Modul 8 Dasar Dasar Kestabilan Sistem

Modul 8. Kestabilan Sistem

MODUL 8

8 8.1. 8.1.

DASAR-DASAR DASAR-DASAR KESTABILAN KESTABILAN SISTEM

DEFI DEFINI NISI SI KEST KESTA ABILA BILAN N SIST SISTEM EM Satu diantara diantara pertany pertanyaan aan yang cukup sulit sulit untuk untuk dijawab dijawab sehubungan sehubungan dengan dengan

sistem sistem fisik adalah adalah mengenai mengenai kestabila kestabilan n sistem. sistem. Biasany Biasanya, a, kestabil kestabilan an sistem sistem diartika diartikan n dengan kemampuan untuk mengendalikan mengendalikan sistem tersebut. Sistem yang stabil diharapkan diharapkan mamp mampu u

mere meresp spon on

input

yang

diapli plikasi kasika kan n

den dengan

kelu eluaran ran

yang

dap dapat

dipertang dipertanggung gungjaw jawabka abkan. n. Secara Secara teknis, teknis, sistem sistem disebut disebut stabil stabil apabila apabila setiap setiap diberika diberikan n masu masuka kan n yang yang tert terten entu tu pada pada sist sistem em ters terseb ebut ut akan akan meng mengha hasi silk lkan an kelu keluar aran an yang yang mengarah kepada nilai tertentu pula (bounded ( bounded input, bounded output, BIBO. BIBO . Sebuah ilustrasi di bawah ini menggambarkan definisi kestabilan. !ika seseorang sedang menaiki gedung bertingkat menggunakan menggunakan lift, maka ia akan menekan tombol yang menunj menunjukk ukkan an lanta lantaii yang yang akan akan dikun dikunjun jungi. gi. !ika !ika lift lift berhe berhenti nti tepat tepat pada pada lantai lantai yang yang dikehendaki, dikehendaki, maka sistem dikatakan stabil. "emikian juga jika lift berhenti pada satu lantai di atas atau di bawah dari lantai yang dikehendaki, sistem juga tetap dikatakan stabil. Karen Karena, a, lift lift masih masih berhe berhenti nti di harga harga (lanta (lantai i terten tertentu. tu. #amun #amun,, jika jika lift lift tidak tidak berhe berhenti nti sehingga lantai terakhir, sistem lift tersebut dikatakan tidak stabil. $erdapat beberapa metode yang dapat digunakan untuk menentukan kestabilan sistem sistem,, yaitu% yaitu% respon respon sistem sistem,, letak letak pole pole dan Kriter Kriteria ia &outh &outh'u 'urw rwit) it).. Modul Modul ini akan akan membahas metode'metoda ini.

8.2. 8.2.

MET METODE ODE RESP RESPON ON WAKT WAKTU U SIS SISTE TEM M *ara termudah untuk menentukan apakah sebuah sistem stabil atau tidak adalah

dengan melihat respon waktu dari sistem tersebut. Sesuai dengan definisi diatas, sistem akan stabil jika respon waktu dari sistem tersebut mengarah kepada harga tertentu. !ika tidak, sistem tersebut dikatakan tidak stabil. +ambar 8. memperlihatkan beberapa sistem dari sebuah sistem kontrol. "ari gambar tersebut, terdapat sistem yang stabil ( stable, stable , sistem yang tidak stabil (unstable ( unstable dan sistem yang stabil marginal (marginally ( marginally stable. stable . Sekali lagi ditekankan, kestabilan sistem berhubungan dengan keluaran sistem yang mengarah ke harga tertentu (tidak harus sesuai dengan harga masukannya.

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB

Dr. Ir. Andi Adrian!a"# M.En$

DASAR SISTEM KONTROL

-


+ambar 8.. Kestabilan Sistem dari &espon Sistem

#amun, cara ini tidak sederhana untuk diterapkan. Karena, harus dapatkan terlebih dahulu respon sistem, sejak respon transien hingga respon keadaan tunak (steady state. Sebab, kestabilan baru diketahui apabila diamati respon keadaan tunaknya. al ini memerlukan waktu yang cukup panjang dan energi yang banyak. Bayangkan, jika sistem yang mau dianalisa kestabilannya adalah sistem pemanas dengan harga referensi / o*. 0leh karena itu, diperlukan metode lain untuk menganalisa kestabilan sistem tanpa harus membuang waktu dan energi.

8.%.

METODE LETAK POLE !ika terdapat sebuah sistem kontrol yang memiliki blok diagram seperti yang

ditampilkan pada +ambar 8.1 di bawah ini.




