Mekanika Lagrangian (Fowles)
Supardi
Mekanika Lagrangian
Melalui mekanika Lagrangian ini persamaan gerak Newton untuk sistem sederhana akan diberikan dengan lebih siphisticated. Koordinat Umum Posisi partikel di dalam ruang dapat ditentukan melalui 3 koordinat. Koordinat tersebut dapat dapat berupa berupa kartes kartesan, an, bola bola atau atau silind silinder er.. Jika Jika benda benda berger bergerak ak dalam dalam bidang, bidang, maka maka deraja derajatt kebebasanna ada !, jika benda bergerak dalam ruang 3", maka derajat kebebasanna ada 3. Untuk kasus N partikel, maka kita membutuhkan 3N koordinat untuk menentukan posisi dari seluruh partikel tersebut. Jika terdapat kendala dalam sistem, maka jumlah koordinatna # 3N. Misalna untuk benda tegar, maka ang dibutuhkan adalah posisi pusat massa dan orientasi bendana. Jadi hana $ koordinat saja. Misal Misalna na koordi koordinat nat diberi diberi simbol simbol q % , q !, ⋯ , q n sebagai sebagai koordin koordinat at umum. umum. Koordi Koordinat nat q k bisa berupa jarak atau sudut. Jika untuk menentukan sebuah sistem, sebuah koordinat dapat bebas maka sistem tersbut disebut sistem holonomik dan dan sebalikna disebut nonholonomik. Jika sistem berupa partikel, partikel, maka koordinat koordinat kasrtesan dapat dinatakan dinatakan dalam koordinat umum x = x ( q )
Jika
& & % derajat kebebasan
x = x ( q%, q !) y = y ( q %, q !)
& ! derajat kebebasan
x = x ( q%, q !, q 3) y = y ( q %, q !, q3 ) z = z ( q%, q!, q 3)
& 3 derajat kebebasan
q berubah dari nilai awal
( q %, q !, ⋯) ke nila nilaii teta tetang ngga ga
(q %+ δ q%, q ! +δ q !, ⋯) maka
perubahan tersebut kaitanna dengan koordinat kartesan
∂ x ∂ x dq% + dq +⋯ ∂ q% ∂ q! ! ∂ y ∂ y dq %+ dq +⋯ δ y = ∂q% ∂ q! ! δ x =
'%(
%
Mekanika Lagrangian (Fowles)
Supardi
)ontoh %. Untuk gerak partikel di dalam bidang, misal dipilih koordinat polar maka
q %=r dan
q !=θ sehingga x = x ( r , θ)=r cos θ ,
y = y ( r , θ)= r sin θ
'!(
∂ x ∂ x δ r + δ θ= cos θδ r −r sin θδ θ ∂θ ∂ r ∂ y ∂ y δ y = δ r + δ θ= sin θδ r + r cos θδ θ ∂θ ∂ r
'3(
δ x =
jika sistem terdiri atas banak partikel dengan n derajat kebebasan, koordinat umumna dinatakan
oleh q %, q!, ⋯ , qn
sehingga
perubahan
kon*igurasi
q %, q!, ⋯ , qn ke
dari
q %+δ q%, q ! +δ q !, ⋯ , q n +δ q n menebabkan perubahan dalam koordinat kartesan
∂ x i δ qk k ∂ q k n ∂ y δ y i=∑ i δ q k k ∂ qk n ∂ z δ z i=∑ i δ q k k ∂ q k n
δ x i =∑
'+(
aa Umum
δ r karena adana pengaruh gaa
Jika benda bergeser sejauh
F
maka kerja ang
dilakukan oleh gaa tersebut adalah
δ w = F ⋅δ r = F x δ x + F y δ y + F z δ z atau δ w =∑ F i δ xi
'-(
i
Ungkapan tersebut tidak hana untuk % partikel saja, tetapi juga untuk banak partikel. Untuk % partikel i % & 3, untuk N partikel i % & 3N. Jika
δ x i kemudian dinatakan dalam koordinat
umum, maka
∂ xi δ q k i k ∂ q k ∂ x δ w =∑ ∑ F i i δ q k ∂ q k i k ∂ x δ w =∑ ∑ F i i δ q k ∂ q k k i δ w =∑ Q k δ q k δ w =∑ F i ∑
( (
)
)
'$(
k
!
