Mécanique Des Fluides 2e Année PC-PC PSI-PSI

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NOUVEAU NOUVEAU OGRAMM ROGRAM OGRAM

Crédits photographiques Pages 7, 12, 111, 127, 160, 162, 166 : photos auteur ; 9, 11 : photothèque Hachette ; 14, 16, 52, 182 : ONERA (Office national d’Études et de Recherches aérospatiales – France).

Composition et mise en page : Laser Graphie Maquette intérieure : S.G. Création et Pascal Plottier Maquette de couverture : Alain Vambacas

© HACHETTE Livre 2004, 43 quai de Grenelle, 75905 Paris Cedex 15. www.hachette-education.com I.S.B.N. 978-2-01-181899-7 Tous droits de traduction, de reproduction et d’adaptation réservés pour tous pays. Le Code de la propriété intellectuelle n’autorisant, aux termes des articles L. 122-4 et L. 122-5 d’une part, que les « copies ou reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective », et, d’autre part, que « les analyses et les courtes citations » dans un but d’exemple et d’illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle, faite sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite ». Cette représentation ou reproduction par quelque procédé que ce soit, sans autorisation de l’éditeur ou du Centre français de l’exploitation du droit de copie (20, rue des Grands-Augustins, 75006 Paris), constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal.

réface Cette collection concerne les nouveaux programmes des classes préparatoires aux Grandes Écoles mis en application à la rentrée de septembre 2004 pour les classes de Deuxième année MP, PC, PSI, et PT. Les auteurs ont choisi d’aborder le programme de physique par matière, et non par filière. Cependant les parties de programme spécifiques à une ou plusieurs filières sont bien signalées. Ces indications n’empêchent pas un élève souhaitant approfondir ses connaissances dans un domaine donné, d’étudier une partie non retenue pour sa filière. Ce découpage présente l’intérêt d’englober un ensemble cohérent et complet de connaissances et d’applications pour une matière, ce qui est un atout pour aborder les TIPE (travaux d’initiative personnelle encadrés) et ADS (analyse de documents scientifiques), par exemple. ■ La physique est une science expérimentale et doit être enseignée en tant que telle. Les auteurs ont particulièrement soigné la description des dispositifs expérimentaux et des protocoles opératoires qu’ils ont illustrés de nombreux schémas. Souhaitons que leurs efforts incitent les professeurs à accorder davantage de place aux activités expérimentales, toujours très formatrices, dans leurs cours et les élèves à s’y intéresser davantage pour mieux appréhender les phénomènes. ■ La physique n’est pas une science désincarnée, uniquement préoccupée de spéculations fermées aux réalités technologiques. Chaque fois que le sujet s’y prête, les auteurs donnent une large place aux applications scientifiques ou industrielles propres à motiver les futurs chercheurs et ingénieurs. ■ La physique n’est pas une science aseptisée et intemporelle, elle est le produit d’une époque et ne s’exclut pas du champ des activités humaines. Les auteurs ont fait référence à l’histoire des sciences, aussi bien pour décrire l’évolution des modèles théoriques que pour replacer les expériences dans leur contexte. ■ La physique étudie des phénomènes naturels et des systèmes dont elle cherche à modéliser les comportements et à prévoir les évolutions. Cette modélisation amène inévitablement à relier des grandeurs physiques entre elles et à opérer des traitements mathématiques. Les auteurs ont donné aux mathématiques leur juste place, en privilégiant la réflexion et le raisonnement physique et en mettant l’accent sur les paramètres significatifs et les relations qui les unissent. © Hachette Livre, H-Prépa Mécanique des fluides, 2e année, PC et PSI, La photocopie non autorisée est un délit.

■ La maîtrise de la physique nécessite un apprentissage et un entraînement : pour cela les auteurs ont sélectionné des exercices nombreux et variés, extraits des épreuves écrites et orales des concours d’entrée aux Grandes Écoles ; ces exercices s’appuient sur des situations concrètes et conduisent à des applications numériques correspondant à des dispositifs réels ou des phénomènes quotidiens. Tous les exercices sont corrigés de façon détaillée. Dans les exercices commentés, la solution est discutée, et les erreurs à ne pas commettre signalées. L’équipe d’auteurs, coordonnée par Jean-Marie BRÉBEC, est composée de professeurs très expérimentés de classes préparatoires ; ils possèdent une longue pratique des concours des Grandes Écoles, et leur compétence scientifique est unanimement reconnue. Ces ouvrages de seconde année s’inscrivent dans une parfaite continuité avec ceux de première année, tant dans la forme que dans l’esprit, car le noyau de l’équipe d’auteurs est le même. Gageons que ces ouvrages constitueront de précieux outils pour les étudiants, tant pour une préparation efficace des concours que pour l’acquisition d’une solide culture scientifique. J.-P. DURANDEAU et M.-B. MAUHOURAT

3

ommaire

4

MODÉLISATION D’UN FLUIDE

5

CONSERVATION DE LA MASSE

31

ÉTUDE CINÉMATIQUE DES FLUIDES. TOPOGRAPHIE DE QUELQUES ÉLÉMENTS

51

DYNAMIQUE LOCALE DES FLUIDES PARFAITS

89

VISCOSITÉ D’UN FLUIDE

126

ÉCOULEMENTS RÉELS : NOMBRE DE REYNOLDS

159

BILANS MÉCANIQUES ET ÉNERGÉTIQUES

198

ANNEXE : CHAMPS ET CALCULS VECTORIELS

237

INDEX

269

1

Un écoulement de fluide peut être décrit par la connaissance du mouvement de chacune des entités élémentaires, en général atomes ou molécules, constituant le fluide. Cependant, leur nombre étant impressionnant, une telle étude n’est pas envisageable. L’étude de l’écoulement peut se limiter à la connaissance du mouvement d’ensemble d’un groupe de ces entités constituant ce que l’on appelle une particule de fluide. Ce mouvement est alors décrit par la donnée : • soit de la trajectoire de chacune de ces particules de fluide au cours du temps, connaissant leur position à une date initiale t0 donnée : description lagrangienne, du nom du mathématicien français Louis Lagrange (1736-1813) ; • soit de la vitesse de toutes ces particules de fluide à tout instant t : description eulérienne, du nom du mathématicien suisse Léonhard Euler (1707-1783). Il est possible de travailler avec l’une ou l’autre de ces descriptions, mais celle d’Euler (champ des vitesses des particules de fluide dépendant des coordonnées d’espace et du temps) est la plus pratique.

O ■ ■

J

E

C

T

I

F

S

Descriptions lagrangienne et eulérienne d’un fluide en mouvement. Dérivation particulaire.

P ■

B

© Hachette Livre, H-Prépa Mécanique des fluides, 2e année, PC et PSI, La photocopie non autorisée est un délit.

Modélisation d’un fluide en écoulement

R

É

R

E

Q

U

I

S

Cinématique du point.

5

Mécanique des fluides

1

Modèle du fluide

1.1. Qu’est-ce qu’un fluide ? Nous avons déjà évoqué la notion de fluide (cf. H-Prépa, Thermodynamique, 1re année). Les états liquide et gazeux sont des fluides par opposition à l’état solide. 1.1.1. « Frontière » liquide-gaz Il existe une différence essentielle de comportement entre un liquide et un gaz : un gaz occupe toujours l’ensemble du volume qui lui est proposé, ce qu’un liquide ne fait pas. La frontière liquide-gaz se caractérise par une différence d’ordre de grandeur de la masse volumique et de la densité particulaire. Pour un liquide, ces grandeurs sont environ mille fois plus grandes que les grandeurs correspondantes d’un gaz : résultat que nous observons dans le cas de l’eau (doc.1). La masse volumique étant élevée, les particules sont très proches et donc les interactions moléculaires dans les liquides sont très importantes.

Application

eau gaz (P ≈ 1 bar et T ≈ 400 K)

eau liquide

r gaz ≈ 0,5 kg . m– 3 r liquide ≈ 1,0 .103 kg . m– 3 n*gaz ≈ 2.10 26 m– 3

n*liquide ≈ 3.10 29 m– 3

Doc. 1. Masses volumiques et densités particulaires de l’eau gaz (vapeur) et l’eau liquide.

1

Densités particulaires de l’eau Calculer les densités particulaires n* : • de l’eau à l’état liquide ; • de l’eau à l’état gazeux à la température T = 400 K, sous une pression P = 1 bar. Ce gaz est supposé obéir à la loi des gaz parfaits.


Données : Masse volumique de l’eau liquide : r = 1,0 . 103 kg . m–3 . Masse molaire de l’eau : M = 18 . 10–3 kg . mol–1. Nombre d’Avogadro : NA = 6 . 1023 mol– 1. Constante des gaz parfaits : R = 8,31 J . K–1. mol–1.

• Eau liquide : la densité particulaire est donnée par : ρ 10 3 n* = NA = 6 .10 23 ≈ 3 .10 29 m −3 . M 18 .10 −3 • Eau vapeur : le gaz étant considéré comme parfait, la quantité de matière n = 1 mole occupe le volume : RT 8, 31 × 400 V= = = 3,3 . 10–3 m3 pour une mole. P 10 5 Sachant que NA particules occupent ce volume, nous avons n* = 1,8 . 1026 m–3. –3 La masse volumique r = M = 18.10 – 3 ≈ 0,5 kg.m– 3 V 3,3.10 est effectivement très inférieure à celle de l’eau liquide.

1.1.2. « Frontière » liquide-solide La « frontière » liquide-solide n’étant pas simple à établir, nous n’essaierons pas de donner une définition rigoureuse d’un fluide par opposition à un solide. Alors que les solides sont (quasiment) indéformables, nous connaissons tous la capacité des liquides (par opposition aux solides) : • à « couler » (plus ou moins suivant leur viscosité !) ; • à épouser la forme du récipient dans lequel ils sont contenus ; • à pouvoir être reconstitués une fois qu’ils ont été « éparpillés » (pensons, par exemple, aux fines gouttelettes d’un brumisateur que nous pouvons récolter dans un verre).

6

1. Modélisation d’un fluide en écoulement Cette différence de comportement entre les solides et les liquides s’interprète par une plus grande mobilité des molécules à l’état liquide. Une autre différence essentielle entre les liquides et les solides se retrouvera lors de l’étude cinématique : les vitesses des différents points d’un solide, rigidement –➞ liés les uns aux autres, font intervenir le vecteur rotation instantanée W du solide. Ainsi la vitesse de deux points M et P liés à un solide est donnée par : –➞ —➞ ➞ ➞ v (P) = v (M) + W ∧ MP (cf. H-Prépa, Mécanique du solide, 2nd année). Le problème est beaucoup plus délicat pour des liquides en mouvement. Pour aborder cette étude cinématique, précisons notre échelle d’étude afin de définir la vitesse macroscopique du fluide.

1.2. Le fluide milieu continu Précisons les longueurs caractéristiques d’observation. 1.2.1. Échelle macroscopique À l’échelle macroscopique, le fluide est un milieu continu. La longueur L caractéristique d’observation de cette échelle est imposée par le problème étudié (doc. 2).

Doc. 2. À l’échelle macroscopique, la longueur caractéristique de cet écoulement est la largeur du canal (pont des Soupirs à Venise). Sa profondeur peut aussi être utile.

Prenons divers exemples : choix de la longueur caractéristique L

écoulement d’un fleuve

largeur (et profondeur) du lit du fleuve

écoulement d’un fluide dans une conduite

diamètre de la conduite

écoulement d’un fluide autour d’un obstacle

taille (« transversale ») de l’obstacle

étude d’un océan

profondeur (et étendue) de l’océan

écoulement du sang

diamètre d’une veine ou d’une artère ; une limite inférieure de L pourrait être obtenue dans les capillaires sanguins, par exemple (L est alors de l’ordre d’une fraction de millimètre)

Doc. 3. Quelques longueurs caractéristiques L .

libre parcours moyen des molécules


exemple

molécules

1.2.2. Échelle microscopique À l’échelle microscopique, le fluide est essentiellement discontinu : il est composé de molécules en continuelle agitation thermique. Pour un gaz, la longueur caractéristique associée à cette échelle peut être le libre parcours moyen des molécules (distance moyenne parcourue par une molécule entre deux chocs, de l’ordre du micromètre dans les conditions usuelles) ou la distance moyenne entre ces molécules (doc. 4). Les échelles macroscopique et microscopique ne sont bien différenciées que si L >> ; la distinction ne peut plus se faire si est nettement plus élevée (gaz sous très faible pression), alors que L est faible (canaux d’un milieu poreux, par exemple).

longueur caractéristique de l’écoulement à l’échelle microscopique

Doc. 4. À l’échelle microscopique, le fluide est décrit par le mouvement des diverses molécules. La longueur caractéristique de cette échelle peut être représentée par la distance moyenne entre deux molécules ou leur libre parcours moyen.

7


Application

2

Distances moyennes entre molécules Calculer la distance moyenne entre molécules pour : • l’eau à l’état liquide ; • l’eau à l’état gaz à la température T = 400 K, sous une pression P = 1 bar. Ce gaz est supposé obéir à la loi des gaz parfaits. Données : rliquide = 1,0 . 103 kg . m–3 ; NA = 6 . 1023 mol–1 ; M = 18 . 10–3 kg . mol–1 ; R = 8,31 J . K–1 . mol–1. • Eau liquide : sachant que N =

ρ NA particules occuM

pent un volume de 1 m3, la distance moyenne entre deux

particules vérifie : d 3 = 1 . N −3 M 18 .10 d=3 =3 3 = 3 30 .10 −30 ≈ 3 .10 −10 m . ρ NA 10 × 6 .10 23 • Eau vapeur : le gaz étant considéré comme parfait, RT , donc la NA molécules occupent le volume V = P distance moyenne entre deux particules est égale à : d=3

RT 8, 31 × 400 3 = 55 .10 −27 ≈ 40 .10 −10 m . =3 5 23 PNA 10 × 6 .10

1.2.3. Échelle mésoscopique L’échelle mésoscopique est l’échelle intermédiaire entre le macroscopique et le microscopique, où le fluide est encore un milieu continu. À cette échelle, le fluide est « découpé » en cellules élémentaires (ou infinitésimales) appelées éléments de fluide, ou particules de fluide (contenant un grand nombre de molécules). L’intérêt d’une description continue du fluide réside dans le fait que des grandeurs macroscopiques peuvent être associées à ces particules de fluide, qui ont une masse élémentaire constante lors de l’évolution du fluide.


La vitesse d’une particule de fluide, centrée au point M à la date t, est la vitesse d’ensemble (vitesse barycentrique) des molécules qu’elle contient. Nous obtenons ainsi une valeur macroscopique locale de la vitesse du fluide, c’est-à-dire définie en un point M à l’instant t. Cette vitesse est non nulle si le fluide est macroscopiquement en mouvement. À partir de cette notion, il est possible d’étudier, par exemple, la répartition de température ou de pression dans le fluide. La validité de ce mode de description, sur lequel nous reviendrons, est liée à la valeur de a, taille de la particule de fluide. Cette taille doit être petite au niveau macroscopique, où les grandeurs sont continues, mais grande au niveau microscopique (la particule de fluide contenant alors un très grand nombre de molécules) pour pouvoir négliger les fluctuations associées, par exemple, à l’agitation thermique. La description du fluide à partir du mouvement de ces particules de fluide nous permettra d’utiliser le calcul intégral. Essayons de préciser les dimensions de la particule de fluide, en l’imaginant cubique, d’arête a : cette longueur caractéristique définit alors l’échelle mésoscopique. ■ Exemple Prenons le mouvement de l’eau liquide dans une conduite de 10 cm de diamètre : • pour cet écoulement, nous avons L ≈ 10– 1 m ;

8

1. Modélisation d’un fluide en écoulement • la masse volumique de l’eau est à r = 103 kg . m– 3 . La masse molaire de l’eau étant M = 18 . 10–3 kg . mol– 1, la distance moyenne entre deux molécules d’eau est de l’ordre M ≈ 3 . 10– 10 m, soit l ≈ 10– 10 m avec NA = 6 . 1023 mol– 1 ; de 3 NA ρ • choisissons a telle que l << a << L , soit 10– 10 m << a << 10– 1 m. Prenons a ≈ 10– 6 m = 1 µm. Un volume de 1 µm3 d’eau contient une masse d m = 10– 15 kg d’eau, donc molécules d’eau, soit environ

d m NA M

10 −15 × 6 . 10 23 ≈ 3 . 1010 molécules ! 18 . 10 −3

Ainsi la particule de fluide a une masse d m égale à 10– 15 kg , occupe un volume dt = 10– 18m3 (cube d’arête a = 1 µm) et contient environ 1010 particules (doc. 5). Un choix tout aussi valable pour la situation choisie consisterait à prendre une particule de fluide ayant une masse d m égale à 10– 6 kg, occupant un volume dt = 10– 9 m3 (cube d’arête a = 1 mm) et contenant environ 1016 particules. Mais l’existence de forces de viscosités peut mettre ce choix (a relativement grande) en défaut au voisinage des obstacles (présence de couches limites, cf. chapitre 5). À l’échelle mésoscopique, les dimensions caractéristiques de la particule de fluide doivent être petites devant L et grandes devant (distance moyenne entre deux molécules). Un très grand nombre de molécules (1010) doivent constituer cette particule, afin d’avoir accès à des moyennes locales ayant un caractère macroscopique.

L

a

Doc. 5. Écoulement de fluide. À l’échelle mésoscopique, les dimensions de la particule de fluide sont petites devant L et grandes devant , la distance moyenne entre deux molécules. coordonnées initiales de la particule à t = 0 : R(0)

trajectoire R(t) de la particule

Doc. 6. Description lagrangienne : le mouvement macroscopique du fluide est défini par la connaissance des trajectoires de chaque particule de fluide qui le composent.

L’échelle de la particule de fluide, échelle mésoscopique, est intermédiaire entre l’échelle microscopique et l’échelle macroscopique. Elle permet d’associer à cette particule des grandeurs macroscopiques qui décrivent le fluide comme un milieu continu.

Intéressons-nous à un fluide (macroscopiquement) en mouvement dans le référentiel d’étude, mouvement souvent appelé écoulement. Étudier cet écoulement, c’est par exemple décrire le mouvement de chacune des particules➞ de fluide (définies précédemment) qui le composent. Connaissant la tra➞ jectoire Ri (t) de chaque particule (placée en Ri (0) à t = 0) que l’on suit dans son mouvement, nous reconstituons le mouvement d’ensemble du fluide (doc. 6). Cette description correspond à l’approche lagrangienne, dérivée du nom du mathématicien Louis Lagrange (1736-1813) (doc. 7).

Doc. 7. Louis Lagrange (1736-1813). (t = t1) trajectoire d’une feuille

R(t) (t = t2)

■ Exemple 1 : Le pêcheur Au bord d’une rivière, un pêcheur à la ligne regardant dériver au fil du courant des appâts (qu’il a jetés dans l’eau), ou des feuilles à la surface de l’eau, se place implicitement dans la conception lagrangienne, lorsqu’il suit des yeux le mouvement de ces particules entraînées avec l’eau de la rivière (doc. 8).

Doc. 8. Le pêcheur suivant des yeux les feuilles se place en formalisme lagrangien.

9


2

Approche lagrangienne


■ Exemple 2 : Trafic autoroutier Lors d’un écoulement de véhicules sur une autoroute, il est possible de décrire l’écoulement du trafic grâce à la connaissance de la trajectoire de chacun des véhicules : cette description correspond à l’approche lagrangienne (doc. 9). Le fluide est décrit à chaque instant par l’ensemble des vitesses des particules de fluide qui le composent, particules que nous avons « étiquetées » en fixant leur ➞ position initiale Ri(0) à l’instant t = 0, donc l’indice i. Cet ensemble des vitesses ➞

est de la forme Vi(t) =

➞

d R i(t) ➞ ➞ = V (Ri (t), t), ces grandeurs ne dépendant explicitedt

t2

Description lagrangienne d’un écoulement : ➞ le mouvement du fluide est défini par les positions Ri (t) des particules de fluides (étiquetées « i ») ; ➞ ➞ dRi (t) la vitesse d’une particule Vi (t) = est une fonction du temps. dt

trajectoire t1

t1

t2

t2

t2

➞

ment que du temps pour une particule considérée (Ri (t) est une fonction connue). Ainsi en formalisme lagrangien, la vitesse de chaque particule ne dépend que du temps t (la trajectoire étant connue) et donc des coordonnées initiales de la particule.

t1

t1

t2

t1

Doc. 9. Lorsque nous observons les trajectoires des divers véhicules (entre t = t1 et t = t2), nous nous plaçons en formalisme lagrangien.

Remarque ➞ ➞ Nous garderons cette écriture R(t) (et non ➞ r ), X(t), Y(t), ..., V (t) (et non v➞ ) pour des grandeurs « lagrangienne ».

Approche eulérienne

Intéressons-nous au même écoulement de fluide dans le référentiel d’étude.

3.1. Description eulérienne d’un écoulement


L’étude du mouvement de toutes les particules est en pratique inaccessible au calcul. Dans ces conditions, nous chercherons à décrire l’évolution du mouvement du fluide, sans référence à une particule particulière : cette approche passe par une description eulérienne du fluide. ■ Exemple 1 : Le pêcheur Le même pêcheur, las de ne rien prendre, peut se mettre à rêver en observant un tourbillon évoluer au voisinage d’un rocher qui émerge au milieu de la rivière. Ce faisant, il ne s’intéresse plus à une particule de fluide qu’il suit dans son mouvement, mais plutôt à un point particulier de l’espace, où transitent sans cesse de nouvelles particules de fluide. Il observe la vitesse de ces particules en un point fixe de l’espace au cours du temps ; il se place en formalisme eulérien pour décrire cet écoulement (doc. 10). ■ Exemple 2 : Trafic autoroutier Parfois des gendarmes au bord d’une autoroute « observent » la vitesse des véhicules. Ils peuvent décrire l’écoulement du trafic au cours du temps grâce à la connaissance de la vitesse des véhicules existant à l’endroit où ils sont « postés ». Ces gendarmes se placent en formalisme eulérien pour décrire l’écoulement du trafic (doc. 11). Quand leur point de vue devient lagrangien, c’est généralement mauvais signe !

10

tourbillon au voisinage du rocher (M)

Doc. 10. Le pêcheur observe comment s’écoule le fluide autour du rocher ; il se place en formalisme eulérien.

P É A G E

3

Doc. 11. Les deux gendarmes observant les vitesses des véhicules se sont placés en formalisme eulérien pour décrire l’écoulement du trafic. À la même date t, ils n’observent pas les mêmes véhicules. Les deux gendarmes n’observent pas nécessairement la même vitesse.

1. Modélisation d’un fluide en écoulement La description eulérienne d’un fluide, dérivée du nom du mathématicien Léonhard Euler (1707-1783) (doc. 12), permet de déterminer, en un point donné de l’espace, les évolutions au cours du temps de certaines caractéristiques du fluide telles que sa vitesse, sa pression, sa température, …

3.2. Indépendance des coordonnées d’espace et de temps Reprenons les deux exemples précédents. ■ Exemple 1 : Le pêcheur Le pêcheur, observant un tourbillon évoluer au voisinage d’un rocher qui émerge au milieu de la rivière, ne s’intéresse qu’à l’écoulement en un point particulier de l’espace. Il observe la vitesse des particules en un point donné de l’espace au cours du temps. Il n’y a aucune relation entre les coordonnées de ce point et le temps.

Doc. 12. Léonhard Euler (1707-1783).

■ Exemple 2 : Trafic autoroutier Les gendarmes « observent » la vitesse des véhicules au cours du temps en un point particulier du trafic. Il n’y a aucune relation entre les coordonnées de ce point (endroit où ils sont placés) et le temps. Lors de la description eulérienne d’un écoulement de fluide, l’ensemble des vitesses ➞ ➞ ➞ ➞ forme un champ de vecteurs v (r , t) = v (M, t) = v (x, y, z, t), dépendant à la fois de ➞ l’espace et du temps : r et t (ou x, y, z et t) sont des variables indépendantes. Description eulérienne d’un écoulement : • le mouvement du fluide est défini par le champ des vitesses v➞(M, t ) ; • les coordonnées d’espace et de temps sont des variables indépendantes ; • v➞(M, t ) est la vitesse de la particule de fluide qui passe au point M, à l’instant t.

Application

3

Champ des vitesses d’un fluide dans un tube vertical


Ce formalisme peut être appliqué à de nombreuses grandeurs macroscopiques : champ de pression P(M, t), de température T(M, t), de masse volumique ρ(M, t). Cette approche est implicitement➞utilisée dans le cours d’électromagnétisme pour ➞ désigner les champs électrique E (M, t) et magnétique B (M, t). Nous conserverons la notation v➞(M, t) = v➞(r➞, t) pour le champ eulérien, et les nota➞ ➞ tions R (t) et V (t) pour➞la description lagrangienne. La vitesse d’une particule de position lagrangienne R(t) est ainsi : ➞ ➞ ➞ ➞ V (t) = v (r = R(t), t). C’est la valeur du champ de vitesse, là où elle se trouve, à l’instant t.

z h (t)

Donner l’expression du champ des vitesses d’un fluide dans un tube vertical sachant que la vitesse est verticale et identique, à l’instant t, pour toutes les particules. La surface libre du fluide dans le tube est repérée par sa cote h(t) (doc. 13a).

M ez

z=0

Doc. 13a. Le niveau de la surface libre du liquide évo· lue avec la vitesse h(t).

11


La vitesse que nous pouvons exprimer au point M est v➞(M, t) en formalisme d’Euler. h(t) est la coordonnée dépendant du temps et repérant la hauteur du fluide dans le tube (doc. 13a).

z h (t) M

Repérons le point M par sa cote z sur l’axe (z z′) dirigé vers le haut (doc. 13b). La vitesse v➞(M, t) en formalisme eulérien est donnée par l’expression : ➞

•

z ez

➞

v (M, t) = h(t) e z . Remarques Il y a nécessité d’utiliser deux notations h et z, car h(t) représente le niveau du fluide et z la cote du point M. La dépendance de v➞(M, t) en fonction :

4

z=0

Doc. 13b. Le niveau de la surface libre du liquide • évolue avec la vitesse h(t). La vitesse en formalisme eulérien est donnée par • v➞(M, t) = h(t) ➞ ez .

• des coordonnées d’espace, se fait par l’intermédiaire de e➞z ; • • du temps, se fait par l’intermédiaire de h(t). h(t) est la coordonnée repérant le niveau du fluide, et z la coordonnée eulérienne.

Représentation et visualisation des écouleme nts

Nous allons retrouver la dualité Lagrange-Euler dans la représentation graphique des écoulements.

4.1. Trajectoires : approche lagrangienne Nous nous proposons de trouver les trajectoires des particules (approche lagrangienne) en utilisant le champ des vitesses d’un fluide (approche eulérienne). 4.1.1. Définition

Doc. 14. Trajectoires de particules (ici des véhicules) . Chaque trajectoire correspond à un véhicule différent.


L’ensemble des trajectoires des particules de fluide au cours du temps apparaît comme un premier élément d’information. Ce type de représentation qui suit les particules de fluide est évidemment lagrangien. Nous pouvons avoir à l’esprit l’image du trafic automobile sur un réseau routier : cette image n’est pas entièrement innocente, l’étude de ce trafic s’apparentant à celle d’un écoulement (on parle d’ailleurs de circulation fluide...). Ainsi, la représentation des trajectoires des véhicules permet-elle d’obtenir des informations sur « l’écoulement » de la circulation (doc. 14). Il est possible de visualiser ces trajectoires en prenant une photographie nocturne avec un long temps de pause, les traces des phares des véhicules sur le cliché matérialisant leurs trajectoires. Pour visualiser les trajectoires de particules de fluides, il est possible d’ajouter dans ce fluide de fines particules d’aluminium et de prendre une photo avec un long temps de pause (doc. 15). À partir de la donnée du champ eulérien des vitesses du fluide v➞(r➞, ➞t), et en utilisant la correspondance ➞des vitesses définie au § 3.2. V(t) = v➞(r➞= R (t), t), nous obtenons la trajectoire R (t) de la particule présente en r➞ à t par l’intégration temporelle d’un système d’équations différentielles à partir d’une position initiale ➞ ➞ R 0 = R (t = 0). ➞

Par exemple, en coordonnées cartésiennes, où R (t) = X(t)e➞x + Y(t)e➞y + Z(t)e➞z, nous aurons :

12

Doc. 15. Lors de cet écoulement (houle), les particules décrivent des trajectoires quasiment circulaires.

1. Modélisation d’un fluide en écoulement dX(t) = V (t) = v (X(t), Y(t), Z(t), t ) x x dt dY(t) = V (t) = v (X(t), Y(t), Z(t), t ) y y dt dZ(t) = V (t) = v (X(t), Y(t), Z(t), t ) z z dt X(t) = X0 +

t t =0

v x (X(t ), Y(t ), Z(t ), t ) dt .

Et de même pour les autres coordonnées. La résolution peut être délicate, et faire appel à des méthodes numériques. Notons qu’à l’instant t, nous avons : dX dY dZ = = = dt. vx (X(t), Y(t), Z(t), t ) v y (X(t), Y(t), Z(t), t ) v z (X(t), Y(t), Z(t), t ) De sorte que la trajectoire de la particule est tangente à la ligne du champ des vecteurs vitesse v➞(r➞, t), au point où elle est située à t.

y

a)

V0 –4,2

–2,8

–1,4 –0,5 –1 –1,5 –2 –2,5

4.1.2. Exemple ➞

Considérons le mouvement à vitesse constante V 0 d’un cylindre dans un fluide initialement au repos. Plaçons-nous dans le référentiel lié au fluide initialement immobile, nous pouvons visualiser les trajectoires de diverses particules de fluide au fur et à mesure du déplacement du cylindre (doc. 16). y

b)

– 4,2

–2,8

–1,4

2

1,5

1,5

1

1

2,1

– 4,2

– 2,8

– 1,4

–1

–1 – 1,5

–2

–2

–2,5

– 2,5

1

0 –0,5

1,4

1,5 P

0,5 –1,4

x

2

1,5

–2,8

1,4 2,1

y

e)

2

– 4,2

0 – 0,5

–1,5

y

d)

0,5

x 1,4

x

y

2

0 –0,5

0

Doc. 16a. Cylindre dans un fluide initialement au repos.

c)

0,5

2 1,5 1 0,5


Puis, par intégration :

1 0,5

x 1,4

– 4,2

– 2,8

– 1,4

0 – 0,5

–1

–1

–1,5

– 1,5

–2

–2

–2,5

– 2,5

x 1,4

Doc. 16b, c, d et e. Simulations montrant les trajectoires des particules de fluide lors de la progression d’un cylindre dans un fluide initialement au repos.

13


Quelles remarques et commentaires pouvons-nous faire sur ces simulations ? • Nous avons pris des particules de fluide régulièrement réparties à t = 0 dans un plan perpendiculaire aux génératrices du cylindre (points Ai). Ces particules ne retrouvent par leur place initiale après le passage du cylindre. • Des trajectoires se recoupent, c’est-à-dire que nous visualisons des points de l’espace pour lesquels la vitesse des particules de fluide dépend explicitement du temps : ➞

➞

V (P, t1) ≠ V (P, t2) . Le champ des vitesses eulérien dans ce référentiel n’est pas stationnaire : il dépend explicitement de la variable t.

4.2. Lignes de courants : approche eulérienne 4.2.1. Définition La représentation, à un instant t0 donné, de l’ensemble des lignes de courants (lignes de champ du champ des vitesses eulérien des particules de fluide) d’un fluide en mouvement donne des informations très intéressantes sur l’écoulement du fluide. Reprenons l’exemple du trafic automobile. Nous pourrions obtenir un cliché des lignes de courants de la circulation automobile : sur une photographie avec un temps de pause bref, les traces des phares sont des petits segments indiquant, par leur direction et leur longueur, la vitesse de chaque véhicule. Avec les lignes de champ du champ des vitesses du fluide (lignes de courants), nous retrouvons la conception eulérienne d’un écoulement. –➞ L’équation de ces lignes de courants s’obtient en écrivant qu’un élément d M de ➞ celle-ci est colinéaire au vecteur vitesse v (M, t0).


Nous pouvons caractériser l’écoulement d’un fluide par la détermination des lignes de courants (ligne de champ du champ des vitesses eulérien des particules de fluide) à la date t0 , dont l’équation différentielle est donnée par : dx dy dz = = . vx(x, y, z, t0) vy(x, y, z, t0) vz(x, y, z, t0)

y 2 1 0,5 0 – 0,5 –1 –2

x –2,8 –1,4

0 0,7 1,4

2,8

Doc. 17a. Simulation montrant l’écoulement d’un fluide autour d’un cylindre.

L’intégration, à t0 donné, de ce système nous fournit l’équation des lignes de courants à cet instant. Cette méthode de calcul est identique à celle utilisée en électromagnétisme pour étudier les lignes de champ électrique ou magnétique. 4.2.2. Exemple ➞

Considérons à nouveau l’exemple du mouvement à vitesse constante V 0 d’un cylindre dans un fluide initialement au repos. Plaçons-nous dans le référentiel du cylindre : nous pouvons visualiser les lignes de courants (doc. 17). Le document 17b représente une visualisation différente de cet écoulement.

14

Doc. 17b. Écoulement autour d’un cylindre de faible épaisseur et à faible vitesse. Visualisation à l’aide de filets d’huile de lin dans de l’huile de vaseline.

1. Modélisation d’un fluide en écoulement Remarques • À la lecture de ces simulations ou photos, nous pourrions penser qu’une « ligne de fluide », initialement perpendiculaire à l’écoulement initial se déforme peu ; il n’en est rien. • Sur la simulation ci-contre (doc. 17c), nous avons mis en évidence l’évolution d’une telle « ligne de fluide ». Ces lignes sont tracées à intervalle de temps régulier : l’intervalle de temps que met une particule de fluide pour aller de A à B est un invariant lors de la construction de cette simulation. La déformation de la « ligne de fluide » est importante.

Application

ligne de fluide

ligne de courants

A

B

Doc. 17c. Mise en évidence de la déformation d’une « ligne de fluide ». L’intervalle de temps que met une particule de fluide pour aller de A à B est un invariant sur cette figure.

4

Représentations d’un champ tournant : modèle de la houle Le champ des vitesses (formalisme eulérien) d’un écoulement bidimensionnel est de la forme : v➞ = v➞0(cosw t e➞x + sinw t e➞y ) . Déterminer les trajectoires des particules et les lignes de courants. • Lignes de courants À t0 , le champ des vitesses est uniforme : les lignes de courants sont des droites faisant un angle w t0 avec l’axe (Ox). L’intégration de

dX dY = v 0 cos ω t et = v 0 sin ω t dt dt

donne :

v 2 v 2 ( X − X0 )2 +  Y − Y0 − 0  =  0  , ω  ω c’est-à-dire l’équation d’un cercle de rayon v0 v et de centre  X0 , Y0 + 0  .  ω ω • Les lignes de courants et les trajectoires sont représentées sur le document 18. v (M, t0)

y

y M

v (P, t0)

Y01

v

ω t0

x

Doc. 18a. Les lignes de courants à t 0 sont des droites.

P

Y02 X01


• Trajectoires

v0 v sin ω t et Y (t ) = Y0 + 0 (1 − cos ω t ), ω ω où X0 et Y0 représentent les coordonnées de la position initiale de la particule considérée à t = 0 , soit encore : X (t ) = X 0 +

X02

x

Doc. 18b. Les trajectoires des diverses particules au cours du temps sont des cercles de même rayon.

15


4.3. Lignes d’émission : approche expérimentale En pratique, quand nous désirons étudier le mouvement d’un fluide au voisinage d’un obstacle (écoulement d’un liquide autour d’une hélice en rotation, de l’air autour d’une aile d’avion), il n’est pas très simple « d’isoler » chaque particule de fluide pour en suivre la trajectoire, ni de représenter les vitesses des particules à un instant donné. Pour visualiser l’écoulement, on a recours à des traceurs : en des points particuliers de l’écoulement, il est possible d’émettre (en perturbant le moins possible le mouvement du fluide) une substance entraînée avec le fluide. Il peut s’agir de fumées dans un gaz, de bulles ou de gouttes de colorants dans un liquide. À un instant donné, l’ensemble des particules qui sont passées par ce point sont donc « marquées » et forment une courbe appelée ligne d’émission (ou ligne de traçage). Sur le document 19, nous visualisons des lignes d’émission lors d’un écoulement autour d’un obstacle. Par de petites ouvertures, un colorant est émis vers l’extérieur de cet obstacle sous très faible pression. Nous verrons, dans l’exercice 1, un exemple de détermination de ligne d’émission. Nous pouvons caractériser l’écoulement d’un fluide par la connaissance des lignes d’émission à la date t0 , formées par l’ensemble des points de l’espace occupés par des particules passées précédemment en un point donné M0 . Remarque Pour un écoulement quelconque, les trajectoires, les lignes de courants et les lignes d’émission sont des courbes différentes. En un point donné M de l’espace, à l’instant t, la trajectoire de la particule qui s’y trouve, la ligne de courants et la ligne d’émission qui passent par M sont toutes trois tangentes entre elles (cf. exercice 5).

4.4. Cas des régimes stationnaires Nous appelons écoulement stationnaire, ou permanent indépendant du temps, un écoulement dont le champ des vitesses eulérien ne dépend pas explicitement du temps : © Hachette Livre, H-Prépa Mécanique des fluides, 2e année, PC et PSI, La photocopie non autorisée est un délit.

v➞(r➞, t) = v➞(r➞) . Dans ce type d’écoulement, la vitesse du fluide en un point donné est toujours la même. Autrement dit, toutes les particules de fluide passant en un même point à divers instants auront la même vitesse, caractéristique de ce point. Les lignes de courants sont « figées » et le temps ne joue plus alors aucun rôle (une photographie, prise à un instant quelconque avec un temps de pause quelconque, donnerait une même visualisation de l’écoulement) : il y a donc identité des trois types de courbes. Un écoulement stationnaire v➞( r➞) (indépendant du temps) est tel que le champ des vitesses du fluide ne dépend pas explicitement du temps : il y alors identité entre les trajectoires, les lignes de courants et les lignes d’émission.

16

Doc. 19. Mise en évidence des lignes d’émission. Tourbillons sur un corps fuselé en incidence. Visualisation par émissions colorées.

Application

1. Modélisation d’un fluide en écoulement

5

Écoulement dans un dièdre droit Considérer un écoulement bidimensionnel dont le champ des vitesses, défini dans un référentiel (O ; x, y, z), dans la région x > 0 et y > 0, est : v➞(r➞, t) = – kx e➞x + ky e➞y . Que peut-on dire de cet écoulement ? Déterminer les trajectoires des particules et les lignes de courants. L’écoulement proposé est stationnaire, il y aura donc identité entre les trajectoires et les lignes de courants. Les trajectoires sont obtenues par : dX = − kX (t ), soit X = X0 e– kt dt

Doc. 20. Trajectoires et lignes de courants dans un dièdre droit.

dY = + kY (t ), soit Y = Y0 e+ kt, dt

et d’où :

Remarque Connaissant la trajectoire d’une particule de fluide définie par sa position (X0, Y0) à t = 0 : X(t) = X0 e– kt et Y(t) = Y0 ekt On peut retrouver sa vitesse : dX = – kX e– kt et dY = kY ekt 0 dt dt et enfin son accélération : d 2 X = k2X e– kt et d 2 Y = k2Y e– kt. 0 0 dt2 dt2 Le § 5 va nous permettre de retrouver ce résultat en utilisant le champ des vitesses en formalisme eulérien.

XY = X0Y0 .

On obtient une famille d’hyperboles équilatères. Les lignes de courants sont obtenues par : dx dy dx dy = + , soit = 0 donc xy = cte . y − kx + ky x Nous retrouvons bien la même famille de courbes, car nous sommes en régime stationnaire. Les trajectoires et les lignes de courants sont représentées sur le document 20.


4.5. Importance du référentiel d’étude Illustrons cette remarque par les observations précédentes relatives à l’écoulement permanent d’un fluide autour d’un cylindre solide (cf. § 4.1.2. et 4.2.1.). ➞

Rappelons que le cylindre est en translation avec une vitesse V 0 constante dans le fluide initialement au repos (cf. § 4.2.1.). ■ Référentiel du cylindre Dans le référentiel du cylindre, le champ des vitesses ne dépend pas explicitement du temps : nous avons identité entre les lignes de courants et les trajectoires. ■ Référentiel du fluide initialement au repos Dans le référentiel du fluide initialement au repos (cf. § 4.1.2.), le champ des vitesses dépend explicitement du temps : il n’y a plus identité entre les lignes de courants et les trajectoires.

17


5

Dérivation par ticulaire

5.1. Signification physique d’une variation particulaire Considérons le mouvement de chute d’un parachutiste (doc. 21) ayant une vitesse v➞ verticale constante v➞ = v e➞z avec v < 0 dans une atmosphère où la température est constante, mais dépendante de l’altitude par la loi :

z

T(z) = T0 + a z avec a < 0 . —➞ dT ➞ Il existe donc un gradient de température grad T = e = a e➞z . dz z Supposons que le parachutiste souhaite étudier les variations de température d Tpara Tpara : qu’il « voit » au cours de sa chute. dt 5.1.1. Première méthode Supposons que le parachutiste atteigne le sol à la date t0 , son altitude Zpara(t) est donnée par : Zpara = v (t – t0) avec v < 0 . L’indication du thermomètre étant instantanée, celui-ci indiquera donc la température : Tpara = T0 + a Zpara = T0 + a v (t – t0) . Nous obtenons donc

d Tpara dt

= αv > 0.

5.1.2. Deuxième méthode Pendant le temps d t, le parachutiste s’est déplacé de d Z = v d t que nous pouvons —➞ encore écrire d OM = v➞ d t . La variation de température correspondante est donnée —➞ —➞ dT d Z que nous pouvons aussi écrire d T = grad T . d OM . par d Tpara = dz


—➞ ➞ dT v d t , ou Nous nous imposons d Z = v d t , soit d OM = v d t , d’où d Tpara = dz ➞ ➞ — d Tpara = v . grad T d t . Nous obtenons encore

d Tpara dt

= α v qui s’écrit aussi

d Tpara dt

—➞ = v➞ . grad T .

Cette variation représente la variation locale de température « vue » par le parachutiste, considéré comme une particule. Elle porte le nom de variation particulaire, ou dérivation particulaire, de la température notée « D T » pour ne pas la Dt ∂T confondre avec la dérivation partielle par rapport au temps : (grandeur nulle ∂t dans le cas qui nous intéresse) ou encore la dérivée partielle par rapport à l’alti∂T tude z : (grandeur égale à a dans le cas présent). ∂z

18

thermomètre grad T

v

0

Doc. 21. Le parachutiste étudie l’évolution de la température au cours de sa chute (le thermomètre est supposé donner la température instantanée Tpara existant à l’altitude du parachutiste).

1. Modélisation d’un fluide en écoulement Ainsi un parachutiste, tenant dans sa main un thermomètre et observant la température varier au cours du temps, mesure en fait la dérivée particulaire D T . Dans Dt l’exemple considéré (température stationnaire mais non uniforme), le parachutiste D T ➞ —➞ observe une variation (appelée convective) = v . grad T . Dt Supposons maintenant qu’une fois arrivé au sol, la température se mette à varier au cours du temps. Le parachutiste mesurera alors une évolution locale de la température DT = ∂T au point où il est tombé. Dt ∂t Dans le cas général, on écrira : —➞ DT = ∂T + v➞ . grad T. Dt ∂t

5.2. Signification physique d’une variation particulaire pour un fluide L’exemple précédent permet de bien comprendre la notion de dérivation particulaire. Imaginons un individu (doc. 22) « sur » une particule de fluide : les variations des grandeurs qu’il mesure sont des variations particulaires. Par rapport à ➞ cette particule, les dérivations d’une grandeur scalaire g (ou vectorielle G ) seront

cet individu fait des mesures locales sur la particule sur laquelle il est situé

➞

notées

Dg DG , ou . Dt Dt

La dérivation particulaire d’une fonction scalaire g s’écrit donc : ➞ ➞ —➞ g(r➞ + dr , t + dt ) – g (r , t ) Dg avec ➞ r = OM et dr➞ = v➞(r➞, t ) dt = dt Dt ➞ et de même avec une fonction vectorielle G : ➞➞ ➞➞ ➞ ➞ DG = G (r + dr , t + dt ) – G (r , t) . dt Dt

particule de fluide v (M, t)

Doc. 22. Mise en évidence de la notion de variation ou de dérivée particulaire.

Remarque


Supposons que lors de l’écoulement d’un fluide nous soyons en présence des résulDρ DP tats suivants : = 0 ou = 0 . Quelle en est la signification physique ? Dt Dt Lorsque nous suivons une particule de fluide, la masse volumique r de cette particule ne varie pas au cours du temps. Cette particule de fluide étant de masse constante (par définition), son volume ne varie pas au cours du temps, de même la pression P à laquelle est soumise cette particule de fluide ne varie pas au cours du temps.

5.3. Dérivation particulaire d’une grandeur scalaire g

➞ —➞ À l’instant t, la particule est au point M(OM = ➞ r = R (t)). La grandeur g prend alors la valeur du champ g(r➞, t) au point ➞ r à l’instant t. ➞ À l’instant t + dt, la particule s’est déplacée en ➞ r = R (t + dt), donc la grandeur g prend la valeur : ➞ g(r➞ = R (t + dt), t + dt).

19


Le déplacement effectué est (à l’ordre 1 en dt) : ➞ ➞ ➞ R (t + dt) – R (t) = V (t) dt = v➞(r➞ , t).dt. La variation de g, pour la particule est donc : Dg = g(x + v x dt, y + v y dt, z + v z dt, t + dt) – g(x, y, z, t) ∂g ∂g ∂g ∂g + v y dt + v z dt + dt . dx ∂y ∂z ∂t Elle tient compte de l’écoulement du temps et du déplacement de la particule de fluide. Nous en déduisons que : = v x dt.

La dérivation particulaire d’une grandeur scalaire est égale à : —➞ Dg ∂ g ∂g ∂g ∂ g ∂ g ➞ —➞ = + vx + vy + vz = + v . grad g = ∂ + v➞ . grad g. Dt ∂ t ∂x ∂y ∂z ∂t ∂t Cette dérivée particulaire se décompose en : —➞ • (v➞ . grad )g la dérivée convective de g qui indique un caractère non uniforme de g ; •

∂g la dérivée locale de g qui indique un caractère non permanent de g. ∂t

Nous pourrons ainsi écrire la dérivation particulaire de la masse volumique : D ρ ∂r ➞ —➞ + v . grad r . = Dt ∂t ➞

5.4. Dérivation particulaire d’une grandeur vectorielle G

Conservons ➞les mêmes notations que précédemment, et considérons une grandeur ➞ vectorielle G (r➞, t) (formalisme eulérien), G pouvant représenter par exemple la vitesse v➞(r➞, t). ➞

➞

Écrivons G sous la forme : G = Gx e➞x + Gy e➞y + Gz e➞z . Les vecteurs e➞x , e➞y et e➞z , qui représentent les vecteurs unitaires fixes (repère cartésien orthonormé) du référentiel dans lequel nous travaillons, sont invariants au cours du temps, et donc : ➞


DG D Gx ➞ D Gy ➞ D Gz ➞ = ex + ey + ez . Dt Dt Dt Dt En reprenant l’expression symbolique en coordonnées cartésiennes : —➞ (v➞ . grad) = vx ∂ + vy ∂ + vz ∂ et en utilisant le § 5.3. ∂x ∂y ∂z ➞

DG —➞ = ∂ + v➞ . grad (Gx ➞ex + Gy e➞y + Gz e➞z ). Dt ∂t En conclusion : ➞

La dérivée particulaire d’une grandeur vectorielle G est donnée par : ➞ —➞ ➞ DG = ∂ + v➞ . grad G. ∂t Dt Cette dérivée particulaire se décompose encore en : ➞ —➞ ➞ • (v➞ . grad ) G la dérivée convective de G qui indique un caractère non uni➞ forme de G ; ➞

➞ ➞ • ∂G la dérivée locale de G qui indique un caractère non permanent de G . ∂t

20

1. Modélisation d’un fluide en écoulement • En coordonnées cartésiennes, l’expression développée s’écrit donc : DGx Dt

a)

∂Gz ∂t

vx

M

∂Gz ∂Gz ∂Gz + vy + vz ∂x ∂y ∂z

ez ex

➞

➞ ➞ ➞ — En coordonnées autres que cartésiennes, l’expression DG = ∂ + v . grad G Dt ∂t reste valable, et s’écrit par exemple (doc. 23) : • en coordonnées cylindriques : ➞ DG = ∂ + v ∂ + v 1 ∂ + v ∂ (G e➞ G e➞ + G e➞ ) ; r q z r r+ q q z z Dt ∂t ∂r r ∂q ∂z • en coordonnées sphériques : ➞ ∂ (G e➞ G e➞ + G e➞ ) ; DG = ∂ + v ∂ + v 1 ∂ + v 1 r q j r r+ q q j j Dt ∂t ∂r r ∂q r sin q ∂j en n’oubliant pas que les vecteurs e➞r , e➞q et e➞j sont eux-mêmes dérivables par rapport aux variables d’espace.

5.5. Application : accélération d’une particule ➞

➞

➞

x

H

er x

e er

ey

O

r

θ

y

e er

H

z

b)

M

ex

r ez θ ey O

er eϕ eθ y

ϕ H

u

x ➞

L’accélération d’une particule de fluide, de position R (t), de vitesse V (t), est : ➞

e θ

ez

z

∂Gy DGy ∂Gy ∂Gy ∂Gy = + vx + vy + vz Dt ∂t ∂x ∂y ∂z DGz Dt

y

∂Gx ∂Gx ∂Gx vx + vy + vz ∂x ∂y ∂z

∂Gx ∂t

➞

A (t) = dV (t) = V (t + dt) – V (t) . dt dt Tenant compte des positions successives de la particule qui se déplace de ➞ dr➞ = v (M, t) dt, nous pouvons écrire en utilisant le champ eulérien des vitesses :

Doc. 23. Systèmes d’axes utilisés. a. Coordonnées cylindriques. b. Coordonnées sphériques.

➞ ➞ ➞ ➞ ➞ ➞ ➞ A (t) = v (r + dr , t + dt) – v (r , t) = Dv avec dr➞ = v➞(M, t) dt. Dt dt

L’accélération de la particule s’identifie tout naturellement à la dérivée particulaire ➞ du champ des vitesses v➞(r , t). Nous définissons alors le champ d’accélération : ➞ ➞ ➞ ➞ ➞ ➞ — a➞(r , t) = Dv = ∂v + (v . grad)v . ∂t Dt


Nous aurons pour la particule : ➞ ➞ A (t) = a➞(r➞ = R (t), t). En utilisant les coordonnées cartésiennes, on peut démontrer que : —➞ —➞ 2 —➞(v➞ ) v➞ , (v➞ . grad)v➞ = grad v + rot 2 relation valable quel que soit le système de coordonnées. Le champ d’accélération du fluide se déduit du champ de vitesse par dérivation particulaire : ➞ ➞ —➞ a➞(r➞, t ) = Dv = ∂v + (v➞. grad)v➞. ∂t Dt Cette dérivée particulaire se décompose en : —➞ • v➞. grad v➞, la dérivée convective de la vitesse qui indique un caractère non uniforme de la vitesse ; ➞ • ∂v , la dérivée locale qui indique un caractère non permanent de cette ∂t vitesse.

21


➞

➞

A

L’accélération A (t) = a➞(r = R (t), t ) de la particule de fluide tient ainsi compte : – du caractère non uniforme du champ des vitesses ; – du caractère non permanent de ce champ. —➞ 2 Remarque : (v➞. grad)v➞ = grad v + rot v➞ v➞. 2 Illustrons le terme convectif par l’exemple d’un rapide de rivière. Plaçons-nous en régime stationnaire : la vitesse du fluide en chaque point de la ➞ ➞ ➞ ➞ rivière garde une valeur constante au cours du temps : v (r , t) = v (r ). La vitesse ne dépend pas explicitement du temps donc le terme d’accélération en ∂ est nul. ∂t Les lignes de courants s’identifient alors aux trajectoires des particules (doc. 24a). Le lit de la rivière ayant une section plus faible au niveau du point B, nous savons « intuitivement » que la vitesse en B est supérieure à la vitesse en A. Une particule de fluide, suivie de A en B, voit sa vitesse augmenter : elle a nécessairement accéléré, alors que le champ des vitesses du fluide ne dépend pas explicitement du temps. En régime stationnaire, l’accélération est purement convective, c’est-à-dire liée au mouvement ou convection du fluide. Remarque Sur le document 24b, nous avons tracé l’évolution d’une ligne de fluide : celle-ci est très déformée, mais le champ des vitesses en section est quasiment uniforme.

Application

B

Doc. 24a. La conduite subit un rétrécissement : le fluide en régime permanent est accéléré. ligne de fluide initiale ligne de courants

champ des ligne de fluide vitesses

Doc. 24b. Évolution des lignes de fluide d’un liquide lors d’un rétrécissement.

6

Écoulement dans un dièdre droit Soit l’écoulement bidimensionnel (cf. application 5) dont le champ des vitesses, défini dans la région x > 0 et y > 0, est v➞(M, t) (– kx, ky) dans un référentiel (O ; x, y, z). Déterminer l’accélération d’une particule de fluide. © Hachette Livre, H-Prépa Mécanique des fluides, 2e année, PC et PSI, La photocopie non autorisée est un délit.

Travail en formalisme eulérien ax =

Dv x = ∂ – kx ∂ + ky ∂ (– kx) = k 2x Dt ∂t ∂x ∂y

Dv y ay = = ∂ – kx ∂ + ky ∂ (+ ky) = k 2y Dt ∂t ∂x ∂y —➞ ➞ 2 ce qui donne a = k OM . Travail en formalisme lagrangien Les trajectoires de cet écoulement sont données par : X = X0 e– kt et Y = Y0 e+ kt.

22

➞

Calculons la vitesse V (t) (formalisme lagrangien) :

Vx (t) = dX = – kX0 e – kt = – kX(t) dt Vy (t) = dY = + kY0 e + kt = + kY(t) dt

et l’accélération a➞ :

d Vx (t ) d ( − k X0 e − kt ) = = k 2 X0 e − kt = k 2 X (t ) dt dt . d Vy (t ) d ( k Y0 e + kt ) 2 2 − kt ay = = = k Y0 e = k Y (t ) dt dt

ax =

Nous obtenons bien les mêmes résultats pour : ➞ r➞ = R(t) = X(t) e➞x + Y(t) e➞y .

1. Modélisation d’un fluide en écoulement Remarquons qu’un calcul systématique de l’accélération d’une particule de fluide utilisant la dérivation particulaire est parfois inutile, surtout en coordonnées cylindriques, ce que nous pouvons voir sur l’exemple suivant. Soit à calculer l’accélération d’une particule de fluide pour un écoulement de fluide plan dont le champ des vitesses en formalisme eulérien est donné par : v➞(r➞, t) = v (r, t) e➞q . • L’utilisation de la dérivation particulaire nous donne : —➞ a➞ = ∂ + v➞(r➞, t) . grad (v (r➞, t ) e➞q ) = ∂ + v (r, t) 1 ∂ (v (r, t) e➞q ) ∂t ∂t r ∂q 2 2 = ∂v (r, t) e➞q + v (r, t) ∂ (e➞q ) = ∂v (r, t) e➞q – v (r, t) e➞r , ∂t ∂t r r ∂q ➞ ∂e q car = – e➞r ∂q Remarque : Les variables d’espace et de temps étant des variables indépendantes, il ne faut pas faire intervenir des dérivations par rapport au temps des vecteurs unitaires e➞r et e➞q . ➞

• Les lignes de courants et les trajectoires sont des cercles (v➞r = 0 ). Sur une trajectoire de rayon R = r (R indépendant du temps), la vitesse lagrangienne de la parti➞ cule en M est donnée par V (t) = V(t) e➞q (t). Cette vitesse dépend explicitement du temps, l’accélération de la particule est donnée par : ➞ 2 ➞ A (t) = dV (t) = dV(t) e➞q – V (t) e➞r , R dt dt expression classique de l’accélération calculée en formalisme lagrangien. Cette expression est bien identique à : 2 a➞ = ∂v (r, t) e➞q – v (r, t) e➞r , ∂t r


Pour s’entraîner : ex. 3, 4, 6 et 7.

23


CQFR ● L’échelle de la particule de fluide, échelle mésoscopique, est intermédiaire entre l’échelle microscopique et l’échelle macroscopique. Elle permet d’associer à cette particule des grandeurs macroscopiques qui décrivent le fluide comme un milieu continu. ●

DESCRIPTION LAGRANGIENNE D’UN FLUIDE ➞

Le mouvement du fluide est entièrement décrit par la connaissance des trajectoires R i(t) de chacune des ➞ ➞

particules du fluide. La vitesse de ces particules est donnée par V(Ri(t), t) = ➞

➞

➞ d Ri (t) avec R i(t) la position à la dt

date t de la particule initialement en R i(0) à la date t = 0. Ces vitesses, associées à des particules de fluide, ne dépendent explicitement que du temps et des coordonnées ini➞ tiales de la particule, donc de R(t). ●

DESCRIPTION EULÉRIENNE D’UN FLUIDE

Le mouvement du fluide est entièrement décrit par la connaissance des vitesses des particules de fluide passant en un point M donné de l’espace à la date t : v➞(M, t). • Les coordonnées d’espace et de temps sont des variables indépendantes. • Ce formalisme est utilisé pour décrire l’évolution d’autres grandeurs caractéristiques du fluide au cours du temps telles que sa pression P(M, t), sa température T(M, t), … • L’approche eulérienne décrit l’état du fluide en mouvement en lui associant des champs : champ des vitesses, champ de pression, champ de température, … ●

CONCLUSION

—➞ • En formalisme eulérien : v➞(M, t) ou v➞(r➞, t) avec r➞ = OM . ➞ ➞ ➞ —➞ d R(t) • En formalisme lagrangien : V (t) = la particule considérée est celle dont la trajectoire est en R(t) = OM dt à la date t. ➞

➞

• Les deux approches sont cohérentes : V(t) = v➞(r➞ = R(t), t). ●

ÉCOULEMENT D’UN FLUIDE


• L’écoulement d’un fluide se caractérise par : – les trajectoires des particules : la trajectoire d’une particule est formée de l’ensemble des points de l’espace qu’elle occupe au cours du temps ; – les lignes de courants : à t0 donné, une ligne de courants est une courbe à laquelle le vecteur vitesse est tangent en tout point ; – les lignes d’émission : à t0 donné, une ligne d’émission est formée par l’ensemble des points de l’espace occupés par des particules passées précédemment par un point donné M0 . • L’équation différentielle vérifiée par les trajectoires des particules de fluide s’écrit : dX dY dZ = = = dt . v x (X(t), Y(t), Z(t), t) v y (X(t), Y(t), Z(t), t ) v z (X(t), Y(t), Z(t), t) La constante d’intégration permet d’identifier la particule qui passe en M à la date t.

24


CQFR • Nous pouvons caractériser l’écoulement d’un fluide par la détermination des lignes de courants (ligne de champ du champ des vitesses eulérien des particules de fluide) à la date t0 , dont l’équation différentielle s’écrit : dx dy dz = = . vx (x, y, z, t 0) vy (x, y, z, t 0) vz (x, y, z, t 0) • Un écoulement stationnaire v➞ (r➞) est tel que le champ des vitesses du fluide ne dépend pas explicitement du temps. Il y alors identité entre les trajectoires, les lignes de courants et les lignes d’émission. ● DÉRIVATION PARTICULAIRE • La dérivation particulaire d’une fonction scalaire g s’écrit : Dg g(r➞ + dr➞, t + dt) – g(r➞, t) = Dt dt ➞

et de même avec une fonction vectorielle G : ➞ ➞ ➞ ➞ ➞ ➞ DG = G (r + dr , t + dt) – G (r , t) Dt dt —➞ ➞ ➞ ➞ avec dans les deux cas r = OM et dr = v (M, t) dt. • La dérivation particulaire d’une grandeur scalaire est donnée par : ➞ Dg ∂g ➞ —➞ ➞ — = + v . grad g = ∂ + v . grad g. Dt ∂t ∂t ➞

La dérivée particulaire d’une grandeur vectorielle G est donnée par : ➞ —➞ ➞ DG = ∂ + v➞ . grad G. Dt ∂t Ces dérivées particulaire se décomposent en : —➞ • v➞ . grad g la dérivée convective qui indique un caractère non uniforme de la grandeur ; ∂g la dérivée locale qui indique un caractère non permanent de la grandeur. ∂t Le champ d’accélération du fluide se déduit du champ de vitesse par dérivation particulaire : ➞ ➞ —➞ a➞ (r➞ , t) = Dv = ∂v + (v➞ . grad ) v➞. Dt ∂t •

➞

➞


L’accélération A (t) = a➞ (r➞ = R (t), t) de la particule de fluide tient ainsi compte : – du caractère non uniforme du champ des vitesses ; – du caractère non permanent de ce champ.

25

Contrôle rapide Avez-vous retenu l’essentiel ? ✔ Qu’est-ce que l’échelle mésoscopique ? ✔ Définir une particule de fluide. ✔ Quel est le point de vue lagrangien ? ✔ Quel est le point de vue eulérien ? ✔ Définir les notions de trajectoire, de lignes de courants et de lignes d’émission. ✔ Savez-vous calculer la dérivée particulaire d’un scalaire et d’un vecteur ? ✔ Exprimer l’accélération d’une particule de fluide.

Du tac au tac (Vrai ou faux) 1. Relier les courbes suivantes, leur définition et leur équation différentielle. ❑ 1. Trajectoire d’une particule. ❑ 2. Ligne de courants. ❑ 3. Ligne d’émission. ❑ a. Courbe à laquelle la vitesse est tangente à chaque instant en tout point.

❑ a. dx = dy = dz = dt. vx vy vz

❑ b. Courbe à laquelle la vitesse est tangente en tout point à un instant donné.

❑ b.

dX dY = v x (X(t), Y(t), Z(t), t) v y (X(t), Y(t), Z(t), t )


❑ c. Ensemble des positions occupées par une particule au cours du temps.

=

❑ d. Ensemble des points occupés par les particules qui passeront par le point M0.

❑ g. dX = dY = dZ . X(t) X(t) X(t)

❑ e. Ensemble des points occupés par les particules qui sont passées par le point M0.

❑ d.

dZ = dt . v z (X(t), Y(t), Z(t), t)

dx dy dz = = . vx (x, y, z, t) vy (x, y, z, t) vz (x, y, z, t)

2. L’accélération d’une particule de fluide est donnée par : ➞ —➞ 2 —➞ ➞ ❑ a. a➞ = ∂v – grad v + rot v ∂t 2

v➞

➞ —➞ ➞ ❑ d. a➞ = ∂v + (v➞. grad ) v ∂t

➞ —➞ 2 —➞ ➞ ❑ b. a➞ = dv – grad v + rot v dt 2

v➞

➞ —➞ —➞ v➞ ❑ e. a➞ = ∂v – grad v + rot ∂t 2

➞ —➞ ❑ c. a➞ = ∂v + v➞. (grad v➞) ∂t

➞ —➞ 2 —➞ ➞ ❑ f. a➞ = ∂v + grad v + rot v ∂t 2

v➞ v➞ Solution, page 28.

26

Exercices Déterminer l’accélération d’une particule, directement et en utilisant le formalisme eulérien.

Champ des vitesses et accélération en formalisme eulérien 1) Écrire en formalisme eulérien le champ des vitesses d’un fluide qui s’écoule d’un tube ayant la forme d’un quart de cercle de rayon R avec les caractéristiques suivantes : • la vitesse d’une particule est orthoradiale ; • les vitesses des particules, à l’instant t, sont identiques en norme. La surface libre du fluide dans le tube est repérée par l’angle a (t). 2) Calculer l’accélération d’une particule de fluide. x

Lignes de courants et trajectoires Soit un champ des vitesses, avec un axe (Oz) vertical et orienté v = u0 vers le haut, défini par v➞ = x v z = − gt + v 0 . Déterminer les trajectoires, les lignes de courants et la ligne d’émission issue du point (0, 0).

R α (t)

*

θ

Soit un référentiel ′(O′; x′, y′, z′) en translation de vitesse ➞ V 0 = V0 e➞y par rapport au référentiel (O ; x, y, z). Dans ′, un écoulement possible d’un fluide dans le dièdre droit (O′, x′, y′) (les parois (O′x′) et (O′y′) devenant alors mobiles par rapport au référentiel ) est décrit par le champ des vitesses :  x ′ y′  v➞ ′  , − , 0 . τ τ 

M eθ er y

Champ eulérien des vitesses d’un fluide dans un tube en U Donner l’expression du champ des vitesses d’un fluide dans un tube en U sachant que la vitesse est identique en norme, à l’instant t, pour toutes les particules. La surface libre du fluide dans le tube de droite est repérée par sa cote z(t).

Champ des vitesses dans un dièdre

z

Déterminer l’équation dans : • de la trajectoire de la particule passant à t0 en M0 (x0 , y0) ; • de la ligne de courant passant à t0 par M0 (x0 , y0) ; • de la ligne d’émission passant à t0 par M0 (x0 , y0).

z(t) 0 – z(t)

z’

Recherche du champ des vitesses en formalisme eulérien Soit un écoulement défini en formalisme lagrangien sous la forme : X(t) = X0(1 + b t) avec b constant Y(t) = Y0 .

*

Écoulement entre deux cylindres © Hachette Livre, H-Prépa Mécanique des fluides, 2e année, PC et PSI, La photocopie non autorisée est un délit.

surface libre

L’écoulement d’un fluide entre deux cylindres concentriques, de rayons R1 et R2 , tournant autour de leur axe commun aux vitesses angulaires W1 et W2 peut être décrit par le champ des B vitesses v➞ =  Ar +  e➞q .  r 1) Déterminer les constantes A et B en écrivant la continuité des vitesses du fluide et des cylindres en R1 et R2 . 2) Commenter le cas W1 = W2 . 3) Déterminer l’accélération d’une particule de fluide. ∂(r( f (r)) ➞ ➞ —➞ ez . On donne rot ( f (r) e q ) = 1 r ∂r

27

Exercices Calcul de l’accélération d’une particule de fluide On considère l’écoulement d’un fluide entre l’infini et le plan y = 0 animé d’un mouvement oscillant de la forme : X = a sin ω t. On propose un champ des vitesses du fluide de la forme :

y

fluide y=0

x

v (x, y, t) = a w e–ky cos(w t – ky) u x = v (y, t) e x . ➞

➞

➞

plan oscillant

Déterminer l’accélération d’une particule de fluide.

Corrigés Solution du tac au tac, page 26. 1. 1 → cb ; 2 → bd ; 3 → e

2. Vrai : d, f ; Faux : a, b, c, e

1) On repère le point M par un système de coordonnées polaires (e➞r , e➞q ). •

Les particules possèdent toutes la même vitesse en norme, égale à Ra (t). La vitesse v➞(M, t) en formalisme eulérien est donnée par l’expression suivante :


•

••

z(t) 0

s=z

– z(t)

T Remarques • Il y a nécessité d’utiliser encore deux systèmes de coordonnées, car z représente le niveau du fluide et s la cote du point M. • La dépendance de v➞(M, t) en fonction des coordonnées d’espace se fait par l’in➞ • termédiaire de T , et en fonction du temps par l’intermédiaire de z (t).

•

a➞(r➞, t) = Ra (t) e➞q – Ra 2(t) e➞r , que le calcul soit effectué en formalisme eulérien ou lagrangien. On repère le point M par une abscisse curviligne s. La vitesse v➞(M, t) en formalisme eulérien est donné par l’expression suivante : ➞

•

➞

v (M, t) = z (t) T .

28

s=L+z (L représente la longueur de la portion de fluide) coordonnées permettant le repérage du fluide

z’

M

Remarque

2) Sachant que v➞(M, t) = v➞(r➞, t) = Ra (t) e➞q , l’accélération de la particule est donnée par :

z

s=0

• • v➞(M, t) = Ra (t) e➞q avec a (t) = da . dt

Il y a ici nécessité d’utiliser deux notations a et q (ou deux systèmes de coordonnées), car a (t) représente le niveau du fluide et q la cote du point M. La dépendance de v➞(M, t) en fonction des coordonnées d’espace se fait par l’intermédiaire de e➞q , et du • temps par l’intermédiaire de a (t). a (t) est la coordonnée repérant le niveau du fluide et q la coordonnée eulérienne.

s

coordonnées permettant le repérage du point M

➞

La vitesse d’une particule est donnée par V (t) =

➞

d R (t) ce qui donne, dt

puisque d Y(t) = 0, dt ➞

V (t) =

➞ d X(t) ➞ e = X be➞ , soit V (t) = X0 be➞x . dt x 0 x


X(t) ➞ be , l’expression de la vitesse en formalisme eulérien 1 + bt x

➞

Sachant que V (t) = ➞ ➞

s’écrit v (r , t) =

x ➞ be . Le champ des vitesses est non stationnaire. 1 + bt x ➞

L’accélération d’une particule est nulle, car V (t) ne dépend pas du temps. ➞

X 0i , Y0i t=0 X 0, Z 0 t = t1

➞

Le calcul de l’accélération en formalisme eulérien donne a = a(x, t )e x , avec : a (x, t ) = ∂v + v ∂v = ∂t ∂x =–

∂

xb 1 + bt ∂t

+ xb 1 + bt

∂

t = t2

xb 1+bt ∂x

trajectoires

x b2 + x b2 = 0. (1 + bt )2 (1 + b t)2

lignes de courant à t = t1

lignes de courant à t = t2

On trouve donc le même résultat que précédemment.

Le champ des vitesses dans s’obtient par composition des vitesses : ➞

v➞(M)/ = v➞(M)/ ′ + v➞e (M), soit v➞ = v➞′ + V0 e y

Trajectoire

donc :

X = X0 + u 0 t et Z = Z0 – 1 gt2 + v 0 t . 2

En éliminant le temps, la trajectoire de la particule qui est passée en (X0 , Z0) à t = 0 est la parabole d’équation :

(avec x = x ′ et y = y′ + V0 t), d’où : x y − V0 t v➞  , − + V0 , 0 . τ  τ Trajectoire Elle s’obtient par intégration des équations différentielles : dx x = dt τ

v g Z = Z0 + 0 (X – X0) – 1 2 (X – X0 ) 2 . u0 2 u0 Ligne de courant À l’instant t, le long d’une ligne de courant : dx = dz , u 0 v 0 – gt donc, par intégration à t donnée, la ligne de courant passant au point (x 0 y0) est la droite d’équation : v – gt z = z0 + 0 (x – x 0 ). u0 Ligne d’émission Pour la particule qui est passée en (X0, Z0) à l’instant t0 , la position à l’instant t est : g X = X0 + u 0 (t – t 0 ) et Z = Z0 + v 0 (t – t 0 ) – (t – t 0 ) 2. 2

et

dy y − V0 t , = V0 − τ dt

dx = dt et d(y – V0 t) = – dt . y – V0 t x t t avec les conditions initiales x(t 0 ) = x 0 et y(t 0 ) = y 0 . L’équation paramétrée de la trajectoire recherchée est : soit :

+

t– t 0

–

t– t 0

x = x 0 e t (1) et y = V0 t + (y 0 – V0 t 0 ) e t (2) En éliminant t entre les deux équations, on obtient la trajectoire y = f (x) :  x y −V t y = V0 t0 + V0 τ ln  + x0 0 0 0 . x  x0  La trajectoire est représentée sur la courbe ci-dessous ; elle pourrait être visualisée, pour une particule « marquée », sur une photo à très long temps de pose.


Pour la particule, dX = u 0 dt et dZ = (v 0 – gt) dt ,

y

La ligne d’émission est obtenue, à l’instant t, en éliminant l’instant de départ t 0, ce qui donne : v g Z = Z0 + 0 (X – X0) – 1 2 (X – X0 ) 2 . u0 2 u0 Il se trouve qu’éliminer t 0 conduit aussi à éliminer t : les lignes d’émission sont ici « figées » et s’identifient aux trajectoires. Pour la ligne d’émission issue de (X0, Z0) = (0, 0), cette parabole est : v g Z = 0 X – 1 2 X2. u0 2 u0 Sur le graphique ci-après, on visualise à la fois les trajectoires et les lignes de courants à diverses dates (t2 t1).

M0 x

29

Corrigés Ligne de courant

La superposition des trois simulations précédentes montre que les trois courbes passant par un même point M0 , sont toutes tangentes entre elles en ce point : il n’y a, à l’instant t0 , qu’une seule vitesse en M0 !

Elle s’obtient par intégration, à l’instant t0 , de l’équation différentielle : dx dy , =− x y − V0 t0 + V0τ soit

y

x (y – V0(t0 – t)) = cte = x0 (y0 – V0(t 0 – t)) .

C’est l’équation d’une hyperbole (qui n’est pas tangente à la paroi mobile !). La ligne de courants passant par M0 , à t0 , a été représentée sur la courbe ci-dessous : on peut la visualiser sur une photo à très court temps de pose, prise à l’instant t0 . Des particules marquées laissent alors sur la plaque photo des traces vectorielles proportionnelles à leur vecteur vitesse instantanée, et dirigées suivant cette vitesse ; il faudrait alors construire une ligne tangente à ces vecteurs partant de M0 . y

trajectoire ligne de courants ligne d’émission

M0

x M0 x

Ligne d’émission Elle caractérise, à une date t donnée, l’ensemble des particules étant passées par le point M0 à des dates antérieures. On l’obtient donc, à la date t, en éliminant t0 entre les deux équations (1) et (2) qui représentent la trajectoire de toute particule passant par M0 , avec t0 comme paramètre.


x x0

x0 . x

Cette équation représente, à la date t, l’équation y = g(x) de la ligne d’émission. On remarque qu’elle n’est valable que pour x > x 0 . La partie de la courbe correspondant à x < x 0 pourrait être appelée « ligne d’absorption » : elle représente l’ensemble des particules qui iraient passer par le point M0 à une date postérieure à t si la ligne d’émission ne fluctuait pas. La ligne d’émission demandée correspond à la date t 0 . Son équation est donc :   x  x y = V0 t0 +  y0 − V0 t0 + V0 τ ln   0 .  x0   x  Elle est représentée sur la courbe ci-dessous et, une source de traceurs colorés ayant été placée en M0 , pourrait être visualisée par une photo à court temps de pose, prise à l’instant t0 .

➞

Ω 2 R22 − Ω1 R12 R22 − R12

et

B=

(Ω1 − Ω 2 ) R12 R22 . R22 − R12

➞

➞ 2) Si W1 = W2 , v = W Ÿ r , on a un mouvement de rotation « en bloc » du fluide qui s’apparente à celui d’un solide.

2 B B  D v➞ 1 d   = Ar +  e➞r + 2 Ae➞z ∧  Ar +  e➞q   D t 2 d r  r r 

 B B2  =  A2 r − 3  e➞r – 2 A  Ar +  e➞r =  r r  

 B2 2 AB  ➞ −  A2 r + 3 + er r  r 

2

 Ar + B   r ➞ = − er . r On retrouve l’accélération d’un mouvement circulaire uniforme : en effet, les lignes de courants, donc les trajectoires, sont des cercles de rayon r. En conception lagrangienne, R(t) = r = cte et la vitesse lagrangienne apparaît comme étant de la forme ➞ V = v➞ = v (r) e➞q , c’est-à-dire indépendante du temps. dX ➞ e ; c’estdt x à-dire que la vitesse du fluide en y = 0 est égale à la vitesse du plan oscillant .

y

On remarque que pour y = 0, v➞(x, y, t) = a w cos(w t) u➞x =

Calcul de l’accélération : D v➞ ➞ —➞ ➞ ∂ v➞ ∂ v (y, t) ➞ = = (v . grad ) v + e x = – a w 2e– ky sin(w t – ky) e➞x . Dt ∂t ∂t

M0 x

30

A=

B B = Ω1 R1 et AR2 + = Ω 2 R2 , on obtient : R1 R2

2 ➞ ➞ —➞ ➞ —➞  v  —➞ ➞ 3) En adoptant la formule (v . grad ) v = grad   + rot (v ) ∧ v il vient :  2

 x L’équation (1) donne t0 = t − τ ln  , soit :  x0  y = V0 t + y0 – V0 t + V0 t ln

1) En écrivant AR1 +

L’accélération est purement locale, car les lignes de courants sont des droites colinéaires à l’axe (Ox) ; de plus, la vitesse ne dépend pas de la variable x.

2

O Si nous observons l’écoulement d’un fluide sans en injecter ou en soutirer,sa quantité donc sa masse, n’est pas modifiée par son déplacement. En suivant cette évolution, nous devons traduire la conservation de la masse qui doit être implicitement contenue dans la cinématique de l’écoulement. Nous abordons ici cette contrainte, ainsi que les bilans de masse ou volume associés à l’écoulement d’un fluide.

B

J

E

C

T

I

F

S © Hachette Livre, H-Prépa Mécanique des fluides, 2e année, PC et PSI, La photocopie non autorisée est un délit.

Conservation de la masse

Écriture d’un bilan massique. Équations de conservation de la masse, intégrales et locales.

■ ■

P ■ ■ ■

R

É

R

E

Q

U

I

S

Formalisme eulérien. Dérivation particulaire. Calcul du flux d’un vecteur.

31


1

v (P, t)

Débit massique

N dS = dSN

1.1. Définition ➞

Prenons une surface orientée S fixe dans le référentiel d’étude. Appelons δ m la ➞ masse élémentaire qui traverse cette surface S pendant le temps δ t . Par définition, cette masse δ m est égale à δ m = Dm δ t , où Dm représente le débit massique du fluide à travers cette surface. Le débit massique Dm s’exprime donc en kg.s– 1. Déterminons cette quantité Dm . ➞

➞

δ = v (P, t) δ t

Doc. 1. Les particules qui traversent d S sont situées dans le cylindre.

➞

Les particules de fluide, qui traversent un élément de surface d S = d S N (N représente la normale à cet élément de surface) centré en P, pendant le temps δ t , sont contenues dans un cylindre de base d S , de génératrice parallèle à v➞(P, t) et de longueur δ = v(P, t) δ t , donc de volume égal à (doc. 1) : ➞

➞

d t = v➞(P, t) . d S δ t = v➞(P, t) . N d S δ t . ➞

Ce qui correspond à une masse r (P, t) d t = r (P, t) v➞(P, t) . d S δ t , donc à un débit massique élémentaire : ➞

➞

d Dm = r (P, t) v➞(P, t) . d S = r (P, t) v➞(P, t) . N d S . Le débit massique à travers une surface S finie orientée (fermée ou non) est donné par la somme de ces débits élémentaires, et nous obtenons (doc. 2) : – pour une surface non fermée : Dm =

➞

v (P, t)

r (P, t) v➞(P, t) . N d S ,

surface S non fermée

➞

le débit étant par définition positif si le fluide s’écoule dans le sens de N ; – pour une surface fermée : Dm =

N

P

➞

r (P, t) v➞(P, t) . d S =


ρ (P, t)

surface non fermée S

Doc. 2. Expressions intervenant dans le débit massique à travers une surface S non fermée.

➞

r (P, t) v➞(P, t) . N d S ;

surface S fermée ➞


c’est un débit massique (algébrique) sortant, la normale N étant orientée vers l’extérieur de la surface S fermée (doc. 3). ➞ Soulignons l’analogie de cette définition avec celle de l’intensité électrique j = r v➞ ➞ traversant une surface orientée en définissant le vecteur j (P, t) = r (P, t) v➞(P, t) qui est la densité volumique de courant de masse. Le débit massique à travers S vaut Dm =

➞

➞

j (P, t) . N d S .


Le débit massique sortant (algébrique) vaut Dm =

➞

➞

j (P, t) . N d S avec

surface S fermée ➞

j (P, t) = (P, t) v➞(P, t) la densité volumique de courant de masse.

32

surface S fermée, sa normale étant orientée de l’intérieur vers l’extérieur P

N

v (P, t) ρ (P, t)

Doc. 3. Expressions intervenant dans le débit massique sortant de la surface fermée.

2. Conservation de la masse 1.2. Sources et puits

en ce point existe un puits ponctuel caractérisé par un débit massique « sortant » D2 (négatif)

En certains points ou certaines zones d’un écoulement de fluide, il existe parfois des apparitions de masse (sources) ou disparitions de masse (puits). Celles-ci sont caractérisées par un débit massique Dm, sources (souvent défini de manière algébrique) : ces éléments ponctuels ou linéiques (quelques fois volumiques) fournissent une masse Dm, sources δ t pendant le temps δ t . ■ Exemple de source et de puits Lors du remplissage (et de la vidange) d’un réservoir à l’aide de deux tuyaux, nous pouvons modéliser la situation avec une source et un puits ponctuels (doc. 4). Nous conviendrons de désigner ces éléments par le terme de « sources » : ils seront donc caractérisés par des débits massiques (algébrique) positifs ou négatifs.

en ce point existe une source ponctuelle caractérisée par un débit massique « entrant » D1 (positif)

Souvent ces sources sont représentables par un flux massique à travers une surface S de petite dimension.

Doc. 4. Exemple de source et de puits ponctuels : remplissage D1 et vidange D2 d’un réservoir contenant une certaine masse de fluide à l’aide de deux tuyaux.

1.3. Surface de contrôle et volume de contrôle

surface de contrôle

Une surface de contrôle est une surface fixe dans le référentiel d’étude (doc. 5) ; c’est ce que nous avons considéré dans les calculs précédents.

z

Une surface de contrôle est une surface fermée. Elle délimite donc un certain volume appelé volume de contrôle.

2

x

Bilan de masse : équation intégrale

O

y

Doc. 5. Le fluide traverse la surface de contrôle fixe dans le référentiel d’étude.

2.1. Équation générale dans un milieu sans sources Considérons un volume V fixe (volume de contrôle) de l’espace occupé par le fluide, délimité par une surface fermée S fixe (surface de contrôle) dans le réfé➞ rentiel d’étude (doc. 6), la normale N étant orientée vers l’extérieur. Dans ce référentiel, la vitesse du fluide est donnée par v➞(P, t) au point P et à l’instant t. La masse de fluide m(t) contenue à tout instant dans ce volume V s’écrit : m(t) =

r (M, t) d t .

volume V

Du fluide entre et sort continuellement de ce volume V en traversant la surface de contrôle fixe qui le limite : la masse m(t) dépend donc du temps. 2.1.1. Variation de masse d m , pendant le temps d t , du fluide situé dans le volume de contrôle V fixe Pour un volume élémentaire dt , contenant la masse d m = r (M,t) d t , la varia∂ r (M, t) tion δ (d m) pendant le temps δ t est telle que δ (d m) = dt δt . ∂t

N volume V

dτ

M surface S

Doc. 6. La surface S fermée (et fixe) délimite un volume V fixe. La normale est orientée vers l’extérieur.

33


Supposons qu’il n’existe aucune source (de masse) dans ce volume.


Remarque Il est essentiel de bien comprendre qu’ici nous ne suivons pas une particule, mais qu’ayant « l’œil fixé » sur le volume élémentaire d t fixe entourant le point M fixe, nous observons la variation de masse qu’il contient au cours du temps. La variation de masse volumique est donc bien ici une variation locale, à laquelle nous associons la dérivation partielle par rapport au temps. La masse totale m(t) du fluide situé dans le volume V a donc varié pendant le temps δ t de : ∂ r (M, t) d t δ t . δm = ∂t volume V fixe

2.1.2. Quantité de masse d m entrant à travers la surface S fixe délimitant le volume V pendant d t Cette variation de masse correspond à la masse de fluide qui a traversé la surface de contrôle S de l’extérieur vers l’intérieur pendant le temps δ t , c’est-à-dire : δ m = – Dm, sortant δ t . Elle s’exprime sous la forme : δm = –

➞

r (P, t) v➞(P, t) . N d S δ t .

surface S fermée fixe délimitant V

Ce qui nous donne une équation intégrale de conservation de la masse en égalant les deux expressions de δ m : ∂ r (M, t) d t ∂t volume V fixe ➞

➞

➞

r (P, t) v➞(P, t) . d S = 0 ,

+

surface S fermée fixe délimitant V ➞

avec d S = N d S et N orientée vers l’extérieur de la surface fermée.


Le bilan d’évolution de la masse contenue dans un volume fixe V sans source (doc. 7) se traduit par l’équation intégrale de conservation de la masse : (M, t) d t

= – Dm, sortant ,

P

volume V

M

soit : (M, t) d t volume V fixe

➞

(P, t) v➞(P, t) . N d S = 0

+ surface S fermée fixe délimitant V

s’il n’existe aucune source dans ce volume. Pour s’entraîner : ex. 6 et 7.

34

N

S fermée

v (P, t)

V

Doc. 7. Bilan de masse associé à un volume de contrôle V fixe.

2. Conservation de la masse 2.2. Équation générale dans un milieu avec sources S’il existe des sources (situées dans le volume de contrôle V ) caractérisées par un débit massique algébrique Dm, sources , l’augmentation de masse δ m du volume V correspond à la masse de fluide qui a traversé la surface fermée S de l’extérieur vers l’intérieur pendant le temps δ t (c’est-à-dire que δ m1 = – Dm, sortant δ t), augmentée de la quantité δ m2 = Dm,sources δ t . Elle s’exprime donc : ➞

r (P, t) v➞(P, t) . N d S δ t + Dm, sources δ t .

δm = –


Ce qui nous donne donc une équation intégrale de conservation de la masse : ∂ r (M, t) d t + ∂t volume V ➞

➞

r (P, t) v➞(P, t) . N d S = Dm, sources

surface S fermée délimitant V

➞

➞

avec d S = N d S et N orientée vers l’extérieur de la surface fermée. Le bilan d’évolution de la masse contenue dans un volume fixe V (de contrôle), contenant des sources, se traduit par l’équation intégrale de conservation de la masse : (M, t) d t soit :

volume V

(M, t) d t volume V

= – Dm, sortant + Dm, sources ,

+

➞

(P, t) v➞(P, t) . N d S = Dm, sources .



Dm, sources , le débit massique des sources situées dans le volume V, est défini de manière algébrique.

2.3. Cas d’un régime stationnaire : conservation du débit massique En régime permanent indépendant du temps (ou stationnaire), nous avons : ∂ρ =0 ∂t (r ne dépend pas explicitement du temps : r (M, t) = r (M)). L’équation de conservation de la masse s’écrit donc : Dm, sortant = Dm, sources . Il y a conservation du débit massique : tout ce qui arrive dans le volume V (ou en part) doit traverser la surface fixe délimitant ce volume.

35


Application

1

Conservation du débit dans une tuyère isentropique La détente d’un gaz dans une tuyère est assimilée à un écoulement isentropique de gaz parfait de coefficient caractéristique γ . Le régime de fonctionnement est permanent. Le gaz entre dans la tuyère à la vitesse v➞0 , température T0 , avec la masse volumique ρ0 . À la sortie, la température du gaz est T1 . S On note α = 1 le rapport des actions de la tuyère en S0 entrée et en sortie. Quelle est la vitesse v➞1 du gaz en sortie de tuyère ? On suppose les champs de vecteurs v➞0 et v➞1 uniformes respectivement sur les surfaces d’entrée et de sortie.

PV γ = cte ou TV γ

Pρ – γ = cte ou T ρ 1 – γ = cte. La deuxième expression nous indique : 1 T ρ1 = ρ0 0 1 – g . T1 En régime permanent, le débit massique est conservé le long de la tuyère (sans injection de carburant dans celleci, ce qui est parfois le cas), donc :

ρ1 S1 v1 = ρ0 S0 v0. Ce qui nous donne :

vt 1 vt 0

v1 =

T1

entrée

Doc. 8. Étude d’une tuyère.

3

sortie

Bilan de masse : forme locale

3.1. Équation générale Nous avons vu précédemment que l’équation de conservation de la masse dans un milieu sans source s’écrit :


∂ r (M, t) d t + ∂t volume V ➞

➞

r (P, t) v➞(P, t) . N d S = 0


avec N la normale à la surface fermée orientée vers l’extérieur. Le théorème d’Ostrogradski (cf. Annexe) nous permet de transformer la deuxième intégrale et l’équation de conservation prend la forme : ∂ ρρ(M, t) + div( ρρ(M, t) v➞(M, t)) dττ = 0 . ∂t volume V

Cette égalité est vérifiée quel que soit le volume V de contrôle fixe. Nous en déduisons une relation locale, c’est-à-dire vérifiée en tout point M du fluide : ∂ r (M, t) + div(r (M, t) v➞(M, t)) = 0 , soit ∂ r (M, t) + div ➞ j (M, t) = 0 . ∂t ∂t

36

– 1 = cte.

1 Ramenée à l’unité de masse, pour laquelle V = , cette r loi s’écrit :

S1

S0 T0

L’écoulement est isentropique, donc en utilisant la loi de Laplace :

v0 T . 1 T0 α

1 γ–1

.

2. Conservation de la masse L’équation locale de conservation de la masse dans un milieu sans source s’écrit : (M, t) + div( (M, t) v➞(M, t)) = 0 ou t

➞ (M, t) + div j (M, t) = 0 . t

Remarque Ces équations sont formellement identiques à celles obtenues en électromagnétisme sur la conservation de la charge : ∂ r + div ➞ j=0, ∂t ➞ où r est la densité volumique de charges et j le vecteur densité volumique de courant. Une autre forme de l’équation locale de conservation de masse s’obtient en développant div(rv➞) sous la forme : —➞ div(rv➞) = r div v➞ + grad r . v➞ ∂ r ➞ —➞ Dr et sachant que (dérivation particulaire), nous en dédui+ v . grad r = ∂t Dt sons l’équation locale de conservation de la masse dans un milieu sans source. L’équation locale de conservation de la masse dans un milieu sans source s’écrit : D + div v➞ = 0 . Dt

Posons-nous la question suivante : un fluide est-il incompressible si pour un écoulement donné nous avons div v➞ = 0 ? Dr La condition div v➞ = 0 impose que = 0 , c’est-à-dire que localement autour Dt d’une particule de fluide que nous suivons au cours de sa trajectoire, la masse volumique est constante et égale par exemple à r1 . Mais rien ne nous permet de savoir si au voisinage d’une autre particule de fluide, la masse volumique prend la même valeur r1 (doc. 9). Le fluide n’est donc pas nécessairement incompressible, mais nous parlerons d’écoulement incompressible (cf. § 4).

