Mekanika Bahan I Materi 1

5/7/2018

Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om

MEKANIKA BAHAN I (Mechanics of Materials) Semester II (3 SKS)

1/27/2008

http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

1

1/97

5/7/2018


Mechanics of Materials – R C Hibeller – R J Crawford

Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1

2 2/97

5/7/2018


Nama Tem at t l lahir Pendidikan tertinggi Home Address

: Prof. Ir. Jamasri, Ph.D : Kudus 4 Juli 1961 : Ph.D. in Mech Eng (1993) : Pogung Raya 272D Yk . .


3 3/97

5/7/2018


Tugas & Quiz Mid-Semester

: 30% : 30%

End-Semester

: 40%

Justifikasi

: A ≥ 80 65 ≤ B < 80 < 40 ≤ D < 55


4 4/97

5/7/2018


a us Konsep tegangan Beban aksial – te an an dan re an an Beban torsi (puntir) Beban Len kun murni Beban transversal Defleksi


5 5/97

5/7/2018


aya Gaya aksial

e an

:

 men ebabkan memanjang/memendek arah aksial

tarik (+)

tekan(-)

 menyebabkan Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1

6 6/97

5/7/2018


Momen = gaya x jarak Momen puntir : menyebabkan terpuntir P T=Px l

Momen Lengkung : menyebabkan melengkung P

M

M

M = P/2 x l l Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1

7 7/97

5/7/2018


Gaya aksial tarik = uas penampang yang mena an A

intensitas gaya yang terbagi pada luasan seluas A disebut tegangan, σ (sigma)

=

P

σ P adalah resultante gaya internal di penampang Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1

8 8/97

5/7/2018


Satuan Tegangan P (N)2) A –– satuan satuan gaya luas (m

σ = P/A satuan σ : N/m2

1 N/m2 = 1 pascal (disingkat Pa) 2 3 2 3 (kilo newton) (kilo pascal) 1 MPa (mega pascal) = 106 Pa = 106 N/m2 2 = 9 = 9 Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM


9

9/97

5/7/2018


bidang yang tegak lurus dengan arah gaya. σ= u an egangan sua u pada penampang A, tetapi tegangan

A

rata-rata semua titik pada penampang Pada umumnya tegangan di suatu titik tidak sama dengan tegangan rata-rata. Dalam praktek, tegangan ini dianggap seragam, kecuali pada titik beban, atau . Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM


P A X

Y

Gaya ada di titik X teg di X = besar teg = Teg. Rata-rata di Penampang A= P/A

10

10/97

5/7/2018


ung egangan norma pada batang 1 dan batang 2

N D1 = 10 mm

1

30o +100V3 2

D2 = 20 mm

100

σ1 = 100V3/0,0000785 = 2206434N/m2 σ2 = -200/0,0003141 Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM


-200

A = πD2 /4 A1 = 0,0000785 m2 A2 = 0,0003141 m2

= 2,206 MPa (tarik)

= -636739.89 N/m2 = -0,636 MPa (tekan) 11

11/97

5/7/2018


u:

1

. - .

=

1

45o

F1 = 5 kN

F2 = 10 kN D2 = 20 mm

Hitung tegangan normal pada batang 1 dan batang 2 dalam MPa Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM


12

12/97

5/7/2018


P’

A

A = luas penampang yang mena an e an Tegangan yang terjadi pada luasan A disebut tegangan geser, τ (tau)


13

τrata2 =


13/97

5/7/2018


P

P P

P

P

P/2 P

τ=

P

Single shear



τ=

P

Double shear

14

14/97

5/7/2018


Suatu benda yang statis, jika dipotong harus tetap statis  resultante a a = 0 ΣF=0 30+50 = 80 kN Diameter =

B

B 30 kN

A Diameter

A 50 kN

50 kN

= 20 mm 30 kN

30 kN

σ A-A



=

30 0,000314

kPa

30 kN

σ

=

B-B

80 0,000707

kPa 15

15/97

5/7/2018


e an a s a a anya menye a an egangan normal, juga tegangan geser jika bekerja pada ang yang ersu u . e an P

P

σ

P A ο

P

τ

P Aθ

P P A Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM


σ

P

τ

A θ

P Aθ

τ

16

16/97

5/7/2018


P

P

F P

θ

P

F = P cos θ V = P sin θ

A0

Aθ θ

= (P cos θ) /(A0 /cos θ) = (P/A0) cos2 θ pada θ = 0  σ = P/A0 (maks) θ = 90  σ = 0

