Matematica Santillana

página

Presentación y jornalización

3

Planificaciones didácticas

4

Unidad 1.

Trabajemos con números reales

Guía N° 1

Raíz cuadrada

Unidad 2.

Operemos con polinomios

Guía N° 2.

Cocientes notables

Unidad 3.

Midamos y construyamos con triángulos

Guía N° 3.

Triángulos, según sus lados y sus ángulos

32

Guía N° 4.

Teorema: “La suma de los ángulos exteriores de un triangulo”

34

Guía N° 5.

Rectas y puntos notables de un triángulo

35

Guía N° 6.

Criterios de igualdad de triángulos

38

Guía N° 7.

Semejanza de triángulos

40

Guía N° 8.

Teorema de Pitágoras

42

Unidad 4.

Aprendamos a factorizar

Unidad 5.

Trabajemos con áreas de figuras planas

Guía N° 9.

Áreas de regiones planas

43

Guía N° 10.

Fórmula de un polígono regular

46

Guía N° 11.

Elementos de un sector circular y de una corona circular

47

Guía N° 12.

Área total de un cubo

48

Unidad 6.

Operemos fracciones algebraicas

Guía N° 13.

Máximo común divisor

49

Guía N° 14.

Fracción algebraica

51

Unidad 7.

Calculemos el área y el volumen de cuerpos geométricos

Guía N° 15.

El prisma recto

52

Guía N° 16.

La pirámide regular hasta seis lados

54

Unidad 8.

Utilicemos la información

Guía N° 17.

Estadística. Recopilación de la información

Unidad 9.

Trabajemos con ecuaciones

Guía N° 18.

Ecuaciones

57

Guía N° 19.

Fracciones de primer grado con denominadores compuestos

59

Guía N° 20.

Gráfica de una ecuación lineal

60

x

28

29

55

PRESENTACIÓN Editorial Santillana, ante la disposición ministerial de que los programas de estudio actuales deben contener el 80% de los contenidos de los programas de estudio anteriores, decide realizar el análisis de aquellos contenidos desarrollados en los textos escolares “Competentes”, los cuales fueron creados desde el enfoque por competencias y el modelo constructivista. Con este fin, Editorial Santillana decide crear una guía complementaria de estudio con el propósito de apoyar, de forma responsable, el trabajo que realiza el personal docente que actualmente utiliza nuestros textos escolares. Esta iniciativa pedagógica nace con la intención de cubrir aquellos contenidos que establece la actual propuesta curricular del MINED (los programas de estudio) y con ello volver vigentes nuestros textos escolares para facilitarle al personal docente la búsqueda de información y procesos metodológicos requeridos en dicho programa. De igual forma, Santillana aprovecha la oportunidad para brindarles una propuesta de: • Jornalización para cada asignatura tomando en consideración: el tiempo, las unidades, los contenidos y los sistemas de evaluación trimestral que indica el MINED. • La planificación del proceso de enseñanza-aprendizaje (unidades didácticas) basada en competencias: contenidos conceptuales, procedimentales, actitudinales, indicadores de logro, orientaciones metodológicas y orientaciones de evaluación, mediante la creación de actividades integradoras. • El desarrollo de nuevos contenidos que nuestros textos no cubren, que se desarrollan de forma parcial o que necesitan ampliación. Con este esfuerzo editorial, garantizamos el cumplimiento del programa de estudio. 1) Jornalización (según calendario 2009)

Nº de Total de Total de horas Nº de horas horas unidades clase por anuales semanales unidad 200

5

9

15 30 15 30 25 25 15 15 30

Unidades 1. Trabajemos con números reales 2. Operemos con polinomios 3. Midamos y construyamos con triángulos 4. Aprendamos a factorizar 5. Trabajemos con áreas de figuras planas 6. Operemos fracciones algebraicas 7. Calculemos el área y el volumen de cuerpos geométricos 8. Utilicemos la información 9. Trabajemos con ecuaciones

Fecha de inicio

Fecha de finalización

12 de enero

30 de enero

2 de febrero

13 de marzo

16 de febrero

03 de abril

15 de abril

26 de mayo

27 de mayo

01 de julio

2 de julio

10 de agosto

11 agosto

31 de agosto

1 de septiembre

22 de septiembre

23 septiembre

30 de octubre

Evaluación trimestral

30 de marzo al 3 de abril

25 al 31 de agosto

26 al 30 de octubre

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Planificación de unidades didácticas Unidad 1. Trabajemos con números reales

Competencias: • Razonamiento lógico matemático. • Comunicación con lenguaje matemático. • Aplicación de la matemática al entorno.

Tiempo: 15 horas

Objetivo de unidad: X Realizar operaciones con los números reales y la raíz cuadrada aplicando sus propiedades para solucionar problemas de la vida diaria, valorando el aporte de los demás. N° pág. Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales Texto Santillana - Representación grafica de números irracionales en la - Seguridad al graficar números irracionales en la recta - Números irracionales: numérica. recta numérica. ̇ gráfica 46-47 - Perseverancia en la realización de ejercicios y - Resolución de ejercicios y problemas aplicando problemas. números irracionales. - Números reales: - Ubicación gráfica de los números reales en la recta - Precisión al graficar números reales en la recta 48 ̇ representación geométrica numérica. numérica. - Seguridad y orden al resolver operaciones combinadas - Resolución de problemas aplicando operaciones - Operaciones: de números reales. combinadas y signos de agrupación de números ̇ suma, resta, multiplicación y 57-61- 96 reales. división ̇ signos de agrupación - Resolución de problemas de aplicación de raíces - Valora la utilidad de la raíz cuadrada. Guía de cuadradas. - Seguridad, orden y precisión al obtener la raíz - Raíz cuadrada x . contenidos N°1 cuadrada. Sugerencias Metodológicas: • Defina el conjunto de los números reales como la unión de los números racionales con el conjunto de los números irracionales. • Pida que solucionen ejercicios de suma, resta, multiplicación y división. • Indique que practiquen los pasos para calcular la raíz cuadrada. Actividades de evaluación: Indicadores de logro: 1.1. Utiliza con seguridad los números irracionales en problemas de aplicación. • Diagnóstica: resolución de la sección “Recuerda y practica” págs. 44 y 45. 1.2. Resuelve con seguridad, orden y precisión la raíz cuadrada en problemas • Formativa: observaciones del grado de precisión y dominio que muestre en la de aplicación. resolución de los ejercicios, diagnóstico y de refuerzo. • Sumativa: - Actividad individual: resolver los ejercicios de las págs. 57 – 58 – 59 – 61. Criterios: Orden y aseo 20%.

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-

Constancia del proceso Precisión en las respuestas Puntualidad Actividad grupal: realizar actividad de refuerzo de págs. 52 – 53 – 64 – 65. Criterios: Orden y aseo Aportes al trabajo en equipo Seguridad en el desarrollo de las resoluciones y respuestas Perseverancia y puntualidad en la entrega del reporte

60 %. 10%. 10%.

10%. 20%. 60%. 10%.

Criterios de evaluación: • Seguridad • Perseverancia • Precisión.

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Planificación de unidades didácticas Unidad 2. Operemos con polinomios


Tiempo: 30horas

Objetivo de unidad: X Interpretar la realidad valorando y utilizando el lenguaje algebraico de los polinomios, así como proponer soluciones a problemáticas económicas y sociales, a través de los productos y cocientes notables. N° pág. Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales Texto Santillana - Seguridad al identificar y explicar el grado - Identificación del grado absoluto y relativo en - Polinomios: absoluto y relativo de un polinomio. polinomios. ̇ grado absoluto y relativo 78-80 - Confianza y precisión al resolver problemas - Resolución de problemas determinando el valor ̇ valor numérico de aplicación del valor numérico. numérico de polinomios. - Orden y seguridad al resolver el ejercicio de - Suma y resta. - Resolución de sumas y restas de polinomios con suma y resta de polinomios. signos de agrupación. 92-95 - Seguridad al introducir o suprimir signos de - Resolución de problemas aplicando suma y resta agrupación en la suma y resta de de polinomios. polinomios. - Confianza y seguridad al deducir y utilizar - Potencia de exponentes enteros. - Deducción y utilización de las propiedades de las las propiedades de los exponentes. potencias enteras. 96-97 - Resolución de problemas aplicando las propiedades de las potencias enteras. - Multiplicación de polinomios. - Realización de multiplicaciones de: polinomios por - Seguridad y confianza al resolver problemas aplicando la multiplicación de monomios, polinomios por polinomios. 105-106 polinomios. - Resolución de problemas aplicando la multiplicación de polinomios. - Confianza y seguridad en la deducción, - Deducción, explicación y aplicación del cuadrado - Productos notables. demostración y aplicación del cuadrado de de un binomio y del cubo de un binomio. ̇ Cuadrado de la suma de dos términos: un binomio. - Resolución de problemas aplicando el cuadrado de (a+b)2 = a2+2ab+b2 - Seguridad e interés al resolver problemas un binomio y el cubo de un binomio. ̇ Cuadrado de la diferencia de dos 107-109 términos: - Deducción, explicación y aplicación del producto de aplicando el cubo de un binomio. - Resolución de problemas aplicando la suma la suma de dos términos por su diferencia. (a-b)2 = a2-2ab+b2 ̇ Cubo de la suma de dos términos: por la diferencia de dos términos. - Resolución de problemas aplicando la suma por la diferencia de dos términos. (m+n)3=m3+3m2n+3mn2+n3

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̇ Cubo de la diferencia de dos términos: (m-n)3= m3-3m2n+3mn2-n3 ̇ Producto de la suma de dos términos por su diferencia: (a+b) (a-b) = a2-b2 - Division de polinomios. - Aplicación de las propiedades de las potencias en la división de polinomios entre monomios y de polinomios entre polinomios. - Resolución de problemas de aplicación usando la división de polinomios. - Division sintética.

- Cocientes notables: ̇ Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de dichas cantidades: a2 – b2/ a-b = a+b a2-b2/a+b = a-b ̇ Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o diferencia de dichas cantidades: a3+b3/ a+b = a2-ab+b2 a3-b3/a-b = a2+ab+b2 ̇ Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades: am+bm/ a+b = nunca es exacto si m am+bm/a-b = es par

- Explicación, demostración y aplicación de la división sintética. - Resolución de problemas utilizando la división sintética. - Determinación, explicación, aplicación y solución de problemas del cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o diferencia de dichas cantidades. - Determinación, explicación, aplicación y solución de problemas del cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o diferencia de dichas cantidades. - Deducción, explicación, aplicación y resolución de problemas del cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades.

- Seguridad al utilizar y explicar las propiedades de potencia en la división de polinomios. - Colabora con sus compañeros en la solución de problemas aplicando la división de polinomios. - Aplica con seguridad y perseverancia la división sintética.

112-113

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- Seguridad y confianza al resolver problemas aplicando cocientes notables.

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Guía de contenidos N°2

Sugerencias Metodológicas: • Ilustre la sustitución de las letras de una expresión algebraica por un valor numérico específico para obtener su valor. Practicarlo resolviendo los ejercicios de la página 80. • Explique cómo simplificar una expresión por medio de sumas y restas de términos semejantes.

