ŞCOALA GIMNAZIALĂ GIMNAZIALĂ NR. 33, GALAŢI STR. DR. MIHAIL PETRINI GALAŢI, NR.1 TEL./ FAX 0236/406!" #
ELEV : MUNTEANU ALINA
S$%&'()(
S#%*$+$-$Mulţimea vidă
E#%() Mulţimea care nu are nici un element
Reuniune
Inclu%iune
{!;3;;5}∪{3;5;6;7} {!;3;;5}∩{3;5;6;7} {!;3;;5} −{3;5;6;7} {!;3;} ⊂{&;!;3;;5}
A'artenenţă
! ∈&;!;3;
Im'licit* ec+ivalent
x + 3 = 7 ⇔ 3x − ! = &,
Re%ultă
3 x + ! = - ⇒ x
Inter"ecţie #i$erenţă
.umă
{
} ; (∈A) =!
5
∑ x = & + ! + 3 + + 5 = &5 x =&
/ricare ar $i
e"te numar numar 'ar ∀a∈0* !a e"te
E1i"tă
∀
m
n m a
* m*n≠,* 2
a b
⋅ =&
n b
A'r1imativ eal
&!5:6! 2
l divide
3 &5
.e divide Mai mic "au eal
&- 8 ! x + 3 ≤ &,
Mai mare "au eal
! x + 3 ≥ &,
Tinde* cu valri n 9* de$inită 'e9
x →
In$init
lim
x →+∞
A
[
d P ; ( ABC )
]
;
f : A → B
& x + !
Rădăcina 'ătrată .ementul A) nruent* identic
∆ ABC ≡ ∆MNP
A"emenea
∆A) ∆MN(
(er'endicular
A) MN
(aralel
A) MN
Triun+i d ( A; MN )
+∞
#i"tanţa de la un 'unct la drea'ta #i"tanţa de la un 'unct la un 'lan
6 = ±-
A)
;
a"t$el nc4t
S$%&'()(
S#%*$+$-$Mulţimea vidă
E#%() Mulţimea care nu are nici un element
Reuniune
Inclu%iune
{!;3;;5}∪{3;5;6;7} {!;3;;5}∩{3;5;6;7} {!;3;;5} −{3;5;6;7} {!;3;} ⊂{&;!;3;;5}
A'artenenţă
! ∈&;!;3;
Im'licit* ec+ivalent
x + 3 = 7 ⇔ 3x − ! = &,
Re%ultă
3 x + ! = - ⇒ x
Inter"ecţie #i$erenţă
.umă
{
} ; (∈A) =!
5
∑ x = & + ! + 3 + + 5 = &5 x =&
/ricare ar $i
e"te numar numar 'ar ∀a∈0* !a e"te
E1i"tă
∀
m
n m a
* m*n≠,* 2
a b
⋅ =&
n b
A'r1imativ eal
&!5:6! 2
l divide
3 &5
.e divide Mai mic "au eal
&- 8 ! x + 3 ≤ &,
Mai mare "au eal
! x + 3 ≥ &,
Tinde* cu valri n 9* de$inită 'e9
x →
In$init
lim
x →+∞
A
[
d P ; ( ABC )
]
;
f : A → B
& x + !
Rădăcina 'ătrată .ementul A) nruent* identic
∆ ABC ≡ ∆MNP
A"emenea
∆A) ∆MN(
(er'endicular
A) MN
(aralel
A) MN
Triun+i d ( A; MN )
+∞
#i"tanţa de la un 'unct la drea'ta #i"tanţa de la un 'unct la un 'lan
6 = ±-
A)
;
a"t$el nc4t
Numar irratinal
3*&5&589
(ATRATE (ERETE
&! < & !! < 3! < 8 ! < &6 5! < !5 6! < 36 7 ! < 8 - ! < 6 8 ! < -& &,! < &,, &&! < &!& &!! < & &3! < &68 &! < &86 &5! < !!5 &6! < !56 &7! < !-8 &-! < 3! &8! < 36& !,! < ,, !&! < & !!! < - !3! < 5!8 !! < 576 !5! < 6!5
!6! < 676 !7! < 7!8 !-! < 7- !8! < -& 3,! < 8,, 3&! < 86& 3!! < &,! 33! < &,-8 3! < &&56 35! < &!!5 36! < &!86 37! < &368 3-! < & 38! < &5!& ,! < &6,, &! < &6-& !! < &76 3! < &-8 ! < &836 5! < !,!5 6! < !&&6 7! < !!,8 -! < !3, 8! < !,& 5,! < !5,,
5& ! < !6,& 5! ! < !7, 53 ! < !-,8 5 ! < !8&6 55 ! < 3,!5 56 ! < 3&36 5 7 ! < 3! 8 5-! <3 <336 5 8 ! < 3 - & 6 , ! < 36 , , 6& ! < 37!& 6! ! < 3 - 63 ! < 3 8 6 8 6 ! < , 8 6 65 ! < ! ! 5 66 ! < 356 6 7 ! < - 8 6 - ! < 6 ! 6 8 ! < 7 6 & 7 , ! < 8 , , 7& ! < 5,& 7! ! < 5 & - 73 ! < 5 3 ! 8 7 ! < 5 7 6 75 ! < 5 6 ! 5
76! < 5776 77! < 58!8 7-! < 6,- 78! < 6!& -,! < 6,, -&! < 656& -!! < 67! -3! < 6--8 -! < 7,56 -5! < 7!!5 -6! < 7386 -7! < 7568 --! < 77 -8! < 78!& 8,! < -&,, 8&! < -!-& 8!! < -6 83! < -68 8! < --36 85! < 8,!5 86! < 8!&6 87! < 8,8 8-! < 86, 88! < 8-,& &,,! < &,,,,
N5MERE PRIME
Un număr natural mai mare dec4t &* care are e1act di divi%ri: 'e &=i 'e el n"u=i* "e nume=te număr prim. Cum stabilim dacă un număr natural este prim?
Im'ărţim numărul dat la tate numerele 'rime n rdine cre"cătare* nce'4nd cu !* '4nă >ţinem re"tul , "au c4tul mai mic "au eal cu im'ărţitrul? im'ărţitrul? #acă una dintre ace"te im'ărţiri e"te e1actă* atunci numărul dat nu e"te 'rim? #acă nici im'ărţire nu e"te e1actă* atunci numărul e"te 'rim?
TABEL CU NUMERELE PRIME PANA LA 1000
! 3 5 7 && &3 &7 &8 !3 !8 3& 37 & 3 7 53 58
6& 67 7& 73 78 -3 -8 87 &,& &,3 &,7 &,8 &&3 &!7 &3& &37 &38
&8 &5& &57 &63 &67 &73 &78 &-& &8& &83 &87 &88 !&& !!3 !!7 !!8 !33
!38 !& !5& !57 !63 !68 !7& !77 !-& !-3 !83 3,7 3&& 3&3 3&7 33& 337
37 38 353 358 367 373 378 3-3 3-8 387 ,& ,8 &8 !& 3& 33 38
3 8 57 6& 63 67 78 -7 8& 88 5,3 5,8 5!& 5!3 5& 57 557
563 568 57& 577 5-7 583 588 6,& 6,7 6&3 6&7 6&8 63& 6& 63 67 653
658 66& 673 677 6-3 68& 7,& 7,8 7&8 7!7 733 738 73 75& 757 76& 768
773 7-7 787 -,8 -&& -!& -!3 -!7 -!8 -38 -53 -57 -58 -63 -77 --&
--3 --7 8,7 8&& 8&8 8!8 837 8& 87 853 867 87& 877 8-3 88& 887
ALFAET5L GREC
uv4ntul rm4n alfabet 'rvine de la 'rimele duă litere ale al$a>etului rec : alpha 2@ =i b êta 2B care la r4ndul lr 'rvin de la 'rimele duă litere ale al$a>etului e>raic* alef =i bet ?
L$#7 %-#
L$#7 %$7
D#*)%$# Alpha Beta Gamma Delta Epsilon Zeta Eta Theta Iota Kappa Lambda Mu Nu Xi Omicron Pi ho !i"ma Tau #psilon Phi $hi Psi Ome"a
Literele rece=ti "unt $l"ite de"eri n ntaţia =tiinţi$ică* mai ale" n ale>ră =i $i%ică: • • • • • • • • • • • •
Un+iurile "unt ntate cu C 2 theta mic "au @ 2alpha mic? Litera D 2delta mare e"te $l"it 'entru a de"emna un interval*dar =i 'entru a calcula ecuaţie de radul al II lea Literea 2epsilon mic e"te $l"ită 'entru a de"emna valrile neliFa>ile 2cantităţi mici? Litera G 2 pi mic e"te utili%ată n matematică 'entru a de"emna circum$erinţa unui cerc cu ra%a eală cu unitate 2a'r1imativ 3*&&58!6536? Litera H 2oméga mic de"emnea%ă n $i%ică vite%a un+iulară? Litera 2oméga mare e"te "im>lul 'entru unitate n .I a re%i"tenţei electrice* +mul? Litera J 2mu mic e"te "im>lul 'entru 're$i1ul .I micro care re're%intă milinime dintrK unitate? Litera 2rho mic e"te $l"ită n matematică 'entru a indica cur>ele 'lare* =i n $i%ică 'entru den"itate? Litera 2chi mic e"te utili%ată n $i%ică 'entru a de"emna un ce$icient de cm're"i>ilitate 2termdinamică =i unde Litera 2 sigma mare e"te utili%ată m matematică 'entru a de"emna "umă de elemente? Literele rece=ti "unt $l"ite 'entru a de"emna "telele? #i$eritele ti'uri de radiaţie emi"ă de materialele radiactive "unt ntate re"'ectiv @* B =i O?
ARITMETICĂ ŞI ALGE3RĂ
&
TITL5L CONŢIN5T5L5I Relaţii ntre mulţimi
EXPLICAŢII A'artenenţă* ∈: Un element a'artine unei multimi dacă el $ace 'arte din acea mulţime? Ealitate* < : #uă multimi "unt eale dacă au acelea"i elemente? ) < ; Inclu%iune* ⊂: Mulţimea A e"te inclu"ă n mulţimea ) 2A ⊂ ) dacă elementele lui A "e ă"e"c 'rintre elementele lui )? #acă avem: A = Q&;!;3;;5P* B = Q!;3;5P? → ) ⊂ ) Mulţimea ) e"te "u>mulţime a mulţimii A 'entru că $iecare element din ) a'arţine mulţimii A?
!
.u>mulţime
3
5
/'eraţii cu mulţimi
Mulţimi $inite =i mulţimi in$inite Mulţimile N, Z, Q, R, R\Q
A ∪ B = xQ x ∈ A sau x ∈ BP ;?
Reuniunea:
Inter"ecţia:
A ∩ B
A ∩ B = xQ x ∈ A si x ∈ BP ;
= {Φ}
⇔ A =i ) mulţimi di"Functe
#i$erenţa: A − B = Q x x ∈ A si x ∉ BP ;
(rdu"ul carte%ian:
?
A BΧ = Q2 x * xA ∈ A si ∈ BP ?
P$*$$)( $*()8#$$ 9$ #()8#$$. • card2A U ) < card2A card 2 ) Scard 2A ) • card 2 A U ) U < card2A card 2) card 2 S card 2 A ) S card2 A S card2 ) card 2 A) Mulţime $inită e"te mulţimea cu un număr $init de elemente? Mulţime in$inită e"te mulţimea cu un număr in$init de elemente?
N =Q,;&;! ;3;???;88*&,,*????P? ! =Q???? −3 ;−!;−&;,;&;!;3;???P?
a ? " = a ∈ ! * b ∈ ! U* 2a* bA = & b # e"te mulţimea numerelr reale ce cu'rinde tate cateriile
de numere inclu"iv cele "cri"e "u> $rmă de radicali?
# " a a nu este patrat perfect −
=
numere iraţinale?