Mekanika Lagrangian (Fowles)
Supardi
dimana Qk =
∂ x i
∑ F ∂ q
& aa umum
i
i
'/(
k
Gaya Umum untuk sistem konsevatif Partikel ang berada dalam medan konser0ati*, gaana dinatakan oleh F i =−
∂ V ∂ x i
'1(
sehingga gaa umum dalam medan konser0ati* dinatakan oleh Qk =
∂ x i
∑ − ∂∂ xV ∂ q i
i
k
∂ V ∂ q k
'2(
Qk =−
q %=r dan q !=θ maka gaa umumna adalah
Misal untuk koordinat polar dimana Qr =−
∂ V ; ∂ r
Q θ=−
∂ V ∂θ
'%(
Persamaan Lagrange Untuk memperoleh persamaan di**erensial tentang gerak, maka kita mulai dengan ungkapan F i =m x¨ i
'%%(
4nergi kinetik ang dimiliki oleh N partikel adalah N
T =
∑ %! m ( x ˙ + y ˙ + z ˙ ) i
i
i
i
3N
'%!(
% !
=∑ m x ˙ i i
dimana x i merupakan *ungsi koordinat umum x i≡ x i ( q %, q!, q3, ⋯ , q n ,t ) , sehingga x˙ i=
∂ x i
∑ ∂q k
ingat bahwa
k
q˙k +
∂ x i ∂ t
'%3(
i =%, ⋯ , 3 N & menatakan jumlah partikel k = %, ⋯ , n & menatakan jumlah derajat kebebasan
5pabila x i bukan *ungsi t , maka diperoleh ungkapan
3
Mekanika Lagrangian (Fowles)
Supardi
∂ x ˙ i ∂ xi = ∂ q˙k ∂ qk
'%+(
Jika kedua ruas dikalikan dengan x˙ i kemudian diturunkan terhadap t , maka diperoleh
∂ x ˙ i d x˙ i dt ∂ q˙k
=
∂ x i d x˙ i dt ∂ q k
= x ¨ i x˙i
!
d dt
= x ¨ i
∂ q˙k
'%-(
x˙ ∂( i )
∂( ) !
∂ xi ∂ x ˙ i + x ˙ ∂ qk i ∂ qk
∂ x i ! + ∂ q k ∂ q k
dengan mengalikan kedua ruas dengan m m x˙ i
!
d dt
∂(
∂(
m x ˙ i
) ∂ x i ! =m x + ¨ i ∂ q˙k ∂ q k ∂ qk ∂ x ∂ T d ∂ T = F i i + dt ∂ q˙k ∂ qk ∂ qk !
)
'%$(
( )
dengan menjumlah ke seluruh I d dt
∂ x ∂ T ∂ T =∑ F i i + ∂ q˙k ∂ qk ∂ qk i
(17)
d dt
∂ T ∂ T =Qk + ∂ q˙k ∂ q k
'%1(
maka
Persamaan '%1( inilah ang disebut persamaan Lagrange. Untuk gerak konser0ati* dimana Q=−
∂ V , maka ungkapan '%1( dapat ditulis kembali menjadi ∂ q k d dt
∂ T ∂ T ∂ V = − ∂ q˙k ∂ q k ∂ q k
'%2(
Jika diberikan *ungsi Lagrange L =T −V
'!(
+
Mekanika Lagrangian (Fowles)
Supardi
dimana T dan V dinatakan dalam koordinat umum V ≡V ( q k ) &
∂ V = , maka ∂ q˙k
∂ L ∂ T ∂ L ∂ T ∂ V = = − dan ∂ q˙k ∂ q˙k ∂ q k ∂ qk ∂ q k
'!%(
sehingga persamaan Lagrange untuk sistem ang konser0ati* adalah d dt
∂ L ∂ L = ∂ q˙k ∂ q k
'!!(
Jadi, persamaan di*erensial gerak untuk sistem konser0ati* dapat diperoleh jika *ungsi Lagrange dalam set koordinat diketahui. Jika gaa umumna tidak konser0ati*, misal
Q ' k 'misal ada gaa gesek( dan sebagian
dapat diturunkan & *ungsi potensial V aitu
∂ V ∂ q k
'!3(
∂ L ∂ L =Q' k + ∂ q˙k ∂ q k
'!+(
Qk =Q ' k − maka dari L =T −V diperoleh d dt
Aplikasi persamaan Lagrange Untuk mengaplikasikan persamaan Lagrange maka langkah6langkahna adalah %. Pilih koordinat ang sesuai untuk menggambarkan kon*igurasi dari sistem tersebut. !. 7entukan T sebagai *ungsi koordinat dan turunan waktu. 3. Jika sistem konser0ati* maka carilah V sebagai *ungsi koordinat, jika sistem nonkonser0ati* maka carilah gaa umumna & Q k . +. Persamaan di*erensial gerak diberikan oleh %.
