NILAI EKSTRIM BERSYARAT BERSYARAT
Materi ini disusun untuk memenuhi tugas tambahan Kalkulus II
IRDIENA IZZA ELL MILLA 2D Absen 16 08.5680
Sekolah Tinggi Ilmu Statistik Jl Otto IskandarDinata No. 64C 2010
Nilai Ekstrim Bersyarat
Nilai Ekstrim Fungsi dengan Peubah Bebas Definisi:maksimum minimum relatif • Fungsi f(x,y) memiliki minimum relative pada poin (a,b) jika f(x,y)≥f(a,b) ntuk semua titik (x,y)di daerah sekitar (a,b) • Fungsi f(x, y) memiliki maximum relative pada titik (a,b) jika f(x,y)≤ f(a,b) untuk semua (x,y) di daerah sekitar (a,b)
Definisi titik stasioner • Titik (a,b) adalah titik stasioner dari f(x,y) jika memenuhi salah satu dari: • f x (a,b)=0 dan f y(a,b)=0 • f x (a,b) dan/atau f y (a,b) tidak ada
Perlu diperhatikan bahwa kedua orde pertama turunan parsial harus bernilai nol pada (a,b). Misalnya hanya satu dari orde pertama turunan parsial bernilai nol pada titik tersebut, maka titik tersebut bukan titik stasioner, sehingga kita dapat melihat sebuah fakta di sini, yaitu
Jika titik (a,b) adalah titik ekstrim relatif dari fugsi f(x,y) maka titik(a,b) juga merupakan titik stasioner dari f(x,y) dan kita akan mendapatkan f x (a,b)=0 dan f y(a,b)=0
Perhatikan pula bahwa hanya dengan fakta ini belum dapat dikatakan semua titik stasioner adalah nilai ekstrim relatif. Hanya dapat dikatakan bahwa nilsi ekstrim relatif akan menjadi titik kritis dari sebuah fungsi.
Titik kritis yang sedemikian itu disebut titik pelana Misalkan f adalah fungsi dari dua peubah bebas dengan turunan persial tingkst dua yang kontinyu dalam lingkaran dengan pusat (x0y0) dimana
() | | ( )
Jadi, setelah mendapatkan titik kritis pada suatu fungsi, hal yang harus kita lakukan selanjutnya adalah menguji apakah titik tersebut nilai ekstrim relatif atau tidak. Untuk mengetahuinya kita dapat menggunakan
Misalkan (a,b) adalah titik kritis f(x,y) dan turunan parsial kedua kontinyu di beberapa titik yang mengandung (a,b) kemudian D = D( a b) = f xx ( a b) f yy ( a b) - [ f a b]2
Sehingga • Jika D>0 dan fxx(a,b)>0 maka (a,b) adalah titik minimum relative • Jika D>0 dan fxx<0 maka (a,b) adalah relative maksimum • Jika D<0 maka (a,b) adalah titik pelana • Jika D= 0 belum dapat dipastikan maksimum relative, minimum relative, atau pelana, tekhnik lain dibutuhkan untuk mengklasifikasi
Perhatikan bahwa jika D> 0 maka Fxx dan fyy keduanya memiliki tanda yang sama sehingga dapat saling menggantikan. Dengan teorema yang sama, jika f suatu fungsi dengan tiga peubah bebas, memiliki turunan parsial tingkat dua yang kontinyu dalam lingkaran berpusat (x0,y0,z0) dimana
()
Sehingga Misalkan (a,b,c) adalah titik kritis f(x,y,z) dan turunan parsial kedua kontinyu di beberapa titik yang mengandung (a,b) kemudian, terdapat D, • Jika D>0 dan fxx(a,b,c)>0 maka (a,b,c) adalah titik minimum relative • Jika D>0 dan fxx<0 maka (a,b,c) adalah relative maksimum • Jika D<0 maka (a,b,c) adalah titik pelana • Jika D= 0 belum dapat dipastikan maksimum relative, minimum relative, atau pelana, tekhnik lain dibutuhkan untuk mengklasifikasi
Contoh soal
Tentukan nilai ekstrim, jika ada, untuk fungsi F yang didefinisikan oleh F(x,y)= 3x
3
2
+y -9x+4y Penyelesaian
Karena Fx(x,y)= 9x2 -9 dan Fy(x,y)= 2y+4 maka titik- titik kritis diperoleh dengan memecahkan masalah simultan Fx(x,y)=Fy(x,y)=0, adalah (1,-2) dan (-1,-2) Sekarang Fxx(x,y)= 18x, Fyy(x,y)=2, dan Fxy=0, Jadi pada titik kritis (1.-2), D= Fxx(1,-2) . Fyy(1,-2)- F2xy(1,-2)= 18(2)-0= 36 yang berarti D>0. Tambahan pula Fxx(1,-2)=18, >0 sehingga F(1,-2) adalah nilai minimum lokaldari F Dalam pengujian fungsi yang diberikan di tiitik kritis lainnya,(-1,-2) kita dapatkan Fxx(-1,-2)= -18, Fyy(-1,-2) =2, dan Fxy(-1-2)=0, yang menghasilkan D= 36 < 0, sehingga (-1,2) adalah titik pelana, bukan nilai ekstrim.