6
⊂" ⊂ # Relaţia N ⊂ !
7 -
.crierea numerelr naturale n >a%a %ece (r'%iţii adevărate =i 'r'%iţii $al"e
abc =&,,a +&,b + c abcd =&,,,a +&,,b +&,c +d
8
m'ărţirea cu re"t a numerelr naturale
& ,
#ivi%i>ilitatea n N
& &
(r'rietăţile divi%i>ilităţii 2cele mai u%uale
/rice număr natural e"te număr ntre; /rice număr ntre e"te =i un număr raţinal; /rice număr raţinal e"te număr real?
E1em'le de 'r'%iţii: (r'%iţie adevărată: ** &! : 3 + 3 = 7 (r'%iţie $al"ă: ** &! : 3 + 3 = ! (rin nearea unei 'r'%iţii adevărate "e >ţine 'r'%iţie $al"ă* =i inver"? Terema m'ărţirii cu re"t: d = $ ⋅ c + r * r < $ ? Un număr natural e"te divi%i>il cu un alt număr natural dacă re"tul m'ărţirii dintre cele duă numere e"te eal cu %er? #acă avem md "au d m atunci: m e"te multi'lul lui d =i d e"te divi%rul lui m?
&? /rice număr natural n "e divide cu 1 n & !? /rice număr natural n "e divide cu el n"u=i? → n n 3? 0er "e divide cu rice număr natural → ,n 3? #acă a "e divide cu b =i b "e divide cu c* atunci a "e divide cu c a b
⇒ a c b c
? #acă a "e divide cu b =i b "e divide cu a* atunci a
⇒ a= b ba
& !
riteriile de divi%i>ilitate
& 3
Numere 'rime =i numere cm'u"e
n 2a + ba+b 5? #acă a =i b "e divid cu a n * atunci: n "e divid cu n; =i a-b "e ⇒ divid cu n → b n 2a − b n 6? #acă a "e divide cu b* atunci a·c "e divide cu b* ricare ar $i c ∈ Z → a b ⇒ a ⋅ c b & n "e divide cu 2 ⇔ ultima ci$ră a "a e"te 'ară? ! n "e divide cu 5 ⇔ ultima ci$ră e"te 0 sau 5? 3 n "e divide cu 3 ⇔ "uma ci$relr "ale "e divide cu 3.? n "e divide cu 9 "uma ci$relr "ale "e divide cu 9. 5 Un număr "e divide cu 10 ultima ci$ră e"te 0 ? 6 n "e divide cu 25 ⇔ ultimile duă ci$re "unt 00 sau 25 sau 50 sau 75? 7 n "e divide cu 4 ⇔ ultimile duă ci$re $rmea%ă un număr divi%i>il cu 4 - Un număr "e divide cu 10n ultimele n ci$re "unt 0 8 Un numărn "e divide cu 2n ultimele n $rmea%ă un număr divi%i>il cu2 &, Un număr "e divide cu 5n ultimele n $rmea%ă un număr n divi%i>il cu5 && Un număr e"te divi%i>il cu 7, 11, 13 dacă di$erenţa dintre numărul $rmat din ultimele 3 ci$re ale numărului dat =i cel răma" e"te divi%i>ilă cu 7, 11, 13 2Un nr? e"te divi%i>il cu 7, 11, 13 *daca di$erenta dintre "uma ci$relr "ituate 'e lcurile im'are "i "uma ci$relr "ituate 'e lcurile 'are e"te un nr? divi%i>il cu 7, 11, 13 ? &! Un nr? e"te divi%i>il cu 6 *daca e"te divi%i>il cu 2 =i cu 3? &3 Un nr? e"te divi%i>il cu 15*daca e"te divi%i>il cu % =i cu 3 Numere 'rime "unt numere care au dar di diviWri: 'e & =i 'e el n"u=i? Numere 'rime: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, … C)% #)*'-9#% 8-7 )* *)%7 *-)-( #:# $% m'ărţim numărul* 'e r4nd* la tate numerele 'rime n rdine cre"cătare* nce'and cu !* '4nă c4nd >ţinem un c4t mai mic "au
eal cu m'ărţitrul? #acă numarul "e divide cu unul din ace"te numere 'rime* e"te evident că el nu e"te 'rim? #acă numarul cn"iderat nu "e divide cu nici unul din ace"te numere 'rime* atunci el e"te număr 'rim Numere cm'u"e "unt numere care au cel 'uţin trei divi%ri? T#'#%7: /rice număr cm'u" "e de"cm'une n 'rdu" de $actri 'rimi? n = p&a& ⋅ p! a! ⋅???⋅ p& a& Numărul divi%rilr naturali ai numărului n e"te eal cu 2a&&2a!&92aX &? Numere 'are "unt numere divi%i>ile cu !? rma de "criere a ce"tra e"te ! & * & ∈ N ? Numere im'are "unt numere nedivi%i>ile cu !? rma de "criere a
&
Numere 'are =i numere im'are
ce"tra e"te & 5
#e"cm'unerea unui număr natural ntrKun 'rdu" de 'uteri de numere 'rime
& 6
?m?m?d?c? =i c?m?m?m?c?
& 7 & & 8
Numere 'rime ntre ele
! ,
#ivi%i>ilitatea n Z racţii "u>unitare* ec+iunitare* "u'raunitare
Am'li$icarea =i "im'li$icarea $ractiilr
!& + & sau !& − &* & ∈ N ?
(rin de"cm'unerea unui număr natural ntrKun 'rdu" de 'uteri de numere 'rime "e nţelee "crierea ace"tuia "u> $rmă de 'rdu" de $actri care la r4ndul lr nu "e mai 't de"cm'une?
• C#( %-$ %-# 8$;$<' '%)* a duă numere naturale a =i b e"te un număr natural d cu 'r'rităţile: 1 d Y a =i d Y b 2 /rice alt divi%r al lui a =i b l divide =i 'e d *'-=$$> 8?@-,&?.%.%.8..@-,& • C-()()( .%.%.8.. al numerelr naturale a =i b: 1 "e de"cm'un numerele - =i b n 'rdu"e de $actri 'rimi 2 nmulţim $actrii 'rimi '%)*$ la 'uterea cea mai %$7 • C#( %-$ %$ %)($() '%)* a duă numere naturale a =i b e"te un număr natural m cu 'r'rităţile: 1 m a =i mb 2 /rice alt multi'lu al lui a =i b "e divide cu m *'-=$$> %?-,&?.%.%.%..@-,& • C-()()( .%.%.%.. al numerelr naturale a =i b: 1 "e de"cm'un numerele - =i b n 'rdu"e de $actri 'rimi 2 nmulţim $actrii 'rimi *#'%)*$ =i $actrii 'rimi '%)*$ la 'uterea cea mai %-# • T#'#%7> (entru rice a,b ∈ N avem: -&?@-,&-,& • D#+$*$=$# *. $%# B*# #(#> Numerele a,b ∈ N "e nume"c $%# B*# #(# dacă (a,b)=1. • T#'#%7> #acă a Y x * b Y x =i (a,b)=1 atunci a ⋅ b Y x Numere 'rime ntre ele "unt numere care au ca divi%r cmun dar numărul &? #ivi%i>ilitatea n Z e"te a"emănătare cu divi%i>ilitatea n N? n Z: ' =Q−;−!;−&;+&;+!;+P ?
racţii "u>unitare →
racţii ec+iunitare →
racţii "u'raunitare →
b
a b a b
< & ⇔ a < b?
= & ⇔ a = b?
> & ⇔ a > b?
A%($+$-#- A am'li$ica $racţie n"eamnă aKi nmulţi numărătrul =i numitrul cu acela=i număr natural di$erit de %er mA
2nenul
a
→
a
a⋅m
* m ≠ ,? b⋅m S$%($+$-#- A "im'li$ica $racţie n"eamnă aKi m'ărţi b
=
! & ! !
racţii ireducti>ile .catere ntreilr =i intrducere ntreilr ntrK $racţie
numărătrul =i numitrul cu acela=i număr natural di$erit de %er 2m a a:m 2nenul → = * m ≠ ,? b b:m racţie ireductibilă e"te $racţia n care numărătrul =i numitrul "unt numere 'rime ntre ele? • (entru a "cate ntreii dintrK $racţie "u'raunitară "e m'arte munărătrul la numitr? 4tul >ţinut e"te numărul ntreilr* re"tul e"te numărătrul nii $racţii* iar numitrul răm4ne acela=i?
• (entru a intrduce ntreii intrK $racţie "e nmulţe=te numărul ntreilr cu numitrul =i re%ultatul "e adună cu numărătrul >ţin4nduK"e numărătrul nii $racţii* numitrul răm4n4nd acela=i? ! 3
Aducera $racţiilr la acela=i numitr
!
Tran"$rmări de $racţii
(entru a aduce $racţiile la acela=i numitr 'rcedăm a"t$el • A$lăm c. m. m. m.c. al numitrilr $racţiilr date* care e"te numitrul cmun • Am'li$icăm $iecare $racţie cu c4tul dintre numitrul cmun =i numitrul $racţiei re"'ective
racţii %ecimale $inite
racţii %ecimale 'eridice "im'le
racţii %ecimale 'eridice mi1te
! 5
m'ararea* rdnarea =i re're%entarea 'e a1ă a numerelr reale
abc &,,
a * bc =
?
abc − a ? 88 abcd −ab a * b2 cd = 88, a * 2 bc =
?
/ $racţie rdinară "e 'ate tran"$rma ntrK $racţie %ecimală 'rin m'ărţirea numărătrului la numitrul $racţiei? C'%--#- *)%##(' -=$'*-(# (entru a cm'ara duă numere raţinale re're%entate 'rin $racţii rdinare* "e 'rcedea%a a"t$el: & .e aduc $racţiile la acela=i numitr* iar $racţia va $i mai mare cea cu număratrul mai mare
!
.e aduc $racţiile la acela=i număratr* iar $racţia va $i mai mare cea cu numitrul mai mic?
3
(entru a cm'ara duă numere raţinale re're%entate 'rin $racţii rdinare "e 'ate 'rceda a"t$el
a > c
(entru a cm'ara duă $ractii %ecimale cu 'arţile ntrei eale* "e adauă un număr de %ecimale $ără a mdi$ica valarea numarului =i
"e cm'ară 'arţile $racţinare C'%--#- *)%##(' #-(# 8$* -# #( )=$* )*)( #:# *)%7 $-=$'*-( Pn!"# a c$m%a"a d$#a n#m" &"a!&$na' %"$cdaa a!*' a "e intrduc $actrii "u> radicali =i "e cm'ară numerele; > "e ridică la 'ătrat numerele date =i "e cm'ară 'ătratele ace"tra?
a
! 6 ! 7
/'u"ul =i inver"ul unui număr real
< b? ⇔
a
<
b
ră"turnatul unui număr natural : abcd = dcba /'u"ul unui număr real: 'u"ul lui a e"te − a?
Inver"ul unui număr real: inver"ul lui a e"te
& a
?
RtunFirea =i Metda de a a'r1ima un număr real* mai ale" c4nd ace"ta e"te a'r1imarea unui număr $racţie %ecimală "au un număr iraţinal e"te $l"ită la e"timări =i real e1erciţii de cm'arare? E1em'lu: !, = *7!&358????? #acă "Kar cere a'r1imarea cu duă %ecimale 'rin li'"ă atunci am avea: !, = *7 ? #acă "Kar cere a'r1imarea cu duă %ecimale cu ada" atunci am avea: !, = *- ?