3.2. Cas du régime stationnaire : conservation du débit massique En régime stationnaire (ou permanent indépendant du temps),

∂r =0. ∂t

pour cette particule de fluide ρ = ρ 1 au cours de son déplacement

trajectoires

Nous obtenons donc div(r v➞) = 0 . Nous savons par ailleurs (cf. Annexe) qu’un champ de vecteurs à divergence identiquement nulle est aussi à flux conservatif, soit : ➞

div(r v➞) = 0 , d’où

r v➞ . d S = 0 ; S

nous retrouvons alors la conservation du débit massique Dm en régime stationnaire.

pour cette particule de fluide ρ = ρ 2 au cours de son déplacement

Doc. 9. Écoulement incompressible : la dérivée particulaire de r est nulle : Dr =0. Dt

37


Remarque


Lors d’un écoulement stationnaire (ou permanent ou indépendant du temps), sans source, le débit massique Dm se conserve. Le vecteur courant de masse ➞ j (M, t) est à flux conservatif : ➞

div( j (M, t)) = 0 ou div( (M, t) v➞(M, t)) = 0 .

4

Écoulement incompressible

4.1. Définition Un écoulement est incompressible si la masse volumique r d’une particule Dr de fluide se conserve au cours de son évolution : = 0. Dt Notons que la particule considérée doit être suivie au cours du temps, alors qu’elle se déplace : c’est bien la dérivée particulaire qu’il faut ici employer.

4.2. Critère d’incompressibilité Pour les écoulements de liquides, par nature très peu compressibles, ce modèle d’écoulement semble très raisonnable. Dans le cas de gaz, il apparaît nettement plus contestable. De fait, il est possible de considérer un écoulement de fluide comme incompressible si sa vitesse reste notablement inférieure à la vitesse du son dans le fluide (cf. chapitre 4, § 4.1.). Pour une voiture roulant à 100 km/h = 36 m.s–1, le modèle incompressible est finalement assez adapté à la description de l’écoulement d’air autour de la carrosserie puisque la vitesse du son est de l’ordre de 340 m.s–1. Pour un avion de ligne volant à 800 km/h = 290 m . s–1, le modèle incompressible devient, en revanche, plus contestable : l’avion est encore subsonique, mais pas de beaucoup. Le modèle d’écoulement incompressible est généralement bien adapté à la description d’un fluide de vitesse très inférieure à la vitesse du son. © Hachette Livre, H-Prépa Mécanique des fluides, 2e année, PC et PSI, La photocopie non autorisée est un délit.

4.3. Conservation de la masse et incompressibilité Un écoulement incompressible satisfait : 0=

D r ∂ r ➞ —➞ = + v . grad r . Dt ∂t

D’autre part, la conservation de la masse impose : 0=

∂r ∂r ➞ + div (rv➞ ) = + v . grad r + r div v➞ . ∂t ∂t

La soustraction membre à membre de ces deux équations nous permet d’affirmer : Un écoulement incompressible est caractérisé par un champ de vitesses de divergence nulle : div v➞ = 0.

38

2. Conservation de la masse

2

Application

Écoulements incompressibles Montrer que les champs des vitesses suivants vérifient la condition div(v➞(M, t)) = 0 : K(t) ➞ ➞ e en coordonnées cylindriques ; a) v (M, t) = r r K(t) ➞ b) v➞(M, t) = er en coordonnées sphériques. r2 On donne : ➞ 1 ∂ 1 ∂Aθ ∂Az • div A = (rAr) + + en coordonnées r ∂θ ∂z r ∂r cylindriques. ➞ 1 ∂ 2 1 ∂ (r Ar) + (sin θ Aθ) + • div A = 2 r sin θ ∂θ r ∂r 1 ∂Aϕ r sin θ ∂ϕ en coordonnées sphériques. a) Coordonnées cylindriques : 1 ∂  K (t )  div(v➞(M, t)) = r = 0. r ∂r  r 

Remarque Le seul champ de vecteur de la forme f (r)e➞r en coordonnées cylindriques, qui vérifie div v➞ = 0 , est bien de K ➞ la forme e (r ≠ 0). En r = 0 (donc sur l’axe (Oz)) r r existent des sources. b) Coordonnées sphériques : div(v➞(M, t)) =

1 ∂  2 K (t )  r = 0. r2  r 2 ∂r 

Remarque Le seul champ de vecteur de la forme f (r)e➞r en coordonnées sphériques, qui vérifie div v➞ = 0 , est bien de K la forme 2 e➞r (r ≠ 0). En r = 0 (donc en O) existe r une source (cf. Application 3).

4.4. Débit volumique

Le champ v➞ de l’écoulement incompressible est de divergence nulle, donc à flux conservatif : ➞ div v➞ = 0 donc v➞ . dS = 0. Σ

➞

dS2

Appliquée à un tube de courant (les parois sont parallèles à v➞ ), cette intégrale indique (doc. 10), pour les sections S1 et S2 du tube : ➞

Σ1

➞

dS1

Σ2


➞

(S 2)

➞

v➞ . dS2 .

v➞ . dS1 = ➞

Nous savons que j m = ρv est le vecteur densité de flux de masse : son flux indique ➞ la valeur du débit massique Dm. De même, jv = v➞ n’est autre que le vecteur densité de flux de volume : son flux indique le volume de fluide qui traverse une surface donnée, c’est-à-dire le débit volumique Dv. Pour un écoulement incompressible, le débit volumique Dv = conservé le long d’un tube de courant.

(S 1)

Doc. 10. Tube de courant.

➞

v➞ . dS est S

Remarque : Comme l’illustre l’application suivante, cette propriété n’est absolument pas liée au caractère permanent ou non de l’écoulement. Comme pour le débit massique, la présence de sources de volume (injection d’eau dans un écoulement,…) modifiera le bilan local (div v➞ = 0) ou le bilan intégral (Dv (tube) = (cte) qu’il faudra corriger en conséquence.

39


Application

3

Écoulement non stationnaire à symétrie sphérique d’un fluide incompressible Soit un immense réservoir (de dimensions infinies !) sans source. En son centre O existe une sphère de rayon a(t) variable au cours du temps (doc. 11). Les vitesses du fluide incompressible sont supposées radiales, c’està-dire : v➞(r➞, t) = v (r, t) e➞r . 1) Quelle est l’expression de v➞ (a, t) ? 2) Donner l’expression du champ des vitesses de ce fluide. 3) Calculer l’accélération d’une particule de fluide. z

O

M

y

x

Doc. 11. Étude du champ des vitesses d’un fluide au sein duquel existe une sphère de rayon a(t) variable au cours du temps.

1) Une particule en contact avec la sphère de rayon a(t) da ➞ da ➞ er . : v (a, t) = aura pour vitesse dt dt 2) Le fluide étant incompressible, le vecteur vitesse : ➞ ➞ v➞(r , t) = v (r, t) er est à flux conservatif, c’est-à-dire qu’à une date t donnée le débit volumique Dv(t) (donc le flux de ce vecteur) est indépendant du choix de la surface fermée entourant la sphère de rayon a . Cette dernière joue ici le rôle d’une source :

Remarque : Dès que nous sommes en présence d’un écoulement de fluide incompressible ayant la symétrie sphérique, nous pourrons écrire (en r ≠ 0) : K(t) ➞ v➞(r➞, t) = er r2 3) L’accélération d’une particule de fluide est égale à : Dv➞

 ∂  a ′(t ) a 2 (t )  a ′(t ) a 2 (t ) ∂  a ′(t ) a 2 (t )   ➞ =  +  er , D t  ∂ t  r 2  ∂ r  r 2   r2  a ′′(t ) a 2 (t ) 2 a ′ 2 (t ) a(t ) a ′ 2 (t ) a 4 (t ) = + −2 2 2 r r r5 

➞

S, fermée


➞  er . 

Remarquons que pour r = a , nous avons bien :

v➞ N dS = Dv, source .

Dv(t) =

d a K(t) da , nous obtenons : = dt dt a2 2 d a a (t) ➞ v➞(r, t) = er . d t r2

Sachant que v ( a, t ) = d’où :

v(r, t)er r

La vitesse étant radiale, calculons son flux à travers une sphère de rayon r : cette expression se limite au produit de v (r, t) par la surface de la sphère 4 π r2 (la vitesse v➞(M, t) est en tout point perpendiculaire à cette surface) : Dv(t) = 4 π r2v (r, t) , soit : Dv(t) ➞ K(t) ➞ v➞(r, t) = er = 2 er . 4 π r2 r

Dv➞ = a′′(t) e➞r . Dt

4.5. Écoulement incompressible et lignes de courant Pour un tube de courant qui se resserre, la conservation du débit volumique de l’écoulement incompressible implique une accélération convective de celui-ci ; la section diminue, donc la vitesse augmente. Illustrons cette propriété par les exemples suivants. 4.5.1. Exemple 1 Écoulement d’un fluide autour d’une sphère de rayon a (doc. 12). Le tracé des lignes de courant nous indique que le champ est plus intense en module au voisinage de la sphère aux points A et B, qu’à l’infini. Ceci est en accord avec l’expression du champ des vitesses :

40

v 0 (1 −

C

D B

3

a ) cos θ r3 v = a3 – v 0 (1 + 3 )sin θ 2r ➞

A

Doc. 12. Écoulement autour d’une sphère. En C et D, la vitesse est nulle.

2. Conservation de la masse Le module du champ est maximum pour r = a : 3 π π v = v 0sin q, avec q = (ou – ). 2 2 2 4.5.2. Exemple 2 :

D

C

Écoulement d’un fluide autour d’un cylindre de rayon a en rotation (doc. 13 a et b). Le tracé des lignes de courant nous indique que le champ est plus intense en module au voisinage du cylindre en A qu’en B. Ceci est en accord avec l’expression du champ des vitesses : a2 ) cos θ r2 v➞ = a2 – v 0 (1 + 2 )sin θ + G 2πr r

Doc. 13a. Écoulement autour d’un cylindre (G = 0). En C et D, la vitesse est nulle.

v 0 (1 −

(avec G > 0) C

Intéressons-nous à la vitesse du fluide sur le cylindre (r = a) :

v(q =

π 2

)

π , la vitesse est égale à v(q = – 2

= – 2v 0 +

π 2

)

= 2v 0 +

C . Nous avons bien v (q = – 2πa



D

G . 2πa

vq = – 2v 0 sin q + Pour q = –

B

π 2

G , et pour q = π , 2 2πa

>v q =  .

)

(

π 2

)

A

Doc. 13b. Écoulement autour d’un cylindre (G ≠ 0). En C et D, la vitesse est nulle.

Dans un écoulement à flux de vitesse conservatif (div(v➞) = 0), les zones où les lignes de courant se resserrent sont des zones de vitesse « élevée ».

4.6. Écoulements permanents, incompressibles et homogènes Il est, a priori, important de bien distinguer les écoulements permanents et les écoulements incompressibles. Un écoulement permanent de gaz dans une tuyère se fait à débit de masse uniforme, mais peut être à vitesse et masse volumique variables. Un écoulement d’eau s’effectue à débit volumique conservé, celui-ci pouvant fluctuer dans le temps.


4.6.1. Écoulement permanent • Les caractéristiques de l’écoulement ne dépendent pas du temps, en particulier : ∂ρ = 0. ∂t ➞ • La conservation de la masse impose : div (ρv ) = 0. • Le débit massique Dm est conservé. 4.6.2. Écoulement incompressible Dρ • La masse volumique se conserve au cours de l’écoulement : = 0. Dt • La conservation de la masse impose div (v➞ ) = 0. • Le débit volumique Dv est, à un instant donné, conservé. Dans de nombreuses expériences, l’écoulement est incompressible, le fluide étant ➞ initialement homogène : ρ(r , t) = ρ0 à t = 0.

41


La conservation de la masse volumique au cours de l’écoulement permet d’assurer l’homogénéité du fluide à tout instant ultérieur : ρ devient ici une simple constante. Un écoulement d’eau dans une conduite d’air autour d’un profil de planeur (très subsonique) en sont des exemples. Pour de tels écoulements l’incompressibilité est explicite, mais nous avons aussi div (ρv➞ ) = ρ0 div (v➞ ) = 0. Pour un tel écoulement, débits volumique et massique sont conservés, à un instant donné, avec Dm = ρ 0 Dv . Attention, l’écoulement homogène n’est peut-être pas permanent : Dm et Dv, conservés à un instant donné le long d’un tube de courant, peuvent ici évoluer au cours du temps.

CQFR ●

DÉBIT MASSIQUE ➞

➞

j (P, t) . N d S .

• Le débit massique à travers S vaut Dm = surface S non fermée

• Le débit massique sortant (algébrique) vaut Dm =

➞

➞

➞

j (P, t) . N d S avec j (P, t) = r (P, t) v➞(P, t) la densité

surface S fermée

volumique de courant de masse. ●

BILAN DE MASSE

• Le bilan d’évolution de la masse contenue dans un volume fixe V sans source se traduit par l’équation intégrale ∂ r (M, t) de conservation de la masse d t = – Dm, sortant , soit : ∂t volume V


∂ r (M, t) dt ∂t volume V fixe

+

➞

r (P, t) v➞(P, t) . N d S = 0 .


• Le bilan d’évolution de la masse contenue dans un volume fixe V (de contrôle), contenant des sources, se traduit par l’équation intégrale de conservation de la masse : ∂ r (M, t) d t = – Dm, sortant + Dm, sources , ∂t volume V

∂ r (M, t) dt ∂t

soit : volume V

42

+

➞

r (P, t) v➞(P, t) . N d S = Dm, sources .



CQFR Dm, sources le débit massique des sources situées dans le volume V est défini de manière algébrique. • En régime stationnaire, ainsi que pour un fluide incompressible, le débit massique Dm, sortant à travers la surface S délimitant le volume V est égal au débit massique des sources Dm, sources situées dans ce volume. S’il n’existe aucune source dans ce volume (Dm, sources = 0), alors le débit massique Dm, sortant à travers la surface S délimitant le volume est nul : Dm,sortant = 0 . • L’équation locale de conservation de la masse dans un milieu sans source s’écrit : ∂ r (M, t) ∂ r (M, t) ➞ + div(r (M, t) v➞(M, t)) = 0 ou + div j (M, t) = 0 ∂t ∂t Dr + r div v➞ = 0 . Dt

ou encore :

• Lors d’un écoulement stationnaire (permanent indépendant du temps), sans source, le débit massique Dm se ➞ conserve. Le vecteur courant de masse j (M, t) est à flux conservatif : ➞

div ( j (M, t)) = 0 ou div(r (M, t) v➞(M, t)) = 0 . ●

ÉCOULEMENT INCOMPRESSIBLE

• Un écoulement est incompressible si la masse volumique ρ d’une particule de fluide se conserve au cours de son évolution : Dρ =0. Dt • Le modèle d’écoulement incompressible est généralement bien adapté à la description d’un fluide de vitesse très inférieure à la vitesse du son. • Un écoulement incompressible est caractérisé par un champ de vitesse de divergence nulle : ➞ div v = 0 . ➞

v➞ . dS est conservé le long d’un tube de courant.

• Pour un écoulement incompressible, le débit volumique Dv = S ➞


• Dans un écoulement à flux de vitesse conservatif (div(v ) = 0), les zones où les lignes de courant se resserrent sont des zones de vitesse « élevée ».

43

Contrôle rapide Avez-vous retenu l’essentiel ? ✔ Définir le débit massique à travers une surface S. ✔ Savoir établir un bilan de masse, avec et sans sources. ✔ Savoir écrire l’équation locale de conservation de la masse dans un milieu sans source. ✔ Que se passe-t-il dans les cas particuliers suivants : – l’écoulement est incompressible ? – l’écoulement est stationnaire ?

Du tac au tac (Vrai ou faux) 1. L’équation locale de conservation de la masse s’écrit : ∂r ∂r ➞ ❑ b. + ρ div v➞ = 0 ❑ a. = div (ρv ) ∂t ∂t ❑ d.

Dr ➞ + div (ρv ) = 0 Dt

❑ e.

❑ c.

∂r + div (ρv➞ ) = 0 ∂t

Dr = – ρ div v➞ Dt

➞

2. Un fluide vérifiant div v = 0 : ❑ a. a un débit massique constant. ❑ b. a un débit volumique constant. ❑ c. a des lignes de courant qui s’écartent dans les zones de vitesse élevée. ❑ d. a des lignes de courant qui se resserrent dans les zones de vitesse élevée. ❑ e. a des lignes de courant parallèles.


3. Si l’écoulement est stationnaire, alors nécessairement : ∂r ∂ v➞ ➞ D v➞ ➞ ❑ b. =0 ❑ a. = 0 et =0 ∂t ∂t ∂t

❑ c. div v➞ = 0 et

∂r =0 ∂t

4. Pour un écoulement permanent : ❑ a. le débit volumique est parfois conservé. ❑ b. le débit massique est parfois conservé. ❑ c. l’accélération est nulle. ❑ d. la masse volumique se conserve le long de l’écoulement. 5. Pour un écoulement incompressible : ❑ a. s’il est initialement inhomogène, il le restera. ❑ b. le débit volumique se conserve au cours du temps. ➞ ❑ c. la conservation de la masse est assurée par div v = 0. ❑ d. ce modèle est bien peu réaliste pour les écoulements gazeux. Solution, page 46.

44

Exercices Écoulement de fluide incompressible dans une tuyère Soit un écoulement de fluide incompressible dans une conduite possédant un rétrécissement. La section diminue de S1 vers S2 . La vitesse du fluide est supposée uniforme sur une section, v1 au niveau de S1 et v2 au niveau de S2 .

et en sortie, loin de la plaque de séparation, la vitesse du fluide est V3 . Calculer V3 en fonction de V1 et V2 . Examiner le cas parV1 ticulier où V2 = . Dessiner l’allure des lignes de courant 2 dans ce cas particulier. V1

Quelle relation lie v1 , v2 , S1 et S2 ? Conclure.

V3

Décrire les lignes de courant. V2

S1

S2

v1

v2

V1 V3 V2

Conservation du débit massique

v➞(r, q, t) =

Dv(t) ➞ e . 2πr r

Calculer le débit massique Dm(t) à travers un cylindre d’axe (Oz), de rayon r et de hauteur h. Conclure.

Étude d’une source Soit un écoulement de fluide incompressible dont le champ des vitesses en formalisme eulérien est donné en coordonnées cylindriques par : v➞(r, q, t) =

Dv(t) ➞ e . 2πr r

Champ des vitesses d’un fluide incompressible Écrire le champ des vitesses d’un fluide incompressible (de masse volumique ρ) émis, avec un débit massique Dm (dépendant ou non du temps), par une source linéique de hauteur h confondue avec l’axe (Oz) (doc. ci-dessous) sachant que les particules sont émises perpendiculairement au fil, c’est-à-dire ➞ ➞ que : v➞(r , t) = v (r, t) er . Calculer l’accélération d’une particule de fluide. y

M

fil émettant un débit volumique Dm(t) sur une hauteur h

Montrer qu’il existe une source sur l’axe (Oz).

O

θ z


Soit un écoulement de fluide incompressible dont le champ des vitesses en formalisme eulérien est donné en coordonnées cylindriques par :

v(r, t)er

x

Écoulement de fluide incompressible Soit un écoulement de fluide incompressible à travers un cylindre de section S, muni d’une plaque de séparation, délimitant la section du cylindre en deux parties égales. À l’entrée du cylindre, les vitesses du fluide sont V1 et V2 ,

*

Propagation d’un front d’onde

Soit un écoulement de fluide à vitesse constante u dans un tuyau supposé indéformable de section S.

45

Exercices À l’aide d’un robinet, on arrête brutalement cet écoulement : une zone de discontinuité de pression et de masse volumique remonte alors le tuyau. Exprimer les relations de conservation de la masse :

vitesse du front d’onde = c

a) en se plaçant dans le référentiel fixe ; b) en se plaçant dans le référentiel lié à la zone de discontinuité.

h1 vitesse du fluide = u vitesse du fluide nulle

u

h2

le fluide se déplace à la vitesse u : (ρ1 , P1)

robinet

section S c dans cette zone le fluide est immobile (ρ2 , P2)

*

* Équation de conservation de la masse dans un tuyau de section variable

u

zone de discontinuité qui « remonte la canalisation à la vitesse c » vers la droite

Propagation d’une vague

On modélise une vague de la manière suivante. Le front de la vague avance à la vitesse c . Le fluide incompressible, atteint par la vague, a la vitesse u , alors que celui encore non atteint par la vague est immobile.

Soit un écoulement de fluide compressible. En un point de cote x , à la date t , la masse volumique du fluide est notée r (x, t) et sa vitesse u➞(x, t) = u (x, t)e➞x . Cet écoulement s’effectue dans un tuyau de section S(x, t) lentement variable en fonction des coordonnées d’espace et du temps. Étudier l’équation différentielle liant ces diverses grandeurs. section du tuyau S(x, t)

vitesse du fluide

Écrire l’équation de conservation de la masse de différentes manières :

u = u(x, t)ex

a) dans le référentiel lié au sol ; b) dans le référentiel lié au front de la vague. 0

x

x


Corrigés Solution du tac au tac, page 44. 1. Vrai : c, e ; Faux : a, b, d Faux : c ; 2. Vrai : b, d ; Possible : e, a

Sachant que S2 < S1 , on obtient v2 > v1 . 3. Vrai : a ; Faux : b, c 4. Vrai : a ; Faux : b, c, d 5. Vrai : a, c ; Faux : b, d

Les lignes de courant seront donc plus resserrées dans la section S2 que dans la section S1 . S2

Le fluide étant incompressible, on a conservation des débits massique et volumique : Dv = S1v1 = S2v2 et Dm = rDv = rS1v1 = rS2v2 .

46

S1

v1


À une date t donnée, le flux de rv➞(M, t) = rvr (r,t) e➞r à travers un cylindre d’axe (Oz), de rayon r et de hauteur h (doc. 1) est donné par :

Le fluide étant incompressible, les débits massiques, à travers toute surface fermée (doc. 1) entourant l’axe (Oz), sont identiques. En effet, la masse de fluide située entre ces surfaces ne varie pas dans le temps, et dans cet espace, il n’y a pas de sources.

D (t) Dm(t) = r vr (r, t)2 π r h = r v 2 π r h = r h Dv(t) . 2πr z

y

cylindre de rayon r et de hauteur h

O

Σ

Σ’ x

O

y

ρ v (r, t)er

Doc. 1. Les débits massiques (sortants) à travers les surfaces S et S ′ sont identiques (il existe une source située en O).

x Doc. 1. Le flux sortant du vecteur densité volumique de courant de masse r v (r, t) e➞r à travers ce cylindre fermé est égal à r 2 π r h v (r, t) . La contribution des surfaces de base du cylindre est nulle, car v➞(M, t) est perpendiculaire à la normale à ces surfaces (± e➞z).

Il n’en est pas de même pour des surfaces n’entourant pas l’axe (Oz), ainsi (doc. 2) le débit massique à travers la surface S est nul, alors que celui à travers S ′ est égal à Dm, sources . y

Ce débit massique est indépendant du rayon r du cylindre : les débits massiques à travers deux cylindres (doc. 2) de rayon r et r ′ (hauteur h) sont donc identiques. La masse de fluide située entre ces deux cylindres ne varie pas dans le temps : ceci est en relation avec l’incompressibilité du fluide (ρ = cte). Remarquons que le fluide étant incompressible, il ya aussi conservation du débit volumique.

r’ r

Σ

Σ’ O

x

Doc. 2. Le débit massique (sortant) à travers la surface S est nul, alors que celui à travers S ′ est égal au débit massique de la source située en O.

V +V S S V1 + V2 = SV3 , soit V3 = 1 2 . 2 2 2 Doc. 2. La masse de fluide située entre les deux cylindres de rayon r et r ′ (hauteur h) ne varie pas dans le temps (r = cte), donc les débits massiques à travers ces deux cylindres sont identiques.

Nous avons vu dans l’exercice 2 que cet écoulement est caractérisé par un débit massique : D (t) Dm(t) = r v (r, q, t)2 π r h = r v 2 π r h = r h Dv(t) , 2πr indépendant du rayon r du cylindre (hauteur h). Sachant que le fluide est incompressible, cela signifie qu’il existe une source de débit massique Dm, sources(t) = r h Dv(t), située sur l’axe (Oz) (en appliquant le bilan précédent).

Dans le cas où V2 =

V1 3V , on obtient V3 = 1 . 2 4

On considère des tubes de courant tels que le flux du vecteur vitesse soit une constante indépendante du tube de courant choisi et on appelle δv ce flux (débit volumique du tube de courant choisi). Si dans la partie de vitesse V1 , le nombre de tubes de courant est N1 , N2 dans la partie de vitesse V2 et N3 dans la partie de vitesse V3 , alors : 3SV S S SV V1 = N1δv V2 = 1 = N2δv et SV3 = 1 = N3dv , 2 2 2 2 4 N1 3 N1 soit N2 = et N3 = . On vérifie que N1 + N2 = N3 . 2 2 Les relations précédentes permettent de trouver une allure des lignes de champ pour un tuyau de section carrée.

47


Le fluide étant incompressible, on a conservation du débit volumique, d’où :

Corrigés L’accélération d’une particule de fluide est égale à : ➞

Dv V1

➞ =  ∂  K (t )  + K (t ) ∂  K (t )   e r

∂t  r 

Dt 3V1 4

V1 2

r ∂r  r 

=  K ′(t ) + K (t )  − K (2t )   e➞r ,  r 

r 

r  

soit : ➞

Dv

zone perturbée où apparaissent des forces de viscosité

Dt

 2 π ρ h r

indépendant du choix de la surface fermée, entourant l’axe (Oz), à travers laquelle l’ensemble du fluide s’écoule : il est égal à Dm(t) .

z

fil de hauteur h émettant le débit massique Dm(t)

r





2  ➞ =  Dm′ (t ) 1 − Dm (t ) 2 13  e r .

Le fluide étant incompressible, à une date t donnée, le débit massique est

La vitesse étant radiale, prenons comme surface fermée un cylindre de hauteur h et de rayon r . La contribution au débit massique des surfaces de base de ce cylindre est nulle : la vitesse v➞(M, t) est dans le plan de la surface (doc. ci-dessous).

2 ➞  =  K ′(t ) − K 3(t )  e r r

(2 π ρ h )

r 

a) On se place dans le référentiel fixe. Soit une surface fermée fixe constituée de la surface latérale du tuyau et des deux surfaces S1 et S2 . L’augmentation de masse δ m (pendant δ t) à l’intérieur du volume délimité par cette surface est égale à la masse entrante à travers cette surface pendant le même temps δ t .

cylindre de rayon r et de hauteur h

la zone de discontinuité se propage à la vitesse c

Σ2

O

y

Σ1 u

u=0 ( ρ 2 , P 2) 0

Le flux sortant du vecteur r v (r, t)e➞r à travers ce cylindre fermé est égal à r2π rhv (r,t) . La contribution des surfaces de base du cylindre est nulle, car v➞(M,t) est perpendiculaire à la normale à ces surfaces. © Hachette Livre, H-Prépa Mécanique des fluides, 2e année, PC et PSI, La photocopie non autorisée est un délit.

date t

v (r, t)er

x

Le débit massique se limite donc au produit de r v (r, t) par la surface latérale 2 π r h du cylindre : en effet, la vitesse v➞(M, t) est en tout point perpendiculaire à cette surface. Soit Dm(t) = r 2 π r h v (r, t) , ce qui nous donne :

v➞(r➞, t) =

Dm(t) 1 ➞ er . 2πrh r

Remarque Dès que nous sommes en présence d’un écoulement de fluide incompressible ayant la symétrie cylindrique, nous pourrons écrire : K(t) ➞ e pour r ≠ 0 v➞(r➞, t) = r r (seule existe une source en coïncidence avec l’axe (Oz) ; r = 0).

48

(ρ1 , P1)

x

c δt

Σ2

Σ1 u=0

( ρ 2 , P 2)

u (ρ1 , P1)

date t + δt

L’augmentation de masse à l’intérieur du volume s’écrit : δ m = m(t + δ t) – m(t) δ m = (r2 – r1) S c δ t . Le débit massique entrant à travers S1 vaut Dm1, entrant = + r1 S u . Le débit massique entrant à travers S2 vaut Dm2, entrant = 0 . Sachant que δ m = (Dm1, entrant + Dm2, entrant ) δ t , on obtient la relation : (r2 – r1) S c δ t = + r1 S u δ t , soit (r2 – r1) c = r1 u . b) On se place dans le référentiel lié à la discontinuité. Soit une surface fermée fixe constituée de la surface latérale du tuyau et des deux surfaces S1 et S2 . La variation de masse à l’intérieur de cette surface est nulle. En effet, en tout point de l’espace, la masse volumique ne dépend pas explicitement du temps. Dans ces conditions, le débit massique à travers la surface délimitant ce


volume est nul.

égale à la masse entrante à travers cette surface pendant le même temps δ t.

Dans la zone 1, la vitesse du fluide est égale à c + u en module, donc le débit sortant à travers S1 est égal à Dm1, sortant = – r1 S (c + u) .

Soit L la dimension transversale de l’écoulement. L’augmentation de masse à l’intérieur du volume s’écrit δ m = r(h1 – h2) L c δ t . Le débit massique entrant à travers S1 vaut : Dm1, entrant = r h1 L u . Le débit massique entrant à travers S2 vaut : Dm2, entrant = 0 . Le débit massique entrant à travers S3 vaut : Dm3, entrant = 0 .

Dans la zone 2, la vitesse du fluide est égale à c en module, donc le débit sortant à travers S2 est égal à Dm2, sortant = r2 S c . Sachant que Dm1, sortant + Dm2, sortant = 0 , on obtient r2 S c = r1 S (c + u) , soit : r2 c = r1 (c + u) , donc (r2 – r1) c = r1 u . la zone de discontinuité est immobile (ρ2 , P2)

dans cette zone, le fluide se déplace à la vitesse c vers la gauche

(ρ1 , P1)

Sachant que δ m = (Dm1, entrant + Dm2, entrant + Dm3, entrant ) δ t , on obtient : r(h1 – h2) L c δ t = r h1 L u δ t , soit (h1 – h2) c = h1 u .

Σ1

zone 1

x dans cette zone, le fluide se déplace à la vitesse c + u vers la gauche

0

b) On se place dans le référentiel lié au front de la vague. Soit une surface fermée fixe constituée du sol, des deux surfaces S1 et S2 , et de la surface supérieure S3 . La variation de masse à l’intérieur de cette surface est nulle. En effet, en tout point de l’espace, la masse volumique ne dépend pas explicitement du temps. Dans ces conditions, le débit massique à travers la surface délimitant ce volume est nul. Dans la zone 1, la vitesse du fluide est égale à c – u en module, donc le débit sortant à travers S1 est égal à : Dm1, sortant = r h1 L (c – u) . Dans la zone 2, la vitesse du fluide est égale à c en module, donc le débit sortant à travers S2 est égal à : Dm2, sortant = – r h2 L c . Le flux massique à travers la surface S3 est nul, donc Dm3, sortant = 0 .

a)

Sachant que Dm1, sortant + Dm2, sortant + Dm3, sortant = 0 , on obtient : r h2 L c = r h1 L (c – u) , soit h2 c = h1 (c – u) .

vitesse du front de la vague = c

date t

vitesse du front de la vague nulle Σ3

Σ3 Σ1

Σ1 h1

vitesse du fluide = u

h1

Σ2 vitesse du fluide nulle

vitesse du fluide = c–u

h2

zone 1 cdt

vitesse du fluide égale à c

0

Σ2

zone 2

h2 x

date t + dt

Σ3 Σ1 h1

L’équation intégrale de conservation de la masse s’écrit, en considérant un u

u

vitesse du fluide = u

volume V fixe, délimité par une surface S :

Σ2 vitesse du fluide nulle

∂ r (M, t) d t + ∂t

h2 volume V

On se place dans le référentiel fixe lié au sol. Soit une surface fermée fixe constituée du sol, des deux surfaces S1 et S2 , et de la surface supérieure S3 . L’augmentation de masse δ m (pendant δ t) à l’intérieur du volume délimité par cette surface est

➞

r(P, t) v➞(P, t) . N d S = 0 .


On applique cette formule au volume de fluide situé dans une surface fermée fixe S délimitée par S1 , S2 et la surface latérale SL . L’augmentation de masse δ m (pendant δ t) à l’intérieur du volume délimité par cette surface est égale à la masse entrante à travers cette surface pendant le même intervalle de temps δ t.

49


zone 2

Σ2

Corrigés u(x + dx, t)

u(x, t + δ t)

u(x + dx, t + δ t)

ρ (x, t)

ρ (x, t + δ t)

Le débit massique total entrant est : Dm, entrant = Dm1, entrant + Dm2, entrant + DmL, entrant , ce qui donne : Dm, entrant = r(x, t) S(x, t) u(x, t) – r(x + d x, t) S(x + d x, t) u(x + d x, t)

u(x, t)

=−

Sachant que δ m = Dm, entrant δ t , on obtient :

S(x, t + δ t)

S(x, t)

∂ ( ρ ( x , t ) S ( x , t ) u( x , t ) ) d x. ∂x

∂ ( ρ ( x , t ) S ( x , t )) ∂ ( ρ ( x , t ) S ( x , t ) u ( x , t )) d x δt + d x δ t = 0, ∂t ∂x x x + dx état à la date t

x x + dx état à la date t + δ t

ce qui permet d’écrire : ∂ ( ρ ( x , t ) S ( x , t ) ) ∂ ( ρ ( x , t ) S ( x , t ) u ( x , t )) + = 0, ∂t ∂x

L’augmentation de masse à l’intérieur du volume vaut : δ m = r(x, t + δ t) S(x, t + δ t) d x – r(x, t) S(x, t) d x ,

ou

quantité qui peut s’écrire :

À l’instant t + dt , elle se retrouve entre x + udt et x + dx + u + ∂u dx dt . ∂x On peut donc écrire sa masse de deux façons différentes : • à l’instant t : dm = ρ(x , t)δ(x , t ) d x ;

Le débit massique entrant à travers S1 vaut Dm1, entrant = r S(x, t) u(x, t) . Le débit massique entrant à travers S2 vaut : Dm2, entrant = – r S(x + d x, t) u(x + d x, t) .

vitesse du fluide u = u(x + dx, t)ex

ΣL

Σ1

0

x

x + dx


Ces expressions ont bien entendu même valeur, donc par soustraction : 0 = ρ(x + udt , t + dt)δ(x + udt , t + dt) 1 + ∂u dt – ρ(x , t) δ(x , t) ; ∂x et il vient, en annulant l’ordre dt 1 : ∂δ ∂u ∂ρ ∂ρ ∂δ 0=δ +ρ + uδ + uρ + ρδ . ∂x ∂t ∂x ∂t ∂x

Σ2

Le débit massique entrant à travers SL vaut DmL, entrant = 0 .

50

• à l’instant t + dt : dm = ρ(x + udt , t + dt)δ(x + udt , t + dt) . dx 1 + ∂u dt . ∂x

surface fermée Σ

vitesse du fluide u = u(x, t)ex

∂ ρ ∂S ∂ρ ∂S ∂u + ρ + Su + ρ u + ρ S = 0. ∂t ∂t ∂x ∂x ∂x

Autre méthode Il est aussi possible d’envisager ce qui arrive à une « particule » de fluide située entre x et x + dx à l’instant t.

 1 ∂ ( ρ ( x , t ) S ( x , t ))  δm =   S( x , t ) d x δ t . ∂t  S( x , t ) 

section du tuyau S(x, t)

S

x

L’utilisation d’une surface de contrôle fixe dans le référentiel d’étude est possible : c’est la première méthode. L’utilisation d’une particule de fluide est tout aussi valable, il faut simplement tenir compte de son déplacement entre t et t + dt . C’est la deuxième méthode : nous avons considéré un système fermé.

3

Étude cinématique des fluides Topographie de quelques écoulements

Les écoulements peuvent être répertoriés selon leurs propriétés : écoulements stationnaires, incompressibles, tourbillonnaires, potentiels, ... Dans une partie plus descriptive, seront détaillés quelques modèles classiques d’écoulements où les caractéristiques précédentes se retrouvent.

O ■

B

J

E

C

T

I

F

S

Topographie de quelques écoulements.


L’examen du champ des vitesses d’un fluide (approche eulérienne du mouvement) permet de dégager des caractéristiques propres à son écoulement : dilatation, vorticité (existence possible de tourbillons), déformation.

Écoulements stationnaires, potentiels, incompressibles, tourbillonnaires, ...

■

■

Vortex, tourbillons.

P

R

É

R

E

Q

U

I

S

■

Formalisme eulérien.

■

Équation de conservation de la masse.

51


1

Caractéristiques du champ des vitesses d’un fluide

1.1. Description locale : dilatation, vorticité L’évolution d’un volume élémentaire de fluide suivi dans son déplacement permet de caractériser l’écoulement du fluide. Pour des écoulements plans, plus facilement représentables, nous observerons l’évolution d’une « surface » élémentaire de fluide. Le document 1 montre qualitativement l’évolution d’un volume élémentaire contournant un obstacle cylindrique. Les exemples ci-dessous vont permettre de dégager quelques résultats fondamentaux.

Doc. 1a. Écoulement permanent indépendant du temps (stationnaire) autour d’un cylindre : cet écoulement d’eau symétrique a lieu de la gauche vers la droite. Il peut être visualisé grâce à des filets d’huile de lin dans de l’huile de vaseline.

Doc. 1b. Simulation numérique de cet écoulement montrant l’évolution d’un volume élémentaire.

1.1.1. Évolutions élémentaires : dilatation, rotation, déformation © Hachette Livre, H-Prépa Mécanique des fluides, 2e année, PC et PSI, La photocopie non autorisée est un délit.

1.1.1.1. Exemple 1 : dilatation

 x Considérons un champ des vitesses d’un fluide de la forme v➞ = v 0 1 +  e➞x . C’est  L un écoulement unidimensionnel permanent pouvant simuler la détente d’un gaz dans une tuyère (doc. 2a). Les trajectoires sont des droites parallèles à e➞x . Une cellule de fluide, placée au point M (x, y) à l’instant t , possède une surface dx dy . x Pendant δ t , la paroi verticale d’abscisse x se déplace de v 0 1 + δ t , alors que  L la paroi d’abscisse x + d x s’est déplacée de v 0 1 + 

x + d x δt . La cellule, de larL 

 v  geur d x à l’instant t , a une largeur d x 1 + 0 δt à l’instant t + δ t .  L 

52

3. Étude cinématique des fluides. Topographie de quelques éléments

O

x1

ex

x2

x

Doc. 2a. Simulation d’un écoulement dans une tuyère.

Doc. 2b. Visualisation de la dilatation d’une cellule.

La cellule se dilate donc dans la direction de x (doc. 2b). La dilatation provient ici de la dépendance de la vitesse, colinéaire à l’axe (Ox), vis-à-vis de cette même variable x : la vitesse varie « dans sa direction ». Autrement dit, il y a, dans cet exemple, dilatation d’une cellule de fluide parce que : ∂v x ≠ 0 . Nous reviendrons sur ce point dans la suite du cours. ∂x 1.1.1.2. Exemple 2 : rotation

Considérons maintenant un champ de vitesses (doc. 3a) de la forme v➞ = A r e➞q en coordonnées cylindriques. Ce champ correspond à une modélisation du champ des vitesses à l’intérieur d’une tornade. À l’intérieur de la tornade, nous assistons à une rotation d’une cellule élémentaire de fluide (doc. 3b). 1.1.1.3. Exemple 3 : déformation

Doc. 3a. Visualisation du champ des vitesses d’un écoulement dans l’œil d’une tornade.

Doc. 3b. Mise en évidence des transformations d’une cellule lors de cet écoulement. La cellule « tourne » sans déformation.

53


Reprenons l’écoulement dans un dièdre droit de la forme v➞(– kx, ky, 0) déjà étudié au chapitre 1. L’évolution d’une cellule, de surface initiale d x d y , le long d’une trajectoire d’équation xy = x0 y0 est représentée sur le document 4.


Nous constatons une déformation de cette cellule, sans variation de surface de la cellule, ni rotation. ∂v x ∂v y + =0. Remarquons dès à présent que cet écoulement est tel que ∂x ∂y

Doc. 4a. Lignes de courant de l’écoulement bidimensionnel (dièdre droit).

Doc. 4b. Champ des vitesses du même écoulement bidimensionnel (dièdre droit).

Application

1

Doc. 4c. Déformation d’une cellule dans cet écoulement bidimensionnel (dièdre droit).

Étude d’une déformation Soit un écoulement stationnaire dans un dièdre droit dont l’expression de la vitesse en formalisme eulérien est de la forme v➞(– kx, ky, 0) , vu dans l’exemple de la déformation. Vérifier que la cellule définie précédemment garde une surface constante, en se limitant à des calculs d’ordre 1. vx ne dépendant que de x , et vy que de y , les parois de la cellule restent parallèles aux directions (Ox) et (Oy) : il n’y a pas de rotation.

Remarque L’exemple choisi montre une déformation, à surface constante, d’une cellule dont les angles restent également constants. Dans d’autres écoulements, il peut y avoir en plus une déformation angulaire (à surface constante), le rectangle devenant un losange par exemple. y k( y + dy)δt

La paroi verticale d’abscisse x se déplace de – kx δ t pendant le temps δ t , alors que la paroi verticale d’abscisse x + d x se déplace de – k(x + d x)δ t .

y + dy

La largeur initiale d x du rectangle (doc. 5) devient :

kydt


d x (1 – kδ t) . De même, la hauteur devient d y (1 + kδ t) . La surface de la cellule, à l’instant t + δ t , est donc : d S = d x (1 – kδ t) d y (1 + kδ t) ≈ d x d y en se limitant à des calculs d’ordre 1.

O

Le champ des vitesses en coordonnées cylindriques est de la forme v➞ = A r e➞q pour :

54

a2 ➞ e θ pour r > a . r

x + dx

– k(x + dx)δt x

Doc. 5. Déformation d’une cellule dans un écoulement bidimensionnel (dièdre droit).

Remarque : Soit une tornade délimitée par un cylindre vertical de rayon a . r < a , et v➞ = A

y – kxδt x


intérieur de la tornade

extérieur de la tornade

Doc. 6a. Champ des vitesses d’un écoulement à l’intérieur et à l’extérieur d’une tornade.

Doc. 6b. Mise en évidence des transformations d’une cellule lors de cet écoulement.

Remarque : Sur les documents 6, les deux domaines sont délimités par le cercle. À l’intérieur de la tornade (partie en couleur), nous assistons à une rotation d’une cellule élémentaire de fluide (doc. 6b), mais cette cellule est déformée dès que nous sommes à l’extérieur de la tornade. Deux cellules à l’intérieur (r < a) et à l’extérieur (r > a) de la tornade donnent l’impression de tourner sur elles-mêmes en sens inverse. Pour un écoulement quelconque, l’évolution d’un volume élémentaire de fluide combine trois aspects locaux vus séparément : dilatation, rotation et déformation. Sur le document 7, nous visualisons la déformation de diverses cellules de fluide lors de la simulation d’un écoulement autour d’une sphère. Sur le document 8, nous visualisons encore la déformation de diverses cellules de fluide lors de la simulation d’un écoulement autour d’un cylindre animé d’un mouvement de rotation.

Doc. 7. Écoulement d’un fluide autour d’une sphère dans un plan méridien : visualisation des déformations de diverses cellules.

Doc. 8. Écoulement d’un fluide autour d’un cylindre en rotation : nous visualisons les déformations de diverses cellules.

55


Sur ces divers exemples, nous voyons qu’après passage de la « perturbation » les cellules sont très modifiées.


L’analyse de la contribution de chaque aspect (translation, dilatation, rotation, ...) n’est pas évidente. Il est cependant possible de rattacher les phénomènes de dilatation et de rotation locales au champ des vitesses du fluide. 1.1.2. Champ des vitesses et dilatation : rôle de « div v➞ » Un écoulement tridimensionnel est supposé tel que chaque composante de vitesse ne dépend que de la coordonnée correspondante M(x, y, z) : ➞

➞

➞

z

➞

v (x, y, z, t) = vx(x, t)e x + vy(y, t)e y + vz(z, t)e z .

vz(z + dz, t)δt

Pendant le temps δ t , les parois d’une cellule de volume d x d y d z se déplacent orthogonalement à elles-mêmes (doc. 9).

vz(z, t)δt

L’arête de longueur d x du cube devient :

vx(x, t)δt M

 ∂v  d x ′ = x + d x + v x ( x + d x, t )δ t – ( x + v x ( x, t )δ t ) = d x 1 + x δ t  . ∂x  

vy(y, t)δt

vx(x + dx, t)δt

 ∂v   ∂v y  δ t  et d z ′ = d z1 + z δ t  . De même, d y ′ = d y1 + ∂z   ∂y  

x

Doc. 9. Dilatation d’un cube de fluide.

Le volume élémentaire ∆t a donc varié de δ (∆t) tel que : ∂v y ∂v z   ∂v ➞ + δ( ∆τ ) = d x ′ d y ′ d z ′ – d x d y d z ≈ ∆τ  x +  δ t = divv ∆t δ t ,  ∂x ∂y ∂z  soit

1 δ( ∆τ ) δ( ∆τ ) = divv➞ δ t ou = divv➞. δ t ∆τ ∆τ

Nous admettrons la généralité de ce calcul reliant le champ des vitesses au phénomène de dilatation (cf. Application 2 ).

Application

2

Signification physique de div v➞ Démontrer la généralité de la proposition : © Hachette Livre, H-Prépa Mécanique des fluides, 2e année, PC et PSI, La photocopie non autorisée est un délit.

1 δ( ∆τ ) = divv➞ δ t ∆τ en limitant à l’ordre un les variations des arêtes d x , d y et d z d’une cellule de volume ∆t . À la date t , nous avons ∆t (t) = d x d y d z . À la date t + δ t , nous avons : ∆t ′ = d x′ d y′ d z′ = ∆t (t + δ t) = (d x + δ(d x)) (d y + δ(d y)) (d z + δ(d z)) . ∆t (t + δ t ) − ∆t (t)  δ(d x ) δ(d y) δ(d z )  + + = δ(∆t) = d x d y d z  . dy dz   dx

56

y

vy(y + dy, t)δt

Enfin d x′ – d x = δ (d x) = (vx(x + d x, y, z, t) – vx(x, y, z, t) ) δ t =

∂v x dx δt , ∂x

et de même (doc. 10a) : d y′ – d y = δ (d y) = (vy(x, y + dy, z, t) – vy(x, y, z)) δ t =

∂vy d y δ t. ∂x d z′ – d z =

∂vz d z δ t. ∂z

D’où (doc. 10b) : δ(∆t) = ∆t divv➞ δ t .

3. Étude cinématique des fluides. Topographie de quelques éléments y v(x, y + dy, z)δ t y + dy

dy’

P

v(x, + dx, y, z)δ t

Q

P’ ∆ τ ’à t + δt ∆τ à t

v(x, y, z)δ t

y O

t)δ t v(P, t)δt

x

x + dx dx

t)δ t v(Q, t)δt

x

Q’

dx’

Doc. 10a.

PP’ = v (P, t)δt QQ’ = v (Q, t)δt

Doc. 10b. La variation de volume est telle que : δ( ∆τ ) = divv➞ δ t . ∆τ

Remarque La surface délimitant l’élément de fluide de volume ∆t se déplace avec la vitesse du fluide (volume particulaire), la masse ∆ m de cet élément de volume ∆t est donc constante. ➞ Si div v = 0 , au cours de son déplacement, le volume ∆t de l’élément de fluide ne varie pas. Comme sa masse ∆ m est constante, la masse volumique du fluide ∆m ρ= est donc constante lorsqu’on suit cet élément de volume, c’est-à-dire que ∆τ Dρ = 0. Dt Dρ = 0. Si div v➞= 0 , nous sommes en présence d’un écoulement incompressible : Dt Nous retrouvons ainsi ce qui avait été vu au chapitre 2, obtenu à partir de l’équaDρ tion de la masse écrite sous la forme +r div v➞= 0 . Dt Localement, le taux de variation relative de volume par unité de temps est égal à la divergence du champ des vitesses : )

➞

= divv .

Le champ des vitesses d’un fluide nous renseigne sur sa dilatation par l’intermédiaire de sa divergence. Si divv➞= 0 , nous sommes en présence d’un écoulement incompressible : D =0. Dt

z

ω ez

—➞ v➞ » 1.1.3. Champ des vitesses et rotation : rôle de « rot Reprenons l’exemple de la tornade (exemple 3). Le champ des vitesses proposé est identique à celui d’un solide en rotation autour d’un axe fixe (Oz) (doc. 11). Tout point M lié au solide a une vitesse de la forme v➞= w r e➞q , où w est la vitesse angulaire de rotation autour de l’axe (Oz) et r la distance du point M à l’axe (Oz). —➞ v➞ relatif au champ des vitesses de ce solide (w ne dépend pas des Calculons rot coordonnées d’espace) en tout point.


1 ( t

r S

M

eθ er

O z’

Doc. 11. Solide en rotation autour d’un ➞ ➞ ➞ — ➞ axe fixe : v (M) = w ∧ OM = w r e q .

57


En coordonnées cartésiennes : —➞ ➞ ➞ ➞ ➞ OM = x e x + y e y + z e z et w = w e z . —➞ ➞ ➞ v➞ = w➞ ∧ OM = – w y e x + w x e y ➞ ➞ —➞ ➞ rot v = 2 w e y = 2w . Le rotationnel de la vitesse en un point du solide nous donne une mesure de la vitesse de rotation du solide autour de l’axe (z z′). Ce résultat sera admis sans démonstration pour tout fluide en mouvement, en pré—➞ v➞ peut varier d’un cisant bien que, contrairement au cas du solide en rotation, rot point à un autre du fluide (des éléments de démonstration seront étudiés dans l’exercice 2). Par analogie avec le mouvement d’un solide, le vecteur tourbillon est –➞ —➞ v➞ = 2 W , et mesure la rotation (locale à la défini en tout point➞ du fluide par rot – vitesse angulaire W ) d’une particule de fluide. Localement, le champ des vitesses d’un fluide renseigne sur l’existence de tourbillons dans ce fluide par l’intermédiaire de son rotationnel. –➞ 1 —➞ ➞ Le vecteur tourbillon W = rot v mesure la rotation locale du fluide. 2

nr tube de champ

Remarque

–➞ Nous venons de définir le vecteur tourbillon sous la forme : W = 1 — rot➞ v➞. La diver2 –➞ gence d’un rotationnel étant nulle, nous avons div W = 0 . –➞ On en déduit que W représente un champ de vecteur à flux conservatif.

i i

–➞ div W dV = V

–➞ ➞ W . n dS +


S1

S1

–➞ W . n➞dS = 0 S2

–➞ –➞ W . n➞dS : W est à flux conservatif. S2

–➞ Le débit de W est constant le long du tube de champ.

–➞ On en déduit qu’un tube de champ (ou une ligne de champ) de W ne peut pas commencer ou se terminer dans le fluide. –➞ Ainsi, trois cas peuvent se présenter pour une ligne de champ W : – la ligne a une longueur infinie, même dans un volume restreint : – la ligne suit une courbe fermée : – la ligne commence et se termine aux frontières qui limitent le fluide. –➞ Dans le cas d’un écoulement plan, les lignes de champ de vecteur W sont des droites perpendiculaires à ce plan. –➞ 1 ∂vy ∂vx ➞ v➞ = vx (x, y, t) e➞x + vy (x, y, t) e➞y ⇒ W = – ez . 2 ∂x ∂y

58

S1 nr

–➞ ➞ Sur S3, W . n dS = 0. Il vient :

–➞ ➞ W . n dS = –

S3

–➞ W . n➞dS d’après le théorème d’Ostrogradski. S

i

nr

Soit S une surface fermée constituée par deux sections S1 et S2 et un tube de champ –➞ du vecteur tourbillon W , S3 . S renferme le volume V. 0=

ligne de champ tourbillonnaire

–➞

Doc. 12. Le vecteur tourbillon W représente un champ de vecteur à flux conservatif.

3. Étude cinématique des fluides. Topographie de quelques éléments 1.2. Caractéristiques d’un écoulement 1.2.1. Écoulements stationnaires Rappelons quelques définitions et résultats déjà vus. Un écoulement pour lequel le champ des vitesses eulérien du fluide est indépendant de t est appelé écoulement stationnaire (indépendant du temps) : v➞ = ➞ v➞ = v➞ (M) avec 0.

obstacles 1

2

t

En écoulement stationnaire, il y a identité des trajectoires, des lignes de courant et des lignes d’émission. Nous verrons au § 1.3 que les lignes de courant peuvent matérialiser des contours d’obstacle (doc. 13 et Application 4).

Doc. 13. Matérialisation de lignes de courant.

Dans un écoulement stationnaire, le débit massique est le même à travers toute section d’un tube de courant. 1.2.2. Écoulements incompressibles Si en tout point du fluide, le volume de tous les éléments de fluide est conservé au cours de l’écoulement, ce fluide est en écoulement incompressible. D’après le § 1.1.3, la divergence du champ des vitesses nous renseigne sur la variation de volume d’un élément de fluide suivi dans son déplacement. Si cet élément garde un volume constant, la divergence est donc nulle. Un écoulement incompressible est un écoulement pour lequel div v➞ est nulle partout : div v➞(M, t) = 0 . Rappelons qu’un champ vectoriel à divergence identiquement nulle, c’est-à-dire nulle en tout point de l’espace, est également à flux conservatif. Ceci implique que le flux de ce champ est nul à travers toute surface fermée au sein du fluide, ou encore qu’il y a conservation du flux à travers toutes les sections d’un tube de champ. Or le débit volumique est égal au flux du champ des vitesses. Nous en déduisons une caractéristique intéressante d’un écoulement incompressible.

Dans un écoulement incompressible (cf. Application 3), les lignes de courant se resserrent aux endroits de forte vitesse. Le document 14 illustre également cette propriété : la vitesse du fluide est plus importante au voisinage du point A , là où les lignes de champ se resserrent.

A A

1.2.3. Écoulements tourbillonnaires ou non tourbillonnaires Un écoulement est dit non tourbillonnaire si le vecteur tourbillon est partout nul, autrement dit, si le champ des vitesses du fluide est à rotationnel partout nul. Remarque

— v soit nul en tout point La proposition ci-dessus suppose non seulement que rot —➞ v➞) ne soit mais aussi qu’il n’y ait pas de point singulier où la vitesse (et donc rot pas définie. Ce point délicat sera explicité lors de l’étude du vortex au § 2.2. ➞ ➞

Doc. 14. Pour cet écoulement de fluide incompressible autour d’un cylindre animé d’un mouvement de rotation, les zones de forte vitesse sont situées aux endroits où les lignes de courant se resserrent.

59


Dans un écoulement incompressible, le débit volumique est conservé à travers toute section d’un tube de courant.


Application

3

Rapide d’une rivière Soit une rivière en écoulement (incompressible) stationnaire, unidimensionnel. À un endroit de la rivière, appelé rapide, le lit se resserre ; sa section passe de S à S¢ (S¢ < S). Le débit volumique en amont d’un rapide est Dv (doc. 15).

Calculer la vitesse de l’eau et le débit D¢v correspondant, au niveau du rapide. Données : S = 100 m2 ; S¢ = 10 m2 ; Dv = 150 m3 . s – 1 . L’écoulement étant unidimensionnel, Dv = S v . Puisqu’il est incompressible : D′v = Dv = S′v′ ,

section S section S’

soit v′ =

vitesse v vitesse v ’

Doc. 15. Rapide de rivière.

Dv = 15 m . s – 1 = 54 km . h – 1 . S′

La carte d’écoulement de la rivière (doc. 15) montre, au niveau du rapide, un resserrement des lignes de courant, ce qui n’est qu’une autre façon d’exprimer la conservation du débit volumique à travers toute section d’un tube de courant.

Par opposition, dans un écoulement tourbillonnaire, il existe au moins un point du —➞ ➞ fluide où rot v est non nul. Dans un écoulement non tourbillonnaire, le champ des vitesses du fluide est donc à circulation conservative (la circulation du vecteur vitesse v➞ le long de tout contour fermé est nulle) : les lignes de courant sont donc nécessairement ouvertes. Dans un écoulement non tourbillonnaire, le vecteur tourbillon est nul en tout point de l’espace, v➞ est à circulation conservative et les lignes de courant ne peuvent être fermées. Si le vecteur tourbillon est non nul en au moins un point donné de l’espace, l’écoulement est dit tourbillonnaire. © Hachette Livre, H-Prépa Mécanique des fluides, 2e année, PC et PSI, La photocopie non autorisée est un délit.

Pour s’entraîner : ex. 1 et 2. y

1.3. Écoulements et conditions aux limites Jusqu’à présent, nous nous sommes intéressés à l’écoulement du fluide indépendamment de ses limites. Cependant celles-ci existent : une rivière est limitée par ses berges, un fluide est canalisé dans une conduite qui influe sur l’écoulement. En fait, tout corps solide qui borde l’écoulement ou y fait obstacle va imposer des conditions sur la vitesse du fluide en son voisinage. 1.3.1. Limites à l’infini Dans le mouvement d’un cylindre en translation dans un fluide, nous avons imposé une condition de repos du fluide « loin » du cylindre (doc. 16). C’est là une condition aux limites du type « limite à l’infini ». Ce modèle sera adopté chaque fois

60

2 1,5 1 0,5 0 – 0,5 –1 – 1,5 –2

x – 4,2 – 2,8 – 1,4

0 0,7

2,1

Doc. 16. Visualisation des trajectoires des particules de fluide lors du déplacement d’un cylindre : « loin » de ce cylindre, le fluide est immobile.

3. Étude cinématique des fluides. Topographie de quelques éléments qu’il sera possible de se placer à des distances grandes devant les distances caractéristiques du problème envisagé.

y N

La houle est un mouvement de l’océan engendré par le vent à sa surface. Le fond de l’océan, « au repos », correspondra à une profondeur infinie si celle-ci est grande devant la distance entre deux vagues.

P

obstacle fixe dans x

1.3.2. Cas d’un obstacle fixe Dans le référentiel d’étude, en un point au voisinage immédiat d’un obstacle, le fluide ne peut avoir de composante normale de vitesse par rapport à un obstacle fixe dans ce référentiel (doc. 17). La vitesse du fluide représente la vitesse d’une particule : si la composante normale de cette vitesse était non nulle, cela signifierait que, soit la particule de fluide pénètre dans l’obstacle, soit un vide se crée entre le fluide et l’obstacle.

v

O

Doc. 17. Dans un référentiel , la vitesse d’un fluide est nécessairement tangente à un obstacle fixe dans ce référentiel.

Nous excluons la première possibilité en supposant l’obstacle « étanche », et la seconde en supposant que le fluide ne se vaporise pas au voisinage de l’obstacle (un tel phénomène, appelé « cavitation », peut intervenir sur les pales d’une turbine à vitesse élevée). La composante normale de la vitesse d’un fluide par rapport à un obstacle fixe est nulle. Remarque : Aucune contrainte sur la composante tangentielle à l’obstacle n’a été ici établie. Le caractère visqueux des fluides réels l’introduira dans le chapitre 5.

Application

4

Matérialisation d’une ligne de courant Si l’écoulement est stationnaire, les lignes de courant sont les mêmes à tout instant. Par définition, la vitesse est tangente à ces lignes en tout point. On peut donc matérialiser ces lignes par des parois réelles. Les conditions aux limites sur ces parois fixes sont respectées et l’écoulement précédent est inchangé. y obstacle mobile

Pour s’entraîner : ex. 1 et 2.

v N = wN

N

v (Pfluide)

1.3.3. Cas d’un obstacle mobile Nous rencontrerons parfois des situations où l’obstacle est mobile ; il faudra dans ces conditions se placer dans le référentiel P du point P de l’obstacle. Dans ce référentiel P , le fluide ne peut avoir de composante normale de vitesse par rapport à cet obstacle, c’est-à-dire que, dans le référentiel du laboratoire, les vitesses normales à l’obstacle doivent être identiques (doc. 18). ➞ En effet, notons w (Pobstacle, t)/ la vitesse du point P appartenant à l’obstacle. ➞ Plaçons-nous dans le référentiel P , en translation à la vitesse w (Pobstacle, t)/ par rapport au référentiel , nous avons ainsi :

v➞(Pfluide, t)/ = v➞(Pfluide, t)/

P

➞ +w (Pobstacle, t)/ .

w(Pobstacle)

P

vT

wT

vitesse de l’obstacle O

x

Doc. 18. Dans un référentiel , la composante normale de la vitesse d’un fluide est nécessairement égale à la composante normale de la vitesse du point correspondant de l’obstacle.

61


Un écoulement bidimensionnel a ses lignes de courant représentées sur le document 12. Montrer qu’à certaines conditions, il est possible de remplacer les lignes de courant 1 et 2 par des parois réelles qui en épousent le contour, sans changer la forme de l’écoulement.

Mécanique des fluides ➞

Appelons N la normale à la surface de l’obstacle ; nous devons avoir (cf. § 1.3.2) : v➞(Pfluide, t)/

➞

.N =0.

P

Ceci nous permet d’écrire : ➞

➞

➞ ➞ v➞(Pfluide, t)/ . N = w (Pobstacle, t)/ . N , soit v➞N = w N.

Examinons l’Application 5 relative au cas général d’un écoulement de fluide autour d’un obstacle mobile et déformable.

Application

5

Écoulement autour d’un obstacle mobile et déformable 3) En déduire la condition que doit vérifier la vitesse du Dans le référentiel du laboratoire, un fluide est en fluide au voisinage de cet obstacle déformable et mobile. écoulement autour d’une surface imperméable, fermée, Montrer que la vitesse v➞(P, t) s’écrit sous la forme génémobile et déformable (doc. 19). Le champ des vitesses rale suivante : eulérien de ce fluide est donné par v➞ (M, t)/ , et la v➞ (P, t) = ( a˙ (t ) + z˙C (t ) cos θ ) e➞R + v➞q + v➞j , surface par une équation de la forme F(M, t) = 0 . ➞ On notera w (P, t)/ face.

la vitesse d’un point P de la sur-

1) Montrer que la surface étant imperméable, on doit avoir : —➞ —➞ ➞ v➞(P, t)/ . grad F = w (P, t)/ . grad F . x

’X eθ

O y

r α

Y

ϕ

θ

C cote zC

1) Considérons un point P de la surface F(P, t) = 0 . ➞ La normale N à la surface en ce point est parallèle au ➞ —➞ gradient de la fonction F : N = l grad F . Plaçons-nous dans le référentiel P , en translation par rapport au référentiel , lié au point P de la surface, ➞ de vitesse w(P, t)/ . Nous avons ainsi : v➞(P, t)/

= v➞(P, t)/

➞

p + w(P, t)/

.

Le fluide ne peut pas pénétrer dans l’obstacle, soit :

R

v➞(P, t)/ Z z

et

➞

p.N

=0;

ce qui nous donne :

U(t)

a(t)

Doc. 19. Mise en évidence des référentiels les notations utilisées.


er

M

eφ

ρ

eR

avec e➞R , e➞q et e➞j les vecteurs unitaires du système de coordonnées sphériques associés au référentiel ¢ = (C, X, Y, Z).

′ avec

➞

v➞(P, t)/

➞

➞ .N =w (P, t)/ . N , ➞ —➞ et sachant que N = l grad F (doc. 19) : —➞ —➞ ➞ v➞(P, t)/ . grad F = w (P, t)/ . grad F .

N

En déduire que la condition d’écoulement autour de cet obstacle s’écrit dans sous la forme : —➞ ∂F ➞ +v (P, t)/ . grad F = 0 . ∂t

2) Soit un obstacle sphérique de rayon a(t) variable, ➞ de centre C , de cote zC et de vitesse U (t) = U(t)e➞z . Déterminer diverses expressions de la fonction F(M, t) dans les référentiels et ′ .

62

surface F(P, t) = 0 à la date t

grad F

v N = wN

v

P

vT

w wT

obstacle mobile

Doc. 20. La surface étant imperméable, nous avons : ➞ ➞ ➞ — ➞ — v . grad F = w . grad F .

3. Étude cinématique des fluides. Topographie de quelques éléments Sachant que F(P, t) = 0 , nous avons : DF ∂F ➞ —➞ +w . grad F = 0 , = Dt ∂t ∂F ➞ —➞ +v . grad F = 0 . ∂t

donc :

2) Écrivons que le rayon de la sphère est égal à a(t) , soit, quand M est en P : 2

2

2

2

CP – a(t) = 0 , donc R – a(t) = 0 , ou encore r2 + zC2 – 2zC r cos a – a(t)2 = 0 , donc la fonction F est donnée par : • expressions dans 2

3) La condition s’écrit

∂F ➞ —➞ + v . grad F = 0 . ∂t

• Dans le référentiel

:

∂F = −2( z˙C ( z − zC ) + aa˙ ) = −2( z˙C a cos θ + aa˙ ) ∂t = −2 a( z˙C cos θ + a˙ ). • Le gradient de la fonction F s’écrit très simplement en fonction des vecteurs unitaires du référentiel ′, —➞ sous la forme grad F = 2R e➞R avec R = a , soit : ➞ —➞ ➞ ➞ — grad F = 2a e R , d’où v . grad F = 2avR .

: 2

F(P, t) = r + zC – 2zC r cosa – a(t)2, F(P, t) = x2 + y2 + (z – zC)2 – a(t)2 ; • expressions dans

′:

2

F(P, t) = R – a(t)2 , F(P, t) = X2 + Y2 + Z2 – a(t)2.

Ce qui nous donne : v➞R = ( z˙C cos θ + a˙ ) e➞R , et donc l’expression générale de la vitesse s’écrit : ➞ ➞ ➞ ➞ v (P, t) = ( a˙ (t ) + z˙C (t ) cos θ ) e R + v q + v j .

Poursuivons l’étude cinématique des écoulements par des exemples mettant, notamment, en évidence la topographie du champ des vitesses du fluide.

2

Écoulement tourbillonnaire : la tor nade

2.1. Champ des vitesses - Topographie Une tornade est un phénomène météorologique défini comme « un coup de vent violent et tourbillonnant ». Un modèle simplifié de la tornade la présente comme un écoulement de fluide présentant une symétrie de révolution autour d’un axe e➞z . Le champ des vitesses associé est de la forme (en coordonnées cylindriques) : • pour r < a : v➞(r) = r W e➞q ;


Ω a2 ➞ eq . r C’est un champ orthoradial dont le module ne dépend que de la distance r à l’axe. À l’intérieur d’un cylindre de rayon a , qui constitue « l’œil » de la tornade, la vitesse croît linéairement de 0 à sa valeur maximale quand r varie de 0 à a , puis décroît jusqu’à l’infini où le fluide est au repos (doc. 21). Notons la continuité de la vitesse en r = a .

• pour r > a : v➞(r) =

➞

Ce champ, partout de la forme f(r)e q , est à divergence nulle (cf. Annexe) : l’écoulement est donc incompressible. —➞ v➞ en tout point de la tornade : Calculons rot • pour r < a : ➞

—➞ ➞ —➞ v➞ = rot —➞ (r W e➞ ) = W (r rot —➞ e➞ + grad —➞ e➞ = ez ) ; rot r ∧ e q ) = 2W e➞z (car rot q q q r

Doc. 21. Mise en évidence du champ des vitesses d’une tornade.

63


➞ ➞ 2 ➞  ➞ e eq  ➞ — —➞ e ➞➞ — ➞ Ωa e 2 — • pour r > a : rot v = rot  eθq = W a rot rθ = 0 (car rot ( θ ) = 0) ,  r r  r  (cf. Annexe)

Ce calcul montre l’existence d’un vecteur tourbillon uniforme 2W e➞z à l’intérieur du cylindre de rayon a et nul à l’extérieur : l’écoulement est tourbillonnaire, mais le tourbillon est limité au cylindre de rayon a . L’écoulement est stationnaire, donc les lignes de courant et les trajectoires sont confondues : ce sont des cercles centrés sur l’axe e➞z .

Application

6

Accélération d’une particule de fluide dans le modèle de la tornade Dans le modèle de la tornade, le champ des vitesses est de la forme (en coordonnées cylindriques) : • pour r < a : v➞(r) = rW e➞q ; • pour r > a : v➞(r) =

Ω a2 ➞ eq . r

• Pour r < a : Dv➞ —➞  v 2  = grad   + 2W e➞z ∧ r W e➞q Dt  2 —➞  v 2  —➞  v 2  —➞ ➞ = grad   – 2rW 2 e r = grad   – grad v2  2  2

Calculer l’accélération d’une particule. ➞

Le régime étant stationnaire, l’accélération Dv se réduit Dt ➞ ➞ — à v . grad v. Utilisons la formule :

—➞  v 2  = – grad    2 = – rW 2 e➞r . • Pour r > a :

—➞ —➞  v 2  —➞ ➞ ➞ v➞ . grad v =+ grad   + rot v ∧v .  2

Ω 2a4 Dv➞ —➞  v 2  = grad   = − 3 e➞r . Dt r  2

3.2. Circulation. Cas limite du vortex © Hachette Livre, H-Prépa Mécanique des fluides, 2e année, PC et PSI, La photocopie non autorisée est un délit.

➞ ➞ La tornade est un écoulement à symétrie –➞ cylindrique, de la forme v = v (r)e q , avec l’existence d’un vecteur tourbillon W , uniforme à l’intérieur d’un cylindre d’axe –➞ 1 —➞ ➞ rot v permet de retrouver le (Oz) et de rayon a (doc. 21). La propriété W = 2 vecteur vitesse en tout point.

Il suffit pour cela de calculer la circulation du vecteur vitesse le long d’une ligne de courant (doc. 22). ➞

➞

v . d l = 2π r v =

• Pour r < a : C = C

➞

C

v

v

—➞v➞ . d S➞ = 2W π r2 , rot soit v➞ = W r e➞q .

ligne de courant de rayon r > a

—➞v➞ . d S➞ = 2W π a2 , soit : rot

Ω

S

v➞ =

64

ligne de courant de rayon r < a

S

v➞ . d l = 2π r v =

• Pour r > a : C =

Ω

Ω a2 ➞ eq . r

Doc. 22. La circulation du vecteur vitesse le long d’une ligne de courant circulaire de rayon r dépend du choix de cette ligne (r < a ou r > a).

3. Étude cinématique des fluides. Topographie de quelques éléments La circulation le long d’une ligne de courant extérieure à l’œil de la tornade est C = 2π a2W . C’est donc une constante qui peut caractériser la tornade au même titre que la donnée de W . Le cas limite obtenu en faisant tendre a vers 0 tout en maintenant C constante définit alors un vortex. Le champ des vitesses d’un vortex s’écrit (doc. 23 a et b) : v➞(r) =

C ➞ e q avec r ≠ 0 . 2π r

—➞  eθ  = ➞ Ce nouveau champ des vitesses semble non tourbillonnaire puisque rot 0.  r C’est en fait oublier la singularité en r = 0 , provenant du modèle limite qu’est le vortex. Il ne faut plus alors s’étonner de l’apparent paradoxe :

Doc. 23a. Champ des vitesses d’un vortex avec la mise en évidence de la déformation d’une particule de fluide.

➞ —➞v➞ = ➞ v➞ . d ≠ 0 avec rot 0,

C= C

arrivée d’eau

puisque cette circulation fait appel à un contour englobant le point singulier r = 0 où v➞ n’est plus définie. Les lignes de courant du vortex sont bien fermées et entourent l’axe (Oz), lieu de la « singularité ». Le même problème peut apparaître encore de façon plus subtile avec un champ des vitesses du même type, qui ne serait défini que pour une distance r > R . C’est le cas quand un obstacle cylindrique de rayon R est présent au sein du fluide (doc. 8 —➞ v➞ = ➞ et 15) : le champ des vitesses est irrotationnel ( rot 0 ), mais la circulation de v➞ est non nulle sur toutes les courbes entourant le cylindre.

2.3. Analogie magnétostatique Le champ des vitesses de la tornade rappelle le champ magnétique créé par un cylindre infini de rayon a , parcouru par des courants volumiques de densité ➞ j = je➞z uniforme. Ce champ a en effet la configuration : ➞

• pour r < a : B (r) = ➞

• pour r > a : B (r) =

µ 0 jr ➞ e ; 2 q

tourbillon central

évacuation de l’eau

Doc. 23b. Réalisation pratique d’un vortex. En régime permanent, l’eau arrive tangentiellement par le haut et s’écoule par un trou placé au centre de la surface de base du cylindre.

m 0 ja 2 ➞ eq . 2r © Hachette Livre, H-Prépa Mécanique des fluides, 2e année, PC et PSI, La photocopie non autorisée est un délit.

Au cas limite du vortex répond alors le cas d’un fil infini parcouru par l’intensité ➞ µ I I = j π a2 , pour lequel le champ vaut B (r) = 0 e➞q . 2π r Cette correspondance formelle n’est pas fortuite. En effet, pour un écoulement incompressible, le champ des vitesses du fluide obéit en tout point de l’espace aux équations différentielles : –➞ —➞ v➞ = 2W div v➞ = 0 et rot . Un champ magnétique permanent obéit aux mêmes équations : ➞ ➞ —➞ ➞ div B = 0 et rot B = m0 j . ➞ La première équation décrit un caractère intrinsèque de B , de même divv➞ = 0 représente un caractère intrinsèque du champ des vitesses de tout écoulement incompressible. ➞ —➞ ➞ –➞ La deuxième équation lie le champ B à sa source qui est le courant, et rot v = 2W ➞ – relie également v➞ à sa source, le vecteur tourbillon W .

65


rond de fumée

Généralisons ce résultat : si deux problèmes, l’un de magnétostatique, l’autre d’écoulement incompressible, présentent les mêmes symétries, les mêmes conditions aux limites et les mêmes répartitions de « sources », alors les solutions (c’est-à-dire ➞ l’expression du champ B et de la vitesse v➞ ) seront formellement identiques.

fumée

Cette analogie magnétostatique trouve une illustration amusante dans le « rond de fumée » issu du cratère d’un volcan (doc. 24) : celui-ci peut être décrit comme un anneau de tourbillon filiforme analogue à une spire circulaire parcourue par un courant i . L’anneau tourbillon est alors caractérisé par sa circulation C , identique pour tous les contours fermés entourant une fois l’anneau (doc. 25). spire parcourue par un courant I

ligne de tourbillon

Doc. 24. Rond de fumée d’un volcan.

I

Ω

volcan

ligne de champ de B

ligne de courant

champ magnétique créé par une spire

rond de fumée

Doc. 25. Analogie entre un rond de fumée et le champ magnétique créé par une spire.

Remarque

–➞ 1 —➞ ➞ Rappelons que le vecteur tourbillon est un vecteur axial défini par W = rot v, 2 –➞ –➞ donc sa divergence est nulle : div W = 0 . Les lignes de champ du vecteur W sont des lignes fermées. Il en est de même pour des lignes de champ du vecteur densité ➞ volumique de courant j dans l’approximation des régimes stationnaires : ➞ div j = 0 .

Application

7

Tourbillon uniforme entre deux plans infinis © Hachette Livre, H-Prépa Mécanique des fluides, 2e année, PC et PSI, La photocopie non autorisée est un délit.

Déterminer le champ des vitesses d’un fluide associé à une répartition de tourbillon uniforme finie, entre deux –➞ plans infinis parallèles distants de 2a , le vecteur W étant lui-même parallèle aux deux plans (doc. 26) . On admettra la continuité de la vitesse en | z | = a . z

Ω=0

Ω = Ω 0 ey

z = –a

Ω=0

66

—➞ dv( z ) ➞ ➞ ➞ —➞ ➞ —➞ ey . rot v = rot (v (z) e x ) =grad v (z) ∧ e x = dz

z=a ey y

Le problème ➞est tout à fait analogue à celui du calcul d’un champ B créé par une distribution de courants du même type. La topographie de v➞ est en tout point iden➞ ➞ tique à celle de B , qui est de la forme B = B(z)e➞x , où B(z) est une fonction impaire de z :

• Si | z | < a : dv( z ) e➞y = 2W 0 e➞y , soit v (z) = 2W 0 z . dz

x

Doc. 26. Tourbillon uniforme entre deux plans infinis : ➞ W = W0 e➞y pour – a < z < a et nul ailleurs.

➞ • Si z > a : dv( z ) e➞y = 0 , soit v (z) = 2W 0 a par contidz nuité de v (z) en z = a .

3. Étude cinématique des fluides. Topographie de quelques éléments dv( z ) • Si z < a : = 0, soit v (z) = – 2W 0 a par contidz nuité en z = – a . Ce qui nous donne l’allure du document 27.

Ω = Ω 0 ey

➞

z=a

➞

ey y

x

z = –a

Ω=0

Doc. 27. Champ des vitesses relatif à un tourbillon uniforme entre deux plans infinis.

3

Discutons l’hypothèse « continuité de la vitesse en | z | = a ». Le vecteur champ magnétique B ne subit une discontinuité que si, localement, il existe une densité surfacique ➞ ➞ ➞ ➞ ➞ de courant j s non nulle (B t2 – B t1 = m 0 j s ∧ N 12 ; cf. H-Prépa, Électromagnétisme, 1re année).

z

Ω=0

–➞ ➞ Remarque : W ≠ 0 pour – a z a, mais les lignes de courant sont des droites parallèles !

Or seule une densité volumique de courant j V infinie sur une petite épaisseur peut créer cette densité surfa➞ cique de courant j s . Donc dès qu’une densité volu➞ mique de courant est partout finie, B est toujours continu. L’analogie magnétique précédente nous permet donc –➞ d’écrire que v➞ est partout continue, car W est partout fini, en particulier en z = a et z = – a .

Écoulements non tourbillonnaires

3.1. Écoulements potentiels Un écoulement non tourbillonnaire, nous l’avons vu, est tel qu’en tout point de l’espace : –➞ —➞ ➞ ➞ 2 W = rot v=0: –➞ Le vecteur tourbillon W est nul en tout point de l’espace. À la vitesse v➞ est alors —➞ associé un scalaire f tel que v➞= grad f . Ce scalaire est appelé potentiel des vitesses. Il n’est défini qu’à une constante additive près. Si l’écoulement est de plus incom—➞ pressible, div v➞= 0 , d’où div(grad f) = ∆f = 0 .


–➞ –➞ • Un écoulement non tourbillonnaire (W = 0 partout) est dit potentiel : en —➞ tout point de l’écoulement, le potentiel de vitesses est tel que v➞ = grad . obéit à l’équation dite de Laplace : • Si l’écoulement est incompressible, =0.

3.2. Propriétés du potentiel des vitesses

—➞ La relation v➞ = grad f impose que le champ des vitesses est orthogonal aux surfaces f = cte (sauf si localement la vitesse est nulle) (doc. 28 et 29). En fonction de f , les composantes de la vitesse sont (dans le cas d’un écoulement plan par exemple) : ∂φ ( x, y, t ) ➞ ex ∂x • en coordonnées cartésiennes : v➞(x, y, t) = ∂φ ( x, y, t ) ➞ ey ∂y

67


a)

b)

Doc. 28. Écoulement potentiel dans un dièdre d’angle orthogonales. b. Allure de la vitesse.

3π . a. Les lignes de courant (en couleur) et les lignes f = cte (en noir) sont 4

a)

b)

Doc. 29. Écoulement potentiel dans un dièdre d’angle gonales. b. Allure de la vitesse.

π . a. Les lignes de courant (en couleur) et les lignes f = cte (en noir) sont ortho3


∂f(r,q,t) e➞r ∂r ➞ • en coordonnées polaires v: (r, q, t) = . 1 ∂f(r,q,t) e➞ q ∂q r

3.3. Analogie électrostatique Les définitions précédentes en rappellent d’autres vues en électrostatique : un champ ➞ —➞ ➞ ➞ électrostatique E est tel que rot E = 0 . Il lui est associé un potentiel électrosta➞ —➞ tique V tel que E = – grad V . ➞

Dans une région vide de charges, div E = 0 . Dans cette région le potentiel obéit alors également à l’équation de Laplace ∆V = 0 . ➞

Les lignes de champ de E sont perpendiculaires aux équipotentielles. Il existe alors une nouvelle analogie formelle liant cette fois le champ des vitesses du fluide à un champ électrostatique.

68

3. Étude cinématique des fluides. Topographie de quelques éléments • Champ des vitesses d’un fluide en écoulement potentiel (non tourbillonnaire) et incompressible : —➞ —➞ v➞ = ➞ rot 0 , d’où il existe tel que v➞ = grad . v➞ est orthogonale aux surfaces = cte . div v➞ = 0 , soit =0.

• Champ électrostatique dans une région vide de charges : ➞ —➞ —➞ E➞ = ➞ rot 0 , d’où il existe V tel que E = – grad V . ➞ E est orthogonal aux surfaces V = cte . ➞ div E = 0 , soit V = 0 .

Par conséquent, deux problèmes associés présentant les mêmes caractéristiques géométriques et les mêmes conditions aux limites auront la même solution formelle. Illustrons ce résultat sur divers exemples.

3.4. Exemple d’une source ou d’un puits bidimensionnels ➞

Le problème du calcul du champ électrostatique E créé par un fil rectiligne infini uniformément chargé avec la densité linéique l est classique. La symétrie cylin➞ drique du problème et les propriétés de tout champ E (cf. H-Prépa, Électroma➞ gnétisme, 1re année) impliquent un champ de la forme E = E(r) e➞r (doc. 30). L’application du théorème de Gauss à un cylindre de rayon r et de hauteur h quelconque aboutit à (doc. 31) : 2π r h E(r) =

λh λ . , soit E(r) = 2π ε 0 r ε0

Ce champ est défini dans tout l’espace hormis le fil lui-même : cet espace est vide ➞ ➞ de charges et E remplit donc bien les conditions du § 3.3 : div E = 0 .

E(r) =

λ 2πε0r

λ

z

v (r) =

Dv 2π r

fil infini chargé λ Dv1 cylindre de hauteur h Er

z’ champ E créé par un fil infini uniformément chargé

z’ champ v créé par une source infinie de débit linéique uniforme

Doc. 30. Analogie électrostatique entre une source et le champ électrostatique créé par un fil.

Doc. 31. L’application du théorème de Gauss à un cylindre de rayon r et de hau➞ λ ➞ teur h conduit à E (r) = e . 2π ε 0r r

69


z


L’écoulement potentiel analogue de la dynamique des fluides doit avoir un champ k des vitesses du fluide (doc. 32) de la forme v➞= e➞r avec div v➞ = 0 . r Caractérisons plus concrètement cet écoulement potentiel. La vitesse du fluide tend vers 0 quand r tend vers l’infini : le fluide est au repos « infiniment loin » de l’axe (Oz). Le flux de v➞ est bien conservé à travers tout cylindre de hauteur h et de rayon r : F = 2π r hv (r) = 2π h k . Ce flux non nul semble en contradiction avec div v➞ = 0 . Une fois encore, la vitesse n’est pas définie en r = 0 , l’axe (Oz) constituant un ensemble de points singuliers. En fait, de même que le fil chargé constitue la source du champ électrostatique, l’axe (Oz) est à l’origine de l’écoulement considéré : il faut le considérer comme émettant ou recevant du fluide. Le flux de v➞ à travers un cylindre de rayon r quelconque et de hauteur h constitue alors une caractéristique de l’écoulement, au même titre que la circulation de v➞ dans le cas du vortex. Ce flux représente un débit volumique par unité de longueur de l’axe (Oz), noté Dv par exemple, et joue un rôle analogue à celui de la densité de charge l dans le modèle électrostatique : Dv ➞ F = hDv = 2π h k , soit v➞ = e . 2π r r La carte d’écoulement est identique dans tout plan orthogonal à l’axe (Oz) : suivant que Dv est positif ou négatif, cet axe est qualifié de source ou puits bidimensionnel. Un fin tuyau d’arrosage percé d’une multitude de petits trous uniformément répartis sur sa surface donne une bonne image de la source étudiée. À cet écoulement potentiel correspond un potentiel des vitesses f tel que : ➞ ➞ d f = v . d r , soit f =

Dv ln r + K. 2π

La constante K doit être fixée de façon arbitraire en imposant l’origine f = 0 en une valeur particulière de r. Le champ des vitesses d’une source bidimensionnelle de débit linéique Dv Dv ➞ Dv est égal à v➞ = e . Ce champ dérive du potentiel = ln r + K. 2 r r 2


4

Constr uction d’un écoulement par superposition

4.1. Principe de superposition Les modèles simples que nous venons de décrire permettent de construire des écoulements plus complexes en utilisant une méthode de superposition, suivant un principe déjà évoqué en électromagnétisme. La linéarité des équations différentielles régissant un écoulement permet de décomposer un problème donné en une somme de problèmes simples auxquels correspondent des écoulements de vitesses v➞1 , v➞2 , ..., v➞i , ... L’écoulement répondant au problème global sera alors caractérisé par : v➞ = v➞1 + v➞2 + ... + v➞i + ...

70

Doc. 32. Champ des vitesses d’une source bidimensionnelle.

Application

8


Superposition d’un puits bidimensionnel et d’un vortex Déterminer le champ des vitesses résultant de la superposition d’un puits (débit linéique – Dv ) et d’un vortex (circulation C) de même axe. Représenter les lignes de courant. • Pour le puits : v➞1 = –

Dv ➞ e en considérant Dv > 0. 2π r r

• Pour le vortex : v➞2 =

C ➞ eq . 2π r

Par superposition :

Remarques

—➞ v➞ = ➞ • Ce champ vérifie rot 0 pour r > 0 . Mais la circulation du vecteur vitesse v➞ sur un cercle de rayon r > 0 est égale à C , non nulle, car il existe une source de tourbillon (vortex) en r = 0 ! • Ce champ vérifie div v➞ = 0 pour r > 0 . Mais le flux sortant F de v➞ à travers un cylindre de hauteur h et de rayon r > 0 est égal à – hDv , non nul, car il existe une source de champ en r = 0 !

1 (– Dv e➞r + C e➞q ) . 2π r Les lignes de courant sont données par : Dv dq dr rdθ dr = = – , soit , C vr vθ r v➞ = v➞1 + v➞2 =

Dv q . On obtient des spirales logaC rithmiques (doc. 33).

d’où r = r0 exp

Doc. 33. Lignes de courant lors de la superposition d’un puits bidimensionnel et d’un vortex.

Nous allons développer à présent la même méthode sur un exemple d’écoulement autour d’un obstacle.

4.2. Dipôle hydrodynamique (bidimensionnel)


Considérons l’association d’une source bidimensionnelle (débit Dv ) et d’un puits également bidimensionnel (débit – Dv ), situés à proximité l’un de l’autre (les deux débits sont donc opposés). Le document 34 nous montre une simulation de l’écoulement obtenu. Nous nous proposons de l’exprimer analytiquement. Ce champ des vitesses est analogue au champ électrostatique engendré par une ligne bipolaire électrique : deux fils rectilignes infinis et parallèles, portant des charges linéiques – l et et + l, observées à une distance très supérieure à leur écartement (doc 35). Remarques • Les lignes de champ de la ligne dipolaire sont des cercles, ce qui n’est pas le cas pour un dipôle tridimensionnel (deux charges électriques ponctuelles + q et – q , cf. H-Prépa, Électromagnétisme, 1re année). • Ce champ des vitesses ressemble beaucoup à celui du champ électrostatique créé par un dipôle électrostatique constitué de deux charges symétriques (– q et + q) proches l’une de l’autre, vis-à-vis de la distance d’observation, mais dans ce cas les lignes de courant ne sont pas des cercles.

71


y

➞

er

➞

eq

–l

z

+l

M ➞

ez

y

r q

➞

eq

z

x

r

O

➞

M

q

x

O

d

Doc. 34. Champ des vitesses relatif à l’écoulement d’un dipôle hydrodynamique (les lignes de courant sont des cercles).

er

d

Doc. 35. Ligne dipolaire. Les fils sont observés à distance r très supérieure à leur écartement 2d .

Ce dipôle porte le nom de dipôle hydrodynamique. Par analogie électrostatique, il s’obtient en superposant deux champs créés par deux lignes infinies chargées – l et + l par unité de longueur, très proches l’une de l’autre devant la distance d’observation. ➞

D r1 En M(r, q) , superposons le champ v 1= – v , de potentiel : 2π r1 r1 ➞

f1 = –

M y

Dv ln r1 + K1 , 2π A1

➞ Dv —➞ D r2 (r 1 = A1M ) , et le champ v➞2 = + v , de potentiel f2 = ln r2 + K2 , 2π 2π r2 r2 d’une — source bidimensionnelle de même axe, coupant le plan de figure en A2 ➞ (r➞2 = A2M ) avec A1A2 = 2d << r1 et r2 (donc d << r) (doc. 36). ➞

➞


L’écoulement résultant de la superposition de v 1 et v 2 aura un potentiel f tel que : r2 Dv ln +K . φ = φ1 + φ 2 = r1 2π

O

(–Dv ) d

θ A 2

z

x

(+Dv ) d

Doc. 36. Notations utilisées pour l’étude du dipôle hydrodynamique (d << r).

En prenant l’origine de ce potentiel en O (milieu de A1A2), nous obtenons : f=

r2 r

d’un puits bidimensionnel d’axe (Oz), coupant le plan du document 36 en A1

➞

r1

lignes de courant

r2 Dv ln . r1 2π

r2 = cte, c’est-à-dire à des r1 cercles. Les lignes orthogonales sont donc aussi des cercles, ce que montre le document 37.

Les lignes f = cte correspondent aux points tels que

r1 et r2 s’expriment en fonction des coordonnées r et q du point M : • r22 = r2 + d2 – 2 d r cosq ;

• r12 = r2 + d2 + 2 d r cosq .

72

équipotentielle

Doc. 37. Les lignes de courant (en couleur) relatives à la superposition d’un puits et d’une source (débits égaux en module) sont des cercles.

