Sucesiones Definición
Operaciones con sucesiones
Series numéric as Sucesiones monótonas
Convergencia y divergencia
Termino de una sucesión
Año2012.Nro 1. Vol II Karlaandreinacamacho @ gmail.com Universidad Nacional Experimental” Francisco de Miranda” Álvarez Eidalys Camacho Karla Palmar Wilmer Tovar Yanny
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Reglas, orden, limites
Editorial Matemáticos.com Álvarez Eidalys Camacho Karla Palmar Wilmer Tovar Yanny MENSAJE Esta revista ha sido concebida y diseñada para la explicación de forma fácil y divertida de los temas de sucesiones y series numéricas correspondientes a la unidad curricular Matemática II.
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Índice de contenido Portada……………………………………………………………………………01 Índice……………………………………………………………………………..02 Presentación de la guía didáctica………………………………………………..04 Definición de sucesión…………………………………………………………...05 Término general de una sucesión………………………………………………..05 En orden………………………………………………………………………….06 La regla…………………………………………………………………………..07 Limites de una sucesión…………………………………………………………07 Aproximación a la idea de límite de una sucesión……………………………..08 Sucesiones convergencia y divergencia…………………………………..….....10 Sucesión monótona creciente……………………………………………………11 Sucesión monótona decreciente………………………………………………….13 Límite finito de una sucesión……………………………………………………………………14 Límite infinito de una sucesión……………………………………………………………......17 Las series numéricas…………………………………………………………….20 Dentición y primeras propiedades……………………………………………..21 Series: términos y sumas parciales. Series convergentes, divergentes y oscilantes………………………………………………………………………...22 Linealidad de la convergencia de series…………………………………………24
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Notación de límite………………………………………………………………..25 Determinación de si una sucesión tiene límite o no……………………………..25 Operaciones con sucesiones divergentes………………………………………...26 Suma……………………………………………………………………………...27 Producto………………………………………………………………………….27 Cociente…………………………………………………………………………..28 Logaritmos……………………………………………………………………….29 Formas indeterminadas…………………………………………………………..29 Consideraciones finales…………………………………………………………31
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PROLOGO Estas notas han sido concebidas para ser utilizadas en la parte de sucesión y series numéricas del curso matemática ii de la facultad de educación en la universidad nacional experimental fráncico de miranda. En este curso participan estudiantes cursantes de 6 semestres de tecnología educativa en la carrera de licenciados en matemática mención informática. El trabajo de la elaboración de la revista estuvo a cargo de los bachilleres Álvarez Eidalys, Camacho Karla, ing Palmar Wilmer y TSU Tovar Yanny (autores). Agradecemos cualquier observación o comentario que desean hacer llegar.
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INTRODUCCION
El concepto abstracto de sucesión se puede asociar, en una primera aproximación, a los procesos discretos de la naturaleza, o a aquellos que se pueden describir de esta forma, por ejemplo, la evolución de una población en instantes de tiempo equiespaciados o una señal digital . A parte de su interés como mecanismo para modelar, la teoría de sucesiones aporta una importante herramienta deductiva en el Análisis Matemático. En 1902, el matemático italiano, Leonardo Pisano, llamado Fibonacci, investigó el siguiente problema: “un hombre pone un par de conejos (macho y hembra) de diferente sexo, en un lugar cercado. Los conejos pueden aparearse a partir del primer mes de vida, y las hembras dan a luz tras un mes de gestación. Suponiendo que ningún conejo muere en un año, y que las camadas de conejos que ha parido la hembra están formadas por una nueva pareja de conejos de diferente sexo, cada mes a partir de su segundo mes de vida, ¿cuántos pares de conejos habrá en un año?”. Fibonacci formuló un respuesta mes a mes: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 y 144. Aunque el problema de Fibonacci no era muy realista, su resultado dio origen a una sucesión numérica llamada sucesión de Fibonacci, una de las maravillas de la matemática, presente en los más insólitos fenómenos de la naturaleza y en la creación humana. Algunos de estos ejemplos son: la forma en que se ordenan las semillas de un girasol (tienen 34 curvas en un sentido y 21 en otro, las espirales que se forman hacia la derecha y hacia la izquierda), el ordenamiento de las hojas en una rama
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PRESENTACIÓN DE LA REVISTA La revista es el instrumento (digital o impreso) con orientación técnica para el estudiante, que incluye toda la información necesaria para el correcto uso y manejo provechoso de los elementos y actividades que conforman la asignatura, incluyendo las actividades de aprendizaje y de estudio independiente de los contenidos de un curso.