! -
(artea ntreaă =i 'artea $racţinară a unui număr real
• P-#- B*#-7 - )*)$ *)%- re're%intă cel mai mare nr ntre mai mic "au eal decat numărul re"'ectiv? Mai "im'lu* 'artea ntreaa a unui număr "e determina lu4nd cel mai a'r'iat numar ntre de numărul 'e a1a numerelr din 'artea "t4nă? #acă numarul e"te natural "au ntre * 'artea "a ntreaă e"te c+iar numărul re"'ectiv? (artea ntreaă "e ntea%ă Z [? * *1 • P-#- +-=$'*-- - )*)$ * .e ntea%ă Q P? .e calculea%ă du'a relaţia: ? 9$ 0 1 (artea ntreaă =i 'artea $racţinară a unui număr real '%itiv: * e"te ntre =i 5? (artea ntreaă Z*[ < ? (artea $racţinară Q*P < * − Z*[ < * − < ,*? (artea ntreaă =i 'artea $racţinară a unui număr real neativ:
−!*6 e"te ntre −3 =i −!? (artea ntreaă Z−!*6[ < −3? (artea $racţinară Q−!*6P < −!*6 − Z−!*6[ < −!*6 3 < ,*? ! 8
Valarea a>"lută a unui număr real
Valarea a>"lută a unui număr real:
a* a > , a = ,* a = , − a* a < ,
Valarea a>"lută a unui număr iraţinal #acă avem: a −b * cel 'uţin unul e"te iraţinal* a < b * atunci a −b =b −a ? P'$#J=$>∀ 1*W∈R* avem: &? x =, ⇔ x = , ; !? − x = x ; 3? x = ⇔ x = "au x = − ; ? x =a ⇔ a x a * a R; 5? − x ≤ x ≤ x ; 6? x + ≤ x + ; 7? x − ≤ x + -? x − ≤ x − ; 8? x − ≤ x + ≤ x + ; &,? x = x ⋅ ;
− = =
&&?
3 ,
Intervale n R; re're%entarea 'e a1ă
Interval mărinit nc+i" la am>ele marini:
Interval mărinit nc+i" la una din marini marini:
Interval mărinit de"c+i" la am>ele marini:
/'eraţii cu numere reale
x x = * ≠, ?
3 &
∈
Za; b[
2 a; b [
2 a; bA
Interval mărinit nc+i" "au de"c+i" la una din marini =i nemărinit la cealaltă: 2 −∞; a [ Interval nemărinit la am>ele marini:
2 −∞;+∞ = #
d#na"a & cd"a (entru a e$ectua adunarea "au "căderea numerelr raţinale e"te nece"ar a 'arcure următrii 'a=i: .e tran"$rmă $racţiile %ecimale n $racţii rdinare; .e aduc $racţiile la acela=i numitr; .e e$ectuea%ă adunarea\"căderea? Proprietă(ile adunării) a + b = b + a. Adunarea e"te cmutativă: a + b + c = (a + b) + c. Adunarea e"te a"ciativă: Elementul neutru al adunării e"te ,: a + 0 = a. (entru rice a e1i"tă 'u"ul lui a a"t$el nc4t: a + (-a) = 0.
(entru a e$ectua -8)*-#- :-) :78##- +-=$$ <#$%-(# care au un număr $init de %ecimale* 'rcedăm a"t$el : .criem numerele unul "u> altul: virulă "u> virulă*unităţi "u> unităţi* %eci "u> %eci* "ute "u> "ute etc?* %ecimi "u> %ecimi* "utimi "u> "utimi* miimi "u> mimii* =?a?m?d?; E$ectuăm adunarea\"căderea ca la numere naturale $ără a ţine cnt de virulă; "criem virula 'e aceea=i '%iţie n care a'are =i la cela duă
numere 2"'unem că ]"e c>ară virula /nm#'&"a La nmulţirea unui număr ntre cu $racţie* "e nmulţe"te numărul ntre cu numărătrul $racţiei* numitrul răm4nănd ne"c+im>at; .e tran"$rmă $racţiile %ecimale n $racţii rdinare; La nmulţirea a duă $racţii rdinare "e nmulţe"c numărătrii ntre ei =i numitrii ntre ei? Proprietă(ile $nmul(irii) a b = b a nmultirea e"te cmutativă: a b c = (a b) nmultirea e"te a"ciativă: Elementul neutru al nmulţirii e"te 1: a 1 = a nmulţirea e"te di"tri>utivă $aţă de adunare "au "cădere:
c
a ( b + c ) = a b + a c (entru a nmulţi duă +-=$$ <#$%-(# care au un număr $init de %ecimale* 'rcedăm a"t$el : nmulţim numerele cn"ider4nduKle numere naturale* $ără a ţine cnt de virulă; (unem virula la re%ultat du'ă at4tea ci$re* numărate de la drea'te la "t4na* c4te %ecimale au n ttal cei di $actri /m%"&"a La m'ărţirea a duă numere raţinale "e nmulţe=te 'rimul număr cu al dilea inver"at? Im'arţirea
m p : n *
=
m *
⋅
n p
=
m⋅* n ⋅ p
P#*) - B%7=$ 8')7 *)%## *-)-(#, '#87% -:+#( : E$ectuăm m'ărţirea celr duă numere naturale; >ţinem un c4t =i un re"t* care "unt numere natural? #acă drim "ă cntinuăm m'ătţirea 'rcedăm a"t$el : • Punem +irgula după de$mpăr(it ,i după c-t ; • criem /ero dup- rest ; • Continuăm cu $mpăr(irea restului la $mpăr(itor0 trec-nd re/ultatul după
•
+irgulă Adăugăm at-tea /erouri c-te sunt necesare p-nă ob(inem restul /ero 1iar c-tul +a a+ea tot at-tea /ecimale c-te /erouri am adăugat 2 frac(ie /ecimală finită 3 sau restul ob(inut la un moment dat se repetă0 iar cifrele de la c-t reapar $n aceea,i succesiune 1 K frac(ie /ecimală periodică3
P#*) - B%7=$ ' +-=$# <#$%-(7 (- )* *)%7 *-)-(, '#87% -:+#( : m'ărţim mai nt4i 'artea ntreaă la numărul dat =i "criem virula la c4t; ntinuăm m'ărţirea ca la numere naturale* $ără a ţine cnt de virulă ^ n unele ca%uri* tre>uie "ă adăuăm %eruri 2re%ultatul 'ate $i $racţie %ecimală $inită "au $racţie %ecimală 'eridică P#*) - B%7=$ 8')7 +-=$$ <#$%-(# -# -) )* *)%7 +$*$ 8# <#$%-(#, '#87% -:+#( > Inmulţim at4t dem'ărţitul* c4t =i c4tul cu 'utere a lui %ece* 'entru ca m'ărţitrul "ă devină număr natural; m'ărţim nul dem'ărţit la nul m'ărţitr cn$rm reulii de m'ărţire a $racţiilr %ecimale la un număr natural
3 !
Reula "emnelr 4abelul $nmul(irii semnelor)
F1
F2
P
4abelul $mpăr(irii semnelor)
D
I
C
33
R&d&ca"a 'a %#!"
R&d&ca"a 'a %#!" **(uterea e"te nmulţire re'etată n a = a ⋅ a ⋅ a ⋅ ??? ⋅ a a
−m
=
& a
m
%"a&& c# %#!"&
&a < &; a& < a; a, < &* dacă a ≠ ,; ,a < ,* dacă a ≠ , n
(
& −
)
(
− &)
(
−a )
(
a) −
n n
n
&* n = par = = − &*n = inpar
=a
n * n par =
a = −
n *n = inpar
am ⋅ an < amn; am : an < amKn; 2amn < am⋅n; 2a⋅ >m < am⋅ >m?
(a m ⋅b n ):(a p ⋅b * )=a m − p ⋅b n −* m m & m ! m 3 m , & ! 3 a +a + + a + +a + =a ⋅( a + a +a + a )
. =a , +a& +a ! +???+a n
`
& a. = a
!
3
+ a + a + ??? + a
Y_ a `
n +&
. =a , +a& +a ! +???+a n
(
)
n & , . a −& =a + −a
3 m'ararea 'uterilr?
&? P#!"& c# aca& ba. ie a0 m0 n numere naturale nenule* a ≠ & ? #aca m5n* atunci a m
(entru a cm'ara duă 'uteri cu >a%e di$erite =i e1'nenţi di$eriţi* "e aduc 'uterile* dacă "e 'ate* $ie la aceea=i >a%ă* $ie la acela=i e1'nent?
35
Ultima ci$ra a unui număr natural
/ricare ar $i numărul natural X* avem: • /rice 'utere a unui număr care are ultima ci$ra ,* &* 5* "au 6 va avea ultima ci$ra re"'ectiv tt ,* &* 5 "au 6?
• • • • • • 36
Alritmul de e1traere a rădăcinii 'ătrate
.ă calculăm rădăcina 'ătrată a lui 55!!5? #e"'ărţim numărul n ru'e de c4te duă ci$re* de la drea'ta "'re "t4na? Ne ntre>ăm: care e"te cel mai mare număr al cărui 'ătrat e"te mai mic "au eal cu 5? Ace"ta e"te !; l "criem n drea'ta "u"; l ridicăm la 'ătrat* >ţinem =iKl trecem "u> 5* a$lăm re"tul "căderii &? >r4m ru'ul de următarele ! ci$re l4nă re"t? #u>lăm 'e ! =i re%ultatul l trecem "u> !? Ne 4ndim care ci$ră 'unem alături de =i re%ultatul l nmulţim cu ci$ra alea"ă a"t$el nc4t numărul dat "ă "e cu'rindă n &5!? Ne 4ndim care ci$ră 'unem alături de =i re%ultatul l nmulţim cu ci$ra alea"ă a"t$el nc4t numărul dat "ă "e cu'rindă n &5!? Re%ultatul $iind &!8* l trecem "u> &5! =i a$lăm re"tul "căderii? i$ra 3 trecem la re%ultat* alături de !? >r4m următarea ru'ă de ci$re* 'e !5* l4nă re"tul !3? >r4m du>lul lui !3* care e"te 6? Ne 4ndim care ci$ră 'unem alături de 6* numărul $rmat l nmulţim cu acea ci$ră iar re%ultatul "ă $ie mai mic "au eal cu !3!5? Ace"ta 'ate $i 5 =i $acem calculele? Trecem re%ultatul !3!5 "u> numărul !3!5 =i e$ectuăm "căderea? Re"tul $iind %er* alritmul "Ka terminat* ci$ra 5 trecm la re%ultat alături de !3?
A=adar* radical din 55!!5 e"te eal cu !35?
37 3-
38
Rădăcina 'ătrată a unui număr natural 'ătrat 'er$ect .crierea unui număr real '%itiv ca radical din 'ătratul "ău .caterea =i intrducerea $actrilr "u> radical
a = b dacă b ! = a? a!
dacă
a
?
#acă avem
5 !
atunci ace"t număr "e 'ate "crie =i
5 !
7!
=
5!
=
!!
8
=
?
!5
?
!
!
m
=
m⋅ b a b⋅ b
=
m b ab
?
Raţinali%area numitrilr de $rma a b +c ? n 'rimul r4nd cnFuatul numărului a b + c e"te numărul a b −c ? (entru raţinali%area numitrului de acea"tă $rmă* $racţia "e va am'li$ica cu cnFuatul numitrului? b −c
m a b +c
=
!
a
7
.caterea $actrilr de "u> radical ? (re%entăm una din metdele cele mai utili%ate la "caterea $actrilr de "u> radical? .e de"cm'une numărul dat n 'rdu" de 'uteri de numere 'rime ^ "e iau 'erec+i de numere 'rime eale ^ dintrK 'erec+e va ie=i un $actr de "u> radical ^ $actrii ne'erec+e vr răm4ne "u> radical ^ $actrii ie=iţi "au răma=i "u> radical "e nmulţe"c? c$a!"a *ac!$"&'$" d #b "ad&ca' a ⋅ b = a b a ⋅ b =Y a Y ⋅ b n!"$d#c"a *ac!$"&'$" #b "ad&ca' a b = a ⋅ b Raţinali%area numitrilr de $rma a b ? b
Reuli de calcul cu radicali
a! = a
a b
&
> ,? n eneral
#acă avem 7 atunci ace"t număr "e 'ate "crie =i
Raţinali%area numitrilr
=a
,
u2!X <6; u2!X&
=
m ⋅ 2a b − c 2 a b + c ⋅ 2a b − c
=
m2a b − c a !b − c !