d dt
d ∂ L d ∂ L ∂ T ∂ T ∂ L ∂ L , atau . =Qk + = =Q' k + dt ∂ q˙k ∂ q k dt ∂ q˙k ∂ q˙k ∂ q k ∂ q k
)ontoh !. 8silator harmonik "itinjau sebuah osilator harmonik dimana terdapat gaa redaman ang sebanding dengan kecepatan. Jadi sistem adalah nonkonser0ati*. Jika x adalah pergeseran, maka *ungsi Lagrangena adalah
-
Mekanika Lagrangian (Fowles)
Supardi
% % ! ! L =T −V = m x˙ − k x ! !
dimana m adalah massa benda dan adalah parameter sti**ness. "engan mengaplikasikan pers. Lagrange, dimana
∂ L ∂ L =− x = m x˙ dan ∂ x˙k ∂ x dengan kehadiran gaa redaman ang sebanding dengan kecepatan aitu
−! x ˙ maka
persamaan gerakna menjadi d ( m x˙ )=−! ˙ x − x dt m ¨ x +! ˙ x + x=
)onto 3. Partikel tunggal di dalam medan central Marilah kita mencari persamaan gerak Lagrange untuk partikel ang bergerak di dalam bidang di bawah medan central. "alam hal ini kita memilih koordinat polar
q %=r dan
q !=θ , maka r
=r e
r
% ! % ! ! ! T = m" = m ˙r + r θ˙ ! ! V = V (r ) % ! ! ! L =T −V = m ˙r + r θ˙ −V ( r ) !
(
)
(
)
Kemudian
∂ L ∂ L = m ˙r , = mr θ! − # ( r ) ; ∂ r˙ ∂ r ∂ L = m r ! θ˙ , ∂ L = ∂θ ∂ θ˙ Karena sistemna adalah konser0ati*, maka persamaan gerakna adalah d ( m r ˙ )= mr θ!− # ( r ) & dt d ˙ & ( mr ! θ)= dt
!
mr
!
m r¨ −mr θ
+ # ( r )=
˙ !on$t%n θ=
)ontoh -. Mesin 5twood "iketahui mesin atwood terdiri atas dua massa
m% dan m! ang diikat pada masing6 $
Mekanika Lagrangian (Fowles)
Supardi
masing ujungna. 9istem hana memiliki % derajat kebebasan. Koordinat x mewakili kon*igurasi sistem, dimana x adalah jarak 0ertikal massa m% dari katrol. Laju anguler katrol adalah x˙ / % , dengan % adalah radius. 4nergi kinetik sistem adalah % x˙ % ! % ! T = m % x˙ + I ! + m! x˙ ! ! % ! !
dimana I adalah momen inersia katrol. 4nergi potensial sistem adalah V =−m% &x − m! & ( l − x ) :ungsi Lagrangena adalah % % x˙ % ! ! L = m% x˙ + I ! + m ! x˙ + m% &x − m! & ( x − l ) ! ! % ! !
∂ L m x I x˙ m x = % ˙ + ! + ! ˙ ∂ ˙ x % ∂ L = m% & −m! & ∂ x sehingga menghasilkan d x˙ ( m% x ˙ + I ! + m! x˙ )=( m%+ m! ) & dt % I (m% + m! + ! ) x¨ =( m%− m!) & % m%− m ! x¨ = & I m% + m !+ ! % "ari ungkapan percepatan tersebut dapat diketahui bahwa apabila bergerak turun dengan percepatan konstan, sebalikna jika
m % > m! maka
m% akan
m % < m ! maka m% akan bergerak
ke atas dengan percepatan konstan.