-


R(s)

G(s)

+ _

C(s)

H(s)

+ambar 8.1 Blok "iagram Sistem Kontrol

maka 2ungsi 3lih sistem lup terbukanya adalah% T ( s )

=

C ( s ) R ( s )

=

G ( s )

1 + G ( s ) H ( s )

(8. dan, keluaran sistemnya adalah% C ( s )

=

R ( s )G ( s )

1 + G ( s ) H ( s )

(8.1 yang dapat berbentuk

C ( s ) =

k 1 s + p1

+

k 2 s + p 2

+

+

k n s + p n

+

C r ( s )

(8./

dimana C (s adalah penjumlahan dari beberapa ekspansi pecahan parsial ( PFE , p1, p2 , ..., pn adalah harga'harga pole dari sistem dan C r( s adalah respon paksaan sistem. Maka, 4n5erse $ransformasi 6aplace dari persamaan (8./ yang merupakan respon waktu dari sistem tersebut, adalah%

c(t ) = k 1e

−

p1t

+

k 2 e

−

p 2t

+

 + k n e

−

p nt

+

c r (t )

(8.7

!ika seluruh pole dari persamaan (8.7 berharga negatif, maka sistem akan mengarah (eksponensial negatif, teredam kepada harga tertentu, yaitu c r( t). Sebaliknya, jika terdapat sebuah saja pole yang berharga positif, maka sistem tidak akan mengarah kepada harga tertentu (eksponensial positif. "ari gejala tersebut, dapat disimpulkan bahwa sistem akan stabil jika seluruh akar ( pole dari persamaan karakteristik sistem adalah positif atau terletak di sebelah kiri bidang s. Sebaliknya, sistem akan tidak stabil jika terdapat minimal satu buah pole yang positif atau terdapat di sebelah kanan bidang s. Kesimpulan ini dapat digambarkan sebagai berikut%




-1


4m S4S$;M S$3B46

S4S$;M $4"3K S$3B46

&e

+ambar 8./. Kestabilan Sistem berdasarkan 6etak ole pada Bidang'S

Berikut ini dipaparkan beberapa contoh perhitungan untuk menganalisa kestabilan sistem.

&'n('" 8.1. Sebuah sistem memiliki fungsi alih lup tertutup seperti di bawah ini%

T ( s ) =

2 s 2

+

3 s + 2

maka persamaan karakteristik sistemnya adalah% K 9 s1 : /s : 1 9 , atau (s :  (s : 1 9  sehingga akar'akar persamaan karakteristiknya adalah s 9 ' dan s 9 '1. Karena semua akar'akanya adalah terletak di sebelah kiri bidang s, maka sistem stabil.

&'n('" 8.2. Sementara sistem kontrol yang lain, memiliki fungsi alih lup tertutup seperti di bawah ini% T ( s )

=

10( s + 24) ( s +1)( s − 3)( s + 4)

maka persamaan karakteristinknya adalah% (s :  (s ' / (s : 7 9 




-/


sehingga akar'akarnya adalah s 9 ', s 9 / dan s 9 '7. Karena ada sebuah akar yang terletak di sebelah kanan bidang s, maka sistem tidak stabil.

&'n('" 8.% Sementara sistem kontrol yang lain, memiliki fungsi alih lup tertutup seperti di bawah ini% T ( s )

=

2( s +14) s ( s

+

1)( s + 4)

maka persamaan karakteristinknya adalah% s (s :  (s : 7 9  sehingga akar'akarnya adalah s 9 , s 9 ', dan s 9 '7. Karena ada sebuah akar yang terletak pada sumbu imajiner bidang s, maka sistem stabil marjinal.

8.).

KRITERIA ROUTH-HURWIT* Kriteria &outh'urwit) adalah sebuah prosedur analitik untuk menentukan apakah

semua akar'akar persamaan karakteristik sistem terletak di sebelah kiri, sehingga dapat menentukan kestabilan sebuah sistem. Kriteria ini memberikan jumlah akar'akar persamaan karakteristik sistem yang terletak di sebelah kanan bidang s. Kriteria &outh'urwit) diaplikasikan melalui beberapa tahapa. $ahap awal adalah menghasilkan persamaan karakteristik yang berbentuk sebuah polinomial dari blok diagram sistem yang akan dianalisa, seperti di bawah ini% PK = a n s n

+

a n 1 s n

1

−

−

+

 + a1 s + a0

(8.=

Kemudian, tahap berikutnya adalah menyusun persamaan karakteristik tersebut dalam susunan matriks, yang dikenal dengan istilah 3rray &outh. ada array &outh ini, 1 (dua baris pertamanya adalah koefisien'koefisien dari polinomial persamaan karakteristik diatas, persamaan (8.=, seperti array di bawah ini.