Pada τmaks, maka σ = P/2A0


V

τ == V/ As θn

0/ cos

= (P/A0) sin θ.cosθ = (1/2) (P/Ao) sin2θ pada θ = 0  τ = 0 θ = 90 τ = 0 τ maksimum di θ = 45  τmaks

= P/2A0

17


17/97

5/7/2018


P Suatu pipa baja dimeter luar 300 mm dibuat dari plat setebal 8 mm dengan mengelas melingkar (helix) yang membentuk sudut 20o terhadap bidang tegak lurus sumbu pipa. Bila P = , .

σθ

P

σ= =

Las

τθ

8 mm

o

- 250 kN

π (do2-di2) 4

= - 34,083 MPa θ=

2

=-


.

τ = 0 5σ sin2θ = 10.95 MPa

18


18/97

5/7/2018


bisa terjadi pada bahan  hasil pengujian Dalam desain, maka beban an dikenakan ada kom onen mesin harus lebih kecil dari beban ultimate bahan. Perbandingan antara keduanya disebut faktor keamanan (factor of , beban _ ultimate FS = beban _ an _ dii inkan FS


=

tegangan _ ultimate

_

_ 19


19/97

5/7/2018


u:

. - .

D = …. ?

=

Sebuah batang terbuat dari baja dengan kekuatan 500MPa ditarik den an a a 100 kN. Jika factor of safety adalah 2, hitung diameter minimal yang diperbolehkan


20


20/97

5/7/2018


Jika suatu benda diberi beban, akan mengalami perubahan bentuk (deformasi)  memanjang, memendek, membesar, mengecil dsb. Perubahan panjang = δ. Semakin besar P, δ juga semakin besar. a

uat gra

-

P

A

δ


δ

21


21/97

5/7/2018


Semakin besar L, pertambahan panjangnya juga semakin besar

L

= , penampang konstan, maka deformasi per satuan panjang disebut regangan, ε e silon

2L A

δ

P

ε = A

2δ

δ

δ = satuan panjang L=satuan panjang

>

ε, tanpa satuan

P Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

22


22/97

5/7/2018


Persen (%) 

regangan = 10% (dari mula2) = , = =

In/in , seragam, mengalami deformasi sebesar δ = 150 µm =150 x 10-6 m. Maka regangannya adalah : −6

ε

=

δ L

=

150

× 10

0 ,6


=

250

× 10

−6

m / m

=

250

× 10

−6

23


23/97

5/7/2018


Diagram yang menunjukkan hubungan tegangan dan regangan (σ−ε ) tidak sama untuk setiap material.antara Diagram ini merupakan sifat . Untuk mendapatkan diagram σ−ε dari suatu material harus dilakukan uji tarik P

σu ) a P (

Lo

Spesimen patah

Luas = Ao σ = P/Ao ε= o

y

σB

σ

0,004

P


Aluminium Paduan

0,2

ε 24


24/97

5/7/2018


– 450

σu

σu

) a 300 P σy (

) a 300 M (

σB

σ

150

σy

σB

σ

150

0,0012 0,02

0,2

0,25

Baja karbon rendah

ε 0,004

ε

0,2

Aluminium Paduan

σu = tegangan ultimate = kekuatan ultimate σ = tegangan yield (luluh) = kekuatan luluh σB = tegangan patah = kekuatan patah Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

25


25/97

5/7/2018


u σu

) a 300 P σy (

σB

σ

150

necking

luluh Pengerasan regangan necking

0,0012 0,02

0,2

0,25

45o

cup cone

ε

Bahan liat : baja karbon rendah, aluminium,

Bahan liat tidak tahan geser Patah pada tegangan geser terbesar (sudut 45o) Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

roses pa a spes men ar ma er a yang liat 26


26/97

5/7/2018


450

450

σu

σu

) a 300 M ( σ

) a P M ( σ

σy σB

150

0,0012 0,02

0,2

0,25

ε


ε

0,2

0,004

Aluminium Paduan

Pada tegangan luluh tegangan konstan walaupun regangan bertambah

uu

σB

150

Baja karbon rendah

t

σy

Titik

luluh tidak jelas

e as

27


27/97

5/7/2018


encar

e ua an u u

engan o se

u

) a y P σ M (

σB

σ

ε 0,2% ofset Bahan yang titik luluhnya tidak jelas  egangan u u car engan me o e o se Kekuatan luluh pada offset 0,2%  Titik potong antara kurva σ−ε dengan garis yang sejajar dengan bagian ,