)ontoh $. Katrol ganda "iketahui sistem katrol ganda, dimana satu katrol bergerak bebas. 9istem ini jelas memiliki dua derajat kebebasan. Kita akan menentukan kon*igurasi sistem dengan koordinat x dan x'. alam kasus ini, diabaikan massa dari katrol sehingga sekarang kita dapat menentukan energi kinetik
/
Mekanika Lagrangian (Fowles)
Supardi
dan potensialna sebagai berikut % ! % ! % ! T = m% x˙ + m! ( x˙ ' − x˙ ) + m3( x ' ) + x ˙ ˙ ! ! ! V =− m% &x −m! & ( l − x + x ' )− m3 & ( l − x + l ' − x ' ) L =T −V % % % ! ! ! = m% x˙! + m ! ( x˙ ' !−! x ˙ ˙ x ' + x˙ )+ m 3 ( x ˙ + ! x ˙ ˙ x ' + x ˙ ' )+ m% &x + m! & (l − x + x ' )+ m3 & ( l − x + l ' − x ' ) ! ! ! ∂ L ∂ L = m% ˙ x + m! (− x˙ ' + x → =m% & − m! & −m3 & ˙ )+ m3 ( x ˙ + x ˙ ' ) ∂ ˙ x ∂ x d ∂ L ∂ L = →→( m% + m! + m3 ) x ¨ +( m3− m!) x ¨ ' =( m%−m!− m3) & dt ∂ x˙ ∂ x ∂ L ∂ L = m! ˙ x ' − m! ˙ x + m3 x ˙ + m3 ˙ x ' → = m! & −m3 & ∂ ˙ x ' ∂ x ' d ∂ L ∂ L = →→ m! ( x¨ ' − x¨ )+ m3 ( x¨ + x¨ ' )=(m!− m3) & dt ∂ x ∂ x
( ) ( )
)ontoh $. erak partikel pada bidang miring ang sedang bergerak "itinjau sebuah partikel bergerak pada bidang miring ang licin, dimana bidang tersebut juga sedang bergerak. "isini terdapat ! derajat kebebasan aitu x dan x'. 7entukan persamaan gerak partikel tersebut. 4nergi kinetik dan energi potensial sistem masing6masing adalah % % ! % ! ! % ! ˙ ! + ! x T = x˙ + m " = x˙ + m ( x ˙ x ˙ ' cos θ+ x˙ ' ) ! ! ! ! V =−m & x ' sin θ % % ! % ! ! % ! ! L =T −V = x˙ + m" = x˙ + m( x˙ + ! x ˙ x ˙ ' cos θ+ x˙ ' )+ m& x ' sin θ ! ! ! ! d ∂ L ∂ L ∂ L = x˙ + m x = → ( )= ˙ + m x ˙ ' cos θ , dt ∂ x˙ ∂ x ∂ x ˙ x¨ + m x ¨ + m x ¨ ' cos θ= ∂ L = m x cos θ+ m x ' , ∂ L =m& sin θ ˙ ˙ ∂ x ∂ x ' ˙ ' d ∂ L L ( )=∂ →→ m x ¨ cos θ+m x ¨ ' =m& sin θ dt ∂ x ˙ ' ∂ x ' dengan menelesaikan untuk x¨ dan x¨ ' diperoleh
1
Mekanika Lagrangian (Fowles) x¨ =
− & sin θ cos θ , m+ − cos θ m
Supardi x¨ ' =
& sin θ !
mcos θ %− m+
Momentum umum. Koordinat Pandanglah sebuah partikel bergerak dalam garis lurus. 4nergi kinetik ang dimiliki adalah % ! T = m x˙ ! Momentum partikel dalam diperoleh dari besaran =
∂ T /∂ x ˙ , aitu
∂ T ∂ x˙
'!$(
"alam kasus dimana sistem dideskripsikan dalam koordinat umum
q % , q ! , q 3 , ... , q n , maka
besaran ) k dide*inisikan oleh k =
∂ L ∂ q˙k
'!/(
dan disebut momentum umum. Misal, salah satu koordinat tidak dinatakan secara eksplisit di dalam L 'misal
q λ , maka
)˙ λ = atau ) λ = . Koordinat
∂ L = ∂ qλ
'!1(
q λ dikatakan sebagai koordinat ang dapat diabaikan. Momentum
umum ang bersesuaian dengan koordinat ang diabaikan merupakan konstanta geraka sistem. 9ebagai contoh, untuk partikel ang bergerak dalam bidang miring ang licin bahwa koordinat x 'posisi bidang( tidak masuk dalam *ungsi Lagrange L. "alam hal ini, koordinat x adalah koordinat ang diabaikan, dan ) x =
∂ L = ( x˙ + m ˙ x + m ˙ x ' cos θ= !on$t%nt ∂ x ˙
) x disini merupakan total komponen momentum linier pada koordinat x, dan berarti tidak ada gaa hori;ontal ang bekerja partikel sehingga momentumna konstan. )ontoh lain untuk koordinat terabaikan adalah pada gerak partikel di dalam medan central. "alam koordinat polar
2
Mekanika Lagrangian (Fowles) % ! ! ! L = m ˙r + r θ˙ !