La revista debe apoyar al estudiante a decidir qué, cómo, cuándo y con ayuda de qué, estudiar los contenidos de un curso, a fin de mejorar el aprovechamiento del tiempo disponible y maximizar el aprendizaje y su aplicación.
Es la propuesta metodológica que ayuda al alumno a estudiar el material, incluye el planteamiento de los objetivos generales y específicos, así como el desarrollo de todos los componentes de aprendizaje incorporados para cada unidad y tema.
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DEFINICIÓN DE SUCESIÓN
Se llama sucesión a un conjunto de números dados ordenadamente de modo que se puedan numerar: primero, segundo, tercero,.... Los elementos de la sucesión se llaman términos y se suelen designar mediante una letra con los subíndices correspondientes a los lugares que ocupan en la sucesión: a1, a2, a3,.... Se llama sucesión de fibonacci a la que se inicia con dos unos:1,1 y cada termino se forma sumando los dos anteriores: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377…. Esta serie tiene diversas relaciones curiosas con la botánica. Pero además cumple que la razón entre dos términos consecutivos mayores de 3 es aproximadamente 1,6, y cuando más elevado son los términos más se acerca a 1,618que es igual a la razón entre los lados del llamado rectángulo áureo, la forma geométrica de mas belleza y perfección, según los artistas plásticos desde la época de los griegos.
TÉRMINO GENERAL DE UNA SUCESIÓN
Se llama término general de una sucesión, y se simboliza con an, al término que representa uno cualquiera de ella. Hay sucesiones cuyo término general puede expresarse mediante una fórmula: an = f(n). Dándole a n un cierto valor natural, se obtiene el término correspondiente.
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En otras sucesiones, para hallar un término es necesario operar con dos o más de los anteriores y se llaman sucesiones recurrentes. Para hallar un término concreto hay que obtener, previamente, todos los anteriores.
Ejemplos 1,3,5,7,9, 11
2
2
2
2
2
La sucesión va de 2 en dos
Ejercicios propuestos
1. 2, -7, -12, ... 2 3, 6, 12, 24, 48, ... 3 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... 4 5, 10, 17, 26, 37, 50, ... 5 6, 11, 18, 27, 38, 51, ... 6 3, 8, 15, 24, 35, 48, ...
En orden Cuando decimos que los términos están "en orden", ¡nosotros somos los que decimos qué orden! Podría ser adelante, atrás... o alternando... ¡o el que quieras!
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Una sucesión es muy parecida a un conjunto, pero con los términos en orden (y el mismo valor sí puede aparecer muchas veces).
Ejemplo:
{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s. El conjunto sería sólo {0,1}
La regla Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término. Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez:
Ejercicios propuestos 1. En una progresión aritmética cuyo tercer término es 14 y cuya diferencia es 4, un término vale 46.¿que lugar ocupa la sucesión? Datos:
=14
d= 4
Limites de una sucesión
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Una sucesión tiene límite, si sus términos van tomando valores cada vez más próximos a una cierta cantidad que llamamos límite de la sucesión. Una característica de esta cantidad es, que los términos de la sucesión nunca llegan a alcanzarla, a pesar de que pueden acercarse a ella tanto como queramos. Expresado de una forma más precisa decimos que una sucesión an tiene límite j si la distancia de an a j se hace más pequeña que un valor que nosotros escojamos: e épsilon (por pequeño que sea éste) desde un término de la sucesión en adelante:
lim an = j
Es decir que a partir de un valor de n la diferencia entre an y j : | an – j | se hace más pequeña que el valor e(épsilon) escogido. Gráficamente podemos representar en dos ejes los términos de la sucesión como puntos, de forma que el eje vertical nos da su valor y en el horizontal aparece su posición dentro de la sucesión, dada por el valor de n. APROXIMACIÓN A LA IDEA DE LÍMITE DE UNA SUCESIÓN - Si se acerca a un número, l, decimos que: an → l ó bien lim an = l Y se lee “an tiende a l” o bien “El límite de an es l” - Si crece de modo que sus valores acaban superando a cualquier número, decimos que: an → +∞ ó bien lim an = +∞ Y se lee “an tiende a +∞” o bien “El límite de an es +∞” - Si decrece, tomando valores menores que cualquier número negativo por grande que sea su valor absoluto, diremos que: an → -∞ ó bien lim an = -∞ Y se lee “an tiende a -∞” o bien “El límite de an es -∞” - Existen otras sucesiones que no se comportan de ninguna de las tres formas anteriores y por tanto no tienen límite y se llaman oscilantes.
