MEKANIKA KLASIK.docx

DIKTAT MEKANIKA KLASIK 

DEDY SUYANTO Ph.D

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS UNIVERSITAS INDONESIA 2014/2015

MEKANIKA KLASIK  DEDI SUYANTO PhD Pustaka : 1. Thornton Thornton &Marion: Classial Classial D!na"is D!na"is o# Partil$s Partil$s an% S!st$" th $% 'rooks(Col$ Tho"son '$l"ont USA )**+. ). ,.'ar-$r an% M.OlssonClassial M.OlssonClassial M$hanis: M$hanis: A Mo%$rn P$rs/$ti0$)n% P$rs/$ti0$)n% $% Mra2 3ill144. 5. ol%st$inPool$ ol%st$inPool$ &Sa#ko: &Sa#ko: Classial M$hanis M$hanis 5r% $% A%%ison 6$sl$! )***. Ming g !"#

T$%i! &'h'('n

1

M$kanika N$2tonian7 /artik$l tun--al

)

5

+

1. 3uk uku" u" N$2t N$2ton on ). K$ran $ran-k -ka a Au Auan an 5. P$rsa $rsa"a "aan an $ra $rak k Satu Partik$l +. T$or $or$"a $"a Kons$r0asi . En$r-i 8. K$t$r $t$r9a 9ata tasa san n M$kanika N$2ton ra0itasi 1. Pot$n ot$nsi sial al ra0itasi ). ari ariss a!a a!a %an %an P$r"ukaan ET'A? M$kanika N$2tonian %an ra0itasi? '$9$ra/a M$to%$ Kalkulus ,ariasi 1. P$rn! $rn!at ataa aan n Masalah ). P$rsa $rsa"a "aan an Eu Eul$ l$rr 5. '$nt '$ntuk uk K$% K$%ua ua P$rsa"aan Eul$r +. @un un-s -sii '$9$ '$9$ra ra/a /a ,aria9$l

M")i'

A!*i+i*'(

R","-"n(i

Pa/an Tulis %an(atau LCD

Kuliah Mi"9ar %an Diskusi

1. Class lassi ia al D!na"is th E%. St$/h$n T  Thornton %an %an  $rr! ' Marion Marion /.+;7;4 ).

Pa/an Tulis %an(atau LCD

Kuliah Mi"9ar %an Diskusi

1. Class lassi ia al D!na"is th E%. St$/h$n T  Thornton %an %an  $rr! ' Marion Marion /.1;)7)*5 ).

Pa/an Tulis %an(atau LCD

Kuliah %an  Tu-as  Tu-as >la/oran %iku"/ul saat UAS?

Pa/an Tulis %an(atau LCD

Kuliah Mi"9ar %an Diskusi

1. Class lassi ia al D!na"is th E%. St$/h$n T  Thornton %an %an  $rr! ' Marion Marion /.)*7)) ).



In%$/$n%$n . P$rsa $rsa"a "aan an Eul Eul$r $r %$n-an Konstrain 8. Notasi B Prinsi/ 3a"ilton

8

1. Prin Prinsi si/ / 3a" 3a"il ilto ton n ). Koor oor%ina %inatt Di/$ru"u" 5. P$rsa $rsa"a "aan an La-ran-$ %i Koor%inat Di/$ru"u" +. P$rsa $rsa"a "aan an La-ran-$ %$n-an P$n-ali  Ti%ak%it$ntukan  Ti%ak%it$ntukan . E


;

Pa/an Tulis %an(atau LCD

Kuliah Mi"9ar %an Diskusi

1. Class lassi ia al D!na"is th E%. St$/h$n T  Thornton %an %an  $rr! ' Marion Marion /.));7)4 ).

Pa/an Tulis %an(atau LCD

Kuliah Mi"9ar %an Diskusi

1. Class lassi ia al D!na"is th E%. St$/h$n T  Thornton %an %an  $rr! ' Marion Marion /.));7)4 ).

Kuliah Mi"9ar %an Diskusi

1. Class lassi ia al D!na"is th E%. St$/h$n T  Thornton %an %an  $rr! ' Marion Marion /.);75)) ).

'$rkas Uian

Uian

Pa/an /an Tulis

Kul Kulia iah h

1. Classial D!na"is th E%. St$/h$n T  Thornton %an %an  $rr! ' Marion Marion /.+;74; ). 5. Class lassi ia al

1. T$or$"a $or$"a T$rkait $rkait En$r-i Kin$tik ). T$or $or$"a $"a Kons$r0asi 5. Dina" ina"ik ika a 3a"iltonian +. Ko"$n o"$nta tarr t$nt t$ntan an,aria9$l %ina"ika . ua uann- ,as ,as$ $ %an %an  T$or$"a  T$or$"a Liou0ill$ Liou0ill$ 8. T$or$"a $or$"a ,iria ,iriall $rak %i 'a2ah Pa/an Tulis P$n-aruh a!a %an(atau S$ntral LCD 1. Massa Massa T$r$%u $r$%uksi ksi ). P$rsa $rsa"a "aan an Int$-ral 5. P$rsa $rsa"a "aan an $ra $rak k +. Or9i Or9itt %i %i 'a2 'a2an an P$n-aruh a!a S$ntral . En En$r $r-i -i S$ntr S$ntri# i#uu-al al %an Pot$nsial E#$kti#  8. Uian T$n-ah S$"$st$r Kalkulus ,ariasi %an Prinsi/ 3a"iltonian 5* Mar$t F 11 A/ril

4

$r $rak %i 'a2a 'a2ah h

P$n-aruh a!a S$ntral

1*

11

1)

15

1+

%an(atau LCD

1. ). $ra $rak k Plan Plan$t $tar arii 5. Dina Dina"i "ika ka Or9i Or9ita tall +. Su%u Su%utt A/s A/si% i%al al %an %an Pr$sisi . Sta9 Sta9il ilit itas as Or9 Or9it it Sirkular Kui= ) >T'A? $rak %i9a2ah P$n-aruh a!a S$ntral

Dina"ika Sist$" Partik$l 1. Pusat usat Mass Massa a ). Mo"$n "$ntu" tu" Lin$ar Sist$" 5. Mo"$n "$ntu" tu" An-ular Sist$" +. En En$r $r-i -i Sist Sist$" $" . Tu"9uk u"9ukan an Elas Elastis tis Dua Partik$l 8. Kin$ Kin$"a "ati tika ka  Tu"9ukan  Tu"9ukan Elastis Elastis . Dina"ika Sist$" Partik$l 1. Tu" u"9u 9uka kan n in$lasti ). P$n $na" a"/a /annLintan3a"9uran 5. @or" or"ula 3a"9uran uth$r#or% +. $ra $rak k ok$t ok$t $rak %i %i K$ran-ka Auan Non7in$rsial 1. Sist Sist$" $" Koo Koor% r%in inat at '$r/utar ). a!a a!a S$n S$ntr tri# i#uu-al al %an Coriolis 5. $ra $rak k $lat $lati0 i0$ $  T$rha%a/  T$rha%a/ 'u"i 'u"i Din a"ika '$n%a P$al 1. $ra $rak k Pla Plana narr S$%$rhana ). T$n $nso sorr In$rs In$rsia ia 5. Mo"$n "$ntu" tu" An-ular

D!na"is th E%. St$/h$n T  Thornton %an %an  $rr! ' Marion Marion /.);75))

Mi"9ar %an Diskusi

+.

Pa/an Tulis %an(atau LCD

Kuliah Mi"9ar %an Diskusi

1. Class lassi ia al D!na"is th E%. St$/h$n T  Thornton %an %an  $rr! ' Marion Marion /.5);75 ).

Pa/an Tulis %an(atau LCD

Kuliah Mi"9ar %an Diskusi

1. Class lassi ia al D!na"is th E%. St$/h$n T  Thornton %an %an  $rr! ' Marion Marion /.5);75 ).

Pa/an Tulis %an(atau LCD

Kuliah Mi"9ar %an Diskusi

1. Class lassi ia al D!na"is th E%. St$/h$n T  Thornton %an %an  $rr! ' Marion Marion /.5;7+* ).

Pa/an Tulis %an(atau LCD

Kuliah Mi"9ar %an Diskusi

1. Class lassi ia al D!na"is th E%. St$/h$n T  Thornton %an %an  $rr! ' Marion Marion /.+117+8) ).

+. Su"9 Su"9u u Uta" Uta"a a In$rsia . Mo"$ Mo"$n n In$r In$rsi sia a untuk Sist$" Koor%inat '$n%a !an- '$r9$%a 8. Si#at7 Si#at7si# si#at at T$ns T$nsor or In$rsia . Din a"ika '$n%a P$al

1

1. Su%ut %ut Eu Eul$r l$r ). P$rsa $rsa"a "aan an Eul Eul$r $r '$n%a P$al 5. $ra $rak k '$9a '$9ass a!a asinSi"$tris +. $ra $rak k as asin inSi"$tris %$n-an Satu Titik T$ta/ . Sta9 Sta9il ilit itas as ota otasi si '$n%a P$al 18

Uian Ak Akhiir S$ S$"$st$r )715 uni Dina"ika Sist$r" Partik$l $rak %i k$ran-ka k$ran-ka non7in$rsia Dina"ika '$n%a P$al

Pa/an Tulis %an(atau LCD

Kuliah Mi"9ar %an Diskusi

1. Class lassi ia al D!na"is th E%. St$/h$n T  Thornton %an %an  $rr! ' Marion Marion /.+117+8) ).

'$rkas Uian

Uian

1. Classial D!na"is th E%. St$/h$n T  Thornton %an %an  $rr! ' Marion Marion /.+;74; ).

Ko"/on$n P$nilaian UTS G5* UASG5* Kui=G)*  Tu-as  Tu-as In%i0i%u %an %an K$lo"/ok K$lo"/ok G )*H >satu(%ua asist$n asist$n untuk 5 k$las k$las asist$n !an"$n-or$ksi?

Isi Kuliah: 1. M$kanika M$kanika N$2ton untuk /artik$l /artik$l tun--al. ). Osilasi Osilasi non non lin$ar lin$ar. 5. ra0 ra0it itas asi. i. +. Calu Calulus lus 0arias 0ariasi. i. . Dina"ik Dina"ika a La-ran-ian La-ran-ian %an 3a"ilton 3a"ilton.. 8. $rak $rak -a!a -a!a $ntral. $ntral. . Dina"ik Dina"ika a sisti" sisti" /artik /artik$l. $l. ;. $rak %ala" %ala" k$ran-ka k$ran-ka auan non non in$rsial. in$rsial. 4. Dina"ik Dina"ika a 9$n%a 9$n%a kaku kaku..

I.MEKANIKA NE6TON UNTUK PA PATIKEL TIKEL TUNAL. I.1 3uku" N$2ton 3uku" N$2ton I: '$n%a akan t$ta/ %ia" atau 9$r-$rak %$n-an k$$/atan konstan k$uali kalau %ik$nai -a!a. 3uku" N$2ton II: '$n%a %ik$nai -a!a "$n!$9a9kan /$ru9ahan i"/uls$

 F =

dp d ( mv )  = =m a dt  dt 

3uku" N$2ton III:'ila %ua 9$n%a 9$rint$raksi "aka  F  =− F  >aksi %an r$aksi /a%a 9$n%a !an- 9$r9$%a?.  F   G -a!a !an%i9$rikan 9$n%a 1 /a%a /a%a 9$n%a 9$n%a ). 12

21

12

M$nurut Aristot$l$s 9$n%a 9$r-$rak kar$na a%a !an"$n%oron-n!ahin--a 9$n%a !an- 9$r-$rak %$n-an k$$/atan konstan/un harus a%a -a!a !an- "$"/$n-aruhin!a. Ini %i9antah ol$h N$2ton !an- "$n!atakan 9ah2a 9$n%a >"assa? 9$rusaha "$"/$rtahankan in$rsian!a !aitu 9$n%a akan t$ta/ %ia" atau 9$r-$rak %$n-an k$$/atan konstan. 3uku" N$2ton I 9iasa %in!atakan s$9a-ai huku" in$rsia !aitu 9$n%a 9$rusaha "$"/$rtahankan k$a%aann!a kalau %ia" t$ta/ %ia" kalau 9$r-$rak %$n-an k$$/atan konstan t$ta/ 9$r-$rak %$n-an k$$/atan konstan. A%an!a -a!a luar "$n!$9a9kan /$ru9ahan /a%a -$rak 9$n%a. a!a "$ru/akan 9$saran 0$tor kalau 9$n%a %ik$nai 9$r9a-ai "aa" -a!a "aka r$sultant$ -a!a !an- "$n!$9a9kan /$r$/atan. P$ru9ahan -$rak "$ni"9ulkan /$ru9ahan /$r$/atan arah /$r$/atan sa"a %$n-an arah r$sultant$ -a!a !an- "$ni"9ulkann!a. Aksi %an r$aksi "$ru/akan /asan-an -a!a %an ti"9ul s$k$tika hin--a "ana !an- 9$raksi %an "ana !an- 9$r$aksi ti%ak r$l$0an. Untuk "$n--a"9arkan -$rak %i/$rlukan k$ran-ka auan huku" N$2ton 9$rlaku %ala" k$ran-ka auan in$rsial. Untuk "$"u%ahkan k$ran-ka auan in$rsial a%alah k$ran-ka auan !an- ti%ak "$n-ala"i /$r$/atan.Contohn!a k$r$ta !an- %ia" 9isa %i/akai s$9a-ai k$ran-ka auan in$rsial atau k$r$ta !an9$r-$rak %$n-an k$$/atan konstan u-a a%alah k$ran-ka auan in$rsial  ta/i k$r$ta !an- "$n-ala"i /$rla"9atan 9ukan k$ran-ka auan in$rsial. 'ila huku" N$2ton 9$rlaku /a%a s$9uah

k$ran-ka auan in$rsial "aka k$ran-ka auan lain !an- 9$r-$rak %$n-an k$$/atan k$$/atan konstan a%alah k$ran-ka k$ran-ka auan in$rsial u-a.

1.) P$rsa"aan $rak Partik$l. P$rsa"aan -$rak /artik$l %in!atakan ol$h

 F =

d p d (m v ) = = m ´r dt  dt 

 Yan Yan- "$ru/akan "$ru/akan /$rsa"aan %i#$r$nsia %i#$r$nsiall tin-kat %ua %ua %$n-an %ilakukan int$-ral akan %i%a/at r>t? 9ila -a!a @ %ik$tahui. %ik$tahui. S!arat 9atas %ari r %an 0 %i/akai untuk "$n$ntukan %ua konstanta int$-rasi. S$ara u"u" #un-si -a!a 9isa %ituliskan s$9a-ai @>r0t? %an s$ara s/$sik 9isa han!a #un-si salah satu 0aria9l$ atau ko"9inasi 9$r9a-ai 0aria9l$. D$n-an "$lihat 9$r9a-ai 9$ntuk %ari @>r0t? %an %is$l$saikan /$rsa"aan -$rakn!a 9isa %ilihat 9$ra-a" -$rak. 1. a!a a!a -$s -$s$k $k.. Contoh: Dua 9$n%a %ihu9un-kan ol$h tali "$l$2ati katrol katrol !an- liin. 'ila ko$si$n kin$tik  μk   t$ntukan J su/a!a 9$n%a 9$r-$rak %$n-an k$$/atan konstan.