(
dalam hal ini
Supardi
)−V ( r )
adalah koordinat terabaikan sehingga
˙ !on$t%nt θ=mr θ= !
ang merupakan momentum anguler di sekitar origin. )ontoh 1. Pendulum s*eris "itinjau sebuah benda bergerak bebas di dalam permukaan mangkok.
atau
ϕ . "alam hal ini benda memiliki ! derajat
kebebasan. Kon*igurasi benda dapat dijelaskan dengan koordinat
dan ϕ . 4nergi kinetik
dan energi potensial ang dimiliki oleh benda adalah % % ! * ! ! * T = m" = ml (θ ˙ + ϕ ˙ sin θ ) dan ! !
dengan mengingat bahwa
v
V = m&l ( %− cos θ)
= r˙ e + r θ ˙ e + r ϕ ˙e r
% ! % ! * * ! L =T −V = m" = ml (θ ˙ +ϕ ˙ sin θ )−m&l ( %−cos θ) ! ! d ∂ L ∂ L ∂ L ! * ml ϕ ˙ sin θ cos θ − m&l sin θ = ml !θ ˙ → = ml !θ ¨ ; = ∂θ dt ∂ ˙ θ ∂ ˙θ ! ! ˙* +%di , ml θ ¨ = ml ϕ sin θ cos θ −m&l sin θ d ∂ L ∂ L ml ! ϕ sin !θ ∂ L = → = ml ! ϕ ¨ sin !θ ; = ˙ ∂ ˙ϕ ∂ϕ dt ∂ ˙ϕ +%di , ϕ = dengan demikian dalam kasus ini
ϕ merupakan koordinat ang terabaikan.
Jika diperhatikan, ketika tidak terjadi perubahan pada kordinat ϕ &
ϕ= ˙ , maka kita
memiliki
¨ + & sin θ = θ l ang tidak lain merupakan persamaan bandul sederhana.
Prinsip Variasi Hamilton. Cara lain menurunkan persamaan Lagrange 9ejauh ini, pengkajian terhadap mekanika didasarkan pada hukum gerak Newton. "alam bagian awal dari bab ini, ketika kita menurunkan persamaan Lagrange, kita menggunakan hukum kedua Newton sebagai asumsi. Nah, dalam bagian ini kita akan menurunkan persamaan Lagrange %
Mekanika Lagrangian (Fowles)
Supardi
tersebut bukan berdasarkan hukum kedua Newton melainkan dengan meode baru ang disebut rin$i "%ri%$i %milton. 9ir =illiam >.
∫ L dt
'!2(
t %
selalu dalam asumsi bernilai ekstrem, dimana L - T V merupakan *ungsi Lagrange dari sistem tersebut. "engan kata lain dapat dijelaskan bahwa prinsip
δ∫ L dt =
'3(
t %
dimana
δ menatakan 0ariasi sempit. ?ariasi ini diperoleh dengan cara mengambil lintasan
integrasi ang berbeda dengan mem0ariasi koodinat umum dan kecepatan umum sebagai *ungsi t. Untuk menunjukkan bahwa persamaan di atas akan menuju langsung ke persamaan gerak Lagrange, maka kita akan menghitung 0ariasi tersebut secara eksplisit dengan mengasumsikan bahwa L sebagai *ungsi koordinat umum
q k dan kecepatan umum
q˙k .
9elanjutna, kita puna t !
t !
t !
t %
t %
t %
(
δ∫ L dt =∫ δ L dt =∫ ∑ k
)
∂ L q ∂ L q dt δ + δ ˙ = ∂ q k k ∂ q˙k k %%
Mekanika Lagrangian (Fowles)
Supardi
δ q k sama dengan selisih dari dua *ungsi waktu berlainan, sehingga
9ekarang
d dt
δ q˙k = δ qk "engan mengintegralkan suku terakhir dengan metode integral bagian maka diperoleh t !
∫ ∑k ∂∂ Lq˙k δ q˙k = t %
[∑ k
]
t !
t !
%
%
d ∂ L ∂ L q δ k −∫ ∑ δ qk dt dt q ∂ q˙k ∂ ˙ t k k t
tetapi, untuk nilai pasti dari limit
t % dan t ! , maka 0ariasi
δ q k = pada
t % dan t !
sehingga menghasilkan nilai nol untuk suku pertama. "engan demikian t !