-7


sn

an

an-2

an-4

…

sn-1

an-1

an-3

an-5

…

b1

b2

b3

:

c1

c2

c3

:

:

:

s2

:

:

s1

k 1

k 2

s0

l1

sn-2 sn-3

… …

+ambar 3rray &outh m8.7 1 Kolom'kolom yang berasal dari polinomial persamaan karakteristik, diletakkan sesuai dengan array &outh diatas. Sedangkan 5ariabel lainnya, mengikuti aturan sebagai berikut% b1 c1

= −

= −

an

1 an

1

−

an

an

an

b1

b1

2

1

an

−

1

an

−

−

1

−

−

b2

= −

an

1

an

−

−

3

an

3

1

an

b1

b1

c2

b2

= −

1

−

an

−

4



1

an

−

1

an

−

5

b3

(8.-

5



"emikian seterusnya hingga baris terakhir. "ua baris terakhir hanya memiliki satu elemen, dua baris sebelumnya memiliki dua elemen, dan seterusnya. $erakhir, menurut kriteria &outh urwit), jumlah akar'akar persamaan karakteristik yang terletak di sebelah kanan bidang s sama dengan jumlah perubahan tanda pada kolom pertama dari array &outh. "ari kesimpulan ini, akan dapat ditentukan kestabilan sistem. Beberapa contoh perhitungan analisa kestabilan sistem dengan menggunakan kriteria &outh urwit) akan dipaparkan berikut ini.

&'n('" 8.) Sebuah persamaan karakateristik sistem adalah sebagai berikut% Q ( s) = ( s + 2)( s 2

−

s + 4)

=

s 3

+

s 2

+

2s + 8

maka, array &outh'nya adalah%




-=


s3

1

2

s2

1

8

s1

-6

s0

8

dimana% b1

11 11

2

= −

6,

= −

8

c1

= −

1 1 6 6

−

−

8 0

=

8

karena pada kolom pertama terdapat 2 buah perubahan tanda (dari  ke '- dan dari 'ke 8, maka sistem tersebut memiliki 2 (dua) buah pole yang terletak di sebelah kanan bidang s. Sehingga, dapat disimpulkan bahwa sistem diatas adalah tidak stabil.

&'n('" 8.+ Sebuah persamaan karakateristik sistem adalah sebagai berikut% Q( s ) = s

3

+

2 s 2

+

3s − 1


s3

1

3

s2

2

-1

s1

3.5

s0

-1

dimana% b1

1 1 = −

2 2

3 1

=

3.5,

−

c1

1 = −

2

3.5 3.5

1

−

0

1

= −

karena pada kolom pertama terdapat  buah perubahan tanda, maka sistem tersebut memiliki  (satu buah akar persamaan karakteristik yang terletak di sebelah kanan bidang s. !adi, dapat disimpulkan sistem diatas adalah tidak stabil.




--


&'n('" 8., Sebuah Sistem Kontrol memiliki blok diagram seperti di bawah ini%

R(s)

1000

+

_

C(s)

( s + 2)( s + 3)(s + 5)

+ambar 8.=. Blok "iagram *ontoh 8.-

maka% G ( s)

=

1000 ( s + 2)( s + 3)( s + 5)

=

1000 s 3

+

10 s 2

+

31 s + 30

sehingga 2ungsi 3lih $ertutupnya adalah% T ( s ) =

G( s )

=

1 + G( s )

1000 s

3

+

10 s

2

+

31 s + 1030

dan ersamaan Karakteristiknya adalah% PK = s 3

+

10 s 2

+

31s + 1030


s3

1

31

s2

10 1

1030 103

s1

-72

0

s0

103

0

karena% 11

b1

=−

c1

= −

31

1 1 103

1 72

−

1 −

72,

b2

=−

72

103 0

=

103,

=−

c2

11

0

11

0

= −

1 72

−

=

0

1

0

72

0

−

=

0

ada baris kedua (s2  terdapat perubahan harga karena ada pengalian dengan >. al ini diperbolehkan untuk mempermudah proses perhitungan pencarian harga pada array




-?


&outh.

"ari harga'harga array &outh pada kolom pertama, terdapat 1 (dua kali

perubahan tanda. al ini berarti terdapat 1 (dua buah pole di sebelah kanan. !adi dapat disimpulkan, bahwa sistem kontrol diatas tidak stabil.




-8

Modul 8 Dasar Dasar Kestabilan Sistem

Recommend Documents