Math 1 Serbian Version1

5/16/2018

Math1Serbian Version1-slidepdf.com

Udţbe nik za kurs: Elementarna algebra, kalkulus i finansijska matematika i statistika Knjiga 1: Elementarna algebra Treće izdanje

Prof. dr Dietrich Ohse

ProCredit Academy GmbH Hammelbacher Strasse 2 64658 +49 Fürth-Weschnitz Phone 6253 20080 © 2010 ProCredit Academy GmbH

http://slidepdf.com/reader/full/math-1-serbian-version1

1/262

5/16/2018



2/262

5/16/2018


Predgovor

S t r a n a | III

Predgovor Matematika ima ključnu ulogu u bankama iz razloga što sve bankarske operacije zavise od tačnih proračuna i precizno definisanih metoda. Iz pomenutog razloga svakako nije dovoljno osloniti se na svoj digitron, računar ili server na našoj mreţ i. Neophodno je da razumemo operacije i procese koji čine oslovu svih oblasti poslovanja naše banke. U tom cilju, odlučili smo da uvedemo Program obuke iz matematike u svim bankama i akademijama pod rukovodstvom ProCredit Holdinga. Ovaj udţ benik je osnova za sve te kurseve. Nastavni materijal za kurs je podeljen u tri knjige: Knjiga 1 obuhvata fundamentalne osnove algebre. Primena ovih principa sa apsolutnom sigurnošću je od suštinske vaţ nosti. Brojevi, promenljive, računice, iskazi, jednačine i jednostavne funkcije su osnovne komponente matematike i njene primene. Nijedna banka ne moţ e sebi da dozvoli da pokaţ e ni najmanji znak slabosti u bilo kojoj od ovih oblasti. Sadrţ aj ove knjige obuhvata teme testova u Matematici 1 i biće na raspolaganju zaposlenima od januara 2010. godine. Knjiga 2 obuhvata nešto naprednije primene matematike, a posebno primene karakteristične za bankarsko poslovanje. Pre svega, ovom knjigom su pokrivene funkcije koje se upotrebljavaju u finansijskom sektoru, kao i glavne teme finansijske matematike. Poseban akcenat je na različitim tipovima kamate, kao i svim osnovnim obračunima vazanim za novčane tokove. Sadrţ aj ove knjige odgovara testovima u Matematici 2. Knjiga 3 je udţ benik za kurs ProCredit Akademije u Firtu. Njegova svrha je da ponudi kratak uvod u kalkulus pre svega radi razumevanja njegove primene u vezi sa marginalnom analizom. Drugi deo sadrţ i odabrane teme u okviru opisne statistike jednodimenzionalnih i dvodimenzionalnih distribucija.


3/262

5/16/2018


IV | S t r a n a

Predgovor

U skladu sa ovom podelom u tri knjige, nastavni materijal je takoĎe predstavljen u tri udţ benika, koji se mogu koristiti samostalno. Zasigurno, poznavanje osnova algebre je od takvog značaja da je razumevanje korišćenja jednačina i funkcija neizostavan preduslov za razumevanje tema Matematike 2 i kursa u Firtu. Svrha udţ benika je definisanje predmeta obuke. On stoga predstavlja zajedničku platformu, kako za predavače tako i za polaznike kursa. Što se tiče same obuke, od predavača se očekuje da pripremi pregled poglavlja i strana koji će se obraĎivati na svakom času. Pregled, koji bi trebalo podeliti polaznicima, mogao bi ovako da izgleda:

Blok # 1 2

3

Struktura i teme Uvod i ciljevi obuke Osnove algebre Brojevi i operacije Razlomci i decimale itd.

Strane 1 – 10 11 - 41

Predavaču je prepušten odabir poglavlja koja će biti pokrivena nastavom, u zavisnosti od predznanja polaznika i vremena koje im je potrebno da savladaju gradivo. Iz tog razloga je nezahvalno dati neku univerzalnu preporuku. Dosadašnje iskustvo je pokazalo da je bolje sporije, i samim tim temeljnije, proći kroz suštinu nego nastojati da se po svaku cenu preĎešto više nastavnih jedinica u toku jednog kursa. Kroz napomene koje ukazuju na odreĎene strane u udţ beniku polaznicima je omogućeno da koriste udţ benik za samostalno uĉenje. Nastavni materijal je sveobuhvatan i pripremljen je paţ ljivo kako bi se mogao pratiti bez pomoći predavača. U svakom odeljku se nalaze brojni primeri radi ilustracije prethodno opisanih koraka. Svi primeri su označeni duplim linijama sa obe strane u tekstu.


4/262

5/16/2018


Predgovor

S t r a n a | V

Na kraju svakog poglavlja nalaze se brojne veţbe. Ove veţ be su neizostavan deo bilo kog kursa matematike. Zapravo, veţ banje je jedini način učenja matematike. Polaznici će uvek moći da prate predavača koji ume da ih motiviše i pruţ i im objašnjenje. Ipak, to svakako ne znači da će oni automatski biti u mogućnosti da samostalno primene ono što su usvojili. Naprotiv. Takva veština je isključivo rezultat samostalnog veţ banja. U knjizi, veţ be su praćene rešenjima za relevantno poglavlje, čime je omogućena samostalna provera rada. Svaki odeljak sadrţ i samo konačna rešenja, bez detaljnog objašnjenja postupka kojim se dolazi do rezultata. Svesno smo izostavili preporučen metod rada iz razloga što smo ţ eleli da vas ohrabrimo da razmotrite alternativne metode ukoliko je vaše rešenje netačno. Svako poglavlje se završava testovima napretka kako bi polaznici sami mogu da isprate svoj napredak. Polaznici kursa treba da uporede svoja rešenja sa rešenjima u ključu svakog poglavlja odmah po završetku odgovarajućeg poglavlja. Udţ benik ne sadrţ i detaljna objašnjenja rešenja testova je vid učenja. Dakle, predlaţ emo da ponovo preĎe te napretka. poglavlje Čitanje kako biste samostalno pronašlimiispravno rešenje. Sva tri udţ benika su predmet čestih diskusija i revizija u cilju unapreĎenja zahvaljujući mojim kolegama Alois Knobloch i Mario Kluge, koji iznosili predloge za mnoge izmene i dopune. Pored toga, veliki broj onih koji su pohaĎali kurs prema ovoj knjizi dali su svoj doprinos ukazavši na greške u tekstu i veţ banjima. Ţeleli bismo svima da zahvalimo i da vas ohrabrimo da podelite sa nama svoje iskustvo tako što ćete nam slati komentare na sledeću adresu: [email protected] . Nadamo se da ćete biti zadovoljni i uspešni sopstvenim radom pomoću ovog udţ benika.


5/262

5/16/2018


VI | S t r a n a


Predgovor

6/262

5/16/2018


S t r a n a | VII

Sadrţ aj

Sadrţaj 1.

Uvod ................................................................... 1 1.1 2 1.2 Jezik matematike .........................................................2 1.3 Kako primeniti matematiku .........................................4 1.4 Ciljevi učenja...............................................................7

2.

Osnove algebre................................................ 11 2.1 Brojevi .......................................................................13

2.1.1 Brojevi i operacije ......................................................... 14 Važba 2.1.1: Brojevi i operacije ......................................... 21 Rešenja 2.1.1: Brojevi i operacije ...................................... 23

2.1.2 Razlomci i decimale ...................................................... 24 Vežba 2.1.2: Razlomci i decimale....................................... 36 Rešenja 2.1.2: Razlomci i decimale.................................... 39 2.1.3 Procenti .......................................................................... 41 Vežba 2.1.3: Procenti ......................................................... 50 Rešenja 2.1.3: Procenti ...................................................... 52

2.1.4 Test napretka za ,,Brojeve” ........................................... 54 2.2 Eksponenti .................................................................57

2.2.1 Celobrojni eksponenti.................................................... 60 Vežba 2.2.1: Celobrojni eksponenti.................................... 67 Rešenja 2.2.1: Celobrojni eksponenti ................................. 69

2.2.2 Razlomački eksponenti.................................................. 70


7/262

5/16/2018


VIII | S t r a n a

Sadrţ aj Vežba 2.2.2: Razlomački eksponenti .................................. 77 Rešenja 2.2.2: Razlomački eksponenti .............................. 79

2.2.3 Radikali.......................................................................... 80 Vežba 2.2.3: Radikali ......................................................... 86 Rešenja 2.2.3: Radikali ...................................................... 89 2.2.4 Test napretka za ,,Eksponente” ..................................... 91 2.3 Iskazi..........................................................................93

2.3.1 Integralni iskazi ............................................................. 95 Vežba 2.3.1: Integralni iskazi ........................................... 103 Rešenja 2.3.1: Integralni iskazi ........................................ 105 2.3.2 Razlomački iskazi........................................................ 106 Vežba 2.3.2: Razlomački izrazi ........................................ 111 Rešenja 2.3.2: Razlomački iskazi ..................................... 113 2.3.3 Test napretka za ,,Iskaze” ............................................ 114 2.4 Rešenja za testove napretka ....................................116

2.4.1 Rešenja za test napretka za ,,Brojeve”......................... 116 2.4.2 Rešenja za test napretka za ,,Eksponente”................... 117 2.4.3 Rešenja za test napretka za ,,Iskaze” ........................... 118

3.

Jednaĉine ....................................................... 119

3.1 Upotreba jednačina .................................................121

3.1.1 Modelovanje pomoću jednačina .................................. 124 3.1.2 Rešenje ........................................................................ 128 Vežba 3.1: Upotreba jednačina ........................................ 138 Rešenja 3.1: Upotreba jednačina ..................................... 140 3.1.3 Test napretka za ,,Upotrebu jednačina”....................... 141 3.2 Linearne jednačine ..................................................143


8/262

5/16/2018


S t r a n a | IX

Sadrţ aj

3.2.1 Normalan oblik linearne jednačine.............................. 144 3.2.2 Rešenje ........................................................................ 145 Vežba 3.2: Linearne jednačine ......................................... 149 Rešenja 3.2: Linearne jednačine ...................................... 151

3.2.3 Test napretka za ,,Linearne jednačine”........................ 152 3.3 Kvadratne jednačine ...............................................154

3.3.1 Oblici kvadratnih jednačina ......................................... 155 3.3.2 Rešenje ........................................................................ 156 Vežbe 3.3: Kvadratne jednačine ....................................... 163 Rešenja 3.3: Kvadratne jednačine.................................... 165 3.3.3 Test napretka za ,,Kvadratne jednačine” ..................... 167 3.4 Rešenja za testove napretka ....................................169

3.4.1 Rešenja za test napretka ,,Upotreba jednačina”........... 169 3.4.2 Rešenja za test napretka za ,,Linearne jednačine” ....... 170 3.4.3 Rešenja za test napretka za ,,Kvadratne jednačine” .... 171

4.

Osnovne funkcije .......................................... 173 4.1 Svojstva funkcija......................................................180

4.1.1 Karakteristike grafika .................................................. 181 4.1.2 Inverzna funkcija ......................................................... 185 Vežba 4.1: Svojstva funkcija ............................................. 191 Rešenja 4.1: Svojstva funkcija .......................................... 193 4.1.3 Test napretka za ,,Svojstva funkcija” .......................... 197 4.2 Linearne funkcije .....................................................199

4.2.1 Grafik linearne funkcije ............................................... 201 4.2.2 Svojstva linearnih funkcija .......................................... 204


9/262

5/16/2018


X|Strana

Sadrţ aj Vežba 4.2: Linearne funkcije ............................................ 207 Rešenja 4.2: Linearne funkcije ......................................... 208

4.2.3 Test napretka za ,,Linearne funkcije" .......................... 210 4.3 Kvadratne funkcije ..................................................212

4.3.1 Completion of the Square ............................................ 214 4.3.2 Grafik kvadratne funkcije ............................................ 216 4.3.3 Svojstva kvadratne funkcije ........................................ 223 Vežba 4.3: Kvadratne funkcije ......................................... 227 Rešenja 4.3: Kvadratne funkcije....................................... 228 4.3.4 Test napretka za ,,Kvadratne funkcije"........................ 231 4.4 Rešenja testova napretka.........................................233

4.4.1 Rešenja testa napretka za ,,Svojstva" ......................... 233 4.4.2 Rešenja testa napretka za ,,Linearne funkcije" ............ 236 4.4.3 Rešenja za test napretka za ,,Kvadratne funkcije"....... 240

Indeks pojmova ...................................................... 243


10/262

5/16/2018


S t r a n a | XI

Sadrţ aj

Slike Slika 1-1:

Matematičko modelovanje ............................................... 5

Slika 1-2:

Upotreba matematičkih modela ...................................... 5

Figure 2-1:

Linija realnih brojeva .................................................... 15

Slika 4-1:

Grafik funkcije ............................................................. 178

Slika 4-2:

Preseci funkcije ........................................................... 181

Slika 4-3: jedan

y = f(x) nije jedan-na-jedan, y = g(x) jeste jedan-na187

Slika 4-4:

Preslikavanje dve funkcije na liniji pod 45° ................ 188

Slika 4-5:

Grafik linija ................................................................. 201

Slika 4-6:

Svojstva linearnih funkcija .......................................... 202

Slika 4-7:

Crtanje linije sa oblikom preseka ................................ 204

Slika 4-8: Slika 4-9:

Grafik kvadratne funkcije ............................................ 216 Normalna parabola ..................................................... 217

Slika 4-10:

Negativna normalna parabola .................................... 217

Slika 4-11:

Parabola sa transformisanim temenom....................... 218

Slika 4-12:

Otvaranje parabole ..................................................... 219

Slika 4-13:

Grafik tri parabole ...................................................... 224

Slika 4-14:

Grafik koji ilustruje navedeno ..................................... 226


11/262

5/16/2018


XII | S t r a n a

Sadrţ aj

Tabele Tabela 2.1:

Korišćenje zagrada u iskazima...................................... 19

Tabela 2.2:

Procenti ......................................................................... 43

Tabela 2.3:

Računanje iskaza ........................................................... 62

Tabela 2.4:

Uklanjanje zagrada ....................................................... 63

Tabela 4.1:

Tabela vrednosti funkcije ............................................ 176

Tabela 4.2:

Tabela vrednosti parabole ........................................... 215


12/262

5/16/2018


Sadrţ aj

S t r a n a | XIII

Reĉnik termina


13/262

5/16/2018



14/262

5/16/2018


1.1 Jezik matematike

S t r a n a | 1

1. Uvod Ovo je veoma kratko uvodno poglavlje koje sadrţ i neka krajnje opšta zapaţ anja o matematici i njenoj primeni. Očigledno je da ne ţ elimo da predajemo matematiku radi same matematike. Ţelimo da naučimo da primenjujemo matematiku na realne probleme, naročito probleme sa kojima se susrećemo u svakodnevnom radu u našim bankama.

1. Introduction 1.1 The Language Mathematics 1.2 How to Apply Mathematics 1.3 Learning Targets Da bismo koristili matematiku kao alatku potrebno je da matematičarima predstavimo svoje svakodnevne probleme na ,,razumljiv” način. To znači da moramo da naučimo njihov jezik kako bismo im saopštili svoje probleme. Moţ da zvuči neobično nazvati matematiku ,,jezikom”, ali čim uvidimo da matematika ima svoj rečnik i gramatiku, i razmotrimo praktično iskustvo učenja i upotrebe matematike, sličnosti postaju sasvim očigledne. U drugom kratkom poglavlju ţ elimo da demonstriramo primenu matematike. Tumačenje i upotreba adekvatnih alatki iz našeg kofera sa matematičkim alatkama u mnogome zavisi od iskustva. Jedini način da napredujemo je da što češće veţ bamo ove korake.


15/262

5/16/2018


2|Strana

1. Uvod

Naposletku, ţ eleli bismo da istaknemo ciljeve obuke putem ovog udţ benika i kurseva elementarne algebre i funkcija. Uvereni smo da svaka osoba koja radi u banci ili, u širem kontekstu, u finansijskom sektoru mora dobro da poznaje neke fundamentalne matematičke oblasti. U ovom udţ beniku ove oblasti i odgovarajući ciljevi učenja grupisani su u pet poglavlja: osnove algebre, jednačine, funkcije, vremenska vrednost novca i statistika.

1.1 1.2 Jezik matematike Ko god je učio neki strani jezik zna da je to proces koji karakterišu različite faze i poteškoće. Na samom početku moramo da usvojimo odreĎeni vokabular, odnosno rečnik, što znači da moramo da naučimo reči i njihovo značenje. Kada naučimo dovoljan broj reči, učimo da ih povezujemo kako bismo formirali rečenice, što znači da moramo da naučimo primenjujemo odreĎena pravila.struktura. Ova pravila su se normativan vremenom razvijala i na osnovu opšteprihvaćenih Njihov karakter omogućava da rečenične konstrukcije = rečenice svako moţ e da razume. Ova pravila stoga svako treba da prihvati. Naposletku, moramo da naučimo kako da aktivno koristimo jezik. Svako ko je učio jezik kao ,,teorijski” predmet u školi, gde su vokabular i gramatika raščlanjeni do najsitnijih detalja, zna iz iskustva da to nije dovoljno za adekvatno saopštavanje sopstvenih misli. Pored toga je neophodno da naučimo kako da aktivno upotrebljavamo jezik. Izrazi koji se u lingvistici koriste za opis ove tri faze su:

Semantika = izučavanje značenja reči Semantika kao poddisciplina lingvistike (lingvistička semantika) istraţ uje značenje lingvističkih znakova. Gramatika = izučavanje načina na koji se reči povezuju radi formiranja rečenica U uţ em smislu, gramatika – ili morfosintaksa – je izučavanje strukture reči (morfologija) i rečenica (sintaksa). Pragmatika = izučavanje načina razumevanja jezika U lingvistici je ovo studija upotrebe jezika u različitim situacijama.


16/262

5/16/2018


1.1 Jezik matematike

S t r a n a | 3

Isto tako, matematika je jezik , i zaista u modernom društvu to je jezik koji sve više dobija na značaju. Moţ da se ne moţ e koristiti za pisanje poezije ili proze, ili drţ anje govora ili komentarisanja sportskih dogaĎaja, ali se moţ e koristiti za opis odreĎenih odnosa i struktura ili kreiranje modela realnih fenomena. Ako je upotreba matematike moguća ili čak neophodna, onda sledi da je matematika ne samo meĎunarodni jezik koji je razumljiv u svim zemljama sveta, već takoĎe izuzetno moćan instrument koji nam omogućava da opišemo najkompleksnije odnose. Zapravo, matematika je organizovana na isti način kao i govorni jezik. Sastoji se od: Ovi znaci Brojeva, simbola, i operatora matematike. Neophodno je da znate njihovo značenje kakočine bistevokabular razumeli suštinu koju vam oni saopštavaju. Iskazi, operacije, pravila, i algoritmi Formiraju se kombinovanjem osnovnih elemenata, i to su rečenice u matematici. Gramatika je normativni niz pravila zahvaljujući kome svako ,,matematiku” razume na isti način. Primene u obliku , , , Ovi oblici se koriste radi saopštavanja raĉunicai primene grafika matematike. modela teorema Pomoću ovih primena meri se korisnost jezika koji se naziva matematika. Kada učimo jezik mi obično imamo cilj koji ţ elimo da ostvarimo. Na primer, učimo engleski jezik da bismo komunicirali sa što više ljudi širom sveta, ili iz razloga što je to zvanični jezik kompanije u kojoj radimo, ili iz razloga što bismo ţ eleli da čitamo literaturu na izvornom engleskom jeziku. Ali šta bi bila svrha učenja jezika matematike? Zašto je matematika verovatno jedini predmet koji se uči u školskom sistemu svake zemlje sveta? Koje su prednosti matematike kao jezika u odnosu na, recimo, latinski ili neki moderan ţ iv jezik? Hajde da pokušamo da odgovorimo na to pitanje.


17/262

5/16/2018


4|Strana

1. Uvod

1.3 Kako primeniti matematiku ,,Primena matematike”pruţ obično instrumenata koje nam matematika a da podrazumeva: bismo opisali, korišćenje objasnili i rešili stvarne probleme. Pre nego što opišemo osnovnu proceduru za primenu matematike, hajde da razmotrimo dva jednostavna problema. Problem 1: Boca zajedno sa poklopcem teţ i 204g. Boca teţ i tačno 200g više od poklopca. Kolika je teţ ina boce? Problem 2: Ana će sledeće godine imati tri puta više godina od godina koje je imala Lusi pre dve godine, a Lusi će imati dva puta manje godina od Aninih godina pre tri godine. Koliko Ana i Lusi danas imaju godina? Prvo pokušajte da odgovorite na ova dva pitanja. Moţ da ćete spontano doći do odgovora; moţ da ćete pokušati da pronaĎete rešenje kroz više pokušaja i grešaka. Dok ćete verovatno relativno brzo doći do rešenja na prvo pitanje jednostavnim razmišljanjem o pitanju ili sistematičnim isprobavanjem više rešenja, drugi problem je već toliko sloţ en da ga je gotovo nemoguće rešiti kroz pokušaje i greške. Upravo ovde nam pomaţ e matematika. Da bismo je koristili kao metod za rešavanje problema, meĎutim, nije dovoljno znati metode računanja, operacije, algoritme i teoreme – ili dokaze. Umesto toga, prvo moramo da budemo sposobni da opišemo ekonomsku,biofizičku, sociološku ili političku situaciju na način koji bi u matematici instrument za analizu ili metod za rešavanje problema. Iz tog razloga, od ključnog značaja je da izgradimo sposobnost prevoĎenja verbalno opisanog problema u matematički jezik, sposobnost konverzije u formu koja nam omogućava primenu matematičke analize. Rezultat ove transformacije mogao bi se opisati kao model stvarnog stanja stvari. Ukoliko koristimo niz matematičkih instrumenata koji su nam na raspolaganju na taj način dolazimo do ,,matematičkog modela” realnog problema.


18/262

5/16/2018


S t r a n a | 5

1.2 Kako primeniti matematiku

Real-world Problem

Mathematical Model e.g.:

Modelling

y

f ( x)

x 2

2x 4 0 1 qn j

n 1

q

1 q

j 0

Slika 1-1:

Matematičko modelovanje

U matematičkom modelu odnosi koji postoje u realnom problemu opisani su pomoću funkcija, jednačina Stvarni problem se prevodi u jezik matematike kako bi biloi formula. moguće koristiti matematičke metode analize i rešavanja problema. Ako matematički model ispravno opisuje suštinske karakteristike stvarnog problema, rešenje matematičkog problema treba da ponudi opciju za rešavanje stvarnog problema. Ukoliko ovo nije slučaj onda su odreĎene karakteristike matematičkog modela pogrešne i/ili je potrebno revidirati model.

Real-world Problem

Mathematical Model e.g.: Modelling

y

f ( x)

x 2

2x 4 0 n 1 q q j 1 q 0

n 1

j

yes

Is the solution of the Mathematical Model a solution of the Real-world Problem?

no

Solve the Mathematical Problem

Solution of the Mathematical Model

Slika 1-2:

Upotreba matematičkih modela


19/262

5/16/2018


6|Strana

1. Uvod

Na osnovu dva problema opisana na početku ovog odeljka sada ćemo pokazati zbog čega je matematičko modelovanje ubedljiv pristup za rešavanje problema. Problem 1: Teţ ine koje problem zahteva od nas da pronaĎemo – obično u formi pitanja koje vodi do zaključka – sada su definisane kao nepoznate (= promenljive). Na primer, recimo da b = teţ ina boce c = teţ ina poklopca Koristeći ove upromenljive sada moţ emo da prevedemo tekst problema matematičke jednačine: Boca + poklopac zajedno teţ e 204g: b + c = 204 Boca teţ i 200g više od poklopca: b = c + 200 Dakle, matematički model koji u potpunosti opisuje činjenice na način na koji su one opisane u problemu sastoji se od dve jednačine sa dve nepoznate. Nakon kratke računice, dolazimo do rešenja: b = 202 i c = 2 Ovo rešenje na ispravan način zadovoljava dva postavljena uslova. Da li ste i vi dobili ovo rešenje? Večina ljudi inicijalno da pogrešan odgovor kada kraće vreme razmišlja o problemu i tek nakon nešto duţ eg razmišljanja doĎe do ispravnog rešenja. Dok se ovo prvo pitanje moţ e rešiti relativno lako sa malo razmišljanja, ovaj pristup se ne moţ e primeniti i na drugi problem.


20/262

5/16/2018


1.2 Kako primeniti matematiku

Problem 2:

S t r a n a | 7

Šta se u problemu traţ i? Šta mi traţ imo? Od nas se traţ i da ustanovimo Anine i Lusine godine. Odlučili smo da je a = Anine godine l

= Lusine godine

Hajde da sada prevedemo problem: Ana će sledeće godine imati tri puta više godina u odnosu na Lusi pre dve godine: ( xa 1) 3 ( xl 2)

Kroz četiri godine, Lusi će imati duplo manje godina od Ane pre tri godine: ( xl

1 2

4)

( xa

3)

Prema tome, i ovde imamo matematički model koji se sastoji od sistema jednačina sa dve jednačine i dve nepoznate. Rešenje je:

l

18 i

a

47

Ukoliko proverimo ovo rešenje, vidimo da su oba uslova zadovoljena. Primer drugog problema je poseban pokazatelj efikasnosti matematičkog modelovanja. Jednom kada formulišemo model koji opisuje situaciju moţ emo da primenimo kvantitativne metode za analizu, i onda je obično lako pronaći rešenje na postavljeno pitanje. Mora se, meĎutim, priznati da je formulisanje modela koji tačno opisuje pravo stanje stvari obično teţ i deo veţ be.

1.4 Ciljevi učenja ProCredit je banka. nastojimo savetujemo naše klijente, i iznad svega ţ elimo da im Mi damo ispravandai transparentan savet. Da bismo to uradili nuţ no je da imamo osnovno poznavanje algebre i nekih funkcija.


21/262

5/16/2018


8|Strana

1. Uvod

Mnogi od vas će reći: ,,Ali mi imamo računare i digitrone.” To je validno stanovište, u smislu da program moţ e da izračuna tačan iznos domoţ poslednje pare. Postoje, meĎutim, izvoribigrešaka. primer, ete da unesete pogrešan broj. Urazličiti tom slučaju trebalo Na da budete sposobni da procenite da li je rezultat realan ili ne. Moţ ete se naći u situaciji gde treba da date savet nekome, a nemate digitron ili računar. Šta biste, na primer, rekli prijatelju da vas zaustavi na ulici i pita koliko bi koštao kredit, ili kolika bi bila efektivna kamatna stopa na štedni deposit? U našem svakodnevnom radu, bez obzira da li radimo sa klijentima, drugim članovima kolektiva: suština bankarskog poslovanja se bazira na rešavanju kvantitativnih promenljivih, brojeva ili operacija. Iz tog razloga je ključno znati osnove algebre, neke od funkcija koje su vaţ ne za bankarstvo, i njihova svojstva, odreĎene aspekte statistike, i pozadinu uzimanja depozita i kredita. To je razlog što ćemo na ovom kursu početi sa učenjem odreĎene količine vokabulara. Upoznaćemo se sa apsolutno fundamentalnim pojmovima iz algebre, kao što su brojevi i operatori, a posebno razlomci i eksponenti ili indeksi, kao i načinom njihovog kombinovanja radi formiranja algebarskih izraza. U našem svakodnevnom ţ ivotu i radu, količine se veoma često meĎusobno porede i mere. U matematici, ovo uopšteno govoreći dovodi do jednačina koje ţ elimo da rešimo. Najvaţ niji oblik jednačine u matematici je funkcija, pomoću koje se uzročni odnosi u stvarnom svetu mogu opisati kroz matematički model. U ovom prvom udţ beniku započinjemo diskusiju o vaţ nosti funkcija, njihovim svojstvima i nekim osnovnim funkcijama. U udţ beniku 2, koji obraĎuje nešto naprednije teme, uvodimo eksponencijalne i logaritamske funkcije. Ove funkcije su poznatije kao ,,transcendentalne” funkcije, što moţ da zvuči prilično teoretski. One su, meĎutim, verovatno najznačajnije funcije u ekonomiji i – još značajnije za bankarstvo.


22/262

5/16/2018


1.3 Learning Targets

P a g e | 9

U banci, kamatne stope imaju ulogu od sveopšteg značaja: izračunavanje prihoda od kapitala zahteva da usmerimo posebnu paţ nju na eksponente kada radimo sa algebarskim izrazima. Proces rasta koji je rezultat konformne kamate opisan je pomoću takozvanih eksponencijalnih funkcija, koje imaju vaţ nu ulogu u opisu problema u oblasti finansijske matematike. Zbog prihoda od kapitala, vrednost kapitala zavisi od vremena, i zbog toga, finansijsko-matematičke primene se često nazivaju ,,vremenskom vrednošću novca”. U nastavnim jedinicima ovog kursa, koje su direktno povezane sa primenama u banci, biće opisani nezamenljivi fundamentalni principi kamate, depozita i kredita. Konačno, udţ benik 3, koji se takoĎe moţ e okarakterisati kao ,,matematičke primene u bankarstvu i finansijama”, posvećen je kalkulusu i osnovama opisne statistike. To je krajnje elementaran uvod u statističke metode opisivanja, prezentovanja, i procene velike količine podataka. S obzirom da banke uvek rade sa velikom količinom podataka koji se odnose na klijente, račune i portfolije, očigledno je da nam je potrebno osnovno razumevanje relevantnih pojmova. Grafik na sledećoj strani pokazuje je teme u ovom benikuNau odreĎenom kontekstu. Osmišljeno da obraĎe se oneneuče na dvaudţkursa. prvom kursu se postavljaju temelji algebre i funkcija. U drugom udţ beniku, ovi instrumenti se zapravo primenjuju na specifične finansijske probleme u bankarstvu. Svako poglavlje sadrţ i brojne veţ be. Da biste mogli da proverite svoj rezultat, ispravna rešenja su data na kraju svakog poglavlja. U većini slučajeva, prikazano je samo konačno rešenje, ali ne i detaljan metod računanja. ne prikaţda emorazmotrite preporučen metod iz razloga štoSvesno smo ţ smo eleli odlučili da vas da ohrabrimo alternativne metode ako dobijete pogrešno rešenje.


23/262

5/16/2018


10 | S t r a n a

1. Uvod

Elementary Algebra, Financial Mathematics, Calculus and Statistics

n e a m r e l b E e : g 1 A . y l o r V t a l a i c s n c a i n t i a F m : e 2 h . t l a V o M

1. Introduction

4. Basic Functions

1. Introduction

2. Special Functions

s u l s u c c i l t s a i C t : a 3 t . S l o d n V a

3. Equations

2. Basic Algebra

3. Time Value of Money

1. Introduction 2. Calculus

3. Basics of Statistics

4. Two dimensional Distributions

U dodatku ćete, meĎutim, takoĎe pronaći kompletna rešenja. Koristite ovu informaciju sa rezervom zbog toga što je jedini način da se savlada jezik po imenu ,,Matematika” njena primena i iskustvo kroz samostalno pravljenje modela i rešavanje problema.


24/262

5/16/2018


S t r a n a | 11

2. Osnove algebre

2. Osnove algebre Elementary Algebra, Financial Mathematics, Calculus and Statistics n e

a l m b e r E e : g 1 A . y l o r a V t

1. Introduction 2. Basic Algebra

3. Equations

4. Basic Functions

Preduslovi:

Ciljevi uĉenja:

Ne traţ i se nikakvo specijalno znanje iz matematike, već samo volja za otkrivanjem matematičkih osnova u bankarstvu. U principu, verovatno ćete se podsetiti matematike koju ste učili u školi. Ipak, očekuje se da aktivno učestvujete u obuci. Ovaj udţ benik je struktuiran na takav način da se predmet moţ e individualno razumeti putem veţ bi i samotestiranja. Postoje rešenja sa detaljnim objašnjenjima na kraju udţ benika kako biste mogli da proverite sopstveni napredak. Da biste mogli da primenite matematiku potrebno je da probleme prevedete na jezik matematike tako da se oni mogu rešavati matematički. S tim u vezi, od vas se očekuje da izgradite i unapredite svoje samopouzdanje u računanju ili radu sa brojevima i simbolima bez pomoći računara i digitrona. Isto tako, veoma je vaţ no da budete relativno sigurni da li je dobijeni rezultat rešenje


25/262

5/16/2018


12 | S t r a n a

2. Osnove algebre

problema. Stoga, treba da budete sposobni da napravite razliku izmeĎu razumnog i nerazumnog rešenja. Algebra se često naziva ,,generalizovanom aritmetikom”. To je oblast matematike koja se u najširem smislu bavi aritmetičkim operacijama kao što su sabiranje, oduzimanje, mnoţ enje i deljenje odreĎenih brojeva. Naziv ,,algebra” potiče od latiniziranog imena persijskog matematičara Al Horezmi koji je ţ iveo oko 800. godine pre nove ere i koji je opisao mnoge osnovne principe. Dok se ,,aritmetika” koristi brojeve (2, 4, 6, itd.), algebra se širi na simbole koji sluţrada e kao i parametri. Postoje alineke razlike izmeĎu sa promenljive brojevima i rada sa simbolima, uvekmanje nas iznenaĎuje činjenica da mnogi polaznici kursa bez problema izračunaju sledeći izraz: 2 (4 2)

4 1

2 4 2

4

1 4

2 4 4 1

ali se ,,zaglave” kada broj 4 zamenimo simbolom x: 2 ( x

2)

x 1

2 x

2

x

2 x

1 x

x 1

Simbol x u drugom izrazu je zamena za neki nepoznat broj. S obzirom da on moţ e da varira, simbol se takoĎenaziva i promenljiva. Mada su sve operacije i pravila isti, bez obzira da li se računa pomoću brojeva ili simbola, korišćenje simbola se često smatra teškim iz razloga što su simboli apstraktniji. Sa druge strane, treba imati na umu da je jedna od suštinskih karakteristika matematike apstrakcija od specifičnog do opšteg ili od odreĎenog do uobičajenog. Dakle, cilj učenja u ovom poglavlju je navikavanje na korišćenje simbola u matematičkim iskazima, i njihova upotreba zarad pronalaţ enja rešenja za realne probleme. Pregledaćemo neke od vaţ nih osnovnih algebarskih operacija koje se često uče u školi. Nastavni materijal se moţ e sistematično učiti pre nego što nastavimo dalje sa temama u okviru ovog udţ benika, ili se po potrebi moţ e ponavljati.


26/262

5/16/2018


S t r a n a | 13

2.1 Brojevi

2.1 Brojevi

2. Basic Algebra 2.1 Numbers

2.2 Exponents

2.3 Expressions

Numbers & Operations

Integer Exponents

Integer Expressions

Fractions & Decimals

Fractional Exponents

Fractional Expressions

Percentages

Radicals

Preduslovi: Ciljevi uĉenja:

Ne postoje nikakvi posebni preduslovi. Jezik matematike sluţ i se brojevima i simbolima. Vavilonci su razvili i koristili brojeve. Brojevi su meĎusobno povezani operacijama. To dovodi do pojave iskaza, koji zbog algebarskih pravila mogu biti proizvoljno kompleksni. Jasan preduslov za primenu matematike je učenje i ispravna primena ovih osnovnih pravila. Pojam aritmetičkih i algebarskih pravila ćemo postepeno redom širiti uvoĎenjem simbola, promenljivih i parametara. Posmatrano u celini, matematička pravila su osnova matematičke gramatike. Ako se pravilno primenjuje, bilo koji iskaz se moţ e razumeti u svim delovima sveta –


27/262

5/16/2018


14 | S t r a n a

2. Osnove algebre

Kini, Rusiji, Gruziji ili Tajlandu, iako ove zemlje koriste različite alfabetske karaktere.

2.1.1 Brojevi i operacije Reč niz se u matematici koristi na isti način kao i u govornom jeziku. To je skup predmeta ili elemenata sa istim zajedničkim svojstvima. Upotreba simbola je u ovom kontekstu poprilično uobičajena za različite nizove brojeva: N niz prirodnih brojeva; brojevi pomoću kojih brojimo: 1, 2, 3, … Z niz celih brojeva; prirodni brojevi, negativni brojevi i nula: …,-2, 1, 0, 1, 2 … Q

I

niz racionalnih brojeva, koji se mogu predstaviti kao ba , gde je a ceo broj, a b 0 . Još jedna karakteristika celih brojeva je to da se njihovo decimalno predstavljanje periodično ponavlja ili ima završetak: 79 ; 0.25; 0.236236 niz iracionalnih brojeva, koji se mogu predstaviti samo decimalama koje se ne ponavljaju i nemaju završetak: 2;

R

3.14159265359...; e

2.71828182846...

niz realnih brojeva, koji čine i racionalne i iracionalne brojeve zajedno.

Odnos izmeĎu različitih nizova brojeva moţ e se predstaviti na sledeći način: Natural N. + zero +Negative N.

= Integer N. + Fractionals

= Rational N. + Irrational N.