[
t !
t %
k
t %
Jika koordinat umum
]
∂ L d ∂ L q dt − δ k = ∂ q k dt ∂ q˙k
δ∫ L dt =∫ ∑
q k semuana sembarang, maka 0ariasina
'3%(
δ q k juga sembarang. 8leh
karena itu suku di dalam integral harus sama dengan nol. jadi
∂ L d ∂ L − = , k =%,!,... , n ∂ q k dt ∂ q˙k Persamaan tersebut tidak lain adalah persamaan gerak Lagrange. Penurunan
di
atas
telah
diasumsikan bahwa *ungsi potensil ada atau sistem konser0ati*.
Fungsi Hamiltonian. Persamaan Hamiltonian Pandanglah *ungsi berikut dalam koordinat umum =
∑ q˙
k
)k − L
Untuk sistem dinamik sederhana, T merupakan *ungsi kuadrat dari
'3!( q˙k dan V adalah *ungsi q
saja. Jadi L =T ( q k , q˙ k )− V ( qk )
'33(
"ari teorema 4uler untuk *ungsi homogen dimana x %
d# d# d# d# + x ! + x 3 + ... + x n = n# dx % dx ! dx 3 dx n
'3+(
maka kita puna
∑ q˙
k
k
)k =
∑ q˙
k
∂ L ∂ L =∑ q˙ k =! T ∂ q˙k k ∂ q˙ k
9ehingga
%!
Mekanika Lagrangian (Fowles) =
Supardi
∑ q˙ − L =! T −(T −V )=T +V k
'3-(
k
akni bahwa *ungsi sama dengan energi total dari sistem ang ditinjau. Jika terdapat n persamaan ) k = sebagai penelesaian dari
∂ L , ∂ q˙k
k =%,!,3,. .. , n
q˙ dalam dan q/
q˙k = q˙k ( )k , q k )
"ari persamaan ini kita dapat menatakan sebagai *ungsi dan q, aitu
∑ )
( ) k , q k )=
k
q˙k ( ) k , q k )− L
k
9ekarang kita menghitung 0ariasi dari *ungsi ang bersesuaian dengan
[
δ k , δ q k
]
∂ L q ∂ L q δ =∑ ) k δ q˙ k + q˙k δ ) k − δ ˙k − δ k q q ∂ ∂ ˙ k k k 9uku pertama dan ketiga hilang karena
) k =∂ L /∂ q˙k . Mengingat
)˙ k =∂ L /∂ q k , maka
diperoleh
δ =∑ [ q˙k δ ) k − )˙ k δ q k ] k
9ekarang 0ariasi dapat dinatakan kembali oleh persamaan
[
]
δ =∑ ∂ δ )k − ∂ δ q k ∂ ) k ∂ qk k sehingga
∂ q = ˙ ∂ ) k k ∂ =− ) ˙ k ∂ qk
'3$(
Ungkapan '3$( inilah ang disebut persamaan gerak kanonik
sehingga =T + V =
% ! ! ) + x !m !
%3
Mekanika Lagrangian (Fowles)
Supardi
Persamaan gerakna
∂ = x˙ ∂ ) ) = x˙ , m
∂ =− )˙ ∂ x x =− )˙
"engan menggunakan persmaan pertama, maka persamaan kedua dapat ditulis menjadi x =−
d (m ˙ x ) dt
→ m ¨ x + x =
)ontoh %%. "apatkan persamaan gerak hamilton untuk partikel di dalam medan sentral. 4nergi kinetik dan potensial partikel adalah % ! ! * T = m ( ˙ r + r θ ˙ ) , V =V ( r ) ! ) ∂ T ∂ T ) r = = m r˙ → r˙ = r ; ) θ= = mr !θ ˙ m ∂ r˙ ∂ ˙θ
( )
→θ ˙ =
)θ !
mr
!
% ! ) =T + V = ) r + !θ !m r
+ V ( r )
Persamaan
∂ = r˙ ∂ ) r
∂ ∂ ˙ =− ) =θ ˙ r ; ∂ r ∂ ) θ ) = x˙ , m
∂ =− )th0t% ˙ ; ∂θ
x =− )˙
9elanjutna ) r = r˙ ; ∂ V ( r ) ) θ
∂ r
!
−
3
mr
) θ !
=− )˙ r ;
=θ˙ ;
mr =− ) ˙ θ
Persamaan terakhir memberikan momentum anguler ang konstan
˙ mh dan ) θ= kon$t%n= mr θ= !
mh m ¨r = ) ˙ r = 3 r
!
−
∂ V ( r ) ∂ r
%+