28


28/97

5/7/2018


uran e- a an

uc

Persentase perpanjangan =

y

L 100 B

− Lo

%

o

cup

L B: panjang patah

cone

Lo : panjang mula-mula

Persentase pengurangan uas penampang A B: luas penampang patah Ao : luas penampang mula-mula


Baja struktur = 20%

=

100

A o

−

AB

%

o

Baja struktur = 60 - 70%

29


29/97

5/7/2018


a an σ ) a 300 P (

=

u

e as

r

e

σ B

σu = σB

0o

σ

150

ε

0,0012 0,02

Besi tuang, gelas, batu (keramik), bahan komposit, dsb

Bahan getas tidak tahan tarik Patah pada tegangan tarik o

terbesar (sudut 0 )


roses pa a spes men ar ma er a yang getas 30


30/97

5/7/2018


Bahan liat : kekuatan tekan dan tarik sama ‘ ’ a an ge as : e ua an u ma e e an au e tinggi daripada kekuatan tarik, karena retak-retak ec yang a a mempengaru e ua an ar , e ap tidak mempengaruhi kekuatan tekan Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

31


31/97

5/7/2018


Pada diagram σ−ε, tegangan σ dan ε dihitung dg. Persamaan : σ =P/Ao dan ε = (L-Lo)/Lo

•

Ao adalah luas penampang mula-mula Tegangan ini disebut : tegangan teknik (engineering stress) Kenyataannya, Ao semakin kecil (jika beban ditarik)  sesungguhnya σ lebih besar, disebut : tegangan sesungguhnya Demikian u a ε sebenarn a adalah : ε =Σ∆ε = Σ ∆L/L Atau : 450

450

) σu a P 300 M ( y

) σu a P 300 ( σ

y

σ

150

ε t =

σB luluh

Pengerasan regangan

0,0012 0,02

0,2

σ

necking

0,25

ε

150

luluh

Pengerasan regangan

0,0012 0,02

0,2

L

dL

Lo

L

= ln

necking

Lo

σB

0,25

ε

Tegangan – regangan teknik, Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

L

Tegangan – regangan sesungguhnya 32


32/97

5/7/2018


Pada umumnya elemen struktur (mesin) didesain sedemikian sehingga deformasinya kecil, dan hanya bergerak pada daerah garis lurus pada

−

Pada daerah ini, tegangan berbanding lurus dengan regangan : 450

) σ = E ε σu P 300 Persamaan ini disebut : hukum Hook. (Robert Hook, 1635-1703) M ( σy Koefisien E disebut modulus elastisitas disebut juga modulus Young σ 150 Thomas Youn 1773 – 1829

luluh

0,0012

Karena ε tanpa satuan, maka satuan E sama dengan satuan σ


Te

33


33/97

5/7/2018


E menunjukkan mudah-tidaknya kekakuan (stiffness) bahan bahan berubah bentuk

(σ = E ε)

σ

ε

ε E besar



ε kecil

sulit

menunjukkan

em r ngan gar s n er pa a agram σ−ε

un u an o e σ



berubah bentuk


E kecil



ε besar

mudah

berubah bentuk 34


34/97

5/7/2018


a as propors ona

Tegangan terbesar dimana hukum Hook masih berlaku disebut batas ro orsional bahan.

σ Baja paduan yang diquenced dan ditemper

Pada bahan yang luluhnya jelas, maka batas proporsional hampir berimpit dengan tegangan luluh Pada beberapa bahan, penambahan bahan paduan, perlakuan panas dan

Baja karbon tinggi Baja karbon rendah

besi murni

ε

proses pembuatan mengubah kekuatan, duktilitas, ketahanan korosi dsb. Kekuatan berbeda, kekakuan sama


35


35/97

5/7/2018

Contoh :


gambar di bawah. Batang dianggap mempunyai bahan yang sama den an har a E = 208 GN/ m 2 . Jawab : Secara umum ersolan di atas da at diwakili dengan gambar di samping ini. Jari-jari er u : batang dapat dituliskan sebagai r = r ο -(r ο - r1 ) x L