Ejemplos
La sucesión 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ... converge al límite 0.
La sucesión 1, -1, 1, -1, 1, ... es oscilante.
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La sucesión 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... converge al límite 1.
Si a es
un
número
real
con valor
absoluto |a|
<
1,
entonces
la
sucesión an posee limite 0. Si 0 < a ≤ 1, entonces la sucesión a1/n posee límite 1.
Ejercicios propuestos
Hallar los límites de las siguientes sucesiones
1. Demuestra que la sucesión
tiene límite 2.
Averigua los términos cuya distancia a 2 es menor que 0.1.
2Probar que la sucesión
tiene por limite 4 y
averiguar cuántos términos de la sucesión están fuera del entorno (4 - 0.001, 4 + 0.001).
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3 Demuestra que la sucesión
tiene por limite
1 y averiguar cuántos términos de la sucesión están fuera del E (1 , 0.001).
4Probar que
. Averigua los términos cuya
distancia al límite es menor que 0.01.
5Demuestra que la sucesión
tiene por limite
+∞. Y calcula cuántos términos de la sucesión son menores que un millón. 6Demuestra que la sucesión a n = −n 2 tiene por limite −∞. Y calcula a partir de que término la sucesión toma valores menores que -10 000.
Sucesiones Convergencia y divergencia Cuando una sucesión tiene límite finito a se dice que es convergente y converge a. Una sucesión que tiene límite infinito se llama divergente.
Una sucesión que carece de límite se llama oscilante. La sucesión an = 1/n converge a 0. La sucesión an = n2 es divergente.
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La sucesión an = sen n es oscilante, pues sus valores varían entre 1 y -1. Ejemplo Ejercicios p a n = 2, 3/2, 4/3, 5/4, ..., n+1 /n
Ejemplo de sucesiones convergente
Límite = 1.
Límite = ∞ a n = 1, 2, 3, 4, 5, ...n
Ejemplos de sucesiones divergentes
b n = -1, -2,-3, -4, -5, ... -n c n = 2, -4, 8, -16, 32, ..., (-1) n -1 2 n Ejercicios propuestos Estudia la monotonía, la convergencia o divergencia de las siguientes sucesiones:
1
2
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3 Sucesión monótona creciente Una sucesión es monótona creciente si se cumple que para todo n naturalan <= an+1 (a1 <= a2 <= a3 <= ... <= an). Ejemplo: an = n es monótona creciente. a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, a4 = 4, ... Ejercicios propuestos Estudiar la monotonia de las siguientes sucesiones:
1 3, 4/3, 1, 6/7,... La sucesión va decreciendo.
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Sucesión monótona decreciente Una sucesión es monótona decreciente si se cumple que para todo n naturalan >= an+1 (a1 >= a2 >= a3 >= ... >= an). Ejemplo: an = 1/n es monótona decreciente.
a1 = 1, a2 = 1/2, a3 = 1/3, a4 = 1/4, ... Ejercicios propuestos
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Estudia la monotonía, la convergencia o divergencia de las
siguientes sucesiones:
1
2
3
Límite finito de una sucesión Consideremos la sucesión an = 1/n. a1 =
1
a2 =
1/2
a3 =
1/3
≈
0.33
a4 =
1/4
=
0.25
a5 =
1/5
a6 =
1/6
≈
0.17
a7 =
1/7
≈
0.14
a8 =
1/8
≈
0.12
17
=
=
0.5
0.2
a9 =
1/9
≈
0.11
a10 = 1/10 = 0.1 A medida que aumenta n, los términos de la sucesión son cada vez más cercanos a 0. Si representamos los términos como puntos en una línea, esto significa que los puntos an se apiñan cada vez más cerca del punto 0 conforme n crece.