Untuk 9$n%a ": "- F T G "a >arah k$9a2ah /ositi#?  TG " > - F a ? Untuk 9$n%a )" : %iarah ! : N7) " - os J G "  y´  G * 7 N G ) " - os os J %iarah : T F ) " - sinJ 7)

 μk 

" - osJ G ) " a

" > - F a? 7 ) " - sinJ 7) "- 7 ) " - sinJ 7)

 μk 

 μk 

" - osJ G ) " a

" - osJ G 5 " a

/a%a su%ut θ  su/a!a 9$n%a 9$r-$rak %$n-an k$$/atan konstan a G * 0

- 7 ) - sin  G sin

θ0

θ0

 7 )



 μk 

 μk 

 - os

 os

θ0

θ0

G*

 G sin

θ0



 μk 

1 2

( 1−sin θ )

2

Akar %ari /$rsa"aan kua%rat

).a!a /$n-ha"9at:

Untuk 9$n%a !an- 9$r-$rak %iatas "$a -a!a !an- 9$k$ra 9ol$h %ikatakan konstan %an #or"ulasi /$rsoalan ti%ak "$n-haruskan "$n-haruskan /$n!$l$saian /$rsa"aan %i#$r$nsial %ari /$rsa"aan -$rak. Pa%a -$rak /ro$ktil 9$n%a s$lain %i/$n-aruhi ol$h -a!a -ra0itasi !an- konstan u-a akan

%i/$n-aruhi -a!a /$n-ha"9at !an- ti"9ul %ari -$s$kan %$n-an "$%iu" %i"ana 9$n%a 9$r-$rak: @ G @ -ra0itasi  @ /$n-ha"9at G " -  @ /$n-ha"9at. a!a /$n-ha"9at %ala" "$%iu" 9iasan!a t$r-antun- /a%a k$$/atan akan %itunukan /$n!$l$saian -$rak 0$rtial 9$n%a %i"uka 9u"i %i"ana -a!a -$s$kan u%ara t$r-antun/a%a k$$/atan kua%rat. P$rsa"aan -$rakn!a : 2

 d  y 2 m 2  =−m g −m k v dt 

Di"ana k G konstanta. Su9stitusi: 2

d  y dv dv dy  dv  =  =  = v 2 dt  dy dt  dy d t 

/$rsa"aan -$rak a%i: v dv g+k v

2

mv

 dv =−m k v 2−m g dy

=−dy

Diint$-rasi: 1 2  log ( k v + g ) =− y + C  2 k 

D$n-an C a%alah konstanta !an- %it$ntukan ol$h s!arat 9atas 9ah2a /a%a ! G *  0 G v 0

2

Hingg'

 k v 0 + g 1  y = log 2 2 k  k v +g

u"us /$rsa"aan -$rak 9$ru/a /$rsa"aan %i$r$nsial tin-kat %ua t$r-antun- /$rsoalan !an- %iha%a/i "un-kin /$rsoalann!a /$rsoalann!a ti%ak /$rlu %iint$-ral atau 9isa %iint$-ral %$n-an "u%ah ta/i s$ara u"u" 9iasan!a /$rsa"aan!a harus %is$l$saikan. 1.5 3uku" K$k$kalan. 7 Mo"$ntu" liniar >/? /artik$l konstan 9ila ti%ak a%a -a!a !an- 9$k$ra /a%an!a.  F =

dp  = 0 → p =konstan dt 

K$k$kalan "o"$ntu" 9iasan!a %i/akai %ala" kasus tu"9ukan %i"ana u"lah "o"$ntu" s$9$lu" %an s$su%ah tu"9ukan sa"a. 7 Mo"$ntu"

su%ut: 9ila ti%ak "$n-ala"i torsi "aka "o"$ntu" su%ut /artik$l konstan. Mo"$ntu" su%ut L %i%$nisikan %i%$nisikan s$9a-ai L G r  /.  Torsi  Torsi N %i%$nisikan %i%$nisikan s$9a-ai s$9a-ai N G r  @

 N =r × m v´ =r × p ´

r a%alah 0$tor /osisi k$ t$"/at -a!a %ik$nakan. ´ =r´ × p + r × ´ p  L

ta/i r´ × p= ´r × m r´ =0 ´ =r´ × p = N   L

'ila ti%ak "$n-ala"i torsi N "aka L G konstan. 7 En$r-! total E konstan ti%ak t$r-antun- 2aktu untuk /artik$l !an- "$n-ala"i -a!a kons$r0ati#. En$r-! total E a%alah -a9un-an %ari $n$r-! kin$ti T %an $n$r-! /ot$nsial U. EGTU  Turunan  Turunan t$rha%a/ t$rha%a/ 2aktu %ari %ari E dE dT  dU   = + dt  dt  dt 

s$%an-   F.dr = d dU  = dt 

¿∑ i

∑ i

1 2

2

)

m v = dT →

dT   dr  = F .  = F . ´r dt  dt 

∂U  d x i ∂ U  + ∂ x i dt  ∂ t 

∂ U  ∂ U   x´ i + ∂ xi ∂ t 

¿ ∇ U . r´ +

s$hin--a

(

∂ U  ∂ t 

dE ∂ U  ∂ U   = F . ´r + ( ∇ U  ) ) . ´r + =( F + ∇ U ) . r´ + dt  ∂ t  ∂ t 

Untuk -a!a kons$r0ati#

 F =− =−∇ U 

'ila -a!a kons$r0ati# %an $n$r-! /ot$nsial ti%ak t$r-antun2aktu "aka $n$r-! /artik$l konstan. Arti sis %ari -a!a kons$r0ati# kons$r0ati# 9isa %ilihat %ari 2

2

 F =− =−∇ U 

2

∫ F . dr =∫ −∇ U .dr =−∫ dU =U  −U  1

1

1

2

1

K$ra !an- %ilakukan ol$h -a!a kons$r0ati# ti%ak t$r-antunlintasan han!a t$r-antun- titik a2al %an akhir. Dari %$nisi k$ra 6

2

∫

W 12=  F . dr 1

2

¿∫ 1

2

2

2

 dv  dr m dv m 2 1 1 2 2 m . dt = dt = d (  v )= m v 2− m v 1=T 2−T 1 dt  dt  2 2 2 1 2 dt  1

∫

∫

K$ra !an- %ilakukan -a!a @ s$/anan- lintasan sa"a %$n-an s$lisih $n$r-! kin$ti T. 1.+ En$r-! En$r-! "$ru/akan "$ru/akan 9$saran skalar s$ara /rinsi/ l$9ih "u%ah "$"akai 9$saran skalar %i9an%in-kan 9$saran 0$ktor s$/$rti -a!a kar$na ti%ak /$rlu "$"/$rhatikan arah. Pan%an- /artik$l !an- 9$r-$rak %i9a2ah /$n-aruh /ot$nsial kons$r0ati# 

P$rsa"aan 9isa %ituliskan

%iint$-rasi

S$ara /rinsi/ /$rsoalan -$rak /artik$l su%ah %a/at %ik$tahui artin!a >t? %i%a/at. '$ntuk %ari U>? akan "$n$ntukan %ina"ika /artik$l.

Dari 9$ntuk kur0a s$ara kualitati# 9isa %ik$tahui -$rak %ari /artik$l. Untuk /artik$l %$n-an $n$r-! E + -$rak 9$n%a ti%ak t$r9atas %an 9isa 9$ra%a %i"ana saa han!a k$$/atann!a 9$ru9ah t$r-antun- s$lisih %ari $n$r-! %an /ot$nsial 9ila /artik$l 9$r-$rak k$kanan akan "$n-ala"i /$r$/atan atau /$rla"9atan %an "$nuu tak 9$rhin--a. En$r-! E5 -$rakn!a t$r9atas s$9a-ian /a%a titik  - akan "$n-ala"i /antulan %an 9$r-$rak k$"9ali "$nuu tak 9$rhin--a. Pa%a E) -$rak t$r9atas /a%a %ua %a$rah !an- 9$r9$%a/artik$l !an- a%a %i satu %a$rah ti%ak 9isa /in%ah k$%a$rah k$%a$rah lain. Untuk E1 -$rak t$r9atas %an /artik$l 9olak 9alik %ari  a k$ 9. '$n%a %$n-an $n$r-! E * 9$ra%a %ala" k$a%an %ia" %i  * .

 Titik * %is$9ut titik s$ti"9an- 9$rlaku kon%isi

 Titik s$ti"9ans$ti"9an- 9isa sta9il sta9il 9ila %i-$s$r akan akan k$"9ali k$"9ali k$asaln!a k$asaln!a %an s!aratn!a %in!atakan ol$h

S$%an- titik s$ti"9an- !an- ti%ak sta9il kalau %i-$s$r akan "$nauh %ari asaln!a %an s!aratn!a a%alah

 arak antara antara /usat silin%$r %an /usat ku9us ku9us s$9a-ai #un-si #un-si su%ut:

Pot$nsial s$9a-ai #un-si su%ut:

( )

 R + ¿ mg [  R

b osθ + R θ sinθ ] 2

S!arat k$s$ti"9an-an

dU   = 0 padaθ =0 dθ

 $nis k$sta9ilan k$sta9ilan %ilihat %ilihat %ari

/a%a

( ) ( ) 2

d U  b = mg  R θ= 0 →  R− 2 2 dθ 0

Kalau   9() "aka k$s$ti"9an-an k$s$ti"9an-an sta9ils$9alikn!a sta9ils$9alikn!a  Q 9() k$s$ti"9an-an ti%ak sta9il. II A,ITASI. 3uku" -ra0itasi uni0$rsal N$2ton: tia/ 9$n%a "$narik 9$n%a lainn!a %iala" %$n-an -a!a !an- t$r-antunt$r-antun- /$rkalian "assa k$%uan!a %an 9$r9an%in- t$r9alik %$n-an arak kua%rat antara k$%uan!a.

S$ara kons$/sional huku" -ra0itasi N$2ton "$n!atakan 9ah2a -$rak 9$n%a %i an-kasa %an %i 9u"i sa"a.

u"us %iatas han!a 9$rlaku untuk /artik$l titik "assa " %an M. Untuk 9$n%a !an- kontin!u "$"/un!ai k$ra/atan R>r? %ian--a/ 9ah2a a%a $l$"$n 0olu"$ t$rt$ntu !an- "$"9$rikan

-a!a %an /$nu"lahan %ari s$luruh $l$"$n "$n-hasilkan "$n-hasilkan -a!a -ra0itasi.

Contoh : Misal a%a "assa M 9$r9$ntuk /irin- ti/is ari ari a hitun- -a!a !an- %iala"i " s$/anan- su"9u /irin-.

Pirin- "$"/un!ai si"$tri lin-karan hin--a -a!a /a%a 9i%an- hori=ontal salin- "$n-hilan-kan. 3an!a /$rlu %i/$rhatikan -a!a 0$rtial s$/anan- su"9u =.

Cos J G =(r

3in--a:

3ar-a @ n$-ati0$ "$nunukan 9ah2a 9$n%a salin- tarik "$narik. M$%an -ra0itasi %i%$nisikan s$9a-ai 0$tor !an"$n--a"9arkan "$n--a"9arkan -a!a /$rsatuan "asa !an- %iala"i 9$n%a !an- %iti"9ulkan ol$h 9$n%a M.

Di/$r"ukaan 9u"i 9$sar - a%alah /$r$/atan -ra0itasi. 7POTENSIAL A,ITASI a!a "$ru/akan 9$saran 0$tor s$ara /rinsi/ l$9ih "u%ah 9$k$ra %$n-an salar %i9an%in-kan 0$tor. Untuk "$%an -ra0itasi - 9$ru9ah t$r9alik %$n-an arak kua%rat hin--a - 9isa %ituliskan s$9a-ai -ra%i$nt s$9uah #un-si salar.

  a%alah /ot$nsial -ra0itasi!an-ra0itasi!an- "$"/un!ai satuan > -a!a("assa? arakG $n$r-! /$r satuan "asa. M$%an -ra0itasi -ra0itasi "$n-arah "$n-arah ra%ials$hin--a ra%ials$hin--a /ot$nsial -ra0itasin!a -ra0itasin!a han!a #un-si %ari r.

 Yan Yan- kalau %iint$-ral %iint$-ral hasiln!a hasiln!a

S$9$narn!a a%a konstanta int$-rasi ta/i 9iasa %i/ilih 9ah2a /ot$nsial -ra0itasi -ra0itasi har-an!a har-an!a G * /a%a r  V.Di/ilih titik titik auan V.  Pot$nsial -ra0itasi !an- %is$9a9kan ol$h %istri9usi "assa !ankontin!u:

Kalau "assan!a "$n!$9ar /a%a /$r"ukaan

 %$n-an Rs ra/at "asa /$r"ukaan >luas? S$%an- untuk "asa !an- 9$ru/a -aris %$n-an ra/at "asa liniar Rl :

U a%alah $n$r-! /ot$nsial "aka

S$hin--a ru"us -a!an!a a%i

Pot$nsial -ra0itasi %ari 9ola 9$rlu9an-:

9ola "$"/un!ai si"$tr! /a%a su%ut  int$-raln!a a%alah a%alah ) W

 %i %i#$r$nsial

Atau

'atas int$-ral r t$r-antun- %ari /osisi P. P t$rl$tak %iluar 9ola:

Untuk 9ola 9$ron--a "asa M 9$rlaku Pot$nsial -ra0itasi 9ola 9$ron--a /a%a titik %iluar 9ola:

'isa %i/$rluas untuk 9ola /$al %iluar 9ola /ot$nsial -ra0itasi 9ola "asa M sa"a %$n-an /ot$nsial -ra0itasi titik %i/usat "asa %$n-an "asa M >%i"$nsi 9ola ti%ak 9$r/$n-aruh?. 9$r/$n-aruh?. 'ila titik P 9$ra%a %ala" ron--a:

Pot$nsial -ra0itasi %ala" ron--a konstan%an ti%ak t$r-antunlokasi %i%ala" ron--a. P$rsa"aan Poisson: Untuk -a!a $l$tro"a-n$ti a%a /$rsa"aan Poisson !an"$n-hu9un-kan /ot$nsial %$n-an k$ra/atan "uatan. In-in %i9$ntuk /$rsa"aan Poisson untuk -a!a -ra0itasi. Misal a%a "asa " !an- t$rl$tak %ala" s$9uah /$r"ukaan /$r"ukaan S Xu -ra0itasi !an- 9$rasal %ari ":

int$-ral t$rha%a/ soli% an-l$Z G + W

Posisi " ti%ak "$n$ntukan %i"ana saa. Untuk ku"/ulan "asa !an- %iskr$t$

Untuk ku"/ulan "asa !an- kontin!u

 T$or$"a  T$or$"a %i0$r-$n %i0$r-$n auss: auss:

P$rsa"aan 9$ru9ah

0olu"$ , s$"9aran-

Masukan /$rsa"aan Poisson untuk /ot$nsial -ra0itasi. aris -a!a %an /$r"ukaan /$r"ukaan $ki/ot$nsial. Untuk "$n--a"9arkan "$%an -ra0itasi %ian--a/ 9ah2a %ari 9$n%a a%a -aris !an- k$luar %ari /$r"ukaann!a !an- s$arah %$n-an arah -. -aris ini %is$9ut -aris -a!a !an- 9$ra2al %i/$r"ukaan 9$n%a "$nuu tak 9$rhin--a. K$ra/atan -aris -a!a "$nunukan "$nunukan 9$sar %ari -a!a %i %a$rah t$rs$9ut u"lah -aris -a!a "$n$"9us /$r"ukaan satuan !an- t$-ak lurus -aris -a!a "$n$ntukan k$ra/atan.

Dari su%ut /an%an- /ot$nsial

P$rsa"aan ini "$n--a"9arkan s$9uah /$r"ukaan %i"ana har-a /ot$nsialn!a konstan%is$9ut /$r"ukaan $ki/ot$nsial. Kar$na "$%an -ra0itasi a%alah -ra%i$nt %ari /ot$nsial "aka -aris -a!a a%alah t$-ak lurus /$r"ukaan /ot$nsial t$r"asuk /$r"ukaan $ki/ot$nsial.

P$r"ukaan $ki/ot$nsial untuk %ua "asa M. '$9$ra/a karakt$ristik %ari /$r"ukaan $ki/ot$nsial: 7-aris -a!a t$-ak lurus /$r"ukaan $ki/ot$nsial ti%ak a%a k$ra kalau 9$r-$rak s$/anan- /$r"ukaan $ki/ot$nsial. 7#un-si /ot$nsial 9$rhar-a tun--al ti%ak a%a /$r"ukaan $ki/ot$nsial !an- 9$r/oton-an atau 9$rs$ntuhan. P$risti2a Pasan- Laut

Di9uat "o%$l %i"ana s$luruh /$r"ukaan 9u"i %ila/isi airrotasi 9u"i %ia9aikan han!a %i/$rhatikan int$raksi %$n-an 9ulan.%i9uat k$ran-ka auan >!=? Pan%an- /$n-aruh -a!a -ra0itasi 9u"i %an 9ulan t$rha%a/ "asa air "

S$%an- -a!a !an- %iala"i ol$h /usat 9u"i !an- %is$9a9kan ol$h 9ulan

P$r$/atan /usat 9u"i

Suku /$rta"a "$nunukan tarikan %ari 9u"i s$%an-kan suku k$%ua a%alah -a!a @ T/asan- !an- ti"9ul %ari s$lisih tarikan 9ulan %i/usat 9u"i %an %i/$r"ukaan %i/$r"ukaan 9u"i.

Pa%a titik a t$rauh %ari 9ulan   D suku k$%ua %o"inan %an -a!a /asan- s$/anan-  /ositi#. Untuk titik 9  Q D -a!a /asan- sa"a %$n-an %i a kar$na kar$na r QQ D ta/i "$n-arah s$/anan- F.

Diuraikan suku !an- %i9a2ah

Pa%a titik %iarah  $  %an $D salin- "$nia%akan  G D ta/i /a%a arah ! a%a s$%ikit ko"/on$n $  %i%$kati ol$h r(D

a!a ini %ititik  s$/anan- F! "$n-arah k$/usat 9u"i. 3al !an- sa"a %i titik % 9$sarn!a sa"a ta/i "$n-arah k$ !.

Pa%a titik s$"9aran- >!? 9isa %ituliskan -a!a /asan- laut

unakan

Untuk "$n-hitun- tin--i /asan- !an- t$ra%i N$2ton "$"9uat "o%$l an--a/ %i-ali %ua su"ur satu %iarah  >/asan-? %an lainn!a %i arah ! >surut?. 'ila tin--i /asan- a%alah h "aka /ot$nsial $n$r-! a%alah "-h ini sa"a %$n-an k$ra !an%ilakukan "$"9a2a "asa " %ari titik  k$/usat 9u"i k$"u%ian k$ a.

B1 %an B) "$nunukan 9ah2a 9u"i ti%ak 1** H 9ulat untuk "$"u%ahkan %ian--a/ nol.

K$ra ini sa"a %$n-an $n$r-! /ot$nsial "aka

Kalau %i"asukan har-an!a %i%a/at h G *.+ ". 'u"i 9$r/utar %$n-an /$rio%$ )+ a" s$%an- 9ulan "$n-$lilin-i 9u"i %$n-an /$rio%$ ).5 hari arah /utaran 9ulan %an 9u"i

sa"a"aka s$lisih antara %ua /$rio%$ ini akan "$n-hasilkan %ua kali /$rio%$ /asan-.