A x


x⎤ ⎡ = π r − (r − r ) o

o

1

36


36/97

5/7/2018


Jika potongan dx bertambah panjang du akibat pembebanan, maka regangannya men a : du W 1 = x

sehingga: L

u

=

0

W

A x E

x =

W L

dx

π E 0 [r ο − (r ο − r )

]

x 2 1 L

WL E π r o r 1 Kita aplikasikan pada batang bagian bawah (B)

=

u B

x0,6 0,0319mm == 208.1010000 = 9 .π .0,012.0,006


37


37/97

5/7/2018


Sedangkan untuk batang bagian atas (A) ditentukan terlebih a u u esar e annya. Beban tekan : -2. π .0,03 = -0,06π MN = -188,5 kN Beban an beker a ada batan A : -188 5 + 10 = -178 5 kN Pengurangan panjang pada3 batang A : 178,5.10 .0,6 A

−

9

−

,

208.10 .π .0,0035.0,00175 Perubahan panjang pada batang = -0,0669 + 0,0319 =- , mm


38


38/97

5/7/2018


Batang BC, panjang L dibebani beban terpusat P

L

Jika te an an an timbul σ tidak melebihi batas proporsional, maka berlaku hukum Hook :

δ A

P

σ = E ε ε = σ /E = P/AE

Mengingat bahwa ε = δ /L, atau δ = ε L, maka bisa dituliskan

δ =


PL AE

39


39/97

5/7/2018


’ Jika suatu batang ditarik pada satu arah : –

– Memendek pada arah tegak lurus beban  εy = - y x  Nilai ν (nu) adalah

0<ν<0.5

y

εx Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

40


40/97

5/7/2018


γ τ

τ x 

τxy

Hukum Hook

τxy = G γxy

= tegangan geser G = modulus geser xy Ingat kembali :


σx = E εx

G=

E

41


41/97

5/7/2018


ua u en a a menga am peru a an empera ur, maka ukurannya berubah L δT = α(∆T)L T

α = sifat bahan : koefisien ekspansi termal (satuan : per oC)

ε T = δT / L


ε = α∆Τ



Regangan termal

42


42/97

5/7/2018

Jika perubahan panjang ini tidak ada yang menahan  tidak Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om

Jika ditahan, maka timbul tegangan ∆T=0, tegangan = 0 ∆T >0 tidak ditahan, tegangan = 0

δT P

’

, ditahan kiri-kanan tegangan ≠ 0

δP δ T + δ P

= 0 ⇒ α (∆T ) L +

PL AE

P = − AE α ( ∆T ) Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

=0

Maka tegangan an timbul :

σ =

P

= − E α ∆T 43


43/97

5/7/2018

Hubungan Tegangan-Regangan Secara Umum: Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om

umum dapat dilihat gambar di bawah ini.

a. Tegangan Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

b. Regangan

44


44/97

5/7/2018

Untuk tegangan σ x , σ y , σ z :

ε x

=

σ x ν − (σ y E E ν y


+ σ z )

ε y ε z

= E − E (σ z + σ x ) = z − σ x + σ y E E

Jika komponen tegangan pada arah z adalah nol, maka kondisi ini disebut dengan kondisi plane stress (tegangan bidang), sedangkan ika komponen regangan pada arah z adalah nol, maka kondisi ini .


45


45/97

5/7/2018

plane stress: σ z plane strain: ε z

= 0; ε z ≠ 0 = 0;σ z ≠ 0


(pelat tipis) (pelat tebal)


46


46/97

5/7/2018

Contoh aplikasi:


Silin er in ing tipis erte anan seperti gam ar i awa . Tentukan regangan pada arah aksial dan radial. Jawab: Tegangan radial dan aksial pada silinder dinding tipis bertekanan adalah: σ x

=

2t

; σ y

=

t

dimana: p = tekanan dalam silinder r = jari-jari rerata Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

47


47/97

5/7/2018

Dari persamaan tegangan-regangan, regangan aksial : σ x σ y pr pr pr ε x = −ν = −ν = (1− 2ν ) E E 2tE tE 2tE sedangkan regangan radial: σ y σ x pr pr pr − = − = − y = E E tE 2tE 2te Perbandingan antara regangan radial dengan regangan aksial untuk ν = , a a a : ε y 1,7 = = ε x 0,4 Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om


48


48/97

5/7/2018


Harga ini dapat dibandingkan dengan harga:

σ 2, ternyata = σ x

per an ngan regangan yang ter a au e esar ar pa a perbandingan tegangan. Oleh karena itu, untuk kasus semacam ini per u per at an batas regangan yang perbo e an ba an.