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• Construya reglas para resolver productos y cocientes notables. • Enseñe cómo simplificar divisiones empleando el método de división sintética. Actividades de evaluación: Sugerencias Metodológicas: 2.1. Resuelve problemas aplicando el valor numérico con confianza. • Diagnóstica: resolución de la sección “Recuerda y practica” págs. 74 y 75. 2.2. Resuelve con seguridad sumas y restas de polinomios que contienen • Formativa: observación del orden y seguridad al resolver diferentes ejercicios y signos de agrupación. el grado de precisión en la respuesta. Se dará atención y seguimiento al grado 2.3. Demuestra confianza al resolver problemas aplicando la multiplicación y/o de colaboración y perseverancia que brinden al trabajo en equipo. división de polinomios. • Sumativa: 2.4. Demuestra los productos y/o cocientes notables con seguridad. - Actividad individual: resolución de páginas 74 y 75. 2.5. Demuestra perseverancia en la solución de problemas al utilizar la división Criterios: sintética. Orden y aseo 20%. Proceso escrito 50%. Precisión en las respuestas 10%. Perseverancia en la solución completa de aplicaciones 10%. Puntualidad en la entrega 10%. - Actividad grupal: efectuar actividades de refuerzo págs. 101,119 y 120; reunidos en equipos de trabajo. Socializar posteriormente los resultados. Criterios: Orden y aseo 10%. Colaboración en el trabajo de equipo 20%. Seguridad y calidad de desarrollo 60%. Perseverancia y puntualidad en la entrega del reporte 10%. Criterios de evaluación: • Seguridad • Confianza • Colaboración • Perseverancia

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Planificación de unidades didácticas Unidad 3. Midamos y construyamos con triángulos


Tiempo: 15 horas

Objetivo de unidad: X Construir soluciones a situaciones problemáticas del aula y del entorno utilizando los triángulos con sus teoremas y rectas notables, valorando la opinión de los demás. N° pág. Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales Texto Santillana - Precisión y aseo al construir triángulos. - Construcción, descripción y explicación de los - Triángulos: Guía de contenidos - Seguridad al clasificar triángulos. triángulos y clasificación de los mismos según sus ̇ según sus lados y sus ángulos N°3 lados y sus ángulos. - Demostración y explicación del teorema. - Precisión al resolver problemas utilizando el - Teorema: “ La suma de los teorema. Guía de contenidos ángulos exteriores de un triangulo - Resolución de problemas aplicando el teorema. N°4 es igual a 360º “. - Rectas y puntos notables de un triángulo: ̇ alturas ̇ ortocentro ̇ medianas ̇ baricentro ̇ mediatrices ̇ circuncentro ̇ bisectrices ̇ incentro - Criterios de igualdad de triángulos: ̇ lado-ángulo-lado ̇ ángulo-lado- ángulo

- Trazo y construcción de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices de un triángulo cualquiera. - Determinación y explicación del ortocentro, baricentro, circuncentro e incentro de un triángulo cualquiera. - Resolución de problemas utilizando las rectas notables de los triángulos. - Construcción de la circunferencia inscrita en un triángulo cualquiera.

- Utilización y explicación de los criterios de igualdad de triángulos. - Resolución de problemas aplicando los criterios de igualdad de triángulos. - Semejanza de triángulos. - Deducción, utilización y explicación de la proporcionalidad en la semejanza de triángulos. - Resolución de problemas aplicando la semejanza de triángulos. - Demostración, explicación y utilización del teorema. - Teorema: “Todo paralelo a un lado - Demostración, explicación y utilización del teorema de un triángulo forma, con otros de Pitágoras.

- Precisión en el trazo de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices de un triángulo. - Seguridad en la determinación del ortocentro, baricentro, circuncentro e incentro de un triángulo. - Precisión en el trazo de la circunferencia inscrita.

- Seguridad al utilizar y explicar los criterios de igualdad de triángulos.



- Colabora con sus compañeros en la resolución de problemas aplicando la semejanza de triángulos. - Seguridad al demostrar, explicar y utilizar teoremas.


- Cooperar con sus compañeros en la resolución de problemas aplicando el teorema de Pitágoras.


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dos lados, un triángulo semejante al primero”.

- Resolución de problemas aplicando el teorema.

̇ Teorema de Pitágoras: c2 = a2+b2

Sugerencias Metodológicas: • Indique que usen instrumentos de medición para construir triángulos sin restricción de medidas en sus lados. • Pida que midan los ángulos internos de dichos triángulos con el transportador. • Solicite que redacten el teorema de: “suma de ángulos internos” y “suma de ángulos externos” de todo triángulo. • Pida que construyan y definan rectas notables de un triángulo. • Defina criterios de igualdad de triángulos. • Defina criterios de semejanza de triángulos. • Enseñe cómo se demuestra el teorema de Pitágoras. Actividades de evaluación: Indicadores de logro: 3.1. Resuelve con precisión problemas aplicando teoremas de: suma de • Diagnóstica: construcción de triángulos sin restricción de medidas en sus lados ángulos internos y suma de ángulos externos de todo triángulo. usando como instrumentos de medición: regla, compas y escuadras. 3.2. Construye con precisión las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices • Formativa: observación del uso correcto de los diferentes instrumentos de de los lados de un triángulo cualesquiera. medición en la construcción de triángulos y medición de ángulos internos y 3.3. Determina con seguridad el ortocentro, baricentro, circuncentro e externos de todo triángulo. Se prestará atención a la solución de problemas a incentro de un triángulo cualquiera. través de trabajo cooperativo. 3.4. Construye con precisión la circunferencia inscrita en un triángulo • Sumativa: cualquiera. - Actividad individual: construir diversos tipos de triángulos y trazar los 3.5. Determina y aplica con seguridad la igualdad y la semejanza de segmentos notables con precisión. triángulos, mostrando confianza. Localizar ortocentro, baricentro, circuncentro e incentro en triángulos dados. 3.6. Resuelve problemas aplicando el teorema de Pitágoras, en cooperación Criterios: con sus compañeros. Precisión en la construcción de triángulos y segmentos notables 40%. Seguridad al determinar puntos notables de todo triángulo 30%. Orden y aseo 20%. Puntualidad en la entrega 10%. -

Actividad grupal: resolver problemas aplicando el teorema de Pitágoras.

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Criterios: Participación cooperativa Respeto a los aportes de compañeros Seguridad y calidad de desarrollo Orden y aseo Puntualidad en la entrega del reporte

10%. 10%. 60%. 10%. 10%.

Criterios de evaluación: • Precisión • Aseo • Seguridad.

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Planificación de unidades didácticas Unidad 4. Aprendamos a factorizar


Tiempo: 30 horas

Objetivo de unidad: X Utilizar la factorización algebraica como un medio para interpretar sus contextos escolares y sociales, y de esta manera proponer soluciones creativas a los problemas que en dichos ámbitos existan. N° pág. Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales Texto Santillana - Seguridad al determinar el factor común - Interpretación, explicación y aplicación de - Factoreo: monomio y polinomio de expresiones factorización. ̇ factor común monomio: algebraicas. - Determinación y aplicación del factor común ab + ac + ad = a(b + c + d) 130-131 monomio y polinomio. ̇ polinomio: - Resolución de problemas utilizando factor ac + cb + ad + bd = común monomio y polinomio. c(a+b) + d(a+b) = (a+b) (c+d) - Trinomio cuadrado perfecto: - Resolución de ejercicios y problemas aplicando - Perseverancia en la solución de ejercicios y 2 2 2 a + 2ab + b = (a+b) trinomio cuadrado perfecto. problemas aplicando trinomio cuadrado 132 perfecto. - Aplicación de las reglas a un trinomio cualquiera - Perseverancia en la solución de ejercicios y - Trinomios factorizables que no son trinomios problemas aplicando trinomios cuadrados para determinar si es factorizable. cuadrados perfectos: perfectos. 133-134 x2 + sx + px2 + sx + p = (x + a) . (x - Resolución de problemas aplicando la descomposición de trinomios factorizables que + b) si a + b = s y a . b = P no son trinomios cuadrados perfectos. - Certeza en la aplicación de la diferencia de - Diferencia de cuadrados: - Factorización y resolución de problemas cuadrados. a2 – b2 = (a + b) (a – b) aplicando la descomposición de expresiones 135 - Perseverancia al resolver problemas algebraicas por diferencia de cuadrados. aplicando la diferencia de cuadrado. - Seguridad en la aplicación de la ̇ Suma de cubos: - Aplicación de reglas para determinar si una descomposición factorial por suma y/o a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) expresión algebraica es factorizable por suma o 136 diferencia de cubos. diferencia de cubos. - Perseverancia en la resolución de problemas ̇ Diferencia de cubos: - Resolución de problemas aplicando la a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) descomposición por suma o diferencia de cubos. utilizando la suma o diferencia de cubos. - Seguridad y certeza en la aplicación de - Trinomios cuadrados perfectos y diferencia de - Factorización de expresiones algebraicas reglas para factorizar por la combinación del aplicando la combinación del trinomio cuadrado cuadrados combinados: 139 trinomio cuadrado perfecto con la diferencia perfecto con la diferencia de cuadrados. A2 + 2ab + b2 – c2 = (a + b)2 – c2 de cuadrados. - Resolución de problemas aplicando la =

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[(a + b) + c][(a + b) – c ] - Factorización de polinomios empleando la división sintética: P = (x – a) (x – b) (x – c)…(x – n)

combinación del trinomio cuadrado perfecto con la diferencia de cuadrados. - Factorización de expresiones algebraicas aplicando la división sintética. - Resolución de problemas factorizando por división sintética.

- Esmero en la aplicación de la factorización empleando la división sintética. - Perseverancia en la resolución de problemas factorizando expresiones algebraicas por división sintética.

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Sugerencias Metodológicas: • Pida que ejecuten las actividades “Recuerda y practica” de las págs. 128-129 para retroalimentar contenidos básicos del factoreo. • Solicite que construyan un cuadro con las características de cada caso de factoreo. • Identifique, en expresiones algebraicas dadas, el caso de factoreo que debe usarse en su resolución. • Propicie diversos problemas para aplicar la descomposición de expresiones algebraicas por diferentes casos de factoreo. Actividades de evaluación: Indicadores de logro: 4.1. Identifica, en expresiones algebraicas dadas, las características del tipo • Diagnóstica: resolución de la sección “Recuerda y practica” págs. 128-129. de factoreo a usar en su simplificación. • Formativa: observación de la seguridad con la que identifica en expresiones 4.2. Resuelve con seguridad problemas utilizando el caso de factoreo algebraicas las características del tipo de factoreo a usar en su simplificación y indicado. la perseverancia y certeza con la que resuelve problemas utilizando el caso de factoreo indicado. • Sumativa: - Actividad individual: resolución de actividad “Recuerda y practica” págs. 128-129. - Resolver actividades de refuerzo de páginas 143 y 144. Criterios (para ambas actividades): Orden y aseo 10% Constancia del desarrollo 40%. Precisión en las respuestas 20%. Perseverancia en el desarrollo completo 20%. Puntualidad en entrega 10%. - Actividad grupal: reunidos en equipos de trabajo resolver actividades de ampliación de págs. 144 y 145. Criterios: Orden y aseo 10%. Seguridad en la resolución 20%. Aportes en el trabajo cooperativo 20%. Precisión en los procesos y respuestas 40%. Puntualidad en la entrega del reporte 10%.

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Criterios de evaluación: • Seguridad • Perseverancia • Certeza.

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Planificación de unidades didácticas Unidad 5. Trabajemos con áreas de figuras planas


Tiempo: 25 horas

Objetivo de unidad: X Aplicar el cálculo de superficies y volúmenes al aula y sus alrededores, a fin de buscar soluciones a las diversas problemáticas que puedan presentarse; valorando, además, la armonía y belleza geométrica que le rodea. N° pág. Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales Texto Santillana - Precisión al deducir y utilizar la fórmula para - Áreas de regiones planas: - Deduce y utiliza fórmulas para calcular el área de encontrar el área de figuras geométricas. ̇ triángulo figuras planas. - Esmero al solucionar problemas. A= 1/2 b . h - Resolución de problemas utilizando la fórmula de ̇ cuadrado áreas de figuras geométricas. A= I2 ̇ rectángulo y romboide A= b . h Guía de contenidos ̇ rombo N°9 A= D . d/2 ̇ trapecio A= B+b/2 . h ̇ polígono regular A= p.a/2 ̇ círculo A= r2 - Precisión y aseo al construir y describir polígonos - Construcción y descripción de polígonos regulares - Fórmula de un polígono regular: regulares. desde cinco hasta 12 lados. ̇ pentágono - Orden y seguridad al determinar y utilizar las - Determinación y utilización de las fórmulas para ̇ hexágono fórmulas para calcular áreas de polígonos regulares. calcular áreas de polígonos regulares. ̇ heptágono - Perseverancia al resolver problemas. ̇ octágono Guía de contenidos ̇ nonágono N°10 ̇ decágono ̇ endecágono ̇ dodecágono - Fórmula A= nla/2.