Kalau %ihitun- %i%a/at /$rio%$ /asan- a%alah 1) a") "$nit. Matahari akan "$"9$rikan /$risti2a air /asan- /$rsoalann!a sa"a han!a arak %an 9$sar "asan!a 9$r9$%a %$n-an 9ulan.

Kalau %ihitun- har-an!a a%alah ).)  2alau/un "asa "atahari 9$sar s$kali kar$na arakn!a "aka /$n-aruh /asan-n!a l$9ih k$il.

III DINAMIKA NON LINIA 7A!unan 7A!unan 'i%an'i %an-

"isal a%a /artik$l "asa " %iikat ol$h tali /anan- l 9$r-$rak "$lin-kar %ala" 9i%an- 0$rtial.torsi sa"a %$n-an "o"$n in$rsia kali /$r$/atan su%ut. %an



7

%i"ana

'ila si"/an-an k$il %an /$rsa"aan -$rak a%i -$rak osillator har"oni s$%$rhana:

D$n-an /$n%$katan 9$ntuk -a!a a%i liniar >/an-kat satu %ala" J ? %an /$rsa"aan -$rak 9isa %is$l$saikan %is$l$saikan s$ara analitik. S$ara u"u" -a!a !an- a%a %ala" a!unan 9i%an- a%alah -a!a nonlin$ar > sinJ ?. Sisti" a%alah kons$r0ati# $n$r-! totaln!a konstan. Pilih titik auan $n$r-! /ot$nsial /a%a titik t$r$n%ah:

A"9il

titik t$rtin--i "aka

unakan

7

%ari ru"us ini 9isa %i-a"9arkan %ia-ra" /has$

.

'ila

%an

k$il "aka

kor%inat ruan- /has$

%i-unakan %an "aka lintasan /has$ akan "$"9$ntuk lin-karan >osillator har"oni?. Untuk

%an

-$rakan a%alah -$rak t$rikat

%ala" su"ur /ot$nsial lintasan /has$ t$rtutu/.Pot$nsial t$rtutu/.Pot$nsial /$rio%i %ala" J "aka lintasan /has$ !ansa"a a%a %i

%sttitik a%alah titik s$ti"9an- sta9il %an "$ru/akan

attratorZ.

'ila $n$r-! total G "aka %an lintasan /has$ a%alah #un-si osinus. Akan a%a %ua a9ant$r-antun- arah -$rakan.ika a!unan %ia" %i a%an!a s$%ikit -an--uan "aka lintasan akan t$ra%i /a%a salah satu 9a-ian. Ciri %ari -$rak haoti !aitu s$nsiti0$ /a%a k$a%aan a2al. Untuk $n$r-!  "aka -$rak ti%ak 9olak 9alik 2alau/un "asih /$rio%i a!unan akan "$lakukan /utaran /$nuh. Lintasan /has$ !an- "$"isahkan antara -$rak t$rikat %an ti%ak t$rikat %is$9ut s$/aratri. Titik s$/aratri s$lalu "$l$2ati titik ti%ak s$ti"9an- -$rakan %is$kitar s$/aratri t$r-antun- /a%a k$a%aan a2al kar$na titik %is$kitarn!a "$"/un!ai lintasan /has$ 9$r9$%a.

Dari ru"us k$$/atan su%ut %i%a/at

%iint$-ral %ari k$

hasiln!a a%alah

a%i

!an- "$ru/akan int$-ral $lli/ti $nis /$rta"a. Su9stitusi

"aka

9isa %iint$-ral s$ara nu"$ri. Untuk -$rak osilasi

atau

suku 9isa %iuraikan

%$n-an

7 a"9il sa"/ai /an-kat +

Untuk -$rak lin$ar ru"us [>t? %i%a/at !an- 9$rarti -$rak s$tia/ saat 9isa %ik$tahui %ia-ra" /has$ "$"9antu %ala" /$n--a"9aran -$rak. S$%an- untuk %ina"ika nonlin$ar >haos th$or!? %ina"ika han!a 9isa %i%a/at %ari %ia-ra" /has$. 7A!unan T$r$%a" Di/aksa.

torsi t$rha%a/ titik a!un 9isa %ituliskan %$n-an I G "o"$n in$rsia G "l ) 9 #ator r$%a"a" %an N % torsi /$n--$rak %$n-an #r$ku$nsi 2%. 'a-i %$n-an I "aka %i-unakan %i-unakan /ara"$t$r ti%ak 9$r%i"$nsi







"aka







 /$rsa"a

an -$rak a%i "$ru/akan "$ru/akan PD tin-kat %ua nonlin$ar !an- 9$lu" a%a solusi analitikn!a. Salah satu /$n!$l$saian /$n%$katann!a 9iasa %ilakukan s$ara nu"$rik. 'iasan!a %iru9ah a%i PD tin-kat satu. Su9stitusi

"aka %$n-an . K$"u%ian k$%ua /$rsa"aan s$ara 9$rsa"aan %is$l$saikan s$ara nu"$rik. Salah satu "$to%$ nu"$rik untuk "$n!$l$saikan PD a%alah "$to%$ un-$7Kutta tin-kat $"/at: dy 1 so#$sinya y n +1= y n + ( k 1+ 2 k 2+ 2 k 3+ k 4 ) =!  ( ( x " y ) so#$sinya dx 6

(

1

1

2

2

k 1= % !  ( ( x n " y n ) k 2 =% !   xn + % " y n + k 1

(

)

)

1 1 k 3 =% !   x  x n + % " y n + k 2 k 4= % !  ( ( x n+ % " y n+ k 3 ) 2 2

Contoh

dy = x + y " y ( 0 )=1 " %= 0.1 dx

k 1= 0.1 ( 0 + 1 )=0.1 k 2=0.1 ( 0.05 + 1.05 ) =0.11 k 3 =0.1 ( 0.05 + 1.055 )=0.1105 k 4 =0.1 ( 0.1 + 1.1105 )=0.121  y ( 0.1 )=1.0 +

1 ( 0.1 +0.22 + 0.221 + 0.121 )=1.11034 6

7A!unan T$r$%a" P$rsa"aan %ituliskan %ala" 9$ntuk: &  &  2 v ( t ) + 'v ( t ) + ( 0 sinθ =0 " θ ( t )= v ( t )

unakan \G*.) 2 *G1 %an s!arat 9atas J>*? G * J>*? G +

 J>*?G).+4).84).;45.*45.)4 5.+4

k$$/atan uku/ tin--i hin--a a!unan 9$r/utar 1 kali. A%an!a r$%a"an k$$/atan "$n-$il %an a!unan akan "$nuu attratorZ /a%a JG) W %an JG*. '$r9a-ai har-a s!arat a2al "$n-hasilkan attrator !ansa"a ku"/ulan har-a ini %is$9ut 9asin o# attrationZ.  Titik J G *)W+W.. *)W+W.. JG* a%alah titik titik attrator %i"ana a!unan a!unan akan "$nuu. Dala" s$tia/ attrator t$r%a/at 9$r9a-ai har-a %i"ana lintasann!a akan "$nuu titik !an- sa"a kur0a !an"$"isahkan satu %a$rah %$n-an !an- lain %is$9ut s$/aratri.

7A!unan Di/aksa T$r$%a" P$rsa"aan %ituliskan s$9a-ai &  &  2 v ( t ) + 'v ( t ) + ( 0 sinθ = !  cos ( t " θ ( t )= v ( t )

D$n-an har-a har-a \ G *.) # G *.) 2 G *.84+ 2* G 1 %i%a/at

\ G *.) # G *.8 2 G *.84+

\ G *. # G 1.1 2 G )(5

\ G *.* # G *.8 2 G*.

# G *.

 # G *.;

 # G *.4

# G 1.*

# G 1.*1

 # G 1.1

7P$na"/an- Poinar$ >Poinar$ S$tion? Struktur %ari ruan- /has$ san-at ru"it %$n-an %i-unakann!a /$na"/an- Poinar$ "aka 9$ntukn!a a%i l$9ih s$%$rhana. Yan%ilakukan a%alah "$n-a"9il titik ruan- /has$ /a%a /$rio%$ t$rt$ntu >stro9oso/i 0i$2?.

P$r/oton-an antara lintasan /has$ %$n-an s$9uah 9i%an- akan "$n-hasilkan "$n-hasilkan s$9uah titik 9i%an- %i9uat /a%a int$r0al t$rt$ntu %an s$"ua titikn!a %i/ro!$ksikan /a%a satu 9i%an- akan "$n-hasilkan /$na"/an- Poinar$. Untuk -$rak !an- /$rio%i "aka akan %ihasilkan satu titik. S$%an- untuk -$rak haoti akan t$r%a/at 9an!ak titik. Untuk a!unan %i/aksa t$r$%a" 9iasan!a /$na"/an- Poinar$ %ia"9il %$n-an #r$ku$nsi #r$ku$nsi -a!a luar 2.

7Ma//inUntuk "$lihat 9a-ai"ana %ina"ika nonlin$ar 9$r-$rak %$n-an "$lihat k$a%aan >n1? %i%a/at %ari k$a%aan n >s$9$lu"n!a?. 3u9un-an %is$9ut "a//in- !an- "$n--a"9arkan "$n--a"9arkan 9a-ai"ana /$r-$rakan sisti". P$na"/an- Poinar$ 9isa %i/an%an- s$9a-ai "a//in- !an- "$ru/akan sna/shotsZ sna/shotsZ %ari 9i%an- /has$ %ia"9il /a%a /$rio%$ -a!a luar. T$r%a/at hu9un-an antara kor%inat >J n2n? %iakhir /$rio%$ n %$n-an kor%inat >J n1 2n1? %iakhir /$rio%$ k$ n1 !an- "$ru/akan "a//in- %ua %i"$nsi : ]n1 G # 1>Jn2n?  2n1 G# )>Jn2n? Sa"/ai saat ini ru"us "a//in- untuk /$n%ulu" a!unan t$r$%a" 9$lu" %ik$t$"ukan.  Yan Yan- 9an!ak %i/$laari %i/$laari a%alah "a//in"a//in- 9$ntuk t$rt$ntu t$rt$ntu !ank$"u%ian %iari sisti" !an- "$n-ikuti %ina"ika t$rs$9ut. P$ta Lo-istik > Lo-isti "a/?. P$rsa"aan "$nunukan 9ah2a # "$n-hasilkan "$n-hasil kan  n1 %ari n nilai n %i9atasi  %i9atasi >*1? %an ^ a%alah /ara"$t$r /ara"$t$r t$r-antunt$r-antun"o%$l. Untuk /$ta lo-isti 7 "o%$l ini 9iasan!a %i/akai untuk "o%$l /o/ulasi 9iolo-!. ontohn!a /o/ulasi ikan %ala" kola" "issal 1 a%alah /o/ulasi a2al ikan kar$na 9an!ak "akanan "aka  akan 9$rta"9ah 9$sar ta/i kar$na u"lah "akanan t$ta/ s$t$lah /o/ulasi t$rt$ntu  akan 9$rkuran-. D$n-an "$"/$laari "a/ %ihara/kan akan "$"9$rikan -a"9aran %ina"ika sisti" s$ara %iskr$t. Or9it %ari /$ta a%alah urutan titik !an- %ihasilkan %ari k$a%aan a2al. Untuk /$ta lo-isti har-a ^ %i9atasi %ari * sa"/ai + or9it !an- %ihasilkan akan 9$r9$%a 9$%a.

Untuk ^ G ).4 t$rlihat 9ah2a or9it kon0$r-$n "$nuu har-a *.8 ini %is$9ut s$9a-ai titik t$ta/ >$% /oint? !an- 9isa %i/an%an- s$9a-ai titik s$ti"9an-.  Titik t$ta/ t$ta/ 9isa 9$r/$rilaku 9$r/$rilaku "$narik "$narik >attratin-? >attratin-? !aitu 9ila 9$ra%a 9$ra%a %is$kitarn!a "aka or9it akan "$nuu k$ titik t$rs$9ut. Ini analo%$n-an a!unan t$r$%a" !an- a"/litu%on!a "$n-$il %an t$rtarik /a%a attratorZn!a.  Titik t$ta/ t$ta/ ti%ak 9$ru9ah 9$ru9ah ol$h /$"$taann!a /$"$taann!a  * G #>#>_#>*??. Or9it 9isa "$"/un!ai /$rio%$. Contoh or9it %$n-an /$rio%$ )  ^ G 5.+

 titik 9olak 9alik antara *.+ %an *.;+. Or9it /$rio%$ /$rio%$ + ^ G 5.+ %isini 9$rosilasi 9$rosilasi /a%a har-a *.58+ *.)18 *.)1; *.;)*5 *.;;5

D$n-an %inaikann!a ^ G 5. or9it a%i /$rio%$ ;

kalau ^ G 5. or9it a%i haoti ti%ak t$rlihat a%a k$t$raturan.

 Titik t$ta/ t$ta/ /$rio%$ satu satu "$n-ikuti "$n-ikuti hu9un-an  * G #>*?  x n+1= x n

 untuk s$tia/ n 7

a%alah  G * %an

 x =1−

K$sta9ilan %ilihat %ari

 x n+1= ) xn ( 1− x n )

 titik t$ta/ /$rio%$ satu

1

) 

| |  kalau Q 1 sta9il %an ti%ak sta9il kalau d!  dx

 1.  G * 7

| |= d!  dx

) 

 titik t$ta/ sta9il kalau * Q ^ Q 1 ti%ak sta9il

kalau ^  1.

| |

d!  1  x =1−  → =2 −)  )  dx

 sta9il kalau 1 Q ^ Q5 ti%ak sta9il kalau ^ Q 1 

^  5.  Titik t$ta/ t$ta/ /$rio%$ %ua %ua "$n-ikuti "$n-ikuti hu9un-an  *G#>#>*??.

(

 x n+2= !  (  () x n ( 1− x n ) )=)  ) x n ( 1− x n ) ( 1−) xn ( 1− x n ) )

)

 Titik t$ta/ t$ta/ /$rio%$ satu satu t$r"asuk t$r"asuk %ala" titik /$rio%$ /$rio%$ %ua %st titik titik t$ta/ /$rio%$ %ua lainn!a:  x 20=

) + 1 * √ ( ) −3 ) ( ) + 1 ) 2 ) 

 %ari s!arat k$sta9ilan t$rlihat 9ah2a ^ G 5

"$ru/akan titik 9i#urkasi /$rta"a %ari /$ta lo-isti.

Dan ^ G 1

√ 6

 "$ru/akan titik 9i#urkasi k$%ua.

Untuk /$ta lo-isti ti%ak a%a titik t$ta/ /$rio%$ ti-a.  Titik t$ta/ t$ta/ /$rio%$ + "$n-ikuti hu9un-an * G #>#>#>#>*???? untuk /$ta lo-isti %i%a/at kalau ^ G () a%alah >*(? >*5((8(? >*(? titik >*(? a%alah titik t$ta/ /$rio%$ 1titik 1titik /$rio%$ !an- %i9a2ah 9iasan!a %ia9aikan "aka titik t$ta/ /$rio%$ ) a%alah >5(8(?.  T$r%a/at  T$r%a/at "$to%$ "$to%$ -rak untuk "$n$ntukan "$n$ntukan titik titik t$ta/ %$n-an /$rio%$ k$ n !aitu %$n-an "$n--a"9arkan /$r/oton-an antara -aris lurus  %$n-an kur0a #>?. Contoh untuk ^ G () /$rsa"aan /$rio%$ satu a%alah G()  >17?

3ar-a /$rio%$ ti-a 9$ri"/it %$n-an /$rio%$ 1 >ti%ak a%a /$rio%$ ti-a?.

untuk ^ G 5.44 akan %i%a/at o92$9 ti%ak t$rlihat a%a /ola !an- "$n-arah k$9$ntuk t$rt$ntu. Si#at %ari or9it akan 9$ru9ah kalau /ara"$t$r %ari /$ta %iru9ah. 3ar-a %ari /ara"$t$r %i"ana -$rak 9$ru9ah %is$9ut titik 9i#urkasi >9i#uration?. Pa%a titik 9i#urkasi or9it /$rio%$ satu 9$ru9ah a%i or9it /$rio%$ %ua/a%a titik 9i#urkasi 9$rikutn!a akan 9$ru9ah la-i/$rio%$ %ua 9$ru9ah a%i /$rio%$ + %st.

untuk /$ta lo-isti t$rlihat 9ah2a titik 9i#urkasi t$ra%i /a%a titik ^ G 5.+ 5.+ 5.8+. %an %iatas %a$rah 5. t$r%a/at %a$rah /$rio%i !an- 9$ra"/ur %$n-an !an- haoti. 7@ratal Dala" #ratal /$"$taan >"a//in-? "$"/un!ai si#at s$l# si"ilarit!Z /a%a 9$r9a-ai skala. Contoh %ari struktur !an"$"/un!ai si#at  s$l# si"ilarit!Z a%alah hi"/unan ulia %an Man%$l9rot. K$%uan!a /$"$taan %ala" 9ilan-an ko"/l$ks ` n1 G `n)  C. Untuk hi"/unan Man%$l9rot Man%$l9rot C G titik %ala" 9i%anko"/l$ks ko"/l$ks %an it$rasi %i"ulai %ari titik ` * G * tia/ 9ilan-an ko"/l$ks C %i%ala" hi"/unan 9ila it$rasi t$ta/ 9$rhin--a. S$%an- untuk hi"/unan ulia C %it$ntukan ta/i har-a a2al ` * %iru9ah %an ` * "$"9$ntuk hi"/unan ulia 9ila it$rasi t$ta/ 9$rhin--a. Dala" /rakt$kn!a ti%ak "un-kin %ilakukan it$rasi sa"/ai tak 9$rhin--a hin--a 9iasan!a %ilakukan 9atasan ari ari t$rt$ntu %an it$rasi %ih$ntikan 9ila 9atas ini %il$2ati. Contoh hi"/unan ulia.