49


49/97

5/7/2018


a u:

. - .

= mm L = 60 mm

berdiameter 20 mm dan panjang 60 mm. elastisitas (E) = 200 GPa dan koefisien -6

5 kN


ekspansi termal (α)=11 (10 ). Jika batang dibebani dengan gaya 5 kN, tentukan perubahan suhu yang per u an agar pan ang a ang a berubah.

50


50/97

5/7/2018


1. Persamaan kesembangan gaya . ersamaan ompat tas 3. Hubungan antara beban-deformasi (persamaan konstitutif)


51


51/97

5/7/2018

Interaksi dua bahan diseri:


Bahan a: E a , δ a , Aa , ε a Bahan b: E b , δ b , Ab , ε b Persamaan keseimbangan: F a = F b = F

(1)

Persamaan kompatibilitas: δ = δ a + δ b

(2)

Hubungan tegangan-regangan: σ a δ a = a a = a a = a ε a la Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

52


52/97

5/7/2018

σ b

δ b


ε b Dari:

b

b

b

a

σ a σ b

b

Ab

b

a

= Aa

=

b

a E =

= E b

la b

lb

e a δ →

→ δ b =

δ =

b

F ⎛ l a

⎜⎜

a

+

a

(5)

= Aa E a b

b

(6)

Ab E b

Dari persamaan (2) diperoleh: δ = a

lb

a

+

a

Aa E a a

lb

b

b

Ab E b b

,

⎞ ⎟⎟

b


53


53/97

5/7/2018

Interaksi dua bahan di aralel:


Persamaan keseimbangan: F a + F b Persamaan kompatibilitas: δ a


= F

(1)

= δ b = δ

(2)

54


54/97

5/7/2018

Hubungantegangan-regangan:


Dari:

σ a ε a σ b

= E a → σ a = E a ε a = E a δ

(3)

ε b

(4)

σ a

= E b → σ b = E b ε b = E b l = a = E a → F a = E a Aa

σ b

=

E a Aa

δ

l

Aa b

Ab

l

= E b

+ E b Ab

δ


l

→ F b = E b Ab

l

l

= F 55


55/97

F l

5/7/2018

E a Aa + E b Ab


sehin a: FE A (6)

a F a = E A +a E A FE b Ab dan F b = a

(7)

a


56


56/97

5/7/2018

Contoh 1:


Batang baja ACB dipasang dengan pas pada temperatur -50 oC. Tentukan tegangan pada bagian AC dan CB dari batang tsb. pada temperatur 25oC ( E baja = 200 GPa, α = 12x10-6/oC).

∆T = 25 - (-50) = +75oC A=400mm2

A=800mm2

A

B

C

Deformasi karena temperatur : -6 o o = . . , T= = 540x10-6 m Deformasi karena gaya yang

300 mm

300 mm

δ R

=

P1 L1 E 1

1

+

P2 L 2 A2 E 2

P1 = P2 = R, L1 = L2 = 300mm, E1 = E2 = 200 GPa

-9

δT R

δR Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

= (5,625x10 m/N). R δ = δR+δT = 0  540x10-6 + (5,625x10-9 m/N). R = 0 



R = - 96x103 N = - 96 kN

σAC= R/AAC, σCB = R/ACB

57


57/97

Contoh 2: 5/7/2018


ua ua atang onsentr ter uat ar a a pa a ag an dalamnya dan tembaga pada bagian luarnya. Jika temperatur ° ° tembaga dan baja. Baja: E s = 205 GN/m2 ; α s = 11.10−6 / ° C ; As = 600 mm 2 Tembaga: E c

= 115 GN/m


2

; α c

= 16.10− / ° C 6

; Ac

= 1200mm

2

58


58/97

Jawab: 5/7/2018


c

Persamaan kompatibilitas: ε c

s s c c = = ε s atau (ε σ + ε T )c = (ε σ +=ε T )s s

(2)

