Résumé Statique des fluides

III. Résumé de cours Chapitre : "tatique des fluides

Gradient : ⃗S   sur le cube de volume La résultante des forces de pression d  F   P   P   P  ∂  ∂  ∂ ⃗ P d  τ   u⃗ + u⃗ d  τ=− vérifie * d ⃗ F S =−  τ=− grad  τ .  u + ∂ x  x ∂  y⃗  y ∂ z   z 

(

I. De Desc scri ript ptio ionn d'un d'un fluid fluidee Cadre de la statique des fluides : À l'instant t  , on considère à l'échelle mésoscopique mésoscopique un élément de fluide de volume  τ , au voisinage d'un point  τ contient un grand nombre d  τ  M  . L'élément d  τ dN  de molécules. dm n définit le champ de masse volumique ρ( M  )= .  )= d  τ  τ Forces volumiques :  τ Les interactions à distance sur l'élément d  τ peuvent se modéliser par une résultante ⃗ V  proportionnelle à d  τ des forces dF   τ . ⃗ dF  n définit la densité volumique de force  f  ⃗ V  = V  . !ar e"emple, la densité d  τ  τ ⃗ =ρ( M  ) volumique de force de p esanteur est  f  ⃗ V  = dm g   ⃗) g  . d  τ  τ Forces de surface : n considère un fluide au repos et un élément de surface dS  à l'échelle mésoscopique au voisinage d'un point M  . dS  peut #tre matériel ou immatériel. !our un fluide au repos, les forces de contact e"ercées par le fluide se situant d'un c$té de dS   ont une résultante des forces proportionnelle à dS  , perpendiculaire à   S = P ( M  ) ⃗S = P ( M  ) dS  et vers l'e"térieur du fluide qui e"erce la force d ⃗ F   ) d S   ) dS ⃗n .

II. !re !ression ssion dans un un fluide fluide au repos repos dans dans le champ champ de pesant pesanteur eur Relation fondamentale de la statique des fluides : %&() Dans le champ  g  avec un a"e ⃗ dP   =−ρ g  .

Oz 

ascendant, on a *

dz 

Exemple : modèle de l'atmosphère isotherme : n considère que la température comme uniforme, et l'air comme un ga+ parfait en équilibre thermodnamique local. n a * dP  =−ρ g =− PMg  ⇒ dP  + P  = 0 o-  H = RT  . dz 

 RT 

dz   H 

 Mg 

− z 

D'o-

 P ( z )= P ( 0 ) e  H 

!ress !r ession ion dan danss un un cham champp de de forc forcee volum volumiqu iquee quelc quelconq onque ue

.

Loi de l'hydrostatique de Pascal : !our un fluide incompressible et homogène, on a *

 P ( z =−h )= P atm+ ρ gh

.

 τ= dxdydz  d  τ=

)

quation locale de la statique des fluides : ⃗V =⃗ f      v d  τ L'élément d  τ  τ et à  τ soumis à d  F  ⃗ P =⃗ f     d'équilibre vérifie *  grad  V 

  S =− grad ⃗ P d  τ d ⃗ F   τ

dans un état

I.!ression I. !ression dans un champ de force volumique quelconque