I, M$to%$ ,ariasi. P$rsa"aan -$rak N$2ton "$ru/akan /$rsa"aan %ari 0$tor s$tia/ saat harus %i/$rhatikan 9$sar %an arahn!a. Di/$rlukan 9$ntuk lain M$kanika !an- "$n--unakan skalar !aitu La-ran-ian %an 3a"iltonian s$9$narn!a %a/at %iturunkan 9ah2a La-ran-ian

%an 3a"iltonian 9isa %i%a/at %ari N$2ton ta/i %isini akan %iturunkan %iturunkan %ari /rinsi/ 3a"ilton >aksi t$rk$il? %$n-an "$n--unakan "$to%$ 0ariasi. Disini !an- %ilakukan a%alah "$"0ariasikan 9$saran hin--a %i%a/at lintasan !an- $kstr$" > 9isa "aksi"u" atau "ini"u"?. 7P$rsa"aan Eul$r. Eul$r. Misal t$r%a/at s$9uah #un-si :

Akan %iari #un-si !>? !an- "$n!$9a9kan  "$"/un!ai har-a $kstr$".

 Yan Yan- %ik$tahui %ik$tahui han!a %iuun%iuun- lintasan 9ah2a !> 1? G !1  !>)? G !). Misal lintasan !an- %iari !>*? "aka lintasan %is$kitarn!a %is$kitarn!a a%alah !>^? G !>*?  ^ >?. ^ G /ara"$t$r 0ariasi s$%an- >? G #un-si !an- 9$rhar-a nol %i  G 1 %an  G  ). S$hin--a int$-ral "$na%i #un-si %ari /ara"$t$r 0ariasi:

S!arat su/a!a  stasion$r a%alah  ti%ak t$r-antun- ^ !aitu:

 Yan Yan- %i%i#$r$nsial %i%i#$r$nsial han!a #un-sin!a: #un-sin!a:

"asukan

Suku !an- k$%ua %i int$-rasi /arsial "$n--unakan hu9un-an

S!arat 9atas int$-rasi > 1? G >)? G *

>? #un-si s$"9aran- hin--a s!arat stasion$r %i/$nuhi ol$h:

 %is$9ut /$rsa"aan Eul$r. S$tia/ # !an- "$"$nuhi /$rsa"aan Eul$r %ia"in akan "$"9uat   stasion$r. stasion$r. Contoh: Partik$l 9$r-$rak %ala" "$%an -ra0itasi !an- konstan 9$ra2al %ari > 1!1? k$ >)!)?. Cari lintasan hin--a /artik$l 9$r-$rak %$n-an 2aktu t$rsin-kat b

P$rsoalan ini 9iasa %is$9ut /$rsoalan 9rahistohron$. Lintasan %$n-an 2aktu t$rsin-kat "aka %ilihat:

∫ d+v

t =

D$n-an S G lintasan

d+ =( d x + d y 2

2 1 /2

)

Misal 9$n%a 9$r-$rak %ari k$a%aan %ia"

1 2

m v =m g x → v =√ 2 gx 2

Di"ana ! G%!(% t akan stasion$r > 2aktu t$rsin-kat? kalau suku %ala" int$-ral harus "$"$nuhi /$rsa"aan Eul$r.

( )

∂ !  d  ∂ !  − =0 ∂ y dx ∂ y´ ∂ !   y´ = ∂ ´  y ( 1 + y´ 2 ) x1 /2

( )

−d  ∂ !  ∂ !  1 =0 → =konstanta, dx ∂  y ∂ ´  y ´ ( 2 a )1 /2

Su9stitusi 0aria9l$

/a%a t G *  G*!G* "aka konstanta G* Solusi "$"9$ntuk !loi%:

'$ntuk k$%ua %ari /$rsa"aan Eul$r: #>!!? "aka

 su9stitusi !

Dua suku t$rakhir 9isa %ituliskan:  "$nurut /$rsa"aan Eul$r suku %ala" kurun-G*

Untuk k$a%aan k$a%aan khusus %i"ana # 9ukan #un-si $ks/lisit %ari 

Contoh : ari -$o%$si %ari 9ola b $o%$si a%alah arak t$r%$kat antara %ua titik /a%a /$r"ukaan. $o%$si %ari 9ola a%alah arak t$r%$kat antara %ua titik !ant$rl$tak /a%a /$r"ukaan 9ola. Untuk kor%inat 9ola

Pa%a /$r"ukaan /$r"ukaan %$n-an %$n-an ari ari R %r G *

 arak antara antara %ua titik

Su/a!a arak "ini"u" %iari s!arat su/a!a s "ini"u".  %i"ana # 9ukan #un-si $ks/lisit %ari c %i-unakan 9$ntuk k$%ua %ari /$rsa"aan Eul$r. Eul$r.  −θ´ !  −

 ∂ !  = konstan ∂ θ´

Di %i#$r$nsialkan

d!  −  −d θ´

 ∂ !  ´  ∂ !  −θ d = 0 ∂ θ´ ∂ θ´

 kalikan %$n-an # 

( )

( d!  ) ) !  −d ´θ ∂ !  ! −θ´ d  ∂ !  ! =0 ∂ θ´ ∂ θ´

d∅ 1 = dθ θ´

%$n-an ^ konstanta int$-rasi %an

Kalikan %$n-an

%an uraikan

 Tulis  Tulis

Dala" koor%inat s/h$ris !an- "$n--a"9arkan "$n--a"9ar kan 9i%an!an- l$2at /usat %an "$"oton- /$r"ukaan 9ola %is$9ut -r$at irl$Z.

Mlo%ino2 Untuk # !an- #un-si %ari 9$9$ra/a 0aria9l$ # G #d! i>?!i>?e i G 1)_..n

PESAMAAN EULE DENAN SYAAT TAM'A3AN

S$lain # %ala" /$rsoalan 0ariasi 9isa u-a a%a ta"9ahan s!arat lain !an- harus %i/$nuhi %ala" "$nari $kstr$" s!arat ta"9ahan t$rs$9ut 9isa "asuk %ala" /$rsa"aan Eul$r. Misal a%a %ua 0aria9l$

Maka A%an!a konstrain ∂y ∂ ) 

%an

ti%ak in%$/$n%$n hin--a suku %ala" kurun-

ti%ak sa"a %$n-an nol k$tika P$rsa"aan konstrain %i%i#$r$nsial:

%i"ana lintasan %i"isalkan

Di"asukan k$ %i#$r$nsial -:

-unakan

 Titik $kstr$" $kstr$" %i%a/at %i%a/at kalau /$rsa"aan G*

Suku s$9$lah kiri a%alah turunan # %an - t$rha%a/ ! %an !s$%an- suku s$9$lah kanan turunan t$rha%a/ = %an =.Masin"asin- ! %an = a%alah #un-si k$%ua suku 9isa %isa"akan %$n-an s$9uah #un-si  !an- %ituliskan s$9a-ai %is$9ut s$9a-ai /$n-ali La-ran-$ tak t$ntu. Masin- suku %a/at %ituliskan s$9a-ai

Solusi t$rs$l$saikan t$rs$l$saikan kalau %an %i%a/at /$rlu ti-a /$rsa"aan !aitu %ua /$rsa"aan %iatas %an /$rsa"aan konstrain -> !=?. Untuk k$a%aan !an- t$r%iri %ari n 0aria9l$ %an " s!arat

P$rsa"aan konstrain 9isa 9$r9$ntuk #un-si

'$r9$ntuk %i#$r$nsial: %i#$r$nsial:

Atau 9$r9$ntuk int$-ral

Contoh t$ntukan kur0a !>? /anan- l !an- %i9a2ahn!a %i9atasi ol$h su"9u  /a%a > 7 a* ? %an > a* ? %an "$nutu/i luas /alin9$sar b

Di#$r$nsial luas %A G ! %  Yan Yan- in-in %iari "aksi"u"n!a "aksi"u"n!a a%alah a%alah

Konstrainn!a

%an

S$/anan- kur0a

%$n-an

Konstrain %ala" 9$ntuk int$-ral P$rsa"aan Eul$r %$n-an konstrain:

 

"aka

Di int$-ral t$rha%a/ 

 !G%!(% %$n-an C1 %an C) konstanta int$-rasi.

Da$rah "aksi"u" !an- %i%a/at a%alah s$t$n-ah lin-karan lin-karan !an%i9atasi ol$h -aris ! G *. S$t$n-ah lin-karan t$rs$9ut harus "$l$2ati titik >7 a *? %an > a*? hin--a /usatn!a %i titik >**? "aka C1C) har-an!a G * %an ari ari s$t$n-ah lin-karan a%alah a G f. Panan- /$ri"$t$r s$t$n-ah lin-karan W a G l "aka a G l(W l( W . , DINAMIKA LAANIAN DAN 3AMIL 3 AMILTONIAN TONIAN M$kanika N$2ton %i%asarkan k$/a%a -a!a kalau s$tia/ -a!a !an- 9$k$ra /a%a 9$n%a %ik$tahui "aka -$rak 9$n%a %i%a/at. S$lain itu -a!a 9$r9$ntuk 0$tor 9$rarti harus %ik$tahui 9$sar %an arahn!a %ala" k$a%aan t$rt$ntu san-at sulit "$lihat ko"/on$n %ari -a!a t$rs$9ut. Dala" La-ran-ian %an 3a"iltonian %i-unakan 9$saran salar. 7Prinsi/ 3a"ilton. Prinsi/ 3a"ilton u-a %is$9ut /rinsi/ aksi t$rk$il !aitu %ari 9$r9a-ai lintasan %i"ana sisti" 9isa 9$r-$rak %ari satu titik k$titik lain %ala" 2aktu t$rt$ntu lintasan !an- t$ra%i a%alah !an- "$"ini"u"kan aksi. t 2

Aksi

∫

 - =  L ( x " x´ " t ) dt  t 1

D$n-an L>t? a%alah La-ran-ian La-ran-ian %an L G T F U.  Titik $kstr$"$ $kstr$"$ %i%a/at %i%a/at %$n-an 0ariasi 0ariasi

t 2

∫

. - =.   L ( x  x i " x´ i " t ) dt  t 1

dL d ∂ L − =0 dxi dt  ∂ x´ i

P$rsa"aan -$rak ini %is$9ut /$rsa"aan Eul$r7La-ran-$. D$n-a %ik$tahuin!a L "aka %$n-an /$rsa"aan Eul$r7La-ran-$ -$rak 9$n%a >/$rsa"aan > /$rsa"aan -$rak? %ik$tahui. Contoh: 7Osilator har"oni har"oni 1

2

1

 L=T −U = m x´ − k x 2

2

2

dL d ∂ L d − =0 → dxi dt  ∂ x´ dx

(

)

 d 1 2 2 m x´ − k x −  ( m x´ )=0 dt  2 2 1

m x´ + kx =0

7A!unan 7A!unan %atar

θ 1−cos ¿ 1 1 2 2 2 T =  - ( = m # θ´ " U =mg# mg # ¿ 2 2

Kor%inat U"u" Kor%inat %ari titik 9isa %in!atakan %ala" 9$r9a-ai 0aria9l$ >!=?  >rJ=?. S$tia/ hi"/unan 9$saran !an- "$ns/$sikasikan k$a%aan %is$9ut kor%inat u"u": < 1<)__.
K$$/atan u"u" /´ i =

d /i dt 

I G 1)__.n

Dari !=?: /i =/i ( x  x ) "i "t  ) " ) =komp kompon on0n 0n xy1 xy1 " x 1= x " x 2= y " x 3 = 1 /´ i =/´ i ( x  x ) "i " x´ ) "i " t )

Untuk sisti" !an- t$r%iri %ari n /artik$l %i/$rlukan 5n kor%inat untuk "$n--a"9arkan k$a%aan %ari sisti" ka%an- ti%ak s$"ua 5n kor%inat in%$/$n%$n. Kalau t$r%a/at " /$rsa"aan konstrain "aka sisti" %ikatakan "$"/un!ai >5n7"? %$raat k$9$9asan. D$raat k$9$9asan a%alah u"lah kor%inat in%$/$n%$n !an%i/$rlukan untuk "$ns/$sikasikan /osisi "asin- "asin- %ari s$tia/ /artik$l %ala" sisti". Dala" kor%inat u"u" /$rsa"aan Eul$r7La-ran-$:

 T$r%a/at  T$r%a/at k$9$9asan k$9$9asan %ala" /$"ilihan kor%inat kor%inat u"u" u"u" harus %i/astikan 9ah2a /$"ilihan kor%inat u"u" harus "$n--a"9arkan k$a%aan %ari sisti" s$ara k$s$luruhan.  Contoh a!unan %atar !an- talin!a t$r9uat %ari kar$t Untuk a!unan %$n-an tali kaku han!a t$r%a/at 1 %$raat k$9$9asan θ  kalau talin!a t$r9uat %ari kar$t "aka tali 9isa 9$rta"9ah /anan- %$raat k$9$9asan 9$rta"9ah. 1 1 2 2 2 2 T = m ( #´ + # θ´ ) " U = k ( # −# o ) − mg# cos θ 2

2

d ∂ L ∂L −  = 0 → m´# − m# θ´ 2 + k ( # −# o ) −mg# cos θ=0 dt  ∂ #´ ∂ #

d ∂ L ∂L − =0 → m # 2 θ´ + 2 m# ´# θ´ + mg# sin θ=0 dt  ∂ θ´ ∂ θ

A%an!a konstrain akan "$n-uran-i u"lah kor%inat u"u" !an%i/akai untuk "$n--a"9arkan -$rakan %ari sisti". Contoh k$l$r$n- 9$r-$rak %ala" an-kir 9$r9$ntuk /ara9ola = G  r) k$l$r$n- 9$r/utar %$n-an ari ari  k$tika an-kir 9$r/utar %$n-an #r$ku$nsi 2. T$ntukan  b

unakan kor%inat u"u" > rJ=?

 T$r%a/at  T$r%a/at hu9un-an hu9un-an antara antara 9$9$ra/a kor%inat kor%inat >konstrain? >konstrain?

Kor%inat J t$rkait %$n-an k$$/atan /utar:

P$rsa"aan Eul$r7La-ran-$

K$tika k$l$r$n- 9$r/utar konstan /a%a r G  "aka k$$/atan %an /$r$/atan G *.

7P$rsa"aan 7P$rsa" aan La-ran-$ La-ran- $ D$n-an D$n- an P$n-ali Tak Tak T$ntu. $ntu .  T$r%a/at  T$r%a/at %ua %ua $nis konstrain konstrain !aitu !aitu holono"i %an %an nonholono"i. nonholono"i. Dala" konstrain holono"i hu9un-an antara 9$r9a-ai kor%inat 9isa %ituliskan s$9a-ai #un-si antara kor%inat:

S$ara u"u" kalau konstrain 9$r9$ntuk %i#$r$nsial %an ti%ak %a/at %iint$-ral "aka konstrainn!a a%alah nonholono"i.

Misal konstrain %a/at %ituliskan s$9a-ai:  /$rsa"aan ini 9$lu" t$ntu 9isa %iint$-rasi kalau 9$r9$ntuk isti"$2a 9isa %iint$-rasi.

 

hin--a  !an- "$ru/akan konstrain holono"i.

Untuk konstrain !an- 9$r9$ntuk %i#$r$nsial "aka %$n-an "$n--unakan /$n-ali tak t$ntu La-ran-$ %a/at %i"asukan k$ /$rsa"aan -$rak.

%$n-an /$rsa"aan konstrain Dala" #or"ulasi La-ran-$ ti%ak %i9iarakan -a!a ta/i %ala" k$a%aan t$rt$ntu ka%an- %i/$r-unakan. Di%$nisikan -a!a u"u" konstrain:

Contoh:

Untuk silin%$r !an- 9$r-$rak /a%a 9i%an- "irin- t$ntukan /$rsa"aan -$rak -a!a konstrain %an /$r$/atan su%ut.

Konstrainn!a a%alah arak t$"/uh ! s$9an%in- %$n-an 9an!ak /utaran  konstrain holono"i. Silin%$r ti%ak t$r-$linir han!a a%a satu %$raat k$9$9asan 9isa %i-unakan ! atau J.P$rsa"aan konstrain 9isa %i/akai untuk "$n-$li"inir salah satu kor%inathin--a kor%inathin--a %i%a/at satu /$rsa"aan -$rak %ari /$rsa"aan Eul$r7La-ran-$.

P$rsa"aan -$rakn!a S$karan- %i-unakan /$rsa"aan Eul$r7La-ran-$ %$n-an /$n-ali tak t$ntu:

/$rsa"aan konstrain han!a a%a satu han!a a%a satu f

P$rsa"aan konstrain 3in--a kalau silin%$r t$r-$linir tan/a 9$rotasi a%an!a rotasi "$n!$9a9kan /$r$/atan 9$rkuran- a%i )(5 n!a.

a!a u"u" konstrain:

 torsi.  Ini a%alah -a!a !an- "$"/$rtahankan -$rak su/a!a 9$rotasi tan/a t$r-$linir t $r-$linir..

