE BOHR
7.5.
(7.228)
Los enlaces de las proteinas que constituyen las células de colágeno de la córnea tienen una energía de ruptura de 3.5 eV y absorben fuertemente en el ultravioleta. Si se ilumina la córnea con un láser de Ar F que emite en A = 192 nrn, ¿se podrán disociar la células? SOLUCIÓN:
I Sí, ya que la energía del fotón es E
7.6. (7.229)
=
6.4 eV
Los isótopos de un elemento tienen distinta masa atómica por 10 que sus niveles de energía diferirán. Calcular la diferencia de energía entre las líneas Ha (de 11=2 a n=3) del hidrógeno, el deuterio y el tritio. SOLUCiÓN:
I tÜD = 0.17 nm. y tÜT = 0.23 http://carlos2524.jimdo.com/
11m.
I
310 310 Óptica Óptica física física ~
~,ESPECTROS ATÓMICOS. MO~ELO MODELO ATÓ~ICO ATÓMICO %lb"E~PE~TROS ATÓMICOS. DE BOHR , ~.", \"""% *", , 'w :>U"
7.7.
~~
JW*
•
"
i1
I
~
~, '. "
Un gas de átomos átomos se encuentra encuentra a la temperatura temperatura de T = 300, 300. Algunos Algunos de los átomos átomos se encuentran encuentran en estado excitado excitado y emiten emiten radiación radiación de frecuencia frecuencia v. v. La masa masa del del átomo átomo es In In = = l.38 1.38 X 1010-2323 Kg Y la estado constante constante de Boltzmann Boltzmann vales vales k = = 1.4 lA X 10-2323 l/kg. l/kg. Calcular Calcular la anchura anchura relativa relativa en frecuencias frecuencias de la radiación radiación emitida. emitida. SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:
Mhz. I! I!/::,.v/v t,v / v == 3 Mhz.
7.8.
Estimar Neodimio Nd33+:YAG. + :YAG. El tiempo Estimar el umbral umbral para para que que se produzca produzca emisión emisión láser láser en un láser láser de Neodimio tiempo 8 8 del fotón material es n = l.5 fotón en la cavidad cavidad es fo ta = ~~ = l.6 1.6 X x 1010- s. El índice Índice de refracción refracción del material 1.5 Y la longitud isión se puede estimar longitud de onda onda de la emisión emisión es A A = = 5.5 X 1010-44. . La La anchura anchura espectral espectral de la em emisión puede estimar 10 10 /::"V = 18 X 10 Hz. en t,v SOLUCIÓN: SOLUC IÓN:
http://carlos2524.jimdo.com/
y la
,
e la
BIBLIOGRAFIA
po y la
mar
I
[BORN] [CASA] [CABR] [GOOD] [HECH] [LOPE] [MARE] [MEJI] [REIT] [RENA] [STON] [YUNG]
M. Born and E. Wolf, Principles of optics. Electromagnetic theory of propagation, interference and diffraction of light, (Pergamon, Oxford, 1991). J. Casas, Óptica, (Librería General, Zaragoza, 1994). J. M. Cabrera, F. J. López y F. Agulló, Óptica electromagnética. Vol. 1: Fundamentos, (Addison Wesley, Madrid, 1998). J. W. Goodman, Introduction to Fourier optics, (McGraw-Hill, New York, 1988). E. Hecht, Óptica, (Addison Wesley, Madrid, 2000). M. López, J. L. Díaz y J. M. Jiménez, Problemas de física. Vol. V Óptica, (Librería Internacional de Romo, Madrid, 1980). A. Maréchal et M. Francon, Diffraction. Structure des images, (Masson et Cie, París, 1970). P. M. Mejías y R. Martínez, 100 Problemas de óptica, (Alianza Editorial, Madrid, 1996). J. R. Reitz, F. J. Mi1dford and R. W. Christy, Fundamentos de la teoría electromagnética, (Addison Wesley, Argentina, 1986). J. Renault, Óptica física y ondulatoria. Ejercicios resueltos., (Paraninfo, Madrid, 1986). J. M. Stone, Radiation and optics: an introduction lo the classical theory (McGraw-Hill, New York, 1963). Lim Yung-kuo, Ed., Problems and solutions on optics, (World Scientific, Singapore, 1991).
"..
.
l http://carlos2524.jimdo.com/
http://carlos2524.jimdo.com/
http://carlos2524.jimdo.com/
;;
...
..
Física Optica Ffsica Problemas ProbLemas y ejerciCios ejercicios resueltos resueLtos Este libro de la colección colección PRENTICE PRENTICE PRÁCTICA PRÁCTICA es un complemento para manejar complemento ideal ideal para manejar con soltura soltura los conceptos conceptos de óptica física. física. Asimismo, Asimismo, conecta conecta los aspectos aspectos básicos básicos de la la óptica disciplina prodUctos tecnológicos disciplina con los productos tecnológicos avanzados, avanzados, una instrumentación óptica de muy variados procesos instrumentación óptica variados fines fines y procesos naturales. naturales. Cada uno de los capítulos consta de : capítulos consta Introducción teórica teórica breve completa, al principio cada • Introducción breve y completa, principio de cada capítulo. capítulo. • Problemas Problemas resueltos resueltos con abundantes abundantes gráficos gráficos que ilustran ilustran las situaciones situaciones consideradas. consideradas. propuestos en los que se indican • Problemas Problemas propuestos indican las soluciones soluciones numéricas e ilustraciones ilustraciones gráficas gráficas de las situaciones situaciones numéricas consideradas. consideradas. El problemas se efectúa El enunciado enunciado de los problemas efectúa de modo que su desarrollo procedimientos lógicos permitan al desarroLLo siga siga procedimientos lógicos y que permitan lector entre los diferentes lector "adivinar" "adivinar" las conexiones conexiones entre diferentes apartados. apartados.
11 y1IIIIIIílI~ ¡liIi iI!¡11 PRENTICE PRACTICA es una colección PRENTICE PRACTICA colección de libros, libros, cuyo texto texto es eminentemente práctico. práctico. La eminentemente La finalidad finalidad de esta esta colección colección es permitir al alumno permitir alumno comprender comprender y afianzar afianzar la asimilación asimilación de la teoría teoría a través través de diversos diversos ejercicios ejercicios y ejemplos. ejemplos. PRENTICE carácter muy PRENTICE PRACTICA PRACTICA es una colección colección amena, amena, de carácter didáctico que, de una forma sencilla, didáctico y que, senciLLa, consigue consigue que el alumno alumno obtenga un perfecto perfecto manejo práctico de la asignatura. obtenga manejo práctico asignatura.
I
PRENTICE para conseguir PRENTICE PRACTICA PRACTICA está está dirigida dirigida al alumno alumno para conseguir su autoaprendizaje autoaprendizaje en la materia. materia. La La colección colección es una de las más actualizadas del mercado. actualizadas mercado.
ISBN 84-205-3181-2
Pearson Pearson Educación Educación
------
1.
-------
www.pearsoneducacion .com www.pearsoneducacion.com http://carlos2524.jimdo.com/
I
J.Jll16
~