Se dice que an tiende a 0, o que tiene límite 0.
Se expresa simbólicamente por: lim an = 0 o bien, ocasionalmente, por la notación abreviada an -> 0. lim an = a <=> para todo ε>0 existe N natural / para todo n > Na - ε < an < a + ε, o lo que es lo mismo, |an - a| < ε.
Para cualquier número positivo ε, por pequeño que sea, podemos encontrar un natural N suficientemente grande tal que a partir del índice N en adelante se tiene que |an - a| < ε.
Es decir, si tomamos un entorno de a de cualquier radio siempre habrá un subíndice N tal que desde N en adelante todos los términos de la sucesión pertenecen a dicho entorno.
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Ejemplos: Se dice que una sucesión a n tiene por límite L si y sólo si para cualquiera número positivo ε que tomemos, existe un término a k , a partir del cual todos los términos de a n , siguientes a a k cumplen que |a n −L| < ε.
La sucesión a n = 1/n tiene por límite 0.
Ya que podemos determinar a partir de que término de la sucesión, su distancia a 0 es menor que un número positivo (ε), por pequeño que éste sea.
Como k>10 a partir del a 1 1 se cumplirá que su distancia 0 es menor que 0.1.
Vamos a determinar a partir de que término la distancia a 0 es menor que 0.001.
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A partir del a 1 0 0 1 se cumplirá que su distancia 0 es menor que 0.001. También podemos definir el límite de una sucesión mediante entornos: Se dice que una sucesión a n tiene por límite L si y sólo si para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio ε, existe un término de la sucesión, a partir del cual, los siguientes términos pertenecen a dicho entorno.
Ejercicios propuestos
1. Demuestra que la sucesión
tiene límite 2. Averigua
los términos cuya distancia a 2 es menor que 0.1.
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2. Probar que la sucesión
tiene por limite 4 y
averiguar cuántos términos de la sucesión están fuera del entorno (4 - 0.001, 4 + 0.001).
Límite infinito de una sucesión Consideremos la sucesión an = n2. a1 = 1
a2 = 4
a3 = 9
a4 = 16
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...
a10 = 100
... a100 = 10.000 Al crecer n, an no tiende a un límite definido, sino que crece más allá de toda cota. Se dice que an tiende a infinito. Lim an = +inf <=> para todo K>0 existe N natural / para todo n > N an > K. Para cualquier número positivo K (tan grande como se quiera), podemos encontrar un natural N, tal que aN y todos los términos siguientes son mayores que K. Esto quiere decir que an puede hacerse mayor que cualquier cota, con tal de que n sea lo suficientemente grande. Ejemplos: Se dice que una sucesión a n tiene por límite +∞ cuando para toda M>0 existe un término a k , a partir del cual todos los términos de a n , siguientes a a k cumplen que a n > M.
Vamos a comprobar que el límite de la sucesión a n = n 2 es +∞.
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1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...
Si tomamos M = 10 000, su raíz cuadrada es 100, por tanto a partir de a 1 0 1 superará a 10 000. a 1 0 1 = 101 2 = 10 201 Se dice que una sucesión a n tiene por límite − ∞ cuando para toda N >0 existe un término a k , a partir del cual todos los términos de a n , siguientes a a k cumplen que a n < −N.
Vamos a comprobar que el límite de la sucesión a n = −n 2 es −∞. −1, −4, −9, −16, −25, −36, −49, ...
Si tomamos N= 10 000 , su raíz cuadrada es 100, por tanto a partir de a 1 0 1 superará a −10 000.
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a 1 0 1 = −101 2 = −10 201
Ejercicios propuestos
1. Demuestra que la sucesión
tiene por limite +∞. Y
calcula cuántos términos de la sucesión son menores que un millón. 2. Demuestra que la sucesión a n = −n 2 tiene por limite −∞. Y calcula a partir de que término la sucesión toma valores menores que -10 000.