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- Elementos del polígono. - De un sector circular: A= r2n0 /360° - De una corona circular: A= (R2 – r2) - Total de un cubo: A= 6I2 - Lateral y total de un ortoedro: A=2.a.b + 2.a.c + 2.b.c - Lateral: A1= 2.a.b A2= 2.b.c A3= 2.a.c - Figuras compuestas (de región poligonal).

- Representación gráfica y descripción de un sector circular y de una corona circular. - Resolución de problemas aplicando la fórmula para encontrar el área de un sector circular y/o una corona circular. - Cálculo del área de un cubo. - Resolución de problemas aplicando las fórmulas del área lateral y total de un ortoedro. - Resolución de problemas aplicando las fórmulas de área de figuras compuestas.

- Precisión y aseo al graficar un sector circular y/o una corona circular. - Perseverancia en la resolución de problemas aplicando la fórmula del área de un sector circular y/o una corona circular. - Interés por identificar y relacionar un ortoedro y un paralelepípedo. - Seguridad y confianza en si mismo para proponer soluciones a problemas relacionados con el ortoedro. - Cooperar con sus compañeros en la búsqueda de la solución de los problemas sobre áreas de figuras planas.



Sugerencias Metodológicas: • Indique cómo trazar figuras planas como: triángulo, cuadrado, rectángulo, romboide, rombo, trapecio, polígono regular y círculo. • Enseñe la manera para deducir fórmulas para encontrar el área de figuras geométricas. • Pida que construyan sobre papel de color polígonos regulares desde cinco hasta 12 lados. • Solicite que calculen las áreas lateral y total de un cubo. Actividades de evaluación: Indicadores de logro: 5.1. Resuelve con esmero problemas utilizando las fórmulas de áreas en • Diagnóstica: clasificar diferentes tipos de figuras planas atendiendo al número figuras geométricas. de lados. 5.2. Resuelve con perseverancia problemas aplicando la fórmula para • Formativa: observación del trazo de figuras planas regulares midiendo con encontrar el área de una corona o sector circular. precisión cada uno de sus lados; y construcción de polígonos regulares sobre 5.3. Resuelve problemas aplicando las fórmulas del área lateral y total de un papel de color mostrando habilidad en dicha ejecución. ortoedro, con seguridad y confianza. • Sumativa: - Actividad individual: en forma individual, y usando instrumentos de medición, trazar figuras planas y polígonos regulares. Calcular el área de una variedad de figuras planas y polígonos regulares dados en una guía. Criterios: Precisión en los trazos de figuras planas 40%. Seguridad en el uso de fórmulas para calcular el área 40%. Orden y aseo 10%.

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-

Puntualidad en la entrega 10%. Actividad grupal: resolver problemas usando las fórmulas indicadas en el cálculo de áreas laterales y total de un ortoedro. Criterios: Perseverancia en la solución total de problemas 30%. Seguridad en el uso correcto de la fórmula 40%. Participación cooperativa 10%. Orden y aseo 10%. Puntualidad en la presentación del reporte 10%.

Criterios de evaluación: • Orden • Seguridad • Perseverancia • Precisión • Aseo.

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Planificación de unidades didácticas Unidad 6. Operemos fracciones algebraicas

competencias: • Razonamiento lógico matemático. • Comunicación con lenguaje matemático. • Aplicación de la matemática al entorno.

Tiempo: 25 horas

Objetivo de unidad: X Aplicar con seguridad las fracciones algebraicas y sus propiedades al reducir a términos más simples los resultados, solucionando así el problema de la vida diaria. N° pág. Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales Texto Santillana - Perseverancia al determinar el mínimo común - Determinación del mínimo común múltiplo de - Mínimo común múltiplo: múltiplo de expresiones algebraicas a partir de expresiones algebraicas a partir de los números ̇ monomio 154 – 155 – 156 números enteros. enteros. ̇ polinomio - Seguridad al solucionar problemas con el mínimo - Resolución de problemas de aplicación del mínimo común múltiplo monomio y polinomio. común múltiplo (monomio y polinomio). - Seguridad al determinar el máximo común divisor - Determinación del máximo común divisor de - Máximo común divisor: de expresiones algebraicas a partir de los números expresiones algebraicas a partir de números ̇ monomios Guía de contenidos enteros. enteros. ̇ polinomios N°13 - Perseverancia al resolver problemas aplicando el - Resolución de problemas aplicando el máximo máximo común divisor monomio y polinomio. común divisor monomio y polinomio. - Orden e interés al simplificar fracciones y resolver - Simplificación de fracciones algebraicas. - Fracción algebraica: problemas de aplicación. - Resolución de problemas aplicando la simplificación ax + by + c / Guía de contenidos - Autonomía y confianza al determinar y explicar el de fracciones algebraicas. mx + ny + p N°14 valor numérico de una fracción algebraica. - Determinación y explicación del valor numérico de ̇ Simplificación. ̇ Valor numérico. una fracción algebraica. - Operaciones: ̇ multiplicación a/b . c/d = ac/bd ̇ división a/b ÷ c/d = ad/bc ̇ suma y resta a/b ± c/d = ad ± bc / bd - Fracciones complejas.

- Multiplicación y división de fracciones algebraicas con denominadores monomios y/o polinomios. - Resolución de problemas utilizando la multiplicación y/o división de fracciones algebraicas. - Suma y resta de fracciones algebraicas con denominadores monomios y/o polinomios. - Resolución de problemas utilizando la suma y resta de fracciones algebraicas. - Identificación y resolución de fracción algebraica compleja. - Resolución de problemas utilizando fracciones algebraicas complejas.

- Orden y aseo al efectuar operaciones de fracciones algebraicas con denominadores monomios y/o polinomios. - Colabora con sus compañeros al resolver problemas utilizando operaciones combinadas de fracciones algebraicas.

- Seguridad e interés al identificar y resolver fracciones algebraicas complejas. - Colabora con sus compañeros en la solución de problemas aplicando la simplificación de fracciones algebraicas complejas.

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166

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Sugerencias Metodológicas: • Pida que efectúen actividades “Recuerda y practica” de las páginas 152-153 para explorar conocimientos sobre fracciones. • Ilustre el uso del mínimo común múltiplo monomio y polinomio en la solución de fracciones algebraicas. • Explique el uso del máximo común divisor monomio y polinomio en la solución de fracciones algebraicas. • Indique que ejerciten la obtención del valor numérico de una expresión algebraica. • Estimule la resolución de problemas utilizando multiplicación y/o división de fracciones algebraicas. Actividades de evaluación: Indicadores de logro: 6.1. Resuelve con perseverancia problemas de aplicación del mínimo común • Diagnóstica: resolución de sección “Recuerda y practica” págs. 152 y 153. múltiplo y máximo común divisor monomio y polinomio. • Formativa: determinación con autonomía y confianza el valor numérico de 6.2. Determina con autonomía y confianza el valor numérico de fracciones fracciones algebraica. Dar orientación en los pasos a seguir para sumar, algebraicas. restar, multiplicar o dividir fracciones algebraicas. 6.3. Multiplica y/o divide fracciones algebraicas con denominadores monomios • Sumativa: y/o polinomios; con orden y aseo. - Actividad individual: elaborar individualmente cuadro resumen que contenga los pasos a seguir para sumar, restar, multiplicar o dividir fracciones algebraicas. Criterios: Contenido completo del cuadro resumen 40%. Orden y aseo 20%. Calidad de síntesis 30%. Puntualidad en la entrega 10%. - Actividad grupal: reunidos en parejas de trabajo resolver actividades de refuerzo de páginas 170 y 171. Criterios: Calidad de aportes al trabajo en equipo 40%. Interés en la solución total de la actividad 30%. Orden y aseo 20%. Puntualidad en la entrega del reporte 10%. Criterios de evaluación: • Seguridad • Perseverancia • Interés • Orden • Aseo.

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Planificación de unidades didácticas Unidad 7. Calculemos el área y el volumen de cuerpos

geométricos


Tiempo: 15 horas

Objetivo de unidad: X Utilizar el área y volumen de los cuerpos geométricos para proponer soluciones a situaciones problemáticas del aula, de su entorno social y familiar, valorando la opinión de los demás. N° pág. Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales Texto Santillana 217 - Seguridad y precisión al trazar y describir los - Descripción y trazo de los elementos geométricos - La esfera: elementos que forman la esfera. que forman la esfera. ̇ diámetro - Determinación y utilización de la fórmula del área y - Confianza al aplicar la fórmula del área y del ̇ radio volumen de la esfera. volumen de la esfera. ̇ centro - Resolución de problemas aplicando las fórmulas del - Coopera con sus compañeros al resolver ̇ cuerda problemas sobre áreas y volúmenes de cuerpos área y volumen de cuerpos esféricos. ̇ área A= 4 ·r2 esféricos. ̇ volumen V= 4/3 ·r3 219 - Seguridad y precisión al trazar y describir los - El cono: - Descripción y trazo de los elementos geométricos elementos que forman el cono. ̇ generatriz que forman el cono. ̇ altura - Determinación y utilización de la fórmula del área y - Confianza al utilizar la fórmula del área y del volumen del cono. ̇ eje volumen del cono. ̇ área de la base - Resolución de problemas aplicando las fórmulas del - Valora la opinión de sus compañeros al resolver problemas sobre áreas y volúmenes de cuerpos ̇ área área y volumen de cuerpos cónicos. cónicos. AT= ·r·g+ ·r2 Al= ·r·g ̇ volumen V= 1/3 ·r2·h Guía de contenidos - Seguridad y precisión al trazar y describir los - Descripción y trazo de los elementos geométricos - El prisma recto: N°15 elementos que forman el prisma recto. que forman el prisma recto. - Confianza al utilizar la fórmula del área y del - Determinación y utilización de l fórmula del área y ̇ caras volumen del prisma recto. volumen del prisma recto. ̇ aristas ̇ vertices - Resolución de problemas aplicando las fórmulas del - Coopera con sus compañeros en la búsqueda de la solución de los problemas sobre área y volumen área y volumen del prisma recto. ̇ ángulos poliedros de cuerpos en forma de prisma recto. ̇ diagonales ̇ área A= 2lw+2lh+2wh

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̇ volumen V= lwh - La pirámide regular hasta seis lados: - Descripción y trazo de los elementos geométricos ̇ caras que forman la pirámide regular hasta seis lados en ̇ vértices su base. ̇ aristas en su base - Determinación y utilización de l fórmula del área y ̇ área volumen de la pirámide regular hasta seis lados en AT= A base + Alateral su base. - Resolución de problemas aplicando las fórmulas del ̇ volumen V= 1/3 A base · h área y volumen de la pirámide regular hasta seis lados en su base.

- Seguridad y precisión al trazar los elementos que forman la pirámide regular hasta seis lados en su base. - Confianza al utilizar la fórmula del área y del volumen de cuerpos en forma de pirámide regular. - Coopera con sus compañeros en la búsqueda de la solución de los problemas sobre área y volumen de cuerpos en forma de pirámide regular.