7P$rsa"aan Eul$r7La-ran-$ Eki0al$n %$n-an P$rsa"aan N$2ton. Untuk satu /artik$l

 untuk sisti" kons$r0ati#:

Ini a%alah /$rsa"aan N$2ton. S$9alikn!a %ari /$rsa"aan N$2ton 9isa %iturunkan /$rasa"aan Eul$r7La-ran-$.

7T$or$"a En$r-! Kin$tik. Dala" kor%inat t$-ak lurus $n$r-! kin$ti:

Dala" kor%inat u"u":

En$r-! kin$ti "$na%i

 Yan Yan- 9isa %ituliskan: %ituliskan:

Untuk sisti" sl$rono"i hu9un-an kor%inat ti%ak t$r-antun2aktu s$ara $ks/lisit:

En$r-! kin$ti a%alah #un-si ho"o-$n tin-kat %ua %ari k$$/atan u"u":

 Turunkan  Turunkan t$rha%a/ t$rha%a/

Kalikan %an u"lahkan

In%$ks s$"9aran-

 T$or$"a  T$or$"a Eul$r Eul$r : #un-si a%alah a%alah #un-si ho"o-$n ho"o-$n tin-kat tin-kat n kalau 9$rlaku:

En$r-! kin$ti a%alah #un-si ho"o-$n tin-kat %ua %ari k$$/atan u"u".

3uku" K$k$kalan. P$rsa"aan Eul$r7La-ran-$ "$ru/akan /$rsa"aan %i#$r$nsial tin-kat %ua %i/$rlukan %ua kali int$-rasi %an ) konstanta. Dala" k$a%aan t$rt$ntu han!a %ari int$-ral /$rta"a %a/at %ik$tahui in#or"asi t$ntan- -$rak. Misal a%a L !an- 9ukan #un-si salah satu < i. Maka: dp d ∂L ∂ L d ∂L − = 0→ =0 →  2 dt  ∂ /´  2 ∂ / 2 dt  ∂ /´  2 dt 

/  G konstan

G*

/  %is$9ut int$-ral /$rta"a

 ∂ L  p 2 = ∂ /´  2

73uku" k$k$kalan $n$r-!: $n$r-!: L G L>
dL  = dt 

∑ ∂∂/L  2

 2

d / 2 dt 

+∑  2

¿∑

d ∂L ( ) ´/ + dt  ∂ /´  2  2

¿∑

d ∂L ∂L ( /´  2 )+ dt  ∂ /´  2 ∂ t 

 2

 2

d dt 

{(

∑ /´

 2

 2

∂ L d ´/ 2 ∂ L + ∂ /´  2 dt  ∂ t 

∑ ∂∂/´L  2

 2

d ´/ 2 ∂ L + dt  ∂ t 

) }

∂L ∂L − L +  = 0 ∂ /´  2 ∂ t 

D$nisikan 3  3 =

∑ ´/

 2

 2

∂L − L ∂ /´  2

d3  −∂ L = dt  ∂ t 

Kalau L 9ukan #un-si $ks/lisit %ari 2aktu "aka suku s$9$lah kanan G*. d3  =0 → 3 =konstan dt 

3 k$kal atau int$-ral /$rta"a %ari -$rak 3 si"$tr! t$rha%a/ 2aktu. Arti sis %ari 3: Misal L><<t? G L o><t?  L1><<t?  L)><<t? L1><<t?G #un-si ho"o-$n tin-kat satu %ari <. L)><<t?G #un-si ho"o-$n tin-kat %ua %ari <.  3 =

∑ ´/

 2

 2

∂L − L =2 L2 + L1− L = L2− L0=T 4 U =T + U = E ∂ /´  2

En$r-! k$kalint$-ral /$rta"a %an E s!""$tr! t$rha%a/ 2aktu. 73uku" k$k$kalan "o"$ntu"  "issal /artik$l /artik$l %i-$s$r >translasi? ol$h

"aka

"asin- "asin-

in%$/$n%$n "aka

Dari /$rsa"aan Eul$r7La-ran-$:

P$r-$s$ran "$n!$9a9kan "o"$ntu" konstan ruan- a%alah in0ariant t$rha%a/ /$r-$s$ran. uan- a%alah ho"o-$n kalau "$n-ala"i translasi ti%ak 9$ru9ah. uan- "$"/un!ai si"$tr! translasi ruan- ho"o-$n. 'ila Lan-ran-ian s$9uah sisti" a%alah in0ariant t$rha%a/ /$r-$s$ran>translasi? /$r-$s$ran>translasi? /a%a arah t$rt$ntu "aka "o"$ntu" liniar /a%a arah t$rs$9ut a%alah konstan. 73uku" K$k$kalan Mo"$ntu" Su%ut. Misal sisti" %i/utar 0$tor

9$ru9ah a%i

s$%an- untuk k$$/atan

/$rsa"aan Eul$r7La-ran-$ "$na%i

.

s$"9aran- "aka

l G r  / G "o"$ntu" su%ut. 3uku" k$k$kalan "o"$ntu" su%ut "$ru/akan /$r2uu%an %ari si"$tr! rotasi. Si"$tr! rotasi "$nunukan 9ah2a ruan- a%alah isotro/is. 7P$rsa"aan $rak Kanonik >Dina"ika 3a"ilton? L G L>
akan %i%a/at:

P$ru9ahan %ari L k$ 3 9isa %i/an%an- s$9a-ai /$ru9ahan 0aria9l$ %ari >< i <i? k$ >
Di#$r$nsial total %ari 3

Dari %$nisi 3

¿ ∑ ( /´ k  d pk + pk  d ´/k − p´ k  d / k − p k d ´/ k )− k 

∂L dt  ∂ t 

Maka:

/$rsa"aan -$rak 3a"iltonian. 3a"iltonia n.

'$ntuk /$rsa"aan !an- si"$trik /$rsa"aan u-a %is$9ut s$9a-ai /$rsa"aan kanonik. '$r9$%a %$n-an /$rsa"aan Eul$r7La-ran-$ !an- "$ru/akan /$rsa"aan %i#$r$nsial tin-kat %ua /$rsa"aan -$rak 3a"ilton a%alah /$rsa"aan %i#$r$nsial tin-kat satu. Kalau
"asih t$r%a/at s PD II ta/i untuk 3 k$9$ra%aan kor%inat siklis "$n-uran-i u"lah /$rsa"aan kar$na / k G konstan lan-sun%i%a/at

Contoh a!unan s/h$ris:

Untuk "$n%a/atkan 3 9isa %i-unakan:

ini a%alah ara a"an ta/i /anan- untuk "$n%a/atkan 3. Cara /alin- sin-kat sin-kat a%alah %$n-an "$lihat 9ah2a 3 G E G T  U ta/i %i-unakan / k 9ukan < kalau %ik$tahui 9$ntuk / k n!a ti%ak /$rlu %ituliskan La-ran-iann!a.

P$rsa"aan -$rak:

siklis "aka /asan-an >onu-at$? "o"$ntan!a lan-sun- %i%a/at !aitu G konstan.

7T$or$"a Liou0ill$s Kor%inat u"u" <  akan "$"9$ntuk ruan- kon-urasi 9$r%i"$nsi s /osisi /artik$l %ik$tahui ta/i k$$/atann!a ti%ak %ik$tahui. '$-itu /ula "o"$nta u"u" /  akan "$"9$ntuk ruan"o"$ntu" 9$r%i"$nsi s "o"$nta %ik$tahui ta/i /osisi ti%ak. D$n-an %i9$ntukn!a ruan- %ari <  %an /  akan %i%a/at ruan/has$ 3a"iltonian atau ruan- /has$ !an- 9$r%i"$nsi )s.Pa%a ruan- /has$ akan %ik$tahui /osisi %an "o"$nta %ari s$tia/ /artik$l.

R k$ra/atan %i ruan- /has$. u"lah u"lah N titik !an!an- t$rl$tak %ala" $l$"$n 0olu"$ %0 a%alah

%i"ana

Pan%an- $l$"$n luas %ari 9i%an- < k7/k %ala" ruan- /has$.  u"lah titik !an!an- 9$r-$rak %ari %ari s$9$lah kiri luasan luasan /$rsatuan /$rsatuan 2aktu a%alah  !an- "asuk %ari 9a-ian 9a2ah  u"lah total !an- "asuk /$rsatuan 2aktu a%alah

S$%an- !an- k$luar %ari luasan /$rsatuan 2aktu:

S$hin--a k$naikan k$ra/atan /$rsatuan 2aktu

Dari /$rsa"aan -$rak 3a"ilton:

Maka

 Yan- "$ru/akan "$ru/akan %i#$r$nsial total total turunan t$rha%a/ t$rha%a/ 2aktu %ari R

 T$or$"a  T$or$"a Liou0ill$s Liou0ill$s "$n!atakan "$n!atakan 9ah2a 9ah2a k$ra/atan k$ra/atan %ari titik titik %i ruan- /has$ s$la"a -$rak a%alah konstan. 7T$or$"a ,irial Misal a%a ku"/ulan /artik$l !an- "$"/un!ai /osisi r %an "o"$ntu" /.

D$nisikan  Turunan  Turunan t$rha%a/ t$rha%a/ 2aktu

Dihitun- har-a rata rata 2aktu %ala" s$lan- 2aktu g

Untuk sisti" !an- /$rio%i "aka har-a rata akan sa"a %$n-an nol s$%an- untuk !an- ti%ak /$rio%i s$lisih akan "$n%$kati nol kalau %i/ilih g uku/ la"a.

 T$or$"a  T$or$"a 0irial 0irial "$n!atakan "$n!atakan 9ah2a $n$r-! $n$r-! kin$ti rata rata rata sisti" sisti" /artik$l a%alah sa"a %$n-an 0irialn!a. Salah satu /$"akaian %ari 0irial untuk "$n$ntukan /$rsa"aan k$a%aan -as. Untuk -as i%$al ti%ak a%a int$raksi antara "ol$kulint$raksi "ol$kulint$raksi !ana%a a%alah han!a antara "ol$kul %$n-an %in%in-.

D$n-an unit 0$tor n "$n-arah k$luar /$r"ukaan.

Int$-ral /$r"ukaan >luas? %iru9ah a%i int$-ral 0olu"$

Untuk -as i%$al $n$r-! kin$ti rata rata a%alah 5() kT untuk N "ol$kul %i%a/at

 7

,II EAK AYA CENTAL Dala" -a!a $ntral %ilihat -$rakan %ua 9$n%a %i"ana -a!a int$raksin!a "$n-arah s$/anan- -aris antara /usat "assan!a. Untuk "$n--a"9arkan -$rak %ua 9$n%a %i/$rlukan 8 9$saran %ari /artik$l r 1 %an r) atau /usat "assa  %an 0$tor r G r 1 F r).

In-in %ilihat -$rak satu /artik$l t$rha%a/ lainn!a "aka %i-unakan kor%inat r$lati0$ t$rha%a/ /usat "assa  G *. %an

akan %i%a/at

%$nisikan "asa t$r$%uksi

P$rsoalan %ua 9$n%a %iru9ah a%i /$rsoalan satu 9$n%a %$n-an %i%a/atn!a r>t? "aka r 1>t? %an r)>t?. Pot$nsial $n$r-! han!a t$r-antun- k$/a%a arak ti%ak k$/a%a ori$ntasin!a ori$ntasin!a "aka sisti" "$"/un!ai si"$tr! s/h$ris artin!a rotasi t$rha%a/ su"9u t$ta/ ti%ak akan "$ru9ah /$rsa"aan -$rak. Pa%a Pa%a sisti" !an- /un!a si"$tr! rotasi "aka:

Maka r %an / t$rl$tak %i9i%an- nor"al t$rha%a/ L-$rak 9$n%a t$rl$tak %i 9i%an- !an- "$ru/akan -$rak %ua %i"$nsi > %ua %$raat k$9$9asan?.

La-ran-ian ti%ak "$n-an%un- J >kor%inat siklis? "aka

9$rarti %is$9ut s$9a-ai int$-ral /$rta"a %ari -$rak %an har-a konstann!a %i9$ri s!"9ol l

Mo"$ntu" liniar u-a konstan ta/i kar$na -$rak translasi /usat "asa ti%ak %i/$rhatikan "aka ti%ak "$"9$rikan in#or"asi ta"9ahan. S$%an- untuk $n$r-! u-a k$kal >int$-ral /$rta"a?

 atau

Dituliskan %ala" 9$ntuk

kalau /$rsa"aan 9isa %iint$-ral "aka akan %i%a/at tG t>r? 7 r G r>t?. Untuk lintasan >or9it? 9iasan!a in-in %i%a/at hu9un-an r %an J:  "asukan J %an r k$"u%ian %i int$-ral

Pa%a /rinsi/n!a int$-ral 9isa %ihitun- 9$ntuk %ari -a!a $ntral akan 9$r/$ran 9ila t$r-antun- /an-kat %ari arak n 9isa 9ulat atau /$ahan. Untuk n G 1 a%alah kasus osillator har"oni har"oni %an n G 7) a%alah /$rsoalan -a!a t$r/usat kua%rat. P$rsa"aan or9it %iatas %iturunkan %ari konstanta -$rak 9isa u-a %iturunkan %ari /$rsa"aan Eul$r7La-ran-$ %$n-an satu %$raat k$9$9asan.

Dala" k$a%aan %i"ana or9itn!a %ik$tahui r G r>J? %an in-in %ik$tahui -a!a !an- "$ni"9ulkan or9it t$rs$9ut %i-unakan 0aria9l$

"asukan

7 Din!atakan %ala" 0aria9l$ u

"aka

 /$rsa"aan -$rak "$na%i

 atau 7Or9it Dala" a!a C$ntral.

K$$/atan akan nol kalau  titik ini %is$9ut titik 9alik.  s$ara u"u" akan a%a %ua titik 9alik !aitu r "a %an r"in. Dan -$rak 9$n%a akan %i9atasi ol$h %a$rah r "a  r  r "in. Dala" k$a%aan k$a%aan khusus > har-a E U>r? %an l t$rt$ntu? han!a a%a satu akar "aka rG* "aka r G konstan konstan "aka or9itn!a 9$r9$ntuk lin-karan. P$ru9ahan su%ut J s$t$lah 9$r-$rak %ari r "in k$ r"a %an k$"9ali k$ r"in

Lintasan akan t$rtutu/ 9ila

 a 5 θ =2 6  b

 %i"ana a %an 9 9ilan-an

9ulat. S$t$lah /$rio%$ 9 0$tor ra%ius /artik$l "$lakukan a /utaran /$nuh %an k$"9ali k$ /osisi a2aln!a. 'ila /$ru9ahan su%ut ti%ak k$li/atan 9ilan-an irasional "aka lintasan akan t$r9uka.

'isa %i9uktikan %i9uktikan 9ah2a untuk "aka lintasan t$rtutu/ nonirular han!a akan t$ra%i 9ila n G 1 %an 7). Kasus nG 7) 9$rlaku untuk -a!a $ntral -ra0itasi %an listrik. S$%an- n G 1 untuk osillator har"oni "isal untuk -a9un-an %ua osillator har"oni %i  %an ! "aka lintasann!a akan t$rtutu/ 9ila 2 (2! a%alah /$ahan rasional. 7En$r-! C$ntri#u-al %an Pot$nsial E#$kti#.

Suku t$rakhir "$"/un!ai satuan $n$r-! 9isa %ituliskan:

 "$ru/akan $n$r-! rotasi t$rkait %$n-an "o"$ntu" su%ut.

D$nisikan $n$r-! /ot$nsial

"aka -a!an!a

Ini 9iasa %is$9ut s$9a-ai -a!aZ $ntri#u-al %an /ot$nsialn!a a%alah $n$r-! /ot$nsial $ntri#u-al. D$nisikan $n$r-! /ot$nsial $#$kti#:

 !an- "$ru/akan -a9un-an $n$r-! /ot$nsial U>r? %an $n$r-! rotasi.

Untuk -a!a t$r/usat kua%rat arak

7

Maka

7$rak Plan$t7P$rsoalan K$/l$r. Lintasan /artik$l !an- 9$r-$rak %i9a2ah /$n-aruh -a!a s$ntral kua%rat arak:

Diru9ah k$ kor%inat u G 1(r

 %ari ta9l$ int$-ral

atau %i/ilih onst a%alah FW() !an- sa"a %$n-an "$"ilih "ini"u" r /a%a J G*"aka

%$nisikan

 Titik r G r"in %is$9ut /$ri$nt$r %an r G r "a %is$9ut a/o$nt$r s$ara s/$sik untuk -$rak "$n-itari "atahari ini a%alah /$rih$lion %an a/h$lion s$%an- untuk sat$lit !an- "$n-$lilin-i 9u"i a%alah /$ri-$$ %an a/o-$$. '$r9a-ai "aa" 9$ntuk konik !an- "un-kin

Untuk -$rak /lan$t or9itn!a 9$r9$ntuk $lli/s$ %$n-an )a su"9u uta"a %an )9 su"9u "inor

%i"ana

%an

Untuk r>t? 0$tor ra%ius /a%a 2aktu %t akan "$n-ko0$r %a$rah

s$luas

"aka ar$al 0$loit!Z

Ini a%alah huku" K$/l$r k$%ua !aitu ar$al 0$loit!Z untuk -a!a $ntral 9$rhar-a konstan. Untuk "$n-hitun- /$rio%$ -$rak $li/s$:

luas $li/s$

S$lain itu su"9u s$"i"inor 9isa %ituliskan

9isa %ituliskan

"aka /$rio%$

9iasa %is$9ut huku" K$/l$r k$ti-a.