Del mismo modo se define lim an = -inf <=> para todo K<0 existe N natural / para todo n > N an < K. Propiedades del límite finito de sucesiones
Las series numéricas Las series numéricas son la suma de los términos de una sucesión y la materia más densa de la primera parte de la asignatura cálculo del primer curso de cualquier carrera técnica. Existen varios tipos de series en función de la naturaleza de la sucesión que las conforma, que pueden ser aritméticas, geométricas, basadas
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en funciones trigonométricas, logarítmicas, exponenciales, etcétera... Pues calcular la suma de términos de las sucesiones es de aplicación para calcular el error máximo que obtenemos al realizar una operación por un método de cálculo numérico iterativo.
Dentición y primeras propiedades Informalmente, una serie es una suma de infinitos sumandos (ver antecedentes históricos y comentarios en [APOSTOL1, cap. 10] y en [DURÁN, pág. 184 y sigs.]). Estas sumas se usan implícitamente, por ejemplo, al considerar desarrollos decimales ilimitados de los números reales: así, la igualdad 7/3= 2, 333... Significa, n ∈ N. En general, consideraremos una sucesión cualquiera (an) y su suma ∑ ∞ n=1an. ¿Qué sentido habrá que darle a esta suma? La respuesta se impone de modo natural: ∑∞ n=1an tiene que ser l´ım m→∞m∑ n=1an. Analizando el proceso anterior, se trata de formar mediante la sucesión de sumandos (an) una nueva sucesión de sumas (sm) dada por sm = a1 + a2 + ··· + am, m ∈ N, y determinar el límite (si existe) de esta última sucesión. Esquemáticamente: lugar 1 2 3 4 ... n ...término a1 a2 a3 a4 ... an ...suma a1 a1 + a2 a1 + a2 + a3 a1 + a2 + a3 + a4 ... a1 + ··· + an ... → ? Ahora bien: si, en definitiva, vamos a parar al estudio de la convergencia de una sucesión, ¿qué novedad vamos a encontrar respecto a lo que ya sabemos de
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sucesiones? El cambio radica en el punto de partida: tomando como dato la sucesión de sumandos (an), nos planteamos determinar propiedades de la sucesión de sumas (sn) basándonos en propiedades de los términos an. Pasemos a formalizar estas ideas. Series: términos y sumas parciales. Series convergentes, divergentes y
oscilantes Definición 8.1.1. Una serie ∑∞ n=1an es un par ordenado de sucesiones ((an), (sn)) relacionadas por la condición de que para cada n ∈ N es sn = a1 + a2 + ··· + an. 171172 Capítulo 8. Series numéricas El término n-ésimo de la primera sucesión, an, recibe el nombre de término nésimo de la serie; el término n-ésimo de la segunda sucesión, sn, recibe el nombre de suma parcial n-ésima de la serie. Se dice que la serie ∑ ∞ n=1an es convergente si la sucesión (sn) de sus sumas parciales es convergente, es decir, si ∃l´ımmsm = l´ımmm∑n=1an ∈ R. Decimos que la serie ∑∞ n=1an es divergente a +∞, divergente a −∞ u oscilante si la sucesión de sus sumas parciales es divergente a +∞, divergente a −∞ u oscilante, respectivamente.