3. Étude cinématique des fluides. Topographie de quelques éléments En faisant intervenir des développements limités à l’ordre 1 (premier terme non nul du développement limité), nous obtenons : 1/2 d r22 = r 2 – 2 d r cosq + d 2 ≈ r 1 – cos q ; r r12 = r2 + 2 d r cosq + d 2 donc ln

1/2

≈r 1+

d cos q r

Dv 2 d cos θ r2 2 d cos θ ≈− , d’où f = – . 2π r1 r r

Nous pouvons associer à ce dipôle hydrodynamique bidimensionnel, un « moment » : p➞ = 2 d Dv e➞x . Au potentiel f correspond le champ des vitesses v➞ = v➞1 + v➞2 de la forme : p ➞ ➞ 2 (cosq e r + sin q e q ) . 2π r Les lignes de courant sont données par : dr dr cos q dq rdq = , soit = vr vq sin q r v➞ =

dont la solution r = k sin q représente l’équation d’un ensemble de cercles tangents à l’axe x x au point 0 lorsque k varie (doc. 37).

y

v0

lim v➞ = v 0e➞x .

x

O

4.3. Écoulement autour d’un obstacle cylindrique Dans un écoulement primitivement uniforme, de vitesse v➞0 = v 0 e➞x , est immergé un cylindre droit, de rayon a , de longueur infinie, d’axe orthogonal à v➞0 (doc. 38). Comment cet obstacle modifie-t-il le champ des vitesses du fluide ? Plus précisément, nous cherchons un nouvel écoulement possible en présence de cet obstacle, qui soit de type potentiel. En fait, nous avons introduit une condition supplémentaire aux limites : le fluide ne peut avoir de vitesse orthogonale au cylindre, au contact de celui-ci. Avec un choix de paramétrage en coordonnées polaires dans le plan de figure (doc. 39), ceci se traduit par : quel que soit q , v r (r = a, q ) = 0 (le fluide ne peut pas pénétrer dans l’obstacle). « Infiniment » loin de cet obstacle, l’écoulement doit être uniforme, soit :

cylindre de rayon a

Doc. 38. Dans un écoulement primitivement uniforme, de vitesse v➞0 = v0 e➞x (vitesse du fluide loin de l’obstacle), est immergé un cylindre droit, de rayon a, de longueur infinie et d’axe orthogonal à v➞0 . y eθ

v0

r

r→∞

Cette deuxième condition suggère de « penser » l’écoulement comme la superposition de l’écoulement uniforme primitif noté v➞1 = v 0 e➞x et d’un écoulement supplémentaire (que nous choisirons potentiel) v➞2 , la superposition des deux écoulements assurant les conditions aux limites. L’écoulement v➞2 recherché doit tendre vers 0 à l’infini et vérifier quel que soit q : v r (a, q) = 0 = v 0 cosq + v 2 r (a, q), soit v 2 r (a, q) = – v 0 cosq .

er M

vr v vθ

θ O z

x

Doc. 39. Système de coordonnées utilisé pour représenter le champ des vitesses.

73


Un dipôle hydrodynamique est constitué par la superposition d’un puits (– Dv ) et d’une source (+ Dv ) bidimensionnels très proches (distance 2d) l’un de l’autre vis-à-vis des distances r d’observation. Le potentiel du champ des vitesses v➞ est donné dans un système de coordonnées cylindriques par : Dv d cos —➞ v➞ = grad ; = – . r


Nous avons déjà rencontré précédemment le champ d’un dipôle hydrodynamique, p de la forme v➞2 = (cosq e➞r + sin q e➞q ) . 2π r 2 Ce type d’écoulement peut représenter l’écoulement v➞2 que nous cherchions à condition que : p = – v0 , d’où p = – 2π a2v0 . 2π a2 L’écoulement recherché, autour de l’obstacle cylindrique, est donc obtenu en superposant au champ v➞1 uniforme le champ v➞2 d’un dipôle hydrodynamique, de moment p➞ = – 2π a2 v➞0 . Le champ résultant, en coordonnées polaires, s’écrit alors :  a2   a2  v➞ = v0 cosq 1 − 2  e➞r – v0 sinq 1 + 2  e➞q . r  r    L’allure des lignes de courant est représentée sur le document 40. A et B sont des points de vitesse nulle (ou points d’arrêt). C ➞ À ce champ, il est enfin possible de superposer un vortex, tel que v➞3 = eq . 2π r Le champ devient alors :  a2   a2  C ➞ eq . v➞ = v0 cosq 1 − 2  e➞r + – v0 sinq 1 + 2  + 2π r r r     Il représente l’écoulement autour d’un cylindre en rotation, ce dernier ayant tendance à entraîner le fluide (doc. 41). La construction, par superposition de champs élémentaires, d’un écoulement cinématiquement acceptable autour d’un cylindre, pourrait être répétée pour d’autres obstacles : l’écoulement autour d’une sphère pourrait ainsi être obtenu par la superposition d’un champ uniforme et d’un champ dipolaire tridimensionnel (champ d’un dipôle électrique (– q, + q)).


L’association de champs élémentaires (uniforme, dipolaire, bi ou tridimensionnel, etc.) permet de réaliser, par superposition, des écoulements cinématiquement acceptables autour d’obstacles.

A

rotation du cylindre

B A

Doc. 40. Écoulement potentiel autour d’un cylindre. Les points A et B sont des points de vitesse nulle.

74

B

Doc. 41. Écoulement d’un fluide autour d’un cylindre en rotation. Les points A et B sont des points de vitesse nulle.

Application

9


Propriétés d’un champ des vitesses Soit le champ des vitesses précédent :  a2  ➞ v➞ = v0 cosq 1 − 2  e r +  r 

  a2  C  ➞ −v 0 sin θ 1 + 2  +  eq .  r  2 π r  

—➞ ➞ 1) Calculer div v➞ et rot v pour r > 0 . 2) Soit un cylindre de hauteur h , de rayon a et de base une courbe quelconque entourant ce cylindre. • Quel est le flux sortant du vecteur vitesse à travers ce cylindre ? • Quelle est la valeur de la circulation du vecteur vitesse sur la courbe ? 1) La vitesse v➞ peut s’exprimer sous la forme : v➞ = v➞1 + v➞2 , telles que :  a2  v➞1 = v0 cosq 1 − 2  e➞r – v0 sinq  r  et :

v➞2 =

 a2  1 + 2  ,  r 

C ➞ eq . 2π r

• Nous savons que v➞1 est un champ « de nature élec➞ —➞ trostatique », donc rot v➞1 = 0 . Les sources de ce champ sont en r = 0 , donc nous avons aussi pour r > 0 , divv➞1 = 0 .

5

• Nous savons que v➞2 est un champ « de nature magnétostatique », donc divv➞2 = 0 . Les sources de ce champ sont en r = 0 , donc nous avons aussi pour r > 0 : —➞ ➞ ➞ rot v 2 = 0 . Ainsi, nous obtenons pour r > 0 : —➞ ➞ ➞ —➞ ➞ ➞ ➞ ➞ ➞ rot (v 1 + v 2) = rot v = 0 et div(v 1 + v 2) = div v = 0 . 2) Utilisons toujours la même décomposition. • Le flux sortant de v➞ à travers le cylindre est nul, car le débit d’un dipôle hydrodynamique est nul ainsi que celui d’un vortex. • La circulation de v➞ sur la courbe est égale à C. La circulation est donc non nulle. Ceci est due au fait que nous sommes en présence d’un vortex : la singularité est en r = 0 . Remarques • Le flux sortant du vecteur vitesse est nul ; il est possible de trouver des champs des vitesses afin que ce flux soit non nul, bien que div v➞ = 0 . • La circulation du vecteur vitesse est non nulle pour r > 0 (il existe une singularité en r = 0 , donc la circulation n’est pas nulle), bien que dans la zone —➞ v➞ = ➞ considérée rot 0.

Équation de Laplace en physique © Hachette Livre, H-Prépa Mécanique des fluides, 2e année, PC et PSI, La photocopie non autorisée est un délit.

5.1. Quelques problèmes associés à l’équation de Laplace Les écoulements potentiels incompressibles introduisent un champ vectoriel, le champ v➞ des vitesses du fluide, et un champ scalaire, le potentiel des vitesses f , tels que : —➞ v➞ = grad f et ∆f = 0 . Cette modélisation est en fait commune à de nombreux problèmes en physique : nous avons d’ailleurs déjà évoqué une analogie électrostatique avec le champ vec➞ toriel E et le champ scalaire V dans une région vide de charges : ➞ —➞ E = – grad V et ∆V = 0 . Mais ce type d’équation se retrouve aussi dans les problèmes suivants : • diffusion de particules : – champ scalaire : densité particulaire n ;

75


—➞ ➞ – champ vectoriel associé : j D = – D grad n avec D la diffusivité ; – en régime stationnaire : ∆ n = 0 , en l'absence de sources de particules ; • diffusion thermique : – champ scalaire : température T ; —➞ ➞ – champ vectoriel associé : j Q = – k grad T avec k la conductivité thermique ; – en régime stationnaire : ∆T = 0 , en l'absence de sources thermiques ; • loi d’Ohm dans un conducteur : – champ scalaire : potentiel V ; —➞ ➞ – champ vectoriel associé : j = – g grad V avec g la conductivité électrique ; – en régime stationnaire : ∆V = 0 . En fait, dans tous ces problèmes, une fonction scalaire g obéit à l’équation de ➞ Laplace ∆ g = 0 , et une fonction vectorielle j appelée courant est associée à g par la relation : —➞ ➞ j = – L grad g , où L est une constante caractéristique de chaque problème. La géométrie et les conditions aux limites imposées à un problème physique particulier entraînent l’unicité de la solution de l’équation ∆ g = 0 . Par conséquent, deux problèmes, associés aux mêmes grandeurs ou à des grandeurs analogues au sens précédemment évoqué, et présentant la même configuration, ont des solutions identiques ou analogues. Cette analogie a d’ailleurs été abondamment utilisée dans ce qui précède. L’exemple suivant, commun à tous les problèmes indiqués plus haut, montre l’intérêt d’une résolution conjointe.

5.2. Exemple commun Le problème comporte ici une « source » et une condition aux limites bien particulière : • la source est bidimensionnelle, infinie et confondue avec un axe (Oz) ; • une première limite est constituée d’un plan infini parallèle à l’axe de la source et situé à une distance d de celui-ci ; • la seconde « limite » est l’infini où le milieu est supposé « au repos » (doc. 42).


Plus concrètement, le problème sera constitué par : • en physique des fluides : – une source bidimensionnelle de débit volumique Dv ; – le milieu sera un fluide parfait de masse volumique r , en écoulement supposé potentiel ; – le plan sera une paroi fixe constituant un obstacle à l’écoulement ; • en diffusion de particules : – une source de particules émettant une densité n de particules par unité de temps et de longueur de la source ; – le milieu sera caractérisé par la constante de diffusion D ; – le plan sera une paroi imperméable aux particules diffusées ; • en diffusion thermique : – une source thermique de puissance linéique ; – le milieu sera caractérisé par sa conductivité thermique k ; – le plan sera une paroi parfaitement adiabatique ; • en électrocinétique : – une source de courant portée au potentiel V et « émettant » un courant de vec➞ teur j radial uniforme et d’intensité linéique I ;

76

z source

d paroi

Doc. 42. Source bidimensionnelle en présence d’une paroi infinie parallèle à l’axe de la source.

3. Étude cinématique des fluides. Topographie de quelques éléments – le milieu sera un conducteur ohmique de conductivité g ; – le plan sera une paroi parfaitement isolante.

j

À chaque problème peut être associée une fonction scalaire g obéissant à l’équation de Laplace ∆ g = 0 , et une fonction vectorielle appelée courant telle que : —➞ ➞ j = – L grad g .

source

paroi

demi-espace 1

• Dans tout l’espace hormis la source, g obéit à ∆ g = 0 . • Il existe une source bidimensionnelle de courant de débit linéique D . • Le plan limite impose en tous ses points un vecteur courant tangent. • Le courant doit en outre s’annuler à l’infini.

problème (a)

Compte tenu des conditions aux limites, il existe une solution unique identique à tous ces problèmes.

j j1

j2

Cette solution unique peut elle-même être obtenue à partir d’un problème formellement équivalent, c’est-à-dire qui respecte les mêmes conditions aux limites. Or, considérons le problème (b) constitué de la superposition de la même source bidimensionnelle et d’une deuxième source identique, symétrique de la première par rapport à un plan coïncidant avec la paroi (qui dans ce deuxième problème n’existe plus) (doc. 43).

source 1

source 2

problème (b)

Doc. 43. Équivalence entre les problèmes (a) et (b) dans le demi-espace l.

Dans le problème (b), le vecteur courant s’obtient par superposition des courants ➞ ➞ j 1 et j 2 associés à chaque source. Au niveau du plan de symétrie, le courant résultant est tangent au plan, ce qui respecte la condition imposée sur la paroi dans le problème (a). Dans le demi-espace situé du côté de la source, les problèmes (a) et (b) ont donc ➞ la même solution. Les lignes de courant j et la grandeur g associées au problème (a) résultent de la superposition des mêmes grandeurs associées à deux sources identiques symétriques par rapport à la paroi : ➞ ➞ D D er1 er 2 ➞ j = + ;g= ln r1r2 + cte. 2π L 2π r1 r2 Concrètement, dans le cas d’un écoulement de fluide : ➞ ➞ Dv er1 er 2 Dv ➞ + ;F= ln r1r2 + cte. v= 2π r1 r2 2π

Doc. 44. Champ des vitesses de l’écoulement d’une source face à un plan.

77


▲

La carte de l’écoulement est représentée sur le document 44.


CQFR ● CHAMP DES VITESSES D’UN FLUIDE • Pour un écoulement quelconque, l’évolution d’un système élémentaire de fluide combine trois aspects locaux : dilatation, rotation et déformation.

•

Dilatation Localement, le taux de variation relative de volume par unité de temps est égal à la divergence du champ des δ (∆τ) vitesses : 1 = divv➞. Le champ des vitesses d’un fluide nous renseigne sur sa dilatation par l’intermédiaire δt ∆τ de sa divergence. ➞ Si div v = 0 , nous sommes en présence d’un écoulement incompressible :

•

Dr =0. Dt

Rotation

Localement, le champ des vitesses d’un fluide peut être semblable à celui d’un solide de vecteur rotation instan–➞ tanée . Cette rotation particulière (tourbillon) du fluide en un point M existe si le rotationnel du champ des –➞ –➞ ➞ vitesses : — rot v➞ =2 ( représentant le vecteur tourbillon) est non nul. Localement, le champ des vitesses d’un fluide renseigne sur l’existence de tourbillons dans ce fluide par l’intermédiaire de son rotationnel. –➞ ➞ Le vecteur tourbillon = 1 — rot v➞ mesure la rotation locale d’une particule de fluide. 2

•

Caractéristiques d’un écoulement

Un écoulement pour lequel le champ des vitesses eulérien est indépendant de t est appelé écoulement stationnaire (indépendant du temps) : v➞ = v➞ (M) avec

∂v➞ ➞ =0. ∂t

Dans un écoulement stationnaire, le débit massique est le même à travers toute section d’un tube de courant. Un écoulement incompressible est un écoulement pour lequel div v➞ est nulle partout : divv➞(M, t) = 0. Dans un écoulement incompressible, le débit volumique est conservé à travers toute section d’un tube de courant. © Hachette Livre, H-Prépa Mécanique des fluides, 2e année, PC et PSI, La photocopie non autorisée est un délit.

Dans un écoulement non tourbillonnaire, le vecteur tourbillon est nul en tout point de l’espace, v➞ est à circulation conservative et les lignes de courant ne peuvent être fermées. Si le vecteur tourbillon est non nul en au moins un point donné de l’espace, l’écoulement est dit tourbillonnaire. • La composante normale de la vitesse d’un fluide par rapport à un obstacle fixe est nulle. ●

ÉCOULEMENTS NON TOURBILLONNAIRES

• Un écoulement non tourbillonnaire est dit potentiel : en tout point de l’écoulement, le potentiel de vitesses φ est —➞ tel que v➞ = grad φ . • Si l’écoulement est incompressible, Φ obéit à l’équation dite de Laplace : ∆φ = 0 .

78


CQFR ●

ANALOGIE ÉLECTROSTATIQUE

• Champ des vitesses d’un fluide en écoulement potentiel (non tourbillonnaire) et incompressible : —➞ —➞ v➞ = ➞ rot 0 , d’où il existe φ tel que v➞ = grad φ . div v➞ = 0 , soit ∆φ = 0 .

• Champ électrostatique dans une région vide de charges : ➞ —➞ —➞ ➞ ➞ rot E = 0 , d’où il existe V tel que E = – grad V . ➞ div E = 0 , soit ∆V = 0 . ●

ANALOGIE MAGNÉTOSTATIQUE

• Champ des vitesses d’un fluide en écoulement incompressible et tourbillonnaire : —➞ v➞= 2 —➞ et div v➞= 0 . rot • Champ magnétostatique :

●

—➞ B➞ = µ ➞j et div B➞ = 0 . rot 0

SOURCES OU PUITS BIDIMENSIONNELS

Le champ des vitesses d’une source bidimensionnelle de débit linéique Dv est égal à : v➞ = Ce champ dérive du potentiel φ = ●

Dv ➞ e . 2π r r

Dv ln r + K . 2π

DIPÔLE HYDRODYNAMIQUE

Un dipôle hydrodynamique est constitué par la superposition d’un puits (– Dv ) et d’une source (+ Dv ) bidimensionnels très proches (distance 2d) l’un de l’autre vis-à-vis des distances r d’observation.


Le potentiel du champ des vitesses est donné dans un système de coordonnées cylindriques par : Dv d cosq Φ=– . π r L’association de champs élémentaires (uniforme, dipolaire, bi ou tridimensionnel, etc.) permet de réaliser, par superposition, des écoulements cinématiquement acceptables autour d’obstacles.

79

Contrôle rapide Avez-vous retenu l’essentiel ? ✔ Donner la relation entre div v➞ et la variation de volume de la particule de fluide. ✔ Quelle est la relation entre le vecteur tourbillon et la vitesse v➞ ? ✔ Définir (sans utiliser d’équations !) – un écoulement stationnaire ; – un écoulement incompressible ; – un écoulement potentiel.

Du tac au tac (Vrai ou faux) 1. Un écoulement incompressible est tel que : Dr ❑ a. =0; Dt ➞ ❑ b. div v = 0 ; ➞

❑ c. rot v➞ = 0 ; ➞ ∂ r ➞ —➞ ❑ d. + v . grad r = 0 . ∂t


2. Le vecteur tourbillon est défini par : —➞ —➞ ➞ ❑ a. rot = 0 ; —➞ (2 —➞) = v➞ ; ❑ b. rot —➞ —➞ ➞ ❑ c. (2 ) = rot v ; —➞ v➞ . ❑ d. = rot 2 3. Un écoulement potentiel est tel que : —➞ ➞ ❑ a. = 0 ; —➞ —➞ ❑ b. = grad y ; —➞ ❑ c. v➞ = grad y ; ➞ — ❑ d. v = rot y . ➞➞

Solution, page 83.

80

Exercices 1) Pour chaque cas caractériser l’écoulement (compressible ? tourbillonnaire ?). Existe-t-il un potentiel des vitesses ? Pour cet écoulement, déterminer : a) l’équation des lignes de courant ; b) l’équation des trajectoires. Commenter. 2) Calculer l’accélération d’une particule de fluide. 3) Représenter l’évolution d’un « carré » de fluide de côté a entre les instants t et t + d t . Commenter.

Écoulement entre deux cylindres en rotation Ω2

O

v

Ω1 r

B v➞ =  Ar +  e➞q .  r Ce champ des vitesses correspond-il à : • un écoulement stationnaire ? • un écoulement incompressible ? • un écoulement avec tourbillons ? Vérifier si les conditions aux limites sur les deux cylindres sont correctes. Existe-t-il un potentiel des vitesses ?

Écoulement au-dessus d’un plan oscillant L’écoulement entre un plan oscillant (y = 0) et l’infini (y infini) est donné par le champ eulérien des vitesses suivant (coordonnées cartésiennes) :

y

v x

Ce champ des vitesses correspond-il à : • un écoulement stationnaire ? • un écoulement incompressible ? • un écoulement avec tourbillons ? Vérifier si les conditions aux limites sont correctes. Existe-t-il un potentiel des vitesses ?

On s’intéresse aux trois écoulements suivants : • cas A : v➞ = (kx, ky, 0) ; • cas B : v➞ = (ky, kx, 0) ; • cas C : v➞ = (– ky, kx, 0).

∂ψ —➞ ➞ = v y , soit v➞ = rot (y e z ) ∂x —➞ 2) Montrer qu’alors v➞. grad (y) = 0 et en déduire que les courbes d’équation y = cte s’identifient aux lignes de courant. et

–

*

Solide de Rankine

écoulement uniforme

v = v 0 ex

y v M(x, y) O

∂ψ =vx ∂y

1) Une source ponctuelle tridimensionnelle située en O , origine du système de coordonnées sphériques, émet un fluide incompressible dans toutes les directions de l’espace, de manière isotrope, avec un débit volumique Dv constant.

Écoulement bidimensionnel : v➞(vx(x, y), vy(x, y), 0)

v➞ = (vx(x, y), vy(x, y), 0) .

1) Montrer qu’à tout écoulement plan incompressible défini en coordonnées cartésiennes par v➞(vx, vy) , il est possible d’associer une fonction scalaire y (fonction courant) telle que :

3) Appliquer ce résultat aux écoulements définis par les champs de vitesse suivants : a) v➞(ky, kx) ; b) v➞(– ky, kx).

v➞ = a e– ky cos(w t – ky) e➞x .

Le champ eulérien des vitesses d’un écoulement bidimensionnel est donné par (en coordonnées cartésiennes) :

Fonction de courant d’un écoulement plan incompressible

x


L’écoulement entre deux cylindres, d’axe (Oz), en rotation est donné par le champ eulérien des vitesses suivant (coordonnées cylindriques) :

source ponctuelle S

a) Déterminer le champ des vitesses v➞1 associé à cet écoulement. b) Cet écoulement est-il stationnaire ? c) Existe-t-il un potentiel j1 des vitesses ? d) L’écoulement est-il incompressible ? Quelle est l’équation des lignes de courant ? 2) On superpose à l’écoulement précédent un écoulement uniforme de la forme v➞2 = v0 e➞x . a) Déterminer le champ v➞ des vitesses résultant. b) Ce champ des vitesses est-il celui d’un écoulement incom-

81

Exercices pressible en dehors de la source ? —➞ c) Existe-t-il un potentiel j (v➞ = gradj) des vitesses ? d) Établir l’équation générale des lignes de courant. e) Montrer qu’il existe un point d’arrêt (point de vitesse nulle). Déterminer l’équation des lignes de courant passant par ce point. f) Montrer qu’on obtient le même écoulement en introduisant dans un écoulement uniforme un solide de révolution bâti à partir des lignes de courant définies dans la question précédente : ce solide est appelé solide de Rankine.

Écoulement rotationnel, évolution d’un rond de fumée Un rond de fumée exhalé par un « malheureux » fumeur est modélisé par un tore (de centre C, d’axe (Cz) et de rayon moyen R) de section circulaire (de rayon e, donc de section s = πe2 ). On admet que e << R. Le fluide qui le constitue forme un « ensemble » qui évolue localement avec une vitesse —➞ angulaire constante = W e➞q . Ce fluide peut être considéré en écoulement incompressible.

Le « malheureux » fumeur exhale un rond de fumée de diamètre R1, de vorticité W , puis un deuxième de diamètre R2 (inférieur à R1) et de même vorticité W , qu’observe-t-on ? Comment peut-on expliquer le comportement des tourbillons sur les photos précédentes ?

Écoulement le long d’un dièdre 1) Un fluide incompressible de masse volumique uniforme r s’écoule selon un écoulement plan (la vitesse reste normale à la direction de e➞z ). a) Montrer qu’il existe une fonction y (M, t) appelée fonction courant telle que : —➞ v➞ = grad y e➞z . b) Quelle est la propriété vérifiée par y le long d’une ligne de courant ?

z M pW C la section du tore est un cercle de rayon e

pW


A. Champ des vitesses 1) Rappeler les équations locales vérifiées par le champ eulé➞ rien v des vitesses. 2) En faisant une analogie magnétique : a) quel est l’analogue du rond de fumée ? —➞ b) quelle relation intégrale lie v➞ et ? 3) En déduire une expression de la vitesse induite par le rond de fumée en un point M de l’axe (Cz). B. Évolution de deux ronds de fumée

ey z α x

c) La couche de fluide a une épaisseur h dans la direction de l’axe (Oz). Comment exprimer le débit volumique Dvol dans un tube de courant au moyen de la fonction y ? d) L’écoulement est, de plus, potentiel. Montrer que y (M, t) vérifie l’équation de Laplace. 2) L’écoulement est guidé par un dièdre constitué de deux parois verticales planes qui se coupent selon l’axe (Oz) ; l’angle du dièdre est a . On suppose que l’écoulement permanent, incompressible et potentiel a l’allure représentée sur le schéma ci-dessus. a) On cherche une solution de la forme : y (M) = Kr p f (q) en utilisant les coordonnées cylindriques dont l’axe (Oz) coïncide avec l’arête du dièdre. Déterminer la constante réelle p et la fonction f (q). b) Exprimer le champ des vitesses v➞(r, q). c) La vitesse est égale à v 0 le long des parois à une distance r0 de l’axe (Oz). Calculer la constante K. d) Quelle est la valeur de la vitesse au voisinage de l’arête du dièdre ? Commenter ce résultat en l’appliquant à une rivière. 2y ∂y On donne : ∆y (r, q) = 1 ∂ r + 12 ∂ 2 . r ∂r ∂r r ∂q

82

Corrigés Solution du tac au tac, page 80. 1. Vrai : a, b, d ; Faux : c

2. Vrai : c, d ; 3. Vrai : a, c ;

Faux : a, b Faux : b, d.

dx dy , d’où x = Ay , ce sont des droites « radiales », passant par le point = kx ky (x = 0, y = 0) . ➞

B ➞ ➞ L’écoulement v =  Ar +  e q caractérise :  r ➞ ➞ • un écoulement stationnaire puisque le champ des vitesses v (r , t) ne dépend pas explicitement du temps ; ➞ ➞

➞

• un écoulement incompressible, car la vitesse est de la forme v (r ) = f (r) e q et donc à divergence nulle (cf. Annexe) ; ➞

• un écoulement tourbillonnaire, de vecteur tourbillon W . —➞ ➞ —➞ ➞ —➞ ➞ En effet, en appliquant la formule rot ( f A ) = f rot A + grad f A , on obtient : ➞

eq .

—➞ ➞ ➞ D’après le formulaire, rot eq = 1 e z . r ➞ ➞ —➞ ➞ ➞ ➞ rot v = 2Ae z = 2W . W = Ae z . ➞ —➞ ➞ On remarque qu’on a bien div W = div 1 rot v = 0. 2 Cet écoulement respecte les conditions aux limites : la vitesse est bien tangente aux ➞ deux cylindres. Comme W est non nul, il n’existe pas de potentiel des vitesses.

La trajectoire d’une particule, initialement en M0(X0 , Y0) à t = 0 , est donc : X(t) = X0 ekt et Y = Y0 ekt . Si on élimine t entre ces deux y expressions, on obtient : X X (t ) = 0 Y (t ) , Y0 c’est-à-dire qu’on retrouve une droite radiale passant par les points (0,0) et M0(X0 , Y0) . En régime stationnaire, les trajectoires et les lignes de courant sont identiques.

2) L’accélération particulaire peut s’obtenir : • soit par double dérivation par rapport au temps de la trajectoire d’une particule : ax =

➞

d 2 X 2 kt 2 d 2Y 2 kt 2 et = e = ( ) a = = k Y0 e = k Y (t ) ; k X k X t 0 y d t2 d t2

➞

L’écoulement v = a e– ky cos(w t – ky) e x caractérise :

➞

➞

• un écoulement non stationnaire, puisque le champ des vitesses v (r, t) dépend explicitement du temps ; ➞

• un écoulement incompressible, car div(v ) =

∂v x = 0; ∂x

x

• soit par application de a =

➞ ➞ ➞ — ∂v + (v . grad)v = ∂t ➞

➞

aussi à a = (k2x, k2y) . 3) Dans le référentiel lié au sommet O(0,0) du carré, on cherche la position des points A(a, 0) , B(0, a) et C(a, a) à l’instant t + d t .

➞

y

• un écoulement tourbillonnaire, de vecteur tourbillon W (dépendant du temps), tel que : ∂v ➞ ➞ ➞ 2W = − x e z = ka e– ky [cos(w t – ky) – sin(w t – ky)]e x . ∂y

y B(0, a)

➞

On remarque qu’on a bien div(W ) = 0 . Cet écoulement respecte en outre les conditions aux limites : • la vitesse est tangente au plan oscillant en y = 0 ; • la vitesse tend vers 0 quand y tend vers l’infini.

O

➞

Comme W est non nul, il n’existe pas de potentiel des vitesses. Cas A : 1) L’écoulement est stationnaire, car le champ des vitesses ne dépend pas explicitement du temps.

➞

➞ ➞

C kadt

C(a, a)

kadt

x

x

O

A(a, 0)

A

Pendant le temps d t , A s’est déplacé de ka d t sur l’axe (Ox), B de ka d t sur l’axe (Oy) et C des deux à la fois. Le carré initial reste un carré à l’instant t + dt .

Cas B : 1) L’écoulement est stationnaire.

➞

L’écoulement est irrotationnel, car 2 W = rot (v ) = 0 . ➞

B

La surface, primitivement égale à a2 , devient a2(1 + k d t)2 : il y a dilatation, sans déformation.

L’écoulement est compressible, car div v = 2k est non nul. ➞

 ∂ ∂ ➞  k x + k y  v , qui conduit ∂y   ∂x


—➞ ➞ ➞ —➞ ➞ rot v = Ar + B rot eq + A – B2 e r r r

b) Les trajectoires R (t) = (X(t), Y(t)) s’obtiennent par intégration des équations suivantes : dX dY = k X et = kY. dt dt

➞

—➞

Comme W est nul, il existe un potentiel f des vitesses tel que v = grad f : 1 ∂φ ∂φ = v x = k x et = v y = k y , soit f = k (x2 + y2) + cte . 2 ∂x ∂y a) Les lignes de courant s’obtiennent par intégration de l’équation différentielle

➞

L’écoulement est incompressible, car div v = 0 . ➞

➞ ➞

➞

L’écoulement est irrotationnel, car 2 W = rot (v ) = 0 . Comme il n’y a pas de tourbillons, il existe un potentiel f des vitesses tel que : ➞

—➞

v = grad f , d’où

∂φ ∂φ = v x = k y et = v y = k x , soit f = k x y + cte . ∂x ∂y

83

Corrigés ➞

a) Les lignes de courant s’obtiennent par intégration de l’équation différentielle dx dy , d’où : x2 – y2 = A ; ce = ky kx y

L’écoulement est incompressible, car div v = 0 . ➞ ➞ ➞ ➞ ➞ ➞ L’écoulement est tourbillonnaire, car 2 W = rot (v ) = 2kez , soit W = kez . Il est impossible de définir un potentiel des vitesses.

sont des hyperboles dans le cas où A ≠ 0. Si A = 0, y = ± x, on obtient deux droites.

a) Les lignes de courant s’obtiennent par intégration de l’équation différentielle : dx dy − = , d’où x2 + y2 = A ; ce sont des cercles centrés en O . ky kx

x

b) Les trajectoires s’obtiennent par intégration des équations :

b) Les trajectoires s’obtiennent par intégration des équations :

dX dY = – k Y (t ) et = k X (t ) , dt dt

dX dY = k Y (t ) et = k X (t ) , dt dt d2 X 2 = k X , soit X(t) = a ekt + b e– kt et Y(t) = a e kt – b e– kt . Sachant dt2 qu’à t = 0 , X(t) = X0 et Y(t) = Y0 , on a X0 = a + b et Y0 = a – b , ce qui donne : X +Y X −Y X +Y X −Y X (t ) = 0 0 e kt + 0 0 e − kt et Y (t ) = 0 0 e kt − 0 0 e − kt . 2 2 2 2 d’où

On élimine le temps entre ces équations, cela donne : 2

soit X(t) = a cos(kt) + b sin(kt) et Y(t) = a sin(kt) – b cos(kt) . Sachant qu’à t = 0 , X(t) = X0 et Y(t) = Y0 , on a X0 = a et Y0 = – b , ce qui donne : X(t) = X0 cos(kt) – Y0 sin(kt) et Y(t) = X0 sin(kt) + Y0 cos(kt) .

En régime stationnaire, les trajectoires et les lignes de courant sont identiques. 2) L’accélération particulaire peut s’obtenir : • soit par double dérivation par rapport au temps de la trajectoire d’une particule : d 2 X 2 kt d 2Y 2 − kt 2 2 = k [ a e + b e ] = k X et ay = 2 = k Y ; dt dt

On élimine le temps entre ces équations, cela donne : X2 + Y2 = X 20 + Y 20 = cte . En régime stationnaire, les trajectoires et les lignes de courant sont identiques. 2) L’accélération particulaire peut s’obtenir : • soit par double dérivation par rapport au temps de la trajectoire d’une particule : ax =

➞ ➞ ➞  ∂ ∂ ➞ ➞ — ∂v + (v . grad)v =  k y + k x  v , qui conduit • soit par application de a = ∂t ∂y   ∂x ➞

d2 X d 2Y 2 et = − ( ) a = = – k 2 Y (t ) ; k X t y dt2 dt2

➞

aussi à a (k2x, k2y) .

➞

3) Dans le référentiel lié au sommet O du carré, on cherche la position des points A(a, 0) , B(0, a) et C(a, a) à l’instant t + d t . y

C


• soit par application de a =

∂ ∂ ➞ ∂v ➞ —➞ ➞  + (v . grad)v =  − k y + k x  v , qui conduit ∂x ∂y  ∂t 

➞

aussi à a (– k2x, – k2y) . 3) Dans le référentiel lié au sommet O du carré, on cherche la position des points A(a, 0) , B(0, a) et C(a, a) à l’instant t + d t .

kadt B

x

d2 X = – k 2 X (t ) , dt2

d’où :

2

x2 – y2 = X0 – Y0 = cte .

ax =

y

carré à l’instant t « carré » à l’instant t + dt

y B

C

carré à t + dt

kadt carré à t

A O

kadt

x A

Pendant le temps d t , A s’est déplacé de ka d t sur l’axe (Oy), B de ka d t sur l’axe (Ox) et C des deux à la fois. Le carré initial devient un losange à l’instant t + d t : il y a déformation dans l’écoulement. La surface, primitivement égale à a2 , n’est pas modifiée : l’écoulement est incompressible.

Pendant le temps d t , A s’est déplacé de ka d t sur l’axe (Oy), B de – ka d t sur l’axe (Ox) et C des deux à la fois. Le carré initial reste un carré à l’instant t + dt .

Cas C : 1) L’écoulement est stationnaire, car la vitesse ne dépend pas explicitement du temps.

Sa surface n’a pas varié (incompressibilité), mais le carré a tourné de l’angle da = k d t autour de l’axe (Oz).

84

O

dα

kadt

x


On remarque que le champ des vitesses de cet écoulement est identique au champ des ➞ vitesses d’un solide en rotation à la vitesse angulaire W autour du point O .

ey q O

1) La solution est en fait la démonstration de la réciproque. Si le fluide est incompressible, alors div v = 0 . Il existe donc un champ vectoriel A tel que ➞ ➞ — ➞➞ ➞ v = rot A . L’écoulement étant plan, on peut choisir A = y (x, y) e z , d’où : ∂ψ ∂y et v y = – . ∂x dy

 ∂ψ   ∂ψ  ∂  ∂ −  y ∂    ∂ x  ∂2ψ ∂2ψ ∂v ➞ divv = x + = 0. = + = − ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y∂x ∂v y

On est donc en présence d’un écoulement incompressible. ➞

—➞

x

b) Un champ uniforme étant à divergence nulle, ce champ des vitesses est évidemment à divergence nulle, sauf en r = 0 . c) Il existe un potentiel des vitesses. Le potentiel j2 du champ uniforme peut s’écrire D j2 = v0 x , ce qui donne ϕ = − v + v 0 x . 4π r

Réciproquement :

2) v . grad y = v x

yex

➞

➞

vx =

ey r

M

r q

d) Les lignes de courant sont dans un plan méridien donc f = cte . Dans ce plan, l’équation des lignes de courant est solution de l’équation différentielle : dr r dθ = , que l’on peut écrire : Dv − v 0 sin θ v cos + θ 0 4π r 2

∂ψ ∂ψ + v y = −v xv y + v yv x = 0 . ∂x ∂y

—➞

Dv dθ + v 0 r cosθ dθ + v 0 sinθ d r = 0 . 4π r ➞

Les courbes y = cte orthogonales à grad y sont donc colinéaires à v : ce sont bien les lignes de courant. ➞

3) a) Le champ des vitesses v (ky, kx) est un champ à divergence nulle ; il est donc possible de définir la fonction courant y : y (x, y) = k(y2 – x2 ) . On retrouve bien les équations des lignes de courant vues dans l’exercice 3. ➞

b) Le champ des vitesses v (– ky, kx) est un champ à divergence nulle ; il est donc possible de définir la fonction courant y : y (x, y) = k(y2 + x2) . On retrouve bien les équations des lignes de courant vues dans l’exercice 3.

En multipliant cette quantité par r sin q , on obtient : Dv sinθ dθ + v 0 r 2sinθ cosθ dθ + v 0 sin 2θ r d r = 0 , c’est-à-dire d [ f (r, q)] = 0 , 4π Dv v r 2 sin 2 θ cosθ + 0 = C , équation générale des 4π 2 lignes de courant présentées sur le schéma ci-après. (donc f (r, q) = C) avec f (r, θ ) = −

y 0,4

1) a) L’analogie avec le champ électrique d’une charge ponctuelle est

0,2

immédiate. La symétrie sphérique impose un champ des vitesses est de la forme ➞ ➞ v 1 = v (r) u r . Par application d’un « théorème de Gauss » de la physique des fluides :

0

Dv ➞ er . 4π r 2

b) Cet écoulement est stationnaire, car le champ des vitesses ne dépend pas explicitement du temps. c) Le rotationnel de ce champ est nul (c’est un champ de nature électrostatique), donc D —➞ il existe un potentiel j tel que v➞1 = grad j1 avec ϕ1 = − v . 4π r d) Ce champ des vitesses est celui d’un écoulement incompressible (sauf en r = 0) : K ➞ div  2 ee r = 0 si r > 0 ; pour r = 0 , cette quantité est infinie (source du champ). r Les lignes de courant sont des droites passant par le point origine O (q = cte et f = cte) . 2) a) En coordonnées sphériques d’axe (Ox), le problème, invariant par rotation autour de l’axe (Ox), est indépendant de f . ➞

➞

v = v0 e x +

➞ Dv ➞  Dv ➞ e r =  2 + v 0 cosθ  e r – v0 sinq e q . 4π r 2  4π r 

–0,2 –0,4 x –0,4 –0,2

e) On sait que v➞ = v0 e➞x +

0

0,2

0,4

0,6

0,8

 Dv ➞  Dv e r =  2 + v 0 cosθ  e➞r – v0 sinq e➞q . 4π r 2  4π r 

v = 0 impose donc q = π et r0 =

Dv . 4 πv 0

Dans le plan de la figure , la ligne de courant passant par ce point d’arrêt a pour équation : D v r 2 sin2q Dv – v cosq + 0 = 4π 4π 2 soit :

r2 =

Dv 1 + cosθ . 2 πv 0 sin 2 θ

On remarque que si r devient infini, q tend vers 0 (ou π). Loin de la source, les lignes de courant sont des droites.

85


➞

4 π r2v (r) = Dv , soit v 1 =

source ligne de courant passant par le point d’arrêt

point d’arrêt

Corrigés y

A.1) Les équations locales vérifiées par le champ eulérien v➞ des vitesses sont

—➞

➞

➞

div v = 0 (écoulement incompressible), et rot v➞ = 2W (les sources du champ des vitesses sont les tourbillons).

1,2 0,9

2) L’analogie avec le champ magnétique est justifiée par la similitude des équations ➞ locales et des conditions aux limites (champ nul à l’infini) ; B joue le rôle de la vitesse ➞ ➞ ➞ v , et j v (densité volumique de courant) celui de W .

0,6 0,3 0

—➞

➞

—➞ ➞

➞

Sachant que rot v➞ = 2W , et rot B = m0 j v , il faudra remplacer « m0 » par « 2 ». a) L’analogue du rond de fumée est donc une spire de dimension transversale non négligeable, parcourue par un courant I = jv π e 2. ➞ ➞ b) Par analogie avec B , la relation intégrale liant v➞ et W est :

–0,3 –0,6 –0,9 –1,2

x –1,2 – 0,8 – 0,4

0

v➞(M) = 1 2π

0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4

f) Cette question est une application directe de la matérialisation des lignes de courant en écoulement stationnaire. Toutes les lignes de courant obtenues à partir de la rotation autour de l’axe (Ox) de la ligne de courant passant par le point d’arrêt peuvent être matérialisées : on obtient un obstacle autour duquel s’écoule le fluide, selon des lignes de courant identiques à celles de l’écoulement obtenu précédemment par superposition.

➞

sources de W

➞

W (P) dt PM . PM 3

m I B = 0 sin3 a , avec sin a = 2R

R

6R2 + z 2

.

c) On en déduit l’expression de la vitesse induite par le rond de fumée en un point M de l’axe (Cz) : 2 2 2 R3 v = W πe = πWe R 3 . 3 R (R2 + z 2) 2 (R2 + z 2) 2 B. La suite des photos permet de modéliser l’interaction entre les deux ronds de fumée :

y 0,4

F o

0,2

2

solide de Rankine

0

1

–0,2 –0,4 x –0,4 –0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

Le champ des vitesses créé par le rond de fumée 1 met en mouvement le rond 2. Dès que 2 est passé devant 1, le même phénomène se produit, les vorticités étant identiques.


1)a) Le fluide étant incompressible : div v➞ = 0. Il existe donc un champ y

➞

vectoriel y tel que :

lignes ϕ = cte

—➞ ➞

v➞ = rot y .

➞

Comme v est de la forme : v➞ = v x (x, y, t)e➞x + v y (x, y, t)e➞y ,

0,4

➞

0,2 0 –0,2 –0,4 x –0,4 –0,2

86

0

0,2

0,4

0,6

0,8

il est donc possible de choisir y de la forme : ➞ y = y (x, y, t)e➞z ; ➞ ➞ — ➞ — e➞z étant un vecteur constant : rot y = grad y e➞z . On a donc montré l’existence d’une fonction scalaire y (M, t) telle que : —➞ v➞(M, t) = grad y e➞z . —➞ b) D’après l’expression précédente, v➞(M) est perpendiculaire à grad y , donc paral—➞ lèle aux surfaces y = cte, car grad y est perpendiculaire aux surfaces y = cte ; y = cte définit donc une ligne de courant. On le montre directement : ➞ Soit d le déplacement élémentaire le long d’une ligne de courant. Par définition : ➞ ➞ ➞ v d = 0.


➞ —➞ ➞ On en déduit : d ( grad y e➞z ) = 0 . On développe le double produit vectoriel : —➞ —➞ ➞ ➞ ➞ (d . e➞z ) grad y – ( grad y . d ) e➞z = 0 . ➞ d est ici normal à e➞z (écoulement plan) et donc : —➞ ➞ dy = grad y . d = 0 . y reste constant lors du déplacement le long d’une ligne de courant : les lignes de courant sont les lignes iso-y . c) On considère le tube de courant, de hauteur h selon e➞z , défini par les deux lignes de courant correspondant aux valeurs y 1 et y 2 de la fonction de courant.

z

y2 M2

dy

y1

M1

h

dyS

Le fluide étant incompressible, le débit volumique Dvol a la même valeur à travers toutes les sections de ce tube de courant. On considère la section passant par M1 et M2 . L’élément de surface a pour expression : ➞ ➞ ➞ ez . dS = h d M2

Dvol =

M1

➞

v➞. dS = h

M2 M1

v➞. ( d

➞

La fonction courant y (M) doit vérifier, dans le domaine de l’écoulement : • ∆y = 0 ; • y = 0 pour la ligne de courant limite qui longe le dièdre et passe en r = 0 ; en coordonnées cylindriques, cette ligne de courant est repérée par q = a , puis q = 0 pour tout r. On cherche une solution de la forme : y (M) = Kr p f (q) . ∂2y ∂y + 12 ∆y = 1 ∂ r r ∂r ∂r r ∂q 2 = K[ p2 f (q) + f (q)]r p–2 = 0 . Une telle solution existe si : soit

f (q) + p2 f (q) = 0 , f (q) = f1 sinpq + f2 cospq .

Les conditions aux limites imposent f (q)]r p indépendant de r pour q = 0 et q = a . La solution p = 0 impliquerait des lignes de courant radiales, ce qui ne correspond pas à la solution cherchée. Il faut donc imposer : f (0) = f (a) = 0, soit f2 = 0 et pa = kπ (k entier). En fait, seule la valeur k = 1 assure un écoulement de la forme cherchée. k = 2 donnerait, par exemple :

e➞z ) .

On permute les termes du produit mixte : M2 M1

➞

v➞ d = he➞z .

M2 M1

—

( grad➞ y

➞

e➞z ) d .

α

On développe le double produit vectoriel : Dvol = he➞z .

M2 M1

—

( grad➞ y . d ➞) e➞z = h(y 2 – y1) .

Le débit volumique est égal à la hauteur h multipliée par la variation de la fonction y . —➞ —➞ —➞ ➞ d) v➞ = grad y e➞z = rot (y e➞z ) , avec maintenant rot v➞ = 0 . Première méthode D’après les relations de composition des opérateurs vectoriels : —➞ ➞ —➞ —➞ —➞ rot v➞ = rot (rot (y e➞z )) = grad (div(y e➞z )) – ∆y e➞z = 0 . ➞ div(y e z ) = 0, car y est indépendant de z. On en déduit que la fonction courant y vérifie donc l’équation de Laplace : ∆y = 0. Seconde méthode —➞ On peut calculer directement rot v➞ à partir des coordonnées cartésiennes : ∂y ∂y ; v y (x, y, t) = – . v x (x, y, t) = ∂y ∂x ∂v y ∂v x ➞ —➞ – e rot v➞ = ∂x ∂y z =–

∂ 2y ∂ 2y ➞ + e z = – ∆y e➞z . ∂x2 ∂y2

Finalement, la solution cherchée correspond à p = π ; a π

y (M) = Kr a sin πq . a —➞ b) grad y = K π a —➞ v➞ = grad y

π a –1

sin πq e➞r + cos πq e➞q . a a π

–1 e➞z = K π r a cos πq e➞r – sin πq e➞q . a a a

c) De v = K π a

π a –1 , on tire la valeur de K. On obtient :

v➞ = v 0 r r0

π a –1

cos πq e➞r – sin πq e➞q . a a

d) Si a < π : v tend vers 0 au voisinage de l’arête et vers l’infini loin de l’arête. Les lignes de courant se resserrent lorsque r augmente.

rot v➞ = 0 implique donc ∆y = 0.

Si a > π : v tend vers l’infini au voisinage de l’arête et vers 0 loin de l’arête. Les lignes de courant se resserrent lorsque r tend vers 0.

2) a) Les lignes de courant sont tangentes aux parois solides. y a donc la même valeur en tout point de la paroi.

Si a = π : v➞ = v 0 (cosq e➞z – sinq e➞q ) = v 0 e➞x : comme on pouvait s’y attendre, la vitesse est uniforme.

—➞

➞

87


Dvol = he➞z .

Corrigés Les berges d’une rivière n’ont pas de points anguleux. On peut cependant extrapoler ces résultats : • à l’intérieur d’un coude (a > π), la vitesse est plus grande, d’où une plus forte érosion ;

a = 2π 3

a = 3π 2

lignes de courant


lignes de fluide

88

• à l’extérieur du coude, la vitesse est plus faible, et il se dépose des alluvions. La boucle du fleuve a donc tendance à évoluer si elle n’est pas stabilisée artificiellement.

4

Dynamique locale des fluides parfaits

O ■ ■ ■ ■

B

J

E

C

T

I

F

S

U

I

S

Équation d’Euler. Relations de Bernoulli. Formule de Torricelli. Effet Venturi.

P

R

É

R

E

Q


L’étude cinématique d’un fluide en écoulement fournit les outils nécessaires à la description du mouvement des particules de fluide, indépendamment des actions subies. L’étude dynamique permet de relier son mouvement aux contraintes s’exerçant au sein du fluide. De l’approche lagrangienne du mouvement d’une particule de fluide est déduite une équation locale liant les forces volumiques aux champs eulériens de pression et de vitesses du fluide : l’équation d’Euler. Dans certains cas simples, l’intégration de cette équation conduit à une équation de conservation pouvant revêtir différentes formes : les relations de Bernoulli, aux nombreuses conséquences pratiques.

Formalisme eulérien. Champ des vitesses eulérien d’un écoulement. ■ Dérivation particulaire. ■ Généralités sur les ondes. ■

■

89


1

Contraintes dans un fluide

dS

Σ

N

T

dFN dFT

1.1. Forces surfaciques 1.1.1. Modélisation des forces surfaciques Délimitons à l’intérieur d’un fluide une surface fictive fermée S . Que le fluide soit homogène ou non, les particules de fluide extérieures à S exercent des actions sur les particules intérieures, actions à courte portée et donc situées au voisinage de la surface S . Intéressons-nous à ces interactions. ➞

Soit un élément de surface d S de S : la résultante d F des forces exercées par les particules externes sur les particules internes possède en général une compo➞ ➞ sante normale d F et une composante tangentielle d F . Cette force élémentaire N T ➞ ➞ ➞ s’écrit d F = d FN + d F T (doc. 1).

Doc. 1. Contraintes➞ surfaciques au ➞sein ➞ ➞ d’un fluide. d S = N d S, d FN = – PN d S ➞ ➞ ➞ ➞ et d FT = k d S T (avec T ⊥ N ). quantité de mouvement des particules traversant dS

d S = dSN

La composante normale est appelée force de pression. Elle est proportionnelle à l’élément de surface considéré et est dirigée de l’extérieur de S vers l’intérieur. ➞

➞

La force de pression élémentaire est d F = – P(M, t) N d S . Le scalaire P(M, t) désigne la pression du fluide au point M. Rappelons (cf. H-Prépa, Thermodynamique, 1re année) que cette pression est la contribution de deux termes Pc et Pm (avec P = Pc + Pm) : • Pc (Pc > 0) est un terme cinétique dû au transfert de quantité de mouvement à travers la surface d S (doc. 2a) ; • Pm (Pm < 0) est un terme moléculaire dû à l’interaction entre les particules de part et d’autre de la surface (doc. 2b). 1.1.3. Composante tangentielle La composante tangentielle est appelée force de viscosité (ou de cisaillement). Comme son nom l’indique, elle est caractéristique des fluides réels visqueux, que nous étudierons en détail dans le chapitre 5. Cette composante n’existe pas dans le modèle du fluide parfait. Afin de considérer l’ensemble des contraintes existant dans un fluide, précisons néanmoins son origine. Une étude plus complète est abordée au chapitre 5.


N

Σ

1.1.2. Composante normale

Supposons qu’à l’échelle mésoscopique, la vitesse du fluide soit tangente à S , le fluide extérieur étant plus rapide que le fluide intérieur. Les particules extérieures « rapides » (ainsi que les particules intérieures « lentes ») traversant la surface d S (doc. 3) sont responsables d’une augmentation de la quantité de mouvement des particules à l’intérieur de la surface S . Ce transfert de quantité de mouvement peut être modélisé par l’action d’une force tangentielle à la surface d S telle que : ➞ ➞ —➞ d F T ext → int = h (grad v . ➞ n) dS T ➞

si v➞ = v T . Les veines de fluides « rapides » ont tendance à accélérer les veines « lentes » et inversement.

90

dF = –Pc NdS

➞

Doc. 2a. Le débit δp N de quantité de mouvement, dû aux particules qui traversent la surface dS pendant l’intervalle de temps ➞ ➞ δ t , est égal à δ p N = d FN δ t avec ➞ ➞ d FN = – Pc d S N . particules situées à l’extérieur de la surface S d F = –Pm NdS d S = dSN Σ

n Fext → int

particules situées à l’intérieur de la surface Σ

Doc. 2b. L’ensemble des interactions élé➞ mentaires Fext → int entre les particules intérieures et extérieures à la surface d S ➞ ➞ est décrit par d F = – Pm d S N (Pm < 0). particules appartenant à une veine supposée « rapide » située au-dessus de la surface S n

surface dS

d FT

Σ

particules appartenant à une veine supposée « lente » située à l’intérieur de S

Doc. 3. Les particules extérieures « rapides » traversant la surface d S sont responsables d’une diffusion de quantité de mouvement modélisable par l’action d’une force tangentielle à la surface d S ➞ ➞ telle que, si v = v T : ➞ ➞ —➞ ➞ d F T ext → int = h (grad v . n ) d S T .

4. Dynamique locale des fluides parfaits Dans l’hypothèse du fluide parfait, nous négligeons les forces de viscosité ; les forces surfaciques tangentielles sont nulles.

film d’eau savonneuse de surface totale Σ = 2S F = 2AL

1.1.4. Ouverture : forces de tension superficielle Les forces de tension superficielle sont hors programme ; mais quelques notions sommaires permettent de justifier très simplement certaines approximations que l’on utilise fréquemment en mécanique des fluides. À la surface « extérieure » d’un fluide (ou bien à l’interface entre deux fluides différents), il existe d’autres forces surfaciques : tout se passe comme si une membrane élastique matérialisait la surface du fluide. Pour mettre en évidence les effets de tension de surface, réalisons l’expérience suivante (doc. 4) : un film d’eau savonneuse supporté par un cadre rectangulaire horizontal, dont l’un des côtés est mobile. Ce côté mobile a tendance à se déplacer de façon à minimiser la surface. Les forces de tension superficielle agissent de manière à diminuer la surface extérieure du fluide. Ainsi en apesanteur une goutte de fluide est sphérique (doc. 5).

tige mobile

L

N

S

F = AL

S

F = AL

tige

Doc. 4. Les forces de tension superficielle agissent de manière à diminuer la surface 2 S du fluide.

g

➞

Cette petite expérience montre qu’il faut dépenser de l’énergie pour augmenter la surface d’un fluide (ou la surface de l’interface entre deux fluides). Le travail qu’il faut fournir pour augmenter cette surface S de d S (l’opérateur exerce alors la ➞ force – F ) est donnée par la formule δW = A d S .

Doc. 5. Goutte d’eau dans le champ de pesanteur terrestre (à gauche) et en apesanteur (à droite). cette particule est soumise à une force F dirigée vers le bas surface du fluide

Cette énergie est liée aux interactions entre particules. En effet, si nous voulons augmenter la surface d’un fluide, il est nécessaire d’amener des particules de fluide sur cette surface. Au sein d’un liquide, la résultante des forces d’interaction s’exerçant sur une particule est nulle. Au voisinage de la surface, elle est non nulle ; la particule a tendance à être attirée par le fluide (doc. 6). Pour amener cette particule à la surface, il faut donc dépenser de l’énergie ; cette énergie, proportionnelle au nombre de particules amenées en surface, est proportionnelle à la surface. Il existe donc une énergie liée à ce type d’interface (cf. H-Prépa, Thermodynamique, 2nd année). Cette force de tension superficielle est aussi responsable d’une différence de pression de part et d’autre d’une interface entre deux fluides distincts, ou le fluide considéré et l’extérieur. Cette différence de pression est fonction du rayon de courbure de la surface. Ainsi dans le cas d’une sphère de rayon R , cette différence de pression est donnée par la formule de Laplace (doc. 7) à l’interface entre deux fluides différents : 2A Pext − Pint = − . R Il n’est pas possible de négliger la tension superficielle pour les systèmes de petites dimensions comme les tubes capillaires ou les gouttelettes. Dans le cadre du programme, nous négligerons toujours les forces de tension superficielle et l’énergie qui leur est liée. La pression sera donc toujours une fonction continue des coordonnées spatiales.

F

la résultante des forces s’exerçant sur cette particule au sein du fluide est nulle

Doc. 6. Au voisinage de la surface, la résultante des forces s’exerçant sur une particule est dirigée vers le bas ; il faut donc dépenser de l’énergie pour l’amener vers cette surface. a)

air liquide R

Pext

b) air air


Cette force➞ d F s’exerçant sur un élément de longueur d L est donnée par la ➞ ➞ formule d F = A d L . N , d F est perpendiculaire à d L et A représente le coefficient de tension superficielle caractéristique des deux fluides en contact (doc. 4).

bulle de savon R

Pint

Doc. 7. Au voisinage immédiat de la surface, la pression intérieure est donnée par la formule de Laplace. A a. Liquide-air : Pint = Pext + 2 . R A b. Bulle de savon : Pint = Pext + 4 (car R il existe deux interfaces).

91


Application

1

Diamètre critique d’un tube (longueur capillaire) Soit un tube creux de diamètre intérieur D , au-dessus d’un liquide de masse volumique r , dans le champ de pesanteur g . Le coefficient de tension superficielle est noté A . Si le diamètre du tube est « petit », le liquide monte dans le tube (doc. 8a). a)

diamètre D

h eau

Doc. 8a. Le fluide monte dans un tube de section D faible devant Dc . b. q est l’angle de raccordement de la surface du liquide à la paroi du tube.

1) Estimer à partir de quel diamètre Dc (diamètre critique) il est possible de négliger l’influence de la tension de surface, en supposant que cette grandeur n’est fonction que de A , r et g . Calculer Dc pour l’eau. Données : r = 103 kg.m–3 ; A = 75.10–3 kg.s–2 ; g = 10 m.s–2 . 2) Estimer la hauteur h du fluide sachant que celle-ci est inversement proportionnelle au diamètre du tube. Calculer h si D = 1 mm . 1) Utilisons l’analyse dimensionnelle : [A] = [F].L–1 = M.T –2 ; [r] = M.L–3 ; [g] = L.T –2 ; © Hachette Livre, H-Prépa Mécanique des fluides, 2e année, PC et PSI, La photocopie non autorisée est un délit.

nous obtenons (en cherchant Dc sous la forme Dc = kAar bgg , k étant un facteur numérique sans dimension, dont on admettra qu’il est de l’ordre de l’unité) une expression devant toujours être homogène : = (Ma T –2a )(Mb L–3b )(Lg T –2g )

= Ma+b L–3b+g T –2a–2g , ce qui donne a = – b ; a = – g et 1 = g – 3b. 1 , c’est-à-dire 2 qu’il est possible de définir le diamètre critique par la La solution est unique : α = − β = −γ =

92

Pour l’eau : Dc =

θ

A (cette quantité est appelée longueur ρg

capillaire).

b)

g

L

formule Dc =

75.10 −3 = 7, 50 . 10 −6 ≈ 3 mm . 10 3.10

Avec de l’eau, si le diamètre du tube est très supérieur à 3 mm, il est possible de négliger les interactions de surface. Remarque Pour le mercure, nous aurions trouvé Dc = 2 mm . Si les gouttelettes de mercure sont de petit diamètre, elles ont une forme sphérique (prédominance des forces de tension superficielles), sinon elles ont une forme aplatie (prédominance des forces de pesanteur) (doc. 9). prédominance des forces de tension superficielle

prédominance des forces de pesanteur

Doc. 9. Goutte de mercure sur un sol horizontal.

2) Posons hD = cte . Par homogénéité, écrivons que Dc2 ; cela donne h = 3 mm . D Un raisonnement rigoureux nous aurait conduit à : hD = Dc2 , soit h =

h = 4 cos(θ )

Dc2 D

(loi de Jurin) avec cos(q) < 1 (doc. 8b). Nous obtenons donc un excellent ordre de grandeur grâce à un raisonnement simple. Ce type de raisonnement utilisant l’analyse dimensionnelle sera développé dans le chapitre 6, § 10.

4. Dynamique locale des fluides parfaits 1.2. Forces volumiques. Forces massiques Un élément de fluide de volume dt est également soumis à des forces volumiques : les forces de pesanteur par exemple. Ces actions sont ressenties par toutes les particules du fluide. Elles sont proportionnelles au nombre de particules, donc au volume élémentaire d t considéré. Nous les écrirons sous la forme : ➞ ➞ d f = fvdt . Ce sont des efforts volumiques. Ainsi au champ de pesanteur g➞ , nous associons la densité volumique de forces : ➞ f v = r g➞ . Ces forces volumiques sont proportionnelles au nombre de particules, donc aussi à la masse d m de l’élément de fluide. Nous introduisons ainsi une représentation massique de ces forces sous la forme : ➞

➞

➞

d f = fmdm = fmr dt , d’où l’équivalence :

➞

➞

fv = r fm .

➞

Aux forces de pesanteur, par exemple, est associée f m = g➞ . Un élément de fluide de volume d et de masse d m est soumis à des forces de représentation massique ou volumique selon l’expression : ➞

➞

➞

➞

d f = fm d m = fv d ➞

Pour les forces de pesanteur : f v =

avec f v = ➞

g

avec

➞

➞

fm .

f m = g➞ .

1.3. Équivalents volumiques. Équivalents massiques des forces de pression Nous avons vu (cf. H-Prépa, Thermodynamique, 1re année, chapitre 3) que les forces de pression possédaient un équivalent volumique. Rappelons-en la démonstration et son expression. ➞

Calculons la résultante d F des forces de pression s’exerçant sur le parallélépipède élémentaire de fluide de volume d t = d x d y d z représenté sur le document 10. La composante de cette force sur la direction de l’axe (Ox) est : ∂P dx dx     dFx = dy dz P x − , y, z − dy dz P x + , y, z = − dx dy dz .     2 2 ∂x

y

–P(x, y, z + dz )dydzez 2

x P(x – d x, y, z)dydzex 2 P(x, y –

–P(x, y +

M


z

dy , z)dxdzey 2

–P(x + dx , y, z)dydzex 2

dy , z)dxdzey 2 P(x, y, z – dz)dxdyez 2

Doc. 10. Parallélépipède élémentaire de fluide. Le point M est au centre de cet élément de volume d x d y d z .

93


Considérant les forces élémentaires exercées sur les six faces, nous voyons que : ➞

dF = −

∂P ∂P ∂P dx dy dz e➞x − dx dy dz e➞y − dx dy dz e➞z . ∂y ∂z ∂x

Cette force est identique à celle que subirait le volume d t s’il était soumis à une ➞ —➞ force volumique f v = – grad P : —➞ —➞ ➞ —➞ grad P grad P dm . d F = – grad P d t = – (r d t) = – r r Cet équivalent est utilisable pour calculer la résultante ou le moment des forces de pression appliquées à un élément entouré par le fluide. Les équivalents volumique et massique des forces de pression, d’origine surfacique, s’expriment sous la forme : ➞ —➞ • d’équivalent volumique : f v = – grad P ; —➞ ➞ • d’équivalent massique : f m = – grad P . Ces équivalents volumique ou massique ne sont pas utilisables pour calculer le travail des forces de pression. Dans ce chapitre, nous négligerons les forces de viscosité (hypothèse du fluide parfait) : les conditions de validité de cette approximation seront exposées dans le chapitre 6, grâce à l’utilisation d’un nombre sans dimension, le nombre de Reynolds : Re.

2

Équation d’Euler. Applications

Intéressons-nous à un fluide parfait sans viscosité.


2.1. Expression L’étude faite au §.1.1. permet d’appliquer le principe fondamental de la dynamique dans un référentiel galiléen à une particule de fluide de masse d m constante (cf. chapitre 1, § 1.2.3.). ➞ En appelant d F la résultante des forces extérieures, il vient : ➞ ➞ dm Dv = dF Dt ➞ D v où représente l’accélération de la particule (accélération particulaire). Dt ➞ La résultante d F de toutes➞ les➞forces extérieures subies par cet élément de masse ➞ d m s’écrit : d F = f v,totale d t = f m,totale d m . D v➞ ➞ = f m,totale Dt ou encore, en explicitant les diverses expressions de la dérivée particulaire : Ce qui nous donne :

—➞ ➞ ∂ v➞ —➞  v 2  —➞ ➞ ➞ D v➞ = ∂ v➞ + (v➞ . grad) v = + grad   + rot v ∧ v Dt ∂t ∂t  2 ➞ —➞  v 2  ➞ –➞ = ∂ v + grad   + 2W ∧ v➞ = f m,totale ∂t  2

–➞ 1 —➞ ➞ (en introduisant le vecteur tourbillon W = rot v ). 2

94

4. Dynamique locale des fluides parfaits En distinguant les forces massiques➞et les équivalents massiques dus uniquement aux forces de pression, cette force f m, totale se met sous la forme : —➞ ➞ ➞ grad P . f m, totale = f m – r —➞ ➞ —➞ ➞ Nous obtenons alors ∂ v + (v➞ . grad) v➞ = f m – grad P . r ∂t Cette équation est appelée équation d’Euler. L’équation d’Euler s’applique à un fluide parfait. Elle s’écrit : D v➞ ➞ = f m, totale . Dt Nous obtenons diverses expressions de l’équation d’Euler : —➞ —➞ ➞ ➞ grad P v➞ + (v➞ . grad ) v = fm – ; t —➞ —➞  v 2  ➞ –➞ ➞ grad P v➞ + [ grad ;  2  + 2 ∧ v ] = fm – t   v➞ + t

➞ —➞ —➞ (v➞ . grad ) v➞ = f v – grad P .

Avant d’étudier quelques exemples d’application de l’équation d’Euler, examinons de façon générale les conditions de résolution d’un problème de dynamique des fluides.

2.2. Recherche d’un système complet d’équations Du point de vue du fluide lui-même, les grandeurs locales a priori inconnues sont la vitesse v➞(M, t) , la pression P(M, t) et la masse volumique r (M, t) en tout point du fluide, soit cinq inconnues scalaires. L’équation d’Euler, vectorielle, fournit trois équations scalaires et la relation locale de conservation de la masse, une équation scalaire : il « manque » alors une équation pour pouvoir résoudre le problème.


Nous pouvons ajouter une équation en introduisant une équation d’état du fluide. Cependant, cette équation, généralement de type thermodynamique, introduit une nouvelle grandeur a priori inconnue, le champ de température T(M, t) . Il est donc nécessaire d’introduire une équation supplémentaire, équation de comportement du fluide au cours de l’écoulement (équation souvent également de nature thermodynamique). • Si le fluide est incompressible, alors r = cte est connue. • Dans le cas d’écoulements compressibles, des comportements de type isotherme ou isentropique par exemple peuvent être envisagés. Dans ces deux cas, l’expression des coefficients de compressibilité cT ou cS fournit une équation supplémentaire liant P et r , du type : 1  ∂ρ  1  ∂ρ  χ T =   et χ S =   . ρ  ∂P  S ρ  ∂P  T Remarque Dans les deux cas précédemment cités, ainsi que dans de nombreux écoulements, le comportement du fluide introduit une relation liant P et r uniquement : de tels écoulements sont dits barotropes.

95


Application

2

Champ de pression dans un vortex de Rankine Un liquide homogène, de masse volumique uniforme r, est surmonté d’une atmosphère à la pression uniforme P0 , et soumis au champ de pesanteur g➞ = – gu➞z . L’écoulement du liquide (analogue à celui de la tornade) est stationnaire et à symétrie de révolution autour de l’axe (Oz). Son champ de vitesses, en coordonnées cylindriques, est de la forme : • pour r < a : v➞ = r w u➞q ; • pour r > a : v➞ =

a 2ω ➞ u q (w étant constant) . r

La surface libre du liquide est en z = 0, très loin de l’axe de révolution. Déterminer le champ de pression P(r, z) au sein du liquide et en déduire la forme de la surface libre. L’équation d’Euler, en régime stationnaire, s’écrit ici : —➞ —➞  v 2  grad P –➞ ➞ ➞ [ grad   + 2 W ∧ v ] = – gu z – . r  2 –➞ —➞ rot v➞ = 2 W . Deux cas doivent être distingués : –➞ –➞ ➞ r < a : W = w u➞z et r > a : W = 0 . En projection sur u➞r et u➞z , l’équation d’Euler donne : • r < a : en projection sur u➞r : ∂P ; ρ r ω − 2ρ r ω = − ∂r 2

2

en projection sur u➞z : 0 = – ρg −

∂P ; ∂z


• r > a : en projection sur u➞r : − ρ

a 4ω 2 ∂P =− ; ∂r r3

∂P . ∂z (Remarquons que les particules de fluide étant en mouen projection sur u➞z : 0 = – ρg −

➞ vement circulaire uniforme, leur accélération D v est Dt

96

∂P = f (r) = + rrw 2 ∂r

D’où :

2 2 f (r) = + r r w + K. 2

• r > a, p = – rgz + g(r) avec 4 2 2 g (r) = a w g(r) = – 1 ra 4 w2 + K 2 r3 r Pour avoir K , il faut utiliser la condition aux limites : P( , 0) = P0, qui conduit à K = 0. De plus, la pression doit être continue en r = a, d’où : 2 2 2 r a w + K = – 1 ra 4 w2 . 2 2 a Finalement : ω2 2 (r − 2 a 2 ) ; • r < a : P(r, z ) = P0 − ρ g z + ρ 2

• r > a : P(r, z ) = P0 − ρ g z − ρω 2

a4 . 2r 2

L’équation de la surface libre est P(r, z) = P0 , soit : •r
ω2 2 (r − 2 a 2 ) ; 2g

•r>a: z=−

ω 2a4 . 2 gr 2

Dans le plan (u➞r , u➞z ), la trace de cette surface a la forme indiquée dans le document 11 (a = 0,5 ;

–2 –1,5 –1 –0,5 0 – 0,6 – 1,2 –1,8 –2,4

z 0,5

1

ω2 = 1). 2g

1,5

2 r

forme de la surface libre

–3,0 –3,6

v 2 (r ) ➞ er .) bien égale à − r

– 4,2

• r < a : ∂P = – rg s’intègre en P = – rgz + f (r) ∂z

–5,4

– 4,8

Doc. 11. Forme de la surface libre du vortex de Rankine.

4. Dynamique locale des fluides parfaits Dans la résolution des équations différentielles de l’écoulement, la recherche des solutions doit tenir compte de conditions aux limites déjà évoquées, tant au niveau de la vitesse que de la pression.

2.3. Ondes acoustiques dans les fluides Soit un fluide parfait compressible, où, au repos, la pression P0 et la masse volumique r0 sont constantes et uniformes. À des petits mouvements du fluide seront associées, en tout point M et à l’instant t , la vitesse v➞(M, t) , la pression P(M, t) et la masse volumique r (M, t) . Par souci de simplification, le problème sera supposé unidimensionnel, dépendant de la seule variable d’espace x (doc. 12) : P(x, t) = P0 + p (x, t) , r (x, t) = r0 + m (x, t) et v➞ = v (x, t) u➞x . Les mouvements du fluide sont donc longitudinaux. Dans l’hypothèse des petits p( x, t ) µ ( x, t ) v( x, t ) mouvements, les grandeurs et (c représentant la vitesse , P0 ρ0 c de propagation d’une perturbation, donc la vitesse du son) sont des infiniment petits du premier ordre. Pour fixer les idées, la surpression p engendrée par une onde 1 sonore intense est de l’ordre de quelques pascals, soit un de la pression 100 000

y M

z

0

x

x

Doc. 12. Tuyau sonore de section constante. En M à la date t , nous avons : P(M, t) = P0 + p (x, t) ; r (M, t) = r0 + m (x, t) ; v➞(M, t) = v (x, t) e➞x .

de repos P0 ! Tous les calculs seront donc linéarisés au premier ordre. En négligeant les forces de pesanteur, la linéarisation de l’équation d’Euler : —➞ ➞ —➞ ∂ v➞ r[ + (v➞ . grad) v ] = – grad P , ∂t donne ρ 0

—➞ ∂v ∂p =− ; le terme (v➞ . grad) v➞ , d’ordre 2, est négligeable. ∂t ∂x

Linéarisons l’équation de conservation de la masse : ∂v ∂ρ ∂µ =0. + ρ0 + div(rv➞ ) = 0 donne ∂t ∂t ∂x Remarque Dans cette dernière équation, nous avons négligé

∂µ v , terme « d’ordre 2 » devant ∂x


∂µ . Une discussion plus approfondie de cette approximation est abordée dans ∂t l’ouvrage sur les ondes (cf. H-Prépa, Ondes, 2de année, chapitre 4). Retenons simplement ici que cette approximation est tout à fait légitime. Ces deux équations sont insuffisantes pour résoudre le problème. L’hypothèse thermodynamique d’une évolution isentropique et l’utilisation du coefficient cS correspondant ajoutent l’équation : 1  ∂ρ  1 µ χS =   ≈ . ρ  ∂P  S ρ 0 p ∂p ∂v + ρ0 = 0 , soit, après déri∂t ∂x vation par rapport à t et report dans l’équation d’Euler : La conservation de la masse donne alors ρ 0 χ S

∂2 p ∂2 p =0. 2 − ρ0 χ S ∂x ∂t 2

97


La même équation serait obtenue pour v . Dans ce problème, la surpression p et la vitesse v obéissent à l’équation de d’Alembert : ∂2 p 1 ∂2 p ∂ 2v 1 ∂ 2v 1 et − 2 2 = 0 avec c = . 2 − 2 2 =0 2 ρ ∂x c ∂t ∂x c ∂t 0 χS La surpression et la vitesse ont donc une structure d’onde plane. Une perturbation de pression se propage avec une vitesse égale à c . L’étude détaillée des problèmes associés aux ondes sonores est traitée dans l’ouvrage sur les ondes (cf. H-Prépa, Ondes, 2de année). Pour s’entraîner : ex. 3.

2.4. Intégration de l’équation d’Euler le long d’une ligne de courant L’équation d’Euler est souvent utilisée en l’intégrant le long d’une ligne de courant. Pour ce faire, utilisons la deuxième forme de l’équation en multipliant sca➞ ➞ lairement les deux membres par l’élément d d’une ligne de courant (d // v➞) (doc. 13) : ➞ –➞ ➞ ∂ v➞ (M, t) ➞ —➞  v 2  ➞ grad P . d ➞ . ➞ . d + grad   . d + 2(W ∧ v ) . d = fm – ∂t ρ  2

Le troisième terme est nul puisque d ∂ v➞ (M, t) ➞ —➞ . d + grad ∂t

➞

est colinéaire à v➞ , ce qui donne :

y

v (M, t) M

d

ligne de courant à la date t x

O ➞

Doc. 13. L’élément de longueur d (en M) est choisi parallèle à la vitesse v➞(M, t) en ce point, c’est-à-dire porté par la ligne de courant passant par M à la date t .

➞ v2  ➞ grad P ➞ .d .  2  . d = fm – ρ  

➞

Très souvent, les forces massiques f m dérivent d’une énergie potentielle ePm (ellemême massique) de sorte que : ➞ —➞ f m = – grad ePm . ➞


➞ Pour les forces de pesanteur, par exemple, f m = g . Dans le cas d’un champ de pesanteur uniforme, et avec le choix d’un axe vertical ascendant (Oz), dont l’origine est également celle des énergies potentielles : ➞ —➞ f m = – grad (g z) et ePm = g z .

En rassemblant les deux gradients, l’équation devient : —➞  ➞ grad P ➞ ∂ v➞ (M, t) ➞ —➞  v 2 . d + grad  + ePm  . d + r . d = 0 . ∂t 2  Or pour une fonction F :

➞ —➞ dF = grad F . d .

y

➞ —➞ v 2 v2 + ePm . d = d + ePm . Donc grad 2 2 Puis, par intégration à la date t entre deux points A et B d’une ligne de courant (doc. 14) :

B

A

98

B

2 ∂ v (M, t) ➞ e ( M , t ) + v ( M , t )  + . d +  Pm  ∂t 2 A  ➞

B

A

—➞ grad P (M, t) ➞ .d =0. r (M, t)

v (M, t) M A

O

B

ligne de courant à la date t x

Doc. 14. Ligne de courant entre deux points A et B .

Application

4. Dynamique locale des fluides parfaits

3

Oscillations d’un fluide dans un tube en U Un fluide incompressible, de masse volumique r , est contenu dans les deux branches d’un tube en U de section S . La « longueur » totale de fluide dans le tube est notée L . À l’équilibre, les deux surfaces libres du fluide dans les deux branches du tube sont à une même altitude choisie comme origine d’un axe (Oz) vertical ascendant. Déterminer la période des oscillations du fluide dans le tube. La cote de la surface libre du fluide dans la branche droite du tube est notée z (doc. 15). Choisissons pour coordonnée eulérienne d’un point M l’abscisse curviligne s de ce point (doc. 15). Le fluide étant incompressible, en tout point M, la vitesse s’écrit :

B

B

2 ∂ v➞ (M, t) ➞ e ( M , t ) + v ( M , t )  . d +  Pm  ∂t 2 A 

A

B

+ A

Examinons les divers termes, lors d’une intégration sur une ligne courant entre les deux surfaces libres situées en A et B : ➞ ➞ ➞ •• ➞ •• • ∂ v . d = z T . d s T = z d s , ce qui donne : ∂t

B

➞

v (M, t) = z (t) T . A

B

∂ v➞ (M, t) . d ➞ = z•• L , car ∂t

• [ePm ( M , t )] coordonnée s permettant le repérage du point M

B

s=0

s=L+z (L représentant z(t) la longueur de la portion de fluide) 0

s=z

– z(t)

M

coordonnée permettant le repérage de la surface libre

Doc. 15. À la date t , la vitesse d’un point M du fluide est donnée en formalisme d’Euler par l’expression suivante : ➞ • v➞(M, t) = z (t) T .

3

= ( g z ) BA

A

= 2gz ;

v 2 ( M, t )  ➞ •   = 0 ; car la norme de v est la même 2  A en A et en B. B

• A

T

B A

ds=L;

B

s

A

—➞ grad P (M, t) ➞ .d =0. r (M, t)

—➞ grad P . d ➞ = 1 r ρ

B

—➞ ➞ grad P . d

A

1 = ( PB − PA ) = 0 . ρ ••

Nous obtenons l’équation suivante z L + 2 g z = 0 , ce qui nous donne un mouvement oscillant sinusoïdal de période T égale à T = 2 π

L . 2g


•

➞

L’intégrale de l’équation d’Euler s’écrit :

Relations de Ber noulli

Cherchons s’il existe, moyennant certaines hypothèses, une grandeur qui se conserve sur tout ou une partie du fluide.

99


3.1. Existence d’une énergie potentielle associée aux forces massiques

y d<

➞

Prenons un élément de longueur d quelconque (doc. 16). En multipliant scalai➞ rement par d les termes de l’équation d’Euler, nous obtenons l’équation vue précédemment : ➞ ➞ –➞ ➞ ➞ grad P ➞ ∂ v➞ (M, t) ➞ —➞  v 2  .d . . d + grad   . d + 2(W ∧ v ) . d = fm – ρ ∂t  2

Supposons qu’il existe une énergie potentielle massique ePm associée aux forces autres que celles de pression (par exemple ePm = gz pour un champ de pesanteur ➞ —➞ uniforme, où z est l’altitude), avec f m = – grad (ePm) . Nous obtenons : —➞  ∂ v➞( M , t ) —➞ 2 –➞ ➞ grad P  ➞  . d = 0.  + grad( v + ePm ) + 2 W ∧ v + r  2  ∂t  

3.2. Écoulement incompressible d’un fluide homogène et écoulement barotrope 3.2.1. Lors d’un écoulement incompressible Dr = 0, la masse volumique d’une Dt particule de fluide reste constante lors de son mouvement. Si le fluide est homogène, cette masse volumique est uniforme : nous sommes donc en présence d’un unique fluide incompressible : r(M, t ) = r . Ainsi, pour l’écoulement incompressible d’un fluide homogène, nous avons en tout point de l’espace : —➞ grad P —➞  P  = grad   . r  ρ 3.2.2. Dans le cas où la masse volumique r ne dépend que de la pression P , le —➞ ➞ grad P est le gradient d’une fluide est dit barotrope. Montrons alors que f m = – r fonction j (P). P du . Cette intégrale est bien une fonction de P , dépendant Posons j (P) = P0 r(u) du paramètre constant P0 et

dj = 1 . dP r(P)


—➞ dj —➞ D’après les règles de dérivation des fonctions composées : grad j = grad P. dP En effet, pour chacune des composantes, nous avons : ∂j dj ∂P = . ∂x dP ∂x Nous avons donc montré que : —➞ —➞ grad P —➞ P du = grad [j (P)]. = grad r P0 r(u) —➞ grad P —➞ En conclusion = grad [j (P)], avec : r • fluide incompressible, homogène : j (P) = P ; r P du • fluide barotrope : j (P) = . P0 r(u)

100

v (M, t)

M ligne de courant à la date t O

x

Doc. 16. L’élément de longueur (en M) ➞ d est choisi de manière quelconque.

4. Dynamique locale des fluides parfaits L’expression précédente déduite de l’équation d’Euler se transforme alors ainsi : • pour un fluide incompressible :  ∂ v➞( M , t ) —➞ 2 –➞ ➞ ➞ v  + grad ( + ePm + P ) + 2 W ∧ v  . d = 0 ; 2  ∂t r    • pour un fluide barotrope :  ➞  ∂ v➞( M , t ) —➞ 2 –➞  + grad ( v + ePm + j(P)) + 2 W ∧ v➞ . d = 0 . 2   ∂t   3.3.

Hypothèses supplémentaires

Ajoutons l’une des trois hypothèses suivantes. 3.3.1. Écoulement stationnaire Si l’écoulement est stationnaire (la vitesse v➞ (M, t) ne dépend pas explicitement ➞ du temps), le terme ∂ v (M, t) disparaît de l’équation d’Euler. ∂t L’intégration de cette équation entre deux points quelconques A et B d’une ligne ➞ de courant donne (d // v➞) : B

v 2 P • pour un fluide incompressible :  + ePm +  = 0 ; ρ A 2 B

v 2  • pour un fluide barotrope :  + ePm + ϕ ( P) = 0 . 2 A  v 2 Il y a donc conservation de la quantité  + ePm + ϕ ( P) le long d’une ligne de 2  courant. Cette expression peut varier d’une ligne de courant à une autre. 3.3.2. Écoulement irrotationnel

–➞ Si l’écoulement est irrotationnel, le terme 2 W ∧ v➞ disparaît, si bien qu’il n’est plus nécessaire d’intégrer le long d’une ligne de courant, mais entre deux —➞ ➞ ➞ ➞ —➞ points quelconques. Puisque rot (v ) = 0 , v = grad f et par conséquent : ∂ v➞ (M, t) —➞  ∂φ ( M , t )  = grad   ∂t  ∂t 

 ∂φ ( M , t ) v 2  + + ePm + ϕ ( P) = cte  2  ∂t 


(les variables d’espace et de temps sont des variables indépendantes et on peut donc permuter les dérivations). L’expression pour le liquide barotrope (ou homogène incompressible) se transforme ainsi : à une date t sur tout le fluide .

Remarque : Le potentiel des vitesses f est défini à une fonction du temps près, qui —➞ ne modifie pas le champ des vitesses v➞ = grad f . Un choix de potentiel (choix de jauge) « convenable » permet éventuellement de prendre cte (t) = 0. 3.3.3. Écoulement irrotationnel et stationnaire d’un fluide barotrope v 2  Alors, nous obtenons, puisque  ∂φ ( M , t )  = 0 :  + ePm + ϕ ( P) = cte dans  ∂t  2  tout le fluide et à tout instant.

101


3.4. Récapitulation Tous ces résultats peuvent se résumer dans le tableau à double entrée représenté ci-dessous (doc. 17). FLUIDES PARFAITS (SANS VISCOSITÉ) différentes formes de l’équation de Bernoulli

écoulement stationnaire écoulement irrotationnel

—➞

(v➞ = grad ( )) écoulement irrotationnel et stationnaire

écoulement d’un fluide barotrope

—➞

grad P

—➞

= grad ( (P))

écoulement d’un fluide incompressible homogène

—➞

grad P

—➞  P  = grad    

v2 v2 P + ePm + ϕ ( P) = cte + ePm + = cte ρ 2 2 le long d’une ligne de courant le long d’une ligne de courant  ∂φ v 2  ∂φ v 2  P  + + ePm + ϕ ( P) = cte (t )  + + ePm +  = cte (t ) t ∂ ρ 2   ∂t 2  dans tout le fluide dans tout le fluide v2 + ePm + ϕ ( P) = cte 2

P v2 + ePm + = cte ρ 2

dans tout le fluide

dans tout le fluide

Doc. 17. Différentes formes de l’équation de Bernoulli.

La forme la plus simple de la relation de Bernoulli est bien sûr obtenue avec les hypothèses les plus fortes : écoulement d’un fluide parfait homogène incompressible, stationnaire et irrotationnel (elle correspond à la case blanche dans le tableau). ■ L’équation de Bernoulli n’est autre qu’une équation de conservation de l’énergie. Dans le cas d’un écoulement stationnaire de fluide parfait incompressible homogène, l’expression : v2 P + ePm + ρ 2 peut représenter l’énergie totale massique associée à une particule de fluide : v2 est l’énergie cinétique massique ; 2 • ePm est l’énergie potentielle massique des forces autres que celles de pression ; P • représente une énergie associée aux forces de pression. ρ


•

L’équation de Bernoulli représente alors une forme locale du premier principe de la 2 thermodynamique pour un fluide en écoulement permanent : h + v + ePm = cte, 2 où h est l’enthalpie massique (cf. exercice 2).

■ Pour un écoulement stationnaire homogène incompressible, l’équation de Bernoulli s’écrit encore : rv 2 + P + re Pm = cte. 2 Le terme somme

102

ρv 2 (homogène à une pression) est appelé pression dynamique et la 2

ρv 2 + P , pression totale ou pression de stagnation. 2

Relation de Bernoulli v 2 + e + P cte pm 2 r pour un écoulement de fluide • parfait, • homogène, • incompressible, • stationnaire, • irrotationnel.

4. Dynamique locale des fluides parfaits L’exemple d’un écoulement uniforme horizontal arrivant sur un obstacle permet de mieux comprendre la signification de ces termes (doc. 18). Écrivons la conservation de :

vA = 0 v0

g

A

P0

rv 2 + P + re Pm 2

PA

point d’arrêt

sur la ligne de courant horizontale arrivant en A sur l’obstacle, entre l’infini et A :

Doc. 18. Point d’arrêt sur un solide.

• à l’infini, l’écoulement est uniforme, de pression P0 et de vitesse v0 ; • en A , la vitesse est nécessairement nulle et la pression est notée PA . La ligne de courant étant horizontale, et en considérant les seules forces de pesanteur, ePm est identique sur tous les points de la ligne :

ρv 2 + P = PA , 2

d’où les noms de pression totale ou pression de stagnation en A (point d’arrêt).

Application

4

Écoulement stationnaire tourbillonnaire

sur une ligne de courant, mais dépend de la ligne de courant choisie. Déterminer j (P) .

–➞ 1) W représente le vecteur tourbillon. En effet, en utilisant le formulaire (cf. Annexe), il vient : —➞(Wre➞ ) = 2W e➞ = 2W➞ . rot q

z

2) Le principe fondamental de la dynamique appliqué à une particule de fluide de masse d m donne : —➞ dm , d m a➞ = – grad (P) ρ ➞ ➞ — 2 ➞ ➞ a = ∂v + grad v + 2W v , ∂t 2

➞

➞ ➞ a➞ = 0 + W 2 r e➞r – 2W 2 r e r = – W 2 r e r ,

soit

dP 1 ρ Ω 2r = , d’où : dr 2

ρ Ω 2 (r 2 − r02 ) . 4 3) Le fluide étant incompressible, on a : P(r ) = P(r0 ) + P

du = 1 (P – P ). 0 r r Comme il n’y a pas de force extérieure autre que les forces de pression, cela nous donne ePm = 0 . De plus, les lignes de courant sont des cercles de rayon r. j (P) =

P0


Soit un écoulement stationnaire de fluide incompressible, de masse volumique r , dont le champ des vitesses est donné en coordonnées cylindriques par la relation : –➞ ➞ v➞(M, t) = W r e➞q avec W = W e z constant . Ce fluide n’est soumis qu’aux forces de pression (on néglige les forces de pesanteur). –➞ 1) Que représente W ? 2) Calculer la pression P(M) . On supposera P(r0) connu. v 2  3) Montrer que  + ePm + ϕ ( P) est une constante 2 

 v 2 La quantité  + ePm + ϕ ( P) s’écrit donc : 2   v 2 + P – P0 = W 2 r2 + W 2 r2 2 2 4 r +

P(r0) – P0 W 2 r 20 – 4 r

constante ne dépendant que de r , c’est-à-dire constante sur une ligne de courant. Cette constante dépend de la ligne de courant, car nous sommes à l’intérieur d’un –➞ ➞ tourbillon (W ≠ 0 ) .

103


4

Applications de la relation de Ber noulli

4.1. Écoulement permanent et lent d’un fluide compressible Prenons un écoulement stationnaire et irrotationnel. Pouvons-nous, en première approximation, appliquer la relation de Bernoulli sous sa forme la plus simple à un fluide compressible comme l’air ? Supposons que, dans les conditions de l’expérience, il existe une relation entre 1 dρ . P et r , qui se traduit par l’existence d’un coefficient de compressibilité : χ = ρ dP Fréquemment, l’écoulement est approximativement isentropique, et c ≈ cS . Supposons qu’il soit possible de négliger les variations de r pour un écoulement permanent où la vitesse varie entre 0 et vmax . D’après la relation de Bernoulli, v2 la pression varierait entre Pmin et Pmax avec Pmax = Pmin + ∆ P = Pmin + ρ max . 2 Un telle variation de pression est compatible avec l’hypothèse si la variation de r qui lui est liée est faible en valeur relative, soit si : ∆ r ≈ c r ∆ P << r

ou encore

2 v max << 2

1 . χρ

D’après le résultat du § 2.3, cette condition équivaut à vmax << cson . Il est donc possible d’appliquer la relation de Bernoulli la plus simple : 2 r v + P + ePm ≈ cte 2 à un fluide compressible en écoulement stationnaire et irrotationnel, dans la mesure où la vitesse d’écoulement reste très inférieure à la vitesse de propagation du son dans ce fluide, dans les conditions de l’expérience : l’écoulement est alors un écoulement incompressible.


4.2. Jet homocinétique à l’air libre P0

Considérons l’écoulement stationnaire d’un fluide incompressible sous forme : • d’un jet libre, c’est-à-dire sans aucun contact avec une surface rigide ou un autre fluide ; ➞ ➞ • de vitesse v = v e x , constante.

Ce jet est dit homocinétique (doc. 19). Supposons que les seules forces intervenant sont les forces de pression ; la relation de Bernoulli s’écrit dans tout le jet : v2 P + = cte . 2 ρ La vitesse étant la même en tout point du jet, il en est de même de la pression. Aux bords du jet, au contact de l’atmosphère, la pression vaut P0 (on néglige la tension superficielle). C’est donc la pression en tout point du jet.

104

v

P0

Doc. 19. Jet homocinétique à l’air libre.

4. Dynamique locale des fluides parfaits Dans un jet homocinétique à l’air libre, la pression, uniforme, est égale à celle existant dans le milieu « extérieur ». Nous admettons ce résultat pour tout jet à l’air libre.

S1

v1

S2

v2 P2

P1

4.3. Effet Venturi

Doc. 20. Effet Venturi : P1 > P2 .

4.3.1. Principe de base de l’effet Venturi Un écoulement stationnaire d’un fluide homogène incompressible, soumis aux seules forces de pression, est limité par une conduite de section variable (doc. 20). Le problème sera en outre supposé unidimensionnel : toutes les grandeurs ont une valeur uniforme sur une section droite de la conduite. La conservation du débit volumique entre les sections d’aires S1 et S2 implique : S1v1 = S2v 2 (écoulement incompressible). L’application de la relation de Bernoulli entre deux points de ces sections entraîne alors : P1 v 12 P2 v 22 + = + . ρ 2 ρ 2

fluide en mouvement A fluide immobile

Doc. 21. En soufflant, la feuille de papier (maintenue fixe en A) se soulève (elle prend l’aspect d’un dessus d’aile d’avion, extrados).