Titik Maksimum Global dan Minimum Global Definisi • Sebuah daerah di dikatakan tertutup bila garis batas daerah tersebut termasuk dalam daerah tersebut. Suatu daerah dikatakan terbuka jika garis batasnya tidak dimasukkan dalam daerah tersebut. • Sebuah daerah dikatakan terbatas bila daerah tersebut terdefinisikan dalam suatu lempeng, atau dengan kata lain memiliki batas.
Teorema nilai ekstrim • Jika f(x,y) kontinyu yang tertutup dan terbatas di garis D, dalam suatu daerah , dan terdapat beberapa titik di D, misalnya (x1, y1) dan (x2, y2) sehingga f(x1,y1) adalah maksimum global dan f(x2 ,y2) adalah minimum global pada fungsi di D.
Perlu diperhatikan pula bahwa teorema ini tidak menjelaskan dimana titik maksimum maupun minimum global berada, hanya menjelaskan bahwa titik tersebut ada. Titik ini bias terdapat di dalam maupun batas dari daerah tersebut. Untuk mencari nilai maksimum dan minimum global hampir sama dengan mencari nilai ekstrim global yang telah dipelajari dalam Pengantar Matematika yang lalu, yaitu
Mencari nilai ekstrim global • Mencari semua titik kritis dari fungsi dalam daerah tersebut dan mencari nilai fungsi dalam tiap titik. • Mencari semua nilai fungsi dalam batas, dengan melakukan pendekatan matematis yang telah dipelajari dalam Pengantar Matematika yang lalu • Nilai yang terkecil dan terbesar dari kedua langkah di atas adalah minimum global dan maksimum global dari fungsi tersebut
Perbedaan dengan apa yang dibahas kali ini adalah bahwa pada batas yang dipakai pada Pengantar Matematika yang lalu hanya berupa 2 poin, menyebabkan tidak terlalu banyak hal yang perlu dilakukan. Pada bagian ini, perlu dilakukan lebih banyak pendekatan, terutama pada poin ke-2
Nilai ekstrim berkendala dan faktor pengali Lagrange
Nilai ekstrim yang telah dijelaskan sebelum ini, pada prakteknya, hampirhampir tidak ada di dunia nyata. Masalah di berbagai aspek kehidupan, mayoritas tidak untuk mencari nilai optimum atau minimum dari sesuatu fungsi, tetapi untuk mencapai hasil yang sebaik- baiknya dari seluruh kendala yang ada. Misalnya saja, bagaimana memproduksi suatu barang dengan kualitas atau kuantitas tertentu dengan
keadaan modal yang terbatas, atau bagaimana membuat sesuatu dengan jumlah bahan tertentu. Sebelum ini, cara menyelesaikan sebuah masalah nilai ekstrim berkendala , 2
2
misalnya dalam mencari jarak minimum dari z = x y+4 ke titik asal, digunakan 2
2
2
2
2
pemformulasian masalah sebagai peminimuman d = x +y +z terhadap kendala z = 2
2