218 - Seguridad y precisión al trazar y describir los - El cilindro circular recto: - Descripción y trazo de los elementos geométricos elementos que forman el cilindro circular recto. ̇ caras que forman el cilindro circular recto. ̇ vértices - Determinación y utilización de la fórmula del área y - Confianza al determinar y utilizar la fórmula del área y del volumen del cilindro circular recto. ̇ aristas volumen de un cilindro circular recto. ̇ alturas - Resolución de problemas utilizando las fórmulas del - Coopera con sus compañeros al resolver problemas aplicados; sobre el área y el volumen de ̇ base área y volumen del cilindro circular recto. ̇ área cuerpos en forma de cilindro circular recto. A= 2 ·r2+2 ·r·h ̇ volumen V= ·r2·h Sugerencias Metodológicas: • Indique que efectúen las actividades sobre cuerpos geométricos de la página 215 como exploración de conocimientos previos. • Pida que practiquen el uso de las fórmulas del área del volumen de cuerpos geométricos. Indicadores de logro: 7.1. Resuelve problemas de área y volumen de cuerpos geométricos, en Actividades de evaluación: colaboración con sus compañeros. • Diagnóstica: resolución de la sección “Recuerda y practica”; págs. 214 y 215. 7.2. Describe y traza con seguridad y precisión los elementos geométricos de: • Formativa: descripción y trazo seguro y preciso de los elementos geométricos la esfera, el cono, el prisma recto, la pirámide regular y el cilindro circular de: esfera, cono, prisma recto, pirámide regular y cilindro circular recto. Dar recto. asesoría en la resolución de problemas de área y volumen de cuerpos geométricos en trabajo cooperativo. • Sumativa: - Actividad individual: construir cuerpos redondos especificando sus elementos. Calcular el área y el volumen de diferentes cuerpos geométricos trazados en taller de construcción. Criterios: Calidad de construcción 40%.

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-

Orden y aseo 10%. Seguridad y confianza en el cálculo de áreas y volúmenes 40%. Puntualidad en la entrega 10%. Actividad grupal: resolver actividades de refuerzo de la pág. 223. Criterios: Colaboración en el trabajo cooperativo 30%. Precisión en la solución de la actividad 40%. Orden y aseo 10%. Respeto a los aportes de compañeros 10%. Puntualidad en la entrega del reporte 10%.

Criterios de evaluación: • Confianza • Colaboración • Seguridad • Precisión • Cooperación.

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Planificación de unidades didácticas Unidad 8. Utilicemos la información


Tiempo: 15 horas

Objetivo de unidad: X Recolectar, organizar, graficar e interpretar la información del entorno a fin de ser utilizada en la toma de decisiones de interés personal y/o social, valorando con criticidad la opinión de los demás. N° pág. Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales Texto Santillana - Confianza al describir términos estadísticos. - Descripción de población, censo, encuesta y - Estadística: - Seguridad al diferenciar variables continuas de las muestra. ̇ población discretas. - Diferenciación entre variable continua y variable ̇ censo - Respeto, orden y aseo al recolectar en forma discreta. ̇ encuesta ̇ muestra directa información estadística. - Recolección de información estadística: primaria y Guía de contenidos - Criticidad, orden y aseo al recolectar datos secundaria. ̇ variable discreta N°17 ̇ variable continua estadísticos de fuentes documentales. - Recopilación de la información: ̇ primaria (directa de campo). ̇ secundaria (bibliográfica).

- Organización de la información. - Presentación de la información. - Tabla de distribución de frecuencias: - clase: xi ̇ limites de clase: li-ls ̇ rango: R = xM-xm ̇ ancho de clase: i= (xM-xm) / (números de clase) ̇ frecuencia absoluta: Fi

- Orden y aseo en la construcción de tablas de - Organización y presentación de los datos distribución de datos recolectados. recolectados en tablas de datos para variable - Confianza, seguridad y precisión al determinar los discreta y /o para variable continua. elementos de una tabla de distribución de - Determinación de: límites inferior y superior de clase, frecuencias. rango, número de clases, ancho de clase, frecuencia absoluta, marca de clase o punto medio, frecuencia relativa y frecuencia acumulada. - Resolución de problemas utilizando la información de la tabla de distribución de datos para variable continua.

10 – 11 – 12 – 13

23

̇ marca de clase o PM = (li+ls)/ 2 ̇ frecuencia relativa Fr= Fi/n ̇ frecuencia acumulada: fa=fl+fi-1 - Gráficas: ̇ histograma ̇ polígono de frecuencias

- Medidas de centralización. ̇ Media aritmética (suma de los datos / n)

- Construcción y trazo del histograma y polígono de frecuencias. - Resolución de problemas interpretando gráficas estadísticas, histograma y polígono de frecuencias.

- Interpretación y explicación de las medidas de tendencia central y sus características para variables discretas y continuas. - Resolución de problemas aplicando la fórmula de la media aritmética.

- Precisión y seguridad al trazar el histograma y polígono de frecuencias. - Colabora con sus compañeros y valora con criticidad sus aportes al resolver problemas interpretando gráficos estadísticos, histogramas y polígono de frecuencias. - Seguridad al interpretar medidas de tendencia central. - Cooperar con sus compañeros en la solución de problemas donde se aplica la media aritmética.

14

15

Sugerencias Metodológicas: • Indique que simulen un censo poblacional al construir una boleta para recolectar información primaria. • Defina conceptos estadísticos básicos de uso frecuente. • Pida que organicen en tablas de distribución de frecuencias la información primaria recolectada. • Pida que grafiquen e interpreten la información tabulada. • Solicite que calculen valores promedios de diferentes series de datos proporcionados. Actividades de evaluación: Indicadores de logro: 8.1. Recolecta información estadística. • Diagnóstica: resolución de la sección “Recuerda y practica” páginas 8 y 9. 8.2. Construye tablas de distribución de datos para variables discretas y/o • Formativa: orientación en la simulación del censo poblacional al construir una continuas con orden y aseo. boleta para recolectar información primaria. Dar orientación y seguimiento a la 8.3. Interpreta gráficos estadísticos. organización, representación grafica e interpretación de información 8.4. Resuelve, cooperando con sus compañeros, problemas aplicando la estadística. media aritmética. • Sumativa: - Actividad grupal: recolectar información primaria organizados en equipos de trabajo. Organizar la información recolectada en tablas de frecuencia calculando rango, número de clases, límites de clase, ancho de clase, marca de clase, frecuencia absoluta, frecuencia relativa y frecuencia acumulada. Graficar e interpretar los datos tabulados. Criterios: Redacción de boleta censal 20%. Calidad de información primaria recolectada 20%.

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Construcción de tablas de frecuencias Construcción e interpretación de gráficas Orden y aseo Puntualidad en la entrega -

20%. 20%. 10%. 10%.

Actividad individual: calcular el valor promedio de la variable en estudio. Criterios: Seguridad y confianza al calcular valor promedio de la variable 40%. Orden y aseo 10%. Precisión en la interpretación de resultados 40%. Puntualidad en la entrega del trabajo 10%.

Criterios de evaluación: • Seguridad • Criticidad • Confianza • Precisión • Cooperación.

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Planificación de unidades didácticas Unidad 9. Trabajemos con ecuaciones


Tiempo: 30 horas

Objetivo de unidad: X Proponer alternativas de soluciones a problemáticas de índole escolar, económica y social, utilizando ecuaciones enteras y fraccionarias de primer grado. N° pág. Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales Texto Santillana - Interpretación y explicación de los elementos de las - Interés por determinar los elementos de las - Ecuaciones: ecuaciones. ecuaciones. ̇ variables Guía de contenidos - Valoración del lenguaje algebraico al utilizarlo en la - Relación del lenguaje común con el lenguaje ̇ grado de la ecuación N°18 construcción de ecuaciones de primer grado. algebraico en la construcción de ecuaciones de ̇ raíz primer grado. ̇ conjunto solución - Seguridad al construir y solucionar ecuaciones de - Construcción y solución de ecuaciones enteras de - Enteras de primer grado con una primer grado con una incógnita. primer grado con una incógnita con y sin productos incógnita, con y sin productos 184 - Colabora con sus compañeros en la solución de indicados. indicados. problemas utilizando ecuaciones de primer grado - Resolución de problemas utilizando ecuaciones con una incógnita. enteras de primer grado con una incógnita. - Fraccionarias de primer grado con - Construcción y solución de las ecuaciones de primer - Confianza e interés por construir las ecuaciones de primer grado con una incógnita con denominadores grado con una incógnita con denominadores denominadores monomios. 188 monomios. monomios. - Fraccionarias de primer grado con denominadores compuestos.

- Gráfica de una ecuación lineal.

- Construcción y solución de las ecuaciones fraccionarias con denominadores compuestos de primer grado con una incógnita. - Resolución de problemas utilizando ecuaciones fraccionarias de primer grado con una incógnita con denominadores compuestos. - Graficación de ecuaciones lineales.

- Confianza, interés y orden al construir y solucionar ecuaciones de primer grado con denominadores compuestos. - Colabora en la solución de problemas utilizando ecuaciones fraccionarias de primer grado con una incógnita. - Precisión y seguridad al graficar ecuaciones lineales.



Sugerencias Metodológicas: • Enseñe cómo identificar los elementos de una ecuación. • Construya ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita con denominadores monomios y/o compuestos. • Pida que solucionen ecuaciones fraccionarias de primer grado. • Indique que resuelvan problemas. • Solicite que grafiquen ecuaciones lineales.

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Actividades de evaluación: Indicadores de logro: 9.1. Explica la relación y uso del lenguaje común con el lenguaje algebraico • Diagnóstica: traducción de frases de lenguaje común a lenguaje algebraico y valorando su importancia en la construcción de ecuaciones de primer viceversa. grado. • Formativa: verificación del interés por determinar los elementos de las 9.2. Resuelve problemas utilizando ecuaciones enteras y/o fraccionarias de ecuaciones. Dar orientación en la resolución de problemas utilizando ecuaciones primer grado con una incógnita; con denominadores monomios y/o de primer grado con una incógnita. Dirección en la graficación de ecuaciones compuestos. lineales. • Sumativa: - Actividad grupal: transformar expresiones en lenguaje natural a expresiones algebraicas. Criterios: Precisión y seguridad en la traducción 40%. Aportes al trabajo en equipo 30%. Orden y aseo 20%. Puntualidad 10%. - Actividad individual: resolver una lista de ecuaciones propuestas. Detallar procesos de solución para ecuaciones enteras y/o fraccionarias. Criterios: Interés por resolver en forma completa la actividad 30%. Seguridad en los procesos de solución 40%. Orden y precisión de las respuestas 20%. Puntualidad en la entrega 10%. Criterios de evaluación: • Interés • Seguridad • Orden • Precisión • Colaboración.

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RAÍZ CUADRADA

PARA COMENZAR Fíjate en el caso resuelto y completa los restantes:

Para encontrar la raíz cuadrada exacta e inexacta de cualquier número entero se siguen estos pasos. 1. Primer período

= 5, porque 52 = 25 porque , porque , porque , porque

-9 3

3.

Se forman períodos de dos cifras, de derecha a Izquierda. Se usa punto para separar cada período

3.

2.

Residuo 3. -9 6 3.16 Residuo

Se halla la raíz cuadrada del primer período. La raíz más cercana a 12 es 3. Como 32 = 9, se resta el 9. El residuo es 3. Raíz Junto al residuo se baja el siguiente período (16). Se baja el punto, la ultima cifra y se duplica la raíz. Doble de la raíz

4.

3. -9 65 x 5 = 325 3.16 64 x 4 = 256

Se divide el residuo, sin la última cifra, para el doble de la raíz (31/ 6=5). Se escribe el 5 junto al doble de la raíz (6.5). Se multiplica 6.5 por 5.

5.

3.4 -9 65 x 5 = 325 3.16 64 x 4 = 256 -25.6 0.6

Al multiplicar 6.5 x 5 = 32.5, se observa que 3.25 >3.16, por lo tanto no se puede restar; se cambia el 5 por el 4 (este número nunca será mayor que 9) Se resta 3.16 – 2.56 = 0.60 Se pasa el 4 a la raíz. El resto es 0.60.

3. Determina las raíces cuadradas de cada uno de los siguientes valores. a. b. c. d. e. f. 4. Utiliza la calculadora y extrae la raíz cuadrada de los siguientes números decimales. a. b. c. d.