= Real Numbers

Ukoliko povučemo direktnu liniju u obliku strele, shvatamo da svaki realan broj odgovara tačno jednoj tački na toj liniji, i obrnuto. Ova linija se naziva linija realnih brojeva, a nula se obično uzima kao početak.


28/262

5/16/2018


S t r a n a | 15

2.1 Brojevi

3

-2 -9/4

-1

0

1

Figure 2-1:

Real Numbers

2

Linija realnih brojeva

Sada ćemo pogledati neka od osnovnih svojstava sistema realnih brojeva koja nam omogućavaju da prevedemo algebarske iskaze iz oblika koji smo videli na početku ovog poglavlja u ekvivalentne iskaze. Ova osnovna svojstva nazivaju se aksiomi i moraju se uvek uzeti u obzir prilikom transformacije algebarskih iskaza.

OSNOVNA SVOJSTVA REALNIH BROJEVA Neka x, y, z budu proizvoljni realni brojevi. Pišemo: x, y, z Čitamo x, y, z ,,su elementi niza realnih brojeva”. SVOJSTVA SABIRANJA Zatvorenost : y je jedinstveni element u Asocijativnost : Komutativnost :

( x

y)

y

z

x

(y

.

z)

y x

Identitet :

0 je adicioni identitet: 0 x x 0 x

Inverzija:

Za svaki x , − x je njegova jedinstvena suprotnost, ( x) ( x) x 0 tako da


29/262

5/16/2018


16 | S t r a n a

2. Osnove algebre

SVOJSTVA MNOŢENJA Zatvorenost : y su jedinstveni elementi u Asocijativnost :

x ( y z)

( x y ) z

Komutativnost :

y

y x

Identitet :

1 je multiplikativni identitet: 1 x x 1 x

Inverzija:

Za svako

gde je

suprotnost, tako da

K OMBINOVANA SVOJSTVA Distributivnost : ( x y ) z

x z

0,

1 x

je njegova jedinstvena

( x1 ) ( 1x ) x 1

y z i

( y

z)

x y

x z

Zaključci gore navedenih aksioma su: Neka x i y budu proizvoljni realni brojevi. x

( x) ( y )

( x y)

x y

( x) ( y )

x

x

x

y

y

y za

x

x

y

y

za

( x) y

0

0


30/262

5/16/2018


S t r a n a | 17

2.1 Brojevi

OBRATITE PAŢNJU: Neka x i y budu proizvoljni realni brojevi: 0 x x 0 0 0

0 za

y y

0

0 ukazuje da je ili

0 ili

0 ili

y

0

Deljenje sa 0 nikada nije dozvoljeno.

OPERACIJE SA BROJEVIMA Ako su operacije u algebarskim izrazima izmešane ponekad nije lako pratiti redosled operacija. Kada radimo sa sloţ enijim iskazima koji se sastoje od više različitih operacija, ponekad je teško odlučiti koju operaciju prvu treba izvesti. Drugim rečima, redosled ili prioritet operacija mora biti jasan i nedvosmislen. Pravila računanja moraju da budu nedvosmislena; ne treba da postoji ni najmanja sumnja u vezi toga kako se iskaz tumači. Drugim rečima, polaznici kursa matematike u Gani i polaznici u Mozambiku moraju na isti način da izvedu računicu i dobiju identičan rezultat. Da bismo sastavili algebarski izraz neophodno je da koristimo zagrade. Bilo koji par zagrada sadrţ i iskaz koji se mora tretirati kao celina. To znači da par zagrada oko bilo kog iskaza saţ ima sadrţ aj na vrstu simbola koji je uporediv sa brojem promenljivom. Svaka operacija koja na se primenjuje na zagrade mora ili se tumačiti kao operacija koja se odnosi celokupan sadrţ aj zagrada.

PRIMERI 1. 2 4 3 2 12 14 ali:

(2 4) 3

2. 2 3 3 4 5 6 12 5

1 ali:

6 3 18

2 3 3 (4 5)


3 9

27

31/262

5/16/2018


18 | S t r a n a

2. Osnove algebre

Oba iskaza u pomenuta dva primera se nedvosmisleno mogu izračunati, a da pri tome dobijemo dva potpuno različita rezultata. Dakle, izuzetno je vaţ no sačiniti iskaze tako da procedura računanja vodi ţ eljenom rezultatu, i ne postoji mogućnost dvosmislenog tumačenja. Ukoliko u jednom iskazu postoji veliki broj delova koje potrebno razdvojiti zagradama, koriste se različite vrste zagrada kako bi bilo jasno i nedvosmisleno koja zatvorena zagrada pripada odreĎenoj otvorenoj zagradi. Okrugle zagrade: ( ) Četvrtaste zagrade: [ ] Vitičaste zagrade: { } Prilikom korišćenja zagrada potrebno je postarati se da se sve zagrade javljaju samo u paru. Na taj način ćemo biti sigurni da je vrednost svakog iskaza unutar zagrada nedvosmislena. Pored postoje jasna pravila o tome kako se računaju iskazi koji sadrţ e toga, zagrade:

R AĈUNANJE ISKAZA Ako ţ elite da izračunate algebarski iskaz sa više različitih operacija morati voditi računa da operacije vršite pravilnim redosledom. Postoje dva osnovna pravila: 1. 2.

Iskazi koji sadrţ e zagrade (parenteze) moraju se računati iznutra ka spolja. To znači da se sve operacije unutar zagrada moraju izračunati pre nego što nastavimo sa operacijama izvan zagrada. Multiplikativne operacije (mnoţ enje i deljenje) imaju prednost u odnosu na adicione operacije (sabiranje i oduzimanje). To znači da se na istom nivou operacija proizvodi i količnici računaju pre suma.

Uvek se preporučuje korišćenje što većeg broja zagrada. Bolje je koristiti ih isuviše često nego previše retko. Ako ispustite jednu zagradu, to


32/262

5/16/2018


S t r a n a | 19

2.1 Brojevi

obično stvara drugačiji iskaz, i samim tim drugačiji rezultat, što je u većini slučajeva greška! Razlomačka crta ili kosa crta zamenjuje zagradu u iskazima. Sledeći iskazi su primer kako kombinacija više algebarskih operacija u jednom iskazu moţ e ponekad da bude zbunjujuća: 2 3 4

2 ( 1 3)

5 4 4 2

5

4

3

Tabela dole pokazuje redosled koraka u računanju i objašnjenje u vezi sa navedenim pravilima: Koraci

2 3 4 5

1 2

2 ( 1 3) 4

5 4 4 2

3

–1 – 3 = –4 3 4 12

8 5 4

2 ( 4)

20

4 2 8

3 4

–2+12=10 10 5

5

2

20–8=12 8 4

2

2 ( 2) 4

12 3

4

4

Komentari Prvo očistite zagrade. Operacije mnoţ enja i deljenja pre operacija sabiranja i oduzimanja Sume u brojiocima Razlomačka crta se računa kao zagrada i zbog toga se prvo računaju razlomci. Ovo je rezultat.

Tabela 2.1: Korišćenje zagrada u iskazima


33/262

5/16/2018


20 | S t r a n a

2. Osnove algebre

PAŢNJA – TIPIĈNE GREŠKE Izostavljanje zagrada  

3 (4 2)

3 4 2

6 (2 4)

6 2 6 4

Nepravilan redosled multiplikativnih i adicionih operacija 

3 4 5 3 9


34/262

5/16/2018


S t r a n a | 21

2.1 Brojevi

VAŢBA 2.1.1:

BROJEVI I OPERACIJE

Rešenjaovih za ove veţ be moţ ete pronaći na stranama koješto neposredno slede nakon problema. Sastoje se od konačnog rešenja, omogućava da uporedite svoj rezultat sa našim. Svesno smo odlučili da ne prikaţ emo preporučeni metod rada iz razloga što ţ elimo vas da podstaknemo da razmislite o alternativnim metodama ukoliko dobijete pogrešno rešenje. 1. Dovršiti sledeće jednačine u skladu sa datim pravilom: a) Komutativnost: b) Asocijativnost:

y

( x

y)

z

c) Distributivnost:

y z y

d) Asocijativnost:

( y z )

e) Komutativnost:

y

f) Komutativnost:

y

2. Koji su inverzni elementi u odnosu na naznačeno svojstvo: a) Sabiranje: {1, 2, 4, 8, 16}? b) Mnoţ enje: {−1, 1, 2 3}? 3. Izračunati: a)

( 3)

d) 4 ( 2) ( 3)

b)

1 3

e)

2 5

c)


f)

2 ( 4)

9 3

35/262

5/16/2018


22 | S t r a n a

2. Osnove algebre

4. Izračunati: a)

0 ( 3)

b)

0 4

d)

0 0

e)

0 (0)

3 0

c)

5. Izračunati: 2 (3 4) 6 (2 4)

a) b) c)

4

3

{[(2 3) 5 4] 2 3} 4 10 7 5 3

2 ( 4)

16

(7 3) 2 2 8 5 7 3

d)

6 4

6

8

( 3) ( 2)

3

2


36/262

5/16/2018


S t r a n a | 23

2.1 Brojevi

R EŠENJA 2.1.1:

BROJEVI I OPERACIJE

1. Pravila operacija a) Komutativnost :

x

b) Asocijativnost :

z)

( y

c) Distributivnost :

z )

( x

d) Asocijativnost :

( x z )

e) Komutativnost :

x

f) Komutativnost :

y x

2. a)

b)

1, 2, 4, 8, 16

3. a) 3

1 1 1,1, , 2 3

1

b)

c) 8

3

d) 4

e)

2 5

f)

3

4. a) 0 d) neodreĎeno

b) 0 e) 0

c)

5. a) 0 d) 3

b) 10

c) 66


37/262

5/16/2018


24 | S t r a n a

2. Osnove algebre

2.1.2 Razlomci i decimale Već smo definisali racionalan broj kao razlomak dva cela broja. Isto tako smo koristili razlomke u primeru i veţ bama u prethodnom odeljku. U ovom odeljku ćemo naučiti kako da računamo pomoću razlomaka. RAZLOMCI

Postoje neka osnovna pravila koja se moraju primenjivati kad god postoji najmanje jedan razlomak u iskazu.

R AZLOMAK Razlomak je količnik

a b

gde su a i b celi brojevi, a b 0 .

a se naziva brojilac, a b se naziva imenilac.

Razlomci su nekim većini pravilima nas dobrozapoznati; ipak, neophodno je posvetiti duţ nu paţ nju raĉunice sa razlomcima kako bismo izbegli greške. Da bismo dostigli odreĎen neophodan nivo samopouzdanja i izvanrednog poznavanja upotrebe razlomaka, primena ovih pravila se mora veţ bati. Nadamo se da se nikada nećete pregovarati poput ovog momka kome je šef ponudio povećanje plate od ,,jedne petine”. Njegov odgovor je bio: ,,Izvinite, ali to zaista nije dovoljno. Trebalo bi da povišica bude najmanje ,,jedna šestina”. Prvo ćemo ukratko predstaviti pravila, zatim dati kratak komentar, i konačno dati puno primera da bismo vam pokazali kako ova pravila treba primenjivati.

PRAVILA ZA RAĈUNICE SA RAZLOMCIMA a, 0. b, c, d, i f budu realni brojevi; ukoliko su oni imenioci ne smeju Neka da budu


38/262

5/16/2018


S t r a n a | 25

2.1 Brojevi

MNOŢENJE NEKIM BROJEM a

f a

b

b

R azlomak ćemo pomnožiti tako što ćemo mnoţ iti brojilac brojem f .

PRIMERI 1. Ako podelite kolač na četiri dela imaćete četiri četvrtine, tj. četiri 1 kolača. Ako imate dve četvrtine, imate dva puta jedna 4 1 2 četvrtina, tj. 4

2. 2

3

6

7

7

3. ( 3) 4. 0

21 4

1 2 kolača.

2

6

6

11

11

11

1

0

11

11

0

DELJENJE BROJEM KOJI NIJE NULA a b

f

a b f

R azlomak ćemo podeliti tako što ćemo mnoţ iti imenilac sa

0.

Mnoţ enje i deljenje su inverzne operacije koje isključuju jedna drugu u slučaju kada se obe primenjuju.

PRIMERI 1. Ako podelite jednu polovinu kolača dobićete dva dela od kojih je 1

svaki jedna četvrtina kolača, tj.

2

1 2

2 2


1 4 .

39/262

5/16/2018


26 | S t r a n a

2.

3 7

2. Osnove algebre

2

3

3

7 2

14

3.

2 ( 3) 2 11 11 ( 3)

4.

7 13

2

7

7

13 2

26

2 33

2 33

EKVIVALENTNOST RAZLOMAKA a b

c d

Dva razlomka su ekvivalentna ako, i samo ako, a = c i b = d .

PRIMERI 1.

x

3

y 4 2a 8 2. 3b 51

3.

4

2 y

3 x

15

3 and

x

2a

8

a

4 2 y : y

y

4;

4 3b

51

b 17

2; 3x 15: x 5

SKRAĆIVANJE f a

a

f b

b

U razlomku na levoj strani zajednički faktor f se skraćuje f .

deljenjem brojioca i imenioca istim faktorom

PRIMERI 1.

12

2 6

6

14

2 7

7


40/262

5/16/2018


S t r a n a | 27

2.1 Brojevi

2.

24

2 2 2 3

2 2

4

42

2 3 7

7

7

45 72

3.

( 1) 3 3 5 ( 1) 3 3 2 2 2

5 8

PROŠIRIVANJE a

f a

b

f b

R azlomak na levoj strani moţ e se proširiti faktorom f mnoţ enjem brojioca i imenioca istim faktorom f .

PRIMERI 1.

4 7

2.

0.5

11 4 11 7

44 77

2 (0.5)

1

1.5 2 (1.5) 3 1.7 10 (1.7) 3. 2.3 10 (2.3)

17 23

Poslednja dva primera pokazuju zašto je proširivanje korisno. Ukoliko ţ elite da uklonite decimale u brojiocu i imeniocu – imajte u vidu da brojeve nismo ograničili na cele brojeve! – moţ ete ih proširiti odgovarajućim faktorom kako bi bili celi brojevi. Poput mnoţ enja i deljenja, skraćivanje i proširivanje su inverzne operacije koje se meĎusobno potiru ukoliko ih obe primenimo.

MNOŢENJE DVA RAZLOMKA a c

a c

Dva razlomka množimo tako što mnoţ imo brojioce i

b d

b d

imenioce.


41/262

5/16/2018


28 | S t r a n a

2. Osnove algebre

PRIMERI 1.

1 7

1 7

7

3 11

3 11

33

2.

3

4

( 3) 4

3 4

12

5

7

5 7

( 5) 7

35

3.

1 3

5

1 3 5

15

2 4

7

2 4 7

56

DELJENJE DVA RAZLOMKA a

c

b

d

a b c d

a d

dva razlomka se dele mnoţ enjem inverznih

b c

razlomaka.

PRIMERI 1.

2 3

2.

3 4 5 9

3.

5 7

2 7 3 5

3 9 4 5

4 7

2 7 3 5

14 15

27 20

6 14

4 7

14 6

4 14 7 6

4 2 7 7 2 3

4 3

Poslednje dve operacije su opet meĎusobno inverzne. Mada su ,,sabiranje” i ,,oduzimanje” najosnovnije algebarske operacije, mnoge greške se javljaju kada je potrebno sabrati ili oduzeti razlomke. Molimo vas da obratite paţ nju na poseban odeljak: ,,Paţ nja – tipične greške”.


42/262

5/16/2018


S t r a n a | 29

2.1 Brojevi

DODAVANJE (ODUZIMANJE) RAZLOMAKA SA ISTIM IMENIOCEM a

c

a c

b

b

b

Dva razlomka sa istim imeniocima sabiraju se (oduzimaju) sabiranjem (oduzimanjem) brojioca.

PRIMERI 1. Polovina kolača i jedna četvrtina kolača zajedno čine tri četvrtine, tj. 12 14 2.

3

8

11

5

5

5

7

3.

4.

2 4

1 4

3 . 4

3

2

11 11

11

7 3 2

6

11

11

2

8

2 ( 8)

2 8

10

5

5

5

5

5

2

Da bismo sabirali i oduzimali razlomke sa različitim imeniocima prvo je potrebno da ih proširimo tako da imaju isti imenilac, koji se zove zajedniĉki imenilac.

ZAJEDNIĈKI IMENILAC a Zajednički imenilac dva razlomka i b

c d

je proizvod dva imenioca:

b d

Proširivanjem dva razlomka sa d i b, pomenutim redosledom, dobijamo dva razlomka sa istim imeniocem: a d

c b

b d i d b


43/262

5/16/2018


30 | S t r a n a

2. Osnove algebre

Do zajedničkog imenioca se najlakše dolazi mnoţ enjem dva (ili više) razlomka i proširivanjem razlomka svim faktorima koji nisu deo zajedničkog imenioca.

PRIMERI Pronaći zajednički imenilac (common denominator – CD) za sledeće razlomke i proširiti ih shodno tome: 1.

2

2.

1

3.

2 3 1 ; ; 5 7 3

3 6

5

;

7 3

;

7

CD

3 7

CD

6 7

CD

3 5 7

2 7 3 7 1 7 6 7

; ;

5 3

14

7 3

21

3 6

7

7 6

42

;

;

2 3 7 3 3 5 1 5 7 ; ; 3 5 7 3 5 7 3 5 7 42

;

45

;

35

105 105 105

15 21

18 42

Pronalaţ enje zajedničkog imenioca i proširivanje razlomaka u skladu sa tim preduslov je za sabiranje i oduzimanje razlomaka sa različitim imeniocima.

SABIRANJE (ODUZIMANJE) RAZLOMAKA SA RAZLIĈITIM IMENIOCIMA a

c

b

d

a d

c b

Dva razlomka sa različitim imeniocima mogu se

b d

sabrati (oduzeti)

nakon što ih proširimo tako da imaju isti imenilac.

PRIMERI 1.

2

5

2 7

5 3

14

15

29

3

7

3 7

3 7

21

21

21

2.

2

1

2 7

13

14

3

11

3

7

3 7

3 7

21

21

21


44/262

5/16/2018


S t r a n a | 31

2.1 Brojevi

3.

2

1

3

2 4 7

1 3 4

3 3 7

56

12

63

107

3

7

4

3 4 7

3 4 7

3 4 7

84

84

84

84

Razlomci se često javljaju u jednačinama u obliku: 74 x

3 5

y

U ovakvom slučaju često je poţ eljno izbegavati razlomke, tj. ukloniti ih. Zapravo, moţ emo pomnoţ iti celu jednačinu odreĎenim faktorom s obzirom da moţ emo da primenimo skoro svaku operaciju (osim mnoţ enja ili deljenja nulom) na obe strane jednačine bez promene. Dakle, mnoţ enjem jednačine zajedničkim faktorom oba razlomka dobijamo: 4 7

3 5

7 5 x

7 5 y

Nakon skraćivanja zajedničkih faktora u brojiocima i imeniocima dobijamo: 4 5 x

3 7 y

Ovu operaciju često nazivamo ,, unakrsnim množenjem”, što nam ostaje nakon proširivanja i skraćivanja.

EKVIVALENTNOST RAZLOMAKA UKAZUJE NA UNAKRSNO MNOŢENJE a b

c d

Dva razlomka su ekvivalentna ako, i samo ako, a d

c b . Ova operacija se često naziva ,, unakrsnim

množenjem imeniocima”.

PRIMERI 1. 2.

2 x

1

7

4

3 x 5 y

y

2 4x

4 5

5 3 x

1 7y

4 5y

8x

3x

7y

4y


45/262

5/16/2018


32 | S t r a n a 3 8 y

3.

2. Osnove algebre 4 5z

3 ( 5) z

4 8y

15 z

32 y

Još uvek nismo ograničili brojeve u brojiocu ili imeniocu u smislu njihove veličine. Svi sledeći izrazi su stoga u skladu sa definicijom razlomka: 1 4

;

5 1.2 11 3.5 7 1.8 2 ; ; ; ; ; ; 8 3.7 3 2.8 10 3 0.7

Ustvari, razlike meĎugore navedenim razlomcima su veoma male. Izrazi 1 4

;

5

;

7

8 10

precizno odgovaraju definiciji. Izrazi 1.2 1.8 ; 3.7 3

mogu se proširi sa 10 i postati: 12 18 ; 37 30

3 5

Kod sledeća tri izraza brojioci su veći od imenioca: 11 3.5 2 ; ; 3 2.8 0.7

Nakon proširivanja poslednja dva sa 10 izrazi postaju: 11 35 5 20 20 ; ; 3 28

4

7

7

U poreĎenju sa prethodnim razlomcima, ovde je brojilac veći od imenioca. Takvi razlomci se zovu mešoviti razlomci.


46/262

5/16/2018


S t r a n a | 33

2.1 Brojevi

PRAVI I MEŠOVITI RAZLOMCI Razlomak se naziva pravim razlomkom ako je brojilac manji od imenioca. To u formalnom izrazu znači: a b

je pravi razlomak ako je a < b

Ako je a b razlomak se naziva mešovitim. Ponekad je neophodno ili poţ eljno razdvojiti ceo broj i ostatak, što je onda pravi razlomak.

R AZDVAJANJE MEŠOVITOG RAZLOMKA Mešoviti razlomak se uvek moţ e podeliti na ceo broj i pravi razlomak deljenjem: a b

i

c b

gde je a > b i c < b

Mešoviti razlomci se generalno pišu bez +-znaka izmeĎu: 3

2 7

3 72

PRIMERI Nakon deljenja brojioca imeniocem dobijamo: 1. 2. 3.

11

3

3 5

1

4

20 7

2

3 23

3 1 4

2

1 14

6 7

2 76


47/262

5/16/2018


34 | S t r a n a

2. Osnove algebre

DECIMALE Naš brojevni sistem je zasnovan na takozvanom decimalnom sistemu, tj. broju deset kao svojom bazom. Ovo je verovatno iz razloga što su naši preci koristili svojih 10 prstiju kao pomoć pri brojanju, i na taj način počeli da računaju na osnovu jednostavnih mnoţ ioca od 10 i njihovih potencijala: 247 2 100 4 10 7 1 Poslednja pozicija u broju je uvek mnoţ ilac od 1 100 , sledeći je mnoţ ilac od 10 101 , zatim 100 102 , itd. Potencijal broja 10 i njegovih mnoţ ioca uvećava se prelaskom sa jedne pozicije na sledeću za 1. Ako krenemo drugim smerom od 1 100 , smanjujemo potencijal za jedan, što rezultuje mnoţ iocima od 10 1 , zatim 10 2 , i tako dalje. Mnoţ ioci faktora od 10 sa negativnim izloţ iocima odvojeni su od nenegativnih decimalnim zarezima: 0.247

2

4

7

200

40

7

247

10

100

1000

1000

1000

1000

1000

Ovi brojevi se nazivaju decimalama. Prema anglosaksonskom načinu obeleţ avanja pišu se decimalnom tačkom, dok se u Nemačkoj koristi zarez. Decimalno obeleţ avanje je ponekad značajno iz razloga što se razlomci mogu izbeći. Formalno, svaki razlomak se moţ e preslikati u decimalni broj tako što ćemo brojilac podeliti imeniocem primenom pravila deljenja: 1 4

0.25

ili

1 8

0.125

U oba gore pomenuta slučaja deljenje je bez ostatka. Redosled decimala nakon decimalnog zareza je stoga konačan. Iz iskustva znamo da ovo nije uvek slučaj. Na primer, deljenjem sledećih razlomaka dobijamo: 1 3

0.333

ili

4 11

0.363636

ili 53

26

2.0384615384615


48/262

5/16/2018


S t r a n a | 35

2.1 Brojevi

U prva dva primera nakon nekoliko koraka shvatamo da se niz decimala ponavlja. Često se koristi crta iznad decimala koje se ponavljaju i takve decimale se nazivaju periodiĉnim decimalnim brojevima. Treći broj, meĎutim, pokazuje da periodi ne moraju uvek da počnu odmah nakon decimalnog zareza, i da mogu biti relativno dugi, ponekad čak i mnogo duţ i nego u gore pomenutim primerima. Brojevi u kojima se decimale ili završavaju ili proširuju periodičnim ponavljanjima nazivaju se racionalnim brojevima. Oni se uvek mogu predstaviti pravim razlomkom. Postoje takoĎe, meĎutim, decimale sa beskonačnim neperiodičnim nizom brojeva. Nazivaju brojevima (pogledati strana 14), od kojihseje iracionalnim najpoznatija prirodna konstanta : odeljak 2.1.1; 3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399... Drugi nama dobro poznati takvi brojevi su: 2 e

1.41421356237... 2.718 281828 459 045 235 360 287 471352 662 497 757 247 093...

Ovi brojevi se ne mogu predstaviti niti razlomkom niti periodičnom decimalom.

PAŢNJA – TIPIĈNE GREŠKE Sabiranje i oduzimanje razlomaka 1

1

2

4

1

3



2

3

5 i 5

3

2



3

1 2

4 4 i 2 2 1

4 2

4 1

Mnoţ enje i deljenje razlomaka 1 3



5



1 2 3 7

6 5 i 15 4

2

3 2

3 10


49/262

5/16/2018


36 | S t r a n a

2. Osnove algebre

VEŢBA 2.1.2:

R AZLOMCI I DECIMALE

Rešenjaovih za ove veţ be moţ ete pronaći na stranama koješto neposredno slede nakon problema. Sastoje se od konačnog rešenja, omogućava da uporedite svoj rezultat sa našim. Svesno smo odlučili da ne prikaţ emo preporučeni metod rada iz razloga što ţ elimo vas da podstaknemo da razmislite o alternativnim metodama ukoliko dobijete pogrešno rešenje. 1. Proširiti razlomke datim faktorima: a)

2 3

d)

14 6

sa 4

b)

5 7

sa –3

c)

2 9

sa –4

sa 0.5

2. Proširiti razlomke tako da brojilac ili imenilac, pomenutim redosledom, bude jednak prikazanoj vrednosti: a) c) e)

1 4

imenilac 16 2 brojilac 12 7 7 8

b) d)

2 7 2 3

imenilac 21 imenilac 27

brojilac 56

3. Skratiti razlomke koliko god je to moguće: a)

35 55

b)

8 28

e)

12 72

f)

36 48

i)

42 14

j)

105

c)

18 30

g)

64 16

d)

15 77

h)

88 16

231


50/262

5/16/2018


S t r a n a | 37

2.1 Brojevi

4. Zameniti upitnik tačnim brojem: 3

?

a)

4

16

d)

3

21

7

?

2

?

b)

7

56

e)

21 2

5 7

c)

105 ?

f)

105 ?

4

?

7

77

5. Izračunati: a)

1 2

b)

e)

3 7 3 2 4 9

f)

i)

5 7 2 7 5

j)

1 7

c)

2 4 1 4 2 2 5

g)

2 6

3 1

d)

3 5 1 1 1 2 3 2

8 2 3 5 4

h)

3 7 5 5 6 9

6. Podeliti: a)

2 3

4 7

b)

1

1

2

3

2

f)

3

i)

1

2

4

7

7

3

c)

3

6

8

5

d) 1

1

6

3

5

e)

4 7

h) 2

3

1

7

1 7

2 5

g) j)

21

7

15

5

5

2

7

2

7

5

7. Pronaći najmanji zajednički imenilac za sledeće razlomke: a)

2 10

i

3 15

b)

2 14

d)

3 16

i

5 20

e)

3 8

g) j)

7 1 15

i

7 ,3 1 6 3

12 25

i

h) 7 30

i

4 21

i 4

2 3 3,4

i

1 5

2 27

c)

5 12

f)

2 13 i 1 14

i)

i

1 3 3, 4

i

1 6


51/262

5/16/2018


38 | S t r a n a

2. Osnove algebre

8. Sabrati, odnosno oduzeti: a)

1

+

2

1 3

3

3

2

5

35

g)

2

1

1

3

4

6

j)

4

d)

15

2

b)

5

e)

4

h)

7 2

+

5

c)

6

1 1 1 5 45 3 7

f)

4 5

i)

2

1

7

14

8

3

11

7

7 3

2

1 7

3

21 14

9. Promeniti razlomke u decimalne zapise (koristiti digitron po potrebi): a) e)

4 7

87 29

b)

6 11

c)

16

f)

37

g)

23.7

9

6

6.3


d)

43 16

h)

121

11

52/262

5/16/2018


S t r a n a | 39

2.1 Brojevi

R EŠENJA 2.1.2: 1. a)

8 12

2. a)

4

3. a)

16

7 11

R AZLOMCI I DECIMALE b) 15 21

c)

b)

6 21

c)

b)

2

c)

7

d)

7 3

12 42

d)

18 27

e)

56 64

3

d)

15 77

e)

1

i)

3

j)

5

8 36

5

g)

4

h)

11

12 16

b)

16 56

c)

105 147

d)

21 49

105 10

f)

44 77

2 21

b)

7

c)

4

d)

3

f)

2

g)

10

h)

15

6. a)

7

b)

3

c)

5

g)

1

f)

3

4. a) e)

5. a)

f)

4

6 15 2

8 3

2

h)

2

5 4

16

17

8


16

1 7

17 7

j)

d)

10

e)

i)

3 8

11

e)

i)

9

6

j)

6 18

2 7

25

4

53/262

5/16/2018


40 | S t r a n a

2. Osnove algebre

7. a)

30

b)

f)

12

g) 75

5

b) 1

8. a) f)

6

23 77

9. a) 0,5714 e)

3

g)

42

1 2

3 4

c) 108

d) 80

e) 8

h) 60

i)

12

j)

30

3

d)

19 35

e)

8 3 45

i)

10 21

j)

17 70

c)

14

h) 2 19 70

b) -0,5455

c) 2,6667

d) 2,6875

f) 4,1111

g) -3,7619

h)


11

54/262

5/16/2018


S t r a n a | 41

2.1 Brojevi

2.1.3 Procenti Davno pre nego što su razlomci počeli da se šire koriste, trgovci su morali da poznaju delove novčanih jedinica zbog toga što su ţ eleli da znaju koliki iznos će im ostati u dţ epu. Deo koji su računali kao svoju marţ u zvali su ,,per centum” (latinski: po stotini). Mi danas koristimo izraz ,,procenat”, u značenju ,,posto”. Procenat je stopa po stotini ili udeo u sto delova. To je deo u smislu svog kvantitativnog odnosa prema celini. To u bukvalnom prevodu znači ,,podeljeno sa 100”, i procenti imaju poseban znak ,,%”. Mi, bankari, takoĎe puno radimo sa procentima. Kamatne stope, stope rasta ili stope prihoda navode se u procentima. Procente koristimo za poreĎenje različitih količina. Da bismo izračunali procenat, uvek se prema njemu odnosimo kao prema celini, tj. prema 100%. Ukoliko ţ elimo da znamo procenat ţ ena i muškaraca u našoj grupi navodimo ukupan broj polaznika u grupi kao 100%. Broj ţ ena u odnosu na celinu daje nam procenat ţ ena koje su polaznice. Da bismo napravili ovaj odnos jednostavno podelimo broj ţ ena ukupnim brojem i ponovo pomnoţ imo rezultat sa 100 da bismo dobili procenat.

PRIMER Ukupan broj zaposlenih u ekspozituri ProCredit banke je 20. Imamo 12 ţ ena i 8 muškaraca. Ukupan broj 20 izraţ en je kao 100%. Da bismo izračunali udeo ţ ena delimo broj 12 sa 20 i dobijamo 0,6. Ovo znači da je broj ţ ena u odnosu na ukupan broj zaposlenih 0,6 prema 1. S obzirom da je procenat udeo izraţ en u delovima od sto mnoţimo 0,6 sa 100 i dobijamo 60%.

Broj

Odnos

Procenat

Ukupno

20

celina

100%

Ţene

12

0,6 : 1

12 20

100%

0.6 100%

60%

Muškarci

8

0,4 : 1

8 20

100%

0.4 100%

40%


55/262

5/16/2018


42 | S t r a n a

2. Osnove algebre

PROCENAT OD OSNOVE Procenat je udeo u delovima od jedne stotine u smislu svog kvantitativnog odnosa prema osnovi. Da bismo izračunali procenat p od količine x prema osnovi b, delimo x sa osnovom b i rezultat mnoţimo sa 100: %

x b

100%

Ako nam je već poznat procenat p od osnove b i ţ elimo da izračunamo odgovarajuću količinu x, delimo p sa 100 i mnoţ imo osnovom b: p b 100

Kada stavljamo u odnos dve vrednosti moţ emo da se izrazimo na više različitih načina. Kaţ emo, na primer, ,,skoro polovina”, ,,skoro duplo”, ,,samo 10%”, ,,tačno jedna trećina”, ,,110% od planiranog rezultata” ili ,,oko 25%”. Procente naročito koristimo kada ţ elimo da izrazimo udeo ili kada vršimo procenu. Ali šta zapravo 25%, 50%, 66% ili 150% znači? Hajde da pogledamo sledeću tabelu. Odnos ukupno, celina jedna polovina jedna trećina jedna četvrtina dve trećine tri četvrtine jedna petina

Procenat 100% Manje od celine

50% 33,3% 25% 66,6% 75% 20%


Primer 60 30 20 15 40 45 12

56/262

5/16/2018


S t r a n a | 43

2.1 Brojevi

Odnos deseti deo

Procenat 10%

dvadeseti deo stoti deo hiljaditi deo duplo trostruko

Primer 6

5% 1% 0,1% Više od celine 200% 300%

3 0,6 0,06

400% 1000% 150% 250%

240 600 90 150

četvorostruko desetostruko jedan i po put dva i po puta

120 180

Tabela 2.2: Procenti

PRIMERI 1. Udeo zaposlenih: Koliko je 50% od 660? 50 660 100

660 2

330

Rizični portfolio: 2. Koliko je 745,867 USD izraţ eno kao procenat od 24,563,654 USD?

$ 745867

$ 24563654

100% 3.04%

3. Koliko je 1,7% od 124,543,324 €? 1.7 124,543, 324 € 100

2,117, 236.51 €


57/262

5/16/2018


44 | S t r a n a

2. Osnove algebre

Stope rasta: 4. Imate 1456 kredita u otplati i ţ elite porast od 4% u toku sledećeg meseca. Koliko kredita očekujete na kraju meseca? 104 1456 1.04 1456 1514 100

5. Kolika je bila vaša stopa rasta prošle godine ukoliko ste počeli sa 2,4 miliona USD i završili sa 3,1 milion USD? PAŢNJA: Iz razloga što smo počeli sa 2,4 miliona USD i zatim dostigli 3,1 milion USD, osnova ili ekvivalent za 100% u ovom slučaju je 2,4 miliona USD, a ne 3,1 milion USD. (3.1 2.4) 2.4

100%

0.7 2.4

100%

29%

6. Postizanje cilja: Sa koliko procenata ste dostigli svoj cilj od 543 kredita ako ste isplatili 601 kredit? PAŢNJA: Ovde je celina ili 100% cilj od 543 kredita. 601 543

100% 110.7%

Postigli ste cilj sa 110,7%, odnosno premašili ste svoj cilj za 10,7%.

Procenti ulogu bruto u prodajnim rabatima, odbicima. takoĎe U tim imaju slučajevima cena se popustima, umanjuje za odreĎenii procenat. U drugim slučajevima, cena se takoĎemoţ e povećati, na primer u slučaju povećanja kamatne stope za kredit, cena se moţ e povećati usled povećanja troškova (npr. cene benzina) ili povećanja poreza (npr. PDV). S obzirom da procenat uvek znači ,,deo neke celine”, moramo da budemo obazrivi kada definišemo celinu (= sto posto = 100%). Mi ćemo je zvati baza. Baza u gore datoj tabeli je u svakom slučaju iznosila 60.


58/262

5/16/2018


S t r a n a | 45

2.1 Brojevi

Svakako, prvo moţ emo izračunati udeo p% kao procenat od baze b i dodati (ili oduzeti) rezultat r na bazu (od baze): b p%

Ipak,

r

b

r

takoĎe moţ emo

obe

radnje p b b p% b (1 p%) b (1 100 )

obaviti

u

okviru

jedne:

odnosno pomnoţ iti bazu sa rastućim (opadajućim) faktorom: 1 p% 1

p 100

POVEĆANJE (SMANJENJE) BAZE Po pravilu, povećanje (smanjenje) baze b za procenat % b b p%

b (1

p %)

b f

gde je faktor.

1 p%

p 100

znači:

rastući (opadajući)

Ovu računicu zovemo ,,procenat baze”, što zatim ili saberemo sa bazom ili oduzmemo od baze.