B

Si S1 > S2 , alors v1 < v2 et P1 > P2 . Ce phénomène est connu sous le nom d’effet Venturi. Les régions de faible section, donc de grande vitesse, sont aussi des régions de basse pression. C’est l’effet Venturi.

A les deux feuilles de papier semblent s’attirer

Remarquons que cet effet Venturi est très bien vérifié pour des fluides compressibles comme l’air : cette approximation est valable tant que la vitesse du fluide est très inférieure à la vitesse de propagation du son dans le fluide considéré (cf. § 4.1).

Doc. 22. En soufflant entre deux feuilles maintenues fixes aux points A et B , les deux feuilles semblent s’attirer.

4.3.2. Applications ou conséquences pratiques

sens d’écoulement du fluide la présence disque plan du rétrécissement circulaire fait que la feuille est aspirée

En soufflant sur une feuille de papier tenue horizontalement, la feuille se soulève. En effet, la vitesse du fluide non nulle au-dessus de la feuille donnera naissance à une pression plus faible qu’au-dessous de celle-ci, là où le fluide est immobile (doc. 21). Une expérience identique consiste à prendre deux feuilles verticales, légèrement écartées l’une de l’autre : en soufflant, elles ont tendance à s’attirer pour les mêmes raisons que précédemment (doc. 22). Il est aussi possible d’aspirer une feuille en soufflant dessus (doc. 23).

position initiale de la feuille de papier

surface plane


4.3.2.1. Expérience avec des feuilles de papier

Doc. 23. La feuille de papier se soulève.

4.3.2.2. Effet de sol

Nous retrouvons une forme de l’effet Venturi dans « l’effet de sol » : l’écoulement d’un fluide comme l’air sous une plaque inclinée (ou les feuilles vues précédemment) a tendance à la plaquer au sol. Cet effet est utilisé pour augmenter la tenue de route des voitures de compétition (doc. 24).

A B sol

Remarque Pour analyser simplement ce phénomène, il faut se placer dans les conditions d’un écoulement permanent, donc dans le référentiel de la voiture.

Doc. 24. Effet de sol pour un véhicule de compétition : PA > PB .

105


4.3.2.3. Aspiration d’une balle de ping-pong

L’expérience de la balle de ping-pong, aspirée vers une région de faible section (vers le sommet de l’entonnoir), constitue une autre illustration spectaculaire de l’effet Venturi (doc. 25). Pour des raisons identiques, il est possible de maintenir une balle de ping-pong en « lévitation » (doc. 26). rétrécissement : dans ces zones, la vitesse du fluide est importante

écoulement de fluide aspiration

tube B

sens de l’écoulement du fluide entonnoir

balle de ping-pong

Doc. 25. Expérience de la balle de pingpong : la balle initialement posée sur la table est aspirée.

Doc. 26. La forme des lignes de courant au voisinage de la balle de ping-pong permet d’expliquer pourquoi cette balle peut rester en équilibre, même si le flux d’air n’est pas vertical (il est possible de maintenir cet équilibre avec un angle de 20 à 30°).

4.3.2.4. Principe de la trompe à eau

Une dépression est donc observée au niveau du rétrécissement d’une conduite : cet effet a de nombreuses applications. Citons, par exemple, la trompe à eau où un étranglement d’une conduite d’eau est relié à un récipient dans lequel on souhaite faire le vide (doc. 27). 4.3.2.5. Principe des vaporisateurs

Le principe des vaporisateurs et de certains pistolets à peinture est basé toujours sur le même schéma (doc. 28).


Soumis à un vent violent, le toit d’une maison peut se soulever pour les mêmes raisons (doc. 29). le rétrécissement donne naissance à une dépression qui permet l’aspiration du fluide, et ainsi de le pulvériser

sol

Doc. 28. Principe de fonctionnement d’un vaporisateur ou d’un pistolet à peinture.

106

le rétrécissement important provoque une dépression, donc une aspiration dans le tube B

sèche-cheveux

table

sens d’écoulement de l’air

phénomène d’aspiration

Doc. 29. Les lignes de courant au voisinage d’un toit sont plus « serrées ». La pression sur le toit est plus faible que la pression à l’intérieur de la maison.

Doc. 27. Principe de la trompe à eau.

4. Dynamique locale des fluides parfaits 4.3.3. Mesure d’un débit avec un tube de Venturi Le tube de Venturi (doc. 30) constitue une autre application permettant de mesurer des débits. Nous nous plaçons ici dans le cas d’un écoulement stationnaire de fluide incompressible homogène. • Le tube possède un rétrécissement au niveau du point B, si nous supposons que S la vitesse est uniforme sur les sections SA et SB , alors v B = A v A > v A . Sur la SB ligne de courant allant de A à B , la relation de Bernoulli en régime stationnaire pour un fluide incompressible s’écrit : PA v A2 PB v B2 + = + , ρ 2 2 ρ PA − PB = ρ

v A2 2

hA

A’ A”

A

section SA

g

B0 hB

B’ B”

B section SB

Doc. 30. Principe du tube de Venturi. diamètre φ

2

  S   A  − 1 .   SB 

• Les tubes latéraux sont ouverts à l’air libre. Dans ces tubes qui ne perturbent que très peu l’écoulement (si leur section est petite devant la section de l’écoulement (mais pas trop, cf. Application 1), et s’ils sont placés « loin » du rétrécissement), le fluide est au repos, nous avons donc (doc. 30 et 31) : PA – PA 0 = PA – P0 = rg(zA0 – zA ) et PB – PB 0 = PB – P0 = rg(zB 0 – zB ).

• L’écoulement est unidirectionnel sur les sections SA et SB . Le rotationnel de v➞ y est nul, et donc, d’après la relation de Bernoulli pour un fluide incompressible en régime stationnaire : PA – PA′′ = r g (zA′′ – zA) et PB – PB′′ = r g (zB′′ – zB) . • Il existe entre A′ et A′′ (et entre B′ et B′′ ) une petite zone de turbulences ; la relation de Bernoulli n’est donc pas applicable entre ces deux points. La variation de pression est cependant négligeable à travers cette petite couche. zA′ ≈ zA′′ ; PA′ ≈ PA′′ ; zB′ ≈ zB′′ ; PB′ ≈ PB′′ . Avec une bonne approximation, nous avons : PA = P0 + r g hA , PB = P0 + r g hB et PA – PB = r g (hA – hB) . En identifiant les deux expressions de PA – PB , nous obtenons : vA =

A0

2 g(hA − hB ) 2

 SA    −1  SB 

.

On en déduit le débit Dv = v ASA.

zone de turbulences

A’ A”

diamètre D

écoulement du fluide

Doc. 31. Si la section du tube (diamètre f) est faible devant la section de l’écoulement (diamètre D), la zone de turbulence est de dimension réduite, et nous avons PA¢ = PA¢¢ . air P

PB

v P

h

manomètre eau (masse volumique ρ eau )

Doc. 32. La pression est continue au niveau de l’orifice, et P = PB – reau g h . La pression PB est à peu près la même à la surface de l’eau et à l’extérieur du tube manométrique. PB

4.4. Mesure de la vitesse d’écoulement 4.4.1. Mesure d’une pression locale (prise « dynamique ») La mesure d’une pression locale s’effectue au moyen d’un manomètre simple en utilisant une pression de référence (doc. 32). Si les dimensions du trou sont petites (mais pas trop !), nous avons continuité de la pression au niveau de l’orifice : la pression locale est donc accessible. 4.4.2. Mesure d’une pression en un point d’arrêt Pour mesurer une pression en un point d’arrêt, c’est-à-dire la pression totale ou pression de stagnation (cf. § 3.4), il est commode d’utiliser un tube de Pitot (doc. 33) : l’ouverture du tube de mesure est « dirigée face au jet ».

ligne de courant

air P∞, U∞

P0

h’ eau

P0 , v = 0 manomètre point d’arrêt

Doc. 33. Tube de Pitot : la pression est continue au niveau de l’orifice (v = 0), et P0 = PB + reau g h′ .

107


d’où :

z


4.4.3. Mesure de vitesse dans un écoulement incompressible Nous savons que P0 (pression totale) et P (pression locale où existe une vitesse v) sont liées par la relation suivante (pour un écoulement sans tourbillon d’un fluide, incompressible homogène, stationnaire et à z constant) : 2 P0 = P + r v . 2

ligne de courant

P

A P,v

P0

eau

P0 , v = 0 A

Connaissant r , il est aussi possible de mesurer v . Pour cela, nous pouvons utiliser une variante du tube de Pitot, le tube de Prandtl (doc. 34). Rappelons que ces diverses mesures sont possibles dans l’air tant que v < c (cf. § 4.1).

H

manomètre

Doc. 34. Tube de Prandtl : 2 P0 – P = r eau gH = r air v . 2

4.5. Effet Magnus : portance Plaçons-nous à nouveau dans le cas d’un écoulement stationnaire homogène d’un fluide incompressible sans tourbillon : la relation de Bernoulli s’applique donc sur tout le fluide, et en particulier sur une ligne de courant. L’écoulement, supposé uniforme à l’infini, est perturbé par un obstacle bidimensionnel. Cette dénomination n’implique pas nécessairement que l’obstacle soit plan, mais qu’on puisse se ramener à une étude dans le plan. Ce sera, par exemple, le cas pour un cylindre placé dans un écoulement dont les lignes de courant sont contenues dans des plans orthogonaux à l’axe du cylindre, de sorte que le problème est identique dans chacun de ces plans. L’écoulement autour d’un cylindre à base circulaire a été étudié dans le chapitre 3, § 3.4. La symétrie de la figure (doc. 35) implique l’égalité des vitesses et des pressions aux points A et B : v➞A = v➞B = v➞ et PA = PB . –➞ Le cylindre est à présent en rotation de vecteur W autour de son axe. Le caractère réel (c’est-à-dire visqueux) du fluide entraîne sa rotation au contact du cylindre. Procédons par superposition : l’écoulement résultant est la somme de l’écoulement précédent et d’un écoulement de type vortex dû à la rotation du cylindre (doc. 36) ; la nouvelle carte d’écoulement est étudiée dans l’exercice 8.

v0 p0 A0 B0

A x B

Doc. 35. Écoulement autour d’un cylindre immobile.

Il en résulte qu’en A et B , les vitesses sont à présent : v➞A′ = v➞ + ∆ v u➞x et v➞B′ = v➞ – ∆ v u➞x .


y

y

F A

force à laquelle est soumis le cylindre vitesse « élevée» pression « faible »

Ω B

vitesse « faible » pression « élevée» x

Doc. 36. Mise en évidence de l’effet Magnus, quand le cylindre est en rotation.

108

point d’arrêt

x

Doc. 37. Mise en évidence de l’évolution des lignes de fluide : la vitesse la plus rapide est située au-dessus du cylindre.

4. Dynamique locale des fluides parfaits La relation de Bernoulli peut être écrite sur les lignes de courant allant de A0 à A et B0 à B . A0 et B0 , très éloignés de l’obstacle, sont caractérisés par des mêmes valeurs de vitesse et de pression : vA > vB entraîne alors PA < PB . Cette différence de pression engendre une force verticale (donc perpendiculaire à l’écoulement en l’absence d’obstacle) ici ascendante étant donné le sens de rotation supposé : ce phénomène est appelé effet Magnus (cf. exercice 8). L’effet Magnus affecte également un obstacle supposé mobile dans un fluide au repos loin de l’obstacle (il suffit de se placer dans le référentiel lié à l’obstacle pour retrouver le cas précédent) : l’obstacle subit alors une force orthogonale à son déplacement principal (doc. 36 et 37). Cet effet explique alors les trajectoires incurvées de balles qu’on a frappées en leur imprimant un mouvement de rotation : balles « brossées » au football (doc. 38), balles « liftées » ou « coupées » (suivant le sens de rotation) au tennis. Pour analyser qualitativement le document 39, il faut se souvenir que la relation de Bernoulli la plus simple ne peut s’appliquer que si l’écoulement est permanent. Cela suppose que le référentiel d’étude est lié au centre de la balle, et que la vitesse à l’infini est v➞0 = – v➞ .

trajectoire du ballon soumis à l’effet Magnus

Doc. 38. Un ballon peut contourner le « mur ».

F v

O

Ω

F

Remarque De même, la portance d’une aile est assurée par une circulation non nulle de champ de vitesses autour du profil.

v

O

Ω

Doc. 39. Mise en évidence de l’effet Magnus sur une balle en rotation.

4.6. Vidange d’un réservoir : formule de Torricelli Un réservoir est muni d’un orifice par lequel un fluide incompressible peut s’écouler : nous cherchons à déterminer la vitesse v d’éjection du fluide au niveau de cet orifice. L’écoulement étudié n’est pas rigoureusement stationnaire, mais si la section s de l’orifice est petite devant la surface libre S (doc. 40), l’accélération locale est négligeable devant l’accélération convective et la relation de Bernoulli des écoulements stationnaires s’applique (cf. exercice 9).

g hA +

v 2A v2 = g hB + . 2 2

La conservation du débit volumique implique SvA = sv .

S

L’hypothèse S >> s implique donc également :

A

vA << v ,

h

d’où, avec h = hA – hB : v2 = 2 g h . La formule de Torricelli s’écrit : v2 = 2 g h . Elle correspond à la vitesse d’éjection d’un fluide au niveau d’un orifice surmonté d’une hauteur h de fluide.

v

B s

Doc. 40. Vidange d’un récipient (hypothèse : S >> s . L’écoulement peut être considéré comme stationnaire, indépendant du temps).

109


La pression du jet libre en B est égale à la pression atmosphérique (cf. § 4.2). L’application entre A et B , points d’une même ligne de courant, de la relation de Bernoulli donne directement :


4.7. Ondes de gravitation à l’interface de deux fluides (modèle de la houle) Un fluide parfait incompressible (l’océan par exemple), de masse volumique r , est en contact avec l’atmosphère selon le plan z = 0 lorsqu’il est au repos. Ce fluide s’étend en outre jusqu’à l’infini vers les z négatifs (océan de profondeur « infinie ») (doc. 41).

z P = P0 surface libre au repos

x

océan profondeur infinie

4.7.1. Hypothèses Étudions son mouvement (sous l’action du vent par exemple) avec les hypothèses simplificatrices suivantes. • Le mouvement des particules est plan. En un point M(x, z) du fluide, la vitesse est : v➞(M, t) = u(x, z, t) u➞x + w(x, z, t) u➞z . • Intéressons-nous à des petits mouvements, l’amplitude des vagues est « faible » : seuls seront gardés les termes de premier ordre en v . —➞ ➞ • L’écoulement du fluide est potentiel : v (M, t) = grad f (M, t) . • Le potentiel est cherché sous la forme f = f(z) g(x – ct) : il s’agit donc d’une onde se propageant à la célérité c dans la direction x avec une amplitude dépendant de z (v << c). • À la surface libre du fluide, en contact avec l’atmosphère, la pression est uniforme et égale à P0 . Nous cherchons à déterminer la forme des fonctions f et g , la valeur de c , les trajectoires des particules de fluide et la forme de la surface libre... 4.7.2. Recherche du potentiel des vitesses L’écoulement étant potentiel et incompressible, le potentiel des vitesses f vérifie l’équation de la place ∆f = 0 , soit

∂ 2φ ∂ 2φ + = 0 . Avec la forme supposée de f : ∂ x2 ∂ z2


f(z) g′′(x – ct) + f ′′(z) g(x – ct) = 0 , soit, en divisant par le produit f(z) g(x – ct) qui n’est pas identiquement nul, on obtient : f ′′( z ) g ′′( x − ct ) =− . f (z) g( x − ct ) Cette égalité doit être vérifiée pour tout x, z et t, donc : f ′′( z ) g ′′( x − ct ) =− = A , où A est une constante. f (z) g( x − ct ) f ′′(z) – Af(z) = 0 et la fonction f(z) est de la forme ekz , exponentielle réelle ou complexe, avec k 2 = A. Le fluide doit être au repos loin de la surface libre, c’est-à-dire quand z tend vers – ∞. Ceci impose à l’exponentielle d’être réelle, c’est-à-dire d’avoir A > 0 et donc : f(z) = f0 ekz , k étant réel positif. Nous en déduisons g′′(x – ct) + k2 g(x – ct) = 0 , d’où g(x – ct) = g0 cos(k x – w t) , avec un choix correspondant de l’origine des temps et en posant w = k c : c’est 2π . une onde sinusoïdale progressive de pulsation w et de longueur d’onde λ = k Le potentiel f est de la forme : f (x, z, t) = f0 ekz cos(k x – w t) . Remarquons que f′(x, z, t) = f (x, z, t) + C(t) donne le même champ de vitesses.

110

Doc. 41. Océan de profondeur « infinie ».

4. Dynamique locale des fluides parfaits 4.7.3. Recherche d’un invariant L’écoulement est irrotationnel, non permanent, et le fluide incompressible. La relation de Bernoulli s’applique sous la forme : P ∂φ v 2 + + g z + = B(t) , ∂t 2 ρ grandeur fonction du temps et indépendante des coordonnées d’espace, c’est-à-dire uniforme dans tout le fluide. Le membre de gauche dépend de la variable (x – ct) pour un phénomène de propagation et ne peut dépendre du temps sans dépendre de x. Le membre de droite ne peut donc dépendre du temps, et nous avons : P ∂φ v 2 + + gz + = B . ∂t 2 ρ 4.7.4. Recherche des trajectoires de particules La vitesse d’une particule de fluide est donnée par les composantes : u(x, z, t) =

∂f ∂f = – kf 0 ekz sin(kx – w t) et w(x, z, t) = = kf 0 ekz cos (kx – w t) ∂x ∂z

Les trajectoires X(t) et Z(t) des particules de fluide (connaissant leur position X0 et Z0 à t = 0) s’obtiennent par intégration des équations différentielles : d X (t ) d Z (t ) = − k φ 0 e k Z ( t ) sin(k X (t ) − ω t ) et = + k φ 0 e k Z ( t ) cos(k X (t ) − ω t ) . dt dt

z

x


les « rayons » de trajectoires diminuent lorsqu'on s’éloigne de la surface

Il est délicat de résoudre rigoureusement ces équations différentielles. La simulation numérique des solutions de ce système d’équation montre que si l’amplitude a des « oscillations » est petite devant la longueur d’onde l (ou k a << 1), et uniquement dans ce cas, les trajectoires sont quasiment des cercles (doc. 42).

(X0 , Y0)

il existe un « déphasage » entre les divers trajectoires

Doc. 42a. Les trajectoires sont quasiment des cercles : (

a 1 = << 1) . λ 150

Doc. 42b. Photo faisant apparaître les trajectoires de diverses particules d’un fluide soumis à des ondes de gravitation.

111


Revenons à l’approximation au premier ordre en v . L’amplitude des trajectoires est faible ; ekZ et k X variant peu, nous les assimilerons respectivement à ekZ0 et k X0 . Les équations différentielles deviennent alors (forme beaucoup plus simple à résoudre) : d Z (t ) d X (t ) = − kφ 0 e k Z0 sin(k X0 − ω t ) et = + kφ 0 e k Z0 cos(k X0 − ω t ) . dt dt Les trajectoires des particules de fluide sont donc : k X (t ) = X0 − φ 0 e k Z0 (cos(k X0 − ω t ) − cos k X0 ) ω k Z (t ) = Z0 − φ 0 e k Z0 (sin(k X0 − ω t ) − sin k X0 ) . ω Nous vérifions bien qu’à t = 0 , X(t) = X0 et Z(t) = Z0 . Posons R =

k φ 0 e k Z0 . ω

Les trajectoires sont des cercles d’équation : [X – (X0 + R cos(k X0)]2 + [Z – (Z0 + R sin(k X0)]2 = R2 . Nous pouvons comparer sur le document 43 l’écart entre la solution trouvée et la solution complète de l’équation différentielle. Sur le document 44, nous visualisons l’écart au bout de quelques périodes. k Ainsi les particules de la surface libre décrivent des cercles de rayon R = φ 0 . ω


Le rayon des trajectoires décroît avec la profondeur. Ainsi, si la longueur d’onde est 20 m, pour des « creux » de 2 m en surface (ce qui correspond à un rayon de 1 m), les trajectoires ont des rayons de 3,9 cm et 0,43 cm à des profondeurs respectivement égales à 3 m et 10 m : à cette dernière profondeur, la houle est quasiment insensible.

trajectoire circulaire

trajectoire «réelle» par résolution complète de l’équation différentielle

Doc. 44. Écart entre la solution approchée et la solution « réelle » au bout de quelques périodes.

4.7.5. Étude de la surface libre Pour tous les points de la surface libre, nous avons z << l , c’est-à-dire 2 πz kz= << 1 , donc ek z = 1 . λ Dans ces conditions, nous pouvons écrire :  ∂φ  = ω φ 0 sin(k x − ω t ) .    ∂ t  surface

112

trajectoire approchée circulaire

trajectoire « réelle », solution de l’équation différentielle complète

Doc. 43. Écart entre la solution approchée et la solution « réelle » au bout de t = 0,9 T .

4. Dynamique locale des fluides parfaits Nous savons de plus qu’en un point de la surface nous devons vérifier, en négligeant les termes d’ordre 2 : P ∂φ + g zsurface + 0 = B , ∂t ρ soit ω φ 0 sin(k x − ω t ) + g zsurface +

P0 = B , indépendant de x . ρ

Il nous faut donc écrire : zsurface = −

ω φ 0 sin(k x − ω t ) . g

L’allure de cette surface (avec mise en évidence des trajectoires) est représentée sur le document 45 à des instants successifs, régulièrement espacés. Nous visualisons bien une onde de surface (sinusoïdale) qui se propage.

surface du fluide trajectoires

t déplacement de l’onde

Doc. 45. Une onde se propage à la surface du fluide.

4.7.6. Recherche de la célérité des ondes Écrivons que cette grandeur B garde la même valeur pour deux positions d’une particule de fluide de la surface supérieure, en deux instants voisins : M à l’instant t et N à l’instant t + δ t (doc. 46). —➞ –➞ Nous nous imposons donc MN = d M = v➞(M, t)δ t .

surface du fluide t

N M

t + dt

• M à l’instant t et N à l’instant t + δ t représentent des points de la surface libre du fluide. Comme nous négligeons les forces de tension superficielle, la pression y est égale à la pression atmosphérique P0 . Nous obtenons donc :  ∂φ  P  ∂φ  P B =   + g zM + 0 =   + g zN + 0 . ρ  ∂ t  N ,t + δ t ρ  ∂ t  M ,t


• Nous nous limitons à l’ordre 1 et nous négligeons le terme en v2 . x

Doc. 46. M et N sont sur une trajectoire de fluide à la surface de celui-ci.

• M et N représentent deux positions voisines d’une même particule du fluide, donc :  ∂φ  z N = z M + w( M , t )δ t = z M +   δ t ,  ∂ z  M ,t d’où :

 ∂φ     ∂ t  N ,t + δ t

 ∂φ    ∂φ  −    + g  δ t = 0 .  ∂ t  M ,t   ∂ z  M ,t 

113


 ∂φ  Le terme entre crochets représente la différentielle de la fonction   , soit :  ∂t   ∂ 2φ  —➞  ∂φ  –➞   ∂φ  –➞  2  δ t + grad   . d M  + g  δ t = 0 avec d M = v➞(M, t) δ t .  ∂t    ∂ z  M ,t  ∂ t  M ,t —➞  ∂φ  Le terme grad   .v➞( M , t ) , du deuxième ordre, peut être éliminé, et :  ∂t   ∂ 2φ   ∂φ   2  + g ∂ z = 0 .   M ,t  ∂ t  M ,t Cette relation (approchée) est vérifiée en tout point de la surface, donc en z = 0, soit : – w2f (x, 0, t) +k g f (x, 0, t) = 0 , d’où : w2 = k g donc :

c=

g gλ ω = = . k 2π k

Nous obtenons des ondes de gravité décrivant le phénomène de houle (nous reviendrons sur cette relation de dispersion dans le chapitre 6). La longueur d’onde l représente la période spatiale des vagues de houle dans la direction (Ox) . Remarquons que pour des vagues de houle dont la distance crête à crête (longueur d’onde) est égale à 80 m, la célérité c est d’environ 11 m . s–1 ; pour l = 20 m , cette vitesse est divisée par deux, soit c = 5,5 m . s–1 . Cette expression de la célérité nous permet d’écrire : ω zsurface = − φ 0 sin(kx − ω t ) g =−

k φ 0 sin(kx − ω t ) . ω

Remarque zsurface est ici une variable lagrangienne, telle que :


∂zsurface ω2 φ 0 cos(kx − ω t ) = kφ 0 cos(kx − ω t ), ≈ w(x, 0, t), soit ∂t g ce qui est correct, car w2 = g k .

114


CQFR ●

•

HYPOTHÈSE DU FLUIDE PARFAIT

Forces surfaciques

Dans l’hypothèse du fluide parfait, nous négligeons les forces de viscosité ; les forces surfaciques tangentielles sont nulles. Nous négligerons toujours les forces de tension superficielle et l’énergie qui leur est liée. La pression est donc toujours une fonction continue des coordonnées spatiales.

• Un élément de fluide de volume d et de masse dm est soumis à des forces de représentation massique ou volumique selon l’expression :

➞

➞

➞

d f = fm d m = fv d ➞

➞ Pour les forces de pesanteur : f v = g

•

avec

➞

➞

avec f v = f m .

➞

f m = g➞ .

Équivalents volumiques et massiques

Les équivalents volumique et massique des forces de pression, d’origine surfacique, s’expriment sous la forme : ➞ —➞ • d’équivalent volumique : f v = – grad P ; —➞ grad P ➞ • d’équivalent massique : f m = – . Ces équivalents volumique ou massique ne sont pas utilisables pour calculer le travail des forces de pression. ● ÉQUATION D’EULER Les lois de la dynamique appliquées à une particule de fluide d’un fluide parfait donnent l’équation d’Euler ; elle s’écrit : D v➞ ➞ = f m, totale . Dt Les diverses expressions de l’équation d’Euler pour un fluide parfait sont :

—➞ ➞ ➞ ➞ grad P v➞ + (v➞ . — grad ) v = f m – ; t —➞ v 2 + 2 –➞ ∧ v➞ ] = ➞f – grad P ; m 2


➞ v➞ + [— grad t

➞ ➞ ➞ —➞ v➞ ➞ — + (v . grad ) v = f v – grad P . t

●

RELATIONS DE BERNOULLI

2 • La forme la plus simple de la relation de Bernoulli : v + ePm + P = cte dans tout le fluide est obtenue avec

2

r

les hypothèses les plus fortes : l’écoulement du fluide doit être homogène, stationnaire, incompressible et irrotationnel.

115


CQFR FLUIDES PARFAITS

différentes formes de l’équation de Bernoulli

écoulement stationnaire écoulement irrotationnel

—➞

(v➞ = grad ( )) écoulement irrotationnel et stationnaire

écoulement d’un fluide barotrope

—➞

grad P

—➞

= grad ( (P))

écoulement d’un fluide incompressible homogène

—➞

grad P

—➞  P  = grad    

v2 v2 P + ePm + ϕ ( P) = cte + ePm + = cte ρ 2 2 le long d’une ligne de courant le long d’une ligne de courant  ∂φ v 2  ∂φ v 2  P  + + ePm + ϕ ( P) = cte (t )  + + ePm +  = cte (t ) t ∂ ρ 2 ∂ t 2    dans tout le fluide dans tout le fluide v2 + ePm + ϕ ( P) = cte 2

P v2 + ePm + = cte ρ 2

dans tout le fluide

dans tout le fluide

• Il est possible d’appliquer la relation de Bernoulli la plus simple : 2 r v + P + ePm ≈ cte 2 à un fluide compressible, dans la mesure où la vitesse d’écoulement (stationnaire et potentiel) reste très inférieure à la vitesse de propagation du son dans ce fluide, dans les conditions de l’expérience.

• Dans un jet homocinétique à l’air libre, la pression, uniforme, est égale à celle existant dans le milieu « extérieur ». Nous admettons ce résultat pour tout jet à l’air libre. ● EFFET VENTURI Les régions de faible section, donc de grande vitesse, sont aussi des régions de basse pression. © Hachette Livre, H-Prépa Mécanique des fluides, 2e année, PC et PSI, La photocopie non autorisée est un délit.

● FORMULE DE TORRICELLI La formule de Torricelli s’écrit : v2 = 2 g h . Elle correspond à la vitesse d’éjection d’un fluide au niveau d’un orifice surmonté d’une hauteur h de fluide. L’orifice doit être de section petite devant la surface S du récipient qui contient le fluide.

116


Contrôle rapide Avez-vous retenu l’essentiel ? ✔ Quel est l’équivalent volumique des forces de pression ? ✔ Quel est leur équivalent massique ? ✔ Savez-vous écrire l’équation d’Euler pour un fluide parfait ? ✔ Exprimer l’équation de Bernoulli pour un fluide parfait homogène, barotrope, irrotationnel et stationnaire. Que devient-elle si l’écoulement n’est plus irrotationnel ? ✔ Quelle est la formule de Torricelli ? Dans quelles conditions s’applique-t-elle ?

Du tac au tac (Vrai ou faux) 1. Une densité volumique de force s’exprime en : ❑ a. N.kg – 1 ❑ b. kg .m– 3 ❑ c. N.s– 1

—➞ ➞ ➞ grad P Dv ❑ c. = fm – r Dt ➞ ➞ —➞ —➞ ❑ d. ∂v + (v➞. grad ) v➞ = f v – grad P. ∂t

❑ d. N.m– 3

2. La densité massique des forces de pesanteur est : ➞

❑ a. f m = rg➞ ➞

➞

2 ❑ a. v – e Pm + P = cte 2 r

g➞ . m

2 ❑ b. r v – e Pm + P = cte 2

❑ b. f m = g ➞

❑ c. f m =

4. Pour un écoulement de fluide homogène parfait incompressible irrotationbel et stationnaire, l’équation de Bernoulli s’écrit :

3. L’équation d’Euler pour un fluide parfait s’écrit : —➞ ➞ ➞ grad P ❑ a. ∂v = f m – r ∂t —➞ ➞ ➞ —➞ 2 grad P ➞ ➞ . ❑ b. ∂v + grad v + 2W v = f m – r ∂t 2


❑ e. kg .m– 2.s – 2

2 ❑ c. v + e Pm + P = cte 2 2 ❑ d. v + e Pm + P = cte. 2 r

Solution, page 121.

117

Exercices Champ de pression dans un écoulement unidirectionnel Dans un écoulement unidirectionnel horizontal, la vitesse est de la forme v➞ = v (x, t) e➞x . Les seules forces volumiques considérées seront les forces de pesanteur (l’axe (Oy) étant pris vertical ascendant). Montrer que le champ de pression, transversalement à l’écoulement horizontal, obéit aux lois de la statique des fluides.

* Relation de Bernoulli et premier principe de la thermodynamique Un fluide considéré comme un gaz parfait est en écoulement stationnaire et isentropique. 1) Montrer que l’écoulement est barotrope. 2) En déduire que l’équation de Bernoulli prend la forme : v2 + ePm + h = cte , le long d’une ligne de courant, où h est 2 l’enthalpie massique du fluide. 3) Montrer que cette relation est en fait vérifiée pour un fluide quelconque en écoulement isentropique et stationnaire.

Célérité du son dans l’air


L’air est supposé se comporter comme un gaz parfait, de rapport g , de masse molaire M , de température au repos T0 et de pression au repos P0 . En reprenant les hypothèses classiques associées à l’étude des ondes acoustiques, exprimer, en fonction de ces données, la célérité du son dans l’air. Données : g = 1,4 ; T0 = 298 K ; M = 29.10–3 kg.mol – 1 ; P0 = 105 Pa. La comparer à la célérité du son dans l’eau pour laquelle cS = 5.10–10 Pa–1 .

*

1) Exprimer la relation liant d S , d r et d v . 2) L’écoulement étant supposé isentropique, déterminer une relation liant d P , d r , et la célérité c du son dans le gaz. Relier en outre d h , d P et r . 3) Dans la tuyère, le gaz n’effectue aucun échange énergétique avec l’extérieur. En déduire une relation liant d h et d v . 4) Déduire des résultats précédents une relation directe entre d S et d v faisant intervenir la célérité c : cette relation constitue le théorème d’Hugoniot. 5) Le gaz est détendu dans une tuyère, la vitesse d’entrée du gaz dans la tuyère étant faible devant la célérité c . Montrer que la section de la tuyère doit d’abord diminuer (tuyère convergente). Cette section passe en fait par un minimum (tuyère convergente-divergente), encore appelé col. Discuter de la valeur de la vitesse après le col.

Temps de vidange d’un récipient 1) Calculer le temps de vidange T d’un récipient ayant la forme d’un cylindre de hauteur H et de rayon R , complètement rempli d’un fluide parfait qui s’écoule par un orifice circulaire de rayon r situé dans le fond du cylindre . Données : R = 10 cm, r = 0,5 cm et H = 50 cm. 2) Le récipient n’est plus z cylindrique, mais possède h(t) toujours un axe de révolution vertical. Quelle devrait être l’équation R z(R) z = f(R) d’une génératrice pour que la hauteur de O fluide restant dans le récipient soit proportionnelle au temps écoulé ? Quelle est l’application d’un tel système ?

Force exercée sur une seringue

Théorème d’Hugoniot

À une variation élémentaire d S de la section corresponx S dent des variations d P de la pression P , d r de la masse volumique r , d v de la vitesse v , d h de l’enthalpie massique h et d T de la température T du gaz.

118

écoulement homocinétique à l’air libre

section S1

Un gaz parfait est en écoulement unidimensionnel permanent dans une tuyère possédant un axe (Ox) de révolution, de section variable S(x).

section S2 F

atmosphère à P0

v1

v2

on néglige les turbulences de cette zone


Une seringue est formée d’un corps de section constante S1 et d’une aiguille dont l’extrémité a une section S2 (S2 << S1 ). Cette seringue contient un liquide de masse volumique r qui est éjecté en appuyant sur un piston mobile sans frottements. Quelle force un opérateur doit-il exercer sur le piston pour assurer un débit volumique Dv d’éjection ?

S

Évolution d’une bulle de vide

A

Dans un fluide homogène incompressible au repos apparaît une bulle sphérique vide de rayon initial a0 . Les forces de pesanteur seront négligées et la continuité de la pression à l’interface vide-fluide admise (on néglige donc les forces de tension superficielle). Le fluide sera supposé au repos à l’infini, à la pression uniforme P0 . On intégrera l’équation d’Euler sur une ligne de courant allant de la surface de la bulle à l’infini. Pour résoudre l’équation obtenue, on procédera au changement de variable y(a) =

da dt

2

, en notant a le rayon de

la bulle à l’instant t. Déterminer le temps T au bout duquel la bulle aura disparu. Données a0 = 5 mm, r = 103 kg.m–3 et I =

*

Pour mieux comprendre la validité de l’approximation d’un régime stationnaire lors de l’étude de la vidange d’un récipient, le modèle non stationnaire suivant est proposé.

1 0

x3 1 – x3

1/2

dx ≈ 1,29.

Effet Magnus

1) Un écoulement permanent, incompressible, uniforme est caractérisé par la vitesse v➞ = v0 e➞x , loin d’un cylindre immobile, d’axe (Oz) et de rayon a . Rappeler l’expression du champ des vitesses autour de ce cylindre (cf. chapitre 2). 2) Le cylindre est maintenant en rotation autour de son axe fixe. Cette rotation induit à l’extérieur du cylindre un champ ω a2 ➞ eθ . de vitesse supplémentaire de la forme v➞ = r a) Représenter, pour différentes valeurs de w , la carte des lignes de courant du fluide, en précisant les points d’arrêt ou points de vitesse nulle . b) Déterminer la pression P(a, q) en tout point du cylindre et en déduire la force exercée par le fluide sur le cylindre, par unité de longueur de ce dernier. c) Calculer la circulation G du champ des vitesses du fluide le long d’une courbe fermée quelconque entourant le cylindre et exprimer la force précédente en fonction de G .

h

L S

B

L’orifice du récipient est relié à une canalisation horizontale, de longueur L , de section constante s (très petite devant la section S du récipient) dans laquelle la vitesse du fluide est de la forme v➞ = v (x, t) e➞x . À t = 0 , la vanne permettant au fluide de s’écouler est ouverte en B . La mise en vitesse du fluide est étudiée avec les hypothèses suivantes : • la hauteur h dans le récipient varie très peu pendant cette phase transitoire (s << S) ; • l’accélération locale du fluide n’est importante que dans la canalisation et une petite région du récipient proche de l’orifice ; • le fluide est incompressible et homogène de masse volumique r . 1) Montrer que v➞ ne dépend que de t dans la canalisation. 2) Déterminer l’équation différentielle à laquelle obéit v (t) . 3) Intégrer cette équation en faisant apparaître une vitesse limite v l . 4) Évaluer le temps au bout duquel v ne diffère que de 5 % de v l . Données : h = 2 m et L = 1 m . 5) À la lumière de ces résultats, commenter la validité de la formule de Torricelli.

Modèle météorologique Un point M situé dans l’atmosphère est repéré par ses coordonnées (x, y, z) dans le repère terrestre local (Oxyz) dont l’origine O se trouve dans un plan méridien à la latitude λ (doc. 1) avec 0 λ π pour l’hémisphère Nord, l’axe (Ox) 2 étant dirigé vers l’Est, l’axe (Oy) étant dirigé vers le Nord, l’axe (Oz) étant dirigé suivant la verticale ascendante.

119


**

Vidange en régime non stationnaire

Exercices On prendra W =

2π rad/s. 86 164

L’air est assimilé à un fluide parfait incompressible de masse volumique r . z0 y W O O0

l

N.B. : Au niveau de l’axe AD les isobares sont perpendiculaires à cet axe et sont localement assimilables à des segments de droite. Le référentiel géocentrique étant supposé galiléen, on se place dans un référentiel terrestre. Quelles sont les forces qui agissent sur une particule de fluide ? Qu’appelle-t-on poids de la particule ? Écrire l’équation d’Euler dans le référentiel terrestre. Nord

z

1000

x

D

d

Ouest 1020

0

q

x

A

Doc. 1.

1) Quelle est l’expression du gradient de pression vertical dans une atmosphère calme ? Par la suite, on supposera cette relation vérifiée et on ne s’intéressera qu’aux mouvements horizontaux de l’air.


2) Soit la situation météorologique schématisée sur le document 2 dans laquelle l’axe anticyclone-dépression AD fait un angle q avec la direction (Ox). La distance entre les isobares 1 020 et 1 000 est notée d (d est de l’ordre de 500 km), les pressions étant mesurées en hectopascals. On supposera le gradient de pression uniforme sur l’axe AD, sa norme étant notée a. La vitesse du fluide est de l’ordre de 10 m . s–1.

120

Sud

Doc. 2.

3) Projeter l’équation sur les axes (Ox) et (Oy) et montrer qu’en régime de « vitesse constante », le fluide atmosphérique s’écoule au niveau de l’axe AD suivant une direction et un sens que l’on précisera avec soin sur le document 2. Comment modifier ces conclusions dans l’hémisphère Sud ? 4) Chercher la norme du vecteur vitesse du vent ; calculer sa valeur numérique. d = 400 km ; l = 42° Nord ; r = 1,3 kg.m– 3 . Conclure

Corrigés 3. Vrai : b, c ; 4. Vrai : d ;

Faux : a, d Faux : a, b, c

—➞ ∂v ➞ ∂v ➞ ➞ ux + ρ v ux = ρ g − grad P. ∂t ∂x Le premier membre a une projection nulle sur les axes (Oy) et (Oz) orthogonaux aux lignes de courant. En projection sur ces axes, l’équation d’Euler se réduit à : L’équation d’Euler s’écrit ρ

• en projection sur (Oy) : 0 = – rg – ∂P ; ∂y • en projection sur (Oz) : 0 = – ∂P . ∂z On obtient donc les lois de l’hydrostatique dans un plan vertical, perpendiculaire aux lignes de courant. y

2 L’équation de Bernoulli d v + e Pm + P = 0 le long de la ligne de courant prend r 2 2 bien la forme v + e Pm + h = cte sur cette ligne. 2 3) Pour un fluide quelconque, on peut écrire en grandeurs massiques (identité thermodynamique pour un fluide quelconque) : dP dh = ud P + T ds = + T ds . ρ

Pour un écoulement isentropique ds = 0 le long d’une ligne de courant, décrite par une particule de fluide pour ce régime stationnaire. Dans ces conditions, le long d’une ligne de courant : —➞ —➞ ➞ grad P ➞ dP r . d = r = dh = grad h . d . Par intégration entre deux points de la ligne, on en déduit : le long de la ligne de courant.

v 2 + e + h = cte, Pm 2

v (M, t) = v (x, t) ex On reprend la formule c =


une évolution isentropique se traduit par P r–g = cte (équation de Laplace) dont la différentielle logarithmique donne : 1 1 dP dρ ≈ . −γ = 0 , soit χ s = γ P γ P0 P ρ

g

x

z

1 1  ∂ρ avec χ s =   . Or, pour un GP, ρ0 χ s ρ  ∂ Ps

L’expression de la vitesse du son est donc c = 1) L’équation d’évolution du gaz est donnée par la loi de Laplace PVγ = cte (transformation isentropique, c’est-à-dire adiabatique et réversible, d’un gaz parfait), soit sous forme massique Puγ = cte , où u est le volume massique du fluide. 1 Or u = , et la loi devient : ρ P ρ −γ = cte = P0 ρ0 −γ , ce qui donne ρ = ρ0

 P0   P

−

1 γ

.

On retrouve les propriétés d’un écoulement barotrope : r ne dépend que de P (ou inversement) pour la particule suivie dans son mouvement. 2) Le long de la ligne de courant, on a : 1 —➞ P –g grad P ➞ dP g P0 1 . d = = dP et dP = d r r 0 P0 r r g – 1 r0

P P0

g–1 g

.

En utilisant la loi des GP sous forme massique : P0 = r0 r T0 , où r est la constante rγ massique des GP, et en remarquant que cp = , cela donne, avec la loi de Laplace γ −1 P 1 – g T g = P 10 – g T 0 g : —➞ grad P ➞ g P0 T r . d = g – 1 r 0 d T0 = cp dT = dh car, pour un gaz parfait h = cp (T – T0) + h 0 .

γ P0 γ R T0 = ≈ 346 m . s –1 . ρ0 M

Pour l’eau c ≈ 1400 m . s–1 , soit une valeur quatre fois plus grande que dans l’air. 1) La conservation du débit massique en régime permanent s’écrit : dr dS dv + + =0 v r S en prenant une différentielle logarithmique. ρ S v = cte , d’où

2) • D’après le cours c =

(1)

 ∂ P 1 1  ∂ρ avec χ s ≈   , d’où c2 =   , ρ0 χ s ρ0  ∂ P  s  ∂ρ s


Solution du tac au tac, page 117. Faux : a, b, c 1. Vrai : d, e ; Faux : a, c 2. Vrai : b ;

ce qu’on peut encore écrire pour cette transformation : d P = c2 d r . dr • dh = dP + T ds = dP = c 2 (2). r r r 2 3) D’après le premier principe (cf. exercice 2) : dh + d v = dh + v dv = 0 (3) 2

(c’est-à-dire h +

v2 = cte ). 2

4) Les relations précédentes (2) et (3) permettent d’écrire c2

dρ = −v d v , d’où ρ

(en utilisant (1)) on obtient le théorème d’Hugoniot : d S d v  v2  + 1− =0 . S v  c 2 

121

Corrigés 5) Au début de la tuyère v < c , et v augmente quand S diminue : la tuyère est d’abord convergente. Deux cas sont ensuite à envisager : • S passant par un minimum (col de la tuyère ), v étant toujours inférieure à c , v passe, elle, par un maximum : l’écoulement est toujours subsonique ; • si v = c au col, il est encore possible d’avoir dv = 0 (cas précédent), mais aussi dv > 0 : la vitesse continue alors à augmenter dans la partie divergente de la tuyère : l’écoulement devient supersonique. 1) On néglige la zone de turbulence ; l’écoulement entre les points A et B représente donc un écoulement quasiment stationnaire (si r << R), sans turbulence de fluide incompressible. La formule de Bernoulli donne : v A2 P v2 P + g z A + A = B + g zB + B . 2 ρ 2 ρ En B , on a un écoulement homocinétique à l’air libre (c’est-à-dire sans contrainte extérieure), donc PB = Pextérieur = PA . La conservation du débit volumique (fluide incompressible) entre la surface libre, où la vitesse est V , et le fond du récipient, fournit l’équation R2 V = r2 v ; de plus zA – zB = h .  r4  On obtient donc v = 2 gh1– 4  ; cette formule correspond à la formule de  R 

(

)

Torricelli v = 2gh , dans le cas où R >> r . Enfin V = −

r 2 62gh, soit – dh = r 2 42g dt, d’où 2h R2 R2

2 donc T = R r2

4


0

d h r2 = 2 g T, h R2

section de rayon R dans cette zone, le fluide est en écoulement quasi stationnaire orifice court de rayon r

h B

➞

D’où F = F ➞u x avec :

F = ( P − P0 ) S1 =

2) Si h (t) est proportionnelle au temps écoulé, V = −

Remarque : La force que l’on vient de calculer représente la force exercée sur le piston, sachant que le corps de la seringue est maintenu fixe.

vitesse du fluide sera notée :

écoulement homocinétique à l’air libre

dh = cte = K . En écrivant la dt

C’est aussi l’équation générale de la génératrice du récipient : z = A R 4 . Une échelle verticale peut être linéairement graduée en temps ainsi facilement mesurable (clepsydre).

➞

➞

v = v (r, t) e r .

Par continuité, v (r, t) r=a(t) = da et v (r, t ) r→ tend vers 0. dt L’écoulement étant incompressible, la conservation du débit volumique impose que ➞ le flux de v , à travers une sphère de rayon r, soit une constante à une date t donnée : ➞

v (r, t ) 4πr 2 = k(t), soit v (r, t ) = Sachant qu’en r = a , v =

f (t ) ➞ e r (cf. chapitre 2). r2

da , cela donne da = f(t)2 ou encore f(t) = a2 da , dt dt a dt ➞

v ( r, t ) =

a 2 ( t ) d a( t ) ➞ er. r2 d t

On peut utiliser l’équation d’Euler, intégrée sur une ligne de courant (radiale) allant ➞ ➞ du rayon de la bulle jusqu’à l’infini, avec d = d r e r . Le caractère d’incompressibilité implique que : B

conservation du débit volumique entre le fond et la surface libre, cercle de rayon R variable, on obtient : K2 R 2 K = r 2 2 gh , d’où h = 4 R 4 = AR 4 . 2 gr

122

2 2 ρ S1 v12   S2   ρDV2   S2      − 1 , soit F =    − 1 . 2 S1   S1   2   S1  

d’où :

v

zone de turbulence

➞

Le problème est à symétrie sphérique. La bulle de vide va imploser et la

2H = 128 s. g

A H

➞

F + P0 S1 ➞u x – PS1 ➞u x = 0 en notant ➞u x le vecteur tel que v➞1 = v 1 ➞u x .

dh (h diminue quand t augmente). D’où : dt H

– dh = dt

En régime permanent, avec un fluide incompressible, il y a conservation du débit volumique : S1 v1 = S2 v2 = D . La relation de Bernoulli écrite entre un point du piston et un point de la section de sortie (le problème étant supposé unidimensionnel, et les forces de pesanteur étant négligées) fournit la relation : v2 v2 P + ρ 1 = P0 + ρ 2 , 2 2 où P est la pression au niveau du piston et P0 la pression atmosphérique (jet homocinétique en sortie de la seringue). ➞ Le piston avance à vitesse constante v 1 sous l’action de la force F exercée par l’opérateur et des forces de pression. Dans un référentiel galiléen, on peut donc écrire :

A

—➞

grad P r

B

1 .d = ρ

∞

➞

➞

∂v ➞ .d ∂t

d’où : r=a

A

B

➞ P —➞ grad P . d =   ,  ρ A

∞

 v2 P  + +  = 0 .  2 ρ a


➞ ➞ Or ∂v . d = ∂v (r, t) dr = 12 d a2 da dr, d’où : ∂t ∂t r dt dt

da 2 = 0, soit a d 2 a + P0 + 3 r dt 2 dt 2

1 d a2 da + P0 – 1 a dt dt r 2

da 2 = 0. dt 2

 da L’équation se résout en faisant le changement de variable y(a) =   :  dt  2 dy = 2 d 2a da da dt dt

a

dt = 2 d 2 a D’où . : da dt 2

d y 2 P0 + + 3y = 0 . da ρ

On obtient le champ résultant :  a2  ➞  ω a2  a2   ➞ ➞ v = v 0cosθ 1 − 2  er +  − v 0sinθ 1 + 2   eθ .  r   r  r  ➞ ➞

Les points d’arrêt cherchés doivent être tels que v = 0 , d’où : Premier cas r = a et w a – 2v 0 sinq = 0, ce qui donne sin θ =

Cette équation est à variables séparables. dy = – da . 2P a 3y + 0 r

➞

eθ = 0) , r et les conditions aux limites : v∞ = 0 et vr (a) = 0 (vitesse radiale du fluide nulle sur le cylindre). Ce champ respecte bien la condition d’incompressibilité du fluide (car div

2v ωa si ω < 0 . a 2v 0

Il existe alors deux points d’arrêt A et B sur le cylindre, symétriques par rapport à l’axe (Oy) (cf. schéma) .

Compte tenu des conditions initiales (a = a0 , v (a, 0) = 0), son intégration donne :

y

 2 P0  3 3 2 P0 .  y +  a = a0 3ρ  3ρ  2

 da da En revenant à y(a) =   et en remarquant que < 0 , il vient : dt  d t 1

1

3 d a  2 P0  2  a0   2 = −    − 1 . d t  3ρ   a  

cylindre A

B

Le temps T recherché est celui mis par la bulle pour passer du rayon a0 au rayon nul : 0 a0

3r 1/2 2P0

–

da . 1/2 a0 3 –1 a

Soit x = a . a0 T=

0 1

–

3r 2P0

1/2

dx a 0 1 – 1 1/2 x3

x

Au cas particulier ω = (cf. schéma).

2 v0 π correspond un point d’arrêt sur le cylindre en θ = a 2

y


T=

3r 1/2 T = a0 I = 0,9 ms. 2P0

1) Le champ de vitesses construit au chapitre 2, représentant l’écoulement

cylindre

du fluide autour du cylindre, en l’absence de rotation de celui-ci, est donné par :  a2  ➞  a2  ➞ ➞ v1 = v 0 cosθ 1 − 2  er − v 0sinθ 1 + 2  eθ .  r   r  2) a) On peut y superposer un champ des vitesses induit par la rotation du cylindre, sous la forme : 2 ➞ ωa ➞ v2 = eθ . r

x

123

Corrigés Deuxième cas 2v 0 , il existe alors un point de vitesse nulle à l’extérieur du cylindre Si w a (cf. schéma). v r = 0 pour cosq = 0 En effet, on a alors w a2 v q = 0 pour sin q = 2 . v0 r + a r 2 2 Donc q = π et r + a = w a , d’où r = a w a + v0 2v 0 2 r

7

Cette distribution de pression engendre sur le cylindre des forces de pression dont la résultante est dirigée suivant l’axe (Oy) , vers les y décroissants. Elle se calcule à partir de la force élémentaire : ➞

➞

d F = – P n d S , d’où d Fy = – P d S sinq avec, pour une partie de longueur h quelconque du cylindre, d S = h a d q . Les termes uniformes de P donnent une contribution nulle à cette résultante, il reste : 2π

2rv0 (w a sinq – v0 sin2q) sinq ha d q = – 2πw a2rv0h ,

Fy = –

w 2 a2 – 1 . 4v 20

0

Fy

soit :

y

h

= −2 πω a2 ρv0 .

On obtient donc une force proportionnelle à w . ➞

c) Seul le champ v 2 (champ de vortex) présente une circulation non nulle autour du ➞ cylindre. La circulation G du vecteur v sur le contour w entourant une fois le cylindre dans le sens direct est :

point d’arrêt

➞

➞

➞

➞

G = O v .d = O v2 .d =

cylindre

➞

w

w

➞

2π

wa2 r dq = 2πw a2 r

0

➞

(avec d = dr e r + r dq e q ). Fy

= − Γ ρ v 0 . L’existence d’une force orthogonale à l’écoulement (force de h portance) est directement liée à celle d’une circulation non nulle du champ des vitesses du fluide autour de l’obstacle : c’est l’effet Magnus. D’où

x

b) L’écoulement est permanent et incompressible. Hors du cylindre, il est irrotationnel : —➞ ➞ • le premier écoulement est v 1 = grad v 0 cosq r + a , superposition d’un champ r uniforme et d’un champ dipolaire (à deux dimensions) ; • le second est analogue au champ magnétique d’un fil rectiligne infini, de rotationnel nul pour r > 0. On applique donc la relation de Bernoulli entre un point très éloigné du cylindre (P = P0 , v = v 0) et un point de la surface du cylindre (P(a, q ), v (a, q )) :

➞

1) Le fluide étant incompressible div v = 0 se réduit à

La vitesse du fluide est uniforme dans la canalisation, c’est aussi la vitesse d’éjection du fluide en B , notée v (t) . 2) L’équation d’Euler s’intègre sur une ligne de courant allant d’un point A de la surface libre du récipient au point B : B A


P0 v 02 P(a, θ ) (ω a − 2v 0sinθ )2 + = + , ρ 2 ρ 2 d’où P(a, q ) = P0 +

2 ➞ ∂v . d ➞ + PB – PA + v (t)2 – v A – gh = 0. 2 r r ∂t 2

écoulement stationnaire jet homocinétique à l’air libre turbulences négligées

A

ρ 2 (v 0 – (w a – 2v0 sinq )2 ) . 2

∂ vx =0. ∂x

écoulement instationnaire

h

B

C

y

n dS

C

x

Or PB = PA = P0 . Avec les hypothèses de l’énoncé, vA est négligeable devant v (t) ; ∂ v➞ est non nul uniquement sur la partie CB , cela permet d’écrire : ∂t B A

d’où L

124

x

0

➞

∂v . d ➞ = ∂t

d v v ( t )2 + − gh = 0 . dt 2

B C

➞

∂v . d ➞ = ∂t

L

0

dv dx = L dv , dt dt


On obtient bien une solution particulière de cette équation en faisant dv = 0 et dt v 21 = 2gh : formule de Torricelli. En introduisant vl dans l’équation différentielle, il vient : dv dt = . v12 − v 2 2 L

—➞ grad ⊥ P ∆ P (1 020 – 1 000)102 ≈ ≈ ≈ 3 .10–3 m . s–2. r rd 1,3 5.10 5

Les deux premiers termes étant négligeables, l’équation d’évolution du fluide devient : —➞ grad P 2 W sin l u➞z ∧ v➞ + r⊥ = 0. (2)

= 0,95, soit t ª 0,74 t ª 0,12 s .

5) La phase transitoire de mise en vitesse du fluide, pendant laquelle la vitesse d’éjection diffère de la valeur asymptotique donnée par la formule de Torricelli est ici suffisamment faible pour que cette formule soit à tout instant applicable, dès que t >> t .

Avec les rotations de l’énoncé, on a : ➞

W = W cos l u➞y + W sin l u➞z (d’après le document 1 de l’énoncé) —➞ grad P = a cos q u➞x + a sin q u➞y (perpendiculaire aux isobares). Soit (2) en projection sur : x : a cos q + 2W sin l v y = 0 r

—➞ ➞ 1) L’équation de la statique des fluides s’écrit rg – grad P = 0 ➞

y : a sin q – 2W sin l v x = 0 r

2) Les forces volumiques exercés sur la particule de fluide sont : • le poids, qui comprend la force de gravitation et la force d’inertie d’entraînement du référentiel terrestre : r g➞ ; ➞ • la force de Coriolis – 2rW ∧ v➞ ; —➞ • l’effet des forces de pression, se ramenant à – grad P . L’équation d’Euler conduit donc à : —➞ —➞ ➞ ➞ ➞ ➞ grad P ∂v➞ + v➞. grad v = g – 2W ∧ v – r . ∂t (1)

3) Examinons les ordres de grandeur des quatre termes de l’équation (1) : ➞ • ∂v ≈ v avec v la vitesse caractéristique du fluide et T la durée de la situation ∂t T souvent supérieure à 24 heures : ainsi (en régime de vitesse constante) : ∂v➞ 1,2 . 10– 4 m . s–2. ∂t

d’où v➞ =

a (sin q u➞x – cos q u➞y ). 2rW sin l

La vitesse est orthogonale au gradient de pression : l’écoulement se fait le long des isobares (et non perpendiculairement).

tv

D

gO rad P vt A

D

gO rad P A

hémisphère Nord (sin l 0)

hémisphère Sud (sin l 0)

4) A.N. : v = 39,4 ms–1 = 140 km/h. Les ordres de grandeur sont bien corrects ; on pourrait penser que le terme en —➞ v➞. grad v➞ est seize fois plus grand, donc non négligeable : en réalité ce terme est nul car v➞ est uniforme au voisinage de AD.

125


donc ∂P = – pg où g est le champ de pesanteur. ∂z

On ne s’intéresse qu’aux mouvements horizontaux de l’air, donc : —➞ —➞ ➞ grad ⊥ P ∂v➞ + v➞. grad v = – 2 W sin l u➞z ∧ v➞ – r . ∂t —➞ en notant grad ⊥ P le gradient de P dans le plan (Oxy).

• 2 W sin l u➞z ∧ v➞ ≈ 12 W v ≈ 2 . 10– 3 m . s–2. •

3) Après intégration et compte tenu de v (0) = 0 : v (t) = v 1th t avec t = 2L . v1 t 4) Le temps t recherché est tel que th t t

2 —➞ • v➞. grad v➞ ≈ v avec v = 10 m . s– 1 et d = 500 km, cela donne : d —➞ v➞. grad v➞ ≈ 2 .10– 4 m . s–2.

5 O

B

J

E

C

Viscosité d’un fluide

T

I

F

S

Introduction qualitative de la viscosité. Introduction quantitative de la viscosité dans quelques cas élémentaires. ■ Évaluation des ordres de grandeur caractéristiques.


■

■

P ■ ■

126

R

É

R

E

Q

U

I

Cinématique des fluides. Dynamique des fluides parfaits.

S

Jusqu’à présent, nous nous sommes limités au cas des fluides parfaits, soumis aux seules forces de pression. Ce modèle ne peut décrire de façon satisfaisante que certains types d’écoulements bien particuliers. En effet, il ne fait pas de différence entre l’huile et l’eau, alors que ces deux fluides ne s’écoulent pas de la même manière dans un tuyau de petite section. Dans le chapitre 4, nous avons vu très rapidement la notion de fluide visqueux. Rappelons simplement qu’en présence d’un fluide visqueux, en écoulement laminaire, les veines de fluides rapides ont tendance à accélérer les veines lentes, et inversement les veines lentes à ralentir les veines rapides. Il existe donc une diffusion de quantité de mouvement dans ces fluides. Nous allons étudier dans ce chapitre la notion de viscosité (liée aussi aux effets de « cisaillement » dans un fluide), avec toutes ses conséquences. Cela nous permettra une meilleure compréhension des écoulements de fluides réels, étudiés dans le chapitre 6.

5. Viscosité d’un fluide

Expériences avec un fluide réel

1.1. Expérience

b)

Doc. 1. L’huile et la pâte dentifrice sont deux fluides « différents ». a. Écoulement de l’huile (ou de l’eau) à l’aide d’un verre. b. Même renversé, le tube de pâte dentifrice ne se vide pas.

Un récipient cylindrique, rempli d’eau et initialement immobile, est mis en rotation autour de son axe (doc. 2). Pour étudier la mise en mouvement du fluide, nous pouvons faire flotter des petites particules sur le liquide et observer leur mouvement. Nous constatons alors les résultats suivants (doc. 3).

z axe de symétrie

• Comme le laisse prévoir la symétrie du système, le mouvement des particules (donc des éléments correspondant de fluide) est circulaire. • À la périphérie, la vitesse devient rapidement proche de celle de la paroi, alors que dans la zone centrale le fluide ne se met en mouvement que très progressivement. • Le mouvement se propage de la périphérie vers le centre. Lorsque l’état stationnaire est atteint, après quelques minutes, le système fluide est en rotation uniforme, et tous ses éléments sont immobiles par rapport au récipient. • Si la rotation du récipient cesse brusquement, le fluide retourne progressivement vers un état stationnaire de vitesse nulle. Les particules situées à la périphérie sont freinées tout d’abord, et la modification du mouvement se propage de la périphérie vers le centre.

liquide

plateau tournant y

x

vitesse de rotation ω 0

Doc. 2. Système d’un fluide en rotation.

Doc. 3. Mesure des vitesses. Le récipient a un diamètre d = 9,5 cm et une hauteur h = 14 cm . Sa vitesse de rotation est w0 = 45 tours . min–1 . Les deux photographies ont été prises respectivement à 30 secondes et à 150 secondes après le début de la rotation. Le temps de pose étant de

1 2

s , un mobile solidaire du récipient décrirait un arc de cercle d’ouverture 135°.

127


1

a)

ifrice dent

Nous savons que des produits tels que la mayonnaise, le beurre, la pâte dentifrice et les peintures sont des fluides dont le comportement lors d’un écoulement (s’il existe !) est différent de celui de produits tels que l’eau, l’huile, le miel et la glycérine (doc. 1). Nous « classerons » ces divers fluides dans le chapitre 6, § 9, mais précisons néanmoins que nous étudions, dans ce chapitre, des fluides (qualifiés de newtoniens) tels que l’eau, l’huile, le miel et la glycérine.


Remarques • Si le récipient n’est pas parfaitement centré, ou si le plateau tournant n’a pas un mouvement parfaitement plan, le mouvement n’est pas réellement circulaire. • Il faut de plus que les particules flottantes soient espacées : si deux particules se rapprochent trop, des forces dues à la tension superficielle modifient leurs trajectoires.

1.2. Forces internes de viscosité L’équation d’Euler, qui traduit la relation fondamentale de la dynamique pour un fluide parfait, est-elle vérifiée dans cette expérience ? La symétrie de rotation impose, en coordonnées cylindriques : v➞ = v (r, z, t) e➞q

et

P = P(r, z, t) .

Si l’équation d’Euler était vérifiée, nous aurions : ➞ —➞ r Dv = – grad P + r g➞ , avec : Dt —➞ ➞ ∂v ➞ ∂e➞q Dv➞ = ∂v➞ + (v➞. grad )v = e q + v ∂ (v e➞q ) et = – e➞r . ∂q Dt ∂t ∂t r ∂q Cette équation donne par projection : 2 r ∂v = 0 (sur e➞q ) ; – r v = – ∂P (sur e➞r) ; 0 = – ∂P – rg (sur e➞z ). ∂t ∂r ∂z r

La première de ces équations est, bien entendu, incompatible avec l’expérience. En raison de l’absence de forces orthoradiales, un fluide parfait resterait immobile par rapport au référentiel du laboratoire. Les éléments de fluide ne sont soumis qu’à l’action verticale de la pesanteur, et aux actions internes. Comme le gradient de pression est radial, l’accélération orthoradiale ne peut s’expliquer que par d’autres forces internes, différentes des forces de pression, dont nous n’avons pas tenu compte jusqu’ici et que nous appelons forces de viscosité. Ces forces sont d’autant plus importantes que le fluide est visqueux (au sens usuel). Si le récipient en rotation avait été rempli d’huile, le régime permanent aurait été atteint beaucoup plus rapidement.


1.3. Continuité de la vitesse Dans l’expérience présentée (cf. § 1.1), les éléments de fluide situés près de la paroi tournent presque instantanément à la même vitesse que cette paroi et lors du régime transitoire, la vitesse de rotation varie continûment de la périphérie vers le centre. Plus généralement, toutes les expériences montrent que : • la vitesse d’écoulement d’un fluide réel est toujours une fonction continue du temps et des coordonnées d’espace ; • les éléments de fluide qui sont au contact d’un solide ont, à tout instant, une vitesse relative nulle par rapport à ce solide. Remarque Le modèle du fluide parfait n’interdit pas la discontinuité spatiale de la vitesse. Deux pellicules (ou veines) d’un fluide parfait pourraient glisser l’une sur l’autre avec des vitesses différentes.

128

5. Viscosité d’un fluide 1.4. Viscosité et dissipation d’énergie Si, dans l’expérience décrite, le fluide était parfait, il continuerait de tourner indéfiniment après l’arrêt du plateau tournant et son énergie cinétique resterait constante. Plus généralement, un fluide visqueux en écoulement, contrairement à un fluide parfait, dissipe l’énergie mécanique tant que la vitesse relative de ses éléments n’est pas nulle.

2

Fo rce de viscosité (ou cisaillement) dans un fluide réel

2.1. Cisaillement et pression Dans le modèle du fluide parfait, nous avons réduit la force de contact entre deux éléments de fluide à la seule force de pression, qui est normale à leur surface de séparation. Les observations sur les fluides réels ne peuvent s’expliquer que par une composante tangentielle de la force de contact, appelée force de cisaillement (doc. 4).

Ces forces, opposées aux vitesses relatives des éléments de fluide, ont une puissance totale négative, ce qui correspond bien à une dissipation d’énergie mécanique.

Doc. 4. Forces de pression (en noir) et de cisaillement (en couleur).

y

2.2. Champ de vitesse unidirectionnel de la forme : ➞ ➞ v = v (y, t)ex Étudions le cas simple où les plans parallèles à (Ox, Oz) glissent les uns sur les autres. Ce cas, a priori irréaliste, peut être une bonne approximation d’un écoulement laminaire réel, si les dimensions selon (Ox) et (Oz) sont très grandes devant l’épaisseur selon (Oy). Cette situation existe lors d’un écoulement au voisinage d’un obstacle, où le profil de vitesse a l’allure du document 5. Comme div(v➞) = 0 , cet écoulement peut être celui d’un fluide incompressible. Considérons deux éléments de fluide, S1 et S2 , séparés par la surface S , d’aire S , normale à (Oy) (doc. 6).

Vmax

tv

obstacle fixe

x

Doc. 5. Profil de vitesses au voisinage d’un obstacle. © Hachette Livre, H-Prépa Mécanique des fluides, 2e année, PC et PSI, La photocopie non autorisée est un délit.

Par ailleurs, toutes les expériences montrent que l’équation de la statique des fluides ➞ —➞ grad P = f vol , qui ne prend en compte que la pression, s’applique indifféremment aux fluides visqueux ou non visqueux. Les forces internes de cisaillement, en effet, s’opposent à la déformation des éléments de fluide, et deviennent nulles lorsque ceux-ci ne se déforment plus au cours du temps.

y

v v v z

Σ

F

S2

F S1

x

➞ Doc. 6. v est ici une fonction croissante de y . La force de cisaillement F exercée par S1 sur S2 s’oppose à la déformation du système constitué par S1 et S2 , ou encore empêche S2 de glisser sur S1 .

129


La force de cisaillement, exercée à travers S par S1 sur S2 , est tangente à S . Elle doit s’opposer au glissement de S2 par rapport à S1 . Elle est donc : • proportionnelle à S (aire de S) ; ➞ • de sens opposé à e x si v (y, t) est une fonction croissante de y . ∂v Si la force de cisaillement est une fonction linéaire de la dérivée , le fluide est ∂y dit newtonien (nous définirons plus précisément cette notion dans le chapitre 6, § 9). Ce modèle est très satisfaisant pour la plupart des fluides, et nous en donnerons une justification microscopique sommaire pour les gaz. Pour un écoulement unidirectionnel, tel que v➞ = v (y, t) ➞ ex , la force de sur➞ face tangentielle F , appelée force de cisaillement, ou de viscosité, qui s’exerce à travers une surface d’aire S normale à ➞ ey , est portée par ➞ ex . La norme de cette force est égale à : ∂v S. ∂y ➞ Cette force F tend à accélérer les veines rapides, et à ralentir les veines ➞ ∂v ➞ lentes. Elle s’écrit donc F = – S e x (action de S1 sur S2 , doc. 6). ∂y F=

Le coefficient appelé viscosité dynamique du fluide peut, avec une bonne approximation, être considéré comme une constante caractéristique du fluide à une température et une pression données. L’unité de viscosité dans le Système International est le poiseuille (Pl) tel que 1 Pl = 1 Pa . s .


Sur le document 7, nous avons quelques ordres de grandeur du coefficient de viscosité dynamique h pour divers fluides. Remarques • Le rotationnel de la vitesse est ici non nul. Rappelons que le caractère rotationnel de l’écoulement n’est pas lié à la courbure des lignes de courant, mais à l’évolution des éléments de fluide. • Cette loi est une des nombreuses lois approximatives linéaires qui relient la cause (dérivée non nulle de la vitesse) et l’effet➞ (force de cisaillement). Cette loi est ➞ ➞ phénoménologique. La loi d’Ohm j = s E (j : densité volumique de courant et ➞ —➞ ➞ E = – grad V : champ électrique) est un autre exemple. • Les forces de viscosité tendent, dans ce cas, à uniformiser la vitesse : freinage des parties les plus rapides et accélération des plus lentes. • Le coefficient de viscosité peut varier fortement avec la température et la pression. Examinons la signification physique du terme « ∂v ». ∂y Dans la situation décrite (écoulement unidirectionnel v➞ = v (y) e➞x ), la quantité « ∂v » représente la variation de vitesse relative entre deux nappes de fluides ∂y planes et voisines (doc. 8a). Sur le document 8b, les vitesses des divers éléments de fluides sont données par —➞ ➞ v➞(M) = w➞ ∧ OM . Comme w est un vecteur constant, il n’y a pas mouvement relatif de S2 par rapport à S1 ; il n’y a donc pas de forces de viscosité, bien que ∂v ≠ 0 ! Ce cas sera examiné dans l’Application 1, en faisant intervenir une vitesse ∂r relative de glissement.

130

fluide

coefficient de viscosité dynamique h (en P )

air

10 – 6 (1,7 . 10 – 5 dans les conditions normales)

eau

10 – 3

huile

1

glycérine

1

graisse

10 3

Doc. 7. Ordres de grandeurs de quelques coefficients de viscosité dynamique h (en P ).

5. Viscosité d’un fluide y

champ des vitesses du fluide instant t

S2

M’

S1

M

instant t + ∆ t

M’ M

M’ M

x

Doc. 8a. M et M′ ne restent pas sur la même normale à la surface de séparation entre S1 et S2 . Il y a glissement de S2 sur S1 ; il existe des forces de viscosité, car la vitesse relative de S2 par rapport à S1 est non nulle.

Sur le document 8c, en revanche, on a envisagé un mouvement relatif S2 par rapport à S1 : il existe des forces de viscosité. date t + dt date t S2

date t + dt S2

S1

M

M’ S1

M’

S2 M

S1

Doc. 8c. Il y a glissement de S2 par rapport à S1 , donc déplacement relatif de S2 par rapport à S1 : il existe des forces de viscosité.

∂v dS ∂y n’est valable que pour un écoulement unidirectionnel, c’est-à-dire un écoulement plan. En résumé, la formule « simple » donnant la force sous la forme d F = η

y F2 = η S ∂ v ∂y

2.3. Équivalent volumique de la force de cisaillement Nous savons que la ➞force surfacique de pression est équivalente à une force volu— mique égale à – grad P . Cherchons un tel équivalent pour la force de cisaillement ou de viscosité.

ex

v

y0 + dy y0

y = y0 + dy

v

2.3.1. Champ de vitesse : v➞ = v (y, t) e➞x Considérons le parallélépipède élémentaire de volume : dt = S dy (doc. 9). Il est soumis, à travers ses faces d’aire S , à deux forces de cisaillement : ➞  ∂v  ➞ ex (cf. § 2.2.) ; • F1 = − η S    ∂ y  y= y 0

F1 = – η S ∂ v ∂y ➞

x y = y0

ex

➞

Doc. 9. v = v (y, t) e x . Forces de cisaillement sur un volume élémentaire dans le cas d’un écoulement unidirectionnel.

131


Doc. 8b. Au—cours de la rotation où ➞ ➞ v➞(M) = w ∧ OM , M et M′ restent sur la même normale à la surface de séparation entre S1 et S2 . Il n’y a pas glissement de S2 par rapport à S1 ; il n’existe pas de forces de viscosité, bien que v➞(M) ≠ v➞ (M′).


➞  ∂v  • F2 = η S    ∂ y  y= y

➞

0 + dy

ex , conformément au principe des actions réciproques puis-

qu’il s’agit ici de l’action de la particule située au-dessus de la particule qui nous intéresse sur cette particule. Les forces de cisaillement sur les faces normales à e➞z sont nulles (absence de glissement ou de cisaillement). L’écoulement étant invariant par une translation parallèle à (Ox), les forces de cisaillement exercées sur S , à travers les deux dernières faces, sont opposées. La résultante des forces de cisaillement est donc : ➞  ∂v  ➞  ∂v  ∂ 2v  ex = η 2 S dy e➞x , −  Fcis = − η S   ∂y  ∂ y  y = y0  ∂ y  y = y0 + dy  ➞

ce qui correspond à une force volumique fcis vol = η

∂ 2v ➞ ex . ∂ y2

2.3.2. Cas d’un écoulement incompressible : généralisation Dans le cas particulier précédent, l’écoulement est incompressible, car div v➞ = 0. De plus : 2 ∆v➞ = ∆(v (y, t) e➞x = ∂ v2 e➞x . ∂y

➞

D’où : f cis vol = h ∆v➞ . Une étude plus approfondie des fluides newtoniens montre que nous pouvons généraliser la relation précédente pour tous les écoulements incompressibles. Dans un écoulement de fluide incompressible homogène, les forces de cisaillement sont équivalentes à une force volumique dont l’expression est : ➞ f cisvol = h Dv➞ . Cherchons l’équivalent massique : ➞

➞

➞

dF = f cis vol dt = f cis m dm avec dm = r dt . Ainsi l’équivalent f cis m = n ∆v➞ avec n =

h . r


n représente la viscosité cinématique. Dans un écoulement de fluide incompressible homogène, les forces de cisaillement sont équivalentes à une force massique dont l’expression est : ➞ f cism = n Dv➞ , h avec n = , viscosité cinématique du fluide. r La viscosité cinématique a la dimension d’un coefficient de diffusion : –1 T–1 [h] [n] = = ML –3 = L2 T – 1 . [r] ML Cette grandeur caractérise la diffusion de la quantité de mouvement dans un fluide (cf. § 3.2.). La viscosité cinématique se mesure en m2. s– 1.

132

5. Viscosité d’un fluide Sur le document 10, nous avons quelques ordres de grandeur du coefficient de viscosité cinématique. La viscosité cinématique n dépend aussi des paramètres température et pression. Ainsi, la viscosité cinématique de l’eau varie de 1,3 . 10–6 m2 . s– 1 à 10 °C, à 0,4 .10–6 m2 .s– 1 à 60 °C (doc. 11). n(10–6 m2.s– 1)

fluide

coefficient de viscosité cinématique n ( 10– 6 m2 . s– 1)

air

15,6 (dans les conditions normales)

eau

≈1

huile

≈ 103

graisse

≈ 106

Doc. 10. Ordres de grandeurs de quelques coefficients de viscosité cinématique ( 10 – 6 m2 . s– 1). 1

0,5

0

0

10

20

30

40

50

60

T(°C)

Doc. 11. Variations de la viscosité cinématique n de l’eau en fonction de la température.

Application

1

Champ de vitesse : v➞ = v (r, t) e➞ 3) Par analogie avec le cas de l’écoulement plan, exprimer la force de cisaillement exercée par le fluide intérieur sur le fluide extérieur, à travers une surface élémentaire d’aire dS normale à e➞r , en fonction de la ∂v rel ∂ω , puis en fonction de , puis enfin à dérivée ∂r ∂r partir de la fonction v (r, t) .


On se propose de déterminer les forces de cisaillement, en procédant par analogie avec l’écoulement plan étudié précédemment. L’écoulement du fluide (supposé newtonien et de viscosité h ) peut être décrit comme un ensemble de cylindres emboîtés, tournant à des vitesses différentes (doc. 12). Pour chaque valeur de r , nous pouvons définir v ( r, t ) une vitesse angulaire de rotation ω (r, t ) = (on r utilise les coordonnées cylindriques). 1) Quelle est la forme de la fonction w (r, t) lorsque ez les forces internes de r0 cisaillement sont nulles ? 2) Par rapport au cylindre de rayon r0 , quelle est la r vitesse relative : v➞rel = vrel e➞q 12. Champ de vitesses : d’un point du cylindre de Doc. ➞ ➞ v = v (r, t) e q . rayon r ?

4) Déterminer l’équivalent volumique du moment par rapport à l’axe (Oz) des actions de cisaillement. Montrer que cette expression est compatible avec une force volu➞ mique de cisaillement égale à f cis = h ∆v➞ . 1) Les forces de cisaillement doivent s’annuler lorsque tous les cylindres tournent comme un seul solide, c’està-dire si w est uniforme. 2) D’après la relation de composition des vitesses : v➞rel = v➞ – v➞e .

133


La vitesse d’entraînement v➞e , en un point du cylindre de rayon r , est égale à la vitesse d’un point de même position, fixe par rapport au cylindre de rayon r0 : ➞ ➞ v e = w (r0)r e q .

D’où il vient v➞rel = (w (r) – w (r0))r e➞q = vrel e➞q . 3) Prenons deux cylindres voisins de rayon r et r + d r , la vitesse relative élémentaire est alors : dv➞rel = [w (r + dr) – w (r)](r + dr) e➞q . w (r + dr) – w (r) =

∂w ∂r

• À travers la face interne de rayon r : v   v    ∂ ∂  ➞   r    ➞ ➞ r  d F1 = − η r  r dθ d z eθ = − η  r 2   dθ d z eθ . ∂ ∂ r r       r =r   r =r Soit un moment : d

dr .

1( Oz )

Soit, en restant au premier ordre en dr,  ∂ω  ➞ ➞ d v➞rel = [ω (r + d r ) − ω (r )] r eθ =   d r r eθ ,  ∂r r soit :

 ∂ω  ∂ v rel ∂ v = r  = r   . ∂r  r ∂r  ∂r r

• À travers la face externe de rayon r + d r : d

Remarquons que cette expression est bien différente de ∂v , valable uniquement pour des écoulements unidi∂r rectionnels.

∂v ➞ eθ d S ∂r


lorsque r tend vers l’infini. • Pour un élément de surface non normal à e➞r , l’expression de la force de cisaillement est beaucoup plus complexe. 4) Considérons un volume élémentaire de dimensions dr , r dq et dz (doc. 13). Seules les forces de cisaillement, qui s’exercent à tra➞ vers les deux faces normales à e r , ont un moment non nul par rapport à l’axe (Oz). ➞

dr r+ r

dF2

➞

dF1

Doc. 13. Forces de cisaillement.

134

∂

v r

dq dz .

∂r r = r + dr

Au total, on obtient :

d

( Oz )

v   ∂   3  r  ∂r ∂ r     d r dθ d z = +η ∂r v   ∂   3  r  ∂r ∂ r    1  =η r d r dθ d z . r ∂r

Remarques ➞

r3

2 (Oz) = h

La force de cisaillement, proportionnelle à dS et à ∂v rel , s’écrit : ∂r v ∂  ➞  r ➞ ∂v ➞ ∂ω ➞ d F = − η rel eθ d S = − η r eθ d S = − η r eθ d S . ∂r ∂r ∂r • Nous retrouvons bien une force en d F = − η

v   ∂   3  r  dθ d z . = −η r ∂ r     r =r

Nous obtenons donc un moment volumique de cisaillement : v   ∂   3  r  ∂r ∂r     1  η = . cis vol r ∂r Supposons que les forces de cisaillement soient équi➞ valentes à la force volumique f cis = h ∆v➞ . Le moment appliqué au volume élémentaire est : d

➞

➞

➞

(Oz) = (re r ∧ h∆v ) . e z r dr dq dz .

Pour cet écoulement, div(v➞) = 0 et donc (cf. Annexe, relations concernant les opérateurs vectoriels) :  1 ∂ (rv )  ∂  —➞(rot —➞(v➞)) =  r ∂ r  e➞ . ∆v➞ = – rot θ ∂r

5. Viscosité d’un fluide En remplaçant ∆v➞ par cette expression, nous obtenons : d

 1 ∂(rv )  ∂  2  r ∂r  r d r dθ d z . = h (Oz) ∂r

Il est ensuite aisé de vérifier que :

v   ∂   3  r  ∂r  1 ∂(rv )  ∂ r  ∂      r ∂r  = r2 . ∂r ∂r Les deux expressions du moment sont donc identiques.

2.4. Équation de Navier-Stokes Il s’agit de l’équation locale pour un écoulement de fluide incompressible homogène. Cette équation s’obtient en ajoutant, dans l’équation d’Euler, la force volumique de cisaillement. Dans le cas simple d’un écoulement unidirectionnel de la forme v➞ = v (y, t) e➞x , ➞ —➞ nous pouvons vérifier que (v➞ . grad) v➞ = 0 (la dérivée convective de la vitesse est ∂ v➞ nulle) ; l’accélération particulaire se confond alors avec et l’équation locale ∂t devient : ➞ ∂v ➞ ∂ 2v ➞ —➞ ρ ex = – grad P + f vol + η 2 ex . ∂t ∂y L’équation locale de la dynamique, ou équation de Navier-Stokes, est pour les écoulements incompressibles homogènes : —➞ Dv➞ = f➞ – grad P+ v➞ . r vol Dt Dans le cas simple d’un écoulement unidirectionnel de la forme v➞ = v (y, t) e➞x , l’équation locale devient : —➞ v➞ ➞ ex = f vol – grad P + t

2

v ➞ ex , avec y2

viscosité dynamique.

Pour un écoulement incompressible de fluide homogène, on peut encore écrire :


L’équation locale de la dynamique (ou équation de Navier-Stokes) est pour un écoulement incompressible de fluide homogène : ➞ Dv➞ = f➞ – — P + n Dv➞ . m grad Dt r Dans le cas simple d’un écoulement unidirectionnel de la forme v➞ = v (y, t)e➞x , l’équation locale devient : 2 ➞ ∂v➞ = f➞ – — P + n ∂ v e➞x . m grad ∂t ∂ y2 r Nous supposerons désormais qu’il n’y a pas d’autre force volumique que la pesanteur. Si Z représente l’altitude, nous pouvons poser : qP = P + rgZ ( qP est parfois appelée pression motrice ou pression effective) , ➞ —➞ et : r Dv = – grad qP + h∆v➞ . Dt

135


Remarques

transfert de G à travers Σ

• Dans le cas général d’un fluide visqueux compressible, il faut encore introduire d’autres termes. En fait, l’approximation du fluide incompressible est souvent suffisante lorsque la vitesse d’écoulement est faible devant celle du son. En effet, la variation relative de r dans un écoulement peut être reliée au coefficient de compressibilité cs du fluide. cs = 1 r

∂r ∂P

∆r ≈ 1 . ∆P r s

• L’ordre de grandeur de ∆P dans le fluide est r.v 2. Donc

∆r c ≈ s r 0 v 2. r

∆r 1 << 1 ⇔ cs r 0 v 2 << 1, soit v << =C. r 8cs r 0

n

surface Σ

Doc. 14. La quantité dG traversant pen➞ dant dt la surface S suivant n s’exprime en fonction du débit DG par : dGtraversant S = DG d t .

• Nous n’aborderons pas la résolution de l’équation de Navier-Stokes en dehors du cas simple de l’écoulement unidirectionnel. Pour s’entraîner : ex. 2.

3

p(t + dt)

Viscosité et transfer t de quantité de mouvement

3.1. Débit de quantité de mouvement

S

p(t) transfert de quantité de mouvement à travers Σ

Σ

Rappelons tout d’abord la définition d’un débit. Soit G une grandeur extensive quelconque (nombre de particules, énergie, masse, etc.). Le débit DG de G (encore appelé flux de G), à travers une surface orientée S , est égal à la quantité de G qui traverse S par unité de temps (doc. 14) : DG =

d Gtraversant Σ

. dt ➞ Pour un système S , de quantité de mouvement p➞ soumis à une force F , on a

dp = Fdt

➞

Doc. 15. La quantité de mouvement dp traversant pendant dt la surface fermée ➞ ➞ S s’exprime en fonction de D p = F par : ➞ ➞ dp = F dt .

➞

➞ ➞ dp ➞ = F . La force F représente la quantité de mouvement transdt férée par unité de temps de l’extérieur vers S .

l’équation


Une force de surface peut s’interpréter comme un débit de quantité de mouvement à travers cette surface (doc. 15). Ainsi, dans l’écoulement tel que v➞ = v (y, t) e➞x , la force de cisaillement exercée par S1 sur S2 (doc. 5) est égale au débit Dpx de la composante px de la quantité de mouvement transférée à travers S (doc. 16).

y ey

grad vx ex

x

veine rapide

3.2. Diffusion de quantité de mouvement Nous avons déjà signalé que la viscosité a pour effet, dans un écoulement unidirectionnel, d’accélérer les éléments lents et de freiner les éléments rapides. Il s’agit donc d’un transfert interne de quantité de mouvement, qui présente les caractéristiques d’une diffusion. Ce transfert est irréversible et il s’effectue dans le sens de l’uniformisation de la vitesse. On peut donc, par ces aspects, le comparer à un transfert thermique, ou à une diffusion de particules.

136

Σ veine lente

Fx

p = px ex transfert de px

v = v (y)ex

Doc. 16. La quantité de mouvement dpx traversant pendant dt la surface S s’exprime en fonction de Fx par : dpx = Fx dt . Une veine rapide étant ralentie par une veine lente, px diminue et donc Fx < 0 .

5. Viscosité d’un fluide La densité volumique de quantité de mouvement est égale à rv➞ . Nous pouvons alors écrire, si r est une constante, la force de cisaillement sous la forme (doc. 16) : ∂(rv x) Dpx = Fcis = – n S . ∂y ➞

➞

Si nous posons e y = n (vecteur unitaire normal à la surface S d’aire S), cette équation devient : —➞ Dpx = – n grad (rv x ). ➞ nS .

a) n

Σ aire S b)

v = vx (y)ex

Nous retrouvons une équation de cette forme dans tous les phénomènes de diffusion (doc. 17). • La loi de Fick (cf. H-Prépa, Thermodynamique, 2e année) exprime la diffusion de particules dont la concentration est inhomogène. Si n* représente la densité de particules, le débit de particules, à travers une surface d’aire S et de vecteur unitaire normal n➞ , est donné par : —➞ DParticules = – D grad (n*) . n➞ S . • La loi de Fourier (cf. H-Prépa, Thermodynamique, 2de année) décrit les transferts thermiques par conduction. Si T est la température, le débit d’énergie (ou flux thermique F), transféré par conduction à travers une surface, est donné par : —➞ ➞ F = – k grad (T) . n S . Si, pour tous les éléments de fluide, les forces autres que les forces de cisaillement s’équilibrent, la densité volumique de quantité de mouvement ne varie plus que par diffusion. Nous avons vu (§ 3.1) que, si de plus l’écoulement est de la forme : v➞ = v (y, t) e➞x ,

D particule

n

ey

Σ aire S

ez

ex

c) n

Φ

Σ aire S

Doc. 17. Différents phénomènes de diffusion. a. Diffusion de particules. b. Diffusion de quantité de mouvement. c. Diffusion de température.

l’équation de la dynamique s’écrit :

η ∂ 2v ∂v , = ρ ∂ y2 ∂ t ou encore ν

∂ 2v ∂v = en faisant intervenir la viscosité cinématique n . ∂ y2 ∂ t

Application


Cette équation aux dérivées partielles est caractéristique des phénomènes diffusifs. Il n’en existe pas de solution analytique simple en général, mais une résolution numérique (cf. H-Prépa, Thermodynamique, 2de année) permet d’en connaître la solution pour chaque cas particulier.

2

Diffusion de moment cinétique On reprend l’expérience du § 1.1 et on essaie de faire une exploitation quantitative. On considère, dans un fluide incompressible de masse volumique r et de viscosité h , un écoulement cylindrique tel que v➞ = v (r, t) e➞q .

On posera v (r, t) = w (r, t) r . On note L(r, t) le moment cinétique par rapport à l’axe (Oz), du fluide situé à l’intérieur d’un cylindre de rayon r . 1) Déterminer DL(r) , débit sortant de L à travers le cylindre de rayon r .

137


2) Écrire l’équation aux dérivées partielles vérifiée par w (r) . 3) Un récipient cylindrique de rayon a et de hauteur h contient du fluide initialement au repos. h est très grand devant a , ce qui permet de supposer que l’écoulement est de la forme v➞ = v (r, t) e➞q . À l’instant initial, le récipient est brusquement mis en rotation avec une vitesse angulaire W . a) Déterminer la vitesse du fluide (dans le référentiel du laboratoire) lorsque le régime permanent est atteint. b) Évaluer l’ordre de grandeur de la durée d’établissement du régime permanent pour un récipient plein η d’eau (n = ( = 10 − 6 m 2 . s −1 ) et de rayon a = 4,7 cm. ρ Comparer avec l’expérience décrite en début de chapitre. 1) Le fluide contenu dans le cylindre de rayon r est soumis, de la part du fluide extérieur, à une action de cisaillement, dont le moment par rapport à l’axe (Oz) est (cf. Application 1) : = 2π h η r 3

∂ω . ∂r

L(r, t) étant le moment cinétique par rapport à l’axe (Oz) du fluide contenu dans le cylindre de rayon r , nous ∂L = . écrivons ∂t Le cylindre de rayon r ne reçoit de moment cinétique ∂L que par les forces surfaciques de cisaillement. repré∂t sente donc un débit entrant de moment cinétique.


Le moment cinétique étant échangé à travers la surface cylindrique, est égal au débit entrant de moment cinétique, soit un débit sortant : ∂ω DL = − 2 π h η r 3 . ∂r 2) Appliquons le théorème du moment cinétique au fluide compris entre les cylindres de rayons r et r + dr . Son moment cinétique est : dL = r 2π r h dr r v (r, t) = r 2π r3 h dr w (r, t) . La variation de dL est égale à la différence du moment cinétique entrant par le cylindre de rayon r et du moment cinétique sortant par le cylindre de rayon r + dr , soit l’égalité :  ∂ω  ∂  r3   ∂r  ∂ω dr , 2 π r 3h dr ρ = 2π h η ∂t ∂r

138

 ∂ω  ∂  r3  η 1  ∂ r  ∂ω = . ∂t ρ r3 ∂r

soit encore :

3) a) En régime permanent,

∂  3 ∂ω  r  = 0 , soit ∂r  ∂r 

∂ω C = , qui admet pour solutions : ∂ r r3 B C B=− . avec 2 2 r Les conditions aux limites sont w (a) = W . w (0) ne pouvant être infini, cela implique B = 0 et donc A = W . En régime permanent, nous retrouvons bien que le fluide est au repos dans le référentiel du récipient.