?
#i radicali "e 't aduna "au "cădea numai dacă "unt **la $el adică avem termeni a"emenea: a b ± c b = 2 a ± c b nmulţirea radicalilr: a ⋅ b = a ⋅ b ;? a b ⋅ c d = 2a ⋅ c ⋅ b ⋅ d
m'ărţirea radicalilr:
a
/rdinea e$ectuării 'eraţiilr =i $l"irea 'arante%elr
3
.uma numerelr de la & la n * "au "uma 'rimelr n numere naturale
b
a:b
=
;? a
b : c d = 2 a : c ⋅ b : d
( a ) n *a〉 ,*n∈ N
A ± B
?
=
ab * a *b∈ # * a ≥,*b ≥,
A + C !
A − C
±
!
* dacb =i numai dacb A ! ^ ) < !;
a! = a
!
=
a + b = a +b +!
n
a:
ntrKun e1erciţiu de calcul aritmetic ce cnţine mai multe 'eraţii cu numere raţinale "e e$ectuea%ă mai nt4i ridicările la 'utere* a'i nmulţirile =i m'ărţirile n rdinea n care "unt "cri"e =i a'i adunările =i "căderile* la $el* n rdinea n care "unt "cri"e? n e1erciţiile de calcul aritmetic care cnţin 'arante%e "e e$ectuea%ă mai nt4i calculele din 'arante%ele mici 2rtunde* a'i cele din 'arante%e mari 2dre'te =i a'i cele din aclade? #acă n $aţa unei 'arante%e ce cnţine un număr raţinal "au "umă\di$erenţă de numere raţinale "e a$lă "im>lul **−* atunci "e 'ate elimina "emnul =i 'arante%a* "criind numerele din 'arante%ă cu "emnul "c+im>at?
•
n89:6:7:;:<:1n 2 93:n8n1n:93)6
1=ormula lui >A3
'! #m
•
8 9 : 7 : % : < : 16n : 93 8 1n:936
•
8 a9:a6:....:an 8 n1a9 : an 3 )6 0 dacă an 8 a9 : r1n @ 93 0 unde a&:9 2 a& 8 r 0 5&5n
•
8 a9:a6:....:an 8 a91*n @ 9 3 )1*@ 93 0 dacă an 8 a9 *n@9 0 unde a&:9 ) a& 8 *0 5&5n
5 6
actrul cmun
#acă f ⋅ 2a + b + c + ???? + A = f ⋅ a + f ⋅ b + f ⋅ c + ????? + f ⋅ atunci =i
f ⋅ a + f ⋅ b + f ⋅ c + ????? + f ⋅ = f ⋅ 2a + b + c + ????? + A
Media aritmetică Media aritmetică 'nderată
7
Media emetrică a duă numere reale '%itive
7 -
Ra'rtul a duă numere (r'rietatea $undamentală a 'r'rţiilr
Media aritmetică
ma
=
a& + a ! + a3
+ ???? + an
n
Media aritmetică 'nderată m p =
a& ⋅ p& + a! ⋅ p! + a3 ⋅ p3 + ???? + an ⋅ pn p& + p! + p3 + ???? + pn
unde %& e"te 'nderea numărului a& ? Media emetrică m = a ⋅ b ? g
#acă avem numerele reale a =i b* atunci ra'rtul lr e"te eal cu #acă avem 'r'rţia
a b
=
m n
atunci
a ⋅ n = b⋅ m
a b
?
8
#erivarea 'r'rţiilr
#acă avem 'r'rţia a b a
⇒
d b a c b
= = =
b
atunci mai 'utem >ţine =i 'r'rţiile:
d
c
a
a b
b
d d
b a
a
b a
⇒
af
=
b a
b a
cf
d b d c ⇒a = c d bf df
=
b a b
n eneral dacă avem
extrem& =
⇒
c
=
b a b
Mărimi direct 'r'rţinale
⇒
c
=
d a c c af c = ⇒ = d bf d c a : f c = ⇒ = d b : f d
a
5 &
d c
=
b a b a b
A$larea unui termen necun"cut dintrK 'r'rţie dată
d c
=
b a
5 ,
c
=
a
extrem&
me/&⋅ me/ ! extrem!
=
= =
= =
=
c d
c d c
d c d c
d c d c d
⇒ ⇒
⇒ ⇒
⇒ ⇒
⇒
me/ !
=
me/ &
=
b : f
a+b b a−b
b a a+b a
= =
= =
=
c d : f
c + d d c − d
d c c + d c
b − a d − c a a+c b a b
=
=
b + d a−c b − d
atunci
extrem !
,i me/& =
a
extrem&⋅ extrem! ? me/ !
#acă numerele a0 b0 c0 <.0 "unt direct 'r'rţinale cu numerele α 0 β 0 γ 0...0 ω atunci "e 'ate $rma un =ir de ra'arte eale: a
α
b
=
β
=
c
γ
= ???? =
ω
= i * unde i e"te ce$icientul de
'r'rţinalitate?
(r'rietate enerală a unui =ir de ra'arte eale: a
α
5 !
Mărimi inver" 'r'rţinale
=
b
β
=
c
γ
= ???? =
ω
=
a + b + c + ???? +
α + β + γ + ???? + ω
?
#acă numerele a0 b0 c0 <.0 "unt inver" 'r'rţinale cu numerele α 0 β 0 γ 0...0 ω atunci "e 'ate $rma un =ir de 'rdu"e eale:
a ⋅ α = b ⋅ β = c ⋅ γ = ???? = ⋅ω
Ace"t =ir de 'rdu"e eale "e 'ate tran"$rma ntrKun =ir de ra'arte eale* 'recum: a &
α
5 3
Reula de trei "im'lă
5 5 5 5 6
(rcente A$larea a p dintrKun număr A$larea unui număr c4nd "e cuna=te p din el
=
b &
β
=
c &
= ???? =
γ
&
=i
*unde i e"te ce$icientul de 'r'rţinalitate?
ω
iind date duă mulţimi ntre care e"te "ta>ilită 'r'rţinalitate directă "au inver"ă* 'rcedeul de a$lare a unuia din elemente "e nume=te reula de trei "im'lă
(rcentul e"te un număr raţinal;
#in relaţia
#in
p &,,
p
din
⋅a = b ⇒
a=
a
=b
&,, ⋅ b p
⇒ ?
p = p &,,
p &,,
?
⋅a = b
5 7 5 -
A$larea ra'rtului 'rcentual alculul 'r>a>ilităţii de reali%are a unui eveniment
#in
p &,,
⋅a = b ⇒
p
= &,, a
⋅b
?
.e nume=te 'r>a>ilitatea reali%ării unui eveniment 2re%ultatul unei e1'erienţe ra'rtul dintre numărul ca%urilr $avra>ile reali%ării evenimentului =i numărul ca%urilr '"i>ile ale e1'erienţei (r>a>ilitatea unui eveniment "e ntea%ă cu '2a
P A( )
nr de ca/uri fa+orabile ?
=
?
nr total de ca/uri ?
5 8
.cara unui de"en
.e nume=te "cara unui de"en ra'rtul dintre di"tanţa mă"urată 'e de"en 2d =i di"tanţa mă"urată n teren 2# . =
6 ,
ncentraţia unei "luţii
Titlul unui aliaF
TITL5L
m M
.e nume=te titlul unui aliaF ra'rtul dintre ma"a metalului 2m 'reţi" =i ma"a aliaFului 2M 4 =
CALC5L5L ALGERIC
'
.e nume=te cncentraţia unei "luţii ra'rtul dintre ma"a "u>"tanţei care "e di%lvă 2m =i ma"a "luţiei2M C =
6 &
d
m M
&
!
CONŢIN5T5L5I alculul cu numere re're%entate 'rin litere
rmulele de calcul 're"curtat
EXPLICAŢII Termenii de $rma ' unde * numit ce$icientul termenului* re're%intă un număr* iar* ' * 'artea literală a termenului* e"te $rmată din numere re're%entate 'rin litere* eventual* cu diver=i e1'nenţi* i numim termeni a"emenea dacă 'ărţile lr literale "unt identice* iar adunarea lr "e nume=te reducerea termenilr a"emenea? 2& & xA ⋅ 2& ! A = 2& & ⋅ & ! A ⋅ 2 x ⋅ A 2& & xA : 2& ! A = 2& & : & ! A ⋅ 2 x : A 2X1ninm: ( a ± b) = a ± !ab + b 3 (ătratul unui trinm: ( a + b + c ) = a + b + c + !( ab + ac + bc) ( a + b)( a − b) = a ! − b ! (rdu"ul "umei cu di$erenţa: 5 (rdu"ul a duă 'arante%e: ( a + b)( m + n ) = a( m + n) + b( m + n) 6 u>ul unui >inm "umă: 2a>33a>!>3 7 u>ul unui >inm di$erenţă: 2aS>33a>!S>3 - 2a>2a!Sa>>! 3 8 2aS>2a!a>>! 3 &,2a! >!21! W! < 2a1 ^ >W ! 2a1 >1 !; A de"cm'une in $actri e1're"ie in"eamna a "crie e1're"ia re"'ectiva ca un 'rdu" de alte e1're"ii care nu "e mai 't de"cm'une? !$d #!&'&a! a(rin $actr cmun & .caterea $actrului cmun: ab ± ac = a ( b ± c ) >(rin $rmule ! Re"tr4nerea 'ătratului unui >inm: a ± !ab + b = ( a ± b) 3 #i$erenţa de 'ătrate: a − b = ( a + b)( a − b) .uma de cu>uri a3>3<2a>2a!Sa>>! 5 #i$erenţa de cu>uri: a3S>3<2aS>2a!a>>! 6 Re"tr4nerea cu>ului unui >inm: a33a! >3a>!>3< 2a>3 7 Re"tr4nerea cu>ului unui >inm a3S3a! >3a>!S>3<2aS> 3 - #e"cm'unerea unui trinm de $rma: x ! + mx + n ; dacă
!
!
!
3
#e"cm'unerea n $actri
!
!
!
!
!
!
!
!
a ⋅ b = n si a + b = m a* b ∈ !
atunci: x ! + mx + n = ( x + a )( x + b) ?
c(rin ru'ări de termeni
RAPOARTE TITL5L
!
EXEMPLE, EXPLICAŢII
CONŢIN5T5L5I Ra'arte de numere re're%entate 'rin litere
Dxemple) ! x
;
3
5
Am'li$icarea
x +
;
5
&
Am'li$icarea x +! A
Dxemplu)
6
.im'li$icarea
x ! − 8
cu cndiţia ca
numitorul ≠ , ?
m m ⋅ & = ; n n ⋅ &
3 x x − ! m
.im'li$icarea
! x x − !
;
=
2 &
=
n
3 x 2 x + !A 2 x − !A2 x + !A m : & n : &
=
+ 6 x ? x ! −
3 x !
;
'entru a "im'li$ica un ra'rt de $a't "e caută c?m?m?d?c? al termenilr
ra'rtului dat? + x + ; "e de"cm'un n ! x − $actri termenii ra'rtului =i du'ă aceea "e "im'li$ică? 2 x +! ! ( x + !) ! x + x + x + ! = = ? ! ( x + !)( x − !) x − x − ! Adunarea "au "căderea
Dxemplu:
7
Adunarea "au "căderea
& :n
.ă "e "im'li$ice ra'rtul:
& :*
m + n
x
!
p 2 & : n ⋅ m + 2 & : * ⋅ p = * &
;
Unde & e"te c?m?m?m?c? al lui n =i *. Dxemplu: 3 x x + !