X

1. La raíz cuadrada de 105 es 10 con resto igual a 5. Esto quiere decir que 105 = 10 10 + 5. Con base en este ejemplo, encuentra los términos a y b. a. 533 = a a + 4 = a2 + 4 b. a = (81)2 + 4 c. 115 = a2 + b d. 950 = a2 + b 2. Resuelve cada una de las raíces del ejercicio anterior aplicando el respectivo algoritmo. Extrae raíces con dos cifras decimales. a. b. c. d. 28

COCIENTES NOTABLES Los cocientes notables son aquellos que resultan de divisiones exactas entre polinomios, las cuales presentan ciertas regularidades que permiten determinar un resultado sin efectuar las operaciones de rigor propias de una división.

PARA COMENZAR

1. Cociente de la forma

Encuentra el resultado de las divisiones.

Al analizar el producto notable (x + a)(x - a) = x2 - a2 se puede concluir que la expresión x2 - a2 es divisible exactamente entre los binomios x + a y x - a. Es decir, se verifican los siguientes cocientes en los cuales la división es exacta.

a. (x2 – a2) ÷ (x – a) __________________. b. (x2 – a2) ÷ (x + a)

Caso 1: La diferencia de los cuadrados de dos términos, dividida entre la suma de dichos términos, es igual a la diferencia de los términos:

__________________.

Caso 2: La diferencia de los cuadrados de dos términos, dividida entre la diferencia de dichos términos, es igual a la suma de los términos:

Ejemplos: Halla el resultado de los siguientes cocientes. a.

b.

=x–3

Caso 1

Solución a. b.

= x + 2y

1. Resuelve las siguientes expresiones, aplicando el cociente notable. a.

c.

b.

d.

Caso 2

3. Completa la tabla. dividendo divisor 49y4 – x12 25 – m10 5 – m5 8 a - 144

2. Escribe V, si la afirmación es verdadera, o F, si es falsa. Justifica tu respuesta. a. a2 - 36 es divisible entre a + 6

_____

b. 2x2 - 1 es divisor de 4x4 – 1

_____

t4r8-t12s4

t2r4- t6s2

cociente 7y2 + x6 a4 - 12 X2 - 8

4. Encuentra una expresión algebraica para determinar la altura del rectángulo de la figura.

c. m8 + n4 es divisible entre m4 + n2 _____ d. 81w2 - 64z4 es divisible entre 9w + 8z

_____ ________

29

INVESTIGA Verifica que el polinomio X3 + a3 no es divisible entre el binomio x – a.

2. Cociente de la forma Al igual que el cociente anterior, en este se distinguen dos casos en los cuales la división es exacta. Caso 1: La suma de los cubos de dos términos dividida entre la suma de dichos términos, es igual al cuadrado del primer término, menos el producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término: Caso 2: La diferencia de los cubos de dos términos dividida entre la diferencia de dichos términos, es igual al cuadrado del primer término, más el producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término: Ejemplos: Halla el resultado de los siguientes cocientes. a.

b.

Solución a.

b.

1.

Realiza las divisiones.

= a4 – 6a2b3 + 36b6

= 16x2 + 20xy + 25y2.

2. Une cada división con su respectivo cociente. 1.

a.

2.

b. 1 + xy +

3.

c. 4x2 + 8xy + 16y2

4.

d. 36y8 – 42y4+49

f.

5.

e. 9x6 + 3x3 + y2

g.

6.

f. x2 + 2x + 4

a. b. c. d. e.

h. i.

30

Cociente de la forma

TOMA NOTA Signos del cociente

En este cociente se distinguen tres casos Caso 1: La diferencia de potencias pares o impares iguales, siempre es divisible entre la diferencia de sus bases.

Si el divisor es de la forma x-a, en el cociente solo aparecen signos más. Si el divisor es de la forma x + a, los signos del cociente se alternan +, -, +, -.

Caso 2: La diferencia de potencias pares iguales, siempre es divisible entre la suma de sus bases.

Caso 3: La suma de potencias impares iguales, siempre es divisible entre la suma de sus bases.

Ejemplos: resolver el cociente notable

.

Solución Se divide m5 entre m para obtener el primer término del cociente. Así, Se divide n5 entre n para obtener el último término del cociente.

1. Halla el cociente de las siguientes divisiones. a.

=

__________________.

b.

= __________________.

c.

= __________________.

2. Determina la base del rectángulo si A=bxh

3. Escribe V, si la afirmación es verdadera, o F, si es falsa. Justifica tu respuesta. a. an - bn es divisible entre a - b, si n es par. b. a + b es divisor de an + bn, si n es impar. c. a - b es divisor de an + bn d. an - bn es divisible entre a + b, si n es par.

4. Resuelve. Una finca de 32w5 + 243y5 unidades cuadradas, se cercó. Hallar la longitud de la cerca, si se conoce el ancho de la finca.

________________________.

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TRIÁNGULOS. SEGÚN SUS LADOS Y SUS ÁNGULOS Un triángulo es la región del plano limitada por tres rectas que se intersecan dos a dos. PARA COMENZAR

Marcar con  la gráfica que representa el tipo de ángulos que se mencionan. Justificar la elección. Ángulos internos

Ángulos externos

En un triángulo se identifican tres elementos: vértices, lados y ángulos interiores. Los vértices son los puntos de intersección de las rectas (A, B, C). Los lados son los segmentos determinados por dos vértices (a, b, c). En un triángulo, los lados suelen simbolizarse con la misma letra del ángulo opuesto pero en minúscula. Así,

Los ángulos interiores son aquellos formados por dos lados consecutivos ( A, B, C). Se llaman ángulos exteriores de un triángulo a los ángulos adyacentes a los ángulos interiores.

El triángulo también se puede definir como un polígono de tres lados, tres vértices y tres ángulos interiores. Se nota con el símbolo ∆ seguido por las tres letras que indican sus vértices. Por ejemplo, el ∆ABC es el triángulo de vértices A, B y C.

1. Halla las medidas del ángulo interior desconocido y de los tres ángulos exteriores al ∆ABC.

2. Si DE||GH, halla la medida de 1, 2, 3 y

3. Resuelve. En un triángulo ABC, el ángulo B mide 15º más que el ángulo C y el ángulo A mide la mitad del ángulo B. ¿Cuál es la medida de los tres ángulos del triángulo ABC?

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Clasificación de triángulos

TOMA NOTA Las marcas || en el triángulo indican los lados que tienen la misma medida:

Los triángulos se pueden clasificar según la medida de sus lados y según la medida de sus ángulos internos. Según la medida de sus lados, los triángulos se clasifican como se muestra a continuación:

Según la amplitud de sus ángulos interiores, los triángulos se clasifican como se muestra a continuación:

1. Halla la medida de los ángulos señalados.

a.

2. Determina si los siguientes triángulos tienen las medidas correctas. Justificar la respuesta a partir de las propiedades de los triángulos.

1, 2, 3

b. 1+ 2 + 3 _____________

_____________

_______________

______________

a. 1, 2, 3, 4, 5

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TEOREMA “LA SUMA DE LOS ÁNGULOS EXTERIORES DE UN TRIÁNGULO” Teorema “La suma de los ángulos exteriores de un triángulo vale 360º” PARA COMENZAR Hallar la medida de los ángulos señalados.

Figura 1

1 = ___________ 2 = ___________ 3 = ___________ <1>

Si los ángulos A, B, C son los ángulos interiores del triángulo ∆ABC. Entonces de los ángulos exteriores de la figura 1 del triángulo ∆ABC se dice: Ángulo exterior 1 + Ángulo exterior 1 + Ángulo exterior 1 = 360º Demostración: A + ángulo exterior 1 = 180º (1) por ser ángulos adyacentes. B + ángulo exterior 2 = 180º (2) por ser ángulos adyacentes. C + ángulo exterior 3 = 180º (3) por ser ángulos adyacentes. Al sumar las ecuaciones (1) + (2) + (3) = 540º. Y se sabe que A+ B+ C = 180º Por teorema “Suma de los ángulos interiores de todo triángulo”. Entonces: 180º + ángulo exterior 1 + ángulo exterior 2 + ángulo exterior 3 = 540º ángulo exterior 1 + ángulo exterior 2 + ángulo exterior 3 = 540º - 180º ángulo exterior 1 + ángulo exterior 2 + ángulo exterior 3 = 360º

1. Observa la figura. Luego, determina si la afirmación es falsa (F) o verdadera (V).

___ La amplitud del 1 es menor que la amplitud del 2. ___ La medida del 2 es igual a la medida del 7. ___ El 3 mide lo que miden el 5 y el 2 juntos. ___ El 1 mide 130º. ___ El 5 mide 125º. ___ El 6 mide lo que mide el 5 más 15º. ___ El 8 mide lo mismo que el 1 y el 5 juntos.

2. Responde. ABCD es un cuadrado y AC y BD son diagonales que se cortan perpendicularmente

¿Cuántos triángulos hay? ¿Cuál es la medida del OIJ? ¿Cuál es la medida del OHG? ¿Cuál es la medida del OKL?

______. ______. ______. ______.

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RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO En un triángulo se pueden trazar cuatro tipos de líneas notables: alturas, medianas, mediatrices y bisectrices. PARA COMENZAR Determinar si la afirmación es falsa o verdadera. Justificar la respuesta. Un triángulo rectángulo isósceles tiene dos lados de igual medida.__________ Un triángulo obtusángulo isósceles tiene dos lados de igual medida.__________ Un triángulo rectángulo escaleno debe tener todos sus lados de distintas medidas y un ángulo que mide más de 120º.____________ Un triángulo se puede construir, sólo si se conocen las medidas de sus tres lados._____

Alturas Las alturas son los segmentos perpendiculares trazados desde cada vértice del triángulo, hasta el lado opuesto o a su prolongación. En un triángulo se pueden trazar tres alturas, usando el ángulo recto de la escuadra:

El punto de intersección entre las alturas de un triángulo se llama ortocentro. El ortocentro de un triángulo acutángulo está ubicado en su interior. Por ejemplo:

En un triángulo rectángulo, el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto. Por ejemplo:

El ortocentro de un triángulo obtusángulo está ubicado en el exterior. Por Ejemplo:

1. Utiliza compás, transportador y regla para graficar los siguientes triángulos. A continuación, encuentra el ortocentro para cada triángulo.

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Medianas TOMA NOTA Se tiene un triángulo cualquiera y se desea construir una circunferencia que pase por sus tres vértices. ¿Cómo se logra? 1. Primero se encuentra el circuncentro del triángulo. Basta con intersectar dos mediatrices 2. Luego se coloca la punta del compás en el circuncentro y su otra punta en cualquiera de los tres vértices del triángulo. 3. Por último, se traza la circunferencia.

Las medianas de un triángulo son los segmentos que unen cada vértice del triángulo con el punto medio de su lado opuesto. El punto de intersección entre las tres medianas de un triángulo se llama baricentro. En un triángulo se pueden trazar tres medianas. Para trazarlas se busca el punto medio de cada lado y se traza el segmento que une estos puntos con su correspondiente lado opuesto.

Mediatrices Las mediatrices de un triángulo son las rectas perpendiculares a cada lado que pasan por su punto medio. El punto de intersección entre las tres mediatrices se llama circuncentro. El circuncentro corresponde al centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, es decir, la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.

1. Construye los siguientes triángulos, luego traza las líneas y puntos notables que se indican. Alturas - Ortocentro a. Rectángulo isósceles, lados iguales de 4 cm. b. Obtusángulo isósceles, ángulo obtuso 120º, lados iguales de 5 cm. c. Escaleno, lados de 6 cm, 7 cm y 8 cm.

Bisectrices - Incentro g. Equilátero, lado de 3 cm. h. Isósceles, longitud de lados iguales: 3,5 cm, ángulo entre los lados iguales 60º. i. Rectángulo, lados adyacentes al ángulo recto de 1 cm y 5 cm. 2. Ubica la iglesia del pueblo si se sabe que se encuentra a la misma distancia de la alcaldía, la plaza pública y el parque central.

Medianas - Baricentro d. Rectángulo, lados adyacentes al ángulo recto 2 cm y 4 cm. e. Isósceles, lados iguales a 3 cm, ángulo entre los lados iguales 75º. f. Escaleno, lados de 2 cm, 3 cm y 4 cm.

