Operasi Biner Dan Grup

peras ner an Grup Dipresentasikan oleh: D. TRISNAYANI S. LUMBANRAA DAMA !RIS"A BR BARUS •

•

OPERASI BINER Defnisi A-1:

Misalkan S adalah suatu hi#punan tak ha#pa$ operasi %iner & pada hi#punan S adalah suatu relasi 'an( #e#asan(kan setiap pasan(an %erurut )a$%* ∈ S+S ke ,∈S. Misalkan ρ  suatu operasi %iner pada S$ )a$%*∈S+S den(an ρ)a$%*-, #aka ditulis a&%-, )Ba,a a operasi %-,/*.  Tanda operasi kadan(0kadan( ditulis den(an tanda & )%intan(*1 2)titik

3ontoh 4: Operasi pen5u#lahan %iasa)6* dan perkalian %iasa )+* pada hi#punan %ilan(an Real )R* #erupakan operasi %iner. 3ontoh 7: M7 )R* - 8i#punan #atriks ordo 7+7 den(an entri0entri %ilan(an Real$ den(an operasi pen5u#lahan dan perkalian #atriks #erupakn operasi %iner 3ontoh 9: R&: 8i#punan %ilan(an Real ke,uali  Den(an operasi pen5u#lahan %iasa %ukan #erupakan operasi %iner karena 5ika kita

Defnisi A-2:

Suatu operasi %iner pada hi#punan S dikatakan ko#utati; 5ika dan han'a 5ika %erlaku : a&%-%&a$ a$% ∈ S 3ontoh 4: M7 )R* den(an operasi pen5u#lahan #atriks #erupakan operasi %iner$ operasi terse%ut  5u(a #e#enuhi si;at ko#utati;. 3ontoh 7: <6 : 8i#punan %ilan(an %ulat positip Operasi & dide;enisikan se%a(ai %erikut: a & % - a$ a$% ∈ <6 Operasi terse%ut #erupakan operasi %iner tetapi tidak %erlaku si;at ko#utati;$ Misaln'a: pilih a-= dan %-> #aka =&> - = dsedan(kan > & = - >. adi a&%  %&a

Suatu operasi %iner pada hi#punan S dkatakan assosiati; 5ika dan han'a 5ika %erlaku: a & )%&,* - )a&%* & ,$ a$%$, ∈ S 3ontoh 4: M7 ) R * den(an operasi pen5u#lahan #atriks #e#enuhi si;at Assosiati;. A#%il se#%aran( A$B$3 M7 ) R * den(an A -

e n s

-

:

G suatu hi#punan tak ha#pa$ operasi & #erupakan suatu operasi %iner ?G$&@ dikatakan (rup 5ika dan han'a 5ika #e#enuhi si;at %erikut:

Denisi di atas #en((unakan operasi & #erupakan operasi %iner. ika operasi & %ukan operasi %iner artin'a #asih se%a(ai suatu operasi sa5a #aka denisi di atas dapat disa5ikan se%a(ai %erikut: G suatu hi#punan tak ha#pa$ & #erupakan suatu operasi #aka G$& dikatakan (rup 5ika dan han'a 5ika #e#enuhi si;at0si;at %erikut:

"ee#pat si;at terse%ut dina#akan aksio#a0aksio#a (rup. Si;at perta#a dise%ut si;at tertutup operasi & pada ele#en0ele#en G$ Si;at kedua dise%ut si;at assosiati; operasi & pada ele#en0ele#en G$ Si;at keti(a dise%ut adan'a ele#en netralidentitas di G$ dan

Suatu (rup ?G$&@ dise%ut a%elian atau ko#utati; 5ika dan han'a  5ika %erlaku a & % - % & a $ a$% ∈ G Teorema B-1:

 ika ?G$&@ suatu (rup$ #aka a$%$, ∈ G %erlaku:  ika a & % - a & , #aka % - ,  ika % & a - , & a #aka % - ,  Teore#a di atas dina#akan 5u(a huku# pen(kanselan atau pe#%atalan. Bukti: "arena ?G$&@ (rup dan a ∈ G #aka a #e#pun'ai inCers$ se%ut inCersn'a a04. Den(an #en(operasikan a 04 dari kiri pada a&% - a&, diperoleh a04 & a & % - a04a & , )a04 & a* & % - )a04a* & , )Si;at Assosiati;* e&%-e&, %-, Teorema B-2:

le#en Identitas pada se#%aran( (rup ?G$&@ adalah tun((al. Bukti: Andaikan terdapat dua ele#en identitas pada G 'aitu e dan ;  e - ele#en identitas %erarti e & ; - ; )4* ; - ele#en identitas %erarti e & ; - e )7* Dari )4* dan )7* diperoleh e - e & ; - ; atau e - ; 

le#en inCers pada se#%aran( (rup ?G$&@ adalah tun((al. Teorema B-4:

 ika ?G$&@ suatu (rup$ #aka a ∈ G %erlaku )a04*04 - a Bukti: A#%il se#%aran( a G karena G (rup #aka a 04 G$ selan5utn'a karena a04 ∈ G #aka a04 #e#iliki inCers$ se%ut )a0 4 04 * . Dari denisi inCers kita peroleh  a04 & )a04*04 - e dan a04 & a - e. Dari kedua kesa#aan terse%ut di atas kita peroleh kesa#aan %aru 'aitu  a04 & )a04*04 - a04 & a den(an #en(operasikan a dari kiri pada kesa#aan di atas diperoleh: a & a04 & )a04*04 - a & a04 & a )a & a04* & )a04*04 - )a & a04 * & a )si;at assosiati;* )a04*04 - a )Ter%ukti* Teorema B-5:

 ika ?G$&@ suatu (rup #aka

a$% G %erlaku )a&%*04 - %04a04