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Si una serie ∑∞ n=1 an es convergente, se llama suma de dicha serie al límite de la sucesión de sus sumas parciales; si la serie diverge a +∞ o a −∞, se dice que su suma es +∞ o −∞, respectivamente. Con un abuso de notación que no suele conducir a error, se denota la suma con el mismo símbolo quela serie. Es decir, se escribe ∞∑ n=1an = l´ımmm ∑ n=1 an, cuando este límite existe. Nota. A veces es cómodo considerar series de la forma ∑ ∞ n=m an, donde m es un número entero: lassumas parciales serán entonces s1 = am, s2 = am + am+1,.sn = am + ··· + am+n−1, . . . Se utiliza también la notación am + am+1 + ··· + an + ··· en vez de ∑ ∞ n=m an y, cuando no da lugara confusión, se abrevia en ∑an. Ejemplo. Una serie ∑ ∞ n=1 an es una serie geométrica si existe un r ∈ R tal que para todo n ∈ N es an+1 = ran (o an+1/an = r si a1 =% 0); de otro modo, si es de la forma ∑ ∞ n=0 arn. Si sn es su suma parcialn-ésima, se tendrá sn = a + ar + ···arn−1=!a1−rn1−rsi r =% 1an si r = 1 Excluyendo el caso trivial a = 0, se sigue: a) si |r| < 1, la serie∞∑n=0 arnes convergente y la suma esa1 − r b) si r ≥ 1, la serie es divergente a +∞ (si a > 0) o a −∞ (si a < 0); c) si r = −1, la serie es oscilante, aunque las sumas parciales están acotadas; d) si r < −1, la serie es oscilante y las sumas parciales tienden, en valor absoluto, a +∞. Ejemplo. La serie ∞∑ n=11 no se llama serie armónica Se comprueba que, para cada n, su suma parcial n-ésima, denotada habitualmente por Hn, cumple
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Hn =n ∑ k=11k ≥n∑ k=1 "k+1kdxx="n+11dxx= log(n + 1), luego la serie armónica diverge a +∞ a pesar de que l´ımn 1n = 0.8.1. Definición y primeras propiedades 173 El carácter de una serie no cambia si se prescinde de un número finito de sumandos (aunque sípuede cambiar el valor de la suma). Dicho de forma más precisa, Proposición 8.1.2. Dada una serie ∑ ∞ n=1an y un entero m > 1, se tiene: a) ∞n=1an converge si y solo si converge ∑ ∞ n=m an. Si convergen, entonces ∞∑ n=1an =m−1∑n=1an +∞∑n=man. b) ∑∞n=1an diverge a +∞ si y solo si ∑∞n=man diverge a +∞. c) ∑∞n=1an diverge a −∞ si y solo si ∑∞n=man diverge a −∞. d) ∑∞n=1an es oscilante si y solo si ∑∞n=m an es oscilante. Demostración. Basta observar que para todo p > m esp∑n=1an =m−1∑n=1an +p ∑ n=man, Done ∑m−1n=1an está fijo (independiente de p), y aplicar las definiciones previas y los resultados conocidos para sucesiones.
Linealidad de la convergencia de series Proposición 8.1.3. Sean ∑∞n=1an, ∑∞n=1bn dos series convergentes. Para cualesquiera α, β ∈ R, la serie ∑∞n=1(αan + β bn) es convergente y se tiene∞∑n=1(αan + β bn) = α ∞∑n=1an + β∞∑n=1bn. Demostración. Basta tener en cuenta que N∑n=1(αan + β bn) = α N ∑n=1an + β N ∑ n=1an.
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Corolario 8.1.4. Si ∑∞ n=1an converge y ∑∞ n=1 bn no es convergente, entonces ∑∞n=1(an + bn) no esconvergente. Demostración. Si la serie ∑∞n=1(an + bn) convergiera, entonces la serie ∞∑n=1bn =∞∑n=1#(an + bn) + (−1)an $también convergería, según la proposición 8.1.3. Ejemplos. La serie ∑(1n+12n) no converge, pues ∑1nno es convergente y ∑12n sí. Sin embargo, al sumar dos series no convergentes, la suma puede ser tanto convergente como no convergente: examínense los casos an = bn = 1 y an = 1, bn= −1.
Notación de límite
Límites Para decir que el límite de la función f es L cuando x tiende á a, se escribe: o bien
.
Igualmente, para decir que la sucesión {an} va á a cuando n tiende a la infinidad, se escribe: o bien
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.
Determinación de si una sucesión tiene límite o no El límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del análisis matemático. El mismo da una definición rigurosa a la idea de una sucesión que se va aproximando hacia un punto llamado límite. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente, y que la sucesión converge o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente. La definición significa que eventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite. La condición que impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite. Qué se entiende por próximo da lugar a distintas definiciones de límite dependiendo del conjunto donde se ha definido la sucesión. Ejemplos
Límite = 0
Sucesión con límite
Límite = 1
Límite = ∞
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Sucesión sin límite
Operaciones con sucesiones divergentes Como las sucesiones son conjuntos ordenados de números, es posible hacer operaciones algebraicas entre dos o más sucesiones.