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Bisectrices

RECUERDA Los puntos notables de todo triángulo son: ortocentro baricentro circuncentro incentro

Las bisectrices de un triángulo son los segmentos que dividen cada ángulo interior en dos ángulos de la misma medida. Las bisectrices se trazan desde cada vértice hasta sus respectivos lados opuestos. El punto de intersección de las tres bisectrices de un triángulo se llama incentro. Una aplicación del incentro es la de trazar una circunferencia inscrita dentro de un triángulo determinado, es decir, una circunferencia que sea tangente a cada uno de los lados del triángulo. El incentro corresponde al centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. Por ejemplo, para construir la circunferencia inscrita a ∆PQR se procede así: Se traza la perpendicular desde I hasta el lado PR en el punto S. Finalmente, se traza la circunferencia con centro en I y radio IS.

De los cuatro elementos estudiados en esta lección, las alturas son las más utilizadas tanto en las matemáticas como en las ciencias básicas.

1. SI R + r = 9 cm. ¿Cuánto mide el área de la región sombreada?

2. Las tres rectas son mediatrices de un triángulo rectángulo y la circunferencia circunscribe al triángulo. Dibuja un triángulo que reúna esas condiciones.

Respuesta: __________________

37

CRITERIOS DE IGUALDAD DE TRIÁNGULOS Todo triángulo tiene seis partes principales, tres lados y tres ángulos. ¿Cuándo son iguales dos triángulos?

PARA COMENZAR Dibuja los siguientes triángulos; utiliza regla, transportador y compás.

Definición: dos triángulos son congruentes si sus partes correspondientes son iguales. En términos sencillos, esta definición dice que dos triángulos serán iguales si al colocar uno sobre el otro coinciden perfectamente. Para determinar si dos triángulos son iguales, es suficiente comparar la igualdad de solo tres de sus elementos de acuerdo con tres criterios de congruencia. Primer criterio de igualdad: lado, lado, lado (LLL). Si los tres lados de un triángulo son iguales con los correspondientes lados de otro triángulo, entonces los dos triángulos son iguales. Por ejemplo, de los triángulos

se puede decir lo siguiente: Como, PQ ST QR TU PR

SU; entonces ∆PQR = ∆STU.

1. Nombra los segmentos y los ángulos congruentes en cada figura.

_____________________ _________________

_________________ _________________

38

Segundo criterio de igualdad: lado, ángulo, lado (LAL). Si dos lados de un triángulo y el ángulo comprendido entre ellos son iguales a los dos correspondientes lados de otro triángulo y al ángulo comprendido entre ellos, entonces, los dos triángulos son iguales. Por ejemplo TOMA NOTA La propiedad reflexiva de la congruencia de segmentos se refiere a que todo segmento es congruente a sí mismo pues tiene la misma medida. CD CD

CA A= A AB

FD D = 90º luego, D y como DE entonces ∆ABC

∆DEF

Tercer criterio de congruencia: ángulo, lado, ángulo (ALA). Si dos ángulos de un triángulo y el lado comprendido entre ellos son congruentes a los correspondientes ángulos de otro triángulo y al lado comprendido entre ellos, los dos triángulos son congruentes. Por ejemplo:

MN está comprendido entre M y N. M’N’ está comprendido entre M’ y N’ M’ Como M MN M’N’ y N N’, entonces ∆MNO ∆M’N’O’

1. Determina si las siguientes parejas de triángulos son iguales.

2. Marcar con figura dada.



la figura congruente a la

___________

Guía de contenido 7: Semejanza de triángulos. ___________

39

TEOREMA SOBRE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Definición: Dos triángulos son semejantes cuando sus ángulos correspondientes son congruentes y sus lados correspondientes son proporcionales. La relación de semejanza se denota con el símbolo ~ PARA COMENZAR ¿Qué parejas de ángulos son iguales en la siguiente figura? ¿Por qué razón?

∆DHP ~ ∆ULN Como se nota en la figura de arriba, ambos triángulos tienen sus tres ángulos correspondientes iguales: D U, P N, H L Además, los lados del triángulo izquierdo son todos la mitad de los del triángulo derecho y por tanto, proporcionales a estos: = = = En consecuencia, es posible establecer una relación de semejanza entre ambos triángulos: ∆DHP ~ ∆ULN. Si de antemano se sabe que dos triángulos son semejantes, es posible determinar la longitud desconocida de algún lado. Por ejemplo, en la siguiente figura se sabe que ∆UOC ~ ∆OAB; pero se desconocen los valores de los lados u y b.

Para encontrar estos valores faltantes se establecen proporciones: = = u=4

1. Encuentra los valores desconocidos. a. En la figura, se sabe que AB = 6, AC = 8, BC = 10, EC = 6. Encuentra los valores de ED y DC.

b. En la figura, se sabe que PS = 9, PR = 7, RS = 8, RT = 5. Encuentra los valores de RY y TY.

b=9

2. Encuentra el valor de los lados desconocidos. Se sabe que las siguientes parejas de triángulos son proporcionales entre sí. a.

b.

40

Semejanza de triángulos

TOMA NOTA En palabras corrientes, dos figuras son semejantes si tienen la misma forma pero distinto tamaño.

Dos triángulos semejantes por el Postulado AA: CKI ~ NZO • Teorema LLL de semejanza: Si los tres lados de un triángulo son proporcionales a los tres lados de otro triángulo, entonces los dos triángulos son semejantes.

=

=

=

Dos triángulos semejantes por el Postulado LLL: ∆BLD ~ ∆TWG • Teorema LAL de semejanza: Si un ángulo de un triángulo es congruente con un ángulo de otro triángulo y si los dos correspondientes que incluyen el ángulo son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes.

=

=

Dos triángulos semejantes por el Postulado LAL: ∆XLQ ~ ∆RSN

1.

Determina si existe semejanza entre cada pareja de triángulos. Si hay semejanza, escribe una relación entre ambos triángulos y provee el criterio de semejanza que aplica. a.

b.

2. Determina si existe semejanza entre cada pareja de triángulos. Si hay semejanza, escribe una relación entre ambos triángulos y provee el criterio de semejanza que aplica. a.

b.

41

TEOREMA DE PITÁGORAS Uno de los resultados más útiles para el estudio de los triángulos es el Teorema de Pitágoras, en este se afirma que: En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos. PARA COMENZAR Con tu regla dibuja el siguiente triángulo rectángulo cuidadosamente. a2 + b2 = c2

¿Cuánto mide la

hipotenusa? ______ cm

Al aplicar este teorema es posible encontrar la medida de uno de los lados de un triángulo rectángulo, si se conoce la medida de los otros dos lados. Por ejemplo: Las pulgadas de un rectángulo se determinan de acuerdo con la longitud de su diagonal. Si el rectángulo tiene las medidas dadas en el gráfico, ¿de cuántas pulgadas es el rectángulo?

Para hallar h, se aplica el teorema de Pitágoras, así: h2 = c12 + c22 h2 = (16)2 + (12)2 h2 = 256 + 144 Por lo tanto, el rectángulo es de 20 pulgadas.

1. Resuelve. a. Determinar la altura de la tienda de campaña si se sabe que AB BC CA

b. Una escalera de 3 metros se pone contra una pared. Si la distancia de la base de la escalera a la pared es de 1 m, ¿a qué distancia se encuentra la parte más alta de la escalera con relación al suelo?

h = 20

h=

c. ¿A qué altura vuela el avión?

d. Tres ciudades están ubicadas como se muestra en la figura. ¿Cuántos kms hay de M a N?

42

ÁREAS DE REGIONES PLANAS

PARA COMENZAR ¿Cuáles son la base y la altura de ∆ABC y ∆ABD mostrados en la figura?

Para hallar el área de un polígono no siempre es necesario hacer recubrimientos. Es posible encontrar este valor si se conocen las medidas de algunos elementos del polígono dado. Área de triángulos El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de la longitud de la base por la altura. . A= Por ejemplo, para hallar el área del triángulo BCD se reemplazan los valores de la base y la altura en la expresión y se realizan las operaciones. A=

=

= 3 cm2

Área de cuadrados El área de un cuadrado es igual al producto de la longitud del lado por sí misma. Área = lado x lado A= l∙l Por ejemplo, el área de un cuadrado de 3 m de lado es 9 m2 pues A = 3 m ∙ 3 m = 9 m2. Área de rectángulos El área de un rectángulo es igual al producto de la longitud de su base por su altura. Área = base x altura A= b∙h Por ejemplo, el área de un rectángulo de 3 cm de base y 2 cm de altura es 6 cm2 pues A = 3 cm ∙ 2 cm = 6 cm2. 1. Halla el área de cada figura.

2. Resuelve. Calcula las áreas de los rectángulos A, B, C y el cuadrado D de la figura.

__________ m2

__________cm2 A = _____, B = _____, C = ______,D = ______. __________cm2

43

OBSERVA Todo romboide se puede transformar en un rectángulo como se indica en la figura.

Área de romboides El área de un romboide es igual al producto de la longitud de la base por la altura. A= b x h Por ejemplo, el área del romboide DEFG es 6 cm2 pues

A = 3 cm ∙ 2 cm = 6 cm2 Área de rombos El área de un rombo es igual al semiproducto de la longitud de la diagonal mayor (D) por la longitud de la diagonal menor (d). Área = (diagonal mayor x diagonal menor) A= En la figura se observa que al trasladar ∆SOR y ∆PSO se obtiene un rectángulo cuya base es D y cuya altura es d.

Así que: A=D∙ d

1. Halla el área de cada figura.

_____________ dm2

____________ cm2

A=

2. Resuelve. a. El área de un rombo es de 40 cm2. Si la diagonal menor mide 5 cm, ¿cuánto mide la diagonal mayor? _________________ cm b. Si se construye un rombo utilizando cuatro triángulos rectángulos de base 3 cm y altura 4 cm, ¿cuál es el área del rombo? c. Se va a comprar un cielo raso como el de la figura.

Si el m2 cuesta $35.000, ¿cuánto hay que pagar para cubrir toda la forma?

44

INVESTIGA ¿Se puede afirmar que todo triángulo equilátero es isósceles? ¿Por qué?

Área de trapecios El área de un trapecio es igual al semiproducto de la suma de las bases por la altura. A= Área de polígonos regulares. Todo polígono regular se puede descomponer en tantos triángulos isósceles congruentes, como lados tiene el polígono. La altura de cada triángulo recibe el nombre de apotema y se representa con la letra a. El área de un polígono regular es igual a la mitad del producto del perímetro por la apotema. con p: perímetro, a: apotema. A= Ejemplo: halla el área del pentágono regular. Se calcula la apotema por Pitágoras, así: 52 = a2 + 32 25 - 9 = a2 16 = a2 4 = a Luego, se calcula el perímetro y el área. p = 6 cm x 5 = 30 cm,

A=

60 cm2

A=

Área de círculos El círculo es la región del plano que abarca la circunferencia, es toda la parte sombreada. Siendo el área igual a la constante (Pi) por el radio del círculo al cuadrado. A = ∙ r2 Si r = 3cm

1. Halla el área de cada figura.

A = (3 cm)2

A=9

cm2

2. Halla el área de la región de color azul claro.

_________ dm2

_________ cm2

3. El polígono ABCDEF es un hexágono regular de 1.440 dm2 de área. Encontrar el área del polígono ACDE sombreado en la figura.

_________ cm2 45

FÓRMULAS DE UN POLÍGONO REGULAR

PARA COMENZAR Utiliza tus instrumentos de geometría para dibujar la siguiente figura:

En general, un polígono es una figura formada por un número finito de segmentos coplanares no colineales unidos por sus extremos. Un polígono regular tiene todos sus lados y ángulos iguales. Atendiendo el número de lados reciben el nombre siguiente: 5 lados: pentágono 9 lados: eneágono 6 lados: hexágono 10 lados: decágono 7 lados: heptágono 11 lados: endecágono 8 lados: octógono 12 lados: dodecágono Por lo tanto si el polígono para el cual se busca el área tiene n lados, la donde n ∙ l es el perímetro del expresión general debe ser A = polígono y a es el apotema. Por ejemplo, halla el área del polígono.