ε c

= σ c + α c (T − T o )

(3)

c

ε s

=

σ s

+ α s (T − T o )

(4)

s

Substitusikan persamaan (3) dan (4) ke persamaan (2): σ c σ s − o − o c s E c E s


59


59/97

=−

5/7/2018

σ c Ac


Ac

sehingga: σ c

+ α (T − T ) = −

E c

σ c ⎜⎜ ⎝ E c

c

+

o c

E s As

σ c

c

E s As

+ α (T − T ) s

o

⎟⎟ = (T − T o )(α s − α c )

− o α s − α c σ c = atau: As E s + Ac E c − o s− c c c s dan σ s = − As E s + Ac E c s

s

c


60


60/97

5/7/2018

Tanda - menun ukkan bahwa σ berlawanan arah den an σ . Jika harga-harga di atas dimasukkan maka akan diperoleh: 2 c =− , / m2 σ s = 43,4 MN Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om


61


61/97

5/7/2018



62


62/97

5/7/2018


P T = P.L

L

dA

ρ

dF

ρdF = T τ = dF/dA dF= τdA

ρτ Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

= 63


63/97

5/7/2018


ρ(τdA) = T

Pada torsi timbul tegangan geser

Tegangan geser tidak hanya timbul pada satu sisi Teg. geser


64


64/97

5/7/2018


terjadi distorsi

Poros terpuntir dg. Sudut puntir, φ Φ sebanding dengan T dan L Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

ap ag an distorsi

a

a ar an er a

65


65/97

5/7/2018


Distribusi regangan geser pada poros sepanjang L, dengan jari-jari c dan dipuntir dengan sudut puntir φ bisa dijelaskan sbb: Kita lihat silinder diameter r dan perhatikan elemen bujursangkar pada permukaannya. Sebelum torsi dikenakan,  lurus (gbr. b) Setelah dikenai puntiran  terdeformasi (gbr. c.)  Timbul regangan geser γ  = sudut antara AB den an A’B

γ

=

ρφ L

ρ dan φ dalam radian Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

γ max

=

=

ρ

γ

c

c φ L

γ max 66


66/97

5/7/2018


ρ c

γ

=

ρ γ max c

τ

=

c

γ max

max

max

=

=

max

ρ max

c

Tegangan geser berubah linier terhadap jarak ρ dari pusat poros Untuk poros berlubang :

τ max c

Poros pejal Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

τ min

τ max c1

τ min

=

c1 c

τ max

c2

Poros berlubang 67


67/97

5/7/2018


e e umnya a apa an persamaan

ρτ

=

Substitusi τ ke pers. : τ max sebelumnya 2 = c

2

T =

adalah momen inersia polar

ρ dA

=J Maka :

τ max

=

τ max J c

Tc J

Sehingga kita dapat menghitung τ pada sembarang jarak ρ dari sumbu :

T ρ J Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

68


68/97

5/7/2018

Nilai J


J

Nilai J untuk poros bulat pejal :

1

=

π c

4

2 untuk poros bulat berlubang :

1 2

2

4

−

1 2

1

4

1 2

2

4

−

1

4

c c1 c2 Poros bulat pejal Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

Poros bulat berlubang 69


69/97

5/7/2018



70


70/97

5/7/2018



71


71/97

5/7/2018


Bahan liat  tidak tahan geser  patah pada teg. Geser terbesar

Bahan getas  tidak tahan tarik  patah pada teg. tarik terbesar


72


72/97

5/7/2018



73


73/97

5/7/2018


cφ

γ max

= L

Pada daerah elastis, tegangan luluh tidak tercapai, sehingga berlaku hukum Hook : γmax = τmax/G, maka :

γ max

=

Sehin a sudut untir

φ


=

max

G

=

JG

bisa dihitun :

TL

74


74/97

5/7/2018


Sebuah poros akan digunakan untuk mentransmisikan aya se esar pa a pu aran e . egangan geser maksimum poros adalah 60 MN/m2 dan factor of sa e y a a a , se ang an su u pun r poros a melebihi 1o untuk setiap 2 m panjang poros, G = 77 m. Hitunglah ukuran poros minimal agar tetap aman, jika: . oros pe a 2. Poros berlubang dengan perbandingan diameter luar an a am a a a , Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

75


75/97

5/7/2018


T L

φ

=

1

1

φ


T L

T L

+

=

∑

2

2

+

3

3

+ ...