ω = A+

b) Pour déterminer la durée caractéristique du régime transitoire, effectuons le changement de variable : ρ w = f W ; r = x a et t = u t avec τ = a 2 . η L’équation devient

∂2 f 3 ∂ f ∂ f + = . ∂ξ2 ξ ∂ξ ∂u

Pour une telle équation aux dérivées partielles, dont les coefficients sont voisins de l’unité, la durée caractéristique (avec la variable u) d’établissement du régime permanent est de l’ordre de 1. t = 2 200 s représente donc la constante de temps du système. Les courbes du document 18 ont été obtenues par intégration numérique et tracées à u constante. f =ω Ω 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

u augmente

x = ar 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

Doc. 18. Intégration numérique de l’équation : ∂2 f 3 ∂ f ∂ f + = ∂ξ2 ξ ∂ξ ∂u

En pointillés figurent les résultats expérimentaux.

Sur le graphique obtenu (doc. 18), nous observons qu’après une durée de l’ordre de 0,1 t , la vitesse est égale à 65 % de sa valeur finale en r = 0,5 a et à 45 % pour r = 0,1a.

5. Viscosité d’un fluide Si nous reprenons la deuxième photographie du document 3, nous mesurons approximativement, pour une durée de l’ordre de 0 ,07 t : w = 0,65 w0 pour r = 0,25 a , et w = 0,8 w0 pour r = 0,45 a . Ces résultats concordent qualitativement avec ceux du calcul. Quantitativement, il faut s’accorder une marge d’erreur de l’ordre de 50 %, tant sur les durées que sur les longueurs, pour faire coïncider les deux résultats.

4

Il y a à cela plusieurs raisons : • la profondeur n’est pas infinie et le fluide est entraîné par le fond ; • la déformation de l’interface eau/air met en jeu des forces de surface dont nous n’avons pas tenu compte ; • le récipient n’est pas parfaitement centré. On constate du reste sur l’image que les deux cercles ne sont pas rigoureusement concentriques.

Application à quelques écoulements unidirectionnels et liquides

4.1. Champ des vitesses : v➞ = v (y, t)e➞x 4.1.1. Cas général Dans ce cas simple (doc. 19), la relation fondamentale de la dynamique se traduit par l’équation locale (P = P(x, y, z, t) :

ρ

y

g

2

∂v ➞ ∂v ➞ —➞ ex = – grad P – rg e➞y + η 2 ex . ∂t ∂y

v (M, t) = v ( y, t) ex

Supposons ce fluide incompressible. Par projection, nous obtenons : ∂v = n ∂ 2v – 1 ∂P ; ∂t ∂y2 r ∂x

1 ∂P = – g et 1 ∂P = 0. r ∂y r ∂z

Nous en déduisons que P = – rgy + p(x, t) , avec p ne dépendant que de x et t . La première projection nous permet de poser :

z

x

Doc. 19. Écoulement d’un fluide visqueux incompressible dont les lignes de courant sont parallèles à (Ox).

2 F(x, t) = – 1 ∂P et G(y, t) = ∂v – n ∂ v2 . ∂t r ∂x ∂y

Comme F(x, t) = G(y, t) pour toutes valeurs de x , y et t , F et G sont identiques et ne dépendent que du temps :


∂v – n ∂ 2v = – 1 ∂P = C(t) avec P(x, y, t) = – rgy + p(x, t) . ∂t r ∂x ∂y2 Intéressons-nous à deux cas particuliers indépendants du temps C(t) = 0 et C(t) = C0 . 4.1.2. Cas particulier où C(t) = 0 La constante C est nulle, lorsque p a la même valeur pour deux abscisses différentes, c’est-à-dire p(x, t) = p(t) . Dans ces conditions, v (y, t) est solution de 2 l’équation de diffusion à une dimension ∂v – n ∂ v2 = 0, soit : ∂t ∂y

∂v = n ∂ 2v (équation de diffusion). ∂t ∂y2 Cette équation a déjà été rencontrée dans l’étude des phénomènes de diffusion de particules et de diffusion thermique (cf. H-Prépa, Thermodynamique, 2nd année). Cet écoulement peut correspondre à l’écoulement de Couette entre deux plans infinis de vitesses différentes traité dans ce qui suit.

139


3

Application

Oscillations forcées On considère, dans un récipient rempli d’un liquide de masse volumique r et de viscosité dynamique h , un plateau vibrant de surface S et de cote z = 0 . Ce plateau oscille horizontalement, avec une vitesse v➞0(t) = v 0 cos(w t) e➞x (doc. 20). z

le plateau oscille horizontalement

z=0

x

Doc. 20. Plateau vibrant horizontalement dans un fluide visqueux.

Il est suffisamment large pour pouvoir négliger les phénomènes qui se produisent au niveau des bords, et on peut admettre qu’en régime permanent, le liquide audessus du plateau oscille avec une vitesse : v➞(z, t) = vm(z) cos [w t + j (z)] e➞x . On suppose également que le niveau supérieur du liquide est « largement » au-dessus du plateau et que la pression est indépendante de x . 1) Déterminer v (z, t) . 2) Définir une profondeur de pénétration des vibrations, et préciser la dernière hypothèse. 1) La pression étant indépendante de x , v (z, t) est solution de l’équation de diffusion : ∂v = n ∂ 2v avec n = h . ∂t r ∂y2 © Hachette Livre, H-Prépa Mécanique des fluides, 2e année, PC et PSI, La photocopie non autorisée est un délit.

Exprimons v (z, t) au moyen de son image complexe : v (z, t) =

e(v)

avec v = vm exp[ j(w t + j (z)] .

L’équation de diffusion devient : ∂2 v = jα 2 v avec a 2 = w . n ∂z2 Cette équation différentielle du second ordre a pour solution générale :  1+ j   1+ j  v =  A exp α z + B exp − α z  exp( jω t ).     2 2  car j =

140

1+j 12

2

ou encore j = e

jπ 2

= e

jπ 2 4

.

Le milieu étant supposé infini vers les z positifs, les conditions aux limites imposent A = 0 et B = v0 . En repassant en notation réelle, nous obtenons :

α z  α z  v ( z, t ) = v 0 exp  −  cos  ω t − .  2  2 Les courbes du document 21 représentent la vitesse du fluide en fonction de la profondeur z , pour différentes valeurs de w t, où 2π = a . z0 12 v v0

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0 –0,2 –0,4 –0,6 –0,8

wt = 0 wt = 0,1 wt = 0,2

wt = 0,3

0

wt = 0,4 wt = 0,5 0,4 0,6

0,2

z z0 0,8

1,0

  v t − z z . Doc. 21. v = exp  − 2 π  cos  2 π 0 v0 z0  z0   

2) L’amplitude des vibrations décroît exponentiellement avec une profondeur de pénétration : δ=

2h . 3 2nw = 3 rw

Il est légitime de considérer le milieu infini si l’épaisseur de fluide, au-dessus du plateau, est très supérieure à δ. Pour une vibration à 50 Hz dans l’eau, δ est de l’ordre de 0,1 mm. Remarque Nous rencontrons des situations formellement identiques lors de l’étude de la diffusion d’une variation de température dans un sol homogène, ou de la pénétration d’un champ électromagnétique oscillant dans un conducteur ohmique. L’équation de diffusion s’applique à des systèmes dans de nombreux domaines de la physique.

5. Viscosité d’un fluide 4.1.3. Cas particulier où C(t) = C0 (non nulle) Prenons le cas particulier important du régime stationnaire (pas de dépendance explicite du temps), nous obtenons :

y

champ des vitesses

P = P2

∂P = h d 2v = – C . 0 ∂x dy 2

P1 > P2 P = P1

Les solutions sont : P(x, y) = – rgy – C0 x + P0 et v (y) = –

C0 2 y + By + v 0 . 2h

Remarquons que les isobares sont des plans inclinés (doc. 22). Cet écoulement peut correspondre à l’écoulement de Poiseuille entre deux plans parallèles (cf. § 4.3) de vitesse identique.

isobares

x C0 > 0

Doc. 22. Pour cet écoulement, les isobares sont des plans inclinés. Le champ des vitesses est parabolique.

Pour s’entraîner : ex. 2 et 4.

4.2. Écoulement de Couette plan 4.2.1. Description Un écoulement de Couette plan est celui d’un fluide délimité par deux plans parallèles solides, et de vitesses constantes, mais différentes (doc. 23). Le cas rigoureux de plans infinis est évidemment théorique, mais des écoulements réels peuvent s’en rapprocher. En particulier, l’écoulement entre deux cylindres coaxiaux et de vitesses de rotation différentes peut localement se représenter par un écoulement plan, si les rayons R1 et R2 des cylindres sont très voisins ( R2 – R1 << R1). Une étude de l’écoulement de Couette cylindrique est proposée dans l’exercice 8. Nous supposons, par hypothèse, que : • la vitesse en tout point est de la forme v➞ = v (y, t) e➞x ; • le plan inférieur, de cote y = 0 , a une vitesse constante v1 ; • le plan supérieur, de cote y = e , a une vitesse constante v2 ; ∧ • la pression P (ou, plus généralement P = P + rgy) ne dépend pas de x (et éventuellement de t).

y

vitesse v 2 du plan

plan solide

y=e v ( y, t) ex

vitesse v 1 du plan

plan solide

x

Doc. 23. Écoulement de Couette entre deux plans parallèles « infinis ».

D’après les hypothèses, v (y, t) vérifie l’équation de diffusion à une dimension :

4.2.2. Régime stationnaire Étudions tout d’abord la distribution des vitesses en régime stationnaire (pas de dépendance explicite du temps). L’équation précédente devient :

y y=e

plan solide

∂2 v = 0 ; v est donc une fonction affine de y . ∂ y2 Les vitesses du fluide en y = 0 et y = e étant imposées par celles des plans (puisqu’un fluide visqueux « colle » à la paroi, il ne peut y avoir de discontinuité de vitesse entre le fluide et le plan), nous obtenons (doc. 24) : v = v1 +

v2 – v1 y. e

x vitesse v 1 du plan

plan solide

Doc. 24. Champ des vitesses en régime permanent.

141


∂v = n ∂ 2v . ∂t ∂y 2


4.2.3. Régime transitoire

v v2 1

Limitons-nous à un cas particulier : • v1 = 0 ; • le fluide est initialement au repos ; • le plan supérieur acquiert brusquement la vitesse v 2 à l’instant t = 0 .

0,5

régime permanent t=τ t = 0,3τ t = 0,2τ t = 0,1τ

Posons v = u v 2 et y = ζ e . L’équation de diffusion devient : 2

∂u 1 ∂ u = ∂ t τ ∂ζ 2

2 avec t = e . n

0

La constante t , homogène à un temps, est la durée caractéristique de l’établissement du régime permanent. Le document 25 montre la répartition des vitesses (obtenues par résolution numérique) pour différentes valeurs de t .

4

Application

0,5

Doc. 25. Évolution de la vitesse réduite v ( ) en fonction de la longueur réduite v2 y ( ) à différentes dates : 0,1 t ; 0,2 t ; e

0,3 t ; ... ; 0,9 t ; t .

Étude d’une transmission Une surface plane S1 , d’aire S, entraînée par un moteur, est en translation de vitesse constante v➞1 = v1 e➞x . Une surface plane parallèle S2 entraîne un mécanisme qui ➞ exerce une force résistante constante F = – F e➞x . L’espace entre les deux plans est rempli par un fluide incompressible de viscosité h et de masse volumique r . Leur écartement est e (doc. 26). Les dimensions latérales sont très grandes devant e , et on admet que ce système peut se modéliser par un écoulement de Couette plan. En particulier, la pression ne dépend pas de x. y

vitesse v 2 du plan

plan solide Σ 2 F

y=e © Hachette Livre, H-Prépa Mécanique des fluides, 2e année, PC et PSI, La photocopie non autorisée est un délit.

v ( y, t) ex

vitesse v 1 du plan

Σ1

x

Doc. 26. Écoulement de Couette plan.

1) Déterminer, en régime stationnaire, la vitesse v 2 de S2 . 2) 1 représentant la puissance fournie par S1 au fluide, et 2 la puissance fournie par le fluide à S 2 , définir et calculer le rendement énergétique e de la transmission.

142

3) Faire les applications numériques. Données : n = 1,3 . 10 – 4 m2. s– 1 ; r = 0,9.103 kg . m–3 (huile) ; v1 = 10 m . s–1 ; F = 0,47 N ; S = 100 cm2 et la constante de temps du régime transitoire est de t = 0,1 s . Ce dispositif peut-il servir de principe pour la construction d’un embrayage hydraulique ? 1) L’équation de Navier-Stokes s’écrit : —➞ ➞ —➞ ∂v➞ + (v➞.grad )v = – 1 grad P + n ∆v➞ + g➞ . ∂t r ➞ ➞ ➞ — ➞ ➞ v = v (y, t) e x donc (v .grad )v➞ = 0 . 2 ∆v➞ = ∂ v2 e➞x . ∂y

liquide

1y e

En projection sur l’axe des x, puisque P ne dépend pas de x, il vient : ∂v = n ∂ 2v . ∂t ∂y 2 2 En régime stationnaire ∂v = 0, soit d v2 = 0. ∂t dy

dv est donc constante dans l’écoulement et égale à : dy v2 – v1 . e Sur la plaque située en y = e, qui se déplace à vitesse constante, la somme des forces appliquées par unité de surface est nulle.

5. Viscosité d’un fluide On doit donc avoir :

3) La constante de temps t du régime transitoire

– h ∂v – F = 0. ∂y S ∂v = – F = v 2 – v 1 , donc v = v – eF . 2 1 ∂y Sh e hS Le mouvement de S 2 n’est possible que si v 2 > 0 (la force F est résistante), c’est-à-dire si : F < Fmax avec Fmax =

ηS v1 . e

2) La force motrice appliquée au plan supérieur est égale à la force du cisaillement, elle-même égale à F . 1 = Fv 1 et 2 = Fv 2, soit :

ε=

v2 eF = 1− . η Sv 1 v1

2 2 t = e = r e permet de calculer e : e = 3,6 mm et u h ensuite Fmax = 3,33 N .

F = 0,47 N donne e = 86 % et donc v2 = 0,86 v1 . Un embrayage est destiné à amortir les « à-coups », comme, par exemple, une brusque variation de v1 , ce qui implique que la constante de temps du régime tran2 sitoire t = e soit suffisamment grande. Nous constan tons qu’une grande valeur de t (donc une faible valeur de h ou forte valeur de e) entraîne un faible rendement. La constante de temps est assez faible : la mise en mouvement est donc relativement rapide (d’autres éléments de transmission pourraient être éventuellement ajoutés si un amortissement de la secousse s’avérait nécessaire).

4.3. Écoulements de Poiseuille Un écoulement de Poiseuille est un écoulement laminaire permanent dans un domaine limité par une paroi cylindrique, de section quelconque, immobile. • Si la section du cylindre est un rectangle très long, on peut négliger les effets de bord et supposer que l’écoulement existe entre deux plans infinis : c’est l’écoulement de Poiseuille plan.

Jean-Louis Marie Poiseuille (1797-1869) entre en 1815 à l’École polytechnique, puis étudie la circulation sanguine et plus particulièrement la pression du sang dans les artères.

• Si la section du cylindre est circulaire, c’est l’écoulement de Poiseuille cylindrique. 4.3.1. Écoulement de Poiseuille entre deux plans parallèles Cet écoulement entre deux plans parallèles d’ordonnées fixes est tel que v➞ = v (y) e➞x (doc. 27). Des dispositifs externes imposent entre les sections x = 0 et x = une chute de « pression motrice » (rappelons que qP = P + rgZ , Z étant l’altitude) :

e

∆qP = qPx = 0 – qPx = .

D’après les relations générales établies plus haut, qP est une fonction affine de x , et en régime permanent : ∂qP = qPx = – qPx =0 ; h d 2v = – ∆qP . ∂x dy 2 v (y) est un polynôme du second degré qui s’annule en 0 et en e (doc. 28) : ∆ Pˆ v= (ey − y 2 ). 2η l

y

x z

Doc. 27. Écoulement de Poiseuille entre deux plans parallèles fixes, infinis.


Déterminons la structure du champ des vitesses du fluide ainsi que la relation entre le débit et la chute de pression.

v ( y, t)

y y=e

v (y)

Pour une largeur L , dans la direction (Oz), le débit massique Dm de fluide est : Dm = rL

e

0

v (y) dy, soit Dm =

3 r Le3 ∆qP = Le ∆qP , 12h 12u

3 ce qui correspond à un débit volumique Dvol = Le ∆qP . 12h

y=0

x

Doc. 28. Répartition parabolique de la vitesse dans un écoulement de Poiseuille plan.

143


Nous admettrons que la proportionnalité entre débit et chute de pression peut se généraliser à toute conduite cylindrique. Notons bien que cette relation suppose un régime laminaire permanent, c’est-à-dire un régime où les lames de fluide glissent les unes sur les autres parallèlement à l’axe. Nous verrons au chapitre 6 que si le débit devient trop important, cette solution n’est plus stable, et l’écoulement devient turbulent. En régime laminaire permanent, le débit massique d’un fluide visqueux dans une conduite de section constante est proportionnel à la perte de charge, c’est-à-dire la différence de la quantité qP = P + gZ entre ses sections d’entrée et de sortie (où P est la pression et Z l’altitude). Ceci peut s’illustrer de la manière suivante. Lors d’un écoulement lent dans un tube horizontal de section constante, muni de « prises de pression » (doc. 29), on observe que les maxima de niveau dans les différents tubes verticaux sont alignés.

"prises de pression" arrivée d’eau souple

écoulement à l’air libre

tube de section constante

Doc. 29. Les maxima de niveau dans les différents tubes verticaux sont alignés.

4.3.2. Écoulement de Poiseuille dans un cylindre de section circulaire Jean-Louis-Marie Poiseuille, qui était médecin, a étudié expérimentalement la circulation des liquides dans des tuyaux cylindriques. Il a énoncé en 1844 la loi suivante, qui porte son nom.

r

En régime laminaire permanent, le débit massique Dm d’un fluide dans une conduite cylindrique à section circulaire et la perte de charge sont liées par : pa4 p a4 DqqP , soit aussi Dvol = DqqP 8h 8n où r est la masse volumique, h la viscosité dynamique, n la viscosité cinématique, a le rayon et la longueur.

v ( r) z

Dm =

Pour la démonstration de la loi de Poiseuille, on pourra se reporter à l’exercice 8. Le champ de vitesse de cet écoulement est encore parabolique (doc. 30). Pour faire circuler une huile (h voisin de 1 Pl) dans un tuyau de 1 cm de diamètre et de 1 m de longueur, avec un débit volumique de 0,1 litre par seconde, il faut exercer en amont une surpression voisine de 4 bars. Pour un même débit et dans la même conduite, la perte de charge serait environ 1 000 fois plus faible pour l’eau.

Doc. 30. Répartition parabolique de la vitesse dans un écoulement de POISEUILLE. Le système est à symétrie de révolution autour de l’axe (Oz).

pression P1

longueur l


4.3.2.1. Mise en évidence expérimentale

■ Pour un liquide en écoulement laminaire dans un tube de longueur et de section S , le débit volumique (et donc le débit massique) est proportionnel à la 2 quantité S pour un ∆qP imposé (doc. 31) : 2 Dvol = k S ∆qP .

Cette loi peut être vérifiée expérimentalement de la manière suivante (doc. 32). Prenons deux tubes de section identique (de l’ordre de quelques mm2), mais de longueur (quelques dizaines de cm) double l’une de l’autre, par exemple : • tube 1 : section S ; longueur • tube 2 : section S ; longueur

144

1; 2 , avec

2=2 1.

pression P2

H1

section interne d’aire S

g horizontale

H2

Doc. 31. Le débit volumique de liquide en écoulement laminaire, dans ce tube de section S et de longueur , est de la forme : 2 D = k S ∆qP , avec vol

∆qP = qP1 – qP2 = P1 – P2 + rg(H1 – H2 ).

5. Viscosité d’un fluide En les plaçant à la même hauteur à la base d’un réservoir, ces deux tubes sont soumis à la même variation de pression motrice ∆qP ; si les tubes sont horizontaux, ∆qP est égale à r g H en appelant H la hauteur de fluide dans le réservoir. Les débits volumiques étant inversement proportionnels à la longueur des tubes, on doit avoir : H Dvol2 = 0,5 Dvol1 , c’est-à-dire H2 = 1 . 2 Réalisons une manipulation en suivant ce protocole. Prenons deux tubes de longueur 15 cm et 30 cm (les rayons a des tubes étant égaux à a = 1,2 mm ; donnée du constructeur). La pression motrice imposant l’écoulement est équivalente à 20 cm d’eau ; le rapport mesuré est plus voisin de 0,66 que de 0,5 ! Plusieurs raisons peuvent expliquer l’écart entre ce résultat expérimental et la théorie. Tout d’abord, l’écoulement de Poiseuille ne s’établit pas dès le début de l’écoulement dans les deux tubes (doc. 33). De plus, les rayons des deux tubes ne sont pas connus très précisément et sont une source importante d’erreur.

fluide 2=

2

1

1

H2 H1

Doc. 32. Pour ces deux écoulements de H1 Poiseuille, si 2 = 2 1 alors H2 = 2 .

début de tube

Ceci explique aussi pourquoi il est délicat de mettre en évidence la relation existant entre le débit et le rayon des tubes.

couches limites

Pour s’entraîner : ex. 3, 5 et 8.

Remarque : Cette loi présente des similitudes avec la loi d’Ohm. Le débit (de masse ou de charge) est, pour un « conducteur » donné, proportionnel selon le cas à la tension ou à la surpression. L’analogie n’est cependant pas complète, car la « conductance hydraulique » n’est pas, comme la conductance électrique, proportionnelle à la section. Pour s’entraîner : ex. 9.

longueur transitoire L c

écoulement de POISEUILLE

Doc. 33. À l’extrémité du tube, il existe une longueur transitoire sur laquelle l’écoulement tend à devenir un écoulement de Poiseuille.

4.3.2.2. Comparaison entre les écoulements de Poiseuille et de Couette

Dans un écoulement de Couette, la pression (motrice) qP est uniforme le long d’une ligne de courant, et l’écoulement est provoqué par un déplacement des parois. La situation est inversée pour un écoulement de Poiseuille : les parois sont immobiles, et l’écoulement est provoqué par un gradient de qP .

5


Application

Distribution d’eau

Un tuyau cylindrique, de diamètre intérieur d1 alimente deux tuyaux de diamètre d2 et de longueur 2 , dont l’extrémité est à la pression atmosphérique P0 (doc. 34).

P1

1

d1

1

A d2 2

2

P0

P0

Le système est à l’horiDoc. 34. Distribution d’eau. zontale, vu de dessus.

Soit P1 la pression en amont (au point A) . La distance entre le point A et la première dérivation, ainsi que la distance entre les deux dérivations est 1 . On considérera que les dérivations sont des petits volumes isobares, et que le régime d’écoulement est laminaire. On admettra la loi de Poiseuille donnant le débit volumique D pour un tuyau à section circulaire : πra 4 D= , ∆qP . 8h

145


Faire un schéma électrique équivalent, et déterminer le débit de chaque tuyau. Données : P1 – P0 = 1 bar ; d2 = 4 mm ; 1 = 2 = 5 m ; d1 = 10 mm, puis d1 = 6 mm et n =

η = 10 − 6 m 2 . s −1 . ρ

Les grandeurs analogues sont : P1 – P0 et E ; D1 et I1 ; D2 et I2 ; on peut faire un schéma électrique équivalent (doc. 35) et calculer : I0 =

E R2 (R1 + R2) R1 + R1 + 2R2

I0 = E

R12

I1 = I0

R1 + 2 R2 ; + 3 R1 R2 + R22

D2 = (P1 – P0 )

L’application numérique donne : • pour d1 = 10 mm : D1 = 0,120 kg . s–1 et D2 = 0,117 kg . s–1 ; • pour d1 = 6 mm : D1 = 0,092 kg . s–1 et D2 = 0,077 kg . s–1 . Dans le premier cas, R1 est très inférieur à R2 , et les deux débits sont presque égaux.

R1 + R2 et R1 + 2 R2

R2 I2 = I0 . R1 + 2 R2 Pour le circuit hydraulique, une résistance R est à


8h remplacer par soit 2,04 10 – 4 d – 4 . πra 4 Soit : –4 –4 d1 + d2 1 D1 = (P1 – P0 ) 2,04 10 – 4 d 1– 8 + 3(d1 d2)– 4 + d 2– 8

146

–4

d2 1 – 4 – 8 –8 2,04 10 d 1 + 3(d1 d2)– 4 + d 2

I0

E

R1

R1

R2 I1

Doc. 35. Analogie électrocinétique.

R2 I2


CQFR ●

VISCOSITÉ ➞

• Pour un écoulement unidirectionnel, tel que v➞ = v (y, t) ➞ ex , la force de surface tangentielle F , appelée force de cisaillement, ou de viscosité, qui s’exerce à travers une surface d’aire S normale à ➞ ey , est portée par ➞ ex . La norme de cette force est égale à :

∂v S . ∂y

F=

➞

Cette force F tend à accélérer les veines rapides, et à ralentir les veines lentes. Le coefficient appelé viscosité dynamique du fluide peut, avec une bonne approximation, être considéré comme une constante caractéristique du fluide, à une température et une pression données. L’unité de viscosité dans le Système International est le Poiseuille (Pl) tel que 1 Pl = 1 Pa . s . • Dans un fluide incompressible, les forces de cisaillement sont équivalentes à une force volumique dont l’ex➞ pression est f cisvol = h∆v➞ . • Dans un écoulement de fluide incompressible homogène, les forces de cisaillement sont équivalentes à une force ➞

massique dont l’expression est f cism = n∆v➞, avec n = n se mesure en m2 .s– 1.

r

, viscosité cinématique du fluide.

• L’équation locale de la dynamique, ou équation de Navier-Stokes, est pour les fluides en écoulement incompressible : ➞ ➞ —➞ ➞ r Dv = f vol – grad P + h∆v . Dt Dans le cas simple d’un écoulement de la forme v➞ = v (y, t) e➞x , l’équation locale devient : 2 ➞ —➞ r ∂v e➞x = f vol – grad P + ∂ v2 e➞x . ∂t ∂y • L’équation locale de la dynamique (ou équation de Navier-Stokes) est pour un écoulement incompressible de fluide homogène : —➞ P Dv➞ = f➞ – grad + n∆v➞ . m r Dt

●


Dans le cas simple d’un écoulement unidirectionnel de la forme v➞ = v (y, t) e➞x , l’équation locale devient : 2 —➞ P ∂v➞ = f➞ – grad + n ∂ v2 e➞x . m r ∂t ∂y

LOI DE POISEUILLE

• En régime laminaire permanent, le débit massique d’un fluide visqueux dans une conduite de section constante est proportionnel à la perte de charge, c’est-à-dire la différence de la quantité qP = P + gZ entre ses sections d’entrée et de sortie (où P est la pression et Z l’altitude). • En régime laminaire permanent, le débit massique d’un fluide dans une conduite cylindrique à section circulaire et la perte de charge sont liées par : D= où

est la masse volumique,

πra 4 ∆qP 8h

la viscosité, a le rayon et

la longueur de la conduite.

147

Contrôle rapide Avez-vous retenu l’essentiel ? ✔ Pour un écoulement unidirectionnel, tel que v➞ = v (y, t) e➞x , exprimer la force de viscosité agissant sur une surface S normale à e➞y de la part du fluide situé en dessous de S. ✔ Quelle différence y a-t-il entre la viscosité dynamique et la viscosité cinématique ? ✔ Pour un fluide en écoulement incompressible, quel est l’équivalent volumique des forces de cisaillement ? ✔ Savez-vous écrire l’équation de Navier-Stokes pour un écoulement incompressible homogène ? ✔ Qu’est-ce qu’un écoulement de Couette ? Un écoulement de Poiseuille ?

Du tac au tac (Vrai ou faux) 1. L’équivalent volumique des forces de viscosité dans un écoulement incompressible est : —➞ v➞ ❑ a. – h rot


—➞ v➞ ❑ b. h rot —➞ (rot —➞ v➞ ) ❑ c. – h rot ❑ d. + h ∆ v➞

2. L’expression de l’équation de Navier-Stokes est : ➞ —➞ ❑ a. r Dv = f vol – grad P – h∆v➞ Dt —➞ ➞ ➞ grad P Dv ❑ b. r =fm– + h∆v➞ r Dt ➞

➞ ➞ —➞ ➞ ❑ c. r Dv = f vol – grad P + h∆v Dt ➞ ➞ —➞ ❑ d. r ∂v = f vol – grad P + h∆v➞ ∂t

148

—➞ ➞ ➞ grad P ❑ e. Dv = f m – + n ∆v➞ r Dt ➞ ➞ —➞ ❑ f. Dv = f m – grad Dt

P + n ∆v➞ r

3. Dans un écoulement de Couette selon l’axe des x : ❑ a. la pression dépend de x ❑ b. les parois sont immobiles ❑ c. une des parois est mobile par rapport à une autre. 4. Dans un écoulement de Poiseuille selon l’axe des x : ❑ a. la pression dépend de x ❑ b. les parois sont immobiles ❑ c. une des parois est mobile par rapport à une autre. Solution, page 155.

Exercice commenté Frottement entre deux disques séparés par un liquide visqueux

ÉNONCÉ z

Deux disques, de même rayon a , tournent autour de leur axe commun vertical (Oz). L’espace entre les disques est occupé par un fluide incompressible, de masse volumique r et de viscosité h . La distance entre les disques e étant très petite devant a , on convient de négliger l’interaction entre le fluide et la paroi latérale en r = a , et on admet qu’en régime laminaire, le champ des vitesses est tel que : v➞ = w (z, t)r e➞q . ➞

e ➞

➞

La vitesse d’un point du fluide est donnée par v (M, t) = v (r, z, t) = r w (z, t) e q . w1 est la vitesse angulaire de rotation du disque D1 de cote 0, et w2 celle du disque D2 de cote e .

x

θ r

vitesse angulaire ω2

M z

y

vitesse angulaire ω1

1) Justifier brièvement la forme retenue pour le champ des vitesses.

2) En appliquant le théorème du moment cinétique à un élément de fluide, déterminer l’équation aux dérivées partielles vérifiée par w (z, t) . 3) En régime permanent w1 et w2 sont constantes. a) Déterminer la fonction w (z) en régime permanent. b) Calculer le couple G exercé par le fluide sur le disque D2 . Définir et calculer un coefficient de frottement pour le système des deux disques. c) Données : Pour l’huile de ricin à 50° C : h = 0,12 Pl ; r = 0,9 . 10+3 kg . m–3 ; n = 1,3 10 – 4 m2.s– 1 ; a = 10 cm ; e = 0,1 mm ; w2 – w1 = 2 000 tr . min–1 . Calculer le coefficient de frottement avec de l’huile de ricin à 50° C. 4) Régime transitoire Le système est initialement au repos (w nul partout). w2 étant maintenue nulle, w1 passe brusquement de 0 à W à l’instant t = 0 . Évaluer t c , durée caractéristique d’établissement du régime permanent.

CONSEILS

SOLUTION

1) Cette forme respecte l’invariance par rotation et les conditions aux limites sur les disques. Elle est, de plus, compatible avec l’incompressibilité (divv➞ = 0). Quelles sont les forces appliquées à un élément de fluide ? La force de cisaillement qui s’exerce à travers une surface dépend de la vitesse relative des couches de fluide.

2) On applique le théorème du moment cinétique, par rapport à l’axe (Oz), à un élément de fluide de volume r dr dq dz . Seules les composantes des forces selon e➞q sont à prendre en compte. • Deux pellicules de fluide, parallèles aux disques et de cotes z et z + dz , glissent l’une sur l’autre avec une vitesse relative : ➞

v➞rel = (ω ( z + d z, t ) − ω ( z, t ))r eθ =

∂ω ➞ r d z eθ . ∂z

149


5) On admet que t c est du même ordre pour tous les régimes transitoires. À quelle condition peut-on simplifier le système pour supposer qu’il existe entre les disques un couple de frottement proportionnel à w2 – w1 fonction du temps ?

Exercice commenté Comme cela a été fait dans le cours, il convient de regrouper les forces de pression et de pesanteur dans un terme ∧ unique (P ). La rotation s’effectuant autour de (Oz), il suffit d’utiliser le théorème scalaire du moment cinétique. On rappelle la règle simple :

La force de cisaillement, qui s’exerce à travers une surface élémentaire d’aire dS et parallèle aux disques, est donc : ➞ ∂ω ➞ d Fcis = η r eθ d S avec dS = rdrdq. ∂z • Les éléments de fluide situés sur un même rayon ont une vitesse relative nulle. La force de cisaillement, qui s’exerce à travers une surface élémentaire d’aire dS et normale à e➞r , est donc nulle. • Le moment résultant de cisaillement par rapport à (Oz) est :

moment par rapport à un axe = force × bras de levier .

d

∧

Peut-on prévoir comment P varie avec q ? L’équation déduite du théorème du moment cinétique doit permettre de l’établir.

cis

 ∂ω   ∂ 2ω   ∂ω   = η r 2   −    r d r dθ = η r 3  2  d r d θ d z .  ∂z z  ∂ z  z + d z  ∂ z  z  ∧

• Z étant l’altitude et P la pression, on écrit P = P + r g Z ((Oz) est orienté suivant la verticale ascendante). Les forces de pression et de pesanteur, appliquées à un élément de volume dt , —➞ ➞ sont équivalentes à d FPˆ = – grad Pˆ dτ et leur moment par rapport à (Oz) est : d

Pˆ

 1 ∂Pˆ  ∂Pˆ = −r dτ  = − r d r dθ d z . ∂θ  r ∂θ 

• Le moment cinétique par rapport à (Oz) est : dL(Oz) = r dt w r2 = r r3 w dr dq dz . Donc ρ r 2

∂ 2ω ∂ω ∂Pˆ =− + η r2 2 . ∂θ ∂t ∂z

En conclusion, déduit que


Quelle relation y a-t-il entre les couples exercés par le fluide sur les deux disques ? Pourquoi peut-on alors considérer qu’il y a une interaction directe entre eux ? On remarquera bien que cela n’est plus vrai en régime transitoire (question 5).

∧ ∧ ∂Pˆ est indépendant de q . Et comme P (q + 2π) = P (q) , on en ∂θ

∂ω η ∂ 2ω ∂Pˆ = . = 0 , et donc ∂ t ρ ∂z 2 ∂θ

3) a) En régime permanent, w (z) est une fonction affine : ω − ω1 ω = ω1 + 2 z. e b) La force et le moment de cisaillement pour un élément de D2 sont : ➞ ∂v ➞ ω − ω1 ➞ d Fcis = − η eθ d S = − η r 2 2 d r dθ eθ e ∂z et :

d

cis(Oz)

Après intégration sur le disque :

= −η r3

( Oz )

ω 2 − ω1 d r dθ . e

=−

η π a4 (ω 2 − ω1 ). 2e

Ce moment est équivalent à un moment de frottement opposé à la rotation relative de D2 par rapport à D1 : η π a4 . (Oz) = – C(w2 – w1) avec C = 2e c) Avec l’huile de ricin : C = 0,19 N . m . rad–1 . s .

150


Cette méthode de recherche sera développée au chapitre 6.

4) En posant : w = fW ; z = z e et t = ut , (t représentant un temps caractéristique de l’expérience, par exemple l’inverse de la fréquence de la question 5)), on obtient l’équation d’évolution adimensionnée : ∂ f τ η ∂2 f u ∂2 f = 2 2 =t 2 ∂ u ρ e ∂ζ e ∂z 2 pour laquelle les grandeurs caractéristiques f , z et u sont de l’ordre de l’unité. Il apparaît donc un temps caractéristique tc tel que

∂ f τ ∂2 f = ∂ u τ c ∂ζ 2

2 re 2 avec tc = e = . h n

A.N. : tc = 0,08 ms . 5) L’interaction entre les disques se réduit à un frottement de coefficient C , s’il est possible de considérer que le régime permanent est toujours atteint, c’est-à-dire (les trois propositions sont équivalentes) : • la durée caractéristique d’évolution des vitesses doit donc être grande devant tc ; • l’équation réduite s’écrit •

∂2 f =0; ∂ζ 2

τ = ∞ , soit t >> tc . τc

Ainsi pour un mouvement périodique, la fréquence du mouvement périodique doit être très inférieure à usuels.

1 soit à 1 300 Hz, ce qui est le cas des systèmes mécaniques τc


On obtient les constantes caractéristiques de l’évolution, à partir de l’équation aux dérivées partielles adimensionnée. Il n’est pas nécessaire de la résoudre pour connaître l’ordre de grandeur de ces constantes.

151

Exercices Écoulement de fluide incompressible Soit un écoulement de fluide incompressible permanent, indépendant du temps, à travers un cylindre de section S , muni d’une plaque de séparation, séparant la section du cylindre en deux parties égales. À l’entrée du cylindre, les vitesses du fluide sont V1 et V2 , et en sortie, loin de la plaque de séparation, la vitesse du fluide est V3 . Calculer V3 en fonction de V1 et V2 . Existe-t-il une déperdition d’énergie ? Commenter. V Examiner le cas particulier où V2 = 1 . 2 V1 V3 V2

V1 V3 V2

Détendeur constitué d’un réseau de tranches minces 1) Un tuyau horizontal de section carrée de côté a et de longueur L est divisé en tranches fines et égales par un grand nombre de lamelles d’épaisseur négligeable. • L’entrée est en contact avec un réservoir qui contient un fluide de masse volumique r , de viscosité h ; l’entrée est maintenue à la pression P1 . • À la sortie, le fluide est à la pression extérieure P0 (P1 > P0 ). L’écoulement est supposé laminaire et permanent : déterminer le débit, et la vitesse moyenne de sortie du fluide. Application numérique : le fluide est de l’huile. Données : h = 1,0 Pl ; r = 0,9 . 103 kg . m–3 ; P1 = 1,5 bar ; P0 = 1 bar ; L = a = 1 cm ; N = 50 . Commenter. 2) Le tuyau est maintenant placé verticalement, et la différence de pression ∆P = P1 – P0 correspond à une hauteur de fluide voisine de L . Application numérique : le fluide est de l’eau. Données : h = 1,0 . 10–3 Pl ; r = 1,0 . 103 kg . m–3 ; a = 1 cm ; L = 20 cm ; N = 50. Commenter.


Écoulement laminaire sur un plan incliné Une couche mince de fluide (viscosité h , masse volumique r) d’épaisseur e coule le long d’un plan incliné, dont la ligne de plus grande pente fait un angle a avec l’horizontale. Le champ des vitesses, supZ posé indépendant du temps, atmosphère est de la forme v➞ = v (y)e➞x . y P = P0 e g On néglige les forces de viscosité sur l’interface air/eau. V Déterminer la forme de v (y) , ainsi que, pour une larx α geur L , la relation entre l’épaisseur e et le débit massique D . Calculer la vitesse maximale pour e = 1 mm et a = 45° dans les cas du tableau. fluide

152

coefficient de viscosité coefficient de viscosité dynamique (Pl) cinématique n (m2 .s –1 )

masse volumique (kg . m–3 )

eau

h = 1,0 . 10–3 Pl

n = 10 –6 m 2.s –1

r = 1,0 . 103 kg . m–3

huile

h = 1,0 Pl

n ≈ 10 –3 m 2.s –1

r ≅ 1,0 . 103 kg . m–3

L

a

a

Surfaces isobares Déterminer la forme des surfaces isobares pour les écoulements suivants d’un fluide incompressible : a) v➞ = v (y, t)e➞x dans un z champ de pesanteur g g➞ = – g e➞z ; y b) v➞ = v (r)e➞q (régime permanent), pour r comx pris entre a et l’infini, dans un champ de pesanteur g➞ = – g e➞z avec v(a) = v 0 .


On admettra que la force volumique de cisaillement est égale à h ∆ v➞ , avec dans ce cas : d  1 d(r v )  ➞ —➞ —➞ ➞ ∆v➞ = – rot (rot v ) =   eθ , dr  r dr  car les deux champs de vitesse vérifient ici div v➞ = 0 .

2) Application à un écoulement de Couette Le fluide, dont la pression ne dépend pas de x , est entre deux plans horizontaux distants de e . Le plan inférieur est immobile et le plan supérieur est animé d’un mouvement de translation de vitesse v➞0 = v0 e➞x . Calculer la puissance dissipée dans un parallélépipède de longueur L selon (Ox) et de largeur a selon (Oz). 3) Application à un écoulement de Poiseuille plan De l’eau s’écoule entre deux plans horizontaux immobiles distants de e = 0,5 mm , avec une vitesse moyenne de 1 m . s–1 . Calculer la puissance dissipée dans le même parallélépipède. Si on négligeait tout transfert thermique, calculer en kelvin par seconde quelle serait l’augmentation de température aux points où la puissance est maximale. Données : eau : h = 1,0 . 10–3 Pl ; r = 1,0 . 103 kg . m–3 ; capacité thermique massique : c = 4,2 kJ . kg–1 . K–1 .

Formule de Stokes

Pour des vitesses faibles, en régime linéaire et permanent, le champ des vitesses autour d’une sphère d’un fluide incompressible a pour expression (en coordonnées sphériques) :  3 R R3  v r = v ∞ cos θ 1 − + 3 ;  2r 2r 

3V R —➞ —➞ ➞ (cos qu➞r + sinq u➞q ). rot (rot v ) = – 2 r3 On négligera les effets du champ de pesanteur.

*

Viscosimètre de Couette

Cet appareil a été construit par Couette pour mesurer la viscosité d’un liquide. Il se compose de deux cylindres coaxiaux, de rayons R1 (rayon intérieur du cylindre externe) et R2 (rayon extérieur du cylindre interne). L’espace entre les cylindres est rempli d’un liquide dont on veut mesurer la viscosité h . Le cylindre extérieur est immobile, et le cylindre intérieur est en rotation uniforme, de vitesse angulaire W . La hauteur h du liquide est suffisante pour pouvoir négliger les effets d’extrémités, et notamment l’action du fond sur le liquide. On suppose donc que le champ des vitesses est permanent et de la forme : v➞ = rw (r) e➞q . 1) Par rapport au référentiel lié au cylindre de rayon r0 , quelle est la vitesse (relative) v➞rel = vrel e➞q d’un point du cylindre de rayon r ? 2) Par analogie avec le cas de l’écoulement plan, exprimer la force de cisaillement exercée par le fluide intérieur sur le fluide extérieur à travers une surface élémentaire d’aire dS d v rel , puis en foncnormale à e➞r , en fonction de la dérivée dr tion de

eθ

er

R O

∂ (sinq v ) + 1 ∂Nj div v➞ = 12 ∂ (r 2 v r ) + 1 q ∂ r sinq q r sinq ∂j r ∂r —➞ —➞ (rot —➞ v➞) = grad ➞ ➞ (div v ) – ∆v avec, et rot dans le cas du champ étudié :

dω . On considère dv rel vitesse relative du cylindre dr de rayon r + dr par rapport au cylindre de rayon r.

 3 R R3  –+ 3  . v θ = − v ∞ sin θ 1 −  4r 4r  1) Vérifier que ce champ est solution de l’équation locale linéarisée, et respecte les conditions aux limites.

3h v R sin2q dq dj e➞q . 2

On donne :

Puissance volumique de viscosité

Un fluide de masse volumique r et de viscosité h est en écoulement permanent de la forme : v➞ = v (y)e➞x . 1) Déterminer la puissance volumique vol des forces intérieures de viscosité.

*

➞

dF cis = –

z

3) Calculer le moment par rapport à l’axe de rotation des forces de cisaillement exercées sur le volume de fluide compris entre le cylindre extérieur et un cylindre de rayon r (R1 < r < R2). En déduire la fonction w (r) . 4) Exprimer le moment G du couple moteur qui entraîne le cylindre extérieur en fonction de R1 , R2 , W et h .

153


*

2) Déterminer les forces de pression et de cisaillement sur les parois de la sphère, puis la force s’exerçant sur cette sphère. La force de cisaillement exercée par le fluide sur un élément de sphère est donnée par :

Exercices 5) Étudier le cas où R1 = R2 – e , avec e << R1 . Données : R2 = 50 mm ; e = 3 mm ; h = 200 mm ; W = 1 tour . s–1 . Pour mesurer une viscosité voisine de 1 Pl, quel est l’ordre de grandeur du couple moteur ?

* Loi de Poiseuille pour des tubes de section circulaire Un fluide incompressible de masse volumique r et de viscosité h s’écoule dans un tuyau cylindrique de section circulaire de rayon a , de longueur L et d’axe (Oz).

P0 z

a

Analogie avec l’électrocinétique

Un liquide réfrigérant, de viscosité h = 1,0 . 10–3 Pl , circule dans le circuit suivant constitué de tubes cylindriques.

Pour les tubes de liaison : rayon a2 = 3 mm et longueur 2 = 2,0 m . Une pompe assure la circulation du fluide avec un débit volumique Dvol = 0,1 L . s–1 .

v = v (r)ez

1) Par analogie avec un écoulement unidirectionnel, déterminer la force de cisaillement exercée par le fluide extérieur sur le fluide intérieur à travers une surface élémentaire d’aire dS et normale à e➞r . 2) En appliquant la relation fondamentale de la dynamique au système constitué, à un instant t donné, par le fluide contenu dans un cylindre de longueur et de rayon r , caldv culer , puis v (r) . dr


*

Pour les deux groupes de 50 tubes : rayon a1 = 0,5 mm et longueur 1 = 50 cm .

On admet qu’en régime r laminaire permanent : • la vitesse du fluide dans le tube est de la forme y x v➞ = v (r) e➞z (en coordonP0 + ∆ P nées cylindriques) ; • si P est la pression et Z ∧ l’altitude, P = P + r g Z ne dépend que de z ; on posera P(z = 0) = P0 + ∆ P et P(z = L) = P0 .

154

3) En déduire la relation de proportionnalité entre débit Dm et chute de pression.

A

B

C

pompe

E

D

1) Représenter un circuit électrique équivalent. 2) La pression à l’entrée de la pompe (point A) est de 1,1 bar. Calculer la pression en B , C , D et E . 3) Calculer la puissance fournie par la pompe au fluide. ∧

4 On admettra la loi de Poiseuille : Dvol = πa ∆ P pour un 8h tube cylindrique de rayon a.

Corrigés 3. Vrai : c ; 4. Vrai : a, b ;

• sur e➞y :

Faux : a, b Faux : c

S S V +V V1 + V2 = SV3 , soit V3 = 1 2 . 2 2 2 V1 3V1 Dans le cas où V2 = : V3 = ; l’allure des lignes de champ est la suivante (cf. cha2 4 pitre 2, exercice 2).

V1 3V1 4

zone perturbée où apparaissent des forces de viscosité

Dans la zone perturbée, des forces de viscosité agissent de façon qu’à la sortie, le champ des vitesses soit uniforme. Ces forces sont responsables d’une déperdition d’énergie : • puissance cinétique à l’entrée : S V2 S V2 S ρ V1 1 + ρ V2 2 = ρ (V13 + V23 ) ; 2 2 2 2 4 V32 S = ρ V33 . 2 2 Cela donne une perte d’énergie cinétique par unité de temps égale à : • puissance cinétique à la sortie : ρ SV3

3 S S S V +V  ρ (V13 + V23 ) − ρ V33 = ρ V13 + V23 − 2 1 2   .  2   4 2 4  

Cette quantité est toujours positive ou nulle (elle est nulle pour V1 = V2 = V3 ). Remarque Les forces de viscosité dissipent bien de l’énergie ; mais pour un bilan complet, il faut tenir compte du travail des forces de pression. Se reporter au § 4.1 du cours. La relation fondamentale de la dynamique se traduit par l’équation locale : ∂2v ➞ ➞ ➞ r Dv = – grad P + ρ g(sin α ex − cos α ey ) + η 2 ex . Dt ∂y ➞

—➞

D v➞ ➞ ∂ v➞ ➞ ➞ —➞ ➞ ➞ =0. = 0 , (v . grad )v = 0 , et donc Dt ∂t Le fluide est incompressible ; par projection, on obtient : ∂2v ∂ P • sur e➞x : η 2 − + ρ g sin α = 0 ; ∂y ∂x Ici

∂P =0. ∂z On en déduit que P = – r g y cosa + p(x, t) , p ne dépendant que de x et t . p(x, t) est solution de : • sur e➞z :

Le fluide étant incompressible, on a conservation du débit volumique, donc :

V1 2

∂P + ρ g cos α = 0 ; ∂y

∂ p( x, t ) ∂2v ( y, t ) − ρ g sin α = η . ∂x ∂ y2 Cette égalité devant être vérifiée pour toutes les valeurs de x , y et t , elle est donc égale à une constante C(t) dépendant du temps t , mais indépendante des coordonnées d’espace x et y . Cela donne : 2 ∂ p( x, t ) − ρ g sin α = C(t ) et h ∂ v (y, t) = + C(t) . ∂x ∂y2 On peut écrire p(x, t) = x r g sin a + C(t) x + D0 (D0 étant une vraie constante), soit : P( x, y, t ) = – ρ g( y cos α – x sin α ) + η

∂2v ( y, t ) x + D0 . ∂ y2

Pour y = e , la pression doit être égale à P0 , c’est-à-dire indépendante de x , ce qui permet de déterminer C(t) et D0 : 2 • h ∂ v (y, t) = – r g sina = + C(t) = + C 0 , vraie constante, soit pour la vitesse l’ex∂y2 pression suivante v =

ρ g sin α dv g sina y (2e – y) car y( 2 e – y ) = = 0 en 2n 2η dy

y = e (absence de force de cisaillement sur l’interface fluide-air) et v = 0 en y = 0. e

Le débit est alors égal à D =

r v (y) L dy = 0

ρ 2 g sin α Le3 . 3η

• P(x, y, t) = P(x, y) = – r g(y – e) cosa + P0 : les isobares sont parallèles au plan incliné, et font donc un angle a avec l’horizontale. La vitesse est maximale en y = e. liquide

vmax (m . s–1)

commentaires

huile

≈ 2,5 . 10–3 m . s–1

les hypothèses ont de fortes chances d’être correctes

eau

2,5 m . s–1

l’écoulement est trop rapide pour que les hypothèses d’écoulement laminaire soient valables


Solution du tac au tac, page 148. Faux : a, b 1. Vrai : c, d ; 2. Vrai : c, e, f ; Faux : a, b, d

1) Chaque tranche est très large par rapport à son épaisseur. On peut négliger l’influence des bords et appliquer le résultat concernant l’écoulement de Poiseuille plan. r e3 ∆ qP D= avec e = a et = a . 12h L N Pour chaque tranche Dtranche = Au total D =

ρ a4 ( P1 − P0 ) . 12η LN 3

ρ a4 a2 soit v = ( P1 − P0 ) . ( ) , P − P 1 0 moy 12η LN 2 12η LN 2

155

Corrigés Pour l’huile, on obtient : D = 1,5 . 10–3 kg . s–1 = 1,5 g . s–1 = 5,4 kg . h–1 correspondant à une vitesse vmoy = 1,7 10 –2 ms–1 . L’hypothèse d’écoulement laminaire (nécessaire pour l’application de la formule précédente) est donc justifiée. 2) La formule précédente est identique pour l’eau, mais l’écart de pression est nettement inférieur, voisin de r g L : ρ a4 ρ ga2 a2 ρ 2 ga 4 D= ; 2 ρgL = 2 ρgL = 2 , soit v moy = 12η LN 12η N 2 12η LN 12η N ce qui donne D = 3,3 . 10–3 kg . s–1 = 3,3 g . s–1 , correspondant à une vitesse : vmoy = 3,3 . 10–2 m . s–1 . Cette vitesse étant faible, l’hypothèse de l’écoulement laminaire est sûrement vérifiée. Dans les deux cas, la divergence de la vitesse est nulle. On est en présence d’écoulements incompressibles, compatibles avec l’hypothèse du fluide incompressible. a) L’équation de Navier-Stokes s’écrit : ➞ —➞ —➞ r ∂v + ( v➞. grad ) v➞ = – grad P + rg➞ + h∆v➞ ∂t

—➞ ➞ ( v . grad ) v➞ = 0 . On obtient par projection sur les axes de coordonnées :

• en projection sur e➞z : ∂P = – rg = f (z) . ∂z r v 20 a2 – rgz + cte . 2 r2 Les surfaces isobares sont donc engendrées par la rotation de la famille de courbes : D’où P = –

z=

1) Se reporter au § 4 du cours. Pour un tel écoulement, P est une fonction affine de x et donne


L’écoulement étant invariant par rotation d’axe (Oz), la pression est indépendante de q . L’équation locale de la dynamique fournit donc : v2

• en projection sur e r : ∂P = r ; ∂r r ➞

d  1 d( r v )  • en projection sur e q :   = 0 (le coefficient de viscosité h n’intervient dr  r dr  pas, mais les forces de viscosité imposent cette solution ! ) Soit rv = cte = av 0 avec la condition aux limites en r = a. ➞

et, en amont et en aval à des forces de pression : ➞

➞

d F x = P(x) a dy e➞x et d F x+L = – P(x + L) a dy e➞x . (On remarque que P( x + L) − P( x ) =

156

dP d 2v dP d 2v L = η 2 L , car = η 2 = cte .) dx dx dy dy

L’énergie cinétique du fluide étant constante, la puissance totale des forces intérieures et extérieures est nulle : ➞

➞

d visc + F y+dy . ( v (y + dy) e➞x ) + F y . ( v (y) e➞x ) + (P(x) – P(x + L)) v (y) a dy = 0 , ce qui donne :  dv  d v   d y d 2v d visc + η S d y − η Sv 2 d y = 0 . dy dy 2

S dy étant le volume du parallélépipède : y 2) v = v 0 ; e

vol

= −η

 dv   . vol = −η   d y

v 02 v 02 . 2 est uniforme ; visc = – hLa e e

 4 y2  3) Avec l’origine dans le plan de symétrie y = 0 : v = v max 1 − 2  .  e  + e/2

1 v moy = e

– e/2

2 v ( y) d y = v max 3

et

+ e/2

visc = L a

v = v0 a r 2 ∂P = r v 0 a2 ∂r r3 r v 20 a2 Soit P = – + f (z) . 2 r2

dP d 2v = η 2 = cte . dx dy

Soit le parallélépipède élémentaire de bases (d’aire S = a L) parallèles au plan (xOz) et d’ordonnées y et y + dy . Il est soumis sur ses deux bases à des forces de cisaillement :  dv  ➞  dv  ➞ ➞ ➞ F y+dy = + η S   ex et F y = − η S   ex  d y  y+dy  d y y

➞

∂P ∂v ∂ P ∂ 2 v ∂P = 0 ; ρ + = η 2 et = −ρg . ∂y ∂t ∂ x ∂z ∂y Les surfaces isobares sont donc des surfaces non nécessairement planes parallèles à ∂P ∂P —➞ l’axe (Oy), car grad P . ➞e y = 0 , peut dépendre de y et de t . = cte , mais ∂z ∂x b) • Les éléments de fluide décrivant des cercles à vitesse constante, l’accélération particulaire est : D v➞ v 2 ➞ = − er . r Dt • D’après les règles de calcul des opérateurs vectoriels (cf. Annexe) : d  1 d( r v )  ➞ —➞ —➞ ∆v➞ = – rot (rot v➞) =   eθ . dr  r dr 

a2v 02 + cte . 2 gr 2

vol dy =

vol = –

144hv 2moy 2 y . e4

– 12hLav 2moy . e

– e/2

La puissance volumique dissipée est maximale au voisinage des parois : vol max

=

2 36 ηv moy

e2

= ρc

dT dT = 3, 4 .10 –2 K . s –1 . , soit dt dt


On obtient la formule de Stokes (cf. chapitre 6). Remarque : Si on tenait compte de la pesanteur, on aurait une force supplémentaire sur la sphère : la poussée d’Archimède.

1) L’écoulement proposé est bien stationnaire. 3 div v➞ = 1 ∂ v cosq r2 – 3R r + R 2 2r r2 ∂r

1 ∂ – v sin2 q 1 – 3R – R 3 r sinq ∂q 4r 4r 3

.

3 3 div v➞ = v cosq 2 – 3R2 – R 4 – 2 + 3R2 + R 4 = 0. r 2r r 2r 2r 2r L’écoulement est incompressible. L’équation de Navier-Stokes s’écrit : —➞ —➞ r ( v➞. grad ) v➞ = rg➞ – grad P + h∆v➞ . —➞ Ici, on néglige le terme rg➞ et le terme r ( v➞. grad ) v➞ puisque la vitesse de l’écoulement est faible (nous sommes en présence d’un écoulement rampant (cf. chapitre 6)). —➞ Il reste : grad P = h∆v➞ . Pour ce qui est des conditions aux limites, on peut vérifier que pour : ➞ r = R v➞ = 0 r → v➞ → v➞ = v u➞z .

2) Il faut d’abord établir l’expression de la pression. —➞ 3v Rh grad P = h∆v➞ = + cosq u➞r + sinq u➞q 2 r3

en utilisant l’énoncé.

3v Rh 3v Rh sinq + f (q) . pas de j et 1 ∂P = sinq = 1 r ∂q r 2r 3 2r 2 Donc f (q) = 0 f (q) = cte. Si r → P → P0 donc : 3v Rh P=– cosq + P0 . 2r 2 • Calcul de la résultante des forces de pression sur la sphère Sur un élément de surface : ➞ dFpres = – P(R, q) R2 sinq dq dj e➞r . Or e➞r = cosq e➞z + sinq (cosj e➞x + sinj e➞y ) . On voit que seule la composante sur l’axe des z de la force de pression sera non nulle. De plus, le terme en P0, uniforme, donne une résultante nulle. π

3v Rh sinq cos2q dq e➞z . 0 2 ➞ Fpres = 2π hRv e➞z . ➞

• Calcul de la résultante des forces de cisaillement sur la sphère ➞ 3h dFcis = – v Rsin2q dq dj e➞q avec e➞q = – sinq e➞z + cosq (cosj e➞x + sinj e➞y ). 2 Donc : ➞ Fcis = 3 hv R 2π 2

π 0

sin3 q dq e➞z ; ➞

π 0

sin3 q dq =

Fcis = 4πhv Re➞z . • Résultante des forces de pression et de cisaillement ➞ ➞ ➞ F = Fcis + Fpres ➞ F = 6πhRv e➞z .

En particulier, la vitesse relative d’un élément à distance r + dr par rapport aux éléments à distance r est : dv➞rel = w (r + dr) – w (r)(r + dr) e➞q ≈ r dw dr e➞q . dr 2) La force de cisaillement est proportionnelle à dS , et à ➞

d F = −η

d v rel , soit : dr

d v rel ➞ dω ➞ eθ d S = − η r eθ d S . dr dr

3) Le moment exercé sur le fluide considéré par la paroi extérieure est :  dω  ( R2 ) = η R2   2 π R2 h R2 (force surfacique × surface × bras de levier),  d r  r= R 2

3v Rh 3v Rh D’où ∂P = + cosq ; P = – cosq + f (q) car P ne dépend ∂r r3 2r 2

Fpres = 2π

1) v➞rel = (w (r) – w (r0)) r e➞q = vrel e➞q (cf. Application 1).

π 0

(1 – cos2 q) sinq dq = 4 . 3

 dω  ( R2 ) = 2 π η h  r 3  .  d r  r= R

soit :

2

De même, le moment exercé par le fluide intérieur est :  dω  (r ) = − 2 π η hr 3   .  dr  En régime permanent, le moment total appliqué au système fluide (compris entre deux cylindres de rayons quelconques) est nul, soit :  dω  r 3   = cte .  dr  Cette relation s’intègre en ω =

A +B. r2

Les conditions aux limites donnent w (R1) = W ; w (R2 ) = 0 .

ω =Ω

Soit :

R12  R22  −1 . R22 − R12  r 2 

4) Le cylindre extérieur est immobile, il est donc soumis à un couple extérieur tel que : G – 2πhh r 3 dw =0. dr r=R2 R2 R2 D’où G = 4πhh 21 22 W . R1 – R2 5) Après un développement limité à l’ordre 1 :

ω =Ω

R2 − r R2 − R1

et G =

2πhh R 32 W. e

Avec les valeurs indiquées : G ≈ 3 N . m .

157


+

Corrigés Le schéma électrique équivalent est : 1) La vitesse relative des points du cylindre de rayon r par rapport au PA

cylindre de rayon r0 est : vrel = v (r) – v (r0 ) , d’où

➞ F cis

dv ➞ = η d Sez . dr

➞

• forces de pression : F P = π r2(Pz=0 – Pz=L) e➞z ; ➞ • forces de pesanteur : F g = – π r2 L r g e➞z . ∧

Ce qui donne comme P = P + r g z , forces de pression et de pesanteur : ➞ ➞ ➞ ➞ F Pˆ = π r 2 ( Pˆ − Pˆ ) e = π r 2 ( P − P − ρ g L) e = π r 2 ( ∆ P − ρ g L) e z =0 ➞

z= L

z =0

z

z= L

z

z

➞ • force de cisaillement : F cis = + h2πrL dv e➞z ; dr En régime permanent, la résultante des forces appliquées est nulle : ∧ ˆ dv = – ∆P r et comme v (a) = 0 : v(r ) = ∆ P (a2 − r 2 ) . dr 2h L 4η L

a

3) D = r

v (r) 2 π r dr , soit : 0

D= ou encore :

π ρ a4 ˆ π ρ a4 ( ∆ P − ρ g L) . ∆P = 8η L 8η L

4 ∧ 4 Dm = πa ∆P = πa (∆P – rgL) . 8u L 8u L

On remarque que si ∆ P = r g L , il n’y a aucun débit.

1) On a les analogies suivantes entre : • pression et potentiel ; • débit volumique et courant. Pour un tube nous pouvons écrire ∆ P = R Dvol avec R =


tance ohmique U = RI .

158

R1/50

R2

2) Si on fait le bilan des forces extérieures :

ˆ ; = π r 2 ∆ Pe z

PB

8h et pour une résisπa 4

PC

R2 R1/50

PE

Dvol

PD

Avec : 8h 1 R R1 = = 2,0 . 10 10 Pa.m –3. s , donc 1 = 4,0 . 10 8 Pa.m–3. s ; 4 50 πa 1 R2 =

8h 2 = 6,3 . 10 7 Pa.m –3. s . πa 42

R 2) La « résistance » totale du circuit est : R = 2R2 + 2 1 = 9,3 10 8 Pa.m–3. s . 50 Sachant que le débit volumique est de 0,1 litre par seconde, Dvol = 10–4 m3 . s–1 , l’écart de pression PB – PA est égal à PB – PA = 0,93 bar , ce qui donne PB = 2,03 bar . R La différence de pression aux « bornes » de 1 est égale à 0,4 bar . 50 La différence de pression aux « bornes » de R2 est égale à 0,06 bar . On en déduit donc les diverses pressions : PA

PB

PC

PD

PE

PA

1,1 bar

2,03 bar

1,63 bar

1,57 bar

1,17 bar

1,1 bar

3) Soit le système formé par le fluide présent dans la pompe à l’instant t . Sa variation d’énergie cinétique étant très faible, on peut considérer que la puissance totale reçue est nulle, soit : puissance des forces de pression en amont et en aval + puissance de la pompe = 0 . D’où pompe = (PB – PA) S v = (PB – PA) Dvol . L’analogie avec l’électrocinétique vaut donc aussi pour la puissance : pompe

= 9,3 W .

6

O Dans certaines conditions, ou dans certaines zones d’écoulement, le fluide parfait (en écoulement éventuellement potentiel) est un modèle assez simple et malgré tout satisfaisant, qui peut être employé en aéronautique. Les fluides usuels sont cependant tous visqueux… et les écoulements parfaits, par nature instables, ne peuvent rendre compte de la réalité. Un nombre sans dimension, le nombre de Reynolds Re, permet de caractériser un écoulement fluide, en indiquant les importances relatives des transferts de quantité de mouvement par viscosité ou par convection au sein du fluide.

B

J

E

C

T

I

F

S

■

Classification des écoulements à partir du nombre de Reynolds.

■

Évaluation des ordres de grandeurs caractéristiques.

■

Analyse dimensionnelle.

P

R

É

R

E

Q

U

I

■

Cinématique des fluides.

■

Dynamique des fluides parfaits.

■

Viscosité d’un fluide.


Écoulements réels : nombre de Reynolds

S

159


Nous nous sommes jusqu’à présent limités à des cas idéalisés d’écoulements (laminaires avec des fluides visqueux, potentiels avec des fluides parfaits) représentables par des expressions (ou des modèles) mathématiques simples.

KMnO4

Quelques expériences simples nous montrent que les écoulements réels sont plus complexes.

1

Études expérimentales de l’écoulement d’un fluide réel

1.1. Écoulements laminaires et turbulents

Doc. 1. Le robinet permet de régler le débit, et le colorant permet de visualiser l’écoulement dans le tube.

1.1.1. Premier exemple : expérience de Reynolds Un réservoir d’eau (ou de liquide en général) alimente un tube horizontal allongé ; un dispositif permet d’envoyer un filet de colorant dans le tube (doc. 1). L’expérience montre que : • aux faibles vitesses, le filet de colorant reste rectiligne, et parallèle à la paroi du tube (doc. 2). Les lignes de courant se côtoient sans enchevêtrement, et glissent les unes sur les autres : l’écoulement est dit laminaire. C’est le cas de tous les exemples étudiés jusqu’à présent ; • aux grandes vitesses, le filet de colorant se disperse, et se mélange au fluide (doc. 3) : il y a enchevêtrement des lignes de courant. L’écoulement dans le tube est turbulent. Ainsi la valeur de la vitesse, pour un fluide donné, dans un tube donné, permet de distinguer un écoulement laminaire d’un écoulement turbulent. 1.1.2. Second exemple Observons le jet d’eau qui sort d’un tuyau (doc. 4). Si le débit est faible, un filet d’eau transparent s’écoule régulièrement. Il ne se rencontre que lorsque la vitesse est faible (donc pas trop loin du bout du tuyau), ou lorsque le fluide est très visqueux (au sens usuel qualitatif de ce terme).


a)

b)

Doc. 4. Écoulements a. laminaire b. turbulent. Le diamètre intérieur du tuyau est de 12 mm, les débits sont respectivement de 0,2 litre par minute et de 10 litres par minute. La structure du jet turbulent (photographié ici avec un temps de pose de 1/500 s) évolue trop rapidement pour être observée visuellement ou enregistrée.

160

Doc. 2. À vitesse faible, l’écoulement est laminaire.

a)

b)

Doc. 3. À vitesse élevée, l’écoulement est turbulent. a. Aspect obtenu avec une photo classique. b. Aspect obtenu avec une vue instantanée (photo très rapide).

6. Écoulements réels : nombre de Reynolds Poursuivons notre expérience, en augmentant progressivement le débit : la surface du jet n’est plus parfaitement lisse et son aspect varie dans le temps, puis il perd sa transparence. Les lignes de courant n’ont plus la forme régulière du régime laminaire. Elles forment un réseau complexe, enchevêtré et, en l’absence de régime permanent stable, elles changent perpétuellement et très rapidement de forme. Il n’est plus possible de prévoir l’évolution des lignes de courant et l’écoulement, chaotique, est alors turbulent. L’apparition de la turbulence au-delà d’une certaine vitesse d’écoulement est un phénomène très général. 1.1.3. Autres situations Si nous soufflons très doucement dans un sifflet, aucun son n’est émis : l’air s’écoule de façon laminaire et permanente. À partir d’un certain débit, l’instrument émet un son. Cette expérience prouve l’existence de phénomènes non permanents : l’écoulement est devenu turbulent (doc. 5).

Doc. 5. Il faut un débit minimum pour que des turbulences existent et qu’un son soit émis.

Un écoulement est laminaire si les lignes de courant « glissent » les unes sur les autres en restant parallèles : un écoulement laminaire existe généralement si la vitesse est « faible ». Dans le cas contraire, pour une vitesse moyenne élevée, l’écoulement est turbulent. Il est instable, et sa structure est chaotique.

2

Nombre de Reynolds

Le nombre de Reynolds va nous permettre de déterminer de manière quantitative la « frontière » entre un écoulement laminaire et un écoulement turbulent.

2.1. Choix des paramètres Nous nous proposons de déterminer les paramètres intervenant dans les deux expériences précédentes. La transition laminaire-turbulente pour les écoulements considérés est fonction de :


• la vitesse moyenne V du fluide (c’est évident) : c’est surtout ce paramètre que nous avons mis en évidence dans les deux expériences précédentes ; • la viscosité h du fluide : des turbulences sont beaucoup plus difficiles à obtenir avec de l’huile qu’avec de l’eau ; • le diamètre du tube D : pour un fluide de vitesse donnée, il est plus facile d’envisager l’apparition de quelques tourbillons dans un tuyau large que dans un tuyau étroit ; • la masse volumique r du fluide : la masse volumique intervient dans les équations d’évolution.

2.2. Approche dimensionnelle Pour pouvoir faire de manière quantitative la distinction entre un écoulement laminaire et un écoulement turbulent, construisons à partir de ces paramètres une grandeur sans dimension.

161


Les équations aux dimensions des divers paramètres choisis sont : [V] = L . T –1 ; [h] = M . L–1 . T –1 ; [D] = L ; [r] = M . L–3 .

description

nombre de Reynolds Re

ρ VD est la seule grandeur sans dimension que nous pouvons construire η avec ces paramètres (cf. § 10). Cette quantité est donc un nombre caractérisant l’écoulement. Ce nombre sans dimension est appelé nombre de Reynolds : ρ VD Re = . η

évolution du manteau terrestre

10–20

glacier

10–11

bactéries dans l’eau

10–5

spermatozoïdes dans le liquide séminal

10–3

Calculons un ordre de grandeur du nombre de Reynolds pour les deux écoulements, présentés au § 1.1.2.

bille qui tombe dans du miel

10–2

Notant Dvol le débit volumique, et D le diamètre du tube, la vitesse moyenne V 4 Dvol Dvol ≈ 2 . de l’écoulement est donnée par V = D π D2

poisson d’aquarium

102

nageur dans l’eau

105

serpent dans l’eau

106

L’expérience est réalisée avec de l’eau : r = 103 kg . m–3 ; h = 10–3 Pl . Cela nous donne :

oiseau

106

gros poisson dans l’eau

108

La quantité

• pour l’observation d’un écoulement laminaire : V ≈ 2,5

cm . s–1

et Re ≈ 300 ;

• pour l’observation d’un écoulement turbulent : V ≈ 1,2 m . s–1 et Re ≈ 14 000 .

Doc. 6. Exemples de valeurs du nombre de Reynolds.

Ces valeurs sont caractéristiques d’un écoulement laminaire et d’un écoulement turbulent. • Le nombre de Reynolds Re =

VL

est un nombre sans dimension, carac-

térisant un écoulement d’un fluide (masse volumique , viscosité ) de vitesse moyenne V , autour d’un obstacle (ou dans une conduite) de dimension caractéristique L . • Transition laminaire-turbulente Si le nombre de Reynolds est faible (Re <≈ 2 000, valeur généralement admise), l’écoulement est souvent laminaire ; pour Re grand (Re > 2 000), il est souvent turbulent.


Le document 6 nous donne quelques ordres de grandeur des valeurs possibles du nombre de Reynolds et un exemple (doc. 7).

3

Signification du nombre de Reynolds

Mettons en évidence les notions importantes sur l’interprétation du nombre de Reynolds en considérant uniquement un fluide incompressible, de masse volumique r et de viscosité h , en écoulement à la vitesse moyenne V autour (ou dans) un obstacle de dimension caractéristique L (doc. 8).

3.1. Évolution au sein du fluide L’équation du mouvement d’un fluide visqueux est : ➞

D v ➞ grad P η ➞ = fm − + ∆v , ρ ρ Dt

162

Doc. 7. Un exemple d’écoulement rampant à nombre de Reynolds très inférieur à 1 (Re ≈ 10–11).

6. Écoulements réels : nombre de Reynolds que nous pouvons encore écrire :

vitesse du fluide à l’infini, loin de la perturbation

➞

∂v grad P ➞ ➞ η ➞ ➞ + ( v .grad) v − ∆ v = fm − . ∂t ρ ρ Nous pouvons interpréter les termes présents comme suit :

obstacle

variation locale de la vitesse variation convective de la vitesse ➞

∂ v    +  ∂t 

➞

➞

{( v . grad) v }

 η ➞  ➞ grad P  + −  ∆ v =  fm − . ρ   ρ 

variation diffusive de la vitesse terme « moteur »

L

Doc. 8. Un fluide incompressible, de masse volumique r et de viscosité h , est en écoulement à la vitesse moyenne V autour d’un obstacle de dimension caractéristique L .

Dans l’équation d’évolution, nous voyons apparaître deux termes : • l’un lié à la convection (nous lui donnerons l’indice « c ») ; • l’autre lié à la diffusion (nous lui donnerons l’indice « d »). Le nombre de Reynolds, permet de comparer les importances relatives de ces deux termes…

3.2. Rapport entre deux transferts de quantité de mouvement 3.2.1. Transfert convectif de quantité de mouvement

v dt

La masse d m qui traverse la surface d S pendant le temps d t (doc. 9a) est égale à d m = r v d S d t . La quantité de mouvement massique étant égale à v , il y a donc un transfert de quantité de mouvement par convection.

transfert convectif dpc de quantité de mouvement

v

Le transfert de quantité de mouvement par convection est égal à :

3.2.2. Transfert diffusif de quantité de mouvement Dans un écoulement de fluide visqueux incompressible, il existe une contrainte surfacique tangentielle entre deux veines de fluides en contact, si la vitesse relative entre ces deux veines est non nulle : ➞

➞

d F = d F// ex =

η ➞ || grad (ρ v x )|| d S ex . ρ

Il y a donc un transfert de quantité de mouvement par diffusion à travers la surface d S (doc. 9b) (cf. chapitre 5). Le transfert de quantité de mouvement par diffusion à travers la surface dS pendant le temps dt est donné par d p➞d = d F// e➞x d t , soit : η d pd = || grad(ρv x )|| d S d t . ρ —➞ Cette relation permet d’écrire (en estimant l’ordre de grandeur de || grad (rv) || à ρv ) l’expression suivante. la quantité L

dm

dS

Doc. 9a. Transfert convectif de quantité de mouvement. La masse d m qui traverse d S pendant le temps d t est égale à : d m = Dm d t = r v d S d t . transfert diffusif dpd de quantité de mouvement y ds y + dy y


d pc = v 2d Sd t .

gradvx ( y)

vx (y + dy) vx (y) x

Doc. 9b. Transfert diffusif de quantité de mouvement : v ➞ v➞(M) = v x(y) e➞x et d ➞ p d = η d S d t ex L

163


Le transfert de quantité de mouvement par diffusion est : v v d pd = dSdt = dSdt . L L 3.2.3. Nombre de Reynolds Le rapport de ces deux transferts nous permet de retrouver le nombre de Reynolds : transfert de quantité de mouvement par convection p r Lv (rv 2) = c = = = Re . hv pd h transfert de quantité de mouvement L par diffusion 3.2.4. Interprétation nombre de Reynolds faible Re << 1 ⇔ pd >> pc

nombre de Reynolds élevé Re >> 1 ⇔ pc >> pd

prédominance des transferts de quantité de mouvement par diffusion

prédominance des transferts de quantité de mouvement par convection

3.3. Rapport entre deux temps caractéristiques 3.3.1. Temps caractéristiques d’évolution Si l’équation d’évolution d’une grandeur F est : ∂F = F ∂t t nous savons que les variations de F sont notables à l’échelle du temps t . Lorsque plusieurs phénomènes font varier la grandeur F, par exemple : ∂F = F + F + … ∂t t1 t2 Il est clair que le terme prépondérant est associé au temps t n le plus court : c’est celui qui fait varier F le plus vite. Le rapport des temps caractéristiques t i et t j nous donne de plus l’importance relative des phénomènes « i » et « j » qui font varier F. © Hachette Livre, H-Prépa Mécanique des fluides, 2e année, PC et PSI, La photocopie non autorisée est un délit.

3.3.2. Temps t i associé au transfert convectif de quantité de mouvement Observons l’équation du mouvement du fluide visqueux incompressible : —➞ —➞ ➞ h ➞ ➞ grad P ∂v➞ + (v➞.grad )v – ∆v = f m – . r ∂t r —➞ Au terme convectif (v➞.grad )v➞, nous pouvons associer le temps t c défini par : v = v v , soit t = L c L v tc si la vitesse de l’écoulement est de l’ordre de v, et la taille de l’obstacle de l’ordre de L. Constatons que t c = L représente le temps mis par le fluide pour parcourir la v distance L.

164

6. Écoulements réels : nombre de Reynolds 3.3.3. Temps td associé au transfert diffusif de quantité de mouvement De même, le temps t d est donné par : v = h v , soit t = r L2 . d h r L2 td

Ce lien entre temps et (distance)2 est usuel pour les phénomènes de diffusion : 2 h n= L = td r

est le coefficient de diffusion (en m2 . s– 1 ) associé à la viscosité du fluide. Rappelons que le coefficient n est la « viscosité cinématique », h est la « viscosité dynamique ». 3.3.4. Temps caractéristique et nombre de Reynolds Nous retrouvons naturellement le nombre de Reynolds, caractérisant les importances relatives des transferts convectif et diffusif de quantité de mouvement : Re =

r Lv t = vL = d . h n tc

t c pendant que le fluide passe l’obsSi, par exemple, Re est grand, alors t d tacle de dimension L, donc pendant environ t c , le transfert par diffusion n’a presque pas le temps de s’effectuer : la convection prédomine dans les transferts de quantité de mouvement. Comme la viscosité est à peu près négligeable, le modèle du fluide parfait peut, ici, donner une idée assez correcte des efforts exercés par le fluide sur l’obstacle contourné. Remarque : La réalité expérimentale est plus complexe. Nous verrons plus loin que si Re est vraiment très grand, l’écoulement est cependant instable. La limite Re∞ du fluide parfait n’est donc pas accessible en pratique…

nombre de Reynolds faible Re << 1 ⇔ td << tc

nombre de Reynolds élevé Re >> 1 ⇔ tc << td

le temps caractéristique de transport de quantité de mouvement par diffusion étant très court, ce seront les phénomènes prédominants : prédominance de la diffusion

le temps caractéristique de transport de quantité de mouvement par convection étant très court, ce seront les phénomènes prédominants : prédominance de la convection


3.4. Écoulements à haut et bas nombre de Reynolds Les raisonnements précédents nous permettent de séparer les écoulements à grand ou petit nombre de Reynolds comme suit :

• À nombre de Reynolds élevé, les transferts de quantité de mouvement par convection sont plus importants que ceux par diffusion ; cela signifie que le temps caractéristique associé à ces transferts par convection, est plus court que celui par diffusion. • À nombre de Reynolds faible, les transferts de quantité de mouvement par diffusion sont plus importants que ceux par convection ; le temps caractéristique associé à ces transferts par diffusion est plus court que celui par convection.

165


Re ≈ 10–11 écoulement rampant prédominance de la diffusion

Re ≈ 10–3 écoulement laminaire prédominance de la diffusion

Re ≈ 105 écoulement turbulent prédominance de la convection

Doc. 10. Les nombres de Reynolds associés à ces écoulements sont très différents.

Ces comportements limites ont des conséquences pratiques importantes et identifiables (doc. 10) : – pour un nageur (ou un serpent) évoluant dans l’eau, Re est élevé. La bonne technique de propulsion consiste à éjecter de la quantité de mouvement par convection ; – pour un spermatozoïde, la nage du serpent conduirait à un échec… pour évoluer dans un fluide très visqueux, il vaut mieux prendre appui sur celui-ci à la façon d’un tire-bouchon : le spermatozoïde avance « en vrille ». Pour le nageur évoluant dans un miel, il y aurait à peu près autant de recul au moment où il replie ses membres que d’avancement lorsqu’il se détend.


4

Ouver ture : lois de similitude

4.1. Équations locales adimensionnées pour un fluide incompressible Considérons l’écoulement d’un fluide incompressible autour d’un obstacle. Pour un écoulement donné, la solution de l’équation de Navier-Stokes dépend : • des paramètres caractéristiques du fluide (r, h) ; • des conditions aux limites imposées à la pression et à la vitesse ; • des caractéristiques de l’obstacle (sa forme et ses dimensions). Nous retrouvons donc les paramètres définis précédemment. Par un changement de coordonnées, il est possible de réduire le nombre de paramètres pertinents. Imaginons donc un fluide incompressible, supposé infiniment étendu, qui, loin de l’obstacle, a une vitesse uniforme v➞∞ = v∞ e➞x donnée (doc. 11). Soit L une longueur caractéristique de l’obstacle (par exemple, le diamètre pour une sphère).

166

vitesse du fluide à l’infini, loin de la perturbation

obstacle

L

Doc. 11. Un fluide de masse volumique r et de viscosité h arrive avec la vitesse v∞ sur un obstacle de dimension caractéristique L .

6. Écoulements réels : nombre de Reynolds Les unités « naturelles » du problème sont L pour les longueurs, v∞ pour les L vitesses, pour les durées et r v∞2 pour les pressions (au sens large du terme, v∞ ∧ en notant toujours P = P + rgz comme au chapitre 5). Posons donc : x = x′ L y = y′ L z = z′ L v = v′v∞

t = t′

L v∞

∧

∧

P = P ′r v∞2

Les nouvelles coordonnées x′ , y′ , z′ et t′ sont des nombres sans dimension ; nous les appelons coordonnées adimensionnées. —➞ —➞ Nous noterons également grad ′ , rot ′ , etc. les opérateurs vectoriels définis dans ce nouveau système, comme par exemple : ∂ P′ ➞ ∂ P′ ➞ ∂ P′ ➞ —➞ ex + ey + ez . grad ′(P′) = ∂ x′ ∂ y′ ∂ z′ Avec ce nouveau système de variables, l’équation de Navier-Stokes devient :

ρ

➞ v v ∞2 D v ′ v 2 —➞ ∧ ➞ = − ρ ∞ grad ′(P ′) + η ∞2 ∆ ′ v ′ . L L Dt′ L

➞ ρv ∞ L , le nombre de Reynolds de l’écoulement, et explicitons D v ′ η Dt′ 1 —➞ ➞ ➞ à l’aide de ω ′ = rot ′(v ′) , le vecteur tourbillon : 2

Posons Re =

➞ —➞  ∂v ′ v ′2  1 ➞ ➞ ➞ + 2 ω ′∧ v ′+ grad ′  Pˆ ′ +  = Re ∆ ′ v ′ . ∂t′ 2  

• L’incompressibilité se traduit toujours par div′v➞ ′ = 0 . • Pour éliminer la pression, nous prenons le rotationnel des deux membres de cette égalité. En appliquant les règles de composition des opérateurs vectoriels (cf. chapitre 8), et en tenant compte de div′v➞ ′ = 0 , nous obtenons : ➞

➞

∂ ω ′ —➞ ➞ ➞ 1 ➞ + rot ′(w ′ ∧ v ′) = ∆′ω ′ Re ∂t′

ou

Dω ′ 1 ➞ —➞ = ∆ ′ ω ′+ (w➞ ′. grad ′)v➞ ′ . D t ′ Re

4.2. Loi de similitude pour l’écoulement autour d’un obstacle © Hachette Livre, H-Prépa Mécanique des fluides, 2e année, PC et PSI, La photocopie non autorisée est un délit.

Le champ des vitesses est déterminé par : • les équations aux dérivées partielles : ➞

∂ ω ′ —➞ ➞ ➞ 1 ➞ + rot ′(w ′ ∧ v ′) = ∆′ω ′ Re ∂t′ 1 —➞ ➞ ➞ div′v➞ ′ = 0 et ω ′ = rot ′(v ′) ; 2 • les conditions aux limites : ➞ v➞ ′ = e➞x à l’infini et v➞ ′ = 0 sur l’obstacle. En coordonnées adimensionnées, pour un obstacle de forme et d’orientation données, la vitesse adimensionnée v➞ ′ ne dépend donc que du seul paramètre Re , le nombre de Reynolds. Si nous modifions les dimensions de l’obstacle, ou si nous utilisons un autre fluide, tout en conservant le même nombre de Reynolds, les écoulements sont similaires, c’est-à-dire identiques, à un facteur d’échelle près.

167


La structure de l’écoulement d’un fluide incompressible, autour d’un obsLv . tacle de forme donnée, ne dépend que du nombre de Reynolds Re = Les écoulements de deux fluides différents autour de deux solides de même forme, mais de dimensions différentes, sont similaires, si les nombres de v Reynolds sont égaux. La vitesse adimensionnée prend alors la même v∞ valeur aux points correspondants des deux écoulements. En particulier, le régime d’écoulement (laminaire ou turbulent) dépend, pour une forme donnée, de la valeur de Re .

Application

1

Facteurs d’échelle pour un essai de maquette 1) Des essais concernant un futur sous-marin sont faits sur une maquette au 1/5ème, immobile dans un bassin où est entretenu un courant constant. Déterminer les facteurs d’échelle qu’il faut appliquer à la vitesse, à la pression et aux forces résultantes, pour transposer les valeurs mesurées sur la maquette à la réalité. 2) On imagine que les essais sont faits dans une soufflerie à air. En supposant l’air incompressible, déterminer la vitesse d’écoulement de l’air. Cette méthode est-elle utilisable ? η On prendra pour l’eau = 1, 0.10 − 6 et pour l’air ρ

η = 1, 5.10 − 5 SI. ρ


1) Le sous-marin étant complètement immergé dans l’eau, incompressible, nous supposons que l’égalité des nombres de Reynolds suffit à assurer la similitude. • Soit v➞0 = – v0 e➞x la vitesse du sous-marin réel. Dans le référentiel du sous-marin, cela correspond à un écoulement tel que v∞ = v0 . Pour obtenir le même nombre de Reynolds, le courant dans le bassin doit avoir une vitesse égale à 5v0 . Les écoulements sont alors similaires, et pour tout couple de points correspondants : v réel =

v maquette

. 5 ∧ ∧ • Pour les variations de pression P – P0 = (P ′ – P′0 )rv∞2 . Si la pression est égale à P0 à l’altitude 0 dans les deux cas, alors :

168

Pˆmaquette − P0 Pˆréel − P0 = . 25 ∧

• Si on élimine l’influence de la pesanteur, P = P et la surpression due à l’écoulement est 25 fois plus grande sur la maquette. Par rapport au sous-marin réel, la vitesse est multipliée par 5, et les distances divisées par 5. Ceci implique que le gradient des composantes de la vitesse y est multiplié par 25. Comme les éléments de surface sont 25 fois plus petits sur la maquette, les résultantes des forces de pression et de cisaillement, donc de viscosité, dues à l’écoulement ont donc la même valeur sur une partie de la maquette et sur la partie correspondante de l’engin réel. 2) Les nombres de Reynolds sont égaux si v maquette v réel = . Si par exemple vréel = 10 m . s–1 , alors 75 vmaquette = 750 m . s–1 supérieure à la vitesse du son. L’hypothèse de l’air incompressible est donc irréaliste, et la similitude des écoulements est impossible. Remarques • L’égalité des forces ne concerne pas la composante « force d’Archimède » (due à la pesanteur) de la résultante des forces de pression. • Le bassin d’essai ne peut reproduire parfaitement les conditions aux limites d’une mer quasi illimitée. Aussi, les résultats doivent être corrigés pour tenir compte de la présence des parois.

6. Écoulements réels : nombre de Reynolds Remarques • La définition du nombre de Reynolds contient une part d’ambiguïté. En effet, pour un solide de forme quelconque, seul l’ordre de grandeur de la longueur caractéristique L a un sens. Il faut donc préciser quelle est la définition de L (par exemple : la plus grande longueur). • La similitude ne s’applique que lorsque le solide est complètement immergé dans un fluide incompressible et illimité. S’il est incomplètement immergé, comme un navire, il faut tenir compte des vagues de surface qui n’obéissent pas aux mêmes lois de similitude. De plus, s’il faut tenir compte de la compressibilité (c’est le cas des écoulements gazeux lorsque la vitesse n’est plus négligeable devant celle du son), l’égalité des nombres de Reynolds ne suffit plus à assurer la similitude. • La pression adimensionnée n’intervient dans les équations que par son gradient. ∧ ∧ Ce sont donc les écarts P′(M) – P′(O) par rapport à un point de référence O , qui ont la même valeur pour tous les écoulements similaires.

4.3. Régimes d’écoulements 4.3.1. Régime linéaire permanent Pour les faibles nombres de Reynolds, le terme convectif (non linéaire) est négligé, et l’équation du mouvement devient linéaire : ∂ v➞ ′ 1 ➞ ∆ ′ v ′ = − grad Pˆ ′ . − ∂ t ′ Re En régime permanent, la vitesse adimensionnée en tout point est donc déterminée par les équations locales et conditions aux limites : —➞ ′(∆′v➞′) = ∆′(rot —➞ ′v➞′) = ➞0 et div′(v➞′) = 0 rot ➞ ➞ —➞ ➞ —➞ (grad (en se servant de rot P ) = 0) avec v➞′ = e x à l’infini, et v➞′ = 0 sur l’obstacle.

Le champ v➞′(M) est alors indépendant du nombre de Reynolds. En revenant aux coordonnées initiales, on écrit : v➞(M) = v∞ v➞′(M) . Comme v➞(M) est un vecteur constant pour chaque point M , nous avons :


À faible nombre de Reynolds (Re << 1), dans l’écoulement linéaire et permanent, la vitesse est en tout point proportionnelle à v• . Cet écoulement est appelé rampant. Pour les écoulements à très faibles nombres de Reynolds (Re << 1), l’équation d’évolution nous permet de prévoir un établissement très rapide du régime permanent : l’écoulement est donc le plus souvent linéaire et permanent ; c’est une caractéristique des écoulements rampants. 4.3.2. Non-linéarité, turbulences et chaos Si le nombre de Reynolds augmente, il faut prendre en compte les termes non linéaires. Les solutions ne sont plus superposables, et la répartition des lignes de courant évolue avec Re . Il est très complexe d’étudier quantitativement l’évolution des solutions de Navier-

169


Stokes. Lors d’un écoulement de fluide, il est possible de distinguer diverses phases : lorsque nous augmentons la vitesse (donc le nombre de Reynolds) d’un écoulement, nous observons : • pour Re très faible (typiquement Re < 1), l’écoulement est laminaire, approximativement linéaire. Il est stable, car quasiment insensible aux petites perturbations. C’est ce que nous avons vu au § 4.3.2. Un écoulement rampant est stable, et quasiment insensible aux petites perturbations. • Si Re devient plus important (la valeur dépend fortement du profil de l’obstacle ou de la forme du tuyau), l’écoulement peut avoir plusieurs configurations relativement stables. De petites perturbations le font passer de l’une à l’autre. C’est ce que nous observons en ouvrant progressivement un robinet ; des structures géométriques changeantes apparaissent sur le jet à partir d’un certain débit. • Pour des valeurs plus grandes de Re , il n’est plus possible de décrire simplement l’écoulement qui devient turbulent. Le moindre écart dans les conditions initiales, et la moindre perturbation changent radicalement la solution. L’évolution d’une ligne de courant est imprédictible et l’écoulement devient chaotique. La turbulence se manifeste essentiellement par l’impossibilité d’un régime permanent stable et par l’existence fugitive de structures périodiques (bifurcation), au niveau spatial et au niveau temporel. La turbulence est liée au caractère non linéaire des équations de la mécanique des fluides. Elle apparaît pour les nombres de Reynolds élevés, et se caractérise par un écoulement chaotique et dépendant du temps.