PRIMERI 1. Bazna cena jedinice pre oporezivanja iznosi 50 EUR, i na nju se mora dodati PDV od 19%. Kolika će biti stvarna prodajna cena? 50 (1 0.19)

50 1.19

59.50 EUR

2. Stanje depozita na računu iznosi 127 EUR. Na taj iznos treba da dodate kamatu od 5%. Koliko će biti stanje na računu nakon kapitalizacije kamate? 127 (1 5%)

127 (1 0.05)

127 1.05 133.35 EUR


59/262

5/16/2018


46 | S t r a n a

2. Osnove algebre

3. Ukoliko platite u gotovini za odreĎenu jedinicu dobijate popust od 7%, čime se cena smanjuje na 247 EUR. Koliki iznos treba da platite? 247 (1 7 %) 247 (1 0.07) 247 0.93 229.71 EUR Postoji veoma suptilna, ali vaţ na razlika izmeĎu procenta baze b i procenta u bazi. U primerima koje smo imali do sada, baza je bila data i računali smo uvećan (umanjen) konačni rezultat. Koristili smo procenat baze da izračunamo proširenu (odbijenu) vrednost. Kada govorimo o procentu u bazi, vršimo inverziju ovog proračuna: počinjemo od konačnog rezultata (uz već uključen procenat) i pokušavamo da odredimo koliko je iznosila baza. Proračuni ovog tipa moraju redovno da se vrše u poslovanju kada je neophodno prikazati ne samo konačnu cenu već i neto cenu (ne uključujući porez) ili – što je zapravo ista stvar – porez je potrebno prikazati zasebno na fakturi. Pretpostavimo da kupujete laptop za svoju kompaniju čija je cena 900 EUR (uključujući porez). Imatenapravo na odbitak iz tog(PDV razloga= porez mora da bude prikazan fakturi. Koliko PDV-a; iznosi porez 19%) i kolika je neto cena? U ovom slučaju, bruto cena je data i mi ţ elimo da ustanovimo kolika je baza: 900

b (1 p%)

b (1 0.19)

b f → b

900 f

900 1.19

756.30 EUR

Porez (tax = t) t 900 756.30 143.70 , što se moţ e izračunati i na ovaj način: b f

756.30 0.19

143.70 EUR

PROCENAT U BAZI http://slidepdf.com/reader/full/math-1-serbian-version1

60/262

5/16/2018


S t r a n a | 47

2.1 Brojevi

Da bismo izračunali bazu b od konačnog rezultata r (procentni udeo p je uključen) potrebno je podeliti rezultat rastućim faktorom: b

r (1 p %)

r f

Računica je potpuno ista ako znate konačnu cenu (umanjenu za p%) jedinice i interesuje vas prethodna cena bez smanjenja.

PRIMERI 1. Pretpostavimo da EUR. je smanjenje iznosilo 15%,cena čime ?je cena smanjena na 32,98 Kolika je bila prvobitna o o

r 1 p %

r f

32.98 0.85

38.80 EUR

2. Kupujete auto za 3000 EUR. Koliki iznos PDV-a (19%) je uključen? 3000 b

1.19

2521.00

Ovo je, meĎutim, bazna cena pre oporezivanja. Iznos PDV-a je razlika: 3000 2521 479 b t 2521 0.19 EUR

Sada razumemo vaţ nost baze. To je još uočljivije kada pogledamo sledeća dva primera.

PRIMERI 1. PDV je pre dve godine u Nemačkoj povećan sa 16% na 19%. Cena friţ idera je bila 500 EUR pre porasta prodajne cene. Kolika je bila cena nakon povećanja? Pretpostavka je da je cena povećana za 3%, tako da bi nova cena bila: 500 500 3% 515 EUR


61/262

5/16/2018


48 | S t r a n a

2. Osnove algebre

Ovo, meĎutim, nije tačno, zato što smo nenamerno izmenili bazu. Hajde da napravimo računicu iz dva koraka. Korak 1: Neto cena (bez PDV-a) bi bila: n

500 1.16

431.03 EUR

Korak 2: PDV od 19% uvećava bruto cenu na: 431.03 (1 0.19) 512.93 EUR Obratite paţ nju da je cena znatno manja od iznosa koji smo isprva dobili. 2. Par cipela čija originalna cena iznosi 100 EUR u ponudi je uz smanjenje od 20%. Kao deo ove specijalne ponude, dobijate dodatni popust od 5%. Koliko treba da platite? Prva reakcija bi mogla da nas navede da saberemo 20% i 5%, tj. dobijemo 25% popusta i platimo 75 EUR. Mi smo, meĎutim, ponovo promenili bazu i na taj način došli do netačne cene. Korak 1: Smanjenje cene: 100 100 20%

100 (1 0.2)

100 0.8

80 EUR

Korak 2: Specijalna ponuda: 80 (1 0.05)

80 0.95

76 EUR

Dakle, u ovom slučaju tačna cena je nešto viša od ishitrene pretpostavke.

VIŠESTRUKI PROCENTI Ukoliko uzastopno računate sloţ ene procente treba da množite rastuće (opadajuće) faktore. Ukoliko je prvo došlo do promene (1 p%) i zatim do promene (1 q%) onda ukupna promena glasi: (1 p%) (1 q%)


62/262

5/16/2018


S t r a n a | 49

2.1 Brojevi

,,Promena” označava povećanje ili smanjenje, u zavisnosti od znaka. ,,Mnoţ enje” se mora zameniti ,,deljenjem”, u zavisnosti od baze.

PRIMERI U prethodnim primerima ukupne promene su sledeće: 1. Ukupan faktor promene je bio: t

1 19%

1.19

1 16%

1.16

1.0259

Nova cena je stoga stara cena puta ukupan rastući faktor: 500 t 500 1.0259 512.93 EUR 2. Ukupno smanjenje je: r

(1 0.2) (1 0.05)

0.8 0.95

0.76

Konačna cena je dakle: s 100 0.76 76 EUR

PAŢNJA – TIPIĈNE GREŠKE Imajte na umu da se udeo izraţ en u procentima mnoţ i sa 100:  10 od 100 nije 0,1% 

25 od 50 nije 0,5%

Budite oprezni prilikom odreĎivanjadecimalnih mesta  10 od 100 nije 1% 

25 od 50 nije 5%

10 od 1000 nije 10%  2 od 20 nije 1% 


63/262

5/16/2018


50 | S t r a n a

VEŢBA 2.1.3:

2. Osnove algebre

PROCENTI

Rešenjaovih za ove veţ be moţ ete pronaći na stranama koješto neposredno slede nakon problema. Sastoje se od konačnog rešenja, omogućava da uporedite svoj rezultat sa našim. Svesno smo odlučili da ne prikaţ emo preporučeni metod rada iz razloga što ţ elimo vas da podstaknemo da razmislite o alternativnim metodama ukoliko dobijete pogrešno rešenje. 1. Izračunati udeo u procentima i dati primer realne situacije u kojoj se ovaj odnos moţ e posmatrati: a) 15 od 200 b) 30 od 50 c) 17 od 800 d) 120,304 od 4,587,346 e) 1,345 od 1,230 f) 17 od 35 g) 2,017 od 2,100 2. Izračunati iznos koji odgovara datim procentima: a) 22% od 1,800 b) 2,7% od 3,056,974 USD c) 75% od 700 d) 0,5% od 999 e) 1,7% od 23 miliona USD f) 30% od 135 miliona EUR g) 107% od 10,800 3. Izračunati nove cene ako su stare cene promenjene sledećim

procentima: a) 34 EUR je povećano za 7%


64/262

5/16/2018


S t r a n a | 51

2.1 Brojevi b) 34 EUR je smanjeno za 5% c) 97 EUR je povećano za 8% i zatim za 2%

d) 1,42 EUR je povećano za 5% i zatim smanjeno za 7% 4. Nakon povećanja (smanjenja) cene, cena odreĎene robe je

povećana (smanjena) na date iznose. Izračunati procente povećanja (smanjenja): a) 46 EUR b) 1,42 EUR c) 12,98 EUR

42,40 EUR 1,47 EUR 12.36 EUR

d) 144,20 EUR

142,80 EUR

5. Koliko iznosi ukupno procentno povećanje (smanjenje) kada je

data cena od …

a) 57 EUR sniţ ena za 7% i zatim povećana za 2%? b) 65 EUR povećana za 7% i zatim povećana za 5%? c) 37,50 EUR tri puta povećana za 3%? d) 22,10 EUR sniţ ena za 4%, zatim povećana za 8%, zatim

sniţ ena za 4%?

6. U svakom od sledećih slučajeva, cena je promenjena nekoliko

puta do konačne cene. Kolika je bila prvobitna cena? a) Cena je povećana za 6% i sniţ ena za 3%, što je dovelo do cene od 44,30 EUR. b) Sniţ ena je dva puta za 4% i zatim povećana za 6% , što je dovelo do cene od 23,56 EUR. c) Cena jedne litre benzina je promenjena tokom prošle nedelje na sledeći način: + 3%, +5%, +6%, zatim -4%. Sada košta: 1,47 EUR. Kolika je bila cena pre nedelju dana?


65/262

5/16/2018


52 | S t r a n a

R EŠENJA 2.1.3:

2. Osnove algebre

PROCENTI

1. a) 7,5%

Primer: broj banaka u zemlji koje nude mikro kredite. b) 60% Primer: broj učesnica u radionici. c) 2,13% Primer : broj duţ nika u ekspozituri koji su u kašnjenju sa otplatom. d) 2,62% Primer: broj ljudi starijih od 80 godina u odnosu na ukupnu populaciju jedne manje zemlje.

d) 109,35% Primer: broj studenata koji su upisali fakultet

nakon proširenja univerzitetske infrastrukture u odnosu na nivo upisa pre proširenja. f) 48,57% Primer: procenat aerodroma u zemlji kojima se sluţ e meĎunarodne avio kompanije. g) 96,05%

Primer: prosečan mesečni broj prenoćišta u jednom hotelu.

2. a) 396

b) 82,538.23 USD

c)

525

d) 4.995 e) 391,000 USD f) 40,5 miliona EUR g) 11,556 3. a) 36,38 EUR c) 106,86 EUR

b) 32,30 EUR d) 1,39 EUR

4. a) 7,83% d) 0,971%

b) 3,52%


c) 4,78%

66/262

5/16/2018


S t r a n a | 53

2.1 Brojevi

4. a) 5,14% sniţ enje c) 9,27% povećanje

b) 12,35% povećanje d) 0,47% sniţ enje

5. a) 43,09 EUR c) 1,34 EUR

b) 24,12 EUR


67/262

5/16/2018


54 | S t r a n a

2. Osnove algebre

2.1.4 Test napretka za ,,Brojeve” Potrebno je da izvojite odreĎeno vreme da biste koncentrisano uradili ovaj test. Pokušajte da rešite što više problema. Nemojte da koristite ovaj udţ benik da biste pronašli rešenje. Cilj ovog testa je da dobijete povratnu informaciju o tome koliko znate ili koliko ste do sada naučili. Rešenja problema se nalaze na kraju poglavlja. Svako rešenje je svedeno na konačan odgovor; to moţ e biti samo jedan broj, simbol, tabela ili grafik. Potrebno je da proverite svoja rešenja. Ako su tačna, moţ ete da nastavite i započnete sledeće poglavlje. U bilo kom drugom slučaju (vaše rešenje je pogrešno ili nemate rešenje) potrebno je da se vratite na odgovarajući deo u udţ beniku koji treba da ponovite kako biste savladali tematiku poglavlja. 1. Dati primere za: a) Cele brojeve: b) Racionalne brojeve:

c) Iracionalne brojeve: d) Realne brojeve: 2. Očistiti zagrade i izračunati: a) 2

2 6

b)

(4 7) 3

7

3 8 ( 3)

2

4 5 3 4 3

2 4 5 3

2 4

3. Izračunati sledeće iskaze i rezultat predstaviti kao razlomak i decimalu: a)

c)

3 4

5 3

5 12

b)

1 6

4

2

1

4

3 2

4

3

2 3 4

2

3

2 7 6 7

4 3 25

6 5

2 72

2


68/262

5/16/2018


S t r a n a | 55

2.1 Brojevi

4. Skratiti razlomke: a)

2 5 3 3 7 11

b)

32200

5 7 3 11 26600

5. Pronaći najmanji zajednički imenilac: a) b)

2 3

i

3 8

i

4 7

13 2 3 7 11

i

5 16

i

1 14

:

16

i

3 21 7 5

:

6. Odlučiti da li su iskazi pozitivni ili negativni: a) b)

2 12 3 7

3 23

5 12 3 8

1 45

7

20

23

63

11 3 1 5

7. Cena benzina se brzo menja. Prošlog meseca smo zabeleţ ili pet promena: i. Povećanje od 6%, ii. Povećanje od 4%, iii. Smanjenje od 6%, iv. Povećanje od 8%, v. Smanjenje od 5%. Kolika je bila cena pre mesec dana ako cena danas iznosi 1,23 EUR za jedan litar?


69/262

5/16/2018


56 | S t r a n a

2. Osnove algebre

8. 1. januara 2007. godine nominalna kamatna stopa u ProCredit banci bila je 14% na godišnjem nivou. Vaše stanje na računu je u to vreme bilo 357,43 EUR. Četiri meseca kasnije kamatna stopa je povećana na 18%. Još tri meseca kasnije smanjena je za 10%. Kamata je jednostavna kamata, tj. sva kamata se dodaje na račun na kraju godine. a) Koliko je bilo stanje na računu 1. januara 2008. god.? b) Kolika je bila kamatna stopa na ovom računu 2008. god.? Napomena: Pre računanja uzmite u obzir razliku izmeĎu ,,…na 18%” i ,,…za 10%”


70/262

5/16/2018


S t r a n a | 57

2.2 Eksponenti

2.2 Eksponenti

2. Basic Algebra 2.2 Exponents

2.1 Numbers

2.3 Expressions


Integer Exponents

Integer Expressions




Percentages

Radicals

Preduslovi:

Potrebno je da poznajete brojeve i operacije obraĎene u nastavnoj jedinici 2.1.

Ciljevi uĉenja:

Eksponenti se uvek javljaju kod brojeva i promenljivih u slučaju kada broj mnoţ imo istim brojem. Prvo se uvodi (kratak) oblik obeleţ avanja, što se pokazalo korisnim. Dakle, potreba za proširenjem koncepta eksponenata na racionalne brojeve se gotovo prirodno javlja. To se moţ e protumačiti kao suprotnost eksponentima celih brojeva, što je razlog zbog čega su takozvani koreni uvedeni u matematiku kao ekvivalentan pojam.


71/262

5/16/2018


58 | S t r a n a

2. Osnove algebre

S obzirom da je ova operacija osnovni korak prilikom računanja kapitalne dobiti od kamata, računanje pomoću eksponenata smatra se osnovom finansijske matematike. U školi u ranom uzrastu učimo da koristimo naš brojevni sistem. Intuitivno počinjemo decimalnim sistemom, o kome smo govorili u prethodnom odeljku. Naziva se decimalnim sistemom zbog toga što je zasnovan na potencijalu broja 10. Broj 10 je verovatno izabran kao baza zbog toga što imamo 10 prstiju koje su ljudi gotovo sigurno koristili kao prvi instrument i računanje. Naše šake su, takoreći, prva računaljka ili moţzada brojanje čak prvi digitron. Pogledajmo još jednom naš brojevni sistem. Gotovo bez razmišljanja moţ emo videti broj 2860 kao: 2 1000 8 100 6 10 0 1 2 10 10 10 8 10 10 6 10 0 1

Drugim rečima, iz razloga što svaki broj pišemo na odreĎenom mestu da bismo označili sadrţ atelj od 10, bazu našeg numeričkog sistema, i iznad svega, zato što su se svi sloţ ili da to bude praksa, niza moţ emo da se oslobodimo detaljnog i komplikovanog gorenaša navedenog i skratimo ga na 2860. Preduslov za ovo je da postoji dovoljan broj simbola kako bi se premostio jaz izmeĎu bilo koja dva sadrţ atelja baze. Decimalni sistem iziskuje tačno deset simbola za ovu svrhu, tj. deset brojeva koje poznajemo: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Svaki drugi broj bi se onda mogao predstaviti pomoću sadrţ atelja baze. Danas moţ emo da diskutujemo o tome da li bismo razvili drugačiji brojevni sistem da ljudi nemaju 10 već samo 8, ili čak 16 prstiju. U sistemu zapisa brojeva sa bazom 8 ili oktalnom brojevnom sistemu potrebno je samo 8 simbola, tj. moţ emo da se snaĎemo sa samo sledećim brojevima: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 U sistemu zapisa brojeva sa bazom 16, koja je takoĎe poznata pod imenom heksadecimalni brojevni sistem, proizlazi da nam je potrebno 16 simbola. Kako se ovaj sistem zapravo koristi u odreĎenim IT oblastima,


72/262

5/16/2018


2.2 Eksponenti

S t r a n a | 59

dogovoreno je da se koriste brojevi od 0 do 9, plus prvih šest velikih štampanih slova engleske abecede: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F Drugim rečima, u heksadecimalnom sistemu imamo slovo: A = 10, B = 11, C = 12, itd. Paţ nju smo u velikoj meri počeli da usmeravamo na različite brojevne sisteme pre svega zbog toga što su izumitelji računara shvatili da bi se računski mehanizam u računaru mogao bazirati na samo dva stanja: ,,tekuće” ili ,,nije tekuće”, ,magnetizovano” ili “nije magnetizovano”. Celokupna logika računanja se stoga mogla izgraditi sistema zapisa brojeva sa bazom 2 ili bi binarnog brojevnog sistema, oko koji iziskuje samo dva simbola. U binarnom sistemu, brojevi su sledeći: 0i1 Kako onda broj 2860 izgleda u različitim brojnim sistemima? Decimala 2860 5 512 4 64 5 8 4 1 → 5454 oktalni Decimala 2860 11 256 2 16 12 1 → B2C heksadecimalni Decimala 2860 1 2048 1 512 1 256 1 32 1 8 1 4 → 101100101100 binarni Upravo kao u decimalnom sistemu koji nam je poznat, sadrţ atelji baznih brojeva se mnoţ e odgovarajućim faktorima i potom zajedno sabiraju. RasporeĎivanjem faktora tako da tačno odgovaraju sadrţ ateljima, brojeve je moguće napisati u dosta kraćem obliku nego da pišemo celu sumu. Osnovna ideja je stoga da se predstavi sistematski odnos izmeĎu sadrţ atelja i baze u odgovarajućem obliku. U tom cilju, francuski matematičar i filozof Rene Dekart (1595. – 1650.; u čast Dekarta pravougaoni koordinatni sistem se takoĎe naziva ,,Dekartov koordinatni sistem”) uveo je vrstu kraćeg načina izraţ avanja gde se sadrţ atelj baze piše kao superindeks i naziva ,,eksponentom” (ili ponekad takoĎe ,,indeksom”). Odgovarajuće obeleţ se takoĎe obeleţ jem. Njegovim uvoĎe njemje naš zadataknaziva je daeksponencijalnim prebacimo poznata pravila algebarskog računanja tako da ne prouzrokujemo kontradikcija. Zbog


73/262

5/16/2018


60 | S t r a n a

2. Osnove algebre

toga ćemo se u nastavku baviti pravilima računanja koja se primenjuju kada formule ili iskazi sadrţ e indekse.

2.2.1 Celobrojni eksponenti Ako nekoliko puta pomnoţ ite jedan broj tim istim brojem moţ ete da napišete: 4 4 4 4 4 45 ili

x ... x (n puta)

x n

Identičan faktor koji se ponavlja (4 ili x, kao što je gore navedeno) naziva se baza ili osnova, a broj ponavljanja (5 ili n) naziva se eksponent ili izloţilac. Čita se ,,4 na 5." ili ,, x na n". Baza moţ e biti bilo koji realan broj, a eksponent je u ovom poglavlju ograničen na cele brojeve.

DEFINICIJA CELOBROJNIH EKSPONENATA Zan realni broj x i ceo broj n kaţ emo: x x ... x (n puta faktor x) Broj x se zove baza; broj ponavljanja se zove eksponent . Sama operacija se takoĎezove ,, x na n”. Kada je n = 0 i 0

0 vaţi:

1

( 00 nije definisano; zove se neodreĎen iskaz.)

PRIMERI 1. 25 2 2 2 2 2 32 2. 30 1

2

3. (1.5)0 1.5 1.5 2.25 4. ( 4) 1


74/262

5/16/2018


S t r a n a | 61

2.2 Eksponenti

Ovo znači da se broj stalno mnoţ i bazom. Operacija koja je suprotna mnoţ enju je deljenje. To znači da ako broj potencijala podelimo jednom, smanjujemo (oduzimamo) eksponent za 1. Dakle, deljenje koje se ponavlja moţ emo predstaviti negativnim eksponentima.

DEFINICIJA NEGATIVNIH CELOBROJNIH EKSPONENATA Ako je eksponent negativan, broj 1 se stalno deli bazom; dobijamo: 1

n

n

x 0

n

nije definisano.

PRIMERI 1. 2

3

1

1

3

8

2

2. ( 3)

1

3

3. ( 1.5)

0.125 1 3

( 3)

( 3) ( 3) ( 3)

1

2

( 1.5) 2

1 ( 1.5) ( 1.5)

1

1

27

27

1 2.25

UPOTREBA ZAGRADA Da bismo proširili efekat eksponenta potrebno je koristiti zagrade: ( a b) n

a n bn


75/262

5/16/2018


62 | S t r a n a

2. Osnove algebre

PRIMERI 1. 2 32 2 9 18 2. (2 3)2 62 36 3. 22 3 4 3 12

R AĈUNANJE ISKAZA SA EKSPONENTIMA Ako zagrade sadrţ e mešovite algebarske izraze sa mnoţ enjem (deljenjem) i sabiranjem (oduzimanjem) redosled računanja je: 1. Izračunati zagrade od iznutra ka spolja 2. Izračunati eksponente 3. Izračunati mnoţ enja (deljenja) 4. Izračunati sabiranja (oduzimanja)

PRIMER

(3 4 7)2

Koraci

4 23

(3 4 7)2

1

(3 4 7)

2

52

3

3 42

25

4 23

3 42

5

Komentari Očistiti zagrade

23

4 8

8

32

42

16

3 16 48

Eksponenti Mnoţ enje

4

25 32 48 9

Ovo je rezultat.

Tabela 2.3: Računanje iskaza


76/262

5/16/2018


S t r a n a | 63

2.2 Eksponenti

Ovo je primer sa tri eksponenta: 2 ( 1)

3

2

3

1

100

4

Ne zaboravite da očistite zagrade od iznutra ka spolja!

Koraci

2 ( 1)

1 2

( 1)3

3

[ 3]2

4

{9

5

53 125

6

125 100

3

1

2 ( 1) 1

4}

1

2

3

3

4

100 Komentari

Unutrašnje zagrade Mnoţ enje i oduzimanje Druga zagrada

9 5

Treća zagrada Exponent 25

Rezultat nakon oduzimanja

Tabela 2.4: Uklanjanje zagrada

Pored gore pomenutih pravila koja se manje ili više odnose na osnovni algebarski redosled računanja, postoje odreĎena svojstva celobrojnih eksponenata koja je veoma korisno zapamtiti.


77/262

5/16/2018


64 | S t r a n a

2. Osnove algebre

SVOJSTVA CELOBROJNIH EKSPONENATA Neka x, y budu realni brojevi, a n, m budu celi brojevi. m

x n

x m x

xm

x m

n

n

m

n

x m n

( x y )m

x

n

m

xm y m

xm ym

y

za

0

PRIMERI 3

4

3 4

1. 25 2 4 2 5 3 2. 3 3 3. 43 4 3 43

7

4

21 3 3

3

40 1

Iz poslednjeg primera lako moţ emo zaključiti da pošto 43 4 4

1

3

3

3

1

izraz 4 3 mora biti inverzan element 43 i obrnuto.

4

4. 5.

6. 7.

3 x 4 x

3 x 4

3

2 x5 x 2 3

3

3x

1

2 3

x5 2

4 x3 2

3

23

3 3

m

1 2

x4

6

3

x3m


78/262

5/16/2018


S t r a n a | 65

2.2 Eksponenti

8.

m

3a 2 b3

3m a 2 m b3m

5

9. x

x

3

x

10. (2 x)

5 ( 3)

1

1

2 x

5 3

x

x

2

12 x

u poreĎenju sa 2 x

2

1

x

!

SVOJSTVA NEGATIVNIH CELOBROJNIH EKSPONENATA Neka x i y budu realni brojevi, a n i m budu celi brojevi. 1 xm

m

xm

m

x

1

y

y m

x y

1 m

x

za

0

m

za

x

0

, y

1 x

m

y

n

yn

x m 1

xm

za

0

, y

y n

PRIMERI 2

73

1.

85

2. (2 x 3.

3

2b

6

810

8

10

76

2 2

y ) 3

a2

7

2

2

2

x

a6

23 b

6

y

4

x 6

a 6 b6 6

4 y4

8

( a b )6 8

8

4. 74 x x

5

7 x 4

8 ( 5)

7x 4

3

7 4 x3


79/262

5/16/2018


66 | S t r a n a

5.

2. Osnove algebre

a4 a

3

2

5

a

3

a4

3

3

2 5

a

3

a

a

3

a

2

3

a

6

a

Sve formule imaju jednak efekat ako sume ili drugi iskazi čine bazu. ( a b )3

6.

( a b )3

( a b) 2

2

a b

( x 2)2 ( x 1) 4

7.

3

3

3

( x 2 1)3

3( x 2) ( x 1)

x 2 1

8.

( x 1)4

( x 2)3

x 2

3

x 1

3 2

3( x 2)

3( x 2)

PAŢNJA – TIPIĈNE GREŠKE Svojstva celobrojnih eksponenata 

(3 2)2



2



43



3

32

22

23 4 4 4

52

3

3

5(2

)



23 2 4

212



2 34



23 52

105



( 2)3

8

64

58

Negativni eksponenti 

2

3

( 2)3

Negativna baza 

( 2)2

4


80/262

5/16/2018


S t r a n a | 67

2.2 Eksponenti

VEŢBA 2.2.1:

CELOBROJNI EKSPONENTI

Rešenjaovih za ove veţ be moţ ete pronaći na stranama koješto neposredno slede nakon problema. Sastoje se od konačnog rešenja, omogućava da uporedite svoj rezultat sa našim. Svesno smo odlučili da ne prikaţ emo preporučeni metod rada iz razloga što ţ elimo vas da podstaknemo da razmislite o alternativnim metodama ukoliko dobijete pogrešno rešenje. 1. Primeniti princip eksponenata na sledeće izraze: a) d)

2 2 2 3 3 x y z x y x y z 1

f)

1

2

2

3 3 3 4 4 4

e)

( 2 x) ( 2 x) ( 2 x) (2 x)

2

2

1

(2a ) (2a ) (2a) (2 a ) (3b ) (3b)

b)

1

c)

17 17 2

g)

(2)

2

2

17

2. Pojednostaviti sledeće iskaze tako da ne postoje negativni eksponenti: a)

2

4

3

b) 2 3

3 3

5

2

d) ( 4) g)

j)

e)

(2 x y)

2 x

2

3

y

h)

2

2

3

k)

a

c)

45

43

5

2

a

a 2 b3 a

4

b2

a

2

3

c

3

b

2

d

f)

(3a)

i)

2

1

3


l)

x

2

(3a ) a 4

3

216 28 2 12

2

3

2

4

14

2

3

81/262

5/16/2018


68 | S t r a n a

m)

2. Osnove algebre

3 x

4

3

2

3 3

x

s)

q)

2

2 x

0,0004 0,0000002

a3 b

o)

5

2a

(a 2 b (a

4

3

t)

27 x

w)

1 100

3

)

b)

2

3

3

b

8 10 4

u)

(3 x )

5

(4 x)0

r)

2

2

5

b

2

3

3 y

v)

2

a

(3 x) 3

x 4

1

n)

2

(2 x )

p)

x

6

2 10

2

x) 1.000.000

3. Pojednostaviti sledeće iskaze tako da ne postoje razlomci (primer: x 2 y

a)

d)

3

x 2 y

3

):

(2 c 2 )3

b)

4c 5 2

a3 b2

b4 a 2

2

g)

2 3

a b a2 b

e) 1

10 x 2 y 3 5 x3 y 2

2 x

3

2

y2

2 x y

36 x y (3 x 2 )2 y

1


y

2

( y x

2

2

1

( x 2 y

f)

1

2

h)

c)

x

3

x

3

)

2 3

)

2

2 2

(2 y ) 2x y 2 3

82/262

5/16/2018


S t r a n a | 69

2.2 Eksponenti

R EŠENJA 2.2.1:

CELOBROJNI EKSPONENTI 2

1. a)

23 32

d)

y

2. a)

e)

36

d)

g)

1 4

2

1 (2 x y ) 2

j)

3 4

3

b) 63

c)

42

e)

f)

33 a 7

h)

1

1

a6 b

k)

(a d )2

i)

4

x3

2

3

1

l)

2

5

8

a

1 3 x

n) a 2 b 5

o)

6

q) a8 b3

r)

t)

u) 4 106

p)

g) 175

( 12 )3 (2)3

f)

(c b)3

2 x2

2a 2 3b

c)

( 2 x)3 (2 x)

3

y 2

m)

b)

5

2b

1

6

s)

3 y 2 x

v) 2 103 3. a)

3 x5

w) 10

2c

d) a

2

b4

g) a

2

b

10

2

b)

2 x

e)

8

y

x) 106 1

y 6

c) f)

1 2

y 2 y3

h) 25 x 2


83/262

5/16/2018


70 | S t r a n a

2. Osnove algebre

2.2.2 Razlomaĉki eksponenti U poslednjem odeljku smo naučili da radimo sa eksponentima kao celim brojevima. Pitanje sada glasi: ,,Postoji li smisao necelobrojnih eksponenata, na primer racionalnih eksponenata?“ Koristili smo formulu: ( xm ) p

xm p

Ona nam daje rezultat kada se eksponencijalni iskaz potencijal p: Jednostavno mnoţ imo eksponent sa p. Pod pretpostavkom da je eksponent racionalan, dobijamo: m n

x

m

uzima kao

m

1 n

Ukoliko zamenimo n=m formula će postati: x

m m

x

1 m

m

Ako je m = 2 rezultat će biti: x

1 2

2

K VADRATNI KOREN 1

Drugim rečima: 2 je broj koji, ako se kvadrira, postaje x. Broj sa upravo ovim svojstvom je generalno poznat kao kvadratni koren x. Ovaj rezultat bi nas mogao iznenaditi zbog toga što nam je obično poznatije drugačije predstavljanje kvadratnog korena. Naziva se radikalni oblik i poznat je kao: x

x 12


84/262

5/16/2018


2.2 Eksponenti

S t r a n a | 71

Oba oblika, radikalni oblik na levoj strani i eksponencijalni oblik, potpuno su ekvivalentna. Prvo ćemo govoriti o racionalnim eksponentima u okviru pojma eksponenta uopšteno, a zatim i o ekvivalentnim radikalnim oblicima. Ograničićemo našu diskusiju na koren realnih brojeva.

DEFINICIJA OSNOVNOG N-TOG KORENA Za realne brojeve x, y i prirodan broj n neka: n

x 1

x n naziva se osnovni n-ti koren x.

Zašto se ovaj rezultat naziva osnovni koren? Odgovor moţ emo dobiti ako potraţ imo odgovor na jedno drugo pitanje: ,,Koliko postoji kvadratnih korena od 4?“ To znači da traţ imo brojeve čiji kvadrat iznosi 4. Postoje zasigurno dva takva broja: 2 i −2. Postoje dva rešenja jednačine: 2

4

2

1/2

MeĎutim, ne postoji takvo (sa realnim brojevima) rešenje jednačine: 2

4

Postoji samo jedno rešenje za: 3

27

3

I takoĎe samo jedno rešenje za: 3

27

3

Četiri gore data primera mogu se generalizovati na sledeći način.


85/262

5/16/2018


72 | S t r a n a

2. Osnove algebre

BROJ KORENA Ako je n paran broj (tj. 2, 4, 6, …) postojaće dva n-ta korena pozitivnog realnog broja x: 1 x n

Ako je n paran broj, a x je negativan realan broj, realan koren ne postoji. Ako je n neparan broj (tj. 3, 5, 7, …) postojaće jedan n-ti koren pozitivnog realnog broja x: 1

x n Ako je n neparan broj postojaće jedan n-ti koren negativnog realnog broja x: 1 x n

PRIMERI 1.

2

16

x1/2

4

2.

4

16

x1/2

2

3. 4. 5.

3

125

x

3

64

x

3

64

x

5 4

4

2

6. 7. 8.

4 5

25 16 32

Ne postoji nijedno realno rešenje! Ne postoji nijedno realno rešenje! x 2

Iritantno je što postoji nekada jedno, a nekada postoje dva rešenja tako jednostavne jednačine kao što je n a . Dakle, matematičari su definisali neku vrstu glavnog rezultata. Zovu ga osnovni koren gore pomenute jednačine.


86/262

5/16/2018


2.2 Eksponenti


S t r a n a | 73

87/262

5/16/2018


74 | S t r a n a

2. Osnove algebre

OSNOVNI KORENI 1 n

Definisanje koji je:

osnovni n-ti koren znači da moţ e da postoji samo jedan

pozitivan koren kada je n paran broj, a x realan pozitivan broj pozitivan koren kada je n neparan broj, a x realan pozitivan broj negativan koren kada je n neparan broj, a x realan negativan broj nula, kada je x = 0

PRIMERI 1.

2

2.

4

3. 4. 5.

3 3

3

1

16 16 125 64

64

4

16 2 16

1 4

125

2 1 3

64

64

1 3

5 1 3

4

4 1 2

6.

2

25

( 25) does not exist!

7.

4

16

( 16) 4 does not exist!

8.

5

32

( 32) 5

1

1

2

2 3

Kako se moţ e definisati simbol poput 5 ? Ukoliko svojstva eksponenata treba smatrati racionalnim eksponentima onda 5

2 3

5

1 3

2

2 3

; odnosno, 5

mora predstavljati kvadrat trećeg korena od 5. Generalizacijom ovog svog opaţ anja dolazimo do definicije opštih razlomačkih eksponenata.


88/262

5/16/2018


S t r a n a | 75

2.2 Eksponenti

PRAVILA RAĈUNANJA POMOĆU RAZLOMAĈKIH EKSPONENATA Kada su m i n prirodni brojevi, a x realan broj (koji ne treba da bude negativan čak ni za n): m n

1 n

x

m

x

1

m n

x

m

1

m n

x

1 n

m

i 1 n

1

1 n

xm

PRIMERI Pojednostaviti i dati rešenja koristeći samo pozitivne eksponente. Sva slova predstavljaju pozitivne realne brojeve. 1. 8

2 3

8

1 3

2

2

2

4 or 8

2 3

1 3

2

8

1

64 3

4

5

2. ( 8)

5 3

( 8)

3.

1

1

3 x 3

2x 2

4.

4 x 3

1

x

1 2

1 3

1 1 2

6x 3 4

x

1 2

x

32

( 2)5

1 3

x

6x

2 3 6

4

4

1 1 2 3

3 2 6

x

5

6x 6 4 x

1 6


89/262

5/16/2018


76 | S t r a n a

2. Osnove algebre

PAŢNJA – TIPIĈNE GREŠKE Svojstva racionalnih eksponenata 

2 43

42

42

3

43

1

4

4  16

1

1 3



x3 1

 

83

8

4 x

2

3

1 2

4 x

Negativni racionalni eksponenti 

4



4

1 3

1 3

1

( 4) 3

1 4

3


90/262

5/16/2018


S t r a n a | 77

2.2 Eksponenti

VEŢBA 2.2.2:

R AZLOMAĈKI EKSPONENTI

Rešenjaovih za ove veţ be moţ ete pronaći na stranama koješto neposredno slede nakon problema. Sastoje se od konačnog rešenja, omogućava da uporedite svoj rezultat sa našim. Svesno smo odlučili da ne prikaţ emo preporučeni metod rada iz razloga što ţ elimo vas da podstaknemo da razmislite o alternativnim metodama ukoliko dobijete pogrešno rešenje. 1. Izračunati, ako je moguće: a) 8

1 3

b) ( 8)

d) ( 64)

1 6

e)

1 3

1 3

8

c)

1 2

64 36

1 2

f)

64 16

1 5

g) 2 16

1 5

h)

1 2 1 2

5

2

83 646

2. Pojednostaviti iskaze pomoću eksponencijalnih svojstava: a)

1

b) (3a7 ) (2a 5 ) c)

42 1

d) 32 5 f)

i) l)

( 32)

3 5

(a 2 b 4 )

( a b)

4 3

g) 1 4

2

j)

7

1

e) (a

a

b a3 b

x

3

1 3

5

x

)2 4 5

x

h) x 1 x

5

2

k)

5

b

1 16

2 5

5

4

m) 16


a a

2

b

4

2

b2

6

1 9

1 2

n) (125 )

91/262

5/16/2018


78 | S t r a n a

2. Osnove algebre 12

o)

10

8

106 10

5

10

4

p)

x 5 x 2 5

1 5 1 5

x

x

3. Promeniti redosled iskaza tako da se samo pozitivni eksponenti javljaju: a)

2 3

a b

1 2

3

b)

3

d) (8 x y )

g)

x y

2 3

1 6

e)

1 4

h)

x

2

1 3

4a b

8 x

c)

4

x

y

1 2

2

3

x

y

3

f)

x

2

1 4

3

1 3

y

1 3

2

1 6

5 6


92/262

5/16/2018


S t r a n a | 79

2.2 Eksponenti

R EŠENJA 2.2.2:

R AZLOMAĈKI EKSPONENTI 2

2

1. a) d)

64

2

b) Nema rešenja

1 6

c) e)

48

f)

2

2

g)

2

h) 27

2. a)

2

b) 6 a 2

c)

1

d)

f)

g)

1

h)

e) i) m)

3. a)

8 3

a b 1 2

a b

g)

j)

1 8

b5 a

2

k)

3

a

2 3

b)

1 2

8 x y

3

1 6

e)

3

y 3 x 2

c)

a

f)

2b2

1 4

b3

13 6

p)

x

y

b) 2

(a 4 5

1 4

1 2

1

y

3

2 3

1 6

8 x

l)

o) 10

2 3

h)

a2

3

n) 25

2

b

d)

6 5

y

3


93/262

5/16/2018


80 | S t r a n a

2. Osnove algebre

2.2.3 Radikali 1

Radikalne eksponente smo uveli pomoću sledeće definicije: 2 je broj koji, ako se kvadrira, postaje x. Broj sa upravo ovim svojstvom generalno je poznat kao kvadratni koren x. Obično nam je poznatiji termin ,,kvadratni koren” pomoću znaka (=operator) ili da budemo precizniji: 2 2

Primer:

9

x

2

9

9

3 1 2

Oba načina pisanja kvadratnog korena – eksponencijalni oblik i radikalni oblik x – u potpunosti su ekvivalentni. Postoje situacije kada je zgodnije raditi sa radikalima nego eksponentima, ili obrnuto. U ovom odeljku ćemo videti kako su dva oblika meĎusobno povezana i istraţ ićemo neke osnovne operacije sa radikalima. Diskusiju započinjemo definisanjem n-tog korena radikala.