T i L i

76

Torsi Pada Poros Bertangga


76/97

5/7/2018


- Persamaan keseimbangan: T = T1 - Geometri deformasi: θ = θ1 ÷ θ 2

= T 2

τ

Persamaan (1) dapat ditulis:


T = r 1 J 1 1

(1) (2)

τ

=

2 J 2 r 2

77

τ 1 π . r14


τ 2 π . r 24

77/97

atau:

5/7/2018

2

r1

r 2

2


3 1

=⎜ 2 ⎜ r 1 ⎠⎟ ⎝

τ 2 sedangkan dari persamaan (2):

τ L

τ L

1

2

1

r 1G

2

r 2 G

1 ⎛ τ L 1

G ⎝ r 1

1

(3)

τ L 2

r 2

2

⎞ ⎠

t

1 θ = 1 ⎛⎜⎜ L

+ L2 ⎞⎟⎟

1


2

(4) 78

Contoh:


78/97

5/7/2018

an ng an tors yang apat transm s an o e poros berlubang dengan poros pejal, pada material dengan , . Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om

a ab: Torsi pada poros berlubang: τ . π T dan

= r 2 . 2

4

r

4

− r

4

T pejal

=

r 2 r


(2)

79

Eliminasi τ diperoleh:


79/97

Tlub

5/7/2018

=

r24

− r 14

2.

peja


3

Karena kedua poros mempunyai berat sama, maka:

= π r 2 − r 1

π .r

(karena menjadi an an

2

T lub

r 2

oros sama), sehin

+ r 12

r 2

⎛

1 ⎞

=

r 2 r r 2 1

r ⎝

n

ersamaan (3)

2

T pejal

a

⎠


80


2

2

−

2

r

=

r 1

80/97

5/7/2018

2

r

= r

2

r 1 ⎞ ⎛ −⎜ n

Karena itu lub

T pejal

n

=

lub

T pejal

n

=

,


2

⎛ r 1 ⎞ ⎜ = r

n n

n,

−1

÷

(n − 1) 2

2 3

misal n = 2, maka:

= 1, 44 %

Jadi poros berlubang dapat menerima torsi 44 tinggi.


lebih

81

Torsi Pada Poros Konsentris http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1

81/97

5/7/2018


T = T 1 + T 2

-

ersamaan ese m angan:

- Geometri deformasi:

T1 L

=

T2 L


=

T =

=

1

r 2 2

r 24

− r 14 +

r 2

r 4

atau: (6) 82

Jika kedua poros mempunyai bahan sama ( G = G1 = G2 ),


82/97

5/7/2018

ma a

T1

=

J1

2

=

r 24

−

4 1


r

2

dimana: T 1 dan T 2 dapat ditulis dalam τ 1

4 r π 2

− r 14

2

r 2

sebagai berikut:

τ

1

diperoleh:

τ

π 2

3

r

r 24

=

τ 1 dan τ

− r 14 r 4

1

=

(8)

r


83

Contoh: Te an an


eser

an

dii inkan

ada ba a adalah 55

83/97

5/7/2018

MN/m2 , Gbaj = 82 GN/m2 , Gkuninga = 41 GN/m2 . τ ma Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om


84

Jawab:


84/97

5/7/2018

Persamaan keseimbangan: T = Tbaja ÷ T kng Torsi yang dapat ditransmisikan oleh baja: 2.55.10 6 π ⎛ τ π 4 4 T s = 0,025 × 32 0,025 = 169 Nm → ⎜⎝ r 2 r ⎟ Geometri deformasi: θ baja = θ kng Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om

pada baja:

=

θ

TL GJ

=

169

π

× 4

0, 2 82 .10

= 0 , 0108

32 0 , 025

θ

=0

0108


85


9

π

4

85/97

5/7/2018

T kng = GJ θ = L

.

. 32 , . , 0, 3


= 90 Nm

Nm

Torsi total: 169 + 906 = 1078 2

τ

=

⎛

Gr θ ⎞

τ = L

41.109.0,0108 25

=

0,3


10

= 36,8

86

Torsi Pada Poros Konis http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1

86/97

5/7/2018

Sebuah poros konis mempunyai jari-jari terkecil r 1 dan , 2 Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om

ditunjukkan pada gambar di bawah.


