MÉTODO DE TENDENCIA LINEAL (mínimos cuadrados) Un segundo enfoque del método de tendencias (lineal) es aplicable para determinar matemáticamente las estimaciones futuras de una serie de cifras históricas como pueden ser las ventas, los costos, los gastos o las utilidades de una empresa. Esto se logra mediante la utilización del método de los mínimos cuadrados, el cual consiste en adaptar la línea recta que presenta mas exactamente a la curva de la serie de datos mediante la aplicación de la fórmula de la línea recta:
y = a + b x Los mínimos cuadrados reportan resultados más precisos cuando se aplican a una serie de datos históricos; sin embargo, cuando en la información aparezca una cifra anormal deberá eliminarse para que los resultados no se obtengan distorsionados. Las ecuaciones simultáneas de segundo grado que se utilizan en este método son: y
= b x
+
na
xy = b x2 +
ax
_________________ ___________________________ __________________ ____________ ____ Las literales tienen el siguiente significado: y = Importe de ventas, costos o utilidades a proyectar b = Cuota variable unitaria. x = Medida de actividad. n = No. De datos o puntos representados. a = Parte fija. = Suma de las cantidades cantidades que debemos tomar en cuenta. El cálculo será determinado por los valores de las siguientes incógnitas: "a" y de "b" que se obtienen mediante los tres pasos siguientes: 1o.- Calculando los valores de x; y; xy; x2 2o.- Haciendo la sustitución en las fórmulas de este método 3o.- Resolviendo las ecuaciones para conocer el valor de "a" y de "b"
E j e m p l o.Con la información que se proporciona en seguida calcular la tendencia de la recta de las unidades de esa empresa.
MES
UNIDADES VENDIDAS (Miles)
Enero
350
Febrero
410
Marzo
630
Abril
520
Mayo
1,010
Junio
980
Julio
1,000
Agosto
1,270
Septiembre
1,160
Solución Cálculo de los valores sumatoria en miles de unidades:
n
y
x
xy
x2
1
350
1
350
1
2
410
2
820
4
3
630
3
1,890
9
4
520
4
2,080
16
5
1,010
5
5,050
25
6
980
6
5,880
36
7
1,000
7
7,000
49
8
1,270
8
10,160
64
9
1,160
9
10,440
81
y 7,330
x 45
xy 43,670
x2 285
Las ecuaciones de 2° grado que se forman quedan: 7,330 =
45
b
+
9 a
43,670 = 285
b
+ 45 a
____________________________ Las ecuaciones anteriores pueden resolverse por cualquiera de los métodos algebraicos conocidos como son: Eliminación por suma o resta; por sustitución; por igualación; por determinantes, etc. Sin embargo también podrán resolverse por la formula despojada para cada incógnita como se muestra a continuación: a =
x2
y
n x2 n
x y
n x2
-
x -
x y ( x)2
-
x
-
y ( x)2
Las sustituciones de los valores sumatoria en las fórmulas queda: a = ( 285 x 7,330 )
-
( 45 x 43,670 )
(9 x 285)
-
(45)2
a = 229.44 b =
(9 x 43,670)
-
(9 x 285) b =
(45 x 7,330) -
(45)2
117.0
Por lo tanto, los valores de "y" (miles de unidades) en la formula de la línea recta correspondientes a c/u de los meses que se tienen serian los siguientes: a
+
b
x
Enero
229.44
+
Febrero
229.44
+
(117.0 x 2)
=
463
Marzo
229.44
+
(117.0 x 3)
=
580
Abril
229.44
+
(117.0 x 4)
=
697
Mayo
229.44
+
(117.0 x 5)
=
814
(117.0 x 1)
= =
y 346
Junio
229.44
+
(117.0 x 6)
=
931
Julio
229.44
+
(117.0 x 7)
=
1,048
Agosto
229.44
+
(117.0 x 8)
=
1,165
Septiembre.
229.44
+
(117.0 x 9)
=
1,282
También podrán estimarse o proyectarse las unidades a venderse para los meses siguientes como sigue: Octubre
229.44
+
(117.0x10)
=
1,339
Noviembre
229.44
+
(117.0x11)
=
1,516
Diciembre
229.44
+
(117.0x12)
=
1,633
Las cifras obtenidas podrán llevarse a una grafica de coordenadas cartesianas anotando los puntos para cada mes de unidades vendidas realmente, trazando posteriormente la línea recta que cruza a las unidades reales de venta.
Error relativo y error absoluto Ea = m' - m m' es la media de X mediciones y m es una medida puntual de esas X mediciones Y Er = Ea/'m Donde Ea es el error absoluto y m es una media obtenida Para simplificártelo conceptualmente, el error absoluto es la dispersión de las medidas y el relativo, el porcentaje de esta dispersión respecto al valor total de lo medido. El error relativo puede expresarse en porcentaje, como he hecho, o en p.p.m. (partes por millón). EJEMPLO: En una balanza hago una serie de mediciones.... 15,24 g; 15,21 g; 15,22 g; 15,21 g; 15,23 g Hacemos la media: 15,24 +15,21 +15,22+15,21+15,23 /4 =15,22 Tenemos que m' = 15,22 Ahora voy a hallar e Ea Ea1= 15,22 - 15,24= - 0,02
Ea2= 15,22 - 15,21= 0,01 Ea3= 15,22 - 15,22= 0 Ea4= 15,22 -15,21 = 0,01 Ahora el error relativo nos dará cual es la medición más exacta. Er= Ea/'m Er1= -0,02/15,22= -0,001*100=1% Er2= 0,01/ 15,22= 6,50=0,0650 % Er3 =0 /15,22= 0 %
Extrapolación con ajuste de curva Supón que tienes datos como estos: Año y Población = {1960 8000 1970 9500 1980 10400 1990 12600 2000 13500} ¿Cual será la población pronosticada para el 2010} La solución te la da un método para interpolar y extrapolar datos. Generalmente son técnicas estadísticas que te permiten ajustar una curva a los datos y con esa curva obtener el dato que te falta, ya se en el interior de los mismos o de pronóstico. Para este ejemplo que te improvise, la ecuación por el método de mínimos cuadrados ordinarios es Pob = -268380 + 141*año Y el pronóstico : Pob = -268380 + 141*2010 = 15030 La ecuación la obtuve por el método de mínimos cuadrados ordinarios que trae Excel.