 3O3MANN TANS@EZ TANS@EZ Misal in-in %ilunurkan rok$t %ari 9u"i "$nuu Mars %an %iusahakan su/a!a $n$r-! !an- %i/$rlukan s$"ini"u" "un-kin.

Untuk "$lakukan /$ralanan antar /lan$t harus %iusahakan /$r/in%ahan or9it ara !an- /alin- s$%$rhana %$n-an %oron-an tun--al >sin-l$ thrust? /a%a 9i%an- or9it t$ta/ >arah "o"$ntu" su%ut ti%ak %iru9ah? %i"ana !an- %iru9ah s$ara 9$rsa"aan

a%alah $$ntrisitas %an $n$r-!. P$r/in%ahan or9it !an- /alin$kono"is a%alah %ari or9it lin-karan t$r/usat %i "atahari k$ or9it !an- lain /a%a 9i%an- t$ta/ >9u"i %an Mars t$rl$tak /a%a 9i%ansa"a?. Di/$rlukan %ua %oron-an untuk 9$r/in%ah or9it 1? %oron-an %ari or9it lin-karan 9u"i k$ or9it /$r/in%ahan $li/tik !an- "$"oton- or9it Mars )? %oron-an %oron-an /$r/in%ahan %ari or9it $li/tik k$ or9it Mars. An--a/ han!a a%a -ra0itasi "atahari >-ra0itasi 9u"i %an Mars %ia9aikan? Untuk or9it lin-karan %an $lli/:

$rak "$lin-kar t$rha%a/ "atahari /a%a ari ari r:

 

%iru9ah

Su"9u uta"a or9it /$r/in%ahan $lli/ a%alah En$r-! %i /$rih$lion $lli/ /$r/in%ahan

%i"ana 0tl a%alah k$$/atan /$r/in%ahan $lli/ s$arah 0 1.

s$hin--a k$$/atan /$r/in%ahan /$r/in%ah an !an%i/$rlukan

D$n-an ara !an- sa"a untuk /$r/in%ahan %ari or9it $lli/ k$ lin-karan /$r/in%ahan k$$/atan

6aktu total untuk 9$r/in%ah a%alah sa"a %$n-an  %ari /$rio%$ or9it $lli/

P$r/in%ahan 3oh"ann %ari s$-i $n$r-! $kono"is ta/i %ari s$-i 2aktu san-at la"a s$kali /$rlu "$nun--u s$la"a +8* hari %i Mars su/a!a /osisin!a t$/at untuk or9it $lli/ /$r/in%ahan >)4  +8* )4G 4; hari G ). tahun untuk //?.

Su%ut A/si%al %an Pr$$si. $rak /lan$t t$r9atas antara r "in Q r Q r"a  s$t$lah satu /utaran 9isa saa ti%ak k$"9ali k$ r "a !an- sa"a ta/i 9$r-$s$r. P$"isahan su%ut antara %ua r "a %is$9ut su%ut a/si%aluntuk -a!a t$r/usat 1(r) su%ut harus t$ta/ s$9a-ai #un-si 2aktu. Untuk /lan$t M$ruri t$rn!ata t$rn!ata su%ut a/si%al /$rih$lionn!a a%alah +  tia/ a9a% s$t$lah "$"/$rhitun-kan #ator /lan$t lainn!a t$rn!ata su%utn!a %ihitun- a%alah 51  /$r a9a% t$r%a/at s$lisih +5Z antara /$rhitun-an %an /$n-a"atan. P$r9$%aan ini ti%ak %a/at %i$laskan ol$h huku" -ra0itasi N$2ton.

M$nurut t$ori Einst$in untuk -a!a t$r/usat 1(r ) harus %ikor$ksi %$n-an "$"asukan #ator kor$ksi ini /r$s$si M$rur! 9isa %i$laskan.

P$rsa"aan or9it %i9a2ah -a!a -ra0itasi 1(r ):

'$n%a "asa " %i9a2ah /$n-aruh -a!a -ra0itasi 9$n%a M. Di"asukan #ator kor$ksi r$lati0itas u"u":

tulis

a%an!a u) "$na%ikan /$rsa"aan %i#$r$nsial %i#$r$nsial a%i nonlin$ar solusin!a %iari %$n-an /$n%$katan /$n%$katan 9$rurutan. Kalau ti%ak a%a u ) solusin!a %ik$tahui:

 an--a/ ini solusi /$n%$katan /$rta"akalau %i"asukan k$ /$rsa"aan:

u1 han!a "$n-hasilkan suku /$rta"a su/a!a "$n-hasilkan suku k$%ua harus %ita"9ah suku lain u /.

Dia"9il han!a /$n%$katan k$%ua

Pa%a kurun- k$%ua suku /$rta"a han!a konstan %an suku k$%ua k$il %an /$rio%i kalau %irata rata ti%ak "$"9$rikan /$n-aruh /r$s$si. 3an!a %i/$rhatikan kurun- !an- /$rta"a:

P$rhatikan:

unakan

%an

"aka

/$rih$lion 9$rikutn!a kalau suku %ala" os k$li/atan ) W

7 P$n-aruh suku r$lati0isti a%alah "$n--$s$r /$rih$lion s$9$sar

Dari

%an



/r$s$si ini akan 9$sar untuk !an"$"/un!ai a >su"9u uta"a? k$il %an $$ntrisitas 9$sar s$/$rti M$rur!. 7Sta9ilitas Or9it Lin-karan K$tika E G ,"in "aka or9it akan 9$r9$ntuk lin-karan.Ss$tia/ or9it lin-karan akan t$ra%i untuk -a!a tarik t$r/usat kar$na 9isa %iusahakan -a!a tarik s$lalu %i i"9an-i ol$h -a!a $ntri#u-al

%$n-an "$"ilih k$$/atan k$$/atan ra%ial t$rt$ntu

9ila

han!a kalau /ot$nsial $#$kti# a%alah "ini"u" "aka or9it lin-karan sta9il s$%an- /a%a k$a%aan lain ti%ak sta9il.

a!a tarik t$r/usat

7

Pot$nsial $#$kti#  S!arat "ini"u" !an- "$n-hasilkan "$n-hasilkan or9it lin-karan

7

7

"aka a%alah n Q 5.

s!arat k$9$ra%aan or9it lin-karan sta9il

Untuk n G 5  %ari s!arat titik $kstr$" l ) G  k s$%an- %ari turunan k$%ua l )   k k$%ua s!arat ti%ak "un-kin %i/$nuhi s$ara 9$rsa"aan "aka n G 5 or9it lin-karan ti%ak akan sta9il. K$9$ra%aan or9it lin-karan sta9il 9isa u-a %ilihat %ari k$n!ataan 9ah2a -$rak sta9il kar$na "$lakukan -$rak osilasi /$rio%i. a!a $ntral P$rsa"aan -$rak

su9stitusi l

Untuk or9it "$lin-kar

"aka

An--a/ /artik$l ta%in!a 9$r-$rak "$lin-kar %$n-an ari ari k$"u%ian %i-an--u 9$ru9ah a%i

%$n-an  Q *.

%iuraikan

P$rsa"aan "$na%i

"asukan ->R?

%$nisikan solusin!a Kalau

"aka 2* i"a-inair suku k$%ua akan "$nuu tak

9$rhin--a. Solusi 9$rosilasi a%alah

7

S!arat sta9ilitas or9it lin-karan %ari -a!a $ntral a%alah

Untuk -a!a $ntral

7

atau n Q 5 .

,III DINAMIKA DINA MIKA SISTIM PATIKEL. ATIKEL. 7Pusat Masa

Pan%an- 9$n%a !an- t$r%iri %ari n /artik$l "asin- "asin"$"/un!ai "asa

%$n-an ^ G 1)_ n

Masa total sisti" a%alah Pusat "asa 9$n%a k$ ^.

%$n-an

0$tor /osisi 9$n%a

Untuk 9$n%a !an- kontin!u %ituliskan %ala" 9$ntuk int$-ral

 T$ntukan  T$ntukan /usat /usat "asa 9$n%a

an--a/ 9$n%a t$r%iri %ari %ua 9$n%a !aitu k$ruut %an s$t$n-ah 9ola. Untuk k$ruut %i/ilih kor%inat %i/usat "aka /usat "asa  G ! G * han!a /$rlu %iari /usat "asa %i arah =. G ra/at "asa.

∫ ∫

 1 8 0 d9  1  1´ =  1 8 0 d9 =  7   8 0 d9 

∫

unakan kor%inat silin%$r

Untuk s$t$n-ah 9ola kor%inat kor%inat %i/usat "aka /usat "asa  G ! G * 2 66 / 2 a

 1´ =

∭  81 r = = =

:

0θ

0r

2

dr sin θdθd:

0

 6   a

2 6 

2

 8 r dr sin θdθd: ∭ = = = 2

:

0θ

0r

0

unakan = G r osJ akan %i%a/at:

tan%a "inus kar$na s$t$n-ah 9ola t$rl$tak %i9a2ah.

Kalau

7

7Mo"$ntu" Liniar Sisti" Partik$l K$tika sisti" /artik$l %ik$nai -a!a luar "aka "asin- "asin/artik$l akan "$n-ala"i u-a -a!a %ala" kar$na int$raksi antar /artik$l. a!a %ala" # ^ a%alah -a!a !an- %iala"i ol$h /artik$l ^ ol$h >n71? /artik$l lainn!a:

a!a total

7

%iu"lah untuk

s$luruh /artik$l

kar$na sisti" /artik$l %ik$nai -a!a luar "aka /usat "asa sisti" /artik$l akan 9$r-$rak s$/$rti /artik$l "asa M han!a %ik$nai -a!a luar %an ti%ak t$r-antun- -a!a %ala" !an- a%a. Mo"$ntu" liniar total sisti" a%alah

7"o"$ntu" liniar sisti" a%alah sa"a %$n-an "o"$ntu" liniar /artik$l "asa M t$rl$tak %i /usat "asa.

7"o"$ntu" liniar sisti" /artik$l tan/a -a!a luar a%alah konstan %an sa"a %$n-an "o"$ntu" liniar /usat "asa. 7Mo"$ntu" Su%ut Sisti" Partik$l Pilih kor%inat r$lati0$ t$rha%a/ /usat "asa "aka 0$tor /osisi: %i"ana

0$tor /osisi /artik$l ^ t$rha%a/ /usat

"asa. Mo"$ntu" su%ut /artik$l ^ t$rha%a/ titik asal Untuk s$luruh /artik$l

Suku !an- %it$n-ah

G * kar$na

7"o"$ntu" su%ut t$rha%a/ titik s$"9aran- a%alah u"lah "o"$ntu" su%ut /usat "asa k$ titik s$"9aran- %an "o"$ntu" su%ut sisti" t$rha%a/ /usat "asa. Untuk /artik$l ^ turunan t$rha%a/ 2aktu

Untuk s$luruh /artik$l

Suku t$rakhir

kar$na

Untuk -a!a $ntral %ala"

79ila r$sultant$ torsi luar nol /a%a su"9u s$"9aran- "aka "o"$ntu" su%ut total akan konstan /a%a su"9u t$rs$9ut.  Torsi int$rnal int$rnal /a%a /artik$l ^

79ila -a!a %ala" $ntral torsi total %ala" G * %an "o"$ntu" su%ut sisti" han!a 9isa %iru9ah ol$h -a!a luar. 7En$r-! Sisti" Partik$l K$ra untuk "$"9a2a sisti" %ari 1 k$ )

 a%alah -a!a r$sultan !an- 9$k$ra %i /artik$l ^

unakan

/a%a

k$$/atan /usat "asa.

Suku t$rakhir G * kar$na

7$n$r-! kin$ti total sisti" a%alah u"lah $n$r-! kin$ti /artik$l /artik$l "asa M 9$r-$rak %$n-an k$$/atan /usat "asa %an $n$r-! kin$ti "asin- "asin- /artik$l r$lati0$ t$rha%a/ /usat "asa.

Untuk -a!a kons$r0ati#

%an

%i"ana a%alah $n$r-! /ot$nsial %ala" %ari sisti" untuk 9$n%a kaku /osisi "asin- "asin- /artik$l ti%ak 9$ru9ah "aka $n$r-! /ot$nsial %ala"n!a G *.

7 Contoh /ro!$ktil /ro!$ktil "asa M "$l$%ak %i u%ara "$na%i 5 9a-ian  9$r-$rak sa"a %$n-an /ro!$ktil a2al 9$r-$rak /a%a arah 9$rla2anan %an %ia". En$r-! !an%il$/askan %ala" l$%akan a%alah  kali $n$r-! kin$ti. T$ntukan k$$/atan /$ahan b

Pro!$ktil a2al "asa M %an k$$/atan 0. "1 k$$/atan s$arah "aka

") 9$rla2anan arah

huku" k$k$kalan "o"$ntu"

7 K$k$kalan K$k$kalan $n$r-!

7 "aka

harus /ositi#. Pilih

"aka

K$$/atan /$ahan

7Tu"9ukan Elastis Dua Partik$l. Untuk sisti" /artik$l %ina"ika sisti" "$na%i s$%$rhana %$n-an %i-unakann!a kor%inat /usat "asa. Untuk tu"9ukan /$n-a"atan %ilakukan %i la9 %i"ana r$lati0$ /a%a kor%inat ini satu /artik$l %ia" %an !an- lainn!a 9$r-$rak. Di-unakan %ua sisti" kor%inat /a%a kasus tu"9ukan !aitu kor%inat /usat "asa CM %an kor%inat LA'. Partik$l "asa " 1 "$nu"9uk /artik$l "). Di kor%inat LA': Partik$l " 1:

k$$/atan a2al

k$$/atan akhir

$n$r-! kin$ti akhir. akhir.

Partik$l "): k$$/atan a2al

k$$/atan akhir

$n$r-! kin$ti total. k$$/atan /usat "asa %i"ana ") %i9$lokan

su%ut %i"ana "1 %i9$lokan

K$a%aan a2al

K$a%aan akhir

Di kor%inat CM Partik$l " 1: k$$/atan a2al

k$$/atan akhir

$n$r-! kin$ti akhir. Partik$l " ): k$$/atan a2al

k$$/atan akhir. akhir.

 $n$r-! kin$ti total. su%ut %i"ana "1 %an ") %i9$lokan

su%ut

K$a%aan a2al

K$a%aan akhir

Dari %$nisi /usat "asa %iturunkan t$rha%a/ 2aktu  u) G * %i kor%inat LA' /usat "asa 9$r-$rak k$arah " ) %$n-an k$$/atan:

") a2aln!a %ia" s$hin--a %i kor%inat CM akan 9$r-$rak %$n-an k$$/atan sa"a %$n-an ,:

s$ara 0$tor Di CM "o"$ntu" lini$r total G * D$nisikan u1G k$$/atan r$lati0$ k$%ua /artik$l 9aik %i CM atau LA'

/$r9an%in-an "asa ini akan "$n$ntukan "$n$ntukan $nis tra!$ktori. han!a a%a satu tra!$ktor!. a%a %ua tra!$ktori !aitu #or2ar% >k$%$/an? %an 9ak2ar% >"antul k$9$lakan-?

'ila "1 QQ ") "aka su%ut ha"9uran akan sa"a %i CM atau %i LA' ") ti%ak t$r/$n-aruh ol$h tu"9ukan " 1 %an 9$r/$ran s$9a-ai /usat ha"9uran t$ta/.

'ila

7

3ar-a "aksi"u" J G 1;* k$tika " 1 G ") %i LA' ti%ak a%a ha"9uran !an- l$9ih 9$sar %ari 4*. $oil %ari "):

,G

7

7

K$tika "1 G ") 7 ha"9uran /artik$l %$n-an "asa sa"a akan "$n-hasilkan k$$/atan akhir !an- salint$-ak lurus > " ) %ia" a2aln!a?.

7Kin$"atik Tu"9ukan Elastik. K$a%aan a2al:

 %i CM a%alah

%i CM $n$r-! kin$ti a2aln!a a%alah /$ahan %ari $n$r-! kin$ti %i LA'. K$a%aan akhir Di CM

Di LA'

S$%an-

Dari

"aka

%an

%ua suku /$rta"a %i%a/at.

Suku k$ti-a

%ari ru"us tan

"aka

Dis$%$rhanakan

D$n-an "$n--unakan su%ut ha"9uran  akan %i%a/at:

%i/ilih tan%a  k$uali kalau "1  ") k$%ua tan%a %i-unakan. En$r-! /artik$l !an- r$oil " )

Kalau

7

3u9un-an !an- lain:

7Tu"9ukan Ti%ak Elastik Elas tik >In$lasti? >In$last i? Dala" tu"9ukan $lasti k$k$kalan $n$r-! "$nunukan k$k$kalan $n$r-! kin$ti ti%ak a%a $n$r-! !an- hilan- atau 9$rta"9ah. S$ara u"u" %ala" tu"9ukan 9isa saa $n$r-! hilan- atau 9$rta"9ah

j G * tu"9ukan $lasti. j Q * tu"9ukan $n%o$r-i $n%o$r-i $n$r-! kin$ti hilan-. Untuk 9$n%a "akrosko/is tu"9ukan 9iasan!a ti%ak $lasti kar$na a%a $n$r-! kin$ti !an- hilan-.

j  * tu"9ukan $o$r-i $n$r-! kin$ti 9$rta"9ah. Dala" tu"9ukan "ikrosko/ik 9isa saa "asa %ari /artik$l 9$ru9ah a%i $n$r-!. D$raat k$ti%ak $lastikan 9isa u-a %ilihat %ari ko$si$n r$stitusi  N$2ton "$n%a/atkan 9ah2a k$$/atan r$lati0$ k$%ua /artik$l s$9$lu" %an s$su%ah tu"9ukan konstan:

Untuk tu"9ukan $lasti  G 1 %an  G * 9ila k$%ua /artik$l n$"/$l s$t$lah tu"9ukan. 3ar-a  "$nunukan 9ah2a ko"/on$n k$$/atan /a%a 9i%anaa konstan 9ila k$%ua /$r"ukaan tu"9ukan liin kon%isi ini t$r/$nuhi . Yan- /$ntin- ti%ak a%a -$rak rotasi /a%a /$risti2a tu"9ukan. Ta/i 9ila /$r"ukaan ti%ak liin 9isa saa ko"/on$n k$$/atan ti%ak sa"a 9$-itu /ula 9ila tu"9ukan o9li
Di LA' kor%inat " 1 9$r-$rak "$n%$kati " ) %$n-an 9 G /ara"$t$r tu"9ukan "$nunukan arak t$r%$kat !an- 9isa %il$2ati /artik$l %atan- 9ila ti%ak a%a -a!a.