DEFINICIJA N-TOG KORENA RADIKALA Kada je n prirodan broj veći od 1, a x realan broj, za osnovni n-ti koren od x ; odnosno: n

x

n

x kaţ emo da je

1 n

x

U slučaju da je n = 2, 2. koren ili kvadratni koren obično se piše kao x .

Simbol se naziva radikal, n se naziva indeks, a x se naziva radikand ili potkorenik. Imajte na umu da je kvadratni koren bez znaka uvek osnovni kvadratni koren.


94/262

5/16/2018


S t r a n a | 81

2.2 Eksponenti

PRIMERI

4 2 a ne 4 2! 1. Nasuprot tome: Jednačina 2 4 ima dva rešenja

2.

3

3.

3

4.

8

8 8

9

1 3

1/2

4

2

2 8

1 3

2

ne postoji realno rešenje

5

5. 3 0 0 125 5 6. 7. 2 16 8. 4 16 9. 3 125 10. 3 64 11. 3 64 12. 2 25 13. 4 16 14. 5 32

16

4

4

16

2

3

125

3

64

3

64

5 4

4

25 does not exist! 4

16 does not exist!

5

32

2

Kao što je rečeno, često je prednost kada moţ emo da se pomeramo nazad i napred izmeĎu racionalnih esponencijalnih oblika i radikalnih oblika. Sledeći odnosi su veoma korisni u tom smislu.


95/262

5/16/2018


82 | S t r a n a

2. Osnove algebre

R ACIONALNI EKSPONENT/RADIKALNE KONVERZIJE Kada su m i n pozitivni celi brojevi (n > 1), a x realan broj – koji nije negativan kada je n paran broj – 1

m n

x

m n

n

m n

x

m

1 n

n

1

m n

x n

xm

1

1

x

m

x

1

m

m n

xm

m n

1 1 n

xm

n

1 m

1 x n

n

m

x

PRIMERI 2 3

3

2 3

3 2

1. 2. 8

x 3

8

4. 16 5. 27

2 3

5

a5 1 1 4

2

2

16 1

4

x

2

4 isto tako: 8

2 3

8

1 3

2 3

8

2

22

4

a 1

1 2

16

1 2

27 3

6. 0 3

3

1

2 1 4

2

1 3

64

1

2 5

3. a

x

2

27

1 3

1 2

3

27

1 2

32

1 9

0


96/262

5/16/2018


S t r a n a | 83

2.2 Eksponenti

Iako nije eksplicitno navedeno, koristili smo samo racionalne eksponente manje od 1. To znači da su eksponenti bili takozvani pravi razlomci mn gde je imenilac n veći od brojioca m. MeĎutim, u slučaju da je m > n uvek moţ emo razdvojiti racionalni eksponent na ceo broj i njegov razlomački deo, tako da: r

m n

p q

i

gde je i ceo broj i p
PRIMERI 1. r

9 4

2. r

7 6 33 9

3. r

1 4

2

3

(1

1) 6

6 9

3

1 6

1 2 3

Na osnovu ovog razdvajanja moţ emo da zaključimo:

R AZLOMAĈKI EKSPONENTI VEĆI OD 1 Kada su x, r realni brojevi i i, m, n, p, q prirodni brojevi gde je p p
p

i q

r

x m n

x

x

r

p q

i

i q

x x

x

(i

x

p ) q

x

x

1 p ) q

i

p

1 (i

m>n

i

x x

1 p q

x

i q

x

p

x

i

q

p

x

PRIMERI 7

1. a 3

2

a

1

1

3

a2 a 3

a2

3

a


97/262

5/16/2018


84 | S t r a n a

2. Osnove algebre

17 5

2. 2

2

2 5

3

3

2

1

2 5

2

1

3

2 2 12

4

3. 3 9

1 3

31

33

1

31 33

3

3

2 5

3 5

2

1 2

2

8

5

4

3

SVOJSTVA RADIKALA Kada je n prirodan broj veći od 1, a x, sledeći identiteti:

y

realni pozitivni brojevi, vaţ e

n n x n

x

1 n

x

To znači da su n-ti koren i potencijal n suprotne operacije. n x

y

( x y)

n x y

x

1

1 n

x y

1 n

1 n

x n

n

1

n

y n

y

x

1 n

n

n

x

for

y

0

y

PRIMERI Promeniti oblik racionalnog eksponenta u radikalni oblik:

1. 2.

1 3

u

x 1

2

b5

3

7

2a

3. 4.

3

2 3

y

v

1 4

7

7

3 5

5

2a 2 b5

x

3

u

3 2 3

3

7

2

y7

( 3)

v

7

3

a2 5

1 4

x(

( 3)

7

b5 3) 3

u

2

y7 3 v


3 4

5

u2

x

9

y 21

4 3

v

98/262

5/16/2018


S t r a n a | 85

2.2 Eksponenti

Promeniti radikalni oblik u oblik racionalnog eksponenta: 3

2

5.

3

x y

6. 7.

7

2

8.

4

9.

3

10.

77 16 x

8

2

3

1 3

2

x y

3 3

2

x y

x y

2 7

77 4 64 y

6

125

x 3

8

4 2 8 y

125

5

2

x

3

x2

x 4

x4

x2

9

9

3

11. 3 16 x y 5 3

4 x

5

3

y

7

1 4

6

x

2 3

8

3

x2 y 2

4 x4 y 2 1 3

6

x4 y4

5

3

16 x y 5 4 x 4 y 2

7

4 x3 y 3

PAŢNJA – TIPIĈNE GREŠKE Svojstva radikala 

 

3 8

4 5

10

3

8

2

2


99/262

5/16/2018


86 | S t r a n a

2. Osnove algebre

VEŢBA 2.2.3:

R ADIKALI

Rešenjaovih za ove veţ be moţ ete pronaći na stranama koješto neposredno slede nakon problema. Sastoje se od konačnog rešenja, omogućava da uporedite svoj rezultat sa našim. Svesno smo odlučili da ne prikaţ emo preporučeni metod rada iz razloga što ţ elimo vas da podstaknemo da razmislite o alternativnim metodama ukoliko dobijete pogrešno rešenje. 1. Izračunati, ako je moguće: a)

38

d)

5

b) e)

32

64

g)

3

h)

16

5

8

c)

16

f)

5

2

5

32 64

36

3 125 8

16

2. Pojednostaviti radikalne oblike: a2 x4

a) 3

d)

27 x5 y 2

3

x

1

y

5

b)

3

e)

4

27 x3 8a2

4

2a2

c)

1

f) 3

2

8

3. Promeniti radikalne oblike bez pojednostavljivanja. 2 2 1 3 5 3 a) m b) (2 xy ) c) ( x y ) 3 d)

1 3

1

y 3

4. Promeniti oblik racionalnog eksponenta bez pojednostavljivanja. a)

3

6

b) 3

x 3

3

7

5a b d) g) 2a 2 3 b3

2

e)

x

c) 3m 3 n5

x5 2

y

3

f)

x

y

c


100/262

5/16/2018


S t r a n a | 87

2.2 Eksponenti

5. Napisati u pojednostavljenom obliku pomoću radikalnog oblika ili oblika racionalnog eksponenta. a)

5

5

173

d)

172

b)

4

g)

4

a2

i)

5

(2m)7 (2n) 4

l)

18 x 2 y

e)

x a b

a

( x 2 y ) 4

3

8 x

h) j)

2 x 3

c)

3 x

6

f)

25a 2 5a

x 2

8x y

k)

b3

a

a2

3

b4

b

a

b

6. Izmeniti izraz tako da postoje samo pozitivni eksponenti. a)

a

2 3

b

4a

d)

b

1 3

2

b)

x

1 2

e)

2

(8 x

2

1 3

3

y

3

)

1 6

c)

x

f)

a

1 4

2

y 3

b

1 2

2

x2 y

1 3

7. Izračunati pomoću digitrona. a)

3

6 7

d)

4 10

10 3 8

g)

2

i)

(0.0000000024)

3

b)

24

c)

4

e)

160.25

f)

13

h)

(2.6)

4.6

2.001

3.2

2 9


101/262

5/16/2018


88 | S t r a n a

j)

2. Osnove algebre

0.00017584

k)

7

6121981

l)

460000000

o)

3 10 5

5

m)

1

5357

3

n)

3

3

2


8

3 8

1 4

102/262

5/16/2018


S t r a n a | 89

2.2 Eksponenti

R EŠENJA 2.2.3:

R ADIKALI 2

2

1. a) d) g) 2. a) d)

c) f)

48

2

b) e) Nema rešenja h) 2

a x2

b)

c)

5

f)

1 4

c)

3 x

2

3 x 2 y

3. a)

3

d)

3

m

g)

2

3

x

e)

2a

b)

5

b)

5a 3 b7

1 6

2 x y 3

3

c)

2

y 2

1

( x8 y 4 ) 3

e)

3 2

g) a 2 ( a b)

h)

1

j)

a

1 3

b

y

1 2

3m n

f)

5 3

y

1 3

1 3

b)

d)

2

b3 c 2

5. a) 17 1 4

2

5 x 3

e) 1

2a 2

3 x

y

1 3

4. a) d)

2

1 2

k)

x y 1

b4

f) i)

4 x y 2

a2

1 2

c)

6 5a

1 2

1

(211 m 7 n 4 ) 5

1 3

l)


a

b

1 2

103/262

5/16/2018


90 | S t r a n a

6. a) d)

2. Osnove algebre

a

2

1 3

2

b)

b a b 2

8 x

e)

y

7. a) 1.8171

c)

3

3

1 6

3

b) 1.6818

d) 0.8670

e)

2

g) 0.771

h)

1 21.2772

j)

0.013260

m) 5.7895 10

3

1 4

1 x 2 y 3

1

f)

x 2 b 2 y 3 1

a2

c) 1.4645 f) 1.0548 i)

82.3206

k) 9.323

l)

5.642 10

n) 2.064

o) 1.2965


4

104/262

5/16/2018


S t r a n a | 91

2.2 Eksponenti

2.2.4 Test napretka za ,,Eksponente” Potrebno je da izvojite odreĎeno vreme da biste koncentrisano uradili ovaj test. Pokušajte da rešite što više problema. Nemojte da koristite ovaj udţ benik da biste pronašli rešenje. Cilj ovog testa je da dobijete povratnu informaciju o tome koliko znate ili koliko ste do sada naučili. Rešenja problema se nalaze na kraju poglavlja. Svako rešenje je svedeno na konačan odgovor; to moţ e biti samo jedan broj, simbol, tabela ili grafik. Potrebno je da proverite svoja rešenja. Ako su tačna, moţ ete da nastavite i započnete sledeće poglavlje. U bilo kom drugom slučaju (vaše rešenje je pogrešno ili nemate rešenje) potrebno je da se vratite na odgovarajući deo u udţ beniku koji treba da ponovite kako biste savladali tematiku poglavlja. 1. a)

23

b) ( 2)3

c) 3

2. a) d)

x

3

2

x x 3

y

1

3. a) 814

4. a)

x

x

x x

3

d) ( 2) 3 2

3 2

y

c)

y3

5

8 2 42 16 2

x2

y 5

2

b)

x5

2

3 4

3

3

1

b)

( 125) 3

b)

22 43

1

1.5

8

c)

5

16

6 5

c)


9 x

2

1 2

33 3 62

1

d) 3 2

3

6.25 2

2

6

2 3

33

105/262

5/16/2018


92 | S t r a n a

2. Osnove algebre 4

1 3

x 5 x 1

5. a)

x1.5 x

c)

7 3

x 2 x 2.5

7. a)

d)

z

y

y

1

b) 4 8 5

y

72

37

22

2 3

1.5

3.5

3.5 2

3

y

b)

2

6. a)

8 9

2

b)

23

3

4

1 3

c) 4 3

x

5

2

x 3

2 y 2

d) 1

c)

3

5

x 4

3

43

82

1

16 3

4

2

1 3

2.5 3 1.5

z

2

z

13

8. a)

3

125

d)

5

1024

b)

3

1

64 2


c)

5

2 32 256 4

106/262

5/16/2018


S t r a n a | 93

2.3 Iskazi

2.3 Iskazi

2. Basic Algebra 2.1 Numbers

2.2 Exponents

2.3 Expressions


Integer Exponents

Integer Expressions




Percentages

Radicals

Preduslovi:

Poznavanje sastava brojevnih sistema sa celim brojevima i fundamentalnih operacija sai brojevima. Od posebnog značaja je konstituisanje računanje sloţ enih iskaza, uključujući pravilnu upotrebu zagrada.

Ciljevi uĉenja:

UvoĎenje deljenja kao operativnog računanja dovodi do pojave razlomaka. Rad sa razlomcima često je izvor brojnih grešaka. Cilj ove nastavne jedinice je unapreĎenje rada sa razlomcima. S obzirom da je deljenje glavna računska operacija u matematici i praktično u svim njenim primenama,


107/262

5/16/2018


94 | S t r a n a

2. Osnove algebre

konstantno se javlja u razlomcima sa brojevima i u algebarskim iskazima sa promenljivama i funkcijama. Da biste tačno i samouvereno rešavali matematičke probleme, ispravna upotreba razlomaka i odgovarajućih iskaza zauzima centralno mesto. Bilo da se promenljiva u problemu kombinuje sa drugom promenljivom, ostalim parametrima ili konstantama, različiti iskazi se javljaju u skladu sa primenjenom operacijom. U ovom slučaju ćemo posmatrati jednu promenljivu; nekoliko promenljivih se slično upotrebljava zbog čega iskaz izgleda nešto komplikovaniji. Ako se promenljiva sjedinjuje isključivo putem sabiranja, oduzimanja, mnoţ enja i deljenja, to dovodi do čitavih racionalnih iskaza. Kada su sve konstante u iskazu celi brojevi, a promenljive takoĎeceli brojevi, onda čitav iskaz ima vrednost celog broja. Time je objašnjen pridev ,,ceo racionalan”. Ukoliko je dozvoljeno deljenje promenljivih, onda dobijamo razlomačke iskaze. U ovom slučaju promenljiva se javlja u najmanje jednom izrazu kao imenilac. Jedan algebarski iskaz takoĎepostoji tamo gde se javljaju korenovi, što znači da se promenljiva javlja pod znakom korena, ili radikalom. Addition Subtraction Multiplication

Integer Expression

Fractional Expression

Algebraic Expression

Division Radicals

Ponovo je potrebno naglasiti da je u gore datoj klasifikaciji odgovarajuće operacije (sabiranje, oduzimanje, deljenje, mnoţ enje i radikali) potrebno razumeti u smislu načina na koji se primenjuju. Operacije koje kombinuju konstante i/ili parametre ne menjaju karakter iskaza. U ovoj nastavnoj jedinici prvo ćemo se posvetiti racionalnim iskazima, uključujući polinome. Kasnije ćemo posvetiti paţ nju razlomačkim


108/262

5/16/2018


S t r a n a | 95

2.3 Iskazi

iskazima. Ipak, nećemo se isuviše detaljno baviti algebarskim iskazima zbog toga što su oni u svojoj praktičnoj primeni ograničeni našim ciljevima.

2.3.1 Integralni iskazi Ako dodate, oduzmete i pomnoţ ite promenljivu x dobijamo iskaz koji se naziva polinom. Ime nam ukazuje na to iskaz sadrţ i nekoliko izraza u svom opštem obliku (poli (grčki) = više). U svom najširem obliku on izgleda ovako.

POLINOM U X (SA REALNIM KOEFICIJENTIMA) Integralni iskaz sa promenljivom x oblika an x n

an

1

xn

1

... a1 x a0

gde su koeficijenti an , an 1,..., a1, a0 realni brojevi, a n je nenegativni ceo broj, naziva se polinom stepena n.

Koeficijenti an , an 1,..., a1, a0 mogu biti bilo koji realni brojevi. Najviši eksponent koji se javlja naziva se stepen. Svaki pojedinačni sumand često se naziva izraz. Kako polinominalnim oblicimanjihovom često susrećemo matematici, korisnose jesa klasifikovati ih prema stepenu. uAko izraz u polinomu ima samo jednu promenljivu kao faktor, onda je stepen tog izraza potencijal promenljive. Ako su dve ili više promenljive prisutne u izrazu kao faktori, onda je stepen izraza suma potencijala promenljivih. Stepen polinoma je stepen nenultog izraza sa najvećim stepenom u polinomu. Bilo koja nenulta konstanta definiše se kao polinom stepena 0. Broj 0 je takoĎe polinom, ali mu se ne dodeljuje stepen. Dva izraza se nazivaju istovetnim izrazom ako imaju potpuno iste promenljive faktore na isti potencijal.


109/262

5/16/2018


96 | S t r a n a

2. Osnove algebre

Naravno, moţ emo uzeti u obzir i polinome sa više od jedne promenljive. Polinom sa dve promenljive x i y je iskaz koji se formira dodavanjem m n a x

y

a

m n a m, n su nenegativni celi izraza oblika , gde je stepen realan broj, brojevi. Izraz ima zajednički . Izraz najvišeg stepena definiše stepen polinoma. Na primer:

3 x3 y 2

2x2 y

x2

5x y

7x y

je polinom stepena 5 sa dve promenljive x i y.

BINOMI Veoma popularni i u čestoj upotrebi su takozvani binomi stepena n. Nazivaju se binomima iz razloga što se sastoje od tačno dve {bi (grčki) = dva} promenljive: ( x

y )2

x2

2x y

( x

y )3

x3

3x 2 y

( x

y )4

x4

binom 2. stepena

y2

4 x3 y

3x y 2 6x 2 y 2

y3 4 x y3

binom 3. stepena y4

binom 4. stepena

PRIMERI 1.

2 x 2

10 je polinom 2. stepena.

4x

2. ( x 2)2 je polinom 2. stepena. 3.

x

4 x

4.

5. 6. 7.

nije polinom.

2x 1

2

2 x y

3

1

2

2x

y

promenljive x i y. 1

x

je polinom 3. stepena sa dve

nije polinom.

x

( x 2 3

y ) 4 je 1

y 2

x

polinom 4. stepena u dve promenljive x i y. 1

y2

221 nije polinom zbog toga što ima razlomačke

i negativne eksponente.


110/262

5/16/2018


S t r a n a | 97

2.3 Iskazi

U odeljku 2.1 smo naučili kako da računamo pomoću brojeva i promenljivih. Sada se okrećemo sabiranju i oduzimanju polinoma i drugih izraza. Sva slova u diskusiji i primerima koji slede predstavljaju realne brojeve; otud, vaţ e sva svojstva realnih brojeva o kojima smo diskutovali.

SABIRANJE I ODUZIMANJE POLINOMA Hajde da počnemo primerom sabiranja i oduzimanja dva polinoma: 2 x 2

4x 5

3 x 2

2 x 17

i

Prvo – i najvaţ nije: Koristite zagrade što češće kad god radite sa iskazima. Dakle, sabiranje (oduzimanje) gore datih zagrada bi izgledalo:

Sabiranje:

(2 x 2

4x

5)

(3 x 2

2x

17)

Oduzimanje:

(2 x 2

4x

5)

(3 x 2

2x

17)

Stavljanjem broja 1 isped zagrada moţ emo da upotrebimo distributivno svojstvo da bismo ,,očistili" zagrade. Ovo se čini manje ili više trivijalnim kada sabiramo polinome:

Sabiranje: 1 (2 x 2

4x

5) 1 (3 x 2

2 x 17)

2 x2

4x

5

3x2

2 x 17

To je, meĎutim, izvor brojnih grešaka kada ih oduzimamo, zbog toga što se mnoţ enjem iskaza sa (−1) menjaju znaci svih izraza u zagradama:

Oduzimanje: 1 (2 x 2

4x

5) 1 (3 x 2

2x

17)

2 x2

4x

5

3x2

2 x 17

Sada rasporeĎujemo izraze tako da svi izrazi istog stepena budu ,,zajedno":

Sabiranje: 2

2 x

2

4 x 5 3x

2

2 x 17

2x

2

3x

4 x 2 x 5 17


111/262

5/16/2018


98 | S t r a n a

2. Osnove algebre

Oduzimanje: 2 x 2

4 x 5 3x 2

2x2

2 x 17

3x 2

4 x 2 x 5 17

sada primenjujemo komutativna i asocijativna svojstva u oba slučaja (pogledati: Osnovna svojstva realnih brojeva; strana 15).

Sabiranje: 2 x2

3x 2

4x

Oduzimanje:

2x

5 17

(2 3) x 2

2 x2

3x 2

2) x

( 5 17)

2) x

( 5 17)

4x

2x

(4

5 17

2) x

( 5 17)

(2 3) x2

(4

2) x

6x

22

( 5 17)

Rezultati su:

Sabiranje: (2

3) x 2

(4

5 x2

2x

12

Oduzimanje: (2

3) x 2

(4

1x 2

6x

22

x2

Pojedinačne korake moţ emo da sumiramo na sledeći način.

SABIRANJE I ODUZIMANJE POLINOMA Polinomi se sabiraju kombinovanjem izraza istog stepena i primenom komutativnih, asocijativnih i distributivnih svojstava. Rezultat je polinom stepena koji je manji ili jednak većem stepenu sumarnih polinoma.


112/262

5/16/2018


S t r a n a | 99

2.3 Iskazi

PRIMERI 1. (2 x 2 x3

2.

4x

x2

(2 x 2

( x3

6)

x2

x3

6 x)

(2 1) x 2

(3 x3

4x

(2 x 2

6)

x

( x2

4) 3

( 3 1) x 4 x3

6) x

6

2x 6 8x

4)

(2 2) x 2 [ 4 ( 8)] x [6 ( 4)]

3.

( 4

x2

( x3

3)

2 x2

4 x 10 4 x)

2

(1 2) x

( 1 4) x [ ( 4) 3]

5x 7

MNOŢENJE POLINOMA Moţ enje algebarskih iskaza uključuje široku upotrebu distributivnih svojstava realnih brojeva, kao i druga svojstva realnih brojeva. (pogledati: Osnovna svojstva realnih brojeva; strana 15). Hajde da ponovo počnemo primerom mnoţ enja dva polinoma. Pomnoţ iti: 4 x 2 i 2 x 2 4 x 5 Kao i ranije, veoma je vaţ no koristiti zagrade kada vršimo operaciju mnoţ enja: (4 x 2) (2 x2

4 x 5)

Primenom distributivnog svojstva: (4 x

2) (2 x 2

4x

5)

4x (2 x 2

4x

5)

2 (2 x 2

8 x3 16 x 2

20 x 4 x 2

4 x3 12 x 2

28 x 10

4x

5)

8 x 10

ili, koristeći vertikalan raspored:


113/262

5/16/2018


100 | S t r a n a 4 x

2

2 x 2 4 x 8 x3

5

16 x2

4 x

8 x3

2. Osnove algebre

2

12 x2

20 x 8 x 28 x

10 10

MNOŢENJE POLINOMA Da bismo pomnožili dva polinoma stepena m i stepena n, mnoţ imo svaki izraz jednog svakim izrazom drugog, i kombinujemo istovetne izraze. Rezultat je ponovo polinom sa stepenom m+n, tj. sumom stepena svakog pojedinačnog faktora polinoma. PRIMERI 1.

(2 x 4) ( x 2

2)

2 x3

4 x 4 x2

2 x3

8

4 x2

4x 8

Prvi polinom ima stepen m = 1; drugi ima stepen n = 2: Rezultujući polinom ima stepen: m + n = 3 2.

( x 2

2 x) ( x 1) ( x 2

( x3

3x 2

2 x) ( x 2

x5 3 x 4 6 x 2

2)

2)

( x3

( x5

x2

2x2

2 x) ( x 2

3x 4

2 x3

2 x3

2)

6 x2

4 x)

4x

Stepen rezultujućeg polinoma je 2 + 1 + 2 = 5. Veoma je korisno sluţ iti se takozvanim binomnim formulama.


114/262

5/16/2018


S t r a n a | 101

2.3 Iskazi

BINOMNE FORMULE ( x

y) ( x

y)

(x

y )2

x2

2x y

y2

( x

y) ( x

y)

(x

y)2

x2

2x y

y2

( x

y) ( x

y)

x2

y2

Dok sabiranje i mnoţ enje ne dovode do većih problema, mnoge greške se javljaju kada iskaz sadrţ i nekoliko operacija u mešovitom obliku. Mnoge greške se javljaju zbog nepreglednosti, posebno zbog redosleda vršenja operacija. Pogledajte na primer sledeći iskaz: {[(2 x 2

x)

(3x

4)] ( x

2)

( x 1)} x

PAŢNJA – ,,GLUPE GREŠKE“ Dve greške izazivaju greške u većini slučajeva. Obično se kaţ e da su to ,,glupe greške": Veoma često se koristi premali broj zagrada. Ne posvećuje se dovoljno paţ nje znakovima, posebno treba obratiti paţ nju na znak minus. Izvori obe greške mogu se lako izbeći ako se zagrade dosledno koriste. Da biste zadrţ ali preglednost koristite različite tipove zagrada, na primer: (…) za prvi nivo [ ] za drugi {…} za treći i zatim ponovo (…) itd. Bolje je upotrebiti zagradu više nego zagradu manje.


115/262

5/16/2018


102 | S t r a n a

2. Osnove algebre

ZAPAMTITE Počnite da rešavate zagrade od iznutra ka spolja. Budite paţ ljivi sa znakom minus. Zapamtite pravila operacija: deljenje i mnoţ enje pre sabiranja i oduzimanja

PRIMERI 1.

{[(2 x 3) x 4] x 2} x 7 x 12 2 x5

2.

3x 4

2 x2

7 x 12

[( x 1) ( x 1) 1].[ x 1]2 1 ( x) [( x 2 x 4

3.

4x3

1) 1] [ x 2 2 x3

x 2 1 ( x)

[(2 x 1) ( 2 x [ 4 x 2

3 x 3

4x

4x2

2 x 1] 1 ( x )

2x

x5

2) 1] [3 x 2

2x4

x

2] ( x) ( x)

2 1] [ 3 x 3

4 x 1 ( x)

x3

3x4

2 x] ( x)

4 x3

4x2


x

116/262

5/16/2018


S t r a n a | 103

2.3 Iskazi

VEŢBA 2.3.1:

INTEGRALNI ISKAZI

Rešenjaovih za ove veţ be moţ ete pronaći na stranama koješto neposredno slede nakon problema. Sastoje se od konačnog rešenja, omogućava da uporedite svoj rezultat sa našim. Svesno smo odlučili da ne prikaţ emo preporučeni metod rada iz razloga što ţ elimo vas da podstaknemo da razmislite o alternativnim metodama ukoliko dobijete pogrešno rešenje. 1. Odrediti (tačno/netačno) da li su sledeći izrazi polinomi: a)

6 x

c)

2 x

e)

( x 1) ( x

2

x y

g) 7 x y i)

2 x

1

x

1 3

x

x 2

f)

2) 3

2

5

1

53

d) 20 x 12

112

x2 y 1

b)

z 12

x 2

h)

25

2

x 5

2

x3

z

112

2. Izvršiti sledeće operacije: a) 2 x3 3 x 4 plus b) 3 x 4 5 x 2 3 minus c)

2 x 2

d)

2

x y

4 y3

3 x 2

2x 7

2 x3

x 7

plus 4 x 2 3 x 12 minus x 2 4 x 6 2 y x2

x2 y

minus


3 x 2 y 2

x y2

x y

117/262

5/16/2018


104 | S t r a n a

2. Osnove algebre

3. Pomnoţ iti i kombinovati istovetne izraze: a)

( x 1) ( x 1) 3 x

b) (2 x2 x) ( x 5x 2 x3 ) c) (3 y 2 5 y 3) ( x y) d) ( x y ) ( x 1) (2 x 3) (2 x 3) e)

2

y 2

2


118/262

5/16/2018


S t r a n a | 105

2.3 Iskazi

R EŠENJA 2.3.1:

INTEGRALNI ISKAZI

2

1. a) 6 x b) c)

x y x

2

z 12

2

5

5

2 x

1

x

1 3

→ →

Tačno, polinom 2. stepena Tačno, polinom 2. stepena

→ Netačno, postoji

112

razlomački i

negativni eksponent

d)

20 x 12

e)

1

f)

x

2 1

x 2

x

x

→

Tačno, polinom 1. stepena, koji se takoĎenaziva linijski

→

Tačno, polinom 2. stepena

→ Netačno, postoji razlomački

x2

eksponent g)

1 2 x y 3

7 x y

3

25

→ Netačno,

postoji

negativni

eksponent h) 2. a) c) 3. a) b)

2

5

2

x3

z

2 x3 3x 2

x 3

7 x 2

d) 2 x2 y

2

Tačno, polinom 3. stepena

→

b)

3 x 4

y3

2 x3

5x2

2 y x2

x 10

3x 2 y 2

x

2

x y

2 x 2 4 x

7 x3 9 x 4

2 x5

x2

c) 3 x y 2 5 x y 3x 3 y3 5 y 2 3 y d)

4 x 4

4 x3

4 x3 y

e)

4

2 x 2 y 2

y4

4 x2 y

9 x2

9x


9y x

9y

119/262

5/16/2018


106 | S t r a n a

2. Osnove algebre

2.3.2 Razlomaĉki iskazi Iskaz sa promenljivom u imeniocu naziva se razlomački iskaz. Mogu izgledati poprilično različito, meĎutim, barem jedan od izraza mora da sarţ i operaciju ,,deljenje promenljivom”: 1 x

ili

2 x 1 x

2

1

ili 2 x

1

x 2

x 1

ili

1

x 2 x 2 10

ili

1

2 x

3x 1

x

3

x

2

OdreĎivanjem zajedničkog imenioca i primenom zajedničkih pravila za razlomke, različiti izrazi mogu se sumirati u obliku razlomka dva polinoma. Prva dva primera gore su već razlomci. 3. Primer:

2 x ( x 2

1

2 x

x 2

4. Primer:

1

x 1

x

2x2

1 x (2 x 2

10 x

x2

x 1

1

(2 x 2

x 10)

1

x

5. Primer:

1

2 x

3x 1

x

3

x2

2 x3 2 x 2

x 1) 1

x2 x

2 x3

2x 1

x 1

10) x2

10 x

x

3x 2 x x2

3(3 x 1)

3x 2

2 x3 12 x 3 3x 2

STANDARDNI OBLIK RAZLOMAĈKOG ISKAZA Svaki razlomački iskaz moţ e se napisati kao razlomak dva polinoma: an x n

an

1

xn

bm x m

bm

1

xm

1 1

... a0 ... b0

Polinom u brojiocu ima stepen n, polinom u imeniocu ima stepen m. Za nas nije neophodno da detaljno govorimo o ovoj vrsti iskaza. Mi moramo jednostavno dosledno da primenjujemo pravila za razlomke (pogledati: odeljak 2.1.2; strana 25 ff). Sabiranje, mnoţ enje, proširivanje i skraćivanje su potpuno isti. MeĎutim, za sve operacije gde je promenljiva x uključena, budite paţ ljivi da ne mnoţ ite i ne delite nulom.


120/262

5/16/2018


S t r a n a | 107

2.3 Iskazi

Ipak, treba da budemo svesni nekoliko vaţ nih razlika integralnih iskaza u poslednjem poglavlju.

PAŢNJA Zapamtite da razlomačke crte imaju ista svojstva kao zagrade. Stoga, ophodite se prema crtama kao prema zagradama. Kad god radite sa razlomačkim iskazima koristite zagrade da privremeno obustavite rešavanje razlomka korišćenjem brojioca i imenioca kao zasebnih iskaza. SABIRANJE RAZLOMAĈKIH ISKAZA Razlomački iskazi mogu se sabirati (oduzimati) nakon proširivanja svih iskaza tako da imaju isti imenilac. Izrazi sa istim imeniocem mogu se sabrati (oduzeti) dodavanjem (oduzimanjem) brojioca. PRIMERI 3 x 1 1. x 1

4 x2 2 x x 1

x 2 x 1 3 2 x 2. x 3 x 3

3.

2 x 1 x x 1

3x 1 4x2 x 1 x2

4 x2 x 1 x 1

2x

x2

x 1 3 2x x 3

2( x 1) x ( x 1) x ( x 1)

2x 2 x2 x

2

x

3x 4 x 3 x

x2 x

x 2 2

x

Kada sabiramo dva razlomačka iskaza, metod unakrsnog mnoţ enja (pogledati: odeljak 2.1.2; strana 31) moţ e se primeniti na veoma koristan način. Na primer: x x2 1

x x 12

2 x ( x ( x 2)1) ((xx 1)2)( x 1)


121/262

5/16/2018


108 | S t r a n a

2. Osnove algebre

Zajednički imenilac je proizvod dva imenioca. To znači da ćemo levi brojilac mnoţ iti desnim imeniocem, a desni brojilac mnoţ iti levim imeniocem.

MNOŢENJE RAZLOMAĈKIH ISKAZA Dva razlomačka iskaza se množe mnoţ enjem brojioca i imenioca. PRIMERI 1.

4x2 2 x x 1

3 x 1 x 1

12 x3

6 x2

4x2

( x 1)

2. 3.

(3 x 1) (4 x 2 ( x 1) 2

2x

2

x 2 x 1 3 2x . x 3 x 3

2 . x

x 1 x 1

2( x 1) x ( x 1)

12 x3

2 x)

2x2

( x 1)

2x

2

( x 2 x 1) (3 2 x ) ( x 3) ( x 3)

2x 2 x2

x

2 x3

x2 x2

5x 3 9

Inverzija broja a znači 1a . Ista operacija mora da se primenjuje kada se vrši inverzija razlomačkog iskaza.


122/262

5/16/2018


S t r a n a | 109

2.3 Iskazi

INVERZIJA RAZLOMAKA Kao kod brojeva, inverzija razlomačkog iskaza se dobija ako zamenimo brojilac i imenilac: 1

a x b c x d

1 a x b c x d

c x d a x b

PRIMERI 1.

2.

4 x 2 2 x x 1

1

1 3 2 x x 3

3

1

x 1 4 x2

4 x 2 2 x x 1 2 x x 3

1

2x

x 3 3 2x

1

3.

2. x

x 1 x 1

x ( x 1) 2( x 1)

x x2 2x 2

Deljenje dva razlomačka iskaza vrši se na isti način kao i deljenje dva razlomačka broja, naime, pomoću mnoţ enja invertnih iskaza.

DELJENJE RAZLOMAĈKIH ISKAZA Dva razlomačka iskaza delimo mnoţ enjem iskaza u brojiocu inverzijom iskaza u imeniocu: a c r t

x b x d y s y u

a x b

1 c x d r y s t y u

a x b

t y u

c x d

r y

s


123/262

5/16/2018


110 | S t r a n a

2. Osnove algebre

PRIMERI 3 x 1 2

1.

3 x 1 x 1

4x 2x x 1

x 1 4 x 2 2 x

3x 1 . x 1 x 1 4 x2 2 x

x 1

3 x 2 2 x 1 4 x3 6 x 2 2 x x 2

x 1 2

2.

x 3 3 2 x x

3.