Suma El límite de la suma algebraica de dos sucesiones convergentes es la suma algebraica de sus límites. Si las sucesiones son divergentes la suma también es divergente y por lo tanto su límite es infinito.
Producto
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El límite del producto de dos sucesiones convergentes es el producto de sus límites. El límite del producto de una sucesión convergente por un número es igual al producto del límite de la sucesión por el número. El límite del producto de una sucesión divergente por un número positivo, sigue siendo divergente y por lo tanto su límite es infinito (más o infinito o menos infinito, según lo sea la sucesión original). El límite del producto de una sucesión divergente por un número negativo, sigue siendo divergente y por lo tanto su límite es infinito (con el signo cambiado a la sucesión original). El producto de los términos de una sucesión divergente por otra acotada inferiormente y que no tienda a cero, es otra sucesión divergente. El producto de los términos de una sucesión divergente por otra infinitésima, produce otra sucesión que puede ser, divergente o convergente u oscilante o indeterminada.
Cociente Si dividendo y divisor son sucesiones infinitésimas, la sucesión cociente es una indeterminación de la forma 0/0. Si el dividendo es un infinitésimo y el divisor una sucesión convergente, la sucesión cociente es un infinitésimo. Si el dividendo es un infinitésimo y el divisor una sucesión divergente, la sucesión cociente es un infinitésimo.
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Si el dividendo es una sucesión convergente y el divisor una sucesión infinitésima, la sucesión cociente es divergente. Si dividendo y divisor son convergentes, la sucesión cociente es divergente de límite, el cociente de los límites de las sucesiones originales. Si
el
dividendo
es
una
sucesión convergente y
el
divisor
una
sucesión divergente, la sucesión cociente es una sucesión infinitésima. Si el dividendo es una sucesión divergente y el divisor una sucesión infinitésima, la sucesión cociente es divergente. Si
el
dividendo
es
una
sucesión divergente y
el
divisor
una
sucesión convergente, la sucesión cociente es divergente. Si dividendo y divisor son ambas divergentes, la sucesión cociente es una indeterminación de la forma infinito/infinito.
Logaritmos Si la sucesión es infinitésima (de términos positivos, obviamente) y la base del logaritmo está comprendida entre 0 y 1, se obtiene una sucesión divergente de límite infinito. Si la sucesión es infinitésima (de términos positivos, obviamente) y la base del logaritmo es mayor que 1, se obtiene una sucesión divergente de límite menos infinito.
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Si la sucesión es convergente, de límite A, la sucesión resultante es convergente de límite el logaritmo de A. Si la sucesión es divergente, de límite infinito y la base del logaritmo es mayor que 1, la sucesión resultante es divergente de límite infinito. Si la sucesión es divergente, de límite infinito y la base del logaritmo está comprendida entre 0 y 1, la sucesión resultante es divergente de límite menos infinito.
Formas indeterminadas Como resultado de las operaciones anteriores se pueden producir casos en los que no se pueda calcular el valor y por eso se llaman indeterminaciones. Las indeterminaciones son: ¥ - ¥ ¥ / ¥ 0 / 0 0 * ¥ 00 ¥ 0 1¥ Es evidente que el símbolo ¥ representa un número muy grande pero ya no es tan evidente que los números cero y uno que aparecen en estas expresiones no son exactamente estos números si no números infinitamente próximos a ellos. Por eso, un número infinitamente próximo a 1 elevado a un número infinitamente grande es una indeterminación.
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CONSIDERACIONES FINALES
La estructura de la revista obedece a las condiciones institucionales en que se determina su producción y uso; no así, sus características y funciones básicas que son la traducción de una metodología de enseñanza propia del docente que promueve aprendizajes significativos a distancia. No existen modelos únicos, ni determinantes.
Evidentemente los objetivos de aprendizaje determinan la construcción de la guía didáctica, empero, su concepción didáctica y los componentes ilustrativos y Facilitadores del aprendizaje mínimos, son los expuestos en este documento.
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EVENTOS
Comprensión del material de se sucesión Compra de la revista para lectura del tema Conferencias con potentes para la aclaratoria de dudas sobre el tema Salida de la nueva edición de la revista
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