-
nmulţirea
+
! x !
nmulţirea Dxemplu:
8
m'ărţirea
m'ărţirea Dxemplu:
& ,
Ridicarea la 'utere
& &
Ridicarea la 'utere cu e1'nent număr neativ
x −! A
=
−
x + !
m p ⋅
n
x
3 x
*
⋅
=
+
m ⋅ p
2 x + !A2 x − !A
;
n ⋅*
x + !
3 x ! − 6 x + ! − 6 x + ! ? = = 2 x + !A2 x − !A 2 x + !A2 x − !A 3 x !
!
x 2 x + !A
=
x + 3 x − 3 2 x + 3A2 x − 3A m p m * m ⋅* : = ⋅ = ; n * n p n ⋅ p x − & ! x − ! : x + ! x − !
=
=
x − & x − !
⋅
x + ! ! x − !
x
!
x
=
+ ! x ? −8
!
2 x − &A2 x − !A 2 x + !A ⋅ !2 x − &A
=
x − ! ! x +
?
a
a m m = Ridicarea la 'utere ; n n a ! ! x x = x ! = Dxemplu: ? x −& 2 x −&A! x ! − ! x +&
−a
m = n a Ridicarea la 'utere ; ma n −! x = 2 x −&A ! = x ! − ! x + & Dxemplu: ? x ! x! x −&
F5NCŢII TITL5L CONŢIN5T5L5I & Nţiunea de $uncţie & & &
EXEMPLE, EXPLICAŢII #aca $iecărui element din mulţimea A i cre"'unde un element din mulţimea ) "'unem că e"te de$inită $uncţie 'e A cu valri n )? .e ntea%ă: f : A → B? A < dmeniul de de$initie*
) < cdmeniul $unctiei?
f : { − !;,;&;!;3} → #* f 2 x A = x + 3
Dxemplu)
! 3
uncţii de$inite 'e mulţimi $inite* e1'rimate 'rin diarame* ta>ele* $rmule* ra$ic
K& &
, !
! 3 5 5 7
* @ ? 2
3
uncţii de ti'ul f)A→ #* f1x3 8 ax : b0 unde A e"te un interval de numere reale
unctii de ti'ul f)#→ #* f1x3 8 ax : b
Dxemplu)
.ă "e cn"truia"că ra$icul $uncţiei f :ZK!;→ #, f 2 x = −3x + ! ; (entru x = −! ⇒ f 2 −!A = 6 + ! = - ⇒ A2 −!;-A ; (entru x = ⇒ f 2 A = −&! + ! = −&, ⇒ B 2 ;−&,A ; ra$icul $uncţiei e"te un "ement de drea'tă ce une=te 'unctele A =i B* nc+i" n A =i de"c+i" n B? #acă mulţimea A e"te un interval de numere mărinit la e1tremă =i nemărinit la cealaltă e1tremă* atunci ra$icul $uncţiei e"te "emidrea'tă cu riinea n e1trema mărinită a intervalului? 8m%'# .a "e cn"truia"că ra$icul $uncţiei f)#→ #, f 2 x =
&! x &7 − ; && &&
(entru 7! &7 55 x = 6 ⇒ f 26A = − = = 5 ⇒ A26;5A ; &&
&&
&&
(entru − 6, &7 − 77 − = = −7 ⇒ B2 − x = −5 ⇒ f 2 −5A = &&
&&
&&
ra$icul $uncţiei e"te drea'tă ce trece 'rin 'unctele A =i B?
EC5AŢII, INEC5AŢII. SISTEME DE EC5AŢII TITL5L CONŢIN5T5L5I (r'rietati ale & relatiei de ealitate in multimea numerelr reale
EXPLICAŢII &? /ricare ar $i numerele reale a, b, c, d , daca a = b "i c = d atunci a + c = b + d !? /ricare ar $i numerele reale a, b, c, d , daca a = b "i c = d atunci a c = b - d 3? /ricare ar $i numerele reale a, b, c, d , daca a = b "i c = d atunci a
!
c = b d ? /ricare ar $i numerele reale a, b, c, d , c 0 , d 0, daca a = b "i c = d atunci a c = b d. Ecuaţii de $rma (r'%iţia cu varia>ilă de $rma ax : b < , "e nume=te ecuaţie cu ax + b = , * necun"cută* unde a =i b "unt numere reale? a ∈ #U* b ∈ #? ntrK ecuaţie avem **dre'tul de a trece termeni dintrKun mem>ru n alt mem>ru cu "emnul "c+im>at? ntrK ecuaţie avem **dre'tul de nmulţi\m'ărţi ealitatea cu un număr di$erit de %er? (rcedeul e"te utili%at 'entru eliminarea numitrilr =i la $inal a$larea necun"cutei? Ecuaţii ec+ivalente #uă ecuaţii "unt ec+ivalente dacă au aceea=i "luţie? )a%4nduK"e 'e 'r'rietăţile ealitatăţii* "e 't >ţine ecuaţii ec+ivalente 'rnind de la ecuaţiei dată? (r'rietati ale relatiei & /ricare ar $i numerele reale a, b, c, d , daca a b "i c = d atunci a + c de inealitate **≤ 'e b + d multimea R ! /ricare ar $i numerele reale a, b, c, d , daca a b "i c = d atunci a c b d 3 /ricare ar $i numerele reale a, b, c, d , daca a b "i c = d "i '%itive* atunci a c b d "i a c b d daca c "i d "unt di$erite de %er? /ricare ar $i numerele reale - "i &* daca - & "i K ,* atunci: - K & K "au - > K & > K. Inecuaţii de $rma (r'%iţia cu varia>ilă de $rma a + b 0 "e nume=te inecuaţie ax + b < ,* 2 >* ≤* ≥ * cu necun"cutăă* unde a =i b "unt numere reale? a ∈ #U* b ∈ #? ntrK inecuaţie avem **dre'tul de a trece termeni dintrKun mem>ru n alt mem>ru cu "emnul "c+im>at? ntrK inecuaţie avem **dre'tul de nmulţi\m'ărţi inealitatea cu un număr di$erit de %er? (rcedeul e"te utili%at 'entru eliminarea numitrilr =i la $inal a$larea necun"cutei?
3
5
'acă o inecua(ie se +a $nmul(iE$mpăr(i cu un număr negati+ atunci sensul inegalită(i se schimbă.
!$da "d#c"&& .e alee necun"cută cu "c'ul de a $i **redu"ă ţi "e identi$ică ce$icienţii "ăi; .e a$lă c?m?m?m?c? al ce$icienţilr =i "e nmulţe"c ecuaţiile a"t$el nc4t "ă "e >ţină ce$icienţii necun"cutei numere 'u"e; a& * a ! * b& * b! * c& * c! ∈ .e adună ecuaţiile =i "e >ţine ecuaţie cu "inură necun"cută* du'ă care "e re%lvă; La $el "e 'rcedea%ă =i cu cealaltă necun"cută? !$da #b!&!#&& .e a$lă dintrK ecuaţie necun"cută n $uncţie de cealaltă necun"cută; .e intrduce valarea ace"tei necun"cute n cealaltă ecuaţie =i "e re%lvă ecuaţia; .e a$lă cealaltă necun"cută?
6
.i"teme de ecuaţii de $rma a& x + b& + c& = , , a! x + b! + c! = ,
7
(r>leme ce "e re%lvă cu aFutrul ecuaţiilr* inecuaţiilr =i a "i"temelr de ecuaţii
8!a%' d "$':a" a #n& %"$b'm &? .ta>ilirea datelr cun"cute =i a celr necun"cute din 'r>lemă? !? Aleerea necun"cutei 2necun"cutelr =i e1'rimarea celrlalte date necun"cute n $uncţie de acea"ta 2ace"tea? 3? Alcătuirea unei ecuaţii 2"i"tem de ecuaţii cu necun"cuta 2necun"cutele alea"ă 2ale"e* $l"ind datele 'r>lemei? ? Re%lvarea ecuaţiei 2"i"temului de ecuaţii? 5? Veri$icarea "luţiei?
6? rmularea cnclu%iei 'r>lemei?
GEOMETRIE Mf.URARE gI Mf.URI
&
TITL5L CONŢIN5T5L5I Lunime
EXEMPLE, EXPLICAŢII
Unitatea de mă"ură a lunimii e"te metrul 2 m? Multi'lii metrului K m: &dam = &,m ? &hm = &,dam = &,,m ? &&m = &,hm = &,,dam = &,,,m ?
.u>multi'lii metrului: &m = &,dm = &,,cm = &,,,mm ? &dm = ,*&m = &,cm = &,,mm ? &cm = ,*,&m = ,*&dm = &,mm ?
!
Arie
Vlum
a'acitate
5
TITL5L CONŢIN5T5L5I Ma"ă
= ,*,&dam
!
= ,*,,,&hm
!
= ,*,,,,,&&m
&mm !
= ,*,,,,,&m
!
= ,*,,,&dm
!
= ,*,&cm
?
!
?
Alte unităţi de mă"ură a ariei: &ha = &,,,,m ! ? &ar = &,, m ! ;
&ha = &,, ari ?
Unitatea de mă"ură a vlumului e"te metrul cub 2 m7? Multi'lii metrului cu> ^ m7: &dam3 = &,,,m 3 ? &hm3 = &,,,dam3 = &,,,,,,m 3 ? &&m3 = &,3 hm3 = &,6 dam3 = &,8 m3 ? &m 3 = &,−3 dam 3 = &,−6 hm 3 = &, −8 &m3 ? .u>multi'lii metrului cu> ^ m7: &m 3 = &,,,dm3 = &,,,,,,cm3 = &,,,,,,,,,mm3 ? 3 3 3 3 &dm = ,*,,&m = &,,,cm = &,,,,,,mm ? 3 3 3 3 &cm = ,*,,,,,&m = ,*,,,&dm = &,,,mm ? &mm 3 = &,−8 m 3 = &, −6 dm 3 = &,−3 cm3 ? Unitatea de mă"ură 'entru ca'acitate ^ litrul ? Multi'lii litruluiK l : &&l = &,hl = &,,dal = &,,,l ? &l = ,*&dal = ,*,&hl = ,*,,&&l ? .u>multi'lii litrului: &l = &,dl = &,,cl = &,,,ml ? &ml = ,*,,&l = ,*,&dl = ,*&cl ? L#7)$ &l = &dm 3 ? 3 dm = &,,,l ? &m 3 = &,,,
EXPLICAŢII
!
.u>multi'lii metrului 'ătrat ^ m : &m ! = &,,dm! = &,,,,cm ! = &,,,,,, mm! ? ! ! ! ! &dm = ,*,&m = &,,cm = &,,,,mm ? ! ! ! ! &cm = ,*,,,&m = ,*,&dm = &,,mm ?
3
&m !
6
&mm = ,*,,&m = ,*,&dm = ,*&cm ?
Unitatea de mă"ură a ariei e"te metrul pătrat 2 m6? Multi'lii metrului 'ătrat ^ m6: &dam ! = &,,m ! ? &hm ! = &,,dam ! = &,,,,m ! ? &&m! = &,,hm! = &,,,,dam! = &,,,,,,m ! ?
&m = ,*&dam = ,*,&hm = ,*,,&&m ?
Unitatea de mă"ură 'entru ma"ă e"te gramul 2 g ? Multi'lii ramuluiK g : &dag =&, g ? &hg =&,dag =&,, g ? &&g =&, hg = &,, dag =&,,, g ? & g = ,*&dag = ,*,&hg = ,*,,&&g ? .u>multi'lii ramului: & g =&, dg = &,, cg =&,,, mg ?
6
Tim'
7
Un+i
&dg = ,*& g =&, cg =&,, mg ? &cg = ,*,& g = ,*&dg =&,mg ?
&mg = ,*,,& g = ,*,&dg = ,*&cg ?
&h<&,,X &t<&,h<&,,,X &v<&,t Unitatea de mă"ură a mă"urii a tim'ului e"te ora 2 h .u>multi'lii &+< 6, min & min< 6," Multi'lii &%i
;IdURI dE/METRI:E
&
TITL5L CONŢIN5T5L5I P)*)(
!