2 x x 1 x 1

x

3

x 1 x 3

x 3 3 2x

x

2

2x 4x 3 2 x2 6 x 9

3

2 x

x 1

2 x2 2 x

x 1

x 1


124/262

5/16/2018


S t r a n a | 111

2.3 Iskazi

VEŢBA 2.3.2:

R AZLOMAĈKI IZRAZI

Rešenjaovih za ove veţ be moţ ete pronaći na stranama koješto neposredno slede nakon problema. Sastoje se od konačnog rešenja, omogućava da uporedite svoj rezultat sa našim. Svesno smo odlučili da ne prikaţ emo preporučeni metod rada iz razloga što ţ elimo vas da podstaknemo da razmislite o alternativnim metodama ukoliko dobijete pogrešno rešenje. 1. Proširiti sledeće iskaze sledećim faktorima, za koje se pretpostavlja da nisu jednaki nuli: a)

x 1

c)

u

x 1 v

sa 2 x

sa

u v u v

b)

x 2 x

2x 2

sa

2

2. Skratiti zajedničke faktore u brojiocu i imeniocu: a) c)

x 2 x

2

b)

4

x 2 ( x 5) 2 x 2 10 x

2 x 2 y 4 6 x y 6

3. Pomnoţ iti iskaze i skratiti zajedničke faktore: a) c)

a2 a

a2

4

2 a2

2a

b)

3 x 2

( x 5) 2

x 5

6 x3

9 a 2 3a 2 2 a 3a 2 3 a


125/262

5/16/2018


112 | S t r a n a

2. Osnove algebre

4. Podeliti i skratiti zajedničke faktore: a 2 36

a) c)

6a a 2

3 x 2

b) x 2 6 x 9 x 3

( a 6)

9a 2 b 2 9a 2 6a b b 2

x2

3a b 3a b

5. Sabrati ili oduzeti, i pojednostaviti: a)

3 x 2 6 x 2 4

c) e)

g) i)

2 2 x2 x2

a2

(a 1) u2 u 1

(a 1)

2

d) f)

2u u 2

2 x x 2 y

2y y 2x

2 x 4 x 3

3

2 x x

4 1

2

b)

h)

2

2

2a

x

1

2b

a

2

1

b

10 z

2

25

3 x ( x y )

3 z 5

2 y ( x y)

1 x


126/262

5/16/2018


S t r a n a | 113

2.3 Iskazi

R EŠENJA 2.3.2:

R AZLOMAĈKI ISKAZI

2

1. a)

2. a)

3

2 x 2 2 x 2 x 2 x

b)

x

b)

x

1 x 2

3. a) a

4. a)

5. a) d)

a 6 a (6 a)

b a a b

4 y 2

g) i)

x 2 y

2

x 5

b)

3

e)

3

42 x 4 x x 4

b)

b)

1

2

2 x

x 3

2 x

2

x

2

u (u 2 u 1

2) u 2

y 2x

13 x 10 x 2

c)

x

3 y 2

c)

a (3

c)

1

c)

a 1

a)

a 1

3 z 5 z 2 25

2

h)

c)

f)

x2

2

u u v u 2 v v3

2

x y 3 y 2x x ( x y ) y ( x y )

3

(4 x 3) x


127/262

5/16/2018


114 | S t r a n a

2. Osnove algebre

2.3.3 Test napretka za ,,Iskaze” Potrebno je da izvojite odreĎeno vreme da biste koncentrisano uradili ovaj test. Pokušajte da rešite što više problema. Nemojte da koristite ovaj udţ benik da biste pronašli rešenje. Cilj ovog testa je da dobijete povratnu informaciju o tome koliko znate ili koliko ste do sada naučili. Rešenja problema se nalaze na kraju poglavlja. Svako rešenje je svedeno na konačan odgovor; to moţ e biti samo jedan broj, simbol, tabela ili grafik. Potrebno je da proverite svoja rešenja. Ako su tačna, moţ ete da nastavite i započnete sledeće poglavlje. U bilo kom drugom slučaju (vaše rešenje je pogrešno ili nemate rešenje) potrebno je da se vratite na odgovarajući deo u udţ beniku koji treba da ponovite kako biste savladali tematiku poglavlja. 1. Da li su sledeći iskazi polinomi? Ako je vaš odgovor ,,da”, ukaţ ite na stepen; ako je odgovor ,,ne”, objasnite razlog: a)

2

b) 2 x

y y3

3 x 3 x

2

y4

3

c) 2 5 x y 3.14 x5 d)

22 x2

5y

1 y3

112 7 11

3x y

y 2 x3

237

3

2. Dovršiti formule bez konsultovanja udţ benika: a) ( x 2 y ) 2 b) ( 12 a x c) (10 3

5 b)2 3 5) 4

( 23 x

1) 4


128/262

5/16/2018


S t r a n a | 115

2.3.3 Test napretka

3. Sabrati ili oduzeti polinome i skratiti rezultat koliko je moguće: a)

(2 x 2

b)

(3 x3

c)

2 x 2

4x

(2 x3

6)

8 x2

x 4) ( x 2 3x

(3 x 2

4

4 x) 7 2

3) ( 5)

(x

x3

4)

2 3

x2

(3

4 x)

x 2 ) 11

4. Pomnoţ iti i kombinovati istovetne iskaze: a)

( x 1)

b) c)

3 x

2

2x

x

2

(2 y

2 x 5 x 3 x 7

x

2

1 4

x

1 2

1 2

x

x)

2

2

x 15 2

2

4x4

5. Izvršiti operacije i skratiti rezultat koliko je moguće: a) ( x 2) 2 3 ( x 2) 2 3 x4 9 b) c)

[(2 x 1) ( 2 x 2) 1] [3 x 2 1 y 2 2

1 5

x

3 4

x

2] ( x) ( x)

x (4 x 1)

1 2


129/262

5/16/2018


116 | S t r a n a

2. Osnove algebre

2.4 Rešenja za testove napretka

2.4.1 Rešenja za test napretka za ,,Brojeve” Potrebno je da proverite svoja rešenja. Ako su tačna, moţ ete da nastavite i započnete sledeće poglavlje. U bilo kom drugom slučaju (vaše rešenje je pogrešno ili nemate rešenje) potrebno je da se vratite na odgovarajući deo u udţ beniku koji treba da ponovite kako biste savladali tematiku poglavlja.

1. a) Celi brojevi: 2, 4, 1,356 b) Racionalni brojevi: 23 ; 17 ; 0.25; 3.16363 23 c) Iracionalni brojevi: ;

2; 5; e

d) Realni brojevi: 4; 13 ; 7; 0.66

2. a)

158

b) -222

3. a) 1.833

b)

1 2

4. a) 6

b)

23 19

5. a) 336

b) 2310

6. a) > 0

b) < 0

c)

19 6

7. 1,16 EUR 8. a) 413,32 EUR

b) 15,9%


130/262

5/16/2018


S t r a n a | 117


2.4.2 Rešenja za test napretka za ,,Eksponente” Potrebno je da proverite svoja rešenja. Ako su tačna, moţ ete da nastavite i započnete sledeće poglavlje. U bilo kom drugom slučaju (vaše rešenje je pogrešno ili nemate rešenje) potrebno je da se vratite na odgovarajući deo u udţ beniku koji treba da ponovite kako biste savladali tematiku poglavlja. 1. a) 8

b) –8

c)

1

d)

8

5

2

x y 6

c) 8

d)

x y 8

c) 3 x

d) 2.5

2. a)

x 6

b)

3. a)

3

b)

5

b)

1

8

1

31 33 4

4. a)

2

1

5. a)

37 18

b)

53

118 15

c)

d)

7

32 2 y 2

4

1

7. a)

8

b)

3

4

c)

1

4

23

x 15

6. a)

36

c)

7

3 2

22

5

x

4

3

b)

1 12

31

c)

2 15

d)

1

z 3

25 16

8. a) –5

b) 2

c)

25


d) 4

131/262

5/16/2018


118 | S t r a n a

2. Osnove algebre

2.4.3 Rešenja za test napretka za ,,Iskaze” Potrebno je da proverite svoja rešenja. Ako su tačna, moţ ete da nastavite i započnete sledeće poglavlje. U bilo kom drugom slučaju (vaše rešenje je pogrešno ili nemate rešenje) potrebno je da se vratite na odgovarajući deo u udţ beniku koji treba da ponovite kako biste savladali tematiku poglavlja. 1. a) Nema polinoma

b) Nema polinoma

c) Polinom 5. stepena 2. a) c) 3. a) c) 4. a)

2

4 x y

20 2 x 9

5 16

4 y2

b)

1 4

6

b)

1 x3 2

b)

3 x 4 4 x3

4x 5

4 x 2 y 2

a2

5 a 3

b

25 2 b 9

2 x 3 10 x 2

2 x 2

d) Polinom 6. stepena

5 3

x2

5x 7

4 x3 y 4 y 2

4x y

b) 2 x5 5 x 4 3x3 7 x2 2 x 15 c) 4 x 2 4 5. a) c)

8 x3 3 x 8

24 x 2

y2

1 4

y2

32 x 16 1 4

x2

1 6

x


132/262

5/16/2018


S t r a n a | 119

3. Jednačine

3. Jednaĉine Elementary Algebra, Financial Mathematics, Calculus and Statistics

n e

a l m b e r E e : g 1 A . y l o r a V t

Preduslovi:

Ciljevi uĉenja:


3. Equations

4. Basic Functions

Da biste uspešno savladali ovo poglavlje uz minimalne poteškoće, od vas se zahteva da posedujete osnovno poznavanje računskih operacija u cilju rešavanja i pojednostavljivanja iskaza. Kada poredimo iskaze, oblik koji najčešće srećemo su jednačine. One ne samo da grade osnovu za većinu najvaţ nijih iskaza u matematici, funkcije − što je tema sledećeg poglavlja – već su često i deo širih računica. U većini slučajeva cilj je rešiti jednu jednačinu ili sistem jednačina. Rešiti jednačinu znači odrediti vrednosti promenljivih, koje su deo jednačine, tako da jednačina bude istinita. Govorićemo o različitim oblicima jednačina.

Jednačina je matematička rečenica u simbolima koja pokazuje da su dve stvari u potpunosti iste (ili ekvivalentne). Da bi ova ekvivalentnost vaţ ila, jednačine se pišu znakom jednakosti (=), kao u:


133/262

5/16/2018


120 | S t r a n a

3. Jednačine

5 – 3 +7 = 9

Gore data jednačina je primer jednakosti, stanja u kome su obe strane jednačine jednake. Sve dok jednačina i samokada brojeve, jednakost moţ e odrediti sa lakoćom. MeĎutim, sadrţ u slučaju jednačina sadrţsei najmanje jedan nepoznat broj ili promenljivu nepoznate vrednosti, jednačina se ne moţ e odrediti bez prethodnog odreĎenja vrednosti nepoznate. Znak jednakosti olakšava odreĎivanjejedne ili više vrednosti nepoznate s obzirom da u nekim slučejavima samo specifične vrednosti zadovoljavaju zahtev jednakosti. ( x 2) 2 5 1 postoje dve vrednosti x koje ispunjavaju Za jednačinu x 3 2 x 7 zahtev jednakosti; dok za jednačinu 5 postoji samo jedna 3

vrednost x koja ispunjava zahtev jednakosti. Iskazi poput onih koji su dati gore koji sadrţ e znak jednakosti za ekvivalentnost nazivaju se jednaĉine. Obično su predstavljene kao algebarski iskazi sa promenljivom x.


134/262

5/16/2018


3.1 Upotreba jednačina

S t r a n a | 121


3. Equations 3.1 Use of Equations

3.2 Linear Equations

Modelling

Normal Form

Forms

Solution

Solution

Solution

3.3 Quadratic Equations

Preduslovi:

Pretpostavka je da razumete i umete da primenite osnovna pravila algebre za upotrebu iskaza.

Ciljevi uĉenja:

Jednačine su vaţ an deo većine matematičkih modela. Javljaju se u brojnim slučajevima ili u obliku definicija realnih ţ ivotnih situacija ili kao rezultat balansiranja procedura. Matematički izazov koji se krije u jednačinama prvo se odnosi na njihovo definisanje, zatim primenu, i, kao treće, rešavanje. U ovom poglavlju ćemo ilustrovati proces modelovanja, i razgovarati o linearnim i kvadratnim jednačinama kao najvaţ nijim jednačinama za ekonomsku primenu.


135/262

5/16/2018


122 | S t r a n a

3. Jednačine

Najosnovnije su polinomne jednaĉine, u kojima je iskaz na desnoj strani jednačine polinom: an x n

an

1

xn

1

... a1 x a0

0

gde su koeficijenti an ,..., a0 realni brojevi, a n ceo broj koji nije negativan. Najjednostavnija polinomna jednačina je jednačina 1. stepena koja se naziva linearnom jednačinom: a1 x a0

0

U ovom odeljku ćemo se detaljno baviti linearnim i kvadratnim jednačinama, njihovim svojstvima, analizirati ih i procenjivati njihov potencijal za upotrebu. Ustanovićemo koliko je korisno opisati neke prirodne fizičke i ekonomske probleme kroz linearne ili kvadratne oblike. U takvim jednačinama sa promenljivama (= nepoznatima), pitanje obično ne glasi da li je tačno ili netačno, već za koje vrednosti nepoznate postoji jednakost. Ove vrednosti se nazivaju rešenjima jednačina. Postoje različite vrste jednačina u zavisnosti od vrste njihovih rešenja.

USLOVNE JEDNAĈINE Jednačine koje su tačne za samo neke vrednosti upotrebljenih promenljivih (nepoznatih) nazivaju se uslovnim jednačinama.

Uslovne jednačine su ,,normalna” upotrebljavamo. Matematički problemvrsta običnoalgebarskih treba rešiti,jednačina tj. pronaćikoje sva rešenja.

PRIMERI 1. 2 x 9 17 vaţ i ako i samo ako 4 je rešenje jednačine. 2. 3 x 2

2x 8

x

4 , za 2 4 9 17 . To znači,

2 , zato što 6 2


4 8.

136/262

5/16/2018


S t r a n a | 123


3. Ako pitanje glasi: Za koju vrednost x će polinom 0?

2

4 x

iznositi

Odgovor je: 2

4 x

0

0 and x2

x1

4

Kad god transformišete jednačinu vršeći odreĎene operacije, kreirate identitet, iz razloga što morate biti sigurni da ćete izbeći gubitak ili dobitak bilo kog rešenja jednačine.

IDENTITET Jednačina koja je tačna za sve dozvoljene vrednosti nepoznatih koje su upotrebljene naziva se identitet . Dozvoljene vrednosti u ovom slučaju označavaju vrednost za koju su članovi definisani.

PRIMERI 1. 4(2 x 1) 2 8(

6 8

8 x 4 2 6 8x

2.

( x

2) 2

x2

4x

x) →

4 8x vaţ i za sve realne brojeve x. 4

vaţ i za sve realne brojeve x.

Jednačine bez rešenja nazivaju se nekonzistentne ili kontradiktorne. Kontradiktornost je ponekad jednostavno rezultat greške prilikom transformacije jednačine, ili moţ ete naići na kontradiktornost prilikom pravljenja dokaza.

NEKONZISTENTNOST Za jednačinu za koju ne postoji rešenje ili ne vaţ i nijedna vrednost nepoznate kaţ e se da je nekonzistentna (konfliktna ili kontradiktorna). Vrednosti nepoznate ne pruţ aju dokaz o ekvivalentnosti jednačine.


137/262

5/16/2018


124 | S t r a n a

3. Jednačine

PRIMER 2 ( x

2) 7

2x 3

Ne postoji nijedno x koje zadovoljava ovaj ,,niz”, zbog toga što: 2 ( x

2) 7

2x

4 7

2x 3

2x 3

3.1.1 Modelovanje pomoću jednaĉina Pre nego štoObično transformišete rešite jednačina jednačinu,– potrebno je da je– formulišete. jednačina ili sistem ukratko ,,model" nije dat (što je bio slučaj i u ovom udţ beniku do sada). Često je potrebno pronaći adekvatnu matematičku reprezentaciju praktičnog problema koji bi mogao da ima ekonomski, fizički, socijalni ili drugi uticaj. Rešavanje problema pomoću matematike znači da je prvo potrebno prevesti problem u matematiče izraze kako bi se zatim primenile matematičke metode i procedure. Ovaj transformacioni proces je u većini slučajeva teţ i od rešavanja samog matematičkog problema. Navešćemo i diskutovati o nekim sasvim osnovnim koracima koji bi nam mogli biti od pomoći da uspešno prevedemo i rešimo praktične probleme. Pojedinačne korake ćemo prikazati pomoću sledećih problema:

Problem 1: Kada je rezervoar pun? Rezervoar za vodu moţ e se napuniti pomoću dva ulivna grla. Koristeći samo grlo A, rezervoar će se napuniti za 8 sati. Kada koristimo i grlo A i grlo B zajedno rezervoar će biti pun nakon 2 sata. Koliko je vremena potrebno da se napuni rezervoar koristeći samo grlo B? Problem 2: Koliko godina imaju Dţek i Dţil? Sledeće godine Dţ ek će imati tri puna više godina od Dţ il pre dve godine, dok će kroz četiri godine Dţ il biti duplo mlaĎaod Dţ eka pre tri godine. Koliko godina imaju Dţ ek i Dţ il?


138/262

5/16/2018



S t r a n a | 125

Problem 3: Kolika je brzina zapadnog vetra preko Atlantskog okeana? Na vreme leta od Frankfurta do Njujorka (oko 4,000 milja) utiče stalan zapadni vetar, što produţ ava vreme leta 20% u proseku u odnosu na suprotan pravac. Kolika je prosečna brzina vetra na 36,000 fita nadmorske visine nad severnim Atlantskim okeanom ako je brzina na zemlji bez vetra 890 km/h? K ORAK 1: ANALIZA PROBLEMA Paţ ljivo pročitajte tekst, dva ili tri puta ako je potrebno. Obeleţ ite značajne informacije i identifikujte polaznu tačku u pitanju. Problem 3: Kolika je brzina zapadnog vetra nad Atlantskim okeanom? Relevantni podaci su: Vreme leta nad zemljom bez vetra je 890 km/h. Brzina vetra se mora dodati ako avion ima vetar u leĎa; u slučaju čeonog vetra mora se oduzeti. Polazna tačka u pitanju je brzina vetra. Udaljenost nije relevantna, zato što će ona implicitno biti uzeta u obzir. K ORAK 2: IDENTIFIKOVANJE I DEFINISANJE PROMENLJIVE (PROMENLJIVIH) Izaberite kao promenljive one polazne tačke koje su eksplicitno date kao ,,nepoznate". Obično je to cilj koji se formuliše u pitanju problema.


139/262

5/16/2018


126 | S t r a n a

3. Jednačine

Problem 2: Koliko godina imaju Dţek i Dţil? Nije nam poznata starost ni Dţ eka ni Dţ il. Kako se pitamo za starost i jednog i drugog, biramo njihove godine kao promenljive. Neka x budu Dţ ekove godine, a y Dţ iline godine.

K ORAK 3: PREVOĐENJE U MATEMATIĈKI MODEL Prevedite opisane odnose u matematički model, tj. na jezik kojim se matematika sluţ i. Ovo je centralni korak zato što moramo da navedemo praktičnu pozadinu u matematičkom obliku. Najčešće moramo da navedemo ekonomska, fizička ili socijalna ograničenja u jednačinama.

Problem 1: Kada će rezervoar biti pun? Neka a, i b budu vreme koje je neophodno kada koristimo odgovarajuće grlo, a neka c bude vreme punjenja kada koristimo oba grla zajedno. Neka T bude sadrţ aj rezervoara. Količina vode koja će proteći kroz bilo koje grlo po satu iznosi ili T , or T , or T , pomenutim redosledom. a

b

c

Upotreba oba grla znači: T

T

T

c

a

b

Dolazimo do zaključka da moţ emo da izostavimo T , tj. sadrţ aj je suvišna informacija implicitno sadrţ ana u vremenu punjenja. Dobijamo: 1

1

1

1

a

b

c

a

b

c

a b

K ORAK 4: R EŠENJE ZA MATEMATIĈKI PROBLEM


140/262

5/16/2018


S t r a n a | 127


Konačan korak je uvek povezan sa matematičkim problemom koji je potrebno rešiti u skladu sa formulisanim modelom. Veoma često matematički model se sastoji od jednačine ili sistema jednačina koje se moraju rešiti.

Problem 1: Kada će rezervoar biti pun? Izveli smo sledeću jednačinu koja opisuje povezanost više različitih vremena punjenja: 1

1

1

1

a

b

c

a

c

c

a b

Traţ imo b, vreme punjenja kada se koristi samo grlo B, pod pretpostavkom da su c i a dati. Stoga, rešavamo gornju jednačinu za b: a b c ( a b) c a c b a b c b c a (a c) b

c a

b

c a a c

Zamenjujemo simbole datim vrednostima: b

c a

2 8

16

8

a c

8 2

6

3

2.66 hours

2 hours 40 minutes

Problem 2: Koliko godina imaju Dţek i Dţil? Neka x budu Dţ ekove godine, a y Dţ iline godine. Ove dve izjave se mogu direktno prevesti u jednačine. Sledeće godine Dţ ek će imati tri puta više godina od Dţ il pre dve godine: 1

3( y

2)

(1)

Kroz četiri godine Dţ il biti duplo mlaĎa od Dţ eka pre tri godine:


141/262

5/16/2018


128 | S t r a n a

3. Jednačine 4

1 2

Zamenjujemo 4 1 y 2

3 y

(2)

( x 3)

1 (3 y 2

3 ( y

54

y 5

18 Dţ iline godine

y

9 7

3 2

7 3)

2) 1 3 y 7 u jednačini (2):

47 Dţ ekove godine

7

Problem 3: Kolika je brzina zapadnog vetra nad Atlantskim okeanom? Relevantni podaci su vreme leta nad zemljom bez vetra: g =890 km/h Promenljiva u pitanju je brzina vetra w. Brzina vetra w se mora dodati ako avion ima vetar u leĎa; u slučaju čeonog vetra mora se oduzeti: w

2.2 w

1.2( g

0.2 g

w)

g

w

0.2 2.2

1.2 g 1.2w

w

g

0.2 890 km/h 2.2

Zapadni vetar ima prosečnu brzinu od 80,9 km/h.

3.1.2 Rešenje

Izračunati rešenja jednačine znači transformisati jednačinu i pojednostaviti je tako da konačno izolujete nepoznatu promenljivu i pronaĎete sve moguće vrednosti. ,Rešavanje jednačina” upravo to znači. Proces transformisanja ne bi trebalo da predstavlja nikakav problem sve dok imate sledeća pravila na umu:

DOZVOLJENE OPERACIJE


142/262

5/16/2018


S t r a n a | 129

3.1 Upotreba jednačina 

Koja god operacija da se vrši na jednoj strani jednačine mora da se vrši na drugoj strani takoĎe.



Postarajte se da ne dobijete niti izgubite bilo koje rešenje.  Nikada nemojte da mnoţ ite ili delite sa 0. Ako mnoţ ite ili delite izrazom koji sadrţ i promenljivu, isključite vrednost 0 za taj izraz. Ova pravila se na sreću automatski javljaju u većini osnovnih operacija kojima se bavimo tokom ovog kursa. Interesantno je, meĎutim, videti kako moţ emo da dobijemo ili izgubimo rešenja, mada se u većini slučajeva ovo dešava pre slučajno nego namerno. Evo nekoliko primera.

PRIMERI 1. 2 x 3 7 i 2 x 4 su ekvivalentne jednačine, zato što obe imaju isto rešenje x = 2. Oduzimanjem broja 3 sa obe strane od prvog rešenja, identitet je očigledan.

2

2 xobe0 x i= 2. Prva 2 0jednačina 2. rešenje nisu ekvivalentne je ima dodatnojednačine, rešenje x =mada 0, koje zasigurno nije rešenje druge jednačine. Izgubili smo ovo moguće rešenje kada smo podelili prvu jednačinu sa x.

3. Ţelimo da rešimo jednačinu ( x 2)2 4 . Stavljanjem kvadratnog korena sa obe strane – jednačina podleţ e pravilu: ,,ono što primenite na jednu stranu morate da primenite i na drugu” – moţ emo da dobijemo 2 2 x 4 . Ustvari, ovo rešenje je x = 0 rešenje meĎutim,To to nije rešenje, takoĎe prve rešavajednačine; prvu jednačinu. značijedino da smo primenom kvadratnog korena izgubili rešenje ( x 2)2 4 i 2 2 nisu ekvivalentne.

4. Ţelimo da rešimo jednačinu 3 x 7 2x 3 . Rešenje je očigledno 10 . Prema pravilu koje kaţ e da moţ emo da pomnoţ imo obe strane faktorom x, dobijamo: 3 x2 7 x

2 x2 3x

x2 10 x

x ( x 10)


0

143/262

5/16/2018


130 | S t r a n a

3. Jednačine

Proizvod je jednak 0, ako i samo ako je najmanje jedan od faktora jednak 0. Dakle, x = 0 ili x = 10. Otud sada imamo dva dok rešenja, od kojih je samo poslednje rešenje originalne jednačine, rešenje x = 0 očigledno nije rešenje 3 x 7 2x 3 . Dobili smo rešenje mnoţe njem. Dakle, rezultat nakon mnoţ enja i originalna jednačina nisu ekvivalentni. Pitanje sada glasi: ,,Koje operacije su dozvoljene u cilju kreiranja identičnih jednačina?“ U delu koji sledi diskutovaćemo samo o fundamentalnim operacijama koje su neophodne za dalju diskusiju:

DOZVOLJENE OPERACIJE ZA JEDNAĈINE Dozvoljene operacije transformacija su one koje ostavljaju niz rešenja nepromenjenim ili netaknutim. Sledeće operacije su dozvoljene. SABIRANJE ILI ODUZIMANJE Sabiranjem ili oduzimanjem istog izraza na obe strane jednačine ne menja se niz rešenja. Rezultat je identična jednačina.

To značijednačine. da dodavanje iste vrednosti na obe sabrati strane jednačine utiče na rešenje Vrednost koju je potrebno ili oduzeti,nemeĎutim, mora da bude validna za obe strane jednačine.

PRIMERI 1. 2 x 3 x 10 Ako oduzmete 10 od obe strane, jednačina postaje: x 10 10 x Dodavanjem x na obe strane promenićemo jednačinu, ali nećemo 2 x 3 10

uticati na niz rešenja:


144/262

5/16/2018


S t r a n a | 131

3.1 Upotreba jednačina 2 x 3 10

2x 7 x

x x

0

Rezultat je ekvivalentna jednačina: 3 x 7 0

2.

2 x 2 12

4x 4

Zasigurno moţ emo da radimo sa više od jednog izraza istovremeno; na primer, oduzimamo kompletnu desnu stranu da bismo na toj strani dobili 0: 2 x2 12 (4 x

4)

4x

4 (4 x

4)

0

Kombinovanjem istovetnih izraza dobijamo: 2 x 2

4 x 16

0

Iz dva gore data primera trebalo bi da bude jasno da sabiranje ili oduzimanje izraza na obe strane nije ograničeno nikakvim specifičnim oblikom jednačine. Ono vaţ i za sve tipove. U prvom primeru smo oduzeli 10 da bismo ,,izbrisali" konstantu na desnoj strani. Rezultat je da se 10 više ne pojavljuje na desnoj strani i oduzima se od leve strane. Drugim rečima, ako ,,pomerite" adicioni izraz sa jedne strane na drugu, njegov znak se menja. Ovo ne samo da vaţ i za konstantne faktore, već za sve izraze. Primeri dati gore onda postaju:

PRIMERI 1. 2 x 3

x 10

Promena strane za izraz oduzmemo od leve strane: 2 x 3 ( x 10)

( x 10)

znači da moramo da ga

0 → 2 x 3 x 10 0

Rezultat je ekvivalentna jednačina: 3 x 7 0

2.

2 x 2 12

4x 4

Ponovo, da bismo dobili 0 pomeramo kompletan izraz sa desne na levu stranu menjanjem znaka:


145/262

5/16/2018


132 | S t r a n a 2 x 2

12

3. Jednačine (4 x

4)

0

Kombinovanjem istovetnih izraza dobijamo isti rezultat kao gore: 2 x 2

4 x 16

0

Čim savladate upotrebu jednačina kako biste mogli da ih rešite ili pojednostavite gotovo automatski ćete primenjivati obrazloţ enje dato gore.

MNOŢENJE ILI DELJENJE Množenje ili deljenje istim

izrazom koji nije jednak nuli na obe strane jednačine ne menja niz rešenja. Rezultat će stoga biti identična jednačina. Najznačajniji deo pravila gore je ,,izraz nije jednak nuli". Mnoţ enje nulom je strogo zabranjeno iz razloga što bi rezultat bio trivijalan identitet: 0=0 TakoĎe je strogo zabranjeno deljenje nulom, jer je rezultujući izraz neodreĎen. Moţ ete tvrditi da ste naučili ova pravila u trećem ili četvrtom razredu. Ko bi ikada mnoţ io ili delio sa nula? Zašto bi to iko radio? Problem se pak ne odnosi samo na mnoţ enje ili deljenje samim brojem 0, već izraze čija je vrednost 0, čega vi niste svesni. Hajde da ovo objasnimo kroz primer. Pretpostavka je da ţ elimo da pronaĎemo vrednosti kojima se rešava jednačina: 2 x 2

4x

0

Izvlačenjem zajedničkog faktora 2 x ispred zagrade dobijamo: 2 x ( x 2) 0 Deljenje obe strane izrazom 2 x očigledno znatno pojednostavljuje jednačinu: 2 0


146/262

5/16/2018


S t r a n a | 133


Sada je lako pronaći rešenje: 2 Ovo, meĎutim, nije jedino rešenje, zato što je 0 takoĎerešenje gornje jednačine. Dakle, deljenje izrazom 2 x menja identitet jednačine i gubimo rešenje. Uzevši u obzir da bi izraz 2 x takoĎe mogao biti nula, morali bismo da tvrdimo da proizvod 2 x ( x 2) moţ e biti nula ako je jedan od faktora nula. Tako bismo izbegli deljenje nulom i dobili dva ispravna rezultata: 0 i

2

Mnoţ enje i deljenje jednačina brojevima ili izrazima moţ e se prilično redovno primenjivati na algebarsko pojednostavljivanje.

PRIMERI 1. 2 x 3 x 10 Da bismo rešili jednačinu izolovaćemo promenljivu x: 2 x x 10 3 3x 7 Deljenjem obe strane sa 3 dobijamo rešenje:

7 3

2. 2 x 2 12 4 x 4 Ponovo, da bismo tamo dobili 0, prebacujemo kompletan izraz sa desne na levu stranu promenom znaka: 2 x 2

12 (4 x

4)

0

Kombinovanjem istovetnih izraza dobijamo isti rezultat kao i gore: 2 x 2 4 x 16 0 Da bismo dobili nešto lakši oblik moţ emo obe strane da podelimo sa 2: 2

2 x 8 0

U daljem tekstu ćemo taj oblik zvati ,,normalan oblik kvadratne jednačine".


147/262

5/16/2018


134 | S t r a n a

3. Jednačine

Sledeća jednačina sadrţ i razlomački iskaz: 4 x 8

x 1

x 2

3x

3

Da bismo rešili takvu jednačinu, očigledno je da su oba imenioca problematična. Stoga, prirodno je ukloniti ih mnoţ enjem cele jednačine prvo izrazom 2 , a zatim izrazom 3 x (ili obrnuto): (4 x 8) ( x 2) 3 x ( x 2)

( x 1) ( x 2) 3 x 3x

3( x 2) 3 x

Skraćivanjem identičnih izraza u razlomačkim izrazima dobijamo: (4 x 8) 3 x ( x 1)( x 2) 3 ( x 2) 3x Potrebno je da sa obe strane mnoţ imo polinome. Nakon preraspodele jednačine tako da se kombinuju izrazi istog stepena, dobijamo: 12 x 2

24 x

x2

x 2x 2

9 x 2 18 x

4 x 2 7 x 2 0

U odeljku 3.3 ćemo naučiti kako da rešavamo gore pomenutu (kvadratnu) jednačinu. Za sada je dovoljno da znamo da jednačina ima dva rešenja 1 , što se lako moţ e dokazati jednostavnom zamenom 2 i 4 promenljive odgovarajućom vrednošću i testiranjem konzistentnosti. Dakle, dva su rešenja

2 i

1 4

jednačine: 4 x 2 7 x 2 0

Oba rešenja, meĎutim, ne rešavaju originalnu jednačinu: 4 x 8

x 1

x 2

3x

3

Pod pretpostavkom da smo na ispravan način transformisali jednačinu u svim koracima, moţ emo se zapitati: ,,Šta nije u redu?”. Odgovor moţ emo pronaći na samom početku. U originalnoj jednačini moramo da isključimo vrednosti 2 i 0 zato što bi ove vrednosti odnosnih imenioca bile nula, a što je strogo zabranjeno. Nakon toga, mnoţ enjem imenioca ,,ispravili" smo to isključivanje, što vodi rešenju 2 i drugačijoj (neidentičnoj) jednačini.


148/262

5/16/2018


S t r a n a | 135


PRIMERI 1.

3

2

x 1

x

1, 1

1

Da bismo rešili jednačinu izolovaćemo promenljivu x: 3( x 1) ( x 1) x 1

2( x 1) ( x 1) x 1

3 x 3 2 x 2

5 2( x 1)

2.

x

3( x 1)

2( x 1)

5

x

1

1

2

5 x 1 2( x 1) 2

5 2( x 1)

x 1 ( x 1)

2( x 1)

Skraćivanjem odgovarajućih faktora: 5

( x 1) ( x 1)

x2 1

Nakon izolovanja x, dobijamo: 2 6 , od kojih su oba takoĎe 6 i 2 6 , tj. dva rešenja 1 rešenja originalne jednačine iz razloga što nismo morali da ih isključimo. Poslednji od dva problema je dobar primer znatnog pojednostavljenja operacije ,,mnoţ enja ili deljenja", iz razloga što u mnogim situacijama nije neophodno prvo mnoţ iti zajedničkim imeniocem i nakon toga ukloniti zajedničke faktore. Oba koraka moţ emo obaviti odjednom takozvanim ,,unakrsnim mnoţ enjem". Pogledajmo ponovo primer 2: 5 2( x 1)

1

x

for

1

2

Unakrsno mnoţ enje znači da mnoţ imo levu stranu imeniocem desne strane i obrnuto. Rezultat će biti: 2 5 2( x 1) ( x 1)


149/262

5/16/2018


136 | S t r a n a

3. Jednačine

To znači da dobijamo isti rezultat kao i ranije. Unakrsno mnoţ enje moţ emo primeniti uvek kada su obe strane jednačine pravi ili mešoviti razlomci. Pravilo glasi:

UNAKRSNO MNOŢENJE Pomnoţ iti svaki brojilac imeniocem druge strane i prebaciti ga tamo. To znači da je prvo potrebno napraviti pravi razlomak u slučaju sume izraza. PRIMERI 1.

4 2 x 1

5 x

1

3

2

,

3

Unakrsno mnoţ enje ima za rezultat: 4( x 3) 6 x

2.

x

3

1

4 x 12 10 x 5

5(2 x 1)

17

x

2 x 1

17 6

1; 1

2

Pre unakrsnog mnoţ enja pretvorite desnu stranu u mešovit razlomak: 3 x

2 1

x 1

2

2

2( x 1)

2

x 1

2x

2

2x

x 1

x 1

Unakrsno pomnoţ ite: 2

3 ( x 1)

2 x ( x 1)

2x

2

2x

PrerasporeĎivanjem izraza dobijamo:

3x 3

2x

2x

2 x2 x 3 0

Ovo je ponovo kvadratna jednačina o čijem rešenju ćemo diskutovati u odeljku 3.3. Da bismo rešili jednačine, ili drugim rečima izolovali promenljive na jednu stranu, naizmenično korišćenje operacija moţ e biti neophodno. Ipak, uvek je preporučljivo izolovati promenljive prvo koristeći sabiranje ili oduzimanje da bismo slične izraze stavili zajedno na jednu stranu.


150/262

5/16/2018



S t r a n a | 137

Zatim se koristi mnoţ enje ili deljenje radi eliminacije koeficijenta i ostavljanja samo promenljive na jednoj strani.


151/262

5/16/2018


138 | S t r a n a

3. Jednačine

VEŢBA 3.1:

UPOTREBA JEDNAĈINA

Rešenja za ove veţ be moţ ete pronaći na stranama koje neposredno slede nakon ovih problema. Sastoje se od konačnog rešenja, što omogućava da uporedite svoj rezultat sa našim. Svesno smo odlučili da ne prikaţ emo preporučeni metod rada iz razloga što ţ elimo vas da podstaknemo da razmislite o alternativnim metodama ukoliko dobijete pogrešno rešenje. 1. Dati primer za svaku od navedenih jednačina: a) Linearna jednačina b) Uslovna jednačina c) Jednačina identiteta d) Nekonzistentna jednačina e) Ekvivalentna jednačina za deo (b) 2. Rešiti sledeće jednačine kroz prikaz svih koraka i ukazivanjem operacije na desnoj strani: a)

3( x 1)

b)

7

d) 3 4 z 11 f)

2 x

1 3

1x 3

4 9

2 x 3

c)

4

4( x 1)

e)

7 (3 x 1)

g)

1 ( x 2

3)

2x 4

5 ( x 1)

1 (2 x 1) 5

3. Rešiti sledeće probleme: a) Cena računara nakon popusta od 22% iznosi 1,871.50 EUR. Kolika je bila cena pre popusta? b) Zbir tri uzastopna neparna broja je 117. Koji su to brojevi? c) Hans je 7 godina stariji od Sabine. Koliko oni imaju godina ako je zbir njihovih udvostručenih godina 66?