x y+4. Kemudian nilai z disubstitusikan dari kendala dalam rumus untuk d2 dan kemudian ppenyelesaian masalah nilai ekstrim bebas yang dihasilkan. Namun terdapat cara yang lebih praktis, cara ini disebut metode pengali lagrange. Misalkan untuk mencari nilai maksimum atau minimum dari fungsi f(x, y, z), dengan kendala g (x, y, z), dengan asumsi kedua fungsi ini memiliki turunan parsial pertama yang kontinyu. Sekarang, misalkan f memiliki nilai ekstrim (x0,y0,z0) dan terbentang pada permukaan S didefinisikan sebagai g(x,y,z)=0. C sebagai kurva yang terbentang pada permukaan dan melalui (x0, y0, z0). Asumsikan C diketahui dari terminal point dengan fungsi bernilai vector r(t) = (x(t)z(t)y(t)) dan r(t0)= (x0, y0, z 0). Mendefinisikan fungsi satu peubah t h(t) = f(x(t), z(t), y(t)) ingat f(x,y,z)memiliki nilai ekstrem pada (x0,y0,z0), maka h(t) pasti memiliki ’
nilai ekstrem pada t0, sehingga h (t0)=0 Dengan aturan rantai diperoleh ’
0= h (t0)=f x(x0,y0,z0)x’ (t0)+ f y(x0,y0,z0)y’ (t0)+ f z(x0,y0,z0)z’ (t0) = (f x(x0,y0,z0), f y(x0,y0,z0), f z(x0,y0,z0))(x’ (t0), y’ (t0), z’ (t0))
= f(x0,y0,z0).r’(t 0) Sehingga f(x0,y0,z0) adalah nilai ekstrem dengan gradient dari (x 0,y0,z0)
merupakan gradient orthogonal dari vektor r’(t0). Karena C merupakan kurva yang menyinggung permukaan S, sehingga
f(x0,y0,z0) merupakan orthogonal untuk tiap
kurva yang menyinggung permukaan S yang disebut orthogonal S, sehingga g juga adalah orthogonal untuk pemukaan g(x,y,z)=0 sehingga f(x0,y0,z0) dan pasti berpasangan. Jadi
g(x0,y0,z0)
Teorema •Misalkan f(x,y,z) dan g(x,y,z) adalah fungsi dengan turunan parsial pertama kontinyu dang(x,y,z)≠ 0 di atas permukaan g(x,y,z)= 0, misalkan juga •Nilai minimum f(x,y,z)terhadap kendala g(x,y,z)=0 terjadi pada (x0 y 0 z0) atau •Nilai maksimum dari f(x,y,z)terhadap kendala g(x,y,z)=0 terjadi pada (x0 y 0 z0) •Maka f(x,y,z)= λg(x,y,z), untuk beberapa konstanta λ(yang kemudian disebut faktor pengali lagrange)
Perhatikan bahwa teorema ini menyatakan f(x,y,z) punya titiik ekstrim di(x0,y0,z0) pada g(x,y,z)=0, untuk (x,y,z) =(x0,y0,z0) f x (x, y, z)= λgx (x,y,z) f y (x, y, z)= λgy (x,y,z) f z (x, y, z)= λgz (x,y,z) Dan g(x,y,z)=0, Perlu diperhatikan bahwa metode ini hanya menghasilkan calon untuk nilai ekstrim. Bersamaan dengan mencari solusi dari empat persamaan di atas, dapat dilihat di grafik. Metode pengali lagrange juga dapat digunakan pada masalah fungsi dua variabel. Contoh soal(fungsi satu peubah) Gunakan hubungan antara f(x,y)=λg(x,y) dan kendala y= 3 -2x untuk mencari titik di garis y= 3- 2x yang terdekat dari titik asal
Penyelesaian
Ingat Fakta • Gradient vektorf(x0y0) orthogonal(perpendicular) pada f(x,y) =k pada titik (x0y0). Sehubungan dengan itu, f(x0y0) orthogonal pada bidang f(x,y)=k pada tit ik (x 0, y0, )
•
Untuk f(x,y)=x2+y 2, didapat f(x,y)= {2x, 2y} dan untuk g(x, y)= 2x + y – 3, g(x,y)={2,1}. Persamaan vector f(x,y)= λg(x,y), menjadi {2x, 2y}=λ{2,1}, yang berarti 2x= 2λ, serta 2y=λ