D#--
EXPLICAŢII P)*)( e"te $iura emetrică ce "e a"eamănă cu urmă lă"ată de un crein; (unctul nu are dimen"iune; (unctele "e ntea%ă cu litere mari de ti'ar: A* )* *??* A&* A!*9 D#-- e"te $iura emetrică ce "e a"eamănă cu un $ir $arte "u>ţire 'er$ect ntin"; #rea'ta are "inură dimen"iune K lunimea;
#re'tele "e ntea%ă a"t$el: A)* )* 9* d0 d 9 0 d 6* 9 P(-*)( e"te $iura emetrică ce "e a"eamănă cu '4n%ă $arte "u>ţire 'er$ect ntin"ă; (lanul are duă dimen"iuni ^ lunimea =i lăţimea; (lanele "e ntea%ă a"t$el: 2A) "au , , , 9 S#%$(-*)( ^ drea'tă inclu"ă ntrKun 'lan m'arte 'lanul dat n duă "emi'lane?
3
P(-*)(
S#%$(-*)(
5
S#%$8#--
S#%$8#-- ^ e"te drea'ta mărinită la un ca'ăt?
6
S#%#*)( 8# 8#-7
S#%#*)( 8# 8#-7 ^ e"te drea'ta mărinită la am>ele ca'ete?
7
(%iţii relative a duă dre'te n "'aţiu
-
8
#re'te 'aralele
5*$)(
Dxplicatii)
a dre'te identice; > dre'te cncurente* d & ∩ d ! = {F} ; c dre'te 'aralele* d & ∩ d ! = ∅ =i c'lanare; d dre'te arecare* d & ∩ d ! = ∅ =i nec'lanare; #uă dre'te di"tincte a =i >* cnţinute n acela=i 'lan care nu au nici un 'unct cmun "e nume"c dre'te 'aralele T1 #aca dua dre'te inter"ectate de de "ecanta $rmea%a: • ie un+iuri alterne interne cnruente • ie un+iuri alterne e1terne cnruente • ie un+iuri cre"'ndente cnruente • ie un+iuri interne "au e1terne de aceea"i 'arte a "ecantei "u'lementare* Atunci cele dua dre'te "unt 'aralele? T2 #ua dre'te inter"ectate de de "ecanta $rmea%a: • un+iuri alterne interne cnruente • un+iuri alterne e1terne cnruente • un+iuri cre"'ndente cnruente • un+iuri interne "au e1terne de aceea"i 'arte a "ecantei "u'lementare* T3 #uă dre'te 'aralele cu a triea "unt 'aralele ntre ele T4 #uă dre'te 'er'endiculare 'e drea'tă "unt 'aralele ntre ele
•
5*$)( ^ e"te $iura emetrică $rmată de duă "emidre'te cu riinea cmună?
cele duă "emidre'te "e nume"c laturi =i riinea cmună e"te v4r$ul un+iului a mă"ura un un+i n"eamnă a mă"ura ]de"c+iderea dintre • "emidre'tele care $rmea%ă un+iul unitatea de mă"ură e"te radul cu "u>multi'lii : minutul* "ecunda •
&<6,j =i &j <6,
C(-:$+$-#- )*$)$(' 5* )*$ '-# +$ 5*$ *)( < un+iul a carui ma"ura e"te de ,k? 5*$ -:)$ < un+iul a carui ma"ura e"te mai mica de 8,k? 5*$ 8# < un+iul a carui ma"ura e"te de 8,k? 5*$ '&)< < un+iul a carui ma"ura e"te mai mare de 8,k? 5*$ -()*$ < un+iul ale carui laturi "unt una in 'relunirea celeilalte? D')7 )*$)$ ' +$ 5*$)$ '*)#*# < dua "au mai multe un+iuri care au ma"urile eale? 5*$)$ -8$-#*# < dua un+iuri care au : var$ul cmun* latura cmuna "i interiarele di$erite? 5*$)$ '%(#%#*-# < dua un+iuri care au "uma ma"urilr eala cu 8,k? 5*$)$ :)(#%#*-# < dua un+iuri care au "uma ma"urilr eala cu &-,k? 5*$)$(# '):# (- ;-+ au in cmun numai var$ul "i "unt $rmate de dua dre'te cncurente? T Un+iurile 'u"e la var$ "unt cnruente 2 au ma"urile eale
& ,
(er'endicularitate n 'lan? #re'te 'er'endiculare
5*$)$ +'%-# B* ))( )*)$ )*
TRIUNdlIUL
TITL5L CONŢIN5T5L5I
EXPLICAŢII
&
(erimetrul =i aria
(erimetrul P = a + b + c; a+b+c .emi'erimetrul p = ;
Aria
A =
Aria
A =
Aria
A =
!
a ⋅ ha !
=
b ⋅ hb !
a ⋅ b ⋅ "in C !
=
=
c ⋅ hc !
;
a ⋅ c ⋅ "in B !
=
b ⋅ c ⋅ "in A !
;
p 2 p − a A2 p −b A2 p −c A ;
Aria A<'r
Aria A =
Aria unui triun+i dre'tun+ic
la"i$icare triun+iului
3
Un+i e1terir unui triun+i
riteriile de cnruenţă a triun+iurilr
5
a%urile de cnruenţă a triun+iurilr dre'tun+ice
6 Metda triun+iurilr cnruente
TITL5L CONŢIN5T5L5I
#
Aria unui triun+i ec+ilateral
!
abc A =
A =
catetă& ⋅ catetă ! !
l ! 3
;
?
A. C(-:$+$-# $* +)*$# 8# (-)$ : &? Triun+i arecare < laturile au lunimi di$erite? !? Triun+i i""cel < dua laturi "unt cnruente? 3? Triun+i ec+ilateral < tate laturile "unt cnruente? . C(-:$+$-# $* +)*$# 8# )*$)$ : &? Triun+i a"cutitun+ic < tate un+iurile "unt a"cutite? !? Triun+i dre'tun+ic < are un un+i dre't? 3? Triun+i >tu%un+ic < are un un+i >tu%? m2 AC' < m2 ABC m2 BAC ? m2 AC' < &-,° − m2 BCA
ca%ul L?U?L: K duă triun+iuri arecare care au duă laturi =i un+iul cu'rin" ntre ele re"'ectiv cnruente* "unt cnruente ca%ul U?L?U: K duă triun+iuri arecare care au c4te latură =i un+iurile alăturate ei re"'ectiv cnruente* "unt cnruente ca%ul L?L?L: K duă triun+iuri arecare care au laturile re"'ectiv cnruente* "unt cnruente ca%ul L?U?U? K duă triun+iuri arecare care au c4te latură =i duă un+iurile re"'ectiv cnruente* "unt cnruente ca%ul ?? K duă triun+iuri dre'tun+ice care au catetele re"'ectiv cnruente* "unt cnruente ca%ul ?U? K duă triun+iuri dre'tun+ice care au cte catetă =i un un+i a"cuţit alăturat ace"teia re"'ectiv cnruente* "unt cnruente ca%ul ?I? K duă triun+iuri dre'tun+ice ce au i'tenu%ele =i c4te catetă re"'ectiv cnruente* "unt cnruente ca%ul I?U? K duă triun+iuri dre'tun+ice ce au i'tenu%ele =i un un+i a"cuţit re"'ectiv cnruente* "unt cnruente (entru a dvedi că duă "emente 2duă un+iuri "unt cnruente* căutăm "ă ncadrăm "ementele 2un+iurile re"'ective n duă triun+iuri a cărr cnruenţă 'ate $i demn"trată
EXPLICAŢII
7
Linii im'rtante n triun+i
Mediana
Mediatarea
)i"ectarea
.e nume=te %#8$-*- B* $)*$ "ementul determinat de un var$ =i miFlcul laturii 'u"e? T#'#%-> Medianele unui triun+i "unt cncurente ntrKun 'unct numit #*)( 8# #)-#@G . ATENTIE entrul de reutate "e a$lă la dua treimi de v4r$ =i treime de >a%ă? T#'#%-> ntrKun triun+i dre'tun+ic mediana cre"'un%ătare i'tenu%ei are ca valare Fumatate din lunimea i'tenu%ei? .e nume=te %#8$-'-#- )*)$ :#%#* drea'ta 'er'endiculara 'e "ement n miFlcul "ementului? T#'#%-> #acă un 'unct e"te "ituat 'e mediatarea unui "ement* atunci acel 'unct e"te eal de'artat de ca'etele "ementului? T#'#%-> Mediatarele unui triun+i "unt cncurente ntrK un 'unct numit #*)( #)()$ $)%:$: triun+iului? ATENTIE entrul cercului circum"cri" triun+iului e"te la eală de'artare $aţă de v4r$urile triun+iului .e nume=te &$:#'-#- )*)$ )*$ "emidrea'ta a$lată n interirul un+iului* cu riinea n v4r$ul un+iului* care "e'ară un+iul n duă un+iuri cnruente? T#'#%-> #acă un 'unct e"te "ituat 'e >i"ectarea unui un+i* atunci acel 'unct e"te eal de'ărtat de laturile triun+iului? T#'#%-> )i"ectarele "unt cncurente ntrKun 'unct numit #*)( #)()$ $*:$: n triun+i?
nălţimea
.e nume=te B*7(=$%#- )*)$ $)*$ 'er'endiculara du"ă din v4r$ul unui triun+i 'e latura 'u"ă? T#'#%-> Inălţimile unui triun+i "unt cncurente ntrKun 'unct numit ''#*) @ H .
Linia miFlcie n triun+i
.e nume=te ($*$# %$('$# B* $)*$ "ementul determinat de miFlacele a duă laturi ale triun+iului? T#'#%-> IntrKun triun+i linia miFlcie e"te 'aralelă cu a treia latura a triun+iului =i are lunimea eală cu Fumatate din lunimea laturii cu care ea e"te 'aralelă?
TITL5L CONŢIN5T5L5I
EXPLICAŢII
-
(r'rietăţile triun+iului?
8
Triun+iul i""cel ^ 'r'rietăţi
.uma mă"urilr un+iurilr unui triun+i e"te eală cu &-, ntrKun triun+i ec+ilateral* mă"ura unui un+i e"te 6, ntrKun triun+i dre'tun+ic* un+iurile a"cuţite "unt cm'lementare Un triun+i i""cel n care mă"ura unuia dintre un+iuri e"te 6, e"te ec+ilateral .e nume=te un+i e1terir al unui triun+i* un un+i care e"te adiacent =i "u'lementare cu un un+i al triun+iului Mă"ura unui un+i e1terir al unui triun+i e"te eală cu "uma mă"urilr celr duă un+iuri ale triun+iului neadiacente cu el )i"ectarea unui un+i e1terir al unui triun+i "e nume=te >i"ectare e1teriară a triun+iului cre"'un%ătare un+iului re"'ectiv )i"ectare e1teriară =i interiară a aceluia=i un+i "unt 'er'endiculare Triun+iul i""cel e"te triun+iul care are duă laturi cnruente? Z AB [ ≡ Z AC [
ntrKun triun+i i""cel un+iurile de la >a%ă "unt cnruente? ∠ B ≡ ∠C
&,
Triun+iul ec+ilateral ^ 'r'rietăţi
ntrKun triun+i i""cel >i"ectarea un+iului de la v4r$ e"te =i mediană* =i nălţime* =i mediatare? ntrKun triun+i i""cel medianele 2nălţimile "au >i"ectarele cre"'un%ătare laturilr cnruente* "unt cnruente?