152/262

5/16/2018



S t r a n a | 139

d) Jedna strana pravougaonika je 20 cm kraća od druge. Koliko je dugačka kraća strana ako je površina pravougaonika tačno 0,8 m2? e) Dva automobila koja su udaljena 500 km jedan od drugog idu u susret jedan drugome stalnom brzinom sa razlikom od 10 km/h. Kolika je njihova brzina ako će se sresti nakon 2 sata i 15 minuta? f) Biciklista vozi svoj bicikl uzbrdo brzinom od 20 km/h i nizbrdo brzinom od 60 km/h. Koja je njegova prosečna brzina za ceo put (odnosno uzbrdo i nizbrdo)? g) Razlika koja dva broja iznosi 12, dok je proizvod ta ista dva broja 493? h) Dve porodice ţ ive na udaljenosti od 550 km jedna od druge. Ţele da se sretnu i zajednu krenu autom u 9 sati ujutro. Auto jedne porodice se kreće konstantnom brzinom od 90 km/h, drugi auto se kreće konstantnom brzinom od 110 km/h. U koje vreme će se sresti?


153/262

5/16/2018


140 | S t r a n a

3. Jednačine

R EŠENJA 3.1: 1. a)

UPOTREBA JEDNAĈINA linearna jednačina sa jednom promenljivom

4 x 1 19

b) c)

2

y 2

d) 2 3 x 1 e) 2. a)

tačno samo za

5 8 x

y

x

3

y

3(2 x 4)

2 x 10 16

3 13

e) x = −1

b) x = 6 f)

1 3

c) x = 0

d) z = −2

g) x = 17

3. a) 2399,36 EUR b) Brojevi su 37, 39, i 41.

c) Sabina ima 13 godina, a Hans ima 13+7=20 godina. d) Kraća strana ima 80 cm, a duţ a 100 cm. e) Brţ i auto se kreće brzinom od 116,11 km/h, dok se sporiji kreće 106,11 km/h. f) Prosečna brzina iznosi 30 km/h. g) Dva broja su 17 i 29, ili −17 i −29. h) Porodice će se sresti u 11:45h.


154/262

5/16/2018



S t r a n a | 141

3.1.3 Test napretka za ,,Upotrebu jednaĉina” Potrebno je da izvojite odreĎeno vreme da biste koncentrisano uradili ovaj test. Pokušajte da rešite što više problema. Nemojte da koristite ovaj udţ benik da biste pronašli rešenje. Cilj ovog testa je da dobijete povratnu informaciju o tome koliko znate ili koliko ste do sada naučili. Rešenja problema se nalaze na kraju poglavlja. Svako rešenje je svedeno na konačan odgovor; to moţ e biti samo jedan broj, simbol, tabela ili grafik. Potrebno je da proverite svoja rešenja. Ako su tačna, moţ ete da nastavite i započnete sledeće poglavlje. U bilo kom drugom slučaju (vaše rešenje je pogrešno ili nemate rešenje) potrebno je da se vratite na odgovarajući deo u udţ beniku koji treba da ponovite kako biste savladali tematiku poglavlja. 1. Zbir tri uzastopna neparna broja je 279. Koji su to brojevi? 2. Kroz 5 godina Ana će biti duplo mlaĎa od svoje majke. Pre tri godine Ana je imala tri puta manje godina u odnosu na godine koje njena majka imati za 11 godina. Koliko godina imaju danasćeAna i njena majka? 3. Kompanija proizvodi stolice i stolove na jednoj mašini. Da bi proizvela jednu stolicu, potrebna je 1 jedinica sirovog materijala i 2 sata rada na mašini. Proizvodnja jednog stola zahteva 2 jedinice sirovog materijala i 3 sata na mašini. Imate 19 jedinica sirovog materijala u zalihama. Mašinu je moguće koristiti 34 sata. Koliko stolica i stolova moţ ete da proizvedete? 4. Ana je kupila 2 vekne hleba i 6 kifli u pekari. Na kasi je platila 4,80 EUR. Kada se vratila kući majka ju je upitala za cenu jedne kifle. Ona, meĎutim, nije zapamtila cenu. Tri dana kasnije otišla je u pekaru ponovo i kupila 3 vekne hleba i 15 kifli. Račun je bio 9 EUR. Kada ju je majka ponovo upitala za cenu kifle, priznala je da je zaboravila da pita.


155/262

5/16/2018


142 | S t r a n a

3. Jednačine

Ipak, rekla je majci da je u školi naučila kako da izračuna jediničnu cenu pomoću broja jedinica i ukupne cene. Kako je izračunala cene hleba i kifli? 5. Razlika kojih brojeva iznosi 12, a proizvod istih brojeva 493? 6. Soba je 6,6 m dugačka i 4,8 m široka. Obe strane ćemo jednako uvećati. Za koliko je potrebno uvećati obe strane tako da se površina sobe poveća za 5 m2? 7. Kompanija proizvodi košulje. Fiksni troškovi na nedeljnom nivou iznose 17,970 EUR, dok varijabilni troškovi iznose 4.95 EUR po košulji. Koliko košulji je potrebno prodati na nedeljnom nivou po ceni od 14,95 EUR po košulji da bi se ostvario profit od 8000 EUR? 8. Jedna strana pravougaonika je 20 cm duţ a od druge. Koliko je dugačka kraća strana, ako je površina 0,8 m2?


156/262

5/16/2018


S t r a n a | 143

3.2 Linearne jednačine


3. Equations 3.1 Use of Equations


Modelling

Normal Form

Forms

Solution

Solution

Solution

3.3 Quadratic Equations

Preduslovi:

Da biste savladali ovo poglavlje uz što manje poteškoća, potrebno je da posedujete osnovno znanje računskih operacija u cilju rešavanja i pojednostavljivanja izraza.

Ciljevi uĉenja:

Cilj ovog poglavlja nije samo da naučite kako da rešavate linearne jednačine, već i da proučite svojstva takvih odnosa. Linearne jednačine ćemo rešavati različitim metodama i diskutovaćemo o postojanju i jasnoći rešenja. Formulisanje i rešavanje jednačina su meĎu najvaţ nijim aktivnostima u primeni matematike. Linearne jednačine, jedan od najjednostavnijih odnosa, veoma su primenjive u praksi, posebno ekonomiji. Formulisanje jednačina i sistema


157/262

5/16/2018


144 | S t r a n a

3. Jednačine

jednačina je oblast od suštinskog značaja za primenu linerane algebre.

3.2.1 Normalan oblik linearne jednaĉine

Najjednostavnija polinomna jednačina je ona 1. stepena, tj. promenljiva x se javlja samo sa eksponentom 1. Ova jednačina se naziva linearna jednačina i ima najopštiji oblik:

NORMALAN OBLIK LINEARNE JEDNAĈINE Linearna jednačina najčešće ima oblik : a x b

0

gde su a 0 i b realni brojevi. Sledeći primeri se mogu iskazati u gore prikazanom standardnom obliku linearne jednačine.

PRIMERI 1. 2 x 12 2. 3.

5 1.3 y

6 x

2 x 12 0 1.3 y

22

261

261 x 6

4. 4 (2.5 6 y)

( 5

22)

0

0

4 y 8 7

172 y

62

0

Linearne jednačine u gore datom obliku zgodne su zbog toga što imaju tačno jedno rešenje. Primenom operacija o kojima smo diskutovali u poslednjem odeljku, dobijamo: a x b 0

a x

b

x

b a


158/262

5/16/2018


S t r a n a | 145


Poslednji korak se uvek moţ e obaviti nakon kombinovanja (linearnih) izraza sa promenljivom x na levoj strani i apsolutnim izrazima (bez promenljive) na desnoj strani.

PRIMERI 1. 2 x 3 5x 9 12 3

x

2 x 5x

9 3

3x

12

4

2. a x b c x d a x c x

x

3.

2 x 1 3

b d

b d a c

(a c) x

with a

(b d )

c

4( x 2)

Da bismo obavili gore pomenute operacije prvo je potrebno da jednačinu transformišemo u normalan primenjujemo pravilo razlomaka i zagrada: oblik. U tom cilju 2 x 1 12( x

2)

12 x

24

10 x

25

x

2.5

3.2.2 Rešenje Da bismo rešili linearnu jednačinu potrebno je da obavimo sledeće korake: Korak 1: Ukloniti sve zagrade ili razlomke na obe strane. Korak 2: Zdruţ iti istovetne izraze. Korak 3:Sabrati ili oduzeti tako da sve promenljive budu na jednoj strani, a apsolutne vrednosti na drugoj. Korak 4:Pomnoţ iti ili podeliti da biste izolovali nepoznatu promenljivu.


159/262

5/16/2018


146 | S t r a n a

3. Jednačine

Korak 5:U slučaju da je rezultat 0 = 0, onda je jednačina zapravo jednačina identiteta i rešenje vaţ i za sve realne brojeve x Korak 6:U slučaju da leva strana nije ista kao desna strana ili obrnuto, onda je prethodna jednačina nekonzistentna i bez rešenja. Korak 7:Konačno, uvek se preporučuje provera validnosti rešenja stavljanjem rešenja u početnu jednačinu. Ako je rešenje pravo, jednačina sa zamenjenim promenljivim je identitet.

PRIMERI 3 x 1.

2

4

3x 12 x

9 x

x

49

2 x

2( x

2

49 3( 9

4

Proveriti:

6 x

20

1 x 2

1 3

10

x

Proveriti: 1 4

20 3

3

2(10 3 1 6

x

49 9

55 12

55 12

3 5( x 1)

3x

6)

47 2

4) 1

2 x 2x 12 3x 3 5x 5

3.

12( x 4) 1

3x 2

4

3 x 2 12x 48 1

49 9

2.

1

3( x 4)

4 x 2 x 8 12

6)

30 3

3 5(10 1) 3

4 3

4 3

Ukoliko su neki od koeficijenata u jednačini razlomci, preporučuje se njihova transformacija zajedničkim imeniocem; zajednički imenilac u ovom slučaju je 12: 6 x 12

3 x

4 12

3 12

6

Proveriti:

1 2

x

2 12

x

2

2

1 3

multiplying by 12: 6 x 4

1 4

2

1 6

4 6

3x 2

4 6


160/262

5/16/2018


S t r a n a | 147


Linearne jednačine takoĎemogu da budu rezultat konverzije racionalnih razlomaka ili razlomačkih algebarskih iskaza. Kada se, meĎutim, promenljiva pojavi u imeniocu uvek moramo da proverimo koje vrednosti su isključene iz razloga što imenioci nikada ne mogu biti nula. Za standardni oblik linearnog polinoma: ax b nijedna vrednost se ne mora isključiti. Iskaz vaţ i za bilo koji realni broj x. Uporedite gornji iskaz sa: 2 x 3

x 1

1 iskaz nije definisan iz razloga što imenilac Zaključujemo da za postaje nula. Stoga, moramo da isključimo 1 . To izraţ avamo tako što pišemo: 2 x 3 za x 1

1

Jednačina: 2 x 3 x 1

5 gde je

1

moţ e se pomnoţ iti 2 x 3

( x

1) kako bi postala

sledeća linearna jednačina:

5( x 1)

Rešenje originalne jednačine glasi: 3 x

2

2 3

x

zato što ova vrednost nije isključena.

PRIMERI 1.

2 x

3

3 x

1

2

Vrednost 3 x 1 0 2 x 3 2(3x 1)

x

1 mora se isključiti. 3

2x 3 6x 2


4x

5

161/262

5/16/2018


148 | S t r a n a

3. Jednačine 5 4

x

5 4

Dakle 2.

1 3

6 x

3

2 x

1

rešava gornji iskaz.

2

Vrednost 2 x 1 0 6 x 3

2(2 x 1)

1 2

x

mora da se isključi.

6x 3

4x

2x 1

2

1 2

x

Izračunatu vrednost je potrebno isključiti. Dakle, gornja jednačina nema rešenje. 3.

3 x

2 1

x

2

Sada se obe vrednosti moraju isključiti. 3( x

2)

2( x 1)

1 0 3x

6

1 i

x 2x

2

2 x

0

x

2

8

Izračunata vrednost nije jednaka isključenim vrednostima; dakle 8 rešava originalnu jednačinu.


162/262

5/16/2018


S t r a n a | 149


VEŢBA 3.2:

LINEARNE JEDNAĈINE

Rešenja za ove veţ be moţ ete pronaći na stranama koje neposredno slede nakon ovih problema. Sastoje se od konačnog rešenja, što omogućava da uporedite svoj rezultat sa našim. Svesno smo odlučili da ne prikaţ emo preporučeni metod rada iz razloga što ţ elimo vas da podstaknemo da razmislite o alternativnim metodama ukoliko dobijete pogrešno rešenje. 1. Rešiti sledeće jednačine prikazom svih koraka, ali bez ukazivanja na operacije: a)

x 5

x 5

1

4

2

4

c)

6 x 1

b) 3( y 1) 7 y

e)

d) 5 z ( z 3) 1 0 4 (3 x 2) 2( x 3) 2 4( x 9)

f)

1 x

1

2

3

h)

2 x 1

2 3( x 1)

1 (x

x

1)

6

g)

2

3 x

1

2x

10

12

3x

6

1

2

2

5

7

3

3

2. Dati rešenje za sledeće jednačine kada je to moguće: a) c) e)

2 x

3

x

1

5 x x

5 3

2 x

b)

6 2

2 x

3

x

9 25 x

5

d)

5

3

6

1

x

3

2 x

2 4

x 2

x

2

3x

6

1

6 x 1

2x 1


163/262

5/16/2018


150 | S t r a n a

3. Jednačine

3. Izračunati pomoću digitrona sledeće do 3 decimalna mesta: a) b) c)

2.473( x 1.69) 12.04

3.12 2.4 x

2.86 x

16.412

2.12 x 1.775 4.211

23.45

1.33

3 7

13.2

8.54 x

(1.98 x 2.54)

0.004 x 12.14 0.072


164/262

5/16/2018


S t r a n a | 151


R EŠENJA 3.2:

LINEARNE JEDNAĈINE 16 3

b) e)

5

25

h)

11 8

2. a)

9 4

b)

66 10

d)

2

e) Nema rešenja

23.2438

b)

1. a) d) z g)

3. a)

1 2

c) f)

14

2 1 4

6.6

0.8727


c) Nema rešenja

c)

47.23

165/262

5/16/2018


152 | S t r a n a

3. Jednačine

3.2.3 Test napretka za ,,Linearne jednaĉine” Ovo je samotestiranje za ,,Linearne jednaĉine”. Potrebno je da izvojite odreĎeno vreme da biste koncentrisano uradili ovaj test. Pokušajte da rešite što više problema. Nemojte da koristite ovaj udţ benik da biste pronašli rešenje. Cilj ovog testa je da dobijete povratnu informaciju o tome koliko znate ili koliko ste do sada naučili. Rešenja problema se nalaze na kraju poglavlja. Svako rešenje je svedeno na konačan odgovor; to moţ e biti samo jedan broj, simbol, tabela ili grafik. Potrebno je da proverite svoja rešenja. Ako su tačna, moţ ete da nastavite poglavlje. U bilo kom drugom slučaju (vaše rešenje jei započnete pogrešno sledeće ili nemate rešenje) potrebno je da se vratite na odgovarajući deo u udţ beniku koji treba da ponovite kako biste savladali tematiku poglavlja. 1. Rešiti jednačinu i eksplicitno obeleţ iti operacije koje je potrebno primeniti: a) 3( x 1) 7

b) 4( x 1) 2 x 4

d) 3 4 z 11

e)

7 (3 x 1)

c)

2 x 3

4

5 (x 1)

2. Rešiti jednačine bez ukazivanja na pojedinačne operacije: a)

x

c)

3 x

x

5 4

5

1

2 1

4

2x

10

b) 3( y 1) 7 y

2

2

5

3. Koje vrednosti morate da isključite kao potencijalno rešenje? Postoje li druga rešenja? a) c)

3 x

2 1

2 x

3

3 x

1

x

2

2; x

; x

1; 2

b)

6 x

3

2 x

1

2; x

1 2

1 3


166/262

5/16/2018


S t r a n a | 153


4. Rešiti jednačine, ukoliko je to moguće: a) b)

2 x x

1

5 x 5

x

c)

3

3 2 x 1

6; x 2 4

1 25

x

5

; x

6 x 2x 1

; x

5 1 2

5. Dik je 7 godina stariji od Ane. Koliko oni imaju godina, ako zbir njihovih godina čini polovinu godina njihove bake koja ima 66 godina? 6. Dva ugla trougla su jednaka, a treći ugao je tri puta zbir druga dva. Koliki su uglovi? (Zbir tri ugla u trouglu je uvek 180°.)


167/262

5/16/2018


154 | S t r a n a

3. Jednačine

3.3 Kvadratne jednačine

3. Equations 3.3 Quadratic Equations

3.1 Use of Equations


Modelling

Normal Form

Forms

Solution

Solution

Solution

Preduslovi:

Jednačine kojima ćemo se baviti u ovom poglavlju nešto su sloţ enije. Imajući to u vidu, rešavanje kvadratnih jednačina zahteva iskustvo u radu sa eksponentima i kvadratnim korenima.

Ciljevi uĉenja:

Kvadratne jednačine često se javljaju kao nusproizvodi prilikom rešavanja matematičkih problema. Od suštinske vaţ nosti je stoga da umete da ih rešite. Ako ne uspete da pronaĎete rešenja za njih (kvadratne jednačine), ne moţ e se očekivati da ćete moći da rešite originalan problem.


168/262

5/16/2018


S t r a n a | 155


3.3.1 Oblici kvadratnih jednaĉina Sledeća jednačina je polinom 2. stepena.

STANDARDNI OBLIK KVADRATNE JEDNAĈINE Kvadratna jednačina je polinom 2. stepena oblika: a x2

b x c

0

gde su realni brojevi a,b,c i a 0 S obzirom da se javljaju gotovo isto tako često kao linearne jednačine, ţ eleli bismo da ukratko prodiskutujemo o ovoj vrsti jednačina. Naša primarna briga odnosi se na njihovo rešavanje. Da bismo započeli proces rešavanja nastavićemo kao kod linearnih jednačina i u osnovi svih jednačina koje ţ elimo da rešimo: transformacija u standardni oblik. To znači, primenjujemo algebarske iskaze i rasporeĎujemo istovetne izraze doĎemo do oblika datog ovog gore. Potrebne operacije su iste kaodok u ne našoj diskusiji na početku poglavlja.

PRIMERI 1.

2 x 2

3( x

2 x 2

3x 6 4

2)

4

(1 2 x) ( x 1)

x 1 2 x2

4

2x 4

4 x 2 2 x 7 0

Standardni oblik: a = 4; b = −2; c = −7 2.

4 x 1 2 x 3

x 1

Kao što je detaljno diskutovano: 2 x 3 0 4 x 1 x 1 2 x 3

4 x 1 (2 x 3) ( x 1)


x 2 x2

3 2

x 3

169/262

5/16/2018


156 | S t r a n a

3. Jednačine 2 x2

4 x 1

x 3

2 x2

5x

4

0

Standardni oblik: a = 2; b = −5; c = −4

3.3.2 Rešenje Na sreću, znamo unapred da kvadratne jednačine mogu da imaju dva, jedno ili nijedno rešenje. To je zbog fundamentalnog svojstva polinoma koje dozvoljava najviše onoliko realnih rešenja koliko navodi njihov stepen. Hajde sada da vidimo kako ćemo da rešimo kvadratnu jednačinu. Čim napravimo standardni oblik, postoji nekoliko načina da konačno odredimo rešenja, u zavisnosti od vrednosti parametara a, b, i c.

Sluĉaj:

b=0

Standardni oblik se skraćuje na: a x 2 c 0 Izolovanjem promenljive x na levoj strani dobijamo:

2

c a

Znamo da a 0 ; meĎutim, rešenje suštinski zavisi od znaka desne strane: Za

c a

dobijamo dva rešenja računanjem kvadratnog korena:

0

c 1/2

a

Za c = 0, imamo samo jedno rešenje, naime: x = 0 Za

c a

0

nemamo realno rešenje.


170/262

5/16/2018


S t r a n a | 157


PRIMERI Rešiti sledeće kvadratne jednačine. 1. 2 x 2 4 0 2.

5 x 2 2

2x 5 4

x2 x 2

4

2 x x 2

Sluĉaj:

3

x

3 0

2

x1/2 5x2

2x

2x

25 4

5 2

3. ( x 2) 2 3 6

4.

2

25

x

x 2

4 2

3 x1 1

(x

2) 2

2 3 1; 2x

x1/2

(x

9

(x

x2

3) ( x

2 3 1)

x2

2)

9 5

2x

3

por

3

3

c=0

Standardni oblik se skraćuje na: a x2

b x

0

U ovom slučaju, moţ emo da izvučemo faktor x izvan zagrade: (a x b) 0 Proizvod moţ e biti nula ako i samo ako je jedan od faktora na levoj strani nula. Dakle, ili 0 ili a x b 0 . Ova dva uslova proizvode dva rešenja: 1

0 i

2

b a


171/262

5/16/2018


158 | S t r a n a

3. Jednačine

PRIMERI Rešiti sledeće kvadratne jednačine. 1. 2 x 2 4 x 0 2.

x2

2x 4

x 2

2x

1

3.

2 5

0; x2

2 x 3 x 3

za 2

x

2 x ( x 2) 0 x 2

4 5

0

x

x2

5 x x

0; x2

x1 2x 4

8 5

2 5

2

x 4

0

8 5 1

2x

3

(x

3) ( x

1)

x2

4x

3

3

6 x 0

x ( x 6) 0

x1

0; x2

6

Sluĉaj: a, b, i c ≠ 0 U ovom slučaju imamo standardni oblik bez specijalnog uslova. Sada moţ emo da diskutujemo o dva pod-slučaja, koji se uče širom sveta.

PAŢNJA Uvek je dobro drţ ati se metoda ili formule koje ste naučili u školi. a,b,c oblik ili ste moţ da naučili Moţ oblik da preferirate p,q . Rezultatitakozvani su isti; razlika je samo u prvom koraku.


takozvani

172/262

5/16/2018


S t r a n a | 159

3.3 Kvadratne jednačine A,B,C-OBLIK

Rešenja kvadratne jednačine u standardnom obliku a x 2 b x c 0 su: b2

b 1/2

4a c

2a

Radikand korena se naziva diskriminanta: D

b2

4a c

Njen znak odreĎuje broj rešenja. b2

b

Ako je

D

0

imamo dva rešenja:

Ako je

D

0

imamo jedno (dvostruko) rešenje:

Ako je

D

0

nemamo realno rešenje.

1/2

4a c

2a b 1 2

2a

PRIMERI Rešiti sledeće kvadratne jednačine. 1. 2 x 2 2 x 4 0 2 6 4

1/2

2.

5 x 2

5 x

2

2x

3 2 3 2

1/2

x

x1

x 2

25 9 4

10

2

x1/2

500

2

2 2

1; x2

5x2

25

0

4 4 2 ( 4)

x1/2

x1

36 4

2

x 2

2x 3 2

9 4

25 4 ( 5) 25

2 ( 5) 2.09;

x2


2.39

173/262

5/16/2018


160 | S t r a n a

3. Jednačine

3. 2 x 2 6 x 15 0

x1/2

6

36 4 2 15 2 2

S obzirom da je diskriminanta D 36 90 realno rešenje ove jednačine. 4.

2 x 7 x 3 2

x 1

4 x 4

2x 7

0

x1

( x 3) ( x 1)

( 4) 2

x2

54 0 , ne postoji

2 x 3; x

16 4 1 4 2 1

3

2

S obzirom da je diskriminanta D 16 16 0 , postoji samo jedno (dvostruko) rešenje ove jednačine. P,q-oblik

se neznatno razlikuje od prethodnog oblika. Razlika se javlja zbog varijacije kvadratne jednačine. Ako podelite standardni oblik a x 2 b x c 0 koeficijentom a kvadratnog izraza, gde se pretpostavlja da je a 0 ; dobijamo: 2

b a

x

c a

0

x2

p x q

0

Rezultat ove transformacije se često naziva normalnim oblikom.

NORMALNI OBLIK KVADRATNE JEDNAĈINE Normalni oblik kvadratne jednačine je: 2 p x q 0

Obratite paţ nju da je koeficijent ispred kvadratnog izraza +1. Ne postoje dodatna ograničenja u vezi druga dva koeficijenta p i q.


174/262

5/16/2018


S t r a n a | 161


Koristeći ovaj normalan oblik moţ emo da primenimo takozvanu p,qformulu: P,Q-FORMULA

Rešenja kvadratne jednačine u normalnom obliku 1/2

p 2

2

p x

0 su:

q

2

p 2

q

p 2 D

Diskriminanta sada postaje:

q

4

Njen znak odreĎuje broj rešenja: Ako je D 0 imamo dva rešenja:

p 2

1/2

Ako je D 0 imamo jedno dvostruko rešenje:

1 2

2

p 2

p 2

q

Ako je D 0 nemamo realno rešenje.

PRIMERI Rešite sledeće kvadratne jednačine, koje su sasvim iste jednačine kao one koje su rešavane u prethodnim primerima. Ipak, pre nego što primenimo p,q – formulu jednačinu moramo da transformišemo u normalan oblik: 1. 2 x 2 2 x 4 0 1 2

1/2

2.

5 x 2 2

5 x

2x 3 2

x2

( 12 )2 x 2

x 2

( 2)

25 2

x

x1/2

25 3 20

0

x 9 400

5

0 (normalan oblik)

1 2

9 4

5x2

2x

3 10

x 5

x1

x1 1; x2 x 2

2

25

0

2.09; x2


2.39

175/262

5/16/2018


162 | S t r a n a

3. Jednačine

3. 2 x 2 6 x 15 0

x2

3x 5

0

S obzirom da je diskriminanta D realno rešenje ove jednačine. 4.

2 x 7 x 3

za 2

x 1

2x

3 2

x1/2 9 4

11 4

5

7

(x

3) ( x 1)

2

2

4 4

x2

9 4

5

0 , ne postoji 2x

3

3 4 x 4 0

x1

2

S obzirom da je diskriminanta D 4 4 0 , postoji samo jedno (dvostruko) rešenje ove jednačine.


176/262

5/16/2018


S t r a n a | 163


VEŢBE 3.3:

K VADRATNE JEDNAĈINE

Rešenjaovih za ove veţ be moţ ete pronaći na stranama koješto neposredno slede nakon problema. Sastoje se od konačnog rešenja, omogućava da uporedite svoj rezultat sa našim. Svesno smo odlučili da ne prikaţ emo preporučeni metod rada iz razloga što ţ elimo vas da podstaknemo da razmislite o alternativnim metodama ukoliko dobijete pogrešno rešenje. 1. Transformisati sledeće u standardni oblik kvadratne jednačine: a)

2 x2 (2 x 1) x ( x 12) 0

b) 3 x ( x 2) 6( x 7)

c)

(2 x)2

d)

4 x ( x 1)2

( x 1)2 ( x 2)2 10

2. Rešiti sledeće jednačine izvlačenjem korena: 2

2

a)

4 x

49

c)

(3 x 2)2 16

e)

7 x2 4

5 x

b) d)

2x

( x 8)

4

x 2

25

4(2 x 9)

4

3. Rešiti sledeće jednačine koristeći a,b,c- formulu: a) 3 x2 4 x 2 3 c) 2 x2 6 x 1 0 e)

2

3 x 4

0

b) ( x 2)2 6 x 0 d) 4 20 x 4x2 0 f)

( x 1)2 ( x 3)2

3

4. Rešiti jednačine date u problemu 3 primenom p,q-formule.


177/262

5/16/2018


164 | S t r a n a

3. Jednačine

5. Transformisati sledeće jednačine u cele racionalne iskaze. Prema kojoj vrednosti x je jednačina definisana? 1

a)

2

x

c)

1

x

x 3 x

1 3

b)

4

6

2

d)

0

x 1

1 x

12

x 2

9

x 1

x 1

6. Rešiti sledeće jednačine; obratiti paţ nju na validnost rešenja: a) c) e)

2 x

1

2

x 3 x x

x

2

4

0

x 1

6 2

2

2

2( x

x

1

x

2

g) x

x 2 x 2

x 2

d)

2

1

x

x 1

b)

1) 1

0

2

4

x

1

f)

x 1

10 1

1 x

0

x

5

1 2

6

1 2

x

2


178/262

5/16/2018


S t r a n a | 165


R EŠENJA 3.3:

K VADRATNE JEDNAĈINE 2

1. a) c) 2. a)

2

4 x

2 x 12

0

2 x 2

6x 5

0

1/2

c)

2 3

b) d)

b) c) d)

6x 5 0

1/2

4 3

d)

1/2

2.12;

1

9.5826;

1

2 x 2

b)

1

1

42

7 2

e) 4 20 x 4x 2 3. a)

3 x

6

0.7863 0.4174

2

0.1926;

20

0

2

0.1771;

0

2.8229

2

5.1926

2

e) Nema realnog rešenja f) 1 1.229; 2 2.7071 4. a)

1

2.12;

0.7863

2

b) 1 9.5826; 2 0.4174 c) 1 0.1771; 2 2.8229 d) 1 0.1926; 2 5.1926 e) Nema realnog rešenja f)

1

1.229;

2.7071

2

5. a) Definisano za b) Definisano za c) Definisano za

1, x 0

0 x

3

x2

10 x 3

x2 16 x 1

0

x2

3

1


0

0

179/262

5/16/2018


166 | S t r a n a

3. Jednačine

d) Definisano za 6. a) b)

1

4.8284; x2

x2

9

0

0.8284

2

c)

1

1; x2

d)

1

4.2446; x2

e) f) g)

1

3 0.6731

6

4; x2 1

1

1


180/262

5/16/2018


S t r a n a | 167


3.3.3 Test napretka za ,,Kvadratne jednaĉine” Potrebno je da izvojite odreĎeno vreme da biste koncentrisano uradili ovaj test. Pokušajte da rešite što više problema. Nemojte da koristite ovaj udţ benik da biste pronašli rešenje. Cilj ovog testa je da dobijete povratnu informaciju o tome koliko znate ili koliko ste do sada naučili. Rešenja problema se nalaze na kraju poglavlja. Svako rešenje je svedeno na konačan odgovor; to moţ e biti samo jedan broj, simbol, tabela ili grafik. Potrebno je da proverite svoja rešenja. Ako su tačna, moţ ete da nastavite i započnete sledeće poglavlje. U bilo kom drugom slučaju (vaše rešenje je pogrešno ili nemate rešenje) potrebno je da se vratite na odgovarajući deo u udţ beniku koji treba da ponovite kako biste savladali tematiku poglavlja. 1. Transformisati u standardni oblik: a) 2 x 2 3( x 2) 4 (1 2 x) x 1 b)

4 x

1

2 x

3

3

x

1; x

2

c) (2 x) 2 4 x ( x 1) 2 2. Rešiti jednačine pronalaţ enjem korena: a) 4 x 2 49 c)

( x 8)

b)

(3 x

2) 2

16

4(2 x 9)

3. Transformisati u normalni oblik: a) 3 x 2 4 x 2 3 b)

( x

c)

20 x

2) 2 4 x2

6x

0 4


181/262

5/16/2018


168 | S t r a n a

3. Jednačine

4. Rešiti pomoću a,b,c-formule:

2

a) b)

2 x 6x 1 0 2 3 x 5 x 7 0

c)

2( x 1) 2

(2 x 1) 2

25

5. Rešiti pomoću p,q-formule: a) 2 x 2 4 x 16 b)

2

c)

3 x 2

3 x 2

1 0

2( x 1) 7

0

6. Odrediti broj rešenja izračunavanjem diskriminante: a)

4 x 2 11x

b) c)

3 x 2 x 2 5

4

0

2

2x 5 0 x 85 0


182/262

5/16/2018


3.5 Answers to Progress Tests

Pa


3.4.1 Rešenja za test napretka ,,Upotreba jednaĉina” Potrebno je da proverite svoja rešenja. Ako su tačna, moţ ete da nastavite i započnete sledeće poglavlje. U bilo kom drugom slučaju (vaše rešenje je pogrešno ili nemate rešenje) potrebno je da se vratite na odgovarajući deo u udţ beniku koji treba da ponovite kako biste savladali tematiku poglavlja. 1. Brojevi su 31, 33, i 35. 2. Ana ima 25 godina, a njena majka 55 godina. 3. 11 stolica i 4 stola 4. Jedna kifla košta 30 centi, dok hleb košta 1,50 EUR. 5. 17 i 29 6. Pribliţ no 0,423 m 7. 2597 košulja 8. Kraća strana je duga 80 cm, a duţ a strana 100 cm.


183/262

5/16/2018


170 | S t r a n a

3. Jednačine

3.4.2 Rešenja za test napretka za ,,Linearne jednaĉine” Potrebno je da proverite svoja rešenja. Ako su tačna, moţ ete da nastavite i započnete sledeće poglavlje. U bilo kom drugom slučaju (vaše rešenje je pogrešno ili nemate rešenje) potrebno je da se vratite na odgovarajući deo u udţ beniku koji treba da ponovite kako biste savladali tematiku poglavlja. 1. a)

10 3

e) 2. a)

b)

0

c)

6

b)

5

c)

25

d)

9 4

1 16 3

3. a) b) Nema drugog rešenja 8 c) Jednačina je nekonzistentna 4. a)

9 4

b) Nema rešenja

c) Nema rešenja

5. Dik ima 20 godina, Ana ima 13 godina. 6. Dva manja ugla imaju po 22,5°, dok veći ima 135°.


184/262

5/16/2018


S t r a n a | 171


3.4.3 Rešenja za test napretka za ,,Kvadratne jednaĉine” Potrebno je da proverite svoja rešenja. Ako su tačna, moţ ete da nastavite i započnete sledeće poglavlje. U bilo kom drugom slučaju (vaše rešenje je pogrešno ili nemate rešenje) potrebno je da se vratite na odgovarajući deo u udţ beniku koji treba da ponovite kako biste savladali tematiku poglavlja. 1. a)

4 x 2

4x 3

0

c)

2 x 2

6x 5

0

2. a)

2 x 2

5x

2

b)

7 2

c)

4

0

4

0

4 3

3

3. a)

2

4 x 3

c)

2

5 x 1 0

4. a)

b)

5 3

0.177; x2

1

b)

0

2.823

2

b)

1

b)

1

10 x

0.907; x2

2.573

c) Nema rešenja sa realnim brojem 5. a)

1

c)

1

4; x2

2

2.097; x2

6. a) D > 0 b) D < 0 c) D = 0

2; x2

1 2

1.43

Dva rešenja Nema rešenja sa realnim brojem Jedno dvostruko rešenje


185/262

5/16/2018


172 | S t r a n a


3. Jednačine

186/262

5/16/2018


S t r a n a | 173

4.1 Svojstva funkcija

4. Osnovne funkcije Elementary Algebra, Financial Mathematics, Calculus and Statistics

n e m a l e b r E e : g 1 A . y l o r a V t

Preduslovi:


3. Equations

4. Basic Functions

Diskusija o funkcijama zauzima vaţ no mesto u matematici. U prethodnim poglavljima smo naučili ,,vokabular” i ,,gramatiku” matematičkog jezika, a sada ćemo, na tim temeljima, primeniti ovaj jezik. Za to nam je potrebno razumevanje osnovnog koncepta jednačina i pravila kojima se rukovode. Isto tako vaţ no će biti postavljanje i rešavanje jednačina.


187/262

5/16/2018


174 | S t r a n a

4. Osnovne funkcije

Ciljevi uĉenja:

U svetlu značaja koje imaju u matematici, u ovom odeljku se daje opšti uvod u funkcije i njihovu primenu. Zatim će se govoriti o linearnim i kvadratnim jednačinama. Iako su sa matematičkog stanovišta ovo najjednostavnije funkcije, one su veoma vaţ ne u praksi za ekonomiju i poslovanje.