Para"$t$r tu"9ukan "$n$ntukan "o"$ntu" su%ut " 1 t$rha%a/ ") "1 k$$/atann!a u1 "aka "o"$ntu" su%ut %$n-an $n$r-! kin$ti %atan-

.

Untuk $n$r-! t$rt$ntu "aka "o"$ntu" su%ut l %an su%ut ha"9uran akan %it$ntukan ol$h /ara"$t$r tu"9ukan 9ila -a!a tolak %ik$tahui. %ik$tahui. Dala" ha"9uran ato"i atau inti /ara"$t$r tu"9ukan ti%ak %ik$tahui atau ti%ak 9isa %it$ntukan hin--a han!a 9isa %it$ntukan k$"un-kinan ha"9uran /a%a 9$r9a-ai su%ut. Misal a%a 9$rkas /artik$l "asa " 1 %an $n$r-! T* "$n%$kati "asa ") !an- %ia" "aka int$nsitas >ra/at Xuks? I a%alah u"lah /artik$l %atan- /$r satuan 2aktu "$l$2ati satuan luas !annor"al t$rha%a/ arah -$rak 9$rkas. P$na"/an- lintan- ha"9uran %i#$r$nsial %i%$nisikan s$9a-ai:

D$n-an

a%alah $l$"$n su%ut ruan-.

k$"un-kinan k$"un-kinan ha"9uran /a%a

a%alah

s$%an- untuk

Xuks I %an %N a%alah u"lah /artik$l t$rha"9ur /a%a /$rsatuan 2aktu "aka

7 Di"$nsi

a%alah luas /$r st$ra%ian.

Untuk -a!a s$ntral "$"/un!ai si"$tr! su"9u int$-ral /a%a a=i"uth hasiln!a )W "aka

.

 u"lah /artik$l /artik$l %ala" int$r0al int$r0al %9 harus t$rkait t$rkait %$n-an %$n-an /artik$l /artik$l t$rha"9ur %ala" int$r0al %J %i"ana Q * /$nurunan su%ut %$X$ksi 9$rla2anan %$n-an k$naikan /ara"$t$r tu"9ukan.

Untuk /artik$l !an- 9$r-$rak %ala" -a!a s$ntral:

G -$rak /artik$l /artik$l %ala" -a!a s$ntral si"$trik t$rha%a/ titik t$r%$kat t$r%$kat /usat ha"9uran G

unakan

a"9il

U G * "aka

:

Untuk /ot$nsial t$rt$ntu %an har-a T * "aka akan %i%a/at 9 G 9>J? 9$rarti /$na"/an- %i#$r$nsial ha"9uran %i%a/at. " ) /usat ha"9uran %ia" %i#$r$nsial ha"9uran a%alah untuk CM.

 u"lah /artik$l /artik$l !an- %iha"9urkan %iha"9urkan /a%a su%ut ruan- har-an!a har-an!a sa"a %i CM atau %i LA' 7 Di LA'

%an

7

kalikan %$n-an

%an ta"9ahkan

 a%i

suku s$9$lah kiri %iuraikan

Maka

-unakan

Untuk

"aka

Untuk



73a"9uran uth$r#or% Untuk ha"9uran /artik$l 9$r"uatan !an- %is$9a9kan -a!a Coulo"9 "aka %$n-an <1<) "uatan. k  * -a!a tolak "$nolak k Q * -a!a tarik "$narik.

Diint$-ral akan %i%a/at:

 %$n-an %$n-an

7

 -unakan

ru"us ha"9uran uth$r#or%. P$na"/an- lintan- ha"9uran %i CM t$r-antun%an ti%ak t$r-antun- $nis "uatan tolak "$nolak %an tarik "$narik sa"a. Untuk kasus

7

Di LA' kor%inat:

P$na"/an- lintan- ha"9uran total !an- s$9an%in- %$n-an luas $#$kti# /artik$l tar-$t !an- "$n-ha"9urkan a%alah int$-ral %ari /$na"/an- lintan- %i#$r$nsial: %i#$r$nsial:

3ar-a /$na"/an- lintan- ha"9uran total sa"a a/akah %i CM atau LA'. 'ila in-in %ihitun- %i LA' 9ila "1 Q ") "aka 9atas 9atas int$-ral %ari * k$ W. 'ila "1  ") "aka 9atas int$-ral %ari * k$

'ila /$na"/an- lintan- total ha"9uran uth$r#or% %ihitunhasiln!a akan "$na%i tak 9$rhin--a %is$9a9kan la"9atn!a /$nurunan 1(r 9iasan!a "$%an Coulo"9 inti ato" %ian--a/ "$n-ala"i sr$$nin-Z sr$$nin-Z  a%i 9$rhin--a. 9$rhin--a.

%an /$na"/an- lintan- total

7$rak ok$t. ok$t 9$r-$rak kar$na s$"9uran "asa %$n-an k$$/atan tin--i. Pa%a 2aktu t "asa rok$t a%alah " %an k$$/atan 0. S$lan- 2aktu %t rok$t "$n!$"9urkan "asa %" %$n-an k$$/atan Fu. ok$t "asan!a a%i " F %" %an k$$/atann!a a%i 0  %0. Mo"$ntu" a2al G "0.

Pa%a 2aktu t  %t "o"$ntu" a%i  Ti%ak  Ti%ak a%a -a!a luar luar 9$rlaku 9$rlaku huku" k$k$kalan k$k$kalan "o"$ntu": "o"$ntu": 7

7

7

suku %" %0 %ia9aikan.

%" "asa !an- %is$"9urkan rok$t "aka /$ru9ahan "asa rok$t s$n%iri a%alah 7

7  %ian--a/ k$$/atan s$"9ur u konstan. K$$/atan akhir rok$t t$r-antun- u %an  hin--a rok$t 9iasan!a %i9uat 9$rtin-kat %$n-an "asin- "asin- tin-kat /un!a ta9un- 9ahan 9akar s$n%iri. ok$t %i%oron- ol$h k$k$kalan "o"$ntu" liniar su/a!a kons$/ -a!an!a k$lihatan "aka %i%$nisikan %oron-an thrustZ  suku s$9$lah kiri a%alah " a Doron-an G thrustZ %"(%t 9$rhar-a n$-ati0$ hin--a %oron-an 9$rhar-a /ositi#. Pa%a 2aktu rok$t naik "aka rok$t %i/$n-aruhi ol$h -a!a -ra0itasi 9u"i /$rsa"aan -$rakn!a:

G 7 K$$/atan 9akar konstan

%t %ihilan-kan

Dari

7

7

'ila k$$/atan s$"9ur k$il "aka 0 akan akan n$-ati0$ rok$t rok$t ti%ak akan /$rnah naik. Di/$rlukan k$$/atan s$"9ur t$rt$ntu su/a!a rok$t naik. Untuk naik li#t oZ thrustG%oron-an harus sa"a %$n-an 9$rat rok$t.  Thrust G 7u %"(%t %"(%t G u ^ %i"ana u G k$$/atan s$"9ur 9ahan 9akar. " - G u ^ 7 uG "-(^. ,III EAK DALAM KEANKA ACUAN NONINESIAL K$ran-ka auan in$rsial a%alah k$ran-ka auan !an- ti%ak "$n-ala"i /$r$/atans$%an- k$ran-ka auan nonin$rsial a%alah k$ran-ka auan !an- "$n-ala"i /$r$/atan. Pilihan k$ran-ka auan s$"9aran- ta/i %ihara/kan %ari /ilihan t$rs$9ut %ina"ika 9$n%a a%i l$9ih s$%$rhana.untuk s$9a-ian 9$sar kasus /ilihan k$ran-ka auan in$rsia 9isa %ilakukan%ala" k$a%aan t$rt$ntu /ilihan k$ran-ka auan nonin$rsial ti%ak t$r$lakan. Untuk "$lihat -$rak %ala" k$ran-ka auan nonin$rsial /$rhatikan %ua k$ran-ka auan !aitu k$ran-ka auan > 1)5? %ia" >$%? %an k$ran-ka auan > 1)5? 9$r-$rak.

 Titik P 9isa %ituliskan %ituliskan s$9a-ai: %i"ana a%alah 0$tor 0$tor ra%ius %ikor%inat %ikor%inat t$ta/ a%alah 0$tor ra%ius %i kor%inat kor%inat 9$r-$rak %an

0$tor ra%ius !an- "$n-hu9un-kan k$%ua sisti" kor%inat.

"isal 0$tor

"$n-ala"i /$r-$s$ran /$r-$s$ran

"aka %i"ana /$n-ukuran %ilakukan %ikor%inat t$ta/.

7 Kalau P "$"/un!ai k$$/atan totaln!a

%i"ana %ikor%inat 9$r-$rak"aka

u"us k$$/atan titik P %ikor%inat t$ta/:

D$nisikan:

Gk$$/atan /a%a su"9u t$ta/

Gk$$/atan kor%inat !an- 9$r-$rak

G k$$/atan /a%a kor%inat 9$r-$rak. k$$/atan !an- %is$9a9kan rotasi kor%inat 9$r-$rak.

u"us N$2ton 9$rlaku %ikor%inat in$rsial "aka %ikor%inat t$ta/:

Dari k$$/atan %ikor%inat t$ta/:

 Tulis  Tulis

%an

%$n-an /$r$/atan %ikor%inat 9$r-$rak.

Untuk /$n-a"at %ikor%inat 9$r-$rak:

 Gu"lah -a!a !an- 9$k$ra /a%a /artik$l %iukur %ikor%inat t$ta/. G /$r$/atan translasi kor%inat 9$r-$rak /a%a kor%inat t$ta/. G /$r$/atan su%ut kor%inat 9$r-$rak /a%a kor%inat t$ta/. G -a!a $ntri#u-al %an "$n-arah k$/usat /utaran. G -a!a Coriolis !an- ti"9ul kar$na /artik$l 9$r-$rak %ikor%inat 9$r-$rak. 7$rak %i P$r"ukaan 'u"i. A%an!a rotasi 9u"i "$na%ikan 9u"i a%alah k$ran-ka auan nonin$rsial. an--a/ kor%inat t$ta/ 9$ra%a %i/usat 9u"i s$%ank$ran-ka auan nonin$rsial %i/$r"ukaan 9u"i.

Dikor%inat 9$r-$rak:

G u"lah -a!a luar s$lain -ra0itasi.

"$%an -ra0itasi 9u"i

K$$/atan su%ut 9u"i konstan "aka

D$nisikan

G*

- $#$kti# !an- "$n$ntukan /$r$/atan -ra0itasi 9ukan - * arahn!a ti%ak t$/at "$n-arah k$/usat 9u"i. P$n-aruh #ator s$ntri#u-al uku/ 9$rarti %ikatulisti2a ari ari 9u"i l$9ih 9$sar )1.+ k" %i9an%in-kan %i9an%in-kan ari ari kutu9 %an /$r$/atan -ra0itasi kutu9

l$9ih 9$sar

%i9an%in-kan %i katulisti2a.har-a 7a!a Coriolis Suku a%alah -a!a Coriolis san-at 9$r/$ranan %i 9$lahan 9u"i lain k$uali %i katulisti2a.k$$/atan su%ut a%alah k$$/atan rotasi 9u"i !an- "$n-arah k$utara. Di9$lahan 9u"i utara akan "$"9$rikan /$n!i"/an-an /a%a arah kananZ.

P$n-aruh /alin- t$rlihat %ari $#$k Coriolis a%alah /a%a -$rakan an-inan-in 9$r-$rak %ari t$kanan tin--i k$ t$kanan r$n%ah r$n%ah %i9$lahan 9u"i utara akan %i%$X$ksikan k$arah kananZ.

Arah %$X$ksi %i 9a-ian s$latan 9$rla2anan %$n-an %i utara !aitu k$ kiriZ. Arah 2hirl/ool %i 9athtu9 9isa "$n-arah k$ s$"9aran- kar$na /$n-aruh -$s$kan %ls9. Contoh: t$ntukan /$n!i"/an-an !an- %iala"i 9$n%a !an- atuh 9$9as %ari k$tin--ian h !an- %is$9a9kan ol$h -a!a Coriolis.

a!a luar han!a -ra0itasi "aka

Kor%inat %i 9$lahan 9u"i utara: 



'$n%a atuh 9$9as %an %ian--a/ k$$/atan %i arah  %an ! k$il 



A9aikan suku 2 ) "aka





7 7  atuh %ari k$tin--ian k$tin--ian h "aka "aka 2aktu atuh P$n!i"/an-an 9$n%a

'$n%a %iatuhkan %ari k$tin--ian k$tin--ian 1** " %i latitu%$ + m /$n!i"/an-an s$kitar 1. " > -$s$kan u%ara %ia9aikan?. 7A!unan 7A!unan @ouault.

A!unan raksasa !an- "$"9uktikan 9ah2a 9u"i 9$r/utar. A%an!a t$-an-an tali "aka

 T$-an-an  T$-an-an tali %i%$kati %i%$kati ol$h 



a!a -ra0itasi:





$rak rotasi: K$$/atan:

 

 





 %an /$r$/atan %iarah = %ia9aikan.  Tuliskan  Tuliskan



k$$/atan

/$rsa"aan  "$n-an%un- ! %an s$9alikn!a 9iasa %is$9ut /$rsa"aan /asan-an. Kalikan /$rsa"aan ! %$n-an I %an u"lahkan

 Tulis  Tulis /$rsa"aan osillator t$r$%a" %$n-an #ator r$%a"an i"a-inair i"a -inair.. Solusi

Untuk "$lihat arti sis solusi: Misal 9u"i ti%ak 9$r/utar "aka #ator ^ t$rkait %$n-an #r$ku$nsi %an

Solusi untuk kon%isi 9u"i ti%ak 9$r/utar:

Maka

Ko"/on$n r$al %an i"a-inair  Dala" 9$ntuk "atriks

 

%$n-an

Su%ut rotasi #r$ku$nsi

%an 9i%an- a!un %ari @ouault 9$rotasi %$n-an

I DINAMIKA 'ENDA KAKU. 7T$nsor $nso r In$rsia. In$r sia. '$n%a kaku a%alah ku"/ulan /artik$l !an- arak r$lati#n!a s$lalu t$ta/. Untuk "$n--a"9arkan -$rak 9$n%a kaku %i-unakan %ua sisti" kor%inat !aitu k$ran-ka auan in$rsial >%ia"? %an kor%inat sisti" %i9$n%an!a s$n%iri. Misal 9$n%a kaku t$r%iri %ari n /artik$l %$n-an "asa

%$n-an

'ila 9$n%a 9$r/utar %$n-an k$$/atan 2 r$lati0$ t$rha%a/ titik t$rt$ntu %an 9$r-$rak %$n-an k$$/atan , "aka:

 a%i En$r-! kin$ti /artik$l k$ ^ : En$r-! kin$ti total 9$n%a kaku

Pilihan auan titik

s$"9aran-.  /ilih titik auan

%i/usat "asa 9$n%a kaku "aka  G *. Maka Di"ana unakan

'a-ian rotasi %ari $n$r-! kin$ti

%i kor%inat 9$n%a

 Tulis  Tulis

El$"$n %ari /$nu"lahan t$rha%a/ ^ %i9$ri s!"9ol

En$r-! kin$ti rotasi "$na%i:

 T$nsor  T$nsor in$rsia %ituliskan %ituliskan

unakan ko"/on$n

%an

El$"$n %ia-onal I 11I))I55 %is$9ut "o"$n in$rsia t$rha%a/ su"9u 1)5. S$%an- suku o %ia-onalZ I 1)I15I)1 %st %is$9ut /$rkalian in$rsia >/ro%ut o# in$rtia?.

 T$nsor  T$nsor in$rsia si"$trik si"$trik !aitu in%$/$n%$n.

9$rarti han!a han!a a%a 8 9$saran 9$saran

Untuk 9$n%a !an- kontin!u %$n-an k$ra/atan t$nsor in$rsian!a

"aka

 T$ntukan  T$ntukan t$nsor t$nsor in$rsia %ari %ari k$ruut k$ruut t$r9alikb

-unakan kor%inat silin%$r.