Triun+iul ec+ilateral e"te triun+iul care are tate cele trei laturi cnruente? Z AB [ ≡ Z AC [ ≡ Z BC [ ? ntrKun triun+i ec+ilateral tate un+iurile "unt cnruente =i $iecare are mă"ura eală cu 6, ° ∠ A ≡ ∠ B ≡ ∠C ? ntrKun triun+i ec+ilaterat >i"ectarea ricărui un+i e"te =i mediană* =i nălţime* =i mediatare? .e nume=te triun+i dre'tun+ic triun+iul care are un un+i dre't ntrKun triun+i dre'tun+ic cateta care "e 'une unui un+i cu mă"ura de 3, are lunimea eală cu Fumătate din lunimea i'tenu%ei n rice triun+i dre'tun+ic lunimea medianei cre"'un%ătare i'tenu%ei e"te eală cu Fumătate din lunimea i'tenu%ei &? Terema lui (itara enerali%atb: a >! < a! c! ^ !a⋅)#* dacb m2∠)8,° ; > >! < a! c! !a⋅)#* dacb m2 ∠)8,° ; !? Relaţiile lui .teard /∈2): >!⋅)/ c!⋅/ ^ a!⋅A/ < a⋅)/⋅/;
&&
Triun+iul dre'tun+ic^ 'r'rietăţi
&!
Triun+iul arecare A) 2A#⊥)
3?
! ma
=
?
ha
=
5?
ba
=
!2b !
+ c! A − a! ;
!
p2 p − a 2 p − b2 p − c ;
a !
b +c
p 2 p − aAbc ;
6? Terema "inu"urilr:
a "in A
7? Terema c"inu"ului:
&3
TITL5L CONŢIN5T5L5I Triun+iul
a
!
=
b "in B
=
c "in C
= b + c − !bc c" A ; !
!
EXPLICAŢII Terema nălţimii
A'
!
= ! # ;
= B' ⋅ 'C
c" A =
b
!
+ c! − a! !bc
dre'tun+ic ^ relaţii metrice
A' =
Terema catetei Terema catetei Terema lui (itara
&
Relaţii trinmetrice
:$*
!
BC
= C' ⋅ BC = AB ! + AC !
600
&
! !
3
3 3 3
!
AC
4!0
!
BC AB = B' ⋅ BC !
300 !
':
AB ⋅ AC
3
! !
&
!
& !
"in α = c" α = tg α =
3
3 3
ipotenu/ă cateta alaturată ipotenu/ă cateta opusă
cateta alaturată
ctg α =
&
cateta opusă
cateta alaturată cateta opusă
"in α + c" ! α = & !
"in α = c" 28,°Kα ; c" α = "in 28,°Kα; t α = ct 28,°Kα; ct α = t 28,°Kα; & "in α t α < ; t α < ctα c" α & c" α ct α < ; ct α < tα "in α
TRI5NGHI5RI ASEMENEA
TITL5L
EXPLICAŢII
&5
CONŢIN5T5L5I Terema lui T+ale" =i reci'rca ei
T#'#%-. F paralelă dusă la o latură $ntr@un triunghi determină pe celelalte două 1sau pe prelungirile lor3 segmente propor(ionale. AM MB
=
AN NC
R#$'-. 'acă punctele M ,i N determină pe &6
cele două laturi ale triunghiului ABC segmente propor(ionale atunci MN este paralelă cu BC. T#'#%-. F paralelă dusă la o latură $ntr@un triunghi formea/ă cu celelalte două 1sau cu prelungirile lor3 un triunghi asemenea cu cel dat.
Terema $undamentală a a"emănării
AM AB
&7
;$"ma b&c!$a"&
&-
riteriile de a"emănare a triun+iurilr
=
MN BC
=
AN AC
?
;$"ma b&c!$a"& 2∠)A# ≡ ∠#A B' AB a ⋅c a ⋅b = ; B' = ; 'C = 'C AC b +c b +c C6$.#6$)( 8#
C6$.#6$)( 8# -:#%7*-6#
C6$.#6$)( 8# -:#%7*-6# 55
-:#%7*-6# L5L
LLL
<$# !"&#n=>&#"& (#n! a(mna dac a# c?! d$# 'a!#"& "(%c!&: %"$%$"0&$na' -& #n=>&#"&' c#%"&n( @n!" ' c$n="#n!.
<$#a !"&#n=>&#"& (#n! a(mna dac a# !$a! 'a!#"&' "(%c!&: %"$%$"0&$na'.
<$# !"&#n=>&#"& (#n! a(mna dac a# c?! d$# #n=>&#"& "(%c!&: c$n="#n!.
AB MN
AB
=
MN
BC NP
=
BC NP
=
AC MP
N C
P
?
;
A N
(ATRULATERUL :/NVEo
&
TITL5L CONŢIN5T5L5I (atrulater cnve1
EXPLICAŢII (atrulaterul cnve1 e"te 'atrulaterul in care 'unctual de inter"ectie al celr dua dianale "e a$la in interirul ace"tuia 2mai "unt "i alte
de$initii? Are laturi 2A)* )* #* A#; Are dua dianale 2A* )#; Are var$uri 2A* )* * #; .uma ma"urilr un+iurilr intrKun 'atrulater cnve1 e"te eala cu 36,,? !
(aralelramul ^ 'r'rietăţi
3
#re'tun+iul ^ 'r'rietăţi 'articulare
Rm>ul ^ 'r'rietăţi 'articulare
5
6
(ătratul ^ 'r'rietăţi 'articulare
Tra'e%ul ^ linia miFlcie n tra'e%
Proprietati)
&? Laturile 'u"e "unt cnruente duă c4te duă? Z AB[≡ZC'[; Z BC [≡Z A'[ ? !? Un+iurile 'u"e "unt cnruente* A≡ C =i B≡ '; 3? Un+iurile alăturate "unt "u'lementare* m2 Am2 B<&-,, =i m2 B m2 C <&-,,; ? ntrKun 'aralelram dianalele "e inter"ectea%ă nFumătăţinduK"e* ZFA[≡ZFC [; ZFB[≡ZF'[ ? Alte proprietă(i)
&? Tate un+iurile "unt cnruente =i de 8,,? !? #ianalele "unt cnruente? Alte proprietă(i)
&? Tate laturile "unt cnruente; !? #ianalele "unt 'er'endiculare; 3? #ianalele "unt =i >i"ectarele un+iurilr? Alte proprietă(i)
&? !? 3? ? 5?
Tate laturile "unt cnruente; Tate un+iurile "unt cnruente =i de 8,,; #ianalele "unt cnruente; #ianalele "e inter"ectea%ă 'er'endicular una 'e cealaltă; #ianalele "unt =i >i"ectarele un+iurilr?
egmentul de dreaptă care une,te miGloacele laturilor neparalele se nume,te linie miGlocie.
7
Tra'e%e 'articulare
MN =
B + b !
=i
4rape/ dreptunghic
MN
P"
BC ?
=
B − b !
4rape/ isoscel
ntrKun tra'e%
i""cel* un+iurile alăturate >a%elr "unt cnruente? ntrKun tra'e% i""cel dianalele "unt cnruente? 4rape/ dreptunghic ortodiagonal h = B ⋅ b
-
(liane cnve1e
TITL5L CONŢIN5T5L5I
4rape/ isoscel ortodiagonal h
=
B + b !
.uma .n a mb"urilr un+iurilr unui 'lin cnve1 cu n laturi: .n < 2n ^ !⋅&-,°
EXPLICAŢII
8
(erimetrul =i aria 'atrulaterelr "tudiate
A#HA NH PA#AIDIF>#AM A = ba/a ⋅ inaltimea = AB ⋅ h A = AB ⋅ A' ⋅ "in α d & ⋅ d ! ⋅ "in ( d & * d ! ) A = ! P = !2 AB + A'A A#HA NH '#DP4N>JH A = I ⋅ l d
A =
!
⋅ "in α
! P = !2 I + l
A#HA NH PA4#A4 A = l ! A =
d !
! P = l
d < l ! A#HA NH #FMB A =
d & ⋅ d !
! A = l ⋅ h A = l ! ⋅ "in α
P = l
A#HA NH 4#APD! A =
2 B + bA ⋅ h !
A = l m ⋅ h P = AB + BC + C' + 'A
:ER:UL
TITL5L
EXEMPLE, EXPLICAŢII
CONŢIN5T5L5I ercul ^ centrul ra%ă* diametru* di"c
&
C#)( e"te '$c#' $m!"&c al tuturr 'unctelr dintrKun 'lan eal de'ărtate $aţă de un 'unct $i1 numit cn!"#' cercului? O ? #*)( cercului OC < -<- cercului de lunime R; A < 8$-%#)( cercului; D < cardă;
!
Un+i la centru; un+i cu v4r$ul 'e cerc
< arc de cerc; < "emicerc? Un+i cu v4r$ul n centrul cercului
m2 AFB < m2 Un+i cu v4r$ul 'e cerc
m2 BCA < m2 \ !? .e nume=te un+i n"cri" n cerc* un+iul cu v4r$ul 'e cerc =i care are ca laturi duă carde? Mă"ura unui un+i n"cri" n cerc e"te eală cu Fumătate din mă"ura arcului cu'rin" ntre laturile "ale Mă"ura unui un+i cu v4r$ul 'e cerc care are latură cardă =i cealaltă latură tanentă la cerc e"te eală cu Fumătate din mă"ura arcului cu'rin" ntre laturi Tate un+iurile n"cri"e ntrKun "emicerc "unt un+iuri dre'te #acă avem duă un+iuri cnruente n"cri"e ntrKun cerc* cu v4r$ul n centrul cercului* ace"tea "u>ntind ntre laturile lr* duă arce cnruente?
3
Un+i cu v4r$ul n interirul cercului:
A
m2∠A/) <
#
M
m2A)
m2∠AM) < )
M #
Un+i cu v4r$ul n e1terirul cercului
m2∠AM) < T
A
m2∠)MT <
m2A) − m2 # ! m2) T − m2# T !
)
TITL5L CONŢIN5T5L5I
m2A) + m2 # !
EXPLICAŢII
5
arde =i arce n cerc
&? #acă arcul AB e"te cnruent cu arcul C' atunci =i Z AB[≡ZC'[? gi reci'rca e"te adevărată? !? #acă MC || N' atunci arcul C' e"te cnruent cu arcul MN ? 3? #acă F#⊥C' atunci P e"te miFlcul lui ZC'[ =i # e"te miFlcul arcului C'. F e"te centrul cercului; Q P P
(%itii relative 6 ale unei dre'te $ata de un cerc
7
-
Tanenta la cerc dintrKun 'unct e1terir cercului
ie 'unctul P e1terir cercului; PA =i re"'ectiv PB "unt tanente la
(atrulaterul n"cri" n cerc A
## )
8
Lunimea cercului* aria di"cului
#
cerc; FA⊥ PA; FB⊥ PB; Z PA[ ≡ Z PB[; FP ! < FA! AP ! • .e nume=te 'atrulater n"cri"* un 'atrulater care are v4r$urile 'e cerc • Un 'atrulater "e nume=te circum"cri" dacă laturile "ale "unt tanente unui cerc • (atru 'uncte "e nume"c cnciclice # dacă a'arţin unui cerc • Un 'atrulater "e nume=te in"cri'ti>il dacă v4r$urile "unt 'uncte cnciclice • Un 'atrulater n care un+iurile $rmate de dianale cu duă laturi 'u"e* "unt cnruente* e"te 'atrulater in"cri'ti>il • Un 'atrulater e"te in"cri'ti>il dacă =i numai dacă un+iurile 'u"e "unt "u'lementare ;$"ma '#& P!$'$m# A
Aria "ectrului de cerc 2/A A2FAC A =
&
TITL5L CONŢIN5T5L5I (liane reulate
π # ! ⋅ α ,
36,
EXPLICAŢII .e nume=te 'lin cnve1* un 'lin n care ricare ar $i latură a "a*
,
& &
& !
tate v4r$urile ne"ituate 'e latura cn"iderată "e a$lă de aceea=i 'arte a dre'tei n care e"te inclu"ă latura re"'ectivă .uma mă"urilr un+iurilr unui 'lin cnve1 cu n laturi e"te 2n ^ !_&-,p .e nume=te 'lin reulat un 'lin cnve1 cu tate laturile "ale cnruente =i tate un+iurile "ale cnruente /rice 'lin reulat "e 'ate n"crie n cerc .e nume=te a'temă a unui 'lin reulat "ementul care une=te miFlcul unei laturi a 'linului cu centru cercului circum"cri" acelui 'lin alculul elementelr n triun+iul ec+ilateral
l = # 3
h=
alculul elementelr n 'ătrat
l 3 !
