FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE MINAS Trabajo para la asignatura asignatura de Topografía Superficial y Subterránea TEMA: Ajustes en los circuitos topográficos, aplicando el método de mínimos cuadrados DOCENTE: Ing. Lile Walter Asalde Zeña INTEGRANTES: SALAZAR VASQUEZ, JOSUE ISAAC CHUYES BENEL, FRANCO
CICLO: III
AJUSTE DE CURVAS POR MÍNIMOS CUADRADOS En la ingeniería se da, a menudo, el caso de que un procedimiento topográfico produce un conjunto de datos ( x 1,y 2), ( x 2,y 2), ..., ( x n,y n). El objetivo en esta sección es determinar una fórmula y = ƒ( x ) que relacione las variables. Generalmente se dispone de un conjunto de variables previamente establecidas, y lo que hay que hallar son los valores más adecuados de unos coeficientes o de unos parámetros para estas fórmulas. Aunque existen muchas funciones que se pueden usar, suele ocurrir que existe un modelo matemático subyacente, basado en la situación física que se esté estudiando y determina la forma de la función salvo algunos coeficientes. Si la relación entre x i e 1 i n, es lineal, entonces la función que mejor se ajusta y i para a los datos es una línea de aproximación de la forma:
Mejor línea de aproximación
y = ax + b
Una forma para encontrar la recta “óptima” es el método de los mínimos cuadrados y consiste en hallar el valor de las constantes a y b de tal manera que reduzcan al mínimo la suma de los cuadrados de los errores entre los valores y i dados y los valores y ( x i ) = ax i + b en la línea de aproximación.
(7)
La cantidad (7) se puede considerar una función de dos “variables” a y b , a la que se le quiere hallar un mínimo. Para que ocurra un mínimo es necesario que las derivadas parciales
sean cero. Observe que las x i e y i son puntos de datos.
Al dividir entre –2 cada una de estas ecuaciones y desarrollar las sumatorias se obtienen las llamadas ecuaciones normales
(2) La solución del sistema (2), de dos ecuaciones con dos incógnitas es
(3) Por lo tanto la recta que mejor se ajusta a los datos ( x i, y i), i n relacionados en forma 1 lineal es y = ax + b con a y b dados por (3). El problema de aproximar un conjunto de datos ( x i, y i), 1 i n con un polinomio algebraico P m( x ) de grado m < n – 1 mediante el procedimiento de mínimos cuadrados, es similar al de y = ax + b (Ver ejercicio 24 de este capítulo). En muchos casos los datos provenientes de pruebas experimentales no son lineales por lo que es necesario ajustarlos a una función que no sea un polinomio de primer grado. Algunas veces conviene suponer que los datos tienen una relación exponencial. Para ello, la función de aproximación debe tener la forma: ax
(4) o bien
a
(5) para algunas constantes a y B
y = Be
y = Bx
Es posible desarrollar ecuaciones normales para éstas de manera análoga al desarrollo precedente para una recta por mínimos cuadrados si las derivadas parciales se igualan a cero. Tales ecuaciones no lineales son mucho más difíciles de resolver que las
ecuaciones lineales. Por esta razón el método que suele utilizarse cuando se “sospecha” que los datos tienen una relación exponencial, consiste en considerar el logaritmo de la ecuación de aproximación: ax
a
y = Be ln y =ln(Beax ) ln y =ln B ln y = ax + ln B (6)
y = Bx ln y =ln(Bx a) ax a + ln e ln y =ln B+ ln x ln y = aln x + ln B (7)
((6) y (7) se conocen como formas linealizadas) Observe que en (6) se presenta en una relación lineal entre x y ln y , por lo que se pueden usar las fórmulas dadas en (3) para resolver el problema lineal cambiando y i por ln y i y b por ln B. Una ventaja adicional de las formas linealizadas es que las gráficas de los datos en papel Log-Log o en papel semilogarítmico muestran a simple vista si estas formas son idóneas, en el sentido de que una recta representa los datos cuando se trazan de esa manera.
Ejemplo. Ajustar los datos x i
1
2
4
y i
3
5.1 8.8
A funciones de la forma y = ax + b, y, y = Beax ¿Qué función aproxima mejor? Solución: Para este caso se tienen tres datos, luego n=3. Se construye una tabla con los datos que se necesitan en las fórmulas (3) 3.
Para el modelo lineal:
y = ax +b................... y = 1.92143x + 1.15
Si se evalúa la recta en x 3=4, resulta y =1.92143(4) + 1.15 = 48.83572, el error al cuadrado entre la aproximación dada por la recta y el valor real es ( y 3 – ax 3 – b)2 = (8.8 – 8.83572) 2 = 1.2759 x 10 -3. Para el modelo exponencial.
ln B =0.8258, ...... B = e0.0250 2.28371 ax 0.34645 x Y = Be ............... Y = 2.28371 e
Para los datos de este ejercicio, aproxima mejor el modelo lineal, porque la suma de los errores al cuadrado en el lineal, es menor que la suma de los errores al cuadrado que en el modelo exponencial
Conclusiones Como conclusión general del presente trabajo se puede referir que, la teoría de mínimos cuadrados con sus ventajas intrínsecas, puede aplicarse a la compensación de Puntos de Control y Apoyo en trabajos de nivelación topográfica, si los recorridos se manejan como circuitos, lo cual es particularmente recomendable para trabajos de alta precisión y con la ventaja adicional de poder compensar n circuitos simultáneamente; además, la metodología aquí generalizada es aplicable independientemente del Procedimiento Topográfico que se emplee