U svakodnevnom ţ ivotu često se susrećemo sa glagolom ,, funkcionisati”. Kada okrenemo ključ i na taj način pokrenemo motor svog automobila, moţ emo reći da motor pokretač dobro funkcioniše. Kada upalimo svetlo i na taj način zaključujemo da prekidač funkcioniše. Slično tome, mogliosvetlimo bismo rećisobu da jedna organizacija funkcioniše ako sve ide po planu. U svakom gore navedenom slučaju kaţ emo ,,funkcioniše” kada akcija vodi očekivanoj i ţ eljenoj reakciji. Ukoliko ţ elimo matematički da opišemo akcije i reakcije, paljenje automobila ili svetla nisu posebno interesantni primeri s obzirom da su zasebni dogaĎaji. Uzmimo, meĎutim, kao primer račun za komunalne usluge gde konačan iznos direktno zavisi od upotrebe. U ovom slučaju akcija upotreba, broj a reakcija iznos prikazan na fakturi; stoga, postoji gotovo jebeskonačan mogućih odnosa: Akcija

Reakcija

Obe strane ovog odnosa mogu se opisati upotrebom brojeva. Iz toga sledi da matematika moţ e efikasno da posluţ i kao jezik kojim se opisuju zavisnosti izmeĎu upotrebe i računa. Ovo je zapravo jedan od glavnih koncepata u matematici: opisati odnose izmeĎu faktora uticaj jednačina. jedan na drugog, i pravila koja odreĎuju kako se taj uticajkoji vrši,vrše pomoću Jednačinom se navodi relacija izmeĎu različitih promenljivih. Ukoliko ţ elimo da opišemo reakciju faktora (datog promenljivom, recimo y) na akciju nekog drugog faktora (izraţ enog drugom promenljivom, recimo x), mogli bismo da napišemo: Action x

Rule or Relation

Reaction y

Vrednosti akcije se biraju iz niza realnih brojeva, nazvanog domen relacije. Pravilo proizvodi drugi niz brojeva – obično takoĎe realni brojevi – koji se naziva podruĉje.


188/262

5/16/2018



S t r a n a | 175

U matematici se relacija izmeĎu različitih promenljivih naziva ,,funkcija ”. Funkcije čine ključni ,,vokabular” u jeziku ,,matematika”, zato što se praktično sve zavisnosti od realnih problema moraju opisati u smislu funkcija kako bi se primenila matematika na njihovo rešavanje. Odnosno, model se u suštini sastoji od niza funkcija. Ako ţ elimo da koristimo modele moramo da znamo šta da radimo sa njima. Gotovo sve u matematici je vezano za koncept funkcija. Ipak, to ne znači da moramo da naučimo sve o njima. Na sreću, lako se moţ emo ograničiti na najosnovnije funkcije, njihovo predstavljanje, njihova svojstva, i njihovu upotrebu. Sledeći metodološki pristup prva dva poglavlja, počećemo od opštih svojstava funkcija pre nego što produţ imo da istraţ imo linearne funkcije i kvadratne funkcije, koje su veoma korisne za opisivanje ekonomskih odnosa. Ipak, pre nego što počnemo da govorimo o specijalnim funkcijama, hajde da prodiskutujemo o tome kako moţ emo da predstavimo sadašnje funkcije. Na raspolaganju su nam tri opcije: Tabela vrednosti Grafik Algebarska jednačina Koje su prednosti i nedostaci različitih koncepata reprezentacije? Hajde da kratko prodiskutujemo o njima kroz primer računa za struju: Pretpostavka je da postoji fiksni mesečni trošak od 15 EUR za nabavku instalacija i strujomera. Pored toga, za svaki kWh (kilovat-sat, jedinica kojom se meri upotreba električne energije) potrebno je da platimo 0,11 EUR = 11 centi.


189/262

5/16/2018


176 | S t r a n a

4. Osnovne funkcije

TABELA VREDNOSTI Da bismo predstavili zavisnosti izmeĎu upotrebe i troškova, moţ emo da napravimo tabeluhajde kojomdaje predstavljen raspon upotreba. Radi jednostavnosti, počnemo sacelokupan 200 kWh, povećavajući ovu vrednost za po 10 kWh do konačnih 310 kWh. Za svaku vrednost upotrebe računamo trošak i predstavljamo rezultat na listi sa parovima brojeva: Upotreba [kWh] Trošak [EUR] 200 210

37.00 38.10

220

39.20

230

40.30

240

41.40

250

42.50

260

43.60

270

44.70

280

45.80

290

46.90

300

48.00

310

49.10

Tabela 4.1: Tabela vrednosti funkcije

Leva kolona sadrţ i niz promenljivih (akcija) vrednosti koje će biti modifikovane u odreĎenom domenu – obično sa fiknim veličinama. Veličina (skala) se mora odrediti tako da odgovara svrsi u koju će se tabela koristiti. Desna kolona sadrţ i zavisne (reakcija) vrednosti. Ovaj niz se naziva podruĉje tabele vrednosti. Liste sa parovima vrednosti poput ove široko se upotrebljavaju u mnogim situacijama u realnom ţ ivotu. Cenovnici, liste stanja na računu, cene akcija, kursne liste, temperaturne liste, itd. su sve tabele vrednosti ove vrste. One su zasigurno najrasprostranjeniji vid predstavljanja funkcija, i


190/262

5/16/2018



S t r a n a | 177

zaista ne postoji bolji način da se predstavi jedna empirijska funkcija. Program za tabelarna izračunavanja, kao što je Excel, posebno je razvijen za rad sa funkcijama u formi tabela. Njihovo postojanje i raspon implementiranih operacija jasan je dokaz praktičnog značaja tabelarne reprezentacije funkcija.

GRAFIK FUNKCIJA Moţ emo da izaberemo apscisu Kartezijanskog koordinatnog sistema da bismo obeleţ ili jednu promenljivu vrednost – obično vrednost koja će nezavisno varirati, tj. promenljivu akcije (u ovom slučaju upotreba). MeĎutim, pre nego što obeleţ imo tačke moramo da odredimo domen funkcije. Drugim rečima, moramo da izaberemo najniţ e i najviše nezavisne vrednosti za koje ţ elimo da predstavimo funkciju. Zavisna vrednost (u ovom slučaju trošak prikazan na računu) moţ e se zatim obeleţ iti na drugoj koordinati (koja se naziva ordinata). Ponovo, prvo moramo da odredimo podruĉje reprezentacije, tj. raspon vrednosti funkcije koje je potrebno predstaviti. Generalno, najniţ e i najviše moguće vrednosti odreĎuju područje funkcije. Svaki par vrednosti predstavlja taĉku u koordinatnom sistemu (pogledati Sliku 4-1). Ako poveţ emo tačke, dobijamo krivu – u slučaju naših računa za struju, prava linija – koja se naziva grafik funkcije. Povezivanje tačaka znači popunjavanje informacija za 11 različitih tačaka interpolacijom. Sada moţ emo da pročitamo račun za struju za svaku vrednost upotrebe izmeĎu 200 i 310 kWh. Grafička reprezentacija je ograničena na funkcije sa samo jednom nezavisnom apscisi. Ordinata je rezervisana zavisne informacije. promenljivom Shodno tome, na krive se mogu predstaviti samo uzaravni, tj. samo za funkcije sa jednom promenljivom. MeĎutim, poprilično je očigledno da funkcije u realnom ţ ivotu obično zavise od više od jednog faktora.


191/262

5/16/2018


178 | S t r a n a

4. Osnovne funkcije

c [€] 51

49 l l i b y t i c i r t c e l E

47

45

43

41 39

37

35

200

210

220

230

240

250

260

270

280

290

300

310

u [kWh]

Usage of electricity

Slika 4-1:

Grafik funkcije

Sa druge strane, grafik funkcije je daleko najlakša reprezentacija za razumevanje zato što posmatrač takvog grafika odmah vidi sve informacije koje su relevantne za meĎusobni odnos. Odmah uočavamo da li se funkcija povećava ili smanjuje. Maksimalne ili minimalne vrednosti je lako identifikovati, a mnoga druga svojstva kao što su nulte tačke, simetrija ili kontinuitet postaju očigledni. Grafici funkcija se stoga često koriste na predavanjima.

ALGEBARSKA JEDNAĈINA GRAFIKA Najapstraktniji oblik reprezentacije funkcije je algebarska jednačina. Ako se vrednost nezavisne akcije opiše (nepoznatom) promenljivom x, a reakcija takoĎe promenljivom y, onda se ,,funkcionisanje” izmeĎu dve (ili više) promenljivih u najopštijem obliku moţ e napisati kao: f ( x )

Promenljiva x se definiše u nizu vrednosti koji se zove domen funkcije f ( x).


192/262

5/16/2018



S t r a n a | 179

Promenljiva y na levoj strani opisuje reakciju, tj. meru za koju smo zainteresovani. Naziva se zavisna promenljiva, iz razloga što menja svoju vrednost modifikacijom akcije promenljive. Obično se smatra da zavisnu promenljivu treba izolovati na levoj strani jednačine. Ipak, ovo je stvar meĎunarodne strandardizacije. Niz vrednosti zavisne promenljive y naziva se podruĉje funkcije f ( x). Desna strana je obično algebarski iskaz koji koristi nezavisnu promenljivu x ili – ako vrednost y zavisi od više od jedne varijable – nekoliko promenljivih 1 , x2 ,... . Jednačina se, meĎutim , moţ e samo xnapisati ako je meĎusoban odnos izmeĎu promenljive i njenogovim uticajaizrazima na promenljivu y poznat i moţ e se opisati algebarskim iskazima. U našem primeru iznos računa za struju čine fiksni troškovi, 15 EUR, a varijabilni troškovi 0,11 EUR po jedinici, što znači da će za x jedinice promenljivog dela troškova iznositi 0.11 x . Dva dela zajedno čine ukupni trošak, tj. jednaki su y, funkciji koja opisuje odnos izmeĎu upotrebe i mesečnog računa. f ( x)

0.11x 15

Oblik jednačine je ta matematička reprezentacija. Ako ţ elimo da primenimo matematiku da bismo analizirali problem prvo moramo da poznajemo matematičku reprezentaciju funkcije. Koristili smo izraz ,,modelovanje” da opišemo prevoĎenje realnog problema na jezik koji nam omogućava da primenimo matematiku. Ovaj proces prevoĎenja je ključ za praktično svaku matematičku primenu. Mnoge bankarske aplikacije direktno se oslanjaju na funkcije. Na primer, vremenska vrednost novca moţ e se savršeno predstaviti eksponencijalnim funkcijama. Realni problemi u ţ ivotu se, meĎutim, ne mogu uvek precizno opisati u smislu algebarske jednačine. Ponekad je moguće raditi sa dobrom matematičkom aproksimacijom – kao što je to slučaj u statistici, na primer. U drugim slučajevima, moţ da moramo da ograničimo svoje matematičko modelovanje na odreĎene pretpostavke. Ove pretpostavke zatim postaju vaţ an deo modela.


193/262

5/16/2018


180 | S t r a n a

4. Osnovne funkcije


4. Basic Functions 4.1 Properties of Functions 4.2 Linear Functions

4.3 Quadratic Functions

Graph

Graph

Properties

Properties

Preduslovi:

Pored osnova algebre, ne traţ e se nikakve posebne veštine. Ipak, od pomoći je opšte razumevanje uloge koordinatnog sistema, koji će se koristiti za grafičko prdstavljanje funkcija.

Ciljevi uĉenja:

U ovom odeljku bi trebalo da steknemo opšte razumevanje – to znači bez razmišljanja o specijalnim funkcijama – svojstava funkcija.


194/262

5/16/2018


S t r a n a | 181


4.1.1 Karakteristike grafika Da bismo bili u poziciji da bolje razumemo funkcije i umemo da ih primenjujemo, sasvim je logično da moramo da naučimo više o njihovim svojstvima. O njima će se govoriti u narednim odeljcima. X-PRESECI I Y-PRESEK FUNKCIJE

Da bismo analizirali funkciju bez predstavljanja same funkcije na grafiku, vaţ no je identifikovati najvaţ nije tačke i protumačiti ih. Tačke gde grafik seče x-osu nazivaju se nulte taĉke, ili jednostavno nule, funkcije. Tačka preseka na y-osi naziva se y-presek . Funkcija seče x-osu kada je y = 0. Funkcija seče y-osu kada je x = 0. Da bismo pronašli tačke preseka na osama potrebno je da zamenimo nulu promenljivima y i x, tim redosledom, u funkciji. Supstitucija uvodi dve jednačine – takozvane uslovne jednaĉine. Njihovo rešenje (rešenja) su relevantne tačke.

y

f ( x)

y0

a

Slika 4-2:

c

b

Preseci funkcije


195/262

5/16/2018


182 | S t r a n a

4. Osnovne funkcije

Y-PRESEK

Obično je relativno lako pronaći y-presek. Pre svega, moţ ete da primetite da postoji samo jedan y-presek. U suprotnom bi odnos izmeĎu akcije promenljive i reakcije promenljive bio dvosmislen i ne bi mogao da bude matematička funkcija. Postavljanjem x = 0 u funkciji dolazimo do uslovne jednačine: f (0)

Ovo je jednačina sa samo jednom promenljivom y. Njeno rešenje je presek 0 koji traţ imo (pogledati: Slika 4-2). Postavljanjem x = 0 u funkciji, u mnogim slučajevima – na primer u svim polinomnim funkcijama – y-presek je jednostavno konstantan izraz.

PRIMERI Pronaći y presek sledećih funkcija: 1.

2 x 2 10 x 3 f (0)

3

Funkcija seče y osu u tački y = 3. 2. 2 x y 3( y x 2 ) (0) 3 y

8

2(0) y 3( y 02 ) 8

y

8

8 3

Funkcija seče y osu u tački 3.

8. 3

2 x 2 8 (0)

8

Koren negativnog broja je imaginaran broj. To znači da funkcija nema y presek.


196/262

5/16/2018


S t r a n a | 183


4.

2

x 4

1

y2 0

4 2

i

4, 4

2

Dobijamo dva rešenja . Dakle, relacija nije funkcija u

(0)

2

4

matematičkom smislu. X-PRESECI (NULTE TAĈKE)

Preseci funkcije na x-osi se nazivaju nulte taĉke ili nule (ponekad takoĎe koreni; pa ipak, da bismo izbegli konfuziju zbog ,,korena broja” (pogledajte: odeljak 2.2.3; strana 80) ovaj termin nećemo koristiti u ovom udţ beniku. Postavljanjem y = 0 u funkciji dobijamo uslovnu jednačinu:

0

f ( x )

Ovo je jednačina sa samo jednom promenljivom x. Njena rešenja su preseci koje traţ imo (pogledati: Slika. 4-2). Moţ ete da primetite da broj nula moţ e biti nijedna, jedna, više od jedne, ili zaista beskonačno. Prava linija koja nije paralelna x-osi ima jednu nulu. Parabola moţ e da nema nijednu nulu ili ima jednu ili dve nule. Sinfunkcija ima beskonačno nula. Na Slici 4-2 funkcija ima tri nule u tački x = a, b, i c, pomenutim redosledom.

PRIMERI Pronaći nulte tačke sledećih funkcija: 1. f ( x) 2 x 7 ( x) 0 : 2 x 7 0

Ova funkcija seče 2.

( x)

x1/2

4x 4

0 : 2x 2

4x 4

1

7 2

osu u tački

2x2

g ( x)

7 2

x

1 2

Funkcija ima nulte tačke u

x2

1 1/2

.

2x 2

0

3 1

3.


197/262

5/16/2018


184 | S t r a n a

3.

4. Osnovne funkcije

x2 4

h( x ) h( x)

0:

x2

4

x2

4

Ova funkcija nema nijednu realnu nulu; stoga funkcija ne seče osu.

GRADIJENT FUNKCIJE Za razliku od pravih linija koje imaju konstantan gradijent (nagib), gradijent nelinearne funkcije u principu nije konstantan. Menja se sa pozicijom na funkciji, odnosno zavisi od x. Gradijent krive u odreĎenoj tački se matematički definiše kao nagib tangentne linije za tu tačku. Da bismo ovo detaljnije analizirali potreban nam je kalkulus, što nije tema ovog udţ benika. MeĎutim, koncept rastuće ili opadajuće funkcije moţ e se razumeti ako posmatramo stepen do koga se vrednost funkcije menja kada promenljiva x varira. DEFINICIJA RASTUĆE (OPADAJUĆE) FUNKCIJE Data je funkcija izmeĎu 1 i f ( x ) i interval

x2

.

Funkcija se naziva rastućom u Intervalu , ako za

1

x2

f ( x1 )

f ( x2 )

Funkcija se naziva opadajućom u Intervalu I , ako za

1

x2

f ( x1 )

f ( x2 )

PRIMER Data je funkcija

f ( x )

x2 : 2

1 x2 Za rastuća 0za and0 x .

x1

2

x2 ; iz čega sledi da je funkcija


198/262

5/16/2018


S t r a n a | 185

4.1 Svojstva funkcija 0 and x1 x2 Za 0 opadajuća za .

x12

x22 ; iz čega sledi da je funkcija

4.1.2 Inverzna funkcija Na početku ovog odeljka govorili smo o funkciji računa za struju (pogledati: ovaj odeljak; strana 179). Za x [kWh] upotrebe električne energije moramo da platimo f ( x)

0.11x 15

U ovom slučaju je upotreba električne energije x [kWh] bila nezavisna promenljiva. Ţeleli smo da saznamo kako iznos na računu zavisi od upotrebe električne energije. Zbog toga smo odabrali ukupan trošak kao zavisnu promenljivu. Kod ove vrste funkcije je moguće izračunati ukupan trošak bilo koje date upotrebe električne energije. Bilo koja kompanija koja obezbeĎujeelektričnu energiju velikom broju klijenata bi često koristila ovu funkciju. Uzmimo kao primer sada da ste dobili račun od 55,26 EUR. S obzirom da ste bili na odmoru, račun se čini prevelik. Iz tog razloga ste pročitali svoj strujomer i uvideli da ste iskoristili samo 122 kWh od kada ste platili prethodni račun. Kao stručnjak za matematiku, računate koliko kilovat časova vam je kompanija naplatila: 55.38 x

55.26 0.11 x 15 40.26 0.11

0.11x

40.26

366 [kWh]

Kompanija vam je očigledno naplatila mnogo više kilovat časova nego što ste zaista potrošili. Ovaj slučaj je primer kako se saobraznost odreĎena funkcijom moţ e preokrenuti. Sa tačke gledišta te kompanije upotreba x je nezavisna promenljiva, a račun y je zavisna vrednost (promenljiva): f ( x)

0.11x 15

Zamenom uloga dve promenljive dobijamo:


199/262

5/16/2018


186 | S t r a n a y 15 0.11

4. Osnovne funkcije

g ( y )

Ova jednačina meĎutim, x još ista funkcija; algebarske operacije izvršene u ciljuje,izolovanja nisuuvek promenile funkciju. Ako sada takoĎe promenimo ulogu dve promenljive tako što ćemo ih zameniti: y

dobijamo zapravo novu funkciju: x

15

g ( x )

0.11

f

1

( x)

To je funkcija koja odraţ ava tačku gledišta kupca koji ţ eli da zna koliko mu kompanija naplaćuje uslugu (pod pretpostavkom da to na računu nije eksplicitno navedeno!). Kao što je primerom ilustrovano, obrnut odnos izmeĎu dve promenljive proizvodi novu funkciju koja se naziva inverznom funkcijom (često se piše 1( x) ) u odnosu na originalnu funkciju ( x) . Inverzija ima značajnu ulogu u matematici. Već tokom naših prvih načinjenih koraka drugi u matematici naučili smoefekat da u prvog. slučajuOperacije mnogih operatora postoji operator koji menja sabiranja (+) i oduzimanja (−) su meĎusobnoinverzne. Ako prvo dodamo broj na x, a zatim oduzmemo isti broj od x rezultat je x: 2 2

x

Mnoţ enje (·) i deljenje (÷) su drugi par inverznih operatora: ( x a )

a

x

Diferencijacija i integracija se takoĎe meĎusobno potiru zbog čega su inverzne operacije. Slično tome, inverzne funkcije su funkcije koje će, kada se uzastopno primenjuju, potirati meĎusobni efekat na nezavisnu promenljivu; iz čega proizlazi, 1

f ( x )

f

f

1

( x)

x

U daljemlogaritamske tekstu udţ benika ćemozapravo videti dadefinišu se mnoge ne funkcije (na primer, funkcije) kaovaţinverzije drugih funkcija (na primer, eksponencijalnih funkcija). U ovom odeljku ćemo


200/262

5/16/2018


S t r a n a | 187


ukratko razviti tehnike koje će nam pomoći da ustanovimo da li inverzna funkcija postoji, da odredimo neka opšta svojstva inverznih funkcija, i metode pronalaţ enja inverzne funkcije.

JEDAN-NA-JEDAN FUNKCIJE Funkcija je jedan-na-jedan ako svaki element u području funkcije odgovara tačno jednom elementu u domenu. Funkcija je jedan-na-jedan ako i samo ako svaka horizontalna linija seče grafik funkcije u najviše jednoj taĉki. Dakle, funkcija na Slici 4-3 (a) nije jedan-na-jedan, jer horizontalna linija seče grafik u dve tačke, dok je funkcija na Slici 4-3 (b) jeste jedan-na-jedan. Konstantno rastuće (opadajuće) funkcije su jedan-na-jedan. y

y

y = f ( x)

y = g ( x)

x

x1 x2 (a) Two intercepts with a horizontal line

Slika 4-3:

x3

x

(b) One intercept with a horizontal line

y = f(x) nije jedan-na-jedan, y = g(x) jeste jedan-na-jedan

1 Inverzna funkcija jedan-na-jedan funkcije f , označena , je funkcija formirana zamenom svih ureĎenih parova , y f ( x) pr omenljivih i odgovarajućih vrednosti funkcije. Stoga, ako zamenimo x i y u funkcionalnoj jednačini i izolujemo y u rezultujućoj jednačini, dobijena funkcija će biti inverzna funkcija.


201/262

5/16/2018


188 | S t r a n a

4. Osnovne funkcije

Zamena uloge promenljivih x i y znači da preslikavamo ose koordinatnog sistema kao odraz u ogledalu na liniji pod 45° u prvom kvadrantu. TakoĎe, zamenom imena promenljivih znači da imena osa ostaju. Rezultat ove procedure za dve funkcije na Slici 4-3 su grafici na Slici 44. y

y

y

f ( x)

y

g

1

( x)

y y

f

1

( x)

x (a) Mirror of a function with two intercepts with a horizontal line

Slika 4-4:

g ( x)

x3

x

Mirror of a function which intercepts (b) every horizontal line just once

Preslikavanje dve funkcije na liniji pod 45°

Ako sada pogledamo dve preslikane funkcije (boldovane krive) zaključujemo da preslikavanje funkcije f 1( x) na Slici 4-4(a) matematički više nije funkcija iz razloga što je procesom preslikavanja postala dvosmislena s obzirom da vertikalna linija ima dve sečice kod funkcije. Funkcija na Slici 4-4(b) je drugačija. Kada je preslikamo ona ostaje jedan-na-jedan i rezultujuća relacija je stoga funkcija. Boldovana kriva na Slici 4-4(b) je inverzna funkcija g ( x) . g 1( x) funkcije


202/262

5/16/2018



S t r a n a | 189

SVOJSTVA INVERZNIH FUNKCIJA Originalna funkcija f ( x ) mora da bude jedan-na-jedan; u suprotnom inverzna funkcija ne postoji. Rezultat zamene

y je inverzna funkcija:

f ( y )

Da bismo napravili poznat oblik izolovaćemo zavisnu promenljivu što daje: f 1( x) Domen Područje Grafici f i 45°).

1 jednak

je području f.

1 jednako 1

je domenu f.

su simetrični u pogledu linije y = x (linija pod


203/262

5/16/2018


190 | S t r a n a

4. Osnovne funkcije

PRIMERI 1.

f ( x)

x2

Inverzna

1

( x) ne postoji zato što f

f

nije jedan-na-jedan. 2.

f ( x)

x2 for

f ( y)

y2

0 je jedan-na-jedan.

x f

1

( x)

0

x for x

Grafici obe funkcije su:

y 3

y

f ( x)

x2

2.5

2

1.5

y

f

1

( x)

2

x

1

0.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

x

-0.5

-1


204/262

5/16/2018


S t r a n a | 191


VEŢBA 4.1:

SVOJSTVA FUNKCIJA

Rešenjaovih za ove veţ be moţ ete pronaći na stranama koješto neposredno slede nakon problema. Sastoje se od konačnog rešenja, omogućava da uporedite svoj rezultat sa našim. Svesno smo odlučili da ne prikaţ emo preporučeni metod rada iz razloga što ţ elimo vas da podstaknemo da razmislite o alternativnim metodama ukoliko dobijete pogrešno rešenje. 1. Odrediti nule sledećih funkcija: a)

2 x

c)

1

( x 1) ( x 1) ( x 2 x 2

f)

2 y

6

2) x 2 x 2 3

g)

3

3x

x 2 2 x 0

d)

2

x

e)

b)

4

2. U kojoj tački sledeće funkcije seku y-osu? a) c)

2 y

3x ( x

b)

4 2) ( x

x 2

d)

8)

x

3

0

4

3. Ustanoviti nule sledećih funkcija, nacrtati grafike, i odrediti pribliţ nu najveću ili najmanju tačku grafika. a)

f ( x )

c)

h( x)

d)

k ( x)

2 x2 1 2

x2

4x2

4x 8 x

b)

g ( x)

x2

2x 1

3

4x 8


205/262

5/16/2018


192 | S t r a n a

4. Osnovne funkcije

4. Koje funkcije su jedan-na-jedan? a)

( x)

1 2

2

x

c)

h( x ) 4 x 2

e)

m( x)

x

9

1 3

b)

( x)

d)

k ( x)

2 x2

f)

n( x )

x2

x 1

4

5. Dokazati da je g inverzna u odnosu na jedan-na-jedan funkciju f . Nacrtati grafike f, g, i liniju pod 45° stepeni u istom koordinatnom sistemu. ( x) 3x 6; g ( x) a) b)

( x)

c)

( x)

d)

( x)

1 2

4

x

2;

x2 , x

1 3

x 2

g ( x)

2x

0; g ( x)

x 2; g ( x)

x2

4

x 4

2, x

0

6. Sledeće funkcije ( x) su jedan-na-jedan. Pronaći inverznu funkciju 1( x) . a)

( x)

4x 1

b)

( x )

c)

( x)

x3

d)

( x )

e)

( x )

3

1

x x 1 2

2

16 x

x 2


206/262

5/16/2018


S t r a n a | 193


R EŠENJA 4.1:

SVOJSTVA FUNKCIJA 1

2

1. a) d)

b)

2; x2

1

f)

c)

e)

0

2

1; x2 1; x3

1

2

g) x = 2

2 3

2. a)

2

b) y = 3

2

c) y = –16

d) y = 2 3. a)

f ( x)

2 x2

4x

8 → Funkcija nema nule.

y 18

16

14

12

10

8

6

4

2 x -12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4


6

8

10

207/262

5/16/2018


194 | S t r a n a

4. Osnovne funkcije

b)

x2

g ( x)

nula:

2x 1

1

y 18

16

14

12

10

8

6

4

2 x -12

-10

c)

-8

-6

-4

1 2

h( x)

-2

0

x2

2

4

6

8

10

nule:

x 3

3.6458; x2

1

1.6458

y 14

12

10

8

6

4

2 x -12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-2

-4

d)

4 x2

k ( x)

4x

nule:

8

1; x2

1

2

y 6

5 4 3 2 1 x -8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-1 -2 -3 -4 -5 -6


208/262

5/16/2018


S t r a n a | 195


4. a) jedan-na-jedan b) jedan-na-jedan c) nije jedan-na-jedan d) nije jedan-na-jedan e) jedan-na-jedan f) nije jedan-na-jedan

5.

a)

1 3

( x) 3x 6; g ( x)

→

g ( x)

1

f

x 2

1x 3

( x)

2

y 6 5 4 3 2 1 x -8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-1 -2 -3 -4 -5 -6

b)

1 2

( x)

2;

x

g ( x)

f

g ( x) 1

2x

( x)

2x

4 4

y 6 5 4 3

2 1 x -8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-1 -2 -3 -4 -5 -6


209/262

5/16/2018


196 | S t r a n a

c)

4. Osnovne funkcije

( x)

x2 , x

4

0;

g ( x)

x

4

1

g ( x )

f

( x)

x 4

y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 x -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-1 -2 -3

d)

( x)

x

2;

g ( x )

f

x2

g ( x) 1

x2

( x)

2, x

0

2

y 6 5

4 3

2 1 x -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-1 -2

-3 -4

-5 -6

6.

a)

1

( x)

c)

1

( x )

e)

1

( x )

1 4 3

x

1

b)

4

d)

x 1

3 x

1

2

1

( x)

( x )

2 x 1 x

16 4 x 2

2


210/262

5/16/2018


S t r a n a | 197


4.1.3 Test napretka za ,,Svojstva funkcija” Potrebno je da izvojite odreĎeno vreme da biste koncentrisano uradili ovaj test. Pokušajte da rešite što više problema. Nemojte da koristite ovaj udţ benik da biste pronašli rešenje. Cilj ovog testa je da dobijete povratnu informaciju o tome koliko znate ili koliko ste do sada naučili. Rešenja problema se nalaze na kraju poglavlja. Svako rešenje je svedeno na konačan odgovor; to moţ e biti samo jedan broj, simbol, tabela ili grafik. Potrebno je da proverite svoja rešenja. Ako su tačna, moţ ete da nastavite i započnete sledeće poglavlje. U bilo kom drugom slučaju (vaše rešenje je pogrešno ili nemate rešenje) potrebno je da se vratite na odgovarajući deo u udţ beniku koji treba da ponovite kako biste savladali tematiku poglavlja. 1. Odrediti vrednosti funkcije za date tačke: a) b) c)

x2

( x )

x 2 ( x )

x

( x)

1 1

za

za

2;1.7;

1; 0;

2.3

2

1

x 1 for x

0

x 1 for x

0

for

2; 0; 3

x 2 1

2. Napraviti tabelu vrednosti za funkciju

x

2

u koracima od

po 1 za domen [-3; 6]. 3. Odrediti nulu(nule) funkcije: a) c)

2 x

x 2

b)

4

2x

2 y

3x

5

0


211/262

5/16/2018


198 | S t r a n a

4. Osnovne funkcije

4. Odrediti y- presek funkcije:

a) c)

2

2 y

3x

( x

4

x

b)

2) ( x

3 0

8)

5. Proveriti koja od dve relacije ( x1 ) f ( x2 ) ili istinita za sledeće funkcije za date tačke: a) b)

2x 4

( x ) g ( x)

x 2

4

x

c) h( x)

x3

for

for

1

1

6 2 x 2 for

1

f ( x2 )

je

3 4

1; x 2 2

1; x 2 2

1

( x1 )

1 4

1; 2

x2

3 2

6. Odrediti nulu (nule) i y-presek, i nacrtati grafik:

a) c)

2

2

( x)

x

3

h( x )

2 x2

b)

( x)

4x

4x

( x)

2x2

x 4

4x 8

7. Da li su sledeće funkcije jedan-na-jedan? a)

( x )

2x

b)

4

3

c)

h( x )

x

5

8. Odrediti inverznu funkciju za a)

( x )

1 3

x 1

b)

( x )


x 2 1 for x > 1

212/262

5/16/2018


S t r a n a | 199

4.2 Linearne funkcije


4. Basic Functions 4.1 Properties of Functions

4.2 Linear Functions

Preduslovi:


Graph

Graph

Properties

Properties

Ova nastavna jedinica se moţ e savladati bez gotovo ikakvog posebnog predznanja. Ipak, od vas se očekuje da znate pravila koja se primenjuju u algebri, npr. za rešavanje jednačina.

Ciljevi uĉenja:

Linearne jednačine kao najjednostavnije funkcije u matematici logična su polazna tačka. U isto vreme, uprkos njihovoj jednostavnosti, one igraju ključnu ulogu u ekonomiji iz razloga što su mnogi ekonomski odnosi linearni.


213/262

5/16/2018


200 | S t r a n a

4. Osnovne funkcije

U iskazu na desnoj strani funkcionalne jednačine je polinom 1. stepena, tj. linearni polinom, i takvu funkciju nazivamo linearnom.

LINEARNA FUNKCIJA Funkcija y je linearna funkcija ako f ( x) a x b kada a 0 gde su a i b realni brojevi.

Domen linearne funkcije je niz svih realnih brojeva x. S obzirom da vrednosti y mogu takoĎeda postanu svi realni brojevi podruĉje linearne funkcije je takoĎeniz svih realnih brojeva. PRIMERI Sledeći polinomi su linearne funkcije: 1. 2.

2 x 2 x

3. 4.

8 5

2 x 2 3

4

x

Što se tiče njihove strukture linearne funkcije što su definitivno praksi se javljaju veoma često iz razloga su brojne najlakše. primene Uu ekonomiji i poslovanju takoĎe linearne u svojoj strukturi. Kad god se odreĎena količina roba ili usluga kombinuje sa cenama rezultat će biti neka linearna zavisnost. Iz tog razloga je zaista neophodno detaljnije proučiti linearne funkcije.


214/262

5/16/2018


S t r a n a | 201


4.2.1 Grafik linearne funkcije Grafik linearne funkcije je prava linija. Da bismo povukli liniju dovoljno je da znamo dve tačke na njoj. Jednu je uvek lako pronaći: samo postavimo x = 0, zatim y = b. Tačka (0; b) se naziva y-presek zato što je tačka preseka linije sa y-osom. Sledeća jednako interesantna tačka je tačka preseka sa x-osom. Ova tačka se naziva nulta taĉka linije, jer je vrednost funkcije ovde nula: b 0 x a 1

y

}

a<0

}

2

a>0

1 1 b

-1

-2

}

x

}

x

1

2

b a

Slika 4-5:

Grafik linija

Treća korisna (i obično značajna) informacija o liniji je njen nagib (ili gradijent). Nagib linije je konstanta. To je povećanje (ili smanjenje) vrednosti funkcije kada nezavisna promenljiva poveća svoju vrednost za ,,1". Takva zamena x sa x + 1 menja vrednost funkcije sa

( x)

na

( x 1)

a x

b

a ( x 1)

b

a x

a

b

a x

b

a

Promena vrednosti funkcije je dakle konstantno a. Po definiciji, ovo je najistaknutije svojstvo linerane funkcije.


215/262

5/16/2018


202 | S t r a n a

4. Osnovne funkcije

. Za pozitivan nagib a > 0 vrednost funkcije raste kada se povećava x U ovom slučaju funkciju zovemo rastućom (puna linija promenljiva na Slici 4-5). .Ako je, sa druge strane, nagib funkcije a < 0 negativan, vrednost funkcije se smanjuje sa rastućom promenljivom vrednosti, i funkcija se zbog toga naziva opadajuća (isprekidana linija na Slici 4-5). Linija koja se niti povećava niti smanjuje paralelna je x-osi. S obzirom na nagib a = 0 jednačine takva linija je jednostavno: b gde je b

konstanta

Takva linija se naziva konstantna funkcija. Ukoliko nagib linije postane beskonačan, tj. a , grafik postaje vertikalna linija (paralelna y-osi). Funkcija je, meĎutim, sada dvosmislena, odnosno za jednu x-vrednost postoji više od jedne vrednosti funkcije (da budemo precizniji: postoji beskonačno mnogo vrednosti funkcije). Da se izrazimo matematički, ova linija više nije ,,funkcija”. y

b= 2 a = -0.75 1

y = b (constant) x

-2

-1

parallel lines

Slika 4-6:

1

2

3

-1

line through the origin

Svojstva linearnih funkcija

Dve linije sa istim nagibom, ali različitim y- presecima nazivaju se paralelne linije.


216/262

5/16/2018



S t r a n a | 203

Ako je konstanta u linearnoj funkciji jednaka nuli (b = 0), jednačina se skraćuje na: a x

Odgovarajuća linija seče obe ose u tački preseka dve ose (koja se naziva početak koordinatnog sistema). Obratite paţ nju da se nagib vrednosti a odnosi samo na normalni oblik linearne funkcije. Funkcija 3 x 4 y 8 0 je zasigurno takoĎe linearna funkcija, jer se obe promenljive u jednačini javljaju samo u 1. stepenu. MeĎutim, to nije normalan oblik. Da bismo je predstavili u normalnom obliku, moramo da je izolujemo na levu stranu: 4 y

3x 8

y

3 x 4

2

Tek sada moţ emo odmah da identifikujemo nagib a b

12 5

3 5

i y-presek

. Koristeći ova dva svojstva moţ emo da nacrtamo liniju:

Ako ţ elimo da znamo nagib i y-presek, potrebno je da transformišemo jednačinu u normalan oblik. MeĎutim, ako ţ elimo da nacrtamo liniju, efikasnije je da koristimo takozvani ,,oblik preseka”. Ovo se odnosi na tačke preseka dve ose, odnosno y-presek i nultu tačku. Ako je jednačina linearne funkcije data u najopštijem obliku: a x

b y

c

0

dobićemo y-sečicu postavljanjem x = 0: dobićemo x –sečicu postavljanjem y = 0:

c b c a

Sa dve tačke preseka na osama moţ emo da nacrtamo liniju.