5

Écoulement autour d’un obstacle

5.1.1. Force de traînée, coefficient de traînée


Par définition, la traînée, ou force de traînée, est la composante parallèle à v➞∞ de la résultante des forces dues à l’écoulement du fluide. Nous l’avons déjà rencontrée en la qualifiant de force de frottement. Cette force ne prend pas en compte les effets de la pesanteur. Éliminons celle-ci ∧ des équations : cela revient à confondre P et P . Le coefficient de traînée Cx d’un solide est un nombre sans dimension défini par : 1 Ftraînée = Cx ρv ∞2 S . 2 Le « maître-couple » S est l’aire de la surface obtenue en « projetant » le solide sur un plan perpendiculaire à l’écoulement (doc. 12). Pour un obstacle de forme et d’orientation données, le coefficient de traînée Cx ne dépend que du nombre de Reynolds Re : Cx = f(Re) . Ce résultat peut être obtenu par analyse dimensionnelle (cf. § 9), et vérifié par toutes ses conséquences ou observations expérimentales.

170

champ de vitesse uniforme v∞

Ftraînée

L maître couple S

Doc. 12. Le coefficient de traînée Cx est un nombre sans dimension défini par : 1 Ftraînée = Cx ρv ∞2 S 2

6. Écoulements réels : nombre de Reynolds Nous nous proposons d’étudier les divers écoulements existant autour d’une sphère en étudiant les données expérimentales concernant cet écoulement. 5.1.2. Évolution expérimentale de Cx (Re) pour une sphère lisse La courbe du document 13 reproduit l’évolution (selon l’expérience) du coefficient ρ 2R v ∞ de traînée Cx en fonction de Re = pour une sphère de rayon R . η Les valeurs numériques particulières sont indiquées sur le document 14.

0,1

1

10

102

103

104

105

Cx

245

28

4,4

1,1

0,47

0,43

0,47

Rec

zone 2

zone 3

zone 4

10 1

Cx = 24 Re

Rec ≈ 5.105

0,1 0,1 1 10 102 103 104 105 106 Re

Rec ≈ 5 . 105 Re

zone 1 Cx 100

106 0,14

Doc. 13. Coefficient de traînée Cx(Re) pour une sphère lisse.

Doc. 14. Quelques valeurs du coefficient de traînée Cx pour une sphère lisse en fonction de Re = ρ 2R v ∞ . η

Cette courbe fait apparaître quatre zones caractéristiques : zone 1 : Re < 1

zone 2 : 1 < Re < 103

Cx ≈ 24 Re

2 Cx = A 1 + a 4Re avec a = 9,06 et Aa2 = 24 (formule d’Abraham)

zone 3 : 103 < Re < Rec

zone 4 : Re > Rec ≈ 5.10 5

Cx presque constant

Cx chute lorsque l’écoulement devient turbulent. Il évolue assez peu ensuite.

Doc. 15. Différentes zones de comportement du document 13.

Intéressons-nous aux zones 1 et 3. 5.1.2.1. Zone 1 (Re < 1) : force de traînée en régime linéaire permanent

Le coefficient de traînée Cx est voisin de

ρ Lv ∞ 24 , et L = 2 R . avec Re = η Re

Calculons la force de traînée Fx .

ρv ∞2 η S , avec Cx = 24 , et S = π R2 , soit : 2 ρ 2R v∞ Fx = 24

ρv ∞2 η π R2 = 6 π η Rv ∞ . ρ 2R v∞ 2


Fx = Cx

A priori, le régime linéaire est une bonne approximation pour Re << 1 (écoulement rampant). En fait, pour la plupart des formes d’obstacle, l’approximation reste acceptable pour Re < 1 . L’expression de cette force de traînée pour une sphère à bas nombre de Reynolds (Re < 1) Fx = 6 π h R v∞ constitue la formule de Stokes . Dans l’eau, (h ≈ 10–3 Pl) , il est possible d’appliquer la formule de Stokes à une petite sphère de 0,1 mm de diamètre qui se déplace à 1 mm . s–1 (Re = 0,1). Pour une sphère de 1 cm de diamètre se déplaçant à 1 cm . s–1 dans l’eau, Re = 100 : la formule de Stokes n’est pas applicable. Si ce déplacement avait lieu dans un fluide plus visqueux comme une huile pour laquelle h ≈ 1 Pl, Re ≈ 0,1 la formule est applicable. Cette formule est démontrée (cf. exercice 6, chapitre 5).

171


Remarques • La force de traînée n’est proportionnelle à la vitesse d’écoulement que si l’obstacle est unique dans un fluide d’extension infinie. La présence de parois, ou d’autres obstacles, rend le problème plus complexe (cf. § 8). • Pour tout écoulement à nombre de Reynolds Re faible, autour d’un obstacle quelconque de dimension finie, le coefficient de traînée est inversement proportionnel à Re . Il est ainsi possible de montrer que la force de traînée a la forme générale suivante (le maître-couple S étant proportionnel à L2) : K Cx = ⇔ Ftraînée = K h v∞ L . Re Les facteurs numériques K et K′ sont généralement de l’ordre de l’unité ; ils dépendent de la forme et de l’orientation de l’obstacle. Ils peuvent être déduits de l’expérience ou se calculer pour certaines géométries simples. Lorsque le nombre de Reynolds est très faible (typiquement Re < 1), l’écoulement autour d’un obstacle est linéaire, et la force de traînée est proportionnelle à la vitesse d’écoulement. Pour une sphère de rayon R , la traînée est donnée par la formule de Stokes : Ftraînée = 6

R v• .

5.1.2.2. Zone 3 (103 < Re < 105) : force de traînée en régime turbulent

Pour les nombres de Reynolds compris entre 103 et 105 , Cx est approximativement constant : sa valeur est de l’ordre de 0,5 pour une sphère. Dans ce domaine, la traînée (ou force de frottement) est approximativement proportionnelle au carré de la vitesse. Il est alors possible d’écrire : Fx = k r v 2∞ R2 , avec k ≈ 1. Des valeurs plus faibles de Cx sont atteintes pour des profils « aérodynamiques » : ainsi Cx < 0,2 pour une automobile. Pour s’entraîner : ex. 1.


6

Cas limite du fluide parfait

6.1. Nombre de Reynolds Pour un fluide parfait, h = 0 , et donc Re est infini. Si nous extrapolons sans précaution les résultats précédents, un écoulement de fluide parfait devrait être toujours turbulent. Ce paradoxe tient au fait que le modèle du fluide parfait n’est pas une extrapolation d’un fluide réel de faible viscosité. La vitesse d’un fluide réel, même de très faible viscosité, est nulle au contact du solide, alors que celle d’un fluide parfait est non nulle et tangente à la surface du solide.

6.2. Couche limite Au voisinage d’un obstacle, les profils de vitesse sont très différents si l’on considère le modèle du fluide parfait ou le fluide visqueux, donc réel (doc. 16). Alors

172

y zone 2 y =δ zone 1 (a) x

O (b)

Doc. 16. La différence est importante entre les deux profils de vitesse (attention : les dimensions linéaires sont fortement augmentées suivant y). (a) : profil qui existerait avec un fluide parfait ; (b) : profil réel.

6. Écoulements réels : nombre de Reynolds « limite » supérieure de la couche limite

que la vitesse est non nulle avec le modèle du fluide parfait, elle est nulle pour le fluide réel. Sur le document 16, nous observons deux zones très différentes :

y

lignes de courant

• zone 1 : pour y < δ , les deux profils sont très différents ;

δ(x) x

• zone 2 : pour y > δ , les deux profils sont quasi identiques. Il existe une transition située à la distance δ de l’obstacle : nous venons de mettre en évidence la couche limite, correspondant à la zone dans laquelle les profils des vitesses sont très différents.

Doc. 17. L’épaisseur d’une couche limite n’est pas nécessairement constante.

La quantité δ (« limite » supérieure de la couche limite) est souvent appelée épaisseur de la couche limite. Cette épaisseur peut varier le long d’un profil : ainsi, nous pouvons avoir la situation suivante obtenue avec un obstacle (doc. 17), qui peut représenter une partie du profil des vitesses tel que celui existant à proximité d’un point d’arrêt (doc. 18).

y

point d’arrêt

Cette couche limite est une couche limite laminaire. Une couche limite laminaire peut devenir turbulente ; dans ce cas le profil des vitesses a l’allure représentée sur le document 19.

x

obstacle

x=0

x’ couche limite

Revenons (doc. 20) sur les deux zones apparaissant sur le document 16.

Doc. 18. Mise en évidence de la couche limite au voisinage d’un point d’arrêt.

■ Zone 1 Dans la zone 1, correspondant au cas réel, nous pouvons écrire v➞ = v (y)e➞x : la vitesse varie rapidement suivant y , mais peu suivant x (rappelons-nous que les dimensions sont très dilatées suivant y !). Les forces de viscosité, donc les transferts de quantité de mouvement par diffusion, sont prédominants.

couche limite

■ Zone 2

obstacle

Dans cette zone, nous pouvons écrire v➞ = v∞ e➞x : la vitesse varie très peu en fonction des grandeurs d’espace.

tourbillons supplémentaires

Il est parfois utile de modéliser le profil des vitesses par une loi linéaire ou parabolique ou exponentielle (doc. 21). ∆ ′ v➞ ′ La viscosité intervient, dans l’équation locale de la dynamique, dans le terme Re (équation adimensionnée).

Doc. 19. La couche limite laminaire devient turbulente : des tourbillons supplémentaires se forment dans une zone dont l’épaisseur peut soit augmenter, soit diminuer. Ici on est en présence d’un décollement de couche limite laminaire.

zone 2, où la vitesse varie peu en fonction des grandeurs d’espace zone 1, où la vitesse varie beaucoup suivant y

couche limite δ obstacle

➞

linéaire

δ

zone 1

parabolique x

➞

zone 2

Doc. 20. La vitesse du fluide est de la forme v = v (y)e x dans la zone 1, alors que dans la zone 2 elle est de la forme v➞ = v∞ e➞x .

obstacle

x

Doc. 21. La vitesse du fluide peut être modélisée dans la zone 1 par un profil linéaire (vecteur tourbillon W uniforme) ou un profil parabolique (le vecteur W varie linéairement en fonction de y) ou exponentiel.

173


y

y


Un fluide de faible viscosité se comporte, du fait de la grande valeur de Re , comme un fluide parfait lorsque le laplacien de la vitesse n’est pas trop intense. Mais, au voisinage de l’obstacle, la vitesse passe très brusquement de la valeur nulle à une ∆ ′ v➞ ′ valeur de l’ordre de v∞ . De ce fait, n’y est plus négligeable. Re

6.3. Domaine de validité des écoulements potentiels En dehors de la couche limite, il est possible de négliger le terme de viscosité, et le modèle du fluide parfait donne une bonne approximation. Nous avons à plusieurs reprises, dans des applications ou des exercices, considéré des écoulements potentiels (ou irrotationnels) de fluides parfaits. Pour justifier le bien-fondé de cette hypothèse, rappelons l’équation d’évolution du vecteur tourbillon : ➞ ➞ ➞ Dω ′ 1 ➞ — ∆′w➞ ′ + (w ′. grad′)v ′ . = D t ′ Re ➞

➞ ➞ Dω ′ —➞ En dehors de la couche limite, ∆′w ′ ≈ 0 et = (w➞ ′. grad′)v➞′ . Re Dt′

Cette relation a une conséquence importante : l’écoulement étant irrotationnel à l’infini, le vecteur tourbillon reste quasiment nul le long de toutes les lignes de courant qui ne traversent pas la couche limite. Il est généralement possible de considérer que l’écoulement est potentiel en dehors de la couche limite et du sillage constitué, en aval de l’obstacle, par les lignes de courant qui ont traversé la couche limite. L’écoulement d’un fluide de faible viscosité autour d’un solide est voisin de celui d’un fluide parfait, à l’exception d’une zone située au voisinage du solide, appelée couche limite. Les effets de la viscosité, et en particulier la création de tourbillons, sont quasiment limités à cette couche limite. Rappelons qu’une couche limite peut, en fonction du nombre de Reynolds, être laminaire ou turbulente (cf. § 8). Intéressons-nous maintenant à une couche limite laminaire.


6.4. Épaisseur d’une couche limite laminaire Nous pouvons, par des considérations dimensionnelles, évaluer l’ordre de grandeur de l’épaisseur de la couche limite, lorsque celle-ci est laminaire. En régime permanent, la vitesse est solution de l’équation : ➞ —➞ ➞ ➞ Re rot ′(w ′ ∧ v ′) = ∆′w ′ .

y’

Imaginons que, sur une couche mince d’épaisseur δ′ le long de l’obstacle de longueur unité (en coordonnées adimensionnées, doc. 22), la vitesse et le vecteur tourbillon sont de la forme : v➞′ = v′(x′, y′) e➞x

et

v ’= 1

w➞ ′ = w′(x′, y′) e➞z .

Les dérivées par rapport à x′ sont négligeables devant les dérivées par rapport à y′ . ∆′w′ est de l’ordre de w′2 (on peut le vérifier en supposant par exemple un profil δ exponentiel pour la fonction w′(y′)).

174

ω’ = 0

z’

δ’ x’= 0

ω’ x’= 1

x

Doc. 22. Mise en évidence des coordonnées adimensionnées.

6. Écoulements réels : nombre de Reynolds La vitesse étant de l’ordre de l’unité, w➞ ′ ∧ v➞′ est de l’ordre de w′ e➞y . Dans la direction (Ox′), la distance typique de variation de w′ est 1, et donc : ∂ω ′ ➞ ➞ —➞ ➞ ➞ ez ≈ ω ′ ez . rot ′(w ′ ∧ v ′) = ∂x ′ En introduisant ces ordres de grandeur dans l’équation aux dérivées partielles, nous 1 . obtenons δ′ ≈ Re Si L est la dimension caractéristique de l’obstacle, cela correspond à δ ≈

L . Re

η  Pour une sphère de 1 cm de rayon, en translation dans l’air  ≈ 10 −5 m 2 . s –1  , ρ  l’épaisseur de la couche limite est de l’ordre de quelques dixièmes de millimètres pour une vitesse de 1 m . s–1. On peut proposer une autre méthode pour évaluer δ. Dans la couche limite, les phénomènes dus à la viscosité sont prépondérants et l’équation de Navier-Stokes se réduit dans cette hypothèse à : ∂v➞ = h ∆v➞ r ∂t ➞ ∆v➞ ≈ v2 et δ

∂v ≈ v➞ d’où : 1 = h . ∂t t t rδ 2

Le temps t correspond au temps tc déjà calculé, égal à L . D’où : v d=

= L , et donc δ ≈ L . 2 htr = 3 hL rv 5Re 5Re

Application

2

Étude du coefficient de traînée Déterminer, par un raisonnement dimensionnel, quelle serait l’allure de la loi de variation du coefficient de traînée Cx , s’il existait sur tout le solide une couche limite laminaire de faible épaisseur δ .

Dans ces conditions, Cx est de l’ordre de :

La force de traînée est :

Le coefficient Cx apparaît approximativement propor-

Ftraînée = 1 rSv 2 .Cx . 2 La contrainte liée à la viscosité est proportionnelle à la surface sur laquelle glisse le fluide (que nous prenons de l’ordre de L 2, comparable au maître couple TS ), et au gradient de la composante tangentielle de la vitesse, soit : v Ftraînée = h.L 2 . δ

tionnel à 1 : il décroît avec Re, comme sur le docu4Re

4Re ≈ 2 . L 4Re


2hL2 2h ≈ rv rSv δ

ment 13. Ce comportement n’est pas en accord avec Cx ≈ 24 pour Re < 1, ni même avec la formule Re d’Abraham (cf. § 1.2.). Le modèle d’une couche limite d’épaisseur constante sur le profil reste naïf.

175


6.5. Évolution de la pression dans une couche limite laminaire

y

Intéressons-nous à une couche limite laminaire, stationnaire, de fluide incompressible. Utilisons les notations du document 23 où le profil de vitesse est indiqué.

13

31

L’écoulement hors de la couche limite est connu : il est non visqueux, et obéit donc à la théorie potentielle. Dans cette zone, la vitesse ne dépend que de x . La pression est également connue ou calculable par le théorème de Bernoulli (fluide incompressible en écoulement permanent dans une zone sans tourbillon). Dans la couche limite, la vitesse v➞ obéit à l’équation de conservation de la masse ∂ v➞ = ➞ 0 les ordres de gran(div(v➞) = 0)), et à l’équation de Navier-Stokes avec ∂t deurs des différents termes apparaissant dans ces équations, conduisent aux résultats suivants (nous ne ferons pas la démonstration).

δ x

L

Doc. 23. Variables utilisées pour une étude de la pression dans la couche limite. L’obstacle est d’une longueur caractéristique L , avec L >> d .

Pour un écoulement incompressible, stationnaire, à nombre de Reynolds Re élevé, autour d’un obstacle de dimension caractéristique L : • il existe une couche limite, supposée laminaire, dont l’épaisseur d est telle que : d ≈ L

1 << 1 ; Re

• dans la couche limite : – la pression est constante suivant y (perpendiculairement à la paroi) : ∂P ≈ 0 ; ∂y – la variation de pression suivant x (tangentiellement à la paroi) est imposée par l’écoulement non visqueux à l’extérieur de la couche limite.


Ces résultats justifient les calculs d’efforts faits avec les écoulements de fluides parfaits, en particulier les écoulements potentiels.

7

Description de quelques écoulements autour d’un obstacle

Les caractéristiques d’un écoulement autour d’un obstacle évoluent lorsque le nombre de Reynolds augmente :

100

Cx

10

• après l’observation d’un écoulement laminaire visqueux, rampant ; • une couche limite laminaire se développe ; • qui pour un nombre de Reynolds élevé (de l’ordre de Re ≈ 106) devient turbulente (valeur critique), provoquant alors une diminution importante (nous pouvons parler de discontinuité ou de « saut » du Cx) ; • au-delà de cette valeur critique, le Cx varie peu.

176

1 Cx =

Re –~ 5.10 5 24 Re

0,1 0,1 1 10 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6

Re

Doc. 24. Coefficient de traînée Cx(Re) pour une sphère lisse.

6. Écoulements réels : nombre de Reynolds 7.1. Description de l’écoulement autour d’une sphère Pour une sphère de rayon R , le coefficient de traînée Cx est défini par :

v∞

Fx = 1 Cx rv 2 (πR 2) ; 2 et le nombre de Reynolds Re par :

Re < 0,5

Rappelons la forme de l’évolution du coefficient de traînée Cx(Re) d’une sphère lisse (doc. 24). Nous pouvons observer expérimentalement les écoulements suivants. • Pour les valeurs de Re inférieures à 1, l’écoulement est laminaire et approximativement linéaire. Les lignes de courant ont l’allure représentée sur le document 25. Cx est inversement proportionnel à Re .

Doc. 25. Pour un nombre de Reynolds faible, l’écoulement est laminaire et quasi linéaire.

v∞

• Pour des valeurs de Re supérieures à 1 (de l’ordre de Re ≈ 20), il apparaît un tourbillon torique stable derrière la sphère (doc. 26). Les dimensions de ce tourbillon augmentent avec le nombre de Reynolds. • Ce tourbillon finit par occuper toute la partie arrière de la sphère, pour des nombres de Reynolds de l’ordre de 300 à 450 (doc. 27). • À partir de Re voisin de 450, le tourbillon se détache, en prenant une forme hélicoïdale (doc. 28). Ce tourbillon a pour conséquence l’existence d’une force transversale « tournante » s’exerçant sur la sphère. • Pour Re ≈ 1 000 , l’écoulement n’est plus régulier : il se forme un sillage, zone turbulente et chaotique derrière la sphère (doc. 29). • Pour une valeur critique Rec (≈ 5.10 5 ), la couche limite effectue une « transition laminaire-turbulent » : – le point de décollement de la couche limite change brutalement de position (il recule, doc. 30) ; – le coefficient de traînée Cx chute lors de cette transition (doc. 24). Si Re augmente encore (Re > 5.10 6 ), le sillage se rétrécit. Les tourbillons sont chaotiques. Le coefficient Cx évolue assez peu.

point de décollement de la couche limite

Re ~– 103

Re –~ 20

Doc. 26. Le tourbillon apparaissant derrière la sphère est torique.

v∞

Re –~ 300

Doc. 27. Quand Re augmente, le tourbillon finit par occuper la partie aval de la sphère.

point de décollement de la couche limite

Re > 5.105

v∞

Re ~ – 450

Doc. 28. Le tourbillon torique précédent se détache en prenant une forme hélicoïdale.

sillage

Doc. 29. L’écoulement n’est plus régulier. La couche limite est laminaire, mais une zone turbulente se développe derrière la sphère. Le point de décrochement de la couche limite est situé en « avant ».

sillage

Doc. 30. La couche limite laminaire précédente est devenue turbulente : elle se décroche à l’« arrière » de la sphère.

177


ρ 2Rv ∞ . Re = η


7.2. Description de l’écoulement autour d’un cylindre infini Pour un obstacle cylindrique de dimension infinie, il nous faut définir une force de traînée par unité de longueur, et donc un coefficient de traînée par unité de longueur. Ainsi pour un cylindre circulaire de rayon R , donc de diamètre D = 2R , ρv 2 2 Cx est défini par Fx = Cx ∞ D = Cx ρv ∞ R ; il s’exprime donc en m–1 . 2 ρ Dv ∞ . Le nombre de Reynolds Re est défini par Re = η L’allure de la variation de Cx pour un cylindre en fonction de Re , est donnée sur le document 31a. Cx 10 1 0,1 10–1

Re = 10

10 3

10 5

ρv∞ D η

107

Doc. 31a. Variations du coefficient de traînée avec le nombre de Reynolds pour un cylindre d’allongement infini.

Re

10–2 10–1

1

10

102

103

104

Cx

400

11

3

1,2

1,1

1,12 1,23

60

106

107

discontinuité

0,4

0,6

5 < Re < 40

v∞

Doc. 32 Écoulement laminaire et quasi linéaire.


5.105

Doc. 31b. Cx en fonction de Re pour un cylindre, lisse et infini.

Re < 5

v∞

105

Doc. 33. Des tourbillons stables apparaissent derrière le cylindre. L’écoulement est cylindrique.

• Pour les valeurs de Re faible, de l’ordre de l’unité, l’écoulement est laminaire et approximativement linéaire. Les lignes de courant ont l’allure représentée sur le document 32. Nous sommes en présence d’un écoulement laminaire visqueux non décollé. • Pour des valeurs de Re de quelques dizaines, il apparaît des tourbillons stables derrière le cylindre (doc. 33). L’écoulement est toujours symétrique ; il existe un décollement laminaire symétrique. • Pour Re de l’ordre de 100, des tourbillons se « détachent » périodiquement du cylindre, alors que d’autres se forment. L’écoulement est périodique, mais les lignes de courant sont encore identifiables (doc. 34). Nous visualisons une allée tourbillonnaire alternée de Bénard-Karman.

300 < Re < 5.105

v∞

40 < Re < 150 à 300 Re ~– 100

v∞ v∞

Doc. 34. Allée tourbillonnaire alternée de Bénard-Karman.

178

Doc. 35. Le décollement de la couche limite laminaire se fait de plus en plus en arrière du cylindre.

6. Écoulements réels : nombre de Reynolds • Pour Re compris entre Re = 300 et Re ≈ 5 . 105 , le décollement de couche limite s’effectue toujours à partir d’une couche limite laminaire. Les tourbillons se détachent du cylindre et deviennent turbulents (doc. 35).

v∞

• Pour 5 . 105 < Re < 5 . 106 , le décollement s’effectue à partir d’une couche limite turbulente, d’où le « saut » de Cx (doc. 36).

i

résultats expérimenraux

Cz

• Au-delà de cette valeur de Re (> 107), Cx reste quasiment constant (doc. 37).

b

Remarquons que l’écoulement autour d’une aile d’avion, considérée comme un cylindre de longueur infinie, présente les mêmes comportements (doc. 38). Le décollement de la couche limite laminaire provoque une baisse de la portance. La création d’une couche limite turbulente (grâce à des petites aspérités sur l’aile) permet de réduire ce décollement (cf. § 8) pour retrouver une efficacité des commandes de pilotage.

bulle

a

v∞

Doc. 36. La couche limite est devenue tur- Doc. 37. Il existe un sillage turbulent et bulente. chaotique derrière le cylindre.

8

décollement de la couche limite laminaire b

a

Re > 5.10 6

5.10 5 < Re < 5.10 6

v∞

Fz

0

i

Doc. 38. Évolution du coefficient de portance en fonction de l’angle d’incidence. ρv 2 Fz = Cz ∞ L avec Cz le coefficient de 2 portance.

Ouver ture : écoulements à très petit et très grand nombre de Reynolds

8.1. Écoulements à très faible nombre de Reynolds (écoulements rampants) Lorsque le nombre de Reynolds est faible (Re < 2 000), l’écoulement est laminaire (non turbulent).


Il existe des évolutions à très faible nombre de Reynolds (Re << 1) tels le mouvement d’un glacier, l’évolution de la couche terrestre, le déplacement des spermatozoïdes dans le liquide séminal, … (ces fluides ne sont pas, en toute rigueur, newtoniens). À très faible nombre de Reynolds (Re << 1) : • les forces de viscosité sont nettement prépondérantes devant les forces d’inertie, que l’on peut négliger ; • les évolutions étant très lentes, il est aussi possible de négliger les variations temporelles locales de la vitesse. Dans ces conditions, les équations d’évolution ne dépendent donc pas du temps : elles sont invariantes par rapport à cette variable. À très faible nombre de Reynolds (Re << 1), les évolutions des fluides sont purement cinématiques, s’effectuant à vitesse (souvent constante) faible. Le temps n’intervenant pas, ces évolutions sont à la limite de la réversibilité : on parle de réversibilité cinématique.

179


a)

b)

c)

goutte

4 tours

4 tours

Doc. 39. Réversibilité des forces de viscosité lors d’un écoulement à très faible nombre de Reynolds (Re < 10–2) : a. position initiale de la goutte ; b. étalement de la goutte après quatre tours lents du cylindre intérieur ; c. la goutte reprend quasiment sa forme initiale après quatre tours lents en sens inverse du cylindre intérieur.

Les écoulements à très faible nombre de Reynolds sont donc observés pour des systèmes : • de petites dimensions ; • (et/ou) placés dans un fluide de forte viscosité. Prenons divers exemples. 8.1.1. Réversibilité cinématique d’un écoulement à très bas nombre de Reynolds Envisageons l’expérience suivante décrite sur le document 39. Une goutte de fluide teinté (sirop) est située dans un liquide incolore de même densité (glycérine), placé entre deux cylindres.


Sur le document 39a, nous observons la position initiale de la goutte. Nous réalisons l’écoulement (donc l’étalement) de la goutte (doc. 39b) en imposant environ quatre tours lents (1 tour en 10 s) au cylindre intérieur (le cylindre extérieur restant fixe) ; la goutte reprend quasiment sa forme initiale (doc. 39c) après quatre tours lents (même vitesse) en sens inverse imposé au cylindre intérieur.

avant

après les rayons sont dans un rapport 2

Doc. 40. Lors d’un déplacement à bas nombre de Reynolds d’une bille dans un fluide de densité équivalente, la vitesse de chute est proportionnelle au carré de son diamètre.

La réversibilité de cette transformation (purement cinématique) est possible, car le nombre de Reynolds de cet écoulement est très faible.

6πRηv

8.1.2. Vitesses limites à très bas nombre de Reynolds Prenons deux billes de même matériau (densité identique), mais dont les rayons sont dans un rapport 2 : placées dans un fluide (glycérine) de densité voisine, mais légèrement plus faible, ces billes atteignent rapidement une vitesse limite de chute dans un rapport 4, c’est-à-dire proportionnelle au carré de leur rayon (doc. 40). En effet, une bille de rayon R et de masse volumique rB , placée dans un fluide de masse volumique rF et de viscosité h , est soumise à trois forces (doc. 41) : • la force de pesanteur

180

4 3 ➞ πR ρ B g ; 3

g 4 πR 3 ( ρ – ρ )g B F 3

Doc. 41. Lorsque la vitesse limite est atteinte : 4 6 π R η v = π R3 ( ρ B − ρ F ) g 3

6. Écoulements réels : nombre de Reynolds 4 g . La vitesse très faible nous permet d’uti• la poussée d’Archimède − πR3 ρ F ➞ 3 liser cette expression, normalement valable en statique (la résultante 4 ➞ π R3 ( ρ B − ρ F ) g de ces deux forces « impose » le mouvement) ; 3 • la force de résistance au mouvement (force de traînée), due à la viscosité du fluide. À très faible nombre de Reynolds, cette force est – 6 π R h v➞ . Ainsi, alors que la force « imposant le mouvement » est proportionnelle à R3 (doc. 42), la vitesse limite (lorsque la somme de ces trois forces est nulle) est proportionnelle à R2 , ce qui correspond bien à l’expérience. 8.1.3. Influence d’une paroi Lors de son mouvement de chute, une bille est ralentie si elle est proche de la paroi (doc. 43). Ceci s’explique par le fait que les veines de fluide ayant tendance à « suivre » la sphère sont freinées par la paroi.

R = 2r g sens de la force initiale imposant le déplacement

vitesses limites ( 4)

forces « motrices » ( 8)

Doc. 42. Alors que la force « motrice, imposant le mouvement » est proportionnelle à R3 , à très faible nombre de Reynolds, la vitesse limite est proportionnelle à R2 .

Cet effet peut se mettre en évidence lors de l’observation de la sédimentation d’un ensemble de particules, de densité voisine de celle du fluide dans lequel elles se trouvent : la surface de gradient particulaire élevé n’est pas horizontale. 8.1.4. Mouvement de chute d’un cylindre

deux sphères identiques

Prenons deux cylindres identiques (même dimension et même densité), que nous plaçons dans de la glycérine de densité voisine, mais légèrement inférieure. Le cylindre placé verticalement se déplace plus vite que le cylindre placé horizontalement. La vitesse limite de déplacement parallèlement à ses génératrices (v//) est le double de la vitesse limite perpendiculairement à celles-ci (doc. 44 et 45) dans le cas d’un cylindre très allongé. Si ce même cylindre est placé de manière quelconque, il n’évolue pas suivant une ➞ verticale (doc. 46). La force (« motrice ») F imposant le mouvement du cylindre ➞ ➞ peut se décomposer en deux forces F// et F⊥ : ➞

➞

➞

paroi fixe

Doc. 43. Lors du mouvement à bas nombre de Reynolds de deux billes dans un fluide de masse volumique équivalente, celle située près de la paroi est ralentie lors de sa chute.

F = F// + F⊥ .

forces motrices identiques dans l’expérience précédente F// F = F⊥

v ⊥= α F⊥ avant

après

Doc. 44. À très faible nombre de Reynolds, la vitesse limite de chute dépend de l’orientation du cylindre. Ces vitesses sont dans un rapport 2 : v// = 2v⊥ .

F = F⁄ ⁄ vitesses limites v⁄ ⁄ = 2 α F⁄ ⁄

Doc. 45. Les vitesses limites sont différentes suivant que le mouvement s’effectue perpendiculairement (⊥) ou parallèlement (//) aux génératrices du cylindre : v// = 2aF// et v⊥ = aF⊥ .

v⊥

v//

F⊥ F

v

➞ Doc. 46. La force (« motrice ») F peut ➞ ➞ se décomposer en deux forces F// et F⊥ : ➞

➞

➞

F = F// + F⊥ .

181


La vitesse se décompose alors en deux composantes v➞// et v➞⊥ telles que : ➞ ➞ v➞// = 2a F// et v➞⊥ = a F⊥ avec v➞ = v➞// + v➞⊥ .


8.1.5. Cellule de Hele-Shaw Une cellule de Hele-Shaw (doc. 47) est constituée de deux plaques transparentes (Plexiglas) très proches l’une de l’autre : la distance les séparant est de l’ordre du millimètre.

obstacle

Il est possible de placer des obstacles entre ces deux plaques ; ceux-ci ont des dimensions transversales de l’ordre de quelques cm, mais leur hauteur est égale à la distance séparant les deux plaques. La vitesse d’écoulement imposée au fluide entre ces deux plaques est très faible, de l’ordre du mm . s–1. Évaluons le nombre de Reynolds avec de l’eau : Re =

ρ Lv 103 . 10–3 . 10–3 = =1. η 10–3

épaisseur de l’ordre du millimètre


Doc. 47. La cellule de Hele-Shaw est constituée de deux plaques distantes de 1 mm environ, entre lesquelles se déplace un fluide à vitesse faible, de l’ordre du mm . s–1.

Le nombre de Reynolds est donc faible. Entre les plaques, le profil des vitesses est parabolique (écoulement de Poiseuille entre deux plans) (doc. 48). En régime permanent, il est possible de matérialiser les lignes de courant d’un écoulement par l’emploi de colorants (doc. 49). L’intérêt d’une cellule de Hele-Shaw est le suivant : Pour un obstacle donné, les lignes de courant obtenues à faible nombre de Reynolds, dans une cellule de Hele-Shaw, sont identiques à celles obtenues théoriquement en supposant le fluide parfait (c’est-à-dire sans viscosité), donc correspondant à un écoulement à nombre de Reynolds infini !

1 mm écoulement du fluide

champs des vitesses

Doc. 48. Allure du champ des vitesses d’un fluide dans une cellule de Hele-Shaw.

8.2. Écoulements à très grand nombre de Reynolds 8.2.1. Remarques À très grand nombre de Reynolds, les écoulements sont turbulents : ces turbulences existent lorsque la vitesse est supérieure à une limite au-delà de laquelle la viscosité ne suffit plus à régulariser les mouvements. Dès que la vitesse de déplacement d’un mobile dans l’air est grande (avion, balle de golf, ...), ces turbulences existent. © Hachette Livre, H-Prépa Mécanique des fluides, 2e année, PC et PSI, La photocopie non autorisée est un délit.

Les turbulences peuvent être néfastes par les vibrations qu’elles créent, mais elles possèdent aussi des effets intéressants :

Doc. 49. Écoulement autour d’un cylindre de faible épaisseur (1 mm) et à faible vitesse (1 mm . s–1). Visualisation à l’aide de filets d’huile de lin dans de l’huile de vaseline.

• la turbulence améliore le mélange du carburant et de l’air dans un moteur ; • la turbulence permet à certains avions d’aller plus vite (Cx plus faible).

balle de golf balle lisse

8.2.2. Pourquoi une balle de golf n’est-elle pas lisse ? Dans les conditions normales d’utilisation, le nombre de Reynolds Re d’une balle de golf est supérieur à Re = 106 . Les balles de golf sont bosselées de façon à augmenter les turbulences, pour leur permettre d’aller plus loin. Ainsi dans les mêmes conditions de lancement, une balle de golf peut atteindre une distance de 150 m, alors que cette distance ne serait que de 100 m avec une balle lisse (doc. 50).

182

100 m

150 m

Doc. 50. Dans les mêmes conditions de lancement, une balle de golf (bosselée) va plus loin qu’une balle lisse.

6. Écoulements réels : nombre de Reynolds Les irrégularités permettent d’obtenir autour de la sphère une couche limite turbulente (doc. 51), alors que celle-ci est laminaire pour une surface lisse (doc. 52). Lorsque la couche limite est turbulente, la résistance au mouvement est plus faible (doc. 53). écoulement autour d’une balle de golf

coefficient de traînée Cx 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

couche limite turbulente

couche limite laminaire

Doc. 51. Autour d’une balle de golf, il existe une couche limite turbulente.

Doc. 52. Autour d’une balle lisse, il existe une couche limite laminaire.

Il est possible de visualiser ces turbulences en ajoutant sur une sphère lisse une aspérité circulaire.

0

balle de golf

10 5

sphère lisse

10 6

Re

Doc. 53. Différence entre les coefficients de traînée Cx(Re) d’une balle lisse et d’une balle de golf, lors d’un mouvement à nombre de Reynolds Re élevé.

Ainsi pour un écoulement caractérisé par un nombre de Reynolds Re donné (mais grand : Re > 105), les couches limites sont très différentes sans ou avec ces aspérités (doc. 54). Étudions les représentations graphiques du document 54. • Dans les cas a) (la sphère est lisse) et b) (un mince fil a été placé sur la sphère lisse), les nombres de Reynolds sont identiques (Re = 2 . 105), mais les coefficients de traînée sont différents : a) Cx = 0,4 ;

b) Cx = 0,1.

Ceci est dû à la présence de la couche limite turbulente engendrée par la présence du fil dans le cas b). • Dans le cas c) la sphère est lisse, et Re = 4 . 105. Dans ces conditions, Cx = 0,1. • Le point (1) correspond à un décollement de la couche limite laminaire, et le point (2) à une transition laminaire turbulente. • Le point (3) correspond à une transition laminaire-turbulente dans la couche limite. • La région indiquée par (4) correspond à un décollement turbulent.

a)

b)

v∞

v∞


• Alors qu’une couche limite laminaire se décroche d’un profil a), une couche limite turbulente a tendance à s’accrocher plus à ce profil b), ce que l’on observe aussi sur le document 56. Ceci a pour effet de diminuer le coefficient de traînée Cx . c)

v∞

3

1

4

2

Doc. 54. Divers écoulements (à nombre de Reynolds élevé : Re > 105) autour d’une sphère.

183


cas

sphère

Re

Cx

a

sphère lisse

Re = 2.105

0,4

fil mince placé sur une sphère lisse

Re = 2.105

0,1

sphère lisse

Re = 4.105

0,1

b c

Doc. 55. Divers écoulements autour d’une sphère lisse ou non.

a)

b)

Doc. 56. Alors que la couche limite turbulente b) s’accroche au profil, la couche limite laminaire s’en détache a).

9

Ouver ture : utilités de l’analyse dimensionnelle

unités de

abréviation

masse

M

longueur

L

temps

T

9.1. Bases de l’analyse dimensionnelle L’analyse dimensionnelle permet souvent, assez facilement, de trouver l’allure ou la loi de variation de certaines grandeurs physiques. Il suffit d’exprimer la grandeur cherchée sous la forme d’un polynôme faisant intervenir les variables désirées, et d’écrire ensuite que la formule cherchée est homogène. Les notations sont celles du document 57.

Doc. 57. Abréviation des unités de base.

grandeur

équation aux dimensions

vitesse

[v] = L . T –1

masse volumique

[r] = M . L–3

force

[F] = M . L . T –2

pression

[P] = M . L–1 . T –2

énergie

[E] = M . L2 . T –2

viscosité

[h] = M . L–1 . T –1

Ainsi pour les diverses grandeurs classiques, nous avons les écritures du document 58.

9.2. Situations classiques simples 9.2.1. Détermination d’une grandeur caractéristique Dans le chapitre consacré à la dynamique des fluides parfaits, nous avons calculé le diamètre critique d’un tube, c’est-à-dire la longueur capillaire, lorsque nous tenons compte des forces de tension superficielles. © Hachette Livre, H-Prépa Mécanique des fluides, 2e année, PC et PSI, La photocopie non autorisée est un délit.

Prenons un tube creux de diamètre D ; lorsque celui-ci est placé au dessus d’un liquide de masse volumique r , de coefficient de tension superficielle A , dans le champ de pesanteur g , le liquide monte dans le tube si son diamètre est faible devant Dc diamètre critique (doc. 59). Pour trouver un ordre de grandeur de Dc , nous avons utilisé l’analyse dimensionnelle, et cherché Dc sous la forme Dc = k Aa r b gg , k étant sans dimension. Rappelons que : [Dc] = L ; [A] = [F] . L–1 = M . T –2 ; [r] = M . L–3 ; [g] = L . T –2 . Une expression devant toujours être homogène, cela donne :

Doc. 58. Équations aux dimensions des grandeurs classiques.

diamètre D

g h

eau

L = (Ma T –2a )(Mb L–3b )(Lg T –2g ) = Ma+b L–3b +g T –2a–2g , c’est-à-dire : a = – b ; a = – g et 1 = g – 3b .

184

Doc. 59. Le fluide monte dans un tube de diamètre D faible devant Dc .

6. Écoulements réels : nombre de Reynolds 1 ; il est alors possible de définir un dia2 mètre critique par la formule (en prenant k = 1) : A Dc = (cette quantité est appelée longueur capillaire). ρg

prédominance des forces de pesanteur

La solution est unique : a = – b = – g =

• Pour l’eau Dc ≈ 3 mm : si le diamètre du tube est très supérieur à 3 mm, il est possible de négliger les interactions de surface, et inversement si le diamètre est très inférieur à 3 mm, les interactions de surface sont non négligeables et le liquide monte dans le tube. • Pour le mercure Dc = 2 mm : si les gouttelettes de mercure sont de petit diamètre, elles ont une forme sphérique (prédominance des forces de tension superficielles), sinon elles ont une forme aplatie (prédominance des forces de pesanteur) (doc. 60). Remarquons que nous avons construit une grandeur sans dimension (grandeur adiDc . mensionnelle) : A ρg

prédominance des forces de tension superficielle

Doc. 60. Gouttes de mercure sur un sol horizontal.

9.2.2. Force exercée par un coude sur un fluide Calculons la force exercée par un coude (angle q et section S) sur un fluide incompressible de masse volumique r , en mouvement à la vitesse v (doc. 61). Intuitivement, cette force F est d’autant plus importante que la vitesse v du fluide est grande, sa masse volumique r est grande, la section S du coude importante, ainsi que q . Supposons que cette force ne dépende que de ces variables.

vitesse v section S F

fluide de masse volumique ρ

Utilisons à nouveau l’analyse dimensionnelle, en cherchant F sous la forme : F = F (q ) ra S b v g .

Rappelons que : [F] = M . L . T –2 ; [r] = M . L–3 ; [S] = L2 ; [v] = L . T –1 (q étant un nombre sans dimension, il en est de même de F (q )) . Une expression devant toujours être homogène, cela donne : M . L . T –2 = (Ma . L–3a )(L2b )(Lg . T –g ) = Ma . L–3a+2b +g . T – g . La solution est encore unique : a = 1 ; g = 2 et donc b = 1 .

θ

Doc. 61. La force à exercer sur ce fluide pour le dévier est de la forme : ρv 2 F = Φ (θ ) S . 2


La force est de la forme (seule solution possible) : r Sv2. En hydrodynamique, il est préférable de faire intervenir l’expression rv2 sous la 2 forme ρv (pression dynamique), et ainsi écrire : 2

ρv 2 . 2 Le dernier chapitre de cet ouvrage consacré aux bilans nous permettra de déter➞ θ miner la fonction Φ (θ ) = 4 sin  , ainsi que l’orientation de F .  2 Nous avons à nouveau construit une grandeur adimensionnelle : F = Φ (θ )S

P F . , ou encore ρ 2 ρv ρv 2 S 2 2

185


9.2.3. Célérité des ondes de gravité

y

Expérimentalement les ondes à la surface d’un fluide de masse volumique r , de profondeur infinie (y < 0) , se propagent à une vitesse c ne dépendant que de la longueur d’onde l et de l’accélération de la pesanteur g (doc. 62). Par un raisonnement identique aux précédents, en posant c = kla r b gg , nous devons avoir : LT –1 = La . Mb L–3b . Lg T –2g . 1 Cela nous donne b = 0 (la masse volumique du fluide n’intervient pas), γ = et 2 1 donc α = . 2 La vitesse est de la forme c = k λg , k étant un facteur sans dimension.

surface de l’eau

λ O

x fluide de masse volumique ρ

g

Doc. 62. La célérité des ondes est donnée par c = k λg .

C’est cette forme que nous avons obtenue lors de l’étude de la houle (chapitre 4), avec les hypothèses suivantes : les équations sont linéarisées et la profondeur de la mer infinie. Avec une profondeur finie, il est impossible d’obtenir c par analyse dimensionnelle : k n’est pas un facteur constant. Nous avons encore construit une grandeur adimensionnelle

c . λg

9.2.4. Dynamique de l’onde de choc produite par une explosion Lors d’une explosion à la surface du sol, où l’état initial de l’atmosphère est caractérisé par la masse volumique r , la détonation d’énergie E s’accompagne d’une onde de choc en forme de demi sphère de rayon R variant avec le temps t (doc. 63).

énergie dégagée par l’explosion : E

R (t)

En supposant que l’évolution du rayon R ne dépend que des paramètres E , r et t , étudions R sous la forme R = kt a r b Eg . Nous obtenons donc :

atmosphère de masse volumique ρ

sol

L = Ta . Mb L–3b . Mg L2g . T –2g ,

Doc. 63. L’évolution du rayon de l’onde de choc de cette explosion est de la forme :

a – 2g = 0 ; b + g = 0 et – 3b + 2g = 1 .

 E 5 log( R) = 2 K + log  + 2 log(t ) .  ρ

ce qui donne : La solution est unique :


α=

c’est-à-dire R = k 5

2 1 1 ; β = − ;γ = , 5 5 5

 E 5 1 t2E log( R) = K + log   + log(t ) . , ou encore 2 2 ρ  ρ

Ce raisonnement que nous venons de présenter est dû à G.I. Taylor. Le résultat théorique de ce calcul obtenu par l’analyse dimensionnelle est en accord parfait avec des mesures obtenues en utilisant des prises de vues d’un essai nucléaire aux 5 États-Unis. L’évolution de log( R) en fonction de log(t) est une droite de pente 1 2 (doc. 64). Ces observations permirent à G.I. Taylor d’évaluer l’énergie dégagée au cours de l’explosion correspondante. R . Remarquons que nous avons encore une grandeur adimensionnelle 2 t E 5 ρ

186

5 log(R) 2

droite de pente 1 log(t)

5 log( R) en fonc2 tion de log(t) est une droite de pente 1.

Doc. 64. L’évolution de

6. Écoulements réels : nombre de Reynolds 9.3. Situations plus délicates Dans les situations précédentes, la détermination de la fonction cherchée était unique. Envisageons le cas où cette détermination n’est pas unique. Nous nous limiterons aux cas de la mécanique des fluides. Prenons l’exemple (doc. 65) du calcul de la force FL s’exerçant par unité de longueur sur un cylindre circulaire de diamètre D , ce dernier étant placé dans un écoulement de fluide incompressible de masse volumique r , de coefficient de viscosité h , et de vitesse uniforme à l’infini U∞ . Cherchons toujours la force FL sous la forme FL = k Da U∞b rγ hd . L’équation aux dimensions : [FL] = M . L . T –2 . L–1 = M . T –2 = La . (L . T –1)b . (M . L–3)g . (M . L–1 . T –1)δ nous conduit à l’ensemble des relations suivantes : g–δ=1;

champ des vitesses uniformes loin du cylindre : U∞

cylindre de diamètre D FL

fluide de masse volumique ρ et de viscosité η

Doc. 65. La force FL s’exerçant par unité de longueur sur le cylindre est fonction de U∞ (vitesse uniforme du fluide à l’infini), r (masse volumique du fluide), h (viscosité du fluide) et D (diamètre du cylindre circulaire).

a + b – 3g – δ = 0 ; –b–δ=–2. Il nous faudrait donc résoudre : 0 1 0

0 1 −1

1 −3 0

−1 −1 −1

a b g δ

1 = 0 . 2

Il est impossible de trouver a , b , g et δ , car nous n’avons que r = 3 relations pour déterminer N = 4 inconnues (la matrice est de rang 3). La méthode consiste en trois étapes. • D’abord choisir r variables dimensionnellement indépendantes : longueur caractéristique D ou fonctions de champ r(M, t) , P(M, t) , U(M, t) , ... Ici nous prendrons par exemple D, U∞ et r . • Ensuite chercher N – r coefficients adimensionnels, reliant les variables restantes et les variables indépendantes. Ici, il existe nécessairement une relation unique entre h et l’ensemble des variables D , U∞ et r . La recherche de cette relation conduit à h = k′ Dp U∞q rr , ce qui donne, par équation aux dimensions, la solution unique : © Hachette Livre, H-Prépa Mécanique des fluides, 2e année, PC et PSI, La photocopie non autorisée est un délit.

h = k′ D U∞ r . Remarquons que : 1 ρU∞ D = = Re (nombre de Reynolds) . η k′ • Enfin, exprimer la grandeur cherchée en fonction des variables dépendantes, le coefficient de proportionnalité dépendant alors de la (ou des) grandeur(s) adimensionnelle(s) précédente(s). Ici il est donc possible d’écrire FL = k(Re)Da U∞b r g , k(Re) est une fonction sans dimension du nombre de Reynolds Re . Elle nous donne immédiatement a = 1 ; b = 2 ; g = 1 (la solution est encore unique). Ainsi nous obtenons :

1 FL = Cx (Re) ρ U∞2 D . 2

187


Ainsi Cx =

Re =

FL est fonction uniquement du nombre de Reynolds 1 ρ U∞2 D 2

ρU∞ D . η

Remarques • Dans cette représentation, nous avons en réalité été amené à « construire » deux (plus précisément N + 1 – r) grandeurs adimensionnelles G1 et G2 , entre lesquelles existe une relation « compliquée », déduite de l’expérience. Les deux grandeurs choisies sont : G1 = Re =

ρ U∞ D η

G2 = Cx =

et

FL . 1 ρ U∞2 D 2

• Ce choix des grandeurs n’est pas unique ; nous aurions pu, tout aussi bien, prendre : G1′ = G1G2

et

G2′ =

G1 . G2

Une autre relation relie les grandeurs adimensionnelles G1′ et G2′ .


10 1

Cette loi est confirmée par de multiples expériences, et tous les résultats s’alignent sur la courbe suivante (doc. 66).

188

Cx

0,1 10–1

Re = 10

10 3

10 5

ρv• D η

107

FL 1 ρ U∞2 D 2 (FL = force par unité de longueur) en fonction du nombre de Reynolds Re , relatif à un cylindre de diamètre D en mouvement avec la vitesse U∞ par rapport à un fluide ρU∞ D de masse volumique r : Re = . η

Doc. 66. Évolution de Cx =

6. Écoulements réels : nombre de Reynolds

CQFR ●

ÉCOULEMENTS LAMINAIRE ET TURBULENT

• Un écoulement est laminaire si les lignes de courant « glissent » les unes sur les autres en restant parallèles : un écoulement laminaire existe généralement si la « vitesse » est faible. • Dans le cas contraire, pour une « vitesse » élevée, l’écoulement est turbulent. Il est instable, et sa structure est chaotique. ●

NOMBRE DE REYNOLDS

rVL • Le nombre de Reynolds Re = est un nombre sans dimension caractérisant un écoulement d’un fluide (masse h volumique r , viscosité h) de vitesse moyenne V , autour d’un obstacle (ou dans une conduite) de dimension caractéristique L . • Transition laminaire-turbulente : si le nombre de Reynolds est faible (Re <≈ 2 000 , valeur généralement admise), l’écoulement est souvent laminaire ; pour Re grand, il peut devenir turbulent. La structure de l’écoulement d’un fluide incompressible, autour d’un obstacle de forme donnée, ne dépend que du nombre de Reynolds Re = rLv∞ . h • Les écoulements de deux fluides différents autour de deux solides de même forme, mais de dimensions diffév rentes, sont similaires, si les nombres de Reynolds sont égaux. La vitesse adimensionnée prend alors la même v∞ valeur aux points correspondants des deux écoulements. En particulier, le régime d’écoulement (laminaire ou turbulent) dépend, pour une forme donnée, de la valeur de Re . À faible nombre de Reynolds (Re < 1), en régime linéaire permanent, la vitesse est en tout point proportionnelle à v∞ . Cet écoulement est appelé rampant. Un écoulement rampant est stable, et quasiment insensible aux petites perturbations. La turbulence est liée au caractère non linéaire des équations de la mécanique des fluides. Elle apparaît pour les nombres de Reynolds élevés, et se caractérise par un écoulement chaotique et dépendant du temps. ●

ÉCOULEMENT AUTOUR D’UN OBSTACLE © Hachette Livre, H-Prépa Mécanique des fluides, 2e année, PC et PSI, La photocopie non autorisée est un délit.

Pour un obstacle de forme et d’orientation données, le coefficient de traînée Cx ne dépend que du nombre de Reynolds Re : Cx = f (Re) . Lorsque le nombre de Reynolds est très faible (typiquement Re < 1), l’écoulement autour d’un obstacle est linéaire, et la force de traînée est proportionnelle à la vitesse d’écoulement. Pour une sphère de rayon R , la force de traînée est alors donnée par la formule de Stokes : Ftraînée = 6 π h R v∞ . ●

COUCHE LIMITE

L’écoulement d’un fluide de faible viscosité autour d’un solide est voisin de celui d’un fluide parfait, à l’exception d’une zone située au voisinage du solide, appelée couche limite. Les effets de la viscosité, et en particulier la création de tourbillons, sont quasiment limités à cette couche limite.

189

Contrôle rapide Avez-vous retenu l’essentiel ? ✔ Qu’est-ce qu’un écoulement laminaire ? Un écoulement turbulent ? ✔ Donner l’expression du nombre de Reynolds. ✔ Qu’appelle-t-on force de traînée ? De quoi est-elle fonction ? ✔ Définir la couche limite.

Du tac au tac (Vrai ou faux) 1. Le nombre de Reynolds est défini par : ❑ a. le rapport de vitesse de convection sur la vitesse de diffusion ❑ b. le rapport du transfert de quantité de mouvement par convection sur le transfert de quantité de mouvement par diffusion ❑ c. le rapport de deux temps caractéristique, l’un étant lié au transport de la quantité de mouvement par diffusion, l’autre au transport de quantité de mouvement par t convection avec Re = d . tc 2. L’expression de la force de traînée est donnée par : ❑ a. Ftraînée = 1 Cx r v 2

L


❑ b. Ftraînée = 1 Cx r v 2 L 2 ❑ c. Ftraînée = 1 Cx r v 2 S 2 ❑ d. Ftraînée = 1 Cx v 2 S . 2 3. La formule de Stokes qui donne la force de traînée agissant sur une sphère de rayon R est applicable avec : ❑ a. Re > 100

4. Si un écoulement de fluide de masse r , de viscosité h et de vitesse moyenne V rencontre un obstacle de dimension caractéristique L, on peut former le nombre de Reynolds sans dimension : 2 ❑ a. Re = r VL h

❑ b. Re = r Vh ❑ c. Re = r VL2 h ❑ d. Re = r VL . h 5. Si Re < ≈ 2 000, l’écoulement est souvent : ❑ a. laminaire ❑ b. turbulent. 6. Lorsque la couche limite est laminaire, son épaisseur est voisine de : ❑ a. δ = L Re ❑ b. δ =

L Re2

❑ c. δ =

L 4Re

❑ b. Re < 2 000 ❑ c. Re < 1.

190

Solution, page 194.

Exercices Force de frottement sur une sphère Le schéma ci-dessous représente le coefficient de traînée Cx(Re) pour une sphère. À très bas nombre de Reynolds, 24 . Re

Calculer la vitesse maximale pour e = 1 mm et a = 30° :

Cx 100

coefficient de viscosité

masse volumique

huile

h = 1,0 Pl

r ≈ 1,0 . 103 kg . m–3

eau

h = 1,0 . 10–3 Pl

r = 1,0 . 103 kg . m–3

Conclure.

10 1 Cx = 24 Re Re 0,1 2 4 6 0,1 1 10 10 10

Diamètre d’une canalisation

Il est usuel de modéliser le frottement qui s’exerce sur une sphère en translation dans un fluide, par l’une des deux formules : ➞

• F frot = – K S v v➞ ; ➞

• F frot = – f v➞ ; avec S le maître-couple, K le coefficient dépendant du fluide et f le coefficient dépendant du fluide et du rayon. À partir du schéma déterminer la loi de frottement appropriée, et la valeur des constantes pour les cas : 1) d’une bille de fer de diamètre 1 cm en chute libre : a) dans l’air (h ≈ 2 . 10–5 Pl), b) dans l’eau (h ≈ 1 . 10–3 Pl), c) dans l’huile (h ≈ 1 Pl), la masse volumique du fer est voisine de 7,8 . 10+3 kg . m–3 ; 2) d’une goutte d’eau sphérique en chute libre dans l’air : a) de diamètre 10 µm, b) de diamètre 0,4 mm.

Écoulement laminaire sur un plan incliné Une couche mince de fluide (viscosité h , masse volumique r), d’épaisseur e , coule le long d’un plan incliné, dont la ligne de plus grande pente fait un angle a avec l’horizontale.

fluide

Données : • profondeur du réservoir : h0 = 3 m ; • dénivelé de la canalisation : h1 = 13 m ; • longueur de la canalisation : L = 100 m ; • viscosité de l’eau : h = 1,0 . 10–3 Pl ; • débit volumique : 1) Dvol = 1 L . s–1 ; 2) Dvol = 0,5 L . min–1 ; On admet la formule de Poiseuille donnant le débit massique Dm d’un fluide de masse volumique r et de viscosité h , dans une canalisation cylindrique de diamètre d et de lon∧ gueur L , soumise à la chute de pression ∆ P : π ρ d4 ˆ Dm = ∆P . 128 η L La vitesse à une distance r de l’axe est de la forme :  r2  v ( r ) = v 0 1 − 4 2  . d   Déterminer le diamètre de la canalisation en supposant l’écoulement laminaire. Un tel écoulement est laminaire si Re < 2 000 . L’hypothèse est-elle pertinente ? g

Z e

Un château d’eau alimente une canalisation cylindrique dont l’extrémité est ouverte à la pression atmosphérique.

y

h0

atmosphère P = P0

A

g V

h1

α

x

B

191


Cx =

En écoulement laminaire, le champ des vitesses, indépendant du temps, est de la forme (cf. exercice 2, chapitre 5) : ➞ ρg sin α ➞ V= y( 2 e − y ) e x . 2η

Exercices Détendeur constitué d’un réseau de tranches minces Un tuyau horizontal de section carrée de côté a et de longueur est divisé en tranches fines et égales par un grand nombre de lamelles d’épaisseur négligeable. L’entrée est en contact avec un réservoir qui contient un fluide de masse volumique r et de viscosité h , maintenu à la pression P1 . À la sortie, le fluide est à la pression extérieure P0 (P1 > P0) . Si le régime d’écoulement est laminaire et permanent, déterminer le débit, la vitesse moyenne de sortie ainsi que le nombre de Reynolds de l’écoulement. Données : P0 = 1 bar ; P1 = 1,5 bar ; = a = 1 cm ; N = 50 . Si les hypothèses sont justifiées, calculer le débit dans les cas suivants : a) eau : h = 1,0 . 10–3 Pl ; b) air : h = 1,7 . 10–5 Pl et r ≈ 1,3 gL– 1 ; c) huile : h = 1,0 Pl et r = 0,9 . 103 kg . m–3 .

Ce viscosimètre est utilisé pour faire des mesures relatives. 1) Montrer que si l’on prend deux fluides de masse volumique r1 et r2 , de viscosité h1 et h2 , les temps de transit t1 et t2 sont tels que : η1 ρ1τ 1 = . η2 ρ 2τ 2 2) Les masses volumiques respectives de l’acétone et de l’eau à 293 K sont : racétone = 792,0 kg . m–3 et reau = 998,2 kg . m–3 . La viscosité de l’eau est de heau = 1,0050 . 10–3 Pl à 293 K. Il faut teau = 120,5 s à l’eau, pour s’écouler entre les deux index du viscosimètre. S’il faut tacétone = 49,5 s à l’acétone, quelle est la viscosité hacétone de l’acétone ?

Portance de l’aile d’un Boeing

surface S de l’aile

l

a


a

Étude d’un viscosimètre Un type de viscosimètre est schématisé sur le index a schéma ci-contre. Il est boule B1 g constitué d’un tube capilindex b laire C reliant deux C boules B1 et B2 . La tube boule B1 est remplie juscapillaire boule qu’au niveau a (index B2 a) d’un liquide incompressible, de masse volumique r et de viscosité h . On mesure le temps t mis par la surface du liquide pour passer de ce niveau, au niveau b (index b).

192

Le but est d’évaluer la portance d’une aile en fonction de sa surface S , de la masse volumique r du fluide et de la vitesse V de l’avion. 1) En utilisant l’analyse dimensionnelle, déterminer le type de dépendance de la portance par unité de surface de l’aile d’un avion en fonction des grandeurs suivantes : V la vitesse de l’avion, r la masse volumique du fluide dans lequel l’avion se déplace. 2) Un Boeing dont la masse est voisine de 1,5 . 105 kg , et la surface des ailes d’environ 2,8 . 102 m2 , vole à une altitude de 11 km (où la densité de l’air est voisine de 0,37 kg . m–3) avec une vitesse de croisière de l’ordre de 2,5 . 102 m . s–1 . Préciser la réponse de la question 1).

Diamètre d’une molécule par analyse dimensionnelle Le coefficient de viscosité h d’un gaz est fonction de la masse m des molécules de ce gaz, de leur diamètre F et de leur vitesse quadratique moyenne U .


diamètre masse molaire (m) M (kg . mol–1) hélium (He)

viscosité (kg . m–1. s–1)

2,1.10–10

4.10–3

2,0.10–5

??

16.10–3

1,1.10–5

méthane (CH4)

Écoulement autour d’une aile d’avion D’après ENSIPC

L’air sera considéré comme un fluide parfait incompressible de masse volumique r en écoulement stationnaire sur lequel la pesanteur aura une influence négligeable. On se limitera à une étude bidimensionnelle dans le plan (x Oy), les phénomènes étant invariants par translation selon (Oz). 1) Écoulement tourbillonnaire On considère un écoulement orthoradial d’axe polaire (Oz) appelé tourbillon tel que : —➞ ➞ ➞ • pour r < a, rot [v (M)] = g.e z où g est une constante algébrique ➞ —➞[v➞(M)] = O • pour r > a, rot . Ce tourbillon est dit ponctuel dans le plan (Oxy) si l’on considère que si a → 0 et g → , le produit πa 2g demeure égal à la valeur finie G que l’on nomme intensité du tourbillon. Établir l’expression de v➞(M) en coordonnées polaires (r > a) avec G comme paramètre. À quelle distribution électromagnétique peut-on éventuellement comparer cet écoulement ? 2) Écoulement de l’air autour d’une aile modélisée On modélise une aile d’avion par une plaque rectangulaire de largeur L que l’on appelle corde et de profondeur h que l’on appelle envergure. Cette plaque présente un angle de cabrage a , angle géométrique positif dont la valeur sera toujours considérée comme faible. Les résultats littéraux seront simplifiés en tenant compte de cette hypothèse. y

Y

U u O

a L

L’épaisseur a de cette plaque est négligeable.

x

extrados X intrados

La face supérieure de la plaque s’appelle l’extrados et la face inférieure l’intrados. Elle est placée dans un écoulement d’air qui, loin de cet obs➞ tacle, se fait à vitesse uniforme U = Ue➞x et à la pression P0 . Pour étudier l’effet de l’aile, nous supposerons que la vitesse v➞(M) peut être obtenue en introduisant une singularité de type tourbillonnaire sur la plaque. Cette singularité est définie par —➞ [v➞(M)] = w(X).e➞ de sorte que le produit aw(X) demeure rot z fini et égal à g (X) quand on suppose a infiniment petite. On obtient ainsi dans le plan de la figure une nappe tourbillonnaire à intensité répartie sur une longueur L le long de l’axe (OX). ➞ Si l’on désigne par v T (M) la vitesse de l’air autour de l’aile engendrée par le tourbillon, alors la vitesse de l’écoulement ➞ a pour expression v➞(M) = v➞T (M) + U . Une investigation plus approfondie permet d’aboutir à : L–X . g (X) = – 2Ua X

4

Donnée complémentaire :

L 0

5 L X– X dX = πL2 .

a) La singularité tourbillonnaire évoque une analogie avec la magnétostatique. Illustrer par un dessin et sans faire de calcul le champ magné➞ tique B produit par une nappe surfacique plane de courant uniforme. Quelle est la symétrie de ce champ magnétique ? Quelle est sa discontinuité à la traversée de la nappe de courant ? Quelle symétrie présente le champ des vitesses v➞T (M) par rapport au plan (OXZ) ? Quelle est sa discontinuité à la traversée de la singularité tourbillonnaire ? b) Si l’on note v T, t, e (X) la composante tangentielle (indice t) sur le vecteur de base u➞x de v➞T (M) à la surface de l’extrados (indice e) donner en fonction de v T, t, e (X) et en utilisant la symétrie de ce champ des vitesses, l’expression de la composante tangentielle v T, t, i (X) de v➞T (M) sur u➞x à la surface de l’intrados (indice i ). c) De la discontinuité du champ des vitesses, déduire v T, t, e (X) et v T, t, i (X) en fonction de g (X). d) Donner les composantes tangentielles v t, e (X) et v t, i (X) de la vitesse totale de l’écoulement de l’air à la surface respectivement de l’extrados et de l’intrados en fonction de U et g (X). Exprimer en fonction de U et a les composantes normales v T, n, e (X) et v T, n, i (X) de v➞T (M) sur u➞y au niveau de l’extrados et de l’intrados. e) Tracer pour X variant de 0 à L l’allure des courbes représentatives de v T, t, e (X) et v T, t, i (X). Préciser notamment l’existence éventuelle de points d’arrêt et donner s’il y a lieu leurs abscisses Xae et Xai .

193


À partir du tableau suivant, estimer le diamètre de la molécule de méthane (CH4) . On considérera les gaz comme des gaz parfaits.

Exercices f) On donne ci-dessous la reproduction d’une photographie des lignes de courant d’un écoulement d’huile autour d’un profil d’aile présentant un angle de cabrage de 13°.

h) Exprimer la composante Fy de la résultante de l’action

Commenter cette photographie en se référant à l’étude théorique précédente.

puis finalement en fonction de h, U, r , L et a .

de l’air sur l’aile en fonction de h, U, r , et G =

L

0

g (X) dX,

i) Application Un petit avion possède une masse totale m de 700 kg. On suppose que la portance s’exerce uniquement sur les ailes dont l’envergure est h = 5 m et la corde L = 1,5 m. L’angle de cabrage a vaut 12°. Quelle doit être la vitesse minimale (en km/h) de l’avion au décollage ? On prendra g = 9,8 ms– 2 et on rappelle que r = 1,3 kg.m– 3 pour l’air.

g) Exprimer les pressions Pe (X) et Pi (X) au niveau de l’extrados et de l’intrados en fonction de U, r , g (X) et P0 .

j) Dans la réalité, les résultats précédents sont bien vérifiés pour des angles de cabrage inférieurs à 16°. Au-delà, on constate une diminution brutale de Fy. Interpréter.

Corrigés Solution du tac au tac, page 190. 1. Vrai : b, c ; Faux : a*

2. Vrai : c ; 3. Vrai : c ; 4. Vrai : d ; 5. Vrai : a ; 6. Vrai : c ;

* On ne peut parler que de transfert de quantité de mouvement par diffusion et pas de vitesse de diffusion.

Faux : a, b, d Faux : a, b Faux : a, b, c Faux : b Faux : a, b.

➞ ➞ F frot s’exprime par : F frot = 1 Cx r v 2 S . 2 ➞

➞ • Si F frot = – K S v v , alors on doit se situer dans la partie quasi horizontale de

coefficients vitesse nombre f (N.m–1.s) limite de commentaire et K (kg.m–3) (m.s–1) Reynolds cas 1) a) bille de fer dans l’air

laminaire f = 1,9.10–6 2,1.10+4 1,4.10+7

incorrect Re >> 1

turbulent K = 3,3.10–1 4,0.10+1 2,6.10+4

modèle correct 103 < Re < 105

cas 1) b) bille de fer dans l’eau

laminaire f = 9,4.10–5 4,3.10+2 4,3.10+6

incorrect Re >> 1

cas 1) c) bille de fer dans l’huile


la courbe, c’est-à-dire pour des nombres de Reynolds tels que : 103 < Re < 105

lorsque les vitesses limites sont atteintes. Sachant que dans cette zone Cx ≈ 0,5 , on a K ≈ 0,25 rfluide . Avec S = π R2 , la vitesse limite est donnée par : v lim =

mg K π R2

et

Re =

ρ Dv lim . η

➞

• Si F frot = – 6 π h R v➞ , alors on doit se situer dans la partie linéaire de la courbe : 24 conduisant à cette expression, c’est-à-dire dans la zone Re < 1 . Cx ≈ Re Le coefficient f est égal à f = 6 π h R . La vitesse limite est donnée par : ρ Dv lim mg et on a toujours Re = v lim = . η 6π η R Pour choisir entre les deux modèles, on calcule le nombre de Reynolds Re pour la vitesse limite obtenue :

194

1,4.10+4

modèle correct 103 < Re < 105

laminaire f = 9,4.10–2 4,3.10–1

3,8

modèle quasi correct Re ≈ 1

turbulent K = 2,3.10+2

14

incorrect Re << 10+3

turbulent K = 2,5.10+2

1,4

1,5

laminaire f = 1,9.10–6 2,7.10–3 1,8.10–3 cas 2) a) goutte d’eau de diamètre 10 µm turbulent K = 3,3.10–1 4,5.10–1 2,9.10–1 laminaire f = 7,5.10–8 cas 2) b) goutte d’eau de diamètre 0,4 mm turbulent K = 3,3.10–1

modèle correct Re << 1 incorrect Re << 10+3

4,4

1,1.10+2

incorrect Re >> 1

2,8

74

incorrect Re << 10+3


La vitesse est maximale pour y = e : rg sinae 2 2h reV max Re = . h On calcule le nombre de Reynolds Re relatif à cet écoulement en prenant Vmax et e comme grandeurs caractéristiques de l’écoulement. Vmax =

fluide

vitesse maximale vmax (m . s–1)

nombre de Reynolds Re

huile

vmax ≈ 2,5 mm . s–1

Re ≈ 2,5.10–3

eau

vmax

= 2,5 m . s–1

Re = 2 500

Avec de l’huile, l’hypothèse d’écoulement laminaire a de fortes chances d’être correcte. Pour l’eau, l’hypothèse d’écoulement laminaire est certainement inexacte ; des turbulences ou instabilités vont apparaître. Il est possible que des instabilités du type de la suivante se développent. y

– +

– +

• Le débit de 0,5 L . min–1 s’effectue à travers un tube de diamètre d = 0,38 cm , avec une vitesse maximale égale à v0 = 1,4 m . s–1 , ce qui donne un nombre de Reynolds égal à Re ≈ 5 500 . Le régime est encore turbulent et le calcul de d inexact. L’hypothèse n’est donc pas adaptée à ce type d’écoulement.

Chaque tranche est très large par rapport à son épaisseur. On peut négliger l’influence des bords et appliquer le résultat concernant l’écoulement de Poiseuille plan. Pour chaque tranche (cf. chapitre 5, exercice 3), le débit massique est : a2 ra4 Dtranche = (P1 – P0), soit v moy = (P – P ). 3 12h N 12h N 2 1 0 Au total :

D=

La longueur caractéristique est

nappe tourbillonnaire

e

• Le débit de 1 Ls–1 s’effectue à travers un tube de diamètre d = 1,27 cm , avec une vitesse maximale égale à v0 = 15,8 m.s–1 , ce qui donne un nombre de Reynolds égal à Re ≈ 2 . 10+5 . Le régime est turbulent et le calcul de d inexact.

– +

ra4 (P – P ). 12h N 2 1 0

ra3 a D et Re = (P1 – P0) = tranche . 12h2 N 3 N aη

a) Eau : Re = 3,3 . 103 . b) Air : Re = 1,5 . 104 (en négligeant la compressibilité). c) Huile : Re = 3 . 10–3 . L’hypothèse d’écoulement laminaire est fausse pour l’eau et l’air, et justifiée pour l’huile, pour laquelle l’écoulement se réduit à un léger suintement :

L’écoulement dans le bassin étant très lent, on suppose donc que la pression y varie selon les lois de la statique des fluides : P(A) = Patm + rgh0 . 128η L Dvol La formule de Poiseuille permet aussi d’écrire P( A) = Patm − ρ gh1 + . π d4 D’où on déduit ρ g(h0 + h1 ) =

128η L Dvol . π d4

La vitesse maximale v0 est telle que : d 2

Dvol =

2 π r v (r) dr

0

Cela donne v 0 =

8 Dvol π d2

avec d = 4

 r2  avec v (r ) = v 0 1 − 4 2  . d   128η L Dvol . π ρ g(h0 + h1 )

Le nombre de Reynolds est donné par Re =

ρv 0 d . η

1) Dans un tube capillaire, le débit volumique est donné par (cf. chapitre 5, exercice 8) : πa 4 ∆P Dv = ∆P = α . 8ηL η La force imposant le mouvement du fluide à travers le capillaire est directement fonction de l’écart de pression ∆P dû à une hauteur donnée de fluide, donc directement proportionnelle à la masse volumique r . Le débit volumique à travers ce capillaire à nombre de Reynolds très faible est constant au cours du temps. Le temps t de l’expérience est inversement proportionnel au débit volumique. h Cela donne t = K = b , où b est une constante de l’expérience indépendante Dv r du fluide. On a donc :

η1 ρ1τ1 = . η2 ρ2τ 2

2) L’application numérique donne : ρ τ ηacétone = ηeau acétone acétone = 0, 328 .10 −3 Pl . ρeauτ eau

195


Au niveau de l’interface fluide-air, il existe une discontinuité de la vitesse : dans le ➞ fluide v➞(y = e–) = v e x est maximale, alors que dans l’air v➞(y = e+) = 0 . Il existe donc une nappe de tourbillon en y = e . Des instabilités (cf. schéma) peuvent se développer dans cette nappe tourbillonnaire si le nombre de Reynolds est grand.

D = 1,5.10–3 kg . s–1 = 1,5 g . s–1 .

Corrigés Le champ des vitesses est analogue au champ magnétique créé par un fil infini recti➞

1) La force par unité de surface étant homogène à une pression, elle est donnée par la formule

F ρV 2 =k , si les seules grandeurs qui interviennent sont S 2

ρV2 , k étant une grandeur adimensionnelle, c’est2 à-dire un nombre sans dimension, fonction de l’écoulement de fluide existant autour de l’avion.

r et V . Ce qui donne F = k S

v➞ ↔ B ➞ g e➞z ↔ m 0 j G ↔ m0 I

ligne : l’analogie étant

2) Écoulement autour d’une aile modélisée a)

Y

2) À l’aide des valeurs numériques, on calcule k dans le cas d’un Boeing. L’avion volant à altitude constante, la portance F doit être opposée à son poids ; négligeant les variations de g avec l’altitude, cela donne F ≈ 1,5 . 106 N . Tous calculs faits, on obtient k = 0,46 . Pour la majorité des avions, le coefficient k est compris entre 0,2 et 0,6 . Pour un Boeing, on peut écrire : F = 0, 46 S

ρV2 ρV2 = 130 . 2 2

On cherche h sous la forme h = k ma F b Ug , k étant une grandeur adimensionnelle. Cette relation devient : [h] = [m]a . [F]b . [U]g , soit M . L–1 . T–1 = Ma . Lb. Lg . T–g . On trouve a = 1 , g = 1 et donc b = – 2 . On a donc η = k

mU . Φ2

U étant la vitesse quadratique moyenne, pour un gaz parfait à la température ambiante : 1 2 3 mU = kBT . 2 2 3kBT T m , ce qui donne encore η = k ′ 2 . m Φ M , NA étant le nombre d’Avogadro. On remarque que m = NA Soit U =


On suppose k′ identique pour les deux gaz (ainsi que les températures), on obtient K M alors η = 2 , K étant une constante identique pour les deux gaz. Φ 1

Cette valeur est cohérente avec la valeur généralement admise de 300 pm. 1) Écoulement tourbillonnaire ➞

• v = v (r ) u➞0 problème à symétrie cylindrique. • En utilisant le théorème de Stokes sur un cercle d’axe (Oz) de rayon r. ➞

v➞. d = donc pour r > a :

196

—➞

➞

rot v➞. dS soit

➞

Le plan (XOz) est un plan de symétrie des courants donc d’antisymétrie de B . ➞ Le plan (XOY) est un plan d’antisymétrie des courants donc de symétrie de B . L’envergure h est supposée grande. ➞ Donc B est dans le plan (XOY) et BX (Y) = – BX (– Y ). ➞ La composante X de B est discontinue à la traversée de la plaque. ➞ La discontinuité de B est donnée par : ➞ ➞ ➞ B (Y = 0 + ) – B (Y = 0 – ) = m 0 j s u➞Y = – m 0 j s . u➞X m j Comme BX (Y ) = – BX (– Y ) BX (Y = 0+) = – 0 s . 2 L’analogie de 1) se fait ici entre g (X) et m 0 js : ➞ ➞ V T et B . ➞ V T est donc antisymétrique par rapport au plan (XOZ) et : ➞ ➞ V T (Y = 0 + ) – V T (Y = 0 – ) = – g (X) u➞X . b) Comme VTX (Y ) = – VTX (– Y ), VTte (X) = – VTti (X). c) VTte (X) – VTti (X) = – g (X) d’où VTte (X) = – VTti (X) = – ➞

➞

r < a 2πrv (r) = g πr 2 r > a 2πrv (r) = g πa 2 = G v➞(M) = G u➞q . 2πr

g (X) . 2

➞

d) V = V T + U . Donc : • en projection sur (OX) : Vte (X) = –

1

 η 2 M 4 On peut écrire Φ CH = Φ He  He   CH4  = 2,1 . 10–10 × 1,9 = 4,0 . 10–10 m . 4  ηCH4   MHe 

X

tJS

Vti (X) =

g (X) g (X) + U cos a ≈ – +U 2 2

g (X) g (X) + U cos a ≈ +U 2 2

• en projection sur (OY) : Vne (X) = Vni (X) = 0

0
La vitesse normale s’annule sur l’obstacle, d’où : O = v Ne (X) + U sina = v Ni (X) + U sina , soit : VNe (X) = VNi (X) ≈ – aU e)

VTt VTti 0,2 VTte

0,4

0,6

0,8

1

X L


➞ ➞

points d’arrêt V = 0 soit : • extrados : Vte = 0 d’où g (X) = 2U impossible ; • intrados : Vti = 0 d’où g (X) = – 2U.

4 L X– X = 1 ou X

ai =

L

1 + 12 a

≈ a2 L .

f) On a un point d’arrêt sur l’intrados.

g 2(X) r g (X) 2 r U2 – U – = P0 + Ug (X) – 2 2 2 4

Pi (X) = P0 +

r g 2(X) – Ug (X) – . 2 4

h)

➞

➞

y

F = (Pi – Pe ) dS. U Y =h

L

0

Y

➞

– r Ug (X) dX. U Y ➞

= πr hLa U 2 U Y

uF

d’où, comme a est petit, une portance : Fy = πr hLa U 2 . • Sur l’extrados quand X croît Vt décroît (lignes de courant qui s’écartent). • Sur l’intrados pour X > Xai si X croît Vt croît (lignes de courant qui se resserrent). g) L’écoulement est permanent, incompressible et irrotationnel en dehors des singularités. Le fluide est parfait. Il est donc possible d’appliquer le théorème de Bernoulli : 2 2 P0 + r U = P + r v en ne tenant pas compte de la pesanteur. Soit : 2 2

x

X

i) La portance doit compenser le poids soit Fy > mg, ou : U>

5 πrmghLa

U > 118 km/h.

Cette valeur est en bon accord avec l’expérience. j) Au-delà de 16°, il y a décollement de la couche limite. La chute brutale de la portance conduit au « décrochage » de l’avion.


Soit a

Pe (X) = P0 +

197

7 O © Hachette Livre, H-Prépa Mécanique des fluides, 2e année, PC et PSI, La photocopie non autorisée est un délit.

■

J

E

C

T

I

F

S

Appliquer les lois de la dynamique et de la thermodynamique à un fluide en écoulement.

P

198

B

Bilans mécaniques et énergétiques

R

É

R

E

Q

U

I

S

■

Descriptions lagrangienne et eulérienne d’un écoulement.

■

Pour un système matériel, théorèmes : • de la résultante cinétique ; • du moment cinétique ; • de l’énergie cinétique.

■

Premier et deuxième principes de la thermodynamique.

Nous connaissons les lois de la mécanique des systèmes matériels, ou les lois de la thermodynamique appliquées à des systèmes fermés. Le but de ce chapitre est de montrer, à partir d’exemples, comment il est possible de les traduire pour les appliquer à des systèmes ouverts. Nous pourrons alors répondre à des questions telles que : • quelle est la poussée d’un réacteur ? • quelle est la puissance fournie par la détente d’un gaz dans une turbine ?

7. Bilans mécaniques et énergétiques

1

À p ropos d’un échangeur thermique : généralités et définitions matériau isolant thermique

1.1. Description de l’échangeur Un échangeur thermique est constitué de deux canalisations 1 et 2 en contact thermique, de sections uniformes d’aires S1 et S2 , dans lesquelles circulent deux fluides F1 et F2 de températures différentes (doc. 1). Nous adoptons les hypothèses simplificatrices suivantes : • l’ensemble est isolé thermiquement de l’extérieur ;

F1

F1

F2

F2

• les fluides sont des liquides incompressibles ; • l’énergie interne d’une masse m de fluide ne dépend que de sa température T et peut, au voisinage de T0 , s’exprimer par : U = m c (T – T0)

matériau « bon conducteur thermique »

Doc. 1. Échangeur thermique : nous supposerons que dans l’échangeur le fluide F1 se refroidit, et le fluide F2 s’échauffe.

en fixant, par convention, l’énergie interne nulle à la température T0 (cf. Application 1). • La capacité thermique massique c en chaque point est connue. • Il y a un « bon conducteur thermique » entre les tuyaux guidant les deux fluides. • L’écoulement est unidimensionnel : les caractéristiques thermodynamique et mécanique du fluide sont supposées uniformes sur une section droite de la canalisation*.

* Rappelons que l’écoulement unidimensionnel est une idéalisation des écoulements réels : la vitesse du fluide est nulle contre la paroi du tuyau, et il existe une couche limite (dont l’épaisseur dépend de la viscosité du fluide) au sein de laquelle la vitesse est inhomogène.

• La vitesse de chaque écoulement est indépendante du temps. • Le fluide est supposé parfait, et nous négligeons les faibles variations d’altitude. D’après la relation de Bernoulli, les pressions P1 et P2 sont uniformes pour chaque canalisation (sections uniformes). Le fluide F1 entre à la température T1e dans l’échangeur et en ressort à T1s . De même, le fluide F2 entre à T2e et ressort à T2s . Nous supposerons T1e > T2e : le fluide F1 se refroidit et F2 s’échauffe dans l’échangeur.

1.2. Système ouvert et système fermé 1.2.1. Définitions (rappel) Un système est fermé s’il n’échange pas de matière avec l’extérieur. Un système ouvert, par opposition, peut échanger de la matière avec l’extérieur.

z

R

Concrètement : • un système ouvert n’est pas défini par un ensemble déterminé de particules matérielles, mais par une frontière, éventuellement traversée par un courant de matière (doc. 2a). La frontière S délimitant un système ouvert, appelée surface de contrôle, est immobile dans le référentiel d’étude (cf. chapitre 2, § 1.3) ;

x

O

y

surface de contrôle

Doc. 2a. Le fluide traverse la surface de contrôle fixe dans le référentiel d’étude.

199


Ces définitions ont déjà été vues en thermodynamique et en mécanique.


• un système fermé, est défini par un ensemble déterminé de particules matérielles (doc. 2b). La frontière S* délimitant un système fermé, appelée surface particulaire, est mobile dans le référentiel d’étude : les points de S* se déplacent à la vitesse locale du fluide. L’échangeur thermique que nous étudions constitue un système ouvert. Il est constitué à chaque instant par les tuyaux et par le fluide qui se trouve à l’intérieur, et il est délimité par l’enveloppe adiabatique et par les sections d’entrée et de sortie des deux canalisations (doc. 3). 1.2.2. Système ouvert

et système fermé coïncident

*

Notons le système délimité par la surface fermée fixe S appelée surface de contrôle (doc. 3) ; il est constitué de l’échangeur, des tuyaux et du fluide qu’ils contiennent. est un système ouvert, car il y a transfert de matière à travers la surface fixe S . À l’instant t0 , les tuyaux et le fluide qui se trouvent dans peuvent définir un système matériel fermé que nous notons * ; ce système est déterminé par une surface particulaire S* , dont les points se déplacent à la vitesse du fluide. et * sont confondus à l’instant t0 (ils coïncident), mais évoluent ensuite différemment : • reste délimité par une frontière immobile S , et les éléments de fluide qui le constituent sont progressivement remplacés par d’autres ; • * est constitué par les tuyaux immobiles et par le fluide mobile. Sa frontière se déforme au cours du temps, mais il reste constitué des mêmes éléments de fluide (doc. 3). Nous avons rencontré une situation similaire en cinématique du point. Pour exprimer la relation entre les vitesses d’un point mobile, mesurées par des observateurs liés à deux référentiels, nous avons introduit la notion de point coïncident. Le point mobile M et son point coïncident lié au référentiel ′ sont confondus à l’instant t , mais leurs trajectoires ultérieures diffèrent. Par analogie, nous appellerons * système fermé coïncident au système ouvert à l’instant t . Le système fermé * qui, à l’instant t , est constitué des mêmes éléments matériels que le système ouvert , est appelé système fermé coïncident de .


Les lois de la mécanique et de la thermodynamique sont relatives à des systèmes fermés, qui relèvent d’une description lagrangienne. Or, comme nous l’avons vu au chapitre 1, la description naturelle d’un écoulement, celle qui est déduite des informations issues de capteurs fixes, est eulérienne. Il nous faut donc traduire l’évolution de * en données eulériennes.

1.3. Énergie interne massique et débit convectif 1.3.1. Énergie interne massique L’écoulement est défini par un ensemble de grandeurs locales, définies en chaque point, comme la pression, la vitesse et la température. Ces grandeurs sont appelées intensives, par opposition aux grandeurs extensives, qui sont, elles, définies pour un système déterminé. Dans le cas étudié, nous ne pouvons pas définir de « température du système », car celle-ci évolue continûment d’un point à un autre. Pour déterminer l’énergie interne de (ou de *) , il nous faut « découper » en un très grand nombre de

200

surface particulaire à la date t + δt

M’

v (M, t) δ t

P’

M

v (P, t) δ t P surface particulaire à la date t

Doc. 2b. Évolution d’une surface particulaire : elle est « entraînée » par le fluide. La masse M de fluide, délimitée par cette surface en mouvement, est invariante dans le temps.

a)

Σ

F1

F2

b) Σ

transfert de matière à travers la surface Σ fixe délimitant le système S F1

F2

Doc. 3. Le système ouvert est délimité par la surface de contrôle fixe S en pointillé. a. Système ouvert et système fermé coïncident * à la date t0 . b. À la date t0 + dt , ils ne coïncident plus.

7. Bilans mécaniques et énergétiques sous-systèmes définis à l’échelle mésoscopique, suffisamment petits pour qu’ils soient homogènes, et suffisamment grands pour que la notion de température ait un sens. Considérons au voisinage du point M un élément mésoscopique de matière de masse δm . Ce système a un volume δV , une énergie interne δU et une température T . Remarquons bien que nous avons noté δV et δU mais pas δT : lorsque la quantité de matière considérée devient très petite, les grandeurs extensives tendent vers 0, alors que les grandeurs intensives restent invariantes. Pour un élément du fluide F1 par exemple : δU = δm c1 (T – T0) . Nous pouvons donc définir une variable intensive, l’énergie interne massique um (δU = um δm) qui dépend des conditions locales et non de la « taille » (masse ou volume) de l’élément de matière. Ainsi, pour le fluide F1 : um = c1 (T – T0) . L’énergie interne de U =

s’écrit : um(M)dm =

r(M)um(M)dt .

Remarque Nous pouvons, de même, définir d’autres grandeurs massiques, comme le volume massique v , inverse de la masse volumique r : δm = r dt ou dt = v δm . Il est usuel de noter les grandeurs massiques par des minuscules. En mécanique des fluides, pour éviter la confusion avec la vitesse d’écoulement v , nous note1 rons le volume massique . ρ

Application

1

Grandeurs massiques

2) Montrer sur l’exemple de l’eau que les variations d’énergie interne et d’enthalpie massiques d’un liquide incompressible sont quasiment égales. Les exprimer en fonction de la chaleur massique c du liquide. Pour l’eau, c = 4,2 kJ . K–1. kg–1 . 1) L’énergie cinétique d’un élément mésoscopique est δ

K

1 = v 2 δ m et son énergie potentielle de pesanteur : 2

δ P = g z δm (si, par convention, P = 0 pour z = 0). Les énergies massiques correspondantes sont donc : 1 eK m = v 2 et ePm = g z . 2 2) L’énergie interne U d’un système fluide dépend de deux variables : U(T, V). S’il est incompressible, V est

constant, et l’énergie interne ne dépend plus que de T . Ce qui se traduit (pour une masse m de fluide), dans un domaine limité de températures par une loi affine : U = m c (T – T0) , soit ∆um = c ∆T . H = U + PV ou h = um + constant :

P . Donc, puisque r est ρ

∆ hm = cm ∆ T +

1 ∆P . ρ


1) Exprimer l’énergie cinétique massique et l’énergie potentielle massique de pesanteur d’un fluide, en fonction de sa vitesse d’écoulement v et de son altitude z .

Dans le cas de l’eau, r = 1,00 .103 kg.m–3 . Si ∆T = 1K :

∆um = 4,2 kJ.kg–1 .