• x=λ=2y, dengan mensubstitusikan x=2y ke dalam kendala y= 3-
2x, didapat y=3-2(2y) atau 5y=3, didapat y= , sehingga x=2y=
Teorema yang lalu juga tidak menjelaskan tentang fungsi dengan suatu pertidaksamaan sebagai kendalanya. Untuk mengerti bagaimana penyelesaian kasus ini, ingat kembali cara mencari nilai maksimum global untuk daerah yang tertutup dan terbatas. Ditemukan titik ekstrim dari interior daerah dan membandingkan nilai dari fungsi di titik ekstrim dengan nilai fungsi maksimum dan minimum di batas daerah. Untuk mencari nilai ekstrim dari f(x,y) dengan kendala g(x,y)≤c, pertama dicari nilai ekstrim f(x,y) yang memenuhi kendala, kemudian mencari nilai ekstrim fungsi pada batas g(x,y)=c(garis kendala) dan membandingkannya pada nilai fungsi Contoh soal: kendala berupa ketidaksamaan Terdapat suatu bisnis yang menghasilkan tiga produk, misalkan mereka memproduksi barang x, y, z ribu unit produk, adapun keuntungan perusahaan itu (dalam ribuan dollar) dapat diwakilkan ke dalam persamaan P (x, y, z)= 4x+8y+6z. kendala manufaktur yang dihadapi dapat diwakilkan pada
persamaan
x2+4y+2z2≤800.Cari
keuntungan
maksimum
untuk
perusahaan. Kerjakan ulang kasus ini dengan kendala x2+4y2+2z2≤801 dan gunakan hasilnya untuk menginterpretasikan arti λ
Penyelesaian Dimulai dari
P(x,y,z)
= (4,8,6), dan perlu diperhatikan bahwa di sini
tidak terdapat nilai kritis, yang menyatakan bahwa nilai ekstrim pastinya terbentang pada batas daerah kendala. Sehingga nilai ekstrim harus memenuhi
persamaan
kendala
Persamaan pengali lagrangenya
yaitu
g(x,
P(x,y,z)=λg(x,
y,z)=
x2+4y+2z2-800=0.
y, z) atau
(4, 8,6)= λ(2x, 8y, 4z)=(2λx, 8λy,4λz) Yang terjadi jika 4=2λx
8=8λy
6=4λz
Dari persamaan pertama, kita mendapatkan
. Persamaan
kedua mendapatkan y= dan persamaan ketiga didapat z= dari persamaan kendala x2+4y+2z2=800, sehingga didapat
Sehingga Dipakai
dan
, sehingga
x=16, y= 8, z=12 dan keuntungannya adalah P (16, 8,9)= 4(16)+8(8)+6(12)=200 Diperiksa bahwa ini adalah keuntungan maksimum. Perhatikan bahwa konstanta di bagian kanan dari fungsi kendala diubah menjadi 801, penyelesaian untuk λpun berubah, menjadi
Sehingga λ≈0,1249, x≈ 16,0099, y≈8,0049 dan z≈12,0075. Dalam kasus ini, keuntungan maksimumnya adalah
Penambahan pada keuntungan perusahaan menjadi
Sehingga
dapat
disimpulkan,
faktor
pengali
lagrange
sangat
mudah
dipengaruhi oleh perubahan nilai pada kendala
Kasus 2 kendala