217/262

5/16/2018


204 | S t r a n a

4. Osnovne funkcije y

=2

-c/b 2

1

x -2

-1

1

2

3

-c/a =2.66 -1

Slika 4-7:

Crtanje linije sa oblikom preseka

4.2.2 Svojstva linearnih funkcija Funkcija

a x b ima sledeća svojstva:

Grafik je linija sa nagibom a i y-presekom b. Nagib raste za pozitivno a (a > 0); smanjuje se za negativno a (a < 0). Ako je a = 0 linija je paralelna x-osi. b a

Nulta tačka je gde je a 0 . Ako je b = 0 linija seče početak kooridantnog sistema. Dve funkcije sa istim nagibom, a različitim y-presecima su paralelne linije. Ne bi trebalo da bude isuviše teško nacrtati grafik linearne funkcije ako se setimo da su dve tačke uvek dovoljne da precizno odredimo odgovarajuću liniju.


218/262

5/16/2018


S t r a n a | 205


PRIMERI 1. Odrediti nagib (a), y-presek (b), i nulu (

0)

sledećih linearnih

funkcija i nacrtati linije: 2 x 3 a) a

2 ; b 3 ; postavljanjem y = 0 rezultat je nula: 0

3 2

Grafik je puna linija (1) na sledećoj Slici 1. b) 2 x – 3 y = 7 2 x 3

7: 3

2; b 3

a

7; 3

7 2

0

Grafik je tačkasta linija (2) na Slici 1. c) 4 y 5

3 x 5

4 5

3x 5

6 5

4 5

y 2

3x 4

y

3 2

a

3; b 4

3; 2 0

2

Grafik je isprekidana linija (3) na Slici 1. y (Line 1)

3

2 1 (Line 2)

x (Line 3)

-2

-1

1

2

3

4

-1 -2

Slika 1


219/262

5/16/2018


206 | S t r a n a

4. Osnovne funkcije

2. Koji su gradijenti i y-preseci sledećih funkcija? Nacrtati grafike. a)

3 x

5

:

Nagib: 3 ; y- presek: 5 → Slika 2: linea a) b)

1:

2 x 3

Nagib: 23 ; y- presek: 1 → Slika 2: linea b) c)

2 x

:

Nagib: 2; y- presek: 0 → Slika 2: linea c) y

(Line c)

5

4 (Line b)

3 2 1 x -2

-1

1

4

3

2

(Linea a)

Slika 2 3. Napraviti jednačinu uz dat gradijent i y- presek: a) Nagib: 23 ; y-presek: 1 →

2 x 3

b) Nagib: 2 ; y- presek: 2 → c) Nagib: 1 ; y- presek:

1

4

2

→

1

2 x

2

1 x

1

4

2


220/262

5/16/2018


S t r a n a | 207


VEŢBA 4.2:

LINEARNE FUNKCIJE

Rešenja za ove veţ be moţ ete pronaći na stranama koje neposredno slede nakon ovih problema. Sastoje se od konačnog rešenja, što omogućava da uporedite svoj rezultat sa našim. Svesno smo odlučili da ne prikaţ emo preporučeni metod rada iz razloga što ţ elimo vas da podstaknemo da razmislite o alternativnim metodama ukoliko dobijete pogrešno rešenje. 1. Odrediti nagib, y-presek i nulte tačke sledećih funkcija: a) d)

3 x

2 y

x 4

b)

2

e)

4

4 x

c)

2 x

2y

6

f) y = x

8

2. Nacrtati grafike sledećih funkcija: a)

( x )

1

2x

b)

b( x )

3x

1

h( x)

x 2

1

( x )

x

2

2

d)

c)

e)

a ( x)

1


221/262

5/16/2018


208 | S t r a n a

4. Osnovne funkcije

R EŠENJA 4.2:

LINEARNE FUNKCIJE

1. a)

2

je y presek,

je nulta tačka

2 3

b)

0

je y presek,

0

je nulta tačka

c)

3

je y presek,

3

je nulta tačka

d) Ovo je horizontalna linija koja prolazi kroz e)

8

f) 2. a)

x

je y presek,

2

2

je nulta tačka

Ovo je linija pod 45° koja prolazi kroz početak

( x )

1 2

2x

y

3

2

1

x -3

-2

-1

0

1

2

3

4

-1

-2

b)

b( x )

3x

1 y 2

1.5

1

0.5

x -2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-0.5

-1


222/262

5/16/2018


S t r a n a | 209

4.2 Linearne funkcije c)

x

( x )

2 y 2

1.5

1

0.5

x -2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0.5

1

1.5

-0.5

-1

d)

x 2

h( x)

1 y

1

0.5

x -2

-1.5

-1

-0.5

0

-0.5

-1

-1.5

e)

a ( x)

1 y 2

1.5

1

0.5

x -2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-0.5

-1


223/262

5/16/2018


210 | S t r a n a

4. Osnovne funkcije

4.2.3 Test napretka za ,,Linearne funkcije" Potrebno je da izvojite odreĎeno vreme da biste koncentrisano uradili ovaj test. Pokušajte da rešite što više problema. Nemojte da koristite ovaj udţ benik da biste pronašli rešenje. Cilj ovog testa je da dobijete povratnu informaciju o tome koliko znate ili koliko ste do sada naučili. Rešenja problema se nalaze na kraju poglavlja. Svako rešenje je svedeno na konačan odgovor; to moţ e biti samo jedan broj, simbol, tabela ili grafik. Potrebno je da proverite svoja rešenja. Ako su tačna, moţ ete da nastavite i započnete sledeće poglavlje. U bilo kom drugom slučaju (vaše rešenje je pogrešno ili nemate rešenje) potrebno je da se vratite na odgovarajući deo u udţ beniku koji treba da ponovite kako biste savladali tematiku poglavlja. 1. Koje funkcije su linearne? a)

2 x

b)

3

c)

x 2

e)

2 x 3

2 y

3x

d)

1 7 3

12

24

2 x 12

x 11 0

2. Transformisati u normalan oblik: a) c)

2 x

3( y

2 y

3 x

2)

y 5

b)

2

y

3x

2x

4

4y

7

3

4

3. Odrediti y-presek i nulu: a) c)

2 x

4 x

y 3

b)

3

2 3x 4

3 y

4x

12

y


224/262

5/16/2018


S t r a n a | 211


4. Odrediti y-presek, nulu, i nagib linije: a)

1 x

b)

3

2 x

2

c)

3 y 7

2 3

3y

5

3

( y 1)

5. Nacrtati liniju nakon odreĎenja y-preseka, nule, i nagiba: a) c)

1

b)

3 4

2 x 3

3 (y

( x 3)

2

3 x

5y

7

1)

4

6. Odrediti funkcije nacrtanih linija: a)

1 x 5

c)

1 2

b)

2 5

2 3

x

7. Nacrtati: a) Konstantnu liniju:

f ( x )

b) Dve paralelne linije: c) Liniju

2 x 3

2 x

3y

4

f ( x)

3

1 2

x 1

i

1 x 2

1

nakon odreĎenja nule i y-preseka.


225/262

5/16/2018


212 | S t r a n a

4. Osnovne funkcije

4.3 Kvadratne funkcije

4. Basic Functions 4.1 Properties of Functions 4.2 Linear Functions


Graph

Graph

Properties

Properties

Preduslovi:

Jednačine kojima ćemo se baviti u ovoj nastavnoj jedinici će biti nešto komplikovanije. Rešavanje kvadratnih jednačina zahteva poznavanje eksponenata i kvadratnih korena.

Ciljevi uĉenja:

Kvadratne jednačine često se javljaju kao nusproizvodi kada se rešavaju matematički problemi. Zbog toga je od suštinske vaţ nosti da umemo da ih rešimo. Ako ne umemo da rešimo kvadratne jednačine, ne treba da očekujemo da ćemo moći da rešimo originalni problem.


226/262

5/16/2018


S t r a n a | 213


Ako je iskaz na desnoj strani funkcionalne jednačine polinom 2. stepena, tj. kvadratni polinom, funkciju nazivamo kvadratnom.

K VADRATNA FUNKCIJA Funkcija y je kvadratna funkcija ako : f ( x )

a x2

b x

kada

c

a

0

gde su a, b, i c realni brojevi. S obzirom da iskaz na desnoj strani predstavlja realan broj za sve zamene realnog broja promenljive x, domen kvadratne jednačine je niz realnih brojeva. Područje kvadratne funkcije je komplikovanije identifikovati. To očigledno nije ukupan niz realnih brojeva: ako su na primer a i c pozitivni realni brojevi, a b = 0, vrednost funkcije y će uvek biti pozitivna, a područje ne moţ e biti niz svih realnih brojeva. Pronaći ćemo način da identifikujemo područje funkcije kasnije.

PRIMERI Sledeći polinomi su kvadratne funkcije: 1.

f ( x)

2.

f ( x )

3.

f ( x )

4.

f ( x )

2 3

5.

f ( x)

2( x

2 x2

2x2

4x

8

5

3 x2

4 x 10

x2 2) 2

3

U smislu njihove strukture, kvadratne funkcije pripadaju tipu funkcije koja je generalno dobroproblema. poznat. Često deonoprocesa rešavanja nekihnam drugih matematičkih Dakle,su vaţ je proučiti ih i upoznati se sa njihovim glavnim svojstvima.


227/262

5/16/2018


214 | S t r a n a

4. Osnovne funkcije

4.3.1 Completion of the Square Čak i pre nego što počnemo da proučavamo grafik funkcije, potrebno je da se fokusiramo na koncept koji je od suštinskog značaja za kvadratnu funkciju. To je odgovor na pitanje: ,,Kako moţ emo da transformišemo opšti oblik f ( x)

a x2

c gde je

b x

0

a

(

ovo ćemo nazvati ,,opšti

oblik ") u oblik a ( x h) 2

k gde je

a

(

0

u daljem tekstu ćemo ga zvati

oblik temena)? Pre nego što objasnimo proces transformisanja potrebno je da razumemo zašto nam oblik temena govori mnogo više o funkciji od opšteg oblika. Pretpostavimo za trenutak da je a > 0. S obzirom da je kvadratni izraz ( x h ) 2 0 uvek nenegativan i rastući kada se x povećava, minimalna vrednost funkcije k će se dobiti za x = h. Zbog kvadrata u izrazu koji sadrţ i promenljivu x dobićemo istu vrednost za funkciju sve dok su dve x –vrednosti podjednako udaljene od tačke x = h. To znači da je grafik simetričan vertikalnoj liniji koja prolazi kroz x = h. Tačka na funkciji (h, k ) zove se teme funkcije. Razmotrite datu funkciju 2 x

2

8x

4

Da bismo konstruisali oblik temena faktorišemo konstantu 2 ispred izraza koji sadrţ e promenljivu x: 2 x

2

8x

4

2( x

2

4 x)

x

2

iz

4

Sada ćemo upotpuniti prva dva izraza u zagradi da bismo dobili binomni izraz:

2 x 2

4x

4

2 x2

4x

z

z

4


228/262

5/16/2018


S t r a n a | 215


Vrednost z je za sada nepoznata. MeĎutim, ţ elimo da napravimo binom oblika: 2

2h x h 2

( x h) 2

Dakle, moramo da upotpunimo izraz korenom polovine koeficijenta linearnog izraza: 4 2

2

4

Ako, meĎutim, dodamo neku vrednost moramo da ispravimo jednačinu oduzimanjem te iste vrednosti. Pošto smo dodali z = 4 moramo da oduzmemo 4, i na taj način dobijamo: 2 x 2

4x

4

2 x2

4x

U zagradi sada imamo binom transformaciju: 2 x 2

8x

4

2( x 2) 2

4 4 ( x 2

4 4x

2 x2 4)

4x

(x

4

2)2

8 4

što upotpunjava

4

Dobijamo sledeću tabelu vrednosti za ovu funkciju: x

Paired values of x equidistant from x = 2

y

2( x 2) 2

0

4

1

-2

2

-4

3

-2

4

4

4 Corresponding function values y are equal.

Tabela 4.2: Tabela vrednosti parabole

Prikazivanjem na grafiku tačaka tabele vrednosti i povezivanjem tih tačaka sa krivom, dobijamo grafik prikazan na Slici 4-8. To se zove

parabola.


229/262

5/16/2018


216 | S t r a n a

4. Osnovne funkcije y 5 4 3 2 1 -3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

-1 -2

-4

Slika 4-8:

Grafik kvadratne funkcije

4.3.2 Grafik kvadratne funkcije U principu se moţ e prikazati da je grafik kvadratne funkcije uvek parabola. Svojstva parabole su već prikazana na Slici 4-5. Ima simetričnu osu koja je vertikalna linija (paralelna y-osi) koja prolazi kroz teme. Ova linija se naziva osa parabole. Teme je ili najniţ a tačka (kao na Slici 4-5) ili najviša tačka. Koeficijenti a, b i c kvadratne funkcije odreĎuju da li je otvaranje parabole široko ili usko, da li teme formira maksimum ili minimum i da li se kriva otvara naniţ e ili naviše. f ( x) x 2 naziva se normalna parabola Kvadratna funkcija (pogledati: Slika 4-9). Njena kriva ima minimum sa temenom u početku i otvorena je naviše.


230/262

5/16/2018


S t r a n a | 217


Slika 4-9:

Normalna parabola

f ( x) x 2 dobijamo Jednostavnom promenom znaka faktora u negativnu normalnu parabolu. Njena kriva ima maksimum sa temenom u početku i otvorena je naniţ e (pogledati: Slika 4-10).

Slika 4-10:

Negativna normalna parabola

Ako se teme normalne parabole prevede duţ obe ose, onda dobijamo oblik temena kvadratne jednačine date: f ( x)

(x

h)2

k


231/262

5/16/2018


218 | S t r a n a

4. Osnovne funkcije

sa tačkama temena

( h, k )

. U ovom obliku konstante

pomeranje normalne parabole za h (pogledati: Slika 4-11).

f ( x)

x

2

h

i

k

predstavljaju

duţ y-ose za k i duţ x-ose

y

5 4 3 2 1

-3

-2

-1

1

Slika 4-11:

4

5

x

h

-1 -2

2

k

Parabola sa transformisanim temenom

Konačno, ako pomnoţ imo kvadratni izraz faktorom a > 1, otvaranje parabole će postati uţ e iz razloga što y-vrednosti postaju veće. Ako pomnoţ imo faktorom 0 < a < 1, parabola se šire otvara, zato što yvrednosti postaju manje. Ako pomnoţ imo faktorom a < 0, onda će se cela parabola okrenuti 180° oko temena kao tačke obtanja.


232/262

5/16/2018


S t r a n a | 219


Slika 4-12:

Otvaranje parabole

Moţ ete primetiti da kvadratna funkcija o kojoj smo govorili na početku ovog odeljka f ( x )

2x2

8x

4

ima dva x -preseka, tj. dva preseka x-ose. Ove tačke se uopšteno zovu nulte taĉke funkcije, ili jednostavno nule, zato što je vrednost funkcije ovde nula. Da bismo izračunali nulte tačke, moramo da postavimo y = 0 u našu funkciju (pogledati: odeljak 3.1; strana 183). Rezultujuća uslovna jednačina 0 2 x 2 8 x 4

2

4 x

2

0

moţ e se transformisati u normalan oblik i rešiti pomoću p,q-formule (pogledati: odeljak 3.3; strana 161): 1/2

2

4

2

2

2


233/262

5/16/2018


220 | S t r a n a

4. Osnovne funkcije

Stoga, parabola ima dve nulte tačke: 1

2

2 i

2

2

2

Iste nule će se računati ako ţ elimo da primenimo a,b,c-formulu (pogledati: odeljak 3.3; strana 158): b 1/2

b2

4a c

8

2a

64 32 4

2

2

Moţ ete da primetite da kvadratna funkcija moţ e takoĎe da ima jednu nultu tačku ako kriva samo dodiruje x-osu, ili čak nultu tačku ako je kriva ili potpuno iznad ili potpuno ispod x-ose. Koji će se od sledeća tri slučaja javiti zavisi od diskriminante (pogledati: odeljak 3.3; strana 158).

NULTE TAĈKE KVADRATNE JEDNAĈINE Kvadratna funkcija oblika f ( x)

a x2

b x

c gde je

a

0

ima nulte tačke za: b 1/2

Za

b2

4a c

2a

.

D

b2

4a c

0

postoje dva različita rešenja sa realnim brojem,

D

b2

4a c

0

D

b2

4a c

0

postoji jedno rešenje sa realnim brojem, ne postoji nijedno rešenje sa realnim

brojem.


234/262

5/16/2018


S t r a n a | 221


PRIMERI Koje su nule funkcije: 1.

2x2

( x ) 2 x 2

6x

4

0

3

9

8

1/2

2.

6x

4 x2

x2

2x

4

2

0

2; x2

x1

2

( x)

3x

1

2

x1/2

4

16

2

S obzirom da diskriminanta rezultuje kvadratnim korenom negativnog broja, ova funkcija nema realne nulte tačke. 3.

3x 2

( x)

6

3x 2

6x 3 36

1/2

36

x

6

6x 3

0

1

Funkcija ima samo jednu nulu. Obratite paţ nju na vaţ ne rezultate koje smo dobili transformacijom opšte kvadratne funkcije: ( x)

ax 2

gde je

bx c

a

0

upotpunjavanjem kvadrata u obliku temena: ( x)

(x

h) 2

k

gde je

a

0

Ako počnemo sa opštom kvadratnom funkcijom upotpunimo kvadrat, dobijamo: ( x)

a

x2

b a

( x)

a x2

b x c

i

c a

x

Primenjujemo znanje kvadriranjem izraza unutar zagrade da bismo dobili: 2

( x)

a

x2

b a

x

4ba 2

2

4ba 2

c a


235/262

5/16/2018


222 | S t r a n a

4. Osnovne funkcije

Kada napravimo prva tri izraza kao savršen kvadrat i dodamo treći i četvrti izraz dobijamo:

( x) a x

b2 4a c 4a 2

b 2 2a

Zatim se zagrade otvaraju:

( x) a x

b 2a

2

b2 4 a c 4a

PoreĎenjem ove poslednje jednačine sa oblikom temena kvadratne 2

funkcije (h, k )

( x )

(x

h)

b

b2

4a c

2a

,

k imamo :

4a

što su tačke temena parabole. Iz ovog oblika moţ emo da zaključimo koje su glavne karakteristike kvadratne funkcije.


236/262

5/16/2018


S t r a n a | 223


4.3.3 Svojstva kvadratne funkcije Kvadratna funkcija 2 ( x )

b x c gde je

a x

0

a

ima sledeća svojstva. b

Osa (simetrije):

2a

Teme:

b

( h, k )

,

b2

2a

Maksimum / Minimum:

b ) 2a

(

4ac 4a

Minimum if a

0

Maximum if a

0

opens upwards for a

Grafik:

0

opens downwards for a

0

gets narrower if a

Kriva:

1

is a normal parabola if a gets wider if a

1

1

Domen:

Svi realni brojevi

Područje:

Ili iz {minimum, ∞} ili iz {−∞, maksimum}

PRIMERI Odrediti oblik temena sledećih kvadratnih funkcija i nacrtati njihove grafike: 1.

2 x2

f ( x)

5x 2

Transformisati funkciju u oblik temena kompletiranjem kvadrata 2( x 2 2 x

5 4

2 2

5 4

x) 2

( 2) (

2 x2 25 ) 16

2

5 2

x

25 16

2 x

5 4

25 16 2


2 9 8

237/262

5/16/2018


224 | S t r a n a

4. Osnovne funkcije

Kriva je otvorena naniţ e sa dve nule. 2.

g ( x)

1 2

x2

g ( x)

1 2

( x2

2x

2

4x

4)

1 2

(x

2) 2

Kriva dodiruje x-osu; ima samo jednu nultu tačku. x2

h( x)

3 4

h( x )

3 4

x2

4 3

h( x )

3 4

x

2 2 3

x

2

2

x

3 4

x2 2

2 3

x

4 9

4 9

2

5 3

Kriva nema nule. Grafici tri funkcije su dati na sledećoj Slici 4-13.

Slika 4-13:

Grafik tri parabole


238/262

5/16/2018


S t r a n a | 225


DETALJNA DISKUSIJA O KVADRATNOJ FUNKCIJI U ovom odeljku govorimo o kvadratnoj funkciji: f ( x)

2 x2

6x

2

Bez računanja moţ emo da kaţ emo da je parabola otvorena naviše zato što a = 2 > 0. Ima minimalnu tačku temena. Nulte tačke funkcije su: 0 1/2

2 x 2 3 2

6x 9 4

2

x2

0

3x 1 0

1

Funkcija ima dve nule u:

5 2

3 2

1

i

3 2

1

5 2

Oblik temena funkcije je: 2 x 2

3x

2 x2

2

2

3 2

9 4

x

9 4

2

2

f ( x)

2 x

3 2

5 2

Funkcija ima minimum u

3; 2

5 2

.

Njen domen je: svi realni brojevi Njeno područje je [ 52 , ) (uključujući levu tačku). Grafik funkcije dat je na Slici 4-14.


239/262

5/16/2018


226 | S t r a n a

4. Osnovne funkcije

Slika 4-14:

Grafik koji ilustruje navedeno


240/262

5/16/2018


S t r a n a | 227


VEŢBA 4.3:

K VADRATNE FUNKCIJE

Rešenja za ove veţ be moţ ete pronaći na stranama koje neposredno slede nakon ovih problema. Sastoje se od konačnog rešenja, što omogućava da uporedite svoj rezultat sa našim. Svesno smo odlučili da ne prikaţ emo preporučeni metod rada iz razloga što ţ elimo vas da podstaknemo da razmislite o alternativnim metodama ukoliko dobijete pogrešno rešenje. 1. Odrediti nule sledećih funkcija: 3x 2

a)

( x)

c)

( x)

x2

e)

( x)

x2

b)

( x)

6x 5

d)

( x)

2x 4

f)

( x)

2x 1

6x2

2x

5 x 2 15 x 10 6 x 2 12 x 6

2. Odrediti koordinate temena kompletiranjem kvadrata sledećih funkcija i ustanovite da li imaju maksimum ili minimum. 5 x2 2 x 1 a) b) ( x) ( x ) x 2 6 x 10 2 c)

( x)

2 x2

e)

( x )

1 2

d)

2

x2

( x)

3x 2

4x 1

1 2

x

3. Prodiskutovati o karakteristikama sledećih funkcija sa fokusom na nule funkcije i tačku obrta. Nacrtati grafik. a)

( x )

2( x 3) 2

c)

( x )

x2

3x

6 9 4

b)

( x )

d)

( x )


1 2

x2

2x

x2

3x 2

4

241/262

5/16/2018


228 | S t r a n a

4. Osnovne funkcije

R EŠENJA 4.3:

K VADRATNE FUNKCIJE

1. a) Ova funkcija nema nulte tačke. c) 1 5; x2 1 e)

1

1.236; x2

1

b) d)

2; x2

1

f)

3.236

1 3 ; x2

0

1

1

1

2. a) Parabola se otvara naniţ e; maksimum u (3; –1) 7 5

b) Parabola se otvara naniţ e; maksimum u 52 ; c) Parabola se otvara naviše; minimum u 0; 2

e) Parabola se otvara naniţ e; maksimum u

7 3

2; 3

d) Parabola se otvara naviše; minimum u

1;1

2

( x) 2( x 3) 6 3. a) nulte ftačke: tačka temena: (h, k ) = (3, -6); ; otvara se naviše 3 3 1/2 y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -10

-8

-6

-4

-2

0

x 2

4

6

8

10

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8


242/262

5/16/2018


S t r a n a | 229


b)

x2

tačka temena: (h,k ) = (2; 2); nenma realnih nultih tački; otvara se naviše 1 2

g ( x )

2x

4

y

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -10

-8

-6

-4

-2

x

0

2

4

6

8

10

-1 -2 -3 -4 -

c)

x2

f ( x )

nula:

3 2

1

3x

3 ;0 2

tačka temena: (h; k )

9 4

; jedna

: otvara se naviše y

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -10

-8

-6

-4

-2

0

x 2

4

6

8

10

-1 -2 -3 -4 -5


243/262

5/16/2018


230 | S t r a n a

d)

4. Osnovne funkcije x2

f ( x)

tačke:

1

tačka temena: (h; k )

3x 2

2; x2

3 1 ; 2 4

; nulte

1 ; otvara se naniţ e y

2 1

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

x 1

2

3

4

5

6

7

8

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11


244/262

5/16/2018



S t r a n a | 231

4.3.4 Test napretka za ,,Kvadratne funkcije" Potrebno je da izvojite odreĎeno vreme da biste koncentrisano uradili ovaj test. Pokušajte da rešite što više problema. Nemojte da koristite ovaj udţ benik da biste pronašli rešenje. Cilj ovog testa je da dobijete povratnu informaciju o tome koliko znate ili koliko ste do sada naučili. Rešenja problema se nalaze na kraju poglavlja. Svako rešenje je svedeno na konačan odgovor; to moţ e biti samo jedan broj, simbol, tabela ili grafik. Potrebno je da proverite svoja rešenja. Ako su tačna, moţ ete da nastavite i započnete sledeće poglavlje. U bilo kom drugom slučaju (vaše rešenje je pogrešno ili nemate rešenje) potrebno je da se vratite na odgovarajući deo u udţ beniku koji treba da ponovite kako biste savladali tematiku poglavlja. 1. Nacrtati: a) b) c)

x

2

(normalna parabola)

x 2

2 ( y-pomerena negativna normalna parabola)

( x 1) 2 ( x-pomerena normalna parabola) ( x 1) 2

d)

2

( x- i y-pomerena negativna normalna

parabola) 2. Odrediti y-presek i nule: a)

f ( x)

b)

4

c)

(3 x

2x2

4x 6

2) 2

3 y 4 x 2 6 x 9 0


245/262

5/16/2018


232 | S t r a n a

4. Osnovne funkcije

3. Odrediti koordinate temena kompletiranjem kvadrata sledećih funkcija i ustanoviti da li imaju maksimum ili minimum. a)

f ( x)

x2

b)

g ( x)

3 2

c)

h( x )

4x 2

x2

2x

7 2

2 x2 5x

4. Odrediti osu simetrije i teme: a)

2 x 2

4x 8

b)

2 3

1 )2 2

( x

2

5. Odrediti minimum ili maksimum, datim redosledom, za: a)

2 x 2

4x

2

b)

2 x 2

3x

5 2

0

6. Odrediti broj nula kvadratnih funkcija pomoću diskriminante: a)

3 x 2

b)

5 x 2 10 x 5

c)

2 x 2

5 2

x

3 2

2x 4


246/262

5/16/2018


S t r a n a | 233


4.4 Rešenja testova napretka

4.4.1 Rešenja testa napretka za ,,Svojstva"

Potrebno je da proverite svoja rešenja. Ako su tačna, moţ ete da nastavite i započnete sledeće poglavlje. U bilo kom drugom slučaju (vaše rešenje je pogrešno ili nemate rešenje) potrebno je da se vratite na odgovarajući deo u udţ beniku koji treba da ponovite kako biste savladali tematiku poglavlja. 1. a)

(2)

b)

(

1)

c)

(

2)

(3)

1.732;

f (1.7)

1.375;

Nedefinisana; (0) 3; f (0)

f (

2.3)

1; f

2

2.071

0.4142

funkcija nije definisana u ovoj tački;

4

2. -3

x y=f(x)

-2

-1

0

0

0,5

-1,6 -0,75

x

3

4

5

6

y=f(x)

8

7,5

8

8,75

1

2

0 nedefinisano

3. a) x = 2

b)

5 3

c) x = 0.2

4. a) y = 2

b) y = 3

c) y = -16

5. a)

( x1 )

f ( x2 )

b)

( x1 )

g ( x2 )


c)

h ( x1 )

h ( x2 )

247/262

5/16/2018


234 | S t r a n a

4. Osnovne funkcije

6. a) nule:

1/2

1.732 ; y-presek: y = 3

f ( x )

b) nule:

1

0; x2

x2

3

1; y-presek: y =0

g ( x )

4 x2

4x

c) Nema nula; y-presek: y = 8


248/262

5/16/2018



h( x )

2 x2

S t r a n a | 235

4x 8

7. Da li je sledeća funkcija jedan-na-jedan? a) b) c)

( x )

2x

→ Tačno, ovo je linearna funkcija sa y2. 4 i x-presekom u

4

presekom u ( x)

2 x2

puta u

1

h( x )

x3

→ Netačno, ova funkcija seče x-osu dva i 2 1.69 .

x 4 1.86

→ Tačno, ova funkcija seče x-osu jednom u

5

1.71

8. Odrediti inverznu funkciju za a)

( x)

1 3

b)

( x)

x 2 1 for x 1

g 1 ( x)

x 1

x2 1

f

za x

1

( x)

3 3x

( x element niza realnih brojeva)


249/262

5/16/2018


236 | S t r a n a

4. Osnovne funkcije

4.4.2 Rešenja testa napretka za ,,Linearne funkcije" Potrebno je da proverite svoja rešenja. Ako drugom su tačna,slučaju moţ ete(vaše da nastavite i započnete sledeće poglavlje. U bilo kom rešenje je pogrešno ili nemate rešenje) potrebno je da se vratite na odgovarajući deo u udţ beniku koji treba da ponovite kako biste savladali tematiku poglavlja. 1. a) b)

2 x

2 y

3x

Linearna

3

Linearna Nelinearna

24

c)

x 2

d)

2 x 12

e)

2. a)

1

2 x 3

2 x 3

12

7 3

x 11 0

3

b) y-presek

4;

; nula x nula

6;

3 2

nula

; nula x

6

b) y-presek

4

; nula x

6

nula x

c)

3 x 11

4 11

6 25

3

2; 3

28 19

3

4. a) y-presek

c) y-presek

Linearna

17 x 19

b)

8 3

3. a) y-presek c) y-presek

Linearna

6

; nagib ; nagib ; nagib

1 2 2 3 21 23


250/262

5/16/2018



5. a) -presek

3 4

; nula

; nagib

9 8

S t r a n a | 237

2 3

y 2

1

-2

2 3

y

-1

3 4

x

1

x

3

2

-1

b) y-presek

7 5

; nula

7 3

; nagib

3 5

y 2

3 x 5 y

1

-2

-1

1

7

x

3

2

-1

c) y-presek

3

; nula

9 2

; nagib

2 3

y 4

2

-4

1 ( x 2

3) 2

-2

3 (y 4 4

1) 6

x

-2


251/262

5/16/2018


238 | S t r a n a

4. Osnovne funkcije

6. Odrediti funkcije nacrtanih linija: a)

1 x 5

2 5 y 2

1

-1

-2

1

x

3

2

-1

b)

2 x 3

2 3 y 2

1

-1

-2

1

x

3

2

-1

c)

1 2

x y 2

1

-2

-1

1

2

3

x

-1


252/262

5/16/2018


S t r a n a | 239


7. a)

f ( x )

3

y 4

y

f ( x)

3

3 2

-1

-2

1

x

3

2

-2

b)

1 2

f ( x )

x 1

1 x 2

i

1

y 2

1

-1

-2 1 2

y

c)

2 x

x 1

3y

y

1 2

f ( x)

1

x 1

x

3

2

-1

4

y 2

1

-2

-1

2 x 3 y

1

2

4 3

x

-1


253/262

5/16/2018


240 | S t r a n a

4. Osnovne funkcije

4.4.3 Rešenja za test napretka za ,,Kvadratne funkcije" Potrebno je da proverite svoja rešenja. Ako su tačna, moţ ete da nastavite i započnete sledeće poglavlje. U bilo kom drugom slučaju (vaše rešenje je pogrešno ili nemate rešenje) potrebno je da se vratite na odgovarajući deo u udţ beniku koji treba da ponovite kako biste savladali tematiku poglavlja. 1. a)

b)

x

2

(normalna parabola)

x 2

2 ( y- pomerena negativna normalna parabola)


254/262

5/16/2018



S t r a n a | 241

( x 1) 2 ( x- pomerena normalna parabola)

c)

d)

( x 1) 2

2

( x- i y- pomerena negativna normalna

parabola)

2. a) y presek b) y presek

c) y presek

6;

0;

nule nule

3;

3,

1

0, 43

nema nula


255/262

5/16/2018


242 | S t r a n a

4. Osnovne funkcije

3. a) Minimum; (h,k ) = (–2, –6) 2, 3

b) Minimum; (h, k )

23 3

) c) Maksimum; (h, k ) ( 54 , 25 8

4. a) Osa simetrije

1;

b) Osa simetrije 5. a) Minimum u

teme

1; 2

1

b) Maksimum u

( h, k )

teme

(h, k )

y (1)

3 4

(

y ( 34 )

1,

(

5)

1 2

, 2)

0

11 8

6. a) D < 0: Nema nula b) D = 0: Jedna nula c) D > 0: Dve nule


256/262

5/16/2018


S t r a n a | 243

Indeks pojmova

Indeks pojmova A action..................................................... 175 algebra ..................................................... 12 algebraic equation functions ........................................... 176 allowance ................................................ 44

B base ................................................... 42, 60 binomial ................................................... 96 binomial formulas.................................. 100 brackets ................................................... 18

C common denominator............................. 30 contradiction ......................................... 125 cross-multiplication ............................... 138

D decimal .................................................... 34 decimal system ........................................ 34 deduction ................................................ 44 degree ..................................................... 95 denominator ............................................ 24 common .............................................. 29 discount ................................................... 44 discriminant........................................... 221 domain................................... 178, 179, 190

linear ................................................. 145 polynomial ........................................124 quadratic ........................................... 156 exponent..................................................60 fractional ............................................. 71 integer ................................................. 63 negative ..............................................61 expression algebraic........................................ 18, 94 fractional ........................................... 106

F fraction division ................................................ 28 expanded ............................................27 mixed ..................................................32 multiplication ...................................... 27 proper .................................................33 reduced ............................................... 26 fractions ................................................... 24 function algebraic equation ............................176 constant ............................................203 domain .............................................. 179 gradient .............................................185 graph ................................................. 176 increasing ..........................................185 inverse.......................................186, 188 linear .................................................201 mirrored ............................................189 one-to-one ........................................188 quadratic ...........................................214 range ................................................. 180 slope..................................................185 value-table ........................................176

E

G

equation ................................................ 121

gradient..................................................185 graph


257/262

5/16/2018


244 | S t r a n a functions ........................................... 176

Indeks pojmova P

I

parabola .................................................216

normal ...............................................217 opening .............................................219 parentheses ....................................... 19, 61 percentage ............................................... 41 base.....................................................42 in the base...........................................46 of the base .......................................... 46 proportion...........................................42 percentages multiple ............................................... 48 periodic .................................................... 35 polynomial ............................... 95, 124, 214 power.......................................................60 principal root ...........................................72 problem analysis ....................................126 properties functions ...........................................181 integer exponents ...............................63 inverse functions ...............................188 linear functions .........................204, 205 negative exponents .............................65

identity .................................................. 125 inconsistency ......................................... 125 inconsistent ........................................... 125 integer numbers ...................................... 14 inverse function ............................. 186, 188 irrational .................................................. 35 irrational numbers ................................... 14

L linear equation ...................................... 145 normal form ...................................... 145 solution ............................................. 146 linear equations solution ............................................. 145 linear function ....................................... 201 lines parallel .............................................. 203

parabolas ..........................................217 polynomials .........................................98 quadratic functions ...........................222 radicals ................................................84 rational exponents ..............................74 real numbers .......................................15

M modelling ............................................... 126

N

Q

natural numbers ...................................... 14 normal form .......................................... 162 normal parabola .................................... 218 numbers .................................................. 14 numerator ............................................... 25

O one-to-one function .............................. 188 opening parabola............................................ 219 operations allowed ............................................. 130

quadratic completion.............................216 quadratic equation ................................156 a,b,c-form..........................................160 normal form ......................................161 standard form ................................... 156 quadratic function .................................214 general form .....................................215 properties..........................................222 vertex ................................................215 zero points ........................................221

R radical ......................................................80


258/262

5/16/2018


S t r a n a | 245

Indeks pojmova radicand ................................................... 80 range.............................................. 180, 190 rational .................................................... 35 rational numbers ..................................... 14 reaction ................................................. 175 real numbers ........................................... 14 rebate ...................................................... 44 remainder mixed fraction ..................................... 33 root principle .............................................. 72

S slope of a line ........................................ 202 slope of tangent line .............................. 185 solution .................................................. 124 equations .......................................... 130 square root .............................................. 71

V

variables.................................................126 dependent.........................................180 VAT...........................................................44

X x -intercept function .............................................184 parabola ............................................220

Y y -intercept ..................................... 183, 202 y -intersept line ....................................................204

Z zero points .....................................184, 202 quadratic function.............................221 zeros.......................................................184

value table functions ........................................... 176


259/262

5/16/2018


246 | S t r a n a


Napomene

260/262

5/16/2018


N a p o m e n e


S t r a n a | 247

261/262

5/16/2018


248 | S t r a n a


Napomene

262/262

Math 1 Serbian Version1

Recommend Documents