On obtient une variation égale de

P pour : ρ

∆P = 42 . 105 Pa . Nous pouvons donc, pour les applications usuelles, P négliger les variations de et ∆hm ≈ ∆um ≈ cm ∆T . ρ

201


1.3.2. Débit massique (rappel) Rappelons que le débit massique Dm d’un fluide en écoulement à travers une surface S est égal à la masse qui la traverse par unité de temps, ce qui s’écrit encore pour un intervalle de temps δ t : δ m = Dm δ t . Si l’écoulement est unidimensionnel, le débit massique à travers une section droite d’aire S d’un fluide, de masse volumique r et de vitesse d’écoulement v , a pour expression (doc. 4) Dm = r v S .

vdt

S N

Dans l’exemple étudié, et d’après cette relation, les vitesses v1 et v2 des fluides sont uniformes pour chaque canalisation. 1.3.3. Débit convectif d’énergie interne Le fluide en écoulement transporte avec lui de la masse, mais aussi de l’énergie. Le débit d’énergie interne DU à travers une section S est égal à la quantité d’énergie interne qui la traverse par unité de temps. Nous appelons débit convectif, un débit associé au transport de matière. Cette distinction est importante, car il peut exister d’autres formes de transfert d’énergie à travers une surface : la conduction et le rayonnement. 1.3.4. Relation avec le débit massique Considérons la masse δm de fluide, d’énergie interne δU , qui traverse une section donnée pendant δt . Nous avons δU = um δm = um Dm δt et nous en déduisons la valeur du débit DU de U : DU = um Dm . Dans le cas étudié, le débit entrant d’énergie interne à travers la section d’entrée du fluide F1 est : DU1e = c1(T1e – T0)Dm1 . Pour simplifier les notations, nous omettons l’indice m ; u désignera désormais l’énergie interne massique.


1.4. Bilan énergétique 1.4.1. Premier principe de la thermodynamique Effectuons, d’après le premier principe de la thermodynamique (qui est relatif aux systèmes fermés), un bilan énergétique pour le système fermé * entre deux instants voisins t et t + dt . L’énergie totale de * est définie par = U + K + P avec U l’énergie interne, K l’énergie cinétique macroscopique et P l’énergie potentielle macroscopique. Le bilan énergétique s’écrit, pour * , d = δW + δQ , où δW est le travail des forces extérieures qui ne dérivent pas de P et δQ l’énergie reçue par * par transfert thermique. • Dans le cas étudié, l’énergie cinétique est constante et nous négligeons les variations d’énergie potentielle de pesanteur, soit : dU = δW + δQ

202

en se souvenant que ce bilan concerne

*.

Doc. 4. Débit massique. Le fluide qui traverse la section droite d’aire S pendant dt est contenu dans un cylindre de volume S v dt (S perpendiculaire à la vitesse du ➞ fluide v ).

7. Bilans mécaniques et énergétiques • Les parois extérieures des tuyaux de sont adiabatiques. Si, de plus, nous négligeons le transfert thermique par conduction dans les fluides à travers les sections d’entrée et de sortie, le terme d’échange thermique δQ est nul. • Les forces extérieures susceptibles de fournir du travail à * se limitent aux forces de pression exercées sur les sections d’entrée et de sortie. Leurs puissances sont : P1 S1 v1 et P2 S2 v2 , positives, au niveau des sections d’entrée ; – P1 S1 v1 et – P2 S2 v2 , négatives, au niveau des sections de sortie. La puissance totale et le travail δW sont donc nuls. Donc dU et δQ sont nuls. Il nous reste à expliciter dU pour

* = 0 puisque δW

* avec des variables eulériennes.

1.4.2. Variation d’énergie interne de U

peut s’exprimer comme la somme des énergies internes de ses éléments : U = Utuyaux + conducteur thermique + Ufluide 1 + Ufluide 2 .

Soit, en fonction de la température T(M, t) et de la capacité thermique massique c(M) en chaque point : U =

c(M)T(M, t)dm

avec c(M) = c1 dans F1 , etc.

D’où : dU = dt

c( M )

∂T ( M, t ) d m ( est délimité par une surface de contrôle S fixe). ∂t

L’intégrale est étendue à tout le volume du système constitué des tuyaux, du conducteur thermique, et du fluide contenu à l’instant t . 1.4.3. Variation d’énergie interne de

*

* coïncident à l’instant t , mais sont décalés à l’instant t + dt (doc. 5).

À l’instant t : U

*(t) = U

(t) .

À l’instant t + dt : U *(t + dt) = U (t + dt) + δU1s + δU2s – δU1e – δU2e , en notant δU1s l’énergie interne contenue dans l’élément de F1 de masse δm1 qui est sorti de l’échangeur pendant dt , δU1e celle de l’élément de F1 de masse δm1 qui est rentré dans l’échangeur pendant dt , etc. (doc. 5). Nous pouvons expliciter les δU en fonctions des débits massiques Dm 1 et Dm 2 et des énergies internes massiques des fluides à l’entrée et à la sortie de l’échangeur : δU1e = δm1 u1e = Dm 1 u1e dt , etc. On obtient : U

*(t + dt) – U *(t) = U

ou :

F1

(t + dt) – U (t) + [Dm 1 (u1s – u1e) + Dm 2 (u2s – u2e)]dt ,

dU dU * = dt dt

{variation locale }

+ Dm1 (u1s − u1e ) + Dm 2 (u2s − u2 e ) . +

variation {convective }

F2

b)


et

a)

F1

F2

Doc. 5. Évolution du système fermé * ; δm1 = Dm1 dt ; δm2 = Dm2 dt avec Dm1 et Dm2 les débits massiques sortants. a. À la date t . b. À la date t + dt .

203


En fonction des températures : dU * dU = + Dm1 c1 (T1s − T1e ) + Dm 2 c2 (T2s − T2 e ) . dt dt Dm 1 (u1s – u1e) + Dm 2 (u2s – u2e) représente la somme (algébrique) des débits convectifs sortants d’énergie interne, et nous en déduisons : dU * dU = + (débit convectif total sortant d’énergie interne). dt dt 1.4.4. Expression eulérienne du bilan énergétique En regroupant ces résultats, nous pouvons exprimer le bilan énergétique au moyen de grandeurs eulériennes : dU * dU = + Dm1 (u1s − u1e ) + Dm 2 (u2s − u2 e ) = 0 , dt dt ou encore, en fonction de la température : c( M )

∂T ( M , t ) d m + Dm1 c1 (T1s − T1e ) + Dm 2 c2 (T2s − T2 e ) = 0 ∂t

(les fluides sont supposés incompressibles). 1.4.5. Cas du régime permanent Le régime d’écoulement est permanent si toutes les grandeurs eulériennes sont ∂T = 0. constantes au cours du temps ; cela se traduit ici par ∂t Notons bien que le caractère permanent est relatif à et non à * : les différents éléments de fluide de * voient leur température évoluer au cours du temps. Le bilan énergétique devient : Dm 1 c1 (T1s – T1e) + Dm 2 c2 (T2s – T2e) = 0 . Du point de vue du seul fluide F1 , l’opération revient à faire passer, pendant une durée dt , la température d’une masse δm1 = Dm 1 dt , de T1e à T1s . Dm 1 c1 (T1s – T1e) dt et Dm 2 c2 (T2s – T2e) représentent donc les accroissements d’énergie interne des fluides F1 et F2 pendant dt . © Hachette Livre, H-Prépa Mécanique des fluides, 2e année, PC et PSI, La photocopie non autorisée est un délit.

L’application 2 propose un modèle d’échanges thermiques entre les fluides pour déterminer les températures de sortie.

Application

2

Échangeur à contre-courant Deux liquides 1 (chaud) et 2 (froid) s’écoulent en sens inverses dans deux canalisations séparées et en contact thermique (doc. 6) . Nous repérons une section par son abscisse x , comprise entre 0 (point A) et L (point B).

204

1 , de capacité thermique massique c1 , circule de A à B , avec un débit massique Dm 1 et sa température varie, en régime permanent, selon une loi T1(x) . On définit de même c2 , Dm 2 et T2(x) pour 2 (doc. 6).

7. Bilans mécaniques et énergétiques tion de δU n’est due qu’au transfert thermique sur la longueur δx : dT δ m c1 1 v 1 d t = G(T2 ( x ) − T1 ( x ))δ x dt dx

Σ

L1 B

L2 0

x

L

Doc. 6. Échangeur à contre-courant.

Si S est l’aire de la section de la canalisation :

pénètre en A à la température T1A , connue, et ressort en B à la température T1B . 2 pénètre en B à la température T2B , inférieure à T1A et connue, et ressort en A à la température T2A . 1

Les échanges thermiques entre les deux canalisations sont supposés suivre une loi linéaire. La puissance thermique d th cédée par 1 à 2 au niveau d’une tranche de longueur dx est égale à : d

(respectivement : dT δ m c2 2 ( − v 2 ) d t = − G(T2 ( x ) − T1 ( x ))δ x dt, dx attention aux signes !). δm v1 = r1 S δx v1 = r1 S v1 δx = Dm 1 δx , d’où l’équation différentielle : dT Dm1 c1 1 = − G(T1 − T2 ). dx Nous obtenons de même Dm 2 c2 (attention aux signes !). δx

th = G (T1 – T2) dx .

La viscosité est négligée, et l’écoulement des deux liquides (incompressibles) est isobare.

instant t

1) Écrire les deux équations différentielles couplées en T1(x) et T2(x) .

instant t + dt

v

2) On se place dans le cas où Dm 1 c1 = Dm 2 c2 = D c .

Doc. 7. Évolution d’un élément de

b) Déterminer la puissance thermique reçue par niveau de l’échangeur.

2) a) Posons λ =

au

1) Le régime permanent étant établi, la température des fluides ne dépend plus que de x . Écrivons le bilan énergétique pour le système fermé constitué d’un élément de 1 (respectivement 2), de masse δm , de longueur δx (doc. 7). À l’instant t , son abscisse est x , et son énergie interne est (en posant u(T0) = 0) : δU1(t) = δm c1 (T1(x) – T0) (respectivement δU2(t) = δm c2 (T2 (x) – T0)). À l’instant t + dt , son abscisse est x + v1 dt , et son énergie interne est : δU1(t + dt) = δm c1 (T1(x + v1 dt) – T0) (respectivement δU2(t) = δm c2 (T2 (x – v2 dt) – T0)). Le travail des forces de pression est nul (même pression et même volume balayé en amont et en aval, et la varia-

Dm1 c1

x

x + v dt

x

a) Déterminer T2A et vérifier qualitativement le résultat en faisant varier les paramètres L , D , c et G . 2

d T2 = − G(T1 − T2 ) dx

Dm 2 c2

1.

Dc (homogène à G G G une longueur), q = T1 – T2 et y = T1 + T2 . En effectuant la somme et la différence des deux équations précédentes, nous obtenons : dθ dψ λ = 0 et λ = − 2θ , dx dx =

=

ce qui donne θ constante et ψ = ψ 0 − 2

θ x. λ


A

T1(x) = 1 (q + y) et T2(x) = 1 (y – q) 2 2 En écrivant T1 (0) = T1A et T2 (L) = T2B , nous obtenons q , puis T2A = T1A – q , soit : T2 A =

L +− T λ 2B . L 1+ λ

T1 A

T2A se rapproche de T1A si l tend vers 0 . Il est clair que cette situation se produit si les échanges thermiques sont favorisés, ce qui peut s’obtenir avec L grand,

205


G grand, ou D petit. Ces considérations intuitives correspondent bien au résultat du calcul.

à la température T2A , soit un gain d’énergie de Dm 2 c2 (T2A – T2B) dt .

b) Pour 2 , pendant dt , l’opération correspond à faire passer une masse δm = Dm 2 dt de la température T2B

La puissance thermique reçue par 2 est donc : th = Dm 2 c2 (T2A – T2B).

1.5. Généralisation Les méthodes utilisées pour le bilan d’énergie interne de l’échangeur peuvent se transposer à d’autres grandeurs extensives comme l’énergie mécanique, ou des grandeurs vectorielles comme la quantité de mouvement et le moment cinétique. 1.5.1. Grandeur volumique À toute grandeur extensive, nous associons la grandeur volumique correspondante scalaire ou vectorielle ; nous obtenons ainsi le document 8. grandeur G

grandeur volumique gv

énergie interne U

uv

δU = uv δt

enthalpie H

hv

δH = hv δt

entropie S

sv

δS = sv δt

2

 ρv 2  δ K=   δτ  2 

➞

δ p = rv δt

➞ ➞

δ L 0 = r(r ∧v ) δt

ρv 2

énergie cinétique K ➞

quantité de mouvement p

rv

➞

moment cinétique L 0

G = gv

r r ∧v

➞

➞

➞

➞ ➞

Doc. 8. Grandeur volumique.

1.5.2. Grandeur massique


À toute grandeur extensive, nous associons la grandeur massique correspondante scalaire ou vectorielle ; nous obtenons ainsi le document 9. grandeur G

grandeur massique g

G=g m

énergie interne U

um

δU = um δm

enthalpie H

hm

δH = hm δm

entropie S

sm

δS = sm δm

2

v 2

v2  δ K =  δm  2

➞

δ p = v δm

énergie cinétique K ➞

quantité de mouvement p ➞

moment cinétique L 0

Doc. 9. Grandeur massique.

206

v ➞

➞

r ∧v

➞

➞

➞

➞

➞

δ L 0 = (r ∧v )δm

7. Bilans mécaniques et énergétiques 1.5.3. Débit convectif d’une grandeur extensive Le débit DG à travers une surface de la grandeur extensive G est égal à la quantité de G traversant par unité de temps. Nous appelons débit convectif, le débit de G associé au transport de matière. La masse δm de fluide qui traverse une section S pendant dt est égale à Dm dt . Par définition de gm (massique), la quantité de G transportée par δm est δG = gm Dm dt . Nous en déduisons la valeur du débit de G : DG = gm Dm . Dans le cas d’un écoulement unidimensionnel, le débit convectif d’une grandeur extensive G s’exprime en fonction du débit massique et de la grandeur massique gm par DG = gm Dm . Pour s’entraîner : ex. 1.

1.5.4. Bilan Nous allons devoir, comme pour l’exemple traité précédemment, appliquer les lois de la mécanique ou de la thermodynamique qui sont énoncées pour des systèmes fermés, alors que nos données concernent un système ouvert . Nous considérerons alors le système fermé * , coïncident au système à l’instant t , puis nous effectuerons un bilan de l’évolution de la quantité de la grandeur extensive G (scalaire ou vectorielle) contenue dans * entre deux instants infiniment voisins. Nous ne tenterons pas d’établir une loi générale, mais nous effectuerons un bilan adapté à chaque exemple particulier. Seule la méthode (et non une quelconque formule ! !) est à retenir.

2

Bilans de quantité de mouvement

2.1. Théorème de la résultante cinétique Rappelons le théorème de la résultante cinétique pour un système matériel. 2.1.1. Quantité de mouvement ou résultante cinétique © Hachette Livre, H-Prépa Mécanique des fluides, 2e année, PC et PSI, La photocopie non autorisée est un délit.

La quantité de mouvement (ou résultante cinétique) d’un système matériel est égale à la somme des quantités de mouvements de ses éléments. • Pour un système contenant N particules de masses mi et de vitesses v➞i , la quantité de mouvement est : ➞

p=

N

∑m v . ➞

i i

i =1

• Pour un système continu, comme un fluide, un élément de volume situé au voisinage d’un point M possède une quantité de mouvement élémentaire telle que d p➞ = v➞(M) dm et sa quantité de mouvement est : v➞(M) dm .

p➞ = système

207


• Si tous les points du système, dont la masse totale est m , ont la même vitesse v➞ : p➞ = m v➞ . • La quantité de mouvement massique en un point est égale à la vitesse d’écoulement en ce point. Le débit convectif de quantité de mouvement à travers une surface s’exprime donc en fonction du débit massique Dm et de la vitesse v➞ . Pour chaque composante cartésienne : Dpx = v x Dm , ou vectoriellement : D➞p = v➞ Dm . 2.1.2. Énoncé du théorème La dérivée par rapport au temps de la quantité de mouvement d’un système matériel (système fermé) est égale à la résultante des forces extérieures appliquées à ce système. • Si le référentiel d’étude est galiléen, les forces extérieures sont dues à l’interaction avec d’autres systèmes. Dans le cas contraire, il faut y adjoindre les forces d’inertie. • La résultante des forces intérieures est nulle.

2.2. Exemple de bilan de quantité de mouvement : poussée d’un turboréacteur 2.2.1. Modèle simplifié vitesse v 1 = – v 1 ex de l’avion

Le turboréacteur est fixé sur un avion (doc. 10), qui est en translation par rapport à l’atmosphère : v➞avion = – v1 e➞x est constante. Exprimons dorénavant toutes les grandeurs dans le référentiel de l’avion, supposé galiléen. L’air pénètre donc dans le réacteur avec une vitesse v➞1 = v1 e➞x , puis il est comprimé. Les gaz issus de la combustion sont détendus dans une tuyère. Ils fournissent l’énergie nécessaire au fonctionnement du compresseur, puis sont finalement éjectés à une vitesse v➞2 = v2 e➞x .


Dans notre modèle simplifié, v➞1 et v➞2 sont supposées uniformes sur les sections d’entrée et de sortie S1 et S2 (doc. 11).

turboréacteur

x’

x

Doc. 10. Turboréacteur fixé sur un avion.

Nous adoptons un modèle d’écoulement des fluides permanent (dans le référentiel du turboréacteur), pour lequel la pression est assimilée à la pression atmosphérique ambiante sur les faces d’entrée et de sortie. Notons Dm air le débit massique entrant en air, c’est-à-dire la masse d’air entrant dans le turboréacteur par unité de temps. Le carburant est du kérosène, que nous supposerons constitué de dodécane C12H26 de masse molaire M = 170 g.mol–1 . L’air étant composé de 20 % de dioxygène O2 et de 80 % de diazote N2 ; 18,5 moles de dioxygène, soit 2,664 kg d’air sont nécessaires à la combustion de 1 mole de C12H26 . Si nous supposons, de plus, que le débit de kérosène est égal à la moitié de celui qui existerait avec des proportions stœchiométriques, on aura 1 mole de C12H26 pour 37 moles d’air. Soit : Dm carb =

208

37

170 Dm air = a Dmair avec a = 0,032 . 144

Σ1

liaison avec l’avion compresseur tuyère chambre de combustion

air entrant carburant

Doc. 11. Turboréacteur.

Σ2

7. Bilans mécaniques et énergétiques Dans ces conditions, le débit massique sortant est, en raison de la conservation de la masse des réactifs (régime permanent) : Dm sortant = (1 + a) Dm air = 1,032 Dm air . Notre problème est de déterminer, en fonction des données (vitesses et débits), la force exercée par le turboréacteur sur l’avion. 2.2.2. Bilan de quantité de mouvement Considérons le système ouvert constitué par le turboréacteur, le carburant, et par les gaz situés à l’instant t entre S1 et S2 . Remarque Nous savons que le bilan de quantité de mouvement du système (ouvert ou fermé) est uniquement dû au fluide, mais il est souvent très utile pour des raisons de simplicité, dans le bilan des forces par exemple, d’inclure dans le système « l’enveloppe matérielle » ou « l’enceinte » dans laquelle évolue le fluide. La quantité de mouvement de explicitement du temps :

est constante, car les grandeurs ne dépendent pas

• l’écoulement des fluides étant permanent, r(M)v➞(M) est constant en tout point de ;

Σ1

Σ2

• le mouvement des pièces mobiles du réacteur (compresseur, etc.) peut être supposé permanent. Considérons le système fermé * , coïncident à à l’instant t . Soit δm1 la masse d’air entrant dans et δm2 la masse de gaz sortant de pendant la durée élémentaire d t (doc. 12). La quantité de mouvement de * est, elle, variable. Effectuons un bilan de quantité de mouvement entre les instants t et t + d t : p➞ *(t) = p➞ (t) ➞

➞

p ➞

p

*(t + dt) = p

➞

δm1

réservoir

δm2

S

Doc. 12. À l’instant t + dt , * s’identifie à diminué de δm1 et augmenté de δm2 .

➞

(t + dt) + δm2 v2 e x – δm1 v1 e x .

étant constant : p➞ (t + dt) = p➞ (t) et

p➞ *(t + dt) – p➞ *(t) = (δm2 v2 – δm1 v1) e➞x .

En explicitant les δm : © Hachette Livre, H-Prépa Mécanique des fluides, 2e année, PC et PSI, La photocopie non autorisée est un délit.

p➞ *(t + dt) – p➞ *(t) = (Dm sortant v2 – Dm air v1) e➞x dt , ➞

➞ dp * ➞ = Dm air [(1 + α )v 2 − v 1 ] ex , dt

soit :

(expression que nous aurions pu écrire

➞

➞ Dp ). Dt

2.2.3. Poussée du réacteur Appliquons le théorème de la résultante cinétique au système fermé référentiel de l’avion, galiléen :

* dans le

➞

➞ dp * ➞ ➞ = Dm air [(1 + α )v 2 − v 1 ] ex = R extérieur → dt

*.

Par la suite, nous négligerons le poids du réacteur.

209


Les forces exercées par l’extérieur sur

* sont :

• les forces exercées par l’atmosphère sur la paroi extérieure, qui comprennent des forces de pression et des forces de cisaillement (ou de frottement) ; • la force exercée par l’avion sur le réacteur. Les systèmes et * étant confondus à l’instant t , les forces qui leur sont ➞ ➞ appliquées sont égales, et nous appelons poussée FP , l’opposée de Rext → * . Nous pouvons donc écrire, pour

:

➞

➞

➞

➞

F avion→ + F atmosphère→ + FP = 0 . Nous obtiendrions une expression identique si le réacteur➞ était un système fermé ➞ auquel nous appliquerions, en plus de F et de F atmosphère→ une force avion→ ➞ égale à FP . La poussée est donc équivalente à une force appliquée au réacteur, et qui a pour expression : ➞

FP = – Dm air[(1 + a)v2 – v1] e➞x . En remarquant que a << 1 : ➞

FP = | FP | ≈ Dm air(v2 – v1) . À titre d’exemple, considérons un avion qui se déplace à 300 m.s–1 à haute altitude, où la masse volumique de l’air est de 0,3 kg . m–3 . Si la surface d’entrée S1 a une aire de 1 m2 , Dm = 90 kg . s–1 . Avec nos hypothèses, si v2 = 800 m . s–1 , la poussée du réacteur est de 4,5 . 104 N (« 4,5 tonnes »), et il consomme 2,9 kg de carburant par seconde. Remarques • La valeur de v2 peut être obtenue à partir du taux de compression, et des considérations thermodynamiques. • Nous avons inclus le turboréacteur dans le système ouvert . Nous aurions pu considérer le système ¢ constitué du seul fluide contenu dans le réacteur. Mais dans ce cas, l’analyse des forces extérieures aurait été différente : ➞

R extérieur→

′

➞

➞

= F réacteur→

′ + Patm (S1 – S2) e x

= Dm air [(1

a )v 2 – v 1] e➞x .


Écrivons l’équilibre mécanique du réacteur seul (sans fluide) : ➞

➞

0 = – F réacteur→

➞

➞

′ + F ext + F avion→réacteur ,

avion

➞

où F ext représente la résultante des forces exercées par l’air sur la paroi extérieure du réacteur (doc. 13).

Favion → réacteur

En combinant ces bilans, nous obtenons la même expression pour la poussée, équivalente à une force appliquée au réacteur : ➞

➞

➞

F P = – (F avion→réacteur + F atmosphère→ ) = – Dm air[(1 + a)v2 – v1] e➞x . Ces considérations montrent que le choix du système, s’il ne modifie pas, bien évidemment, le résultat, influe sur la complexité des calculs et des raisonnements.

210

Fext Fpression

Fpression

Doc. 13. Bilan des forces extérieures.


3

Application

Jet d’eau sur une plaque Un jet d’eau est envoyé sur une plaque plane avec une δm = Dm dt , δm1 = Dm 1 dt et δm2 = Dm 2 dt reprévitesse v , un débit massique Dm et un angle d’incisentent les quantités d’eau qui traversent les frontières dence a . de pendant la durée élémentaire dt . Les grandeurs vectorielles seront exprimées dans la base Considérons le système * qui coïncide avec à orthonormée (e➞x , e➞y , e➞z), e➞z étant normal à la plaque l’instant t et effectuons un bilan de quantité de mouet e➞x dans le plan d’incidence, défini par e➞z et la vitesse vement pour * entre les instants t et t + dt . du jet incident (doc. 14). À l’instant t : p➞ *(t) = p➞ (t) .

débit D m

v1

z v

α

0

débit D m1 x

À l’instant t + dt : p➞ *(t + dt) = p➞ (t + dt) – δm v (sina e➞x – cosa e➞z ) + (δm1 v – δm2 v) e➞x . En régime permanent p➞ (t) = p➞ (t + dt) , d’où : p➞ *(t + dt) – p➞ *(t) = + Dm v cosa dt e➞z + [– Dm v sina + Dm 1 v – Dm 2 v] dt e➞x , soit :

F0

v2 débit D m2 ➞

Doc. 14. Le jet d’eau exerce une force opposée à F0 .

Nous admettons les hypothèses suivantes : • la viscosité de l’eau est négligée ; il n’y a donc aucune perte d’énergie mécanique ; • après l’impact sur la plaque, la vitesse de l’eau reste tangente à celle-ci ; • le jet et la plaque sont soumis à la pression atmosphérique ; • l’influence de la pesanteur est négligeable ; • le jet incident se sépare en deux jets unidimensionnels, dont les vitesses sont dans le plan d’incidence. Déterminer : a) les vitesses v1 et v2 des jets émergeants ; b) leurs débits massiques Dm 1 et Dm 2 ; c) la force de poussée. Nous pouvons la définir comme ➞ opposée à la force supplémentaire F0 qui est appliquée pour maintenir la plaque immobile. a) Le fluide est parfait et l’écoulement permanent dans le référentiel d’étude. Nous pouvons donc appliquer la relation de Bernoulli à chaque ligne de courant. Comme la pression extérieure est partout égale à la pression atmosphérique, les vitesses des deux jets émergents sont égales à v : || v➞1|| = || v➞2 || = || v➞ || = v . b) Considérons le système ouvert constitué par la plaque et par le fluide contenu entre une section du jet incident et une section de chaque jet émergent. L’écoulement étant permanent, la quantité de mouvement contenue dans est constante.

dp➞* = + Dm v cosa e➞z + [– Dm sin a + Dm1 – Dm2] v e➞x dt ➞

➞

= F0 + Fpression . • La pression étant égale à la pression atmosphérique en tout point de la frontière de (c’est pour cette raison que nous avons choisi d’inclure la plaque dans le système), la résultante des forces de pression est nulle. ➞

En effet

– P0 dS = – P0

➞

➞

dS = 0 .

• Considérons maintenant l’équilibre de la plaque seule : ➞

➞

➞

➞

0 = Feau→plaque + Fair→plaque + F0 . En l’absence de forces de cisaillement (fluide sans viscosité), l’action de la plaque sur l’eau est normale à la plaque, ➞comme celle des forces de pression atmosphérique ; F0 est donc normale à la plaque. Nous déduisons alors du bilan de quantité de mouvement : Dm sin α = Dm1 − Dm 2

avec


surface S délimitant

Dm = Dm1 + Dm 2 ,

(conservation du débit) soit

Dm1 Dm

=

Dm 2 1 − sin α 1 + sin α = . et Dm 2 2

c) Du bilan de quantité de mouvement, nous en déduisons également : ➞

➞

F0 = + Dmv cosa e➞z , d’où Fpoussée = – Dmv cosa e➞z .

211


3

Bilans de moment cinétique et d’énergie cinétique

3.1. Théorème scalaire du moment cinétique (rappel)

∆

3.1.1. Moment cinétique par rapport à un axe Le moment cinétique d’un objet ponctuel par rapport à un axe ∆(O, e➞∆ ) est : –➞ L∆ = e➞∆ . (OM ∧ m v➞ ) .

M

v

•

En coordonnées cylindriques d’axe ∆ : L∆ = m r2q . Si v➞ est normale à l’axe ∆ (doc. 15) : L∆ = e m v d . • Le moment cinétique d’un système matériel quelconque par rapport à l’axe ∆ est égal à la somme des moments cinétiques de ses éléments. Si le système est un solide en rotation autour de ∆ : L∆ = J∆w . • Le moment cinétique massique en un point d’un fluide en écoulement est en coordonnées cylindriques : • l∆ = r2 q . 3.1.2. Énoncé du théorème La dérivée par rapport au temps du moment cinétique par rapport à un axe fixe d’un système matériel est égale au moment résultant, par rapport à cet axe, des forces extérieures appliquées à ce système. Si le référentiel d’étude est non galiléen, il faut inclure les forces d’inertie dans les forces extérieures.

3.2. Théorème de l’énergie cinétique 3.2.1. Énergie cinétique • L’énergie cinétique d’un objet ponctuel est

K

=

1 2 mv . 2

• L’énergie cinétique d’un système matériel quelconque est égale à la somme des énergies cinétiques de ses éléments. © Hachette Livre, H-Prépa Mécanique des fluides, 2e année, PC et PSI, La photocopie non autorisée est un délit.

• Si le système est un solide en rotation autour d’un axe fixe ∆ : 1 J ω2 K= ∆ 2 • L’énergie cinétique massique en un point d’un fluide en écoulement est : 1 eK = v 2 . 2 3.2.2. Énoncé du théorème Pour un point matériel de masse m, nous avons : ➞

ma➞ = F , donc où

212

d dt

1 mv 2 = F➞ .v➞ = 2

est la puissance des actions subies par le point matériel.

d

Doc. 15. Moment cinétique par rapport à l’axe D : LD = e m d v . e = + 1 si M « tourne » autour de D dans le sens positif (cas de la figure).

7. Bilans mécaniques et énergétiques Pour un ensemble de points matériels, système fermé * suivi dans son mouvement, nous aurons, par superposition : d dt

K=

=

int +

ext

en comptant la puissance de toutes les actions subies au sein du système, tant intérieures qu’extérieures. 3.2.3. Puissance des actions subies Si les actions extérieures sont connues, ainsi que le mouvement du système, il est possible d’exprimer ext . Par exemple, pour un solide en rotation autour d’un axe ∆ fixe, la puissance des forces extérieures, dont le moment par rapport à ∆ vaut ∆ , s’écrit : ext = ∆ w . La puissance des actions intérieures est souvent difficile à exprimer directement, sauf peut-être dans quelques cas simples, qui peuvent heureusement modéliser assez convenablement des situations fréquentes : – pour un solide indéformable, la puissance des actions intérieures est nulle ; – pour un fluide, il y a mouvement relatif des particules et les actions intérieures travaillent (pression, viscosité). Le cas d’un fluide « parfait » incompressible permet cependant de simplifier l’étude… 3.2.4. Écoulement de fluide parfait incompressible Dans un fluide en écoulement incompressible, les distances entre particules restent (statistiquement) constantes : les forces de pression ne travaillent pas (pas de terme « – P dV ». L’effet de la viscosité est souvent assez faible, de sorte que nous négligerons son influence en première approximation : le fluide est considéré comme parfait. Le cas échéant, il faudrait peut-être tenir compte aussi de l’échauffement au sein du fluide : une étude thermodynamique s’impose alors. Nous voyons que dans le cas général, un bilan énergétique complet devient nécessaire (cf. § 4.).

int ≈ 0

et d

K ≈ d K macro .

C’est ce que nous utiliserons dans l’exemple qui suit. ω

3.3. Exemple : étude d’une turbine

v2

3.3.1. Description du modèle Une turbine, entraînée par un jet d’eau, tourne autour de son axe fixe ∆ à la vitesse angulaire w (doc. 16). Hypothèses et notation • Par moment cinétique, ou moment de forces, nous entendons les moments par rapport à l’axe de rotation ∆ .

∆

v1

Doc. 16. Turbine entraînée par un jet d’eau.

213


Pour étudier le bilan énergétique lors de la circulation d’eau dans une turbine, une approximation de fluide parfait incompressible reste assez satisfaisante :


• Le jet incident et le jet émergent sont unidimensionnels et d’épaisseur négligeable. Ils entrent et sortent tangentiellement à un cercle d’axe ∆ et de rayon a . Le débit massique d’eau est Dm , la vitesse du jet incident est v➞1 (module v1) et celle du jet émergent v➞2 (module v2). La valeur de v1 est connue, mais celle de v2 dépend de w . • Le moment cinétique par rapport à ∆ de la turbine et de l’eau qu’elle contient est Jw . On suppose que J est constant. • La machine entraînée par la turbine et les frottements sur l’axe exercent un moment résistant de valeur absolue G . On suppose G constant, indépendant du régime. • L’action de la pesanteur est négligée. 3.3.2. Bilan de moment cinétique Considérons le système ouvert , constitué par la turbine et le fluide contenu entre la section d’entrée S1 et la section de sortie S2 ainsi que le système fermé * coïncidant à l’instant t (doc. 17). Le choix de ce système se justifie parce qu’il va nous permettre d’appliquer de façon assez simple le théorème du moment cinétique. En effet, comme il est entièrement soumis à la pression extérieure, uniforme, le moment des forces de pression est nul. De plus, nous n’avons pas à exprimer les forces intérieures d’interaction entre le jet et la turbine. Pendant la durée élémentaire dt , une masse δm = Dm dt d’eau entre par S1 avec un moment cinétique : δL1 = δm v1 a ; et une masse égale sort par S2 avec un moment cinétique : δL2 = δm v2 a . • Effectuons, pour

* , un bilan de moment cinétique entre les instants t et t + dt : L *(t) = L (t) ;

L *(t + dt) = L (t + dt) + Dm v2 a dt – Dm v1 a dt ; L (t) = Jw (t)

et

L (t + dt) = Jw (t + dt) ,

d’où :


L *(t + dt) – L *(t) = – Dm a (v1 – v2) dt + J[w(t + dt) – w(t)] , soit :

dL * dω = − Dm a(v 1 − v 2 ) + J . dt dt

• Appliquons maintenant le théorème du moment cinétique au système fermé * dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen : dL * = dt

extérieur → *

.

Le moment par rapport à ∆ des forces extérieures de pression étant nul, nous obtenons l’équation différentielle : dL * dω = − Dm a(v 1 − v 2 ) + J = −Γ . dt dt

214

ω

v2

Σ2

v1

Σ1

Doc. 17. Le système ouvert est constitué par la turbine et l’eau comprise entre S1 et S2 .

7. Bilans mécaniques et énergétiques • Le signe « – » devant G rend compte du caractère résistant du moment ; cette équation n’a donc de sens que pour w > 0 . • En fait, v2 dépend de l’interaction entre le jet et la turbine. Il faut donc faire des hypothèses supplémentaires pour obtenir une équation différentielle de la fonction w (t) . 3.3.3. Bilan d’énergie mécanique Une hypothèse sur l’énergie dissipée par les frottements va nous permettre de déterminer v2 en fonction de w , G et v1 . En effet, le théorème de l’énergie cinétique appliqué à * s’écrit : K *(t + dt) –

K *(t) = ( ext +

int) dt.

La puissance des forces extérieures est ici : ext = – G w .

La puissance des forces intérieures ne dépend pas du référentiel pour la turbine (solide) et l’eau (incompressible) qui y circule, en négligeant les phénomènes dissipatifs, nous prendrons : int = 0 .

Effectuons un bilan d’énergie cinétique (de fait, macroscopique, cf. § 3.2.4.) pour *: K *(t + dt) –

K *(t) =

K

1 D dtv 2 + m 2 2

(t + dt) –

K

K

(t + dt) – 1 Dmdtv 21 – 2

K

(t) ;

(t) = d 1 Jw 2 = Jw dw . 2

Donc : – Gw = 1 Dm (v 22 – v 21 ) + Jw dw , 2 dt soit : v 22 = v 21 – 2Gw – 2Jw dw . Dm Dm dt 3.3.4. Équation différentielle du mouvement de la turbine

v 12 − v 22 =

2Γω 2 Jω dω , + Dm d t Dm

v1 − v 2 =

J dω Γ + . Dm a Dm a d t


À partir des équations déduites des deux bilans, nous pouvons éliminer v2 , et obtenir une équation différentielle en w (t) :

Nous en déduisons v1 + v2 = 2 w a et finalement : J

dω − 2 Dm a(v 1 − ω a) + Γ = 0 . dt

Cette équation différentielle est vérifiée si w > 0 .

215


3.3.5. Étude du régime permanent • En régime permanent, wp de w :

dω = 0, et nous obtenons après quelques calculs la valeur dt

ωp =

Γ  v1  1 −  a  2 Dm av 1 

si

ωp v1 a

wp > 0 .

Si G est trop grand, cette expression fournit une valeur négative de wp , incompatible avec l’hypothèse selon laquelle w est opposée au moment résistant. Dans ce cas, le moment des forces extérieures est inférieur (en valeur absolue) à G (doc. 18) : wp = 0 si G > 2 Dm a v1 . Dans le cas limite G = 0 , les vitesses v2 et v1 sont égales. Le fluide conserve son énergie cinétique et « ignore » la turbine. • La puissance fournie par la turbine en régime permanent est : fournie

= Γω p =

fournie = 2 Dm a wp (v1 – wp a) .

v2 = 0 .

v1 et G = v1 Dm a , ce qui correspond à 2a

La puissance fournie est bien maximale si le fluide perd la totalité de son énergie cinétique initiale. Comme nous avons négligé la dissipation d’énergie, cette situation correspond à un rendement énergétique optimal, égal à 100 %.


3.3.6. Régime transitoire Posons τ =

J . 2 Dm a 2

L’équation différentielle en w (t) devient : dω ω − ω p + =0. dt τ Si la vitesse de rotation est nulle à l’instant initial, la solution est : t   ω = ω p 1 − exp −   ,  τ   où t représente la durée caractéristique de l’établissement du régime permanent.

216

Γ

Doc. 18. Régime permanent : couple résistant et vitesse de rotation.

Dmv 12 2

P

Γv 1  Γ  1 −  a  2 Dm av 1 

ou encore (doc. 19) :

Cette puissance est maximale si ω p =

2Dmav 1

v1 2a

v1 a

ωp

Doc. 19. Régime permanent : puissance et vitesse de rotation.


4

Application

Équilibre d’un tuyau

T1

c a partie bouchée

G

g

α T2

2b

Doc. 20. L’angle a dépend du débit.

En fonction des dimensions de T2 , déterminer la valeur de l’angle a à l’équilibre. On pourra, en les justifiant, faire des hypothèses simplificatrices. Données : • masse du tuyau T2 : m1 = 200 g ; • dimensions de T2 : a = 1,0 m et b = 20 cm ; • distance du centre d’inertie G de T2 rempli d’eau à l’axe de rotation : c = 64 cm ; • section (uniforme) de T2 : S = 1,0 cm2 ; • masse volumique de l’eau : r = 10 3 kg. m– 3 ; • débit massique : Dm = 0,20 kg . s–1 . Nous supposerons que les écoulements sont unidimensionnels et filiformes (d’épaisseur négligeable). Considérons le système ouvert constitué par le tuyau T2 et par l’eau qu’il contient, ainsi que le système fermé coïncident * à l’instant t . S1 est la section d’entrée (à la jonction entre T1 et T2) et S2 la section de sortie. Le tuyau étant en rotation autour de ∆ , nous allons effectuer un bilan de moment cinétique. Les actions extérieures sur

* sont : ➞

• la pesanteur, équivalente à une force m g appliquée au centre d’inertie G . La masse d’eau contenue dans

est m2 = r S (a + 2b) et le moment par rapport à D des forces de pesanteur est = – (m1 + m2) g c sina ; • la pression : le système est soumis à la pression ambiante sur toute sa surface extérieure, à l’exception de la section d’entrée S1 , où la pression est supérieure. La résultante des forces de pression est non nulle, mais comme la force due à la surpression en S1 est appliquée sur l’axe de rotation ∆ , le moment des forces de pression par rapport à ∆ est nul ; • l’action de T1 , dont le moment par rapport à ∆ est nul. dL * = . Le théorème du moment cinétique s’écrit dt dL * par un bilan de moment cinétique dt entre deux instants voisins. D L’eau s’échappe avec une vitesse v = m . ρS Déterminons

δm = Dmdt est la masse d’eau qui entre dans dant dt .

pen-

Le moment cinétique massique est nul pour l’eau entrante, et égal à av pour l’eau sortante. À l’instant t : L *(t)= L (t) . À l’instant t + dt : L *(t + dt) = L (t + dt) + Dmdt (av – 0) . À l’équilibre : et donc :

L (t) = L (t + dt) = Dmav .

D’où −[ m1 + ρ S( a + 2 b)]g c sin α = sin α = − A = −

Dm2 a ou : ρS


Un tuyau T1 peut tourner librement autour de son axe horizontal ∆ . Il alimente en eau un tuyau T2 , en « T », soudé à T1 . L’extrémité de l’une des branches du T est bouchée, l’eau s’écoulant par l’autre branche (doc. 20).

Dm2 a si A < 1 . ρ S g c[ m1 + ρ S( a + 2b)]

Si le débit est trop important, A > 1 , et le tuyau tourne autour de ∆ sans position d’équilibre possible. A.N. : a = 11° .

Pour s’entraîner : ex. 4.

217


4

Bilans d’enthalpie et d’entropie

4.1. Hypothèses et notations Nous allons appliquer les principes de la thermodynamique à un fluide qui s’écoule dans une canalisation. Nous supposons pour simplifier que l’écoulement est unidimensionnel et que la seule énergie potentielle macroscopique est due à la pesanteur. Appelons le système ouvert constitué par le fluide compris entre deux sections de la canalisation SA et SB , et * le système fermé coïncident à l’instant t . À l’instant t + d t , le système fermé * se trouve entre les sections SA et SB (doc. 21). Le fluide est dans l’état A entre SA et SA′ , et dans l’état B entre SB et SB ′ . Nous notons PA , PB , vA , vB , etc., les grandeurs relatives aux états A et B .

4.2. Échanges d’énergie


Pour le système fermé * , d’après le premier principe de la thermodynamique : ∆ * = W + Q avec =U+ K+ P, où W est le travail reçu par * et Q l’énergie reçue par * par transfert thermique. À l’énergie interne U correspond l’énergie interne massique u . À l’énergie cinétique macroscopique K correspond l’énergie cinétique massique : 1 eK = v 2 . 2 À l’énergie potentielle macroscopique P correspond l’énergie potentielle massique eP . Comme l’énergie potentielle est celle de la pesanteur : eP = gz avec z l’altitude . * peut recevoir de l’extérieur de l’énergie par transfert thermique Q (conduction et rayonnement) ; soit th la puissance thermique. Il peut aussi recevoir un travail W des forces qui ne dérivent pas de P , qui peut se décomposer en : • travail « utile », cédé par une machine (compresseur, hélice, ...). Soit u la puissance mécanique utile, encore appelée puissance indiquée i ; • travail des forces de pression en amont et en aval. Remarque : La puissance des forces de viscosité n’a pas à être prise en compte dans ce bilan thermodynamique : • sur les parois, la vitesse d’un fluide visqueux est nulle et la puissance correspondante s’annule ; • les forces intérieures de viscosité ont été prises en compte dans U ; • pour un fluide non visqueux, la vitesse, tangente à la paroi, est orthogonale à l’action exercée par l’élément de paroi sur le fluide, et la puissance est nulle.

4.3. Bilan énergétique pour 4.3.1. Variation d’énergie de

*

*

Effectuons un bilan énergétique pour * entre deux instants voisins : • à l’instant t : (t) ; *(t) = • à l’instant t + dt : (t + dt) = (t + dt) + δ B – δ A . * Nous utilisons l’extensivité de l’énergie et nous notons δ B l’énergie de l’élément de fluide de masse δmB qui est sorti par la section SB pendant dt , et δ A celle de l’élément de fluide de masse δmA qui est rentré par la section SA pendant d t .

218

Σ A Σ A’

Σ B Σ B’ S

Doc. 21. Entre les sections SA et SB , le fluide peut échanger de l’énergie sous forme de travail utile et sous forme de transfert thermique.

7. Bilans mécaniques et énergétiques Les variations de

*

et d

entre t et t + dt sont donc reliées par : + δ B–δ A, *=d

ou, en introduisant les énergies massiques et les débits en A et en B : d

dt

*

=

d 1 1 +  u B + v B2 + gz B  Dm B −  u A + v A2 + gz A  Dm A .  dt    2 2

4.3.2. Puissance des forces de pression Reprenons la méthode utilisée à propos de l’échangeur thermique, au § 1. Notons SA et SB les aires des sections SA et SB . Si l’écoulement se fait dans le sens de A vers B , la puissance des forces de pression est positive en A et négative en B . P P Au total, pres = PA SA vA – PB SB vB ou encore pres = A Dm A − B Dm B . ρA ρB 4.3.3. Puissance utile et enthalpie massique Le premier principe se traduit par le bilan d’énergie

d

dt

*

=

th

+

u

+

pres ,

soit : 1 2 1 2 d     + u + v + gz B Dm B − u A + v A + gz A Dm A =    dt  B 2 B 2

th +

ou encore, en introduisant l’enthalpie massique h = u +

u+

PA P Dm A − B Dm B , ρA ρB

P : ρ

d hB + 1 v B2 + gzB DmB – hA + 1 v A2 + gzA DmA + . 2 2 dt Nous pouvons donc ne plus faire explicitement référence au travail des forces de pression en amont et en aval, en utilisant la fonction enthalpie massique. th +

u=

4.4. Bilan enthalpique pour un écoulement permanent 4.4.1. Puissance mécanique utile et puissance thermique Si, de plus, l’écoulement est permanent, les débits massiques sont égaux (DmA = DmB = Dm) et : d = 0. dt

th

+

u


Dans le cas d’un écoulement permanent unidimensionnel, la puissance mécanique utile et la puissance thermique, reçues par le système entre deux points A et B , s’expriment simplement au moyen de la fonction enthalpie masP sique h = u + . 1 = ( hB − hA ) + (v B2 − v A2 ) + g( z B − z A ) Dm . 2  

Remarques • Le fonctionnement d’une machine n’est jamais strictement permanent, mais cyclique : une hélice, par exemple, est mobile, et elle revient à chaque tour à la même position. L’expression précédente est valable, à condition de prendre les valeurs moyennes de la puissance, du débit, de h et de v .

219


• Cette relation ne fait aucune hypothèse sur la viscosité du fluide, donc sur la réversibilité de l’évolution du fluide. • Nous pouvons étendre aisément cette relation à un système ouvert comportant plus de deux entrées/sorties comme, par exemple, l’échangeur thermique étudié en début de chapitre. Repérons-les par l’indice i . À chacune, est affecté un débit, que nous prenons positif pour une entrée et négatif pour une sortie, une enthalpie massique, une vitesse, etc. En reprenant les mêmes méthodes, on obtient : th

+

u

=

∑D i

 

m i  hi

1 + v i2 + gzi   2

Application

et

∑D

5

mi

= 0.

i

Bilan d’une turbine à gaz Une turbine à gaz est alimentée par un mélange homogène de méthane et d’air dont les proportions volumiques sont CH4 : 5 % ; O2 : 19 % et N2 : 76 % . Le mélange initial, dont la vitesse est négligeable, est dans les conditions atmosphériques (P0 , T0). Il est introduit dans la chambre de combustion. Le mélange gazeux qui en est issu est accéléré dans une tuyère, puis il actionne une turbine avant d’être rejeté avec une vitesse v1 , une température T1 et une pression P1 (doc. 22). CH4

chambre de combustion

tuyère

turbine

air

Doc. 22. Schéma d’une turbine à gaz.


Déterminer la puissance mécanique fournie à la turbine, ainsi que le rendement du moteur, avec les données et hypothèses suivantes : • T0 = 298 K ; T1 = 1 100 K ; P1 = P0 = 1 bar ; v1 = 20 m . s–1 ; • consommation en CH4 : 16 g . s–1 ; • pour tous les constituants, assimilés à des gaz parfaits : CP = 30 J . K–1. mol–1 ; • on néglige les échanges thermiques avec l’extérieur ; • enthalpies molaires à 298 K et sous 1 bar : CH4 : – 75 kJ . mol–1 ; H2Ovap : – 242 kJ . mol–1 ; CO2 : – 393 kJ . mol–1 . Pour un mélange initial constitué à partir de 1 mole de CH4 , nous pouvons déterminer la variation d’enthalpie à partir du document 23.

220

réactifs 298 K, 1 bar

produits 298 K, 1 bar

produits 1 100 K, 1 bar

combustion

Doc. 23. Calcul de ∆ H .

Le débit de CH4 est de 16 g.s– 1, soit 1 mole s–1. CH4 représente 5 % du mélange gazeux, il passe donc 20 moles par seconde dans la turbine. La réaction de combustion : CH4 + 2 O2 → CO2 + 2 H2O conserve la quantité de gaz, soit 20 moles pour une seconde de fonctionnement. La capacité calorifique du système considéré est donc CP = 600 J . K–1 . ∆Hcombustion = – 393 + 2(– 242) – (– 75) pour 1 mole de CH4 ; ∆Hcombustion = – 802 kJ ; ∆Htotal = ∆Hcombustion + CP (T1 – T0 ) ; ∆Htotal = – 802 + 0,60 × 802 = – 321 kJ . Le système considéré, constitué initialement de 1 mole de CH4 , 3,8 moles de O2 et 15,2 moles de N2 , a une masse de 0,563 kg , donc : ∆h = – 0,57 MJ . kg–1 et Dm = 0,563 kg . s–1 . Le bilan enthalpique s’écrit (avec th = 0) : u=

1 Dm  ∆ h + v 12  , soit  2 

u = – 320 kW .

La puissance thermique dissipée par la combustion à 300 K de 1 mole de CH4 par seconde serait de 802 kW. Nous pouvons donc définir le rendement par :

η=

Pu , soit h = 40 % . Pcombustion

7. Bilans mécaniques et énergétiques 4.4.2. Travail utile et échanges thermiques Soient wu et q , le travail utile et la chaleur reçue massiques, reçus par l’unité de masse du fluide lorsqu’il passe de A à B . Pendant une durée t , il passe dans la machine une masse m = Dmt , qui reçoit un travail utile Wu = u t = wu m . Donc u = Dm wu et, de même th = Dm q . Nous pouvons alors éliminer Dm dans l’expression du bilan enthalpique. Le travail utile massique wu (encore appelé travail massique indiqué wi ), et la chaleur reçue massique q , reçus par le fluide entre deux sections d’un écoulement unidimensionnel permanent s’expriment par : 1 q + wu = ( hB − hA ) + (v B2 − v A2 ) + g( z B − z A ) . 2 Entre deux sections voisines :

1 δ q + δ wu = d h + d(v 2 ) + g d z . 2

En dehors du cas des tuyères, dont la fonction est de fournir un jet à grande vitesse, les variations de v2 sont presque toujours négligeables. Il en va de même pour les variations de gz . Le bilan enthalpique se réduit donc souvent expérimentalement à δq + δwu = dh .

Application

6

Circuit de refroidissement

d

th =

K (q (x) – q0) dx .

Données et hypothèses : L’air est assimilé à un gaz parfait : cP = 1,0 kJ . K–1. kg–1 ; Dm = 0,010 kg . s–1 ; K = 2,0 W . K–1. m–1 ; qA = 200 °C ; q0 = 20 °C ; L = 10 m .

• Effectuons un bilan enthalpique pour une longueur dx du tuyau : Dm [ h(x+ dx) – h(x)] = d th = – K (q (x) – q0) dx , dθ 1 = − (θ − θ 0 ) avec d’où l’équation différentielle dx λ Dm cP λ= = 5 m (longueur caractéristique). K La solution qui tient compte des conditions aux limites est : x θ = θ 0 + (θ A − θ 0 )exp  −  ,  λ


De l’air comprimé chaud circule à une vitesse de l’ordre du m . s–1 dans un tuyau en cuivre, de section constante et de longueur L . Cet air entre en A , d’abscisse 0, à la température qA , et ressort en B , d’abscisse L , à le température qB . Les échanges thermiques (à travers le tuyau) entre l’air chaud, de température q (x) et le milieu ambiant, de température q0 , suivent une loi linéaire. La puissance thermique d th cédée par l’air sur une tranche de tuyau de longueur dx est :

qB = q (L) , soit qB = 44 °C . • Effectuons le bilan pour l’ensemble du tuyau : hB – hA = cP (qB – qA) = q , soit q = – 156 kJ . kg–1 .

Déterminer la température qB ainsi que la chaleur échangée par kg d’air chaud. On vérifiera que la variation d’énergie cinétique est effectivement négligeable.

• Avec des vitesses de l’ordre du m . s–1 , la variation d’énergie cinétique massique est de l’ordre du J . kg–1, ce qui est négligeable par rapport à ∆h .


221


4.5. Bilan entropique 4.5.1. Exemple d’une tuyère Une tuyère est une canalisation de section variable, dans laquelle un gaz se détend en étant accéléré. Une étude sommaire de la forme de la tuyère est proposée dans l’exercice 11. Nous pouvons supposer qu’en régime permanent, l’écoulement est unidimensionnel et adiabatique. Nous supposons, en outre, que le fluide est un gaz parfait dont le c rapport P est égal à g . cV Le fluide est admis dans la tuyère en A , à la pression PA , à la température TA , et à une vitesse négligeable. Il en ressort en B , à la pression PB (la pression extérieure par exemple), à la température TB et à la vitesse vB (doc. 24). Le gaz étant parfait, le bilan enthalpique entre A et B s’écrit : 1 1 0 = hB − hA + v 2 = cP (TB − TA ) + v B2 , 2 2 puisque th = 0 (évolution adiabatique) et u = 0 . On pourra vérifier que la variation de gz est négligeable devant les autres termes, d’où : v B = 92cP (TA – TB) . En utilisant la relation de Robert-Mayer, Cp mol – Cv mol = R , nous pouvons exprimer cP en fonction de la masse molaire M et du rapport g du gaz : R γ cP = . M γ −1


Un bilan entropique va permettre de préciser TB . Effectuons un bilan d’entropie S pour * entre deux instants voisins : • à l’instant t : S *(t) = S (t) ; • à l’instant t + dt : S *(t + dt) = S (t + dt) + δSB – δSA . δSB est l’entropie de l’élément de fluide de masse δmB qui est sorti par la section SB pendant dt . Si s est l’entropie massique, δSB = Dm sB dt . De même, δSA = Dm sA dt . Nous pouvons donc écrire le bilan entropique : dS * dS = + Dm ( s B − s A ). dt dt L’écoulement étant permanent, l’entropie contenue dans est constante. De plus, l’énergie reçue par * par échanges thermiques étant nulle, la variation d’entropie se limite au terme de création : d S * δ Scréée = = Dm ( s B − s A ) . dt dt 4.5.1.1. Premier cas : écoulement isentropique γ

γ

 1  1 P  Scréée = 0 et sB = sA . Pour un gaz parfait PA   = PB   ou TB = TA  B   ρA   ρB   PA  γ −1    PB  γ   . En conclusion, v B = 2cP TA 1 −     PA    

222

γ −1 γ

.

A

Doc. 24. Tuyère.

B

7. Bilans mécaniques et énergétiques 4.5.1.2. Deuxième cas : écoulement non isentropique

Si nous tenons compte de l’irréversibilité des transformations subies par les éléments de fluide, il y a création d’entropie à l’intérieur de la tuyère. sB > sA , donc

PB v γB

>

PA v γA ,

P  ou encore TB > TA  B   PA 

γ −1 γ

, soit :

γ −1   γ   P v B < 2cP TA 1 −  B   .   PA    

Application

7

Détente polytropique dans une tuyère

1) La détente est isentropique. Déterminer la vitesse de sortie et le débit massique. 2) On modélise l’irréversibilité de la détente par :  1 T d s = λ P d   ρ avec l = 0,1 . Déterminer à nouveau la vitesse et le débit.

D’où le débit massique Dm = rB v a = 61 g . s–1 . 2) Montrons que l’hypothèse revient à écrire Pr–k = cte (détente polytropique). Bilan entropique :  1  1 T d s = λ P d  = du + P d  .  ρ  ρ Le gaz est parfait ; si M est sa masse molaire : P = r RT , d’où : M d’oùMc V d u = cV d T = R =

1) D’après l’étude précédente : γ −1   γ   P v = 2cP TA 1 −  B   = 665 m . s −1 .   PA    

TB = 379 K et

ρB =

M PB = 0, 92 kg . m − 3 . RTB

d’où

 P 1   − 2 d ρ + d P ρ ρ  

1  P 1  − d ρ + d P , γ − 1  ρ 2 ρ  dP dρ −k = 0 avec k = g – l (g – 1) . P ρ


De l’air comprimé se détend dans une tuyère. Les données et hypothèses sont les suivantes. • L’air est assimilé à un gaz parfait, de chaleur massique à pression constante cP = 1,0 kJ . K–1. kg–1 , de rapport g = 1,4 , et de masse molaire 29 g. mol – 1. • À l’entrée de la tuyère, sa vitesse est négligeable, et il est dans un état A : TA = 600 K et PA = 5,0 bar. • À la sortie de la tuyère, sa pression est PB = 1 bar. • La section de sortie de la tuyère est a = 1 cm2 .

Il suffit de remplacer g par k dans les expressions donnant TB et v . Nous obtenons : k = 1,36 ; TB = 392 K ; v = 645 m . s–1 ; rB = 0,89 kg . m–3 ; Dm = 57 g . s–1 .


223


4.5.2. Bilan d’énergie mécanique pour un écoulement permanent unidimensionnel P peut donc être considérée comme une ρ fonction des deux variables d’état P et s , dont la différentielle est 1 d h = d P + T d s *. ρ La fonction enthalpie massique h = u +

* Rappelons que cette expression ne fait aucune hypothèse sur la nature, réversible ou non, de la transformation subie par le fluide. Elle est équivalente à affirmer qu’il existe une fonction d’état h(P, s) , avec : 1  ∂h   ∂h  =   et T =   .    ∂s  P ∂P s ρ

Identifions la différentielle de la fonction h(P, s) et l’expression du bilan enthalpique : 1 1 d h = d P + T d s = δ q + δ wu − d(v 2 ) − g d z . ρ 2 D’après le deuxième principe, T ds

1 1 d(v 2 ) + g d z + d P . 2 ρ

δq , soit δwu

Donc, entre deux points A et B d’un écoulement : wu

1 2 (v B − v A2 ) + g( z B − z A ) + 2

B

A

1 dP . ρ

Pour interpréter ce résultat, nous pouvons considérer que le travail utile est utilisé pour : 1 2 (v B − v A2 ) + g( z B − z A ) ; • augmenter l’énergie mécanique du fluide : terme 2 B

• « transvaser » le fluide depuis l’état A jusqu’à l’état B : terme A

1 dP ; ρ

• compenser l’énergie dissipée par les frottements internes si le fluide est visqueux, ce qui explique le sens de l’inégalité. Nous aurions pu établir directement cette expression en effectuant un bilan d’énergie mécanique. 4.5.3. Écoulement pur d’un liquide On entend par écoulement pur, un écoulement sans travail utile, c’est-à-dire sans machine. Pour un liquide, supposé incompressible, nous pouvons simplifier l’expression précédente : © Hachette Livre, H-Prépa Mécanique des fluides, 2e année, PC et PSI, La photocopie non autorisée est un délit.

B

A

P −P 1 dP = B A . ρ ρ

Le travail utile étant nul, il reste :  v A2 PA   v B2 PB  ϖ  2 + ρ + gz A  −  2 + ρ + gz B  = ρ    

0.

La grandeur v , homogène à une pression, est appelée perte de charge. • Si le fluide est non visqueux, l’écoulement ne créée pas d’entropie, et la perte de charge est nulle. Nous retrouvons alors l’équation de Bernoulli. • Si le fluide est visqueux, la perte de charge est positive. Cela signifie en particulier qu’à vitesse et altitude égales, la pression diminue d’amont en aval.

224

Doc. 25. Perte de charge lors d’un écoulement de fluide réel incompressible dans un tuyau de section constante.


CQFR ●

SYSTÈMES OUVERTS ET SYSTÈMES FERMÉS

Un système est fermé s’il n’échange pas de matière avec l’extérieur. Un système ouvert, par opposition, peut échanger de la matière avec l’extérieur. • Un système ouvert n’est pas défini par un ensemble déterminé de particules matérielles, mais par une frontière appelée surface de contrôle, choisie fixe. • Un système fermé est défini par un ensemble déterminé de particules matérielles. La frontière * délimitant un système fermé, appelée surface particulaire, est mobile dans le référentiel d’étude : les points de * se déplacent à la vitesse locale du fluide. Les lois de la mécanique et de la thermodynamique sont relatives à des systèmes fermés. ●

DÉBIT CONVECTIF D’UNE GRANDEUR EXTENSIVE

• Le débit DG à travers une surface unité de temps.

de la grandeur extensive G est égal à la quantité de G traversant

par

Nous appelons débit convectif, le débit de G associé au transport de matière. • Dans le cas d’un écoulement unidimensionnel, le débit convectif d’une grandeur extensive G s’exprime en fonction du débit massique et de la grandeur massique gm par DG = gm Dm . Par exemple, l’énergie cinétique massique est eKm = 1 v 2, et le débit d’énergie cinétique est D = 1 Dmv 2 . 2 2 ●

BILANS

Soit

un système ouvert et

* le système fermé coïncident avec

à l’instant t .

La dérivée par rapport au temps d’une grandeur extensive relative à * s’obtient à partir d’un bilan entre deux instants voisins. Par exemple, pour l’énergie cinétique : ( int + ext ) dt = K * (t + dt) – K * (t) = K (t + dt) – K (t) + δ K2 – δ K1 , avec δ K1 l’énergie cinétique de la matière entrant dans pendant dt et δ sortant de pendant dt . En régime permanent, l’état de est invariable, et le bilan se simplifie : ( int + ext ) dt = δ K2 – δ K1 .

l’énergie cinétique de la matière

BILANS ENTHALPIQUES


●

K2

• Dans le cas d’un écoulement permanent unidimensionnel, la puissance mécanique utile et la puissance thermique, reçues par le système entre deux points A et B , s’expriment simplement au moyen de la fonction enthalpie massique h = u + P . r th +

u=

(hB – hA) + 1 (v 2B – v 2A ) + g(zB – zA) Dm . 2

• Le travail utile massique wu (encore appelé travail massique indiqué wi ), et la chaleur reçue massique q , reçus par le fluide entre deux sections d’un écoulement unidimensionnel permanent s’expriment par : q + wu = (hB – hA) + 1 (v 2B – v 2A ) + g(zB – zA) . 2

225

Contrôle rapide Avez-vous retenu l’essentiel ? ✔ Qu’appelle-t-on système fermé et système ouvert ? ✔ Quel lien a-t-on entre grandeur massique et débit massique pour un écoulement unidimensionnel ? ✔ Comment s’exprime le bilan d’énergie cinétique pour un système ouvert ? ✔ Donner le bilan thermodynamique obtenu en régime permanent pour un écoulement unidimensionnel.

Du tac au tac (Vrai ou faux) 1. Les théorèmes fondamentaux de la mécanique et de la thermodynamique s’appliquent à : ❑ a. un système ouvert ❑ b. un système fermé ❑ c. un système délimité par une surface de contrôle fixe dans le référentiel d’étude.


2. Le débit d’énergie cinétique est : • à travers une surface S fixe : 1 v 2v➞. dS➞ ❑ a. 2

• dans le cadre d’un écoulement unidimensionnel : ❑ d. 1 Dm v 2 2

❑ b.

1 rv 2v➞. dS➞ 2

❑ e. 1 rSv 2 2

❑ c.

1 rv 2 . dS➞ 2

❑ f. 1 rSv 3 2

3. Pour un écoulement permanent unidimensionnel, la puissance mécanique utile et la puissance thermique reçues par le système entre deux points A et B s’expriment au moyen de l’enthalpie massique : ❑ a. h = u + P r ❑ b. h = u + rP ❑ c. par la relation th + u = hB + hA + 1 (v B2 + v A2 ) + g(zB + zA) Dm 2 ❑ d. par la relation

th

–

u

= hB – hA + 1 (v B2 – v A2 ) + g(zB – zA) Dm 2

❑ e. par la relation

th

+

u

= hB – hA + 1 (v B2 – v A2 ) + g(zB – zA) Dm 2 Solution, page 234.

226

Exercice commenté Rendement d’une hélice

D’après Mines-Ponts.

ÉNONCÉ

Une hélice d’éolienne, dont on négligera l’épaisseur, tourne autour d’un axe (Ox), fixe dans le référentiel d’étude. Elle est immergée dans l’air, fluide de masse volumique r que l’on supposera incompressible et dont on néglige la viscosité. Loin de l’hélice, le fluide est animé d’une vitesse constante et uniforme, parallèle à l’axe de rotation de l’hélice (Ox) . Le tube de courant qui englobe l’hélice a une section droite d’aire variable A(x) . tube de courant de section variable A(x)

support de l’hélice hélice Vd

v H– x’

P0

P0 Ag

P– Vg = vg ex

P+ AH– AH+ AH

x

v H+ A d

Nous admettons les hypothèses simplificatrices suivantes : • à l’extérieur de ce tube de courant, la pression est uniforme et égale à P0 ; • la vitesse et la pression du fluide sont uniformes sur une section droite du tube ; ➞ • en amont de l’hélice, et suffisamment loin, la pression est P0 , la vitesse du fluide est V g = vg e➞x , et la section gauche a une aire Ag ; ➞ • en aval de l’hélice, et suffisamment loin, la pression est P0 , la vitesse du fluide est V d = vd e➞x , et la section droite a une aire Ad ; • au voisinage immédiat de l’hélice, et de part et d’autre de son plan (respectivement en amont et en aval) : – les pressions sont désignées par P– et P+ ; – les sections droites du tube de courant ont une aire AH– = AH+ = AH ; – les vitesses sont désignées par vH– e➞x et vH+ e➞x ; • les tourbillons sont supposés être localisés uniquement dans l’espace situé entre AH– et AH+ . 2) Peut-on appliquer la relation de Bernoulli à certaines parties de l’écoulement ? En déduire une relation liant P+ , P– , vg , vd et r . ➞

➞ 3) Déterminer de deux façons la force F = F e x exercée par le fluide sur l’hélice. En déduire v H en fonction de vg et vd , puis F en fonction de r , AH , vg et vH .

4) Déterminer la puissance cédée par le fluide à l’hélice. On pose vH = vg u . Déterminer, pour AH et vg données : • la valeur uF de u qui rend F maximale, et les expressions Fm et • la valeur u de u qui rend maximale, et les expressions F et Tracer les courbes F(u) et

F m

correspondantes de la force et de la puissance ; correspondantes de la force et de la puissance.

(u) . Commenter.

5) Définir le rendement énergétique r de l’hélice. Exprimer r en fonction de u et préciser la valeur numérique du rendement maximal rm . 6) On suppose que l’on a pu construire une hélice de rendement optimal. Données : AH = 3 m2 , vg = 10 m . s–1 et r = 1,2 kg . m–3 (air atmosphérique). Déterminer la force exercée par l’air sur l’hélice et la puissance reçue.

227


1) De la conservation du débit, déduire des relations reliant les aires et les vitesses. On posera vH = vH– = vH+ .

Exercice commenté CONSEILS

SOLUTION

1) Le fluide étant incompressible, le débit massique (Dm = r A v) a la même valeur à travers toutes les sections ; cela nous donne : Ag vg = AH– vH– = AH+ vH+ (= AH vH) = Ad vd . Il est clair que la relation de Bernoulli ne s’applique pas sur la totalité d’une ligne de courant. Si cela était le cas, nous aurions vd = vg , Ad = Ag et l’hélice n’échangerait ni quantité de mouvement, ni énergie cinétique avec le fluide. En revanche, il est possible de l’appliquer sur certains tronçons de ligne de courant. Commencer par énoncer toutes les conditions d’application de cette relation. Peut-on envisager que le mouvement est indépendant du temps au niveau de l’hélice ? Où est la zone de tourbillon ?

2) En amont (entre Ag et AH–) et en aval (entre AH+ et Ad) : • l’écoulement est indépendant du temps. Remarquons qu’il est aussi irrotationnel (sans tourbillon) ; • le fluide est incompressible et non visqueux. Nous pouvons donc appliquer la relation de Bernoulli dans ces deux domaines, en particulier sur la ligne de courant, qui coïncide avec l’axe de symétrie de l’écoulement : 1 • en amont : P− − P0 = ρ (v H2 − v g2 ) ; 2 P+ − P0 =

• en aval :

1 ρ (v H2 − v d2 ) . 2

1 ρ (v g2 − v d2 ) . 2 En revanche, il est difficile de modéliser l’écoulement dans l’espace situé entre AH– et AH+ . P+ − P− =

D’où :

En effet, même si nous faisons l’hypothèse que le mouvement est permanent ∂ ( = 0), il existe un transfert d’énergie entre le fluide et l’hélice . La relation de ∂t Bernoulli n’est donc pas applicable dans cette zone. Il y a des tourbillons au niveau de l’hélice. Cette question délicate utilise les résultats des questions précédentes. Il faut pouvoir exprimer cette force en fonction des pressions P+ et P– d’une part, et en fonction des vitesses vg et vd d’autre part. © Hachette Livre, H-Prépa Mécanique des fluides, 2e année, PC et PSI, La photocopie non autorisée est un délit.

De quelle grandeur extensive faut-il faire un bilan pour déterminer une force ?

3) Premier calcul Soit le système ouvert 1 formé par le fluide compris entre les deux plans, situés en amont (AH– ) et en aval (AH+ ), très près de l’hélice. Effectuons un bilan pour la quantité de mouvement du système fermé *1 coïncident à l’instant t : ➞ ➞ p * (t) = ➞ p (t) et ➞ p *(t + dt) = ➞ p (t + dt) + Dm d t (v sortie − v entrée ) ex . 1

1

1

1

➞

Nous savons que p est constant pour le système ouvert vsortie = ventrée = vH . ➞ p * ➞ ➞ ➞ ➞ 1 Donc = 0 , soit F pres→ 1 + F hélice→ 1 = 0 . dt Connaissant les pressions sur les deux faces de ➞

➞

F fluide→ hélice = − F hélice→

= F pres→

et que :

:

➞

1

1

➞

1

= ( P− − P+ ) AH ex .

Second calcul Soit le système ouvert 2 formé par le fluide compris entre les deux plans éloignés repérés par les indices g et d .

228


*: 2

Effectuons un bilan de ➞ p pour le système fermé ➞

p

➞

(t ) = ➞ p

(t ) = *2

2

(t )

➞

et

➞

➞

(t + d t ) = ➞ p

p

(t *2

2

(t + d t ) + Dm d t (v d − v g ) ex .

Comme ➞ p est constant pour le système ouvert 2 , nous pouvons écrire : ➞ d p *2 ➞ ➞ ➞ = F pres→ 2 + F hélice→ 2 = Dm (v d − v g ) ex . dt ➞ ➞ 2 est entièrement plongé dans un milieu de pression P0 donc F pres→ 2 = 0 , et : ➞

➞

F fluide→ hélice = − F hélice→

➞

2

= Dm (v g − v d ) ex .

Identifions les deux expressions de la force Dm (v g − v d ) = ( P− − P+ ) AH = d’où v g + v d = 2

Dm = 2 v H , soit : ρ AH

1 v H = (v g + v d ) 2

Quand on explicite une fonction, et, avant d’en représenter le graphe, il est indispensable d’en donner le domaine de définition. Les limitations de ce domaine peuvent être de nature mathématique, ou physique : f(u) peut être mathématiquement définie pour des valeurs de u qui n’ont pas de sens physique.

et

F = 2 r AH (vg – vH) vH . * 1

4) Effectuons un bilan d’énergie cinétique pour le système tion 3).

défini à la ques-

L’énergie cinétique de 1 est constante (régime permanent), et l’énergie cinétique entrante est égale à l’énergie cinétique sortante, donc : d K * 1 = pres + hélice = 0. dt La puissance

fournie par le fluide à l’hélice, opposée à =

hélice , est donc : 2 pres = AH vH (P– – P+) = 2 r AH (vg – vH) vH .

En utilisant la variable adimensionnée u : F = 2 ρ AH v g2 u (1 − u)

= 2 ρ AH v g3 u 2 (1 − u) .

et

1 1 v g . Les fonctions F(u) et vd est positif et v H = (v g + v d ) 2 2 1 définies que pour u et u < 1 . 2 Les courbes tracées page suivante (pour f (u ) =

F (u ) = 2 u(1 − u) ρ AHv g2

• F est maximale pour u = uFm = •

est maximale pour u = u

m

1 < u < 1 ) correspondent à : 2

et p(u) =

(u) = 2u2 (1 – u) . r AHv 3g

1 1 ; Fm = ρ AHv g2 ; 2 2

=

2 ;F 3

(u) ne sont © Hachette Livre, H-Prépa Mécanique des fluides, 2e année, PC et PSI, La photocopie non autorisée est un délit.

De quelle grandeur extensive faut-il faire un bilan pour déterminer une puissance mécanique ?

1 ρ AH (v g2 − v d2 ) , 2

m

=

4 ρ AHv g2 ; 9

Fm =

1 ρ AHv g3 . 4

m=

8 ρ AHv g3 . 27

229

Exercice commenté p × 0,1

f × 0,1 4,8 4,2 3,6 3 2,4 1,8 1,2 0,6 0

2,8 2,4 2 1,6 1,2 0,8 0,4 0,2

0,4

0,6

0,8

1 u

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1 u

Remarques 1 AH . La totalité de la quantité de mouvement du 2 fluide est cédée à l’hélice. La force est donc bien égale au débit entrant de quantité de mouvement : F = Dmv g = 1 r AH v 2g . 2 • Si u = uF , vd = 0 et Ag =

1 , vd augmente et la quantité d’énergie cinétique 2 cédée par chaque élément de fluide diminue ; mais, la section d’entrée augmentant, le débit augmente et le produit (énergie cinétique massique perdue × débit) 2 passe par un maximum pour u = . 3 • Si u augmente au-delà de


Un rendement, en général, est défini par le rapport entre la quantité « récupérée » et la quantité « disponible » d’une même grandeur. Quelle serait, en l’absence d’hélice, la quantité d’énergie disponible par unité de temps, pour un appareil occupant la même surface que l’hélice ?

5) En l’absence d’hélice, l’air garde la vitesse vg et son énergie cinétique mas1 sique est v g2 . La puissance disponible sur un appareil de même encombrement 2 que l’hélice est égale au débit d’énergie cinétique à travers la surface AH , soit : 1 1 2 3 disponible = 2 Dmv g = 2 ρ AH v g . Le rendement est alors r =

disponible

= 4 u 2 (1 − u) .

16 2 est obtenu pour u = . La puissance disponible 27 3 étant une constante, le rendement et la puissance sont proportionnels. Le rendement maximal rm =

6)

230

= 1,07 kW avec F = 160 N .

Exercices Compteur de gaz Le méthane, principal constituant du gaz naturel, peut céder par combustion à 300 K une énergie Qmol = 890 kJ . mol–1 . Quel est le débit volumique à 300 K en m3. h–1 d’une canalisation qui alimente un brûleur dont la puissance théorique est de 20 kW ?

dans le référentiel de la plaque P . Le jet garde une section uniforme, sa pression reste égale à la pression atmosphérique et on néglige toute viscosité. 1) Calculer le débit D/P du jet dans le référentiel

P.

2) Calculer la force exercée sur la plaque.

Puissance d’une pompe De l’eau s’écoule avec un débit massique Dm à partir d’un orifice fixe dans un tuyau horizontal, rigide, de section constante S . Le tuyau est coudé, et la direction moyenne subit une rotation a . La face extérieure du tuyau est dans l’atmosphère, de pression P0 ; le tuyau est maintenu en place par des colliers et des boulons. partie fixe

colliers et boulons de fixation du tuyau pression P1

Calculer la puissance α

ex ey

Une pompe aspire l’eau d’un puits, et la transvase dans un réservoir pressurisé avec un débit massique Dm constant. Le niveau supérieur de l’eau dans le réservoir est à une altitude h au-dessus de celui du puits, et la pression y est égale à P1 , supérieure à la pression atmosphérique P0 .

pression atmosphérique P0

En aval, l’eau est rejetée dans l’atmosphère, et en amont, la pression est P1 , supérieure à P0 . La perte de charge suit une loi linéaire P1 – P0 = K Dm . Calculer : a) la force exercée par l’eau sur le tuyau ; ➞

b) la résultante des forces R exercée par {les colliers, les boulons et la partie fixe} sur le tuyau pour maintenir l’ensemble en place.

g

P1

h

fournie par la pompe au fluide :

a) si on néglige toute viscosité ; b) si la perte de charge ∆P dans les tuyaux est proportionnelle au débit, c’est-à-dire ∆P = K Dm . On admettra que la puissance des forces de viscosité ne dépend que du débit, et non de h et P1 .

Mélangeur Un robinet mélangeur admet de l’eau froide (température T1 , débit massique D1 ), et de l’eau chaude (T2 , D2 ). Déterminer la température Tf de l’eau sortant du robinet. Préciser les hypothèses.

A.N : D = 1 kg . s–1 ; S = 10 cm2 ; K = 0,2 bar . kg–1 ; a = 90° .

Jet sur une plaque mobile Une plaque, perpendiculaire à la direction horizontale α (Ox) , est en translation, de ➞ ➞ vitesse constante v = v e x . v0 e v y Elle est « poussée » par un jet ex d’eau, dont la vitesse est v➞0 = v0 e➞x et le débit massique Dm . Un déflecteur dévie le jet d’un angle dont la valeur est a indiqué sur le schéma

Compresseur Un compresseur adiabatique amène de l’air de l’état 1 atmosphérique (P1 = 1 bar, T1 = 300 K) jusqu’à l’état 2 (P2 = 6 bar, T2). La puissance du moteur qui l’entraîne est de 1,5 kW, et le débit massique est de 6,5 g . s–1. Pour l’air, assimilé à un gaz parfait : cp = 1,0 kJ . kg–1. K–1 et g = 1,4 . 1) Calculer la température T2 . 2) Calculer l’entropie créée par unité de temps. 3) Quel serait le débit si l’évolution de l’air était isentropique ?

231


Force sur un tuyau coudé

Exercices Réfrigérant De l’air chaud (P1 = 6 bar, T1 = 500 K) est refroidi de façon isobare jusqu’à la température T0 de 300 K, dans un échangeur parfaitement calorifugé. Le fluide réfrigérant est constitué par de l’eau (chaleur massique c = 4,18 kJ.kg – 1 .K–1) qui entre à la température qe = 12 °C et qui sort eau à qs . Le débit d’eau –1 est d = 100 g . s et air celui de l’air 6,5 g . s–1. On donne : c P air = 1,0 kJ.kg – 1 .K–1). Calculer qs .

Force sur une lance d’incendie Un tuyau souple, de section S se termine par un embout dont la pression P1 section terminale s est très petite devant ex S . La pression dans le tuyau est P1 et le jet section s << S ey sort dans l’atmosphère pression P0 à la pression P0 . L’embout fait un angle droit avec la partie antérieure du tuyau. La vitesse du jet sera supposée très grande devant la vitesse du fluide dans le tuyau. L’eau étant assimilée à un fluide parfait, calculer le débit mas➞ sique Dm et Fy , composante parallèle au jet de la force F exercée par la personne qui tient la lance. Données : P1 = 10 bars ; P0 = 1 bar ; s = 1 cm2 .


Fusée Une fusée, dont la masse à l’instant t est m , éjecte vers l’arrière les gaz issus de la combustion du carburant et du comburant qu’elle contient. On suppose qu’elle est en translation, de vitesse v➞ par rapport au référentiel d’étude, galiléen, et que la vitesse u➞ des gaz éjectés dans le référentiel f de la fusée est uniforme et constante. Dm représente leur débit massique. ➞ 1) Calculer la poussée de la fusée, c’est-à-dire la force FP qu’il faudrait appliquer à un système fermé soumis aux mêmes forces extérieures pour obtenir la même accélération. 2) La fusée, de vitesse initiale nulle, n’est soumise à aucune interaction extérieure. Le débit est constant et la masse finale est une fraction a de la masse initiale m0 .

232

u

tuyère

chambre de combustion

réservoirs

Calculer l’énergie cinétique finale K finale de la fusée. La masse initiale étant fixée, pour quelle valeur am de a , K–finale est-elle maximale ? Définir le rendement énergétique mécanique r et le calculer pour a = am .

Tourniquet d’arrosage Un tourniquet d’arrosage est constitué d’un tube vertical d’axe (Oz) , et d’un tube horizontal constitué de deux bras de longueur a , terminés par des embouts dont la section terminale est S . Le tube horizontal peut tourner autour de l’axe fixe (Oz) . On néglige l’épaisseur des tubes, et on suppose les écoulements unidimensionnels. Le moment d’inertie par rapport à l’axe (Oz) du tourniquet et de l’eau qu’il contient est J , et, lorsqu’il tourne à la vitesse angulaire w , il est soumis à un couple résistant constant de valeur absolue G . Le débit massique d’eau est Dm . +

eθ

ω Dm

ez

α –u

B

er

A O

α

u

1) Établir l’équation différentielle en w (t). 2) Calculer wp , valeur de w en régime permanent. 3) w étant nul à l’instant initial, étudier le régime transitoire.

Profil d’une tuyère On suppose, pour simplifier, que l’écoulement du gaz dans une tuyère est unidimensionnel, permanent, adiabatique et isentropique. Le but de l’exercice est de relier la vitesse d’écoulement v (x) à la section S(x) de la tuyère. Le gaz entre dans la tuyère en x = 0 , avec une vitesse v (0) négligeable, une pression P(0) = PA , une température T(0) = TA et une masse volumique r(0) = rA . Le gaz est supposé parfait, de masse molaire M . Le rapport g est supposé constant et connu.


• Échangeur adiabatique (E)

x’

S(x)

B

O

Efficacité ε = x

1) Exprimer la relation qui existe entre la vitesse v (x) et la masse volumique r(x) . 2) Exprimer la relation entre le débit massique D, v (x) et S(x) . 3) Discuter, selon la vitesse d’éjection du gaz vB , l’allure du profil de la tuyère.

Moteur à turbine

• Chambre de combustion (C.H.) Parois adiabatiques ; combustion isobare ; rendement hc = 0,97 . (chaleur reçue par le fluide) . Par définition, ηc = (chaleur de combustion) On néglige : • les pertes de charge, d’où P2 = P3 = P4 et P5 = P6 = P1 ; • les variations d’énergies cinétique et potentielle ; • les variations de température dans les canalisations reliant les différents éléments ; • les variations de débit dues au combustible injecté.

D’après ENSAM.

6

On schématise un moteur. Le fluide qui circule est de l’air, assimilable à un gaz parfait. Données : cp = 1,0 kJ . K–1. kg–1 et g = 1,4 . Le débit massique de l’air est Dm = 0,9 kg . s–1.

Rendement mécanique hm = 0,95 ;

p2 = 4 ; compresp1 sion adiabatique ; rendement indiqué par rapport à l’isentropique : hsc = 0,9 . W′ Par définition, ηsc = i avec Wi le travail indiqué et Wi′ Wi air aspiré : t1 = 10 °C et p1 = 1,0 bar ;

le travail indiqué d’une isentropique fictive entre l’état 1 et la pression P2 . • Turbine (T.U.) Rendement mécanique hm = 0,95 ; température d’admisW sion : t4 = 927 °C ; détente adiabatique, avec ηst = i = 0, 81 . Wi′ La turbine entraîne le turbocompresseur et la transmission du véhicule.

5 E 3 1

Les éléments ont les caractéristiques suivantes. • Turbocompresseur (T.C.)

t3 − t 2 = 0, 74 . t5 − t2

2

C.H.

4 T.C.

T.U.

transmission

1) Calculer la température t2 ainsi que la puissance fournie à l’arbre du compresseur.

C

2) Calculer la température t5 ainsi que la puissance T disponible sur l’arbre de la turbine. En déduire la puissance u reçue par la transmission du véhicule. 3) Calculer la température t3 , le rendement global h , et le débit massique horaire Dh du combustible, dont le pouvoir calorifique est égal à 4,0 . 104 kJ . kg–1. 4) Calculer la température t6 à la sortie de l’échangeur.

233


A

Corrigés Solution du tac au tac, page 226. Faux : a, c 1. Vrai : b ;

2. Vrai : b, d, f ; 3. Vrai : a, e ;

Le système {plaque + eau en contact avec le déflecteur} est soumis à la pression atmo➞ sphérique (de résultante nulle) et à une force – F qui compense la force exercée par le jet. Un bilan de quantité de mouvement pour ce système donne :

Faux : a, c, e Faux : b, c, d

2

D = q Dm = Qmol Dmol = Qmol vol . Le volume molaire est de 24,6 L (en Vmol

 v ➞ ➞ ➞ ➞ ➞ ➞ – F = D/P (V ′/P – V /P), soit F = Dm v0 1 −  [(1 + cosa)e x – sina e y ] .  v0 

supposant le gaz parfait) et Dvol = 1,99 m3. h–1 . a) En effectuant un bilan de quantité de mouvement pour le fluide contenu à l’instant t dans le tuyau, dont la vitesse est v = ➞

➞

➞

Dm , on obtient : ρS

➞

➞

➞

➞

F tuyau→eau + P1 S e x – P0 S (cosa e x + sina e y ) = Dm [v (cosa e x + sina e y ) – v e x] . On en déduit :

b) On étudie l’ensemble des forces s’exerçant sur le tuyau.

➞

➞

➞

S

➞

➞

➞

➞

➞

➞

➞

*

(t + d t ) −

 D2  ➞ R = −  m + P0 S [(1 – cosa)e➞x – sina e➞y ] – K Dm S e➞x  ρS  ➞

➞


+ P0 S [(1 – cosa)e x – sina e y ]  D2  ➞ ➞ ➞ = −  m  [(1 – cosa)e x – sina e y ] – K Dm S e x .  ρS Cette force ne dépend pas de la pression atmosphérique. Ce résultat peut aussi s’établir par un bilan de quantité de mouvement relatif au système {tuyau + eau}. A.N : Rx = – 21 N et Ry = + 1 N .  v 1) D/P = r S (v0 – v) et Dm = r S v0 , donc D/P = Dm 1 −  si v < v0 .  v0  2) P est galiléen. La conservation de l’énergie dans P implique que la vitesse (scalaire) de l’eau est constante dans P (on ne tient pas compte de la pesanteur). ➞

La vitesse du jet incident dans P est V /P = (v0 – v)e x . ➞

➞

La vitesse du jet émergent dans P est V /P′ = (v0 – v) (– cosa e x + sina e y ) .

234

M

*

(t ) = ( +

pres )d t ,

d’où

Dm . ρ

 P −P  = Dm  gh + 1 0  . ρ  

visc

=−

pression

= − Dm

∆P D2 = −K m . ρ ρ

 P −P  D2 = Dm  gh + 1 0  + K m . ρ  ρ 

ce qui donne R = – R 0 – F eau→tuyau , soit :

➞

(t ) .

Comme visc est indépendante de h et de P1 :

➞

R 0 + R + F eau→tuyau = 0 ,

➞

M

pres = P0 Spuits vpuits – P1 Sréservoir vréservoir = (P0 – P1)

bilan d’énergie donnerait

➞

➞

(t + d t ) =

b) Il faut ajouter dans le bilan la puissance des forces intérieures de viscosité. On suppose que le moteur ne fonctionne pas, avec h = 0 et P1 = P0 – ∆P . Alors, le

soit R 0 = – P0 S [(1 – cosa) e x – sina e y ] . Pour le tuyau fixe, on a (en négligeant son poids) :

M

La puissance des forces de pression est :

M

R 0 + P0 S e x – P0 S (cosa e x + sina e y ) = 0 ,

➞

• L’énergie potentielle massique entrante est nulle (z = 0).

Le régime étant permanent, on sait que P0 atmosphérique

➞

• Les énergies cinétiques massiques entrante et sortante sont négligeables. • L’énergie potentielle massique sortante est égale à g h . Donc : M * (t + d t ) − M * (t ) = M (t + d t ) − M (t ) + Dm d t ( gh − 0 ) = Dm d t ( gh − 0 ) .

 D2  ➞ ➞ ➞ ➞ F eau→tuyau =  m + P0 S [(1 – cosa) e x – sina e y ] + K Dm S e x .  ρS 

La résultante des forces dues à un champ de pression uniforme sur une surface fermée est nulle. Pour calculer la résultante des forces de pression atmosphérique ➞ R 0 s’exerçant sur l’extérieur du tuyau, on S imagine donc une situation où le système serait tout entier plongé dans un milieu de pression P0 . La résultante des forces de pression serait nulle, donc :

a) On effectue un bilan d’énergie mécanique pour le système * constitué par l’eau comprise, à l’instant t , dans un tube de courant qui relie la surface supérieure du puits à celle du réservoir. L’origine des énergies potentielles est choisie au niveau de la surface du puits.

Hypothèses On peut supposer le robinet adiabatique (du moins en régime permanent, lorsque les tuyaux sont chauds). De plus, la capacité thermique massique à pression constante c de l’eau ne dépend pas de la température dans l’intervalle considéré. En régime permanent, l’enthalpie entrant dans le robinet pendant dt est égale à l’enthalpie sortant pendant la même durée. rCm D1 T1 dt + rCm D2 T2 dt = rCm (D1 + D2)Tf dt , soit Tf =

1) Le gaz étant parfait,

D1T1 + D2T2 . D1 + D2

= Dm ∆h = Dm cp (T2 – T1) , d’où T2 = 531 K .

  T  γ − 1  P2   ln   . 2) Pour un gaz parfait, dh = cp dT = T ds + v dP et ∆ s = cp ln 2  −   T1  γ  P1  


On effectue un bilan d’entropie pour le système fermé * coïncident avec le système ouvert constitué par le compresseur et le gaz qu’il contient : dS * dS = + Dm ssortie − Dm sentrée . dt dt L’entropie de étant constante et * en évolution adiabatique, ce bilan d’entropie conduit à : d Scréée = Dm ∆ s = 0, 38 J . K −1 . s−1 . dt 3) À l’issue d’une isentropique, la température serait de 501 K et le débit de 7,5 g . s–1. Les puissances thermiques reçues par les deux fluides entre l’entrée et la sortie sont opposées. Pour chaque fluide, un bilan enthalpique donne :

➞

➞

➞

➞

➞

(L’analyse peut aussi être menée dans le référentiel d’étude, sans force d’inertie.) 2) m(t )

dv dv = (m0 − Dmt ) = Dm u . dt dt

Cette équation s’intègre en v(t ) − 0 = u ln Donc vfinale = – u ln a et

K finale

m0 . m0 − Dmt

1 = m0 u2 α (ln α )2 . 2

La fonction f(a) = a (ln a)2 admet un maximum pour ln a + 2 = 0 . K finale est donc maximale pour a = a m = 0,14 . La combustion dans le réacteur permet de créer, pour une masse dm qui va être éjectée : de l’énergie cinétique macroscopique dm 1 u2, et de l’énergie interne (les 2 gaz éjectés sont chauds). Si le premier terme, utile pour la propulsion, est prépondérant, l’énergie que doit fournir la combustion est au total :

Dm(hsortie – hentrée ) = th . Dm cp (T1 − T0 ), d’où qs = 15,1 °C . Donc d ∆heau + Dm ∆hair = 0 , soit θs = θ e + dc

comb = m0 (1 – a )

Le fluide étant parfait, incompressible et en régime permanent, on peut calculer le débit en utilisant la relation de Bernoulli le long d’une ligne de courant. 2 2 v jet v tuyau P P + 0 + gz = + 1 + g z et Dm = r s vjet . ρ 2 ρ 2

2

1) Soit

= 2( P1 − P0 ) et Dm = ρ sv jet = s 2 ρ( P1 − P0 ) .