Ti' 'lin reulat
# !
A =
3 # !
Triun+iul ec+ilateral (atratul
l = #
e1anul reulat
!
l
3
=
# ! !
=
l !
!
# 3 a= !
A =
3 # !
3
!
A =
3l ! 3 !
P = 6l .
l 2 # A
a 2 # A
,
a 2l A
l3< # 3 !
l6< #
TITL5L CONŢIN5T5L5I m'lemente de emetrie 'lanb
an
a< # a 6<
a3<
#
l 3
!
!
# 3 !
A3<
3 # !
6 !
P 2l A
A2l A
A2 # A
,
An
,
ln
l< #
A =
,
(lin reulat
3
A = l ! ! P = l .
A = ! #
alculul elementelr n +e1anul reulat
=
P = 3l .
l = # ! a
d = l
& 3
a
a <
l !
a6< l 3 !
3
A
!
A3<
l !
(n< nl 3
A< l ! 3
!
!
A6< 3l
!
(3< 3l (< l
3
(6< 6l
EXPLICAŢII Triun+iul rtic e"te triun+iul determinat de 'iciarele nblţimilr unui triun+i; dintre tate triun+iurile cu v4r$urile re"'ectiv 'e laturile unui triun+i 2"au 'e 'reluniri* triun+iul rtic are cel mai mic 'erimetru? eviana e"te drea'ta determinatb de v4r$ul unui triun+i =i un 'unct al
laturii 'u"e? Terema lui eva: evienele AM* )N* ( ale triun+iului A) "unt MB NC PA ⋅ ⋅ = &? cncurente dacb =i numai dacb MC NA PB
Terema lui Menelau": (e dre'tele )* A* A)* determinate de laturile triun+iului A)* "e cn"iderb 'unctele M* N re"'ectiv ( "ituate dub dintre ele 'e laturile triun+iului =i unul 'e 'relunirea unei laturi* "au tate trei 'e 'reluniri de laturi? (unctele M* N* ( "unt clineare dacb =i MB NC PA ⋅ ⋅ =&? numai dacb: MC NA PB
#rea'ta lui Euler: ntrKun triun+i arecare* 'unctele * / =i 2rtcentrul* centrul cercului circum"cri" =i centrul de reutate "unt clineare? #rea'ta lui .im"n: (riecţiile unui 'unct de 'e cercul circum"cri" unui triun+i* 'e dre'tele "u'rt ale laturilr ace"tuia* "unt clineare? ercul e1n"cri": unui triun+i e"te tanent la laturb a triun+iului =i la 'relunirile celrlalte dub laturi; centrul cercului e1n"cri" e"te inter"ecţia >i"ectarei unui un+i interir cu >i"ectarele celrlalte dub un+iuri e1teriare? ercul lui Euler 2cercul celr nub 'uncte: 'iciarele nblţimilr unui triun+i* miFlacele laturilr =i miFlacele "ementelr determinate de rtcentru =i v4r$urile triun+iului "unt cnciclice?
GEOMETRIA QN SPAŢI5 TITL5L CONŢIN5T5L5I 3 Relaţia de 'araleli"m n "'aţiu
EXEMPLE, EXPLICAŢII e dacă a || b =i b || c * atunci =i a || c.
Relaţia de 'er'endicularitate
#acă dre'tele a =i b "unt 'er'endiculare 'e acela=i 'lan* atunci ace"te dre'te "unt 'aralele ntre ele? a
5 6
7
-
⊥ α ;
A1ima 'aralelelr Un+iurile cu laturile re"'ective 'aralele
b
⊥ α ;
a b?
Dxplica(ii)
a%ul I − un+iurile "unt cnruente; a%ul II ^ un+iurile "unt "u'lementare?
Un+iul a duă dre'te n "'aţiu; dre'te 'er'endiculare
Dxplica(ii)
#acă avem dre'tele a =i b 2nec'lanare =i e"te nece"ar "ă a"im un+iul dintre ele* 'rcedăm a"t$el: căutăm drea'tă 'aralelă cu una dintre ele =i care are un 'unct cmun cu cealaltă 2de e1? b || c; Un+iul 'e care l $rmea%ă drea'ta c cu drea'ta a e"te =i un+iul dintre de'tele a =i b 2 un+iul de mă"ura ϕ ?
#rea'ta 'er'endiculară 'e un 'lan
Dxplica(ii)
#acă dre'tele a =i b ⊂ α =i
d ⊥ a si d ⊥ b * atunci =i d ⊥ α ? ;$"m / drea'tă 'er'endiculară 'e un 'lan e"te 'er'endiculară 'e rice drea'tă inclu"ă n 'lanul dat? 8
#i"tanţa de la un 'unct la un 'lan
Dxplica(ii) di"tanţa de la un 'unct la un 'lan e"te
**drumul cel mai "curt de la acel 'unct la 'lanul dat; di"tanţa de la un 'unct la un 'lan e"te lunimea "ementului de drea'tă 'er'endicular 'e 'lanul dat; (q < di"tanţa de la 'unctul ( la 'lanul α dacă (q⊥α? (entru a"ta e"te nece"ar:
P" ⊥ a* a ⊂ α P" ⊥ b* b ⊂ α & ,
Terema celr trei 'er'endiculare
b ⊂ α B ∈ b AB ⊂ α
&&
TITL5L CONŢIN5T5L5I (riecţii de 'uncte* de
⊥ α ⇒ MB ⊥ b AB ⊥ b a
EXEMPLE, EXPLICAŢII Dxplicatii)
"emente de drea'tă =i de dre'te 'e un 'lan
&!
(riecţia unui 'unct 'e un 'lan e"te un 'unct? #acă AAK⊥α* AK e"te 'riecţia lui A 'e 'lanul α? (riecţia unui "ement de drea'tă 'e un 'lan e"te un "ement de drea'tă? #acă AA⊥α* BB⊥α* AKBK e"te 'riecţia lui AB 'e 'lanul α? (riecţia unei dre'te 'e un 'lan e"te drea'tă? #acă AAK⊥α* BBK⊥α* AKBK e"te 'riecţia lui AB 'e 'lanul α?
Un+iul dintre drea'tă =i un 'lan; lunimea 'riecţiei unui "ement
Dxemplu E aplica(ie) #rea'ta AB nu e"te 'aralelă cu 'lanul α? BC ⊥α? Un+iul dintre drea'ta AB =i 'lanul dat e"te un+iul BAC de mă"ura β? #acă BC < 6cm =i AC <
-cm* atunci:
tg β =
BC AC
=
6 -
=
3
?
&3
Un+i diedru; un+iul 'lan cre"'un%ătr diedrului
Dxplica(ii)
&
(lane 'er'endiculare
α ∩ β = a Dxplicatii) #acă : b ⊂ β ⇒ β ⊥ α b ⊥ α
&5
&6
α ∩ β = m; b ⊂ β ; a ⊂ ⇒ δ = unghiul plan al
.au: #uă 'lane "unt %"%nd&c#'a" dacă mă"ura un+iului 'lan al diedrului celr duă 'lane e"te de 8,,? (unctul B e"te "imetricul lui A $aţă de 'unctul F dacă A0F0 B "unt cliniare =i AF8FBL (unctul B e"te "imetricul lui A $aţă de drea'ta a dacă A0 F0 B "unt cliniare* AB⊥a =i
.imetria $aţă de un 'unct n 'lan; "imetria $aţă de drea'tă n 'lan alculul di"tanţei de la un 'unct la drea'tă
AF8FB. ie ABCAKBKC 'ri"mă triun+iulară reulată
Dxemplu E aplica(ie)
drea'tă cu muc+ia >a%ei de 6 cm =i nălţimea de -cm? .ă "e a$le di"tanţa de la 'unctul AK la drea'ta BC. #e/ol+are: A'⊥ BC ; AAK⊥2 ABC ⇒ AK'⊥ BC ? A'
= l
Ar ' !
&7
alculul di"tanţei de la un 'unct la un 'lan
3 !
=6
3 !
=3
3?
= A' ! + AAr! = !7 + 6 = 8& ⇒ Ar ' =
Dxemplu E aplica(ie) ie ABC 'iramidă triun+iulară reulată drea'tă cu A) < &! cm =i nălţimea F < ! 6 cm? .e cere "ă "e a$le di"tanţa de la 'unctul F la 'lanul 2BC ? #e/ol+are)
MF
⊥2 ABC ;
FAr⊥ BC ;
⇒ MAr⊥ BC
[F ; 2MBC ] =d 2F ;MAr =FP
⇒ d
FAr= FP =
TITL5L CONŢIN5T5L5I
8&cm?
l 3
=
&! 3
6 F ⋅ FAr Ar
6 =
=
! 3; MAr= MF ! + FAr!
! 6 ⋅! 3 6
=
&! ! 6
=!
=
! + &!
!cm?
EXEMPLE, EXPLICAŢII
=
unde 36
=
6?
& -
Un+iul dintre duă 'lane
Dxemplu E aplica(ie) ie ABC' 'iramidă 'atrulateră reulată drea'tă cu AB < &-cm =i nălţimea F < &! cm? .e cere "ă "e a$le "inu"ul un+iului dintre 'lanele 2 ABC =i 2BC ? #e/ol+are)
MF
⊥2 ABC ;
⇒ =este α
FP =
AB
"in α =
= &- = 8;
! F
P
=
! 23 &! &5
=
FP
⊥ BC ;
⇒ MP ⊥ BC ;
unghiul d int re P =
5
:/R(URI dE/METRI:E
?
FP !
+F
!
=
-& +&
planele =
!!5
= &5?
2 A
&
TITL5L CONŢIN5T5L5I (araleli'i'edul dre'tun+ic
EXEMPLE, EXPLICAŢII #e"criere =i de"$ă=urata cr'ului 2la "cară mai mică >a%a e"te un dre'tun+i; a0b0c
'araleli'i'edului DR
CR Aa)a (#%"&$a"a
3R
CR
DR
AR
C
D
A
Formule: = ab Al = P b ⋅ h = !( ac + bc ) At = !( ab + bc + ac ) = abc d ! = a ! + b ! + c ! Ab
AR
A
3
Aa)a &n*"&$a"a
C
D
!
u>ul
#e"criere =i de"$ă=urata cr'ului 2la "cară mai mică tate $eţele 26 "unt 'ătrate; l < muc+ia cu>ului; d < dianala cu>ului; are &! muc+ii? DR
CR
AR
3R
CR
A
3
C
D
3
(ri"ma triun+iulară
(ri"ma 'atrulateră
TITL5L
Formule: Ab = l ! Al = l ! At = 6l ! = l 3
DR
D
AR
d = l 3
A
C
#e"criere =i de"$ă=urata cr'ului 2la "cară mai mică >a%a e"te un triun+i ec+ilateral; l < latura >a%ei; h < nălţimea 'ri"mei
Formule:
#e"criere =i de"$ă=urata cr'ului 2la "cară mai mică >a%a e"te un 'ătrat; l < latura >a%ei; h < nălţimea 'ri"mei; d < dianala 'ri"mei
Formule:
Ab
=
l ! 3
Al = P b ⋅ h
= 3l ⋅ h At = Al + ! ⋅ Ab = Ab ⋅ h
= l ! Al = P b ⋅ h = l ⋅ h At = Al + ! ⋅ Ab = Ab ⋅ h d ! = h ! + !l ! Ab
EXEMPLE, EXPLICAŢII