Como l = 50 cm, se halla el perímetro del octágono. P = 8 x 50 cm = 400 cm. Luego, se aplica la fórmula para el área de polígonos regulares, así: A=

=

1. Escribe V si la afirmación es verdadera o F, si es falsa. a. En todos los paralelogramos las diagonales tienen la misma medida. b. En el rombo todos los ángulos tienen la misma medida. c. En todos los paralelogramos las diagonales son perpendiculares. d. En todos los paralelogramos los lados son congruentes. e. En todos los paralelogramos los ángulos opuestos son congruentes. f. En el rombo las diagonales se cortan en el mismo punto. g. Un cuadrado es un rectángulo.

= 5 000

cm2

2. Construye un dodecágono regular y dibujar en él el paralelogramo ABML.

Continuar dibujando paralelogramos hasta llenar la figura. ¿Cuántos paralelogramos tiene el dodecágono? __________________.. 46

ELEMENTOS DE UN SECTOR CIRCULAR Y DE UNA CORONA CIRCULAR

PARA COMENZAR Calcula el área del círculo con radio igual a 3 cm

Un círculo es una figura plana limitada por una circunferencia. En un círculo se pueden determinar las siguientes regiones. Sector circular Región del círculo limitado por dos radios y el arco de circunferencia comprendido entre ellos.

Área

A = _________ cm2

A=

Corona circular Porción del plano comprendida entre dos circunferencias concéntricas (con el mismo centro).

Área 1. Halla el área de la región coloreada.

A=

( R 2 – r2 )

2. Resuelve. Un jardinero ofrece en su catálogo los siguientes diseños de jardín. Si cada m2 del diseño del jardín cuesta $ 49.65, ¿cuál es el diseño más económico?

__________cm2 ___________

__________cm2

___________ 47

ÁREA TOTAL DE UN CUBO Cubo o hexaedro: PARA COMENZAR Si el área de cada una de las caras del cubo es de 36 cm2, ¿cuánto mide la longitud de un lado de una de estas caras?

El hexaedro o cubo tiene 6 caras, 8 vértices y 12 aristas. Las fórmulas a utilizar tanto para encontrar su área como su volumen son las siguientes: A = 6l2 V = l3 Ejemplo: Enunciado Se desea forrar una caja de regalo cuya arista mide 10 cm. ¿Qué cantidad de papel se utilizará? ¿Cabe en la caja una pelota que tiene un volumen de 524 cm3 y un diámetro menor que 10 cm? (figura 1) Interpretación del enunciado La caja tiene 6 caras y todas las caras son cuadradas. Para determinar la cantidad de papel necesaria para forrarla se busca el área de una de sus caras y luego se multiplica por 6. Área = 10 cm × 10 cm = 100 cm2

Figura 1

Entonces Acubo = 6(100) cm2 = 600 cm2

Acubo = 600 cm2

Para determinar si cabe la pelota dentro de la caja se calcula el volumen del cubo. Esto es: Vcubo = l3 Vcubo = 10 cm × 10 cm × 10 cm Vcubo = (10 cm)3 = 1 000 cm3 Solución Se necesita como mínimo 600 cm2 de papel y se considera que la pelota sí cabe en la caja.

Opera: 1. Se desea atar una caja de regalo. ¿Qué cantidad de cinta se empleará si en el moño se utilizan 20 cm?

2. Una caja de zapatos mide 34 cm por cada uno de sus lados. Encuentra: a. ¿Cuánto cartón se necesitará para hacer 1 000 cajas iguales?

E

b. ¿Cuál es el área total de cada una de las cajas?

Respuesta: ________________

48

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

PARA COMENZAR Determinar el máximo común divisor en cada caso. a. 12, 18 y 24 b. 32, 40 y 48 c. 21, 25 y 27

El máximo común divisor (mcd) de dos o más polinomios es un polinomio del mayor grado posible que divide exactamente a los polinomios. Máximo común divisor de monomios Para hallar el máximo común divisor de dos o más monomios se halla el máximo común divisor de los coeficientes y se multiplica por las variables que son comunes en todos los monomios con su menor exponente. Ejemplo: Hallar el máximo común divisor de: a. 32

y 48x

b. -5

Solución a. El máximo común divisor de los coeficientes es 16. Las variables comunes son x y y. Como se escriben con el menor exponente, el y 48x es . máximo común divisor de 32 b. El máximo común divisor de los coeficientes es 1. Las variables comunes son a y b. Como se escriben con su menor exponente, el máximo común divisor de -5

Opera: 1. Completa las frases con respecto a cada grupo de monomios. Completarlo para cada uno de los ejercicios. a. Para b. En El mcd de los coeficientes es ___________ Las letras comunes son __________ El menor exponente de ______ es _______

2. Halla el mcd de cada grupo de monomios. a.

g.

b.

h.

c.

i.

d.

j.

e.

k.

f.

l.

El menor exponente de ______ es _______ El menor exponente de ______ es _______ Luego, el mcd de _____ y _____ es _____ 49

Máximo común divisor de polinomios Para encontrar el máximo común divisor (mcd) de dos o más polinomios, primero se descomponen los polinomios en factores primos. El máximo común divisor es el producto de los factores comunes elevados a la menor potencia con que aparecen en cada factorización.

TOMA NOTA Polinomios primos relativos. SI el máximo común divisor de dos polinomios es 1, los polinomios son primos entre sí.

Ejemplo: Determinar el máximo común divisor de los polinomios en cada caso. a. b. Solución a. La factorización de los polinomios es: 2 . . Como el único factor común es (x – 1) y su menor exponente es 1, el máximo común divisor de es (x – 1) b. La factorización de los polinomios es: 2 . 3 . Como (x +3) es factor común de los dos polinomios y el menor exponente con que aparece es 2, el máximo común divisor de es (x + 3)2

1. Hallar el mcd de cada grupo de expresiones algebraicas.

2. Relaciona la factorización de los polinomios con su expresión original a.

a. b. c. d. e. f. g. h. i.

b. c. d. e. f.

j. k.

E 50

FRACCIONES ALGEBRAICAS Una fracción algebraica es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas.

PARA COMENZAR Escribe la expresión algebraica que representa el largo y el ancho del terreno.

Simplificación de fracciones algebraicas Simplificar una fracción algebraica es convertirla en una fracción equivalente cuyos miembros (numerador y denominador) no tengan divisores comunes. Cuando el numerador y el denominador de una fracción son primos relativos, se dice que la fracción es irreducible y por lo tanto, la fracción está reducida a su mínima expresión. Por ejemplo, las fracciones: ,

,

están reducidas a su mínima expresión.

Simplificación de fracciones cuyos numerador y denominador son monomios Para simplificar fracciones cuyos numerador y denominador son monomios, se debe tener en cuenta la misma propiedad utilizada en división de monomios. Para dividir potencias de igual base se deja la misma base y se restan los = ; si m > n ó = ; si m < n. exponentes. Esto es: Ejemplo: al aplicar la propiedad del cociente de potencias iguales se tiene que:

Largo: ____________. Ancho: ___________.

=

=

Simplificación de fracciones cuyos numerador y denominador son polinomios Para simplificar fracciones cuyos numerador y denominador son polinomios, se factorizan dichas expresiones y se eliminan los factores comunes presentes en cada miembro de la fracción. Ejemplo:

=

1. Simplifica la expresión que representa el área de cada terreno. a).

=

b).

E Respuesta: ________________________

Respuesta: ______________________________ 51

EL PRISMA RECTO Área de un prisma

PARA COMENZAR Calcular el área de:

Para hallar el área de un prisma se procede así: 1. Se encuentra el área de la base y se multiplica por 2. 2. Se halla el área de una de las caras laterales y este resultado se multiplica por el número de lados de la base. Ejemplo: Hallar el área del prisma hexagonal con altura de 7.5 cm y cada lado de su base, 2cm . (figura 1)

Si A = b x h A = ____ mm2

Solución Se halla el valor de la apotema a del hexágono, aplicando el teorema de Pitágoras. cm a2 =22 - 12 a2 = 4 - 1 a= Así, el área del hexágono se obtiene mediante la expresión: A=

Figura 1

=

=

Entonces, el área de los dos hexágonos equivale a 20,8 cm2 El área de cada cara lateral se obtiene así: A = 2cm x 7,5cm = 15cm2, ya que las caras son rectángulos. Luego, el área del prisma se obtiene mediante la siguiente suma:

Apotema a

20,8cm2 + 90cm2 = 110,8cm2

1. Encuentra el área total y área lateral de los siguientes cuerpos. a) Prisma recto cuya base es un hexágono regular que tiene 3 cm de arista apotema de 2.598 cm en su base y 5 cm de altura. b) Prisma recto cuadrangular de 2cm de arista en su base y 8 cm de altura.

2. Para las siguientes figuras, encuentra su área total y área lateral correspondientes.

a)

b)

c) Calcula el area de un prisma de 30 cm c) de altura que tiene una base pentagonal regular de 20 cm de lado y 30 cm de apotema.y geometría II, Colommbia, pagina 237> <(1) Aritmetica

52

VOLUMEN DE UN PRISMA Para hallar el volumen de un prisma se multiplica el área de la base (AB) por la altura (h). Figura 2

V = AB * h Por ejemplo, el volumen del prisma de base cuadrada que se muestra en la figura 1, se obtiene multiplicando el área de la base, que es de 9 cm2, por la altura de 5 cm Luego, el volumen del prisma es de 9 cm2 x 5cm = 45cm3 Ejemplo Hallar el volumen del prisma que se muestra en la figura 2.

Figura 3

Solución Se halla el area de la base calculando la altura mediante el teorema de Pitágoras (figura 3) h2 = (6 cm)2 - (3 cm)2 h2 = 36 cm2 - 9 cm2 h= h=

1. Encuentra el volumen de los siguientes prismas.

Así, el área de un triángulo es: = Luego, el volumen del prisma se obtiene mediante la expresión: V = AB * h = x 10cm = = 155,88 cm3

2. Calcula el volumen de las siguientes figuras.

a)

b)

c) 3. Halla el volumen de un prisma cuya área de base es de 12cm2 y 17cm de altura.

53

LA PIRÁMIDE REGULAR HASTA 6 LADOS Pirámide

PARA COMENZAR ¿Cuáles son las diferencias más importantes entre un paralelepípedo y un prisma recto?

Figura 1

Es un poliedro que tiene un polígono como base y triángulos con un vértice común, como caras laterales. En una pirámide se distinguen los siguientes elementos: arista, base, vértice, caras laterales y apotema o altura (figura 1). La altura es la distancia que hay desde el vértice hasta su base, tomada perpendicular a la base. Desarrollo en el plano Para hallar el área total y el volumen de una pirámide es necesario recurrir a su desarrollo en el plano. (figura 2) Área: el desarrollo en el plano de una pirámide está formado por el polígono de la base y tantos triángulos como lados tiene la base. El área lateral (AL) de la pirámide es la suma de las áreas de las caras laterales. El área total (AT) se obtiene sumando el área lateral con el área de la base (AB). AT = AL + AB El volumen de una pirámide es igual a un tercio del producto del área de la base por la medida de la altura. V = AB x h Ejemplo. Hallar el volumen de la pirámide de la figura 3, cuya base es un hexágono regular de 6 cm de lado y 3 cm de apotema.

Figura 2

Figura 3

Solución Primero, se halla el perímetro del hexágono: P =6 * (6 cm) =36 cm. Después, se halla el área de la base. Para ello, se remplaza en la fórmula de área del hexágono, así. = = = 91,8 AB = Finalmente, se aplica la fórmula de volumen de una pirámide. V = AB * h = (91,8 cm2)(7 cm) = 214,2

1. Halla el volumen de la siguiente pirámide cuadrada.

2. Halla el área de las siguientes pirámides.

3. Encuentra el volumen de las siguientes pirámides.

4. Encuentra el área y el volumen de una pirámide cuadrada, de 4,2 cm por lado y 5 cm de altura.

54

ESTADÍSTICA.