Un bilan de quantité de mouvement appliqué au système formé par l’embout, le coude du tuyau et le fluide qu’il contient donne : ➞

➞

➞

➞

➞

➞

➞

Or :

D’où : ➞

➞

➞

➞

➞

– P0 dS = + P0 S e x + ➞

➞

reste du système

reste du système ➞

– P0 dS

➞

– P0 dS = 0

le système ouvert constitué par le tourniquet et l’eau qu’il

contient (il est plus simple d’inclure le tourniquet dans le système, car les forces extérieures sont dans ce cas faciles à déterminer) et * le système fermé coïncident à l’instant t . L représentant le moment cinétique par rapport à l’axe de rotation, on effectue un bilan de moment cinétique dans le référentiel d’étude, supposé galiléen. 1 • Pendant dt , une masse δm = Dm d t sort par chaque embout, avec une vitesse 2 D ➞ dont la composante selon e q est ω a − m cos α . ρS • La masse 2 δm qui entre dans le tube vertical a un moment cinétique nul.   D L * (t + d t ) − L * (t ) = L (t + d t ) − L (t ) + 2δ ma ω a − m cos α  , ρS  

➞

F + (P1 – P0 ) S e x + F ′ ≈ Dm (v jet – v tuyau ) ,

F représentant la force cherchée à exercer sur l’extrémité du tuyau, et ➞ ➞ F ′ = F ′ e x représentant les forces de cohésion du tuyau en amont. Comme vjet >> vtuyau , on a : ➞ ➞ ➞ ➞ ➞ F + (P1 – P0 ) S e x + F ′ ≈ Dm (v jet – 0 ) . On en déduit Fy = 2 s (P1 – P0) . A.N : Dm = 4,2 kg . s–1 et Fy = 180 N . 1) On se place dans le référentiel non galiléen f .

*

dt

=

dL dt

  D + Dm a ω a − m cos α  . ρS  

dL * = −Γ si w > 0 dt Si w > 0 , τ

Soit le système ouvert constitué par la fusée, le carburant et les gaz qu’elle contient, et le système fermé coïncident * . Ce système est soumis à une force d’interaction ➞ ➞ F 0 (pesanteur, frottements, etc.). p est constante (nulle), et le bilan de quantité de mouvement donne : ➞ ➞ ➞ ➞ F 0 + F inertie = Dm u – 0 (le débit entrant est nul) .

dL

d’où :


➞

F + F pression + F = Dm (v jet – v tuyau ), F pression = P1 S e x +

1 u2 2

α (ln α ) et alors : r = Kfinale = r = . Si a = a m , alors r = 0,63 . 1−α comb

2 2 Sachant que v jet >> v tuyau , cela donne : 2 ρ v jet

➞

D’après la définition : F 0 + F P = m a = – F inertie , soit F P = – Dm u .

et

d L d( Jω ) dω = =J . dt dt dt

J dω Γ D . et τ = + ω = ω 0 avec ω 0 = m cos α − Dm a2 ρSa dt Dm a2

2) wp = w0 si Γ <

Dm2 a cos α ou wp = 0 si Γ ρS

Dm2 a cos α . ρS

t   3) ω = ω p 1 − exp  −   .  τ  

235

Corrigés 1) L’écoulement est adiabatique et sans travail utile donc v2 = 2(hA – h) . Le gaz est parfait, d’où (hA – h) = cp (TA – T) . γ −1 γ

P La détente est isentropique, donc T = TA    PA 

Après calculs, on trouve r = r A 1 –

v2 2cp TA

1 g–1

1 g–1

2 v (x)S(x) 1 – v (x) 2cp TA

3) On dérive l’expression précédente :

.

= cte.

S′ v ′ 1 + + S v γ −1

1–

v2 2 cpTA

1) Soit T2′ la température d’une compression isentropique fictive : P  T2′ = T1  2   P1 

=0.

Le tableau des variations de S est donc (si vB > v 0 ) :

v

0

x0 v0

0

xB vB SB

S

S0

• S(0) serait infinie ! Le modèle qui suppose v (0) = 0 ne s’applique donc pas en x=0.


• Appelons T0 la température en x0 . De 1) on tire :

et

236

v 20 = 2

g R T . g+1 M A

= 420, 5 K .

2) Par un raisonnement identique : T5′ = 807,5 K ; T5 = 882 K ; t5 = 609 °C . T = – hm Dm (h5 – h4) et T = 269 kW . T= c+ u La puissance disponible est donc u = 124 kW . 3) D’après l’efficacité de l’échangeur, t3 = 493 °C . Le bilan enthalpique pour CH s’écrit h4 – h3 = cp (T4 – T3 ) = 434 kJ . kg–1 . La puissance thermique fournie par le combustible est donc : h4 − h3 = 447 kW . th = Dm ηc D’où :

gR v 20 = 2cp (TA – T0) = 2 (T – T ) (g – 1)M A 0

γ −1 γ

cp 1 Le bilan enthalpique s’écrit h2 − h1 = cp (T2 − T1 ) = wi12 = wi′12 = (T2′ − T1 ) , η η d’où t2 = 163 °C . Dm (h2 – h1) = Cu = h m C Dm (h2 − h1 ) , d’où C = 145 kW . C= ηm

v (x) est une fonction croissante et S ′ s’annule pour : γ −1 γ R v = v0 = 2 cpTA = 2 TA . γ +1 γ +1 M x

2TA . g+1

γ RT0 . Il se trouve que c’est aussi l’expression de la vitesse du son à la temM pérature T0 du gaz en x0 . • Si vB (déterminée par la pression PB ) est inférieure à v0 , alors S(x) est seulement décroissante. Conclusion Pour une faible vitesse d’éjection (vB < v0 ) , la tuyère est convergente. Pour une grande vitesse d’éjection (supersonique), la tuyère est convergente (accélération jusqu’à v0 ), puis divergente.

P et ρ = ρ A   .  PA 

vv ′ − cpTA

T0 =

v0 =

1 γ

2) Le débit massique Dm = r v S est constant, car le régime est permanent, soit :

D’où :

et :

h= Dh =

u th

= 0,28.

447 .103 3 600 = 40, 2 kg . h −1 . 4 .10 7

4) L’échangeur est adiabatique, donc h3 – h2 + h6 – h5 = 0 , soit t6 = 279° C.

Champs et calculs vectoriels

Ce chapitre particulier, placé en fin d’ouvrage, présente de façon aussi simple et aussi physique que possible les principaux outils mathématiques utiles à l’étude de la physique des champs. Le but de ce chapitre n’est pas de tout démontrer ; nous présentons néanmoins les liens importants existant entre ces divers opérateurs. Dans cet ouvrage, ce chapitre est constamment rappelé en référence. De plus, il est aussi un complément utile pour l’étude de l’électromagnétisme.

O ■

J

E

C

T

I

F

S

Maîtrise des outils mathématiques nécessaires à l’étude de la physique des champs.

P ■

B


A n n e x e

R

É

R

E

Q

U

I

S

Opérations mathématiques simples.

237


1

Coordonnées d’espace

1.1. Coordonnées cartésiennes

➞

➞

➞

Ce sont les plus simples à utiliser. Les vecteurs unitaires e x , e y et e z forment un trièdre direct. Un point M est défini par ses trois coordonnées➞ x , y et z (doc. 1). – À un déplacement élémentaire de M correspond le vecteur d M , tel que (doc. 2) : –➞ ➞ ➞ ➞ d M = d x ex + d y ey + d z ez . À ces coordonnées sont associés des éléments de surface et de volume (doc. 3). –➞ Toute grandeur scalaire g (ou vectorielle G ) dépendant du point M sera notée –➞ –➞ g(M) = g(x , y , z) (respectivement G (M) = G (x , y , z)) . z

z

z

dy

coordonnée z M

dz

M + dM

ez O

ex

dS2

dS3 y

coordonnée y x coordonnée x

dz

dy

M

dx

y

ey

dS1

M(x, y, z)

y dx

x

x

–➞

Doc. 1. Système de coordonnées cartésiennes. Doc. 2. Le vecteur d M a pour composantes Doc. 3. L’élément de volume d t = d x d y d z Les coordonnées de M sont x , y et z : d x , d y et d z , c’est-à-dire : est délimité par six surfaces élémentaires –➞ ➞ ➞ ➞ planes, dont d S1 = d x d y , d S2 = d x d z et M(x , y , z) . d M = d x ex + d y ey + d z ez . d S3 = d y d z .

1.2. Coordonnées cylindriques Un point M est défini par ses trois coordonnées r , q et z (doc. 4). À ce type de ➞ ➞ ➞ coordonnées sont associés les vecteurs unitaires e r , e q et e z , qui forment une ➞ ➞ base de projection orthogonale dépendant elle-même de M . Les vecteurs e r , e q ➞ et e z forment un trièdre direct (doc. 4). z


ez H

M

K

M O

θ x

r

r

ez H e r

y eθ

Doc. 4a. Système de coordonnées cylindriques. Les coordonnées de M sont r , q et z : M(r , q , z).

O

r

eθ

ez

θ r

H er ➞

➞

Doc. 4b. Disposition des vecteurs e r , e q ➞ et e z .

–➞ À un déplacement élémentaire de M correspond le vecteur d M = d( re➞r + ze➞z ). –➞ En coordonnées cylindriques (doc. 5) : d M = d r e➞r + r d e➞ + d z e➞z .

238

er

eθ

coordonnée r

K

y

z

coordonnée z

z

x

Doc. 4c. Dans le plan (xOy), nous retrouvons un système de coordonnées polaires.

ANNEXE : Champs et calculs vectoriels

À ces coordonnées sont associés des éléments de surface et de volume (doc. 6). Toute grandeur g dépendant du point M sera notée g(M) = g(r , q , z) (ou –➞ –➞ G (M) = G (r , q , z)) . z

z

r

z + dz

dM

z

dz M

dr

dS3 dS2

rdθ

dθ

x

dr

dS1 y

θ

r

z

y

θ

dθ

x

Doc. 5. En coordonnées cylindriques : –➞ ➞ ➞ ➞ d M = d r er + r d q eq + d z ez .

Doc. 6. Mise en évidence des surfaces (et volumes) élémentaires dans le cas des coordonnées cylindriques : d S1 = d r d z ; d S2 = (r + d r) d q d z ; d S3 = r d q d r et le volume a pour expression d t = r d r d q d z . z

er

1.3. Coordonnées sphériques

M

Un point M est défini par ses trois coordonnées r , q et j . À ce type de coordonnées sont associés les vecteurs unitaires e➞r , e➞q et e➞j , qui forment une base de projection orthogonale dépendant elle-même de M . Les vecteurs e➞r , e➞q et e➞j forment un trièdre direct (doc. 7). À un déplacement élémentaire de M correspond –➞ le vecteur d M = d(r e➞r ). En coordonnées sphériques (doc. 8) : –➞ d M = d r e➞r + r d e➞ + r sin d

dr

e .

θ

ϕ dϕ x

dθ r

y

dr

eϕ

y

eϕ u

x

z

y er

θ

r

M

eϕ H

eθ

eϕ u

ϕ dϕ x

r

r sinθ

H

dr dS1 r θ

dM r sinθ dϕ

r

ϕ

eθ

Doc. 7a. Cas des coordonnées sphériques.

z

r dθ

O

r

➞

À ces coordonnées sont associés des éléments de surface et de volume (doc. 9). Toute grandeur g dépendant du point M sera notée g(M) = g(r , q , j) (ou –➞ –➞ G (M) = G (r , q , j)) . z

θ

dS2 r dr

r

x

Doc. 7b. Mise en évidence de la présence de deux systèmes de coordonnées polaires. H est le projeté orthogonal de M sur le plan xOy.

dS3

dθ

z

ϕ

u

ez

y dr

Doc. 8. Coordonnées sphériques : ➞ ➞ ➞ ➞ d M = d r e r + r d q e q + r sinq d j e j .

Doc. 9. Surfaces élémentaires (et volumes) en coordonnées sphériques : d S1 = r d r d q ; d S2 = r sinq d r d j ; d S3 = (r + d r)2 d q sinq dj et le volume a pour expression d t = r2 sinq d r d q d j .

Remarque : Les grandeurs r et θ définies ici diffèrent de leurs homonymes des coordonnées cylindriques. La coordonnée ϕ , et le vecteur unitaire e➞ϕ corres➞ pondant, s’identifient en revanche aux grandeurs θ et e θ des coordonnées cylindriques !

239


z + dz


2

Contours et surfaces

B

2.1. Définitions Soit une courbe reliant deux points A et B de l’espace (doc. 10). Lorsque A et B sont confondus, la courbe est dite fermée : elle définit un contour (doc. 11). Ce contour, non nécessairement plan, délimite alors une surface S non unique. Les surfaces S1 et S2 s’appuient sur le même contour (doc.12).

A

Doc. 10. Courbe non orientée de A à B .

Une surface fermée est une surface limitant un volume V ( doc. 13). Σ2

surface Σ fermée

volume V

Σ A=B

Σ1

Doc. 11. Contour avec une surface associée, s’appuyant sur ce contour.

Doc. 12. Les deux surfaces S1 et S2 s’appuient sur la même courbe fermée (ou contour) .

Doc. 13. Surface S fermée délimitant le volume V associé.

2.2. Conventions d’orientation À un contour, nous associons un sens de parcours : un➞ élément de longueur sca–➞ – –➞ laire d permet de construire le vecteur d M = d T , où T est le vecteur unitaire tangent à la courbe (doc. 14 a et b). À une surface, nous associons une orientation : un élément de surface scalaire d S , –➞ –➞ et sa normale N définissent un vecteur d S , de norme d S et dirigé par la nor–➞ –➞ –➞ male N tel que d S = d S N (doc. 14c). a)

T

B

b)

c) dM

N


dM

Σ

A

Doc. 14a. Courbe

orientée de A à B.

Doc. 14b Courbe contour orienté.

orientée fermée, ou

–➞ –➞ Dans le cas d’un contour, les éléments vectoriels T et N obéissent à une convention d’orientation : • il n’y a pas de convention absolue d’orientation pour un contour (doc. 14b) ; • mais il existe une convention d’orientation entre un contour et les surfaces s’appuyant sur ce contour. La convention relative d’orientation est indiquée sur les documents 15 et 16.

240

dS = dSN

Doc. 14c. Contour orienté avec une surface associée.


N

N

Σ2 N

Σ1

N

Doc. 15. Convention d’orientation des surfaces s’appuyant sur une courbe fermée (contour) orientée donnée.

Doc. 16. Les deux surfaces S1 et S2 s’appuient sur la même courbe fermée (contour) orientée .

Une surface fermée est conventionnellement orientée positivement vers l’extérieur du volume qu’elle limite (doc. 17). la surface totale Σ fermée est constituée de deux surfaces fermées Σ int et Σ ext

volume V

volume V

surface Σ fermée

N N

N

Doc. 17. Surface S fermée délimitant le volume V associé. Le volume V peut être délimité par deux surfaces fermées Sint et Sext .

2.3. Intégrales associées 2.3.1. Intégrale d’un champ de scalaires Soit une courbe et une surface S , fermées ou non. Nous rencontrerons des intégrales scalaires ou vectorielles construites à partir de champs scalaires : • intégrales scalaires :

gd

et

g dS ; Σ

• intégrales vectorielles :

gd

➞

–➞ g dS .

et Σ


Les deux premières intégrales, scalaires, sont bâties à partir du champ scalaire g . Les deux suivantes, bâties à partir du même champ, sont vectorielles. Il est très important de distinguer intégrales scalaires et vectorielles. Ainsi sur un contour (dans ce cas, il faut mettre un cercle sur le signe intégral), il est possible de définir les deux intégrales suivantes : dl

➞

dl .

et

contour

contour

d l = L , alors

La première intégrale représente la longueur du contour contour ➞

que la deuxième est nulle

➞

d = 0 (doc. 18) . contour

241


a) a)

b)

b)

dS

dS

n dS

Σ

dl

Doc. 18a. Courbe

de longueur L :

dl = L .

Doc. 19a.

Σ

dS = S (aire de la surface S). S

b. Courbe

orientée :

➞

➞

b.

➞

d S = 0. S

➞

dl = 0 .

Remarques –➞ d S est nulle, alors que

• Dans le cas d’une surface fermée S , l’intégrale S

d S n’est pas nulle (doc. 19). S

–➞ • Pour une surface non fermée, le vecteur surface S associé à S , s’appuyant sur un contour est unique, et est calculable en utilisant l’intégrale suivante : –➞ S =

–➞ 1 —➞ PM ∧ d M , 2

P

contour

indépendante du choix du point P (doc. 20). L’unicité peut être montrée en utilisant le théorème de Green-Ostrogradski (§ 4.2). Ce vecteur, dont l’orientation obéit à la convention relative entre la normale à la surface S et le sens de circulation sur le contour , est aussi le vecteur surface de toute surface s’appuyant sur , ce qui montre bien qu’on ne doit pas le confondre avec le scalaire, dépendant du choix de la surface :

dS.


2.3.2.1. Circulation d’un vecteur

–➞ La circulation C d’un champ vectoriel G sur une courbe mée ou non) est définie par (doc. 21) :

242

2

➞

L’aire S est donc calculable par :

contour

–➞ Il est possible de définir deux intégrales scalaires, bâties à partir d’un champ G vectoriel, qui sont très importantes en physique : la circulation et le flux.

A courbe

Doc. 20. L’aire du triangle hachurée est —➞ –➞ égale à la norme de 1 PM ∧ d M .

➞

–➞ 2.3.2. Intégrale d’un champ de vecteurs G (M)

C=

C

S =

S

B

M + dM M

–➞ –➞ G (M) . d M

ou

C= contour

orientée (fer-

–➞ –➞ G (M) . d M .

–➞ 1 —➞ PM ∧ d M . 2


Remarque La circulation d’un vecteur le long d’un contour est liée à l’opérateur rotationnel (cf. § 5). La circulation d’un vecteur est un outil important en électromagnétisme et en mécanique des fluides. 2.3.2.2. Flux d’un vecteur à travers une surface

–➞ Le flux d’un champ vectoriel G à travers une surface orientée, est défini par (doc. 22) : ➞ –➞ G (M) . d S ou

=

, qui doit être

➞ –➞ G (M) . d S .

(fermée)

Remarque Le flux d’un vecteur à travers une surface fermée S est lié à l’opérateur divergence (cf. § 4). G(M) dM

N ndS

dS

B

M

M M

A

G(M)

G(M)

dM

N

M

S

B C=

G(M) G(M) . dM

A courbe

C=

G(M) . dM

Doc. 21. Définition de la circulation d’un vecteur.

Φ=

G(M) . ndS

Φ=

dS

ndS

G(M) . ndS

Σ

Doc. 22. Définition du flux d’un vecteur.

Le flux d’un vecteur à travers une surface fermée ou non est un outil important en : ➞ • électricité (vecteur densité volumique de courant j V) ; –➞ –➞ –➞ • électromagnétisme (flux des champs E , B , P , …) ; • mécanique des fluides (flux du vecteur vitesse, …).

3


Intéressons-nous maintenant à des opérateurs qui s’appliquent à des champs scalaires ou vectoriels en les transformant en d’autres champs. Ils ont un caractère intrinsèque mais peuvent être exprimés dans les différentes coordonnées spatiales précédemment définies, en utilisant les dérivées partielles par rapport aux coordonnées spatiales.

Opérateur gradient

3.1. Définition

–➞ Considérons un champ scalaire g(M). À un déplacement élémentaire d M est –➞ associée une variation élémentaire d g de g : d g = g(M + d M ) – g(M).

243


L’opérateur gradient (local en M ) est défini par : –➞ —➞ –➞ d g = g(M + d M ) – g(M) = grad M(g) . d M . —➞ –➞ Souvent, nous écrirons d g = grad (g) . d M . L’opérateur gradient s’applique à un champ scalaire qu’il transforme en un champ vectoriel.

3.2. Propriétés Le gradient est une grandeur locale. L’ensemble des points tels que g = cte définit une surface (doc. 23). –➞ • Si, à partir d’un point de la surface, nous nous déplaçons de d M 1 sur cette surface, c’est-à-dire dans le plan tangent à celle-ci au point considéré, d g = 0 . Ceci —➞ –➞ implique que le vecteur grad g est orthogonal à tout d M sur la surface, donc aux surfaces g = cte . —➞ • Si nous nous déplaçons maintenant suivant la normale, d g est positif si grad g –➞ —➞ et d M 2 sont de même sens : grad g est donc dirigé vers les g croissants. y

y

g = g2 = cte grad g

(grad g) N

g = g1 = cte

courbes « g » = cte N

dM2

(grad g) M

dM1

M

g2 > g1 O

—➞

x

Doc. 23. grad g est perpendiculaire aux surfaces g = cte et orienté dans le sens des g croissants.

x

O

Doc. 24. Plus les variations spatiales de g sont grandes et plus le gradient a une valeur importante.

—➞ Le vecteur grad g :


• est orthogonal aux surfaces g = cte ; • est dirigé vers les « g » croissants (il indique donc dans quelle direction et dans quel sens la grandeur g(M) varie) ;

grad g

• indique l’importance de la variation spatiale de la grandeur « g » (doc. 24).

B

3.3.1. La circulation d’un gradient de A à B est indépendante du chemin suivi B

–➞ –➞ G . d M avec

Étudions la circulation d’un gradient, c’est-à-dire la quantité A

–➞ —➞ —➞ –➞ –➞ –➞ G = grad g . Sachant (par définition du gradient) que dg = grad g. d M = G . d M , nous pouvons écrire (doc. 25) :

244

M

C

3.3. Circulation d’un gradient

dM

A Doc. 25. L’intégrale : B

—➞

➞

gradg(M) . d M = g(B) – g(A) A

est indépendante de la courbe de A à B .

allant


B

B

B

–➞ –➞ G .dM = A

—➞ –➞ grad g . d M = A

dg = g(B) – g(A) .

grad g

A

Le résultat est indépendant de la courbe allant de A vers B .

A=B

3.3.2. La circulation d’un gradient sur un contour est nulle Reprenons l’expression précédente, si B = A , nous obtenons (doc. 26) : B

–➞ –➞ G .dM = A

—➞ –➞ grad g. d M =

dM

Doc. 26.

—➞

–➞

grad g . d M = 0. .

dg = 0 .

contour

Ceci est en relation avec l’identité suivante que nous ne démontrerons pas. –➞ –➞ —➞ –➞ ➞ —➞ G Si G est un gradient G = grad g , alors rot = 0 en tout point de l’espace (cf. § 5).

3.4. Le gradient en physique 3.4.1. Gradient de potentiel : champ électrostatique

y

grad n

Nous avons vu en électrostatique,➞qu’un champ de nature électrostatique dérive – —➞ d’un potentiel V par la relation E = – grad V (cf. H-Prépa, Électromagnétisme, 1re année) ; le champ est perpendiculaire aux équipotentielles et dirigé suivant les potentiels décroissants.

courbes iso – n

3.4.2. Gradient de concentration : diffusion de particules Dans un milieu où la densité de particules n n’est pas uniforme (donc lorsqu’il existe un gradient de concentration), apparaît un phénomène de diffusion de particules (cf. H-Prépa, Thermodynamique, 2e année), c’est-à-dire une densité volumique de flux de particules proportionnelle au gradient local de concentration : ➞ —➞ j n = – D grad (n) (loi de Fick). 3.4.3. Gradient de température : diffusion thermique

x

O

Doc. 27. Tracé du rayon lumineux dans un milieu non homogène, où existe un gradient d’indice n (origine de l’effet de mirage).

3.4.4. Gradient d’indice optique : déviation d’un rayon lumineux

y

1re

Nous avons vu en optique géométrique (cf. H-Prépa, Optique, année) qu’il existe un gradient d’indice optique n dans un milieu non homogène. Cet indice est responsable de la concavité d’un rayon lumineux (doc. 27).

grad vx ( y)


Dans un milieu où la température n’est pas uniforme (donc lorsqu’il existe un gradient de température), apparaît un phénomène de diffusion thermique (cf. H-Prépa, Thermodynamique, 2de année), c’est-à-dire une densité volumique de flux thermique proportionnelle au gradient local de température : ➞ —➞ j Q = – k grad (T) (loi de Fourier). grad vx ( y)

3.4.5. Gradient de vitesse : diffusion de quantité de mouvement Dans un écoulement unidimensionnel dont le champ des vitesses en formalisme eulérien est, par exemple, de la forme➞ v➞(M , t) = vx(y) e➞x , il existe un gradient de — la composante de vitesse vx(y) : grad [vx(y)] parallèle à (Oy) (doc. 28). Ce gradient est responsable d’une diffusion de quantité de mouvement, donc d’une force surfacique de la forme (cf. chapitre 5) : ➞ —➞ ➞ d F = h |grad [vx(y)]| dS e x .

O

x

Doc. 28. Dans cet écoulement de fluide, le gradient de vitesse vx est non nul : ➞ —➞ grad vx(y) ≠ 0 .

245


3.4.6. Équivalent volumique des forces de pression

z

P(x, y, z)dy dz

Un champ de pression P(M) dans un fluide peut être décrit sous la forme d’un équivalent volumique (doc. 29) (cf. chapitre 4) : ➞ —➞ d F = – grad (P) dt . –P(x + dx, y, z)dy dz

Cet équivalent apparaît dans l’équation d’Euler sous la forme :

ρ

➞

D v ➞ —➞ = f v – grad(P) Dt

(équation d’Euler).

3.5. Exemples de calcul de gradient Calculons directement le gradient de champs scalaires simples et fréquents en physique. —➞  1  3.5.1. Calcul de grad M    PM 

O

y

x

Doc. 29. La résultante des forces de pression s’exercant sur un élément de volume —➞ d x d y d z est égale à – (gradP) d x d y d z .

—➞  1  1 Pour calculer gradM , intéressons-nous à la variation de la grandeur .  PM  PM —➞ 1  1 est perpendiculaire à la surface = cte , Lorsque P reste fixe, le grad   PM  PM —➞ donc à une sphère de centre P et de rayon PM . Le gradient est porté par PM . 1 Ce gradient est orienté dans le sens de croissant, donc PM décroissant, soit PM de M vers P (doc. 30), et il sera de même d’autant plus important que M est proche de P . —➞ —➞ 1  = f (r ) e➞r (avec PM = re➞r et f (r) < 0) . Posons gradM   PM  1 1 1 dr 1 = , d  = − 2 = f (r ) d r , soit f (r ) = − 2 , on a donc :  r PM r r r —➞ —➞ 1  = – PM3 , ce que nous écrirons plus couramment en coordonnées grad M   PM  PM sphériques sous la forme : —➞ 1 e➞ grad   = − 2r .  r r Sachant que

( )

1 grad M PM

M

P

Doc. 30. Disposition du vecteur : —➞ 1  . gradM   PM 


—➞ —➞ —➞ 1  1  grad M  = – PM3 = – grad P  .  PM   PM  PM 3.5.2. Champ de scalaires à symétrie cylindrique —➞ Pour calculer grad f (r) (en coordonnées cylindriques), intéressons-nous à la varia—➞ tion de la grandeur f (r) . Le grad f (r) est perpendiculaire à la surface f (r) = cte , —➞ donc à un cylindre d’axe (Oz) et de rayon r . Le gradient, porté par KM (doc. 31) —➞ ➞ peut s’écrire grad f (r) = g (r) e r . Sachant que d f (r) = g (r) d r , nous obtenons : d f (r ) g( r ) = . dr —➞ d f (r ) ➞ En coordonnées cylindriques, nous obtenons grad f ( r ) = er . dr

246

z

M

grad f ( r)

K

O

y

x

Doc. 31. Coordonnées cylindriques : —➞

grad f ( r ) =

d f (r ) dr

➞

er .


3.5.3. Champ de scalaires à symétrie sphérique —➞ Pour calculer grad f (r) (en coordonnées sphériques), intéressons-nous à la varia—➞ tion de la grandeur f (r) . Le grad f (r) est perpendiculaire à la surface f (r) = cte , —➞ donc à une sphère de centre O et de rayon r . Le gradient, porté par OM (doc. 32) ➞ — peut s’écrire grad f (r) = g (r) e➞r . Sachant que d f (r) = g (r) d r , nous obtenons : d f (r ) g(r ) = . dr —➞ d f (r ) ➞ En coordonnées sphériques, nous obtenons grad f ( r ) = er . dr —➞ 1 e➞ Nous retrouvons bien grad   = − 2r  r r

z

grad f ( r)

OM = rer

M

y

O x

Doc. 32. Coordonnées sphériques : —➞

grad f ( r ) =

d f (r ) dr

➞

er .

(cf. § 3.5.1).

—➞ 3.5.4. Calcul de grad (ab) De l’expression du gradient en coordonnées cartésiennes (cf. § 3.6.1) résulte la formule simple suivante : —➞ —➞ —➞ grad (ab) = a grad b + b grad a . 3.5.5. Cas où g est aussi fonction du temps t Si la grandeur g dépend également du temps g(M, t) , nous devons écrire la relation ci-dessous. —➞ –➞ g dt . La variation totale de g est d g = grad g . d M + t Ceci nous permet en mécanique des fluides, connaissant le champ des vitesses v➞(M , t) en formalisme eulérien, d’introduire la notation de variation particulaire –➞ ➞ Dg dans le cas où nous nous imposons d M = v (M , t) d t . —➞ –➞ La variation particulaire de g s’écrit Dg = grad g . d M + –➞ ➞ d M (d x , d y , d z) = v (M , t) d t .

g d t avec t


3.6. Expressions analytiques 3.6.1. Coordonnées cartésiennes ∂g ∂g ∂g dx+ dy+ d z . Dans ce ∂x ∂y ∂z système de coordonnées l’expression du gradient est donc : En coordonnées cartésiennes, écrivons d g =

∂g ∂x —➞ grad g =

∂g ∂y

.

∂g ∂z

247


—➞ –➞ —➞ –➞ Il est possible de montrer à partir de cette relation que grad (B . OM ) =➞ B , si le –➞ – champ de vecteurs B est uniforme : un calcul simple consiste à prendre B = B0 e➞z , et d’appliquer la relation précédente (doc. 33).

z B = B0 ez K

3.6.2. Coordonnées cylindriques et sphériques

M

En explicitant les différentielles de g en coordonnées cylindriques : ∂g ∂g ∂g dr + dθ + dz , dg = ∂r ∂θ ∂z nous obtenons immédiatement l’expression du gradient dans ce système de coor–➞ données (attention, d M = d r e➞z + r dq e➞q + d z e➞z). Il s’écrit : ∂g ∂r —➞ grad g =

1 ∂g r ∂θ

,

∂g ∂z et de même en coordonnées sphériques, nous avons : ∂g ∂r —➞ grad g =

1 ∂g r ∂θ

.

1 ∂g r sin θ ∂ϕ ➞

—➞

3.7. Opérateur « A.grad »

➞ — ➞ 3.7.1. Opérateur « A . grad » appliqué à un scalaire

➞ — ➞ ➞ À un champ scalaire g , nous pouvons associer l’expression A . gradg , où A est un champ vectoriel. Exprimons le résultat en coordonnées cartésiennes : ➞ — ➞ ∂g ∂g ∂g + Ay + Az . (A . grad) g = Ax ∂x ∂y ∂z


Remarquons que cette expression écrite en coordonnées cartésiennes peut s’écrire dans d’autres systèmes de coordonnées. Prenons le cas des coordonnées cylindriques, nous avons :  1 ∂ ∂ ∂ ➞ — ➞ + Aθ + Az  g(r ,θ , z ) . (A . grad) g =  Ar r ∂θ ∂z  ∂r Cet opérateur se rencontre en mécanique des fluides lors du calcul de la dérivation ➞ ➞ particulaire d’un scalaire, lorsque A(M , t) = v (M , t) , champ des vitesses eulérien d’un fluide. Ainsi la dérivation particulaire de la masse volumique s’écrit : —➞ D ρ( M , t ) ∂ ρ( M , t ) ➞ = + v (M , t) . gradr(M , t) , ∂t Dt équation qui conduit à l’équation de conservation de la masse (cf. chapitres 1 et 2) : Dρ + r div v➞ = 0 . Dt

248

y

O x ➞

—➞

Doc. 33. Les surfaces telles que B .OM soit constant sont des plans orthogonaux —➞ ➞ —➞ à (Oz). Donc grad (B .OM ) est porté ➞ par B .

ANNEXE : Champs et calculs vectoriels ➞ — ➞ 3.7.2. Opérateur « A . grad » appliqué à un vecteur ➞ — ➞ – ➞ ➞ –➞ À partir d’un champ vectoriel G , étudions l’expression (A . grad) G , où A est –➞ un champ vectoriel. Le champ vectoriel G possède en coordonnées cartésiennes

trois composantes Gx , Gy et Gz . Si nous associons à ces trois nouveaux champs ➞ — ➞ ➞ — ➞ ➞ — ➞ scalaires les expressions A . grad Gx , A . grad Gy et A . grad Gz , alors elles constituent les trois composantes d’un nouveau champ vectoriel, noté par définition ➞ — ➞ – ➞ (A . grad) G . ➞ — ➞ – ➞ En pratique, (A . grad) G s’écrit en coordonnées cartésiennes : Ax ➞ – ➞ ➞ — (A . grad ) G =

Ax Ax

qui est encore égal à :

∂ Gx ∂ Gx ∂ Gx + Ay + Az ∂y ∂x ∂z ∂ Gy ∂x

+ Ay

∂ Gy ∂y

+ Az

∂ Gy ∂z

,

∂ Gz ∂ Gz ∂ Gz + Ay + Az ∂x ∂y ∂z

 ∂ ∂ ∂ + Ay + Az  Gx  Ax ∂y ∂z  ∂x ➞ – ➞ ➞ — (A . grad ) G =

 ∂ ∂ ∂ + Ay + Az  Gy  Ax ∂y ∂z  ∂x

,

 ∂ ∂ ∂ + Ay + Az  Gz  Ax ∂y ∂z  ∂x ou : ➞ — ➞ – ➞  ∂ ∂ ∂ (A . grad ) G =  Ax + Ay + Az  ∂y ∂z  ∂x

Gx Gy

.

Gz

Remarquons qu’en coordonnées cylindriques, nous pouvons écrire :  ➞ – ➞ ➞ — 1 ∂ ∂ ∂ ➞ ➞ ➞ + Aθ + Az  Gr er + Gθ eθ + Gz ez  , (A . grad ) G =  Ar    r r z θ ∂ ∂ ∂   ➞

et

∂ eθ ➞ = − er . ∂θ


➞

∂ er ➞ = eθ ∂θ Cet opérateur se rencontre : en n’oubliant pas que

• en mécanique des fluides lors du calcul de la dérivation particulaire d’un scalaire, ➞ lorsque A(M , t) = v➞(M , t) , champ des vitesses eulérien d’un fluide. Ainsi l’accélération d’une particule de fluide est donnée par l’expression (cf. chapitre 1) : ➞

➞

—➞ D v ( M, t ) ∂ v ( M, t ) ➞ a( M, t ) = = + (v (M , t) . grad ) v➞(M , t) ; ∂t Dt

➞

• en électromagnétisme lors du calcul de la résultante des forces s’exerçant sur un dipôle électrique (ou magnétique) rigide, placé dans un champ extérieur permanent : –➞ —➞ –➞ F = (p➞ . grad) E ➞ – avec ➞ p = cte (cf. H-Prépa, Électromagnétisme, 1re année).

249


Remarque ➞ — ➞ ➞ Dans le cas où l’opérateur (A . grad) s’applique au vecteur A , nous avons l’identité suivante : —➞ ➞ —➞ A 2 —➞ ➞ ➞ (A.grad) A = grad + rot A ∧ A . 2 Cette formule s’obtient rapidement en travaillant en coordonnées cartésiennes. ➞ Elle est utile en mécanique des fluides en remplaçant A par v➞ (cf. § 5.4.2) : ➞

2

—➞ ➞ —➞ v —➞ v➞ ∧ v➞ (v➞ . grad) v = grad + rot 2

4

avec

–➞ —➞ v➞ = 2 W . rot

4.1. Définition - Interprétation

–➞ Considérons un champ vectoriel G et l’élément de volume dt associé à un point –➞ M de l’espace. Le flux élémentaire d F (par convention sortant) du champ G à travers la surface fermée élémentaire d S , délimitant le volume dt , s’exprime en –➞ fonction de la divergence du champ de vecteur G sous la forme (doc. 34) : –➞ d F = div (G ) dt . –➞ L’opérateur divergence en M du champ G est alors défini par la relation : –➞ d = div G d . L’opérateur divergence, défini de façon intrinsèque, transforme donc un champ vectoriel en un champ scalaire. La signification physique de l’opérateur divergence est intimement liée à la notion de flux : un champ de vecteurs « diverge » en un point si son flux à travers un volume élémentaire associé à ce point est non nul . Manifestement, en M , le champ (1) diverge et le champ (2) ne diverge pas (doc. 35). 2) M


M

Doc. 35. • Cas 1 : le champ de vecteurs diverge à partir d’une « source » en M (attention : il peut être à divergence nulle partout, sauf en M). • Cas 2 : ce champ orthoradial est toujours à divergence nulle.

4.2. Théorème de Green-Ostrogradski La définition de l’opérateur divergence introduit l’égalité : –➞ –➞ –➞ d F = div G d t = « G . d S » , –➞ où d S est la surface fermée élémentaire délimitant le volume élémentaire d t . En intégrant cette égalité sur un volume V quelconque, nous obtenons (à condition

250

G(M) M

N

N

N

surface dΣ délimitant le volume dτ

Doc. 34. Le flux sortant dF de G , à travers la surface élémentaire d S délimitant le volume dt , centré en M est égal à : –➞ dF = div G dt .

Opérateur divergence

1)

N


–➞ que le champ de vecteur G ne présente pas de discontinuité sur une surface fermée ou non située à l’intérieur du volume V ) le théorème de Green-Ostrogradski (doc. 36). ➞ – Le flux sortant d’un champ vectoriel G (ne présentant pas de discontinuité sur une surface fermée ou non, située à l’intérieur du volume V ) à travers une surface fermée est égal à l’intégrale, sur le volume V limité par cette surface, de sa divergence : ➞ ➞ – – G (Q) . N Q d S =

➞ – divM (G (M)) d

M.

NQ dS Q V

M dτ M

Σ

Doc. 36. Théorème de Green-Ostrogradski.

volume V

surface fermée

4.3. Champs à flux conservatif 4.3.1. Définition Tout champ à divergence identiquement nulle a donc un flux nul à travers toute surface fermée : il est dit à flux conservatif. 4.3.2. Un vecteur à flux conservatif est un rotationnel Nous verrons (mais nous ne ferons pas la démonstration) que la condition nécessaire et suffisante pour qu’un champ soit à flux conservatif, est qu’il soit un champ de rotationnel. — (A). div (B ) = 0 équivaut à B = rot ➞

➞ ➞

4.3.3. Conservation du flux le long d’un tube de champ Construisons une surface fermée S à partir d’un tube de champ (ensemble de lignes de champ s’appuyant sur un contour) et de deux sections S1 et S2 orientées de ce tube (doc. 37) ; un champ à flux conservatif a un flux nul à travers S ; ce flux est nul à travers la surface latérale de S par construction : ainsi FS 1 = FS 2 compte tenu des orientations. Il en résulte que le flux du champ de vecteurs est le même à travers S1 et S2 , surfaces ouvertes identiquement orientées. 4.3.4. Applications • Examinons le champ de vecteur représenté sur le document 38, de la forme v➞(M) = vx(y) e➞x (champ eulérien des vitesses d’un fluide) : ce champ est à divergence nulle.

dS

Σ1

B

n1

Σ2 n2

Σ

Doc. 37. Dans une zone à flux conservatif, le flux se conserve le long d’un tube de champ : FS 1 = FS 2.


➞

Examinons le tube de champ de longueur H et de section constante d S . Sachant que v➞ (x1) = v➞(x1 + H) , le flux de v➞ à travers la surface d S en x1 est égal au flux de v➞ à travers la même surface d S en x1 + H , et ceci quel que soit H . Le flux étant constant à travers tout tube de champ, le champ des vitesses est à flux conservatif, nous retrouvons donc que la divergence de ce champ de vecteurs est nulle : div (v➞ ) = 0 . C’est un écoulement incompressible. En revanche, ce champ n’est pas à rotationnel nul (cf. § 5.5.1).

251


y

y 2 1,5 1 section dS

0,5 0 – 0,5 –1 – 1,5 –2

z

x x1

x1 + H ➞

Doc. 38. Le champ de vecteurs de la forme vx(y)e x est à divergence nulle, mais à rotationnel non nul.

x – 2,8 –2,1 – 1,4 – 0,7

0

0,7 1,4 2,1 2,8

Doc. 39. Le champ des vitesses de ce fluide en écoulement incompressible est uniforme loin de la perturbation (cylindre). La vitesse est « importante » dans les zones où les lignes de champ se resserrent.

• Pour un champ à flux conservatif, les portions de l’espace où les lignes de champ se resserrent (doc. 39) nous indiquent que, dans ces zones, le champ est plus intense (c’est-à-dire de module plus élevé).

z

4.4. Opérateur divergence en physique

q

4.4.1. Sources de champ électrique En électrostatique, les sources de champ sont les charges ; l’équation locale liant le champ électrique et les charges de densité volumique r (doc. 40) est (cf. H-Prépa, –➞ ρ( M ) . Électromagnétisme, 2de année) : divM (E ( M )) = ε0

M

y

O

x

Doc. 40. Soit une charge « ponctuelle » dans l’espace. –➞ div E = +∞ en O (r = +∞) ; –➞ div E = 0 en M (r = 0) .

Les conséquences de cette équation sont : –➞ • dans une zone sans charge, le vecteur E est à flux conservatif ; –➞ –➞ • le vecteur E obéit au théorème de Gauss : le flux sortant de E à travers une surface fermée est égal à la somme des charges intérieures à cette surface, divisée par e0 (doc. 41). © Hachette Livre, H-Prépa Mécanique des fluides, 2e année, PC et PSI, La photocopie non autorisée est un délit.

4.4.2. Équations de conservation

n

Il existe en physique de nombreuses équations de conservation :

q’1

➞

div( j n ) +

∂n =0 ; ∂t

• équation de conservation de la charge de densité volumique r (M , t) , en pré➞ sence d’une densité volumique de courant j (M , t) (cf. H-Prépa, Électromagnéde tisme, 2 année) : ∂ρ div( j ) + =0 ; ∂t

q3

Σ

q’3

–➞

Doc. 41. Soit E le champ électrostatique total créé par toutes les charges intérieures (qi) et extérieures (q′i ) à S . Le théorème de Gauss donne : –➞

➞

E . n dS =

➞

252

q2

q1

• équation de conservation du nombre de particules de densité volumique n(M , t) , ➞ en présence d’une densité volumique de débit de particules j n (M , t) (cf. H-Prépa, Thermodynamique, 2e année) :

q’2

S

∑q

i

ε0

.


• équation de conservation de l’énergie électromagnétique, de densité volumique ε E 2 B2 –➞ u= 0 + , en présence d’une densité volumique de débit de puissance P 2 2µ0 ➞

➞

–➞ E B ➞ (vecteur de Poynting : P = ^ ) et d’une densité volumique de courant j µ0

(cf. H-Prépa, Électromagnétisme, 2de année) :

➞ ➞ –➞ ∂ u = − j .E ; div P + ∂t

• équation de conservation de la masse de densité volumique r (M , t) , en présence ➞ d’une densité volumique de débit massique j (M , t) = r (M , t) v➞(M , t) (cf. chapitre 2) : ∂ρ ➞ div( ρ v ) + =0. ∂t

y

ρ = ρ2

4.4.3. Écoulement incompressible ➞

L’équation de conservation de la masse donne div( ρ v ) +

∂ρ = 0 ; équation ∂t

ρ = ρ1

qu’il est encore possible d’écrire (en faisant intervenir la dérivation particulaire) ➞

ρ div(v ) +

Dρ = 0 (cf. chapitre 2). L’écoulement incompressible, défini par la Dt

Dρ = 0 , implique que div (v➞) = 0 . Lors d’un écoulement incompressible, relation Dt dans un milieu sans source, le vecteur v➞ est à flux conservatif (doc. 42).

( ρ1 ≠ ρ 2 ) x

O

Doc. 42. Soit un écoulement stationnaire, indépendant du temps. Si r = cte le long d’une ligne de champ, l’écoulement est ➞ incompressible et vérifie div v = 0 .

4.5. Exemples de calcul Calculons la divergence de champs vectoriels simples, et fréquents en physique. 4.5.1. Champ de vecteurs à symétrie cylindrique z

➞

A(r , t) = A(r , t) e➞r . Pour calculer la divergence de ce champ de vecteurs en symétrie cylindrique, considérons un volume élémentaire situé entre deux cylindres de hauteur h , de rayons ➞ r et r + d r (doc. 43). Le flux de A à travers la surface fermée associée à ce volume est égal à : ∂ [rA(r, t )] dr . d F = – (A(r , t) 2πrh) + (A(r + d r , t)2π(r + d r) h) = 2πh ∂r Par définition de l’opérateur divergence, nous avons : ➞

➞

d F = div (A(r , t)) dt = div (A(r , t)) 2π r d r h , ce qui donne par identification : d F = 2πh soit

➞

div (A(r , t)) =

➞ ∂ [rA(r, t )] d r = div (A(r , t)) 2π r d r h , ∂r

r

r + dr h

O

y

x ➞

Doc. 43. Le flux dF de A à travers la surface fermée délimitant le volume situé entre deux cylindres de rayons r et r + d r, et de hauteur h , est égal à : d Φ = 2πh

∂ (rA)d r . ∂r

1 ∂ [rA(r, t )] . r ∂r

253


Soit un champ de vecteurs (en coordonnées cylindriques) de la forme :


y

En coordonnées cylindriques, nous obtenons : 1 ; r • div (r e➞r ) = 2 ; ––––➞ • div (OM ) (r➞) = div (r e➞r + z e➞z ) = 3 ; • div (e➞r ) =

P z

O

 ➞e r   ➞r  • div  = div 2  = 0 (sauf en r = 0 où la divergence est infinie).  r  r     

x

Σ

Ce dernier résultat apporte deux commentaires importants.

1 est à r divergence nulle : c’est en fait le seul cas d’un champ radial à symétrie cylindrique à divergence nulle. • Il est essentiel puisqu’il montre qu’un champ à symétrie cylindrique en

• Ce résultat peut paraître en contradiction avec la topographie du champ (doc. 44). ➞ ➞ er r En effet, le flux du vecteur = 2 , à travers une surface cylindrique d’axe (Oz) , r r de hauteur h et de rayon r est non nul et égal à 2πh , alors que la divergence de ce vecteur est nulle ! Ceci est dû à la singularité en r = 0 , pour laquelle ➞   ➞ er r div  = div 2  est infinie, et l’intégrale :  r  r      ➞ ➞ – – G (Q) . N Q d S =

surface S fermée

➞ – divM (G (M)) d

➞

er en r coordonnées cylindriques. La divergence ➞ de ce vecteur est nulle (div e r = 0) bien r que le flux sortant à travers un cylindre de rayon r et hauteur h soit non nul et égal à 2π h ! Doc. 44. Topographie du champ

M,

volume V

est alors non nulle. 4.5.2. Champ de vecteurs à symétrie sphérique Soit un champ de vecteurs (en coordonnées sphériques) de la forme : ➞


A(r , t) = A(r , t) e➞r . Pour calculer la divergence de ce champ de vecteurs en symétrie sphérique, considérons un volume élémentaire situé entre deux sphères de rayons r et r + d r ➞ (doc. 45). Le flux de A à travers la surface fermée associée à ce volume est égal à : d F = – (A(r , t) 4πr2 ) + (A(r + d r , t) 4π (r + d r)2 ) = 4π

[

∂r

d F = 4π

soit

254

➞

div (A(r , t)) =

] d r = div (A(r , t)) 4π r2 d r ,

∂ r 2 A(r , t )

[

r O Next

➞

d F = div (A(r , t)) dt = div (A(r , t)) 4π r2 d r , ce qui donne par identification :

[

r + dr

]dr .

∂ r 2 A(r , t )

Par définition de l’opérateur divergence, nous avons : ➞

z

∂r

➞

]

2 1 ∂ r A(r , t ) . ∂r r2

x

Next y

➞ Doc. 45. Le flux sortant d F de A à travers la surface fermée délimitant le volume situé entre deux sphères de rayons r et r + d r est égal à : dΦ = 4 π

∂ 2 ( r A ) dr . ∂r


z

En coordonnées sphériques, nous obtenons : 2 • div (e➞r ) = ; r • div (r➞) = div (r e➞r) = 3 ;

x

Ce dernier résultat apporte à nouveau deux commentaires très importants. 1 • Il montre qu’un champ à symétrie sphérique en 2 est à divergence nulle ; c’est r en fait le seul cas d’un champ radial à symétrie sphérique à divergence nulle. • Ce résultat peut paraître en contradiction avec la topographie du champ (doc. 46). ➞ ➞ er r En effet, le flux sortant du vecteur 2 = 3 , à travers une surface sphérique de r r centre O et de rayon r , est non nul et égal à 4π , alors que la divergence de ce vecteur est nulle ! Ceci est dû à la singularité en r = 0 , pour laquelle  ➞e   ➞r  r div 2  = div 3  est infinie, et l’intégrale : r  r      ➞ ➞ – – G (Q) . N Q d S =

surface S fermée

➞ – divM (G (M)) d

y

O

 ➞e r   ➞r  • div 2  = div 3  = 0 (sauf en r = 0 où la divergence est infinie). r  r     

➞ er 2

Doc. 46. Topographie du champ

r

en

coordonnées sphériques. La divergence 

➞

e r



de ce vecteur est nulle  div e2r = 0 , mais  

 

le flux sortant à travers une sphère de rayon r est non nul et égal à 4π .

M

volume V

est alors non nulle. ➞

4.5.3. Calcul de div (u A ) L’expression de la divergence en coordonnées cartésiennes (cf. § 4.6.1) permet d’établir une nouvelle formule importante (car très pratique) : ➞ ➞ —➞ ➞ div (uA)= u div A + grad u . A .

div [ f (r , t) e➞r] = div [r2 f (r , t) = r2 f (r , t)


Cette formule permet de voir un autre calcul possible de la divergence d’un champ à symétrie sphérique de la forme f (r , t) e➞r . En effet : —➞ 2 f (r , t ) ∂ f (r , t ) ➞ + , div [ f (r , t) e➞r] = f (r , t) div e➞r + grad[f (r , t)] . e r = r ∂r ou encore : ➞

er ] r2

[

]

2 ➞  ➞e  —➞ e r 1 ∂ r f ( r, t ) r 2 . div 2  + grad[r f (r , t)] . 2 = 2 r  ∂r r r  

➞ k ➞ Dans le cas d’un champ newtonien de la forme A = 2 e r , en coordonnées sphér riques, nous obtenons :

2k 2k k ➞ div 2 e r  = 3 − 3 = 0 ,  r r r ce qui est conforme au résultat précédent.

255

Mécanique des fluides ➞

➞

4.5.4. Calcul de div (A ∧ B )

z

tube de champ de eθ

La divergence d’un produit vectoriel est donnée par la formule suivante : ➞ — ➞ — ➞ ➞ ➞➞ ➞➞ div (AŸ B ) = – A . rot B + B . rot A

Il est possible de vérifier cette formule en utilisant les résultats du § 4.6.1 et § 5.5.1. 4.5.5. Champ orthoradial Un autre exemple intéressant est celui du vecteur e q des coordonnées cylindriques. Les lignes de champ de e➞q sont des cercles d’axe (Oz) . Les tubes de champ sont donc des tores (de section constante) d’axe (Oz) (doc. 47). La norme de e➞q étant constante et égale à 1, cela signifie que le flux de ce vecteur est conservatif, donc que la divergence de ce champ de vecteurs est nulle. Cette démonstration simple peut être étendue à tout champ de vecteurs : ➞

A(r) = f (r) e➞q . En coordonnées cylindriques, div [ f (r) e➞ ] = 0 : le champ de vecteurs f (r) e➞ est à flux conservatif. En particulier, e➞ est un champ de vecteurs à flux conservatif.

4.6. Expression analytique 4.6.1. Coordonnées cartésiennes En coordonnées cartésiennes, elle s’obtient à partir de la définition. En explicitant –➞ sur l’élément d t = d x d y d z le calcul du flux d F du champ G à travers les six faces du cube élémentaire, il vient (doc. 48) : d F1 = – Gx(x , y , z) dy dz + Gx(x + d x , y , z) dy dz

(faces 1 et 2)

d F2 = – Gy(x , y , z) dx dz + Gy(x , y + d y , z) dx dz

(faces 3 et 4)

d F3 = – Gz(x , y , z) dx dy + Gz(x , y , z + d z) dx dy

(faces 5 et 6),

soit :


 ∂ G ∂ Gy ∂ Gz  –➞ –➞ + dF=  x +  dx dy dz = div G dt = div G dx dy dz , ∂y ∂z   ∂x –➞ ∂Gx ∂Gy ∂Gz div G = + + . ∂x ∂y ∂z z

dy

face 3

face 6 face 1 dz

M

face 2

face 4

O

y

face 5 x

dx

Doc. 48. Mise en évidence des six faces permettant le calcul du flux élémentaire.

256

y

x ➞

➞

d’où :

O

Doc. 47. Le tube de champ de e q est constitué de tores d’axe (Oz) . Sachant que ➞ ➞ e q = 1 , cela signifie que div e q = 0 .


Remarque : Nous avons vu sur deux exemples précédents (cf. § 4.1) que l’examen d’une carte de champ pouvait donner des indications sur la divergence en un point d’un champ de vecteurs. Il faut rester prudent et éviter une interprétation trop rapide. Ainsi, le champ du document 49 n’est pas à divergence nulle, bien que les lignes de champ soient toutes parallèles : il est en effet de la forme f(x) e➞x et sa divergence en tout point vaut f¢(x) .

x’

4.6.2. Coordonnées cylindriques

Doc. 49. Ce champ n’est pas à divergence nulle.

z

soit :

face 6

 1 ∂ (r Gr ) 1 ∂ Gθ ∂ Gz  –➞ –➞ + + dF=  (r dr dθ dz ) = div G dt = div G (r dr dq dz) ∂z  r ∂θ  r ∂r –➞ 1 ∂ (rGr ) 1 ∂ Gθ ∂ Gz + + . div G = ∂z r ∂r r ∂θ

donc :

Remarque : Si nous reprenons, en coordonnées sphériques le champ radial k ➞ er son flux à travers toute sphère de rayon r centrée sur l’origine vaut r2 4πk : il est donc indépendant de r , constant et non nul. Il est possible de s’étonner que ce flux à travers la surface fermée (sphère de rayon r) soit non nul, bien que la divergence soit nulle. Mais nous l’avons déjà vu, il ne faut pas oublier que le champ n’est pas défini à l’origine qui constitue alors un point singulier où il est impossible de calculer ni le champ, ni sa divergence. Le paradoxe apparent est ainsi levé. ➞

A (r ) =

5

r

dr

z face 3

θ

x

face 4 face 2

O

4.6.3. Coordonnées sphériques L’expression de la divergence en coordonnées sphériques est plus délicate. Elle sera donnée sans démonstration. Pour indication, nous avons : –➞ 1 ∂(r 2 Gr ) 1 ∂(sinθ Gθ ) 1 ∂ Gϕ + + . div G = 2 ∂r r sinθ ∂θ r sinθ ∂ ϕ r

face 1

z + dz

face 5 y

dθ ➞

Doc. 50. Le flux d F de G à travers cette surface fermée élémentaire est égal à :  1 ∂ (r Gr ) 1 ∂ Gθ ∂ Gz  + +  r dr dq dz . ∂z  r ∂θ  r ∂r

dF = 

G(M)

dS


En coordonnées cylindriques, l’expression analytique de la divergence s’obtient aussi à partir de la définition en explicitant sur l’élément d t = r d r d q d z le calcul –➞ du flux d F du champ G à travers les six faces du « cube » élémentaire, il vient (doc. 50) : d F1 = – Gr(r , q , z)(r d q d z) + Gr(r + d r ,q , z)((r + d r) d q d z)(faces 1 et 2) d F2 = – Gq(r , q , z)(d r d z) + Gq(r , q + d q , z)(d r d z) (faces 3 et 4) d F3 = – Gz(r , q , z)(r d q d r) + Gz(r , q , z + d z)(r d q d r) (faces 5 et 6),

x

Opérateur rotationnel

5.1. Définition - Interprétation

–➞ –➞ Soit un champ vectoriel G et une surface élémentaire d S d’aire d S associée à un point M de l’espace ; soit d C la circulation élémentaire du champ le long –➞ du contour élémentaire lui-même associé à d S (doc. 51). Les orientations rela–➞ tives de d C et de d S obéissent aux conventions d’orientation du § 2.2. –➞ L’opérateur rotationnel en M du champ G (M) est donc défini par la relation : –➞ —➞ –➞ d C = rot (G ) . d S .

M

G(P) d

P dP

Doc. 51. La circulation élémentaire d C –➞ de G sur la courbe d est égale à : ➞ —➞ –➞ d C = rot M G (M) . d S –➞

(d C =

➞

G (P) . d P ). d

257


L’opérateur rotationnel transforme donc un champ de vecteurs en un autre champ de vecteurs. Il y a corrélation entre le rotationnel d’un champ de vecteurs et sa circulation le long d’un contour : la projection sur la normale à une surface élémentaire du rotationnel d’un champ vectoriel est égale à la circulation, par unité de surface, de ce champ le long du contour associé. Cette relation définit donc, à partir de la circulation élémentaire d C , la compo–➞ –➞ —➞(G sante de rot ) sur la direction de la normale N (orientée dans le sens direct par rapport au sens de circulation) à l’élément d S (doc. 52). En prenant trois surfaces orthogonales dont les normales forment elles-mêmes un système orthogonal, il est possible d’en déduire les trois composantes de ce rotationnel. Ici encore, il s’agit d’une définition intrinsèque.

z

NdS

rot G

rot G . N dC y

O x

—➞ –➞

Doc. 52. La composante de rotMG sui➞ vant N est égale à : —➞ –➞ ➞ dC = dS rot G . N .

Il apparaît donc qu’un champ de vecteurs, dont le rotationnel est non nul en un point, « effectue une rotation » autour de ce point puisque sa circulation sur tout contour associé au point est non nulle. De même que pour la divergence, la topographie d’un champ de vecteurs permet de comprendre l’origine de la dénomination « rotationnel ». Les champs (1) et (2) représentés dans le document 53 sont, pour (1) , à rotationnel nul en M et pour (2) , à rotationnel non nul. 1)

2)

M

M

Doc. 53. • Cas 1 : ce champ de vecteur est à rotationnel toujours nul. • Cas 2 : le champ de vecteur est en rotation autour du point M (attention : ce champ peut être à rotationnel nul partout, sauf en M).

5.2. Théorème de Stokes-Ampère Soit une courbe fermée orientée délimitant une surface S non fermée et orientée. Il résulte de la définition de la circulation élémentaire d C que la circulation le long d’un contour d’un champ vectoriel est égale au flux de son rotationnel à tra–➞ vers toute surface s’appuyant sur ce contour (nous supposons que G est partout continu). © Hachette Livre, H-Prépa Mécanique des fluides, 2e année, PC et PSI, La photocopie non autorisée est un délit.

Le théorème de Stokes-Ampère s’énonce de la manière suivante. –➞ La circulation d’un champ vectoriel G le long d’un contour est égale au flux de son rotationnel à travers toute surface s’appuyant sur ce contour –➞ ( G est supposé continu) (doc. 54) : ➞ ➞ – – G (P) . d P =

contour

➞ ➞ – – —➞(G (Q)) . N Q d S . rot

Q

Σ

surface

Prenons deux surfaces S1 et S2 s’appuyant sur un même contour les pour construire une surface fermée S .

dS

dP

Remarque : D’après le théorème de Stokes, le résultat est indépendant du choix de la surface S s’appuyant sur le contour .

258

NQ

; associons-

P

Doc. 54. Théorème de Stokes-Ampère : –➞

—➞ –➞

➞

G (P).d P =

➞

rot QG (Q). NQ d S . S


–➞ —➞(G Le flux de rot ) à travers S sera identiquement nul (doc. 55), car les flux de ➞ – —➞(G ) à travers S ou S sont identiques quand elles sont non fermées (et corrot 1 2 rectement orientées vis-à-vis de ), et opposées quand S1 et S2 forment la surface fermée S. Un rotationnel est donc un vecteur à divergence nulle.

NΣ Q2

N2

N1

En réalité, nous avons l’équivalence que nous ne démontrerons pas.

Q1

Σ2

➞ ➞ ➞ – – – —➞ G • R = rot équivaut à div R = 0 en tout point de l’espace.

Σ1

NΣ

• La condition nécessaire et suffisante pour qu’un champ soit à flux conservatif est qu’il soit un champ de rotationnels.

5.3. Champs à circulation conservative Un champ à rotationnel partout nul voit sa circulation sur tout contour fermé identiquement nulle : ce champ de vecteurs est dit à circulation conservative. Ceci peut également s’énoncer en disant que la circulation du champ vectoriel d’un point à un autre est indépendante du chemin suivi. Ceci se comprend aisément puisque, d’après une identité précédemment écrite, tout champ de vecteur à rotationnel nul s’écrit sous la forme d’un gradient. Donc : B

B

–➞ –➞ G (M) . d M =

C= A

—➞ –➞

—➞ –➞

➞

rot GQ . d S 1 +

0=

1

S1

➞

rot GQ . d S 2 2

S2

—➞ –➞

=

div(rot G) dt , V

—➞ –➞

donc div(rot G) = 0 .

B

—➞ –➞ grad g . d M = A

Doc. 55. Quelles que soient les surfaces S1 et S2 qui délimitent un volume V , nous avons :

d g = g(B) – g(A) . A

Tout champ de vecteurs à rotationnel nul est à circulation conservative : sa circulation le long de tout contour est nulle et sa circulation entre deux points est indépendante du chemin suivi. Une condition nécessaire et suffisante pour qu’un champ vectoriel soit à circulation conservative est qu’il se mette sous la forme d’un gradient : on parle alors de champ de gradient.

Une condition nécessaire et suffisante pour qu’un champ vectoriel soit à circulation conservative est qu’il se mette sous la forme d’un gradient.

z M

I P

5.4. Opérateur rotationnel en physique

y

O

5.4.1. Sources de champ magnétostatique En magnétostatique, les sources de champ sont les courants ; l’équation locale liant ➞ le champ magnétique et les courants (densité volumique j ) est (doc. 56) –➞ ➞ —➞ B (cf. H-Prépa, Électromagnétisme, 2de année) rot M (M) = m0 j (M) . Les conséquences de cette équation sont : –➞ • dans une zone sans courant, le vecteur B est à circulation conservative ;


Rappelons l’identité écrite précédemment. –➞ –➞ —➞ —➞ –➞ ➞ G est un gradient : G = grad g équivaut à rot G = 0 en tout point de l’espace.

x

Doc. 56. Soit un fil, confondu avec (Oz) , parcouru par un courant I . —➞

➞

—➞

➞

➞

• rot P B P = + ∞ , car j → + ∞ . ➞

➞

➞

• rot M B M = 0 , car j = 0 .

259


–➞ –➞ • le vecteur B obéit au théorème d’Ampère. La circulation de B sur une courbe fermée est égale à la somme des courants qui traversent toute surface (dans le sens direct) s’appuyant sur la courbe de circulation, multipliée par m0 (doc. 57).

M

Le vecteur tourbillon d’un fluide est défini par la relation (doc. 58) :

dM

–➞ 1 —➞ ➞ W (M) = rot (v (M)) . 2

➞

5.5. Exemples de calcul 5.5.1. Coordonnées cartésiennes Examinons le champ de vecteur, représenté sur le document 59, de la forme : v➞(M) = vx(y)e➞x .

dy

D A

(Oz)

I’1 I’2

5.4.2. Vecteur tourbillon d’un fluide

y

I2

I1

Doc. 57. Soit B le champ magnétique total créé par l’ensemble des courants Ii, qui traversent une surface s’appuyant sur C , et les courants I′i ne traversant pas cette surface. Le théorème d’Ampère nous donne : ➞

–➞

B .d M = m0

Σ Ii

= m0 (I1 + I2 – I2) = m0 I1.

C section dS

B

Ω

z

x x2

x2 + h

x1

x1 + H

➞ Doc. 59. Ce champ de vecteurs de la forme vx (y) e x est à divergence nulle, mais à rotationnel non nul. La circulation sur le contour ABCDA est non nulle.

• Ce champ est à divergence nulle (cf. § 4.3.4). • En revanche, ce champ n’est pas à rotationnel nul. Examinons la circulation d C de v➞ sur le contour ABCDA fermé ; son expression est égale à : d C = h (vx(y) – vx(y + d y)) = − h

d [v x ( y)] dy , dy

expression non nulle à partir du moment où v➞ dépend explicitement de y . © Hachette Livre, H-Prépa Mécanique des fluides, 2e année, PC et PSI, La photocopie non autorisée est un délit.

∂v ➞ —➞ ➞ –➞ —➞ ➞ —➞ ➞ ➞ Sachant que d C = rot v . d S = rot v . hd y e z , cela donne rot v = − x e z (seule ∂y cette composante est non nulle, cf. § 5.6). 5.5.2. Coordonnées cylindriques ➞

5.5.2.1. Champ en f (r) e r

Soit un champ de vecteurs de la forme f (r) e➞r . r

f (r) d r + g(a) , c’est-à-dire f (r ) =

Posons g(r) tel que g(r) = a

d g(r ) . dr

—➞ Cela signifie que f (r) e r est un gradient : f (r) e➞r = grad(g(r)) . Le rotationnel d’un gradient étant nul, le rotationnel de f (r) e➞r est nul. ➞

260

a

Doc. 58. Champ des vitesses à l’intérieur et à l’extérieur d’un tourbillon uniforme de rayon a .


z

En coordonnées cylindriques, nous obtenons : —➞[ f (r) e➞ ] = 0➞ , et ainsi rot —➞ e➞ = 0➞ . rot r r

f(r)eθ

K

La démonstration n’est pas générale, mais le résultat est toujours vrai. ligne de champ

➞

5.5.2.2. Champ en f (r) e

La seule composante non nulle du rotationnel d’un champ de vecteur de la forme f (r) e➞q est suivant l’axe (Oz). Pour calculer ce champ, étudions son flux d F à travers une couronne située entre deux cercles de rayon r et r + d r (doc. 60) : —➞ (r) e➞ ] . 2πr dr e➞ = f (r + dr) 2π (r + dr) – f (r) 2π r d F = rot [f q z = 2π

M

 1 d (r f (r ))  d [r f (r )] dr =   2πr dr . dr dr  r

En coordonnées cylindriques, nous obtenons : —➞[ f (r) e➞ ] = 1 d ( r f ( r )) e➞ rot z r dr d’où :

O

θ

x

y

eθ

H

Doc. 60a. Étude d’un champ orthoradial ➞ en f (r) e q .

,

➞

—➞ (e➞ ) = ez ; • rot r ➞ —➞ ➞ • rot ( r e ) = 2 ez (c’est-à-dire que c’est un vecteur uniforme. Ainsi tout vec–➞ –➞ teur uniforme pouvant être mis sous la forme = e➞z , nous obtenons —➞( –➞Ÿ r➞ ) = 2 –➞ pour –➞ uniforme) ; rot  ➞  = 0 (sauf en r = 0 , où le rotationnel est infini). 

Ce dernier résultat apporte deux commentaires importants.

➞

eθ , est à rotar tionnel nul : c’est en fait le seul cas de champ orthoradial à rotationnel nul. • Il montre qu’un champ invariant par rotation autour de l’axe (Oz),

➞

e • Ce résultat peut paraître surprenant. En effet, la circulation de θ sur un cercle r de rayon r (et d’axe (Oz)) est égale à 2π , donc constante et non nulle, alors que son rotationnel est nul ! Ceci est dû à la singularité en r = 0 (donc sur l’axe (Oz)!) ➞  —➞ eθ est infini, et l’intégrale : pour laquelle rot    r    ➞ ➞ – – G (P) . d P =

contour

➞ ➞ – —➞ – rot (G (Q)) . N Q d S ,

surface S

est alors non nulle lorsque l’axe(Oz) « traverse » la courbe

.

— 5.5.3. Calcul de rot (u A ) ➞

➞

De l’expression du rotationnel en coordonnées cartésiennes (cf. § 5.6), il est possible d’établir une nouvelle formule importante (car très pratique) :

z dS = 2πrdr

N = ez r

2

r + dr

1

O

—➞ –➞

Doc. 60b. Le flux de rot G à travers la ➞ ➞ surface d S = N d S délimitée par deux cercles 1 et 2 est égal à la somme des –➞ circulations de G sur les deux contours : —➞ –➞

➞

rot G 2πr dr N

–➞

–➞

–➞

G 1 d M1 +

= 1

–➞

G 2 d M 2. 2

261


➞ —➞ e • rot   r 


➞ —➞ ➞ —➞ ➞ —➞ rot (u A ) = u rot A + grad u Ÿ A .

Cette formule permet de voir un autre calcul possible du rotationnel d’un champ orthoradial en coordonnées cylindriques : f (r , t) e➞q . En effet :  f ( r, t ) ∂ f ( r, t )  ➞ ➞ —➞ —➞ ➞ —➞ ➞ + ez rot [ f (r , t) e q ] = f (r , t) rot e q + grad [ f (r, t )] ∧ eθ =  ∂ r   r ou encore : ➞ ➞  ➞  —➞ eθ —➞[ f (r , t) e➞ ]= rot —➞[r f (r , t) eθ ] = r f (r , t) rot —➞ eθ + grad [r f (r , t) ]∧ rot   q  r  r r   =

1 ∂ [r f (r, t )] ➞ ez , ce qui est conforme aux résultats précédents. r ∂r

5.6. Expression analytique L’expression analytique s’obtient en coordonnées cartésiennes en explicitant les –➞ circulations de G sur des contours associés aux faces du cube d’aire d x d y , d y d z et d x d z (doc. 61) : ∂ Gz ∂ Gy − ∂y ∂z —➞ –➞ rot G =

∂ Gx ∂ Gz − ∂x ∂z ∂ Gy ∂ Gx − ∂x ∂y

 ∂ Gy ( x, y, z ) ∂ Gx ( x, y, z )  − =   dx dy ∂x ∂y   ➞ – —➞ ➞ = rot z (G ) dx dy e z , ce qui nous donne bien (en coordonnées cartésiennes) : © Hachette Livre, H-Prépa Mécanique des fluides, 2e année, PC et PSI, La photocopie non autorisée est un délit.

∂ Gy ( x , y , z ) ∂ Gx ( x , y , z ) —➞ –➞ rot z(G ) = − . ∂x ∂y Comme pour la divergence, l’expression du rotationnel en coordonnées cylindriques et sphériques est plus complexe. Pour information, les deux expressions complètes sont indiquées.

262

ez D A

.

En effet, appliquons la définition du rotationnel pour calculer sa composante sur –➞ l’axe (Oz) en considérant la circulation élémentaire d C du vecteur G sur le contour ABCDA : d C = Gy(x + dx , y , z) dy – Gx(x , y + dy , z) dx – Gy(x , y , z) dy + Gx(x , y , z) dx = Gy(x + dx , y , z) dy – Gy(x , y , z) dy + Gx(x , y , z) dx – Gx(x , y + dy , z) dx

–➞ —➞ (G • En coordonnées cylindriques : rot )=

z

1 ∂ Gz ∂ Gθ − ∂z r ∂θ ∂ Gr ∂ Gz − . ∂z ∂r 1  ∂ (r Gθ ) ∂ Gr  − r  ∂ r ∂ θ 

x

O

C B y

y + dy

x + dx

Doc. 61. Choix de la surface pour pouvoir —➞ –➞ calculer la composante de rot G suivant l’axe (Oz) .


Appliquons la définition du rotationnel pour calculer sa composante sur l’axe (Oz) –➞ en considérant la circulation élémentaire d C du vecteur G sur le contour ABCDA (doc. 62) :

z z + dz

d C = Gr( r , q , z) dr + Gq (r + dr, q , z) (r + dr) d q – Gr(r , q + dq , z) dr – Gq (r , q , z) r dq = Gr(r , q , z) dr – Gr(r , q + dq , z) dr + Gq (r + dr , q , z) (r + dr) dq – Gq (r , q , z) r dq ∂ [r Gθ (r, θ + d θ , z )] ∂ G ( r, θ , z ) dr dθ + dr dθ = − r ∂θ ∂r 1  ∂ [r Gθ (r, θ , z )] ∂ Gr (r, θ , z )  − =   r dr dθ r ∂r ∂θ  –➞ —➞ (G = rot ) . r dr dq e➞z , z

ez

z

r A

O

θ

dθ

D dr C B y

x

Doc. 62. Choix de la surface élémentaire pour pouvoir calculer la composante de —➞ ➞ rot G suivant (Oz) en coordonnées cylindriques.

–➞ 1  ∂ [r Gθ (r, θ , z )] ∂ Gr (r, θ , z )  —➞ (G − ce qui nous donne bien rot )=  z . r ∂r ∂θ 

—➞ –➞ • En coordonnées sphériques : rot (G ) =

6

1  ∂ (sin θ Gϕ ) ∂ Gθ  −   r sin θ  ∂θ ∂ϕ  1  1 ∂ Gr ∂ (r Gϕ )  . −   r  sin θ ∂ ϕ ∂r  1  ∂ (r Gθ ) ∂ Gr  − r  ∂ r ∂ θ 

Opérateurs laplacien

6.1. Laplacien scalaire 6.1.1. Définition


Le laplacien scalaire s’applique sur un champ de scalaire g ; il est noté conventionnellement par le symbole ∆ et défini de manière intrinsèque par la relation : —➞ g = div (grad g). Il transforme donc un scalaire en un scalaire. 6.1.2. Le laplacien en physique : l’équation de Laplace L’équation de Laplace est ∆g = 0 ; cette équation est présente dans de nombreux domaines de la physique : • électrostatique : le potentiel V vérifie l’équation ∆V = 0 dans une zone sans charge ; • diffusion thermique : la température T vérifie l’équation ∆T = 0 lors de transferts thermiques par diffusion, indépendants du temps ; • mécanique des fluides : ∆j = 0 , où j représente le potentiel dont dérive le —➞ champ des vitesses (v➞ = gradj) dans un écoulement irrotationnel.

263


6.1.3. Exemples de calcul

z

courbe f = cte

6.1.3.1. Coordonnées cylindriques

r

Soit un champ de scalaires en coordonnées cylindriques f (r) (doc. 63) ; calculons ∆ f (r) : —➞ df ➞ 1 d (r g(r )) ➞ er et div( g(r ) er ) = grad ( f (r )) = . dr r dr En coordonnées cylindriques, nous obtenons particulier

1 d  df f (r ) = r  avec en r dr  dr 

M

z r

θ

y

x

Doc. 63. En coordonnées cylindriques : ∆ f (r ) =

(ln(r)) = 0 .

1 d  df r . r dr  dr 

6.1.3.2. Coordonnées sphériques

Soit un champ de scalaires en coordonnées sphériques f (r) (doc. 64) ; calculons ∆ f (r) : —➞ df ➞ er grad ( f (r )) = dr

z sphère f = cte

1 d (r 2 g(r )) ➞ div( g(r ) er ) = 2 . dr r

et

θ O

avec en particulier

1 d  2 d f  1 d 2 (r f ) r = r2 dr  dr  r dr2

 1 = 0 .  r

6.1.4. Expressions 6.1.4.1. Coordonnées cartésiennes

L’expression analytique du laplacien en coordonnées cartésiennes est :


∆g =

∂2 g ∂2 g ∂2 g + + . ∂ x 2 ∂ y2 ∂ z2

6.1.4.2. Coordonnées cylindriques

∆g = remarquons que : ∆g(r ) =

∂2 g 1 ∂ g 1 ∂2 g ∂2 g + + ; + ∂ r 2 r ∂ r r 2 ∂θ 2 ∂ z 2 ∂2 g 1 ∂ g 1 ∂  ∂ g  + = r  . ∂ r2 r ∂ r r ∂ r  ∂ r 

6.1.4.3. Coordonnées sphériques

∆g =

∂2 g 2 ∂ g ∂  ∂g ∂ 2g 1 1 ; + + θ sin +   ∂ θ  r 2 sin 2θ ∂ ϕ 2 ∂ r 2 r ∂ r r 2sinθ ∂ θ 

remarquons que ∆g(r ) =

264

∂ 2 g 2 ∂ g 1 ∂  2 ∂ g  1 ∂ 2 (rg) + = . r = ∂ r2 r ∂ r r2 ∂ r  ∂ r  r ∂ r2

y

ϕ

En coordonnées sphériques, nous obtenons : f (r ) =

M r

x

Doc. 64. En coordonnées sphériques : ∆ f (r ) =

1 d  2df r . r2 dr  dr 


6.2. Laplacien vectoriel 6.2.1. Définition

–➞ –➞ Le laplacien d’un champ de vecteurs G est un champ de vecteurs noté ∆G . Son expression, en coordonnées cartésiennes, est : –➞ ➞ ➞ ➞ G = Gx e x + Gy e y + Gz e z . Dans ce type de coordonnées (et uniquement dans celui-ci), il suffit d’appliquer le laplacien scalaire à chacune des composantes du champ vectoriel de départ. Contrairement aux autres opérateurs aux noms plus imagés (« divergence », « rotation »), le laplacien, qui doit son nom au mathématicien Laplace, n’a pas d’interprétation physique immédiate. L’identité qui le lie aux autres opérateurs précédemment définis permet d’en donner une définition intrinsèque. ➞ ➞ —➞ —➞(rot —➞ A rot ) = grad (div A ) –

➞

A.

6.2.2. Le laplacien vectoriel en physique 6.2.2.1. Propagations d’ondes

Les équations de propagation de grandeurs vectorielles obéissent souvent à l’équation de d’Alembert. Ainsi l’équation de propagation du champ électrique dans le vide (ni charges, ni courants) s’écrit : ➞

1 ∂2 E ∆E = 2 . c ∂t2 ➞

6.2.2.2. L’équivalent de l’équation de Laplace en magnétostatique ➞

En magnétostatique, le champ magnétique B est un vecteur à flux conservatif ; il ➞ —➞(A➞) , où A➞ s’appelle le potentiel vecteur. peut donc s’écrire sous la forme B = rot Ce vecteur vérifie, dans une zone sans courant, l’équation : ➞

➞

∆A=0. 6.2.3. Expressions Voici les expressions des laplaciens vectoriels (que nous utiliserons rarement !) en coordonnées cylindriques :

➞

∆A=

2  1 ∂ 2 Aθ ∂ 2 Aθ 2 ∂∂A ∂ 1 ∂ Arr r Aθ ) + 2 + + (  2 2 2 ∂q ∂r r ∂r ∂z r ∂θ  r ∂θ


 1 ∂ 2 Ar ∂ 2 Ar 1 ∂Aθ ∂ 1 ∂ + − r A ( ) r + 2 2 ∂ r  r ∂ r ∂ z 2 r 2 ∂θ  r ∂θ

.

1 ∂  ∂Az  1 ∂ 2 Az ∂ 2 Az + r + r ∂ r  ∂ r  r 2 ∂θ 2 ∂ z2

265


CQFR ●

COORDONNÉES D’ESPACE

–➞

• En coordonnées cylindriques : d M = d r e➞r + r d e➞ + d z e➞z . –➞ • En coordonnées sphériques : d M = d r e➞r + r d e➞ + r sin d e➞ . ●

CONTOURS ET SURFACES

–➞

• La circulation C d’un champ vectoriel G sur une courbe B

–➞ –➞ G (M) . d M

C=

ou

orientée (fermée ou non) est définie par : –➞ –➞ G (M) . d M .

C= courbe

A courbe

La circulation d’un vecteur le long d’un contour est liée à l’opérateur rotationnel. –➞ • Le flux d’un champ vectoriel G à travers une surface , qui doit être orientée, est défini par : =

➞ –➞ G (M) . d S ou

➞ –➞ G (M) . d S .

(fermée)

Le flux d’un vecteur à travers une surface fermée ●

est lié à l’opérateur divergence.

OPÉRATEUR GRADIENT

• L’opérateur gradient (local en M) est défini par :

–➞ —➞ –➞ d g = g(M + d M ) – g(M) = grad M(g) . d M . —➞ –➞ Souvent, nous écrirons d g = grad (g) . d M . —➞ • Le vecteur grad g est orthogonal aux surfaces g = cte ; il est dirigé vers les « g » croissants (il indique dans quelle direction et dans quel sens la grandeur g(M) varie) ; et il indique l’importance de la variation spatiale de la grandeur « g » . –➞ –➞ —➞ —➞ –➞ ➞ • Si G est un gradient G = grad g , alors rot G = 0 en tout point de l’espace. ●

CALCUL DE GRADIENT

—➞

—➞

—➞


1 . 1 = – PM = – grad • grad M PM P PM PM 3 —➞ • En coordonnées cylindriques, nous obtenons grad f (r) = d f (r) e➞r . dr

—➞ d f (r) • En coordonnées sphériques, nous obtenons grad f (r) = dr e➞r . —➞ –➞ • La variation totale de g est d g = grad g . d M + ∂g dt . ∂t

La variation particulaire de g s’écrit : —➞ –➞ ∂g Dg = gradg . d M + dt avec ∂t

266

–➞ d M (d x , d y , d z) = v➞ (M , t) d t .


CQFR ●

OPÉRATEUR DIVERGENCE –➞

• L’opérateur divergence en M du champ G est alors défini par la relation :

–➞ d = div G d . –➞ • Le flux sortant d’un champ vectoriel G (ne présentant pas de discontinuité sur une surface fermée ou non, située à l’intérieur du volume V ) à travers une surface fermée est égal à l’intégrale, sur le volume V limité par cette surface, de sa divergence : –➞ –➞ G (Q) . N Q d S = surface S fermée

•

–➞ divM(G (M)) d

M.

volume V

Champs à flux conservatif

➞ ➞ —➞ ➞ div (B ) = 0 équivaut à B = rot (A) .

• En coordonnées cylindriques, nous obtenons div (e➞r ) = 1r , div (r➞) = div (r e➞r ) = 2 et : div

e➞r r➞ = div 2 = 0 (sauf en r = 0 où la divergence est infinie). r r

• En coordonnées sphériques, nous obtenons div (e➞r ) = 2 , div (r➞) = div (r e➞r ) = 3 et : r

e➞r r➞ = div = 0 (sauf en r = 0 où la divergence est infinie). r2 r3 ➞ ➞ —➞ ➞ • div (uA) = u div A + grad u . A . ➞ — ➞ — ➞ ➞ ➞➞ ➞ ➞ A. B + B . rot • div (A∧ B) = – A . rot div

• En coordonnées cylindriques, div (f (r) e➞ ) = 0 : le champ de vecteurs f (r) e➞ est à flux conservatif. En particulier, e➞ est un champ de vecteurs à flux conservatif.

OPÉRATEUR ROTATIONNEL –➞


●

–➞

—➞ (G ) . d S . • d C = rot

•

Théorème de Stokes-Ampère

–➞ La circulation d’un champ vectoriel G le➞long d’un contour fermé est égale au flux de son rotationnel à travers – toute surface s’appuyant sur ce contour ( G est supposé continu) : –➞ –➞ G (P) . d P = contour

–➞ —➞ –➞ rot (G (Q)) . NQ d S . surface

–➞ —➞ –➞ –➞ • R = rot G équivaut à div R = 0 en tout point de l’espace.

267


CQFR • La condition nécessaire et suffisante pour qu’un champ soit à flux conservatif est qu’il soit un champ de rotationnels.

• Tout champ de vecteurs à rotationnel nul est à circulation conservative : sa circulation le long de tout contour est nulle et sa circulation entre deux points est indépendante du chemin suivi. –➞ –➞ —➞ —➞ –➞ ➞ • G est un gradient : G = grad g équivaut à rot G = 0 en tout point de l’espace. Une condition nécessaire et suffisante pour qu’un champ vectoriel soit à circulation conservative est qu’il se mette sous la forme d’un gradient. • En coordonnées cylindriques, nous obtenons :

➞ ➞ —➞ —➞ ➞ ➞ rot [ f (r) e r ] = 0 , et ainsi rot e r = 0 .

• En coordonnées cylindriques, nous obtenons : —➞ d(r f (r)) ➞ rot [ f (r) e➞ ] = 1 ez , r dr —➞ ➞ e➞ —➞ ➞ ➞ d’où rot (e ) = z , rot (r e ) = 2e z (c’est-à-dire que c’est un vecteur uniforme). r –➞ –➞ Ainsi tout vecteur uniforme pouvant être mis sous la forme = e➞z , nous obtenons : –➞ —➞ –➞ ➞ rot ( ∧ r ) = 2 ➞ ➞ —➞ e rot = 0 (sauf en r = 0, où le rotationnel est infini). r ➞ —➞ ➞ —➞ ➞ —➞ • rot (u A ) = u rot A + grad u ∧ A . ●

OPÉRATEUR LAPLACIEN —➞

• g = div (grad g) . • En coordonnées cylindriques, nous obtenons : df ∆ f (r) = 1 d r r dr dr avec en particulier

(ln(r)) = 0 .

• En coordonnées sphériques, nous obtenons : © Hachette Livre, H-Prépa Mécanique des fluides, 2e année, PC et PSI, La photocopie non autorisée est un délit.

∆ f (r) = 12 d r dr avec en particulier ∆ 1 = 0 . r

•

Laplacien vectoriel –➞

• G = Gx e➞x + Gy e➞y + Gz e➞z . —➞

—➞ —➞ • rot (rot A) = grad (div A ) – A . ➞

268

➞

➞

r2

df d 2 (r f ) = 1 dr r dr 2

ndex Autodiffusion 6 Accélération d’une particule 21 Analogie électrostatique 68 magnétostatique 65 Analyse dimensionnelle 184 Approche eulérienne 10, 14 lagrangienne 9, 12

B

Bilan de masse 33, 36 de moment cinétique 212 de quantité de mouvement 207 énergétique 202 enthalpique 219 entropique 222

C

Calcul de gradient 246 Célérité des ondes 113 Cellule de Hele-Shaw 182 Champs à circulation conservative 259 à flux conservatif 251 Circulation d’un gradient 244 d’un vecteur 242 Cisaillement 129 Coefficient de traînée 170 Conditions aux limites 60 Contraintes dans un fluide 90 Coordonnées cylindriques 238 d’espace 238 Couche limite 172 laminaire 173 Critère d’incompressibilité 38 Cx(Re) pour une sphère lisse 171

D

Débit convectif 200 d’énergie interne 202 d’une grandeur extensive 207

Débit massique 32 volumique 39 Décollement de couche limite laminaire 173 Déformation 52 Densité volumique de courant de masse 32 Dérivation particulaire 18 Description eulérienne 10 Détente polytropique 223 Diffusion de particules 75 de quantité de mouvement 136 thermique 76 Dilatation 52

E

Échanges thermiques 221 Échangeur thermique 199 Échelle macroscopique 7 mésoscopique 8 microscopique 7 Écoulement à très petit et très grand nombre de Reynolds 179 autour d’un cylindre infini 178 autour d’un obstacle 167 autour d’une sphère 177 barotrope 100 d’un fluide réel 160 de Couette plan 141 incompressible 38, 57, 59 irrotationnel 101 non tourbillonnaire 59, 67 potentiel 67, 174 rampant 171, 179 stationnaire 59, 101 tourbillonnaire : 59, 63 Écoulement de Poiseuille 143 dans un cylindre de section circulaire 144 entre deux plans parallèles 143 Effet Magnus 108 Venturi 105 Énergie cinétique 212 interne massique 200


A

269

Équation d’Euler 94 de diffusion 139 de Laplace 263,75 de Navier-Stokes 135 Équivalent massique des forces de pression 93 Équivalent volumique 93 de la force de cisaillement 131

F

Facteurs d’échelle 169 Flux d’un vecteur 243 Fonction de courant 81 Force de traînée 170 en régime linéaire permanent 171 en régime turbulent 172 Force de viscosité 129 interne de viscosité 128 massique 93 surfacique 90 volumique 93 Formule de Laplace 91 de Stokes 153, 171 de Torricelli 109


G–H–I

Grandeur caractéristique 184 Hélice 227 Intégration de l’équation d’Euler 98

L

Laplacien scalaire 263 vectoriel 265 Ligne de courants 14 Loi d’Ohm dans un conducteur 76 de Fick 137 de Fourier 137 Lois de similitude 166 Longueur capillaire 92

270

M–N–O

Modèle de la houle 110 du fluide 6 Nombre de Reynolds 161, 172 Obstacle fixe 61 mobile 61 Ondes acoustiques 97 de gravitation 110 Opérateur ➞ — ➞ « A . grad » 248 divergence 250 laplacien 263 rotationnel 257 rotationnel en physique 259

P

Particule de fluide 8 Perte de charge 224 Point d’arrêt 107, 173 Potentiel des vitesses 67 Premier principe de la thermodynamique 202 Pression dynamique 102 effective 135 motrice 135 totale 102 Principe de superposition 70 Puissance volumique de viscosité 153 Puits 33 bidimensionnels 69

R

Régime linéaire permanent 168 Relation de Bernoulli 99, 104 Réversibilité cinématique 179, 180 Rotation 52

S

Signification du nombre de Reynolds 162 Solide de Rankine 81 Source 33, 69

T

Temps caractéristiques d’évolution 164 Tension superficielle 91 Théorème de Green-Ostrogradski 250 de l’énergie cinétique 212 de Stokes-Ampère 258 Tornade 54, 63 Tourbillon uniforme 66 Tourniquet d’arrosage 232 Trajectoire 12

Transfert convectif de quantité de mouvement 164 de quantité de mouvement 136 diffusif de quantité de mouvement 165 Travail utile 221 Trompe à eau 106 Tube de Pitot 107

V

Vaporisateur 106 Variation particulaire 19 Vecteur tourbillon 58 Viscosimètre de Couette 153 Viscosité cinématique 132 dynamique 130 Volume de contrôle 33 Vortex de Rankine 96 Vorticité 52


Surface de contrôle 33, 199 particulaire 200 Système fermé 199 fermé coïncident 200 ouvert 199

271

ISBN : 978-2-01-181899-7

Mécanique Des Fluides 2e Année PC-PC PSI-PSI

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