Metode lagrange juga dapat digunakan untuk pengaplikasian masalah dengan lebih dari satu kendala. Pada kasus ini akan dipakai 2, bukan 1, parameter yang tak terikat oleh x dan y, misalnya saja terdapat 2 kendala, 2 kendala tersebut sama- sama dapat diturunkan. Kedua kendala harus memenuhi suatu titik (x,y,z), titik tersebut harus melalui permukaan kedua kendala. Agar permasalahan dapat diselesaikan, harus diasumsikan kedua kendala saling berpotongan, tidak nol, dan tidak parallel. Contoh soal: 2 kendala Bidang x+y+z= 12 memotong parabola z=x2+y 2 dalam bidang elips. Carilah titik dalam elips yang paling dekat dengan titik asal Jawab: Meminimalkan jarak berarti sama dengan meminimalkan f()= x2+y 2+z2, kemudian, kendala dapat dituliskan sebagai g(x,y,z)=x+y+z – 12= 0 dan h(x,y,z)=x2+y 2 – z=0,
pada semua nilai ekstrim, didapatkan
f(x,y,z)=λg(x,y,z)+µh(x,y,z)
(2x, 2y, 2z)=λ(1,1,1)µ(2x, 2y,-1)
Bersama dengan persamaan kendala,didapat system persamaan 2x=λ+2µx…(a) 2y=λ+2µy... (b) 2z=λ- µ …(c) x+y+z – 12 = 0…(d) x2+y 2 – z =0… (e) dari (a) didapat λ= 2x(1-µ), sedangkan dari (b) didapat λ=2y(1-µ), sehingga 2x(1-µ)= 2y(1-µ) Dari persamaan di atas didapat µ=1, dan x=y. Namun,
µ=1 dan λ=0,
didapat dari (c) bahwa z= - , dan berlawanan dengan (e). Satu- satunya kemungkinan mendapatkan x=y adalah dari (e) yaitu z=2x 2 dasi substitusi terhadap (d) didapat 0= x+ y+ z -12= x+ x+ 2x2 -12 = 2x2 +2x – 12 = 2(x2 +x – 6) = 2(x+ 3)(x – 2) Sehingga x= -3 atau x= 2, karena y=x dan z= 2x2, didapat f(2,2,8) sebagai titik terdekat dari asal, sedagkan f(-3, -3, 18) adalah titik terjauh
Latihan Soal: Maksimum, minimum, titik pelana
1. Tentukan semua titik kritis dan tunjukkan apakah itu maksimum lokal, minimum 3
3
lokal, atau titik pelana bagi f(x,y)= x +y - 6xy 2. Tentukan nilai maksimum lokal dan minimum global dari f pada S dan tunjukkan dimana mereka terjadi bagi f(x,y)= 3x + 4 y dan S= {(x,y): 0≤x≤1, -1≤y≤1}
Latihan Soal: Faktor pengali lagrange 2
2
1. Tentukan nilai maksimum f(x,y)= x +y terhadap g(x,y)= xy-3=0 2
2
2. Tentukan nilai minimum f(x,y,z)= 4x – 2y+3z terhadap kendala 2x +y -3z=0 2
3. Gunakan faktor pengali lagrange untuk mencari titik ekstrim lokal f(x,y,z)= 4x 2
2
+y +z dengan kendala 2x-y+z=4 dan x+ 2y – z=1 4. Berapa ukuran suatu kotak persegi panjang yang atasnya terbuka, yang mempunyai volume maksimum apabila luas permukaannya 48? 5. Gunakan faktor pengali lagrange untuk mencari jarak terpendek antara titik asal 2
2
dan permukaan x y-z +9=0 6. Cari jarak terpendek antara titik asal dan bidang x+3y-2z=4 7. Cari jarak minimum antara titik asal ke garis antara perpotongan antara dua bidang yaitu x+ y+ z=8 dan 2x – y + 3z= 28 2 2 2 8. Cari titik yang paling mendekati (2,3,4) dalam d aerah bola x +y +z =9
Sumber: Dawkins, Paul.2010. Paul Online Notes. Online: www.math.lamar.edu Purcel Nurvitasari, Eka.2010. Presentasi nilai ekstrim bersyarat Swokowsky