87

Misal: http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1

87/97

5/7/2018

τ 1 τ 2

r 1 tegangan geser maksimum pada radius == tegangan geser maksimum pada radius r 2 = tegangan geser ma s mum pa a ra us r Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om

T =

Torsi:

π . τ 1r1 2

=

π . τ 2 r 2

τ 1r1 = τ 2 r2 atau: Jika δ x adalah an an

2

=

π . τ . r 2

= τ . r

(1) elemen kecil ber arak x dari

ujung diameter yang besar, radius elemen keci = r dan δ sudut puntir θ , sehingga Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

88

δθ

=


T

δ

=

2 T δ x

88/97

JG 5/7/2018

G r π

teta i: r = r2 − x . tgα = r2 − x

r2

− r 1

= r2 − ax


2T

(r − r )

dimana:

a

2

=

L

δθ = G π (r 2

, sehingga:

1

2T

3 −4

− ax )

δ x

−4

atau: d θ = G π (r 2 − ax ) dx Sudut puntir total θ untuk panjang L:

=

L

0

=

L

2T

0

G π

2T Gπ 3(r 2 Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

L

−4

− ⎛ 1

− r 1 ) ⎝ r

3 1

−

1 ⎞ 3

r 2

⎠ 89


89/97

arena u: 2 2TL r 1

5/7/2018

=

θ =

3r 13 r 23

Gπ

Untuk r1

= r 2

2 T L

Gπ r 14

÷ r 1r 2 ÷ r ) 2 2


akan di eroleh:

=

TL GJ

(5)

yang merupakan persamaan sudut puntir untuk silinder datar.


90


Torsi untuk kom onen an

90/97

tidak bulat

5/7/2018


τ max

=

c

φ

=

GJ J Hanya untuk poros penampang bulat  assumsi :

Untuk penampang yang lain  penampang berubah  tidak berlaku Contoh : Dengan rumus di atas, maka tegangan pada elemen di sudut poros adalah maksimum. Kenyataannya : Bidang yang tegak lurus sb-y : permukaan bebas  tegangan = 0, demikian pula yang tegak lurus sb-z. τyz= τzx = τxy = 0  kenyataannya : egangan geser su u = Pada tepi tidak ada deformasi  tegangan = 0 Deformasi maks pada tengah-tengah poros tegangan maksimum di tengah-tengah poros Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM

91


91/97

5/7/2018


, . tengah-tengah bagian yang lebar  Dan sudut puntirnya :

Dimana c dan c adalah sebagai berikut :

=

c1ab 2

TL c2 a 3

a/b

c1

c2

, 1,2 1,5 2,0 2,5

. 0,219 0,231 0,246 0,258

, 0,1661 0,1958 0,229 0,249

3,0 4,0 , 10,0

0,267 0,282 , 0,312 0,333

0,263 0,281 , 0,312 0,333

∞


φ =

τ max

92


92/97

5/7/2018


T

τ max

=

2

TL

= c2 ab 3G Karena a>>b, maka a/b= c1


∞

= c2 = 0,333

93


93/97

Torsi Pada Silinder Berlubang Berdinding Tipis 5/7/2018



94

Silinder berdinding tipis dengan jari-jari rerata r , tebal t http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1

94/97

5/7/2018

dan panjang L (lihat gambar diatas), diberikan torsi T pada ujungnya yang menyebabkan silinder terpuntir relati terhadap aksis longitudinal. Tegangan geser uniform Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om

keliling silinder τ zθ timbul sebagai reaksi torsi T.

Tegangan geser τ pada elemen dinding sebesar: trd memberikan gaya geser sebesar: F = τ zθ trd θ sebesar: =

2 zθ


95

2π http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1

95/97

zθ

Torsi total adalah: 5/7/2018

=

0

τ zθ tr


2 zθ

τ zθ =

T 2 (1) π r Karena tidak ada tegangan geser yang lain maka τ z θ

atau:

anya u s τ sa a. - Dari gambar diatas dapat diperoleh juga : γ l r atau γ = l


= r θ (2)

96


96/97

5/7/2018

- Hubungan tegangan – regangan geser: τ = = Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om

γ atau τ = G

l

=

2π r t



2

(4)

97

97/97

Mekanika Bahan I Materi 1

Recommend Documents