[

∫

]

 - 12 =  8 ( r )  12 ( x  x 1 + x 2+ x3 ) −r cos : r sin : rdrd:d1=0 2

2

2

 - i2 = 0 $nt$ $nt$kk i ; 2

Dari si"$tr! k$ruut t$rlihat 9ah2a

 - 11= - 22 ; - 33

( x x + x + x )− x 2

2

2

2

1

2

3

1

¿

 x 2

2

( ¿¿ 1 + x )  8 ( r ) ¿  -  + -  1  -  = -  = = ∫¿ 3

1

1

2

2

2

2

%iint$-rasikan %an

-unakan

7

P$rhitun-an t$nsor in$rsia r$lati0$ t$rha%a/ kor%inat > 1)5? 9isa %ihitun- r$lati0$ t$rha%a/ kor%inat %i /usat "asa > 1)5?a%a ara lain untuk "$n-hitun- t$nsor in$rsia /a%a kor%inat lain kalau su%ah %ik$tahui 9$sarn!a /a%a kor%inat t$rt$ntu. 7Mo"$ntu" Su%ut $lati0$ t$rha%a/ s$9uah titik %ikor%inat 9$n%a "o"$ntu" su%ut 9$n%a a%alah:

Mo"$ntu" liniar r$lati0$ t$rha%a/ kor%inat 9$n%a:

Maka

Mo"$ntu" su%ut a%alah 0$tor "aka untuk satu ko"/on$nn!a

Dala" 9$ntuk t$nsor  T$rlihat  T$rlihat 9ah2a arah arah "o"$ntu" su%ut su%ut L ti%ak harus s$arah s$arah %$n-an k$$/atan su%ut 2.

7Su"9u Uta"a In$rsia u"us L %an T rotasi a%i ru"it kar$na a%an!a /$rkalian in$rsia !an- "$ru/akan suku o %ia-onalZ. Kalau 9isa %i/ilih su"9u s$%$"ikian ru/a s$hin--a !an- a%a han!a suku %ia-onal "aka ru"us L %an T rotasi a%i s$%$rhana.

7  Yan Yan- a%a han!a han!a suku %ia-onal %ia-onal saa "aka "aka %an Su"9u %i"ana in$rsia t$nsorn!a han!a 9a-ian %ia-onal saa %is$9ut su"9u uta"a in$rsia. Untuk "$nari su"9u uta"a in$rsia sa"akan suku %i ko"/on$n "o"$ntu" su%ut:

/$rsa"aan t$rs$9ut akan t$r/$nuhi 9ila %$t$r"inan ko$si$n "$"$nuhi

/$rsa"aan ini %is$9ut /$rsa"aan s$ular atau karakt$ristik. Akar %ari /$rsa"aan a%alah I 1I) %an I5 !an- "$ru/akan su"9u uta"a in$rsia. D$n-an "$"asukan har-a !an- %i%a/at k$/$rsa"aan asal akan %i%a/at 2 1:2):25 !an- "$ru/akan arah %ari su"9u uta"a.

Dala" /$"akaiann!a 9$n%a kaku 9iasan!a "$"/un!ai 9$ntuk t$rt$ntu !an- si"$tris %ala" k$a%aan ini su"9u uta"a t$rl$tak /a%a arah t$rt$ntu. Kalau

9$n%a %is$9ut -asin- s/h$ris.  %is$9ut -asin- si"$tris.

I1I)I5 %is$9ut -asin- asi"$tris. Contoh sisti" t$r%iri %ari 5 /artik$l %$n-an "asa %an /osisi: Cari t$nsor in$rsia su"9u uta"a %an su"9u uta"a in$rsiab 2

 x ) " k − x ) "i  x ) " 2  i2

∑¿ k 

¿

m) ¿  - i2 =

∑¿ ) 

D$n-an ara !an- sa"a

Mo"$n in$rsia uta"a %i%a/at %ari

7

S$ara nu"$ri > -unakan ru"us

 x i+2= x i+ 1−

sa"/ai konstan untuk tia/ akar? %i%a/at

Mo"$n in$rsia uta"a P$rsa"aan a2al:

Untuk

 ( 31=−3 ( 11+ ( 21

7

"asukan

"aka

7  a%i

Posisi su"9u uta"a I 1 a%alah Dari

/osisi I) a%alah

Dari

/osisi I5 a%alah

Su"9u uta"a harus salin- t$-ak lurus. 7T$or$"a Su"9u Paral$l St$in$r

 !  ( x ) !  ( x )

%iit$rasi 9$rkali

%ala" ko"/on$n

Su/a!a $n$r-! kin$ti "$na%i /$nu"lahan $n$r-! kin$ti tranlasi %an rotasi "aka kor%inat 9$n%a harus %i/ilih /a%a /usat "asa. Dala" k$a%aan /ilihan kor%inat /usat "asa 9ukan !ant$r9aik "aka %i-unakan kor%inat 9$n%a !an- ti%ak t$rl$tak %i/usat "asa. El$"$n t$nsor in$rsia %ala" kor%inat 

Dala" /$nu"lahan suku t$rakhir t$r%a/at suku a%alah /usat "asa.

kar$na O

t$or$"a su"9u /arall$l St$in$r. D$n-an %ik$tahuin!a t$nsor in$rsia /a%a su"9u t$rt$ntu "aka t$nsor in$rsia %i /usat "asa 9isa %ihitun- atau s$9alikn!a. Untuk k$ruut:

Pusat "asa t$rl$tak %i

"aka

Maka t$nsor in$rsia %i/usat "asa a%alah

7Si#at T$nsor In$rsia In-in %ilihat 9$saran t$nsor %ala" trans#or"asi kor%inat.Pan%an%ua sisti" kor%inat %isatu kor%inat %an %ikor%inat !an- 9$rotasi 9$saran !an- sa"a %in!atakan s$9a-ai

Untuk 0$ktor trans#or"asin!a %ituliskan S$hin--a untuk

%an kalikan %$n-an

%an u"lahkan t$rha%a/ k

9a-ian

9isa %ia"9il k$si"/ulan 9ah2a ini "$n!atakan hu9un-an >trans#or"asi? antara t$nsor in$rsia > t$nsor rank %ua? %i satu kor%inat /a%a kor%inat lain. Dala" 9$ntuk "atriks trans#or"asi 9isa %ituliskan s$9a-ai

untuk trans#or"asi trans#or"asi "atriks ortho-onal trans/os$ sa"a %$n-an in0$rs$n!a >k$9alikan?.

!aitu

trans#or"asi trans#or"asi %$"ikian %is$9ut si"ilarit! trans#or"ationZ. Untuk k$a%aan %i"ana s$t$lah trans#or"asi hasiln!a a%alah t$nsor !an- %ia-onal: 7 t$rha%a/ i

kalikan %$n-an

%an u"lahkan

 suku s$9$lah kiri 9isa %ituliskan s$9a-ai /$nu"lahan t$rha%a/ l 7 Mo"$n in$rsia uta"a %i%a/at %ari akar /$rsa"aan s$ular %$t$r"inan

 T$nsor  T$nsor in$rsia a%alah a%alah t$nsor si"$trik r$al r$al !an- "$"/un!ai "$"/un!ai si#at 7%$n-an si"ilarit! trans#or"ationZ 9isa %i9uat %ia-onal.> l$9ih "u%ah %$n-an /$rsa"aan s$ular untuk "$n%ia-onalkan kalau /ol!no"ial k$il?.  7har-a $i-$n %i%a/at %ari akar /$rsa"aan s$ular %an "$ru/akan 9ilan-an r$al. 70$ktor $i-$nn!a a%alah ortho-onal %an r$al. 7Su%ut Eul$r. Eul$r. Kor%inat 9$n%a /a%a 9$n%a kaku 9isa %i/ilih s$"9aran- ta/i kalau %i/ilih "$"/un!ai hu9un-an t$rt$ntu /$n--a"9aran %ina"ika a%i l$9ih s$%$rhana. Su%ut Eul$r a%alah su%ut !an%i9$ntuk antara kor%inat 9$n%a %an kor%inat t$ta/ !an- khusus.

Cara "$n%a/at su%ut Eul$r %$n-an "$lakukan 9$9$ra/a rotasi untuk "$"9a2a  i k$ kor%inat  i 7/utaran 9$rla2anan arah a" s$9$sar

/a%a su"9u  5 !an-

"$"9a2a i k$ i/utaran t$ra%i %i 9i%antrans#or"asi a%alah

7/utaran 9$rla2anan arah a" s$9$sar "$ntrans#or"asikan "$ntrans#or"as ikan "atriksn!a a%alah

a%i

"atriks

/a%a su"9u

/utaran t$ra%i %i 9i%an-

7/utaran 9$rla2anan arah a" s$9$sar /a%a su"9u "$"9a2a k$ trans#or"asi "atriksn!a

!an"aka

!an-

P$r/oton-an antara 9i%an-  17) %an 9i%an-  17) %is$9ut -aris no%$s su%ut a%alah su%ut antara -aris no%$s %$n-an  1  su%ut a%alah su%ut antara -aris no%$s %$n-an  1 %an arah s$/anan- -aris no%$s. Matriks trans#or"asi s$ara k$s$luruhan a%alah

 "aka Ko"/on$nn!a:

Pa%a kor%inat 9$n%a >kor%inat  i? k$$/atan su%ut 2 %a/at %ituliskan s$9a-ai

7P$rsa"aan $rak Eul$r '$n%a "$n%a/at torsi N "aka

%an

Dala" ko"/on$n %ikor%inat 9$n%a  5 kor%inat i 9$ri"/it %$n-an su"9u uta"a 9$n%a  untuk ko"/on$n lain %ilihat %$n-an /$r"utasi

S$ara u"u" %$n-an s!"9ol /$r"utasi

 /$rsa"aan -$rak 9$n%a kaku Eul$r.

a%alah s!"9ol /$r"utasi >L$0!7Ci0ita %$nsit!? !an"$"/un!ai har-a s$9a-ai s$9a-ai 9$rikut G* kalau a%a in%$ks sa"a G 1 kalau ik "$"9$ntuk /$r"utasi -$na/ %ari 1 ) 5 %an G 71 kalau ik "$"9$ntuk /$r"utasi -anil %ari 1 ) 5.

7$rak Tan/a a!a asin- si"$trik. Untuk -asin- si"$trik -a!a

"aka /$rsa"aan Eul$r tan/a

 Tan/a  Tan/a -a!a luar luar "aka /usat /usat "asa 9$n%a %ia" %ia" atau "$"/un!ai "$"/un!ai k$$/atan konstan /ilih k$$/atan konstan. Untuk k$$/atan su%ut s$arah su"9u uta"a -$rakann!a 9iasa. Pan%an- 2 ti%ak s$arah su"9u uta"a. Dari

7

 Tulis  Tulis

7

7

%i"ana

Kalikan suku k$%ua %$n-an i %an u"lahkan: tulis

/$rsa"aan

 a%i solusi

!aitu %$n-an "$"ilih /has$G*. "aka

kar$na s$hin--a /ro!$ksi

9$n%a 9$rarti 0$tor

"$n--a"9arkan lin-karan %i 2aktu:

su"9u 5 a%alah su"9u si"$tr! 9$r/r$s$si t$rha%a/ su"9u 9$n%a  5

%$n-an #r$ku$nsi su%ut t$ta/ . Untuk /$n-a"at %ikor%inat 9$n%a "$n-itari su"9u si"$tr! 9$n%a "$"9$ntuk k$ruut k$ruut 9$n%a. Di kor%inat %ia" "o"$ntu" su%ut t$ta/ %an konstan >kar$na ti%ak a%a -a!a luar?. Konstanta -$rak lain a%alah $n$r-! kin$ti rotasi >/usat "asa 9$n%a %ia"?:

kar$na "aka harus 9$r-$rak s$%$"ikian ru/a hin--a /ro!$ksin!a /a%a "o"$ntu" su%ut konstan. a%i 9$/r$s$si %an "$"9$ntuk su%ut t$ta/ %$n-an Dari

. 7

. 9$rarti %an 5 t$rl$tak /a%a 9i%an-. 'ila su"9u  5 9$ri"/it %$n-an L "aka untuk /$n-a"at %i kor%inat %ia" 0$tor akan "$n-itari su"9u  5 %an "$"9$ntuk k$ruut ruan-. 3in--a akan 9$r/r$s$si t$rha%a/ 5 %ikor%inat 9$n%a %an 9$r/r$s$si /ula t$rha%a/ su"9u 5 %ikor%inat t$ta/.

25 G 2 "aka /r$s$si a%alah 5*8 hari > 1* 9ulan? Chan%l$r 2o99l$Z a%alah +)* hari kar$na 9$ntuk 9u"i ti%ak o9lat$ s/h$roi%alZ %an 9u"i s$%ikit $lasti >ti%ak 9$tul 9$tul kaku?. kaku?. 7$rak asin- Si"$trik %$n-an salah satu titik t$ta/. Di/ilih kor%inat 9$n%a %an %ia" 9$ri"/it titik asaln!a hin--a $n$r-! kin$ti translasi translasi G * > , G  G *? uun- %ari -asin- t$ta/ %i /usat kor%inat. Su"9u  5 "$nunukan 0$rtial %i kor%inat %ia" %an su"9u  5 9$ri"/it %$n-an su"9u si"$tr! -asin-.

I1GI) I5 En$r-! kin$ti rotasi

Di"ana

%an

Maka

Kor%inat  %an  siklis %ala" La-ran-ian "aka "o"$ntan!a konstan:

 Torsi  Torsi -a!a -ra0itasi -ra0itasi s$/anans$/anan- -aris no%$ ti%ak ti%ak a%a ko"/on$n ko"/on$n %i 5 %an 5 "aka "o"$ntu" su%ut %i  5 %an 5 konstan.

su9stitusi k$ /  atu

7

Sisti" kons$r0ati# hin--a $n$r-! total konstan

Dari

7

"aka

Masukan

%$n-an

"aka

/a%a /rinsi/n!a %ari hasil int$-ral %an >t? >t? -$rak -asin- %i%a/at. Dari 9$ntuk /ot$nsial $#$kti# 9isa u-a %ilihat -$rak %ari -asin-

Pa%a J G J * "aka "aka -$rak a%alah /r$s$si %$n-an k$"irin-an J * !an- t$ta/.

 Tulis  Tulis

/$rsa"aan kua%rat %ala"  akarn!a

9$saran a%alah r$al "aka kalau

s$%an-

-$rak /r$s$si /a%a k$"irin-an akan t$ra%i kalau k$$/atan su%ut "$"$nuhi s!arat t$rs$9ut. Pa%a

9isa %ituliskan

 kar$na  /un!a %ua har-a akan %i%a/at

!an- "$ru/akan /r$s$si $/at %an

/r$s$si la"9at.

Kalau 9$sar "aka suku %ala" akar %i  %iuraikan "$n--unakan 1

( 1− x ) =1− 1 x  akan %i%a/at 2

2

%an

9iasan!a !an- t$ra"ati

a%alah Untuk >/osisi uun- -asin- l$9ih tin--i %ari/a%a /usat "asa? "aka  akan s$lalu r$al ti%ak a%a 9atasan t$rha%a/ 2 5. Untuk k$a%aan u"u"

"aka %ari

9isa 9$ru9ah tan%a atau ti%ak t$r-antun- %ari har-a

%an

. Kalau ti%ak 9$ru9ah tan%a "aka -$rakn!a

%is$9ut nutasi !aitu -asin- 9$r/r$s$si /a%a su"9u  5 %an 5 9$rosilasi 9$rosilasi %ari

%an

s$%an- kalau 9$ru9ah tan%a "aka arah /utar /r$s$si

akan 9$r9$%a %i

%an

Kalau

"aka

kon%isi

ini %iu"/ai %ala" k$a%aan a2al %ari -asin7Sta9ilitas otasi '$n%a Kaku Missal a%a 9$n%a kaku %$n-an %an su"9u 9$n%a 9$ri"/it %$n-an su"9u uta"a. '$n%a a2aln!a %i/utar /a%a su"9u 1 "aka k$"u%ian %ikasih -an--uan hin--a k$$/atan su%ut  a%i %$n-an f %an  9ilan-an k$il

P$rsa"aaan Eul$r a%i %an

suku f p * "aka /$rsa"aan !an- lain a%i

%an /$rsa"aan /asan-an.

!an- "$ru/akan

"asukan

akan %i%a/at

solusin!a

%$n-an %an osilasi.

"aka

9ilan-an r$al %an solusi a%alah -$rak

'$-itu /ula %$n-an -$rak

"$ru/akan -$rak osilasi.

$rakan rotasi /a%a su"9u  1 sta9il. Kalau %ilakukan rotasi /a%a su"9u  ) %an 5 akan %i%a/at

%an "aka

kar$na

9ilan-an r$al ta/i

9ilan-an i"a-inair.

Kalau %ilakukan rotasi /a%a su"9u  1 %an 5 "aka -$rakan akan sta9il kar$na a%an!a -an--uan akan "$n-hasilkan -$rak osilasi. Ta/i untuk rotasi /a%a su"9u  ) -$rakan ti%ak sta9il kar$na -an--uan akan "$n-hasilkan -$rakan !an- ti%ak t$r9atas. 'isa %isi"/ulkan 9ah2a rotasi /a%a "o"$n in$rsia t$r9$sar %an t$rk$il akan sta9il ta/i /a%a "o"$n in$rsia /$rt$n-ahan akan ti%ak sta9il. 'ila I1 G I) "aka

%an

konstan

-$rakan tak t$r9atas "aka -$rak  1 ti%ak sta9il. Maka han!a -$rak su"9u  5 !an- sta9il ti%ak t$r-antun- 9$sar %ari I5.