PARA COMENZAR

RECOPILACIÓN DE LA INFORMACIÓN

Estadística Es la ciencia que se encarga del diseño, recolección y análisis de información para describir el comportamiento de una variable, en un grupo determinado de individuos.

Al sumar las frecuencias representada con la altura de cada barra se obtiene la población en estudio. ¿Cuánto es la población que practica deporte en el colegio? __________

Poblacion: La población es el conjunto de individuos que se van a describir a partir del análisis de una característica que puede ser cuantitativa y cualitativa. Por ejemplo: • Los rangos de edad: el estudio se aplicará en adolescentes, jóvenes, adultos. • La región en donde se va a estudiar este fenómeno: a nivel nacional, departamental, de ciudad, de sector, de colegio, etcétera. La muestra es un subconjunto de la población; sobre ella se obtiene la información necesaria para describir el comportamiento de toda la población con respecto a una variable. Por ejemplo, conocer las edades de los alumnos de octavo grado del país. En esta situación, la población son todos los alumnos, de octavo grado del país, pero aquellos solamente de una ciudad especifica, son muestra representativa. Variables: cuando en una población se desea estudiar una característica de los individuos, a esta característica se le llama variable estadística. Una variable se llama cuantitativa si los valores que toman son numéricos y cualitativa si representan características, no numéricas.

Una variable cuantitativa es continua si puede tomar cualquier valor intermedio entre dos posibles valores (tiempo que toman en recorrer 1 000 mt un grupo de atletas); y es discreta si toma pocos valores (número de hijos de empleados en una fabrica). 1. Clasifica las siguientes variables i. Las temperaturas registradas cada estadísticas en cualitativas y cuantitativas. hora en una ciudad De ser cuantitativas, indicar si son j. La estatura de los jugadores de un equipo de fútbol discretas o continuas. k. El número de páginas de los libros de a. número de primos una biblioteca b. sexo c. deporte preferido d. color de ojos a. __________ b.__________ e. metros cúbicos de agua en una empresa c.__________ d.__________ f. número de vecinos en un edificio g. kilos de harina usados en una e.__________ f.___________ panadería, durante una semana h. número de hermanos de los alumnos g.__________ h.___________ de un colegio i.___________ j.____________ k.___________ 55

RECOLECCIÓN DE DATOS Los datos pueden recolectarse a través de diversas formas. Una de ellas es a través de un estudio directo de los fenómenos de interés a través de investigaciones, recolección directa de la información con los individuos, etcétera. A esto se le denomina fuente primaria. INVESTIGA Cuando la población que se va a estudiar es muy grande es preferible investigar sobre una muestra representativa. ¿Qué relación existe entre la población y la muestra representativa?

Y fuente secundaria es aquella recolectada por otra persona, de la cual nosotros utilizaremos su informe o resumen de interés. Técnicas de recolección Algunas técnicas utilizadas para recoger la información son: los test, entrevistas, cuestionarios (encuestas), censos, entre otros. Los censos específicamente son utilizados con toda la población. Ejemplo: Determina la población y la muestra en cada una de las siguientes situaciones. a. El rector de un colegio decide hacer una encuesta para determinar las preferencias deportivas de los estudiantes. Decide preguntar a cinco estudiantes de cada curso. b. El profesor de matemáticas quiere verificar si los estudiantes de 7º hicieron la tarea. Decide hacer una evaluación de verificación a 10 de ellos. Solución a. Población: todos los estudiantes del colegio. Muestra: los estudiantes que resuelven la encuesta; cinco de cada curso. b. Población: los estudiantes de 7ºA. Muestra: los 10 estudiantes a los cuales les hace la evaluación.

1. Se requiere saber las estaturas de los estudiantes de tercer ciclo en el país, se miden los alumnos de cinco escuelas por cada departamento.

Determina los siguientes apartados: Población: ________________ Individuo: ________________ Variable:

________________

Muestra:

_________________

2. Identifica la población, el individuo o unidad estadística, la variable estadística y la muestra. a. Se desea saber la altura de los árboles de un parque nacional y, para ello, se midieron 100 árboles. b. Se necesita conocer el tipo de transporte que utilizan las personas de una ciudad y, por esto, se efectuó una encuesta entre 1 500 personas. c. En un huerto hay 1 000 árboles frutales: se contó la producción de 200 árboles para conocer la producción total.

56

ECUACIONES Conceptos básicos Una igualdad es una expresión que compara dos cantidades mediante el signo igual. Aquellas expresiones de la forma x + 5 = 8 y 3x + 2x = 5x reciben el nombre de igualdades algebraicas. PARA COMENZAR El departamento de San Salvador posee el mayor número de habitantes de El Salvador. • Investiga cuantos habitantes posee.

Las igualdades algebraicas que se cumplen para cualquier valor de la variable o variables en ellas se denominan identidades. Pero, las igualdades algebraicas que se cumplen para determinado valor de la variable o variables presentes en ella, se denominan ecuaciones. La variable o variables de una ecuación son valores desconocidos denominados incógnitas. (ejemplo: X y Y)

Partes de una ecuación En toda ecuación, la expresión que se encuentra antes del signo igual se denomina primer término y la expresión que se encuentra después del igual se denomina segundo término.

Los sumandos de cada miembro de una ecuación reciben el nombre de términos. Si tomamos como ejemplo la ecuación 2x + 5 = 7x - 11, los términos son 2x, 5, 7x y -11. El grado de una ecuación con una sola incógnita, es el mayor exponente de dicha incógnita. Por ejemplo, la expresión 2x + 9 = -13 es una ecuación de primer grado y la expresión - 7x + 10 = 0 es una ecuación de segundo grado. La ecuación x + 5 = 12, únicamente se cumple si x = 7. Este último valor se denomina raíz o solución de la ecuación. Así, solucionar o resolver una ecuación significa hallar el valor o valores de la incógnita que satisfacen la ecuación dada. 1. Resuelve las siguientes ecuaciones y verifica la respuesta. a. b. c. d. e. f. g. h. i.

x + 23 = 38 z - 17 = -5 21 - y = -4 6 = m - 39 w - 26 = 12 -18 = 36 - t 7x = 98 4n = 60 c = -48

x= _______________ z= _______________ y= _______________ m = _______________ w= _______________ t= _______________ x= _______________ n= _______________ c= _______________

j. k. l.

w= -182 = 14r 175 = -25n

w= _______________ r= _______________ n = _______________

2. Escribe una expresión que represente cada situación. a.

c.

b.

57

Ejemplo: Identificar los miembros, términos y grado de cada una de las siguientes ecuaciones. a. 5x + 12 = 20

RECUERDA La estadística es la ciencia encargada de reunir, clasificar, describir, analizar y presentar información, acerca de los cuales se deben tomar decisiones.

b. (x + 1)(x - 1) = 0

c. 3m - 17 = -5m + 3

Solución a. 5x + 12 = 20 El primer miembro de la ecuación es 5x + 12 y el segundo miembro es 20. Los términos de la ecuación son 5x, 12 y 20. La ecuación es de primer grado pues el mayor exponente de la incógnita x es 1. b. (x + 1)(x - 1) = 0 Al multiplicar (x + 1)(x - 1) = 0 la ecuación queda x2 - 1 = 0 El primer miembro de la ecuación es x2 - 1 y el segundo miembro es 0. Los términos de la ecuación son x2, -1 y 0. La ecuación es de segundo grado pues el mayor exponente de la incógnita x es 2. c. 3m - 17 = -5m + 3 El primer miembro de la ecuación es 3m - 17 y el segundo miembro es -5m + 3. Los términos de la ecuación son 3m, -17, -5m y 3. La ecuación es de primer grado pues el mayor exponente de la incógnita m es 1.

1. Escribe a las ecuaciones que corresponden a la situación planteada y resuélvelas. a. La suma de dos números consecutivos es 35, ¿cuáles son los números? 3x – 1 = 34 2x = 36 2x + 1 = 35 b. La diferencia entre cinco veces un número y 86 es 9. Hallar el número. 5x = 95

2. Resuelve cada ecuación y verifica la solución. a. 5x + 20 = 65

x = ___________

b. 12y - 18 = 15

y = ___________

c. 8z - 14 + 3z = 19

z = ___________

d. 13 - 7b + 27 = -56

b = ___________

= 11

m = ___________

e.

f. w - 3 = -

w = ___________

g. n - = -

n = ___________

h. – t =

t = ___________

X – 86 = 9 - 9 = 86 c. ¿Cuáles son las longitudes de los lados de un rectángulo, si un lado mide 7 centímetros más que el otro y el perímetro es 66 cm? 2x + 14 = 66 2x + 2 (x + 7) = 66 2x + 7 = 66 58

FRACCIONES DE PRIMER GRADO CON DENOMINADORES COMPUESTOS Fracciones algebraicas

PARA COMENZAR ¿A qué expresión debe ser igual Q(x) para que la expresión

Una fracción algebraica en la que el numerador, el denominador o los dos son fracciones algebraicas, recibe el nombre de fracción algebraica compleja. Para simplificar una fracción algebraica compleja se factorizan los polinomios del numerador y del denominador, y se simplifican los factores comunes. Ejemplo:

Simplificar

sea igual a – 1?

. Solución

=

.

=

Se divide el numerador entre el denominador

x

=

1. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas.

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

Definición de división de fracciones Se simplifican factores comunes

2. Escribe una fracción algebraica. Cuyo grado de numerador sea 3 y el del denominador 2. Cuyo grado del numerador sea 1 y el del denominador 4. 3. Calcula el valor numérico de las fracciones algebraicas siguientes. para

x=-2

para

x=5

para

x=2

para

x=-3

59

GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN LINEAL

Notación funcional y gráfica de la ecuación lineal Una función f es una relación entre dos variables, x y y, de tal forma que a cada valor de x le corresponde un único valor de y. PARA COMENZAR Para representar gráficamente una recta en el plano cartesiano basta con determinar dos puntos de dicha recta en el plano y trazar la recta que pasa por ambos puntos.

Ejemplo: La siguiente tabla muestra la distancia que recorre un automóvil que viaja siempre con la misma rapidez, para diferentes valores del tiempo. La situación involucra dos variables: el tiempo y la distancia. Se puede establecer una relación entre los valores de dichas variables, pues los valores de la variable distancia dependen de los valores de la variable tiempo. En este caso, se dice que la distancia es la variable dependiente y el tiempo es la variable independiente.

Grafica en el plano lo siguiente. (2, 5) y (–1, 4)

En la tabla de datos se puede observar que al multiplicar el valor del tiempo por 20 se obtiene el valor de la distancia correspondiente. Por lo tanto, la distancia y el tiempo se relacionan mediante la expresión d 5 20 t, en donde d representa la distancia y t representa el tiempo. Los datos de la tabla se pueden representar en un plano cartesiano al asignar un par ordenado a cada valor del tiempo y su respectivo valor de la distancia. La variable independiente, en este caso el tiempo, se representa en el eje horizontal y la variable dependiente, en este caso la distancia, se representa en el eje vertical como se muestra en la figura 1. Una función es lineal si su expresión algebraica es de la forma y= 5 mx + b, donde m y b son números reales y su representación gráfica es una línea recta.

Figura 1

1. Dibuja la gráfica de las funciones siguientes. a . y = 3x + 5

b. 5x = y – 2

c. 3x – y = 4

d. 9x – y = 6

e. x + 5 = y

f. 2x + 6 = 3y

g. 5x – 4y = 6

h. 9x – 8y = 2

i. 4x + 6y = 3

j.

= x-4

2. Grafica cada tabla de valores en el plano cartesiano. Elige una escala apropiada para el eje y. a. Número de libros 1 2 Costos en $ 10 500 21 000

b. Número de manzanas 1 Peso en gramos 200

3 4 5 31 500 42 000 52 500

2

3

4

5

400

600

800

1 000

60

Matematica Santillana

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